Теоремы сложения и умножения вероятностей. Примеры решения задач
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Основные понятия События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае они называются совместными. Полной группой называют совокупность событий, объединение которых есть событие достоверное. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. События называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления других событий. События называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления других. Теорема сложения вероятностей несовместных событий Р(A+B)=Р(A)+Р(B), где А, В — несовместные события.
Теорема сложения вероятностей совместных событий Р(A+B)=Р(A)+Р(B)-P(AB),
где А и В — совместные события.
Теорема умножения вероятностей независимых событий , где А и В независимые события. Теорема умножения вероятностей зависимых событий Р(АВ)=Р(А)РA(B), где РA(B) — вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А; А и В- зависимые события.
Задача 1. Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Составить полную группу событий и найти их вероятности.Решение. Испытание — Производится два выстрела по мишени. Событие А — оба раза промахнулся. Событие В — попал один раз. Событие С — оба раза попал. .
Контроль: P(A) + P(B) + P(C) = 1. Задача 2. Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер? Решение. По теореме сложения вероятностей и в силу совместности предложенных событий имеем: Р(дождь или ветер или то и другое)=Р(дождь) +Р(ветер) –Р(дождь и ветер)=0,4+0,7-0,2=0,9. Задача 3. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ – внутри страны. Событие В – второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем
Задача 4. Из партии изделий товаровед наудачу отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранная вещь окажется высшего сорта равна, 0,8; первого сорта – 0,7; второго сорта – 0,5. Найти вероятность того, что из трех наудачу отобранных изделий будут: а) только два высшего сорта; б) все разные.Решение. Пусть событие — изделие высшего сорта; событие — изделие первого сорта; событие — изделие второго сорта. По условию задачи ; ; События — независимы. а) Событие А – только два изделия высшего сорта будет выглядеть так тогда
б) Событие В – все три изделия различны — выразим так:, тогда . Задача 5. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,8; p2=0,7; p3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события (попадание первого орудия), (попадание второго орудия) и (попадание третьего орудия) независимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных событиям (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:
Искомая вероятность Задача 6. В типографии имеется 4 печатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна Искомая вероятность . Задача 7. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей , из которых три в переплете . Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
Решение. Рассмотрим следующие события: А1- первый взятый учебник в переплете; A2- второй взятый учебник в переплете. Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий: . Вероятность наступления события А1 p(A1) в соответствии с классическим определением вероятности: P(A1)=m/n=3/6=0,5. Вероятность наступления события А2 определяется условной вероятностью наступления события А2 при условии наступления события А1 , т.е. (A2)==0,4. Тогда искомая вероятность наступления события: P(A)=0,5*0,4=0,2.
Основные теоремы. Теорема сложения вероятностей, Теорема умножения вероятностей, Формула полной вероятности, Формула Байеса
| Основные теоремы | | | | | | |
2.
Основные теоремы
2.1. Теоремы сложения и умножения вероятностей
События А и В называются несовместными, если они
не могут произойти одновременно
События А и В называются совместными, если они
могут произойти одновременно.
Суммой двух события А и В называется событие с,
состоящее в выполнении события А или события В, или обоих вместе.
Сумой нескольких событий называется событие, состоящее в том, что
появится хотя бы одно из этих событий.
Теорема сложения вероятностей
несовместных событий
Теорема сложения вероятностей совместных
событий
В случае четырех и более события данная формула еще больше усложняется
События А и В называются независимыми, если
вероятность появления события А не зависит от появления события В и наоборот:
вероятность события в не зависит от появления события А.
События А и
В называются зависимыми, если
вероятность события В зависит от того появилось ли событие А или
наоборот.
Произведением двух события А и В называется
событие С, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее вы том,
что данные события появятся одновременно.
Теорема умножения вероятностей для
независимых событий
Теорема умножения вероятностей для
зависимых событий
Где — условная вероятность появления события В, при условии что появилось событие А.
2.2. Вероятность появления хотя бы одного
события
Пусть события независимые,
причем
Вероятность появления события А, состоящее в
том, что появится хотя бы одно событие :
2.3. Формула полной вероятности
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий
(гипотез) , образующих
полную группу событий, равна сумму произведений вероятностей каждой из гипотез
на соответствующую условную вероятность появления события А:
Данная формула называется формулой полной вероятности
2.4. Формула Байеса (Бейеса)
Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны
соответственно: . Произведен опыт, в результате которого наблюдено
появление события А. Вероятность того, что появилась i-ая гипотеза,
при условии того, что произошло событие А
, где
вероятность события А находится с помощью формулы
полной вероятности
Данная формула и есть формула Байеса (Бейеса).
Теория вероятности — Кафедра биоинформатики
Мясникова Екатерина Марковна
проф., к.ф.-м.н.
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Кафедра прикладной математики
Описание курса
Цель изучения дисциплины — освоение основных понятий и методов теории вероятностей, развитие способностей к логическому мышлению, получение навыков построения вероятностных моделей и решения на их основе задач различного уровня сложности.
Изучение курса ставит перед собой следующие задачи:
освоение основных понятий и методов теории вероятностей;
изучение основных методов решения вероятностных задач;
ознакомление с наиболее важными для приложений законами распределения вероятностей;
приобретение фундаментальных знаний по теории вероятностей для обеспечения освоения дисциплин, базирующихся на понятиях и методах теории вероятностей.
Темы курса:
1. Классическая модель вероятностного пространства
Случайные события и соотношения между ними. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Простейшие комбинаторные теоремы. Условная вероятность. Теоремы умножения и сложения вероятностей. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема испытаний Бернулли. Биномиальный закон распределения вероятностей. Полиномиальная схема испытаний. Полиномиальный закон распределения вероятностей. Производящие функции распределений.
2. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
Аксиома непрерывности и ее эквивалентность аксиоме счетной аддитивности. Свойства вероятности. Борелевская сигма-алгебра множеств вещественной прямой. Функция распределения на прямой. Борелевская сигма-алгебра множеств и функция распределения в пространстве. Способы задания вероятностных мер на построенных измеримых пространствах. Типы вероятностных мер.
3. Случайные величины и случайные векторы
Случайная величина, ее распределение вероятностей и функция распределения. Типы случайных величин. Борелевские функции. Случайный вектор, его распределение вероятностей и функция распределения. Независимость случайных величин. Законы рас-пределения функций случайных величин. Композиция (свертка) распределений.
4. Числовые характеристики распределений случайных величин
Математическое ожидание, его свойства и теорема о его вычислении. Дисперсия и ее свойства. Неравенство Чебышева. Математическое ожидание и дисперсия независимых случайных величин. Моменты высших порядков. Неравенства Гельдера, Йенсена и Ляпунова. Ковариационная матрица случайного вектора. Коэффициент корреляции. Условные распределения и условные математические ожидания.
5. Производящие и характеристические функции случайных величин и векторов
Производящие функции и факториальные моменты целочисленных неотрицательных случайных величин. Производящие функции случайных векторов. Характеристические функции случайных величин. Формула обращения. Теорема единственности. Теорема непрерывности. Семиинварианты случайных величин. Характеристические функции случайных векторов.
1. А.А.Боровков. Теория вероятностей. М., Наука, 1986
2. А.Ширяев Вероятность, М., МЦНМО , 2007
3. Б.В.Гнеденко. Курс теории вероятностей. Москва Эдиториал. УРСС 2001.
Список публикаций:
V.Vitaly, M.Gursky, L.Panok, E.Myasnikova, A.Manu, G.Maria, Samsonova, J.Reinitz, and A.Samsonov (2011). Mechanisms of gap gene expression canalization in the Drosophila blastoderm. BMC Systems Biology, 5:118. doi:10.1186/1752-0509-5-118.
E.Myasnikova, S.Surkova, G.Stein, A.Pisarev, M.Samsonova. (2011) A regression system for estimation of errors introduced by confocal imaging into gene expression data in situ. BMC Bioinformatics 12: 320, doi:10.1186/1471-2105-12-320.
K.Kozlov, S.Surkova, E.Myasnikova, J.Reinitz, M.Samsonova . (2012) Modeling of Gap Gene Expression in Drosophila Kruppel Mutants. PLoS Comput Biol 8(8): e1002635. doi:10.1371/journal.pcbi.1002635
Теорема сложения вероятностей совместных событий
На прошлом уроке мы рассмотрели теорему сложения вероятностей только для несовместных событий. В случае, когда два события A и B – совместны, справедлива следующая теорема.
Теорема
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
(1)
Доказательство
Событие наступит, если наступит одно из трех несовместных событий: . По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:
(2)
Событие A произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: . Вновь применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем , откуда
. (3)
Аналогично для события B: , откуда
(4)
Теперь подставим (3) и (4) в формулу (2), отсюда получаем формулу сложения вероятностей совместных событий (1).
Как вы уже поняли формула, которую я дал вам на прошлом уроке это лишь частный случай формулы (1). Действительно, если события несовместны, то их произведение – пустое множество, то есть невозможное событие. А вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность суммы трех совместных событий
Аналогично выражению (1) запишем вероятность суммы трех совместных событий:
(5)
Кстати, справедливость формул (1) и (5) можно наглядно проиллюстрировать:
Также из выражения (1) можно получить формулу для вероятности произведения двух событий. Выходит:
(6)
ПРИМЕР 1. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?
Решение. Обозначим события: — появление шестерки на первой кости, — на второй кости. Понятно, что эти события совместные, т.е. шестерка может выпасть как на первой, так и на второй кости.
а) Для вычислений воспользуемся формулой (1). Однако здесь возникла сложность, как вычислить вероятность произведения, т.е. вероятность того, что на каждой из двух костей выпали шестерки. По формуле классической вероятности, количество «удачных» комбинаций равно 1, а для вычисления числа всех равновозможных комбинаций используем правило произведения (комбинаторика):
б) Рассмотрим другой способ решения, воспользовавшись следствием закона сложения вероятностей:
Ответ: вероятность появления хоть одной шестерки равна 11/36 или 0,3056 или 30,56%
На этом все! Всем Спасибо!
Если кто-то не понял или не разобрался в теме или в примерах, задавайте вопросы в комментариях.
Правила вероятности
Условная вероятность
Формула полной вероятности
Формула Байеса
Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли
Мы можем применять правила вероятности для того, чтобы складывать и умножать вероятности.
Например, у взрослого пациента все зубы сохранены, некоторые зубы отсутствуют или он беззубый; вероятности равны 0,67, 0,24 и 0,09 соответственно.
Правило сложения. Если два события, и , взаимоисключающие, несовместимые, то вероятность события или равна сумме их вероятностей:
Вероятность того, что у пациента есть несколько зубов, равна 0,67 + 0,24 = 0,91.
Правило умножения. Если два события, и , независимы (т. е. возникновение одного события не влияет на возможность появления другого), то вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности каждого:
Например, если 2 не имеющих отношения друг к другу больных ожидают приема в кабинете хирургической стоматологии то вероятность того, что у обоих больных есть все зубы, равна 0,67 • 0.67 = 0,45.
Условная вероятность
Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.
Пусть — фиксированное вероятностное пространство. Пусть — два случайных события, причём . Тогда условной вероятностью события при условии события называется
Формула полной вероятности
Пусть событие может наступать только при условии появления одного из событий , образующих полную систему событий. Тогда вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события :
Эта формула носит название формулы полной вероятности.
Формула Байеса
Если вероятности событий до опыта были , то с учетом появления в результате опыта события условная вероятность вычисляется по формуле Байеса:
Оценка вероятности в схеме испытаний Бернулли
Мы приводим пример классического статистического рассуждения, которое полезно иметь в виду при анализе реальных данных.
Бытует мнение, что при рождении ребенка вероятность мальчика такая же, как и девочки.
Примем это за гипотезу.
Для её проверки имеется огромный статистический материал.
Воспользуемся данными по Швейцарии с 1871 по 1900 гг., когда там родилось человек и среди них мальчиков и девочек.
Согласуется ли гипотеза о равновероятности рождения мальчика и девочки с этими числами?
Условно назвав «успехом» рождение мальчика, поставим этот вопрос по-другому, обратившись к схеме Бернулли с вероятностью «успеха» .
Согласуется ли гипотеза с тем, что в серии из испытаний частота «успеха» оказалось равной
Очевидно, если вместо гипотезы выдвинуть, скажем, предположение о том, что , то это предположение будет сразу же отвергнуто как маловероятное (или даже невозможное).
Уместно спросить: почему? Ответ здесь можно дать, основываясь на том, что частота как случайная величина (обозначим её ) подчиняется известному закону распределения.
Эта величина имеет биномиальное распределение. При больших n имеет место нормальное приближение (в силу центральной предельной теоремы).
Воспользовавшись нормальным приближением и задавшись малым (будем называть уровнем значимости), можно утверждать, например, что
с вероятностью, где определяется из условия с помощью нормальной функции распределения
( называется квантилем уровня). Скажем, отвечает , а уже соответствует
Это легко проверить с помощью калькулятора вероятностных распределений STATISTICA. Вернемся к нашим числовым данным и гипотезе , согласно которым мы имеем значение
Оно далеко выходит за границу
Какое же значение, основываясь на этих данных, следует приписать неизвестной вероятности ?
Мы знаем, что по закону больших чисел есть предел частоты (при ), и при имеющемся у нас можно в качестве оценки взять уже приводившееся ранее значение . Эту оценку можно уточнить следующим образом. Поскольку всегда имеет место неравенство , получаем
с вероятностью, не меньшей (точнее, допущение о том, что истинное значение лежит вне этих границ, означает наступление события, дополнительного к (2) и имеющего вероятность не больше ).
В этом смысле можно утверждать, например, что с вероятностью не меньшей 0.9973 (это получается при с уровнем значимости ).
Данное рассуждение приведено в книге Ю.А. Розанова «Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов», М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.
Связанные определения: Вероятность события Независимые повторные испытания Бернулли Независимые события
В начало
Содержание портала
Теорема сложения вероятностей | matematicus.ru
Теоремы сложения вероятностей
Теорема 1 Для любых двух событий А и В, вероятность равна выражению:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(А·В)
Теорема 2 Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Следствие 1 Если события А1,А2,…,Аn образуют полную группу, то получаем
P(A1+A2+…+An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An)
Следствие 2 Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий равна 1, т.е.
P(A1) + P(A2) + …+ P(An) = 1
Следствие 3 Сумма противоположных событий равна 1, т. е.
Пример 1 Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или туз? Решение Здесь события А — «вытащили из колоды карту масти пики»; В — «вытащили из колоды туз»; А·В — «вытащили из колоды пиковый туз». По теореме сложения вероятностей имеем:
Р(А+В)=Р(А) + Р(В)-Р(А·В)
Так как в колоде карт 4 туза и 9 карт, имеющие масть пики, то получаем вероятности
P(A) = 4/36 P(B) = 9/36
Так как пиковый туз единственный в колоде карт, то вероятность Р(А·В) для события А·В — «вытащили пиковый туз» равна 1/36
Р(А·В)=1/36
Искомая вероятность равна:
Р(А + В)=Р(А)+Р(В)–Р(А·В)=
=4/36+9/36+1/36=12/36=1/3
Пример 2 В ящике лежат 8 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 3 зеленых. Наугад берется один шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной. Решение А — «появление красного шара»
P(A) = 3/8
В — «появление зеленого шара»
P(B) = 3/8
А + В — «появление цветного шара»
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=
=3/8+3/8=6/8=3/4
Пример 3 Студент берет билет 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Какова вероятность того, что он выберет билет с четным номером? Решение Номера чётных билетов: 2,4,6,8,10. Всего 5 билетов, следовательно, вероятность выбрать чётный билет равна:
1/10+1/10+1/10+1/10+1/10=5/10=1/2
Сложение и умножение вероятностей 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Тема 22.
Сложение и умножение вероятностей.
Рассмотрим пример. Пусть в ящике находится двадцать кубиков: десять белых, четыре красных и шесть синих. Из ящика наугад вынимают один кубик. Рассмотрим такие события: Событие А – кубик оказался красным, Событие В – кубик оказался синим.
События А и В не могут произойти одновременно. Говорят, что события А и В являются несовместными.
Два события называют несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, то есть наступление одного из них исключает наступление другого.
Пусть событие С означает, что извлечённый из ящика кубик оказался не белым (то есть красным или синим).
Выясним, как вероятность события С связана с вероятностями каждого из событий А и В. Найдем вероятности событий А, В и С. Для каждого извлечения кубика из ящика равновозможными являются двадцать исходов. Из них для события А благоприятными являются четыре исхода, для события В – шесть исходов, для события С – десять исходов. Отсюда, вероятность события А равна 420(четырем двадцатым), вероятность события В – 620 (шести двадцатым), вероятность события С – 1020 (десяти двадцатым).
Мы видим, что вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.
Итак, если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.
Вообще
Если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей события А и В.
Пример первый. Есть десять экзаменационных билетов. Ученик вытянул один из них. Какова вероятность того, что номером билета является простое число, или число большее шести.
Событие А — простое число: 4 благоприятных исхода из 10 возможных
Это числа 2,3,5 и 7
Событие B — число больше 8: 2 благоприятных исхода из 10 возможных
Это 9 и 10
Вероятность события А равна 0,4, а вероятность события В равна 0,2
Событие С наступает тогда, когда наступает одно из событий A или В, которые являются несовместными. Значит, вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В, то есть
Р(С)= Р(А)+ Р(В)=0,4+0,2=0,6
При решении некоторых задач бывает удобно воспользоваться свойством вероятностей противоположных событий.
Разъясним смысл этого понятия на примере бросания игрального кубика. Пусть событие А означает, что выпало шесть очков, Б – что выпало менее шести очков. Всякое наступление события А означает, что наступление Б не наступит. А наступление события Б означает, что событие А не наступит. В таких случаях говорят, что события А и Б – противоположные события.
Найдем вероятности событий А и Б. Для события А благоприятным является один исход из шести равновозможных исходов. Для события Б – пять исходов из шести. Значит, Вероятность события А равна 16 (одной шестой), а вероятность события Б равна 56(пяти шестым). Нетрудно заметить, что их сумма равна единице.
Итак, сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события.
Приведем пример. Пусть в одной из двух коробок находится восемнадцать шаров, три из которых красные, а в другой двадцать четыре шара, четыре из которых красные. Из каждой коробки наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся красными?
Рассмотрим такие события: А – из первой коробки вынимают красный шар, Б- из второй коробки вынимают красный шар.
Для события А благоприятными являются три исхода из восемнадцати, для события Б благоприятными являются четыре исхода из двадцати четырех. Значит, вероятность события А равна трем восемнадцатым, вероятность события Б равна четырем двадцати четвертым.
Очевидно, что события А и Б являются независимыми. Рассмотрим событие, которое состоит в совместном появлении событий А и Б. Обозначим его буквой С.
Благоприятными для события С являются те исходы, при которых оба вытянутых шара окажутся красными. Каждому из трех возможных извлечений красного шара из первой коробки соответствует четыре возможности извлечения красного шара из второй коробки, то есть число благоприятных исходов для события С, равно произведению три и четыре. Следовательно, вероятность извлечения двух шаров будет равна
Итак,
Если событие C означает совместное наступление событий A и B, то вероятность события C равна произведению вероятностей событий А и B.
Правило сложения для определения вероятностей
Что такое правило сложения вероятностей?
Правило сложения для вероятностей описывает две формулы: одна для вероятности одного из двух взаимоисключающих событий, а другая — для вероятности двух не исключающих друг друга событий.
Первая формула — это просто сумма вероятностей двух событий. Вторая формула — это сумма вероятностей двух событий за вычетом вероятности того, что оба они произойдут.
Ключевые выводы
Правило сложения для вероятностей состоит из двух правил или формул, одна из которых учитывает два взаимоисключающих события, а другая — два не исключающих друг друга события.
Не исключающие друг друга означает, что между двумя рассматриваемыми событиями существует некоторое перекрытие, и формула компенсирует это путем вычитания вероятности перекрытия P (Y и Z) из суммы вероятностей Y и Z.
Теоретически первая форма правила является частным случаем второй формы.
Формулы для правил сложения вероятностей —
Математически вероятность двух взаимоисключающих событий обозначается:
Взаимодействие с другими людьми п ( Y или Z ) знак равно п ( Y ) + п ( Z ) P (Y \ text {или} Z) = P (Y) + P (Z)
P (Y или Z) = P (Y) + P (Z)
Математически вероятность двух не исключающих друг друга событий обозначается следующим образом:
Взаимодействие с другими людьми п ( Y или Z ) знак равно п ( Y ) + п ( Z ) — п ( Y и Z ) P (Y \ text {или} Z) = P (Y) + P (Z) — P (Y \ text {и} Z)
P (Y или Z) = P (Y) + P (Z) −P (Y и Z)
Что вам говорит правило сложения вероятностей?
Чтобы проиллюстрировать первое правило правила сложения вероятностей, рассмотрим кубик с шестью гранями и шансами на выпадение 3 или 6.Поскольку шансы выпадения 3 равны 1 из 6, а шансы выпадения 6 также 1 из 6, вероятность выпадения 3 или 6 составляет:
1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Чтобы проиллюстрировать второе правило, рассмотрим класс, в котором 9 мальчиков и 11 девочек. В конце семестра 5 девочек и 4 мальчика получают оценку B. Если студент выбран случайно, каковы шансы, что он будет девочкой или четвертым? Поскольку шансы выбрать девушку составляют 11 из 20, шансы выбрать ученицу B равны 9 из 20, а шансы выбрать девушку, которая является ученицей B, равны 5/20, шансы выбрать девушку или ученицу B являются:
11/20 + 9/20 — 5/20 = 15/20 = 3/4
На самом деле два правила упрощаются до одного правила, второго.Это потому, что в первом случае вероятность двух взаимоисключающих событий равна 0. В примере с кубиком невозможно бросить одновременно 3 и 6 при одном броске одного кубика. Таким образом, эти два события исключают друг друга.
Взаимная эксклюзивность
Взаимоисключающие — это статистический термин, описывающий два или более событий, которые не могут совпадать. Обычно он используется для описания ситуации, когда возникновение одного результата заменяет другой. В качестве основного примера рассмотрим бросание игральных костей.Вы не можете бросить одновременно пятерку и тройку на одном кубике. Кроме того, получение тройки при начальном броске не влияет на то, дает ли последующий бросок пятерку. Все броски кубика — независимые события.
Вероятностное правило сложения
Если
А
и
B
являются двумя событиями в вероятностном эксперименте, то вероятность того, что произойдет одно из событий, равна:
п
(
А
или
B
)
знак равно
п
(
А
)
+
п
(
B
)
—
п
(
А
и
B
)
Это можно представить в виде
Диаграмма Венна
в виде:
п
(
А
∪
B
)
знак равно
п
(
А
)
+
п
(
B
)
—
п
(
А
∩
B
)
Если
А
и
B
два
взаимоисключающие события
,
п
(
А
∩
B
)
знак равно
0
.Тогда вероятность того, что произойдет одно из событий, равна:
п
(
А
или
B
)
знак равно
п
(
А
)
+
п
(
B
)
Это может быть представлено на диаграмме Венна как:
п
(
А
∪
B
)
знак равно
п
(
А
)
+
п
(
B
)
Пример:
Если вы вытащите одну карту из обычной колоды карт, какова вероятность того, что это будет туз или пика?
Позволять
Икс
быть событием выбора туза и
Y
быть событием выбора лопаты.
п
(
Икс
)
знак равно
4
52
п
(
Y
)
знак равно
13
52
Эти два события не исключают друг друга, так как есть один благоприятный исход, при котором карта может быть как тузом, так и пикой.
п
(
Икс
и
Y
)
знак равно
1
52
п
(
Икс
или
Y
)
знак равно
4
52
+
13
52
—
1
52
знак равно
16
52
знак равно
4
13
правил сложения в вероятности и статистике
Правила сложения важны с точки зрения вероятности.Эти правила предоставляют нам способ вычислить вероятность события « A или B, » при условии, что мы знаем вероятность A и вероятность B . Иногда «или» заменяется на U, символ из теории множеств, обозначающий объединение двух множеств. Точное правило сложения зависит от того, являются ли событие A и событие B взаимоисключающими или нет.
Правило сложения для взаимоисключающих событий
Если события A, и B, являются взаимоисключающими, то вероятность A или B является суммой вероятности A и вероятности B .Запишем это компактно следующим образом:
P ( A или B ) = P ( A ) + P ( B )
Обобщенное правило сложения для любых двух событий
Вышеупомянутая формула может быть обобщена для ситуаций, когда события не обязательно могут быть взаимоисключающими. Для любых двух событий A и B вероятность A или B является суммой вероятности A и вероятности B за вычетом общей вероятности A, и . B :
P ( A или B ) = P ( A ) + P ( B ) — P ( A и B )
Иногда слово «и» заменяется на ∩, который является символом из теории множеств, обозначающим пересечение двух множеств.
Правило сложения для взаимоисключающих событий на самом деле является частным случаем обобщенного правила. Это связано с тем, что если A, и B являются взаимоисключающими, то вероятность как A, и B равна нулю.
Пример # 1
Мы увидим примеры того, как использовать эти правила сложения. Предположим, мы берем карту из хорошо перемешанной стандартной колоды карт. Мы хотим определить вероятность того, что вытянутая карта — это двойка или лицевая карта.Событие «нарисована лицевая карта» является взаимоисключающим с событием «выпала двойка», поэтому нам просто нужно сложить вероятности этих двух событий вместе.
Всего имеется 12 лицевых карт, поэтому вероятность вытягивания лицевой карты составляет 12/52. В колоде четыре двойки, поэтому вероятность вытащить двойку составляет 4/52. Это означает, что вероятность вытащить двойку или лицевую карту составляет 12/52 + 4/52 = 16/52.
Пример # 2
Теперь предположим, что мы берем карту из хорошо перемешанной стандартной колоды карт.Теперь мы хотим определить вероятность получения красной карты или туза. В этом случае два события не исключают друг друга. Червовый туз и бубновый туз являются элементами набора красных карт и набора тузов.
Мы рассматриваем три вероятности, а затем объединяем их, используя обобщенное правило сложения:
Вероятность розыгрыша красной карточки 26/52
Вероятность выпадения туза 4/52
Вероятность получения красной карты и туза 2/52
Это означает, что вероятность вытягивания красной карты или туза составляет 26/52 + 4/52 — 2/52 = 28/52.
Что такое теоремы сложения и умножения о вероятности?
Что такое теоремы сложения и умножения о вероятности?
Теорема вероятности сложения и умножения
Сформулируйте и докажите вероятностную теорему сложения и умножения на примерах
Уравнение теоремы сложения и умножения
Замечания:
P (A + B) или P (A∪B) = Вероятность наступления событий A или B = Вероятность наступления событий A или B или обоих = Вероятность наступления хотя бы одного события A или B
P (AB) или P (A∩B) = Вероятность совершения событий A и B вместе.
(1) Когда события не являются взаимоисключающими: Если A и B — два не исключающих друг друга события, то P (A∪B) = P (A) + P (B) — P (A ∩B) или P (A + B) = P (A) + P (B) — P (AB) Для любых трех событий A, B, C P (A∪B∪C) = P (A) + P (B) + P (C) — P (A∩B) — P (B∩C) — P (C∩A) + P (A∩B∩C) или P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) — P (AB) — P (BC) — P (CA) + P (ABC)
.
(2) Когда события являются взаимоисключающими: Если A и B являются взаимоисключающими событиями, то n (A∩B) = 0 ⇒ P (A∩B) = 0 ∴ P (A ∪B) = P (A) + P (B). Для любых трех событий A, B, C, которые являются взаимоисключающими, P (A∩B) = P (B∩C) = P (C∩A) = P (A∩B∩C) = 0 ∴ P (A∪B∪C) = P (A) + P (B) + P (C). Вероятность наступления любого из нескольких взаимоисключающих событий равна сумме их вероятностей, , т.е. , если A 1 , A 2 ……… A n являются взаимоисключающими событиями, тогда P (A 1 + A 2 +… + A n ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + …… + P (A n ) i.е. P (Σ A i ) = Σ P (A i ).
(3) Когда события независимы: Если A и B являются независимыми событиями, то P (A∩B) = P (A) .P (B) ∴ P (A∪B) = П (А) + П (В) — П (А). П (В)
(4) Некоторые другие теоремы
Пусть A и B — два события, связанные со случайным экспериментом, тогда
Обобщение теоремы сложения: Если A 1 , A 2 ……… A n — n событий, связанных со случайным экспериментом, то
Неравенство Були: если A 1 , A 2 ……… A n — n событий, связанных со случайным экспериментом, то
Эти результаты могут быть легко получены с помощью принципа математической индукции.
Условная вероятность
Пусть A и B — два события, связанные со случайным экспериментом. Тогда вероятность появления A при условии, что B уже произошло и P (B) ≠ 0, называется условной вероятностью и обозначается P (A / B). Таким образом, P (A / B) = вероятность появления A, учитывая, что B уже произошло.
Аналогично, P (B / A) = вероятность появления B, при условии, что A уже произошло.
Иногда P (A / B) также используется для обозначения вероятности появления A при возникновении B.Точно так же P (B / A) используется для обозначения вероятности появления B при возникновении A.
Теорема вероятности умножения
Если A, и B — два события, связанные со случайным экспериментом, то P (A∩B) = P (A) .P (B / A), если P ( A ) ≠ 0 или P (A∩B) = P (B) .P (A / B), если P (B) ≠ 0.
Расширение теоремы умножения: Если A 1 , A 2 ……… A n — n событий, связанных со случайным экспериментом, то P (A 1 ∩A 2 ∩A 3 ∩… ∩A n ) = P (A 1 ) P (A 2 / A 1 ) P (A 3 / A 1 ∩A 2 ) …… P (A n / A 1 ∩A 2 ∩… ∩A n − 1 ), где P (A i / A 1 ∩A 2 ∩… ∩A i − 1 ) представляет собой условную вероятность события, учитывая, что события A 1 , A 2 ……… A i — 1 уже произошли.
Теоремы умножения для независимых событий: Если A, и B являются независимыми событиями, связанными со случайным экспериментом, то P (A∩B) = P (A) .P (B) т.е. вероятность одновременного наступления двух независимых событий равно произведению их вероятностей. По теореме умножения P (A∩B) = P (A) .P (B / A). Поскольку A, и B, являются независимыми событиями, поэтому P (B / A) = P (B). Следовательно, P (A∩B) = P (A).П (В).
Расширение теоремы умножения для независимых событий: Если A 1 , A 2 ……… A n — независимые события, связанные со случайным экспериментом, то P (A 1 ∩A 2 ∩A 3 ∩… ∩A n ) = P (A 1 ) P (A 2 ) ..… P (A n ). По теореме умножения имеем P (A 1 ∩A 2 ∩A 3 ∩… ∩A n ) = P (A 1 ) P (A 2 / A 1 ) P (A 3 / A 1 ∩A 2 ) …… P (A n / A 1 ∩A 2 ∩… ∩A n − 1 ) Так как A 1 , A 2 ……… A n-1 , A n являются независимыми событиями, поэтому P (A 2 / A 1 ) = P (A 2 ), P (A 3 / A 1 ∩A 2 ) = P (A 3 ), ……, P (A n / A 1 ∩A 2 ∩… ∩A n −1 ) = P (A n ) Следовательно, P (A 1 ∩A 2 ∩A 3 ∩… ∩A n ) = P (A 1 ) P (A 2 )..… P (A n ).
Вероятность хотя бы одного из n независимых событий: Если p 1 , p 2 ……… p n быть вероятностями наступления n независимых событий A 1 , A 2 ……… A n соответственно, затем
Полная вероятность и правило Бая
(1) Закон полной вероятности: Пусть S будет пространством выборки и пусть E 1 , E 2 ……… E n будет n взаимоисключающими и исчерпывающими событиями связанный со случайным экспериментом.Если A — любое событие, которое происходит с E 1 или E 2 или… или E n , то P (A) = P (E 1 ) P (A / E 1 ) + P (E 2 ) P (A / E 2 ) +… .. P (E n ) P (A / E n ).
(2) Правило Бая: Пусть S будет пробным пространством, а E 1 , E 2 ……… E n n взаимоисключающими событиями, так что
Мы можем думать о E i как причины, которые приводят к исходу эксперимента.Вероятности P (E i ), i = 1, 2,… .., n называются априорными вероятностями. Предположим, что эксперимент приводит к результату события A , где P (A)> 0. Нам нужно найти вероятность того, что наблюдаемое событие A было вызвано причиной E i , то есть мы ищем условное вероятность P (E i / A). Эти вероятности называются апостериорными вероятностями, которые, согласно правилу Байя, равны
.
4.3: Правила сложения и умножения вероятности
При вычислении вероятности необходимо учитывать два правила при определении, являются ли два события независимыми или зависимыми и являются ли они взаимоисключающими.
Правило умножения
Если A и B — два события, определенные в пространстве выборки, то:
\ [P (A \ text {AND} B) = P (B) P (A | B) \ label {eq1} \]
Это правило можно также записать как:
\ [P (A | B) = \ dfrac {P (A \ text {AND} B)} {P (B)} \ nonumber \]
(Вероятность \ (A \) при заданном \ (B \) равна вероятности \ (A \) и \ (B \), деленной на вероятность \ (B \).)
Если \ (A \) и \ (B \) независимы , то
\ [P (A | B) = P (A).\ nonumber \]
и уравнение \ ref {eq1} становится
.
\ [P (A \ text {AND} B) = P (A) P (B). \ nonumber \]
Правило сложения
Если A и B определены в пространстве выборки, то:
Если A и B являются взаимоисключающими , то
\ [P (A \ text {AND} B) = 0. \ nonumber \]
и уравнение \ ref {eq5} становится
.
\ [P (A \ text {OR} B) = P (A) + P (B). \ nonumber \]
Пример \ (\ PageIndex {1} \)
Клаус пытается выбрать, куда поехать в отпуск.Его два варианта: \ (\ text {A} = \ text {Новая Зеландия} \) и \ (\ text {B} = \ text {Alaska} \).
Клаус может позволить себе только один отпуск. Вероятность того, что он выберет \ (\ text {A} \), равна \ (P (\ text {A}) = 0,6 \), а вероятность того, что он выберет \ (\ text {B} \), равна \ (P (\ текст {B}) = 0,35 \).
\ (P (\ text {A AND B}) = 0 \), потому что Клаус может позволить себе только один отпуск
Следовательно, вероятность того, что он выберет Новую Зеландию или Аляску, равна \ (P (\ text {A OR B}) = P (\ text {A}) + P (\ text {B}) = 0.6 + 0,35 = 0,95 \). Обратите внимание, что вероятность того, что он никуда не поедет в отпуск, должна составлять 0,05.
Карлос играет в американский футбол. Он забивает в 65% случаев, когда бьет. В следующей игре Карлос забьет два мяча подряд. \ (\ text {A} = \) событие, которое Карлос успешно с первой попытки. \ (P (\ text {A}) = 0,65 \). \ (\ text {B} = \) событие, которое Карлос успешен со второй попытки. \ (P (\ text {B}) = 0,65 \). Карлос любит стрелять сериями. Вероятность того, что он забьет второй гол ДАЕТ , что он забил первый гол, равна 0.90.
Какова вероятность, что он забьет оба гола?
Какова вероятность того, что Карлос забьет первый или второй гол?
Независимы ли \ (\ text {A} \) и \ (\ text {B} \)?
Являются ли \ (\ text {A} \) и \ (\ text {B} \) взаимоисключающими?
Решения
а. Проблема состоит в том, чтобы найти \ (P (\ text {A AND B}) = P (\ text {B AND A}) \). Поскольку \ (P (\ text {B | A}) = 0,90: P (\ text {B AND A}) = P (\ text {B | A}) P (\ text {A}) = (0.90) (0,65) = 0,585 \)
Карлос забивает первый и второй гол с вероятностью 0,585.
г. Проблема заключается в том, чтобы найти \ (P (\ text {A OR B}) \).
Карлос с вероятностью 0,715 забивает либо первый гол, либо второй гол.
г. Нет, это не так, потому что \ (P (\ text {B AND A}) = 0,585 \).
\ [P (\ text {B}) P (\ text {A}) = (0,65) (0,65) = 0,423 \]
\ [0,423 \ neq 0,585 = P (\ text {B AND A}) \]
Итак, \ (P (\ text {B AND A}) \) — это , а не , равное \ (P (\ text {B}) P (\ text {A}) \).
г. Нет, это не так, потому что \ (P (\ text {A and B}) = 0,585 \).
Чтобы быть взаимоисключающими, \ (P (\ text {A AND B}) \) должен быть равен нулю.
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Хелен играет в баскетбол. При штрафных бросках она выполняет бросок в 75% случаев. Теперь Хелен должна выполнить два штрафных броска. \ (\ text {C} = \) событие, когда Хелен делает первый выстрел. \ (P (\ text {C}) = 0,75 \). \ (\ text {D} = \) событие, которое Хелен делает второй выстрел. \ (P (\ text {D}) = 0,75 \). Вероятность того, что Хелен выполнит второй штрафной бросок, с учетом того, что она выполнила первый, равна 0.85. Какова вероятность того, что Хелен выполнит оба штрафных броска?
Ответ
\ [P (\ text {D | C}) = 0,85 \]
\ [P (\ text {C AND D}) = P (\ text {D AND C}) \]
\ [P (\ text {D AND C}) = P (\ text {D | C}) P (\ text {C}) = (0,85) (0,75) = 0,6375 \]
Хелен выполняет первый и второй штрафные с вероятностью 0,6375.
Пример \ (\ PageIndex {2} \)
Общественная команда по плаванию насчитывает 150 членов. Семьдесят пять участников — опытные пловцы. Сорок семь участников — пловцы среднего уровня. Остальные — начинающие пловцы. Сорок пловцов продвинутого уровня занимаются четыре раза в неделю. Тридцать пловцов среднего уровня занимаются четыре раза в неделю. Десять начинающих пловцов тренируются четыре раза в неделю. Предположим, случайным образом выбран один член команды по плаванию.
Какова вероятность того, что член — начинающий пловец?
Какова вероятность того, что участник тренируется четыре раза в неделю?
Какова вероятность того, что участник — опытный пловец и тренируется четыре раза в неделю?
Какова вероятность того, что участник является пловцом продвинутого уровня и пловцом среднего уровня? Являются ли пловец продвинутого уровня и пловец среднего уровня взаимоисключающими? Почему или почему нет?
Вы новичок в плавании и четыре раза в неделю тренируетесь в самостоятельных видах спорта? Почему или почему нет?
Ответ
\ (\ dfrac {28} {150} \)
\ (\ dfrac {80} {150} \)
\ (\ dfrac {40} {150} \)
\ (P (\ text {расширенный И промежуточный}) = 0 \), поэтому это взаимоисключающие события.Пловец не может одновременно быть пловцом высокого уровня и пловцом среднего уровня.
Нет, это не независимые события. \ [P (\ text {новичок И практикует четыре раза в неделю}) = 0,0667 \] \ [P (\ text {новичок}) P (\ text {практикует четыре раза в неделю}) = 0,0996 \] \ [0,0667 \ neq 0,0996 \]
Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)
В школе 200 старшеклассников, 140 из которых будут поступать в колледж в следующем году. Сорок пойдут прямо на работу. Остальные берут перерыв в год.Пятьдесят старшеклассников, поступающих в колледж, занимаются спортом. Тридцать пенсионеров, идущих сразу на работу, занимаются спортом. Пятеро пожилых людей, взявших перерыв на год, занимаются спортом. Какова вероятность того, что пенсионер возьмет перерыв на год?
Фелисити посещает Modesto JC в Модесто, Калифорния. Вероятность того, что Фелисити зачислится в класс математики, равна 0,2, а вероятность того, что она зачислится в класс речи, равна 0.65. Вероятность того, что она зачислится в математический класс, ПРИ ДАННОЙ, что она зачислена в речевой класс, равна 0,25.
Пусть: \ (\ text {M} = \) урок математики, \ (\ text {S} = \) урок речи, \ (\ text {M | S} = \) математика заданная речь
Какова вероятность того, что Фелисити будет изучать математику и речь? Найдите \ (P (\ text {M AND S}) = P (\ text {M | S}) P (\ text {S}) \).
Какова вероятность того, что Фелисити поступит на уроки математики или речи? Найдите \ (P (\ text {M OR S}) = P (\ text {M}) + P (\ text {S}) — P (\ text {M AND S}) \).
Независимы ли \ (\ text {M} \) и \ (\ text {S} \)? \ (P (\ text {M | S}) = P (\ text {M}) \)?
Являются ли \ (\ text {M} \) и \ (\ text {S} \) взаимоисключающими? \ (P (\ text {M AND S}) = 0 \)?
Ответ
а. 0.1625, г. 0,6875, г. Кивок. №
Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)
Студент идет в библиотеку. Пусть события \ (\ text {B} = \) студент проверяет книгу, а \ (\ text {D} = \) студент проверяет DVD. Предположим, что \ (P (\ text {B}) = 0.40, P (\ text {D}) = 0,30 \) и \ (P (\ text {D | B}) = 0,5 \).
Найдите \ (P (\ text {B AND D}) \).
Найдите \ (P (\ text {B OR D}) \).
Ответ
\ (P (\ text {B AND D}) = P (\ text {D | B}) P (\ text {B}) = (0,5) (0,4) = 0,20 \).
\ (P (\ text {B OR D}) = P (\ text {B}) + P (\ text {D}) — P (\ text {B AND D}) = 0,40 + 0,30 — 0,20 = 0,50 \)
Пример \ (\ PageIndex {4} \)
Исследования показывают, что примерно каждая седьмая женщина (примерно 14.3%), дожившие до 90 лет, заболеют раком груди. Предположим, что у женщин, у которых развивается рак груди, тест дает отрицательный результат в 2% случаев. Также предположим, что в общей популяции женщин тест на рак груди дает отрицательный результат примерно в 85% случаев. Пусть \ (\ text {B} = \) женщина заболевает раком груди, а тест \ (\ text {N} = \) дает отрицательный результат. Предположим, одна женщина выбрана случайным образом.
Какова вероятность того, что у женщины разовьется рак груди? Какова вероятность того, что у женщины отрицательный результат теста?
Учитывая, что у женщины рак груди, какова вероятность того, что у нее будет отрицательный результат?
Какова вероятность того, что у женщины рак груди И результаты анализов отрицательны?
Какова вероятность того, что у женщины рак груди или результаты анализов отрицательны?
Есть ли у вас рак груди и отрицательные результаты тестирования?
Являются ли диагноз рака груди и отрицательный результат взаимоисключающими?
Ответы
\ (P (\ text {B}) = 0.143; P (\ text {N}) = 0,85 \)
\ (P (\ text {N | B}) = 0,02 \)
\ (P (\ text {B AND N}) = P (\ text {B}) P (\ text {N | B}) = (0,143) (0,02) = 0,0029 \)
\ (P (\ text {B OR N}) = P (\ text {B}) + P (\ text {N}) — P (\ text {B AND N}) = 0,143 + 0,85 — 0,0029 = 0,9901 \)
№ \ (P (\ text {N}) = 0,85; P (\ text {N | B}) = 0,02 \). Итак, \ (P (\ text {N | B}) \) не равно \ (P (\ text {N}) \).
№ \ (P (\ text {B AND N}) = 0,0029 \). Чтобы \ (\ text {B} \) и \ (\ text {N} \) были взаимоисключающими, \ (P (\ text {B AND N}) \) должен быть равен нулю
Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)
В школе 200 старшеклассников, 140 из которых будут поступать в колледж в следующем году.Сорок пойдут прямо на работу. Остальные берут перерыв в год. Пятьдесят старшеклассников, поступающих в колледж, занимаются спортом. Тридцать пенсионеров, идущих сразу на работу, занимаются спортом. Пятеро пожилых людей, взявших перерыв на год, занимаются спортом. Какова вероятность того, что выпускник пойдет в институт и займется спортом?
Ответ
Пусть \ (\ text {A} = \) студент — старшекурсник, идущий в колледж.
Пусть \ (\ text {B} = \) студент занимается спортом.
\ (P (\ text {B}) = \ dfrac {140} {200} \)
\ (P (\ text {B | A}) = \ dfrac {50} {140} \)
\ (P (\ text {A AND B}) = P (\ text {B | A}) P (\ text {A}) \)
См. Информацию в примере \ (\ PageIndex {4} \).\ (\ text {P} = \) — положительный результат.
Учитывая, что у женщины развивается рак груди, какова вероятность того, что у нее будет положительный результат теста. Найдите \ (P (\ text {P | B}) = 1 — P (\ text {N | B}) \).
Какова вероятность того, что у женщины разовьется рак груди и положительный результат теста. Найдите \ (P (\ text {B AND P}) = P (\ text {P | B}) P (\ text {B}) \).
Какова вероятность того, что у женщины не разовьется рак груди. Найдите \ (P (\ text {B ′}) = 1 — P (\ text {B}) \).
Какова вероятность того, что у женщины положительный результат теста на рак груди.Найдите \ (P (\ text {P}) = 1 — P (\ text {N}) \).
Ответ
а. 0,98; б. 0,1401; c. 0,857; d. 0,15
Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)
Студент идет в библиотеку. Пусть события \ (\ text {B} = \) студент проверяет книгу и \ (\ text {D} = \) студент проверяет DVD. Предположим, что \ (P (\ text {B}) = 0,40, P (\ text {D}) = 0,30 \) и \ (P (\ text {D | B}) = 0,5 \).
Найдите \ (P (\ text {B ′}) \).
Найдите \ (P (\ text {D AND B}) \).
Найдите \ (P (\ text {B | D}) \).
Найдите \ (P (\ text {D AND B ′}) \).
Найдите \ (P (\ text {D | B ′}) \).
Ответ
\ (P (\ text {B ′}) = 0.60 \)
\ (P (\ text {D AND B}) = P (\ text {D | B}) P (\ text {B}) = 0,20 \)
\ (P (\ text {B | D}) = \ dfrac {P (\ text {B AND D})} {P (\ text {D})} = \ dfrac {(0.20)} {(0.30) } = 0,66 \)
\ (P (\ text {D AND B ′}) = P (\ text {D}) — P (\ text {D AND B}) = 0,30 — 0,20 = 0,10 \)
\ (P (\ text {D | B ′}) = P (\ text {D AND B ′}) P (\ text {B ′}) = (P (\ text {D}) — P (\ text {D И B})) (0.60) = (0,10) (0,60) = 0,06 \)
Обзор формулы
Правило умножения: \ (P (\ text {A AND B}) = P (\ text {A | B}) P (\ text {B}) \)
Правило сложения: \ (P (\ text {A OR B}) = P (\ text {A}) + P (\ text {B}) — P (\ text {A AND B}) \)
Используйте следующую информацию, чтобы ответить на следующие десять упражнений. Сорок восемь процентов всех зарегистрированных избирателей Калифорнии предпочитают пожизненное заключение без права досрочного освобождения смертной казни для человека, признанного виновным в убийстве первой степени.Среди зарегистрированных в Латинской Калифорнии избирателей 55% предпочитают пожизненное заключение без права досрочного освобождения смертной казни для человека, признанного виновным в убийстве первой степени. 37,6% всех калифорнийцев — латиноамериканцы.
В этой задаче пусть:
\ (\ text {C} = \) Калифорнийцы (зарегистрированные избиратели) предпочитают жизнь в тюрьме без права досрочного освобождения смертной казни для человека, осужденного за убийство первой степени.
\ (\ text {L} = \) Латиноамериканцы из Калифорнии
Предположим, случайным образом выбран один калифорнийец.
Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)
Найдите \ (P (\ text {C}) \).
Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)
Найдите \ (P (\ text {L}) \).
Ответ
0,376
Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)
Найдите \ (P (\ text {C | L}) \).
Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)
Проще говоря, что такое \ (\ text {C | L} \)?
Ответ
\ (\ text {C | L} \) означает, что, учитывая, что выбранный человек является латиноамериканцем из Калифорнии, этот человек является зарегистрированным избирателем, который предпочитает жизнь в тюрьме без права досрочного освобождения лицу, признанному виновным в убийстве первой степени.
Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)
Найдите \ (P (\ text {L AND C}) \)
Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)
На словах, что такое \ (\ text {L AND C} \)?
Ответ
\ (\ text {L AND C} \) — это событие, когда выбранным лицом является зарегистрированный избиратель из Латинской Америки, Калифорния, который предпочитает жизнь без права досрочного освобождения смертной казни для человека, осужденного за убийство первой степени.
Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)
Являются ли \ (\ text {L} \) и \ (\ text {C} \) независимыми событиями? Покажите, почему или почему нет.
Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)
Найдите \ (P (\ text {L OR C}) \).
Ответ
0,6492
Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)
На словах, что такое \ (\ text {L OR C} \)?
Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)
Являются ли события \ (\ text {L} \) и \ (\ text {C} \) взаимоисключающими? Покажите, почему или почему нет.
Ответ
Нет, потому что \ (P (\ text {L AND C}) \) не равно 0.
Дополнительное правило вероятности: определение и примеры — видео и стенограмма урока
Взаимоисключающие события
Помните, бросание кубика было бы примером взаимоисключающего события.Кость не может приземлиться с двух сторон одновременно; поэтому вероятность того, что каждая сторона кубика исключает друг друга. Вы также можете слышать о взаимоисключающих событиях, называемых непересекающимися событиями. При работе с взаимоисключающими событиями по вероятности используйте следующую формулу:
Формула расчета вероятности взаимоисключающего события
Эта формула читается как:
Вероятность события A или B равна вероятности события A плюс вероятность события B.
Чтобы определить вероятность взаимоисключающих событий, выполните следующие действия:
Найдите сумму возможных результатов
Найдите желаемый результат
Создайте соотношение для каждого события
Сложите доли или доли каждого события
Во-первых, всего шесть возможных исходов шестигранной кости. У вас есть шесть различных возможных результатов при броске кубика.
Во-вторых, найдите желаемый результат.Шайенну нужно выбросить 3 или 6. Следовательно, желаемым результатом будет 3 или 6. На шестигранном кубике один раз появляется цифра 3 и 6. Запомните эту информацию для следующего шага.
В-третьих, создайте коэффициент для каждого события. Первое событие, бросок 3, будет иметь коэффициент 1/6, потому что у кубика только одна сторона с тремя точками. Второе событие, выпадение 6, также будет иметь отношение 1/6, потому что у кубика только одна сторона с шестью точками.
В-четвертых, сложите отношения или доли каждого события.Этот шаг даст вам вероятность бросить кубик и получить 3 или 6.
1/6 + 1/6 = 2/6 или 1/3
Таким образом, Шайенн имеет шанс 1 из 3 бросая 3 или 6. Как только она выбрасывает 3 или 6, Шайенн может приземлиться на поле, которое позволяет ей выбрать карту. Ей нужно выбрать черную карту или семерку.
Неисключительные события
Помните, что выбор черной карты или семи карт из колоды обычных игральных карт является примером несовместимых событий.Если вы ищете вероятность того, что два события произойдут одновременно, это называется пересечением двух событий. Узнайте больше о пересечении в нашем уроке «Правило вероятности умножения». Это формула для не исключающих друг друга событий:
Формула для расчета вероятности не исключающих друг друга событий
Эта формула читается как:
Вероятность события A или B равна вероятности события A плюс вероятность события B минус вероятность событий A и B.
Чтобы определить вероятность не исключающих друг друга событий, выполните следующие действия:
Найдите сумму возможных исходов
Найдите желаемый результат
Создайте соотношение для каждого события
Сложите доли или доли каждого события
Вычесть перекрытие двух событий
Во-первых, общее количество возможных исходов колоды обычных игральных карт равно 52, поскольку в обычной колоде 52 карты.
Во-вторых, найдите желаемый результат. Шайенну нужно выбрать черную карту или семерку. Следовательно, желаемым исходом будет черная или семерка. Есть две масти, которые являются черными картами: пики и трефы. Для каждой масти по 13 карт. Следовательно, желаемый результат возможных вариантов для черной карты равен 26. В обычной колоде игральных карт четыре семерки, по одной семерки для каждой масти. Следовательно, желаемые возможности исхода для семи карт равны 4.
В-третьих, создайте соотношение для каждого события.Первое событие, выбрав черную карту, будет иметь соотношение 26/52. Второе событие, выбрав семь карт, будет иметь соотношение 4/52. Я получил эти соотношения, используя желаемое число результатов в качестве числителя и общее количество возможных результатов в качестве знаменателя.
В-четвертых, сложите отношения или доли каждого события следующим образом:
26/52 + 4/52 = 30/52
Вы можете остановиться здесь и сказать, что есть 30 из 52 шансов выбрать черную карту или семерку.Но обратите внимание, что в этом утверждении есть слово «или». Это означает, что вы ищете не карту, которая является черной семеркой, а просто все карты, которые являются черными и семеркой. Следовательно, вам нужно вычесть перекрытие двух событий из вероятности. Вероятность выпадения черной семерки составляет 2/52, потому что в колоде всего две черные семерки. Возьмите это соотношение и вычтите из предыдущей вероятности следующим образом:
30/52 — 2/52 = 28/52
Теперь у нас есть правильная вероятность.Шайенн имеет 28 из 52 шансов выбрать либо черную карту, либо семерку. Я бы сказал, это неплохие шансы!
Практические задания
Пример 1:
Эбби принимает участие в своих первых соревнованиях по плаванию. В первом заезде участвуют семь девушек. Она должна занять первое или второе место, чтобы перейти на следующий уровень турнира. Предполагая, что ничьей нет, какова вероятность того, что Эбби получит первое или второе место?
У Эбби шанс 2 из 7 или примерно 29% выйти на следующий уровень турнира.
Это еще один пример взаимоисключающих событий. Эбби не может занять ни первое, ни второе место. Следовательно, нет совпадения событий. Поскольку это пример взаимоисключающих событий, мы можем использовать эту формулу из правила сложения вероятностей:
Эбби имеет 1/7 шанс занять первое место и 1/7 шанс занять второе место. Мы можем сложить эти две вероятности вместе, чтобы найти вероятность того, что Эбби получит первое или второе место следующим образом:
1/7 + 1/7 = 2/7
Пример 2:
Команда Эбби занимает первое место из другие команды по окончании соревнований по плаванию.После этого команда идет за пиццей и мороженым. В команде 20 человек; 8 человек заказывают пиццу, а 12 человек — мороженое. Из команды 5 человек заказали и пиццу, и мороженое. Какова вероятность того, что член команды закажет пиццу или мороженое, но не то и другое вместе?
Вероятность того, что член команды закажет пиццу или мороженое, но не то и другое, составляет 15 из 20 или 75%.
Это пример не исключающих друг друга мероприятий, поскольку некоторые члены команды смогли заказать и мороженое, и пиццу.Вероятность того, что член команды закажет пиццу, составляет 8/20, поскольку эта информация нам уже была предоставлена. Вероятность того, что член команды закажет мороженое, составляет 12/20. Сначала мы можем сложить эти две вероятности вместе:
8/20 + 12/20 = 20/20
Вы, вероятно, решили, что в этот момент что-то не так, поскольку в команде всего двадцать человек. Это потому, что в какой-то момент числа пересекаются. Помните, некоторые люди заказывали и пиццу, и мороженое.Мы знаем из проблемы, что 5 человек заказали и пиццу, и мороженое. Нам нужно вычесть вероятность 5/20 из нашей задачи следующим образом:
20/20 — 5/20 = 15/20
Помните, что в данном случае вероятность — это оценка или прогноз. Мы пытаемся предсказать, будет ли член команды на самом деле заказывать и то, и другое. Таким образом, мы можем только точно сказать, что заказали и то, и другое 5 человек. Мы можем сказать, что если товарищ по команде не закажет оба, то с вероятностью 75% он или она закажет то или другое.
Краткое содержание урока
Правило сложения вероятности — это правило для нахождения объединения двух событий: взаимоисключающих или не исключающих друг друга. Взаимоисключающие события — это события, которые не могут происходить одновременно. Не взаимоисключающие события — это события, которые могут происходить по отдельности или в одно и то же время.
Чтобы найти объединение двух взаимоисключающих событий, используйте следующую формулу:
Вероятность события A или B равна вероятности события A плюс вероятность события B.
Чтобы найти объединение двух событий, которые не являются взаимоисключающими, используйте эту формулу:
Вероятность события A или B равна вероятности события A плюс вероятность события B минус вероятность события A и B.
Помните, правило сложения вероятностей помогает вам найти вероятность события A или события B, а не обоих событий. Чтобы найти пересечение двух событий, ознакомьтесь с нашим уроком о правиле вероятности умножения.
Результаты обучения
По завершении этого урока вы сможете:
Вспомнить правило сложения вероятности
Сравните / сопоставьте взаимоисключающее событие с неисключающим событием и приведите пример
Запомните формулы для расчета вероятности неисключающего или взаимоисключающего события
Рассчитать вероятность взаимоисключающего или не исключающего друг друга события
Основная теория вероятностей: правила и формулы — видео и стенограмма урока
Визуализация вероятностей
Существует несколько способов визуализации вероятностей, но самый простой способ представить их — использовать метод дроби : превратить члены в дроби, разделив количество желаемых результатов на общее количество возможные исходы.Это всегда даст вам число от 0 до 1. Например, каковы шансы выпадения нечетного числа на 6-гранном кубике? Всего существует шесть чисел и три нечетных числа: 1, 3 и 5. Таким образом, вероятность выпадения нечетного числа равна 3/6 или 0,5. Вы можете использовать эту формулу при выполнении более сложных вычислений, как мы увидим позже в уроке.
В этой формуле:
P (A) читается как «вероятность A », где A — это интересующее нас событие.
P (A | B) читается как «вероятность A при наличии B ».
P (не A) читается как «вероятность не A » или «вероятность того, что A не произойдет».
Правила вероятности
Есть три основных правила, связанных с базовой вероятностью: правило сложения, правило умножения и правило дополнения. Вы можете думать о правиле дополнения как о «правиле вычитания», если оно помогает вам его запомнить.
1.) Правило сложения : P (A или B) = P (A) + P (B) — P (A и B)
Если A и B являются взаимоисключающими событиями, , или те, которые не могут встречаться вместе, то третий член равен 0, и правило сводится к P (A или B) = P (A) + P (B) . Например, вы не можете подбросить монету, и она выпадет орлом и решкой за один бросок.
2.) Правило умножения : P (A и B) = P (A) * P (B | A) или P (B) * P (A | B)
Если A и B равны независимых событий , мы можем сократить формулу до P (A и B) = P (A) * P (B) .Термин «независимый» относится к любому событию, результат которого не зависит от результата другого события. Например, рассмотрим второй из двух подбрасываний монеты, для которого вероятность выпадения орла все еще составляет 0,50 (50%), независимо от того, что выпало при первом подбрасывании. Какова вероятность того, что во время двух подбрасываний монеты вы получите решку при первом подбрасывании и орел при втором подбрасывании?
Проведем расчеты: P = P (хвосты) * P (головы) = (0,5) * (0,5) = 0,25
3.) Правило дополнения : P (не A) = 1 — P (A)
Понимаете ли вы, почему правило дополнения также можно рассматривать как правило вычитания? Это правило основывается на взаимоисключающем характере P (A) и P (не A) . Эти два события никогда не могут произойти вместе, но одно из них должно произойти всегда. Следовательно, P (A) + P (не A) = 1. Например, если метеоролог говорит, что вероятность дождя завтра составляет 0,3, какова вероятность того, что дождя не будет?
Давайте посчитаем: P (без дождя) = 1 — P (дождь) = 1 — 0.3 = 0,7
Закон полной вероятности
Закон полной вероятности : P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | not B) * P (not B)
Например, какова вероятность того, что любимый цвет человека будет синим, если вы знаете следующее:
У левшей синий цвет является любимым цветом в 30% случаев
Правши любят синий в 40% случаев
Левши составляют 10% населения
Завершим уравнение:
1.) P (синий) = P (левша) * P (как синий | левша) + P (не левша) * (P (как синий | не левша)
2.) P ( Синий) = (0,1) (0,3) + (0,9) (0,4)
3.) P (Синий) = 0,03 + 0,36 = 0,39
Следовательно, вероятность того, что любимым цветом человека будет синий, составляет 39%.
Теорема Байеса
Теорема Байеса — это метод работы с условными свойствами. В нем говорится, что:
P (A | B) = {P (B | A) * P (A)} / P (B)
Использование закона полной вероятности для разложения P (B) Байеса ‘, мы также можем написать:
P (A | B) = {P (B | A) * P (A)} / {P (A) * P (B | A) + P (not A) * P (B | not A)}
Вы можете использовать теорему Байеса для вычисления P (A | B) , если у вас ограниченная информация о других величинах.Например, предположим, что случайно выбранный гонщик на Тур де Франс дал положительный результат на препараты, повышающие производительность. Тест имеет точность 95%. Насколько велика вероятность того, что этот спортсмен причастен к незаконной деятельности, если 1% спортсменов обманывают таким образом?
Давайте составим наше уравнение и выполним вычисления:
1.) P (Cheat | Positive) = {P (Positive | Cheat) * P (Cheat)} / {P (Positive | Cheat) * P ( Чит) + P (Положительный | не Чит) * P (Не Чит)}
Затем мы следуем математическим правилам для преобразования десятичной дроби в дробь и завершаем операция:
100% — 16,1% = 83%
Несмотря на то, что тест достаточно точен, и этот гонщик дал положительный результат, наши результаты дают нам ответ, отличный от того, которого мы могли ожидать.После расчета вероятности появляется 83% вероятность, что этот гонщик не делает ничего противозаконного!
Краткое содержание урока
Вероятность относится к числу от 0 до 1 и включает взаимоисключающие или независимые события. Взаимоисключающие события не могут происходить одновременно, в то время как независимых событий не влияют на вероятность друг друга.
Есть три основных правила, связанных с вероятностью: правила сложения, умножения и дополнения.
Таблица тангенсов — это записанные в таблицу посчитанные значения тангенсов углов от 0° до 360°. Используя таблицу тангенсов Вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение тангенса от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице.
Таблицы значений тригонометрических функций
Таблица Брадиса: синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы
Таблица синусов
Таблица косинусов
Таблица тангенсов
Таблица котангенсов
Сводная таблица тригонометрических функций
Тригонометрические формулы
Все таблицы и формулы
TG 46
Р Е Н О К Р И Л TG 46 Futur, Кристалл грунт, для нанесения погружением, белый
Области применения:
РЕНОКРИЛ TG 46 применяется как грунтовка для любых пород древесины, для строительных конструкций с высокими требованиями к сохранению размеров. Для древесины с особыми внутренними веществами должна быть применена изолирующая грунтовка IL 48.
Продукт предназначен для применения на промышленных предприятиях.
Характеристики:
РЕНОКРИЛ TG 46 – шелковисто-матовая, содержащая белые пигменты, не препятствует диффузии водных паров, может наноситься кистью или окунанием. Экологична, имеет нейтральный запах. Не заливать в ёмкости, которые могут ржаветь, оказывает фунгицидное действие, защитное действие согласно DIN EN 152, раздел 1. если после нанесения грунтовки погружением на поверхности проявляются пятна, то необходимо дополнительно обработать грунтом IL 48 L.
Указания по обработке:
Способ нанесения : погружение, облив, нанесение кистью, напыление.
нанесение кистью : Ренокрил TG 46 Futur можно наносить кистью в
неразбавленном виде. Поверхность равномерно
покрыть тонким слоем.
напыление : Ренокрил TG 46 Futur можно наносить в не разведённом виде напылением. Для правильного
высыхания необходимо нанесение ровным слоем.
нанесение погружением : наносится в неразбавленном виде, при этом продукт
имеет вязкость от 11 – до 12 сек. (DIN метал.
стаканчик 4 мм). Провести пробное погружение, в
зависимости от стекаемости разбавить с 5% воды.
Очистка : водой или универсальным растворителем.
Температура обработки : 20 °С относит. влажность воздуха – в зависимости от
толщины наносимого слоя, через 30-60 минут
можно шлифовать.
Расход : в зависимости от всасывающей способности
древесины ок. 100-150 мл/м².
Хранение : в прохладном месте, но без замерзания, вскрытые
ёмкости держать плотно закрытыми. для предупреждения образования плёнки на поверхности, впрыснуть в ёмкость немного воды.
В оригинальной упаковке срок хранения 1 год.
Общие указания : перед применением и после длительных пауз
перемешать, не смешивать с продуктами на основе
растворителей.
Не смешивать с другими водорастворимыми
продуктами !!
Точка воспламенения : отсутствует.
Класс опасности : без обозначения.
VbF: отсутствует.
Gef.Stoff V: не требует обозначения.
GGVS / ADR: не требует обозначения.
Создание покрытия для деревянных окон и входных дверей из лиственной и хвойной
древесины:
Предварительные работы : деревянные поверхности тщательно очистить от пыли, смолистые и
загрязнённые поверхности протереть нитрорастворителем.
Rhenocryl TG 46
Грунтовка : нанести Rhenocryl TG 46 Futur (погружением или обливом) на древесину
с особыми внутренними веществами.
Дополнительно нанести (напылением) Rhenocryl IL 48 L как
промежуточное покрытие (толщина мокрой плёнки ок. 175 µ).
(в случае нанесения промежуточного слоя: ок. 125 µ)
В соответствии с директивами о лакокрасочных покрытиях деревянных окон, изданных федеральным комитетом красок и защиты ценностей, строительных норм для открытых строительных элементов (VOB, часть 1), DIN 18363 и рекомендациями IFT (Института оконной техники в Розенхайме) деревянные строительные элементы перед монтажом должны покрываться со всех сторон не менее чем в один слой грунтом и промежуточным грунтом.
Примите во внимание при создании лакокрасочного покрытия так же таблицу «Группы лакокрасочных покрытий для окон и входных дверей», изданную Институтом техники (IFT), Розенхайм, в мае 1983г.
Указания по мерам предосторожности:
Хранить под замком, в местах недоступных для детей. Не допускать попадания в глаза. При попадании промыть большим количеством воды. При работе с малоопасными лаками необходимо соблюдать обычные меры предосторожности.
Утилизация:
Не затвердевшие или не высохшие остатки продукта утилизировать как специальные отходы по согласованию с комитетами по охране окружающей среды (код № 55508 согласно ТА-Abfall). Затвердевшие или высохшие остатки могут быть утилизированы по коду №55513 согласно ТА-Abfall.
Пустые ёмкости должны быть подвергнуты вторичной переработке.
Эти данные без обязательства, основываются на опыте из практики и на результатах проведённых нами испытаний. Рекомендуется в любом случае провести собственные испытания, так как мы не можем оказывать влияния на многообразие окрашиваемых материалов и возможных способов применения данного материала. За возможные последствия вследствие неправомерного использования материала (не по назначению) изготовитель ответственности не несёт. Содержание технических инструкций не является основанием для ответственности продавца. Данные, не содержащиеся в технической инструкции или не совпадающие с ними, требуют письменного подтверждения заводом.
В любом случае действуют наши общие договорные условия и условия поставок.
Таблица тангенсов углов (углы, значения)
В таблице значения тангенсов от 0° до 360°. Таблица тангенсов нужна, когда у вас под рукой нет калькулятора. Чтобы узнать, чему равен тангенс угла, просто найдите его в таблице. Для начала короткая версия таблицы:
Таблица тангенсов | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU
Тангенс, как отношение катетов в прямоугольном треугольнике, представляет собой функцию которая выглядит как дуга окружности внутри данного треугольника с центром в вершине угла и прилежащим катетом в качестве радиуса.
Значение тангенса показывает не только раскрытие угла α, но и насколько один катет больше другого. При тангенсе угла α, равном 1, катеты равны друг другу и треугольник считается равнобедренным. Значения всех тангенсов и соответствующих им углов можно найти в таблице, приведенной ниже.
Найти тангенс угла tg(α), зная угол
Угол α
Таблица тангенсов от 0° до 180°
tg(1°)
0. 0175
tg(2°)
0.0349
tg(3°)
0.0524
tg(4°)
0.0699
tg(5°)
0.0875
tg(6°)
0.1051
tg(7°)
0.1228
tg(8°)
0.1405
tg(9°)
0.1584
tg(10°)
0.1763
tg(11°)
0.1944
tg(12°)
0.2126
tg(13°)
0.2309
tg(14°)
0.2493
tg(15°)
0.2679
tg(16°)
0.2867
tg(17°)
0.3057
tg(18°)
0.3249
tg(19°)
0.3443
tg(20°)
0.364
tg(21°)
0.3839
tg(22°)
0.404
tg(23°)
0.4245
tg(24°)
0.4452
tg(25°)
0.4663
tg(26°)
0.4877
tg(27°)
0. 5095
tg(28°)
0.5317
tg(29°)
0.5543
tg(30°)
0.5774
tg(31°)
0.6009
tg(32°)
0.6249
tg(33°)
0.6494
tg(34°)
0.6745
tg(35°)
0.7002
tg(36°)
0.7265
tg(37°)
0.7536
tg(38°)
0.7813
tg(39°)
0.8098
tg(40°)
0.8391
tg(41°)
0.8693
tg(42°)
0.9004
tg(43°)
0.9325
tg(44°)
0.9657
tg(45°)
1
tg(46°)
1.0355
tg(47°)
1.0724
tg(48°)
1.1106
tg(49°)
1.1504
tg(50°)
1.1918
tg(51°)
1.2349
tg(52°)
1. 2799
tg(53°)
1.327
tg(54°)
1.3764
tg(55°)
1.4281
tg(56°)
1.4826
tg(57°)
1.5399
tg(58°)
1.6003
tg(59°)
1.6643
tg(60°)
1.7321
tg(61°)
1.804
tg(62°)
1.8807
tg(63°)
1.9626
tg(64°)
2.0503
tg(65°)
2.1445
tg(66°)
2.246
tg(67°)
2.3559
tg(68°)
2.4751
tg(69°)
2.6051
tg(70°)
2.7475
tg(71°)
2.9042
tg(72°)
3.0777
tg(73°)
3.2709
tg(74°)
3.4874
tg(75°)
3.7321
tg(76°)
4.0108
tg(77°)
4. 3315
tg(78°)
4.7046
tg(79°)
5.1446
tg(80°)
5.6713
tg(81°)
6.3138
tg(82°)
7.1154
tg(83°)
8.1443
tg(84°)
9.5144
tg(85°)
11.4301
tg(86°)
14.3007
tg(87°)
19.0811
tg(88°)
28.6363
tg(89°)
57.29
tg(90°)
∞
tg(91°)
-57.29
tg(92°)
-28.6363
tg(93°)
-19.0811
tg(94°)
-14.3007
tg(95°)
-11.4301
tg(96°)
-9.5144
tg(97°)
-8.1443
tg(98°)
-7.1154
tg(99°)
-6.3138
tg(100°)
-5.6713
tg(101°)
-5.1446
tg(102°)
-4. 7046
tg(103°)
-4.3315
tg(104°)
-4.0108
tg(105°)
-3.7321
tg(106°)
-3.4874
tg(107°)
-3.2709
tg(108°)
-3.0777
tg(109°)
-2.9042
tg(110°)
-2.7475
tg(111°)
-2.6051
tg(112°)
-2.4751
tg(113°)
-2.3559
tg(114°)
-2.246
tg(115°)
-2.1445
tg(116°)
-2.0503
tg(117°)
-1.9626
tg(118°)
-1.8807
tg(119°)
-1.804
tg(120°)
-1.7321
tg(121°)
-1.6643
tg(122°)
-1.6003
tg(123°)
-1.5399
tg(124°)
-1.4826
tg(125°)
-1. 4281
tg(126°)
-1.3764
tg(127°)
-1.327
tg(128°)
-1.2799
tg(129°)
-1.2349
tg(130°)
-1.1918
tg(131°)
-1.1504
tg(132°)
-1.1106
tg(133°)
-1.0724
tg(134°)
-1.0355
tg(135°)
-1
tg(136°)
-0.9657
tg(137°)
-0.9325
tg(138°)
-0.9004
tg(139°)
-0.8693
tg(140°)
-0.8391
tg(141°)
-0.8098
tg(142°)
-0.7813
tg(143°)
-0.7536
tg(144°)
-0.7265
tg(145°)
-0.7002
tg(146°)
-0.6745
tg(147°)
-0.6494
tg(148°)
-0. 6249
tg(149°)
-0.6009
tg(150°)
-0.5774
tg(151°)
-0.5543
tg(152°)
-0.5317
tg(153°)
-0.5095
tg(154°)
-0.4877
tg(155°)
-0.4663
tg(156°)
-0.4452
tg(157°)
-0.4245
tg(158°)
-0.404
tg(159°)
-0.3839
tg(160°)
-0.364
tg(161°)
-0.3443
tg(162°)
-0.3249
tg(163°)
-0.3057
tg(164°)
-0.2867
tg(165°)
-0.2679
tg(166°)
-0.2493
tg(167°)
-0.2309
tg(168°)
-0.2126
tg(169°)
-0.1944
tg(170°)
-0.1763
tg(171°)
-0.1584
tg(172°)
-0. 1405
tg(173°)
-0.1228
tg(174°)
-0.1051
tg(175°)
-0.0875
tg(176°)
-0.0699
tg(177°)
-0.0524
tg(178°)
-0.0349
tg(179°)
-0.0175
tg(180°)
-0
Таблица тангенсов от 181° до 360°
tg(181°)
0.0175
tg(182°)
0.0349
tg(183°)
0.0524
tg(184°)
0.0699
tg(185°)
0.0875
tg(186°)
0.1051
tg(187°)
0.1228
tg(188°)
0.1405
tg(189°)
0.1584
tg(190°)
0.1763
tg(191°)
0.1944
tg(192°)
0.2126
tg(193°)
0. 2309
tg(194°)
0.2493
tg(195°)
0.2679
tg(196°)
0.2867
tg(197°)
0.3057
tg(198°)
0.3249
tg(199°)
0.3443
tg(200°)
0.364
tg(201°)
0.3839
tg(202°)
0.404
tg(203°)
0.4245
tg(204°)
0.4452
tg(205°)
0.4663
tg(206°)
0.4877
tg(207°)
0.5095
tg(208°)
0.5317
tg(209°)
0.5543
tg(210°)
0.5774
tg(211°)
0.6009
tg(212°)
0.6249
tg(213°)
0.6494
tg(214°)
0.6745
tg(215°)
0.7002
tg(216°)
0.7265
tg(217°)
0. 7536
tg(218°)
0.7813
tg(219°)
0.8098
tg(220°)
0.8391
tg(221°)
0.8693
tg(222°)
0.9004
tg(223°)
0.9325
tg(224°)
0.9657
tg(225°)
1
tg(226°)
1.0355
tg(227°)
1.0724
tg(228°)
1.1106
tg(229°)
1.1504
tg(230°)
1.1918
tg(231°)
1.2349
tg(232°)
1.2799
tg(233°)
1.327
tg(234°)
1.3764
tg(235°)
1.4281
tg(236°)
1.4826
tg(237°)
1.5399
tg(238°)
1.6003
tg(239°)
1.6643
tg(240°)
1.7321
tg(241°)
1.804
tg(242°)
1. 8807
tg(243°)
1.9626
tg(244°)
2.0503
tg(245°)
2.1445
tg(246°)
2.246
tg(247°)
2.3559
tg(248°)
2.4751
tg(249°)
2.6051
tg(250°)
2.7475
tg(251°)
2.9042
tg(252°)
3.0777
tg(253°)
3.2709
tg(254°)
3.4874
tg(255°)
3.7321
tg(256°)
4.0108
tg(257°)
4.3315
tg(258°)
4.7046
tg(259°)
5.1446
tg(260°)
5.6713
tg(261°)
6.3138
tg(262°)
7.1154
tg(263°)
8.1443
tg(264°)
9.5144
tg(265°)
11.4301
tg(266°)
14. 3007
tg(267°)
19.0811
tg(268°)
28.6363
tg(269°)
57.29
tg(270°)
— ∞
tg(271°)
-57.29
tg(272°)
-28.6363
tg(273°)
-19.0811
tg(274°)
-14.3007
tg(275°)
-11.4301
tg(276°)
-9.5144
tg(277°)
-8.1443
tg(278°)
-7.1154
tg(279°)
-6.3138
tg(280°)
-5.6713
tg(281°)
-5.1446
tg(282°)
-4.7046
tg(283°)
-4.3315
tg(284°)
-4.0108
tg(285°)
-3.7321
tg(286°)
-3.4874
tg(287°)
-3.2709
tg(288°)
-3.0777
tg(289°)
-2. 9042
tg(290°)
-2.7475
tg(291°)
-2.6051
tg(292°)
-2.4751
tg(293°)
-2.3559
tg(294°)
-2.246
tg(295°)
-2.1445
tg(296°)
-2.0503
tg(297°)
-1.9626
tg(298°)
-1.8807
tg(299°)
-1.804
tg(300°)
-1.7321
tg(301°)
-1.6643
tg(302°)
-1.6003
tg(303°)
-1.5399
tg(304°)
-1.4826
tg(305°)
-1.4281
tg(306°)
-1.3764
tg(307°)
-1.327
tg(308°)
-1.2799
tg(309°)
-1.2349
tg(310°)
-1.1918
tg(311°)
-1.1504
tg(312°)
-1.1106
tg(313°)
-1. 0724
tg(314°)
-1.0355
tg(315°)
-1
tg(316°)
-0.9657
tg(317°)
-0.9325
tg(318°)
-0.9004
tg(319°)
-0.8693
tg(320°)
-0.8391
tg(321°)
-0.8098
tg(322°)
-0.7813
tg(323°)
-0.7536
tg(324°)
-0.7265
tg(325°)
-0.7002
tg(326°)
-0.6745
tg(327°)
-0.6494
tg(328°)
-0.6249
tg(329°)
-0.6009
tg(330°)
-0.5774
tg(331°)
-0.5543
tg(332°)
-0.5317
tg(333°)
-0.5095
tg(334°)
-0.4877
tg(335°)
-0.4663
tg(336°)
-0. 4452
tg(337°)
-0.4245
tg(338°)
-0.404
tg(339°)
-0.3839
tg(340°)
-0.364
tg(341°)
-0.3443
tg(342°)
-0.3249
tg(343°)
-0.3057
tg(344°)
-0.2867
tg(345°)
-0.2679
tg(346°)
-0.2493
tg(347°)
-0.2309
tg(348°)
-0.2126
tg(349°)
-0.1944
tg(350°)
-0.1763
tg(351°)
-0.1584
tg(352°)
-0.1405
tg(353°)
-0.1228
tg(354°)
-0.1051
tg(355°)
-0.0875
tg(356°)
-0.0699
tg(357°)
-0.0524
tg(358°)
-0.0349
tg(359°)
-0.0175
tg(360°)
-0
Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°.
Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
ГОСТы, СНиПы
Карта сайта TehTab.ru
Поиск по сайту TehTab.ru
Навигация по справочнику TehTab.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник/ / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса / / Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
Подробная таблица тангенсов. Шаг — 1 градус.Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
tg(0°)=tg(360°)=0
точная, но чуть более сложная таблица ( с точностью до 1″) здесь.
Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.
Таблица тангенсов, найти тангенс угла
Все калькуляторы
/ org/ListItem»>Учеба и наука /
Математика
/ Таблица тангенсов, найти тангенс угла
Тангенс угла – одна из основных тригонометрических функций. Представляет собой соотношение катетов прямоугольного треугольника. То есть, tg(А)=ВС/АС, где ВС – противолежащий к углу (А) катет, АС – прилежащий катет.
Зачем необходимо знать тангенс угла? Такие данные имеют вполне практическое применение: в геодезии, мореходстве, авиации. Зная одну из сторон треугольника и угол, можно легко получить все остальные данные, используя тригонометрические тождества. Все расчеты легко производить с помощью онлайн-калькулятора на нашем сайте. Данные указаны в таблице тангенсов.
Для практического использования подходят не только таблицы Брадиса. Все тригонометрические функции вычисляются посредством калькулятора. Найдите красивое решение для вашей задачи.
tg(1°)
0. 0175
tg(2°)
0.0349
tg(3°)
0.0524
tg(4°)
0.0699
tg(5°)
0.0875
tg(6°)
0.1051
tg(7°)
0.1228
tg(8°)
0.1405
tg(9°)
0.1584
tg(10°)
0.1763
tg(11°)
0.1944
tg(12°)
0.2126
tg(13°)
0.2309
tg(14°)
0.2493
tg(15°)
0.2679
tg(16°)
0.2867
tg(17°)
0.3057
tg(18°)
0.3249
tg(19°)
0.3443
tg(20°)
0.364
tg(21°)
0.3839
tg(22°)
0.404
tg(23°)
0.4245
tg(24°)
0.4452
tg(25°)
0.4663
tg(26°)
0.4877
tg(27°)
0. 5095
tg(28°)
0.5317
tg(29°)
0.5543
tg(30°)
0.5774
tg(31°)
0.6009
tg(32°)
0.6249
tg(33°)
0.6494
tg(34°)
0.6745
tg(35°)
0.7002
tg(36°)
0.7265
tg(37°)
0.7536
tg(38°)
0.7813
tg(39°)
0.8098
tg(40°)
0.8391
tg(41°)
0.8693
tg(42°)
0.9004
tg(43°)
0.9325
tg(44°)
0.9657
tg(45°)
1
tg(46°)
1.0355
tg(47°)
1.0724
tg(48°)
1.1106
tg(49°)
1.1504
tg(50°)
1.1918
tg(51°)
1.2349
tg(52°)
1. 2799
tg(53°)
1.327
tg(54°)
1.3764
tg(55°)
1.4281
tg(56°)
1.4826
tg(57°)
1.5399
tg(58°)
1.6003
tg(59°)
1.6643
tg(60°)
1.7321
tg(61°)
1.804
tg(62°)
1.8807
tg(63°)
1.9626
tg(64°)
2.0503
tg(65°)
2.1445
tg(66°)
2.246
tg(67°)
2.3559
tg(68°)
2.4751
tg(69°)
2.6051
tg(70°)
2.7475
tg(71°)
2.9042
tg(72°)
3.0777
tg(73°)
3.2709
tg(74°)
3.4874
tg(75°)
3.7321
tg(76°)
4.0108
tg(77°)
4. 3315
tg(78°)
4.7046
tg(79°)
5.1446
tg(80°)
5.6713
tg(81°)
6.3138
tg(82°)
7.1154
tg(83°)
8.1443
tg(84°)
9.5144
tg(85°)
11.4301
tg(86°)
14.3007
tg(87°)
19.0811
tg(88°)
28.6363
tg(89°)
57.29
tg(90°)
∞
tg(91°)
-57.29
tg(92°)
-28.6363
tg(93°)
-19.0811
tg(94°)
-14.3007
tg(95°)
-11.4301
tg(96°)
-9.5144
tg(97°)
-8.1443
tg(98°)
-7.1154
tg(99°)
-6.3138
tg(100°)
-5.6713
tg(101°)
-5.1446
tg(102°)
-4. 7046
tg(103°)
-4.3315
tg(104°)
-4.0108
tg(105°)
-3.7321
tg(106°)
-3.4874
tg(107°)
-3.2709
tg(108°)
-3.0777
tg(109°)
-2.9042
tg(110°)
-2.7475
tg(111°)
-2.6051
tg(112°)
-2.4751
tg(113°)
-2.3559
tg(114°)
-2.246
tg(115°)
-2.1445
tg(116°)
-2.0503
tg(117°)
-1.9626
tg(118°)
-1.8807
tg(119°)
-1.804
tg(120°)
-1.7321
tg(121°)
-1.6643
tg(122°)
-1.6003
tg(123°)
-1.5399
tg(124°)
-1.4826
tg(125°)
-1. 4281
tg(126°)
-1.3764
tg(127°)
-1.327
tg(128°)
-1.2799
tg(129°)
-1.2349
tg(130°)
-1.1918
tg(131°)
-1.1504
tg(132°)
-1.1106
tg(133°)
-1.0724
tg(134°)
-1.0355
tg(135°)
-1
tg(136°)
-0.9657
tg(137°)
-0.9325
tg(138°)
-0.9004
tg(139°)
-0.8693
tg(140°)
-0.8391
tg(141°)
-0.8098
tg(142°)
-0.7813
tg(143°)
-0.7536
tg(144°)
-0.7265
tg(145°)
-0.7002
tg(146°)
-0.6745
tg(147°)
-0.6494
tg(148°)
-0. 6249
tg(149°)
-0.6009
tg(150°)
-0.5774
tg(151°)
-0.5543
tg(152°)
-0.5317
tg(153°)
-0.5095
tg(154°)
-0.4877
tg(155°)
-0.4663
tg(156°)
-0.4452
tg(157°)
-0.4245
tg(158°)
-0.404
tg(159°)
-0.3839
tg(160°)
-0.364
tg(161°)
-0.3443
tg(162°)
-0.3249
tg(163°)
-0.3057
tg(164°)
-0.2867
tg(165°)
-0.2679
tg(166°)
-0.2493
tg(167°)
-0.2309
tg(168°)
-0.2126
tg(169°)
-0.1944
tg(170°)
-0.1763
tg(171°)
-0.1584
tg(172°)
-0. 1405
tg(173°)
-0.1228
tg(174°)
-0.1051
tg(175°)
-0.0875
tg(176°)
-0.0699
tg(177°)
-0.0524
tg(178°)
-0.0349
tg(179°)
-0.0175
tg(180°)
-0
tg(181°)
0.0175
tg(182°)
0.0349
tg(183°)
0.0524
tg(184°)
0.0699
tg(185°)
0.0875
tg(186°)
0.1051
tg(187°)
0.1228
tg(188°)
0.1405
tg(189°)
0.1584
tg(190°)
0.1763
tg(191°)
0.1944
tg(192°)
0.2126
tg(193°)
0.2309
tg(194°)
0.2493
tg(195°)
0. 2679
tg(196°)
0.2867
tg(197°)
0.3057
tg(198°)
0.3249
tg(199°)
0.3443
tg(200°)
0.364
tg(201°)
0.3839
tg(202°)
0.404
tg(203°)
0.4245
tg(204°)
0.4452
tg(205°)
0.4663
tg(206°)
0.4877
tg(207°)
0.5095
tg(208°)
0.5317
tg(209°)
0.5543
tg(210°)
0.5774
tg(211°)
0.6009
tg(212°)
0.6249
tg(213°)
0.6494
tg(214°)
0.6745
tg(215°)
0.7002
tg(216°)
0.7265
tg(217°)
0.7536
tg(218°)
0.7813
tg(219°)
0. 8098
tg(220°)
0.8391
tg(221°)
0.8693
tg(222°)
0.9004
tg(223°)
0.9325
tg(224°)
0.9657
tg(225°)
1
tg(226°)
1.0355
tg(227°)
1.0724
tg(228°)
1.1106
tg(229°)
1.1504
tg(230°)
1.1918
tg(231°)
1.2349
tg(232°)
1.2799
tg(233°)
1.327
tg(234°)
1.3764
tg(235°)
1.4281
tg(236°)
1.4826
tg(237°)
1.5399
tg(238°)
1.6003
tg(239°)
1.6643
tg(240°)
1.7321
tg(241°)
1.804
tg(242°)
1.8807
tg(243°)
1.9626
tg(244°)
2. 0503
tg(245°)
2.1445
tg(246°)
2.246
tg(247°)
2.3559
tg(248°)
2.4751
tg(249°)
2.6051
tg(250°)
2.7475
tg(251°)
2.9042
tg(252°)
3.0777
tg(253°)
3.2709
tg(254°)
3.4874
tg(255°)
3.7321
tg(256°)
4.0108
tg(257°)
4.3315
tg(258°)
4.7046
tg(259°)
5.1446
tg(260°)
5.6713
tg(261°)
6.3138
tg(262°)
7.1154
tg(263°)
8.1443
tg(264°)
9.5144
tg(265°)
11.4301
tg(266°)
14.3007
tg(267°)
19.0811
tg(268°)
28. 6363
tg(269°)
57.29
tg(270°)
— ∞
tg(271°)
-57.29
tg(272°)
-28.6363
tg(273°)
-19.0811
tg(274°)
-14.3007
tg(275°)
-11.4301
tg(276°)
-9.5144
tg(277°)
-8.1443
tg(278°)
-7.1154
tg(279°)
-6.3138
tg(280°)
-5.6713
tg(281°)
-5.1446
tg(282°)
-4.7046
tg(283°)
-4.3315
tg(284°)
-4.0108
tg(285°)
-3.7321
tg(286°)
-3.4874
tg(287°)
-3.2709
tg(288°)
-3.0777
tg(289°)
-2.9042
tg(290°)
-2.7475
tg(291°)
-2. 6051
tg(292°)
-2.4751
tg(293°)
-2.3559
tg(294°)
-2.246
tg(295°)
-2.1445
tg(296°)
-2.0503
tg(297°)
-1.9626
tg(298°)
-1.8807
tg(299°)
-1.804
tg(300°)
-1.7321
tg(301°)
-1.6643
tg(302°)
-1.6003
tg(303°)
-1.5399
tg(304°)
-1.4826
tg(305°)
-1.4281
tg(306°)
-1.3764
tg(307°)
-1.327
tg(308°)
-1.2799
tg(309°)
-1.2349
tg(310°)
-1.1918
tg(311°)
-1.1504
tg(312°)
-1.1106
tg(313°)
-1.0724
tg(314°)
-1.0355
tg(315°)
-1
tg(316°)
-0. 9657
tg(317°)
-0.9325
tg(318°)
-0.9004
tg(319°)
-0.8693
tg(320°)
-0.8391
tg(321°)
-0.8098
tg(322°)
-0.7813
tg(323°)
-0.7536
tg(324°)
-0.7265
tg(325°)
-0.7002
tg(326°)
-0.6745
tg(327°)
-0.6494
tg(328°)
-0.6249
tg(329°)
-0.6009
tg(330°)
-0.5774
tg(331°)
-0.5543
tg(332°)
-0.5317
tg(333°)
-0.5095
tg(334°)
-0.4877
tg(335°)
-0.4663
tg(336°)
-0.4452
tg(337°)
-0.4245
tg(338°)
-0.404
tg(339°)
-0. 3839
tg(340°)
-0.364
tg(341°)
-0.3443
tg(342°)
-0.3249
tg(343°)
-0.3057
tg(344°)
-0.2867
tg(345°)
-0.2679
tg(346°)
-0.2493
tg(347°)
-0.2309
tg(348°)
-0.2126
tg(349°)
-0.1944
tg(350°)
-0.1763
tg(351°)
-0.1584
tg(352°)
-0.1405
tg(353°)
-0.1228
tg(354°)
-0.1051
tg(355°)
-0.0875
tg(356°)
-0.0699
tg(357°)
-0.0524
tg(358°)
-0.0349
tg(359°)
-0.0175
tg(360°)
-0
Select rating12345
Рейтинг: 3.1 (Голосов 42)
Сообщить об ошибке
Смотрите также
Мэтуэй | Популярные задачи
1
Найти точное значение
грех(30)
2
Найти точное значение
грех(45)
3
Найти точное значение
грех(30 градусов)
4
Найти точное значение
грех(60 градусов)
5
Найти точное значение
загар (30 градусов)
6
Найти точное значение
угловой синус(-1)
7
Найти точное значение
грех(пи/6)
8
Найти точное значение
cos(pi/4)
9
Найти точное значение
грех(45 градусов)
10
Найти точное значение
грех(пи/3)
11
Найти точное значение
арктан(-1)
12
Найти точное значение
cos(45 градусов)
13
Найти точное значение
cos(30 градусов)
14
Найти точное значение
желтовато-коричневый(60)
15
Найти точное значение
csc(45 градусов)
16
Найти точное значение
загар (60 градусов)
17
Найти точное значение
сек(30 градусов)
18
Найти точное значение
cos(60 градусов)
19
Найти точное значение
cos(150)
20
Найти точное значение
грех(60)
21
Найти точное значение
cos(pi/2)
22
Найти точное значение
загар (45 градусов)
23
Найти точное значение
arctan(- квадратный корень из 3)
24
Найти точное значение
csc(60 градусов)
25
Найти точное значение
сек(45 градусов)
26
Найти точное значение
csc(30 градусов)
27
Найти точное значение
грех(0)
28
Найти точное значение
грех(120)
29
Найти точное значение
соз(90)
30
Преобразовать из радианов в градусы
пи/3
31
Найти точное значение
желтовато-коричневый(30)
32
92
35
Преобразовать из радианов в градусы
пи/6
36
Найти точное значение
детская кроватка(30 градусов)
37
Найти точное значение
арккос(-1)
38
Найти точное значение
арктан(0)
39
Найти точное значение
детская кроватка(60 градусов)
40
Преобразование градусов в радианы
30
41
Преобразовать из радианов в градусы
(2 шт. )/3
42
Найти точное значение
sin((5pi)/3)
43
Найти точное значение
sin((3pi)/4)
44
Найти точное значение
тан(пи/2)
45
Найти точное значение
грех(300)
46
Найти точное значение
соз(30)
47
Найти точное значение
соз(60)
48
Найти точное значение
соз(0)
49
Найти точное значение
соз(135)
50
Найти точное значение
cos((5pi)/3)
51
Найти точное значение
cos(210)
52
Найти точное значение
сек(60 градусов)
53
Найти точное значение
грех(300 градусов)
54
Преобразование градусов в радианы
135
55
Преобразование градусов в радианы
150
56
Преобразовать из радианов в градусы
(5 дюймов)/6
57
Преобразовать из радианов в градусы
(5 дюймов)/3
58
Преобразование градусов в радианы
89 градусов
59
Преобразование градусов в радианы
60
60
Найти точное значение
грех(135 градусов)
61
Найти точное значение
грех(150)
62
Найти точное значение
грех(240 градусов)
63
Найти точное значение
детская кроватка(45 градусов)
64
Преобразовать из радианов в градусы
(5 дюймов)/4
65
Найти точное значение
грех(225)
66
Найти точное значение
грех(240)
67
Найти точное значение
cos(150 градусов)
68
Найти точное значение
желтовато-коричневый(45)
69
Оценить
грех(30 градусов)
70
Найти точное значение
сек(0)
71
Найти точное значение
cos((5pi)/6)
72
Найти точное значение
КСК(30)
73
Найти точное значение
arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74
Найти точное значение
загар((5pi)/3)
75
Найти точное значение
желтовато-коричневый(0)
76
Оценить
грех(60 градусов)
77
Найти точное значение
arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78
Преобразовать из радианов в градусы
(3 пи)/4
79
Найти точное значение
sin((7pi)/4)
80
Найти точное значение
угловой синус(-1/2)
81
Найти точное значение
sin((4pi)/3)
82
Найти точное значение
КСК(45)
83
Упростить
арктан(квадратный корень из 3)
84
Найти точное значение
грех(135)
85
Найти точное значение
грех(105)
86
Найти точное значение
грех(150 градусов)
87
Найти точное значение
sin((2pi)/3)
88
Найти точное значение
загар((2pi)/3)
89
Преобразовать из радианов в градусы
пи/4
90
Найти точное значение
грех(пи/2)
91
Найти точное значение
сек(45)
92
Найти точное значение
cos((5pi)/4)
93
Найти точное значение
cos((7pi)/6)
94
Найти точное значение
угловой синус(0)
95
Найти точное значение
грех(120 градусов)
96
Найти точное значение
желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97
Найти точное значение
соз(270)
98
Найти точное значение
sin((7pi)/6)
99
Найти точное значение
arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100
Преобразование градусов в радианы
88 градусов
Tan 46 градусов — Найти значение Tan 46 градусов
LearnPracticeDownload
Значение tan 46 градусов равно 1,0355303. . . . Тангенс 46 градусов в радианах записывается как тангенс (46° × π/180°), то есть тангенс (23π/90) или тангенс (0,802851…). В этой статье мы обсудим способы нахождения значения тангенса 46 градусов на примерах.
Тан 46° в десятичном формате: 1.0355303. . .
Желто-коричневый (-46 градусов): -1,0355303. . .
Tan 46° в радианах: tan (23π/90) или желтовато-коричневый (0,8028514 . . .)
Сколько стоит Тан 46 градусов?
Значение тангенса 46 градусов в десятичной системе равно 1,035530313. . .. Tan 46 градусов также можно выразить, используя эквивалент данного угла (46 градусов) в радианах (0,80285 . . .)
Мы знаем, используя преобразование градусов в радианы, θ в радианах = θ в градусах × (пи/ 180°) ⇒ 46 градусов = 46° × (π/180°) рад = 23π/90 или 0,8028. . . ∴ тангенс 46° = тангенс (0,8028) = 1,0355303. . .
Объяснение:
Для тангенса 46 градусов угол 46° лежит между 0° и 90° (первый квадрант). Поскольку функция тангенса положительна в первом квадранте, значение tan 46° = 1,0355303. . . Поскольку функция тангенса является периодической функцией, мы можем представить тангенс 46° как тангенс 46 градусов = тангенс (46° + n × 180°), n ∈ Z. ⇒ тангенс 46° = тангенс 226° = тангенс 406° и так далее. Примечание: Поскольку тангенс является нечетной функцией, значение тангенса (-46°) = -тангенса (46°).
Методы определения значения Tan 46 градусов
Функция тангенса положительна в 1-м квадранте. Значение тангенса 46° составляет 1,03553. . .. Мы можем найти значение тангенса 46 градусов по:
Используя единичный круг
Использование тригонометрических функций
Tan 46 градусов с помощью единичной окружности
Чтобы найти значение tan 46 градусов с помощью единичной окружности:
Поверните ‘r’ против часовой стрелки, чтобы образовать угол 46° с положительной осью x.
Тангенс 46 градусов равен координате y (0,7193), деленной на координату x (0,6947) точки пересечения (0,6947, 0,7193) единичной окружности и r.
Следовательно, значение тангенса 46° = y/x = 1,0355 (приблизительно).
Тангенс 46° в терминах тригонометрических функций
Используя формулы тригонометрии, мы можем представить тангенс 46° как:
sin(46°)/cos(46°)
± sin 46°/√(1 — sin²(46°))
± √(1 — cos²(46°))/cos 46°
± 1/√(косек²(46°) — 1)
± √(сек²(46°) — 1)
1/кроватка 46°
Примечание. Поскольку 46° лежит в 1-м квадранте, окончательное значение тангенса 46° будет положительным.
Мы можем использовать тригонометрические тождества для представления tan 46° как
cot(90° — 46°) = cot 44°
-кроватка(90° + 46°) = -кроватка 136°
-тангенс (180° — 46°) = -тангенс 134°
☛ Также проверьте:
загар 50 градусов
загар 120 градусов
загар 225 градусов
загар 4 градуса
загар 7 градусов
загар 14 градусов
Примеры использования Tan 46 градусов
Пример 1. Найдите значение тангенса 8 (46°)/тангажа 9 (134°).
Решение:
Используя тригонометрические тождества, мы знаем, что tan(46°) = -tan(180° — 46°) = -tan 134°. ⇒ тангенс (46°) = -тангенс (134°) ⇒ Значение 8 тангенса (46°)/9 тангенса (134°) = -8/9
Пример 2: Используя значение тангенса 46°, найдите: (sec²(46°) — 1).
Пример 3. Найдите значение tan 46°, если cot 46° равно 0,9656.
Решение:
Так как tan 46° = 1/cot 46° ⇒ тангенс 46° = 1/0,9656 = 1,0355
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Готовы посмотреть на мир глазами математика?
Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.
Запишитесь на бесплатный пробный урок
Часто задаваемые вопросы о Tan 46 Degrees
Что такое Tan 46 Degrees?
Тангенс 46 градусов — значение тангенса тригонометрической функции для угла, равного 46 градусам. Значение тангенса 46° составляет 1,0355 (приблизительно).
Каково значение Tan 46° с точки зрения Sec 46°?
Мы можем представить функцию тангенса в терминах функции секущей, используя тригонометрические тождества, тангенс 46° можно записать как √(sec²(46°) — 1). Здесь значение sec 46° равно 1,4395.
Каково значение Tan 46 градусов по отношению к Cot 46°?
Поскольку функция тангенса является обратной функцией котангенса, мы можем записать тангенс 46° как 1/cot(46°). Значение cot 46° равно 0,96568.
Как найти тангенс 46° с точки зрения других тригонометрических функций?
Используя формулу тригонометрии, значение тангенса 46° можно выразить через другие тригонометрические функции следующим образом:
sin(46°)/cos(46°)
± sin 46°/√(1 — sin²(46°))
± √(1 — cos²(46°))/cos 46°
± 1/√(cosec²(46°) — 1)
± √(сек²(46°) — 1)
1/кроватка 46°
☛ Также проверьте: тригонометрическую таблицу
Как найти значение Тан 46 градусов?
Значение тангенса 46 градусов можно рассчитать, построив угол 46° с осью x и затем найдя координаты соответствующей точки (0,6947, 0,7193) на единичной окружности. Значение tan 46° равно координате y (0,7193), деленной на координату x (0,69).47). ∴ tan 46° = 1,0355
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Тригонометрия
Рабочие листы по математике и наглядный учебный план
Портленд — Тангенс — 4 способа добраться на поезде, автобусе и автомобиле
6
Найти транспорт к касательной
Путешествие из
Путешествие из
К
Поиск жилья с Booking.com
Нужен номер в отеле в Тангенте?
Забронировать
Есть 4 способа добраться из Портленда в Тангент: автобус, поезд или автомобиль
Выберите один из вариантов ниже, чтобы просмотреть пошаговые инструкции и сравнить цены на билеты и время в пути в планировщике путешествий Rome2rio.
Тренироваться
Сядьте на поезд из Портленда до станции Albany Amtrak.
Автобус
Сядьте на автобус от станции Portland Amtrak до станции Albany Amtrak.
Водить машину
Поездка из Портленда в Тангент
Самый быстрый способ добраться туда
Самый дешевый вариант
Дистанция между
Портленд в Тангент на автобусе
Время в пути на автобусе между Портлендом и Тангентом составляет около 2 часов 46 минут, а расстояние составляет около 146 км. Это включает в себя среднее время ожидания около 32 минут. Управляемый Greyhound USA и Linn-Benton Loop, автобус Портленд-Тангент отправляется из Портленда и прибывает на шоссе 9.9 в Портерс. Обычно еженедельно курсируют семь автобусов, хотя расписание выходных и праздничных дней может меняться, поэтому уточняйте заранее.
7
Еженедельные автобусы
2ч 46м
Средняя продолжительность
€18
Самая низкая цена
Посмотреть расписание Поделиться
Сохраните эту ссылку, чтобы быть в курсе ограничений, связанных с COVID-19
Путешествуйте безопасно во время COVID-19
Правила, которым необходимо следовать в США
Обязательно
Обязательно
Путешествуйте по США
Наблюдайте за COVID-19правила безопасности
Помощь при COVID-19 в США
Если вам нужна помощь, посетите национальный веб-сайт COVID-19 или позвоните по телефону доверия COVID-19 800-232-4636
Часто задаваемые вопросы
Могу ли я путешествовать из Портленда в Тангент?
Каковы ограничения на поездки в Тангенте?
Внутренние поездки не ограничены, но могут применяться некоторые условия
Маски обязательны
Необходимо соблюдать социальную дистанцию 2 метра
Соблюдать правила безопасности COVID-19
Исследуйте варианты путешествий
Что такое национальный COVID-19номер горячей линии в Tangent?
Национальный номер горячей линии COVID-19 в Тангенте: 800-232-4636.
Должен ли я носить маску для лица в общественном транспорте в Тангенте?
Ношение маски в общественном транспорте в Тангенсе обязательно.
Что мне делать, если у меня появятся симптомы COVID-19 по прибытии в Тангент?
Сообщите о себе официальному сотруднику и/или позвоните по телефону горячей линии по коронавирусу 800-232-4636.
Последнее обновление: 13 сентября 2022 г. Исключения могут применяться, для получения полной информации: Центры по контролю и профилактике заболеваний (CDC).
Мы работаем круглосуточно, чтобы предоставить вам последние новости о поездках в связи с COVID-19. Информация собрана из официальных источников. Насколько нам известно, это правильно на момент последнего обновления. 909:31 Посетите путеводитель Rome2rio, чтобы получить общую помощь.
Вопросы и ответы
Как дешевле всего добраться из Портленда в Тангент?
Самый дешевый способ добраться из Портленда в Тангент — это проехать на автомобиле, который стоит 14–21 евро и занимает 1 час 25 минут.
Подробнее
Как быстрее всего добраться из Портленда в Тангент?
Самый быстрый способ добраться из Портленда в Тангент — это проехать на автомобиле, который стоит 14–21 евро и занимает 1 час 25 минут.
Подробнее
Есть ли прямой автобус между Портлендом и Тангентом?
Нет, прямого автобуса из Портленда в Тангент нет. Однако есть рейсы, вылетающие из Портленда и прибывающие на шоссе 9.9 в Porters через Downtown Transit Center. Время в пути, включая пересадки, примерно 2 часа 46 минут.
Подробнее
На каком расстоянии Портленд от Тангента?
Расстояние от Портленда до Тангента составляет 114 км. Ехать примерно 124 км.
Получить маршрут проезда
Как добраться из Портленда в Тангент без машины?
Лучший способ добраться из Портленда в Тангент без машины — это сесть на автобус через Центр транзитных перевозок в центре города, который занимает 2 часа 46 минут и стоит 17–24 евро.
Подробнее
Сколько времени нужно, чтобы добраться из Портленда в Тангент?
Дорога из Портленда в Тангент занимает примерно 2 часа 46 минут, включая пересадки.
Подробнее
Поездом или автобусом из Портленда в Тангент?
Лучший способ добраться из Портленда в Танджент — это сесть на автобус через центр транзитных перевозок в центре города, который занимает 2 часа 46 минут и стоит 17–24 евро. Кроме того, вы можете поехать на поезде, который стоит 28–40 евро и занимает 2 часа 54 минуты.
Детали режима
Могу ли я проехать из Портленда в Тангент?
Да, расстояние между Портлендом и Тангенсом составляет 124 км. Дорога от Портленда до Тангента занимает примерно 1 час 25 минут.
Получить маршрут проезда
Какие компании осуществляют перевозки между Портлендом, штат Орегон, США, и Тангентом, штат Орегон, США?
Greyhound USA обслуживает автобус из Портленда в Корваллис один раз в день. Билеты стоят 15–22 евро, а время в пути — 1 час 55 минут. Кроме того, Amtrak ходит поездом из Портленда до станции Albany Amtrak 3 раза в день. Билеты стоят 26–40 евро, а время в пути — 1 час 41 минуту.
Амтрак
Amtrak — это железнодорожная служба, которая соединяет США и три провинции Канады. Покрывая 21 000 миль маршрута (34 000 км), Amtrak ежедневно обслуживает более 300 поездов. Эти междугородние перевозки на средние и дальние расстояния осуществляются со скоростью до 240 км/ч по более чем 500 направлениям. Основан в 1971, он базируется в Вашингтоне, округ Колумбия, и предлагает четыре класса обслуживания: первый класс, спальный, бизнес-класс и туристический автобус. Тарифы на билеты делятся на пять подклассов: Saver, Value, Flexible, Business и Premium. Поезда Amtrak известны своими широкими сиденьями, подключаемым питанием, большими окнами и возможностями хранения.
Телефон
+1 800-872-7245
Веб-сайт
amtrak.com
Продолжительность
1ч 41м
Частота
3 раза в день
Ориентировочная цена
€26 — €40
Веб-сайт
Амтрак
Сиденье тренера
€26 — €40
Премиум
€180 — 260 €
Сиденье Flexi Coach
€40 — 60 €
Бизнес-место
35 — 55 евро
Грейхаунд США
Greyhound — ведущая автобусная компания, базирующаяся в Далласе, штат Техас, и обслуживающая более 3800 пунктов назначения в Северной Америке, Мексике и Канаде. Greyhound перевозит около 18 миллионов пассажиров в год, которые проезжают 5,4 миллиарда миль (8,6 миллиарда км) в год на своем парке из около 1700 автомобилей. Для гибкости путешествия вы можете сесть или выйти из автобуса Greyhound на официальных станциях Greyhound, станциях-партнерах и остановках у обочины. В США есть около 230 станций Greyhound, где вы можете сесть на автобус и купить билеты, которые также доступны на официальном сайте и через мобильное приложение.
Хотите узнать больше о путешествиях по Соединенным Штатам
Серия путеводителей Rome2rio содержит жизненно важную информацию для путешественников со всего мира. Наполненные полезной и своевременной информацией о путешествии, гиды отвечают на все сложные вопросы, такие как «Как купить билет?», «Должен ли я бронировать билеты онлайн перед поездкой?» ‘, ‘Сколько я должен заплатить?’, ‘Есть ли в поездах и автобусах Wi-Fi?’ — чтобы помочь вам получить максимальную отдачу от вашей следующей поездки.
Другие вопросы и ответы
Где остановиться рядом с Тангентом?
В Тангенте доступно 34+ отелей. Цены начинаются от 100 евро за ночь.
Подробнее
Включение внутренних лимфатических узлов молочной железы в стандартные касательные поля молочной железы: влияние габитуса тела
. 2001 март-апрель;7(2):111-6.
doi: 10. 1046/j.1524-4741.2001.007002111.x.
Г М Пру 1 , RJ Lee, PC Stomper
принадлежность
1 Отделение радиационной онкологии, Онкологический институт Розуэлл Парк, Школа медицины и биомедицинских наук, Университет штата Нью-Йорк в Буффало, 14263, США. [email protected]
PMID: 11328318
DOI:
10.1046/j.1524-4741.2001.007002111.x
GM Proulx et al.
Грудь Дж.
2001 март-апрель.
. 2001 март-апрель;7(2):111-6.
doi: 10. 1046/j.1524-4741.2001.007002111.x.
Авторы
Г М Пру 1 , Р. Дж. Ли, ПК Стомпер
принадлежность
1 Отделение радиационной онкологии, Онкологический институт Розуэлл Парк, Школа медицины и биомедицинских наук, Университет штата Нью-Йорк в Буффало, 14263, США. [email protected]
PMID: 11328318
DOI:
10.1046/j.1524-4741.2001.007002111.x
Абстрактный
Цель этого исследования состояла в том, чтобы определить вариабельность покрытия внутреннего узла молочной железы (IMN) со стандартными касательными полями молочной железы с использованием поверхностной анатомии, определенной с помощью компьютерной томографии (КТ) планирования для пациентов, получавших либо органосохраняющее лечение, либо постмастэктомию, и оценить влияние габитуса и формы тела на покрытие ИМН стандартными касательными полями. В это проспективное исследование были включены последовательные женщины с раком молочной железы, которые подверглись либо локальному иссечению, либо мастэктомии и имели стандартные касательные поля, предназначенные для покрытия груди, плюс край, смоделированный с использованием поверхностной анатомии. При планировании КТ определялось расположение ИМН относительно касательных полей, рассчитанных на основании анатомии поверхности. Внутренние сосуды молочной железы использовались в качестве заменителей IMN. КТ-измерения толщины престернального жира и переднезаднего (AP) и поперечного диаметров скелета были выполнены для определения их связи с включением IMN в касательные поля. Только у семи пациентов (14%) IMN были полностью в пределах касательных полей. Двадцать пациентов (40%) имели частичное покрытие своих IMN, а 23 (46%) имели свои IMN полностью за пределами поля. Включение IMN было обратно пропорционально толщине престернального жира. Грудная форма скелета не была связана с включением IMN. Стандартные тангенциальные поля обычно не покрывают IMN полностью, но могут покрывать их, по крайней мере, частично у большинства пациентов. Толщина престернального жира обратно пропорциональна включению IMN в касательные поля.
Похожие статьи
Покрытие внутренних лимфатических узлов молочной железы (ВМН) стандартными тангенциальными полями облучения у пациентов с дренированием ВМН на лимфосцинтиграфии: терапевтические последствия.
Заяц GB, Proulx GM, Lamonica DM, Stomper PC.
Харе ГБ и др.
Am J Clin Oncol. 2004 июнь; 27 (3): 274-8. doi: 10.1097/01.coc.00000
.03967.80.
Am J Clin Oncol. 2004.
PMID: 15170147
Использование ПЭТ-КТ 18 F-FDG для определения расположения внутренних лимфатических узлов молочной железы при планировании лучевой терапии у пациентов с раком молочной железы.
Дэвидсон Т., Бен-Дэвид М., Гальпер С., Хаскин Т., Хоус М., Скейф Р., Канана Н., Амит У., Вейцман Н., Чикман Б., Гошен Э., Бен-Хаим С., Саймон З., Гольдштейн Дж.
Дэвидсон Т. и др.
Практика Radiat Oncol. 2017 ноябрь-декабрь;7(6):373-381. doi: 10.1016/j.prro.2016.11.001. Epub 2016 5 ноября.
Практика Radiat Oncol. 2017.
PMID: 28989000
Стандартные поля тангенциального излучения не обеспечивают случайного покрытия внутренних узлов молочной железы.
Loganadane G, Kassick M, Kann BH, Young MR, Knowlton CA, Evans SB, Higgins SA, Belkacemi Y, Potenziani M, Saltmarsh N, Wilson LD, Moran MS.
Логанадан Г. и соавт.
Практика Radiat Oncol. 2020 янв-февраль;10(1):21-28. doi: 10.1016/j.prro.2019.07.014. Epub 2019 5 августа.
Практика Radiat Oncol. 2020.
PMID: 31394256
Картирование сигнальных лимфатических узлов при раке молочной железы: критическая переоценка проблемы внутренней цепи молочной железы.
Манка Г., Вольтеррани Д., Маццарри С., Дуче В., Свириденко А., Джулиано А., Мариани Г.
Манка Г. и др.
Q J Nucl Med Mol Imaging. 2014 июнь;58(2):114-26.
Q J Nucl Med Mol Imaging. 2014.
PMID: 24835288
Обзор.
Должны ли внутренние молочные лимфатические узлы при раке молочной железы быть мишенью для онколога-радиолога?
Фридман Г.М., Фаубл Б.Л., Николау Н., Сигурдсон Э.Р., Торосян М.Х., Бораас М.С., Хоффман Д.П.
Фридман Г.М. и соавт.
Int J Radiat Oncol Biol Phys. 2000 март 1;46(4):805-14. doi: 10.1016/s0360-3016(99)00481-2.
Int J Radiat Oncol Biol Phys. 2000.
PMID: 10705000
Обзор.
Посмотреть все похожие статьи
Цитируется
Дозиметрическая оценка случайного облучения внутренней цепи молочной железы после операции у больных раком молочной железы.
Ван В, Сунь Т, Мэн И, Сюй М, Чжан И, Шао Ц, Сун И, Ли Дж.
Ван В и др.
Фронт Онкол. 2022 2 марта; 12:839831. doi: 10.3389/fonc.2022.839831. Электронная коллекция 2022.
Фронт Онкол. 2022.
PMID: 35311065
Бесплатная статья ЧВК.
Факторы, влияющие на случайное распределение дозы во внутренних узлах молочной железы: сравнительное исследование.
Ван В, Ван Дж, Цю П, Сунь Т, Чжан Ю, Шао Ц, Сю М, Лю С, Ли Дж.
Ван В и др.
Фронт Онкол. 2020 9 апр; 10:456. doi: 10.3389/fonc.2020.00456. Электронная коллекция 2020.
Фронт Онкол. 2020.
PMID: 32328459
Бесплатная статья ЧВК.
Дозиметрическое сравнение случайного облучения внутренних узлов молочной железы после органосохраняющей операции с использованием 3 методов: лучевая терапия с обратной модуляцией интенсивности, лучевая терапия с модулированной интенсивностью поле-в-поле и трехмерная конформная лучевая терапия: ретроспективное клиническое исследование.
Сун Ю, Ю Т, Ван В, Ли Дж, Сунь Т, Цю П, Сюй М, Шао К.
Сонг Ю и др.
Медицина (Балтимор). 2019 окт;98(41):e17549. doi: 10.1097/MD.0000000000017549.
Медицина (Балтимор). 2019.
PMID: 31593136
Бесплатная статья ЧВК.
Клиническое испытание.
Внеплановое облучение внутренних молочных лимфатических узлов при раке молочной железы.
Канилмаз Г., Актан М., Коч М., Демир Х., Демир Л.С.
Каньилмаз Г. и др.
Радиол Мед. 2017 июнь; 122(6):405-411. doi: 10.1007/s11547-017-0747-5. Epub 2017 3 марта.
Радиол Мед. 2017.
PMID: 28255809
Случайное облучение внутренних молочных лимфатических узлов при раке молочной железы: обычная двухмерная лучевая терапия по сравнению с конформной трехмерной лучевой терапией.
Лейте Э.Т., Угино Р.Т., Сантана М.А., Феррейра Д.В., Лопес М.Р., Пелоси Э.Л., да Силва Х.Л., Карвалью Хде А.
Лейте Э.Т. и др.
Радиол Бюстгальтеры. 2016 май-июнь;49(3):170-5. дои: 10.1590/0100-3984.2015.0003.
Радиол Бюстгальтеры. 2016.
PMID: 27403017
Бесплатная статья ЧВК.
Просмотреть все статьи «Цитируется по»
термины MeSH
Калькулятор кофункций
Создано Maciej Kowalski, кандидатом наук
Отзыв Стивена Вудинга
Последнее обновление: 05 сентября 2022 г.
Содержание:
Тригонометрические функции
Графики кофункций: sin и cos, tan и cot, sec и csc
Тождества кофункций
Пример: использование калькулятора кофункций тождества кофункций и как их использовать. По сути, в тригонометрии существует шесть функций, полностью описывающих отношения между углами и сторонами треугольника. Таким образом, они связаны друг с другом, поэтому мы часто думаем о них как о парах: sin и cos, tan и cot, sec и csc . Сегодня мы рассмотрим эти отношения и узнаем, как перейти от одной карты к ее паре, то есть к ее кофункции .
Так что расслабьтесь, расслабьтесь и насладитесь хорошей математикой !
Тригонометрические функции
Прежде чем мы узнаем, что такое кофункция, нам нужно начать с основ . А в геометрии мы не можем пойти дальше, чем треугольники: три стороны, три вершины, три внутренних угла. В каком-то смысле проще полигона быть не может.
Нас, однако, больше всего интересует конкретный тип треугольников: прямоугольных треугольников (вы знаете, о которых говорит теорема Пифагора). Один из их углов всегда равен 90 градусов (отсюда и название), поэтому у нас уже есть некоторая информация о нашей фигуре еще до того, как мы ее нарисуем.
Кроме того, мы можем наблюдать некоторые другие зависимости , которые заставляют треугольник выглядеть так, как он есть. Ведь если мы увеличим один из острых углов, то легко увидим, что противоположная сторона тоже должна стать длиннее. Это наблюдение является более или менее идеей тригонометрии: каким-то образом соотнести внутренние углы треугольника с его сторонами .
Определим тригонометрических функций как отношение сторон прямоугольного треугольника. Ниже вы можете найти картинку с формулами для всех шести из них. (Обратите внимание, что в калькуляторе кофункций для каждой из них есть по одному идентификатору.)
🔎 Все тригонометрические функции (sin, cos, tan) являются отношениями. Таким образом, вы можете найти недостающие члены, используя только наш калькулятор отношений!
Например, мы видим, что синус равен катету, противоположному углу, деленному на гипотенузу. Обратите внимание, что мы никогда не упоминаем, насколько велик треугольник. На самом деле там важнейшее свойство тригонометрии заключается в следующем: даже если мы удвоим размер треугольника, если мы сохраним углы нетронутыми, значения тригонометрических функций не изменятся .
Однако приведенные выше формулы, при всем их изяществе, имеют существенный недостаток. Мы определили их с помощью прямоугольного треугольника, поэтому угол может быть только между 0 и 90 градусов (или 0 и π/2 в радианах). Но не дуйся! К счастью для нас, для математики и всего мира, есть способ это исправить ! Единственное, что нам нужно сделать, это перенести рассуждения на двумерное евклидово пространство, т. е. на плоскость.
Пусть A = (x,y) — точка на плоскости, и определим α как угол, идущий против часовой стрелки от положительной половины горизонтальной оси к отрезку, конечные точки которого равны (0 ,0) и А . (Обратите внимание, как мы сказали, что α проходит от одной линии к другой, а не то, что это просто угол между ними. Вот почему мы часто называем α направленный угол .)
Очевидно, что α теперь может быть больше, чем 90 градусов. На самом деле, может даже выйти за пределы 360 градусов . Для таких углов мы просто считаем первые 360 градусов первым кругом вокруг (0,0) , и от этого значения мы продолжаем со вторым (и, если нужно, с третьим, четвертым, так далее.). На самом деле даже больше — α тоже может быть отрицательным . В конце концов, мы сказали, что это направленный угол, поэтому для отрицательных значений мы просто меняем направление на противоположное, то есть идем по часовой стрелке, а не против часовой стрелки.
Теперь, когда мы понимаем углы всех размеров, мы можем определить для них тригонометрические функции и точку A = (x,y) . Правило здесь довольно простое: повторяем формулы с рисунка выше , но подставляем b вместо x , a вместо y , и 92}}{x}sec(α)=xx2+y2
Итак, мы познакомились с тригонометрическими функциями с точки зрения их определений, так что мы готовы копнуть глубже . В конце концов, имя « калькулятор кофункций » привело нас сюда, и мы до сих пор не знаем, как найти кофункцию. Для этого лучше всего использовать графики функций .
Графики кофункций: sin и cos, tan и cot, sec и csc
Шесть тригонометрических функций равны синус и косинус (обозначаются sin и cos), тангенс и котангенс (tan и cot) и секанс и косеканс (sec и csc).
Вы, наверное, уже понимаете, почему мы объединили их так, как , только по именам. В каждой паре у нас есть «базовая» функция и карта с таким же названием, но с дополнительным префиксом « co-». Сходство со словом « кофункция » далеко не случайно. В каждой из пар мы говорим, что один является кофункцией другого .
» Но что значит быть кофункцией? » Что ж, мы рады, что вы спросили! Мы подробно рассмотрим тождества кофункций в следующем разделе. Однако сначала попробуем мотивировать их, посмотрев на графики функций в парах и выявив сходство.
Начнем с sin и cos .
Они выглядят почти одинаково, не так ли? Синус — это просто косинус, сдвинутый на 90 градусов (или π/2 в радианах) вправо.
Для наших целей сосредоточимся на области от 0 до 90 градусов и представим, что вы проходите это расстояние по наклону обеих кривых, но в разных направлениях: синус от 0 до 90 и косинус от 90 до 0 . Видите ли вы, что пути тогда одинаковы?
Попробуем сделать нечто подобное для графиков tan и cot .
Опять же, если мы проследим касательную от 0 до 90 и котангенс от 90 до 0 , мы заметим, что мы идем по тому же пути .
Наконец, у нас есть функции sec и csc .
Как вы могли догадаться, история повторяется для секанса и косеканса.
По существу, это то, что характеризует кофункции . Можно было бы сказать, что их графики являются взаимными отражениями, если мы поместим зеркало в середину интервала (0°,90°) , т. е. на 45 градусов. Это, в свою очередь, означает, что значение тригонометрической функции в точке x должно быть таким же, как значение кофункции в точке 90° - x . И это именно то, что утверждают тождества кофункций.
Кофункциональные тождества
Как упоминалось в предыдущем разделе, мы делим тригонометрические функции на пары . В каждом из них одно является кофункцией другого. Это означает, что их графики (а значит, и значения) являются взаимными отражениями в интервале (0°,90°) . Следовательно, значение первого в точке х совпадает с другим в 90° - х для х из интервала.
Если вы хотите порадовать нескольких высокомерных ученых, мы можем написать приведенный выше абзац эквивалентно, используя математические обозначения. Это будет выглядеть так:
Однако помните, что работают только для углов между 0 и 90 градусов . Приведенные выше формулы основаны на том факте, что углы по обе стороны от знака 91 626 = 91 627 дополняют друг друга, т. е. в сумме дают 91 626 90 91 627 градусов.
На самом деле, есть способ рассмотреть и другие углы . Однако это сложно. Здесь мы имели то удобство, что все функции принимают положительные значения в интервале (0°,90°) . За его пределами все может стать негативным. Также возникает вопрос, куда поставить « зеркало », что отражает кофункции.
Несмотря на препятствия, в результате многочасовой напряженной работы математики смогли вывести формул, обобщающих тождества кофункций . Они называются формулами тригонометрического приведения (заметьте, не формулы приведения в степени). Хотя мы не будем приводить их здесь, мы с радостью рекомендуем вам найти их и наслаждайтесь дополнительными математическими знаниями . Если вы спросите нас, это, безусловно, лучше, чем пролистывание социальных сетей.
И на этом мы объявляем конец теории на сегодня ! Возможно, мы потратили довольно много времени на изучение определений и формул. Почему бы не взять несколько примеров и не использовать тождества кофункций с пользой для ?
Пример: использование калькулятора кофункций
Скажите, что вы решили сделать ремонт в своей гостиной . В конце концов, у карантина из-за коронавируса есть как минимум один положительный момент — у вас много свободного времени .
Вы планируете починить пол, может быть, заменить плитку на деревянную? Проблема в том, что вам нужны измерения , а комната не является идеальным прямоугольником; есть пара наклонных стен. К счастью, вы еще кое-что помните из колледжа и, немного почесав голову, понимаете, что для вам понадобится косинус 45 градусов и котангенс 30 градусов для дальнейших расчетов.
Однако есть проблема. Прошло несколько лет с вашего последнего урока тригонометрии, а вы не можете вспомнить формулы для косинуса или котангенса. Что вы помните, так это синус и тангенс. О, как хорошо вписывается в этот сценарий калькулятор тождеств кофункций!
(Ладно, признаем, что подробности немного притянуты за уши 909:10, но, пожалуйста, дайте нам перерыв. Воображение разработчиков контента Omni может только простираться.)
Прежде всего, давайте посмотрим насколько легко задача, когда у нас есть калькулятор кофункций под рукой . Там мы начинаем с , выбирая функцию, которая у нас есть . Во-первых, мы выбираем косинус, то есть cos(x) из списка. Получив это, мы переходим к переменному полю ниже, которое содержит угол. Мы вводим 45° из нашей задачи, и в тот момент, когда мы это делаем, калькулятор кофункций выдает ответ внизу: кофункция вместе со значением . Аналогично, для второго случая мы выбираем котангенс ( cot(x) ) из списка и вводим 30° .
Обратите внимание, как каждый раз, когда инструмент дает нам точное значение (т. е. в виде дроби с квадратными корнями), кроме округленного в большую сторону. Мы объясним, почему это так, через секунду. Кроме того, хотя калькулятор кофункций стремится к точности , вы можете уменьшить количество значащих цифр в ответе для любых дальнейших вычислений.
Теперь оставим в стороне инструмент Omni и посмотрим как найти ответ самостоятельно . Мы выполним следующие шаги:
Нарисуйте прямоугольный треугольник с заданным углом;
Используйте тождества кофункций , чтобы преобразовать искомую функцию в ее кофункцию; и
Рассчитайте значение кофункции, взяв отношения сторон треугольника.
Начнем с угла 45° .
Заметим, что это пример совершенно особого треугольника, в котором мы знаем отношения между сторонами , то есть мы знаем, что если катет имеет длину x , то гипотенуза должна быть x√2 . Это потому, что наша фигура на самом деле является половиной квадрата, где длинная сторона является диагональю квадрата.
Теперь мы вспоминаем тождества кофункций из предыдущего раздела и используем их для преобразования cos(45°) в синус:
cos(45°) = sin(90° - 45°) = sin(45°) .
Таким образом, мы можем использовать формулу синуса , чтобы найти ответ. В первом разделе мы сказали, что это катет, противоположный углу, деленному на гипотенузу. Это дает:
cos(45°) = sin(45°) = x / x√2 = 1 / √2 = √2 / 2 .
Перейдем к случаю 30 градусов. Снова начинаем с чертежа .
Как и прежде, нам посчастливилось знать отношения между сторонами . На этот раз это потому, что наша фигура на самом деле является половиной равностороннего треугольника.
Мы используем тождества кофункций для преобразования cot(30°) в тангенс:
cot(30°) = tan(90° - 30°) = tan(60°) .
Обратите внимание, что хотя рассматриваемый угол изменился, мы все еще можем использовать ту же картинку . Это всегда будет иметь место с тождествами кофункций, поскольку мы всегда имеем дело с дополнительными углами , то есть с углами, образующими острые углы одного и того же прямоугольного треугольника.
Наконец, вспоминаем формулу тангенса из первого раздела: функция возвращает катет, противоположный углу, деленному на другой. В нашем случае это:
cot(30°) = tan(60°) = x√3 / x = √3 .
Готово! Мы нашли нужные нам тригонометрические функции; мы готовы позаботиться об этой плитке и обновить гостиную. Конечно, с установкой фанеры будет намного уютнее. И когда вы закончите, почему бы не пойти дальше и придумать что-нибудь для спальни ?
Часто задаваемые вопросы
Как использовать тождества кофункций?
Тождества кофункций позволяют определить значение тригонометрической функции по значению кофункции (вашей функции) под углом, дополнительным к вашему углу. Например, вы можете легко найти cos(20°) , если знаете sin(70°) , потому что синус и косинус являются кофункциями, а 70° + 20° = 90° .
Для какого x выполняется sin(x)=cos(15°)?
Ответ: x = 75° . Мы знаем, что синус и косинус являются кофункциями, т. е. их значения совпадают на дополнительных углах. Итак, х и 15° должны быть дополнительными: х + 15° = 90° . Следовательно, x = 75° , как и утверждалось.
Как найти синус с косинусом?
Чтобы определить sin(x) по cos(x) , выполните следующие действия:
Вычислите квадрат cos(x) .
Вычесть cos²(x) из 1 .
Извлеките квадратный корень из результата шага 2. Помните, что есть два возможных результата: один положительный и один отрицательный.
У вас есть два возможных значения sin(x) . Если вы знаете, например, что ваш угол x острый, то его синус положителен.
Полная форма формулы, которую мы применили: sin²(x) + cos²(x) = 1 .
Как найти синус с помощью косинуса и тангенса?
Чтобы определить синус угла по его косинусу и тангенсу, нужно умножить косинус на тангенс . Вам нужна формула sin(α) = tan(α) × cos(α) .
Maciej Kowalski, кандидат в PhD
Функция
Угол (x)
. Для визуального сравнения COFUNCTIONS Будьте проверены на их графиках:
.
AC Приближение касательной линии
Мотивирующие вопросы
Какова формула общей аппроксимации касательной к дифференцируемой функции \(y = f(x)\) в точке \((a,f(a))\text{?}\)
Что такое принцип локальной линейности и что такое локальная линеаризация дифференцируемой функции \(f\) в точке \((a,f(a))\text{?}\)
Каким образом знание только аппроксимации касательной дает нам информацию о поведении самой исходной функции вблизи точки аппроксимации? Каким образом знание значения второй производной в этот момент дает нам дополнительные сведения о поведении исходной функции?
Среди всех функций линейные функции самые простые. Одно из важных следствий дифференцируемости функции \(y = f(x)\) в точке \((a,f(a))\) заключается в том, что вблизи функция \(y = f(x )\) локально линейна и имеет вид своей касательной в этой точке. В определенных обстоятельствах это позволяет нам аппроксимировать исходную функцию \(f\) более простой функцией \(L\), которая является линейной: это может быть выгодно, когда у нас есть ограниченная информация о \(f\) или когда \(f \) является вычислительно или алгебраически сложным. Далее мы рассмотрим все эти ситуации. 92+3x+2\текст{.}\)
Использовать предельное определение производной для вычисления формулы для \(y = g'(x)\text{.}\)
Определить наклон касательной к \(y = g(x)\) при значении \(x = 2\text{.}\)
Вычислить \(g(2)\text{.}\)
Найдите уравнение для касательной к \(y = g(x)\) в точке \((2,g(2))\text{.}\) Запишите результат в виде точка-наклон.
На осях, показанных на рисунке 1.8.1, нарисуйте точный помеченный график \(y = g(x)\) вместе с его касательной в точке \((2,g(2))\text{ . }\)
Рисунок 1.8.1. Оси для построения \(y = g(x)\) и его касательной к точке \((2,g(2))\text{.}\)
Подраздел 1.8.1 Касательная линия
Для данной функции \(f\), которая дифференцируема в точке \(x = a\text{,}\), мы знаем, что можем определить наклон касательной к \(y = f(x)\) в точке \ ((a,f(a))\) путем вычисления \(f'(a)\text{.}\) Уравнение полученной касательной линии задается в форме точка-наклон как
\begin{уравнение*}
y — f(a) = f'(a)(x-a) \ \ \text{or} \ \ y = f'(a)(x-a) + f(a)\text{.}
\end{уравнение*}
Обратите внимание: в этом контексте между \(f(a)\) и \(f(x)\) есть большая разница. Первая — это константа, полученная в результате использования заданного фиксированного значения \(a\text{,}\), а вторая — это общее выражение для правила, определяющего функцию. То же верно и для \(f'(a)\) и \(f'(x)\text{:}\), мы должны тщательно различать эти выражения. Каждый раз, когда мы находим касательную, нам нужно вычислять функцию и ее производную при фиксированном \(a\)-значении.
На рисунке 1.8.2 мы видим график функции \(f\) и ее касательную в точке \((a,f(a))\text{.}\). Обратите внимание, что при увеличении масштаба мы см. более четко выделенную локальную линейность \(f\). Функция и ее касательная почти неразличимы вблизи. Локальная линейность также может наблюдаться динамически в этом апплете 2 .
Рисунок 1.8.2. Функция \(y = f(x)\) и ее касательная в точке \((a,f(a))\text{:}\) слева на расстоянии и справа вблизи. Справа мы обозначаем функцию касательной через \(y = L(x)\) и замечаем, что для \(x\) вблизи \(a\text{,}\) \(f(x) \ приблизительно L( х)\текст{.}\)
Подраздел 1.8.2 Локальная линеаризация
Небольшое изменение перспективы и обозначений позволит нам более точно обсуждать, как касательная аппроксимирует \(f\) вблизи \(x = a\text{.}\). Решая для \(y\text{, }\) мы можем написать уравнение для касательной как
\begin{уравнение*}
у = f'(а)(х-а) + f(а)
\end{уравнение*}
Эта строка сама является функцией \(x\text{. }\) Заменив переменную \(y\) выражением \(L(x)\text{,}\), мы назовем
локальная линеаризация \(f\) в точке \((a,f(a))\text{.}\) В этих обозначениях \(L(x)\) есть не что иное, как новая имя касательной линии. Как мы видели выше, для \(x\) близких к \(a\text{,}\) \(f(x) \ приблизительно L(x)\text{.}\)
Пример 1.8.3.
Предположим, что функция \(y = f(x)\) имеет аппроксимацию касательной, заданную выражением \(L(x) = 3 — 2(x-1)\) в точке \((1,3)\ text{,}\), но мы ничего не знаем о функции \(f\text{.}\) Чтобы оценить значение \(f(x)\) для \(x\) около 1, например \(f(1.2)\text{,}\) мы можем использовать тот факт, что \(f(1.2) \ приблизительно L(1.2)\) и, следовательно,
Подчеркнем, что \(y = L(x)\) — это просто новое название функции касательной. Используя это новое обозначение и наше наблюдение, что \(L(x) \ приблизительно f(x)\) для \(x\) вблизи \(a\text{,}\), следует, что мы можем написать
\begin{уравнение*}
f(x) \ приблизительно f(a) + f'(a)(x-a) \ \text{for} \ x \ \text{рядом} \ a\text{. }
\end{уравнение*}
Мероприятие 1.8.2.
. Предположим, что известно, что для данной дифференцируемой функции \(y = g(x)\text{,}\) ее локальная линеаризация в точке, где \(a = —1\), определяется выражением \(L(x) = -2 + 3(х+1)\текст{.}\)
Вычислить значения \(L(-1)\) и \(L'(-1)\text{.}\)
Какими должны быть значения \(g(-1)\) и \(g'(-1)\text{?}\) Почему?
Ожидаете ли вы, что значение \(g(-1.03)\) будет больше или меньше значения \(g(-1)\text{?}\) Почему?
Используйте локальную линеаризацию для оценки значения \(g(-1.03)\text{.}\)
Предположим, что вы также знаете, что \(g»(-1) = 2\text{.}\) Что это говорит вам о графике \(y = g(x)\) в точке \(a = -1\текст{?}\)
Для \(x\) вблизи \(-1\text{,}\) нарисуйте график локальной линеаризации \(y = L(x)\), а также возможный график \(y = g( x)\) по осям, указанным на рисунке 1.8.4.
Рисунок 1.8. 4. Оси построения \(y = L(x)\) и \(y = g(x)\text{.}\)
Из упражнения 1.8.2 мы видим, что локальная линеаризация \(y = L(x)\) является линейной функцией, которая имеет два общих значения с функцией \(y = f(x)\), полученной из . В частности,
, так как \(L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\text{,}\) следует, что \(L(a) = f(a)\text{;} \) и
, поскольку \(L\) — линейная функция, ее производная — это наклон.
Следовательно, \(L'(x) = f'(a)\) для любого значения \(x\text{,}\) и, в частности, \(L'(a) = f'(a)\text {.}\) Таким образом, мы видим, что \(L\) является линейной функцией, которая имеет и то же значение, и тот же наклон, что и функция \(f\) в точке \((a,f(a)) \текст{.}\)
Таким образом, если мы знаем линейную аппроксимацию \(y = L(x)\) для функции, мы знаем исходное значение функции и ее наклон в точке касания. Однако остается неизвестным форма функции \(f\) в точке касания. По сути, есть четыре возможности, как показано на рисунке 1. 8.5.
Рисунок 1.8.5. Четыре возможных графика нелинейной дифференцируемой функции и то, как она может располагаться относительно своей касательной в точке.
Эти возможные формы являются результатом того, что есть три варианта значения второй производной: либо \(f»(a) \lt 0\text{,}\) \(f»(a) = 0 \text{,}\) или \(f»(a) \gt 0\text{.}\)
Если \(f»(a) \gt 0\text{,}\), то мы знаем, что график \(f\) вогнут вверх, и мы видим первую возможность слева, где касательная линия лежит полностью ниже кривой.
Если \(f»(a) \lt 0\text{,}\), то \(f\) вогнута вниз и касательная лежит выше кривой, как показано на втором рисунке.
Если \(f»(a) = 0\) и \(f»\) меняет знак при \(x = a\text{,}\), то вогнутость графика изменится, и мы увидим либо третья, либо четвертая фигура. 3 .
Пятый вариант (который не очень интересен) может иметь место, если сама функция \(f\) является линейной, так что \(f(x) = L(x)\) для всех значений \(x\text {. }\)
Графики на рис. 1.8.5 подчеркивают еще одну важную вещь, которую мы можем узнать из вогнутости графика вблизи точки касания: лежит ли касательная выше или ниже самой кривой. Это ключевой момент, потому что он говорит нам, будут ли значения аппроксимации касательной слишком большими или слишком маленькими по сравнению с истинным значением \(f\text{.}\). Например, в первой ситуации на крайнем левом графике на рисунке 1.8.5, где \(f»(a) > 0\text{,}\), поскольку касательная опускается ниже кривой, мы знаем, что \(L(x) \le f(x)\) для все значения \(x\) рядом с \(a\text{.}\)
Мероприятие 1.8.3.
Это действие касается функции \(f(x)\), о которой известна следующая информация:
\(f\) — дифференцируемая функция, определенная для каждого действительного числа \(x\)
\(\displaystyle f(2) = -1\)
\(y = f'(x)\) имеет график, показанный на рисунке 1.8.6
Рисунок 1.8.6. В центре график \(y = f'(x)\text{;}\) слева, оси для построения \(y = f(x)\text{;}\) справа, оси для построения \ (y = f»(x)\text{. }\)
Ваша задача — найти как можно больше информации о \(f\) (особенно вблизи значения \(a = 2\)) с помощью ответов на приведенные ниже вопросы.
Найдите формулу аппроксимации касательной от \(L(x)\text{,}\) до \(f\) в точке \((2,-1)\text{.}\)
Используйте аппроксимацию касательной для оценки значения \(f(2.07)\text{.}\) Внимательно и ясно покажите свою работу.
Нарисуйте график \(y = f»(x)\) в правой сетке на рисунке 1.8.6; обозначьте его соответствующим образом.
Является ли наклон касательной к \(y = f(x)\) возрастающим, убывающим или ни тем, ни другим, когда \(x = 2\text{?}\) Объясните.
Нарисуйте возможный график \(y = f(x)\) вблизи \(x = 2\) в левой сетке на рисунке 1.8.6. Включите набросок \(y=L(x)\) (найден в части (a)). Объясните, откуда вы знаете, что график \(y = f(x)\) выглядит так, как будто вы его нарисовали.
Ваша оценка в (b) завышает или занижает истинное значение \(f(2. 07)\text{?}\) Почему?
Идея о том, что дифференцируемая функция выглядит линейной и может быть хорошо аппроксимирована линейной функцией, является важной и находит широкое применение в исчислении. Например, аппроксимируя функцию ее локальной линеаризацией, можно разработать эффективный алгоритм оценки нулей функции. Локальная линейность также помогает нам лучше понять некоторые сложные ограничения. Например, мы видели, что предел
является неопределенным, потому что его числитель и знаменатель стремятся к 0. Хотя нет никакой алгебры, которую мы могли бы сделать, чтобы упростить \(\frac{\sin(x)}{x}\text{,}\), это просто покажите, что линеаризация \(f(x) = \sin(x)\) в точке \((0,0)\) определяется выражением \(L(x) = x\text{.}\) Следовательно , для значений \(x\) около 0, \(\sin(x) \ приблизительно x\text{,}\) и, следовательно,
\begin{уравнение*}
\ frac {\ sin (x)} {x} \ приблизительно \ frac {x} {x} = 1 \ text {,}
\end{уравнение*}
Касательная к дифференцируемой функции \(y = f(x)\) в точке \((a,f(a))\) задается в виде точки-наклона уравнением
\begin{уравнение*}
y — f(a) = f'(a)(x-a)\text{.}
\end{уравнение*}
Принцип локальной линейности говорит нам, что если мы увеличим масштаб точки, где функция \(y = f(x)\) дифференцируема, функция будет неотличима от своей касательной. То есть дифференцируемая функция выглядит линейной при ближайшем рассмотрении. Мы переименовываем касательную в функцию \(y = L(x)\text{,}\), где \(L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\text{.} \) Таким образом, \(f(x) \ приблизительно L(x)\) для всех \(x\) вблизи \(x = a\text{.}\)
Если мы знаем приближение касательной \(L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\) к функции \(y=f(x)\text{,}\), то поскольку \(L(a) = f(a)\) и \(L'(a) = f'(a)\text{,}\) мы также знаем значения как функции, так и ее производной в точке где \(x = a\text{.}\) Другими словами, линейная аппроксимация сообщает нам высоту и наклон исходной функции. Если, кроме того, мы знаем значение \(f»(a)\text{,}\), то мы знаем, лежит ли касательная выше или ниже графика \(y = f(x)\text{ ,}\) в зависимости от вогнутости \(f\text{.}\)
Упражнения 1.8.4 Упражнения
1. Приближение \(\sqrt{x}\).
Используйте линейную аппроксимацию для аппроксимации \(\sqrt {36.1}\) следующим образом.
Пусть \(f(x) = \sqrt x\text{.}\) Уравнение касательной к \(f(x)\) в точке \(x = 36\) можно записать в виде \ (y = mx+b\text{.}\) Вычислить \(m\) и \(b\text{.}\)
\(m=\)
\(b=\)
Используя это найдите приближение для \(\sqrt {36.1}\text{.}\)
Ответ:
2. Локальная линеаризация графа.
На рисунке ниже показано \(f(x)\) и его локальная линеаризация при \(x=a\text{,}\) \(y = 4 x — 4\text{.}\) (Локальная линеаризация показано синим цветом.)
Каково значение \(a\text{?}\)
\(a =\)
Каково значение \(f(a)\text{?}\)
\(f(a) =\)
Используйте линеаризацию для аппроксимации значения \(f(3. 2)\text{.}\)
\(f(3.2) =\)
Является приближением заниженная или завышенная оценка?
(Введите вместо или вместо .)
3. Оценка с локальной линеаризацией.
Предположим, что \(f(x)\) является функцией с \(f(130) = 46\) и \(f'(130) = 1\text{.}\). Оценка \(f(125,5)\ текст{.}\)
\(f(125.5) =\)
4. Прогнозирование поведения по локальной линеаризации.
Температура, \(H\text{,}\) в градусах Цельсия, чашки кофе, стоящей на кухонном столе, определяется выражением \(H = f(t)\text{,}\), где \(t \) в минутах с момента подачи кофе на прилавок.
(a) Является ли \(f'(t)\) положительным или отрицательным?
положительный
отрицательный
(Убедитесь, что вы можете обосновать свой ответ.)
(b) Каковы единицы измерения \(f'(30)\text{?}\)
Предположим, что \(|f'(30)| = 0,9\) и \(f(30) = 51\text{.}\) Заполните пропуски (включая единицы измерения, где это необходимо) и выберите соответствующие термины, чтобы завершить следующее утверждение о температура кофе в данном случае.
Через несколько минут после того, как кофе был поставлен на прилавок, его
есть и будет
увеличение
уменьшение
примерно за следующие 75 секунд.
5.
Некоторая функция \(y=p(x)\) имеет локальную линеаризацию в точке \(a = 3\), заданную выражением \(L(x) = -2x + 5\text{.}\)
Каковы значения \(p(3)\) и \(p'(3)\text{?}\) Почему?
Оценить значение \(p(2,79)\текст{.}\)
Предположим, что \(p»(3) = 0\) и вы знаете, что \(p»(x) \lt 0\) для \(x \lt 3\text{.}\) Ваша оценка в (б) слишком большой или слишком маленький?
Предположим, что \(p»(x) \gt 0\) для \(x \gt 3\text{.}\) Используйте этот факт и приведенную выше дополнительную информацию, чтобы нарисовать точный график \(y = p (x)\) рядом с \(x = 3\text{.}\) Включите набросок \(y = L(x)\) в свою работу.
6.
Картофель помещают в печь, измеряют температуру картофеля \(F\) (в градусах по Фаренгейту) в различные моменты времени и записывают в следующую таблицу. Время \(t\) измеряется в минутах.
Таблица 1.8.7. Температурные данные для картофеля.
\(т\)
\(Ф(т)\)
\(0\)
\(70\)
\(15\)
\(180.5\)
\(30\)
\(251\)
\(45\)
\(296\)
\(60\)
\(324.5\)
\(75\)
\(342.8\)
\(90\)
\(354,5\)
Используйте центральную разность для оценки \(F'(60)\text{.}\) При необходимости используйте эту оценку в последующих вопросах.
Найти локальную линеаризацию \(y = L(t)\) функции \(y = F(t)\) в точке, где \(a = 60\text{.}\)
Определите оценку для \(F(63)\), используя локальную линеаризацию.
Как вы думаете, ваша оценка в (c) слишком велика или слишком мала? Почему?
7.
Объект, движущийся по прямолинейному пути, имеет дифференцируемую функцию положения \(y = s(t)\text{;}\) \(s(t)\) измеряет положение объекта относительно начала координат в момент времени \(t \text{.}\) Известно, что в момент времени \(t = 9\) секунд объект находится в \(s(9) = 4\) футах (т.е. на 4 фута правее начала координат). Кроме того, мгновенная скорость объекта при \(t = 9\) составляет \(-1,2\) фута в секунду, а его ускорение в тот же момент составляет \(0,08\) фута в секунду в секунду.
Использовать локальную линейность для оценки положения объекта в точке \(t = 9,34\text{.}\)
Возможно, ваша оценка слишком велика или слишком мала? Почему?
Обычным языком опишите поведение движущегося объекта в точке \(t = 9\text{.}\) Он движется к началу координат или от него? Его скорость увеличивается или уменьшается?
Математическое ожидание в трейдинге. Риски и вероятность выигрыша :Blog Siwitpro
В трейдинге достаточно много нюансов, которые, не являясь значительными в принципе, существенно влияют на конечный результат. К примеру, математическое ожидание. Примечательно, что, даже хорошо владея фундаментальным и техническим анализом, трейдер, чья торговая система показывает отрицательное математическое ожидание, не добьётся успеха и сольёт депозит в долгосрочной перспективе. В этой статье мы постараемся максимально просто объяснить, что такое математическое ожидание в трейдинге, каким оно бывает и как сказывается на торговле. Также мы обсудим, что можно сделать, чтобы повысить мат. ожидание по сделкам.
Математическое ожидание в трейдинге – простыми словами
Если говорить просто, то математическое ожидание – это усреднённый статистический показатель, дающий представление о прибыльности торговой системы или стратегии. Расчёт математического ожидания позволяет трейдеру увидеть, что превалирует в его торговле – убыток или прибыль.
Казалось бы, чтобы это понять, достаточно просто подбить процент прибыльных и убыточных сделок по итогу какого-то периода – недели, месяца и т. п. Но такая статистика не всегда будет объективна, ведь на прибыльность сделок в этот период могли влиять самые разные факторы, не имеющие отношения к эффективности торговой системы.
Для расчёта же математического ожидания берётся как минимум, 100 сделок. Расчёт происходит по простой формуле: От процента успешных сделок торговой системы, умноженного на прибыль в средней прибыльной сделке, отнимается процент убыточных сделок, умноженный на средний убыток в такой сделке. Статистические данные для расчёта можно без труда выгрузить из торгового терминала.
Каким бывает математическое ожидание и что это даёт?
Математическое ожидание бывает положительным и отрицательным. То есть, если после расчёта по вышеприведённой формуле у Вас получилась цифра от 0 и выше, мат. ожидание положительное. Если же получилась цифра со знаком «минус» — оно отрицательное. Что это даёт трейдеру?
Положительное мат. ожидание означает, что доход от прибыльных сделок способен перекрыть потери от убыточных. Следовательно, торговая система работает хорошо, трейдер всегда в плюсе, даже несмотря на периодические неудачи. Поэтому, в долгосрочной перспективе можно рассчитывать на рост депозита.
Отрицательное значение математического ожидания – плохая новость для трейдера. Это означает, что торговая система работает не так, как должна, а убытки превышают прибыль. Даже если на данном этапе процент прибыльных сделок превышает процент убыточных, но имеет место отрицательное математическое ожидание, в долгосрочной перспективе трейдер уйдёт в минус и неизбежно сольёт депозит. Как такое возможно?
Тут всё достаточно просто. К примеру, у трейдера 70% прибыльных сделок. Это хороший показатель. Но при этом, математическое ожидание показывает минус. Это значит, что общая сумма прибыли от этих 70% не перекроет сумму убытков от оставшихся 30% убыточных.
Поясним на примере. Допустим, трейдер заключил 100 сделок. Из них было 70 прибыльных и 30 убыточных. На прибыльных он заработал в сумме 1000 долларов, а на убыточных потерял 1200 долларов. В итоге, убытки на 200 долларов превысили доход, хотя прибыльных сделок и было больше. В чём причина? Скорее всего, прибыльными оказались более мелкие позиции, а убыточными оказались крупные.
По сути, именно такую вероятность развития событий прогнозирует отрицательное математическое ожидание, даже если на момент расчёта убытки ещё не превышают прибыль.
Итак, что даёт трейдеру расчёт мат. ожидания? По сути, возможность оценить эффективность своей торговой системы в перспективе. Либо по результатам расчётов он ещё раз убедится, что делает всё правильно, либо заметит риск слива депозита и поймёт, что необходимо пересмотреть систему и стратегию, и то-то поменять. В каком-то смысле, расчёт математического ожидания – как система раннего оповещения о потере депозита (если он отрицательный).
Мат. ожидание в минусе. Всё плохо?
Если говорить откровенно, то да, перспективы у трейдера с отрицательным математическим ожиданием не радужные. Но это лишь в том случае, если он не захочет ничего предпринять. А что можно сделать, чтобы повысить математическое ожидание?
Один из самых эффективных вариантов – повысить соотношение между стоп-лоссом и тейк-профитом. Вероятнее всего, математическое ожидание показало минус, потому что соотношение между стопом и тейком сейчас 1:1 или 1:2. При соотношении 1:1 убытки почти гарантированы, поскольку на бирже взымают комиссионные, что уже лишает это соотношение равенства. Соотношение 1:2 уже лучше, но если трейдеру предстоит пройти через череду неудач, этот показатель его не спасёт.
Многие считают, что оптимальное соотношение стопа к тейку – 1:3 или 1:4. В этом действительно есть смысл, ведь при таких соотношениях прибыль сможет перекрыть убытки даже в трудные времена для трейдера.
Однако стоит понимать, что чем больше это соотношение, тем больше риск, что цена попросту не дойдёт до отметки тейка. Тут нужно сохранять уравновешенность – вероятность, что цена пройдёт путь до тейка при соотношении 1:3 гораздо выше, чем, что она пройдёт этот путь при соотношении 1:10. Таковы уж рыночные условия – редко можно наблюдать такую волатильность достаточно долго, чтобы она сорвала тейк.
Итак, как видно, математическое ожидание в трейдинге – полезный показатель для оценки эффективности своей торговли в перспективе. Он позволяет вовремя заметить проблему и успеть предпринять меры для её решения до того, как трейдер окажется в минусе.
Помочь создать эффективную торговую систему с положительным математическим ожиданием может обучение в Школе трейдинга Александра Пурнова у опытного наставника. А полезные материалы на тему трейдинга из нашего блога будут доступны Вам в полном объёме после подписки.
Математическое ожидание трейдинг
Всем привет!
Математическое ожидание играет важную роль в трейдинге. Многие недооценивают это показатель. Можно отлично разбираться в фундаментальном и техническом анализе, но при торговле с отрицательным мат. ожиданием трейдер будет обречен на провал. Но в тоже время многие слишком усложняют себе задачу и пытаются рассчитать мат. ожидание там где это совершенно не нужно и при идеальных условиях. Здесь нужно понять одно, идеальных условий в трейдинге не бывает. В данной статье я не буду вас загружать нудными формулами, которые описаны на других сайтах. Я лишь расскажу о том, как, когда и в каких случаях, стоит учитывать мат. ожидание.
Мат. ожидание в трейдинге
Одну формулу в пример я все-таки приведу, чтобы можно было уловить суть. Это один из вариантов, в котором учитывают показатель мат. ожидания.
При расчете мат. ожидания берется следующая формула: вероятность получения прибыли * на среднюю прибыль от одной сделки минус вероятность получения убытков * средний убыток от одной сделки. И если, к примеру, учесть тот факт, что положительных и отрицательных сделок у нас 50 на 50, при этом средняя прибыль 500 пунктов, а средний убыток 250, то получится формула вида: (0,5*500) – (0,5*250) = 250 – 125 = 125.
В данном идеальном варианте мат. ожидание положительное. И на самом деле, очень странно, когда пытаются взять идеальные условия и доказать что нужно делать так-то и так. Например, что обязательно каждая сделка должна быть не меньше чем 1 к 2 (убыток к прибыли). Или средний профит обязательно выше среднего убытка. Мы никогда не сможем точно определить вероятность прибыльной/убыточной сделки. Все необходимые значения мы сможем оценить лишь постфактум на условии статистики. Торговля не сможет вам гарантировать той или иной вероятности по сделке и по профиту.
Все это я рассказываю к тому, что пытаться рассчитать положительное или отрицательное мат. ожидание постфактум, учитывая только вышеуказанные показатели, не совсем верно. На положительные результаты в торговле влияет очень много факторов. Важнее просто грамотно вести статистику, записывать подробный результат и пытаться выяснить почему получился тот или иной итог. Возможно по текущей торговой формации слишком мало положительных сделок. Либо при увеличении показателя риск к прибыли результат был бы положительным. В этом случае важно учесть тот факт, что нужный нам показатель профита действительно будет оправданным и сделка будет срабатывать. Так как вроде бы с точки зрения мат. ожидания все сошлось, но на деле в реальной торговле инструмент не будет доходить до нашего профита, так как он оказался завышенным, либо мы не учли других факторов.
Также я могу сказать следующее, что даже если совершать сделки 1 к 1, то в некоторых случаях они могут быть абсолютно оправданными, если положительных сделок будет больше чем отрицательных. В некоторых моих формациях есть сделки 1 к 1, при этом результат по данным формациям положительный. Поэтому, в некоторых случаях не нужно доверять всему что написано. И когда я вижу утверждение, что можно зарабатывать на рынке лишь тогда, когда риск к прибыли будет не меньше чем 1 к 2, то для меня это звучит странно.
А теперь, еще один простой пример в каких случаях стоит учитывать мат. ожидание. Например, при использовании такого показателя как ATR. Допустим, инструмент превысил свой показатель ATR более чем на 100 %, то в таком случае глупо заходить в позицию, так как с точки зрения мат. ожидания вероятность разворота выше. Либо заходить в позицию в том случае, когда ATR не позволяет вам закрыть позицию, скажем, 1 к 3. Например, если вы понимаете что инструмент прошел 90 % своего ATR и вы явно не сможете забрать ту прибыль которую планировали, не нарушив мат. ожидание. Это обычная математика против которой идти глупо.
Подробнее об ATR читайте здесь.
В трейдинге нужно всегда стараться чтобы мат. ожидание было положительным. И когда будете анализировать ваши статистические данные, не забывайте про это и вносите коррективы в вашу торговлю верно.
На этом буду заканчивать. Надеюсь, вы уловили суть из моих размышлений 🙂 Подписывайтесь на новости сайта, всем пока.
С уважением, Станислав Станишевский.
Мат.ожидание или «Теория казино»
Принято считать, что основной товар в казино — это адреналин. Часто мы слышим, что казино предлагает вытянуть «счастливый билет», много реже говорят что казино продает сервис. На самом же деле, основной товар казино — это азарт от возможности выигрыша. В этой статье мы рассмотрим основные принципы, на которых организована работа игорных домов, обоснование прибыли заведения, и какую роль в ее деятельности играет «госпожа удача».
А начнем обзор с рассмотрения основных математических законов, на которых построены азартные игры. Как связаны математика и казино? Ведь все игры в казино были придуманы и разработаны именно математиками. Можно ли использовать их же оружие для получения преимущества в игорном доме?
Математика игр казино
Рассмотрим процессы, происходящие в азартных играх, с точки зрения теории вероятности, и попробуем определить, подчиняются ли игры казино математике.
Бросая монету, можно утверждать, что любая из ее сторон может выпасть с одинаковой вероятностью. Есть всего две возможности — выпадет либо орел, либо решка. Вероятность того, что при бросании монеты выпадет решка равна? (50%), то есть мы вправе ожидать, что в половине случаев будет выпадать решка. Часто говоря о вероятности употребляют слово шанс. Шанс на то, что при броске монеты она упадет решкой вверх, равен 50%
Вероятность показывает, как часто ожидаемый нами результат может быть достигнут, и может быть представлена как отношение ожидаемых исходов к общему количеству всех возможных исходов за достаточно продолжительный период времени при большом количестве повторений.
Математическое ожидание при игре в рулетку
Рассчитаем математическое ожидание при игре в рулетку (американская версия с двумя секторами «зеро» ноль и двойной ноль) при ставке 5$ на цвет (черное): 18\38 х (+5$) + 20\38 х (-5$) = -0,263
Как вы уже наверное заметили, в обоих приведенных примерах, величина математического ожидания имеет знак «-», что характерно для большинства ставок казино. Отрицательное математическое ожидание на практике означает, что, чем дольше длится игра, тем больше вероятность проигрыша для игрока.
Перевес казино (House Edge) [доля заведения] – величина, противоположная математическому ожиданию игрока и показывающая, какой процент от ставок, сделанных в процессе игры за определенный промежуток времени, удерживается в пользу казино.Сейчас мы будем рассматривать самый популярный вид игры в казино, знаете какой? Самая популярная игра казино во всем мире — это игра в рулетку.Перевес казино в европейской рулетке составляет 1 — 36/37 = 2,7%, в американской рулетке уже 1 — 36/38 = 5,26% (за счет двух зеро). Это означает, что, если вы, играя в рулетку, за определенное время поставили в общей сложности 1000 долларов, то велика вероятность, что в конечном итоге около 27$ (европейская рулетка) и 54$ (американская рулетка) пойдет в доход игорному заведению. В настольных играх перевес казино меньше (Баккара, Блэкджек или Крэпс), поэтому шансы выиграть в них выше.
В качестве примера посчитаем, каковы наши шансы в казино при игре в американскую версию рулетки, игровое колесо которой, напомню, насчитывает 38 секторов (1-36 цифры + 2 сектора зеро). Предположим, что мы поставили на число. Оплата выигрыша, в этом случае производится в соотношении 1 к 36
Вероятность выиграть в этом случае 1\38 или 2,63%
Возможный выигрыш игрока (в процентах к ставке): 1/38 х 36х100 = 94.74%
Процент казино: 100 – 94,7 = 5.26 %
Математическое ожидание: [(1\38) х 36 (+1)] + [(37\38) x (-1)] = -0,0263
То есть, с каждого поставленного вами доллара, игорный дом надеется заработать 2,63 цента. Другими словами математическое ожидание выигрыша игрока при игре в американскую рулетку в казино составляет -2.6% от каждой вашей ставки.
Выводы:
Не надо быть великим математиком, чтобы играть в казино. Можно даже не считать математическое ожидание и дисперсию — это сделали до вас и можно пользоваться готовыми результатами. Главное понимать, что игры, имеющие большую величину математического ожидания, выгоднее для игрока, так как в них преимущество казино перед вами меньше и, соответственно, время вашей игры и возможная сумма выигрыша увеличивается. Ищите игры, в которых реализовано преимущество игрока, только в этом случае вы можете рассчитывать на выигрыш в достаточно долгой игре.
При выборе рулетки отдавайте предпочтение европейскому варианту (с одним «зеро») так как в ней преимущество казино будет 2,7%, в отличии от американской версии (с двумя «зеро»), в котором перевес игорного заведения равен уже 5,26%.
Но, рассуждая о положительных и отрицательных математических ожиданиях, вы не должны забывать и о том, что существует дисперсия. И чем она выше, тем больше вас будет «лихорадить» в игре. Вы будете проигрывать в играх с преимуществом игрока, и, в то же время, можете выиграть там, где казино имеет значительный перевес математического ожидания. Помните, что вся математика азартных игр казино корректно работает только в случае, когда число попыток велико и, поэтому, достигнуть на практике расчетных ожидаемых величин достаточно сложно из-за ограниченности бюджета игрока, величины ставок или времени игры.
Источник[1];
Отдельная благодарность Алексею Маркову и его книге «Хулиномика».
Именно из за него и его творения побудилась идея создания данной статьи.
Математическое ожидание в трейдинге | Азбука трейдера
olegas
Июн 12, 2015 / 150 Views
Помимо фундаментального и технического анализа в трейдинге большую роль играет математика. Для успешной работы в качестве трейдера вы должны иметь четкую систему управления капиталом, важным параметром которой является такое понятие как математическое ожидание.
Казалось бы, чего тут заморачиваться, если количество прибыльных сделок превышает количество убыточных, то всё, что называется, “на мази” и можно спокойно работать и дальше. Однако не всё так просто, ведь количество не всегда означает качество. И даже в том случае, когда прибыльных сделок по факту получается больше чем убыточных, трейдер всё равно может остаться в минусе. И причиной тому будет ни что иное, как отрицательное математическое ожидание.
Трейдер может в совершенстве знать технический и фундаментальный анализ, но при торговле с отрицательным математическим ожиданием он будет обречен на неудачу. Даже если благодаря использованию, какого либо из указанных выше видов анализа в отдельности или вместе взятых, трейдер совершает 8 прибыльных сделок из 10, он все равно может оказаться в минусе. Если, например, его прибыль по каждой прибыльной сделке составила 10 пунктов, а по каждой убыточной 50 пунктов, то в результате он имеет:
Прибыль: 8х10=80 пунктов;
Убыток: 2х50=100 пунктов;
Итого: 80-100=-20 пунктов убытка.
Математическое ожидание вычисляется по следующей формуле:
Математическое ожидание=вероятность получения прибыли х средняя прибыль от одной сделки – вероятность получения убытков х средний убыток от одной сделки.
Так в приведенном выше примере математическое ожидание отрицательное:
8х10-2х50=-20<0
А если бы, например, трейдер заключал прибыльные и убыточные сделки с вероятностью 50/50 (то есть, вероятность прибыльной сделки составляет 50% и вероятность убыточной сделки составляет 50%). И если бы каждая прибыльная сделка приносила ему 20 пунктов прибыли, а каждая убыточная 10 пунктов убытка, то математическое ожидание было бы положительным:
0,5х20-0,5х10=5>0
Математическое ожидание при тестировании торговых стратегий
Такой показатель как математическое ожидание очень важен при оценке эффективности торговой системы. Проводя тестирование торговых систем (на исторических данных) в тестере стратегий МТ4 (Metatrader 4), вы можете увидеть этот параметр в отчёте о результатах тестирования.
Отчёт тестера стратегий МТ4
Для корректного расчёта данного показателя следует брать достаточно глубокий срез статистики по совершённым сделкам. Как минимум необходимы данные о 100 – 150 закрытых сделках. В ином случае рассчитанный показатель не будет иметь должной объективности.
Кстати в МТ4, математическое ожидание вычисляется по формуле:
Мат.ожидание = (Общая прибыль + Общий убыток) / Кол-во сделок
Положительное математическое ожидание говорит трейдеру о том, что тестируемая им торговая стратегия является потенциально прибыльной. А отрицательное, соответственно, о том, что стратегия убыточна.
Что можно сделать для того, чтобы повысить математическое ожидание торговой стратегии? Самое очевидное, что можно для этого сделать, так это повысить соотношение Take Profit (TP) к Stop Loss (SL). Например, при соотношении TP/SL = 1 (размер профитов равен размеру убытков по каждой сделке), торговая стратегия показывает отрицательное матожидание, но стоит повысить это соотношение до TP/SL = 1,5…2, как стратегия сразу выходит в плюс.
Однако, здесь важно не перестараться. Ведь, хотя большинство авторов и рекомендуют соотношение TP/SL в пределах 2…3, но следует учитывать тот факт, что чем больший размер профита относительно лосса вы установите, тем больше в вашей статистике появится убыточных сделок. Увеличивая разрыв между значениями Stop Loss и Take Profit, вы тем самым, уменьшаете и вероятность того, что цена в итоге достигнет профита, а не столкнётся с лоссом.
Вы можете поделиться этой статьёй на своей странице в соцсетях:
В
своей работе, планируя
размещение торгового капитала, вы должны уметь прогнозировать ситуацию.
Особенно это касается «положительного/отрицательного
ожидания».
Проще говоря,
распределяя капиталовложения, трейдер должен представлять себе перспективу положительного ожидания.
Кроме того, он должен
уметь рассчитывать размеры этого ожидания. «Положительное/отрицательное
ожидание» можно определить как математически доказанную вероятность прибылей/убытков. Допустим:
Сумма каждого выигрыша =
2 доллара Сумма каждого
проигрыша = 1 доллар
Математическое
выражение положительного ожидания будет следующим:
[1+(W/L)] х Р -1 (где Р — это вероятность
выигрыша)
Поэтому
предыдущий пример будет иметь следующее математическое ожидание:
(1+2) х 0,5-1 = 3×0,5-1 = 1,5-1 =0,5
Положительное
ожидание определяется значением этого выражения, превышающим ноль. Чем больше это число/тем сильнее
статистическое ожидание. Если значение меньше нуля, то математическое ожидание
также будет отрицательным. Чем больше модуль отрицательного значения, тем хуже ситуация.
Если результат равен нулю, то ожидание является безубыточным.
Трейдеры могут
использовать математические формулы в двух ситуациях. Первая ситуация, когда все суммы выигрышей
равны так же, как и суммы
проигрышей. Однако суммы выигрышей могут отличаться от сумм проигрышей так же, как и
между собой. Другой случай, когда формулы могут быть полезны, — подсчет средних выигрышей и проигрышей. Очевидно, что вероятностное
выражение применяется к историческим
данным о проигрышах и выигрышах и не может использоваться в прогнозировании. Есть выражение, которое позволяет
оценить ситуацию, когда суммы выигрышей и
проигрышей могут принимать бесконечные количественные значения. Это
выражение бесполезно для целей торговли,
поскольку оно применяется к историческим данным о выигрышах/проигрышах. Вероятностное значение соотношения выигравших ставок к проигравшим в любой
конкретной системе (либо стратегии)
является лишь оценочной величиной. А оценка при этом строится на статистических данных. Поэтому, прежде чем подставлять в выражение какие-либо данные, необходимо
собрать статистику. В результате такого положения вещей мы будем использовать данное выражение и просто измерять силу и
надежность статистических данных. При подбрасывании монет мы уже знаем
вероятные в будущем варианты, которые существуют вне зависимости от
прошлых исходов любого количества
падений монеты. В реальном мире торговли
мы не имеем подобной информации.
В
следующем примере используем это уравнение для известных статистических данных.
Для вероятности выигрыша в 63%, при средней сумме выигрышной сделки в 454
доллара, а проигрышной сделки в 458 долларов математическое ожидание будет следующим:
[l+(W/L)]xP-l
= [1+(454/458)] х
0,63-1 =
1,99×0,63-1 =0,2537
Сравним это со стратегией, которая имеет следующую
статистику:
Средний выигрыш = 2.025 долларов
Средний проигрыш = 1.235 долларов
Процент выгоды =0,52
(1 + 1,64) х 0,52 =
1.37-1 =0,37
Эта
система дает немного более высокий математический результат по сравнению с вышеприведенной
статистикой. Следующая статистика имеет такие математические характеристики:
Средний выигрыш =3.775
долларов Средний проигрыш = 1.150 долларов Вероятность выигрыша = 65% Математический результат =1,78
Данный
математический результат по своему характеру не поддается прогнозированию и может
использоваться только для вычисления мощности
системы по достигнутым результатам в прошлом. В любом случае — это
единственная польза от статистических данных, полученных путем записей истории сделок.
Зная, что управление
капиталом — это всего лишь числовая игра, которая требует использования положительных ожиданий,
трейдер может прекратить
поиски «священного Грааля» биржевой торговли. Вместо этого он может заняться
проверкой своего торгового метода, выяснить,
насколько этот метод логически обоснован, дает ли он положительные ожидания. Правильные методы управления
капиталом, применяемые по
отношению к любым, даже весьма посредственным методам ведения торговли, сами сделают всю остальную работу.
Читать «Математика покера от профессионала» — Склански Дэвид — Страница 3
2. Ожидание и выигрыш в час
Математическое ожидание
Математическое ожидание показывает, насколько в среднем прибыльной или проигрышной окажется ставка. Данное понятие крайне важно для игроков, поскольку оно помогает оценить большинство игровых проблем. Использование математического ожидания также является лучшим способом для анализа большинства действий в покере.
Допустим, вы ставите $1 на подбрасывание монеты. Каждый раз, когда выпадает орел, вы выигрываете, в противном случае – проигрываете. Шансы, что выпадет орел, равны 1 к 1, и вы ставите $1 против $1. Таким образом, математическое ожидание составляет в точности ноль, поскольку вы не можете математически ожидать оказаться впереди или позади после двух или двухсот подбрасываний.
Ваше почасовое ожидание также в точности ноль. Почасовое ожидание – это размер денежной суммы, которую вы рассчитываете выиграть за час. Даже если вы способны подбросить монетку 500 раз за час, пока вы не получаете отличные от нейтральных шансы, вы не можете ни выигрывать, ни проигрывать деньги. С точки зрения серьезного игрока, это не самая плохая ситуация. Просто потеря времени.
Однако допустим, что кто-то не особенно смышленый готов поставить $2 против вашего $1 на подбрасывание монеты. Внезапно у вас уже есть положительное ожидание в размере 50 центов за бросок. Почему 50 центов? В среднем вы выиграете столько же подбрасываний, как и проиграете. Вы ставите первый доллар и проигрываете, ставите второй – и выигрываете $2. Вы поставили $1 дважды и оказались в плюсе на $1. Каждый раз ставка в $1 выигрывает вам 50 центов. Если вы способны на 500 подбрасываний в час, ваше почасовое ожидание составляет $250, поскольку в среднем вы проиграете $1 250 раз и выиграете $2 250 раз. $500 минус $250 составляет в итоге $250. Еще раз обратите внимание, что ваше математическое ожидание, которое является размером среднего выигрыша за ставку, будет составлять 50 центов.
Математическое ожидание не имеет ничего общего с результатами. Этот простофиля может выиграть первые 10 подбрасываний подряд, но, имея шансы 2 к 1 в ситуации, когда шансы на выигрыш равны, вы все равно зарабатываете 50 центов, ставя $1. Пока у вас достаточный банкрол, чтобы с легкостью покрыть потери, не имеет значения, выигрываете вы или проигрываете отдельно взятую последовательность ставок. Если вы продолжите, то начнете выигрывать, и на дистанции результат будет стремиться к совокупному ожиданию.
Каждый раз, когда шансы в вашу пользу, вы зарабатываете что-то на этой ставке, выигрываете ли вы по факту или проигрываете. В той же мере когда вы ставите, имея шансы не в свою пользу, вы что-то теряете независимо от результата. Серьезные игроки принимают риск, только если шансы в их пользу, и пасуют в ином случае.
Что означает иметь шансы в вашу пользу? Это значит в результате выигрывать больше, чем позволяют реальные шансы. Реальные шансы выпадения орла при подбрасывании монеты – 1 к 1, но вы получаете 2 к 1 за ваши деньги. Шансы в данном случае в вашу пользу. Вы впереди с положительным ожиданием в 50 центов за ставку.
Вот также немного более сложный пример математического ожидания. Человек записывает номер от одного до пяти и ставит $5 против ваших $1, что вы не сможете угадать номер. Должны ли вы принять ставку? Какое ваше математическое ожидание?
В среднем четыре попытки угадать будут неверными и одна верной. Таким образом, шансы ответить правильно – 4 к 1. Чаще всего в отдельной попытке вы проиграете доллар. Однако вы получаете $5 к $1, в то время как реальные шансы 4 к 1. То есть шансы в вашу пользу, вы впереди и должны принять ставку. Если вы сыграете пять раз, в среднем вы проиграете $1 в четырех случаях и выиграете $5 в одном. Вы заработали $1 за пять ставок, имея положительное ожидание в 20 центов за ставку.
Если вы ставите $50 против $10, являясь фаворитом с шансами всего 4 к 1, ваше отрицательное ожидание составляет $2 за ставку, потому что в среднем вы четыре раза выиграете $10 и проиграете $50 один раз, что в сумме приведет к потере $10 после 5 ставок. С другой стороны, если вы ставите $30 против $10, являясь фаворитом с шансами 4 к 1, ваше положительное ожидание составляет $2, так как вы выиграете $10 четыре раза и проиграете $30 один раз, что в сумме даст прибыль в размере $10. Математическое ожидание демонстрирует, что первая ставка является плохой, а вторая – хорошей.
Математическое ожидание лежит в основе любой игровой ситуации. Когда букмекер предлагает клиенту поставить $11, чтобы выиграть $10, он имеет положительное ожидание в размере 40 центов за $10 ставку. Когда казино выплачивает деньги, равные ставке, за столом в крэпс, оно имеет положительное ожидание в размере около $1,40 за ставку $100, поскольку игра сконструирована таким образом, что участник в среднем проиграет в 50,7 % случаев и выиграет в 49,3 %. Действительно, это, казалось бы, мизерное положительное ожидание приносит казино по всему миру их внушительные прибыли. Как сказал владелец казино Vegas World Боб Ступак: «Одна тысячная процента отрицательной вероятности на достаточно длинной дистанции разорит богатейшего человека в мире».
В большинстве игровых ситуаций, таких как крэпс или рулетка в казино, любые предоставляемые шансы фиксированы. В других же случаях они меняются, и математическое ожидание может помочь вам в оценке отдельно взятой ситуации. Например, в блек-джеке, с целью найти правильную стратегию, ученые вычислили математическое ожидание от разных стилей игры. Розыгрыш, дающий вам более высокое ожидание, является верным. Например, когда у вас 16 против 10 дилера, вы – фаворит на проигрыш. Однако, когда эти 16 представляют собой две восьмерки, вашей лучшей игрой будет их разделить, удвоив ставку. Разделив восьмерки против десятки дилера, вы по-прежнему ожидаете потерять деньги, однако отрицательное ожидание будет ниже, нежели если бы вы тянули еще карту, имея две восьмерки против десятки.
Математическое ожидание в покере
Покерные действия могут быть проанализированы с точки зрения математического ожидания. Вы можете думать, что определенный розыгрыш является прибыльным, однако иногда он может оказаться отнюдь не лучшим, поскольку существует более прибыльный вариант. Допустим, у вас фулл хаус в 5-карточном дро. Игрок перед вами делает ставку. Вы знаете, что если вы повысите, ваш противник сделает колл. Следовательно, повышение выглядит лучшей игрой. Однако в таком случае два человека за вами сбросят карты. С другой стороны, если вы уравняете ставку первого игрока, то очень вероятно, что и два игрока за вами сделают колл. Играя через рейз, вы заработаете одну ставку, а через колл – две. В итоге получается, что колл имеет более положительное математическое ожидание, а значит, является лучшей игрой.
Вот аналогичная, но немного более сложная ситуация. На последней улице в 7-карточный стад вы собрали флеш. Оппонент перед вами, которого вы кладете на две пары, ставит, и, кроме того, в раздаче присутствует игрок за вами, – вы уверены, что тоже бьете его. Если вы повысите, противник, сидящий после вас, сбросит. Более того, игрок, первоначально сделавший ставку, вероятно, также сбросит, если он действительно имеет две пары; но если он собрал фулл хаус, то он сделает ререйз. В данной ситуации у игры через рейз не положительное математическое ожидание, а отрицательное. В случае, когда первый игрок собрал фулл хаус и сделает ререйз, такая игра будет стоить вам две ставки, если вы сделаете колл его ререйза, и одну ставку, если сбросите.
Пойдем в этом примере еще дальше. Если вы последней картой не соберете флеш и игрок перед вами сделает ставку, вы можете сделать рейз против определенных оппонентов! Следуя логике ситуации, когда вы не собрали флеш, соперник позади вас сбросит, и если игрок, первоначально сделавший ставку, имел только две пары, он тоже может сбросить. Имеет ли розыгрыш положительное ожидание (или менее негативное ожидание, нежели пас), зависит от шансов, предоставляемых вам за ваши деньги: то есть размер банка и ваши предполагаемые шансы на то, что оппонент, сделавший первоначальную ставку, не имеет фулл хауса и сбросит, имея две пары. Последнее предположение требует, конечно, умения читать руки и оппонентов, о чем я поговорю в более поздних главах. На таком уровне игры расчет математического ожидания становится намного запутаннее, нежели когда вы просто подбрасываете монетку.
Мифы. Отрицательное математическое ожидание в Бинарных Опционах
Существует миф, что отрицательное математическое ожидание является фундаментальным для бинарных опционов. Те, кто не умеют вовремя остановиться с профитом в руке, намекают, что система построение так, чтобы трейдеры теряли свои деньги. Ведь по закону отрицательного математического ожидания доходность торговой системы или стратегии неизбежно приведет к полной потере средств. Например, идиоты приводят пример того, что сделав такое же количество ставок, как и оппонент (в данном случае речь о рынке), Вы неизбежно окажетесь в минусе.
Соответствует ли это действительности? Действительно ли математика ставит крест на профите?
На мгновение представим, что этот усреднённый статистический показатель создан гениями и действительно работает. Кто заставляет Вас ставить слишком много раз? Почему Вы входите в позицию сотни раз? Ловите волны графика, а не пытайтесь шортить или лонговать каждую минуту. Уменьшив количество сделок до минимума и увеличив суммы до максимума, у Вас больше шансов на профит даже в том случае, если верите этим бестолковым математическим выводам.
Почему математика здесь не играет никакой роли в Бинарных Опционах?
Рынок настолько волатильный, что не поддается никакому микроанализу. Только макроанализ может позволить учесть тренд и другие нюансы, с которыми Вам еще предстоит познакомиться. Например, Вы торгуете евро к доллару. Думаете, что успеете отреагировать на тотальный слив после подтверждения того, что Deutsche Bank банкрот? Нет, крупные фонды начнут избавляться от евро, покупая золото и доллары США. И Вы ничего не успеете сделать, сидя в позиции и торгуя на повышение евро. Здесь работает только тренд и фундаментал, который может толкать рынок в ту или иную сторону. Какая к черту математика? Откройте глаза. Вы должны научиться забирать сливки с этого рынка. Помните, когда Вы остаетесь в профите — брокеру это на руку. Никто здесь не хочет Вас слить. Вы платите комиссию по каждой сделке. Больше сделок — больше комиссионных.
Пошлите математику к черту и отдайте ее тем, кто играет в покер. Там это работает. Здесь — настоящая война на рынке, где нужно быть готовым ко всему. Вооружайтесь!
отрицательных ожиданий в предложении
Эти примеры взяты из корпусов и из источников в Интернете. Любые мнения в примерах не отражают мнение редакторов Cambridge Dictionary, Cambridge University Press или его лицензиаров.
отрицательное ожидание от женщин нашло дальнейшее усиление в стереотипах как работодателей, так и профсоюзов о женщинах как о «послушных» и управляемых работницах.
Эти дети, вероятно, попадут в новые ситуации с негативными ожиданиями в отношении своей компетентности и того, как другие будут с ними взаимодействовать.
Они предположили, что неприятные телесные ощущения от субтоксичных концентраций химических веществ являются результатом негативных ожиданий и страхов (эффект ноцебо).
Предположительно, зависимость может частично объяснить умеренные или отрицательные ожидания и большее беспокойство относительно этического качества помощи пациентам.
Безнадежность определяется как когнитивная система негативных ожиданий в отношении себя, социальной среды и будущей жизни.
Когда и начальник, и подчиненный замечают низкую производительность, отрицательные ожидания подтверждаются, а вера укрепляется.
Из
Википедия
Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.
Такой положительный опыт — важнейший компонент, необходимый для подрыва негативных ожиданий и стереотипов.
Из
Википедия
Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.
Негативные стереотипы также коррелируют с этим поведением, вызывая угрозу, основанную на негативных ожиданиях в отношении чужой группы.
Из
Википедия
Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.
Было показано, что негативный опыт порождает не только негативные ожидания, но и избегающее или иное антагонистическое поведение, такое как враждебность.
Из
Википедия
Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.
Руководители с негативными ожиданиями будут производить поведение, которое негативно влияет на работу их подчиненных, в то время как сами подчиненные проявляют негативное поведение.
Из
Википедия
Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.
Отрицательные ожидания также могут привести к отмене обезболивающего действия анестетиков.
Из
Википедия
Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.
Положительный взгляд на вещи приведет к постоянным усилиям по достижению цели, в то время как отрицательные ожидания в отношении будущего приведут к отказу.
Из
Википедия
Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.
Человек может потерять мотивацию в учебной среде из-за возлагаемых на него негативных ожиданий.
Из
Википедия
Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.
Беспокойство относится к когнитивным факторам, таким как негативные ожидания или чувство неполноценности, а эмоциональность относится к физическим симптомам, таким как учащенное сердцебиение, мышечное напряжение или бабочки.
Из
Википедия
Этот пример взят из Википедии и может быть повторно использован по лицензии CC BY-SA.{- \ lambda}} (Ei (\ lambda) — \ log \ lambda — \ gamma) $
R-код для пробного использования
лямбда = 8
к = 1: 1000
pp <- dpois (k, lambda) / (1-exp (-lambda))
### вычислить E (1 / k) грубой силой
сумма (п.п. / тыс.)
### вычислить E (1 / k) с меньшим усилием
ар = с (1,7,43,271,1811)
ff = cumprod (лямбда-c (0: 6))
br = ar / ff [-c (1: 2)]
результат = (1 / (1-exp (-lambda))) * (1 / (lambda-1)) * (1 + cumsum (br))
### вычислить с интегралом
exp (-lambda) / (1-exp (-lambda)) * (expint :: expint_Ei (лямбда) -log (лямбда) -0.57721)
Как эффективно справляться с ошибочными, нереалистичными и отрицательными ожиданиями
Победители имеют привычку строить свои собственные позитивные ожидания перед событием.- Брайан Трейси
Чрезвычайная сила ожидания
Каждый божий день мы цепляемся за определенные ожидания в отношении самих себя, других и наших обстоятельств. Осознаем мы это или нет, но эти ожидания напрямую влияют на нашу жизнь. Фактически, вы всегда держитесь за сознательные и бессознательные ожидания в различных ситуациях.
Ожидания, которых вы придерживаетесь, влияют на то, на что направлено ваше внимание. В результате эти ожидания становятся целями или, другими словами, планами на будущее.Фактически, эти ожидания напрямую влияют на то, что вы БУДЕТЕ или НЕ БУДЕТЕ делать, и, по сути, во что вы ВЕРИТЕ, возможно в любой момент времени. Более того, ваши ожидания влияют на ваше отношение, решения, поведение, взгляды, а также на ваше взаимодействие с другими людьми.
Итак, как видите, наши ожидания во многом определяют нашу жизнь. Все это, конечно, хорошо, если мы будем придерживаться ожиданий, которые служат нашему большему благу. Однако для многих людей это, к сожалению, не так.Часто наши ожидания ошибочны, потому что они фактически исключают и искажают наши интерпретации реальности в ущерб нам.
Эмоции влияют на ваши ожидания
Задумайтесь на мгновение об эмоциях страха, беспокойства и беспокойства. Всякий раз, когда вы испытываете эти эмоции, вы в этот самый момент создаете набор негативных ожиданий. Например, когда вы о чем-то беспокоитесь, вы в этот момент ожидаете, что что-то пойдет не так. Теперь, когда вы постоянно думаете об этом ожидании, вы собираетесь принимать определенные решения и предпринимать определенные действия, которые соответствуют этим ожиданиям.
Конечно, все, о чем вы беспокоитесь, может быть плодом вашего воображения. На самом деле, часто наши заботы никогда не осуществляются. Однако мы не склонны полагать, что в то время и, как следствие, наши негативные ожидания приводят к определенному поведению, решениям, действиям и взаимодействиям, которые могут не принести нам большего блага. Фактически, эти негативные ожидания могут фактически привести нас к неблагоприятным обстоятельствам, которые в противном случае мы никогда бы не испытали, потому что наши ожидания, конечно же, направляют наше внимание и фокус.
Эмоции, которые вы испытываете в течение дня, дадут вам представление о ваших текущих ожиданиях. Таким образом, всякий раз, когда вы испытываете определенную эмоцию, полезно спросить себя:
Какие эмоции я испытываю?
Чего я жду в результате?
Это ожидание полезно или бесполезно?
Приближает ли меня это ожидание к желаемому результату?
У вас, конечно же, есть определенные цели и задачи, которых вы хотели бы достичь в той или иной ситуации.Однако ваши эмоции часто могут затуманивать ваше суждение и, следовательно, вести вас по ложному пути. Поэтому вы всегда должны осознавать свои эмоции и определять, являются ли ожидания, порождаемые этими эмоциями, полезными или бесполезными. Двигают ли они вас к желаемым целям и задачам или уводят от них?
Ожидание с уверенностью создает реальность
Говорят, что то, чего мы ожидаем, безусловно, создает нашу реальность.Но еще точнее, ожидание чего-то определенно влияет на то, что мы думаем об этой ситуации и что мы думаем о себе в этой конкретной ситуации.
Важно всегда помнить об ожиданиях, которых вы придерживаетесь. Таким образом, постарайтесь быть более бдительными в отношении своих ожиданий в любой ситуации. Часто спрашивайте себя:
Чего я ожидаю от себя в данной конкретной ситуации?
Чего конкретно я ожидаю?
Разумно ли держаться за такого рода ожидания?
Это полезно? Поддерживает ли это мои цели и задачи?
Постоянное постоянное внимание к этим вопросам позволит вам направлять свой разум более вдохновляющими и позитивными способами в течение дня.
Ожидания высоких достижений
Поскольку наши ожидания, как правило, создают нашу реальность или, по крайней мере, влияют на наше поведение множеством способов, интересно быстро взглянуть на то, какие факторы потенциально отличают людей с высокими достижениями от массы.
У успешных людей часто очень амбициозные ожидания и цели. Они большие мыслители и дальновидные деятели, готовые упорно трудиться для достижения своих целей и задач. Они, как правило, устанавливают сложные дедлайны, которые поддерживают их мотивацию.И они живут с чувством безотлагательности. Кроме того, они любят критику и часто решают сложные задачи, чтобы доказать, что другие неправы.
Отличники, конечно же, всего лишь люди. И поэтому они иногда все же держатся за ожидания, которые могут не служить их большему благу. Однако то, что отличает отличников от других, - это то, что они быстро учатся эффективно управлять этими ожиданиями. На самом деле, успешные люди умеют позитивно справляться с неудавшимися, нереалистичными и негативными ожиданиями, помогая им преодолевать эмоциональные препятствия, которые часто мешают другим двигаться вперед.
В оставшейся части этого обсуждения давайте сосредоточимся на том, как конкретно справиться с триадой неудавшихся, нереалистичных и негативных ожиданий, чтобы вы наконец могли начать брать на себя ответственность за свою жизнь и двигаться вперед к своим целям, а не уходить от них.
Обработка ошибочных ожиданий
Неудачное ожидание - это когда вы ожидали чего-то, что не оправдало ожиданий. Другими словами, вы могли поставить цель, которую, по вашему мнению, достигнете, но со всем, что произошло, ваша цель так и не достигла цели.
Часто неудовлетворительные ожидания возникают из-за допущенных вами ошибок или просто из-за отсутствия опыта и / или знаний.
В такие времена легко разочароваться в себе и, возможно, даже испугаться, что вы никогда не достигнете желаемых целей. Однако важно контролировать свои ожидания и не поддаваться ограничивающим эмоциям.
Когда возникает ошибочное ожидание, вы должны понимать, что вы не неадекватны или неспособны. На самом деле, неудовлетворительное ожидание не означает, что вы неудачник.Это просто неудачная попытка, которую можно исправить еще одной попыткой. Чтобы лучше прояснить это в уме, скажите себе:
Результат оказался не таким, как я ожидал…
Этот результат не меняет того, кто я или на что я способен…
Это всего лишь одна неудачная попытка, которой я должен научиться и развиваться…
Каждая неудачная попытка приносит с собой уроки. Вы должны извлечь уроки из этого опыта, прежде чем снова двигаться вперед.
Имея дело с неудавшимся ожиданием, полезно никогда не ожидать очень конкретных результатов, основанных на наборе предустановленных условий.Когда мы очень конкретны в своих ожиданиях, мы не допускаем достаточного количества ошибок при изменении обстоятельств.
Часто ошибки, которые мы делаем, позволяют нам изменить наш курс и направление более полезными способами, но сначала мы должны быть готовы к этому изменению. А для того, чтобы это произошло, мы должны быть гибкими, и мы, конечно же, должны придерживаться гибких ожиданий. Спросите себя:
Насколько гибки мои ожидания?
Что делать, если условия изменятся?
Как в результате должны измениться мои ожидания?
А когда условия действительно изменятся, спросите себя:
Что я узнал из этого опыта?
О чем мне говорят эти результаты?
Как мне теперь адаптироваться к этим меняющимся условиям?
Какие новые ожидания я должен создать?
Как мне теперь двигаться вперед именно в результате этих новых ожиданий?
Сохранение гибкости означает, что вы всегда готовы пробовать что-то новое, особенно когда то, чего вы ожидали, не оправдывает себя.В то же время сосредоточьтесь на общей картине и на самом важном. Заблудиться в деталях может свести на нет ваши усилия. Однако сосредоточение внимания на более широкой картине (вашей главной цели) позволит вам продолжать двигаться в правильном направлении даже при изменении обстоятельств. Это также позволит вам гораздо более эффективно управлять своими ожиданиями.
Чтобы помочь вам более эффективно справляться с неудовлетворительными ожиданиями, важно никогда не жаловаться и не оправдываться по поводу своих обстоятельств.Что случилось, то случилось. Теперь вы должны разобраться с ситуацией и двигаться дальше.
И сейчас не время расстраиваться. На самом деле, вы, скорее всего, будете разочарованы, если эмоционально привязаны к своему результату. Просто отпустите все ожидания того, как все должно или должно быть. Это поможет вам успокоить свои эмоции.
Конечно, также важно понимать, что то, что работало в прошлом, вполне может не работать прямо сейчас. Ожидание того, что «прошлое всегда равно будущему», только обескураживает вас, когда дела идут плохо.Вместо этого вы должны всегда придерживаться гибкого подхода и адаптироваться к меняющимся условиям и обстоятельствам.
Наконец, еще одна ловушка, в которую часто попадают многие из нас, - это думать, что мы заслуживаем конкретных результатов и результатов. Вещи никогда не ясны. Или, говоря другими словами, никогда не бывает так уверенно, как мы ожидаем. Вполне возможно, что даже если все пошло не так, как вы ожидали, вы все еще на правильном пути. Возможно, у вас не было времени, и в результате вам нужно внести необходимые коррективы, продвигаясь вперед.
Осуществление нереалистичных ожиданий
Часто, даже не осознавая этого, мы склонны держаться за нереалистичные ожидания о себе, о других и о ситуации, в которой мы находимся. Эти нереалистичные ожидания искажают наше восприятие реальности и часто могут увести нас по ложному пути и увести от целей и цели, которых мы хотим достичь.
Нереалистичные ожидания часто являются результатом необоснованных предположений и выводов, которые мы часто делаем.У нас не всегда есть вся информация, необходимая для принятия эффективного решения, и в результате мы заполняем пробелы, чтобы помочь нам разобраться в ситуации. Однако если эти пробелы неточны, то это часто может искажать реальность. Например, ваши опасения часто основываются на наборе нереалистичных ожиданий и убеждений, которые влияют на то, как вы будете вести себя в любой ситуации. Но часто они основаны не на реальности, а на вашем понимании реальности.
Вам нужно быть очень бдительным и осознавать выводы, которые вы делаете в любой момент времени, чтобы успешно справиться со своими нереалистичными ожиданиями.И все начинается с того, что задают правильные вопросы. Например, чтобы избавиться от нереалистичных ожиданий относительно конкретной ситуации (например, когда вы о чем-то беспокоитесь), спросите себя:
Что я думаю об этой ситуации?
Чего я ожидаю?
Какие предположения я потенциально делаю по этому поводу?
Разумно ли этого ожидать? Основаны ли эти ожидания на фактах?
Какой набор ожиданий был бы более полезным в этой ситуации?
В остальное время мы возлагаем на себя необоснованные ожидания.Мы ожидаем от себя гораздо большего, чем можем реально выполнить, и это часто приводит к разочарованию. Конечно, важно бросить вызов самому себе и продолжать подталкивать себя к более высоким уровням продуктивности и производительности, но в пределах разумного. Спросите себя:
Чего неразумного ожидать от себя?
Чего неразумного ожидать от себя в такой ситуации?
Какие более разумные ожидания в этой ситуации?
Наконец, наши ожидания от других также могут быть очень необоснованными и нереалистичными.Эти ожидания часто могут оказывать сильное давление на людей, заставляя их работать до уровня, на котором они соответствуют этим ожиданиям, в ущерб себе.
Конечно, бросая вызов людям и подталкивая их к повышению их личных стандартов, можно очень сильно расширить их возможности. Однако ко всему нужно подходить в разумных пределах, иначе отношения могут быть испорчены очень быстро.
Чтобы не возлагать на других людей необоснованные и ненужные ожидания, задайте себе три быстрых вопроса:
Чего неразумного ожидать от этого человека с учетом его способностей и текущих обстоятельств?
Мог ли я ожидать того же от себя в этой ситуации?
Оправдала ли я раньше подобные ожидания?
Ответы на эти вопросы помогут вам правильно представить свои ожидания и создать новый набор ожиданий, который поможет вам расширить возможности других в более позитивном ключе.
Работа с негативными ожиданиями
Негативные ожидания часто проявляются из-за пессимизма и сомнений. Эти сомнения приводят к нерешительности, потому что они создают в вашей голове «сценарии неудач». Вы ожидаете неудачи, и поэтому все ваши решения и действия, несомненно, уведут вас от ваших целей к неудачам и ошибкам.
Обуздать эти сомнения никогда не бывает легко, потому что у нас часто просто не хватает уверенности и / или ресурсов, чтобы развить необходимую веру в то, что мы можем успешно достичь своей цели.И, как следствие, это приводит к множеству негативных ожиданий.
Чтобы успешно справиться с этими сомнениями, важно, чтобы вы начали бросать вызов своим ограничивающим мыслям, задав себе несколько важных вопросов:
Чего я ожидаю?
Как я могу точно знать, что все будет так?
Что, если мои представления об этом полностью ошибочны?
Какой еще более вдохновляющий способ подумать об этом?
Чего [наставника] ожидает от себя в этой ситуации?
Что, если бы у меня уже было все необходимое для работы? Что бы я сделал в результате?
Какой новый набор ожиданий был бы более полезным в этой ситуации?
Чем больше вы оспариваете свои бесполезные мысли и сомнения, тем больше уверенности вы приобретете, продвигаясь вперед.Однако, чтобы добраться до этого этапа, вы, конечно, должны сначала осознать потенциальные последствия своих ожиданий. Вы должны понять, что ваши сомнения не приведут вас в обетованную землю. Они не приведут вас к желаемому результату. И, конечно, если вас это устраивает, просто продолжайте так думать. Но если вас это не устраивает, то вы должны начать менять свои ожидания, начиная с сегодняшнего дня.
Чтобы сформировать более позитивные ожидания, которые будут способствовать достижению ваших целей, важно создавать предвкушение с помощью мечтаний и надежды на положительный результат.Однако, конечно же, в то же время очень важно оставаться на земле и не выходить слишком далеко за пределы того, на что вы способны, потому что это может в конечном итоге привести к несбывшимся ожиданиям. В таких случаях вы можете запланировать наихудший сценарий. Планирование наихудшего сценария может помочь вам создать более реалистичные и гибкие ожидания в будущем.
Наконец, также важно осознавать и осознавать, насколько вы оправдываете ожидания других людей. Ожидания других людей от вас могут на самом деле влиять на ваши ожидания от самого себя и от того, на что, по вашему мнению, вы способны.Если эти ожидания причиняют вам боль, возможно, пришло время отпустить их и начать создавать свой собственный набор ожиданий, которые будут продвигать вас к достижению ваших целей и задач.
Отказ от ожиданий
Иногда лучший способ справиться с негативными, нереалистичными и несбывшимися ожиданиями - это просто отпустить все ожидания. Да, просто отпустите все свои ожидания в отношении своих целей, своего будущего и всех решений, которые вы примете, и действий, которые вы предпримете.Просто отпустите их и держитесь абсолютно никаких ожиданий.
Преимущество отсутствия ожиданий в том, что это внезапно поощряет спонтанность и творчество. Это даст больше места для неожиданных и потенциально лучших вещей, которые войдут в вашу жизнь, а также, вероятно, откроет ваш разум для новых путей, возможностей, перспектив и возможностей.
Видите ли, дело в ожиданиях в том, что они часто ограничивают нас и ограничивают наш потенциал. Мы ожидаем определенных вещей и в результате часто получаем только эти вещи и ничего больше.Однако внутри нас гораздо больше потенциала, но мы никогда не узнаем, что именно, потому что наши ожидания ограничивают то, что мы будем делать в любой момент времени. Поэтому иногда бывает полезно отказаться от всех ожиданий и просто плыть по течению жизни. Просто будьте спонтанными и творческими и смотрите, куда жизнь приведет вас без давления ожидания. Кто знает, жизнь вполне может привести вас по удивительному пути, о котором вы даже не ожидали. 🙂
Время усвоить эти концепции
ПОЛУЧИТЬ КАРТУ
Получили ли вы пользу от этой статьи? Важно ли знать и понимать эту тему? Хотели бы вы оптимизировать свое отношение к этой теме? Хотели бы вы, как применить эти идеи в своей жизни?
Если вы ответили утвердительно на любой из этих вопросов, я уверен, что вы получите огромную пользу от использования прилагаемой матрицы IQ в целях коучинга или самообучения.Эта интеллектуальная карта дает вам быстрый визуальный обзор статьи, которую вы только что прочитали. Ветви, взаимосвязанные идеи и изображения моделируют то, как мозг думает и обрабатывает информацию. Это похоже на имплантацию мысли в ваш мозг - своего рода обновление, которое оптимизирует то, как вы думаете об этих концепциях и идеях. 🙂
Рекомендуемые наборы матриц IQ Набор карт Facing Change 10 включает в себя набор отобранных вручную карт, которые призваны помочь вам оптимальным образом справиться с жизненными переходами и неожиданными изменениями.Набор карт «Преодоление невзгод» 10 включает в себя набор тщательно подобранных карт, призванных предоставить вам основу для преодоления самых сложных жизненных проблем и неудач. Набор карт «Эмоциональный интеллект 10» включает в себя набор отобранных вручную карт, которые призваны помочь вам развить свой эмоциональный интеллект и самосознание в различных ситуациях.
Если вас заинтриговала идея использования интеллект-карт для самосовершенствования , то я хотел бы пригласить вас стать участником IQ Matrix.
Если вы новичок в картировании разума или просто хотите узнать что-то новое, зарегистрируйтесь в программе бесплатного 12-месячного членства . Там вы получите доступ к более чем 90 интеллектуальным картам, визуальным инструментам и ресурсам стоимостью более 500 долларов.
Если, с другой стороны, вам нужен доступ к постоянно растущей библиотеке из сотен визуальных инструментов и ресурсов, тогда ознакомьтесь с нашими пакетами премиум-членства. Эти пакеты предоставляют вам полную визуальную справочную библиотеку для всех ваших личных потребностей в развитии.
Получить больше знаний…
Вот несколько дополнительных ссылок и ресурсов, которые помогут вам узнать больше по этой теме:
Теория ожиданий Определение
Что такое теория ожиданий?
Теория ожиданий пытается предсказать, какие краткосрочные процентные ставки будут в будущем, на основе текущих долгосрочных процентных ставок. Теория предполагает, что инвестор получает одинаковый процент, инвестируя в две последовательные инвестиции в однолетние облигации, по сравнению с инвестированием в одну двухлетнюю облигацию сегодня.Эта теория также известна как «теория непредвзятых ожиданий».
Теория ожиданий предсказывает будущие краткосрочные процентные ставки на основе текущих долгосрочных процентных ставок
Теория предполагает, что инвестор зарабатывает одинаковую сумму процентов, инвестируя в две последовательные инвестиции в однолетние облигации, по сравнению с инвестированием в одну двухлетнюю облигацию сегодня
Теоретически, долгосрочные ставки могут использоваться, чтобы указать, где будут торговаться ставки по краткосрочным облигациям в будущем
Понимание теории ожиданий
Теория ожиданий направлена на то, чтобы помочь инвесторам принимать решения, основанные на прогнозе будущих процентных ставок.Теория использует долгосрочные ставки, обычно по государственным облигациям, для прогнозирования ставок по краткосрочным облигациям. Теоретически, долгосрочные ставки можно использовать для указания, где ставки по краткосрочным облигациям будут торговаться в будущем.
Теория расчета ожиданий
Предположим, что нынешний рынок облигаций предоставляет инвесторам двухлетнюю облигацию с процентной ставкой 20%, а по однолетней облигации - 18%. Теорию ожиданий можно использовать для прогнозирования процентной ставки будущей однолетней облигации.
Первым шагом расчета является прибавление единицы к процентной ставке по двухлетней облигации. Результат 1.2.
Следующий шаг - возвести результат в квадрат или (1,2 * 1,2 = 1,44).
Разделите результат на текущую годовую процентную ставку и прибавьте единицу или ((1,44 / 1,18) +1 = 1,22).
Чтобы рассчитать прогнозируемую процентную ставку по годовым облигациям на следующий год, вычтите единицу из результата или (1,22 -1 = 0,22 или 22%).
В этом примере инвестор получает доход, эквивалентный текущей процентной ставке по двухлетней облигации.Если инвестор решит инвестировать в годовую облигацию под 18%, доходность облигации следующего года должна увеличиться до 22%, чтобы это вложение было выгодным.
Теория ожиданий направлена на то, чтобы помочь инвесторам принимать решения, используя долгосрочные ставки, обычно по государственным облигациям, для прогнозирования ставок по краткосрочным облигациям.
Недостатки теории ожиданий
Инвесторы должны знать, что теория ожиданий не всегда является надежным инструментом.Распространенная проблема с использованием теории ожиданий заключается в том, что она иногда переоценивает будущие краткосрочные ставки, что позволяет инвесторам легко получить неточный прогноз кривой доходности облигации.
Еще одно ограничение теории состоит в том, что многие факторы влияют на доходность краткосрочных и долгосрочных облигаций. Федеральная резервная система изменяет процентные ставки вверх или вниз, что влияет на доходность облигаций, включая краткосрочные облигации. Однако долгосрочная доходность может быть меньше затронута, поскольку многие другие факторы влияют на долгосрочную доходность, включая инфляцию и ожидания экономического роста.
В результате теория ожиданий не учитывает внешние силы и фундаментальные макроэкономические факторы, которые определяют процентные ставки и, в конечном итоге, доходность облигаций.
Теория ожиданий и теория предпочтительной среды обитания
Теория предпочтительной среды обитания продвигает теорию ожиданий на один шаг вперед. Теория утверждает, что инвесторы предпочитают краткосрочные облигации долгосрочным облигациям, если последние не платят премию за риск. Другими словами, если инвесторы собираются удерживать долгосрочную облигацию, они хотят получить компенсацию в виде более высокой доходности, чтобы оправдать риск удержания инвестиций до погашения.
Теория предпочтительной среды обитания может помочь частично объяснить, почему по долгосрочным облигациям обычно выплачивается более высокая процентная ставка, чем по двум более краткосрочным облигациям, которые при сложении дают одинаковый срок погашения.
При сравнении теории предпочтительной среды обитания с теорией ожиданий разница состоит в том, что первая предполагает, что инвесторы озабочены как зрелостью, так и доходностью. Напротив, теория ожиданий предполагает, что инвесторов интересует только доходность.
Влияние ожидания на гипоалгезию, вызванную манипуляциями на позвоночнике: экспериментальное исследование на здоровых людях | BMC Musculoskeletal Disorders
1.
Bronfort G, Haas M, Evans RL, Bouter LM: Эффективность спинальной манипуляции и мобилизации при боли в пояснице и шее: систематический обзор и обобщение лучших доказательств. Спайн Дж. 2004, 4: 335-356. 10.1016 / j.spinee.2003.06.002.
Артикул
PubMed
Google Scholar
2.
Childs JD, Fritz JM, Flynn TW, Irrgang JJ, Johnson KK, Majkowski GR: Правило клинического прогноза для выявления пациентов с болями в пояснице, которым с наибольшей вероятностью будет полезна манипуляция с позвоночником: валидационное исследование.Ann Intern Med. 2004, 141: 920-928.
Артикул
PubMed
Google Scholar
3.
Cleland JA, Fritz JM, Whitman JM, Childs JD, Palmer JA: Использование техники манипуляции поясничного отдела позвоночника физиотерапевтами у пациентов, которые удовлетворяют правилу клинического прогноза: серия случаев. J Orthop Sports Phys Ther. 2006, 36: 209-214.
Артикул
PubMed
Google Scholar
4.
Koes BW, Assendelft WJ, van der Heijden GJ, Bouter LM: Спинальные манипуляции при болях в пояснице. Обновленный систематический обзор рандомизированных клинических исследований. Позвоночник. 1996, 21: 2860-2871. 10.1097 / 00007632-199612150-00013.
Флинн Т., Фриц Дж., Уитман Дж., Вайннер Р., Магель Дж., Рендейро Д.: Правило клинического прогноза для классификации пациентов с болями в пояснице, которые демонстрируют кратковременное улучшение после манипуляции со спиной. Позвоночник. 2002, 27: 2835-2843. 10.1097 / 00007632-200212150-00021.
Артикул
PubMed
Google Scholar
7.
Джордж С.З., епископ доктор медицины, Бялоски Дж., Зеппиери Г., Робинсон М.Э .: Непосредственные эффекты спинальной манипуляции на термическую болевую чувствительность: экспериментальное исследование. BMC Musculoskelet Disord. 2006, 7: 68-10.1186 / 1471-2474-7-68.
Артикул
PubMed
PubMed Central
Google Scholar
8.
Goodsell M, Lee M, Latimer J: Краткосрочные эффекты пояснично-задне-передней мобилизации у людей с болью в пояснице. J Manipulative Physiol Ther.2000, 23: 332-342.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
9.
Mohammadian P, Gonsalves A, Tsai C., Hummel T., Carpenter T: Области вторичной гипералгезии и аллодинии, вызванной капсаицином, уменьшаются за счет однократной коррекции хиропрактики: предварительное исследование. J Manipulative Physiol Ther. 2004, 27: 381-387. 10.1016 / j.jmpt.2004.05.002.
Артикул
PubMed
Google Scholar
10.
Paungmali A, Vicenzino B, Smith M: Гипоалгезия, вызванная манипуляциями с локтем при латеральной эпикондилалгии, не вызывает толерантности. J Pain. 2003, 4: 448-454. 10.1067 / S1526-5900 (03) 00731-4.
Артикул
PubMed
Google Scholar
11.
Паунгмали А., О'Лири С., Сувлис Т., Вичензино Б. Гипоалгезирующие и симпатически возбуждающие эффекты мобилизации с движением при латеральной эпикондилалгии. Phys Ther. 2003, 83: 374-383.
PubMed
Google Scholar
12.
Paungmali A, O'Leary S, Souvlis T, Vicenzino B: налоксон не оказывает противодействия начальному гипоальгезическому эффекту мануальной терапии латеральной надмыщелки. J Manipulative Physiol Ther. 2004, 27: 180-185. 10.1016 / j.jmpt.2003.12.022.
Артикул
PubMed
Google Scholar
13.
Стерлинг М., Джулл Дж., Райт А: Мобилизация шейки матки: одновременное воздействие на боль, активность симпатической нервной системы и двигательную активность.Man Ther. 2001, 6: 72-81. 10.1054 / math.2000.0378.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
14.
Вичензино Б., Коллинз Д., Бенсон Х., Райт А. Исследование взаимосвязи между гипоалгезией, вызванной манипулятивной терапией, и симпато-возбуждением. J Manipulative Physiol Ther. 1998, 21: 448-453.
CAS
PubMed
Google Scholar
15.
Vicenzino B, Paungmali A, Buratowski S, Wright A: Специальная манипулятивная терапия при хронической латеральной эпикондилалгии вызывает уникально характерную гипоалгезию.Man Ther. 2001, 6: 205-212. 10.1054 / math.2001.0411.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
16.
Vernon H: Качественный обзор исследований гипоалгезии, вызванной манипуляциями. J Manipulative Physiol Ther. 2000, 23: 134-138. 10.1016 / S0161-4754 (00)
-8.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
17.
Гранот М., Грановский Ю., Спречер Э., Нир Р.Р., Ярницкий Д.: Временное суммирование, вызванное контактным теплом: тоническая или повторно-фазовая стимуляция.Боль. 2006, 122: 295-305. 10.1016 / j.pain.2006.02.003.
Артикул
PubMed
Google Scholar
18.
Ни Х., Арендт-Нильсен Л., Андерсен Х., Гравен-Нильсен Т.: Временное суммирование боли, вызванное механической стимуляцией в глубоких и поверхностных тканях. J Pain. 2005, 6: 348-355. 10.1016 / j.jpain.2005.01.352.
Артикул
PubMed
Google Scholar
19.
Staud R, Price DD, Fillingim RB: Усовершенствованная конструкция теплового импульса с непрерывным контактом для эффективного временного суммирования второй боли (нарастания).J Pain. 2006, 7: 575-582. 10.1016 / j.jpain.2006.02.005.
Стауд Р., Прайс Д.Д., Робинсон М.Э., Маудерли А.П., Вирк К.Дж.: Поддержание нарастания второй боли требует менее частой стимуляции у пациентов с фибромиалгией по сравнению с нормальным контролем. Боль. 2004, 110: 689-696. 10.1016 / j.pain.2004.05.009.
Артикул
PubMed
Google Scholar
22.
Мицуйо Т., Даттон Р.К., Антоньини Дж. Ф., Карстенс Э. Дифференциальные эффекты галотана и изофлурана на возбуждение нейронов спинного рога, отобранные у неанестезированных децеребрированных крыс.Anesth Analg. 2006, 103: 753-760. 10.1213 / 01.ane.0000230605.22930.52.
Ваза L, Робинсон М.Э., Верн Г.Н., Прайс Д.Д.: Вклад внушения, желания и ожидания в эффекты плацебо у пациентов с синдромом раздраженного кишечника. Эмпирическое исследование. Боль. 2003, 105: 17-25. 10.1016 / S0304-3959 (03) 00073-3.
Артикул
PubMed
Google Scholar
33.
Ваза L, Робинсон М.Э., Верн Г.Н., Прайс Д.Д. Повышенная со временем обезболивание плацебо у пациентов с синдромом раздраженного кишечника (СРК) связано с желанием и ожиданием, но не с эндогенными опиоидными механизмами.Боль. 2005, 115: 338-347.
Артикул
PubMed
Google Scholar
34.
De PV, Chiaradia C, Carotenuto E: Вклад внушаемости и ожидания в феномен плацебо-анальгезии в экспериментальных условиях. Боль. 2002, 96: 393-402. 10.1016 / S0304-3959 (01) 00485-7.
Артикул
Google Scholar
35.
Прайс Д.Д., Миллинг Л.С., Кирш И., Дафф А., Монтгомери Г.Х., Николлс СС: анализ факторов, влияющих на величину обезболивания плацебо в экспериментальной парадигме.Боль. 1999, 83: 147-156. 10.1016 / S0304-3959 (99) 00081-0.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
36.
Pollo A, Amanzio M, Arslanian A, Casadio C, Maggi G, Benedetti F: Ожидаемые ответы при обезболивании плацебо и их клиническое значение. Боль. 2001, 93: 77-84. 10.1016 / S0304-3959 (01) 00296-2.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
37.
Mahomed NN, Liang MH, Cook EF, Daltroy LH, Fortin PR, Fossel AH: Важность ожиданий пациента в прогнозировании функциональных результатов после тотальной артропластики сустава. J Rheumatol. 2002, 29: 1273-1279.
PubMed
Google Scholar
38.
Heymans MW, de Vet HC, Knol DL, Bongers PM, Koes BW, van Mechelen W. Убеждения и ожидания рабочих влияют на их возвращение к работе в течение 12 месяцев. J Occup Rehabil. 2006, 16: 685-695. 10.1007 / s10926-006-9058-8.
Артикул
PubMed
Google Scholar
39.
Калауокалани Д., Черкин Д.К., Шерман К.Дж., Кёпселл Т.Д., Дейо Р.А.: Уроки пробной акупунктуры и массажа при боли в пояснице: ожидания пациентов и эффекты лечения. Позвоночник. 2001, 26: 1418-1424. 10.1097 / 00007632-200107010-00005.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
40.
Капур С., Шоу В.С., Прански Г., Паттерсон В.: Первоначальные ожидания пациента и врача о возвращении к работе после острого начала связанной с работой боли в пояснице.J Occup Environ Med. 2006, 48: 1173-1180. 10.1097 / 01.jom.0000243401.22301.5e.
Артикул
PubMed
Google Scholar
41.
Staud R, Robinson ME, Price DD: Временное суммирование второй боли и ее поддержание полезно для характеристики широко распространенной центральной сенсибилизации пациентов с фибромиалгией. J Pain. 2007, 8: 893-901. 10.1016 / j.jpain.2007.06.006.
Артикул
PubMed
PubMed Central
Google Scholar
42.
Nie H, Arendt-Nielsen L, Madeleine P, Graven-Nielsen T: Усиленное временное суммирование боли от давления в трапециевидной мышце после отсроченной мышечной болезненности. Exp Brain Res. 2006, 170: 182-190. 10.1007 / s00221-005-0196-6.
Артикул
PubMed
Google Scholar
43.
Прайс Д.Д., Стауд Р., Робинсон М.Э., Маудерли А.П., Кэннон Р., Вирк К.Дж.: Усиленное временное суммирование второй боли и ее центральная модуляция у пациентов с фибромиалгией.Боль. 2002, 99: 49-59. 10.1016 / S0304-3959 (02) 00053-2.
Артикул
PubMed
Google Scholar
44.
Staud R, Vierck CJ, Cannon RL, Mauderli AP, Price DD: Аномальная сенсибилизация и временное суммирование второй боли (возбуждения) у пациентов с синдромом фибромиалгии. Боль. 2001, 91: 165-175. 10.1016 / S0304-3959 (00) 00432-2.
Джордж С.З., Даннекер Э.А., Робинсон М.Э .: Страх боли, а не катастрофической боли, предсказывает интенсивность острой боли, но ни один из факторов не предсказывает толерантность или реактивность артериального давления: экспериментальное исследование на лицах, не страдающих от боли.Eur J Pain. 2005
Google Scholar
51.
Осман А., Барриос FX, Гутьеррес П.М., Коппер Б.А., Меррифилд Т., Гриттманн Л.: Шкала катастрофической боли: дальнейшая психометрическая оценка с использованием образцов взрослых. J Behav Med. 2000, 23: 351-365. 10.1023 / А: 1005548801037.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
52.
Осман А., Брейтенштейн Дж. Л., Барриос FX, Гутьеррес П.М., Коппер Б.А.: Опросник страха боли-III: дальнейшая надежность и валидность с доклиническими образцами.J Behav Med. 2002, 25: 155-173. 10.1023 / А: 1014884704974.
Артикул
PubMed
Google Scholar
53.
Шмидт NB, Кук JH: Влияние тревожной чувствительности на тревогу и боль во время воздействия холодного пресса у пациентов с паническим расстройством. Behav Res Ther. 1999, 37: 313-323. 10.1016 / S0005-7967 (98) 00139-9.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
54.
Осман А., Барриос Ф. С., Гутьеррес П. М., Коппер Б. А., Меррифилд Т., Гритманн Л.: Шкала катастрофической боли: дальнейшая психометрическая оценка с использованием образцов взрослых. J Behav Med. 2000, 23: 351-365. 10.1023 / А: 1005548801037.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
55.
Осман А., Барриос FX, Коппер Б.А., Хауптманн В., Джонс Дж., О'Нил Е. Факторная структура, надежность и валидность шкалы катастрофической боли. J Behav Med.1997, 20: 589-605. 10.1023 / А: 1025570508954.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
56.
Van Damme S, Crombez G, Bijttebier P, Goubert L, Van Houdenhove B: подтверждающий факторный анализ шкалы катастрофизации боли: структура инвариантных факторов в клинических и неклинических популяциях. Боль. 2002, 96: 319-324. 10.1016 / S0304-3959 (01) 00463-8.
Осман А., Брайтенштейн Дж. Л., Барриос FX, Гутьеррес П. М., Коппер Б. А.: Опросник страха боли-III: дальнейшая надежность и валидность с доклиническими образцами. J Behav Med.2002, 25: 155-173. 10.1023 / А: 1014884704974.
Tamiya N, Araki S, Ohi G, Inagaki K, Urano N, Hirano W. Оценка боли, депрессии и тревоги по визуальной аналоговой шкале у японских женщин с ревматоидным артритом.Scand J Caring Sci. 2002, 16: 137-141. 10.1046 / j.1471-6712.2002.00067.x.
Артикул
PubMed
Google Scholar
63.
Бокер А., Браунелл Л., Донен Н.: Амстердамская предоперационная шкала тревожности и информации обеспечивает простой и надежный способ измерения предоперационной тревожности. Может Дж. Анаэст. 2002, 49: 792-798.
Артикул
PubMed
Google Scholar
64.
Миллар К., Джеличич М., Бонке Б., Эсбери А.Дж .: Оценка предоперационной тревожности: сравнение показателей у пациентов, ожидающих операции по поводу рака груди.Br J Anaesth. 1995, 74: 180-183. 10.1093 / bja / 74.2.180.
CAS
Статья
PubMed
Google Scholar
65.
Дэйви Х.М., Барратт А.Л., Бутоу П.Н., Дикс Дж.Дж .: Вопрос из одного пункта с помощью шкалы Лайкерта или визуальной аналоговой шкалы, адекватно измеряющей текущую тревогу. J Clin Epidemiol. 2007, 60: 356-360. 10.1016 / j.jclinepi.2006.07.015.
Артикул
PubMed
Google Scholar
66.
Rygh LJ, Svendsen F, Fiska A, Haugan F, Hole K, Tjolsen A: Долгосрочное усиление ноцицептивной системы позвоночника - как острая боль может стать хронической. Психонейроэндокринология. 2005, 30: 959-964. 10.1016 / j.psyneuen.2005.04.007.
Linde K, Witt CM, Streng A, Weidenhammer W., Wagenpfeil S, Brinkhaus B: влияние ожиданий пациентов на результаты в четырех рандомизированных контролируемых испытаниях иглоукалывания у пациентов с хронической болью.Боль. 2007, 128: 264-271. 10.1016 / j.pain.2006.12.006.
Артикул
PubMed
Google Scholar
Сила ожидания
Я хочу поделиться истиной, которая была впервые открыта мне моей матерью, когда я был ребенком, а затем подтверждена моим собственным жизненным опытом:
«То, чего вы ожидаете, имеет феноменальную власть над качеством и ходом вашей жизни».
Ваши ожидания в отношении ваших отношений, работы, финансов и любой другой области жизни почти всегда либо положительные, либо отрицательные; они редко бывают нейтральными.
Хорошие и позитивные ожидания вызывают волнение, оптимистическое ожидание, воодушевление и надежду. Фактически, отсутствие хороших ожиданий - это определение безнадежности. Негативные ожидания, такие как «Я не буду нравиться людям», «Это будет один из тех плохих дней», «Мои дети ждут неудачи» или «Я никогда не выберусь из долгов», часто приводят к разочарованию. несчастье и неправильный выбор.
Конечно, в реальной жизни случаются плохие вещи. Никто не застрахован от разочарований, отказов и порой плохих новостей, но если вы ожидаете, что эти темы станут постоянной частью вашей жизни, я могу гарантировать, что они будут.Однако, если вы решите сохранять позитивное и позитивное отношение к делу, несмотря на проблемы и трудности, с которыми вы сталкиваетесь, вы, естественно, будете искать то, чего ожидаете, и постоянно будете это находить!
По крайней мере, тренировка ума ожидать хорошего в своей жизни поможет избавиться от мыслей и чувств бессилия и безнадежности и откроет дверь к большему миру и удовлетворению.
Я лично считаю, что сила хороших ожиданий исходит из двух ключевых источников: (1) естественная способность вашего мозга направлять ваши мысли, чувства и действия к желаемым или ожидаемым результатам и (2) контроль, который вы должны выбирать для принятия новых здоровых решений. в отношении того, как вы думаете, действуете и воспринимаете.(Возможно, вы не сможете выбрать, что приходит вам в голову, но вы можете выбрать, какие мысли оставить!)
В ходе своего сегодняшнего дня и каждый день наполняйте свой разум хорошими и позитивными ожиданиями, а затем следите за доказательствами их существования везде, куда бы вы ни пошли. Ниже приводится список утверждений, отражающих хорошие ожидания. Каждое утро выбирайте те, которые подходят для вашего дня, и репетируйте их. Затем периодически делайте паузы в течение дня, чтобы заметить чудесные изменения, которые сила хороших ожиданий вносит в вашу жизнь и отношения!
«Сегодня со мной случится что-то хорошее."
«Сегодня я буду проявлять честность, и ее ценность обогатит мою жизнь».
«Люди меня примут и будут уважать».
«Я могу контролировать свои финансы и обеспечивать себя и свою семью».
«Сегодня я успешно встречу и преодолею свои трудности».
«Я увижу замечательный потенциал и успехи в жизни моих детей».
«Сегодня я создам работу, которая принесет мне удовлетворение и цель."
«Мои отношения будут крепкими и приносящими удовлетворение».
«Сегодня я буду лучшим мужем / женой, партнером или другом, каким только могу».
«Я с нетерпением жду новых захватывающих возможностей, открывающихся передо мной».
«Сегодня я изменю свой мир и жизнь окружающих меня людей».
Выбирайте ожидание самого лучшего, и вы начнете видеть, как в вашей жизни происходят хорошие вещи!
Живи, работай и хорошо общайся!
Доктор.Тодд
Правил убеждения - Правило ожиданий -
Глава 10
Обзор
Если я приму тебя таким, какой ты есть, я сделаю тебе хуже; однако, если я отношусь к вам так, как если бы вы были тем, кем вы способны стать, я помогу вам стать этим.
ИОГАНН ВОЛЬФГАНГ ФОН ГЕТЕ
Правило ожиданий использует ожидания, чтобы влиять на реальность и создавать результаты. Люди склонны принимать решения на основе того, как другие ожидают от них действий.В результате люди оправдывают эти ожидания, будь то положительные или отрицательные. Ожидания оказывают сильное влияние на тех, кому мы доверяем и уважаем, но, что интересно, еще большее влияние на совершенно незнакомых людей. Когда мы знаем, что кто-то чего-то от нас ждет, мы постараемся удовлетворить его или ее, чтобы завоевать уважение и симпатию.
Вы, наверное, слышали поговорку: «Что измерить, то делается». То же самое и с ожиданиями. То, что ожидается, происходит на самом деле. Люди встают, чтобы оправдать ваши ожидания от них.Это мощная сила, которая может привести к улучшению или разрушению человека. Вы можете выразить ожидание сомнения, неуверенность и скептицизм, и вы увидите результаты. Если вы верите в кого-то, проявляете к нему доверие и ожидаете от него успеха, вы увидите разные результаты. Автор Джон Х. Сполдинг выразил эту мысль следующим образом: «Те, кто верят в наши способности, делают больше, чем просто стимулируют нас. Они создают для нас атмосферу, в которой становится легче добиться успеха» [1]. Когда вы создаете ожидания, вы меняете людей. поведение.Всякий раз, когда вы навешиваете ярлык на конкретное поведение или характеристики, ожидается действие. Когда эти ожидания не оправдываются, вы можете увидеть гнев, отвращение, удивление или неудовлетворенность.
Мы сообщаем о наших ожиданиях разными способами. Это может быть через наш язык, интонации голоса или язык тела. Вспомните время, когда вас кого-то представили. Обычно, если они представляются по имени, вы делаете то же самое. Если они назовут свое имя и фамилию, вы сделаете то же самое.Осознаёте вы это или нет, но вы принимаете сигналы от других относительно их ожиданий и действуете соответственно. Точно так же мы все бессознательно посылаем собственные сигналы и ожидания. Сила в том, чтобы сознательно использовать правило ожиданий!
Многочисленные исследования показали, как правило ожиданий сильно влияет на работу людей. Например, в одном исследовании девочки, которым сказали, что они плохо справятся с тестом по математике, действительно плохо справились. В другом случае рабочие конвейера, которым сказали, что их работа сложна, выполняли ту же задачу менее эффективно, чем те, кому сказали, что она простая.Другое тематическое исследование продемонстрировало, что взрослые, которым давали сложные лабиринты, решали их быстрее, когда им говорили, что они основаны на уровне сложности начальной школы.
Добавляя Правило ожиданий к своему репертуару убеждения, вы можете изменить ожидания аудитории от вас и их ожидания покупки вашего продукта, услуги или идеи, и вы будете бесконечно более убедительны.
Большинство из нас слышали об известных экспериментах Павлова с собаками. Иван Павлов, физиолог, лауреат Нобелевской премии, обучал собак выделять слюну при звуке зуммера.Обучение было эффективным, потому что собаки научились ожидать еды, когда слышали сигнал «Правило ожиданий». Собаки вели себя определенным образом, потому что действовало правило ожиданий. Шокирующе напоминающее эксперименты Павлова, «Правило ожиданий» с тех пор используется в рекламе, чтобы вызвать у людей слюноотделение при просмотре рекламы или размышлениях о продуктах определенной марки.
[1] Джон Максвелл и Джим Дорнан, Стать влиятельным лицом (Нэшвилл: издательство Томаса Нельсона), стр.64.
Ожидания как предположения: ожидайте с уверенностью
Часто наши ожидания основаны на предположениях, которые мы имеем о людях или группах людей. То же самое и с нами. Вы когда-нибудь замечали, как ваши ожидания становятся реальностью в вашей личной жизни? Ожидание - это буквально сбывающееся пророчество. Мы делаем это сознательно и подсознательно. Помните ребенка в начальной школе, который всегда был очень шумным и непослушным? Иногда, если люди уже предполагают, что их воспринимают определенным образом, тогда они действительно будут действовать именно так, даже если они не собираются этого делать.Буйный ребенок в начальной школе знал, что все воспринимают его как нарушителя, и так оно и было. Учитель ожидал плохого поведения, и ожидания оправдались.
Подумайте, какое глубокое влияние это может оказать на вашу жизнь. Являются ли ваши предположения и ожидания о себе освобождающими или виктимизирующими? Есть бесчисленное количество примеров «самореализующихся пророчеств» или правила ожидания в действии в повседневной жизни. Вы когда-нибудь замечали, как люди, которые думают, что их собираются уволить, внезапно испытывают падение качества и энтузиазма в отношении своей работы? Что тогда происходит? Их увольняют! Их вера заставляет их действовать определенным образом, и эти ожидания затем работают, чтобы привести к тому, что поначалу было всего лишь плодом их воображения.
В другом исследовании второклассники слушали высказывания своих учителей перед прохождением теста по математике. Было три типа утверждений: ожидание, убеждение или подкрепление. Формулировки ожидания были примерно такими: «Ты действительно хорошо знаешь свою математику!» или «Вы очень усердно работаете над своей математикой». Утверждения убеждения включают предложения вроде: «Вы должны хорошо разбираться в математике». или «Вы должны получать более высокие оценки по математике». Наконец, в качестве подкрепления учителя говорили что-то вроде: «Я очень рад вашим успехам» или «Это отличная работа!» Как вы думаете, каковы были результаты? Результаты были самыми высокими в категории «ожидание»! Почему заявления об ожиданиях оказались наиболее эффективными? Они создали личные предположения внутри каждого студента.Эти предположения обусловили фактические внешние результаты. [2]
[2] Р. Л. Миллер, П. Брикман и Д. Болен, «Приписывание против убеждения как средство изменения поведения», Journal of Personality and Social Psychology 3: 430441.
Ожидания других влияют на поведение
Ожидания, которые мы создаем для других, часто становятся реальностью. Это может иметь интересные эффекты при применении в реальном мире. В этом разделе содержится несколько примеров того, как ожидания изменили жизнь и убедили других людей.
Учителя
Под эгидой ожиданий учителя могут быть самым большим активом или самым негативным влиянием в жизни ребенка. Мы знаем, что происходит, когда учитель называет ученика «нарушителем спокойствия», потому что это создает определенные ожидания в отношении действий ученика. Мы видели, как ярлыки «медленный ученик», «глупый» и «ДОБАВИТЬ» становятся прогнозами будущих академических успехов студента. Есть история о замещающем учителе, который пришел в класс и нашел записку от обычного учителя, в которой один из ее учеников назвал нарушителя спокойствия, а другого - полезным.Замещающий учитель начал класс искать этих двух учеников. Когда она их нашла, она относилась к ним соответствующим образом. Однако, когда учительница вернулась, она была поражена, когда обнаружила, что заменитель чувствовал, что смутьян был полезен, а помощник - неприятностями. Она их перепутала! Поведение детей основывалось на ожиданиях заместителя. Это часто называют социальной маркировкой. Люди склонны жить в соответствии с положительными или отрицательными ярлыками, которые им навешивают [3].
У всех нас были учителя, которые возлагали на нас большие надежды и вывели нас на новый уровень.Вы можете себе представить, насколько мощным это становится? Представьте себе первый день занятий, когда учитель оглядывает комнату на своих учеников. Что, если есть студент, который является сыном выдающегося азиатского профессора, другой, который является братом бывшего студента, который был классным клоуном, и тот, кто сильно пронзен и одет во все черное? Как вы думаете, какими будут ее предположения и ожидания? Ее ожидания, вероятно, оправдались бы, даже если бы она даже не поговорила со студентами.
Один интересный эксперимент показал, как ожидания учителей повлияли на учеников.Были отобраны два учителя Head Start, которые были максимально равны по потенциалу и практике. Затем были сформированы два класса из учеников, которые были тщательно протестированы, чтобы убедиться, что они были как можно более похожими по происхождению и возможностям обучения. Затем директор поговорил с каждым учителем наедине. Он сказал первой учительнице, как ей повезло. «В этом году у вас класс учеников с высоким потенциалом! Только не стойте им на пути. Они гонщики и готовы бежать». Второму учителю сказали: «Мне очень жаль ваших учеников в этом году.Но вы не можете рассчитывать на лучших студентов каждый год. Просто делай все, что можешь. Мы будем понимать, независимо от результатов ». В конце года два класса были снова проверены. Первый класс набрал значительно больше очков, чем второй. [4] Основным отличительным фактором, по-видимому, были ожидания каждого учителя.
День Грабби
Во многих школах есть «дни переодевания», когда, например, ученики могут наряжаться на Хэллоуин, День духа, День пижамы или День пятидесятых. В одной средней школе у них был «День грязи».«Как вы понимаете, в этот день поведение студентов было менее чем выдающимся. Администрация получила больше жалоб на поведение студентов в этот день, чем в любой другой. Дресс-код основывался на определенных предположениях, которые в дальнейшем порождали определенные ожидания. Тогда, конечно, ожидания оправдались из-за плохого поведения.
Сорить
Мы знаем, что дети обычно кладут мусор прямо на пол. В одной начальной школе ученикам раздавали конфеты в индивидуальной упаковке.Конечно, большая часть оберток оказалась на полу, а не в мусорном баке. В течение следующих двух недель учитель часто комментировал, насколько опрятны и опрятны дети. Во время посещения класса директор заметил детям, что их класс был одним из самых опрятных и чистых в школе. Даже смотритель написал на доске записку, рассказывая детям, насколько чистым и аккуратным был их класс. По прошествии двух недель детям снова раздали конфеты в индивидуальной упаковке.На этот раз большая часть оберток оказалась в мусорном ведре. [5]
Родительское ожидание
Одна вещь, которую вы замечаете в отношении малышей и маленьких детей, - это то, что они ведут себя в соответствии с ожиданиями своих родителей. Когда я был одинок, я заметил, что, когда дети падали или ударялись головой во время бега и игры, они смотрели на своих родителей, чтобы знать, как реагировать. Если родители проявляли большую озабоченность и боль в глазах, дети начинали плакать, пытаясь привлечь внимание, которого они хотели.Это могло произойти независимо от того, действительно ли ребенок чувствовал боль или нет.
Одна из техник, которые мы с женой испробовали, будучи молодыми родителями, была полной противоположностью этого подхода. Мы изменили ожидания, и это отлично сработало! Когда наши дети ударяются головой или получают небольшую царапину, они смотрят на нас, и мы все смеемся. Удивительно, что они тоже начинают смеяться. Они понимают, что в этом нет ничего страшного, и уходят, чтобы возобновить свою деятельность, часто смеясь вместе с нами. Дети действуют, исходя из ожиданий родителей.Вы создаете ожидания своим голосом, своими действиями и словами, которые вы используете.
Исследования показывают, что дети оправдывают ожидания своих родителей, независимо от того, положительные они или отрицательные. По словам Билла Гласса, более 90 процентов заключенных сказали родителями, когда они росли: «Они собираются посадить вас в тюрьму». [6]
Кровавый драйв
Когда организаторы кровопролития звонят с напоминанием, они могут закончить разговор чем-то вроде: «Увидимся завтра в 10:00.м. Тогда, хорошо? ", а затем дождитесь, пока человек ответит на это. Почему они это делают? Исследования показали, что, когда вы создаете ожидания, посещаемость резко возрастает.
Заявки на продажу
Сила внушения также может быть чрезвычайно эффективной, когда вы задействуете эмоции в своей тактике. Например, когда ваш продавец автомобилей говорит: «Вам действительно понравится, как эта машина ведет себя в горах», он смещает акцент с продажи и создает захватывающий образ в вашей голове.Он также говорит так, как будто вы уже согласились на продажу, потому что вы бы не ездили на нем в горах, если бы вы не собирались его покупать. Он ведет себя так, как будто дело сделано, и правда в том, что чем больше он это делает, тем больше!
Мне нравится видеть, как коммивояжеры используют этот закон в своих интересах. Они подходят к двери, звонят в колокольчик и с широкой улыбкой рассказывают потенциальному клиенту, что у них есть отличная презентация, которую человек должен увидеть. Конечно, они применяют эту стратегию, когда вытирают ноги о коврик человека, ожидая, что их впустят в дом.Вы были бы удивлены, насколько часто эта техника действительно работает. Вы видите, как продавец передает потенциальному покупателю ручку в ожидании подписания контракта. Вы когда-нибудь чувствовали себя плохо, покидая магазин, или в ситуации, когда вы что-то не купили? Магазин создал ожидание, что вы совершите покупку.
[3] Р. Э. Краут, «Влияние социальных ярлыков на благотворительность», Journal of Experimental Social Psychology 9: 551562.
[4] Кеннет Эриксон, Сила хвалы (св.Луи: издательство Concordia), стр. 56.
[5] Миллер, Брикман и Болен, «Атрибуция против убеждения».
[6] Максвелл и Дорнан, Стать влиятельной личностью, с. 63.
[17] Уорчел, Арнольд и Бейкер, «Влияние цензуры на изменение отношения».
Предположение: предположение о продаже
Используя ожидания, мы можем вызвать немедленные реакции на стимулы, чтобы субъекту даже не приходилось думать, что он просто выполняет действие. Скидки, распродажи, прекращение продаж и купоны используются для привлечения посетителей в магазины.Потребители предполагают, что они получат сниженную закупочную цену, предъявив купон или выбрав «продажу для прекращения бизнеса». Одна шинная компания допустила ошибку при печати своего купона, и опечатанный купон не дал получателям никакой экономии. Однако этот купон вызвал столько же откликов клиентов, сколько и купон без ошибок. [7]
Пресуппозиция часто используется с использованием слов и формулировок, которые указывают на ваше предположение, что ваше предложение уже принято. Это метод, который используется как сознательно, так и подсознательно.Рассмотрим следующие примеры (предположение выражено в скобках):
"Когда вы хотите отправить свой диван?" (Вы хотите диван.)
"Мне позвонить вам во вторник или в среду?" (Вы хотите снова поговорить.)
«Ваше первое занятие начнется в следующий понедельник». (Вы записываетесь на занятия.)
Вы будете удивлены, как часто люди просто соглашаются с вашим предложением! Они даже не останавливаются и не думают о своем ответе, потому что теперь они уже завершают сделку в уме!
Другой способ использовать пресуппозицию - это изложить ее в письменной форме.Люди всегда думают, что если что-то написано, значит, это правда. Мы часто соглашаемся с чем-то, не подвергая сомнению это, просто потому, что это то, что сказано в инструкции. Например, особый трюк с «скрытой камерой» включал в себя знак остановки, установленный на тротуаре, несмотря на то, что не было причин останавливаться на достигнутом. Знак находился в странном месте, и опасности встречного движения не было, но все послушно останавливались и ждали у знака только потому, что он сказал это сделать! В другом случае вывеска с надписью «Делавэр закрыт» на самом деле заставляла людей спрашивать, как долго Делавэр будет закрыт! [8]
[7] Роберт Чалдини, Психология влияния (Нью-Йорк: Quill), с.7.
Одна из форм, которые могут принимать ожидания, - это форма плацебо. Плацебо - это немедикаментозное вещество, которое назначают пациентам, чтобы они считали, что принимают лекарства. Плацебо использовались во время Корейской войны, когда в подразделениях MASH закончился морфин. Когда медицинские работники давали раненым солдатам плацебо, 25 процентов солдат сообщили об уменьшении боли.Плацебо работает, потому что ожидание того, что «лекарство» поможет, настолько велико, что наш мозг фактически воплощает его в жизнь. В некоторых исследованиях плацебо работало от 25 до 40 процентов времени! [9]
Наши ожидания могут не только сделать нас здоровыми, но и сделать нас больными. Вы можете подумать: «Я чувствую, что приближается грипп», и вы, вероятно, заразитесь им. Или если один из ваших коллег говорит: «Ты ужасно выглядишь. Ты что-то сбиваешь?» вы, вероятно, будете. Ожидания также были связаны с наступлением и временем смерти.Большинство пожилых людей рассматривают дома престарелых как конец очереди, последний шаг в жизни. После помещения в дом престарелых уровень смертности как для мужчин, так и для женщин удваивается по сравнению с людьми того же возраста и здоровья, которые все еще живут в своих собственных домах.
Нацистские концлагеря питались психологическим ожиданием смерти. Охранники внушали заключенным безысходность. Они создали психологическую среду, в которой заключенные перестали рассчитывать на выживание. Заключенные демонстрировали бессилие, неспособность справиться с ситуацией и снижение воли к жизни, в каком-то смысле они были вынесены сами себе за смертный приговор.
Один удивительный пример эффекта плацебо произошел в Израиле в 1991 году. Граждане Израиля были замечены в противогазах во время взрывов бомб. Вскоре после этого из больниц поступили сообщения о десятках людей, жалующихся на симптомы от оружия, которое никогда не применялось. Противогазы были просто формой защиты в случае химической или биологической войны, но просто увидеть, как другие носят их, люди заболевают!
Я даже применил эффект плацебо на своей дочери. Иногда у нее проблемы со сном по ночам, и ей нужно немного подтолкнуть ее.Я говорю ей, что у меня есть специальная таблетка (витамин), которая поможет ей уснуть через пять минут. Безусловно, она спокойно спит еще до истечения пяти минут.
В современном мире мы ограничены временем. В этом случае у нас есть определенные ожидания относительно того, как работает время и сколько времени нам потребуется, чтобы что-то достичь. Часто время искажается из-за нашего восприятия и ожиданий.Почему одни дни проходят быстрее, чем другие? И почему мы завершаем проекты за минуту до крайнего срока?
Закон Паркинсона гласит, что работа расширяется, чтобы заполнить имеющееся время. Таким образом, если у проекта есть трехмесячный срок, на его завершение уйдет три месяца. Если тот же самый проект будет рассчитан на шесть месяцев, он все равно займет полные шесть месяцев. Это может показаться странным, но закон имеет значение, потому что время, отведенное на завершение, определяет наши ожидания.На самом деле именно наши ожидания влияют на то, как мы будем работать над проектом и, следовательно, на то, когда он будет завершен. Вы когда-нибудь замечали, как происходит внезапный всплеск активности прямо перед наступлением крайнего срока? Все мы склонны откладывать дела на потом, дожидаясь крайнего срока, чтобы сделать большую часть работы. Вот почему часто бывает эффективно устанавливать несколько сроков для крупных проектов. Кажется, что проекты без дедлайнов никогда не будут реализованы, какими бы благими ни были намерения.
Репутация Ожидания
Самый эффективный психологический инструмент для того, чтобы заставить кого-то довести дело до конца, - это дать ему понять, что, по вашему мнению, он относится к тому типу людей, которые последуют за вами.Использование таких фраз, как «Вы из тех людей, которые…» или «Ты всегда впечатлял меня своей способностью…» или «Мне всегда нравилось, что ты ...» задействовать мощное психологическое Правило внутренней согласованности. Уинстон Черчилль, один из величайших мастеров общения с людьми, сказал: «Я обнаружил, что лучший способ заставить другого обрести добродетель - это приписать ее ему».
Когда люди знают о хорошем или плохом мнении других людей о них, они обычно согласны с этим мнением.Вот почему мы играем отведенные нам роли. Если мы получаем похвалу, мы хотим быть достойными этой похвалы. Там был полицейский, который, казалось, всегда мог заставить даже самых серьезных преступников раскрыться и рассказать ему все. Его техника заключалась в том, чтобы сказать преступнику: «Я знаю, что у тебя репутация крутого парня, у которого было много неприятностей, но все говорят мне, что единственное, что выделяется в тебе, - это то, что ты никогда не лжешь. Мне говорят, что что бы вы ни говорили, это всегда правда, несмотря ни на что.«
Честно оценивайте, что, по вашему мнению, вы вызываете у других, когда они рядом с вами. Вы заставляете их чувствовать себя маленькими и незначительными или вдохновляете их на большее? Ваши действия по отношению к другим скажут им, что вы чувствуете или думаете о них. Немецкий писатель и поэт Иоганн Вольфганг фон Гете однажды сказал: «Относитесь к человеку таким, каким он кажется, и вы сделаете ему хуже. Но относитесь к человеку так, как если бы он уже был тем, кем он потенциально мог бы быть, и вы делаете его таким, каким он должен быть. . "
Ожидания первого впечатления
Вы когда-нибудь замечали, как люди, которых вы считаете придурками, оказываются именно такими? И если есть кто-то, кого вы особенно рады встретить, то вы встречаетесь с ней, и она кажется великолепной! Часто наши предположения и ожидания в отношении кого-то, с кем мы собираемся встретиться впервые, действуют точно так, как мы уже мысленно их себе представляли.Еще раз, даже при первой встрече с кем-то вы будете посылать подсознательные сообщения о том, как они должны реагировать и вести себя.
В конкретном исследовании была собрана группа старшеклассников, чтобы послушать речь о том, как следует повысить минимальный возраст для вождения. Половине студентов было сказано сосредоточиться на манере речи говорящего, в то время как остальных предупредили, что говорящий считает подростков ужасными водителями. Через две недели после презентации студентов попросили заполнить анкету.В целом первая группа оценила оратора положительно и даже склонилась в пользу заявленной им позиции. Вторая группа оценила оратора как враждебно настроенного и, похоже, полностью проигнорировала его сообщение. Из-за возложенных на них ожиданий вторая группа студентов уже заняла оборонительную позицию еще до начала выступления, не оставляя места для убеждения.
Встроенные команды
Встроенная команда - это метод, используемый для связи с сознательным разумом, а также отправки сообщения в подсознание.Идея состоит в том, чтобы на самом деле обойти сознательный разум и напрямую общаться с подсознанием. Встроенные команды обычно используются в маркетинге и рекламе. Встроенные команды - это скрытые предложения в письменной или устной речи. Сознательный разум не знает об их существовании. Встроенные команды создают ожидания, не вызывая внутреннего сопротивления. Например, у Pepsi был девиз «Have a Pepsi Day». Встроенная команда была «Выпей пепси».
Самые эффективные встроенные команды - короткие и лаконичные; они не должны быть длиннее двух-четырех слов.Эти команды намного проще использовать в убедительном письме, потому что вы можете визуально выделить команду. Используя эту технику, сначала определите, что именно вы пытаетесь сказать своей аудитории. Затем создайте предложения, в которых встроенные слова и фразы будут логически и контекстно соответствовать. Наконец, выделите встроенные команды визуально: выделите курсивом, полужирным шрифтом, подчеркните, выделите или используйте другой цвет.
Встроенные команды также являются мощным инструментом при разговоре.У некоторых фраз есть особые формы команд, которые следуют правилу «от двух до четырех слов». Фразы могут включать словесные ассоциации, утверждения о причине и следствии, предположения, вопросы, скрытые предположения или аналогии. По сути, мы ищем фразы, которые нам бросаются в глаза. Рассмотрим следующие примеры:
Станьте богатым
Купите сейчас
Используйте этот материал
Как хорошо
Произойдет
Прочтите каждое слово
Почувствуйте себя хорошо
Следуй за мной
Действуй сейчас
Измени свою жизнь
Станьте по-настоящему заинтересованными
Вы поймете
Используйте этот процесс
Учитесь быстро
Наслаждайтесь жизнью
Используйте этот навык
Узнайте, как
Повысьте результаты
1 911 показать, что встроенные команды могут действительно изменить наше отношение или убеждения, даже если мы совершенно не осознаем, что это произошло.[10] Таким образом, встроенные команды эффективны: у сознательного разума нет возможности анализировать или оценивать материал. Затем мы можем создавать ожидания поведенческих изменений с помощью встроенных команд, а также прямых и косвенных предложений. Подсознание создаст внутреннюю реальность, соответствующую командам. [11]
Многим не нравится идея постановки целей; на самом деле, простое упоминание слов заставляет их съеживаться. Однако нет никаких сомнений в том, что постановка целей работает. Проблема в том, что большинство людей делают это неправильно. Я не собираюсь тратить время на разговоры о многих аспектах постановки целей. Суть в том, что постановка целей работает и является важным аспектом правила ожидания. Если вы можете помочь другим в достижении целей, это повысит их ожидания в отношении самих себя.Визуализация себя в достижении своих целей также делает достижение этих целей более ощутимым.
Цели должны обладать способностью расширять и вдохновлять, и они должны быть реалистичными в сознании человека, которого убеждают. Исследования показывают, что цели определяют будущие результаты. Осознанные цели влияют на нашу общую производительность. В одном исследовании была большая разница в производительности между просьбой кого-то сделать все, что в их силах, и помощью в постановке целей или стандартов их работы.[12]
Существует общее эмпирическое правило, что большие или более сложные цели на самом деле повышают производительность. Причина этого в том, что высокие цели устанавливают более высокие ожидания, и, как уже говорилось, ожидания сильно влияют на поведение. На производственном предприятии малоопытных рабочих разделили на две группы. Одной группе было сказано просто понаблюдать за опытными работниками и попытаться самостоятельно достичь высокого уровня квалификации в течение двенадцати недель. Вторая группа получила конкретные еженедельные цели, которые становились все более и более требовательными.Излишне говорить, что у второй группы дела шли намного лучше. [13]
[12] С. А. Мейс, Стимулы: некоторые экспериментальные исследования (Лондон: Совет по исследованиям в области промышленного здравоохранения, отчет № 72, 1935 г.).
[13] Мортимер Р. Файнберг, Эффективная психология для менеджеров (Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл).
Окружающая среда
Ваше окружение и ожидания от него должны быть убедительными. В теории, которую они называют теорией разбитого окна, криминологи Джеймс Уилсон и Джордж Келлинг предполагают, что здание, полное разбитых окон, заставит людей предположить, что никому нет дела до здания или его внешнего вида.Это, в свою очередь, приведет к еще большему вандализму. Другими словами, состояние окружающей среды дает предположения, которые заставляют людей придерживаться определенных предположений, а затем люди действуют в соответствии с этими предположениями. Разбитое окно способствует еще большему вандализму и преступности. [14]
В своей книге «Переломный момент» Малкольм Гладуэлл использует пример теории разбитого окна, когда объясняет очистку метро Нью-Йорка. Система метро остро нуждалась в восстановлении многомиллиардного проекта. Поскольку система вот-вот рухнет, внимание по понятным причинам было сосредоточено на таких вопросах, как снижение преступности и повышение надежности метро.Как консультант, нанятый Управлением транзита Нью-Йорка, Джордж Келлинг призвал чиновников использовать его теорию разбитого окна. Нанятый убирать в метро, Дэвид Ганн немедленно поручил людям убирать все граффити. Удаление граффити казалось таким незначительным по сравнению со всем остальным, о чем нужно было беспокоиться, но Ганн был настойчив. По его собственным словам:
Граффити символизировало крах системы. Когда вы смотрели на процесс восстановления организации и морального духа, вам нужно было выиграть битву с граффити.Без победы в этой битве все реформы управления и физические изменения просто не произойдут. Мы собирались запустить новые поезда, которые стоили около десяти миллионов долларов за штуку, и, если мы не сделаем что-нибудь для их защиты, мы точно знали, что произойдет. Они продлятся один день, а затем подвергнутся вандализму. [15]
Ганн установил конкретные цели, расписания и даже станции уборки. Если какой-либо поезд возвращался с граффити, его нужно было немедленно очистить, прежде чем он снова мог уйти.Для вандалов, которые проводили ночи, работая в предрассветные утренние часы, рисуя свои фрески, это стало сильным сигналом. Увидев их уже нарисованные шедевры в лучах утреннего света, они поняли, что зря теряют время. Вся кампания по борьбе с граффити заняла годы, но, в конце концов, количество граффити утихло.
Надежда и ожидания, которые вы можете создать в своей среде убеждения, будут определять вашу способность убеждать. Один эксперимент проводился по влиянию света.Подопытных крыс поместили в сосуды с водой, чтобы посмотреть, как долго они будут продолжать пытаться плавать, прежде чем сдаться. Некоторые кувшины были помещены в полную темноту, в то время как другие освещались светом. Результаты были впечатляющими! Крысы плавали в темноте около трех минут, прежде чем умереть. Крысы на свету плавали до тридцати шести часов, что в 700 раз дольше, чем крысы в темноте! [16]
В другом исследовании добровольцев попросили принять участие в эксперименте в тюрьмах.Половина добровольцев выдавали себя за тюремных работников, а другая половина - за сокамерников. Результаты были поразительными. Ранее испытанные на то, чтобы быть психологически здоровыми людьми, участники быстро становились все более и более враждебными, грубыми, мятежными и жестокими как заключенные, так и охранники! Один «заключенный» настолько впал в истерику и эмоционально переживал, что его пришлось освободить. Исследование должно было длиться две недели, но было отменено всего через шесть дней! [17]
[14] Джордж Келлинг и Кэтрин Коулз, Ремонт разбитых окон (Нью-Йорк: Пробный камень).
[15] Малкольм Гладуэлл, Переломный момент (Нью-Йорк: Литтл Браун), стр. 142.
[16] Максвелл и Дорнан, Стать влиятельной личностью, стр. 7172.
[17] С. Зимбардо, К. Бэнкс и К. Хейни, «Межличностная динамика в симулированной тюрьме», Международный журнал криминологии и пенологии (1973): 73.
Стимуляция и ведение
Еще одно применение правила ожидания - это концепция шага и опережения. Это часть НЛП или «нейролингвистического программирования»."Управление темпом включает в себя установление взаимопонимания и упрощение убедительного общения; ведение предполагает направление вашего потенциального клиента в соответствии с вашей точкой зрения. Темп и ведение позволят вам направить мысли человека так, чтобы они имели тенденцию двигаться в вашем направлении.
Когда вы шагаете, вы подтверждаете своих потенциальных клиентов вербально или невербально; то есть вы согласны или согласны со своими потенциальными клиентами. В результате они чувствуют себя комфортно и подходят вам. Темп влечет за собой использование утверждений, которые все принимают как истинные.Поступая так, вы устраняете разногласия и заставляете других соглашаться с тем, что вы говорите. Эта тема либо может быть доказана, либо общепринята как истинная.
Пример вопроса о стимуляции (очевидно, верный):
Большинство людей хотели бы быть финансово свободными и навсегда положить конец своим финансовым заботам.
После того, как вы установили взаимопонимание и гармонию со своим потенциальным клиентом, вы можете создать ожидание согласия. Вы должны иметь общее согласие, прежде чем сможете привести потенциального клиента к своей точке зрения.Затем вы начинаете использовать утверждения, с которыми вы хотите, чтобы ваш потенциальный клиент согласился, даже если он сознательно и / или публично не признал этого.
Пример наводящего вопроса (вы хотите, чтобы ваш потенциальный клиент принял):
Решением вашей финансовой проблемы является предоставление правильного обучения в нужное время нужным человеком.
Итак, чтобы выразить в двух словах о темпах и опережениях, утверждения о темпах, очевидно, верны, поэтому потенциальный клиент должен признать их достоверность.
Как написать дату рождения (Год, Месяц, День) римскими цифрами?
Главная
Справочник
Таблицы
Таблица: Как написать дату рождения (Год, Месяц, День) римскими цифрами?
Как правильно записать год рождения римскими цифрами?
Формат записи даты рождения ДЕНЬ.МЕСЯЦ.ГОД
Пример Если Вам посчастливилось родится 8 апреля 1991 года. То найдя нужные ячейки в ниже приведённых табличках, у Вас в итоге должна получится такая запись: VIII.IV.MCMXCI
Как правильно записать год рождения римскими цифрами?
Год (Арабскими цифрами)
Год (Римскими цифрами)
2030
MMXXX
2029
MMXXIX
2028
MMXXVIII
2027
MMXXVII
2026
MMXXVI
2025
MMXXV
2024
MMXXIV
2023
MMXXIII
2022
MMXXII
2021
MMXXI
2020
MMXX
2019
MMXIX
2018
MMXVIII
2017
MMXVII
2016
MMXVI
2015
MMXV
2014
MMXIV
2013
MMXIII
2012
MMXII
2011
MMXI
2010
MMX
2009
MMIX
2008
MMVIII
2007
MMVII
2006
MMVI
2005
MMV
2004
MMIV
2003
MMIII
2002
MMII
2001
MMI
2000
MM
1999
MCMXCIX
1998
MCMXCVIII
1997
MCMXCVII
1996
MCMXCVI
1995
MCMXCV
1994
MCMXCIV
1993
MCMXCIII
1992
MCMXCII
1991
MCMXCI
1990
MCMXC
1989
MCMLXXXIX
1988
MCMLXXXVIII
1987
MCMLXXXVII
1986
MCMLXXXVI
1985
MCMLXXXV
1984
MCMLXXXIV
1983
MCMLXXXIII
1982
MCMLXXXII
1981
MCMLXXXI
1980
MCMLXXX
1979
MCMLXXIX
1978
MCMLXXVIII
1977
MCMLXXVII
1976
MCMLXXVI
1975
MCMLXXV
1974
MCMLXXIV
1973
MCMLXXIII
1972
MCMLXXII
1971
MCMLXXI
1970
MCMLXX
1969
MCMLXIX
1968
MCMLXVIII
1967
MCMLXVII
1966
MCMLXVI
1965
MCMLXV
1964
MCMLXIV
1963
MCMLXIII
1962
MCMLXII
1961
MCMLXI
1960
MCMLX
1959
MCMLIX
1958
MCMLVIII
1957
MCMLVII
1956
MCMLVI
1955
MCMLV
1954
MCMLIV
1953
MCMLIII
1952
MCMLII
1951
MCMLI
1950
MCML
1949
MCMXLIX
1948
MCMXLVIII
1947
MCMXLVII
1946
MCMXLVI
1945
MCMXLV
1944
MCMXLIV
1943
MCMXLIII
1942
MCMXLII
1941
MCMXLI
1940
MCMXL
1939
MCMXXXIX
1938
MCMXXXVIII
1937
MCMXXXVII
1936
MCMXXXVI
1935
MCMXXXV
1934
MCMXXXIV
1933
MCMXXXIII
1932
MCMXXXII
1931
MCMXXXI
1930
MCMXXX
1929
MCMXXIX
1928
MCMXXVIII
1927
MCMXXVII
1926
MCMXXVI
1925
MCMXXV
1924
MCMXXIV
1923
MCMXXIII
1922
MCMXXII
1921
MCMXXI
1920
MCMXX
1919
MCMXIX
1918
MCMXVIII
1917
MCMXVII
1916
MCMXVI
1915
MCMXV
1914
MCMXIV
1913
MCMXIII
1912
MCMXII
1911
MCMXI
1910
MCMX
1909
MCMIX
1908
MCMVIII
1907
MCMVII
1906
MCMVI
1905
MCMV
1904
MCMIV
1903
MCMIII
1902
MCMII
1901
MCMI
1900
MCM
1899
MDCCCXCIX
1898
MDCCCXCVIII
1897
MDCCCXCVII
1896
MDCCCXCVI
1895
MDCCCXCV
1894
MDCCCXCIV
1893
MDCCCXCIII
1892
MDCCCXCII
1891
MDCCCXCI
1890
MDCCCXC
…
Порядковый номер месяца (Арабскими цифрами)
Номер месяца (Римскими цифрами)
1 (Январь)
I
2 (Февраль)
II
3 (Март)
III
4 (Апрель)
IV
5 (Май)
V
6 (Июнь)
VI
7 (Июль)
VII
8 (Август)
VIII
9 (Сентябрь)
IX
10 (Октябрь)
X
11 (Ноябрь)
XI
12 (Декабрь)
XII
День месяца (Арабскими цифрами)
День месяца (Римскими цифрами)
1
I
2
II
3
III
4
IV
5
V
6
VI
7
VII
8
VIII
9
IX
10
X
11
XI
12
XII
13
XIII
14
XIV
15
XV
16
XVI
17
XVII
18
XVIII
19
XIX
20
XX
21
XXI
22
XXII
23
XXIII
24
XXIV
25
XXV
26
XXVI
27
XXVII
28
XXVIII
29
XXIX
30
XXX
31
XXXI
В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Таблицы
Таблицы
87953
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
Функция РИМСКОЕ
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование римского языка
в Microsoft Excel.
Описание
Преобразует арабское число в римское в текстовом формате.
Синтаксис
РИМСКОЕ(число;[форма])
Аргументы функции РИМСКОЕ описаны ниже.
org/ListItem»>
Число Обязательный. Преобразуемое арабское число.
Формы Необязательный. Число, определяющий тип римских цифр. Римские числимые стили меняются от классического до упрощенного, что становится более кратким по мере увеличения значения формы. См. пример, следующий: ROMAN(499,0) ниже.
Форма
Тип
0 или опущен
Классический
1
Более краткий. См. пример ниже.
2
Более краткий. См. пример ниже.
3
Более краткий. См. пример ниже.
4
Упрощенный
ИСТИНА
Классический
ЛОЖЬ
Упрощенный
Замечания
org/ListItem»>
Если число отрицательное, #VALUE! возвращается значение ошибки.
Если число больше 3999, #VALUE! возвращается значение ошибки.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Формула
Описание (результат)
Результат
=РИМСКОЕ(499;0)
Классическая форма записи римскими цифрами числа 499 (CDXCIX)
CDXCIX
=РИМСКОЕ(499;1)
Более наглядный вариант написания числа 499 (LDVLIV)
LDVLIV
=РИМСКОЕ(499;2)
Более наглядный вариант написания числа 499 (XDIX)
XDIX
=РИМСКОЕ(499;3)
Более наглядный вариант написания числа 499 (VDIV)
VDIV
=РИМСКОЕ(499;4)
Упрощенный вариант написания числа 499 (ID)
ID
Конвертер даты римскими и арабскими цифрами | SEO
Конвертер даты римскими и арабскими цифрами
Чтобы использовать преобразователь даты римских цифр, выберите день, месяц, год, формат даты и нажмите кнопку «Преобразовать».
Подробно о Конвертер даты римскими и арабскими цифрами
Римские цифры — это числовая система древнего Рима, которая оставалась распространенной в позднем средневековье как обычный способ записи чисел по всей Европе. Комбинации букв латинского алфавита представляют собой числа в этой системе. В современном обиходе используются семь символов с фиксированным целочисленным значением.
Спустя долгое время после распада Римской империи использование римских цифр продолжалось. Римские цифры начали заменяться более удобными арабскими цифрами в большинстве случаев в 14 веке. Однако этот процесс был прогрессивным, и в некоторых незначительных приложениях использование римских цифр продолжается и по сей день. В настоящее время многие люди также используют этот инструмент, чтобы найти дату рождения римскими цифрами.
Может вас заинтересуют и эти инструменты:
Рерайт текста
Проверка грамматики
id пользователей facebook
Курс валют
Список бесплатных прокси
Генератор QR-кода
Ваш ip адрес
Калькулятор возраста
Проверить кредитную карту
Таблица римских цифр
Римская цифра
Десятичное число
я
1
V
5
Икс
10
L
50
C
100
D
500
M
1000
Римские цифры Таблица лет
Год
Римская цифра
1000
M
1100
MC
1200
MCC
1300
MCCC
1400
MCD
1500
MD
1600
MDC
1700
MDCC
1800
MDCCC
1900 г.
MCM
1990 г.
MCMXC
1991 г.
MCMXCI
1992 г.
MCMXCII
1993 г.
MCMXCIII
1994 г.
MCMXCIV
1995 г.
MCMXCV
1996 г.
MCMXCVI
1997 г.
MCMXCVII
1998 г.
MCMXCVIII
1999 г.
MCMXCIX
2000 г.
ММ
2001 г.
MMI
2002 г.
MMII
2003 г.
MMIII
2004 г.
MMIV
2005 г.
MMV
2006 г.
MMVI
2007 г.
MMVII
2008 г.
MMVIII
2009 г.
MMIX
2010 г.
MMX
2011 г.
MMXI
2012 г.
MMXII
2013
MMXIII
2014 г.
MMXIV
2015 г.
MMXV
2016 г.
MMXVI
2017 г.
MMXVII
2018 г.
MMXVIII
2019 г.
MMXIX
2020 г.
MMXX
2021 г.
MMXXI
2022 г.
MMXXII
2023 г.
MMXXIII
2024 г.
MMXXIV
2025 г.
MMXXV
Как поставить римские цифры в Ворде
Содержание
Написание римских цифр в Ворде
Способ 1: Латинские буквы
Способ 2: Вставка символов
Способ 3: Преобразование кода в символ
Способ 4: Преобразование арабских цифр в римские
Дополнительно: Назначение комбинаций клавиш и автозамена
Заключение
Вопросы и ответы
При создании определенных документов, таких как рефераты, научные доклады, курсовые и дипломные работы, рано или поздно можно столкнуться с необходимостью написания римских цифр и чисел, и чаще всего она будет не единичной. К счастью, популярнейший текстовый редактор Microsoft Word позволяет это сделать без особых усилий.
Написание римских цифр в Ворде
Римские цифры и числа по своей сути мало чем отличаются от любых других символов, которые время от времени требуется вводить в Word. Следовательно, для их написания в текстовом документе можно и нужно использовать те же решения, что и в аналогичных случаях. Но есть и более очевидный вариант, с которого мы и начнем.
Способ 1: Латинские буквы
Для написания римских цифр используются семь букв латинского алфавита, которые записываются в определенной последовательности, продиктованной правилами. Вот их обозначения:
I (1)
V (5)
X (10)
L (50)
C (100)
D (500)
M (1000)
Правила написания римских чисел мы рассматривать не будем, озвучим лишь очевидный факт – в Microsoft Word это можно сделать с помощью латиницы, то есть, например, большими (прописными) буквами в английской или немецкой раскладке.
Переключитесь на соответствующую языковую раскладку, нажав «ALT+SHIFT» или «CTRL+SHIFT», в зависимости от установленных в системе настроек. Включите на клавиатуре режим «CAPSLOCK», чтобы писать прописными буквами.
Читайте также: Смена языковой раскладки в Windows
Запишите нужную цифру, число или числа, используя для этого буквы «латинского» алфавита.
В результате вы получите римские цифры. В примере ниже мы таким образом записи 21 и 2019.
При желании можно изменить шрифт, в котором они записаны, его размер, цвет и ряд других параметров. О том, как все это делается, мы писали в отдельной статье.
Подробнее: Форматирование текста в Ворде
Способ 2: Вставка символов
Если вы не хотите записывать римские цифры латинскими буквами, можно представить их в виде символов, которые имеются во встроенной библиотеке Microsoft Word. Для этого:
Указав место для будущей записи в документе, перейдите во вкладку «Вставка».
Разверните выпадающее меню кнопки «Символы», которая располагается в одноименном блоке, и выберите пункт «Другие символы».
В открывшемся диалоговом окне выберите из выпадающего списка «Набор:» опцию «Числовые символы».
Примечание: Символы, обозначающие римские цифры и числа, доступны не для всех шрифтов, поэтому если вы не увидите их в наборе «Числовые символы», закройте окно вставки, измените шрифт и снова повторите действия из шагов №1-2 данной части статьи.
Выделите нужную римскую цифру (или число) и нажмите по кнопке «Вставить».
Повторите аналогичное действие (выделить – вставить) для всех остальных символов, которые требуется записать (окно «Символ» можно сдвигать в сторону для того, чтобы выделять на странице документа место для записи следующего знака). Сделав это, можно закрыть окно вставки.
Плюс этого метода, в сравнении с предыдущим, заключается в том, что римские цифры и числа, состоящие из более чем одного символа (например, 2, 3, 4, 6 и др. ) можно вставить за раз. Минус же кроется в самом подходе – необходимости открытия окна «Символ» и поиска соответствующих знаков. К счастью, его можно несколько упростить.
Читайте также: Вставка символов и специальных знаков в Ворде
Способ 3: Преобразование кода в символ
В процессе выполнения предыдущего способа вы могли заметить, что каждый символ, представленный во встроенном наборе Microsoft Word, имеет свое кодовое обозначение. Зная его, а также комбинацию горячих клавиш, которая выполняет преобразование кода в символ, можно записать римские цифры без обращения к меню их вставки. Обозначения следующие:
2160 – I (1)
2161 – II (2)
2162 – III (3)
2163 – IV (4)
2164 – V (5)
2165 – VI (6)
2166 – VII (7)
2167 – VIII (8)
2168 – IX (9)
2169 – X (10)
216A – XI (11)
216B – XII (12)
216C – L (50)
216D – C (100)
216E – D (500)
216F – M (1000)
Первым в колонке (перед тире) указан код символа, вторым (после тире) – соответствующая ему римская цифра или число, третьим (в скобках) – арабское обозначение.
Примечание: Как и в предыдущем способе, для добавления символов римских цифр необходимо использовать шрифт, который их поддерживает.
Введите код, соответствующий римской цифре или числу, которое требуется записать.
Не делая отступа, то есть не нажимая «пробел», зажмите клавиши «ALT+X» и отпустите их.
Кодовое обозначение будет преобразовано в соответствующий ему символ.
Важно: Коды, содержащие буквы латинского алфавита, нужно вводить в английской раскладке.
Для записи чисел, состоящих более чем из одной римской цифры (числа), путем преобразования в них кода, обязательно нужно делать отступы (пробелы) между уже преобразованным кодом и идущим за ним. После записи и преобразования их можно и нужно удалить.
Примечание: Если записанное римское число подчеркивается как ошибка (красная волнистая линия), воспользуйтесь контекстным меню для пропуска его проверки или добавления в словарь.
Читайте также: Проверка правописания в Microsoft Word
Если запомнить эти 16 кодовых обозначений (а это не так сложно, ведь эти числа/символы идут подряд, по возрастающей и/или алфавиту), можно значительно быстрее писать римские цифры и числа в Ворде.
Способ 4: Преобразование арабских цифр в римские
Рассмотренные выше методы написания римских цифр нельзя назвать удобными. Во-первых, каждый символ, а точнее даже каждый элемент одной цифры (например, три единицы, с помощью которых записывается тройка) нужно вводить с клавиатуры отдельно или же обращаться к специальном разделу программы. Во-вторых, все они подразумевают знания правил написания. Избежать этих сложностей можно с помощью функции преобразования привычных нам арабских цифр и чисел в римские. Делается это следующим образом:
В том месте, где планируете писать цифры, установите указатель курсора и нажмите на клавиатуре клавиши «CTRL+F9».
В появившихся фигурных скобках запишите формулу следующего вида:
=N\*Roman
где N – это арабские цифры, которые нужно представить в виде римских.
Указав желаемое значение, нажмите на клавиатуре «F9» — это преобразует формулу в римские цифры, соответствующие тем, которые вы указали внутри скобок. Чтобы снять с записи выделение, просто кликните по пустому месту в документе.
Так, в нашем примере арабские 2019 были преобразованы в римские MMXIX.
Этот метод явно можно назвать наиболее простым и удобным из всех, представленных в данной статье. Все что от вас требуется – запомнить простой синтаксис формулы и горячие клавиши, которые используются для создания ее основы и последующего преобразования. Таким образом вы сможете записать абсолютно любые римские цифры и числа, в любом количестве и не беспокоясь об их соответствии аналогичным арабским значениям.
Дополнительно: Назначение комбинаций клавиш и автозамена
Последний из рассмотренных нами способов написания римских цифр вполне можно назвать самым удобным, но можно самостоятельно создать ему не менее, а то и более достойную альтернативу. Как именно? Достаточно объединить между собой второй и третий способы этой статьи – обратиться к меню вставки символов и назначить для каждого нужного нам свои горячие клавиши.
Перейдите во вкладку «Вставка» и откройте окно «Символ», выбрав пункт «Другие символы» в меню одноименной кнопки.
Выберите набор «Числовые символы» и затем выделите в появившемся перечне римскую цифру «I» и нажмите на кнопку «Сочетание клавиш».
В строке «Новое сочетание клавиш» введите желаемую комбинацию, нажимая эти клавиши на клавиатуре,
после чего кликните по кнопке «Назначить».
Совет: Используйте только те комбинации клавиш, которые не задействованы для вызова какой-либо функции или выполнения какого-то действия в системе и непосредственно Microsoft Word. Например, для римской I можно назначить «CTRL+SHIFT+1». Правда, программой это будет воспринято как «CTRL+!», что отчасти логично
Аналогичные действия проделайте с остальными символами, обозначающими римские цифры и числа. Если для этого вы использовали комбинацию, аналогичную нашей, то с диапазоном от I до IX (1-9) проблем возникнуть не должно. Для X можно назначить нечто вроде «CTRL+SHIFT++», потому что «CTRL+SHIFT+0» не «принимается» программой, а вот для чисел больше 10 придется придумать нечто более сложное, например, «CTRL+SHIFT+0+1» или что-то менее логичное.
Для 50 – «CTRL+SHIFT+F», для 100 – «CTRL+SHIFT+H». Это лишь возможные примеры, вы же назначайте то, что считаете более удобным для использования и легким для запоминания.
Назначив для каждого символа, обозначающего римскую цифру или число, свои горячие клавиши, закройте диалоговое окно «Символ». Запомните, а лучше запишите эти комбинации, чтобы в дальнейшем их использовать для быстрого и удобного ввода.
Читайте также: Горячие клавиши для упрощения работы в Ворде
Если назначение и последующее использование горячих клавиш вам кажется не самым простым и удобным решением, вместо этого можно назначить автоматическую замену символов на римские цифры и числа.
Повторите действия из шагов №1-2, описанных выше, только вместо кнопки «Сочетание клавиш» нажмите «Автозамена».
В открывшемся окне настройки установите маркер напротив пункта «Обычный текст».
В поле «заменить:» введите то, что вы планируете в дальнейшем заменять на римскую цифру, в поле «на:» — собственно римскую цифру. Например, можно сделать так: обозначение «R1» назначить для «I», «R2» для «II», и так далее.
Указав желаемые параметры автоматической замены, нажмите по кнопке «Добавить».
Аналогичное проделайте со всеми остальными обозначениями, которые вы хотели бы заменять на римские цифры и числа. Сделав это, нажмите «ОК» для закрытия окна «Автозамена».
Теперь каждый раз, когда вы будете вводить значение, которое записали в поле «заменить», и нажимать пробел, вместо него появится римская цифра или число, указанное вами в поле «на».
Читайте также: Функция «Автозамена» в Microsoft Word
Важно: Назначать параметры автозамены стоит весьма осторожно – если вы задействуете для этого какой-то часто используемый набор символов, который требуется записывать в его привычном виде, без замены (например, условный R2D2), нормально вводить его не получится – отступ после или ввод любого другого символа (например, запятая или кавычки) заменит его на назначенное вами обозначения. Для отмены этого постоянно придется нажимать «CTRL+Z».
Читайте также: Отмена последнего действия в Майкрософт Ворд
Как назначение горячих клавиш, так и настройка функции автозамены символов позволяет упростить и ускорить процесс работы в Ворде. Несложно догадаться, что аналогичным образом можно «оптимизировать» ввод не только римских цифр и чисел, но и любых других часто используемых знаков и символов.
Заключение
Мы рассмотрели несколько вариантов того, как в Microsoft Word можно записывать римские цифры и числа, от наиболее очевидного, до парочки самых простых и удобных. Какой из них выбрать, решать только вам.
Перевод римские, индийские, арабские цифры (числа). Как составить дату рождения из римских цифр этап. Выбор месяца
В античные времена римляне были очень активны в торговле и коммерции, и как только она обрели письменность они стали нуждаться в обозначении чисел.
Система, которую они изобрели для обозначения цифр и чисел, активно использовалась на протяжении многих веков, и даже сейчас она находит свое применение во многих специальных случаях написания чисел.
Римские числа традиционно обозначают порядок правителей или людей имеющие одинаковое имя (например, Екатерина II , Николай II , Людовик XIV ). Они так же иногда используются для обозначения дат в издательском деле или на зданиях, для указания года постройки, или на надгробных камнях, когда есть желание создать впечатление, ощущение классической почести, дани уважения. Римские числа и цифры (вся целая система) так е живет в нашем языке, который до сих пор использует корни Латинских заимствованных слов для отображения тех или иных численных идей или значений. Несколько примеров: duo — двойной, quadricep — четырёхглавая мышца, decade — группа из десяти, десяток или десятилетие, milliliter — миллилитр, одна тысячная литра и т.п.
Одно большое различие между римскими и арабскими числами (те которые мы используем повседневно сейчас) это то, что Римская система исчислений не имеет символа нуля, и второе, что положение цифры в записи может означать не сложение, но иногда и вычитание.
Простой принцип расчета
Римские числа математически конвертируются в арабские числа путём простого назначения каждой цифре Римского числа соответствующего целочисленного значения в арабской системе с автоматическим суммированием: M=1000 | D=500 | C=100 | L=50 | X=10 | V=5 | I=1.
Ниже приводятся детальное описание всех основных римских цифр:
I
Самый простой способ записать маленькие числа это нарисовать «зазубрины» — цифра один: I. Две палочки II означают два, III — три. Однако, для большего числа количество становиться очень большим и абсолютно не читаемым….
Таким образом, появилась число 5 — V. Расположение перед ним единички: IV — или расположение любого другого меньшего числа, чем последующий (в нашем случае символ пять) — означает вычитание. Таким образом, IV означает 4. После V можно указать меньшие цифры, тогда это будет означать складывание — VI означает 6, VII означает 7, VIII равно 8.
X
X означает 10. Но что насчет 9? Аналогичное используется правило как с пятёркой. IX означает вычитание I из X, и это равно 9. Числа первого десятка, второго десятка и третьего формируются таким же образом, только с X-ами означающие количество десятков в числе. Таким образом, мы получаем, что XXXI — 31, а XXIV это 24.
L
Значение L равно 50. Основываясь на том, что вы уже прочитали выше, вы уже можете догадаться, как будет записано число 40. Если вы думаете, что это будет XL, то вы правы = 10 отнимается от 50-и. И другие числа 60, 70, и 80 будут выглядеть как LX, LXX и LXXX.
C
Цифра C пошла от слова centum , латинского слова означающее 100.centurion означает 100 людей. Мы по-прежнему используем такие слова, как «century » (столетие) и «cent » (цент). Как и с L, вычитание десятка означает понижение основной последующей цифры: 90 будет записано, как 100 минус 10 = XC. Несколько подряд цифр C будет означать соответствующее количество сотен: CCCLXIX равно 369.
D
D указывает на значение равное 500. По аналогии, CD означает 400. CDXLVIII равное 448.
M
M это 1000. Это цифра очень часто попадается, так как римские числа в основном используются для записи года. MMX — 2010 год.
V
Более большие числа в Римском исчислении записываются при помощи горизонтальной линии расположенной над цифрами, что будет означать умножение данных цифр на тысячу.
Отсюда выходит, что V с горизонтальной линией над этой цифрой будет означать 5000.
Конвертирование римских чисел онлайн
Вводите все буквы в римской записи числа, как они указаны на вашем экспонате:
Для корректной работы Dates Calculator Online, вам необходимо включить поддержку JavaScript в своем обозревателе (IE, Firefox, Opera)!
Для обозначения цифр в латинском языке приняты комбинации следующих семи знаков: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).
Для запоминания буквенных обозначений цифр в порядке убывания придумано мнемоническое правило:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх (соответственно M, D, C, L, X, V, I).
Если знак, обозначающий меньшее число, стоит справа от знака, обозначающего большее число, то меньшее число следует прибавлять к большему, если слева, то вычитать, а именно:
VI — 6, т.е. 5 + 1 IV — 4, т.е. 5 — 1 XI — 11, т.е. 10 + 1 IX — 9, т.е. 10 — 1 LX — 60, т.е. 50 + 10 XL — 40, т.е. 50 — 10 СХ — 110, т.е. 100 + 10 ХС — 90, т.е. 100-10 MDCCCXII — 1812, т.е. 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1.
Возможно различное обозначение одного и того же числа. Например, число 80 можно обозначить как LXXX (50 + 10 + 10 + 10) и как ХХС (100 — 20).
Для записи чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
I (1) — unus (унус) II (2) — duo (дуо) III (3) — tres (трэс) IV (4) — quattuor (кваттуор) V (5) — quinque (квинквэ) VI (6) — sex (сэкс) VII (7) — septera (сэптэм) VIII (8) — octo (окто) IX (9) — novem (новэм) X (10) — decern (дэцем) XI (11) — undecim (ундецим) XII (12) — duodecim (дуодэцим) ХШ (13) — tredecim (трэдэцим) XIV (14) — quattuordecim (кваттуордэцим) XV (15) — quindecim (квиндэцим) XVI (16) — sedecim (сэдэцим) XVII (17) — septendecim (сэптэндэцим) XVIII (18) — duodeviginti (дуодэвигинти) XIX (19) — undeviginti (ундэвигинти) XX (20) — viginti (вигинти) XXI (21) — unus et viginti или viginti unus XXII (22) — duo et viginti или viginti duo и т. д. XXVIII (28) — duodetriginta (дуодэтригинта) XXIX (29) — undetriginta (ундэтригинта) XXX (30) : triginta (тригинта) XL (40) — quadraginta (квадрагинта) L (5O) — quinquaginta (квинквагинта) LX (60) — sexaginta (сэксагинта) LXX (70) — septuaginta (сзлтуагинта) LXXX180) — octoginta (октогинта) КС (90) — nonaginta (нонагинта) C (100) centum (центум) CC (200) — ducenti (дуценти) CCC (300) — trecenti (трэценти) CD (400) — quadrigenti (квадригэнти) D (500) — quingenti (квингэнти) DC (600) — sescenti(сэсценти) или sexonti (сэксцонти) DCC (700) — septigenti (сэптигэнти) DCCC (800) — octingenti (октингэнти) CV (DCCC) (900) — nongenti (нонгэнти) M (1000) — mille (милле) ММ (2000) — duo milia (дуо милиа) V (5000) — quinque milla (квинквэ милиа) X (10 000) — decem milia (дэцем милиа) XX (20000) — viginti milia (вигинти милиа) C (100000) — centum milia (центум милиа) XI (1000000) — decies centena milia (дэциэс центэна милиа).
Если вдруг любознательный человек спросит, почему для обозначения цифр 50, 100, 500 и 1000 были выбраны латинские буквы V, L, С, D, М, то сразу скажем, что это вовсе не латинские буквы, а совсем иные знаки.
Дело в том, что основой для латинского алфавита послужил алфавит западногреческий. Именно к нему восходят три знака L, С и М. Здесь они обозначали придыхательные звуки, которых не было в латинском языке. Когда оформлялся латинский алфавит, именно они оказались лишними. Их и приспособили для обозначения чисел в латинской графике. Позднее они по написанию совпали с латинскими буквами. Так, знак С (100) стал похож на первую букву латинского слова centum (сто), а М (1000) — на первую букву слова mille (тысяча). Что же касается знака D (500), то он представлял собой половину знака Ф (1000), а потом уж стал похож на латинскую букву. Знак V (5) являлся всего навсего верхней половиной знака X (10).
Одна из популярных направлений в мире татуировок – дата рождения, написанная римскими цифрами. Надпись бросается в глаза и человеку не знакомому с основами написания римских чисел, будет не очень понятна. Таким образом дата шифруется и становиться доступна для восприятия только тем, кто знаком с элементарными числовыми выражениями латинского языка.
Итак, все по порядку:
Дата рождения составляется в 3 этапа.
1 этап – день рождения.
2 этап – месяц рождения.
3 этап – год рождения.
Все этапы строго следуют друг за другом и разделяются между собой точками. В качестве примера возьмем дату рожденного 28 августа 1999 года .
В обычном формате эта дата будет выглядеть так: 28.08.1999 . Месяц август сменился на свой порядковый номер периода года, а именно на 08. Можно так же записать как 28.8.1999 , разницы никакой. Римскими цифрами дата поменяет свой вид на: XXVIII. VIII. MCMXCIX .
1 этап. Выбор дня.
Максимальное количество дней в месяце — 31. Поэтому проще выбрать из таблицы свой день, чем заниматься вычислениями правильного написания числа:
1 – I
11 – XI
21 – XXI
31 — XXXI
2 – II
12 – XII
22 – XXII
3 – III
13 – XIII
23 – XXIII
4 – IV
14 – XIV
24 – XXIV
5 – V
15 – XV
25 – XXV
6 – VI
16 – XVI
26 – XXVI
7 – VII
17 – XVII
27 – XXVII
8 – VIII
18 – XVIII
28 – XXVIII
9 – IX
19 – XIX
29 – XXIX
10 – X
20 – XX
30 – XXX
2 этап.
Выбор месяца.
В году 12 месяцев и все они имеют свой порядковый номер.
3 этап. Выбор года.
Самый сложный этап, так как имеет множество вариантов написания.
1 вариант – сокращенный. Число состоит из двух последних цифр года рождения. Например, число 99 или римскими XCIX , будет обозначать 1999 год, а 18 – сокращение от 2018 года (XVIII ). Единственный год не поддающийся сокращению – 2000 год, его римская версия всегда будет MM , как в сокращенном, так и в полном варианте.
1 – I
21 – XXI
41 – XLI
61 – LXI
81 – LXXXI
2 – II
22 – XXII
42 – XLII
62 – LXII
82 – LXXXII
3 – III
23 – XXIII
42 – XLIII
63 – LXIII
83 – LXXXIII
4 – IV
24 – XXIV
44 – XLIV
64 – LXIV
84 – LXXXIV
5 – V
25 – XXV
45 – XLV
65 – LXV
85 – LXXXV
6 – VI
26 – XXVI
46 – XLVI
66 – LXVI
86 – LXXXVI
7 – VII
27 – XXVII
47 – XLVII
67 – LXVII
87 – LXXXVII
8 – VII
28 – XXVIII
48 – XLVIII
68 – LXVIII
88 – LXXXVIII
9 – IX
29 – XXIX
49 – XLIX
69 – LXIX
89 – LXXXIX
10 – X
30 – XXX
50 – L
70 — LXX
90 – XC
11 – XI
31 – XXXI
51 – LI
71 – LXXI
91 – XCI
12 – XII
32 – XXXII
52 – LII
72 – LXXII
92 – XCII
13 – XIII
33 – XXXIII
53 – LIII
73 – LXXIII
93 – XCIII
14 – XIV
34 – XXXIV
54 – LIV
74 – LXXIV
94 – XCIV
15 – XV
35 – XXXV
55 – LV
75 – LXXV
95 – XCV
16 – XVI
36 – XXXVI
56 – LVI
76 – LXXVI
96 – XCVI
17 – XVII
37 – XXXVII
57 – LVII
77 – LXXVII
97 – XCVII
18 – XVIII
38 – XXXVIII
58 – LVIII
78 – LXXVII
98 – XCVIII
19 – XIX
39 – XXXIX
59 – LIX
79 – LXXIX
99 — XCIX
20 – XX
40 – XL
60 – LX
80 – LXXX
21-й
XXI
20-й
XX
19-й
XIX
18-й
XVIII
17-й
XVII
16-й
XVI
15-й
XV
14-й
XIV
13-й
XIII
12-й
XII
11-й
XI
10-й
X
9-й
IX
8-й
VIII
7-й
VII
6-й
VI
5-й
V
4-й
IV
3-й
III
2-й
II
1-й
I
Римские цифры, придуманные более 2500 лет тому назад, использовались европейцами на протяжении двух тысячелетий, затем были вытеснены арабскими цифрами. Это произошло потому, что римские цифры записать достаточно сложно, да и любые арифметические действия в римской системе выполнять гораздо сложнее, чем в арабской системе исчисления. Не смотря на то, что сегодня римская система не часто используется, это вовсе не значит, что она стала неактуальна. В большинстве случаев века римскими цифрами обозначают, а вот годы или точные даты принято писать арабскими цифрами.
Римскими цифры также используются при написании порядковых номеров монархов, энциклопедических томов, валентности различных химических элементов. На циферблатах ручных часов также часто используются цифры римской системы исчисления.
Римские цифры представляют собой определенные знаки, с помощью которых записывают десятичные разряды и их половины. Используют для этого всего семь заглавных букв латинского алфавита. Числу 1 соответствует римская цифра I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. При обозначении натуральных чисел эти цифры повторяются. Так 2 можно написать, используя два раза I, то есть 2 – II, 3 — три буквы I, то есть 3 – III. Если меньшая цифра стоит перед большей, то используется принцип вычитания (меньшая цифра вычитается из большей).
Так, цифра 4 изображается как IV (то есть 5-1).
В случае, когда большая цифра стоит впереди меньшей, их складывают, например 6 записывается в римской системе, как VI (то есть 5+1).
Если Вы привыкли записывать числа арабскими цифрами, то могут возникнуть некоторые затруднения в том случае, когда нужно записать века римскими цифрами, какое-либо число или дату. Перевести любое число из арабской системы в римскую систему исчисления и наоборот можно очень легко и очень быстро, воспользовавшись удобным конвертером на нашем сайте.
На клавиатуре компьютера достаточно перейти на английский язык, чтобы без труда записать любое число римскими цифрами.
По всей видимости, древние римляне отдавали предпочтение прямым линиям, поэтому все их цифры прямые и строгие. Однако, римские цифры представляют собой ни что иное, как упрощенное изображение пальцев человеческой руки. Цифры с одного до четырех напоминают вытянутые пальцы, цифру пять можно сравнить с раскрытой ладонью, где большой палец оттопырен. А цифра десять напоминает две скрещенные руки. В европейских странах при счете принято разгибать пальцы, а вот в России, наоборот, загибать.
Как считать римские цифры? – Обзоры Вики
Римские цифры используют нумерацию техника на основе семи букв: I, V, X, L, C, D и M. Символ I представляет значение 1; V представляет 5; X представляет 10; L представляет 50; C представляет 100; D представляет 500, а M представляет 1000.
Аналогично, что такое перевод римскими цифрами? Таблица преобразования римских цифр
Как написать 2020 римскими цифрами? Римскими цифрами 2020 — это ММХХ. Чтобы преобразовать 2020 в римские цифры, мы напишем 2020 в развернутой форме, то есть 2020 = 1000 + 1000 + 10 + 10, после чего заменив преобразованные числа их соответствующими римскими цифрами, мы получим 2020 = M + M + X + X = MMXX. .
Во-вторых Как 5000 римскими цифрами? 5000 римскими цифрами = V̅
Какой номер xxv11?
ХХVII = ХХ + VII = 20 + 7 = 27. Следовательно, значение римских цифр XXVII равно 27.
тогда есть римская цифра для 0? Римляне никогда не использовали свои цифры для арифметики, таким образом избегая необходимости оставлять столбец пустым с нулевым символом. … Вместо этого сложение и вычитание выполнялись на счетах или счетной рамке.
Какого числа MMXX? Годы римскими цифрами
Год
Римская цифра
2019
MMXIX
2020
ММХХ
2021
MMXXI
2022
MMXXII
Какая римская цифра 5000000?
Здесь перечислены все римские числа 1-10000 вместе с избранными римскими числами 1-100000, 1-1000000, вплоть до миллиардов. … Калькуляторы и генератор диаграмм.
5,000,000
V
L
10,000,000
X
C
50,000,000
L
D
100,000,000
C
M
500,000,000
D
Как написать 7000 римскими цифрами? 7000 римскими цифрами — V̅I̅I̅. Чтобы выразить 7000 римскими цифрами, мы напишем римскую цифру ‘VII‘с винкулумом или перемычкой над ним.
Как написать 6000 римскими цифрами?
6000 римскими цифрами — это V̅I̅.
Какое число XXII? Римская цифра XXII 22 а XVII — 17.
Какое число х1х?
Ответ: римская цифра XIX. 19 а я 1.
Что означает XIV в числах?
Римские цифры
#
RN
12
XII
13
XIII
14
XIV
15
XV
Как написать 2009 римскими цифрами? Римскими цифрами 2009 — это MMIX. Чтобы преобразовать 2009 год в римские цифры, мы запишем 2009 в развернутой форме, то есть 2009 = 1000 + 1000 + (10 — 1), после чего заменив преобразованные числа их соответствующими римскими цифрами, мы получим 2009 = M + M + (X — I) = MMIX.
Как написать 2005 римскими цифрами? Римскими цифрами 2005 — это ММВ. Чтобы перевести 2005 г. в римские цифры, запишем 2005 г. в развернутом виде, т.е. 2005 г. = 1000 + 1000 + 5, после чего заменив преобразованные числа соответствующими им римскими цифрами, получим 2005 г. = М + М + В = ММВ.
Какое число LLL записано римскими цифрами?
Решение: римская цифра III 3 а я 1.
Что такое номер MMXX? ММХХ = 2020 и XVIII = 18 в цифрах.
Что означают римские цифры MMXX?
Римская цифра MMXI 2011 а XXII — 22.
Что означает MMXX? Римская цифра MMXX — это число 2020.
Как написать 1000000000 римскими цифрами?
1,000,000,000 (один миллиард, краткая шкала; одна тысяча миллионов или миллиард, ярд, большая шкала) — это натуральное число после 999,999,999 1,000,000,001 XNUMX и предшествующее XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX. …
1000000000
порядковый
Одна миллиардная (короткая шкала)
факторизация
2 9 · НИКОГДА 9
Греческая цифра
Римская цифра
M
Как написать 90000 римскими цифрами? 90,000 89,999 (девяносто тысяч) — натуральное число, расположенное между числами 90,001 XNUMX и XNUMX XNUMX. … 90,000
← 89999 90000 90001 →
порядковый
90000-й (девяностотысячный)
факторизация
2 4 × 3 2 × 5 4
Греческая цифра
Римская цифра
XC
Как написать 4000000 римскими цифрами?
|X̄X̄X̄X̄| представлял 4,000,000 XNUMX XNUMX римскими цифрами в римские времена.
Как написать 8000 римскими цифрами? 8000 римскими цифрами — V̅I̅I̅I. Чтобы выразить 8000 римскими цифрами, мы напишем римскую цифру ‘VIII‘с винкулумом или перемычкой над ним.
Какое римское число 10000?
10000 римскими цифрами — это ИКС. Чтобы выразить 10000 римскими цифрами, мы напишем римскую цифру «X» с винкулумом или чертой над ней.
Какое римское число 8000?
8000 (число)
← 7999 8000 8001 →
порядковый
8000-й (восемь тысячных)
факторизация
2 6 × 5 3
Греческая цифра
, Η´
Римская цифра
VMMM, или VIII
2019 римскими цифрами — Как написать 2019 римскими цифрами?
LearnPracticeDownload
2019 римскими цифрами — MMXIX. Чтобы преобразовать 2019 год в римские цифры, мы напишем 2019 год в развернутом виде, т. е. 2019 год = 1000 + 1000 + 10 + (10 — 1), после чего заменив преобразованные числа соответствующими им римскими цифрами, мы получим 2019 год = М + М + Х. + (X — I) = MMXIX. В этой статье мы объясним, как правильно преобразовать 2019 год римскими цифрами.
2019 = 2000 + 10 + 9
Римские цифры = MM + X + IX
2019 римскими цифрами = MMXIX
1.
Как написать 2019 год римскими цифрами?
2.
Основные правила
3.
Номера, относящиеся к 2019 году
4.
Часто задаваемые вопросы на 2019 год римскими цифрами
Как написать 2019 год римскими цифрами?
Римские цифры на 2019 год можно получить, используя метод, указанный ниже: В этом методе мы разбиваем 2019 на наименее расширяемую форму, пишем соответствующую им латинскую букву и добавляем/вычитаем их, то есть 2019 = 1000 + 1000 + 10 + (10 — 1) = M + M + X + (X — I) = ММХIX. Следовательно, значение 2019 года римскими цифрами равно MMXIX.
☛ Также проверьте: Калькулятор римских цифр
Основные правила толкования римских цифр
Когда буква большего размера предшествует букве меньшего размера, буквы добавляются. Например: MI, M > I, поэтому MI = M + I = 1000 + 1 = 1001,
.
Когда буква меньшего размера предшествует букве большего размера, буквы вычитаются. Например: XL, X < L, поэтому XL = L - X = 50 - 10 = 40.
Когда буква повторяется несколько раз, они добавляются. Например: ХХ = Х + Х = 10 + 10 = 20
Одну и ту же букву нельзя использовать более трех раз подряд.
Римские цифры могут показаться отличными от цифр, но они похожи. Например, 2019 римскими цифрами эквивалентно MMXIX. Римские цифры для чисел, относящихся к 2019 году, приведены ниже:
MMX = 2000 + 10 = 2010
MMXI = 2000 + 10 + 1 = 2011
MMXII = 2000 + 10 + 2 = 2012
MMXIII = 2000 + 10 + 3 = 2013
MMXIV = 2000 + 10 + 4 = 2014
MMXV = 2000 + 10 + 5 = 2015
MMXVI = 2000 + 10 + 6 = 2016
ММXVII = 2000 + 10 + 7 = 2017
ММXVIII = 2000 + 10 + 8 = 2018
MMXIX = 2000 + 10 + 9 = 2019
2019 римскими цифрами Примеры
Пример 1. Найдите разницу между 2034 и 2019 годами римскими цифрами.
Решение:
Решение данной задачи, 2034 — 2019 = 15 Определить стоимость 2034 — 2019 гг.римскими цифрами будем выражать 15 в развернутом виде, т. е. 15 = 10 + 5 = X + V = XV.
Пример 2: Какой остаток при делении MMXIX на VIII?
Решение:
VIII = 8 и MMXIX = 2019 в цифрах. При делении 2019 на 8 получается остаток 3. Итак, 3 = III Следовательно, когда MMXIX делится на VIII, остаток равен III.
Пример 3: Найдите значение 2248 — 2019.
Решение:
Решение данной задачи, 2248 — 2019 = 229 Для определения значения 2248 — 2019 римскими цифрами выразим 229 в развернутом виде, т.е. 229 = 200 + 20 + 9 = CC + XX + IX = CCXXIX.
Пример 4. Найдите значение (15–33) + 2019 римскими цифрами.
Решение:
Решение (15 — 33) + 2019 = -18 + 2019 = 2001. Теперь запишем ответ, то есть 2001 = 2000 + 1 = ММ + I = ММИ.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Готовы увидеть мир глазами математика?
Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.
Забронируйте бесплатный пробный урок
Часто задаваемые вопросы по 2019 г.римскими цифрами
Что означает 2019 год римскими цифрами?
Чтобы написать 2019 год римскими цифрами, сначала выразим 2019 год в развернутом виде. 2019 = 1000 + 1000 + 10 + (10 — 1) = М + М + Х + (Х — I) = MMXIX. Следовательно, 2019 год римскими цифрами обозначается как MMXIX.
Что нужно добавить в 707, чтобы получить 2019? Запишите ответ римскими цифрами.
2019 римскими цифрами — MMXIX, тогда как 707 — DCCVII. 2019 — 707 = 1312. Следовательно, к 707 нужно прибавить 1312, чтобы получить 2019.. Теперь, чтобы перевести 1312 в римские числа, выразим его в развернутом виде, то есть 1312 = 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1 = M + C + C + C + X + I + I = МСССXII.
Почему 2019 римскими цифрами написано как MMXIX?
Мы знаем, что римскими цифрами мы пишем 9 как IX, 10 как X и 1000 как M. Следовательно, 2019 римскими цифрами записывается как 2019 = 2000 + 10 + 9 = MM + X + IX = MMXIX.
Каково значение (7 — 27) + 2019 римскими цифрами?
Решение (7 — 27) + 2019= -20 + 2019 = 1999. Чтобы выразить, (7 — 27) + 2019 римскими цифрами, запишем ответ, то есть 1999 в развернутом виде. 1999 = 1000 + (1000 — 100) + (100 — 10) + (10 — 1) = M + (M — C) + (C — X) + (X — I) = MCMXCIX
Какова стоимость 2019 год римскими цифрами?
Чтобы преобразовать 2019 год в римские цифры, преобразование включает в себя разбиение чисел на основе разрядности (единицы, десятки, сотни, тысячи).
Тысячи = 2000 = ММ
Десятки = 10 = Х
единиц = 9 = IX
Число = 2000 + 10 + 9 = MM + X + IX = MMXIX
☛ Статьи по теме:
72 римскими цифрами — LXXII
48 римскими цифрами — XLVIII
1970 римскими цифрами — MCMLXX
86 римскими цифрами — LXXXVI
52 римскими цифрами — LII
44 римскими цифрами — XLIV
777 римскими цифрами — DCCLXXVII
Математические рабочие листы и Визуальная учебная программа
2019 Римские цифры отпечатки Canvas для продажи
21 Результаты
Теги:
2019 Романские числа, 2019 год рождения, рожденный в 2019 году, расстроенные, Roman Numerals, 2019, 2019
6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666366666рой 2019 Римские цифры Печать на холсте
By MSA-42
89,37 €
Теги:
2019 римские цифры, 2019 год рождения, 2019 год рождения, огорченный, римские цифры, 2019 день рождения, 2019
2019 Печать на холсте с римскими цифрами
By MSA-42
89,37 €
Теги:
год, время, римские цифры, римские, цифры, число, год рождения, дата, годовщина, рим, латынь, древний, mmxix , 2019
2019 Canvas Print
By Ceillustrations
€ 85,80
Теги:
MMXIX, 2019, Римские цифры, числовые, год, золото, золото, золото, утешает
memento mori, помнить о смерти , 2019, римские цифры, череп и кости, череп, гроб, классный гроб, готический гроб, крылатые песочные часы, скрещенные ключи, лавр, кладбище, надгробие, средневековая готика, средневековый, латынь, красный гроб, готика, готика, круто, хэллоуин, ретро,
Memento Mori Canvas Print
Автор: RavenWake средневековый, markiplier, кладбище, гроб, crankgameplays, римские цифры, крылатые песочные часы, круто, классный гроб, скрещенные ключи, готический гроб, надгробие, лавр, средневековая готика, череп и кости, черепа, тату, annus, camp unus annus, цветок, гот, половина на половину, momento mori, однажды в сказке, один год, чума, помни о смерти, время летит, unus, 2019, черный и белый, не говори эми, итан, итан нестор, jacksepticeye, logo
Песочные часы с черепом — момент смерти Печать на холсте
Автор Cloud7Stickers .
143,00 €
Теги:
2021 год, 2021 год, наш год, смешной, простой год, римские цифры, обычный год, начиная с, дата, день, год, оставайся дома, береги себя, коронавирус, пропускай, плохой год , плохо, новый, новый год, 2021, класс 2021, выпускной, выпускник средней школы, вечеринка, 2021 год, 2021 старшеклассники, 2022, юбилей, рождение, год рождения, класс 0f 2021, класс 2020, класс 21, класс, выпускники, новый год 2021, день нового года, гордый, подросток, путешественник, 100 дней в школе, выпускной 2021, выпускной класс 2021, дизайны класса 2021, идеи класса 2021, 2020, выпускной класс 2021, 2019
€85.80
С Новым годом и Рождеством 2019 римские цифры Векторное изображение
С Новым годом и Рождеством 2019
лицензионные векторы
org/ListItem»> Римские векторы
ЛицензияПодробнее
Стандарт
Вы можете использовать вектор в личных и коммерческих целях. Расширенный
Вы можете использовать вектор на предметах для перепродажи и печати по требованию.
Тип лицензии определяет, как вы можете использовать этот образ.
Станд.
Расшир.
Печатный / редакционный
Графический дизайн
Веб-дизайн
Социальные сети
Редактировать и изменить
Многопользовательский
Предметы перепродажи
Печать по требованию
Способы покупкиСравнить
Плата за изображение € 14,99 Кредиты € 1,00 Подписка € 0,69
Оплатить стандартные лицензии можно тремя способами. Цены евро евро .
Оплата с помощью
Цена изображения
Плата за изображение € 14,99 Одноразовый платеж
Предоплаченные кредиты € 1 Загружайте изображения по запросу (1 кредит = 1 евро). Минимальная покупка 30р.
План подписки От 0,69 € Выберите месячный план. Неиспользованные загрузки автоматически переносятся на следующий месяц.
Способы покупкиСравнить
Плата за изображение € 39,99 Кредиты € 30,00
Существует два способа оплаты расширенных лицензий. Цены евро евро .
Оплата с помощью
Стоимость изображения
Плата за изображение € 39,99 Оплата разовая, регистрация не требуется.
Предоплаченные кредиты € 30 Загружайте изображения по запросу (1 кредит = 1 евро).
Дополнительные услугиПодробнее
Настроить изображение
Доступно только с оплатой за изображение € 85,00
Нравится изображение, но нужны лишь некоторые изменения? Пусть наши талантливые художники сделают всю работу за вас!
Мы свяжем вас с дизайнером, который сможет внести изменения и отправить вам изображение в выбранном вами формате.
Примеры
Изменить текст
Изменить цвета
Изменение размера до новых размеров
Включить логотип или символ
Добавьте название вашей компании или компании
файлов включены
Информация о загрузке…
Идентификатор изображения
21712037
Цветовой режим
RGB
Художник
СизСВ
Вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Гравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный шаг Скошенный край Матовый полированный
Вольфрам Выпускник 2019 года Выгравированное кольцо с римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированный — Walmart. com
Перейти к основному содержанию
Как вы хотите, чтобы ваши товары?
Zealot Jewelry
47,77 долларов США
47,77 долларов США
47,77 долларов США
Цены могут различаться в Интернете, в магазинах и в приложениях Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного розового золота с матовым серым полированнымВольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Blue Flat Cut Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Flat Cut Матовый серый Полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с выгравированным римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка 18-каратное розовое золото Ступенчатая кромка с краем Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 г. Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Плоский вырез Черный Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Синий Flat Cut Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам выпускной класс 2019 г. Облегающий черный скошенный край, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край с матовым покрытием Черный матовый полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 9 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный матовый полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синее, плоское, матовое, серое, полированное, вольфрам, выпускной класс 2019 года Черный ступенчатый скошенный край, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, черный, скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам с гравировкой Класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Плоский крой Матовый Серый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Матовый Серый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синий купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Купол из желтого золота, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 9 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, черный, плоский, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфорт Fit Black Dome Матовый полированныйTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированныйTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый с плоским вырезом Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серая ступенька Край матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный, ступенька, скошенный край, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный Полированный край, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 7 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, купол из 18-каратного розового золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Купол из желтого золота, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 7 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, 18-каратное розовое золото, полированный вольфрам, выпускной класс, 2019 г. Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18k Купол из розового золота, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 9 мм, для мужчин и женщин, удобная посадка, черный, с плоским вырезом, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Кольцо из полированного розового золота 18 карат 2019 Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из полированного вольфрама с римскими цифрами 7 мм Золотой купол, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс, 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Черный купол, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, 18-каратное розовое золото, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Кольцо Black Dome PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Матовый серый Полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 с римскими цифрами Выгравированное кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Blue Flat Cut Матовый серый PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Синий купол Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый серый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синий купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Edge PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Гравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Step Bevel Edge Матовый серый PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый Ступенчатый скошенный край Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Edge Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скос Edge Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Flat Cut Black PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синее плоское кольцо с гравировкой Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный плоский Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Blue Flat Cut Brushed Grey PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам выпускной класс 2019 года римские цифры выгравированное кольцо 8 мм мужчины женщины комфортная посадка черный ступенчатый скошенный край матовый серый полированный вольфрам выпускной класс 2019 года римские цифры с гравировкой кольцо 8 мм мужчины женщины комфорт Fit Black Step Bevel Edge Brushed Grey PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Dome PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами и гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратная роза Золотой купол, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый, плоский вырез, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Плоский вырез Черный полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Ступенчатый скошенный край, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфорт Fit Black Dome матовый серый полированный вольфрам выпускной класс 2019 года римские цифры выгравированное кольцо 9 мм мужчины женщины комфортная посадка черный плоский вырез матовый полированный вольфрам выпускной класс 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Кольцо из 18-каратного розового золота с гравировкой Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый Полированный Вольфрам с гравировкой Класс 2019 года с римскими цифрами Выгравированное кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный Edge Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Плоский вырез Черный полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Плоский вырез Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Fit Brushed Grey Flat Cut Black PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Край матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый, плоский вырез, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка с синим куполом Матовый серый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка с черным скошенным краем Полированный вольфрам с выпускным классом 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка с синим куполом Матовый Серый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый Серый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый с плоским вырезом Черный полированный вольфрам с гравировкой Класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черное плоское кольцо с гравировкой Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый серый Полированный вольфрам с гравировкой Класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка с черным куполом Матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, синий, плоский вырез, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный скошенный край, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый плоский Черный полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный, скошенный край, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, матовый серый, плоский вырез, черный, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года. Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатая кромка с краем Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфорт Fit Black Dome Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года. Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой Edge PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 римскими цифрами 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 римскими цифрами кольцо с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото купол матовый серый полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Плоский срез Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Flat Cut Матовый Серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с выгравированным римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное желтое золото Купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный плоский вырез Матовый Кольцо PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Grey Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 с гравировкой римскими цифрами Band Ring 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Step Bevel Edge Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам выпускной класс 2019 г. Серый ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами и гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, 18-каратное розовое золото, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам с гравировкой Класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка с черным плоским вырезом Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный крайКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Dome Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черное плоское кольцо с гравировкой Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Купол из полированного вольфрама Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратная роза Золотой ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Ступенчатый скошенный край, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, черный, скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Черный купол, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 7 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, купол из розового золота 18 карат, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый плоский вырез Черный полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Синий Плоский вырез Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, черный, скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Ступенчатый скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый с плоской огранкой Черный полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit с черным куполом Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Плоский вырез Черный Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол, матовый серый полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый серый полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с черным куполом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый плоский вырез Матовый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, синий, плоский, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край с матовым покрытием Черный ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, черный ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Grey Flat Cut Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый с плоской огранкой Черный полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратного желтого золота Купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18k Купол из желтого золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, 18-каратное розовое золото, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Полированный полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit с черным куполом Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit с черным куполом Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка 18-каратного розового золота Ступенчатая кромка со скошенной кромкой Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам выпускной класс 2019 г. Черный Flat Cut Матовый полированныйTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Плоский вырез Черный полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Полированный куполВольфрам Выпускной класс 2019 г. Выгравированное кольцо с римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Плоский вырез Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синее, плоское, матовое, серое, полированное, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Flat Cut Black PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край с матовым серым полированным Вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit купол из 18-каратного желтого золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 7 мм, мужчины, женщины, Comfort Fit, купол из полированного вольфрама, 18-каратного желтого золота, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край с матовым покрытием Серый ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Step Скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Гравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, удобная посадка, черная ступенька, скошенный край, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Fit Black Dome Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Гравированное кольцо 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного желтого золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, синий купол, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Полированный куполВольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное кольцо с римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край с матовым серым полированным Вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 7 мм Мужчины Женщины Комфорт Купол из 18-каратного желтого золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, синий купол, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синий купол, матовый серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 9 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный плоский вырезКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Плоский вырез Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный шаг Скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный Вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Ступенчатый скошенный край из 18-каратного розового золота Матовый полированный Вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, серый, плоский вырез, матовый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный плоский срез Матовый полированный вольфрам с гравировкой класса 2019 Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый шаг Скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного желтого золота ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный шаг Скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый шаг Скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Ступенчатый скошенный край, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г. , римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый ПолированныйTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Grey Flat Cut Матовый серый PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Blue Flat Cut Brushed Grey PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синее, плоское, матовое, серое, полированное, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Fit Blue Flat Cut Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Step Bevel Edge Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный плоский вырез Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Купольный полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка 18-каратного желтого золота Полированный купол
Продается и отгружается Charming Jewellers | ZILLION 8 ENTERPRISES
287 отзывов о продавцах
Политика возврата
Заметили необычную активность на рынке?
Отчет
Преобразователь даты римскими цифрами для преобразования любой даты в римскую
Преобразователь даты римскими цифрами поможет вам перевести любую числовую дату (рождения или свадьбы) в римскую. Преобразование чисел даты в месяц, день и год в римские.
Формат даты
ММ. ДД. ГГ (США) ДД. мм. YY (Европа)YY. мм. DD (IOS)
Римские цифры Преобразователь даты by Duplichecker
Мы разработали конвертер дат в римские цифры, потому что большая часть населения мира использует григорианский календарь, в котором используются математические цифры. Однако нахождение дат римскими цифрами по-прежнему популярно и распространено в римском регионе. Нынешняя форма календаря возникла во времена Ромула в Древнем Риме. Несмотря на популярность григорианского календаря, многим людям по-прежнему важно находить даты в римских цифрах.
Таким образом, конвертер даты в римские цифры здесь для вашего спасения, поскольку он переводит числовые даты в римские цифры, не давая вам никаких хлопот. Конвертер дат в римские цифры позволяет бесплатно конвертировать любую дату в римские цифры. Вам не нужно проходить какой-либо процесс регистрации для использования этого онлайн-инструмента.
Как использовать наш преобразователь даты в римские цифры?
Конвертер римских цифр для преобразования дат онлайн — это простой в использовании инструмент, который не требует от пользователей изучения каких-либо формул. Вы можете начать использовать этот инструмент, как только получите к нему доступ, без каких-либо хлопот. Все, что вам нужно сделать, это выполнить шаги, указанные ниже, для использования этого конвертера даты римских цифр.
Выберите точную дату, месяц, год и выберите формат даты, который вам нужен.
После этого нажмите на кнопку «Конвертировать».
Через несколько секунд инструмент отобразит введенную дату римскими цифрами.
Как вручную преобразовать даты в римские цифры?
Ручное преобразование даты римскими цифрами является беспокойной задачей. Вам нужно будет уделить должное внимание и выполнить шаги, указанные ниже, для преобразования чисел в римские цифры.
Прежде всего, вам нужно найти наибольшее десятичное значение, равное или меньшее десятичного числа и соответствующей ему римской цифры.
Следующим шагом является вычитание самого высокого десятичного значения до тех пор, пока десятичное число не уменьшится до 0.
При вычитании записывайте на каждом этапе самую высокую римскую цифру.
Когда результаты показывают ноль, соответствующее значение римской цифры является окончательным ответом, который вы искали.
Вы можете понять эти шаги на примере, приведенном в таблице ниже.
Десятичное число 2011 можно преобразовать в римские цифры, как показано в этой таблице.
Стадия #
Десятичный Числовой
Наибольшее десятичное значение
Высшая римская Цифра
Результаты
1
1111
1000
М
М
2
1011
1000
М
мм
3
11
10
Икс
ММХ
4
1
1
я
MMXI
История римских цифр
Римские цифры возникли в Древнем Риме, и люди начали использовать их между 800 и 900 годами до нашей эры. Римские цифры включают в себя семь символов, в том числе I, V, X, L, C, D и M. Римские цифры стали играть свою роль, когда метод счета на пальцах вышел из-под контроля.
Система счета римскими цифрами основана на руке человека, в которой я представляю одну единицу или один палец. Точно так же V представляет 5, а X представляет 10. Для больших значений использовались другие символы, чтобы облегчить людям счет. L, C, D и M — символы, представляющие 50, 100, 500 и 1000 соответственно.
Преобразование любой даты события в римские цифры
Преобразователь даты в римские цифры позволяет преобразовать любую дату в ее римскую цифровую версию, например. Каждый хочет выделиться среди конкурентов или сделать что-то необычное для празднования своего события или случая. Вы можете использовать этот инструмент, чтобы сделать это возможным, поскольку вы можете преобразовать дату события в римские цифры и отобразить ее уникальным образом. Будь то корпоративное мероприятие, день рождения или свадьба, этот конвертер дат с римскими цифрами
позволит вам конвертировать столько дат, сколько вы хотите, без каких-либо ограничений. Просто введите дату, выберите формат и нажмите кнопку преобразования, чтобы получить даты в римских цифрах.
Примеры известных дат римскими цифрами
Хотя в большинстве мест даты упоминаются цифрами, во многих областях мы часто сталкиваемся с римскими цифрами, обозначающими даты или годы. Типичным примером являются социальные сети, где люди в качестве моды пишут свой возраст или выпускной римскими цифрами. Кроме того, давайте рассмотрим некоторые известные модели дат, записанные римскими цифрами.
Олимпийские игры 2004 года в Афинах назывались Играми XXVIII Олимпиады, которые представляли собой 28-е игры в наше время.
40-й чемпионат по американскому футболу получил название Super Bowl XL.
Римские цифры также используются для нумерации монархов, таких как король Англии Эдуард VII.
Как написать дату римскими цифрами?
Дата римскими цифрами может быть записана в любом из форматов даты. Месяц, число и год разделяются разделителем, которым может быть точка (. ), тире (-), маркер (•), косая черта (/) и т. д. Дата 28 июня 1999 г. может быть записана римскими цифрами. как:
VI•XXVIII•MCMXCIX
VI/XXVIII/MCMXCIX
VI.XXVIII.MCMXCIX
Таблица римских цифр
римская цифра
Десятичное число
я
1
В
5
Икс
10
л
50
С
100
Д
500
М
1000
Римские цифры Таблица лет
Год
Римская цифра
1000
М
1100
МС
1200
Центр клиентов
1300
МЦСС
1400
МКД
1500
доктор медицины
1600
МДЦ
1700
MDCC
1800
MDCCC
1900 г.
МКМ
1990
MCMXC
1991
MCMXCI
1992 г.
MCMXCII
1993 г.
MCMXCIII
1994 г.
MCMXCIV
1995
MCMXCV
1996 г.
MCMXCVI
1997
MCMXCVII
1998 г.
MCMXCVIII
1999
MCMXCIX
2000 г.
мм
2001
MMI
2002
MMII
2003
ММIII
2004
MMIV
2005
ММВ
2006
ММВИ
2007
ММВII
2008
ММВIII
2009
MMIX
20010
ММХ
20011
MMXI
20012
ММХII
20013
ММХIII
20014
MMXIV
20015
ММХВ
20016
MMXVI
20017
ММXVII
20018
ММXVIII
20019
MMXIX
20020
ММХХ
20021
MMXXI
20022
MMXXII
20023
ММХХIII
20024
MMXXIV
20025
ММХXV
2019 римскими цифрами – Otosection
Чтобы правильно написать 2019 римскими цифрами, вы объединяете значения вместе — самые высокие цифры всегда должны предшествовать младшим цифрам в порядке приоритета, чтобы дать вам правильную письменную комбинацию, как в таблице вверху. до дна- вот так- 2019 Римскими цифрами
Ниже приводится список литературы для чтения 2019 Римскими цифрами лучших После простого добавления синтаксиса мы могли бы создать одну статью в таком количестве 100% дружественных к читателю изданий, какое вам может понравиться, чтобы любой из нас объяснил, а также настоящее Написание статей — это очень весело для вашего аккаунта. Все мы получаем много интересных фотографий Cool about 2019 In Roman Numbers , но большинство из нас показывают только то, что мы считаем лучшим чтением.
Римские цифры 2019 Ник Он Дриббл
Чтобы правильно написать 2019 год римскими цифрами, нужно объединить значения вместе. старшие цифры всегда должны предшествовать младшим цифрам в порядке старшинства, чтобы дать вам правильную письменную комбинацию, как в таблице выше (сверху вниз). как это:. Mmxix представляет число 2019 римскими цифрами. Чтобы преобразовать 2019 в римские цифры, напишите 2019 в расширенной форме, то есть 2019 = 1000 1000 10 (10 – 1), затем замените измененные числа соответствующими римскими цифрами, чтобы получить 2019= m m x (x – i) = mmxix. Преобразуйте 2019 в римскую цифру. что такое 2019 римскими цифрами? как написать 2019 римскими цифрами? введите обычный номер в поле, и он будет преобразован автоматически. Здесь текущая дата и время написаны римскими цифрами. поскольку в римской системе счисления нет нуля, час, минута и секунда в метках времени иногда становятся пустыми. 2019 год 2019 год начался во вторник и не был високосным. здесь вы можете прочитать больше о том, что произошло в 2019 году. число 2019. 2019 римскими цифрами 2019 римскими цифрами это mmxix. чтобы преобразовать 2019 год в римские цифры, напишем 2019 год в развернутом виде, т.е. 2019 = 1000 1000 10 (10 1) после чего заменив преобразованные числа соответствующими им римскими цифрами, получим 2019 = m m x (x i) = mmxix.
Happy New Year 2019 римские цифры черная татуировка Zazzle
Римские цифры. римские цифры произошли от системы счисления древнего рима. например, x означает 10, xxiii означает 23, xvii означает 17 в арабском числе. 2022 римскими цифрами — mmxxii, а 2021 — римскими цифрами mmxxi. первые десять римских цифр — это i, ii, iii, iv, v, vi, vii, viii, ix и x. Последние десять преобразований календарных дат в римские цифры. даты конвертируются в римские цифры; 8 октября 2017 г. = x • viii • mmxvii: 11 сентября, 08:19(бст). Этот простой конвертер римских цифр можно использовать в любое время для преобразования чисел в римские цифры. если вам нужно преобразовать арабские цифры в римские, просто введите число в поле справа и нажмите кнопку «преобразовать в римские». вы получите точное представление числа римскими цифрами.
Загружаемые таблицы римских цифр в 2020 году Татуировка с римскими цифрами
Захвачено с помощью Lightshot Римские цифры Диаграмма Римские цифры Римские
Ниже приводится список чтения 2019 года римскими цифрами лучшее После простого добавления синтаксиса мы можем создать одну статью в столько 100% дружественных к читателю изданий, сколько вам может понравиться, что любой из нас объяснит, а также представит Написание статей — это много. удовольствия на свой счет. Все мы получаем огромное количество Cool about 2019 римскими цифрами интересная фотография, но большинство из нас показывают только то, что мы считаем лучшим чтением.
2019 римскими цифрами
В этом видео мы рассмотрим римские цифры для 2019 года. В сегодняшнем уроке вы узнаете, как печатать римские цифры в Word 2019. В сегодняшнем уроке мы научим вас, как печатать римские цифры «резлорд» — это первый сингл из Каира. Дебютный альбом Knife Fight «The Colossus» выйдет 29 мая2015 в Новой Зеландии и Австралии. Spotify: Песня: Кьюн Мера Дил Исполнители: Аднан Сами Музыка: Химеш Решаммия Слова: Самер Режиссер: Аруна Радже Фильм: tum chromazz baddie prod. by: instagram skyywalker gme shot by themen der sendung: angriff auf die «schwarze null» wie die spd um wählerstimmen kämpft, regierungskrise in italien Профессор Роберт Макмиллен показывает вам, как изменить номера страниц на буквы или римские цифры в Word 2019.
как найти общее решение системы линейных уравнений
Вы искали как найти общее решение системы линейных уравнений? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «как найти общее решение системы линейных уравнений».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как как найти общее решение системы линейных уравнений,найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений,найти общее решение системы линейных уравнений найти частное решение,общее и частное решение системы линейных уравнений,общие и частные решения отличаются по,системы линейных уравнений частное и общее решение,слау примеры решения,частное и общее решение системы линейных уравнений. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти общее решение системы линейных уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, найти общее решение системы линейных уравнений найти частное решение).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти общее решение системы линейных уравнений Онлайн?
Решить задачу как найти общее решение системы линейных уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
2.3.6. Примеры решения задач по теме «Системы уравнений общего вида. Мет
Задача 1.
Указать базисный минор матрицы
Указание
Определите вначале ранг матрицы А, а затем найдите ненулевой минор, порядок которого равен R(A).
Решение
Определим R(A). Вторая и четвертая строки А равны, поэтому после вычитания из 4-й строки 2-й получаем:
Вычислим минор полученной матрицы, составленный из первых трех столбцов:
Таким образом, найден минор максимально возможного (3-го) порядка, не равный нулю. Следовательно, ранг матрицы А равен рангу преобразованной матрицы, то есть равен 3, а рассмотренный минор является базисным.
Ответ:
Задача 2.
Определить количество решений системы линейных уравнений
.
Указание
Сравните ранги матрицы системы и расширенной матрицы.
Решение
Сравним ранги матрицы системы
И расширенной матрицы
.
Для удобства вычислений будем искать ранг матрицы А1, отделив ее последний столбец вертикальной чертой. Тогда столбцы, стоящие слева от черты, образуют матрицу А, и мы одновременно найдем ранги обеих матриц.
А1 ~ .
Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – первую, умноженную на 3:
А1 ~ ~ .
Таким образом, R(A) = 2, a R(A1) = 3, следовательно, система не имеет решений.
Ответ: система несовместна.
Задача 3.
Найти общее решение линейной системы
.
Указание
Убедившись в том, что система совместна, определите базисные и свободные неизвестные и выразите базисные неизвестные через свободные.
Решение
Найдем R(A) и R(A1):
Итак, R = R(A) = R(A1) = 2, а число неизвестных П = 5. Следовательно, R < N, и система имеет бесконечно много решений (совместна, но не определена).
Число базисных неизвестных равно R, то есть двум. Выберем в качестве базисных неизвестных Х1 и Х2, коэффициенты при которых входят в базисный минор преобразованной матрицы А: .
Соответственно Х3, Х4, Х5 – свободные неизвестные.
Запишем систему, равносильную исходной, коэффициентами в которой являются элементы полученной матрицы:
И выразим базисные неизвестные через свободные:
.
Получено общее решение системы. Одно из частных решений можно найти, положив все свободные неизвестные равными нулю: Х3 = Х4 = Х5 = 0. Тогда
Ответ:
Задача 4.
Найти общее решение системы, выразив в ответе первые неизвестные через последние:
Указание
Приведите расширенную матрицу к виду
Решение
Минор, состоящий из первых трех столбцов полученной матрицы,
Поэтому R(A) = R(A1) = 3, выбранный минор является базисным, а Х1, Х2, Х3, коэффициенты при которых составляют базисный минор, – базисными неизвестными. Тогда свободное неизвестное – Х4, и система, равносильная исходной, имеет вид:
Откуда
Ответ:
Задача 5.
Найти фундаментальную систему решений однородной линейной системы
Указание
Количество решений, образующих фундаментальную систему, равно числу
Свободных неизвестных. Задайте свободным неизвестным значения 1,0,0; 0,1,0; 0,0,1 и вычислите соответствующие значения базисных неизвестных.
Решение
Количество решений, образующих фундаментальную систему, равно числу
Свободных неизвестных.
Матрица А1 отличается от матрицы А только добавлением нулевого столбца свободных членов, поэтому все ее ненулевые миноры являются минорами матрицы А, то есть R(A) = R(A1). Найдем R(A):
Выберем в качестве базисного минора
Значит, R(A) = 2. Пусть Х4, Х5 – базисные неизвестные, Х1, Х2, Х3 – свободные неизвестные. Запишем для них новую систему:
Откуда
Фундаментальная система решений состоит из трех столбцов. Рассмотрим три набора значений свободных неизвестных:
1) Х1 = 1, Х2 = Х3 = 0.
Тогда Х4 = -0,2, Х5 = 1,2, и решение можно записать в виде столбца
2) Х1 = 0, Х2 = 1, Х3 = 0.
При этом Х4 = 1,2, Х5 = 3,8, и следующее решение системы имеет вид
3) Х1 = Х2 = 0, Х3 = 1. Отсюда Х4 = -0,8, Х5 = -0,2, и последний столбец
Фундаментальная система решений, построенная при таком выборе свободных неизвестных, называется Нормальной. Поскольку столбцы свободных неизвестных , , линейно независимы, это гарантирует линейную независимость решений Х1, Х2, Х3.
Итак, в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать
При этом любое решение данной системы имеет вид: Х = с1Х1 + С2Х2 + С3Х3, где С1, С2, С3 – произвольные постоянные. Эта формула задает общее решение системы.
Ответ:
Задача 6.
Составить однородную систему из двух уравнений, для которой столбцы
Образуют фундаментальную систему решений.
Указание
Пусть искомая система имеет вид:
Подставьте вместо Х1, …, Х5 элементы столбцов Х1, Х2, Х3 и решите полученную систему уравнений для коэффициентов Aij.
Решение
Существует бесконечно много систем однородных линейных уравнений, для каждой из которых фундаментальная система решений имеет указанный вид. Число уравнений в таких системах может быть различным. При этом можно указать их наименьшее требуемое количество, а увеличивать их число можно неограниченно.
Определим вначале, из какого наименьшего числа уравнений может состоять такая система.
Число элементов каждого столбца равно пяти, следовательно, в системе пять неизвестных (П = 5). Количество столбцов, составляющих фундаментальную систему, равно трем, то есть N– R = 3, поэтому R = 5 – 3 = 2. Значит, матрица А должна иметь по крайней мере 2 строки. Следовательно, система уравнений с заданной фундаментальной системой решений может состоять из двух и более уравнений.
Пусть искомая система имеет вид:
Подставим вместо Х1, …, Х5 элементы столбцов Х1, Х2, Х3. Получим:
Разобьем полученные 6 уравнений на две системы, одна из которых содержит A1I, а вторая – A2I:
Найдем какое-либо частное решение этой системы. Приведем ее матрицу к треугольному виду:
Итак, используя найденные значения коэффициентов, можно составить линейную однородную систему:
Фундаментальная система решений которой имеет вид, приведенный в условии задачи.
Ответ:
Задача 7.
Найти общее решение неоднородной линейной системы
С помощью фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы.
Указание
Убедитесь в том, что система совместна. Затем составьте соответствующую однородную систему и найдите для нее фундаментальную систему решений. Далее используйте то, что общее решение неоднородной системы линейных уравнений является суммой общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы.
Решение
Убедимся в том, что система совместна:
Итак, R(A) = R(A1) = 2 – система совместна.
Составим по преобразованной матрице однородную систему:
И найдем для нее фундаментальную систему решений:
Фундаментальная система решений может быть выбрана так:
Общее решение неоднородной системы линейных уравнений является суммой общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной системы.
Теперь найдем какое-нибудь частное решение неоднородной системы
Положим Х3 = Х4 = Х5 = 0, тогда . Следовательно,
и общее решение системы имеет вид:
Х = с1Х1 + С2Х2 + С3Х3 + Хчастн, где С1, С2, С3 – произвольные постоянные.
Ответ:
Задача 8.
Решить систему методом Гаусса:
.
Указание
Поменяйте местами 1-е и 2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при Х равнялся единице, а затем исключите Х из второго и третьего уравнений.
Решение
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для удобства его применения поменяем местами 1-е и
2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при Х равнялся единице:
Теперь исключим Х из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3, а из третьего – первое, умноженное на 2:
Далее можно легко исключить Z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе:
Из последнего уравнения получаем, что У = 0. Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: Z = 3, Х = 1.
Ответ:Х = 1, У = 0, Z = 3.
При применении метода Гаусса совсем не обязательно приводить систему к «классическому» треугольному виду:
.
Достаточно, чтобы матрица коэффициентов, например, системы трех уравнений с тремя неизвестными содержала два нуля в одном столбце и одновременно два нуля в одной строке, причем один из нулей стоял на пересечении этих строки и столбца.
Задача 9.
Решить систему методом Гаусса:
Указание
Исключите Х2 из 2-го и 4-го уравнений, используя 1-е уравнение, а затем вычтите из 3-го уравнения 2-е, чтобы исключить Х3.
Решение
Исключим Х2 из 2-го и 4-го уравнений. Для этого из 2-го уравнения вычтем 1-е, а к 4-му прибавим 1-е, умноженное на 2:
Вычтем из 3-го уравнения 2-е, чтобы исключить Х3:
Теперь вычтем из 4-го уравнения удвоенное 3-е:
Из последнего уравнения находим . Тогда из 3-го уравнения Х1 = 0, из 2-го , из 1-го Х2 = 2.
Ответ:
< Предыдущая
Следующая >
Как решать однородные слау. Что такое однородная система линейных уравнений? Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений
Системы линейных уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, называются однородными :
Любая однородная система всегда совместна, поскольку всегда обладает нулевым (тривиальным ) решением. Возникает вопрос, при каких условиях однородная система будет иметь нетривиальное решение.
Теорема 5.2. Однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы меньше числа ее неизвестных.
Следствие . Квадратная однородная система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы не равен нулю.
Пример 5.6. Определить значения параметра l, при которых система имеет нетривиальные решения, и найти эти решения:
Решение . Эта система будет иметь нетривиальное решение тогда, когда определитель основной матрицы равен нулю:
Таким образом, система нетривиальна, когда l=3 или l=2. При l=3 ранг основной матрицы системы равен 1. Тогда оставляя только одно уравнение и полагая, что y =a и z =b , получим x=b-a , т.е.
При l=2 ранг основной матрицы системы равен 2. Тогда, выбирая в качестве базисного минор:
получим упрощенную систему
Отсюда находим, что x=z /4, y=z /2. Полагая z =4a , получим
Множество всех решений однородной системы обладает весьма важным линейным свойством : если столбцы X 1 и X 2 — решения однородной системы AX = 0 , то всякая их линейная комбинация aX 1 + bX 2 также будет решением этой системы . Действительно, поскольку AX 1 = 0 и AX 2 = 0 , то A (aX 1 + bX 2) = aAX 1 + bAX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Именно вследствие этого свойства, если линейная система имеет более одного решения, то этих решений будет бесконечно много.
Линейно независимые столбцы E 1 , E 2 , E k , являющиеся решениями однородной системы, называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений, если общее решение этой системы можно записать в виде линейной комбинации этих столбцов:
Если однородная система имеет n переменных, а ранг основной матрицы системы равен r , то k = n-r .
Пример 5.7. Найти фундаментальную систему решений следующей системы линейных уравнений:
Решение . Найдем ранг основной матрицы системы:
Таким образом, множество решений данной системы уравнений образует линейное подпространство размерности n — r = 5 — 2 = 3. Выберем в качестве базисного минор
Тогда оставляя только базисные уравнения (остальные будут линейной комбинацией этих уравнений) и базисные переменные (осталь-ные, так называемые свободные, переменные переносим вправо), по-лучим упрощенную систему уравнений:
Полагая, x 3 = a , x 4 = b , x 5 = c , находим
Полагая a = 1, b = c = 0, получим первое базисное решение; полагая b = 1, a = c = 0, получим второе базисное решение; полагая c = 1, a = b = 0, получим третье базисное решение. В результате, нормальная фундаментальная система решений примет вид
С использованием фундаментальной системы общее решение однородной системы можно записать в виде
X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à
Отметим некоторые свойства решений неоднородной системы линейных уравнений AX=B и их взаимосвязь соответствующей однородной системой уравнений AX = 0.
Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующей однородной системы AX = 0 и произвольного частного решения неоднородной системы . Действительно, пусть Y 0 произвольное частное решение неоднородной системы, т.е. AY 0 = B , и Y — общее решение неоднородной системы, т.е. AY = B . Вычитая одно равенство из другого, получим A (Y-Y 0) = 0, т.е. Y — Y 0 есть общее решение соответствующей однородной системы AX =0. Следовательно, Y — Y 0 = X , или Y = Y 0 + X . Что и требовалось доказать.
Пусть неоднородная система имеет вид AX = B 1 + B 2 . Тогда общее решение такой системы можно записать в виде X = X 1 + X 2 , где AX 1 = B 1 и AX 2 = B 2 . Это свойство выражает универсальное свойство вообще любых линейных систем (алгебраических, дифференциальных, функциональных и т.д.). В физике это свойство называется принципом суперпозиции , в электро- и радиотехнике — принципом наложения . Например, в теории линейных электрических цепей ток в любом контуре может быть получен как алгебраическая сумма токов, вызываемых каждым источником энергии в отдельности.
Линейная система называется однородной ,
если все ее свободные члены равны 0.
В матричном виде однородная система
записывается: .
Однородная система (2) всегда совместна .
Очевидно, что набор чисел , ,
…, удовлетворяет каждому уравнению
системы. Решение называетсянулевым илитривиальным решением. Таким образом, однородная
система всегда имеет нулевое решение.
При каких условиях однородная
система (2) будет иметь ненулевые
(нетривиальные) решения?
Теорема 1.3 Однородная система
(2)имеет ненулевые решения тогда
и только тогда, когда рангr ее основной матрицыменьше числа неизвестныхn .
Система (2) – неопределенная .
Следствие 1. Если число уравненийm однородной
системы меньше числа переменных ,
то система является неопределенной и
имеет множество ненулевых решений.
Следствие 2. Квадратная однородная
система имеет ненулевые решения тогда и тогда,
когда основная матрица этой системывырождена, т.е. определитель .
В противном случае, если определитель ,
квадратная однородная система имеетединственное нулевое решение .
Пусть ранг системы (2) т. е система (2) имеет нетривиальные
решения.
Пусть
и- частные решения этой системы, т.е. и .
Свойства решений однородной
системы
Действительно,
.
Действительно,
.
Объединяя, свойства 1) и 2), можно
сказать, что если
…, — решения однородной системы (2), то и
всякая их линейная комбинация-
также является ее решением. Здесь —
произвольные действительные числа.
Можно найти линейно независимых частных решений однородной системы (2), с помощью которых
можно получить любое другое частное
решение данной системы, т.е. получить
общее решение системы (2).
Определение 2.2 Совокупность линейно независимых частных решений
…, однородной системы (2) таких, что каждое
решение системы (2) можно представить
в виде их линейной комбинации, называетсяфундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы (2).
Пусть
…, — фундаментальная система решений, тогда
общее решение однородной системы (2)
можно представить в виде:
Где
.
Замечание. Чтобы получить
ФСР, нужно найти частные решения
…, ,
придавая поочередно какой-либо одной
свободной переменной значение «1», а
всем остальным свободным переменным –
значения «0».
Получим
,,
…,- ФСР.
Пример. Найти общее решение и
фундаментальную систему решений
однородной системы уравнений:
Решение. Запишем расширенную
матрицу системы, предварительно поставив
на первое место последнее уравнение
системы, и приведем ее к ступенчатому
виду. Поскольку правые части уравнений
в результате элементарных преобразований
не меняются, оставаясь нулями, столбец
можно не выписывать.
̴ ̴ ̴
Ранг системы
где — число переменных. Система неопределенная,
имеет множество решений.
Базисный минор при переменных отличен
от нуля: выбираем в качестве базисных переменных, остальные — свободные переменные (принимают любые
действительные значения).
Последней в цепочке матрице
соответствует ступенчатая система
уравнений:
(3)
Выразим базисные переменные через свободные переменные (обратный ход метода Гаусса).
Из последнего уравнения выразим
: и подставим в первое уравнение. Получим.
Раскроем скобки, приведем подобные и
выразим: .
Полагая , , ,
где ,
запишем
— общее решение системы.
Найдем фундаментальную систему
решений
,,.
Тогда общее решение однородной системы
можно записать в виде:
Замечание. ФСР можно было найти
другим путем, без предварительного
отыскания общего решения системы. Для
этого полученную ступенчатую систему
(3) нужно было решить трижды, полагая
для: ;
для: ;
для: .
Однородная
система
всегда совместна и имеет тривиальное
решение .
Для существования нетривиального
решения необходимо, чтобы ранг матрицыбыл меньше числа неизвестных:
.
Фундаментальной
системой решений однородной системы называют систему решений в виде
векторов-столбцов ,
которые соответствуют каноническому
базису, т.е. базису, в котором произвольные
постоянные поочередно полагаются равными единице,
тогда как остальные приравниваются
нулю.
Тогда
общее решение однородной системы имеет
вид:
где — произвольные постоянные. Другими
словами, общее решение есть линейная
комбинация фундаментальной системы
решений.
Таким
образом, базисные решения могут быть
получены из общего решения, если свободным
неизвестным поочередно придавать
значение единицы, полагая все остальные
равные нулю.
Пример .
Найдем решение системы
Примем
,
тогда получим решение в виде:
Построим
теперь фундаментальную систему решений:
.
Общее
решение запишется в виде:
Решения
системы однородных линейных уравнений
имеют свойства:
Другими
словами, любая линейная комбинация
решений однородной системы есть опять
решение.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Решение
систем линейных уравнений интересует
математиков несколько столетий. Первые
результаты были получены в XVIII
веке. В 1750 г. Г.Крамер (1704 –1752) опубликовал
свои труды по детерминантам квадратных
матриц и предложил алгоритм нахождения
обратной матрицы. В 1809 г. Гаусс изложил
новый метод решения, известный как метод
исключения.
Метод
Гаусса, или метод последовательного
исключения неизвестных, заключается в
том, что с помощью элементарных
преобразований система уравнений
приводится к равносильной системе
ступенчатого (или треугольного) вида.
Такие системы позволяют последовательно
находить все неизвестные в определенном
порядке.
Предположим,
что в системе (1) (что всегда возможно).
(1)
Умножая
поочередно первое уравнение на так
называемые подходящие
числа
и
складывая результат умножения с
соответствующими уравнениями системы,
мы получим эквивалентную систему, в
которой во всех уравнениях, кроме
первого, будет отсутствовать неизвестная х 1
(2)
Умножим
теперь второе уравнение системы (2) на
подходящие числа, полагая, что
,
и
складывая его с нижестоящими, исключим
переменную
из всех уравнений, начиная с третьего.
Продолжая
этот процесс, после шага мы получим:
(3)
Если
хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее
равенство противоречиво и система (1)
несовместна. Обратно, для любой совместной
системы числа равны нулю. Число- это ни что иное, как ранг матрицы системы
(1).
Переход
от системы (1) к (3) называется прямым
ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных
из (3) – обратным
ходом .
Замечание :
Преобразования удобнее производить не
с самими уравнениями, а с расширенной
матрицей системы (1).
Пример .
Найдем решение системы
.
Запишем
расширенную матрицу системы:
.
Прибавим к строкам
2,3,4 первую, умноженную на (-2), (-3), (-2)
соответственно:
.
Поменяем
строки 2 и 3 местами, затем в получившейся
матрице добавим к строке 4 строку 2,
умноженную на
:
.
Прибавим
к строке 4 строку 3, умноженную на :
.
Очевидно,
что ,
следовательно, система совместна. Из
полученной системы уравнений
находим
решение обратной подстановкой:
, , , .
Пример
2. Найти
решение системы:
.
Очевидно,
что система несовместна, т.к. ,
а .
Достоинства
метода Гаусса :
Менее
трудоемкий, чем метод Крамера.
Однозначно
устанавливает совместность системы и
позволяет найти решение.
Дает
возможность определить ранг любых
матриц.
Пример 1
. Найти общее решение и какую-нибудь фундаментальную систему решений для системы
Решение находим с помощью калькулятора . Алгоритм решения такой же, как и для систем линейных неоднородных уравнений. Оперируя только со строками, находим ранг матрицы, базисный минор; объявляем зависимые и свободные неизвестные и находим общее решение.
Первая и вторая строки пропорциональны, одну из них вычеркнем:
. Зависимые переменные – x 2 , x 3 , x 5 , свободные – x 1 , x 4 . Из первого уравнения 10x 5 = 0 находим x 5 = 0, тогда ; . Общее решение имеет вид:
Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=3, следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми. Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 2. Достаточно придать свободным неизвестным x 1 и x 4 значения из строк определителя второго порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 2 , x 3 , x 5 . Простейшим определителем, отличным от нуля, является . Таким образом, первое решение: , второе – . Эти два решения составляют фундаментальную систему решений. Заметим, что фундаментальная система не единственна (определителей, отличных от нуля, можно составить сколько угодно).
Пример 2
. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы Решение.
, отсюда следует, что ранг матрицы равен 3 и равен числу неизвестных. Значит, система не имеет свободных неизвестных, а поэтому имеет единственное решение – тривиальное.
Задание
. Исследовать и решить систему линейных уравнений. Пример 4
Задание
. Найти общее и частное решения каждой системы. Решение. Выпишем основную матрицу системы:
5
-2
9
-4
-1
1
4
2
2
-5
6
2
11
-2
-6
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Умножим 2-ую строку на (-5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0
-22
-1
-14
24
1
4
2
2
-5
6
2
11
-2
-6
Умножим 2-ую строку на (6). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой: Найдем ранг матрицы.
0
22
1
14
-24
6
2
11
-2
-6
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 – зависимые (базисные), а x 3 ,x 4 ,x 5 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
0
22
14
-1
-24
6
2
-2
-11
-6
x 1
x 2
x 4
x 3
x 5
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: 22x 2 = 14x 4 — x 3 — 24x 5 6x 1 + 2x 2 = — 2x 4 — 11x 3 — 6x 5 Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение : Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 через свободные x 3 ,x 4 ,x 5 , то есть нашли общее решение : x 2 = 0.64x 4 — 0.0455x 3 — 1.09x 5 x 1 = — 0.55x 4 — 1.82x 3 — 0.64x 5 Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=2, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 3-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми. Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 3. Достаточно придать свободным неизвестным x 3 ,x 4 ,x 5 значения из строк определителя 3-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x 1 ,x 2 . Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.
Задача
. Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений.
Линейное уравнение называется однородным , если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:
Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема . Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных .
Доказательство : Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .
Следствие 1 : Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.
Доказательство : Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.
Следствие 2 : Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.
Доказательство : Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение. Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е. .
Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Однородная система линейных алгебраических уравнений .
Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A (n. Всякая лин. комбинация
решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы.
Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме
общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.
7.Линейные пространства. Подпространства. Базис, размерность. Линейная оболочка. Линейное пространство называется n-мерным , если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.
Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов ).
Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если — базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.
Действительно, размерность пространства равна . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора , получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.
Частное решение — это… Что такое Частное решение?
Частное решение
дифференциального уравнения F (x, y, y’,…, у (n)) = 0, решение у = φ(х),получающееся из общего решения (См. Общее решение) у = φ(х, C1,…, Cn) этого уравнения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных C1,…, Cn. Например, общее решение уравнения у» + у = 0 есть у = C1cosx + C2sinx; полагая C1 = 2, C2 = —1, получим Ч. р. этого уравнения у = 2cosx — sinx.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
1969—1978.
Частное право
Частный поверенный
Смотреть что такое «Частное решение» в других словарях:
ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ — дифференциального уравнения решение, получающееся из общего решения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных … Большой Энциклопедический словарь
частное решение — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN partial solutionparticular solutionspecific solution … Справочник технического переводчика
частное решение — дифференциального уравнения, решение, получающееся из общего решения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных. * * * ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения, решение, получающееся из общего решения при некотором … Энциклопедический словарь
частное решение — atskirasis sprendinys statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. partial solution; particular solution vok. Einzellösung, f; Partiallösung, f; partikuläre Lösung, f rus. частное решение, n pranc. solution particulière, f … Fizikos terminų žodynas
ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ — дифференциального уравнения, решение, получающееся из общего решения при нек ром конкретном выборе произвольных постоянных … Естествознание. Энциклопедический словарь
Частное решение — Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида обращает его в верное тождество на интервале . См. также Общее решение дифференциального уравнения … Википедия
Частное решение — особый вид решения на охрану ГГ, принимаемый начальником (командиром) пограничного соединения, воинской части в случае изменения обстановки на охраняемом участке ГГ. Оформляется приказом (распоряжением), в котором ставятся новые или уточняются… … Пограничный словарь
Частное решение дифференциального уравнения — Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция , которая при подстановке в уравнение вида обращает его в верное тождество на интервале . Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое… … Википедия
Решение систем линейных алгебраических уравнений — Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Содержание 1 Однородные системы 1.1 Пример … Википедия
Решение СЛАУ: ФСР — Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Содержание 1 Однородные системы 1.1 Пример 2 Неоднородные системы … Википедия
Общее решение системы линейных уравнений — Студопедия.Нет
Решение систем линейных уравнений
Дана система линейных уравнений с неизвестными:
где — коэффициенты, стоящие перед неизвестными; — свободные члены системы ( ).
Прямоугольная таблица чисел:
,
составленная из коэффициентов, стоящих перед неизвестными, называется матрицей системы.
Матрица, получаемая приписыванием к матрице системы столбца свободных членов, называется расширенной матрицей:
Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, то такая система будет совместной. Совместной называется система, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система может иметь либо одно решение (называется определенной), либо бесконечно много решений (называется неопределенной). Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной. Если система уравнений содержит уравнение:
называемое противоречивым, то она несовместна.
Две системы, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Если в системе вычеркнуть одно или несколько уравнений:
называемых тривиальными, то получим систему уравнений, равносильную исходной.
Рассмотрим решение системы уравнений тремя способами: по формулам Крамера, матричным способом и методом исключения неизвестных – методом Гаусса.
Формулы Крамера
Система линейных уравнений, имеющая число уравнений, равное числу неизвестных , и определитель матрицы системы, отличный от нуля, имеет единственное решение.
Определитель, элементами которого являются коэффициенты, стоящие перед неизвестными, называется определителем системы:
Вспомогательные определители: …, составляются путем замены в определителе системы соответствующего столбца столбцом, состоящим из свободных членов:
Решение системы уравнений находится по формулам Крамера:
…,
Если определитель системы , то система имеет единственное решение (совместна и определенна). Если определитель системы и все вспомогательные определители …, также равны нулю, то такая система является совместной и имеет бесконечно много решений (неопределенна). Если определитель системы , но хотя бы один из вспомогательных определителей …, отличен от нуля, то такая система не имеет решений (несовместна или противоречива).
Пример 3.1. Решить систему уравнений:
Решение. Вычислим определитель системы уравнений:
Определитель системы отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера.
Вычислим вспомогательные определители:
По формулам Крамера находим решение системы:
Матричный способ
Запишем матрицу системы, т.е. матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных
матрица, составленная из величин , называется матрицей-столбцом свободных членов. Составим еще матрицу-столбец неизвестных:
Тогда система уравнений в матричной форме примет вид:
Если то получим решение матричного уравнения:
На данной формуле и основан матричный способ решения систем линейных уравнений.
Пример 3.2. Решить матричным способом систему уравнений:
Решение. Для данной системы
Матрица, обратная к матрице , имеет вид:
Подставляя в формулу для решения матричного уравнения, имеем:
Таким образом,
Метод исключения неизвестных – метод Гаусса
Рассмотрим систему m – линейных уравнений с n – неизвестными:
Суть метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приводится к равносильной матрице ступенчатого (треугольного или трапецеидального) вида. Это и есть прямой ход метода Гаусса.
На основании полученной ступенчатой матрицы составляется новая система уравнений, равносильная исходной, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, находятся все неизвестные; это суть обратного хода метода Гаусса.
Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:
или
где – числа, отличные от нуля.
Элементарные преобразования матрицы:
1) отбрасывание строки, в которой все элементы равны нулю;
2) умножение всех элементов строки матрицы на число, не равное нулю;
3) изменение порядка строк матрицы;
4) прибавление к каждому элементу одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на любое число.
Пример 3.3. Методом Гаусса решить систему уравнений:
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:
вычитая из элементов 3-й строки элементы 1-й, а из элементов 2-й строки элементы 1-й, умноженные на два, получим: Вычтем из элементов 2-й строки элементы 3-й, умноженные на семь, и поменяем местами 2-ю и 3-ю строки: Запишем систему уравнений с новыми коэффициентами:
Применим обратный ход метода Гаусса:
Решение системы:
Общее решение системы линейных уравнений
Неизвестное называется разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит с коэффициентом единица, а во всех остальных уравнениях системы неизвестное не содержится, т.е. содержится с коэффициентом нуль.
Система уравнений называется разрешенной, если каждое ее уравнение содержит разрешенное неизвестное. Например, система уравнений:
является разрешенной, так как неизвестные , и – разрешенные.
Если из каждого уравнения разрешенной системы уравнений выбрать по одному разрешенному неизвестному, то получим набор разрешенных неизвестных. Все остальные неизвестные будут называться свободными. В данной системе уравнений и – свободные неизвестные.
Общим решением совместной системы уравнений называется равносильная ей разрешенная система, в которой разрешенные неизвестные выражены через свободные. Если в общем решении свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то получим решение данной системы, называемое частным.
Общее решение системы уравнений можно получить с помощью формул Крамера или методом Гаусса.
Пример 3.4. Исследоватьнасовместность,найти общее решение и одно частное решение системы уравнений с помощью формул Крамера:
Решение.
1.Запишем расширенную матрицу, найдем ее ранг и одновременно ранг матрицы системы уравнений:
~ ~
Таким образом, ранги матриц совпадают и равны 2. Следовательно, система уравнений является совместной.
2.Выберем минор , составленный из коэффициентов, стоящих перед неизвестными и первого и третьего уравнений. Этот минор отличен от нуля и его порядок равен рангу матрицы системы.
3.Выпишем первое и третье уравнения данной системы, содержащие строки минора M:
В этих уравнениях оставим в левой части неизвестные и , а остальные неизвестные перенесем в правую часть:
4.Решим полученную систему уравнений по формулам Крамера:
Запишем общее решение данной системы уравнений: Если свободные неизвестные положить , , то из общего решения находим , . Следовательно, , , , – частное решение исходной системы уравнений.
Пример 3.5. Найти с помощью метода Гаусса общее решение и одно частное решение системы уравнений:
Решение. Запишем систему уравнений в виде таблицы:
1.Данная система не содержит противоречивых и тривиальных уравнений. Первое уравнение не содержит разрешенного неизвестного. Неизвестное входит в это уравнение с коэффициентом единица. С помощью элементарных преобразований исключим из других уравнений и получим следующую систему уравнений:
2.Полученная система не содержит противоречивых и тривиальных уравнений. Третье уравнение содержит неизвестное с коэффициентом единица. Исключим неизвестное из остальных уравнений с помощью элементарных преобразований:
3.Данная система уравнений не содержит противоречивых и тривиальных уравнений. Она не является разрешенной, так как второе уравнение не содержит разрешенного неизвестного. Разделим это уравнение на -3:
С помощью элементарных преобразований исключим неизвестное из третьего и четвертого уравнений:
Запишем полученную разрешенную систему:
в которой ,,–разрешенные неизвестные, а , – свободные неизвестные. Общее решение исходной системы уравнений имеет вид:
Если положить ==0, то частное решение исходной системы будет выглядеть следующим образом: = — 2; = 5; = 0; = -3; = 0.
Задания для самостоятельного решения:
Решить следующие системы уравнений:
3.1. 3.2. 3.3.
3.4. 3.5. 3.6.
3.7. 3.8. 3.9.
3.10. 3.11. 3.12.
3.13. 3.14. 3.15.
3.16. 3.17. 3.18.
3.19. 3.20. 3.21.
3.22. 3.23. 3.24.
3.25. 3.26. 3.27.
3.28. 3.29. 3.30.
3.31. 3.32. 3.33.
3.34. 3.35. 3.36.
3.37. 3.38. 3.39.
3.40. 3.41. 3.42.
3.43. 3.44. 3.45.
3.46. 3.47.
Общее решение системы уравнений
В ваших классах алгебры, если система уравнений имеет бесконечно много решений, вы просто напишете «бесконечно много решений» и перейдете к следующей задаче. Однако когда мы говорим «бесконечно много решений», происходит гораздо больше. В этой статье мы рассмотрим эту идею с общими решениями.
реклама
Содержание:
Написание общего решения
Нахождение конкретных решений на основе общего решения
Краткое описание шагов
Выписка общего решения
Во-первых, давайте рассмотрим, как записать общее решение данной системы уравнений.Для этого рассмотрим пример.
Остальные переменные — это свободных переменных , что означает, что они могут принимать любое значение.Значения \ (x_1 \) и \ (x_2 \) основаны на значениях этих двух переменных. В общем решении вы хотите это отметить.
Существует бесконечно много решений этой системы уравнений, все из которых используют разные значения двух свободных переменных.
Поиск конкретных решений
Предположим, вы хотите привести пример конкретного решения системы уравнений выше. Их бесконечно много, так что у вас есть большой выбор! Вам просто нужно рассмотреть возможные значения свободных переменных.
Пример решения
Лет:
\ ( \ begin {array} {l} x_3 = 0 \\ x_4 = 1 \\ \ end {array} \)
Не было особой причины выбирать 0 и 1. Опять же, это будет работать для ЛЮБОГО значения, которое вы выберете для этих двух переменных.
Поскольку оба уравнения верны для этих значений, мы знаем, что нашли одно из многих, многих решений.Если бы мы хотели найти больше решений, мы могли бы просто выбрать разные значения для двух свободных переменных \ (x_1 \) и \ (x_2 \).
объявление
Краткое описание шагов
Для данной системы уравнений шаги для написания общего решения следующие:
Строка уменьшения расширенной матрицы для системы.
Запишите уравнения матрицы с сокращенной строкой.
Найдите переменные, у которых есть ведущая в столбце.
Обозначьте остальные переменные как свободные.
Подпишитесь на нашу рассылку!
Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.
Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!
Связанные
Однородные и неоднородные системы
Однородные и неоднородные системы
Однородная система линейных уравнений — это одна
в котором все постоянные члены равны нулю.Однородная система всегда
хотя бы одно решение, а именно нулевой вектор. Когда строковая операция
применительно к однородной системе новая система остается однородной. это
Важно отметить, что когда мы представляем однородную систему в виде матрицы,
мы часто опускаем последний столбец постоянных условий, так как применяя
операции со строками не изменят этот столбец. Итак, мы используем обычную матрицу
вместо расширенной матрицы. Конечно, ища решение,
важно учитывать постоянные нулевые члены.
Неоднородная система имеет связанную однородную систему,
который вы получаете, заменяя постоянный член в каждом уравнении нулем.
Раздел 1.I.3 в учебнике посвящен пониманию структуры
множества решений однородных и неоднородных систем. Основные теоремы
которые подтверждены в этом разделе:
Теорема: множество решений
однородная линейная система с $ n $ переменными имеет вид
$ \ {a_1 \ vec v_1 + a_2 \ vec v_2 + \ cdots + a_k \ vec v_k \, | \, a_1, a_2, \ dots, a_k \ in \ R \} $,
где $ k $ — количество свободных переменных в эшелонированной форме
система и $ \ vec v_1, \ vec v_2, \ dots, \ vec v_k $
являются [постоянными] векторами в $ \ R ^ n.$
Теорема: Рассмотрим систему линейных уравнений
в $ n $ переменных и предположим, что $ \ vec p $ — решение системы. Затем
множество решений системы имеет вид
$ \ {\ vec p + a_1 \ vec v_1 + a_2 \ vec v_2 + \ cdots + a_k \ vec v_k \, | \, a_1, a_2, \ dots, a_k \ in \ R \} $,
где $ \ {a_1 \ vec v_1 + a_2 \ vec v_2 + \ cdots + a_k \ vec v_k \, | \, a_1, a_2, \ dots, a_k \ in \ R \} $
— множество решений ассоциированной однородной системы. (Итак, $ k $ по-прежнему
количество свободных переменных в эшелонированной форме системы.)
Вектор $ \ vec p $ во второй теореме называется
частное решение системы. (Помните, что для неоднородного
системы, возможно, что не существует конкретного решения, а набор решений пуст.)
Однородная система всегда имеет частным решением $ \ vec 0 $, а вторая
Теорема применяется к однородным системам, взяв $ \ vec p = \ vec 0 $.
Обратите внимание, что для данной системы векторы $ \ vec p $ и $ \ vec v_i $ не уникальны.
Может быть много разных последовательностей операций со строками, которые можно использовать
привести систему в эшелонированную форму.$ \ Vec p $ и $ \ vec v_i $, которые вы получите
может зависеть от конкретной последовательности операций со строками, которые вы используете. Однако вы
можно получить только разные способы написания одного и того же набора решений. (Возможно
Удивительный факт, который еще не доказан, заключается в том, что независимо от того, в какой последовательности
операций со строками, которые вы используете для приведения системы в эшелонированную форму, вы всегда получаете
такое же количество свободных переменных. Это означает, что число $ k $ в
система однозначно определяется системой.)
Эти теоремы на самом деле не меняют способ решения линейной системы,
но это помогает нам понять структуру набора решений системы,
и, в частности, геометрия множества решений.п $ это
содержит происхождение. Добавление
вектор $ \ vec p $ ко всем точкам в этом линейном пространстве дает «параллельную» линейную
пространство, содержащее $ \ vec p $. Увидеть
вторая картина
в предыдущем разделе].
Другой важной темой в Разделе 1.I.3 учебника является
особые и невырожденные матрицы. Это проблема только для квадратных
матрицы. (Квадратная матрица — это матрица, в которой
количество строк равно количеству столбцов.) Квадратная матрица — это
ассоциированная матрица некоторой однородной системы.Поскольку матрица квадратная,
однородная система имеет то же количество уравнений, что и
переменные. Однородная система либо будет иметь единственное решение $ \ vec 0 $, либо
у него будет бесконечное количество решений. Матрица называется
невырожденный, если система имеет единственное решение.
Она называется сингулярной, если система имеет бесконечную
количество решений. (Только термины «единственное» и «неособое»
применяются к квадратным матрицам.)
Отметим, что по приведенным выше теоремам квадратная матрица
является особенным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна свободная переменная, когда она помещается
в форме эшелона, что, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда эшелон
Форма матрицы имеет как минимум одну строку, содержащую только нули.n $ размерности $ n-1 $ (если уравнение не является
тривиальное уравнение, $ 0 = 0 $.) И поскольку $ \ vec 0 $ является решением, это линейное
пространство проходит через начало координат. Набор решений для всей системы:
пересечение множеств решений для всех индивидуальных уравнений;
то есть это пересечение $ n $ линейных пространств размерности $ n-1 $.
Например, если $ n = 2 $,
мы смотрим на пересечение двух линий через начало координат; возможности
заключаются в том, что линии пересекаются только в начале координат [невырожденная матрица] или что
линии на самом деле идентичны [сингулярная матрица].Конечно, если вы выберете
две строки наугад, маловероятно, что они идентичны.
Это означает, что если вы выберете случайную матрицу $ 2 \ times2 $, это маловероятно.
что это будет особенным.
Для $ n = 3 $ мы пересекаем три плоскости, содержащие начало координат. В
пересечение двух плоскостей через начало координат является линией, если плоскости не происходят
быть идентичным. Когда вы добавляете третью плоскость к перекрестку, вы
скорее всего, пересекая эту плоскость линией, в результате получится один
точка (а именно, начало координат), за исключением маловероятного случая, когда линия происходит
полностью лежать в плоскости.n $ размерности $ n-1 $.
Взяв пересечение этого пространства с множеством решений
второе уравнение, вероятно, даст линейное пространство размерности $ n-2 $.
Поскольку набор решений для каждого уравнения добавляется к пересечению,
размер перекрестка, вероятно, уменьшится на единицу. Когда вы получаете
до пересечения множеств решений для всех $ n $ уравнений, вы
вероятно, будет пространство нулевого измерения — единственная точка, а именно
источник. Опять же, если вы выберете случайную матрицу $ n \ times n $, это будет очень
вряд ли будет единичным.(Слово «единственное число» означает «особенно необычный».)
Если посмотреть на неоднородную линейную систему $ n $ уравнений от $ n $ переменных,
вы пересекаете множества решений, которые не обязательно содержат начало координат.
Наиболее вероятная возможность пересечения — все еще одна точка,
и бесконечное пересечение все еще возможно. Но у вас также есть возможность
пустого перекрестка — нет решения — как, например, если бы
вы пересекаете две параллельные линии.
Мы также можем подумать о том, что происходит, когда мы применяем сокращение строк к
поместите матрицу $ n \ times n $ в эшелонированную форму.Рассмотрим матрицу как
матрица однородной линейной системы, записанная без постоянного нуля
члены из правых частей уравнений.
$$ \ begin {pmatrix}
c_ {11} & c_ {12} & \ cdots & c_ {1n} \\
c_ {21} & c_ {22} & \ cdots & c_ {2n} \\
\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\
c_ {n1} & c_ {n2} & \ cdots & c_ {nn}
\ end {pmatrix} $$
Помните, что матрица квадратная, с тем же количеством строк, что и столбцов.
Матрица формы эшелона, полученная в результате сокращения строк, будет иметь вид
$$
\ begin {pmatrix}
d_ {11} & d_ {12} & \ cdots & d_ {1n} \\
0 & d_ {22} & \ cdots & d_ {2n} \\
\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\
0 & \ cdots & 0 & d_ {nn}
\ end {pmatrix} $$
где все элементы ниже диагонали равны нулю (и некоторые из $ d_ {ij} $ также могут быть нулевыми).Но может быть
нулевые строки внизу. То есть $ d_ {nn} $ может быть нулевым.
Если $ d_ {nn} \ ne0 $, то свободных переменных нет, а однородные
система имеет $ \ vec 0 $ в качестве единственного решения. Если $ d_ {nn} = 0 $, там
— это хотя бы одна ненулевая строка, и не более $ n-1 $ из $ n $ строк ненулевые.
Итак, существует не более $ n-1 $ ведущих переменных, что означает наличие хотя бы одной свободной
Переменная; система имеет бесконечное количество решений.
Теперь предположим, что у нас есть неоднородная система с тем же
матрица коэффициентов.Расширенная матрица для неоднородных
система имеет вид
$$ \ left (\ begin {array} {cccc | c}
c_ {11} & c_ {12} & \ cdots & c_ {1n} & a_1 \\
c_ {21} & c_ {22} & \ cdots & c_ {2n} & a_2 \\
\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\
c_ {n1} & c_ {n2} & \ cdots & c_ {nn} & a_n
\ end {array} \ right) $$
Если мы применим метод Гаусса, используя те же строковые операции, что и
для однородной системы получаем матрицу вида
$$ \ left (\ begin {array} {cccc | c}
d_ {11} & d_ {12} & \ cdots & d_ {1n} & b_1 \\
0 & d_ {22} & \ cdots & d_ {2n} & b_2 \\
\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\
0 & \ cdots & 0 & d_ {nn} & b_n
\ end {array} \ right) $$
Теперь в случае $ d_ {nn} \ ne0 $ свободных переменных нет, и мы можем решить систему, чтобы получить
уникальное решение.(Таким образом, линейная система, матрица коэффициентов которой
квадратная, невырожденная матрица всегда будет иметь единственное решение.)
В случае $ d_ {nn} = 0 $ мы должны учитывать
постоянные сроки. Когда $ d_ {nn} = 0 $ и $ b_n \ ne 0 $, мы имеем уравнение
вида $ 0 = k $, где $ k \ ne 0 $, и решения нет. Когда
$ d_ {nn} = 0 $ и $ b_n = 0 $, у нас есть строка со всеми нулями. Однако,
решения может все еще не быть, потому что одно из предыдущих уравнений
может по-прежнему иметь вид $ 0 = k $, где $ k \ ne0 $. Однако мы можем
говорят, что если таких строк нет, то мы имеем разрешимую систему с
хотя бы одна свободная переменная, а количество решений бесконечно.
(к оглавлению)
Неоднородная система — обзор
Решение
В матричной форме система эквивалентна X ′ = 21−8−2X + sin3t0. Находим общее решение соответствующей однородной системы X ′ = 21−8−2X с DSolve.
Прозрачный [ x , y , xh, xp] homsol = DSolve [{ x ′ [ t ] == 2 x [ t ] + y [ t ] ], y ′ [ t ] == — 8 x [ t ] −2 y [ t ]}, { x [ t ], y [ t ]}, t ]
{{x [t] → 12C [2] Sin [2t] + C [1] (Cos [2t] + Sin [2t]), y [t] → C [2] (Cos [2t] −Sin [2t]) — 4C [1] Sin [2t]}}
Эти результаты показывают, что общее решение соответствующей однородной системы:
Xh = cos2t + sin2t12sin2t4sin2tcos2t − sin2tc1c2.
xh [t _] = {{ x [ t ]}, { y [ t ]}} /. Гомсол [[1]];
Таким образом, ищем частное решение неоднородной системы вида Xp = asin3t + bcos3t, где a = a1a2 и b = b1b2. После определения A = 21−8−2 и Xp = asin3t + bcos3t, мы подставляем X p в неоднородную систему.
capa = {{2, 1}, {−8, −2}}; MatrixForm [capa]
21−8−2
XP [t _] = {{a1}, {a2}} Sin [3 t ] + {{b1}, {b2}} Cos [3 t ]; MatrixForm [xp [ t ]]
b1Cos [3t] + a1Sin [3t] b2Cos [3t] + a2Sin [3t]
step1 = xp ′ [ t ] == capa.xp [ t ] + {{Sin [3 t ]}, {0}}
{{3a1Cos [3 t ] −3b1Sin [3 t ]}, {3a2Cos [3 t ] −3b2Sin [3 t ]}} == {{b2Cos [3 t ] + Sin [3 t ] + a2Sin [3 t ] +2 (b1Cos [3 t ] + a1Sin [3 t ])}, {−8 (b1Cos [3 t ] + a1Sin [3 t ]) — 2 (b2Cos [3 t ] + a2Sin [3 t ])} }
Результат представляет собой систему уравнений, которая верна для всех значений t .В частности, замена t = 0 дает
eq1 = step1 /. t → 0
{{3a1}, {3a2}} == {{2b1 + b2}, {−8b1 — 2b2}}
, что эквивалентно системе уравнений
3a1 = 2b1 + b23a2 = −24b1 + b2.
Аналогично, замена t = π /2 дает
eq2 = step1 /. t → Pi / 2
{{3b1}, {3b2}} == {{−1 — 2a1 −a2}, {8a1 + 2a2}}
, что эквивалентно системе уравнений
3b1 = −1−2a1 − a23b2−2−4a1 − a2.
Теперь мы используем Solve для решения этих четырех уравнений для a 1 , a 2 , b 1 и b 2
coeffs = Solve [{eq1, eq2} ]
{{a1 → −25, a2 → 85, b1 → −35, b2 → 0}}
, а затем подставьте эти значения в X p , чтобы получить конкретное решение для неоднородной системы .
XP [t _] = XP [ t ] /. Coeffs [[1]]
{{−35Cos [3t] −25Sin [3t]}, {85Sin [3t]}}
A в целом решение неоднородной системы тогда дается формулой X = X h + X p .
xh [ t ]
{{12C [2] Sin [2t] + C [1] (Cos [2t] + Sin [2t])}, {C [2] (Cos [2t] −Sin [2t]) — 4C [1] Sin [2t]}}
x [t _] = xh [ t ] + xp [ t ]
{{−35Cos [3t] + 12C [2] Sin [2t] + C [1] (Cos [2t] + Sin [2t]) — 25Sin [3t]}, {C [2] (Cos [2t] −Sin [2t]) — 4C [1] Sin [2t] + 85Sin [3t]}}
Для решения задачи начального значения мы применяем начальное условие и решаем для неизвестных констант.
x [0]
{{−35 + C [1]}, {C [2]}}
cval = Решить [ x [0] == {{0}, {1}}]
{{C [1] → 35, C [2] → 1}}
Мы получаем решение задачи начального значения, подставляя эти значения обратно в общее решение.
x [t _] = x [ t ] /. Cvals [[1]] // Свести // Упростить
Мы подтверждаем этот результат, построив графики x ( t ) и y ( t ) вместе на рисунке 6-19 (a), а также параметрически в B.
Рисунок 6-19. (а) x ( т, ) и x ( т, ). (b) Параметрический график x ( t ) по сравнению с y ( t )
p1 = График [Вычислить [ x [ t ]]], { t , 0, 4Pi }, PlotRange → {−2Pi, 2Pi}, AspectRatio → 1, PlotLabel → «(a)»]
p2 = ParametricPlot [ x [ t ], { t , 0, 4Pi}, PlotRange → {{- 6, 5}, {−5, 6}}, AspectRatio → 1, PlotLabel → «(b)»] Показать [GraphicsRow [{p1, p2}]]
Наконец, отметим, что DSolve может найти общее решение неоднородной системы
Очистить [ x , y , t ] Очистить [ x , y , xh, xp] homsol = DSolve [{ x ′ [ t ] == 2 x [ t ] + y [ t ], y ′ [ t ] == — 8 x [ t ] −2 y [ t ]}, { x [ t ], y [ t ]}, t ] 9 0003
{{x [t] → 12C [2] Sin [2t] + C [1] (Cos [2t] + Sin [2t]), y [t] → C [2] (Cos [2t] -Sin [2t]) — 4C [1] Sin [2t]}}
, а также решить задачу начального значения.
Прозрачный [ x , y , xh, xp] homsol = DSolve [{ x ′ [ t ] == 2 x [ t ] + y [ t ] ], y ′ [ t ] == — 8 x [ t ] −2 y [ t ], x [0] == 0, y [0] == 1}, { x [ t ], y [ t ]}, t ]
{{x [t] → 12Sin [2t], y [t] → Cos [2t] −Sin [2t]}}
Системы линейных уравнений: две переменные
Результаты обучения
Решайте системы уравнений с помощью построения графиков, подстановок и сложений.
Определить несовместимые системы уравнений, содержащие две переменные.
Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей две переменные, в стандартных обозначениях.
Производитель скейтбордов представляет новую линейку досок. Производитель отслеживает свои затраты, то есть сумму, которую он тратит на производство плат, и свой доход, который представляет собой сумму, которую он получает от продажи своих плат. Как компания может определить, получает ли она прибыль от своей новой линии? Сколько скейтбордов необходимо произвести и продать, чтобы можно было получить прибыль? В этом разделе мы рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными, чтобы ответить на эти и подобные вопросы.
(предоставлено Thomas Sørenes)
Введение в системные решения
Чтобы исследовать такие ситуации, как ситуация с производителем скейтборда, нам необходимо признать, что мы имеем дело с более чем одной переменной и, вероятно, более чем с одним уравнением. Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, составленных из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти числовое значение для каждой переменной в системе, которое будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.Некоторые линейные системы могут не иметь решения, а другие могут иметь бесконечное количество решений. Чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть по крайней мере столько же уравнений, сколько переменных. Даже в этом случае это не гарантирует уникального решения.
В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений с двумя переменными, которые состоят из двух уравнений, содержащих две разные переменные. Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.
[латекс] \ begin {align} 2x + y & = 15 \\ [1 мм] 3x-y & = 5 \ end {align} [/ latex]
Решение системы линейных уравнений с двумя переменными — это любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо. В этом примере упорядоченная пара [латекс] (4,7) [/ латекс] является решением системы линейных уравнений. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям. Вскоре мы исследуем методы поиска такого решения, если оно существует.
[латекс] \ begin {align} 2 \ left (4 \ right) + \ left (7 \ right) & = 15 && \ text {True} \\ [1 мм] 3 \ left (4 \ right) — \ left (7 \ right) & = 5 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]
Помимо учета количества уравнений и переменных, мы можем классифицировать системы линейных уравнений по количеству решений. Согласованная система уравнений имеет по меньшей мере одно решение. Согласованной системой считается независимая система , если она имеет единственное решение, такое как пример, который мы только что исследовали.Две линии имеют разные уклоны и пересекаются в одной точке на плоскости. Согласованной системой считается зависимая система , если уравнения имеют одинаковый наклон и одинаковые точки пересечения y . Другими словами, линии совпадают, поэтому уравнения представляют одну и ту же линию. Каждая точка на линии представляет пару координат, удовлетворяющую системе. Таким образом, существует бесконечное количество решений.
Другой тип системы линейных уравнений — это несовместимая система , в которой уравнения представляют собой две параллельные линии.Линии имеют одинаковый наклон и разные точки пересечения y- . Для обеих линий нет общих точек; следовательно, у системы нет решения.
Общее примечание: Типы линейных систем
Существует три типа систем линейных уравнений с двумя переменными и три типа решений.
Независимая система имеет ровно одну пару решений [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Точка пересечения двух линий — единственное решение.
Несогласованная система не имеет решения. Обратите внимание, что две линии параллельны и никогда не пересекутся.
Зависимая система имеет бесконечно много решений. Линии совпадают. Это одна и та же линия, поэтому каждая пара координат на линии является решением обоих уравнений.
Ниже приводится сравнение графических представлений каждого типа системы.
Как сделать: для данной системы линейных уравнений и упорядоченной пары определите, является ли упорядоченная пара решением.
Подставьте упорядоченную пару в каждое уравнение системы.
Определите, являются ли истинные утверждения результатом подстановки в обоих уравнениях; в таком случае заказанная пара является решением.
Пример: определение того, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] решением данной системы уравнений.
[латекс] \ begin {align} x + 3y & = 8 \\ 2x-9 & = y \ end {align} [/ latex]
Показать решение
Подставьте упорядоченную пару [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] в оба уравнения.
[латекс] \ begin {align} \ left (5 \ right) +3 \ left (1 \ right) & = 8 \\ [1mm] 8 & = 8 && \ text {True} \\ [3mm] 2 \ left (5 \ right) -9 & = \ left (1 \ right) \\ [1 мм] 1 & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]
Упорядоченная пара [латекс] \ left (5,1 \ right) [/ latex] удовлетворяет обоим уравнениям, поэтому это решение системы.
Анализ решения
Мы можем ясно увидеть решение, построив график каждого уравнения. Поскольку решение представляет собой упорядоченную пару, удовлетворяющую обоим уравнениям, это точка на обеих прямых и, следовательно, точка пересечения двух прямых.
Попробуйте
Определите, является ли упорядоченная пара [латекс] \ left (8,5 \ right) [/ latex] решением следующей системы.
[латекс] \ begin {align} 5x-4y & = 20 \\ 2x + 1 & = 3y \ end {align} [/ latex]
Решение систем уравнений с помощью построения графиков
Существует несколько методов решения систем линейных уравнений. Для системы линейных уравнений с двумя переменными мы можем определить как тип системы, так и решение, построив систему уравнений на одном и том же наборе осей.
Пример: решение системы уравнений с двумя переменными с помощью построения графика
Решите следующую систему уравнений, построив график. Определите тип системы.
[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ x-y & = — 1 \ end {align} [/ latex]
Показать решение
Решите первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].
[латекс] \ begin {align} 2x + y & = — 8 \\ y & = — 2x-8 \ end {align} [/ latex]
Решите второе уравнение для [латекс] y [/ латекс].
[латекс] \ begin {align} x-y & = — 1 \\ y & = x + 1 \ end {align} [/ latex]
Изобразите оба уравнения на одном и том же наборе осей:
Кажется, что линии пересекаются в точке [латекс] \ влево (-3, -2 \ вправо) [/ латекс].Мы можем убедиться, что это решение системы, подставив упорядоченную пару в оба уравнения.
[латекс] \ begin {align} 2 \ left (-3 \ right) + \ left (-2 \ right) & = — 8 \\ [1 мм] -8 = -8 && \ text {True} \\ [ 3 мм] \ left (-3 \ right) — \ left (-2 \ right) & = — 1 \\ [1 мм] -1 & = — 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]
Решением системы является упорядоченная пара [латекс] \ left (-3, -2 \ right) [/ latex], поэтому система независима.
Попробуйте
Решите следующую систему уравнений, построив график.
[латекс] \ begin {собрано} 2x — 5y = -25 \\ -4x + 5y = 35 \ end {собрано} [/ latex]
Показать решение
Решением системы является упорядоченная пара [латекс] \ left (-5,3 \ right) [/ latex].
Вопросы и ответы
Можно ли использовать построение графиков, если система непоследовательна или зависима?
Да, в обоих случаях мы можем построить график системы для определения типа системы и решения. Если две линии параллельны, система не имеет решения и непоследовательна.Если две линии идентичны, система имеет бесконечное количество решений и является зависимой системой.
Попробуй
Постройте три различных системы с помощью онлайн-графического инструмента. Отнесите каждое решение к категории согласованных или несовместимых. Если система непротиворечива, определите, является ли она зависимой или независимой. Возможно, вам будет проще построить график каждой системы по отдельности, а затем очистить свои записи, прежде чем строить следующую. 1) [латекс] 5x-3y = -19 [/ latex] [латекс] x = 2y-1 [/ латекс]
3) [латекс] y = -3x + 6 [/ latex] [латекс] — \ frac {1} {3} y + 2 = x [/ latex]
Показать решение
Одно решение — последовательное, независимое
Нет решений, непоследовательные, ни зависимые, ни независимые
Множество решений — последовательные, зависимые
Решение систем уравнений подстановкой
Решение линейной системы с двумя переменными с помощью построения графиков хорошо работает, когда решение состоит из целых значений, но если наше решение содержит десятичные дроби или дроби, это не самый точный метод.Мы рассмотрим еще два метода решения системы линейных уравнений , которые более точны, чем построение графиков. Одним из таких методов является решение системы уравнений методом подстановки , в котором мы решаем одно из уравнений для одной переменной, а затем подставляем результат во второе уравнение, чтобы найти вторую переменную. Напомним, что мы можем решать только одну переменную за раз, поэтому метод подстановки является одновременно ценным и практичным.
Как: дана система двух уравнений с двумя переменными, решите, используя метод подстановки.
Решите одно из двух уравнений относительно одной из переменных через другую.
Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем решите для оставшейся переменной.
Подставьте это решение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение первой переменной. Если возможно, запишите решение в виде упорядоченной пары.
Проверьте решение в обоих уравнениях.
Пример: решение системы уравнений с двумя переменными подстановкой
Решите следующую систему уравнений путем подстановки.
[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ 2x-5y & = 1 \ end {align} [/ latex]
Показать решение
Сначала мы решим первое уравнение для [латекс] y [/ латекс].
[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ y & = x — 5 \ end {align} [/ latex]
Теперь мы можем заменить выражение [latex] x — 5 [/ latex] на [latex] y [/ latex] во втором уравнении.
Теперь мы подставляем [latex] x = 8 [/ latex] в первое уравнение и решаем относительно [latex] y [/ latex].
[латекс] \ begin {align} — \ left (8 \ right) + y & = — 5 \\ y & = 3 \ end {align} [/ latex]
Наше решение — [латекс] \ left (8,3 \ right) [/ latex].
Проверьте решение, подставив [latex] \ left (8,3 \ right) [/ latex] в оба уравнения.
[латекс] \ begin {align} -x + y & = — 5 \\ — \ left (8 \ right) + \ left (3 \ right) & = — 5 && \ text {True} \\ [3mm] 2x — 5y & = 1 \\ 2 \ left (8 \ right) -5 \ left (3 \ right) & = 1 && \ text {True} \ end {align} [/ latex]
Попробуйте
Решите следующую систему уравнений путем подстановки.
[латекс] \ begin {align} x & = y + 3 \\ 4 & = 3x — 2y \ end {align} [/ latex]
Показать решение
[латекс] \ влево (-2, -5 \ вправо) [/ латекс]
Вопросы и ответы
Можно ли методом подстановки решить любую линейную систему с двумя переменными?
Да, но этот метод работает лучше всего, если одно из уравнений содержит коэффициент 1 или –1, чтобы нам не приходилось иметь дело с дробями.
Следующее видео длится ~ 10 минут и представляет собой мини-урок по использованию метода подстановки для решения системы линейных уравнений.Мы представляем три разных примера, а также используем инструмент построения графиков, чтобы подытожить решение для каждого примера.
Решение систем уравнений с двумя переменными методом сложения
Третий метод решения систем линейных уравнений — это метод сложения , этот метод также называется методом исключения . В этом методе мы складываем два члена с одинаковой переменной, но с противоположными коэффициентами, так что сумма равна нулю.Конечно, не все системы созданы с двумя членами одной переменной, имеющими противоположные коэффициенты. Часто нам приходится корректировать одно или оба уравнения умножением, чтобы одна переменная была исключена сложением.
Как: решить систему уравнений методом сложения.
Запишите оба уравнения с переменными x и y слева от знака равенства и константами справа.
Напишите одно уравнение над другим, выровняв соответствующие переменные.Если одна из переменных в верхнем уравнении имеет коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, сложите уравнения вместе, исключив одну переменную. Если нет, используйте умножение на ненулевое число, чтобы одна из переменных в верхнем уравнении имела коэффициент, противоположный той же переменной в нижнем уравнении, затем добавьте уравнения, чтобы исключить переменную.
Решите полученное уравнение для оставшейся переменной.
Подставьте это значение в одно из исходных уравнений и решите вторую переменную.
Проверьте решение, подставив значения в другое уравнение.
Пример: решение системы методом сложения
Решите данную систему уравнений сложением.
[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ -x + y & = 3 \ end {align} [/ latex]
Показать решение
Оба уравнения уже установлены равными константе. Обратите внимание, что коэффициент [латекс] x [/ латекс] во втором уравнении, –1, противоположен коэффициенту [латекс] x [/ латекс] в первом уравнении, 1.Мы можем сложить два уравнения, чтобы исключить [latex] x [/ latex] без умножения на константу.
[латекс] \ begin {align} x + 2y & = — 1 \\ -x + y & = 3 \\ \ hline 3y & = 2 \ end {align} [/ latex]
Теперь, когда мы удалили [latex] x [/ latex], мы можем решить полученное уравнение для [latex] y [/ latex].
[латекс] \ begin {align} 3y & = 2 \\ y & = \ dfrac {2} {3} \ end {align} [/ latex]
Затем мы подставляем это значение для [latex] y [/ latex] в одно из исходных уравнений и решаем для [latex] x [/ latex].
Мы получаем важное представление о системах уравнений, глядя на графическое представление.Посмотрите на график ниже, чтобы увидеть, что уравнения пересекаются в решении. Нам не нужно спрашивать, может ли быть второе решение, потому что наблюдение за графиком подтверждает, что система имеет ровно одно решение.
Пример: использование метода сложения, когда требуется умножение одного уравнения
Решите данную систему уравнений методом сложения .
[латекс] \ begin {align} 3x + 5y & = — 11 \\ x — 2y & = 11 \ end {align} [/ latex]
Показать решение
Добавление этих уравнений в представленном виде не устраняет переменную.Однако мы видим, что первое уравнение содержит [latex] 3x [/ latex], а второе уравнение содержит [latex] x [/ latex]. Итак, если мы умножим второе уравнение на [latex] -3, \ text {} [/ latex], термины x прибавятся к нулю.
[латекс] \ begin {align} x — 2y & = 11 \\ -3 \ left (x — 2y \ right) & = — 3 \ left (11 \ right) && \ text {Умножаем обе стороны на} -3 \ \ -3x + 6y & = — 33 && \ text {Использовать свойство распределения}. \ end {align} [/ latex]
Одно уравнение имеет [латекс] 2x [/ латекс], а другое — [латекс] 5x [/ латекс].Наименьшее общее кратное — [latex] 10x [/ latex], поэтому нам придется умножить оба уравнения на константу, чтобы исключить одну переменную. Давайте удалим [latex] x [/ latex], умножив первое уравнение на [latex] -5 [/ latex], а второе уравнение на [latex] 2 [/ latex].
[латекс] \ begin {align} -5 \ left (2x + 3y \ right) & = — 5 \ left (-16 \ right) \\ -10x — 15y & = 80 \\ [3 мм] 2 \ left (5x — 10y \ right) & = 2 \ left (30 \ right) \\ 10x — 20y & = 60 \ end {align} [/ latex]
В следующем видео мы представляем больше примеров того, как использовать метод сложения (исключения) для решения системы двух линейных уравнений.
Классифицируйте решения по системам
Теперь, когда у нас есть несколько методов решения систем уравнений, мы можем использовать эти методы для выявления несовместимых систем. Напомним, что несовместимая система состоит из параллельных линий, которые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения [латекс] y [/ латекс]. Они никогда не пересекутся. При поиске решения несовместимой системы мы получим ложное утверждение, например [latex] 12 = 0 [/ latex].
Пример: решение несовместимой системы уравнений
Решите следующую систему уравнений.
[латекс] \ begin {собрано} & x = 9 — 2y \\ & x + 2y = 13 \ end {собрано} [/ latex]
Показать решение
Мы можем подойти к этой проблеме двумя способами. Поскольку одно уравнение для [латекс] x [/ латекс] уже решено, наиболее очевидным шагом является использование замены.
[латекс] \ begin {align} x + 2y & = 13 \\ \ left (9 — 2y \ right) + 2y & = 13 \\ 9 + 0y & = 13 \\ 9 & = 13 \ end {align} [/ latex]
Ясно, что это утверждение противоречит тому, что [латекс] 9 \ ne 13 [/ латекс].Следовательно, у системы нет решения.
Второй подход заключается в том, чтобы сначала манипулировать уравнениями так, чтобы они оба были в форме пересечения наклона. Мы манипулируем первым уравнением следующим образом.
[латекс] \ begin {собрано} x = 9 — 2y \\ 2y = -x + 9 \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {9} {2} \ end {собрано} [ / латекс]
Затем мы преобразуем второе уравнение в форму пересечения наклона.
[латекс] \ begin {собрано} x + 2y = 13 \\ 2y = -x + 13 \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {13} {2} \ end {собрано} [ / латекс]
Сравнивая уравнения, мы видим, что они имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y .Следовательно, линии параллельны и не пересекаются.
[латекс] \ begin {gather} y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {9} {2} \\ y = — \ frac {1} {2} x + \ frac {13} {2 } \ end {gather} [/ latex]
Анализ решения
Запись уравнений в форме пересечения наклона подтверждает, что система несовместима, потому что все линии в конечном итоге будут пересекаться, если они не параллельны. Параллельные линии никогда не пересекаются; таким образом, у этих двух линий нет общих точек. Графики уравнений в этом примере показаны ниже.
Попробуйте
Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.
[латекс] \ begin {собрано} 2y — 2x = 2 \\ 2y — 2x = 6 \ end {собрано} [/ latex]
Показать решение
Нет решения. Это противоречивая система.
Выражение решения системы зависимых уравнений, содержащих две переменные
Напомним, что зависимая система уравнений с двумя переменными — это система, в которой два уравнения представляют собой одну и ту же линию.Зависимые системы имеют бесконечное количество решений, потому что все точки на одной линии также находятся на другой линии. После использования замены или добавления результирующее уравнение будет идентичным, например [латекс] 0 = 0 [/ латекс].
Пример: поиск решения зависимой системы линейных уравнений
Найдите решение системы уравнений с помощью метода сложения .
[латекс] \ begin {собрано} x + 3y = 2 \\ 3x + 9y = 6 \ end {собрано} [/ latex]
Показать решение
С помощью метода сложения мы хотим исключить одну из переменных, добавив уравнения.В этом случае давайте сосредоточимся на удалении [латекс] х [/ латекс]. Если мы умножим обе части первого уравнения на [latex] -3 [/ latex], то мы сможем исключить переменную [latex] x [/ latex].
[латекс] \ begin {align} x + 3y & = 2 \\ \ left (-3 \ right) \ left (x + 3y \ right) & = \ left (-3 \ right) \ left (2 \ right) \\ -3x — 9y & = — 6 \ end {align} [/ latex]
Мы видим, что будет бесконечное число решений, удовлетворяющих обоим уравнениям.
Анализ решения
Если бы мы переписали оба уравнения в форме пересечения наклона, мы могли бы знать, как будет выглядеть решение перед добавлением. Давайте посмотрим, что происходит, когда мы преобразуем систему в форму с пересечением наклона.
[латекс] \ begin {align} \ begin {gather} x + 3y = 2 \\ 3y = -x + 2 \\ y = — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ конец {собрано} \ hspace {2cm} \ begin {gather} 3x + 9y = 6 \\ 9y = -3x + 6 \\ y = — \ frac {3} {9} x + \ frac {6} {9} \ \ y = — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ end {gather} \ end {align} [/ latex]
Посмотрите на график ниже.Обратите внимание, что результаты такие же. Общее решение системы — [латекс] \ left (x, — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].
Написание общего решения
В предыдущем примере мы представили анализ решения следующей системы уравнений:
[латекс] \ begin {собрано} x + 3y = 2 \\ 3x + 9y = 6 \ end {собрано} [/ latex]
После небольшой алгебры мы обнаружили, что эти два уравнения в точности совпадают. Затем мы записали общее решение как [latex] \ left (x, — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} \ right) [/ latex].Зачем нам писать решение именно так? В некотором смысле это представление о многом говорит нам. Он говорит нам, что x может быть любым, x — x . Это также говорит нам, что y будет зависеть от x , точно так же, как когда мы пишем правило функции. В этом случае, в зависимости от того, что вы добавили для x , y будет определено в терминах x как [латекс] — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} [ /латекс].
Другими словами, существует бесконечно много пар ( x , y ), которые удовлетворяют этой системе уравнений, и все они попадают на линию [латекс] f (x) — \ frac {1} {3} x + \ frac {2} {3} [/ латекс].
Попробуйте
Решите следующую систему уравнений с двумя переменными.
[латекс] \ begin {собрано} y — 2x = 5 \\ -3y + 6x = -15 \ end {собрано} [/ latex]
Показать решение
Система зависима, поэтому существует бесконечно много решений вида [латекс] \ left (x, 2x + 5 \ right) [/ latex].
Использование систем уравнений для исследования прибыли
Используя то, что мы узнали о системах уравнений, мы можем вернуться к проблеме производства скейтбордов в начале раздела.Функция дохода производителя скейтбордов — это функция, используемая для расчета суммы денег, которая поступает в бизнес. Это может быть представлено уравнением [латекс] R = xp [/ latex], где [latex] x = [/ latex] количество и [latex] p = [/ latex] цена. Функция дохода показана оранжевым цветом на графике ниже.
Функция затрат — это функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса. Он включает постоянные затраты, такие как аренда и заработная плата, и переменные затраты, такие как коммунальные услуги.Функция стоимости показана синим цветом на графике ниже. Ось x представляет количество в сотнях единиц. Ось y представляет собой стоимость или доход в сотнях долларов.
Точка пересечения двух линий называется точкой безубыточности . Из графика видно, что если произведено 700 единиц, стоимость составит 3300 долларов, а выручка также составит 3300 долларов. Другими словами, компания сломается, даже если произведет и продаст 700 единиц. Они не зарабатывают и не теряют деньги.
Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, от которых компания получает прибыль. Заштрихованная область слева представляет объемы, по которым компания терпит убытки. Функция прибыли — это функция дохода за вычетом функции затрат, записываемая как [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex]. Очевидно, что знание количества, при котором затраты равны выручке, имеет большое значение для бизнеса.
Пример: определение точки безубыточности и функции прибыли с помощью замещения
Дана функция стоимости [латекс] C \ left (x \ right) = 0.85x + 35 {,} 000 [/ latex] и функция дохода [latex] R \ left (x \ right) = 1,55x [/ latex], найдите точку безубыточности и функцию прибыли.
Показать решение
Напишите систему уравнений, используя [latex] y [/ latex], чтобы заменить обозначение функции.
[латекс] \ begin {align} y & = 0,85x + 35 {,} 000 \\ y & = 1,55x \ end {align} [/ latex]
Подставьте выражение [latex] 0.85x + 35 {,} 000 [/ latex] из первого уравнения во второе уравнение и решите относительно [latex] x [/ latex].
[латекс] \ begin {собрано} 0.85x + 35 {,} 000 = 1,55x \\ 35 {,} 000 = 0,7x \\ 50 {,} 000 = x \ end {в собранном виде} [/ latex]
Затем мы подставляем [латекс] x = 50 {,} 000 [/ latex] либо в функцию стоимости, либо в функцию дохода.
Точка безубыточности — [латекс] \ left (50 {,} 000,77 {,} 500 \ right) [/ latex].
Функция прибыли находится по формуле [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex].
[латекс] \ begin {align} P \ left (x \ right) & = 1.55x- \ left (0,85x + 35 {,} 000 \ right) \\ & = 0,7x — 35 {,} 000 \ end {align} [/ latex]
Функция прибыли [латекс] P \ left (x \ right) = 0,7x — 35 {,} 000 [/ latex].
Анализ решения
Стоимость производства 50 000 единиц составляет 77 500 долларов США, а выручка от продажи 50 000 единиц также составляет 77 500 долларов США. Чтобы получить прибыль, бизнес должен произвести и продать более 50 000 единиц.
Как видно из графика ниже, функция прибыли имеет отрицательное значение до тех пор, пока [latex] x = 50 {,} 000 [/ latex] не пересечет ось x .Затем график переходит в положительные значения y и продолжает движение по этому пути, поскольку функция прибыли представляет собой прямую линию. Это показывает, что точка безубыточности для предприятий наступает, когда функция прибыли равна 0. Область слева от точки безубыточности представляет работу с убытками.
Написание системы линейных уравнений для ситуации
Редко можно получить уравнения, которые четко моделируют поведение, с которым вы сталкиваетесь в бизнесе, скорее, вы, скорее всего, столкнетесь с ситуацией, для которой вы знаете ключевую информацию, как в приведенном выше примере.Ниже мы суммируем три ключевых фактора, которые помогут вам преобразовать ситуацию в систему.
Как сделать: в ситуации, которая представляет собой систему линейных уравнений, напишите систему уравнений и найдите решение.
Определите входные и выходные данные каждой линейной модели.
Определите наклон и пересечение y каждой линейной модели.
Найдите решение, установив две линейные функции равными другой и решив для x , или найдите точку пересечения на графике.
А теперь давайте попробуем применить эти ключевые факторы на практике. В следующем примере мы определяем, сколько разных типов билетов продано, учитывая информацию об общей выручке и количестве билетов, проданных на мероприятие.
Пример: запись и решение системы уравнений с двумя переменными
Стоимость билета в цирк составляет 25 долларов для детей и 50 долларов для взрослых. В определенный день посещаемость цирка составляет 2000 человек, а общий доход от ворот составляет 70 000 долларов.Сколько детей и сколько взрослых купили билеты?
Показать решение
Пусть c = количество детей и a = количество взрослых, посещающих школу.
Общее количество человек — 2000 человек. Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение для количества людей в цирке в тот день.
[латекс] c + a = 2 {,} 000 [/ латекс]
Доход от всех детей можно найти, умножив 25 долларов США на количество детей, [латекс] 25c [/ латекс]. Доход от всех взрослых можно найти, умножив 50 долларов.00 по количеству взрослых, [латекс] 50а [/ латекс]. Общий доход составляет 70 000 долларов. Мы можем использовать это, чтобы написать уравнение дохода.
[латекс] 25c + 50a = 70 {,} 000 [/ латекс]
Теперь у нас есть система линейных уравнений с двумя переменными.
[латекс] \ begin {собрано} c + a = 2,000 \\ 25c + 50a = 70 {,} 000 \ end {собрано} [/ latex]
В первом уравнении коэффициент обеих переменных равен 1. Мы можем быстро решить первое уравнение для [латекса] c [/ латекса] или [латекса] a [/ латекса].Решим за [латекс] [/ latex].
[латекс] \ begin {собрано} c + a = 2 {,} 000 \\ a = 2 {,} 000-c \ end {собрано} [/ latex]
Подставьте выражение [latex] 2 {,} 000-c [/ latex] во второе уравнение для [latex] a [/ latex] и решите относительно [latex] c [/ latex].
Подставьте [latex] c = 1 {,} 200 [/ latex] в первое уравнение для решения относительно [latex] a [/ latex].
[латекс] \ begin {align} 1 {,} 200 + a & = 2 {,} 000 \\ a & = 800 \ end {align} [/ latex]
Мы обнаружили, что 1200 детей и 800 взрослых купили в тот день билеты в цирк.
Попробуйте
Билеты в цирк стоят 4 доллара для детей и 12 долларов для взрослых. Если было куплено 1650 билетов на питание на общую сумму 14 200 долларов, сколько детей и сколько взрослых купили билеты на питание?
Иногда система уравнений может помочь в принятии решения. В следующем примере мы помогаем ответить на вопрос: «Какая компания по аренде грузовиков предоставит наилучшую стоимость?»
Пример: построение системы линейных моделей для выбора компании по аренде грузовиков
Джамал выбирает между двумя компаниями по аренде грузовиков.Первый, Keep on Trucking, Inc., взимает предоплату в размере 20 долларов, затем 59 центов за милю. Второй, Move It Your Way, требует предоплаты в размере 16 долларов США, затем 63 цента за милю. Когда компания Keep on Trucking, Inc. станет лучшим выбором для компании Jamal?
Показать решение
Двумя важными величинами в этой задаче являются стоимость и количество пройденных миль. Поскольку нам нужно рассмотреть две компании, мы определим две функции.
Ввод
d , пройденное расстояние в милях
Выходы
K ( d ): стоимость в долларах для аренды у Keep on Trucking M ( d ) стоимость в долларах для аренды у Move It Your Way
Начальное значение
Авансовый платеж: K (0) = 20 и M (0) = 16
Скорость изменения
K ( d ) = 0 руб.59 за милю и P ( d ) = 0,63 доллара за милю
Линейная функция имеет вид [латекс] f \ left (x \ right) = mx + b [/ latex]. Используя скорости изменения и начальные расходы, мы можем записать уравнения
[латекс] \ begin {align} K \ left (d \ right) = 0,59d + 20 \\ M \ left (d \ right) = 0,63d + 16 \ end {align} [/ latex]
Используя эти уравнения, мы можем определить, когда Keep on Trucking, Inc. будет лучшим выбором. Поскольку все, что нам нужно сделать, это затраты, мы ищем, когда Move It Your Way будет стоить меньше, или когда [латекс] K \ left (d \ right)
Эти графики схематично изображены выше, причем K ( d ) выделены синим цветом.
Чтобы найти пересечение, мы приравниваем уравнения и решаем:
[латекс] \ begin {align} K \ left (d \ right) & = M \ left (d \ right) \\ 0,59d + 20 & = 0,63d + 16 \\ 4 & = 0,04d \\ 100 & = d \ \ d & = 100 \ end {align} [/ latex]
Это говорит нам о том, что стоимость проезда для двух компаний будет одинаковой, если проехать 100 миль.Либо посмотрев на график, либо отметив, что [латекс] K \ left (d \ right) [/ latex] растет медленнее, мы можем сделать вывод, что Keep on Trucking, Inc. будет дешевле, когда больше, чем Проехано 100 миль, то есть [латекс] d> 100 [/ латекс].
Приложения для систем кажутся почти бесконечными, но мы просто покажем еще одно. В следующем примере мы определяем количество 80% раствора метана, которое нужно добавить к 50% раствору, чтобы получить окончательный раствор 60%.
Пример: решение проблемы химической смеси
У химика есть 70 мл 50% раствора метана.Сколько 80% раствора она должна добавить, чтобы окончательный раствор состоял из 60% метана?
Показать решение
Мы воспользуемся следующей таблицей, чтобы помочь нам решить эту проблему со смесью:
Сумма
Часть
Всего
Начало
Добавить
Финал
Начнем с 70 мл раствора, и неизвестное количество может быть x .Часть представляет собой проценты или концентрацию раствора 0,5 для начала, 0,8 для доп.
Сумма
Часть
Всего
Начало
70 мл
0,5
Добавить
[латекс] x [/ латекс]
0,8
Финал
[латекс] 70 + x [/ латекс]
0,6
Добавьте столбец суммы, чтобы получить окончательную сумму.Часть этого количества равна 0,6, потому что мы хотим, чтобы окончательный раствор содержал 60% метана.
Сумма
Часть
Всего
Начало
70 мл
0,5
35
Добавить
[латекс] x [/ латекс]
0,8
[латекс] 0,8x [/ латекс]
Финал
[латекс] 70 + x [/ латекс]
0,6
[латекс] 42 + 0,6x [/ латекс]
Умножьте сумму на часть, чтобы получить сумму.обязательно распределить по последнему ряду: [латекс] (70 + х) 0,6 [/ латекс].
Если мы сложим начало и добавим записи в столбце «Итого», мы получим окончательное уравнение, которое представляет общую сумму и ее концентрацию.
[латекс] \ begin {align} 35 + 0,8x & = 42 + 0,6x \\ 0,2x & = 7 \\ \ frac {0,2} {0,2} x & = \ frac {7} {0,2} \\ x & = 35 \ конец {align} [/ latex]
35 мл 80% раствора необходимо добавить к 70 мл 50% раствора, чтобы получить 60% раствор метана.
Тот же процесс можно использовать, если к начальной и конечной сумме привязана цена, а не процент.
Ключевые понятия
Система линейных уравнений состоит из двух или более уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно.
Решением системы линейных уравнений с двумя переменными является любая упорядоченная пара, которая удовлетворяет каждому уравнению независимо.
Системы уравнений классифицируются как независимые с одним решением, зависимые с бесконечным числом решений или несовместимые с отсутствием решения.
Один из методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными — построение графиков. В этом методе мы строим уравнения на одном и том же наборе осей.
Другой метод решения системы линейных уравнений — подстановка. В этом методе мы решаем одну переменную в одном уравнении и подставляем результат во второе уравнение.
Третий метод решения системы линейных уравнений — это сложение, в котором мы можем исключить переменную, добавив противоположные коэффициенты соответствующих переменных.
Часто бывает необходимо умножить одно или оба уравнения на константу, чтобы упростить исключение переменной при сложении двух уравнений.
Любой метод решения системы уравнений приводит к ложному утверждению для несовместимых систем, потому что они состоят из параллельных линий, которые никогда не пересекаются.
Решение системы зависимых уравнений всегда будет верным, потому что оба уравнения описывают одну и ту же линию.
Системы уравнений могут использоваться для решения реальных задач, которые включают более одной переменной, например, относящиеся к выручке, затратам и прибыли.
Глоссарий
метод сложения алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в которых уравнения складываются таким образом, чтобы исключить одну переменную, позволяя решить полученное уравнение для оставшейся переменной; затем используется подстановка для решения первой переменной
точка безубыточности точка, в которой функция затрат пересекает функцию дохода; где прибыль равна нулю
согласованная система система, для которой существует единственное решение для всех уравнений в системе, и это независимая система, или если существует бесконечное количество решений, и это зависимая система
функция затрат функция, используемая для расчета затрат на ведение бизнеса; обычно состоит из двух частей: постоянных затрат и переменных затрат
зависимая система система линейных уравнений, в которой два уравнения представляют одну и ту же линию; существует бесконечное количество решений для зависимой системы
несовместимая система система линейных уравнений без общего решения, поскольку они представляют собой параллельные линии, не имеющие общей точки или прямой
независимая система система линейных уравнений с ровно одной парой решений [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]
функция прибыли функция прибыли записывается как [латекс] P \ left (x \ right) = R \ left (x \ right) -C \ left (x \ right) [/ latex], выручка минус затраты
функция дохода функция, которая используется для расчета дохода, просто записывается как [латекс] R = xp [/ latex], где [latex] x = [/ latex] количество и [latex] p = [/ latex] цена.
метод подстановки алгебраический метод, используемый для решения систем линейных уравнений, в котором одно из двух уравнений решается для одной переменной, а затем подставляется во второе уравнение для решения для второй переменной
система линейных уравнений набор из двух или более уравнений с двумя или более переменными, которые должны рассматриваться одновременно.
Линейные системы дифференциальных уравнений. Метод исключения
Линейные системы дифференциальных уравнений. Метод устранения
Система дифференциальных уравнений, которую можно записать в виде:
будем называть системой линейных
дифференциальные уравнения.
Функции
ai & InvisibleTimes; j & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;
называются коэффициентами, а функции
привет & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;
называются бесплатными условиями системы.
Упражнение . Запишите каждую из следующих систем в матрицу
форма:
а) {x ′ = 3 & InvisibleTimes; x − 1t & InvisibleTimes; y + t2y ′ = — x + 4 & InvisibleTimes; y − tb) {x ′ = x − yy ′ = — x + 2 & InvisibleTimes; y + 1c) {x ′ = x− y + z + ty ′ = 2 & InvisibleTimes; x + 3 & InvisibleTimes; y − 5 & InvisibleTimes; z + 4z ′ = — 4 & InvisibleTimes; x + 2 & InvisibleTimes; y + 2 & InvisibleTimes; z + 3 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;
ОТВЕЧАТЬ
Следующая теорема устанавливает достаточные условия для начального значения
проблема, связанная с (LS), чтобы иметь единственное решение.
Теорема . Предположим, что функции
ai & InvisibleTimes; j & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;
и
привет & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;
(i, j = 1,…, n & ZeroWidthSpace;)
непрерывны на интервале
(а, б). & ZeroWidthSpace;
Тогда для каждого
t0 & Элемент; (a, b) & ZeroWidthSpace;
и каждый
y10, y20,…, yn0 & Element; R & ZeroWidthSpace;
существует единственное решение
y⃗ & ApplyFunction; (t) = (y1 & ApplyFunction; (t),…, yn & ApplyFunction; (t)) & ZeroWidthSpace;
системы (LS), удовлетворяющей начальным условиям
y⃗ & ApplyFunction; (t0) = (y10, y20,…, yn0).& ZeroWidthSpace;
Решение линейных систем — метод исключения
Метод исключения заключается в приведении системы
п & ZeroWidthSpace;
дифференциальные уравнения в одно дифференциальное уравнение порядка
n & ZeroWidthSpace ;.
Следующий пример объясняет это.
Пример. Рассмотрим систему:
(S) {x ′ = t & InvisibleTimes; x − y + 1y ′ = 2 & InvisibleTimes; x + t & InvisibleTimes; y − et & ZeroWidthSpace;
Если мы решим первое уравнение (S) в
y & ZeroWidthSpace ;,
мы получили
y = x ′ + t & InvisibleTimes; x + 1 & ZeroWidthSpace;
и следовательно,
у ‘= х’ ‘+ х + т & InvisibleTimes; х’ + 1.& ZeroWidthSpace;
Подставляю сейчас
y & ZeroWidthSpace;
и
y ′ & ZeroWidthSpace;
таким образом выраженный
x & ZeroWidthSpace;
во второе уравнение получаем:
x ′ ′ + x + t & InvisibleTimes; x ′ + 1 = 2 & InvisibleTimes; x + t & InvisibleTimes; (x ′ + t & InvisibleTimes; x + 1) −et & ZeroWidthSpace;
После упрощения последнее уравнение принимает вид:
x ′ ′ — (t2 + 1) и InvisibleTimes; x − t − 1 + et = 0 и ZeroWidthSpace;
Таким образом, мы превратили систему (S) в единую систему второго порядка.
линейное уравнение.
Следует отметить, что, наоборот, каждое линейное уравнение второго порядка может быть
превращается в систему двух линейных уравнений первого порядка. Чтобы увидеть это,
рассмотреть уравнение
(*) y ′ ′ + p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y ′ + q & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y = h & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;
Обозначение
y ′ & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;
по
x & ApplyFunction; (t), & ZeroWidthSpace;
мы вводим новую функцию
х, & ZeroWidthSpace;
чья производная
x ′ = y ′ ′ & ZeroWidthSpace ;.Тогда уравнение (L) принимает вид
x ′ + p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; x + q & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y = h & ApplyFunction; (t) & ZeroWidthSpace;
который вместе с заменой
у ‘= х, & ZeroWidthSpace;
дает следующую систему:
(**) {x ′ = — p & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; x − q & ApplyFunction; (t) & InvisibleTimes; y + h & ApplyFunction; (t) y ′ = x & ZeroWidthSpace;
Пример .Решим систему:
(S) {x ′ = x − y + ety ′ = x + 3 & InvisibleTimes; y & ZeroWidthSpace;
с начальными условиями
x & ApplyFunction; (0) = y & ApplyFunction; (0) = 0. & ZeroWidthSpace;
РЕШЕНИЕ
Решая первое уравнение для
y & ZeroWidthSpace ;,
мы получили
y = x − x ′ + et. & ZeroWidthSpace;
Следовательно
y ′ = x′ − x ′ ′ + et. & ZeroWidthSpace;
Подстановка
y & ZeroWidthSpace;
и
y ′ & ZeroWidthSpace;
во втором уравнении получаем:
x′ − x ′ ′ + et = x + 3 & InvisibleTimes; (x − x ′ + et) и ZeroWidthSpace;
Итак, после упрощений получаем:
(R1) x ′ ′ — 4 & InvisibleTimes; x ′ + 4 & InvisibleTimes; x = −2 & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;
Мы получили линейное уравнение второго порядка в
Икс.& ZeroWidthSpace;
Соответствующее однородное уравнение:
(R2)
x ′ ′ — 4 & InvisibleTimes; x ′ + 4 & InvisibleTimes; x = 0 & ZeroWidthSpace;
Характеристическое уравнение (R2) имеет вид
λ2−4 & InvisibleTimes; λ + 4 = 0. & ZeroWidthSpace;
Имеет двойной корень
λ1,2 = 2 & ZeroWidthSpace ;.
Таким образом, общее решение (R2) есть
x = (C1 + C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t. & ZeroWidthSpace;
Теперь мы найдем частное решение (R1) методом неопределенных
коэффициенты.Ищем решение в виде
xp = A & InvisibleTimes; et. & ZeroWidthSpace;
После дифференцирования получаем
xp ′ = xp ′ ′ = A & InvisibleTimes; et. & ZeroWidthSpace;
Подстановка
xp, xp ′ и ZeroWidthSpace;
и
xp ′ ′ & ZeroWidthSpace;
в уравнении (R1) получаем:
A & InvisibleTimes; et − 4 & InvisibleTimes; A & InvisibleTimes; et + 4 & InvisibleTimes; A & InvisibleTimes; et = −2 & InvisibleTimes; et, & ZeroWidthSpace;
следовательно
А = -2.& ZeroWidthSpace;
Таким образом, мы получили общее решение (R1):
(X) x = (C1 + C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t − 2 & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;
Из первого уравнения системы (S),
x ′ = x − y + et, & ZeroWidthSpace;
мы нашли
y = x − x ′ + et. & ZeroWidthSpace;
Из (X) следует, что
x ′ = (C2 + 2 & InvisibleTimes; C1 + 2 & InvisibleTimes; C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t − 2 & InvisibleTimes; et.& ZeroWidthSpace;
Следовательно
y = x − x ′ + et = (C1 + C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t − 2 & InvisibleTimes; et− (C2 + 2 & InvisibleTimes; C1 + 2 & InvisibleTimes; C2 & InvisibleTimes; times & evisibleTimes; ;
и после упрощений
(Y) y = (- C1 − C2 − C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t + et & ZeroWidthSpace;
Таким образом, общее решение системы (1):
x = (C1 + C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t − 2 & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;
y = (- C1 − C2 − C2 & InvisibleTimes; t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t + et & ZeroWidthSpace;
Применяя начальные условия
x & ApplyFunction; (0) = y & ApplyFunction; (0) = 0 & ZeroWidthSpace;
к полученному выше
x & ZeroWidthSpace;
и
y, & ZeroWidthSpace;
мы получили
Решение системы (S) с заданными начальными условиями:
x = (2-t) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t-2 & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;
y = (t − 1) & InvisibleTimes; e2 & InvisibleTimes; t + et & ZeroWidthSpace;
Упражнение . Найдите решение системы:
(S) {x ′ = x + y − ety ′ = — x − y + et & ZeroWidthSpace;
с начальными условиями
x & ApplyFunction; (0) = y & ApplyFunction; (0) = 1.& ZeroWidthSpace;
ОТВЕЧАТЬ
x = −et + 2 & InvisibleTimes; t − 2 & ZeroWidthSpace;
y = et − 2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;
РЕШЕНИЕ
Решая первое уравнение в
y & ZeroWidthSpace ;,
у нас есть
y = x′ − x + et. & ZeroWidthSpace; Следовательно
y ′ = x ′ ′ — x ′ + и т.д. & ZeroWidthSpace;
Подстановка
y & ZeroWidthSpace;
и
y ′ & ZeroWidthSpace;
полученное таким образом ко второму уравнению, получаем
x ′ ′ — x ′ + et = −x− (x′ − x + et) + et & ZeroWidthSpace;
После упрощений получаем
x ′ ′ = — et & ZeroWidthSpace;
Последнее уравнение дает
x ′ = — et + C1 & ZeroWidthSpace;
и следовательно,
(X) x = −et + C1 & InvisibleTimes; t + C2 & ZeroWidthSpace;
Следовательно
y = x′ − x + et = & ZeroWidthSpace;
−et + C1 — (- et + C1 & InvisibleTimes; t + C2) + et & ZeroWidthSpace;
После упрощений получаем
(Y) y = et-C1 & InvisibleTimes; t + C1-C2 & ZeroWidthSpace;
Применяя начальные условия к (X) и (Y) соответственно, получаем
-1 + C1 = 1 & ZeroWidthSpace;
1 + C1-C2 = 1 & ZeroWidthSpace;
следовательно
С1 = С2 = 2.& ZeroWidthSpace;
Требуемое решение:
x = −et + 2 & InvisibleTimes; t − 2 & ZeroWidthSpace;
y = et − 2 & InvisibleTimes; t & ZeroWidthSpace;
Упражнение . Найдите решение системы:
(S) {x ′ = x + yy ′ = 1t & InvisibleTimes; y + t & ZeroWidthSpace;
с начальными условиями
x & ApplyFunction; (1) = y & ApplyFunction; (1) = 0. & ZeroWidthSpace;
ОТВЕЧАТЬ
x = & ZeroWidthSpace; x = -t2-t-1 + 3 & InvisibleTimes; et-1 & ZeroWidthSpace;
y = t2 − t & ZeroWidthSpace;
РЕШЕНИЕ
Обратите внимание, что второе уравнение включает
y & ZeroWidthSpace;
только, поэтому мы можем решить его как одно уравнение.
Перезапись
y ′ = 1t & InvisibleTimes; y + t & ZeroWidthSpace;
в виде
Начальное состояние
y & ApplyFunction; (1) = 0 & ZeroWidthSpace;
подразумевает
0 = 1 + C, & ZeroWidthSpace;
следовательно
С = -1.& ZeroWidthSpace;
Следовательно
y = t2 − t. & ZeroWidthSpace;
Теперь заменяем
y = t2 − t & ZeroWidthSpace;
в правой части первого уравнения (S), и получим:
x ′ = x + t2 − t & ZeroWidthSpace;
или
(EX) x′ − x = t2 − t & ZeroWidthSpace;
Это снова линейное уравнение первого порядка. Умножая обе стороны
(EX) интегрирующим множителем
e∫ (-1) & InvisibleTimes; dt = e-t, & ZeroWidthSpace;
у нас есть
e − t & InvisibleTimes; x′ − e − t & InvisibleTimes; x = (t2 − t) & InvisibleTimes; e − t & ZeroWidthSpace;
e − t & InvisibleTimes; x = — (t2 + t + 1) & InvisibleTimes; e − t + C & ZeroWidthSpace;
следовательно
x = −t2 − t − 1 + C & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;
Начальное состояние
x & ApplyFunction; (1) = 0 & ZeroWidthSpace;
подразумевает
0 = −3 + C & InvisibleTimes; e, & ZeroWidthSpace;
следовательно
C = 3e.& ZeroWidthSpace;
Следовательно
x = −t2 − t − 1 + 3 & InvisibleTimes; et − 1. & ZeroWidthSpace;
Решение системы (S) с заданными начальными условиями:
x = & ZeroWidthSpace; x = -t2-t-1 + 3 & InvisibleTimes; et-1 & ZeroWidthSpace;
y = t2 − t & ZeroWidthSpace;
Упражнение . Решите систему:
(S) {x ′ = y − ty ′ = x + t & ZeroWidthSpace;
с начальными условиями
x & ApplyFunction; (1) = y & ApplyFunction; (1) = 0.& ZeroWidthSpace;
ОТВЕЧАТЬ
x = −t + 1 & ZeroWidthSpace;
y = t − 1 & ZeroWidthSpace;
РЕШЕНИЕ
Решая первое уравнение для
y & ZeroWidthSpace;
дает
y = x ′ + t, & ZeroWidthSpace;
следовательно
y ′ = x ′ ′ + 1. & ZeroWidthSpace;
Второе уравнение теперь принимает следующий вид:
x ′ ′ + 1 = x + t & ZeroWidthSpace;
или
(EX) x ′ ′ — x = t − 1 & ZeroWidthSpace;
Однородное уравнение, связанное с (EX):
(EXH) x ′ ′ — x = 0 & ZeroWidthSpace;
Корни его характеристического уравнения
λ2−1 = 0 & ZeroWidthSpace;
являются
λ1 = -1 & ZeroWidthSpace;
и
λ2 = 1.& ZeroWidthSpace;
Поэтому общее решение (EXH):
x = C1 & InvisibleTimes; e − t + C2 & InvisibleTimes; et & ZeroWidthSpace;
Мы ищем частное решение (EX) в виде:
xp = A & InvisibleTimes; t + B & ZeroWidthSpace;
У нас есть
xp ′ = A & ZeroWidthSpace;
и
xp ′ ′ = 0. & ZeroWidthSpace;
Уравнение (EX) теперь дает:
−A & InvisibleTimes; t − B = t − 1 и ZeroWidthSpace;
Следовательно
A = -1 & ZeroWidthSpace;
и
B = 1, & ZeroWidthSpace;
так
xp = −t + 1 & ZeroWidthSpace;
Таким образом, мы получили общее решение (EX):
x = C1 & InvisibleTimes; e − t + C2 & InvisibleTimes; et − t + 1.& ZeroWidthSpace;
Следовательно
x ′ = — C1 & InvisibleTimes; e − t + C2 & InvisibleTimes; et − 1. & ZeroWidthSpace;
Из первого уравнения (S) имеем
y = x ′ + t = & ZeroWidthSpace; −C1 & InvisibleTimes; e − t + C2 & InvisibleTimes; et − 1 + t. & ZeroWidthSpace;
у = е-т + т & InvisibleTimes; е-т-1 & ZeroWidthSpace;
Упражнение .Решите систему:
{x ′ = x + 2 & InvisibleTimes; yy ′ = — x − y & ZeroWidthSpace;
с начальными условиями
x & ApplyFunction; (0) = y & ApplyFunction; (0) = 1. & ZeroWidthSpace;
ОТВЕЧАТЬ
x = cos & ApplyFunction; t + 3 & InvisibleTimes; sin & ApplyFunction; t & ZeroWidthSpace;
y = cos & ApplyFunction; t − 2 & InvisibleTimes; sin & ApplyFunction; t & ZeroWidthSpace;
(PDF) Определение частного решения для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Международная конференция ОРГАНИЗАЦИЯ НА ОСНОВЕ ЗНАНИЙ
Vol.XXIII № 3 2017
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНКРЕТНОГО РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Василе Церняшу
«Николае Бэлчешу
« Николае Бэлчешу »,
, Румыния,
u,
.com, Land Forces Academy, Siba0003. Аннотация: Как и в случае линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами, решаемая задача
связана с определением частного решения, а затем с использованием общего решения присоединенной однородной системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянные коэффициенты, чтобы записать общее решение
изначально заданной системы.Для однородных систем линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами определение общего решения представляет собой метод исключения или сокращения
, который превращает систему в линейное дифференциальное уравнение того же порядка, что и
системы, и его К методам ее решения применяется или метод собственных значений и векторов. Если система
неоднородна, то мы также должны определить конкретное решение, которое может быть выполнено в
таким же образом, как и в случае дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами, если метод
Независимо от метода
, использованного для определения общего решения присоединенной однородной системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами, использовался метод редукции или исключения или метод вариации констант.Какой бы метод не использовался, определить конкретное решение
для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами сложно, в этом исследовании
предлагается метод, аналогичный методу линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами
.
Ключевые слова: системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами,
однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами,
частное решение, общее решение
1.Введение
В этом исследовании представлен простой и практичный метод
для определения конкретного решения для
системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
, и начинается с наблюдения
о том, как можно получить конкретное решение
. к линейному дифференциальному уравнению
n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Свободные члены системы могут быть частью
того же класса функций, что свободный член
может быть частью для линейных
дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами
Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом исключения
Решение дифференциальных уравнений
Теперь, разобравшись с основными терминами, приступим к решению! Предположим, у нас есть две зависимые переменные, x и y , представляющие популяцию криля и яков.Представьте себе скорость изменения яков d x / d t , отрицательно зависящую от количества крилей. Точно так же в этом гипотетическом мире скорость изменения криля, d y / d t , отрицательно зависит от количества яков. Таким образом, наша гипотетическая связанная система линейных дифференциальных уравнений:
Два неизвестных и два уравнения предлагают метод исключения из алгебры. Как мы увидим, запись d x / d t как D x выглядит так, как будто D умножает x .D, однако, является оператором на x , где операция дифференцирования. Фактически, даже умножение, как 4 умножение x на 4 x , является 4, действующим на x .
В систему криль-як!
Шаг 1. Используйте обозначение D для производной.
Заменить d x / d t на D x и d y / d t на D y :
Шаг 2. Составьте уравнения.
Положив сначала x , мы получим следующее изменение:
Шаг 3: Решить методом исключения.
Умножая уравнение 2 на D, получаем:
Умножая уравнение 1 на 4, получаем:
Как видите, теперь мы исключаем 4D x из уравнения:
Вычитая одно уравнение из другого, мы удалили 4D x .
Шаг 4. Решите дифференциальное уравнение.
Как решить это уравнение?
Сначала пусть y = e при .
Используя оператор дифференцирования D на y , мы получаем y = a e at .
Это дает нам D2 y = a 2 e at .
Подставляя в -36 y + D2 y = 0, получаем:
-36e при + a 2 e при = 0.
Разделив на «есть», мы получим:
-36 + a 2 = 0.
Решив для a , получим:
a = ± 6.
Таким образом:
y = c 1 e6 t + c 2 e-6 t .
Шаг 5: Используя исключение, найдите другие переменные.
Это повторение шага 3, но y исключены.
Умножение уравнения 1 на D:
Умножение уравнения 2 на 9:
Удаление 9D y дает -36 x + D2 x = 0.
Форма этого уравнения в x такая же, как и для y . Таким образом, решения для x и y одинаковы, за исключением индексов у констант:
x = c 3 e6 t + c 4 e-6 t .
Шаг 6: Используя начальные условия, найдите константы.
Начальные условия — это переменная и значения ее первой производной в момент времени t = 0.
Представьте себе в начале, y = 0 и d y / d t = 12.
Подставляя t = 0 в это
получаем:
Поскольку, e0 = 1,
y = ( c 1) 1 + ( c 2) 1.
В момент времени t = 0, y = 0.
Таким образом:
c 1 + c 2 = 0.
Теперь для начального состояния на d y / d t , которое вы можете увидеть здесь:
При t = 0 получается следующее:
В момент времени t = 0, d y / d t = 12:
6 c 1-6 c 2 = 12.
Разделив на 6, получим:
c 1 — c 2 = 2.
Отлично! Два уравнения и два неизвестных:
c 1 + c 2 = 0
c 1 — c 2 = 2
Решая для c 1 и c 2, получаем:
c 1 = 1 и c 2 = -1.
Таким образом:
Решение для y используется для нахождения c 3 и c 4 в решении x .
Продифференцируйте решение для x и подставьте в уравнение 1, D x = -9 y , которое вы можете увидеть здесь:
Приравнивая члены e6 t , получаем:
6 c 3 = -9 или c 3 = -3/2.
Приравнивая члены e-6 t , получаем:
-6 c 4 = 9 или c 4 = -3/2.
Таким образом:
Шаг 7. Проверьте решение.
Если выражения для x и y верны, обратная подстановка в исходную систему уравнений делает эти уравнения истинными.
Мы собираемся проверить, удовлетворяется ли исходная гипотетическая связанная система этими значениями x и y .
и
удовлетворяет
У нас есть LHS (левая сторона):
Упрощение до:
-9e6 t + 9e-6 t .
И у нас есть наша правая часть (правая часть), в которую мы подставляем -9 y , чтобы получить:
-9e6 t + 9e-6 t .
Проверить!
Для второго уравнения:
LHS: d y / d t = 6e6 t + 6e-6 t .
RHS: замените на -4 x , чтобы получить
, что упрощается до
6e6 t + 6e-6 t .
Отлично, мы получили!
Шаг 8: Составьте график и прокомментируйте решение:
Сюжет решений
График популяции криля x показывает начальное состояние x = 0 и положительный наклон. Это население растет в геометрической прогрессии. С другой стороны, популяция яков, и , начинается с -3 (мы не уверены, как будут функционировать яки с популяцией -3), с наклоном 0 и продолжает экспоненциально уменьшаться.
Конечно, эта связь между яком и крилем чисто гипотетическая. Естественные хищники криля — тюлени, киты, пингвины, а не яки. Тем не менее, график показывает решение, согласующееся с уравнениями и начальными условиями, и это самое главное!
Резюме урока
Хорошо, давайте уделим пару минут, чтобы повторить, так как это было совсем немного! Как мы узнали, дифференциальное уравнение просто содержит производные. Мы также узнали, что если нет произведений зависимых переменных и если все производные и зависимые переменные возведены в первую степень, то дифференциальное уравнение будет линейным .С двумя или более уравнениями это система , а когда разные зависимые переменные появляются в одном и том же уравнении, система связана .
Замечательных пределов существует несколько, но самыми известными являются первый и второй
замечательные пределы. Замечательность этих пределов состоит в том, что они имеют широкое применение и с их
помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах. Этим мы и будем заниматься в практической части данного урока.
Для решения задач путём приведения к первому или второму замечательному пределу не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределённости,
поскольку значения этих пределов уже давно вывели великие математики.
Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере:
Приведённое выше равенство основано на эквивалентности бесконечно малых .
Следовательно, верно равенство и следующего отношения:
.
Это разновидность первого замечательного предела.
Переходим к решению задач на первый замечательный предел. Заметим: если под знаком предела находится
тригонометрическая функция, это почти верный признак того, что это выражение можно привести к первому замечательнному пределу.
При решении не обойтись без преобразований выражений. Для этого обязательно потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Пример 1. Найти предел .
Решение. Подстановка вместо x нуля приводит к неопределённости:
.
В знаменателе — синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. Начинаем преобразования:
.
В знаменателе — синус трёх икс, а в числителе всего лишь один икс, значит, нужно
получить три икс и в числителе. Для чего? Чтобы представить 3x = a и
получить выражение .
И приходим к разновидности первого замечательного предела:
,
потому что неважно, какая буква (переменная) в этой формуле стоит вместо икса.
Умножаем икс на три и тут же делим:
.
В соответствии с замеченным первым замечательным пределом производим замену
дробного выражения:
.
Теперь можем окончательно решить данный предел:
.
А проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.
Пример 2. Найти предел .
Решение. Непосредственная подстановка вновь приводит к неопределённости «нуль делить на нуль»:
.
Чтобы получить первый замечательный предел, нужно, чтобы икс под знаком синуса
в числителе и просто икс в знаменателе были с одним и тем же коэффициентом. Пусть этот коэффициент будет равен 2.
Для этого представим нынешний коэффициент при иксе как
и далее, производя действия с дробями, получаем:
.
Пример 3. Найти предел .
Решение. При подстановке вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»:
.
Наверное, вам уже понятно, что из исходного выражения можно получить первый замечательный предел, умноженный на первый
замечательный предел. Для этого раскладываем квадраты икса в числителе и синуса в знаменателе на одинаковые множители,
а чтобы получить у иксов и у синуса одинаковые коэффициенты, иксы в числителе делим на 3 и тут же
умножаем на 3. Получаем:
.
Проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Предел
Пример 4.Найти предел .
Решение. Вновь получаем неопределённость «нуль делить на нуль»:
.
Можем получить отношение двух первых замечательных пределов. Делим и числитель, и знаменатель на икс.
Затем, чтобы коэффициенты при синусах и при иксах совпадали, верхний икс умножаем на 2 и тут же делим на 2, а нижний икс
умножаем на 3 и тут же делим на 3. Получаем:
Пример 5. Найти предел .
Решение. И вновь неопределённость «нуль делить на нуль»:
.
Помним из тригонометрии, что тангенс — это отношение синуса к косинусу, а косинус нуля равен единице.
Производим преобразования и получаем:
.
Проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.
Пример 6. Найти предел .
Решение. Тригонометрическая функция под знаком предела вновь наталкивает на мысль о применении первого замечательного предела.
Представляем его как отношение синуса к косинусу.
.
Так как , то и
Пример 7. Найти предел .
Решение. И вновь неопределённость «ноль делить на ноль» и синус под знаком предела. Значит надо приводить к первому замечательному пределу.
Умножим числитель и знаменатель на выражение сопряжённое числителю и получим
Проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.
Пример 8. Найти предел .
Решение. Бороться с неопределённостью «ноль делить на ноль» будем приведением к первому замечательному пределу. Вспоминаем
формулу тригонометрической единицы и подставляем её. Потом вспоминаем, что косинус в квадрате нуля и просто косинус нуля равны единице, а они у нас с противоположными знаками,
значит взаимно уничтожаются. Затем умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю. И дальнейшие преобразования. Всё
вышеописанное выглядит так:
Назад
Листать
Вперёд>>>
Начало темы «Предел»
Что такое предел функции и как его найти
Продолжение темы «Предел»
Второй замечательный предел
Бесконечно малые
Первый и второй замечательный предел
Найти замечательные пределы трудно не только многим студентам первого, второго курса обучения которые изучают теорию пределов, но и некоторым преподавателям.
Формула первого замечательного предела
Следствия первого замечательного предела запишем формулами 1. 2. 3. 4. Но сами по себе общие формулы замечательных пределов никому на экзамене или тесте не помогают. Суть в том что реальные задания построены так что к записанным выше формулам нужно еще прийти. И большинство студентов, которые пропускают пары, заочно изучают этот курс или имеют преподавателей, которые сами не всегда понимают о чем объясняют, не могут вычислить самых элементарных примеров на замечательные пределы. Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль для выражений с тригонометрическими функциями. Рассмотрим сначала ряд примеров на первый замечательный пределу, а потом изучим второй замечательный предел.
Пример 1. Найти предел функции sin(7*x)/(5*x) Решение: Как видите функция под пределом близка к первому замечательному пределу, но сам предел функции точно не равен единице. В такого рода заданиях на пределы следует в знаменателе выделить переменную с таким же коэффициентом, который содержится при переменной под синусом. В данном случае следует разделить и умножить на 7
Некоторым такая детализация покажется лишней, но большинству студентов которым трудно даются пределы поможет лучше понять правила и усвоить теоретический материал. 2 Решение: При проверке подстановкой получим неопределенность 0/0. Многим неизвестно, как свести такой пример до 1 замечательного предела. Здесь следует использовать тригонометрическую формулу
При этом предел преобразится к понятному виду
Нам удалось свести функцию к квадрату замечательного предела.
Пример 4. Найти предел Решение: При подстановке получим знакомую особенность 0/0. Однако переменная стремится к Pi, а не к нулю. Поэтому для применения первого замечательного предела выполним такую замену переменной х, чтобы новая переменная направлялась к нулю. Для этого знаменатель обозначим за новую переменную Pi-x=y
Таким образом использовав тригонометрическую формулу, которая приведена в предыдущем задании, пример сведен к 1 замечательному пределу.
Пример 5. Вычислить предел Решение: Сначала неясно как упростить пределы. Но раз есть пример, значит должен быть и ответ. То что переменная направляется к единице дает при подстановке особенность вида ноль умножить на бесконечность, поэтому тангенс нужно заменить по формуле
После этого получим нужную неопределенность 0/0. Далее выполняем замену переменных в пределе, и используем периодичность котангенса
Последние замены позволяют использовать следствие 1 замечательного предела.
Второй замечательный предел равен экспоненте
Это классика к которой в реальных задачах на пределы не всегда легко прийти. В вычислениях Вам понадобятся пределы — следствия второго замечательного предела: 1. 2. 3. 4. Благодаря второму замечательному пределу и его последствиям можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль, единица в степени бесконечность, и бесконечность разделить на бесконечность, да еще и в таком же степени
Начнем для ознакомления с простых примеров.
Пример 6. Найти предел функции Решение: Напрямую применить 2 замечательный пределу не получится. Сначала следует превратить показатель, чтобы он имел вид обратный к слагаемому в скобках
Это и есть техника сведения к 2 замечательному пределу и по сути — вывода 2 формулы следствия предела. (x-2) Решение: Имеем особенность типа 1 в степени бесконечность. Если не верите, можете везде вместо «икс» подставить бесконечность и убедиться в этом. Для возведения под правило поделим в скобках числитель на знаменатель, для этого предварительно выполним манипуляции
Подставим выражение в предел и превратим к 2 замечательному пределу
Предел равен экспоненте в 10 степени. Константы, которые являются слагаемыми при переменной как в скобках так и степени никакой «погоды» не вносят — об этом следует помнить. А если Вас спросят преподаватели — «Почему не превращаете показатель?» (Для этого примера в x-3), то скажите что «Когда переменная стремится к бесконечности то к ней хоть добавляй 100 хоть отнимай 1000, а предел останется такой как и был!». Есть и второй способ вычислять пределы такого типа. О нем расскажем в следующем задании.
Пример 9. Найти предел Решение: Теперь вынесем переменную в числителе и знаменателе и превратим оду особенность на другую. Для получения конечного значения используем формулу следствия 2 замечательного предела
Пример 10. Найти предел функции Решение: Заданный предел найти под силу не каждому. Для возведения под 2 предел представим, что sin (3x) это переменная, а нужно превратить показатель
Далее показатель запишем как степень в степени
В скобках описаны промежуточные рассуждения. В результате использования первого и второго замечательного предела получили экспоненту в кубе.
Пример 11. Вычислить предел функции sin(2*x)/ln(3*x+1) Решение: Имеем неопределенность вида 0/0. Кроме этого видим, что функцию следует превращать к использованию обеих замечательных пределов. Выполним предыдущие математические преобразования
Далее без труда предел примет значение
Вот так свободно Вы будете чувствовать себя на контрольных работах, тестах, модулях если научитесь быстро расписывать функции и сводить под первый или второй замечательный предел. Если заучить приведенные методики нахождения пределов Вам трудно, то всегда можете заказать контрольную работу на пределы у нас. Для этого заполните форму, укажите данные и вложите файл с примерами. Мы помогли многим студентам — сможем помочь и Вам!
свойства 1 и 2, определение, как решать, примеры с доказательством
Первый замечательный предел
Понятие «замечательные пределы» используется в математике для объяснения известных тождеств со взятием предела.
Лемма
Предел отношения синуса к его аргументу равняется единице в случае стремления аргумента к 0.
Данная лемма служит основой для вычисления производных тригонометрических функций, которые содержат синус, арксинус, тангенс и арктангенс.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В записи тождество математического анализа имеет следующий вид:
Свойства пределов позволяют вынести константу за знак предела, а также произвести замену предела произведения произведением пределов (при существовании последних):
Техника вычисления пределов. | Методическая разработка по алгебре (10 класс):
Теория пределов. Основные понятия и формулы.
Определение: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что для всех x, удовлетворяющих условиюδ , выполняется неравенство ε . Предел функции в точке а обозначается .
Основные теоремы о пределах:
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6.
Примечание: Все правила имеют смысл, если пределы функций f(x) и g(x) существуют.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
Следствия из первого замечательного предела
1.
2.
3.
4.
Пример1.
Найти предел
Разложим tgx на sinx и cosx и воспользуемся свойствами пределов.
= ====
===
Ответ: =
Второй замечательный предел
Следствия из второго замечательного предела
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Пример2.
Найти предел
Подставим , получим неопределённость и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.
=
Ответ:.
Техника вычисления пределов
а) Чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной. б) Чтобы раскрыть неопределенность типа , где под знаком предела стоит рациональная дробь, достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности. в) Чтобы раскрыть неопределенность типа, если под знаком предела стоит иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженный множитель и сократить множитель, приводящий к неопределенности. г) Необходимо помнить, что
1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как
, , и т.д.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены
Пример3.
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида .
Для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени.
==(*)
Разделим числитель и знаменатель на x
(*)====
Ответ:
Пример 4.
Найти предел В числителе и знаменателе находим x в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираем наибольшее значение, в данном случае 4 Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:
==(*)
Разделим числитель и знаменатель на
=====0
Ответ: 0
Пример 5.
Найти предел Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (x можно записать как ) Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
==(*)
Разделим числитель и знаменатель на
(*)====
Ответ:
Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число (.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью вида и метод их решения
Пример 6.
Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: = В данном случае получена так называемая неопределенность
Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.
==(*)
Разложим числитель и знаменатель на множители
Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
(*)===
Ответ:
Пример 7.
Вычислить предел
Сначала «чистовой» вариант решения
(*)
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: Знаменатель:
(*)22
Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела.
встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.
Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
Пример 8.
Найти предел
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.
(*)
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.
Умножаем числитель на сопряженное выражение:
(*)
=
Ответ:
Пример 9.
Найти предел
Окончательное решение примера может выглядеть так:
=(*)
Разложим числитель на множители:
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение
(*)=
Ответ:
Правило (теорема) Лопиталя.
Пусть функция и удовлетворяют следующим условиям:
1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;
2) и в этой окрестности;
3)
4) существует, конечный или бесконечный.
Тогда существует и , причем
Таким образом, вычисление предела отношения двух функций может быть заменено, при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций.
Замечание: Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа при
Применение правила Лопиталя на практике.
Пример 10.
Найти предел
Получаем неопределенность:
(*)
Воспользуемся правилом Лопиталя:
(*)
Ответ: 0
Замечание:
Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.
Замечание: Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Однако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться справедливыми.
Замечание: Хотя правило Лопиталя работает только с неопределенностями и, неопределенности других типов могут быть раскрыты с его помощью, если путем преобразований удастся привести изучаемую неопределенность к указанному типу.
Пример 11.
Найти предел
Получаем неопределенность не подходящую под правило Лопиталя
(*)
Приведем ее к нужному виду
(*) (*)
и для решения воспользуемся правилом Лопиталя
(*)
Ответ:
определение, формулы и примеры решения
Содержание:
Раскрытие неопределенностей
Основные пределы
Основные виды неопределенностей:
$\left\lceil\frac{0}{0}\right\rceil$
, $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$
, $[0 \cdot \infty]$
, $[\infty-\infty]$
, $\left[1^{\infty}\right]$
, $\left[0^{0}\right]$
, $\left[\infty^{0}\right]$
Определение
При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. {0}\right]$
Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.
Раскрытие неопределенностей
Для раскрытия неопределенностей используют следующее:
упрощают выражение функции: раскладывают на множители, преобразовывают функцию с помощью
формул сокращенного
умножения, тригонометрических формул,
домножают на сопряженное, что позволяет в дальнейшем сократить и т.д., и т.п.;
замечательные пределы — первый замечательный предел и
второй замечательный предел;
правило Лопиталя;
эквивалентные бесконечно малые функции.
Основные пределы
1. Первый замечательный предел: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$
Читать дальше: понятие непрерывности функции в точке.
Как найти предел последовательности?
А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции:
В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремитьсятолько к «плюс бесконечности» – в сторону увеличения натуральных номеров . В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу.
Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу.
По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей.
Начнём с прогрессий:
Пример 1
Найти предел последовательности
Решение: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов:
Так как , то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле .
Оформляем решение:
Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: . В данном случае: – первый член, – знаменатель прогрессии.
Главное, совладать с четырёхэтажностью дроби:
Есть.
Пример 2
Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел
Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости в числителе потребуется применить формулу суммы первых членов арифметической прогрессии: , где – первый, а – энный член прогрессии.
Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость – одна из самых популярных. И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций!
Как вычислить эти пределы? Смотрите Примеры №№1-3 урока Пределы. Примеры решений.
А может быть что-нибудь посложнее наподобие ? Ознакомьтесь с Примером №3 статьи Методы решения пределов.
С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн». Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени.
Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость . Как решать пределы вроде можно узнать из Примеров №11-13 той же статьи.
Чтобы разобраться с пределом , обратитесь к Примеру №7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве.
Следующие четыре примера (№№3-6) тоже «двулики», но на практике почему-то больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций:
Пример 3
Найти предел последовательности
Решение: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии:
(1) В числителе дважды используем формулу .
(2) Приводим подобные слагаемые в числителе.
(3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на («эн» в старшей степени).
Как видите, ничего сложного.
Пример 4
Найти предел последовательности
Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь.
В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя:
Пример 5
Найти предел последовательности
Решение оформим по той же схеме:
(1) Используя свойства степеней, вынесем из показателей всё лишнее, оставив там только «эн».
(2) Смотрим, какие показательные последовательности есть в пределе: и выбираем последовательность с наибольшим основанием: . В целях устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на .
(3) В числителе и знаменателе проводим почленное деление. Поскольку является бесконечно убывающей геометрической прогрессией , то она стремится к нулю. И тем более к нулю стремится константа, делённая на растущую прогрессию: . Делаем соответствующие пометки и записываем ответ.
Пример 6
Найти предел последовательности
Это пример для самостоятельного решения.
Как-то незаслуженно остался в забвении стильный почерк, присущий только пределу последовательности. Пора исправить ситуацию:
Пример 7
Найти предел последовательности
Решение: чтобы избавиться от «вечного соперника» нужно расписать факториалы в виде произведений. Но прежде, чем приступить к математическому граффити, рассмотрим конкретный пример, например: .
Последним множителем в произведении идёт шестёрка. Что нужно сделать, чтобы получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 6 – 1 = 5. Чтобы получить множитель, который располагается ещё дальше, нужно из пятёрки ещё раз вычесть единичку: 5 – 1 = 4. И так далее.
Не беспокойтесь, это не урок в первом классе коррекционной школы, на самом деле мы знакомимся с важным и универсальным алгоритмом под названием «как разложить любой факториал». Давайте разделаемся с самым злостным флудером нашего чата:
Очевидно, что последним множителем в произведении будет .
Как получить предыдущий множитель? Вычесть единицу:
Как достать прадедушку? Ещё раз вычесть единицу: .
Ну и ещё на один шаг продвинемся вглубь:
Таким образом, наше чудовище распишется следующим образом:
С факториалами числителя всё проще, так, мелкие хулиганы.
Оформляем решение:
(1) Расписываем факториалы
(2) В числителе ДВА слагаемых. Выносим за скобки всё, что можно вынести, в данном случае это произведение . Квадратные скобки, как я где-то пару раз говорил, отличаются от круглых скобок только своей квадратностью.
(3) Сокращаем числитель и знаменатель на …. …хммм, флуда тут и впрямь много.
(4) Упрощаем числитель
(5) Сокращаем числитель и знаменатель на . Тут в известной степени повезло. В общем случае вверху и внизу получаются заурядные многочлены, после чего приходится выполнять стандартное действие – делить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени.
Более подготовленные студенты, которые легко раскладывают факториалы в уме, могут решить пример значительно быстрее. На первом шаге делим почленно числитель на знаменатель и мысленно выполняем сокращения:
Но способ с разложением всё-таки более основателен и надёжен.
Пример 8
Найти предел последовательности
Это пример для самостоятельного решения.
Желающие набить руку на рассмотренных типах пределов могут обратиться к сборнику Кузнецова. Около 150 прорешанных примеров можно найти здесь >>> (задачи №№2-6).
Как и в любом обществе, среди числовых последовательностей попадаются экстравагантные личности.
Теорема: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность – есть бесконечно малая последовательность.
Если вам не очень понятен термин «ограниченность», пожалуйста, изучите статью об элементарных функциях и графиках.
Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция.
Пример 9
Найти предел последовательности
Решение: последовательность – ограничена: , а последовательность – бесконечно малА, значит, по соответствующей теореме:
Просто и со вкусом. Да-да, так и оформляем.
А почему бы и нет?
Пример 10
Найти предел последовательности
Это пример для самостоятельного решения.
Ещё две распространённые ограниченные функции – арктангенс и арккотангенс:
Аргументы перечисленных тригонометрических функций могут быть заполнены знатной абракадаброй, но это не должно приводить в панику – существенно то, что последовательности ограничены!
Иногда в ходе вычисления пределов последовательностей приходится использовать довольно неожиданные приёмы:
Пример 11
Найти предел последовательности
Решение: неопределённость можно раскрутить двумя способами. Первый путь – через первый замечательный предел, который справедлив, как ни странно, и для последовательностей:
(1) Используем формулу .
(2) Избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице.
(3) Неопределённость не устранена, но теперь вместо тангенса у нас синус, и появляется возможность организовать 1-й замечательный предел. Проводим стандартный искусственный приём: делим всё выражение на и, чтобы ничего не изменилось, домножаем на .
(4) Используем первый замечательный предел , при этом, в качестве бесконечно малой величины выступает , которая, понятно, стремится к нулю при .
Дальнейшее просто.
Прокатывает и 2-й метод решения – через замечательные эквивалентности:
Заменим бесконечно малую последовательность эквивалентной: при . В данном случае
Готово.
Пример 12
Найти предел последовательности
Это пример для самостоятельного решения. Здесь аргумент арктангенса также бесконечно мал, поскольку его знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель. Решать, разумеется, значительно выгоднее через замечательную эквивалентность.
Оба рассмотренных примера справедливы и для функций, похожие пределы также разобраны в Примерах 12-13 урока о бесконечно малых величинах.
В заключение урока рассмотрим ещё один важный вопрос:
Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 134; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
2.3: Законы о лимитах и методы расчета лимитов
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
17415
OpenStax
OpenStax
В предыдущем разделе мы оценивали пределы, просматривая графики или создавая таблицу значений. В этом разделе мы устанавливаем законы для расчета лимитов и узнаем, как применять эти законы. В студенческом проекте в конце этого раздела у вас есть возможность применить эти предельные законы, чтобы вывести формулу площади круга, адаптировав метод, разработанный греческим математиком Архимедом. Начнем с переформулировки двух полезных предельных результатов из предыдущего раздела. Эти два результата вместе с предельными законами служат основой для вычисления многих пределов.
Первые два предельных закона были сформулированы ранее, и мы повторяем их здесь. Эти основные результаты вместе с другими предельными законами позволяют нам вычислять пределы многих алгебраических функций.
Основные предельные результаты
Для любого действительного числа \(a\) и любой константы \(c\),
\(\displaystyle \lim_{x→a}x=a\)
\(\displaystyle \lim_{x→a}c=c\)
Пример \(\PageIndex{1}\): оценка базового предела
Оцените каждый из следующих пределов, используя примечание.
\(\displaystyle \lim_{x→2}x\)
\(\displaystyle \lim_{x→2}5\)
Решение:
Предел x при приближении x к a равен a: \(\displaystyle \lim_{x→2}x=2\).
Пределом константы является такая константа: \(\displaystyle \lim_{x→2}5=5\).
Теперь мы рассмотрим предельные законы , индивидуальные свойства пределов. Доказательства справедливости этих законов здесь опущены.
Предельные законы
Пусть \(f(x)\) и \(g(x)\) определены для всех \(x≠a\) на некотором открытом интервале, содержащем \(a\). Предположим, что \(L\) и \(M\) — действительные числа такие, что \(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=L\) и \(\displaystyle \lim_{x→a}g (х)=М\). Пусть \(с\) — константа. Тогда выполняется каждое из следующих утверждений:
для всех \(L\), если \(n\) нечетно, и для \(L≥0\), если \(n\) четно.
Теперь мы практикуем применение этих предельных законов для оценки предела.
Пример \(\PageIndex{2A}\): оценка предела с использованием предельных законов
Используйте предельные законы для вычисления \[\lim_{x→−3}(4x+2). \номер\]
Решение
Давайте применим законы пределов шаг за шагом, чтобы убедиться, что мы понимаем, как они работают. Мы должны иметь в виду требование, что при каждом применении предельного закона должны существовать новые пределы для применения предельного закона.
=\(\displaystyle 4⋅\lim_{x→−3} x + \lim_{x→−3} 2\) Применить постоянный кратный закон.
=\(4⋅(−3)+2=−10.\) Примените базовые предельные результаты и упростите. 93+4}=\frac{1}{4}\). Примените основные предельные законы и упростите.
Обратите внимание, что это эквивалентно замене \(2\) на \(x\) в исходной функции. Просто нужно быть осторожным, чтобы предел существовал в этой точке.
Упражнение \(\PageIndex{2}\)
Используйте предельные законы для оценки \(\displaystyle \lim_{x→6}(2x−1)\sqrt{x+4}\). На каждом шаге укажите применяемый предельный закон.
Подсказка
Начните с применения закона произведения.
Или просто замените \(6\) на \(x\) в исходной функции. Просто нужно быть осторожным, чтобы предел существовал в этой точке.
Ответить
\(11\кв{10}\)
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
ОпенСтакс
Лицензия
CC BY-NC-SA
Версия лицензии
4,0
Показать страницу TOC
нет
Включено
да
Теги
расчетный график:да
постоянный кратный закон для пределов
разностный закон для пределов
предельные законы
закон продукта для пределов
частное для пределов
основной закон для пределов
теорема сжатия
закон суммы для пределов
Нахождение пределов конкретных функций: Rational
Эта статья полна всеми любимыми вещами: примерами! Хотите пример нахождения предела алгебраически? Это здесь. Хотите пример нахождения предела рациональной функции? Это тоже здесь! Более того, есть примеры с экспоненциальной функцией и кусочно-определенными функциями.
Обзор предельных свойств см. в Законах о предельных значениях
Нахождение предела рациональных функций
Помните, что рациональные функции непрерывны в своих областях определения, поэтому в любой точке области определения рациональной функции найти предел так же просто, как найти значение функции в этой точке. Немного веселее становится в точках, не входящих в домен, или в поиске предела в бесконечности.
Найти
.
Ответ:
Идея состоит в том, чтобы применить правило частного для пределов, если это возможно. Поскольку и числитель, и знаменатель являются полиномами,
и
, что означает, что выполняются условия для применения частного правила для пределов. Теперь вы знаете, что
.
Теперь найдите
.
Ответ:
Хотя правило частного справедливо для пределов на бесконечности, оно требует, чтобы предел числителя и знаменателя были действительными числами, что в данном случае неверно. Это означает, что вы не можете применить правило частного для пределов на бесконечности. Вместо этого попробуйте факторинг, чтобы увидеть, поможет ли это. Если вы разложите знаменатель, вы увидите, что
.
Отменим некоторые множители! Это оставляет нам
Это гораздо более простой предел; для получения дополнительной информации о подобных лимитах см. Бесконечные лимиты. Там вы узнаете, как показать, что
.
Это означает
.
В следующем примере вы можете увидеть, что происходит, когда есть вертикальная асимптота, где вы пытаетесь взять предел.
Найти
.
Ответ:
В предыдущем примере вы смогли разложить знаменатель на множители, что позволило вам взглянуть на более простой предел:
.
В этом примере вам нужно будет посмотреть на предел слева и предел справа и посмотреть, совпадают ли они. На самом деле
,
, а
.
Итак, вы не можете найти предел, и вы сказали бы, что предела не существует.
Обзор пределов слева и справа см. в разделе Односторонние пределы. Одной из наиболее часто используемых является упрощающая дробь.
Найти
.
Ответ:
Обратите внимание, что в этой функции происходит что-то интересное, поскольку знаменатель здесь равен нулю. Это будет либо дыра в графике, либо вертикальная асимптота, либо какой-то другой разрыв. Это означает, что вы не можете применить правило частного для пределов, так как предел знаменателя не может быть равен нулю. Вместо этого давайте сначала займемся алгеброй:
Теперь вы можете использовать предельные законы, чтобы увидеть, что
означает, что
.
Если вокруг него плавают корни, может помочь умножение на конъюгат.
Найти
.
Ответ:
Опять же, вы не можете использовать правило частного для пределов, потому что предел знаменателя равен нулю, если вы подставите -2. Поэтому попробуйте умножить и числитель, и знаменатель на сопряженное числителю:
Теперь попробуйте оценить предел знаменателя, и вы увидите, что
.
Это означает, что вы можете применить правило частного для пределов, чтобы сказать, что
.
Теперь вы знаете, что
.
Нахождение предела кусочной функции
Дополнительные примеры нахождения пределов кусочно-функциональных функций см. в разделе Односторонние пределы.
С помощью функции
найти
, если он существует.
Ответ:
Если бы это был любой другой предел, вы могли бы подставить значения функции, чтобы найти предел, так как обе части функции являются многочленами. Но именно здесь меняется определение функции, поэтому вместо этого вам нужно смотреть на предел слева и предел справа. Для этой функции
,
и
.
Поскольку эти два числа не совпадают,
не существует.
Дополнительные примеры пределов кусочно-определенных функций см. в разделе Односторонние пределы
Поиск пределов экспоненциальных функций
Когда вы ищете пределы экспоненциальных функций, это зависит от того, является ли это стандартной экспоненциальной функцией, такой как
,
или составная экспоненциальная функция, например
.
Если вы ищете стандартные пределы экспоненциальной функции, см. Экспоненциальные функции для обсуждения поведения экспоненциальных функций.
Помните, что если у вас есть две функции и , и непрерывна в , то
.
Подробнее о композиции двух функций и пределов см. Теоремы непрерывности
Найти
.
Ответ:
Думайте об этом пределе как о композиции двух функций,
и .
Затем
.
Вы уже знаете, что экспоненциальная функция везде непрерывна и имеет предел в виде . Поэтому
Нахождение производной функции с помощью предельного процесса
Вы можете задаться вопросом, как найти производную функции с помощью предельных значений. Это более обширная тема, чем может поместиться в этой статье, поэтому для получения дополнительной информации см. Производные функции и производные как скорости изменения.
Определение пределов определенных функций — ключевые выводы
Всегда проверяйте, можете ли вы правильно применить закон пределов, прежде чем использовать его. Будьте особенно осторожны с правилом частного.
При поиске предела рациональной функции использование алгебры для перезаписи функции может быть очень полезным. Также рассмотрите умножение на сопряженные в случае корней в рациональной функции.
Если вы ищете предел кусочной функции, когда функция меняет определение, используйте односторонние пределы.
Для нахождения предела показательных функций или других составных функций помните, что если у вас есть две функции и , и непрерывна в , то.
Часто задаваемые вопросы о нахождении пределов определенных функций
Если вы берете предел f(g(x)) при приближении x к a, сначала возьмите предел g(x) при приближении x к a. Если он существует и имеет значение L, то возьмите предел f(x) при приближении x к L.
Если вам нравятся комплексные числа, вы можете записать тригонометрические функции как сумму и произведение экспоненциальных функций и комплексных чисел, тогда использовать правила экспоненциальной функции пределов.
Это включает в себя выполнение ряда алгебраических операций для упрощения функции, прежде чем применять такие вещи, как свойства пределов.
Посмотрите, к чему действительно приближаются значения функции, когда значение x приближается к тому месту, где вы берете предел. Число, к которому приближаются значения функции, является пределом.
Во многом это зависит от функции и от того, где вы берете лимит. Это хорошая идея, чтобы посмотреть на конкретные примеры, чтобы найти что-то похожее на ваш.
Викторина «Окончательное определение пределов определенных функций»
Вопрос
Всегда ли можно использовать правило частного, чтобы найти предел рациональной функции?
Показать ответ
Ответить
Нет, можно использовать только в том случае, когда предел знаменателя не равен нулю.
Показать вопрос
Вопрос
Что можно сделать, чтобы попытаться найти предел рациональной функции?
Показать ответ
Ответить
Вы можете попробовать разложить на множители и отменить, или заняться алгеброй, чтобы упростить задачу, или использовать свойства пределов.
Показать вопрос
Вопрос
Если вы пытаетесь найти предел функции, в которой есть корень, какой метод вы можете использовать?
Показать ответ
Ответить
Можно попробовать умножить и числитель, и знаменатель на сопряженную часть с корнем.
Показать вопрос
Вопрос
Если вы хотите найти предел кусочно определенной функции в точке изменения определения функции, что вам нужно сделать?
Показать ответ
Ответить
Найдите предел слева и предел справа и проверьте, совпадают ли они. Если они не совпадают, то предела не существует.
Показать вопрос
Вопрос
Как найти предел показательной функции?
Показать ответ
Ответ
Вы можете думать об этом как о композиции двух функций, а затем использовать тот факт, что экспоненциальная функция непрерывна, чтобы найти предел.
Показать вопрос
Репетитор по математике — Последовательности — Теория
Репетитор по математике — Последовательности — Теория — Пределы
Эта тема фактически заимствована из теории функций. Поэтому мы
просто кратко переформулируйте теорему в форме, применимой к последовательностям:
Теорема (правило Лопиталя). Пусть f и g — функции, определенные на некоторых
( К ,∞).
Если оба f и g имеют предел на бесконечности, равный 0, или оба ф и g имеют бесконечный предел на бесконечности, тогда
при условии, что предел справа существует.
Как это помогает? Представьте, что у нас есть две последовательности,
{ a n } и
{ b n }, и мы
исследуя предел их отношения. Одной из наиболее типичных проблем является
что мы получаем
неопределенное соотношение, т.
тип
или же
.
Если формула, определяющая последовательность
{ a n } также
определяет некоторую функцию f и формулу, определяющую последовательность
{ b n } также определяет некоторую функцию g , мы можем
попробуйте использовать приведенную выше теорему. Мы должны проверить, что функции f и g имеют те же пределы на бесконечности, что и данные последовательности (оба
ноль или обе бесконечности). Если они это сделают, мы точно в положении
выше Теорема. Поэтому мы можем перейти к исследованию функций вместо
последовательностей, а затем использовать правило Лопиталя.
В любом из двух вышеприведенных случаев, если предел справа существует, то
результат справедлив и для предела слева, следовательно, и для
отношение двух последовательностей. С другой стороны, если процедура не удалась (для
случае, если предел справа не существует), мы ничего не можем сказать
о проблеме последовательности (см., например,
этот пример в разделе «Решенные проблемы» —
лимиты).
Обратите внимание, что обычно мы использовали бы более короткий способ указать применение
правило Лопиталя, см. следующий пример.
Пример:
Поскольку в конце мы получили определенный ответ, «условное равенство» в
шаг правила Лопиталя оправдан.
Предположения в теореме как существенные для ее справедливости. Если предел
не указанного типа, формула Лопиталя в целом уже неверна.
Рассмотрим следующий очень простой пример:
Пример:
Заметим, что эта предельная задача не относится к типу Лопиталя (ноль над нулем,
бесконечность над бесконечностью, даже не нечто над бесконечностью) и поэтому
Правило Лопиталя использовать нельзя. Что произойдет, если мы забудем проверить тип
и соблазниться формой отношения этой задачи, чтобы применить l’Hospital
правило? Получаем неверный ответ:
На самом деле теорему Лопиталя можно сформулировать в более общем виде.
Версия, которую мы цитировали выше, используется в большинстве текстов по математическому анализу и
курсы. Вот почему мы обычно (если возможно) притворяемся, решая
проблемы в Репетитор по математике, что это единственная известная нам версия, так что вы не будете
столкнуться с проблемами, привыкнув к чему-то, чего не охватил ваш профессор.
Какая более общая версия? Дело
нельзя обобщать, т.
теорема была лучшей из возможных. Однако для другого случая
, мы на самом деле
не нужно беспокоиться о числителе; правило Лопиталя применяется к типу
«что-то за бесконечностью»!
Теорема (правило Лопиталя). Пусть f и g — функции, определенные на некоторых
( К ,∞). Если г стремится к бесконечности, как x стремится к бесконечности, тогда
при условии, что предел справа существует.
Есть ли у этой более общей версии какое-либо преимущество? Рассмотрим соотношение а н / б н с б н →∞.
Что можешь
случилось с числителем? Если он также стремится к бесконечности, то мы можем использовать
первая, более популярная версия; таким образом, этот новый не является улучшением. Если a n сходится к некоторому действительному числу A , то
все отношение сходится к А /∞ = 0,
так что мы знаем ответ без l’Hospital.
Вы можете видеть, что в большинстве случаев первая версия l’Hospital довольно
достаточный. Есть ли тогда какие-то преимущества в новой версии? Определенно.
Во-первых, вы можете столкнуться с проблемами, когда числитель стремится к бесконечности.
но доказать это было бы так много работы, что вы были бы очень признательны знать
что вы можете пропустить его и использовать более общее правило (вам все равно придется доказывать
что знаменатель стремится к бесконечности, но это половина работы по сравнению с
первая версия Госпиталя). Так что более общая версия определенно
удобнее для задач с бесконечностью (не спасает от работы в «нулевой
больше нуля» случаев). Но это еще не все. Может случиться так, что числитель на самом деле не имеет
любой лимит! В то время как первая версия не может быть использована для типа «DNE over
бесконечность», тем более общее можно! Поэтому, хотя мы и обещали придерживаться
к первой версии, когда это возможно, мы также будем использовать более общую версию
иногда.
Практические советы по правилу Лопиталя см. во вставке.
«неопределенное соотношение» в методах
Опрос — Лимит.
В разделе «Решаемые задачи — пределы» правило Лопиталя используется в
эта проблема (которая является типичной
пример из учебника), он также является частью большинства других решений, особенно в
Эта проблема,
Эта проблема,
эта проблема и
Эта проблема.
Хороший пример, когда правило Лопиталя может быть применено, но не приводит к
вывод, проверить
Эта проблема.
Интуитивная оценка Назад к теории — пределы
▷Step by Step Приложения для TI-Nspire CX и CX CAS Скачать бесплатно. Пройдите курсы по математике, естественным наукам и бизнесу
Для подготовки к экзаменам по математике и естественным наукам, домашнее задание. Проверьте свою работу.
— Шаг за шагом к успеху. Приложения запускаются за считанные минуты. Сначала протестируйте наши бесплатные пробные версии.—
95% купили больше ПРИЛОЖЕНИЙ.
97% сообщили об улучшении результатов.
Рейтинг: 4,89 из 5 звезд.
Доступно 46 ПРИЛОЖЕНИЙ.
КОВИД СПЕЦИАЛЬНЫЙ
Купите 3 приложения Made Easy по цене 2 приложений.
Выберите 3 приложения. EasyBusiness Stats Made EasyCalculus with Physics Apps Calculo de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht Gemacht DiscreteMDisateM de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenie ur Mathematik Leicht GemachtFinance Made EasyКонечная математика Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GmachtGeometria de Manera FacilLand Survey Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GmachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyЧисленный анализ Made EasyPhysik Leicht EasyPhysik Research Made EasyPhysik Research Made Easy GemachtFisica de Manera FacilPortfolio & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathSignals and Systems Made EasyStatistics and Probability Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatic and Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equation Solver Ecuaciones de Manera FacilПошаговый конвертер единиц измеренияThermodynamics Made EasyThermodynamik Leicht GemachtTrigonometry Made EasyTrigonometria de Manera FacilTr igonometrie Leicht GemachtVector Calculus Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht
Calculus Made EasyACT Made EasyAccounting Made EasyAerodynamics Made EasyAnalysis Leicht GemachtAnalysis mit PhysikAlgebra Made Easy CX CASAlgebra Made Easy CXAlgebra Leicht Gemacht CX CASAlgebra de Manera FacilAlgebra de Manera Facil CXApplications and Optimizations Made EasyBiology Made EasyBiostatistics AppBusiness Calculus Made EasyBusiness Stats with Physics de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht GemachtDiscrete Math Made EasyMatematicas Discretas de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenieur Mathematik Leicht GemachtFinance Mad e EasyFinite Math Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GemachtGeometria de Manera FacilLand Surveying Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GemachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyNumerical Analysis Made EasyNumber Theory Made EasyProperties Research Made EasyPhysik Made EasyPhysik Leicht Gemacht & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathСигналы и системы Made EasyСтатистика и вероятность Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatik und Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equal SolverSolucionador de EcuacionesStep de Manera Facil by Step Unit ConverterThermodynamic Made EasyThermodynamik Leicht GemachtТригонометрия Made EasyTrigonometria de Manera FacilTrigonometrie Leicht GemachtВекторный расчет us Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht
Calculus Made EasyACT Made EasyAccounting Made EasyAerodynamics Made EasyAnalysis Leicht GemachtAnalysis mit PhysikAlgebra Made Easy CX CASAlgebra Made Easy CXAlgebra Leicht Gemacht CX CASAlgebra de Manera FacilAlgebra de Manera Facil CXApplications and Optimizations Made EasyBiology Made EasyBiostatistics AppBusiness Calculus Made EasyBusiness Stats with Physics de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht GemachtDiscrete Math Made EasyMatematicas Discretas de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenieur Mathematik Leicht GemachtFinance Mad e EasyFinite Math Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GemachtGeometria de Manera FacilLand Surveying Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GemachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyNumerical Analysis Made EasyNumber Theory Made EasyProperties Research Made EasyPhysik Made EasyPhysik Leicht Gemacht & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathСигналы и системы Made EasyСтатистика и вероятность Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatik und Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equal SolverSolucionador de EcuacionesStep de Manera Facil by Step Unit ConverterThermodynamic Made EasyThermodynamik Leicht GemachtТригонометрия Made EasyTrigonometria de Manera FacilTrigonometrie Leicht GemachtВекторный расчет us Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht
Введите последние 8 цифр вашего 27-значного идентификатора продукта TI-Nspire.
Находится в разделе 5:Настройки → 4:Статус → О программе
ID может выглядеть так: 1008000007206E210B0 BD92F455 .
ПОМОГИТЕ НАЙТИ ID. Если бы это был ваш ID, вы бы набрали только BD92F455.
или на международном уровне:
В конце оплаты через PayPal вам будет отправлено электронное письмо с вашим ключом и программным обеспечением.
Хотите купить TI-калькулятор?
Получите самые низкие цены на калькуляторы TI (со сравнением цен)
СРАВНИТЕ лучшие цены на Amazon, Ebay, Target, Walmart, Office Max, Best Buy.
Сравните лучшие цены на Amazon, Walmart, Ebay, Target, Best Buy и т. д. Изучите историю цен калькуляторов за последние несколько месяцев. Настройте оповещение по электронной почте при снижении цен, чтобы получать уведомления. Сравните различные модели, чтобы найти калькулятор, который лучше всего соответствует вашим потребностям. Найдите новые, обновленные, восстановленные, подержанные калькуляторы. Смотрите обучающие видео и читайте руководства по калькуляторам. Прочтите последние новости о калькуляторах в Интернете.
БЕСПЛАТНАЯ загрузка: решение любого квадратного уравнения шаг за шагом
Загрузите пошаговый решатель квадратных уравнений
. Этот решатель является частью приложения Algebra Made Easy.
— Загрузите бесплатные пробные версии здесь.
— Срок действия пробных и платных приложений не ограничен.
— Будущие обновления бесплатны — навсегда!
Онлайн-репетиторство по математике
Получите онлайн-репетиторство.
Репетиторы с отличными оценками по математике будут рады помочь вам.
Получите индивидуальную помощь по математике.
Мы используем Zoom для онлайн-обучения, мы шаг за шагом объясняем, как решать математические задачи.
Репетиторы в настоящее время преподают алгебру, алгебру 2, предварительное исчисление, AP исчисление AB и BC, AP статистику, тригонометрию, дискретную математику.
Репетиторы более 10 лет работали в качестве читателей AP Calculus (те люди, которые оценивают экзамены AP Calculus).
Репетиторы также обучают навыкам сдачи тестов, которые так же важны, как и само содержание.
Наши преподаватели имеют более 20 лет опыта преподавания.
1. урок стоит 50$, после этого 100$ в час. оптом: 540 долларов за 6 часов, 1000 долларов за 12 часов.
Забронируйте сеанс репетиторства по электронной почте: [email protected]
Для вопросов, заказов и т. д.: ОБРАЩАЙТЕСЬ С НАМИ.
Первый урок (50 долларов США)
Один урок (100 долларов США)
Несколько уроков
Как ограничения делают нас более творческими
Ограничения могут показаться последним, что вам нужно для творческого проекта, но на самом деле они полезны, когда дело доходит до хорошей работы. Если вы когда-либо сталкивались с обычным писательским препятствием на пустой странице, вы знаете, каково это быть парализованным бесчисленными возможностями. Ограничения лишают нас некоторых возможностей выбора, а вместе с ними и паралич выбора, который мешает нам начать.
Мы в Buffer любим пробовать вещи, которые кажутся нелогичными, но особенно нам нравятся примеры того, как нелогичные подходы могут привести к отличным результатам.
Ознакомьтесь с несколькими примерами потрясающей работы, которую можно получить из-за творческих ограничений, а затем узнайте, как вы можете начать использовать ограничения, чтобы повысить свою креативность и продуктивность.
1. Короткая история, которая вызовет у вас слезы
Это одна из тех историй, которые настолько стары, что никто не может точно доказать, кто был их частью и как все произошло. Но даже без уверенности в фактах стоит пересказать. Предположительно, автором рассказа был Эрнест Хемингуэй, который поспорил с друзьями, что сможет написать целую историю всего из шести слов. Конечно, это кажется невозможным: как представить персонажей, объяснить их отношения и рассказать о них историю всего в шести словах? Вот как это сделал Хемингуэй:
Продается детская обувь, неношеная
Мощная штука, правда? Как я уже сказал, эту историю стоит рассказать, даже если мы никогда не узнаем точных деталей. Это, безусловно, дает урок о работе с ограничениями. При таком крайнем ограничении краткости Хемингуэй должен был не только тщательно подбирать слова, но и составлять их таким образом, чтобы тишина вокруг этих слов наполнялась остальной частью его рассказа, поскольку у него закончились слова. сказать это.
2. Подводя итог своей жизни в одном предложении: воспоминания из шести слов
Говоря об ограничениях на написание шести слов, вот забавный проект, основанный на том же самом. Книга «Не совсем то, что я планировал » представляет собой сборник воспоминаний, написанных известными и не очень писателями ровно в шести словах. Подводя итог своей жизни всего в шести словах, звучит сложно, но представьте себе, что вы пишете целую книгу о своей жизни — вдруг шесть слов не кажутся такими уж устрашающими, не так ли?
Вот несколько примеров из книги:
Ну, я подумал, что это было забавно. — Стивен Колберт
Не выдержал и написал песни. — Эйми Манн
Сварливый старый звукорежиссер тоже нуждается в любви. — Ленни Розенгард
Ни будущего, ни прошлого. Не потерял. — Matt Brensilver
3. Травма, положившая конец карьере и ставшая благословением
История Фила Хансена не может не вдохновлять. Будучи студентом художественного факультета, Фил полагался на особый стиль пуантилизма, который он разработал. Он был по понятным причинам обезумел, когда травма от создания искусства таким образом означала, что он больше не мог этим заниматься. После полного ухода из мира искусства на три года Фил вернулся и начал использовать ограничения в своих интересах.
Его трясущаяся рука из-за художественной травмы привела его к новому стилю, включающему дрожащие линии, которые он не мог удержаться.
В конце концов Фил понял, насколько сильными могут быть ограничения, и начал создавать свои собственные: от рисования на кофейных чашках до рисования приемами карате и создания временных произведений искусства со спичками, свечами и пережеванной едой.
Я не могу передать его историю должным образом, поэтому настоятельно рекомендую посмотреть его выступление на TED о том, чему он научился. Он включает в себя видео о том, как он создает удивительные произведения искусства, основываясь на наложенных на себя ограничениях:
4. Физические ограничения, ведущие к уникальным художественным проектам
В последний раз, когда я исследовал использование ограничений в творчестве, я наткнулся на этого художника, который создает потрясающие работы в рамках физических и пространственных ограничений.
Майкл Йоханссон использует бывшие в употреблении предметы и превращает их в художественные проекты. Мне хочется назвать их скульптурами, но, похоже, это не соответствует почти двухмерному виду его работ.
Что особенно впечатляет в работах Майкла, так это то, что он ищет рамки для работы — физические пространства, которые можно использовать в качестве ограничений — и заставляет используемые им объекты подходить друг к другу внутри этих областей.
В видео ниже Майкл описывает свою работу как почти игру: как настоящий тетрис.
Сигурд Ларсен и Майкл Йоханссон — Тетрис в реальной жизни из «Дневников авангарда» на Vimeo.
5. Использование ограничений авторского права в качестве вдохновения
Мой любимый художник и в последнее время завсегдатай блога Buffer, Остин Клеон представляет собой отличный пример работы в рамках ограничений. Хотя он известен несколькими вещами, возможно, первым, что сделало имя Остину, были его стихи о затемненных газетах.
Исходя из ограничений слов, уже присутствующих в газетной статье или колонке, Остин использует маркер, чтобы затемнить слова, вычитая из исходного содержания до тех пор, пока не останется только его собственное сообщение.
Более того, у Остина есть ограничения по авторскому праву, поскольку он использует чужую работу. В статье для New York Times Остин объяснил, как различные области закона об авторском праве вдохновляют его работу, поскольку они ограничивают его работу.
Например, ему нужно убедиться, что финальное сообщение в каждом из его затемняющих стихотворений, если оно не полностью отличается от оригинала, перевернуто или пародирует его. Он также отмечает, что чем меньше слов он использует из оригинала и чем больше пробелов между ними, тем меньше вероятность того, что он столкнется с иском о нарушении авторских прав.
Как насчет творческих ограничений?
6. Самостоятельные ограничения, когда у вас их нет, могут улучшить вашу работу
Дэмиен Коррелл — востребованный дизайнер, привыкший навязывать свои собственные ограничения своей работе. Без каких-либо ограничений Дэмиен чувствует, что у него слишком много свободы:
Думаю, если тебе дали чистую, свежую палитру и ты делаешь, что хочешь, это почти слишком большая свобода, по крайней мере для меня.
Дэмиен со временем понял, что наложение ограничений способствует повышению качества работы:
Я считаю, что [ограничения] делают процесс немного более приятным, а окончательный результат обычно вызывает у меня больше гордости.
Ограничения Дэмиена часто проявляются в форме сжатых сроков, которые помогают ему быстро претворить идею в жизнь и больше полагаться на свою интуицию, не имея времени на догадки.
процесс создания идеи и процесс изготовления обычно идут рука об руку или сразу же следуют за ними.
7. Ограничения в бизнесе: оставайтесь маленьким, когда вы не можете стать большим
Недавно мы рассмотрели преимущества начала с малого и то, как легко забыть, что такие крупные компании, как Google и Facebook, когда-то были маленькими.
37signals — еще один хороший пример. Вот компания, которая настолько велика и успешна, что они продают свою продукцию и проводят ребрендинг, чтобы снова сосредоточиться на своем первоначальном продукте, Basecamp.
Но когда они изначально создавали Basecamp, одной из вещей, которая помогала им в этом, было принятие ограничений, с которыми они столкнулись:
Когда 37signals создавали Basecamp, у нас было много ограничений. У нас было:
Дизайнерская фирма для управления Существующая работа с клиентами 7-часовая разница во времени (Дэвид занимался программированием в Дании, остальные из нас были в Штатах) Небольшая команда Без внешнего финансирования
Ищу при сегодняшнем успехе 37signals и их продукта Basecamp трудно представить, что им придется работать с такими ограничениями. Но они это сделали и обнаружили, что в некотором смысле это приносит пользу:
Ограничения часто являются скрытым преимуществом. Забудьте о венчурном капитале, длительных циклах выпуска и быстром найме. Вместо этого работайте с тем, что у вас есть.
Как использовать силу ограничений
Вот несколько убедительных примеров преимуществ ограничений. Как вы можете использовать силу ограничений в своей работе? Вот несколько стратегий, которые можно попробовать:
1. Установите таймер
Если проект кажется слишком сложным, чтобы даже знать, с чего начать, попробуйте установить таймер на 30 минут или около того и заставить себя просто копаться там, где только можно. Эта стратегия похожа на технику Pomodoro, метод управления временем, который разбивает работу на интервалы (обычно по 25 минут), разделенные короткими перерывами. Всплески концентрации с частыми перерывами могут улучшить вашу умственную гибкость.
2. Посвятите себя небольшому делу (которое способствует достижению более крупной цели)
Знаете ли вы, что 88% всех новогодних обещаний заканчиваются неудачей? Это потому, что когда мы ставим перед собой большую цель, которая меняет жизнь, мы слишком сильно нагружаем свой мозг, чтобы достичь ее. Примените здесь ограничение, сосредоточившись на небольших изменениях, которые в сумме могут помочь лучше сосредоточиться на общей цели. Когда вы ставите перед собой цель, разбейте ее, насколько это возможно, на простейшую возможную задачу.
3. Выполняйте одну задачу, пока не станет больно
Хотя многозадачность заставляет нас чувствовать себя продуктивно и кажется навыком, достойным зависти, на самом деле она не так уж хороша. Одним из полезных ограничений, которые стоит попробовать для повышения производительности, является чрезмерная однозадачность. Вот как главный операционный директор Buffer Лео Видрич делает это онлайн:
«Одна из стратегий, которую я использую, — это то, что я называю просмотром одной вкладки. Я бы ограничился тем, чтобы держать открытой только одну вкладку браузера, когда я работаю. Таким образом, мне нужно было действительно расставить приоритеты, какая задача была самой важной, над которой я должен был работать».
4.
Ограничьте свою команду
Возьмите пример с Джеффа Безоса, генерального директора Amazon, который придумал правило «двух пиццерий»: если команду нельзя накормить двумя пиццами, она слишком большая. Безос использовал ограничения, потому что хотел децентрализованную компанию, в которой преобладали бы независимые идеи. Вы можете сделать то же самое с этим простым ограничением: добавление большего количества людей является одной из самых распространенных ловушек производительности, в которые вы можете попасть.
5. Дайте себе сроки
Когда сейчас-Yahoo! Генеральный директор Марисса Майер работала в Google, она твердо верила в творческие ограничения, когда дело касалось разработки, часто ограничивая время прототипирования новой функции. «Часто мы можем понять, насколько хороша новая концепция, если создаем прототип только на один день или неделю», — сказала она. «В случае с бета-версией панели инструментов несколько ключевых функций (настраиваемые кнопки, общие закладки) были опробованы менее чем за неделю. Фактически, на этапе мозгового штурма мы придумали примерно в пять раз больше «ключевых функций». Большинство из них было отброшено после недели прототипирования. Поскольку только 1 из каждых 5–10 идей срабатывает, стратегия ограничения времени, которое у нас есть, чтобы доказать, что идея работает, позволяет нам опробовать больше идей, увеличивая наши шансы на успех».
6. Сосредоточьтесь на своем контенте
Это одно из ограничений, с которым мы недавно экспериментировали в Buffer. Благодаря тому, что новый Buffer для бизнеса действительно связывает клиентов, мы начинаем удваивать внимание к социальным сетям, блогам и другому маркетинговому контенту и немного меньше сосредотачиваемся на нашем лайфхак-контенте, чтобы создавать то, что больше всего помогает нашей аудитории. (Что вы об этом думаете? Дайте нам знать!)
7. Проведите мозговой штурм лучше
Придумайте лучшие идеи к , а не мозговой штурм. Вместо этого попробуйте обсудить идеи, конкретизируйте идею, прежде чем представить ее группе, и используйте другие, более конкретные методы формирования идей. Начать с чего-то (даже если это «плохая» идея!) вместо чистого листа дает вам трамплин для отскока, а наличие отправной точки может открыть новые идеи и расширить ваш творческий потенциал в других областях, а не сдерживать вас .
Использовали ли вы ограничения, чтобы помочь вашему творчеству? Как прошло? Дай мне знать в комментариях.
Если вам понравился этот пост, вам также могут понравиться «Как оптимизировать окружающую среду для творчества с помощью идеальных уровней температуры, освещения и шума» и «Как работает наш мозг, когда мы креативны: наука о великих идеях»
Изображение предоставлено: Уильям Уивер через Compfight cc, So Happy Few, Блог о намерениях, Майкл Йоханссон 1, 2, 3, Остин Клеон 1, 2, 3, журнал SMITH, ADC Young Guns, The Fox is Black
Как справиться с ограничениями скорости API: работают ли ваши интеграции в масштабе?
Вы когда-нибудь ходили в общественный бассейн и замечали табличку с указанием максимального предела вместимости? Эти ограничения были введены для обеспечения общественной безопасности. API-интерфейсы используют аналогичный критерий, называемый «ограничением скорости», чтобы обеспечить безопасность потребителей API и самого API.
Они могут защитить вас от снижения производительности и атак типа «отказ в обслуживании» (DoS), обеспечить масштабируемость и улучшить общее взаимодействие с пользователем.
Вам нужны ограничения скорости, потому что, в конце концов, вы не сможете предоставить своим пользователям наилучшие возможности, если ваш API не работает должным образом. Ниже описано, как заставить ограничения скорости работать.
Зачем нужны ограничения скорости
Ограничения скорости существуют для управления одним пользователем или объектом, который будет использовать данные API, чтобы обеспечить работоспособность и доступность вашего API. Думайте об ограничении скорости как о форме безопасности.
Если ваш API перегружен, его производительность снижается. Ограничения скорости защищают от этого, сокращая количество запросов, поступающих на ваш сервер. Например, если ваш API является целью вредоносной DoS-атаки, он может полностью выйти из строя. Ограничение скорости позволяет разработчикам API гарантировать, что API будет отклонять запросы, превышающие установленный лимит.
Ограничения скорости также очень помогают с масштабируемостью. Как разработчики приложений, мы мечтаем о том, чтобы наш продукт быстро набирал популярность и собирал приток пользователей. Но этот приток может вызвать всплески трафика, из-за чего наши API замедлятся до минимума. Ограничение скорости может гарантировать, что ваш API оснащен для обработки входящей орды потенциальных пользователей.
Под капотом: как работают ограничения скорости
Ограничения скорости действуют как привратники, контролирующие объем входящего и исходящего трафика в сеть или из сети. Ограничение скорости API может налагать, скажем, 100 запросов в минуту. Как только запросы превышают это число, он генерирует сообщение об ошибке, чтобы предупредить запрашивающую сторону о превышении количества выделенных запросов за определенный период времени.
Для запросов HTTP API эта ошибка обычно проявляется в виде ответа с кодом состояния 429. RFC 6585 отменяет этот код состояния для обозначения «Слишком много запросов». Обычно сервер отправляет ответ запрашивающей стороне вместе с дополнительной информацией о разрешенной частоте запросов, а также заголовком, указывающим время, необходимое для ожидания до попытки другого запроса.
Этот заголовок обычно называется «Retry-After» в соответствии с рекомендациями, описанными в спецификации RFC. Хотя это и не является строго обязательным, это хороший протокол, которому следует следовать, чтобы пользователи знали о требованиях сети.
Три типа ограничений скорости
Ограничения скорости состоят из различных параметров, которые определяют степень управления. Хотя любой может придумать собственный протокол ограничения скорости для API, разработчики часто реализуют три различных типа ограничений скорости. Вы можете реализовать эти параметры для управления ключевыми аспектами вашей политики ограничения скорости.
Команды разработчиков могут реализовать один тип ограничения скорости или любую комбинацию из трех, в зависимости от важности, которую они придают каждому из факторов, описанных ниже.
Ограничение скорости пользователя
Наиболее распространенный тип ограничения скорости, ограничение скорости пользователя отслеживает ключ API пользователя, файл cookie сеанса и IP-адрес, чтобы следить за количеством выполняемых запросов. Если количество запросов превышает лимит, пользователь должен дождаться сброса временных рамок, на что обычно указывает время ожидания, отправленное вместе с сообщением, прикрепленным к заголовку «Повторить попытку после».
В некоторых случаях пользователи могут договориться с разработчиками о том, как увеличить лимит или сбросить временной интервал «Повторить попытку», чтобы получить доступ к сети без ожидания.
Ограничение скорости на основе времени
Обычно это зависит от региона и времени суток, когда пользователь пытается получить доступ к сети. Он существует для того, чтобы протоколы строгого ограничения скорости применялись только к определенным периодам времени, когда трафик будет самым высоким. Часто это связано с увеличением количества разрешенных запросов в период с 12:00 до 8:00, так как общий трафик в этот период, как правило, самый низкий.
Ограничение скорости сервера
В зависимости от размера API у вас может быть несколько серверов, обрабатывающих разные типы запросов. Ограничение скорости сервера — это процесс применения различных ограничений для каждого сервера.
Одним из примеров этого является служба обработки изображений, которая потребляет много циклов ЦП. Скорость сервера, обрабатывающего обработку, будет ограничена на более высоком уровне, чем у обычного веб-сервера, поэтому запросы API, отправляемые на сервер обработки, будут регулироваться быстрее, чтобы быть справедливыми для всех пользователей.
Этот тип ограничения скорости также может уменьшить лимиты запросов для других серверов с меньшим доступом, чтобы высвободить доступный сетевой трафик для сервера, который генерирует больше запросов API.
Как реализовать ограничение скорости
Вы можете настроить ограничение скорости для ваших API разными способами. Если вы не возражаете потратить значительное количество усилий, вы можете реализовать ограничение скорости на уровне приложения, но это трудоемкий и длительный процесс. Однако, если вы хотите использовать некоторые готовые инструменты, существует множество простых в реализации наборов инструментов и сред со встроенными возможностями ограничения скорости.
Некоторые инструменты мониторинга и управления предлагают надежную скорость — ограничение возможностей с помощью так называемого «алгоритма дырявого ведра». В этой аналогии с ведром с отверстиями на дне вода выливается в ведро по мере поступления запросов; только определенное количество может вытечь из отверстий на дне за определенное время.
Этот процесс соответствует алгоритму планирования «первым поступил — первым обслужен» (FIFO), поскольку запросы, пришедшие первыми, обрабатываются раньше запросов, следующих за ними в очереди. Вода, вытекающая из отверстий на дне, представляет собой запросы, которые обрабатывает сервер. Когда запросы резко увеличиваются, они сохраняются во временном журнале невыполненных работ для обработки с постоянной скоростью в пределах корзины.
Если поступающая вода (запросы) превышает предел, который может вместить ведро, и оно переполняется, то вода сбрасывается и игнорируется.
Другим популярным и очень простым способом реализации ограничения скорости является использование шлюза API. С инструментами ограничения скорости, встроенными прямо в эти сервисы, настроить протокол ограничения скорости вашего API так же просто, как настроить файл конфигурации.
Основным преимуществом использования шлюзов API является способность их инструментов переключаться между ограничением уровня аутентификации или идентификатора клиента в зависимости от того, доступен ли первый для мониторинга.
Даже некоторые платформы включают базовые функции ограничения скорости. Эти фреймворки могут указывать параметр ограничения скорости непосредственно для группы маршрутов и указывать модели, с которыми вы хотите их связать, эффективно делая ограничение скорости запоздалым.
До сих пор я рассказывал, как ограничения скорости регулируют использование API как со стороны потребителя, так и со стороны сервера. Но между этими двумя сторонами существуют и другие технологии, которые также должны соблюдать эти правила.
Унифицированное ограничение скорости
Унифицированные API-интерфейсы предоставляют замечательную революционную технологию для тех, кто хочет установить соединения с несколькими поставщиками облачных услуг за один раз. За время, необходимое для создания единой интеграции API, унифицированные API могут интегрироваться с десятками или даже сотнями сервисов. Унифицированные API-интерфейсы также обеспечивают дополнительное преимущество, исключая дальнейшее обслуживание указанных соединений.
Унифицированный API работает путем абстрагирования различий между различными службами API, относящимися к определенной категории, и предоставления набора унифицированных конечных точек для доступа ко всем из них по одному и тому же набору маршрутов. В результате унифицированные API сталкиваются с дополнительной задачей решить, как обрабатывать ограничение скорости, когда дело доходит до доставки кода состояния 429.
Различные API, с помощью которых унифицированный API устанавливает соединения , имеют разные ограничения скорости и стандарты для работы с ограничениями запросов, поэтому вы должны обращаться с ними соответствующим образом, чтобы передавать данные обратно пользователям, которые их используют.
Тактики, которые следует учитывать для унифицированных API
Несмотря на то, что не существует стандартизированных рекомендаций по обработке ограничений скорости в унифицированном API, существует несколько тактик, которые можно использовать для максимально удобного использования API пользователями.
Обычно алгоритмы ограничения скорости отслеживают количество запросов за короткий период времени, например одну секунду или одну минуту. Если запросы превышают пороговое значение, вы обычно будете видеть ответы об ошибках с кодом состояния 429. Сюда входит заголовок «Повторить попытку после».
Унифицированные API должны принять меры для унификации заголовка Retry-After, который возвращается через каждый API, а затем отложить и повторить запросы на срок до 30 секунд в соответствии с рекомендациями и рекомендациями каждого конкретного API. Автоматизируя этот процесс, унифицированный API избавляет пользователя от большей части ручной работы, оптимизируя процесс использования API.
Квоты и унифицированные API
Ограничения скорости обычно хорошо справляются с пиками трафика за короткие промежутки времени. Однако иногда API также необходимо регулировать общее количество запросов в течение гораздо более длительных интервалов, таких как час, день или месяц. В этих сценариях API фактически предоставляет квоту использования в течение указанного периода времени.
Квоты дополняют ограничения скорости, позволяя вам устанавливать их выше. В противном случае служба API может не поддерживать постоянный уровень запросов, близких к порогу ограничения скорости, от постоянно растущего числа приложений.
Предоставляя квоту, вы разрешаете приложениям время от времени достигать высоких уровней использования, но не позволяете им поддерживать этот уровень. Квоты, как правило, представляют собой большую проблему для унифицированных API, в зависимости от того, какие API, к которым вы обращаетесь, установили критерии для прекращения запросов.
Внедрение квот
Некоторые API устанавливают квоту для арендатора. Salesforce, например, ограничивает количество запросов на клиента в зависимости от версии Salesforce клиента и количества лицензий. Salesforce накладывает это ограничение на использование арендатором запросов API, а не на конкретное приложение разработчика.
Из-за этого некорректно работающее приложение, исчерпавшее дневную квоту арендатора, может также привести к временному сбою всех других интеграций арендатора. Это расширяет влияние, включая использование клиентом самого поставщика API, а не только воздействие на одно приложение разработчика.
Вы можете установить другой тип квоты в самом приложении разработчика. Некоторые API, такие как Google Drive, ограничивают общее количество запросов API, которые приложение может выполнять для всех пользователей, имеющих авторизованный доступ к этому приложению. Это начинает вызывать беспокойство по мере того, как приложение получает все более широкое распространение и все больше пользователей разрешают доступ к своим данным.
Унифицированные API-интерфейсы должны заблаговременно обращаться к этим API-интерфейсам, чтобы запросить увеличение лимита, если это оправдано, или сообщать разработчикам о необходимости запросить более высокий лимит скорости, если это необходимо.
«Квота авторизованного пользователя» — наиболее гибкий из упомянутых до сих пор и не требует дополнительных действий со стороны унифицированного API. Этот тип квоты аналогичен лимиту скорости, но действует в течение более длительного интервала времени.
Например, Egnyte API по умолчанию использует ограничение в 1000 запросов на авторизованного пользователя в день. Это в дополнение к его ограничению скорости в два запроса в секунду. Поскольку эти запросы устанавливаются на основе отдельного пользователя, превышение ограничения скорости для пользователя не влияет на способность приложения делать запросы к аккаунтам других пользователей.
Задайте стратегию ограничения скорости API
Ограничения скорости и квоты могут оказаться занозой для разработчиков и потребителей API, но они существуют по важным причинам. API защищен от множества факторов, которые могут угрожать его жизнеспособности, за счет строгого ограничения скорости, а именно времени простоя и вредоносных угроз безопасности.
Независимо от того, потребляет ли ваше приложение данные или предоставляет их, убедитесь, что вы нашли время для разработки хорошо продуманной стратегии реализации ограничений скорости или работы с ними. Вашим пользователям будет от этого только лучше.
Продолжайте учиться
Подробно изучите состояние качества с помощью Руководства TechBeacon. А также: загрузите бесплатно Отчет о качестве в мире за 2021–2022 годы.
Давайте рассмотрим последовательность чисел, первое из которых равно 1, а каждое последующее вдвое больше: 1, 2, 4, 8, 16, … Используя показатели степени, ее можно записать в эквивалентном виде: 20, 21, 22, 23, 24, … Называется она вполне ожидаемо: последовательность степеней двойки. Казалось бы, ничего выдающегося в ней нет — последовательность как последовательность, не лучше и не хуже других. Тем не менее, она обладает весьма примечательными свойствами.
Несомненно, многие читатели встречали ее в классической истории об изобретателе шахмат, который попросил у правителя в награду за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, всё время удваивая число зерен. Понятно, что суммарное их количество равно
S = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + … + 263. (1)
Но так как эта сумма неимоверно велика и во много раз превосходит годовой урожай зерновых по всему миру, вышло, что мудрец ободрал правителя как липку.1
Однако зададимся сейчас другим вопросом: как с наименьшими затратами труда подсчитать величину S? Обладатели калькулятора (или, паче того, компьютера) вполне могут за обозримое время выполнить перемножения, а затем сложить полученные 64 числа, получив ответ: 18 446 744 073 709 551 615. А поскольку объем вычислений немалый, то и вероятность ошибки весьма велика.
Кто похитрей, могут углядеть в этой последовательности геометрическую прогрессию. Не знакомые же с этим понятием (или те, кто попросту забыл стандартную формулу суммы геометрической прогрессии) могут использовать следующие рассуждения. Давайте-ка умножим обе части равенства (1) на 2. Так как при удвоении степени двойки ее показатель увеличивается на 1, то получим
2S = 21 + 22 + 23 + 24 + … + 264. (2)
Теперь из (2) вычтем (1). В левой части, понятное дело, получится 2S – S = S. В правой же части произойдет массовое взаимное уничтожение почти всех степеней двойки — от 21 до 263 включительно, и останется лишь 264 – 20 = 264 – 1. Итак:
S = 264 – 1.
Что ж, выражение заметно упростилось, и теперь, имея калькулятор, позволяющий возводить в степень, можно найти значение этой величины без малейших проблем.
А если и калькулятора нет — как быть? Перемножать в столбик 64 двойки? Еще чего не хватало! Опытный инженер или математик-прикладник, для которого главный фактор — время, сумел бы быстро оценить ответ, т.е. найти его приближенно с приемлемой точностью. Как правило, в быту (да и в большинстве естественных наук) вполне допустима погрешность в 2–3%, а если она не превосходит 1% — то это просто великолепно! Оказывается, подсчитать наши зерна с такой погрешностью можно вообще без калькулятора, и всего за несколько минут. Как? Сейчас увидите.
Итак, надо возможно точней найти произведение 64 двоек (единицу в силу ее ничтожности отбросим сразу). Разобьем их на отдельную группу из 4 двоек и еще на 6 групп по 10 двоек. Произведение двоек в отдельной группе равно 24 = 16. А произведение 10 двоек в каждой из остальных групп равно 210 = 1024 (убедитесь, кто сомневается!). Но 1024 — это около 1000, т.е. 103. Поэтому S должно быть близко к произведению числа 16 на 6 чисел, каждое из которых равно 103, т.е. S ≈ 16·1018 (ибо 18 = 3·6). Правда, погрешность здесь все же великовата: ведь 6 раз при замене 1024 на 1000 мы ошибались в 1,024 раза, а всего мы ошиблись, как легко видеть, в 1,0246 раз. Так что теперь — дополнительно перемножать 1,024 шесть раз само на себя? Нет уж, обойдемся! Известно, что для числа х, которое во много раз меньше 1, с высокой точностью справедлива следующая приближенная формула: (1 + x)n ≈ 1 + xn.
Поэтому 1,0246 = (1 + 0,24)6≈ 1 + 0,24·6 = 1,144. Посему надо найденное нами число 16·1018 умножить на число 1,144, в результате чего получится 18 304 000 000 000 000 000, а это отличается от правильного ответа менее чем на 1%. Чего мы и добивались!
В данном случае нам крупно повезло: одна из степеней двойки (а именно — десятая) оказалась весьма близка к одной из степеней десятки (а именно — третьей). Это позволяет нам быстро оценивать значение любой степени двойки, не обязательно 64-й. Среди степеней других чисел подобное встречается нечасто. Например, 510 отличается от 107 также в 1,024 раза, но… в меньшую сторону.2 Впрочем, это того же поля ягода: поскольку 210·510 = 1010, то во сколько раз 210превосходит 103, во столько же раз 510меньше, чем 107.
Другая интересная особенность рассматриваемой последовательности заключается в том, что любое натуральное число можно построить из различных степеней двойки, причем единственным способом. Например, для номера текущего года имеем
2012 = 22 + 23 + 24 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210.
Доказать эти возможность и единственность не составляет особого труда. Начнем с возможности. Пусть нам надо представить в виде суммы различных степеней двойки некоторое натуральное число N. Сначала запишем его в виде суммы N единиц. Так как единица — это 20, то первоначально N есть сумма одинаковых степеней двойки. Затем начнем объединять их по парам. Сумма двух чисел, равных 20, — это 21, так что в результате получится заведомо меньшее количество слагаемых, равных 21, и, возможно, одно число 20, если ему не нашлось пары. Далее попарно объединяем одинаковые слагаемые 21, получая еще меньшее количество чисел 22 (здесь тоже возможно появление непарной степени двойки 21). Затем снова объединяем равные слагаемые попарно, и так далее. Рано или поздно процесс завершится, ибо количество одинаковых степеней двойки после каждого объединения уменьшается. Когда оно станет равным 1 — дело кончено. Осталось сложить все получившиеся непарные степени двойки — и представление готово.
Что касается доказательства единственности представления, то здесь хорошо подходит метод «от противного». Пусть одно и то же число N удалось представить в виде двух наборов различных степеней двойки, которые не полностью совпадают (т. е. имеются степени двойки, входящие в один набор, но не входящие в другой, и наоборот). Для начала отбросим все совпадающие степени двойки из обоих наборов (если таковые имеются). Получатся два представления одного и того же числа (меньшего или равного N) в виде суммы различных степеней двойки, причем все степени в представлениях различны. В каждом из представлений выделим наибольшую степень. В силу изложенного выше, для двух представлений эти степени различны. То представление, для которого эта степень больше, назовем первым, другое — вторым. Итак, пусть в первом представлении наибольшая степень равна 2m, тогда во втором она, очевидно, не превышает 2m–1. Но поскольку (и мы с этим уже сталкивались выше, подсчитывая зерна на шахматной доске) справедливо равенство
2m = (2m–1 + 2m–2 + … + 20) + 1,
то 2mстрого больше суммы всех степеней двойки, не превосходящих 2m–1. По этой причине уже наибольшая степень двойки, входящая в первое представление, наверняка больше суммы всех степеней двойки, входящих во второе представление. Противоречие!
Фактически мы только что обосновали возможность записи чисел в двоичной системе счисления. Как известно, в ней используются лишь две цифры — ноль и единица, и каждое натуральное число записывается в двоичной системе единственным способом (например, упомянутое выше 2012 — как 11 111 011 100). Если пронумеровать разряды (двоичные цифры) справа налево, начиная с нуля, то номера тех разрядов, в которых стоят единицы, как раз и будут показателями степеней двоек, входящих в представление.3
Менее известно следующее свойство множества целых неотрицательных степеней двойки. Давайте некоторым из них произвольным образом присвоим знак «минус», т. е. из положительных сделаем отрицательными. Единственное требование — чтобы в результате и положительных, и отрицательных чисел оказалось бесконечное количество. Например, можно присвоить знак «минус» каждой пятой степени двойки или, допустим, оставить положительными только числа 210, 2100, 21000, и так далее — вариантов здесь сколько угодно.
Как ни удивительно, но любое целое число можно (и притом единственным способом) представить в виде суммы различных слагаемых нашей «положительно-отрицательной» последовательности.4 И доказать это не очень-то сложно (например, индукцией по показателям степеней двоек). Главная идея доказательства — наличие сколь угодно больших по абсолютной величине как положительных, так и отрицательных слагаемых. Попробуйте выполнить доказательство сами.
Интересно понаблюдать за последними цифрами членов последовательности степеней двойки. Так как каждое последующее число последовательности получается удвоением предыдущего, то последняя цифра каждого из них полностью определяется последней цифрой предыдущего числа. А так как различных цифр ограниченное количество, последовательность последних цифр степеней двойки просто обязана быть периодической! Длина периода, естественно, не превышает 10 (поскольку именно столько цифр мы используем), но это сильно завышенное значение. Попробуем оценить его, не выписывая пока саму последовательность. Ясно, что последние цифры всех степеней двойки, начиная с 21, четные. Кроме того, среди них не может быть нуля — потому что число, оканчивающееся нулем, делится на 5, в чем заподозрить степени двойки никак нельзя. А так как четных цифр без нуля имеется всего четыре, то и длина периода не превосходит 4.
Проверка показывает, что так оно и есть, причем периодичность проявляется почти сразу: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … — в полном соответствии с теорией!
Не менее успешно можно оценить и длину периода последней пары цифр последовательности степеней двойки. Так как все степени двойки, начиная с 22, делятся на 4, то и числа, образованные их последними двумя цифрами, делятся на 4. Не более чем двузначных чисел, делящихся на 4, имеется всего 25 (для однозначных чисел предпоследней цифрой считаем ноль), но из них надо выбросить пять чисел, оканчивающихся нулем: 00, 20, 40, 60 и 80. Так что период может содержать не более 25 – 5 = 20 чисел. Проверка показывает, что так и есть, начинается период с числа 22 и содержит пары цифр: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, а затем опять 04 и так далее.
Аналогично можно доказать, что длина периода последних m цифр последовательности степеней двойки не превышает 4·5m–1 (более того — на самом деле она равна 4·5m–1, но доказать это значительно сложнее).
Итак, на последние цифры степеней двойки наложены довольно жесткие ограничения. А как насчет первых цифр? Здесь ситуация практически противоположная. Оказывается, для любого набора цифр (первая из которых — не ноль) найдется степень двойки, начинающаяся с этого набора цифр. И таких степеней двойки бесконечно много! Например, существует бесконечное количество степеней двойки, начинающихся с цифр 2012 или, скажем, 3 333 333 333 333 333 333 333.
А если рассмотреть только одну самую первую цифру различных степеней двойки — какие значения она может принимать? Нетрудно убедиться, что любые — от 1 до 9 включительно (нуля среди них, естественно, нет). Но какие из них встречаются чаще, а какие реже? Как-то сразу не видно причин, по которым одна цифра должна встречаться чаще другой. Однако более глубокие размышления показывают, что как раз равной встречаемости цифр ожидать не приходится. Действительно, если первая цифра какой-либо степени двойки есть 5, 6, 7, 8 или 9, то первая цифра следующей за ней степени двойки будет обязательно единицей! Поэтому должен иметь место «перекос», по крайней мере, в сторону единицы. Следовательно, вряд ли и остальные цифры будут «равнопредставленными».
Практика (а именно — прямой компьютерный расчет для первых нескольких десятков тысяч степеней двойки) подтверждает наши подозрения. Вот какова относительная доля первых цифр степеней двойки с округлением до 4 знаков после запятой:
Как видим, с ростом цифр эта величина убывает (и потому та же единица примерно в 6,5 раз чаще бывает первой цифрой степеней двойки, чем девятка). Как ни покажется странным, но практически такое же соотношение количеств первых цифр будет иметь место почти для любой последовательности степеней — не только двойки, но, скажем, и тройки, пятерки, восьмерки и вообще почти любого числа, в том числе и нецелого (исключение составляют лишь некоторые «особые» числа). Причины этого весьма глубоки и непросты, и для их уяснения надо знать логарифмы. Для тех, кто с ними знаком, приоткроем завесу: оказывается, относительная доля степеней двойки 5, десятичная запись которых начинается с цифры F (для F = 1, 2, …, 9), составляет lg (F + 1) – lg (F), где lg — так называемый десятичный логарифм, равный показателю степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.6
Используя упомянутую выше связь между степенями двойки и пятерки, А. Канель обнаружил интересное явление. Давайте из последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, …) выберем несколько цифр подряд и запишем их в обратном порядке. Оказывается, эти цифры непременно встретятся тоже подряд, начиная с некоторого места, в последовательности первых цифр степеней пятерки.7
Степени двойки также являются своеобразным «генератором» для производства широко известных совершенных чисел, которые равны сумме всех своих делителей, за исключением себя самого. Например, у числа 6 четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Отбросим тот, который равен самому числу 6. Осталось три делителя, сумма которых как раз равна 1 + 2 + 3 = 6. Поэтому 6 — совершенное число.
Для получения совершенного числа возьмем две последовательные степени двойки: 2n–1 и 2n. Уменьшим большую из них на 1, получим 2n – 1. Оказывается, если это — простое число, то, домножив его на предыдущую степень двойки, мы образуем совершенное число 2n–1 (2n – 1). Например, при п = 3 получаем исходные числа 4 и 8. Так как 8 – 1 = 7 — простое число, то 4·7 = 28 — совершенное число.8 Более того — в свое время Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют именно такой вид. Нечетные совершенные числа пока не обнаружены (и мало кто верит в их существование).
Тесную связь имеют степени двойки с так называемыми числами Каталана, последовательность которых имеет вид 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429… Они часто возникают при решении различных комбинаторных задач. Например, сколькими способами можно разбить выпуклый n-угольник на треугольники непересекающимися диагоналями? Всё тот же Эйлер выяснил, что это значение равно (n – 1)-му числу Каталана (обозначим его Kn–1), и он же выяснил, что Kn = Kn–1·(4n – 6)/n. Последовательность чисел Каталана имеет множество любопытных свойств, и одно из них (как раз связанное с темой этой статьи) заключается в том, что порядковые номера всех нечетных чисел Каталана являются степенями двойки!
Степени двойки нередко встречаются в различных задачах, причем не только в условиях, но и в ответах. Возьмем, например, популярную когда-то (да и поныне не забытую) Ханойскую башню. Так называлась игра-головоломка, придуманная в XIX веке французским математиком Э. Люка. Она содержит три стержня, на один из которых надето n дисков с отверстием в середине каждого. Диаметры всех дисков различны, и они расположены в порядке убывания снизу вверх, т. е. самый большой диск — внизу (см. рисунок). Получилась как бы башня из дисков.
Требуется перенести эту башню на другой стержень, соблюдая такие правила: перекладывать диски строго по одному (снимая верхний диск с любого стержня) и всегда класть только меньший диск на больший, но не наоборот. Спрашивается: какое наименьшее число ходов для этого потребуется? (Ходом мы называем снятие диска с одного стержня и надевание его на другой.) Ответ: оно равно 2n – 1, что легко доказывается по индукции.
Пусть для n дисков потребное наименьшее число ходов равно Xn. Найдем Xn+1. В процессе работы рано или поздно придется снимать самый большой диск со стержня, на который первоначально были надеты все диски. Так как этот диск можно надевать только на пустой стержень (иначе он «придавит» меньший диск, что запрещено), то все верхние n дисков придется предварительно перенести на третий стержень. Для этого потребуется не меньше Xn ходов. Далее переносим наибольший диск на пустой стержень — вот еще один ход. Наконец, чтобы сверху его «притиснуть» меньшими n дисками, опять потребуется не меньше Xn ходов. Итак, Xn+1 ≥ Xn+ 1 + Xn= 2Xn + 1. С другой стороны, описанные выше действия показывают, как можно справиться с задачей именно 2Xn + 1 ходами. Поэтому окончательно Xn+1 =2Xn + 1. Получено рекуррентное соотношение, но для того чтобы его привести к «нормальному» виду, надо еще найти X1. Ну, это проще простого: X1= 1 (меньше просто не бывает!). Не составляет труда, основываясь на этих данных, выяснить, что Xn = 2n – 1.
Вот еще одна интересная задача:
Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел.
Давайте проверим сначала наименьшие числа. Ясно, что число 1 в указанном виде непредставимо. Зато все нечетные, которые больше 1, представить, конечно, можно. В самом деле, любое нечетное число, большее 1, можно записать как 2k + 1 (k — натуральное), что есть сумма двух последовательных натуральных чисел: 2k + 1 = k + (k + 1).
А как обстоят дела с четными числами? Легко убедиться, что числа 2 и 4 нельзя представить в требуемом виде. Может, и для всех четных чисел так? Увы, следующее же четное число опровергает наше предположение: 6 = 1 + 2 + 3. Зато число 8 опять не поддается. Правда, следующие числа вновь уступают натиску: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, а вот 16 — вновь непредставимо.
Что ж, накопленная информация позволяет сделать предварительные выводы. Обратите внимание: не удалось представить в указанном виде только степени двойки. Верно ли это для остальных чисел? Оказывается, да! В самом деле, рассмотрим сумму всех натуральных чисел от m до n включительно. Так как всего их, по условию, не меньше двух, то n > m. Как известно, сумма последовательных членов арифметической прогрессии (а ведь именно с ней мы имеем дело!) равна произведению полусуммы первого и последнего членов на их количество. Полусумма равна (n + m)/2, а количество чисел равно n – m + 1. Поэтому сумма равна (n + m)(n – m + 1)/2. Заметим, что в числителе находятся два сомножителя, каждый из которых строго больше 1, и при этом четность их — различна. Выходит, что сумма всех натуральных чисел от m до n включительно делится на нечетное число, большее 1, и потому не может быть степенью двойки. Так что теперь понятно, почему не удалось представить степени двойки в нужном виде.
Осталось убедиться, что не степени двойки представить можно. Что касается нечетных чисел, то с ними мы уже разобрались выше. Возьмем какое-либо четное число, не являющееся степенью двойки. Пусть наибольшая степень двойки, на которую оно делится, это 2a (a — натуральное). Тогда если число поделить на 2a, получится уже нечетное число, большее 1, которое мы запишем в знакомом виде — как 2k + 1 (k — тоже натуральное). Значит, в целом наше четное число, не являющееся степенью двойки, равно 2a (2k + 1). А теперь рассмотрим два варианта:
2a+1 > 2k + 1. Возьмем сумму 2k + 1 последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно 2a. Легко видеть, что тогда наименьшее из них равно 2a – k, а наибольшее равно 2a + k, причем наименьшее (и, значит, все остальные) — положительное, т. е. действительно натуральное. Ну, а сумма, очевидно, составляет как раз 2a(2k + 1).
2a+1 < 2k + 1. Возьмем сумму 2a+1 последовательных натуральных чисел. Здесь нельзя указать среднее число, ибо количество чисел четное, но указать пару средних чисел можно: пусть это числа k и k + 1. Тогда наименьшее из всех чисел равно k + 1 – 2a (и тоже положительное!), а наибольшее равно k + 2a. Сумма их тоже равна 2a(2k + 1).
Вот и всё. Итак, ответ: непредставимые числа — это степени двойки, и только они.
А вот еще одна задача (впервые ее предложил В. Произволов, но в несколько иной формулировке):
Садовый участок окружен сплошным забором из N досок. Согласно приказу тети Полли Том Сойер белит забор, но по собственной системе: продвигаясь всё время по часовой стрелке, сначала белит произвольную доску, затем пропускает одну доску и белит следующую, затем пропускает две доски и белит следующую, затем пропускает три доски и белит следующую, и так далее, каждый раз пропуская на одну доску больше (при этом некоторые доски могут быть побелены несколько раз — Тома это не смущает).
Том считает, что при такой схеме рано или поздно все доски будут побелены, а тетя Полли уверена, что хотя бы одна доска останется непобеленной, сколько бы Том ни работал. При каких N прав Том, а при каких — тетя Полли?
Описанная система побелки представляется довольно хаотичной, поэтому первоначально может показаться, что для любого (или почти любого) N каждой доске когда-нибудь достанется своя доля известки, т. е., в основном, прав Том. Но первое впечатление обманчиво, потому что на самом деле Том прав только для значений N, являющихся степенями двойки. Для остальных N найдется доска, которая так и останется навеки непобеленной. Доказательство этого факта довольно громоздко (хотя, в принципе, несложно). Предлагаем читателю выполнить его самому.
Вот каковы они — степени двойки. С виду — проще простого, а как копнешь… И затронули мы здесь далеко не все удивительные и загадочные свойства этой последовательности, а лишь те, что бросились в глаза. Ну, а читателю предоставляется право самостоятельно продолжить исследования в этой области. Несомненно, они окажутся плодотворными.
1 Впрочем, действительно ли правитель согласился выплатить требуемое, история умалчивает. Более вероятно, что для мудреца все закончилось длительным тюремным заключением по статье «за наглость». 2 Для любопытных вот еще одно хорошее совпадение: 69 = 10 077 696, в котором относительное расхождение с ближайшей степенью десятки всего около 0,8%, что примерно втрое меньше, чем для 210. 3 Повсеместно используемая десятичная система устроена по такому же принципу. Только вместо степеней двойки используются степени десятки (потому она так и называется), а цифры в записи показывают, в каком количестве очередную степень десятки надо прибавлять. 4 При этом число 0 (ноль) представляется как полное отсутствие слагаемых (т.е., формально говоря, нулевое их количество). 5 И не только двойки, как было отмечено ранее! 6 Жаждущие подробностей могут прочесть статью В. Болтянского «Часто ли степени двойки начинаются с единицы?» («Квант» №5 за 1978 г.), а также статью В. Арнольда «Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира» («Квант» №1 за 1998 г.). 7 См. задачу М1599 из «Задачника «Кванта» («Квант» №6 за 1997 г.). 8 В настоящее время известны 43 совершенных числа, наибольшее из которых равно 230402456(230402457 – 1). Оно содержит свыше 18 миллионов цифр.
Таблица степеней 2 (двойки)
Приведенная таблица кроме степени двойки показывает максимальные числа, которые может хранить компьютер для заданного числа бит. Причем как для целых так и чисел со знаком.
Исторически сложилось, что компьютеры используют двоичную систему счисления, а, соответственно, и хранения данных. Таким образом, любое число можно представить как последовательность нулей и единиц (бит информации). Существует несколько способов представления чисел в виде двоичной последовательности.
Рассмотрим наиболее простой из них — это целое положительное число. Тогда чем больше число нам нужно записать, тем более длинная последовательность бит нам необходима.
Ниже представлена таблица степеней числа 2. Она даст нам представление необходимого числа бит, которое нам необходимо для хранения чисел.
Как пользоваться
таблицей степеней числа два?
Первый столбец — это степень двойки, который одновременно, обозначает число бит, которое представляет число.
Второй столбец — значение двойки в соответствующей степени (n).
Пример нахождения степени числа 2. Находим в первом столбце число 7. Смотрим по строке вправо и находим значение два в седьмой степени (27) — это 128
Третий столбец — максимальное число, которое можно представить с помощью заданного числа бит (в первом столбце).
Пример определения максимального целого числа без знака. Если использовать данные из предыдущего примера, мы знаем, что 27 = 128. Это верно, если мы хотим понять, какое количество чисел, можно представить с помощью семи бит. Но, поскольку первое число — это ноль, то максимальное число, которое можно представить с помощью семи бит 128 — 1 = 127 . Это и есть значение третьего столбца.
Степень двойки (n)
Значение степени двойки 2n
Максимальное число без знака,
записанное с помощью n бит
Максимальное число со знаком,
записанное с помощью n бит
0
1
-
-
1
2
1
-
2
4
3
1
3
8
7
3
4
16
15
7
5
32
31
15
6
64
63
31
7
128
127
63
8
256
255
127
9
512
511
255
10
1 024
1 023
511
11
2 048
2 047
1023
12
40 96
4 095
2047
13
8 192
8 191
4095
14
16 384
16 383
8191
15
32 768
32 767
16383
16
65 536
65 535
32767
17
131 072
131 071
65 535
18
262 144
262 143
131 071
19
524 288
524 287
262 143
20
1 048 576
1 048 575
524 287
21
2 097 152
2 097 151
1 048 575
22
4 194 304
4 194 303
2 097 151
23
8 388 608
8 388 607
4 194 303
24
16 777 216
16 777 215
8 388 607
25
33 554 432
33 554 431
16 777 215
26
67 108 864
67 108 863
33 554 431
27
134 217 728
134 217 727
67 108 863
28
268 435 456
268 435 455
134 217 727
29
536 870 912
536 870 911
268 435 455
30
1 073 741 824
1 073 741 823
536 870 911
31
2 147 483 648
2 147 483 647
1 073 741 823
32
4 294 967 296
4 294 967 295
2 147 483 647
Необходимо принять во внимание, что не все числа в компьютере представлены таким образом. Существуют и другие способы представления данных. Например, если мы хотим записывать не только положительные, но и отрицательные числа, то нам потребуется еще один бит для хранения значения «плюс/минус». Таким образом, количество бит, предназначенных для хранения чисел у нас уменьшилось на один. Какое максимальное число может быть записано в виде целого числа со знаком можно посмотреть в четвертом столбце.
Для этого же самого примера ( 27 ) семью битами можно записать максимум число +63, поскольку один бит занят знаком «плюс». Но мы можем хранить и число «-63», что было бы невозможно, если бы все биты были бы зарезервированы под хранение числа.
Примеры использования таблицы степеней числа два
Например, нам необходимо узнать, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 256. Во втором столбце находим число 256 и считываем, что 256 это два в степени восемь.
Аналогично, 2 в 11 степени равно 2048.
2 в 13 степени равно 8,192.
2 в 15 степени равно 32,768
2 в 17 степени равно 131,072
Хранение и кодирование информации |
Описание курса | Использование электронных таблиц Excel
Степени и возведение в степень, вторая, третья, четвёртая степени
Когда число умножается само на себя, произведение называется степенью.
Так 2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х 2.2.2 = 8, куб или третья степень. 2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.
Также, 10.10 = 100, вторая степень 10. 10.10.10 = 1000, третья степень. 10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.
И a.a = aa, вторая степень a a.a.a = aaa, третья степень a a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a
Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.
Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения.
Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель. Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.
Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a1 записывается как a.
Вы не должны путать степени с коэффициентами. Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении. Так, 4a = a + a + a + a. Но a4 = a.a.a.a
Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква. В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении ax, показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень. Так, bm и dn возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда bm = b3; но если m = 5, тогда bm=b5.
Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d)3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид a3 + 3a2b + 3a2d + 3ab2 + 6abd + 3ad2 + b3 + d3.
Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель, и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.
Так, в ряде aaaaa, aaaa, aaa, aa, a; или a5, a4, a3, a2, a1; показатели , если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справаумножатьна a, мы успешно получим несколько значений.
Tак a.a = a2, второй член. И a3.a = a4 a2.a = a3, третий член. a4.a = a5.
Если мы начнем слеваделить на a, мы получим a5:a = a4 и a3:a = a2. a4:a = a3 a2:a = a1
Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.
Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.
Или a5, a4, a3, a2, a, 1, 1/a, 1/a2, 1/a3.
Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.
Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a3) = a3.
Тот же самый план записи может применяться к многочленам. Так, для a + b, мы получим множество, (a + b)3, (a + b)2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b)2, 1/(a + b)3.
Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.
Согласно этой форме, 1/a или 1/a1 = a-1. И 1/aaa или 1/a3 = a-3. 1/aa или 1/a2 = a-2. 1/aaaa или 1/a4 = a-4.
А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a0.
Тогда, учитывая прямые и обратные степени вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa можно записать a4, a3, a2, a1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4. Или a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид: +4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
Корень степени может выражен более чем одной буквой.
Так, aa.aa или (aa)2 есть второй степенью aa. И aa.aa.aa или (aa)3 есть третьей степенью aa.
Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.
Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:
Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.
Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.
Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.
Четвертая степень a есть a4 или aaaa. (Art. 195.) Шестая степень y есть y6 или yyyyyy. N-ая степень x есть xn или xxx….. n раз повторенное.
Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.
Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.
Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy)4, или d4h4y4.
Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b)3, или 43b3, или 64b3.
Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad)n или 6nandn.
Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y)3, или 27m3.8y3.
Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,
(a + b)1 = a + b, первая степень. (a + b)1 = a2 + 2ab + b2, вторая степень (a + b). (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, третья степень. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4, четвертая степень.
Квадрат a — b, есть a2 — 2ab + b2.
3 + 3a2 + 3a + 1.
Квадрат a + b + h есть a2 + 2ab + 2ah + b2 + 2bh + h2
Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3
Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.
Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.
Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 — b.
Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.
Если мы умножаем a + h само на себя или a — h само на себя, мы получаем: (a + h)(a + h) = a2 + 2ah + h2 также, (a — h)(a — h) = a2 — 2ah + h2.
Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.
Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.
Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.
Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a2 + 4ab + b2.
Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a2b2 + 2abcd + c2d2.
Пример 3. Квадрат 3d — h, есть 9d2 + 6dh + h2.
Пример 4. Квадрат a — 1 есть a2 — 2a + 1.
Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.
Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.
Так, квадрат a + b, есть (a + b)2. N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x)n
В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.
Но если корень степени состоит из нескольких множителей, скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.
Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)]2 или (a + b)2.(c + d)2.
Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго — произведением их квадратов. Но они равны друг другу.
Куб a.(b + d), есть [a.(b + d)]3, или a3.(b + d)3.
Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.
Вторая степень (- a) есть +a2 Третья степень (-a) есть -a3 Четвёртая степень (-a) есть +a4 Пятая степень (-a) есть -a5
Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак. Так, +a.+a = +a2 И -a.-a = +a2
Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.
Третья степень a2 есть a2.3 = a6.
Для a2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a6; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a2.
Четвертая степень a3b2 есть a3.4b2.4 = a12b8
Третья степень 4a2x есть 64a6x3.
Пятая степень (a + b)2 есть (a + b)10.
N-ая степень a3 есть a3n
N-ая степень (x — y)m есть (x — y)mn
(a3.b3)2 = a6.b6
(a3b2h4)3 = a9b6h12
Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.
Пример 1. Третья степень a-2 есть a-3.3=a-6.
Для a-2 = 1/aa, и третья степень этого (1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a6 = a-6
Четвертая степень a2b-3 есть a8b-12 или a8/b12.
Квадрат b3x-1, есть b6x-2.
N-ая cтепень ax-m есть x-mn или 1/x.
Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть «-«, то он должен быть изменен на «+» всегда, когда степень есть четным числом.
Пример 1. Квадрат -a3 есть +a6. Квадрат -a3 есть -a3.-a3, которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a6.
2. Но куб -a3 есть -a9. Для -a3.-a3.-a3 = -a9.
3. N-ая степень -a3 есть a3n.
Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n — чётное или нечётное.
Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.
Квадрат a/b есть a2/b2. Согласно правилу умножению дробей, (a/b)(a/b) = aa/bb = a2b2
Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a2, 1/a3 и 1/an.
Примеры двочленов, в которых один из членов является дробью.
1. Найдите квадрат x + 1/2 и x — 1/2. (x + 1/2)2 = x2 + 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 + x + 1/4 (x — 1/2)2 = x2 — 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 — x + 1/4
2. Квадрат a + 2/3 есть a2 + 4a/3 + 4/9.
3. Квадрат x + b/2 = x2 + bx + b2/4.
4 Квадрат x — b/m есть x2 — 2bx/m + b2/m2.
Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени.
Так, в дроби ax-2/y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель. Тогда ax-2/y = (a/y).x-2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.
В дроби a/by3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель. Тогда a/by2 = (a/b).(1/y3) = (a/b).y-3 = ay-3/b.
Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.
Так, ax3/b = a/bx-3. Для x3 обратным есть x-3, что есть x3 = 1/x-3.
Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.
Так, a/b = 1/ba-1, or ab-1.
Таблица последовательных степеней числа 2.
Таблица последовательных степеней числа 2.
Таблица степеней числа 2 (два) последовательно представляет число 2 (два) в степени от 0 (нуля) до 29 (двадцати девяти). Все результаты сведены в таблицу, которую можно скачать бесплатно.
Число 2 в нулевой степени. Начинается таблица с нулевой степени числа два. Как известно, любое число в нулевой степени равняется единице. Поэтому два в нулевой степени равняется единице.
Число 2 в первой степени. Если любое число возвести в первую степень, это число останется неизменным. Наша двойка в первой степени, соответственно, равняется двум. Если вы совершенно случайно повстречали число в первой степени, главное — не паникуйте. Никакой угрозы для ваших умственных способностей эта комбинация цифр не представляет. Любое число в первой степени равняется точно такому же числу без всяких показателей степени. Просто в математике не принято возле каждого числа записывать показатель степени один.
Знаменитое «дважды два равно четыре» — это душещипательный математический рассказ о приключениях двойки, попавшей во вторую степень. Как бы там ни было, и на какой бы язык не переводили эту романтическую историю чисел, два во второй степени всегда будет равняться четырем. Возведение любого числа во вторую степень означает, что это число умножается само на себя. На практике это выполняется довольно просто: возьмите число два и умножьте его на точно такое же число два. 2 х 2 = 4 В результате умножения получается число четыре.
В третьей степени число два равняется восьми. В отличие от умножения два на три, когда в результате получается шесть. Число три в показателе степени говорит нам о том, что мы берем три двойки и перемножаем их между собой. Естественно, что между тремя цифрами мы можем поставить только два знака умножения. 2 х 2 х 2 = 8 Как видите, совершенно логично, что два в третьей степени равняется восьми, а не шести.
Число 2 в четвертой степени равняется шестнадцати. Умножаем между собой четыре двойки. 2 х 2 х 2 х 2 = 16 Здесь мы попадаем в область двузначных результатов, когда одно число записывается двумя цифрами. Есть еще два показателя степени числа два, дающие двузначные результаты. Два в пятой степени равняется тридцать два и два в шестой степени равняется шестьдесят четыре.
Трехзначные результаты дает возведение числа два в седьмую, восьмую и девятую степени. А вот число два в десятой степени равняется одной тысяче двадцати четырем, что перевод нас в четырехзначные результаты. Всю дальнейшую эволюцию степеней числа два и их результатов можно проследить по расположенной выше таблице степеней числа два.
Ещё одна таблица степеней числа 2 от 0 до 100. Таблица не самая правильная получилась, но компактная. Особенно полезной данная таблица будет для программистов.
Как и любому заболеванию, репродуктивной дисфункции могут быть присвоены различные степени в зависимости от причин возникновения патология и того, какое лечение может быть применимо.
Специалисты выделяют бесплодие 1 степени и 2 степени. Болезнь такого характера может быть выявлена у представителей обоих полов. В числе предпосылок к развитию патологии выступает множество различных факторов. Точный диагноз врачи могут озвучить после проведения полного цикла медико-генетических обследований обоих партнеров. Узнав о наличии такого заболевания, как бесплодие 1 степени и 2 степени, пациенту необходимо точно следовать предписаниям лечащего врача.
Бесплодие 1 степени — характеристика заболевания
Плохая экология, напряженный ритм жизни, множество стрессов сказываются на здоровье человека. Репродуктивная система попадает под такое же негативное влияние, как и все другие органы и реагирует соответственно: лишает пациента возможности продолжения рода.
Бесплодие 1 степени, что это такое? Врачи описывают эту патологию следующим образом: ни один из пациентов не сталкивался с беременностью; то есть, женщина не рожала, а мужчина не становился отцом ни в отношениях с нынешними партнершами, ни ранее.
Бесплодие 2 степени: что это такое? Такое определение дают заболеванию, когда случаи успешного зачатия были ранее зафиксированы в анамнезе пациента. Другое определение этого диагноза — вторичное бесплодие. Его ставят и в том случае, если у женщины происходили неоднократные выкидыши – это указывает на неспособность организма выносить беременность.
Если у пациентки выявлены врожденные анатомические дефекты строения репродуктивной системы, при которых невозможно зачатие и (или) вынашивание ребенка, ставится диагноз бесплодие 1 степени у женщин. Также данную патологию диагностируют при проблемах с овуляцией.
Причиной могут стать сбои эндокринного характера — проблемы в деятельности гипофиза и гипоталамуса.
Бесплодие 2 степени у женщин спровоцировано иными причинами. Оно может возникнуть из-за иммунологической несовместимости — при произведении организмом антител, блокирующих активность сперматозоидов и препятствующих успешному зачатию.
На наличие у мужчины проблем с репродуктивной функцией указывают низкие качественные показатели спермы.
Бесплодие 2 степени: что это такое
Исходя из данных, полученных путем анализов и обследований, врачи могут сообщить пациенту о наличии репродуктивной дисфункции по той или иной причине. Это может быть как первичное, так и бесплодие второй степени. Поняв, какие факторы воздействия оказались ключевыми в том, что женщина неспособна иметь детей, а все попытки мужчины к оплодотворению заканчиваются неудачами, специалисты могут предложить эффективные методы лечения.
Бесплодие 1 степени встречается ввиду наличия генетических заболеваний или неверного формирования органов. Вторая степень патологии может развиться вследствие операбельного вмешательства при аборте, заболеваниях инфекционного или воспалительного характера. Бесплодие 2 степени приводит к наличию спаек, проблемам с проходимостью фаллопиевых труб и риску внематочной беременности.
Диагноз бесплодие 2 степени нередко озвучивают после выявления заболеваний иммунного характера, эндометриоза, проблемах с овуляцией.
Обе степени бесплодия у женщин могут быть диагностированы как на ранней стадии развития патологии, так и после ряда обследований. Если в организме присутствуют новообразования, мешающие нормальному росту и развитию плода, патологии шейки матки, эрозии, диагноз бесплодие 2 будет озвучен врачами в большинстве случаев.
У мужчин при заболевании этой же степени причиной часто является гормональный дисбаланс или побочные эффекты медикаментозного лечения. Причинами может послужить перенесение системных и воспалительных заболеваний и неудачное хирургическое вмешательство.
Можно ли вылечить первичное бесплодие
Постановка точного диагноза требует прохождения всех необходимых обследований обоими партнерами. Получив результаты, репродуктологи могут предположить возможные варианты дальнейшего развития событий и предложить эффективные методы лечения. Бесплодие первой степени требует иных подходов, нежели вторичное.
Нередко в современном мире у женщин обнаруживается психологическое бесплодие. Это значит, что при нормальных показателях физического здоровья у женщины стоит своего рода психологический барьер на пути к материнству. В таких ситуациях необходима консультация у психотерапевта.
Как лечить вторичное бесплодие
Лечение второй степени бесплодия во многих случаях оказывается эффективным. Но, если проблема серьезна, семейной паре может быть показано обращение к вспомогательным репродуктивным технологиям — экстракорпоральному оплодотворению, ИКСИ и т.д. Следует понимать, что каждая конкретная ситуация является уникальной и требует индивидуального подхода.
Что делать, чтобы не были диагностированы любые степени бесплодия
Избежать диагноза бесплодие помогут определенные меры, предпринимаемые в отношении собственного здоровья: ведите здоровый образ жизни, не пренебрегайте профилактическими посещениями врачей, вовремя лечите возникающие заболевания, не дожидаясь последствий, избегайте рискованных половых контактов и заботьтесь об интимной гигиене.
При появлении любых проблем с репродуктивной функцией обращайтесь в клинику «Центр ЭКО» в Крыму. Наши специалисты проводят лечение вторичного бесплодия и первичного. В клинике пациенты могут пройти все необходимые обследования, на основании которых врачи предложат наиболее эффективную лечебную программу.
что это такое и как выбрать технику с подходящей цифрой?
А почините телефон, он всего-то несколько минут под водой лежал, да, знаю на нем написано не допускать контакта с водой, но ведь в чехольчике…
С подобным запросом часто приходится сталкиваться сотрудникам по ремонту различных гаджетов. Запросы, скажу, разной степени глупости. Да, бывают совсем несуразные, но иногда, с точки зрения пользователя, наблюдается определенная логика.
Например, про степень защиты от влаги. Она же — загадочные буквы IPXY. Вместо Y и X в технических характеристиках устройства ставят определенные цифры от 2 до 8, которые означают, что можно делать с техникой: топить, мочить, брызгать…
Так вот. Многие пользователи думают, что если с телефоном можно плавать, то, естественно, вреда не будет и от похода в душ. Но это не так. Каждая степень защиты индивидуальна и не включает в себя все предыдущие.
Сегодня я подумал: ведь скоро Новый год! Сейчас самое время покупать подарки, напишу-ка статью, как выбрать гаджет по степени влагозащиты ipx! К слову, этой аббревиатурой маркируется вся электроника, включая наушники, умные часы и микроволновки.
Что означает аббревиатура IP?
IP — это международный стандарт, классифицирующий степень защиты техники от проникновения в ее святая святых частиц мелких фракций (пыли) и воды.
Обозначения IP, IPX и IPXY используются для определения рейтинга, показывающего насколько хорошо устройство защищено от мелких частиц и жидкости, которые могут навредить внутренностям прибора. Официально IP расшифровывается, как «International Protection» (пер. с англ. — «Международная защита»), так как этот стандарт был придуман Международной электротехнической комиссией (IEC). Но чаще аббревиатуру IP расшифровывают как «Ingress Protection» (пер. с англ. — «Защита от внешнего воздействия»). Цифры, идущие за буквами, указывают степень и вид защиты, которая определяется по ГОСТ 14254-96. Самая популярная маркировка — это IP67 и IP68. Стандарт разработан на основе стандарта МЭК 60529 1989 г. и действует с 1 января 1997 г.
Что означает буква X в аббревиатуре IPX?
Первая цифра в маркировке обозначает степень защиты от проникновения твердых тел, например, песка, пыли, металла, не в меру любопытных пальцев. Здесь наблюдается определенная градация: при степени защиты 0 устройство не имеет никакой защиты от пыли, а максимальная возможная степень 6 не допустит попадания мелких частиц даже при длительном воздействии. Интересно, конечно, было бы протестировать, но как? В песок закапывать, что ли?
Вторая цифра, стоящая на месте Y, обозначает защиту от влаги. Она бывает от 0 до 8, где при 0 любая влага вредит оборудованию, а при 8 — любимый гаджет можно погружать на глубину более 1 метра.
Иногда в аббревиатуре встречается только одна цифра, например, IPX7. Это означает, что устройство защищено от влаги 7 степенью, а на предмет защиты от твердых частиц техника не тестировалась.
Виды защиты от влаги и пыли
Теперь расскажу подробнее об уровнях защиты, которые можно встретить чаще всего. Сразу обозначу, 8 степень защиты от влаги — не предел, на горизонте маячит 9, однако она крайне редко используется, разве что в узкопрофессиональной технике.
Водозащита IPX
Означает, что устройство не защищено от влаги и даже капля способна его убить. Особенно обидно, ведь капля — это совсем чуть-чуть, да почти что ничего и не было. Мой совет: если у вас гаджет так уязвим, носите его в чехле.
Влагозащита IPX2
Если защита 1 степени подразумевает отсутствие вреда от вертикально падающих капель (вдруг дождь), то 2 степень — от капель, падающих под углом 15 градусов. В природе такое явление еще надо поискать, а вот капли пота на пробежке как раз подходят под этот стандарт.
Так что если присматриваете наушники для спорта, то у них должно быть минимум IPX2, иначе быстро сломаются (ну или вы недостаточно стараетесь в спортзале).
Степень защиты от влаги IPX4
Так же как и IPX2, используется для спортивных девайсов, но обладает более высокой степенью защиты. Телефон или наушники класса водозащиты IPX4 выдерживают прямые брызги и капли пота. Так что пробежать марафон в дождь с такой техникой не проблема, а вот нырять с ними нельзя.
В качестве примера наушников со степенью защиты IPX4 оставлю тут SoundSport wireless, SoundSport Free и Bose Sport Earbuds. Это спортивные наушники с необычным креплением «бабочкой». Кстати, в свое время я написал подробные обзоры всех моделей.
Стандарт защиты от воды IPX6
Это уже серьезная IPX защита от воды. Брызги под разными углами не страшны, наушники с такой влагозащищенностью можно брать в душ, но не слишком часто. Плавать по-прежнему с девайсами нельзя, но! Колонку IPX6 спокойно можно оставить на краю бассейна.
Многие испытания проводятся в пресной воде, что не гарантирует безопасную работу техники в море. От моего коллеги я узнал, что IPX6 выдерживает морскую воду и сильные водяные струи, в отличие от IPX5, где степень защиты наушников гарантирует только защиту от водяных струй с любого направления, без уточнения об их природе.
Водонепроницаемость IPX7/8
Устройства с такой защитой можно сколько угодно ронять в лужу, раковину и топить в бассейне. Но время пребывания в жидкости не должно быть дольше 30 минут и тонуть гаджет должен не глубже 1 метра.
Конечно, для подводной съемки рыбок степень защиты недостаточная, но поплавать в свое удовольствие в бассейне или в ванной вполне можно.
Для удобства я собрал все степени водонепроницаемости IPX в одну таблицу:
IPXY
От чего защищает
Описание
IPX
Нет защиты
Даже капля — это вода. Нельзя допускать контакта с влагой от слова совсем.
IPX1
Защита от вертикальных капель
Вертикальные капли не повредят девайс, а вот если они под углом — другое дело.
IPX2
Падающие брызги, капли под углом 15 градусов
Защита от капель пота и дождя, обязательно должна быть на всех устройствах для спорта и улицы.
IPX3
Защита от дождя, брызги под углом 60 градусов
Брызги падают вертикально и под углом 60 градусов к рабочей поверхности гаджета.
IPX4
Защита от брызг
Устройству не грозят брызги, в каком бы направлении они ни летели.
IPX5
Струи воды
Защита от струй в любом направлении.
IPX6
Морская вода
Защита от сильных струй воды, в том числе и соленой.
IPX7
Погружение на 1 метр
Устройство можно держать под водой, но короткий отрезок времени.
IPX8
Погружение глубже 1 метра
Техника может работать даже на глубине более 1 метра продолжительное время.
Что касается защиты от пыли и других твердых частиц — я отделил мух от котлет и публикую в отдельной таблице, чтобы не возникло путаницы с порядковыми цифрами.
IPXY
От чего защищает
IP1Y
Защита от твердых объектов более 50 мм, например, от руки
IP2Y
Защита от твердых объектов более 12 мм, скажем, палец
IP3Y
Защита от твердых объектов более 2,5 мм (отвертка)
IP4Y
Защита от твердых объектов более 1 мм, например, винт
IP5Y
Защита от пыли, ограниченный пропуск частиц
IP6Y
Защита от пыли максимальная из возможных
На всякий случай напомню, что более высокая степень защиты вовсе не включает в себя все предыдущие. Если с наушниками можно нырять, то душ их способен буквально убить! Или нет. Чтобы знать точно, надо внимательно читать инструкцию.
Что делать, если IP-маркировки нет?
Бывает и такое, что степень защиты не указана. Как быть? Положиться на случай, довериться Вселенной и почитать гарантию. Иногда наушники стирают вместе с курткой и они продолжают работать — это означает, что на самом деле они влагоустойчивые, просто производитель не озаботился провести тестирование и указать соответствующую маркировку.
Но лучше все-таки не испытывать судьбу и внимательно прочесть инструкцию, гарантию и отзывы других покупателей.
Надеюсь, было интересно. До новых встреч!
Марк Авершин, приглашенный эксперт
Что такое степень двойки – 4apple – взгляд на Apple глазами Гика
Ниже представлена таблица степеней числа 2. Она даст нам представление необходимого числа бит, которое нам необходимо для хранения чисел.
Как пользоваться
таблицей степеней числа два?
Степень двойки (n)
Значение степени двойки 2 n
Максимальное число без знака,
записанное с помощью n бит
1
–
–
1
2
1
–
2
4
3
1
3
8
7
3
4
16
15
7
5
32
31
15
6
64
63
31
7
128
127
63
8
256
255
127
9
512
511
255
10
1 024
1 023
511
11
2 048
2 047
1023
12
40 96
4 095
2047
13
8 192
8 191
4095
14
16 384
16 383
8191
15
32 768
32 767
16383
16
65 536
65 535
32767
17
131 072
131 071
65 535
18
262 144
262 143
131 071
19
524 288
524 287
262 143
20
1 048 576
1 048 575
524 287
21
2 097 152
2 097 151
1 048 575
22
4 194 304
4 194 303
2 097 151
23
8 388 608
8 388 607
4 194 303
24
16 777 216
16 777 215
8 388 607
25
33 554 432
33 554 431
16 777 215
26
67 108 864
67 108 863
33 554 431
27
134 217 728
134 217 727
67 108 863
28
268 435 456
268 435 455
134 217 727
29
536 870 912
536 870 911
268 435 455
30
1 073 741 824
1 073 741 823
536 870 911
31
2 147 483 648
2 147 483 647
1 073 741 823
32
4 294 967 296
4 294 967 295
2 147 483 647
Примеры использования таблицы степеней числа два
Например, нам необходимо узнать, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 256. Во втором столбце находим число 256 и считываем, что 256 это два в степени восемь.
Аналогично, 2 в 11 степени равно 2048. 2 в 13 степени равно 8,192. 2 в 15 степени равно 32,768 2 в 17 степени равно 131,072
Математика – это очень просто, даже проще, чем мы можем себе представить. Сложной математику делают сами математики.
Страницы
вторник, 18 октября 2011 г.
Степени числа два
Последовательные степени числа два
Последовательные степени числа два от до 29 представлены на таблице выше. Начинается таблица степеней числа 2 с показателя степени ноль. Любое число в нулевой степени равняется единице. Поэтому два в степени равняется 1. Любое число в первой степени равняется самому себе. Поэтому 2 в степени 1 равно 2.
Если кому-то мало этой таблицы, тогда можете посмотреть другую, где степени числа 2 представлены до 49-й степени.
Степени числа 2 от 0 до 49
Степени числа два от 50 до 100
Надеюсь, эти таблицы степеней числа 2 от 0 до 100 программистам понравятся. Математики любят совать всякую гадость куда попало. Как достойный ученик я не удержался, чтобы не всунуть в таблицу 2 в степени «пи» и 2 в степени «е». Авось, кому-нибудь из вундеркиндов это пригодится. А теперь маленький кусочек теории.
Два во второй степени означает, что число два нужно умножить само на себя. Поэтому 2 в степени 2 или 2 в квадрате равняется четырем.
Вообще, показатель степени показывает, сколько одинаковых чисел перемножается между собой. Так, два в третьей степени или 2 в кубе означает, что три числа 2 перемножаются между собой и это равняется восьми:
Два в четвертой степени будет произведением четырех двоек:
2 х 2 х 2 х 2 = 16
Эта таблица последовательных степеней числа два очень часто применяется в программировании, поскольку там используется двоичная система система счисления.
В заключение нужно ответить на вопрос вселенского масштаба: а 2 в бла-бла-бла степени на какую цифру заканчивается?
Два в любой степени заканчивается на одну из четырех цифр: 2, 4, 8, 6. Именно в такой последовательности они чередуются. (Евангелие от Меня: под выражением «любая степень» нужно понимать любое положительное целое число за исключением нуля. Аминь.) Искать формулы в Интернете мне откровенно лень. Беру карандаш и бумагу, рисую формулы – не правильно. Вторая попытка – то, что нужно. Несколько проверок – готово. Перед вами четыре формулы. Та формула, в которой при делении получается целое число, показывает, на какую цифру оканчивается два, возведенное в указанную степень.
Формулы для определения последней цифры
На картинке приведены два примера использования формул. В первом случае 2 в степени 123456789 заканчивается на цифру 2. Во втором случае 2 в степени 11111 заканчивается на цифру 8.
Несколько ответов на вопросы в комментариях.
2 в 999 степени заканчивается на 88.
2 в 2000 и 2 в 2012 степенях заканчиваются на 6 (оба показателя степени без остатка делятся на 4).
Этот вспомогательный материал, который может быть полезен для подготовки к ГИА по информатике, в частности задач 15 ГИА, задач 1 ГИА, B10 ЕГЭ по информатике
Степени двойки таблица
2 0
1
2 1
2
2 2
4
2 3
8
2 4
16
2 5
32
2 6
64
2 7
128
2 8
256
2 9
512
2 10
1024
2 11
2048
2 12
4096
2 13
8192
2 14
16384
2 15
32768
2 16
65536
2 17
131072
2 18
262144
2 19
524288
2 20
1048576
Автор: Александр Чернышов
Оцените статью, это очень поможет развитию сайта.
“>
Оцените статью: Поделитесь с друзьями!
Как найти степень многочлена
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC 101 S. Hanley Rd, Suite 300 St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Британская система дипломов с отличием для студентов | Студенты
Система бакалавриата британских университетов исторически отличалась от большинства других систем по всему миру.Эта система, скорее всего, будет отличаться от той, к которой вы привыкли в школе или колледже.
Вы можете узнать больше о том, как ваша работа будет отмечаться / оцениваться в вашем Справочнике для учащихся, который содержит общую информацию и ключевую информацию, относящуюся к вашей программе на получение степени.
Если вы учитесь на бакалавриате в UCL, вы стремитесь получить его с отличием. С этим типом степени уровень вашей успеваемости по программе обозначается «классом» степени — или отличием, — которую вы присуждаете.Большинство университетов присуждают степень на основе оценок за выполненную вами работу. Чтобы различать студентов на основе их академической успеваемости, присуждение степени бакалавра классифицируется следующим образом:
с отличием первого класса (70% и выше): степень первого класса, обычно называемая «первой» или первой, это высшая степень с отличием, которую вы можете получить.
Высшая вторая ступень с отличием (60-70%): существует два уровня второй степени. Второй высший класс, известный как 2: 1 или два-один, является высшим из двух уровней.
Низший второй класс с отличием (50-60%): 2.2 или два-два — это нижний уровень степени второго класса
С отличием третьего класса (40-50%): известная как «третья» или 3-я степень, эта степень является самой низкой достижимой степенью с отличием
Обычная степень: если отличнику не удается достичь третьего класса с небольшим отрывом, ему может быть присуждена обычная степень, то есть без отличия.
Присуждение различных классов с отличием по всей Великобритании
В таблице ниже показано процентное соотношение каждого класса с отличием, присуждаемых в Великобритании, по годам.
Почетные степени Великобритании
1-е
2: 1
2: 2
3-е
2014/15
%
49,5%
23,0%
5,5%
2015/16
23,6%
49,6%
21.7%
5,1%
2016/17
25,8%
49,1%
20,3%
4,9%
77
27,8%
48,5%
19,2%
4,5%
2018/19
28,4%
48,3%
19,0%
4,3%
Каким образом Маркировка Великобритании по сравнению с другими странами?
Обратите внимание, что этот раздел предназначен для предоставления общей информации о том, как оценивание в секторе высшего образования Великобритании сравнивается с системами оценивания в других странах.Эта информация не относится к допуску в UCL и не должна толковаться в контексте требований к поступлению в UCL.
Прочтите дополнительную информацию о международных академических требованиях UCL.
Полный спектр эквивалентов можно найти на веб-сайте UK Graduate Recruitment Bureau — таблица ниже дает некоторые сравнения.
Тип степени
Оценка UCL
США
Шкала ECTS
Китай (GPA 4.0 шкала)
Германия
Италия
Индия
Нидерланды и Испания
1-е
70-100%
02 A
A
90%
(3,7)
Sehr gut
108
75%
9
2: 1
900 69%
A-
B
80%
(3.3)
Кишка
Кишка
94
60%
7
60-64%
2: 2
55-59%
B
C
75%
(2,9)
Gut —
0
2 9002 84 50%
6
50-54%
B-
Befriedigend +
52
0
3-я
46-49%
C +
D
900 02 Бефридигенд
43-45%
C
0002 D
40-42%
C-
D
Отказ
0-39%
F
F
Ungenügend3
0
03
0
Определение степени и ведущего коэффициента многочленов
Только что найденная формула является примером полинома , который представляет собой сумму или разность членов, каждый из которых состоит из переменной, возведенной в неотрицательную целую степень. {2} + {a} _ {1} x + {a} _ {0 } [/ латекс]
Каждое действительное число a i называется коэффициентом .{i} [/ latex] — это член полинома , равный . Наивысшая степень переменной, которая встречается в полиноме, называется градусом полинома. Старший член — это член с наивысшей степенью, а его коэффициент называется старшим коэффициентом .
Как: для данного полиномиального выражения определите степень и старший коэффициент.
Найдите наибольшую степень x , чтобы определить градус.
Определите член, содержащий наибольшую степень x , чтобы найти главный член.{6} + 2х — 6 [/ латекс].
Решение
градусов | Определение второй степени по Merriam-Webster
Определение
второй степени
(запись 1 из 2)
1
США, преступления : с уровнем серьезности ниже первой степени : заслуживает наказания, но не самого сурового наказания вторая степень нападение / убийство
2 : причинение травмы средней степени тяжести
Получил / получил ожогов второй степени, ожогов. сотрясение мозга второй степени
Определение второй степени (запись 2 из 2)
США
: уровень преступления ниже первой степени и заслуживает менее сурового наказания.
Ему было предъявлено обвинение в нападении второй степени.
Что такое 2.1 степень, а стоит ли 2,2 градуса чего-нибудь?
Известный своими высокими стандартами образования, обучение на степень магистра в Великобритании особенно удобно для иностранных студентов. Тем не менее, международные правила приема могут быть сложными, и в Великобритании это не исключение. Вы можете столкнуться с очень специфическими требованиями для участия, такими как «степень бакалавра с оценкой 2,2 или третьей». Что означают эти числа?
Степень классификации
System International Кандидаты на получение степени магистра в Великобритании должны будут иметь международную степень бакалавра, соответствующую тому же стандарту, который требуется для получения степени бакалавра в Великобритании.
В Великобритании степень бакалавра может быть присуждена с отличием или без. Классификация степени зависит от структуры оценок. Вот что означают цифры:
Отличие первого класса (1-е): это высшая степень. Обычно средний общий балл 70% +
С отличием второй степени, высшая ступень (2,1): обычно , средний общий балл за экзамен 60% +
Знак отличия второго класса, низший дивизион (2.2): обычно , средний общий балл 50% +
С отличием третий класс (3-е место): обычно , средний общий балл 40% +
Обычная степень (проход): степень без отличия. Как правило, для получения степени для магистерской программы необходимо иметь как минимум диплом с отличием второго класса, нижний раздел (2.2), , который иногда называют с отличием второго класса.
Некоторые не ставят точную оценку и просят о «хорошей степени с отличием», что обычно означает первую или 2.1.
Международные сравнения
Британская классификация бакалавриата применялась во многих других странах. Например, если ваш бакалавр из Канады, Индии или Нигерии, вы можете обнаружить, что система очень похожа на эту, но с ее собственными вариациями. Совсем другое дело, если вы не из стран, которые следуют этой системе.
США
Нидерланды
Испания
Франция
Что это значит для вас
Приведенные здесь сравнения являются общим руководством.Есть много вещей, которые следует учитывать, особенно ожидания от программы, нюансы и то, получили ли вы трехлетнюю или четырехлетнюю степень.
Например, даже если ваша степень бакалавра соответствует более низкому уровню награды, чем та, которая указана в критериях отбора, t приемная комиссия может по-прежнему считать вас хорошим кандидатом, если у вас есть правильный академический или профессиональный опыт.
В конце концов, лучший человек, который даст вам обратную связь о том, как сделать ваше заявление идеальным — эксперт по приему, связанный со школой! Они могут выполнить проверку перевода кредита и предоставить вам внутреннюю информацию о программе.
Если у вас есть возможность получить личную помощь, воспользуйтесь ею. Это определенно поможет вам получить преимущество в программе вашего магистра.
Прочтите следующее: Что такое степень MBA и 5 причин, почему вам ее нужно
2.7 Средняя степень | Социальные сети: введение
Средняя степень
Возвращаясь к неориентированному графу на рисунке 1.3, мы можем подсчитать, что у него девять узлов. Хотя подсчитать немного сложнее, у графа 32 ребра. Хотя рисунок 1.3 имеет только 16 линий, соединяющих узлы, мы должны помнить, что эти линии представляют собой взаимные отношения. Таким образом, на самом деле, действительно есть связи, отправляемые в обе стороны, и поэтому количество строк должно быть удвоено, чтобы точно отразить количество фактических связей / ребер, встречающихся в сети. Зная это, мы можем приступить к вычислению некоторых математических свойств сети.
Средняя степень — это просто среднее количество ребер на узел в графе. Расчет относительно несложный.
Всего ребер / Всего узлов = Средняя степень
Таким образом, для рисунка 1.3 средний градус графика равен 3,56 или 32, разделенным на 9. Несмотря на прямолинейность, он предоставляет мощный инструмент для анализа социального мира.
Например, если у нас есть два школьных клуба одинакового размера, и мы спрашиваем студентов, с кем они дружат в клубе, мы можем получить очень разные средние степени. Предположим, что средняя степень в первой сети равна двум, а во второй — пяти.Эта статистика сообщает нам, что люди во второй сети имеют больше друзей в группе, чем в первой сети. Если нас интересует, почему первая группа потерпела неудачу, а вторая группа продолжала встречаться, мы могли бы понять, что лежащие в основе социальные отношения дружбы, которые можно было бы предположить как способствующие выживанию клубов, с самого начала были слабее в первой группе, чем они. попали во вторую группу. Таким образом, мы можем понять причины и / или основные условия, которые формируют социальный мир.
Точно так же ориентированный граф на рисунке 1.4 имеет семь узлов и 11 ребер. Граф имеет только 11 ребер, потому что граф направлен, а это означает, что иногда отношения не являются взаимными, хотя могут быть. Таким образом, нет необходимости «удваивать» количество линий, как в случае неориентированной сети. Средняя степень на графике рисунка 1.4 составляет 1,57 (11/7).
Однако говорить о средней степени в направленной сети не имеет смысла. Это потому, что направление связей, вероятно, будет значимым.Вместо этого теоретический интерес представляет внутренняя и внешняя степень. Кроме того, поскольку для каждой связи в сети есть отправитель и получатель, любая попытка вычислить средний внутренний или конечный градус приведет к тому же ответу, что и вычисление средней степени (т. Е. 1,57 — это средний внутренний градус, средний диплом и средний диплом).
Средняя степень
Возвращаясь к неориентированному графу на рисунке 1.3, мы можем подсчитать, что у него девять узлов.Хотя подсчитать немного сложнее, у графа 32 ребра. Хотя на рис. 1.3 всего 16 линий, соединяющих узлы, мы должны помнить, что эти линии представляют собой взаимные отношения. Таким образом, на самом деле, действительно есть связи, отправляемые в обе стороны, и поэтому количество строк должно быть удвоено, чтобы точно отразить количество фактических связей / ребер, встречающихся в сети. Зная это, мы можем приступить к вычислению некоторых математических свойств сети.
Средняя степень — это просто среднее количество ребер на узел в графе.Расчет относительно несложный.
\ [
\ begin {уравнение}
Средняя степень = \ frac {Total Edges} {Total Nodes} = \ frac {m} {n}
\ end {уравнение}
\]
Всего ребер Общее количество узлов = Средняя степень
Таким образом, для рисунка 1.3 средний градус графика равен 3,56 или 32, разделенным на 9. Несмотря на прямолинейность, он предоставляет мощный инструмент для анализа социального мира.
Например, если у нас есть два школьных клуба одинакового размера, и мы спрашиваем студентов, с кем они дружат в клубе, мы можем получить очень разные средние степени.Предположим, что средняя степень в первой сети равна двум, а во второй — пяти. Эта статистика сообщает нам, что люди во второй сети имеют больше друзей в группе, чем в первой сети. Если нас интересует, почему первая группа потерпела неудачу, а вторая группа продолжала встречаться, мы могли бы понять, что лежащие в основе социальные отношения дружбы, которые можно было бы предположить как способствующие выживанию клубов, с самого начала были слабее в первой группе, чем они. попали во вторую группу.Таким образом, мы можем понять причины и / или основные условия, которые формируют социальный мир.
Точно так же ориентированный граф на рисунке 1.4 имеет семь узлов и 11 ребер. Граф имеет только 11 ребер, потому что граф направлен, а это означает, что иногда отношения не являются взаимными, хотя могут быть. Таким образом, нет необходимости «удваивать» количество линий, как в случае неориентированной сети. Средняя степень на графике рисунка 1.4 составляет 1,57 (11/7).
Однако говорить о средней степени в направленной сети не имеет смысла.Это потому, что направление связей, вероятно, будет значимым. Вместо этого теоретический интерес представляет внутренняя и внешняя степень. Кроме того, поскольку для каждой связи в сети есть отправитель и получатель, любая попытка вычислить средний внутренний или конечный градус приведет к тому же ответу, что и вычисление средней степени (т. Е. 1,57 — это средний внутренний градус, средний диплом и средний диплом).
Таким образом, узел B на рисунке 1.4 имеет входящую степень, равную трем, потому что узлы A, D и C отправляют связи, в то время как узел B имеет исходящую степень, равную двум, поскольку он отправляет связи A и D.Представьте, что на рис. 1.4 изображена сеть дружбы. Таким образом, это было бы так, как если бы A, D и C видели в B как друга, а B видит только A и D как друзей. Помня об этой разнице в связях, мы можем использовать сетевые методы, чтобы раскрыть социальную структуру в реальном мире.
Degree and Path Length
Прочтите о том, насколько важны свойства сетей Degree и Path Length для понимания различий между Facebook, Twitter и LinkedIn
Основные знания:
Степень узла — это количество подключений, которые он имеет к другим узлам в сети.В социальной сети, если у вас 100 друзей, то узел, который представляет вас, имеет степень 100.
Длина пути — это просто расстояние между двумя узлами, измеренное как количество ребер между ними. Если Эми — друг Брэда, а Брэд — друг Кальвина, то длина пути между Эми и Кэлвином равна 2.
Возможно, вас заинтересует:
График — это математическое представление сети. Чтобы понять, что такое Степень и Длина пути, нам нужно рассмотреть графики более подробно.Давайте начнем с Facebook , относительно простой сети, поскольку она является примером неориентированного графа , что означает, что ребра представляют отношения, которые одинаково верны в обоих направлениях. Например, рассмотрим сети сотрудничества или дружеские отношения в Facebook; если вы сотрудничаете с кем-то или добавляете кого-то в друзья в Facebook, не имеет значения, кто инициировал эти отношения, как только вы добавите кого-то в свой список друзей, вы также появитесь в качестве друга в списках их друзей.Следовательно, в неориентированном графе направление ребер не важно.
Это означает, что в неориентированной сети угол градусов узла — это просто сумма всех связанных с ним ребер. Например, рассмотрим следующую сеть:
Средняя степень неориентированного графа используется для измерения количества ребер по сравнению с количеством узлов.Для этого мы просто делим сумму степеней всех узлов на общее количество узлов. Например, на графике выше узлы имеют следующие степени: A = 2, B = 2, C = 4, D = 2, E = 3, F = 2, G = 2, H = 1. Сложив все это вместе, мы получим 18, а поскольку узлов 8, средняя степень равна 18, деленному на 8, или 2,25.
В графе путь представляет собой последовательность узлов, в которой каждый узел соединен ребром со следующим. Длина пути соответствует количеству ребер на пути. Например, в сети выше пути между A и F следующие: ACDF, ACEF, ABCDF, ABCEF с длинами пути 3,3,4,4 соответственно.Кратчайшие пути — это первые два. Обратите внимание: поскольку направление не имеет значения, пути симметричны, поэтому пути от A до F просто обратны путям от F до A. LinkedIn — хороший пример социальной сети, которая использует пути и длину пути, чтобы показать, как вы можете общаться с другими людьми. Когда вы смотрите на чью-то страницу профиля, она вычисляет кратчайший путь от вас к нему и показывает вам первого человека на этом пути, который может вас познакомить.
Считайте свой узел в социальной сети.Какая у вас степень и как она соотносится с другими людьми в той же сети?
Если вам действительно интересно:
Структура сети может быть более сложной, чем в приведенном выше примере.
В направленной сети ребра между узлами имеют исходный узел и целевой узел, другими словами, связь работает только в одном направлении. Twitter — это социальная сеть, которая использует направление — в Twitter, когда вы подписаны на кого-то, это не означает, что они подписаны на вас. С другой стороны, Facebook — это ненаправленная сеть: когда вы становитесь другом человека, он также становится вашим другом.Таким образом, вычислить средний уровень в управляемой сети, такой как Twitter, немного сложнее.
В некоторых сетях также имеет смысл размещать веса на ребрах, чтобы показать, насколько они сильны или слабы по отношению к другим ребрам в графе. Например, рассмотрим сеть киноактеров, в которой актеры связаны между собой, если они вместе снялись в одном фильме. В этом примере вес может представлять количество раз, когда они играли вместе. Два актера, связанных с большим весом, более тесно связаны (они вместе снимались в большем количестве фильмов), чем двое, связанных с низким весом.Некоторые сети являются одновременно направленными и взвешенными. Ebay — хороший тому пример. Узлы сети Ebay — это люди, а ребра — продажа. Он направлен потому, что если я что-то покупаю у вас, это отличается от того, что вы покупаете что-то у меня. И это взвешено, так как я мог покупать много раз у одного человека, но только один раз у другого.
Моделирование сетей как ребер и узлов, с направлением и весом и без него, полезно, поскольку оно позволяет нам разрабатывать инструменты для анализа сетей и понимания их поведения, а затем применять их ко всем видам реальных сетей независимо от того, какие узлы и ребра на самом деле представлять.
НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРОВ НА ЧЕРТЕЖЕ. (Размеры; Методы нанесения размеров ; Правила нанесения размеров; ГОСТ 2.307-68.)
ГБПОУ
ВО «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПРОМЫШЛЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
ПРОМЫШЛЕННОЕ
ОТДЕЛЕНИЕ
Инженерная
графика
Практическая
работа №2
НАНЕСЕНИЕ
РАЗМЕРОВ
Размеры;
Методы
нанесения размеров ;
Правила
нанесения размеров;
ГОСТ
2.307-68.
Воронеж
2018
СОДЕРЖАНИЕ
1.
НАЗНАЧЕНИЕ РАЗМЕРОВ…………….….…………………….3
2.
МЕТОДЫ НАНЕСЕНИЯ РАЗМЕРОВ…………………………..3
3.
ПРАВИЛА НАНЕСЕНИЯ РАЗМЕРОВ…………………………5
4.
ПОЛОЖЕНИЯ ГОСТА 2.307-68 ……………………………….8
5.
ЗАДАНИЕ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ………………….…..11
6.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ……………………………………18
7.
УПРАЖНЕНИЯ…………………………………………………..17
8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………16
ПРАКТИЧЕСКАЯ
РАБОТА №2
Тема: Нанесение размеров на деталях простой
конфигурации по ГОСТ 2. 307-68.
Цель: Приобретение навыков быстрого и правильного
выполнения размерных линий и определения линейных размеров.
НАЗНАЧЕНИЕ РАЗМЕРОВ
Для определения величины изображенного изделия или
какой-либо его части но чертежу на нем наносят размеры.
Размеры разделяют на линейные и угловые. Линейные
размеры характеризуют длину, ширину, толщину, высоту, диаметр или радиус
измеряемой части изделия. Угловые размеры характеризуют величину углов.
Линейные размеры на чертежах указывают в миллиметрах,
но обозначение единицы измерения не выносят. Угловые размеры указывают в
градусах, минутах и секундах.
Общее количество размеров на чертеже должно быть
наименьшим, но достаточным для изготовления и контроля изделия.
МЕТОДЫ НАНЕСЕНИЯ РАЗМЕРОВ
Способы нанесения размеров на чертеже зависят от
последовательности обработки поверхностей детали. В практической работе
конструкторы применяют три метода нанесения размеров – цепной, координатный и
комбинированный.
Цепной метод – размеры наносят по одной линии, цепочкой, один за другим (рис. 5) размеры А,
А1, А2, А3, А4. За технологическую базу принята торцовая поверхность вала.
Метод характеризуется постепенным накоплением суммарной погрешности при
изготовлении элементов детали. Значительная суммарная погрешность может
привести к непригодности изготовлен- ной детали (А*- размер для справки).
Координатный метод – все размеры Б1, Б2, Б3, Б4, Б5 наносят от одной и той же базовой поверхности
(см. рис. 3). Этот метод отличается значительной точностью изготовления детали.
При нанесении размеров этим методом необходимо учитывать повышение стоимости
изготовления детали.
Рис.3
Комбинированный метод – простановка размеров осуществляется цепным и координатным методами
одновременно (рис. 4). Этот метод наиболее оптимален. Он позволяет
изготавливать более точно те элементы детали, которые этого требуют.
Рис.4
Размерные линии предпочтительно наносить вне контура
изображения, располагая по возможности внутренние и наружные размеры деталей по
разные стороны изображения.
При неполном изображении симметричного контура, а
также при соединении вида и разреза размерные числа ставят со стороны вида для
наружных и со стороны разреза для внутренних элементов изделия.
При этом размерную линию обрывают дальше линии
разграничения вида и разреза (рис.5,а) или за осью симметрии (рис. 5,б).
Рис.
5
ПРАВИЛА
НАНЕСЕНИЯ РАЗМЕРОВ
Размеры на чертежах указывают размерными числами и
размерными линиями. Для этого сначала проводят выносные линии перпендикулярно
отрезку, размер которого указывают (рис. 6, а). Затем на расстоянии не менее 10
мм от контура детали проводят параллельную ему размерную линию. Размерная линия
ограничивается с двух сторон стрелками. Какой должна быть стрелка, показано на
рисунке 6, б. Выносные линии выходят за концы стрелок размерной линии на 1…5
мм. Выносные и размерные линии проводят сплошной тонкой линией. Над размерной
линией, ближе к ее середине, наносят размерное число.
Рис.
6. Нанесение линейных размеров
Если на чертеже несколько размерных линий,
параллельных друг другу, то ближе к изображению наносят меньший размер. Так, на
рисунке 6, в сначала нанесен размер 5, а затем 26, чтобы выносные и размерные
линии на чертеже не пересекались. Расстояние между параллельными размерными
линиями должно быть не менее 7 мм.
Для обозначения диаметра перед размерным числом
наносят специальный знак — кружок, перечеркнутый линией (рис. 7). Если размерное
число внутри окружности не помещается, его выносят за пределы окружности, как
показано на рисунке 7, в и г. Аналогично поступают при нанесении размера прямолинейного
отрезка (см. рис. 6, в).
Рис. 7. Нанесение размера окружностей
Для обозначения радиуса перед размерным числом пишут
прописную латинскую букву R (рис. 8, а). Размерную линию для указания радиуса
проводят, как правило, из центра дуги и оканчивают стрелкой с одной стороны,
упирающейся в точку дуги окружности.
Рис. 8. Нанесение размеров дуг и угла
При указании размера угла размерную линию проводят в
виде дуги окружности с центром в вершине угла (рис. 8, б).
Перед размерным числом, указывающим сторону
квадратного элемента, наносят знак «квадрата» (рис. 9). При этом
высота знака равна высоте цифр.
Рис.
9. Нанесение размера квадрата
Если размерная линия расположена вертикально или
наклонно, то размерные числа располагают, как показано на рисунках 6, в; 7; 8.
Если деталь имеет несколько одинаковых элементов, то
на чертеже рекомендуется наносить размер лишь одного из них с указанием
количества. Например, запись на чертеже «3 отв. 0 10» означает, что в детали
имеются три одинаковых отверстия диаметром 10 мм.
При изображении плоских деталей в одной проекции
толщина детали указывается, как показано на рисунке 6, в. Обратите внимание,
что перед размерным числом, указывающим толщину детали, стоит латинская
строчная буква 5.
Допускается подобным образом указывать и длину детали
(рис. 10), но перед размерным числом в этом случае пишут латинскую букву
Рис.
10. Нанесение размера длины детали
ПОЛОЖЕНИЯ
ГОСТА 2.307-68
При нанесении размера радиуса перед размерным числом
помещают прописную букву R. Если при нанесении размера радиуса дуги окружности необходимо указать размер,
определяющий положение ее центра, то последний изображают в виде пересечения
центровых или выносных линий.
При большой величине радиуса центр допускается
приближать к дуге, в этом случае размерную линию радиуса показывают с изломом
под углом 90° (рис.11).
Если не требуется указывать размеры, определяющие
положение центра дуги окружности, то размерную линию радиуса допускается не
доводить до центра и смещать ее относительно центра (рис. 12).
Рис.11,12.
При проведении нескольких радиусов из одного центра
размерные линии любых двух радиусов не располагают на одной прямой (рис. 13а).
При совпадении центров нескольких радиусов их размерные линии допускается не
доводить до центра, кроме крайних (рис. 13б).
Рисунок
13. Нанесение нескольких радиусов из одного центра.
Задание
№1
Выполнить чертеж плоской детали в указанном масштабе,
определяя размеры по клеткам. Сторона клетки равна 5 мм. Проставить размеры.
Работа выполняется на листе формата А4
Вариант задания получить у преподавателя.
Пример
выполнения
КОНТРОЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ
1.
Приведите пример условных обозначений
применяемых на чертеже.
2.
Назовите и охарактеризуйте методы
нанесения размеров.
3.
В каких случаях на чертежах при нанесении размеров
ставят знак Ø и знак. R?
4.
Что называют масштабом чертежа?
5.
Как наносится размерное число на
заштрихованном поле?
6.
Как проставляют размеры углов?
7.
В каких единицах выражают линейные размеры
на машиностроительных чертежах?
8.
Какой толщины должны быть выносные и
размерные линии?
9.
Какое расстояние оставляют между контуром
изображения и размерными линиями? между размерными линиями?
10.
Как наносят размерные числа на наклонных
размерных линиях?
11.
Какие знаки и буквы наносят перед
размерным числом при указании величины диаметров и радиусов?
Упражнение №1
Перечертите в рабочую тетрадь,
сохраняя пропорции, изображение детали, данное на рисунке 14, увеличив его в 2
раза. Нанесите необходимые размеры, укажите толщину детали (она равна 4 мм).
Рис. 14
Упражнение №2
Начертите в рабочей тетради
окружности, диаметры которых равны 40, 30, 20 и 10 мм. Нанесите их размеры.
Начертите дуги окружности с радиусами 40, 30, 20 и 10 мм и нанесите размеры.
СПИСОК
ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аристов,
В.М. Инженерная графика: Уч. пос. для вузов / В.М. Аристов, Е.П. Аристова. —
М.: Альянс, 2016. — 256 c.
2. Белякова,
Е.И. Инженерная графика. Практикум по чертежам сборочных единиц: Учебное
пособие / П.В. Зеленый, Е.И. Белякова, О.Н. Кучура . — М.: НИЦ ИНФРА-М, Нов.
знание, 2013. — 128 c.
3. Боголюбов,
С.К. Инженерная графика: учебник для средних специальных учебных заведений. /
С.К. Боголюбов. — М.: Альянс, 2016. — 390 c.
4. Большаков,
В.П. Инженерная и компьютерная графика: Учебное пособие / В.П. Большаков. —
СПб.: BHV, 2014. — 288 c.
5. Емельянов,
С.Г. Начертательная геометрия. Инженерная и компьютерная графика в задачах и
примерах: Учебное пособие / П.Н. Учаев, С.Г. Емельянов, К.П. Учаева; Под общ.
ред. проф. П.Н. Учаева. — Ст. Оскол: ТНТ, 2013. — 288 c.
6. Кочиш,
И., И. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Уч. пособие, 3-е изд.,
стер. / И. И. Кочиш, Н. С. Калюжный, Л. А. Волчкова и др.. — СПб.: Лань, 2016.
— 308 c.
8. Куликов,
В.П. Инженерная графика: Учебник / В.П. Куликов, А.В. Кузин.. — М.: Форум, НИЦ
ИНФРА-М, 2013. — 368 c.
9. Пуйческу,
Ф.И. Инженерная графика: Учебник для студентов учреждений среднего
профессионального образования / Ф.И. Пуйческу, С.Н. Муравьев, Н.А. Чванова. —
М.: ИЦ Академия, 2013. — 320 c.
11. Учаев,
П.Н. Инженерная графика в учебных дисциплинах: Учебное пособие / П.Н. Учаев,
С.Г. Емельянов. — Ст. Оскол: ТНТ, 2013. — 352 c.
12. Чекмарев,
А.А. Инженерная графика 12-е изд., испр. и доп. учебник для прикладного
бакалавриата / А.А. Чекмарев. — Люберцы: Юрайт, 2016. — 381 c.
13. Чекмарев,
А.А. Инженерная графика. Машиностроительное черчение: Учебник / А.А. Чекмарев.
— М.: НИЦ ИНФРА-М, 2013. — 396 c.
Построение третьего вида по двум данным. Часть 4.
Рассмотрим пример к графической работе №5. Дается задание: «Постройте третий вид
детали по двум данным. На чертеже проставьте
размеры. УГОЛЬНИК. СТАЛЬ».
Следующий этап – это нанесение размеров на чертеже детали.
КОМПАС-3D позволяет создать в графическом
документе любой из предусмотренных стандартом вариантов размеров. Возможна
простановка нескольких типов линейных, угловых, радиальных размеров,
диаметрального размера, размеров высоты и дуги. Кроме того, доступен
специальный способ простановки размеров, при котором тип размера автоматически
определяется системой.
Команды простановки размеров
сгруппированы в меню Инструменты — Размеры, а кнопки для вызова команд —
на панели Размеры.
Общая последовательность действий
при простановке большинства размеров следующая:
1. Вызов команды простановки
размера нужного типа или команды автоматической простановки размеров.
2. Указание объектов (объекта), к
которым требуется проставить размер.
3. Настройка начертания размера с
помощью вкладок Панели свойств.
4. Редактирование (при
необходимости) размерной надписи и задание ее положения.
Для определения величины изображенного
изделия или какой-либо его части по чертежу на нем наносят размеры. Размеры
разделяют на линейные и угловые. Линейные размеры характеризуют длину, ширину,
толщину, высоту, диаметр или радиус измеряемой части изделия. Угловой размер
характеризует величину угла.
Линейные размеры на чертежах
указывают в миллиметрах, но обозначение единицы измерения не наносят. Угловые
размеры указывают в градусах, минутах и секундах с обозначением единицы
измерения.
Общее количество размеров на
чертеже должно быть наименьшим, но достаточным для изготовления и контроля
изделия.
Правила нанесения размеров
установлены стандартом. ГОСТ 2.307-68. ЕСКД.
1. Размеры на чертежах указывают размерными числами и размерными
линиями. Для этого сначала проводят выносные линии перпендикулярно отрезку,
размер которого указывают. Затем на расстоянии не менее 10 мм от контура детали проводят
параллельную ему размерную линию. Размерная линия ограничивается с двух сторон
стрелками. Выносные линии выходят за концы стрелок размерной линии на 1…5 мм.
Выносные и размерные линии проводят сплошной тонкой линией. Над размерной
линией, ближе к ее середине, наносят размерное число.
2. Если на чертеже несколько
размерных линий, параллельных друг другу, то ближе к изображению наносят
меньший размер. Расстояние между параллельными размерными линиями должно быть
не менее 7 мм.
(см. п. 1).
3. Для обозначения диаметра перед
размерным числом наносят специальный знак — кружок, перечеркнутый линией. Если
размерное число внутри окружности не помещается, его выносят за пределы
окружности. Аналогично поступают при нанесении размера прямолинейного
отрезка.
4. Для обозначения радиуса перед
размерным числом пишут прописную латинскую букву R. Размерную линию для указания
радиуса проводят, как правило, из центра дуги и оканчивают стрелкой с одной
стороны, упирающейся в точку дуги окружности.
5. При указании размера угла размерную линию
проводят в виде дуги окружности с центром в вершине угла.
6. Перед размерным числом, указывающим сторону
квадратного элемента, наносят знак ò. При этом высота знака равна высоте цифр.
7. Если размерная линия
расположена вертикально или наклонно, то размерные числа располагают над
размерной линией или с левой стороны размерной линии. (см. п: 1, 2, 3, 4, 5,
6).
8. Если деталь имеет несколько
одинаковых элементов, то на чертеже рекомендуется наносить размер, лишь одного
из них с указанием количества. Например, запись на чертеже «6 отв. Ø10»
означает, что в детали имеются шесть одинаковых отверстия диаметром 10 мм.
9. При изображении плоских
деталей в одной проекции толщина детали указывается латинской буквой s и рядом пишется размерное число,
указывающим толщину детали. (см. п. 8).
10. Допускается подобным образом указывать и длину детали, но перед
размерным числом в этом случае пишут латинскую букву l.
Каждый размер на чертеже
указывают только один раз. В то же время чертеж должен содержать все размеры,
необходимые для изготовления предметов.
На чертежах обязательно наносят
габаритные размеры. Габаритными называют размеры, определяющие предельные
(наибольшие и наименьшие) величины вершин (и внутренних) очертаний изделий. Без
габаритных размеров чертеж не закончен.
При нанесении размеров меньшие
размеры располагают ближе к изображению, а большие – дальше.
Размеры надо наносить так, чтобы
удобно было читать чертеж и при изготовлении детали не выяснять что-либо путем
подсчетов.
Размеры наносят, как правило, вне
контура изображения и так, чтобы размерные линии по возможности не пересекались
между собой.
Осевая (штрихпунктирная) линия
должна выходить за контур изображения примерно на 3 мм и не пересекать размерное
число.
По возможности, при нанесении
размеров, равномерно распределить их на видах чертежа.
Чертежно-конструкторская система
КОМПАС-График поддерживает все предусмотренные ЕСКД типы размеров и позволяет
значительно сократить время на простановку размеров за счет автоматического
измерения их значений.
Принципы ввода простановки размеров в КОМПАС-График
едины для всех типов. Если при построении размера его значение не соответствует
заданному, то вы ошиблись при построении. Текст размерной надписи может быть отредактирован
с помощью диалогового окна Задание размерной надписи.
Размеры выражают основные
геометрические характеристики объектов и наносятся в соответствии с общими
правилами нанесения размеров по ГОСТу 3.307-68 Нанесение размеров и предельных отклонений.
Имеются три режима нанесения
размеров: автоматический, полуавтоматический и ручной.
В автоматическом режиме процесс
простановки достаточно прост. После вызова команды конструктор указывает
нужный элемент объекта, и система автоматически вписывает в размерную надпись
номинальное значение. Это применяется в том случае, когда не нужно вписывать
значение квалитета и предельных отклонений, или они все одинаковые.
В основном применяется
полуавтоматический режим простановки размеров. В этом случае система
автоматически вписывает номинальное значение размера, а конструктор настраивает
параметры размера с помощью вкладок Панели
свойств и устанавливает размерное число в нужную точку.
При ручном вводе отключается
автоматическое создание объектов, и конструктор самостоятельно вводит
номинальное значение с допусками.
Команды простановки размеров сгруппированы в Строке меню в пункте Инструменты — Размеры, а кнопки для
вызова команд — на инструментальной панели инструментов Размеры.
Линейные размеры
В большинстве случаев измерения
производится параллельно осям X, Y. То есть объекты на чертеже измеряются вдоль этих осей. И,
хотя сами объекты могут быть наклонными, размеры все равно определяются по
вертикали (ось X) или горизонтали (ось Y). В
КОМПАС-График такие размеры называются линейными.
Для простановки линейных размеров на инструментальной панели инструментов
имеется выпадающая панель расширенных команд с кнопкой Линейный размер.
Линейные размеры делятся на
горизонтальные, вертикальные, параллельные и повернутые, в зависимости от их
ориентации. Точки т1 и т2—точки привязки (точки выхода основных линий). Система
автоматически располагает выносные линии параллельно друг другу, а размерную
линию перпендикулярно им. Если длина размерной линии меньше суммарной длины
двух стрелок, стрелки автоматически будут сформированы снаружи выносных линий.
На расстоянии от 6 — 10 мм
от контура детали проводят параллельную ему размерную линию.
На Панели свойств по умолчанию на вкладке Размер в группе
переключателей Тип всегда активна кнопка Параллельно объекту.
Параллельные размеры измеряются и
вычерчиваются вдоль стороны выбранного объекта или вдоль расстояния между
указанными точками. При этом размерная линия всегда параллельна стороне
объекта. Чтобы построить вертикальный или горизонтальный размер, необходимо
активизировать соответствующий переключатель в разделе Тип;
Проставляем остальные размеры. Общее
количество размеров на чертеже должно быть наименьшим, но достаточным для
изготовления и контроля изделия. Равномерно распределяем размеры на все виды.
Осталось проставить размер окружности.
На всех разрабатываемых чертежах есть окружности и дуги, значит, необходимо
поставить значение диаметра или радиуса. В КОМПАС-График проставить
диаметральные размеры достаточно просто. Для ввода диаметрального размера
необходимо указать ловушкой объект. Размерная линия строится через центр
окружности или дуги и точку положения размерной линии. Последовательность
выбора параметров размера такая же, как при простановке линейных размеров. Знак
диаметра проставляется автоматически. Способ нанесения размера при различных
положениях размерных линий определяется наибольшим удобством чтения.
На панели инструментов Геометрия щелкните левой кнопки мыши по
кнопке Диаметральный размер. По умолчанию на Панели свойств открыта вкладка Размер, на которой в группе
переключателей Тип имеется две кнопки: Полная размерная линия, Размерная
линия с обрывом.Выберите кнопку Полная размерная линия.
Подведите курсор мышки окружности
(она становится красной) и щелкните левой кнопки мыши. Появился фантом
диаметрального размера, который плавно перемещается при движении мыши.
Обратите внимание на положение размерного числа: то в центре размерной линии,
то сдвигается вправо или влево. В данный момент система, как в случае линейного
размера, ожидает указания точки положения размерной надписи. Нельзя
фиксировать текст внутри окружности, тогда он належится на осевые линии
окружности, что противоречит требованиям ГОСТ ЕСКД.
Если необходимо, щелкните в окне Текст или просто нажмите любую клавишу и отредактируйте размерную надпись в
диалоговом окне Задание размерной надписи;
На вкладке Параметры (элементы ее управления точно такие же, как при установке начертания линейного
размера) установите местоположение текста: На полке, вправо. В большинстве
случаев диаметральные и радиусные размеры ставятся на полках и выносятся за
пределы контура детали, чтобы не перекрывать основной контур детали. Местоположение
размера определяется наличием свободного места.
Щелкните левой стороной мыши в
точке, гдебудет
положения размерной линии и надписи. Размер построен. Обратите внимание, что
знак диаметра система установила автоматически.
Заполняем основную надпись чертежа. Название детали Угольник, изготовлен из Стали,
масштаб изображения 1:1, № работы 5.
Чертеж построен.
Урок черчения по теме «Нанесение размеров. Масштабы». 8-й класс
Цель урока: Познакомить с правилами
нанесения размеров на чертеже ГОСТ 2.307-68, с
выполнением размерных стрелок, выносных линий,
размерных чисел и знаков, с масштабами
увеличения и уменьшения ГОСТ 2.302-68
Можно вызвать учащегося к доске и попросить
начертить линии чертежа, назвать их назначение и
размеры.
III. Знакомство с новым материалом
1. Вводная беседа.
(Учитель показывает чертеж детали без размеров)
— Можем ли мы определить величину изображенного
изделия по данному чертежу?
Для определения величины изображенного
изделия и его элементов служат размерные числа,
нанесенные на чертеже.
Исключение составляют случаи, когда величину
изделия или его элементов определяют по
изображениям, выполненным с достаточной
степенью точности.
2. Объяснение нового материала.
Слайд 1 Записываем в тетрадке шрифтом 5 тему
урока: “ Нанесение размеров”
Правила нанесения размеров установлено
стандартом ГОСТ 2.307 – 68.
Слайд 2 Размеры изделия разделяются на
линейные и угловые.
— Как вы думаете, что характеризуют линейные
размеры детали? (ответы учеников)
Линейные размеры характеризуют длину, ширину,
высоту, толщину, диаметр или радиус детали.
Линейные размеры на чертежах указывают в
миллиметрах, без обозначения единицы измерения.
— А что характеризуют угловые размеры? (ответы
учеников)
Угловые размеры характеризуют величину угла и
указывают в градусах, минутах и секундах с
обозначением единицы измерения.
Общее количество размеров должно быть
минимальное, но достаточное для изготовления и
контроля изделия.
Слайд 3 Размеры на чертежах указывают
размерными числами и размерными линиями.
При нанесении размера прямолинейного отрезка
размерную линию проводят параллельно этому
отрезку, а выносные линии — перпендикулярно
размерным. Размерную линию с обоих концов
ограничивают стрелками, упирающимися в выносные
линии.
Размерные линии предпочтительно наносить вне
контура изображения.
Выносные линии должны выходить за концы
стрелок размерной линии на 1 . . 5 мм.
Минимальное расстояние между размерной линией
и линией контура — 10 мм.
Необходимо избегать пересечения размерных и
выносных линий.
Не допускается использовать линии контура,
осевые, центровые и выносные линии в качестве
размерных.
Величины элементов стрелок размерных линий
выбирают в зависимости от толщины линий видимого
контура и вычерчивают их приблизительно
одинаковыми на всем чертеже.
Размерные числа наносят над размерной линией
возможно ближе к ее середине. Предложить детям
перечертить изображение в тетрадь, измерить
размерную линию и записать размерное число в мм.
Слайд 4 Минимальные расстояния между
параллельными размерными линиями должны быть 7
мм.
При нанесении нескольких параллельных
размерных линий размерные числа над ними
рекомендуется располагать в шахматном порядке.
Слайд 5 При нанесении размера диаметра перед
размерным числом помещают специальный знак –
кружок, перечеркнутый линией под углом 60 град.
Если для написания размерного числа
недостаточно места над размерной линией, то
размеры наносят, как показано на чертеже на
продолжении размерных линий или на полке
выноске. Если недостаточно места для нанесения
стрелок, то их наносят с наружной стороны
окружности.
Слайд 6 При нанесении размера радиуса перед
размерным числом помещают прописную букву R .
Размерную линию для обозначения радиуса
проводят из центра дуги и оканчивают стрелкой с
одной стороны. Такое обозначение используют
когда на чертеже дона только часть окружности, а
не целая окружность.
Запишите обозначение: радиус 15. (R15)
Слайд 7 Размерные числа линейных размеров при
различных наклонах размерных линий располагают
над размерной линией.
Слайд 8 Угловые размеры наносят так: В зоне,
расположенной выше горизонтальной осевой линии,
размерные числа помещают над размерными линиями
со стороны их выпуклости; в зоне, расположенной
ниже горизонтальной осевой линии — со стороны
вогнутости размерных линий. В заштрихованной
зоне наносить размерные числа не рекомендуется.
В этом случае размерные числа указывают на
горизонтально нанесенных полках.
Слайд 9 Если в детали присутствует квадратный
элемент, то перед размерным числом, указывающим
размер этого элемента наносят знак ?, причем
высота этого знака равна высоте цифры. Запишите
обозначение стороны квадрата 45. (?45)
Слайд 10 Допускается подобным образом
указывать длину детали, но перед размерным
числом пишут латинскую букву ?. Запишите
обозначение длина 80. (?80)
Слайд 11 Выполнить упражнение в тетрадке с
последующей проверкой.
Слайд 12. Записать в тетрадях заголовок
“Масштабы” и предложить вспомнить определение
изученное на уроках географии.
Слайд 13. Стандарт устанавливает следующие
масштабы: уменьшения, натуральная величина и
масштаб увеличения.
Слайд 14. Следует помнить, что, в каком бы
масштабе ни выполнялось изображение, размеры на
чертеже наносят действительные.
Масштаб указывают прописной буквой М, если
масштаб указывают в основной надписи, то букву М
не пишут.
IV. Подведение итога урока.
Запишите в тетрадях, упражнение стр.28 п.1
Слайд 15. По центру тетрадного листа выполняем
чертеж плоской детали в М 2:1, работу выполняем
карандашом средней твердости, заточенным под
конус.
По центру листа провести, горизонтально, тонкую
штрихпунктирную линию.
Начертить в М 2:1 прямоугольник, предварительно
измерив его на рис. 34
С правой стороны делаем вырез половины
окружности, в масштабе, предварительно измерив,
радиус дуги на рисунке.
С левой стороны вырезаем прямоугольник, в
масштабе, предварительно измерив, прямоугольник
на рисунке 34.
Размеры наносим в обратном порядке, как строили
геометрические фигуры.
Правила нанесения размеров и предельных отклоне-ний на чертежах и других технических документах устанавливает ГОСТ 2.307—68 (СТ СЭВ 1976—79, CТ СЭВ 2180—80).
В данном параграфе указаны только те правила, ко торые необходимы при выполнении чертежей общей части курса черчения.
Размеры на чертежах указывают размерными числами и размерными линиями. Размерные числа должны соответствовать действительным размерам изображаемого предмета, независимо от того, в каком масштабе и с какой точностью выполнен чертеж.
Размеры бывают линейные — длина, ширина, высота, величина диаметра, радиуса, дуги и угловые — размеры углов.
Линейные размеры указывают на чертеже в миллиметрах, единицу измерения на чертеже не указывают.
Стрелки, ограничивающие размерные линии, должны упираться острием в соответствующие линии контура или в выносные и осевые линии (рис. 37, а). Выносные линии должны выходить за концы стрелок размерной линии на 1…5 мм (рис. 37, ).
Величина стрелки выбирается в зависимости от толщины s линий видимого контура и должна быть одинакова для всех размерных линий чертежа. Форма стрелки и примерное соотношение сс элементов показаны на рис. 37, б. Размерные и выносные линии выполняют сплошными тонкими линиями. В пределах одного чертежа размерные числа выполняют цифрами одного шрифта (чаще применяют шрифт размером 3,5). Размерные числа ставят над размерной линией, параллельно ей и возможно ближе к середине.
Минимальное расстояние между параллельными размерными линиями должно быть 7 мм, а между размерной линией и линией контура — 10 мм.
Необходимо избегать пересечения размерных и выносных линий.
При нанесении нескольких параллельных или концентричных размерных линий на небольшом расстоянии друг от друга размерные числа над ними рекомендуется располагать в шахматном порядке (рис. 38).
При недостатке места для стрелок на размерных линиях, расположенных цепочкой, стрелки допускается заменять засечками (размеры 2; 1; 2 на рис. 38), наносимыми под углом 45° к размерным линиям, или четкими точками (размеры 6; 4; 2 на рис. 38). В местах нанесения размерного числа осевые, центровые линии и линии штриховки прерывают (размер 50 на рис. 38).
При изображении изделия с разрывом размерную линию не прерывают и наносят действительный размер (рис. 39, а). Если стрелки размерных линий пересекают расположенные близко друг к другу контурные линии, то эти линии допускается прерывать (рис. 39,б). В случае, показанном на рис. 39, в, размерную и выносные линии проводят так, чтобы они вместе с измеряемым отрезком образовали параллелограмм.
Если наклон размерной линии к вертикали менее 30°, то размерное число наносят на полке линии-выноски (рис. 40, а).
Способ нанесения размерного числа при различных положениях размерных линий на чертеже определяют наибольшим удобством чтения чертежа. Если для нанесения размерного числа недостаточно места над размерной линией, то размеры наносят, как показано на рис. 40, б; если недостаточно места для нанесения стрелок, то их наносят, как показано на рис. 40, в.
При указании размера радиуса перед размерным числом ставят прописную букву R. На рис. 41, а показаны примеры нанесения размеров радиусов.
При большой величине радиуса допускается центр приближать к дуге, в этом случае размерную линию радиуса показывают с изломом под углом 90° (R 90 на рис. 41, а). Если не требуется указывать размеры, определяющие положение центра дуги окружности, то размерную линию радиуса допускается не доводить до центра и смещать ее относительно центра (R 250 на рис. 41, а).
Перед размерным числом диаметра ставят знак Ø (рис. 41, б), высота которого равна высоте цифр размерных чисел. Знак представляет собой окружность, пересеченную косой чертой под углом 45° к размерной линии.
При указании размера диаметра окружности размерную линию можно проводить с обрывом, при этом обрыв размерной линии следует делать несколько дальше центра окружности (Ø50 на рис. 41, б).
Если недостаточно места для нанесения стрелок или размерного числа над размерной линией, то размеры диаметров наносят, как показано на рис. 41, б, Ø15; Ø12.
При указании радиуса или диаметра сферы также пользуются знаками R и Ø. В случаях, когда на чертеже трудно отличить сферу от других поверхностей, допускается надпись «Сфера» или знак О, например, «Сфера Ø30» или О R12».
Размеры квадрата наносят, как показано на рис. 41, в. Высота знака □ должна быть равна высоте размерных чисел на чертеже (ГОСТ 2.307—68).
Угловые размеры наносят так, как показано на рис. 41, г. Для указания размера угла размерная линия проводится в виде дуги с центром в его вершине, а выносные линии — радиально. В зоне, расположенной выше горизонтальной осевой линии, размерные числа помещают над размерными линиями со стороны их выпуклости; в зоне, расположенной ниже горизонтальной осевой линии, — со стороны вогнутости размерных линий (рис. 41, г).
В заштрихованной зоне наносить размерные числа не рекомендуется. В этом случае размерные числа должны расположиться на горизонтально нанесенных полках (рис. 41, г, размеры 30 и 40°).
В случаях, когда надо показать координаты вершины скругляемого угла или центра дуги, выносные линии проводят от точки пересечения сторон скругляемого угла (размер 45 на рис. 42, а) или от центра дуги скругления (размер 17 на рис. 42, а).
Размеры контура криволинейного профиля наносят, как показано на рис. 42, 6,
Вперёд
Урок 07. Нанесение размеров в AutoCAD
Антон Школьный 23.09.2013 Уроки AutoCAD 1
Чертеж детали неприемлем без нанесенных на него размеров. Размеры должны полностью определять величину изделия. Их должно быть достаточное количество, но лишних размеров наносить также не нужно.
Размеры на чертеже могут быть линейные, угловые, радиальные. А так же советую почитать статью «Три типа размеров в AutoCAD» Линейные размеры определяют длину, ширину, высоту изделия и указываются в миллиметрах без обозначения единицы измерения. Угловые размеры измеряются в градусах, минутах, секундах с обозначением единицы измерения. Радиальные размеры указывают длину радиусов или диаметров дуг и кругов. Размер состоит из:
Выносных линий, проведенных перпендикулярно отрезку, которые измеряется. Выносные линии угловых размеров проводят радиально, а при нанесении размера дуги — перпендикулярно ее хорде или радиально .
Размерных линий, проведенных параллельно отрезку, размер которого определяется на расстоянии не менее 10 мм от контура детали. Концы размерных линий ограничиваются стрелками насечками или точками. Выносные линии выходят за размерные на 1 — 5 мм. При нанесении нескольких параллельных размерных линий ближе к контуру наносится меньший размер. Размерными линиями угловых размеров являются дуги с центром в вершине угла или дуги.
Размерных чисел, которые указывают величину изделия.
В зависимости от изделия и ориентации выносных линий размеры могут быть горизонтальными, вертикальными, параллельными, повернутыми, ординатными. Можно проставлять размеры от общей базы и образовывать размерные цепочки.
Нанесение размеров можно выполнить одним из двух методов. Первый состоит в том, что после введения команды курсором мышки указывается объект, размер которого измеряется и задается положение размерной линии. При использовании второго метода курсором мышки указываются начальные точки выносных линий и положение размерной линии. В последнем случае рекомендуется включить режим объектной привязки.
Варианты нанесения размеров или их редактирования содержатся в команде меню Dimension, а также в виде кнопок на панели Dimension.
AutoCAD создает ассоциативные размеры. Ассоциативность заключается в том, что при изменении объектов командами редактирования элементы размеров автоматически обновляются.
Вид размера на чертеже зависит от выбранного стиля. По умолчанию предлагается стиль ISO-25, предназначенный для машиностроительного черчения. AutoCAD предоставляет возможность вносить изменения в существующие стили, а также создавать собственные стили. От выбранного размерного стиля зависит отображения выносных линий, размер и положение текста, длина и тип стрелок, базовый интервал между размерными линиями и т. и др. Руководят процессом нанесения размеров размерные переменные, значения которых можно изменить при помощи соответствующими командами или в диалоговом окне Dimension Style Manager. Внесение изменений в существующий стиль происходит в диалоговом окне Modyfy Dimension Style. На соответствующих вкладках данного окна можно изменить значение размерных переменных. Вызывается окно нажатием кнопки Modify в окне Dimension Style Manager.
Для создания нового стиля нажать кнопку New в окне Dimension Style Manager в поле New Style Name ввести имя стиля и нажмите кнопку Continue. После чего на вкладках окна Modyfy Dimension Style задать характеристик размеров.
На вкладке Line и вкладке Symbols and Arrows задается цвет, толщина и другие характеристики размерных и выносных линий. Выбирается тип и размер стрелок. На этой же вкладке выбирается отображать или не отображать маркеры в центре круга, а также их размер.
На вкладке Text выбираются параметры размерного текста : цвет, стиль, выравнивание.
На вкладке Fit осуществляется управление взаимным размещением размерных, выносных линий и текста, а также масштабом размеров.
На вкладках Primary Units и Alfernate Units определяется формат единиц измерения, задается точность.
На вкладке Tolerance определяется формат и точность допусков.
Нанесение линейных размеров
Линейные размеры могут быть горизонтальными, вертикальными, ординатного, образовывать стабильные цепи или могут быть нанесены от общей базы.Команда DIMLINEAR (DLI) ( Линейный ) Способы ввода команды:
Набрать с клавиатуры команду DIMLINEAR.
Вызов из меню: Dimension ? Linear.
Кнопка на панели Dimension.
Ввести команду одним из перечисленных способов. Система выдаст запрос: Specify first extension line origin or <select object> Чтобы измерить размер первому методу: 1) Нажмите Enter . 2) На запрос Select object to dimension : графическим курсором показать объект и точку, через которую пройдет размерная линия. Чтобы измерить размер вторым методом: 1) включить режим объектной привязки; 2) графическим курсором показать первую начальную точку выносной линии; 3) по запросу Specify second extension line origin — показать вторую начальную точку выносной линии; 4) задать положение размерной линии на запрос Specify dimension line location or [ Mtext / Text / Angle / Horizontal / Vertical / Rotated ] или ввести одну из предложенных системой опций:
Mtext. Откроется окно многострочного текстового редактора Multiline Text Editor, в котором можно внести изменения в размерный текст. Угловые скобки < > обозначают размерное число, определенное системой.
Text. Позволяет внести изменения в размерный текст, воспользовавшись редактором однострочного текста. При внесении изменений можно набирать определеные последовательности символов, чтобы вставить перед размерным числом знак диаметра ( %%с ), вставить в текст знак градуса ( %%d ) и т.д.
Angle. Можно изменить угол наклона размерного числа или размерного текста. После выбора данной опции система выдаст запрос на значение угла: Specify angle of dimension text :
Horizontal. Используется для нанесения горизонтального размера. Система выдаст запрос относительно положения размерной линии : Specify dimension line location or [ Mtext / Text / Angle ] :
Vertical. Используется для нанесения вертикального размера. Система выдаст запрос на положение размерной линии : Specify dimension line location or [ Mtext / Text / Angle ] :
Rotated (Повернутый). Используется, если необходимо задать угол наклона размерной линии. Система выдаст запрос на значение угла: Specify angle of dimension line <0 > : и запрос относительно положения размерной линии : Specify dimension line location or [ Mtext / Text / Angle ] :
Диалог при нанесении повернутого размера:
Command : _dimlinear
Команда Линейный
Specify first extension line origin or < selectobject > :
Указать первую точку выносной линии
Specify second extension line origin:
Указать вторую точку выносной линии
Specify dimension line location or[ Mtext / Text / Angle / Horizontal / Vertical / Rotated ] r
Указать положение размерной линии или выбрать опцию. Выбрать опцию Rotated
Specify angle of dimension line <0 > : 121
Ввести значение угла наклона размерной линии
Specify dimension line location or
Указать положение размерной линии
При нанесении размеров AutoCAD строит выносные линии перпендикулярно размерной. Однако в случае, если выносные линии ухудшают читаемость других элементов чертежа, угол их наклона можно изменить уже после создания размера.
Для изменения наклона выносных линий:
1. Построить линейный размер.
2. Из меню Dimension выбрать Oblique.
3. Выбрать размер или размеры. Нажать ENTER.
4. Ввести значение угла наклона или указать две точки.
Набрать с клавиатуры команду: DIMALIGNED.
Вызов меню : Dimension ? Aligned.
Кнопка на панели Dimension.
Данной командой строится размерная линия, угол наклона которой совпадает с углом наклона выбранного объекта. Размер наносится аналогично линейному.
Команда DIMBASELINE (DBA) (Базовый) Способы ввода команды:
Набрать с клавиатуры команду DIMBASELINE.
Вызов меню: Dimension ? Baseline.
Кнопка на панели Dimension.
Ряд размеров ( линейных, угловых, ординатных) наносится от общей базовой. За базовую принимается первая выносная линия размера, проставленного предварительной командой, или можно выбрать другую базовую линию. Запрос, относительно положения размерной линии не выдается, поскольку базовый интервал определяется размерным стилем. Выполняется команда в том случае, когда на чертеж нанесен хотя бы один размер, любой из команд DIMLINEAR, DIMORDINATE или DIMANGULAR.
Система поддерживает такой диалог:
Command : _dimbaseline
Команда Базовый.
Specify a second extension line origin or[ Undo / Select ] <Select> :
Указать вторую исходную точкувыносной линии или нажатьEnter, чтобы выбрать базовую линию.
Select base dimension :
Выбрать базовую линию.
Specify a second extension line origin or[ Undo / Select ] <Select> :
Указать вторую исходную точкувыносной линии.
Dimension text = 172.47
Выводится размерный текст.
Команда DIMCONTINUE ( Продолжить ) Способы ввода команды :
Набрать с клавиатуры команду DIMCONTINUE.
Вызов меню: Dimension ? Continue.
Кнопка на панели Dimension.
Команда создает размерную цепочку, в которой вторая выносная линия предыдущего размера является исходной для размера, который проставляется. Размерные линии принадлежат одной прямой и запросы по их положение не выдаются. Работа команды аналогична работе предыдущей команды DIMBASELINE.
Команда DIMORDINATE ( Ординатный ) Способы ввода команды:
Набрать с клавиатуры команду DIMORDINATE .
Вызов меню: Dimension ? Ordinate .
Кнопка на панели Dimension.
Ординатные размеры указывают координаты X или Y точек относительно базовой точки. Базовой точкой, как правило, левый нижний угол детали. Центр системы координат перед простановкой ординатных размеров можно переместить в базовую точку командой UCS с опцией New. Ординатный размер задает расстояние точки до базовой точки соответственно вдоль оси Х или по оси Y и состоит из выносной линии и значение расстояния. Вдоль какой оси проставить значение расстояния, система определяет автоматически.
Для нанесения координатного размера ввести одним из способов команду, а дальше поддерживайте диалог:
Выводится значение расстояния вдоль соответствующей оси.
Нанесение радиальных размеров
Размер дуги или окружности определяется значением радиуса или диаметра. Для этих объектов существует также возможность нанесения маркеров центра и центровых линий. Команда DIMDIAMETER ( Диаметр ) Способы ввода команды:
Набрать с клавиатуры команду DIMDIAMETER.
Вызов меню: Dimension ? Diameter.
Кнопка на панели Dimension.
Для нанесения диаметра ввести команду одним из способов. На запрос: Select arc or circle : показать перекрестком любую точку объекта. AutoCad позволяет создать размерную линию произвольной длины и разместить ее под любым углом. Пользуясь опциями команды, можно редактировать размерный текст, а также изменить угол его наклона . Перед значением диаметра AutoCad автоматически вставляет символ . Размерная линия для данного размере не должна быть вертикальной или горизонтальной.
Команда DIMRADIUS ( Радиус ) Способы ввода команды:
Набрать с клавиатуры команду DIMRADIUS.
Вызов меню: Dimension ? Radius Dimension.
Кнопка на панели Dimension.
Нанесение радиуса осуществляется аналогично нанесению диаметра. Перед значением радиуса AutoCad автоматически вставляет символ R.
Нанесение угловых размеров
Угловые размеры можно определить для дуги, двух отрезков, трех точек, которые не принадлежат прямой. Выводятся угловые размеры с обозначением единицы измерения о (градус). Размерной линией углового размера является дуга, с центром в вершине угла, выносные линии формируются автоматически. Угловые размеры можно наносить от общей базы, а также создавать размерную цепь. Команда DIMANGULAR (Угловой) Способы ввода команды:
Набрать с клавиатуры команду DIMANGULAR.
Вызов меню: Dimension ? Angular Dimension.
Кнопка на панели Dimension.
Нанесение угловых размеров сопровождается диалогом:
Command: _dimangular
Команда Угловой.
Select arc, circle, line, or <specify vertex>:
Указать дугу, окружность, линию или <параметр по умолчанию>: От данного выбора зависят, которые запросы система выдаст дальше.
Select second line:
Указать вторую линию.
Specify dimension arc line location or [Mtext / Text / Angle]: m
Определить положение размерной линии или выбрать параметр. Выбрать функцию Mtext для редактирования размерного текста.
Specify dimension arc line location or[Mtext / Text / Angle]:
Определить положение размерной линии.
Dimension text = 36
Система выдает значение размерного текста.
На этом изучение методов нанесения размеров окончено. А в следующем уроке мы расскажем о работе с текстом в AutoCAD.
About Антон Школьный
web page exampleweb page exampleweb page exampleweb page example
<a title=»web page example» href=»http://mercedes-club.by/forums/viewtopic.php?f=14&t=5526&p=54825#p54825web page example
<a title=»web page example» href=»http://forums.vpn.by/viewtopic.php?f=89&t=2855&p=18805#p18805web page example
<a title=»web page example» href=»http://www.fiatclub.by/foroom/viewtopic.php?f=32&t=42688web page example
<a title=»web page example» href=»http://lowcarbzone.ru/viewtopic.php?f=163&t=757&p=104027#p104027web page example
<a title=»web page example» href=»http://forum.dsmogilev. by/showthread.php?t=11&page=13web page example
<a title=»web page example» href=»https://superforum.diva.by/threads/%D0%9A%D0%B0%D0%BA-%D0%B2%D1%8B-%D1%83%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%B5%D1%82%D0%B5-%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%8B-%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B-%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8B-%D0%B8%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B.159/page-10web page example
<a title=»web page example» href=»http://sfc.by/forum/viewtopic.php?p=440828#440828web page example
View all posts by Антон Школьный →
AutoCAD
Как сделать удобной работу в Autodesk Inventor
Полилиния или отрезок?
Построение правильных многоугольников — техническое черчение. Построение правильных многоугольников Начертить 8 угольник с помощью циркуля
Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).
Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего проводим стороны 5-6 и 3-2.
Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.
Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.
Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны
1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.
Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.
Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.
Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.
Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.
Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.
Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.
Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.
Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.
Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.
Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.
Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.
Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.
Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.
Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.
Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.
Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.
В черчении зачастую требуется строить положительные многоугольники. Так, скажем, положительные восьмиугольники применяются на щитах дорожных знаков.
Вам понадобится
– циркуль
– линейка
– карандаш
Инструкция
1. Пускай задан отрезок, равный длине стороны желанного восьмиугольника. Требуется возвести верный восьмиугольник. Первым шагом постройте равнобедренный треугольник на заданном отрезке, применяя отрезок, как основание. Для этого вначале постройте квадрат со стороной, равной отрезку, проведите в нем диагонали. Сейчас постройте биссектрисы углов при диагоналях (на рисунке биссектрисы указаны синим), на пересечении биссектрис образуется вершина равнобедренного треугольника, стороны которого равны радиусу окружности, описанной вокруг верного восьмиугольника.
2. Постройте окружность с центром в вершине треугольника. Радиус окружности равен стороне треугольника. Сейчас разведите циркуль на расстояние, равное величине заданного отрезка. Отложите это расстояние на окружности, начиная от всякого конца отрезка. Объедините все полученные точки в восьмиугольник.
3. Если же задана окружность, в которую должен быть вписан восьмиугольник, то построения будут еще проще. Постройте две перпендикулярные друг другу осевые линии, проходящие через центр окружности. На пересечении осевых и окружности получатся четыре вершины грядущего восьмиугольника. Осталось поделить расстояние между этими точками на дуге окружности напополам, дабы получить еще четыре вершины.
Верный треугольник – тот, у которого все стороны владеют идентичной длиной. Исходя из этого определения, построение сходственной разновидности треугольник а является нетрудной задачей.
Вам понадобится
Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш
Инструкция
1. Взять лист чистой бумаги, разлинованной в клеточку, линейку и подметить на бумаге три точки так, дабы они находились на идентичном друг от друга расстоянии (рис.1)
2. С подмогой линейки объединить подмеченные на листе точки ступенчато, друг за ином так, как это показано на рисунке 2.
Обратите внимание! В верном (равностороннем) треугольнике все углы равны 60 градусам.
Полезный совет Равносторонний треугольник так же является и равнобедренным. Если треугольник равнобедренный, то это обозначает, что 2 из 3-х его сторон равны, а третья сторона считается основанием. Всякий положительный треугольник является равнобедренным, в то время как обратное заявление не правильно.
Восьмиугольник – это, по своей сути, два квадрата, смещенных касательно друг друга на 45° и объединенных на вершинах цельной линией. А потому, для того дабы положительно изобразить такую геометрическую фигуру, нужно твердым карандашом дюже опрятно, по правилам начертить квадрат либо круг, с которыми и проводить последующие действия. Изложение ориентировано на длину стороны, равной 20 см. А значит, при расположении чертежа рассматривайте, дабы вертикальная и горизонтальная линии длиной 20 см умещались на листе бумаги.
1. Метод 1. Начертите внизу горизонтальную линию длиной 20 см. После этого с одной стороны подметьте транспортиром прямой угол, тот, что составляет 90°. То же самое дозволено сделать с поддержкой прямого треугольника. Проведите вертикальную линию и подметьте 20 см. Проделайте те же самые манипуляции с иной стороны. Объедините две полученные точки горизонтальной линией. В итоге получилась геометрическая фигура – квадрат.
2. Для того дабы возвести 2-й (смещенный) квадрат, потребуется центр фигуры. Для этого поделите всякую сторону квадрата на 2 части. Объедините вначале 2 точки параллельных верхней и нижней сторон, а потом точки боковых сторон. Проведите через центр квадрата 2 прямые линии, перпендикулярные касательно друг друга. Начиная от центра, отмерьте на новых прямых длину по 10 см, что в результате даст 4 прямые линии. Объедините 4 полученные наружные точки между собой, в итоге чего получится 2-й квадрат. Сейчас всякую точку из 8 полученных углов объедините между собой. Таким образом, будет начерчен восьмиугольник.
3. Метод 2. Для этого потребуется циркуль, линейка и транспортир. От центра листа с поддержкой циркуля начертите круг диаметром 20 см (радиус 10 см). Через центральную точку проведите прямую линию. После этого начертите вторую перпендикулярную ей линию. То же самое дозволено исполнить с подмогой транспортира либо прямого треугольника. В итоге круг будет поделен на 4 равные части. Дальше всякий из секций поделите еще на 2 части. Для этого также дозволено воспользоваться транспортиром, отмеряя 45° либо прямоугольным треугольником, тот, что приложите острым углом в 45° и проведите лучи. От центра на всякой прямой линии отмерьте по 10 см. В итоге получатся 8 «лучиков», которые объедините между собой. В итоге получится восьмиугольник.
4. Метод 3. Для этого так же начертите круг, проведите через середину линию. После этого возьмите транспортир, поставьте его на центр и отмеряйте углы, рассматривая, что всякий секция восьмиугольника имеет в центре угол 45° . Позже этого на полученных лучах отмерьте длину в 10 см. и объедините их между собой. Восьмиугольник готов.
Полезный совет Делайте чертеж твердым карандашом, побочные линии на котором после этого легко дозволено будет удалить
Верный восьмиугольник – это геометрическая фигура, у которой всякий угол составляет 135?, и все стороны между собою равны. Эта фигура дюже зачастую используется в архитектуре, к примеру, при постройке колон, а также при изготовлении дорожного знака STOP. Как же нарисовать положительный восьмиугольник?
Вам понадобится
– альбомный лист;
– карандаш;
– линейка;
– циркуль;
– ластик.
Инструкция
1. Нарисуйте вначале квадрат. После этого проведите окружность так, дабы квадрат оказался внутри круга. Сейчас проведите две осевые серединные линии квадрата – горизонтальную и вертикальную до пересечения с кругом. Объедините прямыми отрезками точки пересечения осей с кругом и точки прикосновения описанной окружности с квадратом. Таким образом, получите стороны верного восьмиугольника.
2. Нарисуйте верный восьмиугольник иным методом. Вначале начертите окружность. После этого проведите горизонтальную линию через ее центр. Подметьте точку пересечения крайней правой границы окружности с горизонталью. Эта точка будет являться центром еще одной окружности, радиусом равным предыдущей фигуре.
3. Проведите вертикальную линию через точки пересечения 2-й окружности с первой. Поставьте ножку циркуля в точку пересечения вертикали с горизонталью и начертите небольшой круг радиусом, равным расстоянию от центра крошечной окружности до центра начального круга.
4. Начертите прямую линию через две точки – центр начального круга и точку пересечения вертикали и крошечной окружности. Продолжите ее до пересечения с рубежом изначальной фигуры. Это будет точка вершины восьмиугольника. Циркулем подметьте еще одну точку, проведя окружность с центром в точке пересечения крайней правой рубежом начального круга с горизонталью и радиусом, равным расстоянию от центра к теснее имеющейся вершине восьмиугольника.
5. Проведите прямую линию через две точки – центр начального круга и последнюю новообразованную точку. Продолжите прямую линию до пересечения с границами первоначальной фигуры.
6. Объедините прямыми отрезками ступенчато: точку пересечения горизонтали с правой рубежом начальной фигуры, после этого по часовой стрелке все образовавшиеся точки, включая точки пересечения осей с первоначальной окружностью.
Видео по теме
Куклин Алексей
Работа носит реферативный характер с элементами исследовательской деятельности. В ней рассматриваются различные способы построения правильных n-угольников. В работе содержится подробный ответ на вопрос о том, что всегда ли можно построить n-угольник с помощью циркуля и линейки. К работе прилагается презентация, которую можно найти на данном мини-сайте.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Предварительный просмотр:
https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Построение правильных многоугольников Работу выполнил: ученик 9 класса «В» МБОУ СОШ № 10 Куклин Алексей
Правильные многоугольники Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Перейти к примерам Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Назад Правильные многоугольники
Основоположниками раздела математики о правильных многоугольниках являлись древнегреческие ученые. Одними из них были Архимед и Евклид.
Доказательство существования правильного n-угольника Если n (число углов многоугольника) больше 2, то такой многоугольник существует. Попробуем построить 8ми угольник и доказать это. Доказательство
Возьмем окружность произвольного радиуса с центром в точке О. Разделим её на некоторое число равных дуг, в нашем случае 8. Для этого проведем радиусы так, чтобы получилось 8 дуг, и угол между двумя ближайшими радиусами был равен 360°: количество сторон (в нашем случае 8), соответственно каждый угол будет равен 45°.
3. Получаем точки A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. Поочередно соединяем их и получаем правильный восьмиугольник. Назад
Построение правильного многоугольника по стороне с использованием поворота Правильный многоугольник можно построить, зная его углы. Мы знаем, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n — 2). Из этого можно вычислить угол многоугольника, разделив сумму на n. Углы Построение
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
В 1796 году одним из величайших математиков всех времён Карл Фридрих Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников, если выполняется равенство, где n – количество углов, а k-любое натуральное число. Тем самым получилось, что в пределах 30 возможно деление окружности на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30 равных частей. В 1836 году Ванцель доказал, что правильные многоугольники, не удовлетворяющие данному равенству при помощи линейки и циркуля построить нельзя. Теорема Гаусса
Построение треугольника Построим окружность с центром в точке О. Построим еще одну окружность того же радиуса проходящую через точку О.
3. Соединим центры окружностей и одну из точек их пересечения, получив правильный многоугольник. Назад Построение треугольника
Построение шестиугольника 1. Построим окружность с центром в точке О. 2. Проведем прямую линию через центр окружности. 3. Проведем дугу окружности того же радиуса с центром в точке пересечения прямой с окружностью до пересечения с окружностью.
4. Проведем прямые через центр начальной окружности и точки пересечения дуги с этой окружностью. 5. Соединяем точки пересечения всех прямых с исходной окружностью и получаем правильный шестиугольник. Построение шестиугольника
Построение четырёхугольника Построим окружность с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Из точек в которых диаметры касаются окружности проводим другие окружности данного радиуса до их пересечения (окружностей).
Построение четырёхугольника 4. Проводим прямые через точки пересечения окружностей. 5. Соединяем точки пересечения прямых и окружности и получаем правильный четырехугольник.
Построение восьмиугольника Можно построить любой правильный многоугольник у которого в 2 раза больше углов, чем у данного. Построим восьмиугольник при помощи четырехугольника. Соединим противоположные вершины четырехугольника. Проведем биссектрисы углов образованных пересекающимися диагоналями.
4. Соединим точки, лежащие на окружности, получив при этом правильный восьмиугольник. Построение восьмиугольника
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Построение десятиугольника Построим окружность с центром в точке О. Проведем 2 взаимно перпендикулярных диаметра. Разделим радиус окружности пополам и из получившейся на нем точки проведем окружность проходящую через точку О.
Построение десятиугольника 4. Проведем отрезок из центра маленькой окружности к точки в которой большая окружность касается своего радиуса. 5. Из точки соприкосновения большой окружности и её радиуса проведем окружность так, что она будет соприкасаться с маленькой.
Построение десятиугольника 6. Из точек пересечения большой и полученной окружностей проведем окружности построенные в прошлый раз и так будем проводить до тех пор пока соседние окружности не соприкоснутся. 7. Соединим точки и получим десятиугольник.
Построение пятиугольника Для построения правильного пятиугольника нужно во время построения правильного десятиугольника соединить поочередно не все точки, а через одну.
Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера Построим 2 окружности проходящие через центр друг друга. Соединим центры прямой, получив одну из сторон пятиугольника. Соединим точки пересечения окружностей.
Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера 4. Проведем еще одну окружность того же радиуса с центром в точке пересечения двух других окружностей. 5. Проведем 2 отрезка как указано на рисунке.
Приблизительное построение правильного пятиугольника методом Дюрера 6. Соединим точки соприкосновения этих отрезков с окружностями с концами построенной стороны пятиугольника. 7. Достроим до пятиугольника.
Нарисуйте кривую на расстоянии «радиуса» от центральной точки.
И так:
Все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра.
Вы можете нарисовать это сами
Вставьте булавку в доску, наденьте на нее петлю из веревки и вставьте в петлю карандаш. Натяните нить и нарисуйте круг!
изображений/circle-prop. js?mode=radius
Играй с этим
Попробуйте перетащить точку, чтобы увидеть, как изменяются радиус и длина окружности.
(Посмотрите, сможете ли вы сохранить постоянный радиус!)
Радиус, диаметр и длина окружности
Радиус — это расстояние от центра наружу.
Диаметр проходит прямо по кругу, через центр.
Окружность — это расстояние, пройденное один раз по окружности.
А вот это действительно круто:
Когда мы делим длину окружности на диаметр, мы получаем 3,141592654… , что является числом π (Pi)
Итак, когда диаметр равен 1, длина окружности равна 3,141592654…
Мы можем сказать:
Окружность = π × Диаметр
Пример: Вы идете по кругу диаметром 100 м, какое расстояние вы прошли?
Пройденное расстояние = длина окружности = π × 100 м
= 314 м (с точностью до м)
Также обратите внимание, что диаметр в два раза больше радиуса:
Диаметр = 2 × Радиус
Так что это тоже верно:
Окружность = 2 × π × Радиус
Вкратце:
× 2
× π
Радиус
Диаметр
Окружность
Вспоминая
Длина слов может помочь вам запомнить:
Радиус — кратчайшее слово и кратчайшая мера
Диаметр длиннее
Окружность самая длинная
Определение
Круг представляет собой плоскую фигуру (двухмерную), поэтому:
Окружность : множество всех точек на плоскости, находящихся на фиксированном расстоянии от центра.
Зона
Площадь круга равна π умножить на квадрат радиуса, который записывается:
А = π r 2
Где
А это район
r радиус
Чтобы помочь вам вспомнить, подумайте «Пирог квадратный» (хотя пироги обычно круглые):
Пример: Какова площадь круга с радиусом 1,2 м?
Площадь = πr 2
= π × 1,2 2
= 3,14159… × (1,2 × 1,2)
= 4,52 (до 2 знаков после запятой)
Или, используя Диаметр:
А = ( π /4) × D 2
Площадь по сравнению с квадратом
Круг имеет около 80% площади квадрата такой же ширины. Фактическое значение (π/4) = 0,785398… = 78,5398…%
И кое-что интересное, что вы можете попробовать: Обвести площадь линиями
Имена
Из-за того, что люди тысячелетиями изучали круги, появились специальные названия.
Никто не хочет говорить «та линия, которая начинается с одной стороны круга, проходит через центр и заканчивается на другой стороне» , когда они могут просто сказать «Диаметр».
Итак, вот наиболее распространенные специальные имена:
строк
Линия, которая «просто касается» окружности при прохождении, называется касательной .
Линия, пересекающая окружность в двух точках, называется секущей .
Отрезок, идущий от одной точки окружности к другой, называется хордой .
Если он проходит через центр, он называется Диаметром .
А часть окружности называется Дугой .
Срезы
Есть два основных «среза» круга.
Фрагмент «пицца» называется сектором.
А срез, сделанный хордой, называется Сегментом.
Общие секторы
Квадрант и Полукруг — это два особых типа Сектора:
Четверть круга называется Квадрантом .
Половина круга называется Полукружностью.
Внутри и снаружи
У круга есть внутренняя и внешняя стороны (конечно же!). Но у него также есть «включено», потому что мы можем оказаться прямо на круге.
Пример: «A» вне круга, «B» внутри круга и «C» внутри круга.
Принципы определения размеров | Технический проект
Алфавит линий
Какой главный образ мы используем во всех наших проектах, проектах, чертежах?
Это строка !
В практике графической коммуникации существует целый набор различных линий, которые используются для рисования.
Алфавит линий представляет собой набор стандартных типов линий, установленных Американским национальным институтом стандартов (ANSI) для технического черчения. Алфавит линий и приблизительные размеры, используемые для создания различных типов линий, при использовании с САПР обозначаются как стилей линий .
Стандартные типы линий, используемые в технических чертежах:
Осевые линии используются:
для представления симметрии,
для представления путей движения,
для обозначения центров окружностей и осей симметричных деталей, таких как цилиндры и болты.
Линии разрыва используются , чтобы показать, где объект разрывается, чтобы сэкономить место на чертеже или показать внутренние элементы.
Разрывные линии бывают двух видов:
толстая линия от руки и
длинная тонкая линия с зигзагами.
Размерные и выносные линии используются для обозначения размеров элементов на чертеже.
Линии сечения (штриховка) используются в разрезах для представления поверхностей объекта, разрезаемых секущей плоскостью.
Виртуальные линии используются для представления подвижного элемента в различных положениях.
Линии стежков — для обозначения процесса шитья или сшивания.
Видимые линии используются для представления элементов, которые можно увидеть в текущем виде.
Скрытые линии , как вы уже знаете, используются для представления объектов, которые не видны в текущем виде.
Линии секущих плоскостей используются на чертежах в разрезе, чтобы показать расположение секущих плоскостей.
В некоторых случаях также используются линии:
Линии цепи — для обозначения дополнительной обработки поверхности.
Линии симметрии — как ось симметрии конкретного вида.
При подготовке чертежей необходимо соблюдать правила, установленные для техники линий .
Каждая линия должна иметь одну из двух толщин, толстую или тонкую, и соотношение толщин должно быть не менее 2:1. Во многих учебниках (особенно американских авторов) вы встретите толщину линий: 0,3 мм и 0,6 мм . В общих случаях это достаточно хорошо для практической работы.
Алфавит линий определяет толщину каждой линии и не может быть произвольно изменен.
В случаях, когда , отличные от показанных типов линий , используются для специальных чертежей (например, электрических чертежей, схем трубопроводов или строительных чертежей), принятые условные обозначения должны быть четко указаны путем ссылки на конкретные стандарты или в примечаниях к чертежам .
Для всех видов одной детали или сборки в одном масштабе толщина линий должна быть одинаковой. Средние и очень толстые линии следует использовать только в особых случаях.
Минимальное расстояние между параллельными линиями никогда не должно быть меньше двойной толщины самой толстой линии. Рекомендуется, чтобы эти зазоры были 0,7 мм или больше.
На видах с торца круглых элементов точка пересечения двух осевых линий должна быть показана двумя пересекающимися короткими штрихами, за исключением очень маленьких кружков, как показано:
Линии разрыва используются для сокращения вида длинных однородных или конусообразных секций или когда необходим только частичный вид, и используются как на чертежах деталей, так и на сборочных чертежах.
Тонкая линия с зигзагами от руки рекомендуется для длинных разрывов и может использоваться для сплошных деталей или для сборок, содержащих открытое пространство.
Толстые линии от руки используются для коротких разрывов
и зубчатые линии для деревянных деталей.
Специальные толстые линии разрыва, показанные для цилиндрических и трубчатых деталей, полезны, когда не показан вид с торца, но в других случаях достаточно толстой линии разрыва от руки.
Обратите внимание, что все эти разрывные линии были предназначены для подготовки чертежей по старинке с использованием чертежной доски. Иногда инженеры и дизайнеры до сих пор работают над чертежами карандашами и линейками. Однако современное программное обеспечение 3D CAD, которое преобладает в наши дни, может предложить другие типы линий для линий разрыва на компьютерных чертежах.
Практика простановки размеров
После определения формы детали с помощью орфографического чертежа (т. е. в проекциях) добавляется информация о размерах в виде размеров .
Элементы размеров
Нанесение размеров на чертеж также определяет допуск (или точность), необходимый для каждого размера.
Размер — числовое значение, определяющее размер, форму, местоположение, текстуру поверхности или геометрическую характеристику элемента.
Базовый размер — числовое значение, определяющее теоретически точный размер, положение или ориентацию относительно системы координат. Основные размеры заключены в прямоугольную рамку и не имеют допусков.
Справочный размер — числовое значение, заключенное в круглые скобки, предназначено только для информации.
Размерная линия — тонкая сплошная линия, показывающая протяженность и направление размера.
Стрелки — символы на концах размерных линий, показывающие пределы размерных линий, выноски и линии секущей плоскости.
Выносная линия — тонкая сплошная линия, перпендикулярная размерной линии, указывающая, какой элемент связан с размером.
Видимый зазор — между углами элемента и концом выносной линии должен быть видимый зазор 1 мм.
Линия выноски — тонкая сплошная линия со стрелкой, проведенной под углом и указывающая элемент, с которым связан размер или примечание.
Пределы размера — максимально допустимый размер и минимально допустимый размер объекта.
Плюс и минус измерения — допустимое положительное и отрицательное отклонение от указанного измерения.
Символ диаметра — символ, указывающий, что размер показывает диаметр окружности. Используемый символ — греческая буква фи Ø.
Символ радиуса — символ, указывающий, что размер показывает радиус окружности. Используемый символ радиуса — заглавная буква R.
Допуск — величина, на которую может отличаться конкретный размер.
Основные понятия и принципы
Единица измерения для определения размеров должна соответствовать политике пользователя. На чертеже для использования в американской промышленности для производства все размеры указаны в дюймах , если не указано иное.
В большинстве стран за пределами США, включая Канаду, используется метрическая система измерения или международная система единиц (СИ), основанная на метре.
Общепринятой метрической единицей измерения на технических чертежах является миллиметров , сокращенно мм .
Иногда вам придется размещать размеры в двух единицах измерения одновременно!
Размеры должны быть размещены в наиболее наглядном представлении объекта.
Если вид переполнен разными размерами, можно создать два и более отдельных чертежа с одним и тем же видом.
Размещение размерного текста
Текст размеров может быть размещен по-разному:
размер внутри выносными линиями, со стрелками внутри или снаружи; и
размер снаружи выносные линии, со стрелками снова внутри или снаружи.
В условиях ограниченного пространства выносные линии могут быть проведены под углом:
Выносные линии не должны пересекать размерные линии и, по возможности, не должны пересекаться с другими выносными линиями. Когда выносные линии пересекают линии объекта или другие выносные линии, они не должны прерываться. Когда выносные линии пересекаются или находятся близко к наконечникам стрелок, они должны быть разорваны для наконечника стрелки.
Простановка размеров без стрелок
Чтобы избежать большого количества размеров, отходящих от детали, можно использовать простановку размеров без стрелок.
«нулевые» линии представляют вертикальную и горизонтальную исходные линии,
каждый из размеров, показанных без стрелок, указывает расстояние от нулевой линии.
Никогда не должно быть более одной нулевой линии в каждом направлении.
Простановка размеров без стрелок используется для позиционных размеров ряда элементов, таких как отверстия и прорези.
Все размеры и текст примечаний должны быть ориентированы так, чтобы их можно было читать снизу чертежа. Это называется однонаправленным определением размеров .
Метод выравнивания (когда текст размещается параллельно размерной линии) можно увидеть на старых чертежах или архитектурных чертежах, но он не утвержден текущим стандартом ANSI.
Групповые размеры
В стандартной практике размеры группируются на чертеже для единообразия внешнего вида.
Избегайте использования линий объекта в качестве выносных линий для размера.
Размеры должны быть вынесены за пределы вида, где это целесообразно.
Размеры могут располагаться последовательно и параллельно.
Когда ряд размеров применяется по принципу «точка-точка», это называется цепочка размеров .
Первый размер в ряду должен быть привязан к базовой линии.
Недостаток этой системы: это может привести к нежелательному накоплению допусков между отдельными элементами.
Когда несколько размеров начинаются с общей точки отсчета или линии, метод называется измерением общей точки или параллельным измерением .
Базовая линия может быть продолжением контура исходной точки, базовой линией или системной линией.
Базовая поверхность — это внешняя поверхность детали, которая должна быть обработана в первую очередь.
Размеры могут располагаться параллельно или последовательно, но во всех случаях они должны относиться к базовой (базовой) поверхности.
Смещение размеров
Общей практикой является размещение размерного текста на нескольких параллельных измерениях.
Размер размерный
Размеры можно классифицировать по видам размеров:
Горизонтальный — расстояние слева направо относительно листа чертежа. Здесь ширина является единственным размером горизонтального размера.
По вертикали — расстояние вверх и вниз относительно чертежного листа. Здесь высота и глубина оба являются вертикальными размерами, даже если они находятся в двух разных направлениях на детали.
Диаметр — полное расстояние по окружности, измеренное через центр.
Радиус —расстояние от центра дуги до любой точки дуги. Радиус обычно используется для дуг меньше половины окружности.
Размеры расположения и ориентации
Размеры можно классифицировать по типу расположения или ориентации:
Горизонтальное положение — определяет положение элемента в горизонтальном направлении относительно основания;
Положение по вертикали – определяет положение элемента по вертикали относительно основания e ;
Угол – дает угол между горизонтальной плоскостью и наклонной поверхностью.
Угловые единицы
Угловые размеры отображаются либо в десятичных градусах, либо в градусах, минутах и секундах.
Если указаны только минуты и секунды, количеству минут или секунд предшествует 0 0 .
Также хорошо иметь изометрический вид детали на ее чертеже. Не обязательно, но предпочтительнее для сложных деталей.
На изометрическом виде не должны отображаться никакие размеры. Масштаб должен быть указан, если он отличается от общего.
Детальное определение размеров (Как определить размеры различных элементов)
Отверстия обычно имеют размеры на виде, который лучше всего описывает форму отверстия. Диаметры должны быть обозначены символом диаметра перед числовым значением. Если размеры отверстий указаны с помощью линии выноски, эта линия должна быть радиальной.
A радиальная линия e — линия, проходящая через центр окружности или дуги, если ее продолжить.
Символы могут использоваться для прицельной поверхности , цековки и потайных отверстий . Эти символы всегда предшествуют символу диаметра.
Символ глубины может использоваться для обозначения глубины отверстия. Символ глубины ставится перед числовым значением.
Когда указывается глубина глухого отверстия , это относится к глубине полного диаметра отверстия.
Фаски измеряются либо углом и линейным размером, либо двумя линейными размерами.
Фаски 45 0 могут быть указаны в примечании.
Отверстия с прорезями могут иметь любой из нескольких размеров в зависимости от того, какой из них наиболее подходит для применения.
Можно указать уклон линии или плоской поверхности:
( a ) по углу; ( b ) как отношение в сочетании с символом уклона; ( c ) размерами, показывающими разность высот двух точек от базовой линии и расстояние между ними; ( г ) по символу уклона, длине базовой линии и высоте уклона.
Определение размеров хорд, дуг и углов
Шпоночные гнезда и шпоночные канавки , которые являются крепежными устройствами, имеют особые размеры, поскольку они создают некоторые необычные проблемы.
Высота самого шпоночного гнезда не измеряется, потому что после того, как верхняя часть вала срезана, не остается ничего, что можно было бы измерить.
Также размеры односторонние :
для шпонки, размер минимальный;
для шпоночного паза, размер максимальный.
Это необходимо для обеспечения помех после того, как ключ будет вставлен между частями.
Размеры повторяющихся элементов
Повторяющиеся элементы и размеры могут быть указаны с помощью « X » в сочетании с цифрой для обозначения « количество раз » или « мест » они обязательны. Между « X » и размером объекта оставлено полное пространство.
« X » иногда используется для обозначения « BY » между размерами координат, указанными в форме примечания. В этом случае между « X » и размерами остается пробел.
Чтобы избежать повторения одного и того же размера или длинных линий выноски, мы можем использовать рекомендательные письма в сочетании с пояснительной таблицей или примечание .
Обозначение отверстий одинакового размера
Размеры шестерен
Шестерня представляет собой механическое устройство с зубчатым колесом, используемое для передачи мощности и движения между частями машины. Обычно вал используется как для подачи, так и для приема мощности от шестерен.
Когда две шестерни разных размеров входят в зацепление, большая из них называется 9-й.0046 шестерня и меньшая шестерня .
Обычно чертежи зубчатых колес включают таблицу данных, называемых режимами резания, для изготовления. Детальный чертеж шестерни также будет включать другие размеры, не указанные в таблице (диаметр основания, диаметр отверстия, размеры шпоночной канавки).
В качестве альтернативы, шестерни и шлицы могут быть показаны сплошной линией, представляющей основной контур детали, и более светлой линией, представляющей основание зубьев.
Линию основного тона можно добавить, используя стандартную центральную линию. Это то же соглашение, что и для винтовой резьбы.
TYP и REF. определение размеров на чертежах
TYP и REF. определение размеров на чертежах
Служба членства
Форум по механическому проектированию, производству и проектированию
[ Главная
] [ Поиск
] [ Машиностроение
и проектная база данных ] [ Продукт
каталог услуг] [Инженерный
Форум ] [ Обучение DFM DFA и тренеры
] [ Обучение GD&T Тренеры GD&T
] [ Рекламировать
]
Здравствуйте. Кто-нибудь может объяснить мне упоминание TYP. и ссылка. определения размеров на чертежах. Спасибо.
Сообщение Ответить | Рекомендовать | Оповещение
Посмотреть все
| Далее |
Ответы на это сообщение
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах — doctorf
Опубликовать ответ
Верхняя часть резьбы
Форум
Добавил: arifjc
20.04.2005, 08:12:06
Автор Профиль Написать автору Редактировать
TYP означает «типичный»
Ответить | Рекомендовать | Оповещение
Где я?
Оригинал
Начало темы
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах — doctorf
Опубликовать ответ
Верхняя часть резьбы
Форум
Добавил: Cragyon
16.04.2005, 19:53:56 Автор Профиль Написать автору Редактировать
Я считаю, что Туналовер прав, говоря, что TYP не признается ASME, однако я не вижу каких-либо серьезных отраслевых проблем с использованием этого на инженерных чертежах. Хорошей практикой проектирования является использование элементов одинакового размера на детали, когда это целесообразно. Например, проектирование в радиусе R.250 на части, которая может иметь ~ 250 или более элементов радиуса, является отличной идеей. Использование TYP для обозначения того, что радиус 0,250 используется по всей детали, может сэкономить значительные средства/время при подсчете радиуса. Подсчет радиуса может фактически вызвать проблему при производстве или проверке, поскольку, если подсчет будет неправильным, это может привести к инженерным изменениям. Как правило, уведомления об инженерных изменениях требуют времени и денег.
Сообщение Ответить | Рекомендовать | Оповещение
Где я?
Оригинал
Начало темы
| |
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах
Re: Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах — Cragyon
Опубликовать ответ
Верхняя часть резьбы
Форум
Разместил: Туналовер
17. 04.2005, 11:29:26
Профиль автора Написать автору Редактировать
докторф- У нас есть способ обработки времени, когда многие внутренние радиусы удерживаются одним значением:
Добавьте примечание о том, что, ЕСЛИ НЕ УКАЗАНО ИНОЕ, ВНУТРЕННИЙ РАДИУС ДОЛЖЕН БЫТЬ .06.
Аналогичным образом, если на одном и том же чертеже многие внешние радиусы имеют одинаковое значение, то, ЕСЛИ НЕ УКАЗАНО ИНОЕ, РАДИУСЫ ДОЛЖНЫ БЫТЬ 0,06.
Сообщение Ответить | Рекомендовать | Оповещение
Где я?
Оригинал
Начало темы
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах — doctorf
Опубликовать ответ
Верхняя часть резьбы
Форум
Разместил: Tunalover
16.04.05, 17:21:23
Профиль автора Написать автору Редактировать
TYP не признается стандартом размеров и допусков ASME Y14.5M-1994 или чертежным стандартом ASME Y14.100 в качестве допустимого метода определения количества мест, к которым применяется требование (или размер, или что-то еще). На мой взгляд, это старомодно, небрежно и показывает, что чертежник слишком ленив, чтобы считать, сколько раз применяется требование (или размер, или что-то еще).
REF иногда используется для предоставления «мягкой» выноски, предназначенной только для совета. Использование REF должно быть сведено к минимуму, и никакие решения не должны основываться на нем (его часто пропускают, когда вносятся изменения в «жесткую» выноску). Другой способ указания справочной информации заключается в заключении ее в круглые скобки.
Сообщение Ответить | Рекомендовать | Оповещение
Где я?
Оригинал
Начало темы
| |
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах
Re: TYP и REF. определение размеров на чертежах — doctorf
Опубликовать ответ
Верхняя часть резьбы
Форум
Разместил: bjhughes
07.04.2005, 11:15:53
Профиль автора Написать автору Редактировать
ТИП на чертежах обычно определяется как ТИПОВОЙ. Это часто используется, когда есть похожие функции, и чтобы избежать ненужных размеров чертежником.
ССЫЛКА на чертежах обычно определяется как ССЫЛКА. Эти размеры должны использоваться только в качестве справки.
Рисование окружности — диаметр, радиус, дуга и сегмент с использованием модуля Python Matplotlib | by Nutan
В этом блоге мы нанесем точку в начале координат, а затем обведем. После этого мы построим диаметр, радиус, дугу и сегмент (хорду), используя библиотеку Matplotlib.
Создано Nutan
Круг
Круг — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от данной точки, центра; эквивалентно, это кривая, описываемая точкой, которая движется по плоскости так, что ее расстояние от данной точки постоянно. Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом.
Окружность
Расстояние по окружности.
Центр
Точка, равноудаленная от всех точек окружности.
Диаметр
Диаметр отрезок, концы которого лежат на окружности и который проходит через центр; или длина такого отрезка. Это наибольшее расстояние между любыми двумя точками на окружности.
Радиус
Расстояние между любой точкой окружности и центром называется радиусом.
Дуга
любая соединенная часть окружности. Указание двух конечных точек дуги и центра позволяет использовать две дуги, которые вместе составляют полный круг.
Хорда
Отрезок, концы которого лежат на окружности, таким образом, делит окружность на два сегмента.
импортировать matplotlib.pyplot как plt импортировать numpy как np из numpy import sin, cos, pi, linspace
#draw point at origin (0, 0) plt.plot(0,0, color = 'красный', маркер = 'o') plt.show()
# точка рисования в начале координат (0, 0) plt.plot(0,0, цвет = 'красный', маркер = 'o') plt.gca( ).annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10) #нарисовать круг angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100 ) xs = cos(angles) ys = sin(angles) plt. plot(xs, ys, color = 'green') plt.xlim (-2, 2) plt.ylim(-2, 2) plt.gca().set_aspect('equal') plt.show()
Выход :
Цикл
plt.plot(0, 0, цвет = 'красный', маркер = 'o') plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1), xycoords='данные', fontsize=10)#нарисовать круг angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100) r = 1,5 xs = r * cos(углы) ys = r * sin(углы) plt.plot(xs, ys, color = 'green')plt.xlim(-2, 2) plt.ylim(-2, 2) plt.gca().set_aspect('equal') plt.show()
Вывод :
Круг с радиусом 1,5
#точка рисования в начале координат plt.plot(0,0, color = ' красный', маркер = 'o') plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10)# нарисовать круг углов = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100 ) r = 1,5 xs = r * cos(углы) ys = r * sin(angles)plt.plot(xs, ys, color = 'green') #draw daimeter plt. plot(1.5, 0, marker = 'o', color = 'blue') plt .plot(-1.5, 0, маркер = 'o', цвет = 'синий') plt.plot([1.5, -1.5], [0, 0]) plt.gca().annotate('Диаметр' , xy=(-0,5, -0,25), xycoords='data', fontsize=10) plt.xlim(-2, 2) plt.ylim(-2, 2) plt.gca().set_aspect( 'равно') plt.show()
Вывод :
Диаметр
Диаметр вытягивания от 90 градусов
#точка вытягивания в начале plt.plot(0,0, цвет = 'красный', маркер = 'o') plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1) , xycoords='data', fontsize=10)#draw circle angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100 ) r = 1.5 xs = r * cos(angles) ys = r * sin(angles )plt.plot(xs, ys, цвет = 'зеленый')#draw daimeter plt.plot(0, 1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') plt.plot([0, 0], [1.5, -1.5]) plt.gca().annotate('Диаметр', xy=(-0.25, - 0,25), xycoords='data', размер шрифта=10, поворот = 90) plt. xlim(-2, 2) plt.ylim(-2, 2) plt.gca().set_aspect('equal') plt.show()
Выход :
Диаметр
# точка рисования в начале plt.plot(0,0, цвет = 'красный', маркер = 'o') plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1 , 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10)#draw circle r = 1.5 angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100 ) xs = r * cos(angles) ys = r * sin(angles)plt.plot(xs, ys, color = 'green')#draw daimeter plt.plot(0, 1.5, marker = 'o', color = 'blue') plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') plt.plot([0, 0], [1.5, -1.5]) plt.gca().annotate(' Диаметр', xy=(-0.25, -0.25), xycoords='data', fontsize=10, вращение = 90) #draw radius plt.plot(0, 0, marker = 'o', color = 'purple ') plt.plot(1.5, 0, маркер = 'o', цвет = "фиолетовый") plt.plot([0, 1.5], [0, 0], цвет = "фиолетовый") plt.gca ().annotate('Радиус', xy=(0.5, -0.2), xycoords='data', fontsize=10) plt. xlim(-2, 2) plt.ylim(-2, 2) plt .gca().set_aspect('равно') plt.show()
Вывод :
Радиус
# Точка рисования в начале координат plt.plot(0,0, color = 'red', marker = 'o') plt.gca().annotate( 'O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10)#draw circle r = 1.5 angles = linspace(0 * pi, 2 * pi , 100 ) xs = r * cos(углы) ys = r * sin(углы)plt.plot(xs, ys, color = 'green')#draw daimeter plt.plot(0, 1.5, marker = ' o', цвет = 'синий') plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') plt.plot([0, 0], [1.5, -1.5]) plt.gca().annotate('Диаметр', xy=(-0.25, -0.25), xycoords='data', размер шрифта=10 , вращение = 90) # радиус рисования plt.plot (0, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') plt.plot (1.5, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') plt.plot([0, 1.5], [0, 0], color = 'фиолетовый') plt.gca().annotate('Радиус', xy=(0.5, -0.2), xycoords='данные' , fontsize=10) #draw arc arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) arc_xs = r * cos(arc_angles) arc_ys = r * sin(arc_angles) plt. plot(arc_xs, arc_ys, color = 'red', lw = 3) plt.gca().annotate('Arc', xy=(1.5, 0.4), xycoords='data', fontsize=10, вращение = 120) plt.xlim(-2, 2) plt.ylim(-2, 2) plt.gca().set_aspect('equal') plt.show()
Выход :
Дуга
Нарисуйте радиус от 0 до pi/4 и завершите дугу
plt.figure(figsize = (18, 7))#draw point at orgin plt.plot(0,0, color = 'red', marker = 'o') plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=(0 + 0.1, 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10)#draw circle r = 1,5 углов = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100 ) xs = r * cos(angles) ys = r * sin(angles)plt.plot(xs, ys, color = 'green' )#draw daimeter plt.plot(0, 1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') plt. plot([0, 0], [1.5, -1.5]) plt.gca().annotate('Диаметр', xy=(-0.25, -0.25), xycoords='data', размер шрифта=10, вращение = 90)#draw radius #plt.plot(0, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') plt. plot(1.5, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') plt.plot([0, 1.5], [0, 0], color = 'фиолетовый') plt.gca().annotate('Радиус', xy=(0.5, -0.2), xycoords='данные' , fontsize=10)#draw arc arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) arc_xs = r * cos(arc_angles) arc_ys = r * sin(arc_angles) plt.plot(arc_xs, arc_ys, color = 'red', lw = 3) plt.gca().annotate('Arc', xy=(1.5, 0.4), xycoords='data', fontsize=10, rotate = 120) #нарисовать другой радиус plt.plot(r * cos(pi/4), r * sin(pi/4), маркер = 'o', цвет = 'красный') plt.plot([0, r * cos(pi/4)], [0, r * sin(pi/4)], color = "фиолетовый") plt.xlim(-2, 2) plt. ylim(-2, 2) plt.gca().set_aspect('equal') plt.show()
Вывод :
Дуга
Запись аннотации дуги
plt.figure(figsize = (18, 7))#точка рисования в начале plt.plot(0,0, цвет = 'красный', маркер = 'o') plt.gca().annotate('O (0, 0)', xy=( 0 - 0,1, 0 + 0,1), xycoords='data', fontsize=10)#draw circle r = 1,5 angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100) xs = r * cos(углы) ys = r * sin(углы)plt. plot(xs, ys, color = 'green')#draw daimeter plt.plot(0, 1.5, marker = 'o', цвет = 'синий') plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') plt.plot([0, 0], [1.5, -1.5]) plt.gca ().annotate('Диаметр', xy=(-0.25, -0.25), xycoords='data', fontsize=10, rotate = 90)#draw radius #plt.plot(0, 0, marker = 'o ', color = 'фиолетовый') plt.plot(1.5, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') plt.plot([0, 1.5], [0, 0], color = 'фиолетовый ') plt.gca().annotate('Радиус', xy=(0.5, -0.2), xycoords='data', fontsize=10)#draw arc arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) arc_xs = r * cos(arc_angles) arc_ys = r * sin(arc_angles) plt.plot(arc_xs, arc_ys, color = 'red', lw = 3) #plt.gca().annotate('Arc ', xy=(1.5, 0.4), xycoords='data', fontsize=10, вращение = 120) plt.gca().annotate(r'Arc = r * $\theta$', xy=(1.3, 0.4), xycoords='data', fontsize=10, rotate = 120) #нарисовать другой радиус plt.plot(r * cos(pi/4), r * sin(pi/4), marker = 'o' , цвет = 'красный') plt. plot([0, r * cos(pi/4)], [0, r * sin(pi/4)], color = "purple") # рисуем тета-угол и аннотацию r1 = 0,5 arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) arc_xs = r1 * cos(arc_angles) arc_ys = r1 * sin(arc_angles) plt.plot(arc_xs, arc_ys, color = 'green', lw = 3) plt.gca().annotate(r'$\theta$', xy=(0,5, 0,2), xycoords='data', размер шрифта=15, вращение = 90) plt.gca().annotate('< ----- r = 1,5 ---->', xy=(0 - 0,2, 0 + 0,2), xycoords='data', размер шрифта=15, поворот = 45) plt.xlim(-2, 2) plt.ylim(-2, 2) plt.gca().set_aspect('equal') plt.show()
Выход :
Дуга с аннотацией
plt.figure(figsize = (18, 7))#точка рисования в начале координат plt.plot(0,0, color = 'red', marker = 'o') plt.gca().annotate('O ( 0, 0)', xy=(0 - 0.1, 0 + 0.1), xycoords='data', fontsize=10)#draw circle r = 1.5 angles = linspace(0 * pi, 2 * pi, 100) xs = r * cos(angles) ys = r * sin(angles)plt. plot(xs, ys, color = 'green')#draw daimeter plt.plot(0, 1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') plt.plot(0, -1.5, маркер = 'o', цвет = 'синий') plt.plot([0 , 0], [1.5, -1.5]) plt.gca().annotate('Диаметр', xy=(-0.25, -0.25), xycoords='data', fontsize=10, вращение = 90)#draw радиус #plt.plot(0, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') plt.plot(1.5, 0, маркер = 'o', цвет = 'фиолетовый') plt.plot([ 0, 1.5], [0, 0], color = 'фиолетовый') plt.gca().annotate('Радиус', xy=(0.5, -0.2), xycoords='data', fontsize=10)# нарисовать дугу arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) arc_xs = r * cos(arc_angles) arc_ys = r * sin(arc_angles) plt.plot(arc_xs, arc_ys, color = 'red', lw = 3) #plt.gca().annotate('Дуга', xy=(1.5, 0.4), xycoords='data', размер шрифта=10, вращение = 120) plt.gca().annotate(r'Дуга = r * $\theta$', xy=(1.3, 0.4), xycoords='data', fontsize=10, rotate = 120)#нарисовать другой радиус plt.plot(r * cos(pi/4), r * sin(pi/4), маркер = 'o', цвет = 'красный') plt. plot([0, r * cos(pi/4)], [0, r * sin(pi/4)] , color = "purple")# нарисуйте тета-угол и аннотацию r1 = 0,5 arc_angles = linspace(0 * pi, pi/4, 20) arc_xs = r1 * cos(arc_angles) arc_ys = r1 * sin(arc_angles) plt.plot(arc_xs, arc_ys, color = 'green ', lw = 3) plt.gca().annotate(r'$\theta$', xy=(0,5, 0,2), xycoords='data', размер шрифта=15, вращение = 90) plt.gca( ).annotate('<----- r = 1.5 ---->', xy=(0 - 0.2, 0 + 0.2), xycoords='data', размер шрифта=15, вращение = 45) #draw сегмент r2 = 1,5 segment_angles = линейное пространство (3/4 * 2 * пи, 2 * пи, 100) segment_xs = r2 * cos(segment_angles) segment_ys = r2 * sin(segment_angles) plt.plot(segment_xs, segment_ys, color = 'yellow') plt.plot([1.5, 0], [0, - 1.5], color = 'желтый') plt.gca().annotate('Сегмент', xy=(0.5, -1.2), xycoords='data', размер шрифта=15, вращение = 45) seg_x_p1 = r2 * cos(2 * pi) plt.xlim(-2, 2) plt. ylim(-2, 2) plt.gca().set_aspect('equal') plt.show()
Выход :
Сегмент(аккорд)
Вот и все. Спасибо за чтение.
Простановка размеров на инженерном чертеже — № 1 Подробное руководство
Содержание
Что такое проставление размеров на инженерном чертеже?
Размеры на инженерных чертежах представляют собой числовые значения, указанные графически в соответствующих единицах измерения на инженерном чертеже с помощью линий, символов и примечаний.
Они указываются на техническом чертеже для определения размерных характеристик, таких как длина, высота, ширина, диаметр, радиус, угол и т. д.
Бюро индийских стандартов (BIS) рекомендует общий принцип определения размеров в инженерных чертежах в своем бюллетене IS 11669:1986 (подтверждено в 1999 г.).
Важность размеров в инженерных чертежах
Чтобы обеспечить четкое и полное описание особенностей объекта, необходимы правильные размеры в технических чертежах.
Типы размеров на технических чертежах:
Размеры подразделяются на следующие типы:
Функциональные размеры.
Нефункциональные размеры.
Дополнительные размеры.
Функциональные размеры (F)
Это размеры в инженерном чертеже, которые важны для функции детали или пространства.
Нефункциональные размеры (NF)
Это размеры в техническом чертеже, которые не важны для функции детали или пространства.
Дополнительные размеры (AUX)
Размеры на техническом чертеже, которые даны только в информационных целях. Он выводится из других значений, показанных на чертеже или в соответствующих документах.
Вспомогательный размер дан в безродительском формате, и к нему не применяются допуски.
Терминология простановки размеров
Различные термины, связанные с простановкой размеров в технических чертежах, следующие:
Размерное значение
размерный. Размеры выражены в конкретных единицах на чертеже с соответствующей информацией.
Размерные линии
Размерные линии представляют собой тонкие непрерывные линии, показывающие протяженность и направление размера. Эти линии должны располагаться на расстоянии от 8 до 10 мм от контура чертежа и должны располагаться равномерно на расстоянии от 6 до 8 мм друг от друга. Значения размеров предпочтительно размещать рядом с серединой размерных линий.
Линии проекций
Линии проекций представляют собой тонкие непрерывные линии, вытянутые из контуров для определения размеров и выступающие на 2–3 мм за пределы размерных линий. Они должны быть нарисованы в направлении, перпендикулярном элементу, размер которого необходимо измерить. Линии размеров и линии проекций не должны пересекаться с другими линиями, за исключением случаев, когда это неизбежно.
Но в случае особых обстоятельств линии проекций могут быть проведены косо, но параллельно друг другу.
Выноски
Выноски представляют собой тонкие непрерывные линии, оканчивающиеся стрелкой или точкой, обозначающей элемент и примечание. Рисунок и примечания пишутся над расширенной размерной линией.
Во избежание путаницы выноски не должны быть –
наклонены под углом менее 30°
параллельно соседним линиям проекций.
параллельные или смежные размеры.
Выноски никогда не рисуются горизонтально, вертикально, изогнуто или от руки. Обычно их рисуют под любым удобным углом 30°, 45° и 60°. Обычно избегают длинных лидеров.
Стрелки
Окончание размерных линий указано стрелками. Наконечники стрелок могут быть открыты под удобным углом от 30° до 90°, закрыты заполненными или закрытыми пустыми. Закрытые заполненные наконечники стрел имеют длину, примерно в три раза превышающую ширину/глубину, и обычно предпочтительны на инженерных чертежах.
Обычно длина наконечника стрелки для мелкого рисунка составляет 3 мм, а для большого рисунка длина наконечника стрелки составляет 5 мм.
Если места для окончания наконечников стрелок недостаточно, можно использовать косую черту и точки.
Способы нанесения размеров на инженерном чертеже:
Размеры наносятся на чертеже одним из следующих способов, рекомендованных СП 46-2003.
SP 46 (2003): Практика инженерного черчения для школ и колледжей.
Ниже приведены две рекомендуемые системы нанесения размеров:
Выровненная система размеров на инженерном чертеже:
При этом способе нанесения размеров размерный текст размещается параллельно размерной линии и желательно над ней в середине.
Тексты размеров размещены таким образом, чтобы их можно было прочитать либо снизу, либо с правой стороны чертежа.
Линейные размеры
Угловые размеры
Однонаправленная система размеров на техническом чертеже:
При однонаправленном методе размеров размеры указаны таким образом, что их можно нанести только в горизонтальном направлении.
Линейные размеры
Угловые размеры
Расположение размеров
Если на инженерном чертеже необходимо разместить несколько размеров, эти размеры должны быть расположены таким образом, чтобы они давали однозначное объяснение.
Классификация размеров на основе расположения следующая.
Цепное или непрерывное определение размеров
В этом методе последовательные размеры располагаются в виде непрерывной прямой линии.
Параллельное нанесение размеров или последовательное нанесение размеров
В этом методе ряд отдельных размеров, параллельных друг другу, размещаются из общего начала. Этот метод применяется, когда ряд измерений имеют общее происхождение. Накопленной ошибки можно избежать, следуя этому методу.
Текущие размеры или наложенные размеры
В этом методе размеров все размеры начинаются от общего начала, которое обозначено маленьким кругом диаметром 3 мм, и заканчиваются стрелками, где заканчивается отдельный размер.
Тексты размеров повернуты на 90° и размещены на одной линии с линией разложения или над линией размера рядом со стрелкой.
Комбинированное нанесение размеров
При таком расположении размеров на одном чертеже одновременно используются параллельные, цепные и непрерывные размеры.
Простановка размеров в координатах
Всякий раз, когда деталь имеет слишком много размеров, легче читать чертеж с помощью метода простановки размеров в координатах.
Пример : Пластина с большим количеством отверстий может быть легко прочитана с помощью метода измерения координат. Другие стили определения размеров в этом случае дадут чрезмерно загроможденный результат.
В этой системе происхождение и другие особенности должны быть численно нивелированы. Координатная таблица содержит все размерные детали, которые должны быть размещены рядом с чертежом.
Правила нанесения размеров в инженерном чертеже
Соблюдение набора стандартных правил определения размеров очень важно, поскольку размеры используются для определения характеристик размера нарисованного объекта, таких как длина, высота, ширина, радиус, диаметр, угол и т. д. с линиями, примечаниями и символами.
Бюро индийских стандартов (BIS) предлагает правила определения размеров в инженерных чертежах в своем бюллетене IS 11669:1986 (подтверждено в 1999 г.).
ИС 11669: 1986 (подтверждено в 1999 г.): Общие принципы нанесения размеров на технические чертежи
Правила нанесения размеров:
При нанесении размеров необходимо соблюдать следующие правила размеров:
Однако в случае простановки радиуса дуги или окружности он может быть показан внутри.
2. Правила определения размеров для круга: Размер круга должен быть обозначен символом диаметра Ø. Символ Ø должен располагаться перед значением размера.
Размер дуги должен быть обозначен символом радиуса R .
3. Правила определения размеров осевой линии:
i. Ось или осевая линия не должны использоваться в качестве размерной линии со стрелками на концах.
ii. Оси или осевые линии должны выходить примерно на 3 мм за границу детали, детали которой они обозначают.
III. Отметка размера от осевой линии неверна , за исключением случаев, когда осевая линия проходит через центр отверстия.
Кроме того, удлиненная осевая линия может использоваться в качестве удлинительной линии.
4. Правила простановки размеров отверстий:
Расстояние между центрами отверстий должно быть равно размеру на виде, на котором отверстия видны.
5. Размеры должны быть сделаны по видимым линиям , а не по невидимым или скрытым линиям.
6. Значение размера должно располагаться примерно на 2 мм выше размерной линии.
7. Выносная линия должна выходить за размерную линию на 2 мм.
8. Правила определения размеров конической секции:
Размер конической сужения по диаметру должен быть указан, как показано на рисунке.
Коническая конусность = (D-d)/L= 1 дюйм n
9. Правила нанесения размеров для заштрихованной части:
При проставлении размеров в заштрихованной части чертежа линия штриховки не должна пересекать размерный текст.
10. Правила определения размеров повторяющихся элементов:
Насколько это возможно, избегают измерения повторяющихся элементов одного размера.
Заметки должны быть написаны горизонтально. Линии выноски должны быть наклонены под углом 30°, 45° и 60° к горизонтали.
11. Общие правила определения размеров:
Габаритные размеры должны располагаться вне промежуточных размеров.
Меньшие размеры должны располагаться ближе к виду, а большие — дальше, чтобы выносные линии или линии проекций не пересекали размерные линии.
12. Правила нанесения размеров ломаного элемента:
Размерная линия должна быть показана сплошной там, где фигура, которую она представляет, показана ломаной.
13. Если размерную линию невозможно полностью провести до ее нормальной точки окончания, свободный конец должен заканчиваться двойной стрелкой.
14. Насколько это возможно, все размеры на конкретном чертеже должны быть указаны только в одной единице.
15. Размеры, указанные на одном виде, не обязательно повторять на другом виде, за исключением случаев ясности и идентификации.
16. Размеры должны быть размещены на том виде, который наиболее четко показывает соответствующие элементы.
17. Линия чертежа никогда не должна использоваться в качестве размерной линии или не должна совпадать с размерной линией. Размерная линия должна располагаться равномерно по всему чертежу. Размерные линии должны быть на расстоянии 8–10 мм от контура чертежа и на расстоянии 6–8 мм друг от друга.
18. Размерный текст желательно располагать ближе к середине. Если это неизбежно из-за нехватки места, размерный текст может быть размещен над расширенной частью размерной линии за пределами стрелок, предпочтительно с правой стороны.
Определение размеров – Базовое чтение чертежей
Цифры
Размеры
Удлинительные линии
Наконечники стрел
Фигуры с размерами
Изометрические размеры
Орфографические размеры
Если рисунок должен быть завершен, чтобы объект, представленный на рисунке, мог быть выполнен так, как задумал дизайнер, он должен рассказывать две полные истории. Об этом говорит просмотров , которые описывают форму объекта, а также с размерами и примечаниями , в которых указаны размеры и другая информация, необходимая для изготовления объекта.
Таким образом, ваш следующий шаг — изучить основы простановки размеров. Таким образом, вы поймете не только, как интерпретировать рисунок, чтобы получить необходимую информацию, но и как определить размеры ваших эскизов, чтобы их можно было использовать для передачи информации о размерах другим.
Цифры
Это может показаться немного простым, но перед определением размеров следует выполнить несколько упражнений с фигурами чисел. Причина такого пересмотра просто в том, что неправильно или небрежно нанесенные цифры на чертеже или эскизе могут быть легко неверно истолкованы кем-то на работе. Это может дорого обойтись.
Таким образом, изучение форм чисел оправдано.
Представленные здесь числовые формы признаны наиболее разборчивыми и используются в промышленности по всей стране. Стандартизированные в США вертикальные числа 1/8” правильно формируются следующим образом:
Размерные линии
Размерная линия представляет собой тонкую темную сплошную линию со стрелками на каждом конце. Указывает направление и протяженность измерения. В машинных эскизах и чертежах, в которых дроби и десятичные знаки используются для размеров, размерная линия обычно прерывается около середины, чтобы освободить место для цифр размера. На архитектурных и конструктивных эскизах и чертежах цифры обычно располагают над сплошной размерной линией.
В любом случае ближайшая к объекту размерная линия должна располагаться примерно на расстоянии
1/2″. Другие размеры за пределами первого измерения (если есть) должны быть разделены примерно на 3/8″. Вам не обязательно помнить об этом, но вы должны помнить, что размерные линии не должны сгущаться, а расстояние между ними должно быть одинаковым.
Самое главное, чтобы чертеж был «чистым», а размеры располагались в пространстве, где их нельзя было бы спутать с поверхностью, для которой они не предназначены.
Вот как должны быть нарисованы размерные линии:
Примечание. Размеры менее шести футов (72 дюймов) указаны в дюймах. Размеры свыше шести футов обычно указываются в футах и дюймах. Убедитесь, что понятно, как вызываются размеры. При вызове размеров, которые превышают 12 дюймов, убедитесь, что ВСЕ размеры указаны в дюймах или футах в дюймах по всему чертежу. Либо 4 фута-5 дюймов, либо 53 дюйма, они оба означают одно и то же, но если есть сочетание размеров, может быть легко посмотреть на 4 фута-8 дюймов и увидеть 48 дюймов.
Выносные линии
Выносные линии на чертеже — это тонкие, темные, сплошные линии, которые выходят наружу из точки на чертеже, к которой относится размер. Обычно размерная линия пересекается с выносной линией под прямым углом. Должен быть зазор около 1/16″ там, где выносная линия будет встречаться с контуром объекта, а выносная линия должна выходить за крайний наконечник стрелки примерно на 1/8″. Также не должно быть пробелов в местах пересечения выносных линий. Обратите внимание, что в этом примере большие размеры правильно размещены снаружи или за пределами более коротких размеров, и что размеры желательно не наносить на сам объект. Однако иногда необходимо нанести размер на объект.
Важно не забывать размещать размеры на видах в двух- или трехвидовом чертеже, где их будет легче всего понять. Избегайте нанесения размеров по скрытой линии и избегайте дублирования размеров. Используй здравый смысл; размеры должны быть максимально четкими и простыми. Помните, что человек, читающий ваш рисунок, должен четко понимать, что делать дальше. В противном случае дорогостоящее время и материалы будут потрачены впустую.
Существует два основных метода нанесения размеров на эскиз. Их можно разместить так, чтобы они читались снизу эскиза (однонаправленные размеры) или снизу и справа (выровненные размеры). Однонаправленная система обычно лучше, потому что она легче читается рабочими.
Когда размеры не помещаются в пространстве обычным способом, используются другие методы для четкого определения размеров, когда существуют условия тесноты.
Наконечники стрелок
Наконечники стрелок размещаются на каждом конце размерных линий, на направляющих линиях и т. д. пока они широкие. Обычно у них есть небольшая зазубрина, очень похожая на рыболовный крючок.
Чтобы ваш рисунок выглядел четким, используйте один и тот же стиль во всем рисунке или наброске.
Цифры размеров
Цифры, используемые для обозначения размеров объекта, обычно имеют высоту около 1/8 дюйма.
Когда размер включает дробную часть, дробная часть имеет высоту примерно 1/4″, что делает дробные числа немного меньше, чтобы обеспечить пространство над и под дробной линией.
Опять же, особенно важно, чтобы числа и дроби, которые вы можете нанести на эскиз или рисунок, были разборчивыми. Неаккуратные числа могут привести к дорогостоящим ошибкам.
Примечания
Примечания используются на чертежах для предоставления дополнительной информации. Они должны быть краткими и тщательно сформулированными, чтобы избежать неправильного толкования, и располагаться на эскизе в малолюдном месте. Линии выноски, идущие к ноте, должны быть короткими. Примечания обычно добавляются после того, как на эскизе были нанесены размеры, чтобы избежать помех с размерами.
Викторина
Указания: Измерьте примеры, как указано.
Измерьте этот прямоугольник 3 ¼ x 6 15/32 в одном направлении сверху и справа.
С примечанием покажите просверленное отверстие 5/16.
Измерьте этот объект. Более короткие линии имеют длину 3 дюйма.
Измерьте этот объект. Используйте линейку или шкалу, чтобы определить длину линий.
Наклонное определение размеров
Косое определение размеров в основном связано с тем, чтобы не наносить размеры на сам объект (когда это возможно) и использовать принципы определения размеров, основанные на здравом смысле. Также обычно лучше всего считывать размеры снизу (в одном направлении), как показано здесь.
Хотя лучше не наносить размеры на сам вид, обычно принято размещать размеры диаметра и радиуса на видах, если позволяет место.
Иногда пространство и время ограничены, и вам, возможно, придется изменить типичные правила рисования и определения размеров. Самое главное, чтобы рисунок был чистым, лаконичным, старайтесь не повторять размеры, а давать все необходимые.
Направления: Заполните, как указано.
Измерьте этот трехдюймовый куб.
Более короткая часть этого стержня имеет диаметр 5/8 дюйма и длину 2 1/8 дюйма. Более длинная секция имеет диаметр 7/8 дюйма и длину 3 ½ дюйма. Размер чертежа.
Изометрические размеры
При нанесении размеров в изометрическом эскизе важно, чтобы размеры не касались самого объекта, а размер располагался в той же плоскости, что и поверхность измеряемого объекта. Вы, вероятно, обнаружите, что для правильного измерения в изометрии потребуется некоторая практика.
Размещайте заметки на изометрическом чертеже без оглядки на размещение их на той же плоскости, что и с размерами. Это легче сделать, и легче читать.
Изометрические заметки не обязательно должны быть в одной плоскости.
Обратите внимание, что в приведенном выше примере часть каждой линии выноски к примечаниям нарисована приблизительно под углом 15, 30, 45, 60 или 75 градусов. Это сделано для того, чтобы избежать путаницы с другими линиями. Никогда не рисуйте линии выноски полностью горизонтально или вертикально .
Викторина
Направления: выполните, как указано.
Измерьте этот чертеж. Размеры: 3 дюйма в длину, 2 1/8 дюйма в ширину, 1 5/8 дюйма в высоту и угол 45◦ ½ дюйма в глубину. Угол начинается как середина размера длиной 3 дюйма.
Измерьте этот чертеж. Основание квадратное ½” x 1 ½”. Цилиндр имеет диаметр 1 дюйм. x 1-1/8” длин. Просверленное сквозное отверстие ∅5/8”.
Викторина
Указания: Вам дадут объект для эскиза и измерения.
Орфографические размеры
Когда вы смотрите на объект в виде ласточкиного хвоста несколько страниц назад, легко заметить, что изометрический эскиз может быстро загромождаться размерами. Из-за этого более сложные наброски и рисунки имеют размерность в орфографии. Этот метод обеспечивает наилучший способ четкого и подробного определения размеров.
Вот семь общих правил, которым необходимо следовать при определении размеров.
Покажите достаточное количество размеров, чтобы предполагаемые размеры можно было определить, не заставляя рабочего рассчитывать или принимать какие-либо расстояния.
Четко укажите каждое измерение, чтобы оно понималось только одним способом.
Покажите размеры между точками, линиями или поверхностями, которые имеют необходимую взаимосвязь друг с другом или которые определяют расположение других компонентов или сопряженных частей.
Выберите или расположите размеры, чтобы избежать накопления размеров, которые могут привести к неудовлетворительному сопряжению деталей. (Другими словами, предусмотрите наращивание допусков, как в примере ниже.
Заказать решение задач по бухгалтерскому учету и аудиту
Осваивая профессию бухгалтера или аудитора, будущие специалисты неоднократно сталкиваются с немалыми нагрузками. Преподаватели часто предлагают им выполнить контрольные и практические работы, написать рефераты, доклады, эссе и презентации. Когда необходима профессиональная помощь людей, которые прекрасно разбираются в предмете, а также хочется за выполненную работу получить высокий балл, следует обратиться к услугам интернет-биржи Автор24. Сотрудники компании быстро, правильно и грамотно справятся с любой задачей, сопроводят ее пояснением к каждому пункту. При этом стоимость услуг максимально доступная для студента.
Решение задач по бухгалтерскому учету и аудиту вызывает большие затруднения даже у практикующих специалистов. На выполнение расчетов уходит колоссальное количество времени. Например, куда следует списать денежные средства, как работать с расходными статьями, куда отнести остаток? На эти вопросы могут ответить лишь профессиональные бухгалтеры, которые имеют большой опыт работы в данной отрасли.
Уже сейчас у вас есть возможность заказать решение заданий по бухгалтерскому учету и аудиту в компании Автор24. Исполнители выполняют свою работу в строгом соблюдении требований заказчика (нормы, и требования разнятся в зависимости от учебного заведения). Практикующие бухгалтеры легко справятся с заданиями, так как они постоянно находятся в курсе обновленных данных, изучают современные источники информации.
Мы предлагаем вам решить задачи по различным темам дисциплины, например:
корреляционному анализу;
аудиту;
ревизии;
анализу хозяйственной деятельности.
Преимущества сотрудничества с нами
Интернет-биржа Автор24 является лучшим помощником для студентов. Ежедневно к нам обращаются тысячи будущих специалистов, которым необходимо выполнить практическую, курсовую, контрольную, дипломную и другие проверочные и научные работы. Компетентные исполнители готовы выполнить упражнения по бухгалтерскому учету и аудиту:
к каждому заданию проявляют индивидуальный подход;
придерживаются точных сроков;
решение будет верным, невзирая на сложность поставленных заданий;
предоставление гарантийного срока на возможное внесение поправок;
доступная стоимость, цена определяется сложностью упражнений.
Чтобы получить безупречно выполненную работу, оформляйте заказ на сайте интернет-биржи Автор24. Мы будем рады оказаться вам полезными!
Онлайн помощь бухучету на заказ
ХОРОШИЕ советы / ПЛОХИЕ советы New!
Онлайн помощь по бухгалтерскому учету. Помощь на экзаменах и контрольных. Пишите нам и мы Вам поможем!
Специальность бухгалтерский учет на данный момент считается, возможно, не современной, но достаточно практичной из всех экономических специальностей. Грамотный и знающий свое дело бухгалтер всегда востребован на рынке труда. Сегодня возможно вы слышали о том, что о бухгалтерах говорят, как о специалисте, владеющем иностранным языком. В данном ключе имеется в виду, что язык бухгалтерии настолько не прост, что его приравнивают к иностранному. Так, что бухгалтера – это те люди, которые не просто обладают знаниями в экономике, ведение отчетности, работы с документами. Но все эти знания в совокупности являют собой язык бизнеса. Вот такое вот непростое дело предстоит освоить всем тем, кто собирается связать свою будущую профессию с данной дисциплиной и стать первоклассным бухгалтером.
Все студенты, на первом курсе с энтузиазмом подходят к обучению в вузе. Все дня них ново и хочется каждую мелочь впитать в себя как губка. Но когда наступает второй курс, запал студентов увядает, и уже не так радуешься новым предметам, преподавателям. Студенты стараются уделять больше внимания своим профильным предметам и меньше распыляться на второстепенные. Но бывает такое, что преподаватели общеобразовательных наук загружают студентов по полной программе. И тогда, буквально, не остается ни сил не желания, приступать к делу, которое поистине стоит твоего внимания. А для студентов специальности бухучет тем, что требует их внимания, являются задачи. Онлайн помощь по бухучету поможет вам справиться с навалившимся потоком заданий, и хоть немного облегчит вам жизнь. Вот только после сдачи всех докладов, рефератов и прочих индивидуальных заданий приходит время контрольной проверки знаний. То есть попросту студенты пишут либо модульные, либо контрольные работы. И если у вас остается последняя ночь для подготовки к контрольной, но при этом вы понимаете, что в одиночку вам никак не справиться… Наша команда специалистов с радостью поможет вам решить контрольную по бухучету.
В нынешнее время студентов настолько загружают большими объемами сложной и порой
бесполезной работы, что справится с этим просто физически невозможно. Там к семинару подготовься, на другой предмет доклад подготовь. С такими темпами и не мудрено, что личного времени у студентов совершенное не остается. Порой так и хочется забросить все хоть на пару денечков и просто отдохнуть. Но нет же, устроишь себе отдых сейчас, то потом дела все доконца сессии не решишь. Тем более нельзя устраивать себе добровольных выходных студентам специальности бухучет. Одной из проблем учетовцев является решение задач. Но ведь никто не обещал, что будет легко. Так, что хотите быть хорошим бухгалтером – тогда извольте понимать, что такое двойная запись, активы и пассивы, хозяйственный баланс. И все же, если сроки сдачи индивидуального задания поджимают, то срочно решить бухучет вы сможете, обратившись за помощью к специалистам. И только в этом случае, ваша оценка по профильному предмету будет достаточно высокой. Задали вместо задач пройти тест по бухучету? При этом, решенные задания помогут вам разобраться со всеми необходимыми операциями, которые должен уметь осуществлять студент специальности бухгалтерский учет.
Заказать курсовую работу по бухгалтерскому учету 👩🎓 онлайн недорого
Тот, кто видит свою будущую работу с бухгалтерской деятельностью, должен понимать, должен понимать, что легкого в этом нет ничего. Особенно это подтверждает курсовая работа по бухгалтерскому учету, которую необходимо написать во врем учебы в университете. В этом плане необходим не только правильный и подходящий выбор темы, но и показать знания, позволяющие освоиться с предметом. Часто, на примере курсовой работы, студент показывает, насколько он разбирается в бухгалтерии.
Нет нужды говорить, что курсовая работа по бухгалтерскому учету должна быть написана лучшим образом. Ведь это действительно серьезное дело, позволяющее изучать необходимый материал, связанный с данной деятельностью. Предметом тут выступает не только сам бухгалтерский учет, но и все остальные нюансы, связанные с прохождением этой темы. Относясь к курсовой работе по бухгалтерскому учету, вы не только сможете действительно освоиться с предметом, но и на ее примере разобраться с деталями профессии. Если, конечно, вы действительно собираетесь заниматься в будущем бухгалтерской работой.
С чего следует начинать курсовую работу по бухгалтерскому учету
Для того, чтобы можно было полностью заниматься названным предметом, лучше сразу разобраться, какие нюансы включает в себя бухгалтерский учет.
Начните с того, что просто разберитесь, что такое бухгалтерский учет. Предметом необходимо заниматься постоянно и только после этого, начинать готовиться к курсовой по бухгалтерскому учету;
Чтобы справиться с предметом по учету, начните с самого малого. Обычно, для написания курсовой отводится порядочный отрезок времени. Часто его достаточно для того, чтобы не только освоиться с предметом, но и разобраться с материалом, который нужен для написания курсовой по бухгалтерскому учету. Такая работа по объему достаточно большая, и позволяет посидеть над предметом достаточно долго;
Чтобы работа по бухгалтерскому учету была написана лучшим образом, необходимы хотя бы начальные навыки владения предметом. Начните с того, что выберете тему, подберите материал по бухгалтерскому учету;
Старайтесь, чтобы написание работы по бухгалтерскому учету не было в последний момент. В противном случае, вы не сможете заняться качественным изучением предмета, не говоря уже о том, чтобы хорошо выполнить работу по бухгалтерскому учету;
Если вы еще не слишком хорошо освоились с вышеуказанным предметом, тогда обратитесь к тем, кто разбирается в бухгалтерском учете. Это может быть тот, кто уже давно занимался таким предметом, и может работать в бухгалтерской сфере.
У кого получить поддержку в написании работы по бухучету?
Если нужна качественная работа по учету, тогда нужно обращаться к тем, кто в совершенстве владеет данным предметом. То есть, является не любителем, а настоящим профессионалом-специалистом, способного действительно оказать поддержку. Именно такую поддержку вы можете найти на сервисе «СтудФак». Решив обратиться сюда, вы сможете сразу ощутить следующие преимущества:
Здесь работают только опытные специалисты, что в совершенстве владеют предметом бухучета. Они напишут все именно так, как требует курсовая по учету;
Цена за такую работу по учету не обойдется слишком дорого. Но зато вы сможете не только хорошо сэкономить время, но еще и собственные силы, и нервы. Порой для того, чтобы освоиться с предметом учета, необходимо потратить годы. Поэтому, не всегда можно сразу написать курсовую по учету так, как нужно. Но ведь в университете приходится осваиваться с предметом здесь и сейчас. И, конечно же, разбираться с учетом лучшим образом;
Если нужна работа по учету, клиент всегда может поговорить напрямую с исполнителем. Разобраться, каким образом тот справляется с предметом, и насколько хороший получится результат. Если с предметом что-то не так, тогда вы всегда сможете выбрать другого специалиста, который лучше справится с написанием учета.
Не нужно забывать, что освоение с предметом по бухучету, требует ответственного подхода. Только так написанная работа сможет выдать желаемый результат. Поэтому, если вы обращаетесь к тому, кто действительно знаком с предметом, тогда можете быть уверены, что он обладает навыками по учету.
Пусть ваша курсовая по бухучету будет самого высшего качества. Добиться такого не так сложно, достаточно доверить учет тому, кто в этом разбирается. Конечно, изучать учет вам придется самостоятельно, ведь знания добываются своими силами. Однако, курсовую по бухгалтерскому учету вы вполне можете доверить профессионалам.
КонсультантПлюс для бухгалтера \ Консультант Плюс
Готовые решения, Типовые ситуации, пошаговые инструкции по практическим вопросам
Готовые решения и Типовые ситуации
Ответы на популярные вопросы бухгалтеров, пошаговые инструкции по типовым ситуациям, образцы заполнения форм отчетности и других документов. Ссылки на правовые акты и судебную практику. Ежедневное обновление.
Путеводитель по налогам
Информация по налогам и взносам, бухгалтерской отчетности, налоговым проверкам и другим вопросам части I НК РФ. Пошаговые инструкции, практические примеры, образцы заполнения документов. Рассмотрены спорные ситуации, представлены существующие точки зрения по ним (госорганов, экспертов, позиции судов).
Путеводитель по сделкам
Информация о бухгалтерском учете и налогообложении различных сделок (агентирование, аренда, дарение, задаток, заем, купля-продажа и прочее). По каждой сделке приведен перечень конкретных операций для каждой стороны сделки, комментарии, примеры и типовые формы договоров.
Путеводитель по кадровым вопросам
Информация по вопросам взаимоотношений работодателя и работника: от приема на работу до увольнения. Представлены все необходимые формы документов и образцы их заполнения с конкретными формулировками, ссылками на законодательство и судебную практику.
Консультации специалистов госорганов и независимых экспертов
Вопросы-ответы
Консультации по бухгалтерскому учету и налогообложению, кадровым вопросам от специалистов Минфина России, ФНС России и других ведомств, а также независимых экспертов. Многие консультации уникальны и подготовлены специально для пользователей КонсультантПлюс.
Разъясняющие письма органов власти
Письма Минфина России, ФНС России, Минэкономразвития России, ФСС России и других ведомств в ответ на вопросы специалистов.
Пресса и книги
Бухгалтерская пресса и книги
Статьи из ведущих профессиональных изданий (более 200 изданий), книги.
Бухгалтерские проводки
Корреспонденция счетов
Схемы бухгалтерских проводок с подробным описанием, разъяснением налоговых последствий и ссылками на формы документов.
Законодательство и судебная практика
Федеральное законодательство
Все кодексы, законы, постановления, официальные разъяснения и письма ведомств (Минфина, ФНС и др.) и другие правовые акты, необходимые в работе бухгалтеру.
Региональное законодательство
Правовые акты по налогам и хозяйственной деятельности органов власти региона.
Судебная практика
Судебные решения, упоминаемые в консультациях для бухгалтера.
Конструкторы договоров и учетной политики
Конструктор учетной политики
Поможет сформировать учетную политику организации для целей бухгалтерского учета и налогообложения и проверить уже имеющуюся учетную политику на актуальность и соответствие законодательству.
Конструктор договоров
Позволяет создавать свои проекты договоров, проверять договоры контрагентов. Содержит договоры: поставки, денежного займа, трудовой и др.
Калькуляторы
Калькуляторы
Калькуляторы помогут быстро рассчитать налоги, пени, суммы компенсаций, отпускные, средний заработок, пособие по беременности и др. Нужно только заполнить предложенные поля, а система автоматически сделает расчет, учитывая все условия.
Видеосеминары по практическим вопросам
Видео.Консультант
Видеосеминары по актуальным бухгалтерским, налоговым, кадровым вопросам ведут авторитетные эксперты, в том числе из профильных министерств и ведомств.
Настройка системы КонсультантПлюс под задачи бухгалтера
Профиль «Бухгалтерия и кадры»
Новости для бухгалтера, напоминания о важных событиях, важные документы (НК РФ, ТК РФ, закон о бухучете и др.) и справочная информация всегда под рукой на стартовой странице. Подсказки и результаты поиска подстраиваются под задачи бухгалтера. Важная для бухгалтера информация по практическому применению документа — на правой панели.
Решение задач по бухгалтерскому учету
Профессиональное решение задач по бухгалтерскому учету
Часто большинство предметов, которые изучаются в институтах и колледжах, в реальной жизни являются невостребованными. Бухгалтерский учет не исключение. Этот предмет изучается студентами всех экономических специальностей. Чаще всего с теоретическими вопросами проблем нет. А вот решение задач по бухгалтерскому учету у многих обучающихся может вызывать огромные трудности.
Даже для практикующего специалиста очень часто трудно составить бухгалтерский баланс, причем на расчеты будет уходить много времени. А для студентов справиться с такими же задачами еще сложнее, в особенности, если они не планируют в будущем работать бухгалтерами. На какой именно счет списать деньги, к чему отнести статьи расходов? Ответить на подобные вопросы и к тому же выполнить задачи по бухгалтерскому учету могут помочь профессиональные бухгалтера нашей фирмы, которые на заказ способны сделать работу любой сложности.
Пример оформления контрольной работы по бухгалтерскому учету, выполненной нашими специалистами:
Первоклассными специалистами гарантируется правильность выполнения каждого задания по любой теме. Решение бухгалтерского учета будет производиться с учетом требований и специфики вашего ВУЗа. Профессиональные бухгалтера знают все обновления и изменения, произошедшие в законах. Ими регулярно изучается периодическая и специальная литература. Решение задач по бухучету будет выполнено, если необходимо, с учетом самых новых конфигураций 1С. Получить высококвалифицированную помощь в решении практических задач вы можете незамедлительно, потому что специалисты фирмы отлично знают, как работают организации любой формы собственности, которые функционируют в разнообразных экономических сферах. Мы имеем опыт ведения бухотчетности туристических, страховых организаций, банковских учреждений и сервисных фирм.
Специалисты фирмы могут решить задачи по корреляционному анализу, аудиту, анализу хозяйственной деятельности, ревизии и так далее. Каждое задание будет выполняться индивидуально. Именно по этой причине в качестве и оригинальности решения не стоит сомневаться. Большинство наших сотрудников являются главными бухгалтерами и имеют высокую компетенцию в сфере налогообложения и финансов. Если вы обратитесь в нашу фирму, то вы можете не сомневаться в актуальности информации и грамотности каждого расчета.
Для получения качественного решения задачи нужно лишь оформить заказ и предоставить методические указания. После этого специалисты нашей фирмы незамедлительно приступят к выполнению вашего задания.
Обзор бухгалтерских программ, используемых в России
Ручной учет ушел в прошлое. Даже ИП и небольшие организации сводят ручные операции к минимуму и автоматизируют учетные процессы. Рынок предлагает для этого много продуктов – от простеньких бесплатных программ для расчета налогов и заполнения деклараций, до целых ERP-систем для автоматизации всех бизнес-процессов компании.
Предлагаем обзор программ автоматизации бухгалтерского учета.
Как правило, бесплатные программы предлагают производители платных – в рекламных целях. Бесплатные версии ограничены либо по функционалу, либо по количеству операций, либо по времени использования:
Налогоплательщик ЮЛ. Эта компьютерная программа разработана ГНИВЦ – программистами самой ФНС – для автоматизации процесса формирования отчетов. Ее можно скачать бесплатно с сайта налоговой службы. Программа формирует бухгалтерскую и налоговую отчетность, зарплатные отчеты и расчеты по страховым взносам, документы для регистрации ККТ и другие документы. У этой программы есть расширенная платная версия «Электронная отчетность налогоплательщика».
Инфо-предприятие. Согласно информации с сайта разработчиков, программа подходит для начинающих компаний, предпринимателей, «приходящих» бухгалтеров. В ней есть базовый набор функций для ведения бухгалтерии небольшого предприятия, но нет обучения, а в качестве ограниченной техподдержки предлагаются консультации на форуме пользователей. Если нужно обучение и расширенные функции, такие как возможность доработки, управленческий учет, интеграция с другими сервисами, разграничение доступа и т.д., придется покупать платные версии.
Инфо-Бухгалтер 8.8. Это демонстрационная версия профессиональной бухгалтерской программы, в которой сохранен весь функционал, но с одним ограничением – до 150 хозяйственных операций в год (без учета количества проводок). После превышения количества операций придется переходить на платную версию, поэтому бесплатный вариант подходит только для учета маленьких фирм или подготовки нулевой отчетности.
Инфо-Бухгалтер 10.2. Более продвинутая версия того же производителя для ведения комплексного бухгалтерского, налогового, производственного, складского и управленческого учета. Бесплатная версия ограничена 1 000 хозяйственных операций в год без учета проводок.
Учет расчетов и денежных средств. Бесплатный модуль бухгалтерского комплекса «Бонус». В программе можно вести бухучет и формировать первичные документы.
Все бесплатные программы для бухгалтерии имеют ограничения. Индивидуальные предприниматели с небольшими оборотами вполне могут обойтись бесплатным функционалом, но для полноценной автоматизации бухгалтерского учета организации рано или поздно придется покупать платную программу.
Рынок предлагает большой выбор платных продуктов. Их возможности более или менее одинаковы, поэтому в вопросе выбора следует руководствоваться сервисами, которые можно получить вместе с ПО.
Перечислим наиболее известные и востребованные платные продукты.
1. 1С-Бухгалтерия. Это неписаный стандарт для бухгалтеров, современное и универсальное решение для автоматизации системы бухгалтерского учета. Продуктом пользуется подавляющее большинство российских организаций, и этот факт говорит сам за себя.
Преимущества программы:
простой интерфейс;
гибкие настройки – можно настраивать отображение данных под себя в нужной последовательности;
возможность вносить изменения в программный код и дорабатывать программу под нужды конкретного предприятия;
поддержка всех систем налогообложения;
веб-клиент для работы без привязки к офису и т.д.
Программа выпускается в трех версиях: «Базовая», «Проф» и «Корп». Продвинутые версии поддерживают работу территориально распределенных информационных баз, позволяют вести учет в обособленных подразделениях, вести учет по нескольким организациям в единой информационной базе и т.д.
1С не имеет ограничений по масштабам предприятия, виду деятельности и сложности учета. Ее можно адаптировать под любую организацию.
1С Бухгалтерия – это лишь одна из множества конфигураций на базе платформы 1С-Предприятие. Есть и другие решения, например, «Зарплата и управление персоналом», «Управление торговлей», «ERP Управление предприятием 2», «Документооборот», «Управление холдингом», «Консолидация», «CRM» и т.д.
Возможности 1С почти безграничны, но в силу недостаточности знаний и опыта во многих организациях используют программу на примитивном уровне. 1C-WiseAdvice работает с типовыми решениями 1С:Бухгалтерия предприятия и 1С:ЗУП, но, если возникают нестандартные задачи, наши программисты расширяют возможности бухгалтерских программ под нужды клиента и настраивают любую аналитику.
2. БЭСТ. Комплексная система автоматизации бухгалтерского, налогового и управленческого учета для малых и средних предприятий в сфере производства, торговли, общественного питания, услуг. Поддерживает полный управленческий цикл, включая планирование, сбор данных, контроль отклонений и анализ данных. Есть отраслевые решения для производственных предприятий, транспортных, страховых, аптек, предприятий общепита и т.д.
3. Парус Предприятие 7. Компания-разработчик специализируется в основном на разработке программных решений для учета на предприятиях бюджетной сферы, но в линейке продуктов есть и предложения для коммерческих компаний. Парус Предприятие 7 предназначено для автоматизации финансово-хозяйственной деятельности организаций малого и среднего бизнеса, позволяет решать учетные, управленческие и аналитические задачи.
Парус Предприятие 8 – комплексная система автоматизации оперативно-управленческих и финансово-учетных задач, ориентированная на крупные коммерческие компании.
Интернет-бухгалтерия – это облачное решение, которое позволяет вести учет без привязки к стационарному рабочему месту. Вся информация, как и сама программа учета бухгалтерии, хранится в облаке. Программу не нужно скачивать, устанавливать и обновлять. Работать можно с любого устройства, подключённого к интернету.
Функционал онлайн-сервисов примерно одинаков:
учет доходов и расходов;
расчет налогов, заработной платы и других платежей;
формирование первичных документов;
заполнение деклараций и отправка их в контролирующие органы.
Наиболее известные бухгалтерские программы для бизнеса:
«Моё дело».
«Контур».
«Небо».
«Мои финансы».
Цена за пользование сервисом зависит от масштабов фирмы, системы налогообложения и количества сотрудников. У всех сервисов есть бесплатные пробные периоды, чтобы пользователь мог оценить функционал и интерфейс.
Интернет-версии есть и у производителей стационарных программ, например, Бухсофт онлайн, 1С: Бухгалтерия.
Департамент автоматизации 1С является частью консалтинговой группы WiseAdvice, в которую также входят крупнейшая отечественная аудиторская компания и компания, предоставляющая услуги ведения бухгалтерского учета.
Наши специалисты принимали участие во многих масштабных проектах по автоматизации и способны разобраться в сложнейших схемах учета. Обратитесь к нам за комплексным бухгалтерским обслуживанием, мы проработаем ваш учет до мелочей и «докрутим» ПО под ваш бизнес, как портной подгоняет костюм по фигуре.
Бесплатные программы подходят только для микробизнеса с небольшим количеством стандартных операций. Если бесплатного функционала достаточно, то можно не переплачивать за платные версии. Но любая нестандартная задача может вызвать затруднения и придется либо решать ее в другой программе, либо покупать платную версию.
Онлайн-сервисы также хороши для малого бизнеса и преимущественно на специальных режимах налогообложения, где учет проще. Недостаток онлайн-сервисов в том, что нет возможности доработать стандартный функционал под себя.
Отчеты – это еще не все. Для эффективного управления бизнесом и принятия верных управленческих решений нужна грамотно обработанная и систематизированная информация. Поэтому оптимальный вариант для серьезного бизнеса – стационарная программа, которую можно адаптировать под бизнес-процессы каждой конкретной компании.
Но надо понимать, что программа – это лишь инструмент в руках бухгалтера, а не волшебная пилюля. Каким бы хорошим ни был инструмент, все зависит от того, как им пользуются. Использование даже лучших бухгалтерских программ не застрахует от ошибок, человеческого фактора, некомпетентности, недобросовестности и лени.
Поэтому не так важно, в чем вести бухучет, а то – кто его будет вести. Оптимальный вариант – передать бухгалтерию на аутсорсинг в 1C-WiseAdvice, а все остальное сделаем мы.
Заказать услугу
все услуги в сфере образования на OLX.ua Украина
Обычные объявления
Найдено 20 066 объявлений
Найдено 20 066 объявлений
Хотите продавать быстрее? Узнать как
Преподаватель английского языка online
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Киев, Оболонский Сегодня 15:00
Репетитор General/Business English
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Киев, Днепровский Сегодня 15:00
Без фото
Дипломні курсові контрольні роботи та реферати !
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Алексеевка Сегодня 15:00
Дипломные, магистерские работы, диссертации, и другое на заказ.
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Киев, Дарницкий Сегодня 14:58
Курсы кроя (кройки) и шитья Днепр
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Днепр, Центральный Сегодня 14:55
Без фото
Вивчаємо польську та англійську разом
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Житомир, Путятинка Сегодня 14:54
Персональные и групповые, онлайн zoom тренировки по боксу, тренер бокс
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Киев, Подольский Сегодня 14:53
Растяжка. Занятия по растяжке, стретчинг в центре Днепра
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Днепр, Индустриальный Сегодня 14:49
Репетитор тренер з шахів Теоретичне та практичне супроводження! Можли
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Киев, Дарницкий Сегодня 14:49
Предлагаю услуги репетитора английского,немецкого и украинского!ЗНО!!!
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Харьков, Немышлянский Сегодня 14:47
Английский онлайн. Индивидуальный подход
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Киев, Голосеевский Сегодня 14:46
Английский язык по Скайпу с «нуля» до совершенства репетитор.
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Черкассы Сегодня 14:46
Французский язык подготовка к экзаменам
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Новоалександровка Сегодня 14:45
Инструктор по вождению АВТОМАТ / Уроки вождения
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Харьков, Холодногорский Сегодня 14:44
Репетитор английского
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Бровары Сегодня 14:44
Обучение по созданию сайтов и раскрутки 200 грн в час
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Киев, Деснянский Сегодня 14:44
Репетитор з математики. Підготовка до ЗНО
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Каменец-Подольский Сегодня 14:44
Репетитор математика, физика Вишневе Вишневое, Крюковщина, Киев
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Вишневое Сегодня 14:43
Подготовлю вашего ребенка к школе Помогу в выполнении домашних заданий
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Одесса, Малиновский Сегодня 14:42
Английский онлайн для детей 7-13 лет
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Софиевская Борщаговка Сегодня 14:42
Репетитор начальных классов, подготовка к школе
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Чернигов Сегодня 14:41
Инструктор по обучению вождению, курсы вождения, права
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Донецк, Кировский Сегодня 14:41
Уроки игры на фортепиано
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Киев, Соломенский Сегодня 14:40
Тренер по Плаванию
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Луцк Сегодня 14:40
Курсы английского, русского языка онлайн по Скайпу
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Киев, Днепровский Сегодня 14:39
Репетитор, преподаватель английского детям
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Одесса, Киевский Сегодня 14:39
Персоналтные тренировки, аренда тренажерного зала на Печерске
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Киев, Печерский Сегодня 14:38
Репетитор английского языка
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Сарата Сегодня 14:38
Персональный тренер
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Киев, Голосеевский Сегодня 14:36
Без фото
Немецкий язык для всех
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Харьков, Киевский Сегодня 14:33
Без фото
репетитор математика 5-11 классы.студенты.Подготовка ЗНО.
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Старая Царичанка Сегодня 14:32
Репетитор английского языка
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Чернигов Сегодня 14:30
Уроки игры на гитаре
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Одесса, Малиновский Сегодня 14:29
Без фото
Підготовка до ЗНО з української мови та літератури. Репетитор.
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Львов, Франковский Сегодня 14:28
Индивидуальные уроки английского языка, недорого
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Николаев, Ингульский Сегодня 14:28
Английский язык, в малокомплектной группе и индивидуально
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Одесса, Приморский Сегодня 14:28
Английский для детей в группе (4 человека)
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Херсон Сегодня 14:27
Курсовые, дипломы по ПСИХОЛОГИИ и ПЕДАГОГИКЕ!!!
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Днепр, Индустриальный Сегодня 14:27
Репетитор по английскому, подготовка к ЗНО, IELTS, TOEFL,
Бизнес и услуги » Образование / Спорт
Днепр, Соборный Сегодня 14:25
Бесплатно * Помощь в домашнем задании по бухгалтерскому учету: TutorTeddy.com
Вы также можете отправить свои бухгалтерские проблемы по электронной почте по адресу [email protected] или позвонить по бесплатному телефону 866-930-6363 для БЕСПЛАТНОЙ * помощи в бухгалтерском учете для решения.
TutorTeddy предлагает бесплатную * бухгалтерскую помощь.
Мы поможем вам решить одну из ваших бухгалтерских домашних заданий, помогите вопросов бесплатно * каждые 24 часа. У нас ограниченные ресурсы для бесплатной * бухгалтерской работы, поэтому, пожалуйста,
дайте нам от 1 до 5 часов на помощь.Если вы торопитесь, воспользуйтесь нашей недорогой платной услугой (гарантированно дешевле, чем у всех в сети).
Бухгалтерский учет, также известный как бухгалтерский учет, представляет собой процесс отслеживания финансов предприятия посредством отслеживания его доходов и расходов. Это помогает систематически записывать, составлять отчеты и анализировать все виды финансовых операций для бизнеса. У каждого предприятия есть свой собственный отдел счетов для работы с капиталом. Кроме того, иногда им требуется внешняя помощь опытных бухгалтеров, чтобы беспрепятственно управлять доходами и расходами своего бизнеса, и здесь в игру вступает потребность в помощи бухгалтерского учета .Не только бизнес-сообщество, студенты, изучающие бухгалтерский учет, также нуждаются в помощи для выполнения заданий и получения хороших баллов по бухгалтерскому учету. И для этого они часто ищут действенную и эффективную помощь по бухгалтерскому учету .
Мы, в Tutorteddy.com, помогаем студентам, предоставляя высококачественную финансовую помощь по бухгалтерскому учету по номинальной стоимости, чтобы они могли изучить предмет с базового уровня. Наши специалисты по бухгалтерскому учету имеют степени магистра, доктора философии и другие ученые степени.
Почему студентам требуется помощь в выполнении домашних заданий по бухгалтерскому учету?
Правильное выполнение домашнего задания — одно из самых важных и позитивных занятий для ученика.Задание — это, пожалуй, наиболее распространенная форма домашнего задания, которое помогает студентам наиболее эффективно развивать свои знания по соответствующему предмету. Тем не менее, слишком много заданий может демотивировать их, и в результате они могут потерять интерес и не захотят делать домашнее задание. В настоящее время большинство студентов помимо продолжения учебы занимаются дополнительными занятиями, и поэтому управление временем для выполнения домашних заданий часто становится для них трудным и утомительным. Поэтому им часто требуется помощь, чтобы выполнять задания вовремя и без ошибок.А когда дело доходит до бухгалтерского учета домашних заданий, мы всегда готовы помочь студентам по всему миру.
Каковы причины популярности бухгалтерской помощи?
Изучение предмета — это одно, а применение его в реальном времени — совсем другое. Между этими двумя есть большая разница. И это различие играет очень важную роль в таких предметах, как бухгалтерский учет. Бухгалтерские проекты в основном ориентированы на приложения, и это основная причина быстрой и огромной популярности помощи в выполнении домашних заданий по финансовому учету.В настоящее время у большинства студентов нет времени разобраться в вопросах бухгалтерского учета и завершить свои бухгалтерские проекты. А для этих студентов бухгалтерская помощь может быть отличным и, возможно, самым удобным вариантом.
Как услуги по бухгалтерскому учету помогают студентам?
С изобретением и повсеместным распространением Интернета найти службу помощи в выполнении домашних заданий по бухгалтерскому учету не составит труда. Существует ряд образовательных сайтов, которые предлагают студентам помощь в выполнении домашних заданий независимо от их географического положения.Бухгалтерский учет — это трудоемкая тема. Поэтому найти сайт, предлагающий помощь в области бухгалтерского учета, может быть немного сложно, но не невозможно. Есть сайты, которые помогают студентам, предоставляя бухгалтерскую помощь. Некоторые из них даже помогают учащимся освоить основы бухгалтерского учета. Студенты, которым нужна помощь в бухгалтерском учете, могут получить от таких поставщиков услуг помощь в изучении предмета и выполнении связанных с ним заданий.
Как выбрать поставщика услуг по качественному бухгалтерскому учету?
Существует ряд веб-сайтов, предлагающих помощь в выполнении домашних заданий студентам со всего мира.Однако не все веб-сайты предлагают своим клиентам одинаковое качество обслуживания. Поэтому, прежде чем регистрироваться у такого поставщика услуг, вам следует провести небольшое исследование сайтов и выбрать хорошего и компетентного поставщика услуг онлайн-бухгалтерской помощи. Известный поставщик домашних заданий по бухгалтерскому учету, скорее всего, предложит самые лучшие услуги. У такого провайдера есть опытная команда лучших инструкторов отрасли, чтобы помочь ученым получить адекватную помощь в выполнении домашних заданий. Обычно поставщик домашних заданий по бухгалтерскому учету выполняет все задания вовремя, чтобы клиенты (студенты) могли уложиться в срок и получить более высокие оценки на экзаменах.Убедитесь, что вы проверили, выполняет ли ваш предпочтительный поставщик услуг проекты без ошибок и вовремя.
Помощь в выполнении домашних заданий по бухгалтерскому учету , несомненно, является большим подспорьем для студентов, изучающих бухгалтерский учет. И самое лучшее в такой помощи в выполнении домашних заданий — это то, что студентам не нужно платить большие суммы, чтобы получить такую помощь. Однако это варьируется от проекта к проекту. Студенты любой возрастной группы и с любым финансовым образованием могут получить помощь от хорошей бухгалтерской справки и выполнить свои задания всего несколькими щелчками мыши.
Охваченная тема бухгалтерского учета
Ниже приведены некоторые из областей, в которых наш репетитор поможет вам онлайн:
Финансовый отчет
Бухгалтерский баланс
Подготовка журнальных записей
Отчет о нераспределенной прибыли
Денежные потоки
Отчет о пробном балансе
Метрики
Точка безубыточности
Анализ затрат
Анализ затрат и выгод
Кол-во отклонений
Работа в стадии разработки
TutorTeddy.com & Boston Predictive Analytics
[Отправляйте статистические или математические задачи по электронной почте на адрес [email protected] (фотографии с телефона можно снимать)]
Бостонский офис (рядом с Массачусетским технологическим институтом / Кендалл ‘T’): Кембриджский инновационный центр, One Broadway, 14-й этаж , Cambridge, MA 02142, Телефон: 617-395-8864 WhatsApp
Офис в Далласе (рядом с галереей): 15950 Dallas Parkway, Suite 400, Dallas, TX 75248, Телефон: 617-395-8864 WhatsApp
Политика конфиденциальности
Контакт
* Применяются ограничения (см. УП ниже)
Программа для решения проблем бухгалтерского учета
Щелкните эту ссылку, если вам нужно освежить память о модели бухгалтерского учета: Бухгалтеры используют набор стандартных принципов бухгалтерского учета для подготовки всех типов финансовых отчетов и… Наша команда экспертов детально решает проблему и разделяет проблему определенным образом, чтобы учащийся понимал проблему проще.Курс подчеркивает важность анализа данных и творческого мышления, а также принятия решения о том, кого привлекать к процессу. Почему это важно? Решение проблем бухгалтерского учета Получите помощь по всем вашим бухгалтерским проблемам. Университет Южной Юты, магистр наук, бухгалтерский учет. AccontingProblemSolver.com — это команда экспертов, в которую входят выпускники, магистры и доктора наук, которые уделяют свое время решению некоторых сложных проблем, с которыми студенты сталкиваются в основном в области бухгалтерского учета.Бухгалтерский учет — довольно сложный предмет, так как в нем есть множество тем, которые вам нужно освоить. Многие студенты сталкиваются с трудностями при решении проблем в… CUNY… Вы узнаете, как установить первопричины проблем и как использовать различные методы решения проблем для разработки и внедрения подходящих решений. Обучение бухгалтерскому учету как практика — это наше мастерство … Однако вы можете уклоняться от привлечения профессиональной помощи из-за вашего финансового положения. Бухгалтерский учет в настоящее время рассматривается как более продвинутая и практичная специальность по сравнению с другими экономическими специальностями.Эти вопросы, также известные как вопросы для собеседования с аналитическими навыками, часто касаются конкретных случаев, когда кандидат анализировал ситуацию или должен был решить проблему, в том числе о том, какие шаги… Г-н Нирмал выполняет следующие операции в апреле. Каждые 24 часа мы бесплатно * помогаем вам решать один из вопросов, связанных с домашним заданием по бухгалтерскому учету. бытовая техника. Начать Поделиться Мои ученики Вставить вопросы: 12 Сложность теста: Среднее время, потраченное: 3 минуты Просмотр наставников по бухгалтерскому учету. Просмотр наставников по бухгалтерскому учету.Поиск решения проблем в области бухгалтерского учета в режиме онлайн дает множество преимуществ. Калькулятор бухгалтерских уравнений отвечает на вопрос Как поживает компания? Бухгалтерский учет можно считать языком бизнеса. По возможности старайтесь использовать уникальное слово, например, неинтересный или условный. … Если вам нужно позвонить, сообщите нам. Проблемы и решения, основанные на понимании журнала и связанных с ним аспектов финансового учета. Ассоциация исследований и образования, 9 сентября 2011 г. — Бизнес и экономика — 720 страниц.Университет Юты, бакалавр наук, бухгалтерский учет. Мы понимаем, что у вас может быть не так много денег. Бухгалтерский учет Домашнее задание Решение проблем Решите свои бухгалтерские проблемы с помощью онлайн-экспертов. С помощью процедуры, аналогичной поиску обратной функции, компьютер также можно использовать для создания задач с заданными характеристиками. Вы можете использовать одно и то же уравнение для решения бесчисленных бухгалтерских задач. Эта система бухгалтерского учета с двойной записью основывается на основах бухгалтерского учета; отсюда и название.Investopedia определяет фундаментальное уравнение бухгалтерского учета как основу системы бухгалтерского учета с двойной записью. Бухгалтерский учет был предметом, который представлял собой комбинацию различных теорий, таких как запоминание концепций, формул и т. Д., И… Для глубокого понимания бухгалтерского уравнения следующие важные вопросы бухгалтерского уравнения являются следующими: Проблема 1: Хабиб Улла Садик — оптовый торговец; Следующие операции записываются в Уравнение бухгалтерского учета? Это поможет вам убедиться, что вы предлагаете решения, которые позволят достичь наилучших результатов для пострадавших.Каждое средство решения проблем — это содержательное и важное руководство по изучению и решению, наполненное четкими и краткими жемчужинами по решению проблем. Набор задач бухгалтерского учета 1. 1 Обзор. Бухгалтерский учет, как нетрудно догадаться, включает в себя много математики. Мой контрольный список находится в Word, поэтому я использую функцию поиска (щелкните элемент управления, найдите), чтобы найти ключевое слово. Специалисты по бухгалтерскому учету предоставляют студентам качественные и безошибочные материалы для выполнения заданий. БАП; Примечания; Проблемы; Прб 5. Решенные проблемы. Возможно, вы используете метод управления запасами по принципу «первым пришел последний ушел» в своем продуктовом отделе, но решите использовать метод материального потока «последний пришел — первым ушел» для других отделов с нескоропортящимися товарами.У нас есть опыт в решении самых сложных задач и требовательных инструкций. Наши онлайн-специалисты предоставляют профессиональные бухгалтерские услуги как юридическим, так и физическим лицам. Вы можете изучить это в любом онлайн-справочнике по решению проблем с заданиями по бухгалтерскому учету, но здесь мы стараемся дать ясное представление только для наших последователей. Чтобы быстро решить проблемы бухгалтерского учета, выполните поиск по слову в своем контрольном списке для раскрытия информации. 200000 и земля рупий. я. Начать бизнес с наличными рупиями. В случае необходимости у вас всегда будет местная поддержка Reckon.В. Наши решатели домашних заданий бухгалтерии работают без устали и круглосуточно, чтобы создать легко доступный портал, на котором вы можете в любое время заказывать и решать домашние задания, а также отслеживать прогресс своей работы. Процесс упрощен, а наша служба поддержки дружелюбна. Не весь бухгалтерский учет в малом бизнесе, бухгалтерия… Эта проблема работает на основе идеи, что Активы = Обязательства + Собственный капитал, с использованием основных транзакций, связанных с новым бизнесом. Решение проблем бухгалтерского учета. Когда мы передадим вам ответы на домашнее задание по бухгалтерскому учету, вы будете поражены, увидев, как нашим онлайн-преподавателям по бухгалтерскому учету удалось решить проблему, которая беспокоила вас в течение недели.Вы также можете отправить свои бухгалтерские проблемы по электронной почте на [email protected] или позвонить по бесплатному телефону 866-930-6363 для БЕСПЛАТНОЙ * помощи в бухгалтерском учете для решения проблем .. TutorTeddy предлагает бесплатную * бухгалтерскую помощь. Решите мою бухгалтерскую бумагу онлайн. Поэтому, чтобы предоставить вам доступ к нашим услугам, мы взимаем доступные тарифы. При решении бухгалтерских задач вы должны думать об учетных операциях с точки зрения «модели бухгалтерского учета». Инструмент решения проблем бухгалтерского учета REA Каждый инструмент решения проблем представляет собой содержательное и важное руководство по изучению и решению проблем, наполненное четкими и краткими примерами решения проблем.Проблемы и решения с уравнениями бухгалтерского учета: Проформа вариаций бухгалтерского учета Проблемы и решения: Проблемы и решения с записями в журналах: Проблемы и решения Главной книги: Проблемы с пробным балансом и их решения: Проблемы с бухгалтерскими книгами и их решения: Проблемы с кассовой книгой с одной колонкой и их решения: Кассовая книга с тремя колонками Калькулятор проблем и решений для бухгалтерского уравнения (заполните два поля) Активы в $ обязательствах в $ капитале в $ Что такое бухгалтерское уравнение? Вопросы собеседования по решению проблем — это вопросы, которые задают работодатели, связанные со способностью кандидата собирать данные, анализировать проблему, взвешивать все за и против и принимать логическое решение.Более полезные, более практичные и более информативные, эти учебные пособия — это то, что вы хотите… Некоторые из объемов решения проблемы онлайн-бухгалтерского учета заключаются в следующем: — Из-за важности области коммерции все больше онлайн-студентов принимают Бухгалтерский учет как область обучения. Теперь вы можете перейти к решению задач бухгалтерского учета, используя фундаментальное уравнение бухгалтерского учета. Иногда деловые или финансовые задания кажутся невыносимыми, потому что их очень сложно выполнить хорошо и вовремя.Это привело к увеличению числа людей… Читайте дальше, чтобы узнать больше на примерах, проблемах и их решениях. Возможно, это самая важная и самая известная формула в мире бухгалтерского учета. Первый пришел последним (FIFO) говорит, что… Начисление. Они обладают высшей квалификацией в различных аспектах бухгалтерского учета и имеют многолетний опыт обеспечения высочайшего уровня качества и эффективности в любых требуемых бухгалтерских и бухгалтерских услугах. Проблема — 1. Как на практике, так и в отрасли к бухгалтерам все чаще обращаются за помощью в решении технологических проблем — например, когда компания намеревается внедрить новые программные решения для бизнеса.Они помогают в оценке и выборе решения, а также в планировании и выполнении процесса внедрения. Если навыки решения проблем являются неотъемлемой частью вашей роли, вероятно, вам придется пройти какую-то оценку в процессе подачи заявки. Уйти из вашего учреждения в качестве компетентного и знающего бухгалтера — это один из способов убедиться, что вы всегда будете востребованы на рынке труда. Работодатели могут строить вопросы для решения проблем по трем основным направлениям: Решение проблем в бухгалтерском учете.com, у нас есть команда экспертов, специализирующихся в следующих областях … Проблемы бухгалтерского учета могут быть огромными. Вот пример использования формулы Активы = Обязательства + Собственный капитал или Капитал. Его пробный баланс за год, закончившийся 31 августа 2005 года, указан ниже. В этой статье приводится пример взаимодополняемости решения проблем и генерации проблем в дисциплине учета затрат. Как решить основное бухгалтерское уравнение? 50 000. II. YourHomeworkHelp — ваш личный помощник по учету проблем Наша профессиональная команда поможет вам работать над выполнением ваших исследовательских проектов, отчетов, групповых презентаций и тематических исследований.По мере того, как вы практикуете различные типы бухгалтерских задач и когда вы начинаете реально вести учет, вам нужно будет использовать различные формулы для расчета необходимой информации. Бухгалтерский учет — это предмет, который представляет собой сочетание большого количества теоретических знаний, таких как запоминание формул, концепций и т. Д., А затем их применение в численных задачах, называемых задачами бухгалтерского учета. Делайте записи в журнале для транзакций. Возможно, вам придется нажать «Далее» несколько раз, чтобы найти соответствующий текст. Мы понимаем, что учащиеся часто сталкиваются с сложными проблемами бухгалтерского учета либо из-за нехватки времени, либо из-за того, что проблемы слишком сложны для… Вопросы 1-5: Подготовьте записи в журнале для записи каждого из следующих событий.Используя наши услуги, вы можете быть уверены в… РЕШЕНИЯХ ДЛЯ УЧЕТА ВАШЕГО БИЗНЕСА Solve — идеальное решение для растущих малых и средних предприятий, предоставляющее ряд услуг, которые могут себе позволить только крупные организации. Хорошо структурированные задачи во многих областях могут быть решены с помощью компьютера. Расширенный финансовый учет: решение проблем СЧЕТА КОМПАНИИ 2: СЧЕТА КОМПАНИИ >> Расширенный финансовый учет (FIN-611) VU. Существует ряд форм, которые могут принимать вопросы, связанные с решением проблем, но большинство из них основаны на сценариях.Начал бизнес с капиталом 1,00,000; Купил 25000 мебели; Купил товар за наличные 20 000; Купил товары у Ram в кредит 5,000; Продано товаров за наличные 15000; Продано товаров Shyam в кредит 8,000 Бухгалтеры и финансовые специалисты решают проблемы практически каждый рабочий день. • Высококачественная грамматика и отсутствие плагиата. Одна из примечательных и наиболее важных особенностей задания — фактор оригинальности этого задания. Бухгалтерский учет — это не прогулка по парку.Однако для наших писателей это не проблема, так как они могут найти решение вне зависимости от сложности темы! Колледж Ионы, бакалавр делового администрирования, финансов. Однако стать специалистом в этой области может не быть такой прогулкой по парку, как… Ответы на все ваши вопросы можно найти в одном удобном источнике от одного из пользующихся наибольшим доверием имен в справочных руководствах по решениям. Ответы на все ваши вопросы можно найти в одном удобном источнике от одного из пользующихся наибольшим доверием имен… Моя бухгалтерская статья «Решите» в Интернете описывает это как набор правил, которые формируют принципы бухгалтерского учета, как правило, принципы бухгалтерского учета.Акт записи, классификации, обобщения и интерпретации транзакций известен как бухгалтерский учет. Это заявление, отражающее положение дел в бизнесе. 1. Уильям Д. Келлер. Решите все ваши бухгалтерские проблемы: https://www.reckon.com/ Равенство обеих частей уравнения всегда сохраняется. В отличие от большинства предметов, бухгалтерский учет имеет дело только с одним правильным ответом, и получить ответ за вас — задача наших специалистов по решению проблем с аккаунтом. С помощью нашего решателя домашних заданий по бухгалтерскому учету учащийся легко узнает процесс и лучше его усвоит.Одна из самых больших и самых катастрофических проблем бухгалтерского учета, с которой сталкиваются люди, — это использование различных методов бухгалтерского учета в масштабах компании. Однако лучший способ решить проблемы бухгалтерского учета малого бизнеса — это остановить их до того, как они начнутся: разработать систему и стандарты, использовать интегрированное программное обеспечение, которое требует меньше ручного ввода, использовать гибкое облачное программное обеспечение для бухгалтерского учета, обучиться бухгалтерскому учету, налогам и учету вопросы и партнерство с CPA. Проблема: масштаб решения проблемы онлайн-бухгалтерского учета.с дополнительной… ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ БУХГАЛТЕРСКОЙ ПОМОЩЬЮ ОНЛАЙН. Вот почему лучше воспользоваться нашей компанией Simple, которая уже несколько лет занимается производством на внутреннем рынке. Сертифицированный наставник Мауры. Академия; Альманах; Экзаменационные работы; Новости ; Блог; Контакт ; Журнал — Проблемы и решения. Вот почему история поиска некоторых студентов в Интернете полна запросов типа «Может ли кто-нибудь помочь мне решить мою бухгалтерскую проблему?» Этот факт указывает на то, что не все студенты знают, где получить профессиональную помощь, когда они сталкиваются с академическими проблемами.У нас есть команда профессиональных бухгалтеров, готовых решить ваши проблемы. Некоторые расчеты невозможно решить, и для них требуется кто-то с опытом и знаниями. Из-за его важности в сфере коммерции все больше и больше людей выбирают бухгалтерский учет как область обучения. Кассовый и бухгалтерский учет делятся на два типа: кассовый учет и учет по методу начисления. Применяя рубрику, инструкторы могут помочь студентам систематически применять процесс решения проблем, который они могут взять с собой при переходе от студента к управленческому бухгалтеру.УРОК № 22. Спросите здесь эксперта по решению проблем бухгалтерского учета. Если вы похожи на большинство стартапов, у вас ограниченный бюджет. Эксперты по решению проблем бухгалтерского учета Будучи студентом, вы чаще всего сталкиваетесь с проблемами бухгалтерского учета. Вы всегда можете доверить свое финансовое задание команде наших профессионалов, и они выполнят его независимо от сроков. У нас ограниченные ресурсы для бесплатной * бухгалтерской работы, поэтому, пожалуйста, дайте нам от 1 до 5 часов на помощь.Сертифицированный репетитор Nosa. Решение проблем критически важно для сегодняшнего управленческого бухгалтера. Покажите, что уравнение бухгалтерского учета удовлетворяется после учета каждой из следующих операций в книгах г-на Н. Учет по методу начисления предназначен для учета доходов и расходов хозяйствующего субъекта за определенный период времени. Прочтите профили экспертов и найдите подходящего профессионала в области бухгалтерского учета … Решение проблем бухгалтерского учета Уильяма Д. Келлера, доступное в торговой книге в мягкой обложке на Powells.com, также прочтите синопсис и обзоры.Первый процесс ведет учет только притока и оттока денежных средств. У вас ограниченный бюджет.
Частные виллы в Тулуме, Мексика,
Замена экрана Soft Oled для iPhone Xs,
Прототип альфа-боевой зоны,
Прокат водных горок Русалка,
Сборная Ямайки по футболу 2021,
Ямайская эстафетная команда 4×100 м,
Коллекция Джоселин Димблби,
Рафа Австралия Контакт,
10 лучших дилерских центров Harley-davidson 2019,
Бухгалтерский учет Решение проблем Бесплатный Интернет
Бухгалтерский учет / Финансовые расчеты становятся проще с помощью наших бесплатных онлайн-калькуляторов , представленных ниже. Выберите из нашего списка калькуляторов и решателей и приступайте к решению ваших задач легко. Калькулятор балансовой стоимости на акцию. Калькулятор маржи вклада. Калькулятор коэффициента маржи. Калькулятор операционной маржи.
58 Людей Используется Посетить Вход ›› Срок действия: июнь 2022 г.
Бесплатное домашнее задание по бухгалтерскому учету Помощь Learnok.com
Opportunity Learnok.com Подробнее ››
Если вам нужна помощь с домашним заданием по бухгалтерскому учету , статистике, математике или финансам , LearnOk — идеальное место для вас. Вы можете получить ответы на свой бухгалтерский учет и финансовые вопросы для бесплатно , разместив вопрос бесплатно .Любой, кто зарегистрирован на нашем сайте, сможет вам помочь. Если вы хотите, чтобы вам помог опытный наставник, обратитесь на
Решение проблем в бухгалтерском учете Эксперты Будучи студентом, вы чаще всего сталкиваетесь с проблемами Бухгалтерские проблемы . Бухгалтерия — это не прогулка по парку. Некоторые расчеты невозможно решить с , и требуется кто-то с опытом и знаниями. На сайте Accountingproblemsolver.com у нас есть команда экспертов, которые специализируются на
Веб-сайт: https://accountingproblemsolver.com/
37 Люди Использовали Посетите Вход ›› Срок действия: март 2022 г. Помощь в домашнем задании по Решению проблем онлайн США
Бухгалтерская помощь на дому.com Подробнее ››
Бухгалтерский учет затрат, или затрат учета , является важным разделом бухгалтерского учета . Он касается стоимости единицы любой оказанной услуги или произведенной продукции. Мы предоставляем бухгалтерский учет назначение решение проблем , чтобы помочь вам решить проблемы , связанные с затратами. Учет затрат выполняет две функции — контроль стоимости и определение себестоимости товаров.
66 Людей Использовано Посетить Вход ›› Срок действия: декабрь 2022 г.
Главная :: Домашнее задание Помощь и ответы :: Slader
Solutions Slader.com Подробнее ››
Простые решения сложных проблем . Дело не только в тебе. В школе бывает сложно. Slader научит вас учиться с помощью пошаговых учебников, написанных экспертами в данной области. Найдите свой учебник.
Веб-сайт: https: // www.slader.com/
Nsw50 Используется Посетите Вход ›› Срок действия: март 2022 г.
Справка по общему назначению «Решить мою бухгалтерскую бумагу»
Поле Totalassignmenthelp.com Подробнее ››
Решить Мой Бухгалтерский учет Бумага Онлайн . Бухгалтерский учет — это предмет, который представляет собой сочетание большого количества теоретических знаний, таких как запоминание формул, концепций и т. Д., А затем их применение в числовых задачах называется задачами бухгалтерского учета .Из-за его важности в области коммерции, все больше и больше людей выбирают бухгалтерию в качестве области обучения.
57 Людей Посетите Вход ›› Срок действия: август 2022 г.
Бухгалтеры как решатели проблем Стратегические финансы
Сегодняшний Sfmagazine.com Подробнее ››
Бухгалтеры как Решатели проблем . Линда Макканн, DBA, CMA, CPA; Дэвид Хорн, CPA; и Дженнифер Дош, CMA.1 августа 2020 года. Менеджеры часто жалуются, что бухгалтеров выпускников не подготовлены к сегодняшней деловой среде. Сложность нашей глобальной экономики и растущее влияние и зависимость от технологий приводят к появлению специалистов-практиков
59 Люди использовали Визит Войти ›› Срок действия: сентябрь 2022 г.
Калькулятор онлайн-бухгалтерского учета Уравнения, формулы и коэффициенты
Принимает A-системы.net Подробнее ››
Сколько раз товар продается клиентам и заменяется компанией. Срок конвертации кредиторской задолженности. (Кредиторская задолженность / Покупки) x 365. Время, необходимое для оплаты счетов кредиторской задолженности. Период конвертации дебиторской задолженности, коэффициент DSO. (Дебиторская задолженность / Чистый объем продаж) x 365. Время, необходимое для сбора учетных записей …
Веб-сайт: https://www.a-systems.net/calculator/
74 Используемые люди Посетите Войти ›› Истекает Январь 2022 г.
Помогите мне решить мою бухгалтерскую проблему EssayStudio.org
Бухгалтерский учет Essaystudio.org Подробнее ››
Помогите мне Решите Моя бухгалтерская проблема . Высокое качество. Над вашей статьей будут работать самые квалифицированные корректоры. Своевременная доставка. Никаких опозданий с нашими услугами по корректуре. Круглосуточная поддержка. Наша профессиональная команда поддержки работает круглосуточно, чтобы предоставить вам лучшее резервное копирование. Нужен кто-то, кто сделает мою бухгалтерию Домашнее задание для меня.
В отличие от большинства предметов, бухгалтерский учет имеет дело только с одним правильным ответом, и получить ответ для вас — задача наших специалистов по решению проблем . Когда мы передадим вам бухгалтерию, ответов на домашнее задание, вы будете поражены, увидев, как наши онлайн-преподаватели по бухгалтерскому учету сумели решить проблему , которая беспокоила вас в течение недели.
Nsw82 Используемые люди Посетите Вход ›› Истекает: май 2022 г.
Калькулятор расчетных уравнений Ценовая стратегия Консультант по стратегии
Бухгалтерский учет Taprun.com Подробнее ››
Бухгалтерский учет Калькулятор уравнений отвечает на вопрос Как поживает компания? Калькулятор для бухгалтерии Уравнение (Заполните два поля) Активы в $ Обязательства в $ Капитал в $ Что такое Уравнение Бухгалтерский учет ? Вполне возможно, что это самая важная и самая известная формула в мире: и .
Nsw77 Используется Посетить Вход ›› Срок действия: сентябрь 2022 г.
Попробуйте наш бесплатный онлайн-решатель по математике! softmath
Бухгалтерский учет Softmath.com Подробнее ››
Бухгалтерский учет Принципы 8 издание бесплатно скачать, графические коники онлайн , веб-сайт бесплатно стоимость бухгалтерский учет книг, бесплатно алгебра для чайников электронная книга, как сделать Я объясняю, как диапазон помогает в алгебре, McDougal Littell Math Course 3 (c) 2004-2007 Глава 1.1 ответы, Скачать Advance Algebra Prentice Hall 1998, радикальное число упростить математическое деление, добавив
Nsw61 Используемые пользователи Посетите Вход Истекает: Февраль 2022 г.
MyExceLab.com
На базе Myexcelab.com Подробнее ››
Каждая электронная таблица уникальна и основана на конкретной цели обучения. Внутренняя методология каждого листа основана на одном из трех подходов: средство решения проблем , , вычислительный робот или обобщенная иллюстрация.В каждом случае вы будете вводить данные / или решения, и…
Веб-сайт: http://www.myexcelab.com/
33 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия: март 2022 г.
Java Решение проблем для найма онлайн AssignmentCore
Problem Assignmentcore.com Подробнее ››
Доступный Java Problem Решатели для найма. У вас проблема с Java ? Нет, мы не имеем в виду, что вы пьете слишком много кофе. Если у вас возникла проблема при кодировании на языке Java или просто у вас есть вопросы о том, как лучше всего программировать на Java, у нас есть эксперт по решению проблем Java , который ждет прямо сейчас, чтобы помочь вам с самыми сложными проблемами Java .
Elite homework doers было разработано, чтобы обеспечить точное выполнение домашнего задания в установленные сроки. Мы также предлагаем недорогую и легкодоступную высококачественную услугу homework для всех студентов в США, Канаде, Австралии, Великобритании, Германии, России и других странах.Вам не нужно идти на компромисс с качеством домашнего задания .
Веб-сайт: https://elitehomeworkdoers.com/
42 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия: декабрь 2022 г.
Ответьте на мой статистический вопрос бесплатно Тот или иной
Expert Pinterest.com Подробнее ››
Ответьте на мой вопрос по статистике для бесплатно . Задайте свой вопрос и быстро получите помощь специалиста. Получите подробные ответы на сложные вопросы от более чем 80000 опытных преподавателей.#statshomework #statstutor. Сохранено SolutionInn. 2. Бесплатные учебники Помогите мне Пробная инфографика Изучите те или иные вопросы Студия изучения инфографики.
Nsw76 Используется Посетить Вход ›› Срок действия: март 2022 г.
Видео о решении проблем Dailymotion
Problem Dailymotion.com Подробнее ››
Скачать Operations Research Problem Solver ( Problem Solvers Solutions Guides) PDF Free .Ctoscano. 0:07. Прочтите Автоматические системы управления / Робототехника Решение проблем ( Руководства по решению проблем ) Correa. Бизнес Бухгалтерский учет и финансы Решение проблем ( Руководства по решению проблем ) Бесплатные книги . Лсарь.
57 Пользователей Посетить Вход ›› Срок действия: март 2022 г.
Пожалуйста, оставьте свои комментарии здесь:
О решении проблем бухгалтерского учета Бесплатный онлайн
Декодирование Бухгалтерский учет с лучшими Бухгалтерский учет Репетиторы.У статистики есть собственный язык, и он становится все более и более сложным. Хорошая новость заключается в том, что вы можете получить онлайн-уроков по статистике и попросить своего репетитора объяснить каждую концепцию, которая вас озадачивает. Ваш наставник…
Веб-сайт: www.prestoexperts.com
Всего: 24 Результаты
Часто задаваемые вопросы Решение проблем бухгалтерского учета Бесплатно онлайн
Где я могу найти средство для решения проблем бухгалтерского учета?
Наши специалисты по бухгалтерскому учету работают круглосуточно, чтобы создать легко доступный портал, на котором вы можете в любое время заказывать и решать домашние задания, а также отслеживать прогресс своей работы.Процесс упрощен, а наша служба поддержки дружелюбна.
Есть ли онлайн-помощник по вопросам бухгалтерского учета?
Точное решение ваших финансовых проблем. Ваши бухгалтерские задания в надежных руках! Наконец, вы можете расслабиться и провести время в своем распоряжении — наш онлайн-помощник позаботится о вашей домашней работе. Разместите заказ, предоставьте нам всю информацию, и мы сделаем все возможное, чтобы превзойти ваши ожидания. Мы здесь, чтобы решить все ваши бухгалтерские проблемы.
Как лучше всего решить мою бухгалтерскую бумагу онлайн?
Решение моей бухгалтерской бумаги онлайн от экспертов — лучшее решение, если вы ищете ответы на бухгалтерскую бумагу и задания.
Какая программа для решения домашних заданий по бухгалтерскому учету лучше всего подходит для вас?
К счастью, мы можем помочь вам с любой бухгалтерской задачей за считанные минуты, не взимая огромных комиссий и не доставляя некачественные документы. Наша программа по бухгалтерскому учету работает круглосуточно, поэтому вы можете связаться с нами в любое время суток.
Вас расстраивают математические задачи бухгалтерского учета?
Не расстраивайтесь из-за задачи по бухгалтерской математике, когда у вас есть помощники по домашнему заданию от тех, кто выполняет домашнее задание. Используя Интернет, вы можете легко найти кого-нибудь, кто решит ваши бухгалтерские проблемы онлайн и с такой легкостью.
Где я могу найти решение для домашнего бухгалтерии?
Проблемы с домашним заданием, включая анализ затрат и результатов, бизнес-отчетность и ориентированные на будущее процессы, такие как составление бюджета, относятся к отделу решений для управленческого учета нашей библиотеки. Студенты могут воспользоваться многолетним опытом наших помощников по заданию, чтобы найти и использовать решения для управленческого учета и ответы на домашние задания.
Можете ли вы найти онлайн-решение для решения проблем бухгалтерского учета?
Получение онлайн-решателя от наших экспертов — верный способ вернуться на правильный путь и дать толчок вашей любви к своей области.Не расстраивайтесь из-за задачи по бухгалтерской математике, когда у вас есть домашние задания от тех, кто выполняет домашнее задание.
Какое решение для вас поможет решить домашнюю работу по бухгалтерскому учету?
Узнайте больше с нашим Решателем проблем с домашним заданием по бухгалтерскому учету, чтобы в будущем вы стали опытным менеджером. И уплата налогов, и налоговая декларация очень важны в области финансов. И эта специальная ветвь счетов применяется только для налоговых целей. Это для проверки финансовой отчетности и отчета.
Кто лучше всех решит бухгалтерскую проблему?
Вы всегда должны быть уверены, что ваши бухгалтерские вопросы решают только люди, которые понимают важность ваших тестов и заданий для вашей итоговой оценки. Как бухгалтер, выполняющий домашнюю работу, мы с особой тщательностью относимся к каждому заказу наших клиентов, так как мы никогда не будем рисковать вашим образованием.
Где я могу получить помощь в решении моей бухгалтерской бумаги?
Студенты ищут онлайн-справку по своим бухгалтерским документам и заданиям.С помощью хорошего задания и справочной службы по написанию документов вам никогда не придется задаваться вопросом, кто будет решать мои бухгалтерские документы онлайн. В этом отношении TotalAssignmentHelp.com является ведущим поставщиком услуг для решения ваших бухгалтерских документов и заданий.
Новый список веб-сайтов
›Приложение электронной почты Samsung для Android
› Сетевые поставщики услуг семейного здравоохранения
›Центр здоровья и здоровья
› Частное управление здравоохранением
›Muslimkids.tv
›Zertificon.com
› Grandhoteltremezzo.com
›Центр здоровья Eau Claire
› Код электронного купона Godaddy
›Skateisi.org
› Купоны на рафтинг в White Water
Просмотреть все магазины >> 9000
Помогите мне решить мою бухгалтерскую проблему
Мне нужен кто-то, кто сделает за меня мою домашнюю работу по бухгалтерскому учету. Где я могу найти профессиональную помощь?
Иногда деловые или финансовые задания кажутся невыносимыми, потому что их очень сложно выполнить хорошо и вовремя.Вот почему история поиска некоторых студентов в Интернете полна запросов типа «Может ли кто-нибудь помочь мне решить мою бухгалтерскую проблему?» Этот факт указывает на то, что не все студенты знают, где получить профессиональную помощь, когда они сталкиваются с академическими проблемами. К счастью, если вы также задаете себе вопрос вроде «Мне нужен кто-то для выполнения моего бухгалтерского проекта, но кто может мне с этим помочь?», Есть ответ, который закроет главу по этому вопросу раз и навсегда. Оставьте эту задачу EssayStudio, и вы никогда не будете задумываться о том, чтобы найти кого-то достаточно квалифицированного, чтобы помочь вам с бухгалтерскими трудностями.
Мне нужен кто-то, кто сделает за меня домашнее задание по бухгалтерскому учету. Почему я должен тебе доверять?
У клиентов, пользующихся услугами EssayStudio, всегда есть один общий вопрос: «Мне нужен кто-то, кто сделает за меня домашнюю бухгалтерскую работу, но как я могу вам доверять?» Этот вопрос более чем оправдан и демонстрирует, что наши клиенты — мудрые люди, которые не собираются отдавать свои деньги Тому, Дику и Гарри. Итак, какие гарантии мы предлагаем и почему работать с EssayStudio на 100% безопасно?
Настоящие профессиональные писатели
Наши сотрудники — не просто англоговорящие писатели, которые могут создавать качественный контент.Мы нанимаем академических профессионалов с глубокими знаниями в одной из необходимых областей, например, в бухгалтерском учете.
Мы понимаем, что иногда вам может потребоваться пересмотреть некоторые моменты в вашем задании. Было бы нечестным взимать с вас дополнительную плату за эту услугу. Таким образом, мы предоставляем эту возможность бесплатно, потому что удовлетворение потребностей клиента является нашим главным приоритетом.
Когда вы говорите: «Мне нужно, чтобы кто-то выполнил мой бухгалтерский проект к завтрашнему дню», для нас это означает, что нет никаких оправданий тому, что он будет доставлен позже.Какой бы срок вы ни установили, будьте уверены, что мы сделаем все вовремя.
Мне нужен кто-то, кто займется моим бухгалтерским проектом. Как я могу разместить заказ?
Итак, вы приняли решение, и теперь вопрос «Кто может помочь мне решить мою бухгалтерскую проблему?» больше не беспокоит. Однако в этот момент вы начинаете задаваться вопросом, как разместить заказ на EssayStudio. В этом нет ничего сложного, и вы поймете, как это сделать, прочитав следующие четыре шага.
1 Шаг
Первое, что вам нужно сделать, это предоставить подробную инструкцию по вашему заказу.Предоставьте нам как можно больше информации. Нашему писателю необходимо видеть полную картину, чтобы оправдать ваши ожидания. На этом этапе вы также должны указать срок и количество страниц.
2 Шаг
Теперь выберите способ оплаты, который вам больше всего подходит. Вы можете оплатить либо кредитной картой, либо использовать PayPal, American Express, JCB и Discover Network.
3 Шаг
Ничего не делать. Чего еще вы ожидаете после того, как найдете кого-то, кто выполнит вашу просьбу, сформулированную примерно так: «Мне нужен кто-то, кто сделает за меня мою домашнюю бухгалтерскую работу»? После того, как вы предоставите все инструкции и оплатите заказ, наш писатель займется вашим заданием.Между тем свободное время можно проводить как угодно.
4 Шаг
Загрузите ваше задание, когда мы его выполним. Вы получите уведомление о том, что ваш заказ готов к загрузке. Просто нажмите на ссылку и получите задание.
Не нужно в одиночку справляться со своим сложным проектом. Оставьте эту задачу профессионалам и получите больше времени для повседневных дел.
Решатель домашних заданий по управленческому учету | Решатель назначений управленческого учета
Простой, быстрый и эффективный способ решения задач по управленческому учету
Это общепризнанная истина, что студенты, изучающие бухгалтерский учет, часто оказываются потерянными в мире чисел, оказываются в затруднительном положении из-за нехватки времени, изо всех сил пытаясь удержать свои оценки на плаву.Кроме того, у нас есть университеты, которые дают им задания по таким предметам, как управленческий учет. Нельзя сомневаться в том, что профессиональные области исследований, такие как управленческий учет, требуют от студентов уделять достаточно времени изучению и пониманию предмета. Как только это будет сделано, они смогут приступить к решению проблем, но и здесь можно столкнуться с множеством проблем.
Что мне нужно знать о управленческом учете?
Вот некоторые основные аспекты управленческого учета, о которых должны знать студенты:
Управленческий учет предназначен для помощи менеджерам в оценке различных аспектов, таких как стоимость продукта или прогнозируемая прибыль, при принятии важных бизнес-решений.
Это в основном связано с набором данных и информации для внутреннего использования бизнес-организацией
Управленческий учет или учет затрат отличается от финансового учета
Чтобы лучше понять управленческий учет, студенты могут обратиться за помощью к программе для решения домашних заданий по управленческому учету , доступной в Universityhomeworkhelp.com.
Проблемы, возникающие при выполнении домашнего задания по управленческому учету
Новичков может смутить правильный подход к назначенному проекту
Они могут не иметь четкого представления обо всех аспектах
Управленческий учет связан с управленческими решениями, и студенты могут не знать всех факторов, которые они должны учитывать
Времени, отведенного на задание, может не хватить
Могут быть задействованы вычисления, с которыми могут возникнуть проблемы с
Следовательно, можно было бы обратиться за помощью к специалисту по решению домашних заданий по управленческому учету , который имеет опыт решения таких задач.Сегодня студенты сначала обращаются к Интернету всякий раз, когда им что-то нужно: будь то учебные материалы или помощь с домашним заданием. Так почему же все должно быть иначе, если им нужна помощь с управленческим учетом? Чтобы сделать работу студентов очень удобной, мы сделали все возможное, чтобы помочь студентам с домашними заданиями в Интернете.
Поиск решателя управленческого учета онлайн :
Если вы столкнулись с проблемами в связи с назначением на управленческий учет, вы можете связаться с нами на нашем веб-сайте Universityhomeworkhelp.com, и мы сможем решить домашнее задание; в качестве альтернативы студенты могут обратиться к нам за любой помощью; наши услуги предназначены для удовлетворения всех требований, которые могут возникнуть у студента.
Вот как мы можем вам помочь:
Студенты, у которых возникают проблемы с заданием по управленческому учету, могут попросить наш решатель домашних заданий по управленческому учету решить их за них
Студенты могут связаться с нами со своими недоразумениями, и наши профессиональные преподаватели помогут им.
Студенты могут выбрать прямой разговор один на один
Мы поможем вам уложиться в сроки
Поможем набрать лучшие оценки
Плагиат — для нас табу
Мы поможем Вам произвести впечатление своей оригинальностью и совершенством.
Почему наш решатель управленческого учета — лучший вариант для вас?
Наши услуги нацелены на то, чтобы доставить удовольствие клиентам, а это значит, что вам нужно только озвучить свои требования, и они будут выполнены.
Наши работы известны своим качеством мирового уровня, и поэтому вы знаете, что доверять нам не составляет никакого риска.
Предлагаем лучшую цену на рынке.
Вся наша процедура выполняется онлайн, поэтому вы можете буквально доставить свой проект к себе в комнату.
Мы принимаем платежи онлайн через защищенные порталы, так что, опять же, вам нужно всего лишь нажать несколько кнопок, никаких усилий
Вы можете воспользоваться нашей помощью в самый неподходящий час, наша служба поддержки клиентов работает круглосуточно и без выходных.
Можно воспользоваться нашим межконтинентальным сервисом из Великобритании, США и Австралии.
Мы понимаем, что каждый университет устанавливает свои особые правила и ограничения, о ваших индивидуальных потребностях.
Мы набираем ученых по конкретным предметам, чтобы помочь студентам, что означает, что в вашем случае репетитор по управленческому учету сделает за вас домашнее задание.
В каких темах мы можем вам помочь?
Управленческий учет включает ряд подразделов, в том числе:
Составление сметы капиталовложений
Оперативное бюджетирование
Калькуляция продукции
Анализ прибыльности и рисков
Динамика затрат
Анализ ограничений
Анализ маржи
Вышеупомянутые темы — это некоторые из возможных тем, с которыми вам, возможно, придется иметь дело, когда дело доходит до задания по управленческому учету.Однако есть несколько других тем, и если ваша проблема не указана здесь, не стесняйтесь связаться с нами через наш веб-сайт. Когда студент приходит к нам и оставляет вопрос, мы стараемся помочь им всеми возможными способами. Мы работаем с целью сделать процесс обучения легким, увлекательным и интересным для студентов. Наше удовлетворение заключается в вашем успехе.
Будете ли вы также позаботиться обо всех задействованных схемах, диаграммах и графических изображениях?
Да, наш решатель управленческого учета позаботится обо всем.Мы освобождаем студентов от всех их обязанностей и заботимся о каждом аспекте задания. Все расчеты, диаграммы, диаграммы, теории, опросы (при необходимости) и т. Д. Должны выполняться нашими специалистами по выполнению домашних заданий. Более того, если у вас есть особые потребности в исследовательской работе или диссертации, мы также можем помочь вам с этим. Наши специалисты по решению задач имеют профессиональные степени и полностью оснащены, чтобы помочь студентам с продвинутыми заданиями. Благодаря своему опыту и гениальности они могут создать для вас задание, которое оставит свой след.
Как мне добраться до вашего решателя домашних заданий по управленческому учету?
Это просто! Щелкните ссылку, указанную выше, чтобы перейти на наш веб-сайт. На нашей домашней странице студенты могут задавать свои вопросы. Оставьте нам тему вашего задания и любой связанный с этим запрос, а также свою контактную информацию. Один из членов нашей команды свяжется с вами по электронной почте менее чем за час. Прежде чем мы обоюдно согласимся приступить к работе над домашним заданием, студентов спросят обо всех их особых потребностях, и каждая из них будет удовлетворена с максимальным вниманием.Вы получите готовую работу вовремя! Чтобы воспользоваться преимуществами нашего профессионального решателя задач управленческого учета , свяжитесь с нами прямо сейчас.
Решить бухгалтерские задачи | Бухгалтерский учет | Финансы | Финансовые исследования | Аудит | Образование и репетиторство
Ищу дипломированного бухгалтера / CPA / магистра в области бухгалтерского учета, хорошо разбирающегося в МСФО и GAAP, для следующего: — Пожалуйста, пришлите мне ваши затраты на каждый вопрос, время оборота, вашу биографию и затраты на вопрос непосредственно мне через сообщение / почтовый ящик.Пожалуйста, прочтите очень внимательно. Иногда будут указаны конкретные темы, а иногда — конкретный случай. Вы можете вырезать пастообразный раствор из Интернета / книги, если он доступен и является точной копией заданного вопроса. Темы будут отправлены в течение августа этого месяца. ——————— Пример вопроса будет примерно таким: 1) Передать JE для «составной» амортизационной единицы, проданной с убытком через 2 года; куплен 1 января 1 года; Продано 1 января года 3. Показать амортизационные расходы / накопленные за каждый год вместе с окончательным выбытием JE.Не стесняйтесь отвечать на этот вопрос, чтобы продемонстрировать свои способности. Спасибо!
————————————————— ————————-
Бюджет 1 доллар / вопрос. При необходимости договорная.
————————————————— —————————
Навыки: Бухгалтерский учет, финансы, финансовые исследования, аудит, образование и репетиторство
Подробнее: с нетерпением жду лет traducir, статьи количественные методы решают бизнес-задачи, решают проблемы ssl, основные проблемы бухгалтерского учета и решения pdf, вопросы финансового учета и ответы pdf, проблемы и решения практики финансового учета, решают вопросы бухгалтерского учета онлайн бесплатно, бухгалтерские вопросы и ответы на экзаменыприложение для решения проблем бухгалтерского учета, ответы на вопросы для решения проблем бухгалтерского учета, решение проблем бухгалтерского учета в режиме онлайн, решение проблем Java, платное решение математических задач, статистические решения для статей о бизнес-задачах, поддержка acajoom для решения проблем с информационным бюллетенем, решение электрических проблем в Бангладеш, решение проблем с alertpay, Решить бухгалтерскую проблему, решить бухгалтерскую проблему Excel, предложить креативные дизайнерские решения решить бизнес-задачи лучший
(
33 отзыва
)
Эри, США
ID проекта: # 26794148
По данным опроса,
бухгалтеров предпочитают решать проблемы, а не вычислять числа.
Специалисты по бухгалтерскому учету и финансам говорят, что решение проблем дает им
наибольшее удовлетворение карьерой, по сравнению с работой с числами, согласно
к новому опросу.
Интернет-опрос, проведенный службой финансового найма Роберт
Компания Half Finance & Accounting запросила более 2600 финансовых и
бухгалтеры: «Какая часть работает в бухгалтерском учете и
профессия финансиста вам нравится больше всего? »
респондентов отметили, что им нравится решать проблемы (41%), а не работать с
цифры (22%), дающие стратегические рекомендации для бизнеса
(17%), изучение новых технологий (9%) и сотрудничество с другими
(8%). Остальные ответы были указаны как «прочее.”
«Бухгалтеры являются ключевыми факторами успеха своего бизнеса, и они
вносят больший вклад, чем многие думают », — Пол Макдональд, старший
исполнительный директор Robert Half, говорится в пресс-релизе.
«Группы бухгалтерского учета и финансов несут ответственность за точную финансовую
отчетности, но они также помогают гарантировать, что их организации остаются в
соответствие нормативным требованиям, выявление возможностей роста и обеспечение
стратегическое руководство от уровня департамента до руководителей ».
Навыки данных
Объем информации, доступной в настоящее время компаниям, увеличивает
ценность бухгалтера еще больше, добавил Макдональд.«Бухгалтерский учет и
специалисты по финансам регулярно собирают данные для выявления исторических
тенденции и делать прогнозы на основе этих выводов », — сказал он. «Они
также может выявить потенциальные области для беспокойства и определить их
навыки решения проблем для работы в процессе ».
В последние годы роль финансового специалиста изменилась.
от секретных функций к бизнес-партнеру,
объяснил Джо Мишель, CPA, CGMA, вице-президент по финансам в
Constellation Brands в Victor, N.Ю.
«У нас есть примеры из практики, которые показывают, что как финансовый руководитель
вам необходимо обладать широким набором навыков », — сказал он. «Основы
техническая компетентность важна, но [также] понимание
операций, безусловно, понимание технологии и ее влияния на
компания. Вам также предлагается быть более креативным, бросать вызов
… Поддерживать риски и понимать риски для новых продуктов и предприятий ».
Решение технологических проблем
Одна из таких областей поддержки — помощь организациям во внедрении новых
программные решения для бизнеса.В процессе задействовано несколько
фазы — все, от планирования и оценки до внедрения и обучения.
Финансовые профессионалы «следят за тем, чтобы видение было всегда в памяти.
«, — сказал Боб Габи, CPA / CITP, CGMA,
руководитель Arxis Technology, калифорнийской технологической компании
консалтинг, специализирующийся на решениях для систем бухгалтерского учета.
Финансовые специалисты могут помочь с оценкой и выбором
решение, помогающее в разработке детальных требований
список, помогая действительно удостовериться, что объективная оценка
готово, и привлечение нужных людей к столу, чтобы гарантировать, что
Он добавил, что принято объективное решение.Они также могут помочь в тестировании
система, просмотр и документирование бизнес-сценариев использования, выполнение
сквозной обзор и документирование процессов, а также
содействие собранию по готовности к запуску, чтобы убедиться, что новая система готова.
Понятие графа целесообразно вводить после
того, как разобрано несколько задач, подобных
задаче 1, решающее соображение в которых –
графическое представление. Важно, чтобы ученики
сразу осознали, что один и тот же граф может быть
нарисован разными способами. Строгое
определение графа, на мой взгляд, давать не нужно,
т.к. оно слишком громоздко и это только затруднит
обсуждение. На первых порах хватит и
интуитивного понятия. При обсуждении понятия
изоморфизма можно решить несколько упражнений
на определение изоморфных и неизоморфных графов.
Одно из центральных мест темы – теорема о
четности числа нечетных вершин. Важно, чтобы
ученики до конца разобрались в ее доказательстве
и научились применять к решению задач. При
разборе нескольких задач рекомендую не
ссылаться на теорему, а фактически повторять ее
доказательство. Чрезвычайно важно также понятие
связности графа. Содержательным соображением
здесь является рассмотрение компоненты
связности, на это необходимо обратить особое
внимание. Эйлеровы графы – тема почти игровая.
Первая и главная цель, которую нужно
преследовать при изучении графов, –научить
школьников видеть граф в условии задачи и
грамотно переводить условие на язык теории
графов. Не стоят рассказывать обе всем на
нескольких занятиях подряд. Лучше разнести
занятия по времени на 2–3 учебных года. (Прилагается
разработка занятия “Понятие графа. Применение
графов к решению задач” в 6 классе).
2. Теоретический материал к теме
“Графы”.
Введение
Графы – замечательные математические объекты,
с их помощью можно решать очень много различных,
внешне не похожих друг на друга задач. В
математике существует целый раздел – теория
графов, который изучает графы, их свойства и
применение. Мы же обсудим только самые основные
понятия, свойства графов и некоторые способы
решения задач.
Понятие графа
Рассмотрим две задачи.
Задача 1. Между девятью планетами
солнечной системы установлено космическое
сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим
маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера;
Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий –
Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн –
Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли
долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?
Решение: Нарисуем схему условия: планеты
изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.
Теперь сразу видно, что долететь с Земли до
Марса нельзя.
Задача 2. Доска имеет форму двойного
креста, который получается, если из квадрата 4×4
убрать угловые клетки.
Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и
вернуться на исходную клетку, побывав на всех
клетках ровно по одному разу ?
Решение: Занумеруем последовательно
клетки доски:
А теперь с помощью рисунка покажем, что такой
обход таблицы, как указано в условии, возможен:
Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако
решения этих двух задач объединяет общая идея –
графическое представление решения. При этом и
картинки, нарисованные для каждой задачи,
оказались похожими: каждая картинка – это
несколько точек, некоторые из которых соединены
линиями.
Такие картинки и называются графами. Точки
при этом называются вершинами, а линии – ребрами графа. Заметим, что не каждая картинка такого
вида будет называться графом. Например. если вас
попросят нарисовать в тетради пятиугольник, то
такой рисунок графом не будет. Будем называть что
рисунок такого вида, как в предыдущих задачах,
графом, если есть какая-то конкретная задача для
которой такой рисунок построен.
Другое замечание касается вида графа.
Попробуйте проверить, что граф для одной и той же
задачи можно нарисовать разными способами; и
наоборот для разных задач можно нарисовать
одинаковые по виду графы. Здесь важно лишь то,
какие вершины соединены друг с другом, а какие –
нет. Например, граф для задачи 1 можно нарисовать
по-другому:
Такие одинаковые, но по-разному нарисованные
графы, называются изоморфными.
Степени вершин и подсчет числа ребер графа
Запишем еще одно определение: Степенью вершины
графа называется количество выходящих из нее
ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную
степень, называется четной вершиной,
соответственно, вершина, имеющая нечетную
степень, называется нечетной вершиной.
С понятием степени вершины связана одна из
основных теорем теории графов –теорема о
честности числа нечетных вершин. Докажем ее мы
немного позднее, а сначала для иллюстрации
рассмотрим задачу.
Задача 3. В городе Маленьком 15
телефонов. Можно ли их соединить проводами так,
чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью
другими ?
Решение: Допустим, что такое соединение
телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в
котором вершины обозначают телефоны, а ребра –
провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько
всего получится проводов. К каждому телефону
подключено ровно 5 проводов, т.е. степень каждой
вершины нашего графа – 5.Чтобы найти число
проводов, надо просуммировать степени всех
вершин графа и полученный результат разделить на
2 (т.к. каждый провод имеет два конца, то при
суммировании степеней каждый провод будет взят 2
раза). Но тогда количество проводов получится
разным . Но это число не
целое. Значит наше предположение о том, что можно
соединить каждый телефон ровно с пятью другими,
оказалось неверным.
Ответ. Соединить телефоны таким образом
невозможно.
Теорема: Любой граф содержит четное
число нечетных вершин.
Доказательство: Количество ребер графа
равно половине суммы степеней его вершин. Так как
количество ребер должно быть целым числом, то
сумма степеней вершин должна быть четной. А это
возможно только в том случае, если граф содержит
четное число нечетных вершин.
Связность графа
Есть еще одно важное понятие, относящееся к
графам – понятие связности.
Граф называется связным, если из любые две
его вершины можно соединить путем, т. е.
непрерывной последовательностью ребер.
Существует целый ряд задач, решение которых
основано на понятии связности графа.
Задача 4. В стране Семерка 15 городов,
каждый из городов соединен дорогами не менее, чем
с семью другими. Докажите, что из каждого города
модно добраться в любой другой.
Доказательство: Рассмотрим два
произвольных А и В города и допустим, что между
ними нет пути. Каждый из них соединен дорогами не
менее, чем с семью другими, причем нет такого
города, который был бы соединен с обоими
рассматриваемыми городами (в противном случае
существовал бы путь из A в B). Нарисуем часть графа,
соответствующую этим городам:
Теперь явно видно, что мы получили не менее
различных 16 городов, что противоречит условию
задачи. Значит утверждение доказано от
противного.
Если принять во внимание предыдущее
определение, то утверждение задачи можно
переформулировать и по-другому: “Доказать, что
граф дорог страны Семерка связен. ”
Теперь вы знаете, как выглядит связный граф.
Несвязный граф имеет вид нескольких “кусков”,
каждый из которых – либо отдельная вершина без
ребер, либо связный граф. Пример несвязного графа
вы видите на рисунке:
Каждый такой отдельный кусок называется компонентой
связности графа. Каждая компонента связности
представляет собой связный граф и для нее
выполняются все утверждения, которые мы доказали
для связных графов. Рассмотрим пример задачи, в
которой используется компонента связности:
Задача 5. В Тридевятом царстве только
один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы
выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а
из всех остальных городов, – по 20. Докажите, что
из столицы можно долететь в город Дальний.
Доказательство: Понятно, что если
нарисовать граф ковролиний Царства, то он может
быть несвязным. Рассмотрим компоненту связности,
которая включает в себя столицу Царства. Из
столицы выходит 21 ковролиния, а из любых других
городов, кроме города Дальний – по 20, поэтому,
чтобы выполнялся закон о четном числе нечетных
вершин необходимо, чтобы и город Дальний входил в
эту же самую компоненту связности. А так как
компонента связности – связный граф, то из
столицы существует путь по ковролиниям до города
Дальний, что и требовалось доказать.
Графы Эйлера
Вы наверняка сталкивались с задачами, в которых
требуется нарисовать какую-либо фигуру не
отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую
линию только один раз. Оказывается, что такая
задача не всегда разрешима, т.е. существуют
фигуры, которые указанным способом нарисовать
нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также
входит в теорию графов. Впервые его исследовал в
1736 году великий немецкий математик Леонард
Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах.
Поэтому графы, которые можно нарисовать
указанным способом, называются Эйлеровыми
графами.
Задача 6. Можно ли нарисовать
изображенный на рисунке граф не отрывая карандаш
от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз ?
Решение. Если мы будем рисовать граф так,
как сказано в условии, то в каждую вершину, кроме
начальной и конечной, мы войдем столько же раз,
сколько выйдем из нее. То есть все вершины графа,
кроме двух должны быть четными. В нашем же графе
имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя
нарисовать указанным в условии способом.
Сейчас мы доказали теорему об Эйлеровых графах:
Теорема: Эйлеров граф должен иметь не
более двух нечетных вершин.
И в заключение – задача о Кенигсбергских
мостах.
Задача 7. На рисунке изображена схема
мостов города Кенигсберга.
Можно ли совершить прогулку так, чтобы пройти
по каждому мосту ровно 1 раз?
3. Задачи к теме “Графы”
Понятие графа.
1. На квадратной доске 3×3 расставлены 4 коня так,
как показано на рис.1. Можно ли сделав несколько
ходов конями, переставить их в положение,
показанное на рис.2?
Рис. 1
Рис. 2
Решение. Занумеруем клетки доски, как
показано на рисунке:
Каждой клетке поставим в соответствие точку на
плоскости и, если из одной клетки можно попасть в
другую ходом шахматного коня, то соответствующие
точки соединим линией. Исходная и требуемая
расстановки коней показаны на рисунках:
При любой последовательности ходов конями
порядок их следования, очевидно, измениться не
может. Поэтому переставить коней требуемым
образом невозможно.
2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два
города соединены авиалинией в том и только в том
случае, если двузначное число, образованное
названиями городов, делится на 3. Можно ли
долететь по воздуху из города 1 в город 9 ?
Решение. Поставив в соответствие каждому
городу точку и соединив точки линией, если сумма
цифр делится на 3, получим граф, в котором цифры 3,
5, 9 связаны между собой, но не связаны с
остальными. Значит долететь из города 1 в город 9
нельзя.
Степени вершин и подсчет числа ребер.
3. В государстве 100 городов к из каждого города
выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в
государстве.
Решение. Подсчитаем общее количество
выходящих городов дорог – 100 . 4 =
400. Однако при таком подсчете каждая дорога
посчитана 2 раза – она выходит из одного города и
входит в другой. Значит всего дорог в два раза
меньше, т.е. 200.
4. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9
человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5
друзей ?
Ответ. Нет (теорема о четности числа
нечетных вершин).
5. У короля 19 вассалов. Может ли оказаться так,
что у каждого вассала 1, 5 или 9 соседей ?
Ответ. Нет, не может.
6. Может ли в государстве, в котором из каждого
города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?
Решение. Подсчитаем число городов. Число
дорог равно числу городов х, умноженному на 3
(число выходящих из каждого города дорог) и
разделенному на 2 (см. задачу 3). Тогда 100 = Зх/2 =>
Зх=200, чего не может быть при натуральном х. Значит
100 дорог в таком государстве быть не может.
7. Докажите, что число людей, живших когда-либо
на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий,
четно.
Доказательство непосредственно следует из
теоремы о четности числа нечетных вершин графа.
Связность.
8. В стране из каждого города выходит 100 дорог и
из каждого города можно добраться до любого
другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите,
что и теперь из любого города можно добраться до
любого другого.
Доказательство. Рассмотрим компоненту
связности, в которую входит один из городов,
дорогу между которыми закрыли. По теореме о
четности числа нечетных вершин в нее входит и
второй город. А значит по-прежнему можно найти
маршрут и добраться из одного из этих городов в
другой.
Графы Эйлера.
9. Имеется группа островов, соединенных мостами
так, что от каждого острова можно добраться до
любого другого. Турист обошел все острова, пройдя
по каждому мосту розно 1 раз. На острове
Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов
ведет с Троекратного, если турист
а) не с него начал и не на нем закончил? б) с него начал, но не на нем закончил? в) с него начал и на нем закончил?
10. На рисунке изображен парк, разделенный на
несколько частей заборами. Можно ли прогуляться
по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть
через каждый забор розно 1 раз?
Применение графов при решении задач
Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком
Задача 1.О Кенигсбергских мостах. Город Кенигсберг расположен на берегах реки Прегель и двух островах. Различные части города были соединены семью мостами. По воскресеньям горожане совершали прогулки по городу.
Вопрос: можно ли совершить прогулку таким образом, чтобы, выйдя из дома, вернуться обратно, пройдя в точности один раз по каждому мосту. Благодаря этой задаче была создана теория графов.
Мосты через реку Прегель расположены как на рисунке. (приложение 2 рис.1).
Рассмотрим граф, соответствующий схеме мостов
Проблема семи мостов Кёнигсберга. Суть: можно ли пройти по 7 мостам города Кёнигсберга, не ступив на каждый более одного раза.
Решение: было найдено русско-немецким математиком Леонардом Эйлером(1736 год).
Его рассуждения заключались в следующем:
1) Число нечётных вершин графа должно быть чётно (теорема 2). 2) Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине. 3) Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком. 4) Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины, следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.
Задача 2.Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля–Меркурий, Плутон–Венера, Земля–Плутон, Плутон–Меркурий, Меркурий–Венера, Уран–Нептун, Нептун–Сатурн, Сатурн–Юпитер, Юпитер–Марс и Марс–Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?
Решение: Нарисуем схему: планетам будут соответствовать точки, а соединяющим их маршруты – не пересекающиеся между собой линии.
Ответ: с Земли до Марса добраться нельзя.
Логические задачи.
Задача 3.В соревнованиях по борьбе, проходящих по олимпийской системе, участвуют 20 борцов. За какое минимальное время можно провести соревнование, если в спортивном зале есть только три борцовских ковра, и на каждую схватку, включая разминку и отдых, отводится час? Изобразите схему соревнований с помощью корневого дерева.
Решение: одна из возможных схем приведена на рисунке.
(приложение 2 рис.2)
Ответ: На соревнование уйдет 7 часов.
Задача 4.Среди девяти монет есть одна фальшивая, которая легче других. Определите ее с помощью двух взвешиваний на рычажных весах.
Решение: Разобьем монеты на три группы по три монеты. Положим монеты двух групп на разные чашки весов.
Если чашки придут в равновесие, то фальшивая монета — в третьей группе. Если чашки не придут в равновесии, то фальшивая — в более легкой группе. Поиск фальшивой монеты среди троих: положим две монеты на разные чашки весов.
Если чашки придут в равновесие, то фальшивая — третья монета. Если чашки не придут в равновесии, то фальшивая — более легкая монета.
Решение этой задачи легко изобразить в виде графа-дерева, похожего на алгоритм. (приложение 2, рис.3)
Задачи на группу знакомств Задача 5.Однажды Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились вечером пойти в кино. Выбор кинотеатра и сеанса они решили согласовать по телефону. Было также решено, что если с кем-то созвониться не удастся, то поход в кино отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Борис звонил Андрею и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею, Володе и Борису. Кто не сумел созвониться и поэтому не пришёл на встречу?
Решение: Нарисуем пять точек и обозначим их буквами А, Б, В, Г, Д.
Это первые буквы имён.
Соединим те точки, которые соответствуют именам созвонившихся ребят.
(приложение 2, рис.4)
Задача 6.В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе – каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис – с Андреем, Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина – с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?
Решение: Получим, что сыграно 7 игр, а осталось – 8. Можно проверить: в графе 6 вершин тогда всего ребер 6*5/2=15 (7+8).
Логическая задача на переливание.В ведре 8 л воды, и имеется две кастрюли емкостью 5 и 3 л. Требуется отлить в пятилитровую кастрюлю 4 л воды и оставить в ведре 4 л, т. е. разлить воду поровну в ведро и большую кастрюлю.
Решение:
Ситуацию в каждый момент можно описать тремя числами (приложение рис.16).
В результате получаем два решения:
одно в 7 ходов, другое в 8 ходов.
(приложение 2, рис.5)
Задача 7.Имеется шахматная доска 3×3, в верхних двух углах стоят два чёрных коня, в нижних – два белых (рисунок ниже). За 16 ходов поставьте белых коней на место чёрных, а чёрных на место белых и докажите, что за меньшее число ходов это сделать невозможно.
Решение: Развернув граф возможных ходов коней в круг, получим, что в начале кони стояли так, как на рисунке ниже. А в конце кони должны поменяться местами, при этом каждый конь должен сделать 4 хода, а меньшим числом ходов обойтись не удастся, т. к. кони не могут перепрыгивать через друг друга.
Тогда, передвигая коней в графе, каждый раз перемещая всех коней, как показано на рисунках 1-4, мы получим за 16 ходов белых коней на месте чёрных, а чёрных на месте белых (рис.5). (приложение 2, рис.6)
Примеры задач, решаемых методом графов в приложении 3.
Перейти к разделу 2.3. Генеалогическое древо – один из способов применения теории графов
4. Решение задач с помощью графов. Мерзляк (угл.)
Онлайн. Глава 1. Линейное уравнение с одной переменной. § 4. Решение задач с помощью графов. Упражнения №№ 4.1 — 4.14. Итоги главы 1. Мерзляк, Поляков: Алгебра. Углубленный уровень: 7 класс. Учебник — М.: Вентана-Граф (Российский учебник). Электронная ознакомительная версия для покупки пособия. Цитаты из книги использованы в учебных целях.
Алгебра 7 класс Мерзляк, Поляков (угл.изуч.)
Предыдущая тема ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая тема
§ 4. Решение задач с помощью графов.
Вы хорошо знаете, что составление уравнений — это не единственный способ решения текстовых задач. Также эффективным приёмом является «решение задач по действиям», т. е. арифметическим способом, когда в определённой последовательности находят значения числовых выражений и в конечном итоге получают ответ. Здесь переводом задачи из реальной жизни на математический язык является запись одного или нескольких числовых выражений.
Заметим, что в начальной школе именно с этого способа вы начали знакомство с методами решения текстовых задач.
Методы решения задач, представляющие реальные ситуации, разнообразны и далеко не исчерпываются моделями в виде числовых выражений или уравнений. Изучая математику, вы будете расширять список соответствующих моделей. Сейчас познакомимся с методом, применение которого основано на построении математической модели в виде геометрической фигуры. Заметим, что вы уже использовали элементы этого приёма, когда в задачах на движение строили различные схемы: движения в одном направлении, в противоположных направлениях, навстречу друг другу и т. п.
ПРИМЕР 1. В регионе есть пять городов. Можно ли эти города связать дорогами так, чтобы из каждого города выходили: 1) четыре дороги; 2) три дороги?
Решение. Построим схему, на которой города будут изображены точками А, В, С, D и Е. Дорогу, соединяющую два города, будем изображать в виде отрезка. Например, на рисунке 4.1 показана кольцевая схема дорог.
1) Задача сводится к тому, чтобы выяснить, можно ли пять точек плоскости соединить отрезками так, чтобы из каждой точки выходили четыре отрезка. На рисунке 4.2 показано, как это сделать.
2) Предположим, что такая схема возможна. Подсчитаем, сколько отрезков будет на этой схеме. Имеем: 5*3 = 15 (отрезков). Однако при таком подсчёте каждый отрезок был учтён дважды. Получается, что количество отрезков равно 15/2. Это число не является целым. Получили противоречие.
Ответ: 1) да; 2) нет. ■
В повседневной жизни нам нередко приходится пользоваться рисунками, состоящими из точек, некоторые из которых соединены линиями. Например, на рисунке 4.3 изображена схема метрополитена Санкт–Петербурга.
Такие рисунки называют графами. Точки на рисунке называют вершинами графа, а соединяющие их линии — рёбрами графа.
На рисунке 4.4 приведены ещё несколько примеров графов.
Вооружившись фантазией, можно представить, что эти рисунки иллюстрируют схемы автомобильных дорог, план городка аттракционов и даже отношения между людьми, например такие как дружба.
Любопытно, что рисунки такого вида и дворянский титул имеют одинаковое название — граф. Это слово произошло от латинского grafito — пишу.
Графами удобно пользоваться тогда, когда хотят описать связь между объектами, событиями или процессами. Проиллюстрируем сказанное на примере решения следующей задачи.
ПРИМЕР 2. Существует ли компания из 16 человек, в которой каждый дружит ровно с 6 другими людьми из этой компании?
Решение. Нарисуем 16 точек так, как показано на рисунке 4.5. Эти точки изображают 16 человек данной компании. Возьмём произвольную точку и соединим её со всеми точками, находящимися с ней на одной горизонтали или вертикали. Получили 6 рёбер графа, которые соответствуют дружеским связям. Так можно поступить с каждой из 16 точек.
Ответ: существует. ■
Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называют степенью этой вершины. Например, степень каждой вершины, изображённой на рисунке 4.1, равна 2.
Заметим, что решение задачи 2 из примера 1 свелось к выяснению вопроса: существует ли пятивершинный граф, степень каждой вершины которого равна 3? Ответ на этот вопрос оказался отрицательным. На самом деле имеет место более общий факт: в любом графе количество вершин, степень которых нечётная, является чётным числом. Он следует из того, что сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству его рёбер, а следовательно, является чётным числом.
При проектировании системы транспортных маршрутов важнейшим требованием является возможность попасть из любого населённого пункта в любой другой. На языке теории графов это означает, что соответствующий граф должен обладать таким свойством: любые две вершины графа соединены некоторым путём, т. е. последовательностью рёбер, каждое следующее из которых начинается в конце предыдущего. Граф, обладающий описанным свойством, называют связным.
На рисунке 4.6 изображён связный граф, а граф, изображённый на рисунке 4.7, связным не является.
ПРИМЕР 3. В некотором регионе 9 городов. Из каждого города выходят 4 дороги, связывающие его с четырьмя городами этого региона. Докажите, что из любого города можно проехать в любой другой город.
Решение. Предположим, что не существует пути, соединяющего города А и В. Каждый их этих двух городов соединён с четырьмя другими (отличными от А и В).
Если город А и город В соединены с одним и тем же городом, это означает, что существует путь, соединяющий города А и В. Следовательно, чтобы такого пути не существовало, все 8 городов, с которыми соединены города А и В, должны быть различными. Добавив к ним города А и В, получаем, что количество городов в данном регионе не меньше 10, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно. ■
Рассмотренный пример иллюстрирует следующий общий факт: если граф имеет n вершин и степень каждой вершины не меньше, чем (n — 1)/2, то такой граф является связным.
Воспользовавшись идеей решения задачи из примера 3, докажите этот факт самостоятельно.
ИТОГИ ГЛАВЫ 1.
Предыдущая тема ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая тема
Ознакомительная версия для принятия решения о покупке книги: Мерзляк, Поляков: Алгебра. Углубленный уровень: 7 класс. Учебник — М.: Вентана-Граф, 2019 (Российский учебник). 4. Решение задач с помощью графов.
Граф. Решение задач с помощью графа, 6 класс
Назарбаев Интеллектуальная школа физико- математического направления
г. Кокшетау Акмолинская область
Конспект урока по информатике
в 6 классе
«Граф.
Решение задач с помощью графа».
Подготовила учитель информатики
Нурмуханова Асель Сериковна
Кокшетау
2011
Тема урока: Граф. Решение задач с помощью графа.
Цель урока: Составить представление об организации информации в виде дерева (графа). Освоить понятие граф. Научиться решать задачи с помощью графов.
Знание
Ученик знает назначение графов
Понимание
Умеет приводить примеры использования графов в различных учебных предметах (химия, информатика, биология, геометрия и др. ) и повседневной жизни.
Применение
Умеет записывать арифметические выражения в виде графов, отражать информацию в виде семантической сети, изображать классификации различных объектов в виде дерева
Анализ
Умеет из множества предметов вычленить объекты, обозначить связи между ними.
Оборудование: компьютер, таблицы, карточки. Длительность урока:40 мин
План урока
I этап – Орг.момент(3 мин)
II этап –Новая тема. Понятие графа.(8 мин)
Графы являются существенным элементом математических моделей в самых разнообразных областях науки и практики. Они помогают наглядно представить взаимоотношения между объектами или событиями в сложных системах. Многие алгоритмические задачи дискретной математики могут быть сформулированы как задачи, так или иначе связанные с графами, например задачи, в которых требуется выяснить какие-либо особенности устройства графа, или найти в графе часть, удовлетворяющую некоторым требованиям, или построить граф с заданными свойствами.
Легко найти примеры графов в самых разных областях науки и практики. Сеть дорог, трубопроводов, электрическая цепь, структурная формула химического соединения, блок-схема программы
Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту. Многие математические доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если пользоваться графами. Для решения логических задач удобно использовать графы.
Графы – это рисунки, которые состоят из точек и линий, соединяющих эти точки.
Каждая пара точек в графе может быть соединена линиями. Линия указывает на связь между двумя точками.
Точки называются вершинами графа, а линиями рёбрами.
Ребро может иметь направление, которое указывается стрелочкой.
У графа обязательно есть вершины.
Граф без рёбер называется пустым.
Примеры различных графов приведены на рисунке.
Дерево (граф) – это способ организации информации об отношениях между объектами.
Слово «дерево» в теории графов означает граф, в котором нет циклов, то есть в котором нельзя из некоторой вершины пройти по нескольким различным ребрам и вернуться в ту же вершину.
Первая работа по теории графов принадлежит Леонардо Эйлеру (1736г).
Термин граф впервые ввёл 1936г Венгерский математик Денеш Кениг. Графами были названы схемы состоящие из точек и соединяющие эти точки отрезков прямых или кривых.
С помощью графов часто упрощалось решение задач, сформулированных в разных областях знаний: в автоматике , электронике, физике, химии.
С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов, тепло и электро сетей.
Графы в которых не построены все возможные рёбра называется не полными графами.
IIIэтап. Представление информации в виде дерева. (2 мин)
Особым видом графа является дерево. Данная форма модели применяется тогда, когда элементы моделируемого объекта находятся в состоянии какого-либо подчинения и соподчинения, когда есть отношение иерархичности. Модель управления предприятием (школой, театральным коллективом и т. д.) очень удобно представлять в виде дерева.
Описать граф- это значит, ответить на вопросы:
Сколько вершин?
Есть рёбра?
Есть направление?
Все ли вершины соединены рёбрами?
На каких школьных предметах вы встречались с графами, приведите примеры?
Учитель приводит несколько примеров. Вам хорошо известно понятие «родословное дерево» и вы можете изобразить в такой форме ваши родственные отношения. Каталог файлов на диске, также как и библиотечный каталог — примеры информационных моделей в форме дерева.
IV этап.Заполнение схемы. Применение графа. (3мин)
V этап. Применение знаний и закрепление изученного. (15 мин)
Рассмотрим одну из простейших задач: «Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?»
Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф (1).
Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в каждой коробке может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные. Получается граф (2) дающий решение задачи.
Задача1: Алия решила маме на день рождения подарить букет цветов (розы, тюльпаны или гвоздики) и поставить из или в вазу или в кувшин.
А связи между ними -линиями между точками (рёбра графа)
По рисунку видно, что таких сопопбов — 6
* розы * тюльпан *гвоздики
* ваза *кувшин
Задача2. Ранним утром Миша Маша, Асем обменялись приветствиями каждый с каждым. Сколько всего было приветствий. Решите задачу с помощью графа. Нарисуй граф в рабочей тетради.
Задача3. Шесть футбольных команд должны сыграть матчи, каждая с каждой. Уже сыграли матчи.
А с В, Г,Е Г с А,Д,Е
Б с В,Д,Е Д с Б,Г,Е
В с А,Б Е с А,Б,Г,Д
Сколько матчей сыграно и сколько осталось сыграть.
Задача4. Мадии утром собрался в школу, но по пути он должен зайти в аптеку за лекарствами. Сколькими способами он может это сделать.
Задача5. В квартирах №1,2,3 жили три друга: Айдар, Тима и Саша. Известно, что в квартирах №1 и 2 жил не Айдар. Тима жил не в квартире №1. В какой квартире жил каждый из друзей.
Ответ:
Айдар
Тима
Саша
№1
—
—
+
№2
—
+
—
№3
+
—
—
Задача6. Арман, Мадии, Тимур, Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. Когда их спросили о распределений мест, они дали три ответа: Сергей – первый, Мади– второй, Сергей -второй, Арман – третий, Тимур – второй, Арман – четвертый. Известно, что в каждом ответе только одно утверждение верно. Как распределились места?
Ответ: С-1 Т-2 А -3 М-4.
Задача7. Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
Решение: Решим задачу с помощью полного графа с четырьмя вершинами А, Б, В, Г, обозначенными по первым буквам имен каждого из мальчиков. В полном графе проводятся всевозможные ребра.
В данном случае отрезки-ребра обозначают сыгранные шахматные партии. Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и партий было сыграно 6.
Задача8.Из города А в город Б ведут две дороги, из города Б в городок В -тоже две дороги и из города А в город В – тоже две дороги. Нарисуй схему и сосчитай все возможные пути из города А в город В. Ответ: 6 партий .
Задача9. Андрей, Борис, Виктор и Григорий после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый мальчик подарил каждому из своих друзей по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?
Решение. Iспособ. С помощью стрелок на ребрах полного графа с вершинами А, Б, В и Г показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, стрелок в 2 раза больше, чем ребер, т.е. 6*2 = 12. Столько же было подарено и фотографий.
IIспособ. Каждый из четверых мальчиков подарил друзьям 3 фотографии, следовательно, всего было роздано 3 • 4 = 12 фотографий.
О т в е т: 12 фотографий.
VIэтап. Рефлексия. (5 мин)
«Почему понятие графа изучается в школьном курсе информатики?»
Дополнительные вопросы:
Нужно ли на уроках информатики знакомиться с понятием графа и учиться строить их?
Как вы считаете, с какой целью было введено понятие графа в школьный курс информатики?
Какие качества личности позволяет развить умение строить графы?
Попробуйте сделать вывод о значении информатики и графов в частности для остальных учебных предметов. Информатика дает инструмент для познания любой научной дисциплины.
VII этап. Домашнее задание: Дополнить схему примерами применения графов. (1 мин)
VIII этап. Итог урока. Выставление оценок. (1 мин)
Список литературы:
1. Нагибин Ф.Ф. Применение графов для решения логических задач.
// Математика в школе. — 1964. — № 3.
2. Шедивы Я. Решение логических задач при помощи графов.
4. Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для VII—VIII классов средней школы.
// Математика в школе. — 2002. — № 4.
Тема: «Графы и решение логических задач».
Тема: «Графы и решение логических задач».
Посельский Борис учеником 8 «в» класса МБОУ «Нижнесаянтуйская СОШ»
Научный руководитель:
Кожемякина Ирина Семеновна
учитель математики
МБОУ «Нижнесаянтуйская СОШ»
2018г
Оглавление.
1. Введение
2. Глава 1.Теория графов
2.1. История возникновения графов
2.2. Задача о кёнигсбергских мостах
2.3.Граф и его элементы
2.4. Степени вершин и подсчет числа ребер
2.4. Эйлеровы графы
3. Глава 2. Решение задач с помощью графов
4. Заключение
5. Список литературы
Введение.
На занятиях математического кружка в 5 классе при решении логических задач, мне понравился метод решения задач с помощью построения графов, и захотелось как можно больше узнать о графах, поэтому я и начал заниматься исследовательской работой по данной теме. Графы заинтересовали меня своей возможностью помогать в решении различных головоломок, математических и логических задач.
Предмет моего исследования: графы
Объект исследования: логические задачи, решаемые с помощью построения графов
Актуальность исследования: актуальность моей работы обусловлена большим интересом к теме данного исследования по математике. Кроме этого, выбранная мною тема актуальна, так как в последнее время теория графов стала простым, доступным и мощным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу проблем.
Цели моего исследования:
Выяснить особенности применения теории графов при решении логических задач и в практической деятельности.
Задачи исследования:
познакомиться с историей возникновения графов;
познакомиться с основными понятиями графа, видами, элементами;
рассмотреть решение логических задач с помощью графов;
Гипотеза:
Можно предположить, что решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту.
Глава 1. ТЕОРИЯ ГРАФОВ
1.История возникновения теории графов.
Начало теории графов все единодушно относят к 1736 г., когда Леонард Эйлер — один из крупнейших математиков XVIII, члена Петербургской академии наук, не только решил популярную в то время задачу о кёнигсбергских мостах, но и
нашел критерий существования в графе специального маршрута, который сегодня называют эйлеровым циклом.
Однако эти результаты Эйлера более ста лет являлись, по сути, единственным достижением математической дисциплины, которую позднее назовут теорией графов. Лишь в середине XIX века инженер-электрик Г. Кирхгоф разработал
теорию графов, называемых деревьями, для исследования
Рис. 4 Портрет Леонарда Эйлера. электрических цепей, а математик А. Кэли в связи с
описанием строения углеводородов решил перечислительные задачи для трех видов
деревьев.
Термин «Графы» ввёл в язык немецкий математик Д. Кёниг. Он первым предложил называть такие схемы «графами». Термин «граф» (от латинского слова «графио» — пишу) приобрел права гражданства и вошел в математический язык в 1936 году, после выхода в свет монографии Кёнига, в которой впервые графы рассматриваются как самостоятельные математические объекты независимо от их конкретного содержания.
2. Задача о кёнигсбергских мостах.
Проблема семи мостов Кёнигсберга или Задача о кёнигсбергских мостах — старинная математическая задача, в которой спрашивалось, как можно пройти по всем семи мостам Кёнигсберга, не проходя ни по одному из них дважды. Издавна жители Кёнигсберга пытались пройти по всем мостам через реку Преголя, не проходя ни по одному из них дважды. Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок.
Впрочем, доказать или опровергнуть возможность существования такого маршрута никто не мог.
Задача о семи мостах заинтересовала Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым, легко определить, можно ли пройти по всем кёнигсбергским мостам, не проходя дважды ни по одному из них. Его ответ был — «нельзя».
Читая письмо Эйлера выясним, какое же правило он нашел:
«Вопрос состоит, писал Эйлер, в том, чтобы определить, можно ли обойти все эти семь мостов, проходя через каждый только однажды, или нельзя. Мое правило приводит к следующему решению этого вопроса. Прежде всего, нужно смотреть, сколько есть участков, разделенных водой, — таких, у которых нет другого перехода с одного на другой, кроме как через мост. В данном примере таких участков четыре — A, B, C, D.»
Эйлеровский ход решения задачи я представлю в виде графа, где вершины — острова и берега, а ребра — мосты. Рис. 1
Построим граф без посторонних линий. Рис. 2
Читаем письмо Эйлера дальше: «Далее нужно различать, является ли число мостов, ведущих к этим отдельным участкам, четным или нечетным. Так, в нашем случае к участку A ведут пять мостов, а к остальным — по три моста. То есть нам нужно определить степень каждой вершины, и узнать какие вершины четные, а какие нечетные. Подпишем степени вершин в кружочках. И посчитаем количество нечетных вершин. Нечетные вершины: А, B, C, D.
Покажу это на графе — Рис. 3.
Читаем письмо: «Когда это определено, применяем следующее правило: если все вершины имеют четную степень, то тогда обход, о котором идет речь, возможен, и начать этот обход можно с любого участка. Если же из этих вершин две нечетные, то и тогда можно совершить переход, как это предписано, но только начало обхода непременно должно быть взято в одной из этих двух вершин, а конец обхода непременно должен быть во второй нечетной вершине. Если, наконец, больше двух нечетных вершин, то тогда такое движение вообще невозможно. ..».
Итак, используя правило Леонардо Эйлера мы можем сделать вывод: так как количество нечетных вершин в графе равно 4, а это > 2, то обойти все кенигсбергские мосты, проходя только один раз через каждый из этих мостов нельзя.
В своей работе Эйлер доказал общее утверждение, для решения каждой подобной задачи о мостах — для того, чтобы можно было обойти все рёбра графа по одному разу и вернуться в исходную вершину, необходимо и достаточно выполнение двух условий:
Из любой вершины графа должен существовать путь по его рёбрам в любую другую вершину.
Из каждой вершины должно выходить чётное количество рёбер.
3. Граф и его элементы.
Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. С дворянским титулом «граф» их связывает общее происхождение от латинского слова «графио» — пишу.
В математике определение графа дается так:
Графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами.
Абсолютно неважно, какой вид имеют эти линии, и как точки расположены в пространстве. Идея графа — это набор каких-то объектов, с описанными связями между ними. В самом простом случае связь может быть, а может не быть. Приведу пример. Допустим, мы имеем группу людей. Это будут точки в графе. Мы можем описать связи между этими людьми. Например, связь — «знакомства». Если два человека знают друг друга, то между ними есть связь. На рисунке такого графа связь между ними будет обозначена линией от одного человека к другому. Вот как выглядит такой рисунок (граф):
По рисунку (графу) видно, что с Мариной никто не знаком, а Саша знаком с Олегом, Катей и Леной.
В графе точки называются вершинами графа, а соединяющие их линии (дуги) – рёбрами. Смотрим Рис. 1.
Схема графа, состоящая из «изолированных» вершин, называется нулевым графом. (рис.2)
Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются неполными графами. (рис.3)
Графы, в которых построены все возможные ребра, называются полными графами. (рис.4)
Если на ребрах графа нанесены стрелочки, указывающие направление ребер, то такой граф называют направленным.
4. Степени вершин и подсчет числа ребер.
Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной.
Если степени всех вершин графа равны, то граф называется однородным. Таким образом, любой полный граф — однородный.
рис.5
На рисунке 5 изображен граф с пятью вершинами. Степень вершины А обозначим Ст.А. На рисунке: Ст.А = 1, Ст.Б = 2, Ст.В = 3, Ст. Г= 2, Ст. Д= 0.
Сформулируем некоторые закономерности, присущие определенным графам.
Закономерность 1.
Степени вершин полного графа одинаковы, и каждая из них на 1 меньше числа вершин этого графа.
Закономерность 2.
Сумма степеней вершин графа число четное, равное удвоенному числу ребер графа.
Эта закономерность справедлива не только для полного, но и для любого графа.
Теорема .
Число нечетных вершин любого графа четно.
Если полный граф имеет n вершин, то количество ребер будет равно .
Действительно, количество ребер в полном графе с n-вершинами определяется как число неупорядоченных пар, составленных из всех n-точек-ребер графа, т. е. как число
сочетаний из n по 2. Граф, не являющийся полным, можно дополнить до полного с теми же вершинами, добавив недостающие ребра. Так, например, на рисунке 3 изображен неполный граф с пятью вершинами. На рисунке 4 ребра превращающие граф в полный граф изображены другим цветом, совокупность вершин графа с этими ребрами называется дополнением графа.
5. Эйлеровы графы.
Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, называется эйлеровым. (рис.6) Такими графы названы в честь учёного Леонарда Эйлера.
Закономерность 3 (вытекает из рассмотренной нами теоремы). Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин. Закономерность 4.
Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине. Закономерность 5.
Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.
Закономерность 6.
Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком». Фигура (граф), которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, называется уникурсальной.
рис.6 (Эйлеровы графы)
Глава 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ.
Графы часто используют для решения логических проблем, связанных с перебором вариантов.
Задача 1. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?
Молоко
Лимонад
Квас
Вода
Бутылка
—
+
—
—
Стакан
—
—
—
+
Кувшин
+
—
—
—
Банка
—
—
+
—
Ответ: в кувшине-молоко, в банке-квас, в стакане-вода, в бутылке-лимонад
Эту же задачу можно решить с помощью графов.
Соединим пунктирными ребрами те вершины, которые не могут быть связаны друг с другом.
Тогда получаем:
В бутылке – квас или лимонад, так как в банке только квас, значит в бутылке – лимонад;
В кувшине – молоко или вода, так как в стакане не молоко, значит – вода, а кувшине тогда молоко.
Ответ: в кувшине-молоко, в банке-квас, в стакане-вода, в бутылке-лимонад
Решение задачи в графах.
Задача 2. На международном конгрессе встретились четверо ученых: физик, историк, биолог и математик. Национальности их различны и, хотя каждый из ученых владеет двумя языками их четырех (русский, английский, французский и итальянский), нет такого языка, на котором они могут разговаривать вчетвером. Есть язык, на котором они могут разговаривать сразу трое, – итальянский. Никто из ученых не владеет французским и русским языками одновременно. Хотя физик не говорит по-английски, но может быть переводчиком, если биолог и историк захотят поговорить друг с другом. Историк может говорить с математиком по-французски. Физик, биолог и математик не могут беседовать втроем на одном языке. Какими двумя языками владеет биолог (укажите названия языков в именительном падеже через пробел).
Решение: Соединим пунктирными ребрами те вершины, которые не могут быть связаны друг с другом.
Ответ: русский английский
Задача 3. Однажды мама, в магазине купила разную приправу: красный перец, коричневый имбирь, зелёную петрушку и белую горчицу. Придя домой, она разложила всё это в баночки для специй. Я знаю, что у нас дома каждая специя лежит в своей баночке и цвет банки не соответствует свету специй. Так же известно, что зеленая петрушка лежит в коричневой банке, а красный перец не лежит в белой баночке. Мне для приготовления плова нужно узнать: «В какой банке лежит каждая специя?»
Решение: Обозначим точками специи и баночки. Сплошная линия будет обозначать, что специя лежит в соответствующей баночке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф G1,
Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в баночке может лежать только одна специя, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные. Получается граф G2 — решение задачи.
Ответ: Красный перец лежит в зелёной банке, имбирь лежит в белой банке, зелёная петрушка – в коричневой, а белая горчица лежит в красной баночке.
Задача 4. Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.
Ответ: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222.
Задача 4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2,4,6,8, если цифры в записи числа не повторяются?
Решение: первой цифрой может быть одна из четырех данных цифр, вторая любая из трех, а третья – любая из двух оставшихся, получается:
Всего можно составить 4*3*2= 24 трехзначных числа.
К топологическим относятся и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком. В данных задачах требуется начертить какую-либо фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной и той же линии.
Задача 5.
Рис.1 Рис. 2
На рисунке 1 пять вершин, причем три из них – четные ( 1,2 и 3), а два нечетных (4 и 5). Эту фигуру можно начертить одним росчерком. Основываемся при решении на
Закономерность 5.
Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.
А вот домик с дверью рис.2 – это уже другая фигура, содержит 9 вершин, 5 из которых четные, а 4 – нечетные. Если в фигуре на графе больше двух нечетных вершин, то ее нельзя начертить одним росчерком!
Задача 6. Можно ли нарисовать графы изображенные на рисунках, не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз?
Решение:
Можно, т. к. только 2 нечетные вершины.
Нельзя, т. к. 4 нечетные вершины.
Задача 7. Мальчики 10 б класса Андрей, Витя, Сережа, Валера, Дима при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?
Решение: Пусть каждому из пяти молодых людей соответствует определенная точка на плоскости, названная первой буквой его имени, а производимому рукопожатию — отрезок или часть кривой, соединяющая конкретные точки — имена.
Если подсчитать число ребер графа, изображенного на рисунке справа, то это число и будет равно количеству совершенных рукопожатий между пятью молодыми людьми.
Их 10. Ответ: 10.
Задача 8. В трех различных домах живут три поссорившиеся между собой соседа. Недалеко от их домов имеются три колодца. Можно ли от каждого дома проложить к каждому из колодцев тропинку так, чтобы никакие две из них не пересекались?
Решение:
Построим граф, вершины которого, А, Б, В, 1, 2, 3 соответствуют домам и колодцам условия задачи, и попробуем доказать, что девятую тропинку — ребро графа, не пересекающее остальные ребра, провести нельзя.
Проведенные в графе на рисунке ребра А1, А2, A3 и В1,В2, ВЗ (соответствующие тропинкам от домов А и В ко всем колодцам). Построенный граф разбил плоскость на три области: X, У, Z. Вершина Б, в зависимости от ее расположения на плоскости, попадает в одну из этих трех областей. Если вы рассмотрите каждый из трех случаев «попадания» вершины Б в одну из областей X, Y или Z, то убедитесь, что всякий раз одна из вершин графа 1, 2 или 3 (один из колодцев) будет «недоступной» для вершины Б (т. е. нельзя будет провести одно из ребер Б1, Б2 или Б3. которое не пересекло бы уже имеющихся в графе ребер).
Задача 9. Дан кусок проволоки, длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см?
Решение:
Если куб – граф, тогда он имеет более двух нечетных вершин (8). Значит, невозможно изготовить такой каркас, не ломая проволоки.
Задача 10. Можно ли обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проходя по одной линии дважды, правильный пятиугольник с диагоналями?
Решение:
Если пятиугольник – граф и все вершины его четные – то это выполнить
ЗАКЛЮЧЕНИЕ:
Выделяя из словесных рассуждений главное — объекты и отношения между ними, графы представляют изучаемые факты в наглядной форме. Приёмы решения логических задач с использованием графов подкупают своей естественностью и простотой, избавляют от лишних рассуждений, во многих случаях сокращающих нагрузку на память.
С одной стороны, графы помогают проследить все логические возможности изучаемой ситуации, с другой, благодаря своей обозримости, помогают тут же, в ходе решения задачи, классифицировать логические возможности, отбрасывать неподходящие случаи, не доводя до полного перебора всех случаев. Что подтверждает нашу гипотезу.
Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся разделом дискретной математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей описываются многие объекты и ситуации: коммуникационные сети, схемы электрических и электронных приборов, химические молекулы, отношения между людьми и многое другое. В последнее время теория графов находит всё больше применений и в прикладных вопросах.
Графы используются при составлении карт и генеалогических древ. С помощью графов удобно и наглядно изображается информация о разных объектах и отношениях между ними. В дальнейшем хочу составить генеалогическое древо своей семьи.
Графовые задачи обладают рядом достоинств, позволяющих их использовать для развития воображения и улучшения логического мышления, применимы в решении многих геометрических задач. Графовые задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Весёлые задачи, Я. И. Перельман, Москва, 2003г
2. Графы и их применение, О. Оре, Москва, 1979г
3. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы, С. А. Генкин, И. В. Итенберг, Киров, 1994г
4. Математика (Дополнительные главы). Е. В. Смыкалова Санкт-Петербург СМИО Пресс 2006
5 Математическая смекалка, Е. И. Игнатьев, Москва 1994г.
6. Сборник олимпиадных задач по математике, В. Г. Горбачев, 2004г.
7. Физико-математический журнал «Квант», А. Савин, №6 1994г.
8. Наглядная геометрия И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева М, дрофа, 2000г.
Построение графов. Решение задач c использованием графов — FINDOUT.SU
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Имя
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно — исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое
Нажимая кнопку «Продолжить», я принимаю политику конфиденциальности
Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь строить графы, записывать матрицы, решать задачи.
Пояснения к работе
Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.
При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.
В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар
(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w).
Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф.
G = ( V, X)
Псевдограф без петель называется мультиграфом.
Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.
Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.
Графу соответствует геометрическая конфигурация. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра – линиями, соединяющими соответствующие вершины.
Определение. Если х = {v, w} – ребро графа, то вершины v, w называются концами ребра х.
Если х = ( v, w) – дуга орграфа, то вершина v – начало, а вершина w – конец дуги х.
Определение. Вершины v, w графа G = (V, X) называются смежными, если {v, w}ÎX. Два ребра называются смежными, если они имеют общюю вершину.
Определение. Степенью вершины графа называется число ребер, которым эта вершина принадлежит. Вершина называется изолированной, если ее степень равна единице и висячей, если ее степень равна нулю.
Определение.Графы G1(V1, X1) и G2(V2, X2) называются изоморфмными, если существует взаимно однозначное отображение j: V1 ® V2, сохраняющее смежность.
Определение. Маршрутом (путем) для графа G(V, X) называется последовательность v1x1v2x2v3…xkvk+1. Маршрут называется замкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Число ребер (дуг) маршрута (пути) графа называется длиной маршрута (пути).
Определение. Незамкнутый маршрут (путь) называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называется простой цепью.
Определение. Замкнутый маршрут (путь) называется циклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называется простым циклом.
Матрицы графов.
Пусть D = (V, X) – орграф, где V = {v1, …, vn}, X = {x1, … , xm}.
Определение. Матрицей смежности орграфа D называется квадратичная матрица A(D) = [aij] порядка п, у которой
Определение. Если вершина v является концом ребра х, то говорят, что v и х – инциндентны.
Определение. Матрицей инциндентности оргафа D называется матрица размерности п´т B(D) = [bij], у которой
Пример. Записать матрицы смежности и инцидентности для графа, изображенного на рисунке.
x1
v1 x4 v2
x2
x3
v3
Составим матрицу смежности:
v1
v2
v3
v1
0
1
0
v2
1
0
1
v3
1
0
0
Т. е. — матрица смежности.
Матрица инциндентности:
x1
x2
x3
x4
v1
-1
0
1
1
v2
1
-1
0
-1
v3
0
1
-1
0
Т.е.
Если граф имеет кратные дуги (ребра), то в матрице смежности принимается aij= k, где k – кратность дуги (ребра).
С помощью матриц смежности и инциндентности всегда можно полностью определить граф и все его компоненты. Такой метод задания графов очень удобен для обработки данных на ЭВМ.
Пример. Задана симметрическая матрица Q неотрицательных чисел. Нарисовать на плоскости граф G(V, X), имеющий заданную матицу Q своей матрицей смежности. Найти матрицу инциндентности R графа G. Нарисовать также орграф , имеющий матрицу смежности Q, определить его матрицу инциндентности С.
x4
x3
v2
x2 x5
x6
x1 v1 v3 x7 x8
x10
x11 x9
v4
Составим матрицу инциндентности:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
v1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
v2
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
v3
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
v4
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
Итого:
Построим теперь ориентированный граф с заданной матрицей смежности.
x4
x5
v2
x2 x7
х3 x6
x1 v1 х8 v3 x10 x11
х9
х17 х15 x14
x16 х13 x12
v4
Составим матрицу инциндентности для ориетированного графа.
Элемент матрицы равен 1, если точка является концом дуги, -1 – если началом дуги, если дуга является петлей, элемент матрицы запишем как ±1.
Таким образом, операции с графами можно свести к операциям с их матрицами.
Задание
Вариант 1.
Задача1.Ориентированный граф с множеством вершин задан списком дуг .
Построить реализацию графа . Построить матрицу смежности и матрицу инцидентности графа . Укажите степени вершин графа.
Задача 2. Решите задачу, решение представьте в виде графа: из 9 монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету?
Вариант 2.
Задача1.Ориентированный граф с множеством вершин задан списком дуг .
Построить реализацию графа . Построить матрицу смежности и матрицу инцидентности графа . Укажите степени вершин графа.
Задача2. Решите задачу, решение представьте в виде графа: из 27 монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету?
Вариант 3.
Задача1.Ориентированный граф с множеством вершин задан списком дуг .
Построить реализацию графа . Построить матрицу смежности и матрицу инцидентности графа . Укажите степени вершин графа.
Задача 3. Решите задачу, решение представьте в виде графа: из 18 монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету?
Вариант 4.
Задача1.Ориентированный граф с множеством вершин задан списком дуг .
Построить реализацию графа . Построить матрицу смежности и матрицу инцидентности графа . Укажите степени вершин графа.
Задача 2. Решите задачу, решение представьте в виде графа: из 12 монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету?
Вариант 5.
Задача1.Ориентированный граф с множеством вершин задан списком дуг .
Построить реализацию графа . Построить матрицу смежности и матрицу инцидентности графа . Укажите степени вершин графа.
Задача 2. Решите задачу, решение представьте в виде графа: из 15 монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету?
Вариант 6.
Задача1.Ориентированный граф с множеством вершин задан списком дуг .
Построить реализацию графа . Построить матрицу смежности и матрицу инцидентности графа . Укажите степени вершин графа.
Задача 2. Решите задачу, решение представьте в виде графа: из 21 монеты одна фальшивая (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету?
Содержание отчёта
Отчёт о проделанной работе должен содержать:
— название темы практического занятия;
— цели практического занятия;
— условие задачи;
— подробное решение задачи;
— ответ.
Контрольные вопросы
1. Графы являются «топологическими» или «геометрическими» объектом.
2. Каково соотношение между количествами вершин, рёбер и граней в плоском графе.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа, 2003 – 495с.
3. Турецкий В.Я.Математика и информатика – 3-е издание, Т 86 испр. и доп. – М: ИНФРА – М,
2000 – 560с.
4. Методическая копилка учителя математики www.metod-kopilka.ru
Практическое занятие № 4
20 графических упражнений для детей, которые действительно поднимают планку
Студенты-математики часто спрашивают: «Но когда я буду использовать это в реальной жизни?» Сбор данных и создание карт имеют множество реальных применений, поэтому дети должны понимать эти навыки. Помогите им освоить гистограммы, линейные графики, точечные диаграммы, круговые диаграммы и многое другое с помощью этих веселых и творческих графических заданий!
1.
Составьте одну или две опорные диаграммы.
Якорные диаграммы могут помочь учащимся математики запомнить части диаграммы и способы использования различных типов для демонстрации данных.
Подробнее: Преподавание на высшем уровне
2. Познакомьтесь с графиками с помощью карманной таблицы.
Карманные карты очень удобны! Используйте их для построения графиков занятий, проводя опросы в классе и добавляя ответы учащихся в каждый столбец или строку.
Узнать больше: Класс Мисс Жирафа
3. Перекусить и поработать с угощениями.
Дайте каждому учащемуся несколько петель Froot и попросите их составить график цветов. Они могут перекусить ими, когда они будут готовы!
Узнайте больше: Планирование игрового времени
4. Используйте игрушки, чтобы сделать пиктограмму.
Совершите набег на ящик с игрушками и используйте игрушечные машинки, поезда и все, что у вас есть под рукой, чтобы создавать простые пиктограммы из реальной жизни. Сортировка по цвету, длине, типу, количеству колес… возможности безграничны.
Узнайте больше: Мама Жизнь стала проще
5. Нарисуйте график задачи с бутылкой воды.
Если ваши ученики все еще получают удовольствие от попыток решить задачу с бутылкой с водой, превратите это увлечение в урок построения графиков. Веселье + обучение = круто.
Подробнее: Create Dream Explore
6. Измерьте и начертите свои большие пальцы.
Графические задания, подобные этому, объединяют два математических занятия в одном. Дети работают над своими навыками измерения, а затем графически изображают свои результаты.
Подробнее: Эми Лемонс
7. Прогуляйтесь на природе.
Выйдите на улицу и прогуляйтесь, собирая ветки, камни, цветы и листья. Когда вы вернетесь, создайте график для представления ваших находок.
Узнайте больше: Учеба миссис Джей развлекается
8.
Чаша и график.
Кто не любит математические занятия, которые поднимают детей со стула и сжигают лишнюю энергию? Им понравится играть в боулинг на уроках — купите недорогой набор для боулинга в долларовом магазине или научитесь делать свои собственные по ссылке.
Подробнее: Пораженный первым
9. Подбросьте монетку.
Подбрасывание монеты — это простой способ получения данных для гистограммы. Единственная проблема может заключаться в том, чтобы заставить детей остановиться!
Подробнее: Класс Мисс Жирафа
10. Постройте всплывающую гистограмму.
Насколько крут этот график? Всплывающая гистограмма выводит данные прямо со страницы. Нажмите на ссылку, чтобы узнать, как это делается.
Подробнее: Комната Рунде
11. Нарисуйте графически количество букв в вашем имени.
Вот умный способ показать гистограммы, которые идут горизонтально, а не вертикально. Найдите это и другие упражнения, которые можно использовать с книгой Хризантема по ссылке.
Дополнительные сведения: One Sharp Bunch
12. Цельтесь в цель.
Зацепите мишень для дротиков на липучке в долларовом магазине или сделайте мишень из бумаги и помпонов. Дети будут в восторге, стремясь к цели, чтобы собрать данные, прежде чем они начертят свои выводы.
Подробнее: Эми Лемонс
13. Читайте книги и составляйте таблицы.
Проведите опрос своего класса, чтобы найти их любимые книги, которые вы прочитали в последнее время. Затем составьте график итоговой диаграммы, чтобы увидеть, какой из них наиболее популярен.
Подробнее: Лягушки, феи и планы уроков
14. Следите за погодой.
Некоторые графические действия позволяют легко увидеть связь в реальном мире, и это одно из них. Студенты отслеживают ежедневные температуры и используют их для построения графиков и прогнозов.
Подробнее: Умный учитель
15. Сыграйте в крестики-нолики.
Создание хороших графиков важно, но не менее важно знать, как их читать и интерпретировать данные. В этой бесплатной печатной форме детям предлагается ответить на вопросы, основываясь на информации, представленной в виде простой гистограммы.
Подробнее: Первый класс a la Carte
16. Сосчитайте кегли, чтобы построить круговую диаграмму.
В этом упражнении так много математических навыков! Дети строят круговую диаграмму, используя конфеты, а затем вычисляют правильные дроби и проценты, представленные данными.
Подробнее: Обучение с видом на горы
17. Составьте круговую диаграмму из цветов глаз.
Цвет глаз — еще один интересный способ построить круговую диаграмму, также называемую круговой диаграммой. Объедините это с уроком анатомии глаза, чтобы получить двойной удар!
Подробнее: Детский сад миссис Ли
18.
Распечатывайте графики на стикерах.
Знаете ли вы, что можно печатать на стикерах с помощью простого шаблона? Это меняет жизнь! Используйте этот хак, чтобы делать заметки, которые можно использовать для всех видов графических действий. Получите инструкции здесь.
19. Постройте точечный график с помощью M&Ms.
Старшие учащиеся начальной школы начинают изучать диаграммы рассеяния, которые показывают, как фрагменты данных соответствуют друг другу. Познакомьте их с тем, как они работают с M&M’s.
Подробнее: Математика = Любовь
20. Создайте карту города в координатной плоскости.
Координатные плоскости — самая сложная форма графика, но научиться наносить на них точки проще, чем кажется. Нам нравится это невероятно веселое занятие, которое превращает координатную плоскость в карту города… и детям это тоже понравится.
Подробнее: Для такого времени
У нас так много отличных ресурсов для обучения математике K-5! Проверьте их все здесь.
Кроме того, получите более 65 приложений STEAM для детей и подростков.
Занятия по построению графиков и теории вероятностей Практическое развлечение для детей — гордимся тем, что учимся в начальной школе
Обучение с графическими заданиями — одно из самых увлекательных занятий по математике в году. Попробуйте эти идеи для практических занятий в классе!
Графические упражнения и уроки вероятностей
Детям может быть трудно понять, что такое данные и как их организовать. Например, если вы высыпаете пакет кеглей в кучу и спрашиваете его/ее, сколько там красных кеглей, они, вероятно, не смогут этого сделать. Смысл графика в том, чтобы организовать данные понятным образом. Другими словами, организация данных в виде графика помогает детям легко отвечать на вопросы о данных.
Графики также позволяют детям практиковать свои навыки сортировки и наблюдения, когда они распределяют предметы по группам. В классе вы можете сортировать предметы по цвету, размеру, количеству и другим признакам. В результате молодые учащиеся знакомятся с сортировкой информации и ее графическим отображением. Самое главное, они развивают математические навыки, которые они будут использовать на протяжении всей своей жизни!
Дети также могут многое узнать о том, как вероятность проявляется в нашей повседневной жизни. Используя занятия в классе и игры, изучение вероятности становится приятным временем обучения. Понимание приходит легко с идеями, перечисленными здесь!
Типы графиков
Обучайте анализу данных с помощью графических упражнений, и вы просвещаете и поощряете визуальную перспективу чисел. В свою очередь, математика оживает благодаря полезным и применимым в жизни навыкам построения графиков. Будь то раскрашивание гистограммы или создание линейного графика, эти различные графические действия дадут детям инструменты, необходимые им для понимания построения графиков и анализа данных.
Метки для диаграмм — Использование меток и диаграмм — это простой способ познакомить детей с графиками. Дети считают предметы и подсчитывают их, создавая визуальное представление собранных ими данных.
Круговые диаграммы/круговые диаграммы — Они позволяют детям легко понять данные. Начните со сравнения двух вещей на круговой диаграмме, используя два разных цвета для отображения информации. По мере того, как они овладевают этим навыком, они могут сравнивать больше предметов.
Пиктограммы – Картинки стоят тысячи слов. Это, безусловно, относится к пиктограммам. Пиктограммы используют изображения для отображения информации, что делает их отличной отправной точкой для детей.
Линейные графики – Линейные графики позволяют легко отображать и сравнивать большое количество информации одновременно. Это можно сделать с помощью нескольких линий разных цветов, что упрощает сравнение нескольких результатов.
Практические занятия по построению графиков
Рисование графиков может быть очень увлекательным и обычно является любимым разделом года. Используйте практические методы для графического отображения данных. Эти методы удовлетворяют потребности кинестетических и визуальных учащихся. Кроме того, это просто увлекательный способ обучения для всех детей! Эти графические действия могут быть легко выполнены с помощью нескольких основных материалов.
Play Connect Four – Помимо того, что это игра, Connect 4 также может использоваться для графического представления информации. Просто пометьте строки и столбцы соответствующим образом, а затем соедините кусочки, чтобы создать гистограмму!
Sticky Notes — Sticky Notes можно использовать для создания графика на доске. Например, нарисуйте график на доске, а затем попросите детей ответить на вопрос, прикрепив стикер в нужное место.
Lego – кубиков Lego отлично подходят для построения графиков. Дети могут складывать блоки Lego вместе, чтобы создать трехмерную графическую модель.
График человека — Чтобы дети двигались и веселились, создайте график человека! Если вы рисуете цвет рубашек, которые носят дети, попросите детей выстроиться в линию на сетке, приклеенной скотчем к полу. Все дети в белых рубашках выстраиваются в одну колонку, дети в желтых — в следующую и так далее.
Сортировка с помощью Candy — Еще одна альтернатива раскрашиванию графика на листе бумаги — использование сортируемых элементов в качестве манипуляции. Например, при сортировке M&Ms или Skittles по цветам разместите эти элементы на графике, расположив их стопкой в соответствующем столбце. Сортировка также забавна с сортировкой карточек.
Fruit Loops — Fruit Loops, наложенные на шпажки, — это удобный способ построить график по цвету. Чтобы создать график, просто воткните деревянные шпажки в коробку, выровняв их равномерно. Дайте детям горсть фруктовых петель и наденьте их на шпажки по цвету. Чем больше фруктовых петель на шпажке, тем выше она будет, что дает детям отличное представление о том, что такое график.
Coin Flip — Создайте график, подбрасывая монету. При каждом подбрасывании монеты дети могут записывать, выпали ли они орлом или решкой.
Онлайн-игры – Дети любят играть в онлайн-игры. Удобно, что есть много онлайн-игр для построения графиков, например, Fuzz Bugs на ABCya. Найдите игру, подходящую для возраста и уровня навыков класса, а затем организуйте ее в качестве основного занятия для небольшой группы.
Дегустация яблок — Это вкусный способ создать гистограмму! Нарежьте красное, желтое и зеленое яблоко и предложите детям попробовать по кусочку каждого цвета. Затем дети могут проголосовать за свой любимый цвет яблока, создав график класса с данными.
Данные о кубиках — Соберите кубики и пустой график, чтобы сыграть в игру «бросай и рисуй». Чтобы играть, дети бросают кости и отмечают на графике выпавшее число. Они продолжают это, получая больше данных для графика с каждым броском.
Темы для графических занятий
Дети лучше учатся, когда есть личная связь с темой. Другими словами, опрос класса по определенной теме или мнению — это один из способов связать детей с тем, что они изучают. Спросите их, какая у них любимая еда или вид спорта. Выясните, когда у каждого ребенка день рождения или какого цвета рубашка на нем. Используйте эти данные, чтобы создать график вместе, как весь класс. Это поможет представить концепцию таким образом, чтобы они могли понять, а также смоделировать правильный способ сбора информации и отображения ее на графике.
Дни рождения — Создайте диаграмму класса, которая показывает месяц дня рождения каждого ребенка. Это не только познакомит вас с графикой, но и станет отличным способом запомнить и отпраздновать день рождения каждого ребенка.
Любимые цвета – Проведите опрос о любимых цветах и нарисуйте информацию всем классом. Альтернативой этому может быть уже перечисление нескольких цветов, и дети должны решить, какой из этих цветов является их любимым.
Продукты для завтрака — Спросите детей, что они ели на завтрак этим утром, и постройте график с этой информацией. В качестве альтернативы другой график может включать любимые продукты для завтрака.
Домашние животные – Расспросите класс о домашних животных, которые есть у них дома. Один из способов сделать это — выяснить, сколько у них домашних животных, и представить эту информацию в виде графика. Вы также можете просмотреть типы домашних животных, которые у них есть, например, кошек, собак, рыб и т. д.
Краска для волос – Попросите детей встать и собраться в небольшие группы в соответствии с цветом волос. Используйте эту информацию для создания графа классов.
Варианты обеда – Этот опрос можно проводить каждый день. Дети могут перемещать магнит со своим именем на график вариантов обеда. Этот график может включать горячий обед, упакованный ланч, салат-бар или любые другие варианты обеда, доступные в школе.
Занятия/Спорт — Узнайте, какими видами спорта занимаются дети или чем они занимаются, и создайте график для этого.
Вероятностные игры и занятия
Обучение детей теории вероятности включает в себя предоставление им практического опыта, демонстрирующего вероятность в повседневной жизни. Есть несколько забавных игр и занятий, которые вы можете сделать в классе, чтобы дать своим ученикам. Они дают возможность узнать, что такое вероятность, и как использовать это понимание для принятия решений или прогнозирования результатов. Они смогут ответить на такие вопросы, как «Насколько вероятно, что это произойдет?» и «Какова вероятность того, что это произойдет?»
Игры в кости – Существует множество способов использовать кости для обучения вероятности. Попросите учащихся бросить один кубик и узнать вероятность того, что выпадет определенное число. Или вы можете попросить их бросить два кубика, чтобы предсказать вероятность того, что два числа дадут в сумме шесть. Вы, вероятно, можете придумать больше вероятностных игр с костями, которые просты по своей природе, как в этих двух примерах.
Карточные игры – Простые карточные игры могут быть интересным способом поговорить о вероятности. Сыграйте в «Старую деву» и узнайте вероятность получения карты «Старая дева». Сыграйте в игру на совпадение, такую как Speed или Slapjack, и обсудите вероятность выигрышных ходов или получения «дикой» карты и т. д.
Словарная практика – Расскажите о вероятности того, что события произойдут, и используйте вероятностный словарь. Например, пусть дети нарисуют на своих досках линию, один конец которой будет обозначать «верно», а другой — «невозможно». Затем попросите их отметить свои ответы на такие вопросы, как «Насколько вероятно, что завтра нам подадут пиццу в столовой?» или «Какова вероятность того, что завтра будет облачно?» и т. д.
Игры-спиннеры – Используйте круговую диаграмму, разделенную на несколько равных частей и помеченную цветом или номером. Используйте карандаш и скрепку в качестве простого спиннера. Затем попросите учащихся оценить вероятность того, что спиннер приземлится на определенные участки. Попробуйте эти вероятностные игры со спиннерами здесь, чтобы получить больше удовольствия!
Конфеты — Разноцветные конфеты, такие как M&M’s, Skittles, мармеладки — это вкусный способ попрактиковаться в вероятности. Предложите учащимся угадать вероятность того, что они вытащат один цвет из слепого мешка или коробки, и если они верны, они смогут его съесть!
Игры на совпадение – Используйте игральные карты или настоящую настольную игру на совпадение, чтобы обсудить вероятность нахождения совпадения.
Онлайн-игры – Если вы найдете отличную онлайн-игру на вероятность, такую как игра мистера Нуссбаума, это будет плюсом. Дети могут играть на ноутбуках или планшетах в классе и видеть вероятность в действии. Он также проверяет их знания и вознаграждает их немедленными результатами и мотивирующей графикой.
Детские книги по графикам и вероятностям
Чтение книг может помочь детям научиться рисовать графики и анализировать данные. Например, эти книги по анализу данных помогут детям научиться строить графики, знакомя их с различными видами графиков. От круговых диаграмм до гистограмм дети будут изучать анализ данных, отображая информацию в понятной форме.
Лимонад на продажу Стюарт Дж. Мерфи – Продажа лимонада включает в себя много информации… вот почему персонажи этой книги решили создать график! Следуйте за персонажами и узнайте больше о графическом отображении информации в увлекательной и увлекательной форме.
The Great Graph Contest Лорин Лиди – Эта книга знакомит читателей со всеми видами графиков. От гистограмм до диаграмм Венна читатели узнают, как графики могут помочь упорядочить информацию в доступной для понимания форме.
«Тэлли О’Мэлли» Стюарта Дж. Мерфи — Сколько серых машин или зеленых футболок видят эти персонажи по пути на пляж? Ответ легко найти, поскольку персонажи подсчитывают свои ответы, играя в игру, когда они видят, кто может заметить больше всего.
Семейное воссоединение Бонни Бадер – Гэри Графф, главный герой этой книги, должен выполнить графическое задание. Он выполняет свое задание на воссоединении семьи, одновременно узнавая много нового о математике и своей семье.
«Математика тигра: обучение построению графиков у тигренка», Энн Уайтхед Нагда — В этой книге рассказывается о жизни тигренка, который растет в зоопарке. Помимо того, что они больше узнают о тиграх, дети также получат базовые математические навыки построения графиков, включая круговые диаграммы и гистограммы.
Лучшие каникулы на свете Стюарт Дж. Мерфи — Mathstart издает книги, которые помогают обучать таким понятиям, как вероятность, как в этой книге. Используйте его, чтобы помочь учащимся понять концепцию визуального рассказа.
Вероятно, Пенни Лорин Лиди . В этой увлекательной книге о девушке по имени Лиза рассматривается понятие вероятности. Лиза пытается выполнить домашнее задание.
Вероятно, фисташковый, Стюарт Дж. Мерфи – Пополните словарный запас, полезный для понимания вероятностей, с помощью милой истории о персонаже по имени Джек, которому не повезло.
Это возможность Брюса Голдстоуна – Автор учит детей тому, что возможно или невозможно, на примерах.
Облачно, возможны фрикадельки Джуди Барретт — Это любимая история о городе, в котором погода была совсем не нормальной. Еда упала с неба! Детям нравится эта история, в которой также есть элементы случайности и вероятности.
Ресурсы для обучения построению графиков и вероятности
Упражнения, показанные в этом посте, доступны в различных ресурсах, которые можно найти на Teachers Pay Teachers. Нажмите на изображения выше, чтобы перейти к устройству, деятельность которого показана на фотографии. Узнайте, почему учителям нравится программа Mindful Math для детского сада, первого и второго классов.
Детский сад Графический и сортировочный отдел
Первый класс Графический и денежный отдел
Второй класс Анализ данных, графики и вероятностный блок
Что учителя говорят о модулях Mindful Math Graphing Units
«Моим ученикам понравились задания, которые проводились с этим модулем». ~ Кимберли К.
«Это невероятный ресурс. Глубоко и очень увлекательно!» ~ Кейтлин Д.
«Горжусь тем, что являюсь математическими единицами Первоначального общества! Такой всесторонний способ преподавания математики — повышение грамотности, обучение в целых и малых группах, самостоятельная практика, игры, занятия в центре, ведение дневника и многое другое. Замечательно построены и легко различимы». ~ Лия Дж.
БЕСПЛАТНАЯ графика
Получите бесплатную копию настольной игры Grocery Graphing Board Game , нажав на изображение ниже и зарегистрировавшись!
Бесплатные коврики для обзора математики
Вы хотите предоставить своим ученикам ценный обзор по математике? Попробуйте тренировочные листы Math Mat!
Получите бесплатный образец, нажав на изображение ниже.
Графики деятельности и вероятностные классные материалы
Имейте под рукой хорошие ресурсы для обучения построению графиков и анализу данных. Самое главное, использование манипуляций при построении графиков поможет сделать обучение более значимым для детей. В дополнение к кубикам и счетным медведям, наличие карманных диаграмм и графических ковриков также поможет детям сортировать данные вместе, когда они графически изображают то, что они изучают. Настройте различные графические занятия для учебных центров, предоставив детям множество различных способов практиковаться в построении графиков. В этих уроках построения графиков и сортировки есть все необходимое для этого.
Карманная диаграмма с двумя или тремя колонками упрощает создание диаграммы как целого класса. Покажите график в классе, чтобы дети лучше познакомились с концепциями построения графиков.
Возьмите несколько счетчиков медведей и листы активности медведей, чтобы повеселиться. Дети получат массу практических навыков построения графиков, выполняя каждую карточку с заданием.
График и отображение дней рождения с помощью этой карманной диаграммы. Он включает в себя стираемые ламинированные карточки, поэтому его можно использовать в классе из года в год.
Кубики Mathlink
можно использовать для построения трехмерной гистограммы важной информации. В результате детям будет весело складывать блоки, создавая простой график.
Готовы заставить детей двигаться и веселиться, пока они учатся? Этот напольный коврик для графики — то, что нужно. Дети будут двигаться, создавая огромный график на полу в классе.
При сравнении данных карманная диаграмма Венна может помочь организовать информацию в удобном для понимания виде.
Игральные карты — основной предмет в классе для вероятностных игр. Возьмите этот набор из 8 карточек с простым дизайном и цветами, которые идеально подходят для детей.
Хотите кубик, который увидит весь класс? Это отличный вариант, который также можно писать и стирать!
Versatiles идеально подходят для различных уроков в классе, включая вероятность и статистику!
Используйте эти готовые счетчики вероятностей в своих играх и занятиях — они идеально подходят для различных возможностей обучения.
Поиск правильных графических упражнений является ключом к успеху в обучении анализу данных. Дети учатся этому важному математическому навыку благодаря четкому обучению, практике и повторению. Однако самое главное, чтобы обучение было интересным. Вышеупомянутые действия сделают это для ваших студентов.
Найдите больше математических мероприятий
Образец, которые дети любят
Подсчет книг и видео
Teach Dellow Time Time
. Sense Email Series
Подпишитесь на серию рассылок по строительным номерам, наполненных эффективными стратегиями, обязательными заданиями и БЕСПЛАТНЫМИ ресурсами для создания распорядка в вашем классе. Все, что вам нужно, чтобы помочь детям развить их чувство числа и в то же время весело провести время!
Имя
Личный адрес электронной почты
Мы используем это поле для обнаружения спам-ботов. Если вы заполните это, вы будете отмечены как спамер.
Я хочу получить бесплатный курс по электронной почте.
Эта форма собирает информацию, которую я буду использовать для отправки еженедельных электронных писем со стратегиями, рекламными акциями и ресурсами. Отписаться в любое время.
Работает на ConvertKit
25 Творческие занятия по рисованию, которые понравятся детям
В школах иногда недооценивают важность построения графиков. Начиная с раннего возраста, графика должна быть в верхней части вашего списка. Это способ дать детям другую точку зрения на числа и научить их быстро упорядочивать, сравнивать и обсуждать различные идеи и информацию. К счастью, учителям и родителям доступно множество творческих занятий по рисованию! Мы составили список из 25 различных графических заданий, которые понравятся вашим ученикам!
1. Графическая настольная игра
Научите своих малышей, как сделать простую гистограмму, подобную этой, с помощью веселья и красок! Им понравятся разные картинки и, конечно же, тактильное дополнение к броску кубика!
Подробнее: Гордимся тем, что являемся начальным классом
2. Графический рисунок напольного коврика
Такая интерактивная диаграмма очень важна для формирования детского мышления. Выйдите на улицу и соберите что-нибудь из природы или используйте фигурки, чтобы построить график этих милых людей.
Подробнее: Pre Kinders
3. Графические строительные блоки
Милый способ совместить игру с математикой. Учащимся понравится это графическое занятие, основанное на сопоставлении! Это будет очень просто для вас, чтобы объяснить, и для студентов, чтобы понять.
Подробнее: Планирование игрового времени
4. Графика Apple
Этот очаровательный урок по построению графиков поможет учащимся различать цвета и лучше группировать объекты по их цветам.
Узнайте больше: Fun-A-Day
5. График ошибок
Это очень милое графическое упражнение с ошибками можно легко превратить в интерактивное занятие с гистограммой. Просто отправьте учащимся шаблон и попросите их заполнить его дома!
Узнайте больше: Life Over C’s
6. Графики под водой
График, подобный этому пиктограмме под водой, прекрасно сочетается с классной комнатой, оформленной в морской тематике. Нам нравится использовать его в нашем детском саду.
Узнать больше: Scribd
7. Напольный коврик для носков
Очень забавная базовая гистограмма, включающая личные вещи учащихся, отлично подходит для дистанционного обучения, домашнего обучения или просто занятий на выходных! Вашим детям понравится подбирать и упорядочивать свои носки.
Подробнее: Days With Grey
8. Цветовая диаграмма кнопок
Всплывающая гистограмма идеально подходит для любого класса юных учеников! Просто расскажите о любимом цвете вашего ученика и отметьте его имена. Они будут рады видеть свои имена на дисплее!
Подробнее: Нет времени на карточки
9. График высоты
Еще одна замечательная гистограмма, которая поможет учащимся ответить без путаницы. Студентам понравится смотреть на свой рост по сравнению с другими в классе.
Узнать больше: Смотри, что я умею! Учебный центр
10. Сколько букв в графике
Популярных типов ресурсов для подсчета букв в именах ваших учеников очень мало. Почему бы не включить эти уроки непосредственно в ваши уроки математики!
Узнайте больше: Диана Нуньес
11. Графики M&M
Кто не любит граф с вкусными угощениями? Позвольте учащимся изобразить свои M&M’s на графике перед тем, как съесть их!!
Подробнее: Ducks ‘n a Row
12. Графики динозавров
Учащимся начальных классов, изучающим математику, понравится эта захватывающая игра про динозавров. Спиннер действует как простой генератор линейных графиков для учащихся, и им будет очень весело генерировать свои собственные ответы.
Узнайте больше: Обучение на стороне картофеля фри
13. Рыбный график
Ученикам младших классов понравится такая форма графика. К этому моменту они должны понять идею гистограммы, но будут рады использовать одну из своих любимых закусок, чтобы сделать ее!
Узнать больше: Instagram
14. Спортивная графика
По мере того, как мы начинаем осваивать графики, учащиеся захотят отметить что-то более интересное. Ваши детки любят баскетбол? Им обязательно понравится эта спортивная диаграмма.
Узнайте больше: Учитель математики Routty
15. Графики Visual
Знание различий между графиками очень важно для всего вашего графического подразделения. Составление якорной диаграммы, подобной приведенной ниже, вместе с вашими учениками будет постоянно приносить им пользу.
Узнать больше: Stallings in Second
16. График вращения формы
Если у детей появится повод использовать спиннер, это всегда будет увлекательным уроком. Урок, подобный этому, идеально подходит для вводного урока по построению графиков. Возвращаем детей к этой идее.
Узнайте больше: Практическое обучение Life Over C’s
17. Разбивка пиктограммы
Стикеры отлично подходят для разбора различных систем. Графика не исключение. Мощная графическая программа, подобная этой, заложит знания вашего ученика на прочной основе.
Подробнее: Математика PISD
18. Баночка с сердечками
Ко дню святого Валентина ученики должны были быть в курсе мастер-гистограмм. Предложите учащимся заполнить забавную банку сердечной деятельности, подобную этой.
Узнать больше: Эми Лемонс
19. График броска кубиков
Простое упражнение, которое можно использовать в классе или дома, а также использовать в качестве интерактивной гистограммы. Студенты смогут легко понять и использовать ресурсы из дома для выполнения этого задания.
Дополнительная информация: Начальная школа Вайракей
20. Забавный рисунок фруктов
Супер простой генератор гистограмм для самых маленьких умов. Это простой способ для студентов создавать свои собственные гистограммы. Его можно использовать в группах, на станциях или в качестве занятия в целом.
Узнайте больше: Life Over C’s
21. Наглядные материалы средней школы
Хороший способ показать учащимся различные наглядные материалы — распечатать графики на плакатах и повесить их в классе. Это поможет учащимся постоянно видеть и помнить о различных типах графиков и диаграмм.
Подробнее: Учителя платят учителям
22. Графики координатных плоскостей
Координатные плоскости — очень интересная часть построения графиков. Графики в средней школе приобретают совершенно новый смысл, и что-то увлекательное, например создание этого медведя, — это такой увлекательный способ научить учеников и позволить им попрактиковаться в своих навыках построения графиков.
Узнайте больше: Math Crush
23. График поиска сокровищ
Моим ученикам ПОНРАВИЛОСЬ это занятие по поиску сокровищ. Это отличный способ стимулировать сотрудничество и участие учащихся. Им также понравятся маленькие картинки, которые заставят почувствовать настоящую охоту за сокровищами.
Узнайте больше: Математические материалы Тейлора Дж.
24. График снежного дня
Используются ли в вашей школе пакеты для защиты от снега? Я всегда люблю отправлять домой задания по рисованию со студентами в снежные дни или перед ними. Им нравятся эти занятия, и очень легко найти графические занятия на зимнюю тематику, подобные приведенным ниже.
Узнайте больше: Разберитесь в математике
25. Трехмерные гистограммы
Держите трехмерные гистограммы в своих инструментах учителя! Веселое и увлекательное занятие, наполненное красками и амбициями, вашим учащимся понравится не только создавать, но и демонстрировать на экране.
Подробнее: Runde’s Room
10 лучших диаграмм управления проектами для планирования проектов
Диаграммы управления проектами очень помогают менеджерам проектов планировать, планировать и отслеживать ход выполнения проектов любого масштаба. Существует много типов диаграмм управления проектами, и по одной для каждого этапа жизненного цикла проекта, например, диаграммы инициации или закрытия проекта.
Существуют также схемы планирования, диаграммы и матрицы для каждой из 10 ключевых областей управления проектом, таких как управление стоимостью, графиком, ресурсами или заинтересованными сторонами.
К счастью для менеджеров проектов, есть много альтернатив, когда дело доходит до выбора диаграммы управления проектом для облегчения усилий по планированию проекта. На самом деле, использование этих диаграмм часто необходимо руководителям проектов. Вам нужно будет использовать диаграмму Ганта или структурную структуру работы, чтобы построить план проекта, который является основой вашего проекта.
Что такое диаграммы управления проектами?
Диаграммы управления проектами — это визуальное представление данных, которые превращают сложные концепции управления проектами в легко усваиваемые активы. Они в основном используются для планирования проектов и имеют множество форм, таких как блок-схемы, сетевые диаграммы или гистограммы. Отличными примерами являются диаграммы Ганта, диаграммы PERT, диаграммы CPM и диаграммы WBS.
Диаграммы управления проектом особенно полезны, когда вы сообщаете сложную информацию о планировании проекта. Они визуализируют данные и превращают сложные концепции, такие как расписание или объем вашего проекта, в удобоваримые данные для команды управления проектом и заинтересованных сторон.
Данные из графиков планирования проекта еще более полезны, когда они связаны с программным обеспечением для управления проектами в реальном времени, таким как ProjectManager. Программное обеспечение может взять статическую диаграмму и превратить ее в динамический инструмент для планирования, выполнения и отчетности. Начните бесплатно работать с ProjectManager уже сегодня.
Диаграмма Ганта — важная диаграмма управления проектами. Узнать больше
Топ-10 таблиц управления проектами
Прежде чем решить, какая диаграмма управления проектами лучше всего подходит для вас, важно сначала решить, какую методологию управления проектами вы будете использовать, поскольку существуют различия между каскадным и гибким планированием проектов. Также важно отметить, что вам понадобятся различные диаграммы управления проектами, поскольку каждая из них служит различным целям планирования проекта, таким как создание графика проекта, распределение ресурсов проекта, планирование работы над проектом и многое другое.
Ниже мы выбрали 10 лучших диаграмм управления проектами для планирования проектов, чтобы вы могли решить, какие из них лучше всего подходят для вашего проекта.
1. Диаграммы Ганта
Опытные менеджеры проектов знакомы с диаграммой Ганта. Это динамическая гистограмма, которая показывает график проекта на временной шкале. Хотя диаграммы Ганта начинались как базовый инструмент, они со временем стали более совершенными и включают в себя заманчивые функции, такие как зависимости задач, которые отмечают, когда одна задача связана с другой.
Диаграммы Ганта необходимы для современного планирования и составления графиков проектов, поскольку они позволяют руководителям проектов визуализировать все действия, составляющие проект, на временной шкале. Они также полезны для отслеживания прогресса после начала фазы выполнения.
С появлением новых вычислительных мощностей диаграммы Ганта превратились из простой гистограммы в важный инструмент управления проектами, который позволяет менеджерам проектов определять критический путь, назначать задачи, устанавливать зависимости между задачами, создавать график проекта и многое другое. Вот почему большинство современных программ для планирования проектов теперь включают диаграммы Ганта.
Онлайн-диаграммы Ганта для большей гибкости
Все диаграммы Ганта не равны; в других программах для управления проектами есть диаграммы Ганта, но их функциональность невелика. ProjectManager предлагает функции диаграммы Ганта, которые еще не рассматривались конкурентами.
Для начала ProjectManager может импортировать список задач и расписание из статической электронной таблицы. Если ваш план был разработан в Microsoft Project, но вы хотите перенести этот план в сеть, чтобы поделиться им со своей командой, знайте, что ProjectManager упрощает импорт файлов Microsoft Project.
Когда у вас есть план проекта в ProjectManager, наша онлайн-диаграмма Ганта представляет собой диаграмму управления проектом на стероидах. Вы можете связать зависимости задач, чтобы предотвратить блокировку членов команды. Вы также можете назначать задачи непосредственно из представления Ганта, которое представляет собой интерактивную временную шкалу проекта, которую вы можете настраивать в режиме реального времени. Комментарий на уровне задачи и все обновления состояния мгновенно отражаются на диаграмме Ганта, которая в реальном времени переносится на панель мониторинга с показателями проекта, которые можно фильтровать и делиться ими.
Для получения дополнительной информации о диаграммах Ганта посмотрите короткое видео ниже. В нем описаны все способы, с помощью которых диаграммы Ганта могут помочь вам составить подробный и эффективный план проекта.
2. Диаграмма структуры распределения работ (WBS)
Одним из аспектов планирования проекта является организация проектной деятельности, результатов и сроков. Вот где может пригодиться структура распределения работ (WBS). Это способ взять задачи, которые должна выполнить команда, и разделить их на управляемые разделы.
WBS представляет собой ориентированную на результат иерархическую декомпозицию работы, которую должна выполнить команда проекта. Другими словами, это отличный способ визуализировать задачи, которые необходимо выполнить для завершения проекта. Он действует как представление более высокого уровня, чем диаграмма Ганта, что полезно для сложных проектов. WBS может быть представлен в виде списка, древовидной диаграммы, электронной таблицы или столбца на диаграмме Ганта.
Если у вас есть эта информация, собранная в нашем шаблоне диаграммы WBS, если вам нужен более динамичный инструмент с большим количеством опций, подключите его к программному обеспечению ProjectManager для структурной декомпозиции работ.
При перемещении диаграммы WBS в ProjectManager содержимое отображается в различных представлениях программного обеспечения, включая диаграмму Ганта, список задач и доску канбан, визуальный инструмент рабочего процесса. Онлайн-диаграмма Ганта превращает диаграмму WBS в инструмент для планирования проектов.
3. Блок-схема
Блок-схемы — еще один инструмент, который руководители проектов должны иметь в своем наборе инструментов при планировании проекта. Эти диаграммы помогают визуализировать процессы как способ повышения эффективности проекта. Блок-схема представляет собой графическое отображение цели проекта и помогает создать логический порядок работы, необходимой для достижения этой цели. Планирование проекта — это контроль, и блок-схема дает менеджеру проекта инструмент для осуществления контроля над задачами, ресурсами и временем. Это означает, что все процессы, включая планирование и мониторинг, для повышения эффективности основаны на блок-схеме.
Процесс планирования начинается с оценки и разработки содержания проекта. Это может привести к индикатору уровня проекта или системе показателей проекта, оба из которых будут включены в план проекта. За планом следуют задачи, ресурсы, бюджеты, графики и т. д., каждая из которых сводится к коммуникациям, управлению рисками, контролю изменений, управлению качеством и т. д.
Наконец, этап утверждения. В случае одобрения план проекта готов. Если нет, блок-схема возвращается к началу, чтобы начать заново.
4. Диаграмма критического пути (CPM)
Еще одним инструментом визуального планирования является диаграмма критического пути (основанная на методе критического пути, или CPM). Он используется для отображения действий, необходимых для завершения проекта. Диаграмма иллюстрирует продолжительность каждого действия и предшествующего действия, как они связаны и отстают (количество времени между двумя действиями).
Диаграмма критического пути помогает руководителям проектов разбить более обширный проект на необходимые действия для успешного выполнения проекта. Эти действия представлены на диаграмме в виде прямоугольников. Между этими действиями или прямоугольниками есть линии, которые представляют поток, чтобы показать, как каждое действие связано и взаимосвязано.
Цель использования диаграммы критического пути — позволить руководителям проектов рассчитать общую продолжительность проекта. Критический путь состоит из критических действий, но также показаны некритические действия. Некритические действия обеспечивают большую гибкость, поскольку они не оказывают существенного влияния на проект.
5. Матрица RACI
RACI — это аббревиатура, означающая «ответственный, подотчетный, консультируемый и информированный». Матрица RACI — это диаграмма, которая помогает распределить обязанности в управлении проектами. Эта таблица помогает руководителям проектов определять заинтересованные стороны в своих проектах и оценивать каждый уровень участия. Это можно сделать, отметив рядом с каждым начальный R, A, C или I, чтобы классифицировать вовлеченность.
Например, ответственный участник означает, что он несет прямую ответственность за задачу. Ответственный определяет того, кто делегирует и проверяет работу. Консультация означает, что вам нужен вклад и отзывы этого человека о проделанной работе, а информирование — это лица, которым необходимо быть в курсе хода работы.
Это полезно для распределения обязанностей членов команды по проекту. Но его также можно использовать для управления заинтересованными сторонами. Матрица RACI помогает менеджеру проекта выяснить, какие заинтересованные стороны должны знать, что и как часто они должны быть в курсе хода проекта.
6. Диаграмма PERT
Этот визуальный инструмент управления проектами отлично подходит для планирования задач и сроков проекта. PERT — это еще одна аббревиатура, обозначающая метод оценки и анализа проекта (или программы). Он обеспечивает графическое представление задач проекта, расписания и сроков.
Диаграмма PERT не является диаграммой Ганта, хотя и похожа на нее. Диаграммы Ганта — это гистограммы, а PERT — произвольная форма. Диаграммы PERT состоят из узлов, прямоугольников или кругов, которые обозначают вехи. Соединительные стрелки показывают, что должно быть выполнено между узлами, и они представляют продолжительность каждой задачи.
Некоторые диаграммы Ганта не показывают зависимости задач, но все диаграммы PERT показывают. Они используют параллельные стрелки направления, чтобы указать ряд задач, которые должны быть выполнены в определенной последовательности. Расходящиеся стрелки указывают на работу, которую можно выполнять параллельно.
7. Схема рабочего процесса
Диаграммы рабочих процессов
наглядно показывают структуру процесса, проекта или задания. Это делается в виде блок-схемы. Диаграммы рабочих процессов обычно используются, чтобы показать полный бизнес-процесс и потоки информации, помочь сотрудникам понять свои роли и обязанности, выявить избыточность и узкие места и избежать рисков.
Эта схема управления проектом может быть создана с помощью программного обеспечения или нарисована вручную. Какой бы путь вы ни выбрали, вы получите значительную ценность от схемы рабочего процесса. Они помогают с операциями и повышают эффективность за счет оптимизации работы. Они также предоставляют документацию по юридическим, нормативным и аудиторским требованиям.
Это отличный инструмент для четкой коммуникации в организации. Визуальные инструменты часто легче усваиваются независимо от того, какой отдел на них смотрит. Диаграмма рабочего процесса также является способом усиления безопасности. Схемы рабочих процессов надежно отслеживают информацию и гарантируют, что ваша организация устранит любые бреши в системе безопасности.
8. Матрица рисков
Риски могут быть хорошими и плохими, и руководители проектов хотят либо воспользоваться этими неожиданными возможностями, либо смягчить влияние проблем на проект. Матрица рисков используется при планировании проекта для выявления и планирования устранения рисков по мере их возникновения в качестве проблем в проекте.
В матрице рисков перечислены риски, которые могут возникнуть на основе опыта и исторических данных. Матрица представляет вероятность появления риска в проекте и влияние, которое он окажет, если он действительно проявится. Риски классифицируются по степени вероятности и серьезности.
Этот инструмент помогает руководителям проектов управлять рисками проекта. Он также сообщает проектной команде и заинтересованным сторонам о рисках, которые могут стать проблемами в проекте. Это позволяет командам быстро выявлять эти проблемы и решать их.
9. Таблица этапов
Диаграмма вех — это наглядная временная шкала, которая помогает руководителям проектов планировать важные события в расписании проекта. Вехи — это важные события в проекте, такие как выполнение плана проекта или завершение одной фазы проекта и начало следующей.
Каждая вертикальная линия диаграммы вех показывает одну веху. Слева от вехи находится описание вехи, а также горизонтальная шкала времени, отображающая весь проект. Диаграмма вех помогает вашей команде, заинтересованным сторонам и клиентам быть в курсе основных событий проекта.
Создание вех в вашем расписании и отслеживание их на протяжении всего проекта — это один из способов не сбиться с графика. Совместное использование диаграммы вех сообщает об основных событиях в проекте и гарантирует, что все знают о них. Это похоже на предварительное уведомление о больших сроках, которые должны быть соблюдены.
10. Диаграмма выгорания
В гибком управлении проектами диаграмма выгорания используется для визуального представления того, насколько быстро команда проекта обрабатывает пользовательские истории клиента, и показывает описание функций, над которыми ведется работа. Эти описания даны с точки зрения конечного пользователя. Диаграмма выгорания показывает усилия команды по сравнению с полным спринтом.
Работа, которую еще предстоит выполнить, показана на вертикальной оси. Время, прошедшее с начала проекта, показано по горизонтали. Это представляет как прошлое, так и будущее, чтобы каждый мог видеть, где он находится. Диаграмма выгорания регулярно обновляется, чтобы убедиться, что она точная.
Существует два типа диаграмм выработки: одна используется для спринтов или коротких итераций, когда их agile-команда работает над пользовательскими историями, а другая — диаграмма выработки продукта. Последний показывает работу, которая осталась для всего проекта, в то время как первый — это только то, что осталось сделать.
ProjectManager и диаграммы управления проектами
Диаграммы управления проектом — отличные наглядные пособия и полезные инструменты для настройки процедур вашего проекта, но статические документы могут сделать не так много. Когда вы начнете планировать и выполнять проект, вам понадобится программное обеспечение для управления проектами, чтобы связать команды и упростить работу. ProjectManager — это программное обеспечение для управления проектами, которое автоматически обновляется данными в режиме реального времени, чтобы помочь вам лучше управлять своим проектом.
Отслеживание времени и затрат с помощью информационных панелей в реальном времени
При работе со статическими документами вам необходимо вводить данные и вручную обновлять диаграммы управления проектами, но наше программное обеспечение сделает эту работу за вас. Панели мониторинга в режиме реального времени автоматически собирают оперативные данные из проекта, обрабатывают числа и отображают результаты в диаграммах проекта. Эти шесть показателей проекта включают время, стоимость, рабочую нагрузку и многое другое. Все они обновляются в режиме реального времени, чтобы дать вам обзор вашего проекта в любое время. Там также нет никаких настроек.
Использование канбан-досок для управления задачами
После того, как вы приступите к выполнению проекта, вам понадобится окно в процесс и инструмент, который даст вашей команде возможность самостоятельно управлять своей работой. Наши канбан-доски визуализируют рабочий процесс, позволяя руководителям проектов видеть, где находятся их команды с точки зрения производства, и выявлять любые потенциальные препятствия. Затем они могут перераспределять ресурсы, чтобы команды работали на полную мощность. Между тем, команды могут управлять своим невыполненным заданием и сотрудничать при планировании спринтов.
В отличие от диаграмм управления проектами, наше программное обеспечение достаточно гибко, чтобы предоставить вам инструменты, которые вы хотите использовать. Наши многочисленные представления проектов означают, что менеджеры могут планировать на диаграммах Ганта, команды могут использовать представления списков, чтобы отмечать свои задачи, заинтересованные стороны могут просматривать календари, чтобы убедиться, что вехи выполнены, и все представления используют одни и те же данные в реальном времени. Есть один источник правды, благодаря которому всем лучше работать вместе, сотрудничать, обмениваться файлами и комментировать на уровне задач.
Связанный контент
Ознакомьтесь с нашими руководствами, блогами и шаблонами, где вы можете получить подробную информацию о дополнительных схемах и схемах планирования проекта, чтобы вы могли использовать их во всех своих проектах для достижения лучших результатов.
Как составить матрицу распределения обязанностей
Как сделать сетевую диаграмму проекта
Введение в диаграммы приоритета
Стрелочные диаграммы для проектов
Ганта, PERT и сетевая диаграмма
Планирование может решить или разрушить проект, поэтому вам нужно иметь в своем распоряжении лучшие инструменты при выполнении процесса. ProjectManager — это онлайн-программное обеспечение для управления проектами, которое помогает планировать, выполнять, отслеживать и составлять отчеты по всем вашим проектам. Он без проблем работает с описанными выше схемами планирования проекта и имеет надежный набор инструментов управления проектами для управления ресурсами, временем и стоимостью. Узнайте, как это может помочь вам спланировать свой проект, воспользовавшись бесплатной 30-дневной пробной версией сегодня.
Все о графе задач Gradle — Том Грегори
Мощной функцией Gradle является возможность устанавливать зависимости между задачами, создавая граф задач или дерево. Это здорово, потому что вам нужно запустить только интересующую вас задачу, а любые другие необходимые задачи запускаются автоматически. В этой статье вы узнаете все о графе задач Gradle, о том, как добавлять в него задачи и как его распечатать.
Задачи и зависимости задач
Задача Gradle — это единица работы, которую необходимо выполнить в вашей сборке. Действительно распространенные примеры в проекте Java включают:
компиляция кода с помощью задачи compileJava
создание jar-файла с помощью задачи jar
создание всего проекта с помощью задачи build Работа. Хитрость заключается в том, что те задачи, которые, казалось бы, делают много, например build , состоят только из зависимостей от других задач.
Определение зависимостей задач
В качестве быстрого напоминания, если у нас есть две задачи taskA и taskB , которые печатают свое имя, то мы можем сказать, что taskB зависит от taskA , используя функцию dependOn .
задача задачаA() {
сделатьпоследний {
печатать имя
}
}
задача задачаB() {
сделатьпоследний {
печатать имя
}
зависит от задачиA
}
Итак, когда мы запустим ./gradlew taskB , мы получим этот вывод, показывающий, что запускается taskA , за которым следует taskB .
> Задача :taskA
задача А
> Задача: задачаB
задачаB
ПОСТРОИТЬ УСПЕШНО в 1с
Эта простая концепция, расширенная для включения цепочек многих задач, — это то, как создаются общие задачи, которые мы используем каждый день в Gradle.
Граф задач Gradle
Граф задач — это структура, которая формируется из всех зависимостей между задачами в сборке Gradle. Продолжая наш пример задачи build в проекте с примененным плагином java , его график задачи выглядит следующим образом.
Здесь вы видите все различные задачи, составляющие сборка задача. Пунктирные линии представляют 90 954 зависимых от 90 955 взаимосвязей между задачами. Итак, глядя на верхний раздел, build зависит от assemble , который зависит от jar , который зависит от классов , который зависит как от compileJava , так и от processResources .
Итак, сборка на самом деле является задачей большого папочки . Это также зависит от проверки и всех задач, связанных с тестированием, ниже этого.
На диаграмме видно, что задачи попадают в одну из двух категорий:
задачи, которые выполняют действие — например, задача jar имеет связанное с ней действие, которое идет и создает jar файл. Эти типы задач могут зависеть или не зависеть от других задач.
агрегированные задачи — эти задачи предназначены только для того, чтобы предоставить вам удобный способ выполнить группировку функций. Например, вместо того, чтобы запускать check и собирают задачи по отдельности, задача build просто объединяет их вместе.
Значит, сборка на самом деле ничего не делает для ? Не совсем, это как-то лениво. Это просто зависит от других задач, которые выполняют реальную работу.
Печать графа задач
Преимущества понимания структуры графа задач:
вы можете запускать в нем любую задачу : если вам нужно только создать файл jar , нет необходимости запускать сборку , которая также запускает тесты. Это экономит ваше время, поскольку выполнение меньшего количества задач обычно выполняется быстрее.
это может помочь отладить проблемы, связанные с задачами : если у вас есть сложный граф задач, возможно, с вашими собственными пользовательскими задачами, то понимание графа задач является ключом к решению таких вопросов, как «Почему myAwesomeTask не работает?»
Звучит хорошо, но как нам распечатать график задачи? Что ж, сам Gradle не поддерживает эту функциональность, но, к счастью, есть несколько плагинов, которые ее поддерживают. Лучшее, что я нашел, это 9Плагин 0011 gradle-taskinfo .
Давайте применим его к простому проекту Java в нашем build.gradle .
плагины {
идентификатор 'java'
id 'org.barfuin.gradle.taskinfo' версия '1.0.5'
}
Он предоставляет новую задачу tiTree , которую мы запускаем вместе с задачей, дерево задач которой нас интересует.
Круто! Вывод показывает ту же структуру, что и диаграмма ранее (забавно, что 😉). Плагин также выводит нам тип задачи, например, мы можем видеть, что compileJava — это задача типа org.gradle.api.tasks.compile.JavaCompile .
Спасибо Barfuin за этот замечательный плагин, о котором вы можете узнать больше на GitLab.
Навигация по графу задач программно
Если вы хотите сами получить доступ к графу задач Gradle во время сборки, к счастью, это довольно просто с 9Интерфейс 0954 org.gradle.api.execution.TaskExecutionGraph . Это в основном позволяет вам:
получить все задачи в графе
получить зависимости конкретной задачи
добавить прослушиватель, который будет выполняться до или после выполнения задач
Давайте попробуем несколько примеров в рамках проекта Gradle, который применяется плагин java .
Получение всех задач в графе задач
При использовании графа задач мы должны определить замыкание, которое будет вызываться, когда граф задач будет готов, иначе мы получим Информация о задании недоступна. Ошибка . В этом закрытии мы можем распечатать список всех задач в графе, вызвав getAllTasks
Когда мы запускаем ./gradlew build , он выводит это.
[задача ':compileJava', задача ':processResources', задача ':classes', задача ':jar', задача ':assemble', задача ':compileTestJava', задача ':processTestResources', задача ':test
Classes», задача «:test», задача «:check», задача «:build»]
ПОСТРОИТЬ УСПЕШНО в 859РС
Содержит все задачи из приведенных выше графических диаграмм задач.
Что такое закрытие? Это способ определения блока кода таким образом, чтобы его можно было передать как переменную и выполнить позже.
Запрос зависимостей задачи
Функция getDependencies принимает задачу в качестве входных данных и возвращает ее прямые зависимости. Давайте изменим замыкание, переданное whenReady , на следующее.
проект.gradle.taskGraph.whenReady {
println project.gradle.taskGraph.getDependencies (сборка как задача)
}
Выполнение ./gradlew build теперь печатает это.
[задача ': сборка', задача ': проверка']
BUILD SUCCESSFUL in 893ms
Что показывает, что прямыми зависимостями задачи build являются assembl e и check .
Добавление прослушивателя задач
Наконец, давайте определим закрытие, которое будет выполняться после запуска каждой задачи, используя функцию afterTask .
проект.gradle.taskGraph.whenReady {
project.gradle.taskGraph.afterTask {задача ->
println "Делаем важные вещи после $task"
}
}
Когда мы запускаем ./gradlew jar , мы получаем этот вывод.
> Задача: скомпилировать Java UP-TO-DATE
Делаем важные вещи после задачи ':compileJava'
> Задача: ProcessResources АКТУАЛЬНО
Делать важные вещи после задачи ':processResources'
> Задача: классы АКТУАЛЬНЫ
Выполнение важных дел после задачи ':classes'
> Задача :jar АКТУАЛЬНО
Делать важные вещи после задачи ':jar'
ПОСТРОИТЬ УСПЕШНО за 798 мс
3 задачи, требующие действия: 3 актуальные
Наше закрытие вызывалось после выполнения каждой задачи.
Для получения полной информации об этих и других функциях ознакомьтесь с документацией для TaskExecutionGraph .
Подведение итогов
Вы только что узнали о задачах и о том, как зависимости между ними формируют граф задач Gradle . График задач можно красиво визуализировать с помощью плагина taskinfo , который помогает нам понять график задач для конкретной задачи. Для еще большего контроля Gradle предлагает интерфейс TaskExecutionGraph , позволяющий нам подключать пользовательскую логику там, где это необходимо.
Хотите узнать больше о Gradle? Ознакомьтесь с полной подборкой руководств по Gradle.
Граф задач является предпочтительным выбором для обработки крупномасштабных данных. Это упрощает
процесс параллелизма задач и имеет возможность динамически определять зависимость между
те задачи. Узлы графа задач состоят из вершин задач и ребер, в которых вершины задач
представляют вычислительные единицы приложения, а ребра представляют коммуникационные ребра
между этими вычислительными единицами. Другими словами, он описывает детали того, как данные
потребляется между этими единицами. Каждый узел графа задач содержит информацию о входных и
его выход. Граф задач преобразуется в граф выполнения, как только происходит фактическое выполнение.
График задач в Twister2
Слой задач обеспечивает абстракцию более высокого уровня поверх коммуникационного уровня, чтобы скрыть
основные детали выполнения и сообщения от пользователя. Расчеты моделируются как
графы задач на слое задач, которые можно создавать статически или динамически. узел в
граф задач представляет собой задачу, тогда как ребро представляет собой канал связи между вершинами.
Каждый узел в графе задач содержит информацию о входе и выходе. Задача может быть
долговременный (потоковый граф) или кратковременный (потоковой граф без циклов) в зависимости от типа
применения. Граф задач «TG» обычно состоит из набора вершин задач «TV» и ребер задач (TE), которые
математически обозначен как График задач
(TG) -> (TV, TE)
Статические и динамические графы задач
Графы задач могут быть определены двумя способами, а именно статическим и динамическим графом задач.
Статический граф задач — структура полного графа задач известна во время компиляции.
Динамический граф задач — структура графа задач неизвестна во время компиляции и программы
динамически определять структуру графа задач во время выполнения.
Следующие три важных момента следует учитывать при создании и планировании задачи.
экземпляры графа задач.
Декомпозиция задач — определение независимых задач, которые могут выполняться одновременно
Группировать задачи — группировать задачи на основе зависимости от других задач.
Упорядочить задачи — упорядочить задачи, удовлетворяющие ограничениям других задач.
(Ссылка: шаблоны для параллельного программирования, глава 3 (2) и
https://patterns.eecs.berkeley.edu/?page_id=609)
Направленный граф задач и неориентированный граф задач
Существует два типа графов задач, а именно направленный граф задач и неориентированный граф задач. В направлении
граф задач, ребра в графе задач, которые соединяют вершины задач, имеют направление, как показано
на рис. 1, тогда как в неориентированном графе задач ребра в графе задач, соединяющие задачу
вершины не имеют направления, как показано на рис. 2. Настоящая система задач поддерживает только направленный поток данных.
график задач.
График задач потоковой передачи
Под потоком понимается процесс обработки неограниченной последовательности блоков данных. Потоковое приложение
который может непрерывно потреблять единицы входного потока и производить единицы выходного потока. Потоковое
граф задач в основном отвечает за создание и выполнение потоковых приложений.
График пакетной задачи
Пакетная обработка относится к процессу обработки ограниченной последовательности единиц данных. Пакетные приложения
в основном потребляет ограниченные блоки данных и производит блоки данных. График пакетной задачи в основном
отвечает за создание и выполнение пакетных приложений.
График задач в Twister2
Система графов задач в Twister2 в основном предназначена для поддержки графа задач направленного потока данных
который состоит из вершин задачи и ребер задачи.
Вершины задачи представляют исходную и целевую вершины задачи
Ребро задачи представляет ребра, соединяющие вершины задачи
Граф задач в Twister2
поддерживает итеративную обработку данных. Например, в алгоритме кластеризации K-средних в конце
каждая итерация, точки данных и центроиды сохраняются в наборе данных, который будет использоваться для
следующая итерация
Запрещены циклы, автопетли или циклы
Подробно описывает, как данные потребляются между вершинами задачи.
Исходная задача — расширяет BaseSource и реализует описанный ниже интерфейс Receptor.
Compute Task — реализует описанный ниже интерфейс IFunction.
Sink Task — расширяет BaseSink и реализует интерфейс Collector.
Сведения о реализации
ITaskGraph
Это основной интерфейс, который в первую очередь отвечает за создание вершин и ребер задач. между этими вершинами, удаление вершин задач и ребер задач и другие.
BaseDataflowTaskGraph
Это базовый класс для графа задач потока данных, который состоит из методов для определения внутреннего
и внешние границы задач, а также входящие и исходящие границы задач. Он проверяет вершины задачи и
создает ребро направленного потока данных между исходной и целевой вершинами задачи. Он также выполняет
проверки, такие как повторяющиеся имена для задачи, повторяющиеся границы между одними и теми же двумя задачами,
самозацикливание на графе задач и циклы на графе задач. Некоторые из основных методов, доступных в
этот класс
addTaskVertex(TV sourceTaskVertex, TV targetTaskVertex)
addTaskEge(TV sourceTaskVertex, TV targetTaskVertex, TE taskEges)
removeTaskVertex(TV taskVertex), removeTaskEdge(TE taskEdge)
validateTaskVertex (ТВ исходная/целевая вершина)
логическое обнаружениеSelfLoop (Set taskVertex)
обнаружить цикл (вершина ТВ, установить задачуVertexSet, установить исходную задачу, установить целевую задачу)
логическое значение содержитTaskEdge(TE taskEdge)
DataflowTaskGraph
Это основной класс, который расширяет BaseDataflowTaskGraph, сначала он проверяет граф задач, а затем
сохранить направленные ребра в карту задач, которая состоит из исходной вершины задачи и целевой вершины задачи.
01746
11061
08114
96569
03492
75355
31375
53986
24933
(DIN метал.
Чтобы узнать, чему равен тангенс угла, просто найдите его в таблице. Для начала короткая версия таблицы:
364
0355
9042
5144
7321
7265
2126
1763
7002
7321
5144
0777
1106
4452
0175
5095
2799
3315
7046
4281
6249
1405
2309
7536
8807
3007
9042
0724
4452
Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
0174
2308
4663
7535
1504
804
2709
4301
3007
4874
8807
org/ListItem»>
См. пример ниже.
org/ListItem»>
Комбинации букв латинского алфавита представляют собой числа в этой системе. В современном обиходе используются семь символов с фиксированным целочисленным значением.
К счастью, популярнейший текстовый редактор Microsoft Word позволяет это сделать без особых усилий.
) можно вставить за раз. Минус же кроется в самом подходе – необходимости открытия окна «Символ» и поиска соответствующих знаков. К счастью, его можно несколько упростить.
Как именно? Достаточно объединить между собой второй и третий способы этой статьи – обратиться к меню вставки символов и назначить для каждого нужного нам свои горячие клавиши.
Если для этого вы использовали комбинацию, аналогичную нашей, то с диапазоном от I до IX (1-9) проблем возникнуть не должно. 
Какой из них выбрать, решать только вам.
Несколько примеров: duo — двойной, quadricep — четырёхглавая мышца, decade — группа из десяти, десяток или десятилетие, milliliter — миллилитр, одна тысячная литра и т.п.
Однако, для большего числа количество становиться очень большим и абсолютно не читаемым….
Расположение перед ним единички: IV — или расположение любого другого меньшего числа, чем последующий (в нашем случае символ пять) — означает вычитание. Таким образом, IV означает 4. После V можно указать меньшие цифры, тогда это будет означать складывание — VI означает 6, VII означает 7, VIII равно 8.
centurion означает 100 людей. Мы по-прежнему используем такие слова, как «century » (столетие) и «cent » (цент). Как и с L, вычитание десятка означает понижение основной последующей цифры: 90 будет записано, как 100 минус 10 = XC. Несколько подряд цифр C будет означать соответствующее количество сотен: CCCLXIX равно 369.
д. 
Надпись бросается в глаза и человеку не знакомому с основами написания римских чисел, будет не очень понятна. Таким образом дата шифруется и становиться доступна для восприятия только тем, кто знаком с элементарными числовыми выражениями латинского языка.
Выбор месяца.
Это произошло потому, что римские цифры записать достаточно сложно, да и любые арифметические действия в римской системе выполнять гораздо сложнее, чем в арабской системе исчисления. Не смотря на то, что сегодня римская система не часто используется, это вовсе не значит, что она стала неактуальна. В большинстве случаев века римскими цифрами обозначают, а вот годы или точные даты принято писать арабскими цифрами.
Если меньшая цифра стоит перед большей, то используется принцип вычитания (меньшая цифра вычитается из большей).
Так, цифра 4 изображается как IV (то есть 5-1).
Цифры с одного до четырех напоминают вытянутые пальцы, цифру пять можно сравнить с раскрытой ладонью, где большой палец оттопырен. А цифра десять напоминает две скрещенные руки. В европейских странах при счете принято разгибать пальцы, а вот в России, наоборот, загибать.
com/embed/881iBC-IL48″ frameborder=»0″ allowfullscreen=»allowfullscreen» data-original-w=»720″ data-original-h=»520″> 
Чтобы преобразовать 2009 год в римские цифры, мы запишем 2009 в развернутой форме, то есть 2009 = 1000 + 1000 + (10 — 1), после чего заменив преобразованные числа их соответствующими римскими цифрами, мы получим 2009 = M + M + (X — I) = MMIX.
е. 2019 год = 1000 + 1000 + 10 + (10 — 1), после чего заменив преобразованные числа соответствующими им римскими цифрами, мы получим 2019 год = М + М + Х. + (X — I) = MMXIX. В этой статье мы объясним, как правильно преобразовать 2019 год римскими цифрами.
Найдите разницу между 2034 и 2019 годами римскими цифрами. 
2019 — 707 = 1312. Следовательно, к 707 нужно прибавить 1312, чтобы получить 2019.. Теперь, чтобы перевести 1312 в римские числа, выразим его в развернутом виде, то есть 1312 = 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1 = M + C + C + C + X + I + I = МСССXII.
Новый год. Roman 2019 Canvas Print
org/ListItem»> Римские векторы
Цены евро евро .
com
Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка 18-каратное розовое золото Ступенчатая кромка с краем Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 г. Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Плоский вырез Черный Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Синий Flat Cut Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам выпускной класс 2019 г.
Облегающий черный скошенный край, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край с матовым покрытием Черный матовый полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 9 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный матовый полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синее, плоское, матовое, серое, полированное, вольфрам, выпускной класс 2019 года Черный ступенчатый скошенный край, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, черный, скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам с гравировкой Класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Плоский крой Матовый Серый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Матовый Серый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синий купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
Купол из желтого золота, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 9 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, черный, плоский, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфорт Fit Black Dome Матовый полированныйTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированныйTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый с плоским вырезом Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серая ступенька Край матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный, ступенька, скошенный край, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный Полированный край, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 7 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, купол из 18-каратного розового золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Купол из желтого золота, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 7 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, 18-каратное розовое золото, полированный вольфрам, выпускной класс, 2019 г.
Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18k Купол из розового золота, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 9 мм, для мужчин и женщин, удобная посадка, черный, с плоским вырезом, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Кольцо из полированного розового золота 18 карат 2019 Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из полированного вольфрама с римскими цифрами 7 мм Золотой купол, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс, 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Черный купол, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, 18-каратное розовое золото, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Кольцо Black Dome PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Матовый серый Полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 с римскими цифрами Выгравированное кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Blue Flat Cut Матовый серый PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Синий купол Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый серый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.
Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синий купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Edge PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Гравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Step Bevel Edge Матовый серый PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый Ступенчатый скошенный край Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
Edge Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скос Edge Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Flat Cut Black PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синее плоское кольцо с гравировкой Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный плоский Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Blue Flat Cut Brushed Grey PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам выпускной класс 2019 года римские цифры выгравированное кольцо 8 мм мужчины женщины комфортная посадка черный ступенчатый скошенный край матовый серый полированный вольфрам выпускной класс 2019 года римские цифры с гравировкой кольцо 8 мм мужчины женщины комфорт Fit Black Step Bevel Edge Brushed Grey PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Dome PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами и гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратная роза Золотой купол, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый, плоский вырез, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Плоский вырез Черный полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Ступенчатый скошенный край, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфорт Fit Black Dome матовый серый полированный вольфрам выпускной класс 2019 года римские цифры выгравированное кольцо 9 мм мужчины женщины комфортная посадка черный плоский вырез матовый полированный вольфрам выпускной класс 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Кольцо из 18-каратного розового золота с гравировкой Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый Полированный Вольфрам с гравировкой Класс 2019 года с римскими цифрами Выгравированное кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный Edge Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Плоский вырез Черный полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Плоский вырез Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
Fit Brushed Grey Flat Cut Black PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Край матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый, плоский вырез, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка с синим куполом Матовый серый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка с черным скошенным краем Полированный вольфрам с выпускным классом 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка с синим куполом Матовый Серый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.
Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый Серый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый с плоским вырезом Черный полированный вольфрам с гравировкой Класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черное плоское кольцо с гравировкой Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый серый Полированный вольфрам с гравировкой Класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка с черным куполом Матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, синий, плоский вырез, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный скошенный край, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый плоский Черный полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный, скошенный край, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, матовый серый, плоский вырез, черный, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года.
Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатая кромка с краем Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфорт Fit Black Dome Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года.
Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой Edge PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 римскими цифрами 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 римскими цифрами кольцо с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото купол матовый серый полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Плоский срез Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Flat Cut Матовый Серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с выгравированным римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное желтое золото Купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный плоский вырез Матовый Кольцо PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Grey Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 с гравировкой римскими цифрами Band Ring 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Step Bevel Edge Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам выпускной класс 2019 г.
Серый ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами и гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, 18-каратное розовое золото, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам с гравировкой Класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка с черным плоским вырезом Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный крайКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Dome Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черное плоское кольцо с гравировкой Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Купол из полированного вольфрама Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратная роза Золотой ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Ступенчатый скошенный край, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, черный, скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Черный купол, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 года, римские цифры, выгравированное кольцо, 7 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, купол из розового золота 18 карат, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый плоский вырез Черный полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.
Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Синий Плоский вырез Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, черный, скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
Ступенчатый скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый с плоской огранкой Черный полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit с черным куполом Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, серый, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Плоский вырез Черный Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол, матовый серый полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый серый полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с черным куполом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край Матовый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый плоский вырез Матовый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, синий, плоский, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край с матовым покрытием Черный ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, черный ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной, класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Grey Flat Cut Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый с плоской огранкой Черный полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратного желтого золота Купол Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18k Купол из желтого золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, 18-каратное розовое золото, ступенчатый скошенный край, матовый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Полированный полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit с черным куполом Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit с черным куполом Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка 18-каратного розового золота Ступенчатая кромка со скошенной кромкой Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit матовый серый плоский вырез черный полированный вольфрам выпускной класс 2019 г.
Черный Flat Cut Матовый полированныйTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Плоский вырез Черный полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Полированный куполВольфрам Выпускной класс 2019 г.
Выгравированное кольцо с римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Плоский вырез Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синее, плоское, матовое, серое, полированное, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Матовый серый Flat Cut Black PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край с матовым серым полированным Вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit купол из 18-каратного желтого золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 7 мм, мужчины, женщины, Comfort Fit, купол из полированного вольфрама, 18-каратного желтого золота, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Серый ступенчатый скошенный край с матовым покрытием Серый ступенчатый скошенный край, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г., римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного желтого золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Step Скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Гравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, удобная посадка, черная ступенька, скошенный край, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
Скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Fit Black Dome Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Гравированное кольцо 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного желтого золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, синий купол, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Полированный куполВольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное кольцо с римскими цифрами 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый ступенчатый скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный ступенчатый скошенный край с матовым серым полированным Вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 7 мм Мужчины Женщины Комфорт Купол из 18-каратного желтого золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, синий купол, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синий купол, матовый серый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г. Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 г. Кольцо с гравировкой римскими цифрами 9 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный плоский вырезКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий Плоский вырез Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный шаг Скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный Вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Ступенчатый скошенный край из 18-каратного розового золота Матовый полированный Вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Выгравированное римскими цифрами кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, удобная посадка, серый, плоский вырез, матовый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный плоский срез Матовый полированный вольфрам с гравировкой класса 2019 Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый шаг Скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Купол из 18-каратного желтого золота ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный шаг Скошенный край Матовый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серый шаг Скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Серое плоское кольцо с гравировкой Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный Ступенчатый скошенный край, матовый серый, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.
, римские цифры, выгравированное кольцо, 8 мм, мужчины, женщины, комфортная посадка, черный купол, полированный вольфрам, выпускной класс 2019 г.Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный купол Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit 18-каратное розовое золото Ступенчатый скошенный край Матовый полированныйВольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый ПолированныйTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Grey Flat Cut Матовый серый PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Blue Flat Cut Brushed Grey PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, синее, плоское, матовое, серое, полированное, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
Fit Blue Flat Cut Матовый серый Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Матовый серый полированный Вольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный ступенчатый скошенный край Матовый серый Полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры с гравировкой Кольцо с гравировкой 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Flat Cut Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Black Step Bevel Edge Brushed PolishedTungsten Gradutaing Class Of 2019Кольцо с римскими цифрами с гравировкой 8 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный скошенный край Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 7 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Купол из 18-каратного розового золота Полированный вольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры с выгравированным кольцом 9 мм Мужчины Женщины Comfort Fit Черный плоский вырез Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Синий купол Матовый серый ПолированныйВольфрам Выпускной класс 2019 года Римские цифры Выгравированное кольцо 8 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка Черный купол Матовый полированныйВольфрам Выпускной класс 2019 годаКольцо с римскими цифрами, выгравированное, 8 мм Мужчины Женщины, комфортная посадка, черный купол, матовый, полированный, вольфрам, выпускной класс 2019 г.
Купольный полированный вольфрам Gradutaing Class Of 2019 Римские цифры Выгравированное кольцо 7 мм Мужчины Женщины Комфортная посадка 18-каратного желтого золота Полированный купол
Преобразование чисел даты в месяц, день и год в римские.
Конвертер дат в римские цифры позволяет бесплатно конвертировать любую дату в римские цифры. Вам не нужно проходить какой-либо процесс регистрации для использования этого онлайн-инструмента.
Вам нужно будет уделить должное внимание и выполнить шаги, указанные ниже, для преобразования чисел в римские цифры.
Римские цифры включают в себя семь символов, в том числе I, V, X, L, C, D и M. Римские цифры стали играть свою роль, когда метод счета на пальцах вышел из-под контроля.
Просто введите дату, выберите формат и нажмите кнопку преобразования, чтобы получить даты в римских цифрах.
), тире (-), маркер (•), косая черта (/) и т. д. Дата 28 июня 1999 г. может быть записана римскими цифрами. как:
до дна- вот так- 2019 Римскими цифрами 
Преобразуйте 2019 в римскую цифру. что такое 2019 римскими цифрами? как написать 2019 римскими цифрами? введите обычный номер в поле, и он будет преобразован автоматически. Здесь текущая дата и время написаны римскими цифрами. поскольку в римской системе счисления нет нуля, час, минута и секунда в метках времени иногда становятся пустыми. 2019 год 2019 год начался во вторник и не был високосным. здесь вы можете прочитать больше о том, что произошло в 2019 году. число 2019. 2019 римскими цифрами 2019 римскими цифрами это mmxix. чтобы преобразовать 2019 год в римские цифры, напишем 2019 год в развернутом виде, т.е. 2019 = 1000 1000 10 (10 1) после чего заменив преобразованные числа соответствующими им римскими цифрами, получим 2019 = m m x (x i) = mmxix.
2022 римскими цифрами — mmxxii, а 2021 — римскими цифрами mmxxi. первые десять римских цифр — это i, ii, iii, iv, v, vi, vii, viii, ix и x. Последние десять преобразований календарных дат в римские цифры. даты конвертируются в римские цифры; 8 октября 2017 г. = x • viii • mmxvii: 11 сентября, 08:19(бст). Этот простой конвертер римских цифр можно использовать в любое время для преобразования чисел в римские цифры. если вам нужно преобразовать арабские цифры в римские, просто введите число в поле справа и нажмите кнопку «преобразовать в римские». вы получите точное представление числа римскими цифрами.
удовольствия на свой счет. Все мы получаем огромное количество Cool about 2019 римскими цифрами интересная фотография, но большинство из нас показывают только то, что мы считаем лучшим чтением.
Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как как найти общее решение системы линейных уравнений,найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений,найти общее решение системы линейных уравнений найти частное решение,общее и частное решение системы линейных уравнений,общие и частные решения отличаются по,системы линейных уравнений частное и общее решение,слау примеры решения,частное и общее решение системы линейных уравнений. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти общее решение системы линейных уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, найти общее решение системы линейных уравнений найти частное решение).
Пусть этот коэффициент будет равен 2.
Для этого представим нынешний коэффициент при иксе как
и далее, производя действия с дробями, получаем:
Найти предел .
Тригонометрическая функция под знаком предела вновь наталкивает на мысль о применении первого замечательного предела.
Представляем его как отношение синуса к косинусу.
Затем умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю. И дальнейшие преобразования. Всё
вышеописанное выглядит так:
И большинство студентов, которые пропускают пары, заочно изучают этот курс или имеют преподавателей, которые сами не всегда понимают о чем объясняют, не могут вычислить самых элементарных примеров на замечательные пределы. Из формул первого замечательного предела видим, что с их помощью можно исследовать неопределенности типа ноль разделить на ноль для выражений с тригонометрическими функциями. Рассмотрим сначала ряд примеров на первый замечательный пределу, а потом изучим второй замечательный предел.
2 
Далее выполняем замену переменных в пределе, и используем периодичность котангенса
(x-2)
Для получения конечного значения используем формулу следствия 2 замечательного предела
Если заучить приведенные методики нахождения пределов Вам трудно, то всегда можете заказать контрольную работу на пределы у нас.
2}<\left|AB\right|<\left|\overset\frown{ADB}\right|\)
Подставим в двойное неравенство (в) и воспользуемся четностью косинуса и нечетностью синуса:
0}2=1\)
Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида .
Чистовой вариант решения может выглядеть так:
{0}\right]$
{2}-5 x+6}=-4$
307-68.
Какой должна быть стрелка, показано на
рисунке 6, б. Выносные линии выходят за концы стрелок размерной линии на 1…5
мм. Выносные и размерные линии проводят сплошной тонкой линией. Над размерной
линией, ближе к ее середине, наносят размерное число.
7. Нанесение размера окружностей
Например, запись на чертеже «3 отв. 0 10» означает, что в детали
имеются три одинаковых отверстия диаметром 10 мм.
Сторона клетки равна 5 мм. Проставить размеры.
Работа выполняется на листе формата А4
Приведите пример условных обозначений
применяемых на чертеже.
Нанесите необходимые размеры, укажите толщину детали (она равна 4 мм).
/
С.К. Боголюбов. — М.: Альянс, 2016. — 390 c.
—
М.: ИЦ Академия, 2013. — 320 c.
Возможна
простановка нескольких типов линейных, угловых, радиальных размеров,
диаметрального размера, размеров высоты и дуги. Кроме того, доступен
специальный способ простановки размеров, при котором тип размера автоматически
определяется системой.
Угловой размер
характеризует величину угла.
Расстояние между параллельными размерными линиями должно быть
не менее 7 мм.
(см. п. 1).
(см. п: 1, 2, 3, 4, 5,
6).
Текст размерной надписи может быть отредактирован
с помощью диалогового окна Задание размерной надписи. 
Точки т1 и т2—точки привязки (точки выхода основных линий). Система
автоматически располагает выносные линии параллельно друг другу, а размерную
линию перпендикулярно им. Если длина размерной линии меньше суммарной длины
двух стрелок, стрелки автоматически будут сформированы снаружи выносных линий.
На расстоянии от 6 — 10 мм
от контура детали проводят параллельную ему размерную линию.
Равномерно распределяем размеры на все виды.
Осталось проставить размер окружности.
Выберите кнопку Полная размерная линия.
Местоположение
размера определяется наличием свободного места.
Повторение изученного материала.
Линейные размеры на чертежах указывают в
миллиметрах, без обозначения единицы измерения.
В заштрихованной
зоне наносить размерные числа не рекомендуется.
В этом случае размерные числа указывают на
горизонтально нанесенных полках.
youtube.com/embed/2CJUJZvacwU?rel=0&fs=1&wmode=transparent» allow=»autoplay; fullscreen; encrypted-media» allowfullscreen=»true» frameborder=»0″ scrolling=»no» title=»JoomlaWorks AllVideos Player»>
38).
Если для нанесения размерного числа недостаточно места над размерной линией, то размеры наносят, как показано на рис. 40, б; если недостаточно места для нанесения стрелок, то их наносят, как показано на рис. 40, в.
41, б).
После чего на вкладках окна Modyfy Dimension Style задать характеристик размеров.
Команда DIMLINEAR (DLI) ( Линейный ) Способы ввода команды:
Откроется окно многострочного текстового редактора Multiline Text Editor, в котором можно внести изменения в размерный текст. Угловые скобки < > обозначают размерное число, определенное системой.
Используется для нанесения вертикального размера. Система выдаст запрос на положение размерной линии : Specify dimension line location or [ Mtext / Text / Angle ] :
Выбрать опцию Rotated
Размер наносится аналогично линейному.
Размерная линия для данного размере не должна быть вертикальной или горизонтальной.
by/showthread.php?t=11&page=13web page example
<a title=»web page example» href=»https://superforum.diva.by/threads/%D0%9A%D0%B0%D0%BA-%D0%B2%D1%8B-%D1%83%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%B5%D1%82%D0%B5-%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%81%D1%8B-%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B-%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%82%D1%8B-%D0%B8%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B.159/page-10web page example
<a title=»web page example» href=»http://sfc.by/forum/viewtopic.php?p=440828#440828web page example
Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).
Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны
Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.
Рейсовые ракеты летают по следующим
маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера;
Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий –
Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн –
Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли
долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?
При этом и
картинки, нарисованные для каждой задачи,
оказались похожими: каждая картинка – это
несколько точек, некоторые из которых соединены
линиями.
Чтобы найти число
проводов, надо просуммировать степени всех
вершин графа и полученный результат разделить на
2 (т.к. каждый провод имеет два конца, то при
суммировании степеней каждый провод будет взят 2
раза). Но тогда количество проводов получится
разным . Но это число не
целое. Значит наше предположение о том, что можно
соединить каждый телефон ровно с пятью другими,
оказалось неверным.
е.
непрерывной последовательностью ребер.
Существует целый ряд задач, решение которых
основано на понятии связности графа.
”
А так как
компонента связности – связный граф, то из
столицы существует путь по ковролиниям до города
Дальний, что и требовалось доказать.
То есть все вершины графа,
кроме двух должны быть четными. В нашем же графе
имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя
нарисовать указанным в условии способом.
Занумеруем клетки доски, как
показано на рисунке:
Значит долететь из города 1 в город 9
нельзя.
задачу 3). Тогда 100 = Зх/2 =>
Зх=200, чего не может быть при натуральном х. Значит
100 дорог в таком государстве быть не может.
Турист обошел все острова, пройдя
по каждому мосту розно 1 раз. На острове
Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов
ведет с Троекратного, если турист
Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля–Меркурий, Плутон–Венера, Земля–Плутон, Плутон–Меркурий, Меркурий–Венера, Уран–Нептун, Нептун–Сатурн, Сатурн–Юпитер, Юпитер–Марс и Марс–Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?
Среди девяти монет есть одна фальшивая, которая легче других. Определите ее с помощью двух взвешиваний на рычажных весах.
Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Борис звонил Андрею и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею, Володе и Борису. Кто не сумел созвониться и поэтому не пришёл на встречу?
Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?
Учебник — М.: Вентана-Граф (Российский учебник). Электронная ознакомительная версия для покупки пособия. Цитаты из книги использованы в учебных целях.
Изучая математику, вы будете расширять список соответствующих моделей. Сейчас познакомимся с методом, применение которого основано на построении математической модели в виде геометрической фигуры. Заметим, что вы уже использовали элементы этого приёма, когда в задачах на движение строили различные схемы: движения в одном направлении, в противоположных направлениях, навстречу друг другу и т. п.
Подсчитаем, сколько отрезков будет на этой схеме. Имеем: 5*3 = 15 (отрезков). Однако при таком подсчёте каждый отрезок был учтён дважды. Получается, что количество отрезков равно 15/2. Это число не является целым. Получили противоречие.
Это слово произошло от латинского grafito — пишу.
На самом деле имеет место более общий факт: в любом графе количество вершин, степень которых нечётная, является чётным числом. Он следует из того, что сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному количеству его рёбер, а следовательно, является чётным числом.
Углубленный уровень: 7 класс. Учебник — М.: Вентана-Граф, 2019 (Российский учебник). 4. Решение задач с помощью графов.
) и повседневной жизни.
Многие алгоритмические задачи дискретной математики могут быть сформулированы как задачи, так или иначе связанные с графами, например задачи, в которых требуется выяснить какие-либо особенности устройства графа, или найти в графе часть, удовлетворяющую некоторым требованиям, или построить граф с заданными свойствами.
Линия указывает на связь между двумя точками.
Вам хорошо известно понятие «родословное дерево» и вы можете изобразить в такой форме ваши родственные отношения. Каталог файлов на диске, также как и библиотечный каталог — примеры информационных моделей в форме дерева.
Получается граф (2) дающий решение задачи.
Арман, Мадии, Тимур, Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. Когда их спросили о распределений мест, они дали три ответа: Сергей – первый, Мади– второй, Сергей -второй, Арман – третий, Тимур – второй, Арман – четвертый. Известно, что в каждом ответе только одно утверждение верно. Как распределились места?
Нарисуй схему и сосчитай все возможные пути из города А в город В. Ответ: 6 партий .
Информатика дает инструмент для познания любой научной дисциплины.
Представление данных в виде графа придает им наглядность и простоту.
Рис. 2
..».
Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами. 
(рис.3)
Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?
Историк может говорить с математиком по-французски. Физик, биолог и математик не могут беседовать втроем на одном языке. Какими двумя языками владеет биолог (укажите названия языков в именительном падеже через пробел).
Получается граф G2 — решение задачи.
Эту фигуру можно начертить одним росчерком. Основываемся при решении на
е. нельзя будет провести одно из ребер Б1, Б2 или Б3. которое не пересекло бы уже имеющихся в графе ребер).
Что подтверждает нашу гипотезу.
Весёлые задачи, Я. И. Перельман, Москва, 2003г
Степенью вершины графа называется число ребер, которым эта вершина принадлежит. Вершина называется изолированной, если ее степень равна единице и висячей, если ее степень равна нулю.
Незамкнутый маршрут (путь) называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называется простой цепью.
Записать матрицы смежности и инцидентности для графа, изображенного на рисунке.
е. — матрица смежности.
