Разное — Страница 2757 — Таловская средняя школа

Время (секунды)	Высота (метры)
0	0
1	2
2	4
3	13
4	25
5	32

Время (секунды)	(м / с)
0	2
1	2
2	5.5
3	10,5
4	9,5
5	7

Нахождение производной по определению: Определение производной функции в точке

alexxlab / 26.06.197025.07.2021 / Разное

Определение производной функции в точке

Определение производной

Производная функции в точке: Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x.
Производной f′(x) функции f(x) в точке x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, когда последний стремится к нулю:
(1) .
Приращением аргумента: функции в точке x называется разность значений аргумента в некоторой точке и точке x: .
Приращением функции: в точке x называется разность значений функции в некоторой точке и точке x: .
Дифференцирование: – это процесс вычисления производной.

В определении (1), приращение аргумента является одной переменной, хотя ее обозначение состоит из двух букв. Обычно переменную принято обозначать одной буквой или буквой с одним или несколькими индексами. Но приращение в математическом анализе настолько часто встречается, что его обозначают с небольшим нарушением правил. Приращение функции также является одной переменной. В приведенном выше определении, является независимой переменной, а – зависимой, то есть функцией. Она зависит от двух переменных: x и : ; или от x и : . Но при вычислении предела (1), мы считаем, что x является фиксированным, заданным числом. Тогда , как и все выражение за знаком предела является функцией от одной переменной . Таким образом задача о нахождении производной сводится к задаче о вычислении предела от функции , зависящей от одной переменной ; или от функции , зависящей от одной переменной .

В правой части (1) мы сделали замену, и перешли от переменной к переменной . Тогда . При ,
.

После того, как мы нашли производную в заданной точке, то x уже можно считать не фиксированным числом, а переменной. То есть предел (1) можно рассматривать как функцию от x. Еще раз подчеркнем, что выражение является функцией от двух переменных: x и . А выражение , полученное после вычисления предела, зависит только от одной переменной x.

Примеры вычисления производной, используя определение

Все примеры Здесь и далее мы приводим подробные решения примеров, в которых нужно вычислить производную функции , используя определение ⇑:
решение ⇓ ; ⇓ ; ⇓ .

Пример

Все примеры ⇑ Найти производную функции , используя определение производной.

Решение

Функция определена для всех x. Поэтому она определена в любой окрестности любой точки x. Используем определение (1). Считаем, что x – фиксированное число, то есть что его значение задано. Найдем приращение функции в точке x:

.
Находим отношение приращения функции к приращению ее аргумента:
.
Находим предел функции , зависящей от переменной . При этом считаем, что x является фиксированным, заданным числом:
.

Итак, мы нашли производную:
.
Поскольку вычисленный нами предел существует, и является конечным числом для всех x, то функция имеет производную для всех значений аргумента x.

Ответ

Обозначение производной

Обозначение Лагранжа

Наиболее популярным является обозначение Лагранжа. Производную функции обозначают как и саму функцию, добавляя штрих после ее характеристики: . Если функция задана алгебраическим выражением, то это выражение заключают в скобки, и ставят знак штриха справа за закрывающей скобкой: . При этом производная также является функцией от той же переменной x, что и . Правда область определения производной может не совпадать с областью определения функции, а является ее подмножеством.

Напомним, что в обозначении функции фигурируют три символа: независимая переменная, характеристика функции и зависимая переменная (см. «Определение функции»). Так, в выражении
(2) ,
x является независимой переменной, или аргументом функции; f – характеристикой функции; y – зависимой переменной, или значением функции. Обозначение зависимой переменной может совпадать или не совпадать с обозначением характеристики.

Когда мы имеем дело с производной, то независимую переменную обозначают так же, как и независимую переменную функции. В нашем случае это x.

Характеристику производной обозначают тем же символом, что и характеристику функции, добавляя штрих: . Если функция зависит от нескольких переменных, например
(3) ,
но все кроме одной считают постоянными, то к характеристике производной добавляют нижний индекс, обозначающий ту переменную, по которой, в данной задаче, вычисляют производную. При этом знак штриха может быть опущен. Например, следующие два обозначения эквивалентны: . Здесь подразумевается, что переменные и мы считаем постоянными. Тогда, в данный момент, является функцией от одной переменной . Подобные производные функций от нескольких переменных называются частными производными. Детально они будут рассмотрены позже.

Зависимую переменную производной обозначают аналогично характеристике, добавляя штрих к обозначению зависимой переменной функции. Так, для примера (2), это будет : . Если функция зависит от нескольких переменных, то к обозначению добавляют нижний индекс с обозначением переменной, по которой выполняется дифференцирование. При этом знак штриха также может быть опущен. Например, для функции (3), зависимая переменная производной по переменной может обозначаться как , или как : .

Нижний индекс добавляют и при вычислениях, связанными со сложными функциями. Пусть, например, функцию можно представить как сложную: , составленную из двух функций: и . При этом множества значений функций и совпадают. Поэтому их удобно обозначить одной переменной y. Тогда производную от y, выраженную через переменную x, обозначают как : . А производную от y, выраженную через переменную , обозначают как : .

Обозначение производной по времени в физике

В механике и физике, производную по времени обозначают не штрихом, а точкой над переменной. Обычно время обозначают буквой t. Тогда
.

Обозначение Лейбница

В способе Лейбница, зависимую переменную обозначают в форме дифференциалов:
.
Этот способ удобен, поскольку указывает, по какой переменной ведется дифференцирование. Такой способ применяется только для функций от одной переменной. Для функций от многих переменных используют обозначение частной производной: .

Иногда в форме дифференциалов обозначают характеристику производной, добавляя справа аргумент:
.
Однако этот способ не очень удобен.

Обозначение Коши

Также, для обозначения производной, используют обозначение Коши:
.
Но мы не будем им пользоваться.

Существование производной

Рассмотрим предел, который используется при вычислении производной, при заданном значении x:
(4) .
Здесь могут возникнуть три случая: 1) в точке x существует конечный предел (4); 2) существует бесконечный предел или ; 3) предела (4) не существует.

1) Если существует конечный предел (4), то говорят, что функция имеет производную в точке x.

2) Если в некоторой точке x существует бесконечный предел (4), то производной в этой точке не существует. Поскольку в определении ⇑ указано, что производной называется конечный предел. Однако при этом говорят, что функция f имеет в точке x бесконечную производную, равную или .

3) Если предела (4) не существует, то функция не имеет производной в точке x.

Пример бесконечной производной +∞

Все примеры ⇑ Найдем производную функции .

Решение

Производная функции в точке x = 0 равна плюс бесконечности.

Функция определена для всех x. Найдем отношение приращения функции к приращению ее аргумента в точке x:
.
Применим формулу . Тогда
;
(5) .
Считаем, что x является фиксированным числом. Тогда отношение является функцией от одной переменной : . При она определена для всех . При она определена для всех .

Пусть . Тогда:
.
Пусть . Подставим в (5) :
.
Поскольку , то
.

Ответ

Таким образом мы нашли, что функция имеет производную для всех . При функция не имеет производной, она равна .

Производные справа и слева

Определение

Правая (левая) производная функции f в точке x: Пусть функция f(x) определена в правой окрестности точки x. Тогда правой производной функции f в точке x называется правый предел
.
Соответственно, если функция определена в левой окрестности x, то левой производной функции f в точке x называется левый предел
.
Правую (левую) производную также называют производной слева (справа) в точке x, или правосторонней (левосторонней) производной в точке x.

Лемма об односторонних производных

Функция имеет в точке x производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производные справа и слева, и они равны: . При этом
.

Доказательство

Для доказательства применим теорему об односторонних пределах.

Пусть существует производная функции в точке x. Это означает, что она определена в некоторой окрестности точки x, и существует конечный предел функции при :
.
Но тогда существуют правая и левая окрестности точки x, на которых определена. По теореме об односторонних пределах, существуют равные правый и левый пределы:
.
Отсюда следует, что в точке x существуют односторонние производные
.

Пусть теперь, в точке x, существуют равные односторонние производные:
.
Это означает, что существуют правая и левая окрестности точки x, в которой определена . И существуют односторонние равные пределы:
.
Отсюда следует, что существует двусторонняя окрестность точки x, на которой определена . И по теореме об односторонних пределах, существует двусторонний предел:
.
Это означает, что в точке x существует производная
.

Лемма доказана.

Следствие

Если функция имеет в точке x не равные односторонние производные, то она не имеет производной в этой точке.

Действительно, допустим противное. Пусть функция имеет в точке x не равные односторонние производные, но при этом имеет производную в этой точке. Тогда, согласно лемме об односторонних производных, она имеет в этой точке равные производные слева и справа, что противоречит предположению.

Пример

Все примеры ⇑ В качестве примера, найдем производную функции .

Решение

Функция y = |x| не имеет производной в точке x = 0.

Функция определена для всех значений аргумента x. Поэтому она определена в любой окрестности произвольной точки x.

1. Пусть . Тогда ,
.

2. Пусть . Тогда ,

.

3. Рассмотрим точку . В ней
.
Найдем производную справа в точке . При этом ,
.
Теперь найдем производную слева в точке . В этом случае ,
.

Итак, мы нашли, что односторонние производные в точке существуют, но не равны:
.
Согласно следствию леммы об односторонних производных, производной функции в точке не существует.

Ответ

;
;
.
В точке производная не существует.

Использованная литература:
Г.Е. Иванов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, МФТИ, 2018.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 05-12-2020

Урок 10. определение производной. физический смысл производной — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №10. Определение производной. Физический смысл производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение производной;

2) Физический смысл производной;

2) Приращение функции;

3) Скорость материальной точки в заданный момент времени по данному закону движения.

Глоссарий по теме

Пусть функция y=f(x) определена в точках x₀ и x₁. Разность x₁−x₀ называют приращением аргумента (при переходе от точки x₀ к точке x₁), а разность f(x₁)-f(x₀) называют приращением функции.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x₀, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x₁-x₀=Δx, значит, x₁=x₀+Δx.

f(x₁)-f(x₀)=Δy, значит,

Δy=f(x₀+Δx)-f(x₀). (1)

Нельзя истолковывать термин «приращение» как «прирост».

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x_0,если f(x)= x², x₀=2 и х=1,9

Решение:

Δx= x₁−x₀=1,9-2=-0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=1,9²-2²=-0,39

Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

Пример 2.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x_0,если f(x)= x², x₀=2 и х=2,1

Решение:

Δx= x₁−x₀=2,1-2=0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=2,1²-2²=0,41

Ответ: Δx=0,1; Δf =0,41

Пример 3.

Найдем приращение Δf функции в точке x₀,если приращение аргумента равно x₀.

Решение:

по формуле (1) находим:

Ответ: .

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t₀; t₀+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t₀+∆t; t₀]).

Аналогично выражение называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х₀ и х₀+∆х.

Обозначение: y’ или f’(x)

Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Схема вычисления производной функции

Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:

∆y=y(x+∆x)-y(x)

Разделить приращение функции на приращение аргумента:

Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 4.

Вычислить производную функции y=x²

Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:

∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х²

Ответ: y’=2x.

Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

Пример 5.

Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.

Решение:

найдем ∆t= 1-0,8=0,2

S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t)

S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t)

Ответ: _.

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx.

Нахождение производной

Нахождение производной

Если вас интересуют общие вопросы и само понятие производной, вы можете посмотреть цикл демонстрационных видеороликов от автора данного сайта Максима Семенихина на тему «Понятие производной».

Понятие о скорости возрастания и убывания функции (6:01)
Вычисление скорости возрастающей функции (2:05)
Вычисление скорости убывающей функции (2:18)
На разных промежутках – разная скорость (4:15)
Средняя и мгновенная скорости (3:38)
Средняя скорость возрастания функции (1:59)
Определение производной как скорости (2:50)
Пример вычисления производной по определению (3:46)
Обозначение производной (1:41)

а также видеоурок

Вычисление производных сложных функций (14:51)

Для нахождения производной функции в общем случае необходимо знать следующее:

Таблицу производных элементарных функций.
Правила дифференцирования.
Как находить производную сложной функции.

Таблица производных элементарных функций представлена ниже:

Для нахождения производной суммы, произведения и частного функций используются три правила дифференцирования:

Для нахождения производной сложной функции используется формула

f(g(x))’ = f ‘(g(x)) · g‘(x)

Нахождение производной сложной функции – вопрос, заслуживающий отдельного рассмотрения. Вы можете просмотреть видеоурок «Вычисление производных сложных функций».

Онлайн калькулятор
для нахождения производной
любой функции

Для нахождения производной любой функции вы можете воспользоваться калькулятором (виджетом WolframAlpha) вверху страницы. Просто введите функцию в текстовое поле, нажмите кнопку «=» и получите результат.
Для того, чтобы получить пошаговое объяснение нахождению производной, нажмите ссылку «Step-by-step Solution», которая появится после нажатия кнопки «=».

Общее определение производной. Производная суммы и разности

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+	0	—	0	+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Операция отыскания производной называется дифференцированием.
В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.
Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.
Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.
Таблица производных простых функций
Правила дифференцирования
1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции
причём
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.
Правило 2. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение
причём
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей:
Правило 3. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Где что искать на других страницах
При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .
Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.
А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).
Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.
По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .
Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.
Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».
Пошаговые примеры — как найти производную
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:
Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:
Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:
Пример 4. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:
Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .
Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .
Пример 5. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Пример 6. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Составить отношение и вычислить предел .
Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования ? Благодаря единственному пределу . Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:
Пример 1
По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: .
Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке.
Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции , в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим предел:
Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение :
Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций .
Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала , то, осуществив замену , получаем:
Ответ
В который раз порадуемся логарифмам:
Пример 2
Найти производную функции , пользуясь определением производной
Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву .
Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую области определения функции (интервалу ), и зададим в ней приращение . А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения.
Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а – живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа».
Устранение неопределённости закомментирую пошагово:
(1) Используем свойство логарифма .
(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель.
(3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качестве бесконечно малой величины выступает .
Ответ : по определению производной:
Или сокращённо:
Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
Пример 3
В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).
Пример 3: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции . Зададим в данной точке приращение и составим соответствующее приращение функции:

Найдём производную в точке :

Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции , то и
Ответ : по определению производной
Пример 4
Найти производную по определению
А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом.
Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1-м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой .
Пример 4: Решение , принадлежащую , и зададим в ней приращение

Найдём производную:

Используем замечательный предел

Ответ : по определению
Пример 5
Найти производную функции , используя определение производной
Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , изададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:
Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку (число) и находим в ней значение функции: , то есть в функцию вместо «икса» следует подставить . Теперь берём тоже вполне конкретное число и так же подставляем его в функцию вместо «икса»: . Записываем разность , при этом необходимо полностью взять в скобки .
Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела.
Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём замену и получим .
Ответ : по определению.
В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы :
Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения.
Пример 6
Найти производную функции по определению производной
Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:
Пример 6: Решение : рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента . Тогда соответствующее приращение функции:

Вычислим производную:

Таким образом:
Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то и
Ответ : по определению.
Вернёмся к стилю №2:
Пример 7

Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции :
Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:
Найдём производную:

(1) Используем тригонометрическую формулу .
(2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые.
(3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель.
(4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое .
(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
Ответ : по определению
Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым».
Пример 8
Пользуясь определением, найти производную функции
Пример 8: Решение : рассмотрим произвольную точку , принадлежащую , зададим в ней приращение и составим приращение функции:

Найдём производную:

Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:

Ответ : по определению
Разберём более редкую версию задачи:
Пример 9
Найти производную функции в точке , пользуясь определением производной.
Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число
Вычислим ответ стандартным способом:
Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формуле вместо рассматривается конкретное значение.
Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение к первому замечательному пределу :
Ответ : по определению производной в точке.
Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.
Пример 10
Используя определение, найти производную функции в точке (одно из которых может оказаться и бесконечным) , о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной .
Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы и в точках «стыка» графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке . Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11
В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:
Значение производной в некоторой точке x 0 ,
Точки максимума или минимума (точки экстремума),
Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).
Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.
Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.
Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.
Вычисление значения производной. Метод двух точек
Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:
Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.
Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.
Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .
Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .
Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.
Вычисление точек максимума и минимума
Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:
Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).
Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:
Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.
Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.
Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:
Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.
Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:
Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].
Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:
На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.
Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.
Нахождение интервалов возрастания и убывания функции
В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:
Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:
Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.
Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:
Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.
Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:
Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:
Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.
Определение производной правила дифференцирования. Производная по определению (через предел)
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.
Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.
Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.
Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g» означает, что мы будем находить производную функции g.
Таблица производных
Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.
(sin x)»=cos x
(cos x)»= –sin x
(x n)»=n x n-1
(e x)»=e x
(ln x)»=1/x
(a x)»=a x ln a
(log a x)»=1/x ln a
(tg x)»=1/cos 2 x
(ctg x)»= – 1/sin 2 x
(arcsin x)»= 1/√(1-x 2)
(arccos x)»= — 1/√(1-x 2)
(arctg x)»= 1/(1+x 2)
(arcctg x)»= — 1/(1+x 2)
Пример 1. Найдите производную функции y=500.
Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).
Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .
Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).
(x 100)»=100 x 99
Пример 3. Найдите производную функции y=5 x
Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.
Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x
Производную логарифма найдем по формуле 7.
(log 4 x)»=1/x ln 4
Правила дифференцирования
Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С — константа.
1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной
Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8
Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.
(6*x 8)» = 6*(x 8)»=6*8*x 7 =48* x 7
2. Производная суммы равна сумме производных
(f + g)»=f» + g»
Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x
Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)»=100 x 99 и (sin x)»=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:
(x 100 +sin x)»= 100 x 99 +cos x
3. Производная разности равна разности производных
(f – g)»=f» – g»
Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x
Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)»= – sin x.
(x 100 – cos x)»= 100 x 99 + sin x
Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .
В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:
(e x)»=e x , (tg x)»=1/cos 2 x, (x 2)»=2 x. Тогда производная исходной функции равна:
(e x +tg x– x 2)»= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Производная произведения
(f * g)»=f» * g + f * g»
Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x
Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)»=–sin x и (e x)»=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.
(cos x* e x)»= e x cos x – e x *sin x
5. Производная частного
(f / g)»= f» * g – f * g»/ g 2
Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x
Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)»=50 x 49 и (sin x)»= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:
(x 50 /sin x)»= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Производная сложной функции
Сложная функция — это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:
(u (v))»=u»(v)*v»
Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) — сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v — внутренней.
Например:
y=sin (x 3) — сложная функция.
Тогда y=sin(t) — внешняя функция
t=x 3 — внутренняя.
Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.
(sin t)»=cos (t) — производная внешней функции (где t=x 3)
(x 3)»=3x 2 — производная внутренней функции
Тогда (sin (x 3))»= cos (x 3)* 3x 2 — производная сложной функции.
Урок на тему: «Что такое производная? Определение производной»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Что будем изучать:
1. Введение в понятие производной.
2. Чуть-чуть истории.
4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной.
6. Дифференцирование функции.
7. Примеры.
Введение в понятие производной
Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:
А) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет.
б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет.
в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии.
г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной.
Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной.
Чуть-чуть истории
Термин производная ввел великий математик – Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже.
Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно.
Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная.
Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0).
Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком:
На математическом языке: производная — предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
На обычном языке: производная – скорость изменения функции в точке x0.
Давайте посмотрим на графики трех функций:

Ребята, как вы думаете, какая из кривых растет быстрее?
Ответ, кажется, очевиден всем 1 кривая растет быстрее остальных. Мы смотрим, насколько круто идет вверх график функции. Другими словами — насколько быстро меняется ордината при изменении х. Одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.
Производная на графике функции. Геометрический смысл производной
Теперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции:

Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.
Определение. Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
И так производная нашей функции равна:

И так производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной.
Алгоритм нахождения производной функции y=f(x).
а) Зафиксировать значение x, найти f(x).
б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx).
в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x).
г) Составить соотношение: Δy/Δx
д) Вычислить
Это и есть производная нашей функции.
Дифференцирование функции
Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).
Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную.
И так запишем выше сказанное как определение:
Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует.
Примеры производной
Найти производную функции: y=3x
Решение:
Будем пользоваться алгоритмом поиска производной.
1) Для фиксированного значения x, значение функции y=3x
2) В точке x+ Δx, y=f(x+ Δx)=3(x+ Δx)=3x+3 Δx
3) Найдем приращение функции: Δy= f(x+ Δx)-f(x)= 3x+3 Δx-3x=3Δ

Дата: 20.11.2014
Таблица производных.
Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.
Это знакомство позволит:
Понимать суть несложных заданий с производной;
Успешно решать эти самые несложные задания;
Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.
Сначала — приятный сюрприз.)
Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!
Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.
Приступим к знакомству?)
Термины и обозначения.
В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.
Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.
Дифференцирование — действие над функцией.
Производная — результат этого действия.
Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.
Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.
Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y» или f»(x) или S»(t) и так далее.
Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…)
Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)» , (x 3 )» , (sinx)» и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.
Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.
Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:
1. Таблица производных (формулы дифференцирования).
3. Производная сложной функции.
Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.
Таблица производных.
В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.
Дифференцирование функций «с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)
Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.
Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)
Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету…
Рассмотрим несколько примеров:
1. Найти производную функции y = x 3
Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:
(x 3) » = 3·x 3-1 = 3x 2
Вот и все дела.
Ответ: y» = 3x 2
2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.
Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция.
По табличке находим синус и соответствующую производную:
y» = (sin x)» = cosx
Подставляем ноль в производную:
y»(0) = cos 0 = 1
Это и будет ответ.
3. Продифференцировать функцию:
Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.
Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает…
Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!
Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:
Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это — табличная функция. Сразу получаем:
Ответ: y» = — sin x .
Пример для продвинутых выпускников и студентов:
4. Найти производную функции:
Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:
А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:
Вот и всё. Это будет ответ.
Надеюсь, что с первым китом дифференцирования — таблицей производных — всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.

в точке — Производные функций

Подборка по базе: МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ПЗ.docx, метода принятия управленческих решений.docx, Методы принятия управленческих решений.docx, физра примеры разминки.docx, Совершенствование управленческих решений.docx, ЗАДАЧИ.Обеспечение исполнения решений суда.docx, Реферат по Методу управленческих решений.docx, ЛИСТ ОТВЕТА РЕШЕНИЙ КЕЙС-ЗАДАЧ.docx, Система поддержки принятия решений по выбору тура.docx, Гидролиз органических веществ, уравнения и примеры.pdf
1 2 3 4 5 6 7 8 в точке определяется формулой:
Напоминаю обозначения и термины называют приращением аргумента
– приращением функции
– это ЕДИНЫЕ символы (дельту нельзя отрывать от икса или игрека. Очевидно, что является динамической переменной, – константой и результат вычисления предела
– числом иногда – плюс либо минус бесконечностью).
В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение , принадлежащее области определения функции
, в котором существует производная.
! Примечание оговорка в котором существует производная – в общем случае существенна Так, например, точка
хоть и входит в область определения функции
, но производной там не существует. Поэтому формула неприменима в точке и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с обрывами графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса.
Таким образом, после замены
, получаем вторую рабочую формулу:
Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника в данном пределе икс, будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а динамику задаёт опять же приращение
. Результатом вычисления предела является производная функция Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач Найти производную в точке, используя определение производной Найти производную функцию, используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание.
Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число как вариант, бесконечность, а во втором – функцию. Кроме того, производной может и вовсе не существовать.
Как найти производную по определению Составить отношение
и вычислить предел Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования Благодаря единственному пределу. Кажется волшебством, нов действительности – ловкость руки никакого мошенничества. На уроке Что такое производная я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожить таблицу производных, оттачивая алгоритм и технические приёмы решения:
Пример Найти производную функции
, пользуясь определением производной По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке. Рассмотрим некоторую (конкретную) точку , принадлежащую области определения функции
, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение
разумеется, не выходящее за рамки о/о-я) и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим предел:
Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменательна сопряженное выражение Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций.
Итак, Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точку интервала

, то, осуществив замену
, получаем:
Ответ: по определению производной Готово. В который раз порадуемся логарифмам:
Пример Найти производную функции
, пользуясь определением производной
Решение: рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален сточки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы вначале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву Рассмотрим произвольную точку
, принадлежащую области определения функции
(интервалу
), и зададим в ней приращение
. А вот здесь, кстати, как ив большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области
определения.
Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может
возникнуть у начинающих (да и не только. Ведьмы привыкли, что в пределе изменяется буква икс Но тут всё по-другому: – античная статуя, а
– живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть икс – это как бы константа».
Устранение неопределённости закомментирую пошагово:
(1) Используем свойство логарифма
(2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель) В знаменателе искусственно домножаем и делим на икс чтобы воспользоваться замечательным пределом
, при этом в качестве бесконечно малой величины выступает Ответ по определению производной Или сокращённо: Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы:
Пример Найти производную по определению В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ).
Пример Найти производную по определению
А тут всё необходимо свести к замечательному пределу Решение оформлено вторым способом.
Аналогично выводится ряд других табличных производных. Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книги доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой Переходим к реально встречающимся заданиям:
Пример Найти производную функции
, используя определение производной
Решение: используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , изададим в ней приращение аргумента
. Тогда соответствующее приращение функции:
Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение
. Берём точку (число) и находим в ней значение функции
, то есть в функцию вместо икса следует подставить . Теперь берём
тоже вполне конкретное число итак же подставляем его в функцию
вместо икса. Записываем разность, при этом необходимо полностью взять в
скобки.
Составленное приращение функции
бывает выгодно сразу же упростить. Зачем Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела. Используем формулы, раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить:
Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем:
В итоге Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число,
то проведём замену и получим Ответ по определению.
В целях проверки найдём производную с помощью правил
дифференцирования и таблицы:
Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию быстрым способом в самом начале решения.
Пример Найти производную функции по определению производной
Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности:
Вернёмся к стилю Пример Пользуясь определением, найти производную функции
Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции:
Решение: рассмотрим произвольную точку
, принадлежащую, зададим в ней приращение аргумента и составим приращение функции:
Найдём производную

(1) Используем тригонометрическую формулу) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель) В силу нечётности синуса выносим минус. Под косинусом указываем, что слагаемое
(5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел
. Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат.
Ответ: по определению
Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в
сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться го варианта с икс нулевым».
Пример Пользуясь определением, найти производную функции
Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример.
Разберём более редкую версию задачи:
Пример Найти производную функции в точке
, пользуясь определением производной.
Во-первых, что должно получиться в сухом остатке Число
Вычислим ответ стандартным способом:
Решение: сточки зрения наглядности это задание значительно проще,
так как в формуле вместо
рассматривается конкретное значение. Зададим в точке приращение и составим соответствующее приращение функции:
Вычислим производную в точке:
Используем весьма редкую формулу разности тангенсов ив который раз сведём решение к первому замечательному пределу:
Ответ: по определению производной в точке.
Задачу не так трудно решить ив общем виде – достаточно заменить на или просто в зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция.
Пример Используя определение, найти производную функции в точке
Это пример для самостоятельного решения.
Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает:
Пример Будет ли дифференцируема функция в
точке Решение очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке
, но будет ли она там дифференцируема Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков) Находим левостороннюю производную в данной точке
2) Находим правостороннюю производную в данной точке
3) Если односторонние производные конечны и совпадают, то функция дифференцируема в точке и геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной. Если получены два разных значения
одно из которых
может оказаться и бесконечным, то функция не дифференцируема в точке Если же обе односторонние производные равны бесконечности пусть даже разных знаков, то функция
не дифференцируема в точке , нотам существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику см. Пример 5 урока Уравнение нормали

! Примечание таким образом, между вопросами Будет ли дифференцируема функция в точке и Существует ли производная в точке есть разница!
Всё очень просто) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно
, а слева от точки расположена парабола
, поэтому приращение функции равно:
И соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке) Справа от точки находится график прямой и приращение аргумента положительно
. Таким образом, приращение функции:
Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке) Односторонние производные конечны и различны Ответ функция не дифференцируема в точке
Ещё легче доказывается книжный случай недифференцируемости модуля в точке
, о котором я в общих чертах уже рассказал на теоретическом уроке о производной.
Некоторые кусочно-заданные функции дифференцируемы ив точках стыка графика, например, котопёс обладает общей производной и общей касательной (ось абсцисс) в точке
. Кривой, да дифференцируемый на ! Желающие могут убедиться в этом самостоятельно по образцу только что решённого примера.
На этом забавном гибриде и закончим повествование =) Решения и ответы:
Пример 3: Решение рассмотрим некоторую точку , принадлежащую области определения функции
. Зададим в данной точке приращение
и составим соответствующее приращение функции:
Найдём производную в точке Так как в качестве можно выбрать любую точку области определения функции
, то
и Ответ
по определению производной
Пример 4: Решение рассмотрим произвольную точку
, принадлежащую , и зададим в ней приращение
. Тогда соответствующее приращение функции:
Найдём производную:
Используем замечательный предел Ответ
по определению
Пример 6: Решение рассмотрим некоторую точку , принадлежащую , и зададим в ней приращение аргумента
. Тогда соответствующее приращение функции:
Вычислим производную:
Таким образом Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то
и
Ответ
по определению.
Пример 8: Решение рассмотрим произвольную точку
, принадлежащую , зададим в ней приращение
и составим приращение функции:
Найдём производную:
Используем тригонометрическую формулу и первый замечательный
предел:
Ответ:
по определению
Пример 10: Решение Зададим приращение
в точке
. Тогда приращение функции:
Вычислим производную в точке Умножим числитель и знаменательна сопряженное выражение:
Ответ:
по определению производной в точке Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной
точке?
На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей Как найти производную?
Производная сложной функции
и
Простейшие задачи с производными
Перечисленные уроки позволят чайникам быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно
либо
параметрически
Но сначала освежим воспоминания если функция дифференцируема в точке (те. если существует конечная производная
), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти последующей формуле
Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается если в точке существует бесконечная производная, то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид
. Дежурный пример функция с производной
, которая обращается в бесконечность вблизи критической точки. Соответствующая касательная выразится уравнением (ось ординат. Если же производной не существует например, производной отв точке
), то, разумеется, не существует и общей
касательной
Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:
Что такое нормаль Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке понятно, что касательная должна существовать. Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.
Как найти уравнение нормали Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм находим уравнение касательной и представляем его в
общем виде. Далее снимаем нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору .
Этот способ применять можно, нов математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная
, то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:
Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала обычные примеры Пример Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет набита рука =) Решение Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:
В данном случае:
Найдём производную Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной
функции
Теперь вычислим производную в точке
:
Получено конечное число и это радует. Подставим ив формулу
:
Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде
:
Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле Избавляемся от
трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума – искомое уравнение.
Ответ: Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению – верное равенство – верное равенство.
И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения, что и требовалось проверить.
Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых
! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке
. Это слабое звено задания – будьте предельно внимательны!
Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради:
Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция задаёт верхнюю дугу
эллипса
Следующая задача для самостоятельного решения:
Пример Составить уравнения касательной и нормали к графику функции
в точке Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Теперь разберём два особых случая) Если производная в точке равна нулю
, то уравнение касательной упростится То есть, касательная будет параллельна оси Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси
, а значите уравнение примет вид
2) Если производная в точке существует, но бесконечна, то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной
. И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси
, то её уравнение выразится зеркальным образом
Всё просто:
Пример Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке
. Сделать чертёж.
Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость. Решение составим уравнение касательной
В данном случае Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:
Таким образом:
Поскольку касательная параллельна оси
Случай №1), то нормаль, проходящая через туже точку
, будет параллельна оси ординат:
Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения Ответ
, В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так Касательная к графику функции – это прямая, имеющая сданным графиком единственную общую точку. Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.
Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда Пример Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке Краткое решение и ответ в конце урока
Случай №2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению
:
Пример Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке Решение в критической точке знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные
с помощью определения производной (см. конец статьи Производная по
1 2 3 4 5 6 7 8

Контрольный тест на тему: «Определение производной функции»
Тест: «Определение производной».
Вариант: №3.
1)
f(x)=f(x)-f(x₀)
2)
x=x-x₀
3)
4)
Задание №2
Дана функция y=f(x). x называется …
1)
независимой переменной
2)
зависимой переменной
3)
приращением аргумента
4)
приращением функции
Задание №3
Дана функция y=f(x). y называется …
1)
независимой переменной
2)
зависимой переменной
3)
приращением аргумента
4)
приращением функции
Задание №4
Производной функции y=f(x) называется …
1)
отношение приращения функции к приращению аргумента
2)
предел отношения приращения аргумента к приращению функции при приращении аргумента стремящемся к нулю
3)
предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю
4)
отношение приращения аргумента к приращению функции
Задание №5
Производная функции y=f(x) в точке x₀ вычисляется по формуле:
1)
f(x)=f(x)-f(x₀)
2)
x=x-x₀
3)
4)
Задание №6
Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:
f(x)=3x
1)
3
2)
2x
3)
x²
4)
x
Задание №7
Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:
f(x)=4x
1)
x
2)
4
3)
x²
4)
1
Задание №8
Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:
f(x)=6x-1
1)
x
2)
6
3)
6x²
4)
-6
Задание №9
Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:
f(x)=3x+45
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1)
3
2)
2x
3)
x²
4)
x
Задание №10
Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:
f(x)=6x²
1)
6x²
2)
12x
3)
12x²
4)
1
Задание №11
Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:
f(x)=x²
1)
x
2)
2x
3)
x²
4)
1
Задание №12
Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:
f(x)=6x²+45
1)
6x²
2)
12x
3)
12x²
4)
1
Задание №13
Найдите производную функции y=f(x) по определению производной функции:
f(x)=4x²+8
1)
4x²
2)
4x
3)
8x
4)
4
Тест: «Определение производной».
Вариант: №3.
Ответы:
Исчисление
— Нахождение производной по определению?
исчисление — Нахождение производной по определению? — Обмен математическими стеками
Сеть обмена стеков
Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.
Посетить Stack Exchange
0
+0
Авторизоваться Зарегистрироваться
Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.
Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу
Кто угодно может задать вопрос
Кто угодно может ответить
Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх
Спросил 6 лет, 11 месяцев назад
Просмотрено 608 раз
$ \ begingroup $
Вычислить производную заданной функции непосредственно из определения производной и выразить результат, используя дифференциалы
$$ \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} $$
, когда $ f (x) = 1 / \ sqrt {1 + x ^ 2} $
какие-нибудь советы / решения о том, как начать работу с этим? Я могу решать более простые проблемы, но не с root и т. {{3} / {2}}}.} $$
user84413
25.7k11 золотых знаков2222 серебряных знака5959 бронзовых знаков
Создан 07 авг.
Evindaevinda
7,36355 золотых знаков3333 серебряных знака6363 бронзовых знака
$ \ endgroup $ Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript
Ваша конфиденциальность
Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.
Принимать все файлы cookie Настроить параметры
World Web Math: определение дифференциации
World Web Math: определение дифференциации Суть исчисления — это производная .В производная мгновенная скорость изменения функции по отношению к одному из ее переменные. Это эквивалентно нахождению наклона касательная к функции в точке. Воспользуемся представлением о производных как касательные, чтобы мотивировать геометрическое определение производной.
Мы хотим найти наклон касательной к графику в точке P . Наклон можно приблизительно определить, проведя линию через точка P и еще одна точка рядом, а затем нахождение наклона этой линии, называемой секущей линией .Наклон линия определяется используя следующую формулу ( м представляет уклон):
Пусть P = ( x , y ) и Q & nbsp: = ( a , b ). Позволять
Тогда наклон линия
Теперь мы выбрал произвольный интервал Delta- x . Каким образом размер Дельты — x влияет на нашу оценку наклона касательная линия? Чем меньше Delta- x , тем точнее это приближение.Есть замечательная анимация этого Дугласа. Арнольд. Посмотрите на это здесь. Вы можете увидеть слева от анимации, как Delta- x уменьшается, в результате чего секущая приближается к касательной, где она увеличивает масштаб справа. Еще одна анимация этого (также от Дугласа Арнольд) здесь.
Что мы хотим сделать, так это уменьшить размер Delta — x как насколько это возможно. Мы делаем это, принимая предел как Дельта — x приближается к нулю. В пределе, принимая предел существует, мы найдем точный наклон касательной к кривой в точке данный пункт.Это значение является производной;
Есть несколько разных, но эквивалентных версий этого определения. В более общих соображениях, h часто используется вместо Дельта — х . Или Delta- y используется вместо
Это приводит к трем часто используемым способам выражения определение производной:
Обозначения, относящиеся к производной | Когда функция дифференцируема?
Вернуться на страницу исчисления | Вернуться на главную страницу World Web Math

watko @ mit.edu
Последнее изменение 14 октября 1999 г.
производная | Определение и факты
Производная , в математике, скорость изменения функции по отношению к переменной. Производные имеют фундаментальное значение для решения задач в области исчисления и дифференциальных уравнений. В общем, ученые наблюдают за изменяющимися системами (динамическими системами), чтобы получить скорость изменения некоторой интересующей переменной, включить эту информацию в какое-либо дифференциальное уравнение и использовать методы интегрирования для получения функции, которую можно использовать для прогнозирования поведения исходной система в различных условиях.
Геометрически производную функции можно интерпретировать как наклон графика функции или, точнее, как наклон касательной в точке. Фактически, его расчет происходит из формулы наклона прямой линии, за исключением того, что для кривых необходимо использовать процесс ограничения. Наклон часто выражается как «подъем» по сравнению с «пробегом» или, в декартовых терминах, отношение изменения y к изменению x . Для прямой, показанной на рисунке, формула наклона имеет вид ( y ₁ — y ₀) / ( x ₁ — x ₀).Другой способ выразить эту формулу: [ f ( x ₀ + h ) — f ( x ₀)] / h , если h используется для x ₁ — x ₀ и f ( x ) для y . Это изменение в обозначениях полезно для перехода от идеи наклона прямой к более общей концепции производной функции.
Британская викторина
Определите: математические термины
Вот ваша миссия, если вы решите принять ее: Определите следующие математические термины до того, как истечет время.
Для кривой это соотношение зависит от того, где выбраны точки, что отражает тот факт, что кривые не имеют постоянного наклона. Чтобы найти наклон в желаемой точке, выбор второй точки, необходимой для расчета отношения, представляет собой трудность, потому что, как правило, отношение будет представлять только средний наклон между точками, а не фактический наклон в любой точке ( см. рисунок ). Чтобы обойти эту трудность, используется процесс ограничения, при котором вторая точка не фиксируется, а задается переменной, например h в соотношении для прямой линии выше.Нахождение предела в этом случае — это процесс нахождения числа, к которому отношение приближается, поскольку h приближается к 0, так что предельное отношение будет представлять фактический наклон в данной точке. Некоторые манипуляции необходимо проделать с частным [ f ( x ₀ + h ) — f ( x ₀)] / h , чтобы его можно было переписать в виде в котором предел h приближается к 0, можно увидеть более прямо. Рассмотрим, например, параболу: x ².При нахождении производной x ², когда x равно 2, частное будет [(2 + h ) ² — 2 ²] / h . При раскрытии числителя частное становится (4 + 4 h + h ²-4) / h = (4 h + h ²) / h . И числитель, и знаменатель по-прежнему приближаются к 0, но если h на самом деле не ноль, а очень близко к нему, тогда h можно разделить, давая 4 + h , что легко увидеть, что приближается к 4 как h подходит 0.
наклон кривой
Наклон или мгновенная скорость изменения кривой в определенной точке ( x ₀, f ( x ₀)) можно определить, соблюдая предел средней скорости изменения, когда вторая точка ( x ₀ + h , f ( x ₀ + h )) приближается к исходной точке.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Подводя итог, производная от f ( x ) при x ₀, записывается как f ′ ( x ₀), ( d f / d x ) ( x ₀) или D f ( x ₀), определяется, как если бы этот предел существует.
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Дифференциация, то есть вычисление производной, редко требует использования базового определения, но вместо этого может быть достигнута посредством знания трех основных производных, использования четырех правил работы и знания того, как манипулировать функциями.
AC Производная функции в точке
Мгновенная скорость изменения функции — это идея, которая лежит в основе исчисления.Это обобщение понятия мгновенной скорости, измеряющее, насколько быстро конкретная функция изменяется в данной точке. Если исходная функция представляет положение движущегося объекта, эта мгновенная скорость изменения и есть скорость объекта. В других контекстах мгновенная скорость изменения может измерять количество клеток, добавляемых к культуре бактерий в день, количество дополнительных галлонов бензина, потребляемых за счет увеличения скорости автомобиля на одну милю в час, или количество долларов, добавленных к выплате по ипотеке. за каждый процентный пункт увеличения процентной ставки.Мгновенную скорость изменения также можно интерпретировать геометрически на графике функции, и эта связь является фундаментальной для многих основных идей в исчислении.
Напомним, что для движущегося объекта с функцией положения \ (s \ text {,} \) его средняя скорость на временном интервале от \ (t = a \) до \ (t = a + h \) определяется как частное
\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {s (a + h) -s (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}
Аналогичным образом мы даем следующее определение для произвольной функции \ (y = f (x) \ text {.} \)
Определение 1.3.1.
Для функции \ (f \ text {,} \) средняя скорость изменения \ (f \) на интервале \ ([a, a + h] \) задается значением
\ begin {уравнение *} AV _ {[a, a + h]} = \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}
Эквивалентно, если мы хотим рассмотреть среднюю скорость изменения \ (f \) на \ ([a, b] \ text {,} \), мы вычисляем
\ begin {уравнение *} AV _ {[a, b]} = \ frac {f (b) -f (a)} {b-a} \ text {.} \ end {уравнение *}
Важно, чтобы вы понимали, как средняя скорость изменения \ (f \) на интервале связана с его графиком.
Предварительный просмотр 1.3.1.
Предположим, что \ (f \) — это функция, заданная приведенным ниже графиком, и что \ (a \) и \ (a + h \) — входные значения, отмеченные на оси \ (x \) -. Используйте график на рисунке 1.3.2, чтобы ответить на следующие вопросы.
Рисунок 1.3.2. График \ (y = f (x) \) для предварительного просмотра 1.3.1.
Найдите и пометьте точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \) на графике.
Постройте прямоугольный треугольник, гипотенуза которого представляет собой отрезок прямой от \ ((a, f (a)) \) до \ ((a + h, f (a + h)) \ text {.} \) Каковы длины соответствующих катетов этого треугольника?
Каков наклон линии, соединяющей точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {?} \)
Напишите содержательное предложение, объясняющее, как связаны средняя скорость изменения функции на заданном интервале и наклон соответствующей линии.
Подраздел 1.3.1 Производная функции в точке
Так же, как мы определили мгновенную скорость в терминах средней скорости, теперь мы определяем мгновенную скорость изменения функции в точке в терминах средней скорости изменения функции \ (f \) в связанных интервалах.Эта мгновенная скорость изменения \ (f \) в \ (a \) называется «производной от \ (f \) в \ (a \ text {,} \)» и обозначается \ (f ‘ (а) \ text {.} \)
Определение 1.3.3.
Пусть \ (f \) будет функцией, а \ (x = a \) значением в области определения функции. Мы определяем производную от \ (f \) относительно \ (x \), вычисленную как \ (x = a \) , обозначенную \ (f ‘(a) \ text {,} \) формулой
.
\ begin {уравнение *} f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ text {,} \ end {уравнение *}
при условии, что этот предел существует.
Вслух мы читаем символ \ (f ‘(a) \) как «\ (f \) — простое число в \ (a \)» или «производная от \ (f \), вычисленная в \ (x = a \ text {.} \) »Большая часть следующих нескольких глав будет посвящена пониманию, вычислению, применению и интерпретации производных. А пока отметим следующие важные вещи.
Сначала мы рассматриваем производную при заданном значении как наклон определенной линии.
Когда мы вычисляем мгновенную скорость изменения, мы позволяем интервалу \ ([a, a + h] \) сокращаться как \ (h \ to 0 \ text {.} \) Мы можем рассматривать одну конечную точку интервала как «скользящую по направлению» к другой. В частности, при условии, что \ (f \) имеет производную в \ ((a, f (a)) \ text {,} \), точка \ ((a + h, f (a + h)) \) будет подход \ ((a, f (a)) \) как \ (h \ to 0 \ text {.} \) Поскольку процесс принятия ограничения является динамическим, может быть полезно использовать вычислительные технологии для его визуализации. . Один из вариантов — это Java-апплет, в котором пользователь может управлять движущейся точкой. В качестве полезной коллекции примеров рассмотрим работу Дэвида Остина из Государственного университета Гранд-Вэлли и этот особенно актуальный пример.Для апплетов, которые были созданы в Geogebra ¹, см. Библиотеку Марка Рено через Университет Шиппенсбурга, этот пример особенно подходит для нашей работы в этом разделе.
Вы даже можете подумать о создании своих собственных примеров; фантастическая программа Geogebra доступна для бесплатной загрузки, ее легко изучить и использовать.
На рис. 1.3.5 показана последовательность фигур с несколькими разными линиями, проходящими через точки \ ((a, f (a)) \) и \ ((a + h, f (a + h)) \ text {,} \ ), генерируемые разными значениями \ (h \ text {.} \) Эти линии (показанные на первых трех рисунках пурпурным цветом) часто называют секущими линиями кривой \ (y = f (x) \ text {.} \) Секущая линия кривой — это просто линия, проходящая через две точки на кривой. Для каждой такой линии наклон секущей линии равен \ (m = \ frac {f (a + h) — f (a)} {h} \ text {,} \), где значение \ (h \) зависит от расположения выбранной нами точки. На диаграмме видно, как при \ (h \ to 0 \ text {,} \) секущие линии начинают приближаться к единственной линии, проходящей через точку \ ((a, f (a)) \ text {.} \) Если существует предел наклона секущих линий, мы говорим, что результирующее значение представляет собой наклон касательной линии к кривой. Эта касательная линия (показанная на крайнем правом рисунке зеленым цветом) к графику \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) имеет наклон \ (m = f ‘(а) \ text {.} \)
Рисунок 1.3.5. Последовательность секущих линий, приближающихся к касательной к \ (f \) в \ ((a, f (a)) \ text {.} \)
Если касательная линия в \ (x = a \) существует, график of \ (f \) выглядит как прямая линия, если смотреть с близкого расстояния в \ ((a, f (a)) \ text {.} \) На рис. 1.3.6 мы объединяем четыре графика на рис. 1.3.5 в один слева и увеличиваем масштаб прямоугольника с центром в \ ((a, f (a)) \) справа. Обратите внимание на то, как касательная линия расположена относительно кривой \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \) и насколько она похожа на кривую рядом с \ (x = a \ text {. } \)
Рисунок 1.3.6. Последовательность секущих линий, приближающихся к касательной к \ (f \) в \ ((a, f (a)) \ text {.} \) Справа мы увеличиваем точку \ ((a, f (a) )) \ text {.} \) Наклон касательной (выделенной зеленым) к \ (f \) в точке \ ((a, f (a)) \) задается как \ (f ‘(a) \ text {.2} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}
Затем мы удаляем общий множитель \ (h \) как в числителе, так и в знаменателе и находим, что
\ begin {уравнение *} f ‘(2) = \ lim_ {h \ to 0} (-3-h) \ text {.} \ end {уравнение *}
Наконец, мы можем взять предел как \ (h \ to 0 \ text {,} \) и, таким образом, сделать вывод, что \ (f ‘(2) = -3 \ text {.} \). Отметим, что \ ( f ‘(2) \) — это мгновенная скорость изменения \ (f \) в точке \ ((2, -2) \ text {. 2 \) в точке \ ((2, -2) \ text {.2 \) в точке \ ((2, -2) \ text {.} \)
Следующие упражнения помогут вам изучить множество ключевых идей, связанных с производными финансовыми инструментами.
Мероприятие 1.3.2.
Рассмотрим функцию \ (f \), формула которой имеет вид \ (\ displaystyle f (x) = 3–2x \ text {.} \)
Какой знакомый тип функции — \ (f \ text {?} \) Что вы можете сказать о наклоне \ (f \) при каждом значении \ (x \ text {?} \)
Вычислить среднюю скорость изменения \ (f \) на интервалах \ ([1,4] \ text {,} \) \ ([3,7] \ text {,} \) и \ ([5, 5 + h] \ text {;} \) максимально упростите каждый результат.Что вы заметили в этих количествах?
Используйте определение предела производной, чтобы вычислить точную мгновенную скорость изменения \ (f \) по отношению к \ (x \) при значении \ (a = 1 \ text {.} \), То есть вычислить \ (f ‘(1) \) с использованием определения предела. Показать свою работу. Ваш результат удивителен?
Без дополнительных вычислений, каковы значения \ (f ‘(2) \ text {,} \) \ (f’ (\ pi) \ text {,} \) и \ (f ‘(- \ sqrt {2}) \ text {?} \) Почему?
Мероприятие 1.3.3.2 + 16t + 32 \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на каждый из следующих вопросов.
Нарисуйте точный помеченный график \ (s \) по осям, представленным на рисунке 1.3.10. Вы должны уметь делать это без использования вычислительной техники.
Рисунок 1.3.10. Оси для построения \ (y = s (t) \) в упражнении 1.3.3.
Вычислите среднюю скорость изменения \ (s \) на временном интервале \ ([1,2] \ text {.} \) Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
Используйте определение предела, чтобы вычислить мгновенную скорость изменения \ (s \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 1 \ text {.} \) Покажите свой используйте правильные обозначения, включите в свой ответ единицы измерения и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение найденного вами значения.
На вашем графике в (a) нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (s \) на \ ([1,2] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенное скорость изменения \ (s \) в момент \ (a = 1 \ text {.{t / 5} \ text {.} \) Используйте эту функцию, чтобы ответить на следующие вопросы.
Нарисуйте точный график \ (P \) для значений от \ (t = 0 \) до \ (t = 5 \) по осям, представленным на рисунке 1.3.11. Тщательно промаркируйте шкалу на осях.
Рисунок 1.3.11. Оси для построения \ (y = P (t) \) в упражнении 1.3.4.
Вычислите среднюю скорость изменения \ (P \) между 2030 и 2050 годами. Включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение, чтобы объяснить значение (на повседневном языке) найденного вами значения.
Используйте определение предела, чтобы написать выражение для мгновенной скорости изменения \ (P \) относительно времени, \ (t \ text {,} \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \ ) Объясните, почему этот предел трудно точно оценить.
Оцените предел в (c) для мгновенной скорости изменения \ (P \) в момент \ (a = 2 \), используя несколько небольших значений \ (h \). Как только вы определили точную оценку \ (P ‘(2) \ text {,} \), включите единицы в свой ответ и напишите одно предложение (используя повседневный язык), чтобы объяснить значение найденного вами значения.
На приведенном выше графике нарисуйте две линии: одна, наклон которой представляет собой среднюю скорость изменения \ (P \) на \ ([2,4] \ text {,} \), другая, наклон которой представляет мгновенную скорость изменения. из \ (P \) в момент \ (a = 2 \ text {.} \)
В тщательно сформулированном предложении опишите поведение \ (P ‘(a) \) при увеличении значения \ (a \). Что это отражается на поведении данной функции \ (P \ text {?} \)
3.2 Производная как функция — Объем исчисления 1
Цели обучения
Определите производную функцию заданной функции.
Постройте производную функцию от графика заданной функции.
Укажите связь между производными и непрерывностью.
Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
Объясните значение производной высшего порядка.
Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент.Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.
Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.
Определение
Позвольте быть функцией. Производная функция , обозначенная как, — это функция, область определения которой состоит из таких значений, что существует следующий предел:
.
Говорят, что функция дифференцируется на , если
существует. В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на , если она дифференцируема в каждой точке открытого набора, а дифференцируемая функция — это функция, в которой существует в своей области.
В следующих нескольких примерах мы используем (рисунок), чтобы найти производную функции.
Нахождение производной функции квадратного корня
Найдите производную от.
Решение
Начните непосредственно с определения производной функции. Используйте (рисунок).
Нахождение производной квадратичной функции
Найдите производную функции.
Решение
Выполните ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.
Найдите производную от.
Решение
Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. На (Рисунок) мы показали, что если, то. Если бы мы выразили эту функцию в форме, мы могли бы выразить производную как или. Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от:
.
Вместо мы также можем использовать. Использование обозначений (так называемых обозначений Лейбница) довольно распространено в технике и физике.Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной. Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде где — разница значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((Рисунок)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения относительно, выражается как
. Фигура 1.Производная выражается как.
Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к).
На (рис.) Мы обнаружили, что для. Если мы построим график этих функций на тех же осях, что и на (Рисунок), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями.Во-первых, мы замечаем, что он увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в его области. Кроме того, по мере увеличения наклон касательных к уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение. Мы также замечаем, что это не определено и соответствует вертикальной касательной к точке 0.
Рис. 2. Производная везде положительна, потому что функция возрастает.
На (рис.) Мы обнаружили, что для. Графики этих функций показаны на (Рисунок). Обратите внимание, что для. Для этих же значений. Для значений увеличивается и. Кроме того, имеет горизонтальную касательную в точках и.
Построение производной с помощью функции
Используйте следующий график, чтобы нарисовать график.
Нарисуйте график. На каком интервале находится график выше оси?
Решение
Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков.Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.
Проба
Если дифференцируем в, то существует и
.
Мы хотим показать, что это непрерывно, показав это.Таким образом,
Следовательно, поскольку определено и, заключаем, что непрерывно в точке.
Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию. Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для,
.
Этот предел не существует, потому что
.
См. (Рисунок).
Рисунок 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.
Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не дифференцируема. Рассмотрим функцию:
.
Таким образом не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((рисунок)).
Рисунок 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке. Он непрерывен в 0, но не дифференцируем в 0.
У функции также есть производная, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что
.
Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).
Рисунок 6. Функция не дифференцируема в 0.
Итого:
Заметим, что если функция не непрерывна, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
Мы видели, что это невозможно дифференцировать в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в 0. Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
Как мы видели в примере, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
Как мы видели, функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.
Кусочная функция, которая является непрерывной и дифференцируемой
Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости — это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее.В совокупности они называются производными более высокого порядка . Обозначения для производных высшего порядка от могут быть выражены в любой из следующих форм:
.
Интересно отметить, что обозначение для можно рассматривать как попытку выразить более компактно. Аналогично.
Поиск второй производной
Для, найдите.
В поисках ускорения
Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах).Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.
Производная функция
В следующих упражнениях используйте определение производной для поиска.
1.
2.
3.
4.
Решение
5.
6.
Решение
7.
8.
Решение
9.
10.
Решение
Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его производной.
11. 12.
Решение
13. 14.
Решение
Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции в.Найти и .
15.
16.
Решение
17.
18.
Решение
19.
20.
Решение
Для следующих функций:
зарисовать график и
использует определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема в.
21.
23.
Для следующих графиков
определяет, для каких значений существует, но не является непрерывным, и
определить, для каких значений функция является непрерывной, но не дифференцируемой при.
25.
Для следующих функций используйте, чтобы найти.
28.
29.
30.
Решение
Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графиков. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.
31. [Т]
33. [Т]
35. [Т]
Для следующих упражнений опишите, что представляют собой эти два выражения в терминах каждой из данных ситуаций. Обязательно укажите единицы измерения.
37. обозначает население города во время в годах.
38. обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную на концессии клиентами в парке развлечений.
Решение
а. Средняя ставка, с которой клиенты потратили на уступки, в тысячах на одного клиента.
г. Скорость (в тысячах на одного покупателя), по которой покупатели тратили деньги на уступки, в тысячах на одного покупателя.
39. обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.
40. обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную по тесту за количество часов обучения.
Решение
а. Средняя оценка, полученная за тест, при среднем времени обучения между двумя суммами.
г. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка по тесту повышалась или понижалась за данное среднее время обучения в часах.
41. обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.
42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.
Решение
а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
г. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается на высоте.
Решение
а. Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается для данной высоты.
г. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов составляет -0.1 градус на фут.
Решение
а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
г. Скорость резко увеличивается до третьей недели, после чего она замедляется, а затем становится постоянной.
Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.
Время (секунды) Высота (метры)
0 0
1 2
2 4
3 13
4 25
5 32
47. В чем физический смысл? Какие единицы?
48. [T] Создайте таблицу значений и нанесите график на одном и том же графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените левый и правый пределы и усредните их.)
Решение
Время (секунды) (м / с)
0 2
1 2
2 5.5
3 10,5
4 9,5
5 7
Значение производной
5
Скорость изменения функции
при определенном значении x
Уклон прямой
Наклон касательной к кривой
Секунда кривой
Коэффициент разницы
Определение производной
Производная от f ( x ) = x ²
Дифференцируемая при x
Обозначения для производной
Коэффициент простой разности
Раздел 2: Проблемы
Производная от f ( x ) = 2 x — 5
Уравнение касательной к кривой
Производная от f ( x ) = x ³
РАСЧЕТ ПРИМЕНЯЕТСЯ К ВЕЩАМ, которые не изменяются с постоянной скоростью.Скорость из-за силы тяжести, рождений и смертей в популяции, единицы y для каждой единицы x . Значения функции, называемой производной, будут иметь переменную скорость изменения.
Теперь, поскольку мы считаем x независимой переменной, а y зависимой, то любое изменение Δ x в значении x приведет к изменению Δ y в значении . y . На прямой линии скорость изменения — такое количество единиц x для каждой единицы x — постоянна и называется наклоном линии.
Наклон прямой — это число:
Δ y
Δ x = = Изменение в и -coördinate
Изменение в x -coördinate .
(Тема 8 Precalculus.)
Прямая линия имеет один и только один наклон; одна и только одна скорость изменения.
Если, например, x представляет время, а y представляет расстояние, то
прямолинейный график, который их связывает, указывает на постоянную скорость. Скажем, 45 миль в час — в каждый момент времени.
Наклон касательной к кривой
Однако исчисление связано со скоростью изменения, которая не является постоянной.
Если эта кривая представляет расстояние Y в зависимости от времени X , то скорость изменения — скорость — в каждый момент времени непостоянна.Вопрос, который задает расчет: «Какова скорость изменения точно в точке P ?» Ответом будет наклон касательной к кривой в этой точке. И метод определения этого наклона — этого числа — был замечательным открытием Исаака Ньютона (1642-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716). Это метод нахождения того, что называется производной.
Секунда кривой
Касательная — это прямая линия, которая касается кривой.Секущая — это прямая линия, пересекающая кривую. Следовательно, рассмотрим секущую линию, которая пересекает кривую в точках P и Q . Тогда наклон секущей равен
.
Δ y
Δ x =
Но еще раз вопрос, который задает исчисление: как функция изменяется точно при x ₁?
Каков наклон касательной к кривой в точке P ?
Однако мы не можем оценить точно при P — потому что Δ y и Δ x тогда оба будут равны 0, а значение будет совершенно неоднозначным.
Поэтому мы будем рассматривать более короткие и более короткие расстояния Δ x , что приведет к последовательности секущих —
— череда спусков. И мы определим касательную в точке P как предел этой последовательности наклонов.
Этот наклон, этот предел будет значением того, что мы будем называть производной.
Коэффициент разницы
Пусть y = f ( x ) будет непрерывной функцией, и пусть координаты фиксированной точки P на графике будут ( x , f ( x )). (Тема 4 Precalculus.) Пусть теперь x изменится на величину Δ x . Тогда новый код x будет равен x + Δ x .
Это координата x для Q на графике.
Но когда значение x изменяется, возникает результирующее изменение Δ y
в значении y , то есть в значении f ( x ). Его новое значение — f ( x + Δ x ). Координаты Q следующие ( x + Δ x , f ( x + Δ x )).
Затем
Итак, вот определение наклона касательной в точке P :
Наклон касательной на P
— это предел изменения функции (числитель)
, деленный на изменение независимой переменной
, когда это изменение приближается к 0.
Поскольку Δ x , а не x — это переменная, которая приближается к 0, x остается постоянной, и этот предел будет функцией x . Поскольку она будет производной от f ( x ), мы называем ее производной функцией или производной от f ( x ). Чтобы напомнить нам, что он был производным от f ( x ), мы обозначим его как f ‘ ( x ) — « f-prime of x .«
Это частное —
— называется частным Ньютона, или разностным коэффициентом. Его вычисление и упрощение — фундаментальная задача дифференциального исчисления.
Опять же, коэффициент разности является функцией Δ x . Но для упрощения письменных вычислений вместо Δ x будем писать h .
Δ x = ч
Δ y = f ( x + h ) — f ( x )
Тогда коэффициент разницы будет:
Теперь выразим определение производной следующим образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Под производной функции f ( x ) мы подразумеваем следующий предел, если он существует:
Мы называем это ограничение функцией f ‘ ( x ) — « f -prime of x » — и когда этот предел существует, мы говорим, что f само по себе является дифференцируемым при x . , и что f имеет производную.
Итак, мы берем предел отношения разности, равный h , приближающемуся к 0.Когда этот предел существует, это означает, что коэффициент разницы можно сделать как можно ближе к этому пределу — « f ‘ ( x )» — как нам угодно. (Урок 2.)
Что касается x , мы должны считать его фиксированным. Это конкретное значение, при котором мы оцениваем f ‘ ( x ).
На практике мы должны упростить коэффициент разности, прежде чем позволить h приблизиться к нулю. Мы должны выразить числитель —
f ( x + h ) — f ( x )
— таким образом, чтобы мы могли разделить его на х .
Подводя итог: производная — это функция — правило, которое присваивает каждому значению x наклон касательной в точке ( x , f ( x )) на график f ( x ). Это скорость изменения f ( x ) в этот момент.
В качестве примера мы применим определение, чтобы доказать, что наклон касательной к функции f ( x ) = x ², в точке ( x , x ²), равно 2 x .
ТЕОРЕМА. f ( x ) = x ²
подразумевает
f ‘ ( x ) = 2 x .
Доказательство. Вот коэффициент разницы, который мы продолжим для упрощения:
1) ( x + h ) ²— x ²
h
2) = x ² + 2 xh + h ² — x ²
h
3) = 2 xh + h ²
h
4) = 2 x + h .
Переходя от строки 1) к строке 2), мы возводили в квадрат бином x + h . (Урок 18 алгебры.)
Переходя к строке 3), мы вычли x ² с. То есть мы вычли f ( x ).
В строке 4) мы разделили числитель на h . (Урок 20 из Алгебра.)
Мы можем это сделать, потому что h никогда не равно равному 0, даже если мы берем предел (Урок 2).
Завершим определение производной и возьмем предел:
f ‘ ( x ) = (2 x + h )
= 2 x .
Это то, что мы хотели доказать.
Всякий раз, когда мы применяем определение, мы должны алгебраически манипулировать коэффициентом разности, чтобы мы могли просто заменить h на 0. Фактически вся теория пределов со всеми ее сложностями и тонкостями была изобретена, чтобы оправдать именно это. (Бедного Ньютона и Лейбница критиковали за то, что они предлагали оправдания, которые не нравились изобретателям ограничений в XIX веке.) Мы можем положить здесь h = 0, потому что коэффициент разности уменьшается до 2 x + h , и, следовательно, многочлен от х .
Проблема. Пусть f ( x ) = x ², и вычислим наклон касательной к графику —
а) при x = 5.
Поскольку f ‘ ( x ) = 2 x , то при x = 5 наклон касательной линии равен 10.
б) при x = −3. −6.
c) при x = 0.0.
Дифференцируемая при x
Согласно определению, функция будет дифференцируемой при x , если там существует определенный предел. Графически это означает, что график при этом значении x будет иметь касательную линию. Тогда при каких значениях функция , а не будет дифференцируемой?
Без касательной
Выше представлены два примера.Функция слева не имеет производной при x = 0, потому что функция там разрывная. При x = 0, очевидно, нет касательной.
Что касается графика справа, это функция абсолютного значения, y = | x |. (Тема 5 Precalculus.) И невозможно определить касательную линию на x = 0, потому что график образует там острый угол. Фактически, наклон касательной линии , когда x приближается к 0 слева, равен -1.Однако наклон, приближающийся справа, равен +1. Наклон касательной в точке 0 — которая была бы производной в точке x = 0 — поэтому не существует. (Определение 2.2.)
Тем не менее, функция абсолютного значения является непрерывной при x = 0. Так, левый предел самой функции при приближении x к 0 равен , равному правому пределу, а именно 0. Это иллюстрирует эту непрерывность в точке не является гарантией дифференцируемости — существования касательной — в этой точке.
(И наоборот, если функция дифференцируема в точке — если есть касательная — она также будет непрерывной там. График будет гладким и без изломов.)
Поскольку дифференциальное исчисление — это изучение производных, оно в основном занимается функциями, которые дифференцируемы при всех значениях их областей определения. Такие функции называются дифференцируемыми.
Можете ли вы назвать элементарный класс дифференцируемых функций?
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала подумайте об этом сами!
Полиномы.
Обозначения для производной
Поскольку производная является этим пределом: тогда символ самого лимита (читается: «dee- y , dee- x .»)
Например, если
y = x ²,
тогда, как мы видели,
= 2 x .
«Dee- y , dee- x — производная от y по отношению к x — это 2 x .»
Так же пишем
y ‘ ( x ) = 2 x .
« y — простое число x равно 2 x .»
Сам по себе символ: d
dx («dee, dee- x «) , называется
оператор дифференциала .Мы должны взять производную от того, что следует за ним.
Например,
d
dx f ( x ) означает производную по отношению к x от f ( x ).
d
dt (4 т ³-5) означает производную по отношению к т
из (4 т ³ — 5).
И так далее.
Коэффициент простой разности
Коэффициент разницы является версией. И иногда мы будем использовать последнее. То есть изменение значения функции y = f ( x ) равно y + Δ y . Следовательно, коэффициент разницы составляет
.
Иногда удобнее выразить коэффициент разницы как
.
Примечание : Когда Δ x приближается к 0 — когда точка Q приближается к P по кривой — тогда Δ y или, что эквивалентно, Δ f также приближается к 0.То есть
Теперь ученик должен выполнить Задачи, требующие определения производной.
Содержание | Дом
Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.
Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Эл. Почта: [email protected]

Модуль 10 — Производная функции
В этом уроке вы будете использовать несколько различных функций TI-83 для поиска и понимания производных.
В модуле 9 вы видели, что скорости соответствуют наклонам на графике положения во времени. Средняя скорость соответствует наклону
Секущая линия — это линия, проходящая через две точки на кривой.
секущая линия, соединяющая две точки, а мгновенная скорость соответствует наклону касательной к кривой.
Средняя скорость определяется как , который представляет собой наклон секущей линии через точки
( a , f ( a )) и ( a + h , f ( a + h )) .
Мгновенная скорость определяется выражением , который представляет собой наклон касательной к кривой в точке ( a , f ( a )).
Наклон касательной к графику функции в точке называется производной функции в этой точке. Формальное определение производной приведено ниже.
Формальное определение производной
Производная функции f при x = a равна
при условии, что лимит существует.
Иллюстрация схождения секущей линии
Для функций, имеющих касательную линию, если точка ( a , f ( a )) на кривой зафиксирована, поскольку h приближается к нулю, вторая точка ( a + h , f ( a + h )) приближается к фиксированной точке, и соответствующие секущие линии сходятся к касательной в этой точке.
В описанной ниже процедуре будет найдено значение производной функции f ( x ) = 2 x — x ² в точке (0,5, 0,75) с использованием метода, аналогичного тому, который вы использовали для найти мгновенные скорости.
Найдите наклоны нескольких секущих линий и используйте их, чтобы оценить наклон касательной как x = 0,5.
Затем определите предел наклона секущих линий, чтобы найти производную.
На приведенном ниже графике показано f ( x ) = 2 x — x ² в окне [-1, 3, 1] x [-1, 2, 1] с тремя секущими линиями через фиксированные точка (0,5, 0,75), которая приближается к касательной в точке (0,5, 0,75).
Нахождение наклонов секущих линий
Первый шаг в описанной выше процедуре — найти наклон секущих линий, которые будут использоваться для оценки производной.Чтобы найти уклоны, вам нужно ввести функцию f ( x ) = 2 x — x ² в редакторе Y =.
Наклон секущей линии через точки (0,5, f (0,5)) и (0,5 + h , f (0,5 + h )) можно найти, оценив коэффициент разности
.
Нас интересуют значения h , которые настолько малы, что две точки находятся близко друг к другу.Результирующая секущая линия будет приближаться к касательной.
Вы можете оценить коэффициент разницы для h = 0,1 на TI-83, используя команду, состоящую из двух частей. Первая часть команды сохранит 0,1 в h , а вторая часть команды будет оценивать коэффициент разницы. Две команды будут объединены вместе с символом двоеточия.
Наклон секущей линии, содержащей (0.5, f (0,5)) и (0,6, f (0,6)) составляет 0,9.
Использование меньших значений h
Когда точка (0,5 + h , f (0,5 + h )) приближается к точке (0,5, f (0,5)), h приближается к 0, и секущие линии сходятся к касательной.
Чтобы оценить коэффициент разницы для меньших значений х , измените значение H в последнем выражении на главном экране с 0.От 1 до 0,01 и оцените коэффициент разницы.
Наклон соответствующей секущей линии равен 0,99.
Оцените коэффициент разницы с h = 0,001 и с h = 0,0001.
Наклон секущих линий равен 0,999 и 0,9999 соответственно.
10.1.1 Предскажите производную в (0,5, f (0,5)). Нажмите здесь, чтобы получить ответ.
Коэффициенты левой разности
В описанной выше процедуре использовались правые разностные коэффициенты. Коэффициенты левой разности могут быть найдены, если h быть отрицательным числом.
Оцените коэффициент разницы: h = -0,01 и h = -0.001.
Вставьте отрицательный знак, а затем используйте чтобы удалить нули в предыдущем выражении.
Коэффициенты левой разности
Наклон соответствующих секущих линий равен 1,01 и 1,001. С фиксированной точкой (0,5, 0,75) одна секущая проходит через (0,49, f (0,49)), а другая через (0,499, f (0,499)).
Нахождение производной в точке
Как указывалось ранее, производная x = 0.5 определяется как предел
.
Прежде чем этот предел можно будет оценить, выражение должны быть расширены и упрощены. Напомним, что интересующая функция: f ( x ) = 2 x — x ².
Следовательно, и производная от f ( x ) = 2 x — x ² при x = 0.5 равно 1.
Использование числовой производной команды
Вы также можете аппроксимировать производную функции в точке с помощью числовой производной команды nDeriv (, которая находится в меню Math. Синтаксис для поиска производной в точке: nDeriv (выражение, переменная, значение ).
Перейдите на главный экран, нажав [ПОКИДАТЬ].
Откройте меню Math, нажав . nDeriv ( — восьмой пункт в меню.
Вставьте nDeriv ( на главный экран, нажав .
Завершите команду nDeriv (Y ₁, X, 0.5).
Выполните команду, нажав .
Команда nDeriv
nDeriv ( фактически вычисляет коэффициент симметричной разности и приближает производную.Вы можете добавить необязательный четвертый параметр, чтобы изменить значение по умолчанию h , которое установлено на 0,001. Например, чтобы оценить коэффициент симметричной разности при x = 0,5 с h = 0,01, введите команду
nDeriv (Y ₁, X, 0,5, 0,01)
Рисование касательной линии
Поскольку точка на кривой и производная в этой точке известны, уравнение для касательной можно найти с помощью
Уравнение для прямой, проходящей через точку (x1, y1) с уклоном м : y — y 1 = м ( x — x 1).
точечно-наклонная форма линии. Если наклон касательной в точке (0,5, 0,75) равен 1, то уравнение для касательной линии будет y — 0,75 = 1 ( x — 0,5).
График f ( x ) = 2 x — x ² и его касательная линия в точке (0.5, 0,75).
Установить Y ₁ = 2 X — X ².
Установите Y ₂ = (X-0,5) + 0,75.
Постройте график функции и касательной в окне [-1, 3, 1] x [-1, 2, 1].
Линия кажется касательной к кривой при x = 0,5.

Корень 4 степени из x корень из x 6: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / 26.06.197014.09.2022 / Разное

2
§ Как вынести из-под корня
Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня
Важно!
Вынесение множителя из-под знака корня — это извлечение корня из одного из множителей (числа или буквы), которые находятся под корнем.
√25 · 3 = 5√3
Говорят: «Число «25» вынесли из-под знака корня».
Рассмотрим подробнее пример вынесения множителя из-под знака корня.
Разбор примера
Вынесите множитель из-под знака корня:
√16 · 5;
Используем свойство квадратного корня из произведения.
√a · b = √a · √b
√16 · 5 = √16 · √5 = …
Извлечь квадратный корень из «√5» целым числом не получится, поэтому нам остается только извлечь квадратный корень из «√16».
Важно!
Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от «1» до «15» и таблицу часто используемых квадратных корней.
Вспомним, чему равен квадрат числа четыре?
4² = 16
Значит:
√16 = 4
Решение примера выше записываем следующим образом.
√16 · 5 = √16 · √5 = 4 · √5
Действие выше называют вынесением множителя из-под знака корня. Говорят: «Число «16» вынесли из-под знака корня, получив число «4».
Запомните!
Выносить из-под знака корня можно, только если все действия под знаком корня — умножение.
Примеры правильного и неправильного вынесения из-под знака корня:
√144 · 2 = √144 · √2 = 12√2 (верно). Под знаком квадратного корня только действие умножения;
√16 + 5 ≠ 4 + √5 (неверно). Нельзя выносить «16» из-под знака корня, так как под знаком корня сложение;
√25 − 3 ≠ 5 − √3 (неверно). Нельзя выносить из-под знака корня «25», так как под знаком корня вычитание;
√16 ·2 + 3 ≠ 4√2 + 3 (неверно). Нельзя выносить «16» из-под знака корня, так как под знаком корня есть сложение (должно быть только умножение).
Как вынести множитель из корня с одним числом
Рассмотрим пример, когда под корнем только одно число и по условию задания требуется вынести множитель из-под знака корня.
Разбор примера
Вынесите множитель из-под знака корня:
√8;
Извлечь целое число из квадратного корня «√8» нельзя, так как нет такого целого числа, которое в квадрате давало бы «8».
Важно!
Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от «1» до «15» и таблицу часто используемых квадратных корней.
Подумаем, на какие множители можно разложить число «8», чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака корня. Вспоминаем таблицу умножения.
Число «8» — это произведение
«8 = 4 · 2». Теперь можем вынести «4» из-под знака корня.
√8 = √4 · 2 = √4 · √2= 2√2
Разберем другие примеры вынесения множителя из-под знака квадратного корня
Разбор примера
Вынесите множитель из-под знака корня:
√54;
Зададим себе вопрос: «На какие множители нужно разложить «54», чтобы была возможность вынести один из множителей из-под знака квадратного корня?».
Вспоминаем таблицу умножения.
 54 = 9 · 6
Видим число «9». Подходит, так как «√9 = 3».
√54 = √9 · 6 = …
Завершим решение примера вынесением из-под знака корня числа «9».
√54 = √9 · 6 = 3√6
Извлечь «√6» целым числом невозможно. Поэтому ответ оставляем в таком виде.
Разбор примера
Вынесите множитель из-под знака корня:
√490;
В примерах с числами, которые делятся на «10, 100, 1000…» и так далее, стоит сразу попробовать разложить число на «10, 100, 1000…» и второй множитель.
То есть число «490» можно разложить на «490 = 49 · 10». Из «49» можно извлечь квадратный корень.
√490 = √49 · 10 = …
Теперь можно вынести «49» из-под знака корня.
√490 = √49 · 10 = 7√10
Разбор примера
√500 = √5 · 100 = 10 √5

Разбор примера
√108 = √54 · 2 = √9 · 6 · 2 =
= 3√6 · 2 = 3√12 = 3√4 · 3 =
= 3 · 2√3 = 6√3
Разбор примера
0,4 · √250 = 0,4 · √25 · 10 =
= 0,4 · 5 √10 = …
Завершим пример, умножив десятичную дробь «0,4» на «5» по правилу умножения десятичной дроби на число.
0,4 · √250 = 0,4 · √25 · 10 =
= 0,4 · 5 √10 = 2√10
Разбор примера
· √63 = · √9 · 7 = · 3 √7 = …
Умножим дробь «
» на число «3», которое вынесли из-под знака квадратного корня. Используем правило умножения обыкновенной дроби на число.
· √63 =
· √9 · 7 =
· 3 √7 =
=
4 · 3
9
· √7 =
4 · 3
9₃
· √7 =
=
· √7 = …
Чтобы дать окончательный ответ, выделим целую часть неправильной дроби «
».
· √63 =
· √9 · 7 =
· 3 √7 =
=
4 · 3
9
· √7 =
4 · 3
9₃
· √7 =
· √7 =
= 1
· √7
Как вынести десятичную дробь из-под знака корня
В уроке «Как извлечь квадратный корень из дроби» мы разбирали, каким образом извлечь квадратный корень из десятичной дроби. Например, извлечение квадратного корня из десятичной дроби «√0,25».
√0,25 = 0,5 , так как
0,5² = 0,5 · 0,5 = 0,25
Тот же самый метод используется при вынесении десятичной дроби из-под знака корня.
Разбор примера
Вынесите множитель из-под знака корня:
√0,48;
Разложим десятичную дробь на произведение множителей, чтобы потом была возможность вынести один из множителей из-под знака корня.
Подберем десятичную дробь, на которую делится «0,48», из которой потом можно извлечь квадратный корень.
Например, «0,16». Десятичная дробь «0,48» делится на «0,16» нацело.
0,48 : 0,16 = 3
Извлечь квадратный корень из «√0,16» по правилу нахождения квадратного корня из десятичной дроби.
√0,16 = 0,4 , так как
0,4² = 0,4 · 0,4 = 0,16
Завершим пример вынесением «0,16» из-под знака корня.
√0,48 = √0,16 · 3 = 0,4 √3
Примеры вынесения десятичной дроби из-под знака квадратного корня
Разбор примера
Вынесите множитель из-под знака корня:
√0,72 = √0,36 · 2 = 0,6 √2
Разбор примера
Вынесите множитель из-под знака корня:
−2 · √0,18 = −2 · √0,09 · 2 =
= −2 · 0,3 √2 = −0,6 √2
Как вынести букву из-под знака корня
Запомните!
При вынесении из-под знака квадратного корня множителя в степени (буквы или числа) степень делится на «2».
√a² = a^{= a¹ = a
, гдe a ≥ 0}
√y⁴ = y^{= y² , гдe y ≥ 0}
√12⁴ = 12^{= 12² = 144}
√x⁶ = x^{= x³ , гдe x ≥ 0}
Рассмотрим примеры вынесения буквы в степени из-под корня.
Разбор примера
Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).
2) √2x² = x^{√2 =
x√2}
4) √3a⁶ = a^{√3 =
a³√3}
В более сложных примерах требуется вынести и числовой множитель, и букву в степени из-под корня.
Разбор примера
Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа).
√75a²;
Вначале отдельно вынесем буквенный множитель из-под корня.
√75a² = a^{· √75
=
a√75 = …}
Теперь разложим число «75» на множители, один из которых можно вынести из-под знака квадратного корня.
Число «75» явно делится на «5». Проверим, можно ли число «75» разложить на квадрат числа «5² = 25».
75 : 25 = 3
Завершим пример, вынеся число «25» из-под знака корня.
√75a² = a^{· √75
=
a√75 =}
= a√25 · 3 = 5a√3
Разбор примера
√y⁹;
Не всегда удается сразу вынести букву в степени из-под знака корня. В данном примере степень «9» не делится нацело на «2».
Вспомним из урока «Свойства степени» правило произведение степеней с одинаковым основанием.
a^m · aⁿ = a ^{m + n}
Свойство работает и в обратную сторону.
a ^{m + n} = a^m · aⁿ
Вернемся к нашему примеру. Разложим «y⁹» на множители со степенями так, чтобы одна из степеней нацело делилась на «2». Представим степень «9» как сумму чисел «9 = 6 + 3».
√y⁹ = √y^{6 + 3} = …
Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием в обратную сторону и разложим «у» на множители.
√y⁹ = √y^{6 + 3} = √y⁶ · y³ = …
Вынесем «y⁶» из-под знака корня.
√y⁹ = √y^{6 + 3} = √y⁶ · y³ = y^{· √y³ =}
= y³ · √y³

Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня
Вычисление корня в Python – квадратный, кубический, n-степени
Содержание:развернуть
Если вам нужно найти сторону квадрата, когда известна одна лишь его площадь, или вы намерены рассчитать расстояние между двумя точками в декартовых координатах, то без особого инструмента не обойтись. Математики прошлого придумали для этих вычислений квадратный корень, а разработчики Python воплотили его в функции sqrt().
Но обо всём по порядку.
Что такое квадратный корень
Корнем квадратным из числа «X» называется такое число «Y», которое при возведении его во вторую степень даст в результате то самое число «X».
Операция нахождения числа «Y» называется извлечением квадратного корня из «X». В математике для её записи применяют знак радикала:
Нотация питона отличается в обоих случаях, и возведение в степень записывается при помощи оператора «**»:
a = 2 b = a ** 2 print(b) > 4
А квадратный корень в питоне представлен в виде функции sqrt(), которая существует в рамках модуля math. Поэтому, чтобы начать работу с корнями, модуль math нужно предварительно импортировать:
import math
Функция sqrt() принимает один параметр — то число, из которого требуется извлечь квадратный корень. Тип данных возвращаемого значения — float.
import math import random # пример использования функции sqrt() # отыщем корень случайного числа и выведем его на экран rand_num = random.randint(1, 100) sqrt_rand_num = math.sqrt(rand_num) print('Случайное число = ', rand_num) > Случайное число = 49 print('Корень = ', sqrt_rand_num) > Корень = 7.0
Квадратный корень
Положительное число
Именно на работу с неотрицательными числами «заточена» функция sqrt(). Если число больше или равно нулю, то неважно, какой у него тип. Вы можете извлекать корень из целых чисел:
import math print(math.sqrt(100)) > 10.0
А можете — из вещественных:
import math print(math.sqrt(111.5)) > 10.559356040971437
Легко проверить корректность полученных результатов с помощью обратной операции возведения в степень:
print(math. sqrt(70.5)) > 8.396427811873332 # возвести в степень можно так print(8.396427811873332 ** 2) > 70.5 # а можно с помощью функции pow() print(pow(8.396427811873332, 2)) > 70.5
Отрицательное число
Функция sqrt() не принимает отрицательных аргументов. Только положительные целые числа, вещественные числа и ноль.
Такая работа функции идёт вразрез с математическим определением. В математике корень спокойно извлекается из чисел меньше 0. Вот только результат получается комплексным, а таким он нужен для относительно узкого круга реальных задач, вроде расчетов в сфере электроэнергетики или физики волновых явлений.
Поэтому, если передадите отрицательное число в sqrt(), то получите ошибку:
print(math.sqrt(-1)) > ValueError: math domain error
Ноль
Функция sqrt() корректно отрабатывает с нулём на входе. Результат тривиален и ожидаем:
print(math. sqrt(0)) > 0.0
Кубический корень
Само название функции sqrt() намекает нам на то, что она не подходит для извлечения корня степени отличной от двойки. Поэтому для извлечения кубических корней, сначала необходимо вспомнить связь между степенями и корнями, которую продемонстрируем на корне квадратном:
Вышеуказанное соотношение несложно доказать и для других степеней вида 1/n.
# Квадратный корень можно извлечь с помощью операции возведения в степень "**" a = 4 b = a ** 0.5 print(b) > 2.0
В случае с квадратным или кубическим корнем эти операции действительно эквивалентны, но, вообще говоря, в математике извлечение корня и возведение в дробную степень имеют существенные отличия при рациональных степенях вида m/n, где m != 1. Формально, в дробно-рациональную степень можно возводить только положительные вещественные числа. В противном случае возникают проблемы:
👉 Таким образом, извлечь кубический корень в Python можно следующим образом:
print(pow(8, 1/3)) > 2. 0
Или же:
print(8 ** (1/3)) > 2.0
Корень n-степени
То, что справедливо для корня третьей степени, справедливо и для корней произвольной степени.
# извлечём корень 17-й степени из числа 5600 x = 5600 y = 17 z = pow(x, (1/y)) print(z) > 1.6614284717080507 # проверяем корректность результата print(pow(z, y)) > 5600.0
Но раз уж мы разбираемся с математической темой, то попытаемся мыслить более обобщённо. С помощью генератора случайных чисел с заданной точностью будем вычислять корень случайной степени из случайного числа:
import random # точность можно задать на ваше усмотрение x = random.randint(1, 10000) y = random.randint(1, 100) z = pow(x, (1 / y)) print('Корень степени', y, 'из числа', x, 'равен', z) # при проверке вероятны незначительные расхождения из-за погрешности вычислений print('Проверка', pow(z, y)) # но специально для вас автор накликал целочисленный результат > Корень степени 17 из числа 6620 равен 1. 6778624404513571 > Проверка 6620.0
Решение реальной задачи с использованием sqrt
Корень — дитя геометрии. Когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, людям тут же захотелось вычислять стороны треугольников, проверять прямоту внешних углов и сооружать лестницы нужной длины.
Соотношение a2 + b2 = c2, где «a» и «b» — катеты, а «c» — гипотенуза — естественным образом требует извлекать корни при поиске неизвестной стороны. Python-а под рукой у древних греков и вавилонян не было, поэтому считать приходилось методом приближений. Жизнь стала проще, но расчет теоремы Пифагора никто не отменял и в XXI веке.
📡 Решим задачку про вышку сотовой связи. Заказчик требует рассчитать высоту сооружения, чтобы радиус покрытия был 23 километра. Мы неспешно отходим на заданное расстояние от предполагаемого места строительства и задумчиво смотрим под ноги. В голове появляются очертания треугольника с вершинами:
Ваше местоположение;
Центр Земли;
Пиковая высота вышки.
Модель готова, приступаем к написанию кода:
import math # расстояние от вас до вышки from_you_to_base_station = 23 # радиус земли earth_radius = 6371 # расчет расстояния от центра земли до пика сооружения по теореме Пифагора height = math.sqrt(from_you_to_base_station ** 2 + earth_radius ** 2) # расчет высоты вышки(км) base_station_height = height - earth_radius print('Требуемая высота(м): ', round(base_station_height * 1000)) > Требуемая высота(м): 42
Расчёт выполнен, результат заказчику предоставлен. Можно идти пить чай и радоваться тому, что теперь ещё больше людей смогут звонить родным и сидеть в интернете.
Степени и возведение в степень, вторая, третья, четвёртая степени
Когда число умножается само на себя, произведение называется степенью.
Так 2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х
 2.2.2 = 8, куб или третья степень.
 2.2.2. 2 = 16, четвёртая степень.
Также, 10.10 = 100, вторая степень 10.
 10.10.10 = 1000, третья степень.
 10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.
И a.a = aa, вторая степень a
 a.a.a = aaa, третья степень a
 a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a
Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.
Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения. Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель. Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а² равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a³ означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.
Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a¹ записывается как a.
Вы не должны путать степени с коэффициентами. Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.
Так, 4a = a + a + a + a. Но a⁴ = a.a.a.a
Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква. В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении a^x, показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень. Так, b^m и dⁿ возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда b^m = b³; но если m = 5, тогда b^m=b⁵.
Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d)³ есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид
a³ + 3a²b + 3a²d + 3ab² + 6abd + 3ad² + b³ + d³.
Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель, и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.
Так, в ряде aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
или a⁵, a⁴, a³, a², a¹;
показатели , если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножатьна a, мы успешно получим несколько значений.
Tак a.a = a², второй член. И a³.a = a⁴
 a².a = a³, третий член. a⁴.a = a⁵.
Если мы начнем слева делить на a,
мы получим a⁵:a = a⁴ и a³:a = a².
a⁴:a = a³ a²:a = a¹
Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.
Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
 1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.
Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.
Или a⁵, a⁴, a³, a², a, 1, 1/a, 1/a², 1/a³.
Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.
Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a³) = a³.
Тот же самый план записи может применяться к многочленам. Так, для a + b, мы получим множество,
(a + b)³, (a + b)², (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b)², 1/(a + b)³.
Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.
Согласно этой форме, 1/a или 1/a¹ = a^-1. И 1/aaa или 1/a³ = a^-3.
1/aa или 1/a² = a^-2. 1/aaaa или 1/a⁴ = a^-4.
А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a⁰.
Тогда, учитывая прямые и обратные степени
вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можно записать a⁴, a³, a², a¹, a⁰, a^-1, a^-2, a^-3, a^-4.
Или a⁺⁴, a⁺³, a⁺², a⁺¹, a⁰, a^-1, a^-2, a^-3, a^-4.
А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:
 +4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
Корень степени может выражен более чем одной буквой.
Так, aa.aa или (aa)² есть второй степенью aa.
И aa.aa.aa или (aa)³ есть третьей степенью aa.
Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.
Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:
Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.
Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.
Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.
Четвертая степень a есть a⁴ или aaaa. (Art. 195.)
Шестая степень y есть y⁶ или yyyyyy.
N-ая степень x есть xⁿ или xxx….. n раз повторенное.
Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.
Tак (ay)² =a²y²; (ay)² = ay.ay.
Но ay.ay = ayay = aayy = a²y².
Так, (bmx)³ = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b³m³x³.
Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.
Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy)⁴, или d⁴h⁴y⁴.
Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b)³, или 4³b³, или 64b³.
Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad)ⁿ или 6ⁿaⁿdⁿ.
Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y)³, или 27m³.8y³.
Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,
(a + b)¹ = a + b, первая степень.
(a + b)¹ = a² + 2ab + b², вторая степень (a + b).
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, третья степень.
(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴, четвертая степень.
Квадрат a — b, есть a² — 2ab + b².
3 + 3a² + 3a + 1.
Квадрат a + b + h есть a² + 2ab + 2ah + b² + 2bh + h²
Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3
Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.
Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.
Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 — b.
Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.
Если мы умножаем a + h само на себя или a — h само на себя,
мы получаем: (a + h)(a + h) = a² + 2ah + h² также, (a — h)(a — h) = a² — 2ah + h².
Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.
Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.
Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.
Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a² + 4ab + b².
Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a²b² + 2abcd + c²d².
Пример 3. Квадрат 3d — h, есть 9d₂ + 6dh + h².
Пример 4. Квадрат a — 1 есть a² — 2a + 1.
Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.
Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.
Так, квадрат a + b, есть (a + b)².
N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x)ⁿ
В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.
Но если корень степени состоит из нескольких множителей, скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.
Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)]² или (a + b)².(c + d)².
Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго — произведением их квадратов. Но они равны друг другу.
Куб a.(b + d), есть [a.(b + d)]³, или a³.(b + d)³.
Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.

Вторая степень (- a) есть +a²
Третья степень (-a) есть -a³
Четвёртая степень (-a) есть +a⁴
Пятая степень (-a) есть -a⁵
Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.
Так, +a.+a = +a²
И -a.-a = +a²
Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.
Третья степень a² есть a^2.3 = a⁶.
Для a² = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a⁶; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a².
Четвертая степень a³b² есть a^3.4b^2.4 = a¹²b⁸
Третья степень 4a²x есть 64a⁶x³.
Пятая степень (a + b)² есть (a + b)¹⁰.
N-ая степень a³ есть a³ⁿ
N-ая степень (x — y)^m есть (x — y)^mn
(a³.b³)² = a⁶.b⁶
(a³b²h⁴)³ = a⁹b⁶h¹²
Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.
Пример 1. Третья степень a^-2 есть a^-3.3=a^-6.
Для a^-2 = 1/aa, и третья степень этого
(1/aa). (1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a⁶ = a^-6
Четвертая степень a²b^-3 есть a⁸b^-12 или a⁸/b¹².
Квадрат b³x^-1, есть b⁶x^-2.
N-ая cтепень ax^-m есть x^-mn или 1/x.
Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть «-«, то он должен быть изменен на «+» всегда, когда степень есть четным числом.
Пример 1. Квадрат -a³ есть +a⁶. Квадрат -a³ есть -a³.-a³, которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a⁶.
2. Но куб -a³ есть -a⁹. Для -a³.-a³.-a³ = -a⁹.
3. N-ая степень -a³ есть a³ⁿ.
Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n — чётное или нечётное.
Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.
Квадрат a/b есть a²/b². Согласно правилу умножению дробей,
 (a/b)(a/b) = aa/bb = a²b²
Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a², 1/a³ и 1/aⁿ.
Примеры двочленов, в которых один из членов является дробью.
1. Найдите квадрат x + 1/2 и x — 1/2.
(x + 1/2)² = x² + 2.x.(1/2) + 1/2² = x² + x + 1/4
(x — 1/2)² = x² — 2.x.(1/2) + 1/2² = x² — x + 1/4
2. Квадрат a + 2/3 есть a² + 4a/3 + 4/9.
3. Квадрат x + b/2 = x² + bx + b²/4.
4 Квадрат x — b/m есть x² — 2bx/m + b²/m².
Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени.
Так, в дроби ax^-2/y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.
Тогда ax_-2/y = (a/y).x^-2 = (a/y).(1/x² = a/yx².
В дроби a/by³ мы можем переместить у из знаменателя в числитель.
Тогда a/by₂ = (a/b).(1/y³) = (a/b).y^-3 = ay^-3/b.
Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.
Так, ax³/b = a/bx^-3. Для x³ обратным есть x_-3, что есть x³ = 1/x^-3.
Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.
Так, a/b = 1/ba^-1, or ab^-1.
ГДЗ по алгебре 10 класс Мерзляк, Номировский Решебник Базовый уровень
Рекомендуем посмотреть
Премиум
Премиум
Вся сложность в освоении этой науки заключается в том, что школьнику предстоит постигнуть основы тригонометрии. Не всегда те знания, которые приобретаются на уроке, доходят до каждого ученика. Чтобы облегчить участь учащегося и помочь ему правильно научиться применять формулы и изображать графики функций при выполнении домашней работы, нужно будет научить его пользоваться онлайн-сборником ГДЗ по алгебре за 10 класс, авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С. Этот решебник поможет десятикласснику понять все свойства функции, найти значение синуса и косинуса, тангенса и котангенса. С его помощью ученик будет уверен в правильности решения тригонометрических уравнений и сможет более эффективно запомнить необходимые ему формулы. Сайт предназначен для широкого круга пользователей. Им могут пользоваться непосредственно обучающиеся, их родители, репетиторы, студенты педагогических вузов и практиканты, молодые и опытные педагоги. Они могут пользоваться ресурсом ежедневно, без ограничений. Проверять свои знания, разбирать сложные темы, искать альтернативные способы решений, совершенствоваться и убеждаться в своих умениях. Это прекрасный способ экономить время на приготовлении уроков – его можно потратить на более полезные вещи (отдых, спорт, хобби, увлечения, прогулки, рукоделие или чтение книг).
Плюсы онлайн-решебника по алгебре за 10 класс от Мерзляка
Это отличный помощник для тех, кто хочет получать только высокие оценки и стремится к получению красного аттестата. Он облегчает жизнь не только детям, но и их родителям, которые будут свободны от регулярного контроля и проверок тетрадей. Преимущества:
быстрый поиск;

возможность воспользоваться сайтом в любом месте: в школе, дома, на улице – ресурс имеет адаптированную под все смартфоны версию;

постоянное обновление, пополнение новыми заданиями, включение внесенных в учебник изменений.

Решебник по алгебре за десятый год Мерзляк поможет быстро и эффективно подготовиться к контрольным работам, проверкам, тестам. Это пособие способно обеспечить идеальную поддержку, так что ученики могут больше не волноваться об успеваемости.
Быстрый поиск
Задания
§1 1.1 1.2 1. 3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1. 11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1. 19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1. 27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1. 35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1. 43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1. 51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1. 59 §2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2. 7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2. 15 2.16 2.17 §3 3.1 3.2 3.3 3.4 3. 5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3. 13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 §4 4. 1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4. 9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 §5 5. 1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5. 9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5. 17 5.18 5.19 5.20 5.21 5.22 5.23 5.24 5. 25 5.26 5.27 5.28 Упражнение стр. 47 Упражнение стр. 52 Проверь себя Глава 1 §6 6. 1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6. 9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6. 17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6. 25 6.26 6.27 6.28 6.29 6.30 §7 7.1 7. 2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7. 10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7. 18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7. 26 7.27 §8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8. 6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8. 14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19 8.20 8.21 8. 22 8.23 8.24 8.25 8.26 8.27 8.28 8.29 8. 30 8.31 8.32 8.33 8.34 8.35 8.36 8.37 8. 38 §9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9. 7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9. 15 9.16 9.17 9.18 9.19 9.20 9.21 9.22 9. 23 9.24 9.25 9.26 9.27 9.28 9.29 9.30 9. 31 9.32 9.33 9.34 9.35 9.36 9.37 9.38 9. 39 9.40 9.41 9.42 9.43 9.44 9.45 9.46 9. 47 9.48 9.49 9.50 9.51 9.52 9.53 9.54 §10 10. 1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10. 9 10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15 10.16 10. 17 10.18 10.19 10.20 10.21 10.22 10.23 10.24 10. 25 10.26 10.27 10.28 10.29 10.30 10.31 10.32 10. 33 10.34 10.35 10.36 10.37 10.38 10.39 §11 11. 1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11. 9 11.10 11.11 11.12 11.13 11.14 11.15 11.16 11. 17 11.18 11.19 11.20 11.21 11.22 11.23 11.24 11. 25 11.26 §12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12. 6 12.7 12.8 12.9 12.10 12.11 12.12 12.13 12. 14 12.15 12.16 12.17 12.18 12.19 12.20 12.21 12. 22 §13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13. 7 13.8 13.9 13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 13. 15 13.16 Упражнение стр. 107 §14 14.1 14.2 14.3 14.4 14. 5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12 14. 13 14.14 14.15 14.16 14.17 14.18 14.19 14.20 14. 21 14.22 14.23 14.24 14.25 §15 15.1 15.2 15. 3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15. 11 15.12 15.13 15.14 15.15 15.16 15.17 15.18 15. 19 15.20 15.21 15.22 15.23 §16 16.1 16.2 16. 3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 16. 11 16.12 16.13 16.14 16.15 16.16 16.17 16.18 16. 19 Упражнение стр. 129 Проверь себя Глава 2 §17 17.1 17.2 17.3 17.4 17. 5 17.6 17.7 17.8 17.9 17.10 17.11 17.12 17. 13 17.14 17.15 17.16 17.17 17.18 17.19 17.20 17. 21 17.22 17.23 17.24 17.25 17.26 §18 18.1 18. 2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 18. 10 18.11 18.12 18.13 18.14 18.15 18.16 18.17 18. 18 18.19 18.20 18.21 18.22 18.23 18.24 18.25 §19 19. 1 19.2 19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19. 9 19.10 19.11 19.12 19.13 19.14 19.15 19.16 19. 17 19.18 19.19 19.20 19.21 19.22 §20 20.1 20. 2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 20. 10 20.11 20.12 20.13 20.14 20.15 20.16 20.17 20. 18 20.19 20.20 20.21 20.22 20.23 20.24 §21 21. 1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8 21. 9 21.10 21.11 21.12 21.13 21.14 21.15 21.16 21. 17 21.18 21.19 21.20 21.21 21.22 21.23 21.24 21. 25 21.26 21.27 21.28 21.29 21.30 §22 22.1 22. 2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8 22.9 22. 10 22.11 22.12 22.13 22.14 22.15 22.16 22.17 22. 18 22.19 §23 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23. 6 23.7 23.8 23.9 23.10 23.11 23.12 23.13 23. 14 23.15 23.16 23.17 23.18 23.19 23.20 23.21 23. 22 23.23 23.24 23.25 23.26 23.27 23.28 23.29 23. 30 23.31 23.32 23.33 23.34 23.35 23.36 23.37 23. 38 23.39 §24 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5 24. 6 24.7 24.8 24.9 24.10 24.11 24.12 24.13 24. 14 24.15 24.16 24.17 24.18 24.19 24.20 24.21 24. 22 24.23 24.24 24.25 24.26 24.27 24.28 24.29 24. 30 24.31 §25 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25. 6 25.7 25.8 25.9 25.10 25.11 25.12 25.13 25. 14 25.15 25.16 25.17 25.18 25.19 25.20 §26 26. 1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26. 9 26.10 26.11 26.12 26.13 26.14 26.15 26.16 26. 17 26.18 26.19 26.20 26.21 26.22 26.23 26.24 26. 25 26.26 26.27 26.28 26.29 26.30 26.31 26.32 26. 33 26.34 26.35 26.36 26.37 26.38 26.39 26.40 26. 41 §27 27.1 27.2 27.3 27.4 27.5 27.6 27. 7 27.8 27.9 27.10 27.11 27.12 27.13 27.14 27. 15 27.16 §28 28.1 28.2 28.3 28.4 28.5 28. 6 28.7 28.8 28.9 28.10 28.11 28.12 28.13 28. 14 28.15 Упражнение стр.227 Упражнение стр.231 Проверь себя Глава 3 §29 29.1 29. 2 29.3 29.4 29.5 29.6 29.7 29.8 29.9 29. 10 29.11 29.12 29.13 29.14 29.15 29.16 §30 30. 1 30.2 30.3 30.4 30.5 30.6 30.7 30.8 30. 9 30.10 30.11 30.12 30.13 30.14 30.15 30.16 30. 17 30.18 30.19 30.20 30.21 30.22 30.23 30.24 §31 31. 1 31.2 31.3 31.4 31.5 31.6 31.7 31.8 31. 9 31.10 31.11 31.12 Упражнение стр.228 §32 32.1 32.2 32. 3 32.4 32.5 32.6 32.7 32.8 32.9 32.10 32. 11 32.12 32.13 32.14 32.15 32.16 32.17 32.18 32. 19 Упражнение стр.237 §33 33.1 33.2 33.3 33.4 33.5 33. 6 33.7 33.8 33.9 33.10 33.11 33.12 33.13 33. 14 33.15 33.16 33.17 33.18 33.19 33.20 33.21 33. 22 33.23 33.24 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34. 6 34.7 34.8 34.9 34.10 34.11 34.12 Упражнение стр.280 Упражнение стр. 284 §35 35.1 35.2 35.3 35.4 35.5 35.6 35. 7 35.8 35.9 35.10 35.11 35.12 35.13 35.14 35. 15 35.16 35.17 35.18 35.19 35.20 35.21 35.22 35. 23 35.24 35.25 35.26 35.27 Упражнение стр.294 Проверь себя Глава 4 §36 36. 1 36.2 36.3 36.4 36.5 36.6 36.7 36.8 36. 9 36.10 36.11 36.12 36.13 36.14 36.15 36.16 36. 17 36.18 36.19 36.20 36.21 36.22 36.23 36.24 36. 25 36.26 36.27 36.28 36.29 36.30 §37 37.1 37. 2 37.3 37.4 37.5 37.6 37.7 37.8 37.9 37. 10 37.11 37.12 37.13 37.14 37.15 37.16 37.17 37. 18 37.19 37.20 37.21 37.22 37.23 37.24 37.25 37. 26 37.27 37.28 37.29 37.30 37.31 §38 38.1 38. 2 38.3 38.4 38.5 38.6 38.7 38.8 38.9 38. 10 38.11 38.12 38.13 38.14 38.15 38.16 38.17 38. 18 38.19 38.20 38.21 38.22 38.23 38.24 38.25 38. 26 38.27 38.28 38.29 §39 39.1 39.2 39.3 39. 4 39.5 39.6 39.7 39.8 39.9 39.10 39.11 39. 12 39.13 39.14 39.15 39.16 39.17 39.18 39.19 39. 20 39.21 39.22 39.23 39.24 39.25 Проверь себя Глава 5 §40 40. 1 40.2 40.3 40.4 40.5 40.6 40.7 40.8 40. 9 40.10 40.11 40.12 40.13 40.14 40.15 40.16 40. 17 40.18 40.19 40.20 40.21 40.22 40.23 40.24 40. 25 40.26 40.27 40.28 40.29 40.30 40.31 40.32 40. 33 40.34 40.35 40.36 40.37 40.38 40.39 40.40 40. 41 40.42 40.43 40.44 40.45 40.46 40.47 40.48 40. 49 40.50 40.51 40.52 40.53 40.54 40.55 40.56 40. 57 40.58 40.59 40.60 40.61 40.62 40.63 40.64 40. 65 40.66 §41 41.1 41.2 41.3 41.4 Упражнение стр.307 Упражнение стр. 309-310 42.1 42.2 42.3 42.4 42.5 42.6 42.7 42. 8 42.9 42.10 42.11 42.12 42.13 42.14 42.15 42. 16 42.17 42.18 42.19 42.20 42.21 42.22 42.23 42. 24 42.25 42.26 42.27 42.28 42.29 42.30 42.31 42. 32 42.33 42.34 42.35 42.36 42.37 42.38 42.39 42. 40 42.41 42.42 42.43 42.44 42.45 42.46 42.47 42. 48 42.49 42.50 42.51 42.52 42.53 42.54 42.55 42. 56
Точные науки чаще всего вызывают трудности и отрицательные эмоции у школьников. Ведь по ним надо заучивать огромное количество формул и уметь применять их на практике. Ребята с гуманитарным складом ума не знают, как им быть, не верят в себя и свои силы. Однако освоить царицу наук может любой желающий, стоит только захотеть и начать что-то делать для этого. Полученные навыки очень пригодятся в будущем и разовьют интеллект. Ведь математика формирует вычислительные способности, развивает логическое мышление, тренирует память и мозг в целом. Десятый год является ответственным звеном школьного обучения. Впереди ученика ждет ЕГЭ. Алгебра входит в число обязательных предметов для сдачи. Поэтому нужно обратить особое внимание на имеющиеся пробелы в области математики. Материал учебника состоит в основном из повторения ранее пройденных тем.
Эффективно разобраться в изучаемой программе будет проще с поддержкой ГДЗ по алгебре за 10 класс, авторы: Мерзляк А.
Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
В этом пособии подробно разобраны все темы, такие как: «производные, интегралы», «равносильность уравнений и неравенств», «алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел». Все это поможет выучить, вспомнить и запомнить решебник с готовыми ответами. Учитель на уроке не всегда может успеть объяснить весь материал всем, поэтому часть детей остается неподготовленной. В таких ситуациях нужно заниматься дома в свободное время. Для того, чтобы упростить самообучение, нужно воспользоваться онлайн-решебником. Этот метод всегда будет актуальным и полезным. В спокойной домашней обстановке будет очень просто разобрать все непонятные моменты.
Какую еще пользу может принести онлайн-решебник по алгебре за десятый год от Мерзляка
Пользу этот сборник принесет не только обучающимся, но и их родителям, которым будет проще помогать ребенку с д\з и объяснять непонятные моменты, ведь в решениях написаны подробные комментарии. Прочие преимущества:
четкое, ясное изложение материала, верные ответы ко всем заданиям;

открывается на любой удобной для вас платформе;

верные и актуальные примеры оформления;

возможность изучения разделов самостоятельно.

Содержание учебника
Это пособие включает в себя все главы, рекомендуемые к изучению на данный период обучения:
область определения тригонометрических функций;

геометрический смысл производной;

применение интегралов;

правила нахождения первообразных.

Какие-то параграфы могут быть проще, какие-то сложнее. В любом случае, справиться с ними поможет представленное онлайн-пособие.
Ошибка 404 — Страница не найдена
К сожалению мы не можем показать то, что вы искали. Может быть, попробуете поиск по сайту или одну из приведенных ниже ссылок?
Поиск для:
Архивы
Архивы Выберите месяц Сентябрь 2022 Август 2022 Июль 2022 Июнь 2022 Май 2022 Апрель 2022 Март 2022 Февраль 2022 Январь 2022 Декабрь 2021 Ноябрь 2021 Октябрь 2021 Сентябрь 2021 Август 2021 Июль 2021 Июнь 2021 Май 2021 Апрель 2021 Март 2021 Февраль 2021 Январь 2021 Декабрь 2020 Ноябрь 2020 Октябрь 2020 Сентябрь 2020 Август 2020 Июль 2020 Июнь 2020 Май 2020 Апрель 2020 Март 2020 Февраль 2020 Январь 2020 Декабрь 2019 Ноябрь 2019 Октябрь 2019 Сентябрь 2019 Август 2019 Июль 2019 Июнь 2019 Май 2019 Апрель 2019 Март 2019 Февраль 2019 Январь 2019 Декабрь 2018 Ноябрь 2018 Октябрь 2018 Сентябрь 2018 Август 2018 Июль 2018 Июнь 2018 Февраль 2018 Январь 2018 Ноябрь 2017 Сентябрь 2017 Август 2017 Июль 2017 Апрель 2017 Март 2017 Февраль 2017 Январь 2017
Рубрики
РубрикиВыберите рубрикуbritish bulldogАстраБез рубрикиВидеоурокивоспитательная работаВПРВСОШвысшая пробадвидиктантЕГЭЕГЭ 2022 информатикаЕГЭ 2022 математикаЕГЭ по химиизолотое руноизложениеитоговое сочинениеитоговое устное собеседованиеКенгуруКИТконкурс Пегасконтрольная работактпматематический праздникмежрегиональный химический турнирМОШмцкоОВИООГЭОГЭ 2022 математикаолимпиада звездаолимпиада курчатоволимпиада ЛомоносовОПКОтветы на работы СтатГрадрабочая программарабочая тетрадьРДРРешу ЕГЭРешу ОГЭрусский медвежонокСочинениеСтатьитексты егэтесттурнир ЛомоносоваУчебные пособияЧИПЮМШ
Страницы
04. 10.2020 XLIII Турнир Ломоносова задания и ответы
05.12.17 Ответы и задания по математике 10 класс СтатГрад варианты МА00201-МА00208
05.12.17 Ответы и задания по математике 7 класс «СтатГрад» варианты МА70101-МА70106
06.11.2017 Олимпиада «Звезда» естественные науки задания и ответы 6-11 класс отборочный этап
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Камчатского края и Чукотского автономного округа
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Республика Алтай, Алтайский край, Республика Тыва, Респ. Хакасия, Красноярский край, Кемеровская, Томская и Новосибирская область
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 зона 8 Республика Саха (Якутия), город Якутск, Амурская область, Забайкальский край
06.12.17 Официальные темы итогового сочинения для Республика Бурятия, Иркутская область зона 7
06.12.2017 5 зона Омск MSK+3 (UTC+6) официальные темы
06.12.2017 Ответы и задания по обществознанию 9 класс «СтатГрад» варианты ОБ90201-ОБ90204
07. 12.17 Ответы и задания по русскому языку 11 класс СтатГрад варианты РЯ10701-РЯ10702
07.12.2017 Ответы и задания по биологии 9 класс пробное ОГЭ 4 варианта
08.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс контрольная работа ОГЭ 56 регион
08.12.2017 Ответы и задания по физике 9 класс работа СтатГрад ОГЭ ФИ90201-ФИ90204
10.04.2020 Решать впр тренировочные варианты по математике 6 класс с ответами
10.10.17 Математика 9 класс контрольная работа 4 варианта ФГОС 56 регион задания и ответы
10.10.17 Русский язык 9 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ90101-РЯ90102
10.11.2017 История 9 класс задания и ответы статград варианты ИС90201-ИС90204
100balnik мы в ВКОНТАКТЕ
100balnik отзывы пользователей
11 апреля 10-11 класс география ответы и задания
11 апреля 6 класс история ответы и задания
11 апреля 7 класс биология ответы и задания
11.04.2020 Решать ВПР тренировочные варианты по математике 5 класс с ответами
11. 10.17 Физика 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты ФИ10101-ФИ10104
11.12.2017 — 16.12.2017 Олимпиада по дискретной математике и теоретической информатике
11.12.2017 Зимняя олимпиада по окружающему миру для 4 класса задания и ответы
11.12.2017 Ответы и задания по английскому языку 11 класс СтатГрад вариант АЯ10101
11.12.2017 Соревнование для 5-6 классов интернет-карусель по математике задания и ответы
12.04.2020 Решать тренировочные варианты ВПР по математике 4 класс + ответы
12.10 Русский язык 10 класс диагностическая работа ФГОС для 11 региона задания и ответы
12.10.17 Русский 2 класс ВПР официальные варианты задания и ответы
12.10.17 Химия 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ90101-ХИ90104
12.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс работа СтатГрад варианты ГГ90101-ГГ90102
13.09.2017 Биология 11 класс СтатГрад задания и ответы все варианты
13.10.17 Математика 9 класс задания и ответы для 11 региона
13. 10.2017 Обществознание 11 класс работа СтатГрад задания и ответы ОБ10101-ОБ10104
13.12.2017 Ответы по физике 11 класс статград задания варианты ФИ10201-ФИ10204
13.12.2017 Письмо говорение по английскому языку 7-9 класс работа 56 регион
14.09.2017 Информатика 11 класс тренировочная работа статград ответы и задания
14.12 Геометрия 9 класс задания и ответы «СтатГрад»
14.12.2017 КДР ответы по русскому языку 8 класс задания все варианты
14.12.2017 Контрольная работа по математике 8 класс за 1 полугодие 2 варианта заданий с ответами
14.12.2017 Литература 11 класс ответы и задания СтатГрад вариант ЛИ10101
14.12.2017 Ответы КДР по математике 10 класс задания 6 вариантов
14.12.2017 Ответы по геометрии 9 класс СтатГрад задания варианты МА90301-МА90304
14.12.2017 Ответы по математике 11 класс КДР задания 6 вариантов
15.09 Математика 10 класс контрольная работа 3 варианта 56 регион задания и ответы
15. 09.2017 Биология 9 класс тренировочная работа «СтатГрад» БИ90101-БИ90104 ответы и задания
15.11.2017 Задания и ответы 2-11 класс по Русскому медвежонку 2017 год
15.12.2017 Обществознание 11 класс ответы и задания СтатГрад варианты ОБ10201-ОБ10204
16 апреля 11 класс английский язык ответы и задания
16 апреля 5 класс история ответы и задания
16 апреля 6 класс биология ответы и задания
16 апреля 7 класс география ответы и задания
16.01.2018 Контрольная работа по русскому языку 9 класс в формате ОГЭ с ответами
16.01.2018 Ответы и задания КДР по русскому языку 11 класс 23 регион
16.10.2017 Ответы и задания всероссийской олимпиады школьников по математике 4-11 класс ВОШ
16.11.2017 МЦКО 10 класс русский язык ответы и задания
17.01.2018 Ответы и задания по информатике 11 класс работа статград варианты ИН10301-ИН10304
17.10.17 Физика 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ФИ90101-ФИ90104
18 апреля 11 класс химия ответы и задания
18 апреля 5 класс биология ответы и задания
18 апреля 6 класс обществознание ответы и задания
18 апреля 7 класс математика ответы и задания
18. 09. Математика 10 класс задания и ответы
18.10.17 Математика 9 класс РПР 64 регион задания и ответы 1 этап
18.10.2017 Задания и ответы по математике 9 класс 50 регион Московская область
18.12.2017 Биология 11 класс Статград задания и ответы варианты БИ10201-БИ10204
19.09 Диагностическая работа по русскому языку 5 класс задания и ответы за 1 четверть
19.09 Контрольная работа по русскому языку 11 класс для 56 региона задания и ответы 1 четверть
19.09.2017 школьный этап всероссийской олимпиады по ОБЖ 5-11 класс задания и ответы
19.10.17 Русский язык 11 класс (ЕГЭ) задания и ответы статград варианты РЯ10601-РЯ10602
19.12.2017 КДР геометрия 8 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
19.12.2017 КДР математика 9 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
19.12.2017 Математика 10 класс тригонометрия база и профиль ответы и задания СтатГрад
2 апреля 11 класс история ВПР
2 апреля 7 класс английский язык ВПР
20. 09 Входная контрольная работа русский язык 7 класс для 56 региона задания и ответы
20.09.2017 История 9 класс варианты ИС90101-ИС90102 ОГЭ задания и ответы
20.11.2017 Русский язык 9 класс «СтатГрад» ОГЭ задания и ответы РЯ90701-РЯ90702
20.12.2017 Химия 9 класс ответы и задания работа Статград варианты ХИ90201-ХИ90202
21.09.17 Математика 11 класс варианты МА10101-МА10108 задания и ответы
21.10.17 ОБЖ 7-11 класс муниципальный этап ВОШ для Москвы ответы и задания
21.11.17 Биология 9 класс СтатГрад задания и ответы варианты БИ90201-БИ90204
21.12.2017 Математика 9 класс РПР для 64 региона задания и ответы 2 этап
21.12.2017 Ответы и задания по математике 11 класс «СтатГрад» база и профиль
21.12.2017 Ответы и задания по русскому языку 10-11 класс варианты КДР 23 регион
22.09.17 Обществознание 9 класс работа статград ОГЭ варианты ОБ90101-ОБ90102 задания и ответы
22.09.17 Русский язык 10 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы
22. 10 Задания и ответы олимпиады по литературе 7-11 класс муниципальный этап 2017
23 апреля математика 5 класс ВПР 2019
23 апреля русский язык 6 класс ВПР 2019
23 апреля ФИЗИКА 7 класс ВПР 2019
23.11.2017 Задания и ответы по информатике 9 класс для вариантов статград ИН90201-ИН90204
24.10.17 Изложение 9 класс русский язык СтатГрад варианты РЯ90601-РЯ90602
24.10.17 КДР 8 класс математика алгебра задания и ответы 23 регион
24.10.17 Контрольная работа английский язык 7-9 класс для 56 региона письмо
25.09.17 Информатика 9 класс задания и ответы СтатГрад варианты ИН90101-ИН90102
25.10.17 Английский язык 7-9 класс контрольная работа для 56 региона чтение варианты
25.10.17 История 11 класс МЦКО варианты задания и ответы
25.10.17 Русский язык 9 класс МЦКО задания и ответы
26.09 Английский язык 7,8,9 класс контрольная работа для 56 региона задания и ответы ФГОС
26.09.17 История 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты ИС10101-ИС10102
26. 09.17 Математика 11 класс мониторинговая работа ЕГЭ 3 варианта задания и ответы
26.10 ВПР Русский язык 5 класс ответы и задания все реальные варианты
26.10.17 Химия 11 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ10101-ХИ10104
27.09.2017 Математика 9 класс работа статград варианты МА90101-МА90104 задания и ответы
27.10 Задания и ответы для олимпиады по биологии муниципальный этап 2017
28.09.17 Русский язык 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ10101-РЯ10102
29.09.17 Математика 10 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты МА00101-МА00104
30.11.2017 МЦКО математика 11 класс ответы и задания
4 апреля 11 класс биология ВПР
4 апреля 7 класс обществознание ВПР
4 класс диктант 2019 год
4 класс диктант платно
4 класс математика 22.04.2019-26.04.2019
4 класс математика платно ответы и задания
4 класс окр. мир платно
4 класс окружающий мир 22.04.2019-26. 04.2019
4 класс русский тест 2019 год
4 класса тест платно
5 класс биология платно
5 класс история платно
5 класс русский язык впр 25 апреля
5 класс русский язык платно
6 класс история платно
6 класс математика впр 25 апреля
6 класс математика платно
6 класс общество платно
6 класс платно гео ответы и задания
6 класс платно ответы и задания
7 класс ВПР 2019 по географии ответы и задания 16 апреля 2019
7 класс история впр 25 апреля
7 класс русский язык 56 регион ответы и задания 21.12.2018
7.11.17 Английский язык 9 класс от СтатГрад задания и ответы варианты АЯ90101-АЯ90102
8.11.2017 Русский язык 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты РЯ10201-РЯ10202
9 апреля география 6 класс ВПР 2019
9 апреля русский язык 7 класс ВПР 2019
9 апреля физика 11 класс ВПР 2019
9 класс английский язык ОГЭ 24 25 мая
9 класс БИОЛОГИЯ ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
9 класс информатика огэ 2019 год
9 класс математика огэ 2019 год
9 класс обществознание ОГЭ 2019
9 класс ОГЭ 2019
9 класс русский язык ОГЭ 2019
9 класс ФИЗИКА огэ 2019 год
9 класс ФИЗИКА ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
9 класс экзамен по истории огэ 2019 год
9. 11.17 Математика 9 класс работа «СтатГрад» задания и ответы варианты МА90201-МА90204
British Bulldog 2019 ответы и задания 3-4 класс 10-11 декабря 2019
British Bulldog 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
British Bulldog 5-6 класс ответы и задания 2018-2019
British Bulldog 9-11 класс ответы и задания 2018-2019
FAQ
My Calendar
Алгебра 7 класс статград 4 декабря 2019 ответы и задания МА1970101-106
Алгебра и начала анализа статград 10 класс 4 декабря 2019 ответы и задания
Английский 9 класс СтатГрад задания и ответы
Английский язык 11 класс АЯ10301 ответы и задания 23 апреля 2019 год
Английский язык 11 класс СтатГрад 17.04
Английский язык 11 класс статград 5 декабря 2019 ответы и задания АЯ1910101
Английский язык 7 класс ВПР 2020 тренировочные варианты задания и ответы
Английский язык 7 класс ВПР ответы и задания 2 апреля 2019 год
Английский язык 7-9 класс ответы и задания 56 регион
Английский язык 7,8,9 класс мониторинговая работа чтение 2019
Английский язык 9 класс ответы и задания АЯ1990101 АЯ1990102 статград 6 ноября 2019
Английский язык 9 класс платно
Английский язык 9 класс статград ответы и задания 2018-2019 06. 11
Английский язык аудирование ответы 7 8 9 класс 56 регион 2018-2019
Английский язык говорение 56 регион ответы 7 8 9 класс 2018-2019
Английский язык задания и ответы школьного этапа олимпиады ВОШ 2019-2020
Английский язык ответы 7 8 класс 56 регион чтение 2018-2019
Английский язык письмо 7 8 класс ответы и задания 2018-2019
Аргументы для тем итогового сочинения 2019-2020 регион МСК+8
Архив работ
01.04.2020 Английский язык 9 класс ответы и задания для АЯ1990201-АЯ1990202
05.03.2020 Физика 11 класс статград ответы и задания ФИ1910401-ФИ1910404
06.03.2020 История 11 класс ИС1910401-ИС1910404 статград ответы и задания
12.02.2020 Математика 10 класс МА1900401-МА1900404 ответы и задания
12.05.2020 Математика 9 класс МА1990701-МА1990704 ответы и задания статград
13.05.2020 Русский язык 11 класс варианты РУ1910501-РУ1910502 ответы и задания
14.05.2020 Химия 11 класс варианты ХИ1910501-ХИ1910504 ответы и задания
14. 09.2017 Варианты и ответы контрольной работы математика 8 класс для 56 региона
15.05.2020 Математика 10-11 класс варианты МА1900701-МА1900710 ответы и задания
18.05.2020 Физика 11 класс варианты ФИ1910501-ФИ1910504 ответы и задания
19.03.2020 Русский язык 10-11 класс РЯ1910901-РЯ1910902 ответы и задания
19.05.2020 История 11 класс варианты ИС1910501-ИС1910504 статград ответы и задания
21.05.2020 ОБ1910501-ОБ1910504 ответы и задания обществознание 11 класс статград
24.03.2020 Химия 11 класс ХИ1910401-ХИ1910404 ответы и задания статград
Биология 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2020 ответы и задания
Вариант № 33006760 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Варианты с ответами пробного экзамена ЕГЭ 2020 по математике в Санкт-Петербурге
ВПР 2020 по математике 8 класс новые варианты с ответами
ВПР 2020 тренировочная работа по обществознанию 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 тренировочные варианты БИ1980201-БИ1980202 по биологии 8 класс задания с ответами
ВПР 2020 тренировочные варианты по биологии 6 класс задания с ответами
ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 7 класс задания с ответами
ВПР 2020 тренировочные варианты по математике 7 класс
ВПР 2020 физика 7 класс варианты ФИ1970101, ФИ1970102 с ответами
ВПР по математике 4 класс задания и ответы 2018
ВПР по математике 5 класс задания и ответы 2018 год
ВПР по обществознанию 7 класс 2020 тренировочные варианты с ответами
ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по литературе 11 класс
ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по математике ПРОФИЛЬ 11 класс
ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по русскому языку 11 класс
Задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников по праву 5-11 класс 2017-2018
Задания и ответы регионального этапа 2019 по экономике ВСОШ
История 5 класс ИС1950101-ИС1950102 ВПР 2020 ответы и задания
Контрольная работа в формате ОГЭ 2020 по истории 9 класс 3 четверть
Контрольная работа ЕГЭ 2020 по химии 11 класс задания и ответы
Контрольная работа по истории 11 класс в формате ЕГЭ 2020 задания и ответы
Математика 7 класс ответы и задания по диагностической работе 09. 10.2018
МЦКО русский язык 11 класс задания и ответы варианты 14 января 2020
Новые задачи с ответами по химии 9-10 класс Сириус
Новый тренировочный вариант 200622 по информатике и ИКТ 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Новый тренировочный вариант 33006755 по математике профильный ЕГЭ с ответами
Обществознание 9 класс ответы ОБ90301 и ОБ90302 25.01.2019
Олимпиада по английскому языку 4-7 класс ответы и задания для пригласительного этапа 16 апреля 2020
Ответы Биология 11 класс тренировочная работа 18 января 2019
Ответы пробное ОГЭ география 9 класс 22 января 2019
Ответы работа статград история 11 класс 22 января 2019
Пробные варианты ВПР 2020 по окружающему миру 4 класс с ответами
Пробный ЕГЭ по математике 11 класс задания и ответы апрель 2020 год
РДР 2020 5 класс реальные 2 варианта задания и ответы
РДР 2020 6 класс реальные задания и ответы 12 марта 2020 год
Решать новые тренировочные варианты впр по обществознанию 6 класс 2020
Решу ЕГЭ 2020 по информатике 11 класс тренировочный вариант задания №200106
Тренировочная работа Обществознание 11 класс ответы 1 февраля 2019
Тренировочная работа по математике 9 класс ответы 12 февраля 2019
Тренировочная работа по физике 9 класс ответы статград 29 января 2019
Тренировочная работа по химии 9 класс ответы статград 14 февраля 2019
Тренировочная работа русский язык 11 класс ответы 5 февраля 2019
Тренировочная работа русский язык 9 класс ответы 7 февраля 2019
Тренировочный вариант 200622 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Тренировочный вариант 200622 по географии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Тренировочный вариант 200622 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Тренировочный вариант 200622 по химии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Тренировочный вариант 29382872 по математике профильный ЕГЭ с ответами
Тренировочный вариант 29382873 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
Тренировочный вариант 29382874 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
Тренировочный вариант 29527679 по математике профильный ЕГЭ с ответами
Тренировочный вариант 29527683 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
Тренировочный вариант 29527684 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
Тренировочный вариант 29527685 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
Тренировочный вариант 29527686 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
Тренировочный вариант 29527687 по математике 11 класс профильный ЕГЭ задания с ответами
Тренировочный вариант 33006750 по математике профильный ЕГЭ с ответами
Тренировочный вариант 33006751 по математике профильный ЕГЭ с ответами
Тренировочный вариант 33006752 по математике профильный ЕГЭ с ответами
Тренировочный вариант 33006753 по математике профильный ЕГЭ с ответами
Тренировочный вариант 33006754 по математике профильный ЕГЭ с ответами
Тренировочный вариант 33006756 по математике профильный уровень ЕГЭ с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 200525 задания и ответы по математике профиль
Тренировочный вариант ЕГЭ 29527688 по математике 11 класс профильный задания с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 29527689 по математике 11 класс профильный задания с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 29527690 по математике 11 класс профильный задания с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 33006763 задания и ответы по математике профиль
Тренировочный вариант ЕГЭ 33006764 задания и ответы по математике профиль
Физика 9 класс ФИ1990401- ФИ1990404 ответы и задания статград 3 марта 2020
Химия 11 класс ХИ1910601-ХИ1910602 ВПР 2020 тренировочная работа
Экзаменационная контрольная работа по литературе 9 класс ОГЭ 2020
Астра 2019 ответы и задания 3-4 класс 20 ноября 2019
Банк заданий ФИПИ по русскому языку ЕГЭ 2019 морфемика и словообразование
Биология 10 класс РДР задания и ответы 14 ноября 2019-2020
Биология 11 класс 5 ноября 2019 статград ответы и задания БИ1910201-204
Биология 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
Биология 11 класс ВПР ответы и задания 11. 05
Биология 11 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019
Биология 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
Биология 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 18 апреля 2019 год
Биология 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
Биология 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Биология 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
Биология 6 класс платно
Биология 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
Биология 7 класс впр статград ответы и задания 11 сентября 2019
Биология 9 класс 15 ноября ответы и задания статград 2018
Биология 9 класс БИ90501 БИ90502 ответы и задания 23 апреля 2019
Биология 9 класс ответы БИ90401 и БИ90402 статград 01.2019
Биология 9 класс ответы и задания 25 ноября работа статград БИ1990201-БИ1990204
Биология 9-10 класс ответы КДР 24 января 2019
Биология ОГЭ 2018 платно
Благодарим за ваш заказ!
Британский бульдог 7-8 класс ответы и задания 2018-2019
Вариант 322 КИМы с реального ЕГЭ 2018 по математике
Вариант № 33006761 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Вариант № 33006762 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Вариант №1 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №2 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №3 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
Вариант №4 морфемика и словообразование банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ
Вариант №5 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант №6 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант №7 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
Вариант по биологии с реального ЕГЭ 2020 задания и ответы
Варианты БИ1910301-БИ1910304 по биологии 11 класс ответы и задания 14 января 2020
Варианты ВПР по физике 11 класс задания и ответы за 2018 год
Варианты для проведения ВПР 2020 по математике 6 класс с ответами
Ваши отзывы — пожелания
Вероятность и статистика 7 класс ответы 16. 05
Вероятность и статистика 8 класс ответы 16.05
Витрина
ВКР английский язык 7,8,9 класс задания и ответы говорение 2019-2020
ВКР по геометрии 8 класс ответы и задания
Возможные варианты для устного собеседования 9 класс ОГЭ 13 марта 2019
Вот что с восторгом воскликнул Иван Васильевич готовые сочинения
ВОШ всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
ВОШ ВСЕРОССИЙСКИЕ школьные олимпиады 2017-2018 задания и ответы
ВОШ муниципальный этап по обществознанию ответы и задания 2018-2019
ВОШ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ 2017-2018
ВОШ Школьный этап 2017-2018 задания и ответы для Республики Коми
ВОШ школьный этап по экономике ответы и задания 2018-2019
ВПР 11 класс английский язык ответы и задания 20 марта 2018
ВПР 11 класс география
ВПР 11 класс история ответы и задания 21 марта 2018
ВПР 2019 6 класс обществознание ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 по математике 7 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
ВПР 2019 физика 11 класс ответы и задания 9 апреля 2019 год
ВПР 2020 6 класс задание №10 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 6 класс задание №11 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 6 класс задание №6 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №7 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №8 по математике с ответами
ВПР 2020 6 класс задание №9 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 английский язык варианты АЯ1910201-АЯ1910202 задания и ответы
ВПР 2020 биология 11 класс варианты БИ1910601-БИ1910602 ответы и задания
ВПР 2020 биология 5 класс новые варианты с ответами
ВПР 2020 вариант демоверсии по биологии 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 география 10-11 класс варианты ГГ1910401-ГГ1910402 ответы и задания
ВПР 2020 география 6 класс варианты ГГ1960101, ГГ1960102 задания и ответы
ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по русскому языку с ответами
ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по математике с ответами которые будут
ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по русскому языку с ответами
ВПР 2020 год 6 класс задание №14 по русскому языку с реальными ответами
ВПР 2020 демоверсия по биологии 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по географии 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по географии 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по иностранным языкам 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по истории 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по истории 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по математике 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по математике 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 7 класс задания и ответы
ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 8 класс задания и ответы
ВПР 2020 задание 6 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №1 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 задание №2 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №3 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №4 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №5 по математике 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 6 класс с ответами
ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
ВПР 2020 математика 5 класс реальные задания с ответами
ВПР 2020 новые варианты с ответами по русскому языку 7 класс
ВПР 2020 ответы и задания всероссийские проверочные работы
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №1 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №10 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №2 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №3 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №4 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №6 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №7 с ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №8 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №9 с реальными ответами
ВПР 2020 по биологии 7 класс тренировочные варианты БИ1970201,БИ1970202
ВПР 2020 по истории 6 класс задание 1 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №10 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №2 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №3 с ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №4 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №5 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №6 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №7 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №8 с реальными ответами
ВПР 2020 по истории 6 класс задание №9 с реальными ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание 11 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание 12 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №1 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №13 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №2 реальное с ответами
ВПР 2020 по математике 7 класс задание №8 реальное с ответами
ВПР 2020 русский язык 8 класс варианты РУ1980201, РУ1980202 ответы
ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 8 класс задания с ответами
ВПР 2020 тренировочные варианты по русскому языку 5 класс задания с ответами
ВПР 2020 физика 11 класс варианты ФИ1910601-ФИ1910602 ответы и задания
ВПР 2020 химия 8 класс демоверсия задания и ответы
ВПР 2021 ответы и задания всероссийские проверочные работы
ВПР 2022 ответы и задания всероссийские проверочные работы
ВПР 4 класс математика 2020 год реальные официальные задания и ответы
ВПР БИОЛОГИЯ 11 класс 2018 реальные ответы и задания
ВПР география 10-11 класс
ВПР математика 5 класс ответы и задания
ВПР по истории 11 класс ответы и задания 18. 05
ВПР ФИЗИКА 11 класс 2018
ВПР физика 11 класс резервный день ответы
ВПР ХИМИЯ 11 05.04
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2018-2019 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2019-2020 задания и ответы
Всероссийская олимпиада по праву ответы и задания школьный этап 25-26 октября 2019
Всероссийская олимпиада по химии ответы и задания школьный этап 21-22 октября 2019
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада региональный этап 2018-2019 задания и ответы
Всероссийская олимпиада школьников региональный этап 2019-2020 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Краснодарского края
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Челябинской области
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 региональный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 школьный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2019-2020 учебный год задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 региональный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 школьный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2021 заключительный этап задания и ответы
ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2022-2023 задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2017 задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2017-2018 задания и ответы
Всероссийские проверочные работы 2018-2019 задания и ответы
Всесибирская олимпиада школьников задания и ответы по математике 2018-2019
Входная контрольная работа по математике 11 класс ответы и задания 2019-2020
Входная контрольная работа по математике 4 класс ответы и задания 2019-2020
Входная контрольная работа по математике 5 класс ответы и задания 2019-2020
Входная работа по русскому языку 11 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Гарантия
ГГ1910101 ответы и задания география 11 класс статград 4 октября 2019
ГДЗ 5 классы решебники
ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н. Я
ГДЗ решебники
Гелиантус АСТРА 1-2 класс ответы и задания 2018-2019
Гелиантус АСТРА 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
География 10-11 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
География 11 класс ответы и задания 17 апреля 2019 тренировочная №4
География 11 класс ответы и задания вариант ГГ10101 статград 2018-2019
География 11 класс платно
География 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
География 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 9 апреля 2019
География 6 класс ВПР 2020 год задание 7 и официальные ответы
География 6 класс ВПР 2020 год задание №8 и реальные ответы
География 6 класс ВПР 2020 задание №2 официальное с ответами
География 6 класс ВПР 2020 задание №3 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №4 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №5 с ответами официальные
География 6 класс ВПР 2020 задание №6 и официальные ответы
География 6 класс задание №1 реального ВПР 2020 с ответами
География 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
География 9 класс ответы и задания ГГ90401 ГГ90402 22 апреля 2019
География 9 класс ответы и задания тренировочная статград 18 марта 2019
География 9 класс СтатГрад задания и ответы
География 9 класс статград ответы и задания 13 марта 2018
География задания и ответы школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
География муниципальный этап 2019 задания и ответы всероссийской олимпиады
Геометрия 9 класс ответы и задания 12 декабря 2019 работа статград
Готовое итоговое сочинение 2018-2019 на тему может ли добрый человек проявлять жестокость?
Готовые сочинения для варианта №1 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И. П
Готовые сочинения для варианта №2 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №3 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №4 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №5 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №6 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения для варианта №7 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
Готовые сочинения ЕГЭ в избушке у самого леса живёт старый охотник
Готовые сочинения ЕГЭ несомненно Дюма останется ещё на многие
Готовые сочинения ЕГЭ по тексту может быть самая трогательная и самая глубокая
Готовые сочинения ЕГЭ по тексту Н. Тэффи нежность самый кроткий робкий божественный лик любви
Готовые сочинения ЕГЭ по тексту отправь голову в отпуск Измайлов
Готовые сочинения ЕГЭ ты часто жаловался мне, что тебя «не понимают!»
Готовые сочинения как-то Анатолий Бочаров высказал по тексту В. В. Быкову
Готовые сочинения на Невском, у Литейного постоянно толпились
Готовые сочинения по тексту Ф. М. Достоевскому в эту ночь снились мне
Готовые сочинения чего нам так не хватает а не хватает нам любви к детям по тексту А. А. Лиханову
Готовые сочинения я очень плохо знаю деревенскую жизнь с проблемами и текстом
ДВИ МГУ варианты ответы и программы вступительных испытаний
Демоверсии ЕГЭ 2023 года ФИПИ по всем предметам
Демоверсия ВПР 2020 география 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 история 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 по биологии 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ВПР 2020 по обществознанию 6 класс задания и ответы фипи
Демоверсия ОГЭ 2019 по математике решение заданий
Диктант по русскому языку 4 класс ВПР 2018 задания
ДКР 2019 по географии 10 класс ответы и задания Свердловская область
ДКР 2019 по географии 7 класс задания и ответы 11 декабря 2019-2020
Добро пожаловать
Доступ ко всем работам
ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по истории 11 класс
Если хочешь понять душу леса найди лесной 9 готовых сочинений ЕГЭ
Естественные науки ответы и задания олимпиада ЗВЕЗДА 25-29 ноября 2019-2020
за эти месяцы тяжелой борьбы решающей 9 готовых сочинений ЕГЭ
Задание № 15 неравенства ОГЭ по математике 9 класс 2020
Задания ВПР 2017 для 11 класса по географии
Задания ВПР 2017 для 4 класса по русскому языку
Задания ВПР 2017 для 5 класса по математике
Задания заключительного этапа ВСЕРОССИЙСКОЙ олимпиады по информатике 2017/2018
Задания и ответы 2 варианта пробного экзамена ЕГЭ по математике 11 класс 4 апреля 2018
Задания и ответы 56 регион на ФЕВРАЛЬ 2017
Задания и ответы 6 класс XXX математический праздник 2019 год
Задания и ответы Англ. яз 18.11
Задания и ответы Биология 14.11
Задания и ответы Биология 9 класс 21.11.
Задания и ответы всероссийской олимпиады по русскому языку Московской области 19 ноября 2017
Задания и ответы ГЕОГРАФИЯ 21.11.2017
Задания и ответы для комплексной работы КДР для 8 класса ФГОС 4 варианта
Задания и ответы для Оренбургской области 56 регион декабрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области ноябрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области октябрь 2017
Задания и ответы для Оренбургской области сентябрь 2017
Задания и ответы для работ 11 регион Республика Коми 2018-2019
Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми Декабрь 2018-2019
Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми НОЯБРЬ 2018-2019
Задания и ответы для работ 56 региона октябрь 2018
Задания и ответы для работ Республики Коми
Задания и ответы для регионального этапа по физической культуре 2018
Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион декабрь 2018
Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион февраль 2018
Задания и ответы КДР 2019 математика 9 класс 20 февраля
Задания и ответы Математика 03. 12
Задания и ответы Математика 17.11
Задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 по немецкому языку 7-11 класс ВСОШ
Задания и ответы муниципального этапа по русскому языку 2019-2020 Москва
Задания и ответы МХК 15.11
Задания и ответы на Апрель 2017 для 56 региона
Задания и ответы на Май 2017 для 56 региона
Задания и ответы на Март 2017 для 56 региона
Задания и ответы олимпиады по литературе региональный этап 2020
Задания и ответы по информатике 11 класс 28 ноября 2017 СтатГрад варианты ИН10201-ИН10204
Задания и ответы по истории для 11 классов (56 регион)
Задания и ответы по математике 11 класс профиль вариант №22397963
Задания и ответы по математике 11 класс профиль ЕГЭ вариант №22397967
Задания и ответы по математике 6 класс ВПР 2018
Задания и ответы по русскому языку 6 класс ВПР 2018
Задания и ответы по русскому языку 9 класс СтатГрад 29 ноября 2017 варианты РЯ90201-РЯ90202
Задания и ответы по физике муниципального этапа 2019 всероссийская олимпиада
Задания и ответы по химии 11 класс СтатГрад 30 ноября 2017 года варианты ХИ10201-ХИ10204
Задания и ответы ПРАВО 14. 11
Задания и ответы право региональный этап ВОШ 2019
Задания и ответы регионального этапа 2019 по английскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по испанскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по китайскому языку
Задания и ответы регионального этапа 2019 по химии ВОШ
Задания и ответы региональный этап ВОШ 2019 по французскому
Задания и ответы Русский язык 19.11
Задания и ответы Русский язык ОГЭ 9 класс 20.11.
Задания и ответы Физика 18.11
Задания и ответы Химия 24.11
Задания Московской математической олимпиады 8 класс 17 марта 2019 год
Задания МОШ 2019 по физике 1 тур 7 8 9 10 класс
Задания по истории муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Задания, ответы и результаты олимпиады по биологии региональный этап 2020
Задания, ответы и результаты олимпиады по химии региональный этап 2020
Заключительный этап 2022 задания и ответы многопрофильной инженерной олимпиады звезда
Заключительный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020 задания и ответы
Закрытый раздел
Золотое руно 2018 ответы и задания 16 февраля конкурс по истории
Изложение русский язык 9 класс статград ответы и задания 4 октября 2019
Информатика 11 класс 15 ноября 2019 статград ответы и задания ИН1910201- ИН1910204
Информатика 11 класс КДР ответы и задания 18 декабря 2018
Информатика 11 класс платно
Информатика 11 класс СтатГрад задания и ответы
Информатика 11 класс тренировочная №5 ответы и задания 15 апреля 2019 год
Информатика 7 класс ответы РДР 21 февраля 2019
Информатика 9 класс 06. 03
Информатика 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
Информатика 9 класс ответы и задания тренировочная №5 25 апреля 2019
Информатика 9 класс ответы статград 13 ноября 2018
Информатика 9 класс ответы статград 31 января 2019
Информатика ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
Информатика ОГЭ 2018
Информатика ОГЭ 2018 платно
Информатика ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
История 10 класс РДР 2019 официальные задания и ответы все варианты
История 11 класс 13 ноября 2019 ответы и задания статград вариант ИС1910201- ИС1910204
История 11 класс ВПР 2018 год задания и ответы все варианты
История 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 2 апреля 2019 год
История 11 класс ВПР 2020 тренировочные варианты с ответами
История 11 класс задания и ответы СтатГрад
История 11 класс ИС10201 и ИС10202 ответы и задания статград 23.11.2018
История 11 класс ответы и задания СтатГрад 24. 04
История 11 класс ответы ИС10401 и ИС10402 11 марта 2019 год
История 11 класс СтатГрад 24 ноября 2017 задания и ответы варианты ИС10201-ИС10204
История 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
История 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
История 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
История 5 класс ВПР 25.04
История 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
История 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
История 6 класс тренировочные варианты ВПР 2020 задания и ответы
История 7 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
История 7 класс платно 24 апреля
История 9 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы 2019-2020
История 9 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019 год
История 9 класс СтатГрад 27 февраля ответы и задания
История 9 класс статград ответы и задания 2018-2019
История 9 класс статград ответы и задания 30 марта 2018
История всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
Итоговая контрольная работа по математике 8 класс за 2018-2019 учебный год
Итоговая контрольная работа по русскому языку 7 класс за 2018-2019 учебный год
Итоговая работа математика 10 класс ответы и задания 24 апреля 2019 год
Итоговое собеседование варианты 12 февраля 2020
Итоговое сочинение 05. 12.2018
Итоговое сочинение 2017
Итоговое устное собеседование ОГЭ 2022 по русскому языку 9 класс
Как написать эссе по обществознанию ЕГЭ
Как получить задания и ответы для ВПР 2019
Как получить работу задания и ответы
Как получить темы на итоговое сочинение 6 декабря 2017 года
Как человеку воспитать в себе доброту? готовое итоговое сочинение 2018-2019
КДР (задания+ответы) на Февраль 2017
КДР (задания+ответы) на Январь 2017
КДР 1 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
КДР 2 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
КДР 2019 23 регион ответы и задания май 2019 год
КДР 2019 задания и ответы по английскому языку 8 класс 21 мая 2019 год
КДР 2019 ответы и задания апрель 2019 год
КДР 2019 ответы по географии 9 класс 15 февраля
КДР 2019 химия 9 и 10 класс ответы 19 марта 2019 год
КДР 2019-2020 декабрь 23 регион ответы и задания
КДР 2020 23 регион ответы и задания Краснодарский край
КДР 9 класс русский язык ответы и задания 14 декабря 2018
КДР Английский язык 8 класс ответы и задания 2018-2019
КДР апрель 2017 работы задания и ответы
КДР апрель 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР декабрь 2017 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР задания и ответы
КДР задания и ответы комплексная работа 3 класс 2018 год
КДР задания и ответы комплексная работа 4 класс варианты 2018 год
КДР Май 2017 работы задания и ответы
КДР Май 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР математика 11 класс задания и ответы 28 февраля 2018 год
КДР математика 7 класс ответы и задания 12. 04
КДР математика 9 класс 19.04
КДР ответы и задания 23 регион Январь 2019
КДР ответы и задания для Краснодарского края 23 регион ДЕКАБРЬ 2018
КДР ответы и задания математика 10-11 класс 23 ноября 2018
КДР ответы и задания НОЯБРЬ 2018 для Краснодарского края 23 регион
КДР ответы и задания октябрь 2018 для Краснодарского края 23 регион
КДР ответы и задания по английскому языку 9 10 11 класс 8 февраля 2018
КДР ответы и задания по Биологии 10 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Биологии 11 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Биологии 9 класс 23 января 2018
КДР ответы и задания по Географии 10 класс 25 января 2018
КДР ответы и задания по Географии 9 класс 25 января 2018
КДР ответы и задания по информатике 10 класс 18 января 2018
КДР ответы и задания по информатике 9 класс 18 января 2018
КДР ответы и задания по истории 9 10 11 класс 13 февраля 2018
КДР ответы и задания по обществознанию 9 10 11 класс 1 февраля 2018
КДР ответы и задания по русскому языку 9 класс 6 февраля 2018
КДР ответы и задания по химии 10 11 класс 6 февраля 2018
КДР ответы математика 7 класс 30 января 2019
КДР ответы русский язык 9 класс 6 февраля 2019
КДР ответы физика 9-10 класс 31 января 2019
КДР по алгебре 8 класс ответы и задания 2018-2019
КДР ПО ГЕОГРАФИИ 11 КЛАСС 23 регион ответы и задания 22 февраля
КДР по литературе 10 11 класс 2018 ответы и задания
КДР по литературе 10 класс ответы
КДР по Математике 9 класс официальные ответы
КДР по русскому языку для 9 классов
КДР русский язык 7 8 класс ответы и задания
КДР русский язык 7-8 класс ответы 17. 05
КДР февраль 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
КДР январь 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
Кенгуру 2017 9 класс ответы
Кенгуру 2017 ответы и задания 2-10 класс
Кенгуру 2019 ответы и задания 5-6 класс
Кенгуру 2019 ответы и задания для 7-8 класса
КИТ 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
КИТ 8-9 класс ответы и задания 2018-2019
КИТ-2019 ответы и задания 10-11 класс 27 ноября 2019-2020
Комплексная работа ФГОС 5 6 7 8 9 класс ответы и задания 30 ноября 2018
Конкурс АСТРА 2019 ответы и задания 5-6 класс 20 ноября 2019
Конкурс КИТ 2018 4-5 класс ответы и задания
Конкурс КИТ 2019 ответы и задания 2-3 класс 27 ноября 2019
Контакты
Контрольная входная работа по русскому языку 10 класс ответы и задания 2019-2020
Контрольная работа за 1 полугодие по русскому языку 7 класс ответы и задания
Контрольная работа по математике 11 класс 2 четверть в формате ЕГЭ 3 варианта с ответами
Контрольная работа по русскому языку 10 класс за 1 полугодие 2 варианта с ответами
Контрольная работа по русскому языку 8 класс за 1 полугодие 2 четверть задания и ответы
Контрольные работы ОГЭ 2021 задания и ответы для 9 класса
Контрольные срезы 56 регион ответы и задания октябрь 2019-2020
Корзина
Критерии ответы и задания по физике 11 класс статград 23 марта 2018
Критерии ответы по информатике 11 класс статград 16 марта 2018
Критерии ответы по русскому языку 11 класс статград 2018
Кружила январская метелица скрипели мерзлые готовые сочинения ЕГЭ
Куда поступить после 11 класса в 2017 году
Литература 11 класс ответы и задания ЕГЭ статград 22. 03.2018
Литература 11 класс СтатГрад задания и ответы
Литература 9 класс ОГЭ 2019 год
Литература 9 класс ответы и задания статград 22 ноября 2018 год
Литература 9 класс статград ОГЭ сочинение ответы 14 марта 2018
Литература ОГЭ 2018 платно
Литература олимпиада ВОШ задания муниципальный этап 2018-2019
Литература ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
Литература ответы и задания школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Литература школьный этап 2019-2020 задания и ответы олимпиады ВОШ
Математика 7 классов 56 регион задания и ответы
Математика 10 класс (вероятность и статистика)
Математика 10 класс 56 регион ответы 16.05
Математика 10 класс вероятность и статистика ответы и задания 4 апреля 2019
Математика 10 класс задания и ответы мониторинговая работа ФГОС 2019-2020
Математика 10 класс ответы и задания 18.05
Математика 10 класс ответы и задания статград
Математика 10 класс ответы и задания статград 2018-2019
Математика 10 класс статград ответы и задания 29. 03.2018
Математика 10 класс статград ответы и задания БАЗА и ПРОФИЛЬ
Математика 10 класс тригонометрия ответы статград 18.12.2018
Математика 10-11 класс ответы и задания варианты статград 17 мая 2019
Математика 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
Математика 11 класс 17 декабря 2019 контрольная работа задания и ответы
Математика 11 класс диагностическая работа ЕГЭ профиль задания и ответы для 11 региона
Математика 11 класс КДР ответы и задания 28 февраля
Математика 11 класс ответы база профиль статград 24 января 2019
Математика 11 класс ответы и задания БАЗА ПРОФИЛЬ 20.09
Математика 11 класс ответы и задания тренировочная работа №5 19 апреля 2019
Математика 11 класс ответы статград БАЗА ПРОФИЛЬ 20.12.2018
Математика 11 класс профиль 56 рег
Математика 11 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 13 марта 2019
Математика 3 класс задания ВСОКО МЦКО итоговая работа 2019
Математика 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 4 класс ВПР ответы 25. 04
Математика 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
Математика 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Математика 5 класс задания и ответы СтатГрад варианты 12 сентября 2017 год
Математика 5 класс контрольная работа за 1 полугодие задания и ответы 2019-2020
Математика 5 класс официальная демоверсия ВПР 2020 задания и ответы
Математика 5 класс платно
Математика 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Математика 6 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
Математика 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
Математика 6 класс ответы СтатГрад 15.05
Математика 7 класс ответы и задания варианты МА70301 МА70302 14 мая 2019
Математика 7 класс РДР ответы 2018-2019
Математика 8 класс 56 регион 17.03
Математика 8 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
Математика 8 класс входная контрольная работа ответы и задания 2019-2020
Математика 8 класс задания и ответы работа статград 12 сентября 2017
Математика 8 класс ответы и задания варианты МА80201 МА80202 14 мая 2019
Математика 8 класс ответы и задания по диагностической работе 11 регион 2018-2019
Математика 8 класс статград ответы и задания
Математика 9 класс — 64 регион ответы
Математика 9 класс 12 ноября 2019 ответы и задания работа статград МА1990201-04
Математика 9 класс 13. 02
Математика 9 класс 56 рег ответы
Математика 9 класс контрольная работа в формате ОГЭ 4 варианта ответы и задания
Математика 9 класс ОГЭ 2018 ответы и задания
Математика 9 класс ответы 11 регион 18.12.2018
Математика 9 класс ответы 15.05 СтатГрад
Математика 9 класс ответы и задания 11 регион 4 октября 2018
Математика 9 класс ответы и задания варианты 56 регион 10 октября 2019
Математика 9 класс ответы и задания РПР 64 регион 20.12.2018
Математика 9 класс ответы и задания статград 19 марта 2019
Математика 9 класс ответы и задания статград варианты 15 мая 2019 год
Математика 9 класс ответы РПР 64 регион 2019 3 этап 20 марта
Математика 9 класс пробник статград ответы и задания 21 марта 2018
Математика 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
Математика 9 класс статград ответы и задания 13 февраля 2018 года
Математика 9 класс статград ответы и задания 27.09.2018
Математика База платно
Математика геометрия 9 класс КДР ответы и задания 20 февраля 2018
Математика задания и ответы муниципальный этап ВОШ 2018-2019 для Москвы
Математика олимпиада ВОШ 2018-2019 школьный этап задания и ответы
Математика ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
Математика профиль 11 класс 56 регион контрольная работа 18. 12.2018
Математика тренировочная работа 9 класс ответы статград 8 ноября 2018 года
Математическая вертикаль 2021-2022 ответы и задания
Математическая вертикаль ответы и задания 2020-2021 учебный год
Материалы за 2016-2021 учебный год
Международный молодёжный предметный чемпионат по правоведению для 10-11 классов.
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2017-2018 задания и ответы
Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2018-2019 ответы и задания
Многопрофильная инженерная олимпиада Звезда 2021-2022 ответы и задания
Многопрофильная олимпиада Звезда 2019-2020 ответы и задания
Многопрофильная олимпиада Звезда 2020-2021 ответы и задания
Мой аккаунт
Мониторинговая работа аудирование по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019-2020
Мониторинговая работа по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019
Мониторинговая работа по русскому языку 5 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Мониторинговая работа по русскому языку 8 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
Мониторинговые работы 56 регион ответы и задания сентябрь 2019
Московская олимпиада школьников 2020-2021 ответы и задания
Московская олимпиада школьников 2021-2022 ответы и задания
Московский турнир юных физиков задания 2019-2020 учебный год
МПУ МЦКО 4 класс задания 31 января 2019 год
Муниципальный этап 2019 олимпиады по испанскому языку задания и ответы ВОШ
Муниципальный этап 2019 олимпиады по истории задания и ответы ВСОШ
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиада по ОБЖ ответы и задания для Москвы
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по химии задания и ответы Московская область
Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по экологии ответы и задания ВсОШ Москва
Муниципальный этап 2019-2020 по литературе ответы и задания ВсОШ Москва
Муниципальный этап ВОШ 2018 по праву задания и ответы для Москвы
Муниципальный этап ВОШ 2018-2019 задания по химии в Московской области
Муниципальный этап ВОШ по астрономии ответы и задания 2018-2019 учебный год
Муниципальный этап ВОШ по ОБЖ ответы и задания 2018-2019
Муниципальный этап олимпиады 2019 по искусству МХК задания и ответы ВСОШ
Муниципальный этап олимпиады 2019-2020 по астрономии задания и ответы Московская область
Муниципальный этап олимпиады по биологии ответы и задания 19 октября 2019
Муниципальный этап по астрономии всероссийской олимпиады задания 2018-2019
Муниципальный этап по обществознанию 2019-2020 ответы и задания ВСОШ Москва
Муниципальный этап по экономике всероссийская олимпиада 2018-2019
МХК искусство задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 учебный год
МХК искусство школьный этап 2019 ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
МХК муниципальный этап 8 ноября задания всероссийской олимпиады 2018-2019
МЦКО 2019-2020 расписание и демоверсии диагностических работ
МЦКО 2020-2021 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
МЦКО 2021-2022 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
МЦКО 2022-2023 демоверсии, варианты и ответы диагностических работ
МЦКО 7 класс математика ответы 13 февраля 2018
МЦКО 8 класс метопредмет ответы и задания 27 февраля
МЦКО 8 класс ответы 15. 03
МЦКО история 10 класс ответы 25.10.2018
МЦКО математика 3 класс задания
Мцко математика 7 класс 02.03.17
МЦКО математика 9 класс варианты задания и ответы 2019-2020
МЦКО математика 9 класс ответы и задания 3 октября 2018
МЦКО ответы и задания по русскому языку 11 класс 18 января 2018
МЦКО ответы и задания по русскому языку 7 8 класс 1 февраля 2018
МЦКО по физике для 9 классов
МЦКО русский язык 9 класс ответы 2018-2019
МЦКО физика для 7 классов ответы и задания
Направления тем итогового сочинения 2017-2018
Наше наследие 1-11 класс муниципальный тур ответы и задания 2019-2020
Наше наследие 1-11 класс школьный тур ответы и задания 2019-2020
Наше наследие олимпиада задания и ответы 2017-2018
Наше наследие ответы и задания 5-6 класс школьный тур 2019-2020
Наше наследие ответы и задания 9-11 класс школьный тур 2019-2020
Новый тренировочный вариант 200622 по биологии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Новый тренировочный вариант 200622 по физике 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по истории 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по литературе 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210201 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 210208 по химии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 34072997 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
Новый тренировочный вариант 34072998 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
Новый тренировочный вариант 34072999 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант 34073000 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант ЕГЭ 34073001 по математике профильный с ответами
Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по биологии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по физике 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
О нас
ОБ1910201-ОБ1910204 ответы и задания обществознание 11 класс 13 декабря 2019
ОБЖ школьный этап задания и ответы олимпиады ВОШ 2019-2020
Обществознание 10 класс КДР 2019 задания и ответы 01. 03.2019
Обществознание 11 класс 04.05
Обществознание 11 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
Обществознание 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания 19 марта 2018
Обществознание 11 класс СтатГрад задания и ответы
Обществознание 11 класс Статград ответы и задания
Обществознание 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Обществознание 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
Обществознание 9 11 класс контрольная работа 56 регион 20 февраля 2018
Обществознание 9 класс 19 декабря 2019 ответы и задания ОБ1990201-ОБ1990204
Обществознание 9 класс КДР 2019 ответы 01.03.2019
Обществознание 9 класс ответы и задания 29 апреля 2019 тренировочная №5
Обществознание 9 класс СтатГрад задания и ответы
Обществознание 9 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
Обществознание 9 класс тренировочная работа №1 ответы и задания 21.09
ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ для 9 классов Республика Коми, 11 регион
Обществознание ОГЭ 2018 платно
ОГЭ
ОГЭ 2017 закрытый раздел
ОГЭ 2018 Математика платно
ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 24 региона
ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 54 региона
ОГЭ 2019 официальное расписание экзаменов 9 класс
ОГЭ английский язык 2018 ответы и задания 9 класс
Одно желание было у лейтенанта Бориса Костяева готовые сочинения ЕГЭ
Окружающий мир 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Окружающий мир 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
Олимпиада Звезда заключительный тур 2017-2018 задания и ответы
Олимпиада Ломоносов по математике 11 класс задания и ответы 2018-2019
Олимпиада Наше Наследие 2019-2020 учебный год задания и ответы
Школьный тур 5-11 класс наше наследие задания и ответы 2019-2020
Олимпиада Наше Наследие 2020-2021 учебный год ОВИО задания и ответы
Олимпиада Наше Наследие задания и ответы 2018-2019 учебный год
Олимпиада основы православной культуры задания и ответы 2019-2020
Олимпиада по английскому языку 8-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 17 апреля 2020
Олимпиада по английскому языку задания и ответы муниципального этапа 2019
Олимпиада по английскому языку школьный этап 2017 задания
Олимпиада по астрономии муниципальный этап 2019 задания и ответы
Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап 2019 ВОШ
Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап ВсОШ 23-24 октября 2019
Олимпиада по математике НТИ отборочный этап ответы и задания 2018-2019
Олимпиада по МХК школьный этап 2017 задания
Олимпиада по обществознанию школьный этап 2017 задания
Олимпиада по праву школьный этап 2017 задания
Олимпиада по русскому языку задания и ответы школьного этапа 2019
Олимпиада по физической культуре муниципальный этапа 2019-2020 задания и ответы
Олимпиада по экологии 4-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 15 апреля 2020
Олимпиада по экологии ответы и задания школьный этап 2019-2020 Московская область
Олимпиада по экологии школьный этап 2017 задания
Олимпиада РОСАТОМ 2018-2019 задания и ответы
Олимпиада ФИЗТЕХ 11 класс ответы и задания 2018-2019
Олимпиада школьников САММАТ 2019-2020 ответы и задания
Оплата заказа
Оренбургская область 56 регион задания и ответы работы январь 2018
Отборочные задания по математике для физико-математической школы 2019 год
Отборочные задания по физике для физико-математической школы 2019 год
Ответы 56 регион математика 8 класс 19 декабря 2018
Ответы 7 8 класс золотое руно 2019 с заданиями
Ответы 9-11 класс золотое руно задания 2019
Ответы английский язык 7 8 9 класс говорение 56 регион 2018-2019
Ответы английский язык для 9 классов 56 регион
Ответы ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №5
Ответы для реального задания №10 ВПР 2020 по географии 6 класс
Ответы для реального задания №9 ВПР 2020 по географии 6 класс
Ответы задания и сочинения татарский язык ЕРТ
Ответы задания изложение по русскому языку 9 класс СтатГрад 8 февраля 2018
Ответы и задания 1-2 класс конкурс АСТРА 20 ноября 2019-2020
Ответы и задания 10-11 класс КИТ 2018
Ответы и задания 11 класс кенгуру выпускника 2019
Ответы и задания 12. 04.2018
Ответы и задания 2 класс пегас 2019
Ответы и задания 2 класс чип 2019-2020 Австралия
Ответы и задания 3-4 класс золотое руно 2019
Ответы и задания 3-4 класс кенгуру 2019 год
Ответы и задания 3-4 класс пегас 2019
Ответы и задания 3-4 класс ЧИП 2019 год
Ответы и задания 4-5 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
Ответы и задания 4-5 класс русский медвежонок 14 ноября 2019
Ответы и задания 5-6 класс Гелиантус (астра) 2018-2019
Ответы и задания 5-6 класс золотое руно 2019 год
Ответы и задания 6-7 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
Ответы и задания 6-7 класс русский медвежонок 2018-2019
Ответы и задания 8-9 класс русский медвежонок 2018-2019
Ответы и задания 9 класс кенгуру выпускника 2019
Ответы и задания 9-10 класс кенгуру 2019 год
Ответы и задания английский язык 9 класс диагностика №2 22 марта 2019
Ответы и задания БИ10401 и БИ10402 биология 11 класс 4 марта 2019
Ответы и задания биология 11 класс статград
Ответы и задания биология 11 класс статград 30 ноября 2018
Ответы и задания ВПР по географии 10-11 класс 03. 04.2018
Ответы и задания география 11 класс статград 9 декабря 2019 ГГ1910201
Ответы и задания для конкурса Кенгуру 2020 11 класс
Ответы и задания для конкурса по информатике КИТ 1-11 класс 29 ноября 2017 год
Ответы и задания для Оренбургской области 56 регион март 2019
Ответы и задания для пробных работ 56 региона 2018
Ответы и задания для работ 15.02.2017
Ответы и задания для работы статград по истории 9 класс
Ответы и задания золотое руно 2019 1-2 класс
Ответы и задания информатика 11 класс ИН1910101 ИН1910102 23 сентября 2019
Ответы и задания история 9 класс статград 29 ноября 2018 год
Ответы и задания КДР 23 регион март 2019 год
Ответы и задания КДР геометрия 8 класс 16 ноября 2018 года
Ответы и задания кенгуру 2 класс 2019 год
Ответы и задания кенгуру выпускника 4 класс 2019
Ответы и задания контрольная по математике 7 класс
Ответы и задания контрольных работ для 56 региона декабрь 2019
Ответы и задания МЦКО английский язык 9 класс 2018
Ответы и задания ОГЭ 2018 по математике 9 класс
Ответы и задания олимпиада звезда по обществознанию 2019-2020 отборочный этап
Ответы и задания олимпиады по физкультуре 8,9,10 класс пригласительный этап 28 апреля 2020
Ответы и задания по астрономии школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по биологии 11 класс 30 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по биологии 11 класс статград 12. 09
Ответы и задания по биологии 9 класс 17.09 статград
Ответы и задания по Биологии 9 класс 24 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по биологии 9 класс БИ1990101-02 статград 14 октября 2019
Ответы и задания по биология 9 класс СтатГрад 2018
Ответы и задания по информатике 11 класс статград 14.09
Ответы и задания по информатике 9 класс статград 19.09
Ответы и задания по информатике 9 класс СтатГрад 31 января 2018
Ответы и задания по Истории 11 класс 23 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по истории 11 класс ИС1910101 ИС1910102 27 сентября 2019
Ответы и задания по истории 9 класс 18 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по истории школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания по итальянскому языку школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по китайскому языку олимпиада школьный этап 2019-2020
Ответы и задания по литературе школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020 московская область
Ответы и задания по математике 10 класс контрольная работа
Ответы и задания по математике 11 класс 25 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по математике 11 класс ЕГЭ база 56 регион 04. 04.18
Ответы и задания по математике 11 класс мониторинговая работа 2019-2020
Ответы и задания по математике 8 класс статград 11.09
Ответы и задания по математике 9 класс 12 декабря 2019 статград все варианты
Ответы и задания по математике 9 класс 56 регион 4 декабря 2018
Ответы и задания по математике 9 класс МА1990101-МА1990104 3 октября 2019
Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада
Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
Ответы и задания по МХК искусство всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020
Ответы и задания по ОБЖ всероссийская олимпиада 2018-2019
Ответы и задания по ОБЖ школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания по обществознанию 11 класс ОБ10101 ОБ10102 статград 2018-2019
Ответы и задания по обществознанию 9 класс 26 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по обществознанию ОГЭ 2018
Ответы и задания по праву муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Ответы и задания по русскому языку 11 класс 19 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по русскому языку 11 класс 2 октября 2019 РУ1910101 РУ1910102
Ответы и задания по Русскому языку 11 класс статград 28 марта 2018
Ответы и задания по русскому языку 7 класс входная работа
Ответы и задания по русскому языку 8 класс 56 регион
Ответы и задания по русскому языку 9 класс МЦКО 1 октября 2019
Ответы и задания по русскому языку 9 класс статград РУ1990101-02 16 октября 2019
Ответы и задания по Русскому языку КДР 11 класс январь 2019
Ответы и задания по русскому языку муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
Ответы и задания по русскому языку ОГЭ 2018
Ответы и задания по русскому языку олимпиада школьный этап 22 октября 2019
Ответы и задания по физике 10 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 11 класс ВОШ 2018-2019
Ответы и задания по физике 11 класс ВПР 2018 10. 04.18
Ответы и задания по физике 11 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 9 класс 29 января 2018 СтатГрад
Ответы и задания по физике 9 класс КДР 30 января 2018
Ответы и задания по физике 9 класс статград
Ответы и задания по физике школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
Ответы и задания по химии 11 класс 28 ноября 2018
Ответы и задания по химии 11 класс ВПР 2018 05.04.18
Ответы и задания по химии 11 класс статград ХИ1910101 и ХИ1910102 15 октября 2019
Ответы и задания по химии 9 класс статград ХИ1990101-ХИ1990104 21 октября 2019
Ответы и задания по химии 9 класс тренировочная работа статград
Ответы и задания по экологии школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
Ответы и задания русский язык 11 класс варианты 16 мая 2019 год
Ответы и задания русский язык 7 класс ВПР 9 апреля 2019 год
Ответы и задания русский язык 9 класс 56 регион 06. 04.18
Ответы и задания стартовая работа русский язык 8 класс 23 сентября 2019
Ответы и задания статград обществознание 11 класс 14 декабря 2018
Ответы и задания статград по физике 9 класс варианты 24 октября 2019
Ответы и задания тренировочная №4 история 9 класс 21 марта 2019
Ответы и задания ФИ90401 и ФИ90402 физика 9 класс 4 марта 2019
Ответы и задания Физика ОГЭ 2018 9 класс
Ответы и задания ЧИП 1-2 класс 2019
Ответы и задания школьный этап по математике всероссийской олимпиады новосибирская область 2019-2020
Ответы и задания школьный этап по физике всероссийской олимпиады в Московской области 2019-2020
Ответы КДР 2019 по информатике 10 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по информатике 9 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по литературе 10 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 2019 по литературе 9 класс 15 марта 23 регион
Ответы КДР 23 регион биология 11 класс 21. 12.2018
Ответы КДР 23 регион история 11 класс 21.12.2018
Ответы КДР задания 23 регион Февраль 2019 год
Ответы КДР литература 11 класс 14 декабря 2018
Ответы КДР физика 11 класс 14 декабря 2018
Ответы МЦКО математика 10 класс 5 декабря 2018
Ответы МЦКО математика 11 класс 28 ноября 2018
Ответы МЦКО по истории 9 класс 19.09
Ответы на тренировочная работа по химии 9 класс «СтатГрад»
Ответы на тренировочную работу по русскому языку 11 класс
Ответы обществознание 9 класс статград 5 декабря 2018
Ответы обществознание для 10 классов 23 регион
Ответы ОГЭ 2018 английский язык
Ответы ОГЭ 2018 русский язык
Ответы олимпиада по праву 9 класс школьный этап ВОШ 2018-2019
Ответы олимпиада по физике 9 класс 2018-2019
Ответы по английскому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
Ответы по английскому языку олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
Ответы по астрономии школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по биологии 9 10 11 класс вош 2018-2019 школьный этап
Ответы по биологии для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Ответы по географии ВОШ олимпиада школьный этап 2018-2019
Ответы по географии для 9 классов 11 регион
Ответы по информатике 11 класс 12. 05
Ответы по искусству МХК олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
Ответы по истории 11 класс статград тренировочная работа №1 26.09
Ответы по истории 11 класс школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по истории 9 класс статград
Ответы по истории для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Ответы по математике 7-8 класс КДР
Ответы по математике 8 класс МЦКО 28 марта 2018
Ответы по математике 9 класс 64 регион
Ответы по математике 9 класс СтатГрад 15.02
Ответы по немецкому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
Ответы по русскому языку 11 класс 11 регион 13.02
Ответы по русскому языку для 7 и 8 класс 12.05
Ответы по русскому языку школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
Ответы по тренировочная работа по биологии 11 класс
Ответы по тренировочная работа по обществознанию 9 класс
Ответы по физике 9 класс ФИ90201 и ФИ90202 статград 7 декабря 2018
Ответы по физике, биологии для 11 классов 56 регион 16. 02
Ответы по химии 11 класс пробное ЕГЭ статград 12 марта 2019
Ответы по химии 9 класс статград 19 декабря 2018
Ответы по химии, информатике, географии, обществознанию для 9 классов
Ответы по экологии школьный этап ВОШ 2018-2019
Ответы репетиционный экзамен по математике 9 класс пробное ОГЭ 9 февраля 2018
Ответы РПР по математике 9 класс 64 регион 3 этап 2018
Ответы русский язык 10 класс 56 регион 12.05
Ответы русский язык 5-8 класс контрольная работа за 1 полугодие 56 регион 2018
Ответы статград география 11 класс 11.12.2018
Ответы СтатГрад по обществознанию 9 класс
Ответы статград по обществознанию 9 класс варианты ОБ1990101-02 23 октября 2019
Ответы тренировочная работа по истории 9 класс
Ответы тренировочная работа по математике 10 класс 08.02.2017
Ответы тренировочная работа по русскому языку 9 класс 09.02.2017
Ответы тренировочная работа по химии 11 класс 14. 02
Ответы физике для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
Отзывы прошлых лет
Отзывы с первого экзамена ОГЭ 2018 по английскому языку
Отзывы с первых экзаменов ЕГЭ 2017
Отзывы с прошедших экзаменов ОГЭ 2019
Отзывы с экзамена по русскому языку ОГЭ 2018
Открытый банк заданий и ответы ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку 11 класс
Официальные работы РДР 2019-2020 для 78 региона
РДР 2020 по математике 11 класс задания и ответы 2 варианта ИС «Знак»
РДР 2020 по математике 9 класс задания, ответы и критерии
Официальные работы РДР для 78 региона 2018-2019 учебный год
Официальные РДР 2020 для Московской области задания и ответы
Официальные РДР 2021 для Московской области задания и ответы
Официальные РДР 2022 для Московской области задания и ответы
Официальные темы для Республика Саха (Якутия) Сахалинская область итоговое сочинение 2018-2019
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+1
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+6
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса МСК
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK +9
Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK+7
Оформление заказа
Пегас 2018 задания и ответы 7 февраля конкурс по литературе
Пегас 2019 5-6 класс ответы и задания
Пегас 2019 7-8 класс ответы и задания
Пегас 2019 ответы для 9-11 класса
Письмо английский язык 7 8 9 класс 56 регион ответы и задания
Платно русский язык 9 класс
Поддержать проект
Полугодовая контрольная работа по русскому языку 11 класс задания и ответы 2019-2020
ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ
Предэкзаменационная работа задания и ответы по информатике 9 класс ОГЭ 2019
Предэкзаменационная работа задания и ответы по математике 11 класс ЕГЭ 2019
Пригласительный школьный этап 2021 всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
Пробная (тренировочная) ВПР 2019 география 10-11 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 биология 11 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 география 6 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 математика 7 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 4 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 5 класс ответы и задания
Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 6 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 11 класс
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 5 класс
Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 7 класс
Пробное ВПР 2019 по истории 5 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 по истории 6 класс ответы и задания
Пробное ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания
Пробное Итоговое собеседование 9 класс русский язык ОГЭ 2019 задания
Пробный экзамен по обществознанию и литературе для 11 классов ответы
Проект математическая вертикаль ответы и задания
Работа по математике 11 класс статград ответы и задания 25 сентября 2019
Работа статград по русскому языку 9 класс 3 декабря 2019 ответы и задания
Работы (задания+ответы) для Республики Коми Март 2017
Работы (задания+ответы) Март 2017 СтатГрад
Работы (задания+ответы) Февраль 2017
Работы (задания+ответы) Январь 2017
Работы 56 регион ответы и задания май 2019 год
Работы для 56 региона Май 2018 ответы и задания
Работы для Оренбургской области
Работы для Республики Коми Декабрь 2017 задания и ответы
Работы для Республики Коми Ноябрь 2017 задания и ответы
Работы для Республики Коми Октябрь 2017 задания и ответы
Работы задания и ответы по регионам
Работы МЦКО демоверсии задания и ответы
Работы СтатГрад 2018 февраль задания и ответы
Работы СтатГрад апрель 2018 задания и ответы
Работы Статград ВПР задания и ответы февраль 2019
Работы статград ВПР март 2019 задания и ответы
Работы СтатГрад декабрь 2017 задания и ответы
Работы статград декабрь 2018-2019 ответы и задания
Работы статград декабрь 2019 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Работы статград задания и ответы ноябрь 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад задания и ответы октябрь 2018
Работы статград задания и ответы октябрь 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад задания и ответы сентябрь 2018
Работы СтатГрад март 2018 задания и ответы
Работы СтатГрад ноябрь 2017 задания и ответы
Работы СтатГрад октябрь 2017 задания и ответы
Работы СтатГрад сентябрь 2017 задания и ответы
Работы статград сентябрь 2019 год ответы и задания
Работы СтатГрад январь 2018 задания и ответы
Работы статград январь 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Работы СтатГрад, КДР за апрель 2017
Работы СтатГрад, КДР за май 2017
Работы СтатГрад, КДР за март 2017
Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за февраль 2017
Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за январь 2017
Рабочая программа по окружающему миру ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
Рабочая программа по чтению ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
Рабочие программы по английскому языку ФГОС с 2 по 11 класс на 2022-2023
Рабочие программы ФГОС на 2022-2023 учебный год для 1-11 класса
Рабочая программа по информатике ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
Рабочие программы 7 класс по ФГОС на 2022-2023 год
Рабочие программы для 10 класса ФГОС на 2022-2023
Рабочие программы по ОБЖ ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
Расписание
ЕГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов от Рособрнадзора
ЕГЭ и ОГЭ 2020 год официальное расписание экзаменов у 9 и 11 класса
ОГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов у 9 класса
Официальное расписание ЕГЭ 2019 11 класс основной досрочный этап
Расписание муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников в Санкт-Петербурге 2018-2019
Расписание работ КДР 2019
Расписание РДР 2020-2021 для 58 региона задания и ответы Пензенская область
Расписание РПР 2018-2019 для 26 региона
Расписание ГИА ОГЭ 2017
Расписание ЕГЭ 2018 досрочный основной резервный период
Расписание итогового сочинения 2017-2018
Расписание проведения экзаменов 9 класса ОГЭ 2018
Расписание школьных олимпиад 2017-2018 задания и ответы
Распределения реальных тем итогового сочинения 2017-2018 по зонам регионам
РДР 2019-2020 по физике 10 класс ответы и задания
РДР 8 класс ответы и задания по математике 15 ноября 2018
РДР математика 10 класс 14 ноября 2019 ответы и задания
РДР математика 6 класс ответы и задания 21 ноября 2019 78 регион
РДР ответы и задания для Санкт-Петербурга
Официальные работы РДР для 78 региона задания и ответы 2020-2021 учебный год
РДР по русскому языку 9 класс ответы и задания вариант 1901 и 1902 17 октября 2019
Реальное ВПР 2020 задание 1 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание 2 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №10 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №12 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №3 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №4 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №5 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №6 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №6 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №7 по биологии 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальное ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 5 класс с ответами
Реальные задания по математике ПРОФИЛЬ ЕГЭ 2018
Реальные темы и готовые сочинения 4 декабря 2019 ФИПИ для региона МСК+9
Реальные темы итогового сочинения 2018-2019 5 декабря
Реальный вариант с ЕГЭ 2019 по математике 29 мая 2019 год
Региональный экзамен по математике 7 класс
Региональный экзамен по математике 7 класс 56 регион ответы и задания
Региональный экзамен по русскому языку 8 класс 56 регион
Региональный этап 2019 по астрономии задания и ответы всероссийская олимпиада
Региональный этап 2019 по географии ответы и задания ВОШ
Региональный этап 2019 по искусству МХК ответы и задания ВОШ
Региональный этап 2019 по истории задания и ответы всероссийская олимпиада
Региональный этап 2019 по немецкому языку задания и ответы
Региональный этап по биологии задания всероссийская олимпиада 2018-2019
Региональный этап по математике ответы и задания 2019
Результаты ЕГЭ 2017 у школьников
Решать реальное ВПР 2020 задание №8 по биологии 5 класс с ответами
Решать реальное ВПР 2020 задание №9 по биологии 5 класс с ответами
Решения и задания муниципального этапа 2019 олимпиады по математике
РПР 2017-2021 задания и ответы для Саратовской области 64 регион
РПР математика 9 класс 3 этап задания и ответы 2018-2019
РПР по математике 9 класс 64 регион задания 2018-2019
Русский медвежонок 10-11 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок 14 ноября 2019 ответы и задания 6-7 класс
Русский медвежонок 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок 2019 ответы и задания для 10-11 класса 14 ноября
Русский Медвежонок 2019 ответы и задания для 2-3 класса
Русский медвежонок 2019-2020 ответы и задания 8-9 класс 14 ноября
Русский медвежонок 4-5 класс ответы и задания 2018-2019
Русский медвежонок для учителей 2020 год задания и ответы
Русский язык 10 класс КДР ответы и задания
Русский язык 10 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 10 класс ответы и задания 56 регион
Русский язык 10 класс ответы МЦКО 8 ноября 2018 год
Русский язык 10 класс СтатГрад ответы 12. 05
Русский язык 10-11 класс ответы и задания 22 апреля 2019 тренировочная №1
Русский язык 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
Русский язык 10-11 класс ответы РЯ10901 и РЯ10902 6 марта 2019
Русский язык 11 класс 03.06.2019
Русский язык 11 класс 11 ноября 2019 ответы и задания работа статград
Русский язык 11 класс 56 регион ответы
Русский язык 11 класс диагностическая работа №5 ответы и задания 8 апреля 2019
Русский язык 11 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2 варианта задания и ответы
Русский язык 11 класс мониторинговая работа ответы и задания
Русский язык 11 класс ответы и задания диагностика 2 статград 18 марта 2019
Русский язык 11 класс ответы и задания СтатГрад 17.05
Русский язык 11 класс ответы РЯ10601 и РЯ10602 статград 2018-2019
Русский язык 11 класс ответы статград 30 января 2019
Русский язык 11 класс РЯ1910701-РЯ1910702 статград ответы и задания 11 декабря 2019
Русский язык 11 класс статград 24 октября 2019 ответы и задания РЯ1910601-02
Русский язык 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
Русский язык 11 класс СТАТГРАД ответы и задания 28 февраля
Русский язык 11 класс статград ответы и задания вариант РЯ10201 и РЯ10202 07. 11.2018
Русский язык 11 класс тренировочная работа №1 ответы статград 2018-2019
Русский язык 3 класс МЦКО ВСОКО задания итоговая работа 2019
Русский язык 4 класс ВПР 2020 демоверсия задания и ответы ФИПИ
Русский язык 4 класс задания и ответы мониторинговая работа 2019-2020
Русский язык 5 класс демоверсия ВПР 2020 ФИПИ задания и ответы
Русский язык 5 класс ответы и задания 21.09
Русский язык 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
Русский язык 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Русский язык 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
Русский язык 6 класс статград ответы и задания 2018-2019
Русский язык 7 класс 56 регион ответы
Русский язык 7 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
Русский язык 7 класс задания и ответы мониторинговая работа 10 сентября 2019
Русский язык 7 класс ответы и задания РУ1970101 и РУ1970102 26 сентября 2019
Русский язык 7 класс ответы и задания статград 2018-2019
Русский язык 7 класс статград ответы и задания
Русский язык 7-8 класс ответы КДР 23 января 2019
Русский язык 8 класс 56 регион задания и ответы
Русский язык 8 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
Русский язык 8 класс ответы и задания 56 регион
Русский язык 8 класс ответы и задания 6 мая 2019 итоговая работа
Русский язык 8 класс стартовая работа ответы и задания 24. 09
Русский язык 8 класс статград ответы и задания
Русский язык 9 класс 11.05 ответы
Русский язык 9 класс 74 регион ответы
Русский язык 9 класс ответы и задания 19 апреля 2019 диагностическая работа №4
Русский язык 9 класс ответы и задания варианты 13 мая 2019 год
Русский язык 9 класс ответы и задания диагностика статград 15 марта 2019
Русский язык 9 класс ответы и задания полугодовая работа 2018-2019
Русский язык 9 класс ответы изложение статград 2018-2019
Русский язык 9 класс СтатГрад 17.04
Русский язык 9 класс СтатГрад задания и ответы
Русский язык 9 класс статград ОГЭ ответы и задания 15 марта 2018
Русский язык 9 класс СТАТГРАД ответы и задания
Русский язык 9 класс статград РЯ90201-РЯ90202 ответы и задания 27.11.
Русский язык платно
Русский язык школьный этап 2018-2019 ответы и задания Санкт-Петербург
Русский язык школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
РЭ по математике 7 класс 24. 05 ответы
РЭ по русскому языку 7 класс ответы 19.05
РЭ по русскому языку 8 класс ответы 24.05
СтатГрад
Задания и ответы работы СТАТГРАД ВПР март 2020
Работы статград апрель 2021 год задания ответы и решения
Работы статград апрель 2022 год варианты ответы и решения
Работы статград декабрь 2020 год задания ответы и решения
Работы статград декабрь 2021 год задания ответы и решения
Работы статград задания и ответы апрель 2020 год
Работы статград май 2020 год задания, ответы, решения
Работы статград май 2021 год задания ответы и решения
Работы статград май 2022 год варианты ответы и решения
Работы статград март 2021 год задания ответы и решения
Работы статград март 2022 год задания ответы и решения
Работы статград ноябрь 2020 год задания, ответы и решения
Работы статград ноябрь 2021 год задания ответы и решения
Работы статград октябрь 2020 год задания, ответы и решения
Работы статград октябрь 2021 год задания ответы и решения
Работы статград сентябрь 2020 год задания, ответы и решения
Работы статград сентябрь 2021 год задания ответы и решения
Работы статград сентябрь 2022 год варианты ответы и решения
Работы статград февраль 2021 год задания ответы и решения
Работы статград февраль 2022 год задания ответы и решения
Работы статград январь 2021 год задания ответы и решения
Работы статград январь 2022 год задания ответы и решения
Статград 9 класс русский язык ответы и задания 21. 12.2018
СтатГрад апрель 2017 работы задания и ответы
СтатГрад биология 11 класс 14.04.17
Статград ВПР работы апрель 2019 ответы и задания
СТАТГРАД ВПР февраль 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
Статград география 11 класс ответы и задания март 2018
Статград география 9 класс ответы и задания 20 ноября 2018
СтатГрад задания и ответы по обществознанию 11 класс 1 февраля 2018 года
Статград задания и ответы январь 2018-2019
Статград информатика 9 класс 27 ноября 2019 ответы и задания ИН1990201-ИН1990204
СтатГрад информатика 9 класс ответы и задания 5 марта 2018
Статград история 11 класс 2 варианта ответы и задания 12 марта 2018
СтатГрад май 2017 работы задания и ответы
СтатГрад математика 11 класс ответы и задания 6 марта 2018
Статград Обществознание 11 класс ответы и задания
Статград обществознание 9 класс ответы и задания 13 марта 2018
СтатГрад обществознание 9 класс ответы и задания 17. 05
СтатГрад ответы и задания для работ ноябрь 2018
СтатГрад ответы и задания по математике 10 класс База и Профиль 7 февраля 2018
СтатГрад ответы и задания по русскому языку 11 класс 6 февраля 2018
Статград ответы русский язык 11 класс 19.12.2018
СтатГрад по математике для 11 классов
Статград работы май 2018 ответы и задания
Статград работы ответы и задания май 2019
СтатГрад русский язык диагностические работы 2017 задания и ответы
Темы итогового сочинения 2017
Темы на пробное итоговое сочинение для 52 региона
Темы по направлениям которые будут итоговое сочинение 2018 6 декабря
Тест по русскому языку 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
Тренировочная работа по биологии 11 класс
Тренировочная работа по биологии 9 класс ответы и задания 15 января 2019
Тренировочная работа по информатике 11 класс
Тренировочная работа по информатике 9 класс ответы
Тренировочная работа по математике 10 класс ответы 6 февраля 2019
Тренировочная работа по математике 11 класс ответы 06. 03
Тренировочная работа по химии 11 класс ответы 8 февраля 2019
Тренировочная работа статград по географии 11 класс ответы 15.02.2019
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 7 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 6 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по истории 11 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по математике 6 класс
Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по физике 11 класс
Тренировочные варианты 200203, 200217, 200302 по химии 11 класс с ответами 2020
Тренировочные варианты ВПР 2020 по химии 8 класс ХИ1980101,ХИ1980102
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по биологии задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по обществознанию 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по русскому языку задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по английскому языку 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по географии 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по информатике задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по истории 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по литературе 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по физике 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ЕГЭ по химии 11 класс задания с ответами
Тренировочные варианты КДР 10 класс обществознание 2019
Тренировочные варианты ОГЭ по английскому языку 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по биологии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по географии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по информатике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по истории 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по обществознанию 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по русскому языку 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по физике 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты ОГЭ по химии 9 класс задания с ответами
Тренировочные варианты по биологии 10 класс задания с ответами
Тренировочные задания МЦКО ВСОКО математика 3 класс 2019
Тренировочные работы для 56 региона задания и ответы сентябрь 2018
Тренировочные работы для 56 региона Оренбургской области задания и ответы
Тренировочные работы по математике статград 2017 задания и ответы
Тренировочный вариант 33006757 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант 33006758 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант 33006759 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073002 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073003 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073004 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073005 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073006 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073007 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073008 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073009 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073010 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант ЕГЭ 34073011 по математике профильный уровень с ответами
Тренировочный вариант с ответами 200316 по физике 11 класс ЕГЭ 2020
Тренировочный варианты №191223 и №191209 по химии 11 класс ЕГЭ 2020
Тренировочный ЕГЭ 2020 математика 11 класс профиль задания и ответы
Турнир ЛОМОНОСОВ задания и ответы 2018-2019
Турнир Ломоносова задания и ответы 2019-2020 учебный год
09. 03.2020 XLII Заключительный тур Ломоносова по биологии задания и ответы
09.03.2020 Заключительный тур Ломоносова по астрономии задания и ответы
29.09.2019 Задания и ответы по астрономии 42 турнир М.В.Ломоносова
29.09.2019 Задания и ответы по биологии 42 турнир М.В. Ломоносова
29.09.2019 Задания и ответы по истории 42 турнир М.В. Ломоносова
29.09.2019 Задания и ответы по лингвистике 42 турнир М.В. Ломоносова
29.09.2019 Задания и ответы по литературе 42 турнир М.В. Ломоносова
29.09.2019 Задания и ответы по математике 42 турнир М.В. Ломоносова
29.09.2019 Задания и ответы по физике 42 турнир М.В. Ломоносова
29.09.2019 Задания и ответы по химии 42 турнир М.В. Ломоносова
Ответы и задания по истории XLII заключительный тур Ломоносова 9 марта 2020
Ответы и задания по лингвистике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
Ответы и задания по литературе XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
Ответы и задания по математике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
Ответы и задания по физике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
Ответы и задания по химии XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
Условия перепечатки материалов | Правообладателям
Устная часть английский язык 2018 платно
Устное собеседование 2019 официальные варианты 13 февраля
Устное собеседование 9 класс 2019
Физика 11 класс 7 ноября 2019 статград ответы и задания варианты ФИ1910201-ФИ1910204
Физика 11 класс ВПР ответы 25. 04
Физика 11 класс ответы и задания 6 мая 2019 тренировочная работа №5
Физика 11 класс ответы и задания пробник статград 14 февраля 2018
Физика 11 класс ответы и задания статград 2018
Физика 11 класс ответы и задания ФИ1910101 ФИ1910102 19 сентября 2019
Физика 11 класс СтатГрад ответы и задания
Физика 11 класс тренировочная ЕГЭ №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
Физика 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
Физика 9 класс задания и ответы СтатГрад
Физика 9 класс ответы и задания ФИ90101 и ФИ90102 статград 2018-2019
Физика 9 класс ответы и задания ФИ90401 ФИ90402 статград
Физика 9 класс СтатГрад 03.05 ответы
Физика 9 класс статград ответы и задания 10 декабря 2019 варианты ФИ1990201-ФИ1990204
Физика ОГЭ 2018 ответы и задания 2 июня
Физика ОГЭ 2018 платно
Физика турнир Ломоносова задания 2018-2019
Физическая культура 10 ноября задания муниципальный этап всероссийская олимпиада 2018-2019
ФИПИ открытый банк заданий ЕГЭ 2019 по русскому языку Лексика и фразеология
Французский язык 7-11 класс муниципальный этап 2019-2020 ответы и задания Москва
Химия 11 класс 10. 05 СтатГрад ответы
Химия 11 класс ВПР 27.04 задания и ответы
Химия 11 класс ЕГЭ статград ответы и задания 14 марта 2018
Химия 11 класс ответы для ХИ10101 ХИ10102 статград 19.10
Химия 11 класс ответы и задания 28 ноября 2019 статград ХИ1910201-ХИ1910204
Химия 11 класс ответы и задания варианты статград 13 мая 2019 год
Химия 11 класс ответы и задания СтатГрад 9 февраля 2018 года
Химия 11 класс СтатГрад задания и ответы
Химия 9 класс задания и ответы СтатГрад
Химия 9 класс КДР ответы и задания 15 февраля 2018 года
Химия 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
Химия 9 класс ОГЭ статград ответы и задания 15 февраля 2018
Химия 9 класс ответы и задания 16.05
Химия 9 класс ответы и задания ОГЭ статград 22.03.2018
Химия 9 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
Химия 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
Химия ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
Химия ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
Частная группа
ЧИП Австралия 23 октября 2019 ответы и задания 7-8 класс
ЧИП Австралия 3-4 класс ответы и задания 23 октября 2019-2020
ЧИП Австралия ответы и задания 5-6 класс 23 октября 2019-2020
ЧИП мир сказок 2019 ответы и задания для 1 класса 5-7 лет
Читательская грамотность 4 класс МЦКО 2019 тестирование
Чтение читательская грамотность 3 класс МЦКО ВСОКО задания 2019
Школьные конкурсы расписание 2017-2018
Школьные олимпиады и конкурсы 2017-2018 задания и ответы
Школьный тур наше наследие 7-8 класс ответы и задания 2019-2020
Школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада по астрономии ответы и задания
Школьный этап 2019-2020 олимпиады ВОШ по физике ответы и задания
Школьный этап 2019-2020 по биологии ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по испанскому языку ответы и задания всероссийской олимпиады
Школьный этап 2019-2020 по праву задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по праву ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
Школьный этап 2019-2020 по русскому языку ответы и задания всероссийская олимпиада школьников
Школьный этап ВОШ 2019-2020 ответы и задания по французскому языку
Школьный этап ВОШ по информатике ответы и задания 2018-2019
Школьный этап ВОШ по испанскому языку ответы и задания 2018-2019
Школьный этап ВОШ по математике задания и ответы 2018-2019
Школьный этап ВСЕРОССИЙСКИХ олимпиад 2017-2018 задания
Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по обществознанию 2019-2020 учебный год
Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по физической культуре 2019-2020
Школьный этап ВсОШ 2019-2020 ответы и задания по обществознанию
Школьный этап олимпиады по информатике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап олимпиады по математике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап олимпиады по экономике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
Школьный этап по английскому языку 2019-2020 задания и ответы московская область
Школьный этап по ОБЖ задания и ответы всероссийская олимпиада 2019-2020
Экзамен по географии ОГЭ 2019
Экономика олимпиада муниципальный этап 2019 ВсОШ задания и ответы
3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 93 6 Решить для ? cos(x)=1/2 7 Найти x sin(x)=-1/2 8 Преобразование градусов в радианы 225 9 Решить для ? cos(x)=(квадратный корень из 2)/2 10 Найти x cos(x)=(квадратный корень из 3)/2 11 Найти x sin(x)=(квадратный корень из 3)/2 92=9 14 Преобразование градусов в радианы 120 градусов 15 Преобразование градусов в радианы 180 16 Найти точное значение желтовато-коричневый(195) 92-4 38 Найти точное значение грех(255) 39 Оценить лог база 27 из 36 40 Преобразовать из радианов в градусы 2 шт. 92-3sin(x)+1=0 43 Найти x tan(x)+ квадратный корень из 3=0 44 Найти x sin(2x)+cos(x)=0 45 Упростить (1-cos(x))(1+cos(x)) 92=25 59 График f(x)=- натуральный логарифм x-1+3 60 Найдите значение с помощью единичного круга угловой синус(-1/2) 61 Найти домен квадратный корень из 36-4x^2 92=0 66 Найти x cos(2x)=(квадратный корень из 2)/2 67 График у=3 68 График f(x)=- логарифмическая база 3 x-1+3 92 71 Найти x квадратный корень из x+4+ квадратный корень из x-1=5 72 Решить для ? cos(2x)=-1/2 73 Найти x логарифмическая база x из 16=4 9х 75 Упростить (cos(x))/(1-sin(x))+(1-sin(x))/(cos(x)) 76 Упростить сек(х)sin(х) 77 Упростить кубический корень из 24 кубический корень из 18 92=0 96 Найти x 3x+2=(5x-11)/(8г) 97 Решить для ? sin(2x)=-1/2 98 Найти x (2x-1)/(x+2)=4/5 92+n-72)=1/(n+9)
Составление сложных функций: пояснительные примеры
Наборы точекФункции в точкахФункции в функцииСлова ProbsОбратные функции
Purplemath
Область определения функции — это множество значений, которые являются допустимыми входными данными. Для полиномиальной функции домен всегда будет «все x «; для рациональной функции доменом будут все значения x , которые не вызывают деления на ноль; для радикальной функции с четным индексом (то есть для квадратного корня, или корня четвертой степени, или корня шестой степени и т. д.), домен будет равен всем x — значения, которые не помещают отрицательное значение в радикал.
При составлении функций иногда выходные данные одной функции могут создавать проблемы в качестве входных данных для другой функции.
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Составные функции
В результате иногда приходится быть осторожным с доменами и диапазонами составных функций. А домены и диапазоны композиций — это область, которая может генерировать «каверзные» вопросы для следующего экзамена. (Справедливое предупреждение: вы должны ожидать хотя бы один из этих вопросов с подвохом на следующем экзамене.)
Какой пример нахождения области определения композиции функции?
Given f ( x ) = √( x ) and g ( x ) = x − 2, find the domain of ( f ∘ g )( х ).
Поскольку f ( x ) содержит квадратный корень, входные данные должны быть неотрицательными. Это означает, что домен (то есть набор x -значения) для f ( x ) равно «все x ≥ 0″. Затем в ( g ∘ f )( x ), где я сначала подставляю x к f ( x ) = √( x ), домен равен не менее ограничено «все x ≥ 0″.
Посмотрим, как выглядит композиция:
( f ∘ g )( x ) = f ( g ( x ))
 = f ( x − 2)
 = √( )
 = √( x − 2)
Область определения квадратного корня – это все входные данные, которые делают » x — 2″ неотрицательными; то есть все x такие, что x − 2 ≥ 0. Решая это для x , я получаю область ( f ∘ g )( x ) как «все ≥ 2″. И это мой ответ.
Домен ( F & COMPFN; G ) ( x ): x ≥ 2
, данный F ( x
. x ) = x − 2, найдите область значений ( g ∘ f )( x ).
В этом упражнении композиция работает в другом порядке.
( г ∘ f )( x ) = г ( f ( x ))
 = г (√( x ))
 = ( ) − 2
 = (√( x )) — 2
 = √( x ) − 2
Домен для этого — все входные данные, определяющие квадратный корень. Поскольку внутри квадратного корня только « x «, мой ответ:
домен из ( г ∘ f )( x ): x ≥ 0
Если ваши исходные функции представляют собой просто старые многочлены, то их домены — «все x «, и поэтому они будут доменом композиции функций . Только в том случае, если вы имеете дело с рациональными функциями со знаменателем (где вы не можете делить на ноль) или радикальными функциями с четным индексом, такими как квадратные корни (где вы не можете иметь отрицательное значение), домен когда-либо становится проблемой. .
Вы можете использовать приведенный ниже виджет Mathway, чтобы попрактиковаться в поиске области определения составных функций. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку и выберите «Найти домен», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. (Или пропустите виджет и продолжите ниже.)
Пожалуйста, примите «предпочтительные» файлы cookie, чтобы включить этот виджет.
(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)
Пока что мы взяли две функции и скомпоновали их вместе. Иногда они захотят, чтобы вы пошли другим путем и попытались разложить функцию на две или более функций, которые могли быть составлены для получения этой функции. Обычно довольно очевидно, какие функции они имели в виду, когда писали упражнения. Любой ответ, который вы придумаете — конечно, любой ответ, который работает — должен быть приемлемым решением.
Какой пример разделения функции на две другие функции?
Дано H ( x ) = ( x +1) ²+2 ( x +1) — 3, определить две функции F (+1) — 3, определить две функции F ( x) — 3, определить две функции F ( x) — 3, определить две функции F (+1) — 3, определить две функции F (+1) — 3, определите две функции F (+1) — ( x ), которые при составлении генерируют ч ( x ).
Меня просят замечать закономерности и выяснять, что могло быть помещено внутрь чего-то другого. Поскольку они не умножали значения, а вместо этого оставляли скобки, довольно легко увидеть, какие две функции они имеют в виду.
По форме эта функция похожа на квадратичную x ² + 2 x − 3. Но вместо возведения в квадрат x они возводят в квадрат x + 1; вместо умножения x на 2 они умножают x + 1 на 2.
Другими словами, это квадратное выражение, в которое они подставили линейное выражение x + 1. Итак, я сделаем г ( x ) = x + 1, а затем подключим эту функцию к F ( x ) = x ²+2 x — 3. Я проверю, что я получу правильный результат:
( F & Compfn; G
) ( F & Compfn; G ) ( F & Compfn; G
) ( F & Compfn; G
) х )
 = f ( г ( x ))
 = f ( x + 1)
 = ( ) ² + 2( ) − 3
 = ( x + 1) ² + 2( x + 1) − 3
Это подтверждает правильность моего выбора функций; при составлении они возвращают требуемую функцию. Вот мой ответ:
f ( x ) = x ² + 2 x — 3
г( х ) = х + 1
Может ли быть более одного набора функций, составляющих одну и ту же вещь?
Хотя обычно довольно ясно, какие две функции были составлены для получения результата «Разложить эту функцию», ничто не говорит о том, что обязательно должен быть только один набор функций, которые были составлены. Любая пара функций, дающая правильный результат, будет действительным математическим ответом и должна быть принята оценщиком как правильное решение.
В предыдущем упражнении я упомянул тот факт, что автор этого упражнения не умножил числа, что значительно облегчило мне жизнь. Но я могу найти и другие решения, особенно если я буду умножать и упрощать. То, что они мне дали, упрощается следующим образом:
h ( x ) = x ² + 4 x
Есть ли способ разложить это? Конечно! Вот дополнительный набор функций:
f ( x ) = х + 1
g ( x ) = x ² + 4 x — 1
Теперь я составлю их, чтобы доказать, что они дают ч ( x 1616161616: ). f ∘ g )( x ) = f ( x ² + 4 x — 1)
 = ( x ² + 4 x — 1) + 1
 = ( x ² + 4 x ) — 1 + 1
 = x ² + 4 x
Это то же самое, что они дали мне в первую очередь; это выглядит по-другому, потому что я только что сочинил, чтобы получить упрощенную форму, тогда как мне дали совсем-совсем не упрощенную форму. Пока вы показываете все свои шаги и рассуждения (в данном случае, умножая то, что они мне дали, вместо этого упрощая и работая с этим результатом), вы должны получить полную оценку.
Учитывая h ( x ) = √(4 x + 1), определите две функции f ( x ) и g , которые образуют ( x ) ч ( х ).
Квадратный корень находится «на» (или «вокруг») полиномиального выражения 4 x + 1″. Это дает очевидное решение: поместите 4 x + 1 внутрь квадратного корня.
I’ Буду использовать следующие функции:
ж ( х ) = √( х )
G ( x ) = 4 x + 1
I может составить, чтобы проверить, будут ли эти две функции работать:
F ( G ( x ) ( G ( x ). 4 х + 1)
 = √(4 x + 1) = ч ( x )
Это подтверждает, что мои две функции работают. Так что мой ответ:
г ( х ) = 4 х + 1
f ( x ) = √( x )
URL: https://www.purplemath.com/modules/fcncomp4.htm
Page 1Page 2Page 3Page 5Page 6
math — Is there сокращение для n-го корня x в Python?
спросил 8 лет, 11 месяцев назад
Изменено 7 месяцев назад
Просмотрено 102 тысячи раз
В математике, если я хочу возвести 3 в степень 2, тогда никакого символа не требуется, но я пишу 2 маленькими буквами: 3² . В Python эта операция представляется синтаксисом ** .
>>> 3**2 9
Если я хочу пойти в другом направлении и вычислить второй корень из 9, то в математике мне нужно использовать символ: 2√9 = 3
Есть ли в Python сокращенный символ, похожий на 9(1/n) , поэтому вы можете сделать 9**(1/2) , чтобы найти, например, второй корень из 9. В общем, вы можете вычислить n-й корень x как:
x**(1/n)
Примечание . В Python 2 вам нужно было выполнить 1/float(n) или 1.0/n , чтобы результатом было float , а не int . Дополнительные сведения см. в разделе Почему Python дает «неправильный» ответ на квадратный корень?
0
Вы также можете использовать некоторые логарифмы:
N-й корень из x :
exp(log(x)/n)
Например:
>>> from math import exp, log >>> х = 8 >>> п = 3 >>> ехр(лог(х)/n) 2. 0
0
Также: x**(n**-1) , что то же самое, но короче, чем x**(1/float(n))
1
Если вы предпочитаете применять эту операцию функционально, а не с помощью инфиксного оператора (символ ** ), вы можете передать основание и показатель степени в качестве аргументов функции pow :
В [23]: (9 **(0,5)) == pow(9, 0,5) Исход[23]: Верно
Мне также нравится находить новые применения для этого хака Infix в Python, хотя это скорее забавное решение, чем тяжелое решение. Но вы могли бы эффективно создать свой собственный символ для этого, выполнив следующие действия:
класс Инфикс: def __init__(я, функция): self.function = функция def __ror__(я, другой): return Infix(лямбда x, self=self, other=other: self.function(other, x)) def __or__(я, другой): вернуть self. function(другое) def __rlshift__(я, другой): return Infix(лямбда x, self=self, other=other: self.function(other, x)) def __rshift__(я, другой): вернуть self.function(другое) def __call__(я, значение1, значение2): вернуть self.function (значение1, значение2) root_of = Infix(лямбда x,y: y**(1.0/x)) напечатать 2 |root_of| 93.0
1
Есть. Это просто ** =)
Любой корень n-й степени является возведением в степень 1/n , поэтому, чтобы получить квадратный корень из 9, вы используете 9**(1/2) (или 9** 0,5 ), чтобы получить кубический корень, вы используете 9 ** (1/3) (которое мы не можем записать более простой дробью), а чтобы получить корень n-й степени, 9 ** (1/n) .
Также обратите внимание, что начиная с Python 3 добавление точек к целым числам, чтобы сделать их плавающими, больше не требуется. Высказывание 9.5
>>>9**.5 3.0
Вы должны сделать
16**(0,5) #Если вы напечатаете это, вы получите 4, Таким образом, вы можете использовать эту формулу.
3
по определению nthrootofm(a,n): вернуть pow(a,(1/n)) а=81 п=4 q=nthrootofm(a,n) распечатать (к)
Функция pow() принимает два параметра.
Твой ответ
г.
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Упрощение радикальных произведений и коэффициентов — Подготовка к оценке TSI
<noscript><img loading='lazy' src='' /></noscript> youtube.com/embed/dlJoAkZUV2g?feature=oembed» frameborder=»0″ allowfullscreen=»»>
Обзор радикальных выражений
Мы начнем обсуждение в этом разделе со следующего: Что такое 7 в квадрате? Ответ, конечно,
7 ² = 7 · 7 = 49
Итак, возведя 7 в квадрат, мы получим 49. Теперь мы хотим пойти в противоположном направлении.
Противоположное (обратное) действие возведения числа в квадрат называется извлечением из его квадратного корня . Например,
квадратный корень из 100 равен 10, потому что 10 ² = 100.
еще один квадратный корень из 100 равен -10, потому что (-10) ² = 100.
Пусть c — действительное число. Если а ² = c , тогда a будет квадратным корнем из c .
Действительные числа имеют два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. Положительный или главный квадратный корень из числа записывается с помощью символа √, а отрицательный квадратный корень из числа из числа записывается с помощью символа –√. Символ √ называется радикальным знаком , и он всегда представляет главный квадратный корень, за исключением того, что √0 = 0.
Распространенной ошибкой является утверждение, что √64 = ± 8. Это неверно. Правильный ответ √64= 8. Квадратный корень из числа всегда положителен.
Число внутри подкоренного знака называется подкоренным числом и . Все выражение называется радикалом .
Пример 1. Найдите квадратный корень.

Раствор.
, потому что
Использование правил произведения и частного для радикалов
Когда мы сталкиваемся с такой задачей, как √4 , нам нетрудно сказать, что ответ 2 (поскольку 2 × 2 = 4) . Даже такую задачу, как ³√ 27 = 3, легко решить, если мы поймем, что 3 × 3 × 3 = 27,
Наши проблемы обычно возникают, когда мы либо не можем легко увидеть ответ, либо если число под нашим подкоренным знаком не является идеальным квадратом или идеальным кубом.
Задача вроде √24 может показаться сложной, потому что нет числа, которое можно умножить само на себя и получить 24. Однако задачу можно упростить. Таким образом, хотя 24 не является идеальным квадратом, его можно разбить на более мелкие части, где одна из этих частей может быть идеальным квадратом. Итак, теперь у нас есть √24 = √ 4 × 6 = √ 4 · √ 6 = 2√ 6 .
Следующие правила очень помогают упростить радикалы.
Если n — натуральное число больше 1, а a и b — положительные действительные числа, то
1. Обратное свойство
_{ⁿ √ a ⁿ = a, если n равно ^{нечетному или}}
_{ⁿ √ a ⁿ = | и | если п это даже}
2. Правило продукта
ⁿ √ ab = ⁿ √ a · ⁿ √ b
3. Частное правило

Обратите внимание, что иногда мы можем разрешить a или b быть отрицательными, и эти свойства все равно будут работать.
Также обратите внимание, что, хотя мы можем «разбивать» произведения и частные под радикалом, мы не можем делать то же самое для сумм или разностей. Другими словами,
_И
5 = √ 25 = √ 9 + 15 ≠ √ 9 + √ 16 = 3 + 4 = 7
ответы! Так что будьте осторожны, чтобы не совершить эту очень распространенную ошибку!
Вскоре мы собираемся упрощать радикалы, поэтому нам нужно определить упрощенную радикальную форму . Говорят, что радикал находится в упрощенной радикальной форме (или просто в упрощенной форме), если верно каждое из следующих утверждений.
Все показатели степени в подкоренном члене должны быть меньше индекса.
Любые показатели степени в подкоренном члене не могут иметь общих делителей с индексом.
Под радикалом дроби не появляются.
В знаменателе дроби нет корней.
Упрощение подкоренного выражения может включать не только числа, но и переменные. Точно так же, как вы могли разбить число на более мелкие части, вы можете сделать то же самое с переменными. Когда радикал представляет собой квадратный корень, вы должны попытаться возвести члены в четную степень (2, 4, 6, 8 и т. д.). Когда радикал представляет собой кубический корень, вы должны попытаться возвести члены в степень три (3, 6, 9)., 12 и др.). Например, = х √ х . Эти типы упрощений с переменными будут полезны при выполнении операций с радикальными выражениями.
Пример 2. Упростите следующий радикал.
√ 50
Раствор.
√ 50 = √ 25 · 2 = √ 25 · √ 2 = 5 √ 2
Пример 3. Сократите радикальное выражение до меньших членов.

Раствор.

Пример 4. Упростите следующий радикал.
∛ 320
Решение.
∛ 320 = ∛ 64 · 5 = ∛ 64 · ∛ 5 = 4 ∛ 51818181818 = 4 ∛ 5181818181818181515151515151518151815181515151518151515181515181515151815151515151515151518. Предположим, что все переменные положительны.
Раствор.
В этом случае показатель степени (7) больше, чем индекс (2), поэтому первое правило упрощения нарушается. Чтобы исправить это, мы будем использовать первое и второе свойства радикалов выше. Итак, давайте обратите внимание, что мы можем написать Radicand следующим образом:
Y ⁷ = Y ⁶ Y = ( Y ³) ^{2 2}33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333н. у нас есть подкоренное число, записанное как совершенный квадрат, умноженный на член, показатель которого меньше индекса. Тогда радикал становится
Теперь используйте второе свойство радикалов, чтобы разбить радикал, а затем используйте первое свойство радикалов в первом члене.
Теперь это удовлетворяет правилам упрощения, и мы закончили.
Прежде чем двигаться дальше, давайте кратко обсудим, как мы выяснили, как разбить экспоненту. Для этого мы отметили, что индекс равен 2. Затем мы определили наибольшее кратное 2, которое меньше 7, показатель степени подкоренного числа. Это 6. Далее мы заметили, что 7 = 6 + 1,
Finally, remembering several rules of exponents we can rewrite the radicand as,
y ⁷ = y ⁶ y = y ⁽³⁾⁽²⁾ y = ( y ³ ) ² y
Пример 6. Упростите следующее. Предположим, что все переменные положительны.
Раствор.
Здесь больше одного термина, но все работает точно так же. Мы разобьем подкоренное число на совершенные квадраты, умноженные на члены, показатели которых меньше 2 (, т.е. 1).
18 x ⁶ Y ¹¹ = x ⁶ Y ¹⁰ (2 y ) = ¹⁰ (2 y ) = ¹⁰ (2 y ) = ¹⁰ (2 y ) = . у ⁵ ) ² (2 у )
Не забывайте также искать в числе правильные квадраты.
Теперь вернемся к радикалу и воспользуемся вторым и первым свойством радикалов, как в первом примере.
Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что второе свойство может быть расширено до такого количества членов, которое имеется в произведении под радикалом. Также не радуйтесь, что в итоговом ответе под радикалом нет x . Иногда это будет происходить.
Упростить
Упростить
Умножить
0 из 0 правильно.
Калькулятор дробей

Этот калькулятор выполняет основные и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.
Правила выражений с дробями:
Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.
Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной строки и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т.е. 1,45 .
Математические символы

Символ Название символа Символ Значение Пример
+ plus sign addition 1/2 + 1/3
— minus sign subtraction 1 1/2 — 2/3
* asterisk multiplication 2/3 * 3/4 
× times sign multiplication 2/3 × 5/6
: division sign division 91/2
• сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
• деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2
• сложные дроби: 5/8 : 2 2/3
• десятичная дробь: 0,625
• Преобразование дроби в десятичную: 1/4
• Преобразование дроби в процент: 1/8 %
• сравнение дробей: 1/4 2/3
• умножение дроби на целое число: 6 * 3/4
• квадратный корень дроби: sqrt(1/16)
• уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
• выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8)
• составная дробь: 3/4 от 5/7
• кратные дроби: 2/3 от 3/5
• разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3
Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание.
BEDMAS — скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.
GEMDAS — символы группировки — скобки (){}, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание.
MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS.
Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо.
Использование денег
Из 550 000,00, переданных школе, было использовано 325 000,00. Какая часть от общей суммы была использована?
Дети 9
В комнате 11 детей. 6 детей — девочки. Какую часть детей составляют девочки?
Одна суббота
Однажды субботним вечером в кинотеатре 40 девушек, 25 юношей, 18 женщин и 17 мужчин. Какую часть составляют девочки?
В дробях
Муравей за первый час поднимается на 2/5 шеста, а за следующий час — на 1/4 шеста. Какую часть шеста преодолевает муравей за два часа?
У Макса 2
У Макса 13 пар носков. Отсюда шесть пар синих, три пары коричневых, две черных и две белых. Какая часть носков Макса коричневого или черного цвета?
Младенцы
В автобусе двое взрослых, двое детей и четверо младенцев. Какую часть населения составляют младенцы?
Женитьба
У Марри было 1 1/2 дюжины яиц в холодильнике. Использовала 1/3 яйца. Какая часть яиц использовалась?
Вычислить выражение
Вычислить значение выражения z/3 — 2 z/9 + 1/6, для z = 2
Ферма 6
На ферме 20 животных. Есть четыре курицы. Какую часть животных составляют куры? Выразите ответ дробью в простейшей форме.
Оставить комментарий on Корень 4 степени из x корень из x 6: Mathway | Популярные задачи/
Решение уравнений примеры и решение: Ваш браузер не поддерживается
alexxlab / 25.06.197025.07.2021 / Разное
Решение линейных уравнений с примерами
Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид
aх + b = 0, где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.
Например, все уравнения:
2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.
Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.
Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.
А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.
Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида
aх + b = 0.
Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим
aх = ‒ b.
Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .
Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.
Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.
Выполним вычитание, тогда
3х = 9.
Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9 : 3.
Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.
Ответ: х = 3.
Если а = 0 и b = 0, то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.
Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.
Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.
Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Приведем подобные члены:
0х = 0.
Ответ: х — любое число.
Если а = 0 и b ≠ 0, то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .
Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.
Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.
Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.
Ответ: нет решений.
На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения
Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.
Пример 4. Пусть надо решить уравнение
1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.
2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)
3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .
4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.
6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.
Как видим, корень уравнения равен семи.
Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:
а) привести уравнение к целому виду;
б) раскрыть скобки;
в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;
г) привести подобные члены;
д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.
Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2), третьего (Пример. 1, 3) и даже с пятого этапа, как в примере 5.
Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.
Находим неизвестное х = 1/4 : 2,
х = 1/8 .
Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.
Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.
Решение
2х + 6 = 5 – 6х
2х + 6х = 5 – 6
8х = ‒1
х = ‒1 : 8
х = ‒ 0, 125
Ответ: ‒ 0, 125
Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.
Решение
– 30 + 18х = 8х – 7
18х – 8х = – 7 +30
10х = 23
х = 23 : 10
х = 2,3
Ответ: 2,3
Пример 8. Решите уравнение

Решение:
3(3х – 4) = 4 · 7х + 24
9х – 12 = 28х + 24
9х – 28х = 24 + 12
-19х = 36
х = 36 : (-19)
х = — 36/19
Ответ: — .
Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3^7-х
Решение
Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.
Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.
Если х = 4, тогда
f(6) = 3^7-4 = 3³ = 27
Ответ: 27.
Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ. Буду рада Вам помочь!
Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Урок 49. уравнения. методы решения уравнений — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №49. Уравнения. Методы решения уравнений.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Методы решения уравнений.
Применение методов решения к уравнениям различного вида.
Примеры решения задач государственной итоговой аттестации
Глоссарий по теме
Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.
Основная литература
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Основные методы решения уравнений
Метод разложения на множители
Рассмотрим пример.
Решить уравнение:
ООУ:
Преобразуем обе части уравнения
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений
или
Первое уравнение
имеет множество корней
Второе уравнение
равносильно и его корни
Ответ:
Метод замены переменной
Рассмотрим пример.
ООУ:
Так как в уравнении присутствует повторяющееся выражение, введем новую переменную
и получи уравнение
, корни которого
Возвращаемся к первоначальной переменной
или
Ответ:
Метод решения однородных уравнений.
Рассмотрим пример
Решить уравнение:
ООУ: x – любое действительное число
Все слагаемые в правой части уравнения имеют равные степени, поэтому разделим обе части уравнения на и получим
.
Решаем полученное уравнение методом замены переменной
или
Ответ: 1; 2
Итак, можно сделать следующие выводы. Наличие в уравнении повторяющихся элементов позволяет сделать предположение, что в его решении можно применить метод замены переменной. Наличие общих множителей выводит на применение метода разложение на множители. Если же в одной из частей уравнения стоит однородный многочлен, то применяем метод решения однородных уравнений.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1.
Решите уравнение
Выберите ответ из предложенных.
Варианты ответов:
10
-10
100
-100
1000
-1000
Решение
ООУ:
Преобразуем левую часть уравнения
Введем новую переменную
Получим уравнение
Возвращаемся к первоначальной переменной
Ответ: — 1000
Пример 2.
Решите уравнение
Выберите корень из списка:
Решение:
ООУ:
Возведем обе части уравнения в квадрат
Повторно возведем в квадрат при условии
Корни этого уравнения
Учитывая все ограничения, получаем ответ .
Решение линейных уравнений с примерами. Уравнения онлайн Примеры уравнений 5
Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид
aх + b = 0 , где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.
Например, все уравнения:
2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.
Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения .
Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.
А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.
Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида
aх + b = 0.
Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим
Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .
Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.
Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
3х = 11 – 2.
Выполним вычитание, тогда
3х = 9.
Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
х = 9: 3.
Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.
Ответ: х = 3 .
Если а = 0 и b = 0 , то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.
Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.
Раскроем скобки:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Приведем подобные члены:
0х = 0.
Ответ: х — любое число .
Если а = 0 и b ≠ 0 , то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .
Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.
Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
х – х = 5 ‒ 8.
Приведем подобные члены:
0х = ‒ 3.
Ответ: нет решений.
На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения
Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.
Пример 4. Пусть надо решить уравнение
1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.
2) После сокращения получим
4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)
3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .
4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Приведем подобные члены:
‒ 22х = ‒ 154.
6) Разделим на – 22 , Получим
х = 7.
Как видим, корень уравнения равен семи.
Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме :
а) привести уравнение к целому виду;
б) раскрыть скобки;
в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;
г) привести подобные члены;
д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.
Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2 ), третьего (Пример. 1, 3 ) и даже с пятого этапа, как в примере 5.
Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.
Находим неизвестное х = 1/4: 2,
х = 1/8 .
Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.
Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.
2х + 6 = 5 – 6х
2х + 6х = 5 – 6
Ответ: ‒ 0, 125
Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.
– 30 + 18х = 8х – 7
18х – 8х = – 7 +30
Ответ: 2,3
Пример 8. Решите уравнение

3(3х – 4) = 4 · 7х + 24
9х – 12 = 28х + 24
9х – 28х = 24 + 12
Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3 7-х
Решение
Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
то х + 2 = 6.
Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
получаем х = 6 – 2, х = 4.
Если х = 4, тогда
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Ответ: 27.
Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ . Буду рада Вам помочь!
Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Решаем дробно-рациональное уравнение 5/х = 100. Данное уравнение можно решить двумя способами. Давайте рассмотрим каждый из них.
План решения уравнения 5/x = 100
найдем область допустимых значений для заданного уравнения;
первый способ решения уравнения рассмотрев его как на пропорцию;
второй способ решения уравнения, находя неизвестный делитель.
Находим неизвестный член пропорции
Сначала найдем ОДЗ уравнения. В левой части уравнения присутствует знак дроби и он равносилен знаку деления. Известно, что на ноль делить нельзя. Значит из ОДЗ мы должны исключить значения обращающие знаменатель в ноль.
ОДЗ: x принадлежит R \ {0}.
Теперь посмотрим на наше уравнение как на пропорцию.
Основное свойство пропорции.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
Для пропорции a: b = c: d или a/b = c/d основное свойство записывается так: a · d = b · c.
Применим его и получим линейное уравнение:
100 * x = 5 * 1;
Разделим на 100 обе части уравнения, тем самым избавимся от коэффициента перед переменной х:
Находим неизвестный делитель
Посмотрим на уравнение как на частное. Где делимое равно 5, делитель x, а результат деления — частное равно 100.
Вспомним правило как найти неизвестный делитель — нужно делимое разделить на частное.
Найденный корень принадлежит ОДЗ уравнения.
Проверим найденное решение уравнения. Для этого подставим найденные корень в исходное уравнение и произведем вычисления:
Решение найдено верно.
Одним из самых важных навыков при поступлении в 5 класс является умение решать простейшие уравнения. Так как 5 класс ещё не так далек от начальной школы, то и видов уравнений, которые может решать ученик не так уж и много. Мы познакомим Вас со всеми основными видами уравнений, которые необходимо уметь решать, если Вы хотите поступить в физико-математическую школу .
1 тип: «луковичные»
Это уравнения, которые почти со вероятностью встретятся Вам при поступлении в любую школу или кружок 5 класса как отдельное задание. Их легко отличить от других: в них переменная присутствует только 1 раз. Например, или .
Решаются они очень просто: необходимо просто «добраться» до неизвестной, постепенно «снимая» всё лишнее, что окружает её — как будто почистить луковицу — отсюда и такое название. Для решения достаточно помнить несколько правил из второго класса. Перечислим их все:
Сложение
слагаемое1 + слагаемое2 = сумма
слагаемое1 = сумма — слагаемое2
слагаемое2 = сумма — слагаемое1
Вычитание
уменьшаемое — вычитаемое = разность
уменьшаемое = вычитаемое + разность
вычитаемое = уменьшаемое — разность
Умножение
множитель1 * множитель2 = произведение
множитель1 = произведение: множитель2
множитель2 = произведение: множитель1
Деление
делимое: делитель = частное
делимое = делитель * частное
делитель = делимое: частное
Разберём на примере, как применять данные правила.
Заметим, что мы делим на и получаем . В этой ситуации мы знаем делитель и частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное:
Мы стали немного ближе к самому . Теперь мы видим, что к прибавляется и получается . Значит, чтобы найти одно из слагаемых, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
И ещё один «слой» снят с неизвестной! Теперь мы видим ситуацию с известным значением произведения () и одним известным множителем ().
Теперь ситуация «уменьшаемое — вычитаемое = разность»
И последний шаг — известное произведение () и один из множителей ()
2 тип: уравнения со скобками
Уравнения данного типа чаще всего встречаются в задачах — именно к ним сводится 90% всех задач для поступления в 5 класс . В отличие от «луковичных уравнений» переменная здесь может встретиться несколько раз, поэтому решить её методами из предыдущего пункта невозможно. Типичные уравнения: или
Основная трудность — это правильно раскрыть скобки. После того, как удалось это верно сделать, следует привести подобные слагаемые (числа к числам, переменные к переменным), а после этого мы получаем самое простое «луковичное уравнение» , которое умеем решать. Но обо всём по-порядку.
Раскрытие скобок . Мы приведём несколько правил, которыми следует пользоваться в данном случае. Но, как показывает практика, верно раскрывать скобки ученик начинает только после 70-80 прорешанных задач. Основное правило таково: любой множитель, стоящий за скобками необходимо умножить на каждое слагаемое внутри скобок. А минус, стоящий перед скобкой, меняет знак всех выражений, что стоят внутри. Итак, основные правила раскрытия:

Приведение подобных . Здесь всё гораздо легче: Вам необходимо путём переноса слагаемых через знак равенства добиться того, чтобы с одной стороны стояли только слагаемые с неизвестной, а с другой — только числа. Основное правило таково: каждое слагаемое, переносимое через , меняет свой знак — если оно было с ,то станет с , и наоборот. После успешного переноса необходимо сосчитать итоговое количество неизвестных, итоговое число стоящее с другой стороны равенства, нежели переменные, и решить простое «луковичное уравнение» .
Приложение
Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение — это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо — найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения — это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.
=
Примеры решения способом сложения | Алгебра

Рассмотрим конкретные примеры решения систем линейных уравнений способом сложения.

Ищем наибольший общий делитель коэффициентов при каждой из переменных (коэффициенты берем со знаком «+»).
Наименьшее общее кратное коэффициентов при x — НОК(5;2)=10, при y — НОК(3;3)=3.
Проще работать с y, поскольку для получения перед y противоположных чисел достаточно умножить любое из уравнений на -1. Проще умножить на -1 второе уравнение системы (в этом случае после сложения уравнений коэффициент при x — положительное число).

Теперь подставим x=3 в любое из уравнений системы, например, во второе:

Решаем это уравнение:
6-3y=21
-3y=21-6
-3y=15
y= -5.

Ответ записываем в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке.
Ответ: (3; -5).

НОК(6; 4)=12, НОК(13; 5)=65. Проще работать с коэффициентами перед x.
Чтобы получить перед иксами противоположные числа, первую систему умножим на -2, вторую — на 3

и сложим почленно левые и правые части уравнений:

Подставляем y= -1 в первое уравнение системы и находим x:

Ответ: (-2; -1).

НОК(3; 5)=15, НОК(5; 7)=35. Проще получить противоположные числа перед x.
Для этого умножим первое уравнение системы на 5, второе — на -3:

и сложим почленное левые и правые части полученных уравнений:

Подставляем y=2 в первое уравнение системы и находим x:

Ответ: (-7; 2).

Прежде чем применить способ сложения, данную систему следует упростить. Умножим первое уравнение на наименьший общий знаменатель дробей, во втором раскроем скобки:

Получили систему линейных уравнений с двумя переменными. Для решения её способом сложения достаточно умножить второе уравнение на -1 и сложить почленно левые и правые части уравнений:

Подставляем найденное значение b в первое уравнение системы (линейных уравнений):

Ответ: (-3; 10).

Систему линейных уравнений с тремя переменными можно решить, сначала исключив одно из неизвестных, а затем — другое.
В данной системе проще всего исключить переменную z.
К первому уравнению прибавим третье, умноженное на -3:

Ко второму уравнению прибавим третье, умноженное на 2:

Получили систему линейных уравнений с двумя переменными:

НОК(8;10)=40, НОК(13; 7)=91. Проще работать с x:

Подставив полученные значение y во второе уравнение системы с двумя переменными, найдём x:

Подставив значения y и x в третье уравнение системы с тремя переменными, найдём z:

Ответ: (2; 0; -1).
Решение систем уравнений: способ сложения + примеры

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными — это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:
{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2
Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 – некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Существует несколько способов решения системы линейных уравнений. Рассмотрим один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ сложения.
Алгоритм решения способом сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.
1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.
2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным
3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.
4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.
5. Сделать проверку решения.
Пример решения способом сложения
Для большей наглядности решим способом сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:
{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;
Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.
{3*x+2*y=10 |*3
{5*x + 3*y = 12 |*2
Получим следующую систему уравнений:
{9*x+6*y = 30;
{10*x+6*y=24;
Теперь из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.
10*x+6*y – (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.
{3*(-6) + 2*y =10;
{2*y=28; y =14;
Получилась пара чисел x=6 и y=14. Проводим проверку. Делаем подстановку.
{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение.
Ответ: (6, 14)
Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Решение систем уравнений: способ подстановки + примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение задач с помощью систем уравнений: общая схема решения
Примеры решения показательных уравнений
Примеры решения показательных уравнений
Примеры решения показательных уравнений

Пример №1

1000^x=100

Представим левую и правую часть уравнения в виде степени, имеющую одинаковые основания:

10^3x=10²

Теперь, когда основания одинаковые, нужно приравнять показатели степеней.

3x=2
x=2/3

Ответ: x=2/3 .

Главное в показательных уравнениях — свести левую и правую часть уравнения к общему основанию:

Пример №2

(2/5)^x=(5/2)⁴

Представим (2/5)^x как (5/2)^-x:

(5/2)^-x=(5/2)⁴

Основания одинаковые, следовательно, приравниваем показатели:

-x=4
x=-4
Ответ: x=-4
Пример №3

√3^х=9

√3^х распишем как 3^x/2, а 9 — как 3²:

3^х/2=3²

Приравниваем показатели:

х/2=2
х=4
Ответ: x=4
Пример №4

3^х²-х-2=81

Заметим, что 81=3⁴

3^х²-х-2=3⁴

Приравниваем показатели:

х²-х-2=4

х²-х-6=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

х₁=(1+5)/2=3

х₂=(1-5)/2=-2
Ответ: х=3 и х=-2
Пример №5

4^х+1+4^х=320

В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4^х за скобки:

4^х(4+1)=320

4^х*5=320

Представим 320 в виде 5*4³, тогда:

4^х*5=5*4³

Поделим левую и правую часть уравнения на 5:

4^х=4³

Приравняем показатели:

х=3
Ответ: х=3
Пример №6

7^х+2+4*7^х-1=347

Степенью с наименьшим показателем в этом уравнении является х-1, следовательно, за скобки выносим 7^x-1. Получаем:

7^х-1*(7³+4)=347

7^х-1*347=347

Поделим левую и правую часть уравнения на 347:

7^х-1=1

Заметим, что любое число в нулевой степени равно 1. Следовательно, распишем 1 как 7⁰:

7^х-1=7⁰

Приравняв показатели, получим:

х-1=0

х=1
Ответ: х=1
Пример №7

4^х-5*2^х+4=0

Представим 4^х как 2^2х, получим:

2^2х-5*2^х+4=0

Введем подстановку: 2^х обозначим переменной t. Cледовательно: 2^2х=t². Получим:

t²-5t+4=0

Найдем корни уравнения по теореме Виета:

t₁=1

t₂=4

Заменим t на 2^х:

2^х=1

Заметим, что 2⁰=1

2^х=2⁰

Приравняем показатели:

х=0

2^х=4

Заметим, что 4=2²

2^х=2²

Приравняем показатели:

х=2

Уравнение имеет два действительных корня 0 и 2.
Ответ: х=0 и х=2
Пример №8

(√2+√3)^х + (√2-√3)^х=4

Введем подстановку: (√2+√3)^х обозначим переменной t. А (√2-√3)^х домножим на сопряженные и получим:

((√2+√3)^х*(√2-√3)^х) / (√2+√3)^х = (√4-3)^х/(√2+√3)^х = 1 ^x/(2+√3)^x = 1/(2+√3)^x

Следовательно, 1/(√2+√3)^х=1/t.

Получаем:

t+1/t=4

Отметим, что t=0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:

t²+1=4t

t²-4t+1=0

Решим квадратное уравнение:

D=16-4=12, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

t₁=(4-2√3)/2=2-√3

t₂=(4+2√3)/2=2+√3

Заменим t на (√2+√3)^х:

(√2-√3)^х=2+√3

Домножим 2+√3 на сопряженные и получим:

1/(2-√3)=2+√3

Cледовательно:

(√2-√3)^х=1/2-√3

Заметим, что 1/2-√3=(√2-√3)^-2

(√2+√3)^х=(√2-√3)^-2

Приравняв показатели, получим:

х=-2

Заменим t на 2+√3

(√2+√3)^х=2+√3

Заметим, что 2+√3=(√2+√3)²

Приравняв показатели, получим:

х=2
Ответ: х=-2 и х=2
Пример №9

x+y=6

x^y²+7y+12=1

Выразим x:

x=6-y

x^y²+7y+12=1

Заметим, что x⁰=1:

x=6-y

x^y²+7y+12=x0

Приравним показатели:

x=6-y

y²+7y+12=0

Решим отдельно квадратное уравнение:

y²+7y+12=0

D=49-48=1, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

y₁=(-7+1)=-3

y₂=(-7-1)=-4

y=-3

x=6-(-3)=9

y=-4

x=6-(-4)=10
Ответ: x=9; y=-3 и x=10; y=-4
<< Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>

определение, виды, примеры решения, что это такое
Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.
Определение системы уравнений
Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.
Например, возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5, после чего объединим фигурной скобкой такого плана:
2·x+y=-3,x=5.
Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.
Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.
Определение 1
Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.
Основные виды систем уравнений
Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.
Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.
Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1, говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример
x+y=5,2·x-3·y=1
Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у.
При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений
2x=11,x-3·z2=0,27·x+y-z=-3
Данная система имеет 3 переменные х, у, z. Первое уравнение имеет явный х и неявные у и z. Неявные переменные – это переменные, имеющие 0 в коэффициенте. Второе уравнение имеет х и z, а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом
2x+0·y+0·z=11
А другое уравнение x+0·y−3·z=0.
Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим
2·x-y=1,x+2·y=-1и -3·x+y=0.5,x+223·y=0
Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.
В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем
x2-4·x·y=1,x-y=2 и x=y3x·y=-5
Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.
При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например
x+y=3,1x+1y=25
Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,
x+y-x·y=5,2·x·y=3, x+y=5·π2,sin x+cos 2y=-1,y-log3x=1,xy=312.
Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.
Решение систем уравнений
Определение 2
Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.
К примеру, пара значений х=5 и у=2 являются решением системы уравнений x+y=7,x-y=3. Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства 5+2=7 и 5−2=3. Если подставить пару х=3 и у=0, тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим 3+0=7.
Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.
Определение 3
Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.
Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t
t2=4,5·(t+2)=0
Число -2 – решение уравнения, так как (−2)·2=4, и 5·(−2+2)=0 являются верными числовыми равенствами. При t=1 система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства 12=4 и 5·(1+2)=0.
Определение 4
Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.
Если имеем значения переменных х=1, у=2, z=0, то подставив их в систему уравнений 2·x=2,5·y=10,x+y+z=3, получим 2·1=2, 5·2=10 и 1+2+0=3. Значит, эти числовые неравенства верные. А значения (1, 0, 5) не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: 5·0=10, 1+0+5=3.
Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:
Определение 5
Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной.
Определение 6
Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.
Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.
Решение уравнений
Решение уравнений с одной переменной
An уравнение представляет собой математическое выражение, состоящее из знака равенства между двумя числовыми выражениями или выражениями переменных, как в 3 Икс + 5 знак равно 11 .
А решение к уравнению это число который может быть подключен к Переменная сделать истинное числовое утверждение.
Пример 1:
Подстановка 2 для Икс в
3 Икс + 5 знак равно 11
дает
3 ( 2 ) + 5 знак равно 11 , в котором говорится 6 + 5 знак равно 11 ; это правда!
Так 2 это решение.
По факту, 2 ЕДИНСТВЕННОЕ решение 3 Икс + 5 знак равно 11 .
Некоторые уравнения могут иметь более одного решения, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.
Пример 2:
Уравнение
Икс 2 знак равно Икс
имеет два решения, 0 и 1 , поскольку
0 2 знак равно 0 и 1 2 знак равно 1 .Никакой другой номер не работает.
Пример 3:
Уравнение
Икс + 1 знак равно 1 + Икс
верно для все реальные числа . Она имеет бесконечно много решения.
Пример 4:
Уравнение
Икс + 1 знак равно Икс
является никогда верно для любой настоящий номер.Она имеет нет решений .
В задавать содержащее все решения уравнения, называется набор решений для этого уравнения.
Уравнение
Набор решений
3 Икс + 5 знак равно 11
{ 2 }
Икс 2 знак равно Икс
{ 0 , 1 }
Икс + 1 знак равно 1 + Икс
р (набор всех действительных чисел)
Икс + 1 знак равно Икс
∅ (пустой набор)
Иногда вас могут попросить решить уравнение над определенным домен .Здесь возможности для значений Икс ограничены.
Пример 5:
Решите уравнение
Икс 2 знак равно Икс
по домену { 0 , 1 , 2 , 3 } .
Это немного сложное уравнение; это не линейный и это не квадратичный , поэтому у нас нет хорошего метода ее решения.Однако, поскольку домен содержит только четыре числа, мы можем просто использовать метод проб и ошибок.
0 2 знак равно 0 знак равно 0 1 2 знак равно 1 знак равно 1 2 2 ≠ 2 3 2 ≠ 3
Так что набор решений в данном домене { 0 , 1 } .
Решение уравнений с двумя переменными
Решения для уравнения с одной переменной: числа . С другой стороны, решения уравнения с двумя переменными имеют вид заказанные пары в виде ( а , б ) .
Пример 6:
Уравнение
Икс знак равно у + 1
верно, когда Икс знак равно 3 и у знак равно 2 .Итак, заказанная пара
( 3 , 2 )
является решением уравнения.
Есть бесконечно много других решений этого уравнения, например:
( 4 , 3 ) , ( 11 , 10 ) , ( 5.5 , 4.5 ) , и т.п.
Упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения с двумя переменными, можно изобразить на декартова плоскость . Результатом может быть линия или интересная кривая, в зависимости от уравнения. Смотрите также построение графиков линейных уравнений и построение графиков квадратных уравнений .
Решение линейных уравнений | Уравнения и неравенства
Упражнение 4.1
\ begin {align *} 2г — 3 & = 7 \\ 2л & = 10 \\ y & = 5 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 2c & = c — 8 \\ c & = -8 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 3 & = 1 — 2c \\ 2c & = 1 — (3) \\ 2c & = -2 \\ c & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {align *}
\ begin {align *} 4b +5 & = -7 \\ 4b & = -7 — (5) \\ 4b & = -12 \\ b & = \ frac {-12} {4} \\ & = -3 \ end {align *}
\ begin {align *} -3y & = 0 \\ у & = 0 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 16л + 4 & = -10 \\ 16лет & = -14 \\ y & = — \ frac {14} {16} \\ & = — \ frac {7} {8} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 12лет + 0 & = 144 \\ 12лет & = 144 \\ y & = 12 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 7 + 5л & = 62 \\ 5лет & = 55 \\ y & = 11 \ end {выровнять *}
\ (55 = 5x + \ frac {3} {4} \)
\ begin {align *} 55 & = 5x + \ frac {3} {4} \\ 220 & = 20х + 3 \\ 20x & = 217 \\ х & = \ frac {217} {20} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 5х & = 2х + 45 \\ 3x & = 45 \\ х & = 15 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 23х — 12 & = 6 + 3х \\ 20x & = 18 \\ x & = \ frac {18} {20} \\ & = \ frac {9} {10} \ end {выровнять *}
\ (12 — 6x + 34x = 2x — 24 — 64 \)
\ begin {align *} 12 — 6x + 34x & = 2x — 24 — 64 \\ 12 + 28x & = 2x — 88 \\ 26x & = -100 \\ x & = — \ frac {100} {26} \\ & = — \ frac {50} {13} \ end {выровнять *}
\ (6x + 3x = 4-5 (2x — 3) \)
\ begin {align *} 6x + 3x & = 4-5 (2x — 3) \\ 9x & = 4 — 10x + 15 \\ 19x & = 19 \\ х & = 1 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 18 — 2р & = р + 9 \\ 9 & = 3п \\ p & = 3 \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {4} {p} = \ dfrac {16} {24} \)
\ begin {align *} \ frac {4} {p} & = \ frac {16} {24} \\ (4) (24) & = (16) (p) \\ 16p & = 96 \\ p & = 6 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} — (- 16 — п) & = 13п — 1 \\ 16 + п & = 13п — 1 \\ 17 & = 12п \\ p & = \ frac {17} {12} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 3f — 10 & = 10 \\ 3f & = 20 \\ f & = \ frac {20} {3} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 3f + 16 & = 4f — 10 \\ f & = 26 \ end {выровнять *}
\ (10f + 5 = -2f -3f + 80 \)
\ begin {align *} 10f + 5 & = -2f — 3f + 80 \\ 10f + 5 & = -5f + 80 \\ 15f & = 75 \\ f & = 5 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 8 (ф — 4) & = 5 (ф — 4) \\ 8f — 32 & = 5f — 20 \\ 3f & = 12 \\ f & = 4 \ end {выровнять *}
\ begin {align *} 6 & = 6 (f + 7) + 5f \\ 6 & = 6f + 42 + 5f \\ -36 & = 11f \\ f & = — \ frac {36} {11} \ end {выровнять *}
\ begin {align *} -7x & = 8 (1 — х) \\ -7x & = 8 — 8x \\ х & = 8 \ end {выровнять *}
\ (5 — \ dfrac {7} {b} = \ dfrac {2 (b + 4)} {b} \)
\ begin {align *} 5 — \ frac {7} {b} & = \ frac {2 (b + 4)} {b} \\ \ frac {5b — 7} {b} & = \ frac {2b + 8} {b} \\ 5b — 7 & = 2b + 8 \\ 3b & = 15 \\ b & = 5 \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {x + 2} {4} — \ dfrac {x — 6} {3} = \ dfrac {1} {2} \)
\ begin {align *} \ frac {x + 2} {4} — \ frac {x — 6} {3} & = \ frac {1} {2} \\ \ frac {3 (x + 2) — 4 (x — 6)} {12} & = \ frac {1} {2} \\ \ frac {3x + 6 — 4x + 24} {12} & = \ frac {1} {2} \\ (-x + 30) (2) & = 12 \\ -2x + 60 & = 12 \\ -2x & = -48 \\ х & = 24 \ end {выровнять *}
\ (1 = \ dfrac {3a — 4} {2a + 6} \)
Обратите внимание, что \ (a \ neq — -3 \)
\ begin {align *} 1 & = \ frac {3a — 4} {2a + 6} \\ 2а + 6 & = 3а — 4 \\ а & = 10 \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {2-5a} {3} — 6 = \ dfrac {4a} {3} +2 — a \)
\ begin {align *} \ frac {2-5a} {3} — 6 & = \ frac {4a} {3} +2 — a \\ \ frac {2-5a} {3} — \ frac {4a} {3} + a & = 8 \\ \ frac {2-5a — 4 a + 3a} {3} & = 8 \\ 2 — 6а & = 24 \\ 6а & = -22 \\ a & = — \ frac {22} {6} \ end {выровнять *}
\ (2 — \ dfrac {4} {b + 5} = \ dfrac {3b} {b + 5} \)
Примечание \ (b \ neq -5 \)
\ begin {align *} 2 — \ frac {4} {b + 5} & = \ frac {3b} {b + 5} \\ 2 & = \ frac {3b + 4} {b + 5} \\ 2b + 10 & = 3b + 4 \\ b & = 6 \ end {выровнять *}
\ (3 — \ dfrac {y — 2} {4} = 4 \)
\ begin {align *} 3 — \ frac {y — 2} {4} & = 4 \\ — \ frac {y — 2} {4} & = 1 \\ -у + 2 & = 4 \\ y & = -2 \ end {выровнять *}
\ (\ text {1,5} x + \ text {3,125} = \ text {1,25} x \)
\ begin {align *} \ text {1,5} x + \ text {3,125} & = \ text {1,25} x \\ \ text {1,5} x — \ text {1,25} x & = — \ text {3,125} \\ \ text {0,25} x & = — \ text {3,125} \\ х & = — \ текст {12,5} \ end {выровнять *}
\ (\ текст {1,3} (\ текст {2,7} х + 1) = \ текст {4,1} — х \)
\ begin {align *} \ text {1,3} (\ text {2,7} x + 1) & = \ text {4,1} — x \\ \ text {3,51} x + \ text {1,3} & = \ text {4,1} — x \\ \ text {4,51} x & = \ text {2,8} \\ x & = \ frac {\ text {2,8}} {\ text {4,51}} \\ & = \ frac {280} {451} \ end {выровнять *}
\ (\ текст {6,5} х — \ текст {4,15} = 7 + \ текст {4,25} х \)
\ begin {align *} \ text {6,5} x — \ text {4,15} & = 7 + \ text {4,25} x \\ \ text {2,25} x & = \ text {11,15} \\ x & = \ frac {\ text {11,15}} {\ text {2,25}} \\ & = \ frac {\ text {1 115}} {225} \\ & = \ frac {223} {45} \ end {выровнять *}
\ (\ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P — 10 = 0 \)
\ begin {align *} \ frac {1} {3} P + \ frac {1} {2} P — 10 & = 0 \\ \ frac {2 + 3} {6} P & = 10 \\ 5П & = 60 \\ P & = 12 \ end {выровнять *}
\ (1 \ frac {1} {4} (x — 1) — 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) = 0 \)
\ begin {align *} 1 \ frac {1} {4} (x — 1) — 1 \ frac {1} {2} (3x + 2) & = 0 \\ \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {4} — \ frac {3} {2} (3x) — \ frac {3} {2} (2) & = 0 \\ \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {4} — \ frac {9} {2} x — \ frac {6} {2} & = 0 \\ \ frac {5 — 18} {4} x + \ frac {-5 — 12} {4} & = 0 \\ \ frac {-13} {4} x & = \ frac {17} {4} \\ -13x & = 17 \\ х & = — \ frac {17} {13} \ end {выровнять *}
\ (\ frac {1} {5} (x- 1) = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \)
\ begin {align *} \ frac {1} {5} (x- 1) & = \ frac {1} {3} (x-2) + 3 \\ \ frac {1} {5} x- \ frac {1} {5} & = \ frac {1} {3} x- \ frac {2} {3} + 3 \\ — \ frac {1} {5} + \ frac {2} {3} — 3 & = \ frac {2} {15} x \\ — \ frac {38} {15} & = \ frac {2} {15} x \\ х & = — \ frac {38} {2} \\ х & = -19 \ end {выровнять *}
\ (\ dfrac {5} {2a} + \ dfrac {1} {6a} — \ dfrac {3} {a} = 2 \)
\ begin {align *} \ frac {5} {2a} + \ frac {1} {6a} — \ frac {3} {a} & = 2 \\ \ frac {5 (3) + 1-3 (6)} {6a} & = 2 \\ \ frac {15 + 1 — 18} {6a} & = 2 \\ \ frac {-2} {6a} & = 2 \\ -2 & = 12а \\ а & = — \ frac {1} {6} \ end {выровнять *}
Решение линейных уравнений с одной переменной
Линейные уравнения с одной переменной — это уравнения, в которых переменная имеет показатель степени 1, который обычно не отображается (понимается).Примером может быть что-то вроде \ (12x = x — 5 \). Для решения линейных уравнений есть одна основная цель: изолировать переменную . В этом уроке мы рассмотрим, как это делается, на нескольких примерах.
Содержание
Примеры решения одношаговых уравнений
Примеры решения двухэтапных уравнений
Примеры уравнений, в которых сначала необходимо упростить
Бесконечно много или нет решений
Сводка
реклама
Примеры решения одношаговых линейных уравнений
После всей вашей тяжелой работы над решением уравнения вы знаете, что хотите получить окончательный ответ, например \ (x = 5 \) или \ (y = 1 \).В обоих случаях переменная изолирована, или сама по себе.
Итак, нам нужно выяснить, как изолировать переменную. Как мы это сделаем, зависит от самого уравнения! Если его на что-то умножили, поделим. Если к нему что-то добавили, мы вычтем. Поступая так, мы постепенно будем получать переменную сама по себе.
Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как это работает.
Пример
Решите уравнение: \ (4x = 8 \)
Решение
В этом примере 4 — это умножение на \ (x \).Следовательно, чтобы изолировать \ (x \), вы должны разделить эту сторону на 4. Делая это, вы должны помнить одно важное правило: что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны делать с другой стороной. Итак, мы разделим обе стороны на 4.
\ (\ begin {align} 4x & = 8 \\ \ dfrac {4x} {\ color {red} {4}} & = \ dfrac {8} {\ color {red} {4}} \ end {align} \)
Упрощение:
\ (х = \ в коробке {2} \)
Вот и все, один шаг и готово. (Вот почему подобные уравнения часто называют «одношаговыми» уравнениями)
Чек
Каждый раз, когда вы решаете линейные уравнения, вы всегда можете проверить свой ответ, подставив его обратно в уравнение.Если вы получите верное утверждение, значит, ответ правильный. Это не обязательно на 100% для каждой задачи, но это хорошая привычка, поэтому мы сделаем это для наших уравнений.
В этом примере наше исходное уравнение было \ (4x = 8 \). Чтобы проверить это, убедитесь, что верно следующее:
\ (\ begin {align} 4x & = 8 \\ 4 (2) & = 8 \\ 8 & = 8 \ end {align} \)
Это верное утверждение, поэтому наш ответ правильный.
Для любого уравнения любая операция, которую вы выполняете с одной стороной, должна выполняться и с другой стороной.
Давайте попробуем еще пару примеров, прежде чем переходить к более сложным уравнениям.
Пример
Решить: \ (3x = 12 \)
Решение
Поскольку \ (x \) умножается на 3, план состоит в том, чтобы разделить на 3 с обеих сторон:
\ (\ begin {align} 3x & = 12 \\ \ dfrac {3x} {\ color {red} {3}} & = \ dfrac {12} {\ color {red} {3}} \\ x & = \ в штучной упаковке {4} \ end {align} \)
Чек
Чтобы проверить наш ответ, мы позволим \ (x = 4 \) и подставим его обратно в уравнение:
\ (\ begin {align} 3x & = 12 \\ 3 (4) & = 12 \\ 12 & = 12 \ end {align} \)
Как и раньше, поскольку это верное утверждение, мы знаем, что наш ответ правильный.
В следующем примере вместо умножения переменной на значение из переменной вычитается значение. Чтобы «отменить» это, мы добавим это значение обеим сторонам.
Пример
Решить: \ (y-9 = 21 \)
Решение
На этот раз из y вычитается 9. Итак, мы отменим это, добавив 9 к обеим сторонам.
\ (\ begin {align} y-9 & = 21 \\ y-9 \ color {red} {+ 9} & = 21 \ color {red} {+ 9} \\ y & = 30 \ end {align} \)
Далее мы рассмотрим то, что обычно называют «двухэтапными» уравнениями.В этих уравнениях нам нужно будет отменить две операции, чтобы изолировать переменную.
Примеры двухступенчатых уравнений
В каждом из приведенных выше примеров нужно было выполнить один шаг, прежде чем мы получили ответ. В следующих примерах вы увидите, как работать с уравнениями, которые вместо этого состоят из двух шагов. Если выполняется более одной операции, важно помнить порядок операций PEMDAS. Поскольку вы отменяете операции с \ (x \), вы будете работать «снаружи внутрь».Это легче понять, когда вы увидите это на примере.
Пример
Решить: \ (2x-7 = 13 \)
Решение
Обратите внимание на две операции, выполняемые с \ (x \): он умножается на 2, а затем вычитается 7. Нам нужно будет их отменить. Но только \ (x \) умножается на 2, поэтому первым шагом будет прибавление 7 к обеим сторонам. Тогда мы можем разделить обе части на 2.
Добавляем 7 к обеим сторонам:
\ (\ begin {align} 2x-7 & = 13 \\ 2x-7 \ color {red} {+ 7} & = 13 \ color {red} {+ 7} \\ 2x & = 20 \ end {align} \ )
Теперь разделите обе стороны на 2:
.
\ (\ begin {align} 2x & = 20 \\ \ dfrac {2x} {\ color {red} {2}} & = \ dfrac {20} {\ color {red} {2}} \\ x & = \ в штучной упаковке {10} \ end {align} \)
Чек
Как и в случае с более простыми задачами, вы можете проверить свой ответ, подставив свое значение \ (x \) обратно в исходное уравнение.
\ (\ begin {align} 2x-7 & = 13 \\ 2 (10) — 7 & = 13 \\ 13 & = 13 \ end {align} \)
Это правда, значит, у нас есть правильный ответ.
Давайте рассмотрим еще один пример с двумя шагами, прежде чем мы снова будем преодолевать трудности. Убедитесь, что вы понимаете каждый показанный шаг и также работаете над проблемой.
Пример
Решить: \ (5w + 2 = 9 \)
Решение
Как и выше, есть две операции: \ (w \) умножается на 5, а затем к нему прибавляется 2.Мы отменим их, сначала вычтя 2 с обеих сторон, а затем разделив на 5.
\ (\ begin {align} 5w + 2 & = 9 \\ 5w + 2 \ color {red} {- 2} & = 9 \ color {red} {- 2} \\ 5w & = 7 \\ \ dfrac { 5w} {\ color {red} {5}} & = \ dfrac {7} {\ color {red} {5}} \\ w = \ boxed {\ dfrac {7} {5}} \ end {align} \)
Дробь справа не может быть упрощена, так что это наш окончательный ответ.
Чек
Пусть \ (w = \ dfrac {7} {5} \). Тогда:
\ (\ begin {align} 5w + 2 & = 9 \\ 5 \ left (\ dfrac {7} {5} \ right) + 2 & = 9 \\ 7 + 2 & = 9 \\ 9 & = 9 \ конец {align} \)
Итак, мы снова получили правильный ответ!
Упрощение перед решением
В следующих примерах есть больше вариативных терминов и, возможно, необходимо некоторое упрощение.В каждом случае шаги будут заключаться в том, чтобы сначала упростить обе стороны, а затем использовать то, что мы делали, чтобы изолировать переменную. Сначала мы подробно рассмотрим пример, чтобы увидеть, как все это работает.
Чтобы понять этот раздел, вам должно быть удобно комбинировать похожие термины.
Пример
Решить: \ (3x + 2 = 4x-1 \)
Решение
Поскольку обе части упрощены (нет скобок, которые нам нужно вычислять, и нет одинаковых членов для объединения), следующим шагом будет получение всех x на одной стороне уравнения и всех чисел на другой стороне.Применяется то же правило — что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны делать и с другой стороной!
Можно перемещать \ (3x \) или \ (4x \). Предположим, вы переместили \ (4x \). Поскольку он положительный, вы должны вычесть его с обеих сторон:
\ (\ begin {align} 3x + 2 & = 4x-1 \\ 3x + 2 \ color {red} {- 4x} & = 4x-1 \ color {red} {- 4x} \\ -x + 2 & = -1 \ end {align} \)
Теперь уравнение выглядит так же, как и раньше. Следующий шаг — вычесть 2 с обеих сторон:
\ (\ begin {align} -x + 2 \ color {red} {- 2} & = -1 \ color {red} {- 2} \\ — x = -3 \ end {align} \)
Наконец, поскольку \ (- x = -1x \) (это всегда верно), разделите обе стороны на \ (- 1 \):
\ (\ begin {align} \ dfrac {-x} {\ color {red} {- 1}} & = \ dfrac {-3} {\ color {red} {- 1}} \\ x & = 3 \ end {выровнять}\)
Чек
Вы должны воспользоваться моментом и убедиться, что следующее утверждение является верным:
\ (3 (3) + 2 = 4 (3) — 1 \)
В следующем примере нам нужно будет использовать свойство распределения перед решением.Здесь легко ошибиться, поэтому убедитесь, что вы распределили число перед круглыми скобками для всех терминов внутри.
Пример
Решить: \ (3 (x + 2) -1 = x-3 (x + 1) \)
Решение
Сначала разложите 3 и –3 и соберите одинаковые термины.
\ (\ begin {align} 3 (x + 2) -1 & = x-3 (x + 1) \\ 3x + 6-1 & = x-3x-3 \\ 3x + 5 & = — 2x-3 \ end {выровнять}\)
Теперь мы можем прибавить 2x к обеим сторонам. (Помните, что вы получите тот же ответ, если вместо этого вычтете 3x с обеих сторон)
\ (\ begin {align} 3x + 5 \ color {red} {+ 2x} & = — 2x-3 \ color {red} {+ 2x} \\ 5x + 5 & = -3 \ end {align} \)
Отсюда мы можем решить, как и с другими двухшаговыми уравнениями.
\ (\ begin {align} 5x + 5 \ color {red} {- 5} & = — 3 \ color {red} {- 5} \\ 5x & = — 8 \\ \ dfrac {5x} {\ color { красный} {5}} & = \ dfrac {-8} {\ color {red} {5}} \\ x & = \ dfrac {-8} {5} \\ & = \ boxed {- \ dfrac {8 } {5}} \ end {align} \)
Чек
Это был сложный вопрос, поэтому не забудьте проверить свой ответ и убедиться, что не было допущено никаких ошибок. Для этого вы убедитесь, что следующее утверждение является верным:
\ (3 \ left (- \ dfrac {8} {5} +2 \ right) -1 = \ left (- \ dfrac {8} {5} \ right) -3 \ left (- \ dfrac {8} { 5} +1 \ вправо) \)
(Примечание: это работает, но вы должны быть очень осторожны с скобками!)
Бесконечно много решений и нет решений
Бывают случаи, когда вы выполняете все эти шаги, и появляется действительно странное решение.Например, при решении уравнения \ (x + 2 = x + 2 \) с использованием описанных выше шагов в итоге получается \ (0 = 0 \). Это, конечно, правда, но что хорошего в этом?
Если вы получили подобное утверждение, это означает, что уравнение имеет бесконечно много решений. Любой \ (x \), о котором вы можете подумать, удовлетворял бы уравнению \ (x + 2 = x + 2 \). Подходящий ответ в этом случае — «бесконечно много решений».
Другая ситуация возникает, когда вы упрощаете уравнение до утверждения, которое никогда не бывает истинным, например \ (3 = 4 \) или \ (0 = 1 \).Это происходит с уравнением \ (x + 5 = x-7 \), которое приводит к \ (5 = -7 \), что, конечно, никогда не бывает истинным. Это означает, что никакое \ (x \) не удовлетворяет этому уравнению. Другими словами «решения нет». Итого:
Если вы получите утверждение, которое всегда истинно, например \ (5 = 5 \) или \ (0 = 0 \), то существует бесконечно много решений.
Если вы получаете утверждение, которое всегда ложно, например \ (10 = 11 \) или \ (1 = 5 \), то решений нет.
реклама
Сводка
Решение линейных уравнений сводится к выделению переменной.В зависимости от уравнения это может занять от одного шага до многих. Всегда проверяйте, нужно ли вам сначала упростить одну или обе стороны уравнения, и всегда проверяйте свой ответ.
Подпишитесь на нашу рассылку новостей!
Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.
Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!
Связанные
Решение линейных уравнений с одной переменной
Линейное уравнение — это уравнение прямой, записанное с одной переменной.Единственная степень переменной — 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид [latex] ax + b = 0 [/ latex] и решаются с использованием основных алгебраических операций.
Мы начинаем с классификации линейных уравнений с одной переменной как одного из трех типов: тождественные, условные или противоречивые. Уравнение идентичности верно для всех значений переменной. Вот пример тождественного уравнения.
[латекс] 3x = 2x + x [/ латекс]
Набор решений состоит из всех значений, которые делают уравнение истинным.Для этого уравнения набором решений является все действительные числа, потому что любое действительное число, замененное на [латекс] x [/ латекс], сделает уравнение истинным.
Условное уравнение верно только для некоторых значений переменной. Например, если нам нужно решить уравнение [латекс] 5x + 2 = 3x — 6 [/ latex], мы получим следующее:
[латекс] \ begin {array} {l} 5x + 2 \ hfill & = 3x — 6 \ hfill \\ 2x \ hfill & = — 8 \ hfill \\ x \ hfill & = — 4 \ hfill \ end {array} [/ латекс]
Набор решений состоит из одного числа: [латекс] \ {- 4 \} [/ латекс].Это единственное решение, поэтому мы решили условное уравнение.
Непоследовательное уравнение приводит к ложному утверждению. Например, если мы должны решить [латекс] 5x — 15 = 5 \ left (x — 4 \ right) [/ latex], мы получим следующее:
[латекс] \ begin {array} {ll} 5x — 15 = 5x — 20 \ hfill & \ hfill \\ 5x — 15 — 5x = 5x — 20 — 5x \ hfill & \ text {Вычесть} 5x \ text {из обе стороны}. \ hfill \\ -15 \ ne -20 \ hfill & \ text {Ложный оператор} \ hfill \ end {array} [/ latex]
Действительно, [латекс] -15 \ ne -20 [/ латекс].Нет решения, потому что это противоречивое уравнение.
Решение линейных уравнений с одной переменной включает фундаментальные свойства равенства и основные алгебраические операции. Ниже приводится краткий обзор этих операций.
Общее примечание: линейное уравнение с одной переменной
Линейное уравнение с одной переменной можно записать в виде
[латекс] ax + b = 0 [/ латекс]
, где a и b — действительные числа, [латекс] a \ ne 0 [/ латекс].
Как сделать: дано линейное уравнение с одной переменной, используйте алгебру для его решения.
Следующие шаги используются для манипулирования уравнением и выделения неизвестной переменной, так что последняя строка читается как x = _________, если x — неизвестное. Нет установленного порядка, так как используемые шаги зависят от того, что указано:
Мы можем складывать, вычитать, умножать или делить уравнение на число или выражение, если мы делаем то же самое с обеими сторонами знака равенства.Обратите внимание, что мы не можем делить на ноль.
Примените свойство распределения по мере необходимости: [latex] a \ left (b + c \ right) = ab + ac [/ latex].
Выделите переменную на одной стороне уравнения.
Когда переменная умножается на коэффициент на последнем этапе, умножьте обе части уравнения на обратную величину коэффициента.
Пример 1: Решение уравнения с одной переменной
Решите следующее уравнение: [латекс] 2x + 7 = 19 [/ латекс].
Решение
Это уравнение может быть записано в виде [латекс] ax + b = 0 [/ латекс] путем вычитания [латекс] 19 [/ латекс] с обеих сторон.Однако мы можем перейти к решению уравнения в его исходной форме, выполнив алгебраические операции.
[латекс] \ begin {array} {ll} 2x + 7 = 19 \ hfill & \ hfill \\ 2x = 12 \ hfill & \ text {Вычтите 7 с обеих сторон}. \ Hfill \\ x = 6 \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {2} \ text {или разделите на 2}. \ hfill \ end {array} [/ latex]
Решение [латекс] x = 6 [/ латекс].
Попробуй 1
Решите линейное уравнение с одной переменной: [латекс] 2x + 1 = -9 [/ латекс].
Решение
Пример 2: Алгебраическое решение уравнения, когда переменная появляется с обеих сторон
Решите следующее уравнение: [латекс] 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) [/ latex].
Решение
Примените стандартные алгебраические свойства.
[латекс] \ begin {array} {ll} 4 \ left (x — 3 \ right) + 12 = 15-5 \ left (x + 6 \ right) \ hfill & \ hfill \\ 4x — 12 + 12 = 15 — 5x — 30 \ hfill & \ text {Применить свойство распределения}. \ Hfill \\ 4x = -15 — 5x \ hfill & \ text {Объединить похожие термины}. \ Hfill \\ 9x = -15 \ hfill & \ text {Поместите} x- \ text {термины на одну сторону и упростите}. \ hfill \\ x = — \ frac {15} {9} \ hfill & \ text {Умножьте обе стороны на} \ frac {1} {9 } \ text {, обратное 9}.\ hfill \\ x = — \ frac {5} {3} \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]
Анализ решения
Эта задача требует, чтобы свойство распределения применялось дважды, а затем свойства алгебры используются для достижения последней строки, [latex] x = — \ frac {5} {3} [/ latex].
Попробуй 2
Решите уравнение с одной переменной: [латекс] -2 \ left (3x — 1 \ right) + x = 14-x [/ latex].
Решение
Решение линейных уравнений с нулевым Солнцем, Без Солнца и «Все-x» Солнцем
Purplemath
Есть три типа решений, которые могут вызвать путаницу.Мы рассмотрим по одному примеру каждого из них, и я объясню различия. Затем мы поработаем над смесью типов уравнений, чтобы вам было удобнее различать типы решений.
Чтобы решить это уравнение, мне сначала нужно упростить левую часть, взяв «минус» в скобки и объединив «похожие» термины:
MathHelp.com
5 — (3 х + 4)
5 — 1 (3 x ) — 1 (+4)
5–3 x –4
5 — 4 — 3 x
1-3 x
Теперь я могу решить обычным способом:
1–3x = 1
-1 -1
————
-3x = 0
— —
-3-3
х = 0
Является ли « x = 0» допустимым решением? Да, действительно, потому что ноль — допустимое число.Дело не в том, что решение — «ничто»; дело в том, что решение — это «что-то», а это «что-то» равно нулю. Итак, мой ответ:
Студенты, как правило, могут привыкнуть к тому, что ноль является решением уравнения, но разница между решением «ноль» (это решение является числовым значением) и «ничего» (возможно, является физической мерой чего-то вроде «без яблок» или «нет денег») может вызвать недоумение.
Убедитесь, что вы понимаете, что «ноль» сам по себе не является «ничем». Ноль — это числовое значение, которое (в «реальной жизни» или в контексте словесной проблемы) может означать , что «ничего» чего-то или другого нет, но сам ноль — реальная вещь; это существует; это что-то».
Решить 11 + 3
x -7 = 6 x + 5-3 x
Во-первых, объедините одинаковые термины; затем решите:
Гм… подожди минутку …
С каких это пор четыре когда-либо равно пяти? Никогда! Есть ли какое-нибудь возможное значение x , которое «исправит» это уравнение, чтобы оно говорило что-то, что имеет смысл? Будет ли любое значение x когда-либо заставить это уравнение работать?
Нет; это просто невозможно. Я выполнил все свои шаги правильно, но эти шаги привели к уравнению (а) без переменных и (б) не имело смысла.Поскольку не существует значения x , которое заставило бы это уравнение работать, то это уравнение не имеет решения. Вот мой ответ на это упражнение:
.
Вот логика для приведенного выше примера: когда вы пытаетесь решить уравнение, вы исходите из (неустановленного) предположения, что на самом деле — это решение. Когда вы в конечном итоге получаете бессмыслицу (например, бессмысленное уравнение «4 = 5» выше), это означает, что ваше первоначальное предположение (а именно, что исходное уравнение действительно имело решение) было неверным; на самом деле решения нет.Поскольку утверждение «4 = 5» совершенно неверно, и с момента нет значения x, которое когда-либо могло бы сделать его истинным , то это уравнение не имеет решения.
Advisory: этот ответ полностью отличается от ответа на первое упражнение в верхней части этой страницы, где было , значение x , что будет работать (это значение решения равно нулю). Не путайте эти две очень разные ситуации : «решение существует и имеет нулевое значение» никоим образом не то же самое, что «никакого значения решения не существует вообще».
И не путайте приведенное выше уравнение типа «без решения» со следующим типом уравнения:
Решить 6
x + 5-2 x = 4 + 4 x + 1
Сначала я объединю похожие термины; тогда решу:
Для предыдущего уравнения я получил «5 = 4», и не было значения x , которое могло бы сделать уравнение истинным. Этот результат противоположен этому. Существует ли для этого уравнения какое-либо возможное значение x , которое могло бы сделать приведенное выше утверждение ложным? Нет; 5 — это , всегда будет равно 5. Фактически, поскольку в последней строке вычислений нет « x », значение x явно не имеет отношения к уравнению; x может быть чем угодно, и уравнение останется верным. Итак, решение:
Это решение также может быть указано как «все действительные числа», «все действительные числа», «вся числовая строка», «(–∞, + ∞)» или « x ∈ & reals;» (последнее означает « x является членом набора действительных чисел»).Вы должны ожидать увидеть некоторые вариации в жаргоне от одного учебника к другому, поэтому не удивляйтесь различиям в форматировании.
Обратите внимание, что, если бы я решил уравнение вычитанием 5 из любой части исходного уравнения, я бы получил:
Другими словами, я бы получил еще одно тривиально верное утверждение. Я также мог бы вычесть 4 x с любой стороны, или я мог бы разделить обе стороны приведенного выше уравнения на 4, или я мог бы разделить на 4, а затем вычесть x с любой стороны, или я мог бы вычесть и 4 x , и 5 с обеих сторон исходного уравнения.Каждый из них — это еще один способ получить другой тривиально верный результат, например «0 = 0». Но независимо от конкретных предпринятых шагов результат (тривиально верное уравнение) всегда будет одним и тем же, и решение останется тем же: «все x ».
Поскольку (как я перечислил выше) существует много способов прийти к одному и тому же выводу для этого типа уравнения, вы не должны удивляться, если для уравнений «все действительные числа» или «без решения» вы не используйте те же шаги, что и некоторые из ваших одноклассников.Существует бесконечно много всегда верных уравнений (например, «0 = 0») и бесконечно много бессмысленных уравнений (например, «3 = 4»), также будет много способов (правильно) прийти к этим ответам.
Основным выводом из приведенных выше примеров должны быть следующие правила:
x = 0: регулярное решение регулярного уравнения
ерунда (например, 3 = 4): нет решения
тривиально истинно (например, 0 = 0): решение — все действительные числа
К сожалению, хотя вы почти наверняка встретите хотя бы один из этих вопросов типа «нет решения» или «все реально» в следующем тесте (и, вероятно, также в финале), их обычно не так много в наборе домашних заданий, и ваш инструктор, вероятно, предоставил только по одному образцу каждого типа.Это не дает вам большой практики в интерпретации решений такого типа, поэтому давайте еще несколько примеров.
Сначала я умножу 3 на скобку в левой части. Тогда я решу.
3x + 12 = 3x + 11
-3x -3x
——————
12 = 11
Моя математика верна, но результат — ерунда.Двенадцать никогда не будет равняться одиннадцати. Итак, мой ответ:
Решите 6 — 2 (
x + 3) = –2 x
Я буду умножать и упрощать в левой части. Тогда я решу.
6-2 (x + 3) = -2x
6 — 2x — 6 = -2x
6-6 — 2x = -2x
0 — 2x = -2x
-2x = -2x
+ 2x + 2x
———
0 = 0
Ноль всегда будет равняться нулю, и в последней строке моей работы нет даже какой-либо переменной, поэтому переменная явно не имеет значения.Это уравнение верно независимо от значения x . Итак, мой ответ:
Решите 2 (
x + 1) + x = 3 ( x + 2) — 2
Мне нужно будет умножить и упростить каждую часть этого уравнения.
2 (х + 1) + х = 3 (х + 2) — 2
2х + 2 + х = 3х + 6-2
2х + х + 2 = 3х + 4
3х + 2 = 3х + 4
-3x -3x
———————-
2 = 4
Нет; никогда не правда.
Решить 5
x + 7 = 4 (2 x + 1) — 3 x -2
Мне нужно упростить правую часть, а затем посмотреть, к чему это приведет.
5x + 7 = 4 (2x + 1) — 3x — 2
5х + 7 = 8х + 4 — 3х — 2
5x + 7 = 8x — 3x + 4-2
5х + 7 = 5х + 2
-5x -5x
——————
7 = 2
Нет; никогда не правда.
Я разверну левую часть и решу.
8 (x + 2) = 2x + 16
8х + 16 = 2х + 16
-2x -2x
——————
6х + 16 = 16
-16-16
——————
6x + 0 = 0
—— —
6 6
х = 0
Это уравнение имеет значение решения, равное нулю.
Решить 1,5
x + 4 = 4 ( x + 1) — 2,5 x
Я расширяю и упрощаю в правой части, а затем решаю.
1,5x + 4 = 4 (x + 1) — 2,5x
1,5x + 4 = 4x + 4 — 2,5x
1,5x + 4 = 4x — 2,5x + 4
1.5х + 4 = 1,5х + 4
-1,5x -1,5x
———————
4 = 4
Это всегда так, поэтому мой ответ:
Я разверну левую часть и решу.
2 (х + 5) = 2x + 5
2х + 10 = 2х + 5
-2x -2x
——————
10 = 5
Нет; никогда не правда.
URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin5.htm
Тем по алгебре: Решение уравнений
Урок 8: Решение уравнений
/ ru / algebra-themes / упрощающие-выражения / content /
Решение уравнений
В предыдущем разделе мы говорили о упрощающих выражениях .В этом разделе мы поговорим о решениях уравнений. Уравнения — это два выражения, равных друг другу с использованием знака равенства (=). Когда мы упрощаем выражения, наша конечная цель состоит в том, чтобы не осталось никаких операций.
Когда мы решаем уравнения, наша конечная цель — выяснить, чему равна переменная (или буква), поместив переменную отдельно по одну сторону от знака равенства и само число с другой. Мы собираемся достичь этой цели, выполнив два важных шага:
Упростите каждое выражение по обе стороны от знака равенства.
Используйте обратные операции для отмены.
Звучит сложно? Мы разберем его, чтобы было легче. Давайте посмотрим на пример:
5x — 4x — 6 = 18
Мы можем начать решать так же, как начинали бы упрощать выражение, проверяя порядок операций. Мы хотим максимально упростить каждую сторону знака равенства первые . Глядя на наше уравнение, нет скобок или показателей степени, и нет ничего, что можно было бы умножать или делить, поэтому мы просто начнем складывать и вычитать.Первая часть проста: 5 x — 4 x — 1 x , или просто x .
Отмена с обратными операциями
Теперь у нас осталось это уравнение:
х — 6 = 18
Мы не можем вычесть 6 из x , потому что они не , как термины (наш урок чтения алгебраических выражений объясняет это более подробно). Но x — 6 = 18 все еще недостаточно упрощен. В конце концов, мы ищем значение x , а не значение x — 6.
Чтобы решить это уравнение, нам нужно получить x только на одной стороне знака равенства. Чтобы переместить -6 на другую сторону от знака равенства, мы можем использовать , обратное — или противоположное — -6. Это будет 6. Другими словами, мы можем прибавить шесть к обеим сторонам уравнения.
В левой части уравнения -6 плюс 6 равно 0, а x -0 равно x . Справа 18 плюс 6 равно 24, поэтому x = 24.Теперь наше уравнение упрощено. Мы упростили его, используя , инверсию того, от чего мы хотели избавиться.
Это также называется , отменяющее , потому что оно позволяет вам отменить или избавиться от части уравнения. Это не значит, что вы можете просто вычеркнуть любую часть уравнения, которую не хотите решать (хотя это значительно упростит алгебру!). Вы должны соблюдать несколько правил.
Во-первых, вы заметили, что мы добавили 6 к в обе стороны нашего уравнения? Это потому, что две стороны уравнения всегда должны быть равными — в конце концов, это то, что означает знак равенства.Каждый раз, когда вы делаете что-то дополнительно к одной стороне уравнения, вы должны делать то же самое с другой. Поскольку мы добавили 6 к -6 на левой стороне , нам также пришлось добавить ее к 18 на правой стороне .
Во-вторых, помните, как мы прибавили шесть, где в исходном выражении говорилось, что вычесть ? Мы сделали это, потому что 6 — это противоположность -6. Чтобы отменить часть выражения, вам нужно использовать ее противоположную или инверсную. Противоположность вычитания — , сложение — и, как вы могли догадаться, противоположность сложения — , вычитание .
Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть, как решена эта проблема.

А как насчет умножения и деления? Это тоже противоположности, и вы также можете их отменить. Например, как получить a только в этом уравнении слева от знака равенства?
5a = 30
Поскольку a равно , умноженному на на 5, вы можете разделить с обеих сторон задачи на 5. 5 a разделить на 5 равно a и 30 разделить на 5 равно 6, поэтому упрощенная версия этого уравнения будет выглядеть так:
а = 6
Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть, как решена эта проблема.

Многоступенчатые уравнения
Давайте посмотрим на другой пример:
4 (2x + 3) = 68
Во-первых, нам нужно посмотреть, можно ли что-нибудь упростить. Помните, в предыдущем разделе мы говорили о числе вне скобок, означающем умножение? В соответствии с этим, мы можем умножить 4 · 2x и 4 · 3. 4 · 2x будет 8x , а 4 · 3 будет 12 .
8x + 12 = 68
Это дает нам 8x + 12 = 68 .
Теперь, когда обе стороны знака равенства упрощены, нам нужно будет использовать отмену, чтобы получить x отдельно. Прямо сейчас у нас есть две вещи, которые нам нужно переместить, 8 и 12. Мы добавляем 12, поэтому мы должны вычесть, чтобы переместить его. Мы также умножаем x на 8, поэтому мы будем делить, чтобы переместить его. Но какой из них двигаться первым?
Помните, что для отмены используется обратных — или противоположных — операций. Поскольку мы используем противоположные операции для перемещения объектов, мы собираемся использовать напротив порядка операций, чтобы решить, в каком порядке их перемещать.
Порядок операций гласит, что мы упростим умножение и деление перед сложением и вычитанием, поэтому мы собираемся сделать наоборот. Сначала мы будем использовать сложение / вычитание, а затем умножение / деление.
Сначала вычтем 12 с обеих сторон:
Поскольку 12–12 равняется 0, слева остается 8x. Поскольку 68-12 это 56, у нас остается 56 справа.
Наконец, разделим. 56/8 = 7
х = 7
Готово! Это означает, что для 4 (2x + 3) = 68 x должен быть равен 7.
Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть, как решена эта проблема.

Практика!
Давайте попрактикуемся в том, что вы только что узнали, решив еще несколько задач. Помните, что для упрощения мы будем использовать порядок операций и , отменяя .
Обратите внимание на шаги, которые мы предпринимаем для упрощения этих выражений — через некоторое время у вас будет возможность решить несколько самостоятельно.
Задача 1
Упростите это выражение, чтобы найти значение x :
6x + 2 ³ = 74
Найдите минутку, чтобы подумать, что бы вы сделали в первую очередь.Возможно, вы даже захотите достать лист бумаги, чтобы увидеть, как вы можете упростить это самостоятельно. Когда будете готовы, продолжайте читать, чтобы узнать, как мы получили правильный ответ.
Как и на предыдущей странице, мы начнем с того, что посмотрим, можем ли мы что-нибудь сделать с порядком операций . Это выражение имеет две операции: сложение и показатель степени .
6x + 2 ³ = 74
Согласно порядку операций, нам нужно сначала вычислить показатель степени.Это 2 ³, что равно 2 ⋅ 2 ⋅ 2 , или 8.
6x + 2 ³ = 74
Порядок операций гласит, что мы должны добавить следующее, но мы не можем добавить 6 x + 8 — переменная с коэффициентом, подобным 6 x , может быть добавлена только к другому подобному члену. (Другими словами, число с переменной x может быть добавлено только к другому числу с переменной x .) Чтобы получить 6 x самостоятельно, нам придется отменить + 8.
6x + 8 = 74
Мы можем сделать это с напротив из 8, что равно — 8. Мы вычтем 8 с обеих сторон от знака равенства. 8 — 8 — 0. 74 — 8 — 66.
Мы почти закончили. Все, что осталось сделать, это избавиться от 6 из 6 x . Помните, что 6 x — это просто еще один способ записи 6 ⋅ x .
6x = 66
Поскольку 6 и x умножаются на на , мы можем сократить 6, сделав обратное: разделим .
6 x /6 равно x и 66/6 равно 11, поэтому x = 11. Готово!
х = 11
Как вы могли заметить, вам не нужно соблюдать порядок операций после того, как вы начали отмену. Все, что имеет значение, — это , при котором обе стороны выражения равны . Фактически, лучше всего отменить сложение и вычитание перед .
Задача 2
Попробуем другую задачу.Упростим и .
4 (3 года — 8) = 4
Эта задача немного отличается от предыдущей, но использует те же навыки. Вот как это решить:
В соответствии с порядком операций нам нужно сначала упростить выражение в скобках . Однако мы не можем вычесть 8 из 3 y — мы не можем вычесть число из переменной.
4 (3 года — 8) = 4
Поскольку 4 стоит рядом со скобками, мы должны умножить , указанное в скобках, на 4.(Запутались? Просмотрите наш урок по чтению алгебраических выражений).
4 (3y -8) = 4
4 ⋅ 3 y равно 12 y и 4 ⋅ -8 равно -32. Вы также не можете вычесть 32 из 12 y , поэтому для дальнейшего упрощения этого выражения нам придется начать отменять.
12лет — 32 = 4
Давайте сначала избавимся от -32. Противоположность -32 — 32, поэтому мы прибавим к обеим сторонам 32. — 32 + 32 равно 0, а 4 + 32 равно 36.
Мы почти закончили. Нам просто нужно отменить 12 из 12 y . Помните, что 12 y также можно записать как 12 ⋅ y .
12 y = 36
Поскольку 12 и y умножаются на на , мы можем сократить 12 на , разделив .
12 y /12 равно y , а 36/12 равно 3. Мы сделали это: y равно 3.
y = 3
Ваша очередь
Попробуйте решить следующие несколько проблем самостоятельно.Ответы ниже.
Задача 1
Упростите это выражение, чтобы найти значение x :
-2 + x / 5 — 3 = 0
Задача 2
Найдите значение y :
3 (y + 2y) = 36
Задача 3
Найдите значение r :
300–60 р + 10 ² = -380
Ответов:
x = 25
y = 4
r = -2
Более длинные уравнения
Хотите верьте, хотите нет, но теперь у вас есть инструменты для упрощения многих выражений, даже таких сложных на вид, как это:
3x — 24 ⋅ 2 = 8x + 2
Это может показаться более сложным, чем задачи, которые вы решили на предыдущей странице, но вы будете использовать те же навыки, чтобы решить эту.Основное различие между этим выражением и другими, которые вы решили, заключается в том, что у этого есть переменная и по крайней мере одно число на по обе стороны от знака равенства , поэтому вам придется немного больше компенсировать.
Вам также нужно будет выбрать, хотите ли вы, чтобы переменная была слева или справа от знака равенства в вашем упрощенном выражении. На самом деле это не имеет значения — ответ будет одинаковым в любом случае, но в зависимости от задачи вы можете обнаружить, что математика кажется проще, чем в другой.Тем не менее, несмотря ни на что, ваше упрощенное уравнение должно иметь только переменную с одной стороны уравнения и только число с другой.
Давайте попробуем решить задачу вверху страницы: 3 x — 24 ⋅ 2 = 8 x + 2.
Во-первых, мы хотим разобраться в том, что мы можем, с порядком операций. Похоже, что все, что мы можем сделать, это умножить -24 ⋅ 2. Все остальное требует сложения или вычитания в отличие от терминов: — 24 ⋅ 2 равно -48.
3x -24 ⋅ 2 = 8x + 2
Давайте попробуем получить x на левой стороне знака равенства и цифре справа .Начнем с исключения -48 слева. Мы можем сделать это, добавив 48 к обеим сторонам. -48 + 48 равно 0, а 2 + 48 равно 50.
Поскольку мы решили, что x будет на левой стороне , мы должны избавиться от 8 x справа. Мы можем сделать это , вычтя 8 x с обеих сторон. 8 x — 8 x — 0, а 3 x — 8 x — -5 x .
Теперь все, что осталось сделать, это избавиться от -5 в -5 x . Поскольку -5 x — это способ записи -5 ⋅ x , мы можем отменить его, разделив с обеих сторон на -5. -5 x / -5 равно x , а 50 / -5 равно 10.
Готово! x равно -10.
х = -10
Как видите, упрощение этого уравнения на самом деле не было намного сложнее, чем упрощение любого из других уравнений в этом уроке — просто это заняло немного больше времени.
Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть, как решена эта проблема.

Практика!
Теперь ваша очередь. Попробуйте упростить эти длинные выражения.
Задача 1
Решите для i .
-46 -2i = 42 + 7i ⋅ 6
Задача 2
Решить относительно j .
90j / 5 + 2 ² = 140 + j
Задача 3
Решить относительно k . (Подсказка: ваш окончательный ответ будет дробным.)
3 + (3k + 6k) = 3k + 5
ответов
i = -2
j = 8
k = 1/3
Уравнения с более чем одной переменной
Иногда вы можете увидеть уравнение с более чем одной переменной, например, это:
2x + 6y -10 = 38
Если выражение содержит более одной переменной, вы не сможете упростить его полностью — недостаточно информации. Вместо этого в задачах с уравнениями с несколькими переменными обычно предлагается решить для одну переменных.Вы максимально упростите его, добавив переменную, которую вы решаете, с одной стороны уравнения, а любые другие числа и переменные — с другой. Упростим приведенное выше выражение: 2 x +6 y — 10 = 38.
Мы ничего не можем сделать с порядком операций, так что давайте начнем отменять. Нам нужно только x на левой стороне , поэтому мы постараемся расположить все остальное справа.
2x + 6лет — 10 = 38
Сначала отменим -10.Противоположность -10 равна 10, поэтому мы добавим к обеим сторонам по 10 . -10 + 10 равно 0, а 38 + 10 равно 48.
Далее избавляемся от 6 y . Мы вычтем из с обеих сторон. 6 y — 6 y равно 0. Поскольку с другой стороны нечего вычитать, мы просто напишем -6 y справа. (Смущает? Это как если бы мы вычли 6 y из ничего , или 0 — и 0-6 y равно -6 y .)
Теперь нам нужно избавиться от 2 из 2 x . Поскольку 2 x — это еще один способ сказать 2 ⋅ x, мы разделим с обеих сторон на 2, чтобы получить только x слева. 2 x /2 — x , а (48-6 y ) / 2 — 24-3 y .
Это все, что нужно! Выражение не полностью упрощено — мы все еще не знаем числовое значение x и y — но оно достаточно упрощено, потому что мы можем сказать, что x равно 24 — 3 y .
x = 24 — 3 года
Помните, ваша цель при решении подобных задач состоит не в том, чтобы полностью упростить выражение, а в том, чтобы найти значение одной из переменных.
Это — это , которое на самом деле можно решить для двух переменных, если у вас есть более одного уравнения с одинаковыми переменными. Это называется системой уравнений. На самом деле мы используем системы уравнений в нашем уроке по задачам дистанционных слов, но мы не обсуждаем, как они работают в целом.Чтобы узнать больше о системах уравнений, посмотрите это видео от Khan Academy.
Посмотрите видео ниже, чтобы увидеть, как решена эта проблема.

Практика!
Задача 1
Решить относительно r .
88q + 4r — 3 = 5
Задача 2
Решить для с . (Подсказка: ваш окончательный ответ будет дробью со знаминателем r .)
(13ср) / 2 = 39
Задача 3
Решить для м .
6 м. — 30 чел. / 5 = 12
ответов
r = 2 — 22 q
s = 6/ r
м = 2 + p
Проверка вашей работы
Важно проверять свою работу по алгебре, особенно когда вы только начинаете. К счастью, проверить свою работу, когда вы упрощаете уравнения, довольно просто. Все, что вам нужно сделать, это заменить переменную в уравнении на значение, которое вы нашли при упрощении.Чтобы увидеть, как это работает, давайте вернемся к одному из упрощенных ранее уравнений:
4 (3 года — 8) = 4
Мы обнаружили, что y равно 3. Посмотрим, правильно ли мы получили ответ.
Вот наше исходное уравнение. y — наша переменная, поэтому мы заменим ее найденным значением: 3.
4 (3 года — 8) = 4
Вот как выглядит уравнение с 3 вместо y . Теперь посмотрим, верно ли уравнение.Если левая сторона равна правой, наш ответ правильный.
4 (3 ⋅ 3–8) = 4
Мы будем следовать порядку операций, сначала скобки. 3 ⋅ 3 равно 9, а 9–8 равно 1.
4 (1) = 4
Теперь, когда мы упростили скобки, все, что нам нужно сделать, это умножить 4 на 1.
4 (1) = 4
4 ⋅ 1 равно 4. Обе части нашего уравнения равны, поэтому наш ответ правильный!
4 = 4
Это все, что нужно! Проверять каждое упрощенное выражение — хорошая привычка, и вы обнаружите, что проверка своей работы обычно занимает меньше времени, чем на упрощение уравнения в первую очередь.
Попробуем еще:
Выражение, на которое мы будем смотреть: 5 x + 3 = 23 + x . Мы проверяем правильность решения x = 4.
5x + 3 = 23 + x
Сначала заменим переменную x на 4.
5 ⋅ 4 + 3 = 23 + 4
Чтобы проверить нашу работу, нам нужно упростить обе стороны выражения. Начнем с левой стороны . По порядку действий нам нужно сначала умножить, а потом сложить. 5 ⋅ 4 равно 20, и когда вы прибавите к этому 3 , вы получите 23.
5 ⋅ 4 + 3 = 23 + 4
Теперь нам нужно упростить правую часть: 23 + 4 равно 27.
23 = 23 + 4
Наше уравнение не может быть правильным — 23 и 27 не равны . Теперь мы знаем, что x не равно 4. Другими словами, ответ неправильный .
23 = 27
Как вы только что видели, если вы проверяете задачу, и окончательное выражение — , а не — сбалансированное уравнение, ваш ответ — , а не правильно.Найдите время, чтобы вернуться и снова упростить исходное уравнение. Со второй попытки обратите особое внимание на порядок операций и убедитесь, что вы правильно складываете, вычитаете, умножаете и делите.
Хотите еще раз проверить последнюю проблему? На этот раз проверьте это с помощью x = 5.
Практика!
Задача 1
Проверьте эту проблему. u = 6 правильный ответ? Если нет, то что?
ед (3 + 8) / 2 = 33
Задача 2
Проверьте эту проблему.Правильный ли ответ против = 5? Если нет, то что?
В / 5 + 20 В = 19 В + 12
Задача 3
Проверьте эту проблему. w = 8 правильный ответ? Если нет, то что?
5 Вт + 3 = 4 Вт + 10
ответов
Да, ответ правильный.
№; v = 10.
Нет; w = 7.
/ ru / algebra-themes / Introduction-to-word-tasks / content /
4. Решение уравнений
Помните такого рода задачи из начальной школы?
? + 5 = 7
Нам просто нужно было выяснить, какое число должно быть в поле, чтобы сделать его верным.Очевидно, нам нужно заменить вопросительный знак на «2»:
2 + 5 = 7
Решение уравнений с использованием алгебры ничем не отличается. Вместо поля мы используем букву для обозначения числа. Наша задача — найти правильное число (а иногда их может быть больше одного), которое делает уравнение истинным.
Иногда мы можем «увидеть» правильный ответ, если он простой (может быть, мы сможем просто сосчитать пальцами или что-то еще.) Но когда наши уравнения становятся более сложными, нам нужен процесс, чтобы следовать этому в конечном итоге даст нам ответ.
Наш процесс
Мы стремимся получить x (или любую другую букву, используемую в вопросе) слева от знака равенства.
Мы решаем уравнения по балансировке: что бы мы ни делали с одним часть уравнения, мы должны сделать то же самое с другой боковая сторона. Таким образом, если мы прибавим 4 к левой части, мы должны добавить 4 и к правой части.Если мы умножаем левую часть на 2, мы умножаем и правую часть на 2.
Пример 1
Решите уравнение
x — 6 = 10
Ответ
Нам нужно «избавиться» от -6 с левой стороны, чтобы у нас осталось x только с левой стороны.
Противоположность вычитанию 6 дает прибавление 6.
Если мы прибавим 6 к обеим сторонам, мы удалим -6 слева.
x — 6 = 10
х — 6 + 6 = 10 + 6
х = 16
Значит, значение x должно быть 16, чтобы уравнение было верным.
ПРОВЕРЬТЕ исходный вопрос:
16 — 6 = 10. Проверяется нормально.
Пример 2
Решить 5 x = 35
Ответ
На этот раз мы отвечаем
5 ×? = 35
Мы могли бы легко сделать это в уме (правда?), Но если проблема более сложная, нам нужно знать, что делать.
Слева мы умножаем неизвестное количество на 5. Мы будем использовать « x » для этого количества.
`5x = 35`
Противоположность умножению на 5 — деление на 5. Итак, мы делим обе части на 5:
`(5x) / 5 = 35 / 5`
Получаем:
`x = 7`
ПРОВЕРКА: 5 × 7 = 35. Проверяется нормально.
[Эти проверки кажутся глупыми с простыми примерами, но действительно хорошая идея для проверки ваших решений для всех задач с уравнениями, которые вы делаете.Это означает, что вы можете оставить проблему, чувствуя себя хорошо, потому что у вас есть правильный ответ, а также вы узнаете больше о том, как работает решение.]
Пример 3
Решить
`(3x) / 4 = 7`
Ответ
На этот раз нам нужно сделать 2 шага, чтобы решить уравнение. Мы замечаем, что внизу дроби стоит цифра 4.
`(3x) / 4 = 7`
Это эквивалентно делению на 4. Противоположность делению на 4 — умножение на 4.Итак, мы делаем это в первую очередь:
`(3x) / 4 xx 4 = 7xx4`
Отмена четверки слева дает:
`3x = 28`
На среднем шаге мы вычеркнули четверки, так что у нас не осталось дроби.
Теперь нам нужно разделить обе части на 3, так как у нас есть «3 ×» в левой части уравнения.
x = 28/3 = 9 1/3
Некоторые страны (например, США) оставляют ответ в виде одинарной дроби (28/3), в то время как практика в других странах (например, в Великобритании и Австралии) выражается в виде смешанного числа .
ПРОВЕРКА:
Наш ответ правильный?
Подставляя наш ответ в левую часть, получаем:
`(3x) / 4 = 3/4 x = 3/4 xx 28/3`
Отмена 3 (что дает нам 1) и 28 с 4 дает нам 7:
`3/4 xx 28/3 = 7`
Правая часть вопроса была 7, поэтому мы уверены, что наш ответ правильный.
Пример 4
Решить 5 — ( x + 2) = 5 x
Ответ
Сначала расширяем скобу.
`5 — (x + 2) = 5x`
`5 — x — 2 = 5x`
`3 — x = 5x`
Теперь мы понимаем, что легче разместить все x на правой стороне, добавив x с обеих сторон:
`3 = 6x`
Теперь я делю обе стороны на 6 и меняю местами стороны:
x = 0,5.
ПРОВЕРКА:
Мы проверяем наш ответ в обеих частях уравнения.Если это сработает, это должен быть правильный ответ.
LHS = `5 — (0,5 + 2) = 2,5`
RHS = `5 xx 0,5 = 2,5` = LHS.
Проверяет ОК.
Пример 5
Решить 5 x — 2 ( x -5) = 4 x
Ответ
Раскладной кронштейн:
`5x — 2 (x — 5) = 4x`
`5x — 2x + 10 = 4x`
`3x + 10 = 4x`
Вычитая `3x` с обеих сторон и меняя их местами, получаем:
`x = 10`
ПРОВЕРКА:
LHS = `5 xx 10-2 (10-5) = 50 — 10 = 40`
RHS = `4 xx 10 = 40` = LHS.
Проверяет ОК.
Пример 6
Если можете, решите уравнение
— (7 — x ) + 5 = x + 7
Что вы сделаете в заключение?
Ответ
— (7 — x ) + 5 = x + 7
Раскрыть скобки:
−7 + x + 5 = x + 7
Вычтем x с обеих сторон:
«-7 + 5 = 7»
Упростите левую часть:
`-2 = 7` ????
Это невозможно, поэтому мы заключаем, что для x нет возможных значений.
Оставить комментарий on Решение уравнений примеры и решение: Ваш браузер не поддерживается/
Таблица умножения от 11 до 20: Таблица умножения до 20 и до 100
alexxlab / 25.06.197014.09.2022 / Разное
Таблица умножения от 11 до 20. Описание работы онлайн тренажера
С лучшей бесплатной игрой учится очень быстро. Проверьте это сами!
Учить таблицу умножения — игра
Попробуйте нашу обучающую электронную игру. Используя её, вы уже завтра сможете решать математические задачи в классе у доски без ответов, не прибегая к табличке, чтобы умножить числа. Стоит только начать играть, и уже минут через 40 будет отличный результат. А для закрепления результата тренируйтесь несколько раз, не забывая о перерывах. В идеале – каждый день (сохраните страницу, чтобы не потерять). Игровая форма тренажера подходит как для мальчиков, так и для девочек.
Смотрите ниже шпаргалки в полной форме.

Умножение прямо на сайте (онлайн)
*
Таблица умножения (числа от 1 до 20)
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
Как умножать числа столбиком (видео по математике)
Чтобы потренироваться и быстро выучить, можно также попробовать умножать числа столбиком.
Ни для кого не секрет, как важно знание таблицы умножения и деления, в частности при выполнении арифметических расчётов и решении примеров по математике .
Однако, что если ребёнка пугает этот огромный набор цифр, именующийся «Таблицей умножения и деления », а уж знать его наизусть, представляется совсем непосильной задачей?
Тогда спешим успокоить – Выучить всю таблицу умножения очень просто! Для этого необходимо запомнить всего лишь 36 комбинаций чисел (связки трех чисел) . Здесь мы не учитываем умножение на 1 и 10, так как это является элементарным действием не требующим особых усилий в запоминании.
Описание работы онлайн тренажера
Данный тренажер работает на основе специально разработанного алгоритма повышения сложности примеров: начиная с самых простых цифр «2 x 2», постепенно повышая сложность до «9 x 9». Тем самым плавно завлекая в процесс изучения.
Таким образом, запоминать таблицу умножения придётся небольшими порциями, что существенно снизит нагрузку, так как дети будут направлять своё внимание всего лишь на несколько примеров, забыв про весь «большой» объём.
В Тренажере есть меню настроек для выбора режима изучения таблицы. Имеется возможность выбора дейстия — «Умножение» или «Деление», диапазона примеров «Вся таблица» или «На какое-то число». Все это является рассширенным функционалом сайта и доступно после оплаты .
Каждый новый пример сопровождается справочной подсказкой , так ребёнку будет легче начать своё изучение и запоминать новые неизвестные ему комбинации.
Если же по ходу обучения, какой либо пример вызывает трудность, можно быстро напомнить себе его результат, воспользовавшись дополнительной подсказкой , это поможет эффективнее справляться с запоминанием трудных примеров.
Процентная шкала быстро даст вам понять каким уровнем знания таблицы умножения Вы обладаете.
Пример считается полностью выученным, если правильный ответ был дан 4 раза подряд . Однако при достижении 100% , призываем не бросать изучение, а вернуться на следующий день и освежить свои знания, повторно пройдя все примеры. Ведь именно регулярные занятия развивают память и закрепляют навыки!
Описание интерфейса онлайн тренажера
Во-первых, в тренажере присутствует «панель быстрого доступа», включающая в себя 4 кнопки. Они позволяют: перейти на главную страницу сайта, включить или отключить звуковые сигналы, сбросить результаты обучения (начать изучение сначала), а также попать на страницу отзывов и комментариев.
Во-вторых, это основная структура программы.
Выше всех находится процентная шкала , отобржающая примерный уровень знания таблицы умножения.
Ниже идет поле с примером , на который необходимо дать ответ. Во время ответа оно будет изменять свой цвет: станет красным — если был дан неверный ответ, зеленым — в случае правильного, голубым — после использования подсказки, и желтоватым — во время показа нового примера.
Следом располагается строка сообщений . В ней выводятся текстовая информация об ошибках, правильных ответах, а также справочной и дополнительной подсказками.
В конце находится экранная клавиатура , содержащая только необходимые для работы кнопки: все цифры, «забой» — если нужно исправить ответ, кнопки «Проверить» и «Дополнительная подсказка».
Мы уверены, что данный тренажер «Таблица умножения за 20 минут», поможет .
Ребята, мы вкладываем душу в сайт. Cпасибо за то,
что открываете эту красоту. Спасибо за вдохновение и мурашки.
Присоединяйтесь к нам в Facebook и ВКонтакте
Таблица умножения — базовое понятие в математике, с которым мы знакомимся еще в начальной школе и которое потом используем всю жизнь вне зависимости от профессии. Вот только дети не спешат заучивать бесконечные столбики наизусть, особенно если задание пришлось на каникулы.
сайт даст советы, как легко выучить таблицу вместе с детьми и сделать этот процесс увлекательным.
Таблица Пифагора
Несмотря на то что задача — выучить, то есть заучить, таблицу наизусть, прежде всего важно понять суть самого действия. Для этого можно заменить умножение сложением: одинаковые числа складываются столько раз, на сколько мы умножаем. Например, 6×8 — это сложить 8 раз по 6.
Выделяем цветом одинаковые значения
Отличным помощником для изучения умножения станет таблица Пифагора, которая также демонстрирует некоторые закономерности. Например то, что от перемены мест множителей произведение не меняется: 4×6 = 6×4. Отметьте такие «зеркальные» ответы определенным цветом — это поможет запомнить и не запутаться при повторении.
Начинать изучение таблицы Пифагора лучше с самых простых и понятных частей: умножения на 1, 2, 5 и 10. При умножении на единицу число остается неизменным, а умножение на 2 дает нам удвоенное значение. Все ответы умножения на 5 оканчиваются либо на 0, либо на 5. А вот умножив на 10, в ответе мы получим двузначное число из цифры, которую умножали, и нуля.
Таблица для закрепления результата
Для закрепления результатов нарисуйте с ребенком пустую таблицу Пифагора и предложите ему заполнить клеточки правильными ответами. Для этого вам понадобится всего лишь листок бумаги, карандаш и линейка. Нужно нарисовать квадрат и поделить его на 10 частей по вертикали и горизонтали. А затем заполнить верхнюю строчку и крайний левый столбик числами от 1 до 9, пропустив первую клетку.
Конечно, все дети индивидуальны и универсального рецепта не существует. Главная задача родителя — найти подход и поддержать свое чадо, ведь все мы когда-то начинали с таких одновременно простых и сложных шагов.
Таблица умножения или таблица пифагора — это известная математическая структура, помогающая школьникам выучить умножение, а также просто решить конкретные примеры.
Ниже Вы можете видеть ее в классическом виде. Обратите внимание на числа от 1 до 20, которыми озаглавлены строчки слева и столбцы сверху. Это множители.
Как пользоваться таблицей Пифагора?
1. Итак, в первой колонке находим число, которое необходимо умножить. Затем в верхней строчке ищем число, на которое будем умножать первое. Теперь смотрим, где пересекаются нужная нам строчка и столбец. Число, находящееся на этом пересечении, является произведением данных множителей. Иными словами, это результат их умножения.
Как видите, все довольно просто. Вы можете посмотреть данную таблицу на нашем сайте в любое время, а также при необходимости можно сохранить ее себе на компьютер в виде картинки, чтобы иметь к ней доступ без подключения к интернету.
2. И снова обратите внимание, ниже имеется та же таблица, но уже в более привычной форме – в виде математических примеров . Многим такая форма покажется проще и комфортнее для использования. Она также доступна для скачивания на любой носитель в виде удобной картинки.
И наконец, Вы можете воспользоваться нашим калькулятором, который присутствует на данной странице, в самом низу. Просто введите в пустые ячейки нужные Вам числа для умножения, кликните на кнопку Вычислить, и тут же в окошке Результат появится новое число, которое и будет их произведением.
Надеемся, данный раздел будет Вам полезен, и наша таблица Пифагора в том или ином ее виде не раз поможет Вам в решении примеров с умножением и просто для заучивания данной темы.
Таблица пифагора от 1 до 20
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
Таблица умножения в стандартном виде от 1 до 10
1 х 1 = 1
1 х 2 = 2
1 х 3 = 3
1 х 4 = 4
1 х 5 = 5
1 х 6 = 6
1 х 7 = 7
1 х 8 = 8
1 х 9 = 9
1 х 10 = 10 2 х 1 = 2
2 х 2 = 4
2 х 3 = 6
2 х 4 = 8
2 х 5 = 10
2 х 6 = 12
2 х 7 = 14
2 х 8 = 16
2 х 9 = 18
2 х 10 = 20 3 х 1 = 3
3 х 2 = 6
3 х 3 = 9
3 х 4 = 12
3 х 5 = 15
3 х 6 = 18
3 х 7 = 21
3 х 8 = 24
3 х 9 = 27
3 х 10 = 30 4 х 1 = 4
4 х 2 = 8
4 х 3 = 12
4 х 4 = 16
4 х 5 = 20
4 х 6 = 24
4 х 7 = 28
4 х 8 = 32
4 х 9 = 36
4 х 10 = 40 5 х 1 = 5
5 х 2 = 10
5 х 3 = 15
5 х 4 = 20
5 х 5 = 25
5 х 6 = 30
5 х 7 = 35
5 х 8 = 40
5 х 9 = 45
5 х 10 = 50
6 х 1 = 6
6 х 2 = 12
6 х 3 = 18
6 х 4 = 24
6 х 5 = 30
6 х 6 = 36
6 х 7 = 42
6 х 8 = 48
6 х 9 = 54
6 х 10 = 60 7 х 1 = 7
7 х 2 = 14
7 х 3 = 21
7 х 4 = 28
7 х 5 = 35
7 х 6 = 42
7 х 7 = 49
7 х 8 = 56
7 х 9 = 63
7 х 10 = 70 8 х 1 = 8
8 х 2 = 16
8 х 3 = 24
8 х 4 = 32
8 х 5 = 40
8 х 6 = 48
8 х 7 = 56
8 х 8 = 64
8 х 9 = 72
8 х 10 = 80 9 х 1 = 9
9 х 2 = 18
9 х 3 = 27
9 х 4 = 36
9 х 5 = 45
9 х 6 = 54
9 х 7 = 63
9 х 8 = 72
9 х 9 = 81
9 х 10 = 90 10 х 1 = 10
10 х 2 = 20
10 х 3 = 30
10 х 4 = 40
10 х 5 = 50
10 х 6 = 60
10 х 7 = 70
10 х 8 = 80
10 х 9 = 90
10 х 10 = 100
Таблица умножения в стандартном виде от 10 до 20
11 х 1 = 11
11 х 2 = 22
11 х 3 = 33
11 х 4 = 44
11 х 5 = 55
11 х 6 = 66
11 х 7 = 77
11 х 8 = 88
11 х 9 = 99
11 х 10 = 110 12 х 1 = 12
12 х 2 = 24
12 х 3 = 36
12 х 4 = 48
12 х 5 = 60
12 х 6 = 72
12 х 7 = 84
12 х 8 = 96
12 х 9 = 108
12 х 10 = 120 13 х 1 = 13
13 х 2 = 26
13 х 3 = 39
13 х 4 = 52
13 х 5 = 65
13 х 6 = 78
13 х 7 = 91
13 х 8 = 104
13 х 9 = 117
13 х 10 = 130 14 х 1 = 14
14 х 2 = 28
14 х 3 = 42
14 х 4 = 56
14 х 5 = 70
14 х 6 = 84
14 х 7 = 98
14 х 8 = 112
14 х 9 = 126
14 х 10 = 140 15 х 1 = 15
15 х 2 = 30
15 х 3 = 45
15 х 4 = 60
15 х 5 = 70
15 х 6 = 90
15 х 7 = 105
15 х 8 = 120
15 х 9 = 135
15 х 10 = 150
16 х 1 = 16
16 х 2 = 32
16 х 3 = 48
16 х 4 = 64
16 х 5 = 80
16 х 6 = 96
16 х 7 = 112
16 х 8 = 128
16 х 9 = 144
16 х 10 = 160 17 х 1 = 17
17 х 2 = 34
17 х 3 = 51
17 х 4 = 68
17 х 5 = 85
17 х 6 = 102
17 х 7 = 119
17 х 8 = 136
17 х 9 = 153
17 х 10 = 170 18 х 1 = 18
18 х 2 = 36
18 х 3 = 54
18 х 4 = 72
18 х 5 = 90
18 х 6 = 108
18 х 7 = 126
18 х 8 = 144
18 х 9 = 162
18 х 10 = 180 19 х 1 = 19
19 х 2 = 38
19 х 3 = 57
19 х 4 = 76
19 х 5 = 95
19 х 6 = 114
19 х 7 = 133
19 х 8 = 152
19 х 9 = 171
19 х 10 = 190 20 х 1 = 20
20 х 2 = 40
20 х 3 = 60
20 х 4 = 80
20 х 5 = 100
20 х 6 = 120
20 х 7 = 140
20 х 8 = 160
20 х 9 = 180
20 х 10 = 200
Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выражениях свидетельствует о том, что если к бесконечности прибавить число или бесконечность, ничего не изменится, в результате получится такая же бесконечность. Если в качестве примера взять бесконечное множество натуральных чисел, то рассмотренные примеры можно представить в таком виде:
Для наглядного доказательства своей правоты математики придумали много разных методов . Лично я смотрю на все эти методы, как на пляски шаманов с бубнами. По существу, все они сводятся к тому, что либо часть номеров не занята и в них заселяются новые гости, либо к тому, что часть посетителей вышвыривают в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень даже по-человечески). Свой взгляд на подобные решения я изложил в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основываются мои рассуждения? Переселение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своего номера в соседний до скончания века. Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но это уже будет из разряда «дуракам закон не писан». Всё зависит от того, чем мы занимаемся: подгоняем реальность под математические теории или наоборот.
Что же такое «бесконечная гостиница»? Бесконечная гостиница — это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько номеров занято. Если все номера в бесконечном коридоре «для посетителей» заняты, есть другой бесконечный коридор с номерами «для гостей». Таких коридоров будет бесконечное множество. При этом у «бесконечной гостиницы» бесконечное количество этажей в бесконечном количестве корпусов на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным количеством Богов. Математики же не способны отстраниться от банальных бытовых проблем: Бог-Аллах-Будда — всегда только один, гостиница — она одна, коридор — только один. Вот математики и пытаются подтасовывать порядковые номера гостиничных номеров, убеждая нас в том, что можно «впихнуть невпихуемое».
Логику своих рассуждений я вам продемонстрирую на примере бесконечного множества натуральных чисел. Для начала нужно ответить на очень простой вопрос: сколько множеств натуральных чисел существует — одно или много? Правильного ответа на это вопрос не существует, поскольку числа придумали мы сами, в Природе чисел не существует. Да, Природа отлично умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, не привычные для нас. Как Природа считает, я вам расскажу в другой раз. Поскольку числа придумали мы, то мы сами будем решать, сколько множеств натуральных чисел существует. Рассмотрим оба варианта, как и подобает настоящим ученым.
Вариант первый. «Пусть нам дано» одно-единственное множество натуральных чисел, которое безмятежно лежит на полочке. Берем с полочки это множество. Всё, других натуральных чисел на полочке не осталось и взять их негде. Мы не можем к этому множеству прибавить единицу, поскольку она у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять единицу из уже взятого нами множества и вернуть её на полочку. После этого мы можем взять с полочки единицу и прибавить её к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получим бесконечное множество натуральных чисел. Записать все наши манипуляции можно так:
Я записал действия в алгебраической системе обозначений и в системе обозначений, принятой в теории множеств, с детальным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает на то, что множество натуральных чисел у нас одно и единственное. Получается, что множество натуральных чисел останется неизменным только в том случае, если из него вычесть единицу и прибавить эту же единицу.
Вариант второй. У нас на полочке лежит много разных бесконечных множеств натуральных чисел. Подчеркиваю — РАЗНЫХ, не смотря на то, что они практически не отличимы. Берем одно из этих множеств. Потом из другого множества натуральных чисел берем единицу и прибавляем к уже взятому нами множеству. Мы можем даже сложить два множества натуральных чисел. Вот что у нас получится:
Нижние индексы «один» и «два» указывают на то, что эти элементы принадлежали разным множествам. Да, если к бесконечному множеству прибавить единицу, в результате получится тоже бесконечное множество, но оно не будет таким же, как первоначальное множество. Если к одному бесконечному множеству прибавить другое бесконечное множество, в результате получится новое бесконечное множество, состоящее из элементов первых двух множеств.
Множество натуральных чисел используется для счета так же, как линейка для измерений. Теперь представьте, что к линейке вы добавили один сантиметр. Это уже будет другая линейка, не равная первоначальной.
Вы можете принимать или не принимать мои рассуждения — это ваше личное дело. Но если когда-то вы столкнетесь с математическими проблемами, задумайтесь, не идете ли вы по тропе ложных рассуждений, протоптанной поколениями математиков. Ведь занятия математикой, прежде всего, формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственных способностей (или наоборот, лишают нас свободомыслия).
воскресенье, 4 августа 2019 г.
Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:
Читаем: «… богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы.»
Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:
Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.
За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду — имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.
суббота, 3 августа 2019 г.
Как разделить множество на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, присутствующую у части элементов выбранного множества. Рассмотрим пример.
Пусть у нас есть множество А , состоящее из четырех человек. Сформировано это множество по признаку «люди» Обозначим элементы этого множества через букву а , нижний индекс с цифрой будет указывать на порядковый номер каждого человека в этом множестве. Введем новую единицу измерения «половой признак» и обозначим её буквой b . Поскольку половые признаки присущи всем людям, умножаем каждый элемент множества А на половой признак b . Обратите внимание, что теперь наше множество «люди» превратилось в множество «люди с половыми признаками». После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm и женские bw половые признаки. Вот теперь мы можем применить математический фильтр: выбираем один из этих половых признаков, безразлично какой — мужской или женский. Если он присутствует у человека, тогда умножаем его на единицу, если такого признака нет — умножаем его на ноль. А дальше применяем обычную школьную математику. Смотрите, что получилось.
После умножения, сокращений и перегруппировок, мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm и подмножество женщин Bw . Приблизительно так же рассуждают математики, когда применяют теорию множеств на практике. Но в детали они нас не посвящают, а выдают готовый результат — «множество людей состоит из подмножества мужчин и подмножества женщин». Естественно, у вас может возникнуть вопрос, насколько правильно применена математика в изложенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, по сути преобразований сделано всё правильно, достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это такое? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.
Что касается надмножеств, то объединить два множества в одно надмножество можно, подобрав единицу измерения, присутствующую у элементов этих двух множеств.
Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не всё в порядке, является то, что для теории множеств математики придумали собственный язык и собственные обозначения. Математики поступили так, как когда-то поступали шаманы. Только шаманы знают, как «правильно» применять их «знания». Этим «знаниям» они обучают нас.
В заключение, я хочу показать вам, как математики манипулируют с .
понедельник, 7 января 2019 г.
В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.
С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.
Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».
Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:
За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.
Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.
Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.
В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.
среда, 4 июля 2018 г.
Я вам уже рассказывал, что , при помощи которой шаманы пытаются сортировать » » реальности. Как же они это делают? Как фактически происходит формирование множества?
Давайте внимательно разберемся с определением множества: «совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». А теперь почувствуйте разницу между двумя фразами: «мыслимое как единое целое» и «мыслимое как целое». Первая фраза — это конечный результат, множество. Вторая фраза — это предварительная подготовка к формированию множества. На этом этапе реальность разбивается на отдельные элементы («целое») из которых потом будет сформировано множество («единое целое»). При этом фактор, позволяющий объединить «целое» в «единое целое», внимательно отслеживается, иначе у шаманов ничего не получится. Ведь шаманы заранее знают, какое именно множество они хотят нам продемонстрировать.
Покажу процесс на примере. Отбираем «красное твердое в пупырышку» — это наше «целое». При этом мы видим, что эти штучки есть с бантиком, а есть без бантика. После этого мы отбираем часть «целого» и формируем множество «с бантиком». Вот так шаманы добывают себе корм, привязывая свою теорию множеств к реальности.
А теперь сделаем маленькую пакость. Возьмем «твердое в пупырышку с бантиком» и объединим эти «целые» по цветовому признаку, отобрав красные элементы. Мы получили множество «красное». Теперь вопрос на засыпку: полученные множества «с бантиком» и «красное» — это одно и то же множество или два разных множества? Ответ знают только шаманы. Точнее, сами они ничего не знают, но как скажут, так и будет.
Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда речь заходит о реальности. В чем секрет? Мы сформировали множество «красное твердое в пупырышку с бантиком». Формирование происходило по четырем разным единицам измерения: цвет (красное), прочность (твердое), шероховатость (в пупырышку), украшения (с бантиком). Только совокупность единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики . Вот как это выглядит.
Буква «а» с разными индексами обозначает разные единицы измерения. В скобках выделены единицы измерения, по которым выделяется «целое» на предварительном этапе. За скобки вынесена единица измерения, по которой формируется множество. Последняя строчка показывает окончательный результат — элемент множества. Как видите, если применять единицы измерения для формирования множества, тогда результат не зависит от порядка наших действий. А это уже математика, а не пляски шаманов с бубнами. Шаманы могут «интуитивно» придти к такому же результату, аргументируя его «очевидностью», ведь единицы измерения не входят в их «научный» арсенал.
При помощи единиц измерения очень легко разбить одно или объединить несколько множеств в одно надмножество. Давайте более внимательно рассмотрим алгебру этого процесса.
суббота, 30 июня 2018 г.
Если математики не могут свести понятие к другим понятиям, значит они ничего не понимают в математике. Отвечаю на : чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Ответ очень простой: числами и единицами измерения.
Это сегодня всё, что мы не возьмем, принадлежит какому-либо множеству (как нас уверяют математики). Кстати, вы в зеркале видели у себя на лбу список тех множеств, к которым принадлежите именно вы? И я такого списка не видел. Скажу больше — ни одна вещь в реальности не имеет бирочки со списком множеств, к которым эта вещь принадлежит. Множества — это всё выдумки шаманов. Как они это делают? Давайте заглянем немного в глубь истории и посмотрим, как выглядели элементы множества до того, как математики-шаманы растащили их по своим множествам.
Давним-давно, когда о математике ещё никто и не слышал, а кольца были только у деревьев и у Сатурна, огромные стада диких элементов множеств бродили по физическим полям (ведь математических полей шаманы ещё не придумали). Выглядели они приблизительно так.
Да, не удивляйтесь, с точки зрения математики все элементы множеств больше всего похожи на морских ежей — из одной точки, как иголки, во все стороны торчат единицы измерений. Для тех, кто , напоминаю, что любую единицу измерения геометрически можно представить как отрезок произвольной длины, а число — как точку. Геометрически любую величину можно представить как пучок отрезков, торчащих в разные стороны из одной точки. Эта точка — точка ноль. Рисовать это произведение геометрического искусства я не буду (нет вдохновения), но вы легко это можете представить.
Какие же единицы измерения образуют элемент множества? Всякие, описывающие данный элемент с разных точек зрения. Это и древние единицы измерения, которыми пользовались наши предки и о которых все давно забыли. Это и современные единицы измерения, которыми мы пользуемся сейчас. Это и неизвестные нам единицы измерения, которые придумают наши потомки и которыми будут пользоваться они для описания реальности.
С геометрией мы разобрались — предлагаемая модель элементов множества имеет четкое геометрическое представление. А как с физикой? Единицы измерения — это и есть прямая связь математики с физикой. Если шаманы не признают единицы измерения как полноправный элемент математических теорий — это их проблемы. Настоящую науку математику без единиц измерения лично я уже не представляю. Вот почему в самом начале рассказа о теории множеств я говорил о ней как о каменном веке.
Но перейдем к самому интересному — к алгебре элементов множеств. Алгебраически любой элемент множества представляет из себя произведение (результат умножения) разных величин.Выглядит это так.
Я умышленно не применял условные обозначения, принятые в теории множеств, поскольку мы рассматриваем элемент множества в естественной среде обитания до возникновения теории множеств. Каждая пара буковок в скобках обозначает отдельную величину, состоящую из числа, обозначенного буквой «n » и единицы измерения, обозначенной буквой «a «. Индексы возле буковок указывают на то, что числа и единицы измерения — разные. Один элемент множества может состоять из бесконечного числа величин (на сколько у нас и наших потомков хватит фантазии). Каждая скобка геометрически изображается отдельным отрезком. В примере с морским ежом одна скобка — это одна иголка.
Как шаманы формируют множества из разных элементов? Фактически, по единицам измерения или по числам. Ничего не понимая в математике, они берут разных морских ежей и внимательно их рассматривают в поисках той единственной иголки, по которой они формируют множество. Если такая иголка есть, значит этот элемент принадлежит множеству, если такой иголки нет — это элемент не из этого множества. Нам же шаманы рассказывают басни о мыслительных процессах и едином целом.
Как вы уже догадались, один и тот же элемент может принадлежать к самым разным множествам. Дальше я вам покажу, как формируются множества, подмножества и прочая шаманская галиматья. Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.
Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.
Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.
Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.
В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…
А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.
Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.
Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».
Тематические материалы:
Поиск и удаление вирусов вручную Kaspersky Free — новый бесплатный антивирус от «Лаборатории Касперского Handy recovery 5.5 серийный. Плюсы и минусы Iobit malware fighter 4.4 expired код лицензии. Инструкция по активации IObit Malware Fighter Pro Лицензионный ключ для hitman pro 3 Iobit uninstaller 5.2 лицензионный ключ Hetman partition recovery 2 Driver Updater ключ активации
Обновлено: 28. 07.2021
103583
Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter
Таблица умножения
Таблица умножения
Таблица умножения — таблица, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а ячейки таблицы содержат их произведение. Таблица применяется для обучения умножению.

Навигация по странице: Таблица умножения чисел от 1 до 10 Таблица умножения чисел от 1 до 20

Упражнения для проверки знания таблицы умножения!

Скачать таблицу умножения

Таблица умножения чисел от 1 до 10

× 1
× 2
× 3
× 4
× 5

1 × 1 = 1
1 × 2 = 2
1 × 3 = 3
1 × 4 = 4
1 × 5 = 5
1 × 6 = 6
1 × 7 = 7
1 × 8 = 8
1 × 9 = 9
1 × 10 = 10
2 × 1 = 2
2 × 2 = 4
2 × 3 = 6
2 × 4 = 8
2 × 5 = 10
2 × 6 = 12
2 × 7 = 14
2 × 8 = 16
2 × 9 = 18
2 × 10 = 20
3 × 1 = 3
3 × 2 = 6
3 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18
3 × 7 = 21
3 × 8 = 24
3 × 9 = 27
3 × 10 = 30
4 × 1 = 4
4 × 2 = 8
4 × 3 = 12
4 × 4 = 16
4 × 5 = 20
4 × 6 = 24
4 × 7 = 28
4 × 8 = 32
4 × 9 = 36
4 × 10 = 40
5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25
5 × 6 = 30
5 × 7 = 35
5 × 8 = 40
5 × 9 = 45
5 × 10 = 50
× 6
× 7
× 8
× 9
× 10

6 × 1 = 6
6 × 2 = 12
6 × 3 = 18
6 × 4 = 24
6 × 5 = 30
6 × 6 = 36
6 × 7 = 42
6 × 8 = 48
6 × 9 = 54
6 × 10 = 60
7 × 1 = 7
7 × 2 = 14
7 × 3 = 21
7 × 4 = 28
7 × 5 = 35
7 × 6 = 42
7 × 7 = 49
7 × 8 = 56
7 × 9 = 63
7 × 10 = 70
8 × 1 = 8
8 × 2 = 16
8 × 3 = 24
8 × 4 = 32
8 × 5 = 40
8 × 6 = 48
8 × 7 = 56
8 × 8 = 64
8 × 9 = 72
8 × 10 = 80
9 × 1 = 9
9 × 2 = 18
9 × 3 = 27
9 × 4 = 36
9 × 5 = 45
9 × 6 = 54
9 × 7 = 63
9 × 8 = 72
9 × 9 = 81
9 × 10 = 90
10 × 1 = 10
10 × 2 = 20
10 × 3 = 30
10 × 4 = 40
10 × 5 = 50
10 × 6 = 60
10 × 7 = 70
10 × 8 = 80
10 × 9 = 90
10 × 10 = 100
Не забудьте проверить знания таблицы умножения решая упражнения! 🙂

Таблица умножения чисел от 1 до 20

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Таблица умножения a × b Таблица квадратов a² Таблица кубов a³ Таблица степеней aⁿ Таблица факториалов a!

 Все таблицы и формулы
Таблица умножения по математике, бесплатно
Содержание:
Таблица умножения 1 — 10
Таблица умножения 11 — 20
Таблица умножения 21 — 30
Таблица умножения — это первое, что дети учат в школе по математике. Советуем, как минимум, выучить таблицу умножения с 0 — 10, учить остальное можно по желанию, но обязательно нужно понимать как считается. Формулы и свойства — это краткий теоретический материал, выучив которые вы легко сможет выполнить задания в школе.
В нашем справочнике представлены 3 таблицы умножения ( 0 — 10, 11 — 20, 21 — 30), изучайте.
Таблица умножения 1 — 10
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Таблица умножения 11 — 20
× 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Таблица умножения 21 — 30
× 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
21 441 462 483 504 525 546 567 588 609 630
22 462 484 506 528 550 572 594 616 638 660
23 483 506 529 552 575 598 621 644 667 690
24 504 528 552 576 600 624 648 672 696 720
25 525 550 575 600 625 650 675 700 725 750
26 546 572 598 624 650 676 702 728 754 780
27 567 594 621 648 675 702 729 756 783 810
28 588 616 644 672 700 728 756 784 812 840
29 609 638 667 696 725 754 783 812 841 870
30 630 660 690 720 750 780 810 840 870 900
В этой статье описана таблица умножения на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и до 30! Также на сайте представлено много онлайн калькуляторов для автоматического решения задач по математике, пользуйтесь на здоровье.
Если после изучения теоретического материала на нашем сайте у Вас останутся проблемы в решении задач или появятся вопросы образовательного характера, то вы всегда можете задать их на нашем форуме.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Таблица умножения — традиционная 10×10, 12х12 и 20х20

ГОСТы, СНиПы
Карта сайта TehTab.ru
Поиск по сайту TehTab.ru
Навигация по справочнику TehTab.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник/ / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса / / Таблица умножения — традиционная 10×10, 12х12 и 20х20
Таблицы умножения — традиционная 10×10, 12х12 и 20х20
1.
Таблица умножения в традиционном русском варианте (10х10).
Таблица умножения в традиционном русском варианте (10х10).

1 х 1 = 1
1 х 2 = 2
1 х 3 = 3
1 х 4 = 4
1 х 5 = 5
1 х 6 = 6
1 х 7 = 7
1 х 8 = 8
1 х 9 = 9
1 х 10 = 10

4 х 1 = 4
4 х 2 = 8
4 х 3 = 12
4 х 4 = 16
4 х 5 = 20
4 х 6 = 24
4 х 7 = 28
4 х 8 = 32
4 х 9 = 36
4 х 10 = 40

7 х 1 = 7
7 х 2 = 14
7 х 3 = 21
7 х 4 = 28
7 х 5 = 35
7 х 6 = 42
7 х 7 = 49
7 х 8 = 56
7 х 9 = 63
7 х 10 = 70

10 х 1 = 10
10 х 2 = 20
10 х 3 = 30
10 х 4 = 40
10 х 5 = 50
10 х 6 = 60
10 х 7 = 70
10 х 8 = 80
10 х 9 = 90
10 х 10 = 100

кликабельная картинка

таблица 10х10

таблица 12х12

таблица 20х20

2 х 1 = 2
2 х 2 = 4
2 х 3 = 6
2 х 4 = 8
2 х 5 = 10
2 х 6 = 12
2 х 7 = 14
2 х 8 = 16
2 х 9 = 18
2 х 10 = 20

5 х 1 = 5
5 х 2 = 10
5 х 3 = 15
5 х 4 = 20
5 х 5 = 25
5 х 6 = 30
5 х 7 = 35
5 х 8 = 40
5 х 9 = 45
5 х 10 = 50

8 х 1 = 8
8 х 2 = 16
8 х 3 = 24
8 х 4 = 32
8 х 5 = 40
8 х 6 = 48
8 х 7 = 56
8 х 8 = 64
8 х 9 = 72
8 х 10 = 80

3 х 1 = 3
3 х 2 = 6
3 х 3 = 9
3 х 4 = 12
3 х 5 = 15
3 х 6 = 18
3 х 7 = 21
3 х 8 = 24
3 х 9 = 27
3 х 10 = 30

6 х 1 = 6
6 х 2 = 12
6 х 3 = 18
6 х 4 = 24
6 х 5 = 30
6 х 6 = 36
6 х 7 = 42
6 х 8 = 48
6 х 9 = 54
6 х 10 = 60

9 х 1 = 9
9 х 2 = 18
9 х 3 = 27
9 х 4 = 36
9 х 5 = 45
9 х 6 = 54
9 х 7 = 63
9 х 8 = 72
9 х 9 = 81
9 х 10 = 90

Таблица деления

Таблица квадратов

Таблица кубов

Таблица логарифмов Таблица синусов/косинусов Таблица тангенсов/котангенсов и другие таблицы численных значений

2. Таблица умножения в традиционном англо-саксонском варианте (12х12).
Таблица умножения в традиционном англо-саксонском варианте (12х12).

1 х 1 = 1
1 х 2 = 2
1 х 3 = 3
1 х 4 = 4
1 х 5 = 5
1 х 6 = 6
1 х 7 = 7
1 х 8 = 8
1 х 9 = 9
1 х 10 = 10
1 х 11 = 11
1 х 12 = 12

4 х 1 = 4
4 х 2 = 8
4 х 3 = 12
4 х 4 = 16
4 х 5 = 20
4 х 6 = 24
4 х 7 = 28
4 х 8 = 32
4 х 9 = 36
4 х 10 = 40
4 х 11 = 44
4 х 12 = 48

7 х 1 = 7
7 х 2 = 14
7 х 3 = 21
7 х 4 = 28
7 х 5 = 35
7 х 6 = 42
7 х 7 = 49
7 х 8 = 56
7 х 9 = 63
7 х 10 = 70
7 х 11 = 77
7 х 12 = 84

10 х 1 = 10
10 х 2 = 20
10 х 3 = 30
10 х 4 = 40
10 х 5 = 50
10 х 6 = 60
10 х 7 = 70
10 х 8 = 80
10 х 9 = 90
10 х 10 = 100
10 х 11 = 110
10 х 12 = 120

кликабельная картинка

таблица 10х10

таблица 12х12

таблица 20х20

2 х 1 = 2
2 х 2 = 4
2 х 3 = 6
2 х 4 = 8
2 х 5 = 10
2 х 6 = 12
2 х 7 = 14
2 х 8 = 16
2 х 9 = 18
2 х 10 = 20
2 х 11 = 22
2 х 12 = 24

5 х 1 = 5
5 х 2 = 10
5 х 3 = 15
5 х 4 = 20
5 х 5 = 25
5 х 6 = 30
5 х 7 = 35
5 х 8 = 40
5 х 9 = 45
5 х 10 = 50
5 х 11 = 55
5 х 12 = 60

8 х 1 = 8
8 х 2 = 16
8 х 3 = 24
8 х 4 = 32
8 х 5 = 40
8 х 6 = 48
8 х 7 = 56
8 х 8 = 64
8 х 9 = 72
8 х 10 = 80
8 х 11 = 88
8 х 12 = 96

11 х 1 = 11
11 х 2 = 22
11 х 3 = 33
11 х 4 = 44
11 х 5 = 55
11 х 6 = 66
11 х 7 = 77
11 х 8 = 88
11 х 9 = 99
11 х 10 = 110
11 х 11 = 121
11 х 12 = 132

3 х 1 = 3
3 х 2 = 6
3 х 3 = 9
3 х 4 = 12
3 х 5 = 15
3 х 6 = 18
3 х 7 = 21
3 х 8 = 24
3 х 9 = 27
3 х 10 = 30
3 х 11 = 33
3 х 12 = 36

6 х 1 = 6
6 х 2 = 12
6 х 3 = 18
6 х 4 = 24
6 х 5 = 30
6 х 6 = 36
6 х 7 = 42
6 х 8 = 48
6 х 9 = 54
6 х 10 = 60
6 х 11 = 66
6 х 12 = 72

9 х 1 = 9
9 х 2 = 18
9 х 3 = 27
9 х 4 = 36
9 х 5 = 45
9 х 6 = 54
9 х 7 = 63
9 х 8 = 72
9 х 9 = 81
9 х 10 = 90
9 х 11 = 99
9 х 12 = 108

12 х 1 = 12
12 х 2 = 24
12 х 3 = 36
12 х 4 = 48
12 х 5 = 60
12 х 6 = 72
12 х 7 = 84
12 х 8 = 96
12 х 9 = 108
12 х 10 = 120
12 х 11 = 132
12 х 12 = 144

3. Таблица умножения Пифагора (20х20).
Таблица умножения Пифагора (20х20).
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
кликабельная картинка

таблица 10х10

таблица 12х12

таблица 20х20

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

3

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

4

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

60

64

68

72

76

80

5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

6

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

96

102

108

114

120

7

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

77

84

91

98

105

112

119

126

133

140

8

8

16

24

32

40

48

56

64

72

80

88

96

104

112

120

128

136

144

152

160

9

9

18

27

36

45

54

63

72

81

90

99

108

117

126

135

144

153

162

171

180

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

11

11

22

33

44

55

66

77

88

99

110

121

132

143

154

165

176

187

198

209

220

12

12

24

36

48

60

72

84

96

108

120

132

144

156

168

180

192

204

216

228

240

13

13

26

39

52

65

78

91

104

117

130

143

156

169

182

195

208

221

234

247

260

14

14

28

42

56

70

84

98

112

126

140

154

168

182

196

210

224

238

252

266

280

15

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

165

180

195

210

225

240

255

270

285

300

16

16

32

48

64

80

96

112

128

144

160

176

192

208

224

240

256

272

288

304

320

17

17

34

51

68

85

102

119

136

153

170

187

204

221

238

255

272

289

306

323

340

18

18

36

54

72

90

108

126

144

162

180

198

216

234

252

270

288

306

324

342

360

19

19

38

57

76

95

114

133

152

171

190

209

228

247

266

285

304

323

342

361

380

20

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

320

340

360

380

400

таблица умножения, таблица умножения скачать, таблица умножения для детей, таблица умножения бесплатно, математика таблица умножения
Таблица деления

Таблица квадратов

Таблица кубов

Таблица логарифмов Таблица синусов/косинусов Таблица тангенсов/котангенсов и другие таблицы численных значений

Дополнительная информация от TehTab. ru:

Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу.
TehTab.ru
Реклама, сотрудничество: [email protected]
Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями.
‎App Store: Таблица умножения учить
Описание
В приложении: таблица умножения (от 1 до 10; от 1 до 12; от 11 до 20), умножение многозначных чисел; деление многозначных чисел.
Подробное описание:
Выучить таблицу умножения очень просто с помощью приложения! Вы научитесь умножать и делить цифры.
Приложение интуитивно понятно для изучения. Учите таблицу постепенно, начиная с самых простых примеров и переходите к более сложным.
Выберете одну или несколько цифр по вашему усмотрению. Уделяйте достаточно времени повторению. Нажмите «i» или «h» для подсказок, но попробуйте без них 🙂 Вы можете пройти тест и сохранить количество правильных ответов.
Постоянно повторяя таблицу умножения, вы запомните её совсем быстро, и сложные примеры станут для вас совсем простыми!
Умножение многозначных чисел, как в тетрадке, пошагово.
Выберите верхнюю двузначную или трехзначную цифру, затем нижнюю однозначную, двузначную или трехзначную цифру. Цифра будет выбрана случайным образом. Последовательно заменяйте правильные ответы, как вы делали в тетрадке.
Если вам нужно подготовиться к тесту по математике, обязательно пройдите его! Примеры в произвольном порядке без подсказок и без калькулятора. Если хотя бы один ответ неверен, неверен весь пример. После того, как вы решите все примеры, тест завершится, и количество правильных ответов будет автоматически сохранено.
Калькулятор может помочь вам сделать домашнее задание или проверить себя. Вы можете использовать его при обучении. Если вы делаете тест, вы не можете использовать калькулятор — это все еще тест, поэтому без подсказок — используйте свою голову.
Деление многозначных чисел — это сложное сочетание различных математических операций. Вы должны быть хорошо знакомы с таблицей умножения и, конечно же, с сложением и вычитанием.
Вы можете тренировать свои математические навыки, которые приобрели ранее. Рабочие листы — это проверенный временем математический предмет. Теперь вы можете решать проблемы в приложении.
Выберите трехзначные, четырехзначные числа, которые вы научитесь делить в столбце на одно-, двух- или трехзначные числа. Тратьте время особенно на задачи с нулями. В приложении вы найдете бесконечное количество задач и научитесь делить без остатка.
Интернет не нужен.
Бесконечное количество задач в случайном порядке.
УДАЧИ!
20 июн. 2022 г.
Версия 2.8
Performance improvement
Оценки и отзывы
Оценок: 14
Только платная версия
Качайте только в том случае если готовы купить это приложения (цена поднялась до 1290).
Любой клик переводит на покупку, даже кнопка Информация(i).
Почему нельзя сразу в шопе написать что приложение платное. Дешевый развод!
Конкурентам-разработчикам: я предлагаю такой функционал, которого у других нет. Чтобы ребёнок мог легко и быстро всё выучить и усвоить. Вы бы занялись улучшением функционала своих приложений.
Как вы заботливо предупреждаете людей о встроенных покупках, а может каждый будет сам решать что ему делать без ваших советов?
Также заботливо следите за динамикой стоимости моего приложения.
Не используйте гопнические выражения: это вас не красит.
А любой комментарий, даже негативный, повышает рейтинг, поэтому я ваши комментарии не блокирую.
Без пробной версии.
Только платная версия за 849₽
Информативно…. Есть полностью бесплатные приложения. Приложения со встроенными покупками содержат пометочку такую: «Встроенные покупки».
Невозможно использовать
Чтобы не нажал выходит предложение купить.
В приложении все предельно ясно объяснено. Возможно использовать после покупки.
Разработчик Nikita Liubimov указал, что в соответствии с политикой конфиденциальности приложения данные могут обрабатываться так, как описано ниже. Подробные сведения доступны в политике конфиденциальности разработчика.
Сбор данных не ведется
Разработчик не ведет сбор данных в этом приложении.
Конфиденциальные данные могут использоваться по-разному в зависимости от вашего возраста, задействованных функций или других факторов. Подробнее
Информация
Провайдер
Nikita Liubimov
Размер
10,5 МБ
Категория
Образование
Возраст
4+
Copyright
© Nick Limo
Цена
Бесплатно
Сайт разработчика
Поддержка приложения
Политика конфиденциальности
Поддерживается
Другие приложения этого разработчика
Вам может понравиться
Урок 6.
Изучение таблицы умножения
Цифры изучены, основные математические понятия усвоены, ребенок свободно считает до сотни, складывает и вычитает – все это говорит о том, что пора приступать к изучению таблицы умножения.
Таблица умножения может даваться будущему школьнику сложнее, чем основы математики, и как родитель, заинтересованный в развитии своего чада, вы обязаны оказать ему в этом деле поддержку. Как и раньше, вам потребуется солидная доля терпения и настойчивости.
Далее мы рассмотрим следующие вопросы:
Как учить таблицу умножения

Как запоминать ответы

Как отслеживать прогресс

Как поощрять ребенка

Дополнительные рекомендации

1
Как учить таблицу умножения
Чтобы ваш ребенок выучил таблицу умножения быстро и эффективно, придерживайтесь такого алгоритма:
Для начала определите время, в которое вы каждый день будете проводить занятия. Не занимайтесь, если не готовы уделить ребенку максимум внимания или если ребенок уставший. Одно занятие должно продолжаться примерно 30 минут. Превышение этого порога может снизить эффективность занятий. Старайтесь создать такую обстановку, чтобы вас ничего не отвлекало.

Начните изучать таблицу умножения с задач на «0», «1», «2» и «3». Информацию преподносите небольшими объемами, не стремясь запомнить сразу всю таблицу. Имейте в виду, что пока что ваш ребенок просто запоминает, а не считает.

Если ребенок не понимает, как умножаются друг на друга числа, покажите ему принцип умножения на бумаге. Например, «3 х 3» можно представить, как «3 + 3 + 3» и т.д.

Возьмите лист бумаги и изобразите на нем таблицу умножения, а рядом нарисуйте числовую ось с цифрами от «0» до «100». Объясните, что при помощи таблицы очень легко находить ответы, которые соответствуют конкретным колонкам и строкам. По мере возрастания чисел на числовой оси будут возрастать и числа в таблице умножения.

Донесите до ребенка, что от перемены мест перемножаемых чисел их сумма не меняется, как и при сложении. Расскажете, что это свойство называется свойством коммутативности, и что, зная о нем, выучить таблицу значительно проще. Объясните, что, по сути, нужно выучить всего половину таблицы умножения, т.к. «3 х 6» будет то же самое, что «6 х 3» и т.п.

После того как ваше чадо освоит таблицу умножения от «0» до «3», переходите к числам от «4» до «7». На следующем этапе изучайте таблицу от «8» до «10». Если ребенок усваивает материал хорошо, можете усложнить ему работу, предложив разобраться в том, как числа умножаются на «11», «12», «13» и т.д.

Обязательно познакомьте будущего школьника с шаблонами таблицы. Не допускайте механического запоминания. Ребенок должен четко понимать, как «работает» таблица. Например, все задания с умножением на «10» заканчиваются на «0», все задания с умножением на «5» заканчиваются либо на «0», либо на «5» (также их результат ровно на половину меньше результата всех заданий с умножением на «10»), все задания с умножением на «0» равны «0».

В дополнение к вышеназванному алгоритму возьмите на заметку и несколько хитростей:
Умея удваивать числа, можно совершенно просто умножать на «4». Для этого нужно дважды удваивать умножаемое число. Например, нужно посчитать, сколько будет «5 х 4». Пусть ребенок удвоит «5», тем самым получив «10». Теперь пусть удвоит «10», получив искомое решение – «20». Такой прием поможет решать некоторые задания автоматически.

Для умножения любого числа на «11» его просто-напросто требуется продублировать. К примеру, «2 х 11»– это «22», «3 х 11»– «33» и т.д.

При проявлении ребенком хороших математических способностей обучите его интересному приему умножения «11» на любое двузначное число. Чтобы выполнить действие быстро, необходимо разделить это двузначное число на цифры. Например, «11 х 18» – это «1…8», а чтобы заполнить пробел, нужно сложить эти цифры («1+8» «9») и вставить результат в середину. Получаем «198».

Но кроме усвоения системы, на которой построена таблица умножения, можно и нужно использовать методы, помогающие быстро запоминать ответы.
2
Как запоминать ответы
Помочь вашему ребенку быстро запоминать ответы помогут следующие приемы:
По мере изучения таблицы умножения тренируйте свое чадо. Делайте это как можно чаще: 5 минут после приема пищи, 3 минуты во время рекламной паузы при просмотре кино, 10 минут во время прогулки по улице и обязательно 5 минут перед сном. Систематически повышайте темп тренировок, чтобы навык оттачивался и закреплялся.

Изначально давайте задания по порядку, а когда в ответах ребенка уже не будет ошибок, перемешивайте задания, чтобы сделать память и мышление более гибкими.

Старайтесь делать так, чтобы изучать таблицу умножения ребенку было весело и интересно. Привносите в занятия игровые элементы, и тогда результаты будут намного лучше.

Пусть ваш ребенок сделает комплект карточек. К примеру, «6 х 6» напишет на одной стороне, а на обратной – «36». Данную процедуру следует повторить со всеми парами таблицы умножения. Когда карточки будут готовы, показывайте их ребенку, а он пускай дает ответы на время. Каждый раз засекайте минуту, и смотрите, как продвигается ваш подопечный. Кстати, при переписывании таблицы на карточки у ребенка будет тренироваться двигательная память, а материал будет усваиваться вдвойне лучше.

Чтобы определить слабые места, просите своего ребенка время от времени по памяти записывать таблицу умножения на листке бумаги.

Играйте в игру «Захват карточной колоды». Правила очень просты: отделите карты с цифрами от карт с картинками (последние отложите в сторону). Разделите оставшиеся карты поровну между собой и ребенком. Одновременно с ним выкладывайте карты цифрами вверх и на опережение умножайте имеющиеся на двух картах цифры (к примеру, если выпали «шестерка» и «восьмерка», нужно быстро умножить «6» на «8» и назвать «48»). Кто быстрее выполнит задание, тот забирает обе карты. Побеждает тот, кто соберет больше карт. Игру можно немного видоизменить: не убирайте карты с картинками, а присвойте каждой свое число: валету – «11», даме – «12», королю – «13», а тузу – «0».

Тренируйте таблицу умножения способом «от обратного». Называйте ребенку число, к примеру, «40», а он пусть предлагает вам все варианты перемножения чисел для получения этой суммы.

Играйте в «Бинго». Пусть ребенок нарисует на листе квадрат шесть на шесть клеток и заполнит его любыми двузначными числами. Ваша задача – давать задание, например, «7 х 7», и если в одной из клеток есть число «49», он должен его зачеркнуть. Продолжать игру следует до тех пор, пока не будут зачеркнуты все числа в квадрате. В качестве поощрения используйте какой-нибудь приятный для ребенка приз.

Используя эти простейшие методы, вы поможете своему ребенку в разы быстрее запоминать ответы примеров из таблицы умножения. Но учение – это одно, а насколько хорошо усвоен материал, нужно систематически проверять. Помимо обычного контроля выполнения заданий и правильности ответов можно использовать еще пару неплохих способов проверки.
3
Как отслеживать прогресс
Возможно, кто-то сочтет нижеследующие способы излишними, однако мы и не призываем к их обязательному применению. Но все же, если ими не пренебрегать, можно получить намного больше информации о том, есть ли в знаниях вашего чада пробелы.
Вот два отличных способа отслеживания прогресса:
Использование интерактивных онлайн-приложений. В интернете в настоящее время можно найти огромное количество всяческих игр, викторин, тестов и других приложений на проверку знаний. Существенный плюс этого способа в том, что он воспринимается детьми не как проверка, а скорее как игра. Благодаря этому минимизируется стрессовое воздействие на психику ребенка, что позволит ему во всей полноте применить свой потенциал.

Если ребенок ходит в садик или даже уже начал посещать школу, каждый день спрашивайте его о том, чем он там занимался, были ли какие-то задания, каких успехов он достиг, какие оценки получил. Также спрашивайте о затруднениях – если таковые были, ищите способы их устранения: повторяйте пройденный материал и занимайтесь дополнительно. Помимо прочего, периодически звоните или навещайте воспитателя или школьного учителя, чтобы справиться об успехах своего ребенка. Таким образом вы сможете узнать о чем-то, о чем, вполне вероятно, он по каким-то причинам не хочет вам рассказывать. Собственно, это касается не только таблицы умножения или математики в целом, но и любого предмета и успеваемости вообще.

Несмотря на то, что по теме урока было сказано уже достаточно много, есть еще одна тема, которую мы хотели бы рассмотреть отдельно. Это тема поощрения ребенка.
4
Как поощрять ребенка
Всего мы предлагаем вам прибегать к трем основным методам поощрения:
Похвала. Похвала и искренняя радость – это, пожалуй, самые эффективные способы дать ребенку понять, что у него все отлично получается, тем самым замотивировав его на последующие занятия. Как можно чаще выражайте свои эмоции по поводу успехов юного математика. Старайтесь воздерживаться от любых негативных оценок в его адрес, в противном случае он станет заниматься с меньшей охотой, а материал будет усваивать намного медленнее.

Стимулирование.

Отдых. Перерывы на отдых и расслабление должны стать неотъемлемой составляющей вашей практики обучения ребенка. Любые занятия, от элементарных до самых сложных, нужно сопровождать паузами, чтобы ребенок имел возможность восстановить силы. Взрослые люди не могут работать часами без передышки, что уж говорить о детях. Поэтому, как только увидели, что ваше чадо подает признаки усталости, прекратите занятия и возьмите время на отдых. Намного продуктивнее будет позаниматься через несколько часов или вообще на следующий день.

И в заключение урока не будет лишним дать еще несколько рекомендаций, которые помогут вам в вашей работе со своим ребенком.
5
Дополнительные рекомендации
Кроме того, что нужно всегда проявлять к ребенку доброту и доброжелательность, требуется овладеть и несколькими простейшими педагогическими приемами:
Если ребенок чего-то не понимает, никогда не переходите к следующему материалу. Работайте над изучением одной и той же темы, пока она не будет полностью усвоена.

Изучайте материал небольшими «порциями», иначе ребенок не будет понимать того, что узнает, и, как следствие, у него возникнет неуверенность в своих силах.

Чтобы таблица умножения давалась легче, работайте над двумя-тремя числами в одно время. Затем повторяйте изученное, убеждайтесь, что ребенку все понятно, и лишь после этого переходите к другим числам.

Ребенок – это не калькулятор и не машинка для счета, поэтому быстрые ответы будут достигаться после многократного повторения, так что делайте это регулярно.

Для облегчения решения поставленных задач при изучении таблицы умножения разрешайте ребенку пользоваться устным счетом, но когда таблица будет усвоена, следите, чтобы устный счет не применялся.

Не исключено, что в познании математической науки у вашего сына или дочери возникнут какие-то проблемы (что-то не дается, занятия вызывают отторжение, ребенок не проявляет совершенно никаких математических способностей и т. д.). И, естественно, эти проблемы нужно уметь решать. И как раз о том, как это делается, вы узнаете из восьмого урока нашего курса.
Проверьте свои знания
Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.
11 Times Table
1 x 11 = 11
2 x 11 = 22
3 x 11 = 33
4 x 11 = 44
5 x 11 = 55
6 x 11 = 66
7 x 11 = 77
8 x 11 = 88
9 x 11 = 99
10 x 11 = 110
11 x 11 = 121
12 x 11 = 132
13 x 11 = 143
14 x 11 = 154
15 x 11 = 165
16 x 11 = 176
17 x 11 = 187
18 x 11 = 198
19 x 11 = 209
20 x 11 = 220
12 Times Table
1 x 12 = 12
2 x 12 = 24
3 x 12 = 36
4 x 12 = 48
5 x 12 = 60
6 x 12 = 72
7 x 12 = 84
8 x 12 = 96
9 x 12 = 108
10 x 12 = 120
11 x 12 = 132
12 x 12 = 144
13 x 12 = 156
14 x 12 = 168
15 x 12 = 180
16 x 12 = 192
17 x 12 = 204
18 x 12 = 216
19 x 12 = 228
20 x 12 = 240
13 Times Table
1 x 13 = 13
2 x 13 = 26
3 x 13 = 39
4 x 13 = 52
5 x 13 = 65
6 x 13 = 78
7 x 13 = 91
8 x 13 = 104
9 x 13 = 117
10 x 13 = 130
11 x 13 = 143
12 x 13 = 156
13 x 13 = 169
14 x 13 = 182
15 x 13 = 195
16 x 13 = 208
17 x 13 = 221
18 x 13 = 234
19 x 13 = 247
20 x 13 = 260
14 Times Table
1 x 14 = 14
2 x 14 = 28
3 x 14 = 42
4 x 14 = 56
5 x 14 = 70
6 x 14 = 84
7 x 14 = 98
8 x 14 = 112
9 x 14 = 126
10 x 14 = 140
11 x 14 = 154
12 x 14 = 168
13 x 14 = 182
14 x 14 = 196
15 x 14 = 210
16 x 14 = 224
17 x 14 = 238
18 x 14 = 252
19 x 14 = 266
20 x 14 = 280
15 Times Table
1 x 15 = 15
2 x 15 = 30
3 x 15 = 45
4 x 15 = 60
5 x 15 = 75
6 x 15 = 90
7 x 15 = 105
8 x 15 = 120
9 x 15 = 135
10 x 15 = 150
11 x 15 = 165
12 x 15 = 180
13 x 15 = 195
14 x 15 = 210
15 x 15 = 225
16 x 15 = 240
17 x 15 = 255
18 255
18 255
18 255
. 0017
19 x 15 = 285
20 x 15 = 300
16 Times Table
1 x 16 = 16
2 x 16 = 32
3 x 16 = 48
4 x 16 = 64
5 x 16 = 80
6 x 16 = 96
7 x 16 = 112
8 x 16 = 128
9 x 16 = 144
10 x 16 = 160
11 x 16 = 176
12 x 16 = 192
13 x 16 = 208
14 x 16 = 224
15 x 16 = 240
16 x 16 = 256
17 x 16 = 272
18 x 16 = 288
19 x 16 = 304
20 x 16 = 320
17 Times Table
1 x 17 = 17
2 x 17 = 34
3 x 17 = 51
4 x 17 = 68
5 x 17 = 85
6 x 17 = 102
7 x 17 = 119
8 x 17 = 136
9 x 17 = 153
10 x 17 = 170
11 x 17 = 187
12 x 17 = 204
13 x 17 = 221
14 x 17 = 238
15 x 17 = 255
16 x 17 = 272
17 x 17 = 289
18 x 17 = 306
19 x 17 = 323
20 x 17 = 340
18 Times Table
1 x 18 = 18
2 x 18 = 36
3 x 18 = 54
4 x
4 X
4 x
4
5 x 18 = 90
6 x 18 = 108
7 x 18 = 126
8 x 18 = 144
9 x 18 = 162
10 x 18 = 180
11 x 18 = 198
12 x 18 = 216
13 x 18 = 234
14 x 18 = 252
15 x 18 = 270
16 x 18 = 288
17 x 18 = 306
18 x 18 = 324
19 x 18 = 342
20 x 18 = 360
19 Times Table
1 x 19 = 19
2 x 19 = 38
3 x 19 = 57
4 x 19 = 76
5 x 19 = 95
6 x 19 = 114
7 x 19 = 133
8 x 19 = 152
9 x 19 = 171
10 x 19 = 190
11 x 19 = 209
12 x 19 = 228
13 x 19 = 247
14 x 19 = 266
15 x 19 = 285
16 x 19 = 304
17 x 19 = 323
18 x 19 = 342
19 x 19 = 361
20 x 19 = 380
20 Times Table
1 x 20 = 20
2 x 20 = 40
3 x 20 = 60
4 x 20 = 80
5 x 20 = 100
6 x 20 = 120
7 x 20 = 140
8 x 20 = 160
9 x 20 = 180
10 x 20 = 200
11 x 20 = 220
12 x 20 = 240
13 x 20 = 260
14 x 20 = 280
15 x 20 = 300
16 x 20 = 320
17 x 20 = 340
18 x 20 = 360
19 x 20 = 380
20 x 20 = 400
Таблицы умножения от 11 до 20 доступны в формате pdf, удобном для печати и загрузки. Каждая таблица умножения в таблицах умножения от 11 до 20 содержит 20 строк с соответствующей операцией умножения, что будет очень полезно для учащихся начальной школы, чтобы изучить основы умножения. Нажмите кнопку загрузки, чтобы получить PDF-копию этих таблиц умножения с 11 по 20. Нажмите 9.2529 Ctrl + P , если вы используете компьютер с Windows, или нажмите команду + P , если вы используете компьютер MAC, чтобы распечатать эти 11-20 таблиц.
Изучение таблицы умножения чрезвычайно важно. В конце концов, они являются строительными блоками математики, и, овладев искусством умножения, вы сможете делать все что угодно! Прежде всего, изучая и запоминая таблицу умножения, вашим детям становится легко и просто решать сложные математические задачи. Освоив таблица умножения , дети начинают использовать свои творческие способности и навыки визуального мышления, чтобы отвечать на вопросы. Сегодня вы также можете рассмотреть возможность записать своих детей в онлайн-класс по ведической математике для общего роста и развития. Кроме того, это поможет им решать вопросы, связанные с умножением, сложением, вычитанием и делением. Прежде чем мы углубимся в понимание основных приемов и приемов изучения таблицы умножения, давайте попробуем понять, что такое таблица умножения?
Таблицу умножения можно определить как исчерпывающий список операций умножения, в котором показаны результаты умножения одного числа на набор других чисел. На самом деле, согласно некоторым исследованиям, проведенным математиками, они заявили, что тщательное заучивание таблиц умножения не помогает детям учиться и устанавливать связи между числами или понимать основные правила умножения. Математика, основанная на практическом подходе или использующая различные способы помощи детям в выполнении математических действий в реальной жизни, считается более эффективной, чем просто обучение фактам.
Прежде чем мы рассмотрим некоторые из популярных и простых фокусов, с помощью которых ваш ребенок может в увлекательной игровой форме выучить таблицу умножения от 11 до 20, важно заинтересовать его. что они не напряжены и не перегружены. Во-первых, вам нужно объяснить ребенку, «почему» обучение умножению важно. Если вы сможете убедить своего ребенка, вы сможете мотивировать его друзей и одноклассников учиться, потому что это жизненно важно для учебного процесса.
Возможно, одним из самых простых способов выучить таблицу умножения от 11 до 20 является вовлечение детей в различные виды деятельности, которые помогут им активно запоминать ответы на вопросы умножения с помощью простой техники повторения. Вот как.
В таблице умножения 11 вы получите произведение умножения 11 на целые числа. Выучить таблицу 11 сравнительно легко по сравнению с другими таблицами умножения. Кратные всегда представляют собой повторение одной и той же цифры, например 11 х 1 = 11, 11 х 2 = 22, 11 х 5 = 55, 11 х 9.= 99 и т. д. Овладение таблицей умножения 11 важно при решении математических задач, в основе которых лежат важные операции умножения и деления.
• Первые 9 кратных 11 очень легко запомнить.
• Чтобы рассчитать таблицу умножения на 11 для двузначных чисел, используется магический трюк. При умножении двузначного числа на 11 сумма цифр числа должна быть помещена между двумя цифрами исходного двузначного числа. Например, когда 11 умножается на 16, возьмите сумму 1 и 6, то есть 7. Теперь поместите сумму, которая равна 7, между 1 и 6. В результате получится 176. Следовательно, конечный продукт 11 и 16 — это 176, то есть 11 х 16 = 176,
Знаете ли вы, что на сегодняшний день 12 человек побывали на Луне? Большинство из нас придерживаются 12-часовой системы времени. Эти факты наглядно подчеркивают важность числа 12 в нашей жизни. Изучение и освоение таблицы умножения 12 дает нам преимущество при решении задач, связанных с числом 12.
• В таблице умножения 12 нет никаких правил или рекомендаций. что облегчит запоминание его умножения, но если вы внимательно посмотрите, то поймете, что существует фиксированная последовательность для каждых пяти кратных 12, то есть 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120 и так далее.
• При внимательном наблюдении вы увидите, что эти множители всегда повторяются, а это означает, что учащиеся могут легко запомнить эти цифры, чтобы составить таблицу умножения числа 12. 13 состоит из умножения 13 на целые числа. Понимание и знание таблицы умножения на 13 делает обучение чрезвычайно легким в средней школе и даже за ее пределами. Наряду с таблицей 13, дети также должны изучить факты ее деления. Например, факты деления для таблицы 13 равны 39.÷ 13= 3, 52÷ 13= 4, 65÷ 13= 5. Это также поможет создать прочную основу для деления больших чисел.
• Чтобы освоить таблицу умножения на 13, сначала нужно выучить таблицу умножения на 3. Кратность числа 3 следующая: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 и так далее.
• Теперь, чтобы получить числа, кратные 13, прибавьте натуральные числа к разряду десятков. Следовательно, таблица 13 может быть получена по следующей формуле: (1+0)3, (2+0)6, (3+0)9, (4+1)2, (5+1)5, (6+1)8, (7+2)1, (8+2)4, (9+2)7, (10+3)0= 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117 и 130.
Запоминание и изучение таблицы умножения 14 может быть утомительной задачей для младших школьников. Знание таблицы 14 является обязательным условием при изучении математики. Итак, давайте рассмотрим несколько простых приемов, которые помогут вашим детям выучить таблицу 14.
• Чтобы освоить таблицу умножения 14, во-первых, вам нужно запомнить 4 раза стол. Следовательно, числа, кратные 4, следующие: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 и так далее.
• Теперь, чтобы получить числа, кратные 14, прибавьте натуральные числа к разряду десятков. Следовательно, таблица 14 может быть получена как: (1+0)4, (2+0)8, (3+1)2, (4+1)6, (5+2)0, (6+2) )4, (7 + 2) 8, (8 + 3) 2, (9 + 3) 6, (10 + 4) 0, следовательно, итоговые кратные будут давать в сумме следующие цифры, указанные ниже:
14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140 и так далее.
• Чтобы быстро выучить таблицу умножения на 15, есть скрытый трюк. Чтобы справиться с этим трюком, вы должны иметь базовые знания о разрядах единиц, разрядах десятков, нечетных и четных числах. Хитрость в том, что в результате место единицы всегда будет следовать схеме 5-0. Например, 15 x 1 = 15 или 15 x 2 = 30.
• Аналогично, для разряда десятков цифра s всегда будет следовать образцу 2 последовательных четных чисел и следующих 2 последовательных нечетных чисел. Например, 15 х 1 = 15 (нечетное число в десятках), 15 х 2 = 30 (нечетное число в десятках), 15 х 3 = 45 (четное число в десятках) и 15 х 4 = 60 (четное число). число в десятом разряде).
• 16 не содержит каких-либо специальных правил или указаний, облегчающих понимание таблицы умножения, но существует определенная закономерность для каждых 5 кратных 16, то есть: 16 , 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 160 и так далее.
• Последняя цифра этих кратных всегда повторяется.
Знаете ли вы, что таблица умножения 17 может улучшить математические способности детей? Таблица умножения 17 может быть важным инструментом, который дети могут использовать даже для решения длинных вопросов, связанных с умножением и делением. Следовательно, запоминание таблицы умножения 17 облегчает учащимся решение сложных математических задач.
• Попросите ребенка тщательно выучить таблицу 8. Следовательно, первые 10 кратных 8 равны 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, и так далее. Наконец, попросите вашего ребенка получить числа, кратные 18, добавить натуральные числа к цифре десятков, то есть (1 + 0) 8, (2 + 1) 6, (3 + 1) 4, (4 + 3) 2, ( 5+4)0, (6+4)8, (7+5)6, (8+6)4, (9+7)2, (10+8)0 = 18, 36, 54, 72, 90, 108 и так далее.
• Ниже указаны числа, кратные 9: 9,18,27,36,45,54,63,72,81,90 и т. д.
• Чтобы найти числа, кратные 19, попросите детей сложить натуральные числа. до цифры десятков для кратных 9. Следовательно, таблица 19 выглядит следующим образом: (1 + 0) 9, (2 + 1) 8, (3 + 2) 7, (4 + 3) 6, (5+ 4)5, (6+5)4, (7+6)3, (8+7)2, (9+8)1, (10+9)0, кратные указаны ниже:
19, 38 , 57, 76, 95, 114 и так далее.
• Чтобы освоить таблицу умножения на 20, сначала ваш ребенок должен выучить таблицу умножения на 2. Первые 10 кратных 2 были упомянуты ниже: 2,4,6,8,10,12,14,16,18 и 20.
• Теперь, чтобы получить кратные 20, добавьте 0 к разряду единиц в кратные 2. Например:
В PiggyRide мы предлагаем широкий спектр занятий и семинаров, которые помогут вашим детям овладеть искусством изучения таблицы умножения. От онлайн-уроков ведической математики для детей до уроков и мастер-классов по счетам — вы можете записать своих детей на захватывающее обучение. И знаете, что самое интересное? Дети обучаются под руководством опытных и высококвалифицированных педагогов. Пусть обучение ваших детей начнется сегодня.
Привет друзья! Я Ридхи Догра.
Я работаю писателем контента в PiggyRide. Я закончил Делийский университет со степенью бакалавра в области домоводства, а также получил степень бакалавра в области журналистики и массовых коммуникаций в Университете Амити. Я заядлый читатель, страстный путешественник и любитель кино.
Таблицы всегда помогают детям с более быстрыми и точными вычислениями, что делает математику интересным предметом. Запоминание таблиц позволяет детям быстро решать математические задачи, а это необходимо на всю жизнь. В начальной школе детей учат таблицам от 1 до 10. Как только это будет сделано, начинаются математические таблицы от 11 до 20. Таблицы от 11 до 20 помогают детям решать арифметические задачи на скорость. Изучение таблиц в целом обеспечивает лучшее понимание практического мира чисел и операций. Используйте печатные формы или рабочие листы, чтобы научить вашего ребенка от 11 таблиц до 20. Обучение таблице умножения сложно, но несколько советов и приемов сделают написание таблиц от 11 до 20 увлекательным занятием.
Таблица из 11 Таблица из 12 Таблица из 13 Таблица из 14 Таблица из 15
11 ×‌‌ 1 = 11 12 ×‌ 1 = 12 13 ×‌ 1 = 13 14 ×‌ 1 = 14 15 ×‌ 1 = 15
11 ×‌‌ 2 = 22 12 ×‌ 2 = 24 13 ×‌ 2 = 26 14 ×‌ 2 = 28 15 ×‌ 2 = 30
11 ×‌‌ 3 = 33 12 ×‌ 3 = 36 13 ×‌ 3 = 39 14 ×‌ 3 = 42 15 ×‌ 3 = 45
11 ×‌ 4 = 44 12 ×‌ 4 = 48 13 ×‌ 4 = 52 14 ×‌ 4 = 56 15 ×‌ 4 = 60
11 ×‌ 5 = 55 12 ×‌ 5 = 60 13 ×‌ 5 = 65 14 ×‌ 5 = 70 15 ×‌ 5 = 75
11 ×‌ 6 = 66 12 ×‌ 6 = 72 13 ×‌ 6 = 78 14 ×‌ 6 = 84 15 ×‌ 6 = 90
11 ×‌ 7 = 77 12 ×‌ 7 = 84 13 ×‌ 7 = 91 14 ×‌ 7 = 98 15 ×‌ 7 = 105
11 ×‌ 8 = 88 12 ×‌ 8 = 96 13 ×‌ 8 = 104 14 ×‌ 8 = 112 15 ×‌ 8 = 120
11 ×‌ 9 = 99 12 ×‌ 9 = 108 13 ×‌ 9 = 117 14 ×‌ 9 = 126 15 ×‌ 9 = 135
11 ×‌ 10 = 110 12 ×‌ 10 = 120 13 ×‌ 10 = 130 14 ×‌ 10 = 140 15 ×‌ 10 = 150
Таблица из 16 Таблица 17 Таблица из 18 Таблица из 19 Таблица из 20
16 ×‌ 1 = 16 17 ×‌ 1 = 17 18 ×‌ 1 = 18 19 ×‌ 1 = 19 20 ×‌ 1 = 20
16 ×‌ 2 = 32 17 ×‌ 2 = 34 18 ×‌ 2 = 36 19 ×‌ 2 = 38 20 ×‌ 2 = 40
16 ×‌ 3 = 48 17 ×‌ 3 = 51 18 ×‌ 3 = 54 19 ×‌ 3 = 57 20 ×‌ 3 = 60
16 ×‌ 4 = 64 17 ×‌ 4 = 68 18 ×‌ 4 = 72 19 ×‌ 4 = 76 20 ×‌ 4 = 80
16 ×‌ 5 = 80 17 ×‌ 5 = 85 18 ×‌ 5 = 90 19 ×‌ 5 = 95 20 ×‌ 5 = 100
16 ×‌ 6 = 96 17 ×‌ 6 = 102 18 ×‌ 6 = 108 19 ×‌ 6 = 114 20 ×‌ 6 = 120
16 ×‌ 7 = 112 17 ×‌ 7 = 119 18 ×‌ 7 = 126 19 ×‌ 7 = 133 20 ×‌ 7 = 140
16 ×‌ 8 = 128 17 ×‌ 8 = 136 18 ×‌ 8 = 144 19 ×‌ 8 = 152 20 ×‌ 8 = 160
16 ×‌ 9 = 144 17 ×‌ 9 = 153 18 ×‌ 9 = 162 19 ×‌ 9 = 171 20 ×‌ 9 = 180
16 ×‌ 10 = 160 17 ×‌ 10 = 170 18 ×‌ 10 = 180 19 ×‌ 10 = 190 20 ×‌ 10 = 200
Помните, что единицей измерения в таблице 15 является либо 0, либо 5. Для нечетных множителей это 5; для четных множителей это 0.
Например: 15 x 1 = 15, а 15 x 4 = 60. Обратите внимание, что 1 — нечетное число, оканчивающееся на 5, а 4 — четное число с нулем в конце. .
Таблицы с 11 по 20: Учащиеся изучают школьные таблицы умножения от 1 до 10. Изучение таблиц умножения от 11 до 20 сокращает время решения задач во время школьных экзаменов и конкурсных экзаменов. Важно, чтобы учащиеся имели под рукой таблицу умножения от 11 до 20.
В этой статье мы предоставили таблицы умножения от 11 до 20 онлайн. Студенты также могут загружать таблицы в формате PDF, а также в формате изображения и обращаться к ним в автономном режиме. Учащиеся могут обращаться к этим таблицам во время вычислений, пока они не смогут запомнить таблицу умножения наизусть. Продолжайте читать, чтобы узнать больше!
Математическая таблица от 11 до 20 поможет учащимся в начальных и средних классах. Более того, они полезны в старших классах школы и даже в колледже, когда математические задачи становятся все более сложными и требуют много времени. Учащиеся могут загрузить PDF-файлы для таблиц по математике с 11 по 20, нажав на соответствующую ссылку, указанную ниже.
Таблица умножения 11 Таблица Умножения 12
Таблица умножения 13 Умножение Multiplication TABLE 140004
. Таблица 16
Таблица умножения 17 Таблица умножения 18
Таблица умножения чисел 19 Таблица умножения чисел 20
Таблицы умножения используются для очень быстрого решения всех видов математических задач. Если у вас под рукой есть список таблиц от 11 до 20, это облегчит расчеты и сэкономит много времени. Для удобства ниже приведены полные таблицы умножения от 11 до 20.
За исключением таблиц 17 и 19, остальные сравнительно легко выучить и запомнить. Если вы хотите свободно пользоваться таблицами умножения, ознакомьтесь с приведенной ниже таблицей таблиц, она поможет вам запомнить математические таблицы с 11 по 20.
x 11 12 13 14 14 0003 15 16 17 18 19 20
1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
4 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
5 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
6 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
7 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
8 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
9 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 + 1 = 12
22 + 2 = 24
33 + 3 = 36
44 + 4 = 48
55 + 5 = 60
66 + 6 = 72
74 +
88 + 8 = 96
99 + 9 = 108
Q.4: Как выучить математические таблицы устно?
Ответ : Лучший способ выучить математические таблицы в устной форме — это громко повторять их. Вы можете воспользоваться помощью своих друзей или семьи. Также решение задач на умножение, где используются таблицы, полезно при изучении таблиц умножения.
Q.5: Что такое трюк с таблицей умножения на 11?
Ответ. Хитрость при написании 11 таблиц заключается в том, чтобы записать числа от 1 до 9 в порядке возрастания, а затем начать снизу и записать числа от 9.до 1 в порядке убывания рядом с числами, которые были записаны ранее.
Используйте эту таблицу умножения, чтобы выучить таблицу умножения в секундах. Наведите курсор на таблицу и посмотрите результат. Например, если вы ищете 14 в какой таблице, найдите 14 в этой таблице, и вы получите ответ ниже.
Таблица умножения от 2 до 20 — это строительный блок многозначных чисел, используемый для решения задач на умножение длинных чисел, дробей, процентов, и факторизация чисел. Таблицы умножения очень помогают детям решать арифметические задачи в уме.
Times tables 2 to 5
Times Table of 2 Times Table of 3 Times Table of 4 Times Table of 5
2 x 1 = 2 3 х 1 = 3 4 х 1 = 4 5 x 1 = 5
2 x 2 = 4 3 x 2 = 6 4 x 2 = 8 5 x 2 = 10
2 x 3 = 6 3 x 3 = 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15
2 x 4 = 8 3 x 4 = 12 4 x 4 = 16 5 x 4 = 200017
2 x 5 = 10 3 x 5 = 15 4 x 5 = 20 5 x 5 = 25
2 x 6 = 12 3 x 6 = 18 4 x 6 = 24 5 x 6 = 30
2 x 7 = 14 3 x 7 = 21 4 x 7 = 28 5 x 7 = 35
2 x 8 = 16 3 x 8 = 24 4 x 8 = 32 5 x 8 = 40
2 x 9 = 18 3 x 9 = 27 4 4 4 = 18 3 x 9 = 27 4 4 4. х 9 = 36 5 х 9 = 45
2 х 10 = 20 3 х 10 = 30 4 х 10 = 40 5 x 10 = 50
2 x 11 = 22 3 x 11 = 33 4 x 11 = 44 5 x 11 = 55
2 x 12 = 24 3 x 12 = 36 4 x 12 = 48 5 x 12 = 60
Times tables 6 to 9 7. 70012
Times Table of 6 Times Table of 7 Таблица умножения на 8 раза таблица 9
6 x 1 = 6 7 x 1 = 7 8 x 1 = 8 9 x 1 =
6 x 2 = 12 7 x 2 = 14 8 x 2 = 16 9 x 2 = 18
6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27
6 x 4 = 24 7 x 4 = 28 8 x 4 = 32 9 x 4 = 36
6 x 5 = 30 7 x 5 = 35 8 x 5 = 40 9 x 5 = 45
6 x 6 = 36 7 x 6 = 42 8 x 6 = 48 9 x 6 = 54
6 x 7 = 42 7 x 7 = 49 8 x 7 = 56 9 x 7 = 63
6 x 8 = 48
6 x 8 = 48 7.
6 x 8 = 48
6 x. 8 = 56 8 x 8 = 64 9 x 8 = 72
6 x 9 = 54 7 x 9 = 63 8 x 9 = 72 9 x 9 = 81
6 x 10 = 60 7 x 10 = 70 8 x 10 = 80 9 x 10 = 9017
6 6. 11 = 66 7 x 11 = 77 8 x 11 = 88 9 x 11 = 99
6 x 12 = 72 7 x 12 = 84 8 x 12 = 96 99 8 x 12 = 96 9009 8 x x 12 = 108
Таблицы умножения от 10 до 13 11.9
раза таблица 10 Таблица Таблицы 11 Таблица 12 Таблица 13
10 x 1 = 10 11 x 10017 10 x 1 = 100017 11 x 10017 12 12 12 12 1216 12 12 12 12 10 x 1 = 100017 11 x 10017 12 10 x 1 = 100017 11 x 10017 9009 10 x 1 = 100017 11 x 10017 9009 12 12 12. x 1 = 12 13 x 1 = 13
10 x 2 = 20 11 x 2 = 22 12 x 2 = 24 13 x 2 = 26
10 x 3 = 30 11 х 3 = 33 12 х 3 = 36 13 x 3 = 39
10 x 4 = 40 11 x 4 = 44 12 x 4 = 48 13 x 4 = 52
10 x 5 = 50
10 x 5 = 500017 5 = 55 12 x 5 = 60 13 x 5 = 65
10 x 6 = 60 11 x 6 = 66 12 x 6 = 72 13 x 6 = 78
10 x 7 = 70 11 x 7 = 77 12 x 7 = 84 13 x 7 = 91
10 x 8 = 80 11 x 8 = 88 12 x 8 = 96 13 x 8 = 104
10 x 90 11 x 999917 12 x 9017 11 x 99 12 x = 108 13 x 9 = 117
10 x 10 = 100 11 x 10 = 110 12 x 10 = 120 13 x 10 = 130
10 x 11010
10 x 1101017
10 x 11017
10 x 110017
10 x 110017
10 x 110016
10 x 110016
10 x 110016 11 х 11 = 121 12 х 11 = 132 13 х 11 = 143
10 x 12 = 120 11 x 12 = 132 12 x 12 = 144 13 x 12 = 156
Times tables 14 to 17 9009 9009
Times Table of 14 Таблица раз 15 Таблица TINE 16 Таблица 17
14 x 1 = 140017 15 x 1 = 15 16 x 1 = 16 15 x 1 = 15 16 x 1 = 160017 17 17 17 17 17 17 17 17 16 x 1 = 160017 17 17 17 . х 1 = 17
14 x 2 = 28 15 x 2 = 30 16 x 2 = 32 17 x 2 = 34
14 x 3 = 42 15 x 3 = 45 16 x 3. = 48 17 x 3 = 51
14 x 4 = 56 15 x 4 = 60 16 x 4 = 64 17 x 4 = 68
14 x 5 = 70017
14 x 5 = 70017 9 9
14 x 5 = 70017
14 x 5 = 70017
14 x 5 = 70017
14 x. 15 х 5 = 75 16 х 5 = 80 17 х 5 = 85
14 х 6 = 84 15 x 6 = 90 16 x 6 = 96 17 x 6 = 102
14 x 7 = 98 15 x 7 = 105 16 x 7 = 112 17 x 7 =. 119
14 x 8 = 112 15 x 8 = 120 16 x 8 = 128 17 x 8 = 136
14 x 9 = 126 15 x 1616 1616 1616 1616. х 9 = 144 17 х 9 = 153
14 х 10 = 140 15 х 10 = 150 16 x 10 = 160 17 x 10 = 170
14 x 11 = 154 15 x 11 = 165 16 x 11 = 176 17 x 11 = 187
14 17 x 11 = 187
14 140016 17 x 11 = 187
14 140016 140016 17 x 12 = 168 15 x 12 = 180 16 x 12 = 192 17 x 12 = 204
Таблицы с 18 по 20 00100100169003 9000. 9000 9009
Times 7
0 9000. 001001001001009 9000.001001009 9000.001001009 9000.001001009 9000. 0

0 0 . Таблица умножения 19 раза таблица 20
18 x 1 = 18 19 x 1 = 19 20 x 1 = 20
18 x 2 = 36 19 x 2 = 38 20 x 2 = 40
18 x 3 = 54 19 x 3 = 57 20 x 3 = 60
18 x 4 = 72 19 x 4 = 76 20 x 4 = 80 19 = 76 20 x 40
18 х 5 = 90 19 х 5 = 95 20 х 5 = 100
18 x 6 = 108 19 x 6 = 114 20 x 6 = 120
18 x 7 = 126 19 x 7 = 133 20 x 7 = 14017
18 18. 8 = 144 19 x 8 = 152 20 x 8 = 160
18 x 9 = 162 19 x 9 = 171 20 x 9 = 180
18 x 10 = 180017 7017
18 x 100017 19 х 10 = 190 20 х 10 = 200
18 х 11 = 198 19 x 11 = 209 20 x 11 = 220
18 x 12 = 216 19 x 12 = 228 20 x 12 = 240
.
Чтобы выучить и загрузить таблицу умножения 1-100, используйте приведенную выше таблицу умножения и напишите любое число для создания таблицы в поле и нажмите кнопку создания. Таблица умножения отобразится за доли секунды.
Вы даже можете создать таблицу умножения от 1 до 1000 или больше.
Советы и рекомендации по изучению и запоминанию таблицы умножения
Дети на начальном этапе обучения обычно с трудом изучают и запоминают таблицу умножения. Ниже приведены несколько советов и приемов для детей, чтобы выучить и запомнить таблицу умножения.
Добавление числа
Чтобы написать и изучить любую таблицу умножения, начните с натурального числа и продолжайте добавлять аналогичное число в каждом выводе. Например, если вы хотите выучить и написать таблицу умножения на 6, продолжайте прибавлять 6 в каждом счете. например
6 x 1 = 6
6 x 2 = 6 + 6 = 12
6 x 3 = 12 + 6 = 18 = 30
6 x 6 = 30 + 6 = 36
6 x 7 = 36 + 6 = 42
6 x 8 = 42 + 6 = 48
Повторяя таблицу в порядке
51 .
Чтобы выучить и запомнить любую таблицу, продолжайте повторять таблицу по порядку, например, начните учить как
4 раза 1 равно 4
4 раза по 2 равно 8
4 раза по 3 равно 12
4 раза по 4 равно 16
4 раза по 5 равно 20
И так далее. Продолжайте изучать таблицу снова и снова, пока не освоите ее.
Продолжайте повторять таблицу в обратном порядке
Чтобы выучить таблицу умножения на кончике пальца, продолжайте изучать и повторять таблицы от начала до конца и наоборот. Посоревнуйтесь в подсчете таблиц, чтобы выучить таблицу умножения. Например,
8 раз 12 равно 96
8 раз 11 равно 88
8 раз 10 равно 80
8 раз 9 равно 72
8 раз 8 равно 64
И так далее
Изучение и запись таблицы умножения
Дети могут ежедневно писать таблицу умножения и повторять ее ежедневно, чтобы быстро запоминать таблицу умножения. Трюк с обучением и письмом используется, когда дети испытывают трудности с запоминанием таблицы умножения.
Использование умножения в повседневной жизни
Чтобы лучше изучить и понять таблицу умножения, попробуйте применить умножение в повседневной жизни. Например, покупать различные предметы, такие как чипсы, ириски и другие подобные термины. Затем умножьте цену одного предмета на количество предметов, увеличивая каждый предмет по одному.
Определите шаблон
Каждая таблица умножения имеет шаблон. Попробуйте определить и изучить закономерность каждой таблицы умножения. Это будет очень полезно для быстрого запоминания таблицы умножения.
Какие таблицы следует выучить в первую очередь?
Сначала вы должны выучить 1, 2, 5, и 10 таблицу умножения. Эти таблицы просты по сравнению с остальными. После заучивания этих таблиц следует запомнить 3, 4, 6, 7, 8, и 9 таблицу умножения.
Самые любимые таблицы детей: 10 и 11 таблицы умножения, потому что запоминать их обе весело.
Как быстро выучить таблицу умножения?
1 Таблица умножения 2 Таблица умножения 3 Таблица умножения 4 Таблица умножения 5 Таблица умножения 6 Таблица умножения 7 Таблица умножения 8 Таблица умножения 9 Таблица умножения 10 Таблица умножения 11 Таблица умножения 12 Таблица умножения 13 Таблица умножения 14 Таблица умножения 15 Таблица умножения
Здесь несколько советов для быстрого запоминания таблиц.

<noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/i2.wp.com/ichiblog.ru/wp-content/uploads/kartinki-tablicza-umnozheniya-44-scaled.jpg?strip=info&w=900&ssl=1' /></noscript> 5em;text-align:center;font:48px/1.5 sans-serif;color:white;text-shadow:0 0 0.5em black}</style><a cke-saved-href=https://www.youtube.com/embed/v1Ih4-mDPUk?autoplay=1 data-cke-saved-href=https://www.youtube.com/embed/v1Ih4-mDPUk?autoplay=1 href=https://www.youtube.com/embed/v1Ih4-mDPUk?autoplay=1><img cke-saved-src=https://img.youtube.com/vi/v1Ih4-mDPUk/hqdefault.jpg data-cke-saved-src=https://img.youtube.com/vi/v1Ih4-mDPUk/hqdefault.jpg src=https://img.youtube.com/vi/v1Ih4-mDPUk/hqdefault.jpg alt=’How to quickly learn times tables?’>▶</a>» title=»How to quickly learn times tables?»>
Последовательно используйте диаграмму таблицы умножения.
Начинайте учиться с самых простых.
Прежде чем заучивать таблицу умножения, изучите сложение и вычитание.
Ежедневно тренируйтесь в умножении фактов (таблиц).
Потренируйтесь запоминать числа, например, в какой таблице находится 78 или в какой таблице находится 45.
Часто задаваемые вопросы
Как вы учите умножению учащихся, испытывающих затруднения?
Учащиеся могут выучить и запомнить умножение с помощью таблицы умножения, карточек и других математических головоломок.
Почему мы используем таблицу умножения?
Таблица умножения используется для нахождения произведения любых двух чисел и множителей любых чисел. Например, произведение 2 и 3, 143 в какой таблице, 117 в какой таблице, 182 в какой таблице, 156 в какой таблице и т.д.
Как посмотреть множители в таблице умножения?
Используйте диаграмму таблицы умножения для просмотра множителей чисел. Если вы хотите просмотреть множители числа в таблице умножения, прежде всего, найдите число в таблице таблицы умножения, а затем просмотрите соответствующий столбец и строку числа, которые будут множителями этого числа.
Например, в какой таблице встречается 169?

Следовательно, в таблице умножения 13
Как посмотреть произведение в таблице умножения?
Используйте диаграмму таблицы умножения для просмотра произведения двух чисел. Если вы хотите просмотреть два числа в таблице умножения, сначала найдите первое число в первой строке таблицы таблицы умножения и второе число в первом столбце, а затем просмотрите пересекающееся число, которое будет произведением двух. числа.
Например, чему равно произведение 12 и 14?

Следовательно, произведение 12 и 14 равно 168
Чем может быть полезно изучение таблиц 2–30?
Изучение таблиц умножения от 2 до 30 очень полезно для решения и отработки различных фактов умножения. Обычно это полезно при вычислении математических задач при выполнении умножения, деления, разложения на простые множители и математических выражений.
Вы можете легко выучить таблицу умножения со 2 по 30, используя приведенную выше таблицу таблицы умножения. Таблицы со 2 по 20 присутствуют в содержании. Вот таблицы с 21 по 30
Таблицы умножения 11-20
Главная
Таблицы
Умножение
11 — 20
В математике таблица умножения — это математическая таблица, используемая для определения операции умножения в алгебраической системе.
Оставить комментарий on Таблица умножения от 11 до 20: Таблица умножения до 20 и до 100/
Y 3x 1 график: Mathway | Популярные задачи
alexxlab / 24.06.197025.07.2021 / Разное
Построить график y 3x 1. Постройте график функции y=
Составим таблицу значений функции
Мы видим, что при (куб положительного числа положителен), а при (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в I и III четвертях. Заменим значение аргумента х противоположным значением тогда и функция примет противоположное значение; так как если , то
Значит, каждой точке графика соответствует точка того же графика, расположенная симметрично относительно начала координат.
Таким образом, начало координат является центром симметрии графика.
График функции изображён на чертеже 81. Эта линия называется кубической параболой.
В I четверти кубическая парабола (при ) «круто» поднимается
вверх (значения у «быстро» возрастают при возрастания х. см. таблицу), при малых значениях х линия «тесно» подходит к оси абсцисс (при «малых» значение у «весьма мало», см. таблицу). Левая часть кубической параболы (в III четверти) симметрична правой относительно начала координат.
Аккуратно вычерченный график может служить средством приближённого возведения чисел в куб. Так, например, положив найдём по графику
Для приближённого вычисления кубов составлены специальные таблицы.
Такая таблица имеется и в пособии В. М. Брадиса «Четырёхзначные математические таблицы».
Эта таблица содержит приближённые значения кубов чисел от 1 до 10, округлённые до 4-х значащих цифр.
Устройство таблицы кубов и правила пользования ею такие же, как и таблицы квадратов. Однако при увеличении (или уменьшении) числа в 10, 100 и т. д. раз его куб увеличивается (или уменьшается) в 1000, 1000 000 и т. д. раз. Значит, при пользовании таблицей кубов надо иметь в виду следующее правило переноса запятой:
Если в числе перенести запятую на несколько цифр, то в кубе этого числа надо перенести запятую в ту же сторону на утроенное количество цифр.
Поясним сказанное примерами:
1) Вычислить 2,2353. По таблице находим: ; прибавляем к последней цифре поправку 8 на последний знак:
2) Вычислить .2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.
Квадратичная функция
Рис 1. Общий вид параболы
Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.
Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).
Основные свойства квадратичной функции
1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке , потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.
Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.
Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.
Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U}
Напишите уравнение прямой, параллельной графику линейной функции y=3x-1 и проходящей через точку M(-1;1)
Понятие линейной функции
Линейными называются функции, выраженные общей формулой y = kx + b, где k и b — некоторые числа, именуемые коэффициентами. Графиком линейной функции выступает прямая, для построения которой достаточно взять две точки (переменная х — независимая, выбирается любая, переменная у — зависимая, высчитывается по формуле функции в соответствии с заданным х).
Свойства линейной функции
Областью определения линейной функции D(f) являются все действительные числа: x ∈ (-∞; ∞).
Областью значений линейной функции Е(f) также являются все числа: у ∈ (-∞; ∞).
Функция принимает значение 0 (у = 0) при x = -b / x.
Линейная функция возрастает при k > 0, убывает при k < 0.
Коэффициенты линейной функции
A функциях вида y = kx + b число k именуется угловым коэффициентом прямой. По его значению можно узнать угол α, который прямая образует с осью Ох (ее положительным направлением). Коэффициент k численно равен тангенсу угла α, поэтому при k > 0 угол α острый (меньше 90°), при k < 0 угол α — тупой (больше 90°).
Коэффициент b показывает смещение прямой y = kx + b вдоль оси Оу. Если b > 0, то график y = kx смещен вверх по оси Оу на b единичных отрезков, если b < 0, то график y = kx смещен вниз по оси Оу на |b| единичных отрезков.
Решение задачи
Нахождение уравнения прямой сводится к нахождению ее коэффициентов k и b.
Так как график искомой прямой параллелен графику линейной функции y = 3x — 1, то их угол наклона одинаков, значит k = 3. Имеем y = 3x + b.
Зная, что график прямой проходит через точку М(-1; 1), подставим ее координаты в формулу y = 3x + b и, решив полученное уравнение, найдем коэффициент b:
1 = 3 * (-1) + b
1 + 3 = b
b = 4.
Таким образом, формула искомой функции y = 3x + 4.
Ответ: y = 3x + 4.
x 1 3 функция
Вы искали x 1 3 функция? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и y 1 3 x, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «x 1 3 функция».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как x 1 3 функция,y 1 3 x,y 1 3 x график,y 1 3 в степени x,y 1 3x,y 1 3x 1,y 1 3x график,y 1 x3,y 3 x 1 построить график функции,y 3 в степени x 1,y 3x 1 построить график функции,y x 1 3,y x 1 3 график,y x 1 3x 1,y x 3 1 график,y x 3 x 1,y x 3 x 1 построить график функции,y x в степени 1 3,график 1 3 в степени х,график y 1 3 x,график y 3 x 1,график y 3x 1,график y x 1 3,график y x 3 1,график функции y 1 3 x,график функции y 1 3x,график функции y 3 x 1,график функции y 3x 1,график функции y x 3 1,построить график y 1 3 x,построить график функции 1 y 3 x,построить график функции y 1 3 x,построить график функции y 3 x 1,построить график функции y 3x 1,построить график функции y x 1 3,постройте график функции y 3 x 1,постройте график функции y x 1 3,постройте график функции y x 1 3 x,у x 1 3,функция 1 3 x,функция x 3 1,функция y 1 3 x,функция y x 1 3,функция y x 3 1,функция y x 3 x 1. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и x 1 3 функция. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, y 1 3 x график).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же x 1 3 функция Онлайн?
Решить задачу x 1 3 функция вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Всё о Математических функциях и их графиках…
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
y = kx + b, где k,b — действительные числа
График линейной функции — прямая. k — угловой коэффициент k = tg a, b — ордината точки пересечения с осью y

Частные случаи линейной функции:

Прямая пропорциональность: Постоянная функция:
Взаимное расположение графиков линейных функций:
Если k₁k₂, графики функций y = k₁ + b₁ и y = k₂x + b₂ пересекаються в одной точке: Если k₁ = k₂,b₁b₂ графики функций y = k₁ + b₁ и y = k₂x + b₂ являются параллельными прямыми:
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ y = kx + b
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: R
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ: при k 0 R при k = 0 {b}

ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ: если k 0, b 0, то функция ни четная и ни нечетная если k 0, b = 0, то функция нечетная если k = 0, b = 0, то функция четная если k = 0, b = 0, то функция равна нулю

НУЛИ: если k 0, то y = 0 при x = -b/k если k = 0, b 0, то нулей нет если k = 0, b = 0, то y = 0 при x R

ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА:

если k = 0, b > 0, то y > 0 при x R
если k = 0, b y x R
если k = 0, b = 0, то y = 0 при x R

ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ: если k = 0, b > 0, то функция возрастает при x R если k = 0, b x R если k = 0, b = 0, то функция постоянна при x R

ЭКСТРЕМУМОВ НЕТ
СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПО ДВУМ ТОЧКАМ
Рассмотрим построение графика линейной функции по двум точкам: Функция y = 3x + 2 строиться по двум точкам (x₁;b) и (x₂;b+k), при x₁=0, а x₂=1. Теперь проведем через данные точки прямую: Если k 0, b 0, можно выбрать точки (0;b) и (-b/k;0) на осях координат: Например: y = 2x + 2 Если x₁ = 0, то y₁ = 2; Через точки (0,2) и (-1;0) проведем прямую: Если коэффициент перед х дробный, удобно выбирать х₁ и х₂ так, чтобы у₁ и у₂ были целыми. y = — 1/3x + 2 Если x₁ = 3, то y₁ = 1; Если x₁ = -3, то y₂ = 3; Через точки (3;1) и (-3;3) провести прямую.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = kx + b С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = x
График функции y = kx + b можно получить из графика y = x в три этапа:
1.Построить график функции y = x 2.Произвести растяжение (при |k| > 1) или сжатие (при |k| у (если k 3.Произвести параллельный перенос графика вдоль оси у на |b| (вверх при b>0, вниз при b
Примеры: 1: y = 2x — 1 2: y = —x/3 + 2
Как строить функцию в Excel — Построение в Excel графиков математических и тригонометрических функций
Графика функций. Построение графиков функций в среде МS Excel
Войнова Татьяна Олеговна, учитель математики
Гусев Александр Николаевич, учитель информатики и ИКТ
Разделы: Математика
В настоящее время компьютеры используются во всех сферах деятельности человека. Внедрение информационных технологий в учебный процесс сегодня актуально. С целью повышения эффективности обучения учитель-предметник должен уметь использовать компьютерные технологии на своих уроках. Одним из популярных программных средств, используемых на уроках математики, является MS Excel. Excel позволяет выполнять сложные вычислительные процедуры, автоматизировать рутинные вычисления, строить диаграммы, гистограммы и графики различной сложности.
Известно, что одним из способов задания функции является графический. Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Графический способ задания обладает очень важным преимуществом: он самый наглядный из всех. Графики часто используются в физике и технике, так как иногда они являются единственно возможными.
Учащимся 8-го класса известны следующие виды функций:
y=kx+b;
y=;
y=|x|;
y=kx² (y=ax²+bx+c);
y= ,
а также способы построения графиков функций y=f(x+l), y=f(x)+m, если известен график функции y=f(x) и элементарные методы исследования.
По каждому из указанных видов функций учащимся в качестве домашнего задания было предложено построить несколько графиков в одной и той системе координат для каждой группы, чтобы наглядно продемонстрировать их отличия. На уроке графики тех же функций дети построили в среде MS Excel и провели их исследование. В качестве групп функций были предложены следующие:
1-я группа
y=3x+5;
y=x+5;
y=3x+5;
y=3x-1;
y=-3x+5;
y=-x+5;
2-я группа
3-я группа
y=x²;
y=x²-1;
y=(x-1)²;
y=x²-5x+4;
y=-x²-1;
y=-(x-1)²;
4-я группа
5-я группа
Работу учащихся опишем на примере построения графика функции y=:
Определим промежуток построения графика функции. Пусть х₁=-2, х₂=2.
В ячейке А3 электронной таблицы введем начальное значение промежутка (-2).
Разобьем промежуток на равные отрезки с учетом желаемой точности. Допустим, шаг разбиения равен 0,1. Для этого в ячейке А4 введем формулу =A3+0,1 и скопируем эту формулу в ячейки с А5 по А43.
Рис. 1. В ячейке А4 вводим формулу =A3+0,1
Вычислим значение функции в начальной точке отрезка (в точке −2). Для этого в ячейку В3 введем формулу: =(A3+1)/(F3-1) (1).
Рис. 2. Вычислим значение функции в начальной точке отрезка
Вычислим значения функции в каждой точке промежутка разбиения. Для этого скопируем формулу (1)в ячейки В4 — В43.
Построим график функции. Для этого выделим числовой блок
Рис. 3. Построим график функции
ячейки А3 — В43, откроем вкладку «Вставка», выберем тип графика «Точечная» и вид «С гладкими кривыми». График функции y=построен. При желании на график можно наложить цвет, вертикальную сетку, сделать пояснительные записи. Для этого используется инструментарий вкладки «Макет».
Рис. 4. Построим график функции
Таким образом, учащиеся не только смогли получить навыки построения графиков функций в среде MS Excel, но и наглядно продемонстрировать отличительные характеристики каждой из функций в отдельно взятой группе.
Параграф 2.2. Свойства и графики основных функций.

Работу выполнила: Казанцева А.А. студентка группы 45.2
Пункт 2.2. Свойства и графики основных функций.
Объяснение и обоснование

1. Линейная функция y = kx + b.Линейной функцией называется функция вида
y = kx + b, где k и b — некоторые числа.
Обоснуем основные характеристики этой функции: область определения, область
значений, четность или нечетность, возрастание и убывание.
Область определения — множество всех действительных чисел: D (y) = R,
поскольку формула kx + b имеет смысл при всех действительных значениях
x, то есть для любого действительного x мы можем вычислить значение
kx + b (из свойств действительных чисел, которые строго доказываются в
курсах математического анализа, следует, что для любых действительных
чисел х, k и b однозначно определены произведение kх и сумма kх + b = у).
Область значений линейной функции будет разной в зависимости от зна-
чения коэффициента k.
Если k = 0, то функция имеет вид y = b, то есть ее
область значений состоит из одного числа b. В таком
случае графиком линейной функции y = b является
прямая, параллельная оси Ox, которая пересекает
ось Oy в точке b (рис. 19).
Если k ≠ 0, то E (y) = R (обоснование приведено в примере 3).
Четность и нечетность линейной функции существенно
зависит от значений коэффициентов b и k.
При b = 0 и k ≠ 0 функция y = kx + b превращается в функцию y = kx,
которая является нечетной, поскольку для всех x из ее области определения
f (-x) = k (-x) = -kx = -f (x).

Таким образом, график функции y = kx (рис. 22) симметричен относительно
точки O.
При k = 0 получаем функцию y = b, которая является
четной, поскольку для всех x из ее области определения
f (-x) = b = f (x). То есть график функции y = b
симметричен относительно оси Oy (рис. 21).
В общем случае при k ≠ 0 и b ≠ 0 функция
y = kx + b не является ни четной, ни нечетной, поскольку
f (-x) = k (-x) + b = -kx + b ≠ f (x) и также
f (-x) = -kx + b = -(kx — b) ≠ -f (x).
Возрастание и убывание линейной функции зависит от значения коэффициента k.
При k = 0 получаем функцию y = b — постоянную. При k > 0 функция y = kx + b
возрастает, а при k < 0 — убывает (обоснование приведено в примере 4).
В курсе геометрии было показано, что графиком линейной функции y = kx + b всегда является прямая линия.
Поскольку при x = 0 функция принимает значение y = b, то эта прямая всегда
пересекает ось Oy в точке b. Графики линейных функций приведены в таблице 3/
2. Функция y = k/x (k ≠ 0).
Эта функция выражает обратно пропорциональную зависимость.
Область определения: х ≠ 0. Это можно записать также так:
D (y) = (- ∞; 0) U (0; + ∞).

Область значений: у Ф 0. Это можно записать также так:
E (y) = (- ∞; 0) U (0; + ∞).

Для обоснования области значений функции y = k/x обозначим k/x = a.
Тогда из этого равенства получим x = k/a для всех a ≠ 0. То есть
для всех a ≠ 0 существует значение x = k/a, при котором
y =k/x = k/(k/a) = a. Таким образом, y принимает все
действительные значения, не равные нулю.
Функция нечетная, поскольку ее областью определения является множество,
симметричное относительно точки О, и f (-x) = -k/x = -f(x). Таким образом,
её график симметричен относительно начала координат (рис. 23).
Возрастание и убывание функции зависит от знака коэффициента k.
Если х2 > х1 (то есть х2 — х1 > 0), то для сравнения значений f(х2) и f(х1)
рассмотрим их разность: f(x2)-f(x1) = k/x2 — k/x1 = -k(x2-x1)/x2x1.
На промежутке (0; +∞) значение х1 > 0 и х2 > 0, следовательно, х1х2 > 0.
На промежутке (-∞;0) значение х1 < 0 и х2 < 0, значит, х1х2 > 0.
Учитывая, что х2 — х1 > 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) или (0; +∞), при
k > 0 из равенства (1) получаем f(х2) — f(х1) < 0, а при k < 0 получаем f(х2) — f(х1) > 0.
При k > 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), если х2 > х1, то f (х2) < f (х1),
таким образом, функция убывает на каждом из этих промежутков.
При k < 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), если х2 > х1, то f (х2) > f (х1),
следовательно, функция возрастает на каждом из этих промежутков.
Из курса алгебры известно, что график функции у = k/x называется
гиперболой (она состоит из двух ветвей). При k > 0 ветви гиперболы
находятся в I и III координатных четвертях, а при k < 0 — во II и IV четвертях (рис. 23).
Замечание. Характеризируя возрастание или убывание функции у = k/x (k ≠ 0),
следует помнить, что, например, функция у = 1/x (рис. 24) убывает
каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), но на всей области определения (х ≠ 0)
эта функция не является убывающей (и не является возрастающей).
Действительно, если взять х1 = —1 и х2 = 1, то x2 > x1, но f(x2) = f(1) = 1, а f(x1) = f(—1) = —1,
то есть большему значению аргумента не соответствует меньшее значение функции,
и на всей ее области определения функция f(x) = 1/x не является убывающей.
Поэтому же нельзя сказать, что функция f (x) = 1/x — убывает на
объединении интервалов (—∞; 0) U (0; +∞).
3. Функция y = ax² (a ≠ 0).Как известно из курса алгебры, графиком этой
функции является парабола, ветви которой направлены вверх при а > 0 (рис. 25, а)
и вниз при а < 0 (рис. 25, б). Поскольку при х = 0 значение у = 0, то график
всегда проходит через начало координат.
<Область определения: х ∈ R, поскольку значение у = ах² можно вычислить при
любых значениях х (из свойств действительных чисел, которые строго
доказываются в курсах математического анализа, следует, что для любых
действительных чисел х и а однозначно определены произведения х • х = х2 и ах²
и ax² = y).
Функция четная, поскольку f (—x) = а (—х)² = ах² = f (x). Таким образом, ее
график симметричен относительно оси Оу.
Область значений. Для нахождения области значений функции у = ax²
обозначим ax² = u. Поскольку а ≠ 0, то из этого равенства x² = u/a (*). При а > 0
уравнение (*) имеет решение для любого u ≥ 0, а при а < 0 уравнение (*) имеет
решение для любого u ≤ 0.
Следовательно, при а > 0 Е (у) = [0; +∞), а при а < 0 Е (у) = (—∞; 0].
Возрастание и убывание.
Если x2 > x1 ( то есть x2 — x1 >0), то для сравнения значений y(x2) и y(x1) рассмотрим их разность
y(x2)-y(x1) = ax2² — ax1² = a(x2² — x1²) = a(x2-x1)(x2+x1). (2)
На промежутке [0; +∞) значение х1 ≥ 0 и х2 > 0, следовательно, х2 + х1 > 0.
На промежутке (—∞; 0] значение х1 < 0 и х2 ≤ 0, значит, х2 + х1 < 0.
Учитывая, что х2 — х1 > 0 на каждом из указанных промежутков, из равенства (2)
получаем:
— при a > 0 на промежутке [0; +∞) у (х2) — у (х1) > 0, а на промежутке (—∞; 0]
y(x2) — y(x1) < 0.
— при a < 0 на промежутке [0; +∞) у (х2) — у (х1) < 0, а на промежутке (—∞; 0]
y(x2) — y(x1) > 0.
Следовательно, при х2 > х1, если a > 0, то на промежутке [0; +∞) у(х2) > y(x1)
функция возрастает, а на промежутке (—∞; 0] у (х2) < у (х1) функция убывает.
если же a < 0, то на промежутке [0; +∞) у (х2) < у (х1)
функция убывает, а на промежутке (—∞; 0] у (х2) > у (х1) функция возрастает.
Соответствующие графики приведены также в таблице 3.
4. Квадратичная функция y = ax² + bx + c (a ≠ 0).
Из курса агебры за 9 класс известно, что функция вида
y = ax² + bx +c, где a,b,c — действительные числа, причём
a≠0, называется квадратичной.Ее графиком является парабола,
ветви которой направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0.
Абсцисса вершины этой параболы x0 =-b/2a. Для обоснования этого
достаточно в заданном квадратном трехчлене выделить полный квадрат:
y = ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x + c/a) = a(x + b/2a)² + (4ac — b²)/4a, то есть
y = ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + y0, где y0 = (4ac — b²)/4a = -D/4a (3)
(D = b² — 4ac — дискриминант квадратного треёхчлена ax² + bx + c).
Напомним, что в зависимости от знака дискриминанта D парабола или
пересекает ось Ох (D > 0), или не пересекает (D < 0), или касается ее (D = 0).
Основные варианты расположения графика функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)
представлены в таблице 4.
Охарактеризуем свойства функции у = ax² + bx + с (a ≠ 0).
Область определения: D (у) = R, поскольку значение у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)
можно вычислить при любых значениях х (из свойств действительных чисел,
которые строго доказываются в курсах математического анализа, следует, что для
любых действительных чисел х, а, b и с однозначно определены произведения
х • х = х&, ах² и bx и суммы ах² + bx, (ax² + bx) + с = ax² + bx + с = у).
Область значений. Для нахождения области значений функции у = ax² + bx + с
используем формулу (3) и обозначим a(x + b/2a)² + y0 = u. Поскольку a ≠ 0, то
из этого равенства: (x + b/2a)² = (u — y0)/a.
ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ:

1.Какая функция называется линейной? Назовите свойства линейной функции.
Какая линия является графиком линейной функции? Приведите примеры
линейных функций и их графиков.
2. Какая линия является графиком функции у = k/x (k≠ 0)? Приведите
графиков функций у = k/x при k > 0 и при k < 0. По графикам
укажите свойства этой функции при k > 0 и при k < 0. Докажите нечетность
функции у = k/x (k≠ 0).
3. Какая линия является графиком функции у = ax² (a ≠ 0)?
Как расположен этот график при а > 0 и при а < 0? Приведите примеры графиков функций
у = ax² при а > 0 и при а < 0. По графикам укажите свойства этой
функции при а > 0 и при а < 0. Докажите четность функции у = ax² (a ≠ 0).
4. Какая линия является графиком функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)?
Как расположен график при а > 0 и при а < 0? Как найти абсциссу
вершины графика функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)?
Приведите примеры графиков этой функции при а > 0 и при а < 0.
По графикам укажите свойства этой функции при а > 0 и при а < 0.

1. Постройте график функции:
1) y = 3x — 2; 2)y = -x + 4; 3) y = -2 4) y = -5x 5) y = 0 6)y = 4x
Есть ли среди этих функций чётные или нечётные? Ответ обоснуйте.
2. По приведёнными графикам функций y = kx + b (рис. 26) укажите знаки k и b в каждом случае.

Постройте график функции (3 — 5 ).
3. 1) y = -2/x; 2) y = 3/x 3) y = 1/x 4) y = 5/x
4. 1) y = -2x² 2) y = 3x² 3) y = -3x² 4) y = 5x²
5. 1) y = x² — 6x + 7 2) y = -x² + 4x + 2 3) y = 2x² — 2x + 1 4) y = -3x² + 6x
6. По приведённым графикам функции y = ax² + bx + c (a≠) (рис. 27)
укажите знаки a, b, c в каждом случае.
Y 3x 1 график. Постройте график функции y=
Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.
1. Построение графика функции y = |f(x)|
Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.
Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.
1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).
2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.
3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.
Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|
1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).
y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.
Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).
Координаты вершины параболы:
x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.
Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.
Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)
2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.
3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).
2. Построение графика функции y = f(|x|)
Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.
Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.
1) Построить график функции y = f(x).
2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.
3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.
4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).
Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3
Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.
1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).
2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.
3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.
(рис. 3) .
Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|
Применяем схему, данную выше.
1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .
3. Построение графика функции y = |f(|x|)|
Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.
Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:
1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).
2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.
3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.
4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).
Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1
можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.
Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.
a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .
b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.
c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.
d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .
2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.
3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.
4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .
Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.
a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .
Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.
2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.
3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.
Квадратичная функция
Рис 1. Общий вид параболы
Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.
Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).
Основные свойства квадратичной функции
1. При х =0, у=0, и у>0 при х0
2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке , потому что прямая y=kx будет совпадать с графиком y=|x-3|-|x+3| на данном участке. Этот вариант нам не подходит.
Если k будет меньше -2, то прямая y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| будет иметь одно пересечение.Этот вариант нам подходит.
Если k=0, то пересечений прямой y=kx с графиком y=|x-3|-|x+3| также будет одно.Этот вариант нам подходит.
Ответ: при k принадлежащей интервалу (-∞;-2)U}
Решите Свойства прямой y = 3x + 1 Tiger Algebra Solver
Переставьте:
Переставьте уравнение, вычтя то, что находится справа от знака равенства из обеих частей уравнения:
y- (3 * x +1) = 0
Шаг 1:

Уравнение прямой линии

1.1 Решите y-3x-1 = 0

Тигр распознает, что здесь есть уравнение прямой. Такое уравнение обычно записывается y = mx + b («y = mx + c» в Великобритании).

«y = mx + b» — это формула прямой линии, проведенной в декартовой системе координат, в которой «y» — вертикальная ось, а «x» — горизонтальная ось.

В этой формуле:

y указывает нам, как далеко идет линия.
x сообщает нам, как далеко вдоль
м находится наклон или градиент, т.е. насколько крутой является линия.
b является точкой пересечения Y, т.е. Ось Y

Пересечения по осям X и Y и наклон называются свойствами линии. Теперь мы построим график линии y-3x-1 = 0 и вычислим ее свойства

График прямой линии:

Вычислите точку пересечения Y:
Обратите внимание, что когда x = 0, значение y равно 1 / 1, поэтому эта линия «разрезает» ось y при y = 1.00000
Y-Intercept = 1/1 = 1.00000
Вычислите X-Intercept:
Когда y = 0, значение x равно 1 / -3 Таким образом, наша линия «срезает» ось x в точке x = -0,33333
пересечение по оси x = 1 / -3 = -0,33333
Расчет наклона:
Наклон определяется как изменение y, деленное на изменение x. Отметим, что для x = 0 значение y равно 1.000, а для x = 2.000 значение y равно 7.000. Таким образом, при изменении x на 2.000 (изменение x иногда называют «RUN») мы получаем изменение на 7.000 — 1.000 = 6.000 в год. (Изменение y иногда называют «ПОДЪЕМ», а наклон равен m = ПОДЪЕМ / РАБОТА)
Наклон = 6.000 / 2.000 = 3.000
Геометрическая фигура: прямая линия
Наклон = 6.000 / 2.000 = 3.000
пересечение по оси x = 1 / -3 = -0,33333
пересечение по оси y = 1/1 = 1,00000
Линейные графики — Xcelerate Math
Линейные графики названы так, потому что они представляют собой прямые линии .
Координаты считываются из начала координат (0,0) . Они находятся в порядке координаты x (по горизонтали) и координаты y (по вертикали) .
Поскольку это прямые линии, нужны только 3 точки . Две точки необходимы, чтобы провести линию, а третья точка используется для проверки правильности.
Графики не всегда проходят через начало координат (0,0).
Линейные уравнения записываются в виде:
y = м x + c
где
м — уклон (уклон)
c — точка пересечения оси y (точка, где график пересекает ось y)
m и c являются константами (фиксированными числами).
Примеры :
В уравнении y = 3x + 2 градиент равен 3, а точка пересечения оси y равна 2.
В уравнении y = 4x — 5 градиент равен 4, а точка пересечения оси y равна –5.
В уравнении y = ¹ ⁄ ₂ x + 6, градиент равен ¹ ⁄ ₂ или 0,5, а точка пересечения оси y равна 6.
В уравнении y = x градиент равен 1, а точка пересечения оси y равна 0.

Пример первый — покупка билетов на гонки на мотоциклах
Билеты на гонки на мотоциклах стоят 50 долларов каждый.Нарисуйте таблицу значений и линейный график, показывающий стоимость билетов.
Ответ:
Поскольку этот график представляет собой прямую линию, необходимо всего 3 точки: две точки для рисования линии и третья для проверки правильности. Выберите x = 0, 1, 2, если в вопросе не указано иное.
Кол-во билетов 0 1 2
Стоимость билетов $ 0 $ 50 $ 100
Пример 2 — График y = x
(a) Что такое градиент в линейном уравнении y = x?
(b) Что такое точка пересечения по оси Y?
(c) Нарисуйте таблицу значений и график линейного уравнения y = x
Ответ:
(а) Градиент = 1
(b) пересечение оси y = 0
(c) Поскольку этот график представляет собой прямую линию, необходимо всего 3 точки: две точки для рисования линии, а третья — для проверки правильности.Выберите x = 0, 1, 2, если в вопросе не указано иное.
= 1
x 0 1 2
y = x 0 1 2
Рабочий y = x
y = 0 y = x
9015 y = 0 y = x
y = 2
Координаты (0,0) (1,1) (2,2)
Пример 3 — График y = 2x
(a) Что такое градиент в линейном уравнении y = 2x?
(b) Что такое точка пересечения по оси Y?
(c) Нарисуйте таблицу значений и график линейного уравнения y = 2x
Ответ:
(а) Градиент = 2
(b) пересечение оси y = 0
(c) Поскольку этот график представляет собой прямую линию, необходимо всего 3 точки: две точки для рисования линии, а третья — для проверки правильности.Выберите x = 0, 1, 2, если в вопросе не указано иное.
22 y = 2x
2 y = 2
x 0 1 2
y = 2x 0 2 4
Рабочий y = 2x y = 2x
y = 2 × 1
y = 2 y = 2x
y = 2 × 2
y = 4

Координаты (0,0) (1 , 2) (2,4)

Пример четвертый - график y = 2x + 3

(a) Что такое градиент в линейном уравнении y = 2x + 3?
(b) Что такое точка пересечения по оси Y?
(c) Нарисуйте таблицу значений и график линейного уравнения y = 2x + 3

Ответ:
(а) Градиент = 2
(б) точка пересечения по оси y = 3
(в)

x 0 1 2

y = 2x + 3 3 5 7

Рабочий y = 2x + 3
y = 2x + 3
3
y = 3 y = 2x + 3
y = 2 × 1 + 3
y = 5 y = 2x + 3
y = 2 × 2 + 3
y = 7

Координаты (0,3) (1,5) (2,7)

Вопросы

Что вы заметили в наклоне графиков y = 2 x и y = 2 x + 3?

Пример пятый - График y =
¹ ⁄ ₂ x + 1
(a) Каков градиент в линейном уравнении y = ¹ ⁄ ₂ x + 1?
(b) Что такое точка пересечения по оси Y?
(c) Нарисуйте таблицу значений и график линейного уравнения y = ¹ ⁄ ₂ x + 1

Ответ:
(a) Градиент = ¹ ⁄ ₂
( Обратите внимание, что график круче, чем y = 1 x, но не такой крутой, как y = 2 x и y = 2 x + 3 )
(b) точка пересечения по оси y = 1
(в)

x 0 1 2

y = ¹ ⁄ ₂ x + 1 1 1 ¹ ⁄

y = ¹ ⁄ ₂ x + 1
y = ¹ ⁄ ₂ × 0 + 1
y = 1 y = ¹ ⁄ ₂ x + 1
y = ¹ ⁄ ₂ × 1 + 1
y = 1 ¹ ⁄ ₂ y = ¹ ⁄ ₂ x + 1
y = ¹ ⁄ ₂ × 2 + 1
y = 2

Координаты (0,1) (1,1 ¹ ⁄ ₂) (2,2)

Вопросы

Что вы заметили в коэффициенте при x (число, умноженном на x) и крутизне графика ?

Что вы заметили в константе (число в конце уравнения) и точке , где график пересекается с осью y ?

Пример шестой - График y = 3x - 1

(a) Что такое градиент в линейном уравнении y = 3x - 1?
(b) Что такое точка пересечения по оси Y?
(c) Изобразите уравнение y = 3x - 1, где –2

Ответ:
(a) Градиент = 3 ( Обратите внимание, что график круче, чем y = 1 x, y = 2 x и y = 2 x + 3 )
(b) пересечение оси y = –1
(c) В вопросе указано, что 3 значения x должны находиться в диапазоне от –2 до 2.Выберите x-значения –2, 0, 2.

x –2 1 2

y = 3x - 1 –7 1 3

Рабочий y = 3x - 1x - (–2) - 1
y = –6 - 1
y = –7 y = 3x - 1
y = 3 × 0 - 1
y = 0 - 1
y = –1 y = 3x - 1
y = 3 × 2 - 1
y = 4 - 1
y = 3

Координаты (–2, –7) (0, –1 ) (2,3)

Вопрос

Нарисуйте таблицу значений, а затем изобразите уравнение y = 4x - 3 , где –3
(Помните, что ваш график будет правильным, если это прямая линия.)

Пример седьмой - График y = –2x + 5 (отрицательный градиент)

(a) Что такое градиент в линейном уравнении y = –2x + 5?
(b) Что такое точка пересечения по оси Y?
(c) Изобразите уравнение y = –2x + 5

Ответ:
(a) Градиент = –2 ( Обратите внимание, что график направлен в обратном направлении. )
(b) пересечение оси y = 5
(в)

x 0 1 2

y = –2x + 5 5 3 1

Рабочий y = –2x (5
y = –2x 2) × 0 + 5
y = 0 + 5
y = 5 y = –2x + 5
y = (–2) × 1 + 5
y = (–2) + 5
y = 3 y = –2x + 5
y = (–2) × 2 + 5
y = (–4) + 5
y = 1

Координаты (0,5) (1,3) (2,1)

1.2 + 4 на отдельном листе. Используя эти графики, сравните и сопоставьте форму и положение графиков.

(текстовое поле под вопросом)

Я знаю, что это обман, но мне нужны ответы, пожалуйста

Абсолютно нет!

Но если ВЫ публикуете то, о чем ВЫ ДУМАЕТЕ, кто-то может вам помочь.

Я не дам вам ответов, но скажу, что вам нужно сделать

1.2 - 81 = 0
разность квадратов ...
(x + 9) (x-9) = 0

и решения следующие .....

5. ......?

Вот правильные ответы;
1. С (-1/2, -5/2), (2,5)
2. A 0
3. В -1; 19
4. С -9,9
5. C экспоненциальный
ПОДХОДЯЩИЕ
6. A
7. D
8. C
9. B
10.ЭССЕ

Графические линейные уравнения с двумя переменными - Элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Распознавайте взаимосвязь между решениями уравнения и его графиком.

Постройте линейное уравнение, нанеся точки.

График вертикальных и горизонтальных линий.

Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.

Оценить, когда.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решите в общем.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Распознавать взаимосвязь между решениями уравнения и его графика

В предыдущем разделе мы нашли несколько решений уравнения. Они перечислены на (Рисунок). Итак, упорядоченные пары, и являются некоторыми решениями уравнения. Мы можем построить эти решения в прямоугольной системе координат, как показано на (Рисунок).

Обратите внимание, как точки идеально совпадают? Соединяем точки линией, чтобы получился график уравнения. См. (Рисунок). Обратите внимание на стрелки на концах каждой стороны линии. Эти стрелки указывают на продолжение линии.

Каждая точка на линии является решением уравнения. Кроме того, каждое решение этого уравнения представляет собой точку на этой прямой. Пункты , а не на линии, не являются решениями.

Обратите внимание, что точка с координатами находится на линии, показанной на (Рисунок).Если вы подставите и в уравнение, вы обнаружите, что это решение уравнения.

Итак, дело в решении уравнения. (Фраза «точка с координатами» часто сокращается до «точка».)

Значит, это не решение уравнения. Следовательно, дело не в контуре. См. (Рисунок). Это пример поговорки: «Картинка стоит тысячи слов». Линия показывает вам всех решений уравнения.Каждая точка на линии - это решение уравнения. И каждое решение этого уравнения находится на этой линии. Эта линия называется графиком уравнения.

График линейного уравнения

График линейного уравнения представляет собой линию.

Каждая точка на линии является решением уравнения.

Каждое решение этого уравнения представляет собой точку на этой прямой.

Используйте график, чтобы решить, будет ли каждая упорядоченная пара:

решение уравнения.

на линии.

ⓐ ⓑ

ⓐ да, да ⓑ да, да

Используйте график, чтобы определить, составляет ли каждая заказанная пара:

решение уравнения

по линии

ⓐ ⓑ

ⓐ нет, нет ⓑ да, да

Построение линейного уравнения по точкам

Есть несколько методов, которые можно использовать для построения графика линейного уравнения. Метод, который мы использовали для построения графиков, называется построением точек или методом построения точек.

Как построить уравнение по точкам

Постройте уравнение, нанеся точки.

Постройте уравнение, нанеся точки:.

Постройте уравнение, нанеся точки:.

Действия, которые необходимо предпринять при построении линейного уравнения путем нанесения точек, приведены ниже.

Постройте линейное уравнение путем нанесения точек.

Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Разложите их в виде таблицы.

Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают. Если нет, внимательно проверьте свою работу.

Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.

Это правда, что для определения линии нужны только две точки, но использование трех точек - хорошая привычка. Если вы нанесете только две точки, и одна из них неверна, вы все равно можете нарисовать линию, но она не будет представлять решения уравнения.Это будет неправильная линия.

Если вы используете три точки, а одна неверна, точки не выровняются. Это говорит о том, что что-то не так, и вам нужно проверить свою работу. Посмотрите на разницу между частью (a) и частью (b) на (Рисунок).

Приведем еще один пример. На этот раз мы покажем последние два шага в одной сетке.

Изобразите уравнение.

Решение

Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Здесь, опять же, легче выбрать значения для.Вы понимаете почему?

Перечислим точки на (Рисунок).

Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

Постройте уравнение, нанеся точки:.

Постройте уравнение, нанеся точки:.

Когда уравнение включает дробь в качестве коэффициента, мы все равно можем подставлять любые числа вместо. Но математика будет проще, если мы сделаем «правильный» выбор значений.Таким образом, мы избежим дробных ответов, которые сложно построить точным графиком.

Изобразите уравнение.

Решение

Найдите три точки, которые являются решениями уравнения. Поскольку в этом уравнении дробь является коэффициентом, мы будем тщательно выбирать значения. Мы будем использовать ноль в качестве одного варианта и кратное 2 для других вариантов. Почему значения, кратные 2, являются хорошим выбором?

Точки показаны на (Рисунок).

Постройте точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

До сих пор все уравнения, которые мы построили на графике, были выражены в терминах. Теперь изобразим уравнение с одной и той же стороной и на одной стороне. Посмотрим, что получится в уравнении. Если в чем ценность?

Эта точка имеет дробную часть для координаты x , и, хотя мы можем построить график этой точки, трудно быть точным, указав дроби. Помните, что в этом примере мы тщательно выбирали значения для, чтобы вообще не отображать дроби.Если мы решим уравнение для, будет легче найти три решения уравнения.

Решения для, и показаны на (Рисунок). График представлен на (Рисунок).

Можете ли вы определить точку, которую мы нашли, пропустив на линии?

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Если вы можете выбрать любые три точки для построения линии, как вы узнаете, совпадает ли ваш график с тем, который показан в ответах в книге? Если точки пересечения графиков осей x и y совпадают, графики совпадают!

Уравнение на (Рисунок) было записано в стандартной форме, с обеими и на одной и той же стороне.Мы решили это уравнение всего за один шаг. Но для других уравнений в стандартной форме это не так просто решить, поэтому мы оставим их в стандартной форме. Мы все еще можем найти первую точку для построения, позволяя и решая для. Мы можем построить вторую точку, позволив, а затем решив для. Затем мы построим третью точку, используя другое значение для или.

Изобразите уравнение.

Решение

Мы перечисляем упорядоченные пары на (Рисунок). Нанесите точки, убедитесь, что они совпадают, и проведите линию.См. (Рисунок).

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Вертикальные и горизонтальные линии графика

Можно ли построить уравнение только с одной переменной? Просто и нет, или просто без? Как мы составим таблицу значений, чтобы получить точки для построения?

Давайте рассмотрим уравнение. Это уравнение имеет только одну переменную,. Уравнение говорит, что всегда равно , поэтому его значение не зависит от. Независимо от того, что есть, ценность всегда есть.

Итак, чтобы составить таблицу значений, впишите все значения. Затем выберите любые значения для. Поскольку не зависит от, вы можете выбрать любые номера, которые вам нравятся. Но чтобы уместить точки на нашем координатном графике, мы будем использовать 1, 2 и 3 для координат y . См. (Рисунок).

Постройте точки из (Рисунок) и соедините их прямой линией. Обратите внимание на (рисунок), что мы построили вертикальную линию .

Вертикальная линия

Вертикальная линия - это график уравнения вида.

Линия проходит через ось x в точке.

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Что делать, если в уравнении есть, но нет? Давайте изобразим уравнение в виде графика. На этот раз значение y - является константой, поэтому в этом уравнении не зависит от. Заполните 4 для всех (рисунок), а затем выберите любые значения для. Мы будем использовать 0, 2 и 4 для координат x .

График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке 4. См. (Рисунок).

Горизонтальная линия

Горизонтальная линия - это график уравнения вида.

Линия проходит по оси y в точке.

Постройте уравнение

Изобразите уравнение.

Изобразите уравнение.

Уравнения для вертикальных и горизонтальных линий очень похожи на уравнения типа В чем разница между уравнениями и?

Уравнение включает и.Значение зависит от значения. Координата y изменяется в зависимости от значения. Уравнение имеет только одну переменную. Значение постоянно. Координата y всегда равна 4. Она не зависит от значения. См. (Рисунок).

Обратите внимание, что на (Рисунок) уравнение дает наклонную линию, а дает горизонтальную линию.

График и в той же прямоугольной системе координат.

Решение

Обратите внимание, что в первом уравнении есть переменная, а во втором - нет.См. (Рисунок). Два графика показаны на (Рисунок).

График и в той же прямоугольной системе координат.

График и в той же прямоугольной системе координат.

Ключевые понятия

Построение линейного уравнения по точкам

Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Разложите их в виде таблицы.

Постройте точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают.Если нет, внимательно проверьте свою работу!

Проведите линию через три точки. Вытяните линию, чтобы заполнить сетку, и поместите стрелки на обоих концах линии.

Повседневная математика

Стоимость дома на колесах. Робинсоны арендовали дом на колесах на неделю, чтобы поехать в отпуск. Аренда дома на колесах обходится им в 594 фунта плюс 0,32 фунта за милю, поэтому линейное уравнение дает стоимость проезда на несколько миль. Рассчитайте стоимость аренды за 400, 800 и 1200 миль, а затем нарисуйте линию.

? 722,? 850,? 978

Еженедельный заработок. В художественной галерее, где он работает, Сальвадору платят 200 фунтов в неделю плюс 15% от продаж, которые он совершает, поэтому уравнение дает сумму, которую он зарабатывает на продаже произведений искусства в долларах. Подсчитайте сумму, которую Сальвадор зарабатывает от продажи 900, 1600 и 2000 фунтов стерлингов, а затем изобразите эту линию.

Письменные упражнения

Объясните, как выбрать три значения x , чтобы составить таблицу для построения графика линии.

В чем разница между уравнениями вертикальной и горизонтальной линии?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Уравнение точки и уклона прямой

Форма "точка-наклон" уравнения прямой:
Уравнение полезно, когда мы знаем:

одна точка на линии: (x ₁, y ₁)

и уклон линии: м ,

и хотите найти другие точки на линии.

Сначала поиграйте с ним (переместите точку, попробуйте разные уклоны):

Теперь давайте узнаем больше.

Что это означает?

(x ₁, y ₁) - известная точка

м - уклон трассы

(x, y) - любая другая точка на линии

Разобраться в этом

Исходя из уклона:

Уклон м = изменение в y изменение x знак равно г - г ₁ х - х ₁

Начиная с уклона:

переставляем так:

чтобы получить это:

Итак, это просто формула наклона по-другому!

Теперь давайте посмотрим, как его использовать.

Пример 1:

уклон "м" = 3 1 = 3

г - у ₁ = м (х - х ₁)

Мы знаем m, а также знаем, что (x ₁, y ₁) = (3,2), поэтому мы имеем:

Это отличный ответ, но мы можем его немного упростить:

г - 2 = 3х - 9

у = 3х - 9 + 2

у = 3х - 7

Пример 2:

м = −3 1 = −3

y - y ₁ = m (x - x ₁)

Мы можем выбрать любую точку для (x ₁, y ₁), поэтому давайте выберем (0,0), и у нас будет:

у - 0 = −3 (х - 0)

Что можно упростить до:

Пример 3: Вертикальная линия

Какое уравнение представляет собой вертикальная линия?
Наклон не определен!

На самом деле это особый случай , и мы используем другое уравнение, например:

Каждая точка на линии имеет координату x 1.5 ,
, поэтому его уравнение: x = 1,5

А как насчет y = mx + b?

Возможно, вы уже знакомы с формой «y = mx + b» (называемой формой уравнения линии с пересечением наклона).

Это то же уравнение, но в другой форме!

Значение «b» (называемое точкой пересечения оси y) - это точка пересечения линией оси y.

Таким образом, точка (x ₁, y ₁) фактически находится в (0, b)

, и уравнение принимает следующий вид:

Начнем с y - y ₁ = m (x - x ₁)

(x ₁, y ₁) на самом деле (0, b): y - b = m (x - 0)

Это: y - b = mx

Положите b на другую сторону: y = mx + b

Форма линейного уравнения с пересечением наклона (Алгебра 1, Визуализация линейных функций) - Mathplanet

Ранее в этой главе мы выразили линейные уравнения, используя стандартную форму Ax + By = C.Теперь мы собираемся показать другой способ выражения линейных уравнений, используя форму углового пересечения y = mx + b.

В форме пересечения наклона вы используете наклон линии и точку пересечения по оси Y, чтобы выразить линейную функцию.

$$ y = mx + b $$

Где m - наклон, а b - точка пересечения с y.

Пример

Постройте уравнение

$$ y-2x = 1 $$

переписать в форме пересечения наклона

$$ y = 2x + 1 $$

Определите наклон и точку пересечения оси Y

m = 2 и b = 1

Постройте точку, соответствующую точке пересечения оси y, (0,1)

Значение m, наклон, говорит нам, что для каждого шага вправо по оси x мы перемещаемся на 2 шага вверх по оси y (поскольку m = 2)

И как только у вас будет вторая точка, вы можете просто провести линию через две точки и продлить ее в обоих направлениях.

Вы можете проверить правильность нарисованной линии, подставив координаты второй точки в исходное уравнение. Если уравнение верно, значит, верен второй пункт.

Наша вторая точка = (1, 3)

$$ y-2x = 1 $$

$$ 3-2 \ cdot 1 = 3-2 = 1 $$

Наш второй пункт - это решение уравнения, т. Е. Линия, которую мы нарисовали, верна.

Линия, проходящая через начало координат, имеет Y-пересечение нуля, b = 0, и представляет собой прямое изменение.

$$ y = mx $$

В прямой вариации ненулевое число m называется постоянной вариации.

Вы можете назвать функцию f, используя понятие функции

$$ f \ влево (x \ вправо) = mx + b $$

f (x) - другое имя для y и читается как «значение f в x» или «f of x». Для именования функций можно использовать буквы, отличные от f.

Группа функций со схожими характеристиками называется семейством функций. Все функции, которые можно записать в виде f (x) = mx + b, принадлежат семейству линейных функций.

Самая основная функция в семействе функций называется родительской функцией. Родительская функция всех линейных функций -
.
$$ f \ влево (x \ вправо) = x $$

Видеоурок
График y = 3x - 2

Линейные уравнения в координатной плоскости (Алгебра 1, Визуализация линейных функций) - Mathplanet

Линейное уравнение - это уравнение с двумя переменными, график которого представляет собой линию. График линейного уравнения - это набор точек на координатной плоскости, которые все являются решениями уравнения.Если все переменные представляют собой действительные числа, можно изобразить уравнение, нанеся на график достаточно точек, чтобы распознать шаблон, а затем соединить точки, чтобы включить все точки.

Если вы хотите построить график линейного уравнения, у вас должно быть как минимум две точки, но обычно рекомендуется использовать более двух точек. При выборе очков старайтесь включать как положительные, так и отрицательные значения, а также ноль.

Пример

Постройте функцию y = x + 2

Начните с выбора пары значений для x e.г. -2, -1, 0, 1 и 2 и вычислите соответствующие значения y.

х Y = х + 2 Заказанная пара

-2 -2 + 2 = 0 (-2, 0)

-1 -1 + 2 = 1 (-1, 1)

0 0 + 2 = 2 (0, 2)

1 1 + 2 = 3 (1, 3)

2 2 + 2 = 4 (2, 4)

Теперь вы можете просто нанести пять упорядоченных пар на координатную плоскость

На данный момент это пример дискретной функции.Дискретная функция состоит из изолированных точек.

Проведя линию через все точки и продолжая линию в обоих направлениях, мы получаем противоположность дискретной функции, непрерывную функцию, которая имеет непрерывный график.

Если вы хотите использовать только две точки для определения вашей линии, вы можете использовать две точки, где график пересекает оси. Точка, в которой график пересекает ось x, называется отрезком x, а точка, в которой график пересекает ось y, называется отрезком y.Пересечение по оси x находится путем нахождения значения x, когда y = 0, (x, 0), а точка пересечения по оси y находится путем нахождения значения y, когда x = 0, (0, y).

Стандартная форма линейного уравнения -

$$ Ax + By = C, \: \: A, B \ neq 0 $$

Прежде чем вы сможете изобразить линейное уравнение в его стандартной форме, вы сначала должны решить уравнение относительно y.

$$ 2y-4x = 8 $$

$$ 2y-4x \, {\ color {green} {+ \, 4x}} = 8 \, {\ color {green} {+ \, 4x}} $$

$$ 2y = 4x + 8 $$

$$ \ frac {2y} {{\ color {green} 2}} = \ frac {4x} {{\ color {green} 2}} + \ frac {8} {{\ color {green} 2}}
$
$$ y = 2x + 4 $$

Отсюда вы можете построить уравнение, как в примере выше.

График y = a представляет собой горизонтальную линию, где линия проходит через точку (0, a)

В то время как график x = a представляет собой вертикальную линию, проходящую через точку (a, 0)

Видеоурок
Постройте график линейного уравнения y = 3x - 2

 <a href="https://xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/raznoe-2/y-3x-1-grafik-mathway-populyarnye-zadachi.html#respond">Оставить комментарий on Y 3x 1 график: Mathway | Популярные задачи</a>/ </footer> </article> <article id="post-11755" class="post-11755 post type-post status-publish format-standard hentry category-raznoe-2"> <header class="entry-header"> <h2 class="entry-title"><a href="https://xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/raznoe-2/y-postroit-grafik-postroenie-grafika-funkczii-onlajn.html" rel="bookmark">Y построить график: Построение графика функции онлайн</a></h2><div class="entry-meta"><img alt='' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='http://2.gravatar.com/avatar/22d474190b1889d3373fa4f9334e979c?s=20&d=mm&r=g' srcset="" data-srcset='http://2.gravatar.com/avatar/22d474190b1889d3373fa4f9334e979c?s=40&d=mm&r=g 2x' class='lazy lazy-hidden avatar avatar-20 photo' height='20' width='20' decoding='async'/><noscript><img alt='' src='http://2.gravatar.com/avatar/22d474190b1889d3373fa4f9334e979c?s=20&d=mm&r=g' srcset='http://2.gravatar.com/avatar/22d474190b1889d3373fa4f9334e979c?s=40&d=mm&r=g 2x' class='avatar avatar-20 photo' height='20' width='20' decoding='async'/></noscript><a class="url fn n" href="https://xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/author/alexxlab">alexxlab</a> / <a href="https://xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/raznoe-2/y-postroit-grafik-postroenie-grafika-funkczii-onlajn.html" rel="bookmark"><time class="entry-date published" datetime="1970-06-24T01:00:00+03:00">24.06.1970</time><time class="updated" datetime="2022-09-14T11:49:07+03:00">14.09.2022</time></a> / <a href="https://xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/category/raznoe-2" rel="category tag">Разное</a> </div> </header> <div class="entry-content"> 2</dt><dd> Функция — Квадрат x</dd><dt>ctg(x)</dt><dd> Функция — Котангенс от x</dd><dt>arcctg(x)</dt><dd> Функция — Арккотангенс от x</dd><dt>arcctgh(x)</dt><dd> Функция — Гиперболический арккотангенс от x</dd><dt>tg(x)</dt><dd> Функция — Тангенс от x</dd><dt>tgh(x)</dt><dd> Функция — Тангенс гиперболический от x</dd><dt>cbrt(x)</dt><dd> Функция — кубический корень из x</dd><dt>gamma(x)</dt><dd> Гамма-функция </dd><dt>LambertW(x)</dt><dd> Функция Ламберта </dd><dt>x! или factorial(x)</dt><dd> Факториал от x</dd><dt>DiracDelta(x)</dt><dd> Дельта-функция Дирака </dd><dt>Heaviside(x)</dt><dd> Функция Хевисайда </dd></dl>Интегральные функции:<dl><dt>Si(x)</dt><dd> Интегральный синус от x</dd><dt>Ci(x)</dt><dd> Интегральный косинус от x</dd><dt>Shi(x)</dt><dd> Интегральный гиперболический синус от x</dd><dt>Chi(x)</dt><dd> Интегральный гиперболический косинус от x</dd></dl>В выражениях можно применять следующие операции:<dl><dt>Действительные числа</dt><dd> вводить в виде 7.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='' /><noscript><img loading='lazy' src='' /></noscript> 3</dt><dd> — возведение в степень </dd><dt>x + 7</dt><dd> — сложение </dd><dt>x — 6</dt><dd> — вычитание </dd><dt>15/7</dt><dd> — дробь </dd></dl>Другие функции:<dl><dt>asec(x)</dt><dd> Функция — арксеканс от x</dd><dt>acsc(x)</dt><dd> Функция — арккосеканс от x</dd><dt>sec(x)</dt><dd> Функция — секанс от x</dd><dt>csc(x)</dt><dd> Функция — косеканс от x</dd><dt>floor(x)</dt><dd> Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) </dd><dt>ceiling(x)</dt><dd> Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) </dd><dt>sign(x)</dt><dd> Функция — Знак x</dd><dt>erf(x)</dt><dd> Функция ошибок (или интеграл вероятности) </dd><dt>laplace(x)</dt><dd> Функция Лапласа </dd><dt>asech(x)</dt><dd> Функция — гиперболический арксеканс от x</dd><dt>csch(x)</dt><dd> Функция — гиперболический косеканс от x</dd><dt>sech(x)</dt><dd> Функция — гиперболический секанс от x</dd><dt>acsch(x)</dt><dd> Функция — гиперболический арккосеканс от x</dd></dl>Постоянные:<dl><dt>pi</dt><dd> Число «Пи», которое примерно равно ~3.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/c/1/7/c171f5ec52b689056cc340af21128564.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/c/1/7/c171f5ec52b689056cc340af21128564.jpeg' /></noscript> 14159.. </dd><dt>e</dt><dd> Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. </dd><dt>i</dt><dd> Комплексная единица </dd><dt>oo</dt><dd> Символ бесконечности — знак для бесконечности </dd></dl><h2>Как построить график функции y=f(x+m)+n, если известен график функции y=f(x) (28 слайдов)</h2><table border="0"><tbody><tr><td> </td> <td> Нажмите для просмотра </td> <td> </td> </tr></tbody> </table>Читать онлайн!<h4>Слайд 1</h4>Как построить график функции y=f(x+m)+n, если известен графикфункции y=f(x)<h4>Слайд 2</h4>Какая из формул задаёт: — прямую пропорциональность; -обратную пропорциональность;-линейную функцию, график которой проходит через начало координат.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/otvet.imgsmail.ru/download/875a8375f91de049494d6073098e8a2f_8289f7e12991a02114ebcb8a07c27751.png' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/otvet.imgsmail.ru/download/875a8375f91de049494d6073098e8a2f_8289f7e12991a02114ebcb8a07c27751.png' /></noscript>  2) 1)<h4>Слайд 3</h4>На одном из рисунков изображена парабола. Укажите этот рисунок.<h4>Слайд 4</h4>На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите этот рисунок.<h4>Слайд 5</h4>Соединить линиями соответствующие названия графиков функции: гипербола прямая парабола<h4>Слайд 6</h4>Соединить линиями соответствующие названия графиков функции: гипербола прямая парабола<h4>Слайд 7</h4>Повторим изученное У Опишите свойства функции, используя график. -1 Х -2<h4>Слайд 8</h4> у у= х²+ 3 Функция у = х² + 3; вершина (0; 3) у= х² Функция у = х²; вершина (0; 0) х Сдвиг графика функции у = х² вдоль оси ОУ на 3 единицы вверх.<h4>Слайд 9</h4> у Функция у = х²; вершина (0; 0) у= х² Сдвиг графика функции у = х² вдоль оси ОУ на 5 единиц вниз.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/11/07/s_5a01c11683a68/img_s734793_7_9.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/11/07/s_5a01c11683a68/img_s734793_7_9.jpg' /></noscript>  х у= х² 5 — 5 Функция у = х² — 5; вершина (0; -5)<h4>Слайд 10</h4>Построение графиков функций y = f (x) и y = f (x + a) Сдвиг вдоль оси абсцисс y=(x+3)² y=x² y=(x-3)²<h4>Слайд 11</h4>Построение графиков функций y = f (x) и y = f (x) +n Сдвиг вдоль оси ординат y=x²+3 y=x² y=x²-3<h4>Слайд 12</h4>График функции График функции y = f(x + m) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси х на |m| единиц масштаба влево, если m > 0 и вправо, если m<h4>Слайд 13</h4>График функции График функции y = f(x)+n получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси y на |n| единиц масштаба вверх, если n > 0 и вниз, если n<h4>Слайд 14</h4>Самостоятельная работа. №1. Постройте графики функций. Ответьте на вопросы. Запишите названия графиков____________________________________________Какие изменения вы заметили у графика второй функции относительно базового графика?_________________________<h4>Слайд 15</h4>№2 Постройте графики функций.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/18/1056612/slide_3.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/18/1056612/slide_3.jpg' /></noscript> Ответьте на вопросы. Запишите названия графиков_______________________Какие изменения вы заметили у графика второй функции относительно основного графика?_____________<h4>Слайд 16</h4>Выводы: основные преобразования графиков элементарных функций: Сжатие и растяжение графика вдоль оси y у=k f(x).Преобразование симметрии относительно оси x у = — f(x)  Сдвиг вдоль оси абсцисс y = f (x + a) Сдвиг вдоль оси ординат y = f (x) +n<h4>Слайд 17</h4> вправо вниз вправо вверх<h4>Слайд 18</h4>На одном из рисунков изображен график  функции  Укажите номер этого рисунка. На каком рисунке изображён графикфункции y= —<h4>Слайд 19</h4>Задайте формулой функцию по графику, изображенному на рисунке.<h4>Слайд 20</h4><h4>Слайд 21</h4> y Алгоритм 1. у=4 1. Построить график функции y=f(x) 4 ед. 2. Осуществить параллельный перенос графика y=f(x) вдоль оси х на |m| единиц масштаба влево, если m>0, и вправо, если mx 5 ед.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/h/H5m8hKIwRYLoAP91BiSlDU3sGX2y6zFcdMTWxn/slide-2.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/h/H5m8hKIwRYLoAP91BiSlDU3sGX2y6zFcdMTWxn/slide-2.jpg' /></noscript> 2</td> <td/> </tr></table><h2>Построение графика квадратичной функций: алгоритм и примеры 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей</h2> Тема 5.   Построение графика квадратичной функции с помощью преобразований.   Рассмотрим частные случаи  y = ax2 + n и y = a(x – m)2.  В одной системе координат построим графики функцийy=12×2 и y=12×2+5.  Составим таблицу значений функции: y=12×2<table><tr><td>  x  </td> <td>  -3  </td> <td>  -2  </td> <td>  -1  </td> <td>  0  </td> <td>  1  </td> <td>  2  </td> <td>  3  </td> </tr><tr><td>  y  </td> <td>  4,5  </td> <td>  2  </td> <td>  0,5  </td> <td>  0  </td> <td>  0,5  </td> <td>  2  </td> <td>  4,5  </td> </tr></table> Чтобы получить таблицу значений для функции y=12×2+5 для тех же значений аргумента, необходимо к найденным значениям функции y=12×2 прибавить 5.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image3.slideserve.com/5657270/slide16-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image3.slideserve.com/5657270/slide16-l.jpg' /></noscript>  <table><tr><td>  x  </td> <td>  -3  </td> <td>  -2  </td> <td>  -1  </td> <td>  0  </td> <td>  1  </td> <td>  2  </td> <td>  3  </td> </tr><tr><td>  y  </td> <td>  9,5  </td> <td>  7  </td> <td>  5,5  </td> <td>  5  </td> <td>  5,5  </td> <td>  7  </td> <td>  9,5  </td> </tr></table> Получается, что каждую точку второго графика можно получить из некоторой точки первого графика с помощью параллельного переноса на 5 единиц вверх вдоль оси y.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf3.ppt-online.org/files3/slide/e/e23xpOFJtrnifMLT9gXESo8hVHYc0UKNRDl5s6/slide-15.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf3.ppt-online.org/files3/slide/e/e23xpOFJtrnifMLT9gXESo8hVHYc0UKNRDl5s6/slide-15.jpg' /></noscript>   График функции y=12×2+5 – парабола, полученная в результате сдвига вверх графика функции y=12×2. <center> </center> График функции y = ax2 + n – парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0 или на – n единиц вниз, если n   В одной системе координат построим графики функций y=12×2 и y=12x-52. Составим таблицы значений для этих функций.  y=12×2<table><tr><td>  x  </td> <td>  -3  </td> <td>  -2  </td> <td>  -1  </td> <td>  0  </td> <td>  1  </td> <td>  2  </td> <td>  3  </td> </tr><tr><td>  y  </td> <td>  4,5  </td> <td>  2  </td> <td>  0,5  </td> <td>  0  </td> <td>  0,5  </td> <td>  2  </td> <td>  4,5  </td> </tr></table> y=12x-52<table><tr><td>  x  </td> <td>  2  </td> <td>  3  </td> <td>  4  </td> <td>  5  </td> <td>  6  </td> <td>  7  </td> <td>  8  </td> </tr><tr><td>  y  </td> <td>  4,5  </td> <td>  2  </td> <td>  0,5  </td> <td>  0  </td> <td>  0,5  </td> <td>  2  </td> <td>  4,5  </td> </tr></table> Значит, если переместить каждую точку графика y=12×2 вправо на 5 единиц, то получим соответствующую точку графика функции y=12x-52.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/8/2/3/82342d5dbd1780e0b5cfd51e78a777bd.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/8/2/3/82342d5dbd1780e0b5cfd51e78a777bd.jpeg' /></noscript> Иначе говоря, каждую точку второго графика можно получить из соответствующей точки первого графика с помощью параллельного переноса на 5 единиц вправо вдоль оси x.  График функции y=12x-52 – парабола, полученная y=12x-52 в результате сдвига вправо графика функции y=12×2. <center> </center> График функции y = a(x — m)2 – парабола, которую можно получить из графика функции y = ax2 с помощью параллельного переноса вдоль оси x на на m единиц вправо, если m > 0 или на – m единиц влево, если m   Полученные выводы позволяют понять, что представляет собой график функции y = a(x — m)2. Например, график функции y=12x-52+3 можно получить из графика функции y=12×2 с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси x на 5 единиц вправо и вдоль оси y на 3 единицы вверх.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/08/07/s_59878e494ba43/img16.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/08/07/s_59878e494ba43/img16.jpg' /></noscript>  <center> </center> Таким образом, график функции y = a(x — m)2 можно получить из параболы y = ax2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль x на m единиц вправо, если m > 0 или на – m единиц влево, если m n единиц вверх, если n > 0 или на – n единиц вниз, если n   Заметим, что данные преобразования можно производить в любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос вдоль оси x, а затем вдоль оси y или наоборот.  Преобразования, которые мы рассмотрели применимы для любых функций.  Рассмотрим пример.  Построим график функции y = x2 — 4x двумя способами: с помощью преобразований, которые мы сегодня рассмотрели и с помощью таблицы значений функции.  Для того, чтобы построить график функции с помощью преобразований, необходимо его представить в виде y = a(x — m)2.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/4/f/f/4ffa2910e2de8b7c81709c6b3fc13ded.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/4/f/f/4ffa2910e2de8b7c81709c6b3fc13ded.jpeg' /></noscript> Для этого надо выделить полный квадрат. Итак, в нашу функцию y = x2 — 4x добавим 4 и вычтем 4. Получим:  y=x2-4x+4-4=x-22-4 График данной функции можно получить из графика функции y = x2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на 2 единицы вправо, и сдвига вдоль оси y на 4 единицы вниз.  Чтобы построить график функции вторым способом, составим таблицу ее значений. Возьми нечетное количество точек, например, пять и семь. В центре поставь координаты вершины параболы.  xв=-b2a=—42∙1=2 yв=22-4∙2=-4 График квадратичной функции симметричен относительно прямой, параллельной оси y, проходящей через вершину параболы. В данном случае прямая x = 2 является осью симметрии. <table><tr><td>  x  </td> <td>  -1  </td> <td>  0  </td> <td>  1  </td> <td>  2  </td> <td>  3  </td> <td>  4  </td> <td>  5  </td> </tr><tr><td>  y  </td> <td>  5  </td> <td>  0  </td> <td>  -3  </td> <td>  -4  </td> <td>  -3  </td> <td>  0  </td> <td>  5  </td> </tr></table><center> </center><h2>Построение графиков — Sage Tutorial in Russian v9.</h2><img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cloud.prezentacii.org/19/08/158712/images/screen10.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cloud.prezentacii.org/19/08/158712/images/screen10.jpg' /></noscript> 6</h2> Sage может строить двумерные и трехмерные графики. <h3>Двумерные графики</h3> В двумерном пространстве Sage может отрисовывать круги, линии и многоугольники; графики функций в декартовых координатах; также графики в полярных координатах, контурные графики и изображения векторных полей. Некоторые примеры будут показаны ниже. Для более исчерпывающей информации по построению графиков см. Решение дифференциальных уравнений и Maxima, а также документацию Sage Constructions. Данная команда построит желтую окружность радиуса 1 с центром в начале: <pre>sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0)) Graphics object consisting of 1 graphics primitive </pre>Также можно построить круг:<pre>sage: circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0), fill=True) Graphics object consisting of 1 graphics primitive </pre>Можно создавать окружность и задавать ее какой-либо переменной. Данный пример не будет строить окружность:<pre>sage: c = circle((0,0), 1, rgbcolor=(1,1,0)) </pre>Чтобы построить ее, используйте <code>c.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/15/1018016/slide_9.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/15/1018016/slide_9.jpg' /></noscript> 3),(x,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.6)) sage: show(p1+p2+p3, axes=false) </pre>Хороший способ создания заполненных фигур — создание списка точек (<code>L</code> в следующем примере), а затем использование команды <code>polygon</code> для построения фигуры с границами, образованными заданными точками. К примеру, создадим зеленый дельтоид:<pre>sage: L = [[-1+cos(pi*i/100)*(1+cos(pi*i/100)), ....: 2*sin(pi*i/100)*(1-cos(pi*i/100))] for i in range(200)] sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,3/4,1/2)) sage: p Graphics object consisting of 1 graphics primitive </pre>Напечатайте <code>show(p, axes=false)</code>, чтобы не показывать осей на графике.Можно добавить текст на график:<pre>sage: L = [[6*cos(pi*i/100)+5*cos((6/2)*pi*i/100), ....: 6*sin(pi*i/100)-5*sin((6/2)*pi*i/100)] for i in range(200)] sage: p = polygon(L, rgbcolor=(1/8,1/4,1/2)) sage: t = text("hypotrochoid", (5,4), rgbcolor=(1,0,0)) sage: show(p+t) </pre>Учителя математики часто рисуют следующий график на доске: не одну ветвь arcsin, а несколько, т.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/4/4mCGP1ZWjIVtKEBkJrqF6HgwypTUdsnYfRe8cz/slide-11.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/4/4mCGP1ZWjIVtKEBkJrqF6HgwypTUdsnYfRe8cz/slide-11.jpg' /></noscript> е. график функции $y=\sin(x)$ для $x$ между $-2\pi$ и $2\pi$, перевернутый по отношению к линии в 45 градусов. Следующая команда Sage построит вышеуказанное:<pre>sage: v = [(sin(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.1)] sage: line(v) Graphics object consisting of 1 graphics primitive </pre>Так как функция тангенса имеет больший интервал, чем синус, при использовании той же техники для перевертывания тангенса требуется изменить минимальное и максимальное значения координат для оси x:<pre>sage: v = [(tan(x),x) for x in srange(-2*float(pi),2*float(pi),0.01)] sage: show(line(v), xmin=-20, xmax=20) </pre>Sage также может строить графики в полярных координатах, контурные построения и изображения векторных полей (для специальных видов функций). Далее следует пример контурного чертежа:<pre>sage: f = lambda x,y: cos(x*y) sage: contour_plot(f, (-4, 4), (-4, 4)) Graphics object consisting of 1 graphics primitive </pre><h3>Трехмерные графики</h3>Sage также может быть использован для создания трехмерных графиков.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/888041/slide_5.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/888041/slide_5.jpg' /></noscript> 2 - 1) sage: implicit_plot3d(f, (x, -0.5, 0.5), (y, -1, 1), (z, -1, 1)) Graphics3d Object </pre><h2>Как построить график функции y 1 2. Функции и графики</h2>«Натуральный логарифм» - 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.«Степенная функция 9 класс» - У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).«Квадратичная функция» - 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а«Квадратичная функция и её график» - Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.«8 класс квадратичная функция» - 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_569d09ee2997c/img_user_file_569d09ee2997c_8.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_569d09ee2997c/img_user_file_569d09ee2997c_8.jpg' /></noscript> Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат - значения функции у = f (х) .Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 - 2х .Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости).<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/15/1018013/slide_7.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/15/1018013/slide_7.jpg' /></noscript> В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).Например, для функции f(х) = х 2 - 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 - 2х принимает положительные значения при х и при х > 2 , отрицательные - при 0 наименьшее значение функция у = х 2 - 2х принимает при х = 1 .<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/08/07/s_59878e494ba43/img15.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/08/07/s_59878e494ba43/img15.jpg' /></noscript> Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,..., х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.Таблица выглядит следующим образом: Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x). Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/l/L157UzE2klhwYdbK4yrsVvBcfQJt68i9C3qWe0/slide-7.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/l/L157UzE2klhwYdbK4yrsVvBcfQJt68i9C3qWe0/slide-7.jpg' /></noscript>Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции: Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию.Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/lawyers-age.ru/wp-content/uploads/1/d/f/1dfe1c71601b9ea8fdc33fc3e47b34b6.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/lawyers-age.ru/wp-content/uploads/1/d/f/1dfe1c71601b9ea8fdc33fc3e47b34b6.jpeg' /></noscript> Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.График функции у = |f(x)|. Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) - заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написатьЭто значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/307451/slide_15.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/307451/slide_15.jpg' /></noscript> е. часть графика функции y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).Пример 2. Построить график функции у = |х|. Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 - 2x|. Сначала построим график функции y = x 2 - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 - 2x График функции y = f(x) + g(x)Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x).<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1107490/slide_9.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1107490/slide_9.jpg' /></noscript> если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/927225/slide_11.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/927225/slide_11.jpg' /></noscript> е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x) Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции y = x + sinx .При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/f/c/f/fcf9cf5438d9beeafdd6a98485380800.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/f/c/f/fcf9cf5438d9beeafdd6a98485380800.jpeg' /></noscript> Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.1. Построение графика функции y = |f(x)| Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3| 1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.x 2 – 4x + 3 = 0.x 1 = 3, x 2 = 1.Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image2.slideserve.com/4882182/slide7-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image2.slideserve.com/4882182/slide7-l.jpg' /></noscript>Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).Координаты вершины параболы:x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1) 2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).2. Построение графика функции y = f(|x|) Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.1) Построить график функции y = f(x).2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/lawyers-age.ru/wp-content/uploads/2/b/a/2ba08143ab2ac630ab442c45a40ce228.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/lawyers-age.ru/wp-content/uploads/2/b/a/2ba08143ab2ac630ab442c45a40ce228.jpeg' /></noscript>4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3 Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y. (рис. 3) .Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x| Применяем схему, данную выше.1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .3. Построение графика функции y = |f(|x|)| Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/7/841614/slide_12.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/7/841614/slide_12.jpg' /></noscript> Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|. 1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2020/02/09/s_5e3f8bb17b228/img8.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2020/02/09/s_5e3f8bb17b228/img8.jpg' /></noscript>c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)| 1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/i.ytimg.com/vi/1oyhrHtdN50/hqdefault.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/i.ytimg.com/vi/1oyhrHtdN50/hqdefault.jpg' /></noscript>3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.<h2> Как нанести размеры по оси Y | Смотритель</h2><blockquote> Все пользовательские данные, представленные в этой статье, приведены для примера. </blockquote> Визуализации Looker автоматически определяют, какие значения отображать по оси Y. в зависимости от того, какие типы полей присутствуют в запросе. Возьмем, к примеру, этот Explore, который разбивает пользователей с полным именем и пользователей с возрастом для 10 самых высоких значений Order Count : Первые два измерения — Полное имя пользователя и Возраст пользователя — автоматически объединяются по оси x. Что делать, если вы хотите нанести размер по оси Y, когда Looker не делает этого автоматически? Для этого необходимо преобразовать измерение, чтобы оно отображалось как показатель .<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/100346/slide_18.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/100346/slide_18.jpg' /></noscript> Два способа достижения это изложено в этой статье. Что делать, если вы хотите разделить пользователей, возраст и пользователей, полное имя , чтобы пользователей возраста были на оси y, а Users Full Name и Orders Count отображаются на оси x, вот так? Два следующих решения описывают, как преобразовать измерение, например Users Age , в меру, чтобы ее можно было визуализировать на оси Y:<ul><li> Использование табличного расчета — создайте одноразовое решение прямо из Explore, не разрабатывая LookML.</li><li> Создание меры <code translate="no" dir="ltr"> sum </code> — Разработайте LookML, чтобы можно было повторно использовать выражение в будущих исследованиях без создания табличных вычислений.</li></ul><h4 data-text="Using a table calculation"> Использование табличного расчета</h4> Расчет таблицы — это самый быстрый и простой способ нанести размер по оси Y.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/653657/slide_7.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/653657/slide_7.jpg' /></noscript> Вычисление обычно отображается в виде измерения, если в формулу не включены меры. Вы можете заставить табличное вычисление вести себя как меру, включив меру в выражение вычисления. Главное — убедиться, что мера не повлияет на значение исходного измерения.<ol><li> Если в запросе «Изучение» нет меры, добавьте любую меру. (например, счет), а затем Спрятать это из визуализации. Если в вашем запросе уже есть мера, которую вы хотите включить в визуализацию, нет необходимости ее скрывать.</li><li> Затем создайте табличный расчет:<ul><li> Для числового поля расчет будет следующим:<pre translate="no" dir="ltr"> ${mydimension} + (0 * ${mymeasure}) </pre> Расчет сохраняет исходное значение размера путем умножения измерить на 0,</li> <li> Для строкового поля вычисление будет включать два логические функции, <code translate="no" dir="ltr"> if() </code> и <code translate="no" dir="ltr"> is_null() </code> , вместо этого:<pre translate="no" dir="ltr"> если (is_null ($ {mymeasure}), $ {string_dimension}, $ {string_dimension}) </pre>Это выражение сообщает Looker, что всегда отображает значение размерности строки вместо измерять значения.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image2.slideserve.com/4542376/slide5-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image2.slideserve.com/4542376/slide5-l.jpg' /></noscript></li></ul></li> <li> Скройте исходное измерение из визуализации, так как вычисление таблицы теперь представляет значения измерения в визуализации.</li></ol> После добавления расчета таблицы и скрытия исходного измерения таблица Explore Data будет выглядеть примерно так: Вы можете настроить отображение полей с помощью визуализации. варианты редактирования, в том числе с использованием нескольких типов виз в едином графике. В примере Orders Count визуализируется как линия, а Users Age как столбец:<h4 data-text="Creating a sum measure in LookML"> Создание показателя суммы</h4><code translate="no" dir="ltr"> </code> в LookML</h4> Если вы планируете в будущем снова отобразить определенное измерение по оси Y, более устойчивым вариантом будет создание <code translate="no" dir="ltr"> сумма </code> мера в LookML, который суммирует измерение, которое вы хотите отобразить.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/19/1181981/slide_18.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/19/1181981/slide_18.jpg' /></noscript> Вместо того чтобы повторно создавать одно и то же табличное вычисление в Исследовании несколько раз, вы можете добавить поле в запрос из селектора полей. Включите измерение и в новую меру в запросе Исследовать. Цифры будут одинаковыми, так как sum будет суммировать только одно значение — значение измерения рядом с ним. Мера будет выглядеть примерно так:<pre translate="no" dir="ltr"> мера: Measure_for_age { ## заменить новым именем description: "Используйте это поле возраста для отображения возраста по оси Y" тип: сумма sql: ${возраст} ;; ## замените на свой размер } </pre><blockquote> Добавление <code translate="no" dir="ltr"> описания </code> к мере может помочь пользователям понять предполагаемое использование поля. </blockquote> Скройте измерение в визуализации «Исследовать», но обязательно оставьте измерение в запрос, чтобы сумма не группировала несколько значений. Полученная визуализация Explore и Таблица данных будет выглядеть примерно так:<h2> seaborn.</h2><img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.intolimp.org/html/2020/02/23/i_5e523e122fd2d/img_php9YST4P_5-Logarifmicheskaya-funkciya_4.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.intolimp.org/html/2020/02/23/i_5e523e122fd2d/img_php9YST4P_5-Logarifmicheskaya-funkciya_4.jpg' /></noscript> lineplot — документация seaborn 0.12.0</h2><dl><dt> Seaborn.lineplot ( Data = None , * , x = None , y = none , hue = none , размер = нет , Стиль = Нет , Единицы = Нет , палитра = нет , hue_order = нет , hue_norm = нет , размеры = нет , size_order = нет , size_norm = none , DASHES = TRUE , Маркеры = NONE , STYLE_ORDE = NONE , Оценка = 'Среднее' , ERROUSBAR = ('CI', 95) , N_BOOT = 1000 , seed=Нет , orient='x' , sort=True , err_style='band' , err_kws=Нет , legend='0ci=' , 900'004 топор=нет , **kwargs )</dt><dd> Рисовать линейный график с возможностью нескольких смысловых группировок. Связь между <code> x </code> и <code> y </code> может быть показана для разных подмножеств данных с использованием параметров <code> hue </code> , <code> size </code> и <code> style </code> .<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/621497/slide_16.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/621497/slide_16.jpg' /></noscript> Эти параметры контролируют, какая визуальная семантика используется для идентификации различных подмножества. Можно отображать до трех измерений независимо друг от друга. используя все три семантических типа, но этот стиль сюжета может быть трудным для понимания. интерпретируется и часто оказывается неэффективным. Использование избыточной семантики (т.е. <code> оттенок </code> и <code> стиль </code> для одной и той же переменной) могут быть полезны для создания графика более доступная. Дополнительную информацию см. в руководстве. Обработка по умолчанию <code> оттенка </code> (и, в меньшей степени, <code> размера </code>) семантика, если она присутствует, зависит от того, выводится ли переменная как представляют «числовые» или «категориальные» данные. В частности, числовые переменные представлены последовательной цветовой картой по умолчанию, а легенда записи показывают обычные «галочки» со значениями, которые могут существовать или не существовать в данные. Это поведение можно контролировать с помощью различных параметров, таких как описаны и проиллюстрированы ниже.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf3.ppt-online.org/files3/slide/n/NsrxjfhqbKdMcHa2FgE6woZS8ymVBRi9eQ3lIP/slide-5.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf3.ppt-online.org/files3/slide/n/NsrxjfhqbKdMcHa2FgE6woZS8ymVBRi9eQ3lIP/slide-5.jpg' /></noscript> По умолчанию график агрегируется по нескольким значениям <code> y </code> для каждого значения <code> x </code> и показывает оценку центральной тенденции и достоверность интервал для этой оценки.<dl><dt> Параметры:</dt><dd><dl><dt> data <code> pandas.DataFrame </code> , <code> numpy.ndarray </code> , отображение или последовательность</dt><dd> Структура входных данных. Либо полный набор векторов, который может быть присваивается именованным переменным или набору данных широкой формы, который будет внутренне изменен.</dd><dt> x, y векторы или ключи в <code> данных </code></dt><dd> Переменные, определяющие положения по осям x и y.</dd><dt> оттенок вектор или ключ в <code> данных </code></dt><dd> Группирующая переменная, которая будет создавать линии разных цветов. Может быть либо категориальным, либо числовым, хотя отображение цветов будет в последнем случае ведут себя иначе.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/lpfile.ru/wp-content/uploads/6/c/b/6cbe5aa7c077f71c26fbd5668c270ca3.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/lpfile.ru/wp-content/uploads/6/c/b/6cbe5aa7c077f71c26fbd5668c270ca3.jpeg' /></noscript></dd><dt> размер вектор или ключ в <code> данных </code></dt><dd> Группирующая переменная, которая будет создавать линии разной ширины. Может быть либо категориальным, либо числовым, хотя сопоставление размеров в последнем случае ведут себя иначе.</dd><dt> стиль вектор или ключ в данных <code> </code></dt><dd> Группирующая переменная, которая будет создавать линии с разными штрихами и/или маркеры. Может иметь числовой тип dtype, но всегда будет обрабатываться как категоричный.</dd><dt> единиц вектор или ключ в <code> данных </code></dt><dd> Группирующая переменная, идентифицирующая единицы выборки. При использовании отдельный линия будет проведена для каждой единицы с соответствующей семантикой, но не запись легенды будет добавлена. Полезно для отображения распределения экспериментальные повторения, когда точные тождества не нужны.</dd><dt> палитра string, list, dict или <code> matplotlib.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/722491/slide_5.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/722491/slide_5.jpg' /></noscript> colors.Colormap </code></dt><dd> Метод выбора цветов для использования при отображении <code> оттенка </code> семантики. Строковые значения передаются в <code> color_palette() </code> . Список или словарные значения подразумевают категориальное отображение, в то время как объект палитры подразумевает числовое отображение.</dd><dt> hue_order вектор строк</dt><dd> Укажите порядок обработки и построения графиков для категориальных уровней <code> оттенок </code> семантический.</dd><dt> hue_norm tuple или <code> matplotlib.colors.Normalize </code></dt><dd> Любая пара значений, задающая диапазон нормализации в единицах данных или объект, который будет отображать единицы данных в интервал [0, 1]. Применение подразумевает числовое отображение.</dd><dt> размеры список, словарь или кортеж</dt><dd> Объект, который определяет, как выбираются размеры при использовании <code> размера </code>. Аргументы list или dict должны указывать размер для каждого уникального значения данных, что вынуждает к категоричной интерпретации.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/j/jp3HcDBm4xdaQfKA7ywFqNhgu6TzURX8CE02S9/slide-6.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/j/jp3HcDBm4xdaQfKA7ywFqNhgu6TzURX8CE02S9/slide-6.jpg' /></noscript> Аргумент также может быть мин, макс кортеж.</dd><dt> size_order list</dt><dd> Указанный порядок появления переменных уровней <code> size </code>, в противном случае они определяются из данных. Не актуально, когда <code> размер </code> переменная является числовой.</dd><dt> size_norm кортеж или нормализовать объект</dt><dd> Нормализация в единицах данных для масштабирования объектов графика при <code> size </code> переменная числовая.</dd><dt> тире логическое значение, список или словарь</dt><dd> Объект, определяющий способ рисования линий для разных уровней <code> стиль </code> переменный. При значении <code> True </code> будут использоваться дефисные коды по умолчанию или вы можете передать список кодов тире или уровни сопоставления словаря <code> стиль </code> переменная для кодов тире. При установке на <code> False </code> будет использоваться сплошной строки для всех подмножеств.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image1.slideserve.com/3453226/slide13-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image1.slideserve.com/3453226/slide13-l.jpg' /></noscript> Тире указаны как в matplotlib: кортеж из <code> (сегмент, разрыв) </code> длин или пустая строка для рисования сплошной линии.</dd><dt> маркеры логическое значение, список или словарь</dt><dd> Объект, определяющий, как рисовать маркеры для разных уровней <code> стиль </code> переменный. При значении <code> True </code> будут использоваться маркеры по умолчанию или вы можете передать список маркеров или уровень сопоставления словаря <code> стиль </code> переменный для маркеров. Установка на <code> False </code> будет рисовать линии без маркеров. Маркеры указаны как в matplotlib.</dd><dt> style_order список</dt><dd> Указанный порядок появления переменных уровней <code> стиля </code> в противном случае они определяются из данных. Не актуально, когда Переменная стиля <code> </code> является числовой.</dd><dt> оценщик имя метода pandas или вызываемый или None</dt><dd> Метод для агрегирования нескольких наблюдений <code> г </code> переменная на том же уровне <code> x </code>.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/i2.wp.com/fs00.urokimatematiki.ru/jpg/Funkcija_y=_ax2_ejo_grafik_i_svojstva_9.11.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/i2.wp.com/fs00.urokimatematiki.ru/jpg/Funkcija_y=_ax2_ejo_grafik_i_svojstva_9.11.jpg' /></noscript> Если <code> None </code> , все наблюдения будут быть нарисованным.</dd><dt> панель ошибок строка, (строка, число) кортеж или вызываемый</dt><dd> Имя метода панели ошибок (либо «ci», «pi», «se» или «sd»), либо кортеж с именем метода и параметром уровня или функцией, которая отображается из вектор на интервал (мин., макс.).</dd><dt> n_boot int</dt><dd> Количество бутстрапов, используемых для вычисления доверительного интервала.</dd><dt> seed int, numpy.random.Generator или numpy.random.RandomState</dt><dd> Seed или генератор случайных чисел для воспроизводимой начальной загрузки.</dd><dt> ориентация «x» или «y»</dt><dd> Измерение, по которому данные сортируются/агрегируются. Эквивалентно, «независимая переменная» результирующей функции.</dd><dt> sort boolean</dt><dd> Если True, данные будут отсортированы по переменным x и y, иначе линии будут соединять точки в том порядке, в котором они появляются в наборе данных.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf3.ppt-online.org/files3/slide/f/FrRn6Chi4D2zZmNEPyOJSuMfbxB8VLasdUQjv1/slide-20.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf3.ppt-online.org/files3/slide/f/FrRn6Chi4D2zZmNEPyOJSuMfbxB8VLasdUQjv1/slide-20.jpg' /></noscript></dd><dt> err_style «полоса» или «столбики»</dt><dd> Следует ли рисовать доверительные интервалы с полупрозрачными полосами ошибок или дискретные полосы ошибок.</dd><dt> err_kws dict аргументов ключевого слова</dt><dd> Дополнительные параметры для управления внешним видом полос ошибок. kwargs передаются либо в <code> matplotlib.axes.Axes.fill_between() </code> или <code> matplotlib.axes.Axes.errorbar() </code> , в зависимости от <code> err_style </code> .</dd><dt> легенда «авто», «краткая», «полная» или False</dt><dd> Как нарисовать легенду. Если «краткое», числовой <code> оттенок </code> и <code> размер </code> переменные будут представлены выборкой равномерно распределенных значений. Если «полный», каждая группа получит запись в легенде. Если «авто», выберите между кратким или полным представлением в зависимости от количества уровней. Если <code> False </code> , данные легенды не добавляются и легенда не рисуется.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/otvet.imgsmail.ru/download/271542676_9134677743270ffb690168ff546bbfa5_800.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/otvet.imgsmail.ru/download/271542676_9134677743270ffb690168ff546bbfa5_800.jpg' /></noscript></dd><dt> ci int или «sd» или None</dt><dd> Размер доверительного интервала для построения при агрегировании. Устарело, начиная с версии 0.12.0: используйте новый параметр <code> errorbar </code> для большей гибкости.</dd><dt> топор <code> matplotlib.axes.Axes </code></dt><dd> Существующие оси для графика. В противном случае вызовите <code> matplotlib.pyplot.gca() </code> внутри.</dd><dt> kwargs ключ, сопоставления значений</dt><dd> Другие аргументы ключевого слова передаются в <code> matplotlib.axes.Axes.plot() </code> .</dd></dl></dd><dt> Возвраты:</dt><dd><dl><dt> <code> matplotlib.axes.Axes </code></dt><dd> Оси matplotlib, содержащие график.</dd></dl></dd></dl> См. также<dl><dt> <code> диаграмма рассеяния </code></dt><dd> Нанесение данных на график с использованием точек.</dd><dt> <code> pointplot </code></dt><dd> Постройте точечные оценки и CI, используя маркеры и линии.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cloud.prezentacii.org/19/09/161195/images/screen4.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cloud.prezentacii.org/19/09/161195/images/screen4.jpg' /></noscript></dd></dl> Примеры Набор данных <code> рейсов </code> содержит ежемесячные данные о пассажирах авиакомпаний за 10 лет:<pre> рейса = sns.load_dataset("рейсы") рейсы.голова() </pre><table border="1"><thead><tr><th/><th> год</th><th> месяц</th><th> пассажиров</th></tr></thead><tbody><tr><th> 0</th><td> 1949</td><td> Январь</td><td> 112</td></tr><tr><th> 1</th><td> 1949</td><td> фев</td><td> 118</td></tr><tr><th> 2</th><td> 1949</td><td> март</td><td> 132</td></tr><tr><th> 3</th><td> 1949</td><td> апр</td><td> 129</td></tr><tr><th> 4</th><td> 1949</td><td> май</td><td> 121</td></tr></tbody></table> Чтобы построить линейный график с использованием полных данных, назначьте переменные <code> x </code> и <code> y </code>:<pre> may_flights = рейсы.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6419193/slide8-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6419193/slide8-l.jpg' /></noscript> query("месяц == 'май'") sns.lineplot(data=may_flights, x="год", y="пассажиры") </pre> Повернуть фрейм данных в широкоформатное представление:<pre> рейсы_wide = рейсы.pivot("год", "месяц", "пассажиры") рейсы_wide.head() </pre><table border="1"><thead><tr><th> месяц</th><th> Январь</th><th> фев</th><th> март</th><th> апр</th><th> май</th><th> июнь</th><th> июль</th><th> авг</th><th> сен</th><th> окт</th><th> ноябрь</th><th> декабрь</th></tr><tr><th> год</th><th/><th/><th/><th/><th/><th/><th/><th/><th/><th/><th/><th/></tr></thead><tbody><tr><th> 1949</th><td> 112</td><td> 118</td><td> 132</td><td> 129</td><td> 121</td><td> 135</td><td> 148</td><td> 148</td><td> 136</td><td> 119</td><td> 104</td><td> 118</td></tr><tr><th> 1950</th><td> 115</td><td> 126</td><td> 141</td><td> 135</td><td> 125</td><td> 149</td><td> 170</td><td> 170</td><td> 158</td><td> 133</td><td> 114</td><td> 140</td></tr><tr><th> 1951</th><td> 145</td><td> 150</td><td> 178</td><td> 163</td><td> 172</td><td> 178</td><td> 199</td><td> 199</td><td> 184</td><td> 162</td><td> 146</td><td> 166</td></tr><tr><th> 1952</th><td> 171</td><td> 180</td><td> 193</td><td> 181</td><td> 183</td><td> 218</td><td> 230</td><td> 242</td><td> 209</td><td> 191</td><td> 172</td><td> 194</td></tr><tr><th> 1953</th><td> 196</td><td> 196</td><td> 236</td><td> 235</td><td> 229</td><td> 243</td><td> 264</td><td> 272</td><td> 237</td><td> 211</td><td> 180</td><td> 201</td></tr></tbody></table> Чтобы построить один вектор, передайте его в <code> data </code> .<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/917440/slide_10.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/917440/slide_10.jpg' /></noscript> Если вектор представляет собой <code> pandas.Series </code> , он будет построен по его индексу:<pre> sns.lineplot(data=flights_wide["Май"]) </pre> Передача всего набора данных широкой формы в <code> data </code> строит отдельную строку для каждого столбца:<pre> sns.lineplot(data=flights_wide) </pre> При передаче всего набора данных в полном режиме будут агрегированы повторяющиеся значения (каждый год), чтобы показать среднее значение и 95% доверительный интервал:<pre> sns.lineplot(data=рейсы, x="год", y="пассажиры") </pre> Назначить семантику группировки ( <code> оттенок </code> , <code> размер </code> или <code> стиль </code> ) для построения отдельных линий<pre> sns.lineplot(data=flights, x="год", y="пассажиры", hue="месяц") </pre> Один и тот же столбец может быть назначен нескольким семантическим переменным, что может повысить доступность графика:<pre> sns.lineplot(data=flights, x="год", y="пассажиры", hue="месяц",) </pre> Используйте параметр <code> ориентация </code> для агрегирования и сортировки по вертикали графика:<pre> sns.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/08/07/s_59878e494ba43/img6.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/08/07/s_59878e494ba43/img6.jpg' /></noscript> lineplot (данные = рейсы, x = "пассажиры", y = "год", ориентация = "y") </pre> Каждая семантическая переменная также может представлять отдельный столбец. Для этого нам понадобится более сложный набор данных:.<pre> ФМРИ = sns.load_dataset("ФМРИ") fmri.head() </pre><table border="1"><thead><tr><th/><th> тема</th><th> момент времени</th><th> событие</th><th> регион</th><th> сигнал</th></tr></thead><tbody><tr><th> 0</th><td> с13</td><td> 18</td><td> стим</td><td> теменная</td><td> -0,017552</td></tr><tr><th> 1</th><td> с5</td><td> 14</td><td> стим</td><td> теменная</td><td> -0,080883</td></tr><tr><th> 2</th><td> с12</td><td> 18</td><td> стим</td><td> теменная</td><td> -0,081033</td></tr><tr><th> 3</th><td> с11</td><td> 18</td><td> стим</td><td> теменная</td><td> -0,046134</td></tr><tr><th> 4</th><td> с10</td><td> 18</td><td> стим</td><td> теменная</td><td> -0,037970</td></tr></tbody></table> Повторные наблюдения агрегируются даже при использовании семантической группировки:<pre> sns.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/2/b/c/2bcd1a000b399b5801bc53d4dc45bee2.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/2/b/c/2bcd1a000b399b5801bc53d4dc45bee2.jpeg' /></noscript> lineplot(data=fmri, x="timepoint", y="signal", hue="event") </pre> Назначьте <code> оттенок </code> и <code> стиль </code> для представления двух разных группирующих переменных:<pre> sns.lineplot(data=fmri, x="timepoint", y="signal", hue="region",) </pre> При назначении переменной стиля <code> </code> вместо дефисов (или вместе с ними) можно использовать маркеры для различения групп:<pre> sns.lineplot( данные = фмрт, х = "точка времени", у = "сигнал", оттенок = "событие", маркеры = Истина, тире = Ложь ) </pre> Показать полосы ошибок вместо полос ошибок и расширить их до двух стандартных значений ширины ошибки:<pre> sns.lineplot( data=fmri, x="timepoint", y="signal", hue="event", err_style="bars", errorbar=("se", 2), ) </pre> Присвоение переменной <code> единиц </code> приведет к построению нескольких линий без применения семантического отображения:<pre> sns.lineplot( data=fmri.query("регион == 'фронтальный'"), x="точка времени", y="сигнал", оттенок="событие", блоки="тема", оценщик = нет, lw = 1, ) </pre> Загрузить другой набор данных с числовой переменной группировки:<pre> точки = sns.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf.ppt-online.org/files1/slide/2/2ukiZjwmpDY5fTacrhAGWLRlSN80nHQXVzCEeF3dK/slide-22.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf.ppt-online.org/files1/slide/2/2ukiZjwmpDY5fTacrhAGWLRlSN80nHQXVzCEeF3dK/slide-22.jpg' /></noscript> load_dataset("dots").query("align == 'dots'") точки.голова() </pre><table border="1"><thead><tr><th/><th> выровнять</th><th> выбор</th><th> время</th><th> когерентность</th><th> скорость стрельбы</th></tr></thead><tbody><tr><th> 0</th><td> точек</td><td> Т1</td><td> -80</td><td> 0,0</td><td> 33.189967</td></tr><tr><th> 1</th><td> точек</td><td> Т1</td><td> -80</td><td> 3,2</td><td> 31.6</li></td></tr><tr><th> 2</th><td> точек</td><td> Т1</td><td> -80</td><td> 6,4</td><td> 34.279840</td></tr><tr><th> 3</th><td> точек</td><td> Т1</td><td> -80</td><td> 12,8</td><td> 32.631874</td></tr><tr><th> 4</th><td> точек</td><td> Т1</td><td> -80</td><td> 25,6</td><td> 35.060487</td></tr></tbody></table> Присвоение числовой переменной <code> оттенок </code>отображает его по-другому, используя другую палитру по умолчанию и количественное сопоставление цветов:<pre> sns.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/w/WLQzmkSrFR9TsKGxbZHoNfweguiqld4jBX1A8UvCIh/slide-3.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/w/WLQzmkSrFR9TsKGxbZHoNfweguiqld4jBX1A8UvCIh/slide-3.jpg' /></noscript> lineplot( данные = точки, x = "время", y = "скорость стрельбы", оттенок = "когерентность", ) </pre> Управляйте сопоставлением цветов, установив палитру <code> </code> и передав объект <code> matplotlib.colors.Normalize </code>:<pre> sns.lineplot( данные = dots.query ("когерентность > 0"), x = "время", y = "скорость стрельбы", оттенок = "когерентность", палитра = «вспышка», hue_norm = mpl.colors.LogNorm (), ) </pre> Или передать определенные цвета в виде списка или словаря Python:<pre> палитра = sns.color_palette("mako_r", 6) sns.lineplot( данные = точки, x = "время", y = "скорость стрельбы", оттенок = "когерентность", палитра=палитра ) </pre> Назначьте семантику размера <code> </code> для сопоставления ширины линий с числовой переменной:<pre> sns.lineplot( данные = точки, x = "время", y = "скорость стрельбы", размер = "когерентность", оттенок = "выбор", легенда = "полный" ) </pre> Передать кортеж, <code> размеров = (самый маленький, самый большой) </code> , чтобы управлять диапазоном ширины линии, используемой для отображения семантики размера <code> </code>:<pre> sns.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1083030/slide_19.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1083030/slide_19.jpg' /></noscript> lineplot( данные = точки, x = "время", y = "скорость стрельбы", размер = "когерентность", оттенок = "выбор", размеры = (0,25, 2,5) ) </pre> По умолчанию наблюдения сортируются по размеру <code> x </code>. Отключите это, чтобы построить линию в том порядке, в котором наблюдения появляются в наборе данных:.<pre> x, y = np.random.normal(size=(2, 5000)).cumsum(ось=1) sns.lineplot(x=x, y=y, sort=False, lw=1) </pre> Использовать <code> relplot() </code> для объединения <code> lineplot() </code> и <code> FacetGrid </code> . Это позволяет группировать внутри дополнительных категориальных переменных. Использование <code> relplot() </code> безопаснее, чем непосредственное использование <code> FacetGrid </code>, поскольку оно обеспечивает синхронизацию семантических отображений между фасетами:<pre> sns.relplot( данные = fmri, x = "точка времени", y = "сигнал", col="регион", оттенок="событие", вид = "линия" ) </pre></dd></dl><h2> Построение графиков в Python | Набор 1</h2> В этой серии статей вы познакомитесь с графическим представлением в Python с помощью Matplotlib, возможно, самой популярной библиотеки графического представления и визуализации данных для Python.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/ppt4web.ru/images/150/14236/640/img5.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/ppt4web.ru/images/150/14236/640/img5.jpg' /></noscript> Установка Самый простой способ установить matplotlib — использовать pip. Введите в терминал следующую команду: <pre> pip install matplotlib </pre> ИЛИ вы можете скачать ее отсюда и установить вручную. Getting started ( Plotting a line) <h3> Python</h3><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td> <code> import </code> <code> matplotlib.pyplot as plt </code> <code> </code> <code> x </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 1 </code> <code> , </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 3 </code> <code> ] </code> <code> y </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 4 </code> <code> , </code> <code> 1 </code> <code> ] </code> <code> </code> <code> plt.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/667399/slide_3.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/667399/slide_3.jpg' /></noscript> plot(x, y) </code> <code> </code> <code> plt.xlabel( </code> <code> 'x - axis' </code> <code> ) </code> <code> plt.ylabel( </code> <code> 'y - ось' </code><code> ) </code> <code> </code> <code> plt.title( </code> <code> 'My first graph!' </code> <code> ) </code> <code> </code> <code> plt.show() </code></td></tr></tbody></table> Output: Код говорит сам за себя. Были выполнены следующие шаги: <ul><li> Определите оси X и соответствующие значения оси Y в виде списков.</li><li> Нанесите их на холст с помощью функции .plot() .</li><li> Дайте имя оси x и оси y, используя функции .xlabel() и .<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf.ppt-online.org/files/slide/1/1Ps3yfqYHtQn5mupLUNEh4bGevw7WFjcTISA0C/slide-8.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf.ppt-online.org/files/slide/1/1Ps3yfqYHtQn5mupLUNEh4bGevw7WFjcTISA0C/slide-8.jpg' /></noscript> ylabel() .</li><li> Дайте название вашему графику, используя функцию .title() .</li><li> Наконец, чтобы просмотреть график, мы используем функцию .show() .</li></ul> Plotting two or more lines on same plot <h3> Python</h3><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td> <code> import </code> <code> matplotlib.pyplot as plt </code> <code> </code> <code> x1 </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 1 </code> <code> , </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 3 </code> <code> ] </code> <code> y1 </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 4 </code> <code> , </code> <code> 1 </code> <code> ] </code> <code> plt.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6419193/2-y-f-x-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6419193/2-y-f-x-l.jpg' /></noscript> plot(x1, y1, label </code> <code> = </code> <code> "line 1" </code> <code> ) </code> <code> </code> <code> x2 </code> <code> = </code> <code> [ </code><code> 1 </code> <code> , </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 3 </code> <code> ] </code> <code> y2 </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 4 </code> <code> , </code> <code> 1 </code> <code> , </code> <code> 3 </code> <code> ] </code> <code> plt.plot(x2, y2, label </code> <code> = </code> <code> "line 2" </code> <code> ) </code> <code> </code> <code> plt.xlabel( </code> <code> 'x - axis' </code> <code> ) </code> <code> plt.ylabel ( </code> <code> 'y - ось' </code> <code> ) </code> <code> plt.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/19/1212164/slide_3.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/19/1212164/slide_3.jpg' /></noscript> title( </code> <code> 'Two lines on same graph!' </code> <code> ) </code> <code> </code> <code> plt.legend() </code> <code> </code> <code> plt.show() </code></td></tr></tbody></table> Вывод: <ul><li> Здесь мы наносим две линии на один и тот же график. Мы различаем их, давая им имя ( label ), которое передается в качестве аргумента функции .plot().</li><li> Маленькое прямоугольное поле, дающее информацию о типе линии и ее цвете, называется легендой. Мы можем добавить легенду к нашему графику, используя функцию .legend() .</li></ul> Настройка графиков Здесь мы обсудим некоторые элементарные настройки, применимые практически к любому графику.<h3> Python</h3><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td> <code> импорт </code> <code> matplotlib.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/307434/slide_8.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/307434/slide_8.jpg' /></noscript> pyplot as plt </code> <code> </code> <code> x </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 1 </code> <code> , </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 3 </code> <code> , </code> <code> 4 </code> <code> , </code> <code> 5 </code> <code> , </code> <code> 6 </code> <code> ] </code> <code> y </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 4 </code> <code> , </code> <code> 1 </code> <code> , </code> <code> 5 </code> <code> , </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 6 </code> <code> ] </code> <code> </code> <code> PLT.PLOT (X, Y, Color </code> <code> = </code> <code> 'Зеленый' </code> <code>, Linestyle </code> <code> = </code> <code> 'Dashed' </code> <code>, LineWid </code> <code> 'Dashed' </code> <code>, LineWid </code> <code> 'Dashed' </code> <code>, LineWid.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/568493/slide_34.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/568493/slide_34.jpg' /></noscript> </code> <code> marker </code> <code> = </code> <code> 'o' </code> <code> , markerfacecolor </code> <code> = </code> <code> 'blue' </code> <code> , markersize </code> <code> = </code> <code> 12 </code> <code> ) </code> <code> </code> <code> plt.ylim( </code> <code> 1 </code> <code> , </code> <code> 8 </code> <code> ) </code> <code> plt.xlim( </code> <code> 1 </code> <code> , </code> <code> 8 </code> <code> ) </code> <code> </code> <code> plt.xlabel( </code> <code> 'x - axis '</code> <code>) </code> <code> PLT.YLABEL (</code> <code>' Y - AXIS '</code> <code>) </code> <code> </code> <code> PLT.TITL (</code> </code> <code> PLT.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6013375/slide12-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6013375/slide12-l.jpg' /></noscript> TITL (</code> </code> <code> PLT.TITL (</code> </code> <code> PLT.TITL (</code> </code> <code> PLT <code> Plt.Show () </code></td></tr></tbody></table> Выход: Как вы можете увидеть, мы сделали несколько настройки, такие как<ul> 40045. цвет.</li><li> настройка маркера, цвет лицевой стороны маркера, размер маркера.</li><li> переопределяет диапазон осей x и y. Если переопределение не выполнено, модуль pyplot использует функцию автоматического масштабирования для установки диапазона и масштаба оси.</li></ul> Bar Chart <h3> Python</h3><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td> <code> import </code> <code> matplotlib.pyplot as plt </code> <code> </code> <code> left </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 1 </code> <code> , </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 3 </code> <code> , </code> <code> 4 </code> <code> , </code> <code> 5 </code> <code> ] </code> <code> </code> <code> height </code> <code> = </code><code> [ </code> <code> 10 </code> <code> , </code> <code> 24 </code> <code> , </code> <code> 36 </code> <code> , </code> <code> 40 </code> <code> , </code> <code> 5 </code> <code> ] </code> <code> </code> <code> tick_label </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> ' one' </code> <code> , </code> <code> 'two' </code> <code> , </code> <code> 'three' </code> <code> , </code> <code> 'four' </code> <code> , </code> <code> 'five' </code> <code> ] </code> <code> </code> <code> plt.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2021/06/29/s_60db67b6e3372/img6.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2021/06/29/s_60db67b6e3372/img6.jpg' /></noscript> bar(left , высота, метка_галочки </code> <code> = </code> <code> tick_label, </code> <code> </code> <code> width </code> <code> = </code> <code> 0.8 </code> <code> , color </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 'red' </code> <code> , </code> <code> 'green' </code> <code> ]) </code> <code> </code> <code> plt.xlabel( </code> <code> 'x - axis' </code> <code> ) </code> <code> plt.ylabel( </code> <code> 'y - axis' </code> <code> ) </code> <code> plt.title( </code> <code> 'My bar график!» </code> <code> ) </code> <code> </code> <code> plt.show() </code></td></tr></tbody></table> Output : <ul><li> Here, we use plt.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/2/2PUrHQXM8fKe9SN7vZcBsd4mythnoj6RwTLilqICE/slide-25.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/2/2PUrHQXM8fKe9SN7vZcBsd4mythnoj6RwTLilqICE/slide-25.jpg' /></noscript> bar() function to plot a гистограмма.</li><li> x-координаты левой стороны стержней передаются вместе с высотами стержней.</li><li> вы также можете дать некоторые имена координатам оси X, определив tick_labels </li></ul> Histogram <h3> Python</h3><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td> <code> import </code> <code> matplotlib.pyplot as plt </code> <code> </code> <code> ages </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 5 </code> <code> , </code> <code> 70 </code> <code> , </code> <code> 40 </code> <code> , </code> <code> 30 </code> <code> , </code> <code> 45 </code> <code> , </code> <code> 50 </code> <code> , </code> <code> 45 </code> <code> , </code> <code> 43 </code><code> , </code> <code> 40 </code> <code> , </code> <code> 44 </code> <code> , </code> <code> </code> <code> 60 </code> <code> , </code> <code> 7 </code> <code> , </code> <code> 13 </code> <code> , </code> <code> 57 </code> <code> , </code> <code> 18 </code> <code> , </code> <code> </code> <code>, </code> <code> 77 </code> <code>, </code> <code> 32 </code> <code>, </code> <code> 21 </code> <code>, </code> <code> 20 </code> <code>, </code> <code> 40197 <code>.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/lawyers-age.ru/wp-content/uploads/0/2/f/02fc3491a57e8354cad676f608b1b927.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/lawyers-age.ru/wp-content/uploads/0/2/f/02fc3491a57e8354cad676f608b1b927.jpeg' /></noscript> 7 range </code> <code> = </code> <code> ( </code> <code> 0 </code> <code> , </code> <code> 100 </code> <code> ) </code> <code> bins </code> <code> = </code> <code> 10 </code> <code> </code> <code> plt.hist(ages, bins, </code> <code> range </code> <code> , color </code> <code> = </code> <code> 'green' </code> <code> , </code> <code> </code> <code> histtype </code> <code> = </code> <code> 'bar' </code> <code> , rwidth </code> <code> = </code> <code> 0.8 </code> <code> ) </code> <code> </code> <code> plt.xlabel( </code> <code> 'age' </code> <code> ) </code> <code> plt.ylabel( </code> <code> 'No. of people' </code> <code> ) </code> <code> plt.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/10/967838/slide_27.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/10/967838/slide_27.jpg' /></noscript> title( </code> <code> ' Моя гистограмма '</code> <code>) </code> <code> </code> <code> Plt.show () </code></td></tr></tbody></table> . построить гистограмму.</li><li> частот передаются как список возрастов .</li><li> Диапазон можно задать, определив кортеж, содержащий минимальное и максимальное значения.</li><li> Следующим шагом является « бин » диапазон значений, т. е. разделение всего диапазона значений на серию интервалов, а затем подсчет количества значений, попадающих в каждый интервал. Здесь мы определили интервалов = 10. Таким образом, всего имеется 100/10 = 10 интервалов.</li></ul> Диаграмма рассеяния <h3> Python</h3><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td> <code> import </code> <code> matplotlib.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/otvet.imgsmail.ru/download/29994113_a8ffb07268c56e519331b9822e955282_800.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/otvet.imgsmail.ru/download/29994113_a8ffb07268c56e519331b9822e955282_800.jpg' /></noscript> pyplot as plt </code> <code> </code> <code> x </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 1 </code> <code> , </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 3 </code> <code>, </code> <code> 4 </code> <code>, </code> <code> 5 </code> <code>, </code> <code> 6 </code> <code>, </code> <code> 7 </code> <code>, </code> <code> 8 </code>7 7 </code> <code>, </code> <code> </code>9 7 </code> <code>.0197 10 </code> <code> ] </code> <code> y </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 2 </code> <code> , </code> <code> 4 </code> <code> , </code> <code> 5 </code> <code> , </code> <code> 7 </code> <code> , </code> <code> 6 </code> <code> , </code> <code> 8 </code> <code> , </code> <code> 9 </code> <code> , </code> <code> 11 </code> <code> , </code> <code> 12 </code> <code> , </code> <code> 12 </code> <code> ] </code> <code> </code> <code> plt.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6195058/slide9-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6195058/slide9-l.jpg' /></noscript> scatter(x, y, label </code> <code> = </code> <code> "stars </code> <code> , color </code> <code> = </code> <code> "green" </code> <code> , </code> <code> </code> <code> marker </code> <code> = </code> <code> "*" </code> <code> , s </code> <code> = </code> <code> 30 </code> <code> ) </code> <code> </code> <code> Plt.xlabel (</code> <code> 'x - Axis' </code> <code>) </code> <code> Plt.ylabel (</code> <code> 'y - Axis' </code> <code>) </code> <code> PLT.TIT. <code>) </code> <code> PLT.TIT. <code>) </code> <code> PLT.TIT. <code>) </code> <code>. <code> ) </code> <code> plt.legend() </code> <code> </code> <code> plt.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/47381/slide_7.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/47381/slide_7.jpg' /></noscript> show() </code></td></tr></tbody></table> Output: <ul><li> Here, we use plt.scatter() для построения графика рассеяния.</li><li> В качестве линии мы также определяем здесь x и соответствующие значения оси Y.</li><li> маркер Аргумент используется для установки символа, который будет использоваться в качестве маркера. Его размер можно определить с помощью с параметр.</li></ul> Pie-chart <h3> Python</h3><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td> <code> import </code> <code> matplotlib.pyplot as plt </code> <code> </code> <code> activities </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 'eat' </code> <code> , </code> <code> 'sleep' </code> <code> , </code> <code> 'work' </code> <code> , </code> <code> 'play' </code> <code> ] </code> <code> </code> <code> slices </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> 3 </code> <code> , </code> <code> 7 </code> <code> , </code> <code> 8 </code> <code> , </code> <code> 6 </code> <code> ] </code> <code> </code> <code> colors </code> <code> = </code> <code> [ </code> <code> ' r' </code> <code> , </code> <code> 'y' </code> <code> , </code> <code> 'g' </code> <code> , </code> <code> 'b' </code> <code> ] </code> <code> </code> <code> plt.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/917440/slide_4.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/917440/slide_4.jpg' /></noscript> pie(slices, labels </code> <code> = </code> <code> activities, colors </code> <code> = </code> <code> colors, </code> <code> </code> <code> startangle </code> <code> = </code> <code> 90 </code> <code> , shadow </code> <code> = </code> <code> True </code> <code> , explode </code> <code> = </code> <code> ( </code> <code> 0 </code> <code> , </code> <code> 0 </code> <code> , </code> <code> 0.1 </code> <code> , </code> <code> 0 </code> <code> ), </code> <code> </code> <code> radius </code> <code> = </code> <code> 1.2 </code> <code> , autopct </code><code> = </code> <code> '%1.1f%%' </code> <code> ) </code> <code> </code> <code> plt.legend() </code> <code> </code> <code> plt.show() </code></td></tr></tbody></table> The output of вышеприведенная программа выглядит следующим образом: <ul><li> Здесь мы строим круговую диаграмму, используя метод plt.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf.ppt-online.org/files/slide/g/g3nXm0uCcTF57jDyZUS6waptNhMAEqIKOfrkd2/slide-15.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf.ppt-online.org/files/slide/g/g3nXm0uCcTF57jDyZUS6waptNhMAEqIKOfrkd2/slide-15.jpg' /></noscript> pie() .</li><li> Прежде всего, мы определяем меток , используя список под названием действий .</li><li> Затем можно определить часть каждой метки, используя другой список, называемый срезами .</li><li> Цвет каждой этикетки определяется с помощью списка цветов .</li><li> shadow = True будет отображать тень под каждой меткой на круговой диаграмме.</li><li> startangle поворачивает начало круговой диаграммы на заданные градусы против часовой стрелки относительно оси x.</li><li> взорвать используется для установки доли радиуса, на которую мы смещаем каждый клин.</li><li> autopct используется для форматирования значения каждой метки. Здесь мы настроили отображение процентного значения только до 1 знака после запятой.</li></ul> Plotting curves of given equation <h3> Python</h3><table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td> <code> import </code> <code> matplotlib.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/content-16.foto.my.mail.ru/mail/37naumenko/25/i-1037.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/content-16.foto.my.mail.ru/mail/37naumenko/25/i-1037.jpg' /></noscript> pyplot as plt </code> <code> import </code> <code> numpy as np </code> <code> </code> <code> х </code> <code> = </code><code> NP.Arange (</code> <code> 0 </code> <code>, </code> <code> 2 </code> <code> * </code> <code> (NP.PI), </code> <code> 0,1 </code> <code>) </code> <code>97 </code> <code>). <code> </code> <code> plt.plot(x, y) </code> <code> </code> <code> plt.show() </code></td></tr></tbody></table> The output of above program looks like this: Здесь мы используем NumPy — универсальный пакет обработки массивов на Python. <ul><li> Чтобы установить значения по оси X, мы используем метод np.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/598934/slide_3.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/598934/slide_3.jpg' /></noscript> arange() , в котором первые два аргумента предназначены для диапазона, а третий — для пошагового увеличения. Результатом является массив NumPy.</li><li> Чтобы получить соответствующие значения оси Y, мы просто используем предопределенный метод np.sin() для массива NumPy.</li><li> Наконец, мы наносим точки, передавая массивы x и y в функция plt.plot() .</li></ul> Итак, в этой части мы обсудили различные типы графиков, которые мы можем создавать в matplotlib. Есть и другие графики, которые не были рассмотрены, но наиболее важные из них обсуждаются здесь — <ul><li> Построение графиков в Python | Set 2</li><li> Построение графиков в Python | Набор 3</li></ul> Эта статья предоставлена Nikhil Kumar . Если вам нравится GeeksforGeeks и вы хотите внести свой вклад, вы также можете написать статью с помощью write.geeksforgeeks.org или отправить ее по адресу review-team@geeksforgeeks.org. Посмотрите, как ваша статья появится на главной странице GeeksforGeeks, и помогите другим гикам.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1112539/slide_5.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1112539/slide_5.jpg' /></noscript> Пожалуйста, пишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсуждаемой выше. <h2> Графики X и Y — определение, различия, уравнение на графике X и Y, примеры</h2> Графики x и y, также известные как оси x и y, — это две важные линии, составляющие график. График состоит из горизонтальной оси и вертикальной оси, на которых могут быть представлены данные. Точка может быть описана по горизонтали или по вертикали, что легко понять с помощью графика. Эти горизонтальные и вертикальные линии или оси на графике являются осью x и осью y соответственно. Давайте узнаем больше о графике x и y в математике, таблице, диаграммах и решим несколько примеров, чтобы лучше понять концепцию.<table border="0" cellpadding="1" cellspacing="1"><tbody><tr><td> 1.</td><td> Определение графика X и Y</td></tr><tr><td> 2.</td><td> Разница между графиками по осям X и Y</td></tr><tr><td> 3.</td><td> График уравнения по осям X и Y График</td></tr><tr><td> 4.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/c/9/f/c9ff0cc56bdcfbde89112aa19266f27c.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/c/9/f/c9ff0cc56bdcfbde89112aa19266f27c.jpeg' /></noscript></td><td> Уравнение оси Y</td></tr><tr><td> 5.</td><td> Уравнение оси X</td></tr><tr><td> 6.</td><td> Часто задаваемые вопросы по X и Y График</td></tr></tbody></table><h3> Определение графика X и Y</h3> График x и y может быть задан двумя осями, т. е. осью x и осью y, которые образуют координатную плоскость для графика. Горизонтальная ось представлена осью x, а вертикальная ось представлена осью y. Точка пересечения осей x и y называется началом координат и используется в качестве опорной точки для плоскости. На изображении ниже представлена координатная плоскость с обеими осями. Ось X на графике также известна как абсцисса. Ось Y на графике также известна как ордината. Любая точка на координатной плоскости хорошо определяется упорядоченной парой, где упорядоченная пара записывается как (координата x, координата y) или (x, y), где координата x представляет точку на оси x или перпендикулярно расстояние от оси y и координата y представляет собой точку на оси y или перпендикулярное расстояние от оси x.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/6/4/0/6403041cf8c50cb7146ee587d4e222d0.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/6/4/0/6403041cf8c50cb7146ee587d4e222d0.jpeg' /></noscript> График x и y имеет 4 квадранта, то есть каждая перпендикулярная линия является одним квадрантом. Изображение ниже описывает график x и y как с положительными, так и с отрицательными координатами. Например: Население города с 2015 по 2020 год указано в таблице X и Y как:<table border="1"><tbody><tr><td> Годы </td><td> 2015</td><td> 2016</td><td> 2017</td><td> 2018</td><td> 2019</td><td> 2020</td></tr><tr><td> Люди в миллионах </td><td> 1</td><td> 1,5</td><td> 2</td><td> 2,5</td><td> 3</td><td> 3,5</td></tr></tbody></table> Чтобы найти любую точку на координатной плоскости, мы используем упорядоченную пару, где упорядоченная пара записывается как (координата x,координата y) или (x, y), где координата x представляет точку на координатной плоскости. ось x или перпендикулярное расстояние от оси y, а координата y представляет собой точку на оси y или перпендикулярное расстояние от оси x, поэтому сверху ясно, что ось x идет первой при записи упорядоченной пары в найти точку.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/15/1018016/slide_14.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/15/1018016/slide_14.jpg' /></noscript> Здесь мы видим, что расположение каждой точки на графике отмечено как упорядоченная пара, где ось x или координата x опережает ось y или координату y. Затем представить эти точки на диаграмме x и y, используя годы на оси x и соответствующее население на оси y как:<h3> Разница между графиками по осям X и Y</h3> График x и y состоит из осей x и y, которые образуют координатную плоскость графика, на котором представлены числа для сравнения или даже формирования линейных уравнений. Есть много различий между осью X и осью Y, даже если они имеют одну и ту же точку начала координат. Давайте посмотрим на различия:<table border="1"><tbody><tr><td> ось x графика </td><td> ось Y графика </td></tr><tr><td> Горизонтальная плоскость графика в декартовой системе координат, дающая числовое значение в каждой точке.</td><td> Это вертикальная плоскость графика в декартовой системе координат, дающая числовое значение в каждой точке.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/165103/slide_19.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/165103/slide_19.jpg' /></noscript></td></tr><tr><td> Ось X называется абсциссой.</td><td> Ось Y называется ординатой.</td></tr><tr><td> Переменные на оси x представляют причину данных.</td><td> Переменные на оси Y представляют следствие данных.</td></tr><tr><td> Числа, размещенные на оси x, называются координатами x.</td><td> Числа, размещенные на оси Y, называются координатами Y.</td></tr><tr><td> Ось X представляет собой горизонтальную линию с 0 в качестве начала координат, положительными числами справа и отрицательными числами слева.</td><td> Ось Y рисуется вертикально снизу вверх с тем же началом, что и ось X, с положительными числами вверху и отрицательными числами внизу.</td></tr><tr><td> Координаты относительно оси x записываются как (x, y).</td><td> Координаты относительно оси Y записываются как (y, x).</td></tr></tbody></table><h3> График уравнения по осям X и Y График</h3> На графике x и y можно изобразить линейное уравнение, показывающее координаты как по оси x, так и по оси y.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image1.slideserve.com/3453226/slide6-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image1.slideserve.com/3453226/slide6-l.jpg' /></noscript> В геометрии линейное уравнение можно изобразить с помощью графика x и y, и оно представлено в виде прямой линии. Давайте посмотрим на пример, чтобы понять это лучше: Рассмотрим линейное уравнение y = 2x + 1. Теперь, чтобы построить график этого уравнения, постройте таблицу с двумя столбцами для значений x и y. Выберем некоторые значения для переменной x и найдем соответствующие значения для y. Если x = 1, то y = 2 × 1 + 1 = 3. Если x = 2, то y = 2 × 2 + 1 = 5 и так далее. Здесь мы берем значения только трех точек, начиная с 0. Чтобы нарисовать график координат линейного уравнения по осям x и y, нам нужно нарисовать таблицу сетки осей x и y по крайней мере для двух точек.<table border="1"><tbody><tr><td> х </td><td> г </td></tr><tr><td> 0</td><td> 1</td></tr><tr><td> 1</td><td> 3</td></tr><tr><td> 2</td><td> 5</td></tr></tbody></table> Теперь нарисуйте точки на графике, где значения x лежат на оси x, а соответствующие значения y лежат на оси y.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/03/13/s_58c6818fa2e13/img4.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/03/13/s_58c6818fa2e13/img4.jpg' /></noscript> Затем соедините точки прямой линией, чтобы нарисовать график уравнения.<h3> Уравнение оси Y</h3> Ось Y — это линия, на которой значения координаты x равны нулю для всех значений y. Тогда точки данных для оси Y: (0, -1), (0, 0,5), (0, 1), (0, 1,5). Следовательно, уравнение оси y равно x = 0, и его график на графике x и y показан ниже. Если мы подставим значение x вместо 0 в общее уравнение y = mx + c, мы сможем найти координаты для y.<h3> Уравнение оси X</h3> Ось X — это линия, на которой значения координаты Y равны нулю для всех значений x. Тогда точки данных для оси x: (1,0), (-1,5, 0). Следовательно, уравнение оси x равно y = 0, и его график на графике x и y показан ниже. Если мы заменим значение y на 0 в общем уравнении y = mx + c, мы сможем найти координаты для x.<h4> Связанные темы</h4> Ниже перечислены несколько интересных тем, связанных с графиком x и y, посмотрите.<ul><li> Введение в графику</li><li> Геометрия</li><li> Полярные координаты</li></ul><h3> Часто задаваемые вопросы о графике X и Y</h3><h4> Что такое график X и Y?</h4> График x и y — это визуальное представление данных, отображаемых на графике с осью x и y, образующими координатные плоскости.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cloud.prezentacii.org/18/02/47337/images/screen10.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cloud.prezentacii.org/18/02/47337/images/screen10.jpg' /></noscript> Ось X на графике также известна как абсцисса, тогда как ось Y известна как ордината. Любая точка на координатной плоскости хорошо определяется упорядоченной парой, где упорядоченная пара записывается как (координата x, координата y) или (x, y), где координата x представляет точку на оси x или перпендикулярно расстояние от оси y и координата y представляет собой точку на оси y или перпендикулярное расстояние от оси x. График x и y имеет 4 квадранта.<h4> Как изобразить уравнение на графике X и Y?</h4> Чтобы построить уравнение, сначала постройте таблицу с двумя столбцами для значений x и y, подставив значения x и y в уравнение, начиная с 0. Затем нарисуйте точки на графике, где значения x лежат на ось x и соответствующие значения y лежат на оси y. Затем соедините точки, чтобы нарисовать график уравнения. Обычно это прямая линия, диагональная, вертикальная или горизонтальная при построении линейного уравнения.<h4> Какая точка находится на отрицательной оси Y на графике X и Y?</h4> Точка с отрицательным значением координаты y находится на отрицательной оси y.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf.ppt-online.org/files/slide/a/AgerGlLVz1vdIBOSkyb520Yw3Ut8fuQjEJCcXo/slide-29.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf.ppt-online.org/files/slide/a/AgerGlLVz1vdIBOSkyb520Yw3Ut8fuQjEJCcXo/slide-29.jpg' /></noscript> Поскольку ось Y представляет собой вертикальную линию, которая начинается снизу вверх, отрицательные числа лежат в нижней части области и охватывают 3-й и 4-й квадранты графика.<h4> Что является осью X и что является осью Y на графике X и Y?</h4> Горизонтальная ось известна как ось X, а вертикальная ось известна как ось Y. Начало 0 является общим фактором для обеих осей. Ось X показывает причину данных, а ось Y показывает эффект данных. Например, при отображении температуры в Нью-Йорке ось X показывает недели, а ось Y показывает температуру. Каждая точка на обеих осях будет показывать предыдущее значение, начиная с 0,<h4> Как построить график с осями X и Y?</h4> Сначала мы рисуем и обозначаем оси x и y. Затем мы наносим координаты функции при различных значениях координат x и y. Затем соединяем координаты и строим график функции.<h4> Как называются оси X и оси Y на графике X и Y?</h4> Вертикальная ось, т. е. ось Y, известна как ось абсцисс. А ось x известна как ось ординат.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image3.slideserve.com/5776534/y-x-3-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image3.slideserve.com/5776534/y-x-3-l.jpg' /></noscript><h2> Линейный график Определение</h2><h3> Что такое линейный график?</h3> Линейный график, также известный как линейный график или линейная диаграмма, представляет собой график, который использует линии для соединения отдельных точек данных. Линейный график отображает количественные значения за указанный интервал времени. В финансах линейные графики обычно используются для отображения исторической динамики цены актива или ценной бумаги. Линейные графики можно сравнивать с другими визуализациями данных, включая гистограммы, круговые диаграммы и (в трейдинге) свечные диаграммы.<h4> Ключевые выводы</h4><ul><li> Линейный график соединяет отдельные точки данных, которые обычно отображают количественные значения за определенный интервал времени.</li><li> Линейные графики состоят из двух осей: оси X (горизонтальной) и оси Y (вертикальной), которые графически обозначаются как (x,y).</li><li> При инвестировании в область технического анализа линейные графики весьма информативны, позволяя пользователю визуализировать тенденции.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6419193/10-y-f-x-g-x-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6419193/10-y-f-x-g-x-l.jpg' /></noscript></li><li> Хотя линейные графики используются во многих различных областях для различных целей, их наиболее распространенная функция — создание графического изображения изменений значений с течением времени.</li><li> В финансах линейные графики используются для визуального представления значений во времени, включая изменения цен на ценные бумаги.</li></ul><h3> Понимание линейных графиков</h3> На линейных графиках используются «маркеры» точек данных, которые соединяются прямыми линиями. Эти точки данных, соединенные прямыми линиями, помогают в визуализации. Хотя линейные графики используются во многих различных областях для различных целей, они особенно полезны, когда необходимо создать графическое изображение изменений значений с течением времени. Линейные графики часто используются в финансах для создания визуального представления значений во времени, включая изменения цен на ценные бумаги, отчеты о доходах компаний и истории основных фондовых индексов. Они также полезны для сравнения различных ценных бумаг.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/3/1/f/31fec27474c7a02ef7871666b830426b.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/3/1/f/31fec27474c7a02ef7871666b830426b.jpeg' /></noscript> В инвестировании, особенно в области технического анализа, инвесторы используют линейные графики для визуализации тенденций, что может значительно помочь им в их анализе. Есть некоторые ограничения для линейных графиков. Например, линейные графики часто теряют четкость, когда точек данных слишком много. Также легко манипулировать ими визуально для достижения определенных эффектов. Например, кажущейся степенью изменения можно визуально управлять, регулируя диапазон точек данных на осях.<h4/></h4> Линейные графики можно построить вручную или с помощью программного обеспечения, такого как Microsoft Excel. Последнее значительно повышает скорость и точность конечного продукта.<h3> Построение линейного графика</h3> Линейные графики состоят из двух осей: оси X (горизонтальной) и оси Y (вертикальной). Каждая ось представляет другой тип данных, а точки их пересечения равны (0,0). Ось x является независимой осью, поскольку ее значения не зависят ни от чего измеряемого.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/680167/slide_13.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/680167/slide_13.jpg' /></noscript> Ось Y является зависимой осью, поскольку ее значения зависят от значений оси X. Каждая ось должна быть помечена в соответствии с данными, измеренными вдоль этой оси. Затем каждую ось следует разделить на соответствующие приращения (например, первый день, второй день и т. д.). Например, при измерении изменений цен акций за предыдущие две недели ось X будет представлять измеренное время (торговые дни в течение периода), а ось Y — цены акций. При использовании линейных графиков для отслеживания цены акции наиболее часто используемой точкой данных является цена закрытия акции. Например, предположим, что в первый день торгов цена данной акции составляла 30 долларов, в результате чего точка данных была равна (1, 30 долларов). На второй день торгов цена акции составляла 35 долларов, в результате чего точка данных составила (2, 35 долларов). Каждая точка данных нанесена на график и соединена линией, которая визуально показывает изменения значений с течением времени.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/947511/slide_11.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/9/947511/slide_11.jpg' /></noscript> Если бы стоимость акций увеличивалась ежедневно, линия наклонялась бы вверх и вправо. И наоборот, если бы цена акции неуклонно снижалась, то линия наклонялась бы вниз и вправо.<h3> Типы линейных графиков</h3> Существует три основных типа линейных графиков. Хотя каждый тип основан на одних и тех же принципах, у каждого есть своя уникальная ситуация, в которой его лучше всего реализовать и использовать.<h4> Простой линейный график</h4> Простой линейный график является самым основным типом линейного графика. На этом графике отслеживается только одна зависимая переменная, поэтому есть только одна линия, соединяющая все точки данных на графике. Все точки на графике относятся к одному и тому же элементу, и единственная цель графика — отслеживать изменения этой переменной во времени. Этот график нельзя использовать для сравнения переменной с другой переменной, поскольку на графике отображается только переменная. В приведенном ниже примере по оси X отложено время, а по оси Y — годовое изменение цен на все потребительские товары в США.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image1.slideserve.com/3453226/slide5-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image1.slideserve.com/3453226/slide5-l.jpg' /></noscript> Этот график индекса потребительских цен показывает годовой уровень инфляции, и, поскольку он анализирует только один набор данных (все товары), здесь только одна линия. Индекс потребительских цен, все товары. Бюро трудовой статистики<h4> Многолинейный график</h4> На многолинейном графике на график нанесено несколько зависимых переменных, которые сравниваются по одной независимой переменной (часто по времени). Различные зависимые переменные часто обозначаются линиями разного цвета, чтобы различать каждый набор данных. Каждая строка относится только к точкам в заданном наборе данных; линии не пересекаются между зависимыми переменными. Например, линейный график ниже снова показывает индекс потребительских цен. Однако на этом графике показано изменение цен для трех различных категорий: медицинское обслуживание (красный цвет), товары (зеленый цвет) и жилье (синий цвет). На этом графике мы видим, что рост цен на товары был выше, чем на две другие категории в июле 2022 года.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/03/13/s_58c6818fa2e13/img19.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/03/13/s_58c6818fa2e13/img19.jpg' /></noscript> Однако расходы на жилье или медицинские расходы, как правило, были группами, которые испытали более высокую инфляцию за последнее десятилетие. Индекс потребительских цен, выберите категории. Бюро трудовой статистики<h4> Составной линейный график</h4> Составной линейный график использует несколько переменных, как и многострочный график. Однако переменные часто накладываются друг на друга, чтобы показать общее количество по всем переменным. Это не только информирует пользователей о взаимосвязи между каждой из переменных, но также информирует о том, как изменяется общая сумма. В приведенном ниже примере от Агентства по охране окружающей среды (EPA) есть пять зависимых переменных, которые варьируются от аномально засушливых земель до исключительно засушливых районов. Сначала были нанесены данные о самой экстремальной засухе, а любое пустое место под этим линейным графиком было заштриховано темно-красным цветом. Затем были нанесены последующие наборы данных, при этом пустая область под каждой из этих линий была закрашена соответствующим цветом.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/03/13/s_58c6818fa2e13/img17.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/03/13/s_58c6818fa2e13/img17.jpg' /></noscript> В целом это показывает взаимосвязь между описаниями засухи, а также общим процентом земельной площади США в этих категориях по годам. Измерения засухи EPA, 2000–2015 гг. Агентство по охране окружающей среды<h3> Части линейного графика</h3> Линейные графики могут различаться в зависимости от дополнительных функций или форматирования. Наиболее качественные и простые для понимания линейные графики обладают следующими характеристиками:<h4> Название</h4> Линейные графики могут иметь заголовок над графиком, чтобы кратко объяснить, что изображено на графике. Если вы не предоставите пользователю письменный контекст, пользователь часто будет полагаться на заголовок, чтобы лучше понять, какие данные извлекаются. В заголовке могут конкретно указываться временные рамки или ограничения для данных (т. может быть «Уровень засушливых земель США по годам, 2000–2015 гг.»). <h4> Легенда</h4> Легенда объясняет, что представляет собой каждая зависимая переменная и как различать разные наборы данных.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6419193/5-y-kf-x-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image3.slideserve.com/6419193/5-y-kf-x-l.jpg' /></noscript> В приведенном выше примере каждая зависимая переменная отмечена своим цветом. Коробка, которая объясняет, что означает каждый цвет, является легендой.<h4> Данные</h4> Каждый элемент данных на линейном графике является ссылкой на другой источник, который связывает зависимую переменную с независимой переменной. Это информация на вашем графике; это элемент, который создает точки, которые соединяются, чтобы сформировать линии на вашем графике. В некоторых примерах, как показано выше, может быть несколько наборов данных, объединенных в один график. Чтобы обеспечить защиту и точность данных, в компаниях могут быть специальные аналитики по целостности данных или аналогичные должности для мониторинга активности баз данных.<h4> Ось X</h4> Ось X — это набор информации, которая проходит вдоль горизонтальной плоской части в нижней части линейного графика. В большинстве линейных графиков ось X будет связана со временем, будь то разные месяцы в году или количество недель, прошедших с момента запуска продукта.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/625065/slide_6.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/625065/slide_6.jpg' /></noscript><h4> Ось Y</h4> Ось Y — это набор информации, которая проходит по вертикали в левой части графика. Некоторые итерации линейных графиков имеют этот набор информации справа. В любом случае, эти числа учитывают измеряемые предметы. График может начинаться с нуля, хотя бывают случаи, когда имеет смысл начинать с большего числа.<h4> Линия</h4> Наконец, у нас есть линия. Линия соединяет все точки данных в одной зависимой переменной. Движение этой линии показывает увеличение и уменьшение информации во времени. Его также можно легко сравнить с другими линиями, если все наборы данных измеряются за аналогичные периоды времени. Несмотря на чрезмерное упрощение, эта линия может сообщать руководству, какие действия следует предпринять для улучшения операций или стратегического планирования.<h4/></h4> Хотите отобразить несколько наборов данных, но один набор информации больше подходит для гистограммы? Такие программы, как Excel и Google Sheets, могут создавать комбинированные диаграммы, в которых одна зависимая переменная отображается в виде гистограммы, а другая зависимая переменная — в виде перекрывающейся линейной диаграммы.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/298549/slide_19.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/298549/slide_19.jpg' /></noscript><h3> Создание линейного графика в Excel</h3> Вы можете использовать линейный график в Excel для отображения тенденций с течением времени. В Excel линейные графики подходят, если у вас есть текстовые метки, даты или несколько числовых меток на горизонтальной оси (ось X). Вот шаги для создания линейного графика в Excel. (Если вы используете числовые метки, очистите ячейку A1 перед созданием линейного графика):<ol><li> Введите желаемые заголовки столбцов в строке 1. Эти столбцы будут описывать различные наборы данных (т. е. в приведенном ниже примере заголовки различают данные по животным).</li><li> Введите значение по оси X в столбец A. В приведенном ниже примере данные разбиты по годам, поэтому годы с 2017 по 2022 указаны в первом столбце.</li><li> Введите свои данные. Для каждой ячейки, соответствующей заголовку и году, введите соответствующую цифру. Если данных нет, введите «0».</li><li> После ввода значений выберите диапазон (любой диапазон, охватывающий эти значения).<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/670803/slide_8.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/6/670803/slide_8.jpg' /></noscript> Если вы хотите, чтобы ваш график включал заголовки и метки, выберите первую строку и первый столбец. Например, выбрав A1: D7, ось X может быть помечена как «Годы», а ось Y может быть помечена как «Количество животных». '.</li><li> На вкладке «Вставка» в группе «Диаграммы» щелкните символ «Линия» («Вставить линейный график»).</li><li> Щелкните "Линия с маркерами". Это создаст линейный график, аналогичный приведенному ниже, где каждая точка данных отмечена более крупной точкой, а эти точки соединены более тонкой линией. Многие из этих элементов форматирования можно настроить. </li></ol> Пример линейного графика Excel.<h3> Использование линейного графика</h3> Различные инструменты визуализации данных лучше всего использовать для конкретных целей, и линейный график не является исключением. В зависимости от исходных данных линейный график лучше всего подходит для:<ul><li> Отслеживание изменений во времени. Линейный график обычно форматируется с периодами времени по оси x и количеством событий по оси y.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/03/13/s_58c6818fa2e13/img15.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2017/03/13/s_58c6818fa2e13/img15.jpg' /></noscript> Каждый период равнялся году, но линейные платежи можно разбить на дни, недели, месяцы или другие периоды времени (т. е. дни с момента найма нового генерального директора).</li><li> Отслеживание небольших изменений. Диапазон, отображаемый на графике, можно изменить, чтобы лучше увеличить масштаб данных, которые могут варьироваться не слишком сильно. По сравнению с другими типами диаграмм, линейный график может быть отформатирован так, чтобы иметь очень маленькие приращения по оси Y, что позволяет лучше понять, как крошечные изменения произошли во времени.</li><li> Сравнение изменений более чем в одной группе. В приведенном выше примере очень легко сравнить количество трех разных типов затрат в одном визуальном элементе. Поскольку каждая строка представлена разным цветом, несколько типов или групп данных можно отслеживать одновременно и беспрепятственно сравнивать друг с другом.</li><li> Непрерывные наборы данных. Поскольку линейный график основан на одном наборе непрерывных данных, по крайней мере одна переменная линейного графика должна быть непрерывной.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/265629/slide_21.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/265629/slide_21.jpg' /></noscript> В большинстве случаев этой переменной является время. Непрерывный набор данных (т. е. количество животных в 10 крупнейших зоопарках мира) не подходит, поскольку нет причин связывать каждую точку данных линией; гистограмма была бы более подходящей.</li></ul><h3> Для чего используется линейный график?</h3> Линейные графики используются для отслеживания изменений за разные периоды времени. Линейные графики также можно использовать в качестве инструмента для сравнения: для сравнения изменений за один и тот же период времени для более чем одной группы.<h3> Чем линейный график полезен в финансах?</h3> Линейные графики полезны в финансах, потому что они очень эффективны для визуального представления тенденций во времени. По этой причине они часто используются для отображения того, как акции работают в течение определенного периода времени.<h3> Какие существуют 3 типа линейных графиков?</h3> Линейный график может быть простым линейным графиком, многолинейным графиком или составным линейным графиком.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/18/1056691/slide_8.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/18/1056691/slide_8.jpg' /></noscript> Каждый тип графика имеет различную степень зависимых переменных и то, как пользователь хочет отобразить взаимосвязь между этими переменными.<h3> Из каких частей состоит линейный график?</h3> Линейные графики могут иметь широкие возможности настройки с точки зрения заголовка, меток, маркеров, стиля линии и других несущественных функций. Однако все линейные графики должны иметь ось X (независимая переменная), ось Y (количество зависимых переменных) и входные данные (зависимые переменные). Точки данных для каждой зависимой переменной отмечены на графике и соединены линией.<h3> Практический результат</h3> При анализе данных во времени одним из лучших графических изображений данных является линейный график. Линейный график часто использует время в качестве оси x и числовую величину на оси y. Когда точки данных отмечены на диаграмме, все точки данных в пределах одной зависимой переменной соединяются линией, что делает ее очень полезным инструментом для анализа изменений во времени для одной или нескольких переменных.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2019/10/20/s_5dac5a6bb2004/img14.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2019/10/20/s_5dac5a6bb2004/img14.jpg' /></noscript><h2> ПРОГРАММА ПРОГРАММЫ</h2> СЮЖЕТ ПроцедураNote: "> Примечание: Обратите внимание на более новую функцию PLOT, которая повторяет функциональность этой старой подпрограммы, но предлагает интерактивный интерфейс и обновленную функциональность. Процедура PLOT рисует графики векторных аргументов. Если используется один параметр, параметр вектора откладывается по оси ординат в зависимости от номера точки по оси абсцисс. Чтобы построить один вектор как функцию другого, используйте два параметра. PLOT также можно использовать для создания полярных графиков, установив ключевое слово POLAR.<h3> Синтаксис</h3><hr/> График, [ x ,] y [/isotropic] [ max_value = Значение ] [ min_value = Значение 9328] [ NSNSUM = ] [NSNSUM = ] [NSNSUM = ] [NSNSUM = ] [NS NS = ] [NS NS = ] ] [ THICK= значение ] [ /XLOG] [ /YLOG] [ /YNOZERO] Ключевые слова графики: [ BACKGROUND= color_index ] [ CHARSIZE= значение ] [ CHARTHICK = целое число ] [ CLIP = [X 0 , Y 0 , X 1 , Y 1 ] ] [ ЦВЕТ= значение ] [ /ДАННЫЕ| , /УСТРОЙСТВО| , /NORMAL] [ FONT= целое число ] [ LINESTYLE={0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5}] [ /NOCLIP] [ /NODATA] [ /NOERASE] [ POSITION= [X 0 , Y 0 , X 1 , Y 1 ] ] [ PSYM= целое число {от 0 до 10}] [ SUBTITLE= строка ] [ SYMSIZE= значение ] [ /T3D] [ THICK= значение ] [ TICKLEN= значение ] [ TITLE= строка ] [ {X | Y | Z} CHARSIZE= значение ] [ {X | Y | Z} GRIDSTYLE= целое число {от 0 до 5}] [ {X | Y | Z}MARGIN= [слева , справа] ] [ {X | Y | Z}MINOR= целое число ] [ {X | Y | Z}RANGE= [минимум , максимум] ] [ {X | Y | Z}STYLE= значение ] [ {X | Y | Z}THICK= значение ] [ {X | Y | Z}TICK_GET= переменная ] [ {X | Y | Z}TICKFORMAT= строка ] [ {X | Y | Z}TICKINTERVAL= значение ] [ {X | Y | Z}TICKLAYOUT= скаляр ] [ {X | Y| Z}TICKLEN= значение ] [ {X | Y | Z}TICKNAME= string_array ] [ {X | Y | Z}TICKS= целое число ] [ {X | Y| Z}TICKUNITS= строка ] [ {X | Y | Z}TICKV= массив ] [ {X | Y | Z}TITLE= строка ] [ ZVALUE= значение {от 0 до 1}]<h3> Аргументы</h3><hr/><h4> X</h4> Вектор, представляющий значения абсцисс для построения графика.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1107489/slide_5.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1107489/slide_5.jpg' /></noscript> Если X не указан, Y отображается как функция номера точки (начиная с нуля). Если предоставлены оба аргумента, Y отображается как функция X . Перед построением этот аргумент преобразуется в число с плавающей запятой двойной точности. Графики, созданные с помощью PLOT, ограничены диапазоном и точностью значений с плавающей запятой двойной точности.<h4> Y</h4> Данные ординат для построения графика. Перед построением этот аргумент преобразуется в число с плавающей запятой двойной точности.<h3> Ключевые слова</h3><hr/>Note: "> Примечание: Многие графические параметры ключевых слов напрямую соответствуют полям в системных переменных !P, !X, !Y или !Z. При указании имени и значения ключевого параметра в вызове это значение влияет только на текущий вызов, соответствующее поле системной переменной не изменяется. Изменение значения поля системной переменной изменяет значение по умолчанию для этого конкретного параметра и остается в силе, пока не будет изменено явным образом.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/b/0/1/b01a5ad93ece0051eafd061235295888.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/catchsuccess.ru/wp-content/uploads/b/0/1/b01a5ad93ece0051eafd061235295888.jpeg' /></noscript><h4> ИЗОТРОПИЧЕСКИЙ</h4> Установите это ключевое слово, чтобы масштабирование осей X и Y было одинаковым.Note: "> Примечание: Оси X и Y будут масштабироваться изотропно, а затем помещаться в прямоугольник, определенный ключевым словом POSITION; одна из осей может быть укорочена. См. ПОЛОЖЕНИЕ для получения дополнительной информации.<h4> MAX_VALUE</h4> Максимальное отображаемое значение. Если присутствует это ключевое слово, значения данных, превышающие значение MAX_VALUE, считаются отсутствующими и не отображаются на графике. Обратите внимание, что значение с плавающей запятой IEEE NaN также рассматривается как отсутствующие данные.<h4> MIN_VALUE</h4> Минимальное отображаемое значение. Если присутствует это ключевое слово, значения данных, меньшие значения MIN_VALUE, считаются отсутствующими и не отображаются на графике. Обратите внимание, что значение с плавающей запятой IEEE NaN также рассматривается как отсутствующие данные.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/2/9/d/29d243a882fc05fe7a5ac4c6e2eb3368.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/2/9/d/29d243a882fc05fe7a5ac4c6e2eb3368.jpeg' /></noscript><h4> NSUM</h4> Наличие этого ключевого слова указывает количество точек данных, которые необходимо усреднить при построении графика. Если NSUM больше 1, каждая группа точек NSUM усредняется для получения одной точки на графике. Если имеется м 9Отображается 3228 точек данных, затем m точек /NSUM. По логарифмическим осям выполняется среднее геометрическое. Удобно использовать NSUM при очень большом количестве точек данных для построения графика, поскольку он отображает меньше точек, график менее загроможден и работает быстрее.<h4> ПОЛЯРНЫЙ</h4> Установите это ключевое слово для создания полярных графиков. Параметры вектора X и Y , оба из которых должны присутствовать, сначала преобразуются из полярных координат в декартовы. Первый параметр — радиус, а второй — угол (выражается в радианах). Например, чтобы сделать полярный график, вы должны использовать такую команду, как:<pre> PLOT, /POLAR, R, THETA </pre>Note: "> Примечание: См.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/224734/slide_8.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/224734/slide_8.jpg' /></noscript> Использование AXIS с полярными графиками для примера добавления осей к полярному графику.<h4> ТОЛЩИНА</h4> Управляет толщиной линий, соединяющих точки. Толщина 1,0 — нормальная, 2 — двойная ширина и т. д.<h4> XLOG</h4> Установите это ключевое слово, чтобы указать логарифмическую ось X, создавая логарифмический график. Установите и XLOG, и YLOG, чтобы построить логарифмический график. Обратите внимание, что логарифмические оси, диапазоны которых меньше декады, не помечены.<h4> YLOG</h4> Установите это ключевое слово, чтобы указать логарифмическую ось Y, создающую линейно-логарифмический график. Установите и XLOG, и YLOG, чтобы построить логарифмический график. Обратите внимание, что логарифмические оси, диапазоны которых меньше декады, не помечены.<h4> YNOZERO</h4> Установите это ключевое слово, чтобы запретить установку минимального значения оси Y равным нулю, когда все данные Y положительные и ненулевые, и не задано явное минимальное значение Y (с помощью YRANGE или !Y.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cloud.prezentacii.org/19/02/122111/images/screen6.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cloud.prezentacii.org/19/02/122111/images/screen6.jpg' /></noscript> RANGE). По умолчанию ось Y охватывает диапазон от 0 до максимального значения 9.3227 Y , в случае положительных данных Y. Установите бит 4 в !Y.STYLE, чтобы сделать этот параметр значением по умолчанию.<h3> Примеры</h3><hr/> Этот раздел включает следующие примеры:<table cellspacing="0"><col/><col/><tbody><tr><td> Простой сюжет</td><td> Гистограммы</td></tr><tr><td> X против Y</td><td> Указание делений</td></tr><tr><td> Масштабирование оси</td><td> Логарифмическое масштабирование</td></tr><tr><td> многострочных заголовков</td><td> Несколько графиков на странице</td></tr><tr><td> Ключевое слово диапазона</td><td> Указание местоположения графика</td></tr><tr><td> Графические символы</td><td> Построение отсутствующих данных</td></tr></tbody></table><h4> Простой график</h4> Процедура PLOT имеет много ключевых слов, позволяющих создавать самые разнообразные графики.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/88225/slide_20.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/4/88225/slide_20.jpg' /></noscript> Вот несколько простых примеров использования команды PLOT.<pre> ; Создайте простой набор данных: D = FINDGEN(100) ; Создайте простой сюжет с названием «Простой сюжет»: PLOT, D, TITLE = 'Простой участок' </pre><pre> </pre><pre> </pre><pre> ; Постройте график сравнения одного аргумента с другим: PLOT, SIN(D/3), COS(D/6) </pre><pre> </pre><pre> </pre><pre> ; Создайте полярный график: PLOT, D, D, /POLAR, TITLE = 'Полярный график' </pre><pre> </pre><pre> </pre><pre> ; Использовать графические символы вместо соединительных линий ; путем включения ключевого слова PSYM. Пометьте оси X и Y ; с XTITLE и YTITLE: PLOT, SIN(D/10), PSYM=4, XTITLE='Ось X', YTITLE='Ось Y' </pre><h4> X Versus Y Plots</h4> В этом разделе показано использование основных процедур построения графиков x и y , PLOT и OPLOT. PLOT по умолчанию создает линейно-линейные графики и может создавать линейно-логарифмические, логарифмически-линейные или логарифмические графики с добавлением ключевых слов XLOG и YLOG.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/2/2UKDpASOIkiEG8ay5TW9QCRcVjhZ7g1xLru6XqnmP/slide-4.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/2/2UKDpASOIkiEG8ay5TW9QCRcVjhZ7g1xLru6XqnmP/slide-4.jpg' /></noscript> Данные, использованные в этих примерах, взяты из вымышленного исследования промысла лосося в северо-западной части Тихого океана. В примере мы предполагаем, что данные были собраны в 1967, 1970 и 19с 75 по 1983. Следующие операторы IDL создают и инициализируют переменные SOCKEYE, COHO, CHINOOK и HAMPBACK, которые содержат фиктивные значения популяции рыб в тысячах для 11 наблюдений:<pre> SOCKEYE=[463, 459, 437, 433, 431, 433, 431, 428, 430, 431, 430] COHO=[468, 461, 431, 430, 427, 425, 423, 420, 418, 421, 420] ЧИНУК=[514, 509, 495, 497, 497, 494, 493, 491, 492, 493, 493] ГОРБАН=[467, 465, 449, 446, 445, 444, 443, 443, 443, 443, 445] ; Построить вектор, в котором каждый элемент содержит ; год выборки: YEAR = [1967, 1970, INDGEN(9) + 1975] </pre> Этот код также содержится в пакетном файле plot01, расположенном в подкаталоге examples/doc/plot каталога установки IDL. Чтобы выполнить пакетный файл, введите в приглашении IDL следующую команду: @plot01 Следующие команды IDL создают график популяции нерки по годам:<pre> PLOT, YEAR, SOCKEYE, $ TITLE=' Популяция нерки', XTITLE='Год', $ YTITLE='Fish (thousands)' </pre> Процедура PLOT, которая создает график x против y на новом наборе осей, требует одного или двух параметров: вектора y значений или вектора x значений, за которыми следует вектор из y значений.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/4/3/4/4343497ded8fd8b28b85db56a83b0600.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/4/3/4/4343497ded8fd8b28b85db56a83b0600.jpeg' /></noscript> Первая попытка построить график дает рисунок, показанный ниже. Обратите внимание, что три заголовка, определяемые ключевыми словами TITLE, XTITLE и YTITLE, являются необязательными.<h4> Масштабирование по осям</h4> Колебания в данных трудно увидеть, поскольку оценки варьируются от 428 до 463, а ось y графика масштабируется от 0 до 500. Этот эффект вызывают два фактора. По умолчанию IDL устанавливает минимальное значение оси y линейных графиков равным нулю, если все данные y положительны. Максимальное значение оси автоматически устанавливается IDL из максимального значения данных и . Кроме того, IDL пытается создать от трех до шести интервалов меток, которые являются приращениями целочисленной степени 10, умноженной на 2, 2,5, 5 или 10. В этом примере этот эффект округления приводит к тому, что максимальное значение оси равно 500. , а не 463, Параметр ключевого слова YNOZERO запрещает установку минимума оси y на ноль при наличии положительных, отличных от нуля данных.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/lpfile.ru/wp-content/uploads/4/d/e/4decdb4b66fa5301c669080c6df2d8a3.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/lpfile.ru/wp-content/uploads/4/d/e/4decdb4b66fa5301c669080c6df2d8a3.jpeg' /></noscript> На рисунке ниже показаны данные, построенные с использованием этого ключевого слова. Ось y теперь находится в диапазоне от 420 до 470, а IDL создает интервалы делений равные 10.<pre> ; Определите переменные: @plot01 PLOT, YEAR, НЕРКА, /YNOZERO, $ TITLE='Популяция нерки', XTITLE='Year', $ YTITLE='Рыба (тысячи)' </pre><h4> Многострочные заголовки</h4> Команда позиционирования графического текста !C запускает новую строку вывода текста. Заголовки, содержащие более одной строки текста, легко создаются путем разделения каждой строки с помощью этой команды позиционирования. В приведенном выше примере основной заголовок можно было отобразить в двух центрированных строках, изменив параметр ключевого слова TITLE на следующий оператор:<pre> TITLE = 'Sockeye!CPopulation' </pre>Note: "> может обнаружить, что поля по умолчанию неадекватны, в результате чего заголовки выходят за пределы страницы.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/6/1/5/615a44e167c9265fb4d98aaac88a71e5.jpeg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/tehnikaarenda.ru/wp-content/uploads/6/1/5/615a44e167c9265fb4d98aaac88a71e5.jpeg' /></noscript> В этом случае установите ключевые слова [XY]MARGIN или увеличьте значения !X.MARGIN или !Y.MARGIN.<h4> Ключевое слово диапазона</h4> Диапазон осей x , y или z может быть явно указан с помощью параметра ключевого слова [XYZ] RANGE. Аргумент параметра ключевого слова представляет собой двухэлементный вектор, содержащий минимальное и максимальное значения оси. Как объяснялось выше, IDL пытается создать четные интервалы тактов, и диапазон осей, выбранный IDL, может быть немного больше, чем указанный с помощью ключевого слова RANGE. Чтобы получить точно указанный интервал, установите параметр стиля оси равным единице (YSTYLE = 1). Эффект ключевого слова YNOZERO идентичен эффекту, полученному при включении параметра ключевого слова YRANGE = [MIN(Y), MAX(Y)] в вызове PLOT. Вы можете сделать /YNOZERO значением по умолчанию в последующих графиках, установив бит 4 !Y.STYLE в единицу (!Y.STYLE = 16). Подробную информацию о поле STYLE системных переменных оси !X, !Y и !Z см.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1108592/slide_10.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1108592/slide_10.jpg' /></noscript> в разделе STYLE. Кратко: другие биты в поле STYLE расширяют оси, обеспечивая поле вокруг данных, подавляют ось и ее обозначения и подавляют оси прямоугольного стиля, рисуя только левую и нижнюю оси. Например, чтобы ограничить ось X периодом с 1975 по 1983 год, в вызов PLOT включается параметр ключевого слова XRANGE = [1975, 1983]. Следующий рисунок иллюстрирует результат. Обратите внимание, что ось x на самом деле простирается с 1974 по 1984 год, поскольку IDL решила сделать пять интервалов отметок, каждый из которых охватывает два года. Если, как объяснялось выше, стиль оси x установлен равным единице, график точно охватит заданный диапазон. Колл, объединяющий все эти варианты, выглядит следующим образом:<pre> ; Определите переменные: @plot01 PLOT, YEAR, НЕРКА, /YNOZERO, $ TITLE='Популяция нерки', XTITLE = 'Год', $ YTITLE = 'Рыба (тысячи)', XRANGE = [1975, 1983], /XSTYLE </pre> Note: "> Примечание.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/n/nzEOf6IUgyAZtSbemd0p3iDXw84KBVruYPN12L/slide-3.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/n/nzEOf6IUgyAZtSbemd0p3iDXw84KBVruYPN12L/slide-3.jpg' /></noscript> Синтаксис параметра ключевого слова /XSTYLE является синонимом выражения XSTYLE = 1. Присвоение параметру ключевого слова значения 1 часто называют установкой ключевого слова.<h4> Графические символы</h4> Каждая точка данных может быть отмечена символом и/или соединена линиями. Значение ключевого параметра PSYM выбирает символ маркера, как описано в PSYM. Например, значение 1 помечает каждую точку данных знаком плюс (+), 2 — звездочкой (*) и т. д. Установка PSYM на минус число символа помечает точки символом и соединяет их линиями. Значение –1 помечает точки знаком плюс (+) и соединяет их линиями. Обратите также внимание на то, что установка PSYM на значение 10 приводит к созданию графиков в стиле гистограммы, на которых горизонтальная линия проводится через каждые 9 секунд.3227 x бин. Часто, когда точки данных наносятся на график по результатам подбора или модели, символы используются для обозначения точек данных, когда модель строится с помощью линии. Рисунок ниже иллюстрирует это, подгоняя значения популяции нерки к квадратичной функции года.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_5457c12ade9a7/img_user_file_5457c12ade9a7_1.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_5457c12ade9a7/img_user_file_5457c12ade9a7_1.jpg' /></noscript> IDL-функция POLY_FIT используется для вычисления квадратичного уравнения. Операторы, используемые для построения приведенного выше графика, следующие:<pre> ; Определите переменные. @plot01 ; Используйте функцию LINFIT, чтобы подогнать данные к строке: coeff = LINFIT(YEAR, SOCKEYE) ;YFIT — это подобранная строка: YFIT = coeff[0] + coeff[1]*YEAR ; Нанесите исходные точки данных с PSYM = 4 для бриллиантов: PLOT, YEAR, НЕРКА, /YNOZERO, PSYM = 4, $ TITLE = 'Quadratic Fit', XTITLE = 'Year', $ YTITLE = 'Популяция нерки' ; Постройте гладкую кривую с помощью простой линии: OPLOT, YEAR, YFIT </pre> Кроме того, вы можете запустить пакетный файл plot03 для создания графика, введя: @plot03<h4> Гистограммы</h4> В следующем примере создается диаграмма в виде прямоугольников, на которой четыре популяции лосося представлены в виде прямоугольников разного цвета или оттенка.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/l/L157UzE2klhwYdbK4yrsVvBcfQJt68i9C3qWe0/slide-5.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf2.ppt-online.org/files2/slide/l/L157UzE2klhwYdbK4yrsVvBcfQJt68i9C3qWe0/slide-5.jpg' /></noscript> Команды, используемые для рисования следующего рисунка, показаны ниже с аннотацией. Вам не нужно вводить эти команды самостоятельно; они собраны в файлах plot05.pro, содержащих две процедуры, и пакетном файле plot06, создающем график. Эти файлы расположены в подкаталоге examples/doc/plot дистрибутива IDL. Запустите пример процедуры, введя plot05 в командной строке IDL, или просмотрите файл в окне редактора IDL, введя .EDIT plot05.pro. Сначала мы определяем процедуру EX_BOX, которая рисует прямоугольник по координатам двух диагональных углов:<pre> ; Определите процедуру, рисующую прямоугольник, используя POLYFILL, </pre><pre> ; чьи углы (X0, Y0) и (X1, Y1): </pre><pre> PRO EX_BOX, X0, Y0, X1, Y1, цвет </pre><pre> ; Вызовите POLYFILL: </pre><pre> POLYFILL, [X0, X0, X1, X1], [Y0, Y1, Y1, Y0], COL = color </pre><pre> END </pre> Затем создайте процедуру для рисования гистограммы:<pre> PRO EX_BARGRAPH , минвал </pre><pre> ; Определите переменные: </pre><pre> @plot01 </pre><pre> ; Ширина столбцов в единицах данных: </pre><pre> del = 1.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image2.slideserve.com/4882182/slide8-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image2.slideserve.com/4882182/slide8-l.jpg' /></noscript> /5. </pre><pre> ; Количество цветов, используемых в гистограмме: </pre><pre> ; определяется количеством цветов, доступных в вашей системе: </pre><pre> ncol=!D.N_COLORS/5 </pre><pre> ; Создайте вектор индексов цвета, который будет использоваться в этой процедуре: </pre><pre> colors = ncol*INDGEN(4)+ncol </pre><pre> ; Цикл для каждого образца: </pre><pre> FOR iscore = 0, 3 DO BEGIN </pre><pre> ; Y значение аннотации. Вертикальное разделение: 20 data </pre><pre> ; единицы: </pre><pre> yannot = minval + 20 *(iscore+1) </pre><pre> ; Метка для каждого бара: </pre><pre> XYOUTS, 1984, yannot, names[iscore] </pre><pre> ; Панель для аннотации: </pre><pre> EX_BOX, 1984, yannot - 6, 1988, yannot - 2, colors[iscore] </pre><pre> ; Смещение x вертикальной полосы для каждой выборки: </pre><pre> xoff = iscore * del - 2 * del </pre><pre> ; Нарисуйте вертикальную рамку для выборки каждого года: </pre><pre> FOR iyr=0, N_ELEMENTS(year)-1 DO $ </pre><pre> EX_BOX, year[iyr] + xoff, minval, $ </pre><pre> year[iyr] + xoff + del, $ </pre><pre> core is[iyr], allpts $ </pre><pre> colors[iscore] </pre><pre> ENDFOR </pre><pre> END </pre> Введите в приглашении IDL следующее, чтобы скомпилировать эти две процедуры:<pre> .<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cloud.prezentacii.org/19/02/122111/images/screen3.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cloud.prezentacii.org/19/02/122111/images/screen3.jpg' /></noscript> run plot05.pro </pre> Чтобы создать гистограмму, введите на экране следующие команды. .<pre> ; Загрузить таблицу цветов: </pre><pre> LOADCT, 39 </pre> Как и в предыдущем примере, процедура PLOT используется для построения осей и задания масштабирования с использованием ключевого слова NODATA.<pre> PLOT, год, ЧИНУК, YRANGE = [MIN(allpts),MAX(allpts)], $ </pre><pre> TITLE = 'Популяции лосося', /NODATA, $ </pre><pre> XRANGE = [year[0], 1990] </pre><pre> ; Получите значение y нижней оси x: </pre><pre> minval = !Y.CRANGE[0] </pre><pre> ; Создайте гистограмму: </pre><pre> EX_BARGRAPH, minval </pre><h4> Указание делений</h4> На следующем рисунке показана блочная диаграмма, иллюстрирующая непосредственную спецификацию значений отметок по оси x , количества отметок и имен отметок. Основываясь на предыдущей программе, эта программа показывает каждую из четырех оценок за 1967 год, первый год в наших данных. Он использует процедуру EX_BOX из предыдущего примера для рисования прямоугольника для каждого образца.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1083030/slide_6.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/images.myshared.ru/17/1083030/slide_6.jpg' /></noscript> Введите следующую команду в приглашении IDL для компиляции процедур EX_BOX и EX_BARGRAPH (описанных в предыдущем примере):<pre> .run plot05.pro </pre> Введите следующие команды, чтобы создать блочную диаграмму:<pre> ; Определить переменные: @plot01 ; Отметьте значения x, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8: XVAL = FINDGEN(4)/5. + .2 ; Составьте вектор баллов первого года обучения, соответствующий ; вектор имен сверху: YVAL = [COHO[0], НЕРКА[0], ГОРБАН[0], ЧИНУК[0]] ; Сделайте оси без данных. Принудительно установить диапазон x в [0, 1], ; центрирующий xval, который также содержит значения галочки. ; Форсируйте три тиковых интервала, делая четыре тиковых метки. ; Укажите имена тиков из вектора имен: PLOT, XVAL, YVAL, /YNOZERO, XRANGE = [0,1], XTICKV = XVAL, $ XTICKS = 3, XTICKNAME = NAMES, /NODATA, $ TITLE = 'Salmon Население, 1967' ; Нарисуйте прямоугольники, центрированные над делениями.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/image1.slideserve.com/3475368/slide5-l.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/image1.slideserve.com/3475368/slide5-l.jpg' /></noscript> ; !Y.CRANGE[0] — это значение y нижней оси x. FOR I = 0, 3 DO EX_BOX, XVAL[I] - .08, !Y.CRANGE[0], $ XVAL[I] + 0,08, YVAL[I], 128 </pre> В качестве альтернативы вы можете ввести @plot07 в командной строке IDL, чтобы запустить пакетный файл plot07 и создать график.Note: "> Примечание: Данные о дате/времени можно отображать на графиках, изолиниях и поверхностях с помощью настроек деления оси даты/времени. Данные даты/времени могут отображаться на любой оси (x, y или z). Данные о дате/времени хранятся в виде дат по юлианскому календарю, но подпрограмма LABEL_DATE и ключевые слова оси позволяют отображать эти данные в виде календарных дат. Примеры см. на LABEL_DATE.<h4> Логарифмическое масштабирование</h4> Ключевые слова XLOG, YLOG и ZLOG можно использовать с процедурой PLOT для получения любой комбинации линейной и логарифмической осей. Процедура OPLOT использует то же масштабирование и преобразование, что и самый последний график.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2018/06/08/s_5b1a3f63c5223/img8.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/fsd.multiurok.ru/html/2018/06/08/s_5b1a3f63c5223/img8.jpg' /></noscript> На рисунке показано использование PLOT для построения линейно-логарифмического графика. Он был произведен со следующими операторами:<pre> ; Создать массив данных: X = FLTARR(256) ; Сделайте ступенчатую функцию. Элементы массива с 80 по 120 устанавливаются равными 1: X[80:120] = 1 ; Сделать фильтр: FREQ = FINDGEN(256) ; Сделайте фильтр симметричным относительно значения x = 128: FREQ = FREQ < (256-FREQ) ; Баттерворт второго порядка, частота среза = 20,92) ; График с логарифмической осью x. Использовать точный диапазон осей: PLOT, /YLOG, FREQ, ABS(FFT(X,1)), $ XTITLE = 'Относительная частота', YTITLE = 'Мощность', $ XSTYLE = 1 ; График графика: OPLOT, FREQ, FIL </pre> Кроме того, вы можете запустить пакетный файл plot08 для создания графика: @plot08<h4> Несколько графиков на странице</h4> Графики можно сгруппировать на дисплее или странице по горизонтали и /или вертикальные направления, используя поле системной переменной !P.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='/800/600/http/cf.ppt-online.org/files/slide/x/x8uTYmpnJIP2B94l1XbwMe3O7Qv0o5KWzdNjis/slide-5.jpg' /><noscript><img loading='lazy' src='/800/600/http/cf.ppt-online.org/files/slide/x/x8uTYmpnJIP2B94l1XbwMe3O7Qv0o5KWzdNjis/slide-5.jpg' /></noscript> MULTI. IDL настраивает окно графика для создания заданного количества графиков на каждой странице и перемещает окно в новый сектор в начале каждого графика. Если страница заполнена, она сначала стирается. Если создается более двух строк или столбцов графиков, IDL уменьшает размер символа в 2 раза. !P.MULTI управляет выводом нескольких графиков. Установите !P.MULTI равным целочисленному вектору, в котором:<ul><li> Первый элемент вектора содержит количество пустых секторов, оставшихся на странице. Дисплей стирается, если это поле равно нулю, когда начинается новый график.</li><li> Второй элемент вектора содержит количество графиков на странице в горизонтальном направлении.</li><li> Третий элемент содержит количество графиков на странице в вертикальном направлении.</li><li> Четвертый элемент содержит количество графиков, сложенных по оси Z.</li><li> Пятый элемент управляет порядком построения графиков.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='' /><noscript><img loading='lazy' src='' /></noscript> Установите пятый элемент равным нулю, чтобы построить графики слева направо (основной столбец) и сверху вниз. Установите пятый элемент равным единице, чтобы построить графики сверху вниз, слева направо (основной ряд).</li></ul> Исключение любого из пяти элементов вектора равносильно установке этого элемента равным нулю. Например, чтобы настроить два графика по вертикали на каждой странице, используйте следующий оператор:<pre> !P.MULTI = [0, 1, 2] </pre> Обратите внимание, что первый элемент, !P.MULTI (0), устанавливается равным нулю, чтобы следующий график начинался с новой страницы. Чтобы сделать четыре графика на странице с двумя столбцами и двумя строками, используйте следующий оператор:<pre> !P.MULTI = [0, 2, 2] </pre> Чтобы сбросить значение по умолчанию для одного графика на страницу, установите значение ! P.MULTI в 0, как показано в следующем выражении:<pre> !P.MULTI = 0 </pre> На этом рисунке показаны четыре графика в одном окне.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='' /><noscript><img loading='lazy' src='' /></noscript> Для получения дополнительных сведений просмотрите пакетный файл plot09 в подкаталоге examples/doc/plot дистрибутива IDL или введите @plot09 в командной строке IDL, чтобы запустить пример. Обратите внимание на следующие особенности графиков на рисунке:<ol><li value="1"> График в левом верхнем углу имеет деления в виде сетки. Это достигается установкой ключевого слова TICKLEN равным 1.0</li><li value="2"> На графике в правом верхнем углу есть засечки, обращенные наружу. Это достигается установкой ключевого слова TICKLEN в отрицательное значение.</li><li value="3"> График в левом нижнем углу имеет разные оси слева и справа, сверху и снизу. Это достигается путем раздельного рисования верхней и правой осей с использованием процедуры AXIS.</li><li value="4"> График в правом нижнем углу вообще не использует оси по умолчанию. Центральные оси рисуются с помощью вызовов процедуры AXIS.</li></ol><h4> Указание местоположения графика</h4> Окно данных графика — это область страницы или экрана, ограниченная осями.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='' /><noscript><img loading='lazy' src='' /></noscript> Область графика представляет собой поле, заключающее в себе окно данных графика, а также заголовки и аннотацию с отметками. На рисунке показано соотношение окна данных графика, области графика и всей области устройства. Эти области определяются следующими системными переменными и параметрами ключевых слов в порядке убывания приоритета:<table cellspacing="0"><col/><tbody><tr><td> ПОЛОЖЕНИЕ</td></tr><tr><td> !ПОЛОЖЕНИЕ</td></tr><tr><td> !P.РЕГИОН</td></tr><tr><td> !П.МУЛЬТИ</td></tr><tr><td> [XYZ]МАРГИН</td></tr><tr><td> ![XYZ].ПОЛЯ</td></tr></tbody></table><h4> Отображение отсутствующих данных</h4> Ключевые слова MAX_VALUE и MIN_VALUE для PLOT можно использовать для создания графиков отсутствующих данных, на которых не отображаются неверные значения данных.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='' /><noscript><img loading='lazy' src='' /></noscript> Значения данных, превышающие значение ключевого слова MAX_VALUE или меньшие значения ключевого слова MIN_VALUE, рассматриваются как отсутствующие и не отображаются на графике. Следующий код создает набор данных с неправильными значениями данных и отображает его с этими ключевыми словами и без них:<pre> ; Создайте массив из 100 элементов, где каждый элемент равен ; установить равным его индексу: A = FINDGEN(100) ; Установить 20 случайных точек в массиве равными 400. ; Это имитирует «плохие» значения данных выше диапазона ; "настоящих" данных. A(RANDOMU(SEED, 20)*100)=400 ; Установите 20 случайных точек в массиве равными -10. ; Это имитирует «плохие» значения данных ниже диапазона ; "настоящих" данных. A(RANDOMU(SEED, 20)*100)=-10 ; Постройте набор данных с неверными значениями. Выглядит очень плохо! УЧАСТОК, А </pre><pre> </pre><pre> </pre><pre> ; Нанесите на график набор данных, но не наносите значения выше 101.<img class="lazy lazy-hidden" loading='lazy' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='' /><noscript><img loading='lazy' src='' /></noscript> </div> <footer class="entry-footer"> <a href="https://xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/raznoe-2/y-postroit-grafik-postroenie-grafika-funkczii-onlajn.html#respond">Оставить комментарий on Y построить график: Построение графика функции онлайн</a>/ </footer> </article> <article id="post-11243" class="post-11243 post type-post status-publish format-standard hentry category-raznoe-2"> <header class="entry-header"> <h2 class="entry-title"><a href="https://xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/raznoe-2/izgotovte-matematicheskij-mayatnik-izgotovte-matematicheskij-mayatnik-dlinoj-rasschitannoj-v-kontrolnom-voprose-1-2.html" rel="bookmark">Изготовьте математический маятник: изготовьте математический маятник длиной рассчитанной в контрольном вопросе 1.</a></h2><div class="entry-meta"><img alt='' src="//xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/wp-content/plugins/a3-lazy-load/assets/images/lazy_placeholder.gif" data-lazy-type="image" data-src='http://2.gravatar.com/avatar/22d474190b1889d3373fa4f9334e979c?s=20&d=mm&r=g' srcset="" data-srcset='http://2.gravatar.com/avatar/22d474190b1889d3373fa4f9334e979c?s=40&d=mm&r=g 2x' class='lazy lazy-hidden avatar avatar-20 photo' height='20' width='20' decoding='async'/><noscript><img alt='' src='http://2.gravatar.com/avatar/22d474190b1889d3373fa4f9334e979c?s=20&d=mm&r=g' srcset='http://2.gravatar.com/avatar/22d474190b1889d3373fa4f9334e979c?s=40&d=mm&r=g 2x' class='avatar avatar-20 photo' height='20' width='20' decoding='async'/></noscript><a class="url fn n" href="https://xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/author/alexxlab">alexxlab</a> / <a href="https://xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/raznoe-2/izgotovte-matematicheskij-mayatnik-izgotovte-matematicheskij-mayatnik-dlinoj-rasschitannoj-v-kontrolnom-voprose-1-2.html" rel="bookmark"><time class="entry-date published" datetime="1970-06-23T01:00:00+03:00">23.06.1970</time><time class="updated" datetime="2021-07-25T05:05:35+03:00">25.07.2021</time></a> / <a href="https://xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/category/raznoe-2" rel="category tag">Разное</a> </div> </header> <div class="entry-content"> <h2>изготовьте математический маятник длиной рассчитанной в контрольном вопросе 1.</h2> Помогите,физика сириус1.) Определите эквивалентное сопротивление проволочной сетки, изображённой на рисунке, если (вне зависимости от длины) сопротивл … ение каждого проводника между соседними выделенными точками, к которым он подключён, r=240 Ом. Ответ выразите в омах, округлите до целого числа.2.) В условиях предыдущей задачи найдите, какое будет напряжение между точками A и B, если к выводам участка цепи подсоединить идеальную батарейку с напряжением 9 В. Ответ выразите в вольтах, округлите до целого числа. Найдите с помощью графиков зависимости координаты от времени момент времени и место соударения частиц, движущихся по одной прямой. Скорость первой час … тицы v, скорость второй v/2. Первая частица в момент времени t = 0 имела координату x = 0, вторая в момент времени t1 – координату x = a. №25. Во время комплектования поезда второй вагон массой 45 т настигает первый вагон массой 55 т, движущийся впереди него в том же направлении со скоро … стью 3 м/с. После столкновения вагоны сцепляются и продолжают двигаться со скоростью 3,9 м/с.1. Определите скорость движения второго вагона к столкновению с первым вагоном.Ответ запишите в метрах в секунду (м/с).2. Определите расстояние между вагонами в момент начала наблюдения, если до момента столкновения они двигались в течение 26 с. Движение вагонов до столкновения считайте прямолинейным равномерным.Ответ запишите в метрах (м).№26. Баллон объемом 0,83 м³ при температуре 250 К под давлением 100 кПа заполнено кислородом. После того как в баллон добавили еще кислорода, давление газа увеличился до 195 кПа, а его температура — до 300 К. Считайте, что молярная масса кислорода — 32 г/моль, а универсальная газовая постоянная равна 8,3 Дж / (моль · К).1. Вычислите количество вещества в баллоне перед добавлением кислорода.Ответ запишите в молях (моль).2. Рассчитайте массу кислорода, который добавили в баллон.Ответ запишите в килограммах (кг).№27. На рисунке схематически показано начальное (рис. а) и конечное (рис. б) положение ползунка реостата, подключенного к источнику тока с внутренним сопротивлением 1 Ом. Полное сопротивление реостата равно 6 Ом.1. Чему равно сопротивление реостата по положению ползунка, изображенного на рисунке а?Ответ запишите в омах (Ом).2. Определите, во сколько раз увеличилась мощность тока в реостате за конечного положения его ползунка по сравнению с мощностью в исходном положении. В 4 задании сказано:1)движение троса сводится к повороту вокруг точки B2)скорость v2, направленная поперек, связана с поворотом тросаКомментарий не ос … тавляется:почему вторая составляющая-перпендикуляр? 19. Дан график зависимости проекции скорости материальной точки с массой 3 кг от времени. Вычислите работу, совершенную над материальной точкой за 6 с … после начала наблюдения. 32. По графику определите скорость движения велосипедиста и время, за которое велосипедист проедет 10 км с этой скоростью: а) 5 м/с; 250 с; в) 2,5 м/с … ; 66,7 мин; б) 4 м/с; 25 с; г) 4 м/с; 41,7 мин. (если не трудно, объясните пожалуйста) 1. Какая из приведенных формул служит для расчета энергии покоя тела равна?А) E=mv ²Б) E=mc²+mv²В) E=mc²+½mv²Г) E=mc²2. Чему равна длина метрового сте … ржня (для наблюдателя, на земле), движущегося со скоростью 0,6 с?А) 1 м.Б) 1,2 мВ) 0,8мГ) 0,4 м3. Какие из представленных утверждений правильные?А) Эйнштейн создал первый в мире космический корабльБ) Эйнштейн предсказал существование гравитационных волнВ) Эйнштейн — один из ученых, создавших классическую механикуГ) Эйнштейн создал специальную теорию относительности Срочно,пожалуйста,помогите Тело массой 1 кг свободно падает с высоты 10 м. Какой путь он пройдет кoгда кинетическая энергия достигнет 25 Дж? Помогите,физика сириусНайдите общий ток, протекающий через проволочную сетку, если I=10 мА. Сопротивления всех проволочек, расположенных между выделен … ными точками, одинаковы. Ответ выразите в миллиамперах, округлите до целого числа. <h2>Заколебался за урок, но не успел…</h2>Как можно сделать лабораторную работу за 45 минут?Фото: Павел МАРТИНЧИКПонятно, что при постановке таких целей лабораторная работа предполагает неторопливое, аккуратное, вдумчивое проведение экспериментов с целью выявить именно физику процессов и явлений.Чтобы в очередной раз «облегчить» жизнь школьника были придуманы тетради для лабораторных работ на печатной основе. Ну что ж, попробуем одну из них внимательно прочитать. «Тетрадь для лабораторных работ по физике для 11 класса. Авторы: Жилко В. В., Маркович Л. Г., Егорова Л. П. 2016».ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.Тот факт, что в календарно-тематическом планировании эта работа указана еще до того, как дети узнают, что такое математический маятник, прокомментируем чуть позже. Проведем некоторые оценки по времени.Все достаточно просто.В работе предлагается исследовать колебания маятника.Лабораторная работа по физике.Требуется, чтобы длина маятника в первом опыте была «не менее одного метра». Физикам понятно, что период колебаний такого маятника будет не менее двух секунд. В качестве оценки выберем это число. Смотрим, что надо сделать дальше: обратим внимание на пункты 6 и 7.Сорок колебаний по две секунды и так пять раз. Получаем 400 секунд. Потом в работе требуется изменить амплитуду, проделать столько же измерений, опять изменить амплитуду, столько же измерить, и, наконец, изменить массу маятника и опять проделать 40 колебаний.Итого 4 такие таблицы.Умножаем 400 на 4 получаем 1600 секунд.Далее смотрим пункт 18.Лабораторная работа по физике.Период колебаний маятника длиной 75 см равен примерно 1,7 секунды. Умножаем на 40 колебаний и на 5 измерений. Период маятника длиной 50 см равен примерно 1,4 секунды. Также умножаем на 40 колебаний и на 5 измерений. В сумме получаем 620 секунд.Замечу, что все округления я проводил в меньшую сторону.Тем не менее я получил 1600 + 620 = 2220 секунд.Разделим на 60, получим интересный результат.Время колебаний маятника на лабораторной работе не менее 33 минут.Кроме того, шарики надо было взвесить, маятник как-то закрепить в штативе…Заметим, что при этом мы не сделали ни одного расчета и никаких записей. Думается, что если ученику провести взвешивание, посчитать период колебаний и заполнить таблицы, то уйдет примерно 40 — 45 минут.Добавим, что лабораторная работа вольготно раскинулась на 12 страницах, и ее неплохо было бы хотя бы прочитать перед выполнением. При этом остается открытым вопрос, когда же ученик должен отвечать на контрольные вопросы? Вопросы про тот же математический маятник, понятие о котором в учебнике дается позже.Предположим, что есть старательный ученик, который хочет получить хорошую отметку за честно сделанную работу. В таком случае он утыкается в суперзадание, в котором надо изготовить еще один маятник — маятник с периодом 1 секунда. Экспериментально проверить период его колебаний.Я проделал очень простой эксперимент. Прочитал 12 страниц тетради. Получил около 4 минут. Взвесил шарики. Ушло еще три минуты. Добавил 33 минуты.Результат:Лабораторная работа заняла 40 минут. При этом я ее не записал, не сделал ни одного расчета. Добавим, что я не ученик и точно знаю, что надо делать и как.Внимание вопрос:Возможно ли эту работу проделать за урок?Вопрос №2.Какие знания с лабораторной работы вынесет ученик, кроме того, что физика стала еще более непонятной, сложной и, как оказалось, нудной и длинной?Вопрос от меня, как от учителя:Как можно это все уложить в 45 минут?<h2>Решение экспериментальных задач — Урок 2 — Механические колебания</h2> Цель: научиться использовать теоретические знания на практике. Ход урока I. Организационный момент II. Решение задач Первая группа Задание № 1 Сделать два маятника приблизительно одного размера: один — из картофелины, другой — из бумажного шарика. Подвесьте их на нитях одинаковой длины. Отклоните их на одинаковый угол от положения равновесия. Подсчитайте их периоды. Сравните полученные значения. Сделайте вывод, от чего может зависеть период колебаний такого маятника. Одновременно ли прекратятся колебания. Почему? Объясните полученные результаты. Вторая группа Задание № 2 Изготовьте математический маятник из подручных средств. Приведите его в движение, подсчитайте частоту колебаний. Измерьте длину маятника, так чтобы частота увеличилась вдвое. Проверьте правильность своего расчета на опыте. Сделайте вывод о том, как меняется частота математического маятника в зависимости от его длины. Третья группа Задание № 3 Подвесьте наручные механические часы на прочной веревке. Если к часам не прикасаться, то через некоторое время они все равно придут в слабое движение. Проверьте, так ли это. Почему? Приведите часы в колебательное движение, так чтобы они сделали не меньше 50 колебаний. Как отразилось такое движение на точности хода этих часов. Почему? Можно ли установить, когда часы начинают спешить, а когда отставать? Четвертая группа Задание № 4 Изготовьте математический маятник. Измерьте период его колебаний. Измерьте время, за которое колебания затухнут. Опустите маятник в воду и снова измерьте период его колебаний и время затухания. Сравните результаты. Сделайте вывод о влиянии окружающей среды на колебательное движение. Пятая группа Задание № 5 Как и почему меняется период колебания стального шарика, если под ним установить электромагнит? Зазор между сердечником электромагнита и шарика должно быть 3-10 мм. Шарик будет заметно притягиваться к электромагниту, поэтому его ускорение около магнита возрастет. Период шарика уменьшится. Проверьте экспериментально. III. Подведение итогов работы Домашнее задание Р — 425; Р — 426; Р — 427. <h2>Ответы | Лаб. 1. Изучение колебаний груза на нити — Физика, 11 класс</h2>    <h3> 1. </h3> 1. Какую длину l имеет математический маятник, период колебаний которого T = 1.0 с? 2. Как изменится период колебания маятника, если массу шарика увеличить в 2 раза, а длину нити маятника уменьшить в 4 раза?     <h3> 2. </h3> Изготовьте математический маятник длиной, рассчитанной в кон-трольном вопросе №1. Экспериментально определите период его колебаний. Результат проанализируйте и сделайте выводы. Следует провести эксперимент.    Присоединяйтесь к Telegram-группе @superresheba_11, делитесь своими решениями и пользуйтесь материалами, которые присылают другие участники группы!      <h2>Решение экспериментальных задач. — физика, уроки</h2>В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на В уроке представлены экспериментальные задания по теме «Механичские колебания» Цель урока:закрепить знания учащихся о механичских колебаниях,развивать навыки самостоятельной работы,научиться использовать теоритические знания на практике. <h4> </h4>Просмотр содержимого документа «Решение экспериментальных задач.» </h4> 11 класс физика Урок № Тема урока: Решение экспериментальных задач по теме «Механические колебания» Цель урока: Повторить знания учащихся о механических колебаниях. Научиться использовать теоретические знания на практике, развивать навыки самостоятельной работы. Закреплять умение сравнивать, делать выводы, отстаивать свою точку зрения. Ход урока. I.Организационный момент. Проверка готовности класса к уроку. II.Повторение. <ol><li> Вопросы для повторения </li><li> Какие колебания называются свободными? </li><li> Приведите примеры свободных колебаний </li><li> Какие колебания называются вынужденными? </li><li> Приведите пример вынужденных колебаний </li><li> Что такое период колебаний? </li><li> Что такое частота колебаний? </li><li> Что такое амплитуда колебаний? </li><li> Формула периода колебаний пружинного маятника. </li><li> От чего зависит период колебаний математического маятника? </li><li> Как вычислить ускорение свободного падения с помощью формулы для периода колебаний математического маятника? </li></ol>III Решение экспериментальных задач. Задание первое Сделать два маятника одного размера: один из картофелины, другой- из бумаги Подвесить их на нитях одинаковой длины. Отклонить на одинаковый угол от положения равновесия. Подсчитать их периоды. Сравнить полученные значения. Сделайте вывод ,от чего зависит период колебаний математического маятника. Одновременно ли прекратятся колебания. Почему?.Объясните полученный результат. Задание второе. Изготовьте математический маятник из подручных средств .Приведите его в движение, подсчитайте частоту колебаний. Измерьте длину маятника, так чтобы частота увеличилась вдвое. Проверьте правильность своего расчета на опыте. Сделайте вывод о том, как меняется частота математического маятника в зависимости от его длины. Задание третье. Подвести наручные механические часы на прочной нити, Если к часам не прикасаться , то через некоторое время они все равно придут в слабое движение. Проверьте, так ли это. Почему? Приведите часы в колебательное движение, так чтобы они сделали не меньше 50 колебаний. Как отразилось такое движение на точности хода этих часов. Почему? Можно ли установить, когда часы начинают спешить, а когда отставать? Задание четвертое. Изготовьте математический маятник. Измерьте период его колебаний. Измерьте время, за которое колебания затухают .Опустите маятник в воду и снова измерьте период его колебаний и время затухания. Сравните результаты .Сделайте вывод о влиянии окружающей среды на колебательное движение Задание пятое. Как и почему меняется период колебаний стального шарика, если под ним установить электромагнит? Зазор между сердечником электромагнита и шарика должен быть 3-10мм. Шарик будет заметно притягиваться к электромагниту, поэтому его ускорение около магнита возрастает. период шарика уменьшается. Проверьте экспериментально. IV Подведение итогов урока (Оценивание) V Домашнее задание Подготовить презентацию «Математический маятник в невесомости» <h2>Физика</h2> Физика — Поурочные разработки 11 класс — 2017 год Описание движения колебательных систем. Решение задач — МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ — КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Задачи урока: познакомить с графическим описанием гармонических колебаний пружинного и математического маятников; ввести понятие о фазе колебаний; продолжить формирование умений выделять и характеризовать явления. План урока <table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0"><tbody><tr><td> Этапы урока </td> <td> Время, мин </td> <td> Приёмы и методы </td> </tr><tr><td> I. Повторение </td> <td> 10—15 </td> <td> Устный опрос. Опыты и их объяснение </td> </tr><tr><td> II. Изучение нового материала </td> <td> 10—15 </td> <td> Рассказ учителя. Работа с учебником. Записи в тетрадях </td> </tr><tr><td> III. Отработка изученного материала </td> <td> 10—15 </td> <td> Решение задач </td> </tr><tr><td> IV. Домашнее задание </td> <td> 1 </td> <td> Комментарий учителя </td> </tr></tbody></table>I. У доски с конспектом повторяют теорию при ответе на вопрос: в чём проявляется динамика колебательного движения? Идея решения домашних задач и разные вопросы теории повторяют фронтально. Вопросы: как формулируется основной закон колебательного движения математического маятника? Как он выводится? К какому решению он приводит? Позволяет ли решение найти координату тела в любой момент времени? II. Новый материал заключается в графическом описании колебательного движения. 1. Выбирают для исследования модель колебательной системы — математический маятник, записывают уравнение колебаний и строят его график (рис. 3.4 учебника). Колебательное движение, при котором изменение физической величины происходит по закону косинуса или синуса, называют гармоническим. 2. Изучают свободные колебания математического маятника по его графику. Вводят понятия “фаза колебаний”, “сдвиг фаз”. Уместно при этом использовать рисунки и текст учебника. Параллельно обсуждают вопросы: меняется ли фаза колебаний при движении маятника? Какова начальная фаза колебаний математического маятника, если мы привели его в движение толчком из положения равновесия? Чему равна фаза колебаний через 1 с после начала движения при движении по закону х = 5cos4£? Чему равна начальная фаза колебаний (рис. 3.5 учебника)? Чему будет равна фаза этих колебаний через 7 с? III. Для коллективного и индивидуального решения рекомендуем задачи: П., № 626, 628, 634. IV. Домашнее задание: § 14; упр. на с. 68 (2). Индивидуально — задание: а) изготовьте математический маятник с периодом колебаний 0,5 с; б) определите период колебаний металлической линейки, сравните его с периодом колебаний математического маятника той же длины. <table><h2>Заочная нелинейная школа — Окно в науку</h2><td valign="top" bgcolor="#CCCCFF" background="img/reil.gif"></td> <td valign="top">   <table><tr><td> </td> <td/> </tr></table><h3>Задания ЗНШ</h3> См. также « Программа заочной нелинейной школы« <h4></h4>1. Оценки в физике</h4> Одна из задач физики — определение численных значений физических величин. Однако, для этого иногда нужно построить слишком сложную теорию или выполнить громоздкие расчеты. Поэтому бывает очень полезно определить приближенное, примерное значение физической величины. Как говорят физики, нужно оценить физическую величину. Один из известных наших физиков академик А.Б. Мигдал писал: “Решение большинства задач теоретической физики начинается с применения качественных методов, которые составляют наиболее привлекательную и красивую особенность этой науки. Под качественными методами мы понимаем размерные оценки и оценки с помощью простых моделей” В жизни мы непрерывно сталкиваемся с оценками, которые делаем интуитивно. Например, вы оцениваете, сколько времени уйдет на выполнение домашнего задания. Стоя в очереди, нетрудно оценить, сколько времени уйдет на покупку товара. Для этого нужно «прикинуть», сколько человек стоит в очереди, и сколько времени уходит на отпуск товара одному покупателю. Поскольку вы делаете оценку, а не хотите знать результат точно, то ответы 1 час 15 минут и 1 час 33 минуты будут одинаково правильными. Действительно, ситуация, когда вам надо ждать 1 час с минутами совершенно иная, чем та, когда надо ждать 2-3 минуты. Таким образом, числа, которые отличаются в 2 — 3 раза - это числа одного порядка. Если же числа отличаются в 10 раз, говорят, что они отличаются на один порядок, если в 100 — на два порядка и т.д. Теперь понятно, почему в физике столь полезна запись в виде числа порядка единицы, умноженного на 10 в соответствующей степени. Ведь эта степень сразу дает порядок самого числа. Итак, для физика очень ценно представлять примерный порядок величины. Это дает важную информацию о том, что учитывать, а что не учитывать в теории. Например, нужно ли учитывать электромагнитные поля звезд при описании образования галактик? С помощью метода оценок можно быстро получать ответы на совершенно неожиданные вопросы. Например, каково давление в центре Земли? С какой высоты можно прыгать в воду, чтобы не разбиться? Какова толщина льда, при которой машина не провалится? (Такую оценку делали физики в Ленинграде во время войны.) Давайте решим две задачи на определение порядка величин. Сначала оценим период колебаний математического маятника (рис.). Пусть в начальный момент времени маятник находится в точке А, которой на рисунке соответствует максимальное удаление маятника от точки В — положения равновесия. Тогда период колебаний есть учетверенный промежуток времени, за который маятник пройдет дугу АВ. Для оценки заменим его истинное движение по дуге окружности движением по хорде. Тогда движение маятника — это просто скольжение по наклонной плоскости, угол которой с горизонтом составляет . Значит, ускорение будет равно . Длина наклонной плоскости , где l — длина нити. Теперь с помощью известного соотношения кинематики находим время движения по хорде , а значит период колебаний  . Сравним наш результат с тем, что на самом деле известно о движении маятника. Период малых колебаний строго вычисляется и дается формулой  .  Итак, с помощью нашей оценки мы обнаружили, что период малых колебаний не зависит от их амплитуды, а это правильный результат. Далее, мы правильно определили зависимость периода от длины нити l и ускорения свободного паденияg. Наконец, мы получили оценку численного коэффициента в формуле для периода 8, которая отличается от точного значения  на 27%. Однако, для оценки порядка величины это не плохой результат. А в чем мы ошиблись? Как мы уже сказали — в величине точного численного коэффициента. Кроме того, из нашего рассуждения следует, что период колебаний вообще не зависит от начального отклонения маятника (т.е. от его амплитуды), что на самом деле не так. Говорят, что большие колебания маятника неизохронны.  Вы решили задачу и продолжаете читать дальше, но вас раздражает писк влетевшего в комнату комара. Оценим частоту звука, генерируемого летящим комаром. Предположим, что звук возникает от периодического взмахивания крылышек комара. Конечно, на самом деле физика полета комара сложнее. Но мы воспользуемся грубой моделью. Пусть сила тяжести, действующая на комара, компенсируется изменением импульса воздуха в единицу времени, которое создается взмахами крылышек, т.е.  ,  — изменение импульса воздуха,  — время движения крылышек, т — масса комара, g — ускорение свободного падения. Масса воздуха с плотностью , отбрасываемая вниз за время  движения крылышек площадью S со скоростью v, может быть выражена формулой: . При этом массе сообщается импульс , что создает силу , действующую на крылышко вверх. В качестве характерного размера комара введем его длину l (1-4 мм) и будем считать, что размах его крыльев порядка длины. Тогда площадь пары крыльев S~l2. Так как поперечные размеры комара без крылышек существенно меньше его длины, оценим его объем как 1/10l3. Плотность голодного комара примем равной плотности воды r. Если частота взмаха крылышек f, то скорость крыла v~lf. Из условия равновесия комара F~mg, используя полученные оценочные соотношения, находим:  , .  А поскольку, F~mg, то получаем  .  Если подставит сюда численные значения всех величин, то найдем f~400 Гц.  Получился вполне разумный порядок величины частоты. Из нашей формулы следует, что частота обратно пропорциональна корню квадартному из размера насекомого l. Это значит, что чем крупнее насекомое, тем ниже издаваемый им звук. Действительно, вас раздражает тонкий звенящий звук (писк) комара, но вы уважительно прислуживаетесь к жужжанию пчелы или гудению шмеля. Большим мастером оценок физических величин был выдающийся физик Энрико Ферми. На своих лекциях он проводил за считанные минуты оценку числа настройщиков роялей в Чикаго. (Как это сделать?) Давайте сделаем еще несколько занимательных оценок. Оценим число домашних кошек в Саратове. В Саратове порядка 106 человек. В каждой семье около 3-5 человек. Значит, в Саратове порядка 2·105семей. Зная сколько человек сидит в классе, можно быстро подсчитать долю семей, в которых есть кошки. Это число колеблется от 1/4 до 1/2. Таким образом, в Саратове около 5·104 -105 домашних кошек. Точно также можно оценить число домашних собак, телефонов и т.д. Оценки можно делать из разных соображений, здесь важен не столько путь решения, сколько результат. Например, число домашних телефонов можно оценить так. Практически каждый видел телефонные справочники, это две книги по 300-400 страниц. На каждой странице около сотни телефонов. Значит, число домашних телефонов, зарегистрированных на момент создания справочника, порядка 80 тысяч. В физике оценки позволяют очень быстро получать важные результаты. Например, во время испытания первой атомной бомбы Энрико Ферми почти мгновенно оценил мощность ядерного взрыва, измерив вызванное ударной волной смещение клочков бумаги, которые он сыпал на землю. Итак, нужно уметь оценивать физические величины. Это умение должно стать очень естественным для вас, настолько, чтобы вы могли в своей работе следовать правилу физика, специалиста по теории атомного ядра и гравитации Уилера, учителя другого выдающегося физика Ричарда Фейнмана: «Никогда не начинай вычислений, пока не знаешь ответа. Каждому вычислению предпосылай оценочный расчет: привлеки простые физические соображения (симметрию! инвариантность!) до того, как начинать подробный вывод; продумай возможные ответы на каждую загадку. Будь смелее: ведь никому нет дела до того, что именно ты предположил. Поэтому делай предположения быстро, интуитивно. Удачные предположения укрепляют эту интуицию. Ошибочные предположения дают полезную встряску». Если вернуться к началу нашего задания, то нетрудно увидеть, что мы все время пользовались правилом Уилера, которое хорошо коррелирует с высказываниями А.Б.Мигдала. <h4>Задачи</h4> <ol><li>Оцените давление, оказываемое стоящим человеком на поверхность Земли.</li> <li>Оцените выталкивающую силу, действующую на человека со стороны воздуха в жилой комнате.</li> <li>Сколько весит вода в океане?</li> <li>Оцените размер астероида, на котором подпрыгнувший космонавт не улетит в космос. </li> <li>Оцените видимый горизонт для взрослого человека. </li> <li>Сколько шариков от пинг-понга поместится в классной комнате?</li> <li>Оцените размер астероидов, начиная с которого они имеют форму шара. Считайте, что прочность горных пород на Земле и астероиде одинакова. Как соотносится ваш результат с данными наблюдений с автоматических космических станций?</li> <li>Оцените количество теплоты, выделяемое при экстренном торможении грузового железнодорожного состава.</li> <li>Оцените давление, оказываемое на землю кошкой.</li> <li> Оцените длину шкурки, которую снимают, почистив 1 кг картофеля. Зависит ли эта длина от размера картошин, если да, то как.</li> <li> Оцените время «кругосветного» путешествия муравья вокруг типичного дачного участка. Оцените мощность электроснабжения Вашего дома в вечерние часы.</li> <li> Айсберг имеет характерный линейный размер порядка 30 м. Оцените объем надводной части айсберга.</li> </ol><h4>2. Размерности физических величин</h4> Кроме численных значений, физические величины характеризуются своей размерностью. С понятием размерности мы знакомимся еще до того, как начинаем изучать физику. Например, мы хорошо знаем, что длина измеряется в метрах, масса в граммах и т.д. На первый взгляд кажется, что размерность играет вспомогательную роль. На самом деле это не так. Размерность — хороший помощник физика. Умение обращаться с размерностью помогает избежать ошибок в преобразованиях, а иногда дает возможность получить ответ к задаче, когда другие способы решения найти не удается. Давайте поговорим о размерности подробнее. Не указав размерности, нельзя сопоставить физической величине какое-либо число. Например, бессмысленно сказать, что длина предмета равна 10. Надо обязательно уточнить, чего 10? Метров, сантиметров, а может быть парсек? Вот эта дополняющая число информация и называется размерностью. Таким образом, размерность физической величины устанавливает, с каким эталоном надо соотнести число. Если длина стены равна 10 метров, это означает, что вдоль стены можно уложить 10 раз линейку метровой длины. Существуют основные размерности. Они соответствуют физическим величинам, которые людям проще измерять. Обычно это длина, масса, время. Им соответствуют размерности «метр», «килограмм», «секунда» или сокращенно «м», «кг», «с». Остальные физические величины имеют производную размерность, например, размерность скорости — «м/с», ускорения — «м/с2« и т.д. Вообще-то, можно придумать единицу скорости, и считать ее основной. Тогда производной станет единица длины. Принципиальных возражений против этого нет, но это очень неудобно. В физических соотношениях размерности правой и левой части всегда должны быть равны. Невозможна запись 3 бегемота — 2 бегемота = 1 крокодилу. Также не верна запись 100 бегемотов = 100 килобегемотов, хотя, казалось бы, цифры одинаковы. Это правило позволяет быстро находить ошибку, когда вы проводите большое количество промежуточных расчетов. Но простая проверка преобразований — это далеко не все выгоды размерности. Оказывается, анализ размерности физических величин позволяет получать новые формулы. Соответствующий прием называют методом размерностей. Давайте научимся пользоваться этим методом. Отыщем формулу для объема шара. Первый этап решения задачи с помощью метода размерности состоит в том, что определяются все величины, которые могут войти в искомую формулу. Ясно, что объем шара может зависеть только от его радиуса R. Выпишем размерности всех интересующих нас величин:  [V] = м3, [R] = м. Единственный способ, с помощью которого из размерности «м» можно получить «м3«, состоит в том, чтобы возвести радиус в куб. Поэтому искомая формула имеет вид: V=CR3. В полученное соотношение вошел некоторый неизвестный нам численный коэффициент, который мы обозначили через C. Это число нельзя определить с помощью метода размерностей. Константу C можно отыскать экспериментально, с помощью компьютерного моделирования или строго решив задачу. Решим с помощью метода размерностей еще одну, более сложную задачу. Чему равно время, за которое маятник совершает одно полное колебание? Строгое математическое решение этой задачи приводит к дифференциальному уравнению. Не будем, однако, пытаться написать уравнение движения, а попробуем ответить на вопрос: от каких физических величин зависит период колебаний T? Мы знаем, что период малых колебаний не зависит от начального угла отклонения маятника. Нить, на которой подвешен маятник, очень легкая, поэтому период колебаний не может зависеть от ее массы. Грузик имеет очень маленький размер, так что этот размер тоже не может быть существенным. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то останутся всего три величины: длина нити l, ускорение свободного падения g, масса маятника m. Итак, ответ к нашей задаче должен выглядеть в виде формулы, в левой части которой должен стоять период колебаний T, а в правой — неизвестная нам пока комбинация из длины нити l, ускорения свободного падения g, массы маятника m. Выпишем размерности величин, входящих в искомую формулу: [T] = c; [l] = м, [g] = м/с2, [m] = кг. Размерности левой и правой части любого равенства должны быть равны. Как «приготовить» из м, м/с2, кг секунды? Способ один: . Следовательно, ответ к задаче имеет следующий вид: . Здесь C — какое-то неизвестное нам безразмерное число. Определим константу C экспериментально. Изготовим маятник длиной 1 м, и измерим период колебаний. Он окажется около 2 с. Значит число приближенно равно 6,3. (Точное значение .) Мы получили, что период колебаний зависит от длины маятника как . Поэтому, если увеличить длину маятника в 2 раза, то период колебаний возрастет в раз. Кроме того, мы установили, что период колебаний маятника не зависит от массы грузика. Это существенные результаты, которые могут быть проверены экспериментально. Давайте еще немного поразмышляем над задачей о маятнике. Что будет, если маятник совершает колебания с большим размахом? Тогда период колебаний должен зависеть от начального угла отклонения j. Это величина безразмерная. Но ведь размерности левой и правой частей уравнений все равно должны быть одинаковы. Это с неизбежностью приводит нас к выводу о том, что формула для периода колебаний выглядит так:  В этом соотношении  — некоторая функция, которую установить из соображений размерности невозможно. Однако ее график можно построить экспериментально. Для этого надо установить зависимость  для какой-то одной фиксированной длины l. Если затем построить график измеренной зависимости, отложив по горизонтальной оси угол , а по вертикальной — комбинацию , то это и будет график функции . Кстати, у нас обязательно при этом получится  (почему?). Кроме того, при малых значениях  функция будет почти не зависеть от  (почему?).  Можно проделать несколько серий измерений зависимости периода колебаний от начального угла отклонения  при разных значениях длины нити l. Построим эти зависимости, отложив по вертикальной оси величину . Тогда все они должны представлять собой одну и ту же кривую! Ведь фактически, мы каждый раз строим график функция , а она одинакова во всех случаях. Когда возникает такая ситуация, у физиков принято рисовать одну серию результатов точечками, другую — крестиками, третью — квадратиками и т.д. Тогда результаты, относящиеся к разным значениям длины, оказываются выделенными. Получается следующая картинка. Взглянув на такой график, можно сразу сказать, хорошо ли работает наша формула. Критерием этого является, ложатся или нет точки, крестики, квадратики на одну кривую. Если да, то в этом случае говорят, что получилась универсальная функция. Она является универсальной в том смысле, что она пригодна одновременно для всех маятников, какова бы ни была длина их подвеса. <h4>Задачи </h4> <ol><li>Размерности каких из перечисленных величин относятся к основным: атмосферное давление, время обращения Земли вокруг своей оси, скорость автомобиля, длина железнодорожного состава, мощность электрической плитки, масса птичьего пера? Если такие величины есть, то удобно ли использовать их в качестве эталона?</li> <li> В известном мультфильме Удава измеряют в попугаях. Какие параметры Попугая можно использовать в качестве эталона для введения основных единиц?</li> <li>Выразите через основные следующие размерности: Н, Па, Дж, Вт.</li> <li>Определите экспериментально константу C в формуле V=CR3 для объема шара. Используйте для этого следующее оборудование: шар, линейку или штангенциркуль, мерную мензурку с водой.</li> <li>Получите формулу для площади круга из соображений размерности. Определите экспериментально константу C в этой формуле, используя клетчатую бумагу и циркуль.</li> <li>Экспериментально определите, во сколько раз возрастает период колебаний маятника при увеличении его длины в два раза.</li> <li>Тело движется по окружности радиуса R с постоянной по величине скоростью v. Из соображений размерности получите выражение для ускорения тела.</li> <li>Спутник движется вокруг Земли по низкой орбите. Получите формулу для периода обращения спутника из соображений размерности. Ускорение свободного падения у поверхности Земли равно g, ее радиус R.</li> <li>Для того, чтобы оторвать змею от добычи, ее надо тянуть за хвост с силой F. За какое время змея, лежащая на гладкой горизонтальной поверхности вдоль прямой линии, может свернуться, образовав кольцо? Масса змеи M, ее длина l.</li> <li> Маленький кубик массы m прикреплен к пружине жесткости k. Если кубик сместить в сторону, то он начнет колебаться около положения равновесия. Так же как и для маятника, период малых колебаний кубика не зависит от их размаха. Чему равен период колебаний? Трение отсутствует.</li> <li> Скорость звука в газе зависит от давления p и плотности газа . Получите формулу для скорости звука.</li> <li> Тело брошено под углом a к горизонту. Из соображений размерности получите формулы для дальности полета тела l и максимальной высоты подъема тела h. Постройте качественно универсальную функцию, характеризующую зависимость дальности полета от угла.</li> <li> Площадь прямоугольного треугольника однозначно определяется величиной гипотенузы c и углом , прилежащим к гипотенузе. Из соображений размерности получите формулу для площади прямоугольного треугольника. Постройте качественно универсальную функцию, характеризующую зависимость площади прямоугольного треугольника от угла .</li> <li> Используя результат предыдущей задачи, докажите теорему Пифагора. (Такое решение дал одиннадцатилетний Эйнштейн, когда изучал геометрию.)</li> </ol><h4></h4>3. Задачи исследовательского характера</h4> На уроках в школе Вы постоянно получаете новые знания. Практически так же протекают занятия и во всех высших учебных заведениях. Но совсем другая ситуация возникнет, если Вы станете заниматься наукой. Ведь в этом случае Вам необходимо самими получить новые знания, которые до Вашей работы были неизвестны. Это совсем другая ситуация, чем та, к которой приучает школа. Поясним эту мысль на простом примере. В школе знания даются поэтапно, в соответствии с учебной программой. При этом нельзя, например, пользоваться теми теоремами, которые еще «не прошли» на уроках. Или, например, комплексными числами, которые тоже пока не изучили. В науке же ситуация совершенно другая — можно (и нужно!) пользоваться любыми известными знаниями. Для этого можно обращаться к справочникам, литературе, консультациями других исследователей. На традиционных же уроках это все не разрешается. Второе, очень существенное отличие от школьного способа обучения состоит в том, что одна задача решается долго (неделю, месяц, год). Задачи же, которые Вы решаете в школе и на олимпиадах совершенно другие. Урок и олимпиада скоротечны, и на каждую задачу Вы тратите не так много времени — ведь необходимо решать их довольно большое число. В третьих, школьная задача, как правило, имеет единственное четкое решение, именно то, которое предполагал в учебных целях ее автор. Те же задачи, которые решает ученый-исследователь не обладают такой степенью определенности. Можно, однако, сформулировать задачи, содержащие традиционные для учебного курса физики ситуации, но требующие не «ученического», а научного подхода к их решению. Наиболее известна подборка таких задач, придуманных выдающимся ученым П.Л.Капицей для студентов  и молодых людей, поступающих в аспирантуру. Мы хотим предложить несколько задач исследовательского характера, которые близки к научному исследованию. Из приведенных ниже задач лучше выбрать всего одну — ту, которая Вам понравится. Значение имеет не число решенных задач, а глубина проработки решения. Такие задачи, можно надеяться, помогут Вам лучше понять науку, как профессию, состоящую в получении новых результатов «своими руками». Особенность предложенных задач в том, что они не имеют строго определенных решений — каждая из них допускает множество подходов и дальнейшее развитие. «Арсенал» Вашего исследования не фиксирован. Используйте теоретические соображения, эксперименты, компьютерное моделирование, по своим наклонностям и возможностям — в тексте даются лишь отдельные советы. Обсуждайте Вашу задачу с другими учениками. Используйте литературу — для решения некоторых задач это полезно, а решение некоторых из них без этого и невозможно.  <h4></h4>Задачи: Интернет-лаборатория</h4>   <h4></h4>4. Колебания</h4> Ознакомитесь с теоретическим материалом по колебаниям, помещенным на странице Открытого колледжа МФТИ по адресу http://www.college.ru/physics/Theory/op25part1/content/content.html  <h4>Задачи</h4> <ol><li>Найдите амплитуду а и фазу  колебаний осциллятора, движущегося по закону , если известны его начальная координата x0 и скорость V0.</li> <li>Закон движения осциллятора можно представить также в виде . Выразите коэффициенты A и B: а) через амплитуду a и фазу колебаний , б) через начальные координату x0 и скорость V0. Получите выражение для энергии колебаний через коэффициенты A и B.</li> <li> Математический маятник длины l может совершать малые колебания. Когда он был отклонен на угол  от вертикали, то получает ударом скорость V0 перпендикулярно нити. Когда маятник пройдет через положение равновесия? При каком условии колебания останутся малыми? </li> <li>Колебательный контур состоит из емкости C=16 нФ и индуктивности L=160 мкГн. В начальный момент времени на емкости присутствует напряжение V=10 В, а ток в цепи отсутствует. Каковы зависимости от времени напряжения на емкости и тока через индуктивность? Чему равно максимальное значение заряда на конденсаторе?</li> <li>Цилиндрический сосуд объемом V разделен подвижным поршнем площади S на две равные части. Давление газа в сосуде равно P. Определите период малых колебаний поршня около положения равновесия. Масса поршня M много больше массы газа. Считайте, что газ подчиняется закону Бойля-Мариотта.</li> <li>Шарик массы m, несущий заряд q, может скользить вдоль оси тонкого неподвижного кольца радиуса R, несущего заряд противоположного знака величины Q. Определите период малых колебаний.</li> <li>Посередине резинового жгута длины l закреплена бусинка массы m. Бусинку отклоняют в поперечном направлении на небольшое расстояние и отпускают. Найдите частоту колебаний. Жгут в равновесном состоянии натянут с силой F. Как ведет себя частота при изменении F?</li> <li>Математический маятник массы m и длины l прикреплен к стенке пружиной жесткости k. Пружина горизонтальна и в положении равновесия маятника не натянута. Определите период колебания такого маятника. </li> <li>Решите предыдущую задачу в случае, когда пружина заменена резинкой. </li> <li> Изготовьте экспериментально маятник с периодом колебания в 1 секунду. Как лучше всего подобрать длину нити?</li> <li> Футбольный мяч ударяется о стенку. Покажите, что при небольших деформациях время соударения не зависит от начальной скорости мяча. Оцените это время. Массу мяча примите , радиус , избыточное давление внутри него равно одной атмосфере, т.е. 105 Па. Оцените скорость мяча, при которой деформация мяча не будет малой.</li> <li>Если просверлить сквозь Землю вдоль диаметра, соединяющего полюса, отверстие, то сколько времени понадобится телу, попавшему в это отверстие, чтобы достигнуть поверхности с противоположной стороны Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь. (Указание. Гравитационная сила, действующая на тело внутри однородной полой сферы равна нулю. Гравитационная сила, действующая со стороны однородного шара на тело, расположенное вне его, такая же, как со стороны материальной точки, помещенной в центр шара.)</li> <li>Во сколько раз отличаются собственные частоты двух колебательных контуров, все размеры которых отличаются в n раз?</li> <li>Получите формулу для собственной частоты колебательного контура из соображений размерности.</li> <li>Определите период колебаний системы, состоящей из пружинки с жесткостью k и двух прикрепленных к ее концам шариков с массами m1 и m2.</li> </ol><h4></h4>5. Волны</h4> Ознакомитесь с теоретическим материалом по волнам, помещенным на странице Открытого колледжа МФТИ по адресу http://www.college.ru/physics/Theory/op25part1/content/content.html <h4>Задачи</h4> <ol><li>В некоторой точке был зафиксирован момент времени, когда величина поля волны оказалась максимальной и равной а. На расстоянии l от этой точки величина поля составила U1. Через время t поле в первой точке оказалось равным U2. Найдите поле U3 в этот момент времени во второй точке.</li> <li>Как изменится звук свистка, если его продуть не воздухом, а гелием?</li> <li>Ведра с водой на коромысле имеют частоту собственных колебаний 0,625 Гц. При какой длине шага вода будет особенно сильно выплескиваться? Скорость человека 2,7 км/ч.</li> <li>К верхнему концу цилиндрического сосуда, из которого постепенно выливается вода, поднесен камертон. Первый раз звук, издаваемый камертоном, заметно усилился, когда расстояние от поверхности жидкости до верхнего края сосуда достигло значения 0,2 м. Определить частоту колебания камертона. Определить расстояние от поверхности жидкости до верхнего края сосуда в тот момент, когда звук усилится во второй раз. Скорость звука в воздухе принять равной 340 м/с.</li> <li>Тепловоз, движущийся со скоростью V1=72 км/ч, дает гудок с частотой основного тона 650 Гц. Какова кажущаяся частота гудка для неподвижного наблюдателя на платформе? Пусть теперь поезд неподвижен, а наблюдатель движется мимо него на автомобиле со скоростью V2=54км/ч. Какую частоту услышит он?</li> <li>На поверхности воды могут распространяться гравитационные волны, образование которых связано с силой тяжести. Из соображений размерности найдите зависимость скорости таких волн от глубины водоема H. Водоем «мелкий», то есть длина волны . Используя этот результат, оцените скорость цунами в океане и время обхода цунами вокруг земного шара.</li> <li>Найдите методом размерности зависимость скорости гравитационных волн от длины волны на глубокой воде. С какой скоростью распространяются волны в океане, для которых он является глубоким? (Указание. На глубокой воде скорость не зависит от глубины водоема)</li> <li>На воде возможны капиллярные волны, которые своим происхождением обязаны поверхностному натяжению. Найдите с помощью метода размерности скорость капиллярных волн на глубокой воде. Оцените скорость и длину волны, когда необходимо учитывать и силу тяжести, и капиллярные эффекты. Сравните ее со скоростью утки и моторной лодки. Что следует из такого сравнения?</li> </ol><address> Окно в науку.  Саратовская группа теоретической  нелинейной динамики</address></td> </table><h2> Простой маятник | Физика </h2> <h4> Цели обучения </h4> К концу этого раздела вы сможете: <ul> <li> Измерьте ускорение свободного падения. </li> </ul> Рисунок 1. На рисунке 1 мы видим, что простой маятник имеет боб малого диаметра и струну, которая имеет очень небольшую массу, но достаточно прочна, чтобы не растягиваться заметно. Линейное смещение от положения равновесия составляет с , длина дуги. Также показаны силы на опоре, которые приводят к результирующей силе — мг sin θ по направлению к положению равновесия, то есть восстанавливающей силе. Маятники широко используются. Некоторые из них имеют решающее применение, например, в часах; некоторые для развлечения, например, детские качели; а некоторые просто есть, например грузило на леске. При малых перемещениях маятник представляет собой простой гармонический осциллятор. Простой маятник определяется как объект с небольшой массой, также известный как маятник, который подвешен на легком проводе или веревке, как показано на рисунке 1. Изучая простой маятник немного подробнее, мы может обнаружить условия, при которых он совершает простое гармоническое движение, и мы можем получить интересное выражение для его периода. Начнем с определения смещения как длины дуги s . Из рисунка 1 видно, что результирующая сила на бобе касается дуги и равна — мг sin θ . (Гиря мг имеет компоненты мг cos θ вдоль струны и мг sin θ по касательной к дуге.) Натяжение в струне точно нейтрализует составляющую мг cos θ , параллельную дуге. нить. Это оставляет восстанавливающую силу нетто обратно в положение равновесия при θ = 0. Теперь, если мы сможем показать, что возвращающая сила прямо пропорциональна смещению, то мы получим простой гармонический осциллятор. Пытаясь определить, есть ли у нас простой гармонический осциллятор, мы должны отметить, что для малых углов (менее примерно 15º) sin θ ≈ θ (sin θ и θ отличаются примерно на 1% или меньше под меньшими углами). Таким образом, для углов менее примерно 15 ° восстанавливающая сила F составляет . F ≈ — мг θ . Смещение с прямо пропорционально θ . Когда θ выражается в радианах, длина дуги в окружности связана с ее радиусом ( L в данном случае) как s = L θ , так что [латекс] \ theta = \ frac {s} {L} \\ [/ latex]. Таким образом, для малых углов восстанавливающая сила имеет следующий вид: [латекс] F \ ок- \ frac {mg} {L} s \\ [/ латекс]. Это выражение имеет вид: F = — kx , где силовая постоянная определяется как [латекс] k = \ frac {mg} {L} \\ [/ latex], а смещение задается как x = с . Для углов меньше примерно 15º восстанавливающая сила прямо пропорциональна смещению, и простой маятник представляет собой простой гармонический осциллятор. Используя это уравнение, мы можем найти период маятника для амплитуд менее примерно 15º. Для простого маятника: [латекс] \ displaystyle {T} = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {k}} = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {m} {\ frac {mg} {L}}} \\ [/ латекс] Таким образом, [латекс] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}} \\ [/ latex] для периода простого маятника.Этот результат интересен своей простотой. Единственное, что влияет на период простого маятника, — это его длина и ускорение свободного падения. Период полностью не зависит от других факторов, таких как масса. Как и в случае простых гармонических осцилляторов, период T для маятника почти не зависит от амплитуды, особенно если θ меньше примерно 15º. Даже простые маятниковые часы могут быть точно настроены и точны. Обратите внимание на зависимость T от g .Если длина маятника точно известна, ее можно использовать для измерения ускорения свободного падения. Рассмотрим пример 1. <h4> Пример 1. Измерение ускорения свободного падения: период маятника </h4> Каково ускорение свободного падения в области, где простой маятник длиной 75 000 см имеет период 1,7357 с? <h5> Стратегия </h5> Нам предлагается найти g с учетом периода T и длины L маятника.{2}} \\ [/ латекс]. Посчитайте, чтобы найти г : г = 9,8281 м / с 2 . <h5> Обсуждение </h5> Этот метод определения г может быть очень точным. Вот почему в этом примере длина и период представлены пятью цифрами. Чтобы точность аппроксимации sin θ ≈ θ была лучше, чем точность длины и периода маятника, максимальный угол смещения должен быть ниже примерно 0.5º. <h4> Установление связей с карьерой </h4> Знание г может быть важным при геологоразведке; например, карта g над большими географическими регионами помогает изучать тектонику плит и помогает в поисках нефтяных месторождений и крупных залежей полезных ископаемых. <h4> Эксперимент на дом: определение </h4> г </h4> Используйте простой маятник для определения ускорения свободного падения. g в вашем регионе. Отрежьте кусок веревки или зубной нити так, чтобы он был длиной около 1 м.Прикрепите к концу веревки небольшой предмет высокой плотности (например, металлическую гайку или ключ от машины). Начиная с угла менее 10º, позвольте маятнику качаться и измерьте период маятника для 10 колебаний с помощью секундомера. Вычислите г . Насколько точно это измерение? Как это можно улучшить? <h4> Проверьте свое понимание </h4> Инженер строит два простых маятника. Оба подвешены на небольших проводах, прикрепленных к потолку комнаты. Каждый маятник парит на высоте 2 см над полом.Маятник 1 имеет боб массой 10 кг. Маятник 2 имеет боб массой 100 кг. Опишите, чем будет отличаться движение маятника, если оба боба смещены на 12º. <h5> Решение </h5> Движение маятника не будет отличаться, потому что масса боба не влияет на движение простого маятника. На маятник влияет только период (который связан с длиной маятника) и ускорение свободного падения. <h3> Исследования PhET: маятниковая лаборатория </h3> Поиграйте с одним или двумя маятниками и узнайте, как период простого маятника зависит от длины струны, массы качания маятника и амплитуды качания.Период легко измерить с помощью таймера фотозатвора. Вы можете варьировать трение и силу тяжести. Используйте маятник, чтобы найти значение g на планете X. Обратите внимание на ангармоническое поведение при большой амплитуде. Щелкните, чтобы запустить моделирование. <h3> Сводка раздела </h3> <ul> <li> Масса м , подвешенная на тросе длиной L , представляет собой простой маятник и совершает простое гармоническое движение с амплитудами менее примерно 15º. </li> <li> Период простого маятника равен [latex] T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {L} {g}} \\ [/ latex], где L — длина струны, а g — . ускорение свободного падения.</li> </ul> <h4> Концептуальные вопросы </h4> <ol> <li> Маятниковые часы работают с правильной скоростью за счет регулировки длины маятника. Предположим, вы перемещаетесь из одного города в другой, где ускорение свободного падения немного больше, беря с собой маятниковые часы, придется ли вам удлинить или укорачивать маятник, чтобы поддерживать правильное время, при этом другие факторы остаются постоянными? Поясните свой ответ. </li> </ol> <h4> Задачи и упражнения </h4> Как обычно, ускорение свободного падения в этих задачах принимается равным g = 9.80 м / с 2 , если не указано иное. <ol> <li> Какова длина маятника с периодом 0,500 с? </li> <li> Некоторые люди думают, что маятник с периодом 1,00 с может приводиться в движение «умственной энергией» или психокинетически, потому что его период такой же, как и среднее сердцебиение. Верно или нет, но какова длина такого маятника? </li> <li> Какой период у маятника длиной 1,00 м? </li> <li> Сколько времени нужно ребенку на качелях, чтобы сделать одно качание, если его центр тяжести равен 4?00 м ниже оси? </li> <li> Маятник на часах с кукушкой имеет длину 5,00 см. Какая у него частота? </li> <li> Два попугая сидят на качелях, их общий центр масс находится на 10,0 см ниже оси. С какой частотой качаются? </li> <li> (a) Маятник с периодом 3,00000 с и расположенный там, где ускорение свободного падения составляет 9,79 м / с 2 перемещается в место, где ускорение свободного падения составляет 9,82 м / с 2 . Какой у него новый период? (б) Объясните, почему необходимо так много цифр в значении периода, основываясь на соотношении между периодом и ускорением свободного падения.</li> <li> Маятник с периодом 2,00000 с в одном месте ( г = 9,80 м / с 2 ) перемещается в новое место, где период теперь составляет 1,99796 с. Какое ускорение свободного падения обусловлено его новым местоположением? </li> <li> (а) Как повлияет на период маятника, если вы удвоите его длину? (б) Как повлияет на период маятника, если вы уменьшите его длину на 5,00%? </li> <li> Найдите отношение нового / старого периодов маятника, если бы маятник был перенесен с Земли на Луну, где ускорение свободного падения равно 1.63 м / с 2 . </li> <li> С какой скоростью будут работать маятниковые часы на Луне, где ускорение свободного падения составляет 1,63 м / с 2 , если они показывают точное время на Земле? То есть найдите время (в часах), за которое часовая стрелка часов совершает один оборот на Луне. </li> <li> Предположим, что длина маятника часов изменилась на 1.000% ровно в полдень одного дня. В какое время он покажет через 24 часа, если маятник показал точное время до изменения? Обратите внимание, что есть два ответа, и выполните расчет с точностью до четырех цифр.</li> <li> Если часы с маятниковым приводом показывают 5,00 с / день, какое дробное изменение длины маятника необходимо сделать, чтобы он шел точно по времени? </li> </ol> <h3> Глоссарий </h3> простой маятник: объект с небольшой массой, подвешенный на легкой проволоке или веревке <h4> Избранные решения проблем и упражнения </h4> 1. 6.21 см 3. 2.01 с 5. 2,23 Гц 7. (а) 2.99541 с; (b) Поскольку период связан с квадратным корнем из ускорения свободного падения, при изменении ускорения на 1% период изменяется на (0.01) 2 = 0,01%, поэтому необходимо иметь не менее 4 цифр после десятичной дроби, чтобы увидеть изменения. 9. (a) Период увеличивается в 1,41 раза [латекс] \ left (\ sqrt {2} \ right) \\ [/ latex]; (b) Период уменьшается до 97,5% от старого периода . 11. Замедление в 2,45 раза 13. длина должна увеличиться на 0,0116% <h2> Моделирование качания маятника намного сложнее, чем вы думаете </h2> Существует три различных способа моделирования движения маятника.Я уже рассматривал эти методы раньше, поэтому позвольте мне дать небольшой обзор. Обратите внимание, что заголовок этого сообщения — «третий способ». В этом случае я считал два разных метода для получения дифференциального уравнения, но теперь я называю их одним и тем же методом. Метод 1: получить дифференциальное уравнение Если вы предполагаете, что масса ограничена движением по круговой траектории, то вы можете свести это к одномерной задаче с углом маятника в качестве единственной переменной. Единственная сила, которая изменяет это угловое положение, — это угловая составляющая силы тяжести.Поскольку θ — это угол струны, измеренный от вертикали, я могу получить следующее выражение: Существует простое решение этого дифференциального уравнения, предполагая небольшую амплитуду колебаний (и, следовательно, небольшой угол). В этом случае sin (θ) примерно равен θ, и вы получаете то же выражение, что и для простого гармонического движения. Метод 2: обман с силой натяжения Проблема с движением маятника заключается в том, что натяжение является сдерживающей силой.Что, если мы сделаем это детерминированной силой? Если заменить струну на очень жесткую пружину, это будет более легкой проблемой. Этот метод может работать достаточно хорошо. Вот численная модель, которая отображает угловое положение как для метода 1, так и для метода 2. Просто нажмите кнопку «play», чтобы запустить это. Если вы хотите изменить часть кода (а вы, вероятно, должны это сделать), я оставил комментарии, чтобы указать, что вы можете изменить. Не волнуйтесь, ничего не сломаете.Просто щелкните значок «карандаш», чтобы переключиться в режим редактирования кода. На самом деле, вам следует поэкспериментировать со значениями массы, жесткости пружины (k) и временного шага (dt), чтобы увидеть, насколько хорошо эта модель согласуется с дифференциальным уравнением. Подсказка, попробуйте посмотреть на обе модели, чтобы увидеть, какая из них лучше экономит энергию. Да, вы можете считать это домашним заданием, если хотите. Метод 3: Расчет силы натяжения Я могу использовать обычный метод численной модели, если смогу найти выражение для натяжения на каждом временном шаге.Давайте посмотрим на силы, действующие на массу во время качания. Я уже знаю направление этой силы натяжения — она должна быть в том же направлении, что и струна (потому что струны только тянут). Но как насчет величины? Предположим, что эта масса находится под некоторым углом θ и движется со скоростью v . В этом случае я могу сложить силы в направлении струны (я назову это направлением r ). <h2> Маятниковые волны | Научный проект </h2> Построить маятниковый волновой аппарат. <ul> <li> 2-х метровые палки (или метровая палка и линейка или рулетка) </li> <li> 3,5 метра струны (примерно) </li> <li> Девять грузов, которые можно легко прикрепить к веревке (например, гайки, шайбы, грузы с крючками) </li> <li> Лента </li> <li> Две стопки книг высотой не менее одного метра каждая </li> </ul> <ol> <li> Отрежьте девять отрезков ниток следующей длины: 44 см, 41 см, 39 см, 37 см, 35 см, 33 см, 31 см, 30 см, 29 см.</li> <li> Начиная примерно с отметки 10 см на линейке, привяжите кусок веревки к каждой точке, расположенной через каждые 9 см вдоль линейки (примерно). Используйте небольшой кусок ленты, чтобы прикрепить каждую веревку к палке. </li> <li> Используйте две стопки книг для поддержки обоих концов измерительной ручки. Измерительная палочка должна образовывать «мостик», соединяющий книги. </li> <li> Прикрепите один груз к свободному концу каждой струны. Проденьте веревку через отверстие или зацепите каждый груз и с помощью линейки или рулетки отрегулируйте длину, чтобы она точно соответствовала следующей таблице, начиная с самой длинной веревки.Как только у вас получится правильная длина, привяжите веревку к гирю. </li> </ol> <table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0"> <tbody> <tr> <td> Маятник </td> <td> 1 </td> <td> 2 </td> <td> 3 </td> <td> 4 </td> <td> 5 </td> <td> 6 </td> <td> 7 </td> <td> 8 </td> <td> 9 </td> </tr> <tr> <td> Длина (см) </td> <td> 35.7 </td> <td> 33,0 </td> <td> 30,6 </td> <td> 28,5 </td> <td> 26,6 </td> <td> 24,8 </td> <td> 23,2 </td> <td> 21,8 </td> <td> 20,5 </td> </tr> </tbody> </table> <ol> <li value="5"> Когда вы построите все девять маятников, используйте линейку (или большую книгу, или даже руку), чтобы переместить все маятники к себе на несколько дюймов.</li> <li value="6"> Отпустите все маятники одновременно так, чтобы они качались перпендикулярно стержню счетчика, на котором они висят. </li> <li value="7"> Приятного просмотра! Лучше всего наблюдать за маятниками сверху (глядя вниз) или с одного конца измерительной линейки (если смотреть по ее длине). Сколько разных узоров вы видите? Что-нибудь повторяется? Если какие-то шаблоны повторяются, сколько времени им потребуется на это? </li> </ol> Ансамбль маятника будет циклически перебирать несколько паттернов в течение 30 секундного интервала.Вы увидите все синхронно, волны маятника разной длины, колеблющиеся по линии, чередующиеся колебания (половина маятников движется в одном направлении, половина — в другом) и даже кажущееся хаотичное движение. Длина маятников рассчитана таким образом, что все они совершают разное количество колебаний каждые 30 секунд. Первый (самый длинный) маятник качается 25 раз за 30 секунд, следующий 26 раз, следующий 27 и так далее; последний (самый короткий) маятник совершает 33 поворота за тот же интервал.Это означает, что каждые 30 секунд все маятники будут качаться в одну сторону вместе. Все, что происходит в середине этого интервала, представляет собой ошеломляющее отображение множества маятников, каждый с немного более коротким периодом, чем предыдущий, движущихся в фазе и противофазе друг с другом. По мере того, как более короткие маятники начинают опережать более длинные, они слегка «опережают» соседние маятники и создают волновой эффект вдоль измерительной ручки. Через 15 секунд — половину 30-секундного цикла — каждый второй маятник (начиная со второго самого длинного) завершит целое количество циклов, в то время как остальные маятники все синхронизируются вместе в «полупериоде».Когда это происходит, половина маятников сгруппированы вместе с одной стороны, а остальные маятники сгруппированы вместе с другой стороны. Вы можете модифицировать прибор, добавляя маятники или создавая цикл более 30 секунд. Хитрость заключается в том, чтобы сначала решить, как долго вы хотите, чтобы общий цикл был (в этом дизайне мы использовали 30 секунд, но он может быть сколь угодно длинным). Затем решите, сколько раз вы хотите, чтобы самый длинный маятник качнулся вперед и назад за этот интервал. Имея это в виду, период каждого последующего маятника должен быть установлен таким образом, чтобы он качался на один раз больше, чем предыдущий в том же интервале. Помните, что период идеального маятника зависит только от его длины: <ul> <li>, где g = 9,8 м / с — ускорение свободного падения, </li> <li> L — длина маятника (в метрах), а </li> <li> T — период в секундах. </li> </ul> Количество качаний маятника ( N ) за полный цикл представлено как . <ul> <li>, где T max — общая длина цикла в секундах.</li> </ul> В качестве альтернативы вы можете использовать следующий ярлык для создания собственного маятникового волнового аппарата: … который сообщает вам длину, L (n) , n -го маятника, где k — это количество циклов, которые проходит все устройство перед повторением шаблона. Заявление об ограничении ответственности и меры предосторожности Education.com предлагает идеи проекта Science Fair для информационных целей. только для целей.Education.com не дает никаких гарантий или заверений относительно идей проектов Science Fair и не несет ответственности за любые убытки или ущерб, прямо или косвенно вызванные использованием вами таких Информация. Получая доступ к идеям проектов Science Fair, вы отказываетесь от отказаться от любых претензий к Education.com, которые возникают в связи с этим. Кроме того, ваш доступ к веб-сайту Education.com и идеям проектов Science Fair покрывается Политика конфиденциальности Education.com и Условия использования сайта, которые включают ограничения по образованию.ком ответственность. Настоящим дается предупреждение, что не все идеи проекта подходят для всех индивидуально или при любых обстоятельствах. Реализация идеи любого научного проекта должны проводиться только в соответствующих условиях и с соответствующими родительскими или другой надзор. Прочтите и соблюдайте правила техники безопасности всех Материалы, используемые в проекте, являются исключительной ответственностью каждого человека. Для Для получения дополнительной информации обратитесь к справочнику по научной безопасности вашего штата. <h2> Учебное пособие по физике: движение маятника </h2> Простой маятник состоит из относительно массивного объекта, подвешенного на веревке к неподвижной опоре. Обычно он висит вертикально в положении равновесия. Этот массивный объект ласково называют маятником bob . Когда боб смещается из состояния равновесия, а затем отпускается, он начинает свое возвратно-поступательное колебание относительно своего фиксированного положения равновесия. Движение регулярное и повторяющееся, пример периодического движения.Движение маятника было рассказано ранее в этом уроке, когда мы пытались понять природу вибрирующих объектов. Маятник снова обсуждался, когда мы рассматривали математические свойства объектов, находящихся в периодическом движении. Здесь мы исследуем движение маятника еще более подробно, поскольку мы сосредоточимся на том, как различные величины меняются с течением времени. Такие величины будут включать силы, положение, скорость и энергию — как кинетическую, так и потенциальную. <h4> </h4> Расчет силы маятника </h4> Ранее в этом уроке мы узнали, что на вибрирующий объект действует восстанавливающая сила.Возвратная сила заставляет вибрирующий объект замедляться при удалении от положения равновесия и ускоряться при приближении к положению равновесия. Именно эта восстанавливающая сила отвечает за вибрацию. Итак, какие силы действуют на качение маятника? А какова восстанавливающая сила маятника? На маятник bob постоянно действуют две доминирующие силы во время его движения. Есть сила тяжести, которая действует на боб.Это результат того, что масса Земли притягивает массу боба. И есть сила натяжения, действующая вверх и к точке поворота маятника. Сила натяжения возникает из-за натяжения струны на боб маятника. В нашем обсуждении мы проигнорируем влияние сопротивления воздуха — третьей силы, которая всегда противодействует движению боба, когда он раскачивается взад и вперед. Сила сопротивления воздуха относительно мала по сравнению с двумя доминирующими силами. Сила тяжести очень предсказуема; она всегда в одном направлении (вниз) и всегда одной величины — масса * 9.8 Н / кг. Сила натяжения значительно менее предсказуема. И его направление, и величина меняются по мере того, как боб качается взад и вперед. Направление силы натяжения всегда к точке поворота. Таким образом, когда боб качается влево от своего положения равновесия, сила натяжения находится под углом — направлена вверх и вправо. И когда боб качается вправо от своего положения равновесия, натяжение направляется вверх и влево. На приведенной ниже диаграмме показано направление этих двух сил в пяти разных положениях на пути маятника. В физических ситуациях, когда силы, действующие на объект, не имеют одинаковых, противоположных или перпендикулярных направлений, принято разделять одну или несколько сил на компоненты. Эта практика использовалась при анализе задач по вывешиванию вывесок и задач с наклонной плоскостью. Обычно одна или несколько сил разделяются на перпендикулярные составляющие, которые лежат вдоль координатных осей, направленных в направлении ускорения или перпендикулярно ему.Таким образом, в случае маятника разрешается сила тяжести, поскольку сила натяжения уже направлена перпендикулярно движению. На диаграмме справа показан маятник в положении справа от его положения равновесия и на полпути к точке максимального смещения. Система координатных осей изображена на схеме, а сила тяжести разделена на две составляющие, лежащие вдоль этих осей. Одна из составляющих направлена по касательной к дуге окружности, по которой движется маятник; эта компонента помечена как Fgrav-касательная.Другой компонент направлен перпендикулярно дуге; он обозначен как Fgrav-perp. Вы заметите, что перпендикулярная составляющая силы тяжести находится в направлении, противоположном силе натяжения. Вы также можете заметить, что сила натяжения немного больше, чем этот компонент силы тяжести. Тот факт, что сила натяжения (Ftens) больше, чем перпендикулярная составляющая силы тяжести (Fgrav-perp), означает, что будет чистая сила, перпендикулярная дуге движения боба. Это должно быть так, поскольку мы ожидаем, что объекты, движущиеся по круговой траектории, будут испытывать внутреннюю или центростремительную силу.Тангенциальная составляющая силы тяжести (F-тангенс) неуравновешивается любой другой силой. Таким образом, существует результирующая сила, направленная по другим координатным осям. Именно этот тангенциальный компонент силы тяжести действует как восстанавливающая сила. Когда маятник движется вправо от положения равновесия, эта составляющая силы направляется против его движения назад к положению равновесия. Приведенный выше анализ применим для одного места вдоль дуги маятника.В других местах дуги сила натяжения будет изменяться. Тем не менее, процесс разделения гравитации на две составляющие вдоль осей, перпендикулярных и касательных к дуге, остается прежним. На диаграмме ниже показаны результаты силового анализа для нескольких других положений. Следует сделать пару комментариев. Во-первых, обратите внимание на диаграмму, когда боб смещен до максимального смещения вправо от положения равновесия.Это положение, в котором маятник на мгновение имеет скорость 0 м / с и меняет свое направление. Сила натяжения (Ftens) и перпендикулярная составляющая силы тяжести (Fgrav-perp) уравновешивают друг друга. В этот момент времени нет результирующей силы, направленной вдоль оси, перпендикулярной движению. Поскольку движение объекта приостанавливается на мгновение , центростремительная сила не требуется. Во-вторых, обратите внимание на диаграмму, когда боб находится в положении равновесия (струна полностью вертикальна).В этом положении компонент силы в касательном направлении отсутствует. При перемещении через положение равновесия восстанавливающая сила на мгновение отсутствует. После того, как вернул в положение равновесия, восстанавливающая сила отсутствует. Возвратная сила необходима только тогда, когда маятник смещен из положения равновесия. Вы также можете заметить, что сила натяжения (Ftens) больше, чем перпендикулярная составляющая силы тяжести (Fgrav-perp), когда боб движется через это положение равновесия.Поскольку боб движется по дуге окружности, в этом положении должна быть чистая центростремительная сила. <h4> </h4> Синусоидальная природа движения маятника </h4> В предыдущей части этого урока мы исследовали синусоидальный характер движения массы на пружине. Мы проведем аналогичное исследование здесь для движения маятника. Предположим, что мы можем измерить величину, на которую маятник смещается влево или вправо от своего положения равновесия или покоя с течением времени.Смещение вправо от положения равновесия будет рассматриваться как положительное смещение; а смещение влево будет рассматриваться как отрицательное смещение. Используя эту систему отсчета, положение равновесия будет рассматриваться как нулевое положение. И предположим, что мы построили график, показывающий изменение положения во времени. Полученный график зависимости положения от времени показан ниже. Подобно тому, что наблюдалось для груза на пружине, положение маятника (измеренное по дуге относительно его положения покоя) является функцией синуса времени. Теперь предположим, что мы используем наш детектор движения, чтобы исследовать, как скорость маятника изменяется во времени. По мере того как маятник совершает движение вперед и назад на , скорость непрерывно изменяется. Бывают моменты, когда скорость является отрицательной величиной (для движения влево), а в другие моменты времени она будет положительной (для движения вправо). И, конечно же, будут моменты времени, когда скорость будет равна 0 м / с.Если бы были нанесены изменения скорости с течением времени, результирующий график был бы похож на показанный ниже. Теперь давайте попробуем понять взаимосвязь между положением боба по дуге его движения и скоростью, с которой он движется. Предположим, мы идентифицируем несколько точек вдоль дуги, а затем связываем эти положения со скоростью качания маятника. На рисунке ниже показана попытка установить такую связь между положением и скоростью. Как часто говорят, картинка стоит тысячи слов. А вот и слова. График выше основан на положении равновесия (D), обозначенном как нулевое положение. Смещение влево от положения равновесия считается отрицательным положением. Смещение вправо считается положительной позицией. Анализ графиков показывает, что скорость наименьшая, когда смещение наибольшее. И скорость наибольшая, когда смещение боба наименьшее.Чем дальше боб отходит от положения равновесия, тем медленнее он движется; и чем ближе боб находится к положению равновесия, тем быстрее он движется. Это можно объяснить тем фактом, что по мере того, как боб движется от положения равновесия, возникает возвращающая сила, которая препятствует его движению. Эта сила замедляет качание. Таким образом, когда боб движется влево из положения D в E, затем из положения F в G, сила и ускорение направляются вправо, а скорость уменьшается по мере его движения по дуге от D до G.В точке G — максимальное смещение влево — маятник имеет скорость 0 м / с. Вы можете думать о бобе как о , который на мгновение остановился, и готов изменить свое направление. Затем боб движется вправо по дуге от G к F, от E к D. При этом восстанавливающая сила направляется вправо в том же направлении, что и боб. Эта сила ускоряет боб, придавая ему максимальную скорость в положении D — положении равновесия. Когда боб движется мимо позиции D, он движется вправо по дуге в направлении C, затем B, а затем A.При этом существует восстанавливающая сила, направленная влево, противодействующая его движению и заставляющая его замедляться. Таким образом, когда смещение увеличивается от D до A, скорость уменьшается из-за противодействующей силы. Как только боб достигает положения А — максимального смещения вправо — он достигает скорости 0 м / с. Еще раз, скорость боба наименьшая, когда смещение наибольшее. Боб завершает свой цикл, перемещаясь влево от A к B к C к D. По этой дуге от A к D восстанавливающая сила действует в направлении движения, тем самым ускоряя боб вверх.Таким образом, было бы логично заключить, что по мере уменьшения положения (по дуге от A до D) скорость увеличивается. Попав в положение D, боб будет иметь нулевое смещение и максимальную скорость. Скорость наибольшая, когда смещение наименьшее. Анимация справа (используется с разрешения Wikimedia Commons; особая благодарность Hubert Christiaen) визуально отображает эти принципы. Показанный вектор ускорения объединяет как перпендикулярное, так и тангенциальное ускорения в один вектор.Вы заметите, что этот вектор полностью касается дуги при максимальном смещении; это согласуется с анализом сил, рассмотренным выше. И вектор вертикальный (по направлению к центру дуги) в положении равновесия. Это также согласуется с анализом сил, рассмотренным выше. <h4> </h4> Энергетический анализ </h4> В предыдущей главе Учебника по физике обсуждалась энергия, которой обладает маятник.Мы продолжим это обсуждение здесь, поскольку мы попытаемся связать описанные выше характеристики движения с концепциями кинетической энергии, потенциальной энергии и полной механической энергии. Кинетическая энергия, которой обладает объект, — это энергия, которой он обладает благодаря своему движению. Это количество, которое зависит как от массы, так и от скорости. Уравнение, связывающее кинетическую энергию (KE) с массой (m) и скоростью (v), равно . KE = ½ • м • v 2 Чем быстрее движется объект, тем большей кинетической энергией он будет обладать.Мы можем объединить эту концепцию с обсуждением выше, как скорость изменяется в ходе движения. Такое смешение концепций привело бы нас к выводу, что кинетическая энергия качающегося маятника увеличивается по мере приближения качающегося элемента к положению равновесия. И кинетическая энергия уменьшается по мере того, как боб перемещается дальше от положения равновесия. Потенциальная энергия, которой обладает объект, — это запасенная энергия положения. В Учебнике по физике обсуждаются два типа потенциальной энергии — гравитационная потенциальная энергия и упругая потенциальная энергия.Упругая потенциальная энергия присутствует только тогда, когда пружина (или другая эластичная среда) сжимается или растягивается. Простой маятник не состоит из пружины. Форма потенциальной энергии, которой обладает маятник, — это потенциальная энергия гравитации. Количество гравитационной потенциальной энергии зависит от массы (m) объекта и высоты (h) объекта. Уравнение для гравитационной потенциальной энергии (PE) равно PE = м • г • ч , где g представляет собой силу гравитационного поля (иногда называемую ускорением свободного падения) и имеет значение 9.8 Н / кг. Высота объекта выражается относительно некоторого произвольно назначенного нулевого уровня . Другими словами, высота должна измеряться как расстояние по вертикали над некоторой исходной позицией. Для маятникового боба принято называть самое низкое положение опорным положением или нулевым уровнем. Таким образом, когда боб находится в положении равновесия (самое нижнее положение), его высота равна нулю, а его потенциальная энергия равна 0 Дж. Поскольку маятниковый боб движется назад и вперед , бывают моменты, в течение которых боб движется от положение равновесия.При этом его высота увеличивается по мере того, как он движется все дальше и дальше. Он достигает максимальной высоты, когда достигает положения максимального смещения от положения равновесия. По мере того, как боб движется к своему положению равновесия, он уменьшает свою высоту и снижает свою потенциальную энергию. Теперь давайте объединим эти две концепции кинетической энергии и потенциальной энергии, когда мы рассмотрим движение маятника, движущегося по дуге, показанной на диаграмме справа.Мы будем использовать гистограмму энергии, чтобы представить изменения в двух формах энергии. Количество каждой формы энергии представлено полосой. Высота планки пропорциональна количеству этой формы энергии. Помимо столбца потенциальной энергии (PE) и столбца кинетической энергии (KE), есть третий столбец, обозначенный TME. Полоса TME представляет собой общее количество механической энергии, которой обладает маятник. Полная механическая энергия — это просто сумма двух форм энергии — кинетической и потенциальной.Найдите время, чтобы изучить гистограммы, показанные ниже, для позиций A, B, D, F и G. Что вы заметили? Когда вы просматриваете гистограммы, становится очевидно, что по мере того, как боб движется от A к D, кинетическая энергия увеличивается, а потенциальная энергия уменьшается. Однако общее количество этих двух форм энергии остается постоянным. Потенциальная энергия, которая теряется при переходе из положения A в положение D, отображается как кинетическая энергия. Потенциальная энергия трансформируется в кинетическую, когда боб перемещается из положения A в положение D.Однако общая механическая энергия остается постоянной. Мы бы сказали, что механическая энергия сохраняется. Когда боб перемещается из положения D в положение G, наблюдается обратное. Кинетическая энергия уменьшается по мере того, как боб движется вправо и (что более важно) вверх к положению G. Существует увеличение потенциальной энергии, сопровождающее это уменьшение кинетической энергии. Энергия трансформируется из кинетической формы в потенциальную. Тем не менее, как показано на шкале TME, общее количество механической энергии сохраняется.Этот самый принцип сохранения энергии был объяснен в главе «Энергия» учебного пособия по физике. <h4> </h4> Период маятника </h4> Наше последнее обсуждение будет относиться к периоду маятника. Как уже говорилось ранее в этом уроке, период — это время, за которое вибрирующий объект завершает свой цикл. В случае маятника настало время для маятника начать с одной точки крайней точки , перейти к противоположной точке крайней точки , а затем вернуться в исходное положение.Здесь нас будет интересовать вопрос Какие переменные влияют на период маятника? Мы займемся возможными переменными. Переменными являются масса маятника, длина веревки, на которой он висит, и угловое смещение . Угловое смещение или угол дуги — это угол, который образует струна с вертикалью при выходе из состояния покоя. Эти три переменные и их влияние на период легко изучаются и часто находятся в центре внимания физической лаборатории на вводном уроке физики.В таблице ниже представлены репрезентативные данные для такого исследования. <table align="center" border="2" cellpadding="2" cellspacing="4"> <tbody> <tr> <td> Пробная </td> <td> Масса (кг) </td> <td> Длина (м) </td> <td> Угол дуги (°) </td> <td> Период (ы) </td> </tr> <tr> <td> 1 </td> <td> 0.02– </td> <td> 0,40 </td> <td> 15,0 </td> <td> 1,25 </td> </tr> <tr> <td> 2 </td> <td> 0,050 </td> <td> 0,40 </td> <td> 15,0 </td> <td> 1,29 </td> </tr> <tr> <td> 3 </td> <td> 0.100 </td> <td> 0,40 </td> <td> 15,0 </td> <td> 1,28 </td> </tr> <tr> <td> 4 </td> <td> 0.200 </td> <td> 0,40 </td> <td> 15,0 </td> <td> 1,24 </td> </tr> <tr> <td> 5 </td> <td> 0.500 </td> <td> 0,40 </td> <td> 15,0 </td> <td> 1,26 </td> </tr> <tr> <td> 6 </td> <td> 0.200 </td> <td> 0.60 </td> <td> 15,0 </td> <td> 1,56 </td> </tr> <tr> <td> 7 </td> <td> 0.200 </td> <td> 0,80 </td> <td> 15,0 </td> <td> 1,79 </td> </tr> <tr> <td> 8 </td> <td> 0.200 </td> <td> 1,00 </td> <td> 15,0 </td> <td> 2,01 </td> </tr> <tr> <td> 9 </td> <td> 0.200 </td> <td> 1,20 </td> <td> 15,0 </td> <td> 2,19 </td> </tr> <tr> <td> 10 </td> <td> 0.200 </td> <td> 0,40 </td> <td> 10,0 </td> <td> 1,27 </td> </tr> <tr> <td> 11 </td> <td> 0.200 </td> <td> 0,40 </td> <td> 20,0 </td> <td> 1,29 </td> </tr> <tr> <td> 12 </td> <td> 0.200 </td> <td> 0,40 </td> <td> 25,0 </td> <td> 1,25 </td> </tr> <tr> <td> 13 </td> <td> 0.200 </td> <td> 0,40 </td> <td> 30,0 </td> <td> 1,26 </td> </tr> </tbody> </table> В опытах с 1 по 5 масса боба систематически изменялась, при этом остальные количества оставались постоянными. Таким образом экспериментаторы смогли исследовать возможное влияние массы на период. Как видно из этих пяти испытаний, изменение массы мало влияет на период маятника. В испытаниях 4 и 6-9 масса остается постоянной на уровне 0,200 кг, а угол дуги — на уровне 15 °. Однако длина маятника различна. Таким образом, экспериментаторы смогли исследовать возможное влияние длины струны на период. Как видно из этих пяти испытаний, изменение длины определенно влияет на период маятника. По мере удлинения струны период маятника увеличивается. Между периодом и длиной существует прямая зависимость. Наконец, экспериментаторы исследовали возможное влияние угла дуги на период в опытах 4 и 10-13. Масса остается постоянной на уровне 0,200 кг, а длина струны остается постоянной на уровне 0,400 м. Как видно из этих пяти испытаний, изменение угла дуги практически не влияет на период маятника. Итак, вывод из такого эксперимента состоит в том, что единственная переменная, влияющая на период маятника, — это длина струны.Увеличение длины приводит к увеличению периода. Но расследование не должно останавливаться на достигнутом. Количественное уравнение, связывающее эти переменные, может быть определено, если данные нанесены на график и выполнен линейный регрессионный анализ. Два графика ниже представляют такой анализ. На каждом графике значения периода (зависимой переменной) отложены по вертикальной оси. На графике слева длина маятника отложена по горизонтальной оси. Форма кривой указывает на какое-то соотношение мощности между периодом и длиной.На графике справа нанесен квадратный корень из длины маятника (длина в ½ степени). Показаны результаты регрессионного анализа. <table align="center" border="0" cellpadding="2" cellspacing="4"> <tbody> <tr> <td> </td> <td> </td> </tr> <tr> <td> Угловой коэффициент: 1.7536 Y-пересечение: 0,2616 COR: 0,9183 </td> <td> Угловой коэффициент: 2.0045 Y-пересечение: 0.0077 COR: 0,9999 </td> </tr> </tbody> </table> Анализ показывает, что данные и линия регрессии лучше подходят для графика справа. Таким образом, график справа является основой уравнения, связывающего период и длину. Для этих данных уравнение Период = 2,0045 • Длина 0,5 + 0,0077 Используя T в качестве символа для периода и L в качестве символа для длины, уравнение можно переписать как Т = 2.0045 • L 0,5 + 0,0077 Обычно сообщается уравнение, основанное на теоретических разработках: T = 2 • Π • (л / г) 0,5 , где g — постоянная, известная как сила гравитационного поля или ускорение свободного падения (9,8 Н / кг). Значение 2,0045, полученное в результате экспериментального исследования, хорошо согласуется с тем, что можно было бы ожидать из этого теоретически описанного уравнения. Подставляя значение g в это уравнение, получаем константу пропорциональности 2Π / g 0.5 , что равно 2,0071, очень похоже на константу пропорциональности 2,0045, разработанную в эксперименте. <h3> </h3> <h4> </h4> Расследовать! </h4> Используйте виджет Investigating a Pendulum ниже, чтобы исследовать влияние длины маятника на период маятника. Просто введите значение длины в поле ввода и нажмите кнопку Отправить . Поэкспериментируйте с различными значениями длины маятника. <h3> </h3> <h4> </h4> Проверьте свое понимание </h4> 1. Маятниковый качающийся рычаг возвращается в положение A и выводится из состояния покоя. Боб движется по своей обычной дуге окружности и застревает в позиции C. Определите позицию (A, B, C или все то же самое), где… <blockquote> а. … Сила тяжести самая большая? б. … Восстанавливающая сила самая большая? c. … Скорость самая большая? d.… Потенциальная энергия наибольшая? е. … Кинетическая энергия самая большая f. … Общая механическая энергия самая большая? </blockquote> 2. Воспользуйтесь функцией энергосбережения, чтобы заполнить пробелы на следующей диаграмме. 3. Пара танцоров-трапеций в цирке раскачивается на веревках, прикрепленных к большой возвышенной платформе. Предположим, что исполнителей можно рассматривать как простой маятник длиной 16 м.Определите период для одного полного цикла вперед-назад. 4. Какая будет самая высокая частота вибрации? <blockquote> Маятник A: Груз весом 200 г, прикрепленный к струне длиной 1,0 м Маятник B: гиря массой 400 г, прикрепленная к струне длиной 0,5 м </blockquote> 5. Анна Литикал хочет сделать простой маятник, служащий устройством отсчета времени. Она планирует сделать его таким, чтобы его период равнялся 1.00 секунд. Какой длины должен быть маятник? <h2> Использование уравнений маятника — Физика для старших классов </h2> Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors. Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org. Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу. Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия: Вы должны включить следующее: Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени. Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу: Чарльз Кон Varsity Tutors LLC 101 S. Hanley Rd, Suite 300 St. Louis, MO 63105 Или заполните форму ниже: <h2> Страница не найдена | MIT </h2> Перейти к содержанию ↓ <ul> <li> Образование </li> <li> Исследовательская работа </li> <li> Инновации </li> <li> Прием + помощь </li> <li> Студенческая жизнь </li> <li> Новости </li> <li> Выпускников </li> <li> О Массачусетском технологическом институте </li> <li> Подробнее ↓ <ul> <li> Прием + помощь </li> <li> Студенческая жизнь </li> <li> Новости </li> <li> Выпускников </li> <li> О Массачусетском технологическом институте </li> </ul> </li> </ul> Меню ↓ Поиск Меню Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали! Попробуйте поискать что-нибудь еще! Что вы ищете? Увидеть больше результатов Предложения или отзывы? <h2> Змеиный маятник объединяет искусство и науку </h2> <iframe src="https://www.youtube.com/embed/w0CUfnlDEkk?feature=oembed" frameborder="0" allowfullscreen=""/>

Гигантский маятник в виде змеи, который будет выставлен перед Филлипс-холлом, посвященный искусству повсюду, в день 7 апреля, представляет собой идеальное сочетание искусства и науки.

Кинетическая скульптура размером 8 на 11 футов является детищем заведующего кафедрой математики Рича Маклафлина и заведующего кафедрой физики и астрономии Кристиана Илиадиса из Колледжа искусств и наук. Гиря на конце маятника — это 6-фунтовые дубинки Carolina blue.
К.э.н. по математике. Кандидат Франческа Бернарди исследует движение маятника змеи, который строится ко Дню искусств повсюду. (фото Кристен Чавес)
Когда 17 маятников разной длины отпускаются одновременно, они создают волнообразный узор, похожий на скользящую змею.Затем маятник расцепляется и раскачивается отдельными моделями, прежде чем снова сойтись в большую волну. Цикл, на который смотреть гипнотизирует, занимает около минуты.

«Движение, которое они делают вместе, — это художественная часть, но в основе этого лежит наука», — сказал Илиадис. «Это гравитация, напряжение, энергия, количество движения, сопротивление воздуха, трение. Вы видите симметрию, но откуда эта симметрия? Это все уравнения «.

У преподавателей возникла идея увеличить в масштабе небольшой настольный маятник в виде змеи (с мячами для гольфа Carolina в качестве гирь), который стоит на рабочем столе Маклафлина.Он использовал эту уменьшенную версию в течение нескольких лет в своем летнем курсе математики для ученых-канцлеров.

Недавно в пятницу днем в магазине физики и астрономии на первом этаже Филлипс-холла Франческа Бернарди, доктор философии. кандидат математических наук, и Дэн Харрис, доктор математики, работали над настройкой маятника. Они использовали метроном, чтобы помочь координировать выпуск маятника, а также камеры iPhone и iPad для покадрового просмотра видеозаписи движения волн и внесения необходимых корректировок.Они составили план несколько недель назад, и управляющий магазином Фил Томпсон построил маятник. Проект поддержали средства Arts Everywhere.
Научный сотрудник математики Дэн Харрис корректирует маятник с помощью талрепа у основания скульптуры. (фото Кристен Чавес)
По словам Харриса, сочетание искусства и науки было в центре его исследований на протяжении всей его выпускной карьеры.

«Любой, кто проходит мимо и видит маятник, будет заинтригован им, и это откроет дверь для разговора о том, что заставляет его работать — например, как изменение длины маятника меняет частоту», — сказал он.

Бернарди согласился и рассказал о недавнем опыте использования трехмерного принтера в производственном пространстве Hanes Art Center, который привел к разговору об искусстве и науке.

«Один из людей, которые там работали, спросил меня о подробностях нашего эксперимента. Искусство может сделать науку более доступной для всех », — сказала она.

Один из компонентов нового Плана повышения качества «Создание ученых» в Каролине направлен на интеграцию искусства и гуманитарных наук с научными курсами, чтобы обеспечить навыки критического мышления и понимание бесчисленных способов переплетения науки и культуры.

Дуэйн Дирдорф, директор студенческих лабораторий по физике и астрономии, сказал, что преподаватели кафедры используют все виды визуальных элементов в качестве учебных пособий.

«Эти вещи заставляют людей спрашивать: как это работает? Я подозреваю, что мы также будем показывать видео со змеиным маятником ».
Гири изготовлены из буровых долот Каролина синего цвета. (фото Кристен Чавес)
Змеиный маятник также появится в Филлипс-холле на UNC Science Expo 22 апреля.

Рассказ Ким Спурр, фото Кристен Чавес, Колледж искусств и наук; видео любезно предоставлено кафедрой математики

.

Оставить комментарий on Изготовьте математический маятник: изготовьте математический маятник длиной рассчитанной в контрольном вопросе 1./

Асимптоты найти онлайн: Асимптоты функции онлайн
alexxlab / 23.06.197014.09.2022 / Разное

3

6 Risolvere per ? cos(x)=1/2
7 Risolvere per x sin(x)=-1/2
8 Преобразовать из градусов в радианы 225
9 Risolvere per ? cos(x)=( квадратный корень из 2)/2
10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень из 3)/2
11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень из 3)/2
12 График g(x)=3/4* корень пятой степени из x
13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9
14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град. 2+n-72)=1/(n+9)
Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений
Понятие асимптоты

Вертикальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты

Наклонные асимптоты

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика функции облегчается.
Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её. Например, стремиться соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное. Так и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное возможное расстояние, но так и не касается его.
Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.
Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.
Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны оси Oy.
Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.
Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:
(предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a слева, равен плюс или минус бесконечности)

(предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a справа, равен плюс или минус бесконечности).

При этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при x ≥ a и x ≤ a.
Замечание:
символом обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a;

символом обозначается стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты графика функции можно искать не только в точках разрыва, но и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.
Пример 1. График функции y=lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:
(рис. сверху).
Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 2. Найти асимптоты графика функции .
Пример 3. Найти асимптоты графика функции
Пример 4. Найти асимптоты график функции .
Посмотреть решения и ответы примеров 2, 3, 4.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны оси Ox.
Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).
Пример 5. График функции
при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox), так как предел функции при стремлении «икса» к минус бесконечности равен нулю:
Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении «икса» к плюс бесконечности равен бесконечности:
Вертикальные и горизонтальные асимптоты, которые мы рассмотрели выше, параллельны осям координат, поэтому для их построения нам требовалось лишь определённое число — точка на оси абсцисс или ординат, через которую проходит асимптота. Для наклонной асимптоты необходимо больше — угловой коэффициент k, который показывает угол наклона прямой, и свободный член b, который показывает, насколько прямая находится выше или ниже начала координат. Не успевшие забыть аналитическую геометрию, а из неё — уравнения прямой, заметят, что для наклонной асимптоты находят уравнение прямой с угловым коэффициентом. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой, на основании которой и находят названные только что коэффициенты.
Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы k и b рассматриваемой функции при стремлении переменной x к плюс бесконечности и минус бесконечности:
 (1)
и
 (2)
Найденные таким образом числа k и b и являются коэффициентами наклонной асимптоты.
В первом случае (при стремлении икса к плюс бесконечности) получается правая наклонная асимптота, во втором (при стремлении икса к минус бесконечности) – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.
При нахождении уравнения наклонной асимптоты необходимо учитывать стремление икса и к плюс бесконечности, и к минус бесконечности. У некоторых функций, например, у дробно-рациональных, эти пределы совпадают, однако у многих функций эти пределы различны а также может существовать только один из них.
При совпадении пределов при иксе, стремящемся к плюс бесконечности и к минус бесконечности прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.
Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).
Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0.
Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.
Пример 6. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме x = 0, т.е.
Поэтому в точке разрыва x = 0 кривая может иметь вертикальную асимптоту. Действительно, предел функции при стремлении икса к нулю слева равен плюс бесконечности:
Следовательно, x = 0 – вертикальная асимптота графика данной функции.
Горизонтальной асимптоты график данной функции не имеет, так как предел функции при стремлении икса к плюс бесконечности равен плюс бесконечности:
Выясним наличие наклонной асимптоты:
Получили конечные пределы k = 2 и b = 0. Прямая y = 2x является двусторонней наклонной асимптотой графика данной функции (рис. внутри примера).
Пример 7. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция имеет одну точку разрыва x = −1. Вычислим односторонние пределы и определим вид разрыва:
,
.
Заключение: x = −1 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = −1 является вертикальной асимптотой графика данной функции.
Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция — дробно-рациональная, пределы при и при будут совпадать. Таким образом, находим коэффициенты для подстановки в уравнение прямой — наклонной асимптоты:
Подставляя найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = −3x + 5.
На рисунке график функции обозначен бордовым цветом, а асимптоты — чёрным.
Пример 8. Найти асимптоты графика функции
.
Решение. Так как данная функция непрерывна, её график не имеет вертикальных асимптот. Ищем наклонные асимптоты:
.
Таким образом, график данной функции имеет асимптоту y = 0 при и не имеет асиптоты при .
Пример 9. Найти асимптоты графика функции
.
Решение. Сначала ищем вертикальные асимптоты. Для этого найдём область определения функции. Функция определена, когда выполняется неравенство и при этом . Знак переменной x совпадает со знаком . Поэтому рассмотрим эквивалентное неравенство . Из этого получаем область определения функции: . Вертикальная асимптота может быть только на границе области определения функции. Но x = 0 не может быть вертикальной асимптотой, так как функция определена при x = 0.
Рассмотрим правосторонний предел при (левосторонний предел не существует):
.
Точка x = 2 — точка разрыва второго рода, поэтому прямая x = 2 — вертикальная асимптота графика данной функции.
Ищем наклонные асимптоты:
Итак, y = x + 1 — наклонная асимптота графика данной функции при . Ищем наклонную асимптоту при :
Итак, y = −x − 1 — наклонная асимптота при .
Пример 10. Найти асимптоты графика функции
Решение. Функция имеет область определения . Так как вертикальная асимптота графика этой функции может быть только на границе области определения, найдём односторонние пределы функции при :
,
.
Оба предела нашли, используя первый замечательный предел. Заключение: x = 0 — точка устранимого разрыва, поэтому у графика функции нет вертикальных асимптот.
Ищем наклонные асимптоты:
Таким образом, при наклонной асимптотой графика данной функции является прямая y = x. Но при найденные пределы не изменяются. Поэтому при наклонной асимптотой графика данной функции также является y = x.
Пример 11. Найти асимптоты графика функции
.
Решение. Сначала найдём вертикальные асимптоты. Для этого найдём точки разрыва функции и их виды. Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому должно соблюдаться условие . Функция имеет две точки разрыва: , . Чтобы установить вид разрыва, найдём односторонние пределы:
Так как все пределы равны бесконечности, обе точки разрыва — второго рода. Поэтому график данной функции имеет две вертикальные асимптоты: x = 2 и x = −2.
Ищем наклонные асимптоты. Так как данная функция является дробно-рациональной, пределы при и при совпадают. Поэтому, определяя коэффициенты прямой, ищем просто пределы:
Подставляем найденные коэффициенты в уравнение прямой с угловым коэффициентом, получаем уравнение наклонной асимптоты y = 2x. Таким образом, график данной функции имеет три асимптоты: x = 2, x = −2 и y = 2x.
Найти асимптоты графика функции самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 12. Найти асимптоты графика функции .
Правильное решение и ответ.
Пример 13. Найти асимптоты графика функции .
Правильное решение и ответ.
Назад Листать Вперёд>>>
К началу страницы
Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение
Поделиться с друзьями
Весь блок «Производная»
Что такое производная

Найти производную: алгоритмы и примеры решений

Производные произведения и частного функций

Производная суммы дробей со степенями и корнями

Производные простых тригонометрических функций

Производная сложной функции

Производная логарифмической функции

Дифференциал функции

Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Правило Лопиталя

Частные производные

Исследование функции онлайн y=f(x).
2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Что исследует?
Для периодических функций идет исследование графика функции только на промежутке периода
Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции
Что умеет находить этот калькулятор:
Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
Наклонные асимптоты графика функции: Да
Четность и нечетность функции: Да
Минимум и максимум функции: Да
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция — арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция — арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция — экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
sin(x)
Функция — Синус от x
cos(x)
Функция — Косинус от x
sinh(x)
Функция — Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция — Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция — квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда
Интегральные функции:
Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7. 3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь
Другие функции:
asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности
Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа
Справочник по математике Элементы математического анализа Функции
Вертикальные асимптоты
Наклонные асимптоты
Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот
Поиск наклонных асимптот графиков функций
Вертикальные асимптоты
Во многих разделах нашего справочника приведены графики различных функций. Для многих функций существуют прямые, к которым графики функций неограниченно приближаются. Такие прямые называют асимптотами, и их точное определение мы дадим чуть позже. Как мы увидим далее, асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. С вертикальными и горизонтальными асимптотами графика функции мы уже встречались, в частности, в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции». С наклонными асимптотами, за исключением горизонтальных, мы пока еще дела не имели.
Определение 1. Говорят, что x стремится к x₀ слева и обозначают
x → x₀ – 0 ,
если x стремится к x₀ и x меньше x₀ .
Говорят, что x стремится к x₀ справа и обозначают
x → x₀ + 0 ,
если x стремится к x₀ и x больше x₀ .
Определение 2. Прямую
x = c
называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с справа, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (с, d) и выполнено соотношение выполнено соотношение
при x → c + 0
Прямую
x = с
называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с слева, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (d, c) и выполнено соотношение выполнено соотношение
при x → c – 0
Пример 1. Прямая
x = 2
является вертикальной асимптотой графика функции
как справа, так и слева (рис. 1)
Рис.1
Пример 2. Прямая
x = 0
является вертикальной асимптотой графика функции
y = ln x
при x , стремящемся к 0 справа (рис. 2)
Рис.2
Наклонные асимптоты
Определение 3. Прямую
y = kx + b
называют наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение
Прямую
y = kx + b
называют наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение
Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот
Определение 4. Прямую
y = b
называют горизотальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение
Прямую
y = b
называют горизотальной асимптотой графика функции y f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение
Замечание. Из определений 3 и 5 вытекает, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты y = kx + b, когда угловой коэффициент прямой k = 0 .
Пример 3. Прямая
y = 3
является горизонтальной асимптотой графика функции
как при x , стремящемся к , так и при x , стремящемся к (рис. 3)
Рис.3
Пример 4. Прямая
y = 0
является горизонтальной асимптотой графика функции
y = 2^x
при x , стремящемся к (рис. 4)
Рис.4
Пример 5. График функции y = arctg x (рис.5)
Рис.5
имеет две горизонтальные асимптоты: прямая
является горизонтальной асимптотой графика функции при , а прямая
является горизонтальной асимптотой графика функции при .
Поиск наклонных асимптот графиков функций
Для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует), нужно совершить 2 операции.
Первая операция. Вычислим предел предел
(1)
Если предел (1) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.
Если предел (1) существует и равен некоторому числу предел (1) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой k ,
переходим ко второй операции.
Вторая операция. Вычислим предел предел
(2)
Если предел (2) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.
Если предел (2) существует и равен некоторому числу предел (2) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой b ,
делаем вывод о том, что прямая
y = kx + b
является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .
Совершенно аналогично поступаем для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует).
Первая операция. Вычислим предел предел
(3)
Если предел (3) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.
Если предел (3) существует и равен некоторому числу предел (3) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой k ,
переходим ко второй операции.
Вторая операция. Вычислим предел предел
(4)
Если предел (4) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.
Если предел (4) существует и равен некоторому числу предел (4) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой b ,
делаем вывод о том, что прямая
y = kx + b
является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .
Пример 5. Найти асимптоты графика функции
(5)
и построить график этой функции.
Решение. Функция (5) определена для всех и вертикальных асимптот не имеет.
Найдем наклонные асимптоты графика функции (5). При получаем
Отсюда вытекает, что прямая
y = x
– наклонная асимптота графика функции (5) при .
При получаем
Отсюда вытекает, что прямая
y = – x
– наклонная асимптота графика функции (5) при .
Функция (5) является четной функцией, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.
Найдем производную функции (5):
.
.
Итак, y’ > 0 при x > 0 , y’ < 0 при x < 0 , y’ = 0 при x = 0 . Точка x = 0 – стационарная, причем производная функции (5) при переходе через точку x = 0 меняет знак с «–» на «+» . Следовательно, x = 0 – точка минимума функции (5). Других критических точек у функции (5) нет.
Теперь мы уже можем построить график функции (5):
Рис.6
Заметим, что график функции (5) находится выше асимптот y = x и y =v– x , поскольку справедливо неравенство:
.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
Асимптоты функции
Определение асимптот функции не такое и трудное занятие если Вы хорошо знаете ряд правил и имеете добрые знания вычисления пределов. Если же не умеете находить пределы то наверстывать придется много, но научиться можно.
Прямая называется асимптотой кривой если точка кривой неограниченно приближается к ней при росте абсциссы или ординаты. Асимптоты разделяют на вертикальные, наклонные (горизонтальные) асимптоты.
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ
График функции при аргументе котрый стремится к точке имеет вертикальную асимптоту, если предел функции в ней бесконечен
Кроме этого точка является точкой разрыва II рода, а уравнение вертикальной асимптоты имеет вид
НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид
где — пределы, которые вычисляются по правилу
Если оба пределы существуют и конечны то функция имеет наклонную асимптоту, иначе — нет. Следует отдельно рассматривать случаи, когда аргумент стремится к бесконечности () и минус бесконечности ().
ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ
Кривая имеет горизонтальную асимптоту только в том случае, когда существует конечный предел функции при и , и эта граница равна
или
Нахождение пределов в некоторых случаях упрощается, если применять правило Лопиталя.
Приведем решения типичных для практики задач на отыскание асимптот.
————————————
Примеры.
Найти асимптоты функций (Дубовик В.П., Юрик И.И. «Высшая математика. Сборник задач»)
І. (5.863)
Решение:
Знаменатель дроби не должен превращаться в ноль
По теореме Виета находим корни квадратного уравнения
Они разбивают область определения на следующие интервалы
Другим выводом является то, что функция имеет две вертикальные асимптоты
Найдем наклонную асимптоту
Первая граница примет вид
Другую определяем по правилу
Окончательное уравнение наклонной асимптоты следующее
График функции с асимптотами имеет вид
————————————
ІІ. (5.873)
Решение:
Логарифм функция определена при положительных значениях аргумента и стремится к бесконечности при , это означает
Из этого следует что функция имеет вертикальные асимптоты при
а ее область определения следующая
С виду функции следует что функция имеет вертикальную асимптоту
Наклонных асимптот функция не имеет. График функции с асимптотами приведен ниже
————————————
(Клепко В.Ю., Голец В.И. «Высшая математика в примерах и задачах»)
III. (4.71.1)
Решение:
С виду функции следует что она определена во всех точках где знаменатель не превращается в ноль, из этого следует
Эти точки представляют собой вертикальные асимптоты, а также разделяют область определения на интервалы
Наклонных асимптот функция не имеет. Это следует из одного свойства которым я поделюсь с Вами: функции вида «многочлен разделить на многочлен» имеет наклонную асимптоту только в случаях, когда наибольший степень в числителе на единицу больше, чем в знаменателе, т. е.
Горизонтальная асимптоту находим с границы
Функция с асимптотами изображена на рисунке
———————————
IV. (4.71.2)
Решение:
Область определения функции
При функция имеет вертикальную асимптоту. Наклонных асимптот нет, одна горизонтальная, так как степень числителя и знаменателя равны
Функция будет выглядеть следующим образом
————————————
V. (4.71.3)
Решение:
Областью определения будут два интервала
Точка будет вертикальной асимптотой. Наклонных асимптот нет, горизонтальную находим с предела
Поведение функции изображено на рисунке
—————————————————
VI. (4.71.4)
Решение:
Область определения находим из условия
Точка является вертикальной асимптотой. Наклонную асимптоту находим на основе пределов
Окончательно получим такое уравнение асимптоты
Функция с асимптотами изображена на рисунке
———————————————
VII. (4.71.5)
Решение:
Область определения находим с условия
Точка – вертикальная асимптота. Наклонная асимптота будет известна после вычисления пределов
– уравнение наклонной асимптоты.
График функции следующий
————————————
Подобных примеров можно решить еще много, схема нахождения асимптот при этом не меняется. Бывают
примеры в которых нахождение пределов трудоемкое и занимает более половины объема этой статьи, но
думаю Вам такие в обучении не встретятся.
————————————
Посмотреть материалы:
Исследования функции и построения графика
Интервалы монотонности функции
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Локальный экстремум функции. Примеры
Выпуклость и вогнутисть графика функции
Область определения функции
Калькулятор асимптот
Искатель асимптот — это онлайн-инструмент для вычисления асимптот рациональных выражений. Найдите все три горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты с помощью этого калькулятора.
Пользователь получает все возможные асимптоты и построенный график для определенного выражения.
Как пользоваться калькулятором асимптот?
Инструкции по использованию этого калькулятора асимптот с пошаговыми инструкциями приведены ниже.
Введите выражение (рациональное), которое у вас есть.
Проверьте это на дисплее.
Теперь нажмите «Рассчитать».
Впереди рассказ о том, что такое асимптоты, виды асимптот и как их найти.
Что такое асимптоты?
Асимптоты — это сближающиеся линии на декартовой плоскости, которые не соответствуют рациональному выражению дублера.
Глядя на их график, можно сделать предположение, что они в итоге встретятся, но это неверно (кроме горизонтального). Асимптоты сходятся к рациональному выражению до бесконечности.
См. другой подобный инструмент, калькулятор пределов.
Типы асимптот
Асимптоты подразделяются на три типа в зависимости от их наклона или приближения.
1. Горизонтальные асимптоты перемещаются вдоль горизонтальной оси или оси x. Линия может существовать как сверху, так и снизу асимптоты.
Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот и показывают, как ведет себя линия по мере приближения к бесконечности. Они могут пересекать линию рационального выражения.
2. Вертикальные асимптоты , как вы можете сказать, движутся вдоль оси Y. В отличие от горизонтальных асимптот, они никогда не пересекают прямую. Но они также встречаются как в левом, так и в правом направлении.
3. Последний тип наклонный или наклонный асимптоты. Он имеет некоторый уклон, отсюда и название. Эта асимптота представляет собой линейное уравнение со значением, равным y=mx+b.
Отсюда основные определения типов асимптоты. Теперь давайте научимся определять все эти типы.
Заметьте , что рациональное выражение может не иметь сходящейся к нему асимптоты.
Как найти асимптоты?
Попробуйте использовать указанный выше инструмент в качестве калькулятора горизонтальных, вертикальных и наклонных асимптот. Но есть некоторые приемы и советы по ручной идентификации.
Мы изучим их процесс один за другим.
Горизонтальные асимптоты:
Рациональное выражение может иметь одну горизонтальную асимптоту или не иметь ее. Чтобы узнать, какие из упомянутых ситуаций существуют, сравнивают числитель и знаменатель.
Два случая, когда асимптота существует горизонтально:
Случай 1 (Больший знаменатель):
Когда знаменатель рационального выражения в градусах больше, чем числитель. Другими словами, когда дробь правильная, асимптота приходится на y=0. То есть по оси х.
Учтите, что у вас есть выражение x+5 / x ² + 2. При сравнении числителя и знаменателя знаменатель оказывается большим выражением.
Это означает, что асимптота этого выражения приходится на y=0 .
Случай 2 (равные степени):
Рациональное выражение с равными степенями числителя и знаменателя имеет одну горизонтальную асимптоту.
Чтобы узнать, где находится эта асимптота, решаются старшие коэффициенты верхнего и нижнего выражений.
Пример этого случая: (9x ³ + 2x — 1) / 4x ³ . Как видите, высшая степень обоих выражений равна 3. Выделите коэффициент этой степени и упростите.
Горизонтальная асимптота приходится на 9/4 .
Если ни одно из этих условий не выполняется, горизонтальной асимптоты нет.
Наклонная/наклонная асимптота:
Наклонные асимптоты легко идентифицировать, но довольно сложно рассчитать. Единственный случай, когда рациональное выражение остается, это когда степень числителя выше знаменателя.
Опять же есть две возможности.
Вариант 1 (на один уровень выше):
Если числитель больше знаменателя на один градус, то существует наклонная асимптота. Например, если степень числителя равна 6, а знаменатель имеет степень 5, то будет иметь место асимптота.
Так как наклонные асимптоты имеют линейное уравнение, процесс немного отличается от горизонтальной асимптоты. Выполните полиномиальное длинное деление выражения.
Во время этого расчета игнорируйте остаток и сохраняйте частное. См. пример ниже.
Пример:
Решите (2x ² + 7x + 4) / x — 3, чтобы найти наклонную асимптоту.
Частное выражение 2x + 13 является значением y, т.е. y = 2x + 13 .
Случай 2 (более чем на одну степень выше):
Когда числитель превышает знаменатель более чем в одну степень, например, 7x ⁶ / 2x, в таком сценарии наклонная асимптота не возникает.
Вертикальная асимптота:
Не менее сложно определить и рассчитать значение вертикальной асимптоты. Вертикальные асимптоты можно найти, ища корни значения знаменателя рационального выражения.
Значение корней — это то место, где будет проведена вертикальная асимптота. Вы можете найти одну, две, пять или даже бесконечную вертикальную асимптоту (как в tanx) для выражения.
По сути, вам нужно упростить полиномиальное выражение, чтобы найти его множители. Для пояснения смотрите пример.
Пример:
Найдите вертикальные асимптоты для (6x ² — 19x + 3) / (x ² — 36).
Возьмите знаменатель и разложите на множители.
= (х ² — 36)
= х ² — 6х + 6х — 36
= х(х — 6) + 6(х — 6)
= (х — 6)(х + 6)
Предлагается решить и числитель, если какие-то множители сокращаются. Переходя к последним множителям, мы имеем 6x ² — 19x + 3 = (6x — 1) (x — 3). Поскольку ничто не отменяется, асимптоты существуют при х = 6 и х = -6 .
Калькулятор асимптот
Найдите асимптоты для любого рационального выражения с помощью этого калькулятора. Этот инструмент работает как калькулятор вертикальной, горизонтальной и наклонной/наклонной асимптоты.
Вы можете найти значения асимптот с пошаговыми решениями, а также их графики. Попробуйте также использовать несколько примеров вопросов, чтобы устранить двусмысленность.
Как пользоваться калькулятором асимптот?
Следуйте приведенным ниже инструкциям для работы с этим калькулятором.
Внимательно введите рациональное выражение.
Подтвердите выражение из окна дисплея.
Наконец, нажмите на опцию вычислить .
Сбросьте столько раз, сколько хотите. Первый отображаемый результат — это горизонтальная асимптота, но вы можете нажать « Показать шаги » для вертикальной и наклонной асимптоты вместе с графиком.
Теперь давайте посмотрим, как вы определяете асимптоты, каковы их типы и некоторые другие связанные темы.
Что такое асимптоты?
Определение асимптоты:
«Такая линия, к которой приближается кривая, но не пересекается с кривой. Или встречается с линией, когда кривая приближается к бесконечности».
Звучит как предел!?
Типы:
Существует три типа асимптот:
В Горизонтальные асимптоты , линия приближается к некоторому значению, когда значение кривой приближается к бесконечности (как положительной, так и отрицательной). лим _x →± ∞ f(x) = L
Вертикальная асимптота возникает, когда линия приближается к некоторому постоянному значению, поскольку функция приближается к бесконечности. lim _x →l f(x) = ∞

Это Наклонная асимптота , когда линия приближается к кривой с некоторым наклоном и имеет линейный характер.
Как найти асимптоты?
Теперь возникает главный вопрос, как найти вертикальную, горизонтальную или наклонную асимптоты. Помимо использования искателя асимптот, вы можете изучить некоторые правила и методы, чтобы вычислить их самостоятельно.
Давайте рассмотрим детали по порядку.
Горизонтальные асимптоты:
Существуют три возможности относительно горизонтальных асимптот для конкретного выражения.
Один
Ноль
Нет.
Поскольку асимптоты существуют только для рациональных выражений (форма p/q), это означает, что всегда есть числитель и знаменатель. Вы можете понять это, сравнив оба термина.
Случай — 1:
Если верхнее и нижнее значения выражения совпадают (по степени или мощности), старшие коэффициенты упрощаются для получения асимптотного значения. Например; у вас есть выражение (2x ² — 3) / (7x ²).
Старшие коэффициенты имеют наивысшую степень степени. В нашем примере это значения 2x ² и 7x ² . Таким образом, разделив их, мы получим 2/7 . И это горизонтальное асимптотическое значение.
Случай — 2:
В сценарии, где знаменатель больше числителя (правильная дробь), горизонтальная асимптота находится на уровне 0 . Это означает, что f(x) приближается к нулю с увеличением значения x .
Например, горизонтальные асимптоты в x/x ² + 1 существуют на нуле.
Случай — 3:
Когда ни одно из вышеперечисленных условий не выполняется, горизонтальная асимптота просто не возникает.
Наклонная асимптота:
Здесь опять два случая; он есть или его нет. Его также можно найти, сравнивая числитель и знаменатель.
Случай — 1:
Когда выражение неправильное и числитель на одну степень больше знаменателя, возникают наклонные асимптоты.
Чтобы найти его значение, вам придется выполнить полиномиальное деление в длину. Не обращайте внимания на остаток в конце. Например, если мы найдем асимптотическое значение для (x ² + 3x + 2) / (x — 2), то мы получим (x + 5) с остатком 12.
Таким образом, линейное уравнение, к которому кривая приближается к y = x + 5 .
Случай — 2:
В случае, когда числитель больше знаменателя более чем на одну степень, горизонтальная или наклонная асимптота невозможна.
Вертикальная асимптота:
Вертикальные асимптоты рисуются там, где значение нижней функции равно нулю, в корнях. Она может существовать наряду с горизонтальной и наклонной асимптотами. Но важно, чтобы выражение было в самом упрощенном виде.
Поскольку у полиномиального выражения может быть один, два или много корней, для одной функции возможно несколько вертикальных асимптот. Их может быть несколько по количеству.
Забавный факт: y = Tan(x) имеет бесконечные асимптоты.
Например: f(x) = (2x — 7) / (x ² — 5x — 36)
Чтобы найти вертикальное асимптотическое значение, возьмите нижнее значение и разложите его на множители.
x ² — 9x + 4x — 36 = 0
x(x — 9) + 4 (x — 9) = 0
(x + 4)(x — 9) = 0
Корни x = -4 и x = 9. Это две точки, в которых встречаются вертикальные асимптоты.
Калькулятор асимптот
квадратный корень из степени
бесплатных рабочих листа по алгебре
Решатель квадратного уравнения корень четвертой степени
Алгебра Математические мелочи
факторизация уравнений алгебры
определение и объяснение неизвестных уравнений
ti 86 решить квадратное уравнение
формула наклона ti 83
трехчленный калькулятор с переменными
рабочие листы по уравнениям алгебры
скачать бесплатно алгебраический решатель
Рабочие листы с диаграммами Венна KS3
АЛГЕБРА С ПИЦЦА ОТВЕТЫ
программное обеспечение по алгебре для колледжа
мастер синтетического деления
сложение и вычитание алгебраических выражений
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ РАСПЕЧАТКИ СЛОВОВЫХ ВОПРОСОВ
порядок действий + рабочие листы колледжа
Формула
для решения полинома третьей степени
бесплатно 11 класс математика
класс активность-квадратный корень из положительных чисел
книга по математике Холта ответы
Рабочий лист формы пересечения откосов
онлайн калькулятор факторинга
бесплатное онлайн-руководство по практике такса для 9-го класса
лист домашнего задания по преобразованию математики, класс 7
решение непрерывных экспоненциальных выражений
как делать преобразования в координатной графике
алгебра с крутыми шутками
упрощение квадратных корней ПОЛИНОМЫ
Прентис Холл Инк. рабочий лист решения задач 1 работа и сила
Как научиться алгебре
пошаговое бесплатное программное обеспечение TI-89 Titanium
9 класс алгебра такс математика для печати
слово решатель задач алгебра 2
ti 84 программа финансового учета
x 10 x 100 рабочих листов
Формула
для нахождения процента от числа
Алгебра холла для учеников 1 рабочий лист
программа упрощения булевой алгебры
Решение квадратных уравнений с помощью ti89
ответы на ГРАФИК
по алгебре
апплет решения алгебраических уравнений
Математический английский pdf
3-я теория квадратного корня
решить 2 уравнения 2 неизвестных ti-89
5 класс + создание и объяснение алгебраических моделей + рабочие листы
Ответы на рабочие листы Холта по физике
бесплатных рабочих листа с квадратным корнем
Является ли упрощение и разложение многочленов на множители одним и тем же?
разность двух квадратов рабочий лист
как найти две дроби с одним знаменателем
как сделать корень и экспоненту
Видео с коэффициентом масштабирования
алгебра 1 рабочие листы глава 7
г решение квадратного уравнения
задачи по алгебре стр. 384 2 Макдугал Литтел
ПРОЦЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ
триномиальная алгебра теоремы
программное обеспечение
Рабочий лист решения уравнений за один шаг
решение систем уравнений с использованием символьных манипуляций
можно ли поменять местами x и y на графическом калькуляторе
наименьший общий делитель
решать трехчлены онлайн
ти-84 поиск склонов
калькулятор решения всех задач
бесплатных сайта для вычисления алгебры и квадратных корней
бесплатный решатель рациональных показателей
простых алгебраических выражения с использованием подстановки
Устройство для изготовления таблиц квадратных уравнений
бесплатный онлайн математический калькулятор
переменная в степени
как решать уравнения с тремя переменными ti 86
пересмотр для теста по алгебре 8 класса
изображения триггерной функции графического калькулятора
линейная алгебра сделанные правильные решения бесплатно
упрощение рабочих листов степени
Шпаргалка по алгебре среднего уровня
голодфорд+решение
58628
рабочая тетрадь Макдугала Литтела по алгебре ответы
Масштабный коэффициент Класс 8
весы + математика седьмой класс
упрощение целых чисел и показателей степени с использованием титана ti 89
конспект лекций по перестановке и комбинации
читать стихи в учебнике макдугал литтел 8 класс онлайн
Как решать буквальные уравнения?
калькулятор упрощенных выражений
бесплатный онлайн-решатель задач по алгебре
показать, как делать алгебру глава 7 в книге математика холла ученицы
порядковые номера путем сложения и умножения
как вычитать десятичные дроби, если они отрицательные
куб полиномов
ответы до алгебры
сложное математическое уравнение
онлайн-программа для балансировки уравнений
как рассчитать LCM
алгебратого
бесплатное добавление фракционных задач
простых шага, как сбалансировать химические уравнения
одновременный решатель уравнений 4 переменные
Рабочий лист сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями
уравнение волны решить задачу
сумма и разность кубов ti83
алгебра lcm калькулятор
Письменные упражнения по специальным продуктам и факторингу
найти уравнение гиперболы с заданным фокусом и асимптотами
математические задачи для формы пересечения склона
Калькулятор рациональных выражений деления
нелинейная интеграция Matlab
распечатки координатной плоскости
факторинг калькулятор домен
prentice-hall Литература для 9-го класса онлайн
алгебра и подстановка
решение многомерной функции с использованием Matlab
TI-83 Плюс функция кубического корня
рабочие листы по геометрии Макдугала Литтелла
как решать неравенства с ти-84 плюс
суммы комбинаций
Рабочий лист дерева факторов
коэффициент в кубе
дайте химическое уравнение по методу Лоури
рабочий лист пиктограммы
завершение уравнений квадратного эллипса
переменная деления с показателями дроби
Холт до алгебры 8 класс деление рациональных чисел
Бесплатные рабочие листы по алгебре по показателям
что такое принцип замещения 7 класс
рабочие задачи 9 класса математические задачи помощь с домашним заданием
отвечает на домашнее задание по математике
решатель дробей
Учебное пособие по построению графиков линейных уравнений с тремя переменными
онлайн-факторинг
как суммировать градусы и минуты на ti 83
словесная алгебра
решение экспоненциальной функции методом Ньютона-Рафсона, код MATLAB
наибольший общий делитель 18 и 32
квадратное уравнение, завершающее квадратный решатель
использовать комплексный квадрат для решения квадратного уравнения
умножение, сложение, деление и вычитание целых чисел, правила
Решение алгебраических уравнений
примера математических мелочей с ответами математика
преобразователь смешанных чисел
перевод ppt ks3
тригономическая замена
вычислить пересечение с графическим калькулятором
упрощающие частные с радикалами
математические мелочи по алгебре I
триггер ответы
скачать алгебраизатор бесплатно
как решать математические неравенства с трехчленами
викторина по математике для продвинутого уровня 5
Ипотека Купить под Сдачу
ПО для интернет-магазина
Восстановить мои файлы Восстановление данных
примера текстовых задач на измерения с решением
бесплатных загрузок Тест на пригодность
алгебра 1 PowerPoints Прентис Холл
как сдать экзамены по алгебре в колледже
альгерба для 9 класса
games4kids скачать
расширенный тест по математике
конвертировать квадратные метры в погонные метры
калькулятор скачать
факторинг gcf трехчленов рабочих листов
примера математических трюков и мелочей
«преподавание алгебры с отличием»
самых сложных математических вопроса
алгебра ответы
вычитание дробей из смешанных форм с заданными задачами
Ипотечные кредиты
бесплатная онлайн-помощь по статистике с домашним заданием
Упростить уравнения
самый сложный математический тест в мире для детей онлайн
как вычитать показатели степени с общей переменной
скачать бесплатно Принципы бухгалтерского учета
банк тестовых решений для бухгалтерского учета затрат
Нью-Баффало Адвокат
вычесть дроби с ti 86
11 вопросов по математике
Виза
бесплатное исчисление стало проще ti 89
сочинения-размышления на математических сайтах для детей
бесплатно уровень математическая механика прошлые экзамены онлайн
уравнение вкладыша
математическая формула соотношения
Репетитор по испанскому языку
решение формулы полинома высшего порядка
Простейшие вопросы о способностях
наклон квадратного уравнения
Адвокаты в Невада Дви
бесплатный справочник логарифмов
Уникальный бизнес
бесплатное объяснение упрощения выражений
бесплатные бухгалтерские книги
решить по графику
как разделить многочлен на одночлен
Диета Майо
калькулятор рациональных выражений
год 9 вопросов по тригонометрии
Торговый магазин
зависимая система
обучающих сайта по алгебре
формула дроби в десятичной дроби
вычислитель определенного интеграла
стандарт бухгалтерского учета математический тест
повторная практика для 9 класса бесплатно
пример бинарного шифрования rsa
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ ОНЛАЙН ДЛЯ 9-КЛАССНИКОВ
Формула коэффициента
триггер второго порядка
TI ключи+изображения
листа математических вероятностей 8 лет
где я могу скачать бесплатно сочинения по математике
преобразование десятичной дроби в квадратный корень
общее решение задач
правило греха сложнее рабочий лист
интерактивных урока и игры по алгебре 1 и 2
понятие алгебры
Алгебра 9 класс
Персональный консультант по банкротству
одновременных уравнения
Математика 5-го класса Введение в целые числа: что такое множество
Институт профессионального фитнеса
самый сложный математический вопрос
контрольные листы для первого класса
журнал ти
лучшая книга по алгебре для начинающих
Студенческие ссуды Нью-Мексико
алгебра и преалгебра стали проще
Экспоненты и подкоренные знаки
gre testpapers
Ипотечный кредитор Ньюарка
бесплатных ответа на математические задачи
основная программа для вычисления корней квадратного уравнения?
Недвижимость на продажу Гозо
решение квадратных уравнений
мелочи о комплексных числах
Примеры алгебры для 9-го класса
Код Matlab
ppt для явного метода Эйлера
Формула
для квадратного уравнения
рабочих листа по математике за 7-й год
рабочих листа по математической алгебре бесплатно
Как складывать и вычитать радикальные выражения с дробями
Сравнение Microsoft CRM
активность по наивысшему общему множителю
Страхование здоровья штата Теннесси
ti-89 Рабочий лист с трехмерным графиком
Продукт диеты для похудения, Великобритания
расположить листы десятичных дробей в порядке возрастания
«Пробные тесты по математике для 7 класса»
Форма заявления на получение ипотечного кредита
расширенные уравнения алгебры
примера математических мелочей математика
JavaScript для факторинга чисел
Бережный прокат автомобилей
т 84 калькуляторы для обучения статистике
кубик упражнений по биномиальной алгебре
рабочих листа по уравнениям
Алгебра и тригонометрия РОКСВОЛД
бесплатный полиномиальный факторинг онлайн
решить мою задачу с логарифмом
дуги в TI-84 плюс
Говорящая книга
бесплатный тест IQ
алгебра факторизации двух переменных
Алгебра; различать два использования переменной
языковые распечатки для первоклассников
формула Таблица для алгебры 1
покажи мне наиболее вероятную последнюю цифру числа при умножении двух двузначных чисел
упрощение подкоренных выражений решить
Недвижимость в Батон-Руж
алгебраические уравнения
Восстановление данных ПК Санта-Клара
решение нелинейных уравнений casio
обзор экзамена по математике гр. 9
прентис холл алгебра 1 учительское издание Флорида
математические упражнения для седьмого класса
образца тестовых бумаг 7 лет
бесплатная алгебра 2 решатель задач уравнения неравенства
кубический корень -54 дробь
KS3, Эволюция, РАБОЧИЙ ЛИСТ
реальная жизнь Применение квадратичной функции
учебный план по алгебре уровня A
геометрия корневого символа
Заказ Биз
Бухгалтерская проблема
и как решить
Модный бизнес
где найти бесплатные ответы по алгебре
графические правила
математическое решение для учета затрат
учебник по математике для печати + ks2
бесплатное обучение алгебре
Если бы вы смотрели на график квадратного уравнения, как бы вы определили, где находятся решения?
распечатки рабочая тетрадь стр для 5 класса
Рабочие листы по математике для 8-го класса
Рабочий лист GCF LCM
Закон о СМИ Чикаго
квадратичное программирование+бумага
версия gmat СОВЕТЫ
Банкротство
Tower Automotive
бухгалтерские программы для ти-84 плюс
калькуляторы переписывания уравнений
Государственное образование
бесплатный онлайн-решатель матриц
матрица скачать бесплатно рабочий лист для печати
выполнимые тесты по алгебре ks3
наибольший общий знаменатель 60 и 125
ввод квадратных корней на ti-83 плюс
вопрос о способностях
паскаля треугольники и латинские квадраты
Чем операции (сложение, вычитание, умножение и деление) с рациональными выражениями аналогичны или отличаются от операций с дробями?
Однодисковый DVD
решить систему двух уравнений научить детей
Репетитор В
Материал для изучения естественных наук для 6-го класса Индия бесплатно
реальных применения алгебры
Зачем при сложении и вычитании рациональных выражений нужен ЖКИ?
перестановка очень сложных вопросов по формулам
тестовых вопросов по инженерному делу
математический тест
Думмит Фут
экспонент планы уроков
Бесплатные экзаменационные работы
что такое правила сложения и вычитания многочленов
рабочих листа по естествознанию 9 класс
Платиновая карта
какие 4 основных математических понятия используются при вычислении выражения
рабочий лист + кс2 + математика + документ
Онлайн-ипотека
тесты по математике ks3
бесплатные онлайн-курсы по алгебре 2
промежуточные методы алгебры
примера доказательств по математике для 6 класса
правила сложения и вычитания научных чисел
ти-84 плюс рекуррентные отношения
перестановка и комбинация
Решение двухшаговых уравнений
саксонская алгебра II — планы уроков
Преобразование смешанных чисел в десятичные
Рабочий лист алгебраического неравенства
упростить уравнения
Калькулятор коэффициента рационального выражения
Программа Visual Basic для решения метода Гуасса для системы линейных уравнений
Кредитная карта National Geographic
алгебра 2 для чайников
задание на упрощение десятичных знаков
квадратные уравнения средняя школа
алгебра 6 класс бесплатные примеры
как использовать формулу
Учитель математики онлайн
макдугал литтел геометрия ответы и работа
2. Почему важно знать, как упростить выражение в математике
8 десятичный
тест по математике для 4 класса
Таблица тригономических функций
калькулятор одновременных уравнений онлайн
Теорема биномиального ценообразования для чайников
базовый 9 класс математика/фракция
решатель калькулятора делений
онлайн математика для одновременного решения
бесплатных интерактивных руководства по TI-84
скачать вопросы на aptitude
экзамены Gcse по биологии 1b
Агент по недвижимости Вашингтон, округ Колумбия
Домашнее задание по математике для 9 класса
Зимний бизнес
задачи по математической алгебре
с использованием базы журнала 2 на TI-83
добавить целочисленный рабочий лист
научи меня алгебре
ти ПЗУ
Бесплатная загрузка вопросов о способностях
расчеты
простые математические задачки для 2 класса
как найти квадратный корень с помощью ti 84
Калькулятор квадратного корня с экспонентами
примера математических задач и головоломок с ответом
Налоговое право Южная Дакота
рабочие листы по бухгалтерскому учету бесплатные распечатки
онлайн-викторина по математике для 8 класса
упростить полиномиальные выражения
Пластическая хирургия мешков под глазами
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА И МЕТОД
Уроки математики
онлайн программа по алгебре
Фракции TI 38 PLUS
онлайн калькулятор лимитов
Программы калькулятора TI 84
составной вычислитель
предварительная алгебра
параболы для чайников
Matlab множественный нелинейный регрессионный анализ
Рабочий лист
целых чисел.
Планирование недвижимости в личных финансах
моя ошибка факторинга ti 89 неалгебраическая переменная в выражении
бесплатных обучающих игры для шестиклассников
скачать студенческие решения по учету затрат
Таблица коэффициентов
. . простое число
Арендаторы Страхование Флорида
Математика
решать уравнения в кубе
Сакраменто обратная ипотека
Калькулятор наименьших множителей
бесплатный онлайн тест по математике ks3
онлайн-листы для пятого класса
корни уравнения 3-го порядка
Книга по квантовой механике
бесплатные распечатки на дому для 8 класса
Колледж Талладега
решение матрицы безразличия
алгебра 1 Флорида ответы
Задача
с использованием масштабного коэффициента
Формулы по физике 11 класс
Рабочий лист умножения десятичных дробей
год 8 старых работ по математике
решены упражнения полиномиального факторинга
калькулятор упрощения сложных рациональных выражений
математические игры для 11 класса
онлайн математический решатель [прямой вариант]
Карта дикой природы
алгебра онлайн легко
примера исследовательского проекта в начальной школе
рабочий лист наименьшее общее кратное
загрузить список всех книг, связанных с учетом затрат
лист формул Преобразование Лапласа
добавление переменных уравнений
ti82 перевернутый фон матрицы
примера задач перестановки
Вопросы по Aptitude скачать
упражнения по алгебре для 10 уровня
алгебраизатор колледжа
экспоненциальные правила для квадратных маршрутов
факторизация решателя полиномов
Балансировочный калькулятор для сопряженных кислот
Целочисленный рабочий лист
5-й класс
печатных словесных задач с использованием больших чисел
вопроса о способностях с решениями
урока powerpoint по обучению дробям на калькуляторе ti89
примеры задач на перестановки и комбинации
ступенька ti89
лучшие бесплатные учебники по бухгалтерскому учету
ти-89 книга формулы
Куб калькулятор формулы объема
Тампа DUI Адвокаты
алгебра 2 решатель задач
скачать Исчисление и алгебра с MathCad
бесплатные вопросы по математике для 9 класса
как работать с вероятностью на калькуляторе ти-83
деление многочлена
калькулятор алгебраических символов онлайн
книги по хозрасчету
план урока линейное уравнение с двумя переменными
определение алгебры смешанных повторяющихся десятичных дробей
домашнее задание для распечатки для 3-го класса
Медицинская страховка для студенческих поездок Au
Хит «Геометрия комплексный подход» Банк компьютерных тестов
бесплатный пример комбинации/перестановки
БЕСПЛАТНО GCSE MATHS POWERPOINTS TRIG SIN COS TAN
Велосипед выносливости
Онлайн-обучение
9Шаблон урока алгебры в колледже 0002
обучение системе уравнений методом подстановки
бесплатно скачать тестовый банк бухгалтерского учета
КАК СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
Рабочий лист
, упорядочивающий четырехзначные числа
как упростить многочлен
Предварительная алгебра для седьмого класса
Медицинские видео
бесплатная онлайн-помощь по алгебре в колледже
a 1 8 класс Алгебра 1 рабочие листы
скачать калькулятор алгебры
онлайн-рабочие листы по академической алгебре для 9 класса
таблица перевода возрастной системы по математике
Многоканальное программное обеспечение
рабочий лист по делению десятичных дробей
Программное обеспечение насоса
последние листы с вопросами о способностях
Математические видео
тригономический калькулятор
Кредитный бизнес-план SBA
бесплатный онлайн-решатель по математике
бесплатных рабочих листа по математике для 8-го класса
планы уроков по геометрии холла в PowerPoint
пример мелочей по геометрии
системный клен второго порядка
Пищевые витамины
Калькулятор линейных неравенств
с Excel
бесплатно скачать книгу повышения квалификации класс xii
упрощение радикальных форм с переменными
ПРЕОБРАЗОВАТЬ ДЕСЯТИЧНУЮ Дробь В РАДИКАЛЬНУЮ бесплатный калькулятор
С# таблицы математических коэффициентов
формула для пораболы
(GCSE) практические вопросы и ответы ЛИНЕЙНЫЙ ГРАФИК
Siebel CRM
выпускной тест по алгебре
Спа-центр
Банк тестов по математике для 4-го класса
год 7 рабочих листов по алгебре
упражнение по математике
решение полиномиального уравнения с Ti 83
Санкт-Петербург Адвокат по делам о банкротстве
найти общий знаменатель рабочих листов
Офисное страхование
математические задачи на перестановки для старшей школы
решение Крамера с помощью TI 89
БЕСПЛАТНЫЙ онлайн-решатель полиномов
советы по алгебре для начинающих
начальные условия нелинейных дифференциальных уравнений Matlab
Он-лайн CRM
Что такое широкополосный доступ
бесплатные математические упражнения для мозга с ответами на листы
Городской бизнес
квадратичная функция. ppt
зачем упрощать решение уравнения
как решить одновременные уравнения с 4 неизвестными
алгебраический
книга ответов кумон
Интернет-агентство знакомств
репетитора по математике севастополь ок
Программное обеспечение для контроля качества ипотеки
«Учет затрат» +скачать
Питтсбург, одиночный разряд
Южная Каролина Отели
математическая программа факторинга
важный вопрос
как упростить серию операций по математике
алгебра обман линейных уравнений
ti-83 как рисовать круги
скачать бесплатно Gre математическая модель бумаги
плюс умножить разделить вычесть
Код
LCM в С#
программная математика
онлайн урок грамматики для домашнего обучения
Дифференциальные уравнения первого порядка Алгебраические уравнения и неизвестные
редакция для печатных листов по математике
Карта миль от Discover
ti84 SE программа АЛГЕБРА
сложная тема по алгебре
основы перестановок и комбинаций
подготовка к экзамену по алгебре в колледже
Математические задачи для 10-х классов с отличием
дроби чисел словесные задачи
kumon математические листы скачать бесплатно
дать ответы на мои вопросы по математике квадратный корень
хороший способ научить биномиальной теореме
бесплатные рабочие листы онлайн, которые помогут мне подготовиться к 7-му классу
дискриминант gcse
Программное обеспечение для расчета заработной платы
Обучение Обучение
скачать бесплатно + электронная книга по бухгалтерскому учету
Особые случаи и рождественский подарок
бесплатная математика для 8 стандарта
Примеры вопросов теста на знание алгебры штата Айова
векторная механика для инженеров 8-е издание глава 5 обзор в конце главы
Рефинансирование студенческого кредита
бесплатная книга тестов способностей
бесплатных печатных листа простой факторизации
тригонометрическая таблица
Pre-Algebra prentice-hall
решение абсолютных равенств
пройти курс алгебры в колледже
кто изобрел алгебру
Башни Ротана Дубай
проверить себя в алгебре
математический линейный квадратичный радикал
Тесты по алгебре для печати
ускоренные рабочие листы по математике перед алгеброй
РАСПЕЧАТКИ ДЛЯ ДОМАШНИХ ШКОЛ ДЛЯ 5-Х КЛАССНИКОВ
ti 84 эмулятор скачать
загрузки тестов способностей
Руководство по химии для Holt Modern Chemistry
применения рациональных выражений и уравнений
Концептуальная физика Прентис Холл
научить моего ребенка математике в 9 классе
задачи по математике для 8-х классов
Преобразования Лапласа для TI-89
Строковый литерал
Мальта экзаменационный лист 6 класс (математика)
листа математических показателей
рабочие листы n-го семестра
Калькуляторы деления рациональных выражений
Листы для 8 класса
переменные как показатели степени
бесплатно скачать калькулятор алгебры
Рабочие листы для бесплатных практических занятий 8-го класса
деление рациональных выражений
калькулятор булевой алгебры
алгебра 2 ответы
matlab, нелинейное уравнение, символы
смешанная дробь до десятичной
9 класс математические склоны
онлайн уравнение упростить
Спортивная одежда
ОНЛАЙН АЛГЕБРА ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ
тригонометрия в повседневной жизни
факторинг полиномов алгебры колледжа
год 8
алгебраические уравнения ks3
Практическая задача на сложение и вычитание дробей для 4 класса
Математические мелочи
примера мелочей по алгебре
как рассчитать линейные футы круга?
кс3 год 8 отношения и функции математика
Упрощение составных уравнений
Экспоненты с квадратным корнем
планы уроков для сурдов
сложение вычитание умножение и деление целых чисел
лист математики для первого класса
скачать документ aptitude
изображения парабол
Новая биология
Высшая тригонометрия
практические задачи по алгебре pdf
Пролеанская диета
квадратные уравнения
КАЛЬКУЛЯТОР ЛИНЕЙНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Закупочный бизнес
программа для вычитания комплексных чисел
Кредитный чек TRW
упрощение квадратных и кубических корней
Оптовая DVD
решение логарифмов на техасском инструментальном калькуляторе
решение логарифмических уравнений с несколькими переменными
Имена доменов организаций
пошаговые правила построения графиков системных уравнений
Рабочие тетради по математике для 7-го класса
вычитание отрицательного десятичного числа
бесплатных рабочих листа по алгебре для 8 класса
Вероятность Домашнее задание
бухгалтер с проблемой и как решить
Решение радикальных уравнений TI-86
упростить многочлен квадратного корня
добавить дроби с ti 86
ti 89 log2
форма 4 контрольные работы по математике
10 г. — экзамен по сурдсу
Ипотечная Америка
объяснение основных уравнений трехступенчатой алгебры
объяснения уравнений с твердым логарифмом
печатные листы для умножения 6-го класса
алгебра 1 калифорнийское издание Прентис Холл ответы
бесплатная помощь в упрощении задач по алгебре
бесплатные математические задачи по электрике
Бесплатный одновременный решатель уравнений
добавление положительного отрицательного целого числа
бесплатный калькулятор читов по алгебре онлайн
«математическое уравнение» сравнение статистики
распечатать листы с образцами математических заданий за 3 год
Рабочий лист по алгебре для 8-го класса
для печати
решение гомогенной системы второго порядка
Программное обеспечение для сантехники
Учебник по алгебре Калифорнийского колледжа
бесплатный тест по математике для 10 класса
деление смешанных чисел на десятичные числа
вычитание отрицательного целого числа в реальной задаче
Рочестер Знакомства
Скачать книгу операций Лапласа
тест по математике, экзамен, бесплатно, первичный, сборник рассказов
texas tools ti-83 log base 2
Юристы Сент-Пол
Хоутон Миффлин учебник по алгебре
Магистр GRE в CAT (скачать). pdf
двухэтапные алгебраические вопросы
скачать gre barrons 12th edition бесплатно
наибольшее общее кратное 56 и 100
Алгебра: Формула мощности
бесплатно кс3 сат
Бесплатный онлайн-тест по общей математике
сложение и вычитание целых рабочих листов
бесплатные учебные пособия по учету затрат
Юристы Омахи
Квадратные отношения для печати рабочих листов бесплатно
подготовленные планы уроков по полиномам
Бронирование авиакомпании SAS
Отель в центре Филадельфии
электронные книги по бухгалтерскому учету бесплатно для скачивания
решатель задач по алгебре, версия 20
четыре основных математических понятия, используемых при вычислении выражения
уравнение с общим знаменателем
запись линейных функций
полином онлайн-графика
бесплатные рабочие листы по алгебре в колледже для печати
Математика силы разума
6 класс формулы математики
Для чего тогда используется студенческая алгебра
вопросов по языку Си
печатные рабочие листы по алгебре в колледже
образец вопросника с несколькими вариантами ответов на вопрос о способностях к преподаванию
«Простые вопросы по алгебре»
Недвижимость в Юме Аризона
бесплатный калькулятор триггеров
алгебра 1
колледж алегебра
Самая сложная математическая задача в мире
нью-йоркский экзамен по математике для 8-го класса с ответами
Спасательные данные
Вычитание смешанных чисел
Провиденс Адвокаты
книги скачать бесплатно
правильное решение линейной алгебры
алгебра+марк+дугопольский+pdf
как решать тригонометрические тождества на ti 83
бесплатно скачать решатель тригонометрических уравнений
Слог для базовой алгебры
рабочие листы по математике для девятого класса
общие вопросы о способностях
математические мелочи с ответом
квадратичные функции реального применения
стоимость аккаунта скачать книгу бесплатно
упрощение экспоненциальных выражений
математика для чайников
Бесплатные вопросы по математике с ответами и пояснениями
Медицинское страхование малого бизнеса Мичиган
процентов рабочие листы пятого класса
Решение задач по алгебре
Калькулятор биномиального расширения
калькулятор с уравнением с квадратным корнем
Адвокаты по автомобильным авариям города Нью-Йорка
Летний наставник
конвертировать числа java
Перестановка комбинации
в Matlab
Квадратные выражения GCSE
Процесс обращения взыскания на ипотеку
учебник по химии для 7 ст.
алгебра (математика)
шаг за шагом решать тест на математические способности
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ CAT, СВЯЗАННЫХ С ЧАСАМИ
десятичное выражение, которое никогда не заканчивается и никогда не повторяется
Сеть управления услугами
алгебра
Таблица наклона и точки пересечения 8-го класса с рабочим листом
идеальные трехчлены в кубе
переменные с дробным показателем степени
математические стихи на двоих
бесплатный онлайн-набор для занятий по математике
заполнить РАБОЧИЙ ЛИСТ
КВАДРАТ В ГРАФИК
Тампа DUI
программное обеспечение для решения математических задач с процедурой
линейные графики
процесс, используемый для добавления подкоренных выражений
Плюс кредиты для колледжа
Рабочие листы по математике
Алгебра 1, Прентис Холл
Калькулятор коэффициента разности
Онлайн-учебник по математике
Фитнес
печатных листа по сложению и вычитанию целых чисел
Веб-хостинг в Интернете
логарифмы математика
класс средней школы
ускоренные процедуры для решения вопросов о способностях
метод замены
используя числовую прямую для решения уравнений
Подписные займы
примера мелочей
Регистрация
алгебра 1 с использованием квадратных уравнений в реальной жизни
заказанная пара для калькулятора уравнений
Есть ли разница между решением системы уравнений алгебраическим методом и графическим методом?
Бесплатно скачать дроби для школьников
Акции и инвестиции
старые математические работы yr8
графики функций и систем уравнений
Биология
сайт для прохождения теста по математике в шестом классе
Регистрация домена ЕС
шаг математика+pdf
gre apptitude book скачать бесплатно
найти нули функции, заполнив квадратный квадрат
CAT проблемы с логарифмами
Бухгалтерское ПО Sage Line 50
образец листа для масштабного теста для подготовительного
помощник по алгебре
Издание книг
решать способности простым способом
найти дробь чисел в java
Экзамены GCSE по естествознанию среди лучших учителей \
Бесплатные учебные пособия по учету затрат
образец работы по математике (7-й и 8-й стандартные объективы)
математические онлайн игры для 6-х классов
Рабочие листы для учащихся 8-го класса
Полное отделение алгебры колледжа
третий корень
пример краткого плана урока математики для одного учащегося средней школы
бесплатно ДЛЯ ПЕЧАТИ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШЕСТОГО КЛАССА
Решение неравенств
Калькулятор решения квадратных корней
Решатель
для ti89
Учебник по математике в Калифорнийском колледже
математических листов бесплатно 8 год
73509723114163
Прокат аудиокниги
экзаменационные документы на пригодность
ИНФОРМАЦИЯ ПО АЛГЕБРЕ
Мобильная камера
математическая формула читерство теория множеств старшей школы
ti 89 учебник по частичной дроби
когда подкоренное выражение в простейшей форме?
Математика для 11 класса, заполнение формы квадратной вершины
рабочих листа начального уровня по площади треугольников
Рабочие листы 9 класса
apitude вопрос и ответ
Образец программы
на lcm в java
солнцезащитные очки algabra
помощь по алгебре
разделить дроби ti 84
решить разностное уравнение с помощью Matlab
вопросы и ответы по викторинам по математике
как сохранить приложение в ti89
написание программ графический калькулятор
Арендный дом Кларксвилл, Теннесси
Торговый код Техаса
обучающая программа по алгебре
Бюджет управления финансами
Авиакомпания Маунт Кук
ответа на домашнее задание по математике
Финансовое планирование Портленда
прентис холл алгебра 1 ответы
порядок действий . pdf
алгебраический решатель дробей для сложения и вычитания с общим знаменателем
Малый бизнес CRM
Камера ST Августина
онлайн-экзамен бесплатно 10
Колледж Миллигана
разделительная алгебра
Преобразовать погонные метры в квадратные метры
Средиземноморские круизы
Научный тест ks3 для печати
учебник по бухгалтерскому учету скачать
преобразование Лапласа скачать решатель
бесплатный апплет калькулятора конвертации
квадратный корень десятичный
Шпаргалка по естественным наукам для 7 класса для выпускных экзаменов
Формула простого числа
в Java
скачать бесплатно математические мелочи
Темпе Кортъярд Отель
какие 3 неизвестных?
Контрольные листы по алгебре для 8-го класса
как делать комбинации на калькуляторе ТИ-84
рабочий лист по математике средней школы
бесплатных рабочих листа для 8-го класса ПО МАТЕМАТИКЕ
Туристические предложения
texas tools ti83 прошивка образ
бесплатная онлайн работа по математике на компьютере 5 класса
Вонинг Хурен
способы оплаты gcse вопросы укус
год 4,5 дополнительный сат прошлые документы скачать бесплатно
решение двухшаговых уравнений с целыми числами
средний уровень алгебра. com
примера математической молитвы
как упростить 32 3/5 без калькулятора
Математический факторинг, занятия и упражнения
Розничный торговый центр
алгебра для чайников скачать бесплатно
Печатные формы для 5-го класса
Одежда спортивного болельщика
задачи по математике
вопрос полиномиального упражнения
квадратные корни
тест по математике в колледже онлайн
Степени доктора наук
рабочие листы по математике для восьмого класса
Уроки математики
Оптимизация сети
алгебра мелочи
учить алгебру онлайн
Помощь с домашним заданием по испанскому языку
Страхование путешествий Saga старше 50 лет
WWVALGEBRA COM
алгебра как решать уравнения с одной переменной
Практика математических сумм на 9й стандарт с ответами
Элементарная/промежуточная алгебра с руководством пользователя ALEKS
Калькулятор Т1-81
требуется репетитор по математике
самый сложный вопрос по математике в мире
калькулятор переменного корня
Калькулятор наименьшего общего знаменателя
Калькулятор умножения трехчленов
ти+расч+ром
Рабочие листы соотношения
бесплатных рабочих листа по математике 8 класс
Калькулятор частичной площади круга
квадратный корень с экспоненциальным калькулятором
самый простой способ получить lcm
макдугал литтел ответы
алгебра Голдфорда
техники решения aptitude
бесплатное домашнее задание по математике для 3-го класса
Диета Скарсдейла
Банкротство Санта-Фе
калькулятор алгебры
домашнее задание первый класс бесплатно
Калькулятор квадратного корня в кубе
упрощающие многочлены
Ноутбуки с самым высоким рейтингом
~математика ~ботаника +pdf
Томас Хангерфорд Решение по алгебре
бесплатных листа ответов на тесты для печати
скачать TI 83+ ПЗУ
Рабочий лист дроби
с общим знаменателем с ключом ответа
Репетиторство по математике Портленд
упрощение радикалов и абсолютных значений.
бесплатно скачать электронные книги по теории и практике бухгалтерского учета
Калькулятор синтетического деления
«Летние рабочие листы» 4-х классов
Калькулятор полиномиальных уравнений
распечатываемые листы с домашним заданием
Писатель математических символов
ти 83 онлайн бесплатно
обучение математике и английскому языку онлайн с бесплатными ответами и вопросами
Уроки для графических калькуляторов, 7 класс
бесплатные уроки математики шаг купить шаг уроки
ti 84 программы загрузки эмулятора
пример анализа элементов по элементарной математике для задач на деление
Математическая алгебра 10 класс 2
проблемы с коэффициентом масштабирования
Как преподавать алгебру
Оптимизация сети
Расчет погонного метра бассейна
бесплатный репетитор по алгебре среднего уровня
Экзаменационный лист для 10 класса
форма 2 экзаменационная работа по математике
математические игры GCSE
Практика испытаний CAT KS2
Western Digital Data Recovery
рассчитать онлайн параболу
Посевное финансирование
Домен Великобритании
математическая мощность 8
Юта Знакомства
что такое масштабный коэффициент
математические мелочи
решатель радикальных выражений
комбинации, математика, примеры
Веб-дизайн агента по недвижимости
бесплатные рабочие листы по математике для 6 класса
Упростить дробь TI-86
Восстановить данные
бесплатный онлайн-решатель математических задач
Онлайн-факторинг по алгебре
как упростить радикалы на калькуляторе
основные правила построения графика уравнения или неравенства
ГОД 8 KS2 ТЕСТ
математических рабочих листа ks3
тесты по алгебре
Страхование жилых зданий Великобритании
aptitude question paperкак скачать бесплатно
сурд калькулятор
Ипотечные кредиты в Северном Лас-Вегасе
дайте мне работу 9 класса
запись радикалов в степени
решатель алгебры
+ рабочие листы логарифмических уравнений
математика в gre
Адвокаты по уголовным делам Онтарио
добавление групп рабочих листов
Продление
пересмотр года 8 математики
igcse класс 10 бесплатные образцы документов документы
Мультифокальные линзы Proclear
целых чисел +викторины
Прескотт Адвокат
Скачать новые вопросы о способностях
алгебраические стихотворения
алгебра2 предварительные расчеты скачать
бесплатные ответы по алгебре сейчас
булевы логические игры
квадратных корня в степени
комбинации и перестановки упражнение
Преалгебра для 8 класса
11+ образцов работ по математике
Дифференциальные уравнения, стр.
Издание юридических книг
дискретная математика
программы тригонометрии для casio
викторины по булевой алгебре
бесплатные онлайн калькуляторы ТИ-84
перестановки и комбинации решают проблемы
примерных вопросов на определение площади по математике
алгебраические уравнения
легкая алгебра
Сакраменто Адвокат
смешанное число до десятичного числа
программа baisc для вычисления корня квадратного уравнения
рудин ответы
рабочих листа по простым множителям для 7 класса
вопросы и ответы на любые способности
математические формулы переменной процентной ставки
Частный репетитор
матричная тригонометрия
подключите задачу по алгебре и получите ответ бесплатно
Математический гений девятого класса
полином
БЕСПЛАТНАЯ АЛГЕБРА ПРОГРАММА ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТА
калькулятор сбалансированных уравнений
Рабочие листы для печати квадратичных отношений
Кредитные карты Visa
весёлых и сложных рабочих листа для 5-го класса
Автомобиль Мауи
скачать бесплатно электронные книги по корпоративному бухгалтерскому учету
онлайн vb тест с ответами
алгебра 8 класс тест по математике
математика с шестого по восьмой объективный вопрос и ответ
обзор геометрии зала ученицы
Алгебра — Рациональные функции
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Уведомление для мобильных устройств
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 4-8: Рациональные функции
В этом заключительном разделе нам нужно обсудить построение графиков рациональных функций. Вероятно, лучше всего начать с довольно простого, который мы можем сделать, не зная, как это работает.
Нарисуем график $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$. Во-первых, поскольку это рациональная функция, мы должны быть осторожны с проблемами деления на ноль. Итак, из этого уравнения видно, что нам придется избегать $x = 0$, так как это даст деление на ноль.
Теперь подставим несколько значений $x$ и посмотрим, что получится.
$х$ $f(x)$
-4 -0,25
-2 -0,5
-1 -1
-0,1 -10
-0,01 -100
0,01 100
0,1 10
1 1
2 0,5
4 0,25
Таким образом, по мере того, как $x$ становится больше (положительно и отрицательно), функция сохраняет знак $x$ и становится все меньше и меньше. Точно так же, когда мы приближаемся к $x = 0$, функция снова сохраняет тот же знак, что и $x$, но начинает становиться довольно большой. Вот набросок этого графика.
Во-первых, обратите внимание, что график состоит из двух частей. Почти все рациональные функции будут иметь такие графики, состоящие из нескольких частей.
Далее обратите внимание, что на этом графике нет никаких пересечений. Это достаточно легко проверить на себе.
Напомним, что граф будет иметь $y$-пересечение в точке $\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)$. Однако в этом случае мы должны избегать $x = 0$, и поэтому этот график никогда не пересечет ось $y$. Он подходит очень близко к оси $y$, но никогда не пересекает ее и не касается ее, а значит, не пересекается с $y$.
Далее напомним, что мы можем определить, где на графике будут $x$-пересечения, решив $f\left( x \right) = 0$. Для рациональных функций это может показаться беспорядком. Однако есть хороший факт о рациональных функциях, который мы можем здесь использовать. Рациональная функция будет равна нулю при определенном значении $x$ только в том случае, если числитель равен нулю при этом $x$, а знаменатель не равен нулю при этом $x$. Другими словами, чтобы определить, равна ли когда-либо рациональная функция нулю, все, что нам нужно сделать, это установить числитель равным нулю и решить. Когда у нас есть эти решения, нам просто нужно убедитесь, что ни одно из них не делает знаменатель равным нулю.
В нашем случае числитель равен единице и никогда не будет равен нулю, поэтому у этой функции не будет $x$-перехватов. Опять же, график подойдет очень близко к оси $x$, но никогда не коснется ее и не пересечет ее.
Наконец, нам нужно учесть тот факт, что график подходит очень близко к осям $x$ и $y$, но никогда не пересекает их. Поскольку в самих осях нет ничего особенного, мы будем использовать тот факт, что ось $x$ на самом деле является линией, заданной $y = 0$, а ось $y$ действительно линия, заданная $x = 0$.
На нашем графике по мере того, как значение $x$ приближается к $x = 0$, график становится очень большим по обе стороны от линии, заданной $x = 0$. Эта линия называется вертикальной асимптотой .
Кроме того, поскольку $x$ становится очень большим, как положительным, так и отрицательным, график приближается к линии, заданной $y = 0$. Эта линия называется горизонтальной асимптотой .
Вот общие определения двух асимптот.
Прямая $x = a$ является вертикальной асимптотой , если график неограниченно увеличивается или уменьшается с одной или обеих сторон линии по мере того, как $x$ приближается все ближе и ближе к $x = a$.
Линия $y = b$ является горизонтальной асимптотой , если график приближается к $y = b$ при неограниченном увеличении или уменьшении $x$. Обратите внимание, что он не должен приближаться к $y = b$, поскольку $x$ ОБА увеличивается и уменьшается. Ему нужно только приблизиться к нему с одной стороны, чтобы он был горизонтальной асимптотой.
9m} + \cdots }}\]
где $n$ — наибольший показатель степени в числителе, а $m$ — наибольший показатель степени знаменателя.
Итак, мы имеем следующие факты об асимптотах.
График будет иметь вертикальную асимптоту в точке $x = a$, если знаменатель равен нулю в точке $x = a$, а числитель отличен от нуля в точке $x = a$.
Если $n < m$, то ось $x$ является горизонтальной асимптотой.
Если $n = m$, то линия $\displaystyle y = \frac{a}{b}$ является горизонтальной асимптотой.
Если $n > m$, то горизонтальных асимптот не будет.
Процесс построения графика рациональной функции довольно прост. Вот.
Процесс построения графика рациональной функции
Найдите точки пересечения, если они есть. Помните, что $y$-перехват задается как $\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)$, и мы находим $x$-перехваты, устанавливая числитель равные нулю и решающие.
Найдите вертикальные асимптоты, приравняв знаменатель к нулю и решив.
Найдите горизонтальную асимптоту, если она существует, используя приведенный выше факт.
Вертикальные асимптоты разделят числовую прямую на участки. В каждом регионе графика не менее одной точки в каждом регионе. Эта точка скажет нам, будет ли график выше или ниже горизонтальной асимптоты, и если нам нужно, мы должны получить несколько точек, чтобы определить общую форму графика.
Нарисуйте график.
Обратите внимание, что эскиз, который мы получим в процессе, будет довольно грубым, но это нормально. Это все, что нам действительно нужно, — это основная идея того, на что будет смотреть график.
Давайте рассмотрим пару примеров.
Пример 1 Нарисуйте график следующей функции. \[f\left( x \right) = \frac{{3x + 6}}{{x — 1}}\]
Показать решение
Итак, начнем с перехватов. $y$-перехват равен
\[f\left( 0 \right) = \frac{6}{{ — 1}} = — 6\hspace{0.25in} \Стрелка вправо \hspace{0.25in}\left( {0, — 6} \right )\]
$x$-перехваты будут,
\[\begin{align*}3x + 6 & = 0\\ x & = — 2\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left( { — 2,0} \right)\end{ выровнять*}\]
Теперь нам нужно определить асимптоты. Сначала найдем вертикальные асимптоты.
\[x — 1 = 0\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}x = 1\]
Итак, у нас есть одна вертикальная асимптота. Это означает, что теперь есть две области $x$. Это $x < 1$ и $x > 1$.
Теперь наибольший показатель степени в числителе и знаменателе равен 1, поэтому на линии будет горизонтальная асимптота.
\[y = \frac{3}{1} = 3\]
Теперь нам просто нужны точки в каждой области $x$. Поскольку $y$-перехват и $x$-перехват уже находятся в левой области, нам не нужно будет получать там какие-либо точки. Это означает, что нам просто нужно получить точку в нужном регионе. На самом деле не имеет значения, какое значение $x$ мы выбираем здесь, нам просто нужно, чтобы оно было достаточно маленьким, чтобы оно соответствовало нашему графику.
\[f\left( 2 \right) = \frac{{3\left( 2 \right) + 6}}{{2 — 1}} = \frac{{12}}{1} = 12\hspace{ 0,25 дюйма} \стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}\влево ({2,12} \вправо)\] 92} — 9}}\]
Показать решение
Хорошо, начнем с перехватов. $y$-перехват равен
\[f\left( 0 \right) = \frac{9}{{ — 9}} = — 1\hspace{0.25in} \Стрелка вправо \hspace{0.25in}\left( {0, — 1} \right )\]
Числитель — константа, поэтому никаких пересечений $x$ не будет, поскольку функция никогда не может быть равна нулю.
Далее у нас будут вертикальные асимптоты на 92} — 9 = 0\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}x = \pm 3\]
Итак, в этом случае у нас будет три области на нашем графике: $x < - 3$, $ - 3 < x < 3$, $x > 3$.
Кроме того, наибольший показатель степени в знаменателе равен 2, а поскольку в числителе нет $x$, наибольший показатель степени равен 0, так что ось $x$ будет горизонтальной асимптотой .
Наконец, нам нужны очки. Здесь мы будем использовать следующие моменты.
\[\begin{align*}f\left( { — 4} \right) & = \frac{9{7} & \hspace{0.25in} & \left( { — 4,\frac{9}{7}} \right)\\ f\left( { — 2} \right) & = — \frac{ 9}{5} & \hspace{0.25in} & \left( { — 2, — \frac{9}{5}} \right)\\ f\left( 2 \right) & = — \frac{9 {5} & \hspace{0.25in} & \left( {2, — \frac{9}{5}} \right)\\ f\left( 4 \right) & = \frac{9}{7 } & \hspace{0.25in} & \left( {4,\frac{9}{7}} \right)\end{align*}\]
Обратите внимание, что вместе с точкой пересечения $y$ у нас фактически есть три точки в средней области. Это связано с тем, что в этой области есть несколько возможных вариантов поведения, и нам нужно определить фактическое поведение. Мы увидим другие основные варианты поведения в следующих примерах, так что на этом этапе это будет иметь больше смысла. 92} — 4x = x\left( {x — 4} \right) = 0\hspace{0.25in} \Стрелка вправо \hspace{0.25in}x = 0,\,\,x = 4\]
Итак, у нас снова два и три региона, которые у нас есть, это $x < 0$, $0 < x < 4$ и $x > 4$.
Далее, наибольший показатель степени как в числителе, так и в знаменателе равен 2, поэтому на линии будет горизонтальная асимптота,
\[y = \frac{1}{1} = 1\]
Теперь один из $x$-перехватов находится в крайней левой области, поэтому нам там не нужны точки. Другой $x$-перехват находится в средней области. Итак, нам понадобится точка в крайней правой области, и, как отмечалось в предыдущем примере, мы хотим получить еще пару точек в средней области, чтобы полностью определить ее поведение.
\[\begin{align*}f\left( 1 \right) & = 1 & \hspace{0.25in} & \left( {1,1} \right)\\ f\left( 3 \right) & = — \frac{5}{3} & \hspace{0.25in} & \left( {3, — \frac{5}{3}} \right)\\ f\left( 5 \right) & = \frac {{21}}{5} & \hspace{0,25in} & \left( {5,\frac{{21}}{5}} \right)\end{align*}\]
Вот эскиз этой функции.
Обратите внимание, что на этот раз средняя область не ведет себя на асимптотах так, как мы видели в предыдущем примере. Это может и будет происходить довольно часто. Иногда поведение на двух асимптотах будет таким же, как в предыдущем примере, а иногда оно будет иметь противоположное поведение на каждой асимптоте, как мы видим в этом примере. Из-за этого нам всегда нужно будет получить пару точек в этих типах регионов, чтобы определить, каким будет поведение.
Калькулятор наклонной асимптоты
Онлайн-калькулятор наклонной асимптоты — это калькулятор, который поможет вам построить график на основе бессимптомного значения наклона.
Калькулятор наклонных асимптот полезен для математиков и ученых, поскольку он помогает им быстро решать и строить сложные полиномиальные дроби.
Что такое калькулятор наклонных асимптот?
Калькулятор наклонных асимптот — это онлайн-калькулятор, который вычисляет полиномиальные дроби, степень числителя которых больше знаменателя.
Калькулятор наклонной асимптоты требует двух входных данных; полиномиальная функция числителя и полиномиальная функция знаменателя .
После ввода значений калькулятор наклонной асимптоты использует эти полиномиальные дроби для расчета наклонной асимптоты. Калькулятор наклонной асимптоты также строит график для этих значений.
Как пользоваться калькулятором наклонных асимптот?
Для использования Калькулятор наклонной асимптоты , введите входные значения, которые требуются калькулятору, и нажмите кнопку «Отправить».
Ниже приведены пошаговые инструкции по использованию калькулятора:
Шаг 1
Сначала в числителе введите предоставленную вам полиномиальную функцию . Убедитесь, что числитель на одну степень выше знаменателя функции.
Шаг 2
После ввода полиномиальной функции в числитель вы вводите знаменатель полиномиальной функции в соответствующее поле.
Шаг 3
После ввода значений числителя и знаменателя нажмите кнопку «Отправить» на Калькуляторе наклонных асимптот . Калькулятор находит значения наклонной асимптоты и строит график в новом окне.
Как работает калькулятор наклонных асимптот?
A Калькулятор наклонной асимптоты работает путем ввода входных значений и применения длинное деление или синтетическое деление на полиномиальную дробь. Это приводит к вычислению значения наклонной асимптоты дроби.
Для представления многочлена наклонной асимптоты можно использовать следующее уравнение:
y = f(x) = $\frac{N(x)}{D(x)}$ , где N(x) и D( x) являются многочленами
Что такое асимптота кривой?
Асимптота кривой — это линия, образованная движением кривой, и линия, непрерывно стремящаяся к нулю. Это может произойти, если ось x (горизонтальная ось) или ось y (вертикальная ось) движется к бесконечности. Асимптота — это линия, к которой приближается кривая, стремясь к бесконечности (не касаясь ее).
Кривая и ее асимптота имеют странное и уникальное соотношение. В любой точке бесконечности они идут параллельно друг другу, но никогда не пересекаются. Они разделены, когда бегут очень близко друг к другу.
Существует три типа асимптот:
Горизонтальная асимптота – уравнение формы y=k
Вертикальная асимптота – уравнение формы x = k
Наклонная асимптота – уравнение формы y = mx + c
Наклонная асимптота
Наклонные асимптоты часто называют наклонными асимптотами из-за их наклонной формы, представляющей график линейной функции, y = mx + c. Только когда степень числителя превышает степень знаменателя ровно на одну степень, рациональная функция может иметь наклонную асимптоту .
Как видно из приведенного ниже примера, мы можем предсказать окончательное поведение рациональных функций, используя наклонные асимптоты:
Рисунок 1
График на рисунке 1 показывает, что наклонная асимптота f(x) представлена пунктирной линией, которая контролирует поведение графика. Кроме того, мы можем видеть, что x+5 является линейной функцией с формой y=mx+c.
Глядя на наклонную асимптоту, мы видим, как ведет себя кривая f(x) при приближении к $\infty$ и $-\infty$. График f(x) также подтверждает то, что мы уже знаем: наклонные асимптоты будут линейными (и наклонными).
Нахождение наклонных асимптот
Чтобы найти наклонную рациональную асимптоту, мы должны быть знакомы с двумя важными методами.
Длинные деления многочленов
Синтетическое деление многочленов.
Результаты обоих подходов должны быть одинаковыми; выбор между ними будет зависеть только от формы числителя и знаменателя.
Мы можем вычислить частное $ \frac{N(x)}{D(x)}$, чтобы обнаружить наклонную асимптоту, потому что $f(x) = \frac{N(x)}{D(x )}$ — рациональная функция, где N(x) на одну степень больше, чем D(x). Получаем следующее уравнение:
f(x)= Частное + $\frac{Remainder}{D(x)}$
Мы учитываем только частное и игнорируем остаток при определении наклонной асимптоты .
Правила расчета наклонных асимптот
При расчете наклонной асимптоты для полиномиальной функции необходимо соблюдать некоторые правила.
Мы всегда проверяем, имеет ли функция наклонную асимптоту при определении наклонной асимптоты рациональной функции, глядя на степени числителя и знаменателя. Убедитесь, что градус в числителе ровно на один градус выше. 9{2}-16$ эквивалентно (x-4)(x+4), поэтому знаменатель является множителем числителя.
Упрощенная форма уравнения выглядит следующим образом:
\[ f(x)=\frac{\cancel{(x-4)}(x+4)}{\cancel{(x-4)}} =(x+4) \]
Это означает, что наклонная асимптота функции равна y=x+4.
Используйте длинное деление или синтетическое деление , чтобы получить частное функции, если числитель не кратен знаменателю. Предположим, у нас есть следующее уравнение: 9{2}-6x+9}{x-1} \]
f(x) должна иметь наклонную асимптоту, потому что мы можем заметить, что числитель имеет более значащую степень (ровно одну степень). Используя синтетическое деление, мы находим частное функции, которое равно x-5. Используя эти два метода, мы можем вычислить наклонную асимптоту y=x-5.
Решенные примеры
Калькулятор наклонной асимптоты мгновенно предоставляет вам наклонную асимптоту полиномиальной дроби.
Вот несколько примеров, решенных с помощью 9{2}-5x+10$. После ввода первого полинома мы вводим второе полиномиальное уравнение в поле знаменателя; уравнение x-2.
После ввода всех уравнений в Калькулятор наклонной асимптоты , мы нажимаем кнопку «Отправить». Калькулятор вычисляет результаты и отображает их в новом окне. {2}-5x+10}{x-2 } \] 9{2}-6х$. После ввода первого полиномиального уравнения мы вводим вторую полиномиальную функцию в поле знаменателя; полиномиальная функция x-4.
После того, как все входные данные добавлены в калькулятор наклонной асимптоты, мы нажимаем кнопку «Отправить» в нашем калькуляторе наклонной асимптоты . Калькулятор начнет расчет и быстро отобразит бессимптомное значение наклона вместе с его графическим представлением.
Следующие результаты рассчитываются с помощью калькулятора наклонных асимптот: 9{2}-7x-20$. После полиномиального уравнения числителя мы добавляем второе полиномиальное уравнение в поле знаменателя; полиномиальное уравнение x-8.
Наконец, после ввода полиномиальных уравнений в калькулятор наклонных асимптот, мы нажимаем кнопку «Отправить». Калькулятор вычисляет значения наклонных асимптот и строит график полиномиальных уравнений.
Ниже приведены результаты калькулятора наклонных асимптот:
Интерпретация входных данных: 9{2}+3x-10}{x-1} \]
Найдите наклонную асимптоту приведенных выше полиномиальных дробей.
Решение
Чтобы найти наклонную асимптоту, мы можем использовать Калькулятор наклонной асимптоты . Сначала вы вводите первое полиномиальное уравнение в поле числителя. Затем вы вводите второе полиномиальное уравнение в поле знаменателя.
Наконец, вы нажимаете кнопку «Отправить» на калькуляторе. Калькулятор наклонных асимптот вычисляет результаты и отображает их в окне. 9{2}+3x-10}{x-1} \ is \ asymptotic \ to \ x + 4 \]
График:
Рисунок 5
Все изображения/графики сделаны с помощью GeoGebra.
Список математических калькуляторов
Поиск пересечений и асимптот — предварительное исчисление
Все ресурсы по предварительному исчислению
12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 Следующая →
Справка по предварительному исчислению » Полиномиальные функции » Рациональные функции » Найти точки пересечения и асимптоты
Предположим, что приведенная ниже функция имеет наклонную (т. е. наклонную асимптоту) в точке .
Если нам дано , что мы можем сказать об отношении между и и между и ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Наклонная асимптота может быть только в том случае, если степень числителя на единицу больше степени знаменателя. Это означает, что должно быть равно .
Наклон асимптоты определяется отношением старших членов, что означает, что отношение к должно быть 3 к 1. Фактические числа не важны.
Наконец, поскольку значение не менее трех, мы знаем, что у нашей наклонной асимптоты нет точки пересечения.
Сообщить об ошибке
Найдите -перехват и асимптоту, если возможно.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти точку пересечения по оси Y, просто подставьте и найдите .
Y-отрезок равен 1.
Числитель , можно упростить, разложив его на два бинома.
Имеется устранимый разрыв при , но асимптот при нет, так как члены можно сокращать.
Правильный ответ:
Сообщить об ошибке
Найти -отрезки рациональной функции
.

Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
-Перехват(ы) есть корень(и) числителя рациональных функций.
В данном случае числитель .
Используя квадратичную формулу,
корни равны .
Таким образом, это -перехваты.
Сообщить об ошибке
Найдите вертикальные асимптоты следующей рациональной функции.
Возможные ответы:
Вертикальных асимптот нет.
Правильный ответ:
Объяснение:
Нахождение вертикальных асимптот рациональной функции сводится к нахождению корней знаменателя, .
Это легко проверить, используя квадратичную формулу,
что корни и, следовательно, асимптоты равны .
Сообщить об ошибке
Найдите точку пересечения оси Y и асимптоту следующей функции, если возможно.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Прежде чем мы начнем упрощать задачу, очень важно сразу определить область применения этой функции .
Знаменатель не может быть равен нулю, так как делить числа на это значение не определено. После упрощения уравнение выглядит следующим образом:
Домен есть и есть дыра, так как есть устранимый разрыв. Асимптот нет.
Поскольку невозможно подставить в исходное уравнение, пересечение по оси y также не существует.
Следовательно, правильный ответ:
Сообщить об ошибке
Какова вертикальная асимптота следующей функции?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти вертикальную асимптоту функции, мы устанавливаем знаменатель равным .
С помощью нашей функции мы завершаем этот процесс.
Знаменатель , поэтому начнем:
Сообщить об ошибке
Что такое -intercept следующей функции?
Возможные ответы:
Нет -перехвата.
Правильный ответ:
Объяснение:
Y-пересечение функции всегда находится путем замены в .
Мы можем выполнить этот процесс для нашей функции.
Сообщить об ошибке
Какая из этих функций имеет вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы вертикальная асимптота была , нам нужно, чтобы знаменатель был . Это дает нам три варианта числителей:
Если наклонная асимптота равна , мы сможем разделить наш числитель на и получить с остатком.
Деление первого дает без остатка.
Разделив последнюю, мы получим остаток.
Средний числитель даст нам то, что нам нужно, с остатком -17.
Ответ:
Сообщить об ошибке
Найдите нули и асимптоты для
.
Возможные ответы:
Нули: ; Асимптота:
Ноль: ; Асимптоты:
Ноль: ; Асимптота:
Нули: ; Асимптоты:
Ноль: ; Асимптоты:
Правильный ответ:
Ноль: ; Асимптота:
Объяснение:
Чтобы найти искомую информацию, мы должны разложить это уравнение на множители:
Это означает, что оно упрощается до .
Когда уравнение имеет форму дроби, чтобы найти ноль функции, нам нужно установить числитель равным нулю и найти переменную.
Чтобы найти асимптоту уравнения с дробью, нужно приравнять знаменатель дроби к нулю и найти переменную.
Следовательно, наше уравнение имеет ноль при -3 и асимптоту при -2.
Сообщить об ошибке
Найдите наклонную и вертикальную асимптоты для уравнения
.
Возможные ответы:
Вертикальная асимптота: ; Наклонная асимптота:
Вертикальная асимптота: ; Наклонная асимптота:
Вертикальная асимптота: ; Наклонная асимптота:
Вертикальная асимптота: ; Наклонная асимптота:
Вертикальная асимптота: ; Наклонная асимптота:
Правильный ответ:
Вертикальная асимптота: ; Наклонная асимптота:
Объяснение:
Чтобы найти вертикальную асимптоту, просто установите знаменатель равным 0:
Чтобы найти наклонную асимптоту, разделите числитель на знаменатель, но игнорируйте остаток.

Какие функции: Какие функции стоит попробовать в умных часах в первую очередь

alexxlab / 22.06.197025.07.2021 / Разное

Три главные функции денег – портал Вашифинансы.рф

Что такое деньги? Казалось бы, все знают ответ. Однако, можете ли вы дать однозначное и короткое определение этого явления? Самый верный способ понять, что человечество на самом деле вкладывает в понятие «деньги», – это описать их функции: деньги определяют меру стоимости вещей, являются средством платежа и одним из средств накопления.

Согласно Гражданскому кодексу, «рубль является законным платежным средством, обязательным к приему по нарицательной стоимости на всей территории Российской Федерации». Какие же функции выполняют деньги и что это значит?

Мера стоимости

Цены, выраженные в деньгах, позволяют нам сравнить: насколько одни товары дороже других, сколько мы можем позволить себе на те деньги, которые зарабатываем и накопили.

Если бы одни цены были обозначены, скажем, в баночках зеленого горошка, другие – в соболиных шкурках, а третьи – в яблоках, как бы мы вообще могли бы что-то оценивать?

Средство платежа

Рубль – универсальная денежная единица. Куда бы мы ни пришли в России, везде с его помощью можно расплатиться. При этом в современном мире деньги могут быть не только наличными, но и безналичными. Простейший пример последних – банковская карта. С ее помощью можно заплатить за нужный товар или услугу не только в России, но и по всему миру – рубль уже давно свободно-конвертируемая валюта.

Средство накопления

Есть крупные покупки, которые невозможно сделать на одну зарплату – например, автомобиль или жилье. Есть ситуации, когда зарабатываешь сейчас, а тратить придется потом. Один из смыслов денег – чтобы они не теряли со временем своей покупательной способности. Или хотя бы теряли не слишком быстро. С последней функцией сложнее всего. Мы живем в мире необеспеченных денег, их создает банковская система, и почти всегда это сопровождается инфляцией. Цены постепенно растут, а деньги, соответственно, обесцениваются. Впрочем, эта же система позволяет вкладывать деньги под проценты и, как минимум, защищать их от инфляции. А часто еще и зарабатывать в реальном выражении (когда ставка процента по вкладу выше инфляции). За то, чтобы рубль не терял покупательную способность слишком быстро, отвечает Центральный банк. В его распоряжении целый арсенал инструментов денежно-кредитной политики, главный из которых – процентная ставка. Подробнее об этом можно почитать в разделе ДКП на сайте ЦБ

Какие функции Skype мне подойдут? | Поддержка Skype

Какие функции Skype мне подойдут? | Поддержка Skype Вернуться к результатам поиска
Существует множество способов более эффективного использования Skype. Посмотрите описания ниже и узнайте, как оставаться на связи с друзьями и семьей, находясь в любой точке мира. Просто щелкните раздел, рассказывающий об интересной вам функции.
Бесплатные видеозвонки — это отличная возможность оставаться на связи с друзьями и семьей. Вы можете находиться в другом часовом поясе или просто уехать на неделю в командировку — Skype позволит вам легко связаться с близкими и узнать, как у них дела. Видеозвонки Skype доступны на компьютерах, планшетах и мобильных телефонах, и с их помощью вы в любое время можете лицом к лицу поговорить с важными для вас людьми.
Не всегда получается организовать совместную работу с нужными людьми в одном помещении. Иногда вы даже находитесь в разных странах. Skype — это отличный инструмент для совместной работы и обмена актуальной информацией.
Он позволяет легко отправлять и получать файлы, а если вам нужно показать коллегам, над чем вы работаете, запустите во время звонка по Skype демонстрацию экрана.
Получите дополнительные сведения и начните совместную работу

Иногда вы хотите пригласить друзей на ужин или вечеринку, но никто кроме вас не может прийти. Если у вас есть Skype, вы можете собрать своих друзей на групповой видеозвонок, где бы они сейчас ни были.

Статьи на эту тему
Дополнительные ресурсы
Была ли эта статья полезной? Да Нет
Как мы можем улучшить ее?
Важно! Не указывайте личные или идентификационные данные.
Отправить Нет, спасибо
Благодарим вас за отзыв.
https://go.skype.com/myaccount https://go.skype.com/logout
Какие функции есть в кондиционере?
Охлаждение

Безусловно, основной функцией любого современного кондиционера является охлаждение воздуха. Именно ради нее, в первую очередь, этот прибор и покупается. Ведь остальные функции такие, как нагрев или осушение воздуха может давать и другая техника, которая нередко стоит дешевле. А вот охлаждать воздух и делать это максимально экономично может только кондиционер. Такой эффект достигается за счет того, что при испарении жидкости происходит поглощение тепла. То есть тепло из воздуха забирается и отдается на улицу. Примерно по тому же принципу работает любой холодильник.
Понижать температуру воздуха в помещении таким образом можно примерно до +17 градусов по Цельсию. Если хочется, чтобы было похолоднее, то можно сесть под струю прохладного воздуха, испускаемого кондиционером – там температура ниже на 10-12 градусов. Но не стоит увлекаться, ведь на сквозняке несложно простудиться.

Нагрев

Многие модели кондиционеров могут дарить не только холод, но и тепло. Это может осуществляться двумя способами. По первому из них он работает, по сути, наоборот – то есть морозит улицу, а тепло подает в помещение. Если на улице температура выше +10 градусов по Цельсию, то обогрев будет происходить достаточно эффективно. Если же на улице мороз, то использование кондиционера в таком режиме чревато его поломкой.
Более совершенные модели используют для этих целей встроенные ТЭНы. Конечно, они способны качественно обогреть помещение, но при этом потребляют очень много электроэнергии.

Осушение

Любой современный кондиционер способен также и к осушению воздуха. Зачем это нужно? При высокой влажности становится трудно дышать, а также значительно хуже переносится жара. Вспомните, например, как вы себя чувствуете перед летней грозой: душно и жарко, пот течет ручьями, хотя небо пасмурное. При охлаждении воздуха кондиционеры понижают его влажность.

Вентиляция

При вентиляции охлаждение, нагрев или осушение не производится, а воздух из помещения циркулирует по нему. Также во многих моделях осуществляется его очистка при помощи различных фильтров.

Очищение

Немаловажная функция любого кондиционера – очищение. В воздухе постоянно присутствует различный мусор – пыль, пух, пыльца и многое другое. Чаще всего в конденсаторах применяется воздушный электростатический фильтр. Такой фильтр периодически необходимо чистить или мыть. Если этого не делать, то со временем он забьется мусором, и кондиционер перестанет холодить, то есть будет тратить энергию впустую.
Помимо стандартного входящего в комплект фильтра можно также купить фильтр тонкой очистки, который не пропускает даже самые мелкие частицы. Он изготавливается из активированного угля. В крупном городе такой фильтр подлежит обязательной замене через три месяца использования, в противном случае он становится рассадником бактерий.
Очищение воздуха – полезная и необходимая функция, но при более серьезных загрязнениях воздуха следует применять технику, специально предназначенную для очистки воздуха.

Ионизация

Согласно исследованиям многих ученых, в местах, где концентрация отрицательно заряженных частиц максимально высока, люди испытывают прилив сил и лучше себя чувствуют. Это водопады, побережья, сельская местность. В связи с этим многие модели наделены функцией ионизации воздуха.
Не стоит пренебрегать этой функцией, ведь доказано, что концентрация аэронов около водопада составляет 50 000 на кубический сантиметр, в то время как в квартире или офисе она равна лишь 50 отрицательно заряженным частицам на кубический сантиметр. Кондиционеры способны повысить эту концентрацию до 30 000.

Увеличение концентрации кислорода

С 2003 года началась продажа кондиционеров способных увеличивать концентрацию кислорода в воздухе. Такой результат достигается благодаря модуль-генератору, который физически разделяет газы – азот и кислород. Азот поглощается, а кислород возвращается обратно в помещение. Затем скопившийся азот удаляется.
Главная|Купить кондиционер|Чехов|Подольск|Серпухов|Пущино|Климовск

Какие функции применяются к набору растровых данных или к набору данных мозаики?—Справка
Относительное отражение
Корректирует значения яркости изображения (DN) для некоторых спутниковых сенсоров.
ArgStatistics
Вычисляет 4 разных функции аргумента: ArgMax, ArgMin, ArgMedian и Duration.
Арифметика
Выполняет арифметическую операцию между двумя частично или полностью пространственно перекрывающимися растрами или растром и одним или несколькими постоянными значениями.
Экспозиция
Устанавливает направление уклона максимальной скорости изменения значений от каждой ячейки до соседних с ней.
Таблица атрибутов (Attribute Table)
Определяет таблицу атрибутов, которая будет содержать символы для отображения одноканального набора данных мозаики.
Арифметика канала
Выполняет арифметическую операцию с каналами набора растровых данных.
Функция Установка бинарных порогов (Binary thresholding)
Создает выходной растр, который разделяет ваш растр на два отдельных класса.
Кэширование растра
Создает предварительно обработанный кэш набора данных в какой-либо точке последовательности функций, который затем добавляется к элементу в наборе данных мозаики.
Функция классификации
Классифицирует набор растровых данных на основе файла определения классификатора Esri (.ecd) и входных наборов растровых данных.
Лицензия:
Данная функция требует включения ArcGIS Spatial Analyst.
Вырезать
Извлекает или исключает область растра в соответствии с заданным экстентом.
Преобразование цветовой модели
Преобразовывает цветовую модель изображения, например, из HSV в красный, зеленый и синий (RGB) или наоборот.
Цветовая карта
Преобразует значения пикселов для отображения растровых данных как изображения либо в оттенках серого, либо как RGB-изображения (красный, зеленый и синий) на основе цветовой карты.
Цветовую карту в RGB
Конвертирует одноканальный растр с цветовой картой в трехканальный (красный, зеленый и синий) растр.
Сложное значение
Вычисляет значение модуля комплексного числа.
Объединить каналы
Комбинирует растры для создания многоканального растра.
Константа
Создает виртуальный растр с одним значением для всех его пикселов.
Контраст и яркость
Улучшает внешний вид растровых данных (изображений), изменяя их яркость и контрастность.
Свертка
Выполняет фильтрацию над значениями в растре, которая может использоваться для повышения резкости изображения, размывания изображения, определения ребер в пределах изображения или других усовершенствований, основанных на ядре.
Функция кривизны
Отображает форму или кривизну склона. Кривизна рассчитывается путем вычисления второй производной поверхности.
Заполнение пустот рельефа
Создает пикселы в областях, где в данных рельефа отсутствуют значения.
Извлечь канал
Изменяет порядок каналов или извлекает каналы из растра.
Геометрическая
Исправляет изображение на основе преобразования геоданных, которое предоставляется с растром. Может использоваться для ортотрансформирования растров на основе определения сенсора и модели поверхности.
Оттенки серого
Преобразует многоканальный растр в растр в оттенки серого.
Отмывка
Создает модель поверхности в оттенках серого при относительном положении солнца, учитываемом при затенении рельефа.
Идентичность
Функция по умолчанию требуется всем растрам набора данных мозаики, если нет другой функции.
Набор данных LAS в растр
Отображает данные лазерного сканирования на основе Набора данных LAS.
Данная функция не может быть добавлена вручную. Она появляется автоматически, при добавлении в набор данных мозаики типа растра Набор данных LAS.
LAS в растр
Отображает данные лазерного сканирования из файла формата LAS.
Данная функция не может быть добавлена вручную. Она появляется автоматически, при добавлении в набор данных мозаики файлов с типом растра LAS.
Локальные
Осуществляет побитовые, обусловленные, логические, математические и статистические операции расчетов на поэлементной основе.
Лицензия:
Данная функция требует включения ArcGIS Spatial Analyst.
Маска
Создает значения NoData, определяя диапазон значений пикселов. Все значения вне диапазона будут возвращаться как NoData.
Слияние растров
Создает один элемент растра из нескольких элементов (строк) в таблице атрибутов.
Функция ML Classify
Создает управляемое изображение классификации, используя файл сигнатур.
Лицензия:
Данная функция требует включения ArcGIS Spatial Analyst.
NDVI
Вычисляет значения стандартизованного индекса различий растительного покрова (NDVI), используя двухканальный растр, состоящий из красного и ближнего инфракрасного каналов.
Слияние
Улучшает пространственное разрешение многоканального изображения путем его слияния с панхроматическим изображением более высокого разрешения.
Адаптер на Python
Конвертирует ваш код Python в пользовательскую функцию растра.
Калибровка радара (Radar Calibration)
Преобразует пикселы изображения RADARSAT-2 в истинное представление данных обратного рассеивания радара.
Информация о растре
Изменяет свойства растра, такие как битовая глубина.
Функция переоценки
Динамически изменяет параметр, используемый в наборе данных мозаики или в сервисе изображений, без физического сохранения изменений в элементах.
Перекодировка (Remap)
Позволяет изменить или переклассифицировать значения пикселов растровых данных.
Перепроецирование
Изменяет проекцию и, по требованию, производит перевыборку пикселов набора растровых данных, набора данных мозаики или элемента растра в наборе данных мозаики.
Изменить разрешение
Изменяет размер ячейки и метод пересчета.
Функция сегментации методом среднего сдвига
Идентифицирует объекты или сегменты в ваших изображениях путем группировки соседних, имеющих одинаковые спектральные характеристики пикселов.
Лицензия:
Данная функция требует включения ArcGIS Spatial Analyst.
Цветная отмывка рельефа
Создает оттененный рельеф из модели рельефа и цветовой схемы.
Уклон
Вычисляет коэффициент изменений высоты для каждой ячейки ЦМР (DEM).
Спекл-структура
Сглаживает или удаляет спекл-шум на радиометрическом изображении на основе модели шума.
Спектральное преобразование
Применяет матрицу к многоканальному изображению, чтобы влиять на спектральные значения выходных данных. Может использоваться для конвертации ложного цветового изображения в псевдо цветовое изображение.
Статистика
Вычисляет фокальную статистику для каждой ячейки растра на основе заданной фокальной окрестности.
Статистика и гистограмма
Определяет статистику и гистограмма растра. Это особенно полезно, когда её добавляют в конце панели обработки таким образом, что статистика может быть использована для отображения выходных данных.
Растяжка
Улучшает внешний вид изображения путем изменения его свойств, таких как яркость, контрастность и гамма, посредством нескольких типов растяжки.
Tasseled Cap
Анализ главных компонент, который может классифицировать определенные Спектрозональные наборы данных и вычислить новые каналы, которые подходят для изучения растительности или сельского хозяйства.
Terrain в растр
Отображает данные, содержащиеся в базе геоданных в виде облака точек типа Terrain.
Данная функция не может быть добавлена вручную. Она появляется автоматически, при добавлении в набор данных мозаики типа растра Terrain.
Транспонировать биты
Распаковывает биты входного пиксела и отображает их в указанные биты выходного пиксела. Цель этой функции заключается в манипулировании битами пары наборов входных данных, таких как продуктов качественных каналов Landsat 8.
Функция Преобразование единиц измерения
Конвертирует пикселы из одних единиц измерения в другие. Она поддерживает преобразование расстояния, скорости и температуры.
Функция Векторное поле
Составляет и преобразует два растра в двухканальный растр, который имеет векторное поле либо типа Magnitude-Direction (Величина-направление), либо типа Field U-V (Компоненты U и V векторного поля).
Функция Отображения векторного поля
Определяет, как вы хотите отображать ваш растр с использованием векторных символов. Этот способ отображения часто используется для визуализации направления и величины потоков в метеорологии и океанографии.
Apple рассказала, какие функции для людей с особыми потребностями будут добавлены в следующих обновлениях операционных систем
КУПЕРТИНО, КАЛИФОРНИЯ – Сегодня компания Apple представила новые функции для людей с нарушениями моторики, зрения, слуха и когнитивных способностей. Эти технологии вновь демонстрируют приверженность Apple идее о том, что универсальный доступ — одно из базовых прав человека. На протяжении всей своей истории компания Apple стремилась к тому, чтобы её продуктами могли пользоваться все без исключения, и расширение функций универсального доступа — ещё один шаг в этом направлении.
Новые функции появятся в составе обновлений всех операционных систем Apple уже в этом году. Пользователи смогут управлять Apple Watch при помощи AssistiveTouch; iPad начнёт поддерживать сторонние устройства для отслеживания движений глаз; а VoiceOver, передовое средство звукового сопровождения интерфейса, станет ещё умнее и, задействуя встроенные средства искусственного интеллекта, сможет описывать объекты на изображениях. Также Apple планирует добавить звуковые фоны — для тех, кому трудно сосредоточиться, — и обеспечить поддержку новых двунаправленных слуховых аппаратов Made for iPhone (MFi).
Кроме того, в четверг, 20 мая, Apple запускает новый сервис — SignTime. Он позволит общаться со специалистами AppleCare и службой поддержки розничных магазинов на американском жестовом языке (ASL) в США, британском жестовом языке (BSL) в Великобритании и французском жестовом языке (LSF) во Франции, используя обычный веб-браузер. А непосредственно в Apple Store посетители смогут дистанционно пользоваться услугами сурдопереводчиков, не бронируя время заранее. Изначально сервис SignTime будет доступен только в США, Великобритании и Франции, но в дальнейшем территорию его работы планируется расширять. Контактные данные для получения дополнительной информации можно найти на странице apple.com/contact.
«В компании Apple давно уже поняли, что самые лучшие технологии должны отвечать потребностям каждого человека, и наши специалисты неизменно внедряют во все наши продукты средства универсального доступа, — говорит Сара Херлингер, старший директор Apple по глобальным политикам и инициативам в сфере универсального доступа. — Передовые технологии позволят нам ещё дальше раздвинуть границы, дать ещё большему количеству людей возможность радоваться работе с устройствами Apple — и я с нетерпением жду, когда новые функции будут выпущены».
Какие функции появились в приложении «Моя Москва» / Новости города / Сайт Москвы
В мобильном приложении «Моя Москва» появились новые возможности. Теперь пользователи могут оплатить домашний телефон МГТС, а также прочитать новости района, в котором живут. Для того чтобы воспользоваться этими функциями, нужно обновить приложение.
«Теперь пользователи приложения “Моя Москва” могут оплатить абсолютно все востребованные начисления за квартиру со смартфона: это единый платежный документ, электроэнергия и домашний телефон. Кроме этого, на главной странице приложения стали отображаться новости за текущий день о событиях или изменениях в интересных для жителя районах. Для каждого пользователя они будут определяться на основе той информации, которую он указывал о себе в приложении или на портале mos.ru», — рассказал Максим Алексашкин, заместитель руководителя Департамента информационных технологий.
Как оплатить домашний телефон
Чтобы оплатить домашний телефон, нужно добавить его номер в своем профиле в приложении, во вкладке «Адреса». Это можно сделать и в личном кабинете сайта mos.ru (сведения автоматически синхронизируются). После этого начисления будут автоматически отображаться в приложении в разделе «Мои платежи». Оплату можно произвести с помощью банковской карты и через Apple Pay.
Районные новости
Благодаря обновлению пользователи смогут прочитать новости о своем районе. Они будут помечаться специальными ярлычками — «Отрадное», «Чертаново Центральное» и так далее. В разделе будут отображаться новости, размещенные на портале mos.ru c тегом района за текущий день. Они будут подбираться автоматически исходя из информации, которую пользователь указал о себе в приложении или на портале mos.ru (данные синхронизируются автоматически). Это позволит вовремя узнавать об изменениях движения транспорта, мероприятиях в парках и других местах.
Приложение постоянно обновляется
Предыдущее обновление приложения «Моя Москва» было выпущено в конце прошлого года.
Все разделы («Главная», «Новости», «Платежи», «Услуги», «Поиск») теперь располагаются не на одном экране, а в разных блоках. Теперь можно быстро перейти в нужный блок и посмотреть только те сервисы, которые необходимы прямо сейчас.
Кроме того, появились виджеты. Благодаря им на главном экране отображаются планируемые записи к врачам, информация об эвакуации автомобиля и напоминания о передаче показаний счетчиков. Темы виджетов будут расширяться.
Пока новый интерфейс доступен только для устройств iOS. В скором времени его смогут оценить и пользователи Android.
Чем еще полезно приложение «Моя Москва»
Приложение «Моя Москва» появилось в начале 2019 года. С того времени горожане воспользовались его услугами и сервисами более 10 миллионов раз.
Через приложение можно передавать показания счетчиков воды и электричества, получать квитанции на оплату и оплачивать счета за городские услуги, просматривать и скачивать единый платежный документ, а также проверять успеваемость ребенка в школе и записываться на прием к врачам.
Что очень важно, в приложении можно записаться на ПЦР-тестирование, тестирование на антитела к COVID-19 и вакцинацию от коронавируса.
Также с помощью приложения можно консультироваться с операторами контакт-центра по работе городских сервисов, узнавать об эвакуации транспорта и проверять историю автомобиля перед покупкой.
Голосовой помощник
Сейчас разработчики тестируют голосовой помощник для приложения «Моя Москва». Пока он доступен 10 процентам пользователей с устройствами iOS, но скоро заработает для всех. Новая функция использует синтез и распознавание речи. Чтобы получить услугу или информацию, пользователям достаточно произнести вопрос. Пока голосовой ассистент может оказать помощь только по девяти вопросам: запустить процесс передачи показаний счетчиков воды и электроэнергии, показать наличие счетов за коммунальные услуги или кружки, информацию об оценках ребенка в школе, домашних заданиях, расписании уроков, проверить баланс лицевого счета «Москвенок», отменить запись к врачу.
Скачать приложение можно в App Store, App Gallery и Google Play. Его установили уже более 2,2 миллиона раз с момента начала его работы. За прошлый год число скачиваний увеличилось в десять раз.
Какие функции и задачи выполняет ЭДО
Деятельность любой фирмы, вне зависимости от ее масштаба, связана с подготовкой и переработкой значительного массива документации. Работа с информационными ресурсами компании требует правильного подхода. Эффективный документооборот – обязательный компонент эффективного управления. За счета автоматизации данного процесса можно значительно повысить управляемость хранением и движением различных типов данных в пределах предприятия. СЭД создают новое поколение систем автоматизации организаций. Целью их внедрения становится не искоренение бумаг, а формирование эффективной среды управления и функционирования фирмы.
Корректно создать, систематизировать, надежно сохранить материалы – именно эта функция СЭД считается базовой.
Что делает ЭДО
Путем внедрения СЭД на предприятии достигается решение широкого спектра целей. При этом базовыми ориентирами становятся:
Достижение лучшей управляемости фирмой. В итоге создается единое хранилище материалов и разграничение прав доступа к ним. Можно получить сведения о том, какие именно документы находятся на обработке в организации, в какие сроки это реализуется, повышается исполнительская дисциплина и пр. Можно также оперативно проконтролировать выполнение конкретных заданий. Еще один плюс – получение максимально достоверной и полной аналитической информации касательно объемов обрабатываемой документации, затраченного каждым исполнителем времени и пр.

Рост уровня качества работы фирмы. Проявляется в уменьшении времени обработки поступающих извне запросов, сокращении числа совершаемых в ходе обработки ошибок. В итоге тратится меньше времени на поиск требуемой бумаги, ее согласование, обработку, разрабатываются шаблоны документов.

Внедрение современного ПО для автоматизации процессов обработки. Здесь в приоритете четкость и прозрачность контроля доступа, рост эффективности применения данных, улучшение работы персонала и пр.

Компания получает множество выгод от успешной реализации основных функций СЭД. Повышается точность и скорость осуществляемой работы, что положительно сказывается и на лояльности клиентов. Достигается рост мобильности предприятий с позиции адаптации к внешней среде. Еще одно весомое преимущество внедрения СЭД – улучшение взаимодействия сотрудников в пределах компании.
Автоматизированный СЭД решает широкий спектр задач. Сюда можно отнести следующие:
организация систематизированного хранения документации на предприятии;

подготовка документации в соответствии с разработанными шаблонами;

классификация материалов согласно определенным критериям;

разбивка имеющихся дел на отдельные тома;

подготовка проекта документации, ее согласование;

проведение экспертизы конкретного документа;

обеспечение исполнения документов;

предохранение от несанкционированного доступа либо внесения корректировок в данные.

Это лишь часть решаемых задач электронного документооборота. Именно ради них устанавливается программный продукт. При этом на систему возлагается и реализация ряда дополнительных, в числе которых:
организация оперативного обмена данными – альтернатива e-mail и интернет-пейджерам;

мониторинг новостной ленты фирмы, изучение уже опубликованных материалов – в качестве замены веб-ресурсов;

проведение работы с органайзером, перечнем персональных поручений – альтернативная версия ежедневников.

В этом случае электронный документооборот берет на себя все то, что раньше выполняли отдельные программные продукты.
Любую юридически значимую бумагу можно передавать в цифровом формате – ограничений нет. Внедрение СЭД позволяет успешно автоматизировать ряд направлений деятельности на предприятии:
Подготовка новых распорядительных документов за счет применения интегрированного текстового редактора либо стороннего предложения. При этом используются стандартизированные шаблоны, чтобы документообеспечение фирмы носило максимально единый характер.

Формирование типовой процедуры согласования и утверждения материалов.

Цифровая рассылка документации, за счет чего в немалой степени экономятся затраты времени делопроизводителей и инициаторов создания бумаги.

Построение структурированного хранилища данных. При этом конкретную структуру можно настроить в соответствии со спецификой процесса обмена материалами на фирме. Вся информация отправляется на хранение на один сервер.

Разграничение прав доступа, что позволяет защититься от несанкционированного прочтения и использования материалов. Некоторые виды сведений могут быть открыты лишь для конкретного круга лиц, для всех прочих – скрыты.

Обеспечение прослеживаемости всего пути от момента формирования и до согласования материала.

Настраиваемый в соответствии с заданными параметрами поиск в архиве. Можно найти материал по ключевому слову или дате создания, другим характеристикам.

Многофункциональность и универсальность программного продукта делает его незаменимым на фирме, вне зависимости от ее формы собственности и направления хоздеятельности.
Классификация систем электронного документооборота
По сути ЭДО представляет собой информпоток в виде совокупности документации, представленной в цифровом формате. Система ЭДО – целый комплекс, базирующийся на смарт-технологиях. При этом работа построена на принципах одноразовой идентификации, непрерывности, множественности источников доступа к одному и тому же материалу, высокого уровня прозрачности, согласованности функционирования всех компонентов схемы.
В общем виде все системы цифрового обмена информацией делятся на типы:
С развитыми опциями workflow.

Смарт-системы.

Продукт для совместного взаимодействия нескольких участников.

С дополнительными опциями.

С развивающимися инструментами поиска и вместительными хранилищами информации.

Установка 1С-ЭДО позволит организовать работу в привычном интерфейсе. Можно обмениваться материалами с контрагентами, которые подключены к другим операторам ЭДО. На протяжении 3 месяцев возможности программы предлагается протестировать совершенно бесплатно. Астрал.ЭДО – еще один вариант организовать работу. В этом случае обмениваться материалами с контрагентами можно из любой точки земного шара. Операции осуществляются удаленно, без необходимости установки. Веб-система позволяет сразу же приступить к плодотворной работе, не затрачивая время на утомительное изучение инструкций. Подключение к Астрал.ЭДО бесплатно!
При обмене электронными сведениями для контрагентов в приоритете безопасность передаваемой информации. Им нужно быть полностью уверенным в том, что все данные будут применены по назначению. В соответствии с этим принципом выделяют следующие функции электронного документооборота:
Гарантия безопасности. Все передаваемые данные должны быть надлежащим образом защищены. При этом могут использоваться различные методы – наиболее эффективным считается ЭЦП. Право на ее применение предоставляется сертификационными центрами, прошедшими аккредитацию.

Обеспечение версионности. Каждый документ находится в системе в значительном числе тиражей и форматов.

Ускоренный поиск. Современные системы могут за считанные секунды найти любой материал – для этого надлежит знать лишь его малую часть.

Оперативное формирование уведомлений. Вспомогательные модули своевременно готовят отчеты по совершенным операциям.

Наличие маршрутизаторов, пользовательских заданий.

Обеспечение интеграции с электронной почтой. Эти инструменты позволяют без проблем осуществлять переход от внутреннего потока к внешнему.

Рациональное формирование хранилищ и баз данных. Архивы в цифровом формате встроены практически во все системы.

Организация сканирования и распознавания материалов. Таким образом бумажный документ преобразуется в электронный.

Обеспечение информподдержки на каждом из уровней работы.

Имеющийся у СЭД функционал ориентирован на развитие и улучшение организационных процессов компании. Формирование атрибутных карточек товарных позиций, сохранение образа в формате ms word, pdf, ведение журналов бумаг, классификаторов, поиск карточек материалов – это лишь часть выполняемых программой задач. Общесистемные функции СЭД охватывают возможность работать с документацией удаленно через Глобальную Сеть, организовать персональную аутентификацию пользователей, сформировать ролевую модель управления доступом, обеспечить информбезопасность на предприятии.
Функциональные возможности ЭДО
Конкретные функции электронного документооборота во многом обусловлены его типом и формой.
С учетом этого все имеющееся программные продукты могут быть разделены на:
Универсальные. Так называемые коробочные варианты. Система стандартизированного типа с ограниченным функционалом. При этом минусом является неадаптированность под специфику компании. Зато преимуществом можно назвать простоту установки и внедрения. Также это решение считается наиболее приемлемым с позиции стоимости.

СЭД индразработки. Предназначены для удовлетворения запросов конкретного клиента. Этот продукт максимально персонифицирован, в связи с чем понадобится затратить средства на переобучение персонала и покупку нужного оснащения. В итоге стоимость системы получается довольно высокой.

Комбинированные. Суть заключается в том, что на базе уже готового решения делаются индивидуальные надстройки. Благодаря внедрению данного типа продукта можно сократить расходы на разработку и введение в эксплуатацию, затраты времени на освоение и обучение персонала. Клиенту предоставляется полное право на программу.

С учетом конкретной комплектации функции СЭД позволяют автоматизировать различные сферы производственной деятельности предприятия, включая делопроизводство, архивирование, управление проектами и пр.
Примеры СЭД
Современный рынок РФ насыщен различными вариантами подобных программ. Наиболее яркими примерами электронного документооборота являются:
«Практика». С 2012 года данный вариант позиционировался Минкомсвязи в качестве основного. Охват составил порядка 4 тысяч клиентов. Именно эту систему применяют многие госучреждения Москвы и по сей день. При этом есть два варианта: серверная и облачная версии. Преимуществом является приемлемая стоимость абонплаты. За каждого дополнительного пользователя понадобится доплатить.

Director. Здесь приоритет отдан принципам коллективного взаимодействия. Достоинством является удобство схемы построения баз материалов.

«Дело». Этот пример СЭД также популярен на отечественном рынке. Именно им пользуются многие крупные компании: Сбербанк, Центробанк РФ, Ростелеком и пр.

Naumen DMS. Данный продукт разработан на базе NauDoc, однако сюда внесены многочисленные дополнения и усовершенствования.

CompanyMedia. Продукт, ориентированный на персонификацию. Эта система позволяет формировать персональные рабочие места с последующей поддержкой их функционирования.

При выборе подходящего варианта нужно учитывать параметры зрелости исходной схемы документооборота на предприятии, цели внедрения системы, имеющиеся резервы, требуемые ресурсы. Нужно понимать возможности дальнейшего развития и стоимость установки, последующего использования решения. При этом второй параметр измеряется как с позиции времени, так и денежных средств. Важно брать во внимание стоимость ПО и непосредственно владения им. Из дополнительных расходов следует выделить последующий апгрейд, переобучение персонала и пр. Многие современные продукты поддерживают мобильные устройства и могут быть интегрированы с уже существующими информплатформами компании.
Все описанные примеры систем электронного документооборота в полной мере отвечают законодательным и нормативно-методическим требованиям. При этом большинство из них включено в реестр отечественного софта, что делает их рекомендованным для применения в госведомствах и организациях РФ.
кусочных функций
Функция может быть в частях
Мы можем создавать функции, которые ведут себя по-разному в зависимости от значения input (x).
Функция из 3 частей
Пример:
, когда x меньше 2, дает x ² ,
, когда x равно 2, дает 6
, когда x больше 2, но меньше или равно 6, получается строка 10-x
Это выглядит так:
(сплошная точка означает «включая»,
открытая точка означает «не включая»)
А вот как мы это пишем:
Домен (все значения, которые могут входить в функцию) — это все действительные числа до 6 включительно, которые мы можем записать так:
Dom (f) = (-∞, 6] (с использованием обозначения интервалов)
Dom (f) = {x | x ≤ 6} (с использованием нотации Set Builder)
А вот несколько примеров значений:
х Я
−4 16
-2 4
0 0
1 1
2 6
3 7
Пример: вот еще одна кусочная функция:
который выглядит так:
Что такое ч (-1)?
x ≤ 1, поэтому мы используем h (x) = 2, поэтому h (−1) = 2
Что такое h (1)?
x ≤ 1, поэтому мы используем h (x) = 2, поэтому h (1) = 2
Что такое h (4)?
x> 1, поэтому мы используем h (x) = x, поэтому h (4) = 4
Кусочные функции позволяют создавать функции, которые делают все, что мы хотим!
Пример: Гонорар врача зависит от продолжительности времени.
До 6 минут стоит 50 долларов
От 6 до 15 минут стоит 80 долларов
Более 15 минут стоит 80 долларов плюс 5 долларов за минуту свыше 15 минут
Что мы можем написать так:
Вы приходите на 12 минут, сколько стоит? $ 80
Вы приходите на 20 минут, сколько стоит? 80 долларов США + 5 долларов США (20-15) = 105 9000 долларов США 5
Функция абсолютного значения
Функция абсолютного значения — известная кусочная функция.
состоит из двух частей:
ниже нуля: -x
, начиная с 0: x
f (x) = | x |
Функция этажа
Функция Floor — это особая кусочная функция. В нем бесконечное количество штук:
Функция этажа
Инъективный, сюръективный и биективный
«Инъективный, сюръективный и биективный» рассказывает нам о том, как ведет себя функция.
Функция — это способ сопоставления элементов набора «A» от до набора «B»:

Давайте посмотрим на это более внимательно:
A Общая функция баллов от каждого члена «A» к члену «B».
Это никогда не имеет один «A», указывающий на более чем один «B», поэтому «один ко многим» не подходит в функции (например, «f (x) = 7 или 9 «не допускается)
Но несколько «A» могут указывать на одну и ту же «B» ( «многие к одному» — это нормально )
Injective означает, что у нас не будет двух или более «A», указывающих на одну и ту же «B».
Итак, «многие-к-одному» НЕЛЬЗЯ (что подходит для общей функции).
Так как это тоже функция «один ко многим» не работает
Но у нас может быть «Б» без соответствия «А»
Injective также называется « One-to-One »
Сюръективный означает, что каждый «B» имеет как минимум один , соответствующий «A» (может быть, более одного).
Не останется «B».
Биективный означает одновременно и инъективный, и сюръективный.
Думайте об этом как об «идеальном сочетании» между наборами: у каждого есть партнер, и никто не остается в стороне.
Итак, существует идеальное « взаимно однозначное соответствие » между элементами множеств.
(Но не путайте это с термином «один к одному», который означает инъективный).
Биективные функции имеют инверсию !
Если каждый «A» переходит в уникальный «B», и каждый «B» имеет соответствующий «A», то мы можем двигаться вперед и назад, не сбиваясь с пути.
Подробнее см. Обратные функции.
На графике
Итак, давайте посмотрим на несколько примеров, чтобы понять, что происходит.
Когда A и B являются подмножествами вещественных чисел, мы можем построить график взаимосвязи.
Пусть у нас будет A, по оси x и B по оси y, и посмотрим на наш первый пример:
Это , а не функция , потому что у нас есть A с множеством B . Это как сказать f (x) = 2 или 4
Он не прошел «Тест вертикальной линии» и поэтому не является функцией.Но это все еще действительные отношения, так что не сердитесь на это.
Теперь общая функция может быть такой:

A Общая функция
Он МОЖЕТ (возможно) иметь B с множеством A . Например, синус, косинус и т.д. Совершенно правильные функции.
Но « Injective Function » строже и выглядит так:

«Инъективный» (индивидуально)
Фактически мы можем провести «Тест горизонтальной линии»:
Чтобы быть Injective , горизонтальная линия никогда не должна пересекать кривую в 2 или более точках.
(Примечание: строго возрастающие (и строго убывающие) функции являются инъективными, вы можете прочитать о них для получения более подробной информации)
Итак:
Если он проходит тест вертикальной линии , это функция
Если он также проходит тест горизонтальной линии , это инъективная функция
Формальные определения
Хорошо, ждите, чтобы узнать обо всем этом подробнее:
Впрыск
Функция f является инъективной тогда и только тогда, когда всякий раз, когда f (x) = f (y) , x = y .
Пример: f ( x ) = x + 5 из набора действительных чисел в является инъективной функцией.
Верно ли, что всякий раз, когда f (x) = f (y) , x = y ?
Представьте, что x = 3, тогда:
Теперь я говорю, что f (y) = 8, каково значение y? Может быть только 3, поэтому x = y

Пример: f ( x ) = x ² от набора действительных чисел до , а не инъективная функция из-за такого рода вещей:
Это противоречит определению f (x) = f (y) , x = y , потому что f (2) = f (-2), но 2 ≠ -2
Другими словами, есть два значения A , которые указывают на одно B .
НО если бы мы сделали его из набора натуральных числа к тогда это инъективно, потому что:
f ( 2 ) = 4
нет f (-2), потому что -2 не является естественным номер
Значит домен и codomain каждого набора важны!
Сюръективное (также называется «Онто»)
Функция f (из набора A до B ) является сюръективным тогда и только тогда, когда для каждого y в B , есть хотя бы один x в A такой, что f ( x ) = y , другими словами f является сюръективным если и только если f (A) = B .
Проще говоря: у каждого B есть несколько A.
Пример: Функция f ( x ) = 2x из набора натуральных числа к набору неотрицательных , даже чисел — это сюръективная функция .
А f ( x ) = 2x из набора натуральных числа в не сюръективный , потому что, например, ни один член в не может быть сопоставлен с 3 с помощью этой функции.
Биективный
Функция f (из набора A до B ) является биективным , если для каждого y в B существует ровно один x дюйм A такой, что f ( x ) = y
В качестве альтернативы, f является биективным, если это взаимно однозначное соответствие между этими наборами, другими словами, инъективное и сюръективное.
Пример: Функция f ( x ) = x ² из множества положительных вещественных числа в положительные реальные числа одновременно инъективны и сюръективны. Таким образом, это также биективный .
Но одна и та же функция из набора всех действительных чисел не является биективной, потому что мы могли бы иметь, например, оба
Определение функции Merriam-Webster
функция | \ ˈFəŋ (k) -shən \ 1 : профессиональная или служебная должность : профессия Его работа совмещает в себе функции менеджера и рабочего.2 : действие, для которого человек или вещь специально приспособлены или использованы или для которых вещь существует : цель
3 : любое действие из группы связанных действий, способствующих более крупному действию. особенно : нормальный и особый вклад части тела в экономику живого организма. Функция сердца — перекачивать кровь по телу.
4 : официальная или формальная церемония или общественное мероприятие. Они пошли на несколько мероприятий во время уик-энда, посвященного воссоединению колледжа.
5а : математическое соответствие, которое присваивает ровно один элемент одного набора каждому элементу того же или другого набора.
б : переменная (например, качество, характеристика или измерение), которая зависит от другого рост зависит от возраста также : результат болезни, вызванные стрессом 6 : Характерное поведение химического соединения, обусловленное определенным реактивным элементом. также : функциональная группа 7 : компьютерная подпрограмма. конкретно : тот, который выполняет вычисления с переменными (см. Запись переменной 2, смысл 1a), предоставленными программой, и предоставляет программе единственный результат функционировал; функционирование \ ˈFəŋ (k) — ш (ə-) niŋ \
непереходный глагол
1 : для использования функции : атрибутивное существительное функционирует как прилагательное 2 : выполнять функцию или действовать : работать
3.1 Что такое функции?
Функции — это то, что мы используем для математического описания вещей, о которых хотим поговорить. Однако я обнаружил, что получаю прикусив язык, когда я пытаюсь дать им определение.
Самое простое определение: функция — это набор упорядоченных пар вещей (в нашем случае вещи будут числами, но могут быть иначе), с тем свойством, что все первые члены пар являются отличаются друг от друга.
Итак, вот пример функции:
\ [[\ {1, 1 \}, \ {2, 1 \}, \ {3, 2 \}] \]
Эта функция состоит из трех пар, первыми членами которых являются \ (1, 2 \) и \ (3 \).
Принято давать имена функциям, например \ (f, g \) или \ (h \), и если мы вызываем эту функцию \ (f \), мы обычно используют следующие обозначения для его описания:
\ [f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 2 \]
Первые члены пар называются аргументами , а весь их набор называется домен функции.Таким образом, аргументами \ (f \) здесь являются \ (1, 2 \) и \ (3 \), а множество состоящий из этих трех чисел, является его доменом.
Вторые члены пар называются значениями функций, и их набор вызвал диапазон функции.
Стандартная терминология для описания этой функции f:
Значение \ (f \) в аргументе \ (1 \) равно \ (1 \), его значение в аргументе \ (2 \) равно \ (1 \), а его значение в аргументе \ (3 \) — это \ (2 \), которое мы записываем как \ (f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 2 \).
Обычно мы думаем о функции как о наборе присвоений значений (вторые члены наших пар) аргументам. (их первые участники).
Условие, что первые члены пар все разные, — это условие, что каждый аргумент в домену \ (f \) присваивается уникальное значение в его диапазоне любой функцией.
Упражнение 3.1 Рассмотрим функцию \ (g \), заданную парами \ ((1, 1), (2, 5), (3, 1) \) и \ ((4, 2) \).Что это за домен? Каково значение \ (g \) при аргументе \ (3 \)? Что такое \ (g (4) \)?
Если вы засунете термометр в рот, вы сможете измерить свою температуру в определенный момент времени. Ты можешь определите функцию \ (T \) или температуру, которая присваивает измеряемую вами температуру времени, в которое вы выньте термометр изо рта. Это типичная функция. Его аргументы — время измерения и его значения — температуры.
Конечно, у вас во рту есть температура, даже если вы ее не измеряете, и она имеет температуру в каждый момент времени. а таких моментов бесконечное количество.
Это означает, что если вы хотите описать функцию \ (T \), значение которой в любой момент времени t является температурами в вашем в то время вы не можете перечислить все его пары. Есть бесконечное количество возможных аргументов \ (t \), и вам потребуется вечность, чтобы перечислить их.
Вместо этого, , мы используем трюк для описания функции \ (f \): мы обычно предоставляем правило, которое позволяет вам, читатель, выбрать любой аргумент, который вам нравится в домене \ (f \), и, используя правило, вычислить значение вашей функции в этом аргументе. Это правило часто называют формулой для функция. Символ \ (x \) часто используется для обозначения аргумента, который вы выберете, а формула говорит вам, как для вычисления функции по этому аргументу.
Самая простая функция из всех, иногда называемая функцией идентичности, — та, которая назначает как значение самого аргумента. Если обозначить эту функцию как \ (f \), она подчиняется
\ [е (х) = х \]
для \ (x \) в любой области, которую мы для него выберем. Другими словами, оба члена его пары одинаковы везде, где вы решите определить его.
Мы можем получить более сложные функции, задав более сложные правила (эти правила часто называют формулами как мы уже отметили).2 + 7x — 1 \]
Они представляют, соответственно, \ (3 \) умноженное на \ (x \), \ (x \) в квадрате, \ (x \) в квадрате минус \ (1 \), \ (3 \), разделенное на \ (x \), \ (x \) в кубе, \ (x \), деленное на сумму квадрата \ (x \) и \ (1 \), и так далее.
Мы можем построить функции, используя операции сложения, вычитания, умножения и деление на копии \ (x \) и чисел любым способом, который мы сочтем подходящим для этого.
У функций, которые мы создаем таким образом, есть две очень приятные особенности, и первая применима ко всем функции.
Мы можем нарисовать изображение функции, называемое ее графиком , , на миллиметровой бумаге или на графике. электронную таблицу, диаграмму или графический калькулятор. Мы можем сделать это, взяв пары аргумент-значение функции и описывая каждую точку на плоскости, с координатой \ (x \), заданной аргументом, и координатой y дается значением для его пары.
Конечно, невозможно построить все пары функции, имеющей бесконечную область определения, но мы можем получить довольно хорошее представление о том, как выглядит его график, взяв, возможно, сотню равномерно расположенных точек в любом интервале нас интересуют.Это звучит невероятно утомительно, и раньше это было так, но теперь это не так. В электронной таблице основная задача состоит в том, чтобы ввести функцию один раз (с ее аргументом, заданным адрес другого места). Это и некоторое копирование — это все, что вам нужно сделать, и с практикой это можно сделать. за \ (30 \) секунд для очень широкого набора функций.
Вторая приятная особенность заключается в том, что мы можем ввести любую функцию , образованную сложением, вычитанием, умножение, деление и выполнение еще одной операции над содержимым некоторого адреса очень легко с помощью электронной таблицы или графического калькулятора.Мало того, в этих устройствах есть и другие встроенные функции, которые мы тоже можем использовать.
Два из этих фактов означают, что мы действительно можем посмотреть на любую функцию, образованную сложением вычитания, умножения или разделение копий функции идентичности \ (x \) и других встроенных функций и любого числа, которое мы хотим, и увидим как они себя ведут, с очень ограниченными усилиями.
Вскоре мы увидим, что можем использовать ту же процедуру, что и для построения графиков функций, для построения графиков их производных (мы еще не определили их), но это забегает вперед.2 + 3 \) при \ (х = 5 \)? По аргументу \ (10 \)?
Не могли бы вы привести несколько примеров?
Часть 5. Функции Интернета: как мужчины и женщины используют его в качестве инструмента для общения, совершения сделок, получения информации и развлечения.
Введение
Интернет-проект Pew изучил, как люди используют Интернет по четырем основным направлениям: для общения, для сбора информации, для ведения личного и профессионального бизнеса и для развлечения.
1. Связь
Мужчины и женщины по-разному общаются в сети.
В принципе, пользователи Интернета высоко ценят Интернет как средство общения; 85% мужчин и женщин говорят, что они считают Интернет хорошим способом взаимодействия или общения с другими людьми в повседневной жизни. Но на этом сходство заканчивается. Мужчины и женщины различаются способами онлайн-общения, тем, о чем они говорят, и тем, насколько они ценят свое онлайн-общение.
Женщины более прожорливы в общении в Интернете.
За последние 5 лет мы опрашивали пользователей о различных формах онлайн-коммуникаций, как с помощью наших регулярных опросов, так и с помощью разовых модулей по коммуникациям по таким разнообразным темам, как здравоохранение, гражданская и общественная жизнь и электронная почта на рабочем месте. .
Женщины всегда несколько чаще, чем мужчины, использовали электронную почту и отправляли открытки, поздравления и приглашения, и опережают мужчин в обмене мгновенными сообщениями и текстовыми сообщениями на сотовых телефонах.Мужчины чаще общаются в Интернете в чатах или дискуссионных группах, а также посредством голосовых вызовов по Интернет-протоколу или VOIP.
Электронная почта для всех.
Электронная почта всегда была самым популярным приложением в Интернете. Более 90% пользователей Интернета отправляют и получают электронную почту. С тех пор, как мы начали отслеживать использование электронной почты в 2000 году, количество мужчин и женщин, использующих электронную почту, было примерно равным, причем женщины иногда немного опережали. Кроме того, в среднем за день к электронной почте будет обращаться примерно одинаковое количество мужчин и женщин.Что касается объема в обычный день, мужчины и женщины также говорят, что они получают примерно одинаковое количество электронных писем как на свои рабочие, так и на личные аккаунты. Но что входит в эти электронные письма и оценивается приложение по-разному для мужчин и женщин.
Женщины делают больше с помощью личной электронной почты.
В марте 2001 г. мы спросили пользователей о привычках общения с их наиболее частыми корреспондентами по электронной почте. Женщины переписывались по электронной почте на самые разные темы как с друзьями, так и с семьей. Они с большей вероятностью переписывались с любимым членом семьи по поводу встречи; поделиться интересными новостями неличного или личного характера; чтобы обсудить заботы, а также информацию о работе или другой деятельности; и пересылать анекдоты или юмористические рассказы.
Время от времени мы спрашивали об переписке с семьей по другим причинам. В ноябре 2002 года значительно больше женщин, чем мужчин, сообщили, что писали по электронной почте родственникам по поводу здоровья или медицинских проблем. В марте 2003 года значительно больше женщин, чем мужчин, заявили, что писали родственникам по электронной почте о вероятности предстоящей войны в Ираке. Сразу после событий 11 сентября 2001 года больше женщин, чем мужчин заявили, что они писали родственникам по электронной почте новости о террористических атаках и их последствиях.
С любимым другом картина была примерно такой же: женщины больше, чем мужчины, писали по электронной почте, чтобы собраться вместе, обсудить заботы, передать личные новости и информацию о работе или других занятиях.В двух случаях мужчины с большей вероятностью переписывались по электронной почте на темы с любимым другом: чтобы поделиться интересными новостями не личного характера и переслать шутки или юмористические рассказы.
Время от времени мы также спрашивали пользователей об переписке с друзьями на различные темы. В ноябре 2002 года значительно больше женщин, чем мужчин, сообщили, что писали друзьям по электронной почте о здоровье или медицинских проблемах. В марте 2003 года женщины чаще, чем мужчины, писали друзьям по электронной почте о возможности предстоящей войны в Ираке.Сразу после событий 11 сентября 2001 года больше женщин, чем мужчин, сообщили, что писали друзьям по электронной почте о террористических атаках.
Для женщин переписка с друзьями и семьей более полезна и ценна, чем для мужчин.
Где пригодится электронная почта
В ноябре 2001 года значительно больше женщин, чем мужчин, заявили, что общение с семьей по электронной почте им очень полезно. Немного больше женщин, чем мужчин, сказали, что это верно и в отношении друзей.
Из наиболее важных причин, по которым они выбирают электронную почту для семьи, и мужчины, и женщины называют удобство, 30% для мужчин и 27% для женщин, и скорость, 29% для мужчин и 30% для женщин.Больше женщин (19%), чем мужчин (12%), считают, что электронная почта стоит недорого. И 12% мужчин и женщин считают полезным прикреплять к электронным письмам изображения или документы.
И мужчины, и женщины говорят, что самой важной причиной, по которой они выбирают электронную почту друзьям, является также удобство, по 39% для мужчин и женщин. Далее следует скорость, 31% для мужчин, по сравнению с 30% для женщин, и что это дешевле, 14% для женщин и 8% для мужчин, и что они могут прикреплять фотографии или документы, 11% для мужчин и 9%. для женщин.
Где важна электронная почта
Мы спросили о некоторых более мягких критериях оценки ценности электронной почты. В марте 2001 года больше женщин (43%), чем мужчин (33%), заявили, что общение по электронной почте улучшило отношения с членами их семей. Больше женщин, чем мужчин заявили, что электронная почта сделала их ближе к своей семье, и что они больше узнали о своей семье с помощью электронной почты.
Что касается своих друзей, то около 49% женщин говорят, что это улучшило отношения с друзьями по сравнению с 39% мужчин.Больше женщин, чем мужчин, говорят, что электронная почта приблизила их к своим друзьям и что они больше узнают о друзьях, используя электронную почту.
В ноябре 2001 года значительно больше женщин, 52%, чем мужчин 45%, заявили, что они часто скучали по электронной почте, если бы они больше не могли ею пользоваться.
Женщины считают электронную почту на работе более эффективной и ценной, чем мужчины.
В мае 2002 года мы задали пользователям ряд вопросов, чтобы сравнить электронную почту с телефоном или личным контактом для решения различных задач на работе.Больше женщин, чем мужчин, назвали электронную почту наиболее эффективным способом решения любой интересующей нас рабочей ситуации: для записи на прием; редактировать или просматривать документы; задавать вопросы по рабочим вопросам; и решать проблемы с руководителями. Женщины также чаще, чем мужчины, считали электронную почту положительной силой на рабочем месте. Больше женщин, чем мужчин заявили, что электронная почта улучшает командную работу на рабочем месте; расширяет круг коллег по работе; делает их более доступными для коллег; помогает им быть в курсе событий на работе; обеспечивает моменты освобождения от работы; экономит время; и освобождает их от привязанности к офису.
Женщины реже мужчин упоминали о негативных последствиях электронной почты. Женщины реже говорили, что электронная почта делает их слишком доступными для посторонних и делает их слишком доступными для других сотрудников компании. Мужчины и женщины в равной степени склонны рассматривать электронную почту на работе как источник стресса, сплетен, недопонимания и говорить, что они не могут от нее избавиться. В целом, больше женщин (20%), чем мужчин (15%), высоко оценивают электронную почту на рабочем месте, говоря, что они «не могут жить без нее.”
Мужчины используют Интернет чаще, чем женщины, чтобы общаться и обсуждать проблемы с группами по интересам.
В феврале 2001 года мы обнаружили, что 84% пользователей Интернета принадлежали к какой-либо онлайн-группе или организации, и что многие из них присоединились к этим группам после того, как они получили доступ в Интернет. В этом опросе были выявлены некоторые различия между мужчинами и женщинами и типами групп, к которым они принадлежали. Все больше мужчин заявили, что они заходили в Интернет, чтобы общаться или получать информацию от различных групп с особыми интересами: торговых и профессиональных групп; хобби или группы по интересам; группы болельщиков для спортивной или спортивной команды; группы спортивной команды, в которой они участвуют; группы образа жизни; группы для тех, кто разделяет личные убеждения; и политические группы.По ряду других групп мужчины и женщины ответили одинаково: группы фанатов развлечений; местные или общественные группы; религиозные, культурные или этнические группы; и профсоюзы. Все больше женщин заявили, что обращались в группы поддержки в медицинских или личных ситуациях.
На вопрос о группе с особыми интересами, с которой они общаются чаще всего, почти равное количество мужчин, 63%, и женщин, 57%, ответили, что используют электронную почту. Кроме того, значительно больше мужчин (65%), чем женщин (53%), сказали, что они читают или размещают сообщения в списках или досках объявлений специальной группы.
Использование электронной почты для групп с особыми интересами важно как для мужчин, так и для женщин, поскольку они позволяют получать важные новости и информацию. Значительно больше мужчин, чем женщин, думают, что обсуждение вопросов — важная причина для переписки с этими группами с особыми интересами. Женщины чаще, чем мужчины, говорят, что для них важно поддерживать или строить личные отношения между членами группы.
2. Сделки
Мужчины совершают больше онлайн-транзакций, чем женщины, в том числе с менее предсказуемыми или контролируемыми результатами.
В своей повседневной жизни 75% пользователей Интернета считают, что Интернет предлагает им хороший способ ведения повседневных дел, таких как банковское дело или покупка билетов, хотя 78% мужчин говорят об этом значительно чаще, чем женщины. , на 71%.
За последние пять лет Интернет-проект Pew отслеживал участие пользователей в более чем дюжине видов онлайн-транзакций. Мужчины и женщины примерно с одинаковой вероятностью заходят в Интернет для многих из этих целей: для покупки продуктов, а также повседневных товаров, таких как бакалея, еда, предметы домашнего обихода и рецепты; для организации поездки или покупки билетов; делать свои банковские операции; и делать пожертвования на благотворительность.
Мужчины гораздо чаще оплачивают счета в Интернете и за контент в Интернете. Они также с большей вероятностью будут проводить больше онлайн-транзакций с менее предсказуемыми результатами: торги на аукционах и торговля акциями, облигациями или паевыми фондами. Очень небольшое и равное количество мужчин и женщин также делают заказы по нежелательной электронной почте и играют в азартные игры онлайн.
Мужчины и женщины разделяют растущий энтузиазм в отношении совершения транзакций в Интернете.
Возможность совершать различные виды транзакций в Интернете была одной из самых привлекательных сторон Интернета за последние несколько лет.Показатели участия в некоторых транзакционных операциях, которые регулярно отслеживает интернет-проект Pew, превзошли показатели участия в других онлайн-функциях, включая общение, получение информации и развлечения.
Участие в онлайн-банкинге выросло с 17% в 2000 году до 41% в 2005 году; количество заказов на поездки в Интернете выросло с одной трети в 2000 году до почти двух третей в 2004 году; в покупке таких товаров, как книги, музыка, игрушки и одежда, с 48% в 2000 году до 67% в 2004 году; на онлайн-аукционах с 15% в 2000 г. до 24% в 2005 г., в том числе для мужчин с 19% до 30% и для женщин с 11% до 18%.
Некоторые операции с онлайн-транзакциями не достигли такого резкого роста. В марте 2000 года 16% мужчин и 9% женщин купили или продали акции. К ноябрю 2004 года доля мужчин выросла до 20%, а доля женщин упала до 6%.
Мужчины и женщины любят онлайн-транзакции в основном по одним и тем же причинам, с удобством и скоростью.
Интернет-проект Pew опросил интернет-пользователей о причинах, по которым они ценят три онлайн-транзакции: банковское дело, покупки и покупку рецептов.
Мужчины и женщины разделяют большинство причин, по которым они ценят онлайн-банкинг. Около трех четвертей мужчин и женщин заявили, что ценят удобство и экономию времени. Многие также заявили, что ценят конфиденциальность онлайн-банкинга и доступ к такому количеству информации и такому количеству услуг в Интернете. Мужчины и женщины существенно различались только в одном элементе: больше женщин, чем мужчин, заявили, что ценят онлайн-банкинг за экономию средств.
При совершении покупок в Интернете и мужчины, и женщины считают удобство и экономию времени основными причинами, по которым им нравится делать покупки в Интернете.Кроме того, больше мужчин, чем женщин, ценят экономию средств, и больше женщин, чем мужчин, ценят возможность найти необычные подарки.
И, наконец, в июне 2004 года и мужчины, и женщины назвали удобство и экономию времени и денег очень важными причинами для покупки рецептурных лекарств в Интернете, хотя общее количество пользователей Интернета, купивших наркотики в Интернете, остается очень низким, около 4%.
3. Получение информации
Все пользователи Интернета высоко ценят Интернет как источник информации, но мужчины ищут в Интернете более широкий спектр информации, чем женщины.
Почти все пользователи Интернета, 91%, согласны с тем, что Интернет является хорошим источником информации для повседневных интересов, таких как новости, прогнозы погоды и спортивные результаты. Около 80% мужчин и женщин также ожидают найти в Интернете информацию по более специализированным темам, связанным с государственными проблемами, а также по вопросам здоровья или медицины. Это же число заявило, что ожидает найти информацию о конкретных продуктах, которые они хотят приобрести, хотя среди них больше мужчин (82%), чем женщин (77%). Около трети интернет-пользователей говорят, что надеются найти в Интернете надежную информацию о людях.
Начиная с 2000 года мы спрашивали пользователей, какую информацию они ищут в Интернете. Мужчины и женщины с одинаковой вероятностью будут получать информацию о поездках и искать номера телефонов и адреса. Они также ищут информацию о правительстве, о колледжах, работе и местах проживания.
Значительно больше мужчин, чем женщин, выходят в Интернет, чтобы получить новости и финансовую информацию, узнать погоду и посмотреть спортивные результаты. Мужчины также изучают продукты и услуги, а также исследуют свою работу.Они ищут дополнительную информацию с практическими рекомендациями.
Все больше женщин ищут информацию о здоровье и медицине, карты и инструкции по вождению, а также информацию о религии.
В чрезвычайных ситуациях все больше мужчин используют Интернет, чтобы сосредоточиться на информации, и больше женщин, чтобы сосредоточиться на людях.
Интернет-проект Pew подробно рассмотрел несколько необычных случаев, когда пользователи могли выходить в Интернет за информацией. Осенью 2001 года мы спрашивали пользователей, какие сайты они посещали после событий 11 сентября.Значительно больше мужчин посетили большее количество различных типов веб-сайтов, которые могли бы служить источниками информации, включая сайты СМИ, бизнес-сайты, правительственные или военные сайты, международные сайты, политические сайты, дискуссионные группы и порталы. Мужчины и женщины с одинаковой вероятностью посещали личные веб-сайты, сайты благотворительных организаций, религиозных групп, а также групп по интересам или защиты интересов.
В том же опросе мы спрашивали пользователей, как Интернет помог в событиях 11 сентября.Больше мужчин, 30%, чем женщин, 25%, заявили, что Интернет помог им больше узнать о происходящем, в то время как больше женщин, 56%, чем мужчин, 50%, сказали, что он помог им найти людей, в которых они нуждаются. достигать. Эти различия статистически значимы.
У мужчин и женщин схожие привычки поиска информации.
В сентябре 2005 года около 90% мужчин и женщин использовали поисковые системы для поиска информации. История использования поисковых систем у женщин более изменчива, чем у мужчин.В июне 2003 года поисковыми системами пользовались 88% женщин; он упал до 79% в июне 2004 года и снова вырос до 91% в сентябре 2005 года. Уровень потребления мужчинами остается стабильным на уровне около 90%.
Рост использования поисковых систем в среднем за день, примерно с 35% для мужчин и 25% для женщин в июне 2003 г. и июне 2004 г., резко увеличился в обоих случаях в сентябре 2005 г. до 43% для мужчин и 39% для женщин. Это совпадает с недавним ажиотажем в отношении основных поисковых систем, в том числе резко увеличивающимся объемом доступного для поиска контента, IPO и широко известной конкуренцией между ними.
Поисковые системы — это лишь один из способов найти информацию в Интернете. В качестве альтернативы пользователи могут вернуться на знакомые веб-сайты или перейти по рекомендованным ссылкам. Интернет-проект Pew более внимательно изучил стратегии пользователей для трех конкретных видов информационного поиска: по вопросам здоровья и медицины, по государственным вопросам и по вопросам религии.
Мужчины и женщины используют схожие стратегии при запуске своих поисков. Большинство пользователей, которые ищут информацию о здоровье или государственных проблемах, начнут с поисковых систем или порталов.Например, когда их спросили о последних поисках информации о здоровье, 85% мужчин и 78% женщин ответили, что они сначала заходили в поисковые системы или на обычные порталы, которые включали поисковые системы. Точно так же, когда их спросили о том, когда они в последний раз искали правительственную информацию или услуги, 48% мужчин и 51% женщин начинали с поисковых машин или порталов. Затем, в качестве дополнительной стратегии, 29% мужчин и 28% женщин перешли на сайты, которые они уже использовали. При поиске религиозной информации и мужчины, 44%, и женщины, 49%, чаще всего начинали поиск на знакомых религиозных веб-сайтах.Оба обратились к поисковым системам или обычным порталам в качестве второго средства; 37% мужчин и 35% женщин.
Женщины обрабатывают меньше информации в Интернете, но больше чувствуют ее избыток.
Хотя мужчины собирают и потребляют больше информации в Интернете, женщин, похоже, больше ошеломляет объем информации вокруг них. В октябре 2002 года мы спросили пользователей об их ощущении информационной перегрузки в контексте растущих объемов легко доступной информации с телевидения, газет, сетевых информационных служб, журналов и т. Д.Хотя большинство пользователей, в том числе 65% женщин и 70% мужчин, заявили, что им нравится много информации, значительно больше женщин (24%), чем мужчин (19%), чувствовали себя перегруженными этим.
4. Развлечения
Мужчины участвуют в большем количестве онлайн-развлечений, чем женщины.
Чуть более двух третей пользователей считают, что Интернет — хорошее место для развлечения или личного удовольствия, в том числе значительно больше мужчин (72%), чем женщин (66%).
На протяжении многих лет Интернет-проект Pew спрашивал интернет-пользователей о том, чем они занимаются в Интернете для развлечения, отдыха и развлечения.Мужчины и женщины в равной степени участвуют примерно в половине опрошенных нами мероприятий, но мужчины чаще, чем женщины, участвуют в остальных мероприятиях.
В категории легких развлечений около двух третей мужчин и женщин просматривают веб-страницы для развлечения. Что касается хобби, то чуть больше мужчин, чем женщин, выходят в Интернет в поисках информации о своих увлечениях, и многие другие действительно преследуют свои особые интересы в Интернете. Мужчины также более серьезно, чем женщины, участвуют в лигах спортивного фэнтези. Небольшое, но равное количество мужчин и женщин заявили, что они зашли в Интернет, чтобы сыграть в лотерею или азартные игры.
Мы время от времени спрашивали пользователей о посещении веб-сайтов для взрослых. Общий уровень участия остался постоянным, примерно от 13% до 15%. Традиционно положительно на этот вопрос ответили в 3-5 раз больше мужчин, чем женщин.
Мужчины недавно сократили разрыв с женщинами в онлайн-играх. Женщины традиционно опережали мужчин по этим показателям; еще в ноябре 2004 г. значительно больше женщин (44%), чем мужчин (34%), заявили, что играли в онлайн-игры.В том же опросе примерно равное количество мужчин и женщин заявили, что скачивали такие игры, чтобы играть в онлайн.
Среди более серьезных занятий значительно больше мужчин, чем женщин, заявили, что они читают в Интернете для удовольствия и посещают онлайн-курсы для личного удовольствия или обогащения.
Мужчины больше смотрят и слушают онлайн
Мы разными способами спрашивали об онлайн-аудио и видео деятельности. В целом, мужчины с большим энтузиазмом, чем женщины, используют Интернет как своего рода развлекательный центр для просмотра и прослушивания.
Чуть более половины как онлайн-мужчин, так и женщин смотрели видеоклипы или слушали аудиоклипы онлайн, и это число медленно, но неуклонно росло за последние 5 лет, при этом женщины сокращают ранее существовавший разрыв.
Около трети пользователей Интернета, в том числе значительно больше мужчин, чем женщин, слушали музыку в Интернете на таких сайтах, как радиостанции, музыкальные магазины, музыкальные исполнители или музыкальные службы. Примерно такое же количество людей слушало прямые или записанные трансляции таких шоу, как выпуски новостей, спортивные события или радиошоу.
Мы также спросили о загружаемых развлечениях. Около четверти пользователей загрузили музыкальные файлы для последующего использования в любое время, в том числе значительно больше мужчин, чем женщин. Это число выросло до почти трети пользователей Интернета в конце 2002 и первой половине 2003 года, когда иски против незаконного обмена файлами, поданные Ассоциацией звукозаписывающей индустрии Америки, побудили многих пользователей Интернета прекратить скачивать музыку. В июне 2003 г. общее количество составляло 30%. К ноябрю 2003 года уровень участия упал до 14%.С тех пор это число выросло до нынешних 25% в мае 2005 года. Мужчины всегда опережали женщин в загрузке.
Значительно больше мужчин, чем женщин, загрузили и другие типы файлов, включая видеофайлы, игры и файлы изображений.
Равное количество мужчин и женщин, около четверти всех пользователей Интернета, также делились различными типами файлов.
В первом вопросе в январе 2005 года мы также спросили пользователей, берут ли они когда-нибудь онлайн-материалы, такие как песни, текст или изображения, для ремиксов.Так поступало значительно больше мужчин, чем женщин.
8 Функции преподавания и обучения | Как студенты учатся: история, математика и естественные науки в классе
ПРИМЕЧАНИЯ
1.
Изучение функций, как мы определяем его здесь, в значительной степени пересекается с темой «алгебры», традиционно преподаваемой в Соединенных Штатах в девятом классе, хотя национальные стандарты и стандарты многих штатов теперь рекомендуют изучать аспекты алгебры в более ранних классах (поскольку делается в большинстве других стран).Хотя функции являются важной частью алгебры, другие аспекты алгебры, такие как решение уравнений, в этой главе не рассматриваются.
2.
Томас, 1972, стр. 17.
3.
Гольденберг, 1995; Leinhardt et al., 1990; Romberg et al., 1993.
4.
Натан и Кёдингер, 2000.
5.
Кёдингер и Натан, 2004.
6.
Кёдингер и Натан, 2004.
7.
Koedinger et al., 1997.
8.
Кальчман, 2001.
9.
Schoenfeld et al., 1993.
10.
Schoenfeld et al., 1987.
11.
Schoenfeld et al., 1998, стр. 81.
12.
Chi et al., 1981.
13.
Chi et al., 1981; Schoenfeld et al., 1993.
14.
Кальчман, 2001.
СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Chi, M.T.H., Feltovich, P.J., and Glaser, R. (1981). Категоризация и представление физических задач специалистами и новичками. Когнитивная наука , 5 , 121-152.

Гольденберг, Э. (1995). Множественные представления: средство понимания. У Д. Перкинса, Дж. Шварца, М. Уэста и М. Виске (редакторы), Программное обеспечение идет в школу: обучение пониманию с помощью новых технологий (стр. 155-171). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.

Кальчман М. (2001). Использование неопиажеской основы для изучения и обучения математическим функциям .Докторская диссертация, Торонто, Онтарио, Университет Торонто.
Кёдингер, К.Р., и Натан, М.Дж. (2004). Реальная история проблем истории: влияние представлений на количественные рассуждения. Журнал обучающих наук , 13 (2).
Кёдингер, К.Р., Андерсон, Дж. Р., Хэдли, У. Х., и Марк, М. А. (1997). Интеллектуальное обучение идет в школу в большом городе. Международный журнал искусственного интеллекта в образовании , 8 , 30-43.

Лейнхардт Г., Заславский О. и Штейн М. (1990). Функции, графики и графики: задачи, обучение и обучение. Обзор исследований в области образования , 60 (1), 1-64.

Натан, М.Дж., и Кёдингер, К.Р. (2000). Убеждения учителей и исследователей в раннем развитии алгебры. Журнал исследований в области математического образования , 31 (2), 168-190.

Ромберг Т., Феннема Э.и Карпентер Т. (1993). Интегрирующие исследования графического представления функций . Махва, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс.
6.1 Функции скелетной системы — анатомия и физиология
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
Перечислить и описать функции костной системы
Приписать определенные функции скелетной системы конкретным компонентам или структурам
Скелетная система — это система тела, состоящая из костей, хрящей, связок и других тканей, которые выполняют важные функции для человеческого тела.Костная ткань, или костная ткань , представляет собой твердую плотную соединительную ткань, которая образует большую часть скелета взрослого человека, внутреннюю опорную структуру тела. В областях скелета, где целые кости движутся друг относительно друга (например, суставы, такие как плечо или между костями позвоночника), хрящи, полужесткая форма соединительной ткани, обеспечивают гибкость и гладкие поверхности для движения. Кроме того, связки, состоящие из плотной соединительной ткани, окружают эти суставы, связывая скелетные элементы вместе (связка , — это плотная соединительная ткань, которая соединяет кости с другими костями).Вместе они выполняют следующие функции:
Рисунок 6.1.1. Функции костной системы.
Некоторые функции скелетной системы легче наблюдать, чем другие. Когда вы двигаетесь, вы можете чувствовать, как ваши кости поддерживают вас, облегчают движение и защищают мягкие органы вашего тела. Подобно тому, как стальные балки здания служат каркасом, выдерживающим его вес, кости и хрящи вашей скелетной системы составляют каркас, поддерживающий остальную часть вашего тела.Без скелетной системы вы были бы вялой массой органов, мышц и кожи. Кости облегчают движение, служа точками прикрепления ваших мышц. Кости также защищают внутренние органы от травм, покрывая их или окружая их. Например, ребра защищают легкие и сердце, кости позвоночника (позвоночник) защищают спинной мозг, а кости черепа (черепа) защищают мозг (см. Рис. 6.1.1).
На метаболическом уровне костная ткань выполняет несколько важных функций.Во-первых, костная ткань действует как резервуар для ряда минералов, важных для функционирования организма, особенно для кальция и фосфора. Эти минералы, включенные в костную ткань, могут высвобождаться обратно в кровоток для поддержания уровней, необходимых для поддержания физиологических процессов. Например, ионы кальция необходимы для сокращения мышц и участвуют в передаче нервных импульсов.
Кости также служат местом для хранения жира и производства клеток крови.Уникальная соединительная ткань, которая заполняет внутреннюю часть большинства костей, обозначается как , костный мозг . Есть два типа костного мозга: желтый костный мозг и красный костный мозг. Желтый костный мозг содержит жировую ткань, и триглицериды, хранящиеся в адипоцитах этой ткани, могут высвобождаться, чтобы служить источником энергии для других тканей тела. Красный костный мозг — это место, где происходит производство клеток крови (называемых кроветворением, hemato- = «кровь», -poiesis = «производить»).Красные кровяные тельца, лейкоциты и тромбоциты производятся в красном костном мозге. С возрастом распределение красного и желтого костного мозга меняется, как показано на рисунке (рис. 6.1.2).
Рисунок 6.1.2 — Костный мозг: Кости содержат различное количество желтого и / или красного костного мозга. В желтом костном мозге хранится жир, а красный костный мозг отвечает за производство клеток крови (кроветворение).
Профессиональная связь — ортопед
Ортопед — это врач, специализирующийся на диагностике и лечении заболеваний и травм, связанных с опорно-двигательной системой.Некоторые ортопедические проблемы можно лечить с помощью лекарств, упражнений, подтяжек и других приспособлений, но другие лучше всего лечить хирургическим путем (рис. 6.1.3).
Рисунок 6.1.3 — Ортез для руки: Ортопед иногда предписывает использовать скобу, которая укрепляет нижележащую костную структуру, для поддержки которой он используется. (Источник: Юхан Сонин)
Хотя происхождение слова «ортопедия» (ortho- = «прямой»; paed- = «ребенок») буквально означает «выпрямление ребенка», у ортопедов могут быть пациенты от педиатров до гериатров.В последние годы ортопеды даже выполнили пренатальные операции по исправлению расщелины позвоночника, врожденного дефекта, при котором нервный канал в позвоночнике плода не закрывается полностью во время эмбриологического развития.
Ортопеды обычно лечат травмы костей и суставов, но они также лечат другие заболевания костей, включая искривление позвоночника. Боковое искривление (сколиоз) может быть достаточно серьезным, чтобы проскользнуть под лопатку (лопатку), заставляя ее подниматься вверх в виде горба. Искривления позвоночника также могут быть чрезмерными дорсовентрально (кифоз), вызывая сгибание спины и сдавление грудной клетки.Эти искривления часто появляются у детей раннего возраста в результате неправильной осанки, аномального роста или неопределенных причин. В основном их легко лечат ортопеды. С возрастом накопленные травмы позвоночника и такие заболевания, как остеопороз, также могут приводить к искривлению позвоночника, поэтому иногда наблюдается сутулость у пожилых людей.
Некоторые ортопеды специализируются на спортивной медицине, которая занимается как простыми травмами, такими как растяжение лодыжки, так и сложными травмами, такими как разрыв вращательной манжеты плеча.Лечение может варьироваться от физических упражнений до операции.
Обзор раздела
Основными функциями скелетной системы являются поддержка тела, облегчение движений, защита внутренних органов, хранение минералов и жира и формирование клеток крови.
Контрольные вопросы
Вопросы о критическом мышлении
Предположим, у вас не может образоваться красный костный мозг.Какие функции ваше тело не сможет выполнять?
Предположим, ваша костная ткань не может накапливать кальций. Какие функции ваше тело не сможет выполнять?
Глоссарий
костная (костная) ткань
твердая плотная соединительная ткань, образующая структурные элементы скелета
хрящ
полужесткая соединительная ткань на скелете в областях, где гибкость и гладкие поверхности поддерживают движение
кроветворение
производство клеток крови, которое происходит в красном костном мозге
связка
плотная соединительная ткань, соединяющая одну целую кость с другой цельной костью
ортопед
Врач, специализирующийся на диагностике и лечении заболеваний и травм опорно-двигательного аппарата
красный костный мозг
Соединительная ткань во внутренней полости кости, в которой происходит образование клеток крови (кроветворение)
костная система
Система органов, состоящая из костей, хрящей и связок, обеспечивающая движение, поддержку, защиту, хранение минералов и жира, формирование клеток крови
желтый костный мозг
Соединительная ткань во внутренней полости кости, где хранится жир
Решения
Ответы на вопросы о критическом мышлении
Без красного костного мозга вы не смогли бы производить клетки крови.Красный костный мозг отвечает за образование красных и белых кровяных телец, а также тромбоцитов. Красные кровяные тельца транспортируют кислород к тканям и удаляют углекислый газ. Без красных кровяных телец ваши ткани не смогли бы производить АТФ, используя кислород. Белые кровяные тельца играют важную роль в иммунной системе, которая борется с чужеродными захватчиками в нашем организме — без белых кровяных телец вы не смогли бы оправиться от инфекции. Тромбоциты отвечают за свертывание крови при разрыве сосуда. Без тромбоцитов вы истекли бы кровью и умерли.
Кальций в костной ткани обеспечивает минеральную поддержку костей. Без этого кальция кости не становятся жесткими и не могут поддерживать себя. Кальций в костной ткани также является важным местом хранения, которое при необходимости может высвобождать кальций. Другие системы органов полагаются на этот кальций для действия (в частности, сокращения мышц и передачи нейронных сигналов). Без накопления кальция уровень кальция в крови резко меняется и влияет на сокращение мышц и нервную сигнализацию.

Модуль вектора равен: Как найти модуль вектора? Ответ на webmath.ru

alexxlab / 22.06.197014.09.2022 / Разное

Модуль вектора

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (наз. также точкой приложения вектора) и конец.

МОДУЛЬ ВЕКТОРА

Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называется длиной, или модулем, вектора. Длина вектора обозначается .
НУЛЬ-ВЕКТОР

Нуль-вектор () — вектор, начало и конец которого совпадают; его модуль равен 0, а направление неопределенное.

КООРДИНАТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Пусть на плоскости задана декартова система координат XOY.

Тогда вектор может быть задан двумя числами:

Эти числа и в геометрии называют координатами вектора, а в физике – проекциями вектора на соответствующие оси координат.

При таком определении вектора его модуль , а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями:

Нуль-вектор: и

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ, ЗАДАННОЙ ЕДИНИЧНЫМИ ВЕКТОРАМИ (ОРТАМИ)

Пусть на плоскости задана декартова система координат при помощи единичных векторов и :

Тогда вектор может быть задан следующим образом:

Очевидно, что:

Нуль-вектор:

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены.

Все нуль-векторы считаются равными.

СУММА ВЕКТОРОВ

Суммой векторов и называют вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов, источником которого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу.

Правило треугольника Правило параллелограмма

Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:

Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:

Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям:

Координаты коллинеарных векторов удовлетворяют соотношению:

Координаты равных векторов удовлетворяют соотношениям:

Вектор суммы двух векторов:

Построение суммы нескольких векторов ясно из рисунка.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Произведением вектора на число  называют вектор, коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением при > 0 и противоположное при ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ВЕКТОРЫ

Вектор называется противоположным вектору и обозначается .

СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ НАД ВЕКТОРАМИ

Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след. свойствами:

1) ,

2) ,

3) ,

4),

5) ,

6) ,

7) ,

8).

Координаты вектора суммы нескольких векторов удовлетворяют соотношениям:

Координаты вектора произведения вектора на число удовлетворяют соотношениям:

Координаты противоположных векторов удовлетворяют соотношениям:

Сумма нескольких векторов:

Произведение вектора на число:

Вектор, противоположный :

Скалярное произведение векторов и (обозначается ) — скаляр, определяемый равенством , где — угол между векторами и , приведенными к общему началу:

Скалярное произведение векторов:

ДОПОЛНЕНИЕ: ТИПЫ ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН В ФИЗИКЕ.

Векторами называются такие геометрические и физические величины, которые однозначно определяются отрезками с заданным положением, направлением и длиной независимо от системы отсчета и подчиняются правилам I – IV (см. далее).
Вектор называется полярным в том случае, когда положение и направление изображающего его отрезка непосредственно дает положение и направление представляемой величины (радиус-вектор, скорость, ускорение, сила, импульс).

Вектор называется осевым (аксиальным) в том случае, если соотношение между представляемой величиной и изображающим ее отрезком устанавливается посредством задания некоторой оси и определенного направления вращения вокруг этой оси. Принято, чтобы направление выбранного на оси отрезка составляло с осью вращения правый винт (угловая скорость, момент сил, вращательные импульсы).

Длина отрезка – модуль вектора в определенном масштабе.
Различают свободные, скользящие и связанные векторы:

Свободные векторы можно произвольно переносить в любое другое параллельное положение, сохраняя при этом их направление и длину (напр. , вектор скорости при поступательном движении тела).

Скользящие векторы неотделимы от несущей их прямой, от так называемой линии действия, но вдоль этой прямой они могут перемещаться произвольным образом (напр., угловая скорость; сила, приложенная к твердому телу).

Связанные векторы неотделимы от определенной точки, от так называемой точки приложения вектора (напр., скорость точки тела, движущегося произвольным образом).
Правила выполнения операций над векторами:

I. Два вектора, и равны друг другу, если они имеют одинаковое направление и одинаковую длину; равные скользящие векторы должны иметь, кроме этого, общую линию действия, а равные связанные векторы – общую точку приложения.

II. Вектор получается из вектора следующим образом: из точки приложения вектора откладывается в противоположном направлении отрезок с такой же длиной, как у вектора .

III. Вектор : при m  0 – модуль в m раз больше, при m  0 – по правилу II/

IV. Два вектора, и , имеющие общую точку приложения, складываются по правилу параллелограмма. Разность векторов: .
Правила сложения применимы без ограничения к свободным векторам, к скользящим – только в случае наличия у линий действия векторов общей точки. Во всех остальных случаях действуют другие правила сложения (см., например, условие равновесия твердого тела).
Физическая величина считается векторной, если она подчиняется правилам I – IV. В частности, такому требованию удовлетворяют две скорости, которым одновременно обладает одна и та же материальная точка, или угловые скорости твердого тела, одновременно вращающееся вокруг двух пересекающихся осей.

Каталог: inovation -> fisika
fisika -> Элементы ядерной физики. I. Элементарные частицы

жүктеу/скачать 319 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

Что значит модуль в векторах.

Вычисление длины (модуля) вектора в MS EXCEL
Дата написания: 28.11.2021
Время на чтение: 4 минут
Найдем длину вектора по его координатам (в прямоугольной системе координат), по координатам точек начала и конца вектора и по теореме косинусов (задано 2 вектора и угол между ними).
Вектор – это направленный отрезок прямой. Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.
1. Вычисление длины вектора по его координатам
Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны a x и a y , то длину вектора можно найти по формуле
В случае вектора в пространстве добавляется третья координата
В MS EXCEL выражение =КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9)) позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки B8:B9 , см. файл примера ).
Функция СУММКВ() возвращает сумму квадратов аргументов, т. е. в данном случае эквивалентна формуле =B8*B8+B9*B9 .
В файле примера также вычислена длина вектора в пространстве.
Альтернативной формулой является выражение =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9)) .
2. Нахождение длины вектора через координаты точек
Если вектор задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))
В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны C28:C29 и B28:B29 соответственно.
Функция СУММКВРАЗН() в озвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.
По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.
3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов
Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).
Найдем длину вектора с используя формулу =КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))
В ячейках B43:B43 содержатся длины векторов а и b, а в ячейке В45 — угол между ними в радианах (в долях числа ПИ() ).
Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться =КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))
Примечание : для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить , см. например, статью
модуль вектора — величина вектора — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы величина вектора EN absolute value of a vector …
модуль вектора — vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. absolute value of vector vok. Vektorbetrag, m rus. длина вектора, f; модуль вектора, m pranc. module d’un vecteur, m … Fizikos terminų žodynas
— (от лат. modulus «маленькая мера»): В Викисловаре есть статья «модуль» Мо … Википедия
Модуль (от лат. modulus «маленькая мера») составная часть, отделимая или хотя бы мысленно выделяемая из общего. Модульной обычно называют вещь, состоящую из чётко выраженных частей, которые нередко можно убирать или добавлять, не разрушая вещь… … Википедия
Абсолютная величина или модуль вещественного или комплексного числа x есть расстояние от x до начала координат. Более точно: Абсолютная величина вещественного числа x есть неотрицательное число, обозначаемое |x| и определяемое следующим образом:… … Википедия
модуль волнового вектора — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN magnitude of propagation vector … Справочник технического переводчика
модуль конвольвера кодового вектора огибающей — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN shape codevector convolution module … Справочник технического переводчика
Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу: . Модуль комплексного числа z обычно обозначается | z | или r. Пусть и вещественные числа такие, что комплексное число (обычные обозначения). Тогда Числа … Википедия
Модуль в математике, 1) М. (или абсолютная величина) комплексного числа z = х + iy есть число ═(корень берётся со знаком плюс). При представлении комплексного числа z в тригонометрической форме z = r(cos j + i sin j) действительное число r равно… … Большая советская энциклопедия
Абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек рым кольцом. Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А модулем, если определено… … Математическая энциклопедия
Модуль вектора можно найти, если мы знаем его проекции на координатные оси .
на плоскости задан вектор а (рис. 15).
Опустим с начала и конца вектора перпендикуляры на координатные оси для нахождения его проекций. В соответствии с теоремой Пифагора
. Отсюда
.
Эту формулу надо знать НАИЗУСТЬ.
Запомните!
Чтобы найти модуль вектора надо извлечь корень квадратный из суммы квадратов его проекций.
Вы уже знаете, что проекцию вектора на ось можно найти, если из координаты точки конца вектора вычесть координату точки его начала. Тогда для нашего вектора, если он задан на плоскости, а x = х к − х н,
а y = y к − y н. Следовательно, модуль вектора можно найти по формуле
.
Нетрудно сообразить, как будет выглядеть формула, если вектор задан в пространстве.
Обратите еще внимание вот на что. Ведь модуль вектора — это длина отрезка, заключенного между двумя точками: точкой начала вектора и точкой его конца. А это ни что иное, как расстояние между двумя этими точками. Поэтому чтобы найти расстояние между любыми двумя точками, нужно вычислить модуль вектора , соединяющего эти точки.
Проекция вектора онлайн
Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:
Пр_ab = |b|cos(a,b) или
где a•b — скалярное произведение векторов, |a| — модуль вектора a.
Инструкция. Для нахождения проекции вектора Пp_ab в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b. При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word. Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор.
Заданы:
две координаты вектора
три координаты вектора
a: ; ;
b: ; ;

Классификация проекций вектора

Виды проекций по определению проекция вектора

Геометрическая проекция вектора AB на ось (вектор) называется вектор A’B’, начало которого A’ есть проекция начала A на ось (вектор), а конец B’ – проекция конца B на ту же ось.
Алгебраическая проекция вектора AB на ось (вектор) называется длина вектора A’B’, взятая со знаком + или -, в зависимости от того, имеет ли вектор A’B’ то же направление, что и ось (вектор).
Виды проекций по системе координат

проекции на плоскости (система координат OX,OY). Пример: a(2;-3), a=2i-3j
проекции в пространстве (система координат OX,OY, OZ). Пример: a(2;-3;1), a=2i-3j+k
проекции в N-мерном пространстве
Свойства проекции вектора

Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
Алгебраическая проекция вектора есть число.
Теоремы о проекциях вектора
Теорема 1. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна проекции слагаемых векторов на ту же ось.
AC’=AB’+B’C’

Теорема 2. Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:
Пр_ab = |b|·cos(a,b)

Виды проекций вектора

проекция на ось OX.
проекция на ось OY.
проекция на вектор.
Проекция на ось OX Проекция на ось OY Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.

Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.

Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.

Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).
Пример 1. Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60^о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что .

Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.
Пример 2. Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120^o. Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр_ab=4·cos120^o= -2.

Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.
Пример 3. Пусть вектор b задан через координаты точек M(1;1), N(4;5).

Координаты вектора: MN(4-1;5-1) = MN(3;4)
Тогда модуль вектора MN равен:

Направляющий вектор для оси OX равен вектору M’N’, где координаты точек M’(1;0) N’(4;0). Следовательно, вектор M’N’ имеет координаты: x = 4-1, y = 0-0 = 0.
M’N’(3;0)
Пример 4. Найти проекцию вектора c на вектор d;
с = АС = (-2;-1;3), d = CB(-5;-3;3)

Найдем проекцию вектора AC на вектор BC

Пример 5. Найти проекцию пр_b(-2a+4b)
где a=2m+3n и b=4m-n, |m|=k, |n|=l, угол между ∠(m,n)= π
Тогда -2a+4b = -4m+6n + 16m-4n = 12m+2n
Найдем модуль вектора 4m-n.
а) Рассмотрим треугольник со сторонами a,b,c. По теореме косинусов:
a² = b² + c² – 2bc∙cos(b,c), откуда

или б) Рассмотрим второй вариант решения.
Поскольку угол между векторами π, т.е. 180^о, то векторы лежат на одной оси.

Таким образом, 4m-n = 4*1 – 1 = 3.
Находим проекцию.
пр_b(-2a+4b) = пр_b(12m+2n) =

Модуль вектора
Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его элементов
Варианты ввода операции модуля вектора. » и ввести в показатель степени число -1
Функция
geninv(M), М – квадратная матрица с не нулевым определителем
На Рис. 2.9 приведен пример вычисления обратной матрицы.
Рис. 2.10. Операции транспонирования, обратной матрицы и ее определителя и получения модуля вектора
Векторное произведение векторов
Векторным произведением называется вектор, длина которого равна произведению длин исходных векторов и синуса угла между ними, а направление его совпадает с направлением перпендикуляра к плоскости этих двух векторов (по правилу «буравчика»).
Варианты ввода операции векторного произведения векторов.
Пиктограмма
в панели инструментов Matrix (Матрица)
Клавиатура
клавиши «Shift»+»|»
На Рис. 2.10 приведен пример векторного произведения векторов.
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов называется число (или выражение), равное произведению длин перемножаемых векторов и косинуса угла между ними.
Варианты ввода операции скалярного произведения векторов.
Пиктограмма
в панели инструментов Calculator (Калькулятор)
в панели инструментов Matrix (Матрица)
Клавиатура
клавиши «*»
На Рис. 2.10 приведен пример скалярного произведения векторов.
Суммирование элементов вектора
Варианты ввода операции суммирования элементов вектора.
Пиктограмма
в панели инструментов Matrix (Матрица)
Клавиатура
клавиши «Ctrl»+»4»
На Рис. 2.10 приведен пример суммирования элементов вектора.
Рис. 2.11. Операции векторного и скалярного умножения векторов и суммирование элементов вектора
Исследование систем линейных алгебраических уравнений в пакете MathCad
Пример №1.
Задание. Показать, что столбцы и , составленные из коэффициентов уравнений
являются линейно независимыми.
______________________________________________________
Последовательность действий.
1. Ввести сопроводительный текст «Пример №1» в правом верхнем углу листа.
Установить шрифт — MS Sans Serif сопроводительного текста, поддерживающий кириллицу. Для этого надо модифицировать текстовый стиль «Normal»:
Выбрать пункт меню Format4Style (Формат4Стиль) и загрузить диалоговое окно Text Styles (Стили текста) (Рис. 3.1).
В диалоговом окне Text Styles (Стили текста) выбрать из списка Styles (Стили) стиль «Normal», нажать кнопку Modify (Изменить) и загрузить диалоговое окно Define Style (Стиль по умолчанию) (Рис. 3.2).
В диалоговом окне Define Style (Стиль по умолчанию) нажать кнопку Font (Шрифт) и загрузить диалоговое окно Text Format (Формат текста) (Рис. 3.3).
В списке Font (Шрифт) выбрать тип шрифта – MS Sans Serif и последовательно нажав кнопку OK (Да) закрыть диалоговые окна Text Format (Формат текста) и Style (Стиль по умолчанию).
Закрыть диалоговое окно Text Styles (Стили текста), нажав кнопку Close (Закрыть).
Перейти в русскую раскладку клавиатуры.
Установить курсор (красный крест) в верхнем правом углу листа, щелкнув правой кнопкой мыши.
Перейти в текстовый регион (при русской раскладке клавиатуры нажать кнопки «Shift» + «2»), .
Ввести текст «Пример № 1», .
Завершить процесс ввода сопроводительного текста, щелкнув левой кнопкой мыши на свободном месте листа,
Рис. 3.1. Диалоговое окно Text Styles (Стили текста)
Рис. 3.2. Диалоговое окно Define Style (Стиль по умолчанию)
Рис. 3.3. Диалоговое окно Text Format (Формат текста)
2. Решить систему уравнений методом Крамера:
Ввести сопроводительный текст «Матрицы коэффициентов» (см. Рис. 3.4).
Составить матрицы коэффициентов – :
Матрица — D (см. Рис. 3.4):
Выбрать место для ввода матрицы коэффициентов.
Ввести имя матрицы, D, из панели инструментов математической панели.
Ввести знак присвоения, нажав клавиши «Shift» + «:»,
Ввести шаблон матрицы 2х2, нажав клавиши «Ctrl»+»M» и заполнив текстовые строки Rows (Строки) и Columns (Столбцы) цифрами -2 в диалоговом окне Insert Matrix (Вставить матрицы).
Заполнить ячейки шаблона,
Матрица — D_1
(Рис. 3.4₎:
Выбрать место для ввода матрицы коэффициентов (см. )
Ввести символ, D, из панели инструментов математической панели.
Перейти в режим ввода нижнего индекса в имени переменной, нажав клавишу точка «.».
Вести 1
Ввести знак присвоения, шаблон матрицы 2х2 и заполнить ее последний, как это было сделано выше, .
Матрица — (проделать самостоятельно) (см. Рис. 3.4).
Ввести сопроводительный текст «Решить систему уравнений и найти неизвестные переменные» (см. параграф «Ввод пояснительного текста»).
Найти значение переменной a₁.
Рассчитать определитель матрицы D (см. Рис. 3.4).
Выбрать место на экране и ввести имя переменной и знак присвоения, detD:=.
Ввести имя матрицы D и символ определителя матрицы |D|, нажав клавиши «Shift» +»|», detD:=|D|
Просмотреть содержимое переменной. Ввести имя переменной и знак просмотра, нажав кнопку «=», detD=-3.
Рассчитать определитель матрицы D_1,detD₁:=|D₁|, detD₁=0 (проделать самостоятельно) (см. Рис. 3.4).
Рассчитать значение коэффициента a₁ (см. Рис. 3.4).
Ввести имя переменной, a₁и знак присвоения,
Ввести переменную detD_1.
Ввести знак деления, нажав клавишу «/», .
Ввести в качестве делителя (в черный прямоугольник) переменную detD,
Просмотреть содержимое переменной. Ввести имя переменной и знак просмотра, нажав кнопку «=», a₁=0.
Найти значение переменной a₂.
Рассчитать определитель матрицы D_2,detD₂:=|D₂|, detD₂=0 (проделать самостоятельно) (см. Рис. 3.4).
Рассчитать и просмотреть значение коэффициента a₂, (проделать самостоятельно) (см. Рис. 3.4).
Просмотреть значение коэффициента a₂, (проделать самостоятельно) (см. Рис. 3.4).
Следовательно, система уравнений имеет решение только в том случае, когда переменные a₁ и a₂ равны 0. Следовательно, столбцы b₁ и b₂ линейно не зависимы.
На (см. Рис. 3.4) приведен листинг с примером №1.
Вектор, модуль вектора. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Координаты вектора
Напомним, что вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определённое направление. Если начало вектора находится в точке , а конец в точке , то такой вектор обозначается: . Часто векторы обозначаются и вот таким образом: .
Модулем, или длиной вектора, называется длина отрезка, который изображает вектор (, ).
Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают ().
Направления нулевой вектор не имеет, а его длина равна нулю ().
Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. При этом два коллинеарных вектора могут быть сонаправленными () или противоположно направленными (, ).
Векторы называются равными, если они одинаково направлены и их длины равны.
Сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника:
А также по правилу параллелограмма:
Отметим, что для любого вектора справедливо равенство .
Также напомним, что для любых векторов , и справедливы:
1. (переместительный закон).
2. (сочетательный закон).
Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором даст вектор .
Для любых векторов и справедливо следующее равенство .
Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор , длина которого равна произведению .
При этом векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .
Основные свойства умножения вектора на число.
Для любых чисел , и любых векторов , справедливы:
1. (сочетательный закон).
2. (первый распределительный закон).
3. (второй распределительный закон).
Теорема. На плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
,
, – неколлинеарные векторы,
, – коэффициенты разложения.
Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.
При этом, если вектор можно разложить по векторам и , то есть представить в виде
,
где и – некоторые числа, то векторы , и компланарны.
Для сложения трёх некомпланарных векторов можно использовать правило параллелепипеда:
Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
,
, , – некомпланарные векторы,
, , – коэффициенты разложения.
Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат.
, .
, .
Также напомним, что координатами вектора с началом в точке и концом в точке называются числа , .
В пространстве координатами вектора с началом в точке и концом в точке называются числа , , .
Теперь вспомним следующие правила.
Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
, ,
вектор имеет координаты .
, ,
вектор имеет координаты .
Каждая координата разности равна разности соответствующих координат этих векторов.
, ,
вектор имеет координаты .
, ,
вектор имеет координаты .
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
, – произвольное число,
вектор имеет координаты .
, – произвольное число,
вектор имеет координаты .
Также напомним, что длина вектора вычисляется .
В пространстве длина вектора по его координатам вычисляется аналогично.
, .
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Скалярный квадрат вектора (то есть скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.
Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов. Скалярное произведение векторов и выражается следующей формулой:
.
В пространстве скалярное произведение векторов определяется аналогичным образом.
, , .
И напомним свойства скалярного произведения векторов.
Для любых векторов , , и любого числа справедливы соотношения:
1. , причём при .
2. (переместительный закон).
3. (распределительный закон).
4. (сочетательный закон).
Отметим, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых.
Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание первое. Стороны равностороннего треугольника равны . Найдите длину вектора, равного сумме векторов и .
Решение.
Задание второе. Найдите координаты вектора и его модуль, если , .
Решение.
Задание третье. Даны векторы и . Найдите координаты вектора и его модуль.
Решение.
Задание четвёртое. При каких значениях векторы и взаимно перпендикулярны?
Решение.
Задание пятое. Найдите модуль суммы и модуль разности векторов и .
Решение.
Задание шестое. Найдите косинус угла треугольника , если , и .
Решение.
Ы У С ОР А Т НИЛ ЕК

Ы: У С ОР А Т НИЛ ЕК О Л В П В Ы К О В А А Р И Н А 9 «В »
1. 1 КАКОВА РАЗНИЦА МЕЖДУ ВЕКТОРНЫМИ И СКАЛЯРНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ? СКАЛЯРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ЗАДАНИЕМ СВОИХ ЧИСЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН, А ХАРАКТЕРИЗУЮТСЯ НЕ ТОЛЬКО СВОИМ ЧИСЛОВЫМ ЗНАЧЕНИЕМ, НО И НАПРАВЛЕНИЕМ В ПРОСТРАНСТВЕ. 1. 2. ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР И КАК ЕГО ОБАЗНАЧАЮТ? ВЕКТОР-ЛЮБОЙ НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК. ОБОЗНАЧАЮТ АВ ИЛИ a. 1. 3. КАКИЕ ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ КОЛЛИНЕАРНЫМИ? ПРИВЕДИТЕ ПРИМЕР СОНАПРАВЛЕННЫХ И ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫХ. ЕСЛИ 2 ВЕКТОРЫ ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ ИЛИ НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ , ТО ТАКИЕ ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТЯ КОЛЛИНЕАРНЫМИ(рис 1 ) СОНАПРАВЛЕННЫЕ ВЕКТОРЫ (рис2) ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫЕ (рис3) 1. 4. КАКИЕ ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ? ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ, ЕСЛИ ОНИ СОНАПРАВЛЕННЫЕ И ИХ МОДУЛИ РАВНЫ. (рис4) 1. 5. КАКАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ РАВЕНСТВОМ ВЕКТОРОВ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ? РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ МОЖНО СОВМЕСТИТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ, И, ОБРАТНО, ЕСЛИ ВЕКТОРЫ СОВМЕЩАЮТСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПЕРЕНОСОМ , ТО ЭТИ ВЕКТОРЫ ПАВНЫ.
1. 6. ЧТО ТАКОЕ МОДУЛЬ ВЕКТОРА? ДЛИНА ОТРЕЗКА АВ НАЗЫВАЕТСЯ МОДУЛЕМ ВЕКТОРА АВ И ОБОЗНАЧАЕТСЯ /AB/. 1. 7. ЧТО ВЫ ЗНАЕТЕ О НУЛЕВОМ ВЕКТОРЕ? НУЛЕВОЙ ВЕКТОР – КОНЕЦ И НАЧАЛО КОТОРОГО СОВПАДАЮТ. ОБАЗНАЧАЕТСЯ 0. 2. 1 СФОРМУЛИРУЙТЕ ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА И ПАРАЛЛЕЛОГРАММА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ. ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА Для того чтобы сложить два вектора a и b нужно переместить вектор b параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора a . Тогда их суммой будет вектор c начало которого совпадает с началом , вектора a а конец — с концом вектора b , (рис1) ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА Для того чтобы сложить два вектора a и b нужно переместить их параллельно самим себе так, чтобы начала векторов a и b находились в одной точке. Затем построить параллелограмм, сторонами которого будут эти вектора. Тогда суммой a будет +b вектор c начало которого совпадает с общим началом векторов, а конец — с , противоположной вершиной параллелограмма. (рис2)
2. 2 КАКИМИ СВОЙСТВАМИ ОБЛАДАЕТ СУММА ВЕКТОРОВ. Для любых векторов а , b и с верно: 1. а + b=b + а 2. (а+b)+c=а+(b+c) 2. 3. КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ? Разностью a – b векторов a и b называется такой вектор c, что c + b = a. Если отложить векторы от одной точки, то разность можно найти по «правилу треугольника» (рис1) 2. 4. 2 ВЕКТОРА , ИМЕЮЩИЕ РАВНЫЕ МОДУЛИ И ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫЕ , НАЗЫВАЮТСЯ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ. (рис2) 2. 5. КАК МОЖНО РАЗЛОЖИТЬ ВЕКТОР НА СУММУ СОСТАВЛЯЮЩИХ ПО ДВУМ ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМ? ПУСТЬ ДАНЫ ДВЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ. ТОГДА ЛЮБОЙ ВЕКТОР МОЖНО РАЗЛОЖИТЬ НА СУММУ СОСТАВЛЯЮЩИХ , РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ДАННЫХ ПРЯМЫХ.
3. 1 КАКИМ МОЖЕТ БЫТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЕ K*A, ЕСЛИ: 1) a=0; 2) K=0? Произведением вектора а≠ 0 на число к называется вектор , модуль которого равен числу /к/*/а/ и сонаправлен с вектором а при к>0 , противоположно направлен с вектором а при к 0 — вектора b и a сонаправленные, если число k > 0 a↑↓b, если k
3. 4 ДОКАЖИТЕ ПРИЗНАКИ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ВЕКТОРОВ. Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий: 1. Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что a = n · b 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны. ПРИЗНАК неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю. Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору. 3. 5. КАКОЕ УСЛОВИЕ ЯВЛЯЕТСЯ НЕОБХОДИМЫМ И ДОСТАТОЧНЫМ ДЛЯ ТОГО , ЧТОБЫ ТОЧКИ A, B, C ЛЕЖАЛИ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ. Для того чтобы точка С лежала на прямой АВ , необходимо и достаточно , чтобы существовала число а такое, что АС=АВ 4. 1 КАКОЙ УГОЛ НАЗЫВАЕТСЯ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ AB И AC ? УГЛОМ МЕЖДУ ВКТОРАМИ AB И AC НАЗЫВАЕТСЯ УГОЛ BAC. УГЛОМ МЕЖДУ НЕНУЛЕВЫМИ ВЕКТОРАМИ a И b НАЗЫВАЕТСЯ УГОЛ , ОБРАЗОВАННЫЙ ПРИОТКЛАДЫВАНИИ ЭТИХ ВЕКТОРОВ ОТ ОДНОЙ ТОЧКИ. ОБОЗНАЧАЕТСЯ (a, b) 4. 2. КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ a И b В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ? Углом между двумя ненулевыми векторами называется величина заданного ими угла , когда они отложены от одной точки.
4. 3 ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ДВУХ ВЕКТОРОВ ? СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЯВЛЯЕТСЯ ЧИСЛОМ ИЛИ ВЕКТОРОМ? СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ДВУХ ВЕКТОРОВ НАЗЫВАЕТСЯ ЧИСЛО, РАВНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЮ МОДУЛЕЙ ЭТИХ ВЕКТОРОВ НА КОСИНУС УГЛА МЕЖДУ НИМИ ЭТО ЧИСЛО. 4. 4 СФОРМУЛИРУЙТЕ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЕ. 1. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору: a · a = 0 a = 0 Операция скалярного умножения коммуникативна: a · b = b · a Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны: a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 a ┴ b Операция скалярного умножения дистрибутивна: (a + b) · c = a · c + b · c
4. 5. КАКОЕ УСЛОВИЕ ЯВЛЯЕТСЯ НЕОБХОДИМЫМ И ДОСТАТОЧНЫМ ДЛЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ? ДЛЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОНО, ЧТОБЫ ИХ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНЯЛОСЬ НУЛЮ. 4. 6. УКАЖИТЕ ПРИНЦИПЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. ВВОДЯ ВЕКТОРЫ В УДОБНОЙ ДЛЯ НАС ФОРМЕ , НУЖНО ПЕРЕПИСАТЬ УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРОВ. 2. ПРЕОБРАЗОВЫВАЯ ЗАДАЧУ , ЗАПИСАННУЮ В ВЕКТОРОЙ ФОРМЕ , ПОЛУЧАЕМ ЕЕ РЕШИЕМ В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ. 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ, ПОЛУЧЕННОЕ В ВЕКТОРНЫХ СООТНОШЕНИЯХ , НУЖНО ПЕРЕВЕСТИ НА ИСХОДНЫЙ «ЯЗЫК» ЗАДАЧИИ ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ. 5. 1 СФОРМУЛИРУЙТЕ И ДОКАЖИТЕ ТЕОРЕМУ О РАЗЛОЖЕНИИ ВЕКТОРА ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ. ЕСЛИ НЕНУЛЕВЫЕ ВЕКТОРЫ a И b, ТО ДЛЯ ЛЮБОГО ВЕКТОРA c НАЙДУТСЯ ЧИСЛА x И y ТАКИЕ, ЧТО ВЫПОЛНЯЕТСЯ РАВЕНСТВО c=xa+yb; ПРИЧЕМ КОЭФФИЦЕНТ РАЗЛОЖЕНИЯ x и y, ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ЕДИНСТВЕННЫМ ОБРАЗОМ.
5. 2 КАКИЕ ВЕКТОРЫНАЗЫВАЮТСЯ БАЗИСНЫМИ ВЕКТОРАМИ НА ПЛОСКОСТИ? ИЗ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ ВЫТЕКАЕТ, ЧТО ЛЮБОЙ ВЕКТОР МОЖНО РАЗЛОЖИТЬ ПО ДВУМ ПРОИЗВОЛЬНЫМНЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ. ЕСЛИ НА ПЛОСКОСТИ ВЫБРАНЫ ТАКИЕ ЖЕ ДВА НЕКОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ, ТО ОНИ НАЗЫВАЮТСЯ БАЗИСНЫМИ ВЕКТОРАМИ ПЛОСКОСТИ. 5. 3 ЧТО ТАКОЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И КАК ИХ ОБОЗНАЧАЮТ? КООРДИНАТАМИ ВЕКТОРА НАЗЫВАЮТСЯ КОЭФФИЦЕНТЫ ЕГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПО БАЗИСНЫМ ВЕКТОРАМ. ОБОЗНАЧЕНИЕ: а=(х; у) 5. 4. НАПИШИТЕ КООРДИНАТЫ КООРДИНАТНЫХ ВЕКТОРОВ. Координаты нулевого вектора равны нулю. Координаты равных векторов соответственно равны. Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов. Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов. Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.
5. 5 КАКИЕ СВОЙСТВА КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ ВЫ ЗНАЕТЕ? ДОКАЖИТЕ ИХ. 1. У РАВНЫХ ВЕКТОРОВ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ КООРДИНАТЫ РАВНЫ. 2. ПРИ СЛОЖЕНИИ ВЕКТОРОВ СКЛАДЫВАЮТСЯ ИХ СОТВЕТСТВУЮЩИЕ КООРДИНАТЫ. 3. ПРИ УМНОЖЕНИИ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО ЕГО КООРДИНАТЫ УМНОЖАЮТСЯ НА ЭТО ЖЕ ЧИСЛО. 5. 6. КАКОЙ ВЕКТОР НАЗЫВАЕТСЯ РАДИУС-ВЕКТОРОМ ТОЧКИ А? ЕСЛИ НА ПЛОСКОСТИ Оху ЗАДАНА ТОЧКА А(х; у) , ТО ВЕКТОР ОА НАЗЫВАЕТСЯ РАДИУСВЕКТОРОМ ТОЧКИ А. 5. 7. КАК ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА , ЕСЛИ ЗАДАНЫ КООРДИНАТЫ ЕГО КОНЦОВ ? КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ КАК РАЗНОСТИ СООТВЕТСТВУЮЩИХ КООРДИНАТ КОНЦА И НАЧАЛА ВЕКТОРА. 5. 8. ПО КАКОЙ ФОРМУЛЕ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ МОДУЛЬ ВЕКТОРА?
6. 1. КАК МОЖНО ОПРЕДЕЛИТЬ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ПО ИХ КООРДИНАТАМ? ЗАПИШИТЕ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ a=(x 1; y 1), и b(x 2; y 2) ОТЛОЖИТЬ ОТ НАЧАЛА КООРДИНАТ, ТО ОНИ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ПО ФОРМУЛЕ: a*b=x 1*x 2+y 1*y 2 6. 2 НАПИШИТЕ УСЛОВИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ВЕКТОРОВ. ВЕКТОРЫ ЯВЛЯЮТСЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ТОГДА И ТОЛЬКО, КОГДА ИХ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЮ. ДАНЫ 2 ВЕКТОРА a(xa; ya) и b(xb; yb). ЭТИ ВЕКТОРЫ БУДУТ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ , ЕСЛИ ВЫРАЖЕНИЕ xa xb + ya yb =0 6. 3. НАПИШИТЕ УСЛОВИЯ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ВЕКТОРОВ. 1. ДВА ВЕКТОРА a И B КОЛЛИНЕАРНЫ, ЕСЛИ СУЩЕСТВУЕТ ЧИСЛО n ТАКОЕ, ЧТО a = n · b. 2. ДВА ВЕКТОРА КОЛЛИНЕАРНЫ, ЕСЛИ ОТНОЖЕНИЕ КООРДИНАТ РАВНЫ. 3. ДВА ВЕКТОРА КОЛЛИНЕАРНЫ, ЕСЛИ ИХ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЕВОМУ ВЕКТОРУ. (рис1) 6. 4. ПО КАКОЙ ФОРМУЛЕ ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ? РИС 1
7. 1. КАКОЙ ВЕКТОР НАЗЫВАЕТСЯ НАПРАВЛЯЮЩИМ ВЕКТОРОМ ПРЯМОЙ? НАПРАВЛЯЮЩИЙ ВЕТОР ПРЯМОЙ- ЭТО ЛЮБОЙ НЕНУЛЕВОЙ ВЕКТОР, ЛЕЖАЩИЙ НА ДАННОЙ ПРЯМОЙ ИЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ЕЙ ПРЯМОЙ. (рис1) 7. 2. КАКАЯ ТОЧКА НАЗЫВАЕТСЯ НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКОЙ ПРЯМОЙ? ТОЧКА М 0 НАЗЫВАЕТСЯ НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКОЙ ПРЯМОЙ l. 7. 3. НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ? УРАВНЕНИК ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩИЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ (x 1, y 1) и (x 2, y 2), ЗАПИСЫВАЕТСЯ ТАК: 7. 4. ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР НОРМАЛИ ПРЯМОЙ? НАПИШИТЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ТОЧКЕ И ВЕКТОРУ НОРМАЛИ. ВЕКТОР НОРМАЛИ- ЭТО ВЕКТОР, КОТОРЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЕН ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ВЕКТОРУ НОРМАЛИ: а(Х-Х 0)+в(У-У 0)=0 7. 5. ПО КАКОЙ ФОРМУЛЕ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ? Рис 2 7. 6. КАК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ? РАССТОЯНИЕ ОТ Т. ДО ПРЯМОЙ –РАВНО ДЛИНЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ОПУЩЕННОГО ИЗ Т. НА ПРЯМУЮ. d = |A·Mx + B·My + C| √A 2 + B 2
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

Величина вектора — определение, формула
Величина векторной формулы помогает обобщить числовое значение для данного вектора. Вектор имеет направление и величину. Отдельные меры вектора вдоль оси x, оси y и оси z суммируются с использованием этой величины векторной формулы. Обозначается | против |. Величина вектора всегда является положительным числом или нулем, т. е. не может быть отрицательным числом. Давайте поймем величину векторной формулы, используя несколько решенных примеров в конце.
Какова величина вектора?
Величина вектора A равна длине вектора и обозначается | А |. Это квадратный корень из суммы квадратов компонентов вектора. Для заданного вектора с отношениями направлений по осям x, y и z величина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его отношений направлений. Это можно ясно понять из приведенной ниже величины векторной формулы.
Масштаб векторной формулы
для вектора A = x ₁ I + Y ₁ J + Z ₁ K , его магнит: | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A | A =√(x ₁ ² + y ₁ ² + z ₁ ² )
Для вектора v , когда одна из его конечных точек находится в начале координат (0,0), а другая конечная точка находится в (x, y), его величина равна: | против | =√(х ² + у ² )
Для вектора v с концами в точках (x ₁, y ₁) и (x ₂, y ₂) его величина равна: | против | =√((х ₂ — х ₁) ² + (у ₂ — у ₁) ²)
Как найти модуль вектора?
Чтобы определить величину двумерного вектора по его координатам,
Шаг 1: Определите его компоненты.
Шаг 2: Найдите сумму квадратов каждой из его составляющих.
Шаг 3: Извлеките квадратный корень из полученной суммы.
Таким образом,
формула для определения величины вектора (в двумерном пространстве) v = (x, y): | против | =√(х ² + у ² ). Эта формула выводится из теоремы Пифагора.
формула для определения величины вектора (в трехмерном пространстве) В = (х, у, г) это: | В | = √(х ² + у ² + z ² )
Давайте рассмотрим применение формулы величины в следующем разделе.
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Запись на бесплатный пробный урок
Примеры использования величины векторной формулы
Пример 1: Используя формулу величины, найдите величину вектора с u = (2, 5)?
Решение:
Найти: Модуль данного вектора
Дано:
Вектор u = (2,5)
Используя формулу модуля,
| и | = √(x ² + y ² )
= √(2 ² + 5 ² )
= √(4 + 25)
2 |
и | = 5,385
Ответ: Модуль заданного вектора = 5,385
Пример 2: Найти модуль вектора 3 i + 4 j — 5 k .
Решение:
Найти: Модуль заданного вектора
Заданный вектор A = 3 i + 4 j — 5 k
2 , 90| = √(3
² + 4 ² + (-5) ² )
= √(9 + 16 + 25)
=√50
=5√2
Ответ: Величина заданного вектора = 5√2
Пример 3: Найти модуль вектора к .
Решение:
Найти: Величина данного вектора
Данного вектора A = 5 i — 4 j + 2 k
5 , 90| =√(5
² + (-4) ² + 2 ² )
= √(25 + 16 + 4)
= √45
= 3√ 5
Ответ: Величина заданного вектора = 3√5
Часто задаваемые вопросы о величине вектора Формула
0 Величина векторной формулы?
Величина векторной формулы суммирует числовое значение для данного вектора. Обозначается | против |. Величины векторных формул следующие:
| А | =√(х ² + у ² + z ² ) для вектора A = x i + y j + z k
| против | =√(x ² + y ² ), когда его конечные точки находятся в начале координат (0,0) и (x, y).
| против | =√((x ₂ — x ₁ ) ² + (y ₂ — y ₁ ) ² ) при начальной и конечной точках вектора в определенных точках (x 1 _{, у ₁ ) и (х ₂ , у ₂ ) соответственно.}
Как использовать модуль векторной формулы?
Чтобы использовать величину векторной формулы, выполните шаги, указанные ниже.
Шаг 1: Проверьте заданные параметры.
Шаг 2: Подставьте значения в соответствующую формулу
Для вектора A = x i + y j + z k его величина равна |A| =√(х ² + у ² + z ² )
Величина вектора, когда его конечная точка находится в начале координат (0,0), тогда | против | =√(x ² + y ² )
Начальная и конечная точки вектора находятся в определенных точках (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y 2_{) 7 затем | против | =√((x ₂ — x ₁ ) ² + (y ₂ — y ₁ ) ² )}
Какое понятие величины вектора стоит за формулой?
Величина вектора относится к длине или размеру вектора. Он также определяет его направление. Понятия, лежащие в основе этих формул, включают теорему Пифагора и формулу расстояния, которые используются для вывода формулы величины вектора.
Какова величина векторной формулы в словах?
Для заданного вектора с отношениями направлений по осям x, y и z величина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его отношений направлений.
Как найти модуль единичного вектора?
Векторы — это величины, которые обладают величиной и направлением. … Стрелка на линии указывает предполагаемое направление, а длина линии представляет величину. Величина также называется модулем или длиной вектора .
Является ли модуль вектора скаляром?
Модуль или модуль вектора равен скалярной величине . Вектор может быть представлен графически или геометрически прямой линией со стрелкой. Длина линии указывает величину вектора, а стрелка указывает его направление. 23 марта 2020 г.
Что такое коллинеарный вектор?
Коллинеарные векторы — это два или более векторов, которые параллельны одной и той же прямой, независимо от их величины и направления.
Как вычислить модуль?
Модуль — это другое название , остаток после деления 9.0105 . Например, 17 по модулю 5 = 2, так как если мы разделим 17 на 5, мы получим 3 с остатком 2. Модульную арифметику иногда называют арифметикой часов, поскольку аналоговые часы пересчитывают время после 12, то есть они работают по модулю 12.
Как вычислить вектор?
Чтобы работать с вектором, нам нужно уметь находить его 9Звездная величина 0104 и ее направление . Мы находим его величину, используя теорему Пифагора или формулу расстояния, и мы находим его направление, используя функцию арктангенса. Учитывая вектор положения →v=⟨a,b⟩, величина находится по формуле |v|=√a2+b2. 4 ноября 2018 г.
Связанные
Какие есть примеры скаляров?
скаляр, физическая величина, которая полностью описывается своей величиной; примеров скаляров 92 = А’А.
Связанные
Как найти скалярное значение вектора?
Скалярное произведение a и b: a · b = |a||b| cosθ Мы можем запомнить эту формулу как: «Модуль первого вектора, умноженный на модуль второго вектора, умноженный на косинус угла между ними».
Связанные
При каком значении a векторы 2i 3j 4k и Ai 6j 8k − − коллинеарны?
Другими словами, соответствующие компоненты коллинеарных векторов пропорциональны. Даны векторы 2i-3j+4k и ai+6j-8k. Следовательно, значение a равно -4 .Jul 2, 2019
Связанные
Что такое модуль вектора класса 11?
Длина вектора называется величиной или модулем вектора. 19 августа., 2018
Связанные
Что вы подразумеваете под модулем?
Определение модуля
1a : коэффициент, на который умножается логарифм числа по одному основанию для получения логарифма числа по новому основанию . b : смысл абсолютного значения 2.
Родственный
Какова величина двух векторов?
На этой странице выводятся формулы для величины векторов в двух и трех измерениях в терминах их координат. Для двумерного вектора a=(a1,a2) формула для его модуля имеет вид ∥a∥=√a21+a22.
общий Информация СМИ Нажмите галерея иллюстрация
Поделиться этой записью:
Умножение векторов
Векторы — что это такое? дает введение в предмет.
Есть два полезных определения умножения векторов, в один продукт является скаляром, а в другом продукт является вектор. Нет операции деления векторов. В некоторых в школьных программах вы встретите скалярные произведения, а не векторные произведений, но мы обсуждаем оба типа умножения векторов в эту статью, чтобы дать более полное представление об основах предмет 92 \quad (2),$$ и если ${\bf i, j, k}$ единичные векторы вдоль оси, то $${\bf i. i}={\bf j.j} = {\bf kk} = 1,\quad {\rm и}\quad {\bf i.j}={\bf j.k} = {\bf k.i} = 0\quad (3).$$ читателю остается проверить из определения, что $${\bf u.v} = {\bf v.u}, \ {\rm and} \ ({\bf u + v}).{\bf w} = {\bf u.w} +{\bf v.w}.$$ Это показывает, что мы можем расширить или умножить $${\bf u.v}= (u_1{\bf i}+u_2{\bf j}+u_3{\bf k}).(v_1{\bf i}+v_2{\bf j}+u_3{\bf k})$$ дает девять терминов. Используя уравнение (3), шесть из этих членов равны ноль, а остальные три дают выражение $u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$ в соответствии с определением в уравнении (1). 9{-1} \left({{\bf u.v}\over |{\bf u}|||{\bf v}|}\right)\quad (7).$$ В трех измерениях мы можем использовать более интуитивное определение угла с точки зрения поворота, но в более высокие размеры необходимо иметь определение угла например, формула (7). Если мы используем эту формулу для определения угла, то Правило косинусов следует непосредственно, поскольку они эквивалентны.
Обратите внимание, что произведение вектора-строки и вектора-столбца равно определяется в терминах скалярного произведения, и это согласуется с умножение матриц. $$(u_1\ u_2\ u_3)\left(\begin{массив}{cc} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{массив} \right) = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.$$
Умножение на вектор
Векторное произведение двух векторы ${\bf b}$ и ${\bf c}$, записанные ${\bf b}\times {\bf c}$ (и иногда называют крест произведение ), есть вектор $${\bf b}\times {\bf c} = \left( \begin{массив}{cc} b_2c_3-b_3c_2 \\ b_3c_1 -b_1c_3 \\ b_1c_2 -b_2c_1 \end{array} \right) \quad (8).$$ Существует альтернативное определение векторного произведения, а именно, что ${\bf b}\times {\bf c}$ является вектор величины $|{\bf b}||{\bf c}|\sin \theta$ перпендикулярен к ${\bf b}$ и ${\bf c}$ и подчиняясь «правилу правой руки», и мы докажем, что этот результат следует из данного определения и что эти два определения эквивалентны. Доказательство дано позже для полноты, но сначала мы рассмотрим ${\bf b}\times {\bf c}$, выраженное через компоненты по направлениям ${\bf i, у, к}$.
Из этого определения видно, что ${\bf b}\times {\bf c}=-{\bf c}\times {\bf b}$, так что эта операция некоммутативна. Если $ {\ bf я, j, k}$ — единичные векторы вдоль осей, тогда из этого определения: $${\bf i}\times {\bf i} = {\bf j}\times {\bf j}= {\bf k}\times {\bf k}, $$ и $$\eqalign{ {\bf i}\times {\bf j} &= {\bf k},\quad {\bf j}\times {\bf i} = -{\bf k} \cr {\bf j}\times {\bf k} &= {\bf i},\quad {\bf k}\times {\bf j} = -{\bf i} \cr{\bf k}\times {\bf i} &= {\bf j},\quad {\bf i}\times {\bf k} = -{\bf j} .}$$ Из определения следует, что $$k({\bf b}\times {\bf c}) = (k {\ bf b}) \ times {\ bf c} = {\ bf b} \ times (k {\ bf c}), \ quad \ quad ({\bf a+b})\times {\bf c} = ({\bf a}\times {\bf c}) + ({\bf b}\times {\bf c}).$$ Раскрывая выражение $${\bf b}\times {\bf c} = (b_1{\bf i} + b_2{\bf j} + b_3 {\bf k}) \times (c_1{\bf i}+ c_2{\bf j} + c_3 {\bf k})$$ дает $$ (b_2c_3-b_3c_2){\bf i}+ (b_3c_1-b_1c_3){\bf j} + (b_1c_2-b_2c_1){\bf k} \quad (9)$$ который – формула векторного произведения, заданная в уравнении (8).
Теперь мы докажем, что два определения векторного умножения верны. эквивалент. На диаграмме показаны направления векторов ${\bf b}$, ${\bf c}$ и ${\bf b}\times {\bf c}$, которые образуют «правильный ручной набор».
Вы можете закончить чтение здесь, и это действительно больше важно понимать, что существует два определения вектора произведение, эквивалентность которого можно показать, чем оно механически проработать детали доказательства.
Теорема Вектор Произведение двух векторов ${\bf b}$ и ${\bf c}$ есть вектор ${\bf b}\times {\bf c}$ со следующими свойствами:
(i) ${\bf b}\times {\bf c}$ имеет величина $|{\bf b}||{\bf c}|\sin \theta$, где $\theta$ — угол между направлениями ${\bf b}$ и ${\bf c}$;
(ii) ${\bf b}\times {\bf c}$ перпендикулярно ${\bf b}$ и ${\bf c}$ с таким направлением, что векторы ${\bf b}$, ${\bf c}$ и ${\bf b}\times {\bf c}$ образуют правосторонний набор, как на диаграмме, так что ${\bf b}\times {\bf c}$ и ${\bf c}\times {\bf b}$ направлены в противоположные стороны.
Доказательство части (i) Рассмотрим площадь параллелограмма со сторонами, равными векторы ${\bf b}$ и ${\bf c}$ и угол $\theta$ между ними стороны. Площадь этого параллелограмма равна $|{\bf b}||{\bf c}|\sin \тета$. 2$. 92} \cr &= |{\bf b}\times {\bf c}|. }$$
Доказательство части (ii) Кому покажите, что ${\bf b}$ и ${\bf b}\times {\bf c}$ перпендикулярны мы показываем, что скалярное произведение равно нулю: $${\bf b}.{\bf b}\times {\bf c} = b_1(b_2c_3-b_3c_2) +b_2(b_3c_1-b_1c_3)+b_3(b_1c_2-b_2c_1) = 0,$$ и аналогично скалярное произведение ${\bf c}$ и ${\bf b}\times {\bf c}$ равен нулю, поэтому эти векторы перпендикулярны.

32.3: Векторы — Химия LibreTexts
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
38826
Марсия Левитус
Университет штата Аризона
В этой главе мы рассмотрим несколько понятий, которые вы, вероятно, знаете из курсов физики. В этой главе не предполагается исчерпывающее освещение темы, вместо этого мы коснемся нескольких понятий, которые вы будете использовать на уроках физической химии.
Вектор — это величина, которая имеет как величину, так и направление, и поэтому они используются для определения положения, скорости и импульса частицы или для определения силы. Векторы обычно обозначаются жирным шрифтом (например, $\mathbf{u}$) или стрелкой над символом (например, $\vec{u}$). Тильда, помещаемая над или под именем вектора, также обычно используется в сокращении ($\widetilde{u}$,$\underset{\sim}{u}$).
Если мы умножим число $a$ на вектор $\mathbf{v}$, мы получим новый вектор, параллельный исходному, но с длиной, которая $a$ умножается на длину из $\mathbf{v}$. Если $a$ отрицательное $a\mathbf{v}$ указывает в противоположном направлении, чем $\mathbf{v}$ . Мы можем выразить любой вектор в терминах так называемых единичных векторов. Эти векторы, которые обозначаются как $\hat{\mathbf{i}}$, $\hat{\mathbf{j}}$ и $\hat{\mathbf{k}}$, имеют единицу длину и точку вдоль положительных осей $x, y$ и $z$ декартовой системы координат (рисунок $\PageIndex{1}$). Символ $\hat{\mathbf{i}}$ читается как «i-шляпа». Шляпы используются для обозначения того, что вектор имеет единичную длину. 9{1/2}\]
Если у нас есть два вектора $\mathbf{u}=u_x\hat{\mathbf{i}}+u_y \hat{\mathbf{j}}+u_z \hat{\mathbf {k}}$ и $\mathbf{v}=v_x \hat{\mathbf{i}}+v_y \hat{\mathbf{j}}+v_z \hat{\mathbf{k}}$, мы можем сложить их, чтобы получить
\[\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_x+v_x)\hat{\mathbf{i}}+(u_y+v_y)\hat{\mathbf{j} }+(u_z+v_z)\hat{\mathbf{k}} \nonumber\]
или вычесть их, чтобы получить:
\[\mathbf{u}-\mathbf{v}=(u_x-v_x)\ шляпа {\ mathbf {i}} + (u_y-v_y) \ шляпа {\ mathbf {j}} + (u_z-v_z) \ шляпа {\ mathbf {k}} \ nonumber \]
Когда дело доходит до умножения, мы можем выполнить произведение двух векторов двумя разными способами. Первый, который дает в результате скаляр (число), называется скалярным произведением или скалярным произведением. Второе, дающее в результате вектор, называется векторным (или перекрестным) произведением. Обе операции являются важными в физической химии.
Скалярное произведение
Скалярное произведение векторов $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$, также известное как скалярное произведение или скалярное произведение, определяется как (обратите внимание на точку между символы, представляющие векторы)
\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos \theta \nonumber\]
где $\theta$ угол между векторами. Обратите внимание, что скалярное произведение равно нулю, если два вектора перпендикулярны друг другу, и равно произведению их абсолютных значений, если они параллельны. Легко доказать, что
\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z \nonumber\]
Пример $\PageIndex{1}$
Покажите, что векторы
\[ \begin{align*} \mathbf{u_1} &=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{1}{\sqrt{3} }\шляпа{\mathbf{j}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\шляпа{\mathbf{k}} \\[4pt] \mathbf{u_2} &=\dfrac{1}{ \ sqrt {6}} \ шляпа {\ mathbf {i}} — \ dfrac {2} {\ sqrt {6}} \ шляпа {\ mathbf {j}} + \ dfrac {1} {\ sqrt {6}} \hat{\mathbf{k}} \\[4pt] \mathbf{u_3} &=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{1}{ \sqrt{2}}\шляпа{\mathbf{k}} \end{align*} \nonumber\] 9{1/2}=1 \end{align*} \nonumber\]
Чтобы проверить, перпендикулярны ли два вектора, мы выполняем скалярное произведение:
\[ \begin{align*} \mathbf{u_1}\cdot \mathbf{u_2}&=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{1}{\sqrt{6}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{ 2}{\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)=0 \\[4pt] \mathbf{u_1}\ cdot \mathbf{u_3} &=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\ dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=0 \\[4pt] \mathbf{u_2}\cdot \mathbf{u_3} &=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{6} }\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=0 \end{align*} \ не число\]
Таким образом, мы только что доказали, что три пары взаимно перпендикулярны, а три вектора имеют единичную длину. Другими словами, эти векторы являются векторами $\hat{\mathbf{i}}$, $\hat{\mathbf{j}}$ и $\hat{\mathbf{k}}$ вращается в пространстве.
Если скалярное произведение двух векторов (любой размерности) равно нулю, мы говорим, что эти два вектора ортогональны. Если векторы имеют единичную длину, мы говорим, что они нормализованы. Если два вектора нормализованы и ортогональны, мы говорим, что они ортонормированы. Набор векторов, показанный в предыдущем примере, образует ортонормированный набор. [vectors:orthonormal] Эти понятия также применимы к векторам, которые содержат комплексные элементы, но как мы выполняем скалярное произведение в этом случае? 9*\cdot \mathbf{v}=(\hat{\mathbf{i}}+(1+i)\hat{\mathbf{j}})((1+i)\hat{\mathbf{i}} +\hat{\mathbf{j}})=(1)(1+i)+(1+i)(1)=2+2i\neq 0 \nonumber\]
Следовательно, векторы неортогональны.
Произведение векторов
Векторное произведение двух векторов — это вектор, определенный как
\[\mathbf{u}\times \mathbf{v}=|\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \mathbf{n} \sin\theta \nonumber\]
, где $\theta$ снова угол между двумя векторами, а $\mathbf{n}$ — единичный вектор, перпендикулярный образуемой плоскости на $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$. Направление вектора $\mathbf{n}$ задается правилом правой руки. Вытяните правую руку и укажите указательным пальцем в направлении $\mathbf{u}$ (вектор слева от символа $\times$) и указательным пальцем в направлении $\mathbf {v}$. Направление $\mathbf{n}$, которое определяет направление $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$, является направлением вашего большого пальца. Если вы хотите отменить умножение и выполнить $\mathbf{v}\times \mathbf{u}$, вам нужно указать указательным пальцем в направлении $\mathbf{v}$, а указательным пальцем в направлении $\mathbf{u}$ (по-прежнему используя правую руку!). Результирующий вектор будет указывать в противоположном направлении (рис. $\PageIndex{1}$).
Величина $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ является произведением величин отдельных векторов, умноженных на $\sin \theta$. Эта величина имеет интересную геометрическую интерпретацию: это площадь параллелограмма, образованного двумя векторами (рис. $\PageIndex{1}$).
Рисунок $\PageIndex{1}$: Векторное произведение (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)
Перекрестное произведение также может быть выражено в виде определителя:
\[\mathbf{u}\ раз \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \шляпа{\mathbf{i}}&\шляпа{\mathbf{j}}&\шляпа{\mathbf{k}}\\ u_x&u_y&u_z\\ v_x&v_y&v_z\\ \ конец {vmatrix} \номер\]
Пример $\PageIndex{1}$:
Дано $\mathbf{u}=-2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+\hat{\ mathbf{k}}$ и $\mathbf{v}=3 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}$, вычислить $\mathbf{w}=\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ и убедитесь, что результат перпендикулярен как $\mathbf{u}$, так и $\mathbf{v}$ .
Решение
\[ \begin{align*} \mathbf{u}\times \mathbf{v} &= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}}&\hat{\mathbf{ j}}&\hat{\mathbf{k}}\\ u_x&u_y&u_z\\ v_x&v_y&v_z\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}}&\hat{\mathbf{j} }&\шляпа{\mathbf{k}}\\ -2&1&1\\ 3&-1&1\\ \end{vmatrix} \\[4pt] &=\шляпа{\mathbf{i}}(1+1)-\ шляпа {\ mathbf {j}} (-2-3) + \ шляпа {\ mathbf {k}} (2-3) \\ [4pt] & = \ displaystyle {\ color {бордовый} 2 \ шляпа {\ mathbf {i}}+5 \hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}} \end{align*} \nonumber\]
Чтобы убедиться, что два вектора перпендикулярны, мы выполняем скалярное произведение:
\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}=(-2)(2)+(1)(5)+(1) (-1)=0 \nonumber\]
\[\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}=(3)(2)+(-1)(5)+(1)(-1)= 0 \nonumber\]
Важным применением векторного произведения является определение углового момента. Если частица с массой $m$ движется со скоростью $\mathbf{v}$ (вектор), ее (линейный) импульс равен $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$. Пусть $\mathbf{r}$ — положение частицы (другой вектор), тогда угловой момент частицы определяется как
\[\mathbf{l}=\mathbf{r}\times\mathbf{p} \nonumber\]
Таким образом, угловой момент является вектором, перпендикулярным как $\mathbf{r}$, так и $ \mathbf{p}$. Поскольку положение частицы необходимо определить относительно определенного источника, это начало необходимо указать при определении углового момента.
Рисунок $\PageIndex{2}$: Угловой момент частицы с положением $\mathbf{r}$ от начала координат и импульсом $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$ (CC BY-NC-SA; Марсия Левитус) 92+(-i)(i)=3\rightarrow |\mathbf{u}|=\sqrt{3} \nonumber\]
Следовательно, чтобы нормализовать этот вектор, мы делим все компоненты на его длину:
\ [\ шляпа {\ mathbf {u}} = \ гидроразрыва {1} {\ sqrt {3}} \ шляпа {\ mathbf {i}} + \ гидроразрыва {1} {\ sqrt {3}} \ шляпа {\ mathbf {j}}+\frac{i}{\sqrt{3}}\hat{\mathbf{k}} \nonumber\]
Обратите внимание, что мы используем «шляпу», чтобы указать, что вектор имеет единичную длину.
Нужна помощь? Ссылки ниже содержат решенные примеры.
Операции с векторами: http://tinyurl.com/mw4qmz8
Внешние ссылки:
Точечный продукт: http://patrickjmt.com/vectors-the-dot-product/
Перекрестное произведение: http://patrickjmt.com/the-cross-product/
Скалярное произведение: http://www.youtube.com/watch?v=enr7JqvehJs
Эта страница под названием 32.3: Vectors распространяется по незаявленной лицензии и была создана, изменена и/или курирована Марсией Левитус с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или страница
Автор
Марсия Левитус
Версия лицензии
4,0
Показать страницу TOC
нет на странице
Теги
источник@https://www. public.asu.edu/~mlevitus/chm240/book.pdf
Векторы
Это вектор:
Вектор имеет величины (размер) и направления :
Длина линии показывает ее величину, а стрелка указывает направление.
Мы можем добавить два вектора, соединив их лоб в лоб:
И неважно в каком порядке мы их складываем, получаем один и тот же результат:
Пример: Самолет летит на север, но ветер дует с северо-запада.
Два вектора (скорость, создаваемая пропеллером, и скорость ветра) приводят к несколько меньшей скорости относительно земли в направлении немного к востоку от севера.
Если смотреть на самолет с земли, то может показаться, что он немного скользит вбок.
Вы когда-нибудь видели такое? Возможно, вы видели птиц, борющихся с сильным ветром, которые, кажется, летят боком. Векторы помогают объяснить это.
Скорость, ускорение, сила и многое другое являются векторами.
Вычитание
Мы также можем вычесть один вектор из другого:
Сначала мы меняем направление вектора, который хотим вычесть,
, затем добавьте их как обычно:

а − б
Обозначение
Вектор часто записывается жирным шрифтом , например a или b .
Вектор также можно записать в виде букв
его головы и хвоста со стрелкой над ними, например:
Расчеты
Теперь… как мы будем производить расчеты?
Самый распространенный способ — сначала разбить вектор на части x и y, например:
Вектор a разбит на
два вектора a _x и a _y
(Позже мы увидим, как это сделать.)
Добавление векторов
Затем мы можем сложить векторы по , добавив части x и , добавив части y :
Вектор (8, 13) и вектор (26, 7) в сумме дают вектор (34, 20)
Пример: добавить векторы
а = (8, 13) и б = (26, 7)
в = а + б
в = (8) + 13 (8+26, 13+7) = (34, 20)
Когда мы разбиваем вектор таким образом, каждая часть называется компонентом :
Вычитание векторов
Чтобы вычесть, сначала инвертируйте вектор, который мы хотим вычесть, затем сложите.
Пример: вычесть
k = (4, 5) из v = (12, 2)
a = v + − k
a = (12, 2) + −(4, 5) = (12, 2) + (−4, −5) = (12− 4, 2−5) = (8, −3)
Величина вектора
Величина вектора показана двумя вертикальными полосами по обе стороны от вектора:
| и |
ИЛИ можно написать двойными вертикальными черточками (чтобы не путать с абсолютным значением):
|| и ||
Для расчета используем теорему Пифагора:
| и | = √( х ² + у ² )
Пример: какова величина вектора
b = (6, 8) ?
| б | = √( 6 ² + 8 ² ) = √( 36+64) = √100 = 10
Вектор с величиной 1 называется единичным вектором.
Вектор против скаляра
Скаляр имеет величину (размер) только .
Скаляр: просто число (например, 7 или −0,32) … определенно не вектор.
Вектор имеет величину и направление и часто пишется жирным шрифтом , поэтому мы знаем, что это не скаляр:
, поэтому c — это вектор, он имеет величину и направление
, но c — это просто значение, например 3 или 12,4
Пример: k
b на самом деле скаляр, умноженный на k вектор b .
Умножение вектора на скаляр
Когда мы умножаем вектор на скаляр, это называется «масштабированием» вектора, потому что мы изменяем размер вектора.
Пример: умножить вектор
m = (7, 3) на скаляр 3
a = 3 м = (3×7, 3×3) = (21, 9)
Он по-прежнему указывает в том же направлении, но в 3 раза длиннее
(И теперь вы знаете, почему числа называются «скалярами», потому что они «масштабируют» вектор вверх или вниз.)

Умножение вектора на вектор (скалярное произведение и векторное произведение)
Как нам умножить два вектора вместе? Существует более чем один способ!
Скаляр или скалярное произведение (результатом является скаляр).
Вектор или векторное произведение (результатом является вектор).
(Дополнительную информацию см. на этих страницах.)

Более двух измерений
Векторы также отлично работают в трех и более измерениях:

Вектор (1, 4, 5)
Пример: сложите векторы
a = (3, 7, 4) и b = (2, 9, 11)
c = a + b
c = 02 9 (3,
2 9 , 7, 4) + (2, 9, 11) = (3+2, 7+9, 4+11) = (5, 16, 15)
Пример: какова величина вектора
w = (1, −2, 3) ?
| с | = √( 1 ² + (−2) ² + 3 ² ) = √( 1+4+9) = √14
Вот пример с 4-мя измерениями (но это сложно нарисовать!):
Пример: вычесть (1, 2, 3, 4) из (3, 3, 3, 3)
(3, 3, 3, 3) + −(1, 2, 3, 4)
= (3, 3, 3, 3) + (−1,−2,−3,−4)
= (3−1, 3−2, 3−3, 3−4)
= (2, 1, 0, −1 )

Величина и направление
Мы можем знать величину и направление вектора, но нам нужны его длины x и y (или наоборот):
<=>
Вектор a в полярных координатах
Вектор a в декартовых координатах
Координаты
Вы можете прочитать, как преобразовать их в полярные и декартовы координаты, но вот краткий обзор:
Из полярных координат (r, θ )
в декартовы координаты (x,y) Из декартовых координат (x,y)
в полярные координаты (r, θ)
x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )

г = √ ( х ² + у ² )
θ = тангенс ^-1 (г/х)

Пример
Сэм и Алекс тянут коробку.
Сэм тянет с силой 200 ньютонов под углом 60°
Алекс тянет с усилием 120 ньютонов под углом 45°, как показано
Что такое объединенная сила и ее направление?

Сложим два вектора «голова к хвосту»:
Первое преобразование из полярной системы в декартову (до 2 десятичных знаков):
Вектор Сэма:
x = r × cos( θ ) = 200 × cos(60°) = 200 × 0,5 = 100
y = r × sin( θ ) = 200 × sin(60°) = 200 × 0,8660 = 173,21
Вектор Алекса:
x = r × cos( θ ) = 120 × cos(−45°) = 120 × 0,7071 = 84,85
y = r × sin( θ ) = 120 × sin(−45°) = 120 × -0,7071 = −84,85
Теперь у нас есть:
Добавьте их:
(100, 173,21) + (84,85, -84,85) = (184,85, 88,36)
Этот ответ верный, но давайте обратимся к полярному, поскольку вопрос был полярным:
r = √ (x ² + y ²) = √ (184,85 ² + 88,36 ²) = ^204,04
θ = тангенс ^-1 ( y / x ) = тангенс ^-1 ( 88,36 / 184,85 ) = 25,5°
И у нас есть этот (округленный) результат:
А для Сэма и Алекса это выглядит так:
Они могли бы получить лучший результат, если бы стояли плечом к плечу!

Объяснение урока: полярная форма вектора
В этом объяснении мы узнаем, как преобразовывать прямоугольную форму вектора в полярную.
Когда мы думаем о векторах на плоскости, мы обычно думаем о декартовых координатах, поскольку это наиболее распространенная система координат, которая приводит к прямоугольной форме вектора. В частности, прямоугольные формы вектора используются в линейном движении, где просто указать движение оси и где движение будет проходить по линейному пути к определенному местоположению.
Прямоугольные формы вектора определяют положение как линейное расстояние от начала координат в двух или более взаимно перпендикулярных направлениях. Стандартные единичные векторы в координатной плоскости: ⃑𝑖=(1,0),⃑𝑗=(0,1).
Начало — это точка пересечения осей, а векторы на координатной плоскости задаются линейной комбинацией единичных векторов с использованием обозначения ⃑𝑣=𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗=(𝑥,𝑦).
Для прямоугольной формы вектора любой вектор может быть определен уникальным набором компонентов, заданным как линейная комбинация единичных векторов 𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗; эта форма допускает как положительные, так и отрицательные компоненты по отношению к происхождению.
Однако существуют и другие способы представления вектора a — мы рассмотрим один из таких способов, известный как полярная форма вектора. Эта полярная форма определяет вектор в пространстве с использованием комбинации радиальных и угловых единиц, а вектор определяется расстоянием по прямой от начала координат и углом от положительной оси 𝑥.
Они известны как радиальные и угловые компоненты вектора, а полярная форма вектора, как показано на диаграмме выше, имеет вид ⃑𝑣=(𝑟,𝜃).
Полярные формы вектора часто используются в нелинейном движении, например, если движение включает круговой путь. Это делает полярную форму полезной при расчете уравнений движения для многих механических систем. У него также есть другие реальные приложения, такие как радары, использующие индикатор положения в плане, описание характеристик микрофона и управление промышленными роботами в различных производственных приложениях и гравитационных полях, и это лишь некоторые из них.
Для полярной формы вектора ⃑𝑣 мы помечаем вектор его линейным расстоянием или длиной от начала координат, обозначаемым 𝑟, и его углом от положительной оси 𝑥, обозначаемым 𝜃. Другими словами, радиальная составляющая 𝑟 определяется как длина модуля вектора, 𝑟≡‖‖⃑𝑣‖‖.
Поскольку мы можем построить прямоугольный треугольник, используя 𝑟 в качестве гипотенузы, мы выражаем стороны треугольника через sin𝜃 и cos𝜃.
Это также позволяет нам выразить компоненты прямоугольной формы вектора ⃑𝑣 через компоненты его полярной формы.
Определение: Преобразование полярной формы в прямоугольную форму вектора
Компоненты полярной формы (𝑟,𝜃) вектора могут быть преобразованы в прямоугольную форму 𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗 как 𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin
Итак, если нам даны компоненты полярной формы вектора, модуль или длина 𝑟 и угол 𝜃, мы можем определить компоненты прямоугольной формы, 𝑥 и 𝑦, используя эти уравнения.
В качестве примера давайте преобразуем вектор из полярной формы в градусах в прямоугольную форму, используя модуль вектора и острый угол, представленные геометрически.
Пример 1: Геометрическое представление векторов
Рассмотрим вектор ⃑𝑣 с модулем 3 и углом 45∘, отсчитываемым против часовой стрелки от положительной оси 𝑥. Используя тригонометрию, вычислить 𝑥- и 𝑦-компоненты вектора и, следовательно, записать ⃑𝑣 в виде (𝑥,𝑦). Округлите ответ до двух знаков после запятой.
Ответ
В этом примере мы хотим найти прямоугольную форму вектора, используя графическое представление и заданную длину вектора.
Напомним, что полярная форма определяет вектор согласно расстоянию от начала координат, обозначенному 𝑟, и угловому направлению от положительной оси 𝑥, обозначенному 𝜃.
Радиальная составляющая равна длине или модулю вектора ⃑𝑣, 𝑟=‖‖⃑𝑣‖‖, и задается как 𝑟=3, и нам говорят, что вектор находится под углом 45 ∘ над положительной 𝑥-осью.
Подставляя радиальную и угловую компоненты вектора ⃑𝐴, 𝑟=3 и 𝜃=45∘, компоненты прямоугольной формы определяются как 𝑥=345=3×1√2=2,121320343…cos∘ а также 𝑦=345=3×1√2=2,121320343….sin∘
Следовательно, с точностью до двух знаков после запятой имеем ⃑𝑣=(2.12,2.12).
Теперь давайте рассмотрим другой пример, в котором мы преобразуем вектор из полярной формы в градусах в прямоугольную, используя графическое представление вектора.
Пример 2. Преобразование вектора из полярной формы в векторную форму с использованием графического представления вектора
Заполните пропуск: Если ‖‖⃑𝐴‖‖=4см, то ⃑𝐴=.
4√3,4
2,2√3
√3,2
2√3,2
^{1 прямоугольная форма вектора с использованием графического представления и заданной длины вектора.
Напомним, что полярная форма определяет вектор согласно расстоянию от начала координат, обозначенному 𝑟, и угловому направлению от положительной оси 𝑥, обозначенному 𝜃.
Компоненты прямоугольной формы вектора ⃑𝑣=(𝑥,𝑦) могут быть выражены через компоненты полярной формы ⃑𝑣=(𝑟,𝜃) как
𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin
Радиальная составляющая равна длине или модулю вектора ⃑𝑣:
𝑟=‖‖⃑𝑣‖‖.
Подставляя радиальную и угловую компоненты вектора ⃑𝐴, 𝑟=4 см и 𝜃=30∘, компоненты прямоугольной формы определяются как
𝑥=430=4×√32=2√3cos∘
а также
𝑦=430=4×12=2. sin∘
Следовательно, имеем
⃑𝐴=2√3,2.
Это вариант D.
Теперь давайте преобразуем вектор из полярной формы в градусах в прямоугольную, чтобы решить конкретную задачу со словами, связанную с силой.
Пример 3: Преобразование вектора из полярной формы в прямоугольную в текстовой задаче
Заполните пропуск: Если сила 𝐹=8N действует в направлении 30∘ к востоку от севера, где восток представляет положительную ось 𝑥
а север представляет собой положительную 𝑦-ось, тогда
⃑𝐹=.
4⃑𝑖 — 4√3⃑𝑗
4⃑𝑖+4√3⃑𝑗
4√3⃑𝑖 — 4⃑𝑗
4√3⃑𝑖+4⃑𝑗
Ответ
В этом примере мы хотим найти прямоугольную форму вектора силы. проблема со словом.
Напомним, что полярная форма определяет вектор согласно расстоянию от начала координат, обозначенному 𝑟, и угловому направлению от положительной оси 𝑥, обозначенному 𝜃.
Компоненты прямоугольной формы вектора через основные единицы ⃑𝑣=𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗 могут быть выражены через компоненты полярной формы ⃑𝑣=(𝑟,𝜃) как
𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃. коссин
Радиальная составляющая эквивалентна длине или модулю вектора ⃑𝑣:
𝑟=‖‖⃑𝑣‖‖.
Поскольку 𝐹=8 действует в направлении 30∘ к востоку от севера, радиальная составляющая полярной формы равна 𝑟=|𝐹|=8, а угловая составляющая, угол против часовой стрелки от положительной оси 𝑥, равна 𝜃=90 −30=60∘∘∘.
Это связано с тем, что заданный угол составляет 30° к востоку от севера, а углы обычно измеряются с востока на север в направлении против часовой стрелки от положительной оси 𝑥, как показано на диаграмме выше.
Подставляя радиальную и угловую компоненты вектора ⃑𝐹, 𝑟=8 и 𝜃=60∘, компоненты прямоугольной формы определяются как
𝑥=860=8×12=4cos∘
а также
𝑦=860=8×√32=4√3.sin∘
Следовательно, имеем
⃑𝐹=4⃑𝑖+4√3⃑𝑗.
Это вариант B.
Угол против часовой стрелки считается положительным, а угол по часовой стрелке отрицательным. В предыдущих примерах и диаграммах угловые компоненты были острыми, поскольку векторы в примерах находились в первом квадранте. Если вектор лежит в другом квадранте, как показано на диаграмме ниже, его угол не является острым.
На самом деле, хотя мы и вывели уравнения для компонентов прямоугольной формы,
𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃,коссин
от острых углов, 0≤𝜃𝜋2, мы знаем, что они остаются верными для любого угла 𝜃.
Рассмотрим пример, в котором мы преобразуем вектор, лежащий во втором квадранте с неострым углом, из полярной формы в радианах в прямоугольную, чтобы найти разность двух векторов.
Пример 4. Решение задачи с векторами прямоугольной и полярной форм
Заполните пропуск: Если ⃑𝐴=(6,𝜋) и ⃑𝐵=−3⃑𝑖+4⃑𝑗, то 𝐴𝐵=.
(3,4)
(−3,4)
(−3,−4)
(3,−4)
Ответ
В этом примере мы хотим найти вектор направления 𝐴𝐵 в прямоугольной форме, где вектор ⃑𝐴 задан в полярной форме, а ⃑𝐵 задан в прямоугольной форме. Начнем с построения векторов ⃑𝐴 и ⃑𝐵,
. Напомним, что полярная форма определяет вектор в соответствии с расстоянием от начала координат, обозначаемым 𝑟, и угловым направлением от положительной оси 𝑥, обозначаемой 𝜃.
Компоненты прямоугольной формы вектора через основные единицы ⃑𝑣=𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗 могут быть выражены через компоненты полярной формы ⃑𝑣=(𝑟,𝜃) как
𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin
Подставляя радиальную и угловую компоненты вектора ⃑𝐴, 𝑟=6 и 𝜃=𝜋, компоненты прямоугольной формы определяются как
𝑥=6(𝜋)=6×−1=−6cos
а также
𝑦=6(𝜋)=6×0=0.sin
Таким образом, ⃑𝐴 в прямоугольной форме
⃑𝐴=−6⃑𝑖+0⃑𝑗=−6⃑𝑖.
Теперь мы можем определить 𝐴𝐵:
𝐴𝐵=⃑𝐵−⃑𝐴=−3⃑𝑖+4⃑𝑗−−6⃑𝑖=3⃑𝑖+4⃑𝑗.
Следовательно, имеем
𝐴𝐵=(3,4).
Это вариант A.
В следующем примере давайте преобразуем вектор в четвертом квадранте, 3𝜋2𝜃2𝜋, из полярной формы в радианах в прямоугольную форму.
Пример 5: Преобразование вектора из полярной формы в прямоугольную
Заполните пропуск: Если ⃑𝐴=7,5𝜋3, то ⃑𝐴 в терминах фундаментальных единичных векторов равно .
72⃑𝑖+7чина.0050
Ответ
В этом примере мы хотим определить прямоугольную форму вектора из полярной формы 7,5𝜋3.
Напомним, что полярная форма определяет вектор согласно расстоянию от начала координат, обозначенному 𝑟, и угловому направлению от положительной оси 𝑥, обозначенному 𝜃.
Компоненты прямоугольной формы вектора через основные единицы ⃑𝑣=𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗 могут быть выражены через компоненты полярной формы ⃑𝑣=(𝑟,𝜃) как
𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.коссин
Мы знаем, что расстояние от начала координат равно 7, а стандартный угол вектора равен 5𝜋3. Поскольку этот угол находится между 3𝜋2 и 2𝜋, мы знаем, что вектор расположен в четвертом квадранте, как показано на диаграмме ниже.
Подставляя радиальную и угловую компоненты вектора ⃑𝐴, 𝑟=7 и 𝜃=5𝜋3, компоненты прямоугольной формы определяются как
𝑥=75𝜋3=7×12=72cos
а также
𝑦=75𝜋3=7×−√32=−7√32.sin
Отметим, что 𝑥>0 и 𝑦0, что указывает на то, что этот вектор, как и ожидалось, лежит в четвертом квадранте.
Таким образом, вектор ⃑𝐴 в терминах фундаментальных ортов равен
72⃑𝑖−7√32⃑𝑗.
Это вариант B.
До сих пор мы видели примеры преобразования вектора из полярной формы в прямоугольную с помощью тригонометрии. Но что, если мы хотим сделать обратное, то есть преобразовать вектор из прямоугольной формы в полярную?
Начнем с того, что вспомним уравнения, выражающие компоненты прямоугольной формы 𝑥 и 𝑦 через компоненты полярной формы 𝑟 и 𝜃:
𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.коссин
Используя их, мы хотим записать компоненты полярной формы в терминах 𝑥 и 𝑦, независимо от того, в каком квадранте лежит вектор.
Если мы возьмем квадрат каждого из них и сложим их, используя Пифагорейское тождество, мы можем устранить 𝜃 и показать, что они удовлетворяют
𝑥+𝑦 = 𝑟𝜃+𝑟𝜃 = 𝑟𝜃+𝜃 = 𝑟. +𝑦⃑𝑗, который мы определяем как 𝑟, задается выражением
𝑟=‖‖⃑𝑣‖‖=√𝑥+𝑦.
Используя это, мы можем решить задачу на сложение длин трех векторов.
Пример 6: Решение проблемы с участием векторов в прямоугольной форме и полярной форме
, если ⃑𝐴 = 3⃑𝑖+4⃑𝑗, ⃑𝐵 = 4⃑𝑗 и ⃑𝐶 = 6, 𝜋10, то ‖⃑𝐴⃑𝐴⃑𝐴‖+‖⃑𝐵⃑𝐵‖ +‖‖⃑𝐶‖‖=.
6
11
10
15
Ответ
В этом примере мы хотим найти сумму длины трех векторов, где ⃑𝐴 и ⃑𝐵 находятся в прямоугольной форме, а ⃑𝐶 — поля. . Начнем с построения графика трех заданных векторов.
Напомним, что полярная форма определяет вектор согласно смещению от начала координат, обозначенному 𝑟, и угловому направлению от положительной оси 𝑥, обозначенному 𝜃.
Модуль вектора ⃑𝑣 в прямоугольной форме в основных единицах ⃑𝑣=𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗 определяется выражением
‖‖⃑𝑣‖‖=√𝑥+𝑦.
Следовательно, для заданных векторов ⃑𝐴 и ⃑𝐵 имеем
‖‖⃑𝐴‖‖=√3+4=5
а также
‖‖⃑𝐵‖‖=√0+4=4.
Мы также можем увидеть длину вектора ⃑𝐵 на графике.
Вектор ⃑𝐶 задан в полярной форме (𝑟,𝜃), где 𝑟 — радиальная составляющая, равная длине или модулю вектора ‖‖⃑𝐶‖‖, а 𝜃 — угловая составляющая. Следовательно, модуль вектора равен
‖‖⃑𝐶‖‖=6.
Следовательно, имеем
‖‖⃑𝐴‖‖+‖‖⃑𝐵‖‖+‖‖⃑𝐶‖‖=5+4+6=15.
Это вариант D.
Кроме того, когда мы делим уравнение для 𝑦 на уравнение для 𝑥, мы можем отменить появившееся 𝑟, чтобы получить
𝑦𝑥=𝑟𝜃𝑟𝜃=𝜃𝜃=𝜃.sincossincostan
Отметим, что это верно только для 𝑥≠0. У нас есть частный случай, когда 𝑥=0,𝑦=𝑎∈ℝ или (0,𝑎) в прямоугольной форме. Для этого у нас есть
𝑟𝜃=0, потому что
что приводит к 𝜃=𝜋2, 𝜃=−𝜋2 или 𝑟=0. Мы можем игнорировать случай 𝑟=0, так как это означало бы 𝑦=0, что соответствует нулевому вектору, который в полярной форме обозначается (0,𝜃), для любого угла 𝜃.
Таким образом, 𝜃=𝜋2 или 𝜃=−𝜋2, которые соответствуют оси 𝑦. Эти углы помещают вектор на 𝑦-ось, поэтому модуль вектора равен абсолютному значению 𝑦-координаты, 𝑟=|𝑎|. Представление полярной формы этого вектора: |𝑎|,𝜋2 для 𝑎>0 и |𝑎|,−𝜋2 для 𝑎0.
Итак, если 𝑥≠0, у нас есть следующее уравнение для определения угла 𝜃:
загар𝜃=𝑦𝑥.
Диапазон функции арктангенса равен −𝜋2,𝜋2, когда область определения функции тангенса ограничена одним и тем же интервалом, известным как главная ветвь. Это делается для того, чтобы функция тангенса была один к одному, чтобы функция арктангенса оценивалась как одно значение, известное как основное значение.
Таким образом, пока 𝜃∈−𝜋2,𝜋2, мы можем взять арктангенс обеих частей уравнения, чтобы получить
𝜃=𝑦𝑥.tan
Угловые координаты 𝜃∈−𝜋2,𝜋2 соответствуют первому и четвертому квадрантам или квадрантам, где 𝑥>0.
В следующем примере давайте преобразуем вектор из прямоугольной формы в полярную в радианах.
Пример 7: Преобразование вектора из векторной формы в полярную форму
Заполните пропуск: Если 𝑃𝑀=4√3,4, то полярная форма вектора 𝑃𝑀 равна .
8, 𝜋3
8, 𝜋4
(8, 𝜋)
8, 𝜋6
. ), в радианах, для заданного вектора в прямоугольных координатах 𝑃𝑀=4√3,4. Начнем с построения этого вектора на координатной плоскости.
Напомним, что полярная форма определяет вектор согласно расстоянию от начала координат, обозначенному 𝑟, и угловому направлению от положительной оси 𝑥, обозначенному 𝜃. Мы используем соглашение, где угол 𝜃 является положительным углом против часовой стрелки.
Компоненты прямоугольной формы вектора через основные единицы ⃑𝑣=𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗 могут быть выражены через компоненты полярной формы ⃑𝑣=(𝑟,𝜃) как
𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin
Теперь найдем полярную форму вектора 𝑃𝑀, используя графическое представление непосредственно с определением. Радиальная координата — это расстояние от начала координат до вектора 𝑃𝑀, которое мы можем найти из теоремы Пифагора о прямоугольном треугольнике, как показано на диаграмме. Сначала найдем гипотенузу этого треугольника.
𝑟=4√3+4=√64=8.
Поскольку вектор 𝑃𝑀 расположен в первом квадранте, угловая составляющая 𝜃 для полярной формы будет положительным углом против часовой стрелки от положительной оси 𝑥, и мы можем построить прямоугольный треугольник с углом 𝜃 и длинами сторон 4 √3 и 4, как показано на диаграмме. Поскольку 𝜃 — острый угол, используя тригонометрию прямоугольного треугольника, мы можем записать это в терминах арктангенса как
𝜃=44√3=1√3=𝜋6. tantan
Мы могли бы также получить этот ответ, используя тот факт, что мы можем преобразовать вектор из прямоугольной формы, ⃑𝑣=(𝑥, 𝑦), расположенных в первом квадранте в полярной форме, ⃑𝑣=(𝑟,𝜃), с помощью
𝑟=√𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥.загар
Это дает те же радиальные и угловые компоненты полярной формы после замены 𝑥=4√3 и 𝑦=4.
Следовательно, полярная форма вектора 𝑃𝑀 равна
8,𝜋6.
Это вариант D.
Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы идентифицируем графическое полярное представление данного вектора.
Пример 8: Определение графического полярного представления вектора
Что из следующего является полярным представлением ⃑𝐴=2√3,2?
Ответ
В этом примере мы хотим определить графическое полярное представление в градусах для конкретного вектора в прямоугольной форме, ⃑𝐴=2√3,2.
Напомним, что полярная форма определяет вектор согласно расстоянию от начала координат, обозначенному 𝑟, и угловому направлению от положительной оси 𝑥, обозначенному 𝜃. Мы используем соглашение, где угол 𝜃 является положительным углом против часовой стрелки. Мы также ограничиваем углы до 0≤𝜃2𝜋, чтобы записать их в стандартизированной форме.
Компоненты прямоугольной формы вектора ⃑𝑣=(𝑥,𝑦) могут быть выражены через компоненты полярной формы ⃑𝑣=(𝑟,𝜃) как
𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin
Поскольку вектор лежит в первом квадранте, мы можем определить полярную форму, используя
𝑟=√𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥.tan
Для данного вектора ⃑𝐴 мы можем определить радиальную составляющую как
𝑟=2√3+2=√12+4=√16=4
а угловая составляющая как
𝜃=22√3=1√3=30.tantan∘
Таким образом, графическим полярным представлением является то, в котором отрезок имеет длину 4 и находится на расстоянии 30∘ от положительной оси 𝑥 в направление против часовой стрелки.
Это вариант B.
В предыдущем примере мы преобразовали прямоугольную форму вектора в первом квадранте в полярную форму. Как видно из этого примера, мы можем вычислить угловую координату вектора, используя
𝜃=𝑦𝑥тан
в первом и четвертом квадрантах. Однако это уже не так, если вектор лежит во втором или третьем квадранте. Для второго и третьего квадрантов значение 𝜋 в радианах или 180∘ в градусах необходимо добавить к углу 𝜃, чтобы настроить угловую координату так, чтобы вектор лежал в правильном квадранте. Это не влияет на саму касательную функцию, поскольку мы имеем тождество
тантан𝜃=(𝜃+180),∘
или в более общем смысле
тантан𝜃=(𝜃+180𝑘),𝑘∈ℤ.∘
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим вектор в прямоугольных координатах, лежащий во втором квадранте, (𝑥,𝑦)=(−𝑎,𝑏) с 𝑎>0 и 𝑏>0.
Угловой компонент 𝜃 для этого вектора в полярной форме будет положительным углом против часовой стрелки от положительной оси 𝑥, а угол 𝛼 измеряется от отрицательной оси 𝑥, как показано на диаграмме. Мы можем построить прямоугольный треугольник с углом 𝛼 и длинами сторон 𝑎 и 𝑏. Поскольку 𝛼 — острый угол, мы можем записать это через стороны, используя арктангенс, как
𝛼=𝑏𝑎.тан
У нас также есть 𝛼+𝜃=180∘. Подставляя угол 𝛼, мы можем изменить это, чтобы найти
𝜃=−𝛼+180=−𝑏𝑎+180=𝑏−𝑎+180,∘∘∘тантан
где для последнего равенства мы использовали тот факт, что функция тангенса, а значит и функция арктангенса, является нечетной функцией.
Поскольку (𝑥,𝑦)=(−𝑎,𝑏), это эквивалентно
𝜃=𝑦𝑥+180.tan∘
В следующем примере мы найдем угловую координату определенного вектора в градусах, лежащего во втором квадранте.
Пример 9. Нахождение угла направления заданного вектора
Рассмотрим вектор (−2,3). Вычислите направление вектора, задав ваше решение как угол с точностью до градуса, измеренный против часовой стрелки от положительной оси 𝑥.
Ответ
В этом примере мы хотим определить направление вектора в градусах для конкретного вектора в прямоугольной форме (−2,3). Мы хотим найти угол, измеренный против часовой стрелки от положительной оси 𝑥. Начнем с построения этого вектора на координатной плоскости.
Поскольку вектор (−2,3) расположен во втором квадранте, направлением вектора является угол 𝜃, отсчитываемый против часовой стрелки от положительной оси 𝑥. Рассмотрим угол 𝛼, который измеряется в том же направлении, что и 𝜃, как показано на схеме. Мы можем составить прямоугольный треугольник с углом 𝛼 и длинами сторон 2 и 3. Поскольку 𝛼 — острый угол, мы можем использовать тригонометрию прямоугольного треугольника, чтобы записать стороны через арктангенс как
𝛼=32.tan
Поскольку сумма углов на прямой составляет 180∘, мы также имеем 𝛼+𝜃=180∘. Подставляя угол 𝛼, мы можем изменить это, чтобы найти
𝜃=−𝛼+180=−32+180=−56,3099324…+180=123,65….∘∘∘∘∘tan
Мы могли бы также прийти к этому ответу, используя тот факт, что вектор прямоугольной формы (𝑥,𝑦), расположенный во втором квадранте, имеет угол
𝜃=𝑦𝑥+𝜋,загар
где 𝜃 отсчитывается против часовой стрелки от положительной оси 𝑥. Это дает тот же угол после замены 𝑥=−2 и 𝑦=3. Этот угол эквивалентен угловой составляющей полярной формы (−2,3).
Следовательно, с точностью до градуса направление вектора, отсчитываемого против часовой стрелки от положительной оси 𝑥, равно 124∘.
Для третьего квадранта мы можем показать аналогичным образом, что нам также нужно добавить 180∘ к tan𝑦𝑥, чтобы получить угловую координату 𝜃 в правильном квадранте.
Полярные формы вектора не уникальны, если только мы не ограничиваем угол определенным диапазоном, и существует множество способов представления одного и того же вектора. В качестве примера определим полярную форму вектора ⃑𝑖+⃑𝑗 в прямоугольных координатах.
Радиальная составляющая 𝑟 — это расстояние от начала координат, которое мы можем определить, используя теорему Пифагора о прямоугольном треугольнике со стороной 1 и углом 𝜃. Особенно,
𝑟=√1+1=√2.
Существует много способов выразить угловую составляющую 𝜃. Один из них — это положительный угол против часовой стрелки от положительной оси 𝑥, который от прямоугольного треугольника дает нам тангенс с точки зрения отношения противоположной и смежной сторон:
загар𝜃=11=1.
Поскольку вектор лежит в первой четверти, а 𝜃 — острый угол на диаграмме, мы можем найти угол непосредственно из арктангенса,
𝜃=(1)=45.tan∘
Таким образом, полярная форма вектора ⃑𝑖+⃑𝑗 есть √2,45∘.
Другая полярная форма может быть найдена, если мы используем отрицательный угол по часовой стрелке от положительной оси 𝑥, что даст эквивалентную полярную форму как √2,45−360=√2,−315∘∘∘. На самом деле, если мы совершим полный оборот от этого вектора по часовой или против часовой стрелки, мы вернемся обратно к тому же вектору. Таким образом, другим представлением будет √2,45+360=√2,405∘∘∘.
Это показывает ключевое отличие при использовании полярных форм по сравнению с прямоугольной формой, поскольку позволяет бесконечное количество наборов для описания любого заданного вектора. Это потому, что мы можем добавить любое целое число, кратное полному обороту (360∘ или 2𝜋), к угловой координате 𝜃, чтобы получить эквивалентную точку в полярных координатах. Это следует из того, что тригонометрические функции, используемые для определения полярных форм, сами по себе являются периодическими.
Это условие эквивалентности можно резюмировать следующим образом.
Определение: условие периодичности для полярных форм
Если (𝑟,𝜃) описывает полярную форму вектора, то мы можем выразить эквивалентные полярные формы как
(𝑟,𝜃)=(𝑟,𝜃+2𝜋𝑛)(),=(𝑟,𝜃+360𝑛)(),радианыградусы∘
для любого 𝑛∈ℤ.
Таким образом, чтобы стандартизированно выразить полярную форму с 0≤𝜃2𝜋 в радианах или 0≤𝜃360∘∘ в градусах, нам, возможно, придется скорректировать значение угловой координаты 𝜃. В частности, для четвертого квадранта нам, возможно, придется добавить полный оборот (2𝜋 или 360∘), чтобы получить эквивалентный угол в стандартном диапазоне, поскольку арктангенс дает отрицательный угол по часовой стрелке, а не положительный угол против часовой стрелки от положительного 𝑥-ось.
Используемые нами соглашения принимают угол против часовой стрелки как положительный, а угол по часовой стрелке как отрицательный. Угол измеряется против часовой стрелки от положительной оси 𝑥.
Мы можем обобщить то, что мы рассмотрели до сих пор, в определении, которое можно использовать для преобразования прямоугольной формы вектора в полярную форму и наоборот.
Определение: Преобразование прямоугольной формы в полярную форму вектора
𝑟=√𝑥+𝑦,𝜃=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩𝑦𝑥𝑥>0,𝑦>0;𝑦𝑥+(3602𝜋)𝑥>0,𝁇80;𝑦 )𝑥0;90𝜋2𝑥=0,𝑦>0;2703𝜋2𝑥=0,𝑦0;∘∘∘∘танфортанорфортанорфорфорорфор
для 0≤𝜃2𝜋 в радианах или 0≤𝜃360∘∘ в градусах.
Эту информацию можно эффективно передать с помощью следующей схемы.
В качестве примера рассмотрим векторы ⃑𝑣=(4,3),⃑𝑣=(−4,3), ⃑𝑣=(−4,−3) и ⃑𝑣=(4,−3) в прямоугольной форме, где каждый вектор расположен в другом квадранте, как показано на графике. Мы хотим определить полярные формы этих векторов стандартизированным способом, с точностью до двух знаков после запятой и в градусах с 0≤𝜃360∘∘.
Радиальная составляющая 𝑟 для этих векторов в полярной форме будет одинаковой, так как
𝑟=√4+3=√(−4)+3=√(−4)+(−3)=√4+(−3)=5.
Разница будет с угловой составляющей 𝜃, так как это будет определять направление и, следовательно, в каком квадранте будет лежать вектор в полярной форме.
из общей формулы как
𝜃=34=34=36,86989765….tantan∘
Как и ожидалось, этот угол острый, так как 0≤𝜃90∘∘, что помещает вектор в первый квадрант.
Вектор ⃑𝑣=−4⃑𝑖+3⃑𝑗 находится во втором квадранте, а угловая составляющая равна
𝜃=3−4+180=−34+180=−36,86989765…+180=143,1301024…. tantan∘∘∘∘∘
Как и ожидалось, у нас есть 90𝜃180, что помещает вектор во втором квадранте.
Вектор ⃑𝑣=−4⃑𝑖−3⃑𝑗 находится в третьем квадранте, а угловая составляющая равна
𝜃=−3−4+180=34+180=36,86989765…+180=216,8698976….tantan∘∘∘∘∘
Как и ожидалось, мы имеем 180𝜃270, где вектор в третьем квадранте.
Наконец, вектор ⃑𝑣=4⃑𝑖−3⃑𝑗 находится в четвертом квадранте, а угловая составляющая
𝜃=−34+360=−34+360=−36,86989765…+360=323,1301024….tantan∘∘∘∘∘
Как и ожидалось, мы имеем 270𝜃360, что помещает вектор в четвертом квадранте.
Таким образом, представление полярной формы векторов с точностью до двух знаков после запятой дается выражением
⃑𝑣=(5,36,87),⃑𝑣=(5,143,13),⃑𝑣=(5,216,87),⃑𝑣=(5,323,13).∘∘∘∘
Наконец, давайте рассмотрим пример, где мы преобразуем вектор в третьем квадрант от прямоугольной формы к полярной форме, в радианах.
Пример 10. Преобразование вектора из прямоугольной формы в полярную
Заполните пропуск: Если ⃑𝐴=-⃑𝑖-⃑𝑗, то
⃑𝐴 есть .
√2,5𝜋4
√2, 𝜋4
√2,7𝜋4
чина (𝑟,𝜃) в радианах для конкретного вектора в прямоугольной форме ⃑𝐴=−⃑𝑖−⃑𝑗.
Напомним, что полярная форма определяет вектор согласно расстоянию от начала координат, обозначенному 𝑟, и угловому направлению от положительной оси 𝑥, обозначенному 𝜃. Мы используем соглашение, где угол 𝜃 является положительным углом против часовой стрелки. Мы также ограничиваем углы до 0≤𝜃2𝜋, чтобы записать их в стандартизированной форме.
Компоненты прямоугольной формы вектора через основные единицы ⃑𝑣=𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗 могут быть выражены через компоненты полярной формы ⃑𝑣=(𝑟,𝜃) как
𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.cossin
Теперь найдем полярную форму вектора ⃑𝐴=−⃑𝑖−⃑𝑗, используя графическое представление непосредственно с определением. Радиальная составляющая — это расстояние от начала координат до вектора ⃑𝐴, и мы можем найти его, применив теорему Пифагора о прямоугольном треугольнике, как показано на диаграмме ниже.
Мы можем найти гипотенузу этого треугольника из
𝑟=√1+1=√2. 
Поскольку вектор ⃑𝐴 расположен в третьем квадранте, угловая составляющая 𝜃 для полярной формы будет положительным углом против часовой стрелки от положительной оси 𝑥, а угол 𝛼 измеряется от отрицательной оси 𝑥. Мы можем составить прямоугольный треугольник с углом 𝛼 и сторонами длиной 2 и 5, как показано на диаграмме выше. Поскольку 𝛼 — острый угол, мы можем записать это через стороны, используя арктангенс, как
𝛼=11.tan
У нас также есть 𝜃=𝛼+𝜋. Подставляя угол 𝛼, мы можем изменить это, чтобы найти
𝜃=𝛼+𝜋=11+𝜋=𝜋4+𝜋=5𝜋4.tan
Мы могли бы также прийти к этому ответу, используя тот факт, что мы можем преобразовать вектор из прямоугольной формы ⃑𝑣=𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗, расположенной в третьем квадранте в полярную форму ⃑𝑣=(𝑟,𝜃) с помощью
𝑟=√𝑥+𝑦,𝜃=𝑦𝑥+𝜋.tan
Это дает те же радиальные и угловые компоненты полярной формы после замены 𝑥=−1 и 𝑦=−1.
Следовательно, полярная форма ⃑𝐴
√2,5𝜋4.
Это вариант A.
Ключевые точки
Полярная форма вектора обозначается (𝑟,𝜃), где 𝑟 представляет собой расстояние от начала координат, а 𝜃 представляет собой угол, измеренный от оси 𝑥.
Компоненты прямоугольной формы вектора ⃑𝑣=𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗 могут быть получены из компонент полярной формы ⃑𝑣=(𝑟,𝜃) из
𝑥=𝑟𝜃,𝑦=𝑟𝜃.коссин
Полярная форма вектора ⃑𝑣=(𝑟,𝜃) не уникальна, и существуют эквивалентные способы описания одного и того же вектора, поскольку тригонометрические функции, используемые для их определения, являются периодическими.
Используемые соглашения принимают угол против часовой стрелки как положительный, а угол по часовой стрелке как отрицательный, и мы используем стандартизированную форму с 0≤𝜃2𝜋 в радианах или 0≤𝜃360∘∘ в градусах.
Мы можем найти эквивалентную полярную форму вектора, добавляя или вычитая любое целое число, кратное полному обороту (360∘ или 2𝜋):
(𝑟,𝜃)=(𝑟,𝜃+2𝜋𝑛).
Компоненты полярной формы вектора ⃑𝑣=(𝑟,𝜃) могут быть выражены через компоненты прямоугольной формы ⃑𝑣=𝑥⃑𝑖+𝑦⃑𝑗 как
𝑟=√𝑥+𝑦,
а значение 𝜃 будет зависеть от квадранта, в котором лежит вектор ⃑𝑣, для 0≤𝜃2𝜋 в радианах или 0≤𝜃360∘∘ в градусах.}

« Предыдущая 1 … 2 755 2 756 2 757 2 758 2 759 … 2 804 Следующая »