Метод Жордана-Гаусса — 📙 Математика
1. Общие понятия
2. История появления метода Жордана-Гаусса
3. Использование метода Жордана-Гаусса на практике
4. Суть метода Жордана-Гаусса
5. Получение обратных матриц с применением метода Жордана-Гаусса
Методом Жордана-Гаусса является такой метод решения линейных уравнений, при котором полностью исключаются неизвестные. Этот метод есть производным от метода Гаусса, но в данной модификации элементарные преобразования производят дальше.
Возникновение метода Гаусса своими корнями уходит в далекие годя до нашей эры. Он описан еще в древней китайской книге, которая называется «Математика в девяти книгах», написанной примерно в 150 году до нашей эры. В этом трактате собраны различные математические задачи и методы их решения.
В Европе первым, кто занялся исследованием данного метода, стал Исаак Ньютон. Он изучал множество древних математических книг, но при этом не обнаружил ни одного способа решения систем уравнений с большим числом переменных, и предложил способ такого решения в своей работе, которая была обнародована в 1707 году.
Его метод распространился на протяжении века в различных пособиях и справочниках по арифметике.
Немецким ученым К.Ф. Гауссом в 1810 году был усовершенствован данный метод и опубликован на ряду с другими его работами, после чего метод преобразования в треугольную матрицу нашел массовое распространение и был назван его именем.
Затем во второй половине ХІХ столетия ученый Жордан доработал метод Гаусса, трансформировав его в более совершенный метод приведения к диагональной матрице. Интересно, что на ряду с ним точно то же совершил еще один ученый, но все же название метода на сегодняшний день получило имена Гаусса и Жордана.
Метод Жордана-Гаусса имеет широкое применение для расчета систем линейных уравнений, создания обратных матриц, изучения рангов матриц. Зачастую именно с его помощью решаются инженерные задачи с большим количеством неизвестных.
При расчете полученных из инженерно-технических задач систем уравнений, сначала выбирают самые большие за модулем переменные для минимизации погрешности, далее поочередно удаляют не нужные переменные из матрицы.
Также при расчетах инженерно-технологических задач этим методом, пользуются различными алгоритмами программирования, что дает возможность получения результатов с меньшей погрешностью.
Применяя метода Жордана-Гаусса, мы получаем матрицу, диагональ которой состоит из единиц, а все остальные коэффициенты – нули, к примеру:
\(A = \begin{array}{ccc|c} 1& 0 &0 &a_1 \\ 0& 1 &0 &a_2 \\ 0 & 0 & 1 &a_3 \end{array}\)
Отличается данный метод от метода Гаусса тем, что в последнем к нулям приводится лишь нижняя часть матрицы, в то время, как при использовании метода Жордана-Гаусса к нулям приводится также и верхняя часть матрицы.
Оба метода применяют для определения базисного и общего решений системы уравнений.
Базисное решение являет собой такое решение системы уравнений, когда все свободные переменные равняются нулю.
Общее решение системы уравнений являет собой такое решение, когда основные переменные выражают через свободные.
Еще одним вариантом применения метода Жордана-Гаусса есть получение обратных матриц.
Обратной называют такую матрицу, результатом перемножения которой с заданной матрицей будет единичная матрица. Данная матрица может существовать исключительно для квадратных и невырожденных матриц.
Суть метода определения обратной матрицы состоит вот в чем: заданную и единичную матрицы одновременно преобразовывают элементарными действиями с использованием метода Жордана-Гаусса. В итоге получают две матрицы – единичную диагональную и обратную.
Рассмотрим последовательность действий для получения обратной матрицы с применением метода Жордана-
Гаусса на примере заданной квадратной матрицы:
\(\begin{array}{cc} 1& 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array}\)
1) Записываем заданную и единичную матрицы:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end{array}\)
2) К последней строке плюсуем первую, перемноженную на -3:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}\)
3) После этого к первой строчке добавляем последнюю:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end{array}\)
4) Поделим вторую строчку на -2:
\(\begin{array}{cc|cc} 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end{array}\)
5) В итоге обратная матрица преобразуется в следующий вид:
\(\begin{array}{cc} -2& 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{array}\)
Для расчета систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса матрицу преобразуют при помощи тех же элементарных преобразований, как и при методе Гаусса, таких как:
- перемножение любой строчки на число, не равное нулю;
- прибавление или отнимание любых строк;
- перестановка строк местами;
- удаление строк, что состоят из одних нулей;
- удаление пропорциональных строчек, которые можно считать лишними.
Таким образом, для расчета системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса, требуется провести череду элементарных преобразований матрицы, полученной после использования метода Гаусса.
Порядок действий во время расчета системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:
- Находят строку, у которой первый коэффициент не равняется нулю и максимально приближается по значению к единице. Эту строчку ставят в верхний ряд. Этот элемент имеет название «разрешающий».
- Разрешающий элемент преобразуют до единицы делением или умножением всей первой строчки.
- Из всех остальных строчек отнимают первую, перемноженную на коэффициент, что стоит вначале строки, которую изменяют.
- Все то же проделывают до получения треугольной матрицы, иными словами, до тех пор, пока все элементы слева от главной диагонали станут равняться нулю. Эти все действия называют прямым ходом преобразования матрицы.
- Затем отнимают нижнюю строчку от предпоследней, умножив нижнюю на последний коэффициент предпоследней строчки. Все то же повторяют снизу-вверх, получая диагональную матрицу. Эти действия называются обратным ходом преобразования матрицы.
Все то же повторяют снизу-вверх, получая диагональную матрицу. Эти действия называются обратным ходом преобразования матрицы.Рассмотрим несколько задач по расчету системы линейных уравнений.
Задача 1. Задана система линейных уравнений:
\(\begin{cases} 3x_1 + 2x_2 – 5x_3 = -1 \\ 2x_1 – x_2 + 3x_3 = 13 \\ x_1 + 2x_2 – x_3 = 9 \end{cases}\)
Найти переменные.
Преобразуем систему в расширенную матрицу:
\(\begin{array}{ccc|c} 3& 2 & -5 & -1\\ 2 & -1& 3 & 13 \\ 1 & 2 & -1 & 9 \\ \end{array}\)
Применяя метод Гаусса, получаем матрицу следующего вида:
\(\begin{array}{ccc|c} 1& 2 & -1 & 9\\ 0 & 1& -1 & 1 \\ 0 & 0& 1 & 4 \\ \end{array}\)
Далее применяем обратный ход преобразования матрицы и получаем диагональную матрицу. Сперва к первой и средней строкам прибавим нижнюю:
\(\begin{array}{ccc|c} 1& 2 & 0 & 13\\ 0 & 1& 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}\)
Затем среднюю строку перемножим на -2 и приплюсуем ее к верхней:
\(\begin{array}{ccc|c} 1& 0 & 0 & 3\\ 0 & 1& 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{array}\)
В итоге получим такую систему:
\(\begin{cases} x_1 = 3 \\ x_2 = 5 \\ x_3 = 4 \end{cases}\)
Эта система и будет являться решением.
Задача 2. Задана система линейных уравнений:
\(\begin{cases} x_1 – 8x_2 + x_3 — 9x_4 = 6 \\ x_1 – 4x_2 – x_3 — 5x_4 = 2 \\ -3x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 5x_4 = 4 \\ 5x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 12 \end{cases}\)
Найти ее решение.
Записываем систему в форме матрицы:
\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ -1 & -4& -1 & -5 & 2 \\ -3 & 2 & 8 & 5 & 4 \\ 5& 2 & 2 & 3 & 12 \\ \end{array}\)
Преобразовываем матрицу прямым ходом до треугольной:
Ко второй строке добавляем первую, перемноженную на -1. К третьей строке добавляем первую, перемноженную на 3, а к нижней строке добавляем верхнюю, перемноженную на -5:
\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 4& -2 & 4 & -4 \\ 0 & -22 & 11 & -22 & 22 \\ 0& 42 & -3 & 48 & -18 \\ \end{array}\)
Разделим вторую строку на 2, третью – на 11, четвертую – на 3. Получаем следующее:
\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 2 \\ 0& 14 & -1 & 16 & -6 \\ \end{array}\)
Убираем третью строку, так как она является пропорциональной ко второй, к нижней строке добавляем вторую, умноженную на -7:
\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0& 0 & 6 & 2 & 8 \\ \end{array}\)
Разделим на два нижнюю строку:
\(\begin{array}{cccc|c} 1& -8 & 1 & -9 & 6 \\ 0 & 2& -1 & 2 & -2 \\ 0& 0 & 3 & 1 & 4 \\ \end{array}\)
В преобразованной матрице не равное число строк и переменных, это означает, что для нее существует бесконечное множество решений.
.. — и съел! Тогда все закричали: «Но как же мы теперь узнаем, что было написано на той бумажке, которую ты съел?». А юноша улыбнулся и ответил: «Но ведь осталась вторая бумажка! Можно посмотреть, что написано на ней!» Посмотрели — а на ней написано «смерть». Значит, на той, что вытащил юноша, должно было быть написано «жизнь». Королю было стыдно признаваться в своём коварстве — и юноша был спасён!
В этом был убеждён известный советский математик, профессор Алексей Иванович Маркушевич.
(Треугольник)
.. Стоял без слов…
(по 1 баллу)
Кто старше?(Серёжа)
А С такой игрой это делать удобно, интересно! Спасибо Большое❤️
Подробнее
Список ниже, от самодельных манипуляторов до веселых игр, поможет вашим ученикам практиковать эти основные математические навыки в игровой и увлекательной форме! Большинство занятий легко настраиваются в соответствии с потребностями вашего класса.
Домино Tally Mark 
Адаптируйте это к потребностям ваших учеников начальной школы, используя их для практики пропущенного счета!
Домино Дополнение 
Используйте их снова и снова, чтобы сортировать, создавать фигуры, строить числа и многое другое!
Усложняйте задачу, рисуя более сложные узоры, чтобы попробовать!
Они создают полезную визуализацию для учащихся, которые только начинают понимать дроби!
Игра неудержимо человечна, и мы можем играть, чтобы учиться. Игра и мышление не противоречат друг другу. Хотя игра обычно связана с отключением мышления и отдачей себя приятной деятельности, работа над интересными задачами может стать триггером потока. Есть благоприятный момент, часто около 30 минут работы над интересной проблемой, когда идеи начинают становиться решениями.
Такие сайты, как Visual Patterns, Fraction Talks или Estimation180, предлагают простые и быстрые способы сделать математические концепции интересными.
Решения важны, но не менее важен и процесс. Слушая и разговаривая со своими учениками во время их работы, вы можете давать хорошие отзывы и получать данные об оценках.
10 = 9,765,625 (это будет кол-во комбинаций для строки из 10 символов с пятью вариациями).
12*999)12*12 = 1 726 272 вариантов номеров.
Для каждого первого сколькими можно выбрать второй? 36. Итого — 36*36. Для каждых первых двух… — ну, и так далее.
С/без повторения, с/без порядка.
Повторение некоторых (или всех в группе) уменьшает количество таких повторяющихся перестановок.
k логически больше n (иначе мы получили бы обычные комбинации).
Их счет:
Исследователь случайным образом выбирает двух взрослых. Вероятность (округленная до трех знаков после запятой) того, что у первого взрослого есть кредитная карта, а у второго взрослого нет кредитной карты, равна
Верхний «нейтронный предел» установлен только для первых восьми элементов: от водорода до кислорода.
Детекторы, однако, зафиксировали более 20 ядер странного изотопа, практически не оставляя сомнений в его существовании.
Исследователи объединили мощность трех циклотронов — типа ускорителя частиц, впервые разработанного основателем лаборатории Беркли Эрнестом Лоуренсом в 19 году.31 — для создания пучков частиц очень высокой энергии, движущихся со скоростью около 60 процентов от скорости света.
форма, которую демонстрируют соседние изотопы магния.
Гельмгольца GSI в Германии также участвовали в исследовании.
Для получения дополнительной информации посетите веб-сайт science.energy.gov .
«Это чрезвычайно экзотический вид».
Это один из самых тяжелых изотопов, который в настоящее время можно экспериментально получить вблизи линии капельного полива».
Исследователи объединили мощность трех циклотронов — типа ускорителя частиц, впервые разработанного основателем лаборатории Беркли Эрнестом Лоуренсом в 1919 году.31 — для создания пучков частиц очень высокой энергии, движущихся со скоростью около 60 процентов от скорости света.
)
)
)
)
)
)
)
)
Эти формулы позволяют от суммы или разности синусов и косинусов углов
и
перейти к произведению синусов и/или косинусов углов
и
. В этой статье мы сначала перечислим эти формулы, дальше покажем их вывод, а в заключение рассмотрим несколько примеров их применения.
Такое представление правомерно, так как и для любых углов и .
Чтобы это сделать, вычислим значения левой и правой частей формулы для данных углов. Так как и (при необходимости смотрите таблицу основных значений синусов и косинусов), то . При и имеем и , тогда . Таким образом, значения левой и правой частей формулы суммы синусов для и совпадают, что подтверждает справедливость этой формулы.
для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
Многие формулы уже изучены, но оказывается, не все. Поэтому девизом этого урока станет изречение Пифагора «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий». Давайте мыслить!
Сумма и разность косинусов. – запись в тетради
Домашнее задание: выучить формулы, индивидуальные задания на карточках.
\circ -\left(A+B\right)$.
Дадим формулировку для каждой формулы.
Пусть α = π 2 , β = π 6 . Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.
Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.
. . 
Поскольку 75° лежит в 1-м квадранте, конечное значение sin 75° будет положительным.
Значение sin 75° равно (√6 + √2)/4 или 0,9659 (приблизительно). 
)/3
2
Особенности владения, пользования и распоряжения объектом культурного наследия, включенным в реестр, и выявленным объектом культурного наследия \ КонсультантПлюс
6 настоящего Федерального закона или пунктом 8 настоящей статьи, лицо, у которого на основании указанных договоров возникает право собственности на объект культурного наследия, включенный в реестр, земельный участок, в границах которого располагается объект археологического наследия, либо права владения и (или) пользования таким имуществом, обязано выполнять требования в отношении объекта культурного наследия, включенного в реестр, предусмотренные пунктами 1 — 3 статьи 47.3 настоящего Федерального закона, соблюдать установленный статьей 5.1 настоящего Федерального закона особый режим использования земельного участка, в границах которого располагается объект археологического наследия, до момента вручения такому лицу охранного обязательства, предусмотренного статьей 47.6 настоящего Федерального закона.
com , http://visualfractions.com/calculator/long-division/what-is-48-divided-by-8-using-long-division/. По состоянию на 21 апреля 2023 г.
Вот следующая задача, которую вам нужно решить:
{\circ}\)
В AlmaU, Университете Нархоз и Каспийском Университете представлены специальности, где профильными предметами являются математика, физика, география, иностранный язык, Человек. Общество. Право, всемирная история, биология, химия и творческий экзамен.
По определению контангенса:
По определению контангенса:
По определению тангенса:
По определению тангенса:
\]
\]
\]
\]
Отсчитываем против часовой стрелки от точки $P$, пусть
$Q$ — точка, длина дуги которой равна $A$, пусть $R$ —
точка, длина дуги которой равна $A+B$, и пусть $S$ будет точкой, длина дуги которой равна
$-B$. Тогда $(\cos A,\sin A)$
— координаты точки $Q$, $(\cos(A+B),\sin(A+B))$ — координаты точки $R$, $(\cos(-B),\sin( -B))$ — координаты точки $S$. 92
\end{уравнение*}
♦
Тождества разности углов могут быть получены непосредственно
с того же рисунка, отождествив угол $A$ с углом $TPS$,
и
угол $B$ с углом $TPU$.♦
Доказательства степенных формул для остальных пяти функций
похожи.♦
)
)
)
)
)
)
)
)
..МАТЕМАТИКА Выпуск 1, 2ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выпуск 1. Тождественные преобразованияСодержаниеМАТЕМАТИКА Выпуск 3,4ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выпуск 2. Алгебраические уравнения и неравенстваСодержание МАТЕМАТИКА Выпуск 5, 6Задачи и упражнения Выпуск 4 Пропорции, проценты, задачи на составление уравнений. ПрогрессииСодержаниеМАТЕМАТИКА Выпуск 7ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выпуск 3 Логарифмы Показательные и логарифмические уравнения и неравенстваСодержаниеЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выпуск 5 Тригонометрия СодержаниеМАТЕМАТИКА Выпуск 9ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Выпуск 6 ПланиметрияСодержаниеМАТЕМАТИКА Выпуск 10, 11Задачи и упражнения Выпуск 7 Стереометрия. ВекторыСодержаниеМАТЕМАТИКА Выпуск 12Задачи и упражнения Выпуск 8 Элементы математического анализаСодерханиеМатематика контрольные работы для абитуриентов целевого набора.Вариант тестирования 1Вариант тестирования 2Вариант тестирования 3
..
..
Найдите корень уравнения (7-х)(х+7) + х(х-14)=49. (Выбрать один из вариантов ответа.)А) 0
Решение:
Прививая понятие смыла, мы учим ребенка думать и совершать простые логические действия самостоятельно, ограждая его тем самым от «тупого» тестового ответа. Важно, чтобы дети с первых лет в школе научились этому и далее получали бы радость не только от результата, но и от процесса обучения. Ученик должен быть знаком с правилами нахождения неизвестного, знать и понимать, что такое слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, разность и сумма. Также, для самоконтроля он может и должен уметь проверить правильность решения своего уравнения. Кроме того, в тесте неизвестное представлено не только в классическом виде «х», но есть и вариант «b», что позволяет ученику привыкнуть к многообразию данной позиции. Сам тест – это своего рода проверочная, итоговая работа, поэтому необходимо обладать определенными навыками решения такого рода уравнений. Время в тесте неограниченно, но тестируемый не должен засыпать над заданием или долго вспоминать, как это делается. В процессе прохождения теста необходимо следить за психологическим состоянием ребенка, объясняя ему, что ошибки – это не всегда так уж и плохо, Приступая к заданию можно предложить тестируемому ручку и бумагу для более успешного прохождения теста, но выбор, по-прежнему, остается за учеником.
Решите уравнение 6 + а = 12
Решить уравнение – значит найти такое число. При котором получается верное …
Где уравнение решено не верно?
193-195 №3, 5, 6, 8-13, 16, 18, 20
208-210 #3бд, 4бд, 11, 12,
4 Решения
Узнать больше
Множественный выбор
n — (-2) = -14
Множественный выбор
50″C. Удельная теплоемкость железа 450Дж/кг»C.
Один автомат может отштамповать все детали за 16 часов. Через 2 часа после того, как первый автомат начал штамповать детали, начал работу второй такой же автомат, и оставшиеся детали были распределены между двумя автоматами поровну. Сколько всего часов потребовалось на выполнение этого заказа?
50″C. Удельная теплоемкость железа 450Дж/кг»C.
Вместо того, чтобы постоянно производить детали на складе, бережливые заводы производят со скоростью, которая удовлетворяет спрос клиентов, что, по сути, определяет темпы бережливого производства. Производство, ориентированное на спрос, направлено на производство со скоростью, соответствующей фактическому спросу клиентов, чтобы исключить потери, связанные с перепроизводством.
Пространство цеха может быть использовано для хранения деталей и стеллажей, тележек, контейнеров и погрузочно-разгрузочного оборудования. Энергия расходуется на обогрев и освещение производственной площади, занимаемой
более крупного, чем необходимо, оборудования и для хранения запасных частей.
Размер партии часто определяется на основе формулы амортизации трудозатрат на установку по количеству деталей в партии. Настройка — это деятельность, не добавляющая ценности; чем дольше время установки для данного штампа, тем больше
размер партии. В штамповочном цехе усилия по SMED (одноминутная замена штампов), 5S (сортировка, выпрямление, полировка, стандартизация, выдержка) и кайдзен могут значительно сократить время наладки, что приведет к уменьшению размеров партий и устранению значительных объемов. отходов.
Время настройки оборудования также влияет на серийное производство с помощью производственного оборудования. Маршрутизация деталей и управление работой через несколько общих рабочих центров могут привести к значительному объему незавершенного производства и сложному производственному потоку.
Если вы исключите наладку, вы сможете производить только необходимые детали и тогда, когда они требуются, и исключить потери, связанные с перепроизводством.
Пресс наклонен назад на 20 градусов, что позволяет ему использовать гравитацию, чтобы удерживать противень на месте. Машинные циклы соответствуют времени такта.
конструкции.
Инновационные стратегии, направленные на устранение отходов в производственном процессе, требуют свежих идей. Часто приходится делать что-то нестандартным образом. Использование кросс-функциональной команды, мозговой штурм и эксперименты — отличные способы разработать стратегии правильного выбора оборудования.
арт. Изделие имеет размеры 415х685мм, толщину 1мм и изготовлено из листового металла размерами 1000х2100. Мы можем уместить 6 деталей в этом листе, с обрезком 19%. В данном случае надо учитывать, что количество сырья на одну штуку — это плита размерами 700х500мм, толщиной 1мм.
91 + 0,32 = 2,23 евро 
Последняя инновация касается лазерной резки листового металла, применяемой для производства в рулонах. Многолетний опыт Dallan в области поточных производственных систем позволил нам разработать революционный станок для лазерной резки, который сочетает в себе гибкость и экономичность резки волоконным лазером с эффективностью и производительностью рулонного производства. 
продукта или продуктовой линейки.
