Рубрика: Разное

Алгоритмы построения графиков функции. 8–9-й класс

Урок алгебры в 9 классе по теме «Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины» был построен на основе компьютерных технологии, применяя исследовательскую деятельность обучения.

Цели урока: Обучающая: Наглядно продемонстрировать учащимся возможности использования компьютера при построении графиков функции с модулями; для самоконтроля, экономии времени при построении графиков функций вида у=f |(х)| , у = | f (х)| , у=|f |(х)| |.

Развивающая: Развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ и синтез сравнение, обобщение. Формирование ИКТ компетентности учащихся.

Воспитывающая: Воспитание познавательного интереса к предмету путем введения новейших технологий обучения. Воспитание самостоятельности при решении учебных задач.

Оборудование: Оборудование: компьютерный класс, интерактивная доска, презентация на тему «Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины», раздаточный материал: карточки для работы с графической моделью функций, листы для фиксирования результатов исследования функций, персональные компьютеры. Лист самоконтроля.

Программное обеспечение: презентация Microsoft PowerPoint «Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины»

Ход урока

1. Организационный момент

2. Повторение, обобщение и систематизация. Это этап урока сопровождается компьютерной презентацией.

Слайд 2.

График функции у=f |(х)|

у=f |(х)| — четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f(х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

Например, пусть графиком функции у=f(х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис.2.

Рис.1

Рис.2

1. Исследование графика функции у= |х|

1. Если х 0, то |х| =х и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.
2. Если х<0, то |х|= -х и у= -х. При отрицательных значениях аргумента х график данной функции - прямая у= -х, т.е. биссектриса второго координатного угла.

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Рис. 3

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, учащиеся сделают вывод, что второй получается из первого зеркальным отображением относительно ОХ той части первого графика, которая лежит под осью абсцисс. Это положение вытекает из определения абсолютной величины.

Из сопоставления двух графиков: у = х и у = -х, сделают вывод: функции у = f(|х|) получается из графика у = f (x) при х 0 симметричным отображением относительно оси ОУ.

Можно ли применять этот метод построения графиков для любой функции, содержащей абсолютную величину?

Слайд 3 и 4.

1. Построите график функции у=0,5 х² — 2|х| — 2,5

1) Поскольку |х| = х при х 0, требуемый график совпадает с параболой у=0,5 х² — 2х — 2,5 . Если х<0, то поскольку х² = |х|², |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,5 х² + 2х — 2,5.

2) Если рассмотрим график у=0,5 х² -2х — 2,5 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?

2. Например: у=х² — |х| -3

1) Поскольку |х| = х при х 0, требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² — х — 3. Если х<0, то поскольку х² = |х|², |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² + х — 3.

2) Если рассмотрим график у=0,25 х² — х — 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

(0; — 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ.

у =0, х² -х -3 = 0

х² -4х -12 = 0

Имеем, х₁= — 2; х₂ = 6.

(-2; 0) и (6; 0) — координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной |х|. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4).

Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0.

б) Поэтому достраиваю для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.

Рис. 4

На тетрадях ученики доказывают, что график функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции у = f (х) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ на множестве отрицательных значений аргумента.

Доказательство: Если х  0, то f |(х)|= f (х), т.е. на множестве неотрицательных значений аргумента графики функции у = f (х) и у = f |(х)| совпадают. Так как у = f |(х)| — чётная функция, то её график симметричен относительно ОУ.

Таким образом, график функции у = f |(х)| можно получить из графика функции у = f (х) следующим образом:

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ.

Вывод: Для построения графика функции у = f |(х)|

1. построить график функции у = f(х) для х>0;

2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть

относительно оси ОУ.

Слайд 5

4. Исследовательская работа по построению графика функции у = | f (х)|

Построить график функции у = |х² — 2х|

Освободимся от знака модуля по определению

Если х² — 2х0, т.е. если х 0 и х2, то |х² - 2х|= х² — 2х

Если х² — 2х<0, т.е. если 0<х< 2, то |х² — 2х|=- х² + 2х

Видим, что на множестве х 0 и х2 графики функции

у = х² — 2х и у = |х² — 2х|совпадают, а на множестве (0;2)

графики функции у = -х² + 2х и у = |х² — 2х| совпадают. Построим их.

График функции у = | f (х)| состоит из части графика функции у = f(х) при у ?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ.

Слайд 6

Построить график функции у = |х² — х —6|

1) Если х² — х -6 0, т.е. если х-2 и х3, то |х² — х -6|= х² — х -6.

Если х² — х -6<0, т.е. если -2<х< 3, то |х² — х -6|= -х² + х +6.

Построим их.

2) Построим у = х² — х -6 . Нижнюю часть графика

симметрично отбражаем относительно ОХ.

Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые.

Работа на тетрадях.

Докажем, что график функции у = | f (х)| совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и симметрично отражённой частью у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ.

Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

у = f(х), если f(х) 0; у = — f(х), если f(х) <0

Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то

| f (х)| = f(х), значит в этой части график функции

у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции

у = f(х).

Если же f(х) <0, то | f (х)| = — f(х),т.е. точка (х; — f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ «отрицательную» часть графика у = f(х).

Слайд 7

Вывод: действительно для построения графика функции у = |f(х) | достаточно:

1.Построить график функции у = f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5)

Рис.5

Вывод: Для построения графика функции у=|f(х) |

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.

(Рис.6, 7.)

Слайды 8-13.

5. Исследовательская работа по построению графиков функции у=|f |(х)| |

Применяя определение абсолютной величины и ранее рассмотренные примеры, построим графиков функции:

у = |2|х| — 3|

у = |х² — 5|х||

у = | |х²| — 2| и сделал выводы.

Для того чтобы построить график функции у = | f |(х)| надо:

1. Строить график функции у = f(х) для х>0.

2. Строить вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражать относительно ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Построить график функции у = | 2|х | — 3| (1-й способ по определению модуля)

1. Строим у = 2|х | — 3 , для 2 |х| — 3 > 0 , |х |>1,5 т.е. х< -1,5 и х>1,5

а) у = 2х — 3 , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строим у = —2 |х| + 3, для 2|х | — 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5

а) у = —2х + 3, для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

У = | 2|х | — 3|

1) Строим у = 2х-3, для х>0.

2) Строим прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые.

2.

у = | х² — 5|х| |

1. Строим у = х² — 5 |х|, для х² — 5 |х| > 0 т.е. х >5 и х<-5

а) у = х² — 5 х, для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строим у = — х² + 5 |х| , для х² — 5 |х| < 0. т.е. -5х5

а) у = — х² + 5 х , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

У = | х² — 5|х| |

а) Строим график функции у = х² — 5 х для х>0.

Б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. (Рис.9)

3. у =| |х|² — 2 |

1). Строим у = |х|² — 2 , для |х|² — 2 > 0, x> и x< —

а) у = х² — 2, для х>0

б) для х<0, симметрично отражаю построенную часть относительно оси ОУ.

2). Строим у = — |х|² + 2 , для |х|² — 2 < 0. т.е. — < x<

а) у = —х² + 2 , для х>0

б) для х<0, симметрично отражаю построенную часть относительно оси ОУ.

У = ||х|² — 2 |

а) Строим у = х² -2 для х > 0.

Б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. (Рис.10)

3. Подведение итогов урока.

14,15 слайды.

Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|

1.Построить график функции у=f(х) для х>0;

2.Построить для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.

Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строить кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)| |

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Алгоритм построения графика функции — Информатика, информационные технологии

1 Вызываем Мастер диаграмм.

В окне первого шага выбираем Тип диаграммы – График, вид графика – график с маркерами, помечающими точки данных.

2 В поле Диапазон, переключившись на вкладку Ряд ® Добавить. В появившемся окне ввести в поле Значение ссылку на диапазон В3 : В13, а в поле Подписи по оси Х ссылку на диапазон А3:А13. Для ввода ссылок минимизировать диалоговое окно (щелчок мыши по кнопке – минимизация, находящейся в правой части поля, после чего выделить диапазоны).

3 На вкладке Заголовки заполняем поля: Название диаграммы, Ось Х (категорий), Ось Y (значений). На вкладке Линии сетки устанавливаем флажок Основные линии для оси Х, а на вкладке Легенда снимаем флажок Добавить легенду.

4 Размещаем диаграмму на имеющемся листе.

После появления диаграммы форматируем область построения диаграммы, установив для нее цвет заливки – белый (выбрать в списке Элементы диаграммы панели диаграммы значение область построения диаграммы и нажав кнопку Формат области построения, устанавливаем в диалоговом окне прозрачный тип заливки).

Аналогично форматируем Ось категорий, установив на вкладке Вид переключатель метки делений в положении внизу.

Форматирование элемента Ряд 1 сводится к установке на вкладке Вид флажка Сглаженная линия.

В результате этих действий получится график функции, показанный на рисунке 4.40.

Рисунок 4.40 – График функции

Расчет минимального и максимально значений функции

Установив курсор на требуемую ячейку вызываем функцию Мин, используя Мастер функций (Мастер функций ® Математические ® МИН). В появившемся диалоговом окне указываем ссылку на диапазон В3 : В13. После нажатия клавиши ОК в ячейке появляется минимальное значение функции.

Аналогичные действия проделываем для нахождения максимального значения используя функцию =МАКС().

Полученные результаты и лист с формулами отображены на рисунках 4.41, 4.42.

Рисунок 4.41 – Лист с расчетами

Рисунок 4.42 – Лист с формулами

Построение линии тренда

Задание: Аппроксимировать приведенные ниже статистические данные, используя пять стандартные функции тренда. Выбрать среди них функцию, наилучшим образом описывающую исходные данные.

Последовательность действий:

1 Занесите в столбец В значения X из таблицы, а в столбец С –значения Y. Измените название листа Лист1 на Данные(рис. 4.43).

Рисунок 4.43

2 Пользуясь этими данными, постройте график. При построении графика укажите тип диаграммы Точечная и поместите график на отдельном листе.

3 Наведите курсор мыши на любую точку построенного графика, дождитесь появления всплывающей подсказки с параметрами этой точки и нажмите правую клавишу мыши. 2) в положение включено и нажмите на кнопку OK.

5 Переместите уравнение на свободное место диаграммы, подберите размер шрифта.

6 Сформируйте заголовок диаграммы Линейная и назовите лист с диаграммой Линейная, так как показано на рисунке 4.44.

Рисунок 4.44 – Диаграмма с линейной аппроксимацией

7 Выполните еще раз пункты 2, 3, 4, 5 и постройте на отдельном листе график со степенной аппроксимацией. Сформируйте заголовок диаграммы Степенная и назовите лист с диаграммой Степенная, так как показано на рисунке 4.45.

Рисунок 4.45 – Диаграмма со степенной аппроксимацией

8 Выполните еще раз пункты 2,3,4,5 и постройте на отдельном листе график с логарифмической аппроксимацией. Сформируйте заголовок диаграммы Логарифмическая и назовите лист с диаграммой Логарифмическая, так как показано на рисунке 4.46.

Рисунок 4.46 – Диаграмма с логарифмической аппроксимацией

9 Выполните еще раз пункты 2, 3, 4, 5 и постройте на отдельном листе график с экспоненциальной аппроксимацией. 2) для нее наибольшая: R2 = 0,8465.

Статьи к прочтению:

• Алгоритм разветвляющегося вычислительного процесса. привести пример.
• Алгоритм реализации проекта

Общая схема исследования функции и построение ее графика

Похожие статьи:

• Построение двух графиков в рамках одного окна

  Приведем пример скрипта для построения двух графиков в рамках одного окна в MATLAB: % скрипт, строящий два графика в рамках одного окна %координаты точек…

• Построение диаграмм и графиков. в программе excel термин диаграмма используется для обозначения всех видов графического представления числовых данных

  В программе Excel термин диаграмма используется для обозначения всех видов графического представления числовых данных. Построение графического…

10 графических алгоритмов с визуальным объяснением | by Vijini Mallawaarachchi

Краткое введение в 10 основных графических алгоритмов с примерами и визуализациями

Графики стали мощным средством моделирования и сбора данных в реальных сценариях, таких как социальные сети, веб-страницы, ссылки и местоположения. и маршруты в GPS. Если у вас есть набор объектов, связанных друг с другом, вы можете представить их с помощью графа.

Изображение автора

В этой статье я кратко объясню 10 основных алгоритмов работы с графами, которые очень полезны для анализа и их применения.

Во-первых, давайте представим график.

Граф состоит из конечного набора вершин или узлов и набора ребер , соединяющих эти вершины. Две вершины называются смежными , если они соединены друг с другом одним и тем же ребром.

Некоторые основные определения, относящиеся к графикам, приведены ниже. Вы можете обратиться к рисунку 1 для примеров.

• Порядок: Количество вершин в графе
• Размер: Количество ребер в графе
• Степень вершины: Количество ребер, инцидентных вершине
• : Изолированные Вершина, не соединенная с другими вершинами графа
• Самостоятельная петля : Ребро из вершины в себя
• Направленный граф: Граф, в котором все ребра имеют направление, указывающее начало вершина и что является конечной вершиной
• Неориентированный граф: Граф с ребрами, не имеющими направления
• Взвешенный граф: Ребра графа имеют веса
• Невзвешенный граф: Ребра графа не имеют весов

Визуализация терминологии Рис. 1. of Graphs (Image by Author)Рис. 2. Анимация BFS обхода графа (Image by Author)

Обход или поиск является одной из фундаментальных операций, которые можно выполнять на графах. В поиск в ширину (BFS), мы начинаем с определенной вершины и исследуем всех ее соседей на текущей глубине, прежде чем перейти к вершинам следующего уровня. В отличие от деревьев, графы могут содержать циклы (путь, первая и последняя вершины которого совпадают). Следовательно, мы должны отслеживать посещенные вершины. При реализации BFS мы используем структуру данных очереди.

На рис. 2 показана анимация обхода BFS примера графа. Обратите внимание, как вершины обнаруживаются (желтые) и посещаются (красные).

Приложения

• Используется для определения кратчайших путей и минимальных остовных деревьев.
• Используется сканерами поисковых систем для создания индексов веб-страниц.
• Используется для поиска в социальных сетях.
• Используется для поиска доступных соседних узлов в одноранговых сетях, таких как BitTorrent.

Рис. 3. Анимация обхода графа DFS (изображение автора) ). В DFS мы также должны отслеживать посещенные вершины. При реализации DFS мы используем структуру данных стека для поддержки поиска с возвратом.

На рис. 3 показана анимация обхода в глубину того же примера графа, что и на рис. 2. Обратите внимание, как он перемещается вглубь и возвращается назад.

Приложения

• Используется для поиска пути между двумя вершинами.
• Используется для обнаружения циклов на графике.
• Используется в топологической сортировке.
• Используется для решения головоломок, имеющих только одно решение (например, лабиринты)

Рис. 4. Анимация, показывающая кратчайший путь из вершины 1 в вершину 6 (Изображение автора)

Кратчайший путь из одной вершины в другую — это такой путь в графе, что сумма весов ребер, по которым нужно пройти, минимальна.

На рис. 4 показана анимация, в которой кратчайший путь определяется из вершины 1 в вершину 6 графа.

Алгоритмы

1. Алгоритм кратчайшего пути Дейкстры
2. Алгоритм Беллмана-Форда

Приложения

• Используется для поиска направления движения из одного места в другое в картографическом программном обеспечении, таком как карты Google или Apple.
• Используется в сети для решения проблемы пути с минимальной задержкой.
• Используется в абстрактных машинах для определения вариантов достижения определенного целевого состояния путем перехода между различными состояниями (например, может использоваться для определения минимально возможного количества ходов для победы в игре).

Изображение Daniel Dino-Slofer с PixabayРис. 5. Цикл (изображение автора)

Цикл — это путь в графе, первая и последняя вершины которого совпадают. Если мы начинаем с одной вершины, идем по пути и заканчиваем в начальной вершине, то этот путь является циклом. Обнаружение циклов — это процесс обнаружения этих циклов. На рис. 5 показана анимация обхода цикла.

Алгоритмы

1. Алгоритм обнаружения цикла Флойда
2. Алгоритм Брента

Приложения

• Используется в алгоритмах на основе распределенных сообщений.
• Используется для обработки крупномасштабных графов с использованием системы распределенной обработки в кластере.
• Используется для обнаружения взаимоблокировок в параллельных системах.
• Используется в криптографических приложениях для определения ключей сообщения, которые могут сопоставить это сообщение с тем же зашифрованным значением.

Рис. 6. Анимация, показывающая минимальное остовное дерево (изображение автора)

минимальное остовное дерево — это подмножество ребер графа, которое соединяет все вершины с минимальной суммой весов ребер и состоит из циклы.

На рис. 6 показана анимация, показывающая процесс получения минимального остовного дерева.

Алгоритмы

1. Алгоритм Прима
2. Алгоритм Крускала

Приложения

• Используется для построения деревьев для вещания в компьютерных сетях.
• Используется в графическом кластерном анализе.
• Используется при сегментации изображения.
• Используется при районировании социально-географических районов, когда регионы группируются в смежные регионы.

Рис. 7. Сильно связанные компоненты (изображение автора)

Граф называется сильно связный , если каждая вершина графа достижима из любой другой вершины.

На рис. 7 показан пример графа с тремя сильно связанными компонентами, вершины которых окрашены в красный, зеленый и желтый цвета.

Алгоритмы

1. Алгоритм Косараджу
2. Алгоритм компонентов сильной связности Тарьяна

Приложения

• Используется для вычисления разложения Дульмажа–Мендельсона, которое представляет собой раздельную классификацию ребер двудольного графа.
• Используется в социальных сетях для поиска группы людей, тесно связанных между собой, и предоставления рекомендаций на основе общих интересов.

Изображение Gerd Altmann с сайта PixabayРис. 8. Топологическое упорядочение вершин в графе (Изображение автора)

Топологическая сортировка графа представляет собой линейное упорядочение его вершин так, что для каждого направленного ребра (u, v ) в упорядочении вершина u предшествует v.

На рис. 8 показан пример топологического упорядочения вершин (1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, 8). Вы можете видеть, что вершина 5 должна идти после вершин 2 и 3. Точно так же вершина 6 должна идти после вершин 4 и 5.

Алгоритмы

1. Алгоритм Кана
2. Алгоритм, основанный на поиске в глубину

Приложения

• Используется при планировании инструкций.
• Используется при сериализации данных.
• Используется для определения порядка выполнения задач компиляции в make-файлах.
• Используется для разрешения зависимостей символов в компоновщиках.

Рис. 9. Окраска вершин (Изображение автора)

Окраска графа присваивает цвета элементам графа при соблюдении определенных условий. Раскраска вершин — наиболее часто используемый метод раскраски графов. При раскрашивании вершин мы пытаемся раскрасить вершины графа, используя k цветов, и любые две соседние вершины не должны иметь одинаковый цвет. Другие методы окрашивания включают окрашивание краев и окрашивание лиц .

Хроматическое число графа — это наименьшее количество цветов, необходимое для раскрашивания графа.

На рис. 9 показана раскраска вершин примера графа с использованием 4 цветов.

Алгоритмы

1. Алгоритмы, использующие поиск в ширину или поиск в глубину
2. Жадная раскраска

Приложения

• Используется для планирования расписания.
• Используется для присвоения частот мобильной радиосвязи.
• Используется для моделирования и решения таких игр, как судоку.
• Используется для проверки двудольности графа.
• Используется для раскрашивания географических карт стран или штатов, где соседние страны или штаты окрашены в другой цвет.

Изображение TheAndrasBarta с PixabayРис. 10. Определение максимального потока (Изображение автора)

Мы можем смоделировать граф как сеть потока с весами ребер в качестве пропускной способности. В задаче максимального потока мы должны найти путь потока, который может обеспечить максимально возможный расход.

На рис. 10 показан анимированный пример определения максимального потока сети и определения конечного значения потока.

Алгоритмы

1. Алгоритм Форда-Фалкерсона
2. Алгоритм Эдмондса-Карпа
3. Алгоритм Диника

Приложения

• Используется в расписании авиакомпаний для составления расписания полетов.
• Используется при сегментации изображения для поиска фона и переднего плана в изображении.
• Используется для устранения бейсбольных команд, которые не могут выиграть достаточно игр, чтобы догнать текущего лидера в своем дивизионе.

Рис. 11. Сопоставление двудольного графа (изображение автора)

A сопоставление в графе — это множество ребер, не имеющих общих вершин (т. е. никакие два ребра не имеют общей вершины). Сопоставление называется максимальным паросочетанием , если оно содержит максимально возможное количество ребер, соответствующих как можно большему количеству вершин.

На рис. 11 показана анимация получения полного соответствия двудольного графа с двумя наборами вершин, обозначенными оранжевым и синим цветом.

Алгоритмы

1. Алгоритм Хопкрофта-Карпа
2. Венгерский алгоритм
3. Алгоритм цветения

Приложения

• Используется в сватовстве для подбора женихов и невест (задача стабильного брака).
• Используется для определения покрытия вершин.
• Используется в теории транспорта для решения задач распределения ресурсов и оптимизации путешествий.

Я надеюсь, что вы нашли эту статью полезной как простое и обобщенное введение в алгоритмы графов. Я хотел бы услышать ваши мысли. 😇

Вы можете ознакомиться с реализациями графовых алгоритмов, найденными в networkx и igraph модули python. Вы можете прочитать о python-igraph в моей предыдущей статье «Руководство для новичков по Python-igraph».

Руководство для новичков по Python-igraph

Простое руководство по распространенным функциям python-igraph с примерами и кодом

в направлении datascience.com

Вы также можете ознакомиться с моими предыдущими статьями о структурах данных.

8 общих структур данных, которые должен знать каждый программист

Структуры данных — это специализированные средства организации и хранения данных в компьютерах таким образом, чтобы мы могли выполнять…

по направлению datascience. com

Структуры данных в C++. Часть 1

Реализация общих структур данных на C++

по направлению к datascience.com

из 8 различных древовидных структур данных

в направлении datascience.com

Самобалансирующиеся бинарные деревья поиска 101

Введение в самобалансирующиеся бинарные деревья поиска

в направлении datascience.com

Большое спасибо за прочтение. 😊

Ура! 😃

Как использовать графовые алгоритмы

Главная/Блог/Учебники и руководства/Алгоритмы 101: Как использовать графовые алгоритмы

17 декабря 2020 г. — 11 мин чтения на собеседованиях по кодированию. Чтобы получить преимущество на собеседованиях, важно хорошо знать лучшие алгоритмы и их реализации.

В сегодняшнем уроке мы будем изучать алгоритмы графа . Мы начнем с введения в теорию графов и алгоритмы графов. Далее мы узнаем, как реализовать график. Наконец, мы рассмотрим распространенные проблемы с графами, с которыми вы можете столкнуться на собеседовании по программированию.

Сегодня мы узнаем:

• Что такое графовые алгоритмы?
• Свойства графа
• Как представить графики в коде
• Как реализовать обход в ширину
• Как реализовать обход в глубину
• Как удалить край
• Дополнительные вопросы для интервью

Простой способ подготовиться к вопросам алгоритма

Этот кураторский путь проведет вас через все, что вам нужно знать, чтобы уверенно проходить собеседования по Python.

Ace the Python Coding Interview

Что такое графовые алгоритмы?

Алгоритм — это математический процесс решения задачи с использованием четко определенного или оптимального количества шагов. Это просто базовая техника, используемая для выполнения конкретной работы.

Граф — это абстрактное обозначение, используемое для представления связи между всеми парами объектов. Графы представляют собой широко используемые математические структуры, визуализируемые двумя основными компонентами: узлов и ребер .

Алгоритмы графов используются для решения проблем представления графов в виде сетей, таких как рейсы авиакомпаний, способы подключения к Интернету или подключение к социальным сетям на Facebook. Они также популярны в НЛП и машинном обучении для формирования сетей.

Некоторые из лучших алгоритмов графа включают:

• Реализовать обход в ширину
• Реализовать обход в глубину
• Подсчитать количество узлов на уровне графа
• Найти все пути между двумя узлами
• Найти все компоненты связности графа
• Алгоритм Дейкстры для поиска кратчайшего пути в данных графа
• Удалить край

Хотя графы составляют неотъемлемую часть дискретной математики, они также находят практическое применение в компьютерных науках и программировании, в том числе в следующих областях:

• Отношения между вызывающим и вызываемым абонентом в компьютерной программе, представленные в виде графа
• Структура ссылок веб-сайта может быть представлена ​​ориентированным графом
• Нейронные сети

Свойства графа

Граф, обозначенный G, представлен набором из вершин (V) или узлов, связанных ребрами (E) . Количество ребер, которые у вас есть, зависит от вершин. Ребра могут быть направленными или ненаправленными.

В ориентированный граф , узлы связаны в одном направлении. Ребра здесь показывают одностороннюю связь.

В неориентированном графе ребра являются двунаправленными, показывая двустороннюю связь.

Пример: Хорошим примером использования неориентированного графа является алгоритм предложения друзей Facebook. Пользователь (узел) имеет ребро, идущее к другу A (другому узлу), который, в свою очередь, подключен (или имеет бегущее ребро) к другу B. Затем пользователю предлагается друг B.

Существует много других сложных типов графиков, которые попадают в разные подмножества. Ориентированный граф, например, имеет компоненты сильной связности, когда каждая вершина достижима из любой другой вершины.

Вершина

Вершина — это точка пересечения нескольких линий. Его еще называют узлом.

Ребро

Ребро — это математический термин, используемый для обозначения линии, соединяющей две вершины. Из одной вершины может быть образовано множество ребер. Однако без вершины невозможно сформировать ребро. Для каждого ребра должны быть начальная и конечная вершины.

Путь

Путь в графе G=(V,E)G = (V,E)G=(V,E) — это последовательность вершин v1, v2, …, vk, обладающая тем свойством, что являются ребрами между vivivi и vi+1vi+1vi+1. Мы говорим, что путь идет от v1v1v1 до vkvkvk.

Последовательность 6,4,5,1,26,4,5,1,2 определяет путь от узла 6 к узлу 2.

Подобным образом другие пути могут быть созданы путем обхода ребер графа. Путь называется простым, если все его вершины различны.

Обход

Обход — это путь, но он не требует последовательности отдельных вершин.

Связный граф

Граф является связным, если для каждой пары вершин uuu и vvv существует путь из uuu в vvv.

Цикл

Циклом называется путь v1, v2, …, vk, для которого верно следующее:

• k>2k>2k>2k>2k>2k>2
• Все первые k−1k−1k−1 вершин разные
• v1=vkv1=vkv1=vk

Дерево

Дерево — это связный граф, не содержащий цикла.

Петля

В графе ребро, проведенное из вершины к самой себе, называется петлей. На рисунке V — это вершина, ребро которой (V, V) образует петлю.

Как представлять графы в коде

Прежде чем мы перейдем к решению задач с использованием графовых алгоритмов, важно сначала узнать, как представлять графы в коде. Графы могут быть представлены в виде матрицы смежности или списка смежности.

Матрица смежности

Матрица смежности — это квадратная матрица, помеченная вершинами графа и используемая для представления конечного графа. Элементы матрицы указывают, является ли пара вершин смежной или нет в графе.

В представлении матрицы смежности вам нужно будет перебрать все узлы, чтобы определить соседей узла.

 а б в г д
а 1 1 - - -
б - - 1 - -
в - - - 1 -
г - 1 1 - -
 

Список смежности

Список смежности используется для представления конечного графа. Представление списка смежности позволяет легко перебирать соседей узла. Каждый индекс в списке представляет вершину, а каждый узел, связанный с этим индексом, представляет соседние с ним вершины.

 1 а -> {а б }
2б -> {с}
3 с -> { д }
4 д -> {б в }
 

Для класса базового графа, приведенного ниже, мы будем использовать реализацию списка смежности, так как она работает быстрее для решений алгоритмов, описанных далее в этой статье.

Класс графа

Требования к нашей реализации графа довольно просты. Нам потребуются два члена данных: общее количество вершин в графе и список для хранения смежных вершин . Нам также нужен метод для добавления ребер или набора ребер.

 
 class AdjNode: 
 
 """ 
 
 Класс для представления списка смежности узла 
 
 """ 
 
 def __init__(self, data): 
 
 5 900 
5 Constructor 02: параметр data : vertex 
 
 """ 
 
 self. vertex = data 
 
 self.next = None 
 
 class Graph: 
 
 """ 
 
 Graph Class ADT 
 
 """ 
5 _selfinit, def 
5 вершины ): 
 
 """ 
 
 Конструктор 
 
 :param vertices : Всего вершин в графе ребро в неориентированном графе 
 
 def add_edge(self, source, target): 
 
 """ 
 
 добавить ребро 
 
 :param source: Исходная вершина 
 
 :param назначение: Destination Vertex 
 
 """ 
5 
5 # Добавление узла к исходному узлу 
 
 node = AdjNode(destination) 
 
 node.next = self.graph[source] 
 
 self.graph[source] = node 
 
 # Добавление исходного узла к целевому, если неориентированный граф 
 
 # Намеренно закомментировал строки 
 
 #node = AdjNode(source) 
 
 #node.next = self.graph[destination] 
 
 #self.graph[destination] = узел 
 
 def print_graph(self): 
 
 """ 
 
 Функция распечатать график 
 
 """ 
 
 для i в диапазоне (self.V): 
 
 print("Список смежности вершин {}\n head". format(i), end="") 
 
 temp = self.graph[i] 
 
 while temp: 
 
 print(" -> {} ".format(temp.vertex), end="") 
 
 temp = temp.next 
 
 print(" \n") 
 
 # Основная программа 
 
 if __name__ == "__main__": 
 
 V = 5 # Всего вершин 
 
 g = Graph(V) 
 
 g.add_edge(0, 1) 
 
 g.add_edge(0, 4) 
 
 g.add_edge(1, 2) 
 
 g.add_edge(1, 3) ) 
 
 g.add_edge(1, 4) 
 
 g.add_edge(2, 3) 
 
 g.add_edge(3, 4) 
 
 g.print_graph() 
 

В приведенном выше примере мы видим Python граф класса . Мы заложили основу нашего графового класса. Переменная V содержит целое число, указывающее общее количество вершин.

Продолжайте учиться.

Подготовьтесь к собеседованию по Python, не просматривая видео или документацию. Текстовые курсы Educative легко просматриваются и включают живую среду кодирования, что делает обучение быстрым и эффективным.

Интервью с первоклассным программистом на Python

Как реализовать обход в ширину

Имея граф, представленный в виде списка смежности и начальной вершины, ваш код должен вывести строку, содержащую вершины графа, перечисленные в правильном порядке обхода. Когда вы проходите граф от начальной вершины, вы должны сначала вывести правый потомок каждого узла, а затем левый.

Чтобы решить эту проблему, уже добавлен ранее реализованный класс Graph.

Ввод: Граф, представленный в виде списка смежности и начальной вершины

Вывод: Строка, содержащая вершины графа, перечисленные в правильном порядке обхода

Пример результата:4 = «02143» или результат = «01234»

Посмотрите и разработайте пошаговый алгоритм, прежде чем переходить к реализации. Попробуйте сначала решить ее самостоятельно. Если вы застряли, вы всегда можете обратиться к решению, представленному в разделе решений.

 
 def bfs(graph, source): 
 
 """ 
 
 Функция для печати BFS графа 
 
 :param graph: Граф 
 
 :param source: начальная вершина 
 
 :return: 
5 "" " 
 
 # Напишите здесь свой код! 
 
 проход 
 

Решение

 
 def bfs(my_graph, source): 
 
 """ 
 
 Функция для печати BFS графика 
 :5 param00 График: 02 : источник параметра: запуск вершина 
 
 :return: 
 
 """ 
 
 # Отметить все вершины как не посещенные 
 
 посещенные = [False] * (len(my_graph. graph)) 
 
 # Создать очередь для BFS 
 
 queue = [] 
 
 # Строка результата 
 
 result = "" 
 
 # Пометить исходный узел как 
 
 # Посещенный и поставить его в очередь Удалите вершину из очереди 
 
 # и распечатайте ее 
 
 source = queue.pop(0) 
 
 result += str(source) 
 
 # Получить все смежные вершины 
 
 # источника исключенных из очереди вершин. Если соседний 
 
 # не был посещен, то отметьте его 
 
 # посещенным и поставьте в очередь 
 
, пока my_graph.graph[source] не None: 
 
 data = my_graph.graph[source].vertex 
 
 если нет посещено[данные]: 
 
 очередь.добавить(данные) 
 
 посещено[данные] = True 
 
 my_graph.graph[источник] = my_graph.graph[источник].next 
 
 вернуть результат 
 
 # Main для тестирования вышеуказанной программы 
 
 if __name__ == "__main__": 
 
 V = 5 
 
 g = Graph(V) 
 
 g.add_edge(0, 1) 
5 . add_edge(0, 2) 
 
 g.add_edge(1, 3) 
 
 g. add_edge(1, 4) 
 
 print(bfs(g, 0)) 
 

Мы начинаем с выбранного узла и пересекаем граф по слоям. Исследуются все соседние узлы. Затем мы переходим на следующий уровень. Мы проходим по графику горизонтально, то есть по каждому слою.

Граф может содержать циклы. Чтобы избежать повторной обработки одного и того же узла, мы можем использовать логический массив, который помечает посещенные массивы. Вы можете использовать очередь для хранения узла и пометить его как посещенный. Очередь должна следовать методу формирования очереди «первым пришел – первым обслужен» (FIFO).

Как реализовать обход в глубину

В этой задаче вам нужно реализовать обход в глубину. Для решения этой проблемы уже предусмотрен реализованный ранее класс графа.

Входные данные: Граф, представленный в виде списка смежности и начальной вершины

Выходные данные: Строка, содержащая вершины графа, перечисленные в правильном порядке обхода 01342″ или результат = «02143»

Посмотрите и разработайте пошаговый алгоритм, прежде чем переходить к реализации. Попробуйте сначала решить ее самостоятельно. Если вы застряли, вы всегда можете обратиться к решению, представленному в разделе решений.

 
 def dfs(graph, source): 
 
 """ 
 
 Функция для печати DFS графа 
 
 :param graph: Граф 
 
 :param source: начальная вершина 
 
 "" 
25 " 
 
 # Напишите здесь свой код! 
 
 проход 
 

Решение

 
 def dfs(my_graph, source): 
 
 """ 
 
 Функция для печати DFS графика 
 :9000: График 
 :
 График 002 :параметр источник: запуск вершина 
 
 :return: возвращает обход в виде строки 
 
 """ 
 
 # Отметить все вершины как не посещенные 
 
 посещенные = [False] * (len(my_graph.graph)) 
 
 # Создать стек для DFS 
 
 stack = [] 
 
 # Строка результата 
 
 result = "" 
 
 # Поместить исходный код 
 
 stack.append(source) 
 
 while stack: 
 
 # Извлечь вершину из стека 
5 90.002 pop() 
 
, если не посещали [источник]: 
 
 result += str(source) 
 
 visit[source] = True 
 
 # Получить все смежные вершины извлеченного источника вершин.  
 
 # Если соседний не был посещен, то нажать его 
 
 пока my_graph.graph[source] не None: 
 
 data = my_graph.graph[source].vertex 
 
 если не посещен[data]: 
 
 stack.append(data) 
 
 my_graph.graph[source] = my_graph.graph[source].next 
 
 return result 
 
 # Main для тестирования вышеуказанной программы 
 
 if __name__ == "__main__": 
 
 V = 5 
 
 g = Graph(V) 
 
 g.add_edge(0, 1) 
 
 g.add_edge(0, 2) 
 
 g.ad , 3) 
 
 g.add_edge(1, 4) 
 
 print(dfs(g, 0)) 
 

Алгоритм поиска в глубину использует идею поиска с возвратом. Здесь «возврат» означает двигаться вперед, пока на текущем пути больше нет узлов, а затем двигаться назад по тому же пути, чтобы найти узлы для прохождения.

Как удалить край

В этой задаче вы должны реализовать функцию remove_edge , которая принимает источник и место назначения в качестве аргументов. Если между ними существует ребро, оно должно быть удалено.

Ввод: Граф, источник (целое число) и пункт назначения (целое число)

Вывод: Обход BFS графа с удаленным ребром между источником и местом назначения

Сначала закройте рассмотрите эту проблему и разработайте пошаговый алгоритм, прежде чем переходить к реализации. Попробуйте сами, прежде чем проверять решение!

 
 def remove_edge(graph, source, target): 
 
 """ 
 
 Функция для удаления ребра 
 
 :param graph: График 
 
 :param source: Исходная вершина 
 
 :param destination: Целевая вершина 
 
 """ 
 
 # Напишите здесь свой код! 
 
 пройти 
 

Решение

Эта задача очень похожа на удаление в связанном списке, если вы с ней знакомы.

Наши вершины хранятся в связанном списке. Сначала мы получаем доступ к источника связанный список. Если головной узел исходного связанного списка содержит удаляемый ключ, мы сдвигаем головку на один шаг вперед и возвращаем граф.

Если ключ, который нужно удалить, находится в середине связанного списка, мы отслеживаем предыдущий узел и соединяем предыдущий узел со следующим узлом при встрече с пунктом назначения.

Дополнительные вопросы для интервью

Ниже приведены другие вопросы для интервью, которые вы можете попробовать решить:

• Проверить, является ли граф сильно связным.
• Подсчитать все возможные пути между двумя вершинами.
• Подсчет количества узлов на заданном уровне в дереве с использованием поиска в ширину (BFS)
• Подсчитайте количество деревьев в лесу.
• Обнаружить цикл на графике.
• Найти материнскую вершину в графе.
• Найти K ядер неориентированного графа.
• Найдите путь в прямоугольнике с кругами.
• Использовать минимальное остовное дерево для проектирования сети
• Найдите кратчайший путь от одного простого числа к другому, меняя по одной цифре за раз.

• Найдите наименьшую двоичную цифру, кратную заданному числу.
• Высота универсального дерева от родительского массива.
• Итеративный поиск в глубину (DFS).
• Используйте алгоритм Крускала, чтобы найти минимальный остовный лес неориентированного графа, взвешенного по ребрам
• Использовать жадный алгоритм минимального связующего дерева Prim (MST)
• Минимальное количество начальных вершин для обхода всей матрицы с заданными условиями.
• Использовать алгоритм Беллмана-Форда для вычисления кратчайших путей от вершины к другим вершинам во взвешенном графе
• Транспонировать график.
• Проблема с кувшином для воды при использовании BFS.

Что предстоит узнать

Поздравляем, вы дошли до конца. Вы должны понимать, что такое графы в Python, и понимать, что нужно подготовить к вопросам на интервью по кодированию, связанным с графами.

Если вы хотите узнать больше об алгоритмах в Python, ознакомьтесь с планом обучения Educative 9.0013 Интервью по кодированию на Python .

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Алгебра

Алгебра

Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. Автор книги, видный американский математик, профессор Колумбийского университета С. Ленг, хорошо знаком советскому читателю по двум вышедшим ранее монографиям «Алгебраические числа» и «Введение в теорию дифференцируемых многообразий» (издательство «Мир», 1966 и 1967). В книге рассмотрены все основные разделы современной алгебры (группы, кольца, модули, теория полей, линейная и полилинейная алгебра, представления грунп). Читатель найдет здесь также первоначальные сведения по гомологической алгебре и алгебраической геометрии. Книга отражает изменения, происшедшие в алгебре за последние два десятилетия, и дает читателю возможность основательно познакомиться с областями алгебры, ставшими уже классическими. Язык категорий и функторов связывает воедино разрозненные ранее понятия и результаты. Книга будет весьма полезной математикам различных специальностей, студентам, аспирантам и научным работникам. Она может служить основой специальных курсов по алгебре. Оглавление От редактора перевода Предисловие Предварительные сведения Литература Часть первая. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И МОДУЛИ § 1. Моноиды § 2. Группы § 3. Циклические группы § 4. Нормальные подгруппы § 5. Действие группы на множестве § 6. Силовские подгруппы § 7. Категории и функторы Произведения и копроизведения § 8. Свободные группы § 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы § 10. Конечно порожденные абелевы группы § 11. Дуальная группа УПРАЖНЕНИЯ Глава II. Кольца § 1. Кольца и гомоморфизмы § 2. Коммутативные кольца § 3. Локализация § 4. Кольца главных идеалов УПРАЖНЕНИЯ Глава III. Модули § 2. Группа гомоморфизмов § 3. Прямые произведения и суммы модулей § 4. Свободные модули § 5. Векторные пространства § 6. Дуальное пространство УПРАЖНЕНИЯ Глава IV. Гомологии § 1. Комплексы § 2. Гомологическая последовательность § 3. Эйлерова характеристика § 4. Теорема Жордана — Гёльдера УПРАЖНЕНИЯ Глава V. Многочлены § 1. Свободные алгебры § 2. Определение многочленов § 3. Элементарные свойства многочленов § 4. Алгоритм Евклида § 5. Простейшие дроби § 6. Однозначность разложения на простые множители многочленов от нескольких переменных § 7. Критерии неприводимости § 8. Производная и кратные корни § 9. Симметрические многочлены § 10. Результант УПРАЖНЕНИЯ Глава VI. Нётеровы кольца и модули § 1. Основные критерии. § 2. Теорема Гильберта § 3. Степенные ряды § 4. Ассоциированные простые идеалы § 5. Примарное разложение УПРАЖНЕНИЯ Часть вторая. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ § 1. Конечные и алгебраические расширения § 2. Алгебраическое замыкание § 3. Поля разложения и нормальные расширения § 4. Сепарабельные расширения § 5. Конечные поля § 6. Примитивные элементы § 7. Чисто несепарабельные расширения УПРАЖНЕНИЯ Глава VIII. n – a = 0 § 10. Когомологии Галуа § 11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов § 12. Теорема о нормальном базисе УПРАЖНЕНИЯ Глава IX. Расширения колец § 1. Целые расширения колец 2. Целые расширения Галуа § 3. Продолжение гомоморфизмов УПРАЖНЕНИЯ Глава X. Трансцендентные расширения § 1. Базисы трансцендентности § 2. Теорема Гильберта о нулях § 3. Алгебраические множества § 4. Теорема Нётера о нормализации § 5. Линейно свободные расширения § 6. Сепарабельные расширения § 7. Дифференцирования УПРАЖНЕНИЯ Глава XI. Вещественные поля § 1. Упорядоченные поля § 2. Вещественные поля § 3. Вещественные нули и гомоморфизмы УПРАЖНЕНИЯ Глава XII. Абсолютные значения § 1. Определения, зависимость и независимость § 2. Пополнения § 3. Конечные расширения § 4. Нормирования § 5. Пополнения и нормирования § 6. Дискретные нормирования § 7. Нули многочленов в полных полях УПРАЖНЕНИЯ Часть третья. ЛИНЕИНАЯ АЛГЕБРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ § 1. Матрицы § 2. Ранг матрицы § 3. Матрицы и линейные отображения § 4. Определители § 5. Двойственность § 6. Матрицы и билинейные формы § 7. Полуторалинейная двойственность Терминология УПРАЖНЕНИЯ Глава XIV. Структура билинейных форм § 1. Предварительные сведения, ортогональные суммы § 2. Квадратичные отображения § 3. Симметрические формы, ортогональные базисы § 4. Гиперболические пространства § 5. Теорема Витта § 6. Группа Витта § 7. Симметрические формы над упорядоченными полями § 8. Алгебра Клиффорда § 9. Знакопеременные формы § 10. Пфаффиан § 11. Эрмитовы формы § 12. Спектральная теорема (эрмитов случай) § 13. Спектральная теорема (симметрический случай) УПРАЖНЕНИЯ Глава XV. Представление одного эндоморфизма § 2. Модули над кольцами главных идеалов § 3. Разложение над одним эндоморфизмом § 4. Характеристический многочлен УПРАЖНЕНИЯ Глава XVI. Полилинейные произведения § 1. Тензорное произведение § 2. Основные свойства § 3. Расширение основного кольца § 4. Тензорное произведение алгебр § 5. Тензорная алгебра модуля § 6. Знакопеременные произведения § 7. Симметрические произведения § 8. Кольцо Эйлера — Гротендика § 9. Некоторые функториальные изоморфизмы УПРАЖНЕНИЯ Глава XVII. Полупростота § 1. Матрицы и линейные отображения над некоммутативными кольцами § 2. Условия, определяющие полупростоту § 3. Теорема плотности § 4. Полупростые кольца § 5. Простые кольца § 6. Сбалансированные модули УПРАЖНЕНИЯ Глава XVIII. Представления конечных групп § 1. Полупростота групповой алгебры § 2. Характеры § 3. Одномерные представления § 4. Пространство функций классов § 5. Соотношения ортогональности § 6. Индуцированные характеры § 7. Индуцированные представления § 8. Положительное разложение регулярного характера § 9. Сверхразрешимые группы § 10. Теорема Брауэра § 11. Поле определения представления УПРАЖНЕНИЯ Добавление

Предварительное вычисление алгебры

— Как найти кубические корни $i$?

спросил 9 лет, 2 месяца назад

Изменено 5 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 33 тысячи раз

$\begingroup$

Я пытаюсь выяснить, какие три возможности $z$ таковы, что 93 = i$, тогда $$z = \exp\left[ i \left(\frac{\pi}{6}+\frac{2n\pi}{3}\right)\right]$$ для всех целых чисел $n$.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Я полагаю, что ваш «полиномиальный» подход также сработал бы, если бы вы имели в виду это:

[При этом мы предполагаем, что ничего не знали о «тождестве Эйлера», теореме Де Муавра или корнях единства, всех из них обеспечивают достаточно эффективные устройства] 92 \ = \ \ frac {3} {4} \ \ \ Rightarrow \ \ a \ = \ \ pm \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ \ \ Rightarrow \ \ z \ = \ \ frac {\ sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \ , \ -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \\ . $$

Мы нашли три комплексных решения уравнения. Как говорит Дэн , (одна из форм) Фундаментальная теорема алгебры утверждает, что этот многочлен третьей степени с комплексными коэффициентами имеет всего три корня (с учетом кратностей, каждая из которых здесь равна 1).

Мы, вероятно, не хотели бы использовать этот метод для более высоких степеней, поскольку алгебраическое решение стало бы более сложным. Методы, описанные на других плакатах, используются гораздо чаще. 93, 3\тета)$. Кубические корни $(r, \theta)$ равны $\left(\sqrt[3]{r}, \frac{\theta}{3}\right)$, $\left(\sqrt[3]{ r}, \frac{\theta+2\pi}{3}\right)$ и $\left(\sqrt[3]{r}, \frac{\theta+4\pi}{3}\right) $ (напомним, что добавление $2\pi$ к аргументу не меняет число). Другими словами, чтобы найти кубический корень комплексного числа, возьмите кубический корень из абсолютного значения (радиуса) и разделите аргумент (угол) на 3.

$i$ находится под прямым углом от $1$ : $i = \left(1, \frac{\pi}{2}\right)$. Графически:

Кубический корень из $i$ равен $A = \left(1, \frac{\pi}{6}\right)$. Два других: $B = \left(1, \frac{5\pi}{6}\right)$ и $\left(1, \frac{9\pi}{6}\right) = -i$ .

Вспоминая основы тригонометрии, прямоугольные координаты $A$ равны $\left(\cos\frac{\pi}{6}, \sin\frac{\pi}{6}\right)$ (треугольник OMA равен прямоугольник в М). Таким образом, $A = \cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{ 2}$.

Если вы не помните значения $\cos\frac{\pi}{6}$ и $\sin\frac{\pi}{6}$, вы можете найти их с помощью геометрии. Треугольник $OAi$ имеет две равные стороны $OA$ и $Oi$, поэтому он равнобедренный: углы $OiA$ и $OAi$ равны. Сумма углов треугольника равна $\pi$, и мы знаем, что третий угол $iOA$ равен $\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{6} = \frac{\ пи{3}$; поэтому $OiA = OAi = \dfrac{\pi — \frac{pi}{3}}{2} = \dfrac{\pi}{3}$. Итак, $OAi$ — равносторонний треугольник, а высота AN также является медианой, поэтому N — середина треугольника $[Oi]$: $\sin\frac{\pi}{6} = AM = ON = \frac{ 1}{2}$. 2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 93 = i = 0 + 1i$, это означает, что $\cos(3\theta) = 0$ и $\sin(3\theta) = 1$. Решение этой системы дает $3\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ или $\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2 \pi n}{3} $ для любого $n \in \mathbb{Z}$.

Подстановка нескольких значений для $n$ дает:

• $n = 0$ → $\theta = \frac{\pi}{6}$ → $z = \frac{\sqrt{3}}{ 2} + \frac{1}{2} i$
• $n = 1$ → $\theta = \frac{5\pi}{6}$ → $z = \frac{-\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$
• $n = 2$ → $\theta = \frac{3\pi}{2}$ → $z = -i$ 92=0$      $⟹ a=±b\sqrt {3}$

  Установив значение $a$ в (ii), мы получаем,

  Если $a=0$,      $b=-1$
  

  Если $a=±b\sqrt {3}$,      $ b=1/2$
  

  Тогда $a=±b\sqrt {3}=±(1/2)\sqrt {3}=±\ sqrt {3}/2$

  Итак, $(a,b)=(0,-1),(±\sqrt {3}/2,1/2)$

  Теперь есть 3 значения $ з$.

  (1) $\sqrt [3] {i} =a+bi= 0+(-1)i= -i$

  (2) $\sqrt [3] {i} =a+bi= \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}+\ dfrac {i} {2} $

  (3) $\sqrt [3] {i} =a+bi= -\dfrac {\sqrt {3}}{2}+\dfrac {i}{2}$

  $\endgroup$

  комплексных чисел — Показать, что $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ является кубическим корнем из 1?

  спросил 5 лет, 9 месяцев назад

  Изменено 5 лет, 9 месяцев назад

  Просмотрено 4к раз

  $\begingroup$

  Я знаю, как напрямую доказать, что комплексное число является одним из кубических корней из 1.

Онлайн калькулятор: Уравнивание химических реакций

УчебаХимия

Калькулятор для уравнивания, или балансирования химических реакций.

Калькулятор ниже предназначен для уравнивания химических реакций.

Как известно, существует несколько методов уравнивания химических реакций:

• Метод подбора коэффициентов
• Математический метод
• Метод Гарсиа
• Метод электронного баланса
• Метод электронно-ионного баланса (метод полуреакций)

Последние два применяются для окислительно-восстановительных реакций

Данный калькулятор использует математический метод — как правило, в случае сложных химических уравнений он достаточно трудоемок для ручных вычислений, но зато прекрасно работает, если все за вас рассчитывает компьютер.

Математический метод основан на законе сохранения массы. Закон сохранения массы гласит, что количество вещества каждого элемента до реакции равняется количеству вещества каждого элемента после реакции. Таким образом, левая и правая части химического уравнения должны иметь одинаковое количество атомов того или иного элемента. Это дает возможность балансировать уравнения любых реакций (в том числе и окислительно-восстановительных). Для этого необходимо записать уравнение реакции в общем виде, на основе материального баланса (равенства масс определенного химического элемента в исходных и полученных веществах) составить систему математических уравнений и решить ее.

Рассмотрим этот метод на примере:

Пусть дана химическая реакция:

Обозначим неизвестные коэффициенты:

Составим уравнения числа атомов каждого элемента, участвующего в химической реакции:
Для Fe:
Для Cl:
Для Na:
Для P:
Для O:

Запишем их в виде общей системы:

В данном случае имеем пять уравнений для четырех неизвестных, причем пятое можно получить умножением четвертого на четыре, так что его можно смело отбросить.

Перепишем эту систему линейных алгебраических уравнений в виде матрицы:

Эту систему можно решить методом Гаусса. Собственно, не всегда будет так везти, что число уравнений будет совпадать с числом неизвестных. Однако прелесть метода Гаусса в том, что он как раз и позволяет решать системы с любым числом уравнений и неизвестных. Специально для этого был написан калькулятор Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с нахождением общего решения, который и используется при уравнивании химических реакций.
То есть калькулятор ниже разбирает формулу реакции, составляет СЛАУ и передает калькулятору по ссылке выше, решающему СЛАУ методом Гаусса. Решение потом используется для отображения сбалансированного уравнения.

Химические элементы следует писать так, как они написаны в таблице Менделеева, т. е. учитывать большие и маленькие буквы (Na3PO4 — правильно, na3po4 — неправильно).

Уравнение химической реакции

Уравнение химической реакции

Сбалансированное уравнение

Ссылка скопирована в буфер обмена

Похожие калькуляторы

• • Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений матричным методом
• • Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с сохранением дробей
• • Метод секущих
• • Метод итераций (метод последовательных приближений)
• • Метод бисекции
• • Раздел: Химия ( 15 калькуляторов )

 #наука #химия баланс балансирование математический метод реакция уравнение Химия

 PLANETCALC, Уравнивание химических реакций

Timur2020-11-03 14:19:33

Уравнивание окислительно-восстановительной реакции: онлайн калькулятор

Окислительно-восстановительные реакции — это процесс «перетекания» электронов от одних атомов к другим. В результате происходит окисление или восстановление химических элементов, входящих в состав реагентов.

Основные понятия

Ключевой термин при рассмотрении окислительно-восстановительных реакций — это степень окисления, которая представляет собой условный заряд атома и количество перераспределяемых электронов. Окисление — процесс потери электронов, при котором увеличивается заряд атома. Восстановление, наоборот, представляет собой процесс присоединения электронов, при котором степень окисления уменьшается. Соответственно, окислитель принимает новые электроны, а восстановитель — теряет их, при этом такие реакции всегда происходят одновременно.

Определение степени окисления

Вычисление данного параметра — одна из самых популярных задач в школьном курсе химии. Поиск зарядов атомов может быть как элементарным вопросом, так и задачей, требующей скрупулезных расчетов: все зависит от сложности химической реакции и количества составляющих соединений. Хотелось бы, чтобы степени окисления указывались в периодической таблице и были всегда под рукой, однако этот параметр приходится либо запоминать, либо вычислять для конкретной реакции. Итак, существует два однозначных свойства:

• Сумма зарядов сложного соединения всегда равна нулю. Это значит, что часть атомов будет иметь положительную степень, а часть — отрицательную.
• Степень окисления элементарных соединений всегда равна нулю. Простыми называются соединения, которые состоят из атомов одного элемента, то есть железо Fe2, кислород O2 или октасера S8.

Существуют химические элементы, электрический заряд которых однозначен в любых соединениях. К таким относятся:

• -1 — F;
• -2 — О;
• +1 — H, Li, Ag, Na, K;
• +2 — Ba, Ca, Mg, Zn;
• +3 — Al.

Несмотря на однозначность, существуют некоторые исключения. Фтор F —уникальный элемент, степень окисления которого всегда составляет -1. Благодаря этому свойству многие элементы изменяют свой заряд в паре с фтором. Например, кислород в соединении с фтором имеет заряд +1 (O₂F₂) или +2 (ОF2). Кроме того, кислород меняет свою степень в перекисных соединениях (в перекиси водорода h302 заряд равен -1). И, естественно, кислород имеет нулевую степень в своем простом соединении O2.

При рассмотрении окислительно-восстановительных реакций важно учитывать вещества, которые состоят из ионов. Атомы ионных химических элементов имеют степень окисления, равную заряду иона. Например, в соединении гидрида натрия NaH по идее водород имеет степень +1, однако ион натрия также имеет заряд +1. Так как соединение должно быть электрически нейтральным, то атом водорода принимает заряд -1. Отдельно в этой ситуации стоят ионы металлов, так как атомы таких элементов ионизируются на разные величины. К примеру, железо F ионизируется и на +2, и на +3 в зависимости от состава химического вещества.

Пример определения степеней окисления

Для простых соединений, которые включают в себя атомы с однозначным зарядом, распределение степеней окисления не составляет труда. Например, для воды h3O атом кислорода имеет заряд -2, а атом водорода +1, что в сумме дает нейтральный нуль. В более сложных соединениях встречаются атомы, которые могут иметь разный заряд и для определения степеней окисления приходится использовать метод исключения. Рассмотрим пример.

Сульфат натрия Na₂SO₄ имеет в своем составе атом серы, заряд которого может принимать значения -2, +4 или +6. Какое значение выбрать? Первым делом определяем, что ион натрия имеет заряд +1. Кислород в подавляющем большинстве случаев имеет заряд –2. Составляем простое уравнение:

+1 × 2 + S + (–2) × 4 = 0

2 + S – 8 = 0

S = 8 − 2

S = 6

Таким образом, заряд серы в сульфате натрия равен +6.

Расстановка коэффициентов по схеме реакции

Теперь, когда вы знаете, как определять заряды атомов, вы можете расставлять коэффициенты в окислительно-восстановительных реакциях для их балансировки. Стандартное задание по химии: подобрать коэффициенты реакции при помощи метода электронного баланса. В этих заданиях вам нет нужды определять, какие вещества образуются на выходе реакции, так как результат уже известен. Например, определите пропорции в простой реакции:

Na + O2 → Na₂O

Итак, определим заряд атомов. Так как натрий и кислород в левой части уравнения — простые вещества, то их заряд равен нулю. В оксиде натрия Na2O кислород имеет заряд -2, а натрий +1. Мы видим, что в левой части уравнения натрий имеет нулевой заряд, а в правой – положительный +1. То же самое с кислородом, который изменил степень окисления с нуля до -2. Запишем это «химическим» языком, указав в скобках заряды элементов:

Na(0) – 1e = Na(+1)

O(0) + 2e = O(–2)

Для балансировки реакции требуется уравновесить кислород и добавить коэффициент 2 к оксиду натрия. Получим реакцию:

Na + O2 → 2Na2O

Теперь у нас дисбаланс по натрию, уравновесим его при помощи коэффициента 4:

4Na + O2 → 2Na2O

Теперь количество атомов элементов совпадают с обеих сторон уравнения, следовательно, реакция сбалансирована. Все это мы проделали вручную, и это было несложно, так как реакция сама по себе элементарна. Но что делать, если требуется сбалансировать реакцию вида K₂Cr₂O₇ + KI + H₂SO₄ → Cr₂(SO₄)3 + I2 + H₂O + K₂SO₄? Ответ прост: используйте калькулятор.

Калькулятор балансирования окислительно-восстановительных реакций

Наша программа позволяет автоматически расставить коэффициенты для самых распространенных химических реакций. Для этого вам необходимо вписать в поле программы реакцию или выбрать ее из раскрывающегося списка. Для решения выше представленной окислительно-восстановительной реакции вам достаточно выбрать ее из списка и нажать на кнопку «Рассчитать». Калькулятор мгновенно выдаст результат:

K₂Cr₂O₇ + 6KI + 7H₂SO₄ → Cr₂(SO₄)3 + 3I2 + 7H₂O + 4K₂SO₄

Использование калькулятора поможет вам быстро сбалансировать наиболее сложные химические реакции.

Заключение

Умение балансировать реакции необходимо всем школьникам и студентам, которые мечтают связать свою жизнь с химией. В целом расчеты выполняются по строго определенным правилам, для понимания которых достаточно элементарных знаний по химии и алгебре: помнить, что сумма степеней окисления атомов соединения всегда равна нулю и уметь решать линейные уравнения.

Вольфрам|Альфа Примеры: Химические реакции

Сохранение книги в текстовом формате (TXT или CSV)

 эхо.>myfile.txt 

 запустить блокнот myfile.txt 

 пико myfile.txt 

Дифференциальные уравнения — онлайн калькулятор.

Как известно, теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления. Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Законы Ньютона позволяют строить математическую модель механического движения, которая обычно представляет собой дифференциальное уравнение. Рассмотрим, например, подробнее такую задачу. С некоторой высоты сброшено тело массой m. Требуется установить закон изменения скорости падения тела v(t), если на него действует сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности k). По II закону Ньютона где – ускорение движущегося тела, – сумма сил, действующих на тело – силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Таким образом, имеем уравнение, связывающее искомую функцию v(t) и ее производную

т. е. дифференциальное уравнение. В настоящее время теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Ее разработкой занимались крупнейшие ученые XVIII века, такие как Ж. Даламбер, Ж. Л. Лагранж, А. Клеро и др. Наибольшую роль в развитии этой теории сыграли труды Л. Эйлера. В первых двух томах его «Интегрального исчисления» содержится немало классических примеров интегрирования дифференциальных уравнений, в том числе и решения линейного однородного уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами. Отметим, что изучение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на младших курсах обычно остается на уровне открытий XVIII века, и заключается в освоении приемов интегрирования лишь хорошо изученных типов уравнений и некоторых экзотических случаев, ибо «точно» интегрируемые уравнения – это исключительная редкость во множестве возможных уравнений. Переходя к реальным объектам исследования, студенты, инженеры и аспиранты сталкиваются с более сложными моделями и их математической реализацией. Даже в кругах исследователей – «чистых математиков» довольно долго интегрирование уравнений в квадратурах, теоретико-групповой подход к уравнениям считались тупиковой ветвью в науке. Тем не менее, теория обыкновенных дифференциальных уравнений является базой для уравнений математической физики и, кроме того, развитие современной физики показало, что именно те самые редкие и хорошо изученные случаи и представляют наибольший физический интерес. А успехи, достигнутые в ряде разделов математики – в алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и коммутативной алгебре, позволяют надеяться на то, что общая теория уравнений с частными производными будет построена.

В математике и физике часто встречаются задачи, для решения которых требуется решить уравнение, содержащее не только неизвестную функцию и ее аргумент, но и производную неизвестной функции.

Уравнение вида

связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные ) , называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Например, уравнения

будут дифференциальными уравнениями первого порядка; уравнения

будут дифференциальными уравнениями второго порядка; уравнение

имеет третий порядок.

Функция  называется решением дифференциального уравнения на интервале (a,b) если при ее подстановке в это уравнение получается тождество, справедливое для всех  x из интервала (a, b) Например, функция является решением дифференциального уравнения ; функция будет решением уравнения в интервале (-1;1) . Чтобы это проверить, достаточно подставить функцию в соответствующее уравнение.

Уравнение задающее в неявном виде решение дифференциального уравнения, называется интегралом дифференциального уравнения. График решения (интеграла) дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Так же если вы затрудняетесь в решении дифференциального уравнения, всегда можно воспользоваться

Матричные игры: примеры решения задач

• Платёжная матрица, чистые стратегии, цена игры
• Седловая точка в матричных играх
• Матричные игры с оптимальной смешанной стратегией
• Сведение матричной игры к задаче линейного программирования
• Игры с матрицей 2 Х 2
• Составление матричной игры

Матричной игрой в математической теории игр называется игра двух лиц с нулевой суммой, в которой в распоряжении каждого из них имеется конечное множество стратегий. Правила матричной игры определяет платёжная матрица, элементы которой — выигрыши первого игрока, которые являются также проигрышами второго игрока.

Матричная игра является антагонистической игрой. Первый игрок получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения второго игрока) выигрыш, равный цене игры, аналогично, второй игрок добивается минимального гарантированного проигрыша.

Под стратегией понимается совокупность правил (принципов), определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе игрока в зависимости от сложившейся ситуации.

Теперь обо всём по порядку и подробно.

В матричной игре её правила определяет платёжная матрица.

Рассмотрим игру, в которой имеются два участника: первый игрок и второй игрок. Пусть в распоряжении первого игрока имеется m чистых стратегий, а в распоряжении второго игрока — n чистых стратегий. Поскольку рассматривается игра, естественно, что в этой игре есть выигрыши и есть проигрыши.

В платёжной матрице элементами являются числа, выражающие выигрыши и проигрыши игроков. Выигрыши и проигрыши могут выражаться в пунктах, количестве денег или в других единицах.

Составим платёжную матрицу:

.

Если первый игрок выбирает i-ю чистую стратегию, а второй игрок — j-ю чистую стратегию, то выигрыш первого игрока составит aij единиц, а проигрыш второго игрока — также aij единиц.

Так как aij + (- aij) = 0, то описанная игра является матричной игрой с нулевой суммой.

Простейшим примером матричной игры может служить бросание монеты. Правила игры следующие. Первый и второй игроки бросают монету и в результате выпадает «орёл» или «решка». Если одновременно выпали «орёл» и «орёл» или «решка» или «решка», то первый игрок выиграет одну единицу, а в других случаях он же проиграет одну единицу (второй игрок выиграет одну единицу). Такие же две стратегии и в распоряжении второго игрока. Соответствующая платёжная матрица будет следующей:

.

Задача теории игр — определить выбор стратегии первого игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний выигрыш, а также выбор стратегии второго игрока, которая гарантировала бы ему максимальный средний проигрыш.

Как происходит выбор стратегии в матричной игре?

Вновь посмотрим на платёжную матрицу:

.

Сначала определим величину выигрыша первого игрока, если он использует i-ю чистую стратегию. Если первый игрок использует i-ю чистую стратегию, то логично предположить, что второй игрок будет использовать такую чистую стратегию, благодаря которой выигрыш первого игрока был бы минимальным. В свою очередь первый игрок будет использовать такую чистую стратегию, которая бы обеспечила ему максимальный выигрыш. Исходя из этих условий выигрыш первого игрока, который обозначим как v1, называется максиминным выигрышем или нижней ценой игры.

При решении задач на цену игры и определение стратегии для этих величин у первого игрока следует поступать следующим образом. Из каждой строки выписать значение минимального элемента и уже из них выбрать максимальный. Таким образом, выигрыш первого игрока будет максимальным из минимальных. Отсюда и название — максиминный выигрыш. Номер строки этого элемента и будет номером чистой стратегии, которую выбирает первый игрок.

Теперь определим величину проигрыша второго игрока, если он использует j-ю стратегию. В этом случае первый игрок использует такую свою чистую стратегию, при которой проигрыш второго игрока был бы максимальным. Второй игрок должен выбрать такую чистую стратегию, при которой его проигрыш был бы минимальным. Проигрыш второго игрока, который обозначим как v2, называется минимаксным проигрышем или верхней ценой игры.

При решении задач на цену игры и определение стратегии для определения этих величин у второго игрока следует поступать следующим образом. Из каждого столбца выписать значение максимального элемента и уже из них выбрать минимальный. Таким образом, проигрыш второго игрока будет минимальным из максимальных. Отсюда и название — минимаксный выигрыш. Номер столбца этого элемента и будет номером чистой стратегии, которую выбирает второй игрок. Если второй игрок использует «минимакс», то независимо от выбора стратегии первым игроком, он проиграет не более v2 единиц.

Пример 1. Дана матричная игра с платёжной матрицей

.

Определить максиминную стратегию первого игрока, минимаксную стратегию второго игрока, нижнюю и верхнюю цену игры.

Решение. Справа от платёжной матрицы выпишем наименьшие элементы в её строках и отметим максимальный из них, а снизу от матрицы — наибольшие элементы в столбцах и выберем минимальный из них:

Наибольший из наименьших элементов строк — 2, это нижняя цена игры, ей соответствует первая строка, следовательно, максиминная стратегия первого игрока первая. Наименьший из наибольших элементов столбцов — 5, это верхняя цена игры, ей соответствует второй столбец, следовательно, минимаксная стратегия второго игрока — вторая.

Теперь, когда мы научились находить нижнюю и верхнюю цену игры, максиминную и минимаксную стратегии, пришло время научиться обозначать эти понятия формально.

Итак, гарантированный выигрыш первого игрока:

.

Первый игрок должен выбрать чистую стратегию, которая обеспечивала бы ему максимальный из минимальных выигрышей. Этот выигрыш (максимин) обозначается так:

.

Первый игрок использует такую свою чистую стратегию, чтобы проигрыш второго игрока был максимальным. Этот проигрыш обозначается так:

.

Второй игрок должен выбрать свою чистую стратегию так, чтобы его проигрыш был минимальным. Этот проигрыш (минимакс) обозначается так:

.

Ещё пример из этой же серии.

Пример 2. Дана матричная игра с платёжной матрицей

.

Определить максиминную стратегию первого игрока, минимаксную стратегию второго игрока, нижнюю и верхнюю цену игры.

Решение. Справа от платёжной матрицы выпишем наименьшие элементы в её строках и отметим максимальный из них, а снизу от матрицы — наибольшие элементы в столбцах и выберем минимальный из них:

Наибольший из наименьших элементов строк — 3, это нижняя цена игры, ей соответствует вторая строка, следовательно, максиминная стратегия первого игрока вторая. Наименьший из наибольших элементов столбцов — 5, это верхняя цена игры, ей соответствует первый столбец, следовательно, минимаксная стратегия второго игрока — первая.

Если верхняя и нижняя цена игры одинаковая, то считается, что матричная игра имеет седловую точку. Верно и обратное утверждение: если матричная игра имеет седловую точку, то верхняя и нижняя цены матричной игры одинаковы. Соответствующий элемент одновременно является наименьшим в строке и наибольшим в столбце и равен цене игры.

Таким образом, если , то — оптимальная чистая стратегия первого игрока, а — оптимальная чистая стратегия второго игрока. То есть равные между собой нижняя и верхняя цены игры достигаются на одной и той же паре стратегий.

В этом случае матричная игра имеет решение в чистых стратегиях.

Пример 3. Дана матричная игра с платёжной матрицей

.

Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли данная матричная игра седловую точку?

Решение. Справа от платёжной матрицы выпишем наименьшие элементы в её строках и отметим максимальный из них, а снизу от матрицы — наибольшие элементы в столбцах и выберем минимальный из них:

Нижняя цена игры совпадает с верхней ценой игры. Таким образом, цена игры равна 5. То есть . Цена игры равна значению седловой точки . Максиминная стратегия первого игрока — вторая чистая стратегия, а минимаксная стратегия второго игрока — третья чистая стратегия. Данная матричная игра имеет решение в чистых стратегиях.

Решить задачу на матричную игру самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Дана матричная игра с платёжной матрицей

.

Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли данная матричная игра седловую точку?

Правильное решение и ответ.

В большинстве случаев матричная игра не имеет седловой точки, поэтому соответствующая матричная игра не имеет решений в чистых стратегиях.

Но она имеет решение в оптимальных смешанных стратегиях. Для их нахождения нужно принять, что игра повторяется достаточное число раз, чтобы на основании опыта можно было предположить, какая стратегия является более предпочтительной. Поэтому решение связывается с понятием вероятности и среднего (математического ожидания). В окончательном же решении есть и аналог седловой точки (то есть равенства нижней и верхней цены игры), и аналог соответствующих им стратегий.

Итак, чтобы чтобы первый игрок получил максимальный средний выигрыш и чтобы средний проигрыш второго игрока был минимальным, чистые стратегии следует использовать с определённой вероятностью.

Если первый игрок использует чистые стратегии с вероятностями , то вектор называется смешанной стратегией первого игрока. Иначе говоря, это «смесь» чистых стратегий. При этом сумма этих вероятностей равна единице:

.

Если второй игрок использует чистые стратегии с вероятностями , то вектор называется смешанной стратегией второго игрока. При этом сумма этих вероятностей равна единице:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Если первый игрок использует смешанную стратегию p, а второй игрок — смешанную стратегию q, то имеет смысл математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока). Чтобы его найти, нужно перемножить вектор смешанной стратении первого игрока (который будет матрицей из одной строки), платёжную матрицу и вектор смешанной стратегии второго игрока (который будет матрицей из одного столбца):

.

Если уже подзабыто произведение матриц, то следует повторить материал.

Пример 5. Дана матричная игра с платёжной матрицей

.

Определить математическое ожидание выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока), если смешанная стратегия первого игрока , а смешанная стратегия второго игрока .

Решение. Согласно формуле математического ожидания выигрыша первого игрока (проигрыша второго игрока) оно равно произведению вектора смешанной стратегии первого игрока, платёжной матрицы и вектора смешанной стратегии второго игрока:

Оптимальной смешанной стратегией первого игрока называется такая смешанная стратегия , которая обеспечивала бы ему максимальный средний выигрыш , если игра повторяется достаточное число раз.

Оптимальной смешанной стратегией второго игрока называется такая смешанная стратегия , которая обеспечивала бы ему минимальный средний проигрыш , если игра повторяется достаточное число раз.

По аналогии с обозначениями максимина и минимакса в случах чистых стратегий оптимальные смешанные стратегии обозначаются так (и увязываются с математическим ожиданием, то есть средним, выигрыша первого игрока и проигрыша второго игрока):

,

.

В таком случае для функции E существует седловая точка, что означает равенство .

Для того, чтобы найти оптимальные смешанные стратегии и седловую точку, то есть решить матричную игру в смешанных стратегиях, нужно свести матричную игру к задаче линейного программирования, то есть к оптимизационной задаче, и решить соответствующую задачу линейного программирования.

Для того, чтобы решить матричную игру в смешанных стратегиях, нужно составить прямую задачу линейного программирования и двойственную ей задачу. В двойственной задаче расширенная матрица, в которой хранятся коэффициенты при переменных в системе ограничений, свободные члены и коэффициенты при переменных в функции цели, транспонируется. При этом минимуму функции цели исходной задачи ставится в соответствие максимум в двойственной задаче.

Функция цели в прямой задаче линейного программирования:

.

Система ограничений в прямой задаче линейного программирования:

Функция цели в двойственной задаче:

.

Система ограничений в двойственной задаче:

Оптимальный план прямой задачи линейного программирования обозначим

,

а оптимальный план двойственной задачи обозначим

Линейные формы для соответствующих оптимальных планов обозначим и ,

а находить их нужно как суммы соответствующих координат оптимальных планов.

В соответствии определениям предыдущего параграфа и координатами оптимальных планов, в силе следующие смешанные стратегии первого и второго игроков:

,

.

Математики-теоретики доказали, что цена игры следующим образом выражается через линейные формы оптимальных планов:

,

то есть является величиной, обратной суммам координат оптимальных планов.

Нам, практикам, остаётся лишь использовать эту формулу для решения матричных игр в смешанных стратегиях. Как и формулы для нахождения оптимальных смешанных стратегий соответственно первого и второго игроков:

,

,

в которых вторые сомножители — векторы. Оптимальные смешанные стратегии также, как мы уже определили в предыдущем параграфе, являются векторами. Поэтому, умножив число (цену игры) на вектор (с координатами оптимальных планов) получим также вектор.

Пример 6. Дана матричная игра с платёжной матрицей

.

Найти цену игры V и оптимальные смешанные стратегии и .

Решение. Составляем соответствующую данной матричной игре задачу линейного программирования:

Приводим задачу к канонической форме и решаем задачу и двойственную ей задачу симплекс-методом.

Получаем решение прямой задачи:

.

Находим линейную форму оптимальных планов как сумму найденных координат:

.

Получаем решение двойственной задачи:

.

Находим линейную форму оптимальных планов как сумму найденных координат:

.

Находим цену игры:

.

Находим оптимальную смешанную стратегию первого игрока:

.

Находим оптимальную смешанную стратегию второго игрока:

.

Пусть дана игра с платёжной матрицей

Если эта матричная игра имеет седловую точку, то она имеет решение в чистых стратегиях, как показано в параграфах 1 и 2.

Если же игра не имеет седловой точки, то она имеет решение в оптимальных смешанных стратегиях. Для этого простейшего случая матричной игры при её решениях путём сведения к задаче линейного программирования были найдены формулы стратегий игроков и цены игры, благодаря которым такая игра решается менее трудоёмким способом.

Формула для нахождения оптимальной смешанной стратегии первого игрока:

.

Формула для нахождения оптимальной смешанной стратегии второго игрока:

.

Формула для нахождения цены игры:

.

Пример 7. Дана матричная игра с платёжной матрицей

.

Найти оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры.

Решение. Оптимальные смешанные стратегии первого игрока получаем по соответствующей из приведённых формул:

.

Оптимальные смешанные стратегии второго игрока получаем также по соответствующей формуле:

.

Цена игры:

.

Матричная игра, седловая точка, чистые стратегии, смешанные стратегии… А для чего всё это? Рассмотрим на примере, как с помощью матричных игр решаются экономические задачи.

Пример 8. Составить матричную игру для следующей задачи.

Предприятие может выпускать три вида продукции (A1, A2, A3), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырёх состояний (B1, B2, B3, B4). Дана матрица, элементы которой aij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции с j-м состоянием спроса.

Решение. Задача сводится к матричной игре предприятия A против спроса B.

Прежде чем решать задачу, можно упростить игру, проведя анализ платёжной матрицы и отбросив стратегии, заведомо невыгодные или дублирующие. Вторая стратегия (второй столбец матрицы) является явно невыгодной для игрока B по сравнению с первой (элементы второго столбца больше элементов первого столбца), так как цель игрока B — уменьшить выигрыш игрока A. Поэтому второй столбец можно отбросить. Получим следующую матрицу:

.

Далее составляется и решается задача линейного программирования. Это мы уже умеем.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Поделиться с друзьями

Теория игр: основы. Примеры записи и решения игр из жизни

Материалы по векторам и матрицам

Векторы: определения и действия над векторами

Произведение двух матриц

Линейное программирование

Задача и теоремы линейного программирования, примеры формулировки задач

Симплекс-метод решения задач линейного программирования: типичный пример и алгоритм

Пример решения задачи — игра, графическим методом

Ниже приведено условие  и решение задачи. Закачка решения в формате doc  начнется автоматически через 10 секунд.

Оптимизация мощности ателье.

Ателье по пошиву одежды рассчитано на выполнение не более 8 тыс. заявок в год. Будем считать, что поток заявок выражается цифрами 6, 8 тыс. в год. Накопленный опыт аналогичных предприятий показывает, что прибыль от выполнения одной заявки составляет 8 ден. ед., а потери, вызванные отказом из-за недостатка мощностей, оцениваются в 5 ден. ед., а убытки от простоя специалистов и оборудования при отсутствии заявок обходятся в 6 ден. ед. в расчете на каждую заявку.

1. Придать описанной ситуации игровую схему, установить характер игры и выявить ее
участников, указать возможные чистые стратегии сторон;

2. Составить платежную матрицу (матрицу затрат).

3.  Решить задачу сведением ее к задаче линейного программирования и решить её графическим способом (т.е. найти оптимальные стратегии игроков и цену игры). Дать рекомендации о мощности ателье.

Решение.

1. Одним из участников рассматриваемой в задаче ситуации являет­ся руководство предприятия, озабоченное необходимостью выполнения опреде­ленного количества заявок. Если описанной ситуации придать игровую схему, то руководство ателье выступает в ней в качестве сознательного игро­ка А, заинтересованного в максимизации прибыли от выполнения заказов . Вторым участником является природа — совокупность объективных факто­ров (П), которая реализует свои состояния по присущим ей законам. Такого рода ситуация представляется типичной для стратегической игры.

Рассчитывая количество заявок, руководство предприятия может ориентироваться на величины: 6 тыс. ед. (первая чистая стратегия А1), либо 8 тыс. ед. (вторая чистая стратегия А2).

Природа (совокупность объективных неопределенных факторов) мо­жет реализовать состояния П1, П2, необходимое количество заявок 6, 8 тыс. ед. соответственно.

Таким образом, платежная матрица статистической игры будет иметь размерность 2х2.

2. Платежная матрица игры представлена в табл. 2.1.

Таблица 2.1

При расчете элементов матрицы учтена прибыль за вычетом дополнительных за­трат, связанных с недостатком мощностей, а также с убытком от простоя . Заметим, что в теории игр элементы  aij  обыч­но называются выигрышами игрока A, а наилучшей для  А считается страте­гия, при которой выигрыш максимизируется .

Рассмотрим ситуацию (а1;П2), т.е. случай, когда не хватает  мощности на 2 тыс. ед. при этом прибыль составит 64-2·5=54 . Так что «выигрыш» в этом случае равен 54 и т. д.

В ситуации (А2;П1) мощность превысит потребности на 8-6=2 (вес.  ед.). Поэтому затраты связанные с простоем составят 2·6=12 (ед.). Следовательно, a21 = 48-2·6=36.

Рассуждая аналогично, находим и остальные элементы платежной матрицы.

Определим седловой элемент:

Матрица не имеет седлового элемента т.к.       А  ≠ В           36 ≤ v ≤ 48

3. Для определения оптимальных стратегий игроков по платежной матрице составляем пару двойственных задач.

Для игрока А:

f =  Х1  + Х2  (min)                        

            48Х1 +36Х2 ≥1

            38Х1 +64Х2  ≥1                    (1)

                       Хj  ≥0   (j=1,2)                                       

Для игрока В:

  φ = Y1 + Y2  (max)     

      48Y1 + 38Y2  ≤ 1     

      36Y1 + 64Y2  ≤ 1                           (2)

        Yi  ≥0   (i=1,2)   

Решим задачу для игрока А графическим способом.

Строим прямые:

48Х1 +36Х2 =1  (I) по точкам (1/48, 0) и (0, 1/36)

38Х1 +64Х2  =1    (II) по точкам (1/38, 0) и (0, 1/64)

Долее определяем область допустимых решений. На рисунке 2.1 выделена граница области    допустимых решений. Разрешающая прямая     fmin, перпендикулярная вектору целевой функции 0,03С, засекает область в точке А, найдем координаты     точки А, решив систему уравнений:

48Х1 +36Х2 =1    (16)

38Х1 +64Х2  =1    (-9)

Умножаем первое уравнение на 16, а второе на (-9), складывая, получаем:

426Х1=7, откуда Х1*=7/426

Х2* = (1 — 48∙(7/426) )/36= 5/852

fmin  = 7/426 + 5/852 = 19/852

Цена игры: v = 1/fmin = 852/19.

Тогда оптимальные стратегии для игрока А:

Р1* = v∙X1* = (852/19)∙(7/426) = 14/19;

Р1* = v∙X2* = (852/19)∙(5/852) = 5/19.

Рис. 2.1

Следовательно, руководству надо ориентироваться на (6000∙14+8000∙5)/19 = 6526 заявок в год.

Решим задачу для игрока В. Так как неравенства в задаче для игрока А при оптимальном решении  превращаются в строгие равенства, то оптимальное решение, найдем, решив систему:

48Y1 + 38Y2 =1      (-3)

36Y1 + 64Y2  =1      (4)     

Умножаем первое уравнение на (-3), а второе на 4, складывая, получаем:

142Y2=1, откуда Y2*= 1/142 = 6/852

Y1* = (1 — 38∙(1/142))/48 = 104/(142∙48) = 13/852

fmin  = 13/852 + 6/852 = 19/852

Цена игры: v = 1/ φ max = 852/19.

Тогда оптимальные стратегии для игрока B:

Q1* = v∙Y1* = (852/19)∙(13/852) = 13/19;

Q1* = v∙Y2* = (852/19)∙(6/852) = 6/19.

Теория игр | Coursera

Об этом курсе

149 500 недавних просмотров

Теория игр, ставшая популярной благодаря таким фильмам, как «Игры разума», представляет собой математическое моделирование стратегического взаимодействия между рациональными (и иррациональными) агентами. Помимо того, что мы называем «играми» на обычном языке, например, шахматы, покер, футбол и т. д., сюда входит моделирование конфликтов между нациями, политических кампаний, конкуренции между фирмами и торгового поведения на таких рынках, как Нью-Йоркская фондовая биржа. Как можно было начать моделировать аукционы ключевых слов и одноранговые сети обмена файлами, не принимая во внимание стимулы людей, их использующих? Курс предоставит основы: представление игр и стратегий, расширенную форму (которую ученые-компьютерщики называют игровыми деревьями), байесовские игры (моделирование таких вещей, как аукционы), повторяющиеся и стохастические игры и многое другое. Мы будем включать множество примеров, включая классические игры и несколько приложений.

Полную программу и описание курса можно найти здесь: http://web.stanford.edu/~jacksonm/GTOC-Syllabus.html Существует также расширенный курс для тех, кто уже знаком с теорией игр: https://www.coursera.org/learn/gametheory2/ Вступительное видео можно найти здесь: http://web.stanford.edu/~jacksonm/Intro_Networks.mp4

Онлайн-калькулятор. Примеры решений задач по экономике

Анализ производства и реализации продукции

Анализ динамики выпуска продукции

Анализ использования основных средств

Анализ технического состояния производства (интенсивность и экстенсивность производства)
Факторный анализ фондоотдачи

Анализ себестоимости продукции (работ, услуг)

Анализ затрат на рубль произведенной продукции

Анализ использования трудовых ресурсов предприятия и фонда заработной платы

Анализ производительности труда
Анализ фонда заработной платы

Анализ источников формирования и размещения капитала

Анализ состава, структуры и динамики оборотных активов

Анализ финансового состояния

Анализ финансового левериджа
Анализ финансовой устойчивости
Анализ финансового состояния

Статистика

Показатели рядов динамики (цепные, базисные, средние)
Пример построения аддитивной модели
Пример построения мультипликативной модели

Общий индекс затрат на производство продукции (общий индекс товарооборота)
Индекс цен переменного состава
Анализ рынка наружной рекламы

Анализ сезонных колебаний

Решение типовых задач

Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Группировка статистических данных

Экономика

Конкурентный анализ при помощи кривой Лоренца.
Равновесная цена. Параметры равновесия на рынке: равновесный объем, коэффициент эластичности, излишки продавца и покупателя
Межотраслевой баланс
Задача минимизации общих издержек

Решение задач по экономике

Решение задач по экономике: убедитесь, что время — деньги!
(смотрите также решение задач по безопасности жизнедеятельности)

На экономике не экономят? Как сказать…

Одним из главных вопросов относительно нашей системы высшего образования звучит так: «Чему должны учить в ВУЗах?» По какой бы специальности ни обучался студент, большая часть задач, которые он решает в ВУЗе, ему в дальнейшей деятельности не понадобится вообще. И дело даже не в том, что это за предмет, дело не в физике, не в геометрии, не в электротехнике, не в экономике или теоретической механике. Эта задача вообще лежит вне плоскости задач, входящих в курс.

Главная задача современного студента (точнее сказать, метазадача) – добиться в процессе обучения максимального КПД, потратив максимум времени и усилий на профильные предметы и возможно меньше – на предметы, нужные чисто формально.

Пример оформления контрольной работы по «экономической теории», выполненной нашими специалистами:

Наша система образования (как и большинство систем образования) отводит очень много времени на «поиски себя». Отсюда её заведомая избыточность, отсюда множество часов на курсы, которые школьнику и студенту не пригодятся никогда в жизни, зато среди них он найдёт то, что его зацепит.

Безусловно, чем больше различных знаний человек впитывает, тем легче будет найти «своё». Изучение смежных или вовсе сторонних предметов тренирует память, даёт новые подходы в мышлении, расширяет кругозор, в конце концов. И успехи советского образования и науки – лучшее тому свидетельство.

Но что делать тем, кто уже в выпускных классах или первых курсах чётко определился, чего хочет? Тратить равно много времени на профильное программирование и нужную только ради оценки экономику? Вряд ли в этом есть смысл. Никто не отменяет самообразование, и впоследствии и программисту может понадобиться экономика, если он будет создавать приложения для биржевых операций или бухгалтерских нужд. Но если вы сейчас такой потребности не ощущаете, то решение задач по экономике собственными силами – не лучший способ потратить время.

Решение задач по экономике – оправдано ли оно экономически?

Мы не просто так вспомнили советскую систему образования: тогдашнее время позволяло человеку развиваться всесторонне и даже требовало этого (пусть и не в такой степени, как во времена французских энциклопедистов). Сейчас условия несколько иные, объём знаний, накопленных человечеством и востребованных сейчас, просто огромен, поэтому неизбежна узкая специализация. Мало кто из студентов Гарварда или Оксфорда всерьёз ищет примеры задач по экономике, матанализу или физике в Интернете. Специализация, выбранная уже на первых курсах – отличная причина самому решать нужные задачи, набирать квалификацию и повышать профессионализм.

В наших условиях, когда будущему программисту, биологу или литературоведу приходится изучать много непрофильных предметов без практической пользы, возникает вопрос: а оправдано ли морально решение экономики предприятия на заказ или решение задач по экономике онлайн? Морально – это вопрос, а экономически – однозначно да. Во-первых, время – деньги. Оптимизируя свой учебный процесс, вы проявляете не только правильный подход к учению, но и реалистичное понимание той самой экономики. В освободившееся время вы можете повышать квалификацию по своему профилю или зарабатывать деньги. Во-вторых, спрос определяет предложение, а спрос на решение задач по экономике у студентов очень велик. Дело именно в том, что многим надо зарабатывать деньги (по статистике работают или ищут работу сейчас четыре из пяти студентов-очников). Работу многие из них находят именно по тому профилю, по которому учатся. А значит, время надо уделять и работе, и обучению по выбранному профилю.

Решение экономики на заказ – правильное решение!

Вопрос, который даже трудно назвать двусмысленным: что лучше, к примеру, для программиста или вебмастера: поработать по специальности, написав коммерческую программу или сайт за вознаграждение, и потратить часть полученных денег на решение задач по экономике от профессионалов? Или упорно решать эти задачи самому, тратя время и не получая при этом необходимых знаний и навыков? В данном случае решение экономики на заказ, как ни парадоксально, будет и правильным решением практической экономической задачи, вставшей перед студентом. Это касается не только программистов, но и, скажем, переводчиков и журналистов (если только те не собираются работать с экономическими изданиями), врачей, биологов, других профессий.

Умные студенты давно уже оптимизируют свою учёбу, сосредотачиваются на своём профиле, а решение задач по экономике предприятия, физике, математике и другим необязательным предметам доверяют профессионалам. Воспользуйтесь этим шансом и вы: в конце концов, это экономически правильно!

Заказать нам работу!

Использование документированного решения проблем в экономике

Область экономики требует от студентов критического мышления и навыков решения проблем, но, к сожалению, многие студенты не имели возможности развить такие навыки до поступления в класс экономики. Таким образом, они находят экономику пугающей. Это прискорбно, но это убедительный аргумент в пользу того, почему документированное решение проблем так хорошо подходит для курсов по экономике. Документированное решение проблем предоставляет учащимся основу, в которой они могут начать изучать свои стратегии решения проблем.

Документированное решение задач эффективно использовалось в курсах по основам экономики в крупном государственном исследовательском учреждении за последние несколько лет. Он использовался с темами производственных возможностей, спроса и предложения, ценовой эластичности и потребительского спроса, рыночных структур, рынка труда, безработицы, фискальной и денежно-кредитной политики, ВВП на душу населения и экономического роста, эффективных налоговых ставок, международной торговли и многих других. . Ясно, что его можно применить практически к любому курсу экономики. Поначалу учащиеся находят этот процесс сложным, но, поскольку сам процесс не оценивается, они вскоре расслабляются и получают от него удовольствие как от инструмента, который помогает улучшить их учебный процесс.

Документированное решение проблем способствует развитию критического мышления и навыков решения проблем

Анджело и Кросс (1993, стр. 222) пишут: «Чтобы стать действительно опытными в решении проблем, учащиеся должны научиться делать больше, чем просто получать правильные ответы на вопросы учебника». В какой-то момент им нужно осознать, как они решили эти проблемы и как они могут адаптировать свои процедуры решения проблем для решения запутанных, реальных проблем… Понимание и использование эффективных процедур решения проблем все, критический компонент мастерства в большинстве дисциплин». Документированное решение проблем требует от учащихся подумайте о том, как они решают проблему , а затем запишите шаги, которые они используют.

Когда учащиеся описывают, как они разбивают экономическую проблему на небольшие базовые шаги, они часто пишут:

• Сначала я рассмотрел определение…
• Я открыл свои заметки в разделе о…
• Первое, о чем подумала моя группа, было…
• Я вспомнил график, который вы нарисовали, и…
• В инструкции сказано найти где. ..
• Согласно уравнению…
• Я прочитал вопрос, а затем перечитал его еще раз…

Таким образом, задокументированное решение задач дает окно, через которое преподаватель может видеть мыслительные процессы студентов. Преподавателям приятно видеть, как студенты становятся более целеустремленными и обдуманными в своем подходе к решению проблем и даже разрабатывают модели решения проблем, которые могут быть перенесены в другие области экономики и другие области обучения. Благодаря использованию задокументированного решения проблем учащиеся становятся более эффективными учениками; более экспертным в их мыслительном процессе.

Документированное решение проблем — Типы вопросов

Документированное решение проблем хорошо работает с вопросами с множественным выбором, верно/неверно и краткими ответами. Вопросы из тестовых банков, как правило, работают и легко доступны. Кроме того, преподаватели могут написать свои собственные вопросы. Вопросы не обязательно должны быть слишком сложными, чтобы их можно было задокументировать для решения проблем, но они должны требовать многоэтапного мыслительного процесса, чтобы прийти к ответу.

При таком подходе хорошо работают вопросы по экономике, которые:

• Требуют, чтобы учащиеся следовали предсказуемому пути, чтобы получить правильный ответ.
• Включите расчеты и попросите учащихся выбрать правильное уравнение для использования.
• Включите данные и попросите учащихся их интерпретировать.
• Предложите учащимся думать не только о том, что было сказано на лекции или обсуждено в тексте.
• Требуйте, чтобы учащиеся объединили несколько независимых понятий или идей, чтобы получить правильный ответ.
• Обсудите темы, с которыми у учащихся обычно возникают трудности.

Подходящий экономический вопрос, для которого учащиеся могут написать задокументированное решение проблемы, поскольку он требует многоэтапного процесса.

Для продукта XYZ эластичность спроса по цене имеет абсолютное значение 3. При прочих равных условиях , это означает, что объем спроса увеличится на:

а) 1 процент за каждые 3 процента снижения цены. б) 1 единица за каждые 3 доллара снижения цены.

в) 3 процента за каждый 1 процент снижения цены. г) 3 единицы за каждый доллар снижения цены.

Ответ студента: Сначала я открыл свои записи, чтобы прочитать определение ценовой эластичности спроса. Ценовая эластичность измеряет изменение величины спроса в результате изменения цены. Формула: (% изменения объема спроса) ÷ (% изменения цены). Таким образом, если ответ равен 3, 3 идет вверху (процентное изменение объема спроса) и 1 — внизу (процентное изменение цены). Действительное число отрицательное 3, потому что цена и объем спроса движутся в противоположных направлениях. Для этого вопроса, если цена вырастет на 1%, объем спроса уменьшится на 3%. Затем я посмотрел на варианты ответов, чтобы увидеть, какой из них соответствует. Если цена упадет на 1 %, то объем спроса увеличится на 3 %, поэтому правильный ответ — c.

Вопросы по экономике, которые не работают при таком подходе

Вопросы типа определения и вопросы, в которых учащимся предлагается выбрать из списка, не являются хорошим выбором, если они просто требуют, чтобы учащиеся вспомнили заученную информацию. В таком случае учащийся не может описать несколько шагов. Помните, что одна из основных причин использования задокументированного решения проблем — помочь учащимся разбить процесс решения на отдельные этапы, что в конечном итоге поможет им в развитии навыков аналитического и критического мышления.

Неподходящий экономический вопрос, для которого учащиеся не могут написать задокументированное решение проблемы, поскольку не требуются навыки решения проблем.

Какая из следующих стран ежегодно производит больше всего продукции?

а) Китай б) США в) Россия г) Мексика

Ответ ученика: США, потому что так написано в таблице в тексте.

Однако, учитывая, что большая часть экономической науки опирается на аналитические рассуждения, легко найти множество подходящих вопросов.

Начало работы с документированным решением проблем

Большая часть информации, необходимой для начала использования документированного решения проблем, представлена ​​на главной странице этого модуля.

Политика преодоления экономического кризиса

11 марта 2020 г. 11 марта 2020 г. Теджван Петтингер

Взгляд на различные виды экономической политики для преодоления экономического кризиса, например падения ВВП.

Экономический кризис может затронуть

1. Отсутствие экономического роста/спада
2. Высокий уровень безработицы
3. Долгосрочные структурные дефициты
4. Недоверие к финансам и потребительскому сектору.
5. Быстрая девальвация

Выход из экономического кризиса

1. Фискальная политика – Когда правительство влияет на спрос посредством изменения расходов или налогов.
   • Государственные инвестиции в новую инфраструктуру (например, Новый курс 1930-х годов) помогают стимулировать спрос и создают рабочие места.
   • Снижение подоходного налога – увеличение располагаемого дохода работников, побуждающее их тратить деньги.
2. Денежно-кредитная политика – когда Центральный банк влияет на спрос и предложение денег.
   • Снижение процентных ставок – делает заимствование дешевле и должно увеличить располагаемый доход фирм и домохозяйств – ведет к увеличению расходов.
   • Количественное смягчение — когда Центральный банк создает деньги и покупает облигации для снижения доходности по облигациям и
   • Вертолетные деньги — когда центральный банк создает (печатает) деньги и раздает их всем в экономике.
3. Политика со стороны предложения – Долгосрочная политика, направленная на повышение производительности и эффективности экономики.
   • Политика свободного рынка со стороны предложения – сокращение государственного вмешательства в экономику, т.е. снизить налоги
   • Интервенционистская политика – государственные расходы на образование и обучение
4. Помощь МВФ – МВФ выделяет деньги, чтобы воспрепятствовать потере доверия и провести политику структурной перестройки, т. е. улучшение сбора налогов, приватизация, либерализация цен.
5. Государственная помощь промышленности/банкам. Для предотвращения потери доверия к финансовым секторам.

Пример – март 2020 г.

В марте 2020 г. коронавирус вызвал резкое снижение спроса, что привело к рецессии. Это вызвало резкое падение цен на нефть и падение фондового рынка. Некоторые секторы экономики пострадали особенно сильно — путешествия, отдых, гиг-экономика. Неизвестно, окажется ли это временным всплеском или превратится в полномасштабную рецессию. Каков наилучший ответ на этот кризис?

• Снижение процентной ставки – Банк Англии и Федеральная резервная система снизили процентную ставку. Это принесет некоторое облегчение предприятиям и домовладельцам (у них будут более низкие расходы по ипотеке). Однако вряд ли это будет стимулировать спрос или иметь такое большое значение. В сложных условиях бизнес не станет инвестировать из-за незначительного снижения процентных ставок. Многие работники гиг-экономики не заметят снижения процентной ставки. По сути, снижение процентной ставки перевешивает негативные настроения.
• Снижение подоходного налога . Предложенное Белым домом снижение налога на заработную плату (подоходный налог) увеличивает располагаемый доход и теоретически может стимулировать расходы. Однако снижение подоходного налога не поможет тем, кто больше всего пострадал от кризиса. Лица, ставшие безработными или работающие не по найму, которые видят падение доходов. Кроме того, многие домовладельцы, вероятно, спасут снижение налогов — из-за низкой уверенности и неуверенности.
• Деньги на вертолет . Это предполагает, что Центральный банк создает деньги и дает каждому фиксированную сумму. Это позволяет избежать проверки нуждаемости и означает, что те, кто сильно пострадал, получат некоторый доход. В нормальных условиях печатание денег вызывает инфляцию. Но на данный момент существует большая угроза дефляционного давления.
• Более высокие пособия по безработице/больничным . Более высокие пособия для больных или безработных — и упростить получение пособий. Это будет иметь большое значение для тех, кто находится на обочине экономики. Это позволит им продолжать тратить и платить за аренду. Более высокие льготы не нравятся тем, кто считает, что они создают препятствия для работы.
• Экспансионистская налогово-бюджетная политика – Увеличение расходов на государственные инвестиции может дать толчок экономике. Но это медленная политика.
• Льгота по аренде/ипотеке – – Поскольку это может оказаться очень краткосрочным, но серьезным кризисом, другой вариант – заставить банки позволить тем, кто потерял доход, отсрочить выплату арендной платы/льгота по ипотеке, или правительство может предложить льготы по налогам и ставкам. Это может иметь значение между банкротством и выживанием фирм, находящихся на грани после падения спроса.

В какой-то степени нет никакой политики, которая могла бы предотвратить спад спроса, когда вы попадаете в такой кризис. Но правительство может

1. Смягчение последствий для тех, кто остался без дохода – прямая выплата, освобождение от арендной платы, налоговые льготы
2. Не допустить перерастания временного спада в более масштабную рецессию – если частный сектор сокращает инвестиции, как денежно-кредитная, так и налогово-бюджетная политика играют роль в обеспечении дополнительного спроса.

---

Пример рецессии 2008/09 г.

Первой реакцией политики было снижение процентных ставок. В Великобритании ставки снизились с 5% до 0,5%

Теоретически более низкие процентные ставки удешевляют заимствование, и это должно стимулировать потребление и инвестиции. В долгосрочной перспективе это может привести к более высокому росту.

Однако снижение процентных ставок не было особенно эффективным в 2008/09 гг. Это произошло потому, что

• Процентные ставки были ниже, а банки не хотели кредитовать — не хватало средств.
• Задержка во времени – домовладельцы с ипотечными кредитами с фиксированной процентной ставкой не замечают этого в течение, возможно, 2 лет.
• Потребители неэластично реагировали на более низкие ставки, люди не хотели тратить из-за экономического климата

Правительство также оказало финансовую помощь банкам, чтобы предотвратить потерю доверия к финансовой системе. Это стало важным фактором предотвращения эскалации кризиса.

Налогово-бюджетная политика

В 2009 году правительство Великобритании снизило ставку НДС, чтобы обеспечить фискальный стимул.

В США были скромные фискальные стимулы от администрации Обамы.

США также согласились оказать финансовую помощь крупным автомобильным фирмам, которым грозило банкротство. Спасение автомобильных фирм дорого обошлось, но предотвратило дальнейший рост безработицы в автомобильной и смежных отраслях.

Это помогло смягчить эффект падения доходов и обеспечить некоторое восстановление. Теоретически более низкие налоги должны увеличить располагаемый доход потребителей и, следовательно, помочь увеличить совокупный спрос (AD).

Восстановление в США было более сильным, чем в еврозоне, где правительства были больше озабочены уровнем государственных заимствований, а реальных фискальных стимулов не было.

Недостатком налогово-бюджетной политики является то, что развивающиеся страны могут уже иметь большие государственные долги, и поэтому они могут нервничать по поводу дополнительных заимствований. В еврозоне это было важным фактором.

Фискальная политика также может быть неэффективной для повышения AD по разным причинам. См.: ограничения фискальной политики

---

Политика со стороны предложения

Некоторые экономические кризисы возникают из-за структурных проблем в экономике. Например, они могут включать

• Коррупцию и неспособность собрать достаточные налоговые поступления
• Отсутствие конкурентоспособности (например, рост затрат на заработную плату)
• Плохой рост производительности
• Низкий уровень образования и профессиональной подготовки

В этих случаях странам может потребоваться не только увеличение совокупного спроса, но и реформирование предложения в экономике для повышения конкурентоспособности. Поэтому может возникнуть необходимость в проведении таких мер, как:

• Образование и обучение – повышение квалификации и мобильности рабочей силы.
• Уменьшить власть профсоюзов и минимальную заработную плату для снижения затрат на рабочую силу
• Снижение защиты рынка труда, что увеличивает стоимость рабочей силы и препятствует фирмам нанимать работников.
• Приватизация и дерегулирование

Девальвация

Девальвация – это политика снижения стоимости обменного курса. Это дает следующие преимущества:

• Снижение стоимости экспорта и повышение конкурентоспособности
• Помощь в увеличении экспортного спроса и, следовательно, увеличении совокупного спроса и экономического роста.

Например, страны еврозоны, такие как Италия, Греция и Испания, пострадали от снижения конкурентоспособности, что привело к снижению темпов роста и увеличению безработицы.

Недостатком девальвации является то, что она может вызвать инфляционное давление, но если экономика переживает низкий рост, то инфляция может не быть проблемой.

---

Преодоление долгового кризиса

Великобритания Государственный долг – значительно вырос во время Первой и Второй мировых войн – длительный период экономического роста позволил экономике погасить долг.

Многие страны совершают ошибку, пытаясь решить долгосрочный структурный дефицит, жертвуя краткосрочным ростом. Во имя долгосрочных структурных изменений правительства дефлятируют экономику в то время, когда они должны были бы делать обратное.

Великобритания и США должны разработать планы по сокращению долгосрочного дефицита, но это не должно включать краткосрочное сокращение расходов на важные капиталовложения. Эти долгосрочные меры должны включать:

1. Повышение пенсионного возраста в ответ на старение населения.
2. Оценка автоматических расходов на здравоохранение в США.
3. Стремление вывести людей из долгосрочного пособия (например, помочь тем, кто получает пособие по инвалидности, найти менее обременительную работу)
4. Запланированное повышение налогов, соответствующее стимулам, эффективности и равенству. например США должны планировать повышение налога на бензин и налога на тех лиц с высоким доходом, которые выиграли от недавнего снижения налогов.

Такая политика является устойчивой и на самом деле имеет большое значение для долгосрочной бюджетной ситуации. Если вы распродаете активы или остановите текущие инвестиционные проекты, это будет очень ограниченной выгодой для долгосрочного бюджета. Но если вы вносите изменения в пенсионный возраст или расходы на пособия, это не просто разовая выгода, а постоянное улучшение финансового положения правительства.

Доходность по облигациям Великобритании и США близка к рекордно низкому уровню. Если бы правительство выступило с планами по улучшению долгосрочной ситуации с бюджетом в течение следующих 20 лет, рынки были бы готовы кредитовать для краткосрочного восстановления экономики.

Более высокий долг ведет к снижению доходности облигаций (более низкой стоимости заимствования)

Во время великой рецессии (2008-15 гг.

Калькулятор расчета размера изображения для качественной печати в типографии Инфолио-Принт

• Главная
• Калькуляторы

В повседневной жизни мы часто пользуемся калькуляторами. Это быстро, удобно и экономит наше время. Так и у нас на сайте — стоимость  продукции сразу рассчитывается в зависимости от количества, бумаги и дополнительных опций. Не нужно дозваниваться в офис или ждать ответ на отправленный запрос на расчет по почте. Подробнее о работе калькулятора расчета стоимости продукции в статье «Онлайн-калькулятор».

Стоимость рассчитали, теперь нужно подготовить макет для печати. При этом необходимо использовать изображения, которые подходят по качеству и размеру для печати.

Где особенно важно учитывать размер изображения?

1. Все виды календарей, особенно настенные, которые печатаются большим размером и люди смотрят на него в течении года.
2. Буклеты, брошюры, каталоги, журналы. Большинство изображений несут в себе рекламный характер и их качество безусловно важно.
3. Постеры, плакаты. Это сложная продукция в плане подготовки макета для печати, и без качественных исходных материалов её невозможно будет сделать.

Подробнее о требованиях для подготовки макетов к печати необходимо ознакомиться в статье «Технические требования».  А тема данной статьи помочь понять, подходит ли Ваше изображение для печати и какого в итоге размера оно получится при разных видах печати.

Как определить подходит ли изображение для печати?

Для качественной печати важно не только на каком оборудовании будет производится печать, но и с каких файлов это будет делаться. Можно скачать понравившуюся картинку из интернета и заказать печать на самой лучшей машине и получить совсем не то, что хотелось. Как понять, подходит изображение для печати? Ведь оно так красиво выглядит на экране монитора. Параметров определения качества изображений много, но начать нужно с самого простого — размер изображения.

Мы подготовили калькулятор для перевода размера изображения из Px в мм и обратно.

1. Вы знаете размер картинки в мм, которую собираетесь напечатать. Например, для каталога нужна иллюстрация 50х50 мм. (Если фотография выходит за обрезное поле, то нужно добавить 3 мм с той стороны, которая будет обрезаться.) Вы задаете этот размер в калькуляторе, выбираете тип печати и соответствующий ему dpi, и получаете размер изображения в Px.

2. У Вас есть изображение и Вы знаете его размер в пикселях. Вы вводите эти значения, выбираете тип печати и получаете максимальный размер изображения, который можно будет получить при печати.

Пример:

Есть фотографии, снятые на iPhone11 (можно взять любой другой телефон, а лучше фотоаппарат). Мы не будем рассматривать вопрос, связанный с качеством объектива и матрицы. Разрешение фотографии, полученной на телефон 3024х4032 pix. Вводим эти значения в калькулятор и на выходе получаем, что при 300 dpi (стандартное разрешение для качественной печати) можно напечатать изображение 256х341 мм. А это больше А4-го формата. Не так уж и мало! И наоборот. Скачанную картинку из интернета, например 700х420 pix можно напечатать качественно только 59х35 мм.

Что такое вылеты?

Для печати картинки без белой рамки — печать навылет нужно, чтобы изображение было больше на 3 мм с каждой стороны, чем готовое изделие. Потом эти 3 мм срезаются при обрезке заготовок до готового размера изделия. Эти припуски называются вылетами, и их нужно учитывать при расчете размера изображения.

Используемые термины и определения

Пиксель — это минимальный элемент, формирующий изображение.  Чем больше их на единицу площади, тем лучше воспроизводится изображение.

Одна ячейка монитора воспроизводит один пиксель. Поэтому нам кажется, что любое изображение хорошее. Но для печати это совсем не так.

Вы можете сравнить печать хорошего глянцевого журнала и газеты и увидеть в газете буквально точки из которых получается изображение.

dpi — это количество точек на единицу площади в дюймах (dots per inch).

300 dpi — это стандартное значение для офсетной печати и промышленных цифровых машин.

240 dpi — это минимальное значение для офсетной печати и оптимальное для среднего класса цифровых машин.

Размер снимка в пикселях и формат фотографии

РаботаИнженерныеКонвертеры

Подбор формата фотографии по размерам цифрового снимка в пикселях. Вычисление используемого разрешения.

Калькуляторы в этой статье посвящены теме печати цифровых фотографий.

Первый калькулятор помогает подобрать формат фотографии для печати изображения известных размеров. Сформулируем задачу.

Дано: У нас имеется цифровое изображение известных нам размеров, например, 3264 на 2448 пикселей, и набор стандартных форматов, предлагаемых сервисами фотопечати. Формат определяет линейные размеры фотографии, например, фотография формата 10х15 имеет размеры 102 на 152 миллиметра.

Требуется: Выбрать из набора форматов максимально большой, на котором еще можно напечатать изображение без потери качества.

Для задания форматов фотографий я создал отдельный справочник Форматы фотографий, который при необходимости можно расширять.

Единственное специальное знание, которым нужно обладать для нахождения ответа, это знание того, что качественная печать цифрового изображения требует разрешения не менее 300 точек (пикселей) на дюйм (300 dpi), а более-менее приемлемая печать возможна при разрешении не менее 150 точек на дюйм (150 dpi). Все остальное — простые математические действия.

Графически задача изображена на рисунке ниже

Логика поиска ответа проста — линейные размеры каждого формата переводятся в дюймы, а затем в пиксели, исходя из того, что в одном дюйме 300 (150) пикселей. Далее полученное число сравнивается с размером изображения (там есть определенные нюансы, связанные с отношением высоты и ширины, но об этом во второй части). Если размер формата в пикселях больше, чем размер нашего изображения (на рисунке — формат справа от фотографии), то он уже не подойдет, ибо фотографию придется растягивать, и мы получим разрешение хуже 300 (150) dpi. Если размер формата меньше, чем размер нашего изображения (на рисунке — формат справа от фотографии), то он подойдет — фотографию придется сжимать, и мы получим разрешение лучше 300 (150) dpi.

Из всех подходящих форматов калькулятор выбирает формат максимального размера (с печатью изображений меньшего размера проблем нет — насколько я понимаю, печатать можно и с разрешением 1200 dpi).

Подбор формата фотографии по размеру изображения в пикселях

Ширина изображения (пиксели)

Высота изображения (пиксели)

Рекомендованный формат для печати с разрешением 300 dpi

Размер формата в пикселях для разрешения 300 dpi

Рекомендованный формат для печати с разрешением 150 dpi

Размер формата в пикселях для разрешения 150 dpi

Второй калькулятор по размерам уже напечатанного снимка и размерам исходного изображения помогает определить получившееся разрешение снимка и обрезанную при масштабировании часть. Сформулируем задачу.

Дано: Изображение известных размеров напечатано на снимке известных размеров. Поскольку значение соотношения высоты и ширины снимка и значение соотношения высоты и ширины цифрового изображения, как правило, не совпадают, то при печати происходит масштабирование снимка, очевидно, с сохранением пропорций. Графически это отображено на рисунке ниже.

При масштабировании, как видно, возможны два варианта:
первый — масштабирование с потерей части изображения,
второй — масштабирование с сохранением всего изображения, но с возникновением пустого места на снимке.
Как эстет, для расчетов я выбрал первый вариант.

Таким образом, первое, что требуется: найти получившееся разрешение снимка и часть изображения, которая не попала на снимок. Второе, соответственно, это будет разница между использованной шириной (высотой) и исходной шириной (высотой) изображения.

Чисто пикселей на дюйм

Ширина изображения, см

Ширина напечатанного изображения, см

Высота изображения, см

Высота напечатанного изображения, см

Ширина в пикселях

Ширина изображения в пикселях

Высота в пикселях

Высота изображения в пикселях

Соотношение высоты к ширине при печати

Соотношение высоты к ширине в пикселях

Используемая ширина при сохранении пропорций, пикселей

Используемая высота при сохранении пропорций, пикселей

Разрешение при печати, в пикселях на дюйм

Ссылка скопирована в буфер обмена

Похожие калькуляторы

• • Размер экрана
• • Пропорциональное изменение размера в пикселях
• • Перевод из фунтов в дюймы
• • Инвертирование цветов изображения
• • Медианный фильтр
• • Раздел: Конвертеры ( 55 калькуляторов )

 дюйм дюймы Конвертеры печать пиксели пиксель размер разрешение формат фотография

 PLANETCALC, Размер снимка в пикселях и формат фотографии

Timur2020-11-03 14:19:29

Калькулятор зарплаты – Рассчитайте чистый доход

Сколько составляет заработная плата ваших сотрудников после уплаты налогов? Этот мощный инструмент выполняет все расчеты валовой и чистой прибыли для оценки заработной платы во всех 50 штатах. Для получения дополнительной информации см. Наше руководство по расчету заработной платы.

Ищете управляемый расчет заработной платы и льгот для вашего бизнеса?

Получить бесплатное предложение

Важное примечание о калькуляторе заработной платы:  Калькулятор на этой странице предоставляется Центром ресурсов для работодателей ADP и предназначен для предоставления общих рекомендаций и оценок. На него не следует полагаться для расчета точных налогов, заработной платы или других финансовых данных. Эти калькуляторы не предназначены для предоставления налоговых или юридических консультаций и не представляют собой какие-либо услуги или решения ADP. Вам следует обратиться к профессиональному консультанту или бухгалтеру в отношении любых конкретных требований или проблем.

Руководство по расчету заработной платы

Несмотря на то, что наш калькулятор заработной платы выполняет большую часть тяжелой работы, может оказаться полезным более подробно рассмотреть некоторые расчеты, необходимые для расчета заработной платы.

Как рассчитать чистую прибыль

1. Определить налогооблагаемый доход путем вычета любых доналоговых отчислений на пособия
2. Удержать все применимые налоги (федеральные, государственные и местные)
3. Вычесть любые отчисления после уплаты налогов в пособия
4. Украсить заработную плату, если необходимо
5. Результат — чистая прибыль

Как рассчитать годовой доход

Чтобы рассчитать годовой оклад, умножьте общую заработную плату (до вычета налогов) на количество периодов оплаты в году. Например, если работник зарабатывает 1500 долларов в неделю, его годовой доход составит 1500 x 52 = 78 000 долларов.

Как рассчитать налоги, вычитаемые из зарплаты

1. Для расчета федерального подоходного налога см. сертификаты об удержании подоходного налога и текущие налоговые категории
2. Рассчитайте налоги в соответствии с Федеральным законом о страховых взносах (FICA), используя последние ставки для Medicare и Social Security
.
3. Определить, применяются ли подоходный налог штата и другие государственные и местные налоги и удержания
4. Разделить сумму всех применимых налогов на валовую заработную плату работника
5. Результат — процент налогов, вычитаемых из зарплаты

Расчеты, однако, лишь часть большой картины зарплаты.

Что такое зарплата?

Зарплата — это то, как предприятия вознаграждают сотрудников за их работу. Наиболее распространенные графики доставки — раз в две недели или раз в полгода, хотя это зависит от предпочтений работодателя и применимых законов и правил штата. Специфические для бизнеса требования, такие как коллективные договоры, касающиеся профсоюзных работников, также могут диктовать частоту выплаты заработной платы.

Виды зарплатных чеков

Традиционно сотрудники получали распечатанные чеки лично или по почте, но сегодня чаще деньги вносятся на банковский счет в электронном виде. Некоторые работодатели могут также предлагать дополнительные альтернативы зарплате, такие как платежные карты, которые могут быть выгодны работникам, не имеющим банковских счетов.

Как читать чек о зарплате

В отличие от справок и других документов с места работы, чеки о зарплате довольно легко расшифровать. Их прочтение — это просто вопрос проверки правильности платежной информации.

Информация, найденная в платежном чеке:

• Номер чека
• Имя и адрес работодателя
• Имя и адрес сотрудника
• Дата проверки
• Сумма платежа
• Банковский счет работодателя и маршрутные номера
• Контрольная записка (опционально)

Информация, содержащаяся в платежной квитанции

В большинстве штатов сотрудники должны получать платежные квитанции. Как правило, им предоставляются платежные чеки и детали списка, такие как:

• Дата начала и окончания платежного периода
• Отработано часов
• Валовая заработная плата
• Нетто или оплата на дом
• Федеральный подоходный налог и налог штата
• Местные налоги
• Налоги Medicare и Social Security
• Отчисления на пособия
• Наложение ареста на заработную плату
• Итого с начала года
• Остаток оплачиваемого отгула (PTO)

Фактические платежные квитанции зависят от индивидуальных обстоятельств и штата. Некоторые из них предъявляют особые требования к информации, которая должна быть включена в платежную ведомость, и когда она должна быть доведена до сотрудников.

Понимание зарплатных чеков: удержания и вычеты

При анализе своей первой зарплаты те, кто только начинает работать, могут задаться вопросом, почему их заработная плата меньше, чем их валовая заработная плата. Причина в таких налогах, удержаниях и вычетах, как эти:

Удержание федерального подоходного налога

Работодатели удерживают федеральный подоходный налог из заработной платы своих работников на основании текущих налоговых ставок и формы W-4, Свидетельства об удержании работником налога. При заполнении этой формы сотрудники, как правило, должны указать свой статус подачи и указать, заявляют ли они о каких-либо иждивенцах, работают ли они на нескольких работах или имеют ли супруга, который также работает (для целей совместной подачи в браке), или вносят какие-либо другие необходимые корректировки.

FICA удержание

FICA — двухкомпонентный налог. И работники, и работодатели платят 1,45% за Medicare и 6,2% за Social Security. Последний имеет базовый предел заработной платы в размере 160 200 долларов США, что означает, что после того, как сотрудники заработают столько, налог больше не вычитается из их доходов до конца года. Те, у кого высокий доход, также могут облагаться дополнительным налогом Medicare, который составляет 0,9% и оплачивается только работником, а не работодателем.

Удержанный штат и местные налоги

Штатные и местные налоги сильно различаются в зависимости от географического региона, причем некоторые взимают гораздо больше, чем другие. Примеры включают:

• Государственный и местный подоходный налог
• Государственный налог на безработицу (SUTA)
• Кратковременная нетрудоспособность
• Оплачиваемый семейный отпуск по болезни

Вычеты из пособий

Предприятия, которые предлагают медицинское страхование, стоматологическое страхование, пенсионные сбережения и другие льготы, часто делят расходы со своими сотрудниками и удерживают их из своей заработной платы. В зависимости от типа пособия и правил, которые к нему применяются, вычет может быть доналоговым или посленалоговым. Предналог более выгоден для наемных работников, поскольку он снижает налогооблагаемый доход физического лица.

Наложение ареста на заработную плату

Работодателям может потребоваться вычесть наложение ареста на заработную плату работника, если они получат соответствующее постановление суда. Это может произойти, если работник не выплачивает кредит, имеет неуплаченные налоги или обязан платить алименты или алименты.

Часто задаваемые вопросы о зарплатных чеках

Является ли платежная квитанция идентичным платежному чеку?

Хотя зарплатные чеки и платежные квитанции обычно выдаются вместе, это не одно и то же. Заработная плата — это директива финансовому учреждению, которая утверждает перевод средств от работодателя к работнику. С другой стороны, платежная квитанция не имеет денежной ценности и является просто пояснительным документом.

Как должна выглядеть квитанция об оплате?

Платежные ведомости обычно показывают, как был получен доход работника за определенный период оплаты, а также статьи удержанных налогов, добровольных отчислений и любых других полученных вознаграждений. Дополнительные сведения могут потребоваться властями штата или местными органами власти.

Что делать с квитанцией о зарплате?

Платежные квитанции используются для проверки правильности оплаты и могут быть необходимы при урегулировании споров о заработной плате/часах. По этой причине сотрудники могут захотеть сохранить свои платежные квитанции, но не обязаны это делать. Однако работодатели должны вести учет заработной платы в течение определенного периода времени, установленного федеральным правительством и правительством штата.

Что делать, если вы не получили зарплату или задержали ее?

Порядок действий зависит от причины пропущенной или задержанной зарплаты. Честно говоря, ошибки обычно можно исправить, связавшись с отделом кадров работодателя.

Как создать зарплату для сотрудника?

У работодателей обычно есть два основных варианта создания чеков:

1. Закажите запас чеков в магазине канцелярских товаров или в банке, в котором есть расчетный счет для бизнеса, и печатайте чеки каждый платежный период.
2. Работа с поставщиком услуг по расчету заработной платы. Некоторые предлагают пакеты, которые включают в себя подписание чека и вставку, сделанную от имени работодателя.

Быстрая заработная плата и налоговые факты штата и федерального правительства

Хотя наш инструмент Быстрая заработная плата и налоговые факты удобен в крайнем случае, знание тонкостей налогов на заработную плату может помочь поддерживать долгосрочные усилия по соблюдению требований

Налог на заработную плату

В течение лет термин «налог на заработную плату» стал синонимом всех налогов, взимаемых с платежной квитанции. В действительности, однако, налоги на заработную плату отличаются от подоходных налогов и служат иной цели для общественного благосостояния. При внимательном отношении к соблюдению требований работодатели могут помочь реализовать эту общественную пользу и избежать значительных штрафов.

Что такое налог на заработную плату?

Налог на заработную плату — это налог, взимаемый федеральными, государственными или местными органами власти для финансирования государственных программ. Обычно он оплачивается за счет прямых взносов работодателей, а также вычетов из заработной платы сотрудников, отсюда и название налога на заработную плату.

Что является примером налога на заработную плату?

Примеры налога на заработную плату включают Medicare, которая обеспечивает медицинское страхование для взрослых старше 65 лет, и Social Security, которая обеспечивает пенсионный доход для взрослых в возрасте 62 лет и старше, а также для некоторых инвалидов и некоторых оставшихся в живых налогоплательщиков.

В чем разница между налогом на заработную плату и подоходным налогом?

Налоги на заработную плату имеют фиксированные ставки и отправляются непосредственно в программу, для которой они предназначены, например, Medicare, Social Security и т. д. С другой стороны, подоходные налоги имеют прогрессивные ставки, которые зависят от общего дохода и идут в США. Министерство финансов, где они могут быть использованы для финансирования различных государственных инициатив. Кроме того, некоторые налоги на заработную плату имеют ограничение на базовую заработную плату, после которого налог больше не вычитается из заработной платы работника до конца года. Подоходный налог не имеет такого предела.

Каковы основные виды налога на заработную плату?

На национальном уровне и уровне штата существует несколько видов налогов на заработную плату. Они следующие:

• Федеральный налог на заработную плату
  Федеральный налог на заработную плату, более известный как Закон о федеральных страховых взносах (FICA), состоит из двух частей: одна для Medicare, а другая для социального обеспечения.
• Налог на фонд социального обеспечения
  Работодатели и работники участвуют в уплате налога на социальное обеспечение, при этом каждый платит половину общей суммы обязательств до тех пор, пока работник не достигнет предела базовой заработной платы в размере 160 200 долларов США.
• Налог на заработную плату Medicare
  Налог на Medicare также распределяется поровну между работодателями и работниками, но, в отличие от Social Security, у него нет предела дохода. Однако некоторым сотрудникам, зарабатывающим более 200 000 долларов в год, возможно, придется платить дополнительный налог Medicare, который работодатели не обязаны платить.
• Налоги на безработицу
  Только работодатели платят федеральный налог на безработицу (FUTA) с первых 7000 долларов, заработанных каждым работником. То же самое относится и к государственным программам по безработице, за исключением того, что пределы базовой заработной платы различаются, а в некоторых штатах работники также вносят свой вклад в налог. Работодатели, которые своевременно выплачивают пособие по безработице и не находятся в состоянии сокращения кредита, могут иметь право на более низкую ставку федерального налога на безработицу.
• Государственный и местный налог на заработную плату
  В некоторых штатах и ​​муниципалитетах могут взиматься дополнительные налоги на заработную плату в случае краткосрочной нетрудоспособности, оплачиваемого семейного отпуска по болезни или других программ. Работодатели должны уточнить у местных органов власти конкретные требования.

Понимание налогов на заработную плату

Для сотрудников налоги на заработную плату могут быть просто строками в квитанции о заработной плате, но работодатели должны иметь более глубокое понимание связанных тем, таких как:

• Налоговые вычеты из заработной платы
  За некоторыми исключениями на уровне штата и на местном уровне единственными налогами на заработную плату, которые работодатели вычитают из заработной платы работников, являются налог на Medicare и налог на социальное обеспечение.
• Ставки налога на заработную плату
  Налоги на заработную плату взимаются по фиксированным ставкам. Вот последние федеральные ставки на одного работника:
  • Социальное обеспечение – 6,2%
  • Медикэр – 1,45%
  • Дополнительная программа Medicare — 0,9%
  • Безработица – 6% (0,6% при полном снижении кредита)

  Штатные ставки налога на пособие по безработице обычно варьируются в зависимости от предыдущих претензий работодателя. Таким образом, бизнес, в котором много предыдущих сотрудников, подавших заявления на пособие по безработице, будет иметь более высокую ставку, чем бизнес, в котором их нет. Ставки других государственных и местных налогов на заработную плату различаются в зависимости от местоположения.

• Внесение и подача налога на заработную плату
  Налоги FICA (Medicare и Social Security) уплачиваются ежемесячно или раз в две недели, в зависимости от налоговых обязательств предприятия в течение периода ретроспективного анализа, а налоги FUTA обычно уплачиваются ежеквартально. В обоих случаях работодатели могут использовать Электронную систему уплаты федеральных налогов для внесения депозитов.

  Предприятия также должны сообщить, сколько федерального налога на заработную плату они удержали и заплатили в течение года. Для налогов FICA это обычно делается ежеквартально, но в некоторых случаях, когда общая сумма налоговых обязательств невелика, это может делаться ежегодно. Налоги FUTA сообщаются ежегодно.

  Депозит налога на заработную плату штата и процедуры подачи зависят от штата.

• Отсрочка уплаты налога на заработную плату
  Закон о коронавирусе, помощи, помощи и экономической безопасности (Закон CARES) содержал положение, которое позволяло предприятиям отсрочивать выплату доли работодателя в налогах на социальное обеспечение, подлежащих уплате с 27 марта 2020 г. по 31 декабря 2020 г. Работодатели, которые воспользовались этими льготными мерами, должны проконсультироваться с лицензированным специалистом по налогам, если им нужен совет о том, как управлять выплатами.
• Налоги на заработную плату самозанятых
  У независимых подрядчиков и индивидуальных предпринимателей может не быть работодателя, который удерживает налоги с заработной платы из их заработной платы, но это не означает, что они полностью свободны от ответственности. Вместо этого они платят налог на самозанятость, который фактически объединяет часть налога FICA для работника и работодателя. Текущая ставка составляет 15,3% и распределяется следующим образом: 2,9% выплачивается Medicare, а 12,4% выплачивается Social Security. Как упоминалось ранее, Социальное обеспечение имеет предел базовой заработной платы в размере 160 200 долларов США.

Как работодатели рассчитывают налог на заработную плату?

Налоги на заработную плату рассчитываются путем умножения валовой налогооблагаемой заработной платы работника на применимую ставку налога на заработную плату. Например, если валовой налогооблагаемый доход за определенный период оплаты составляет 1250 долларов, то вычет по программе Medicare составит 1250 x 1,45% = 18,13 доллара, а вычет по социальному обеспечению составит 1250 x 6,2% = 77,50 доллара. Подобные расчеты налога на заработную плату обычно проще, чем расчеты подоходного налога, поскольку ставки являются фиксированными, а справки об удержании налогов не требуются.

Соответствие налогу на заработную плату

Поскольку они вычитаются из заработной платы работников и хранятся в доверительном управлении работодателем до тех пор, пока не будут переведены в соответствующее агентство, налоги FICA считаются разновидностью налога в трастовый фонд. Это означает, что за нарушение нормативных требований предприятия могут быть оштрафованы на возврат средств в трастовый фонд (TFRP). Нарушения происходят, когда лицо (лица), ответственное за сбор, учет и уплату налогов, умышленно не делает этого. IRS определяет умышленность как осведомленность о невыплаченных налогах и либо преднамеренное игнорирование закона, либо безразличное поведение к его требованиям.

Как работодатели могут избежать штрафов по налогу на заработную плату?

Работодатели, которые активно управляют налогами на заработную плату, с большей вероятностью избегут штрафов, чем те, кто этого не делает. Вот несколько предупредительных советов:

• Правильно классифицируйте сотрудников
  Неправильная классификация сотрудников как независимых подрядчиков, чтобы избежать уплаты налогов FICA и FUTA, является незаконным.
• Своевременно удерживать и платить налоги
  Использование фонда заработной платы для выплаты другому кредитору вместо IRS является примером преднамеренного игнорирования и может привести к TFRP.
• Подавайте налоговые отчеты, используя соответствующие формы
  Работодатели должны подавать исправленные декларации, если они допустили ошибку или использовали неправильную форму.
• Будьте в курсе изменений налогового законодательства
  Ставки налога на заработную плату и пределы базовой заработной платы могут быть изменены федеральными, государственными и местными органами власти.
• Сотрудничайте с квалифицированным поставщиком услуг по расчету заработной платы
  Программное обеспечение для расчета заработной платы автоматизирует расчеты, удержания и выплаты FICA, чтобы обеспечить точность.

Часто задаваемые вопросы о налоге на заработную плату

Что такое снижение налога на заработную плату?

Сокращение налога на заработную плату или налоговые каникулы, которые произошли в соответствии с положениями Закона CARES в 2020 году, на самом деле были отсрочкой. Работодатели, которые не перечислили работодателю часть налога на социальное обеспечение в течение периода отсрочки, должны были сделать это позднее.

Все ли платят налог с заработной платы?

Как правило, большинство работодателей и работников платят налоги на социальное обеспечение и Medicare. Однако исключения применяются для определенных категорий иностранцев-неиммигрантов и нерезидентов. Примеры включают студентов-неиммигрантов, ученых, учителей, исследователей и стажеров (включая медицинских стажеров), врачей, помощников по хозяйству, работников летних лагерей и других неиммигрантов, временно находящихся в Соединенных Штатах в F-1, J-1, M-1, Q. -1 или Q-2 статус. ¹

Какова ставка федерального налога на заработную плату?

Текущая ставка налога FICA составляет 15,3%. Выплачивается поровну между работодателями и работниками, это составляет 7,65% каждый за цикл расчета заработной платы.

Является ли налог на заработную плату фиксированным или прогрессивным?

В отличие от подоходного налога, ставки налога на заработную плату являются фиксированными, что означает, что все работники платят одинаковый процент независимо от их общего дохода.

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые. Какие углы называются смежными? Чему равна сумма двух смежных углов

Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a 1 b) и (a 2 b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a 1 и a 2 являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ. Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть угол (a 1 b) и угол (a 2 b) — данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a 1 и a 2 развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a 1 b) и (a 2 b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.

Из теоремы 2. 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a 1 b) и (c 1 d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a 2 b) и (c 2 d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a 1 b + a 2 b = 180° и c 1 d + c 2 d = 180°. Отсюда, a 2 b = 180° — a 1 b и c 2 d = 180° — c 1 d. Так как углы (a 1 b) и (c 1 d) равны, то мы получаем, что a 2 b = 180° — a 1 b = c 2 d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a 2 b = c 2 d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ. Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°, x= 180° — 90°, x = 90°.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a 1 b 1) и (a 2 b 2)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a 1 b 2) является смежным с углом (a 1 b 1) и с углом (a 2 b 2). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a 1 b 1) и (a 2 b 2) дополняет угол (a 1 b 2) до 180°, т.е. углы (a 1 b 1) и (a 2 b 2) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ. Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ. Теорема 2.3. Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть a — данная прямая и A — данная точка на ней. Обозначим через a 1 одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a 1 угол (a 1 b 1), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b 1 , будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c 1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b 1 .
Углы (a 1 b 1) и (a 1 c 1), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a 1 . Но от полупрямой a 1 в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ. Способ доказательства, который мы применили в теореме 2. 3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

В процессе изучения курса геометрии понятия “угол”, “вертикальные углы”, “смежные углы” встречаются достаточно часто. Понимание каждого из терминов поможет разобраться в поставленной задаче и правильно ее решить. Что такое смежные углы и как их определять?

Смежные углы – определение понятия

Термин “смежные углы” характеризует два угла, образованных общим лучом и двумя дополнительными полупрямыми, лежащими на одной прямой. Все три луча выходят из одной точки. Общая полупрямая является одновременно стороной как одного, так и второго угла.

Смежные углы – основные свойства

1. Исходя из формулировки смежных углов, нетрудно заметить, что сумма таких углов всегда образует развернутый угол, градусная мера которого равна 180°:

• Если μ и η являются смежными углами, то μ + η = 180°.
• Зная величину одного из смежных углов (например, μ), можно легко вычислить градусную меру второго угла (η), используя выражение η = 180° – μ.

2. Данное свойство углов позволяет сделать следующий вывод: угол, являющийся смежным прямому углу, также будет прямым.

3. Рассматривая тригонометрический функции (sin, cos, tg, ctg), основываясь на формулах приведения для смежных углов μ и η справедливо следующее:

• sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
• cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
• tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
• ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Смежные углы – примеры

Пример 1

Задан треугольник с вершинами M, P, Q – ΔMPQ. Найти углы, смежные углам ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

• Продлим каждую из сторон треугольника прямой.
• Зная о том, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла, выясняем, что:

смежным для угла ∠QMP будет ∠LMP,

смежным для угла ∠MPQ будет ∠SPQ,

смежным для угла ∠PQM будет ∠HQP.

Пример 2

Величина одного смежного угла составляет 35°. Чему равна градусная мера второго смежного угла?

• Два смежных угла в сумме образуют 180°.
• Если ∠μ = 35°, то смежный ему ∠η = 180° – 35° = 145°.

Пример 3

Определить величины смежных углов, если известно, что градусная мера одного из низ втрое больше градусной меры другого угла.

• Обозначим величину одного (меньшего) угла через – ∠μ = λ.
• Тогда, согласно условию задачи, величина второго угла будет равна ∠η = 3λ.
• Исходя из основного свойства смежных углов, μ + η = 180° следует

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Значит первый один угол ∠μ = λ = 45°, а второй угол ∠η = 3λ = 135°.

Умение апеллировать терминологией, а также знание основных свойств смежных углов поможет справиться с решением многих геометрических задач.

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d — 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d — 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d — 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Как найти смежный угол?

Математика — древнейшая точная наука, которую в обязательном порядке изучают в школах, колледжах, институтах и университетах. Однако, базовые знания всегда закладываются еще в школе. Порой, ребенку задают достаточно сложные задания, а родители не в силах помочь, потому что просто забыли некоторые вещи из математики. Например, как найти смежный угол по величине основного угла и т.п. Задача проста, но может вызвать затруднения при решении из-за незнания того, какие углы называются смежными и как их найти.

Рассмотрим подробнее определение и свойства смежных углов, а также как их вычислить по данным в задаче.

Определение и свойства смежных углов

Два луча, исходящие из одной точки образуют фигуру под названием «плоский угол». При этом эта точка именуется вершиной угла, а лучи являются его сторонами. Если продолжить один из лучей дальше начальной точки по прямой, то образуется еще один угол, который и называется смежным. У каждого угла в этом случае есть два смежных угла, так как стороны угла равнозначны. То есть всегда присутствует еще смежный угол в 180 градусов.

К основным свойствам смежных углов относят

• Смежные углы имеют общую вершину и одну сторону;
• Сумма смежных углов равна всегда 180 градусам или числу Пи, если вычисление ведется в радианах;
• Синусы смежных углов всегда равны;
• Косинусы и тангенсы смежных углов равны, но имеют противоположные знаки.