Рубрика: Разное

Как найти площадь выпуклого четырехугольника: формула

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Геометрия Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример

Выпуклый четырехугольник – это геометрическая фигура, полученная путем соединения на плоскости четырех точек, которые не должны лежать на одной прямой. При этом образованные таким образом стороны не должны пересекаться.

• Формула вычисления площади
  • По диагоналям и углу между ними
  • По четырем сторонам (формула Брахмагупты)
  • По радиусу вписанной окружности и сторонам
• Пример задачи

Формула вычисления площади

По диагоналям и углу между ними

Площадь (S) выпуклого четырехугольника равняется одной второй (половине) произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

По четырем сторонам (формула Брахмагупты)

Чтобы воспользоваться формулой, необходимо знать длины всех сторон фигуры. Также вокруг четырехугольника должна быть возможность описать окружность.

p – полупериметр, вычисляется следующим образом:

По радиусу вписанной окружности и сторонам

Если в четырехугольник можно вписать окружность, вычислить его площадь можно, воспользовавшись формулой:

S = p ⋅ r

r – радиус окружности.

Пример задачи

Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если его диагонали равны 5 и 9 см, а угол между ними составляет 30°.

Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем: S = 1/2 * 5 см * 9 см * sin 30° = 11,25 см².

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Четырехугольники.

Вопросы занятия:

·  вывести формулы для вычисления площадей различных четырёхугольников.

Материал урока

Наряду с понятием длины, понятие площади является основным в геометрии.

Напомним, что за единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Т.е. площадь квадрата со стороной, равной одной единице измерения длины, равна одной квадратной единице. Если же сторона квадрата равна а единиц измерения длины, то его площадь равна а² квадратных единиц.

Понятно, что равные фигуры имеют равные площади.

Если же фигура составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей составляющих её фигур.

Также напомним, что фигуры, имеющие равные площади, называют равновеликими.

А начнём мы повторение с площади прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его измерений, т.е. произведению длины и ширины.

Или ещё можно сказать, что площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон.

Давайте докажем это.

Пусть дан прямоугольник со сторонами  и  и площадью . Достроим его до квадрата со стороной .

Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то площадь построенного квадрата равна .

Но ведь, с другой стороны, площадь этого квадрата равна сумме площадей .

Так как равны левые части данных равенств, то можем приравнять и их правые части.

Преобразуем получившееся выражение. Приведём подобные слагаемые в правой части. Затем перенесём  в правую часть, а  в левую. Раскроем скобки в правой части, применив формулу квадрата суммы (при этом обратите внимание, что перед скобками стоит знак минус). Теперь приведём подобные слагаемые в правой части. Разделим обе части равенства на – 2. В результате получим,

То есть площадь прямоугольника со сторонами  и  равна произведению его соседних сторон.

Что и требовалось доказать.

Задача.

Стороны прямоугольника равны 72 метра и 8 метров. Определите сторону равновеликого ему квадрата.

Так как прямоугольник и квадрат равновелики, то их площади равны.

По формуле площади прямоугольника имеем, что площадь нашего прямоугольника равна

А значит, и площадь равновеликого ему квадрата также равна  (м²).

Пусть сторона квадрата равна х. Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то получим, что сторона данного квадрата равна

Следующей вспомним площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Докажем это утверждение. Пусть  – некоторый параллелограмм.  – высота . Докажем, что площадь параллелограмма равна .

Проведём к прямой, содержащей сторону , высоту . Тогда четырёхугольник  является прямоугольником. Докажем, что .

Рассмотрим прямоугольные треугольники  и . У них гипотенузы  как противолежащие стороны параллелограмма . А катеты , так как являются высотами проведёнными к одной стороне. Следовательно, треугольники  по гипотенузе и катету. Из равенства этих треугольников следует и равенство их площадей .

Так как трапеция  состоит из параллелограмма   и треугольника , то .

Также трапеция  является объединением треугольника  и прямоугольника . Следовательно, .

А так как , то .

Площадь прямоугольника  равна . Тогда и площадь параллелограмма  равна .

В параллелограмме  стороны  и  равны как противоположные. Значит, площадь параллелограмма  равна . То есть площадь параллелограмма равна произведению длины стороны на высоту, проведённую к ней.

Что и требовалось доказать.

Задача.

Высоты параллелограмма равны  см и  см, а угол между ними равен . Найдите площадь параллелограмма.

Пусть  см,  см, .

Напомним, что угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма. Тогда в параллелограмме  угол .

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как  высота по условию. По свойству катета лежащего против угла в 30^о, получаем, что  (см).

Так как в параллелограмме  стороны  как противоположные, то площадь параллелограмма равна

Перейдём к площади трапеции.

Площадь трапеции равна произведению половины суммы её оснований на высоту.

Докажем это утверждение. Пусть дана трапеция .  и  – основания, – высота .

Докажем, что площадь трапеции  равна .

Проведём диагональ . Она разбивает трапецию на два треугольника  и . Понятно, что площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников .

Напомним, что площадь треугольника равна . Тогда площадь треугольника  равна , а площадь треугольника  равна .

Площадь трапеции  равна сумме площадей этих треугольников.

А тогда имеем, площадь трапеции  равна . То есть площадь трапеции равна произведению половины суммы её оснований на высоту.

Что и требовалось доказать.

Задача.

В прямоугольной трапеции основания равны  см и  см, а большая боковая сторона –  см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция .  перпендикулярно , ,  и .

Проведём высоту . Получим прямоугольник . По свойству сторон прямоугольника имеем ,  см.

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как  высота по построению.  в по условию.  (см). Тогда по теореме Пифагора можем выразить сторону .

А тогда подставляя все известные данные в формулу площади трапеции, получим, что площадь нашей трапеции равна  (см²).

И последней вспомним площадь ромба.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Пусть дан ромб .  и  – его диагонали.

Докажем, что площадь ромба .

Проведём диагональ . Она разбивает ромб на два треугольника и . Понятно, что площадь ромба равна сумме площадей этих треугольников.

Напомним, что площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину высоту, проведённую к ней. Напомним, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Тогда площадь треугольника  , а площадь треугольника  равна .

Площадь ромба  равна сумме площадей этих треугольников.

Получаем, что площадь ромба  равна . То есть площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

Задача.

Диагонали ромба относятся как . Найдите площадь ромба, если его периметр равен  см.

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то .

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Напомним, что стороны ромба равны, а тогда сторона  (см) . Так как , то можем ввести следующие обозначения: .

По теореме Пифагора имеем

А тогда , .

А значит, диагонали ромба равны: , .

Подставим наши диагонали в формулу площади ромба. Посчитаем. И получим, что площадь нашего ромба равна

Итоги урока

На этом уроке мы говорили о «четырёхугольниках». А точнее вспомнили формулы для вычисления их площадей.

для четырехугольника — объяснение, типы и часто задаваемые вопросы

Дата последнего обновления: 18 апреля 2023 г. ;white-space:pre-wrap;»>Четырехугольником называется четырехсторонняя двумерная геометрическая фигура, сумма всех четырех внутренних углов которой равна 360 ^o . Также он имеет 4 ребра (стороны) и четыре вершины ( Четырехугольники бывают двух разных типов, а именно правильные четырехугольники и неправильные четырехугольники. Несколько известных примеров четырехугольников: квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, воздушный змей и параллелограмм.0003

Площадь четырехугольника — это количество квадратных единиц, которые можно составить из него. Здесь мы рассмотрим важные формулы площади для четырехугольников и то, как найти площадь четырехугольника.

Общая формула площади четырехугольника

Давайте научимся выводить общую формулу площади четырехугольника. Рассмотрим четырехугольник PQRS, приведенный ниже:

• Мы можем наблюдать следующий четырехугольник как комбинацию двух треугольников, рассматривая диагональ PQ как общее основание.

• h₁ и h₂ — высоты треугольников PQR и PSR соответственно.

Площадь четырехугольника PQRS можно рассчитать, сложив площади двух треугольников, то есть PQR и PSR.

Вычислим площадь треугольника PQR и площадь треугольника PSR.

Площадь ΔPSR = 1/2 x основание x высота = 1/2 x PR x h ₁

Площадь ΔPQR = 1/2 x основание x высота = 1/2 x PR x h площадь четырехугольника PQRS равна

Площадь ΔPSR + Площадь ΔPQR = 1/2 x PR x h ₁ + 1/2 x PR x h ₂ = PR(h ₁ + h ₂ /2)

Следовательно, формула для нахождения площади четырехугольника получается следующим образом:

Площадь общего четырехугольника Формула = 1/2 x длина диагоналей x (сумма высот два треугольника).

Формулы площади четырехугольника в тригонометрических терминах

Формула для нахождения площади четырехугольника в тригонометрических терминах имеет вид:

Площадь = ½ x ab x Sin θ

Где a и b — длины диагоналей четырехугольника и угол между ними.

В случае ортогональных четырехугольников (таких как квадрат, воздушный змей и ромб) формулы минимизируются до

Площадь = ½ x ab (поскольку θ равно 90 ^o ).

Площадь четырехугольника Формула Координаты Геометрия

Если ABCD — четырехугольник с диагональю AC, то мы можем разделить четырехугольник на два треугольника ABC и ACD.

Теперь, используя формулу площади треугольника с учетом его вершин, мы можем определить площади треугольников ABC и ACD

Следовательно, площадь четырехугольника по формуле координатной геометрии задается как:

Площадь четырехугольника ABCD = площадь треугольника ABC + Площадь треугольника ACD

Используя эту информацию, мы можем найти площадь четырехугольника, если известны его вершины:

Пусть вершины четырехугольника ABCD равны A ( x₁,y₁), B(x₂,y₂), C( х₃,у₃), D(х₄,у₄)

Площадь четырехсторонней ABCD = площадь треугольника ABD + область треугольника BCD

+1/2 {(x₁y₂ + x₂y₄ + x₄y₁) — (x₂y₁ + x₄y₂ + x₁y₄)}

= 1/2 {(x₂y₃ + x₁y₄)}

= 1/2 (x₂y₃ + x₁y₄} + х₄у₂) — (х₃у₂ + х₄у₃ + х₂у₄)}

= 1/2{(х₁у₂ + х₂у₃ + х₃у₄ + х₄у₁) — (х₂у₁ + х₃у₂ + х₄у₃)000₄993} 12 =1/2(х₁ — х₃) (y₂ — y₄) -(x₂ -x₄) (y₁ — y₃) sq. unit

Формулы для нахождения площади четырехугольника 

Вот список формул для нахождения площади четырехугольников, таких как квадрат, воздушный змей, параллелограмм , трапеция, прямоугольник и ромб.

Воздушный змей

Заключение

Здесь мы обсудили формулу площади для различных виды четырехугольников. Эти формулы четырехугольника помогут вам вычислить площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма, воздушного змея, ромба и трапеции. Мы также обсудили площадь четырехугольника с формулой координатной геометрии, которая получается путем деления четырехугольника на два треугольника, вычисления площади каждого треугольника с учетом его вершин и сложения этих значений для получения общей площади четырехугольника.

Площадь четырехугольника – формулы, вывод и пример

Площадь четырехугольника обычно определяется как область, занимаемая внутри границ четырехугольника или плоского объекта или фигуры.

Площадь измеряется в квадратных единицах. Стандартной единицей измерения являются квадратные метры (м ² ).

Четырехугольник — это четырехугольник, сумма внутренних углов которого равна 360 ^o .

Свойства четырехугольника:

• 4 вершины и 4 стороны.
• Сумма внутренних углов = 360 ^o
• Обычно могут иметь стороны разной длины и углы разной величины.

Примерами четырехугольника являются квадрат, прямоугольник, параллелограмм, трапеция, ромб и воздушный змей.

В приведенном выше четырехугольнике h ₁ и h ₂ являются высотами треугольников ABC и ADC соответственно. BE и DF перпендикулярны диагонали AC.

Теперь, 

площадь (четверка ABCD) = площадь (△ABC) + площадь (△ADC)

площадь (△ABC) = \(\frac{(\mbox{основание * высота})}{2} = \frac{(AC*h_1)}{2}\)

площадь(△ADC) = \(\frac{(\mbox{основание * высота})}{2} = \frac{(AC*h_2)} {2}\)

⇒ площадь (четверка ABCD) = \(\frac{(AC*h_1)}{2} + \frac{(AC*h_2)}{2} = AC \left( \frac{h_1 + h_2}{2} \right) = \frac{1}{2}*AC*(h2+h3)\)

∴ Площадь четырехугольника = \(\frac{1}{2}\) * диагональ * Сумма высот двух треугольников

Алгебра. Учебник для 6-8 классов

Алгебра. Учебник для 6-8 классов

Барсуков А.Н. Алгебра. Учебник для 6-8 классов. 11-е изд., стер. — М.: Просвещение, 1966. — 296 с. Учебник для средних общеобразовательных школ СССР в 50-60-е годы. Шестое издание „Алгебры» А.Н. Барсукова переработано и приведено в соответствие с новой программой. Переработка учебника и изложение вопросов, вновь включенных в программу восьмилетней школы, выполнены С.И. Новоселовым. Главу „Счётная (логарифмическая) линейка* и о возвышении в квадрат и куб, извлечении квадратного и кубического корней при помощи счётной линейки написал учитель математики школы № 315 Москвы И. Б. Вейцман. Одиннадцатое издание печатается с десятого без изменений. Оглавление ГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ. § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений. § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ. КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ. § 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 81. Графическое решение системы двух уравнений. § 82. Решение задач. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90. (1/3) § 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений.

1) Постройте график функции у=х-3. Закрасте часть графика, соответствующего значениям аргумента-1《х《5 2) Постройте график функции у=-х+2. Закрасте часть графика, соответствующего значениям — вопрос №2398467

03. 04.17

По мнению автора лучший ответ отсутствует.

Михаил Александров Читать ответы

Андрей Андреевич Читать ответы

Eleonora Gabrielyan Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Похожие вопросы

В треугольнике ABC известно, что AC=6, BC=8, угол C равен 90°. 2-2x-3 Найдите: а) наименьшее значение функции; б) значения х, при которых значение функции равно 5; в) значения х, при которых функция принимает положительные

Карандаш совмещенс главной оптической осью тонкой собирающей линзы ,его длина равна фокусному расстоянию линзы f=12см середина карандаша находиться на расстоянии 2f от линзы.расчитайте длину

Пользуйтесь нашим приложением

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Нарисуйте график уравнений y-x=3.

• Курс
  • NCERT
    • Класс 12
    • Класс 11
    • Класс 10
    • Класс 9
    • Класс 8
    909 07 Класс 7
    • Класс 6
  • IIT JEE

• Экзамен
  • JEE MAINS
  • JEE ADVANCED
  • X ПЛАТЫ
  • XII ПЛАТЫ
  • NEET
    • Neet Предыдущий год (по годам)
    • Физика Предыдущий год
    • Химия Предыдущий год
    • Биология Предыдущий год
    • Neet Все образцы работ
    • Образцы работ Биология
    • Образцы работ Физика
    • Образцы документов Химия

• Загрузить PDF-файлы 6

• Экзаменационный уголок

• Онлайн-класс

• Викторина

• Спросите сомнения в том, что app

• Поиск Doubtnut

• Английский словарь

• Toppers Talk

• Блог

• Скачать

• Получить приложение

Вопрос

Обновлено: 26/04/2023 В ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ-УПРАЖНЕНИЕ

21 видео

РЕКЛАМА

Ab Padhai каро бина объявления ке

Khareedo DN Про и дехо сари видео бина киси объявление ки рукаават ке! Похожие видео णों के आलेख खीचिए:
y=−3

105884682

01:05

समीकरण का आलेख खीचिए
y=3

111935477 9102 7

00:57

समीकरण का आलेख खीचिए
y=−3

111935479

02:14

लेखचित्र खीचें |
x=3(y−1)

127316782

03:27

Нарисуйте график уравнений.
x+y=3

177245650

01:24

Нарисуйте графики следующих уравнений: (iv) x3+y4=0.

213712541

02:18

Нарисуйте графики следующих уравнений: (iv) x4+y3=1

213712662

01:48

910 26 Нарисуйте графики следующих уравнений: (v) y=3 −x4 9

480151595

02:08

9 1026 Нарисуйте график уравнения: 3x−2y=4 и x+y−3=0

642564661

04:54

Нарисуйте график уравнений: 3x−2y=4 и x+y−3=0

642565634

03:12

Нарисуйте график уравнения: y=−3

642572335

01:45

Нарисуйте график уравнений.
х+у=3

642982014

05:22

Нарисуйте график уравнения y-x=2. Из графика прочтите: значение x при y = 3

644459142

04:21

Нарисуйте графики уравнений x = 2 и y = — 3

647889307

Текст Решение

РЕКЛАМА

• СОВРЕМЕННЫЕ ПУБЛИКАЦИИ-ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ-УПРАЖНЕНИЕ

• Нарисуйте график уравнений y-x=3.

  04:33

• Проверить, являются ли из следующих решений уравнениями 2x-y=8 и…

  01:18

• Проверить, являются ли из следующих решений уравнениями 2x-y=8 и..

  01:18

• Проверить, являются ли из следующих решений уравнениями 2x-y=8 и… — у=8 и…

  01:13

• Напишите четыре решения для каждого из следующих уравнений: x=6y?

  01:36

• Напишите четыре решения для каждого из следующих уравнений: x+piy=4

  01:31

• Напишите четыре решения для каждого из следующих уравнений: 3x+4y=7 910 27

  02:26

• Напишите четыре решения для каждого из следующих уравнений: 2/3x-y=4

  03:55

• Найдите четыре различных решения уравнения x + 2y = 6. 92 найти значение k.

  01:34

• Запишите два решения в виде x=0,y=a и x=b,y=0 для каждого из…

  01:19

• Запишите два решения в виде x=0,y=a и x=b,y=0 для каждого из th.

Степени и их свойства

Данная тема очень легкая, если выучить все свойства степеней. Они, кстати, достаточно просты для запоминания.

Перед тем, как перейти в свойствам степеней, разберемся, что такое степень.

Степень — это произведение одинаковых множителей, состоящая из основания и показателя. Наглядно это можно рассмотреть на рисунке ниже.

Показатель степени показывает (масло масляное) сколько раз мы умножаем основание на себя. Это очень хорошо проглядывается на следующих примерах:

Вроде бы ничего сложного нет, правда?

Что ж, время перейти к свойствам.

Свойства степеней.

1. Любое число в первой степени равно самому себе: a¹ = a.

Сразу рассмотрим примеры.

2¹ = 2;

(-10)¹ = -10;

0¹ = 0.

2. Любое число в нулевой степени равно 1: а⁰ = 1.

Примеры:

2⁰ = 1;

(-3)⁰ = 1;

0⁰ = 1.

3. Единица в любой степени равна 1: 1ⁿ = 1.

4. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: aⁿ · a^m = a^{n + m}.

Почему так?

Это свойство легко доказать на числовом примере.

2³ · 2² = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁵.

Конечно, так никто не расписывает, а сразу пользуется готовой формулой. Вот еще несколько примеров:

3⁴ · 3⁹ · 3¹⁵ = 3^{4 + 9 + 15} = 3²⁸;

(-2)³ · (-2)⁴ = (-2)^{3 + 4} = (-2)⁷.

5. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: aⁿ : a^m = a^{n — m} (a ≠ 0).

Доказывается эта формула тоже очень просто с помощью числового примера: три четверки из числителя сокращаем с тремя четверками из знаменателя и остаются две четверки в числителе, т. е. 4².

Еще парочка примеров:

15¹⁰ : 15³ : 15⁵ = 15^{10 — 3 — 5} = 10²;

(-3)¹¹ : (-3)⁵ = (-3)^{11 — 5} = (-3)⁶.

6. При возведении степени в степень показатели умножаются: (аⁿ)^m = a^nm.

Примеры:

(2²)³ = 2^{2 · 3} = 2⁶;

(5³)¹⁰ = 5^{3 · 10} = 5³⁰.

7. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.

Примеры:

(5 · 4)² = 5² · 4²;

(2 · 3  · 4 · 5)^а = 2^а · 3^а · 4^а ·5^а.

8. Чтобы возвести дробь в степень надо и числитель, и знаменатель возвести в эту степень:.

Пример:

9. Степень с дробным показателем можно представить в виде корня некоторой степени по формуле (а > 0, n ≥ 2).

Пример:

10. Чтобы возвести число, отличное от нуля, в степень с отрицательным показателем надо взять число, обратное данному, и возвести его в ту же степень, только без минуса: (a ≠ 0).

Это же правило работает и для дробей:  (a ≠ 0, b ≠ 0).

Примеры:

Все эти свойства срабатывают как в одну сторону, так и в другую. Соберем их в аккуратную табличку.

Напоследок, разберем пример, который может встретиться во второй части ОГЭ по математике. Он, конечно, не охватывает сразу все формулы — только несколько из них.

Нам нужно сократить такую дробь:

Преобразуем знаменатель дроби, дважды использовав формулу по номером 5 из второго столбика таблицы.

Получившиеся частные в знаменателе запишем в виде дробей.

Получилась трехярусная дробь (можно произведение дробей в знаменателе переписать под одну черту). Нижний ярус этой дроби перейдет в верхний. Это не магия вне Хогвартса, но описывать эти преобразования текстом очень грустно. Если коротенько, то при делении на дробь мы ее переворачиваем и получается, что знаменатель заползает наверх 🙂

К тому же здесь можно воспользоваться свойством 6 из второго столбика и 4²ⁿ превратится в 16ⁿ.

Переходим к финалу. Преобразуем знаменатель по свойству 7 из второго столбика таблицы (снова) и, наконец-таки, сокращаем дробь!

Успехов в учебе!

С уважением, Васильева Анна.

Чему равно 2 в степени? – Обзоры Вики

Степень двойки — это число вида 2 ⁿ где n — целое число, то есть результат возведения в степень с числом два в качестве основания и целым числом n в качестве показателя степени.
…
Степени двойки, экспоненты которых равны степени двойки.

Отсюда, чему равно 2 в степени 3? Ответ: 2 в третьей степени равно 2. ³ = 8. Пояснение: 2 в 3-й степени можно записать как 2³ = 2 × 2 × 2, так как 2 умножается на себя 3 раза. Здесь 2 называется «основанием», а 3 — «показателем» или «степенью».

Чему равно 2 в степени 8? Ответ: значение 2 увеличено до 8.^th мощность т.е. 2⁸ is 256.

Дополнительно Что такое 2 Сила 0? Ответ: 2 в степени 0 можно выразить как 2⁰ = 1.

Чему равно 2 в степени 6? Ответ: значение 2 увеличено до 6.^th мощность т.е. 2⁶ is 64.

Что такое 2 в степени 4?

Таблицы экспонент и паттерны

Что такое 2 как степень 8? Ответ: значение 2 увеличено до 8. ^th мощность т.е. 2⁸ is 256.

Чему равно 2 в степени 9? Два ключевых термина, часто используемые в показателях, — это основание и степень. Чтобы найти 2 в степени 9, мы можем записать это в экспоненциальной форме как 2⁹, где 2 — основание, а 9 — степень. Это означает, что 2 умножается на 9 раз. Итак, 2⁹ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 512.

Как найти 2 степени N?

Другое решение состоит в том, чтобы продолжать делить число на два, т. е. сделать n = n/2 итеративно. На любой итерации, если n%2 становится ненулевым и n не равно 1, то n не является степенью числа 2. Если n становится равным 1, то это степень числа 2.

Также Что означает 1 в квадрате? 1 квадрат число, которое при умножении само на себя дает единицу. Это число равно 1, потому что 1 * 1 = 1.

Что такое ответ 2 в 0?

0 Как знаменатель. … Отрицательные отношения и деление на ноль. … Бесконечность в неопределенных (разделить на 0) ситуациях. …

Почему что-то до 0 мощности 1? Короче говоря, 0 — единственное число, так что для любого числа x, x + 0 = x. … Итак, причина, по которой любой номер к нулевой мощности — это потому, что любое число в нулевой степени — это просто продукт отсутствия чисел вообще, что является мультипликативным тождеством, 1. Ответ 2: Меня очень волнует, что вы задали этот вопрос.

Что такое 2 в степени 5?

Ответ: 2 в степени 5 можно выразить как 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

Каким будет 1 2 в степени 4 в виде дроби?

Ответ: 1/2 в степени 4 равно (1/2)⁴ = 1/16. Разберемся с решением.

Чему равно 8 в степени 3? Ответ: 8 в степени 3 можно представить как 8.³ = 8 × 8 × 8 = 512.

Как найти 2 силы? Другое решение состоит в том, чтобы продолжать делить число на два, т. е. сделать n = n/2 итеративно. На любой итерации, если n%2 становится ненулевым и n не равно 1, то n не является степенью числа 2. Если n становится равным 1, то это степень числа 2.

Как написать степень 2?

Вставить квадратный символ на свой Android-смартфон относительно легко и просто. Чтобы вставить квадратный знак, просто нажмите и удерживайте цифру 2, и он вставьте верхний индекс².

Чему равно 10 в степени 1? Ответ: 10 в степени 1 равно 10¹ = 10.

Что поднято 10?

Положительные силы

Что такое 2 повышенной степени 5? Ответ: 2 в степени 5 можно представить как 2.⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

Как проще всего рассчитать мощность?

Как набрать на клавиатуре степень 2? Вставить квадратный символ на свой Android-смартфон относительно легко и просто. Чтобы вставить знак в квадрат, просто нажмите и удерживайте цифру 2, и он вставьте верхний индекс².

Что такое 2 в степени 10?

Ответ: значение 2 повышено до 10.^th мощность т.е. 2¹⁰ is 1024.

{3}} $

Рекомендуемое чтение:

• Как избежать глупых ошибок в математике
• Онлайн-конкурс по математике в 2022 году
• Очень интересные примеры математики в реальном мире 9005 0

Изображение предоставлено: Вектор учителя математики создано storyset – www.freepik.com

Вам также может понравиться

Что такое линейные неравенства – значение, свойства и примеры

Содержание Что такое линейные неравенства?Примеры линейных неравенствТипы линейных

Подробнее

Программа CBSE по математике для класса 10 на 2023-24 годы (пересмотренная) 03

Распределение Бернулли – определение, формулы и примеры

Содержание Что такое распределение Бернулли?Примеры распределения БернуллиСвойства распределения Бернулли

Подробнее

Что такое Googol и Googolplex?

К

• Пэт Бранс, Пэт Бранс Ассошиэйтс / Гренобльская школа менеджмента

Найдите тангенс альфа если синус

Бизнес с Oriflame — рост и РАЗВИТИЕ!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2012-10-03

В данной статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с выражениями. Задания данной группы довольно разнообразны. Если вы запомнили свойства степеней, корней и логарифмов, знаете основные формулы тригонометрии, и постоянно практикуетесь, то большинство задач для вас никакого труда не представят.

Относительную сложность могут вызывать следующие:

— преобразования буквенных иррациональных выражений
— вычисление значений тригонометрических выражений
— преобразования тригонометрических выражений

Если перечислить все группы задач, то они довольно разнообразны.

Они включают в себя: ПОКАЗАТЬ/СКРЫТЬ

Здесь мы с вами разберём задачи на вычисление значений тригонометрических выражений. Конечно, все их в одной статье разобрать невозможно. Но мы обязательно разберём и другие примеры, не пропустите!

Итак, что обязательно вы должны знать и всегда помнить? Это знаки тригонометрических функций в четвертях. ЭТО ВАЖНО!!!

Как  осознать эту  информацию и понять  следствием чего она является –  об этом будет отдельная статья (если вы это знаете, то прекрасно). Пока предлагаю пока просто запомнить:

Основное тригонометрическое тождество:

Формулы тангенса и котангенса:

Выполняются элементарные алгебраические преобразования:

1. Числитель и знаменатель дроби можем умножать и делить на одно и тоже число.
2. Левую и правую часть уравнения можем умножать и делить на одно и тоже число.

В представленных ниже заданиях используется основное тригонометрическое тождество и формула тангенса.

Найдите тангенс альфа, если

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

Косинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Теперь ВАЖНЫЙ момент: необходимо определить знак синуса для интервала (3Пи/2;2Пи). Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть).  Как переводить радианы в градусы можно посмотреть здесь. Значение синуса в этой четверти отрицательное, поэтому:

Таким образом:

Ответ: – 0,5

Найдите tg α, если

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

Cинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение косинуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Определяем знак косинуса для интервала (Пи/2;Пи). Это интервал  от 90 до 180 градусов (вторая четверть). Значение косинуса в этой четверти отрицательное (смотрите эскиз). Поэтому

Таким образом:

Ответ: – 0,25

Найдите 5·cos α, если синус альфа

Необходимо найти косинус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что cos²x = 1– sin²x и

Определим знак косинуса. Угол принадлежит интервалу (3Пи/2;2Пи).

Это интервал от 270 до 360 градусов  (четвёртая четверть).  Значение косинуса в этой четверти  положительное, поэтому:

Таким образом, 5·cos α = 5∙0,7 = 3,5

Ответ: 3,5

Найдите 0,1·sin α, если

Необходимо найти синус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что sin²x = 1– cos²x  и

Определим знак синуса. Угол принадлежит интервалу (0; Пи/2).

Это интервал от 0 до 90 градусов  (первая четверть).  Значение синуса в этой четверти  положительное, поэтому:

Таким образом 0,1·sin α = 0,1∙0,3 = 0,03

Ответ: 0,03

Общая рекомендация для следующих данных примеров! Если требуется найти тангенс аргумента (квадрат  тангенса), то осуществляем деление на косинус (квадрат косинуса). Если требуется найти котангенс аргумента (квадрат  котангенса), то осуществляем деление на синус (квадрат синуса). Примеры:

65217. Найдите tg² α, если  3sin² α + 8 cos² α = 7

Требуется найти квадрат тангенса. Разделим обе части уравнения на cos² α, получим:

Второй способ:

Далее по формуле основного тригонометрического тождества можно найти квадрат синуса и используя формулу тангенса вычислить уже его квадрат:

Ответ: 0, 25

65269. Найдите

Преобразуем данное выражение так, чтобы в числителе и знаменателе был тангенс. Разделим числитель и знаменатель на cos α, получим:

Ответ: – 0,5

65273. Найдите

Здесь дано значение тангенса. Необходимо сделать так, чтобы в выражении у нас был тангенс. Вынесем cosα за скобки в числителе и знаменателе (или разделим числитель и знаменатель на  cosα), получим:

Подставим значение тангенса данное в условии, получим:

*Косинус у нас сократился.

Ответ: 4

65363. Найдите tg α, если

В левой части в числителе и знаменателе вынесем cosα за скобки, получим:

Ответ: 0,4

65423. Найдите tg α, если

Умножим обе части уравнения на  4 (2sinα+cosα+1)

Ответ: –1,9

26775. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26776. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26777. Найдите 3cos α, если

Посмотреть решение

26778. Найдите 5sin α, если

Посмотреть решение

26787. Найдите  tg² α, если

Посмотреть решение

26788. Найдите

Посмотреть решение

26789. Найдите

Посмотреть решение

26790. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26791. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

Подведём итог, для решения подобных примеров вы:

1. Должны знать на зубок основные формулы тригонометрии.
2. Не забывать определять знак (+ или -) для тригонометрических функций в четвертях. Потерянный знак на экзамене – это ошибка и потерянный бал, будьте внимательны!!!

Надеюсь, что материал был для вас полезен.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Категория: Выражения | ЕГЭ-№6Тригонометрия

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Урок 25. Геометрия 8 класс ФГОС

На этом уроке мы повторим основные элементы прямоугольного треугольника. Введем понятие прилежащего и противолежащего катетов. Познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом, понятиями, которые связывают острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника. Выведем две формулы для нахождения тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Докажем основное тригонометрическое тождество. Подробно рассмотрим примеры, в которых надо найти синусы, косинусы и тангенсы острых углов прямоугольного треугольника.

Конспект урока «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»

На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом, понятиями, которые связывают острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника.

Прежде всего, давайте повторим основные сведения о прямоугольном треугольнике. Пусть нам дан прямоугольный треугольник ABC. Вершина C, угол С= 90º – прямой, гипотенуза с. Вершина А, угол α — острый, катет a. Вершина B, угол β — острый, катет b.

Напомним, что сумма углов треугольника равна 180º, значит, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Мы знаем, что стороны прямоугольного треугольника связаны между собой теоремой Пифагора.

Катет, BC является противолежащим для угла А, катет AC является прилежащим для угла А. Аналогично, катет AC является противолежащим для угла B, катет BC является прилежащим для угла B.

А теперь давайте подумаем, а можно ли связать между собой стороны и углы прямоугольного треугольника?

Давайте, посмотрим на два прямоугольных треугольника с острыми углами 30º и 60º.

И давайте, попробуем найти отношение катета, противолежащего углу в тридцать градусов к гипотенузе одного и второго треугольника.

Мы видим, что это отношение одинаково в обоих треугольниках.

Теперь давайте найдем отношение катета, прилежащего к углу в тридцать градусов. И опять получили одинаковые отношения.

;

Теперь давайте найдем отношение противолежащего катета к прилежащему. И снова у нас получились одинаковые отношения.

;

Теперь давайте, рассмотрим два прямоугольных равнобедренных треугольника. Острые углы этих треугольников равны по 45º. Находя для них такие же отношения, получим, что и в этом случае эти отношения для обоих треугольников равны.

 

= ;

 = ;

;

Учеными было сделано предположение, что эти отношения не зависят от величины сторон прямоугольного треугольника, а зависят от величины острых углов прямоугольного треугольника. Для этих отношений были введены специальные названия и обозначения.

Определение: синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение: косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение: тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Теперь давайте попробуем найти отношение синуса угла α к косинусу того же угла.

; ;

Сравним полученную формулу с формулой тангенса угла α и увидим, что можно записать, что тангенс угла альфа равен отношению синуса угла альфа к косинусу угла альфа.;

Задача. Найти  треугольника  с прямым углом , если  см,  см.

Решение.

 

 (см)       

  

 

Ответ:      .

Из определения синуса,  

Из определения тангенса угла А можно получить формулу, которая связывает два катета прямоугольного треугольника. Получим, что катет a равен произведению катета b на тангенс противолежащего угла.

Задача. Пусть в прямоугольном треугольнике, один из катетов равен  см, а противолежащий угол равен . Выразить второй катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через известный катет и угол, и найти их значение.

Решение.

Ответ: .

Теперь давайте докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Пусть нам даны два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁ с прямыми углами C и C₁ и равными острыми углами А и A₁. Очевидно, что углы B и B₁ также будут равны. То есть наши треугольники подобны по первому признаку подобия (если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны).

Значит, справедливы равенства

Из этих равенств несложно вывести равенство отношения  а эти отношения есть ничто иное как синус угла А и синус угла A₁. То есть можно записать, что .

Аналогично, можно вывести равенство отношения  то есть равенство . А раз равны синусы и косинусы, то из формулы , получим, что . Таким образом, наше утверждение доказано.

Теперь, давайте попробуем доказать справедливость равенства:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Таким образом, справедливость равенства доказана.

Это равенство называют основным тригонометрическим тождеством. Синус, косинус, тангенс – тригонометрические функции.

Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов «треугольники» и «измеряю». «Тригонометрия» — раздел математики, в котором изучают тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Задача. Найти  если .

Решение

 или

Ответ: .

Повторим главное:

синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе;

косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе;

тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему;

Синус и косинус одного и того же угла связаны между собой основным тригонометрическим тождеством.

Предыдущий урок 24 О подобии произвольных фигур

Следующий урок 26 Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Геометрия 8 класс ФГОС

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Синус, косинус и тангенс » Ярно Воуда

1. Введение

Синус, косинус и тангенс — это функции, которые мы используем в математике для вычисления углов и сторон треугольников. На вашем калькуляторе эти функции кратко записываются как «sin», «cos» и «tan»,

Легенда

 • = Умножение
∠ = Угол
≈ = Приблизительно равно

• Вы можете применять синус, косинус и тангенс только к прямоугольным треугольникам .

• Проверьте, настроен ли ваш калькулятор на «градусы» или «радианы» в зависимости от необходимого решения. Вы можете изменить этот параметр, нажимая кнопку «Mode» на вашем калькуляторе, пока не увидите «Deg» или «Rad». Выберите тот, который вам нужен.

2. Ревизия

Прямоугольные треугольники:
Эти треугольники всегда имеют один угол 90 градусов (два других угла вместе также равны 90 градусов). Угол 90 градусов называется прямым углом.

Сумма углов:
Треугольник — это фигура с тремя углами. Если вы сложите все углы вместе, вы всегда получите в сумме 180 градусов, какой бы формы ни был треугольник.

3. Что такое синус, косинус и тангенс?

С помощью синуса, косинуса и тангенса мы определяем отношение углов в прямоугольном треугольнике. Хорошо известным примером прямоугольного треугольника является треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Если вы возьмете другой треугольник с тем же отношением, например, треугольник со сторонами 6, 8 и 10, то синус, косинус и тангенс угла будет таким же, как в треугольнике 3, 4, 5. Проще говоря, синус угла, отношение между двумя сторонами треугольника, которые определяют угол.

4. Называние сторон треугольника

Чтобы вычислить угол с помощью синуса, косинуса или тангенса, нам понадобится длина двух сторон. Каждая сторона прямоугольного треугольника может быть названа гипотенузой, смежной или противоположной. Именование сторон всегда связано с углом, который вы вычисляете.

«Гипотенуза»:
Гипотенуза — самая длинная сторона треугольника. Это сторона, противоположная прямому углу. Гипотенуза также находится рядом со стороной, которую вы пытаетесь вычислить.

«Противоположная сторона»:
Противоположная сторона – это сторона, противоположная данному углу. Это также единственная сторона, не касающаяся вычисляемого угла.

«Смежная сторона »:

Смежная сторона также лежит вдоль угла, который вы пытаетесь рассчитать. Поскольку мы уже знаем, что одна из сторон данного угла является гипотенузой, тогда оставшаяся сторона должна быть прилежащей стороной.

5. Тангенс угла

С помощью тангенса можно вычислить угол, зная противоположную и прилежащую стороны.

Формула для вычисления тангенса угла:
              Противоположная сторона / Прилежащая сторона = Тангенс угла

Число, которое получается при делении двух сторон, называется градиентом. Градиент также называют тангенсом угла. С помощью этого числа вы можете рассчитать угол в градусах.

Чтобы преобразовать тангенс угла в градусы, мы будем использовать арктангенс. Мы делаем это, нажимая кнопки *shift* и *tan* на вашем калькуляторе. Вы увидите, что ваш калькулятор теперь показывает «tan-1». Если вы сейчас введете тангенс угла, калькулятор рассчитает градус этого угла.

• Другие названия для «tan ^-1 »: «арктангенс», «арктангенс» или «атан».

6. Синус угла

Точно так же можно вычислить угол с помощью синуса.

Формула для вычисления синуса угла:
               Противоположная сторона / Гипотенуза = Синус угла

7. Косинус угла

Точно так же можно вычислить угол с помощью косинуса.

Формула для вычисления косинуса угла:
                Смежная сторона / Гипотенуза = косинус угла

8. Совет

Самый простой способ запомнить это — подумать о «SohCahToa». Это также то, что я использую, чтобы запомнить формулы синуса, косинуса и тангенса. «SohCahToa» — это сокращение от следующего:

Soh… S ine: O противоположная сторона / H ypotenuse
…Cah… 9000 6 C озин: A ближняя сторона / H ypotenuse
…Toa : T angent: O противоположная сторона / A дальняя сторона

9. Вычисление сторон с касательной

Если вы знаете только длину одной стороны и градус угла, вы можете вычислить остальные стороны. Когда вы только нажимаете кнопку *tan* на вашем калькуляторе, а затем угол в градусах, ваш калькулятор рассчитает угол обратно к касательной угла.

Если мы посмотрим на формулу для вычисления тангенса, мы можем заполнить одну из сторон и тангенс угла. В приведенном ниже примере вопрос: Что мы делим на прилежащую сторону, чтобы получить тангенс 0,75.

Давайте сначала рассмотрим упрощенный пример. Что нужно разделить на 2, чтобы получить 5? Ответ: 10. Откуда мы это знаем? 5 • 2 = 10. Мы также можем применить это для вычисления сторон в треугольниках. Тогда имеем: Касательная ангела •прилежащая сторона = противоположная сторона . Так же, как пример ниже.

10. Формулы

Синус угла:
Противоположная сторона / Гипотенуза = Синус угла

Косинус угла:
Прилегающая сторона / Гипотенуза = Косинус угла

Тангенс угла:
Противоположная сторона / Прилежащая сторона = Тангенс угла

.

1. Введение

De sinus, cosinus en tangens zijn hulpmiddelen in de wiskunde die je kunt gebruiken om in een rechthoekige driehoek een hoek of een zijde te berekenen. Op je rekenmachine staan ​​deze functies afgekort als «sin», «cos» и «tan».

Легенда

 • = Vermenigvuldigen
∠ = Hoek
≈ = Ongeveer gelijk aan

• Je kunt sinus, cosinus en tangens alleen toepassen op een rechthoekige driehoek .

• Проверка je rekenmachine op «graden» of «radialen» ingesteld afhankelijk wat voor de uitkomst nodig is. Je kunt dit aanpassen door op de «mode» button op je rekenmachine te drukken totdat je «Deg» of «Rad» ziet staan. Selecteer de optie die je nodig hebt.

2. Герхалинг

Rechthoekige driehoek:
Deze driehoek heeft altijd één hoek van 90 град (De andere twee hoeken zijn samen 90 град). Де Хук ван 90 классов noem je een rechte hoek.

Hoekensom driehoek:
Een driehoek — это один из видов, встречающихся в общей сложности. Als Je Alle Drie hoeken van een driehoek bij elkaar optelt krijg je altijd 180 град, ват воор vorm de driehoek ook heeft.

3. Wat zijn de sinus, cosinus en tangens?

Met sinus, cosinus en tangens bepalen we de verhoudingen in een rechthoekige driehoek. Een mooi voorbeeld van een rechthoekige driehoek is de driehoek met de zijden 3, 4 en 5. Als je een andere driehoek neemt met dezelfde verhoudingen zoals 6, 8 en 10. Zullen de sinus, cosinus en tangens van een bepaalde hoek in beide drie Хекен Хетцельфде зейн. De sinus ван een hoek является kortgezegd де verhouding tussen twee zijdes die een hoek bepalen.

4. Zijden in een driehoek benoemen

Om van een bepaalde hoek het aantalgrade te bereken met de tangens, sinus of cosinus, hebben we de lengte van twee zijden nodig. Elke zijde in een rechthoekige driehoek kunnen we benoemen als: schuine zijde, aanliggende zijde of overstaande zijde. Het benoemen ван де zijden является altijd gezien vanuit де hoek умереть je wil berekenen.

De «schuine zijde»:
De schuine zijde is altijd de langste zijde. Deze zijde staat in elke rechthoekige driehoek tegenover de rechte hoek фургон 90 град. De schuine zijde ligt ook altijd langs de hoek die je wil berekenen.

De «overstaande zijde»:
De overstaande zijde is de zijde die tegenover de hoek staat die je wil berekenen. Это ook de enigste zijde die niet langs de gevraagde hoek ligt.

De «aanliggende zijde»:
De aanliggende zijde ligt ook aan de hoek die je wil berekenen. Aangezien we al weten dat één van de zijden langs de hoek de schuine zijde is, moet de overige zijde wel de aanliggende zijde zijn.

5. Тангенс ван эн Хук

Met de tangens kun je, in een rechthoekige driehoek, een hoek berekenen als de overstaande en aanliggende zijden bekend zijn. По формуле hierbij hoort равно volgt: 

.

Overstaande zijde / Aanliggende zijde = Tangens van de hoek

Het getal dat je krijgt als je met tangens twee zijden door elkaar deelt, это het hellingsgetal van die hoek. Dit hellingsgetal wordt de tangens van de hoek genoemd. Встретил дит Геталь Кун Дже де Граден ван де Хук Берекенен.

Om de tangens van een hoek om te zetten in heaantalgraden, maken we gebruik van de «обратные касательные». Это мы делаем дверь в машине rekenmachine *shift* en *tan* in te toetsen. Je ziet dat je rekenmachine nu «tan-1» laat zien. Als je nu де тангенс ван een hoek invult berekent де rekenmachine он aantal град ван де хука.

• Andere benamingen voor “tan ^-1 ” zijn ook wel: “обратные касательные”, “arc tan” слова “atan”.

6. Синус ван эн Хук

Op dezelfde manier kun je met sinus een hoek berekenen.

Bij de sinus van een hoek hoort de volgende формула:
               Overstaande zijde / Schuine zijde = Sinus van de hoek

7. Косинус ван эн Хук

Op dezelfde manier kun je met cosinus een hoek berekenen.

Bij de cosinus van een hoek hoort de volgende формула:
                Aanliggende zijde / Schuine zijde = Cosinus van de hoek

7. Совет

Dit is niet bepaald het makkelijkste om te onthouden, daarom is het handig om hier een ezelsbruggetje voor te hebben. De meest bekende (en ook degene die ik altijd gebruik) — это «SosCasToa».

Sos…   S inus: O verstaande zijde / S chuine zijde
…Cas… C 9003 2 osinus: A anliggende zijde / S chuine zijde
…Toa : T angens: O verstaande zijde / A anliggende zijde

9. Zijden berekenen встретил tangens

Als je alleen één zijde en hoek ingrade weet, kun je met deze gegeven ook de overige zijden berekenen. Als je nu alleen de *tan* toets indrukt, gevolgd door de hoek в градене, kun je hoek в граде terugrekenen naar de tangens van de hoek.

Также мы де формула voor het berekenen ван де tangens эр weer bij pakken, kunnen мы де twee gegeven invullen. В het voorbeeld hieronder kunnen мы één van de zijden en de tangens van de hoek invullen. De vraag in dit geval: Wat moeten we delen door de aanliggende zijde, om een ​​tangens van 0.75 te krijgen.

Laten we eerst een simpel voorbeeld erbij pakken met hetzelfde idee. Wat moeten we delen door 2 om 5 te krijgen? Antwoord: 10. Как мы это делаем? 5 • 2 = 10 . Op dezelfde manier kun je ook een onbekende zijde berekenen. Wat we dan krijgen:  tangens van een hoek • aanliggende zijde = overstaande zijde . Net als in het voorbeeld hieronder.

10. Формулы

Sinus van een hoek:
Overstaande zijde / Schuine zijde = Sinus hoek

Cosinus van een hoek:
Aanliggende zijde / Schuine zijde = Cosinus hoek

Tangens van een hoek:
Overstaande zijde / Aanliggende zijde = Tangens hoek

.

6.5 Соотношения синуса, косинуса и тангенса и приложения тригонометрии – Fanshawe Pre-Health Sciences Mathematics 1

Перейти к содержимому

Ожидается, что к концу этого раздела вы сможете

• Находить недостающую сторону прямоугольного треугольника, используя отношения синуса, косинуса или тангенса
• Найдите недостающий угол прямоугольного треугольника, используя отношения синуса, косинуса или тангенса
• Решение приложений с помощью тригонометрии прямых углов

Теперь, когда мы знаем основы алгебры и геометрии, связанные с прямоугольным треугольником, мы можем приступить к изучению тригонометрии. Многие реальные жизненные задачи можно представить и решить с помощью прямоугольной тригонометрии.

Отношения синуса, косинуса и тангенса

Мы знаем, что любой прямоугольный треугольник имеет три стороны и прямой угол. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Два других угла в прямоугольном треугольнике — острые углы (с мерой менее [латекс]90[/латекс] градусов). Один из этих углов мы называем опорным углом и используем [латекс]θ[/латекс] (тета) для его представления.

Гипотенуза всегда является наибольшей стороной прямоугольного треугольника. Две другие стороны называются противоположной стороной и смежной стороной. Названия этих сторон зависят от того, какой из двух острых углов используется в качестве опорного угла.

Рисунок 6.5.1

В прямоугольном треугольнике каждая сторона помечена строчной буквой, соответствующей прописной букве противоположной вершины.

Назовите стороны треугольника и найдите гипотенузу, противоположную и прилежащую.

Рисунок 6.5.2 Решение

Мы пометили стороны строчными буквами, чтобы они совпадали с прописными буквами противоположной вершины.

[латекс]с[/латекс] является гипотенузой
[латекс]а[/латекс] находится напротив
[латекс]b[/латекс] является смежным

Рисунок 6. 5.3

1) Обозначьте стороны треугольника и найдите гипотенузу, противолежащую и прилежащую.

Рисунок 6.5.4 Решение

[латекс]y[/латекс] гипотенуза
[латекс]z[/латекс] противоположно
[латекс]х[/латекс] смежно

Тригонометрические отношения

Тригонометрические отношения — это отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого прямоугольного треугольника мы можем определить три основных тригонометрических соотношения: синус, косинус и тангенс.

Давайте обратимся к рисунку 6.5.1 и определим три основных тригонометрических отношения как:

Три основных тригонометрических отношения

• • • [латекс] синус (\ тета) = \ гидроразрыва {\ текст {длина противоположной стороны}} {\ текст {длина стороны гипотенузы}} [/латекс]
    • [латекс] косинус (\ тета) = \ гидроразрыва {\ текст {длина прилегающей стороны}} {\ текст {длина стороны гипотенузы}} [/латекс]
    • [латекс]тангенс(\тета) = \frac{\text{длина противоположной стороны}}{\text{длина соседней стороны}}[/latex]

Где [латекс]θ[/латекс] — мера опорного угла, измеренная в градусах.

Очень часто мы используем сокращения для синуса, косинуса и тангенса.

• • • [латекс] грех (\ тета) = \ гидроразрыва {опп} {hyp} [/латекс]
    • [латекс] соз (\ тета) = \ гидроразрыва {прил. {hyp} [/латекс]
    • [латекс] загар (\ тета) = \ гидроразрыв {опп} {прил} [/латекс]

Некоторые люди помнят определение тригонометрических соотношений как SOH CAH TOA.

Давайте воспользуемся [латекс]\Delta DEF[/латекс] из примера 6.5.2, чтобы найти три отношения.

Для данного треугольника найти отношение синуса, косинуса и тангенса.

Рисунок 6.5.5 Решение

[латекс]\begin{align*}sin(\theta) &= \frac{f}{d}\\[2ex]cos(\theta)&= \frac{e} {d}\\[2ex]tan(\theta)&= \frac{f}{e}\end{align*}[/latex]

2) Для данного треугольника найти отношение синуса косинуса и тангенса.

Рисунок 6.5.6 Решение

[латекс]\begin{align*}sin(\theta)&= \frac{z}{y}\\[2ex]cos(\theta)&= \frac{x} {y}\\[2ex]tan(\theta)&= \frac{z}{x}\end{align*}[/latex]

В примере 6. 5.2 опорными углами могут быть угол [латекс]Е[/латекс] или угол [латекс]F[/латекс]. Используя определение тригонометрических отношений, мы можем написать [latex]sin(E)=\frac{e}{d}[/latex], [latex]cos(E)=\frac{f}{d}[/latex ] и [латекс]тан(Е)=\фрак{е}{е}[/латекс].

При расчетах мы обычно округляем отношения до четырех знаков после запятой, а в конце наш окончательный ответ — до одного знака после запятой, если не указано иное.

Для данного треугольника найти отношения синуса, косинуса и тангенса. При необходимости округлить до четырех знаков после запятой.

Рисунок 6.5.7 Решение

У нас есть два возможных опорных угла: [латекс]R[/латекс] и [латекс]S[/латекс].

Используя определения, тригонометрические соотношения для угла [латекс]R[/латекс] составляют:

• [латекс]sin(R)= \frac{4}{5} = 0,8[/латекс]
• [латекс] cos(R)= \frac{3}{5} = 0,6[/латекс]
• [латекс]загар(R)=\фракция{4}{3} = 1,3333…[/латекс]

Используя определения, тригонометрические соотношения для угла [латекс]S[/латекс]:

• [латекс]sin(S)= \frac{3}{5} = 0,6[/латекс]
• [латекс] cos(S)= \frac{4}{5} = 0,8[/латекс]
• [латекс]загар(S)= \фракция{3}{4} = 0,75[/латекс]

3) Для данного треугольника найти отношения синуса, косинуса и тангенса. При необходимости округлить до четырех знаков после запятой.

Рисунок 6.5.8 Решение

• [латекс]sin(F)= \frac{8}{10} = 0,8[/латекс]
• [латекс] cos(F)= \frac{6}{10} =0,6[/латекс]
• [латекс]tan(F)= \frac{8}{6} = 1,3333…[/latex]
• [латекс]sin(D)= \frac{6}{10} = 0,6[/латекс]
• [латекс] cos(D)= \frac{8}{10} = 0,8[/латекс]
• [латекс]тангенс(D)= \фракция{6}{8} = 0,75[/латекс]

Теперь воспользуемся научным калькулятором и найдем тригонометрические соотношения. Сможете ли вы найти кнопки sin, cos и tan на своем калькуляторе? Чтобы найти тригонометрические соотношения, убедитесь, что ваш калькулятор находится в режиме градусов.

С помощью калькулятора найдите тригонометрические соотношения. При необходимости округлить до 4 знаков после запятой. 9\circ)=1[/латекс]

Нахождение недостающих сторон прямоугольного треугольника

В этом разделе вы будете использовать тригонометрические отношения для решения задач прямоугольного треугольника. Мы адаптируем нашу стратегию решения задач для приложений тригонометрии. Кроме того, поскольку в этих задачах будет задействован прямоугольный треугольник, полезно нарисовать его (если рисунок не предоставлен) и пометить его с помощью данной информации. Мы включим это в первый шаг стратегии решения проблем для тригонометрических приложений.

КАК:

Решить тригонометрические приложения

1. Прочитайте задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте данные части.
2. Определите, что мы ищем.
3. Пометьте то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.
4. Найдите требуемое тригонометрическое отношение.
5. Решите отношение, используя хорошие методы алгебры.
6. Проверьте ответ, подставив его обратно в соотношение на шаге 4 и убедившись, что он имеет смысл в контексте задачи.
7. Ответьте на вопрос полным предложением

В следующих нескольких примерах, зная меру одного острого угла и длину одной стороны прямоугольного треугольника, мы решим прямоугольный треугольник относительно недостающих сторон.

 Найти недостающие стороны. Округлите окончательный ответ до двух знаков после запятой

Рисунок 6.5.9 Решение

Шаг 1: Прочитайте задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части.

Дается чертеж. Угол [латекс]Y[/латекс] — это наш опорный угол, [латекс]у[/латекс] — противоположная сторона, [латекс]z[/латекс] — смежная сторона, а [латекс]х=14[/латекс] — гипотенуза.

Шаг 2: Определите, что вы ищете.

а. Противоположная сторона.
б. Соседняя сторона.

Шаг 3: Пометьте то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.

[латекс]\begin{eqnarray*}y&=&?\\z&=&?\end{eqnarray*}[/latex] 9\circ)&=&z\\11.47&=&z\end{eqnarray*}[/latex]

Шаг 6: Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.

[латекс]\begin{align*}\text{a. }\;0,57&\overset?=8,03 \div14\\ 0,57&=0,57\checkmark\\[3ex] \text{b.}\;0,82& \overset?=11,47 \div14\\ 0,82&=0,82 \checkmark \end{align*}[/latex]

Шаг 7: Ответьте на вопрос полным предложением.

а. Противоположная сторона — [латекс]8.03[/латекс].
б. Соседняя сторона — [латекс]11,47[/латекс].

 5) Найдите недостающие стороны. Округлите окончательный ответ до одного знака после запятой.

Рисунок 6.5.10 Решение

[латекс]\begin{align*}a &= 20.2\\b &= 16.4\end{align*}[/latex]

Найдите гипотенузу. Округлите окончательный ответ до одного знака после запятой.

Рисунок 6.5.11 Решение

Шаг 1: Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части.

Дается чертеж. Угол [латекс]S[/латекс] – это наш опорный угол, [латекс]R[/латекс] – противоположная сторона, [латекс]r = 4[/латекс]  – прилежащая сторона, а [латекс]Р[/латекс] это гипотенуза.

Шаг 2: Определите, что вы ищете.

Гипотенуза.

Шаг 3: Пометьте то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.

[латекс]\begin{eqnarray*}p&=&?\end{eqnarray*}[/latex] 9\circ)&=&\frac{4}{p}\end{eqnarray*}[/latex]

Шаг 5: Решите отношение, используя хорошие методы алгебры.

[латекс]\begin{eqnarray*}0,8480&=&\frac{4}{p}\\p&=&4,7170\;\;\text{Округление до 4 знаков после запятой}\end{eqnarray*} [/латекс]

Шаг 6: Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.

[латекс]\begin{eqnarray*}0.8480&\overset?=&\frac{4}{4.7170}\\0.8480&=&0.8480\checkmark\end{eqnarray*}[/latex]

Шаг 7: Ответьте на вопрос полным предложением.

Гипотенуза равна [латекс]4,7[/латекс]. Окончательный ответ округлить до одного знака после запятой.

6) Найдите гипотенузу. {-1}[/latex] находятся на вашем научном калькуляторе. . 9\циркуляр[/латекс]

В приведенном ниже примере у нас есть прямоугольный треугольник с двумя заданными сторонами. У нас отсутствуют острые углы. Давайте посмотрим, каковы шаги, чтобы найти недостающие углы.

Найдите недостающий [латекс]\угол Т[/латекс] . Округлите окончательный ответ до одного знака после запятой.

Рисунок 6.5.13 Решение

Шаг 1: Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части.

Дается чертеж. Угол [латекс]T[/латекс] — это наш базовый угол, [латекс]t = 7[/латекс] — противолежащая сторона, [латекс]s[/латекс] — прилежащая сторона, а [латекс]r = 11[/ латекс] — гипотенуза.

Шаг 2: Определите, что вы ищете.

Угол [латекс]T[/латекс].

Шаг 3: Пометьте то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.

[латекс]\begin{eqnarray*}\angle T&=&?\end{eqnarray*}[/latex] 9\циркуляр[/латекс]

Найдите недостающий угол [латекс]А[/латекс]. Округлите окончательный ответ до одного знака после запятой.

Рисунок 6.5.15 Решение

Шаг 1: Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте указанные части.

Дается чертеж. Угол [латекс]А[/латекс] — это наш опорный угол, [латекс]а = 9[/латекс] — противолежащая сторона, [латекс]с = 5[/латекс] — прилежащая сторона, а [латекс]b[ /латекс] — гипотенуза.

Шаг 2: Определите, что вы ищете.

Угол [латекс]А[/латекс].

Шаг 3: Пометьте то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.

[латекс]\begin{eqnarray*}\angle A&=&?\end{eqnarray*}[/latex]

Шаг 4: Найдите требуемое тригонометрическое соотношение.

[латекс]\begin{eqnarray*}tan A&=&\frac{9}{5}\end{eqnarray*}[/latex] 9\circ\end{align*}[/latex]

---

Шаг 1: Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте данные части.

Дается чертеж. Угол [латекс]А[/латекс] — это наш исходный угол, [латекс]а = 8[/латекс] — противоположная сторона, [латекс]b[/латекс] — прилежащая сторона, а [латекс]с[/латекс] ] — гипотенуза.

Шаг 2: Определите, что вы ищете.

\circ)&=&\frac{8}{c}\end{eqnarray*}[/latex]

Шаг 5: Решите отношение, используя хорошие методы алгебры.

[латекс]\begin{eqnarray*}\text{a.}\;0.9004&=&\frac{8}{b}\\0.9004 b&=&8\\b&=&8.8849\\[3ex]\text {b.}\;0,6691&=&\frac{8}{c}\\0,6691 c&=&8\\c&=&11,9563\end{eqnarray*}[/latex]

Шаг 6: Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
9\circ\end{align*}[/latex]

Solution

[latex]\begin{align*}a &= 6\\b &= 15.6\\c &= 16.7\end{align*}[/ латекс]

Решите прямоугольный треугольник. Округлить до двух знаков после запятой.

Рисунок 6.5.19 Решение

Шаг 1: Прочитайте задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте данные части.

Дается чертеж. Пусть угол [латекс]D[/латекс] будет нашим исходным углом, [латекс]d = 4[/латекс] — противолежащая сторона, [латекс]f[/латекс] — прилежащая сторона, а [латекс]е = 9[/latex] — это гипотенуза.

Шаг 2: Определите, что вы ищете.

а. Угол Д.
б. Соседний.

Шаг 3: Пометьте то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.

[латекс]\begin{eqnarray*}\text{a.}\;\angle D&=&?\\[2ex] \text{b.}\;f&=&?\end{eqnarray*}[/latex ]

Шаг 4: Найдите требуемое тригонометрическое соотношение.
9\circ\end{align*}[/latex]

Solution

[latex]\begin{align*}d &= 29,4\\e &= 18,4\\f &= 60,6\end{align*}[/ латекс]

Решение приложений с использованием тригонометрических соотношений

В предыдущих примерах мы смогли найти недостающие стороны и недостающие углы прямоугольного треугольника. Теперь давайте воспользуемся тригонометрическими отношениями для решения реальных задач.

Многие применения тригонометрических соотношений связаны с пониманием угла подъема или угла наклона. 9\circ[/latex] угол. Какова высота Harbour Centre?

Решение

Шаг 1: Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте данные части.

Рисунок 6.5.23

Угол [латекс]X[/латекс] — это наш исходный угол, [латекс]х[/латекс] — противоположная сторона, [латекс]у = 31[/латекс]м — прилежащая сторона, а [latex]z[/latex] — гипотенуза.

Шаг 2: Определите, что вы ищете. 9\circ)&=&\frac{x}{31}\end{eqnarray*}[/latex]

Шаг 5: Решите отношение, используя хорошие методы алгебры.

[латекс]\begin{eqnarray*}4.7046&=&\frac{x}{31}\\x&=&145.8426\end{eqnarray*}[/latex]

Шаг 6: Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.

[латекс]\begin{eqnarray*}4.7046&\overset?=&\frac{145.8426}{31}\\4.7046&=&4.7046 \checkmark\end{eqnarray*}[/latex] 9\circ[/latex] угол. Насколько высокое здание?

Раствор

[латекс]43,3[/латекс] метра

Томас стоит на вершине здания высотой [латекс]45[/латекс] метров и смотрит на свою подругу, которая стоит на земле в [латексе]22[/латекс] метрах от основания здания. Что такое угол депрессии?

Решение

Шаг 1: Прочтите задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте прямоугольный треугольник и обозначьте данные части.

Рисунок 6.5.24

Угол [латекс]Y[/латекс] — это наш исходный угол, [латекс]у = 45[/латекс]м — противоположная сторона, [латекс]z = 22[/латекс]м — прилежащая сторона , а [latex]x[/latex] — гипотенуза.

Шаг 2: Определите, что вы ищете.

Угол [латекс]Y[/латекс].

Шаг 3: Пометьте то, что мы ищем, выбрав переменную для ее представления.

[латекс]\begin{eqnarray*}\angle Y&=&?\end{eqnarray*}[/latex] 9\циркуляр[/латекс]

• Три основных тригонометрических соотношения: (Где [латекс]θ[/латекс] — мера опорного угла, измеренная в градусах).
  • [латекс] синус\;\тета = \фракция{\текст{длина противоположной стороны}}{\текст{длина стороны гипотенузы}}[/латекс]
  • [латекс]косинус\;\тета = \фракция{\текст{длина прилежащей стороны}}{\текст{длина гипотенузы}}[/латекс]
  • [латекс]тангенс\;\тета = \фракция{\текст{длина противоположной стороны}}{\текст{длина соседней стороны}}[/латекс]

• Стратегия решения проблем для приложений тригонометрии
  1. Прочитайте задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны.

Совместные и несовместные события. Противоположные события. Полная группа событий

Построение графиков функций при решении квадратных уравнений

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Цель урока:
Применение навыков построения графиков
функций при решении квадратных уравнений
План урока
Актуализация знаний.
Новый материал: 5 способов
решения квадратных уравнений.
Практическое применение умений и навыков.
Движение графиков на плоскости.
Объяснить построение графика функции.
По графику функции написать ее уравнение
Построить график функции у aх 2 bx c
Решить уравнение х 2 2 х 3 0
у х 1
2
у ( х 2)
2
у ( х 3)
у
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
х
-1
у х 3
2
-2
-3
у ( х 3) 3
2
2
у 4х 3
2
у
3
2
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
х
у 0,5( х 3)
2
у
3
2
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
х
у х 1
2
у
3
2
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
х
2
у
2
х 1
у
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
х
у
у 2 х 4
2
3
2
у ( х 4) 2
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
х
у
у ( х 3) 2
2
у х 1 1
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
у 3х 1
х
1
у
1
х 1
у
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
х
у х 2 2х 3
у
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
Вершина параболы: (1; -4)
-3
2
3
4
5
х
I способ
II способ
у х 2 2х 3
х 2 2х 3
III способ
IV способ
( х 1) 2 4
х 3 2х
2
V способ
3
х 2
х
у
у х
7
2
у 2х 3
6
5
4
3
-2
1
-3
-2
-1
1
2
3
х
у
5
у х2 3
4
у 2х
3
2
1
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
х
у ( х 1)
у
2
у 4
4
3
2
1
-4
-3
-2
1
-1
-1
-2
-3
2
3
4
х
у х 2
у
3
у
х
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
х
Выберите способ и решите уравнение.
х 2 4х 5 0
Корней нет
х х 3 0.
2
Вывод: Графические способы красивы, но не дают
гарантии решения любого квадратного уравнения !!!

English     Русский Правила

Графер Линейных Уравнений — Mathcracker.Com

Инструкции: Используйте этот Linear Equation Grapher для построения графика любого линейного уравнения, которое вы предоставите, с отображением всех этапов. Вам нужно указать линейное уравнение, график которого вы хотите построить, в поле формы ниже.

Подробнее об этом графере линейных уравнений

Построение графиков линий является фундаментальным умением, и этот калькулятор поможет вам в этом. Для начала вам необходимо предоставить линейное уравнение вы хотите построить график.

Вы можете привести любое линейное уравнение в явном виде, например, x + 3y = 2 , или то, которое не полностью упрощено, например, x + 3y = 2/3 x.

Графические линии имеет так много применений, что это становится очень практичным навыком. Геометрически линии имеют очень простую интуицию, что облегчает построение графиков, поскольку для их задания нам не требуется много информации.

Как построить график линейных уравнений?

Вы можете использовать это графический калькулятор для построения графиков линий. Если вы решите сделать это вручную, вам нужно знать, что данный подход требует преамбулы, которая будет зависеть от типа предоставляемой информации.

Каковы этапы построения графика линии?

• Шаг 1: Определите тип предоставленной информации. Представлено ли уравнение, есть ли две точки, точка и наклон, наклон и y-интерцепт? Четко оцените, что
• Шаг 2: Независимо от полученной информации, используйте ее для нахождения двух точек, через которые проходит прямая. Для заданного уравнения решите y, например, для x = 0 и x = 1. Для наклонной и y-пересечения постройте уравнение y = a + bx и найдите две точки. Если у вас есть одна точка и наклон, определите y = y1 + b(x-x1) и вставьте его в точку x = 0
• Шаг 3: Получив две точки, через которые проходит линия, с помощью линейки проведите через них линию

Линии рисовать очень легко, просто нужно быть методичным и знать, какой информацией вы располагаете.

Даже если вы делаете это вручную, всегда приятно иметь под рукой линейку графический калькулятор онлайн чтобы проверить свои результаты.

Графические линии

Графические линии имеют очень много применений. Например, вы можете решить систему уравнений построив график соответствующих линий и посмотрев, где они пересекаются.

При использовании этого метода, когда прямые параллельны и не пересекаются, решений не будет.

Подобно тому, как это произошло со сложением и вычитанием, деление дробей просто вытекает из умножения дробей: Чтобы разделить две дроби, нужно просто умножить первую на обратная дробь второй (обратная дробь получается путем замены числителя на знаменатель в дроби).

Другие применения линейных графов

Линии или Линейные графики действительно присутствуют везде. линейные функции постоянно появляются в приложениях, в расчетах и оптимизации, поэтому они действительно полезны.

Пример: пример графера линейных уравнений

Постройте график следующих уравнений: \(\frac{1}{2}x + \frac{7}{4}y = 0\)

Отвечать: Мы должны работать со следующим уравнением:

\[\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{7}{4}y=0\]

Сначала работаем с константами:

\[\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{7}{4}y=0\]

Результат получается, если поставить (y) в левую часть, а (x) и константу — в правую:

\[\displaystyle \frac{7}{4}y = -\frac{1}{2}x \]

Затем процесс продолжается путем решения для \(y\), а затем путем деления обеих сторон уравнения на \(\frac{7}{4}\). Получаем:

\[\displaystyle y=-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{4}}x\]

и после упрощения результат будет следующим.

\[\displaystyle y=-\frac{2}{7}x\]

Вывод : На основании имеющихся данных мы приходим к выводу, что уравнение линии в форме наклон-пересечение имеет вид \(\displaystyle y=-\frac{2}{7}x\) с наклоном \(\displaystyle b = -\frac{2}{7}\) и y-пересечением \(\displaystyle n = 0\).

Следовательно, график представленной линии имеет вид

Пример: пример графера линейных уравнений

Получите строку, которая представляет: \(\frac{2}{3}x + \frac{5}{4}y = — \frac{5}{6}x + 2\)

Отвечать: Нам было предложено следующее уравнение:

\[\displaystyle \frac{2}{3}x+\frac{5}{4}y=-\frac{5}{6}x+2\]

Работа с константами:

\[\displaystyle \frac{2}{3}x+\frac{5}{4}y=-\frac{5}{6}x+2\]

Теперь, положив \(y\) в левой части, \(x\) и константу в правой части, получим

\[\displaystyle \frac{5}{4}y = \left(\frac{-5}{6}-\frac{2}{3}\right)x +2\]

Теперь член, умножающий \(y\), равен \( \frac{5}{4} — 0 = \frac{5}{4}\), а так как \( -\frac{5}{6} — \frac{2}{3} = -\frac{3}{2}\), то получается следующее

\[\displaystyle \frac{5}{4}y=-\frac{3}{2}x+2\]

Теперь, находя \(y\) путем деления обеих частей уравнения на \(\frac{5}{4}\), получается следующее

\[\displaystyle y=-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{4}}x+\frac{2}{\frac{5}{4}}\]

и упрощая окончательно получаем следующее

\[\displaystyle y=-\frac{6}{5}x+\frac{8}{5}\]

Вывод : На основании предоставленных данных мы заключаем, что уравнение линии в форме наклона-отрезка имеет вид \(\displaystyle y=-\frac{6}{5}x+\frac{8}{5}\), с наклоном \(\displaystyle b = -\frac{6}{5}\) и точкой пересечения по оси y \(\displaystyle n = \frac{8}{5}\).

Линейный график

Другие линейные калькуляторы

Линии настолько важны, что заслуживают собственного раздела в книге по математике. Вы можете вычислить Линейные уравнения в различных формах, в зависимости от конкретных потребностей.

Определение линий, которые в конечном итоге понадобятся две точки, через которые проходит линия , который может быть предоставлен прямо или косвенно.

Аппроксимация функции с помощью регрессионного анализа

Проблема аппроксимации функции заключается в том, как выбрать функцию из четко определенного класса, которая точно соответствует («аппроксимирует») целевой неизвестной функции.

Этот калькулятор использует предоставленные данные таблицы целевых функций в виде точек {x, f(x)} для построения нескольких моделей регрессии, а именно: линейной регрессии, квадратичной регрессии, кубической регрессии, степенной регрессии, логарифмической регрессии, гиперболической регрессии, ab -экспоненциальная регрессия и экспоненциальная регрессия. Результаты можно сравнивать по коэффициенту корреляции, коэффициенту детерминации, средней относительной ошибке (стандартной ошибке регрессии) и визуально, на графике. Теория и формулы, как обычно, даны под калькулятором.

Аппроксимация функции с помощью регрессионного анализа

83 71 64 69 69 64 68 59 81 91 57 65 58 62

Значения X, разделенные пробелом

183 168 171 17 8 176 172 165 158 183 182 163 175 164 175

Значения Y, разделенные пробелом

Линейная регрессия

Квадратичная регрессия

Кубическая регрессия

Степенная регрессия

ab-Экспоненциальная регрессия

Логарифмическая регрессия

Hyperbo личная регрессия

Экспоненциальная регрессия

Точность вычислений

Знаки после запятой: 4

Линейная регрессия

Коэффициент линейной корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка, %

Квадратичная регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка, %

Кубическая регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка, %

Регрессия мощности

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка, %

ab-Экспоненциальная регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка, %

Логарифмическая регрессия

Корреляция коэффициент

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка, %

Гиперболическая регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка, %

Экспоненциальная регрессия

Коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Средняя относительная ошибка, %

Результаты

Файл очень большой. Во время загрузки и создания может происходить замедление работы браузера.

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, стандартная ошибка регрессии – те же формулы, что и в случае квадратичной регрессии.

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, стандартная ошибка регрессии – те же формулы, что и выше.

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, стандартная ошибка регрессии – то же.

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, стандартная ошибка регрессии — те же, что и выше.

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, стандартная ошибка регрессии – те же, что и выше.

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, стандартная ошибка регрессии – те же, что и выше.

Начнем с задачи:
Имеем неизвестную функцию y=f(x), заданную в виде табличных данных (например, таких, как полученные из экспериментов).
Требуется найти функцию с известным типом (линейная, квадратичная и т.д.) y=F(x), эти значения должны быть максимально приближены к табличным значениям в тех же точках. На практике тип функции определяют путем визуального сравнения точек таблицы с графиками известных функций.

В результате мы должны получить формулу y=F(x), называемую эмпирической формулой (уравнение регрессии, функция аппроксимации), которая позволяет вычислить y для x, не представленных в таблице. Таким образом, эмпирическая формула «сглаживает» значения y.

Мы используем метод наименьших квадратов , чтобы получить параметры F для наилучшего соответствия. Наилучшее соответствие по методу наименьших квадратов минимизирует сумму квадратов невязок, причем невязка представляет собой разницу между наблюдаемым значением и подобранным значением, предоставленным моделью.

Таким образом, когда нам нужно найти функцию F, такую ​​как сумма квадратов невязок, S будет минимальным

Опишем решение этой задачи на примере линейной регрессии F=ax+b.
Нам нужно найти наилучшее соответствие для коэффициентов a и b, таким образом, S является функцией a и b. Для нахождения минимума найдем точки экстремума, в которых частные производные равны нулю.

Используя формулу для производной комплексной функции, получим следующие уравнения:

Разложив первые формулы с частными производными, получим следующие уравнения:

Из этих уравнений можно получить формулы для a и b , что будет соответствовать приведенным выше формулам.

Базовая математика в области строительства Knowledge.net

СТРОИТЕЛЬНЫЕ ЗНАНИЯ >> ОБЩИЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ >>

БАЗОВАЯ МАТЕМАТИКА

1. Как изменить дюймы на десятичные футы и избежать Ошибки?
2. Каковы основные формулы площади и объема?
3. Почему преобразование единиц будет одним из Самые полезные вещи, которые вы когда-либо узнаете?
4. Как изучить основы математики и алгебры?
5. Как узнать, когда сбрасывать карты в техасском холдеме?
6. Каковы 3 полезных концепции тригонометрии?
7. Секреты торговли и практические правила для базовой математики:

Производные единицы СИ | это… Что такое Производные единицы СИ?

Международная система единиц (СИ) определяет набор из семи основных единиц, из которых формируются все другие единицы измерения. Эти другие единицы называются производными единицами СИ и также считаются частью стандарта.

Названия единиц СИ всегда пишутся в нижнем регистре. Однако условные обозначения единиц измерения, названных в честь исторических лиц, всегда записываются с заглавной буквы (например, символ герц Гц).

Производные единицы с собственными названиями

Производные единицы могут быть выражены через основные с помощью математических операций: умножения и деления. Некоторым из производных единиц, для удобства, присвоены собственные названия, такие единицы тоже можно использовать в математических выражениях для образования других производных единиц.

Существуют другие внесистемные единицы, такие как литр, которые не являются единицами СИ, но принимаются для использования вместе с СИ.

Дополнительные единицы измерения

До 1995 года СИ классифицировала радиан и стерадиан в качестве дополнительных единиц, но это название было упразднено и эти единицы были определены в качестве производных единиц.

См. также

• СИ
• ISO 80000
• Метрическая система мер
• Метрическая конвенция
• Приставки СИ

24) Основные и производные единицы физических величин. Когерентные и некогерентные производные единицы физических величин.

Производная единица — это единица производной ФВ системы единиц, образованная в соответствии с уравнениями, связывающими ее с основными единицами или же с основными и уже определенными производными. Производные единицы системы СИ, имеющие собственное название

Для установления производной единицы следует

1 выбрать ФВ, единицы которых принимаются в качестве основных;

2установить размер этих единиц;

3выбрать определяющее уравнение, связывающее величины, измеряемые основными единицами, с величиной, для которой устанавливается производная единица. При этом символы всех величин, входящих в определяющее уравнение, должны рассматриваться не как сами величины, а как их именованные числовые значения;

4приравнять единице (или другому постоянному числу) коэффициент пропорциональности К_е, входящий в определяющее уравнение. Это уравнение следует записывать в виде явной функциональной зависимости производной величины от основных.

Установленные таким способом производные единицы могут быть использованы для введения новых производных величин. Поэтому в определяющие уравнения наряду с основными единицами могут входить и производные, единицы которых определены ранее.

Производные единицы бывают когерентными и некогеренты-ми. Когерентной называется производная единица ФВ, связанная с другими единицами системы уравнением, в котором числовой множитель принят равным единице. Например, единицу скорости образуют с помощью уравнения, определяющего скорость прямолинейного и равномерного движения точки: v = L/t, где L — длина пройденного пути, t — время движения. Подстановка вместо L и t их единиц в системе СИ дает v = 1м/c. Следовательно, единица скорости является когерентной.

25) Системные и внесистемные единицы физических величин. Кратные и дольные единицы физических величин

Единицы ФВ делятся на системные и внесистемные. Системная единица — единица ФВ, входящая в одну из принятых систем. Все основные, производные, кратные и дольные единицы являются системными. Внесистемная единица — это единица ФВ, не входящая ни в одну из принятых систем единиц. Внесистемные единицы по отношению к единицам СИ разделяют на четыре вида:

• допускаемые наравне с единицами СИ, например: единицы массы — тонна; плоского угла — градус, минута, секунда; объема — литр и др. Внесистемные единицы, допускаемые к применению наравне с единицами СИ

допускаемые к применению в специальных областях, например: астрономическая единица, парсек, световой год — единицы длины в астрономии; диоптрия — единица оптической силы в оптике; электрон-вольт — единица энергии в физике и т. д.;

• временно допускаемые к применению наравне с единицами СИ, например: морская миля — в морской навигации; карат — единица массы в ювелирном деле и др. Эти единицы должны изыматься из употребления в соответствии с международными соглашениями;

• изъятые из употребления, например: миллиметр ртутного столба — единица давления; лошадиная сила — единица мощности и некоторые другие.

Различают кратные и дольные единицы ФВ. Кратная единица — это единица ФВ, в целое число раз превышающая системную или внесистемную единицу. Например, единица длины километр равна 10³ м, т.е. кратна метру. Дольная единица — единица ФВ, значение которой в целое число раз меньше системной или внесистемной единицы. Например, единица длины миллиметр равна 10~³ м, т.е. является дольной. Приставки для образования кратных и дольных единиц СИ

AC Интерпретация, оценка и использование производной

Мотивирующие вопросы

• В других контекстах, кроме положения движущегося объекта, что измеряет производная функции?

• Каковы единицы измерения производной функции \(f’\text{,}\) и как они связаны с единицами исходной функции \(f\text{?}\)

• Что такое центральное различие и как его можно использовать для оценки значения производной в точке по заданным данным функции?

• Зная значение производной функции в точке, какой вывод мы можем сделать о том, как изменяется значение функции поблизости?

Сильной стороной математики является то, что ее можно изучать и как абстрактную дисциплину, и как прикладную. Например, исчисление может быть разработано почти полностью как абстрактный набор идей, сосредоточенных на свойствах функций. В то же время, если мы рассмотрим функции, представляющие значимые процессы, исчисление может описать наш опыт физической реальности. Мы уже видели, что для функции положения \(y = s(t)\) мяча, подброшенного вертикально вверх, производная функции положения \(v(t) = s'(t)\ text{,}\) дает скорость мяча в момент времени \(t\text{.}\)

В этом разделе мы исследуем несколько функций, имеющих особый физический смысл, и рассмотрим, как единицы измерения независимой переменной, зависимой переменной и производной функции дополняют наше понимание. Для начала рассмотрим известную задачу о функции положения движущегося объекта.

Предварительный просмотр 1.5.1.

Один из самых длинных участков прямой (и ровной) дороги в Северной Америке можно найти на Великих равнинах в штате Северная Дакота на государственной автомагистрали 46, которая проходит к югу от межштатной автомагистрали I-9. 4 и проходит через город Гакл. Автомобиль выезжает из города (в момент времени \(t = 0\)) и направляется на восток по шоссе 46; его положение в милях от Гакла в момент времени \(t\) в минутах определяется графиком функции на рисунке 1.5.1. На графике отмечены три важные точки; где кривая выглядит линейной, предположим, что это действительно прямая линия.