Рубрика: Разное

Пример объединение множеств: Пересечение и объединение множеств: что это, свойства операций с множествами

alexxlab / / Разное

Урок по теме «Пересечение и объединение множеств». 6-й класс

Тип урока: изучение нового материала.
Цели:

  • формирование знаний о пересечении и объединении множеств;
  • развитие умений и нахождение числа элементов пересечения и объединения множеств, выявлять закономерность, обобщать и делать выводы, воспитание ответственного отношения к учебе.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Повторение изученного по теме «Множества».

Вопросы для учащихся:

  • Что такое множество?
  • Что такое элементы множества?
  • Какое множество конечно и бесконечно?
  • Какое множество называется пустым?

3. Изучение нового материала «Пересечение множеств».

Учитель. Рассмотрим следующие два множества: М – множество всех точек круга, N – множество точек прямой, пересекающей круг. Каждый видит, что пересечение круга с прямой – это отрезок; обозначим его концы буквами А и В. Задумаемся: каким свойством обладают точки этого отрезка по отношению к множествам М и N? Ответ ясен: точки отрезка АВ – это в точности те точки, которые принадлежат и множеству М, и множеству N. Так что множество всех точек отрезка АВ естественно назвать пересечением множеств М и N.

Точно так же можно определить пересечение любых двух множеств М и N. Пересечением множеств М и N называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств М и N. Пересечение множеств М и N обозначают М ∩ N. Читают: «пересечение М и N» или «М пересечение N». Знак ∩ называется знаком пересечения.

Обсудим несколько примеров.

Пример 1. М – множество всех учениц какой-то школы, N – множество всех учащихся данного класса этой школы. Тогда  М ∩ N – это множество всех девочек из данного класса.

Пример 2. М – множество всех квартир на 1-м этаже в каком-то доме, N – множество всех квартир в данном подъезде этого дома. Тогда М ∩ N – это множество всех квартир на 1-м этаже в данном подъезде.

Пересечение множеств точек двух фигур на плоскости легче представить, если нарисовать эти фигуры. Сделаем это, например, для двух кругов. Множество всех точек первого круга обозначим М, второго – N. Для пересечения М ∩ Nмогут быть три варианта; они изображены на рисунке.


Если конечные множества записаны при помощи фигурных скобок списками своих элементов, то легко записать их пересечение.

Примеры:

Пересечение можно образовывать не только для двух множеств, но и для любого их числа. Определяется это точно так же, как и для двух множеств: пересечением данных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств. Пересечение множеств М, N и Р обозначается М ∩N ∩ Р.

Вопрос для учащихся:

Что обозначает запись Р ∩ Q ∩ R ∩ S? Какому множеству равно это пересечение, если

4. Первичное закрепление понятия пересечения множеств.

Вопросы:

  • Что такое пересечение двух множеств; нескольких множеств?
  • Что значит, что два множества не пересекаются? Приведите 2-3 примера непересекающихся множеств.
  • Какое множество обозначается знаком      ?

Практические задания:

1. Для каждой пары множеств М и Nзапишите  их пересечение:

N – множество всех неправильных дробей.

2. Для каждой пары множеств М и N укажите их пересечение:

  • М – множество всех нечетных чисел, N – множество всех натуральных чисел, делящихся на 4;
  • М – множество всех правильных дробей, N – множество всех десятичных дробей;
  • М – множество всех натуральных чисел, делящихся на 3, N – множество всех натуральных чисел, делящихся на 5.

3. Дан многоугольник. Каждую его сторону будем рассматривать как множество всех точек, принадлежащих этой стороне. Для каждой пары сторон многоугольника укажите множество, равное пересечению этих двух сторон, если многоугольник – это:

а) треугольник АВС;

б) прямоугольник KLMN.

4. Рассмотрите три множества {1, 2}, {2, 3}, и {3, 1}. Убедитесь, что их пересечение пусто, а пересечение любых двух из этих множеств не пусто.

5. Пусть М – множество всех букв слова СЛОН, N – множество всех букв слова СТОН, Р – множество всех букв слова СТОГ, S – множество всех букв слова СЛОГ.

  • Запишите всевозможные попарные пересечения этих множеств. Имеются ли среди них равные?
  • Запишите всевозможные пересечения троек этих множеств. Имеются ли среди них равные?
  • Запишите пересечение всех этих множеств. Равно ли оно какому-то из множеств, найденных вами в пунктах а) и б)?

5. Изучение нового материала «Объединение множеств».

Учитель. Объединением множеств М и N называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств М и N.

Объединение множеств М и N обозначают  М N. Читают: «объединение М и N» или «М объединение N». Знак  называется знаком объединения.

Разберем несколько примеров. Обдумайте каждый из них.

Пример 1. М – множество всех учеников данного класса, получивших на сегодняшний день пятерку по какому-нибудь предмету, N – множество всех учеников того же класса, получивших в этот день четверку по какому-нибудь предмету. Тогда  М N – это множество всех учеников данного класса, получивших за сегодняшний день повышенные отметки.

Пример 2. М – множество всех правильных дробей, N – множество всех неправильных дробей. Тогда  М N – это множество всех обыкновенных дробей.

Пример 3. М – множество всех букв слова КОШКА, N – множество всех букв слова МЫШКА. Тогда  М N = {А, К, М, О, Ш, Ы}.

Задание для учащихся: Приведите сами какой-нибудь пример объединения двух множеств.

Учитель. Как и пересечение, объединение можно образовать не только для двух множеств, но и для любого их числа: объединением данных множеств называется множество, состоящее…

Закончите определение. Догадайтесь, как записать объединение трех множеств М, N и Р.

Если конечные множества записаны при помощи фигурных скобок списками своих элементов, то, как и для пересечения, легко записать их объединения.

Для любых множеств М и N  можно образовать их пересечение  М ∩ N и объединение М N. Это похоже на то, что происходит при действиях над числами: для любых двух чисел m и  n можно образовать их произведение   m  n и сумму m+n. Так получаются действия, которые назвали умножением и сложением. Поэтому образование пересечения и образование объединения можно назвать действиями над множествами.

Выполняются ли те же законы для пересечения и объединения множеств?  Давайте рассуждать. Начнем с переместительного закона.

Повторим, что такое пересечение двух множеств: множество М ∩ N состоит из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств М и N, а множество N ∩М состоит из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств Nи М. Но сказать «каждому из множеств М и N» или «каждому из множеств N и М» — значит сказать одно и то же: ведь ясно, что неважно, в каком порядке перечислять здесь множества. Значит, множества М ∩N и N ∩М состоят из одних и тех же элементов, т.е.

М ∩ N = N ∩М.

Данное равенство и означает, что переместительный закон для пересечения верен.

Чтобы проверить сочетательный закон, надо убедиться, что для любых трех множеств М, N и Р выполняется равенство

М ∩(N ∩Р)= (М ∩N) ∩Р

Легко понять, что в левой и правой частях этого равенства записаны множества, состоящие из всех элементов, принадлежащих каждому из множеств М, N и Р, т.е. состоящие из одних и тех же элементов. Это и означает, что требуемое равенство выполняется.

6. Первичное закрепление изученного понятия объединения множеств.

Вопросы:

  • Что такое объединение двух множеств; нескольких множеств?
  • О выполнении каких законов для действий пересечения и объединения множеств идет речь в объяснительном тексте этого параграфа?
  • Каким множеством – конечным или бесконечным – будет объединение: а) двух конечных множеств; б) двух бесконечных множеств; в) конечного и бесконечного множеств?

Практические задания:

1. Для каждой пары множеств М и N запишите их объединение:

2. Для каждой пары множеств М и N укажите их объединение:

  • М – множество всех нечетных чисел, N – множество всех четных чисел;
  • М – множество всех квадратов на плоскости, N – множество всех прямоугольников на той же плоскости, четырехугольников;
  • М – множество всех натуральных чисел, делящихся на 3, N – множество всех натуральных чисел, делящихся на 15.

3. Пусть М – множество всех букв слова СЛОН, N – множество всех букв слова СТОН, Р – множество всех букв слова СТОГ, S – множество всех букв слова СЛОГ.

  • Запишите всевозможные попарные объединения этих множеств. Имеются ли среди них равные?
  • Запишите всевозможные объединения троек этих множеств. Имеются ли среди них равные?
  • Запишите объединение всех этих множеств. Равно ли оно какому-то из множеств, найденных вами в пунктах а) и б)?

7. Изучение нового – вывод правила подсчета числа элементов объединения и пересечения множеств.

Учитель. Чтобы вывести правило давайте разберем конкретный пример. Пусть М = {Вася, Валя, Вера, Игорь}, т.е. m=4;

N = {Валя, Гриша, Игорь}, т.е. n=3.

Запишем объединение этих множеств:

М N = {Вася, Валя, Вера, Гриша, Игорь}.

В множестве МN пять элементов, а m+n=4+3=7. Вот мы и видим, что в МN элементов меньше чем 7.

Почему так получилось? Да потому, что в данном примере можно указать учеников, которые в этот день получили и пятерку, и четверку. Другими словами здесь пересечение М ∩N не пусто: М ∩ N = {Валя, Игорь}. Но в объединении-то МN каждый элемент пересечения М ∩N присутствует (и подсчитывается) только один раз, а не два раза.

Давайте-ка изобразим ситуацию нашего примера на рисунке.

Если бы подсчитали здесь сумму m+n (т.е. 4+3), то каждый элемент пересечения (в данном примере Валя и Игорь, т.е. 2 элемента) оказался бы подсчитанным дважды. Значит, чтобы узнать число элементов объединения, надо из суммы m+n вычесть число лишний раз сосчитанных элементов пересечения. В данном примере получаем 4+3-2=5.

Данная задача была решена с помощью рисунка, этот способ называется «Круги Эйлера». Леонард Эйлер – швейцарский математик, который в 18 веке работал в Российской академии наук и сделал много открытий для нашей науки.

Итак, если мы возьмем сумму m+n, то в ней элементы пересечения М ∩N будут сосчитаны дважды. Значит, чтобы определить число элементов объединения, надо из суммы m+n вычесть число лишний раз сосчитанных элементов из М ∩N, т.е. число р. Получим такую формулу: q=m+n-p.

Сформулируем правило для нахождения числа элементов объединения множеств:

Чтобы найти число элементов объединения двух множеств, надо сложить числа элементов этих множеств и вычесть из полученной суммы число элементов их пересечения.

Сформулируем правило для нахождения числа элементов пересечения множеств:

Чтобы найти число элементов пересечения двух множеств, надо сложить числа элементов этих множеств и вычесть из полученной суммы число элементов их объединения.

8. Первичное закрепление изученного.

Практические задания (устно):

1. Вычислите число элементов в объединении множеств М и N, если:

  • М содержит 10 элементов, N – 15 элементов, а М ∩N – 7 элементов;
  • М содержит 27 элементов, N – 18 элементов, а М ∩N – 13 элементов;
  • М содержит 45 элементов, N – 57 элементов, а М ∩N – 1 элемент.

2. Вычислите число элементов в пересечении множеств М и N, если:

  • М содержит 10 элементов, N – 15 элементов, а М ∩N – 17 элементов;
  • М содержит 27 элементов, N – 18 элементов, а М ∩ N – 45 элементов;
  • М содержит 45 элементов, N – 57 элементов, а М ∩N – 100 элементов.

Решение задач с помощью кругов Эйлера:

№1. В классе 28 учеников. Каждый из них начертил у себя в тетради один из двух четырехугольников – прямоугольник или ромб. При проверке прямоугольников оказалось 17, а ромбов – 15. Как такое могло случиться?

№2. В осенние каникулы 12 учеников класса участвовали в междугородных экскурсиях в Москву и Санкт-Петербург, при этом 8 из них посетили Санкт-Петербург, а 6 – Москву. Сколько из этих учеников побывало и в Москве, и в Санкт-Петербурге?

Задание на дом:

№1. Найдите пересечение множеств учителей, которые вели уроки в вашем классе: а) вчера и сегодня; б) вчера и позавчера. Оказалось ли какое-то из этих двух пересечений пустым?

№2. Вася, рассматривая свой дневник погоды, обнаружил, что в сентябре 17 раз отмечен дождь и 19 раз – сильный ветер. При этом дней, когда одновременно шел дождь и дул сильный ветер, оказалось 7. Был ли хоть один день, когда не было ни дождя, ни сильного ветра?

свойства, формулы включений и исключений, примеры

  1. Пересечение множеств
  2. Объединение множеств
  3. Универсум и отрицание
  4. Свойства операций пересечения и объединения
  5. Разность множеств
  6. Формулы включений и исключений
  7. Примеры

Пересечение множеств

Если множества не пересекаются, то $A \cap B = \varnothing $ — пустое множество в пересечении. Если $B \subseteq A$ — подмножество, то $A \cap B = B$ – пересечением будет меньшее множество из двух.

Например:

Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A \cap B$ = {3;5}.

Если A = {f|f-прямоугольник}, B = {f|f-ромб}, то $A \cap B$ = {f|f-квадрат}.

Если A = $\{n|n⋮3, n \in \Bbb N \}$ — натуральные числа, кратные 3, B = $\{n|n⋮5, n \in \Bbb N \}$ — натуральные числа, кратные 5, то $A \cap B = {n|n⋮15, n \in \Bbb N}$ — натуральные числа, кратные 15.

Если A = {a│a-слон}, B = {a|a-птица}, то $A \cap B = \varnothing$. 2-4 = 0, x \in \Bbb R\}, B = \{x|x+3 = 2, x \in \Bbb R \}, то A \cup$ B = {-2;-1;2}

Если $A = \{n│n \in \Bbb Z \}$- все целые числа, $B = \{x|x = \frac{a}{b}, a \in \Bbb Z, b \in \Bbb N \}$ — все дроби, то $A \cup B = \{x│x \in \Bbb Q\}$ — множество рациональных чисел. Заметим, что в данном случае $A \subset B$.

Универсум и отрицание

Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.

В литературе универсум обозначают U.

На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:

Примеры универсумов:

При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.

При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.

При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.

Читается «не A».

У отрицания есть любопытное свойство: $\bar{\bar{Α}} = Α $(два раза «нет» — это «да»).

Например:

Если U = {1;2;3;4;5;6;7}, A = {3;4;5}, то $\bar{A} = \{1;2;6;7\}$

Если U = $\{x|x \in \Bbb R\}$ — все действительные числа, A = $\{x|x \gt 0, x \in \Bbb R \}$ — все положительные действительные числа, то $ \bar{A} = \{x|x \le 0, x \in \Bbb R\}$.

Свойства операций пересечения и объединения

Пересечение

Объединение

Коммутативность

$A \cap B = B \cap A$

$ A \cup B = B \cup A $

Ассоциативность

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

$ (A \cup B) \cup C = A \cup ( B \cup C) $

Дистрибутивность

$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$

$ (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C) $

Идемпотентность

$A \cap A = A$

$ A \cup A = 0 $

Взаимодействие с отрицанием, пустым множеством и универсумом

$A \cap \bar{A} = \varnothing $

$A \cap U = A$

$A \cap \varnothing = \varnothing$

$A \cup \bar{A} = U $

$A \cup U = U$

$A \cup \varnothing = A$

Законы де Моргана

$ \overline{(A \cap B)} = \bar{A} \cup \bar{B} $

$ \overline{(A \cup B)} = \bar{A} \cap \bar{B} $

Закон поглощения

$ (A \cup B) \cap A = A $

$ (A \cap B) \cup A = A $

Разность множеств

Читается «A без B».

На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:

Получается, что отрицание – частный случай разности: $ \bar{A} = \{x|x \in \Bbb U, x \notin A \} $= U\A

«Не A» — это «универсум без A».

Формулы включений и исключений

Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.

Пусть число элементов во множествах равно n(A)и n(B) соответственно. А число элементов в пересечении $n(A \cap B)$.

Вопрос: сколько всего элементов в обоих множествах, т.е. чему равно $n(A \cup B)$?

Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:

$$n(A \cup B) = n(A)+ n(B)-n(A \cap B)$$

Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.

Сумма n(A)+ n(B)+n(C) учтёт каждое из парных пересечений по два раза. Поэтому, аналогично задаче с двумя множествами, нужно отнять всё, что попадает в парные пересечения, т. е. отнять сумму $(n(A \cap B)+n(A \cap C)+n(B \cap C) )$. Но после этого получится, что мы лишний раз отняли $n(A \cap B \cap C)$; значит, его нужно «вернуть».

Получаем:

$$ n(A \cup B \cup C) = n(A)+ n(B)+n(C)- $$

$$ -(n(A \cap B)+n(A \cap C)+n(B \cap C) )+n(A \cap B \cap C) $$

Примеры

Пример 1. Найдите пересечение данных множеств:

а) A = {0;5;8;10},

B = {3;6;8;9}

$A \cap B$ = {8}

$б) A = \{x|x \lt 3, x \in \Bbb R\}, $

$ B = \{x|x \gt 1, x \in \Bbb R\} $

$A \cap B = \{x|1 \lt x \lt 3, x \in \Bbb R\}$ — отрезок

$в) A = \{x|x \lt 3, x \in \Bbb R\}, $

$ B = \{x|x \gt 1, x \in \Bbb N\} $

$A \cap B = \{x|1 \lt x \lt 3, x \in \Bbb N \} или A \cap B = \{2\}$ — одна точка

г) A = {f|f-правильный многоугольник},

B = {f|f-четырехугольник}

$A \cap B = \{f|f-квадрат\}$

Пример 2. Найдите объединение данных множеств:

а) A = {0;5;8;10}, B = {3;6;8;9}

$A \cup B$ = {0;3;5;6;8;9;10}

б) A = {1;2}, B = {1;2;3;4}

$A \subset B$ – строгое подмножество

$A \cup B $ = B = {1;2;3;4}

$в) A = \{x|x \lt 1, x \in \Bbb R\}, B = \{x|x \gt 1,x \in \Bbb R\} $

$A \cup B = \{x|x \neq 1, x \in \Bbb R \}$

$г) A = \{n│n⋮3, n \in \Bbb Z\}, B = \{n|n⋮9,n \in \Bbb N\} $

$B \subset A$ — строгое подмножество

$ A \cup B = A = \{n│n⋮3, n \in \Bbb Z\} $

Пример 3. Найдите отрицание данного множества на данном универсуме:

а) U = {1;2;3;4;5}, A = {2;3}

$ \bar{A} = {1;4;5}$

б) U = $\{x│x \in \Bbb Q \}$, A = $\{ \frac{4}{5}, \frac{7}{8} \}$

$ \bar{A} = \{x|x \neq \frac{4}{5}, x \neq \frac{7}{8}, x \in \Bbb Q\} $

$в) U = \{x│x \in \Bbb R\}, A = \{x|x \ge 2, x \in \Bbb R\} $

$\bar{A} = \{x|x \lt 2, x \in \Bbb R\}$

г) U = { 0;1}, A = { 0}

$ \bar{A} = {1}$

Пример 4. Найдите обе разности данных множеств:

а) A = {0;1;2;3;4}, B = {2;4}

A\B = {0;1;3}, $B\A = \{∅\}$

б) A = {0;1;3}, B = {2;4;6}

A\B = {0;1;3}, B\A = {2;4;6}

$в) A = \{x|x \gt 1, x \in \Bbb R\}, $

$ B = \{x|x \lt 3, x \in \Bbb R\} $

A\B $ = \{x|x \ge 3, x \in \Bbb R\}$

B\A $ = \{x|x \le 1,x \in \Bbb R\} $

$ г*) A = \{(x,y)|x \gt 0, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $

$ B = \{(x,y)|x \le 5, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $

A\B $ = \{(x,y)|x \gt 5, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $

B\A $ = \{(x,y)|x \le 0, x \in \Bbb R, y \in \Bbb R\} $

Пример 5. Из 100 студентов умеют программировать на Python 28 человек, на Java 30 человек, на C# 42 человека, на Python и Java 8 человек, на Python и C# 10 человек, на Java и C# 5 человек. Все три языка знают 3 студента. А сколько студентов не умеют программировать на этих языках?

n(U) = 100

n(A) = 28, n(B) = 30, n(C) = 42

$ n(A \cap B) = 8, n(B \cap C) = 5, n(A \cap C) = 10 $

$n(A \cap B \cap C) = 3$

Всего программистов:

$ n(A \cup B \cup C) = n(A)+n(B)+n(C)- $

$ (n(A \cap B)+n(B \cap C)+n(A \cap C) )+n(A \cap B \cap C) $

$n(A \cup B \cup C) = 28+30+42-(8+5+10)+3 = 100-23+3 = 80$

Число не умеющих программировать:

$n(U)-n(A \cup B \cup C) = 100-80 = 20$

Ответ: 20 человек

Объединение, пересечение и дополнение | Математика для гуманитарных наук Необходимый предмет

Результаты обучения

  • Выполнение операций объединения, пересечения, дополнения и разности над множествами, используя соответствующие обозначения.
  • Уметь рисовать и интерпретировать диаграммы Венна отношений множеств и операций.

Обычно наборы взаимодействуют. Например, вы с новым соседом по комнате решаете устроить домашнюю вечеринку и приглашаете друзей. На этой вечеринке объединяются два набора, хотя может оказаться, что есть друзья, которые были в обоих наборах.

Математические слова и обозначения

Чтобы получить новые слова на новом для вас языке, требуется повторение и практика. Математика во многих отношениях ничем не отличается от изучения нового языка со всем его словарным запасом, синтаксисом и орфографическими соглашениями. Символы в этом разделе могут быть вам совершенно незнакомы. Если это так, вам нужно будет проводить с ними время, используя карточки и записывая их от руки в контексте.

Дайте себе время выучить и оценить язык математики!

Объединение, пересечение и дополнение

Объединение двух наборов содержит все элементы, содержащиеся в любом наборе (или в обоих наборах). Объединение обозначается как A ⋃ B. Более формально, x ∊ A ⋃ B , если x ∈ A или x (или оба)

пересечение двух наборов содержит только те элементы, которые есть в обоих наборах. Перекресток обозначен цифрой 9.0023 A ⋂ B. Более формально, x ∈ A ⋂ B , если x ∈ A и x 1 B 1, 0010 комплект комплекта А содержит все, что является , а не в наборе A . Дополнение обозначается как A’ , или A c , или иногда ~ A .

Универсальный набор — это набор, содержащий все интересующие нас элементы. Это должно определяться контекстом. 9{c}[/латекс]. Этот верхний индекс не является показателем степени. Это украшение, которое обозначает дополнение к набору .

 

Пример

  1. Если бы мы обсуждали поиск книг, универсальный набор мог бы включать все книги в библиотеке.
  2. Если бы мы группировали ваших друзей на Facebook, универсальный набор был бы всеми вашими друзьями на Facebook.
  3. Если вы работали с наборами чисел, универсальный набор мог бы состоять из всех целых чисел, всех целых чисел или всех действительных чисел

 

Пример

Предположим, что универсальный набор равен U = все целые числа от 1 до 9. Если A = {1, 2, 4}, то A c = {3, 5 6, 7, 8, 9}.

Попробуйте

символы пересечения и объединения

Символы пересечения [латекс]\чашка[/латекс] и объединения [латекс]\шапка[/латекс] немного напоминают буквы в алфавите. На самом деле, это уловка для их запоминания.

Символ объединения выглядит как заглавная буква U, что означает  союз .

Символ пересечения немного похож на большую строчную букву n для на пересечении

 

Пример

Рассмотрим наборы:

A = {красный, зеленый, синий}
B = {красный, желтый, оранжевый}
C = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, фиолетовый}

Найдите следующее:

  1. Найдите A ⋃ B
  2. Найти А ⋂ В
  3. Найти A c ⋂ C

Показать решение

Попробуй

Обратите внимание, что в приведенном выше примере было бы сложно просто попросить A c , поскольку все, от цвета фуксии до щенков и арахисового масла, входит в комплект набора. По этой причине дополнения обычно используются только с пересечениями или когда у нас есть универсальный набор.

Как мы видели ранее с выражением A c   ⋂ C , операции над множествами можно группировать вместе. Символы группировки можно использовать так же, как и с арифметикой — для принудительного порядка операций.

 

Пример

Предположим, H = {кошка, собака, кролик, мышь}, F = {собака, корова, утка, свинья, кролик}, и  W = {утка, кролик, олень, лягушка, мышь}

  1. Найти ( H ⋂ F ) ⋃ W
  2. Найти В ⋂ ( Ж ⋃ В )
  3. Найти ( H ⋂ F ) c ⋂ W

Показать решение

Чтобы визуализировать взаимодействие множеств, Джон Венн в 1880 году решил использовать перекрывающиеся круги, опираясь на аналогичную идею, использованную Леонардом Эйлером в 18 веке. Эти иллюстрации теперь называются Диаграммы Венна .

Диаграмма Венна

Диаграмма Венна представляет каждый набор в виде окружности, обычно нарисованной внутри прямоугольника, представляющего универсальный набор. Перекрывающиеся области обозначают элементы, общие для обоих наборов.

Основные диаграммы Венна могут иллюстрировать взаимодействие двух или трех множеств.

Пример

Создайте диаграммы Венна для иллюстрации A ⋃ B , A ⋂ B и Ac ⋂ B 3 A ⋃ B содержит все элементы либо набор.

Показать решение

Пример

Для иллюстрации используйте диаграмму Венна ( H ⋂ F ) c ⋂ W

Показать решение

Пример

Создайте выражение для представления выделенной части показанной диаграммы Венна.

Показать решение

Попробуйте

Создайте выражение, представляющее выделенную часть показанной диаграммы Венна.

Союз наборов | Математические вкусности

Форма поиска

Поиск

В предыдущих уроках мы использовали диаграммы Венна для представления отношений между множествами. Давайте посмотрим на пример 1 ниже.

Пример 1. В средней школе Гринвилля два класса будут объединены в один, чтобы сократить расходы. Если учащиеся оркестра и хора объединятся в один новый класс, то какие учащиеся будут в этом классе?

Дано: Дано    = {Сэм, Киеша, Дерек, Лорри, Робин, Рауль, Ширли, Натан, Крис, Дана} ,  Группа  = {Сэм, Лорри, Рауль, Дерек} и  Хор  = {Робин , Дерек, Киеша}, найдите Band  Chorus.

Анализ: эта задача требует от нас найти союз Band и Chorus. Чтобы решить эту проблему, мы должны перечислить всех учеников, которые находятся в группе, в хоре или в обеих группах.

Решение:

Объяснение:

Группа Хор = {Сэм, Лорри, Рауль, Дерек, Киеша, Робин}

Обратите внимание, что Дерек находится в их пересечении, поэтому Дерек находится в их пересечении. Однако Дерек прописывается в союзе только один раз.

Определение: Объединение двух множеств A и B, — это множество элементов, которые находятся в A или в B или в обоих Обозначается A     B , и читается как « A соединение B ».

Сравним объединение и пересечение.

  Союз Перекресток
записывается как А     Б А     Б
читать как A штуцер Б A пересечение B
значение A или B или оба А и В
как найти объединить все элементы найти элементы, общие для обоих

Союз часто считают браком. Мы используем «и» для пересечения» и  » или» для объединения. Давайте рассмотрим еще несколько примеров объединения двух множеств.

Пример 2:  Let  = {число чисел},  P  = {кратное 3 меньше 20} и  Q  = {четные числа меньше 20}. Нарисуйте и подпишите диаграмму Венна, чтобы показать объединение P и Q .

Анализ: заштрихуйте элементы, которые находятся в P или в Q   или в обоих . Заштрихованная область на диаграмме Венна ниже показывает P     Q.

Решение:

9, 10, 12, 14, 15, 16 , 18}

Обратите внимание, что элементы 6, 12 и 18 находятся в обоих наборах (т. е. на пересечении P и Q ). Однако эти элементы пишутся в союзе только один раз.

Пример 3:  Пусть    =  {  k  | 1 ≤   k    ≤  10},  X  = {1, 6, 9} и  Y  = {1, 3, 5, 6, 8, 9}. Нарисуйте и подпишите диаграмму Венна, чтобы показать X Y.

Анализ: X  является подмножеством Y . Таким образом, все элементы в X также содержатся в Y .

Объяснение: X Y  = {1, 3, 5, 6, 8, 9}, что равно множеству Y.

  Y   , получаем, что   X Y  = 4 7 Это отношение определено ниже.

Другой способ определения объединения двух множеств заключается в следующем:

A     B  = {x | x A  или x B }

Пример 4:  3 6 животных = 9 2  A  = {10 собак} и  B  = {20 кошек }. Нарисуйте и подпишите диаграмму Венна, чтобы показать A    B .

Анализ: Эти множества не пересекаются и не имеют общих элементов. Таким образом, A B — это все элементы числа  A  и все элементы числа B.

10 собак, 20 кошек}

Пример 4 прямой союз двух наборов. Непересекающиеся множества не имеют общих элементов. Поэтому союз A и B не имеет общих элементов. Поскольку невозможно, чтобы собаки в A также были кошками в B , мы уверены, что количество элементов в объединении равно сумме всех собак в A  и всех кошек в B . Таким образом, объединение получается в результате сложения всех элементов обоих наборов.

Объединение двух наборов А и В, представляет собой набор элементов, которые находятся в А или В 022  в обоих. Он обозначается A B , и читается как « A union B ». Формальное определение союза показано ниже:

А     В  = {x | x A  или x B }

Упражнение

0 0

Указания: Нарисуйте и подпишите диаграмму Венна, чтобы помочь вам ответить на каждый вопрос ниже. Выберите свой ответ, нажав на соответствующую кнопку. Обратная связь по вашему ответу представлена ​​в ОКНО РЕЗУЛЬТАТЫ. Если вы допустили ошибку, обдумайте свой ответ еще раз, а затем выберите другую кнопку.

1. Дано   = {яблоки, апельсины, бананы, груши} и  9  = {апельсины, 2 2, виноград 0, 2 2, груши} 0327 ?
   
    P     Q  = Ø
  P   , апельсины, яблоки, Q }
  P     Q  = {яблоки, апельсины , бананы, груши, виноград}
 Ничего из вышеперечисленного.

ЯЩИК РЕЗУЛЬТАТОВ:

2. Дано  = {простые числа} и  = {составные числа}, что такое

6 90?

   
    A     B  = {целые числа}
  A     B  = {числа > 1}
  A     B  = {мнимые числа}
 Все вышеперечисленное.

ЯЩИК РЕЗУЛЬТАТОВ:

3. Дано = {1, 4, 16} и  = {1, 6 5, 1, 2, 9}0022 ?
   
    X    Y = {1, 4, 9, 16, 25, 36}
  X   ,  3 Х  Y = Ø
 Ничего из вышеперечисленного.

ОКНО РЕЗУЛЬТАТОВ:

4. Дано  = {гласные} и   = {согласные} 9 2, что такое  2 2 ?
   
    P     Q  = Ø
  P   , e , e о, и}
  Р     Q  = { согласные}
  P     Q  = {Английский алфавит}

ЯЩИК РЕЗУЛЬТАТОВ:

5.

Верные цифры в широком смысле: 1.3. Запись приближенных значений величин. Верные знаки

alexxlab / / Разное

1.3. Запись приближенных значений величин. Верные знаки

Приближенные значения величин обычно записывают в виде десятичных дробей с конечным числом цифр.

Значащими цифрами в записи десятичной дроби называются все цифры, начиная с первой ненулевой слева. Например, в дроби 0,00102030004 значащими цифрами (подчеркнуты) являются все цифры, начиная с третьей после запятой.

Цифра в записи приближенного значения числовой величиныx называется верной в широком (строгом) смысле слова, если абсолютная погрешность приближенного значения не превышает единицы (половины единицы) разряда, в котором стоит эта цифра.

Все цифры верные в строгом смысле слова, очевидно, будут верными и в широком смысле. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Пусть ,= 0,000007899.Требуется найти верные цифры в записив широком и строгом смысле слова и подчеркнуть их одинарной и двойной линией соответственно. Проверяя для каждой цифры в записитребование, сформулированное в определении верных цифр, получим, что цифры 0, 1, 2, 3 и 4 будут верными в широком и строгом смысле слова одновременно. Цифра 5 будет верной в широком смысле слова, но не будет верной в строгом смысле слова:.

Отметим, что в разрядах, в которых в записи стоят незначащие нули, в записи стоят верные цифры в широком смысле слова.

Пример 2

Пусть теперь ,=0,000007899. Требуется найти верные цифры в записив широком и строгом смысле слова.

Абсолютная погрешность нам неизвестна, а известна лишь ее оценка . Если оценка абсолютной погрешностиприближенного значения не превышает единицы (половины единицы) разряда, в котором стоит цифра (в записи ), то эта цифра, очевидно, также будет верной в широком (строгом) смысле слова . Проверяя для каждой цифры в записи это требование, получим часть верных цифр: . Но, поскольку мы проверяем заведомо более жесткое требование, чемэто, среди неподчеркнутых цифр также могут оказаться верные, если погрешность окажется намного меньше своей оценки.

Отметим, что в тех разрядах, в которых в записи стоят незначащие нули, в записистоят верные цифры в широком смысле слова.

Пример 3

Пусть, =0,123456789, =0,123457899. В записи точного и приближенного значений подчеркнуты совпадающие цифры. Непосредственная проверка для каждой цифры в записи требования, сформулированного в определении верных цифр, показывает, что все подчеркнутые (совпадающие) цифры являются верными в широком смысле слова, а неподчеркнутые – неверными.

Но такое совпадение верных цифр (в широком смысле слова) в записи с соответствующими цифрами в записииногда нарушается. Это связано с тем, что некоторые вещественные числа могут записываться в десятичной системе двумя различными способами, например 1=1,0000. ..=0,9999… .

Пример 4

Пусть =1,0000…,=0,9999. В записи точного и приближенного значений нет ни одной совпадающей цифры. Непосредственная проверка для каждой цифры в записитребования, сформулированного в определении верных цифр, показывает, что цифры в записиявляются верными в широком смысле слова. В то же время если записатьдругим способом=0,9999…, то все верные цифры в записибудут совпадать с соответствующими цифрами в записи точного значения.

Рассмотренные примеры позволяют сформулировать некоторые свойства верных цифр.

Свойства верных цифр:

  1. В тех десятичных разрядах, где в записи (или) стоят незначащие нули, в записидолжны стоять верные цифры в широком смысле слова (докажите это самостоятельно).

  2. Верные цифры в записи приближенного значения всегда совпадают с соответствующими цифрами в записи точного значения, если выбрать необходимую форму его записи в виде десятичной дроби

Установим теперь связь между величинами абсолютной и относительной погрешностей приближенного значения и количеством верных цифр в его записи. Пусть абсолютная погрешность приближенного значения равна. Определим количество верных цифр в широком смысле слова в записипосле запятой. Запишемв общем виде, указывая только разряды и не указывая конкретных цифр, и подчеркнем разряды, в которых будут располагаться верные цифры в широком смысле слова:

.

Итак, если абсолютная погрешность приближенного значения равна , то после десятичной запятой в записи будетn верных знаков.

Пусть теперь относительная погрешность приближенного значения равна. Установим общее количество верных знаков в записи. Для этого представимв показательной форме:. Здесь– вещественное число, называемое мантиссой, ар – целое число, называемое порядком . А для того, чтобы такое представление дроби было однозначным потребуем, чтобы

. (1.3.1)

Точное значение величины также запишем в показательной форме, причем с тем же порядкомp: . Для мантиссы точного значенияне будет выполняться условие (1.3.1). Значенияиестественно считать точным и приближенным значениями мантиссы величиныx. Тогда ипредставляют собой абсолютную и относительную погрешности приближенного значения мантиссы. Соответствующие цифры в записиидолжны совпадать попарно.Поэтому и количество верных цифр в записи ибудет одинаковым. Далее определяем количество верных цифр в записи. Запишем относительную погрешность

.

Отсюда

,

и, согласно формуле (1.3.1), для абсолютной погрешности получается оценка

(1.3.2)

Запишем в общем виде

.

Из формулы (1.3.1) следует, что первая цифра после десятичной запятой в записи должна быть отлична от нуля. Поэтому все цифры в записипосле запятой являются значащими. Из формулы (1.3.2) следует, что в записи мантиссы должно быть не меньшеn и не больше (n+1) верной цифры после десятичной запятой, причем все они являются значащими. Итак, в мантиссе имеется или n или (n+1) верная значащая цифра. Поэтому общее количество верных значащих цифр в записи также будет равно либоn, либо (n+1).

Таким образом, мы показали, что если относительная погрешность приближенного значения равна , то общее количество верных значащих цифр в записи равно либо n, либо (n+1).

Лекции по математике для студентов 1 курса СПО

Лекция 1.1

Дествительные числа.

 

I. Множество натуральных чисел – это множество чисел, которыми пользуются при счете предметов.

.

Всякому натуральному числу соответствует точка на числовой прямой.

 

Задание: Назовите самое маленькое натуральное число. Существует ли самое большое натуральное число?

 

II. Множество целых чисел – это множество, состоящее из натуральных чисел, им противоположных чисел и нуля.

.

Всякому целому числу соответствует точка на числовой прямой.

 

Задания:

1.                  Существуют ли самое маленькое и самое большое целое число?

2.                  Верно ли утверждение:

a.       любое натуральное число является целым;

b.      любое целое число является натуральным?

 

III. Множество рациональных чисел – это множество несократимых дробей вида

.

Всякому рациональному числу соответствует точка на числовой прямой.

 

Свойство рациональных чисел: Всякое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Обратно: всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом.

 

Правило перевода периодических дробей в обыкновенные:

 

Чисто периодические дроби

Смешанные периодические дроби

Чистая периодическая дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой записан период, а в знаменателе – столько девяток, сколько цифр периоде.

Пример: .

Смешанная периодическая дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой записана разность между числом до второго периода и числом до первого периода, а в знаменателе – число, составленное из стольких девяток, сколько цифр в периоде и стольких нулей, сколько цифр между запятой и периодом.

 

Пример: .

 

 

для чисто периодической дроби: в числителе пишется число, стоящее в периоде, а в знаменателе столько «9», сколько цифр в периоде, целая часть остается без изменения.

 

для смешанной периодической дроби: в числителе разность между числом, стоящим после запятой, и числом, стоящим после запятой до периода, а в знаменателе столько «9», сколько цифр в периоде, со столькими «0», сколько цифр после запятой до периода

 

Задания:

1.                  Докажите, что числа  являются рациональными и отметьте эти числа на числовой прямой.

2.                  Верно ли утверждение:

а)      всякое натуральное число является рациональным;

б)      всякое целое число является рациональным;

в)      верно ли утверждение: Всякое рациональное число является целым?

3.                  Представьте рациональные числа  в виде бесконечных периодических десятичных дробей.

4.                    Переведите периодические дроби  в обыкновенные. Проверьте результат перевода.

IV. Множество иррациональных чисел – это множество чисел, которые нельзя представить в виде несократимых дробей

.

Всякому иррациональному числу соответствует точка на числовой прямой.

 

Свойство иррациональных чисел: Всякое иррациональное число представимо в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

 

Пример: π ≈ 3,1415926535897932384626433832795…;

                        …

 

Задание: Докажите, что числа , ,  являются иррациональными.

 

V. Множество действительных (вещественных) чисел – это объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

.

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой.

 

Обратно: каждой точке на числовой прямой соответствует определенное действительное число.

 

Следовательно, между множеством действительных чисел и множеством точек на числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие.

 

Задания:

1.                  Верно ли утверждение:

а)      всякое целое число является действительным;

б)      всякое рациональное число является вещественным;

в)      всякое иррациональное число является вещественным;

г)      всякое действительное число является рациональным;

д)      всякое вещественное число является целым?

2.                  Даны числа: .
Выпишите: а) натуральные числа; б) целые числа; в) рациональные числа; г) иррациональные числа.

 

 

 


Лекция 1.2 Абсолютная погрешность приближенного значения числа.

 

 

Модуль числа – это само число, если оно неотрицательно, и число, ему противоположное, если оно отрицательно.

 

Примеры: .

С геометрической точки зрения модуль числа – это расстояние от этого числа до начала отсчета.

 

Вывод: модуль числа отрицательным быть не может!

 

Приближенные вычисления

 

Приближенное число есть такое число, которое отличается от точного на погрешность (ошибку), допущенную в соответствии с условиями данной задачи, и заменяет точное число в расчетной формуле.

 

Обозначим буквой a0 точное число, а буквой a его приближенное значение, тогда a0 ≈ a.

 

Абсолютная погрешность приближенного значения числа – это модуль разности между точным и приближенным значением этого числа, т.е. .

 

Так как точное число чаще всего неизвестно, то можно указать положительное число ∆а, удовлетворяющее неравенству .

Число ∆а называется границей абсолютной погрешности.

 

 

1. Даны приближенные значения числа х = 2/3; а1= 0,6; а2 = 0,66;

а3 = 0,67. Какое из этих трех приближений является лучшим?

 

 

 

; 

 

 

а3 = 0,67 – лучшее приближение

 

2. Длина детали х (см) заключена в границах 33 ≤ х ≤ 34. Найти границу абсолютной погрешности измерения детали.

○ Примем за приближенное значение длины детали среднее арифметическое границ:

а = (33 + 34)/2 = 33,5 (см). Тогда граница абсолютной погрешности приближенного значения длины детали не превзойдет 0,5 (см).

Величину Δа можно найти и как полуразность верхней и нижней границ, т. е. Δа = (34 — 33)/2 = 0,5 (см). Длина детали х, найденная с точностью до Δа = 0,5 см, заключена между приближенными значениями числа х:

33,5 — 0,5 ≤ x ≤ 33,5 + 0,5; x = 33,5 ± 0,5 (см).

3. Найдите абсолютную погрешность округления до единиц следующих чисел:

1) 0,8; 2) 7,6; 3) 19,3; 4) 563,58.

 

4. Граница абсолютной погрешности приближенного значения 386 числа х равна 0,5. Укажите границы, в которых заключено число х.

 

5. Найдите границу абсолютной погрешности измерений, полученных в виде неравенства 37 < x < 38.

 

5.                  Амперметр дает точность ±0,02 А. При измерении силы тока получили 10,63 А. Укажите границы этого числа.

 

6.                  Атомная масса водорода — 1,0082 ± 0,0005, а меди — 63,44 ± 0,15. Укажите границы приближенных значений этих чисел.

 

 

8. Площадь квадрата равна 24,5 ± 0,3 (см2). Найдите границы измерения площади квадрата.

 

 

 

 

Задание:

1.                  Записать числа в виде двойного неравенства:

а)            а = 347,50; ∆а = 0,0047;

б)            а0 = 7,269 ± 0,0004.

2.                  Докажите, что число 1,7 является приближенным значением числа 1, 739 с точностью до 0,05.

3.                  Точное значение числа х неизвестно, а известно лишь, что
0,68 < х< 0,72. Найдите точность приближения h.

4.           Вычислите приближенное значение величины х, равное среднему арифметическому границ, и укажите точность этого приближения, если: а) 3,6 ≤ х ≤ 4,2;        б) 0,12 ≤ х ≤ 0,14.

Лекция 1.3 Верные цифры числа. Запись приближенного значения числа.

 

 

Верные и значащие цифры числа.

Цифра т приближенного числа а называется верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записывается цифра т.

Цифра т приближенного числа а называется верной в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра т.

В числах, полученных в результате измерений или вычислений и используемых при расчетах в качестве исходных данных, а также в десятичной записи приближенного значения числа, все цифры

должны быть верными.

Наиболее употребительна такая запись приближенного числа (например, в математических таблицах), при которой цифры верны в строгом смысле.

Граница абсолютной погрешности Δа находится непосредственно

по записи приближенного значения а числа х.

Цифры в записи приближенного числа, о которых не известно, являются ли они верными, называются сомнительными.

Значащими цифрами приближенного числа называются все его верные цифры, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля.

 

Округление чисел. При округлении числа а его заменяют числом a1

с меньшим количеством значащих цифр. Абсолютная величина разности |а – а1| называется погрешностью округления

 

При округлении числа до т значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее т-й значащей цифры, или при сохранении разрядов заменяют их нулями. При этом если первая слева из отброшенных

цифр больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу.

При применении этого правила погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Округление приближенных значений чисел с сохранением в записи только верных цифр производится до разряда, в котором записана первая справа верная цифра.

 

9. Найти границу абсолютной погрешности приближенного значения 0,1968 числа х, все цифры которого верны в строгом смысле.

 

○ Граница абсолютной погрешности этого числа равна 0,00005, т. е. половине

единицы последнего разряда, сохраняемого в записи.●

 

10. Указать верные цифры (в широком смысле) следующих чисел:

1) 3,73 ± 0,056; 2) 3,627 ± 0,0008; 3) 4,732 ± 0,06; 4) 561 274 ± 500.

 

○ 1) Граница погрешности Δа = 0,056 не превосходит единицы разряда десятых

(неравенство 0,056 < 0,1 верное). Следовательно, верными являются цифры 3 и 7.

2) Так как Δа = 0,0008 < 0,001, то все цифры приближенного числа 3,627 верны.

3) Поскольку Δа = 0,06 < 0,1, верными являются цифры 4 и 7.

4) Так как Δа = 500 < 1000, то верны цифры 5, 6 и 1. ●

11. За приближенное значение числа 26,7 взято число 27. Являются

ли цифры числа 27 верными?

 

○ Так как |26,7 — 27| = 0,3 < 1, то цифры 2 и 7 — верные в строгом смысле.●

 

12. Приближенное значение числа 9,587 ± 0,03 округлить до первого справа верного разряда.

 

○ Первая справа верная цифра находится в разряде десятых, поэтому число 9,587

округляем до десятых: 9,587 ≈ 9,6. Новое значение границы погрешности Δа равно

сумме границы погрешности 0,03 и погрешности округления 0,013, т. е. Δа = 0,03 +

+ 0,013 = 0,043 < 0,1. Число 9,6 является приближенным значением числа 9,587 с точ-

ностью до 0,1. Цифры 9 и 6 верные.●

 

13. Укажите верные цифры (в широком смысле) следующих чисел:

1) 0,028 ± 0,004; 2) 0,463 ± 0,0008; 3) 0,078 ± 0,002; 4) 12,78 ± 0,0005;

5) 375 ± 20.

 

14. Назовите верные цифры числа π ≈ 3,14, считая π ≈ 3,1416.

15. За приближенное значение числа 999,82 взято число 1000. Укажите верные цифры числа 1000.

16. Сохраните только верные цифры в записи следующих приближенных значений чисел:

1) 280 ± 10; 2) 8900 ± 100; 3) 530 000 ± 100; 4) 5740 ± 10.

17. Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел:

1) 0,3281 ± 0,05; 2) 2,0637 ± 0,0025; 3) 14,0367 ± 0,8;

4) 24,734 ± 0,06.

 

18. Округлите приближенные значения данных чисел до первого справа верного разряда и запишите эти числа в стандартном виде:

1) 12 378 ± 25; 2) 15 763 ± 50; 3) 8724 ± 25; 4) 812 ± 6.

19. Укажите границу погрешности приближения, если в записи приближенных значений данных чисел все цифры верные (в широком смысле): 1) x ≈ 0,56; 2) х ≈ 84,3; 3) х ≈ 5,10; 4) х ≈ 4,100.

 

 

Лекция 1. 4  Относительная погрешность приближенного значения числа

 

Относительная погрешность приближенного значения числа – это отношение абсолютной погрешности этого числа к самому числу, т.е. или в процентах .

 

Так как в большинстве случаев истинное значение величины a0 неизвестно, то на практике относительную погрешность  оценивают некоторым числом , большим этой погрешности.

В качестве  можно взять отношение  или любое число, большее этого отношения, но достаточно близкое к нему, т.е. .

Число  называется границей относительной погрешности.

Качество измерений или вычислений тем лучше, чем меньше граница относительной погрешности.

 

Зависимость относительной погрешности от числа значащих цифр

иллюстрируется табл. 1.1

 

число

Наименьшее число

Наибольшее число

Граница абсолютной погрешности

Относительная погрешность наибольшего числа

Относительная погрешность наименьшего числа

Однозначное

1

9

0,5

0,056=5,6%

0,5=50%

Двузначное

10

99

0,5

0,005=0,5%

0,05=5%

Трехзначное

100

999

0,5

0,0005=0,05%

0,005=0,5%

Четырехзначное

1000

9999

0,5

0,00005=0,005%

0,0005=0,05%

 

Из табл. 1.1 ясно, что три верные значащие цифры обеспечивают точность результата (относительную погрешность) от 0,05 до 0,5 %. В технических и других расчетах, не требующих особо высокой точности, достаточно бывает обеспечить точность результата порядка десятых долей процента. Поэтому в технических расчетах принято выполнять вычисления с тремя значащими цифрами.

 

 

 

Пример: Пусть а0 = 42,1 ± 0,2. Вычислить в процентах границу относительной погрешности приближенного значения величины а.

Решение: Имеем а = 42,1; h = 0,2. Следовательно, .

Задания:

1.                  Округлите число 123 до десятков и найдите абсолютную и относительную погрешность округления.

2.                  Округлите число 8, 2478 до сотых и найдите абсолютную и относительную погрешность округления.

3.                  Найдите относительную погрешность приближенных чисел:

а)      35,148 ± 0,00074;

б)      0,012 ± 0,001;

в)      17,2 ± 0,25.

4.                  Установите, какое равенство точнее: .

5.                  Найдите верхнюю и нижнюю границы, если приближенное значение числа и относительная погрешность в процентах соответственно равны:

а)      18 и 1%;

б)      0,6 и 15%.


Лекция 1.5

Действия над приближенными значениями числа

 

Сложение приближенных значений чисел

Граница абсолютной погрешности суммы приближенных значений

чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел:

Δ(a + b) = Δa + Δb, (2.1)

где а и b — приближенные значения чисел; Δa и Δb — границы абсо-

лютных погрешностей соответствующих приближений.

Граница относительной погрешности суммы вычисляется по фор-

муле

( )

a b

a b

+ a b

_ = _ +

+

. (2. 2)

1. Найти сумму S приближенных значений чисел 6,8 ± 0,05; 4,3 ± 0,05

и 3,575 ± 0,0005.

○ Имеем

S = 6,8 + 4,3 + 3,575 = 14,675; ΔS = 0,05 + 0,05 + 0,0005 = 0,1005.

Граница абсолютной погрешности заключена в пределах 0,05 < 0,1005 < 0,5.

В приближенном значении суммы верными являются лишь две цифры (в разрядах

десятков и единиц). Полученный результат округлим до единиц: S = 14,675 ≈ 15.●

2. Найдите сумму приближенных значений чисел 6,54 ± 0,005;

16,022 ± 0,0005 и 1,9646 ± 0,00005.

3. Вычислите сумму a = 5 + 11, взяв приближенные значения кор-

ней с точностью до 0,001. Найдите а, Δа и εa.

4. Вычислите сумму a = 3 + 5 + 7 с четырьмя значащими циф-

рами. Найдите а, Δa и εa.

5. Электрическая цепь состоит из трех последовательно соединен-

ных проводников с сопротивлениями r1 = 4,8 ± 0,05 (Ом), r2 = 6,25 ±

± 0,005 (Ом) и r3 = 7,725 ± 0,0005 (Ом). Вычислите общее сопротивление

цепи по формуле R = r1 + r2 + r3. Найдите R, ΔR и εR.

 

Вычитание приближенных значений чисел

Граница абсолютной погрешности разности двух приближенных

значений чисел равна сумме границ их абсолютных погрешностей:

Δ(a — b) = Δa + Δb. (2.3)

Граница относительной погрешности разности вычисляется по фор-

муле

a b

a b

− a b

_ = _ + _

−

. (2.4)

6. Вычислить разность двух приближенных значений чисел а = 5,863 ±

± 0,0005 и b = 2,746 ± 0,0005. Найти Δ(а — b) и εa–b.

○ По формуле (2.3) вычисляем границу абсолютной погрешности разности а — b:

Δ(а — b) = 0,0005 + 0,0005 = 0,001.

В приближенном значении разности цифра в разряде тысячных не может быть

верной, так как Δ(а — b) > 0,0005. Итак, а — b = 3,117 ≈ 3,12. Абсолютная погрешность

разности 0,001. В приближенном числе 3,12 все цифры верные.

По формуле (2.4) находим относительную погрешность разности:

εа–b = 0,001/3,12 = 0,00032 ≈ 0,03 %.●

7. Вычислите разность чисел 8,72 и 2,6532, границы абсолютной

погрешности которых соответственно равны 0,005 и 0,00005.

8. Вычислите разность a = 13 − 5 с четырьмя значащимицифрами.

Найдите Δa и εa.

 

 

Лекция 1.6. Комплексные числа

 

Определение 1. Число, квадрат которого равен -1, называется мнимой единицей и обозначается буквой i.                     i2 = -1.

Следовательно, .

 

Определение 2. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными.

 

Данная форма записи комплексного числа называется алгебраической.

 

Число а является действительной частью комплексного числа, bi – его мнимой частью, число b называется коэффициентом при мнимой части.

 

Если b = 0, то комплексное число a + bi = a + 0i = a, то есть является действительным числом.

Вывод: действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.

 

Если а = 0, то комплексное число a + bi = bi и называется чисто мнимым.

 

 

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел выполняется по правилам соответствующих действий над многочленами.

 

Задания:

1.                  Выполните сложение, вычитание и умножение комплексных чисел:

а)      z1 = 3+5i и z2 = 7–2i;

б)      z1 = -2+3i и z2 = 7–4i;

в)      z1 = 3–2i и z2 = 7–i;

г)      z1 = 1–i и z2 = 1+i;

д)      z1 = 3–9i и z2 = 5+2i.

 

 

Определение 3. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью (a + bi и a – bi).

 

 

Произведение двух сопряженных комплексных чисел всегда равно действительному числу (проверьте!).

 

 

Для деления одного комплексного числа на другое необходимо умножить делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.

 

 

Примеры действий с комплексными числами

 

Даны два комплексных числа z1 = 3+5i и z2 = 7–2i. Выполнить их сложение, вычитание, умножение и деление.

 

I. Сложение

Раскрываем скобки, применяем переместительный и сочетательный законы сложения и правило приведения подобных слагаемых.

 

II. Вычитание

Применяем те же правила, что и при сложении, но не забываем, что если перед раскрываемой скобкой стоит знак «минус», то у всех слагаемых в скобке знак меняется на противоположный.

III. Умножение

Используем правило умножения многочленов: каждое слагаемое в первой скобке умножаем на каждое слагаемое во второй скобке.

Не забываем, что i2 = -1.

 

IV. Деление

Число, сопряженное делителю , – это число 7+2i. Домножаем числитель и знаменатель дроби на число 7+2i и выполняем необходимые преобразования: в числителе перемножаем два комплексных числа по предыдущему правилу, а в знаменателе используем разность квадратов .

 

 

Задания:

 

1.      Выполните деление комплексных чисел:

а)                  ;

б)      ;

в)      ;

г)      .

 

2.      Выполните указанные действия с комплексными числами:

а)      ;

б)      ;

в)      ;

г)      ;

д)      .

 

3.      Решите квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами:

а)     

б)     

в)     

 

 

Бесчисленное множество определений и значений — Merriam-Webster

1 из 2

мое объявление ˈmir-ē-əd 

1

: десять тысяч

2

: большое число

множество идей

Является ли мириад существительным?: Руководство по использованию

Недавняя критика использования мириад в качестве существительного, как во множественном числе мириады , так и во фразе мириады , по-видимому, отражает ошибочное мнение, что слово изначально было и до сих пор является лишь прилагательным. Однако, как показывают записи здесь, это существительное на самом деле является более старой формой, датируемой 16 веком. Существительное мириады появлялись в произведениях таких писателей, как Мильтон (множественное число мириады ) и Торо ( мириады ), и оно продолжает часто встречаться в уважаемом английском языке. Нет причин избегать этого.

мириады

2 из 2

1

: бесчисленное множество

эти мириады проблем

также : многочисленные и разнообразные

мириады тем

2

: имеющие бесчисленные аспекты или элементы ты знаешь?

В английском языке значение «десять тысяч» мириад в основном появляется в ссылках на Древнюю Грецию, например, в следующем из Истории Греции английского историка Коннопа Тирволла: «4000 человек из Пелопоннеса сражались при Фермопилах с 300 мириадами . » Чаще англоговорящие используют мириады в широком смысле — как существительное в единственном числе («мириады крошечных частиц»), так и существительное во множественном числе («мириады крошечных частиц»). Мириады также могут служить прилагательным, означающим «бесчисленное множество» («мириады частиц»). В то время как некоторые комментаторы употребления критикуют использование существительного, оно прочно вошло в английский язык с 16 века и фактически примерно на 200 лет старше прилагательного. Мириад происходит от греческого мириас , которое, в свою очередь, происходит от мириады , что означает «бесчисленное количество» или «десять тысяч».

Синонимы

Существительное

  • изобилие
  • ствол
  • полная корзина
  • лодка
  • ведро
  • связка
  • пучок
  • бушель
  • вагон
  • кусок
  • сделка
  • дюжина
  • горсть
  • кусков
  • хорошая сделка
  • куча
  • сто
  • ремни [ в основном британские ]
  • плети
  • загрузки
  • лот
  • масса
  • беспорядок
  • гора
  • много
  • кратность
  • тонны
  • упаковка
  • абонемент
  • клевать
  • стопка
  • тарелка
  • полнота
  • изобилие
  • много
  • горшок
  • горшок
  • изобилие
  • количество
  • плот
  • пачек
  • скадов
  • пучок
  • корабельная загрузка
  • прицел
  • убил
  • разлив
  • стопка
  • магазин
  • тонна
  • грузовик
  • том
  • пыж
  • богатство
  • двор

Прилагательное

  • водолазы
  • коллектор
  • multifarious

Просмотреть все синонимы и антонимы в тезаурусе 

Примеры предложений

Существительное

Г-н Маккалоу хвалит Адамса за его сверхъестественную прозорливость… предвидение множества событий, от сложности победы над британцами… до вызывающих разногласия последствий рабства. — Митико Какутани, 9 лет.0021 Нью-Йорк Таймс , 22 мая 2001 г.

Сектантский протестантизм усилил как американский индивидуализм, так и тенденцию общества к самоорганизации в виде множества добровольных ассоциаций и сообществ. — Фрэнсис Фукуяма, Atlantic , май 1999 г.

В баррио, под пальмами нипа, он слушал мириады гудящих цикад и крики гекконов. — Нина ФитцПатрик, 9 лет.0021 Басни ирландской интеллигенции , 1991

Чтобы читать Марию Корелли, вы должны были быть в состоянии следить за несколькими сотнями печатных слов за раз, и в Англии было множество людей, которые были на это способны. — Хью Кеннер, Тонущий остров , 1987 г.

…сплел пальцы за головой и уставился на мириады крошечных цветных точек, из которых состоит тьма. — Джон Стейнбек, 9 лет.0021 К востоку от Эдема , 1952 г.

Существует мириад из возможностей. автомобиль может быть оснащен мириадами опций Прилагательное

… чем больше цитат можно было найти, тем легче можно было определить тонкие различия между (возможно) бесчисленным множеством вариантов использования и значениями любого отдельного слова. Так создаются исторические словари… — Саймон Винчестер, Значение всего , 2003 г.

Эпоха белой вины с ее мириадами коррупции и ее почти расистской слепотой к индивидуальности меньшинства может когда-нибудь уйти, как ушел век расизма… — Шелби Стил, 9 лет.0021 Harper’s , ноябрь 2002 г.

Вторая мировая война ускорила продвижение науки и техники в микромир. Ученые и технологи играли друг с другом в пятнашки в поисках микроскопического контроля. С помощью математики и множества теорий они определили новый микрокосм. — Джозеф А. Амато, Пыль , 2000 г.

Проблем старой системы было мириадов . мириады проблем, с которыми сталкиваются сегодняшние города Узнать больше

Последние примеры в Интернете

Конечно, в каждом законе содержится мириадов деталей и условий, которые могут заставить скептиков жаловаться на то, что правила слишком сложны, чтобы знать, что делать, и ложатся чрезмерным бременем на работодателей. — Меган М. Биро, 9 лет.0021 Forbes , 22 марта 2023 г. Существует мириадов способов наблюдать за озером и окружающими старовозрастными лесами, включая тропы к живописным смотровым площадкам и геологическим чудесам, нежным водопадам и одним из самых кинематографичных прогулок на снегоступах в штате. — Jd Shadel, Condé Nast Traveler , 21 марта 2023 г. Что нужно знать о полках для обуви перед покупкой0021 мириады стилей обувных стеллажей, но основными являются напольные стеллажи и наддверные стеллажи. — Таня Эдвардс, Better Homes & Gardens , 17 марта 2023 г. С ноября по апрель в Montage Big Sky предлагается бесчисленное множество зимних развлечений. — Ванесса Уилкинс, Travel + Leisure , 17 марта 2023 г. Напротив, вторая статья, опубликованная в декабре, была посвящена жителям сельских городов, многие из которых живут за чертой бедности, которым грозит множество проблем, потому что их водная инфраструктура остро нуждается в ремонте. —Майкл Брага, , Республика Аризона, , 9 марта 2023 г. Не в последнюю очередь Скотт — вместе с промоутерами Live Nation, Scoremore, XX Global и другими — столкнулся с мириадами судебных исков на общую сумму к северу от 2 миллиардов долларов потенциального ущерба. — Итан Шанфельд, Variety , 3 марта 2023 г. Есть Мириады способов, которыми, как известно ученым, выбросы парниковых газов, связанные с деятельностью человека, вызывают повышение глобальной температуры, сообщил ранее USA TODAY климатолог НАСА Джош Уиллис. — Изабелла Фертель, USA TODAY , 10 февраля 2023 г. Есть мириады разных причин, но они делят друг с другом одежду. — Ланэ Броуди, Peoplemag , 8 февраля 2023 г.

Влияние Бекхэма в Балтиморе составляет мириадов . — Брайан Вакер, Baltimore Sun , 10 апреля 2023 г. Обзор показал, что методология многих предыдущих исследований была ошибочной и что риск бесчисленного множества проблем со здоровьем значительно увеличился после менее чем двух порций алкоголя в день для женщин и после трех для мужчин. — Рони Кэрин Рабин, New York Times , 4 апр. 2023 г. Теперь расцвели мириады других методов лечения. — Ангус Маккиннон, CNN , 3 апреля 2023 г. Увеличить / Портрет Бетховена работы Йозефа Карла Штилера, 1820 г. Beethoven-Haus Bonn Людвиг ван Бетховен — один из величайших композиторов всех времен, но на протяжении всей своей жизни он страдал от мириадов проблем со здоровьем, в частности, к 1818 году он почти полностью оглох. — Дженнифер Уэллетт, 9 лет. 0021 Ars Technica , 22 марта 2023 г. Отчеты, которые повторяли тезисы Кремля по мириадам тем, бездоказательно утверждали, что власти Огайо лгали об истинных последствиях разлива химикатов. — Дэвид Клеппер, The Enquirer , 20 марта 2023 г. Может быть, еще один абзац: отчеты, которые повторяли тезисы Кремля по мириадам тем, утверждали без каких-либо доказательств, что власти Огайо лгали об истинных последствиях разлива химикатов. — Джей Нордлингер, 9 лет.0021 National Review , 20 марта 2023 г. Отчеты, которые повторяли тезисы Кремля по мириадам тем, бездоказательно утверждали, что власти Огайо лгали об истинных последствиях разлива химикатов. — Кевин Фрекинг, Fortune , 18 марта 2023 г. На самом деле, вы можете быть удивлены мириадами методов, позволяющих даже самой маленькой кухонной зоне выглядеть великолепно. — Анна Фикссен, 9 лет.0021 ELLE Decor , 7 марта 2023 г. Узнать больше

Эти примеры программно скомпилированы из различных онлайн-источников, чтобы проиллюстрировать текущее использование слова «бесчисленное множество». Любые мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв об этих примерах.

История слов

Этимология

Существительное и прилагательное

Греческий myriad-, myrias , from myrioi бесчисленное количество, десять тысяч

Первое известное употребление

Существительное

1555, в значении, определенном в смысле 1

Прилагательное

1735, в значении, определенном в пункте 1

Путешественник во времени

Первое известное использование мириад был в 1555 году

Другие слова того же года

Подкаст

Музыкальная тема Джошуа Стэмпера ©2006 New Jerusalem Music/ASCAP

Получайте «Слово дня» на свой почтовый ящик!

Словарные статьи Около

мириады

мириакантус

мириады

бесчисленное множество

Посмотреть другие записи поблизости

Процитировать эту запись «Мириады».

Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/myriad. По состоянию на 27 апреля 2023 года. 1 из 2 существительное

мое объявление ˈmir-ē-əd 

1

: десять тысяч

2

: большое, но не указанное или не подсчитанное число

мириады звезд

мириады

2 из 2 прилагательное

: чрезвычайно многочисленный

мириады песчинок на пляже

Еще от Merriam-Webster на тему

мириады

Английский: Перевод слова мириады для говорящих на испанском языке

Britannica English: перевод мириад для говорящих на арабском языке

Последнее обновление: — Обновлены примеры предложений

Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы!

Merriam-Webster без сокращений

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

Можете ли вы решить 4 слова сразу?

превратности

См. Определения и примеры »

Получайте ежедневно по электронной почте Слово дня!

Поиск наборов номеров/проверка ℕ,ℤ,ℚ,ℝ,ℂ — N Z Q R C

Калькулятор наборов номеров

Номер для проверки

Устройство проверки наборов номеров

Комплект Проверка всех наборов
N: натуральные целые числа
Z: относительные целые числа
D: десятичные числа
Q: рациональные числа
R: действительные числа
I: чисто мнимые числа
C: комплексные числа

См. также: Решатель уравнений — Калькулятор

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое набор чисел? (Определение)

Набор чисел — это математическое понятие, позволяющее помещать различные типы чисел в различные категории, иногда включаемые между ними.

Классическим представлением обычных множеств является $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $$

Что такое общие числовые наборы?

В математике существует несколько наборов : натуральные числа N (или ℕ), набор целых чисел Z (или ℤ), все десятичные числа D или $\mathbb{D} $, набор рациональных чисел Q (или ℚ), набор действительных чисел R (или ℝ) и набор комплексных чисел С (или ℂ). Эти 5 наборов иногда обозначаются аббревиатурой NZQRC .

Другие наборы, такие как набор десятичных чисел D или $ \mathbb{D} $, или набор чисто мнимых чисел I или $ \mathbb{I} $. Существуют также наборы трансцендентных чисел, кватернионов или гиперкомплексных чисел, но они зарезервированы для продвинутых математических теорий, NZQRC являются наиболее распространенными наборами.

Что означает символ ∈?

Знак ∈ (Unicode 2208) означает элемент или принадлежит .

Пример: $ 2 \in \mathbb{N} $ читается 2 является элементом множества N

Существует также знак ∊ (Unicode 220A), который такой же, но меньшего размера.

Знак ∉ (Unicode 2209) означает, что не является элементом или не принадлежит .

Пример: $ -2 \notin \mathbb{N} $

Знак ⊂ (Unicode 2282) означает 9{+} $

NB: В некоторых (старых) учебниках для этого набора указывается буква W вместо N , W означает Целые числа

Набор N входит в наборы Z, D, Q, R и C.

Какой номер Z установлен?

Z — множество целых чисел, т.е. положительное, отрицательное или ноль.

Пример: …, -100, …, -12, -11, -10, …, -5, -4, -3, -2, — 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 , … 10, 11, 12, …, 100, … $ \in \mathbb{Z} $

9{p}} , a \in \mathbb{Z}, p \in \mathbb {N} \right\} $$

Все десятичные дроби в D — это числа, которые можно записать конечным числом цифр (числа, содержащие точка и конечная десятичная часть).

Пример: -123,45, -2,1, -1, 0, 5, 6,7, 8,987654 $ \in \mathbb{D} $

Таким образом, числа, использующие точки подвеса … для их десятичной записи, имеют бесконечное число десятичных знаков и поэтому не принадлежат множеству D.

Множество D входит в состав множеств Q, R и C.

Наборы N и Z включены в набор D (поскольку все целые числа являются десятичными числами без десятичных разрядов). Любое число в N или Z также находится в D.

Что такое число Q?

Q есть множество рациональных чисел , т. е. представлена ​​дробью a/b, где a принадлежит Z, а b принадлежит Z * (исключая деление на 0).

Пример: 1/3, -4/1, 17/34, 1/123456789 $ \in \mathbb{Q} $

Множество Q входит в множества R и C.

Наборы N, Z и D входят в набор Q (поскольку все эти числа можно записать дробью). Любое число в N, Z или D также содержится в Q.

Какой набор чисел R?

R это набор действительных чисел , т.е. все числа, которые могут реально существовать, содержит кроме рациональных чисел, нерациональные или иррациональные числа в виде $\pi$ или $\sqrt{2}$.

Иррациональные числа имеют бесконечную непериодическую десятичную часть.

Пример: 9* $ (звездочка R минус) — набор ненулевых отрицательных действительных чисел, также обозначаемый как $ \mathbb{R}_{

Набор R входит в набор C.

Наборы N, Z, D и Q входят в набор R. Любое число из N или Z или D или Q также входит в R.

Что такое I номер установлен?

I — набор (чистых) мнимых чисел, то есть комплексных чисел без действительных частей, квадратные корни отрицательных действительных чисел — чисто мнимые. 2=-1 $

Набор I входит в набор C.

Что такое набор номеров C?

C — это набор комплексных чисел , набор, созданный математиками как расширение набора действительных чисел , к которым добавляются числа, содержащие мнимую часть.

Пример: $ a + i b \in \mathbb{C} $

Наборы N, Z, D, Q, R и I включены в набор C. Любое число из N или Z или D или Q или R или I тоже в C.

Что такое пустой набор Ø?

Пустой набор отмечен Ø , как видно из его названия, он пуст и не содержит ни одного номера.

Что такое конструируемое число?

Составные числа — это все числа, которые можно геометрически изобразить с помощью линейки и циркуля.

Пример: $ \sqrt{2} $ — конструируемое число, а $ \pi $ — нет.

Что такое алгебраическое число?

Алгебраические числа — это набор чисел, которые можно вычислить как корень многочлена с рациональными коэффициентами.

Что такое трансцендентное число?

Трансцендентные числа — это набор чисел, которые нельзя вычислить как корень многочлена с рациональными коэффициентами (то есть не алгебраическими).

Среди действительных или комплексных чисел большинство трансцендентных чисел.

Что такое иррациональные числа?

Иррациональные числа — это наборы чисел, которые не могут быть записаны в виде дроби (т. е. все числа, которые не находятся в $ \mathbb{Q} $)

Что такое наборы чисел E и O?

Некоторые книги определяют наборы E для четных номеров и O для нечетных номеров. Это не стандартное обозначение.

Что входит в наборы?

Связи между различными множествами представлены включениями: $$ N \подмножество Z \подмножество D \подмножество Q \подмножество R \подмножество C $$

Символ подмножества ⊆ является символом включения (в широком смысле), A ⊆ B, если каждый элемент A является элементом B.

Онлайн задания по информатике: Тесты по информатике онлайн | Online Test Pad

alexxlab / / Разное

Онлайн тесты по информатике и ИКТ

Онлайн тесты по информатике и ИКТ

Десятка лучших по информатике

  1. Буданчик (Чита) — 16512
  2. Nimfetttka (Казань) — 14809
  3. Sleid (Краснодар) — 13218
  4. Piter (Краснодар) — 13134
  5. Бурбон (Первоуральск) — 3440
  6. Геннадий — 3422
  7. Abinba (Арск) — 3404
  8. JeXLiN (Казань) — 3276
  9. Ирина Карцева — 3003
  10. нет не надо (Пермь) — 2838

ЕГЭ по информатике и ИКТ – экзамен по выбору. ЕГЭ по информатике и ИКТ не является профильным ни для одного направления подготовки высшего профессионального образования. Однако результаты ЕГЭ по информатике и ИКТ понадобятся при поступлении на технические специальности. 

Экзаменационная работа состоит из двух частей. Задания части 1 требуют краткого ответа. Задания части 2 – развёрнутого решения.

Быстрые тесты
по 20 вопросов

Подготовка к ЕГЭ

Подготовка к ОГЭ
Все онлайн тесты на сайте бесплатные и не требуют регистрации
Тесты для 11 класса
  • Особо сложные (123)
  • Сложные (447)
  • Средней сложности (273)
  • Простые (95)
  • Очень простые (29)
  • Любой сложности (967)
Тесты для 9 класса
  • Особо сложные (51)
  • Сложные (252)
  • Средней сложности (270)
  • Простые (83)
  • Очень простые (26)
  • Любой сложности (682)
Тесты для 10 класса
  • Особо сложные (3)
  • Сложные (31)
  • Средней сложности (53)
  • Простые (18)
  • Очень простые (3)
  • Любой сложности (108)
Тесты для 8 класса
  • Особо сложные (6)
  • Сложные (42)
  • Средней сложности (55)
  • Простые (54)
  • Очень простые (23)
  • Любой сложности (180)
—выберите предмет—Французский языкМатематикаРусский языкОбществознаниеИнформатикаХимияТатарская литератураФизикаБиологияГеографияИсторияЛитератураАнглийский языкНемецкий языкИспанский языкТатарский языкМХКАстрономияТехнологияФизкультураОБЖЭкономикаИЗОМузыкаПравоПриродоведение Класс —выберите класс—11 класс10 класс9 класс8 класс7 класс6 класс5 класс—все темы—-выберите сложность—1-Очень простое задание2-Достаточно простое задание3-Задание средней сложности4-Сложное задание5-Особо сложное задание
10 заданий20 заданий30 заданий40 заданий50 заданий
Тесты для 11 класса
вверх
  1. Викторина по информатике «Хочу всё знать!» (9 – 11 класс)

    Увлекательная и познавательная викторина проверит ваши знания не только о современных видах информации, но и о технологиях прошлого века. А вы уверены, что знаете всё? Тогда эта викторина для вас!

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  2. Тест по информатике для 10-11 класса

    Почему день компьютерщика отмечается 14 февраля? Что вы знаете о звуковых платах и видеосистемах? Какие запоминающие устройства вам знакомы?

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  3. Тест по информатике для 10-11 классов: «Это интересно»

    Когда появился первый ноутбук? Для чего предназначались первые дискеты? В какой стране была изобретена флешка? Эти и другие интересные вопросы из области информатики здесь!

    Рейтинг теста: Сложность теста: нормальныйВопросов: 20

  4. Тест по информатике для 10-11 классов. Тест-викторина «Следствие ведут Знатоки»

    Первые компьютеры, языки программирования, история развития вычислительной техники… Этот тест для знатоков информатики!

    Рейтинг теста: Сложность теста: нормальныйВопросов: 20

  5. Тест по информатике для 11 класса по теме «История ЭВМ»

    Создатели первых электронно-вычислительных машин, возможно, и представить себе не смогли бы, как будут выглядеть компьютеры всего через несколько десятилетий.

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  6. Тест по информатике для 11 класса по теме «Электронные таблицы»

    Электронные таблицы не только автоматизируют расчеты, но и являются эффективным средством моделирования различных вариантов и ситуаций. Умеете ли вы с ними обращаться? Проверьте в этом тесте!

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  7. Тест по информатике и ИКТ на тему «Аппаратное и программное обеспечение компьютера» (11 класс)

    Компьютер — это электронное средство автоматизации работы с информацией. Этот тест поможет вам определить, насколько вы продвинутый юзер.

    Рейтинг теста: Сложность теста: нормальныйВопросов: 20

  8. Тест по информатике на тему «Защита данных» (10, 11 класс)

    В век компьютерных технологий приходится уделять большое внимание защите информации. В этом тесте вы сможете проверить свои знания о компьютерных вирусах.

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  9. Тест по информатике: Интересные факты из истории информатики (10-11 класс)

    Почему у технологии Bluetooth такое странное название? С какой классической задачей из информатики может справится пчела? Интересные факты из истории информатики ждут вас в этом тесте!

    Рейтинг теста: Вопросов: 20
Тесты для 10 класса
вверх
  1. Викторина по информатике «Хочу всё знать!» (9 – 11 класс)

    Увлекательная и познавательная викторина проверит ваши знания не только о современных видах информации, но и о технологиях прошлого века. А вы уверены, что знаете всё? Тогда эта викторина для вас!

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  2. Тест по информатике «Основы информационного права»

    Возрастает значимость информационной безопасности как системы защиты интересов личности, в том числе пресечения правонарушений в этой области деятельности. Проверьте свои знания «Информационного права».

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  3. Тест по информатике для 10 класса: История развития вычислительной техники

    С появления первой ЭВМ прошло чуть больше 50 лет. За это время сменилось несколько поколений вычислительных машин, а самые первые компьютеры уже стали музейными экспонатами.

    Рейтинг теста: Сложность теста: нормальныйВопросов: 20

  4. Тест по информатике для 10-11 класса

    Почему день компьютерщика отмечается 14 февраля? Что вы знаете о звуковых платах и видеосистемах? Какие запоминающие устройства вам знакомы?

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  5. Тест по информатике для 10-11 классов: «Это интересно»

    Когда появился первый ноутбук? Для чего предназначались первые дискеты? В какой стране была изобретена флешка? Эти и другие интересные вопросы из области информатики здесь!

    Рейтинг теста: Сложность теста: нормальныйВопросов: 20

  6. Тест по информатике для 10-11 классов. Тест-викторина «Следствие ведут Знатоки»

    Первые компьютеры, языки программирования, история развития вычислительной техники… Этот тест для знатоков информатики!

    Рейтинг теста: Сложность теста: нормальныйВопросов: 20

  7. Тест по информатике на тему «Защита данных» (10, 11 класс)

    В век компьютерных технологий приходится уделять большое внимание защите информации. В этом тесте вы сможете проверить свои знания о компьютерных вирусах.

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  8. Тест по информатике: Интересные факты из истории информатики (10-11 класс)

    Почему у технологии Bluetooth такое странное название? С какой классической задачей из информатики может справится пчела? Интересные факты из истории информатики ждут вас в этом тесте!

    Рейтинг теста: Вопросов: 20
Тесты для 9 класса
вверх
  1. Викторина по информатике «Хочу всё знать!» (9 – 11 класс)

    Увлекательная и познавательная викторина проверит ваши знания не только о современных видах информации, но и о технологиях прошлого века. А вы уверены, что знаете всё? Тогда эта викторина для вас!

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  2. Онлайн тест по информатике для 9 класса по теме «История развития вычислительной техники»

    Глядя на современные компьютеры, трудно представить, что история развития вычислительной техники берет свое начало более 5000 лет назад с появления простых счет.

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  3. Тест по информатике «Компьютер как универсальное устройство для работы с информацией» (9 класс)

    Информационные технологии всё прочнее входят в нашу жизнь. Пожалуй, сегодня уже трудно представить более удобное и универсальное устройство для работы с информацией, чем компьютер.

    Рейтинг теста: Сложность теста: простойВопросов: 20

  4. Тест по информатике (9 класс)

    Информатику – относительно молодая наука, однако мы уже не представляем свою жизнь без информационных технологий. Насколько хорошо вы знакомы с компьютером?

    Рейтинг теста: Сложность теста: нормальныйВопросов: 20

  5. Тест по информатике (9 класса)

    Знаете ли вы, для чего использовалась первая веб-камера или как выглядел первый компьютерный смайлик? Проверьте свою эрудицию в области информатики и ИКТ в этом тесте!

    Рейтинг теста: Сложность теста: нормальныйВопросов: 20

  6. Тест по информатике для 8-9 класса: Системы счисления (начальные сведения)

    Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью цифр. Узнайте об особенностях разных систем счисления в этом тесте!

    Рейтинг теста: Сложность теста: простойВопросов: 20

  7. Тест по информатике для 8-9 классов по теме: Из истории компьютерных технологий

    В этом тесте вас ждут интересных факты из истории информатики и несколько занимательных логических задач.

    Рейтинг теста: Сложность теста: нормальныйВопросов: 20

  8. Тест по информатике на тему «Великие люди мира информатики» (9 класс)

    Современному человеку сегодня сложно представить жизнь без компьютера и интернета. Знаете ли вы ученых, подаривших миру эти изобретения?

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  9. Тест по информатике на тему «Известные личности в информатике» (9 класс)

    Кто разработал телеграфный код? В честь назван один из самых популярных антивирусов? Какой ученый изобрел первую советскую электронно-счетную машину?

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  10. Тест по информатике на тему «История вычислительной техники» (9 класс)

    История вычислительной техники началась несколько веков назад с идеи научить машину считать или хотя бы складывать многоразрядные целые числа.

    Рейтинг теста: Вопросов: 17

  11. Тест по информатике на тему «Коммуникационные технологии» (9 класс)

    Кто и кому отправил первое электронное письмо? Из чего был изготовлен корпус первой компьютерной мыши? Чему был посвящен первый сайт в интернете?

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  12. Тест по информатике на тему «Компьютерная сеть Интернет» (8, 9 классы)

    Сеть Интернет существует уже более 40 лет. Однако некоторые термины и понятия, которые встречаются нам в сети каждый день, имеют более длинную историю.

    Рейтинг теста: Сложность теста: простойВопросов: 20

  13. Тест по информатике на тему «Программное обеспечение» (9 класс)

    Современные компьютеры становятся всё более простыми и понятными для пользователей. Это возможно благодаря разнообразному программному обеспечению.

    Рейтинг теста: Сложность теста: простойВопросов: 20

  14. Тесть по информатике на тему «Информационное общество» (9 класс)

    Компьютеры, Интернет, поисковые системы, сайты, кодировки, программирование. .. Как хорошо знакомы вам эти понятия? Проверьте в данном тесте!

    Рейтинг теста: Вопросов: 20
Тесты для 8 класса
вверх
  1. Викторина на тему: «Знаменитые личности и факты в информатике»

    Сегодняшний мир уже нельзя представить без компьютеров, сети Интернет, программ, программирования. Известные люди в разные времена делились своими мыслями по этому поводу.Люди, которые внесли немаловажный вклад в развитие науки «информатика».

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  2. Тест по информатике для 8 класса

    История программирования и информатики берет свое начало задолго до появления первого ПК. В этом тесте вы узнаете, как работал и какого размера был первый компьютер.

    Рейтинг теста: Сложность теста: нормальныйВопросов: 20

  3. Тест по информатике для 8-9 класса: Системы счисления (начальные сведения)

    Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью цифр. Узнайте об особенностях разных систем счисления в этом тесте!

    Рейтинг теста: Сложность теста: простойВопросов: 20

  4. Тест по информатике для 8-9 классов по теме: Из истории компьютерных технологий

    В этом тесте вас ждут интересных факты из истории информатики и несколько занимательных логических задач.

    Рейтинг теста: Сложность теста: нормальныйВопросов: 20

  5. Тест по информатике на тему «Компьютерная сеть Интернет» (8, 9 классы)

    Сеть Интернет существует уже более 40 лет. Однако некоторые термины и понятия, которые встречаются нам в сети каждый день, имеют более длинную историю.

    Рейтинг теста: Сложность теста: простойВопросов: 20

  6. Тест по информатике на тему «Устройства компьютера» (8 класс)

    Сегодня существует множество разнообразных компьютерных устройств. Какие-то из них дополняют и улучшают функции компьютера или просто предназначены для поднятия настроения и развлечения.

    Рейтинг теста: Сложность теста: простойВопросов: 20

  7. Тест по информатике на тему «Устройство компьютера» (8 класс)

    Персональный компьютер состоит из отдельных устройств и модулей: одни находятся внутри системного блока, другие к нему подключаются. Когда и как всё это появилось?

    Рейтинг теста: Вопросов: 20
Тесты для 7 класса
вверх
  1. Тест по информатике на тему «Алгоритм» (7 класс)

    Мы кем-то управляем, нами кто-то управляет с помощью алгоритмов. Алгоритмы проникли в нашу жизнь. Проверьте свои знания о алгоритмах и исполнителях в этом тесте по информатике.

    Рейтинг теста: Вопросов: 20
Тесты для 5 класса
вверх
  1. Викторина в загадках на тему «Устройства компьютера» (5 класс)

    Оглянись, дружок, вокруг! Вот ??? – верный друг. Он всегда тебе поможет: Сложит, вычтет и умножит!

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

  2. Тест по информатике для 5 класса «Информация вокруг нас»

    Каждый день мы узнаем что-то, чего не знали раньше, — получаем новую информацию. Проверьте что же вы знаете об информации, которая нас окружает.

    Рейтинг теста: Вопросов: 20

Электронное приложение к учебнику «Информатика» для 7 класса (УМК Босова Л.Л. и др. 5-9 кл.)

Каталог

Поиск книг

Электронные приложения

Авторизация

Подписка на рассылку

Стихи о нас

Богатство
Идей,
Новизна,
Оптимизм и
Мудрость
Рождению гениев пусть помогает трудность.

Трудности эти уже превратились в смыслы.
Борьба,
Интерес,
Наука,
Ответственность,
Мысли…

Тивикова С. К., зав. каф. начального образования НИРО

Обратная связь

Отправить сообщение с сайта

Партнёры


  • Главная
  •  > 
  • Методист
  •  > 
  • Авторские мастерские
  •  > 
  • Информатика
  •  > 
  • Босова Л. Л.

Введение

Презентация «Введение в курс информатики»

Презентация «Введение в курс информатики» (Open Document Format)

Техника безопасности

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • клавиатурный тренажер «Руки солиста» (N 128669)
  • демонстрация к лекции «Место информатики в системе наук» (N 119015)
  • демонстрация к лекции «ИКТ в современном мире» (N 118942)
  • демонстрация к лекции «Цели и задачи изучения предмета «Информатика и ИКТ»» (N 118498)
  • демонстрация к лекции «Техника безопасности и санитарные нормы» (N 119260)

Глава 1. Информация и информационные процессы

§ 1.1. Информация и её свойства

Презентация «Информация и её свойства»

Презентация «Информация и её свойства» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Информация и ее свойства». Вариант 1
  • Онлайн тест «Информация и ее свойства». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • анимация «Субъективный подход к определению понятия «информация»» (N 134931)
  • анимация «Пример отличия информации от материальных объектов» (N 134860)
  • демонстрация к лекции «Восприятие информации» (N 119295)
  • анимация «Кто как видит» (N 135131)
  • виртуальная лаборатория «Оптические иллюзии» (N 134876)
  • анимация «Классификация информации по способу ее восприятия» (N 134872)
  • тест по теме «Восприятие информации» «Система тестов и заданий N4» (N 134948)
  • опорная схема «Свойства информации» (N 135118)
  • анимация «Актуальность (своевременность) информации» (N 134946)
  • анимация «Достоверность информации» (N 135076)
  • анимация «Объективность информации» (N 134992)
  • анимация «Полнота информации» (N 134891)
  • анимация «Понятность информации» (N 134896)
  • анимация «Ценность информации» (N 134963)
  • анимация «Синергетический эффект» (N 135116)
  • тест по теме «Свойства информации» «Система тестов и заданий N6» (N 134994)

§ 1. 2. Информационные процессы

Презентация «Информационные процессы»

Презентация «Информационные процессы» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Информационные процессы». Вариант 1
  • Онлайн тест «Информационные процессы». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • анимация «Виды информационных процессов» (N 118499)
  • анимация «Информационные процессы для человека и компьютера» (N 134831)
  • анимация «Создание информации» (N 135069)
  • анимация «Обработка информации» (N 119294)
  • анимация «Хранение информации. Память» (N 135156)
  • анимация «Информация и ее носитель» (N 134874)
  • анимация «Документы» (N 134981)
  • анимация «История средств хранения информации» (N 125863)
  • анимация «Потеря информации» (N 135081)
  • анимация «Источник и приемник информации» (N 135155)
  • анимация «Помехи при передаче информации» (N 134850)
  • анимация «Информация в человеческом обществе – новостная информация» (N 134836)
  • анимация «Информация в человеческом обществе» (N 135083)
  • анимация «Информация в технике» (N 134950)
  • анимация «Информация в живой природе» (N 134839)
  • анимация «Информация в неживой природе» (N 135142)
  • тест по темам «Источник и приемник информации», «Информация и ее носитель» – «Система тестов и заданий N8» (N 134927)

§ 1. 3. Всемирная паутина

Презентация «Всемирная паутина»

Презентация «Всемирная паутина» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Всемирная паутина». Вариант 1
  • Онлайн тест «Всемирная паутина». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • демонстрационный имитатор «Работа поисковой системы в Интернете» (N 119393)

§ 1.4. Представление информации

Презентация «Представление информации»

Презентация «Представление информации» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Представление информации». Вариант 1
  • Онлайн тест «Представление информации». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • анимация «Виды знаков по способу восприятия» (N 135070)
  • анимация «Классификация знаков по способу восприятия. Сигналы» (N 135152)
  • анимация «Классификация знаков по способу восприятия. Пиктограммы» (N 135159)
  • анимация «Классификация знаков по способу восприятия. Символы» (N 135002)
  • анимация «Один и тот же символ может обозначать разную информацию» (N 135132)
  • анимация «Использование символов для технических устройств» (N 134848)
  • анимация «Использование символов для живых существ» (N 134916)
  • тест по теме «Знаки» – «Система тестов и заданий N9» (N 135130)
  • демонстрация к лекции «Информация и письменность» (N 119187)
  • демонстрация к лекции «Языки естественные и формальные» (N 119246)

§ 1.5. Двоичное кодирование

Презентация «Двоичное кодирование»

Презентация «Двоичное кодирование» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Двоичное кодирование». Вариант 1
  • Онлайн тест «Двоичное кодирование». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • анимация «Определение понятия «кодирование информации»» (N 135044)
  • анимация «Понятие «код»» (N 134945)
  • анимация «Примеры кодов» (N 135115)
  • анимация «Определение понятия «перекодирование информации»» (N 135147)
  • тест по теме «Кодирование информации» – «Система тестов и заданий N10» (N 134851)
  • виртуальная лаборатория «Цифровые весы» (N 135009)

§ 1. 6. Измерение информации

Презентация «Измерение информации»

Презентация «Измерение информации» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Измерение информации». Вариант 1
  • Онлайн тест «Измерение информации». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • анимация «Вычисление количества информации: алфавитный подход» (N 134881)
  • тренажер «Интерактивный задачник. Раздел «Измерение информации»» (N 119252)

Интерактивный тест по теме «Информация и информационные процессы»

Тест 1

Глава 2. Компьютер как универсальное устройство для работы с информацией

§ 2.1. Основные компоненты компьютера и их функции

Презентация «Основные компоненты компьютера и их функции»

Презентация «Основные компоненты компьютера и их функции» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Основные компоненты компьютера и их функции». Вариант 1
  • Онлайн тест «Основные компоненты компьютера и их функции». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • анимация «Компьютер и его назначение» (N 134879)
  • анимация «Внутренняя память ЭВМ: видеопамять» (N 135057)
  • анимация «Внутренняя память ЭВМ: емкость памяти» (N 134929)
  • анимация «Внутренняя память ЭВМ: кэш-память» (N 134947)
  • анимация «Внутренняя память ЭВМ: оперативная память» (N 135117)
  • анимация «Внутренняя память ЭВМ: ПЗУ BIOS» (N 135033)
  • анимация «Внутренняя память ЭВМ: постоянная память» (N 135086)
  • анимация «Внутренняя память ЭВМ: энергонезависимая оперативная память (CMOS RAM)» (N 135042)
  • анимация «Структура цифровой ЭВМ» (N 135052)
  • анимация «Структура цифровой ЭВМ – магистраль (шина)» (N 135096)
  • программа-тренажер «Устройство компьютера-1» (N 119293)

§ 2.2. Персональный компьютер

Презентация «Персональный компьютер»

Презентация «Персональный компьютер» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Персональный компьютер». Вариант 1
  • Онлайн тест «Персональный компьютер». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • анимация «Составляющие системного блока» (N 134863)
  • анимация «Системный блок (вид сзади)» (N 135112)
  • анимация «Системный блок ПЭВМ» (N 134890)
  • анимация «Накопитель на жестких магнитных дисках (НЖМД)» (N 135012)
  • анимация «Открытая архитектура ЭВМ» (N 135123)
  • программа-тренажер «Устройство компьютера — 2» (N 119274)
  • анимация «Мышь: механическая» (N 135006)
  • анимация «Мышь: оптико-механическая» (N 134877)
  • анимация «Мышь: оптическая» (N 135140)
  • анимация «Мышь: современная оптическая» (N 134828)
  • анимация «Клавиатура ПЭВМ: принципы работы устройство клавиши» (N 134923)
  • анимация «Клавиатура ПЭВМ: принципы работы сканирование клавиш» (N 135019)

Ссылки на ресурсы ФЦИОР:

  • информационный модуль по теме «Конфигурация компьютера. Выбор конфигурации в зависимости от решаемых задач»
  • практический модуль теме «Конфигурация компьютера. Выбор конфигурации в зависимости от решаемых задач»
  • контрольный модуль по теме «Конфигурация компьютера. Выбор конфигурации в зависимости от решаемых задач»

§ 2.3. Программное обеспечение компьютера

Презентация «Программное обеспечение компьютера»

Презентация «Программное обеспечение компьютера» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Программное обеспечение компьютера». Вариант 1
  • Онлайн тест «Программное обеспечение компьютера». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • демонстрация к лекции «Структура программного обеспечения ПК» (N 119268)
  • демонстрация к лекции «Системное программное обеспечение» (N 119016)
  • демонстрация к лекции «Операционная система» (N 119104)
  • демонстрация к лекции «Системы программирования» (N 119289)
  • демонстрация к лекции «Прикладное программное обеспечение» (N 119242)
  • тест по теме «Компьютер как средство автоматизации информационных процессов» – «Система тестов и заданий №13» (N 134951)

Ссылки на ресурсы ФЦИОР:

  • информационный модуль по теме «Компьютерные вирусы и антивирусные программы»
  • практический модуль теме «Компьютерные вирусы и антивирусные программы»
  • контрольный модуль по теме «Компьютерные вирусы и антивирусные программы»
  • информационный модуль по теме «Программы архивирования данных»
  • практический модуль теме «Программы архивирования данных»
  • контрольный модуль по теме «Программы архивирования данных»

§ 2. 4. Файлы и файловые структуры

Презентация «Файлы и файловые структуры»

Презентация «Файлы и файловые структуры» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Файлы и файловые структуры». Вариант 1
  • Онлайн тест «Файлы и файловые структуры». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • демонстрация к лекции «Файлы и файловые структуры» (N 119112)
  • демонстрация к лекции «Файловая структура диска» (N 119256
  • демонстрация к лекции «Имя файла. Путь к файлу» (N 119114)
  • анимация «Файлы и папки» (N 196624)

§ 2.5. Пользовательский интерфейс

Презентация «Пользовательский интерфейс»

Презентация «Пользовательский интерфейс» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Пользовательский интерфейс». Вариант 1
  • Онлайн тест «Пользовательский интерфейс». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ФЦИОР:

  • информационный модуль по теме «Основные элементы интерфейса и управления»
  • практический модуль теме «Основные элементы интерфейса и управления»
  • контрольный модуль по теме «Основные элементы интерфейса и управления»

Интерактивный тест по теме «Компьютер как универсальное устройство для работы с информацией»

Тест 2

Глава 3. Обработка графической информации

§ 3.1. Формирование изображения на экране монитора

Презентация «Формирование изображения на экране монитора»

Презентация «Формирование изображения на экране монитора» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Формирование изображения на экране монитора». Вариант 1
  • Онлайн тест «Формирование изображения на экране монитора». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • анимация «Цветовая модель RGB» (N 179672)
  • анимация «Цветовая модель CMYK» (N 179601)
  • тренажер «Интерактивный задачник: раздел «Представление графической информации»» (N 125772)

§ 3.2. Компьютерная графика

Презентация «Компьютерная графика»

Презентация «Компьютерная графика» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Компьютерная графика». Вариант 1
  • Онлайн тест «Компьютерная графика». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • анимация «Изображения на компьютере» (N 196610)

§ 3.3. Создание графических изображений

Презентация «Создание графических изображений»

Презентация «Создание графических изображений» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Создание графических файлов». Вариант 1
  • Онлайн тест «Создание графических файлов». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • анимация «Цветовая модель HSB» (N 179727)

Ссылки на ресурсы ФЦИОР:

  • практический модуль теме «Векторный редактор»
  • контрольный модуль по теме «Векторный редактор»
  • практический модуль теме «Растровый редактор»
  • контрольный модуль по теме «Растровый редактор»
  • практический модуль теме «Растровая и векторная графика»
  • контрольный модуль по теме «Растровая и векторная графика»

Задания для практических работ

Задание 3. 2.

  • Устройства.jpeg

Задание 3.3.

  • Сказка.jpeg

Задание 3.4.

  • Стрекоза.jpeg

Задание 3.6.

  • Панель.jpeg

Оперативная память.jpeg

Винчестер.jpeg

Диск.jpeg

Дискета.jpeg

Флэшка.jpeg

Схема.jpeg

Задание 3.10.

  • Акробат.bmp

Задание 3.11.

  • Мамонт.jpeg

Интерактивный тест по теме «Обработка графической информации»

Тест 3

Глава 4. Обработка текстовой информации

§ 4.1. Текстовые документы и технологии их создания

Презентация «Текстовые документы и технологии их создания»

Презентация «Текстовые документы и технологии их создания» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Текстовые документы и технология их создания». Вариант 1
  • Онлайн тест «Текстовые документы и технология их создания». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • тренажер «Руки солиста» (N 128669)

§ 4. 2. Создание текстовых документов на компьютере

Презентация «Создание текстовых документов на компьютере»

Презентация «Создание текстовых документов на компьютере» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Создание текстовых документов на компьютере». Вариант 1
  • Онлайн тест «Создание текстовых документов на компьютере». Вариант 2

§ 4.3. Форматирование текста

Презентация «Форматирование текста»

Презентация «Форматирование текста» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Форматирование текста». Вариант 1
  • Онлайн тест «Форматирование текста». Вариант 2

§ 4.4. Визуализация информации в текстовых документах

Презентация «Визуализация информации в текстовых документах»

Презентация «Визуализация информации в текстовых документах» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Визуализация информации в текстовых документах». Вариант 1
  • Онлайн тест «Визуализация информации в текстовых документах». Вариант 2

§ 4.5. Инструменты распознавания текстов и компьютерного перевода

Презентация «Инструменты распознавания текстов и компьютерного перевода»

Презентация «Инструменты распознавания текстов и компьютерного перевода» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Инструменты распознавания текстов и компьютерного перевода». Вариант 1
  • Онлайн тест «Инструменты распознавания текстов и компьютерного перевода». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ФЦИОР

  • контрольный модуль «Программы-переводчики»

§ 4.6. Оценка количественных параметров текстовых документов

Презентация «Оценка количественных параметров текстовых документов»

Презентация «Оценка количественных параметров текстовых документов» (Open Document Format)

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Оценка количественных параметров текстовых документов». Вариант 1
  • Онлайн тест «Оценка количественных параметров текстовых документов». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • тренажер «Интерактивный задачник. Раздел «Представление символьной информации»» (N 119265)

Ссылки на ресурсы ФЦИОР

  • информационный модуль по теме «Представление текста в различных кодировках»
  • практический модуль теме «Представление текста в различных кодировках»
  • контрольный модуль по теме «Представление текста в различных кодировках»

Задания для практических работ

Задание 4.3.

  • Вставка.rtf

Задание 4.4.

  • Замена.rtf

Задание 4.5.

  • Поиск_и_замена.rtf

Задание 4.6.

  • Удаление.rtf

Задание 4.7.

  • Перемещение.rtf

Задание 4.9.

  • Строки.rtf

Задание 4.10.

  • Цвет.rtf

Задание 4.12.

  • Эффекты. rtf

Задание 4.20.

  • Мышь.jpeg

Итоговая работа. Введение.rtf

Начало эпохи ЭВМ.rtf

Первое поколение ЭВМ.rtf

Второе поколение ЭВМ.rtf

Третье поколение ЭВМ.rtf

Четвёртое поколение ЭВМ.rtf

Заключение.rtf

Интерактивный тест по теме «Обработка текстовой информации»

Тест 4

Глава 5. Мультимедиа

§ 5.1. Технология мультимедиа

Презентация «Технология мультимедиа»

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Технология мультимедиа». Вариант 1
  • Онлайн тест «Технология мультимедиа». Вариант 2

Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР

  • анимация «Представление звука в компьютере» (N 196609)
  • анимация «Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование» (N 135035)
  • анимация «Эффект движения» (N 179677)
  • анимация «Покадровая анимация» (N 179530)
  • анимация «Анимация спрайтами» (N 179768)

§ 5. 2. Компьютерные презентации

Презентация «Компьютерные презентации»

Интерактивные тесты

  • Онлайн тест «Компьютерные презентации». Вариант 1
  • Онлайн тест «Компьютерные презентации». Вариант 2

Информатика Онлайн-репетитор и справка по заданию

Информатика — это изучение компьютерных технологий, включая аппаратное и программное обеспечение. Поскольку компьютеры доминируют во многих аспектах современной жизни, информатика является популярной областью обучения для студентов колледжей.

Когда вы изучаете информатику в колледже, вы будете тратить время на разработку, анализ и реализацию алгоритмов и компьютерного кода для решения проблем. Вы пройдете широкий спектр занятий, чтобы охватить широкий круг тем в этой области, с особым акцентом на математические навыки.

Информатика — захватывающая, развивающаяся область с прекрасными карьерными перспективами. Фактически, рабочие места, связанные с информатикой, являются одними из самых востребованных должностей в США и во всем мире. Некоторые популярные карьерные пути для специалистов по компьютерным наукам включают:

  • Разработчик программного обеспечения
  • Аналитик компьютерных систем
  • Администратор базы данных
  • Инженер по компьютерному оборудованию
  • Аналитик по информационной безопасности
  • Веб-разработчик
  • Менеджер ИТ-проектов

Если вы студент колледжа, изучающий сложный курс информатики, и вам нужна дополнительная помощь с домашними заданиями или заданиями или пониманием важных понятий, у 24HourAnswers есть команда онлайн-репетиторов по информатике, которые вам помогут. Независимо от того, начинаете ли вы изучать информатику или посещаете курсы повышения квалификации, мы подберем вам подходящего преподавателя, который поможет вам добиться успеха.

Онлайн-репетиторы по информатике

Когда вы обратитесь в 24HourAnswers за помощью в области информатики, вы получите квалифицированную помощь от наших онлайн-репетиторов. Вы можете запланировать сеанс репетиторства или получить помощь с домашним заданием практически по любой теме компьютерных наук.

Сеансы репетиторства по информатике

Запланируйте онлайн-виртуальный сеанс репетиторства с одним из наших репетиторов по информатике , чтобы получить все необходимые домашние задания или помощь в выполнении заданий. Мы используем современную технологию белой доски с видео, аудио, совместным использованием рабочего стола и возможностью загрузки файлов. Запланировав сеанс заранее, вы можете загружать такие материалы, как домашние задания, заметки и старые тесты, чтобы ваш репетитор по информатике мог их просмотреть заранее.

Помощь с выполнением домашних заданий по информатике

Если у вас возникли проблемы с алгоритмом или заданием по программированию, отправьте запрос на получение помощи по выполнению домашнего задания по информатике от наших опытных преподавателей. Они дадут вам подробные объяснения и примеры концепций, связанных с вашим заданием, которые вы сможете использовать для создания своего решения.

Если вам нужна немедленная помощь, выполните поиск в нашей библиотеке домашних заданий, чтобы найти решенные задачи по информатике, связанные с вашим заданием.

Темы информатики

Наши онлайн-репетиторы по информатике помогут вам с любой темой, от основ программирования до продвинутых алгоритмов. У нас есть преподаватели, которые специализируются в разных областях компьютерных наук и языков программирования. Вы можете получить задание или помочь с домашним заданием по широкому кругу тем по информатике в четырех основных категориях:

  • Теоретическая информатика:  В этой области обучения используются логика и вычисления для решения проблем с программным обеспечением. Примеры включают теорию кодирования, структуры данных и алгоритмы.
  • Компьютерные системы: Эти курсы обычно включают изучение вычислительных структур, включая компьютерную архитектуру и проектирование.
  • Компьютерные приложения:  Здесь вы описываете случаи, когда компьютеры используются для решения реальных проблем. Темы включают искусственный интеллект, научные вычисления и компьютерную визуализацию.
  • Разработка программного обеспечения:  Это изучение создания программного обеспечения, включая проектирование и реализацию с использованием программного кода. 24HourAnswers поддерживает студентов, изучающих множество языков программирования, включая Java, C++, Python, HTML, PHP и многие другие.

Почему стоит выбрать 24HourAnswers для помощи в области информатики?

24HourAnswers свяжет вас с высококвалифицированными преподавателями информатики. В отличие от других онлайн-репетиторов, в которых работают только студенты колледжей, у нас есть элитная команда опытных профессионалов. Многие из наших преподавателей имеют ученые степени в своей области, в том числе докторские степени или эквивалентные сертификаты. Мы тщательно проверяем всех наших кандидатов, тщательно проверяя их квалификацию, чтобы гарантировать, что мы нанимаем только лучших преподавателей информатики.

Мы также предоставляем помощь 24/7, чтобы помочь вам, когда вам это нужно больше всего. Если у вас нехватка времени и вам как можно скорее нужна помощь с заданиями по информатике или домашним заданием, вы можете рассчитывать на нашу быструю и надежную академическую поддержку.

Благодаря нашей простой процедуре вы можете быстро и легко получить помощь. Просто введите свой запрос или вопрос, загрузите любые соответствующие файлы, введите срок выполнения и укажите свой бюджет, чтобы начать. Вы получите ответ от репетитора по информатике в кратчайшие сроки — иногда в течение нескольких минут — с цитатой. Ваша указанная цена уникальна для вашего запроса, без скрытых затрат или обязательств. Вы также можете обсудить цитату со своим преподавателем.

Запросите помощь по информатике уже сегодня!

Создание учетной записи занимает менее 30 секунд. Отправьте запрос на онлайн-репетиторство или помощь в выполнении домашних заданий по информатике уже сегодня!

Получите необходимую помощь в любое время
Чтобы выполнить нашу репетиторскую миссию онлайн-обучения, наши центры помощи с домашними заданиями в колледже и онлайн-репетиторские центры работают круглосуточно и без выходных, готовые помочь студентам колледжа, которым нужна помощь с домашними заданиями во всех аспектах информатики.
Наши преподаватели информатики могут помочь со всеми вашими проектами, большими или маленькими, и мы призываем вас найти лучшие онлайн-репетиторы по информатике в любом месте.

 

 

Подробнее

Справка по информатике для колледжа

Поскольку у нас есть преподаватели по всем темам, связанным с информатикой, мы можем предоставить ряд различных услуг. Наши онлайн-репетиторы по информатике:

  • Предоставят конкретную информацию для домашних заданий.
  • Обзор общих концептуальных идей и глав.
  • Превратите сложные темы в удобоваримую информацию.
  • Ответьте на любые вопросы, связанные с информатикой.
  • Индивидуальная инструкция, соответствующая вашему стилю обучения.

Благодаря этим возможностям наши преподаватели компьютерных наук в колледже предоставят вам инструменты, необходимые для получения всесторонних знаний в области компьютерных наук, которые вы сможете использовать в будущих курсах.

24HourAnswers Online Репетиторы по информатике

Наши репетиторы так же заинтересованы в ваших успехах в классе, как и вы, поэтому они доступны круглосуточно, чтобы помочь вам с вопросами, домашними заданиями, подготовкой к экзаменам и любыми дополнительными заданиями, связанными с информатикой. помогите доделать.

Работая с нами, вы не только получите доступ к высококвалифицированным преподавателям, но и повысите уровень уверенности в себе в классе. Эта новообретенная уверенность позволит вам применить свои знания в области компьютерных наук на будущих курсах и обеспечить плавный прогресс в обучении.

Поскольку преподаватели компьютерных наук в нашем колледже работают полностью удаленно, обратиться к ним за помощью несложно. Вместо того чтобы тратить драгоценное время на поиски местного репетитора по компьютерным наукам, которому вы можете доверять, просто обращайтесь к нашим репетиторам всякий раз, когда они вам нужны, без каких-либо конфликтующих графиков.

Справка по информатике — Codersarts

Codersarts — это веб-сайт с самым высоким рейтингом для студентов, которые ищут справку по информатике по программированию, помощь в выполнении домашних заданий, помощь в курсовых работах по языкам программирования, веб-разработке, базам данных, мобильной разработке, базам данных и машинному обучению

СВЯЗАТЬСЯ С НАМИ

Будем рады получить от вас известия

Темы программирования по запросу

Любимые предметы

Языки программирования:

C, C++, Java, Python, C#

Разработка веб-сайтов

HTML, CSS, JavaScript, React.JS, Angular, Node.JS

Разработка приложений

Android, Sw ифт, iOS, React Native

Data Science

Machine Learning, Deep Learning, NLP, R Programming

Database

MySQL, Oracle, PostgreSQL, MongoDB

Computer Science Assignment Help

Coders arts — это веб-сайт с самым высоким рейтингом для студентов, который ищу справку по программированию в области компьютерных наук, помощь в выполнении домашних заданий, помощь в курсовых работах по языкам программирования (C, C++, Java, Python, C#, JavaScript, PHP, TypeScript), веб-программированию (HTML, CSS, JavaScript, React. js, Angular, Node .js, Next.js, MERN Stack, Django, Flask, микросервисы Spring Boot), базы данных (Oracle, MySQL, PostGreSQL, SQLite, MongoDB), машинное обучение, структура данных и алгоритмы, выпускной проект, Android и т. д. для студентов на всех уровнях, будь то школа, колледж и университетский уровень Помощь в курсовой работе или проект в реальном времени.

 

Мы предлагаем помощь по проекту по информатике, помощь в выполнении задания по информатике, руководство по проекту по информатике на выпускной год от эксперта по информатике.

​

 

Если вы только начинаете, то вам нужно проявить терпение во время изучения программирования и других предметов. сложны и не в состоянии понять эти темы, поэтому вы чувствуете себя немного подавленным и ищете кого-то, кто поможет вам и прояснит темы. Например, в задании по информатике или домашнем задании по информатике есть нечто большее.

​

Но как вы можете доверять кому-то в сети, кто может выполнить вашу домашнюю работу до истечения срока. Эта задача немного трудоемкая и скучная. Каждый раз вам нужно искать и назначать кого-то, кто сделает вашу домашнюю работу.

Служба CodersArts по оказанию помощи в выполнении заданий по информатике заслуживает доверия и стремится доставить ее раньше времени. Каждое задание по информатике написано экспертом исключительно для каждого учащегося. Мы здесь, чтобы решить вашу задачу по информатике.

 

Наши специалисты доступны 24/7, чтобы мгновенно помочь вам со всеми вашими вопросами и сомнениями.

Помощь с домашним заданием по информатике

Существуют следующие области услуг по информатике, как указано ниже:

​

Программирование: Наиболее широко используемыми языками программирования являются Python, C, C++ и JAVA.

​

Структуры данных: Это касается организации данных, присутствующих в основной памяти компьютера или даже в дисковом хранилище. Различные типы структур данных — это связанные списки, очереди, деревья, стеки и т. д. Благодаря реализации структуры данных операции с данными могут выполняться эффективно, экономя много памяти и времени. В каждом типе структуры данных доступ к данным осуществляется уникальным способом.

​

База данных: База данных представляет собой организованный набор данных. Реляционная база данных, в более узком смысле, представляет собой набор схем, таблиц, запросов, отчетов, представлений и других элементов. Разработчики баз данных обычно организуют данные для моделирования аспектов реальности таким образом, чтобы поддерживать процессы, требующие информации, такие как (например) моделирование доступности номеров в отелях таким образом, чтобы поддерживать поиск отеля со свободными местами. Примеры: Oracle, Mysql,

SQL Server, MongoDb и т. д.

Чего ожидает учащийся от изучения информатики  Справка по заданию

  • Профессиональные разработчики, умеющие писать четкий и лаконичный код.

  • Каждая строка кода с надлежащими комментариями, чтобы студент мог легко объяснить свой код, когда профессора спросят.

Y f x построить график функции: Построение графика функции y = f(x + l) + m — урок. Алгебра, 8 класс.

alexxlab / / Разное

Как построить график функции y = f (x+l) и y = f (x)+m, если известен график функции y = f(x). 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

  • повторить правила построения и свойства графиков функций у = x2, , , у =| x |;
  • выяснить правила построения графиков функций у = f (x + l) и у = f (x) + m;
  • развить умение строить графики функций;
  • развивать познавательную активность учащихся.

Оборудование: интерактивная доска,  проектор, презентация к уроку.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Устная работа (Приложение. Слайды 2-8.)

Задание: Графики каких функций изображены на рисунках? (у = x2, у = – x2, , , , , у =| x |, у = – | x |).
Для каждой из функций сформулировать ее свойства и правила построения графика функции.

3. Изучение нового материала (Приложение)

На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x2 и у = x2 +1.  Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы  (параллельном переносе) на 1 единицу вверх. (Слайд 10.)

На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x2 и у = x2– 1.   Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы  (параллельном переносе) на 1 единицу вниз. (Слайд 11.)

На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x2 и у = (x – 1)2.  Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы  (параллельном переносе) на 1 единицу вправо. (Слайд 12.)

На координатной плоскости в тетрадях учащиеся по точкам строят графики функций у = x2 и у = (x + 1)2.  Учащиеся самостоятельно приходят к выводу о сдвиге параболы  (параллельном переносе) на 1 единицу влево. (Слайд 13.)

С помощью учителя учащиеся формулируют правило построения графика функции у = f (x + l) и графика функции  у = f (x) + m  с помощью сдвига графика функции   у = f (x).  (Слайды 14-18.  Анимация сдвигов графиков на слайдах помогает лучшему восприятию правила. )

Затем рассматривается вариант построения графика функции у = f (x + l) и графика функции  у = f (x) + m  с помощью сдвига графика функции   у = f (x), если известен график функции   у = f (x) с помощью сдвига осей координат.  (Слайды 19-23.  Анимация сдвигов осей координат на слайдах помогает лучшему восприятию правила построения графиков.)

Правила построения графиков функций у = f (x + l) и у = f (x) + m записываются в тетрадь.

4. Закрепление материала

№ 19.6, № 20.6, № 19.11(в), № 19.12(в), № 19.13(в), № 19.14(в), № 20.11(в), № 20.12(в), № 20.13(в), № 20.14(в).

5. Домашнее задание

Параграф 19, 20 учебника, № 19.5, № 20.5, № 19.11–19.14(а), № 20.11–20.14(а).

6. Подведение итогов урока

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Поиск по сайту:

Справочник по математикеАлгебраКоординатная плоскость

      Элементарные преобразования графика функции   y = f (x )   перечислены в следующей таблице.

ПреобразованиеОписаниеРисунок

y = f (x + c),
c   – число

В случае   c > 0   график функции 
y = f (x)   переносится влево
на расстояние | c |

В случае   c < 0   график функции
y = f (x)   переносится вправо
на расстояние | c |

y = f (x) + c,
c   – число

В случае   c > 0   график функции
y = f (x)   переносится вверх
на расстояние | c |

В случае   c < 0   график функции
y = f (x)   переносится вниз
на расстояние | c |

y = – f (x)

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Ox.

y = f ( – x)

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Oy.


y = f (kx),
k   – число

В случае   k > 1   происходит
сжатие графика функции
  y = f (x)   в   k   раз к оси   Oy.

В случае   0 < k < 1   происходит растяжение графика функции
y = f (x)   в раз от оси   Oy.

В случае   – 1 < k < 0   происходит растяжение графика функции
y = f (x)   в     раз от оси   Oy
с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

В случае   k < – 1   происходит
сжатие графика функции
y = f (x)   в   | k |   раз к оси   Oy
с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.


y = k f (x),
k   – число

В случае   k > 1   происходит
растяжение графика функции
y = f (x)   в   k   раз от оси   Ox.

В случае   0 < k < 1   происходит
сжатие графика функции
y = f (x)   в     раз к оси   Ox.

В случае   – 1 < k < 0   происходит
сжатие графика функции
y = f (x)   в     раз к оси   Ox
с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

В случае   k < – 1   происходит
растяжение графика функции
y = f (x)   в   | k |   раз от оси   Ox
с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

y = | f (x)|

Часть графика функции   y = f (x),   расположенная в области
,
остаётся на месте.
Часть графика функции   y = f (x), расположенная в области
y < 0,
симметрично отражается относительно оси Ox.

y = f (| x|)

Ось   Oy   является осью симметрии
графика функции   y = f (| x|).

Часть графика функции   y = f (x), расположенная в области

остаётся на месте.
Часть графика функции
y = f (| x|),
расположенная в области
x < 0,
получается из части графика, расположенной в области

при помощи симметричного отражения относительно оси Oy.

Преобразование   y = f (x + c),  где c   – число

В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится влево на расстояние | c |

В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вправо на расстояние | c |

Преобразование   y = f (x) + c,  где   c   – число

В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится вверх на расстояние | c |

В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вниз на расстояние | c |

Преобразование   y = – f (x)

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Ox.

Преобразование   y = f ( – x)

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Oy.

Преобразование   y = f (kx), где  k   – число

В случае   k > 1   происходит сжатие графика функции
y = f (x)   в   k   раз к оси   Oy.

В случае   0 < k < 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в раз от оси   Oy.

В случае   – 1 < k < 0   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в     раз от оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

В случае   k < – 1   происходит сжатие графика функции
y = f (x)   в   | k |   раз к оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

Преобразование   y = k f (x), где  k   – число

В случае   k > 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   k   раз от оси   Ox.

В случае   0 < k < 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в     раз к оси   Ox.

В случае   – 1 < k < 0   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в     раз к оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

В случае   k < – 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   | k |   раз от оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

Преобразование   y = | f (x)|

Часть графика функции
y = f (x),   расположенная в области , остаётся на месте. Часть графика функции   y = f (x),   расположенная в области   y < 0,   симметрично отражается относительно оси Ox.

Преобразование   y = f (| x|)

Ось   Oy   является осью симметрии графика функции   y = f (| x|).

Часть графика функции
y = f (x), расположенная в области остаётся на месте. Часть графика функции   y = f (| x|),   расположенная в области   x < 0,   получается из части графика, расположенной в области при помощи симметричного отражения относительно оси Oy.

Преобразование   y = f (x + c),  где c   – число

Описание:

В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится влево на расстояние | c |

Рисунок:

Описание:

В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вправо на расстояние | c |

Рисунок:

Преобразование   y = f (x) + c,  где c   – число

Описание:

В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится вверх на расстояние | c |

Рисунок:

Описание:

В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вниз на расстояние | c |

Рисунок:

Преобразование   y = – f (x)

Описание:

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Ox.

Рисунок:

Преобразование   y = f ( – x)

Описание:

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Oy.

Рисунок:

Преобразование   y = f (kx), где  k   – число

Описание:

В случае   k > 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   k   раз к оси   Oy.

Рисунок:

Описание:

В случае   0 < k < 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в раз от оси   Oy.

Рисунок:

Описание:

В случае   – 1 < k < 0   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в     раз от оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

Рисунок:

Описание:

В случае   k < – 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   | k |   раз к оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

Рисунок:

Преобразование   y = k f (x), где  k   – число

Описание:

В случае   k > 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   k   раз от оси   Ox.

Рисунок:

Описание:

В случае   0 < k < 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в     раз к оси   Ox.

Рисунок:

Описание:

В случае   – 1 < k < 0   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в     раз к оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

Рисунок:

Описание:

В случае   k < – 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   | k |   раз от оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

Рисунок:

Преобразование   y = | f (x)|

Описание:

Часть графика функции y = f (x),   расположенная в области , остаётся на месте. Часть графика функции   y = f (x),   расположенная в области   y < 0,   симметрично отражается относительно оси Ox.

Рисунок:

Преобразование   y = f (| x|)

Описание:

Ось   Oy   является осью симметрии графика функции   y = f (| x|).

Часть графика функции   y = f (x), расположенная в области остаётся на месте. Часть графика функции   y = f (| x|),   расположенная в области   x < 0,   получается из части графика, расположенной в области при помощи симметричного отражения относительно оси Oy.

Рисунок:

      Примеры элементарных преобразований графика функции   y = x2   приведены в следующей таблице.

ФункцияГрафик
y = x2 = f (x)

y = x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 =

= f (x + 2)

y = x2 – 4x + 4 = (x – 2)2 =

= f (x – 2)

y = x2 + 2 = f (x)+ 2
y = x2 – 2 = f (x) – 2
y = – x2 = – f (x)
y = 2x2 = 2 f (x)

Функция:

y = x2 = f (x)

График:

Функция:

y = x2 + 4x + 4 =
= (x + 2)2 =
= f (x + 2)

График:

Функция:

y = x2 – 4x + 4 =
= (x – 2)2 =
= f (x – 2)

График:

Функция:

y = x2 + 2 =
= f (x)+ 2

График:

Функция:

y = x2 – 2 =
= f (x) – 2

График:

Функция:

y = – x2 =
= – f (x)

График:

Функция:

y = 2x2 =
= 2 f (x)

График:

      Примеры элементарных преобразований графика функции   y = x2 – 6 x + 5   приведены в следующей таблице.

ФункцияГрафик
y = x2 – 6x + 5 =
= f (x)
y = x2 + 6x + 5 =
= f (– x)
y = 4x2 – 12x + 5 =
= f (2x)
y = | x2 – 6x + 5| =
= | f (x)|
y = x2 – 6 | x| + 5 =
= f (| x|)

Функция:

y = x2 – 6x + 5 =
= f (x)

График:

Функция:

y = x2 + 6x + 5 =
= f (– x)

График:

Функция:

y = 4x2 – 12x + 5 =
= f (2x)

График:

Функция:

y = | x2 – 6x + 5| =
= | f (x)|

График:

Функция:

y = x2 – 6 | x| + 5 =
= f (| x|)

График:

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд


НАШИ ПАРТНЕРЫ
  • «НПО Астек»
  • «Fastvideo»
  • Бюро переводов «Медтран»
  • Независимый бизнес-консультант Е.Самаров

       

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найти производную — d/dx
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценка интеграла 9бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92

Поверхности как графики функций

Если $f$ — скалярная функция одной переменной, $f:\R \to \R$ (перепутали?), тогда графом $f$ называется множество точек $(x,f(x))$ для всех $x$ в области определения $f$. Когда часто называют это график $y=f(x)$, поскольку мы считаем, что точки лежат в $xy$-плоскости. При нанесении точек на $xy$-плоскость они обычно образуют кривую a точек, например график $f(x)=\sin x$ показано ниже. 92 \to \R$ таким же образом. График представляет собой набор точек $(x,y,f(x,y))$ для всех $(x,y)$ в области определения $f$. Когда часто называют это график $z=f(x,y)$, так как мы считаем, что точки лежат в $xyz$-пространство. Вы можете не найти это формальное определение особенно информативным, но мы можем показать, что график $f(x,y)$ является поверхностью.

Функция f принимает два входа, $x$ и $y$, и возвращает одно число, которое мы называем $z$. Если провести координатные оси $x$-$y$-$z$ стандартным образом, ось $z$ представляет высоту, и это ключ к построению графика $f(x,y)$. Если вы выберете точку $(x,y)$ на плоскости $xy$, то $z=f(x,y)$ представляет собой высоту графика в этой точке. Например, вот график простой функции $g(x,y)=1$. Независимо от того, какие значения вы выберете для $x$ и $y$, функция $g$ всегда будет возвращать («высоту») единицу.

Загрузка апплета

Горизонтальная плоскость. График функции $g(x,y)=1$ представляет собой горизонтальную плоскость высотой 1.

Подробнее об апплете.

График функции одной переменной $g(x)$ представляет собой линия с наклоном 1 через начало координат. Можете ли вы представить, что график ее обобщения на две переменные, функция $g(x,y)=x+y$, будет выглядеть? Это будет не линия, а плоскость. Этот график не будет иметь постоянную высоту, равную единице, но вы сможете сделать некоторые наблюдения:

  • Если $y=-x$, то $g(x,y)=0$.
  • Если $x$ и $y$ оба положительны, то $g(x,y) > 0$.
  • Если $x$ и $y$ оба отрицательны, то $g(x,y)
  • Если вы зафиксируете $x$ или $y$ и увеличите другую переменную, функция будет возрастать с наклоном, равным единице.

Можете ли вы увидеть, правда ли это на графике?

Загрузка апплета

Наклонная плоскость. График функции $g(x,y)=x+y$ представляет собой наклонную плоскость.

Вычислить площадь фигуры ограниченной параболами: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

alexxlab / / Разное
2
Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7. 3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь

Другие функции:

asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности

Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями.

Пример 1:

С помощью определённого интеграла вычислить площадь области D, ограниченной заданными линиями.

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области.

Решение от преподавателя:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

построить схематический чертеж в декартовых координатах.

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Сделать чертеж области, ограниченной заданными линиями. Вычислить площадь полученной фигуры

Решение от преподавателя:

Построим область, площадь которой необходимо найти, заштрихуем искомую фигуру.

Затем найдём ординаты точек пересечения кривой и прямой.

Для этого приравняем правые части уравнений 

 и прямой 

и решим полученное квадратное уравнение

Корни этого уравнения  

Применим формулу:

Вычислим искомую площадь:

Ответ:

 

 

Пример 7:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

используя двойной интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Найти площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат играфиком функции

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции прямыми .

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Вычислить площадь фигуры ограниченную линиями:

y=sinx, y = cosx, x = 0.

Решение от преподавателя:

Расмотрим два случая:

а) точка

Согласно критерию Лебега, функция интегрируема, если существует конечное число точек разрыва (в данном случае 1)

б) входит

Пример 15:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение от преподавателя:


Пример 16:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение от преподавателя:


Пример 17:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

Пример 18:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

построить схематический чертеж в декартовых координатах.

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  используя двойной интеграл.

Решение от преподавателя:

 

=0,5238 кв. ед.

Пример 23:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x2  =  y +2 и y =-x.

Решение от преподавателя:

y=x2 — 2 и y =-x

Построим графики функций:

Пример 24:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=4x-x2 ;  y=0

Решение от преподавателя:

Вначале построим фигуру, ограниченную данными линиями:

Искомая площадь находится по формуле

Ответ: Площадь искомой фигуры 32/3 (ед2).

Пример 25:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 

Решение от преподавателя:

Построим фигуру:

Находим точки пересечения:

Искомая площадь состоит из двух одинаковых частей, поэтому достаточно найти площадь одной из них и умножить на 2:

Ответ:

Пример 26:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и расположенной в первой четверти координатной плоскости. Сделать чертеж.

Решение от преподавателя:

Сначала сделаем схематичный чертёж. Построим график функции

Искомую площадь вычислим при помощи определённого интеграла.

Ответ:

Пример 27:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

 

Пример 28:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямой .

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Решение от преподавателя:

Пример 31:

Найти площадь фигуры, ограниченной линией:

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

Пример 33:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

Работа вам нужна срочно.
Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
2dot

вопросы: найдите площадь фигуры, ограниченной параболой, а парабола дана, наш X равен 2 y в квадрате, а X равен 1 минус 3 Y + 2 найдите площадь, которую они обе покрывают, чтобы они были окружены по этой параболе так что я сделал это нарисовал параболу вы сделали координатные оси и есть парабола и пометили несчастный теперь вы видите что это Х равно 1 минус 3 на 4 и Х равно равно минус 2 y в квадрате, чтобы найти площадь ограниченной фигуры, поэтому из диаграммы мы можем видеть, что все это представляет собой площадь, ограниченную параболой, поэтому в основном мы должны вычислить мы должны вычислить эту площадь, поэтому для этого что что вы собираетесь сделать, это мы собираемся вычислить площадь, ограниченную Воробьем, то есть X, равно 1 минус квадрат A, и вычесть площадь, ограниченную притчей 1 -2, как вызвать вы должны se

как это это прямоугольная коробка и это маленькая прямоугольная коробка это но теперь мы должны рассчитать площадь дивана в этом месяце делая это либо мы находим размеры этого и вычисляем площадь либо иначе мы можем вычислить площадь весь прямоугольный блок и минус эта часть, так что в основном мы делаем C, используя ту же концепцию, что и вы, поэтому, когда мы вычисляем площадь, ограниченную параболой, она дает всю площадь, которая покрывается в нашем случае, например, это 1-3 вайшнавов, интегрируйте это когда мы интегрируем эту притчу из пределов 12, какой бы ограниченный вы ни хотели найти, область должна дать всю эту область, которая оказывается в левой части этого сайта сейчас, и аналогично для этого — белый для голосовых вызовов от 0 к нему будет включен вся часть слева, поэтому, когда область притяжения ограничена квадратом 1 минус 3 y, а мой пенис притягивает область, ограниченную США этим малым квадратом минус 2 y, мы получаем площадь, необходимую для этого, чтобы сначала найти это

точки, где эти две, чтобы мы могли рассчитать, откуда и где найти угловой диван, делая то, что нам нужно, чтобы найти точку пересечения Итак, уравнения: X равно 1 минус 3 y квадрат и и X равно равно минус 2 y в квадрате sunao см. оба уравнения с обоими уравнениями 1 минус 3 y в квадрате равно минус 2 y в квадрате, поэтому, когда мы возьмем это слева, это станет одним минус y в квадрате равно нулю, поэтому почему появляется сперма чтобы быть одним, поэтому отсюда, почему из вас выходит -1, и это два значения того, почему теперь Forex Forex поместит значение Y, так что это от x дано нам 1 минус 3 y квадратный закон в обоих вопрос Вы можете видеть, что это было именно так, в основном, когда у вас есть -11, значение x будет выглядеть так, как будто вы будете использовать один год, поэтому X равно 1 минус 3 в одном квадрате

эта концепция X равна 1 минус 3 X получается -2, так что теперь мы идем отсюда, мы можем сказать, что две координаты, потому что тогда координаты станут -2 -1 и -2 Паван, так что это верхнее часть равна -2 кам — одна, а нижняя — -2 -1, поэтому мы получили наши значения, теперь мы должны вычислить это для этого, что мы собираемся сделать, это ограниченная область, так что теперь, если вы видите, что это площадь вдоль линии вдоль оси x, симметричная с обеих сторон, в основном область, расположенная ниже оси x, аналогична той, что находится над осью x, поэтому, что мы можем сделать, мы можем найти любой из них и просто удвоить x 2 получит всю область то же самое, чтобы сделать вашу поддержку, скажем, эту область, ограниченную областью, ограниченную

парабола равна 2 x 2 X, поэтому мы должны интегрировать эту область от 0, потому что она не равна нулю, да, она равна нулю, потому что мы интегрируем ее по координатам y y, поэтому в основном от Y, если вы видите, что она идет от от нуля до единицы вычисляется значение Y, поэтому от 0 до 1 лакха для расчета, поэтому из пределов от нуля до единицы теперь то, что внешнее уравнение будет один минус 3 y в квадрате, так что это приведет к 1 минус 3 Y — из них уравнения шахтеров минус 2 y в квадрате, так что в DY, так что это вопрос, который мы должны решить только области гитары, супер делая 2 в 10 до 11 — 3 y в квадрате + 2 y в квадрате DY, так что получается

Tu в 2021 году 1 минус y в квадрате на DY, так что теперь вы разделите студентов на 2021 Divine -2 в 2021 y в квадрате sunao aap для расчета решит эти Integra, поэтому, когда мы решим это kaun sa Ab To 12 vi от 0 до 1 минус 2 в кубе y на 3 от 0 до 1 12 футов значения нуля в одном, так что это выйдет 20 и 21 — 0 — 2 в это приведет к 1 на 3 минус ноль, поэтому, когда вы так на этом концерте к Bittu это будет становится слишком y3, поэтому, когда cal становится 6 — 2y 3, поэтому ответ считается равным 4 на 3 квадратных единицы

MathScene — Интеграция — Урок 3

MathScene — Интеграция — Урок 3
2010  Расмус Эф    и Джанн Сак

Интеграция

Урок 3

Области между графиками функции

 

Области, ограниченные графиками функций, можно найти интегрированием. Для Например, мы найдем площадь, ограниченную двумя графиками f(x) = x 2 + 5x 3 и у = х.
Это площадь, показанная в калькуляторе:

Начнем с нахождение точек пересечения двух графиков, чтобы дать нам границы площади:

х 2 + 5х 3 = х

х 2 + 4х 3 = 0 Упрощать.

(x 2 4x + 3) = 0              1 из-за скобки.

(x 1)(x 3) = 0              Факторизация .

(х 2 4x + 3) = 0             

(x 1)(x 3) = 0             

Точками пересечения являются x = 1 и x = 3. Они лежат на прямой y = x, поэтому координаты y совпадают с координатами x, то есть (1, 1) и (3, 3).

Нам нужно только используйте координаты x для вычисления площади между каждой кривой и осью x.

Интеграл дает площадь между осью x и функцией е (х) = х 2 + 5x 3 на интервале от 1 до 3.

Это заштрихованная область графика ниже

 

Таким же образом это площадь между y = x и x — на одном интервале. Снова на графике показана площадь найденный.

Если мы соединим эти два графика, мы увидим, что область, которую мы хотим найти, является разница между двумя вышеперечисленными.

Итак, мы просто нужно взять разницу между двумя интегралами, чтобы найти площадь, которую мы требовать.


Упростите перед интеграцией

 

 

 

Теперь давайте посмотрим если этот метод работает, если мы сдвинем оба графика вниз на две единицы так, чтобы необходимая площадь находится как выше, так и ниже оси x.

Новое уравнение параболы будет f(x) = x 2 + 5x 3 2 = x 2 + 5x 5 и линии y = x 2. На диаграмме показана новая ситуация.

Точки пересечения остаются прежними, так как мы добавили 2 к обеим сторонам уравнение. Ниже приведены расчеты, если вы не уверены!

x 2 + 5x 5 = x 2          

х 2 + 4х 3 = 0 Упростить .

    (x 2 4x + 3) = 0             

(x 1)(x 3) = 0              Факторизация.

И снова решения x = 1 и x = 3. Интегрируя таким же образом, вы можете видеть, что 2 снова упрощается, поэтому мы имеем тот же результат, что и раньше.

Это означает что при вычислении площади между кривыми нам не нужно беспокоиться о независимо от того, находится ли область выше или ниже оси x, метод всегда один и тот же.

Площадь ограничен сверху графиком е(х) и ниже по графику g(x):

Границы х = а и х = б являются решениями уравнения

f(x) = g(x)

Пример 1

Найдите площадь между параболой f(x) = x 2 4 и линия у = х 2.

Начнем с решение уравнения x 2 4 = x 2 найти площадь границы

х 2 4 = х 2

   x 2 4 х + 2 = 0

х 2 х 2 = 0

   (х + 1)(х 2) = 0

Решения: х = 1 х = 2,

Это хорошая идея, чтобы посмотреть на график и область, вовлеченную в калькулятор.

Мы видим, что линия ограничивает область выше, поэтому мы вычитаем интеграл от парабола от линии.

Пример 2

Найдите площадь, заключенную между графиками f(x) = sin x и g(x) = cos x. на интервале 0 ≤ x < 2p
Калькулятор показывает нам площадь, которую мы собираемся найти.

Мы снова должны начнем с поиска точек пересечения двух графиков.

Решение уравнения грех х = потому что х.

   sin x/cos x = 1 Разделить на cos х

тангенс х = 1

х = коричневый 1 1 = /4 + номер

Это означает что х = /4 и х = 5/4 на интервале 0 ≤ x < 2

График f(x) = sin x лежит над графиком g(x) = cos x на всех интервал между точками пересечения, поэтому расчеты площади выглядят как следует:

Сейчас потому что /4 = грех / 4 «=» и cos 5/4 = грех 5/4 «=»

Таким образом, точное значение площади равно

.

Пример 3

Найдите площадь, ограниченную графиками прямой y = 3x + 1 и многочлен f(x) = ⅓ x 3 2x 2 + 3x + 1.

Сначала график рисуется с помощью калькулятора. Следующие значения окна должны работать

Вот график:

Теперь вычисляем точки пересечения.

Наименьшее общее кратное 14 и 28

Второй способ нахождения НОК для чисел 14 и 28 заключается в перечислении всех кратных для обоих чисел и выбор первого совпадающего:

Кратные числа 14: 14, 28, 42, 56

Кратные числа 28: 28, 56, 84, 112, 140, 168, 196, 224, 252, 280, 308, 336, 364, 392, 420, 448, 476, 504, 532, 560, 588, 616, 644, 672, 700, 728, 756, 784, 812, 840, 868, 896, 924, 952, 980, 1008, 1036, 1064, 1092, 1120, 1148, 1176, 1204, 1232, 1260, 1288, 1316, 1344, 1372, 1400, 1428, 1456, 1484, 1512, 1540, 1568, 1596, 1624, 1652, 1680, 1708, 1736, 1764, 1792, 1820, 1848, 1876, 1904, 1932, 1960, 1988, 2016, 2044, 2072, 2100, 2128, 2156, 2184, 2212, 2240, 2268, 2296, 2324, 2352, 2380, 2408, 2436, 2464, 2492, 2520, 2548, 2576, 2604, 2632, 2660, 2688, 2716, 2744, 2772, 2800, 2828, 2856, 2884, 2912, 2940, 2968, 2996, 3024, 3052, 3080, 3108, 3136, 3164, 3192, 3220, 3248, 3276, 3304, 3332, 3360, 3388, 3416, 3444, 3472, 3500, 3528, 3556, 3584, 3612, 3640, 3668, 3696, 3724, 3752, 3780, 3808, 3836, 3864, 3892, 3920, 3948, 3976, 4004, 4032, 4060, 4088, 4116, 4144, 4172, 4200, 4228, 4256, 4284, 4312, 4340, 4368, 4396, 4424, 4452, 4480, 4508, 4536, 4564, 4592, 4620, 4648, 4676, 4704, 4732, 4760, 4788, 4816, 4844, 4872, 4900, 4928, 4956, 4984, 5012, 5040, 5068, 5096, 5124, 5152, 5180, 5208, 5236, 5264, 5292, 5320, 5348, 5376, 5404, 5432, 5460, 5488, 5516, 5544, 5572, 5600, 5628, 5656, 5684, 5712, 5740, 5768, 5796, 5824, 5852, 5880, 5908, 5936, 5964, 5992, 6020, 6048, 6076, 6104, 6132, 6160, 6188, 6216, 6244, 6272, 6300, 6328, 6356, 6384, 6412, 6440, 6468, 6496, 6524, 6552, 6580, 6608, 6636, 6664, 6692, 6720, 6748, 6776, 6804, 6832, 6860, 6888, 6916, 6944, 6972, 7000, 7028, 7056, 7084, 7112, 7140, 7168, 7196, 7224, 7252, 7280, 7308, 7336, 7364, 7392, 7420, 7448, 7476, 7504, 7532, 7560, 7588, 7616, 7644, 7672, 7700, 7728, 7756, 7784, 7812, 7840, 7868, 7896, 7924, 7952, 7980, 8008, 8036, 8064, 8092, 8120, 8148, 8176, 8204, 8232, 8260, 8288, 8316, 8344, 8372, 8400, 8428, 8456, 8484, 8512, 8540, 8568, 8596, 8624, 8652, 8680, 8708, 8736, 8764, 8792, 8820, 8848, 8876, 8904, 8932, 8960, 8988, 9016, 9044, 9072, 9100, 9128, 9156, 9184, 9212, 9240, 9268, 9296, 9324, 9352, 9380, 9408, 9436, 9464, 9492, 9520, 9548, 9576, 9604, 9632, 9660, 9688, 9716, 9744, 9772, 9800, 9828, 9856, 9884, 9912, 9940, 9968, 9996, 10024, 10052, 10080, 10108, 10136, 10164, 10192, 10220, 10248, 10276, 10304, 10332, 10360, 10388, 10416, 10444, 10472, 10500, 10528, 10556, 10584, 10612, 10640, 10668, 10696, 10724, 10752, 10780, 10808, 10836, 10864, 10892, 10920, 10948, 10976, 11004, 11032, 11060, 11088, 11116, 11144, 11172, 11200, 11228, 11256, 11284, 11312, 11340, 11368, 11396, 11424, 11452, 11480, 11508, 11536, 11564, 11592, 11620, 11648, 11676, 11704, 11732, 11760, 11788, 11816, 11844, 11872, 11900, 11928, 11956, 11984, 12012, 12040, 12068, 12096, 12124, 12152, 12180, 12208, 12236, 12264, 12292, 12320, 12348, 12376, 12404, 12432, 12460, 12488, 12516, 12544, 12572, 12600, 12628, 12656, 12684, 12712, 12740, 12768, 12796, 12824, 12852, 12880, 12908, 12936, 12964, 12992, 13020, 13048, 13076, 13104, 13132, 13160, 13188, 13216, 13244, 13272, 13300, 13328, 13356, 13384, 13412, 13440, 13468, 13496, 13524, 13552, 13580, 13608, 13636, 13664, 13692, 13720, 13748, 13776, 13804, 13832, 13860, 13888, 13916, 13944, 13972, 14000, 14028, 14056, 14084, 14112, 14140, 14168, 14196, 14224, 14252, 14280, 14308, 14336, 14364, 14392, 14420, 14448, 14476, 14504, 14532, 14560, 14588, 14616, 14644, 14672, 14700, 14728, 14756, 14784, 14812, 14840, 14868, 14896, 14924, 14952, 14980, 15008, 15036, 15064, 15092, 15120, 15148, 15176, 15204, 15232, 15260, 15288, 15316, 15344, 15372, 15400, 15428, 15456, 15484, 15512, 15540, 15568, 15596, 15624, 15652, 15680, 15708, 15736, 15764, 15792, 15820, 15848, 15876, 15904, 15932, 15960, 15988, 16016, 16044, 16072, 16100, 16128, 16156, 16184, 16212, 16240, 16268, 16296, 16324, 16352, 16380, 16408, 16436, 16464, 16492, 16520, 16548, 16576, 16604, 16632, 16660, 16688, 16716, 16744, 16772, 16800, 16828, 16856, 16884, 16912, 16940, 16968, 16996, 17024, 17052, 17080, 17108, 17136, 17164, 17192, 17220, 17248, 17276, 17304, 17332, 17360, 17388, 17416, 17444, 17472, 17500, 17528, 17556, 17584, 17612, 17640, 17668, 17696, 17724, 17752, 17780, 17808, 17836, 17864, 17892, 17920, 17948, 17976, 18004, 18032, 18060, 18088, 18116, 18144, 18172, 18200, 18228, 18256, 18284, 18312, 18340, 18368, 18396, 18424, 18452, 18480, 18508, 18536, 18564, 18592, 18620, 18648, 18676, 18704, 18732, 18760, 18788, 18816, 18844, 18872, 18900, 18928, 18956, 18984, 19012, 19040, 19068, 19096, 19124, 19152, 19180, 19208, 19236, 19264, 19292, 19320, 19348, 19376, 19404, 19432, 19460, 19488, 19516, 19544, 19572, 19600, 19628, 19656, 19684, 19712, 19740, 19768, 19796, 19824, 19852, 19880, 19908, 19936, 19964, 19992, 20020, 20048, 20076, 20104, 20132, 20160, 20188, 20216, 20244, 20272, 20300, 20328, 20356, 20384, 20412, 20440, 20468, 20496, 20524, 20552, 20580, 20608, 20636, 20664, 20692, 20720, 20748, 20776, 20804, 20832, 20860, 20888, 20916, 20944, 20972, 21000, 21028, 21056, 21084, 21112, 21140, 21168, 21196, 21224, 21252, 21280, 21308, 21336, 21364, 21392, 21420, 21448, 21476, 21504, 21532, 21560, 21588, 21616, 21644, 21672, 21700, 21728, 21756, 21784, 21812, 21840, 21868, 21896, 21924, 21952, 21980, 22008, 22036, 22064, 22092, 22120, 22148, 22176, 22204, 22232, 22260, 22288, 22316, 22344, 22372, 22400, 22428, 22456, 22484, 22512, 22540, 22568, 22596, 22624, 22652, 22680, 22708, 22736, 22764, 22792, 22820, 22848, 22876, 22904, 22932, 22960, 22988, 23016, 23044, 23072, 23100, 23128, 23156, 23184, 23212, 23240, 23268, 23296, 23324, 23352, 23380, 23408, 23436, 23464, 23492, 23520, 23548, 23576, 23604, 23632, 23660, 23688, 23716, 23744, 23772, 23800, 23828, 23856, 23884, 23912, 23940, 23968, 23996, 24024, 24052, 24080, 24108, 24136, 24164, 24192, 24220, 24248, 24276, 24304, 24332, 24360, 24388, 24416, 24444, 24472, 24500, 24528, 24556, 24584, 24612, 24640, 24668, 24696, 24724, 24752, 24780, 24808, 24836, 24864, 24892, 24920, 24948, 24976, 25004, 25032, 25060, 25088, 25116, 25144, 25172, 25200, 25228, 25256, 25284, 25312, 25340, 25368, 25396, 25424, 25452, 25480, 25508, 25536, 25564, 25592, 25620, 25648, 25676, 25704, 25732, 25760, 25788, 25816, 25844, 25872, 25900, 25928, 25956, 25984, 26012, 26040, 26068, 26096, 26124, 26152, 26180, 26208, 26236, 26264, 26292, 26320, 26348, 26376, 26404, 26432, 26460, 26488, 26516, 26544, 26572, 26600, 26628, 26656, 26684, 26712, 26740, 26768, 26796, 26824, 26852, 26880, 26908, 26936, 26964, 26992, 27020, 27048, 27076, 27104, 27132, 27160, 27188, 27216, 27244, 27272, 27300, 27328, 27356, 27384, 27412, 27440, 27468, 27496, 27524, 27552, 27580, 27608, 27636, 27664, 27692, 27720, 27748, 27776, 27804, 27832, 27860, 27888, 27916, 27944, 27972, 28000, [. ..], 28

Следовательно, НОК для 14 и 28 равняется 28

Вычисление наименьшего общего кратного

Введите цифры


  • Три автобуса
    Три автобуса общественного транспорта отправляются вместе с автовокзала утром. Первый автобус возвращается на станцию ​​через 18 минут, второй – через 12 минут, а третий – через 24 минуты. Как долго снова будем вместе на вокзале? Пожалуйста, экспресс
  • Портниха
    Портниха оставила кусок холста короче 5 метров. Она решает, сшить ли ей юбку или платье. Холста было ровно столько, сколько они израсходовали, разрезав юбку до 120 см, или 180 сантиметров. Какой кусок холста оставил ей?
  • LCM двух чисел
    Найдите наименьшее кратное 63 и 147
  • Различные 6975
    Три разных автобусных маршрута, 80, 81 и 82, отправляются с конечной станции в 5 ч 20 мин. Маршрут 80 отправляется каждые 30 минут, маршрут 81 — каждые 20 минут, а маршрут 82 — каждые 40 минут. Во сколько они снова уйдут?
  • Напоминание и частное
    Даны числа A = 135, B = 315. Найдите наименьшее натуральное число R, большее единицы, чтобы отношения R:A, R:B были с остатком 1.
  • Бакалейная лавка
    Сьюзен решила сделать продуктовые наборы для своего магазина. Оптовый торговец, у которого она покупает, продает сахар в упаковках по 20 штук в коробке, муку в упаковках по 12 штук в коробке и 15 мешков риса в коробке. Сколько штук каждого предмета она должна купить, чтобы их было одинаковое количество
  • Вокруг клумбы
    Вокруг прямоугольной клумбы размерами 5,25 м и 3,5 м нужно посадить розы через равные промежутки так, чтобы розы находились в каждом углу клумбы и потреблять как можно меньше. а) На каком расстоянии посажены розы? б) Сколько роз
  • Автобусы
    На остановке в 10 часов встретились автобусы №2 и №9. Автобус №2 ходит с интервалом 4 минуты, а автобус №9 с интервалом 9 минут. Сколько раз автобус встречается в 18:00 по местному времени?
  • Зубчатая передача
    Зубчатая передача состоит из двух колес. У одного 88, а у второго 56 зубов. Сколько раз поверните меньшее колесо, чтобы попасть в те же зубья, что и в начале? Сколько раз мы повернём самое большое колесо?
  • Автобусы 4
    Интервалы: 1-й автобус 40 мин. 2-й автобус 2 часа 3-й бутон 20 минут Через какое время они встретятся — как можно скорее?
  • Четыре класса
    Учащиеся всех 7, 8 и 9 классов одной школы могут занимать 4, 5, 6 и 7 ряд подряд, и никого не останется. Сколько в среднем учеников в одном классе, если в каждом классе всегда четыре класса?
  • Gcd и lcm
    Вычислить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел. a) 16 и 18 b) 24 и 22 c) 45 и 60 d) 36 и 30
  • Вычислить 2976
    Вычислить наименьшее общее кратное чисел 120, 660 и 210.
  • Уточните: 4001
    Укажите: a = D (240,320) b = n (40,64)
  • Pardubická 4651
    Йирка решил разделить выигрыш от пари в Velká Pardubická между собой и тремя своими младшими братьями по возрасту в соотношении 2:3:5:7.

Привести к днф формулу: Как привести к днф и кнф

alexxlab / / Разное

ПДНФ и ПКНФ | Введение в математическую логику

Ранее в курсе мы научились определять истинность формул двумя способами:

Эти способы помогают нам доказать общезначимые формулы. Попробуем усложнить задачу и проверить, можно ли доказать общезначимую формулу из аксиом. Чтобы это сделать, нам нужно обратиться к нормальной форме.

В математической логике формулы могут иметь нормальную форму — это значит, что их можно приводить к простейшему виду с помощью эквивалентных преобразований. Другими словами, каждую формулу можно привести к нормальной форме — и тогда нам будет проще доказывать.

В этом уроке мы изучим четыре типа нормальных форм:

  • Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

  • Полная дизъюнктивная нормальная форма (ПДНФ)

  • Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

  • Полная конъюнктивная нормальная форма (ПКНФ)

В разных источниках полные формы иногда называют совершенными: тогда используются сокращения СДНФ и СКНФ. Между полными и совершенными формами нет никакой разницы — это один и тот же термин.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это нормализация логической формулы в булевой математике. Любую логическую формулу можно преобразовать в ДНФ. При этом изначальная формула и ее ДНФ будут эквивалентны.

Другими словами, дизъюнктивная нормальная форма — это дизъюнкция нескольких элементарных конъюнкций. В дизъюнктивной нормальной форме используются операторы AND, OR и NOT.

Дизъюнктивной нормальной формой называется формула, которая эквивалентна данной формуле и состоит из суммы элементарных произведений. Например:

$ \left ( P \wedge \sim Q \right ) \vee \left ( Q \wedge R \right ) \vee \left ( \sim P \wedge Q \wedge \sim R \right ) $

Логическая формула находится в дизъюнктивной нормальной форме только при таких условиях: если существует чередование одной или нескольких конъюнкций одного или нескольких литералов.

Есть еще несколько способов получить дизъюнктивную нормальную форму для логических формул:

  • Метод таблицы истинности

  • Метод деревьев истинности

  • Таблица логических эквивалентностей

Дизъюнктивная нормальная форма помогает автоматически доказывать теоремы. Это один из важных процессов в разработке и верификации интегральных схем, а еще в теории искусственного интеллекта.

Полная дизъюнктивная нормальная форма (ПДНФ)

У ДНФ есть еще и полная версия. Полная дизъюнктивная нормальная форма — это формула ДНФ, в которой все задействованные переменные представлены только один раз в каждом предложении.

Обратите внимание, что у функции может быть только одна ПДНФ. Это упрощает доказательство и снижает вероятность ошибок. Если есть всего один верный ответ, его намного легче проверить.

ПДНФ относится к сумме произведений. Например:

Чтобы не запутаться, рассмотрим основное отличие между ДНФ и ПДНФ:

Посмотрим на еще двух примерах:

  • Выражение в ДНФ, которое не считается ПДНФ из-за разной длины переменных:
    $ \left ( P \wedge \sim Q \wedge R \right ) \vee \left ( \sim P \wedge Q \wedge R \right ) \vee \left ( P \wedge Q \right ) $

  • Выражение в ДНФ и ПДНФ одновременно:
    $ \left ( P \wedge \sim Q \wedge R \right ) \vee \left ( \sim P \wedge Q \wedge R \right ) \vee \left ( P \wedge Q \wedge \sim R \right ) $

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

В логике есть термин клауза (или клаузула) — это формальная запись доказываемого предложения. Введем это понятие, чтобы отличать объектные высказывания от субъектных.

Для начала вспомним, что в булевой алгебре сложение и умножение — это симметричные операции. Это значит, что всегда можно интерпретировать сложение как умножение, а умножение как сложение. Потому и существует КНФ — форма, симметричная для ДНФ. Как и ДНФ, КНФ полезна для автоматизированного доказательства теорем.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это подход к булевой логике, который выражает формулы в виде конъюнкции клаузул с оператором AND или OR. Каждая клауза соединена конъюнкцией (оператором AND) и при этом должна либо быть литералом, либо содержать дизъюнкцию (оператор OR).

Другими словами, конъюнктивной нормальной формой называется формула, которая эквивалентна данной формуле и состоит из произведения элементарных произведений. Например:

$ \left ( P \sim \vee Q \right ) \wedge \left ( Q \vee R \right ) \wedge \left ( \sim P \vee Q \vee \sim R \right ) $

В конъюнктивной нормальной форме высказывания в булевой логике представляют собой конъюнкцию клаузул с клаузулами дизъюнкции. Проще говоря, высказывание — это серия OR, соединенных AND, как в примере ниже:

OR AND OR

OR AND ¬ OR

Полная конъюнктивная нормальная форма (ПКНФ)

ПКНФ относится к продукту сумм. Например:

Снова рассмотрим основные отличия между формами:

Например:

  • Выражение в КНФ, но не в ПКНФ:
    $ \left ( P \vee \sim Q \vee R \right ) \wedge \left ( \sim P \vee Q \vee R \right ) \wedge \left ( P \vee Q \right ) $

  • Выражение в КНФ и ПКНФ одновременно:
    $ \left ( P \vee \sim Q \vee R \right ) \wedge \left ( \sim P \vee Q \vee R \right ) \wedge \left ( P \vee Q \vee \sim R \right ) $

2_ ДНФ ,КНФ ДНФ, СКНФ алгоритмы преобразования

Логические функции, СДНФ СКНФ

1.4 Формы представления функций алгебры логики

Функции алгебры логики могут быть заданы различными способами:

— таблицей истинности — в аналитической форме- в числовой форме..

Если функция имеет значения на всех наборах, то она называется полностью определенной.

элементарная дизъюнкция — дизъюнктивный терм или макстерм — это дизъюнктивный терм или макстерм — это дизъюнкция произв числа попарно независимых перем Например,

элементарная конъюнкция — конъюнктивный терм или минтерм — конъюнкция произв числа попарно независимых перем. Напр, Х 1Х 2 Х3 — минтерм 3-его ранг

– это не минтерм, так как перем и зависимы.

Для аналитической записи функций используют две формы:

1) Дизъюнктивную Нормальную Форму — ДНФ

2) Конъюнктивную Нормальную Форму – КНФ

ДНФ это дизъюнкция минтермов разл ранга

КНФ это конъюнкция макстермов различного ранга

Если все термы, входяшие в нормальную форму имеют одинаковый и максимальный ранг,= числу переменных функции — n, то такая форма называется совершенной. При этом, минтерм называют констинтуентой (составля) 1 (КЕ), а макстерм — конституентой 0 (КН).

— это СДНФ

— это СКНФ

Т е СДНФ есть дизъюнкция конституент 1, а СКНФ — есть конъюнкция конституент 0

Составление совершенных форм по табл истинности

Совершенные формы составляют по табл истинности функции. СДНФ : для каждого набора переменных на которых функция=1, записывают минтерм ранга n , в которых с отрицанием берутся переменные = 0 на данном наборе. Все минтермы объединены дизъюнктивно.

СКНФ =для каждого набора переменных, на которых функция=0, записывают макстерм ранга n, в кот с отрицанием берутся переменные, имеющие значение=1 на данном наборе. Все макстермы объединены конъюнктивно

Для компактной записи функций исп числовую форму, в которой заданы только номера наборов. Числовая форма для СДНФ:

Числовая форма для СКНФ:

Алгоритм преобразованияя в ДНФ

1) Сначала избавляемся от операций импликации, эквивалентности и неравнозначности, выразив их через логические связки ¬, & и ∨ по законам:

2) Доводят знаки отрицания до независимых переменных, используя законы де Моргана:

3) Применяя з-н дистрибутивности

преобразуют формулу к дизъюнкции элементарных конъюнкций

4) 4) Постоянно избавляются от двойных отрицаний:
ДНФ A наз совершенной и обозн СДНФ, если каждая переменная формулы A входит с отрицанием или без отрицания в каждый конъюнкт точно 1 раз.

Алгебраическая форма представления булевых функций используется для минимизации (упрощения формулл) и для построения логических схем. Существукт 2 формы алгебраических функций – дизъюнктивная и конъюнктивн. Дизъюнктивная нормальная форма представляет сумму элементарных произведения аргументов, например

Если кажд слаг содер все арг или их отриц, то получ соверш дизъюнкт норм форму (СДФН), напр

Для перехода от табл истинн к СДНФ учит только те сост, для кот функц= 1. Для каждого такого сост запис элем произв всех ар. Если арг имеет зн «0», то запис его отриц. Для привед примера СДНФ имеет вид   (17.4)

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) представляет логическое произведение элементарных логических сумм, причем каждая сумма содержит все аргументы или их отрицания, например

ДНФ, но не СДНФ от 3 перем

-ДНФ от 2 перем

-представл импликации в виде ДНФ.

-СДНФ для импликации

-СДНФ для оп эквивалентности

-СДНФ для оп неравнозначности

Прим. 1 Привести к ДНФ формулу

Реш.

2. Привести ту же формулу к СДНФ. Начав преобразования с ДНФ

Нахождение СДНФ по табл истинности функции

Нахождение СКНФ по табл истинности функции

1)Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце которых стоят 1.

2)Выписать для каждой отмеченной строки конъюнкцию всех переменных так: если значение некоторой переменной в данной строке — 1, то в конъюнкцию включать саму эту переменную, если равно 1, то ее отрицание.

3)Все полученные конъюнкции связать в дизъюнкцию.

1)Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце которых стоят 0.

2)Выписать для каждой отмеченной строки дизъюнкцию всех переменных так: если значение некоторой переменной в данной строке= 1, то в дизъюнкцию включать саму эту переменную, если равно 0, то ее отрицание.

3)Все полученные дизъюнкции связать в конъюнкцию.

Прим1

Прим 2

построение СДНФ:

построение СКНФ:

Для перехода от таблицы истинности к СКНФ учитывают только те состояния, для которых функция= «0». Для каждого такого состояния записывается элементарная сумма аргументов. Если аргуент имеет значение «1», то пишут его отрицание. Для примера СКНФ имеет вид

 

Примеры

1)Привести к КНФ и СКНФ.

Реш. упростим выражение, используя законы де Моргана и правило x y x y → = ∨

Теперь приводим к КНФ

Приведем к СКНФ:

2) С помощью эквивалентных преобразований построить д.н.ф. функции f (x):

Решение. Преобразуем функцию:

3) Используя СКНФ, найти наиболее простую формулу алгебры высказываний от 4 переменных, принимающую значение 0 на следующих наборах значений переменных, и только на них:

Решение. Запишем СКНФ функции по данным задачи

Получили

ЛИТЕРАТУРА и ССЫЛКИ

1)Курилова М.Н. Информатика-логика, СПБ Лес-техн ун-т им.Кирова

https://studfiles.net/preview/2069515/page:5/

2) http://ptca.narod.ru/lec/lec4_3.html

3) https://www.matburo.ru/ex_dm.php?p1=bfpg

Логика

— Преобразование DNF в CNF

Задавать вопрос

спросил

Изменено 1 год, 2 месяца назад

Просмотрено 38 тысяч раз

$\begingroup$

Я не понимаю, как преобразовать DNF в CNF. В бланке для ответов, который мне дала моя учительница, она сразу же преобразовала его без каких-либо объяснений. Любая помощь будет здорово.

Мой учитель преобразовал $F: (A \wedge \neg B) \vee (B \wedge D)$ в CNF-форму $(A \vee B) \wedge (\neg B \vee D)$. Как это происходит? Есть ли способ преобразовать его без рисования таблиц истинности?

  • логика
  • исчисление высказываний
  • конъюнктивная нормальная форма
  • дизъюнктивная нормальная форма

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Закон Де Моргана гласит: $\neg(a + b) \equiv \neg a\neg b $ и $\neg(ab) \equiv \neg a + \neg b$. $$\begin{equation} \begin{aligned}A\neg B + BD \equiv & \neg(\neg(A\neg B)\neg(BD)) \text{ Де Морган снаружи} \\ \equiv & \neg((\neg A + B)(\neg B + \neg D)) \text{ Внутри Де Моргана} \\ \equiv & \neg(\neg A \neg B + \neg A \neg D + B \neg D) \text{ Дистрибутивность} \\ \equiv & \neg(\neg A \neg B + \neg A \neg D (\neg B + B) + B \neg D) \text{ Дополнение} \\ \neg & \neg(\neg A \neg B + \neg A \neg D \neg B + \neg A \neg D B + B \neg D) \text{ Распределение} \\ \equiv & \neg(\neg A \neg B(1 + \neg D) + B \neg D (1 + \neg A)) \text{ Распределение} \\ \equiv & \neg(\neg A \neg B + B \neg D) \ text{ Аннигилятор} \\ \equiv & (A + B)(\neg B + D) \text{ Снаружи Де Моргана}\end{aligned}\end{equation} $$

Вы также можете изучить К-карты.

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Я думаю, что есть более простой способ, чем принятый ответ:

$$\begin{equation} \begin{aligned}A\neg B \vee BD \equiv & (A \vee B)(A \vee D)(\neg B \vee B)(\neg B \vee D) \text{ Дистрибутивность} \\ \equiv & (A \vee B)(A \vee D) 1 (\neg B \vee D) \text{ Tertium non datur} \\ \equiv & (A \vee B)(A \vee D)(\neg B \vee D) \text{ Нейтральный элемент $\wedge$} \\ \equiv & (A \vee B)(\neg B \vee D) \text{ средний термин лишний*} \end{выравнивание}\end{уравнение} $$

* $A\vee D$ ложно только в том случае, если и A, и D ложны, но тогда весь термин в любом случае ложен, потому что он сводится к $(B)(A \vee D)(\neg B)$.

$\endgroup$

Преобразователь CNF

Преобразователь CNF

Статьи | Новости | Блоги | Книги | Форумы

Проспонсированная ссылка, ссылка на спонсора •


Конвертер CNF

Реклама

Эта страница преобразует вашу формулу пропозициональной логики в конъюнктивная нормальная форма. Просто введите его ниже и нажмите кнопка «Конвертировать»:

Ваша формула:

Формула пропозициональной логики представляет собой комбинацию атомарных формул (или просто атомов ) и логические связки . Атом — логическое суждение, не содержащее никакого логического связки, такие как Q или Glorp . Каждый атом можно интерпретировать как обозначение некоторого утверждения в человеческий язык, который может быть либо истинным, либо ложным. Например, Q может означать утверждение «Кошка под кроватью». Логические связки: И, ИЛИ, НЕ, УСЛОВНОЕ и БИУСЛОВНЫЙ. (УСЛОВНЫЙ означает «если-то»; ДВУХУСТОЙЧНЫЙ означает если и только если.)

Формула, которую вы вводите выше, должна использовать следующие символы для логические связки:

И: и
ИЛИ: |
НЕ: ~
УСЛОВНЫЕ: => или 9050 9011 57 ДВУСТОРОННИЙ: <=>

Атомы должны начинаться с буквы и впоследствии могут содержать числа и символы {, }, - и +. Некоторые действительные атомы: " А ", " ThisIsReallyGroovy ", " X{k-1} ", " Y{k+1} ", " боб ".

Конвертер CNF недоволен круглыми скобками. Вы должны поставить круглые скобки вокруг термины, соединенные И, ИЛИ, УСЛОВНЫМ или ДВУХУСЛОВНЫМ. Так " (A & ~B) " подходит, а " A & ~B " - нет. Но вы не можете помещать скобки вокруг атомов и отрицаний. Итак, " А " и " ~A " в порядке, но " (A) " и " (~A) " не.

Некоторые действительные формулы логики высказываний:

   (~ А и Б)
   ~((А | ~В)<=>С)
   (X{k} <=> (Y{k} & (Z{k} | X{k-1})))
   (кошка => мышь)
   (кошка <= собака)

Формула логики высказываний находится в конъюнктивной нормальной форме, если она это союз предложений, где каждое предложение является дизъюнкцией атомы. Конъюнкция — это набор формул, связанных соотношением И, а дизъюнкция представляет собой набор формул, связанных соотношением ИЛИ.

Теория вероятности определение: Электронная библиотека БГУ: Invalid Identifier

alexxlab / / Разное

Теория вероятности в жизни людей — Информио

Основы теории вероятностей нужно знать каждому человеку для формирования правильного мировоззрения, для осознания того, что мы живем в случайном, вероятностном мире.

Психология человека такова, что ему неуютно среди случайностей. Он жаждет определенности и справедливости, ищет причин и объяснений. Часто таким образом возникают суеверия: например, среди африканских племен распространено поверье о том, что бывают просто львы и львы, в которых переселились души умерших. Последние на людей не нападают. Это объяснение не несет полезной информации, поскольку нет признаков, по которым заранее можно было бы определить, из какой категории лев, но оно успокаивает психологически. Точно так же появляются известные всем суеверия при сдаче экзаменов. Некоторые суеверия, кстати, основаны на частотных совпадениях (например, мелких неприятностей и встреч с черной кошкой). Это относится и к приметам, которые порой подмечают вероятностные закономерности. Так, поговоркам «Беда никогда не приходит одна» или «Жизнь, она полосатая» соответствует в теории вероятностей закон серий.

Следует помнить и то, что мы живем в мире, где происходят случайные события, и то, что закономерности пробиваются через массу случайностей. Чем сложнее система, тем труднее обнаружить закономерности. Именно в этих случаях и используют вероятностные методы. [4]

Таким образом, теория вероятности актуальна в наши дни как в математике и точных науках, так и в нашей повседневной жизни.

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира [1].

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта [2, с. 13].

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними [3].

Основные объекты теории вероятностей – случайные события, случайные величины, случайные процессы, то есть фактически весь окружающий нас мир [4, с.6].

Событие – это то, что может произойти или нет при выполнении определённого комплекса условий, или, как говорят, при проведении испытания. Среди возможных событий выделяют достоверные и невозможные. Если при каждом испытании всегда происходит некоторое событие, то оно называется достоверным. Если при испытании некоторое событие заведомо не может произойти, то оно называется невозможным. Если событие не является достоверным или невозможным, то оно часто называется случайным [5, с.10].

Во многих областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда определённые явления могут повторяться неограниченное число раз в одинаковых условиях. Анализируя последовательно результаты таких простейших явлений, как подбрасывание монеты, игральной кости, выброс карты из колоды и т.п., мы замечаем две особенности, присущие такого рода экспериментам. Во-первых, не представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведённых испытаний. Во-вторых, относительная частота определённых исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определённому пределу [6, с.8].

Рассмотрим теорию вероятностей на очень простых примерах. Если у нас в ящике лежит 10 пронумерованных шаров с цифрами от 1 до 10, то вероятность вытянуть шар с числом 10 равна 10 процентам. Но более вероятней, что мы вытянем любое другое число от 1 до 9, а не самое большое (не 10), поскольку такая вероятность составляет 90 процентов. Вытянуть шар с самым большим числом из 10000 пронумерованных шаров уже слишком маловероятно. Скорее всего, мы вытянем любое другое число (не 10000). При 10 миллионах шарах вытянуть самое большое число (10000000) практически невозможно [7].

Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь математическая вероятность дает некоторую числовую оценку вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.

Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка [8].

Первые подходы к оценке вероятности того или иного события были популярны еще в Средневековье среди «гамлеров» того времени. Однако тогда они имели лишь эмпирическое исследование (то есть оценка на практике, методом эксперимента) [9].

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде. Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений [8].

Вероятностные представления довольно успешно применялись ещё в 18 веке такими выдающимися учеными как Лаплас, Лагранж, Лежандр, Гаусс для оценки ошибок измерений, в результате чего уже в то время были заложены основы теории ошибок [10, с.3].

Дальнейшее развитие теории вероятностей привело к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия – вероятности. Так становление аксиоматики теории вероятностей произошло в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.

На сегодняшний день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения [8].

Последние десятилетия характеризуются резким повышением интереса к тем разделам математики и ее приложений, которые анализируют явления, носящие «случайный» характер. Эта тенденция в значительной степени объясняется тем, что большинство возникших в последние десятилетия новых математических дисциплин, которое ныне обозначается собирательным термином «кибернетика», оказалось тесно связанным с теорией вероятностей. Тем самым теория вероятностей стала чуть ли не самой первой по прикладному значению из всех математических дисциплин. При этом возникновение новых, в большинстве своем «порожденных» теорией вероятностей наук, скажем «теория игр», «теория информации», «страховая математика» или «стохастическая финансовая математика» привело к положению, при котором теорию вероятностей также приходится рассматривать как объединение большого числа разнородных и достаточно глубоко развитых математических дисциплин [10, с.4].

Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? [8]

Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель наверняка учтет риски, а также вероятности покупки в том или рынке, стране и т.д. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности брокеры на мировых рынках. Предсказывание денежного курса (в котором точно не обойтись без теории вероятности) на денежных опционах дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.

Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны – все это можно выразить в процентах. А главное, предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных. [9]

Решения чаще всего принимаются эмоционально. Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете – это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет, погибнет в авиакатастрофе составляет примерно 1/8000000. Если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21000 лет чтобы погибнуть. По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяча людей… косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло. По телевидению пугают: птичьим и свиными гриппами, терроризмом, но вероятность этих событий ничтожна по сравнению с настоящими угрозами. Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете.

Или другой пример – от падения кокосов погибает около 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма «Кокос-убийца» пока не снято. Подсчитано, что шанс человека быть подвергнутым нападению акулы составляет 1 к 11,5 млн, а шанс погибнуть от такого нападения 1 к 264,1 млн. Среднегодовое количество утонувших в США составляет 3306 человек, а погибших от акул 1. Миром правит вероятность и нужно помнить об этом. Они помогут вам взглянуть на мир с точки зрения случая [8].

Таким образом, теорию вероятностей нельзя не применять в нашей жизни. Она имеет разные области применения такие как: биологические и химические процессы, история, экономика, кораблестроение и машиностроение, медицина и большинство различной деятельности человека. Люди применяют её как сознательно, так и подсознательно, что проявляется в обычных повседневных фразах и действиях. Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей. Теория вероятностей – это одна из составляющих частей успеха. Если стремиться учитывать законы вероятностей и, в том случае, если вероятность неблагоприятная, предпринимать соответствующие контрдействия, то можно упростить себе жизнь в разы и сэкономить своё время, которое так ценно для каждого из нас.

Список использованных источников

Савельева Р. Ю. Основы теории вероятностей и математической статистики [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://открытыйурок.рф/статьи/526665/ (дата обращения – 24.01.2018)

Кибзун А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами [Текст]: учебное пособие/А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов, А. Н. Сиротин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 224 с.

Теория вероятностей и основные понятия теории [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://bookmaker-ratings.ru/wiki/teoriya-veroyatnostej-i-osnovny-e-ponyatiya-teorii/ (дата обращения 24.01.2018)

Крупкина Т. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/Т. В. Крупкина, С. В. Бабенышев, Е. С. Кирик. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2007. – 199 с.

Семенов В. А. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/В. А. Семенов. – Санкт-Петербург: Питер, 2013. – 192 с.

Володин И. Н. Лекции по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: учебник/И. Н. Володин. – Казань: (Издательство), 2006. – 271 с.

Екимов В. Д. Теория вероятностей как средство к успеху в своём деле, как и в любой деятельности [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://svoedel.ru/teorver.html (дата обращения — 25.01.2018)

Гатауллина Л. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2012/01/07/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni (дата обращения — 6.02.2018)

Вишня Ю. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://allowwonder.com/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni/ (дата обращения – 6.02.2018)

Агеев В. В. Введение в теорию вероятностей [Текст]: учебно-методическое пособие/В. В. Агеев, М. С. Тихов. – Нижний-Новгород: ФГБОУВПО Нижегородский Государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет, 2012. – 32 с.

 

Оригинал работы:

Теория вероятности в жизни людей

Вероятность – Гуманитарный портал

Вероятность — это количественная мера осуществимости некоторого события при наличии неопределённости, то есть в ситуации, когда это событие характеризуется как возможное (которое может как произойти, так и не произойти). Вероятность представляет собой одну из наиболее важных общенаучных и философских категорий, основания которой состоят в том, что она выражает собой меру превращения возможности в действительность (см.  Возможность и действительность) в ситуациях неопределённости.

В науке (см. Наука) вероятность рассматривается как количественная степень возможности появления случайных событий при фиксированных условиях наблюдения, характеризующую устойчивость их относительных частот. Например, в случае так называемой классической, или элементарной, вероятности, неопределённость порождается экспериментом (возможно, мысленным), имеющим конечное число несовместимых равновозможных исходов, событие — в осуществлении какого-либо из определённой группы исходов (называемых благоприятствующими событию), а вероятность события определяется как отношение числа благоприятствующих исходов к числу всевозможных исходов. Источником возникновения частотной вероятности является реальный эксперимент, частоты исходов которого обладают так называемой статистической устойчивостью.

Представления о вероятности зародились ещё в древности и относились к характеристике человеческого знания, при этом признавалось наличие вероятностного знания, отличающегося от достоверного знания и от ложного. Воздействие идеи вероятности на научное мышление, на развитие познания прямо связано с разработкой теории вероятностей как математической дисциплины. Зарождение математического учения о вероятности относится к XVII веку, когда было положено начало разработке ядра понятий, допускающих количественную (числовую) характеристику и выражающих вероятностную идею. Интенсивные приложения вероятности к развитию научного познания приходятся на вторую половину XIX — первую половину XX века. Вероятность вошла в структуры таких наук, как физика, генетика, кибернетика, квантовая теория, теория информации и другие. Соответственно вероятность олицетворяет тот этап в развитии науки, который ныне определяется как неклассическая наука. Анализ природы вероятности в этих науках опирается на частотную, статистическую её трактовку, которая доминирует в научном познании, поскольку она наиболее достоверно отражает специфический характер закономерностей, присущих массовым явлениям случайного характера. Во многих физических, биологических, экономических, социальных процессах приходится учитывать действие множества случайных факторов, которые характеризуются устойчивой частотой. Выявление этой устойчивой частоты и количественная её оценка с помощью вероятности даёт возможность раскрыть необходимость, которая прокладывает себе путь через совокупное действие множества случайностей.

Зарождение математического учения о вероятности относится к XVII веку и связано, в первую очередь, с именами математиков П. Ферма, Б. Паскаля, Х. Гюйгенса, исследовавших значительное число вопросов, связанных с азартными играми в кости и карты. В XVIII веке и начале XIX века Я. Бернулли, А. Муавром, П. Лапласом и С. Пуассоном были доказаны простейшие формы закона больших чисел и предельных теорем теории вероятности. Первые значительные достижения в практических применениях теории вероятности принадлежат К. Ф. Гауссу. Во второй половине XIX века и начале XX века теория вероятностей активно разрабатывалась в России, где в это время работали П. Л. Чебышев и его ученики А. А. Марков и А. М. Ляпунов.

В настоящее время теорию вероятностей обычно определяют как математическую дисциплину, изучающую закономерности массовых случайных явлений при определённых условиях. Случайность означает, что в рамках массовости бытие каждого элементарного явления не зависит и не определяется бытием других явлений. В то же время сама массовость явлений обладает устойчивой структурой, содержит определённые регулярности. Массовое явление вполне строго делится на подсистемы, и относительное число элементарных явлений в каждой из подсистем (относительная частота) весьма устойчиво. Эта устойчивость сопоставляется с вероятностью. Массовое явление в целом характеризуется распределением вероятностей, то есть заданием подсистем и соответствующих им вероятностей. Язык теории вероятностей есть язык вероятностных распределений. Соответственно теорию вероятностей и определяют как абстрактную науку об оперировании распределениями.

Математическая теория вероятности стала общей основой, вокруг которой появились и в дальнейшем развивались различные интерпретации вероятности. Классическая математическая интерпретация вероятности, возникшая из математического анализа азартных игр, определяет вероятность как отношение числа благоприятствующих шансов, или случаев, к числу всех равновозможных. Однако равновозможные случаи редко встречаются в действительности, и поэтому эта интерпретация уступила место частотной, или статистической, где вероятность рассматривается как относительная частота массовых случайных событий при достаточно длительных наблюдениях, число которых определяется характером событий. На практике было замечено, что такие события обладают устойчивой относительной частотой, и поэтому она практически принимается за вероятность, значение которой определяется статистическими исследованиями. Однако это эмпирическое определение вероятности не совпадает с теоретическим, и поэтому, например, Р. Мизес и его сторонники определяют вероятность как предел относительной частоты массовых событий, или статистических коллективов, при неограниченном числе наблюдений.

Статистическая, или частотная вероятность нашла широкое применение в естественных, технических и общественных науках, хотя она не столько определяет вероятность, сколько оценивает её. Существенный её недостаток в том, что она неприменима к отдельным событиям и высказываниям. Поэтому для их интерпретации сначала стали обращаться к фактической вере субъекта, но так как она разная у различных людей, то в дальнейшем стали тем или иным способом модифицировать такой подход. В персоналистской интерпретации вероятности постулируется, что степени веры субъекта должны удовлетворять аксиомам теории вероятности, в других интерпретациях речь идёт о рациональной вере разумно действующего субъекта. Поэтому решения, принимаемые на основе такой вероятности, являются разумными и не зависят от индивидуальных особенностей и склонностей субъекта. Субъективный характер очень затрудняет количественную оценку величины вероятности в этих случаях и делает невозможным построение на базе такого понятия вероятности строгой науч. теории, помогающей понять объективно существующие закономерности (подробнее об имеющихся в этом направлений попытках см. Логика вероятностная).

В логике (см. Логика) вероятность характеризует семантическое отношение между посылками и заключением индуктивного рассуждения, аналогичное отношению дедуктивного вывода, но в отличие от последнего заключение в нём не достоверно, а лишь подтверждается посылками в той или иной степени. Эти степени подтверждения заключены в интервале между 0 и 1, поэтому индуктивная логика оказывается разновидностью многозначной логики. В эмпирических науках типичным примером логической вероятности служит отношение между гипотезой и её свидетельствами, степенью подтверждения которых оценивается правдоподобие гипотезы. Относительно количественной оценки логической вероятности мнения разных авторов расходятся: одни считают, что она может быть выражена лишь в сравнительных терминах (больше, меньше и равно), другие — в метрических (численно).

Формальные свойства вероятности впервые были определены в исчислении вероятности, а впоследствии в наиболее точной форме выражены в аксиоматической теории, предложенной в начале 1930-х годов А. Н. Колмогоровым. В настоящее время развиваются и другие подходы: частотный (использующий, в частности, ряд идей Р. Мизеса), сложностный, алгебраический, квантовый, так называемый «нестандартный» и другие. В 1960-х годах Л. Заде ввёл другое, отличное от вероятности, понятие для количественной характеристики неопределённости, а именно «нечёткость», или «размытость». Проблема применимости вероятностных методов решается в рамках развития математической теории, углубления знания в соответствующих прикладных областях и осмысления накапливаемого опыта. Формализация понятия вероятности и терминов, связанных с ним, а также развитие соответствующего аналитического аппарата и методики решения прикладных задач при помощи вероятностных методов составляют содержание раздела математики — теории вероятности и родственных ей дисциплин: математической статистики, метода случайных испытаний, теории стохастического управления, теории принятия решений и ряда других.
  • Алёшина Н. А. Вероятностная логика в искусственном интеллекте. — В книге: Логические исследования, выпуск 2. — М., 1993.
  • Бернштейн С. Н. Теория вероятностей, 3-е издание.  — ГТТИ, 1935.
  • Борель Э., Случай. — М., 1923.
  • Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 2 изд. — М., Л., 1954.
  • Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд. — М., Л., 1952.
  • Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика. — М., 1978.
  • Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей. — М., Л., 1936.
  • Колмогоров А. Н. Теория вероятностей. — В книге: Математика, её содержание, методы и значение, т. 2. — М., 1956.
  • Марков Α. Α. Исчисление вероятностей, 4 изд. — М., 1924.
  • Mизес Р. Вероятность и статистика. — М., Л., 1930.
  • Монин А. С. О двух формах выражения причинности. — «Вопросы философии», 1959, № 4.
  • Смирнов Л. В. Категория вероятности. — «Вопросы философии», 1958, № 12.
  • Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её положения. — М., 1952.
  • Хинчин А. Я. Метод произвольных функций и борьба против идеализма в теории вероятностей. — В книге: Философские вопросы современной физики. — М., 1952.
  • Яглом А. М. Яглом И. М. Вероятность и информация. — М., 1957.
  • Carnap R. The Logical Foundations of Probability. — Ch., 1962.
  • Keynes J. Treatise on Probability.  — L.-NY, 1921.
  • Reichenbach H. The Theory of Probability. — В.-L., 1949.

Теория вероятностей | Определение, примеры и факты

образец места для пары игральных костей

Просмотреть все материалы

Ключевые люди:
Карл Фридрих Гаусс Пьер де Ферма Андрей Николаевич Колмогоров Симеон-Дени Пуассон Авраам де Муавр
Похожие темы:
Теорема Байеса Центральная предельная теорема стохастический процесс равнодушие вероятность

Просмотреть весь связанный контент →

теория вероятностей , раздел математики, занимающийся анализом случайных явлений. Исход случайного события не может быть определен до того, как оно произойдет, но может быть любым из нескольких возможных исходов. Считается, что фактический результат определяется случайностью.

Слово вероятность имеет несколько значений в обычном разговоре. Два из них особенно важны для развития и приложений математической теории вероятностей. Одним из них является интерпретация вероятностей как относительных частот, примером чего могут служить простые игры с монетами, картами, костями и колесами рулетки. Отличительной особенностью азартных игр является то, что исход данного испытания нельзя предсказать с уверенностью, хотя совокупные результаты большого числа испытаний обнаруживают некоторую закономерность. Например, утверждение о том, что вероятность выпадения «орла» при подбрасывании монеты равна половине, согласно интерпретации относительной частоты, подразумевает, что при большом количестве подбрасываний относительная частота, с которой действительно выпадает «орел», будет приблизительно равна одной. -половина, хотя это не подразумевает исход любого данного броска. Есть много подобных примеров, связанных с группами людей, молекулами газа, генами и так далее. Актуарные заявления об ожидаемой продолжительности жизни для лиц определенного возраста описывают коллективный опыт большого числа людей, но не претендуют на то, чтобы сказать, что произойдет с каждым конкретным человеком. Точно так же прогнозы о вероятности возникновения генетического заболевания у ребенка родителей с известным генетическим составом являются утверждениями об относительной частоте встречаемости в большом количестве случаев, но не являются прогнозами относительно данного человека.

(Читайте статью Стивена Пинкера о рациональности в «Британнике»). Для более полной исторической обработки см. вероятность и статистику. Поскольку приложения неизбежно включают в себя упрощение предположений, фокусирующихся на одних особенностях проблемы за счет других, полезно начать с простых экспериментов, таких как подбрасывание монеты или бросание игральной кости, а затем посмотреть, как соотносятся эти, казалось бы, несерьезные исследования. к важным научным вопросам.

Викторина «Британника»

Числа и математика

Эксперименты, выборочное пространство, события и равновероятные вероятности

Применение простых вероятностных экспериментов

Фундаментальным компонентом теории вероятностей является эксперимент, который можно повторить, по крайней мере гипотетически, в практически идентичных условиях и который может привести к различным результатам на разных испытаниях. Набор всех возможных результатов эксперимента называется «выборочным пространством». Эксперимент с однократным подбрасыванием монеты приводит к выборке пространства с двумя возможными исходами: «орел» и «решка». Бросание двух игральных костей имеет выборочное пространство с 36 возможными исходами, каждый из которых может быть отождествлен с упорядоченной парой ( i , j ), где i и j принимают одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 и обозначают грани, показанные на отдельных костях. Важно думать о костях как об идентифицируемых (например, по разнице в цвете), чтобы результат (1, 2) отличался от (2, 1). «Событие» — это четко определенное подмножество выборочного пространства. Например, событие «сумма граней, выпавших на двух костях, равна шести» состоит из пяти исходов (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) и ( 5, 1).

Третий пример — вытащить n шаров из урны, содержащей шары разных цветов. Общим результатом этого эксперимента является n -кортеж, где i th определяет цвет шара, полученного при i розыгрыше ( i = 1, 2,…, n ). . Несмотря на простоту этого эксперимента, его глубокое понимание дает теоретическую основу для проведения опросов общественного мнения и выборочных опросов. Например, лица в популяции, поддерживающие определенного кандидата на выборах, могут быть идентифицированы шарами определенного цвета, те, кто поддерживает другого кандидата, могут быть идентифицированы другим цветом и так далее. Теория вероятностей обеспечивает основу для изучения содержимого урны по выборке шаров, извлеченных из урны; приложение должно узнать об электоральных предпочтениях населения на основе выборки, взятой из этого населения.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.

Подпишитесь сейчас

Другое применение простых моделей урн — это использование клинических испытаний, предназначенных для определения того, является ли новое лечение болезни, новое лекарство или новая хирургическая процедура лучше стандартного лечения. В простом случае, когда лечение можно рассматривать как успех или неудачу, цель клинического испытания состоит в том, чтобы выяснить, приводит ли новое лечение к успеху чаще, чем стандартное лечение. Больных этим заболеванием можно определить по шарикам в урне. Красные шарики — это те пациенты, которые вылечились новым лечением, а черные шарики — те, кто не вылечился. Обычно есть контрольная группа, которая получает стандартное лечение. Они представлены второй урной с, возможно, другой долей красных шаров. Цель опыта по извлечению из каждой урны некоторого количества шаров состоит в том, чтобы на основе выборки выяснить, в какой урне больше красных шаров. Вариант этой идеи можно использовать для проверки эффективности новой вакцины. Возможно, самым крупным и известным примером было испытание вакцины Солка от полиомиелита, проведенное в 1954. Она была организована Службой общественного здравоохранения США и охватила почти два миллиона детей. Его успех привел к почти полной ликвидации полиомиелита как проблемы здравоохранения в промышленно развитых частях мира. Строго говоря, эти приложения представляют собой задачи статистики, основу для которых дает теория вероятностей.

В отличие от экспериментов, описанных выше, многие эксперименты имеют бесконечно много возможных исходов. Например, можно подбрасывать монету до тех пор, пока впервые не выпадет «орел». Количество возможных бросков равно 9.0025 n = 1, 2,…. Другой пример — крутить спиннер. Для идеализированного счетчика, состоящего из отрезка прямой линии, не имеющего ширины и повернутого в его центре, набор возможных исходов представляет собой набор всех углов, которые конечная позиция счетчика образует с некоторым фиксированным направлением, что эквивалентно всем действительным числам в [0 , 2π). Многие измерения в естественных и социальных науках, такие как объем, напряжение, температура, время реакции, предельный доход и т. д., производятся на непрерывных шкалах и, по крайней мере, теоретически включают бесконечное множество возможных значений. Если повторные измерения на разных субъектах или в разное время на одном и том же субъекте могут привести к разным результатам, теория вероятностей является возможным инструментом для изучения этой изменчивости.

Из-за их сравнительной простоты сначала обсуждаются эксперименты с конечными выборками. На заре развития теории вероятностей математики рассматривали только те эксперименты, для которых казалось разумным, исходя из соображений симметрии, предположить, что все результаты эксперимента «одинаково вероятны». Тогда в большом числе испытаний все исходы должны встречаться примерно с одинаковой частотой. Вероятность события определяется как отношение числа случаев, благоприятных для события, т. е. числа исходов в подмножестве выборочного пространства, определяющего событие, к общему числу случаев. Таким образом, 36 возможных исходов при бросании двух игральных костей предполагаются равновероятными, а вероятность выпадения «шестёрки» равна числу благоприятных случаев, 5, делённому на 36, или 5/36.

Теперь предположим, что монета подбрасывается n раз, и рассмотрим вероятность того, что орел не выпадет за n подбрасываний. Результатом эксперимента является n -кортеж, k -й вход которого идентифицирует результат k -го броска. Поскольку есть два возможных исхода для каждого броска, количество элементов в пространстве выборки равно 2 n . Из них только один исход соответствует отсутствию орла, поэтому требуемая вероятность равна 1/2 n .

Немногим сложнее определить вероятность «не более одного орла». Помимо единственного случая, когда орёл не выпадает, существует n случаев, в которых выпадает ровно один орёл, потому что он может выпасть при первом, втором,… или n -м подбрасывании. Следовательно, имеется n + 1 случаев, благоприятных для получения не более одной головы, и желаемая вероятность равна ( n + 1)/2 n .

Теория вероятностей | Определение, примеры и факты

образец места для пары игральных костей

Просмотреть все материалы

Ключевые люди:
Карл Фридрих Гаусс Пьер де Ферма Андрей Николаевич Колмогоров Симеон-Дени Пуассон Авраам де Муавр
Похожие темы:
Теорема Байеса Центральная предельная теорема стохастический процесс равнодушие вероятность

Просмотреть весь связанный контент →

теория вероятностей , раздел математики, занимающийся анализом случайных явлений. Исход случайного события не может быть определен до того, как оно произойдет, но может быть любым из нескольких возможных исходов. Считается, что фактический результат определяется случайностью.

Слово вероятность имеет несколько значений в обычном разговоре. Два из них особенно важны для развития и приложений математической теории вероятностей. Одним из них является интерпретация вероятностей как относительных частот, примером чего могут служить простые игры с монетами, картами, костями и колесами рулетки. Отличительной особенностью азартных игр является то, что исход данного испытания нельзя предсказать с уверенностью, хотя совокупные результаты большого числа испытаний обнаруживают некоторую закономерность. Например, утверждение о том, что вероятность выпадения «орла» при подбрасывании монеты равна половине, согласно интерпретации относительной частоты, подразумевает, что при большом количестве подбрасываний относительная частота, с которой действительно выпадает «орел», будет приблизительно равна одной. -половина, хотя это не подразумевает исход любого данного броска. Есть много подобных примеров, связанных с группами людей, молекулами газа, генами и так далее. Актуарные заявления об ожидаемой продолжительности жизни для лиц определенного возраста описывают коллективный опыт большого числа людей, но не претендуют на то, чтобы сказать, что произойдет с каждым конкретным человеком. Точно так же прогнозы о вероятности возникновения генетического заболевания у ребенка родителей с известным генетическим составом являются утверждениями об относительной частоте встречаемости в большом количестве случаев, но не являются прогнозами относительно данного человека.

(Читайте статью Стивена Пинкера о рациональности в «Британнике»). Для более полной исторической обработки см. вероятность и статистику. Поскольку приложения неизбежно включают в себя упрощение предположений, фокусирующихся на одних особенностях проблемы за счет других, полезно начать с простых экспериментов, таких как подбрасывание монеты или бросание игральной кости, а затем посмотреть, как соотносятся эти, казалось бы, несерьезные исследования. к важным научным вопросам.

Викторина по Британике

Дайте определение: математические термины

Эксперименты, выборочное пространство, события и равновероятные вероятности

Применение простых вероятностных экспериментов

Фундаментальным компонентом теории вероятностей является эксперимент, который можно повторить, по крайней мере гипотетически, в практически идентичных условиях и который может привести к различным результатам на разных испытаниях. Набор всех возможных результатов эксперимента называется «выборочным пространством». Эксперимент с однократным подбрасыванием монеты приводит к выборке пространства с двумя возможными исходами: «орел» и «решка». Бросание двух игральных костей имеет выборочное пространство с 36 возможными исходами, каждый из которых может быть отождествлен с упорядоченной парой ( i , j ), где i и j принимают одно из значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 и обозначают грани, показанные на отдельных костях. Важно думать о костях как об идентифицируемых (например, по разнице в цвете), чтобы результат (1, 2) отличался от (2, 1). «Событие» — это четко определенное подмножество выборочного пространства. Например, событие «сумма граней, выпавших на двух костях, равна шести» состоит из пяти исходов (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) и ( 5, 1).

Третий пример — вытащить n шаров из урны, содержащей шары разных цветов. Общим результатом этого эксперимента является n -кортеж, где i th определяет цвет шара, полученного при i розыгрыше ( i = 1, 2,…, n ). . Несмотря на простоту этого эксперимента, его глубокое понимание дает теоретическую основу для проведения опросов общественного мнения и выборочных опросов. Например, лица в популяции, поддерживающие определенного кандидата на выборах, могут быть идентифицированы шарами определенного цвета, те, кто поддерживает другого кандидата, могут быть идентифицированы другим цветом и так далее. Теория вероятностей обеспечивает основу для изучения содержимого урны по выборке шаров, извлеченных из урны; приложение должно узнать об электоральных предпочтениях населения на основе выборки, взятой из этого населения.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.

Подпишитесь сейчас

Другое применение простых моделей урн — это использование клинических испытаний, предназначенных для определения того, является ли новое лечение болезни, новое лекарство или новая хирургическая процедура лучше стандартного лечения. В простом случае, когда лечение можно рассматривать как успех или неудачу, цель клинического испытания состоит в том, чтобы выяснить, приводит ли новое лечение к успеху чаще, чем стандартное лечение. Больных этим заболеванием можно определить по шарикам в урне. Красные шарики — это те пациенты, которые вылечились новым лечением, а черные шарики — те, кто не вылечился. Обычно есть контрольная группа, которая получает стандартное лечение. Они представлены второй урной с, возможно, другой долей красных шаров. Цель опыта по извлечению из каждой урны некоторого количества шаров состоит в том, чтобы на основе выборки выяснить, в какой урне больше красных шаров. Вариант этой идеи можно использовать для проверки эффективности новой вакцины. Возможно, самым крупным и известным примером было испытание вакцины Солка от полиомиелита, проведенное в 1954. Она была организована Службой общественного здравоохранения США и охватила почти два миллиона детей. Его успех привел к почти полной ликвидации полиомиелита как проблемы здравоохранения в промышленно развитых частях мира. Строго говоря, эти приложения представляют собой задачи статистики, основу для которых дает теория вероятностей.

В отличие от экспериментов, описанных выше, многие эксперименты имеют бесконечно много возможных исходов. Например, можно подбрасывать монету до тех пор, пока впервые не выпадет «орел». Количество возможных бросков равно 9.0025 n = 1, 2,…. Другой пример — крутить спиннер. Для идеализированного счетчика, состоящего из отрезка прямой линии, не имеющего ширины и повернутого в его центре, набор возможных исходов представляет собой набор всех углов, которые конечная позиция счетчика образует с некоторым фиксированным направлением, что эквивалентно всем действительным числам в [0 , 2π). Многие измерения в естественных и социальных науках, такие как объем, напряжение, температура, время реакции, предельный доход и т. д., производятся на непрерывных шкалах и, по крайней мере, теоретически включают бесконечное множество возможных значений. Если повторные измерения на разных субъектах или в разное время на одном и том же субъекте могут привести к разным результатам, теория вероятностей является возможным инструментом для изучения этой изменчивости.

Из-за их сравнительной простоты сначала обсуждаются эксперименты с конечными выборками. На заре развития теории вероятностей математики рассматривали только те эксперименты, для которых казалось разумным, исходя из соображений симметрии, предположить, что все результаты эксперимента «одинаково вероятны».

График 3cos2x: Mathway | Популярные задачи

alexxlab / / Разное

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8Найти точное значениеcos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15Найти точное значениеcsc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27Найти точное значениеsin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упроститьsin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

√3𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 — вопрос №4495343

Ответы
11. 10.21

✔Олеся / Математика
Читать ответы

Михаил Александров
Читать ответы

Андрей Андреевич
Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Похожие вопросы

По графику зависимости скорости движения тела от времени определить характер движения тела, начальную скорость ускорение на каждом участке

Решено

По графику зависимости скорости от времени найди ускорение 𝑎 и пройденный путь 𝑆 за отрезок времени от 0,7 до 4,5 с.

найдите значение выражения x-6y²/2y + 3y при x= -8, y=0.1

tga-? Если sina=-5/корень 26 и a пренадлежит (pi;3pi/2)

Астероид вращается вокруг солнца с периодом равным 410 сут. Определите расстояние от астероида до солнца

Пользуйтесь нашим приложением

Мэтуэй | Популярные задачи

92
1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктический(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт. )/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение тан(пи/2)
45 Найти точное значение грех(300)
46 Найти точное значение соз(30)
47 Найти точное значение соз(60)
48 Найти точное значение соз(0)
49 Найти точное значение соз(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение сек(60 градусов)
53 Найти точное значение грех(300 градусов)
54 Преобразование градусов в радианы 135
55 Преобразование градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/3
58 Преобразование градусов в радианы 89 градусов
59 Преобразование градусов в радианы 60
60 Найти точное значение грех(135 градусов)
61 Найти точное значение грех(150)
62 Найти точное значение грех(240 градусов)
63 Найти точное значение детская кроватка(45 градусов)
64 Преобразовать из радианов в градусы (5 дюймов)/4
65 Найти точное значение грех(225)
66 Найти точное значение грех(240)
67 Найти точное значение cos(150 градусов)
68 Найти точное значение желтовато-коричневый(45)
69 Оценить грех(30 градусов)
70 Найти точное значение сек(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение КСК(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74 Найти точное значение загар((5pi)/3)
75 Найти точное значение желтовато-коричневый(0)
76 Оценить грех(60 градусов)
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3 пи)/4 
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение угловой синус(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение КСК(45)
83 Упростить арктан(квадратный корень из 3)
84 Найти точное значение грех(135)
85 Найти точное значение грех(105)
86 Найти точное значение грех(150 градусов)
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение загар((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы пи/4
90 Найти точное значение грех(пи/2)
91 Найти точное значение сек(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение угловой синус(0)
95 Найти точное значение грех(120 градусов)
96 Найти точное значение желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97 Найти точное значение соз(270)
98 Найти точное значение sin((7pi)/6)
99 Найти точное значение arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100 Преобразование градусов в радианы 88 градусов

Мэтуэй | Популярные задачи

1 Найти точное значение грех(30)
2 Найти точное значение грех(45)
3 Найти точное значение грех(30 градусов)
4 Найти точное значение грех(60 градусов)
5 Найти точное значение загар (30 градусов)
6 Найти точное значение угловой синус(-1)
7 Найти точное значение грех(пи/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение грех(45 градусов)
10 Найти точное значение грех(пи/3)
11 Найти точное значение арктан(-1)
12 Найти точное значение cos(45 градусов)
13 Найти точное значение cos(30 градусов)
14 Найти точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найти точное значение csc(45 градусов)
16 Найти точное значение загар (60 градусов)
17 Найти точное значение сек(30 градусов)
18 Найти точное значение cos(60 градусов)
19 Найти точное значение соз(150)
20 Найти точное значение грех(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение загар (45 градусов)
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найти точное значение csc(60 градусов)
25 Найти точное значение сек(45 градусов)
26 Найти точное значение csc(30 градусов)
27 Найти точное значение грех(0)
28 Найти точное значение грех(120)
29 Найти точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найти точное значение желтовато-коричневый(30)
32 Преобразование градусов в радианы 92
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найти точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найти точное значение арккос(-1)
38 Найти точное значение арктический(0)
39 Найти точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт.

Уравнения примеры решения: Решение уравнений — урок. Математика, 6 класс.

alexxlab / / Разное

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математикеАлгебраУравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

      Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

      К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

Трёхчленные уравнения
Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Замечание. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

      Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

ax3 + bx2 + bx + a = 0,(1)

где a, b – заданные числа.

      Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

      Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

ax2 + (b – a) x + a = 0.

      Пример 1. Решить уравнение

2x3 + 7x2 + 7x + 2 = 0.(2)

      Решение. Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

      Ответ:.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

      Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2 +
+ bx + a = 0,		(3)

а также уравнения вида

ax4 + bx3 + cx2–
– bx + a = 0,		(4)

где a, b, c – заданные числа.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

(5)

      Преобразуем левую часть уравнения (5):

      В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

(6)

      Если теперь обозначить

(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c – 2a = 0.(8)

     Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

      Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

(9)

      Преобразуем левую часть уравнения (9):

      В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

(10)

      Если теперь обозначить

(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

ay2 + by + c + 2a = 0.(12)

      Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

      Пример 2. Решить уравнение

2x4 – 3x3 – x2 –
– 3x + 2 = 0.		(13)

      Решение. Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на  x2. В результате получится уравнение

(14)

      Преобразуем левую часть уравнения (14):

      В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

(15)

      Если теперь обозначить

(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

2y2 – 3y – 5 = 0.(17)

      Решим уравнение (17):

(18)

      В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

      Во втором случае из равенства (16) получаем:

      Ответ:

      Пример 3. Решить уравнение

6x4 – 25x3 + 12x2 +
+ 25x + 6 = 0.		(19)

      Решение. Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на  x2. В результате получится уравнение

(20)

      Преобразуем левую часть уравнения (20):

      В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

(21)

      Если теперь обозначить

(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

6y2 – 25y + 24 = 0.(23)

      Решим уравнение (23):

(24)

      В первом случае из равенства (22) получаем:

      Во втором случае из равенства (22) получаем:

      Ответ:

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

      Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

(25)

где  a, b, c, d  – заданные числа.

      Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на  x2. В результате получится уравнение

(26)

      Преобразуем левую часть уравнения (26):

      В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

      Если теперь обозначить

(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

(29)

      Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно  x.

      Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

      Пример 4. Решить уравнение

2x4 – 15x3 + 35x2 –
– 30 x + 8 = 0.		(30)

      Решение. Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

a = 2 ,      b =– 15,      
c = 35,       d = – 30,

и найдем значение выражения

      Поскольку

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x2. В результате получится уравнение

(31)

      Преобразуем левую часть уравнения (31):

      В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

(32)

      Если теперь обозначить

(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

2y2 – 15y + 27 = 0. 2 + b*x + c = 0,где x- переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. 2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета. 2+x-6=0.

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

 

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х2-18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).

 

Задача 6. Разложить квадратное 10x2-11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет — а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень. 2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

уравнений с бесконечными решениями (6 примеров и пояснений) — JDM Educational

Решая уравнение, мы можем обнаружить, что решения нет, есть одно решение, несколько решений или бесконечное количество решений (мы также можем сказать «бесконечно много решений») . Полезно знать, как выглядят некоторые из них, чтобы вы могли узнать их в случае, если вы столкнетесь с ними.

Итак, какие есть уравнения с бесконечными решениями? Некоторые уравнения с тригонометрическими функциями (например, sin(x) = 0) имеют бесконечно много решений. Есть некоторые уравнения с одной переменной (типа (x+1) 2 = х 2 + 2х + 1), которые имеют бесконечно много решений. Существуют также уравнения с двумя или более переменными (например, x = y), которые имеют бесконечно много решений.

Конечно, существует множество уравнений с бесконечными решениями — приведенные выше лишь несколько примеров.

В этой статье мы поговорим о том, что означает, что уравнение имеет бесконечные решения. Мы также рассмотрим несколько примеров и объясним, почему в этих случаях существует бесконечное число решений.

Начнем.

Уравнения с бесконечными решениями

Существуют некоторые общие признаки того, что уравнение может иметь бесконечные решения. Например:

  • Если обе части уравнения равны (или эквивалентны после перестановки членов), то всегда есть бесконечные решения. Это может произойти для уравнений с одной или несколькими переменными. Например, 2(x + 3) = 2x + 6 одинаково с обеих сторон после того, как мы используем Распределительное свойство слева. Значит, она имеет бесконечные решения.
  • Если в уравнении две или более переменных, то может быть бесконечное число решений. Например, y = x 2 имеет бесконечные решения: для любого действительного числа x мы можем легко найти решение y, возведя x в квадрат.
  • Если имеется осциллирующая или периодическая функция (например, синус или косинус), то решений может быть бесконечно много. Например, sin(x) = 0 имеет бесконечно много решений, поскольку каждое целое число, кратное π радианам, является решением (таким образом, π, 2π, 3π, 4π,… все являются решениями).
Некоторые тригонометрические уравнения имеют бесконечно много решений.

*Примечание: когда мы говорим, что уравнение имеет бесконечные решения (или бесконечно много решений), мы не имеем в виду, что ∞ является решением уравнения. Мы имеем в виду, что существует неограниченное число решений уравнения (каждое решение — конечное число).

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров уравнений с бесконечными решениями, а также объяснение каждого из них.

Использование квадратных корней

Пожалуйста, включите JavaScript

Использование квадратных корней

Пример 1. Уравнение с одной переменной с бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с одной переменной:

  • (x + 1) 2 + 4x x + 3) 2 – 8

Нам нужно будет выполнить некоторую работу (используя FOIL и комбинируя подобные термины), чтобы увидеть, существуют ли бесконечные решения:

  • (x 2 + 2x + 1) + 4х = (х + 3) 2 – 8   [(x + 1) 2 = (x 2 + 2x + 1), по ФОЛЬГЕ]
  • (x 2 + 2x + 1) + 4x = (x

    7 +

    2

    6x + 9) – 8

       [(x + 3) 2 = (x 2 + 6x + 9), по ФОЛЬГЕ]
  • x 2 + 6x + 1 = x + 2 + 6x 1   [объедините одинаковые термины с обеих сторон]
  • 0 = 0

Это последнее утверждение всегда истинно, независимо от того, какое значение x мы выбираем. Итак, исходное уравнение имеет бесконечное число решений — подойдет любое реальное значение x!

Пример 2. Уравнение с двумя переменными и бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с двумя переменными:

  • y = 2x 2 – 5x + 1

У этого уравнения бесконечно много решений. . В этом случае мы можем выбрать любое реальное значение x и найти y, подставив выбранное значение x в уравнение.

Например:

  • Для x = 0 получаем y = 2(0) 2 – 5(0) + 1 = 2*0 – 0 + 1 = 0 – 0 + 1 = 1
  • Для x = 1 получаем y = 2(1) 2 – 5(1) + 1 = 2*1 – 5 + 1 = 2 – 5 + 1 = -2
  • Для x = 2, получаем y = 2(2) 2 – 5(2) + 1 = 2*4 – 10 + 1 = 8 – 10 + 1 = -1
  • и т. д.

График ниже показано множество решений (парабола, которая является графиком квадратного).

График квадратного уравнения y = 2x 2 – 5x + 1, имеющего бесконечно много решений.

Пример 3. Уравнение с тремя переменными с бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с двумя переменными:

  • z = x + y

У этого уравнения бесконечно много решений. В этом случае мы можем выбрать любое действительное значение для x и любое действительное значение для y и найти z, подставив выбранные нами значения x и y в уравнение.

Например:

  • Для x = 0 и y = 0 получаем z = 0 + 0 = 0
  • Для x = 0 и y = 1 получаем z = 0 + 1 = 1
  • Для x = 1 и y = 1 мы получаем z = 1 + 1 = 2
  • и т. д.

График уравнения z = x + y будет представлять собой целую плоскость при отображении в 3D космос.

Плоскость (например, z = x + y) отображается в трехмерном пространстве. У уравнения z = x + y есть бесконечные решения.

Пример 4. Уравнение с тригонометрическими функциями с бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с тригонометрической функцией:

  • 2sin(x) = 1
  • sin(x) = ½
  • x = (12k + 1)π/6, (12k + 5)π/6 для любого целого числа k

Поскольку k может быть любым целым числом, существуют бесконечно много решений уравнения. Ниже вы можете увидеть график, показывающий некоторые точки пересечения y = 2sin(x) и y = 1.

Здесь показаны некоторые решения уравнения 2sin(x) = 1. Синяя кривая — часть графика y = 2sin(x), а красная линия — горизонтальная линия y = 1. Решения уравнения бесконечны. уравнение 2sin(x) = 1,

Обратите внимание, что шаблон того же типа будет иметь место для любой периодической функции (синуса, косинуса и т. д.)

Пример 5. Уравнение с триггерными функциями с бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с тригонометрической функцией:

  • cos(x) = 1
  • x = kπ для любого целого числа k

Поскольку k может быть любым целым числом, у уравнения существует бесконечно много решений. Ниже вы можете увидеть график, показывающий некоторые точки пересечения y = cos(x) и y = 1.

Здесь показаны некоторые решения уравнения cos(x) = 1. Синяя кривая — часть графика y = cos(x), а красная линия — горизонтальная линия y = 1. Существует бесконечное количество решений уравнения уравнение cos(x) = 1.

Пример 6. Уравнение с тригонометрическими функциями с бесконечным числом решений

Рассмотрим следующее уравнение с тригонометрической функцией:

  • sin(x) = cos(x)
  • sin(x)/cos(x) = cos(x)/cos(x)
  • tan(x) = 1

Это происходит, когда x = (8k+1)π/4 и x = (8k+5)π/4 для каждого целого числа k.

*Примечание: поскольку мы делили на cos(x), мы должны проверить случай, когда cos(x) = 0, что имеет место, когда x = kπ/2 для каждого k. В этом случае sin(x) равен 1, что не равно 0.

Поскольку k может быть любым целым числом, у уравнения существует бесконечно много решений. Ниже вы можете увидеть график, показывающий некоторые точки пересечения y = cos(x) и y = 1.

Здесь показаны некоторые решения уравнения sin(x) = cos(x). Синяя кривая является частью графика y = sin(x), а красная линия является частью графика y = cos(x). У уравнения sin(x) = cos(x) есть бесконечные решения.

Заключение

Теперь вы знаете о некоторых уравнениях, имеющих бесконечные решения, и о том, как они выглядят.

Чтобы узнать больше о системах линейных уравнений с бесконечными решениями, ознакомьтесь с этой статьей.

Надеюсь, эта статья оказалась вам полезной. Если это так, пожалуйста, поделитесь ею с теми, кто может использовать эту информацию.

Не забудьте подписаться на наш канал YouTube и получать обновления о новых математических видео!

Подпишитесь на наш канал на YouTube!

Решения линейного уравнения | Калькулятор

Решения линейного уравнения относятся к набору значений переменных в линейных уравнениях, дающих все возможные решения. Линейные уравнения включают неизвестные величины в виде одной или нескольких переменных для представления реальных задач. Это помогает легко узнать стоимость, пробег, скорость, расстояние и т. Д. Мы все используем линейные уравнения в нашей повседневной жизни, не зная об этом.

В этом уроке мы подробно узнаем о решениях линейных уравнений, типах решений, способах их нахождения и т. д.

1. Каковы решения линейного уравнения?
2. Типы решений линейных уравнений
3. Как найти решение линейного уравнения?
4. Примеры решений линейного уравнения
5. Часто задаваемые вопросы о решениях линейного уравнения

Каковы решения линейного уравнения?

Решениями линейных уравнений являются точки, в которых линии или плоскости, представляющие линейные уравнения, пересекаются или встречаются друг с другом. Множество решений системы линейных уравнений — это множество значений переменных всех возможных решений. Например, при решении линейных уравнений можно визуализировать решение системы одновременных линейных уравнений, нарисовав 2 линейных графика и найдя точку их пересечения.

Красная линия представляет все решения уравнения 1, а синяя линия — решения уравнения 2. Пересечение в единственной точке (2,4) — это решение, удовлетворяющее обоим уравнениям.

Типы решений линейных уравнений

Система линейных уравнений может иметь 3 типа решений.

Единственное решение системы линейных уравнений

Единственное решение системы линейных уравнений означает, что существует только одна точка, при подстановке которой левая и правая стороны уравнения становятся равными. Линейное уравнение с одной переменной всегда имеет единственное решение. Например, 3m = 6 имеет единственное решение m = 2, для которого L.H.S = R.H.S. Точно так же для одновременных линейных уравнений с двумя переменными единственным решением является упорядоченная пара (x, y), которая удовлетворяет обоим уравнениям.

Нет решения

Система линейных уравнений не имеет решения, если не существует точки, в которой прямые пересекаются друг с другом, или графики линейных уравнений параллельны.

Бесконечное множество решений

Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если существует множество решений, состоящее из бесконечных точек, для которых левая и правая стороны уравнения становятся равными или на графике прямые линии перекрывают друг друга.

Как найти решение линейного уравнения?

Решения для линейных уравнений с одной переменной

Рассмотрим уравнение 2x + 4 = 8

  • Чтобы найти значение x, сначала мы удаляем 4 из LHS, поэтому мы вычитаем 4 из обеих частей уравнения. 2x + 4 — 4 = 8 — 4
  • Просто. Теперь мы получаем, 2x = 4
  • Теперь нам нужно удалить 2 из L.H.S, чтобы получить x, поэтому мы делим уравнение на 2. 2x/2 = 4/2, x=2

Следовательно, решение уравнения 2x + 4 = 8 равно x=2.

Решения линейных уравнений с двумя переменными

Для нахождения решений линейных уравнений с двумя переменными можно использовать следующие методы.

Метод подстановки

Рассмотрим следующую пару линейных уравнений, давайте решим следующие линейные уравнения.

x + y = 4 и x — y = 2

  • Преобразуем первое уравнение, чтобы выразить y через x следующим образом: x + y = 4, y = 4 — x
  • Теперь это выражение для у можно подставить во второе уравнение, так что у нас останется уравнение только относительно х: х — у = 2, х — 4 + х = 2, 2х = 6 х = 6/2, х = 3
  • Получив значение x, мы можем подставить его обратно в любое из двух уравнений, чтобы найти y. Подставим это в первое уравнение: x + y = 4 (3) + y = 4, y = 4 — 3 = 1, y = 1
  • Окончательное нетривиальное решение: x = 3, y = 1

Должно быть понятно, почему этот процесс называется замещением. Мы выражаем одну переменную через другую, используя одно из двух уравнений, и подставляем это выражение во второе уравнение.

Метод исключения

Рассмотрим следующую пару линейных уравнений:

2x + 3y — 11 = 0, 3x + 2y — 9 = 0

Коэффициенты x в двух уравнениях равны 2 и 3 соответственно. Умножим первое уравнение на 3, а второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при x в двух уравнениях стали равными:

  • 3 {2x + 3y — 11 = 0} 6x + 9y — 33 = 0
  • 2 {3x + 2y — 9 = 0} 6x + 4y — 18 = 0

Теперь вычтем два уравнения, это значит, что мы вычтем левые части двух уравнений, а правые части двух уравнений и равенство все равно сохранится.

6x + 9y — 33 = 0 ,6x + 4y — 18 = 0 0 + 5y — 15 = 0, 5y = 15, y = 3 . Получив значение y, мы действуем, как и раньше, — подставляем его в любое из двух уравнений. Подставим это в первое уравнение:

2х + 3у — 11 = 0, 2х + 3 (3) — 11 = 0, 2х + 9 — 11 = 0\, 2х = 2, х = 1

Таким образом, нетривиальное решение: x = 1, y = 3

Графический метод

В качестве примера решим следующее линейное уравнение: x — y + 2 = 0, 2x + y — 5 = 0. Рисуем соответствующие линии на тех же осях:

Точка пересечения (1,3), что означает, что x = 1, y = 3 является решением пары линейных уравнений, заданной (2). Фактически, это единственное решение пары , так как две непараллельные прямые не могут пересекаться более чем в одной точке.

Важные примечания

Вы можете напрямую проверить типы решений, используя следующие условия:

  • Уникальное решение (непротиворечивое и независимое) a1/a2 ≠ b1/b2
  • Нет решения (противоречивое и независимое) a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
  • Бесконечное множество решений (непротиворечивых и зависимых) a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

Часто задаваемые вопросы о решениях линейных уравнений

Как решить систему линейных уравнений?

У нас есть разные методы решения системы линейных уравнений:

  • Графический метод
  • Метод замены
  • Метод перекрестного умножения
  • Метод исключения
  • Метод определителей

Что такое уникальное решение линейного уравнения?

Единственным решением системы линейных уравнений является упорядоченная пара или точка, которая делает равенство истинным в уравнении.

Что произойдет, если пара линейных уравнений непротиворечива?

Если пара линейных уравнений непротиворечива, то линии либо пересекаются, либо совпадают (накладываются) друг на друга.

Каковы 3 решения линейных уравнений?

Существует три способа решения систем линейных уравнений: замена, исключение и построение графика

Как найти решение линейной системы?

  • Сначала решите одно линейное уравнение относительно y через x.
  • Затем подставьте это выражение для y в другое линейное уравнение. Вы получите уравнение относительно x .

Линии пересекаются в нулевых точках.
Линии пересекаются ровно в одной точке.
Прямые пересекаются в бесконечном числе точек.

Как найти решение двух линейных уравнений?

Решение систем уравнений путем замены

  • Решите одно из двух уравнений для одной из переменных относительно другой.
  • Подставьте выражение для этой переменной во второе уравнение, затем найдите оставшуюся переменную.

Как решать линейные уравнения с одной переменной?

  • Шаг 1: При необходимости упростите каждую сторону.
  • Шаг 2: Используйте доп./доп. Свойства, позволяющие переместить переменный термин в одну сторону, а все остальные термины — в другую.
  • Шаг 3: Используйте Mult./Div. …
  • Шаг 4: Проверьте свой ответ.

Сколько существует решений линейного уравнения 2x-5y=7?

В данном уравнении 2x – 5y = 7 для каждого значения x мы получаем соответствующее значение y и наоборот. Следовательно, линейное уравнение имеет бесконечно много решений.

Как найти упорядоченные парные решения линейных уравнений?

Чтобы выяснить, является ли упорядоченная пара решением уравнения, вы можете выполнить тест. Определите значение x в упорядоченной паре и подставьте его в уравнение. При упрощении, если полученное вами значение y совпадает со значением y в упорядоченной паре, то эта упорядоченная пара действительно является решением уравнения.

1 … 67 68 69 70 71 … 2 804

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта