Рубрика: Школьная жизнь

Линейное уравнение с одной переменной. 7-й класс

Разделы: Математика

Урок № 1.

Тип урока: закрепление пройденного материала.

Цели урока:

Образовательные:

• формирование навыка решения уравнения с одним неизвестным сведением его к линейному уравнению с помощью свойств равносильности.

Развивающие:

• формирование ясности и точности мысли, логического мышления, элементов алгоритмической культуры;
• развитие математической речи;
• развитие внимания, памяти;
• формирование навыков само и взаимопроверки.

Воспитательные:

• формирование волевые качества;
• формирование коммуникабельность;
• выработка объективной оценки своих достижений;
• формирование ответственности.

Оборудование: интерактивная доска, доска для фломастеров, карточки с заданиями для самостоятельной работы, карточки для коррекции знаний для слабоуспевающих учащихся, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для домашних работ, тетрадь для самостоятельных работ.

Ход урока

1. Организационный момент – 1мин.

Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему урока и цель урока.

2. Проверка домашнего задания – 4 мин.

Учащиеся проверяют домашнюю работу, решение которой выведено с обратной стороны доски одним из учащихся.

3. Устная работа– 6 мин.

(1) Пока идет устный счет, слабоуспевающие учащиеся получают карточку для коррекции знаний и выполняют 1), 2), 4) и 6) задания по образцу. (См. Приложение 1.)

Карточка для коррекции знаний.

(2) Для остальных учащихся задания проецируются на интерактивную доску: (См. Презентацию: Слайд 2)

1. Вместо звездочки поставь знак “+” или “–”, а вместо точек – числа:
   а) (*5)+(*7) = 2;
   б) (*8) – (*8) = (*4)–12;
   в) (*9) + (*4) = –5;
   г) (–15) – (*…) = 0;
   д) (*8) + (*…) = –12;
   е) (*10) – (*…) = 12.
2. Составь уравнения, равносильные уравнению:
   а) х – 7 = 5;
   б) 2х – 4 = 0;
   в) х –11 = х – 7;
   г) 2(х –12) = 2х – 24.

3. Логическая задача: Вика, Наташа и Лена в магазине купили капусту, яблоки и морковь. Все купили разные продукты. Вика купила овощ, Наташа – яблоки или морковь, Лена купила не овощ. Кто что купил? (Один из учащихся, выполнивший задание выходит к доске и заполняет таблицу.) (Слайд 3)

  Заполнить таблицу

 Ответ

(Учащиеся используют пластиковые листы и фломастеры.)

4. Обобщение умения решать уравнения сведением их к линейному уравнению –9 мин.

Коллективная работа с классом. (Слайд 4)

Решим уравнение

12 – (4х – 18) = (36 + 5х) + (28 – 6х). (1)

для этого выполним следующие преобразования:

1. Раскроем скобки. Если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки:

12 – 4х + 18 = 36 + 5х + 28 – 6х. (2)

Уравнения (2) и (1) равносильны:

2. Перенесем с противоположными знаками неизвестные члены так, чтобы они были только в одной части уравнения (или в левой, или в правой). Одновременно перенесем известные члены с противоположными знаками так, чтобы они были только в другой части уравнения.

Например, перенесем с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение

– 4х – 5х + 6х = 36 + 28 – 18 — 12, (3)

равносильное уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).

3. Приведем подобные слагаемые:

–3х = 34. (4)

Уравнение (4) равносильно уравнению (3), а следовательно, и уравнению (1).

4. Разделим обе части уравнения (4) на коэффициент при неизвестном.

Полученное уравнение х = будет равносильно уравнению (4), а следовательно, и уравнениям (3), (2), (1)

Поэтому корнем уравнения (1) будет число

По этой схеме (алгоритму) решаем уравнения на сегодняшнем уроке:

1. Раскрыть скобки.
2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.
3. Привести подобные члены.
4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Примечание: следует отметить, что приведенная схема не является обязательной, так как часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными. При решении же других уравнений бывает проще отступить от этой схемы, как, например, в уравнении:

7(х – 2) = 42.

5. Тренировочные упражнения – 8 мин.

№ № 132(а, г), 135(а, г), 138(б, г) – с комментарием и записью на доске.

6. Самостоятельная работа – 14 мин. (выполняется в тетрадях для самостоятельных работ с последующей взаимопроверкой проверкой; ответы будут отображены на интерактивной доске)

Перед самостоятельной работой учащимся будет предложено задание на сообразительность – 2 мин.

Не отрывая карандаша от бумаги и не проходя дважды по одному и тому же участку линии, начертите распечатанное письмо. (Слайд 5)

(Учащиеся используют пластиковые листы и фломастеры.)

1. Решить уравнения (на карточках) (См. Приложение 2)

Дополнительное задание № 135 (б, в).

7. Подведение итогов урока – 1 мин.

Алгоритм сведения уравнения к линейному уравнению.

8. Сообщение домашнего задания – 2 мин.

п.6, № № 136 (а-г), 240 (а), 243(а, б), 224 (Разъяснить содержание домашнего задания).

Урок № 2.

Цели урока:

Образовательные:

• повторение правил, систематизация, углубление и расширение ЗУНов учащихся по решению линейных уравнений;
• формирование умения применять полученные знания при решении уравнений различными способами.

Развивающие:

• развитие интеллектуальных умений: анализа алгоритма решения уравнения, логического мышления при построении алгоритма решения уравнения, вариативности выбора способа решения, систематизации уравнений по способам решения;
• развитие математической речи;
• развитие зрительной памяти.

Воспитательные:

• воспитание познавательной активности;
• формирование навыков самоконтроля, взаимоконтроля и самооценки;
• воспитание чувства ответственности, взаимопомощи;
• привитие аккуратности, математической грамотности;
• воспитание чувства товарищества, вежливости, дисциплинированности, ответственности;
• Здоровьесбережение.

а) образовательная: повторение правил, систематизация, углубление и расширение ЗУНов учащихся по решению линейных уравнений;

б) развивающая: развитие гибкости мышления, памяти, внимания и сообразительности;

в) воспитательная: привитие интереса к предмету и к истории родного края.

Оборудование: интерактивная доска, сигнальные карточки (зеленая и красная), листы с тестовой работой, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для домашних работ, тетрадь для самостоятельных работ.

Форма работы: индивидуальная, коллективная.

Ход урока

1. Организационный момент – 1мин.

Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему урока и цель урока.

2. Устная работа – 10 мин.

(Задания для устного счета выводятся на интерактивную доску.) (Слайд 6)

1) Решите задачи:

а) Мама старше дочери на 22 года. Сколько лет маме, если им вместе 46 лет
б) В семье трое братьев и каждый следующий младше предыдущего в два раза. Вместе всем братьям 21 год. Сколько лет каждому?

2) Решите уравнения: (Пояснить)

Какие из данных уравнений являются линейными?

(Во время устного счета учащиеся используют сигнальные карточки: зеленую и красную)

3) Проверьте, правильно ли решено уравнение, если нет, то найди ошибки. (Слайд 7)

1.5. Общий случай линейной алгебраической системы уравнений. Условие совместности Ранг матрицы

Определитель k-го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов матрицы А, называется минором k-го порядка, порожденным данной матрицей.

Например, для матрицы А

минор второго порядка можно получить, выбрав 1 и 3 строки, а также 1-й и 4-й столбцы: .Очевидно, что минорами, порожденными этой матрицей, являются и другие определители 2-го порядка:

и т.д.

Данная матрица имеет минорами и определители 3-го порядка

Рангом матрицы А (обозначается ) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров, порожденных этой матрицей.

В рассматриваемой матрице А наивысший порядок ее миноров равен трем. Вычислим один из них.

Так как этот минор отличен 0, то .

Вычислять все миноры, порождаемые данной матрицей, затруднительно. Поэтому для определения ранга матрицы можно использовать метод приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1) умножение какой-либо строки (столбца) на число ,

2) перестановка двух строк (столбцов),

3) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число .

Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получена из другой при помощи элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

С помощью эквивалентных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.

Матрица называется ступенчатой, если в ее первой строке имеется хотя бы один элемент отличный от 0, а в каждой последующей строке первый отличный от 0 элемент стоит правее первого отличного от 0 элемента предыдущей строки. Например,

.

Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Для определения ранга матрицы нужно, применяя элементарные преобразования, привести ее к ступенчатому виду.

Исследование на совместность систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x₁, x₂, …, x_n:

Составим две матрицы:

и ,

где А − основная матрица системы, В − расширенная матрица системы.

Условие совместности любой линейной алгебраической системы определяется теоремой Кронекера-Капелли: для того, чтобы линейная алгебраическая система уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы системы, т. е. .

При этом возможны два случая:

а) , тогда система имеет единственное решение;

б) , тогда система имеет бесконечное множество решений (при этомr неизвестных являются основными, остальные n — r неизвестных – свободными, им можно придавать произвольные значения, в зависимости от которых принимают значения основные переменные).

1.6. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений

Основная идея метода Гаусса − последовательное исключение неизвестных.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из ступенчатой системы.

На практике удобнее работать не с системой, а с ее расширенной матрицей, выполняя элементарные преобразования над ее строками.

Сущность метода проиллюстрируем на примере решения системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Таким образом, если число уравнений в полученной ступенчатой системе равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Все неизвестные в этом случае определяются последовательно, начиная с последнего.

Если же число уравнений в ступенчатой системе меньше числа неизвестных (), то система имеетбесконечное множество решений. В этом случае неизвестные x₁, x₂,…, x_n могут быть выражены через остальные неизвестные.

Система не имеет решений, если одно из уравнений имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты в левой части равны нулю, т. е. если при преобразованиях получаются уравнения вида

где .

Этому случаю соответствует появление в ступенчатой матрице строки вида

.

23

studfiles.net

Теорема Кронекера-Капелли, формула и примеры

Выпишем основную и расширенную матрицы заданной системы

   

Вычислим ранги этих матриц с помощью элементарных преобразований строк. Рассмотрим расширенную матрицу . Первую строку оставим без изменения, ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , получим:

   

Далее первую строку оставим без изменения, третью строку сократим на и переставим вторую и третью строки, получим:

   

Первые две строки оставим без изменения, к третьей прибавим вторую, умноженную на 4:

   

Таким образом, матрицы и имеют по три линейно независимые строки, поэтому их ранги равны . По теореме Кронекера-Капелли, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрице и равен количеству неизвестных, то данная система имеет единственное решение. Найдем его. Для этого, используя последнюю матрицу, перейдем к системе уравнений

   

Вычислим последовательно значения неизвестных. Из последнего уравнения получаем, что . Подставляя это значение неизвестной во второе уравнение, будем иметь:

   

Теперь подставим значения найденных неизвестных в первое уравнение:

   

ru.solverbook.com

Условие совместности СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли

Установить, совместна ли система линейных уравнений, с помощью теоремы Кронекера-Капелли часто можно быстрее, чем с помощью метода Гаусса, когда требуется последовательно исключать неизвестные. Основана эта теорема на использовании ранга матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу её расширенной матрицы, то есть чтобы .

Здесь матрица A (матрица системы) — это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных:

В свою очередь матрица В (расширенная матрица) — это матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца из свободных членов:

Ранги этих матриц связаны неравенством , при этом ранг матрицы В может быть лишь на одну единицу больше ранга матрицы A.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли о числе решений. Пусть для системы m линейных уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, то есть ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда верно следующее.

• Если ранг матрицы равен числу неизвестных (), то система имеет единственное решение.
• Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым n — r неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся r неизвестных определятся уже единственным образом.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений, то есть , то система совместна при любых свободных членах. В этом случае ранг расширенной матрицы также равен m, так как ранг матрицы не может быть больше числа её строчек.

В ходе доказательства теоремы Кронекера-Капелли были получены явные формулы для решений системы (в случае её совместности). Если уже известно, что система совместна, то, чтобы найти её решения, необходимо:

1) отыскать в матрице системы A ранга отличный от нуля минор порядка, равного рангу матрицы системы, то есть ранга r;

2) отбросить те уравнения, которые соответствуют строкам матрицы A, не входящим в минор ;

3) члены с коэффициентами, не входящими в , перенести в правую часть, а затем, придавая неизвестным, находящимся в правой части, произвольные значения, определить по формулам Крамера оставшиеся r неизвестных из системы r уравнений с отличным от нуля определителем .

Пример 1. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы. В обоих случаях он равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. Минор

отличен от нуля, поэтому последнее уравнение отбрасываем и неизвестному придаём произвольное значение .

Оставшиеся неизвестные определяются из системы

Решая последнюю систему по формулам Крамера или иным способом, находим

,

,

.

Присоединяя сюда , получаем все решения данной системы линейных уравнений.

Пример 2. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы:

.

Следовательно, ранг системы равен 3. Определим ранг расширенной матрицы:

.

Это означает, что ранг расширенной матрицы также равен 3. Следовательно, система совместна, а так как число неизвестных равно рангу матрицы системы, то она имеет единственное решение. Для решения можем использовать первые три уравнения:

Решая последнюю систему по формулам Крамера, находим

,

,

.

Всё по теме «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

СЛАУ примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

От четвертой строки отнимем третьей и третью строку умножим на :

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

Здесь — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных (в рассматриваемом примере , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы (в этом случае получили, что — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду):

Так как ранг матрицы , а количество неизвестных системы , то тогда количество решений в ФСР (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения , получаем, что . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря , , будем иметь, что , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

где коэффициенты не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

  

Придавая константам определенные значения и подставляя их в общее решение, можно будет находить частные решения однородной СЛАУ.

www.webmath.ru

Критерий совместности системы линейных уравнений.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 18Следующая ⇒

 

Критерий совместности системы линейных уравнений даёт теорема Кронекера-Капелли.

Леопольд Кронекер (1823 – 1891 гг.) ─ немецкий математик. Теорема, о которой пойдёт речь, содержалась в его лекциях, читавших в Берлинском университете в 1883 – 1891 гг.

Альфред Капели (1858 – 1916) ─ итальянский математик. Он, по-видимому, впервые дал формулировку теоремы с использованием термина «ранг матрицы» в своей работе в 1892г.

 

Теорема Кронекера-Капелли.

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

 

Пример. Исследовать систему на совместность

Решение. Приведение матрицы системы и расширенной матрицы системы к ступенчатому виду будем выполнять одновременно.

Ранг матрицы системы равен 2, а ранг расширенной матрицы системы равен 3. По теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

 

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

 

Метод Гаусса применяется для произвольной системы линейных уравнений. Нам понадобится

Определение. Систему линейных уравнений будем называть ступенчатой, если матрица этой системы ступенчатая.

 

При решении системы линейных уравнений применим следующий алгоритм:

 

1. Записываем расширенную матрицу системы (1) и приводим её к ступенчатому виду,

определяем ранги матрицы и расширенной матрицы системы.

2. Если найденные ранги не равны, то система несовместна.

3. Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен числу r. В

этом случае система совместна и надо найти её решение.

4. Используя ступенчатый вид расширенной матрицы системы, записываем соответствующую ступенчатую систему.

5. Если число r равно числу неизвестных n, то ступенчатая система имеет вид

(2)

Из системы (2) последовательно находим значения для х₁, х₂,…, х_т, начиная с последнего уравнения. В этом случае система (1) имеет единственное решение.

6. Если число r меньше числа неизвестных, то ступенчатая система имеет вид

(3)

В системе (3) r уравнений и n неизвестных. Неизвестные х₁,…,х_j1, которые первыми встречаются в уравнениях системы (3), назовём главными неизвестными, остальные ─ свободными неизвестными. Из системы (3) последовательно выражаем главные неизвестные через свободные, начиная с последнего уравнения. Свободные неизвестные могут принимать любые значения. В этом случае система имеет бесконечно много решений.

 

Примеры.

1). Ответ: (2;-3;-1).

 

2) Ответ: нет решений.

 

3) Ответ: бесконечно много решений.

 

Правило Крамера решения систем линейных уравнений.

 

Габриэль Крамер (1704 – 1752) ─ швейцарский математик, который в 1750 г. нашёл метод решения систем линейных уравнений, названный впоследствии правилом Крамера.

 

Определение. Система линейных уравнений называется крамеровской,если тело уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы отличен от нуля.

 

Теорема 7.1. Крамеровская система имеет единственное решение, которое находится по формулам

где ─ определитель матрицы системы, ─ определитель, полученный из , заменой столбца коэффициентов при на столбец свободных членов.

Доказательство. Пусть дана крамеровская система

(4)

Тогда

│А│= ∆ = ¹ 0.

По теореме 3 лекции 6 матрица системы А имеет обратную матрицу А^-1.

Запишем крамеровскую систему (4) в матричном виде

 

АХ = В (5)

где

А = , Х = , В = .

Умножим обе части матричного уравнения (5) слева на А^-1:

А^-1(АХ) = А^-1В,

Ввиду ассоциативности умножения матриц имеем

А^-1(АХ) = (А^-1А)Х = Е_ТХ = Х.

Таким образом,

Х = А^-1В ─ решение системы.

 

1) Покажем, что такое решение единственно. Предположим, что Х₁ и Х₂ ─ два решения матричного уравнения (5). Тогда АХ₁ = В и АХ₂ = В, откуда АХ₁ = АХ₂. Умножая обе чисти равенства на А^-1 слева, имеем

А^-1(АХ₁) = А^-1(АХ₂),

(А^-1А)Х₁ = (А^-1А)Х₂,

Е_nХ₁ = Е_nХ₂,

Х₁ = Х₂.

Следовательно, система (4) имеет единственное решение.

 

2) Найдём решение системы (4). Из равенства Х = А^-1В имеем:

= ,

откуда

,

,

……………………………………………………..

.

Обозначая определители в правой части равенств соответственно, получим формулы .

 

Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера

 

Ответ: (1;1;1).

 

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Исследование системы на совместимость и решение методом Крамера. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

1. Исследовать систему на совместимость и решить методом Крамера.

Решение:

Т-ма Крамера: крамеровская система имеет единственное решение.

Крамеровская система – это система, удовлетворяющая следующим 2-м условиям:

1) число уравнений системы = числу неизвестных

2) определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от 0

Составим определитель:

 

Система совместима, т.е. имеет хотя бы одно решение.

Ответ: (-4; 1; -2)

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

                                  .

Решение:Выпишем расширенную матрицу системы

Приведем эту матрицу к ступенчатому  виду. Для этого мы можем делать элементарные преобразования строк.

Т-ма Кронекери-Копелли: СЛУ совместима , когда ранг матрицы = рангу расширенной матрицы системы.

Ранг матрицы – число ненулевых строк в ступенчатом виде матрицы

С – расширенная матрица системы, А – матрица системы

r(C)=2

r(A)=2  r(C)=r(A) и по теореме Кронекери-Копелли система совместима. От ступенчатой матрицы переходим к ступенчатой системе:

Т. к. число уравнений системы < числа неизвестных, то в этом случае система имеет бесконечно много решений. Чтобы найти решение, надо разбить неизвестные на главные и свободные.

главные неизвестные, свободная неизвестная (может быть любым числом),

      

3. Разложить пространство R⁴ на прямую сумму подпространств размерности 2.

Решение:

R⁴ – множество строк длины 4 (4-х мерное арифметическое пространство)

R⁴={(

Если А и В – подпространства пространства V, то через А+В обозначают множество {a+b|aЄA, bЄB}

В случае, если А∩В={Ø} – нулевое подпространство, то такая сумма V=A+B называется прямой и в этом случае пишут V=A. В нашем случае Ø=(0,0,0,0)

Пусть теперь А={( B={(0,0,

Проверим, что пространство задаётся в виде А+В

Пусть 

а=( в==(0,0,, значит R⁴ =A.

Ответ: R⁴ =A, где А={( B={(0,0,

4. Докажите, что в пространстве M(2, R) система векторов  линейно независима.

Решение:

Система векторов а₁,а₂,а₃,а₄ линейно независима, если в любой системе вида

Ø

В нашем случае, пусть

Значит, система векторов Е₁, Е₂, Е₃, Е₄ линейно независима.

5. Найдите  жорданову  нормальную  форму матриц:  .

Решение:

Жорданова нормальная форма матрицы состоит из клеток Жордана вдоль главной диагонали, а все остальные элементы такой матрицы нулевые.

Клетка Жордана – это матрица вида:

Если размер клетки n*n, то она обозначается символом Y_n(a).

Пример: Y₁(a)=а, Y₂(a)=, Y₃(a)=

В искомой матрице записывают характеристический многочлен матрицы А и находят его корни.

Характеристический многочлен имеет единственный корень кратности 3.

Надо выяснить, какой из 3-х случае нам подходит:

Y₁=, Y₂=, Y₃=(1)

Число всех клеток Жордана вычисляют по формуле:

A-E =~

Значит, . Искомая матрица имеет вид: Y=

Ответ: Y=

6. Исследовать, являются ли векторы

векторного  пространства  линейно зависимыми.

Решение:

Пусть

Это приводит к системе:

Т. к. определитель системы ≠ 0, то система имеет единственное нулевое решение. Значит, система векторов f(x), g(x), h(x) являются линейно независимыми.

Ответ: линейно независимы.

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора пространства R², заданного в некотором базисе матрицей

.

Решение:

Характеристический многочлен имеет единственный корень  кратности 2.

Значит,  — собственное значение линейного оператора.

Найдем собственный вектор, отвечающий найденному собственному значению:

Пусть х = (х₁, х₂)  х(А-

θ

Пусть х₂=t →x₁=-t, где t – любое число

Ответ: собственное значение λ = -1, собственный вектор (-t, t), t – любое число.

8. Найти все значения , при которых вектор           линейно выражается через векторы

Решение:

Мы должны найти все λ, для которых уравнение  (1)

имеет решение

что приводит к системе:

Уравнение (1) имеет решение ↔, когда данная система имеет решение. А согласно теореме  Кронекери-Копелли данная система совместима ↔ ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы.

~~~

vunivere.ru

Исследовать на совместность и решить неоднородные системы линейных уравнений

Примеры выполнения заданий:

1) Дано:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы, совмещенную с матрицей А системы:

.

Вычислим ранги обеих матриц методом приведения их к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. С этой целью первую строку вычтем из второй, а вторую – из третьей, получим:

или .

Отсюда видно, что как матрица системы А, так и расширенная матрица имеют одинаковый ранг, равный трем. Делаем вывод, что заданная система совместна, причем все три ее уравнения являются линейно независимыми (число уравнений и ранг матрицы совпадают). Таким образом, заданная система эквивалентна следующей системе:

Вычисляя определители матрицы этой системы:

делаем вывод, что свободной может быть объявлена либо , либо неизвестная. Поэтому в первом уравнении системы в правую часть следует перенести или .

Перенеся , получим:

откуда находим: . Подставляем во второе уравнение системы. Получим

Подставляем найденные значения и в первое уравнение системы, найдем .

.

Записываем общее решение системы:

Найдем какое-нибудь частное решение. Пусть свободная переменная . Тогда частное решение системы будет равно

Ответ:

– общее решение системы

– частное решение системы.

2) Дано:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы, совместив ее с матрицей А системы

.

Выполним элементарные преобразования над строками совмещенных матриц, вычислим ранги матриц:

 

Получили матрицу, имеющую две ненулевые строки. Видно, что как матрица системы А, так и расширенная матрица имеют одинаковый ранг, равный двум. Делаем вывод, что заданная система линейных уравнений совместна. Вместе с тем линейно независимы только первые два уравнения (ранг равен двум), а третье – следствие двух первых (при элементарных преобразованиях расширенной матрицы ее последняя строка стала нулевой). Таким образом, заданная система эквивалентна следующей системе:

Для решения полученной системы необходимо определиться со свободными переменными. Так как ранг заданной системы , то базисных переменных будет тоже две. Все остальные – свободные, найдем их.

Вычислим определители второго порядка, составленные из коэффициентов при неизвестных, и отметим отличные от нуля.

Делаем вывод, что переменная обязательно должна быть базисной. Вторую переменную выбираем произвольно из , , . Пусть будет базисной переменной, тогда и будут свободными, переносим их в правую часть уравнений

Решая эту систему находим:

Тогда общее решение системы будет иметь вид:

Найдем какое-нибудь частное решение. Пусть , . Тогда получим:

Ответ: – общее решение системы.

3) Дано:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы, совместив ее с матрицей А системы и найдем их ранги:

 

Отсюда видно, что ранг матрицы А заданной системы равен двум (третья строка матрицы А состоит из нулей, а миноры второго порядка отличны от нуля), в то время как ранг расширенной матрицы равен трем. Поэтому, на основании теоремы Кронекера-Капелли, заданная система несовместна, т.е. не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

4) Дано:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы, совместив ее с матрицей А системы, найдем их ранги, делая элементарные преобразования над строками:

 

 

Полученный результат свидетельствует, что данная система совместна, так как ранги матриц А и одинаковы и равны четырем. Не трудно заметить, что ранг матрицы системы равен числу уравнений системы, поэтому делаем вывод о том, что все уравнения системы линейно независимы. При этом ранг матрицы системы равен числу неизвестных – это свидетельствует о том, что система имеет единственное решение.

Заданная система эквивалентна следующей:

Решим эту систему:

.

Записываем ответ.

Ответ: – единственное решение заданной системы.

 

Для самостоятельного решения:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

 

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

2. Основные свойства пределов

1. Если предел функции в точке существует, то он единственный.

2. Предел постоянной величины равен самой постоянной:

.

3. Предел суммы (разности) конечного числа функций равен соответственно сумме (разности) пределов этих функций:

.

4. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю:

(при ).

Все свойства имеют смысл, если пределы функций существуют.

Для вычисления пределов используется свойство элементарных функций: если — элементарная функция, то . Это означает, что если предельная точкапринадлежит области определения функции, то вычисление пределасводитсяк подстановке в функцию вместо числа .

Пример. Вычислить предел .

Точка принадлежит области определения функции, значит,.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

При вычислении пределов большую роль играют бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.

Примеры.

1. Функция — б.м.ф. в точках, т.к..

2. Функция — б.м.ф. при, т.к..

Примеры.

3. Функция — б.б.ф. при, т.к..

4. Функция — б.б.ф. в точке, т.к..

Отметим важные свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Теорема (Свойства б.м.ф.)

1. Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. и произведение конечного числа б.м.ф. есть бесконечно малая функция.

2. Произведение б.м.ф. на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

3. Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую в точке ненулевой предел, есть б.м.ф.

4. Функция, обратная к бесконечно малой, есть бесконечно большая функция:

Теорема (Свойства б.б.ф.)

5. Произведение конечного числа б.б.ф. есть бесконечно большая функция.

6. Произведение б.б.ф. на функцию, имеющую предел, не равный нулю, есть бесконечно большая функция.

7. Функция, обратная к бесконечно большой, есть бесконечно малая функция:

Примеры. Вычислить пределы.

1. .

2..

3. .

4. Раскрытие неопределенностей ,

Часто подстановка предельного значения аргумента в функцию приводит к неопределенным выражениям вида ,,,и так далее. В таких ситуациях при вычислении предела нельзя применить равенство, ни свойства б.м.ф. и б.б.ф. Нахождение предела в таких случаях называется «раскрытием неопределенности».

Для раскрытия неопределенностей в пределе используют различные приемы.

Неопределенность вида . Если функция есть отношение многочленов, то для раскрытия неопределенности нужно числитель и знаменатель разделить почленно на в наибольшей степени.

Пример.

Запишем правило вычисления предела отношения двух многочленов при раскрытии неопределенности типа .

Неопределенность вида .

А) Если функция естьотношение многочленов , то для раскрытия неопределенности нужно разложить многочлены ина множители и сократить на множитель, стремящийся к нулю.

Б) Если функция содержит иррациональность, то для раскрытия неопределенности нужно избавиться от иррациональности с помощью формул сокращенного умножения и др.

studfiles.net

Свойства пределов функции

Предел функции является в математическом анализе одним из основных понятий. Функция f(x) в точке х₀ предел имеет L. Если все значения х достаточно близки к х₀, то близко к L и значение f(x).

На бесконечности предел функции описывает поведение значения самой функции, когда аргумент ее становится бесконечно большим.

Предел функции обозначается в виде f(x) → L в случае, если х→а

К основным свойствам пределов функции относят:

• предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;
• предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;
• предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;
• повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;
• произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;
• расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;
• предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;
• предел функции степенной, где действительным числом является степень р;
• предел функции показательной, при которой основание b больше 0;
• предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;
• теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.

Все перечисленные свойства пределов позволяют исходный предел функции свести к уже известному, чтобы получить ответ.

mateshka.ru

4. Основные свойства пределов

Пустьи– функции, для которых существуют пределы при(или при):,.

Сформулируем основные свойства пределов.

1. Предел суммы функций равен сумме пределов этих функций, т.е.:

(4.13)

2. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций, т.е.:

(4.14)

3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.:

(4.15)

4. Предел от константы равен данной константе:

(4.16)

5. Если в некоторой окрестности точки x₀ (или при достаточно больших x) , то:

(4.17)

6. Если , то:

(4.18)

5. Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

(4.19)

Второй замечательный предел:

(4.20)

где e=2,718281… – трансцендентное число.

6. Способы вычисления пределов

Неопределенность типа .

Пример 4.8. Вычислить .

Решение:

Если подставить в функцию вместо число 2, то и в числителе и в знаменателе получатся нулю, т.е. появится неопределенность вида . Чтобы вычислить предел необходимо избавиться от данной неопределенности. Для этого надо представить числитель и знаменатель в виде сомножителей:

Здесь предварительно имеем: ,

где и – корни квадратного трехчлена.

1) Числитель ; ; ; .

2) Знаменатель ; ; ; .

Неопределенность вида .

Пример 4.9. Вычислить .

Решение:

При подстановке в числитель и знаменатель , появляется неопределенность вида. Избавиться от нее можно следующим образом:

,

так как ; ; и при .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте понятие числовой последовательности. 2. Какая числовая последовательность называется ограниченной? 3. Приведите пример монотонной ограниченной числовой последовательности. 4. Приведите пример монотонной неограниченной числовой последовательности. 5. Какая точка называется предельной для данной числовой последовательности. 6. Сформулируйте теорему Больцано-Вейерштрасса. 7. Сформулируйте понятие предела числовой последовательности. 8. В чем заключается геометрический смысл предела числовой последовательности? 9. Сформулируйте понятие функции. Способы задания функции. 10. Сформулируйте понятие предела функции. 11. Запишите основные свойства пределов. 12. Запишите первый и второй замечательные пределы.

6

studfiles.net

Арифметические свойства предела функции (доказательства)

Пусть функции и определены на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки . И пусть существуют конечные пределы:
  и  .
Тогда существует предел суммы (или разности) двух функций, и он равен сумме (или разности) их пределов:
;   доказательство ⇓
существует предел произведения функций и он равен произведению их пределов:
;   доказательство ⇓
если b ≠ 0, то существует предел частного функций и он равен частному их пределов:
.   доказательство ⇓
В частности, если C – постоянная, то есть заданное число, то постоянную можно выносить за знак предела:
;   доказательство ⇓

Предел абсолютного значения функции равен абсолютному значению ее предела:
если , то .   Доказательство ⇓

Мы привели арифметические свойства пределов для двух функций. Методом математической индукции легко показать, что они выполняются и для конечного числа функций.
Так, если n функций имеют конечные пределы в точке , то предел их суммы или разности равен сумме или разности их пределов; предел произведения равен произведению пределов.

В частности, если существует конечный предел , то предел от функции , возведенной в натуральную степень n, равен пределу этой функции в степени n:
.
Такое равенство справедливо не только для натуральных показателей степени n, но здесь мы рассматриваем только следствия арифметических свойств.

Доказательство арифметических свойств

Теорема о пределе суммы (или разности) двух функций

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
  и  .
Тогда существует предел суммы (или разности) двух функций, и он равен сумме (или разности) их пределов:
.

Доказательство

Поскольку существуют пределы   и  , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определены последовательности и . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .

Рассмотрим функцию , которая является суммой (или разностью) функций и . Используя свойство предела суммы и разности числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к и элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Теорема о пределе произведения двух функций

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
  и  .
Тогда существует предел произведения функций и он равен произведению их пределов:
.

Доказательство

Поскольку существуют пределы   и  , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определены последовательности и . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .

Рассмотрим функцию . Используя свойство предела произведения числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Теорема о пределе частного двух функций

Все формулировки ⇑ Пусть существуют конечные пределы функций:
  и  .
Тогда, если b ≠ 0, то существует предел частного функций и он равен частному их пределов:
.

Доказательство

Поскольку существуют пределы   и  , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функции и определены. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке , элементы которой принадлежат проколотой окрестности, на которой определены функции и . Тогда определены последовательности   и  . Поскольку и , то эти последовательности имеют пределы и .

Рассмотрим функцию . По условию, . Воспользуемся теоремой об ограниченности снизу функции, имеющей конечный ненулевой предел. Согласно этой теореме, существует такая проколотая окрестность точки , на которой . Отсюда следует, что существует такая проколотая окрестность этой точки, на которой .
Пусть есть проколотая окрестность точки , на которой определены функции и , и на которой . Используя свойство предела частного числовых последовательностей, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
, или
.

Теорема о вынесении постоянной за знак предела

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел функции:
.
И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда постоянную можно выносить за знак предела:
.

Доказательство

Введем постоянную функцию , значения которой для всех x равны некоторому числу C. Согласно свойству о пределе постоянной функции,
.
Используя доказанное только что свойство предела произведения двух функций, имеем:
.

Теорема о пределе абсолютного значения функции

Все формулировки ⇑ Пусть существует конечный предел функции:
.
Тогда существует предел абсолютного значения функции, равный абсолютному значению ее предела:
.

Доказательство

Поскольку существует предел , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Используем определение предела функции по Гейне. Пусть    есть произвольная последовательность, сходящаяся к точке  , элементы которой принадлежат проколотой окрестности . Тогда определена последовательность . Поскольку , то эта последовательность имеет предел .

Используя свойство предела последовательности, состоящей из элементов, взятых по модулю, имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , элементы которой принадлежат проколотой окрестности , то, согласно определению предела функции по Гейне,
.

Пример

Найти предел функции
.

Решение

Воспользуемся тем, что .
Последовательно применяем арифметические свойства пределов функции.
;
;
;


;
.

Ответ

.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 30-05-2018   Изменено: 01-05-2019

1cov-edu.ru

Свойства пределов функции.

1. Если

и на некоторой окрестности ,,, то.

2. Если

и на некоторой окрестности ,,, то.

3. Пусть , гдеи— конечные числа. Тогда

5. Признаки существования пределов

Теорема 1. Если , где- конечное число, то на некоторой окрестностифункцияограничена, т.е. существует положительное числотакое, что

Теорема 3. (критерий Коши существования предела). Для того чтобы существовал предел (конечный) , необходимо и достаточно, чтобы функциябыла определена в окрестности, за исключением, быть может, самой точки, и для всякогосуществовала такая окрестность, что, каковы бы не были точки

Односторонние пределы

По определению число называется пределом функциив точкесправа (слева), если она определена на некотором полуинтервале() и для нее существует

для любой указанной последовательности .

Предел справа (слева) функции в точкепринято обозначать так:

Если определена на интервале, то в точкеможет иметь смысл только число, а в точке— только число.

Равенства эквивалентны существованию предела.

6. Бесконечно большие и бесконечно малые функции

Функцию, для которой называется бесконечно большой при.

Функцию, для которой называется бесконечно малой при.

Свойства бесконечно малых величин.

1. Сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

2. Произведение двух бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

3. Произведение бесконечно малой величины на константу есть бесконечно малая величина.

Свойство отражает тот факт, что функциюможно записать в виде, гдепри.

Если функции исами бесконечно малые, то символ(по старинной терминологии) означает бесконечно малую, более высокого порядка .

Если функции исуть бесконечно большие, то символ(по старинной терминологии), означает бесконечно большую более высокого порядка .

Кроме того, пишут

и называют функции иэквивалентными (асимптотически равными) при, если выполняется свойство:

Например.

7. Замечательные пределы

1.

Так как функция является непрерывной, топри. Поэтому выражениепредставляет собой неопределенность типа. Предел раскрывает эту неопределенность.

2.

Пример. . Получается из второго замечательного предела заменой.

Пример.

Если , тои

Пример. ,.

Доказательство.

Пример. ,.

Доказательство. Положим . Тогда

8. Непрерывные функции. Определение непрерывности с помощью приращений.

На рисунке изображен график функции. Зададим точку. Близкая ей точка, где— приращение. Разность

называется приращением функции в точке, соответствующим приращению. На рисунке,.

Будем стремить к нулю. Тогда для рассматриваемой функции ибудет стремиться к нулю

Рассмотрим теперь график другой функции . Придадим теперьприращениеи определим соответствующее приращение функции

Если мы будем стремить к нулю, то теперь уже нельзя сказать, чтостремится к нулю.

Теперь можно дать определение.

Функцию , заданную на отрезке, называютнепрерывной в точке этого отрезка, если приращение ее в этой точке, соответствующее приращению, стремится к нулю при любом способе стремленияк нулю.

Это свойство непрерывности в точкезаписывают в виде

В противном случае функция называется разрывной.

Функция непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерывной на этом отрезке (интервале).

Функция называется непрерывной в точке, если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе и в самой точке, и если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента, стремится к нулю при

Либо ;;

.

Пример. Функция непрерывна для любого. В самом деле.

Но для любого имеет место неравенство. Если, то это следует из рисунка (длина дуги больше стягивающей ее хорды). Отсюда следует

Но тогда, очевидно, . Что и требовалось доказать.

Т. Если функции инепрерывны в точке, то непрерывны также в этой точке их сумма, разность, произведение и частное (при).

Пример. Функция непрерывна. Она является композицией двух непрерывных функций:, и.

studfiles.net

Понятие предела функции, свойства пределов

В экономических, социологических и математических прогнозах, имеющих связь с непрерывными процессами, при вычислении финансовой ренты, банковских процентов, построении асимптот для разнообразных графиков при исследовании их свойств нередко требуются знания о том, что такое предел функции. Понятие это на уровне интуитивного восприятия использовалось, начиная с конца XVII века, многими знаменитыми учеными, математиками, механиками, физиками, астрономами, в их замечательных исследованиях. Новатором в данном вопросе являлся еще Исаак Ньютон. Его примеру последовали вскоре знаменитые Эйлер, Лагранж и другие гениальные научные деятели. Но первые конкретные определения в данной области в XIX веке дали чешский ученый Больцано и математик из Франции Луи Коши (его портрет представлен ниже).

Числовые ряды

Понятия предела последовательности и предела функции тесно связаны между собой. И это вполне естественно. Действительно, ведь если некоторая функция строится из определенного ряда, значения которого находятся при возрастании натуральных чисел от 1 до ∞, это и есть числовая последовательность.

Приведем конкретный пример. Пусть некоторый ряд чисел задан выражением:

a_n = (n² + n + 1) / (n + 2).

Выясним первые пять составляющих этой последовательности. Ими оказываются числа: 1; 7/4; 13/5; 21/6; 31/7. Можно продолжить этот ряд. И нетрудно понять, что любое последующее число окажется больше предыдущего, а значение каждого из них будет приближаться к бесконечности. Она-то и станет пределом этой последовательности.

Ниже представлен портрет Бернарда Больцано, внесшего большой вклад в исследование множеств и их пределов, автора научного труда «Парадоксы бесконечного».

Предел числового ряда

Последовательности типа, о которой говорилось выше, принято именовать бесконечно большими. Это и значит, что предел их равен ∞. Но числовой ряд, задаваемый обратной формулой, то есть 1/a_n, в математике называется бесконечно малым, потому что значения каждого из последующих чисел становятся все меньше, стремясь к нулю.

Существуют и другие типы последовательностей. К примеру, ряд, заданный выражением a_n = 105 — 7n, приближается по значению членов не к нулю, а к бесконечности, только отрицательной. И начиная с n = 16, составляющие числового ряда обретают минусовые значения, поэтому он не считается возрастающим, как в первом случае, и называется убывающим.

Ряд, определяемый выражением a_n = 1 / 2n, является бесконечно малым. Но в данном случае последовательность, заданная обратной формулой, будет, напротив, бесконечно большой.

Числовые ряды могут стремиться не только к 0 и ∞, а к какому-то определенному числу. Можно указать сколько угодно таких последовательностей. К примеру, предел a_n = 5n / (n + 1) равен 5.

Возможно, что последовательность и вовсе не имеет предела, тогда ее именуют расходящейся.

Понятие предела функции

Из приведенного определения несложно понять, что аналогично последовательностям рассматривается вопрос, а также когда дело касается функций. Хотя здесь есть свои особенности. Если аргумент (то есть значение переменной х) стремится к некоему определенному числу или к бесконечности, то значение функции тоже может стремиться к какой-то определенной величине. И в случае, когда таковая существует, она-то и считается пределом. Но лучше и удобнее рассмотреть этот процесс наглядно на графике, тем самым выяснив понятие предела функции и его геометрический смысл.

Вполне допустимы случаи, когда функция и вовсе не определена в той самой точке своего предела или значение ее не является эквивалентным ему. Тем не менее предел все равно считается существующим и равным А.

Фантастический пример для разъяснения

Рассмотрим немаловажный вопрос: а может ли у функции в выбранной точке быть два предела? Нет, это никак невозможно. Если он существует, то обязательно является единственным.

По сути предел является некоей величиной, к которой стремится приблизиться функция. Значения ее подходят к ней сколько угодно невероятно близко, но не в состоянии этой величины достигнуть, и находятся постоянно лишь только в какой-то «окрестности» числа, выражающего ее значение.

Для наглядности пояснения понятия предела функции можно рассмотреть некоторую фантастическую ситуацию. Допустим, бегун, стремясь достигнуть финиша, по велению всемогущего волшебника постоянно уменьшается, поэтому делает все более мелкие шаги (величина их стремится к нулю). По причине такого колдовства, все упорней продвигаясь к заветной цели, этот рекордсмен, тем не менее, не станет победителем, потому что не в состоянии пересечь финишную черту.

Обозначения и свойства

Пределы принято указывать буквами lim. Стрелочка ниже их дает представление о величине, к которой стремится аргумент. Справа от символа предела пишут саму функцию. Далее обычно следует знак равенства и указывается числовое значение предельной величины. Такие обозначения используются во всем мире. Для уяснения понятия предела функции свойства пределов знать просто необходимо. Они приведены ниже.

Такие свойства означают, что при сложении функций, имеющих предел, для нахождения общего lim необходимо сложить пределы каждой из них. То же самое касается произведения и частного двух функций. Последнее же приведенное свойство гласит, что за знак предела можно вынести общий множитель, что не нарушает равенство в выражениях с пределами.

Примеры

Рассмотрим некоторые задачи нахождения предела функции в точке и на бесконечности. Понятия, описанные выше, тогда станут гораздо ясней.

Предел в первых двух примерах считается равным бесконечности ввиду того, что при стремлении аргумента к указанной величине знаменатель в обоих случаях превращается в нечто бесконечно малое. А это значит, что само выражение, напротив, становится бесконечно большим. В этом и заключается секрет решения подобных примеров.

В третьем случае предел равен некоторому определенному числу. Если решать задачу без всяких хитростей, просто подставив вместо х бесконечность, то само выражение под знаком предела примет вид: (∞/∞). А это неопределенность. Ввиду этого для решения подобных примеров прибегают к распространенному приему, разделив обе части дроби на х. Таким образом величины 3/x и 1/x в предельной точке становятся настолько малы, что величины их для получения значения третьего выражения становятся не важными. Поэтому в ответе и выходит 2/5.

Виды неопределенностей

В последнем примере, рассмотренном нами выше, нахождение предела оказалось затруднено из-за выявленной в процессе вычислений неопределенности. Подобные случаи особенно исключительными и редкими не являются. При решении самых разных задач могут возникнуть и другие виды неопределенностей. Понятие предела функции поможет научиться выходить из таких ситуаций, только следует усвоить некоторые приемы, помогающие избавиться от указанных проблем.

А теперь рассмотрим еще ряд аналогичных примеров.

В первом случае никаких сложностей в нахождении результата не возникает. Здесь просто нужно подставить предельное значение переменной х в само выражение и получить ответ.

А вот во втором примере выявляется неопределенность уже рассмотренного нами типа: (∞/∞). Для выхода из сложной ситуации воспользуемся приемом, похожим на уже нами примененный ранее. А именно поделим в выражении числитель и знаменатель на х⁷. И тогда дробь примет вид, при котором некоторые члены выражения превратятся в величины бесконечно малые, а из значимых чисел останется только 1/3. Оно и будет пределом исходной функции.

Метод преобразования выражений

Продолжим рассматривать понятие предела функции.

В третьем и четвертом примерах, указанных выше, если подставить придельное значение в верхнюю и нижнюю часть дроби, возникает неопределенность другого рода (0/0). Как известно, в математике это недопустимо. В таких ситуациях можно применить метод преобразования выражений.

В задании № 3 для начала числитель раскладывают как разность квадратов. А потом, произведя сокращения, подставляют в выражение х=1. Таким образом и получают ответ. Как видно из примера, предел функции равен 0.

Задание № 4 немного сложней. Здесь дробь тоже необходимо сократить. Но для разложения на множители числителя и знаменателя сначала решают квадратные уравнения. Далее находятся корни, и производится разложение на множители способом, как это обычно делают в квадратных трехчленах. Тогда под знаком предела остается только выражение: (x — 3) / (3x — 2). Теперь следует подставить значение переменной и узнать, что предел равен 4.

Непрерывность

Связывая понятие пределов и непрерывность функции одной переменной, поясним сразу некоторые важные моменты, уточнив, что второе из этих математических представлений обычно определяется через первое.

В случае, если все только что обозначенные условия выполняются, то можно утверждать с полной уверенностью, что функция в некой, заранее заданной точке является непрерывной. Когда же хотя бы один из пунктов нарушается, это значит, что линия графика в указанном месте прерывается, то есть функция терпит разрыв.

Аналогичным образом связываются также понятие предела и непрерывности функции двух переменных.

Идея предела

Рассматриваемое нами понятие, относимое к математическому анализу, по праву считается одним из самых тонких в этой дисциплине. И хотя указанная наука возникла относительно недавно, саму идею предела использовал в своих работах еще великий житель древних Сиракуз – Архимед. Для вычисления площадей и объемов сложных геометрических форм он применял так называемый метод исчерпывания. В отдельных своих работах он изложил некую аксиому непрерывности, которая фактически содержала в себе интуитивную идею о пределах.

Как известно, в познании математических истин Архимед значительно опередил свое время, хотя и до него находились великие умы, которые высказывали подобные соображения. Но этот гениальный философ, инженер и ученый таким образом сумел вычислить площадь круга и самых разных многоугольников, определил объем конуса, пирамиды, цилиндра, призмы, большого количества других фигур. После смерти Архимеда идеи великого грека совершенствовались и развивались более двух тысячелетий, прежде чем превратились в теорию для вычисления дифференциалов и интегралов.

fb.ru

23. Предел функции, свойства Раскрытие неопределённостей вида (бесконечность/бесконечность). Свойства предела функции

1.       Для того, чтобы число А было пределомf(x) приx->a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в видеf(x)=A+альфа(х), где альфа(х) – бесконечно малая.

2.       Предел постоянной величины равен самой постоянной.LimC,x->a=C.

3.       Еслиf(x)>= 0 (f(x)<=0) в некоторой окрестности точки а, кроме самой точки а, и в этой точке имеет предел, то пределlimf(x),x->a>=0 (limf(x)x->a, <=0)

4.       Если функцииf1(x),f2(x) имеют пределы в точке а, то и их сумма, произведение и частное имеет пределы, причемlim(f1(x)+f2(x)),x->a=limf1(x),x->a+limf2(x),x->a, так же с произведением и частным

5.       Еслиf(x) имеет предел в точке а, тоlim(f(x))^n,x->a= (limf(x),x->a)^n, гдеn– натуральное число

6.       Постоянный множитель можно выносить за знак предела.Lim cf(x), x->a = cLim f(x), x->a.

7.       Если для функцийf(x),f1(x),f2(x) в некоторой окрестности в точке а выполняется неравенствоf1(x)<=f(x)<=f2(x) и пределlimf1(x),x->a=limf2(x),x->a=A, тоlimf(x),x->a=A.

8.       Limc^x,x->б = бесконечности, еслиc>1 и 0, если 0<c<1.

Неопределенность вида бесконечность на бесконечность

 

Разделить все на х в наивысшей степени, учитывая уменьшение степени в корне.

Lim(x->0) sin 5x/sin3x = [0/0]=lim(x->0) x sin5x/x sin3x = lim(x->0) sin5x/x*lim(x->0) x/sin3x=lim(x->0) 5sin5x/5x*lim 3sin3x/3x)=5/3

Lim(x-unl) (1+1/x)^x=e;

1/x=a=>x=1/a, a->0

Lim(a-0) (1+a)^1/2=e

Lim(x-0) (log_a(1+x))/x = lim(x-0) 1/x*log_a(1+x)=lim(x-0) log_a(1+x)^1/x=log_alim(x-0)(1+x)^1/x=log_ae

Lim(x-0) ln(1+x)/x=ln e=1

Lim(x-0) a^x-1/x=|a^x-1=t;a^x=t+1;ln a^x=ln(t+1)

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть a(x,b(x) – бесконечно малые ф-ции при х->a

Тогда

1.       Lim(x->a)a(x)/b(x)=0 =>a(x) – бесконечно малая более высокого порядка, чемb(x)

2.       Lim(x->a)a(x)/b(x) =c<>0=>aиb– бесконечно малые функции одного порядка

3.       Lim(x->a)a(x)/b(x) = 1 =>aub– эквивалентные бесконечно малые функции

4.       Lim(x->a)d(x)/bⁿ(x) =c<>0 =>a– бесконечно малая функция н-ного порядка относительноb(x)

Cos2x=1-2sin²x

Теорема: если б.м. а(х) эквивалентна а₁(х) иb(x) ~b₁(x) иlim(x->a)a(x)/b(x) =>lim(x->a)a₁(x)/b₁(x)

1.       Sinkx~kx

2.       Tgkx~kx

3.       Arcsinkx~kx

4.       Arctgkx~kx

5.       E^kx-1 ~ kx

6.       A^kx~kx ln a

7.       Ln |1+kx|~kx

8.       1-cos kx ~kx²/2

23. Предел функции, теоремы о пределах. Неопределённость вида 0/0.  Бесконечно большие и бесконечно малые.

Функция f(x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение  > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству xa <  имеет место неравенство f(x) > M.

lim_xa=

 Функция ограниченная при x a.

 Функция ограниченная при x .

 Теорема. Если lim_xaf(x)=b, то функция f(x) ограниченная при x a.

 Бесконечно малые и их свойства. lim_xa (x)=0

Теорема. 1. Если f(x)=b+, где  — б.м. при x a, то lim_xaf(x)=b и обратно, если lim_xaf(x)=b, то можно записать f(x)=b+(x).

Теорема. 2. Если lim_xa (x)=0 и (x)  0, то 1/ .

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

 Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u(x)  z(x)  v(x), и lim_xau(x)=lim_xav(x)=b, то lim_xaz(x)=b. («Теорема о двух милиционерах»).

 Первый замечательный предел.

0.5sin(x) < 0.5x < 0.5tg(x)

lim x 0  sin(x) x =1.

 Второй замечательный предел.

Переменная величина

  1+ 1 n   n

при nимеет предел, заключенный между 2 и 3. В данной работе мы рассмотрим неопределенность видадля функции. Для нахождения предела функции мы применяем метод преобразования, метод замены и определение бесконечно малых величин.

Пусть требуется найти предел дроби

(1)

где P(x) и Q(x) функции определенные в окрестности предельного аргумента a, но в самом предельном значении обращаются в ноль.

Теорема 1. Пусть число a для многочлена n-й степени P(x) = P_n(x) является k кратным решением, а для многочлена m-й степени Q(x) = Q_n(x) является r кратным решением, тогда

(2)

где P_n-k(a) и Q_m-r(a) значения соответствующих многочленов P_n-k(x) и Q_m-r(x) в точке x = a.

Доказательство. Так как, число a является решением многочленов P_n(x) и Q_m(x), то их в любое время можно представить в виде:

Тогда

(3)

Биномы (x — a)^kи (x — a)^rв окрестности точки x = a бесконечно малы, а их основания эквивалентные бесконечно малые. Отсюда

Полагаясь на последнее равенство, можно из (3) предела получить формулу (2). 25. 1-ый Замечательный предел.

 Первый замечательный предел:

studfiles.net

Как найти координаты центра окружности 🚩 центр и радиус окружности 🚩 Математика

Инструкция

Предположим, что ваша задача — составить уравнение окружности заданного радиуса R, центр которой находится в начале координат. Окружность, по определению — множество точек, находящихся на заданном расстоянии от центра. Это расстояние как раз и равно радиусу R.

Расстояние от точки (x, y) до центра координат равно длине отрезка, соединяющего ее с точкой (0, 0). Этот отрезок вместе с его проекциями на координатные оси составляют прямоугольный треугольник, катеты которого равны x0 и y0, а гипотенуза, по теореме Пифагора, равна √(x^2 + y^2).

Чтобы получить окружность, вам нужно уравнение, определяющее все точки, для которых это расстояние будет равно R. Таким образом:√(x^2 + y^2) = R, а следовательно,
x^2 + y^2 = R^2.

Аналогичным способом составляется уравнение окружности радиусом R, центр которой находится в точке (x0, y0). Расстояние от произвольной точки (x, y) до заданной точки (x0, y0) равно √((x — x0)^2 + (y — y0)^2). Следовательно, уравнение нужной вам окружности будет выглядеть так:(x — x0)^2 + (y — y0)^2 = R^2.

Вам может понадобиться также составить уравнение окружности с центром в точке координат, проходящей через заданную точку (x0, y0). В этом случае радиус искомой окружности не задан в явном виде, и его придется вычислять. Очевидно, он будет равен расстоянию от точки (x0, y0) до начала координат, то есть √(x0^2 + y0^2). Подставляя это значение в уже выведенное уравнение окружности, вы получите:x^2 + y^2 = x0^2 + y0^2.

Если вам предстоит построить окружность по выведенным формулам, то их придется разрешать относительно y. Даже самое простое из этих уравнений при этом превращается в:y = ±√(R^2 — x^2).Знак ± необходим здесь потому, что квадратный корень числа всегда неотрицателен, а это значит, что без знака ± такое уравнение описывает только верхнюю полуокружность.Чтобы построить окружность, удобнее составить ее параметрическое уравнение, в котором обе координаты x и y зависят от параметра t.

Согласно определению тригонометрических функций, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 1, а один из углов при гипотенузе равен φ, то прилежащий к нему катет равен cos(φ), а противолежащий — sin(φ). Таким образом, sin(φ)^2 + cos(φ)^2 = 1 для любого φ.

Предположим, вам дана окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Возьмем любую точку (x, y) на этой окружности и проведем от нее отрезок к центру. Этот отрезок образует угол с положительной полуосью x, который может быть равен от 0 до 360° или от 0 до 2π радиан. Обозначая этот угол t, вы получите зависимость:x = cos(t),
y = sin(t).

Эту формулу можно обобщить на случай окружности радиуса R с центром в произвольной точке (x0, y0):x = R*cos(t) + x0,
y = R*sin(t) + y0.

www.kakprosto.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Числовая ось

      Определение 1. Числовой осью (числовой прямой, координатной прямой)   Ox   называют прямую линию, на которой точка   O   выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

O → x

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Рис.1

      Определение 2. Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом.

      Каждая точка числовой оси имеет координату, являющуюся вещественным числом. Координата точки   O   равна нулю. Координата произвольной точки   A ,   лежащей на луче   Ox ,   равна длине отрезка   OA .   Координата произвольной точки   A   числовой оси, не лежащей на луче   Ox ,   отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка   OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

      Определение 3. Прямоугольной декартовой системой координат   Oxy   на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси   Ox   и   Oy   с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке   O ,   причём таких, что поворот от луча   Ox   на угол   90°   до луча   Oy   осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Рис.2

      Замечание. Прямоугольную декартову систему координат   Oxy ,   изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат, в отличие от левых систем координат, в которых поворот луча   Ox   на угол   90°   до луча   Oy   осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

      Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат   Oxy ,   то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть   A   – произвольная точка плоскости. Опустим из точки   A   перпендикуляры   AA₁   и   AA₂   на прямые   Ox   и   Oy   соответственно (рис.3).

Рис.3

      Определение 4. Абсциссой точки   A   называют координату точки   A₁   на числовой оси   Ox ,   ординатой точки   A   называют координату точки   A₂   на числовой оси   Oy .

      Обозначение. Координаты (абсциссу и ординату) точки   A   в прямоугольной декартовой системе координат   Oxy   (рис.4) принято обозначать   A (x ; y)   или   A = (x ; y).

Рис.4

      Замечание. Точка   O ,   называемая началом координат, имеет координаты   O (0 ; 0) .

      Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат   Oxy   числовую ось   Ox   называют осью абсцисс, а числовую ось   Oy   называют осью ординат (рис. 5).

      Определение 6. Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на   4   четверти (квадранта), нумерация которых показана на рисунке 5.

Рис.5

      Определение 7. Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью.

      Замечание. Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением   y = 0 ,   ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением   x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

      Утверждение 1. Расстояние между двумя точками координатной плоскости

A₁ (x₁ ; y₁)   и   A₂ (x₂ ; y₂)

вычисляется по формуле

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Рис.6

      Поскольку в прямоугольном треугольнике   A₁A₂B   длина катета   A₁B   равна   | x₂ – x₁|    а длина катета   A₂B   равна   | y₂ – y₁| ,   то по теореме Пифагора

| A1A2|2 = = ( x2 – x1)2 + ( y2 – y1)2 .

(1)

     Следовательно,

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

      Рассмотрим на координатной плоскости   Oxy   (рис. 7) окружность радиуса   R   с центром в точке   A₀ (x₀ ; y₀) .

Рис.7

      Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

( x – x₀)² + ( y – y₀)² = R².

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса   R   с центром в точке   A₀ (x₀ ; y₀) .

      Следствие. Уравнение окружности радиуса   R   с центром в начале координат имеет вид

x² + y² = R².

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

геометрия / Поиск координат точек на окружности / Математика

Координаты векторов $%\vec{OA}$% и $%\vec{OB}$% находятся при помощи вычитания: из координат конца вектора вычитаются координаты его начала. Например, если $%O(3;2)$% и $%A(5,1)$%, то первый вектор будет иметь координаты $%(2;-1)$%.

Зная координаты вектора, можно найти квадрат его длины как сумму квадратов координат. Для предыдущего примера получится $%2^2+(-1)^2=5$%. Извлекая квадратный корень, находим длину вектора (в примере это даёт $%\sqrt{5}$%). Это радиус окружности $%r$%.

Для того, чтобы разделить дугу на 4 равные части, достаточно научиться делить её на 2 равные части. Тогда сначала находим координаты точки $%E_1$%, а далее, зная их, по той же процедуре делим на равные части дуги $%AE_1$% и $%E_1B$%, выявляя точки $%E_0$%, $%E_2$%.

Сначала находим сумму векторов $%\vec{OA}$% и $%\vec{OB}$% покоординатным сложением. Этот вектор будет иметь то же направление, что и $%\vec{OE_1}$%. Далее его надо будет поделить на свою длину, получая единичный вектор того же направления, а затем умножить на $%r$% — радиус окружности, найденный ранее. То есть всё сводится к нахождению длины вектора $%\vec{OA}+\vec{OB}$%. Делается это так же, как и раньше: координаты вектора найдены; их сумма квадратов есть квадрат длины вектора. Осталось извлечь квадратный корень.

Теперь о длине дуги: она равна $%r\alpha$%, где $%\alpha$% — угол между векторами. Радиус мы знаем, и остаётся найти угол. Сначала находим его косинус: это будет отношение скалярного произведения векторов к произведению их длин. Длины нам известны, и обе они равны $%r$%. Скалярное произведение есть сумма произведений координат. Например, у векторов с координатами $%(4;-1)$% и $%(3;7)$% скалярное произведение равно $%4\cdot3+(-1)\cdot7=5$%. Поделив его на произведение длин векторов, находим $%\cos\alpha$%. Тогда сам угол будет равен арккосинусу полученного числа.

отвечен 9 Сен ’13 23:55

math.hashcode.ru

Как найти координаты центра окружности

Окружность ? геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от центра на некоторое расстояние, называемое радиусом. Если задана нулевая точка отсчета, единичный отрезок и направление координатных осей, центр окружности будет характеризоваться определенными координатами. Как водится, окружность рассматривают в декартовой прямоугольной системе координат.

Инструкция

1. Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)?+(y-y0)?=R?, где x0 и y0 ? координаты центра окружности , R ? ее радиус. Выходит, центр окружности (x0;y0) тут задан в очевидном виде.

2. Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)?+(y-5)?=25.Решение. Данное уравнение является уравнением окружности . Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.

3. Уравнение x?+y?=R? соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)?+y?=R? обозначает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x?+(y-y0)?=R? говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.

4. Всеобщее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x?+y?+Ax+By+C=0. Дабы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, нужно сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x?+2(A/2)x+(A/2)?]+[y?+2(B/2)y+(B/2)?]+C-(A/2)?-(B/2)?=0. Для выделения полных квадратов, как дозволено подметить, требуется добавлять добавочные величины: (A/2)? и (B/2)?. Дабы знак равенства сохранялся, эти же величины нужно вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.

5. Таким образом, получается: [x+(A/2)]?+[y+(B/2)]?=(A/2)?+(B/2)?-C. Из этого уравнения теснее видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=?[(A/2)?+(B/2)?-C]. Кстати, выражение для радиуса дозволено упростить. Домножьте обе части равенства R=?[(A/2)?+(B/2)?-C] на 2. Тогда: 2R=?[A?+B?-4C]. Отсель R=1/2·?[A?+B?-4C].

6. Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, потому что, по определению, в функции всем x соответствует исключительное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Дабы удостовериться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.

7. Но окружность дозволено представить как объединение 2-х функций: y=y0±?[R?-(x-x0)?]. Тут x0 и y0, соответственно, представляют собой желанные координаты центра окружности . При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=?[R?-x?].

Отрезок прямой определяется двумя крайними точками и состоит из множества точек, лежащих на проходящей через крайние точки прямой линии. Если отрезок размещен в какую-нибудь систему координат, то, обнаружив средние точки его проекций на всякую из осей, дозволено узнать координаты середины отрезка. По сути, операция сводится к нахождению среднего арифметического значения пар чисел для всей из координатных осей.

Инструкция

1. Разделяете напополам сумму исходной и финальной координат крайних точек отрезка по всякой оси, дабы определить координаты средней точки по этой оси. Скажем, пускай отрезок размещен в трехмерную систему координат XYZ и знамениты координаты его крайних точек A(Xa,Ya,Za) и C(Xc,Yc,Zc). Тогда координаты его средней точки E(Xe,Ye,Ze) дозволено вычислить по формулам Xe=(Xa+Xc)/2, Ye=(Ya+Yc)/2, Ze=(Za+Zc)/2.

2. Используйте всякий из калькуляторов, если вычислить средние значения координат крайних точек отрезка в уме не представляется допустимым. Если под рукой нет такого гаджета, то используйте программный калькулятор из состава ОС Windows. Его дозволено запустить, если, щелкнув кнопку «Пуск» раскрыть основное меню системы. В меню нужно перейти в раздел «Типовые», после этого в подраздел «Служебные», а потом в сегменты «Все программы» предпочесть пункт «Калькулятор». Дозволено обойтись без основного меню, если нажать сочетание клавиш WIN + R, ввести команду calc, а после этого нажать клавишу Enter.

3. Суммируйте попарно исходные и финальные координаты крайних точек отрезка по всякой оси и разделяете итог на два. Интерфейс программного калькулятора имитирует обыкновенный калькулятор, а вводить числовые значения и символы математических операций дозволено как щелкая кнопки курсором мыши на экране, так и нажимая соответствующие клавиши на клавиатуре. Никаких трудностей с этими вычислениями появиться не должно.

4. Записывайте математические операции в текстовом виде и вводите их в поле поискового запроса на основной странице сайта Google, если отчего-либо не можете применять калькулятор, но имеете доступ в интернет. Данный поисковик имеет встроенный универсальный калькулятор, пользоваться которым гораздо проще, чем любым иным. Тут нет никакого интерфейса с кнопками – вводить все данные нужно в текстовом виде в исключительное поле. Скажем, если знамениты координаты крайних точек отрезка в трехмерной системе координат A(51,34 17,2 13,02) и A(-11,82 7,46 33,5), то координаты средней точки отрезка C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Вводя в поле поискового запроса (51,34-11,82)/2, после этого (17,2+7,46)/2 и (13,02+33,5)/2, дозволено с поддержкой Google получить координаты С(19,76 12,33 23,26).

Стандартное уравнение окружности дозволяет узнать несколько значимых сведений об этой фигуре, скажем, координаты ее центра, длину радиуса. В некоторых задачах, напротив, по заданным параметрам требуется составить уравнение.

Инструкция

1. Проверьте, указаны ли в условиях задачи координаты центральной точки окружности и длина радиуса в очевидном виде. В этом случае вам довольно подставить данные в стандартную запись уравнения, дабы получить результат.

2. Определите, какими сведениями об окружности вы располагаете, исходя из данной вам задачи. Запомните, что финальной целью является надобность определить координаты центра, а также диаметр. Все ваши действия обязаны быть направлены на достижение именно этого итога.

3. Используйте данные о наличии точек пересечения с координатными прямыми либо другими прямыми. Обратите внимание, что, если окружность проходит через ось абсцисс, вторая точка пересечения будет иметь координату 0, а если через ось ординат – то первая. Эти координаты дозволят вам обнаружить координаты центра окружности, а также вычислить радиус.

4. Не забывайте об основных свойствах секущих и касательных. В частности, особенно пригодной оказывается теорема о том, что в точке касания радиус и касательная образуют прямой угол. Но обратите внимание на то, что вас могут попросить подтвердить все использованные в ходе решения теоремы.

5. Прорешайте особенно типовые типы задач, дабы обучиться сразу видеть, как применять те либо иные данные для приобретения уравнения окружности. Так, помимо теснее указанных задач с прямо заданными координатами и теми, в условиях которых даны данные о наличии точек пересечения, для составления уравнения окружности дозволено воспользоваться познаниями о центре окружности, длине хорды и уравнения прямой, на которой эта хорда лежит.

6. Для решения постройте равнобедренный треугольник, основанием которого будет данная хорда, а равные стороны – радиусами. Составьте систему уравнений, из которой вы легко обнаружите нужные данные. Для этого довольно воспользоваться формулой для нахождения длины отрезка в координатной плоскости.

Видео по теме

Под окружностью понимают фигуру, которая состоит из множества точек плоскости, равноудаленных от ее центра. Расстояние от центра до точек окружности именуется радиусом.

Вам понадобится

• – примитивный карандаш;
• – тетрадь;
• – транспортир;
• – циркуль;
• – ручка.

Инструкция

1. Раньше чем обнаружить координаты той либо другой точки окружности , постройте заданную окружность. При ее построении вам могут встретиться уйма новых представлений. Так хорда – это отрезок, тот, что соединяет две точки окружности , причем хорда, проходящая через центр окружности – максимальная (она носит наименование диаметра). Помимо того, к окружности может быть проведена касательная, которая представляет собой прямую, перпендикулярно расположенную к радиусу окружности , тот, что проведен к точке пересечения касательной и рассматриваемой геометрической фигуры.

2. Если по условию задания вестимо, что построенную вами окружность пересекает иная окружность (она поменьше по размерам), изобразите это графически: на рисунке должно быть изображено, что две эти окружности пересекаются, то есть имеют ряд всеобщих точек. Центр первой окружности обозначьте точкой 1 (ее координаты (X1,Y1)), а ее радиус – R1. Таким образом, центр 2-й окружности должен быть обозначен точкой 2 (координаты этой точки (X2,Y2)), а радиус – R2. В точках пересечения фигур поставьте точки 3 (X3,Y3) и 4 (X4,Y4). Центральная точка пересечения должна быть обозначена 0: ее координаты (X,Y).

3. Для того дабы обнаружить координаты пресечения данных окружностей, а следственно и точку, принадлежащую и первой, и 2-й из них, вам придется решить квадратное уравнение. Разглядите два образовавшихся треугольника (?103 и ?203) и проанализируйте их показатели. Гипотенузы этих треугольников – R1 и R2 соответственно. Зная значение гипотенуз, обнаружьте отрезок D, соединяющий центр первой окружности с центром 2-й. Выбранный способ расчета напрямую зависит от того, какими получились анализируемые вами треугольники. Если они прямоугольные, то квадрат длины гипотенузы всякого из них будет равен сумме квадратов катетов данного треугольника. К тому же, длину катета дозволено обнаружить по формуле: a = ccos ?, где с – длина гипотенузы, а cos? – косинус прилежащего угла. Обнаружив значение катетов, определите координаты волнующей вас точки.

Видео по теме

Обратите внимание!
Будьте внимательны, рассчитывая значения катетов: не допустите ошибку.

Полезный совет
Не позабудьте: один из углов прямоугольного треугольника прямой, то есть равен 90о.

Обратите внимание!
Две окружности, имеющие центром точку с одними и теми же координатами, именуются концентрическими. Если они заданы уравнениями (x-x0)?+(y-y0)?=R? и (x-x0′)?+(y-y0′)?=R’?, тогда x0=x0′, y0=y0′. В всеобщем уравнении для концентрических окружностей A1=A2 и B1=B2.

Полезный совет
Кстати, в физике окружность может рассматриваться как тонкое однородное кольцо. Центр этого кольца будет являться центром масс (либо центром инерции) такого тела. Если кольцо имеет массу m и радиус r, а через центр перпендикулярно плоскости кольца провести ось, то момент инерции кольца касательно оси будет равен mr?. Момент инерции твердо главен при рассмотрении вращательного движения тела.

jprosto.ru

Найти центр и радиус окружности

Если окружность задана уравнением вида

   

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Примеры.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

   

   

   

   

   

Решение:

   

a=3, b=7, R²=4.

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

   

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

   

a=0, b=-3, R²=9.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

   

a=6, b=0, R²=5.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

   

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

   

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

   

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

   

Отсюда

   

   

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

   

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c<0 нет ни одной точки, удовлетворяющей этому уравнению.

Примеры.

Найти координаты центра и радиус окружности:

   

   

   

Решение:

   

Группируем слагаемые

   

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

   

Аналогично

   

Таким образом,

   

   

   

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

   

   

   

   

   

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

   

Разделим обе части уравнения на 3:

   

Далее — аналогично

   

   

   

   

   

Центр этой окружности лежит в точке

   

www.treugolniki.ru

Координата — центр — окружность

Координата — центр — окружность

Cтраница 1

Координаты центра окружности и ее радиус будут определены автоматически.  [2]

Координаты центра окружности равны координатам курсора, а значение радиуса высвечивается в правой части экрана в поле V и первоначально равняется шагу курсора. Перемещение курсора вызывает движение центра окружности в пространстве.  [3]

Значения координат центра окружности приближения подвергнуты вариации только один раз. Это изменение в схеме программы 1 не дано.  [4]

Возьмем значения координат центра окружности О, дирекцией-кого угла АК, радиуса R и угла а из предыдущего примера.  [6]

В таблице приведены координаты Центра заменяющей окружности х0 и г / 0 и величина ее радиуса А. Величины, приведенные в таблицах, даны для значения радиуса начальной окружности г 1; поэтому для получения истинных величин необходимо табличные величины умножить на величину радиуса начальной окружности обрабатываемого валика.  [7]

Считая, что заданы координаты центра окружности и одной из ее точек, построить все такие окружности.  [8]

Для круговых контуров необхо-димо задавать координаты центра окружности, координаты точек сопряжения с прямыми и радиус или угол, охватываемый дугой окружности и радиус.  [9]

После задания частоты со определяются координаты центров окружностей и соответствующие радиусы гх ( со) и гу ( со), которыми и проводятся эти окружности, проходящие через начало координат. Точка пересечения окружностей, кроме начала координат, является искомой точкой амплитудно-фазовой характеристики элемента, соответствующей заданному значению со, как это показано на фиг.  [10]

Положение его на плоскости определяется координатами центра окружности, по которой очерчен рассматриваемый элемент, и углом наклона начальной касательной к положительному направлению оси х; угол а отсчитывается против часовой стрелки.  [12]

Положение его на плоскости определяется координатами центра окружности, по которой очерчен рассматриваемый элемент, и углом наклона начальной касательной к положительному направлению оси х; угол а отсчитывается против часовой стрелки.  [14]

Из этого выражения очевидно, что у есть координата центра окружности.  [15]

Страницы:      1    2    3

www.ngpedia.ru

Окружность на координатной плоскости — Науколандия

Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).

Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности

• четвертям — 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
• серединам четвертей — π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• третям четвертей — π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.

Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).

Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).

Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).

Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого — это и есть координаты x и y точки окружности.

Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Из теоремы Пифагора получаем уравнение x² + y² = 1². Поскольку x = y, а 1² = 1, то уравнение упрощается до x² + x² = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Таким образом, координаты точки M₁ (π/4) = M₁ (√2/2; √2/2).

В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M₂ ((3π)/4) = M₂ (-√2/2; √2/2)
M₃ ((5π)/4) = M₃ (-√2/2; -√2/2)
M₄ ((7π)/4) = M₄ (√2/2; -√2/2)

При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.

Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x² + (½)² = 1²
x² = 1 — ¼ = ¾
x = √3/2

Таким образом T₁ (π/6) = T₁ (√3/2; ½).

Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T₂ (π/3) = T₂ (½; √3/2).

Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T₃ ((2π)/3) = T₃ (-½; √3/2)
T₄ ((5π)/6) = T₄ (-√3/2; ½)
T₅ ((7π)/6) = T₅ (-√3/2; -½)
T₆ ((4π)/3) = T₆ (-½; -√3/2)
T₇ ((5π)/3) = T₇ (½; -√3/2)
T₈ ((11π)/6) = T₈ (√3/2; -½)

scienceland.info

Сколько будет десять в минус первой степени

едрить х^(-1)=1/х

Просто одна десятая, без едрить

Поциент был забанен в начальной школе…

1/10 или 0,1 при возведении числа в степень с отрицательным показателем это число идёт в знаменатель и возводится в ту степень, которая дана изначально только с плюсом. т. е. 10^(-1) = 1/ 10^1 = 1/10 = 0,1. если бы было 10^(-2), то 1/10^2 = 1/100 = 0,01.

touch.otvet.mail.ru

как высчитываем число в минус первой степени

a^(-n)=(1/a)^(n) . В вашем случае n=1, значит = 1/a

число в минус первой степени равно единице разделить на это число. Например: 2 в минус первой степени = 1/2=0.5

Пропорция такая 10*1=10 10*2=100 10*3=1000 10*-1=0,1 10*-3=0,001

с каждой степени на 0,0 больше

25000 в минус первой степени

touch.otvet.mail.ru

ноль в минус первой степени

Ноль в любой степени будет ноль!

делить на 0 НИЗЗЯ

Так не бывает.

Бесконечность (бесконечно большая величина) . Без шуток.

touch.otvet.mail.ru

Помогите сосчитать 1,7 умножить на 10 в минус 3 степени

Сочетания.

1) Сочетания без повторений.

Определение 3: Сочетания из элементов поэлементов () – это расстановки, отличающиеся друг от другасоставом, но не порядком элементов. Обозначают: .

Теорема 4: Число сочетаний находится по следующей формуле:

.

Доказательство: .

Следствие: Выведенная формула совпадает с формулой для числа повторений из элементов одного типа иэлементов второго типа:

.

Иными словами справедливо равенство: .

Примеры: Выбор делегации, число призеров в соревновании и т. д.

Замечание: , .

Существенное отличие числа сочетаний от числа соответствующих размещений состоит в том, что для размещений важен состав и порядок элементов в подмножествах, а для сочетаний важен только состав.

2) Сочетания с повторениями.

Пусть имеется предметы различных типов. Сколькокомбинаций можно сделать из них, если не принимать во внимание порядок элементов? Эту задачу в общем виде можно решать точно так же, как задачу с пирожными.

Задача: В кондитерском магазине продаются пирожные 4 сортов: наполеон, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Зашифруем каждую покупку с помощью нулей и единиц. Напишем столько единиц, сколько куплено наполеонов, затем пишем 0, чтобы отделить пирожные одного типа от другого и т.д. Тогда каждой покупке будет соответствовать последовательность из семи единиц и трех нулей в различном порядке. Число всех таких покупок тогда будет равно:

.

Для числа сочетаний с повторениями существует формула:

.

§2. Свойства сочетаний. Бином Ньютона.

Одной из наиболее распространённых комбинаторных формул является формула числа сочетаний. Для упрощения подсчётов и для доказательства некоторых утверждений удобно использовать следующие свойства сочетаний:

1. .

2. .

Доказательство:

1) .

2) .

Сочетания можно встретить и в школьном курсе математики. Например, в качестве коэффициентов бинома Ньютона выступают именно сочетания. Формула бинома Ньютона в общем виде и её доказательство приводятся в следующей теореме.

Теорема 1: .

Доказательство: Применим индукцию по .

При :.

Пусть формула верна, для случая, когда . В этом случае следующее равенство будем считать выполненным:

.

Покажем, что формула выполняется для — й степени:

.

В доказательстве можно также использовать свойство: .

Следствие: Рассмотрим некоторые частные случаи формулы бинома Ньютона:

1) если , то.

2) если , то.

Определение 1: Коэффициенты бинома Ньютонаназываются биномиальными коэффициентами.

Числовые значения биномиальных коэффициентов вычисляются по формуле числа сочетаний: . Готовые значения этих коэффициентов располагаются в строкахтреугольника Паскаля.

1 n = 0

1 1 n = 1

1 2 1 n = 2

1 3 3 1 n = 3

1 4 6 4 1 n = 4

1 5 10 10 5 1 n = 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Треугольник Паскаля строится следующим образом. Боковые стороны состоят из единиц. Числа, находящиеся внутри, являются суммой вышестоящих чисел. Каждая строка треугольника соответствует некоторой степени для суммы и содержит соответствующие биномиальные коэффициенты. Таким образом, для того, чтобы раскрыть степень суммы, нужно из треугольника Паскаля взять строку, соответствующую данной степени. Эта строка будет содержать нужные коэффициенты, к которым приписываются соответствующие буквенные выражения. Можно заметить, что строки треугольника Паскаля симметричны, поэтому достаточно взять только половину биномиальных коэффициентов и, если нужно, средний элемент.

Формула бинома Ньютона применяется, когда нужно возвести в целую степень сумму двух слагаемых. Если же это требуется произвести для суммы трёх и более слагаемых, тогда применяют полиномиальную формулу:

Сумма в правой части формулы строится по аналогии с формулой бинома. Она представляет собой сумму слагаемых, состоящих из коэффициента и буквенной части. Сумма этих слагаемых берется по всевозможным разбиениям числанацелых неотрицательных слагаемых, при этом коэффициент находится по формуле числа перестановок с повторениями:

.

Если числа получаются перестановкой из чисел, то считается, что

.

Пример: Возвести в пятую степень сумму трёх слагаемых.

Здесь учитывается, что 5 можно разбить на 3 слагаемых пятью способами:

;;;;.

Тогда для каждого такого разбиения известны числа ,. Значит, все коэффициенты можно для каждого случая найти по формуле:

.

Полученные коэффициенты: ,,,,. Буквенная часть также формируется в связи с разложениями числа 5 на 3 слагаемых. Таким образом, получается разложение, приведённое выше.

Замечание: Сумма полиномиальных коэффициентов может быть найдена по формуле:

.

Для коэффициентов из рассмотренного примера можно проверить:

,

.

Рассмотрим — сочетания с повторениями, составленные из элементовтипа, например избуквы. Число таких сочетаний равно:. Разобьём все эти сочетания на классы, отнеся к‑ му классу сочетания, в которыхраз входит буква. Остальныемест могут быть заняты оставшимися буквами, число которых равно. Поэтому в— й класс входит столько сочетаний, сколько можно составитьсочетаний с повторениями из элементовтипов, т.е..

Значит общее число всех таких сочетаний равно:

, т.е.

.

Меняя теперь наинаи используя равенство, получаем зависимость между биномиальными коэффициентами:

.

Доказать эту формулу можно методом математической индукции по числу слагаемых в правой части. Используя эту зависимость, можно получить формулы для подсчёта суммы чисел натурального ряда от 1 до (при), суммы квадратов натуральных чисел (при), сумму кубов (при).

Если , то искомая зависимость имеет вид:

.

Для имеем:

,

или окончательно:

.

Для получаем:

,

или после преобразований:

.

Таким образом, можно получить формулы для сумм более высоких степеней натуральных чисел.

studfiles.net

1.7. Основные формулы комбинаторики

При нахождении вероятностей в схеме классического определения широко используется комбинаторика, поэтому напомним наиболее употребительные определения и формулы для вычисления.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р_n = n!

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Пример. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число трехзначных чисел Р₃ = 3! = 123 = 6.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

.

Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение. Искомое число сигналов .

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

.

Пример. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Искомое число способов .

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Замечание. Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n₁ элементов одного вида, n₂ элементов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями

,

где n₁ + n₂ + … = n.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

1. Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

2. Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Приведем несколько примеров непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Р(А)=1/10.

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т.е. . Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Р(В)=1/90.

Пример 3. Указать ошибку «решения» задачи: «Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А)».

Решение. Всего возможны 2 исхода испытания: сумма выпавших очков равна 4, сумма выпавших очков не равна 4. Событию А благоприятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность

Р(А) = 1/2.

Ошибка этого решения состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.

Правильное решение. Общее число равновозможных исходов испытания равно 66 = 36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (1; 3), (3; 1), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность

Р(А) = 3/36 = 1/12.

Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 элементов но 6 элементов ().

Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять на семи стандартных деталей способами; при этом остальные 6 – 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 – 7 = 3 нестандартных деталей можноспособами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

studfiles.net

Важнейшие формулы комбинаторики / Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] / 3dstroyproekt.ru

Рассмотрим пару множеств $ { \rm A } =\left\{ { a_1 ,a_2 \ldots a_n }\right\} , { \rm B } =\left\{ { b_1 ,b_2 \ldots b_m }\right\} $ размерности $n\left({\rm A }\right)=n$ и $n\left({\rm B }\right)=m$

Следуя терминологии, принятой в Т.В. каждое из множеств будем называть генеральной совокупностью { Г.С. } объема $n$ и $m$.

Определение Упорядоченное подмножество из $k$ элементов $\left\{ { a_1 \ldots a_k }\right\} $, входящих в Г.С. $ { \rm A } =\left\{ { a_1 \ldots a_n }\right\} $ объема $n$, называется выборкой объема $k$ из этой Г.С.

Выбор с возвращением. Выбор производится каждый раз из всей Г.С., то есть перед следующим выбором предыдущий элемент возвращается.

Выбор без возвращения Выбранный элемент удаляется из Г.С., выборка не содержит повторений.

Определение

Выборка без возвращения называется размещением $ { \rm A } _n^k $

Замечание Две выборки одного объема будут отличаться друг от друга, если они содержат хотя бы по одному различному элементу.

Теорема Число размещений $ { \rm A } _n^k $, { для выборки без возвращения } равно

$ { \rm A } _n^k =\prod\limits_ { i=0 } ^ { k-1 } { \left( { n-i }\right) } =n\left( { n-1 }\right)\ldots \left( { n-k+1 }\right)=\frac { n! } { \left( { n-k }\right)! } $ { 1 } .

Число различных выборок { для выборки с возвращением } будет равно $\begin{equation} \label { eq1 } { \rm N } _n^k =n^k \qquad (1) \end{equation} $

Определение Выборка без повторений объема $n$ из Г.С. объема $n$ называются перестановкой $ { \rm P } _n $, { предполагается, что в Г.С. нет повторяющих элементов } .

Теорема Число всех различных перестановок из n элементов может быть подсчитано по формуле

$\begin{equation} \label { eq2 } { \rm P } _n =n! \qquad (2) \end{equation} $

легко показать, что $ { \rm P } _n = { \rm A } _n^n =\frac { n! } { 0! } =n!$

Пусть имеется $m$ Г.С. объема $n_1 \ldots n_m $. Составим различные комбинации так, что из каждой Г.С. в комбинацию входит по одному элементу $\left.{ { \begin{array} { c } { a_1 \ldots a_ { n1 } } \\ { b_1 \ldots b_ { n2 } } \\ { { \begin{array} { c } \cdots \\ { c_1 \ldots c_ { nm } } \\ \end{array} } } \\ \end{array} } }\right\} $ m Г.С.

$\left({ a_i ,b_j ,\ldots c_k }\right)$, где $\begin{array} { c } { i=1\ldots n_1 } \\ { j=1\ldots n_2 } \\ { k=1\ldots n_m } \\ \end{array} $ тогда число комбинаций $\begin{equation} \label { eq3 } { \rm N } =n_1 \cdot n_2 \ldots n_m \qquad (3) \end{equation} $

Определение Различные подмножества элементов, отличающих как составом так и порядком называются соединениями.

Определение Соединения, которые отличаются друг от друга только составом называются сочетаниями и обозначаются $C_n^m $.

Число сочетаний может быть вычислено по формуле $ \begin{equation} \label { eq4 } C_n^m =\frac { { \rm A } _n^m } { { \rm P } _m } =\frac { n! } { m!\left( { n-m }\right)! } \qquad (4) \end{equation} $

Определение Перестановки с повторениями. { элементы могут повторяться, но отличаются порядком расположения }

$ { \rm P } _ { n\,k_1 \ldots k_i } =\frac { n! } { k_1 !\ldots k_n ! } $(6) $ { \begin{array} { c } { a_1 -повтор\,k_1 } \\ { a_2 -повтор\,k_2 } \\ { { \begin{array} { c } \cdots \\ { a_n \ldots k_n } \\ \end{array} } } \\ \end{array} } $

Определение Сочетания с повторениями. { один элемент входит в различные сочетания разное число раз } $\begin{equation} \label { eq5 } f_n^m =C\cdot C_n^m =C_ { n+m-1 } ^m =\frac { \left( { n+m-1 }\right)\,! } { m\,!\left( { n-1 }\right)\,! } \qquad (5) \end{equation} $

Замечание при вычислении факториалов больших чисел пользуются формулой Стирлинга.

$\begin{equation} \label { eq6 } n!\approx \sqrt { 2\cdot \pi \cdot n } \cdot n^n\cdot e^ { -n } \qquad (6) \end{equation} $

Сводка основных формул

1. Размещения $ { \rm A } _n^k =\frac { n! } { \left( { n-k }\right)\,! } $ { состав и порядок }
2. Перестановки $ { \rm P } _n =n!$ { порядок }
3. Сочетания $C_n^k =\frac { n\,! } { k\,!\left( { n-k }\right)\,! } $ { только состав }
4. Перестановки с повторениями $ { \rm P } _ { n,k_1 \ldots k_m } =\frac { n! } { k_1 !\ldots k_m ! } $
5. Сочетание с повторениями $C\cdot C_n^k =C_ { n+k-1 } ^k =\frac { \left( { n+k-1 }\right)\,! } { k\,!\left( { n-1 }\right)\,! } $
6. Комбинации $ { \rm N } =n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots \cdot n_k $
7. Выбор с возвращением $ { \rm N } _n^k =n^k$

Примеры:

Задача 1. Сколькими способами можно выбрать из студенческой группы в 25 человек троих на профсоюзную конференцию?

Решение. Студенческая группа — генеральная совокупность — ее объем $n(A)=25$ из нее извлекают выборку объема $k=3$. Из условия задачи ясно, что важен только состав } { три студента выбирают } , следовательно, число способов равно числу сочетаний из 25 по 3 { формула 5 } . $ C_ { 25 } ^3 =\frac { 25! } { ( { 25-3 } )!\cdot 3! } =\frac { 25! } { 22!\cdot 3! } =2300. $

Задача 2. Сколькими способами можно избрать треугольник студенческой группы { старосту, физорга, профорга } в 25 человек?

Решение. Студенческая группа — генеральная совокупность — ее объем $n(A)=25$ из нее извлекают выборку объема $k=3$. Из условия задачи ясно, что важен не только состав, но и порядок } { распределение обязанностей } , следовательно, число способов равно числу размещений из 25 по 3 { формула 1 } .

$ A_ { 25 } ^3 =\frac { 25! } { ( { 25-3 } )! } =\frac { 25! } { 22! } =13800. $

Задача 3. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «математика»?

Решение. Генеральная совокупность — количество букв, содержащихся в слове математика — ее объем $n(A)=10$. Из условия задачи ясно, что при составлении различных «слов» объем генеральной совокупности не меняется, а важен только порядок } расположения букв, поэтому количество «слов» равно числу перестановок из 10-и букв { формула 3 } .

$ P_ { 10 } ^ =10!=151200. $

Задача 4. Сколько существует шестизначных чисел без нуля в записи?

Решение. Генеральная совокупность — количество цифр без нуля $1,2,3, { \ldots } 9$ — ее объем $n(A)=9$. Из нее извлекают выборку объема $k=6$. Из условия задачи ясно, что цифры могут повторяться { поскольку не сказано, что цифры различны } . При составлении различных выборок важен не только состав, но и порядок расположения цифр, поэтому количество шестизначных чисел равно числу размещений с повторениями { выбор с возвращением } { формула 2 } .

$ N_9^6 =9^6=531441. $

Задача 5. Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «математика»?

Решение. Генеральная совокупность — количество букв, содержащихся в слове математика — ее объем $n(A)=10$. Из условия задачи ясно, что при составлении разных буквосочетаний объем генеральной совокупности не меняется. Здесь — 1 буква «е», 2 буквы «м», 3 буквы «а», 2 буквы «т», 1 буква «и», 1 буква «к». Среди выбираемых элементов есть одинаковые { выборка с возвращением } , чтобы получить разные буквосочетания, важен порядок расположения букв, поэтому количество таких буквосочетаний равно числу перестановок с повторениями из 9-и букв { формула 6 } .

$ P_ { 9,k_1 \ldots k_m } =\frac { n! } { k_1 !\ldots k_m ! } = P_ { 9,1,2,3,2,1,1 } =\frac { 9! } { 1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!\cdot 1! } =15120. $

Задача 6. В кафе имеются торты четырех разных сортов: «Анастасия», «Тайна», «Астория» и «Фантазия». Сколькими способами можно купить 8 тортов?

Решение. Очевидно, что порядок, в котором выбираются торты, значения не имеет, важен только состав { 8 тортов } . В выбранную комбинацию могут входить повторяющиеся элементы { например, можно купить все тортики одного сорта } . Следовательно, число способов покупки 8 тортов определяется числом сочетаний с повторениями из 4 элементов по 8 { формула 7 } .

$ C\cdot C_n^k =C_ { n+k-1 } ^k =\frac { ( { n+k-1 } )\,! } { k\,!( { n-1 } )\,! } $ $ C\cdot C_4^8 =C_ { 4+8-1 } ^8 =\frac { ( { 4+8-1 } )\,! } { 8\,!( { 4-1 } )\,! } =\frac { 11! } { 8\,!\cdot 3\,! } =165 $

Задача 7. Из Москвы до Новосибирска можно добраться поездом и самолетом. Из Новосибирска в Томск — поездом, самолетом, автобусом, пароходом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту Москва — Новосибирск — Томск?

Решение. Пусть первую генеральную совокупность образуют поезд и самолет, которыми можно добраться из Москвы до Новосибирска, ее объем $n(A)=2$. Вторую генеральную совокупность образуют поезд, самолет, автобус и пароход, которыми можно добраться из Новосибирска в Томск, ее объем $n { B } =4$. Очевидно, что путешествие по маршруту Москва — Новосибирск — Томск обязательно должно производится двумя видами транспорта, причем по одному из каждой генеральной совокупности. Следовательно, число способов будет равно числу комбинаций, образованных двумя элементами, взятыми по одному из каждой генеральной совокупности { формула 4 } .

$ { \rm N } =n_A \cdot n_B $

$ { \rm N } =2\cdot 4=8 $

3dstroyproekt.ru

размещения, сочетания, перестановки. — КиберПедия

Формулы комбинаторики

Рассмотрим задачу подсчета числа выборок из данного множества в общем виде. Пусть имеется некоторое множество N, состоящее из n элементов. Любое подмножество, состоящее из m элементов можно рассматривать без учета их порядка, так и с его учетом, т.е. при изменении порядка переходим к другой m – выборке.

Сформулируем следующие определения:

Размещения без повторения

Размещением без повторения из n элементов по m называется всякое упорядоченное подмножество множества N, содержащее m различных элементов.

Из определения следует, что два размещения отличаются друг от друга, как элементами, так и их порядком, даже если элементы одинаковы.

Теорема 3. Число размещений без повторения равно произведению m сомножителей, наибольшим из которых является число n. Записывают:

Перестановки без повторений

Перестановками из n элементов называются различные упорядочения множества N.

Из этого определения следует, что две перестановки отличаются только порядком элементов и их можно рассматривать как частный случай размещений.

Теорема 4. Число различных перестановок без повторений вычисляется по формуле

Сочетания без повторений

Сочетанием без повторения из n элементов по m называется любое неупорядоченное подмножество множества N, содержащее m различных элементов.

Из определения следует, что два сочетания различаются только элементами, порядок не важен.

Теорема 5. Число сочетаний без повторений вычисляют по одной из следующих формул:

Пример 1. В комнате 5 стульев. Сколькими способами можно разместить на них

а) 7 человек; б) 5 человек; в) 3 человека?

Решение: а) Прежде всего надо выбрать 5 человек из 7 для посадки на стулья. Это можно сделать способом. С каждым выбором конкретной пятерки можно произвести перестановок местами. Согласно теореме умножения искомое число способов посадки равно .

Замечание: Задачу можно решать, используя только теорему произведения, рассуждая следующим образом: для посадки на 1-й стул имеется 7 вариантов, на 2-й стул-6 вариантов, на 3-й -5, на 4-й -4 и на 5-й -3. Тогда число способов посадки 7 человек на 5 стульев равно . Решения обоими способами согласуются, так как

б) Решение очевидно —

в) — число выборов занимаемых стульев.

— число размещений трех человек на трех выбранных стульях.

Общее число выборов равно .

Не трудно проверить формулы ;

;

— число всех подмножеств множества, состоящего из n элементов.

Вероятность суммы событий.

Пусть А и В – два несовместных события. Тогда в соответствии с третьей аксиомой для вероятности имеем

P(A+B) = P(A) + P(B). (3.6)

Это равенство известно как теорема сложения вероятностей несовместных событий. Для классической схемы это свойство не нужно постулировать, т.к. легко выводится из классического определения вероятности (доказать самостоятельно).

Пример 3.5. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Решение. Введем следующие события: B={появление хотя одного туза}, A₁={появление одного туза}, A₂={появление двух тузов}, A₃={появление трех тузов}. Очевидно, что B=A₁+A₂+A₃. Поскольку события A₁, A₂ и A₃.несовместны, то

P(B) = P(A₁)+P(A₂)+P(A₃) =

Эту задачу можно решить иначе. Событие , противоположное событию В, состоит в том, что среди вынутых из колоды трех карт нет ни одного туза. ПосколькуP(B)+P( )=1, то

P(B) = 1 – P( ) =

Пусть А и В – два произвольных события, т.е. они, в общем случае, совместны. Запишем события А+В и В в виде

A+B = A+B и B = B +BA.

(объясните эти равенства, используя диаграммы Вьенна). Поскольку событие, стоящие в правых частях этих равенств, несовместны, то

P(A+B) = P(A) + P(B ), P(B) = P(B )+P(BA).

Исключая P(B ),получим

P(A+B) = P(A)+P(B)–P(AB). (3.7)

Это равенство известно как теорема сложения вероятностей совместных событий.

Полученная формула сложения вероятностей хорошо иллюстрируется при помощи диаграмм Вьенна. Здесь следует помнить, что вероятность события пропорциональна площади фигуры, которая соответствует данному событию. Событию А+В на рисунке соответствует вся заштрихованная фигура, площадь которой можно представить в виде суммы трех слагаемых S_A+B=S₁+S₂+S_AB, где S₁ соответствует событию А–АВ, а S₂ – событию В–АВ. Тогда, событию А будет соответствовать фигура с площадью S_А= S₁+S_АВ, а событию В – S_В= S₂+S_АВ. В результате получим, что S_А+В= S_А+S_В–S_АВ. Полученное равенство соответствует теореме сложения вероятностей.

Теорему сложения вероятностей можно обобщить на случай произвольного числа слагаемых. Вчастности,

P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C)–(AB)–P(AC)–P(BC)+P(ABC). (3.8)

Докажите данную формулу самостоятельно.

Пример 3.6. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7. Какова вероятность поражения цели?

Решение. Пусть A₁={первый стрелок попал по цели}, A₂={второй стрелок попал по цели}. Мишень будет поражена (событие В), если произойдет событие А₁+А₂. Поскольку события А₁ и А₂ совместны, но независимы, то

P(А₁+А₂) = P(А₁)+P(А₂)–P(А₁)P(А₂) = 0,7+0,8–0,7×0,8 = 0,94.

Отметим, что событие В можно записать также в виде A₁ + A₂+A₁A₂. Тогдаполучим

P(B) = P(A₁)P( )+P( )P(A₂)+P(A₁)P(A₂) = = 0,8×0,3+0,2×0,7+0,7×0,8 = 0,94.

Однако такой путь слишком длинный.

cyberpedia.su

Основные формулы и правила комбинаторики — Мегаобучалка

Комбинаторика – раздел элементарной математики, в котором изучают количества комбинаций, подчиненных определенным условиям и составляемых из конечного набора элементов (множества) безразлично какой природы.

Формулы и правила комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей (по формуле (1.1)).

 

 

Формулы комбинаторики

Перестановки – комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только их порядком.

 

Количество перестановок без повторений

(1.2)

Пример:

1. Сколько трехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра в числе содержится один раз?

Решение

— количество цифр

123, 132, 213, 231, 321, 312.

2. Сколько четырехзначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3 не повторяя их?

Решение.

(1,2,3,0)

Учитывая, что число с нулем на первом месте является трехзначным, подсчитаем количество таких чисел:

(1,2,3)

Тогда .

Размещения – комбинации, составленные из различных элементов, взятых по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений без повторений:

(1.3)

Формулы (1.3) и (1.2) связаны между собой формулой при

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

12, 13, 21, 23, 31, 32

Число размещений с повторениями

(1.4)

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в числе могут повторяться?

Решение:

11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

Сочетания – комбинации, составленные из различных элементов, взятых по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Числовозможных сочетаний безповторений

(1.5)

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

12, 13, 23.

Формулы (1.2), (1.3) и (1.5) связаны между собой следующей формулой

(1.6)

 

 

Правила комбинаторики

 

Правило суммы – если объект может быть выбран из совокупности объектов способами, а объект — способами, то выбрать либо , либо можно способами.

Пример. В корзине белых шаров и черных шаров. Из корзины вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми или черными.

 

 

Решение:

— событие «вытащили оба шара белые»

— событие «вытащили оба шара черные»

— событие «вытащили оба шара белые или оба шара черные»

Правило произведения – если объект можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара объектов и в указанном порядке может быть выбрана способами.

Пример. В партии из изделий бракованных. Из партии выбирают наугад изделий. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет ровно бракованных.

Решение.

Общее число случаев равно , число благоприятных случаев , откуда вероятность интересующего нас события по (1.1)

(1.7)

Формула (1.7) получила название гипергеометрической формулы для расчета вероятностей.

 

megaobuchalka.ru

Основные формулы комбинаторики. Комбинаторика: формула перестановки, размещения

В данной статье речь пойдет об особом разделе математики под названием комбинаторика. Формулы, правила, примеры решения задач – все это вы сможете найти здесь, прочитав статью до самого конца.

Итак, что же это за раздел? Комбинаторика занимается вопросом подсчета каких-либо объектов. Но в данном случае объектами выступают не сливы, груши или яблоки, а нечто иное. Комбинаторика помогает нам находить вероятность какого-либо события. Например, при игре в карты – какова вероятность того, что у противника есть козырная карта? Или такой пример – какова вероятность того, что из мешка с двадцатью шариками вы достанете именно белый? Именно для подобного рода задач нам и нужно знать хотя бы основы данного раздела математики.

Комбинаторные конфигурации

Рассматривая вопрос основных понятий и формул комбинаторики, мы не можем не уделить внимание комбинаторным конфигурациям. Они используются не только для формулировки, но и для решения различных комбинаторных задач. Примерами таких моделей служат:

• размещение;
• перестановка;
• сочетание;
• композиция числа;
• разбиение числа.

О первых трех мы поговорим более подробно далее, а вот композиции и разбиению мы уделим внимание в данном разделе. Когда говорят о композиции некого числа (допустим, а), то подразумевают представление числа а в виде упорядоченной суммы неких положительных чисел. А разбиение – это неупорядоченная сумма.

Разделы

Прежде чем мы перейдем непосредственно к формулам комбинаторики и рассмотрению задач, стоит обратить внимание на то, что комбинаторика, как и другие разделы математики, имеет свои подразделы. К ним относятся:

• перечислительная;
• структурная;
• экстремальная;
• теория Рамсея;
• вероятностная;
• топологическая;
• инфинитарная.

В первом случае речь идет об исчисляющей комбинаторике, задачи рассматривают перечисление или подсчет разных конфигураций, которые образованы элементами множеств. На данные множества, как правило, накладываются какие-либо ограничения (различимость, неразличимость, возможность повтора и так далее). А количество этих конфигураций подсчитывается при помощи правила сложения или умножения, о которых мы поговорим немного позже. К структурной комбинаторике относятся теории графов и матроидов. Пример задачи экстремальной комбинаторики – какова наибольшая размерность графа, который удовлетворяет следующим свойствам… В четвертом пункте мы упомянули теорию Рамсея, которая изучает в случайных конфигурациях наличие регулярных структур. Вероятностная комбинаторика способна нам ответить на вопрос – какова вероятность того, что у заданного множества присутствует определенное свойство. Как нетрудно догадаться, топологическая комбинаторика применяет методы в топологии. И, наконец, седьмой пункт – инфинитарная комбинаторика изучает применение методов комбинаторики к бесконечным множествам.

Правило сложения

Среди формул комбинаторики можно найти и довольно простые, с которыми мы достаточно давно знакомы. Примером является правило суммы. Предположим, что нам даны два действия (С и Е), если они взаимоисключаемы, действие С выполнимо несколькими способами (например а), а действие Е выполнимо b-способами, то выполнить любое из них (С или Е) можно а+b способами.

В теории это понять достаточно трудно, постараемся донести всю суть на простом примере. Возьмем среднюю численность учеников одного класса — допустим, это двадцать пять. Среди них пятнадцать девочек и десять мальчиков. Ежедневно в классе назначается один дежурный. Сколько есть способов назначить дежурного по классу сегодня? Решение задачи достаточно простое, мы прибегнем к правилу сложения. В тексте задачи не сказано, что дежурными могут быть только мальчики или только девочки. Следовательно, им может оказаться любая из пятнадцати девочек или любой из десяти мальчиков. Применяя правило суммы, мы получаем достаточно простой пример, с которым без труда справится школьник начальных классов: 15 + 10. Подсчитав, получаем ответ: двадцать пять. То есть существует всего двадцать пять способов назначить на сегодня дежурного класса.

Правило умножения

К основным формулам комбинаторики относится и правило умножения. Начнем с теории. Допустим, нам необходимо выполнить несколько действий (а): первое действие выполняется с1 способами, второе – с2 способами, третье – с3 способами и так далее до последнего а-действия, выполняемого са способами. Тогда все эти действия (которых всего у нас а) могут быть выполнены N способами. Как высчитать неизвестную N? В этом нам поможет формула: N = с1 * с2 * с3 *…* са.

Опять же, в теории ничего не понятно, переходим к рассмотрению простого примера на применение правила умножения. Возьмем все тот же класс из двадцати пяти человек, в котором учится пятнадцать девочек и десять мальчиков. Только на этот раз нам необходимо выбрать двух дежурных. Ими могут быть как только мальчики или девочки, так и мальчик с девочкой. Переходим к элементарному решению задачи. Выбираем первого дежурного, как мы решили в прошлом пункте, у нас получается двадцать пять возможных вариантов. Вторым дежурным может быть любой из оставшихся человек. У нас было двадцать пять учеников, одного мы выбрали, значит вторым дежурным может быть любой из оставшихся двадцати четырех человек. Наконец, применяем правило умножения и получаем, что двоих дежурных можно избрать шестью сотнями способов. Мы данное число получили умножением двадцати пяти и двадцати четырех.

Перестановка

Сейчас мы рассмотрим еще одну формулу комбинаторики. В данном разделе статьи мы поговорим о перестановках. Рассмотреть проблему предлагаем сразу же на примере. Возьмем бильярдные шары у нас их n-ое количество. Нам нужно подсчитать: сколько есть вариантов расставить их в ряд, то есть составить упорядоченный набор.

Начнем, если у нас нет шаров, то и вариантов расстановки у нас так же ноль. А если у нас шар один, то и расстановка тоже одна (математически это можно записать следующим образом: Р1 = 1). Два шара можно расставить двумя разными способами: 1,2 и 2,1. Следовательно, Р2 = 2. Три шара можно расставить уже шестью способами (Р3=6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. А если таких шаров не три, а десять или пятнадцать? Перечислять все возможные варианты очень долго, тогда нам на помощь приходит комбинаторика. Формула перестановки поможет нам найти ответ на интересующий нас вопрос. Pn = n *P (n-1). Если попытаться упростить формулу, то получаем: Pn = n* (n — 1) *…* 2 * 1. А это и есть произведение первых натуральных чисел. Такое число называется факториалом, а обозначается как n!

Рассмотрим задачу. Вожатый каждое утро выстраивает свой отряд в шеренгу (двадцать человек). В отряде есть три лучших друга – Костя, Саша и Леша. Какова вероятность того, что они будут стоять рядом? Чтобы найти ответ на вопрос, нужно вероятность «хорошего» исхода поделить на общее количество исходов. Общее число перестановок составляет 20! = 2,5 квинтиллиона. Как посчитать количество «хороших» исходов? Предположим, что Костя, Саши и Леша – это один сверхчеловек. Тогда мы имеем всего восемнадцать субъектов. Число перестановок в данном случае равняется 18 = 6,5 квадриллионов. При всем этом, Костя, Саша и Леша могут произвольно перемещаться между собой в своей неделимой тройке, а это еще 3! = 6 вариантов. Значит всего «хороших» расстановок у нас 18! * 3! Нам остается только найти искомую вероятность: (18! * 3!) / 20! Что равняется примерно 0,016. Если перевести в проценты, то это получается всего 1,6%.

Размещение

Сейчас мы рассмотрим еще одну очень важную и необходимую формулу комбинаторики. Размещение – это наш следующий вопрос, который предлагаем вам рассмотреть в данном разделе статьи. Мы идем на усложнение. Предположим, что мы хотим рассмотреть возможные перестановки, только не из всего множества (n), а из меньшего (m). То есть мы рассматриваем перестановки из n предметов по m.

Основные формулы комбинаторики стоит не просто заучивать, а понимать их. Даже несмотря на то, что они усложняются, так как у нас не один параметр, а два. Предположим, что m = 1, то и А = 1, m = 2, то А = n * (n — 1). Если далее упрощать формулу и перейти на запись при помощи факториалов, то получится вполне лаконичная формула: А = n! / (n — m)!

Сочетание

Мы рассмотрели практически все основные формулы комбинаторики с примерами. Теперь перейдем к заключительному этапу рассмотрения базового курса комбинаторики – знакомство с сочетанием. Сейчас мы будем выбирать m предметов из имеющихся у нас n, при этом всем мы будем выбирать всеми возможными способами. Чем же тогда это отличается от размещения? Мы не будем учитывать порядок. Этот неупорядоченный набор и будет являться сочетанием.

Сразу введем обозначение: С. Берем размещения m шариков из n. Мы перестаем обращать внимание на порядок и получаем повторяющиеся сочетания. Чтобы получить число сочетаний нам надо поделить число размещений на m! (m факториал). То есть С = А / m! Таким образом, способов выбрать из n шаров немножко, равняется примерно столько, сколько выбрать почти все. Этому есть логическое выражение: выбрать немножко все равно, что выкинуть почти все. Еще в данном пункте важно упомянуть и то, что максимальное число сочетаний можно достигнуть при попытке выбрать половину предметов.

Как выбрать формулу для решения задачи?

Мы подробно рассмотрели основные формулы комбинаторики: размещение, перестановка и сочетание. Теперь наша задача – облегчить выбор необходимой формулы для решения задачи по комбинаторике. Можно воспользоваться следующей довольно простой схемой:

1. Задайте себе вопрос: порядок размещения элементов учитывается в тексте задачи?
2. Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой сочетания (С = n! / (m! * (n — m)!)).
3. Если ответ нет, то необходимо ответить на еще один вопрос: все ли элементы входят в комбинацию?
4. Если ответ да, то воспользуйтесь формулой перестановки (Р = n!).
5. Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой размещения (А = n! / (n — m)!).

Пример

Мы рассмотрели элементы комбинаторики, формулы и некоторые другие вопросы. Теперь перейдем к рассмотрению реальной задачи. Представьте, что перед вами лежат киви, апельсин и банан.

Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить? Для этого воспользуемся формулой перестановок: Р = 3! = 6 способов.

Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать один фрукт? Это очевидно, у нас всего три варианта – выбрать киви, апельсин или банан, но применим формулу сочетаний: С = 3! / (2! * 1!) = 3.

Вопрос третий: сколькими способами можно выбрать два фрукта? Какие есть у нас вообще варианты? Киви и апельсин; киви и банан; апельсин и банан. То есть три варианта, но это легко проверить при помощи формулы сочетания: С = 3! / (1! * 2!) = 3

Вопрос четвертый: сколькими способами можно выбрать три фрукта? Как видно, выбрать три фрукта можно одним-единственным способом: взять киви, апельсин и банан. С = 3! / (0! * 3!) = 1.

Вопрос пятый: сколькими способами можно выбрать хотя бы один фрукт? Это условие подразумевает, что мы можем взять один, два или все три фрукта. Следовательно, мы складываем С1 + С2 + С3 =3 + 3 + 1 = 7. То есть у нас есть семь способов взять со стола хотя бы один фрукт.

fb.ru

Комбинаторика. Факториал. Перестановки. Размещения. Сочетания. Биноминальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Свойства биноминальных коэффициентов. Формула бинома

Техническая информация тут Перевод единиц измерения величин Таблицы числовых значений Алфавиты, номиналы, единицы Математический справочник тут Физический справочник Химический справочник Материалы Рабочие среды Оборудование Инженерное ремесло Инженерные системы Технологии и чертежи Личная жизнь инженеров Калькуляторы Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Комбинаторика. Факториал. Перестановки. Размещения. Сочетания. Биноминальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Свойства биноминальных коэффициентов. Формула бинома Комбинаторика. Факториал. Перестановки. Размещения. Сочетания. Биноминальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Свойства биноминальных коэффициентов. Формула бинома. Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Шпаргалки по математике, алгебре и геометрии Правила сложения и вычитания. Таблица сложения от 1 до 10. Таблица сложения до 20. Таблица сложения в пределах 10. Таблица вычитания от 1 до 10. Таблица вычитания до 20. Таблица вычитания через десяток. Таблица умножения для 2 класса — традиционная 10×10, 12х12 и 20х20 Таблицы деления — традиционная 10×10 и 12х12 Единицы (измерения) длины см-дм-м, единицы измерения площади см2-дм2. Примерно 3 класс (8-9 лет).

dpva.ru

Синтез логических выражений Поверина — Saratov FIO Wiki

Тема урока «Синтез логических выражений» (урок информатики в 10 классе информационно-технологического профиля)

Учитель Поверина Ирина Александровна

МОУ «СОШ п. Знаменский Ивантеевского района Саратовской области»

Организационный момент

(Слайды 2-5)

Приветственное слово учителя.

Сделать в жизни важный шаг — это, братцы, не пустяк!

Всё надо тщательно продумать, посмотреть и так, и сяк.

Посоветоваться с мамой, у отца совет спросить,

Вспомнить: «Я — десятиклассник!», свою логику включить.

Сразу ты, дружок, поймёшь, что есть ИСТИНА, что — ЛОЖЬ.

У компьютера внутри тоже логика. Смотри!

Определение задач урока.

Учитель:Мы с вами изучили достаточно большой блок материала из раздела «Логика». Как вы думаете, какие задачи мы можем обозначить для первой части урока?

Учащиеся:

1. Применение на практике полученных знаний
2. Развитие логического мышления
3. Формирование информационной культуры

Правила заполнения Карты индивидуальных достижений.

Учитель: На столах для вас приготовлены карточки-задания. Результаты выполнения необходимо занести в Карту индивидуальных достижений. В конце урока вы сами оцените свою работу по имеющимся критериям.

Актуализация опорных знаний.

Основные логические операции

(Слайд 6)

Учитель: Давайте вместе вспомним формулы и запишем таблицы истинности основных логических операций.

Учащиеся: пятеро учащихся выходят к доске и заполняют таблицу, остальные — делают записи в тетрадях.

Основные логические элементы

(Слайд 7)

Учитель: Установить соответствие между названиями логических элементов и изображениями.

Ученик: на доске соединяет линиями соответствующие элементы.

Построение таблицы истинности сложного выражения

(Слайд 8)

Учитель: Составим таблицу истинности для сложного выражения F=A&B \/ B&C \/ A&C

Учащиеся: заполняют таблицу на доске и делают записи в тетрадях.

Учитель:Таблицу истинности можно построить и с помощью электронных таблиц Microsoft Office Excel. (Слайды 9, 10, 11)

Проблемная ситуация

(Слайд 12)

А если наоборот задачу поставить:

Как по таблице истинности функцию составить?

Тема урока: «Синтез логических выражений».

Цель: Сегодня мы будем учиться составлять логические функции по таблицам истинности и строить логическую схему в Конструкторе

Объяснение нового материала.

(Слайды 13, 14, 15, 16)

(При демонстрации слайдов можно использовать функцию доски «затемнение экрана» для постепенного погружения учащихся в материал)

Учитель: Синтезировать (составить) логическое выражение по таблице истинности можно двумя способами:

а) Алгоритм №1

Шаг 1. Отметить строки в таблице, где F = 1.

Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки.

Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат.

б) Алгоритм №2

Шаг 1. Отметить строки в таблице, где F = 0.

Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки.

Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат.

Шаг 4. Сделать инверсию полученного выражения.

(Алгоритм желательно повторить учащимся самостоятельно с помощью учителя)

Построение логического выражения по таблице истинности

(Слайд 17)

Учитель: Предлагаю выполнить задание, применив законы алгебры логики.

Учащиеся: Выполняют работу в тетради и на доске.

Знакомство с «Конструктором логических схем»

(Слайд 18)

Учитель знакомит учащихся с новым программным продуктом.

Предлагаю услуги инструктора по освоению нового конструктора. Он доступен, прост, понятен всем и помогает в построении логических схем.

Здесь есть элементы простые и сложные, и провода – соединения всевозможные. По логической функции схему построим. Для этого режим «Редактор» откроем. Нужные блоки на сетку поместим и проводами все соединим.

В режим «Контроль» без промедления входим, и тестирование схемы проводим: На входы полный набор значений подаем и выходные сигналы узнаем. Таблицу истинности в тетради сохраним и, если есть, вопросы зададим.

Учитель, используя интерактивную доску, демонстрирует работу в Конструкторе на примере простого логического выражения F=A&B (повторяет алгоритм работы в программе, показывает все режимы работы Конструктора — редактор и контроль) и отвечает на вопросы учащихся.

Конструктор логических схем для Windows Версия 1.11

Физкультурная минутка

(Слайд 19)

Выполнение упражнений под веселую музыку.

Формирование умений и навыков.

Составление таблицы истинности в редакторе электронных таблиц

Задание №1(на карточке)

Синтез логического выражения

Самостоятельная работа (на карточке)

Работа с Конструктором

Построить логическую схему по полученному выражению и провести ее тестирование (ввести полный набор значений входных сигналов и записать выходные сигналы)

Тестирование

Итог урока.

• Рефлексия (Слайд 21)

Учитель: Чем я вас сегодня удивила? Что нового узнали? Что не поняли?

• Запись домашнего задания (Слайд 22)
• Выставление отметок.

Учитель:Посмотрите, пожалуйста, на свои Карты индивидуальных достижений. Отметку «отлично» получает тот, у кого совпадают записи логических выражений и таблицы истинности в двух первых заданиях. Дополнительные бонусные баллы получают ученики, прошедшие тестирование.

Учитель: Всем большое спасибо. До свидания

wiki.soiro.ru

Опорный конспект на тему «Синтез логических выражений»

Синтез логических выражений.

Логический элемент – это устройство, реализующих одну из логических операций. Логические элементы, используемые в вычислительной технике и системах автоматики, основаны на использовании самых различных физических явлений и свойств. Наиболее часто применяются электронные устройства в виде интегральных микросхем. Промышленность выпускает серии интегральных схем, выполняющих самые разнообразные логические операции.

Любую логическую функцию можно выполнить с помощью логических операций И, ИЛИ, НЕ. Эти операции называются элементарными, а устройства для их реализации называются элементарными логическими элементами.

Условные обозначения элементарных логических элементов:

Элемент НЕ Элемент И Элемент ИЛИ

Все логические элементы изображаются в виде прямоугольников с линиями, по которым подводятся входные и отводятся выходные сигналы. Обычно слева располагаются линии входных сигналов, а справа – выходных. В прямоугольнике ставится знак логических операций: & – И, 1 – ИЛИ. Если выход обозначен окружностью, то элемент производит логическое отрицание результата операции, указанной внутри прямоугольника. Логическое отрицание называют инверсией, а выход, обозначенным окружностью называют инверсным выходом.

Работу элементов НЕ, ИЛИ, И поясняют таблицы, приведенные ниже, в которых показано соответствие выходного сигнала любой возможной комбинацией входных сигналов.

Такие таблицы называются таблицами истинности.

Входные и выходные сигналы могут принимать одно из двух значений: логическая 1 и логический 0. При конкретной реализации эти сигналы эти сигналы представляются различными физическими величинами (например, электрическим напряжением или потенциалом).

Существуют серии микросхем, построенных на основе составной логической схемы И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

Условные обозначения элементарных логических элементов

И-НЕ и ИЛИ-НЕ:

Применение таких элементов позволяет использовать единую технологию для всей серии микросхем, увеличить объем выпуска и снизить стоимость каждого элемента.

infourok.ru

7. Синтез логических выражений. Синтез логических выражений.

Используя таблицу истинности любой логической формулы, можно определить ее в СДНФ или СКНФ. Для построения СДНФ в таблице истинности необходимо выбрать строки, в которых функция принимает значение 1 и сформировать конституанту 0. Переменная будет находиться в этой конституанте без знака отрицания, если она принимает значение 1 в этой строке и с отрицанием в противном случае. Соединить полученные конституанты знаком дизъюнкции.

Для получения СКНФ ищутся строки, в которых функция принимает значение 0. Строятся конституанты 1. Переменная берется со знаком отрицания, если она равна 1 и наоборот. Конституанты соединяются знаком конъюнкции.

Пример: Дана таблица истинности. Построить СДНФ и СКНФ.

СДНФ:

СКНФ:

8. Минимизация булевых функций. Импликанты. Минимальная нф. Приведенная нф.

Метод Петрика. Алгоритм Квайна. Диаграммы Вейча.

Минимизация булевых функции

Под минимизацией булевых функций понимается нахождение наиболее простого представления этой функции в виде суперпозиции функций, составляющих какую-нибудь фиксированную функционально полую систему Sбулевых функций. Наиболее простым обычно считается представление, содержащее наименьшее возможное число суперпозиций. При решении задачи минимизации важную роль играет понятие импликанты.

Булева функция называется импликантой функции, если на любом значении переменных, на котором значениеgравно 1, значениеfтакже равно 1.

Простой импликантой функции fназывается элементарное произведение, являющееся импликантойfи такое, что никакая его собственная часть (то есть произведение, получаемое изgотбрасыванием одного или нескольких компонент) уже не является импликантой функцииf.

Дизъюнкция любого множества импликант одной и той же функции является импликантой этой функции.

Дизъюнкция всех простых импликант булевой функции совпадает с этой функцией и называется сокращенной дизъюнктивной нормальной формой.

Сокращенная нормальная форма является более экономной, чем СДНФ. Однако часто допускает дальнейшее упрощение за счет того, что некоторые из простых импликант могут поглощаться дизъюнкцией других простых импликант. Например, в сокращенной ДНФ простая импликантаyzпоглощается дизъюнкцией остальных элементов формы:.

Однако справедливо следующее утверждение для сокращенной дизъюнктивной формы. Если сокращенная ДНФ не содержит никакой переменной, входящей в нее одновременно с отрицанием и без него, то эта форма является минимальной дизъюнктивной формой.

Приведение к минимальной нормальной форме от сокращенной ДНФ можно осуществит с помощью импликантной таблицы. Импликантная таблица представляет собой прямоугольную таблицу, строки которой обозначаются различными простыми импликантами, а столбцы конституантами единицы, на которых функция обращается в единицу.

На пересечении p-й строкиk-го столбца импликантной таблицы ставится * тогда и только тогда, когда импликанта составляет некоторую часть конституантыk. Для примера:

Система Sпростых импликант булевых функцийfназывается приведенной, если эта система полна и никакая ее часть не является полной системой импликант функцииf. Дизъюнкция всех простых импликант, составляющихS, называется приведенной или тупиковой дизъюнктивной нормальной формой. Всякая минимальная ДНФ является тупиковой ДНФ.

Выделение приведенной системы простых импликант может быть проведено на основе импликантной таблицы. Для этой цели надо выбрать минимальные системы строк таблицы так, чтобы для каждого столбца среди выбранных строк нашлась хотя бы одна строка содержащая звездочку. Этот метод является методом перебора и практически применим для простых импликантных таблиц. В случае сложных таблиц можно применять алгебраический метод Петрика.

Суть этого метода заключается в том, что по импликантной таблице строится некоторое выражение, называемое конъюнктивным представлением этой таблицы. Для этого производится обозначение всех простых импликант различными буквами (например, A,B,C, …). После этого для каждого столбцаимпликантной таблицы строится дизъюнкция

всех букв, обозначающих строки, на пересечении которых со столбцом стоит *. Беря произведение полученныхq_для всех столбцов, конъюнктивное представление таблицы. Обозначим для нашего примера :. Тогда получим следующее представление таблицы:

Если в конъюнктивном представлении раскрыть все скобки в соответствии с законом дистрибутивности, получим дизъюнктивное представление.

Простые импликанты, символы которых в любой фиксированный терм дизъюнктивного представления составляют полную систему простых импликант функции.

Выполняя в дизъюнктивном представлении импликантной таблицы все элементарные поглощения и устраняя повторения в соответствии с тождествами АА=А и АА = А, приходим к приведенному дизъюнктивному представлению импликантной таблицы.

Термам этого представления соответствуют все приведенные системы простых импликант функции.

В примере получим:

.

То есть получим 2 приведенные системы простых импликант (A,B,C) и (A,B,D). Им соответствуют две тупиковые ДНФ исходной функции:

studfiles.net

Синтез логических схем по логическим выражениям

Логические схемы строятся на основе логических элементов, набор которых определяется заданным логическим базисом.

Для базиса Буля в качестве логических элементов используются элементы, реализующие базовые логические функции И, ИЛИ, НЕ, которые имеют приведенные на рис. 1.2.1 обозначения.

При синтезе схемы по логическому выражению, составляющие логические операции представляются в виде соответствующих логических элементов, связи между которыми определяются последовательностью выполнения логических операций в заданном выражении.

Рис. 1.2‑1

Пример

Синтезировать логическую схему в базисе И, ИЛИ, НЕ, реализующую логическое выражение

y1=	______________ ( x1x2 +x1x3 +x2 x3 )(x1 +x2 +x3 ) +x1 x2 x3.

Решение

Входными сигналами синтезируемой схемы являются x₁, x₂, x₃, а выходным — y₁.

Реализацию заданного выражения в виде логической схемы можно начать или с последней операции, или с первой.

Последней операцией в заданном выражении является операция логического сложения двух операндов

________________ ( x1x2 +x1x3 +x2 x3 )(x1 +x2 +x3 ) и х1 x2 x3,

поэтому для её реализации требуется элемент ИЛИ(1) с двумя входами, на выходе которого будет сформирован сигнал, соответствующий y₁, если на его входы будут поданы эти два слагаемые (например, первое слагаемое на второй вход, а второе слагаемое на первый вход).

На первый вход ИЛИ(1) подается логическое произведение х₁ x₂ x₃,

для реализации которого необходимо использовать логический элемент И с тремя входами, на которые подаются входные переменные х₁, x_2, x₃. Аналогичным образом рассматривается последовательность формирования выражения

__________________ ( x1x2 +x1x3 +x2 x3 )(x1 +x2 +x3 ),

которое соответствует сигналу, подаваемому на второй вход элемента ИЛИ(1). В результате синтезируется схема для заданного выражения, приведенная на рис.1.2.2 .

Рис. 1.2‑2

4. Минимизация логических выражений

Учитывая то, что одну и ту же логическую функцию можно представить различными выражениями, перед реализацией функции в виде логической схемой весьма важным является выбор из всех возможных выражений, соответствующих данной функции, самого простого. Решить эту проблему можно за счет использования процедуры минимизации логического выражения. Из множества методов минимизации наиболее часто используются:

1. минимизация методом Квайна;

1. минимизация методом с использованием диаграмм Вейча (или карт Карно).

studfiles.net

Логические основы компьютеров — Информатика

Логические основы компьютеров

• Логические выражения и операции
• Диаграммы
• Преобразование логических выражений
• Синтез логических выражений
• Логические элементы компьютера
• Логические задачи

Логические основы компьютеров

Тема 1. Логические выражения и операции

Булева алгебра

Двоичное кодирование – все виды информации кодируются с помощью 0 и 1.

Задача – разработать оптимальные правила обработки таких данных.

Джордж Буль разработал основы алгебры, в которой используются только 0 и 1 (алгебра логики, булева алгебра).

Почему «логика»? Результат выполнения операции можно представить как истинность (1) или ложность (0) некоторого высказывания.

Логические высказывания

Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Высказывание или нет ?

• Сейчас идет дождь. Жирафы летят на север. История – интересный предмет. У квадрата – 10 сторон и все разные. Красиво! В городе N живут 2 миллиона человек. Который час?
• Сейчас идет дождь.
• Жирафы летят на север.
• История – интересный предмет.
• У квадрата – 10 сторон и все разные.
• Красиво!
• В городе N живут 2 миллиона человек.
• Который час?

Обозначение высказываний

A – Сейчас идет дождь.

B – Форточка открыта.

простые высказывания (элементарные)

!

Любое высказывание может быть ложно (0) или истинно (1).

Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) » и «, » или «, » не «, » если … то «, » тогда и только тогда » и др.

A и B

A или не B

если A, то B

не A и B

A тогда и только

тогда, когда B

Сейчас идет дождь и открыта форточка.

Сейчас идет дождь или форточка закрыта.

Если сейчас идет дождь, то форточка открыта.

Сейчас нет дождя и форточка открыта.

Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка.

5

5

Операция НЕ (инверсия)

Если высказывание A истинно, то » не А » ложно, и наоборот.

также: , not A (Паскаль), ! A (Си)

А

не А

0

1

таблица истинности операции НЕ

1

0

Таблица истинности логического выражения Х – это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой комбинации.

Операция И (логическое умножение, конъюнкция)

Высказывание » A и B » истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно.

также: A·B , A  B , A and B (Паскаль), A && B (Си)

A

B

А и B

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

A  B

конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)

Высказывание » A или B » истинно тогда, когда истинно А или B , или оба вместе.

также: A+B , A  B , A or B (Паскаль), A || B (Си)

A

B

А или B

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение

8

8

Операция «исключающее ИЛИ»

Высказывание » A  B » истинно тогда, когда истинно А или B , но не оба одновременно .

также: A xor B (Паскаль), A ^ B (Си)

A

B

А  B

0

0

0

1

0

1

арифметическое сложение, 1+1=2

1

1

0

остаток

1

1

0

сложение по модулю 2: А  B = (A + B) mod 2

9

9

Свойства операции «исключающее ИЛИ»

0

A  A =

( A  B)  B =

A

A  0 =

A  1 =

?

A

A

0

B

0

0

1

1

1

0

А  B

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

10

10

Импликация («если …, то …»)

Высказывание » A  B » истинно, если не исключено, что из А следует B .

A – «Работник хорошо работает».

B – «У работника хорошая зарплата».

A

0

B

А  B

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

11

11

Эквиваленция («тогда и только тогда, …»)

Высказывание » A  B » истинно тогда и только тогда, когда А и B равны.

A

B

0

0

А  B

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

12

12

Базовый набор операций

С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию.

ИЛИ

И

НЕ

базовый набор операций

?

Сколько всего существует логических операции с двумя переменными?

13

13

Логические формулы

Система имеет три датчика и может работать, если два из них исправны.

A – «Датчик № 1 неисправен».

B – «Датчик № 2 неисправен».

C – «Датчик № 3 неисправен».

Аварийный сигнал :

X – «Неисправны два датчика».

X – «Неисправны датчики № 1 и № 2″ или

«Неисправны датчики № 1 и № 3″ или

«Неисправны датчики № 2 и № 3″.

логическая формула

14

14

Составление таблиц истинности

A

B

0

0

A · B

0

1

1

0

1

1

X

0

1

1

0

0

1

2

3

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

Логические выражения могут быть:

• тождественно истинными (всегда 1, тавтология) тождественно ложными (всегда 0, противоречие) вычислимыми (зависят от исходных данных)
• тождественно истинными (всегда 1, тавтология)
• тождественно ложными (всегда 0, противоречие)
• вычислимыми (зависят от исходных данных)

15

15

Составление таблиц истинности

A

B

0

C

0

0

AB

0

0

0

AC

0

1

1

1

BC

0

1

1

X

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

2

3

4

5

6

7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

16

16

Логические основы компьютеров

Тема 2. Диаграммы

Диаграммы Вена (круги Эйлера)

A

A

A

B

B

A · B

A+B

A

A

A

B

B

B

A  B

A  B

A  B

18

18

Диаграмма МХН (Е.М. Федосеев)

Х очу

М огу

4

3

2

6

7

5

1

8

Н адо

!

Логические формулы можно упрощать!

19

19

Логические основы компьютеров

Тема 3. Преобразование логических выражений

Законы алгебры логики

название

для И

двойного отрицания

для ИЛИ

исключения третьего

операции с константами

повторения

поглощения

переместительный

сочетательный

распределительный

правила де Моргана

Упрощение логических выражений

Шаг 1. Заменить операции  на их выражения через И , ИЛИ и НЕ :

Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по формулам де Моргана:

Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение, стараясь применять закон исключения третьего.

Упрощение логических выражений

раскрыли 

формула де Моргана

распределительный

исключения третьего

повторения

поглощения

Логические уравнения

A=1, B=0, C=1

или

!

A=0, B=1, C – любое

2 решения: (0, 1, 0), (0, 1, 1)

Всего 3 решения!

M=1, L=1, N=1,

K – любое

2 решения

K=1, L=1,

M и N – любые

4 решения

K=1, L=1, M=0,

N – любое

2 решения

!

Всего 5 решений!

24

24

Логические основы компьютеров

Тема 4. Синтез логических выражений

Синтез логических выражений

Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 1 .

Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки.

Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат.

A

B

0

0

0

X

1

1

1

1

0

1

0

1

1

распределительный

исключения третьего

исключения третьего

распределительный

Синтез логических выражений (2 способ)

Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 0 .

Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки.

Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат, который равен .

Шаг 4. Сделать инверсию.

A

B

0

X

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

?

Когда удобнее применять 2-ой способ?

27

27

Синтез логических выражений

A

B

0

C

0

0

0

X

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

Синтез логических выражений (2 способ)

A

B

0

C

0

0

0

X

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

Логические основы компьютеров

Тема 5. Логические элементы компьютера

Логические элементы компьютера

значок инверсии

&

1

НЕ

И

ИЛИ

&

1

И-НЕ

ИЛИ-НЕ

31

31

Логические элементы компьютера

Любое логическое выражение можно реализовать на элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ.

И :

НЕ:

&

&

&

&

ИЛИ:

&

&

32

32

Составление схем

последняя операция — ИЛИ

И

&

1

&

&

33

33

Триггер (англ. trigger – защёлка)

Триггер – это логическая схема, способная хранить 1 бит информации (1 или 0). Строится на 2-х элементах ИЛИ-НЕ или на 2-х элементах И-НЕ.

вспомогательный

выход

set, установка

1

S

R

0

Q

0

0

1

1

0

1

режим

1

хранение

обратные связи

0

сброс

1

установка 1

1

1

0

запрещен

0

0

основной

выход

reset, сброс

Полусумматор

Полусумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа.

сумма

A

B

0

0

P

0

1

1

S

0

1

1

Σ

0 0

перенос

0 1

0 1

1 0

&

1

&

?

Схема на 4-х элементах?

&

35

35

Сумматор

Сумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа с переносом из предыдущего разряда.

A

B

0

0

C

0

P

0

0

0

1

0

0

1

S

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

Σ

сумма

перенос

перенос

Многоразрядный сумматор

это логическая схема, способная складывать два n-разрядных двоичных числа.

перенос

Σ

Σ

Σ

перенос

37

37

Логические основы компьютеров

Тема 6. Логические задачи

Метод рассуждений

Задача 1. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты договора, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: «Чей именно проект был принят?», министры дали такие ответы:

Россия — «Проект не наш (1), проект не США (2)»;

США — «Проект не России (1), проект Китая (2)»;

Китай — «Проект не наш (1), проект России (2)».

Один из них оба раза говорил правду; второй – оба раза говорил неправду, третий один раз сказал правду, а другой раз — неправду. Кто что сказал?

проект России (?)

проект Китая (?)

проект США (?)

Россия

Россия

Россия

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

США

США

США

Китай

Китай

Китай

–

–

+

+

+

+

+

–

–

–

+

+

+

+

Табличный метод

Задача 2. Дочерей Василия Лоханкина зовут Даша, Анфиса и Лариса. У них разные профессии и они живут в разных городах: одна в Ростове, вторая – в Париже и третья – в Москве. Известно, что

• Даша живет не в Париже, а Лариса – не в Ростове, парижанка – не актриса, в Ростове живет певица, Лариса – не балерина.
• Даша живет не в Париже, а Лариса – не в Ростове,
• парижанка – не актриса,
• в Ростове живет певица,
• Лариса – не балерина.

• Много вариантов.
• Есть точные данные.

Париж

Ростов

Москва

Певица

Даша

Балерина

Анфиса

Актриса

Лариса

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

!

В каждой строке и в каждом столбце может быть только одна единица!

40

40

Задача Эйнштейна

Условие: Есть 5 домов разного цвета, стоящие в ряд. В каждом доме живет по одному человеку отличной от другого национальности. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, курит определенную марку сигарет и держит животное. Никто из пяти человек не пьет одинаковые напитки, не курит одинаковые сигареты и не держит одинаковых животных.

Известно, что:

• Англичанин живет в красном доме. Швед держит собаку. Датчанин пьет чай. Зеленой дом стоит слева от белого. Жилец зеленого дома пьет кофе. Человек, который курит Pallmall , держит птицу. Жилец среднего дома пьет молоко. Жилец из желтого дома курит Dunhill . Норвежец живет в первом доме. Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill . Курильщик Winfield пьет пиво. Норвежец живет около голубого дома. Немец курит Rothmans . Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду.
• Англичанин живет в красном доме.
• Швед держит собаку.
• Датчанин пьет чай.
• Зеленой дом стоит слева от белого.
• Жилец зеленого дома пьет кофе.
• Человек, который курит Pallmall , держит птицу.
• Жилец среднего дома пьет молоко.
• Жилец из желтого дома курит Dunhill .
• Норвежец живет в первом доме.
• Курильщик Marlboro живет около того, кто держит кошку.
• Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто курит Dunhill .
• Курильщик Winfield пьет пиво.
• Норвежец живет около голубого дома.
• Немец курит Rothmans .
• Курильщик Marlboro живет по соседству с человеком, который пьет воду.

Вопрос: У кого живет рыба?

40

40

Использование алгебры логики

Задача 3. Следующие два высказывания истинны:

1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет.

2. В море вышел корабль B или корабль C , но не оба вместе.

• 1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет. 2. В море вышел корабль B или корабль C , но не оба вместе.

Определить, какие корабли вышли в море.

Решение:

… если корабль A вышел в море, то корабль C – нет.

1. Неверно, что если корабль A вышел в море, то корабль C – нет.

2. В море вышел корабль B или корабль C , но не оба вместе.

42

42

Использование алгебры логики

Задача 4. Когда сломался компьютер, его хозяин сказал «Память не могла выйти из строя». Его сын предположил, что сгорел процессор, а винчестер исправен. Мастер по ремонту сказал, что с процессором все в порядке, а память неисправна. В результате оказалось, что двое из них сказали все верно, а третий – все неверно. Что же сломалось?

Решение:

A – неисправен процессор, B – память, C – винчестер

сын:

мастер:

хозяин:

Если ошибся хозяин:

Если ошибся сын:

Если ошибся мастер:

!

Несколько решений!

В общем случае:

43

multiurok.ru

Презентация на тему: Упрощение логических выражений

Шаг 1. Заменить операцию на её выражение через

И, ИЛИи НЕ:

A B A B A B

Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по формулам де Моргана:

A B A B, A B A B

Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение, стараясь применять закон исключения третьего.

Синтез логических выражений

Шаг 1. Отметить строки в таблице, гдеX = 1.

Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки.

Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат.

распределительный

X

A B

A

B

A B

A) (

B)

B

A

A B (

A

A

A

исключения

распределительный

исключения

третьего

третьего

Синтез логических выражений (2 способ)

A	B	X
0	0	1
0	1	1
1	0	0	A B
1	1	1

Шаг 1. Отметить строки в таблице, гдеX = 0.

Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки.

Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат, который равенX .

Шаг 4. Сделать инверсию.

X A B X A B A B

? Когда удобнее применять2-ойспособ?

Синтез логических выражений

A	B	C	X
0	0	0	1	A B C
0	0	1	1	A B C
0	1	0	1	A B C
0	1	1	1	A B C
1	0	0	0
1	0	1	1	A B C
1	1	0	0
1	1	1	1	A B C

XA B C A B C

A B C A B C

A B C A B C

A B (C C)

A B (C C)

A C (B B)

A B A B A C

A (B B) A C

A A C

(A A) (A C) A C

Синтез логических выражений (2 способ)

	X	X A B C A B C
	1	A C (B B)
	1	A C
	1	X A C A C
	1
	0	A B C
	1
	0	A B C
	1

Логические элементы компьютера

значок инверсии

A		A B	A	1	A B
		B	B
	НЕ	И		ИЛИ

	A	& A B	A	1	A B
	B		B
		И-НЕ		ИЛИ-НЕ

Логические элементы компьютера

Любое логическое выражение можно реализовать на элементах И-НЕ илиИЛИ-НЕ.

НЕ: A A A A A			И: A B A B
A	& A	A	& A B&	A B
		B

A

&A B

B

Составление схем

последняя операция — ИЛИ

X A B A B C

И

&

A

1

X

A B C

&ACB &

Триггер (англ. trigger – защёлка)

Триггер – это логическая схема, способная хранить 1

бит информации (1 или 0). Строится на 2-хэлементахИЛИ-НЕ или на2-хэлементахИ-НЕ.

set, установка

S

1

1

R

reset, сброс

вспомогательный

выход

Q	S R Q			Q
	0	0	Q	Q
обратные связи	0	1	0	1
Q	1	0	1	0
основной	1	1	0	0
выход

режим

хранение

сброс

установка 1

запрещен

Полусумматор

Полусумматор – это логическая схема, способная складывать два одноразрядных двоичных числа.

A	Σ	S сумма			A	B	P	S
		P перенос			0	0	0	0
B
					0	1	0	1
P A B					1	0	0	1
S A B A B A B					1	1	1	0
A
			& A B
		B			1	S A B A B
		A	& A B
								Схема на 4-х
B			&	A B		P	? элементах?

studfiles.net

31. Синтез логических схем по логическим выражениям в булевом базисе.

Логические схемы строятся на основе логических элементов, набор которых определяется заданным логическим базисом. Для базиса Буля в качестве логических элементов используются элементы, реализующие базовые логические функции И, ИЛИ, НЕ, которые имеют приведенные на рис. 2.2-1 обозначения. При синтезе схемы по логическому выражению, составляющие логические операции представляются в виде соответствующих логических элементов, связи между которыми определяются последовательностью выполнения логических операций в заданном выражении. Пример: Синтезировать логическую схему в базисе И, ИЛИ, НЕ, реализующую логическое выражение:

Рис. 2.2‑1

Решение

Входными сигналами синтезируемой схемы являются x1, x2, x3, а выходным — y1.

Реализацию заданного выражения в виде логической схемы можно начать или с последней операции, или с первой.

Последней операцией в заданном выражении является операция логического сложения двух операндов

y= ( x1x2 +x1x3 +x2 x3 )(x1 +x2 +x3 ) и х1 x2 x3,

поэтому для её реализации требуется элемент ИЛИ(1) с двумя входами, на выходе которого будет сформирован сигнал, соответствующий y1, если на его входы будут поданы эти два слагаемые (например, первое слагаемое на второй вход, а второе слагаемое на первый вход).

На первый вход ИЛИ(1) подается логическое произведение х1 x2 x3, для реализации которого необходимо использовать логический элемент И с тремя входами, на которые подаются входные переменные х1, x2, x3. Аналогичным образом рассматривается последовательность формирования выражения

y= ( x1x2 +x1x3 +x2 x3 )(x1 +x2 +x3 ),

которое соответствует сигналу, подаваемому на второй вход элемента ИЛИ(1). В результате синтезируется схема для заданного выражения, приведенная на рис.2.2-2 .

32. Минимизация логических выражений методом Квайна.

В качестве исходной формы представления логического выражения используется СДНФ. Если подлежащее минимизации выражение имеет другую форму, то приведение к СДНФ осуществляется за счет открытия скобок, избавления от отрицаний логических выражений, более сложных чем отрицание переменной (используется правило де Моргана).

Метод Квайна выполняется в два этапа.

Первый этап имеет своей целью получение тупиковой формы, представляющей собой дизъюнкцию, в качестве слагаемых которой используются конъюнкции (каждая из них не склеивается ни с одной другой конъюнкцией, входящей в это выражение). Такие конъюнкции называются простыми импликантами.

Данный этап выполняется за счет реализации отдельных шагов. На каждом шаге на основании выражения, полученного на предыдущем шаге, выполняются все возможные операции склеивания для пар имеющихся конъюнкций. Каждый шаг понижает ранг исходных конъюнкций на единицу. Шаги повторяются до получения тупиковой формы.

Второй этап имеет своей целью устранение из тупиковой формы всех избыточных простых импликант, что дает в результате минимальное логическое выражение.

Над конъюнкциями проставлены их номера; в скобках под каждой конъюнкцией (i–j) указывают, что данная конъюнкция является результатом склеивания i-й и j-й конъюнкций исходного выражения.

К результатам склеивания логически добавлен ни с чем не склеенный пятый член исходного выражения; несколько одинаковых конъюнкций представляются одной конъюнкцией.

Последнее выражение получено из предыдущего посредством удаления повторяющихся членов.

2—й этап:

На основании исходного выражения и полученной тупиковой формы составляется и заполняется импликантная таблица (табл.2.7).

Таблица 2.7

Импликантная таблица

	_ _ х1х2х3х4	_ _ х1х2х3х4	_ _ х1х2х3х4	_ _ х1х2х3х4	_ _ _ х1х2х3х4	_ х1х2х3х4	_ ­_ х1х2х3х4	_ х1х2х3х4	_ х1х2х3х4	_ _ _ х1х2х3х4
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
_ х2х3	*						*		*	*
_ х2х3		*	*		*	*
_ х2х4		*		*	*			*
_ х3х4				*			*	*		*
_ _ х1х2х3			*		*

Колонки приведенной таблицы помечены конституентами единицы, имеющимися в исходном логическом выражении.

Строки таблицы помечены простыми импликантами полученной тупиковой формы.

Звездочками в каждой строке отмечены те конституенты единицы, которые покрываются соответствующей простой импликантой (практически отмечаются те конституенты единицы, которые включают простую импликанту как свою составную часть)

studfiles.net