Рубрика: Школьная жизнь

Окружность определение – МАТВОКС ⋆ Определение окружности и ее элементов ⋆ Энциклопедия математики

alexxlab / / Школьная жизнь

Что такое окружность | Треугольники

Как и треугольники, окружность является одной из основных геометрических фигур. Что же такое окружность?

Определение.

точка О — центр окружности

Окружность — это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки.

Эта точка называется центром окружности.

 

 

 

OA — радиус окружности

 

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой, называется радиусом окружности.

 

 

 

Радиус обычно обозначают R или r.

Расстояние от центра окружности до любой ее точки равно длине радиуса: OA=R.

 

MK, FK — хорды окружности

 

Отрезок, соединяющий любые две точки окружности, называется хордой окружности.

 

 

 

BC — диаметр окружности

 

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Центр окружности является серединой любого диаметра.

 

 

Диаметр окружности обычно обозначают d: BC=d.

Диаметр является наибольшей из всех хорд окружности.

Диаметр окружности в два раза больше длины ее радиуса: d=2R.

 

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из таких частей называется дуга окружности.

Если назвать дугу окружности двумя буквами — CD — непонятно, о какой из частей идет речь.

Добавив к названию дуги третью букву, определяем дугу однозначным образом:

 дуга CFD или дуга CHD.

www.treugolniki.ru

ОКРУЖНОСТЬ — это… Что такое ОКРУЖНОСТЬ?

  • Окружность — и её центр Окружность  геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом. Содержание …   Википедия

  • окружность — кольцо, эпицикл, кривая, местность, околоток, окрестность, деферент, круг, округа Словарь русских синонимов. окружность 1. см. круг. 2. см. окрестность …   Словарь синонимов

  • ОКРУЖНОСТЬ — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от ее центра O. (рис.). Расстояние R каждой точки окружности до ее центра называется радиусом. Прямая АВ, соединяющая любые две точки окружности, называется ее хордой, хорда CD,… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ОКРУЖНОСТЬ — ОКРУЖНОСТЬ, расстояние, измеряемое по краю плоской геометрической фигуры, именуемой кругом, для которого это расстояние определяется как 2pr, где r радиус. Изредка этот термин применяют также к другим фигурам …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • ОКРУЖНОСТЬ — ОКРУЖНОСТЬ, окружности, жен. 1. Замкнутая кривая, все точки которой равно удалены от точки, называемой центром; замкнутая кривая, ограничивающая плоскость круга (мат.). 2. Линия измерения кругообразных поверхностей и предметов. Яма метров десяти… …   Толковый словарь Ушакова

  • ОКРУЖНОСТЬ — ОКРУЖНОСТЬ, и, жен. 1. В математике: замкнутая на плоскости кривая, все точки к рой равно удалены от центра. 2. Линия измерения округлых, кругообразных поверхностей и предметов. О. водоёма. Воронка пяти метров в окружности. 3. Окружающая… …   Толковый словарь Ожегова

  • Окружность — кривая линия, все точки которой находятся на одинаковомрасстоянии от одной внутренней точки, называемой центром. Прямые,проведенный из центра к точкам О., называются paдиуcaми. Прямая,проходящая чрез две точки О. и ограниченная этими точками,… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

  • окружность — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN round …   Справочник технического переводчика

  • ОКРУЖНОСТЬ — замкнутая плоская кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки О, лежащей в плоскости этой кривой и называемой её центром. Расстояние от любой точки окружности до её центра измеряется отрезком, называемым… …   Большая политехническая энциклопедия

  • окружность — и; ж. 1. Матем. Замкнутая на плоскости кривая, все точки которой равно удалены от центра. 2. Линия измерения округлых, кругообразных поверхностей и предметов. О. озера. Воронка трёх метров в окружности. 3. Устар. Окружающая местность, округа. ◁ В …   Энциклопедический словарь

    • dic.academic.ru

    Окружность

    Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

    Данная точка (O) называется центром окружности.
    Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
    Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Центр окружности является серединой любого диаметра.
    Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
    Длина единичной полуокружности обозначается через π.
    Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º.
    Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
    Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора.
    Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
    Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.

    Взаимное расположение прямой и окружности

    1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d ), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
    2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
    3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
      4. .

    Центральные и вписанные углы

    Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности.
    Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

    Теорема о вписанном угле

    Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    • Следствие 1.
      Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    • Следствие 2.
      Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

    Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

    Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

    Основные формулы

    • Длина окружности:
    C = 2∙π∙R
    • Длина дуги окружности:
    R = С/(2∙π) = D/2 D = C/π = 2∙R
    • Длина дуги окружности:
    l = (π∙R) / 180∙α,
    где α — градусная мера длины дуги окружности)
    • Площадь круга:
    S = π∙R2
    • Площадь кругового сектора:
    S = ((π∙R2) / 360)∙α

    Уравнение окружности

    • В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (xо;yо) имеет вид:
    (x — xо)2 + (y — yо)2 = r2
    • Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:
    x2 + y2 = r2

    Другие заметки по алгебре и геометрии

    edu.glavsprav.ru

    Все свойства окружности

    Геометрия. Планиметрия

    Окружность и её свойства

    к содержанию справочника

    1. Длина окружности и площадь круга

      (длина окружности)

      (площадь круга)

      (диаметр)

      (радиус окружности)

      (хорда окружности)

    2. Свойство хорд

    3. Свойство касательной и секущей

    4. Свойство секущих

    5. Свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу


      Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны

    6. Свойство вписанного и центрального углов, опирающихся на одну дугу


      Вписанный угол в два раза меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу

    7. Четырехугольник, вписанный в окружность


      Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180о

      Если сумма двух противолежащих углов четырехугольника равна 180о, то около этого четырехугольника можно описать окружность

    смотрите еще Свойства произвольного треугольника

     

    Метки окружность. Смотреть запись.

    www.itmathrepetitor.ru

    Свойства окружности, с примерами

    Отрезок , соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром () окружности.

    Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

    Окружность можно описать вокруг многоугольника и вписать в многоугольник.

    Центральный угол окружности – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

    Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

    Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

    Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.

    Длина окружности вычисляется по формуле

       

    Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.

    Примеры решения задач

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Формула определения длины окружности

    Окружность

    Окружность (C), её центр (O), радиус (R) и диаметр (D)

    Окру́жность — замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки[1]. Эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка. Внутренность окружности называется кругом; в зависимости от подхода, круг может включать граничные точки (то есть окружность) или не включать их.

    Построение окружности с помощью циркуля

    Практическое построение окружности производится с помощью циркуля. Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, далее этот случай исключается из рассмотрения, если не оговорено иное.

    Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.

    Далее всюду буква R {\displaystyle R} обозначает радиус окружности.

    Хорды, дуги и касательные

    Окружность разбивает свою плоскость на две части[2] — конечную внутреннюю (круг) и бесконечную внешнюю, состоящую из точек плоскости, удалённых от центра более чем на R {\displaystyle R} .

    Прямая, пересекающая окружность в двух различных точках, называется секущей. Отрезок секущей, расположенный внутри окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром; тот же термин используется для его длины. Диаметр вдвое больше радиуса: D = 2 R , {\displaystyle D=2R,} он делит окружность и круг на две равные части и поэтому является их осью симметрии. Диаметр больше любой другой хорды[3].

    Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами круга. Два различных радиуса тоже разбивают круг на две части, называемые секторами круга (см. рисунки)[3].

    Любые две не совпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

    Для заданной окружности имеют место следующие свойства[3].

    • Хорды, равноотстоящие от центра, равны. Обратно, если две хорды равны по длине, то они одинаково удалены от центра.
    • Равным хордам соответствуют равные дуги, и наоборот.
    • При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну из них, равно произведению отрезков другой.
    Касательная к окружности

    Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу (и диаметру), проведенному в точке касания. То есть радиус является одновременно и нормалью к окружности[4].

    Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

    Углы

    • Вписанный угол θ равен половине величины центрального угла 2θ, опирающегося на ту же самую дугу (розового цвета)

    • К расчёту длины дуги и хорды

    Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Централь

    zna4enie.ru

    Ответе плиз. Что такое определение? Дайте определение окружности, что такое центр , радиус , хорда и диаметр окружности

    ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

    Всё есть в учебнике «Геометрия 7-9».

    НАТАЛЬЯ СУЧКА

    ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

    Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от данной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности) Радиус — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Кругом называется геометрическое место точек удаленных от данной точки (центра круга) неболее чем на заданное расстояние (радиус круга) Секущая — это прямая, имеющая с окружностью две общие точки (на рисунке 1 показана секущая l ). Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется хордой (на рисунке 1 показана хорда АВ). Итак, Хордой называется отрезок соединяющий две произвольные (несовпадающие) точки окружности. Части, на которые хорда разбивает круг , называются сегментами. В случае, когда хорда совпадает с диаметром, эти сегменты превращаются в полукруги. Диаметром называют хорду, проходящую через центр окружности. Сектором круга называют часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов

    в учебнике написано

    ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

    ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

    ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

    ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

    Определение — объяснение понятия, опирающееся на начальные понятия (например, понятие «точка») или на определенные ранее. Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной точки плоскости. Центр окружности — точка плоскости, равноудаленная от всех точек окружности. Радиус окружности — равные отрезки, соединяющие центр с точками окружности. Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности. Диаметр окружности — хорда, проходящая через центр.

    ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек, равноудалённых от одной точки, называемой ЦЕНТРОМ. РАДИУС — равные отрезки, соединяющие центр окружности с точками окружности. ХОРДА — отрезок прямой, проходящей через две точки окружности, лежащий внутри окружности. ДИАМЕТР — хорда, проходящая через центр окружности.

    touch.otvet.mail.ru

    10К сколько это – Почему тысячи помечаются буквой «К»? 5К, 10К.. Ведь не значит это «Косари»?

    alexxlab / / Школьная жизнь

    10 кОм это сколько Ом? 10000 Ом?

    Ага, кило значить тысяча

    Ну, да усё правильно посчитала)

    Девонька! Это проходят, кажется еще в 5 классе. Ну конечно 10 * 100= 1000.

    учить ты физику не любишь, взглянуть в шпоргалки норовишь, ты запиши а то забудешь, что кило тысяча а не шишь.

    1к или 1k или 1kg или касарь или кило …= это 1000 единиц (1 множим на 1000 результат 1000, пример 10k*1000=10.000 единиц)

    touch.otvet.mail.ru

    Ответы@Mail.Ru: 200к — это сколько в цифрах? И можете пояснить как расшифровывается 1к, 10к, 100к? А то непонятно…

    200к — это 200.000 тысяч.

    к-тысяча, кк-миллион-ккк-миллиарад и т. д. 200к-200000

    к-обозначение 1000, то есть 10к 10000, 1кк =1000000, в мморпг пользуются эти обозначением

    К — тысяча. не знаю, почему, но это так. 200к это 200000 (двести тысяч)

    К-косарь-тысяча

    К это кило))) Вы чего люди)

    k — это приставка «кило», соответствующая множителю «1000» по международной системе «си». Цифра с приставкой k умножается на соответствующий приставке множитель. Таким образом, 1k это 1*1000=1000; 5k это 5*1000=5000; 10,8k это 10,8*1000=10800.

    200 КУСКОВ-Т. Е. ТЫСЯЧ?

    touch.otvet.mail.ru

    10 Долларов в Рублях

     

     

    		  RUBРоссийский рубль65.2340652.34 
     

     

    		  USDДоллар США1.000010.00 
     

     

    		  EURЕвро0.89038.90 
     

     

    		  GBPФунт Стерлингов Великобритании0.78787.88 
     

     

    		  AUDАвстралийский доллар1.432714.33 
     

     

    		  AZNАзербайджанский манат1.696516.97 
     

     

    		  AMDАрмянский драм479.24954 792.49 
     

     

    		  BGNБолгарский лев1.740217.40 
     

     

    		  BRLБразильский реал3.881138.81 
     

     

    		  HUFВенгерский форинт285.93972 859.40 
     

     

    		  DKKДатская крона6.645166.45 
     

     

    		  INRИндийская рупия69.2450692.45 
     

     

    		  KZTКазахстанский тенге384.72063 847.21 
     

     

    		  CADКанадский доллар1.341013.41 
     

     

    		  KGSКиргизский сом70.0000700.00 
     

     

    		  CNYКитайский юань6.916569.16 
     

     

    		  MDLМолдавский лей18.1250181.25 
     

     

    		  RONНовый румынский лей4.199541.99 
     

     

    		  TMTНовый туркменский манат3.495034.95 
     

     

    		  NOKНорвежская крона8.719087.19 
     

     

    		  PLNПольский злотый3.805438.05 
     

     

    		  XDRСДР (спец. права заимствования)0.72257.22 
     

     

    		  SGDСингапурский доллар1.365213.65 
     

     

    		  TJSТаджикский сомони9.440694.41 
     

     

    		  TRYТурецкая лира5.766057.66 
     

     

    		  UZSУзбекский сум8512.565185 125.65 
     

     

    		  UAHУкраинская гривна26.7726267.73 
     

     

    		  CZKЧешская крона22.8310228.31 
     

     

    		  SEKШведская крона9.429594.29 
     

     

    		  CHFШвейцарский франк0.99439.94 
     

     

    		  ZARЮжноафриканский ранд14.8864148.86 
     

     

    		  KRWЮжнокорейская вона1180.199611 802.00 
     

     

    		  JPYЯпонская иена108.21511 082.15 
     

     

    		  BYNBYN2.098720.99 
     

     

    		  HKDHKD7.840278.40 

    calculator888.ru

    10 к — Что значит буква «К» (10К, 100К.. ). Что это тысяча, я понимаю.. но вот вопрос: — 22 ответа

    

    10 к это сколько

    В разделе Лингвистика на вопрос Что значит буква «К» (10К, 100К.. ). Что это тысяча, я понимаю.. но вот вопрос: заданный автором Виктория Александрова- лучший ответ это В школе физика была? K- кило, kilo приставка. Означает 10^3, то есть тысяча

    Ответ от 22 ответа[гуру]

    Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Что значит буква «К» (10К, 100К.. ). Что это тысяча, я понимаю.. но вот вопрос:

    Ответ от Super Puper[гуру]
    Может быть чем угодно, хоть кулоном, хоть кирпичём. Как договоритесь.

    Ответ от Niemand[гуру]
    Это вы имеете в виду байты, что ли?
    Если так, то «К» здесь — это не «кило» (1000), а 1024 (2 в 10-й степени). Эта единица используется только для подсчета байтов. И произносится просто «ка».
    10К (произносится «десять ка»), или 10Кб (десять ка-байт) — это не 10 килобайт, а 10*1024 байта.
    Следующая единица — М (произносится «эм»). Это 1024К.

    Ответ от Дмитрий Гатиятулин[гуру]
    Первое: 10К — это температура вещества по шкале Кельвина. 1К равен 1С, но с той лишь разницей, что температура по Кельвину никогда не бывает отрицательной, как по Цельсию. Причина 0К — температура абсолютного нуля (-273С) , тогда как 0С = 273К.
    Второе: «к» строчная — обозначение «кило» к какой-либо единице измерения с целью сокращения количества трех нолей в значении, н-р, 1000 Вт = 1 кВт

    Ответ от Дима Как[гуру]
    Касарь мы называем XD

    Ответ от Derzhirukishire[активный]
    Зоновский жаргон. КАСАРЕЙ !!

    Ответ от Ёекрет Секретный[активный]
    хах сколько домыслов)) К пошло из игры онлайномов мморпг Ла2 ланэдж2

    Ответ от Паша шор[новичек]
    Косарь или касарь (как правильно)

    Ответ от Влад Брусянин[новичек]
    Екатерина 1 месяц назад
    Ученик (185)
    А не проще спросить было в какой области вы это видели: медицине, технике или финансах. Так было бы легче получить ответ
    «…ВОТ ОТВЕТ ПРОСТОЙ, ОН НИКУДА НЕ ДЕНЕТСЯ…»
    НА ФОТО В Вк, ОБЫЧНО ПИШУТ

    Ответ от Екатерина[новичек]
    А не проще спросить было в какой области вы это видели: медицине, технике или финансах. Так было бы легче получить ответ

    Ответ от YouTube House[новичек]
    компот драгонис

    Ответ от Dronich[новичек]
    Сука сайт гениев. И не одного нормального ответа откуда это пошло и где впервые это стали использовать.
    Мудаки.

    Ответ от Favourite[гуру]
    10 кусков? хдд пошло это всё, скорее всего, от байт/килобайт, компьютеризация общества и тп

    Ответ от Mainherzbrent Zhd[активный]
    Кельвин (но не Кляйн.)

    Ответ от Matrix Element[гуру]
    «Кило» — тысяча. Латынь. Англоязычные тоже бывает используют букву К вместо 1000

    Ответ от Капитан Гугл[гуру]
    Десятичная приставка кило-, как в килограмм, километр и т. д.


    Ответ от 2 ответа[гуру]

    Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

    Fairchild Republic A-10 Thunderbolt II на Википедии
    Посмотрите статью на википедии про Fairchild Republic A-10 Thunderbolt II

    K на Википедии
    Посмотрите статью на википедии про K

    К-10С на Википедии
    Посмотрите статью на википедии про К-10С

    Стронцианит на Википедии
    Посмотрите статью на википедии про Стронцианит

     

    Ответить на вопрос:

    22oa.ru

    Ответы@Mail.Ru: 1к рублей. 1к рублей

    к — приставка «кило», что составляет одну тысячу.

    я тоже скажу, что приставка К — тысяча, кк — миллион, ккк — миллиард! Ура, товарищи!

    Это означает — тысяча.

    к-тысяча, кк-милион, И т. д P.S 1 буква обозначает три нуля

    должен был косарь отдать

    А что означает к примеру $1.00

    Бля как все куёво учились буэээ… Т. — тысяча; Мл — миллион; А у вас 1К =1000г. А 1КК=1000кг. Так вы подразумеваете? Или у вас 1К… 1КК это отдельные системы измерения?!

    к-тыщя. кк-миллион. ккк-милиард. кккк-трилион. ккккк-квадрилион. квинтилион сексилион септилион октилион кватрогинтилион и тд

    м- миллион, B-миллиард, T-триллион, потом aa

    touch.otvet.mail.ru

    Ответы@Mail.Ru: 10КК-это сколько? Напишите пожалуйста.

    Добрый вечер Денис) 349423 Внимание! Здесь девушки которые хотят С*кса! Без обязательств. Конфиденциально и безопасно. Жми ! <a rel=»nofollow» href=»http://vk.cc/5lnAMM» target=»_blank»>Секс знакомства в твоем городе</a>

    1к — ОДИН КОСАРЬ.

    10000000 10 косарей

    10 кк -10000000 10 ккк — 10 ку клукс кланов

    Не знаю… Попробуй классные онлайн игры, я в них всё время зависаю — Клиентские: <a rel=»nofollow» href=»http://vk.cc/5okq4n» target=»_blank» >Karos</a>, <a rel=»nofollow» href=»http://vk.cc/5okrkx» target=»_blank» >Star Conflict</a>, <a rel=»nofollow» href=»http://vk.cc/5okqHS» target=»_blank» >War Thunder</a>. Браузерные: <a rel=»nofollow» href=»http://vk.cc/5okwcT» target=»_blank» >Техномагия</a>, <a rel=»nofollow» href=»http://vk.cc/5oku3b» target=»_blank» >Войны Престолов</a>, <a rel=»nofollow» href=»http://vk.cc/5okvkH» target=»_blank» >Shadowbound</a>.

    должно быть 1кк

    10к 10тысячь 10кк 10милионов

    touch.otvet.mail.ru

    Разложение в степенной ряд функции – .

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Тема 3. Разложение функций в степенной ряд

    3.1. Постановка задачи. Ряд Тейлора

    В теории функциональных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функции в ряд.

    Таким образом, ставится задача: по заданной функции требуется найти такой степенной ряд

    ,

    который на некотором интервале сходился и его сумма была равна , т.е.

    = ..

    Эта задача называется задачей разложения функции в степенной ряд.

    Необходимым условием разложимости функции в степенной ряд является её дифференцируемость бесконечное число раз – это следует из свойств сходящихся степенных рядов. Такое условие выполняется, как правило, для элементарных функций в их области определения.

    Итак, предположим, что функция имеет производные любого порядка. Можно ли её разложить в степенной ряд, если можно, то как найти этот ряд? Проще решается вторая часть задачи, с неё и начнем.

    Допустим, что функциюможно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в интервале, содержащем точкух0:

    = .. (*)

    где а0,а1,а2,,…,ап,… – неопределенные (пока) коэффициенты.

    Положим в равенстве (*) значение х = х0, тогда получим

    .

    Продифференцируем степенной ряд (*) почленно

    = ..

    и полагая здесь х = х0, получим

    .

    При следующем дифференцировании получим ряд

    = ..

    полагая х = х0, получим, откуда .

    После п -кратного дифференцирования получим

    Полагая в последнем равенстве х = х0, получим , откуда

    Итак, коэффициенты найдены

    , , , …, ,….,

    подставляя которые в ряд (*), получим

    Полученный ряд называется рядом Тейлора для функции .

    Таким образом, мы установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (х — х0), то это разложение единственно и полученный ряд обязательно является рядом Тейлора.

    Заметим, что ряд Тейлора можно получить для любой функции, имеющей производные любого порядка в точке х = х0. Но это еще не означает, что между функцией и полученным рядом можно поставить знак равенства, т.е. что сумма ряда равна исходной функции. Во-первых, такое равенство может иметь смысл только в области сходимости, а полученный для функции ряд Тейлора может и расходиться, во-вторых, если ряд Тейлора будет сходиться, то его сумма может не совпадать с исходной функцией.

    3.2. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

    Сформулируем утверждение, с помощью которого будет решена поставленная задача.

    Если функция в некоторой окрестности точки х0 имеет производные до (n+1)-го порядка включительно, то в этой окрестности имеет место формула Тейлора

    где Rn(х)-остаточный член формулы Тейлора – имеет вид (форма Лагранжа)

    где точка ξ лежит между х и х0.

    Отметим, что между рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется различие: формула Тейлора представляет собой конечную сумму, т.е. п — фиксированное число.

    Напомним, что сумма ряда S(x) может быть определена как предел функциональной последовательности частичных сумм Sп(x) на некотором промежутке Х:

    .

    Согласно этому, разложить функцию в ряд Тейлора означает найти такой ряд, что для любого х X

    Запишем формулу Тейлора в виде, где

    .

    Заметим, что определяет ту ошибку, которую мы получаем, заменяй функцию f(x) многочленом Sn(x).

    Если , то,т.е. функция разлагается в ряд Тейлора. И наоборот, если , то.

    Тем самым мы доказали критерий разложимости функции в ряд Тейлора.

    Для того, чтобы в некотором промежутке функция f(х) разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке , где Rn(x) — остаточный член ряда Тейлора.

    С помощью сформулированного критерия можно получить достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

    Если в некоторой окрестности точки х0 абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом М ≥ 0, т.е.

    , то в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора.

    Из вышеизложенного следует алгоритм разложения функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х0:

    1. Находим производные функции f(x):

    f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f(n) (x),…

    2. Вычисляем значение функции и значения её производных в точке х0

    f(x0), f’(x0), f”(x0), f’”(x0), f(n) (x0),…

    3. Формально записываем ряд Тейлора и находим область сходимости полученного степенного ряда.

    4. Проверяем выполнение достаточных условий, т.е. устанавливаем, для каких х из области сходимости, остаточный член Rn(x) стремится к нулю при или .

    Разложение функций в ряд Тейлора по данному алгоритму называют разложением функции в ряд Тейлора по определению или непосредственным разложением.

    studfiles.net

    Разложение функций в степенные ряды

    Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

    ,

    где rn – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

    , где число x заключено между х и а.

    Если для некоторого значения х rn®0 при n®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора:

    Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:

    1) она имеет производные всех порядков;

    2) построенный ряд сходится в этой точке.

     

    При а=0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена:

     

    Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=2x.

    Решение. Найдем значения функции и ее производных при х=0

    f(x) = 2x, f(0) = 20=1;

    f¢(x) = 2xln2, f¢(0) = 20 ln2= ln2;

    f¢¢(x) = 2x ln22, f¢¢(0) = 20 ln22= ln22;

    …

    f(n)(x) = 2x lnn2, f(n)(0) = 20 lnn2= lnn2.

    Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

    Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥<x<+¥.

     

    Пример 2. Написать ряд Тейлора по степеням (х+4) для функции f(x)=ex.

    Решение. Находим производные функции ex и их значения в точке х=-4.

    f(x) = еx, f(-4) = е-4;

    f¢(x) = еx, f¢(-4) = е-4;

    f¢¢(x) = еx, f¢¢(-4) = е-4;

    …

    f(n)(x) = еx, f(n)( -4) = е-4.

    Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

    Данное разложение также справедливо для -¥<x<+¥.

     

    Пример 3. Разложить функцию f(x)=lnx в ряд по степеням (х-1),

    ( т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х=1).

    Решение. Находим производные данной функции.

    …

    Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

    С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при

    ½х-1½<1. Действительно,

    Ряд сходится, если ½х-1½<1, т.е. при 0<x<2. При х=2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

     

    Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х=0) для некоторых элементарных функций:

    (1) ,

    (2) ,

    (3) ,

    (4) ,

    (5) .

    (последнее разложение называют биномиальным рядом)

     

    Пример 4. Разложить в степенной ряд функцию

    Решение. В разложении (1) заменяем х на –х2, получаем:

    .

     

    Пример 5. Разложить в ряд Маклорена функцию

    Решение. Имеем

    Пользуясь формулой (4), можем записать:

    ;

    подставляя вместо х в формулу –х, получим:

    Отсюда находим:

    Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим

    Этот ряд сходится в интервале

    (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

     

    Замечание.

    Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а)m, где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t=х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

    Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

     

    Пример 6. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х=3.

    Решение. Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х=3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):

    Полученный ряд сходится при или –3<x-3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

     

    Пример 7. Написать ряд Тейлора по степеням (х-1) функции .

    Решение.

    Ряд сходится при , или -2 < x £ 5.

     

    Пример 8. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x=2.

    Решение. Сделаем замену t=х-2:

    .

    Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим , получим:

    Полученный ряд сходится к заданной функции при , т.е. при .

    Таким образом,

     

    Решить: Разложить заданную функцию в ряд:

    A 1) по степеням х 2) по степеням х

    3) по степеням х 4) по степеням х

    5) по степеням (х+1)6) по степеням (х-2)

    7) по степ. х 8) в ряд Маклорена

    9) в ряд Маклорена 10) в ряд Маклорена

     


    

    infopedia.su

    Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения

    Лекция 6. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Применение степенных рядов.

     

    В предыдущих лекциях рассматривались степенные ряды, для которых в пределах области равномерной сходимости сумма ряда s(x) представляет собой непрерывную и бесконечно дифференцируемую функцию от х. Теперь поставим обратную задачу: найти степенной ряд, суммой которого является данная функция.

    Определение 6.1. Представление функции в виде

                                                                      (6.1)

    называется ее разложением в степенной ряд.

     

    Теорема 6.1. Если функция  f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

    1. функция f имеет на интервале (x0 – R , x0 + R) производные всех порядков, которые можно найти почленным дифференцированием ряда (6.1):                                                                    (6.2) 
    2.                                     (6.3)
    3. ряды (6.1), (6.2) и (6.3) имеют одинаковые радиусы сходимости.

    Доказательство всех трех утверждений следует из общих свойств степенных рядов (теоремы 5.2 и 5.3).

     

    Теорема 6.2. Если функция  f раскладывается в некоторой окрестности точки х0 в сте-пенной ряд (6.1), то  , и, следовательно, справедлива формула

                                                                                       (6.4)  

    Доказательство.

    Дифференцируя т раз равенство (6.1), получим:

     

    Примем х = х0 , тогда  f(m)(x0) = m!am , что доказывает формулу (6.4).

     

    Следствие. Если в некоторой окрестности заданной точки функция раскладывается в степенной ряд, то это разложение единственно.

    Действительно, из теоремы 6.2 следует, что коэффициенты степенного ряда могут иметь только вид, задаваемый формулой (6.4).

       

    Определение 6.2. Пусть функция  f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд

                                                                                            

    называется рядом Тейлора.

     

    Пример. Найдем разложение в ряд Тейлора при х0 = 0 функции f(x) = 2x.

    . Следовательно,

                          .

    Определение 6.3. Если при разложении в ряд Тейлора принимается х0 = 0, то полученный ряд                                                             (6.5)

    называется рядом Маклорена (см. предыдущий пример).

     

    Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций.

     

    В лекции 21 (1-й семестр) рассматривалось представление функции в виде многочлена Тейлора с остаточным членом. Поскольку коэффициенты ряда Тейлора и многочлена Тейлора вычисляются по одной и той же формуле, мы можем воспользоваться прове-денными в лекции 21 вычислениями для получения разложения в ряд Тейлора некото-рых элементарных функций. При этом обратим особое внимание на определение обла-сти сходимости полученных рядов.

    1. . Сходимость полученного ряда исследовалась в примере 2 лекции 5, где показано, что он абсолютно сходится при любом х.

    2. .

    3. .

    Используя формулу Даламбера для определения радиуса сходимости, найдем, что он равен бесконечности, то есть функции y = sin x и y = cos x раскладываются в ряд Тей-лора на всем множестве действительных чисел.

    4. . Запишем остаточный член этой формулы в форме Лагранжа:

    , и исследуем его поведение при для | x| < 1,

    | x | > 1 и | x | = 1. При | x| < 1 , при | x | > 1 . Поэтому по теоре-ме 1.5 при  | x| < 1 ряд сходится, а при | x | > 1 расходится. При х = -1 ряд расходится, так как представляет собой гармонический ряд, все члены которого имеют знак «-», а при х = 1 получаем знакопеременный ряд, сходящийся условно по признаку Лейбница. Следовательно, областью сходимости полученного ряда является интервал (-1, 1].

    5. . Найдем радиус его сходимости по формуле Даламбера: Следовательно, интервал сходимости – (-1, 1).

     

    Формула Эйлера.

     

    Используя разложения в ряд Тейлора функций ex, sin x и cos x , получим:

    . Таким образом, доказана используемая в теории комплексных чисел формула Эйлера:

                        eiy = cos y + i sin y                                                               (6.6)

    (см. лекцию 7, 2-й семестр).

     

    Применение степенных рядов.

     

    Возможность разложения функции в степенной ряд позволяет существенно упростить многие математические операции: вычисление приближенных значений данной функции, дифференцирование, интегрирование, поскольку степенной ряд можно заменить многочленом (с учетом того, что оценка остатка ряда не превысит заданного значения погрешности). В частности, можно приближенно вычислять «неберущиеся» интегралы, находить приближенные решения дифференциальных уравнений и т.д.

    Рассмотрим вычисление интегралов с помощью рядов.

    Примеры.

    1. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора, используя разложение функции ех:

    Тогда =

    С помощью этого равенства можно вычислить рассматриваемый интеграл при любом а с любой заданной точностью.

    1. Вычислим интеграл , для чего разложим функцию в ряд:

    – ряд, сходящийся при любом х. Интегрируя почленно, получим:

    Приближенное решение дифференциального уравнения второго порядка   , удовлетворяющее начальным условиям .

    Если предположить, что решение имеет вид: , то требуется найти значения производных от частного решения при х = х0 . Из начальных условий следует, что . Тогда из исходного уравнения получаем, что . Дифференцируя обе части исходного уравнения по х, найдем: откуда можно определить и т.д.

    Пример. Найти решение уравнения при

    Решение: и т.д.

    Можно получить общую формулу для производных любого порядка:

    . При х = 0 эта формула дает

                      .

    Так как то в нуль обращаются все производные, порядок которых не кратен четырем. В конечном счете решение имеет вид:

     

    support17.com

    Разложение функций в степенные ряды — КиберПедия

     

    Рассмотрим некоторые частные случаи разложения функции f(x) в степенной ряд. Например, степенной ряд

    1 + x + x2 + ¼ + xn +¼

    является геометрическим рядом со знаменателем xи, согласно доказанному в примере 3, сходится при | x| < 1; его сумма равна , т.е. = 1 + x + x2 + ¼ + xn +¼, (14)

    Равенство (14) можно рассматривать как разложение функции в степенной ряд.

    В качестве другого примера рассмотрим разложение в ряд функции . Заменяя в равенстве (14) xна -z, получим

    = 1 —z + z2-¼ + (-1)nzn +¼ (15)

    при 0 £ |z | < 1. Проинтегрируем равенство (15):

    Тогда

    или

    (16)

    при |x | < 1.

    При x = 1 разложение (16) принимает вид

    (17)

    но ряд (17) сходится, значит разложение (16) справедливо для всех x£ 1.

    Аналогично, можно записать разложение в степенной ряд функции . Положим в (14) x = —z2, тогда

    = 1 —z2 + z4-¼ + (-1)nz2n +¼ (18)

    Проинтегрировав левую и правую часть (18), получим

    ,

    или =

    = (19)

    при |x | < 1.

    Это разложение верно и при x = 1, т.к. ряд (19) при x = 1 сходится. Известно, что , но

    =

    т.е. можно вычислить значение числа p с любой степенью точности.

    Полученные разложения функций и являются частными случаями. В общем виде разложение функций в степенной ряд решено Маклореном и Тейлором.

     

    Ряды Маклорена и Тейлора

    Рассмотрим произвольную функцию f(x), определенную в заданном интервале |x-x0 | <R, и предположим для нее, что в точке x0 существуют производные всех порядков до n-го включительно. Будем искать многочлен n-степени с неизвестными пока коэффициентами, который наилучшим образом приближается к функцииf(x):

    Pn(x) = a0 + a1( x— x0 ) + a2 ( x— x0 )2 + ¼ + an ( x— x0 )n »f (x). (20)

     

     

    Для этого потребуем, чтобы функция f(x) и ее n производных были равны значению многочлена Pn(x) и его производных в точке x0. Еслиx0 = 0, то

    Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ¼ + anxn » f (x). (21)

    Как видно из (21)

    Pn(0) =a0 = f(0).

    Для нахождения коэффициентов ai( i= 1, 2, ¼, n) продифференци-руем (21) почленно:

    = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x2 + 4 a4 x3 + ¼ + n anxn-1 +¼,

    = 2 a2+ 2×3 a3 x + 3×4 a4 x2 + ¼ + n×(n-1) anxn-2 +¼, (22)

    ……………………………………………………………

    Как видно из (22) при x= 0: f¢(0) =a1, f¢¢(0) = 2 a2, f¢¢¢(0) = 2×3 a3,

    f(4)(0) = 2×3×4 a4 , ¼, f(n)(0) = 2×3×4×¼×nan. Отсюда для коэффициентов многочлена (21) получим:

    a0 = f(0), a1 = f¢(0), a2= , a3 = , a4 = , ¼,an = .

    Приближение функции f(x) многочленом (21) примет вид (n! = 1×2×3×4×¼×n):

    f(x) »f(0) + x + x2 + x3 + ¼ + xn. (23)

    В тех случаях, когда функция f(x) или ее производные теряют смысл при x= 0, пользуются более общим представлением (20) функции в виде многочлена. Легко показать, что для приближения функции f(x) многочленом (20) справедливо выражение:



     

    f(x) »f (x0)+ (x—x0)+ (x—x0)2 + (x—x0)3 + ¼

    ¼+ (x—x0)n. (24)

    Многочлены (23) и (24) дают лишь некоторое приближение для функции f(x). В связи с этим возникает вопрос о степени близости f(x) и соответствующего многочлена. Разность

    f (x) —Pn(x) = rn(x) (25)

    называется остаточным членом. Так как n мы можем брать сколь угодно большим, то выражения (23) и (24) приводят к разложению f(x) в бесконечный степенной ряд

    f(x) = f (x0) + (x —x0) + (x —x0)2 + (x —x0)3 + ¼

    ¼ + (x—x0)n+ ¼(26)

    при |x-x0 | <R.

    Впервые возможность представления функции в виде бесконечного ряда была доказана Тейлором. При x0 = 0 такой ряд был выведен Маклореном:

    f(x) = f(0) + x + x2 + x3 + ¼ + xn + ¼. (26¢)

    Разность между f(x) и суммой (n+1) членов ряда, согласно (25), есть как раз остаточный член rn(x). Тогда очевидно, что для того, чтобы при некотором значении xдействительно имело место разложение (26), необходимо и достаточно, чтобы

    . (27)

    Замечание.Для непрерывной вместе со своими производными функции f(x), как правило, условие (27) выполняется и функция f(x) разлагается в степенной ряд. Далее приведены примеры разложения элементарных функций в степенные ряды.

    Пример 10. Разложить в ряд функциюf(x) =ex. Все производные функции ex равны ex. Полагая x = 0, получим f(0) = = = = ¼ = 1. Подставляя эти значения в ряд (26¢), будем иметь разложение функции = ex в ряд Маклорена:

    (28)

    Применяя к этому ряду признак Даламбера

    .

    Степенной ряд (28) сходится для любого x; интервал сходимости- (-¥, ¥).

    Пример 11. Разложить в ряд функцию f(x) = .

    , , , , ¼

    При x = 0

    , , , , , ¼

    Подставляя в (26¢), получим

    , (29)

    где x измеряется в радианах.

    Пример 12. Разложить в ряд функцию f(x) = .

    , , , , ¼

    При x = 0

    , , , , , ¼

    Подставляя в (26¢), получим

    (30)

    Разложение (30), также как и (29), справедливо при любом x.

    Пример 13. Разложить в ряд функцию f(x) = . Функция не определена приx = 0, поэтому разложим ее в ряд Тейлора (26) по возрастающим степеням (x-1) (при x0 = 1).



    , , , , ¼

    При x = 1

    , , , , , ¼

    Подставляя в (26), находим

    Пример 14. Разложить в ряд функцию мнимого аргумента f(x) = . Обозначим z = ix. Зная разложение в ряд функции ex, запишем

    Разделяя действительную и мнимую часть, получим

    . (31)

    Согласно (29) и (30), равенство (31) можно записать в виде

    . (32)

    Заменяя x на —x и учитывая, что = , а = — , находим

    . (33)

    Формулы (32) и (33) были выведены Эйлером; разрешая (32) и (33) относительно и , получим

    , .

    cyberpedia.su

    РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.

    Рядом Тейлора для функции называется степенной ряд вида

    Если а=0, то получим частный случай ряда Тейлора

    Который называется рядом Маклорена.

    Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причём полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что и исходный ряд.

    Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадает с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

    Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

    1) вычислить значения функции и её последовательных производных в точке х=0, т.е. , ,

    2) составить ряд Маклорена, подставив значения функции и её последовательных производных в формулу

    3) найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

    для разложения функции в ряд Тейлора необходимо:

    1) Вычислить значения функции и её последовательных производных в точке х=а, т.е.

    2) Составить ряд Тейлора, подставив значения функции и её последовательных производных в формулу.

    3) Найти промежуток сходимости по формуле.

     

    26. Разложить в ряд Маклорена функцию:

    1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

    5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

    9) ; 10) .

    1) Вычислим значения функции и её производных при х=0; имеем (n=1, 2, 3,…).

    Подставив эти значения в формулу, получим разложение функции в ряд Маклорена:

    Этот ряд называется экспоненциальным рядом.

    Промежуток сходимости найдём по формуле

    ; ;

    , т.е. .

    Полученный ряд сходится к функции при любых значениях х, так как в любом промежутке функция и её производные по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом.

    2) Вычислим значения функции и её производных при х=0, имеем Заметим, что производные чётного порядка а производные нечетного порядка (n=1, 2, 3, 4, …)

    Подставив эти значения в формулу, получим разложение синуса в ряд Маклорена:

    Промежуток сходимости полученного ряда найдём по формуле

    ,

    Т.е. ряд сходится в промежутке .

    3) Рассуждая так же, как и в п. 2, аналогично получаем

    Причём этот ряд сходится в промежутке .

    4) Вычислим значения функции и её производных при х=0; имеем

    Подставив эти значения в формулу, получим разложение функции в ряд Маклорена:

    Или

    Промежуток сходимости найдём по формуле: . Следовательно, -1<x<1.

    При х=-1 и х=1 ряд расходится, поэтому область сходимости ряда – промежуток -1<x<1.

    5)I способ. Вычислим значения функции и её производных при х=0; имеем Отсюда следует, что

    (n=1, 2, 3, 4, … )

    Подставив эти значения в формулу, получим разложение данной функции в ряд Маклорена:

    Этот ряд называется логарифмическим рядом.

    Промежуток сходимости найдём по формуле: ,

    , т.е. -1<x<1.

    Исследуем сходимость ряда в точках x=-1 и x=1. При х=-1 ряд расходится как гармонический. При х=1 имеем знакочередующийся ряд

    ,

    Который сходится по признаку Лейбница. Итак, данный ряд сходится в промежутке -1<x<1.

     


    Похожие статьи:

    poznayka.org

    Как разложить функцию в степенной ряд

    Свернутое представление функции f(x) в виде степенного ряда в Wolfram|Alpha также можно получить, используя запрос вида: f(x) series representation

    Wolfram|Alpha автоматически выбирает наиболее простой вид разложения функции в степенной ряд, если иное не задано. Так, в предыдущих примерах система Wolfram|Alpha использовала разложение экспоненциальной функции e^x в ряд Маклорена (в точке x=0). Если же применение ряда Маклорена невозможно (вспомните условия разложения функции в ряд Маклорена), то Wolfram|Alpha автоматически выводит разложение данной функции в ряд Тейлора в ближайшей точке, например в точке x=1:

    При необходимости, Wolfram|Alpha может вывести определенное количество членов разложения функции в степенной ряд. Точнее, выводятся члены ряда до определенной степени (т. е. с коэффициентами до заданного порядка)  включительно. Это нужно указать явно следующим образом:


    В настоящее время эта конструкция запроса срабатывает не всегда корректно — в некоторых случаях Wolfram|Alpha выводит больше членов ряда, чем указано в запросе.

    Wolfram|Alpha позволяет получить разложение функции в степенной ряд в заданной точке. Соответствующий запрос выглядит так:

    Кстати, эту форму запроса можно использовать также и для того, чтобы разложить некий многочлен по степеням одночлена (x-x0). Например, при x0=pi для заданного многочлена получим:


    В теории рядов рассматривается следующая задача: найти коэффициенты разложения данной функции в ряд Тейлора (или Маклорена). Wolfram|Alpha позволяет подойти к решению этой задачи используя, например, запрос на табуляцию последовательности. К примеру, найдем таким образом первые шесть коэффициентов разложения функции cos(x) в ряд Тейлора. При этом, естественно, используем формулу коэффициентов ряда Тейлора (см. выше):

     Table [d^n/dx^n (cos x)/n!, {n,0,5}]


    Здесь, чтобы получить шесть первых коэффициентов ряда мы указали их номера с n=0 по n=5 включительно, записав в запросе — {n,0,5}.Чтобы получить коэффициент ряда с заданным номером, эту запись следует изменить. Например, чтобы найти коэффициент с номером n=20, запишем — {n,20,20}, и получим:

    Table [d^n/dx^n (cos x)/n!, {n,20,20}]


    Если эта конструкция запроса покажется вам слишком сложной, тогда для получения коэффициентов ряда используйте более «естественные»запросы, соответственно:

    table d^n/dx^n (cos x)/n! for n = 0 … 5 и d^n/dx^n (cos x)/n! for n = 20

    Далее, можно подставить в найденные коэффициенты вместо аргумента x его конкретное значение, и таким образом Вы сможете получить коэффициенты разложения данной функции в степенной ряд в заданной точке.

    Кроме того, в Wolfram|Alpha имеется специальный запрос для получения коэффициентов разложения функций в ряд Маклорена (в точке x=0). Например, найдем коэффициенты разложения в ряд Маклорена для функции e^x :

    SeriesCoefficient[e^x, {x, 0, n}]


    Обратите внимание, что в первой строке таблицы указаны степени x, начиная с 1 и далее. То есть свободный член разложения (коэффициент при x^0, равный f(0)/0!) здесь не выводится.

    Чтобы убедиться в этом, посмотрите еще два аналогичных примера:

    SeriesCoefficient[cos x, {x, 0, n}]


    SeriesCoefficient[(1+x)^1/2, {x, 0, n}]


    В том случае, когда нужно найти конкретный коэффициент ряда Маклорена для данной функции, например, коэффициент при x^10, используйте запрос вида:

    SeriesCoefficient[cos x, {x, 0, 10}]


    Наконец, если нужно найти несколько коэффициентов ряда для степеней n, например, с 6-й по 12-ю, запрос к Wolfram|Alpha формулируем так:

    SeriesCoefficient[cos x, {x, 0, 6..12}]

    Если хотите узнать, как выполнять приближенные вычисления при помощи степенных рядов в Wolfram|Alpha, читайте следующий пост.

    www.wolframalpha-ru.com

    Ряд Тейлора. Разложение функций в степенные ряды — КиберПедия

    Для функции , имеющей все производные до -го порядка включительно, в окрестности точки (т. е на некотором интервале, содержащем точку ) справедлива формула Тейлора:

    , (3.18)

    где – так называемый остаточный член.

    Если функция имеет производные всех порядков в окрестности точки и в этой окрестности, то справа в формуле получается степенной ряд, который называется рядом Тейлора:

    (3.19)

    Последнее равенство справедливо лишь в том случае, если при . В этом случае степенной ряд справа сходится и его сумма равна данной функции (говорят, что функция разложена в ряд по степеням ). Если же , то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции).

    Частный случай ряда Тейлора при иногда называют рядом Маклорена. Он имеет вид

    (3.20)

    Для каждой из элементарных функций существует такое и , что в интервале она разлагается в ряд Тейлора или (если ) в ряд Маклорена.

    Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена:

    · , ; (3.21)

    · , ; (3.22)

    · , ; (3.23)

    · , ; (3.24)

    · Биномиальный ряд

    , (3.25)

    где – произвольное постоянное число, .

     

    Пример. Разложить в ряд Тейлора по степеням .

    ◄ Имеем: ;

    …

    Таким образом,

    . ►

    Ряды Фурье

    Функциональный ряд вида

    , (3.26)

    называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа и ( =1, 2, …) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

    Если ряд (3,26) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом , т. е. , так как и являются периодическими функциями с периодом .

    Рядом Фурье интегрируемой и периодической с периодом интегрируемой функции называется тригонометрический ряд (3.26) с коэффициентами и ( =1, 2, …), определяемыми формулами:

    (свободный член), (3.27)

     

    , ( =1, 2, …), (3.28)

    , ( =1, 2, …). (3.29)

    Определенные по формулам (3.27) ― (3.29) коэффициенты называются коэффициентами Фурье функции . Теория разложения функций в ряды Фурье называется гармоническим анализом.

    Ряд Фурье функции может либо расходиться, либо сходиться, причем как к функции , так и к функции, отличной от нее. Условия сходимости ряда Фурье даются теоремой Дирихле.

    Теорема Дирихле. Если функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва на отрезке и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на , то ряд Фурье функции сходится для любых из и его сумма равна:

    1) для всех точек непрерывности из интервала ;

    2) для всех точек разрыва , где и – левосторонний и правосторонний предел функции в этих точках, соответственно;



    3) при и .

     

    Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: .

     

    Рис. 1

     

     

    ◄ Эта функция кусочно монотонная и ограниченная. Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье. Вычисляем коэффициенты Фурье:

     

    =

     

     

    =

     

    Окончательно получаем

    .

    В точках разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. в данном случае . ►

     

    Если является четной функцией , то =0 ( =1, 2, …) и, следовательно, разложение четной функции в ряд Фурье будет содержать только косинусы:

    ,

    где

     

    , , ( =1, 2, …). (3.30)

    Для нечетной функции коэффициенты ( =1, 2, …) и, следовательно, ряд Фурье для нечетной функции будет содержать только синусы:

    ,

    где

     

    , ( =1, 2, …). (3.31)

    Эти формулы позволяют упрощать вычисления при нахождении коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Но следует отметить, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной.

     

    Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , определенную следующим образом: (рис. 2).

    Рис. 2

    ◄ Заданная функция является нечетной. Следовательно, в ее разложении будут только синусы. По формуле (3.31) вычисляем коэффициенты :

    .

    Таким образом, получаем ряд

    .

    Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю. ►

     

    cyberpedia.su

    Решение показательных уравнений и неравенств – Показательные уравнения и неравенства

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Показательные уравнения и неравенства

    Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

    Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ах = аb, где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:

    Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и ах1 = ах2, то х1 = х2.

    Обоснуем рассмотренное утверждение.

    Предположим, что равенство х1 = х2 не выполняется, т.е. х1 < х2 или х1 = х2. Пусть, например, х1 < х2. Тогда если а > 1, то показательная функция у = ах возрастает и поэтому должно выполняться неравенство ах1 < ах2; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство ах1 > ах2. В обоих случаях мы получили противоречие условию ах1 = ах2.

    Рассмотрим несколько задач.

    Задача 1.

    Решить уравнение 4 ∙ 2х = 1.

    Решение.

    Запишем уравнение в виде 22 ∙ 2х = 20 – 2х+2 = 20, откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.

    Ответ. х = -2.

    Задача 2.

    Решить уравнение 23х ∙ 3х = 576.

    Решение.

    Так как 23х = (23)х = 8х, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8х ∙ 3х = 242 или в виде 24х = 242.

    Отсюда получаем х = 2.

    Ответ. х = 2.

    Задача 3.

    Решить уравнение 3х+1 – 2∙3х — 2 = 25.

    Решение.

    Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х — 2, получаем 3х — 2 ∙ (33 – 2) = 25 – 3х — 2∙ 25 = 25,

    откуда 3х — 2 = 1, т.е. х – 2 = 0, х = 2.

    Ответ. х = 2.

    Задача 4.

    Решить уравнение 3х = 7х.

    Решение.

    Так как 7х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3х/7х = 1, откуда (3/7)х = 1, х = 0.

    Ответ. х = 0.

    Задача 5.

    Решить уравнение 9х – 4 ∙ 3х – 45 = 0.

    Решение.

    Заменой 3х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а2 – 4а – 45 = 0.

    Решая это уравнение, находим его корни: а1 = 9, а2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.

    Уравнение 3х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

    Ответ. х = 2.

    Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств ах > аb или ах < аb. Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

    Рассмотрим некоторые задачи.

    Задача 1.

    Решить неравенство 3х < 81.

    Решение.

    Запишем неравенство в виде 3х < 34. Так как 3 > 1, то функция у = 3х является возрастающей.

    Следовательно, при х < 4 выполняется неравенство 3х < 34, а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3х ≥ 34.

    Таким образом, при х < 4 неравенство 3х < 34 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
    3х < 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

    Ответ. х < 4.

    Задача 2.

    Решить неравенство 16х +4х – 2 > 0.

    Решение.

    Обозначим 4х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.

    Это неравенство выполняется при t < -2 и при t > 1.

    Так как t = 4х, то получим два неравенства 4х < -2, 4х > 1.

    Первое неравенство не имеет решений, так как 4х > 0 при всех х € R.

    Второе неравенство запишем в виде 4х > 40, откуда х > 0.

    Ответ. х > 0.

    Задача 3.

    Графически решить уравнение (1/3)х = х – 2/3.

    Решение.

    1) Построим графики функций у = (1/3)х и у = х – 2/3.

    2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что

    х = 1 – корень данного уравнения:

    (1/3)1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.

    Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.

    3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3)х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х < 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 и х < 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

    Ответ. х = 1.

    !!! Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3)х > х – 2/3 выполняется при х < 1, а неравенство (1/3)х < х – 2/3 – при х > 1.

    © blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    blog.tutoronline.ru

    6. Показательные уравнения и неравенства

    6.1. Показательные уравнения

    Определение 6.1. Показательными называются уравнения, у которых переменная содержится в показатели степени.

    Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений.

    1. Приведение обеих частей уравнения к одинаковому основанию:

    , где ,.

    2. Вынесение общего множителя за скобки.

    3. Уравнения, в которых правая и левая часть не приводится к одному основанию, можно решить логарифмированием:

    .

    4. Введение новой переменной.

    5. Уравнение вида , где,,,,.

    6. Показательно-степенные уравнения

    7. Функциональный метод.

    Пример 6.1. Решить уравнение .

    Решение.

    Ответ: .

    Пример 6.1. Решить уравнение .

    Решение. Найдем предварительно ОДЗ уравнения:

    .

    Тогда на ОДЗ получим:

    Оба корня принадлежат ОДЗ.

    Ответ: .

    Пример 6.2. Решить уравнение .

    Решение. Так как левая часть является строго убывающей функцией, то любое положительное значение эта функция принимает ровно один раз. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Подбором получаем, что решением уравнения является .

    Ответ: .

    Пример 6.3. Решить уравнение .

    Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 4:

    .

    Ответ: .

    Пример 6.4. Решить уравнение: .

    Решение. Прологарифмируем уравнение, например, по основанию 4. Тогда:

    Ответ: .

    Пример 6.5. Решить уравнение

    .

    Решение. Отметим, что

    , ,.

    Введем замену ,, тогда уравнение примет вид:

    Сделаем замену: ,, тогда

    .

    Переходя обратно к переменной , получаем

    Ответ: .

    Пример 6.6. Решить уравнение

    Решение. Проведем предварительно преобразование правой части уравнения

    .

    Тогда исходное уравнение привет вид:

    Ответ: .

    6.2. Показательные неравенства

    Решение показательных неравенств основывается на свойствах монотонности показательной функции . Напомним, что прифункция строго возрастает, а прифункция убывает.

    Перечислим основные методы решения показательных неравенств.

    1. Приведение обеих частей неравенства к одинаковому основанию:

    ;

    2. Вынесение общего множителя за скобки.

    3. Введение новой переменной.

    4. Логарифмирование обеих частей неравенства по выбранному основанию.

    5. Неравенства вида , где,,,,.

    6. Неравенства вида

    Пример 6.7. Решить неравенство .

    Решение. Так как ;, то, учитывая, что основание, исходное неравенство перепишется в виде:

    .

    Ответ: .

    Пример 6.8. Решить неравенство .

    Решение. Так как основание , то

    .

    Ответ: .

    Пример 6.9. Решить неравенство .

    Решение. Так как основание , то

    .

    Ответ: .

    Пример 6.10. Решить неравенство .

    Решение.

    .

    Ответ: .

    Пример 6.11. Решить неравенство .

    Решение.

    .

    Ответ: .

    Пример 6.12. Решить неравенство .

    Решение. .

    Сделаем замену ,, тогда исходное неравенство примет вид:

    .

    Ответ: .

    Пример 6.13. Решить неравенство

    Решение. .

    Сделаем замену: ,, тогда

    .

    Ответ: .

    Пример 6.14. Решить неравенство:

    Решение.

    Разделим обе части неравенства на , получаем.

    Сделаем замену , тогда

    .

    Ответ: .

    Пример 6.15. Решить неравенство:

    Решение: Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:

    .

    Ответ: .

    Пример 6.16. Решить неравенство:

    Решение.

    Решим первую систему полученной совокупности:

    Данная система решений не имеет.

    Решим вторую систему совокупности:

    .

    Ответ: .

    Пример 6.17. Решить неравенство .

    Решение.

    .

    .

    Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:

    1.

    2.

    Сравним числа и. Так как, а, то, значит. Тогда получаем, что первая система решений не имеет, а решением второй служит промежуток.

    Ответ: .

    Пример 6.18. Решить неравенство: .

    Решение. Область определения неравенства определяется условием . Исходное неравенство равносильно совокупности:

    .

    Из уравнения получаем.

    Так как , то первое неравенство системы можно записать в виде

    Учитывая условие , получаем решение системы – промежуток. Тогда решение исходного неравенства имеет вид.

    Ответ: .

    Пример 6.19. Решить неравенство

    Решение. .

    Сделаем замену , тогда

    .

    Ответ: .

    studfiles.net

    Решение показательных уравнений и неравенств.

    Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

    Основные свойства показательной функции y = ax:

    График показательной функции

    Графиком показательной функции является экспонента:

    Графики показательных функций (экспоненты)

    Решение показательных уравнений

    Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

    Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

    Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

    Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

      

    Пример 1. Решите уравнение:

    Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

    Уравнение тогда принимает вид:

    Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

      

    Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

      

    Переходя к обратной подстановке, получаем:

      

    Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

      

    С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

    Ответ: x = 3.

    Пример 2. Решите уравнение:

    Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 94-x положительна и не равна нулю).

    Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

    Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

    Ответ: x = 6.

    Пример 3. Решите уравнение:

    Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

    Ответ: x = 0.

    Пример 4. Решите уравнение:

    Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

    Деление обеих частей уравнения на 4x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

    Ответ: x = 0.

    Пример 5. Решите уравнение:

    Решение: функция y = 3x, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

    Ответ: x = -1.

    Пример 6. Решите уравнение:

    Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

      

    Ответ: x = 2.

    Решение показательных неравенств

    Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

    Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

    Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

    Пример 7. Решите неравенство:

    Решение: представим исходное неравенство в виде:

    Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом (в силу положительности функции y = 32x) знак неравенства не изменится:

    Воспользуемся подстановкой:

    Тогда неравенство примет вид:

    Итак, решением неравенства является промежуток:

    переходя к обратной подстановке, получаем:

    Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

    Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

    Итак, окончательно получаем ответ:

    Пример 8. Решите неравенство:

    Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

    Введем новую переменную:

    С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

    Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

    Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

    Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

    Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

    Окончательно получаем ответ:

    Пример 9. Решите неравенство:

      

    Решение:

      

    Делим обе части неравенства на выражение:

      

    Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

      

    Воспользуемся заменой переменной:

      

    Исходное уравнение тогда принимает вид:

      

    Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

      

    Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

      

    Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

      

    Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

      

    Итак, окончательный ответ:

      

    Пример 10. Решите неравенство:

      

    Решение:

    Ветви параболы y = 2x+2-x2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

      

    Ветви параболы y = x2-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

      

    Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3x2-2x+2, стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 31 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

    Ответ: x = 1.

    infourok.ru

    Основные типы показательных неравенств | Подготовка к ЕГЭ по математике

    Сегодня решаем показательные неравенства.

    Рассмотрим основные типы  показательных неравенств.

    При решении показательных неравенств мы будем использовать следующие переходы:

    и

    Поясним, первый переход возникает в силу возрастания  показательной функции , второй – в силу убывания функции .

     

    Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

    Задание 1.

    Решить неравенство .

    Решение:

    Перепишем неравенство следующим образом:

    А далее вот так:

    Так как – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

    Ответ: .

    Задание 2.

    Решить неравенство:

    Решение:

    Перепишем неравенство следующим образом:

    Заметим, что  .

    В силу того, что основание степени () меньше 1, то есть мы имеем дело с убывающей функцией, переходим к следующему неравенству (не забывая поменять знак на ):

    Ответ:

     Однородные показательные неравенства 

    Задание 3.

    Решить неравенство:

    Решение:

    Вынесем за скобку

    Тогда  переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):

    Ответ:

    Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

    Задание 4.

    Решить неравенство

    Решение:

    Разделим обе части неравенства на 3:

    Мы видим квадратное неравенство относительно которое будем решать методом интервалов.

    Имеем:

    или

    или 

    Ответ:

    Задание 5.

    Решить неравенство

    Решение:

    Мы видим квадратное неравенство относительно , которое будем решать методом интервалов.

    Находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена . Переходим к следующему неравенству:

    Получаем: или . Заметьте, нет смысла указывать, что  , так как по определению положительно.

    Итак,

    Ответ:

    Задание 6.

    Решить неравенство

    Решение:

    Разделим обе части неравенства на (можно и на , – как хотите…). Заметим, .

    Заметим, что . Аналогично с .

    Мы имеем квадратное неравенство относительно

    которое будем решать методом интервалов.

    Воспользуемся следующим способом превращения суммы в произведение:

    где – корни уравнения (в случае неотрицательного дискриминанта квадратного трехчлена).

    Заготавливаем шаблончик  и находим корни при помощи дискриминанта, тогда

    То есть

    Ответ:

    Задание 7.

    Решить неравенство

    Решение:

    Перепишем неравенство следующим образом:

    Домножим обе части неравенства на   (заметим, ):

    Ответ:

    Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

    Задание 8.

    Решить неравенство:  

    Решение:

    Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:

    Мы можем “отбросить” сумму в силу ее положительности:

    Неравенство равносильно следующему:

    Ответ:

    Неравенства, решаемые графическим методом

    Задание 9.

    Решить неравенство:

     Решение:

    Рассмотрим функции и Обе они определены на . Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Несложно заметить, что является корнем указанного уравнения.

    А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения,  мы должны взять те значения , которые отвечают за ту часть графика , что лежит выше графика , то есть .

    Ответ:

    Для самостоятельной работы:

    Решить неравенства:

    1.

    Ответ: + показать

    2.

    Ответ: + показать

    3.

    Ответ: + показать

    4.

    Ответ: + показать

    {-2}

    5.

    Ответ: + показать

    6.

    Ответ: + показать

    7.

    Ответ: + показать

    (-1;1]

    8.

    Ответ: + показать

    .

     

     

    egemaximum.ru

    Показательные уравнения и неравенства.

    Инструкционная карта № 14

    Тақырыбы/ Тема: «Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств».

    Мақсаты/ Цель:

    1. Познакомить учащихся с методами решения простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств. Уметь применять эти методы при решении упражнений.

    2. Создать условия для развития умения устанавливать единые общие признаки и свойства целого, составлять план деятельности (сравнивать, анализировать).

    3. Создать атмосферу коллективного поиска, эмоциональной приподнятости, радости познания трудностей.

    Теоретический материал:

     Основные методы и приемы решения показательных уравнений

    Пример 1. 3х2-х-2=81— Метод уравнивания показателей.

    Решение:

    3х2-х-2=34

    Приравниваем показатели:

    х2-х-2=4

    х2-х-6=0

    Получили квадратное уравнение:

    D=1+24=25, D0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

    х1=(1+5)/2=3

    х2=(1-5)/2=-2

    Ответ: х=3 и х=-2

    Пример 2. 4х+1+4х=320— Метод вынесения общего множителя за скобки

    Решение:

    В таких случаях выносится основание с наименьшим показателем. В данном уравнении наименьшим показателем является х. Вынесем 4х за скобки:

    4х(4+1)=3204х∙5=320

    Представим 320 в виде 5∙43, тогда:4х∙5=5∙43

    Поделим левую и правую часть уравнения на 5:4х=43

    Приравняем показатели: х=3

    Ответ: 3

    Пример 3. 4х — 3·2х +2 = 0 — Метод замены переменных

    Сначала — как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке. 4х = (22)х = 22х

    Получаем уравнение: 22х — 3·2х +2 = 0

    А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

    Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае — 2х) пишем другой, попроще (например — t).

    Итак, пусть 2х = t. Тогда 22х = 2х2 = (2х)2 = t2

    Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t: t2 — 3t+2 = 0

    Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем: t1 = 2 ; t2 = 1

    Тут, главное, не останавливаться, как бывает… Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t1: t1 = 2 = 2х

    Стало быть, 2х = 2; х1 = 1 Один корень нашли. Ищем второй, из t2: t2 = 1 = 2х ; 2х = 1

    Гм… Слева 2х, справа 1… Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да…), что единичка — это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит: 1 = 20 2х = 20 х2 = 0

    Вот теперь всё. Получили 2 корня: х1 = 1 х2 = 0 — Это ответ.

    Практические советы:

    1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

    2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То, что можно посчитать в числах — считаем.

    3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего — квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

    4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать «в лицо».

    Рассмотрим решение показательных неравенств вида , где b – некоторое рациональное число.
    Если a1, то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенстворавносильно неравенству .
    Если 0 монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенстворавносильно неравенству 

    Пример 4. Решим неравенство 

    Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .

    Пример 5. Решим неравенство .

    Запишем неравенство в виде .

    Показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х

    Ответ: .

    Практическая часть:

    I Вариант.

    1. Решите уравнения:

    а) 0,8; б) ; в) 3; г) 4.

    1. Решите неравенства:

    а) 2 .

    3. Решите систему уравнений: .

    II Вариант.

    1. Решите уравнения:

    а) 3; б) 2; в) 2; г) 9.

    1. Решите неравенства.

    а) 51; б) 0,7х.

    3. Решите систему уравнений: .

    III Вариант.

    1. Решите уравнения:

    а) 9-х=27; б) ; в) 5; г) 9.

    1. Решите неравенства:

    а) ; б) 48.

    3. Решите систему уравнений: .

    IV Вариант.

    1. Решите уравнения:

    а) 8-х=16; б) 102х=0,1; в) 3; г) 4.

    1. Решите неравенства:

    а) -0,5; б) 9

    3. Решите систему уравнений: .

    V Вариант.

    1. Решите уравнения:

    а) 2х+2х-3=18; б) ; в) ; г) 8.

    2.Решите неравенства:

    а) 5; б) 3

    3. Решите систему уравнений: .

    Контрольные вопросы:

    1. Всегда ли можно решить показательное уравнение способом приведения степеней к одинаковым основаниям?

    2. В чем заключается основной смысл способа решения показательного уравнения введением новой переменной?

    3. Что общего в ходе решения показательных уравнений и решения линейных уравнений с одной переменной?

    4. Перечислите основные требования, соблюдение которых является обязательным в решении показательных неравенств?

    multiurok.ru

    Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств

    Разделы: Математика

    Цели и задачи:

    — обобщить и закрепить знание основных свойств показательной функции и применение их при решении задач;

    — закрепить умение распознавать виды показательных уравнений и неравенств и находить методы их решения;

    — развивать навыки логического мышления и вычислительные навыки;

    — воспитывать внимательность, аккуратность при выполнении графических работ.

    План проведения урока.

    I. Проверка домашней работы.

    II. Устная работа.

    III. Решение задач.

    IV. Подведение итогов урока.

    V. Домашнее задание.

    Работа на уроке: дифференцированная. Уровни дифференциации: I — учащиеся с низкой степенью успешности обучения, II – учащиеся со средней степенью успешности обучения, III – учащиеся с высокой степенью успешности.

    I. Проверка домашней работы

    1. У доски проверяются задания, вызвавшие затруднения, и задания, которые необходимо обсудить.

    2. Нескольким ученикам предлагаются карточки индивидуальной работы (желательно, дифференцированные). Примеры заданий для индивидуального опроса, где карточки №1 и №2 предназначены для учащихся I уровня, №3 и №4 – II уровня, №5 и №6 – III уровня.

    №1. 1) Решите уравнение .

    2) Сколько корней имеет уравнение ?

    №2. 1) Решите неравенство .

    2) Сколько решений имеет система уравнений .

    №3. 1) Решите уравнение .

    2) Простройте график функции .

    Укажите множество значений функции.

    №4. 1) Решите неравенство .

    2) Постройте график функции .

    №5. 1) Решите неравенство .

    2) При каких значениях параметра m уравнение

    не имеет решений?

    №6. 1) Решите неравенство .

    3. При каких значениях параметра n уравнение имеет решение?

    II. Устная работа

    Проводится одновременно с проверкой домашней работы. Устную работу лучше проводить в парах. Ответы на вопросы записываются каждым учеником пары, По окончании работы один экземпляр ответов сдаётся на проверку учителю, второй остаётся у учащихся для проверки правильности выполнения заданий при разборе результатов устной работы.

    I вариант

    1. Какие из указанных функций являются: 1) возрастающими; 2) убывающими?

    а) ; б) ; в) ; г) ; д)

    2. Найдите область определения функции:

    а) ;

    б) ;

    в) .

    3. Решите уравнение:

    а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

    4. Решите неравенство:

    а) ; б) ; в) ; г) .

    II вариант

    1. Найдите область определения функции:

    а) ; б) ; в) ; г) , где .

    2. Какому из промежутков при надлежит корень уравнения:

    а) ; б) ; в) ?

    3. Решите уравнение:

    а) ; б) ; в) ; г) .

    4. Решите неравенство:

    а) ; б) ; в) ; г) .

    III вариант

    1. Найдите область определения функции:

    а) ; б) ; в) ; г) .

    2. Найдите множество значений функции:

    а) ; б) ; в) ; г) .

    3. Решите уравнение:

    а) ; б) ; в) ; г) .

    4. Решите неравенство:

    а) ; б) ; в) ; г) .

    III. Решение задач

    Этот этап урока также проводится дифференцированно. Для выполнения каждого задания вызывается по одному ученику с каждого варианта. Ученик работает у доски, при этом учащиеся этого варианта, работающие индивидуально, имеют возможность контролировать правильность выполнения задания как у себя в тетради, так и у вызванного к доске школьника.

    I вариант

    1. Решите уравнения:

    а) ; б) и найдите сумму корней уравнения.

    2. Решите неравенства:

    а) . Является ли число -1 решением этого неравенства?

    б) ; в) .

    3. Решите графически неравенство .

    II вариант

    1. Решите уравнения:

    а) . Если уравнение имеет более одного корня, укажите их произведение.

    б) .

    2. Решите неравенства:

    а) . Укажите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства.

    б) .

    3. Решите графически неравенство: .

    III вариант

    1. Решите уравнения:

    а) на отрезке ;

    б) .

    2. Решите неравенства:

    а) ; б) .

    3. Постройте график функции . Сколько корней имеет уравнение при всех значениях параметра k?

    IV. Подведение итогов урока

    Ученикам объявляются оценки, даются рекомендации по исправлению недостатков в знаниях и работе, выслушивается мнение учеников о составляющих урока.

    V. Домашнее задание

    № 210 (2,3), № 211 (1), № 213 (1) — для учащихся I уровня;

    № 210 (5,6), №211 (4), №213 (4) — для учащихся II уровня;

    №214 (1,4), № 218 (2), № 222 (1) — для учащихся III уровня.

    9.02.2015

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Решение показательных уравнений и неравенств: алгоритм решения и примеры

     

    аx = b — простейшее показательное уравнение. В нем a больше нуля и а не равняется единице.

    Решение показательных уравнений

    Из свойств показательной функции знаем, что ее область значений ограничена положительными вещественными числами. Тогда если b = 0, уравнение не имеет решений. Такая же ситуация имеет место быть, в уравнении где b

    Теперь положим, что b>0. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0<a

    Исходя из этого и применяя теорему о корне, получим, что уравнение ax = b иметь один единственный корень, при b>0 и положительном a не равном единице. Чтобы его найти, необходимо представить b в виде b = ac.
    Тогда очевидно, что с будет являться решением уравнения ax = ac.

    Рассмотрим следующий пример: решить уравнение 5(x2 — 2*x — 1) = 25.

    Представим 25 как 52, получим:

    5(x2 — 2*x — 1) = 52.

    Или что равносильно :

    x2 — 2*x — 1 = 2.

    Решаем полученное квадратное уравнение любым из известных способов. Получаем два корня x = 3 и x = -1.

    Ответ: 3;-1.

    Решим уравнение 4x – 5*2x + 4 = 0. Сделаем замену: t=2x и получим следующее квадратное уравнение:

    t2 — 5*t + 4 = 0.
    Решаем это уравнение любым из известных способов. Получаем корни t1 = 1 t2 = 4

    Теперь решаем уравнения 2x = 1 и 2x = 4.

    Ответ: 0;2.

    Решение показательных неравенств

    Решение простейших показательных неравенств основывается тоже на свойствах возрастания и убывания функции. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0<a<1, то данная функция будет убывающей на всем множестве вещественных чисел.

    Рассмотрим пример: решить неравенство (0.5)(7 — 3*x) < 4.

    Заметим, что 4 = (0.5)2. Тогда неравенство примет вид (0.5)(7 — 3*x) < (0.5)(-2). Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

    Получим: 7 — 3*x>-2.

    Отсюда: х<3.

    Ответ: х<3.

    Если бы в неравенстве основание было больше единицы, то при избавлении от основания, знак неравенства менять было бы не нужно.

    Нужна помощь в учебе?



    Предыдущая тема: Показательная функция: график и основные свойства функции
    Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspЛогарифмы и их свойства: определение и алгоритм решения

    Все неприличные комментарии будут удаляться.

    www.nado5.ru

    T test в статистике – t-критерий Стьюдента

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Занятие 7.Тест Стьюдента для независимых выборок — Основы доказательной медицины. Биомедицинская статистика. — Внауке.by


    Критерий Стьюдента для независимых выборок

    Критерий Стьюдента (t-тест Стьюдента или просто «t-тест») применяется, если нужно сравнить только две группы количественных признаков с нормальным распределением (частный случай дисперсионного анализа). Примечание: этим критерием нельзя пользоваться, сравнивая попарно несколько групп, в этом случае необходимо применять дисперсионный анализ. Ошибочное использование критерия Стьюдента увеличивает вероятность «выявить» несуществующие различия. Например, вместо того, чтобы признать несколько методов лечения равно эффективными (или неэффективными), один из них объявляют лучшим.

    Два события называются независимыми, если наступление одного из них никак не влияет на наступление другого. Аналогично, две совокупности можно назвать независимыми, если свойства одной из них никак не связаны со свойствами другой. 

    Пример выполнения  t-теста в программе STATISTICA.

    Женщины в среднем ниже мужчин, однако, это не является результатом того, что мужчины оказывают какое-либо влияние на женщин — дело здесь в генетических особенностях пола. С помощью t-теста необходимо проверить, имеется ли статистически значимое различие между средними значениями роста в группах мужчин и женщин. (В учебных целях мы допускаем, что данные о росте подчиняются закону нормального распределения и поэтому t-тест применим).

    Рисунок 1. Пример оформления данных для выполнения t-теста для независимых выборок

    Обратите внимание на то, как оформлены данные на рисунке 1. Как и при построении графиков типа Whisker plot или Box-whisker plot, в таблице имеются две переменные: одна из них — группирующая (Grouping variable) («Пол») — содержит коды (муж и жен), позволяющие программе установить, какие из данных о росте принадлежат какой группе; вторая — т.н. зависимая переменная (Dependent variable) («Рост») — содержит собственно анализируемые данные. Однако при выполнении t-теста для независимых выборок в программе STATISTICA возможен и другой вариант оформления — данные для каждой из групп («Мужчины» и «Женщины») можно ввести в отдельные столбцы (рисунок 2).

    Рисунок 2. Еще один вариант оформления данных для выполнения t-теста для независимых выборок

    Для выполнения t-теста для независимых выборок необходимо выполнить следующие действия:

    1-а. Запустить модуль t-теста из меню  Statistics > Basic statistics/Tables > t-test, independent, by groups (если в таблице с данными есть группирующая переменная, см.рисунок 3)​

    ИЛИ

    1-б. Запустить модуль t-теста из меню  Statistics > Basic statistics/Tables > t-test, independent, by variables (если данные внесены в самостоятельные столбцы, см. рисунок 4).

    Ниже описывается вариант теста, при котором в таблице с данными имеется группирующая переменная. 

    2. В открывшемся окне нажать кнопку Variables и указать программе, какая из переменных таблицы Sreadsheet является группирующей, а какая — зависимой (рисунки 5-6).

    Рисунок 5. Выбор переменных для включения в t-тест

    Рисунок 6. Окно с выбранными переменными для проведения t-теста

    3. Нажать на кнопку Summary: T-tests.

    Рисунок 7. Результы t-теста для независимых выборок

    В итоге программа выдаст рабочую книгу Workbook, содержащую таблицу с результатами t-теста (рисунок 7). Эта таблица имеет несколько столбцов:

    • Mean (муж) — среднее значение роста  в группе «Мужчины»;
    • Mean (жен) — среднее значение роста в группе «Женщины»;
    • t-value: значение рассчитанного программой t-критерия Стьюдента;
    • df — число степеней свободы;
    • P — вероятность справедливости гипотезы о том, что сравниваемые средние значения не различаются. Фактически, это самый главный результат анализа, поскольку именно значение P говорит, верна ли проверяемая гипотеза. В нашем примере P > 0.05, из чего можно сделать вывод о том, что статистически значимые различия между ростом мужчин и женщин отсутствуют.
    • Valid N (муж) — объем выборки «Мужчины»;
    • Valid N (жен) — объем выборки «Женщины»;
    • Std. dev. (муж) — стандартное отклонение выборки «Мужчины»;
    • Std. dev. (жен) — стандартное отклонение выборки «Женщины»;
    • F-ratio, Variances — значение F-критерия Фишера, с помощью которого проверяется гипотеза о равенстве дисперсий в сравниваемых выборках;
    • P, Variances — вероятность справедливости гипотезы о том, что дисперсии сравниваемых выборок не различаются.

     

     

    Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям

    vnauke.by

    T-критерии

    t-критерий для одной выборки

    t-критерии для двух независимых выборок

    t-критерии для двух зависимых выборок

    t-критерий для одной выборки

    t-критерий для одной выборки позволяет проверить гипотезу о равенстве выборочного среднего некоторому заданному числу.

    В так называемых одновыборочных t-критериях, наблюдаемое среднее (вычисленное по реализации выборки) сравнивается с ожидаемым (или эталонным) средним выборки μ (т.е. с некоторым теоретическим средним).



    Статистика критерия: имеет t-распределение Стьюдента с (n-1) степенью свободы.

    Выборочное стандартное отклонение s оценивается по наблюдаемой реализации выборки:

    Вычисленное значение t проверяют на предмет попадания в критическую область (критическое значение можно найти по таблицам).

    Если вычисленное значение t попадает в критическую область, то говорят, что отвергается на уровне α в пользу альтернативы.

    Например, пусть установлены некоторые фиксированные показатели эффективности деятельности торговой компании: уровень рентабельности товарооборота — 20% . Таким образом, имея данные о рентабельности (скажем, по месяцам) мы можем применить одновыборочный t-критерий для проверки гипотезы о равенстве среднего уровня рентабельности заданному значению.

    Отметим, что в данном случае необходимо применить односторонний критерий, т.к. нарушение эффективности коммерческой деятельности произойдет только в случае снижения показателя рентабельности относительно нормативного.

    t-критерий для двух независимых выборок

    t-критерий для двух независимых выборок (двухвыборочный t-критерий) проверяет гипотезу о равенстве средних в двух выборках (предполагается нормальность распределения переменных, а также равенство дисперсий выборок). Критерий применяется, например, если необходимо сравнить результаты баллов ЕГЭ в двух разных школах.

    ,

    где

    Алгоритм принятия решения об отклонении или не отклонении нулевой гипотезы аналогичен рассмотренному выше

    t-критерий для двух зависимых выборок

    t-критерий для двух зависимых (парных) выборок применяется, например, для оценки состояния больного до и после лечения. Нулевая гипотеза также гласит об отсутствии различий (среднее значение разности наблюдений в двух группах равно нулю).

    ,

    где

    Алгоритм принятия решения об отклонении или не отклонении нулевой гипотезы аналогичен рассмотренному выше

    Связанные определения:
    Параметрические методы статистики

    В начало

    Содержание портала

    statistica.ru

    2. Реализация в statistica

    STATISTICA позволяет применять четыре варианта t-критерия:

    • критерий для независимых выборок по группам (t-test, independent by groups),

    • критерий для независимых переменных (t-test, independent by variables),

    • критерий для зависимых выборок (t-test, dependent samples),

    • критерий для одной выборки (t-test, single sample).

    2.1. Применение t-критерия для независимых выборок

    Данный метод сравнения позволяет проверить гипотезу о том, что средние значения двух генеральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые независимые выборки, отличаются друг от друга.

    В программе STATISTICA реализовано два способа сравнения данных с помощью данного метода, которые основаны на обработке двух разных матриц данных: по группам (by groups), если в таблице с данными есть группирующая переменная и по переменным (by variables), если данные внесены в самостоятельные столбцы.

    Для применения t-критерия для независимых выборок по группам необходимо использовать следующую последовательность команд:

    Statistics (Статистики) – Basic Statistics and Tables (Основные статистики и таблицы) — t—test, independent by groups (t-критерий для независимых выборок по группам)

    В результате чего откроется диалоговое окно (рис.12), в котором необходимо указать зависимую переменную (Dependent) и группирующую переменную (Grouping), градациям которой соответствуют независимые выборки для вычисления t-критерия. Группирующая переменная должна быть дискретной и иметь две градации.

    Рис.12.ДиалоговоеокноT-Test for independent Samples by groups

    После выбора группирующей перемен в поле Code for Group 1 и Code for Group 2 появятся градации группирующей переменной. Чтобы рассчитать значение теста Левана для проверки равенства дисперсии в двух группах, необходимо перейти на вкладку Options (Опции) и установить флажок Levene’s test. Также в STATISTICA доступен критерий Брауна – Форсайта (Brown&Forsythe test). После нажатия на кнопку Summary на экран будет выведена таблица результатов вычисления t-критерия:

    • Mean — среднее значение в каждой группе;

    • t-value — значениеt-критерия Стьюдента;

    • df — число степеней свободы;

    • P — вероятность справедливости гипотезы о том, что сравниваемые средние значения не различаются;

    • Valid N — объем каждой выборки;

    • Std. dev.- стандартное отклонение для каждой выборки;

    • F-ratio, Variances- значение F-критерия Фишера, с помощью которого проверяется гипотеза о равенстве дисперсий в сравниваемых выборках;

    • P, Variances- вероятность справедливости гипотезы о том, что дисперсии сравниваемых выборок не различаются.

    Анализ данных с помощью t—критерия, сравнения средних и меры отклонения от среднего в группах можно производить с помощью диаграмм размаха. Эти графики позволяют визуально оценить степень зависимости между группирующей и зависимой переменными.

    Для того, чтобы на экран была выведена коробчатая диаграмма необходимо, в диалоговом окне T—Test for independent Samples by groups (рис.12), щелкнуть на кнопке Box&whisker plot, после чего на экран будет выведен ящик с усами.

    Пример сравнения среднего значения индекса массы тела до программы похудения для мужчин и женщин представлен соответствующая диаграмма размаха представлены на рис.13. и рис.14.

    Рис.13. Применение t-критерия для независимых выборок

    (по одной переменной)

    Из результатов следует, что выборка из 32 женщин имеет средний индекс массы тела до программы похудения 43,9687, выборка из 16 мужчины — средний индекс массы тела до программы похудения 33,2500. Различия статистически достоверны на высоком уровне значимости (p = 0,000136). Критерий равенства дисперсий Ливиня указывает на то, что дисперсии двух распределений статистически значимо не различаются (p = 0,646), следовательно, применение t-критерия корректно.

    Рис.14. Коробчатая диаграмма для переменной index_1, сгруппированной по переменой sex

    На рис.15. приведен пример сравнения индексов массы тела до и после программы похудения для мужчин и женщин, а на рис.16. коробчатые диаграммы отдельно для переменной index_1 и index_2 сгруппированные по переменной sex

    Рис.15. Применение t-критерия для независимых выборок

    (по двум переменным)

    Рис.16. Коробчатые диаграммы для переменной index_1 и index_2 сгруппированные по переменной sex

    studfiles.net

    Z-тест и Т-тест 2019

    Z-тест Vs T-test

    Иногда измерение каждого отдельного предмета просто нецелесообразно. Вот почему мы разработали и использовали статистические методы для решения проблем. Самый практичный способ сделать это — измерить только выборку населения. Некоторые методы проверяют гипотезы путем сравнения. Двумя наиболее известными статистическими гипотезами являются T-тест и Z-тест. Попробуем разбить два.

    Т-тест является статистическим критерием гипотезы. В таком тесте тестовая статистика следует Т-распределению ученика, если нулевая гипотеза верна. T-статистика была введена W.S. Госсетт под псевдонимом «Студент». Т-тест также упоминается как «Студенческий Т-тест». Весьма вероятно, что T-тест является наиболее часто используемой процедурой статистического анализа данных для тестирования гипотез, поскольку она проста и проста в использовании. Кроме того, он гибкий и адаптируемый к широкому спектру условий.

    Существуют различные Т-тесты, и два наиболее часто применяемых теста — это однокаскадные и парные образцы T-тестов. Однокаскадные Т-тесты используются для сравнения среднего значения выборки с известным средним значением. С другой стороны, тесты с двумя образцами, с другой стороны, используются для сравнения независимых выборок или зависимых выборок.

    Т-тест лучше всего применять, по крайней мере теоретически, если у вас ограниченный размер выборки (n <30), если переменные примерно нормально распределены, а изменение баллов в двух группах не является достоверно иным. Это также здорово, если вы не знаете стандартное отклонение населения. Если стандартное отклонение известно, тогда было бы лучше использовать другой тип статистического теста — Z-тест. Z-тест также применяется для сравнения образцов и популяций, чтобы знать, существует ли существенная разница между ними. Z-тесты всегда используют нормальное распределение и также идеально применяются, если известно стандартное отклонение. Z-тесты часто применяются, если выполняются определенные условия; в противном случае другие статистические тесты, такие как T-тесты, применяются в замене. Z-тесты часто применяются в больших образцах (n> 30). Когда T-тест используется в больших образцах, t-тест становится очень похожим на Z-тест. Существуют флуктуации, которые могут возникать при отклонениях образцов T-тестов, которых нет в Z-тестах. Из-за этого в обоих тестах есть различия.

    Резюме:

    1. Z-тест — это статистический тест гипотезы, который следует за нормальным распределением, тогда как T-тест следует за T-распределением Стьюдента. 2. Т-тест подходит, когда вы обрабатываете небольшие образцы (n <30), в то время как Z-тест подходит, когда вы обрабатываете отмеренные до больших образцов (n> 30). 3. Т-тест более адаптируется, чем Z-тест, поскольку Z-тест часто требует определенных условий, чтобы быть надежным. Кроме того, T-тест имеет множество методов, которые подходят для любой потребности. 4. Т-тесты чаще используются, чем Z-тесты. 5. Z-тесты предпочтительнее, чем T-тесты, когда известны стандартные отклонения.

    ru.esdifferent.com

    СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ (функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ) — Служба поддержки Office

    Примечание:  Мы стараемся как можно оперативнее обеспечивать вас актуальными справочными материалами на вашем языке. Эта страница переведена автоматически, поэтому ее текст может содержать неточности и грамматические ошибки. Для нас важно, чтобы эта статья была вам полезна. Просим вас уделить пару секунд и сообщить, помогла ли она вам, с помощью кнопок внизу страницы. Для удобства также приводим ссылку на оригинал (на английском языке) .

    Возвращает вероятность, соответствующую t-тесту Стьюдента. Функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ позволяет определить вероятность того, что две выборки взяты из генеральных совокупностей, которые имеют одно и то же среднее.

    Синтаксис

    СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ(массив1;массив2;хвосты;тип)

    Аргументы функции СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ описаны ниже.

    • Массив1     Обязательный. Первый набор данных.

    • Массив2     Обязательный. Второй набор данных.

    • Хвосты     Обязательный. Число хвостов распределения. Если значение «хвосты» = 1, функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ возвращает одностороннее распределение. Если значение «хвосты» = 2, функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ возвращает двустороннее распределение.

    • Тип     Обязательный. Вид выполняемого t-теста.

    Параметры

    Тип

    Выполняемый тест

    1

    Парный

    2

    Двухвыборочный с равными дисперсиями (гомоскедастический)

    3

    Двухвыборочный с неравными дисперсиями (гетероскедастический)

    Замечания

    • Если аргументы «массив1» и «массив2» имеют различное число точек данных, а «тип» = 1 (парный), то функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ возвращает значение ошибки #Н/Д.

    • Аргументы «хвосты» и «тип» усекаются до целых значений.

    • Если аргумент «хвосты» или «тип» не является числом, то функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

    • Если аргумент «хвосты» принимает любое значение, отличное от 1 и 2, то функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

    • Функция СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ использует данные аргументов «массив1» и «массив2» для вычисления неотрицательной t-статистики. Если «хвосты» = 1, СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ возвращает вероятность более высокого значения t-статистики, исходя из предположения, что «массив1» и «массив2» являются выборками, принадлежащими к генеральной совокупности с одним и тем же средним. Значение, возвращаемое функцией СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ в случае, когда «хвосты» = 2, вдвое больше значения, возвращаемого, когда «хвосты» = 1, и соответствует вероятности более высокого абсолютного значения t-статистики, исходя из предположения, что «массив1» и «массив2» являются выборками, принадлежащими к генеральной совокупности с одним и тем же средним.

    Пример

    Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

    Данные 1

    Данные 2

    3

    6

    4

    19

    5

    3

    8

    2

    9

    14

    1

    4

    2

    5

    4

    17

    5

    1

    Формула

    Описание

    Результат

    =СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ(A2:A10;B2:B10;2;1)

    Вероятность, соответствующая парному критерию Стьюдента, с двусторонним распределением

    0,196016

    support.office.com

    t-критерий Стьюдента — это… Что такое t-критерий Стьюдента?

    t-критерий Стьюдента — общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

    t-статистика строится обычно по следующему общему принципу: в числителе случайная величина с нулевым математическим ожиданием (при выполнении нулевой гипотезы), а в знаменателе — выборочное стандартное отклонение этой случайной величины, получаемое как квадратный корень из несмещенной оценки дисперсии.

    История

    Данный критерий был разработан Уильямом Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

    Требования к данным

    Для применения данного критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. В случае применения двухвыборочного критерия для независимых выборок также необходимо соблюдение условия равенства дисперсий. Существуют, однако, альтернативы критерию Стьюдента для ситуации с неравными дисперсиями.

    Требование нормальности распределения данных является необходимым для точного -теста. Однако, даже при других распределениях данных возможно использование -статистики. Во многих случаях эта статистика асимптотически имеет стандартное нормальное распределение — , поэтому можно использовать квантили этого распределения. Однако, часто даже в этом случае используют квантили не стандартного нормального распределения, а соответствующего распределения Стьюдента, как в точном -тесте. Асимптотически они эквивалентны, однако на малых выборках доверительные интервалы распределения Стьюдента шире и надежнее.

    Одновыборочный t-критерий

    Применяется для проверки нулевой гипотезы о равенстве математического ожидания некоторому известному значению .

    Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы . С учётом предполагаемой независимости наблюдений . Используя несмещенную оценку дисперсии получаем следующую t-статистику:

    При нулевой гипотезе распределение этой статистики . Следовательно, при превышении критического значения нулевая гипотеза отвергается.

    Двухвыборочный t-критерий для независимых выборок

    Пусть имеются две независимые выборки объемами нормально распределенных случайных величин . Необходимо проверить по выборочным данным нулевую гипотезу равенстве математических ожиданий этих случайных величин .

    Рассмотрим разность выборочных средних . Очевидно, если нулевая гипотеза выполнена . Дисперсия этой разности равна исходя из независимости выборок: . Тогда используя несмещенную оценку дисперсии получаем несмещенную оценку дисперсии разности выборочных средних: . Следовательно, t-статистика для проверки нулевой гипотезы равна

    Эта статистика при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение , где

    Случай одинаковой дисперсии

    В случае, если дисперсии выборок предполагаются одинаковыми, то . Тогда t-статистика равна:

    Эта статистика имеет распределение

    Двухвыборочный t-критерий для зависимых выборок

    Для вычисления эмпирического значения t-критерия в ситуации проверки гипотезы о различиях между двумя зависимыми выборками (например, двумя пробами одного и того же теста с временным интервалом) применяется следующая формула:

    где  — средняя разность значений,  — стандартное отклонение разностей, а n — количество наблюдений

    Эта статистика имеет распределение .

    Проверка линейного ограничения на параметры линейной регрессии

    С помощью t-теста можно также проверить произвольное (одно) линейное ограничение на параметры линейной регрессии, оцененной обычным методом наименьших квадратов. Пусть необходимо проверить гипотезу . Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы . Здесь использовано свойство несмещенности МНК-оценок параметров модели . Кроме того, . Используя вместо неизвестной дисперсии ее несмещенную оценку получаем следующую t-статистику:

    Эта статистика при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение , поэтому если значение статистики выше критического, то нулевая гипотеза о линейном ограничении отклоняется.

    Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии

    Частным случаем линейного ограничения является проверка гипотезы о равенстве коэффициента регрессии некоторому значению . В этом случае соответстующая t-статистика равна:

    где  — стандартная ошибка оценки коэффициента — квадратный корень из соответствующего диагонального элемента ковариационной матрицы оценок коэффициентов.

    При справедливости нулевой гипотезы распределение этой статистики — . Если значение статистики выше критического значения, то отличие коэффициента от является статистически значимым (неслучайным), в противном случае — незначимым (случайным, то есть истинный коэффициент вероятно равен или очень близок к предполагаемому значению )

    Замечание

    Одновыборочный тест для математических ожиданий можно свести к проверке линейного ограничения на параметры линейной регрессии. В одновыборочном тесте это «регрессия» на константу. Поэтому регрессии это и есть выборочная оценка дисперсии изучаемой случайной величины, матрица равна , а оценка «коэффициента» модели равна выборочному среднему. Отсюда и получаем выражение для t-статистики, приведенное выше для общего случая.

    Аналогично можно показать, что двухвыборочный тест при равенстве дисперсий выборок также сводится к проверке линейных ограничений. В двухвыборочном тесте это «регрессия» на константу и фиктивную переменную, идентифицирующую подвыборку в зависимости от значения (0 или 1): . Гипотеза о равенстве математических ожиданий выборок может быть сформулирована как гипотеза о равенстве коэффициента b этой модели нулю. Можно показать, что соответствующая t-статистика для проверки этой гипотезы равна t-статистике, приведенной для двухвыборочного теста.

    Также к проверке линейного ограничения можно свести и в случае разных дисперсий. В этом случае дисперсия ошибок модели принимает два значения. Исходя из этого можно также получить t-статистику, аналогичную приведенной для двухвыборочного теста.

    Непараметрические аналоги

    Аналогом двухвыборочного критерия для независимых выборок является U-критерий Манна–Уитни. Для ситуации с зависимыми выборками аналогами являются критерий знаков и T-критерий Вилкоксона

    Литература

    Student. The probable error of a mean. // Biometrika. 1908. № 6 (1). P. 1-25.

    Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами

    dic.academic.ru

    Занятие 8. Тест Стьюдента для зависимых выборок — Основы доказательной медицины. Биомедицинская статистика. — Внауке.by


    t-тест для зависимых выборок

    С зависимыми выборками исследователь имеет дело каждый раз, когда измерения значений какого-либо признака выполняются на одних и тех же объектах. Распределение обоих выборок должно быть нормальным! В противном случае использование критерия Стьюдента недопустимо.

    Рассмотрим следующий пример. Для сравнения эффективности двух антиаритмических лекарственных средств, 20 условным добровольцам (сопоставимым по возрасту, полу, росту, массе тела) дали  лекарство А, и через 1 час измерили частоту сердечных сокращений (ЧСС). Через 3 дня той же группе добровольцев дали лекарство Б в той же дозе и также через 1 час измерили ЧСС. Задача: выяснить, зависит ли ЧСС от вида используемого лекарственного средства.

    Рисунок 1. Пример оформления данных для выполнения t-теста для зависимых выборок

    Поскольку лекарства давались одним и тем же добровольцам, выборки, полученные в результате двух описанных выше экспериментов, являются зависимыми. Это объясняется тем, что уровень ЧСС через 1 час после дачи лекарства Б вполне мог испытывать определенное последействие лекарства А, т.е. ЧСС зависела от того, что происходило с добровольцами ранее. Для сравнения ЧСС в данном случае следует использовать t-тест для зависимых выборок. В учебных целях предполагается, что данные об ЧСС подчиняются закону нормального распределения.

    Для выполнения t-теста для зависимых выборок необходимо:

    1. Запустить соответствующий модуль из меню Statistics > Basic statistics/Tables > t-test, dependent samples.  Вместо использования меню Statistics можно нажать кнопку на дополнительной панели инструментов (Занятие 1).

    Рисунок 2.Запуск модуля t-test, dependent sample из меню Statistics > Basic statistics/Tables

    В открывшемся окне нажать на кнопку Variables и указать программе первую (First variable) и вторую (Second variable) переменные, участвующие в анализе.

    Рисунок 3-а. Выбор переменных, участвующих в анализе

    Рисунок 3-б. Выбор переменных, участвующих в анализе

    3. Нажать на кнопку Summary: T-tests.

    Рисунок 4. Рабочая книга с результатами t-теста для зависимых выборок

    Программа откроет рабочую книгу, очень похожую на ту, с которой мы столкнулись при выполнении t-теста для независимых выборок. Она содержит следующие столбцы:

    • Mean — средние значения ЧСС для каждой из сравниваемых групп;
    • Std. dv. — стандартные отклонения для каждой из групп;
    • N — число наблюдений;
    • Diff. — средняя разница ЧСС;
    • Std. dv. diff. — стандартное отклоение для средней разницы;
    • t — значение t-критерия;
    • df — число степенй свободы;
    • Р — вероятность справедливости гипотезы о том, средние величины урожайности в сравниваемых группах не различаются. Как видно из таблицы, Р << 0.05. Это говорит о том, что ЧСС при использовании условных лекарства А и лекарства Б значительно различается (кстати, при наличии различий, результаты анализа в STATISTICA выделяются красным цветом).

    В модулях обеих рассмотренных нами вариантов t-теста есть очень удобная возможность — построить график типа Box-whisker plot и визуально оценить, насколько велика разница между сравниваемыми группами. Достаточно нажать кнопку Box & Whisker Plots (см. рисунок 5)

    Рисунок 5. График Box & whisker plot, построенный на основе данных о ЧСС.

     

    Добавление комментариев доступно только зарегистрированным пользователям

    vnauke.by

    Как решить квадратное уравнение по теореме виета – Теорема Виета

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Теорема Виета

    В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

    К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов — теорему Виета. Для начала введем новое определение.

    Квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x2 равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.

    Примеры:

    1. x2 + 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;
    2. x2 − 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;
    3. 2x2 − 6x + 8 = 0 — а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x2 равен 2.

    Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 можно сделать приведенным — достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.

    Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

    Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:

    1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
    2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
    3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
    4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

    Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x2. Получим:

    1. 3x2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x2 − 4x + 6 = 0 — разделили все на 3;
    2. −4x2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x2 − 8x − 4 = 0 — разделили на −4;
    3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x2 + 5x + 2 = 0 — разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;
    4. 2x2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x2 + 3,5x − 5,5 = 0 — разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

    Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.

    Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

    Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x1 и x2. В этом случае верны следующие утверждения:

    1. x1 + x2 = −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;
    2. x1 · x2 = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

    Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:

    1. x2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−9) = 9; x1 · x2 = 20; корни: x1 = 4; x2 = 5;
    2. x2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x1 + x2 = −2; x1 · x2 = −15; корни: x1 = 3; x2 = −5;
    3. x2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1 · x2 = 4; корни: x1 = −1; x2 = −4.

    Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

    Задача. Решите квадратное уравнение:

    1. x2 − 9x + 14 = 0;
    2. x2 − 12x + 27 = 0;
    3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
    4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

    Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:

    1. x2 − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.
      По теореме Виета имеем: x1 + x2 = −(−9) = 9;x1 · x2 = 14. Несложно заметить, что корни — числа 2 и 7;
    2. x2 − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.
      По теореме Виета: x1 + x2 = −(−12) = 12;x1 · x2 = 27. Отсюда корни: 3 и 9;
    3. 3x2 + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x2 + 11x + 10 = 0.
      Решаем по теореме Виета: x1 + x2 = −11;x1 · x2 = 10 ⇒ корни: −10 и −1;
    4. −7x2 + 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x2 не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x2 − 11x + 30 = 0.
      По теореме Виета: x1 + x2 = −(−11) = 11;x1 · x2 = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.

    Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений») нам не потребовался.

    Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:

    1. Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x2 равен 1;
    2. Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 — по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.

    Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x2 отличен от 1), это легко исправить — взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.

    Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:

    1. Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;
    2. Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;
    3. В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;
    4. Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

    Задача. Решите уравнение: 5x2 − 35x + 50 = 0.

    Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x2 − 7x + 10 = 0.

    Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x1 + x2 = −(−7) = 7;x1 · x2 = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

    Задача. Решите уравнение: −5x2 + 8x − 2,4 = 0.

    Смотрим: −5x2 + 8x − 2,4 = 0 — это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x2 − 1,6x + 0,48 = 0 — уравнение с дробными коэффициентами.

    Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒D = 82 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒… ⇒x1 = 1,2; x2 = 0,4.

    Задача. Решите уравнение: 2x2 + 10x − 600 = 0.

    Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x2 + 5x − 300 = 0.

    Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x1 + x2 = −5;x1 · x2 = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно — лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.

    Придется искать корни через дискриминант: D = 52 − 4 · 1 · (−300) =1225 = 352. Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225 : 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 =52 · 72 = 352.

    Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x1 = 15; x2 = −20.

    Смотрите также:

    1. Следствия из теоремы Виета
    2. Как решать квадратные уравнения
    3. Стандартный вид числа
    4. Задача B3 — работа с графиками
    5. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 6 (без производной)
    6. Опасные ошибки в задачах на площади

    www.berdov.com

    Устное решение квадратных уравнений и теорема Виета

    Любое полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 можно привести к виду x2 + (b/a)x + (c/a) = 0, если предварительно разделить каждое слагаемое на коэффициент a перед x2. А если ввести новые обозначения  (b/a) = p и (c/a) = q, то будем иметь уравнение x2 + px + q = 0, которое в математике называется приведенным квадратным уравнением.

    Корни приведенного квадратного уравнения и коэффициенты p и q связаны между собой. Это подтверждается теоремой Виета, названной так в честь французского математика Франсуа Виета, жившего в конце XVI века.

    Теорема. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней  – свободному члену q.

    Запишем данные соотношения в следующем виде:

    Пусть x1 и x2  различные корни приведенного уравнения x2 + px + q = 0. Согласно теореме Виета x1 + x2 = -p и x1 · x2 = q.

    Для доказательства подставим каждый из корней x1 и x2  в уравнение. Получаем два верных равенства:

    x12 + px1 + q = 0

    x22 + px2 + q = 0

    Вычтем из первого равенства второе. Получим:

    x12 – x22 + p(x1 – x2)  = 0

    Первые два слагаемых раскладываем по формуле разности квадратов:

    (x1 – x2)(x1 – x2) + p(x1 – x2)  = 0

    По условию корни x1 и x2  различные. Поэтому мы можем сократить равенство на (x1 – x2) ≠ 0 и выразить p.

    (x1 + x2) + p = 0;

    (x1 + x2) = -p.

    Первое равенство доказано.

    Для доказательства второго равенства подставим в первое уравнение

    x12 + px1 + q = 0 вместо коэффициента p равное ему число  – (x1 + x2):

    x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

    Преобразовав левую часть уравнения, получаем:

    x12 – x22  – x1x2  + q = 0;

    x1x2  =  q, что и требовалось доказать.

    Теорема Виета хороша тем, что, даже не зная корней квадратного уравнения, мы можем вычислить их сумму и произведение.

    Теорема Виета помогает определять целые корни приведенного квадратного уравнения. Но у многих учащихся это вызывает затруднения из-за того, что они не знают четкого алгоритма действия, особенно если корни уравнения имеют разные знаки.

    Итак, приведенное квадратное уравнение имеет вид  x2 + px + q = 0, где x1 и x2  его корни. Согласно теореме Виета x1 + x2 = -p и x1 · x2 = q.

    Можно сделать следующий вывод.

    Если в уравнении перед последним членом стоит знак «минус», то корни x1 и x2  имеют различные знаки. Кроме того, знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.

    Исходя из того, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, а перед полученным результатом ставится знак большего по модулю числа, следует действовать следующим образом:

    1. определить такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p;
    2. поставить перед меньшим из полученных чисел знак второго коэффициента уравнения;  второй корень будет иметь противоположный знак.

    Рассмотрим некоторые примеры.

    Пример 1.

    Решить уравнение x2 – 2x – 15 = 0.

    Решение.

    Попробуем решить данное уравнение с помощью предложенных выше правил. Тогда можно точно сказать, что данное уравнение будет иметь два различных корня, т.к. D = b2 – 4ac= 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

    Теперь из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это будут числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак «минус», т.е.  знак второго коэффициента уравнения. Таким образом, получим корни уравнения x1 = -3 и  x2 = 5.

    Ответ. x1 = -3 и  x2 = 5.

    Пример 2.

    Решить уравнение x2 + 5x – 6 = 0.

    Решение.

    Проверим, имеет ли данное уравнение корни. Для этого найдем дискриминант:

    D = b2 – 4ac= 25 + 24 = 49 > 0. Уравнение имеет два различных корня.

    Возможные множители числа 6 — это 2 и 3, 6 и 1. Разность равна 5 у пары 6 и 1. В этом примере коэффициент второго слагаемого имеет знак «плюс», поэтому и меньшее число будет иметь такой же знак. А вот перед вторым числом будет стоять знак «минус».

    Ответ: x1 = -6 и  x2 = 1.

    Теорему Виета можно записать и для полного квадратного уравнения. Так, если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет корни x1  и  x2, то для них выполняются равенства

    x1 + x2 = -(b/a) и x1 · x2 = (c/a). Однако применение этой теоремы в полном квадратном уравнении довольно проблематично, т.к. при наличии корней, хотя бы один из них является дробным числом. А работать с подбором дробей достаточно трудно. Но все-таки выход есть.

    Рассмотрим полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Умножим его левую и правую части на коэффициент a. Уравнение примет вид (ax)2 + b(ax) + ac = 0. Теперь введем новую переменную, например t = ax.

    В этом случае полученное уравнение превратиться в приведенное квадратное уравнение вида t2 + bt + ac = 0, корни которого t1 и  t2 (при их наличии) могут быть определены по теореме Виета.

    В этом случае корни исходного квадратного уравнения будут  

    x1 = (t1 / a) и  x2 = (t2 / a).

    Пример 3.

    Решить уравнение 15x2 – 11x + 2 = 0.

    Решение.

    Составляем вспомогательное уравнение. Умножим каждое слагаемое уравнения на 15:

    152x2 – 11 · 15x + 15 · 2 = 0.

    Делаем замену t = 15x. Имеем:

    t2 – 11t + 30 = 0.

    По теореме Виета корнями данного уравнения будут t1 = 5 и  t2 = 6.

    Возвращаемся к замене t = 15x:

    5 = 15x или 6 = 15x. Таким образом, x1 = 5/15 и  x2 = 6/15. Сокращаем и получаем окончательный ответ: x1 = 1/3 и  x2 = 2/5.

    Ответ. x1 = 1/3 и  x2 = 2/5.

    Чтобы освоить решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, учащимся необходимо как можно больше тренироваться. Именно в этом и заключается секрет успеха.

    © blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    blog.tutoronline.ru

    Теорема Виета. Примеры и решение

    Теорема:

    Сумма корней приведённого квадратного уравнения

    x2 + px + q = 0

    равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

    x1 + x2 = —p,   x1 · x2 = q

    Доказательство:

    Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

    x2 + px + q = 0

    то его корни равны:

    где D = p2 — 4q. Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

    а теперь найдём их произведение:

    Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

    x1 + x2 = —p

    x1 · x2 = q

    называются формулами Виета.

    Теорема Виета применима к квадратным уравнениям только в том случае, если оно имеет два корня, поэтому, если дискриминант равен нулю, то принято считать, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня. Таким образом, теорема Виета становится верна для любого квадратного уравнения, имеющего корни.

    Обратная теорема

    Теорема:

    Если сумма двух чисел равна —p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

    x2 + px + q = 0

    Доказательство:

    Пусть дано x1 + x2 = —p,   значит   x2 = —p — x1. Подставим это выражение в равенство   x1 · x2 = q, получим:

    x1(-p — x1) = q

    —px1 — x12 = q

    x12 + px1 + q = 0

    Это доказывает, что число x1 является корнем уравнения   x2 + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x2 является корнем для этого уравнения.

    Решение примеров

    Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

    Пример 1. Найти корни уравнения:

    x2 — 3x + 2 = 0

    Решение: так как

    x1 + x2 = -(-3) = 3

    x1 · x2 = 2

    очевидно, что корни равны 1 и 2:

    1 + 2 = 3

    1 · 2 = 2

    Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

    12 — 3 · 1 + 2 = 0

    и

    22 — 3 · 2 + 2 = 0

    Ответ: 1, 2.

    Пример 2. Найти корни уравнения:

    x2 + 8x + 15 = 0

    Решение:

    x1 + x2 = -8

    x1 · x2 = 15

    Методом подбора находим что корни равны -3 и -5:

    -3 + -5 = -8

    -3 · -5 = 15

    Ответ: -3, -5.

    С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

    Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

    x1 = -3, x2 = 6.

    Решение: так как x1 = -3, x2 = 6 корни уравнения x2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

    p = -(x1 + x2) = -(-3 + 6) = -3

    q = x1 · x2 = -3 · 6 = -18

    Следовательно, искомое уравнение:

    x2 — 3x — 18 = 0

    Ответ: x2 — 3x — 18 = 0.

    Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

    x1 = 2, x2 = 3.

    Решение:

    p = -(x1 + x2) = -(2 + 3) = -5

    q = x1 · x2 = 2 · 3 = 6

    Ответ: x2 — 5x + 6 = 0.

    naobumium.info

    уравнения Виета

    Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.

    Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения.Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.

    Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что

       

    то x1 и x2 — корни квадратного уравнения 

       

    При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.

    I. Если q — положительное число,

    это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).

    I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

    I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).

    II. Если q — отрицательное число,

    это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1+x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1+x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по  модулю).

    II.a. Если -p — положительное число, ( то есть p<0), то  больший (по модулю) корень — положительное число.

    II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.

    Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.

    Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

       

    Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.

       

    В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

       

    Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то бОльшее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

       

    q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

    www.uznateshe.ru

    Теорема Виета.

    I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

    Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

    x1+x2=-p;  x1∙x2=q.

     Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

    Пример 1) x2-x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x2+px+q=0), второй коэффициент  p=-1, а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

    Находим дискриминант D=b2— 4ac=(-1)2-4∙1∙(-30)=1+120=121=112.

    Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p), а произведение равно свободному члену, т.е. (q). Тогда:

    x1+x2=1; x1∙x2=-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30, а сумма – единице. Это числа -5 и 6. Ответ: -5; 6.

    Пример 2) x2+6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8. Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=32-1∙8=9-8=1=12. Дискриминант D1 является полным квадратом числа 1, значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6, а произведение корней равно q=8. Это числа -4 и -2.

    На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

    Пример 3) x2+2x-4=0. В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2, а свободный член q=-4. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=12-1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод: корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам для частного случая с четным вторым коэффициентом). Получаем:

    Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x1=-7, x2=4.

    Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x2+px+q=0, причем, на основании теоремы Виета –p=x1+x2=-7+4=-3 → p=3; q=x1∙x2=-7∙4=-28. Тогда уравнение примет вид: x2+3x-28=0.

    Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

    II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

    Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:

    x1+x2=-b/a;  x1∙x2=c/a.

    Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x2-7x-11=0.

    Решение.

    Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D=72-4∙2∙(-11)>0. А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.

    x1+x2=-b:a=- (-7):2=3,5.

    Пример 7). Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x2+8x-21=0.

    Решение.

    Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент (8) является четным числом. D1=42-3∙(-21)=16+63=79>0. Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x1∙x2=c:a=-21:3=-7.     

     

    www.mathematics-repetition.com

    Как решать уравнения по теореме Виета

    Практически любое квадратное уравнение \[ax^2+ bx + c = 0\]можно преобразовать к виду \[x^2 + (\frac {b}{a})x + (\frac {c}{a}) = 0.\] Однако это возможно, если изначально разделить каждое слагаемое на коэффициент \[a\] перед \[x_2.\] Кроме того, можно ввести новое обозначение:

    \[(\frac {b}{a})= p\] и \[(\frac {c}{a}) = q\]

    Так же читайте нашу статью «Решить уравнение с х онлайн решателем»

    Благодаря чему будем иметь уравнение \[x^2+ px + q = 0,\] именуемое в математике приведенным квадратным уравнением. Корни данного уравнения и коэффициенты \[p, q\] взаимосвязаны между собой, что подтверждено теоремой Виета.

    Теорема Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения \[x^2+ px + q = 0\] равна второму коэффициенту \[p,\] взятому с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену \[q.\]

    Для наглядности решим уравнение следующего вида:

    \[x^2 — 2x — 15 = 0\]

    Решим данное квадратное уравнение с помощью выписанных правил. Проанализировав исходные данные, можно сделать вывод, что уравнение будет иметь два различных корня, поскольку:

    \[D = b^2 — 4ac= 4 — 4 \cdot (-15) = 64 > 0\]

    Теперь из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Под это условие попадают числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак «минус». Таким образом, получим корни уравнения \[x_1= -3, x_2 = 5.\]

    Ответ: \[ x_1= -3 и x_2 = 5\]

    Где можно решить уравнение по теореме Виета онлайн?

    Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

    www.pocketteacher.ru

    Решение квадратных уравнений. Теорема Виета

    Для начала введем непосредственно определение квадратного уравнения.

    Определение 1

    Квадратным будем называть уравнение, которое имеет вид $αx^2+βx+γ=0$ (1), где $α≠0,γ \ и \ β$ являются действительными числами.

    Рассмотрим далее два различных способа решения такого уравнения. В этой статье мы приведем метод его решения через формулы, а также с применением теоремы, приведенной Франсуа Виетом.

    Решение с помощью формул

    Рассмотрим

    $αx^2+βx+γ=0$

    Для начала умножим его обе части на $4α$, будем иметь

    $4α^2 x^2+4αβx+4αγ=0$

    Преобразуем его левую часть так, чтобы можно было использовать формулу суммы квадрата

    $4α^2 x^2+4αβx+β^2-β^2+4αγ=0$

    После этого будем получать

    $(2αx+β)^2-β^2+4αγ=0$

    $(2αx+β)^2=β^2-4αγ$

    Теперь в этом полученном равносильном уравнении количество и вид корней зависит от значения его правой части. Введем следующее определение

    Определение 2

    Значение $β^2-4αγ$, составленное из коэффициентов уравнения (1) будем называть дискриминантом этого уравнения.

    Обозначение: $D$

    Теперь далее возможны три случая. Рассмотрим их по отдельности.

    1. $D >0$

      При таком случае наше уравнение будет иметь два корня. Чтобы разрешить этот случай сделаем такую замену:

      $2αx+β=y$

      Тогда

      $y^2=D$

      $y=±\sqrt{D}$

      Возвращаясь

      $2αx+β=±\sqrt{D}$

      $x=\frac{±\sqrt{D}-β}{2α}$

    2. $D=0$

      Тогда, при той же замене

      $y^2=0$

      $y=0$

      Возвращаясь

      $2αx+β=0$

      $x=\frac{-β}{2α}$

    3. $D

      В этом случае $y^2

    Замечание 1

    Данный способ также верен и для случаев, когда коэффициент при x или свободный коэффициент равняются нулю, то есть уравнение является неполным.

    Пример 1

    Решить

    $2x^2+\sqrt{7} x-7=0$

    Решение.

    Найдем для начала для нашего уравнения значение дискриминанта.

    $D=(\sqrt{7})^2-4\cdot 2\cdot (-7)=7+56=63$

    Так как $63$ – положительное число, то мы приходим к первому случаю (два корня). Найдем их по выше найденным формулам.

    Первый корень:

    $x=\frac{\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{2\sqrt{7}}{4}=0,5\sqrt{7}$

    Второй корень:

    $x=\frac{-\sqrt{63}-\sqrt{7}}{2\cdot 2}=\frac{-4\sqrt{7}}{4}=-\sqrt{7}$

    Ответ: $0,5\sqrt{7} \ и \ -\sqrt{7}$.

    Теорема Виета

    Приведем и докажем здесь теорему Франсуа Виета.

    Теорема 1

    Для приведенного квадратного уравнения сумма его корней равняется числу, противоположному второму коэффициенту этого уравнения, а их произведение равняется свободному коэффициенту этого же уравнения.

    Для уравнения (1) математически это можно записать так:

    $α=1, x_1+x_2=-β, x_1 x_2=γ$

    Доказательство.

    Так как корней два, то они будут иметь следующий вид (выведенный нами ранее):

    $x_1=\frac{\sqrt{D}-β}{2}$

    $x_1=\frac{-\sqrt{D}-β}{2}$

    с учетом того, что α равняется единице.

    Найдем их сумму:

    $x_1+x_2=\frac{\sqrt{D}-β}{2}+\frac{-\sqrt{D}-β}{2}=\frac{-2β}{2}=-β$

    Теперь найдем их произведение:

    $x_1 x_2=\frac{\sqrt{D}-β}{2} \frac{-\sqrt{D}-β}{2}=-\frac{(\sqrt{D}-β)(\sqrt{D}+β)}{4}=-\frac{D-β^2}{4}$

    Введем значение дискриминанта

    $x_1 x_2=-\frac{β^2-4γ-β^2}{4}=\frac{4γ}{4}=γ$ Теорема доказана.

    Решение с помощью теоремы Виета

    Для теоремы 1 также справедлива и обратная теорема. Введем ее (без доказательства).

    Теорема 2

    Если сумма двух чисел равняется $–β$, а их же произведение равняется γ, то они будут являться корнями уравнения, имеющего вид $x^2+βx+γ=0$

    С помощью этой теоремы мы может решать квадратные уравнения, при условии, что первый коэффициент равняется 1.

    Пример 2

    Решить

    $x^2+3x-4=0$

    Решение.

    Обозначим корни нашего уравнения через $x_1$ и $x_2$. Тогда для его решения нам нужно разрешить следующую систему:

    $\cases{x_1+x_2=-3,\\x_1 x_2=-4.}$

    Чаще всего решения таких систем находим в уме. В этом и смысл применения обратной теоремы Виета для разрешения таких уравнений – как более рационального способа, чем использование формул.

    В нашем случае получаем

    Ответ: $1$ и $-4$.

    spravochnick.ru

    Решение задач графическим методом – — — :

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Графический (геометрический) метод решения задач ЛП

    Пример 6.1. Решить следующую задачу ли-нейного программирования геометрическим методом:

    .

    Решение:

    Задача линейного программирования задана в стандартной форме и имеет два проектных параметра, следовательно

    , воз-можно ее решение геометрическим методом.

    1 этап: построение прямых, ограничивающих область допустимых решений ( ОДР).

    Рассмотрим систему ограничений задачи линейного програм-мирования (для удобства пронумеруем неравенства):

    Рассмотрим первое ограничение, заменим знак неравенства знаком равенства и выразим переменную х2 через х1:

    .

    Для построения прямой по данному уравнению зададим две произвольные точки, к примеру:

    Аналогично определяем точки для остальных ограничений системы и строим по ним прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 1). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схеме.

    2 этап: определение решения каждого из нера-венств системы ограничений.

    Определим полуплоскости – решения каждого из неравенств.

    Рассмотрим первое неравенство системы ограничений задачи. Возьмем какую-либо точку (контрольную точку), не принадлежащую соответствующей данному неравенству прямой, например, точку (0; 0). Подставим ее в рассматриваемое неравенство:

    .

    При подстановке координат контрольной точки неравенство остается справедливым. Следовательно, множество точек, принадлежащих данной прямой (т.к. неравенство не строгое), а также расположенных ниже ее, будут являться решениями рассматриваемого неравенства (пометим на графике (рис. 1) найденную полуплоскость двумя стрелками направленными вниз рядом с прямой I) .

    Аналогично определяем решения других неравенств и соответственно помечаем их графике. В результате график примет следующий вид:

    3 этап: определение ОДР задачи линейного про- граммирования.

    Найденные полуплоскости (решения каждого из неравенств системы ограничений) при пересечении образуют многоугольник ABCDEO, который и является ОДР рассматриваемой задачи.

    Рис. 1. Область допустимых решений задачи

    4 этап: построение вектора-градиента.
    Вектор-градиент показывает направление максимизации целевой функции . Определим его координаты: координаты начальной его точки (точки приложения) – (0; 0), координаты второй точки:

    Построим данный вектор на графике (рис. 2).

    5 этап: построение прямой целевой функ-ции.

    Рассмотрим целевую функцию данной задачи:

    .

    Зададим ей какое-либо значение, к примеру, . Выразим переменную х2 через х1:

    .

    Для построения прямой по данному уравнению зададим две произвольные точки, к примеру:

    Построим прямую соответствующую целевой функции (рис. 2).

    Рис. 2. Построение целевой функции F(X) и вектора-градиента С

    6 этап: определение максимума целевой функ-ции.

    Перемещая прямую F(X) параллельно са-мой себе по направлению вектора-градиента, определяем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 3), такой точкой является точка С ­– точка пересечения прямых I и II.

     

    Рис. 3. Определение точки максимума целевой функции F(X)

    Определим координаты точки С, с этой целью, решим сле-дующую систему линейных уравнений:

    Подставим найденные координаты в целевую функцию и найдем ее оптимальное (максимальное) значение:

    Ответ: при заданных ограничениях макси-мальное значение целевой функции F(Х)=24, которое достигается в точке С, координаты которой х1=6, х2=4.


    Пример 6.2. Решить задачу линейного про- граммирования геометрическим методом:

    Решение:

    Этапы 1-3 аналогичны соответствующим этапам предыдущей задачи.
    4 этап: построение вектора-градиента.
    Построение вектора-градиента осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче. Построим данный вектор на графике (рис. 4). Отметим также на данном графике стрелкой направление, обратное вектору-градиенту, – направление минимизации целевой функцииF (X).

    5 этап: построение прямой целевой функ-ции.

    Построение прямой целевой функции F(X) осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче (результат построения приведен на рис. 4).

    Рис. 4. Построение целевой функции F(x) и вектора-градиента С

    6 этап: определение оптимума целевой функ-ции.

    Перемещая прямую F(x) параллельно са-мой себе в направлении, обратном вектору-градиенту, опреде-ляем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 5), та- кой точкой является точка О с координатами (0; 0).

     

    Рис. 5. Определение точки минимума целевой функции

    Подставляя координаты точки минимума в целевую функ-цию, определяем ее оптимальное (минимальное) значение, которое равно 0.
    Ответ: при заданных ограничениях минимальное значение целевой функции F(Х)=0, которое достигается в точке О (0; 0).


    Пример 6.3. Решить следующую задачу ли-нейного программирования геометрическим методом:

    Решение:

    Рассматриваемая задача линейного программирования задана в канонической форме, выделим в качестве базисных переменные x 1 и x2.

    Составим расширенную матрицу и выделим с помощью метода Жордана- Гаусса базисные переменныеx1 и x 2.

    Умножим (поэлементно) первую строку на –3 и сложим со вто-рой:
    .

    Умножим вторую строку на :

    .

    Сложим вторую с первой строкой:

    .

    В результате система ограничений примет следующий вид:

    Выразим базисные переменные через свободные:

    Выразим целевую функцию также через свободные перемен-ные, для этого подставим полученные значения базисных переменных в целевую функцию:

    .

    Запишем полученную задачу линейного программирования:

    Так как переменные x1 и x2 неотрицательные, то полученную систему ограничений можно записать в следующем виде:

    Тогда исходную задачу можно записать в виде следующей эк- вивалентной ей стандартной задаче линейного программирования:

    Данная задача имеет два проектных параметра, следовательно, возможно ее решение геометрическим мето-дом.

    1 этап: построение прямых, ограничивающих область допустимых решений ( ОДР).

    Рассмотрим систему ограничений задачи линейного програм-мирования (для удобства пронумеруем неравенства):

    Построим прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 6). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схе-ме.

    2 этап: определение решения каждого из нера-венств системы ограничений.

    С помощью контрольных точек определим полуплоскости – решения каждого из неравенств, и пометим их на графике (рис. 6) с помощью стрелок.

    3 этап: определение ОДР задачи линейного про- граммирования.

    Найденные полуплоскости (т.е. решения каждого из неравенств системы ограничений) не имеют общего пересечения (так решения неравенства I противоречат в целом остальным неравенствам системы ограничений), следовательно, система ограничений не совместна и задача линейного программирования в силу этого не имеет решения.

    Рис. 6. Фрагмент MathCAD-документа:

    построение области допустимых решений задачи

    Ответ: рассматриваемая задача линейного программирования не имеет решения в силу несовместности системы ограничений.

    Если после подстановки координат контрольной точки в неравенство его смысл нарушается, то решением данного неравенства является полуплоскость не содержащая данную точку (т.е. расположенная по другую сторону прямой).

    Направление, обратное вектору-градиенту, соответствует направлению минимизации целевой функции.

    Еще записи по теме

    www.ikasteko.ru

    Графическое решение задачи линейного программирования

    Пример.

    Решить графически данную задачу линейного программирования.

    Решение. Найдем вначале область допустимых решений (ОДР). Решим графически первое неравенство:

    (1)

    Для этого построим вначале прямую линию, соответствующую уравнению:

    . (11)

    Поскольку, если то то прямая (11) проходит через точку М1(0;8). Аналогично, если то и прямая (11) проходит также через точку М2 (8;0). Проведем через эти две точки прямую линию и отметим ее с помощью 1 (см. рис. 1). Эта линия делит плоскость на две полуплоскости, которые мы условно назовем верхней и нижней полуплоскостями. Так как координаты точки (0;0) удовлетворяют неравенству (1), то этому неравенству соответствует нижняя полуплоскость, которая содержит эту точку. Этот факт мы изобразим на рис. 1 штрихами, направленными вниз от линии 1 .

    Теперь решим графически второе неравенство:

    (2)

    Ему соответствует прямая, заданная уравнением:

    (21)

    Ее мы построим несколько иначе. Перепишем уравнение (21) в виде:

    Тогда при оказывается , что дает точку М3 (0;3) искомой прямой. Угловой коэффициент этой прямой Но угловой коэффициент любой прямой равен где — угол наклона прямой к оси 0х: . Если теперь мы отложим три единицы вправо от точки М3 (0;3) и затем две единицы вверх, то получим другую точку М4 (3;5) которая также лежит на прямой (21). Через точки М3 и М4 мы проводим прямую 2 (рис.1). Начало координат (0;0) удовлетворяет (2) и лежит ниже графика линии 2 , поэтому соответствующая полуплоскость является «нижней», что мы и отмечаем штрихами, направленными вниз от прямой 2 (рис.1). Аналогично строим прямую 3.

    Уравнение

    (31)

    Заменяем на уравнение .

    Ясно, что прямая проходит через т. М5 (5;0), и имеет угловой коэффициент к = 2. При этом самому неравенству

    Соответствует верхняя полуплоскость, отмеченная штрихами вверх от прямой 3.

    Тривиальному неравенству соответствует правая полуплоскость координатной плоскости, то есть полуплоскость, лежащая справа от вертикальной оси Ее отмечаем штрихами, направленными вправо от оси 0 Наконец неравенству соответствует верхняя полуплоскость координатной плоскости, отмеченная штрихами, направленными вверх от оси 0. Пересечение всех указанных полуплоскостей определяет ОДР данной задачи. На рисунке 1 это область, ограниченная выпуклым пятиугольником ОАВСD.

    Изобразим на рисунке 1 вектор роста целевой функции . Это вектор началом в т. (0;0) и концом в точке М (4;3), поскольку .

    Построим теперь линию уровня . Она определяется уравнением:

    (4)

    Мы взяли здесь константу С =11, для того чтобы точки пересечения прямой (4) с осями имели целые координаты. Действительно, если то и, если То Что дает две точки М1 (0;4) и М2 (3;0) линии уровня (4). Через них проводим пунктиром соответствующую линию уровня (рис. 1). Она оказывается перпендикулярна вектору роста . Отрезок пересекается с ОДР и в каждой его точке х значение целевой функции равно 11:

    .

    Мы знаем, что значение функции F увеличивается в направлении вектора роста . Чтобы найти максимальное значение на ОДР будем параллельно перемещать линию уровня в направлении вектора роста До тех пор, пока, она будет иметь хотя бы одну точку пересечения с ОДР задачи. Из рисунка 1 ясно, что последнее пересечение смещенной линии уровня (4) будет точка

    Рисунок 1. Графическое решение задачи ЛП.

    На этой линии очевидно и будет достигаться максимальное значение целевой функции F в ОДР, поскольку при дальнейшем движении линии уровня в направлении вектора роста, она перестает пересекаться с ОДР. Итак, максимальное значение функция F(х) имеет в точке . Так как точка является пересечением прямых 1 и 3, то ее координаты находятся из системы:

    (5)

    Чтобы решить эту систему, сложим оба уравнения. Тогда получим, что или .

    Из первого уравнения находим, что

    Итак, координаты точки С найдены : С (6;2). Найдем максимальное значение функции:

    .

    Задача решена.

    Ответ: максимальное значение целевой функции F достигается в точке С (6;2) и равно 29:

    .

    < Предыдущая   Следующая >

    matica.org.ua

    Решение задачи линейного программирования графическим методом

    Министерство образования Российской Федерации

    ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

    СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

    Пояснительная записка к курсовому проекту по дисциплине

    Вариант №3

    28 марта 2008 г.

    ТОМСК 2008

    Содержание.

    ВВЕДЕНИЕ

    Исследование операций – это математическая дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения наилучших решений в различных областях человеческой деятельности.

    Термин «Исследование операций» («Operation Research») заимствован из западной литературы. Сейчас, пожалуй, нельзя точно назвать, ни дату его возникновения, ни автора, да и вряд ли найдется исчерпывающее определение этого понятия.

    Под операциями обычно понимают целенаправленные управляемые процессы. Природа их может быть различной — это могут быть военные действия, производственные процессы, коммерческие мероприятия, административные решения, и т.д. Что интересно — операции эти (совершенно несхожие по своей природе) могут быть описаны одними и теми же математическими моделями, более того, анализ этих моделей позволяет лучше понять суть того или иного явления и даже предсказать его дальнейшее развитие. Мир, как оказалось, устроен необычайно компактно (в информационном смысле), поскольку одна и та же информационная схема реализуется в самых разных физических (и не только физических) проявлениях. В кибернетике это называется термином «изоморфизм моделей».

    Если бы не изоморфизм моделей, для каждой конкретной ситуации пришлось бы отыскивать собственный, уникальный метод решения, и исследование операций как научное направление не сформировалось бы. К счастью, дело обстоит иначе. Благодаря наличию общих закономерностей в развитии самых разных систем возможно исследование их математическими методами. Исследование операций как математический инструментарий, поддерживающий процесс принятия решений в самых разных областях человеческой деятельности, как совокупность средств, позволяющих обеспечить лицо, принимающее решение, необходимой количественной информацией, полученной научными методами, сформировалось на стыке математики и разнообразных социально-экономических дисциплин. Свой вклад в его становление внесли представители самых различных областей науки.

    История возникновения исследования операций уходит корнями в далекое прошлое. Так, еще в 1885 году Фредерик Тейлор пришел к выводу о возможности применения научного анализа в сфере производства. Проблема, рассмотренная им, на первый взгляд, кажется тривиальной: «как оптимальным образом организовать работу землекопов?» Казалось бы, ответ давно известен — «Бери больше, кидай дальше, отдыхай, пока летит». Однако применение математического аппарата показало несостоятельность этого принципа. Оказалось, что оптимальный вес груза, позволяющий максимизировать количество перебрасываемого материала (при разумной экономии рабочей силы) значительно меньше того, что может поднять человек при максимальной нагрузке.

    Пионером в области перевода сложных военно-стратегических задач на язык математики стал Фредерик Ланчестер. Одним из наиболее значительных результатов, полученных ученым, стало открытие в 1916 г. так называемого квадратичного закона, количественно связывающего достижение победы с двумя основными факторами: численным превосходством живой силы и эффективностью оружия. Было показано, что при одновременном вступлении в бой численное превосходство в живой силе более важно, чем применение более совершенного вооружения, поскольку главную роль играет сосредоточение собственных войск и расчленение сил противника. Классическим примером использования квадратичного закона Ланчестера является тактика Нельсона в сражении при Трафальгаре.

    В 1917 году датский математик А.К.Эрланг, работавший в телефонной компании, поставил задачу минимизации потерь времени на установление телефонной связи. Полученные им результаты стали основополагающими принципами в теории телефонной связи. Формулы Эрланга (среднее время ожидания вызова и др.) были приняты министерством связи Англии в качестве стандартов для расчета эффективности телефонных линий. Идеи Эрланга почти на полвека предвосхитили современные теории расчета телефонных узлов.

    В 1930 г. Г.Левинсон начал применять научный анализ к решению задач, возникающих в торговле. Методика исследования операций была использована для исследования эффективности рекламы, размещения товаров, влияния конъюнктуры на номенклатуру и количество проданных товаров.

    В годы второй мировой войны исследование операций широко применялось для планирования боевых действий. Так, специалисты по исследованию операций работали в командовании бомбардировочной авиации США, дислоцированном в Англии. Ими исследовались многочисленные факторы, влияющие на эффективность бомбометания. Были выработаны рекомендации, приведшие к 4-х-кратному повышению эффективности бомбометания.

    В начале войны боевое патрулирование самолетов союзников для обнаружения кораблей и подводных лодок противника носило неорганизованный характер. Привлечение к командованию специалистов по исследованию операций позволило установить такие маршруты патрулирования и такое расписание полетов, при которых вероятность оставить объект незамеченным была сведена до минимума. Полученные рекомендации были применены для организации патрулирования над Южной частью Атлантического океана с целью перехвата немецких кораблей с военными материалами. Из пяти вражеских кораблей, прорвавших блокаду, три были перехвачены на пути из Японии в Германию, один был обнаружен и уничтожен в Бискайском заливе и лишь одному удалось скрыться благодаря тщательной маскировке.

    Мы привели лишь два примера использования методов исследования операций в военной практике. Число их очень велико. В годы войны все эти работы по применению были совершенно секретны, в последствии многие из них нашли свое отражение в специальной литературе.

    По окончании второй мировой войны группы специалистов по исследованию операций продолжили свою работу в вооруженных силах США и Великобритании. Публикация ряда результатов в открытой печати вызвала всплеск общественного интереса к этому направлению. Возникает тенденция к применению методов исследования операций в коммерческой деятельности, в целях реорганизации производства, перевода промышленности на мирные рельсы. На развитие математических методов исследования операций в экономике ассигнуются миллионы долларов.

    В Великобритании национализация некоторых видов промышленности создала возможность для проведения исследований экономических на базе математических моделей в общегосударственном масштабе. Исследование операций стало применяться при планировании и проведении некоторых государственных, социальных и экономических мероприятий. Так, например, исследования, проведенные для министерства продовольствия, позволили предсказать влияние политики правительственных цен на семейный бюджет.

    В США внедрение методов исследования операций в практику управления экономикой происходило несколько медленнее — но и там многие концерны вскоре стали привлекать специалистов такого рода для решения проблем, связанных с регулированием цен, повышением производительности труда, ускорением доставки товаров потребителям и пр. Лидерство в области применения научных методов управления принадлежало авиационной промышленности, которая не могла не идти в ногу с растущими требованиями к ВВС. В 50-е-60-е годы на Западе создаются общества и центры исследования операций, выпускающие собственные научные журналы, ряд американских университетов включает эту дисциплину в свои учебные планы.

    В настоящее время в рамках исследования операций сформированы отдельные самостоятельные направления — линейное программирование, выпуклое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, и др.

    mirznanii.com

    Площадь по диагоналям – Площадь прямоугольника | Мозган калькулятор онлайн

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Площадь прямоугольника

    Площадь прямоугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками, угол между которыми равен 90 градусов и параллельные отрезки при этом равны.

    Наш калькулятор поможет вам бесплатно в режиме онлайн вычислить площадь прямоугольника с помощью различных формул или проверить уже выполненные вычисления.


    1

    Площадь прямоугольника через две стороны

    a — сторона

    b — сторона

    … подготовка …


    2

    Площадь прямоугольника через периметр и одну из сторон

    a (или b) — сторона

    P — периметр

    … подготовка …


    3

    Площадь прямоугольника по диагонали и стороне

    a (или b) — сторона

    d — диагональ

    … подготовка …


    4

    Площадь прямоугольника по диагоналям и углу между ними

    d — диагональ

    α° — угол между диагоналями

    … подготовка …


    5

    Площадь прямоугольника через сторону и радиус описанной окружности

    a (или b) — сторона

    R — радиус описанной окружности

    … подготовка …




    6

    Площадь прямоугольника через сторону и диаметр описанной окружности

    a (или b) — сторона

    D — диаметр описанной окружности

    … подготовка …


    Определения

    Прямоугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками, угол между которыми равен 90 градусов и параллельные отрезки при этом равны.

    Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

    Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.


    doza.pro

    Площадь параллелограмма — формула, пример расчета, калькулятор

    Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.

    В этой фигуре противоположные стороны и углы равны между собой. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ей пополам. Формулы площади параллелограмма позволяют найти значение через стороны, высоту и диагонали. Параллелограмм также может быть представлен в частных случаях. Ими считаются прямоугольник, квадрат и ромб.
    Для начала рассмотрим пример расчета площади параллелограмма по высоте и стороне, к которой она опущена.

    Этот случай считается классическим и не требует дополнительного разбирательства. Лучше рассмотрим формулу вычисления площади через две стороны и угол между ними. Этот же способ применяется в расчете площади треугольника по теореме косинусов и синусов. Если даны стороны и угол между ними, то площадь рассчитывается так:

    Допустим, дан параллелограмм со сторонами a = 4 см, b = 6 см. Угол между ними α = 30°. Найдем площадь:

    Площадь параллелограмма через диагонали


    Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
    Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.

    Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D = 7 см, d = 5 см. Угол, лежащий между ними α=30°. Подставим данные в формулу:

    Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75.

    Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.

    2mb.ru

    Площадь ромба | Мозган калькулятор онлайн

    На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь ромба онлайн. Для расчета задайте длину основания, высоту или длины диагоналей и угол между ними.

    Ромб – четырёхугольник, у которого все стороны равны между собой. Ромб является частным случаем параллелограмма. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

    Через сторону и высоту

    Формула для нахождения площади ромба через сторону и высоту:

    a — сторона ромба; h — высота ромба.
    Через диагонали

    Формула для нахождения площади ромба через диагонали:

    d1, d2 — диагонали ромба.
    Через сторону и угол

    Формула для нахождения площади ромба через сторону и угол:

    a — сторона ромба; α — угол между сторонами.
    Через угол и диагональ из этого угла

    Формула для нахождения площади ромба через угол и диагональ выходящая из этого угла:

    d — диагональ ромба; α — угол между сторонами.
    Через угол и противолежащию диагональ

    Формула для нахождения площади ромба через угол и диагональ противолежащая углу:

    d — диагональ ромба; α — угол между сторонами.
    Через угол и радиус вписанной окружности

    Формула для нахождения площади ромба через угол и радиус вписанной окружности:

    r — радиус окружности; α — угол между сторонами.
    Через сторону и радиус вписанной окружности

    Формула для нахождения площади ромба через сторону и радиус вписанной окружности:

    a — сторона ромба; r — радиус вписанной окружности.

    © Все права защищены

    www.mozgan.ru

    Площадь параллелограмма

    Площадь параллелограмма, формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.

    Для вычисления площади параллелограмма применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор для вычисления площади в режиме онлайн.

    Площадь параллелограмма – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), у которой противоположные стороны попарно параллельны и равны между собой.



    1

    Площадь параллелограмма по основанию и высоте параллелограмма

    a — сторона

    h — высота

    … подготовка …


    2

    Площадь параллелограмма по стороне и высоте, опущенной на эту сторону

    b — сторона

    hb — высота

    … подготовка …


    3

    Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

    a — сторона

    b — сторона

    α° — угол между сторонами

    … подготовка …


    4

    Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между этими диагоналями

    d1 — диагональ

    d2 — диагональ

    α° — угол между диагоналями

    … подготовка …


    5

    Площадь параллелограмма по вписанной окружности и стороне

    Данная формула применима только для параллелограммов, в которые можно вписать окружность. Таким параллелограммом может являться только ромб.

    a — сторона

    r — радиус вписанной окружности

    … подготовка …


    6

    Площадь параллелограмма по вписанной окружности и углу между сторонами

    Данная формула применима только для параллелограммов, в которые можно вписать окружность. Таким параллелограммом может являться только ромб.

    r — радиус вписанной окружности

    α° — угол между сторонами

    … подготовка …


    Определения

    Параллелограмм — это геометрическая фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками (сторонами), у которой противоположные стороны попарно параллельны и равны между собой.

    Высота параллелограмма – это отрезок проведенный из вершины параллелограмма к противоположной стороне под углом в 90 градусов.

    Некоторые свойства параллелограмма:

    • Сумма углов параллелограмма равна 360 градусов
    • Сумма углов, прилегающих к любой из сторон равна 180 градусов
    • Противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину
    • Противолежащие углы равны

    Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

    Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.



    doza.pro

    Площадь четырехугольника — формулы, примеры расчета

    Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

    Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

    Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

    Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

    На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.

    Площадь четырехугольника по сторонам

    Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
    Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

    Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:

    используем найденное значение для расчета площади:

    Площадь четырехугольника, заданного координатами

    Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

    2mb.ru

    Площадь параллелограмма | Мозган калькулятор онлайн

    На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь параллелограмма онлайн. Для расчета задайте длину основания, высоту или длины диагоналей и угол между ними.

    Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

    Через основание и высоту

    Формула для нахождения площади параллелограмма через основание и высоту:

    a — длина основания; h — высота.
    Через основания и угол между ними

    Формула для нахождения площади параллелограмма через основания и угол между ними:

    a, b — длина основания; α — угол между основаниями.
    Через диагонали и угол между ними

    Формула для нахождения площади параллелограмма через диаганали и угол между ними:

    d1, d2 — диагонали; α — угол между диагоналями.

    www.mozgan.ru

    Все формулы площади параллелограмма

    1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы

     

     

    a, b — стороны параллелограмма

    α, β — углы параллелограмма

     

    Формула площади через стороны и углы параллелограмма, (S):

     

    Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:

    a(сторона)=

    b(сторона)=

    α или β (угол в градусах)= ( sin α=sin β )

    S=

     

    2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

     

    a, b — стороны параллелограмма

    Hb — высота на сторону b

    Ha — высота на сторону a

     

    Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):

     

     

    3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

     

    D — большая диагональ

    d —меньшая диагональ

    α, β — углы между диагоналями

     

    Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , (S):

    Калькулятор — вычислить, найти площадь параллелограмма:

    D (большая диагональ)=

    d (меньшая диагональ )=

    α или β (угол в градусах)= ( sin α=sin β )

    S=

     

    Формулы для параллелограмма:

    Как найти стороны параллелограмма

    Как найти диагонали параллелограмма

    Острый угол и тупой угол параллелограмма

    Углы между диагоналями параллелограмма

    Формула суммы квадратов диагоналей параллелограмма

    Высота параллелограмма и угол пересечения высот

    Свойства и длина биссектрисы параллелограмма

    Периметр параллелограмма

    Все формулы по геометрии

     

    www-formula.ru

    Высшая математика кремер – Высшая математика для экономистов Н.Ш.Кремер 2010

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Высшая математика для экономистов Н.Ш.Кремер 2010

    Система линейных однородных уравнений 51, 52

    ———— ,исследование 51, 52

    ———— ,общее решение 52

    ———— ,свойства решений 52

    — нормальных уравнений 428, 439

    Скалярное произведение векторов 66, 76

    ———,свойства 76

    ———,экономический смысл 76 Скалярный квадрат вектора 67 Сложение векторов 64

    —комплексных чисел 443

    —матриц 12

    Сложная функция 133

    Собственный вектор линейного оператора (матрицы) 84

    Собственное значение линейного оператора (матрицы) 82, 83

    Сочетания, число сочетаний из п пот 49

    Способы задания функции 127 Средние издержки 207, 242 Средний доход 197 Стационарная точка 221, 416 Степенной ряд 381—399

    ——биномиальный 389

    ——, интервал сходимости 382

    ——, необходимое и достаточное условие сходимости 387

    ——, область сходимости 381—386

    ——, применение в приближен­ ных вычислениях 391—394,398, 399

    ——, радиус сходимости 382—383

    ——, свойства 386

    Строго монотонная функция 128 Сумма векторов 64, 69

    —линейных операторов 80

    —матриц 12, 13

    —ряда 358, 359, 375

    Суперпозиция функций 133 Сходимость ряда358

    —— ,свойства 361, 362

    Темп изменения функции 190 Теорема Абеля 381, 382

    —Больцано—Коши167

    —Вейерштрасса 166

    —Крамера 41, 42

    —Кронекера—Капелли48

    —Лагранжа212, 213

    —Лапласа 21, 22

    —Римана 375

    —Ролля 211, 212

    —Ферма 210, 211

    ——, экономический смысл 242

    — о единственности представления вектора линейного пространства 72, 73

    ——зависимости между матрица­ ми оператора в разных базисах 81

    ——законе инерции квадратичных форм 89

    ——матрице оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов 84, 85

    ——множестве первообразных 255

    ——неизменности ранга матрицы при элементарных преобразо­ ваниях 31

    ——перпендикулярности градиен­ та линии уровня 414

    ——погружении дискретного ар­ гумента в непрерывный 376

    ——приведении квадратичной формы к каноническому виду

    88

    ———производнойинтеграла по верхнему пределу295—297

    — обратной функции 187, 188

    studfiles.net

    Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов [PDF]

    Учебник. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. — 479 с. — (Золотой фонд российских учебников). — ISBN 978-5-238-00991-9.Коллектив авторов (под ред. проф. H.Ш. Кремера): проф. Н.Ш. Кремер, доц. Б.А. Путко, доц. И.М. Тришин, доц. М.Н. Фридман.)Эта книга — не только учебник, но и краткое руководство к решению задач по основам высшей математики. Излагаемые в достаточно краткой форме с необходимыми обоснованиями основные положения учебного материала сопровождаются большим количеством задач, приводимых с решениями и для самостоятельной работы. Там, где это возможно, раскрывается экономический смысл математических понятий, приводятся простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функций, производственные функции, модели динамики и т.п.).
    Для студентов и аспирантов экономических вузов, экономистов и лиц, занимающихся самообразованием.
    Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономическим специальностямСодержание
    Предисловие.
    Введение.
    Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.
    Матрицы и определители.
    Основные сведения о матрицах.
    Операции над матрицами.
    Определители квадратных матриц.
    Свойства определителей.
    Обратная матрица.
    Ранг матрицы.
    Системы линейных уравнений.
    Основные понятия и определения.
    Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.
    Метод Гаусса.
    Система m линейных уравнений с n переменными.
    Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
    Решение задач.
    Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
    Элементы матричного анализа.
    Векторы на плоскости и в пространстве.
    n -мерный вектор и векторное пространство.
    Размерность и базис векторного пространства.
    Переход к новому базису.
    Евклидово пространство.
    Линейные операторы.
    Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
    Квадратичные формы.
    Линейная модель обмена.
    Уравнение линии.
    Уравнение линии на плоскости.
    Уравнение прямой.
    Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
    Окружность и эллипс.
    Гипербола и парабола.
    Решение задач.
    Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве.Введение в анализ.
    Функция.
    Понятие множества.
    Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.
    Понятие функции. Основные свойства функций.
    Основные элементарные функции.
    Элементарные функции. Классификация функций. Преобразование графиков.
    Применение функций в экономике. Интерполирование функций.
    Решение задач.
    Пределы и непрерывность.
    Предел числовой последовательности.
    Предел функции в бесконечности и в точке.
    Бесконечно малые величины.
    Бесконечно большие величины.
    Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела.
    Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов.
    Непрерывность функции.
    Решение задач. Дифференциальное исчисление.
    Производная.
    Задачи, приводящиеся к понятию производной.
    Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
    Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования.
    Производная сложной и обратной функций.
    Производные основных элементарных функций. Понятие о производных высших порядков.
    Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике.
    Решение задач.
    Приложения производной.
    Основные теоремы дифференциального исчисления.
    Правило Лопиталя.
    Возрастание и убывание функций.
    Экстремум функции.
    Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
    Выпуклость функции. Точки перегиба.
    Асимптоты графика функции.
    Общая схема исследования функций и построения их графиков.
    Решение задач.
    Приложение производной в экономической теории.
    Дифференциал функции.
    Понятие дифференциала функции.
    Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
    Понятие о дифференциалах высших порядков. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения.
    Неопределенный интеграл.
    Первообразная функция и неопределенный интеграл.
    Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций.
    Метод замены переменной.
    Метод интегрирования по частям.
    Интегрирование простейших рациональных дробей.
    Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
    Интегрирование тригонометрических функций.
    Решение задач.
    Об интегралах, «не берущихся» в элементарных функциях.
    Определенный интеграл.
    Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.
    Свойства определенного интеграла.
    Определенный интеграл как функция верхнего предела.
    Формула Ньютона—Лейбница.
    Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
    Геометрические приложения определенного интеграла.
    Несобственные интегралы.
    Приближенное вычисление определенных интегралов.
    Использование понятия определенного интеграла в экономике.
    Решение задач.
    Дифференциальные уравнения.
    Основные понятия.
    Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения.
    Элементы качественного анализа дифференциальных уравнений первого порядка.
    Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
    Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
    Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
    Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
    Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
    Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике. Ряды.
    Числовые ряды.
    Основные понятия. Сходимость ряда.
    Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.
    Ряды с положительными членами.
    Ряды с членами произвольного знака.
    Решение задач.
    Степенные ряды.
    Область сходимости степенного ряда.
    Ряд Маклорена.
    Применение рядов в приближенных вычислениях.
    Решение задач. Функции нескольких переменных.
    Функции нескольких переменных.
    Основные понятия.
    Предел и непрерывность.
    Частные производные.
    Дифференциал функции.
    Производная по направлению. Градиент.
    Экстремум функции нескольких переменных.
    Наибольшее и наименьшее значения функции.
    Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
    Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.
    Понятие двойного интеграла.
    Функции нескольких переменных в экономической теории.
    Решение задач.
    Комплексные числа.
    Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.
    Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.Литература.
    Ответы к упражнениям, размещённым в конце каждой главы.
    Алфавитно-предметный указатель.

    www.twirpx.com

    Высшая математика для экономистов — Кремер Н.Ш.

    Автор: Кремер Н.Ш.

    Описание: Учебник «Высшая математика для экономистов» написан в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области математики для специалистов с высшим образованием по экономическим специальностям. Он соответствует Примерной программе дисциплины «Математика», утвержденной Минобразованием РФ, и включает следующие разделы: «Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии», «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения», «Ряды», «Функции нескольких переменных». При написании курса высшей математики для экономических вузов авторы руководствовались принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной экономической направленности. При введении основных понятий отдавалось предпочтение классическому подходу: так, например, понятие непрерывности функции рассматривается после понятия предела, определенный интеграл определяется как предел интегральной суммы и т.п. Всюду, где это возможно, даются геометрический и экономический смысл математических понятий (например, производной, интеграла и т.д.), приводятся математические формулировки ряда экономических законов (закона убывающей доходности, принципа убывающей предельной полезности, условия оптимальности выпуска продукции), рассматриваются простейшие приложения высшей математики в экономике (балансовые модели, предельный анализ, эластичность функции, производственные функции, модели экономической динамики и т.п.). Такие приложения рассчитаны на уровень подготовки студентов 1 курса и почти не требуют дополнительной (экономической) информации.
    Известно, что новый учебный материал усваивается студентами (особенно имеющими значительный перерыв и пробелы в довузовской математической подготовке) значительно легче, если он сопровождается достаточно большим числом иллюстрирующих его примеров. Поэтому авторами сделана попытка соединить в одной книге учебник и краткое руководство к решению задач.
    Такое построение книги потребовало сделать и изложение теоретического материала более кратким, отказаться без существенного ущерба от малозначащих, громоздких или повторяющихся по своим идеям доказательств утверждений, отличающихся от ранее проведенных лишь техническими деталями. Вместе с тем авторы стремились к более тщательной проработке ведущих понятий и доказательств положений курса. Для лучшего усвоения учебного материала приводятся учебные алгоритмы (схемы) решения определенного круга задач.
    Задачи с решениями (в том числе с экономическим содержанием) рассматриваются на протяжении всего изложения учебного материала. Более сложные, комплексные, а также дополнительные задачи с решениями приводятся в большинстве глав в последнем (или предпоследнем) параграфе «Решение задач». А задачи для самостоятельной работы даются в конце каждой главы в рубрике «Упражнения» (нумерация задач единая — начинается в основном тексте главы и продолжается в этой рубрике). Ответы задач приведены в конце книги.
    Во второе издание включена новая глава «Комплексные числа», что, в частности, позволило более полно изложить раздел «Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения». В главу «Функции нескольких переменных» дополнительно включен параграф «Условный экстремум». Изложенный в нем метод множителей Лагранжа имеет важное значение в решении оптимизационных задач. Существенно расширен учебный материал глав 5, 7, 12, 15, касающийся простейших приложений высшей математики в экономике, в частности, рассмотрены элементы предельного анализа и модели экономической динамики.
    В третьем издании исправлены замеченные опечатки и неточности.
    Авторы выражают большую благодарность профессорам А.С. Солодовникову и В.З. Партону за рецензирование рукописи, а также студентке ВЗФЭИ М.Л. Лифшиц за помощь в выявлении опечаток первого издания.
    Учебник «Высшая математика для экономистов» предназначен для студентов и аспирантов экономических вузов, экономистов и лиц, занимающихся самообразованием.
    Содержание учебника
    «Высшая математика для экономистов»

    ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
    МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

    1. Основные сведения о матрицах
    2. Операции над матрицами
    3. Определители квадратных матриц
    4. Свойства определителей
    5. Обратная матрица
    6. Ранг матрицы
    СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
    1. Основные понятия и определения
    2. Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера
    3. Метод Гаусса
    4. Система m линейных уравнений с п переменными
    5. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
    6. Решение задач
    7. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)
    ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО АНАЛИЗА
    1. Векторы на плоскости и в пространстве
    2. n-мерный вектор и векторное пространство
    3. Размерность и базис векторного пространства
    4. Переход к новому базису
    5. Евклидово пространство
    6. Линейные операторы
    7. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
    8. Квадратичные формы
    9. Линейная модель обмена
    УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
    1. Уравнение линии на плоскости
    2. Уравнение прямой
    3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой
    4. Окружность и эллипс
    5. Гипербола и парабола
    6. Решение задач
    7. Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве
    ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
    ФУНКЦИЯ
    1. Понятие множества
    2. Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
    3. Понятие функции. Основные свойства функций
    4. Основные элементарные функции
    5. Элементарные функции. Классификация функций. Преобразование графиков
    6. Применение функций в экономике. Интерполирование функций
    7. Решение задач
    ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
    1. Предел числовой последовательности
    2. Предел функции в бесконечности и в точке
    3. Бесконечно малые величины
    4. Бесконечно большие величины
    5. Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела
    6. Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов
    7. Непрерывность функции
    8. Решение задач
    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
    ПРОИЗВОДНАЯ
    1. Задачи, приводящиеся к понятию производной
    2. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
    3. Схема вычисления производной. Основные правила дифференцирования
    4. Производная сложной и обратной функций
    5. Производные основных элементарных функций. Понятие о производных высших порядков
    6. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике
    7. Решение задач
    ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
    1. Основные теоремы дифференциального исчисления
    2. Правило Лопиталя
    3. Возрастание и убывание функций
    4. Экстремум функции
    5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
    6. Выпуклость функции. Точки перегиба
    7. Асимптоты графика функции
    8. Общая схема исследования функций и построения их графиков
    9. Решение задач
    10. Приложение производной в экономической теории
    ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
    1. Понятие дифференциала функции
    2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
    3. Понятие о дифференциалах высших порядков
    ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
    НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
    1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
    2. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций
    3. Метод замены переменной
    4. Метод интегрирования по частям
    5. Интегрирование простейших рациональных дробей
    6. Интегрирование некоторых видов иррациональностей
    7. Интегрирование тригонометрических функций
    8. Решение задач
    9. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных функциях
    ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
    1. Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл
    2. Свойства определенного интеграла
    3. Определенный интеграл как функция верхнего предела
    4. Формула Ньютона—Лейбница
    5. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле
    6. Геометрические приложения определенного интеграла
    7. Несобственные интегралы
    8. Приближенное вычисление определенных интегралов
    9. Использование понятия определенного интеграла в экономике
    10. Решение задач
    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
    1. Основные понятия
    2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения
    3. Элементы качественного анализа дифференциальных уравнений первого порядка
    4. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
    5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
    6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
    7. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
    8. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
    9. Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике
    РЯДЫ
    ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
    1. Основные понятия. Сходимость ряда
    2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
    3. Ряды с положительными членами
    4. Ряды с членами произвольного знака
    5. Решение задач
    СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
    1. Область сходимости степенного ряда
    2. Ряд Маклорена
    3. Применение рядов в приближенных вычислениях
    ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
    ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
    1. Основные понятия
    2. Предел и непрерывность
    3. Частные производные
    4. Дифференциал функции
    5. Производная по направлению. Градиент
    6. Экстремум функции нескольких переменных
    7. Наибольшее и наименьшее значения функции
    8. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
    9. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов
    10. Понятие двойного интеграла
    11. Функции нескольких переменных в экономической теории
    12. Решение задач
    КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
    1. Арифметические операции над комплексными числами. Комплексная плоскость
    2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
    Литература
    скачать учебник: Высшая математика для экономистов — Кремер Н.Ш.

    institutiones.com

    Высшая математика для экономистов Н.Ш.Кремер 2010

    — бесконечный 124 Полином 133

    Полуось гиперболы действительная 109

    ——мнимая 109

    — эллипса 107 Правило Лопиталя 215—218

    —многоугольника 64

    —параллелепипеда 64

    —параллелограмма 64

    —Сарруса 17, 18

    —треугольника 64

    —треугольников 17, 18

    Предел 143-146,155-161,167— 175

    — функции в бесконечности 145, 147

    ———,геометрический смысл 146

    ———П р иX — > — оо, ПрИX — » +00

    147

    ——в точке147—149

    ———— ,геометрический смысл 147, 148

    ——двух переменных 407, 408

    ——односторонний слева при

    х->XQ 148

    ———справаприх ->XQ + 0 148

    — числовой последовательности 143-145

    ———,геометрический смысл 145

    Пределы, раскрытие неопределен­ ностей 168—175,236—237

    Предельная величина 196

    —производительность 196

    —норма замещения ресурса 437, 438

    —выручка 196

    —полезность 196, 435

    Предельные издержки 196, 242, 243 Предельный анализ 196

    — доход 196, 197, 240, 241

    —продукт 196 Преобразование 78

    —графиков 134, 135

    Признаки существования предела 157, 158

    Признак сходимости 362

    ——Даламбера 367-369,377

    ——знакопеременного ряда 373, 374

    ——интегральный 369—371

    ——Лейбница 371—373,378

    ———,оценка остатка знакочере­ дующегося ряда 373

    ——необходимый 362, 363, 376, 378

    ———идостаточный 361, 362

    ——сравнения364—365,376, 379

    ———предельный364, 365, 375

    Произведение вектора на число 63, 69

    —линейного оператора на число 80

    —линейных операторов 80

    —матриц 12—14

    —матрицы на число 11, 12 Производная 181—207

    —второго порядка 196

    ,механический смысл 196

    —в экономике 196—201,205, 207

    ———,закон убывающей доход­ ности 242, 243

    ———,——полезности243

    ———,условие оптимальности выпуска продукции 242

    ———,— наиболее экономично­ го производства 242

    —третьего, п -го порядка 196—,геометрический смысл 181

    —логарифмическая 191, 192

    —логарифмической функции 190 —,механический смысл 181

    studfiles.net

    решебник кремер высшая математика для экономистов

    гдз алгебра 7 класс с.a.теляковского

    ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Макарычев Ю. Н. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К. И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского 18-е изд. 7111633662709 Я буду называть такие блоки многострочными. Хотя

    Подробнее

    гдз алгебра мордкович часть 2

    Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс. базовый уровень. Часть 2. Задачник / А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова, Т. Г. 0589647113 готовые домашние задания, гдз по алгебре,

    Подробнее

    виленкин математика 5 класс гдз жохов

    Так что эти браки никогда ничего больше и не означали, как можно показать с помощью не совсем тривиальных вычислений, экранирует индикатор,. 7339895649 5 класс. ГДЗ по математике для Математика. 5 класс.

    Подробнее

    гдз подготовка к экзамену 9 кл алгебра

    Для любого учащегося экзамен это стресс и поэтому подготовка к. а вот ответы на билеты 9 класс по выбранному предмету ему необходимо подготовить самостоятельно.. Алгебра. Контрольные работы. 9 класс. Мордкович.

    Подробнее

    решебник задач по физике, иродов

    13 дек 2010. akak.ru Как научиться легко решать задачи по физике. Инструкция подойдет для всех, кто не решал задачи Иродова. Объясню метод,. 5888087129 Решебники задачника по общей физике. И.Е.Иродов 1979г.

    Подробнее

    гдз природа 5 класс сухова строганов

    Рабочая тетрадь. Природоведение. Природа. Неживая и живая. 5 класс. Название: Рабочая тетрадь. Природоведение. Природа. Неживая и живая. 665996154 Природоведение. 5 класс. ID 3477934. Автор: Т. С. Сухова,

    Подробнее

    всеобщая история 11 класс загладин гдз

    Карта сайта. Решебник по всеобщей истории н.в. загладин 11 класс. Не упускай ни секунды времени и собирай бонусы. Книга будет полезна всем. 2515455491582 Всеобщая история загладин 10 класс решебник — Коллекция

    Подробнее

    Сугоняев геометрия 10 класс скачать

    Сугоняев геометрия 10 класс скачать >>> Сугоняев геометрия 10 класс скачать Сугоняев геометрия 10 класс скачать Моро, Решебник по математике для 4 класса Петерсон можно скачать бесплатно. Мне или решенное,или

    Подробнее

    docplayer.ru

    Высшая математика для экономистов — Кремер Н.Ш.

    Год выпуска: 2007

    Автор: Кремер Н.Ш.

    Жанр: Высшая математика, Экономика

    Издательство: «ЮНИТИ-ДАНА»

    Формат: PDF

    Качество: Отсканированные страницы

    Количество страниц: 484

    Описание: Практикум «Высшая математика для экономистов» содержит около 2700 задач (с решениями и для самостоятельной работы), в том числе задачи с экономическим содержанием. Существенное отличие его от других изданий — наличие наряду с традиционными контрольными заданиями (63 варианта, более 400 задач) тестовых заданий (28 тестов, более 400 тестовых заданий). Это позволяет достаточно эффективно использовать пособие в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований, зачетов и экзаменов (в частности, письменных), тестировании (в том числе компьютерном) по вузовскому общему курсу математики. В книгу «Высшая математика для экономистов» дополнительно включены задачи для повторения, рекомендуемые для экспресс-подготовки студентов и учебно-тренировочные тесты для экспресс-проверки их знаний.
    Учебное пособие «Высшая математика для экономистов» предназначено для студентов и бакалавров экономических специальностей вузов, а также магистров этих специальностей, преподавателей и лиц, занимающихся самообразованием.
    Содержание учебного пособия
    «Высшая математика для экономистов»

    Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)

    1. Матрицы и определители
      • Матрицы и операции над ними
      • Определители квадратных матриц. Обратная матрица
      • Ранг матрицы. Линейная независимость строк (столбцов) матрицы
      • Задачи с экономическим содержанием
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 1 «Матрицы и определители»
    2. Системы линейных уравнений
      • Система n линейных уравнений с n переменными
      • Система m линейных уравнений с n переменными
      • Метод Жордана—Гаусса
      • Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
      • Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 2 «Системы линейных уравнений»
    3. Элементы матричного анализа
      • Векторы на плоскости и в пространстве
      • n-мерный вектор и векторное пространство. Евклидово пространство
      • Линейные операторы
      • Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)
      • Квадратичные формы
      • Линейная модель обмена (модель международной торговли)
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 3 «Элементы матричного анализа»
    4. Уравнение линии. Прямая и плоскость
      • Простейшие задачи. Уравнение прямой на плоскости
      • Кривые второго порядка
      • Прямая и плоскость в пространстве
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 4 «Уравнение линии. Прямая и плоскость»
    5. Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)»
    6. Итоговые контрольные задания по дисциплине «Линейная алгебра (с элементами аналитической геометрии)»
    7. Итоговый тест ЛА
    Введение в анализ
    1. Функция
        • Контрольные задания по главе 5 «Функция»
        • Задача для повторения
    2. Пределы и непрерывность
      • Определение предела. Простейшие пределы
      • Раскрытие неопределенностей различных типов
      • Замечательные пределы
      • Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
      • Непрерывность функции и точки разрыва
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 6 «Пределы и непрерывность»
    Дифференциальное исчисление
    1. Производная
      • Определение производной
      • Правила дифференцирования. Производные элементарных функций
      • Геометрические и механические приложения производной
      • Предельный анализ экономических процессов
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 7 «Производная»
    2. Приложение производной
      • Основные теоремы дифференциального исчисления
      • Правило Лопиталя
      • Интервалы монотонности и экстремумы функции
      • Интервалы выпуклости функции. Точки перегиба
      • Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков
      • Применение производной в задачах с экономическим содержанием
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 8 «Приложение производной»
    3. Дифференциал функции
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 9 «Дифференциал функции»
    4. Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «математический анализ»
    5. Итоговые контрольные задания по дисциплине «Математический анализ»
    6. Итоговый тест MA—1
    Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения
    1. Неопределенный интеграл
      • Непосредственное интегрирование
      • Метод замены переменной
      • Метод интегрирования по частям
      • Интегрирование рациональных выражений
      • Интегрирование некоторых видов иррациональностей
      • Интегрирование тригонометрических функций
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 10 «Неопределенный интеграл»
    2. Определенный интеграл
      • Методы вычисления определенного интеграла
      • Геометрические приложения определенного интеграла
      • Несобственные интегралы
      • Приближенное вычисление определенного интеграла
      • Использование понятия определенного интеграла в экономике
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 11 «Определенный интеграл»
    3. Дифференциальные уравнения
      • Основные понятия
      • Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
      • Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
      • Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
      • Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
      • Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
      • Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 12 «Дифференциальные уравнения»
    Ряды
    1. Числовые ряды
      • Основные сведения о рядах
      • Признаки сходимости рядов с положительными членами
      • Сходимость рядов с членами произвольного знака
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 13 «Числовые ряды»
    2. Степенные ряды
      • Область сходимости степенного ряда
      • Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора
      • Применение рядов в приближенных вычислениях
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 14 «Степенные ряды»
    Функции нескольких переменных
    1. Функции нескольких переменных
      • Основные понятия
      • Частные производные, градиент, дифференциал
      • Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум
      • Метод наименьших квадратов
      • Двойные интегралы
      • Функции нескольких переменных в экономических задачах
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 15 «Функции нескольких переменных»
    2. Учебно-тренировочные тесты по дисциплине «математический анализ»
    3. Итоговые контрольные задания по дисциплине «Математический анализ»
    4. Итоговый тест МА—2
    Элементы высшей алгебры
    1. Комплексные числа
        • Задача для повторения
        • Контрольные задания по главе 16 «Комплексные числа»
    Ответы
    скачать учебное пособие: Высшая математика для экономистов — Кремер Н.Ш. — Практикум
    Экономический анализ — Когденко В.Г.< Предыдущая   Следующая >Банковское дело — Управление и технологии — Тавасиев А.М. — Учебник

    institutiones.com

    Высшая математика для экономистов Н.Ш.Кремер 2010

    Глава 8

    ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

    Прежде чем перейти к наиболее важным приложениям про­ изводной при исследовании функций и построении их графи­ ков, рассмотрим несколько основных теорем.

    8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

    Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция у =f (х) достигает наибольшего или наименьшего значе­ ния во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная

    функции в этой точке равна нулю, т.е. /'(х 0) = 0 .

    □Пусть функция у =f{x) дифференцируема на промежутке

    Хи в точкех0 е Х принимает наименьшее значение (рис.8 .1).

    Тогда / ( х0 +Ах) > /( х0), если

    дс0 + Дх €X и, следовательно, вели­

    чина Ay —f ( x 0+ Дх) —/( х0 ) > 0 при достаточно малых Дх независимо от

    Ау знака Дх. Отсюда — > 0 при Дх > 0

    Дх

    ^ <

    0

    при

    Дх < 0.

    Переходя

    к

     

     

    Дх

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    пределу при Дх

    0+

    (справа) и при

     

     

    Дх -»0—(слева),получим

    lim

    Ду

     

     

     

    — > 0

     

     

     

     

     

     

     

    д*->о+Дх

     

     

     

    и lim

    Av

     

     

     

     

     

     

     

     

    — < 0 .

     

     

     

     

     

     

     

    Дх~>0- Дх

     

     

     

     

     

     

     

    х0,

    По условию функция у =/(х) дифференцируема в точке

    следовательно, ее предел при Дх

    0 не должен зависеть от спо­

    соба

    стремления

    Дх ->0

    (справа или

    слева),

    т.е.

    lim — =

    lim

    — ,откуда следует, чтоf'(x 0) =0 .

     

    Ах—>0+Дх

    Дх—>0-Ах

     

     

     

     

     

     

    Аналогично рассматривается случай, когда функция /(.х) принимает в точкех 0 наибольшее значение. ■

    Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в т о ч к е

    наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри про­ межутка Ху касательная к графику функции параллельна оси абс­ цисс.

    Теорема Ферма может быть использована для доказательства так называемых теорем о среднем, к рассмотрению которыхмы переходим.

    Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следую­ щим условиям:

    1) непрерывна на отрезке[<а, Ь];

    2 ) дифференцируема на интервале(а, Ь)\

    3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е.

    №=f(b).

    Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая

    точка

    § е (а, b), в которой производная функции равна

    нулю:

    /'($ ) = о.

     

    □

    На основании теоремы Вейерштрасса (см. § 6.7)

    функция,

    непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего М и наименьшегот значений. Если оба эти значения достигают­ ся на концах отрезка, то по условию они равны (т.е.т = М), а это значит, что функция тождественно постоянна на отрезке[а, Ь]. Тогда производная равна нулю во всех точках этого от­ резка. Если же хотя бы одно из этих значений — максимальное или минимальное — достигается внутри отрезка (т.е.т < М), то производная в соответствующей точке равна нулю в силу теоремы Ферма. ■

    Отметим г е о м е т р и ч е с к и й

    с м ы с л

    теоремы

    Ролля

    (см.

    рис. 8 .2 ):

    найдется

    хотя бы

    одна

    точка, в которой касательная к гра­ фику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная и будет равна нулю (заметим, что на

    рис. 8.2 таких точек две:

    ^

    и £,2 )•

    Если /(а ) = / ( b) = 0,

    то

    теорему

    Ролля можно сформулировать так: между двумя последователь­ ными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

    Следует отметить, что все условия теоремы Ролля существен­ ны и при невыполнении хотя бы одного из них заключение тео­ ремы может оказаться неверным. Так, для функций, приведен­ ных на рис. 8.3, нарушено только одно условие: на рис. 8.3а — непрерывность на отрезке [а, Ь], на рис. 8.36 — дифференцируемость на интервале(а, Ь), на рис. 8.3в — равенство значенийf(a )= f(b ) .

    В результате не существует такой точки 4 е (о, Ь), в которой

    /’й )= о .

    \ т

    а)

    Рис. 8.3

    Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. Теорема Лагранжа. Пусть функция у =f(x) удовлетворяет сле­

    дующим условиям:

    1) непрерывна на отрезке [а, b];

    2 ) дифференцируема на интервале (а, Ь).

    Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка \ е (а, Ь), в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке,т.е.

    / ‘© = ;т — т

    (8.1)

    Ь -а

     

    □ Введем новую функцию g (х) следующим образом:

    g (х) = /( * ) -т — т

    (х — а ) .

    Ь -а

     

    Функция g (х) удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке[а, Ь\, дифференцируема на интервале (а,Ь) и принимает на его концах равные значения:

    g(a) = /(а ),

    8(b) = т — m ~ f ( a \ b — a ) = f(a). Ь — а

    ИЛИ £'($) = / ‘( 4 ) — ^ Ь]

    = 0, откуда/’^)=

    . ■

    о — а

     

    о — а

    Заключение (8 .1) теоремы Лагранжа может быть записано и в

    виде:

     

    т — т = Г Ш Ь ~ а ) .

    (8.2)

    Выясним м е х а н и ч е с к и й и г е о м е т р и ч е с к и й

    с м ы с л теоремы Лагранжа.

     

    Приращение f(b) —f(a) — это изменение функции на отрез­

    ке [а, b\, ^—/(£) _ Средняя скорость изменения функции на

    Ь — а

    этом отрезке; значения же производной в точке — это «мгно­ венная» скорость изменения функции. Таким образом, теорема утверждает: существует хотя бы одна точка внутри отрезка, та­ кая, что скорость изменения функции в ней равна средней скоро­ сти изменения функции на этом отрезке.

    Геометрическая интерпрета­ ция теоремы Лагранжа приведена на рис. 8.4.

    Если перемещать прямую АВ параллельно начальному положе­ нию,найдется хотя бы одна точка %€(а, Ь), в которой касательная к графику f(x) и хорда АВ, проведен­ ная через концы дуги АВ, параллель­ ны (ибо в соответствии с (4.5) уг­ ловой коэффициент секущей

    ,f ( b ) ~ f(a )

    k

    J

    я

    1ГЯ Г.Я ТР.ТТК —

    ной — к =/'(£))• С л е д с т в и е .Если производная функции / (х)равна нулю на

    некотором промежутке X, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.

    □Возьмем на рассматриваемом промежутке X отрезок[а, х].

    Согласно

    теореме

    Лагранжа

    /(х ) —f(a)— f'(^)(x — а),где

    а < %< х.

    По условию /'( £ ) =

    0» следовательно, /(х) —f (a) = О,

    т.е. / (х) = /

    (а) = const.

    ■

     

    8.2. Правило Лопиталя

    Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или беско­ нечно больших функций равен пределу отношения их производных {конечному или бесконечному), если последний существует в ука­ занном смысле.

    Итак, если имеется неопределенность вида — или— ,то

     

     

    |_ О J

    L°°J

     

    н т 2 М = В т т

    ( 8 3 )

     

    Х~>Х0 g(x)

    Х->Х0(x)

     

    □

    (jt—>оо)

    (*->оо)

     

    Рассмотрим доказательство теоремы для неопределенности

    вида

    при х

     

     

    Для простоты будем предполагать, что функции Дх) и g(x), а также их производные непрерывны в точке х0, причем lim / (х) =

     

     

     

     

    х~*х0

    = / ( х 0) = О п

    lim g(x) = g(jcb)= 0 .

     

     

    х->х0

     

     

     

    о

    у fix )

    у

    f i x ) — /(х 0)

    .

    В этом случае lim

    = lim

    —■-

     

    х-УХоg ( x )

    х->х0g ( x ) -g(x0)

     

    Применяя теорему Лагранжа для функций Дх) и g(x) на от­ резке [JC, х0], получим

     

    ишЖ

    = и т Л М ^ з 1

    = ит1 Ш ,

     

    х->х0gix)

    Х — У Х 0 fe2)(х — х0 )

    х i x q (%2 )

    где X <

    < х0 , X <1,2

    < хо ■

     

    При

    х -»х0 в силу непрерывности производныхf'(x) иg'(x)

    имеем /'( £ |) -> f i x 0 ) и g'(%2)->£'(*<))• Используя теорему о

    пределе частного двух функций, получаем равенство (8.3). ■ З а м е ч а н и е . Обращаем внимание, что в правой части

    формулы (8.3) берется отношение производных, а не производ­ ная отношения.

    £> Пример 8.1. Найти:

     

     

     

    a) lim — ; б)

    lim — ; в)

    lim logа х

     

    JC—>ооех

    х—>ооа х

    х >00хк

     

    Р е ш е н и е. а) Имеем неопределенность вида

    . Приме-

    няя правило Лопиталя, получим:

     

    =

    lim X

    )

    =

    lim — = 0 .

     

    x■—>00ex

    x — >00( e x

     

    x —>00ex

    б) Имеем также неопределенность вида

    Применим пра­

     

     

     

     

     

    00

    вило Лопиталя к раз, еслик — целое, и

    [£] + 1 раз, если к —

    нецелое (где [£] — целая часть числа к):

     

     

    хК

    kxk~x

    = lim

    k (k — \)xk~2 _

    lim — =

    = lim

     

    ax In2 a

    х—>ооQx

    *->°оа х Inа

    x

    >oo

     

    = lim

    ax lnfA+1 a

     

     

     

    X->oo

     

     

    При каждом применении правила Лопиталя степень числите­

    ля будет уменьшаться на единицу и через

    [£] + 1 раз станет от­

    рицательной, т.е. числитель обратится в бесконечно малую ве­ личину (если к — не целое число; еслик — целое, то в постоян­

    ную величину).

    Знаменатель

    же будет оставаться бесконечно

     

     

     

     

    х^

    = 0.

    большой величиной. Таким образом, lim —

     

     

     

     

    *—>о°а

     

     

     

     

     

    1

     

    в) lim •oga *

    00

    =lim (1°g^

    )f —

    lim

    lim \

    x—>oox*

    00

    *->oo(хкУ

     

    *->ookxk 1

    kinax^>coxk

    Правило Лопиталя дает возможность сравнения бесконечно больших величин: степенная функция хп— бесконечно большая более высокого порядка, чем логарифмическая logflх , а показа­

    тельная ах — бесконечно большая более высокого порядка, чем

    степенная

    хп; это означает, что

    хп

    г

    аХ

    lim

    = оо,

    lim — = оо.

     

     

    *->ооlog„ х

    х —>оохп

    [> Пример 8.2. Найти:

     

     

     

     

     

     

    р Х

    _1_ р — х_

    2

     

     

     

     

    a) lim—————; б) limxlnx.

     

     

    jc-»0

     

    х->0

     

     

    Р е ш е н и е. а)

    ..

    (ех +е~х — 2 )

     

    ех-р-х

    ,.

    ех +е~х — 2

     

    lim—————

    — lim———

    ———lim-

     

    jc—>0

    X2

    —>0

    (*2

    у

    —>0

    2.x

    дс

     

     

    JC

    Неопределенность вида

    по-прежнемусохраняется. При-

    меним правило Лопиталя еще раз:

    е х _ е — х

    = lim

    (е х _ е — х у

    ех +е~х

    lim———-

    ——=lim —

    х—>о2 .x

    х—>о

    (2 х)

    х—>02

    б) Имеем неопределенность вида[О-оо]. Переписывая данное выражение в виде

    lim (xlnx) = [0-оо]

    = lim

    1

    ,

    получим неопределенность

    х->0+

     

    JC—>0+

     

     

     

    вида оо

    . Применяя правило Лопиталя, получим

     

    оо

     

     

     

     

     

     

     

    1пх

    = lim —

    X

    _

    . ►

     

    lim ——=

     

    = Иш(-дг)=0

     

    х->0+1

    х->0+1

    х—>0

     

     

    X

     

     

    X1

     

    Правило Лопиталя является эффективным методом раскрытия не­ определенностей. Однако применение его не всегда приводит к цели.

    О Пример 8.3. Найти:

     

     

    . ..

    yjx +l

    x + sinx

    а) lim

    — ; б)

    lim ——:— .

    х->дал/х- 1

    х-уоох—sinх

    Р е ш е н и е. а) Если применить правило Лопиталя, то получим

     

     

    1

     

    yjx +l

    = и ш

    ^ ± 1 .

    К т ^

    lim ,——

    *->°°y/x-l

    X—>00

    1

    x->ooyjx+l

    2 yfx^i

    т.е. числитель и знаменатель просто меняются местами; неопре­ деленность же сохраняется. Если применить правило Лопиталя вторично, то функция под знаком предела примет первоначаль­ ный вид. Таким образом, применение этого правила в данном случае не позволяет раскрыть неопределенность. В то же время легко установить, что

    lim

    = iim

    + i

    * — l.

    х->°0VX- 1

     

     

     

    ‘

    Я

    б) Если применить правило Лопиталя, т.е.

    x-х»x-sinx

    —lim————(x + sinx)’ =

    hm 1 + cosx

    *->»(x — sin x ) ‘

    лг->а>1 — COSX

    то можно сделать ошибочный вывод о том, что предел данной

    функции не существует, так как не существует

    lim c o s x .

     

     

     

     

     

     

    X—>00

     

    I

    •

    ,

    s in x

     

     

    u

    1

    ——-

     

     

    x + s m x

     

    x

    ,

     

    На самом деле lim ——;—

    = lim ——=1

     

     

    x >oox — sinX

    x >°oJ

    sin X

     

     

     

     

     

     

    X

     

     

    так как lim

    —11-=0 (см. пример 6.8в). ►

     

     

    Х -ЮО

    X

     

     

     

     

     

    8.3. Возрастание и убывание функций

    Напомним (см. § 5.3), что функция у = fix) называется воз­

    растающей

    (убывающей)

    на

    промежутке

    X,

    если для любых

    X], х2 еХ, х2>х, верно неравенство / ( х2 ) > /( xt ) ( / ( х2) < / ( х ,)).

    Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка X, то она возрастает на этом проме­

    жутке.

     

     

     

    □

    Рассмотрим два значения х, и

    х2 на данном промежутке

    X. Пусть х2 > х ,, х ,, х2 еX. Докажем, что / ( х2) > /( х,).

     

    Для

    функции /(х) на отрезке [х ,, х2 ]

    выполняются условия

    теоремы Лагранжа, поэтому

     

     

     

    f ( x 2) — f ( x l )=f'(S,)(x2- x l ),

    (8.4)

    где х, < 4 <х2, т.е. £ принадлежит промежутку, на котором про­ изводная положительна, откуда следует, что /'(4) >0 и правая часть равенства (8.3) положительна. Отсюда / ( х 2)—/( х , ) > О и

    f ( x 2) > f ( x l ). я

    Аналогично доказывается другая теорема.

    Теорема (достаточное условие убывания функции). Если произ­ водная дифференцируемой функции отрицательна внутри некото­ рого промежутка X, то она убывает на этом промежутке.

    Геометрическая интерпретация условия монотонности функ­ ции приведена на рис. 8.5.

    Если касательные к кривой в некотором промежутке направ­ лены под острыми углами к оси абсцисс (рис. 8.5а), то функция возрастает, если под тупыми (рис. 8.56), то убывает.

    Рис. 8.5 [> Пример 8.4. Найти интервалы монотонности функции

    у = х2 —4х+ 3.

    Р е ш е н и е . Имеем у’ = 2х — 4. Очевидноу’ > 0 прих > 2 иу’ <0 прих < 2, т.е. функция убывает на интервале(—оо, 2 ) и возрастает на интервале (2 ,+оо), где х0 =2 — абсцисса вершины

    параболы. ►

    Заметим, что необходимое условие монотонности более сла­ бое. Если функция возрастает (убывает) на некотором проме­ жутке X, то можно лишь утверждать, чтопроизводная неотри­

    цательна (неположительна) на этом

    промежутке: f

    (х) > О

    (/'(х ) < 0 ), х еX,

    т.е. в отдельных точках производная

    моно­

    тонной функции может равняться нулю.

     

     

    t> Пример 8.5. Найти интервалы монотонности функции у = х3

    Р е ш е н и е .

    Найдем производную

    у’ = Зх2 Очевидно, что

    у’ > 0 при хф 0.

    При х = 0 производная обращается

    в нуль.

    Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси (см. рис. 5.5). ►

    В определенном смысле материал этого параграфа наиболее ва­ жен для решения задачи исследования функций и построения их графиков. Мы выделим наиболее важные, «узловые», точки функ­ ции, нахождение которых во многом определяет структуру графи­ ка. Это точки экстремума — максимума и минимума функции.

    Определение 1. Точках0 называется точкой максимума функ­ ции/ (х), если в некоторой окрестности точких0 выполняется неравенствоf(x)< /( х0 ) (см. рис. 8 .6 ).

    Определение 2. Точках, называется точкой минимума функ­ ции/ (jc), если в некоторой окрестности точких, выполняется

    неравенство f(x) >/ ( х ,) (см. рис. 8.6).

    Значения функции в точках х0

    и х, называются соответственно

    максимумом и минимумом функции.

    Максимум и минимум функции объединяются общим названием

    экстремума функции.

    Экстремум функции часто на­ зывают локальным экстремумом,

    подчеркивая тот факт, что поня­ тие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью

    точки х0. Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум

    в одной

    точке больше

    максимума в другой,

    например на

    рис. 8.6

    / тш(х2)> /max(*<))•

    Наличие максимума

    (или миниму­

    ма) в отдельной точке промежутка X вовсе не означает, что в этой точке функция / (х) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеетглобаль­ ный максимум (минимум)).

    Важность точек экстремума иллюстрируется следующим при­ мером (см. рис. 8.7).

    studfiles.net

    Ппт онлайн – ppt Онлайн — смотреть презентации формата ppt онлайн

    alexxlab / / Школьная жизнь

    Как открыть файл PPTX онлайн

    Бывают ситуации, когда срочно нужно посмотреть презентацию, но доступа к PowerPoint нет. В этом случае на помощь придут многочисленные онлайн-сервисы, которые позволят запустить показ на любом устройстве, главное условие – наличие доступа в интернет.

    Сегодня мы рассмотрим наиболее популярные и простые для понимания сайты, которые позволяют просматривать презентации в онлайн-режиме.

    Открываем презентацию онлайн

    Если на компьютере отсутствует PowerPoint либо необходимо запустить презентацию на мобильном устройстве, достаточно перейти на описанные ниже ресурсы. Все они имеют ряд достоинств и недостатков, выбирайте тот, который полностью будет отвечать вашим потребностям.

    Способ 1: PPT онлайн

    Простой и понятный ресурс для работы с файлами в формате PPTX (поддерживаются и файлы, созданные в более старых версиях PowerPoint с расширением PPT). Для работы с файлом достаточно просто загрузить его на сайт. Обратите внимание на то, что после загрузки файл будет размещен на сервере и получить доступ к нему смогут все желающие. Сервис практически не изменяет внешний вид презентации, однако об эффектах и красивых переходах здесь можно забыть.

    Загружать на сайт можно только файлы размером не более 50 мегабайт, но в большинстве случаев данное ограничение неактуально.

    Перейти на сайт PPT онлайн

    1. Заходим на сайт и загружаем презентацию, щелкнув на кнопку «Выбрать файл».
    2. Вводим имя, если название по умолчанию нас не устраивает, и щелкаем на кнопку «Залить».
    3. После загрузки и конвертации файл будет открыт на сайте (загрузка занимает считанные секунды, однако время может колебаться в зависимости от размера вашего файла).
    4. Переключение между слайдами происходит не автоматически, для этого нужно нажимать соответствующие стрелки.
    5. В верхнем меню можно посмотреть количество слайдов в презентации, сделать показ на весь экран и поделиться ссылкой на работу.
    6. Внизу доступна вся текстовая информация, размещенная на слайдах.

    На сайте можно не только просмотреть файлы в формате PPTX, но и найти нужную презентацию через поисковик. Сейчас сервис предлагает тысячи вариантов от разных пользователей.

    Способ 2: Microsoft PowerPoint Online

    Доступ к офисным приложениям от Microsoft можно получить и в онлайн-режиме. Для этого достаточно иметь фирменную учетную запись. Пользователь может пройти несложную регистрацию, загрузить свой файл на сервис и получить доступ не только к просмотру, но и редактированию документа. Сама презентация загружается в облачное хранилище, за счет чего доступ к ней можно получить с любого устройства, которое имеет выход в сеть. В отличие от прошлого способа, доступ к загруженному файлу получите только вы, или люди, которым будет предоставлена ссылка.

    Перейти на сайт Microsoft PowerPoint Online

    1. Заходим на сайт, вводим данные для входа в учетную запись или регистрируемся, как новый пользователь.
    2. Загружаем файл в облачное хранилище, нажав на кнопку «Отправить презентацию», которая находится в правом верхнем углу.
    3. Откроется окно, похожее на декстопную версию программы PowerPoint. При необходимости меняем некоторые файлы, добавляем эффекты и вносим другие изменения.
    4. Для начала показа презентации щелкаем на режим «Слайд-шоу», который находится на нижней панели.

    В режиме запуска «Слайд-шоу» не отображаются эффекты и переходы между слайдами, текст и размещенные картинки не искажаются и остаются, как в оригинале.

    Способ 3: Google Презентации

    Сайт позволяет не только создавать презентации в онлайн-режиме, но и редактировать, и открывать файлы в формате PPTX. Сервис автоматически преобразовывает файлы в понятный для себя формат. Работа с документом ведется на облачном хранилище, желательно пройти регистрацию — так вы сможете получить доступ к файлам с любого устройства.

    Перейти на сайт Google Презентации

    1. Щелкаем «Открыть Google Презентации» на главной странице сайта.
    2. Нажимаем на значок папки.
    3. В открывшемся окне переходим на вкладку «Загрузка» и нажимаем «Выберите файл на компьютере».
    4. После выбора файла начнется процесс загрузки.
    5. Откроется окно, где можно будет просмотреть файлы в презентации, изменить, добавить что-либо в случае необходимости.
    6. Для начала показа презентации щелкаем на кнопку «Смотреть».

    В отличие от описанных выше способов, Google Презентации поддерживает воспроизведение анимации и эффектов перехода.

    Все описанные выше способы помогут вам открыть файлы в формате PPTX на компьютере, где отсутствует соответствующее программное обеспечение. В интернете есть и другие сайты для решения данной задачи, однако они работают по одному принципу и рассматривать их нет нужды.

    Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
    Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

    Помогла ли вам эта статья?

    ДА НЕТ

    lumpics.ru

    TOS

    Пользуясь сервисом ppt-online.org, вы подтверждаете, что прочитали, поняли и согласны соблюдать пользовательское соглашение. Администрация оставляет за собой право по своему личному усмотрению изменять или дополнять соглашение в любое время без предварительного и последующего уведомления. Администрация будет публиковать изменения в правилах на этой странице. Ваше дальнейшее использование сервиса после любых подобных изменений означает ваше согласие с таким изменениями и дополнениями. В вашей личной ответственности остается регулярный просмотр данной страницы для ознакомления с действующей редакцией соглашения.

    Если по тем или иным причинам одна или несколько норм пользовательского соглашения является недействительной или не имеющей юридической силы, это не оказывает влияния на действительность или применимость остальных норм.

    Администрация оставляет за собой право по своему собственному усмотрению изменять или удалять любую публикуемую информацию, приостанавливать, ограничивать или прекращать ваш доступ к сервису в любое время по любой причине или без объяснения причин, с предварительным уведомлением или без такового, не отвечая за любой вред, который может быть причинен вам таким действием.

    Запрещается

    Размещать на сервисе ppt-online.org:

    • материалы, противоречащие законодательству РФ, Казахстана, Беларуси или Украины;
    • информацию, которая содержит угрозы, дискредитирует или оскорбляет других пользователей или третьих лиц, является вульгарной, непристойной, носит мошеннический характер, посягает на личные или публичные интересы, пропагандирует расовую, религиозную, этническую ненависть или вражду;
    • объекты интеллектуальной собственности, копирование которых запрещено владельцами оригинала;
    • файлы, которые содержат или могут содержать вирусы или вредоносные программы;
    • информацию, которая, по личному мнению Администрации, является нежелательной.
    • Использовать сервис любым способом, который может помешать нормальному его функционированию;
    • Использовать автоматизированные программы для сбора информации или взаимодействия с сервисом.
    • Использовать сервис в коммерческих целях, таких как распространение рекламы или показ баннеров.

    Права на информацию

    • Информация не может быть использована без предварительного разрешения правообладателя, кроме случаев, когда правообладатель явным образом выразил свое согласие на свободное использование материала любым лицом;
    • Размещая информацию на ppt-online.org, вы предоставляете другим пользователям неисключительное право на его использование, кроме случаев, когда такое использование причиняет или может причинить вред охраняемым законом интересам правообладателя;
    • Использование информации, размещённой на ppt-online.org, допускается при условии сохранения всех знаков авторства или других уведомлений об авторстве, сохранении информации в неизменном виде;
    • Вы не имеете права публиковать на ppt-online.org объекты исключительных прав при отсутствии явным образом выраженного согласия правообладателя на такие действия;
    • Размещая свою информацию на ppt-online.org, вы автоматически безвозмездно предоставляете Администрации неисключительное право на её использование путем копирования, публичного исполнения, воспроизведения, переработки, перевода и распространения.

    Ответственность

    • Вы несете личную ответственность за любую информацию, которую публикуете на сервисе ppt-online.org;
    • Администрация не несет никакой ответственности за любую размещённую информацию на сервисе ppt-online.org или с его помощью;
    • Администрация не несет ответственности за любые проблемы, связанные с доступом к сервису ppt-online.org и информации размещенной на нём;
    • Ни при каких обстоятельствах администрация не несет ответственности за любой вред или ущерб, вызванный или связанный с работой сервиса ppt-online.org.

    Хранение файлов

    • Разрешается закачивать файлы размером до 50 мегабайт;
    • Администрация оставляет за собой право удалять любые файлы или ограничивать к ним доступ без предупреждения и без объяснения причин.
    • Если вы обнаружили информацию, размещённую против правил, пожалуйста, сообщите нам об этом.

    ppt-online.org

    PowerPoint Online (Русский) — Бесплатно

    Среди различных инструментов, найденных в Microsoft Office, мы должны отметить, PowerPoint. Это одна из самых популярных в мире программ для создания презентаций, и используется практически во всех областях, особенно образования и бизнеса. В любом случае, на данном этапе, мы предполагаем, что нет необходимости объяснить вам что это, не так ли? Как вы уже знаете, вы можете использовать ее для создания слайд-шоу с предварительно разработанными текстами, диаграммами, графиками и изображениями.

    Подключение к Интернету, учетная запись Microsoft и браузер: это все, что вам нужно для использования PowerPoint.

    И до недавних пор, единственный способ использовать это приложение, это скачать его настольную версию для Windows или Mac, но благодаря эволюции интернет-соединений и облачных технологий, мы можем использовать онлайновые инструменты с интересными функциями, которые раньше были доступны только с автономными устанавливаемыми программами. Другими словами, Microsoft PowerPoint Online предлагает нам все возможности этого офисного инструмента, но теперь с веб-сайта. И самое главное, что это абсолютно бесплатно.

    Основные особенности

    За исключением некоторых незначительных ограничений в отношении настольной версии (некоторые функции не столь обширны), мы в основном найдем почти все те же функции и опции, как если бы мы скачали программу. Вот некоторые из его основных функций, с которыми вы вероятно уже знакомы:

    • Текстовый редактор для презентаций, что позволяет вставлять и придать формат тексту.
    • Вставка и изменение изображения.
    • Различные темы дизайна.
    • Различные цветовые схемы.
    • Инструменты для сочетания форм.
    • Возможность применения переходов, анимации и эффектов.
    • Разные предустановленные шаблоны.
    • Синхронизация с другими устройствами: возобновите свою работу, где вы ее оставили.
    • Хранение на OneDrive.
    • Открытие файлов, хранящихся на вашем жестком диске.
    • Возможность разделения через Skype или с другими пользователями посредством разделения ссылок.

    Бесплатно и доступно для всех

    Единственное, что вам нужно, чтобы иметь возможность использовать эту онлайновую версию приложения презентаций, это иметь учетную запись Microsoft, браузер (оно совместимо с Firefox, Opera, Chrome, Safari и с большинством браузерами), и, очевидно, подключение к Интернету.

    Преимущества этой онлайн-версии можно найти в рамках производительности. Наша работа всегда будет доступной независимо от устройства, которого мы собираемся использовать: Windows, macOS, Linux, Android или iOS смартфон или планшет… и правда заключается в том, что самая последняя версия PowerPoint 2016 также включает синхронизацию с облачными хранилищами, но то, что предлагает веб-приложение это независимость от его скачивания. Кроме того, благодаря тому, что оно синхронизировано с OneDrive, мы можем продолжить нашу работу на других устройствах онлайн или на нашей настольной версии.

    И вы, очевидно, не будете иметь никаких проблем с совместимостью: вы можете работать с родными форматами РРТ и PPTX, а также с другими, с которыми работают альтернативы Office, такие как OpenOffice со своим Impress. Без сомнения, достойное решение, чтобы нести с собой слайд-шоу, и работать с ними, где бы вы ни находились.

    www.malavida.com

    Создание презентации в PowerPoint Online

    Приложение PowerPoint Online, запущенное в браузере, позволяет:

    • создавать презентации и добавлять в них изображения, видео, переходы и анимацию;

    • открывать презентации с компьютера, планшета или телефона;

    • делиться презентациями и работать совместно отовсюду.

    Создание или открытие презентации

    1. Выполните вход на странице office.com/signin.

    2. В средстве запуска приложений Office 365  выберите приложение PowerPoint.

    3. Выберите Новая пустая презентация, откройте файл в списке Последние или выберите один из шаблонов.

    Присвоение имени презентации

    • Щелкните заголовок в верхней части страницы и введите имя.

      Изменения в PowerPoint Online сохраняются автоматически.

    support.office.com

    ppt-online.org… ppt Онлайн — смотреть презентации формата ppt онлайн. Реформал.

    Рейтинг:

    Адрес:

    http://ppt-online.org

    Безопасность данных:

    Не определена

    Степень доверия:

    Не определена

    Безопасность для детей:

    Не определена

    О сайте:

    Анализ данных ppt-online.org показал, что у этого домена превосходный рейтинг Alexa и это очень популярный сайт с высоким уровнем посещаемости (более 5 млн. в месяц). Лидирующую позицию по доле трафика занимает Россия (41,4%), а владельцем домена является WhoisGuard Protected (WhoisGuard, Inc.).

    Заголовок:

    ppt Онлайн — смотреть презентации формата ppt онлайн

    Мета-описание:

    онлайн PPT онлайн Сервис PPT Онлайн предназначен для показа презентаций PowerPoint. Загрузите презен…

    Рейтинг Alexa

    5 706

    Посетителей в день

    203 279

    Просмотров в день

    325 247

    Статус:

    Онлайн

    Дата последней проверки:

    sites.reformal.ru

    Как сделать презентацию онлайн

    Целью любой презентации является донесение нужной информации определённой аудитории. Благодаря специальному программному обеспечению вы можете сгруппировать материал в слайды и преподнести их заинтересованным людям. Если же у вас возникают проблемы при эксплуатации специальных программ, на помощь приходят онлайн-сервисы для создания таких презентаций. Представленные в статье варианты совершенно бесплатны и уже проверены пользователями со всего интернета.

    Создаём презентацию онлайн

    Онлайн-сервисы с функционалом для создания презентации менее требовательны, чем полноценное программное обеспечение. При этом, они имеют большой набор инструментов и уж точно смогут решить задачу создания несложных слайдов.

    Способ 1: PowerPoint Online

    Это, наверное, самый популярный способ создать презентацию без программного обеспечения. Компания Microsoft позаботилась о максимальной схожести программы PowerPoint с данным онлайн-сервисом. OneDrive позволяет синхронизировать с компьютером использованные в работе изображения и дорабатывать презентации в полноценном ПаверПоинте. Все сохранённые данные будут храниться именно в этом облачном сервере.

    Перейти к сервису PowerPoint Online

    1. После перехода на сайт открывается меню выбора готового шаблона. Выберите понравившийся вариант и кликните на него левой кнопкой мыши.

      2. Появляется панель управления, на которой расположены инструменты для работы с презентацией. Она похожа на ту, которая встроена в полноценную программу, и имеет приблизительно тот же функционал.

    2. Выберите вкладку «Вставка». Тут вы можете добавлять новые слайды для редактирования и вставлять объекты в презентацию.

      3. При желании вы можете украсить презентацию с помощью изображений, иллюстраций и фигур. Информацию можно добавить с помощью инструмента «Надпись» и организовать в таблицу.

    3. Добавьте необходимое количество новых слайдов, нажав на кнопку «Добавить слайд» в той же вкладке.

    4. Выберите структуру добавляемого слайда и подтвердите добавление нажатием на кнопку «Добавить слайд».

      5. Все добавленные слайды отображаются в левой колонке. Их редактирование возможно при выборе одного из них, нажатием левой кнопкой мыши.

    5. Заполните слайды необходимой информацией и оформите нужным вам образом.

    6. Перед сохранением рекомендуем просмотреть готовую презентацию. Конечно, вы можете быть уверены в содержимом слайдов, но в предпросмотре можно взглянуть и на примененные эффекты переходов между страницами. Откройте вкладку «Вид» и измените режим редактирования на «Режим чтения».

      7. В режиме предварительного просмотра можно запустить «Слайд-шоу» либо переключать слайды стрелками на клавиатуре.

    7. Для сохранения готовой презентации войдите во вкладку «Файл» на верхней панели управления.

    8. Нажмите на пункт «Скачать как» и выберите один подходящий вариант загрузки файла.

    Способ 2: Google Презентации

    Отличный способ создания презентаций с возможностью коллективной работы над ними, разработанный компанией Google. Вы имеете возможность создавать и редактировать материалы, конвертировать их с формата Google в PowerPoint и наоборот. Благодаря поддержке Chromecast презентацию можно представлять на любом экране без проводов, с помощью мобильного устройства на базе ОС Android или iOS.

    Перейти к сервису Google Презентации

    1. После перехода на сайт сразу приступаем к делу — создаём новую презентацию. Для этого нажмите на значок «+» в правом нижнем углу экрана.

    2. Измените название вашей презентации, нажав на графу «Презентация без названия».

    3. Выберите один готовый шаблон из представленных в правой колонке сайта. Если ни один из вариантов вам не приглянулся, вы можете загрузить собственную тему, нажав на кнопку «Импортировать тему» в конце списка.

    4. Добавить новый слайд можно перейдя во вкладку «Вставка», а затем нажав пункт «Новый слайд».

      5. Уже добавленные слайды можно выбирать, как и в предыдущем способе, в левой колонке.

    5. Откройте предварительный просмотр, чтобы увидеть готовую презентацию. Для этого нажмите кнопку «Смотреть» в верхней панели инструментов.

      6. Что примечательно, данный сервис даёт возможность просмотреть вашу презентацию в таком виде, в каком вы будете подавать её аудитории. В отличие от предыдущего сервиса, Google Презентации открывает материал на весь экран и имеет дополнительные инструменты для подчёркивания объектов на экране, например, лазерную указку.

    6. Чтобы сохранить готовый материал, необходимо перейти во вкладку «Файл», выбрать пункт «Скачать как» и задать подходящий формат. Есть возможность сохранения как презентации в целом, так и текущего слайда отдельно в JPG или PNG формате.

    Способ 3: Canva

    Это онлайн-сервис, содержащий огромное количество готовых шаблонов для реализации ваших творческих идей. Помимо презентаций вы можете создавать графику для социальных сетей, плакаты, фоны и графические записи в Facebook и Instagram. Сохраняйте созданные работы на компьютер или делитесь ими со своими друзьями в интернете. Даже при бесплатном использовании сервиса вы имеете возможность создать команду и вместе работать над проектом, обмениваясь идеями и файлами.

    Перейти к сервису Canva

    1. Переходим на сайт и нажмите на кнопку «Вход» в правой верхней части страницы.

    2. Пройдите авторизацию. Для этого выберите один из способов быстрого входа на сайт либо создайте новый аккаунт, введя адрес электронной почты.

    3. Создаём новый дизайн, нажав на большую кнопку «Создать дизайн» в меню слева.

    4. Выберите тип будущего документа. Поскольку мы собираемся создать презентацию, выбираем соответствующую плитку с названием «Презентация».

    5. Вам будет предоставлен список готовых бесплатных шаблонов для оформления презентации. Выберите понравившийся, пролистав все возможные варианты в колонке слева. При выборе одного из вариантов, вы сможете увидеть, как будут выглядеть будущие страницы и что в них можно изменить.

    6. Измените содержимое презентации на собственное. Для этого выберите одну из страниц и редактируйте её на своё усмотрение, применяя различные параметры, предоставленные сервисом.

    7. Добавление нового слайда в презентацию возможно путём нажатия на кнопку «Добавить страницу» внизу.

    8. По завершении работы с документом скачайте его на компьютер. Для этого в верхнем меню сайта выберите пункт «Скачать».

    9. Подберите подходящий формат будущего файла, установите необходимые галочки в других важных параметрах и подтвердите скачивание нажатием на кнопку «Скачать» уже внизу появившегося окна.

    Способ 4: Zoho Docs

    Это современный инструмент для создания презентаций, сочетающий в себе возможность коллективной работы над одним проектом с разных устройств и набор стильных готовых шаблонов. Данный сервис позволяет создавать не только презентации, но и различные документы, таблицы, и прочее.

    Перейти к сервису Zoho Docs

    1. Для работы на данном сервисе необходима регистрация. Для упрощения вы можете пройти процесс авторизации с помощью Google, Facebook, Office 365 и Yahoo.

    2. После успешной авторизации приступаем к работе: создайте новый документ, нажав в левой колонке на надпись «Создать», выберите тип документа — «Презентация».

    3. Введите имя для вашей презентации, указав его в соответствующем окне.

    4. Выберите подходящий дизайн будущего документа из представленных вариантов.

    5. Справа вы можете видеть описание выделенного дизайна, а также инструменты для изменения шрифта и палитру. Измените цветовую гамму выбранного шаблона, если того пожелаете.

    6. Добавьте необходимое количество слайдов с помощью кнопки «+Слайд».

    7. Измените макет каждому слайду на подходящий, открыв меню параметров, а затем выбрав пункт «Изменить макет».

    8. Для сохранения готовой презентации войдите во вкладку «Файл», после чего перейдите в пункт «Экспортировать как» и выберите подходящий вам формат файла.

    9. В завершении введите название скачиваемого файла с презентацией.

    Мы рассмотрели четыре лучших онлайн-сервиса для создания презентаций. Некоторые из них, например, PowerPoint Online, лишь немного уступают своим программным версиям в перечне возможностей. В целом, данные сайты являются очень полезными и даже имеют преимущества над полноценными программами: возможность коллективной работы, синхронизация файлов с облаком и многое другие.

    Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
    Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

    Помогла ли вам эта статья?

    ДА НЕТ

    lumpics.ru

    PPT в DOC | Zamzar

    Расширение файла .ppt
    Категория Document File
    Описание Первоначально разработанный Forethought, а затем выкупленный Microsoft, PPT — самый популярный в мире формат файла презентации. Это очень мощный инструмент, который можно использовать для создания презентаций, которые включают в себя изображения, графики, тексты и многие другие объекты. Много компаний и студентов, которым необходимо что-либо представить, почти всегда будут использовать Microsoft PowerPoint.
    Действия PPT в DOC — Конвертировать файл сейчас
    View other document file formats
    Технические детали Большая часть любой презентации состоит из ввода текста, его появляется и вывода на экран. Ввод, выделение и вывод элементов на слайд, регулируемые PowerPoin, называется настройками анимации. Они могут быть анимированы разными способами. Например, вы можете настроить анимацию для создания небольших заставок, анимируя картинки посредством ввода, вывода и путей перемещения. С помощью различных видов сносок и текстовых облаков можно создавать речь. Общий дизайн презентации может задавать стиль внешнего вида и функционирования остальных слайдов, это называется мастер слайдов. Все — от дизайна до текста на слайде можно редактировать с помощью примитивного макета.
    Ассоциированные программы Apple Keynote
    Microsoft PowerPoint
    OpenOffice
    Разработано Microsoft
    Тип MIME application/mspowerpoint
    application/powerpoint
    application/vnd.ms-powerpoint
    application/x-mspowerpoint
    Полезные ссылки Больше информации о Microsoft Powerpoint
    10 Великолепных советов о Powerpoint
    Спецификация бинарного формата файлов Microsoft Office
    Convert PPT file

    www.zamzar.com

    1 … 254 255 256 257 258 … 343