Рубрика: Школьная жизнь

Информатика — Всё для чайников

forkettle.ru

Уроки информатики

В современном мире изучение данного предмета в школе является уже необходимостью, ведь компьютеризация проникла уже практически во все сферы жизнедеятельности человека. Вот почему знание хотя бы основ компьютерной грамотности позволит детям чувствовать себя уверенно в наше время.

Изучать информатику онлайн вы можете, зайдя на наш сайт, который содержит практически все темы по информатике, составляющих школьную программу, в видеоформате. Поэтому, располагая достаточным временем, компьютером и доступом в Сеть, вы можете обратиться к видеоурокам и разобрать нужную тему.

Дисциплина строится на принципах и методах обработки, хранения и передачи информации при помощи компьютера и компьютерных сетей. Одним из приоритетных направлений в современном преподавании информатики в школе является направление «Глобальная сеть Интернет». Данный факт обуславливается популяризацией интернет-коммуникаций и общей информатизацией общества.

Программа по информатике

Уроки информатики в формате видео, представленные на нашем портале, помогут ребенку в освоении школьного курса по данному предмету. Во всех школах изучение начал информатики начинается в 5 классе, где рассказывается, как устроен компьютер, как им пользоваться, ребенок также знакомится с наиболее распространенными компьютерными программами. В разделе информатики 5 класса вы сможете найти интересные видеоуроки по всем этим темам. Информатика 6 класса знакомит школьников с основами программирования, что способствует развитию логического мышления у ребенка, этому также помогает изучение теоретических вопросов о формах мышления. Изучение программирования, в частности, на языке Basic, продолжается также и в следующем классе. На нашем сайте в доступной форме объясняются все нюансы этих непростых вопросов, которые изложены в видеоуроках по информатике 7 класса. В 8 классе школьники узнают о таких понятиях, как информационные модели, изучают архитектуру компьютера, узнают, что такое алгоритмы, знакомятся с их свойствами. Все это вы тоже можете найти на нашем портале в разделе информатике 8 класса.

Далее на уроках информатики начинается детальное изучение компьютерной графики, компьютерной анимации, средств и технологий обработки числовой информации, а также трехмерного моделирования и технологий хранения информации, в том числе баз данных. Эти сложные темы могут быть непонятны школьнику с первого раза, именно поэтому на сайте InternetUrok.ru представлены видеоуроки по информатике 9 класса в простой и наглядной форме изложения. С каждым классом курс становится все сложнее: на уроках по информатике 10 класса школьники будут осваивать понятия моделирования живой и неживой природы, логико-математические модели, а также информационную деятельность человека с использованием в ней компьютерных технологий. На уроках информатики 11 класса школьники продолжают изучение вопросов информационной деятельности человека, а еще повторяют и углубляют свои познания, касающиеся особенностей операционных систем и программного обеспечения. Эти и многие другие темы по информатике ждут вас на страницах портала InternetUrok.ru.

ГИА по информатике является необязательным экзаменом для учеников 9 класса. Экзамен состоит из трёх частей: части А (подразумевает выбор правильного ответа), части B(подразумевает краткий ответ на вопрос) и части С (подразумевает развёрнутое решение). При сдаче экзамена по данной дисциплине ученик должен сообщить, на каком языке программирования он будет выполнять задание С. Эта часть выполняется при помощи компьютера. Чтобы успешно сдать ГИА по информатике, нужно готовиться систематически и подойти к процессу изучения материала серьёзно, используя учебники, лекции и конспекты, а также проверочные материалы по всем темам курса, решать диагностические и тренировочные контрольные.

В процессе изучения тем в рамках программы по информатике важна не только теоритическая составляющая, но и практический компонент. Потому что информационные технологии и процессы невозможно полностью осмыслить и понять, изучив лишь только теорию – как правило, навык приобретается на практике. Грамотное использование компьютера способно превратить невероятно сложную задачу в простейший алгоритм действий и тем самым упростить имеющуюся задачу.

Курс начальной информатики призван расширить кругозор младшеклассников, развить мыслительный процесс и познакомить с базовыми понятиями предмета.

При преподавании информатики в школе в старших классах должны достигаться следующие цели:

1. Приобретение навыков работы со средствами информационно-коммуникационных технологий.

2. Знакомство с различными видами информации и умение работать с ними при помощи ПК.

3. Выполнение и разработка проектов разной сложности.

4. Получение основополагающих теоретических знаний.

5. Развитие творческих способностей.

Роль компьютерных технологий в жизни человека растет с каждым днем. И на данный момент ПК применяется практически во всех сферах нашей повседневности. XXI век – эпоха глобальной информатизации общества, поэтому залогом успешной профессиональной деятельности любого человека является компьютерная грамотность. Следовательно, важно, чтобы школьник, изучая информатику в школе, в полной мере овладел основами компьютерной грамотности.

Изучать материал и повторять знания вы сможете с помощью нашего ресурса. Здесь содержится большое количество материалов, которые помогут изучить самостоятельно информатику онлайн.

interneturok.ru

Подготовка к ЕГЭ по Информатике с нуля от А до Я

Лада Есакова

Когда учащийся 11 класса начинает готовиться к ЕГЭ по информатике – как правило, он готовится с нуля. В этом одно из отличий ЕГЭ по информатике от экзаменов по другим предметам.

По математике у старшеклассника знания точно не нулевые. По русскому языку – тем более.

А с информатикой ситуация намного сложнее. То, что изучается в школе на уроках, никак не связано с программой подготовки к ЕГЭ по информатике.

Что такое ЕГЭ по информатике?

Контрольный тест ЕГЭ по информатике содержит 27 заданий, который относятся к самым разным темам. Это системы счисления, это булева алгебра, алгоритмика, это программирование, моделирование, элементы теории графов.

ЕГЭ по информатике охватывает очень большой спектр информации. Конечно, на экзамене понадобятся только азы, но это основы важных и современных тем.

Подготовка к ЕГЭ по информатике с нуля подразумевает, что ни одну из этих тем ученик не проходил в школе. Обычно это так и есть!

Например, такая тема, как булева алгебра, или  алгебра логики, включена в ЕГЭ по информатике. Но она не изучается в школах,  даже в специализированных. Ее нет ни в курсе школьной информатики, ни в курсе математики. Школьник о ней понятия не имеет!

И поэтому знаменитую  задачу на системы логических уравнений не решает практически никто из учеников. Эта задача в ЕГЭ по информатике идет под номером 23. Скажем больше —  преподаватели часто рекомендуют старшеклассникам вообще не пытаться решить эту задачу, и даже не смотреть на нее, чтобы не тратить время.

Означает ли это, что задача 23 из ЕГЭ по информатике не решается вообще? Нет, конечно! Наши ученики регулярно решают ее каждый год. На нашем курсе подготовки к ЕГЭ по информатике из многих тем мы берем только то, что потребуется на экзамене. И уделяем этим задачам максимальное внимание.

Почему же школа не готовит к ЕГЭ по информатике?

Связано это с тем, что информатика – предмет не обязательный. Каких-либо стандартов и программ Министерство образования не дает. Поэтому учителя на уроках информатики дают школьникам совершенно разный материал – кто что может. Более того — в некоторых школах вообще нет уроков информатики.

— Чем же обычно занимаются старшеклассники на уроках по информатике? Неужели играют в стрелялки?

К счастью, в школе на уроках информатики все-таки школьники занимаются не ерундой, а вполне полезными вещами. Например, изучают Word и Escel. В жизни это пригодится, но, к сожалению, для сдачи ЕГЭ – абсолютно бесполезно.

Причем Word  ребята изучают на серьезном уровне, и некоторые даже сдают экзамены по компьютерной верстке и получают свидетельство верстальщика. В каких-то школах изучают  3D-моделирование. Очень многие школы дают веб-дизайн. Это прекрасная, полезная в будущем тема, но к ЕГЭ она совсем никак не относится! И приходя к нам на курсы, ученик действительно готовится к ЕГЭ по информатике с нуля.

Похожая ситуация – у старшеклассников профильных лицеев. Сильные профильные лицеи честно дают на уроках информатике программирование. Ребята выходят оттуда хорошими  программистами. Но ведь в ЕГЭ по информатике всего 5 заданий хоть как-то связаны с программированием, и из них ровно одна задача в варианте ЕГЭ посвящена написанию программы! Результат – максимум 6 задач на ЕГЭ по информатике.

Сколько же нужно времени, чтобы подготовиться к ЕГЭ по информатике с нуля?

Есть хорошая новость! Подготовиться к ЕГЭ по информатике с нуля можно за один год. Это не легко, но можно, и наши ученики каждый год это доказывают. Курс подготовки к ЕГЭ по информатике не очень большой. Заниматься на курсах можно 1 раз в неделю по 2 часа. Конечно, надо активно выполнять домашние задания.

Но есть одна поправка. Если ученик никогда до 11 класса не занимался программированием, за год вряд ли возможно освоить программирование в полной мере. Поэтому нерешенной останется задача №27 варианта ЕГЭ по информатике. Она самая сложная.

Особенно трудно готовиться к ЕГЭ по информатике с нуля  тем ученикам, кто вообще никогда не был знаком с программированием и не знает, что это такое. Это область достаточно специфичная, поэтому подготовке по программированию нужно уделять много времени и нарешивать огромное количество задач.

На наших курсах мы обязательно разбираем все типовые задания по программированию. И ни разу на экзамене задача по программированию не оказалась для наших учеников сюрпризом –все они были на курсах разобраны. И только задача 27 остается за бортом для тех, кто вообще до 11 класса программированием не занимался.

Приходя к нам на курсы по информатике, ученики и родители иногда удивляются, не видя в учебном классе компьютеров. Они думают, что раз пришли готовиться к ЕГЭ по информатике, то на столах должны быть компьютеры. Но их нет! Насколько необходимо при подготовке к ЕГЭ по информатики наличие ноутбуков и компьютеров?

Это особенность ЕГЭ по информатике. На экзамене компьютера не будет! И да, надо будет решать задания ручкой на листе бумаги, потому что именно в таком формате сейчас проходит ЕГЭ по информатике. Это реальная проблема для тех, кто его сдает.

Даже старшеклассники из специализированных лицеев, хорошо умеющие программировать, могут оказаться беспомощны на ЕГЭ по информатике. Они, разумеются, программируют на компьютерах, то есть в специальной среде. Но что будет, когда компьютера нет? И не только школьники – даже профессиональные программисты с очень большим трудом могут написать программу на бумаге. Поэтому мы готовимся к такому сложному формату сразу. Мы осознанно не используем при подготовке к ЕГЭ по информатике компьютеры и ноутбуки – согласно правилу «Тяжело в учении, легко в бою».

Уже несколько лет ходят слухи, что ЕГЭ по информатике переведут в компьютерную форму. Это обещали сделать в 2017 году, но не сделали. Сделают ли в 2018 году? Пока не знаем. Если введут такой формат экзамена – готовиться к ЕГЭ по информатике с нуля будет намного проще.

Итак, год активной подготовки к ЕГЭ по информатике с нуля,  и ваш результат — 26 задач из 27 возможных. А если вы хоть немного знакомы с программированием – то и все 27 из 27. Мы желаем вам достичь на экзамене такого результата!

И еще раз рекомендую для подготовки теоретический материал и свою книгу «Информатика. Авторский курс подготовки к ЕГЭ», где дается практика решения задач.

Расскажи друзьям!

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Изучение Информатики с Нуля.

Если спросить молодого человека, желающего изучать информатику: зачем ему это нужно? – в половине случаев ответ будет одинаковым: чтобы сдать тесты и поступить в ВУЗ. Не будем задаваться вопросом, что в таком случае он делал в школе, поскольку внятного ответа все равно не будет.

Зайдем с другой стороны – в какой ВУЗ требуется поступить? На какую специальность и почему? Хочется стать программистом и зарабатывать много денег? Это причина уважительная. Только вот хорошими программистами за день не становятся, и никакой ВУЗ не поможет, если нет огромного желания, терпения и трудолюбия. Вы готовы?

Тогда добро пожаловать в информатику для начинающих.

Базовые понятия и основы информатики преподают в любой школе. Если вам не повезло, и уроки не принесли пользы, займитесь самообразованием. Да-да, все традиционно: книжка, видеоурок в интернете “Информатика с нуля”, и, конечно, английский язык. Так уж сложилось, что большинство полезной информации, литературы и обучающих программ написаны на английском. Впрочем, существуют русскоязычные образовательные сайты с изложением базовых основ информатики.

Не нужно бояться. На самом деле с информатикой, а точнее, с информационно – коммуникационными технологиями, мы знакомимся с удовольствием и без всякой школы. Компьютером пользуетесь? По просторам Интернета гуляете? Составляете документы, отчеты, таблички, рисунки? Значит, базовый уровень вами освоен.

На следующей ступени можно приступать к освоению какого-либо языка программирования. Специалисты утверждают, что одним из самых простых и доступных для самостоятельного изучения является “Python” – язык для новичков.

Самостоятельное изучение любой науки – дело не простое. Поэтому обратите внимание на курсы информатики и программирования в вашем городе или дистанционные. К примеру, в Алматы существуют школы для разного уровня подготовки, с программами обучения для детей и взрослых. Это SummIT, “Жаңа Жол”, “Пифагор”, “Algorithm”. Здесь можно получить уроки информатики для начинающих.

Современный и удобный вариант – это дистанционное обучение.

Профессиональные курсы программирования и Школа программирования “Method” – один из возможных путей освоения информатики и программирования.

Вот мы и подошли к цели изучения информатики с нуля – поступлению в ВУЗ на специальность, связанную с информационными технологиями.

Выбор университетов велик: только в Алматы десять ВУЗов готовят IT – специалистов.
В их числе: Международный Университет Информационных Технологий, Казахский Национальный Университет им. аль Фараби, UIB, Алматинский Университет техники и связи, AlmaU, Казахстанско – Британский Технический Университет, КазНАУ и другие.

Профессионалы в сфере информационных технологий – это самые востребованные специалисты на рынке труда. Программисты, веб – дизайнеры, проектировщики информационных систем, специалисты в области кибер – безопасности – всех не перечислить. Изучая информатику, вы приблизитесь к пониманию того, чем хотели бы заниматься, и сможете уверенно смотреть в будущее.

informatik.kz

Обучение информатике

• Книги, задачники и учебники по информатике
• Книги и учебники по программированию
• Обучение пользованию Интернет
• Полезные сайты, ссылки, утилиты, программы
• Уроки и советы по PHP, HTML, CSS, JavaScript, Java, JSP, Servlet
• Уроки и советы по CSS
• Обучение компьютерным программам
• Решебники и ГДЗ по Информатике
• ГИА, экзаменационные билеты по Информатике
• Словари по информатике и компьютерам
• Книги по Веб-дизайну, CSS, HTML, создание сайтов и верстка
• ЕГЭ по информатике
• Все книги по информатике

• Информатика и ИКТ, 3 класс, Методическое пособие, Бененсон Е.П., Паутова А.Г., 2013
• Информатика, 5-6 класс, 7-9 класс, Программа для основной школы, Босова Л.Л., Босова А.Ю., 2013
• Учебно-методический журнал, Информатика, №1, 2013
• Учебно-методический журнал, Информатика, №2, 2013

• Информатика и ИКТ, 2 класс, Методическое пособие, Бененсон Е.П., Паутова А.Г., 2012
• Информатика и ИКТ, 4 класс, Методическое пособие, Бененсон Е.П., Паутова А.Г., 2012
• Информатика и ИКТ, 5 класс, Поурочные разработки, Босова Л.Л., 2012
• Информатика и ИКТ, 5 класс, Поурочные разработки, Методическое пособие, Босова Л.Л., Босова А.Ю., 2012
• Информатика и ИКТ, 8-9 класс, Учебная программа и поурочное планирование, Босова Л.Л., 2012
• Информатика, 7-9 класс, Программа для основной школы, Угринович Н.Д., 2012
• Информатика, 9 класс, Поурочные планы по учебникам Семакина И.Г., Угриновича Н.Д., 2012
• Информатика, методическое пособие, 4 Класс, Бененсон Е.П., Паутова А.Г., 2012
• Учебно-методическая газета, Информатика, №11, 2012

• Информатика и ИКТ, 4 класс, Методическое пособие, Бененсон Е.П., 2011
• Информатика и ИКТ, 5-7 класс, Методическое пособие, Босова Л.Л., 2011
• Информатика, 11 класс, Поурочное планирование, 136 часов, Поляков К.Ю., Шестаков А.П., Еремин Е.А., 2011
• Тематический план по информатике — 10 класс — 2010 — 2011 учебный год

• Журнал, ПРОграммист, № 1, 2010
• Журнал, ПРОграммист, № 2, 2010
• Журнал, ПРОграммист, № 3, 2010
• Журнал, ПРОграммист, № 4, 2010
• Журнал, ПРОграммист, № 5, 2010
• Журнал, ПРОграммист, № 6, 2010
• Журнал, ПРОграммист, № 7, 2010
• Журнал, ПРОграммист, № 8, 2010
• Журнал, ПРОграммист, № 9, 2010
• Информатика, 10 класс, Поурочное планирование, 140 часов, Поляков К.Ю., Шестаков А.П., Еремин Е.А., 2010
• Информатика, 2-11 класс, Программы для общеобразовательных учреждений, Бородин М.Н., 2010
• Реестр Windows Vista
• Тематический план по информатике — 10 класс — 2010 — 2011 учебный год
• Учебно-методическая газета, Информатика, №21, 2010

• CGI — модуль, реализующий функции Common Gateway Interface — описание версии 2.56
• Internet Explorer 9 — включение строки меню
• Microsoft Word — Контрольная работа — Практическое задание — Текстовый процессор Word — Вариант 1
• Microsoft Word — Контрольная работа — Практическое задание — Текстовый процессор Word — Вариант 2
• Microsoft Word — Рисование, сноски — Практическое задание
• Microsoft Word — Создание рекламного листа брошюр издательства — Практическое задание
• Microsoft Word — Таблицы, колонки, назначение клавиш символам — Практическое задание
• Microsoft Word — Форматирование текста — Практическое задание
• Microsoft Word — Формулы, таблицы, нижние индексы — Практическое задание
• Paket Excel 2008
• Photoshop
• Photoshop Tutorials — Уроки Фотошопа
• В чем заключается ошибка — 404 Not found?
• Видеокарта и Видеоускоритель
• Виды операционных систем
• Внеклассное мероприятие — Спаси компьютер от вирусов
• Внеклассное мероприятие по информатике — Игра «1001»
• Внеклассное мероприятие по информатике — Игра «Весёлая информатика»
• Внеклассное мероприятие по информатике — Игра Счастливый случай
• Внеклассное мероприятие по информатике — Интелектуальная игра — Брей-ринг
• Гигиенические и санитарные требования в кабинете информатики
• Горячие комбинации и клавиши WORD
• Графическая информация и её представление — урок по информатике
• Жесткий диск
• Зачем нужна операция безопасного извлечения USB-накопителя данных?
• Информатика — Microsoft Excel — Поиск данных — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Excel — Построение графика — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Excel — Построение таблицы истинности — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Excel — Создание диаграммы — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Excel — Сортировка данных — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Excel — Суммирование значений диапазона ячеек. Составление таблицы значений функции , с использованием Мастера функций — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Excel — Установка надстроек. Подбор параметра — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Word — Выбор формата данных. Копирование формул, содержащих относительные и абсолютные ссылки — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Word — Гипертекст — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Word — Параметры страницы — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Word — Свойства документа. Редактирование и печать документа. Вставка объектов — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Word — Сохранение и открытие документа в определенном формате — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Word — Списки — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Word — Таблицы — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Word — Форматирование абзацев — Практическое задание
• Информатика — Microsoft Word — Шрифт — Практическое задание
• Информатика — Интернет — Броузер Internet Explorer 5.5. Настройка обозревателя — Практическое задание — Лабораторная работа
• Информатика — Интернет — Навигация в WWW — Практическое задание — Лабораторная работа
• Информатика — Интернет — Настройка окна броузера. Поиск в Интернет — Практическое задание — Лабораторная работа
• Информатика — Интернет — Работа с объектами Веб-страниц — Практическое задание — Лабораторная работа
• Информатика — Интернет — Электронная почта Web-Mail — Практическое задание — Лабораторная работа
• Информатика — Лабораторная работа — Практическое задание — Вставка рисунков, графических примитивов, выбор дизайна презентации
• Информатика — Лабораторная работа — Практическое задание — Преобразование растрового изображения
• Информатика — Лабораторная работа — Практическое задание — Редактирование растрового изображения
• Информатика — Лабораторная работа — Практическое задание — Создание векторного изображения
• Информатика — Лабораторная работа — Практическое задание — Создание презентации с помощью PowerPoint
• Информатика — Лабораторная работа — Практическое задание — Создание прямых переходов между слайдами в презентации
• Информатика — Операционная система (ОС) — Основные задачи ОС — Интерфейс пользователя — Хараткеристики, оболочки
• Информатика — Проверочная работа — Системы счисления — Двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная
• Информатика — Программирование — html — Графика
• Информатика — Программирование — html — Настройки цвета
• Информатика — Программирование — html — Основные понятия
• Информатика — Программирование — html — Списки
• Информатика — Программирование — html — Ссылки
• Информатика — Программирование — html — Таблицы
• Информатика — Программирование — html — Форматирование
• Информатика и ИКТ, 10-11 класс, Программа курса, Фиошин М.Е., Ресин А.А., Юнусов С.М.
• Информатика и ИКТ, 8 класс, Поурочные разработки, Методическое пособие, Босова Л.Л.
• Информатика и ИКТ, 9 класс, Поурочные разработки, Методическое пособие, Босова Л.Л.
• Информатика, 2 класс, Рабочая программа, Горячев А.В.
• Информатика, Практическая работа по созданию презентации, Тарасов Д.
• Информатика, Решение задач с использованием цикла, Утенков С.А.
• Информатика, Создание и форматирование таблиц, Тарасов Д.
• Как в Windows создать несколько рабочих столов?
• Как в Windows удалить программы из автозагрузки?
• Как восстановить в системном трее пропавшую иконку ?
• Как восстановить значок Корзины на рабочем столе в операционной системе Windows XP?
• Как вызвать командную строку (консоль) в Windows?
• Как изменить оформление и внешний вид Windows?
• Как настроить локальную сеть?
• Как отобразить скрытые файлы и папки в ОС Windows XP?
• Как поставить пароль на папку и (или) на файл?
• Как почистить Windows?
• Как появился первый компьютерный вирус?
• Как расшифровать коды ошибок Windows?
• Как сделать снимок экрана в Windows?
• Как скопировать защищённый диск?
• Как узнать сетевые настройки (IP-адрес, MAC-адрес модема и IP-адрес шлюза провайдера)?
• Как форматировать жесткий диск в Windows?
• Какие бывают языки программирования?
• Компьютерный вирус 666
• Компьютерный корпус
• Кулер
• Лекция по Информатике — Информатика — Вводное занятие
• Локальные вычислительные сети
• Материнская плата
• Методы определения параметров компьютера, определения температуры процессора, материнской платы, жесткого диска
• Оперативная память
• Оптический привод
• Оптическое волокно
• Организация и работа VGA адаптера — Разработка для урока.
• Основные составляющие компьютера
• Открытый урок по информатике — Поиск информации в Интернете
• Отладка приложений
• Паскаль — типы данных — разработка урока
• Полезный совет — Восстановление ярлыка Свернуть все окна
• Поурочные планы — Информатика — 11 класс — По учебнику Макарова Н.В. — 2 часть
• Поурочные планы — Информатика — 8 класс — По учебнику Угриновича Н.Д.
• Поурочные планы — Информатика — Макаров Н.В. — 9 класс
• Поурочные планы по информатике, Анимация движения нескольких объектов, Анимация движения по траектории
• Поурочные планы по информатике, создание и редактирование векторных изображений
• Поурочные планы по информатике, среда программирования, структура программы
• Поурочные планы по информатике, типы данных, арифметические операции и выражения, стандартные функции
• Поурочный план — Информатика — Автоматический ввод документов — Системы распознавания текста
• Поурочный план — Информатика — Автоматический перевод документов — Программы переводчики
• Поурочный план — Информатика — Информационные технологии — Компьютерная графика — Компьютерная графика и анимация
• Поурочный план — Информатика — Информационные технологии — Системы управления базами данных — СУБД
• Поурочный план — Информатика — Информационные технологии — Табличный процессор
• Поурочный план — Информатика — Компьютерные коммуникации — Средства работы в сети Интернет
• Поурочный план — Информатика — Математические и статистические системы
• Поурочный план — Информатика — Персональный компьютер
• Поурочный план — Информатика — Развитие и совершенствование навыков работы с компьютером
• Поурочный план — Информатика — Сжатые папки — Архивация — Программы для архивации
• Поурочный план — Информатика — Системы создания презентаций
• Поурочный план — Информатика — Системы создания презентаций — Информационно-поисковые системы
• Поурочный план — Информатика — Создание Web-страниц
• Поурочный план по информатике — . Использование элементов анимации и встроенной графики.
• Поурочный план по информатике — . Понятие о файловой системе. Файловый менеджер.
• Поурочный план по информатике — : Компьютерные презентации. Понятие презентации. Структура презентации.
• Поурочный план по информатике — : Конструирование из графических объектов.
• Поурочный план по информатике — Анимация движения нескольких объектов. Анимация движения по траектории.
• Поурочный план по информатике — Анимация движения.
• Поурочный план по информатике — Архивация данных. Создание архивных файлов.
• Поурочный план по информатике — Виды вредоносного ПО и способы защиты от него.
• Поурочный план по информатике — Виды графики
• Поурочный план по информатике — Вставка символов и формул.
• Поурочный план по информатике — Графический растровый редактор Paint.
• Поурочный план по информатике — Запуск программ с помощью ярлыков и меню.
• Поурочный план по информатике — Изучение программы Microsoft PowerPoint
• Поурочный план по информатике — Инструменты Графического растрового редактора Paint.
• Поурочный план по информатике — Информационные процессы.
• Поурочный план по информатике — Информация. Виды информации. Информационные процессы
• Поурочный план по информатике — Команда присваивания. Ввод и вывод данных.
• Поурочный план по информатике — Компьютерные презентации.
• Поурочный план по информатике — Контрольная работа.
• Поурочный план по информатике — Назначение электронной почты.
• Поурочный план по информатике — Нумерация страниц. Параметры страницы документа.
• Поурочный план по информатике — Оператор ветвления
• Поурочный план по информатике — Оператор присваивания.
• Поурочный план по информатике — Операции над векторными графическими изображениями.
• Поурочный план по информатике — Операции с объектами файловой системы.
• Поурочный план по информатике — Основные работы в локальной компьютерной сети
• Поурочный план по информатике — Подготовка презентаций к демонстрации. Демонстрация презентаций.
• Поурочный план по информатике — Поиск и замена в тексте. Проверка правописания.
• Поурочный план по информатике — Понятие алгоритма. Способы записи алгоритмов.
• Поурочный план по информатике — Понятие векторного изображения. Элементы интерфейса векторного изображения.
• Поурочный план по информатике — Понятие об операционной системе.
• Поурочный план по информатике — Понятие презентации. Структура презентации.
• Поурочный план по информатике — Практическая работа на компьютере по теме «Компьютерные сети».
• Поурочный план по информатике — Практическая работа по созданию презентации. Разработка отдельных слайдов презентации.
• Поурочный план по информатике — Практическая работа по созданию презентации. Разработка сюжета презентации.
• Поурочный план по информатике — Практическая работа.
• Поурочный план по информатике — Практические задания
• Поурочный план по информатике — Практические задания (Информационно-коммуникационные технологии)
• Поурочный план по информатике — Простые и составные условия. Алгоритмическая конструкция «ветвление».
• Поурочный план по информатике — Работа с объектами операционной системы.
• Поурочный план по информатике — Работа с текстом
• Поурочный план по информатике — Реализация алгоритмов с использованием ветвления.
• Поурочный план по информатике — Решение задач на составление алгоритмов.
• Поурочный план по информатике — Рисование в документе
• Поурочный план по информатике — Рисование в редакторе Flash. Практическая работа.
• Поурочный план по информатике — Роль компьютера в жизни человека. Функциональные блоки компьютера.
• Поурочный план по информатике — Самостоятельная работа
• Поурочный план по информатике — Самостоятельная работа на компьютере
• Поурочный план по информатике — Создание анимации. Практическая работа (продолжение).
• Поурочный план по информатике — Создание и использование слоев.
• Поурочный план по информатике — Создание и редактирование векторных изображений.
• Поурочный план по информатике — Создание и форматирование таблиц.
• Поурочный план по информатике — Среда программирования. Структура программы.
• Поурочный план по информатике — Текст как форма представления информации.
• Поурочный план по информатике — Типы данных. Арифметические операции и выражения, стандартные функции.
• Поурочный план по информатике — Фотомонтаж
• Появление и развитие информатики
• Правильная чистка клавиатуры
• Презентация — Microsoft Office FrontPage — Программа создания Веб-сайтов и управления ими
• Презентация — Адресация в Интернет
• Презентация — Алгоритм
• Презентация — Алгоритм, свойства алгоритма, исполнители алгоритмов
• Презентация — Алгоритм, свойства алгоритма, исполнители алгоритмов — Компьютер как формальный исполнитель алгоритмов
• Презентация — Архивация файлов
• Презентация — Введение в TURBO PASCAL
• Презентация — Введение в WINDOWS — Файл, каталог, работа с объектами
• Презентация — Введение в информатику — Зарождение информатики — Человек и компьютер
• Презентация — Внутренние устройства ПК — Знакомство с компьютером
• Презентация — Графический интерфейс Windows
• Презентация — Двоичное кодирование графической информации — Информация и информационные процессы
• Презентация — Двоичное кодирование звука — Представление видеоинформации
• Презентация — Двоичное кодирование текстовой информации
• Презентация — Двоичное чисел — Представление, кодирование чисел
• Презентация — Другие сервисы Интернет
• Презентация — Единицы измерения информации
• Презентация — Знакомство с компьютером — Устройства памяти компьютера
• Презентация — Знакомство с компьютером — Устройство компьютера
• Презентация — Измерение информации — алфавитный подход
• Презентация — Измерение информации — Алфавитный подход — Содержательный подход
• Презентация — Измерение информации — содержательный подход
• Презентация — Изобретение компьютера
• Презентация — Инструкция присваивания — Вывод информации на экран
• Презентация — Интернет — Всемирная паутина
• Презентация — Интернет — Коммуникационные технологии
• Презентация — Интернет — Телекоммуникация
• Презентация — Информация — Свойства информации
• Презентация — Кодирование информации
• Презентация — Компьютерная графика
• Презентация — Компьютерная преступность и безопасность — Компьютерные преступления в Уголовном кодексе РФ
• Презентация — Компьютерные вирусы — методы распространения, профилактика заражения
• Презентация — Компьютерные презентации — Мультимедийные технологии
• Презентация — Компьютерные презентации — Урок информатики — 10 класс
• Презентация — Компьютерные сети — Коммуникационные технологии
• Презентация — Компьютерные сети — Компьютерные телекоммуникации
• Презентация — Компьютерные сети — Локальная сеть
• Презентация — Магистрально-модульный принцип построения компьютера
• Презентация — Методы представления графических изображений
• Презентация — Моделирование — Модель процесса управления
• Презентация — Оператор присваивания — Язык ТУРБО ПАСКАЛЬ
• Презентация — Операторы ветвления
• Презентация — Операционная система
• Презентация — Основные информационные процессы
• Презентация — Основные понятия в Интернете
• Презентация — Основные понятия компьютерной графики
• Презентация — Основные этапы разработки и исследования моделей на компьютере
• Презентация — Передача информации — Локальные и глобальные компьютерные сети
• Презентация — Поиск информации в Интернет — web
• Презентация — Поисковые системы Интернет
• Презентация — Понятие компьютерной технологиии
• Презентация — Понятие об информации
• Презентация — Представление информации
• Презентация — Представление о Power Point
• Презентация — Программирование на языке Паскаль
• Презентация — Программирование на языке Паскаль — Часть 2
• Презентация — Программное обеспечение — Файлы и файловая система
• Презентация — Прямоугольный треугольник
• Презентация — Работа протоколов стека TCP/IP
• Презентация — Работа с основными ресурсами Internet
• Презентация — Работа с основными ресурсами Интернет — Internet
• Презентация — Растровое кодирование графической информации
• Презентация — Сервис Интернет — Коммуникационные и информационные службы
• Презентация — Средства обмена информацией в internet
• Презентация — Структура данных на магнитных дисках
• Презентация — Структура программы — Объявление переменных — Pascal
• Презентация — Таблицы в документах Word
• Презентация — Тесты по информатике — Adobe Photoshop
• Презентация — Тесты по информатике — Компьютерная графика
• Презентация — Форматирование текста — выравнивание, отступы и интервалы
• Презентация — Форматы графических файлов
• Презентация — Цвета в компьютерной графике
• Презентация — Что такое пиксель
• Презентация — Электронная почта
• Презентация — Электронная почта — Коммуникационные технологии
• Презентация по информатике — Биоинформатика
• Презентация по информатике — Графика в Pascal
• Презентация по информатике — Звуковые карты
• Презентация по Информатике — История развития ЭВМ
• Презентация по информатике — Компьютерная графика
• Презентация по информатике — Поисковые системы
• Презентация по информатике — Растровый графический редактор — Corel Paint Shop Pro X
• Презентация по информатике — Форматы графических файлов
• Презентация по информатике на тему История ЭВМ, Коротич Е.
• Презентация по информатике на тему Линейные алгоритмы, 9 класс
• Презентация по информатике на тему Поисковые системы интернета, Корпачева Л.
• Презентация по информатике на тему Разветвляющиеся алгоритмы
• Презентация по информатике, Электронная почта
• Презентация Электронная почта в сети Интернет
• Презентация, понятие и свойства информации
• Процессор
• Роль информации в современном обществе.
• Строение и назначение компьютеров
• Структура информатики
• Тест по информатике — Базы данных
• Технические средства информатики
• Урок по информатике — Объем текстовой информации в ЭВМ и её представление.
• Урок по информатике — Программирование — Basic
• Урок-игра для проведения урока информатики — Морские пираты — 6 класс
• Устройства хранения информации — лекция по информатике
• Флоппи-дисковод
• Чем открывать и как смотреть файлы формата mkv?
• Что такое ждущий режим Windows?
• Что такое патч?
• Что такое программа?
• Что такое процессор?
• Что такое ЭВМ?
• Что такое ярлык?
• Языки программирования

Описание раздела «Обучение информатике»

    Как известно, информатика – это наука о способах получения, накопления, хранения, преобразования, передачи, защиты и использования информации. А обучение информатике становится одной из важнейших составляющих человеческого существования. В нашем мире тот, кто владеет информацией, тот и владеет преимуществом перед остальными.

   В современном мире трудно представить жизнь без компьютера и Интернета. Это уже стало какой-то обыденностью. И найти какую угодно информацию не составляет труда. Дети уже с малых лет знают, что такое мышка и клавиатура. Трудно представить, что будет лет через 10!

   Изучая материалы данного раздела, Вы без проблем изучите компьютер на уровне пользователя. Очень хорошо описываются принципы работы с компьютером, работа с базовыми компьютерными программами. Как установить и качественно настроить Windows? Как поставить Office? Как работать в программах Word, Excel, PowerPoint? Какой лучше использовать Антивирус? На эти и многие другие вопросы в интересной манере преподнесены исчерпывающие ответы.

    Для творческих людей, любящих рисовать и работать с изображениями, специально выложены уроки Photoshop.

    Также много статей посвящено различным языкам программирования. Вы узнаете в какой области использовать тот или иной язык программирования, его возможности, синтаксис, плюсы и минусы.

    Просмотрев обучающую литературу данной категории, обязательно загляните в раздел «Книги по информатике». Подготовиться к экзамену Вам помогут «Экзаменационные билеты по информатике». А выполнить домашнюю работу не составит труда благодаря «ГДЗ по информатике».

nashol.com

Как выучить программирование с нуля

Как учить программирование с нуля

1. Самостоятельно

Если вы обладаете железной силой воли и горите желанием стать программистом, то можете добиться своей цели с помощью самообразования. Это не самый простой и короткий путь: вам придётся самому разбираться в информационном хаосе и бороться с прокрастинацией. Зато вы можете учиться в удобное время за относительно небольшие деньги или же совсем бесплатно.

Начинать проще всего с интерактивных онлайн-курсов. В Сети есть множество площадок, материалы которых доступно объясняют основы программирования и задают направление для дальнейшего развития. Особое внимание уделяйте тем курсам, которые обучают на примерах реальных проектов, то есть поэтапно рассказывают, как создавать конкретную программу или сайт.

Запомните, что у вас ничего не получится без практики. Учитесь по проектно-ориентированным курсам и пытайтесь сами писать разобранные в них программы и сайты. Ищите лекции на YouTube с разбором проектов, которые вы бы хотели разрабатывать. Сначала копируйте работу других людей и анализируйте её. Затем пробуйте отходить от оригинала, экспериментируйте, изменяйте отдельные элементы, пока не сможете создавать что-то уникальное.

Помимо курсов и видеолекций, к вашим услугам официальная документация, доступная на сайтах языков, и книги. Когда разберётесь в основах, поищите свежие издания с подзаголовком Best Practices по выбранному языку программирования. Такие книги содержат лучшие приёмы разработки.

Обязательно поставьте перед собой цель создать свой проект и постоянно работайте над ним.

Это поможет закрепить полученные знания и понять, какой информации вам ещё не хватает. Ваши навыки будут развиваться вместе с проектом. Когда закончите его, работайте над новым — более сложным.

Если у вас возникнут трудности в процессе обучения или разработки, вы всегда сможете обратиться по любому вопросу к сообществам программистов вроде «Тостер» и Stack Overflow. Вам, например, помогут решить какую-нибудь задачу, выбрать хороший курс или укажут на ошибки в коде.

Оттачивать навыки удобно на специальных площадках, где можно посоревноваться с другими программистами, решая с помощью кода различные практические задачи. В числе таких сервисов — Codewars, TopCoder и HackerRank.

Если почувствуете, что ваше развитие зашло в тупик, или захотите ускорить обучение, попробуйте следующие варианты.

13 советов тем, кто изучает программирование самостоятельно →

2. С помощью ментора

Ментор — персональный наставник, который указывает на ошибки, предупреждает о подводных камнях, помогает прокладывать курс обучения. Полезная рекомендация, полученная в нужный момент, может избавить вас от многих проблем и сэкономить массу времени. Поэтому ментор никому не помешает.

Узнайте, есть ли среди ваших знакомых разработчики. Возможно, кто-нибудь из них захочет вам помогать. Если таких людей вы не знаете, можете поискать их в сообществах программистов. К примеру, на том же «Тостере». Только услуги менторства стоят недёшево, а за просто так тратить много времени на незнакомых людей никто не желает.

3. У преподавателей «живых» курсов

Дистанционные и очные курсы с преподавателями, которые обучают программистов с нуля, стали невероятно популярными за последние годы. В рамках этого формата вам также предстоит очень много работать самостоятельно. Зато вы будете заниматься по профессионально подготовленной программе, а решения задач будет проверять живой человек. К недостаткам курсов можно отнести высокую стоимость обучения.

Популярные русскоязычные онлайн-площадки, которые занимаются системной подготовкой программистов: «Нетология», GeekBrains и Loftschool.

Если предпочитаете заниматься очно, можете поискать образовательные центры, которые обучают программированию в вашем населённом пункте. К сожалению, такие заведения чаще всего присутствуют только в больших городах. В качестве примера можно привести компьютерную академию «ШАГ», у которой есть филиалы в нескольких странах.

4. В университете

Если у вас много времени в запасе и вы уверены, что хотите связать жизнь с программированием, можете изучать компьютерные науки в университете. Но имейте в виду, что традиционные учебные заведения отстают от прогресса, так что современные языки программирования и прочие технологии вам придётся осваивать самостоятельно.

С другой стороны, университет даст фундаментальные знания математики, алгоритмов и других областей, которые помогут вам стать высококлассным программистом. За годы усердной учёбы вы сформируете правильный тип мышления, благодаря которому будете схватывать всё на лету в профессиональной сфере.

Как выбрать направление и язык

В ИТ-индустрии можно выделить несколько направлений, в каждом из которых используют свой набор языков. Перечислим основные направления в порядке возрастания сложности:

1. Веб-разработка. Популярные языки: JavaScript, PHP, Python, Ruby.
2. Мобильная разработка. Популярные языки: Java, Swift.
3. Разработка игр и программ для настольных компьютеров. Популярные языки: C++, C#, C.
4. Big Data, машинное обучение. Популярные языки: Python, R, Scala.

На что обратить внимание при выборе

Чтобы сделать правильный выбор направления и, в частности, языка, учитывайте следующие факторы: сложность освоения и количество обучающих материалов в Сети, ваши личные предпочтения (что именно хотите разрабатывать) и востребованность языка на рынке труда.

Востребованность языка в вашем регионе легко проверить на сайтах для поиска работы. Просто откройте раздел для разработчиков ПО и посмотрите количество доступных вакансий.

ИНФОГРАФИКА: Какой язык программирования учить первым →

Если не можете определиться

Если вы в замешательстве, присмотритесь к JavaScript — языку, на котором написан почти весь веб. Многие организации и программисты советуют новичкам выбирать именно этот язык в качестве первого.

Например, основатель образовательного ресурса freeCodeCamp Квинси Ларсон рекомендует JavaScript всем начинающим. Ларсон приводит очень простые аргументы:

1. JavaScript относительно легко освоить. А чтобы написать что-то и запустить на этом языке, достаточно иметь редактор кода и браузер.
2. JavaScript — самый востребованный язык на международном рынке труда и у него большие перспективы. В экосистему JavaScript инвестируют крупные компании вроде Google, Microsoft и Facebook.
3. У JavaScript очень широкая сфера применения: от сайтов и браузерных игр до мобильных приложений.

Кроме того, вокруг этого языка сформировалось крупное сообщество разработчиков. Высокий интерес к JavaScript обеспечивает огромное количество курсов, книг и другого образовательного контента.

Что ещё должен знать программист: математика и английский?

Любому программисту не помешает глубокое понимание математики. Для таких направлений, как разработка игровой графики или большие данные, математический ум — это необходимость. Но что касается веб-разработки и создания несложных программ, то в большинстве случаев без математики можно обойтись. Хотя среди профессионалов на этот счёт нет единого мнения.

А вот понимание английского, хотя бы на уровне беглого чтения документации, обязательно для всех программистов. Официальные документы и большая часть образовательных материалов появляются в первую очередь на английском языке. Книги часто устаревают ещё до того, как выходит перевод. Кроме того, знание английского открывает перспективы для работы со всем миром.

Как выучить английский язык: всё самое интересное и полезное →

Как получить первый опыт и первую работу

Чтобы найти первую работу в качестве программиста, вы должны иметь портфолио. Это созданный вами проект, а лучше несколько, которые демонстрируют все ваши умения разработчика. В программу большинства курсов входит разработка проектов, которые могут войти в ваше портфолио.

Очень ценным пунктом в резюме будет наличие опыта работы, особенно командной разработки. Но где его взять, если вы ищете первую работу?

1. Выполните несколько заказов на биржах фриланса. Это могут быть «Фрилансим» или Upwork. Предлагайте свои услуги бесплатно, тогда к вам придут первые заказчики.
2. Найдите единомышленников и создайте с ними общий проект. Люди объединяются для таких целей почти на каждой образовательной площадке, где есть курсы по программированию.
3. Выберите курсы, организатор которых помогает с трудоустройством. Например, в GeekBrains после обучения открывается доступ к стажировкам от разных компаний, в том числе — оплачиваемым. GeekUniversity и «ШАГ» гарантируют трудоустройство своим выпускникам.

Перед собеседованием не забудьте поискать в Сети списки задач и вопросов, которые часто задают соискателям.

lifehacker.ru

875 бесплатных онлайн-курсов от топовых университетов

Вы можете пройти онлайн-курсы от самых известных университетов мира — Stanford, Yale, MIT, Harvard, Berkeley, Oxford и других, и не заплатить за них ни копейки. Эта коллекция, созданная сообществом Open Culture включает в себя 875 бесплатных курсов по свободным наукам и искусству. Вы можете загрузить аудио- и видео-курсы (часто с iTunes, Youtube или сайта университета) на свой компьютер и просматривать в свободное время.

Если вы хорошо владеете английским, огромная база информации полностью в вашем распоряжении. Онлайн курсы распределены по наукам и дисциплинам — ищите интересующие вас области и получайте знания абсолютно бесплатно, в любое удобное время.

Гуманитарные и социальные науки

Археология

• Ганнибал — Free iTunes Audio – Patrick Hunt, Stanford
• Ближневосточные искусства и археология – Free Online Video – Free iTunes Video — Dana D. DePietro, Margaret Larkin, UC Berkeley
• Из прошлого – Free Online Video – David Webster and William T. Sanders, Penn State

Архитектура

Искусство и история искусства

• Эстетика и философия искусства – Free iTunes Audio — Free Online Video — James Grant, Oxford University
• Искусство сквозь время: глобальный взгляд – Free Online Video — Annenberg Media
• Демонстрация цифровой фотографии – Free iTunes Video — Free Online Video & Course Materials —  Dan Armendariz, Harvard
• Основы американской кибер-культуры – Free Online Video – UC Berkeley
• Введение в визуальные исследования – Free iTunes iOS App — Anna Divinsky, Penn State
• Введение в визуальный образ мыслей – Free Online Video – Free iTunes Video – John McNamara, UC Berkeley
• Пусть это будет уроком: герои, героини и повествование в картинках Йельского университета – Free Online Video – John Walsh, Yale
• Основы освещения – Free iTunes Video — Free Online Video — Simon McIntyre, The University of New South Wales
• Фотография – Free Online Video — Free iTunes App — Jonathan Worth & Matt Johnston at Coventry University
• Видео лекции по истории искусств – Free Online Video/Audio — Beth Harris, MoMA & Steven Zucker, Pratt Institute
• Элементы рисования – Free iTunes Video — Free Online Video —Stephen Farthing, Oxford University

Мир классики

• Древняя и средневековая философия (Syllabus) — Free iTunes Video— Free Online Video — David O’Connor, Notre Dame
• История Древней Греции — Free Online Video — Free iTunes Audio—  iTunes Video — Free Video & Course Materials — Donald Kagan, Yale
• Древний Израиль— Free Online Video & Course Info — Free Online Video –Daniel Fleming, NYU
• Античная философия — Free iTunes Audio — Free Online Audio — David Ebrey, UC Berkeley
• Древняя мудрость и современная любовь (Syllabus) — Free iTunes Video— Free Online Video – David O’Connor, Notre Dame
• Ганнибал- Free iTunes Audio — Patrick Hunt, Stanford
• Римская архитектура— Free Online Video —  Free iTunes Audio — Free iTunes Video — Course Materials — Diana E. E. Kleiner, Yale
• Рим – Free iTunes Video – Rhiannon Evans, La Trobe University
• Герои и анти-герои в классической греческой цивилизации – Multiple Formats – Gregory Nagy, Harvard
• Вергилиева Энеида: разбор произведения  — Free iTunes Audio — Suanna Braund, Stanford University

Демография

Дизайн

Экономика

• Расширенная политическая экономика — Free Online Video — Steven Keen, University of Western Sydney
• Несмотря ни на что: в статистике— Free Online Video — Pardis Sabeti, Harvard
• Американский капитализм: история – Free iTunes Video — Louis Hyman & Edward Baptist, Cornell
• История американской экономики (Syllabus) – Free Online Video — Free iTunes Video – Free iTunes Audio — Martha Olney, UC Berkeley
• История американской экономики (Syllabus)- Free Online Video — Gerald Friedman, UMass-Amherst
• Австрийская экономика: введение — Free Online Audio — Murray N. Rothbard — New York Polytechnic University
• Поведенческие финансы – Free Online Video – Steven Keen, University of Western Sydney
• Капитализм: успех, кризис и реформы — Free iTunes Video — Free iTunes Audio — Free Online Video — Course Materials — Douglas W. Rae, Yale
• Кризис, глобализация и экономика – Free Online Video — Roberto Mangabeira Unger, Harvard
• Экономика развития — Free Online Video — Tyler Cowan and Alex Tabarrok, George Mason
• Экономика развития: макроэкономика – Free Online Video & Course Info – Robert Townsend, MIT
• Анализ в микроэкономике  – Free iTunes Audio — Steven Wood, UC Berkeley
• Экономическая география индустриального мира – Free iTunes Audio — Richard Walker, UC Berkeley.
• Экономическая статистика и эконометрика — Free Online Video –Free iTunes Video – Free iTunes Audio – Glenn Woroch, UC Berkeley
• Экономика СМИ — Free Online Video — Tyler Cowan and Alex Tabarrok, George Mason
• Финансовая теория 1 — Free iTunes Video — Free Online Video & Course Info — Andrew Lo, MIT
• Финансовые рынки – Free Online Video — Free iTunes Audio – Free iTunes Video — Course Materials — Robert Shiller, Yale
• Финансовые рынки 2011 — Free Online Video — Free iTunes Audio — Course Materials — Robert Shiller, Yale
• Финансовая теория – Free Online Video — Free iTunes Video — Free iTunes Audio — Course Materials — John Geanakoplos, Yale
• Теория игр– Free Online Video – Free iTunes Audio — Free iTunes Video — Course Materials — Ben Polak, Yale
• Теория игр в социальных науках — Free iTunes Video – Yves Zenou, UC Berkeley
• Теория игр и экономика — Free Online Video – Free Video Download — Debarshi Das, IIT Guwahati
• Глобальная бедность и оценки влияния – Free Online Video — Free iTunes Video — Edward Miguel, UC Berkeley
• Великие идеи — Free Online Video — Steven Pinker, Larry Summers, Michio Kaku, etc, Floating University
• Великие экономисты: классическая экономика и её предшественники —Free Online Video — Tyler Cowan & Alex Tabarrok, George Mason
• История экономической теории – Free Online Video – Free Video Download — Dr. Shivakumar, IIT Madras
• Международные финансы — Free Online Video — Free Video Download — Arun K. Misra, IIT Kharagpur
• Международная политическая экономия — Free iTunes Audio — James Morrison, Middlebury College
• Международная торговля — Free Online Video — Free iTunes Video – Steven Wood, UC Berkeley
• Международная торговля – Free Online Video — Tyler Cowan and Alex Tabarrok, George Mason
• Введение в экономику – Free Online Video – Free iTunes Video — Syllabus – Martha Olney, UC Berkeley
• Введение в экономику и политику окружающей среды — Free Online Video — Free Online Video 2 — Peter Berck, UC Berkeley
• Законы и экономика I — Free iTunes Audio — Robert Cooter, UC Berkeley
• Лекции по капиталу — Free Online Video – Gary Becker, U Chicago
• Марксистская экономика – Free Online Video — Stephen Resnick, UMass – Amherst
• Экономика Мексики: история и перспективы — Free Online Video — Robin Grier, U. of Oklahoma
• Деньги и банковское дело (Syllabus) – Free Online Video – Gerald Epstein, UMass-Amherst
• Деньги и банковское дело — Free Online Video — Free iTunes Video — Thomas Wyrick, Missouri State
• Политическая экономика после кризиса– Free Online Video — Roberto Mangabeira Unger, Harvard
• Принципы микроэкономики— Free iTunes Video — Free Video –Jonathan Gruber, MIT
• Принципы макроэкономики– Free iTunes Video – Free Online Video — Thomas Wyrick, Missouri State
• Психология и экономика – Free Online Video – Free iTunes Video– Daniel Acland, UC Berkeley
• Экономика общественного сектора — Free Online Video – Free Video & Related Materials — Raj Chetty, Harvard
• Общественная экономика и финансы – Free Video & Course Info — Free Online Video – Nirupama Rao, NYU
• Чтения «Капитал» Маркса — Free iTunes Video – Free Online Video —  Free Video & Related Materials — David Harvey, City University of New York
• Кризис Еврозоны — Free Online Video — Tyler Cowan and Alex Tabarrok, George Mason
• Федеральный резерв и финансовый кризис — Free Online Video —Ben Bernanke at George Washington University
• Австрийская школа экономики: введение – Free Online Audio: 1, 2, 3, 4 — Friedrich A. Hayek & colleagues – Recorded at University of Colorado
• Проблема мировой бедности — Free iTunes Video – Free Online Video — Related Materials — Esther Duflo & Abhijit Banerjee, MIT
• Элементы экономического анализа – Free Online Video — Glen Weyl, U Chicago
• История мировой экономики до индустриальной революции —Free Online Video & Syllabus — Free iTunes Video — Gregory Clark, UC Davis
• Мировая экономика в 20 веке – Free Online Video – Free iTunes Video – Calanit Kamala, UC Berkeley

 Кинематограф

Еда

География

История

• Африканская история Америки: эмансипация до наших дней – Free Online Video — Course Materials — Jonathan Holloway, Yale
• Афроамериканская история: современная борьба за свободу – Free Online Video – Free iTunes Video — Clay Carson, Stanford
• История американской экономики  (Syllabus) — Free Online Video — Free iTunes Video — Free iTunes Audio — Martha Olney, UC Berkeley
• История американской экономики (Syllabus) – Free Online Video — Gerald Friedman, UMass-Amherst
• История античной Греции — Free Online Video — Free iTunes Audio — Free iTunes Video — Course Materials — Donald Kagan, Yale
• Древний Израиль— Free Online Video & Resources — Free Online Video — Daniel Fleming, NYU
• Современная Азия: изображения и представления – Free Online Video & Course Info — John Dower, MIT
• Бенжамин Франклин и мир просвещения– Free iTunes Audio — Bruce Thompson, Stanford/UC Santa Cruz
• Китай: традиции и изменения– Free Course in Multiple Formats – Peter K. Bol & William Kirby, Harvard
• Колониальная и революционная Америка – Free iTunes Audio — Jack Rakove, Stanford
• Ранняя современная Англии: политика, религии и общество во времена Тюдоров и Стюартов – Free Online Video — Free iTunes Video — Free iTunes Audio — Course Materials — Keith E. Wrightson, Yale
• Ранняя современная Германия— Free iTunes Audio – David Wetzel, UC Berkeley
• Эпидемии в западном обществе с 1600 годов — Free iTunes Video— Free iTunes Audio — Free Online Video — Course Materials — Frank Snowden, Yale
• Европа в 19 веке – Free iTunes Audio – David Wetzel, UC Berkeley
• Европа и мир: войны, империи, нации 1648-1914 –Free iTunes Audio — David Wetzel, UC Berkeley
• Европейская цивилизация, 1648-1945 — Free Online Video – Free iTunes Audio – Free iTunes Video — Course Materials  — John Merriman, Yale
• Европейская цивилизация от эпохи Возрождения до наших дней – Free iTunes Audio — Carla Hesse, UC Berkeley
• Европейская цивилизация от эпохи Возрождения до наших дней —Free Online Video — Free iTunes Video – Free Online Audio — Thomas Laqueur, UC Berkeley
• История европейской культуры, 1500-1815 — Free Online Audio — George Mosse, University of Wisconsin- Madison
• История европейской культуры, 1660-1870 — Free Online Audio —George Mosse, University of Wisconsin- Madison
• История европейской культуры, 1880-1920 — Free Online Audio —George Mosse, University of Wisconsin- Madison
• Франция с 1871 — Free Online Video – Free iTunes Video — Free iTunes Audio — Course Materials — John Merriman, Yale
• Ганнибал — Free iTunes Audio — Patrick Hunt, Stanford
• Лекции Харви Голберга (1975-1983) – Free Online Audio — Harvey Goldberg, University of Wisconsin
• Иисус в истории – Free iTunes Audio – Thomas Sheehan, Stanford University
• История антропологической мысли – Free iTunes Audio —Rosemary Joyce, UC Berkeley
• История и практика прав человека – Free Online Video – Free Video 2 — Free iTunes Video – Free iTunes Audio – Thomas Laqueur
• История информации – Free Online Video – Free iTunes Video –Free Online Video 2 — Geoffrey D. Nunberg, Paul Duguid, UC Berkeley
• История Ирана в период Сефевидов – Free iTunes Audio — Richard Bulliet, Columbia University
• История чайной культуры Китая и Японии — Free iTunes Audio — John Wallace, UC Berkeley
• История международной системы – Free iTunes Audio — James Sheehan, Stanford University
• История Массачусетского технического университета– Web — David Mindell and Merritt Roe Smith, MIT
• История современного Ближнего Востока – Free iTunes Audio — Richard Bulliet, Columbia University
• История Нью-Йорка: современная история (Syllabus) — Free Online Video & Course Info — Free iTunes Video — Free Online Video —Daniel Walkowitz, NYU
• История Соединенных Штатов с 1945 – Free iTunes Audio —Daniel Sargent, UC Berkeley
• История Соединенных Штатов с 1877 – Free iTunes Video — Dominic Capeci
• История мира до 1500 – Free Online Video — Free iTunes Video – Richard Bulliet, Columbia University
• История мира с 1500 — Free Online Video — Free iTunes Video – Richard Bulliet, Columbia University
• Интеллектуальная история США с 1865 — Free iTunes Video — Free Online Video — Richard Candida Smith, UC Berkeley
• Международная и глобальная история с 1945 – Free iTunes Audio — Daniel Sargent, UC Berkeley
• Введение в афро-американские исследования– Real Player Video— Abdul Alkalimat, University of Illinois
• Введение в историю Древней Греции — Free Online Video – Free iTunes Video — Free iTunes Audio — Course Materials — Donald Kagan, Yale
• Введение в американские исследования — Free Online Video – Free iTunes Video — Free iTunes Audio – Michael Cohen, UC Berkeley
• Создатель современного мира? Британская империя с 1714 до наших дней — (Syllabus) – Free Online Video – Free iTunes Video – James Vernon, UC Berkeley
• Медицина и здравоохранение в американской истории — Free Online Audio — Chris Hamlin, Notre Dame
• Современная цивилизация: с 1975 до наших дней — Free Online Video – Lynn Hunt, UCLA
• Современная еврейская история – Free Online Audio — George Mosse, University of Wisconsin – Madison
• Переосмысления освободительного движения афро-американцев — Free Online Video — Abdul Alkalimat, University of Illinois
• Переосмысление теории в афро-американских исследованиях— Free Online Video — Abdul Alkalimat, University of Illinois
• Наука, магия и религия — Free iTunes Video — Free Online Video– Courtenay Raia, UCLA
• Американские отцы-основатели и их мир– Free iTunes Audio —Jack Rakove, Gordon Wood, etc. Stanford
• Американская революция – Free Online Video — Free iTunes Video— Free iTunes Audio — Course Materials— Joanne B. Freeman, Yale
• Средиземноморье в древности– Free Online Audio — Isabelle Pafford, UC Berkeley
• Гражданская война и эра реконструкции, 1845-1877 — Free Online Video – Free iTunes Audio – Free iTunes Video — Course Materials —David Blight, Yale
• Раннее Средневековье, 284-1000 — Free Online Video — Free iTunes Video & Audio — Course Materials — Paul H. Freedman, Yale
• История общественного здравоохранения – Free iTunes Audio — Free Online Audio & Course Materials — Graham Mooney, Johns Hopkins
• Полвека Кеннеди – Free iTunes Video – Larry Sabato, University of Virginia
• Современный мир: глобальная история с 1760 – Free iTunesU iOS Course – Philip Zelikow, UVA
• Специфическая современность Великобритании, 1848-2000 – Free iTunes Audio — Free Online Video – Free Online Video — James Vernon, UC Berkeley
• Взлет и падение Второго Рейха  – Free iTunes Audio –Margaret Anderson, UC Berkeley
• Мир Рима — Free iTunes Video — Rhiannon Evans, La Trobe University
• История свободы в Америке — Free iTunes Video – Rufus Fears, University of Oklahoma
• США и мир с 1945 — Free iTunes Audio– Daniel Sargent, UC Berkeley
• История США с раннего XIX века до кануна Второй мировой войны – Free Online Video – Free iTunes Video – Free iTunes Audio –Richard Candida Smith, UC Berkeley
• История США от Гражданской войны до наших дней — Free iTunes Audio — Free Online Audio — Jennifer Burns, UC Berkeley
• Восточные традиции (видео) — Free Online Video — Course Outline– Eugen Weber, UCLA
• Война и мир: международные отношения с 1914 – Free iTunes Audio — David Wetzel, UC Berkeley
• Мировая война и общество в XX веке: Вторая мировая война –Free Course in Multiple Formats – Charles S. Maier, Harvard

Журналистика

• Британские СМИ– Free iTunes Video – Joe Foote, University of Oklahoma
• Журналистская этика – Free Online Video – Jim Newton, UCLA

Языки

• Арабский для начинающих 1 – Free Online Video — Darlarna University
• Древние языки (греческий, латинский, санскрит, старый английский и другие) – Free Web Site – UT-Austin Linguistics Research Center
• Основы немецкого языка — Free Application — Cambridge University
• Китайский для начинающих — Free iTunes Audio — Open University
• Китайский курс — Сэтон Хол
  • Базовый китайский — Free iTunes Audio — Seton Hall
  • Чтение для базового китайского — Free iTunes Audio — Seton Hall
  • Средний уровень китайского — Free iTunes Audio — Seton Hall
  • Чтение для среднего уровня китайского — Free iTunes Audio — Seton Hall
  • Продвинутый уровень китайского — Free iTunes Audio — Seton Hall
  • Чтение для продвинутого уровня китайского — Free iTunes Audio — Seton Hall
• Произношение в бразильском и португальском — Free iTunes Audio — Emory University
• Основы китайского языка — Free Application — Cambridge University
• Интерактивный французский — Free iTunes Audio — Free Video & Audio — University of Texas
• Низкий уровень французского 1 – Free Web Course — Carnegie Mellon
• Низкий уровень французского 2 – Free Web Course — Carnegie Mellon
• Французский в действии Free Online Video —  Yale University
• Французский 1 и французский 2 — Free Web Course — Carnegie Mellon
• Исландский онлайн — Web Site — University of Iceland
• Средний уровень китайского – Free Application — Cambridge University
• Введение в алфавит урду — Free iTunes Audio — Emory University
• Японский язык, кана, хирагана – Free iTunes Video — Emory
• Знаки кандзи — Free iTunes Video — Emory University
• Мандаринский китайский язык — Free iTunes Video — Emory University
• Числа и радикалы — Free iTunes Video — Emory University
• Средний уровень корейского онлайн — Free Online Audio — University of California Press, 2002
• Путь к корейскому языку: разговорный корейский с нуля — Web Site — The Ohio State University
• Основы русского языка — Free Application — Cambridge University
• Русский для начинающих 1 – Free Online Video – Dalarna University
• Разговаривать по-итальянски и набитым ртом — Free Online Video & Course Info — Free Online Video — Free iTunes Video — MIT, Dr. Paola Rebusco
• Тайский алфавит — Free iTunes Video — Emory University

Чтобы начать изучение более 40 иностранных языков, вы можете посмотреть обширную коллекцию Бесплатного изучения языков. Вы можете скачать или просмотреть бесплатные уроки французского, испанского, английского, немецкого, мандаринского, итальянского и других.

Закон

• Цели и пределы уголовного права — Free iTunes Audio — Tamara Lave, UC Berkeley
• Изменение климата: закон и политика — Free Online Video – Free iTunes Audio – Free iTunes Video – Cymie Payne, Daniel Farber, UC Berkeley
• Экологическая справедливость и права человека в последствиях урагана Катрина — Free Online Audio – Cynthia Toms Smedley, Notre Dame
• Экологические законы и политика — Free Online Video – Bob Infelise, UC Berkeley
• Экологические законы и политика — Free Online Video — Free iTunes Video — Free iTunes Audio — Course Materials — John P. Wargo, Yale
• Свобода слова и прессы —  Free Online Video – Free iTunes Video – William Turner, UC Berkeley
• Международные экологические законы — Free Online Video – Free iTunes Video – Free iTunes Audio – Cymie Payne, UC Berkeley
• Введение в законы об авторском праве — Free iTunes Video — Free Online Video — Free Online Video & Course Info — Keith Winstein, MIT
• Трудовое законодательство и дискриминация при найме на работу — Free Online Video– Greggory Groves, Missouri State
• Закон и экономика I — Free iTunes Audio – Robert Cooter, UC Berkeley
• Закон и справедливость — Free iTunesU iOS App – Kyle Harper, University of Oklahoma
• Законная и правовая теории в XXI веке — Free Online Video — Roberto Mangabeira Unger, Harvard
• Закон СМИ и этика — Free iTunes iOS App — Nicole Kraft, Ohio State
• Политика и свобода СМИ — Free Online Video — Richard Barbrook, University of Westminster
• Прогрессивные альтернативы: институциональная реконструкция сегодня — Free Online Video — Roberto Mangabeira Unger, Harvard
• Возобновляемые источники энергии и альтернативное топливо (закон и политика) – Free Online Video – Steven Weissman, UC Berkeley
• Личность, спокойствие и уязвимость — Free Online Video — Roberto Mangabeira Unger, Harvard
• Теория закона и общества — Free Online Audio — Free iTunes Audio — David Lieberman, UC Berkeley
• Закон о видео играх — Free Online Video — Jon Festinger, University of British Columbia/Centre for Digital Media

Лингвистика

Литература

• Американская литература I: начало Гражданской войны — Free Online Video & Course Info — Free iTunes Video – Free Online Video — Cyrus Patell, NYU
• Американские пассажи: литературный обзор — Free Online Video — Multiple profs, Annenberg Learner
• Приближение к Шекспиру — Free iTunes Audio — Free Online Audio —Emma Smith, Oxford
• Британская и Американская поэзия: с 1900 года до наших дней — Free iTunes Audio – Charles Altieri, UC Berkeley
• «Дон Кихот» Сервантеса —  Free Online Video — Free iTunes Video— Free iTunes Audio — Course Materials — Roberto González Echevarría, Yale
• Современная литература — Free Online Video – Free Video Download — Aysha Iqbal Viswamohan, IIT Madras
• Творческое чтение — Free Online Audio — William S. Burroughs, Naropa University
• Творческое чтение: мастер-класс — Free iTunes Video – Alison Ersheid
• Культурология — Free Online Video – Free Video Download — Liza Das, IIT Guwahati
• Данте в переводе — Free Online Video — Free iTunes Audio — Free iTunes Video — Course Materials — Giuseppe Mazzotta, Yale
• Дарвин и дизайн — Free Online Video & Course Info — James Paradis, MIT
• Д.Х. Лоуренс — Free Online Video & Audio — Catherine Brown, Oxford
• Экзистенциализм в литературе и фильмах — Free iTunes Audio — Free Online Audio — Hubert Dreyfus, UC Berkeley
• Экспансивная поэтика — Free Online Audio — Allen Ginsberg, Naropa University
• Волшебство и фэнтази — Free Online Video & Audio — Corey Olsen, Washington College
• От богов и обратно — Free Online Audio — Hubert Dreyfus, UC Berkeley
• Джордж Элиот —  Free Online Audio — Catherine Brown, Oxford
• Хемингуэй, Фицджеральд, Фолкнер — Free Online Video — Free iTunes Audio — Course Materials — Wai Chee Dimock, Yale
• Холокост в фильмах и литературе — Free Online Video – Todd Presner, UCLA
• Литература и окружающая среда: введение —  Free Online Video — Free iTunes Video – Ken Hiltner, Princeton
• Поэзия: введение — Free iTunes Video – Lanette Cadle, Missouri State
• Предсовременная японская культура и литература: введение — Free iTunes Audio – John Wallace, UC Berkeley
• Введение в теорию литературы — Free Online Video — Free iTunes Audio – Free iTunes Video — Course Materials — Paul H. Fry, Yale
• Приглашение в мировую литературу — Free Online Video — David Damrosch, Harvard
• Джек Керуак — Free Online Audio Part 1 and Part 2 – Allen Ginsberg, Naropa University
• Литература и форма — Free Online Video & Audio — Free iTunes Video– Free iTunes Audio – Catherine Brown, Oxford
• Литература и психоанализ — Free Online Audio — John Fletcher, University of Warwick
• Английская литература с начала XVII века до середины XIX века — Free iTunes Audio — Charles Altieri, UC Berkeley
• Милтон — Free Online Video – Free iTunes Audio — Free iTunes Video— Course Materials — John Rogers, Yale
• Властелин колец I: Дорога вдаль и вдаль спешит — Free iTunes Video & Audio — Corey Olsen, Washington College
• Властелин колец II: Две башни — Free Tunes Video & Audio — Free Online Video & Audio — Corey Olsen, Washington College
• Властелин колец III: Возвращение короля — Free iTunes Video & Audio — Free Online Video & Audio — Corey Olsen, Washington College
• Современная поэзия — Free Online Video — Course Materials — Langdon Hammer, Yale
• Не Шекспир: Елизаветинский и Якобинский театры — Free iTunes Audio — Free Online Audio — Multiple profs, Oxford
• Старый английский язык в контексте — Free Online Audio — Stuart Lee, Oxford University
• Оскар Уайлд — Free Online Audio — Sos Eltis, Oxford
• Восстановление и поэзия XVIII века: от Драйдена до Вордсворта — Free Online Audio – William Flesch, Brandeis
• Научная фантастика и политика — Free iTunes Audio — Free Online Audio —  Courtney Brown, Emory University
• Шекспир — Free iTunes Audio — Free Online Audio — Charles Altieri, UC Berkeley
• Шекспир: поздние пьесы — Free Course in Multiple Formats – Marjorie Garber, Harvard
• Основные пьесы Шекспира — Free iTunes Audio – Free Online Audio — Ralph Williams, University of Michigan
• Спенсер и Мильтон — Free Online Audio — William Flesch, Brandeis
• Обзор американской литературы II — Free iTunes Video — Clark Closser, Missouri State
• Обзор пьес Шекспира — Free Online Audio – William Flesch, Brandeis
• Американские романы с 1945 года — Free Online Video – Free iTunes Audio – Free iTunes Video — Download Course – Amy Hungerford, Yale
• Искусство жить — Free Online Video (More info) – Team taught, Stanford
• Эпопея — Free iTunes Audio — UC Berkeley — Maura Bridget Nolan &Charles Altieri
• Хоббит — Free iTunes Video — Free Online Audio — More – Corey Olsen, Washington College
• Литература в период кризиса — Free iTunes Audio — Marsh McCall & Martin Evans, Stanford
• Семинар по Сильмариллиону — Free Online Video & Audio — Corey Olsen, Washington College
• Западный канон: от Гомера до Мильтона — Free Online Audio– William Flesch, Brandeis
• Искусство стихов: лекции Чарльза Элиота Нортона — Free Online Audio – Jorge Luis Borges, Harvard
• Базовый обзор произведений Толкина —  Free Online Video & Audio — Corey Olsen, Washington College
• Энеида Вергилия: анатомия классики — Free iTunes Audio —Susanna Braund, Stanford
• Голоса и видения: жизнь и работа 13 американских поэтов — Free Online Video — Annenberg Media
• Источники написания —  Free Online Audio — William S. Burroughs, Naropa University

Вы можете найти другие онлайн курсы в этой бесплатной коллекции. 

Исследования СМИ

Музыка и исполнительское искусство

Философия

• Легкий старт этики для начинающих — Free iTunes Video – Free Online Video – Free Online Audio – Marianne Talbot, Oxford University
• Легкий старт по философии сознания — Free iTunes Audio —Free Online Audio — Marianne Talbot, Oxford
• Эстетика и философия искусства — Free iTunes Audio — Free Online Audio — James Grant, Oxford University
• Аналитическая философия: Уилфрид Селларс — Free Online Audio — Robert Brandom, University of Pittsburgh
• Древняя и Средневековая философия — Free iTunes Video — Free Online Video – David O’Connor, Notre Dame
• Древняя философия — Free iTunes Audio — David Ebrey, UC Berkeley
• Древняя мудрость и современная любовь —  Free iTunes Video — Free Online Video – David O’Connor, Notre Dame
• Диаграммы аргумента — Free Web Course — Carnegie Mellon
• Аристотель: этика — Free Online Audio — Leo Strauss, U Chicago
• Аристотель: риторика — Free Online Audio — Leo Strauss, U Chicago
• Аристотель: политика — Free Online Audio — Leo Strauss, U Chicago
• Власть и индивидуальность: шесть лекций BBC — Free Online Audio — Bertrand Russell, Cambridge
• Биоэтика: введение — Free Online Video & Audio — Free iTunes Video – Free iTunes Audio — Marianne Talbot, Oxford
• Современные проблемы в философии сознания и познания — Free Online Video — Multiple Profs, IIT Bombay
• Критические рассуждения для начинающих —Free iTunes Video – Free iTunes Audio – Free Online Video & Audio — Marianne Talbot, Oxford
• Смерть — Free Online Video – Free iTunes Audio – Free iTunes Video— Course Materials — Shelly Kagan, Yale
• Основные принципы Дэвида Юма — Free iTunes Video – Free iTunes Audio — Free Online Video & Audio — Peter Millican, Oxford
• Восемь курсов философии Жиля Делёза — Free Online Video —Gilles Deleuze, Université Paris-VIII
• Экологическая философия — Free iTunes Video — Free Online Video– Kenneth Sayre, Notre Dame
• Экзистенциализм в литературе и кинематографе — Free iTunes Audio — Free Online Audio — Hubert Dreyfus, UC Berkeley
• Экзистенциализм в литературе и кинематографе — RSS Feed — Sean Dorrance Kelly, Harvard University
• От богов и обратно — Free Online Audio — Hubert Dreyfus, UC Berkeley
• Общая философия — Free iTunes Video — Free Online Audio — Peter Millican, Oxford University
• Гёдель, Эшер, Бах: Космическая одиссея психики — Free Online Video — Justin Curry & Curran Kelleher, MIT
• Большие великие идеи — Free Online Video — Steven Pinker, Larry Summers, Michio Kaku, etc, Floating University
• Гегель: философия истории — Free Online Audio — Leo Strauss, U Chicago
• «Феноменология духа» Гегеля — Free Online Audio — JM Bernstein, New School
• «Феноменология духа» Гегеля – Free Online Audio — Richard Dien Winfield, University of Georgia
• «Философия права» Гегеля — Free Online Audio — Richard Dien Winfield, University of Georgia
• «Наука логики» Гегеля — Free Online Audio — Richard Dien Winfield, University of Georgia
• Хайдеггер: Бытие и время — RSS Feed — Web Site — Sean Dorrance Kelly, Harvard
• «Бытие и время» Хайдеггера — Free iTunes Audio — Free Online Audio —Hubert Dreyfus, UC Berkeley
• «Бытие и время» Хайдеггера. Раздел II – Free iTunes Audio — Hubert Dreyfus, UC Berkeley
• История политической теории — Free iTunes Audio — Wendy Brown, UC Berkeley
• Гоббс: Левиафан и де Сив (1964) — Free iTunes Audio — Leo Strauss, U Chicago
• Введение в индийскую философию — Free Online Video –  Free Video Download — Satya Sundar Sethy, IIT Madras
• Введение в философию — 

lifehacker.ru

Решить рациональное уравнение онлайн с решением

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Если вы видите выражение с дробями с переменной в числителе/знаменателе, то перед вами выражение, именуемое в математике рациональным уравнением. В целом можно назвать рациональными уравнениями все уравнения, имеющие в своем составе 1 рациональное выражение. Что касается решений рациональных уравнений, то они решаются следующим образом: производятся операции в левой и правой стороне до момента, когда переменная не обособляется на одной стороне. Существует два способа решения таких уравнений:

— умножение крест-накрест;

— НОЗ (наименьший общий знаменатель).

Так же читайте нашу статью «Решить рациональное уравнение с дробями онлайн решателем»

Первые метод используется в том случае, если после того как было переписанное уравнение, на каждой его стороне образовалась одна дробь. Например:

\[\frac {x+3}{4}- \frac{x}{2}= 0\]

Чтобы использовать метод умножения крест-накрест необходимо преобразовать уравнения к виду:

\[\frac {x+3}{4}= \frac {x}{-2}\]

Второй метод можно использовать тогда, когда перед вами уравнение с 3/более дробями. Например:

\[\frac {x}{3}+ \frac {1}{2}=\frac{3x+1}{6} \]

Для данного уравнения наименьшим общим кратным числом будет 6, что позволит легко решить данное уравнение.

Где можно бесплатно решить рациональное уравнение онлайн?

Решить рациональное уравнение онлайн с решением вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Решение иррациональных уравнений

Решение  иррациональных уравнений.

В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.

Иррациональным  уравнением  называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений, которые очень похожи на первый взгляд, но по сути  сильно друг от друга отличаются.

 (1)

и

  (2)

В первом уравнении   мы видим, что  неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения.  Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень  мы можем не опасаться  получить посторонние корни.

Пример 1. Решим уравнение 

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

,   ,    

Ответ: {0;1;2}

Посмотрим внимательно на второе  уравнение: . В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только  неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

— это условие существования корней.

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:

 (3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо учесть ОДЗ уравнения:

 (4)

Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение  равносильно системе:

Пример 2. Решим уравнение:

.

Перейдем к равносильной системе:

Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.

,   

Неравеству удовлетворяет только корень 

Ответ: x=1

Внимание! Если мы в процессе решения  возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3. Решим уравнение:

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

По тереме Виета:

,   

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные  корни в исходное уравнение. Очевидно, что при   правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.

При  получаем верное равенство.

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Решение иррациональных уравнений. Методика

Решение иррациональных уравнений имеет практический интерес для школьников, абитуриентов, преподавателей. Поэтому не теряйте времени и изучите методику решений иррациональных уравнений.

Пример 1. Определить меньший корень иррационального уравнения

Решение.Схема вычислений такого сорта примеров следующая:
Переносим отрицательное слагаемое за знак равенства и возведем корни к квадрату. Чтобы не возникла ситуация, когда под корнем получим отрицательное значение в конце обязательно проверяем ответ


Поскольку подкоренное выражение должно быть положительным по определению то модули опускаем и группируем подобные слагаемые

Полученное квадратное уравнение согласно теореме Виета имеет корни x=1; x=5.
В условии спрашивают за меньшее значение, и здесь половина из вас в ответ впишется x=1.
И это будет неправильно! Попробуйте подставить единицу в уравнение

Получили корни из отрицательных чисел. Это в иррациональных уравнениях недопустимо, в комплексных числах обычная ситуация, но в 10 классе комплексные числа не учат. Теперь попробуйте подставить x=5

Получили тождество и проверили единственный правильное решение иррационального уравнения (x=5).
Корень и есть наименьшим для заданного примера. Вообще говоря, тестовые задания при поступлении в ВУЗы так и построены, что Вы долго решаете, тратите драгоценное время. И если не проверите правильность решения то можете недосчитаться нескольких необходимых для вступления баллов. Поэтому будьте внимательны при решении иррациональных примеров на тестах, контрольных, срезах.

Пример 2. Определить больший корень уравнения

Решение. Схему для такой задачи Вы уже знаете. Записываем область допустимых значений (ОДЗ) корней

Сводим иррациональное уравнение к квадратному

Возведем к квадрату, сгруппируем подобные слагаемые

Вычислим дискриминант уравнения

и его корни

И снова загвоздка — кто не знает отрицательных чисел тянется поставить в ответ x=-4. Однако -2,5 есть больше -5. Кто ответит x=-2,5 тоже может оказаться неправым если окажется, что значение не удовлетворяет ОДЗ. Поэтому, для себя сделайте простой вывод — после вычисления иррациональных уравнений проверяйте решение подстановкой. Поскольку -2,5>-5, то его мы и проверим

В таких вычислениях стоит иметь под рукой инженерный калькулятор.
Правые стороны равны, следовательно x=-2,5 – искомый корень иррационального уравнения.

Пример 3. Решение уравнения

Решение. Знакомьтесь с новым типом иррациональных уравнений — сумма корней равна нулю. Решать их легче, чем предыдущие задания. А все одно простое правило – сумма корней равна нулю тогда и только тогда, когда покоренные функции равны нулю.
То есть, нужно решить два квадратных уравнения и выбрать корень, который является общим для двух если таковой существует. В противном случае уравнение решений не имеет. Поскольку квадратичные функции под корнями несложные то решения находим через теорему Виета


Общим для двух уравнений будет x=-3 – это и есть искомое решение.

Пример 4. Определить сумму корней уравнения

которые являются натуральными числами.
Решение. Согласно условию произведение корней равно нулю. Очевидно, что каждый из корней нужно приравнять к нулю.

Суммируем корни 7-7+5=5.
Ответ: 5.
Здесь умышленно допущена ошибка, потому что такая ситуация часто встречается на практике.
Все решают и часто забывают что требовалось найти: сумму натуральных чисел (корней). Поэтому правильный ответ – (7+5)=12.

Пример 5. Определить наименьшее решение уравнения

Решение. Приравниваем корни до нуля и располагаем корни в ряд по возрастанию.

Есть 4; 7; 9,5. Наименьший из найденных x=4.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Не каждый может сразу увидеть, что поза корнем дело находится подкоренное выражение в квадрате. То есть

Отсюда легко находим решение x=3/2=1,5. Ошибкой в такого рода задачах является перенос квадратичной зависимости вправо за знак равенства и возведения к квадрату с последующими попытками упростить и получить ответ. Правильным алгоритмом в подобных заданиях является выделение полного квадрата. Это всегда помните и используйте на практике.

Пример 7. Решите уравнение

Решение. Имеем идентичный по методике решения пример, поэтому сразу запишем
4x+3=0; x=-3/4=-0,75,
а Вы попробуйте выделить полный квадрат и решить по приведенной выше схеме.

Пример 8. Решите уравнение
Решение. Довольно распространенный вариант иррациональных задач. Прежде всего выписываем ОДЗ

Далее возводим обе части уравнения к квадрату


В некоторых закрадутся сомнения, что квадрат этого числа (-3,875)^2 меньше 15 и уравнение не имеет решения. Однако, проверка на калькуляторе показывает

что х=-3,875 является решением иррационального уравнения.

Это лишь малая часть примеров на иррациональные уравнения которые можно встретить на тестах при поступлении в ВУЗы. Однако на их базе можно получить немалый опыт, как не допустить ошибок при решении иррациональных уравнений.

Похожие материалы:

yukhym.com

26 — двадцать шесть. натуральное четное число. в ряду натуральных чисел находится между числами 25 и 27. Все о числе двадцать шесть.

1. Главная
2. О числе 26

26 — двадцать шесть. Натуральное четное число. В ряду натуральных чисел находится между числами 25 и 27.

Like если 26 твое любимое число!

Распространенные значения и факты

26 регион — Ставропольский край

Столица

Ставрополь

Автомобильный код

26, 126

Федеральный округ

Южный

Экономический район

Северо-Кавказский

Дата образования

13 февраля 1924 г.

Территория

66,5 тыс. кв. км 0,39 % от РФ 48 место в РФ

Население

Общая численность 2 730,5 тыс. чел. 1,88 % от РФ 14 место в РФ

Изображения числа 26

Склонение числа «26» по падежам

Перевод «двадцать шесть» на другие языки

Азербайджанский

iyirmi altı

Албанский

Njëzet e gjashtë

Английский

twenty six

Арабский

ستة وعشرين

Армянский

քսան վեց

Белорусский

дваццаць шэсць

Болгарский

двадесет и шест

Вьетнамский

hai mươi sáu

Голландский

zesentwintig

Греческий

εικοσιέξι

Грузинский

ოცი ექვსი

Иврит

עשרים ושש

Идиш

26

Ирландский

fiche sé

Исландский

Tuttugu og sex

Испанский

veintiséis

Итальянский

ventisei

Китайский

26

Корейский

스물여섯

Латынь

sex et viginti,

Латышский

divdesmit sešas

Литовский

dvidešimt šešių

Монгольский

хорин зургаан

Немецкий

sechsundzwanzig

Норвежский

tjueseks

Персидский

بیست و شش

Польский

dwadzieścia sześć

Португальский

vinte e seis

Румынский

douăzeci și șase

Сербский

двадесет шест

Словацкий

dvadsaťšesť

Словенский

Šestindvajset

Тайский

26

Турецкий

yirmi altı

Украинский

двадцять шість

Финский

kaksikymmentäkuusi

Французский

vingt-six

Хорватский

dvadeset šest

Чешский

šestadvacet

Шведский

tjugosex

Эсперанто

dudek ses

Эстонский

kahekümne kuuest

Японский

26

Перевод «26» на другие языки и системы

Римскими цифрами

Римскими цифрами

XXVI

Сервис перевода арабских чисел в римские

Арабско-индийскими цифрами

Арабскими цифрами

٢٦

Восточно-арабскими цифрами

۲۶

Деванагари

२६

Бенгальскими цифрами

২৬

Гурмукхи

੨੬

Гуджарати

૨૬

Ория

୨୬

Тамильскими цифрами

௨௬

Телугу

౨౬

Каннада

೨೬

Малаялам

൨൬

Тайскими цифрами

๒๖

Лаосскими цифрами

໒໖

Тибетскими цифрами

༢༦

Бирманскими цифрами

၂၆

Кхемерскими цифрами

២៦

Монгольскими цифрами

᠒᠖

В других системах счисления

26 в двоичной системе

11010

26 в троичной системе

222

26 в восьмеричной системе

32

26 в десятичной системе

26

26 в двенадцатеричной системе

22

26 в тринадцатеричной системе

20

26 в шестнадцатеричной системе

1A

Известные люди умершие в 26 лет

• Сколимовская, Камила Польская метательница молота; скоропостижная лёгочная эмболия. Смерть наступила в 2009 году в 26 лет.
• Мруз-Ольшевская, Агата Чемпионка Европы по волейболу. Смерть наступила в 2008 году в 26 лет.
• Стершель, Франсуа Бельгийский футболист; автокатастрофа. Смерть наступила в 2008 году в 26 лет.
• Эшли Астон Мур Американская киноактриса; бронхит 11 декабря Борис Баркас (54) советский поэт-песенник. Смерть наступила в 2007 году в 26 лет.
• Тоше Проески Македонский певец. Смерть наступила в 2007 году в 26 лет.
• Левченко, Сергей Николаевич Украинский футболист, нападающий. Смерть наступила в 2007 году в 26 лет.
• Дымченко, Дмитрий Валерьевич Украинский журналист. Смерть наступила в 2005 году в 26 лет.
• Рыжий, Борис Борисович Российский поэт; самоубийство. Смерть наступила в 2001 году в 26 лет.
• Кузьмин, Фёдор Васильевич Герой Российской Федерации, оперуполномоченный УБОПа при УВД Пермской области, младший лейтенант милиции. Смерть наступила в 1996 году в 26 лет.
• Фомкин, Алексей Леонидович Актёр. Смерть наступила в 1996 году в 26 лет.
• Долонин, Владислав Александрович Герой России. Смерть наступила в 1995 году в 26 лет.
• Медков, Илья Алексеевич Российский предприниматель, с 1991 один из руководителей «Прагмабанка», основатель и президент нефтяного концерна «ДИАМ» и одноимённого банка; заказное убийство. Смерть наступила в 1993 году в 26 лет.
• Крпеян, Татул Жоржикович Национальный Герой Армении, участник Карабахской войны. Смерть наступила в 1991 году в 26 лет.
• Хиллел Словак Гитарист Red Hot Chili Peppers с 1982 по 1988 годы. Смерть наступила в 1988 году в 26 лет.
• Словак, Хиллел Американский гитарист израильского происхождения. Смерть наступила в 1988 году в 26 лет.
• Ващук, Николай Васильевич Ликвидатор аварии на Чернобыльской АЭС, командир отделения 6-й самостоятельной военизированной пожарной части по охране города Припять, Герой Украины. Смерть наступила в 1986 году в 26 лет.
• Тишура, Владимир Иванович Ликвидатор аварии на Чернобыльской АЭС, старший пожарный 6-й самостоятельной военизированной пожарной части по охране города Припять, Герой Украины. Смерть наступила в 1986 году в 26 лет.
• Белов, Александр Александрович Советский баскетболист, заслуженный мастер спорта СССР. Смерть наступила в 1978 году в 26 лет.
• Реддинг, Отис Американский соул-певец; авиакатастрофа. Смерть наступила в 1967 году в 26 лет.
• Онезорг, Бенно Немецкий студент по специальностям романистика и германистика; убит во время мирной демонстрации против визита главы Ирана шаха Мохамеда Реза Пехлеви в Западный Берлин и ФРГ; гибель Онезорга стала поводом к созданию боевой. Смерть наступила в 1967 году в 26 лет.

QR-код, MD5, SHA-1 числа 26

http://pro-chislo.ruhttp://pro-chislo.ru//data/moduleImages/QRCodes/26/89de53d64ebaadde33f4e78bdb0ff176.png

MD2 от 26

e6fe73b5acbd203d29fe79170d2158c8

MD4 от 26

e7a0aec7d26c2c0bc3fb9b5321dc4044

MD5 от 26

4e732ced3463d06de0ca9a15b6153677

SHA1 от 26

887309d048beef83ad3eabf2a79a64a389ab1c9f

SHA256 от 26

5f9c4ab08cac7457e9111a30e4664920607ea2c115a1433d7be98e97e64244ca

SHA384 от 26

6e28f15d9912d365a5a06ae3120b2fce1caa1f1bc9afbe0c115d9393b92858fb00beb69cd321a5c3164088af213e7cbe

SHA512 от 26

e053886e1b797bc5a80f932302f0201265a599d82e2502d41941d6e652614ef88fa058e009094d26655f880200df12c2100f690254fd1e5bae75d7441763cd33

GOST от 26

9507880e0cc8c4390dd19291f2b509e4303309e13bda6ad948ba67c9e2a056e5

Base64 от 26

MjY=

26й день в году

26й день в не високосном году — 26 января

Всемирный день таможенника

26й день в високосном году — 26 января

Математические свойства числа 26

Простые множители

2 * 13

Делители

1, 2, 13, 26

Количество делителей

4

Сумма делителей

42

Простое число

Нет

Предыдущее простое

23

Следующее простое

29

26е простое число

101

Число Фибоначчи

Нет

Число Белла

Нет

Число Каталана

Нет

Факториал

Нет

Регулярное число (Число Хемминга)

Нет

Совершенное число

Нет

Полигональное число

Нет

Квадрат

676

Квадратный корень

5.0990195135928

Натуральный логарифм (ln)

3.2580965380215

Десятичный логарифм (lg)

1.4149733479708

Синус (sin)

0.7625584504796

Косинус (cos)

0.64691932232864

Тангенс (tg)

1.1787535542063

Фильмы про 26

26-ое июля в Баристе (26th July at Barista), 2008 год

Фильм, основанный на реальных событиях, произошедших в Мумбаи в тот день, когда ливневые дожди переросли в настоящую катастрофу. 26 июля…

Комментарии о числе 26

pro-chislo.ru

Четные числа — это… Что такое Четные числа?

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет — нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19). Нуль считается чётным числом. ^[1]

Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2:   …−4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…

Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2:   …−3, −1, 1, 3, 5, 7, 9…

Иными словами, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

Признак чётности

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.
31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

Арифметика

• Сложение и вычитание:
  • Чётное ± Чётное = Чётное
  • Чётное ± Нечётное = Нечётное
  • Нечётное ± Чётное = Нечётное
  • Нечётное ± Нечётное = Чётное
• Умножение:
  • Чётное × Чётное = Чётное
  • Чётное × Нечётное = Чётное
  • Нечётное × Нечётное = Нечётное
• Деление:
  • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
  • Чётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Чётное
  • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
  • Нечётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Нечётное

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь, а чётные — Ян.

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США, Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.

Примечания

1. ↑ «Чётные числа» в БСЭ.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Четные и нечетные числа | Astrostar.ru

Во вселенной существуют пары противоположностей, которые являются важным фактором ее устройства. Основные свойства, которые нумерологи приписывают четным (1, 3, 5, 7, 9) и нечетным (2, 4, 6, 8) числам, как парам противоположностей, следующие:

1 — активный, целеустремленный, властный, черствый, руководящий, инициативный;   
2 — пассивный, восприимчивый, слабый, сочувствующий, подчиненный;
3 — яркий, веселый, артистичный, удачливый, легко добивающийся успеха; 
4 — трудолюбивый, скучный, безынициативный, несчастный, тяжелый труд и частое поражение;
5 — подвижный, предприимчивый, нервный, неуверенный, сексуальный;
6 — простой, спокойный, домашний, устроенный; материнская любовь;
7 — уход от мира, мистика, тайны;   
8 — мирская жизнь; материальная удача или поражение;
9 — интеллектуальное и духовное совершенство.    

Нечетные числа обладают гораздо более яркими свойствами. Рядом с энергией «1», блеском и удачливостью «3», авантюрной подвижностью и многогранностью «5», мудростью «7» и совершенством «9» четные числа выглядят не столь ярко. Насчитывается 10 основных пар противоположностей, существующих во Вселенной. Среди этих пар: четное — нечетное, один — много, правое — левое, мужское — женское, добро — зло. Один, правое, мужское и доброе ассоциировалось с нечетными числами; много, левое, женское и злое — с четными.

Нечетные числа обладают некой производящей серединой, в то время как в любом четном числе есть воспринимающее отверстие как бы лакуна внутри себя. Мужские свойства фаллических нечетных чисел вытекают из того факта, что они сильнее четных. Если четное число расщепить пополам, то, кроме пустоты, посередине ничего не останется. Нечетное число разбить непросто, потому что посередине остается точка. Если же соединить вместе четное и нечетное числа, то победит нечетное, так как результат всегда будет нечетным. Именно поэтому нечетные числа обладают мужскими свойствами, властными и резкими, а четные — женскими, пассивными и воспринимающими.

Нечетных чисел нечетное число: их пять. Четных чисел четное число — четыре.

Нечетные числа — солнечные, электрические, кислотные и динамичные. Они являются слагаемыми; их с чем либо складывают. Четные числа — лунные, магнетические, щелочные и статичные. Они являются вычитаемыми, их уменьшают. Они остаются без движения, потому что имеют четные группы пар (2 и 4; 6 и 8).

Если мы сгруппируем нечетные числа, одно число всегда останется без своей пары (1 и 3; 5 и 7; 9). Это делает их динамичными. Два подобных числа (два нечетных числа или два четных) не являются благоприятными.

четное + четное = четное (статичное) 2+2=4
четное + нечетное = нечетное (динамичное) 3+2=5
нечетное + нечетное = четное (статичное) 3+3=6

Некоторые числа дружественны, другие — противостоят друг другу. Взаимоотношения чисел определяются отношениями между планетами, которые ими управляют (подробности в разделе «Совместимость чисел»). Когда два дружественных числа соприкасаются, их сотрудничество не очень продуктивно. Подобно друзьям, они расслабляются — и ничего не происходит. Но когда в одной комбинации находятся враждебные числа, они заставляют друг друга быть настороже и побуждают к активным действиям; таким образом, эти два человека работают намного больше. В таком случае, враждебные числа оказываются на самом деле друзьями, а друзья — настоящими врагами, тормозящими прогресс. Нейтральные числа остаются неактивными. Они не дают поддержки, не вызывают и не подавляют активность.

www.astrostar.ru

Как влияют четные и нечетные числа на нашу жизнь / Мистика

Чет и нечет

Решение логарифмических уравнений

20 мая 2014

Заключительные видео из длинной серии уроков про решение логарифмических уравнений. В этот раз мы будем работать в первую очередь с ОДЗ логарифма — именно из-за неправильного учета (или вообще игнорирования) области определения возникает большинство ошибок при решении подобных задач.

В этом коротком видеоуроке мы разберем применение формул сложения и вычитания логарифмов, а также разберемся с дробно-рациональными уравнениями, с которыми у многих учеников также возникают проблемы.

О чем пойдет речь? Главная формула, с которой я хотел бы разобраться, выглядит так:

log_a (fg) = log_af + log_ag

Это стандартный переход от произведения к сумме логарифмов и обратно. Вы наверняка знаете эту формулу с самого начала изучения логарифмов. Однако тут есть одна заминка.

До тех пор, пока в виде переменных a, f и g выступают обычные числа, никаких проблем не возникает. Данная формула работает прекрасно.

Однако, как только вместоf и g появляются функции, возникает проблема расширения или сужения области определения в зависимости от того, в какую сторону преобразовывать. Судите сами: в логарифме, записанном слева, область определения следующая:

fg > 0

А вот в сумме, записанной справа, область определения уже несколько иная:

f > 0

g > 0

Данный набор требований является более жестким, чем исходный. В первом случае нас устроит вариант f < 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg > 0 выполняется).

Итак, при переходе от левой конструкции к правой возникает сужение области определения. Если же сначала у нас была сумма, а мы переписываем ее в виде произведения, то происходит расширение области определения.

Другими словами, в первом случае мы могли потерять корни, а во втором — получить лишние. Это необходимо учитывать при решении реальных логарифмических уравнений.

Итак, первая задача:

Слева мы видим сумму логарифмов по одному и тому же основанию. Следовательно, эти логарифмы можно сложить:

Как видите, справа мы заменил ноль по формуле:

a = log_bb^a

Давайте еще немного преобразуем наше уравнение:

log₄ (x− 5)₂ = log₄ 1

Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, мы можем зачеркнуть знак log и приравнять аргументы:

(x− 5)² = 1

|x − 5| = 1

Обратите внимание: откуда взялся модуль? Напомню, что корень из точного квадрата равен именно модулю:

Затем решаем классическое уравнение с модулем:

|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x₁ = 5 − 1 = 4; x₂ = 5 + 1 = 6

Вот два кандидат на ответ. Являются ли они решением исходного логарифмического уравнения? Нет, ни в коем случае!

Оставить все просто так и записать ответ мы не имеем права. Взгляните на тот шаг, когда мы заменяем сумму логарифмов одним логарифмом от произведения аргументов. Проблема в том, что в исходных выражениях у нас стоят функции. Следовательно, следует потребовать:

х(х − 5) > 0; (х − 5)/х > 0.

Когда же мы преобразовали произведение, получив точный квадрат, требования изменились:

(x− 5)² > 0

Когда это требование выполняется? Да практически всегда! За исключением того случая, когда х − 5 = 0. Т.е. неравенство сведется к одной выколотой точке:

х − 5 ≠ 0 ⇒ х ≠ 5

Как видим, произошло расширение области определения, о чем мы и говорили в самом начале урока. Следовательно, могут возникнуть и лишние корни.

Как же не допустить возникновения этих лишних корней? Очень просто: смотрим на наши полученные корни и сравниваем их с областью определения исходного уравнения. Давайте посчитаем:

х (х − 5) > 0

Решать будем с помощью метода интервалов:

х (х − 5) = 0 ⇒ х = 0; х = 5

Отмечаем полученные числа на прямой. Все точки выколотые, потому что неравенство строгое. Берем любое число, больше 5 и подставляем:

На интересуют промежутки (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Если мы отметим наши корни на отрезке, то увидим, что х = 4 нас не устраивает, потому что этот корень лежит за пределами области определения исходного логарифмического уравнения.

Возвращаемся к совокупности, вычеркиваем корень х = 4 и записываем ответ: х = 6. Это уже окончательный ответ к исходному логарифмическому уравнению. Все, задача решена.

Переходим ко второму логарифмическому уравнению:

Решаем его. Заметим, что первое слагаемое представляет собой дробь, а второе — ту же самую дробь, но перевернутую. Не пугайтесь выражения lgx— это просто десятичный логарифм, мы можем записать:

lgx = log₁₀x

Поскольку перед нами две перевернутые дроби, предлагаю ввести новую переменную:

Следовательно, наше уравнение может быть переписано следующим образом:

t + 1/t = 2;

t + 1/t− 2 = 0;

(t² − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1)²/t = 0.

Как видим, в числителе дроби стоит точный квадрат. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

(t− 1)² = 0; t ≠ 0

Решаем первое уравнение:

t− 1 = 0;

t = 1.

Это значение удовлетворяет второму требованию. Следовательно, можно утверждать, что мы полностью решили наше уравнение, но только относительно переменной t. А теперь вспоминаем, что такое t:

Получили пропорцию:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx− lgx = −1

lgx = −1

Приводим это уравнение к канонической форме:

lgx = lg 10⁻¹

x = 10⁻¹ = 0,1

В итоге мы получили единственный корень, который, по идее, является решением исходного уравнения. Однако давайте все-таки подстрахуемся и выпишем область определения исходного уравнения:

Следовательно, наш корень удовлетворяет всем требованиям. Мы нашли решение исходного логарифмического уравнения. Ответ: x = 0,1. Задача решена.

Ключевой момент в сегодняшнем уроке один: при использовании формулы перехода от произведения к сумме и обратно обязательно учитывайте, что область определения может сужаться либо расширяться в зависимости от того, в какую сторону выполняется переход.

Как понять, что происходит: сужение или расширение? Очень просто. Если раньше функции были вместе, а теперь стали по отдельности, то произошло сужение области определения (потому что требований стало больше). Если же сначала функции стояли отдельно, а теперь — вместе, то происходит расширение области определения (на произведение накладывается меньше требований, чем на отдельные множители).

С учетом данного замечания хотел бы отметить, что второе логарифмическое уравнение вообще не требует данных преобразований, т. е. мы нигде не складываем и не перемножаем аргументы. Однако здесь я хотел бы обратить ваше внимание на другой замечательный прием, который позволяет существенно упростить решение. Речь идет о замене переменной.

Однако помните, что никакие замены не освобождает нас от области определения. Именно поэтому после того были найдены все корни, мы не поленились и вернулись к исходному уравнению, чтобы найти его ОДЗ.

Часто при замене переменной возникает обидная ошибка, когда ученики находят значение t и думают, что на этом решение закончено. Нет, ни в коем случае!

Когда вы нашли значение t, необходимо вернуться к исходному уравнению и посмотреть, что именно мы обозначали этой буквой. В результате нам предстоит решить еще одно уравнение, которое, впрочем, будет значительно проще исходного.

Именно в этом состоит смысл введения новой переменной. Мы разбиваем исходное уравнение на два промежуточных, каждое из которых решается существенно проще.

Как решать «вложенные» логарифмические уравнения

Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого логарифма. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы.

Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы. Напомню, если у нас есть простейшее логарифмическое уравнение вида log_af(x) = b, то для решения такого уравнения мы выполняем следующие шаги. В первую очередь, нам нужно заменить число b:

b = log_aa^b

Заметьте: a^b— это аргумент. Точно так же в исходном уравнении аргументом является функция f(x). Затем мы переписываем уравнение и получаем вот такую конструкцию:

log_af(x) = log_aa^b

Уже затем мы можем выполнить третий шаг — избавится от знака логарифма и просто записать:

f(x) = a^b

В результате мы получим новое уравнение. При этом никаких ограничений на функцию f(x) не накладывается. Например, на ее месте также может стоять логарифмическая функция. И тогда мы вновь получим логарифмическое уравнение, которое снова сведем к простейшему и решим через каноническую форму.

Впрочем, хватит лирики. Давайте решим настоящую задачу. Итак, задача № 1:

log₂ (1 + 3 log₂x) = 2

Как видим, перед нами простейшее логарифмическое уравнение. В роли f(x) выступает конструкция 1 + 3 log₂x, а в роли числа b выступает число 2 (в роли aтакже выступает двойка). Давайте перепишем эту двойку следующим образом:

2 = log₂ 2²

Важно понимать, что первые две двойки пришли к нам из основания логарифма, т. е. если бы в исходном уравнении стояла 5, то мы бы получили, что 2 = log₅ 5². В общем, основание зависит исключительно от логарифма, который изначально дан в задаче. И в нашем случае это число 2.

Итак, переписываем наше логарифмическое уравнение с учетом того, что двойка, которая стоит справа, на самом деле тоже является логарифмом. Получим:

log₂ (1 + 3 log₂x) = log₂ 4

Переходим к последнему шагу нашей схемы — избавляемся от канонической формы. Можно сказать, просто зачеркиваем знаки log. Однако с точки зрения математики «зачеркнуть log» невозможно — правильнее сказать, что мы просто просто приравниваем аргументы:

1 + 3 log₂x = 4

Отсюда легко находится 3 log₂x:

3 log₂x = 3

log₂x = 1

Мы вновь получили простейшее логарифмическое уравнение, давайте снова приведем его к канонической форме. Для этого нам необходимо провести следующие изменения:

1 = log₂ 2¹ = log₂ 2

Почему в основании именно двойка? Потому что в нашем каноническом уравнении слева стоит логарифм именно по основанию 2. Переписываем задачу с учетом этого факта:

log₂x = log₂ 2

Снова избавляемся от знака логарифма, т. е. просто приравниваем аргументы. Мы вправе это сделать, потому что основания одинаковые, и больше никаких дополнительных действий ни справа, ни слева не выполнялось:

х = 2

Вот и все! Задача решена. Мы нашли решение логарифмического уравнения.

Обратите внимание! Хотя переменная х и стоит в аргументе (т. е. возникают требования к области определения), мы никаких дополнительных требований предъявлять не будем.

Как я уже говорил выше, данная проверка является избыточной, если переменная встречается лишь в одном аргументе лишь одного логарифма. В нашем случае х действительно стоит лишь в аргументе и лишь под одним знаком log. Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется.

Тем не менее, если вы не доверяете данному методу, то легко можете убедиться, что х = 2 действительно является корнем. Достаточно подставить это число в исходное уравнение.

Давайте перейдем ко второму уравнению, оно чуть интересней:

log₂ (log_1/2 (2x− 1) + log₂ 4) = 1

Если обозначить выражение внутри большого логарифма функцией f(x), получим простейшее логарифмическое уравнение, с которого мы начинали сегодняшний видеоурок. Следовательно, можно применить каноническую форму, для чего придется представить единицу в виде log₂ 2¹ = log₂ 2.

Переписываем наше большое уравнение:

log₂ (log_1/2 (2x − 1) + log₂ 4) = log₂ 2

Изваляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы. Мы вправе это сделать, потому что и слева, и справа основания одинаковые. Кроме того, заметим, что log₂ 4 = 2:

log_1/2 (2x− 1) + 2 = 2

log_1/2 (2x− 1) = 0

Перед нами снова простейшее логарифмическое уравнение вида log_af(x) = b. Переходим к канонической форме, т. е. представляем ноль в виде log_1/2 (1/2)0 = log_1/2 1.

Переписываем наше уравнение и избавляемся от знака log, приравнивая аргументы:

log_1/2 (2x− 1) = log_1/2 1

2x − 1 = 1

2х = 2

х = 1

Опять же мы сразу получили ответ. Никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходном уравнении лишь один логарифм содержит функцию в аргументе.

Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется. Мы можем смело утверждать, что х = 1 является единственным корнем данного уравнения.

А вот если бы во втором логарифме вместо четверки стояла бы какая-то функция от х (либо 2х стояло бы не в аргументе, а в основании) — вот тогда потребовалось бы проверять область определения. Иначе велик шанс нарваться на лишние корни.

Откуда возникают такие лишние корни? Этот момент нужно очень четко понимать. Взгляните на исходные уравнения: везде функция х стоит под знаком логарифма. Следовательно, поскольку мы записали log₂x, то автоматически выставляем требование х > 0. Иначе данная запись просто не имеет смысла.

Однако по мере решения логарифмического уравнения мы избавляемся от всех знаков log и получаем простенькие конструкции. Здесь уже никаких ограничений не выставляется, потому что линейная функция определена при любом значении х.

Именно эта проблема, когда итоговая функция определена везде и всегда, а исходная — отнюдь не везде и не всегда, и является причиной, по которой в решении логарифмических уравнениях очень часто возникают лишние корни.

Но повторю еще раз: такое происходить лишь в ситуации, когда функция стоит либо в нескольких логарифмах, либо в основании одного из них. В тех задачах, которые мы рассматриваем сегодня, проблем с расширением области определения в принципе не существует.

Случаи разного основания

Этот урок посвящен уже более сложным конструкциям. Логарифмы в сегодняшних уравнениях уже не будут решаться «напролом» — сначала потребуется выполнить некоторые преобразования.

Начинаем решение логарифмических уравнений с совершенно разными основаниями, которые не являются точными степенями друг друга. Пусть вас не пугают подобные задачи — решаются они ничуть не сложнее, чем самые простые конструкции, которые мы разбирали выше.

Но прежде, чем переходить непосредственно к задачам, напомню о формуле решения простейших логарифмических уравнений с помощью канонической формы. Рассмотрим задачу вот такого вида:

log_af(x) = b

Важно, что функция f(x) является именно функцией, а в роли чисел а и b должны выступать именно числа (без всяких переменных x). Разумеется, буквально через минуту мы рассмотрим и такие случаи, когда вместо переменных а и b стоят функции, но сейчас не об этом.

Как мы помним, число bнужно заменить логарифмом по тому же самому основанию а, которое стоит слева. Это делается очень просто:

b = log_aa^b

Разумеется, под словом «любое число b» и «любое число а» подразумеваются такие значения, которые удовлетворяют области определения. В частности, в данном уравнении речь идет лишь основание a > 0 и a≠ 1.

Однако данное требование выполняется автоматически, потому что в исходной задаче уже присутствует логарифм по основанию а — оно заведомо будет больше 0 и не равно 1. Поэтому продолжаем решение логарифмического уравнения:

log_af(x) = log_aa^b

Подобная запись называется канонической формой. Ее удобство состоит в том, что мы сразу можем избавиться от знака log, приравняв аргументы:

f(x) = a^b

Именно этот прием мы сейчас будем использовать для решения логарифмических уравнений с переменным основанием. Итак, поехали!

log₂ (x² + 4x + 11) = log_0,5 0,125

Что дальше? Кто-то сейчас скажет, что нужно вычислить правый логарифм, либо свести их к одному основанию, либо что-то еще. И действительно, сейчас нужно привести оба основания к одному виду — либо 2, либо 0,5. Но давайте раз и навсегда усвоим следующее правило:

Если в логарифмическом уравнении присутствуют десятичные дроби, обязательно переведите эти дроби из десятичной записи в обычную. Такое преобразование может существенно упростить решение.

Подобный переход нужно выполнять сразу, еще до выполнения каких-либо действий и преобразований. Давайте посмотрим:

log₂ (x² + 4x + 11) = log_1/2 1/8

Что нам дает такая запись? Мы можем 1/2 и 1/8 представить как степень с отрицательным показателем:

[Подпись к рисунку]

Перед нами каноническая форма. Приравниваем аргументы и получаем классическое квадратное уравнение:

x² + 4x + 11 = 8

x² + 4x + 3 = 0

Перед нами приведенное квадратное уравнение, которое легко решается с помощью формул Виета. Подобные выкладки в старших классах вы должны видеть буквально устно:

(х + 3)(х + 1) = 0

x₁ = −3

x₂ = −1

Вот и все! Исходное логарифмическое уравнение решено. Мы получили два корня.

Напомню, что определять область определения в данном случае не требуется, поскольку функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Поэтому область определения выполняется автоматически.

Итак, первое уравнение решено. Переходим ко второму:

log_0,5 (5x² + 9x + 2) = log₃ 1/9

Как и в прошлый раз, рекомендую избавиться от десятичных дробей:

log_1/2 (5x² + 9x + 2) = log₃ 9⁻¹

А теперь заметим, что аргумент первого логарифма тоже можно записать в виде степени с отрицательным показателем: 1/2 = 2⁻¹. Затем можно вынести степени с обеих сторон уравнения и разделить все на −1:

[Подпись к рисунку]

И вот сейчас мы выполнили очень важный шаг в решении логарифмического уравнения. Возможно, кто-то что-то не заметил, поэтому давайте я поясню.

Взгляните на наше уравнение: и слева, и справа стоит знак log, но слева стоит логарифм по основанию 2, а справа стоит логарифм по основанию 3. Тройка не является целой степенью двойки и, наоборот: нельзя записать, что 2 — это 3 в целой степени.

Следовательно, это логарифмы с разными основаниями, которые не сводятся друг к другу простым вынесением степеней. Единственный путь решения таких задач — избавиться от одного из этих логарифмов. В данном случае, поскольку мы пока рассматриваем довольно простые задачи, логарифм справа просто сосчитался, и мы получили простейшее уравнение — именно такое, о котором мы говорили в самом начале сегодняшнего урока.

Давайте представим число 2, которое стоит справа в виде log₂ 2² = log₂ 4. А затем избавимся от знака логарифма, после чего у нас остается просто квадратное уравнение:

log₂ (5x² + 9x + 2) = log₂ 4

5x² + 9x + 2 = 4

5x² + 9x− 2 = 0

Перед нами обычное квадратное уравнение, однако оно не является приведенным, потому что коэффициент при x² отличен от единицы. Следовательно, решать мы его будем с помощью дискриминанта:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x₁ = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x₂ = (−9 − 11)/10 = −2

Вот и все! Мы нашли оба корня, а значит, получили решение исходного логарифмического уравнения. Ведь в исходной задачи функция с переменной х присутствует лишь в одном аргументе. Следовательно, никаких дополнительных проверок на область определения не требуется — оба корня, которые мы нашли, заведомо отвечают всем возможным ограничениям.

На этом можно было бы закончить сегодняшний видеоурок, но в заключении я хотел бы сказать еще раз: обязательно переводите все десятичные дроби в обычные при решении логарифмических уравнений. В большинстве случаев это существенно упрощает их решение.

Редко, очень редко попадаются задачи, в которых избавление от десятичных дробей лишь усложняет выкладки. Однако в таких уравнениях, как правило, изначально видно, что избавляться от десятичных дробей не надо.

В большинстве остальных случаев (особенно если вы только начинаете тренироваться в решении логарифмических уравнений) смело избавляйтесь от десятичных дробей и переводите их в обычные. Потому что практика показывает, что таким образом вы значительно упростите последующее решение и выкладки.

Тонкости и хитрости решения

Сегодня мы переходим к более сложным задачам и будем решать логарифмическое уравнение, в основании которого стоит не число, а функция.

И пусть даже эта функция линейна — в схему решения придется внести небольшие изменения, смысл которых сводится к дополнительным требованиям, накладываемым на область определения логарифма.

Сложные задачи

Этот урок будет довольно длинным. В нем мы разберем два довольно серьезных логарифмических уравнения, при решении которых многие ученики допускают ошибки. За свою практику работы репетитором по математике я постоянно сталкивался с двумя видами ошибок:

1. Возникновение лишних корней из-за расширения области определения логарифмов. Чтобы не допускать такие обидные ошибки, просто внимательно следите за каждым преобразованием;
2. Потери корней из-за того, что ученик забыл рассмотреть некоторые «тонкие» случаи — именно на таких ситуациях мы сегодня и сосредоточимся.

Это последний урок, посвященный логарифмическим уравнениям. Он будет длинным, мы разберем сложные логарифмические уравнения. Устраивайтесь поудобней, заварите себе чай, и мы начинаем.

Первое уравнение выглядит вполне стандартно:

log_{x + 1} (x − 0,5) = log_{x − 0,5} (x + 1)

Сразу заметим, что оба логарифма являются перевернутыми копиями друг друга. Вспоминаем замечательную формулу:

log_ab = 1/log_ba

Однако у этой формулы есть ряд ограничений, которые возникают в том случае, если вместо чисел а и b стоят функции от переменной х:

b > 0

1 ≠ a > 0

Эти требования накладываются на основание логарифма. С другой стороны, в дроби от нас требуется 1 ≠ a > 0, поскольку не только переменная a стоит в аргументе логарифма ( следовательно, a > 0), но и сам логарифм находится в знаменателе дроби. Но log_b 1 = 0, а знаменатель должен быть отличным от нуля, поэтому a ≠ 1.

Итак, ограничения на переменную a сохраняется. Но что происходит с переменной b? С одной стороны, из основания следует b> 0, с другой — переменная b≠ 1, потому что основание логарифма должно быть отлично от 1. Итого из правой части формулы следует, что 1 ≠ b > 0.

Но вот беда: второе требование (b ≠ 1) отсутствует в первом неравенстве, посвященном левому логарифму. Другими словами, при выполнении данного преобразования мы должны отдельно проверить, что аргумент bотличен от единицы!

Вот давайте и проверим. Применим нашу формулу:

А теперь, прежде чем идти дальше, выпишем все требования области определения, накладываемые на исходную задачу:

1 ≠ х − 0,5 > 0; 1 ≠ х + 1 > 0

Вот мы и получили, что уже из исходного логарифмического уравнения следует, что и а, и b должны быть больше 0 и не равны 1. Значит, мы спокойно можем переворачивать логарифмическое уравнение:

Предлагаю ввести новую переменную:

log_{x + 1} (x − 0,5) = t

В этом случае наша конструкция перепишется следующим образом:

(t²− 1)/t = 0

Заметим, что в числителе у нас стоит разность квадратов. Раскрываем разность квадратов по формуле сокращенного умножения:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Но в числителе стоит произведение, поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

t₁ = 1;

t₂ = −1;

t ≠ 0.

Как видим, оба значения переменной tнас устраивают. Однако на этом решение не заканчивается, ведь нам требуется найти не t, а значение x. Возвращаемся к логарифму и получаем:

log_{x + 1} (x − 0,5) = 1;

log_{x + 1} (x − 0,5) = −1.

Давайте приведем каждое из этих уравнений к канонической форме:

log_{x + 1} (x − 0,5) = log_{x + 1} (x + 1)¹

log_{x + 1} (x − 0,5) = log_{x + 1} (x + 1)⁻¹

Избавляемся от знака логарифма в первом случае и приравниваем аргументы:

х − 0,5 = х + 1;

х − х = 1 + 0,5;

0 = 1,5.

Такое уравнение не имеет корней, следовательно, первое логарифмическое уравнение также не имеет корней. А вот со вторым уравнением все намного интересней:

(х − 0,5)/1 = 1/(х + 1)

Решаем пропорцию — получим:

(х − 0,5)(х + 1) = 1

Напоминаю, что при решении логарифмических уравнений гораздо удобней приводить все десятичные дроби обычные, поэтому давайте перепишем наше уравнение следующим образом:

(х − 1/2)(х + 1) = 1;

x² + x− 1/2x− 1/2 − 1 = 0;

x² + 1/2x− 3/2 = 0.

Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:

(х + 3/2) (х − 1) = 0;

x₁ = −1,5;

x₂ = 1.

Получили два корня — они являются кандидатами на решение исходного логарифмического уравнения. Для того чтобы понять, какие корни действительно пойдут в ответ, давайте вернемся к исходной задаче. Сейчас мы проверим каждый из наших корней на предмет соответствия области определения:

1,5 ≠ х > 0,5; 0 ≠ х > −1.

Эти требования равносильны двойному неравенству:

1 ≠ х > 0,5

Отсюда сразу видим, что корень х = −1,5 нас не устраивает, а вот х = 1 вполне устраивает. Поэтому х = 1 — окончательное решение логарифмического уравнения.

Переходим ко второй задаче:

log_x 25 + log_125x 5 = log_25x 625

На первый взгляд может показаться, что у всех логарифмов разные основания и разные аргументы. Что делать с такими конструкциями? В первую очередь заметим, что числа 25, 5 и 625 — это степени 5:

25 = 5²; 625 = 5⁴

А теперь воспользуемся замечательным свойством логарифма. Дело в том, что можно выносить степени из аргумента в виде множителей:

log_abⁿ = n ∙ log_ab

На данное преобразование также накладываются ограничения в том случае, когда на месте bстоит функция. Но у нас b— это просто число, и никаких дополнительных ограничений не возникает. Перепишем наше уравнение:

2 ∙ log_x 5 + log_125x 5 = 4 ∙ log_25x 5

Получили уравнение с тремя слагаемыми, содержащими знак log. Причем аргументы всех трех логарифмов равны.

Самое время перевернуть логарифмы, чтобы привести их к одному основанию — 5. Поскольку в роли переменной b выступает константа, никаких изменений области определения не возникает. Просто переписываем:

Как и предполагалось, в знаменателе «вылезли» одни и те же логарифмы. Предлагаю выполнить замену переменной:

log₅x = t

В этом случае наше уравнение будет переписано следующим образом:

Выпишем числитель и раскроем скобки:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t² + 5t + 6) + t² + 2t − 4t² − 12t = 2t² + 10t + 12 + t² + 2t − 4t² − 12t = −t² + 12

Возвращаемся к нашей дроби. Числитель должен быть равен нулю:

А знаменатель — отличен от нуля:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Последние требования выполняются автоматически, поскольку все они «завязаны» на целые числа, а все ответы — иррациональные.

Итак, дробно-рациональное уравнение решено, значения переменной t найдены. Возвращаемся к решению логарифмического уравнения и вспоминаем, что такое t:

Приводим это уравнение к канонической форме, получим число с иррациональной степенью. Пусть это вас не смущает — даже такие аргументы можно приравнять:

У нас получилось два корня. Точнее, два кандидата в ответы — проверим их на соответствие области определения. Поскольку в основании логарифма стоит переменная х, потребуем следующее:

1 ≠ х > 0;

С тем же успехом утверждаем, что х ≠ 1/125, иначе основание второго логарифма обратится в единицу. Наконец, х ≠ 1/25 для третьего логарифма.

Итого мы получили четыре ограничения:

1 ≠ х > 0; х ≠ 1/125; х ≠ 1/25

А теперь вопрос: удовлетворяют ли наши корни указанным требованиям? Конечно удовлетворяют! Потому что 5 в любой степени будет больше нуля, и требование х > 0 выполняется автоматически.

С другой стороны, 1 = 5⁰, 1/25 = 5⁻², 1/125 = 5⁻³, а это значит, что данные ограничения для наших корней (у которых, напомню, в показателе стоит иррациональное число) также выполнены, и оба ответа являются решениями задачи.

Итак, мы получили окончательный ответ. Ключевых моментов в данной задаче два:

1. Будьте внимательны при перевороте логарифма, когда аргумент и основание меняются местами. Подобные преобразования накладывают лишние ограничения на область определения.
2. Не бойтесь преобразовывать логарифмы: их можно не только переворачивать, но и раскрывать по формуле суммы и вообще менять по любым формулам, которые вы изучали при решении логарифмических выражений. Однако при этом всегда помните: некоторые преобразования расширяют область определения, а некоторые — сужают.

В общем, при решении сложных логарифмических уравнений обязательно выписывайте исходную область определения. А у меня на сегодня все.:)

Смотрите также:

1. Квадратные уравнения относительно логарифма
2. Преобразование логарифмических неравенств с одинаковым основанием
3. Радианная и градусная мера угла
4. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №3
5. Так сокращать дроби нельзя!
6. Семинар по задачам B10: теория вероятностей

www.berdov.com

Решение логарифмических уравнений (продолжение). Видеоурок. Алгебра 11 Класс

На данном уроке мы продолжим решать разнообразные типовые логарифмические уравнения, рассмотрим уравнения повышенной сложности.

Ключом к решению логарифмических уравнений являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида  (). Здесь t – независимая переменная, а= конкретное число, у – зависимая переменная, функция.

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

Функция монотонна на всей своей области определения. При  монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности). При  монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности). Именно монотонность функции позволяет решать простейшие логарифмические уравнения (т. к. из равенства логарифмов по одному основанию вытекает равенство подлогарифмических выражений ), все остальные логарифмические уравнение сводятся к простейшим:

ОДЗ заданного уравнения определяется системой. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:

Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство, чтобы соблюсти ОДЗ.

Имеем смешанную систему. Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.

Напомним методику решения простейших логарифмических уравнений:

Уравнять основания логарифмов;

Приравнять подлогарифмические функции;

Выполнить проверку.

Перейдем к решению примеров.

Пример 1 – решить уравнение:

Отметим ОДЗ: (т. к. х стоит под логарифмом и в основании логарифма)

Нам известно следующее свойство логарифма:

Получаем:

Приведем подобные:

Сократим численный множитель

Преобразуем согласно определению логарифма:

Пример 2 – решить показательное уравнение:

Способ 1 (по определению логарифма):

Способ 2 (прологарифмировать обе части):

Рекомендация – если неизвестное находится в показателе, то часто применяется такой способ решения. Но нужно обратить внимание на вопрос – можно ли в данном случае логарифмировать? В заданном примере и левая, и правая части строго положительны, поэтому имеем право записать:

Вынесем показатель степени как сомножитель согласно свойству логарифма:

Упростим:

Способ 3 (уравнять основания в показательном уравнении):

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

Пример 3 – решить показательно-степенное уравнение:

Укажем ОДЗ:

Теперь имеем право прологарифмировать обе части. Выбираем основание логарифма 2, т. к. такое основание уже представлено в уравнении:

Вынесем показатели степени как сомножители:

Упростим правую часть:

Введем замену переменых:

Получаем:

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

Получили квадратное уравнение, согласно теореме Виета, имеем корни:

Вернемся к исходным переменным:

Ответ:  или

Пример 4 – решить уравнение:

ОДЗ:

Вынесем показатель степени как сомножитель, при этом используем модуль, чтобы не исказить область определения:

Раскроем модуль, учитывая ОДЗ:

Приведем подобные:

Ответ:

Итак, мы рассмотрели решение более сложных типовых логарифмических уравнений. Далее перейдем к изучению логарифмических неравенств.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Reshit.ru (Источник).
2. Egesdam.ru (Источник).
3. Math.md (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 518–520;

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение:

interneturok.ru

Простейшие логарифмические уравнения

18 сентября 2013

Сегодня мы научимся решать самые простые логарифмические уравнения, где не требуются предварительные преобразования и отбор корней. Но если научиться решать такие уравнения, дальше будет намного проще.

Простейшее логарифмическое уравнение — это уравнение вида log_a f (x) = b, где a, b — числа (a > 0, a ≠ 1), f (x) — некоторая функция.

Отличительная особенность всех логарифмических уравнений — наличие переменной x под знаком логарифма. Если изначально в задаче дано именно такое уравнение, оно называется простейшим. Любые другие логарифмические уравнения сводятся к простейшим путем специальных преобразований (см. «Основные свойства логарифмов»). Однако при этом надо учитывать многочисленные тонкости: могут возникнуть лишние корни, поэтому сложные логарифмические уравнения будут рассмотрены отдельно.

Как решать такие уравнения? Достаточно заменить число, стоящее справа от знака равенства, логарифмом по тому же основанию, что и слева. Затем можно избавиться от знака логарифма. Получим:

log_a f (x) = b ⇒ log_a f (x) = log_a a ^b ⇒ f (x) = a ^b

Получили обычное уравнение. Его корни являются корнями исходного уравнения.

Вынесение степеней

Зачастую логарифмические уравнения, которые внешне выглядят сложно и угрожающе, решаются буквально в пару строчек без привлечения сложных формул. Сегодня мы рассмотрим именно такие задачи, где все, что от вас потребуется — аккуратно свести формулу к канонической форме и не растеряться при поиске области определения логарифмов.

Сегодня, как вы уже наверняка догадались из названия, мы будем решать логарифмические уравнения по формулам перехода к канонической форме. Основной «фишкой» данного видеоурока будет работа со степенями, а точнее, вынесение степени из основания и аргумента. Давайте рассмотрим правило:

Аналогичным образом можно вынести степень и из основания:

Как видим, если при вынесении степени из аргумента логарифма у нас просто появляется дополнительный множитель спереди, то при вынесении степени из основания — не просто множитель, а перевернутый множитель. Это нужно помнить.

Наконец, самое интересное. Данные формулы можно объединить, тогда мы получим:

Разумеется, при выполнении данных переходов существуют определенные подводные камни, связанные с возможным расширением области определения или, наоборот, сужением области определения. Судите сами:

log₃x ² = 2 ∙ log₃x

Если в первом случае в качестве x могло стоять любое число, отличное от 0, т. е. требование x ≠ 0, то во втором случае нас устроят лишь x, которые не только не равны, а строго больше 0, потому что область определения логарифма состоит в том, чтобы аргумент был строго больше 0. Поэтому напомню вам замечательную формулу из курса алгебры 8—9 класса:

То есть, мы должны записать нашу формулу следующим образом:

log₃x ² = 2 ∙ log₃ |x|

Тогда никакого сужения области определения не произойдет.

Однако в сегодняшнем видеоуроке никаких квадратов не будет. Если вы посмотрите на наши задачи, то увидите только корни. Следовательно, применять данное правило мы не будем, однако его все равно необходимо держать в голове, чтобы в нужный момент, когда вы увидите квадратичную функцию в аргументе или основании логарифма, вы вспомните это правило и все преобразования выполните верно.

Итак, первое уравнение:

Для решения такой задачи предлагаю внимательно посмотреть на каждое из слагаемых, присутствующих в формуле.

Давайте перепишем первое слагаемое в виде степени с рациональным показателем:

Смотрим на второе слагаемое: log₃ (1 − x). Здесь делать ничего не нужно, здесь все уже преобразовании.

Наконец, 0, 5. Как я уже говорил в предыдущих уроках, при решении логарифмических уравнений и формул очень рекомендую переходить от десятичных дробей к обычным. Давайте так и сделаем:

0,5 = 5/10 = 1/2

Перепишем наше исходную формулу с учетом полученных слагаемых:

log₃ (1 − x) = 1

Теперь переходим к канонической форме:

log₃ (1 − x) = log₃ 3

Избавляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы:

1 − x = 3

−x = 2

x = −2

Все, мы решили уравнение. Однако давайте все-таки подстрахуемся и найдем область определения. Для этого вернемся к исходной формуле и посмотрим:

1 − x > 0

−x > −1

x < 1

Наш корень x = −2 удовлетворяет это требование, следовательно, x = −2 является решением исходного уравнения. Вот теперь мы получили строгое четкое обоснование. Все, задача решена.

Переходим ко второй задаче:

Давайте разбираться с каждым слагаемым отдельно.

Выписываем первое:

Первое слагаемое мы преобразовали. Работаем со вторым слагаемым:

Наконец, последнее слагаемое, которое стоит справа от знака равенства:

Подставляем полученные выражения вместо слагаемых в полученной формуле:

log₃x = 1

Переходим к канонической форме:

log₃x = log₃ 3

Избавляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы, и получаем:

x = 3

Опять же, давайте на всякий случай подстрахуемся, вернемся к исходному уравнению и посмотрим. В исходной формуле переменная x присутствует только в аргументе, следовательно,

x > 0

Во втором логарифме x стоит под корнем, но опять же в аргументе, следовательно, корень должен быть больше 0, т. е. подкоренное выражение должно быть больше 0. Смотрим на наш корень x = 3. Очевидно, что он удовлетворяет это требование. Следовательно, x = 3 является решением исходного логарифмического уравнения. Все, задача решена.

Ключевых моментов в сегодняшнем видеоуроке два:

1) не бойтесь преобразовывать логарифмы и, в частности, не бойтесь выносить степени за знак логарифма, при этом помните нашу основную формулу: при вынесении степени из аргумента она выносится просто без изменений как множитель, а при вынесении степени из основания эта степень переворачивается.

2) второй момент связан с само канонической формой. Переход к канонической форме мы выполняли в самом конце преобразования формулы логарифмического уравнения. Напомню следующую формулу:

a = log_b b ^a

Разумеется, под выражением «любое число b», я подразумеваю такие числа, которые удовлетворяют требования, накладываемые на основание логарифма, т. е.

1 ≠ b > 0

Вот при таких b, а поскольку основание у нас уже известно, то это требование будет выполняться автоматически. Но при таких b — любых, которые удовлетворяют данное требование — данный переход может быть выполнен, и у нас получится каноническая форма, в которой можно избавиться от знака логарифма.

Расширение области определения и лишние корни

В процессе преобразования логарифмических уравнений может произойти неявное расширение области определения. Зачастую ученики этого даже не замечают, что приводит к ошибкам и неправильным ответам.

Начнем с простейших конструкций. Простейшим логарифмическим уравнением называется следующее:

log_af(x) = b

Обратите внимание: x присутствует лишь в одном аргументе одного логарифма. Как мы решаем такие уравнения? Используем каноническую форму. Для этого представляем число b = log_aa^b, и наше уравнение перепишется в следующем виде:

log_af(x) = log_aa^b

Данная запись называется канонической формой. Именно к ней следует сводить любое логарифмическое уравнение, которое вы встретите не только в сегодняшнем уроке, но и в любой самостоятельной и контрольной работе.

Как прийти к канонической форме, какие приемы использовать — это уже вопрос практики. Главное понимать: как только вы получите такую запись, можно считать, что задача решена. Потому что следующим шагом будет запись:

f(x) = a^b

Другими словами, мы избавляемся от знака логарифма и просто приравниваем аргументы.

К чему весь этот разговор? Дело в том, что каноническая форма применима не только к простейшим задачам, но и к любым другим. В частности и к тем, которые мы будем решать сегодня. Давайте посмотрим.

Первая задача:

В чем проблема данного уравнения? В том, что функция стоит сразу в двух логарифмах. Задачу можно свести к простейшей, просто вычтя один логарифм из другого. Но возникают проблемы с областью определения: могут появиться лишние корни. Поэтому давайте просто перенесем один из логарифмов вправо:

Вот такая запись уже гораздо больше похожа на каноническую форму. Но есть еще один нюанс: в канонической форме аргументы должны быть одинаковы. А у нас слева стоит логарифм по основанию 3, а справа — по основанию 1/3. Знаит, нужно привести эти основания к одному и тому же числу. Например, вспомним, что такое отрицательные степени:

1/3 = 3⁻¹

А затем воспользуемся вынесем показатель «−1» за пределы log в качестве множителя:

Обратите внимание: степень, которая стояла в основании, переворачивается и превращается в дробь. Мы получили почти каноническую запись, избавившись от разных оснований, но взамен получили множитель «−1» справа. Давайте внесем этот множитель в аргумент, превратив его в степень:

Разумеется, получив каноническую форму, мы смело зачеркиваем знак логарифма и приравниваем аргументы. При этом напомню, что при возведении в степень «−1» дробь просто переворачивается — получается пропорция.

Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее крест-накрест:

(x− 4) (2x− 1) = (x− 5) (3x− 4)

2x² − x− 8x + 4 = 3x² − 4x− 15x + 20

2x² − 9x + 4 = 3x² − 19x + 20

x² − 10x + 16 = 0

Перед нами приведенное квадратное уравнение, поэтому решаем его с помощью формул Виета:

(x − 8)(x − 2) = 0

x₁ = 8; x₂ = 2

Вот и все. Думаете, уравнение решено? Нет! За такое решение мы получим 0 баллов, потому что в исходном уравнении присутствуют сразу два логарифма с переменной x. Поэтому требуется учесть область определения.

И здесь начинается самое веселое. Большинство учеников путаются: в чем состоит область определения логарифма? Разумеется, все аргументы (у нас их два) должны быть больше нуля:

(x− 4)/(3x− 4) > 0

(x− 5)/(2x− 1) > 0

Каждое из этих неравенств нужно решить, отметить на прямой, пересечь — и только потом посмотреть, какие корни лежат на пересечении.

Скажу честно: такой прием имеет право на существование, он надежный, и вы получите правильный ответ, однако в нем слишком много лишних действий. Поэтому давайте еще раз пройдемся по нашему решению и посмотрим: где именно требуется применить область определения? Другими словами, нужно четно понимать, когда именно возникают лишние корни.

1. Изначально у нас было два логарифма. Потом мы перенесли один из них вправо, но на область определения это не повлияло.
2. Затем мы выносим степень из основания, но логарифмов все равно остается два, и в каждом из них присутствует переменная x.
3. Наконец, мы зачеркиваем знаки log и получаем классическое дробно-рациональное уравнение.

Именно на последнем шаге происходит расширение области определения! Как только мы перешли к дробно-рациональному уравнению, избавившись от знаков log, требования к переменной xрезко поменялись!

Следовательно, область определения можно считать не в самом начале решения, а только на упомянутом шаге — перед непосредственным приравниваем аргументов.

Здесь-то и кроется возможность для оптимизации. С одной стороны, от нас требуется, чтобы оба аргумента были больше нуля. С другой — далее мы приравниваем эти аргументы. Следовательно, если хотя бы один и них будет положителен, то и второй тоже окажется положительным!

Вот и получается, что требовать выполнение сразу двух неравенств — это излишество. Достаточно рассмотреть лишь одну из этих дробей. Какую именно? Та, которая проще. Например, давайте разберемся с правой дробью:

(x− 5)/(2x− 1) > 0

Это типичное дробно-рациональное неравенство, решаем его методом интервалов:

Как расставить знаки? Возьмем число, заведомо большее всех наших корней. Например 1 млрд. И подставляем его дробь. Получим положительное число, т.е. справа от корня x = 5 будет стоять знак «плюс».

Затем знаки чередуются, потому что корней четной кратности нигде нет. Нас интересуют интервалы, где функция положительна. Следовательно, x∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Теперь вспоминаем про ответы: x = 8 и x = 2. Строго говоря, это еще не ответы, а лишь кандидаты на ответ. Какой из них принадлежит указанному множеству? Конечно, x = 8. А вот x = 2 нас не устраивает по области определения.

Итого ответом к первому логарифмическому уравнению будет x = 8. Вот теперь мы получили грамотное, обоснованное решение с учетом области определения.

Переходим ко второму уравнению:

log₅ (x − 9) = log_0,5 4 − log₅ (x − 5) + 3

Напоминаю, что если в уравнении присутствует десятичная дробь, то от нее следует избавиться. Другими словами, перепишем 0,5 в виде обычной дроби. Сразу замечаем, что логарифм, содержащий это основание, легко считается:

Это очень важны момент! Когда у нас и в основании, и в аргументе стоят степени, мы можем вынести показатели этих степеней по формуле:

Возвращаемся к нашему исходному логарифмическому уравнению и переписываем его:

log₅ (x− 9) = 1 − log₅ (x− 5)

Получили конструкцию, довольно близкую к канонической форме. Однако нас смущают слагаемые и знак «минус» справа от знака равенства. Давайте представим единицу как логарифм по основанию 5:

log₅ (x − 9) = log₅ 5¹ − log₅ (x − 5)

Вычтем логарифмы справа (при этом их аргументы делятся):

log₅(x − 9) = log₅ 5/(x− 5)

Прекрасно. Вот мы и получили каноническую форму! Зачеркиваем знаки logи приравниваем аргументы:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Это пропорция, которая легко решается умножением крест-накрест:

(x − 9)(x − 5) = 5¹

x² − 9x − 5x + 45 = 5

x² − 14x + 40 = 0

Очевидно, перед нами приведенное квадратное уравнение. Оно легко решается с помощью формул Виета:

(x − 10)(x − 4) = 0

x₁ = 10

x₂ = 4

Мы получили два корня. Но это не окончательные ответы, а лишь кандидаты, потому что логарифмическое уравнение требует еще и проверки области определения.

Напоминаю: не надо искать, когда каждый из аргументов будет больше нуля. Достаточно потребовать, чтобы один аргумент — либо x − 9, либо 5/(x − 5) — был больше нуля. Рассмотрим первый аргумент:

x − 9 > 0

x > 9

Очевидно, что этому требованию удовлетворяет лишь x = 10. Это и есть окончательный ответ. Все задача решена.

Еще раз ключевые мысли сегодняшнего урока:

1. Как только переменная x появляется в нескольких логарифмах, уравнение перестает быть элементарным, и для него придется считать область определения. Иначе можно запросто записать в ответ лишние корни.
2. Работу с самой областью определения можно существенно упростить, если выписывать неравенство не сразу, а ровно в тот момент, когда мы избавляемся от знаков log. Ведь когда аргументы приравниваются друг к другу, достаточно потребовать, чтобы больше нуля был лишь один из них.

Разумеется, мы сами выбираем, из какого аргумента составлять неравенство, поэтому логично выбирать самый простой. Например, во втором уравнении мы выбрали аргумент (x − 9) —линейную функцию, в противовес дробно-рациональному второму аргументу. Согласитесь, решать неравенство x − 9 > 0 значительно проще, чем 5/(x − 5) > 0. Хотя результат получается один и тот же.

Данное замечание существенно упрощает поиск ОДЗ, но будьте внимательны: использовать одно неравенство вместо двух можно только том случае, когда аргументы именно приравниваются друг к другу!

Конечно, кто-то сейчас спросит: а что, бывает по-другому? Да, бывает. Например, в самом шаге, когда мы перемножаем два аргумента, содержащие переменную, заложена опасность возникновения лишних корней.

Судите сами: сначала требуется, чтобы каждый из аргументов был больше нуля, но после перемножения достаточно, чтобы их произведение было больше нуля. В результате упускается случай, когда каждая из этих дробей отрицательна.

Поэтому если вы только начинаете разбираться со сложными логарифмическими уравнениями, ни в коем случае не перемножайте логарифмы, содержащие переменную x — уж слишком часто это приведет к возникновению лишних корней. Лучше сделайте один лишний шаг, перенесите одно слагаемое в другую сторону составьте каноническую форму.

Ну, а как поступать в том случае, если без перемножения таких логарифмов не обойтись, мы обсудим в следующем видеоуроке.:)

Еще раз о степенях в уравнении

Сегодня мы разберем довольно скользкую тему, касающуюся логарифмических уравнений, а точнее — вынесение степеней из аргументов и оснований логарифмов.

Я бы даже сказал, речь пойдет о вынесении четных степеней, потому что именно с четными степенями возникает большинство затруднений и при решении реальных логарифмических уравнений.

Начнем с канонической формы. Допустим, у нас есть уравнение вида log_af(x) = b. В этом случае мы переписываем число b по формуле b = log_aa^b. Получается следующее:

log_af(x) = log_aa^b

Затем мы приравниваем аргументы:

f(x) = a^b

Канонической формой называется предпоследняя формула. Именно к ней стараются свести любое логарифмическое уравнение, каким бы сложным и страшным оно не казалось на первый взгляд.

Вот давайте и попробуем. Начнем с первой задачи:

Предварительное замечание: как я уже говорил, все десятичные дроби в логарифмическом уравнении лучше перевести ее в обычные:

0,001 = 1/1000

0,5 = 5/10 = 1/2

Перепишем наше уравнение с учетом этого факта. Заметим, что и 1/1000, и 100 являются степенью десятки, а затем вынесем степени отовсюду, где они есть: из аргументов и даже из основания логарифмов:

И вот здесь у многих учеников возникает вопрос: «Откуда справа взялся модуль?» Действительно, почему бы не написать просто (х − 1)? Безусловно, сейчас мы напишем (х − 1), но право на такую запись нам дает учет области определения. Ведь в другом логарифме уже стоит (х − 1), и это выражение должно быть больше нуля.

Но когда мы выносим квадрат из основания логарифма, мы обязаны оставить в основании именно модуль. Поясню почему.

Дело в том, что с точки зрения математики вынесение степени равносильно извлечению корня. В частности, когда из выражения (x− 1)² выносится квадрат, мы по сути извлекаем корень второй степени. Но корень из квадрата — это не что иное как модуль. Именно модуль, потому что даже если выражение х − 1 будет отрицательным, при возведении в квадрат «минус» все равно сгорит. Дальнейшее извлечение корня даст нам положительное число — уже без всяких минусов.

В общем, чтобы не допускать обидных ошибок, запомните раз и навсегда:

Корень четной степени из любой функции, которая возведена в эту же степень, равен не самой функции, а ее модулю:

Возвращаемся к нашему логарифмическому уравнению. Говоря про модуль, я утверждал, что мы можем безболезненно снять его. Это правда. Сейчас объясню почему. Строго говоря, мы обязаны были рассмотреть два варианта:

1. x− 1 > 0 ⇒ |х − 1| = х − 1
2. x − 1 < 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Каждый из этих вариантов нужно было бы решить. Но есть одна загвоздка: в исходной формуле уже присутствует функция (х − 1) без всякого модуля. И следуя области определения логарифмов, мы вправе сразу записать, что х − 1 > 0.

Это требование должно выполняться независимо от всяких модулей и других преобразований, которые мы выполняем в процессе решения. Следовательно, второй вариант рассматривать бессмысленно — он никогда не возникнет. Даже если при решении этой ветки неравенства мы получим какие-то числа, они все равно не войдут в окончательный ответ.

В общем, можно считать, что |х − 1| = х − 1. Тогда наше уравнение перепишется в следующем виде:

Теперь мы буквально в одном шаге от канонической формы логарифмического уравнения. Давайте представим единицу в следующем виде:

1 = log_{x − 1} (x− 1)¹

Кроме того, внесем множитель −4, стоящий справа, в аргумент:

log_{x − 1} 10⁻⁴ = log_{x − 1} (x− 1)

Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения. Избавляемся от знака логарифма:

10⁻⁴ = x− 1

Но поскольку в основании стояла функция (а не простое число), дополнительно потребуем, чтобы эта функция была больше нуля и не равна единице. Получится система:

Поскольку требование х − 1 > 0 выполняется автоматически (ведь х − 1 = 10⁻⁴), одно из неравенств можно вычеркнуть из нашей системы. Второе условие также можно вычеркнуть, потому что х − 1 = 0,0001 < 1. Итого получаем:

х = 1 + 0,0001 = 1,0001

Это единственный корень, который автоматически удовлетворяет всем требованиям области определения логарифма (впрочем, все требования были отсеяны как заведомо выполненные в условиях нашей задачи).

Итак, второе уравнение:

3 log_3xx = 2 log_9xx²

Чем это уравнение принципиально отличается от предыдущего? Уже хотя бы тем, что основания логарифмов — 3х и 9х — не являются натуральными степенями друг друга. Следовательно, переход, который мы использовали в предыдущем решении, невозможен.

Давайте хотя бы избавимся от степеней. В нашем случае единственная степень стоит во втором аргументе:

3 log_3xx = 2 ∙ 2 log_9x|x|

Впрочем, знак модуля можно убрать, ведь переменная х стоит еще и в основании, т.е. х > 0 ⇒ |х| = х. Перепишем наше логарифмическое уравнение:

3 log_3xx = 4 log_9xx

Получили логарифмы, в которых одинаковые аргументы, но разные основания. Как поступить дальше? Вариантов тут множество, но мы рассмотрим лишь два из них, которые наиболее логичны, а самое главное — это быстрые и понятные приемы для большинства учеников.

Первый вариант мы уже рассматривали: в любой непонятной ситуации переводите логарифмы с переменным основанием к какому-нибудь постоянному основанию. Например, к двойке. Формула перехода проста:

Разумеется, в роли переменной с должно выступать нормальное число: 1 ≠ c > 0. Пусть в нашем случае с = 2. Теперь перед нами обычное дробно-рациональное уравнение. Собираем все элементы слева:

Очевидно, что множитель log₂x лучше вынести, поскольку он присутствует и в первой, и во второй дроби.

Дальше все просто. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

log₂x = 0;

х = 1;

3 log₂ 9х = 4 log₂ 3x

Разбиваем каждый log на два слагаемых:

log₂ 9х = log₂ 9 + log₂x = 2 log₂ 3 + log₂ x;

log₂ 3x = log₂ 3 + log₂x

Перепишем обе части равенства с учетом этих фактов:

3 (2 log₂ 3 + log₂x) = 4 (log₂ 3 + log₂x)

6 log₂ 3 + 3 log₂x = 4 log₂ 3 + 4 log₂x

2 log₂ 3 = log₂x

Теперь осталось внести двойку под знак логарифма (она превратится в степень: 3² = 9):

log₂ 9 = log₂x

Перед нами классическая каноническая форма, избавляемся от знака логарифма и получаем:

х = 9

Как и предполагалось, этот корень оказался больше нуля. Осталось проверить область определения. Посмотрим на основания:

3х ≠ 1

9х ≠ 1

Но корень x = 9 удовлетворяет этим требованиям. Следовательно, он является окончательным решением.

Вывод из данного решения просто: не пугайтесь длинных выкладок! Просто в самом начале мы выбрали новое основание наугад — и это существенно усложнило процесс.

Но тогда возникает вопрос: какое же основание является оптимальным? Об этом я расскажу во втором способе.

Давайте вернемся к нашему исходному уравнению:

3 log_3xx = 2 log_9xx²

3 log_3xx = 2 ∙ 2 log_9x |x|

х > 0 ⇒ |х| = х

3 log_3xx = 4 log_9xx

Теперь немного подумаем: какое число или функция будет оптимальным основанием? Очевидно, что лучшим вариантом будет с = х — то, что уже стоит в аргументах. В этом случае формула log_ab = log_cb/log_ca примет вид:

Другими словами, выражение просто переворачивается. При этом аргумент и основание меняется местами.

Эта формула очень полезна и очень часто применяется при решении сложных логарифмических уравнений. Однако при использовании этой формулы возникает один очень серьезный подводный камень. Если вместо основания мы подставляем переменную х, то на нее накладываются ограничения, которых ранее не наблюдалось:

0 < х ≠ 1

Такого ограничения в исходном уравнении не было. Поэтому следует отдельно проверить случай, когда х = 1. Подставим это значение в наше уравнение:

3 log₃ 1 = 4 log₉ 1

0 = 0

Получаем верное числовое равенство. Следовательно, х = 1 является корнем. Точно такой же корень мы нашли в предыдущем методе в самом начале решения.

А вот теперь, когда мы отдельно рассмотрели этот частный случай, смело полагаем, что х ≠ 1. Тогда наше логарифмическое уравнение перепишется в следующем виде:

3 log_x 9x = 4 log_x 3x

Раскладываем оба логарифма по той же формуле, что и раньше. При этом заметим, что log_xx = 1:

3 (log_x 9 + log_xx) = 4 (log_x 3 + log_xx)

3 log_x 9 + 3 = 4 log_x 3 + 4

3 log_x 3² − 4 log_x 3 = 4 − 3

2 log_x 3 = 1

Вот мы и пришли к канонической форме:

log_x 9 = log_xx¹

x = 9

Получили второй корень. Он удовлетворяет требованию х ≠ 1. Следовательно, х = 9 наравне с х = 1 является окончательным ответом.

Как видим, объем выкладок немножко сократился. Но при решении реального логарифмического уравнения количество действий будет намного меньше еще и потому, что от вас не требуется столь подробно расписывать каждый шаг.

Ключевое правило сегодняшнего урока состоит в следующем: если в задаче присутствует четная степень, из которой извлекают корень такой же степени, то на выходе мы получи модуль. Однако этот модуль можно убрать, если обратить внимание на область определения логарифмов.

Но будьте внимательны: большинство учеников после этого урока считают, что им все понятно. Но при решении реальных задач они не могут воспроизвести всю логическую цепочку. В результате уравнение обрастает лишними корнями, а ответ получается неправильным.

Поэтому обязательно практикуйтесь: скачивайте задачи для самостоятельной работы, решайте их и сравнивайте с ответами. А у меня на сегодня все.:)

Смотрите также:

1. Логарифмические уравнения: несколько видеоуроков по теме
2. Квадратные уравнения относительно логарифма
3. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
4. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №2
5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 4 вариант
6. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции

www.berdov.com

Логарифмические неравенства, примеры решений

Теория по логарифмическим неравенствам

Решение логарифмических неравенств основывается на свойстве монотонности логарифмической функции: функция монотонно возрастает, если , и монотонно убывает, если . При этом учитывается, что подлогарифмическое выражение может принимать только положительные значения. Таким образом, для неравенства вида

при потенцировании, для значений знак неравенства сохраняется; а для значений , меняется на противоположный.

В случае если переменная содержится и в основании, и в подлогарифмическом выражении, например , решение разбивается два случая, когда и, когда , то есть

Так же некоторые логарифмические неравенства можно решить методом замены переменной.

Примеры

ru.solverbook.com

Производные логарифмов и логарифмическое дифференцирование

Что можно сказать о производной логарифмической функции y = lnx на основании таблицы производных? Можно сказать, что она существует и выражается формулой

                    (1)

Однако в большинстве задач математического анализа, с которыми придётся столкнуться в дальнейшем, присутствует сложная логарифмическая функция. Она вычисляется несколько иначе.

В случае сложной логарифмической функции y = lnu, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (1) примет вид

               (2)

Пользуясь формулой (2), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть

В результате применения свойств логарифмов:

Так как — постоянный множитель, то

или

                    (3)

Если функция дана в виде

,

то перед тем, как находить её производную, часто бывает выгодно прологарифмировать эту функцию.

Это прежде всего случаи, когда требуется найти производную произведения или частного функций, а также степенной функции, когда основание и степень — функции.

На основании свойств сложных функций доказано, что производная функции, вид которой приведён выше, может быть найдена по формуле

.

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Логарифмируем обе части равенства и находим:

Решение. Окончательно находим производную данной функции:

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Логарифмируем обе части равенства:

Дифференцируем:

Выражаем и находим производную данной функции:

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

function-x.ru

Логарифмические уравнения на примерах

Логарифмическими называются уравнения содержащие неизвестную величину под знаком логарифма или в основании логарифма (или в обоих местах одновременно). Их легко свести к квадратным или степенным уравнениям относительно переменной если знать свойства логарифма. Например, логарифмическими будут следующие уравнения

Необходимо отметить что во время решения логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений ( ОДЗ ) : под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основе логарифмов — положительные, отличные от единицы. Однако нахождения ОДЗ порой может быть очень громоздким и на практике имеем возможность или искать ОДЗ, или сделать проверку подстановкой корней уравнения.

Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида

Его решение вычисляется потенцированием (нахождение числа или выражения по его логарифму)

В некоторых случаях, решая логарифмические уравнения, целесообразно производить замену переменной. Например в уравнении

удобно сделать замену и мы приходим к квадратному уравнению. Причем оба корни этого квадратного уравнения можно подставить в замену чтобы найти подходящее х.

Стоит запомнить что десятичный логарифм от единицы со следующими нулями равно количеству нулей в записи этого числа.

Для десятичного логарифма от единицы с предыдущими нулями правило подобное. Он равен количеству всех нулей в записи этого числа, включая и ноль целых, взятых со знаком минус. Для примера

На этом необходимый теоретический материал рассмотрен и можно переходить к рассмотрению практических примеров. Внимательно рассмотрите их решения это позволит усвоить некоторые правила логарифмов и увеличит практическую базу, которая пригодится при прохождении ВНО , контрольных, тестах и т.д.

Пример 1. Решить уравнение.

Решение. Используя свойство логарифмов переписываем уравнение в виде

Делаем замену

и переписываем

Умножаем на переменную и записываем в виде квадратного уравнения

Вычисляем дискриминант

Корни уравнения приобретут значения

Возвращаемся к замене и находим


Уравнение имеет два решения

Пример 2. Решить уравнение.

Решение. Раскрываем скобки и записываем в виде суммы логарифмов

Учитывая что уравнение примет вид

Переносим слагаемое за знаком равенства в правую сторону


Оба множители приравниваем к нулю и находим

Пример 3. Решить уравнение.

Решение. Перепишем правую сторону в виде квадрата и прологарифмируем по основанию 10 обе части уравнения

делаем замену

и сводим уравнение к квадратному

Дискриминант такого уравнения принимает нулевое значение — уравнение имеет два одинаковых решения

Возвращаемся к замене которую делали выше

Пример 4. Решить уравнение.

Решение. Выполним некоторые преобразования с слагаемыми уравнения



Логарифмическое уравнение упростится до следующего

Поскольку логарифмы имеют одинаковые основания то значение под знаком логарифма тоже равны. На основе этого имеем

Расписываем и решаем с помощью дискриминанта



Второй корень не может быть решением, поскольку никакое положительное число при возведены в степени не даст в результате -1. Итак x=2 – единственное решение уравнения.

Пример 5. Найти решение уравнения .

Решение. Выполняем упрощения уравнения




По свойству переходим ко второй основы во втором логарифме



По правилу логарифмирования имеем

Сводим уравнение к квадратному и решаем его


Дискриминант равен нулю, следовательно имеем один корень кратности два

Пример 6. Найти решение уравнения.

Решение. Заданное уравнение и подобные ему решаются путем сведения к общей основе. Для этого преобразуем правую сторону уравнения к виду

и подставим в уравнение

Поскольку основы логарифмов ровны переходим до показательного уравнения

Выполняем замену и сводим к квадратному уравнению



Возвращаемся к замене и вычисляем

Пример 7. Найти решение уравнения.

Решение. Не пугайтесь подобных задач, если делать все по правилам то решение получается без труда. Забегая вперед скажу что корни в скобках к примеру отношения не имеют. Они для того чтобы напугать простых математиков.
Упростим сначала второй логарифм

Дальше выполняем подстановку и сведения слагаемых под один логарифм

Приравниваем к правой части уравнения и упрощаем




Как видите — решение оказалось проще чем выглядело до решения, а результат x=100 только подтверждает это.

При решении логарифмических уравнений важно хорошо знать свойства логарифмов. Все остальные действия сводятся, как правило, к решению квадратных уравнений или степенных зависимостей относительно неизвестных. Поэтому практикуйте самостоятельно и не имейте проблем с логарифмическими уравнениями.

yukhym.com

Логарифмы и их свойства: определение и алгоритм решения

Рассмотрим уравнение a^x = b, при a > 0 и a не равном единице. Это уравнение не имеет решений при b меньшем либо равным нулю. И имеет единственное решение при b > 0. Данное решение называют логарифмом b по основанию a b и обозначают следующим образом:

3.4. Решение примера

3.4.1. Дана структурная схема, которая изображена на рис.3.1. Требуется, пользуясь критерием устойчивости Рауса-Гурвица:

а) исследовать устойчивость системы при К = 10 с ^-1 ;

б) определить критическое значение К _кр общего коэффициента усиления разомкнутой системы.

X(p)

Y(p)

+

Рис.3.1

Решение

Исследование устойчивости системы при К = 10 1/с :

а) определение характеристического полинома А(p) и проверка положительности коэффициентов а _i :

;

A(p) = p (p + 1) ² (0,2 p + 1) + K (2 p +1) = 0,2 p ⁴ + 1,4 p ³ + 2,2 p ² + p (1 + 2K) + K ;

а ₀ = K = 10 > 0 ; а ₁ = 1 + 2K = 21 > 0 ; а ₂ = 2,2 > 0 ; а ₃ = 1,4 >0 ; а ₄ = 0,2 > 0;

б) исследование устойчивости системы, составление определителя Гурвица :

Для системы 4-го порядка справедливо следующее неравенство :

а ₃ (а ₁ а ₂ — а ₀а ₃) — а ₄а ₁² > 0 ,

1,4 (21  2,2 — 10  1,4) — 0,2  441 > 0 ; — 43,12 > 0,

что несправедливо. Это значит, что система неустойчива при К = 10 1/с .

Определение К _кр.Определяется из условия равенства нулю определителя или известного неравенства (для системы с 1-го по 4-й порядок характеристического полинома). К _кр = 4,975 1/с.

а ₃ (а ₁ а ₂ — а ₀а ₃) — а ₄а ₁² = 0.

1,4 [(1+2K)  2,2 — 1,4  K] — 0,2 (1 + 2 K) ² = 2,88 + 3,4 K — 0,8 K ² = 0 .

3.4.2. Исследовать на устойчивость систему автоматического регулирования по критерию Рауса -Гурвица и построить области устойчивости по двум параметрам, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид : .

Решение

Характеристическое уравнение найдем с помощью выражения :

;

;

A(p) = T₁ T₂ p³ + (T₁ + T₂ ) p² + p + K = 0,

откуда получим

.

Из этого выражения найдем определители Гурвица

; ; ₃ =   ₂ .

Отсюда условия устойчивости будут:

; ; .

Так как Т₁ > 0, T₂ > 0, K > 0 , то остается одно условие устойчивости

, которое сводится к неравенству .

С помощью неравенства построим границу устойчивости системы по параметрам К и Т₁ при Т₂ = 0,5 с (см.рис.3.2, а) ; К и Т₂ при Т₁ = 0,005 с (см.рис.3.2, б). На этих рисунках области устойчивости заштрихованы.

а) б)

Рис.3.2

3.5.Частотный критерий устойчивости Найквиста

Данный критерий позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы, структурная схема которой имеет вид, показанный на рис.3.3, по годографу частотной характеристики разомкнутой системы:

.

X(p)

Y(p)

Рис.3.3

Предположим, что разомкнутая система устойчива. Тогда частотный критерий Найквиста формулируется следующим образом: если разомкнутая система устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы при изменении  от 0 до  не охватывал точку с координатами (- 1; j0) (см.рис.3.4).

Рис.3.4

Если годограф АФХ проходит через точку (- 1; j0) , то система находится на границе устойчивости. Годограф АФХ разомкнутой системы , содержащий интегрирующие звенья, при 0 уходит в бесконечность вдоль одной из осей. В этом случае для определения устойчивости по критерию Найквиста, необходимо дополнить годограф АФХ дугой достаточно большого радиуса, как показано на рис.3.5 пунктирной линией. Дугу следует вести от АФХ до вещественной оси против часовой стрелки. Формулировка критерия в этом случае остается неизменной.

При определении устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, частотный критерий Найквиста формулируется следующим образом: для того, чтобы система , устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно при положительных значениях логарифмической амплитудной частотной характеристики разность числа переходов логарифмической фазовой частотной характеристики через ось —  сверху вниз и снизу вверх была равна нулю, или должно выполняться условие  _с <  _{— } (см.рис.3.6).

Рис.3.5 Рис.3.6

Устойчивые системы обладают запасами устойчивости:

по фазе и определяются равенством (рис.3.6)

_з = 180 ⁰ —  ( _c) ,

где  _c — частота среза, на которой L() = 0 [A() = 1];

по амплитуде и определяются равенством (см.рис.3.6)

L _з = — L( _) ,

где  _ — частота, удовлетворяющая условию

( _) = arg W(j  _) = — 180 ⁰ .

studfiles.net

3.4. Решение задачи 4

При разработке модуля программы решения нелинейных уравнений необходимо иметь ввиду следующие пояснения и рекомендации.

Решение нелинейных уравнений вида F(x)=0заключается в поиске одного или всех таких значенийxна интервале [a,b], при подстановке которых функцияF(x)обращается в нуль.

Работу по решению этой задачи целесообразно провести в два этапа.

На первом этапе оценивается характер изменения функции F(x)при изменении аргументаxна интервале [a,b] и проверяется, имеет ли место перемена ее знака (переход через нуль). Количество таких переходов определяет и количество корней.

Рис. 3. Графическое представление функции F(x)

Для этого интервал [a,b] разбивается наnучастков, гдеnпринимается равным 10..15, и вычисляется функцияF(x)на каждом участке, т.е. при измененииxотa доbс шагомh=(b—a)/n.

Из полученной таким образом таблицы будет виден и характер изменения функции, и количество переходов через нуль.

На втором этапе путем последовательных приближений производится поиск корней одним из предлагаемых методов.

Метод итерацийоснован на последовательном задании аргументаxи вычислении по нему функцииF₁(x), причем очередное значениеxприращивается предыдущему значению функцииx(n+1)=F₁(x(n))до тех пор, пока соблюдается условие|x(n+1)-x(n)|>=E. Первоначальное значение аргументаx(первое приближение –x(1)) определяется из таблицы как ближайшее к месту перехода функцииF(x)через нуль. Последнее приближениеxи будет корнем уравнения с точностьюE[8].

Метод половинного деления (дихотомии)состоит в следующем.

1. Определяем начальное значение x=(a+b)/2(как результат деления интервала [a,b] пополам).

2. Вычисляем F(x).

3. Если F(x)>0 иF(a)>0 илиF(x)<0 иF(a)<0(т.е. перемена знака функцииF(x)не произошла), то задаемa=x(т.е. перемещаем левую границу интервала в середину), уменьшая интервал вдвое и исключая при этом левую половину, на которой либо нет корней, либо есть четное число корней, иначе задаемb=x(исключаем правую половину интервала). См. рис. 4.

4. Проверяем условие b—a<E, если оно выполняется, то возвращаемся к п.1. с новыми значениями границ интервала, иначе заканчиваем вычисления и считаем, что последнее значениеx и будет корнем уравнения с заданной точностьюE.

Рис.4. Геометрическое представление метода половинного деления

Метод Ньютона (касательных)основан также на последовательном задании значенийxи вычислении функцииF(x), причем очередное значениеxопределяется формулой:

x(n+1)=x(n)-F(x(n))/F’(x(n)),

где F’(x(n))– производная от функцииF(x)в точкеx(n).

Геометрически производная от F(x), как известно, по величине равна тангенсу угла наклона касательной к кривойF(x)в точкеx. Тогда точкаx(n+1)есть точка пересечения с осью абсцисс касательной к кривойF(x), проведенной в точкеx=x(n). См. рис. 5.

Рис. 5. Геометрическое представление метода Ньютона

Как и в методе итераций, начальное значение xзадается как ближайшее табличное к месту перехода функцииF(x)через нуль.

Выражение для производной F’(x)получают аналитически в результате дифференцирования функцииF(x). Значение производной может быть получено приближенно и численным методом:

F’(x)=(F(x+E)-F(x))/E.

Итерационный процесс приближения к корню (последовательное вычисление x(n+1)) продолжается до тех пор, пока будет выполняться условие|x(n+1)-x(n)|>=E.

Следует иметь ввиду, что при выполнении задания и алгоритм, и программа должны предусматривать оба этапа работы: табулирование функции F(x)с выбором начального приближения и процесс поиска корней с заданной точностью.

studfiles.net

4.3. Решение уравнений состояния методом Гаусса

60

точности. К итерационным методам относится метод простой итерации, метод Зейделя, градиентные методы.

Воснове практически всех прямых методов решения линейных систем -алгебраических уравнений установившихся режимов электрических систем лежит метод Гаусса или его модификации.

4.3.1. Метод Гаусса с обратным ходом

Это наиболее рациональный и распространенный метод решения систем уравнений произвольного порядка, реализующий последовательное исключение переменных и затем последующую подстановку для получения решений.

Решение системы n алгебраических уравнений вида

AX = в

по данному алгоритму состоит из двух этапов. На первом этапе в результате преобразований, заключающихся в исключении всех неизвестных, расположенных ниже главной диагонали, матрица коэффициентов А превращается в верхнюю треугольную, а последнее уравнение оказывается разрешенным относительно неизвестного. На втором этапе определяются все неизвестные системы уравнений.

Рассмотрим применение метода Гаусса на примере системы из трех уравне-

ний:

При исключении по методу Гаусса применяется стандартная операция, которая позволяет упорядочить исключение и получить удобный алгоритм для реализации этого метода на ЭВМ.

Решение состоит в том, что на каждом шаге преобразования системы (число шагов равно (n -1),гдеn — порядок решаемой системы) исключается одна из переменных из всех нижестоящих уравнений системы. Особенностью метода является то, что для проведения операции исключения на каждом шаге используется главный диагональный элемент, каковым является коэффициент при исключаемом неизвестном в главном уравнении, т.е. в уравнении, в котором это неизвестное остается.

Так как главный диагональный элемент входит в коэффициент преобразования в знаменателе, то обязательным условием возможности применения этого метода является неравенство нулю главного диагонального элемента на каждом шаге преобразований. Если все же он оказался равным нулю, то перед выполнением

61

очередного шага уравнения преобразуемой системы должны быть так переставлены, чтобы главный диагональный элемент не оказался нулевым.

Первый шаг. Будем считать, чтоa11 ¹ 0 . Запишем коэффициенты преобразования для каждого уравнения. Первое уравнение является главным, из второго и третьего исключается неизвестноеx1 .

Чтобы исключить из второго уравнения неизвестноеx1 , умножим первое уравне-

ние на коэффициент m2(1) и вычтем результат из второго уравнения:

уравнение на коэффициент m3(1) и результат умножения вычтем из третьего уравнения:

Второй шаг. Аналогичные преобразования производятся при условии, что главным уравнением является второе уравнение, так как будет исключаться второе неизвестное из уравнения ниже второго. Главным элементом будет считаться

элемент a22(1). Операция производится совершенно аналогично первому шагу. По-

скольку рассматривается система из трех уравнений, то преобразованию подвергается только третье уравнение.

Определим коэффициент преобразования для третьего уравнения:

(2 )a(1)

m = 32( ) . 3 a221

Умножим коэффициент m3(2) на второе уравнение и результат умножения вычтем из третьего уравнения:

В результате получим:

62

На этом заканчивается первый этап решения(прямой ход), так как все коэффициенты ниже главной диагонали нулевые.

Обратный ход (второй этап, процесс подстановки):

Для данного метода может быть использована модификация – преобразуются не только ниже стоящие уравнения по отношению к главному, но и само глав-

ное уравнение. В этом случае главный диагональный элемент превращается в единицу.

Рассмотренная последовательность выполнения операций достаточно легко реализуется с помощью ЭВМ.

4.3.2.Метод Гаусса без обратного хода (метод Жордана)

Вотличие от метода Гаусса с обратным ходом, метод Гаусса без обратного хода в процессе реализации прямого хода решения разрешает систему относительно неизвестных, то есть уже к концу прямого хода фактически получается решение системы уравнений, и нет необходимости в обратной подстановке. Реализация этого метода совершенно аналогична методу Гаусса с обратным ходом. Отличие состоит лишь в том, что операции по исключению неизвестных ведутся не только с элементами, стоящими ниже диагонали, но и с элементами, стоящими выше диагонали.

Как и в методе Гаусса с обратным ходом, необходимым условием является неравенство нулю главного диагонального элемента.

Рассмотрим данный метод на примере решения системы из трех уравнений

(4.1):

a11x1+ a12x2+ a13x3= b1a21x1+ a22x2+ a23x3= b2

a31x1+ a32x2+ a33x3= b3.

Первый шаг. Определим коэффициенты преобразований для второго и третьего уравнений:

63

m2(1) = a21, a11

m3(1) = a31. a11

Умножая поочередно первое уравнение на коэффициенты m2(1) и m3(1) и вы-

читая результат соответственно из второго и третьего уравнений, получим:

a11x1+ a12x2+ a13x3= b10x1+ a22(1 )x2+ a23(1 )x3= b2(1 )

0x1+ a32(1 )x2+ a33x3(1 ) = b3(1 ).

Второй шаг. Для исключения неизвестногох2 из первого и третьего уравнений определим соответствующие коэффициенты преобразований:

Третий шаг. Определим коэффициенты преобразований для первого и второго уравнений:

В результате произведения операций, аналогичных выполненным на первом и втором шагах, получим:

studfiles.net

4.3. Решение уравнений состояния методом Гаусса

60

точности. К итерационным методам относится метод простой итерации, метод Зейделя, градиентные методы.

Воснове практически всех прямых методов решения линейных систем -алгебраических уравнений установившихся режимов электрических систем лежит метод Гаусса или его модификации.

4.3.1. Метод Гаусса с обратным ходом

Это наиболее рациональный и распространенный метод решения систем уравнений произвольного порядка, реализующий последовательное исключение переменных и затем последующую подстановку для получения решений.

Решение системы n алгебраических уравнений вида

AX = в

по данному алгоритму состоит из двух этапов. На первом этапе в результате преобразований, заключающихся в исключении всех неизвестных, расположенных ниже главной диагонали, матрица коэффициентов А превращается в верхнюю треугольную, а последнее уравнение оказывается разрешенным относительно неизвестного. На втором этапе определяются все неизвестные системы уравнений.

Рассмотрим применение метода Гаусса на примере системы из трех уравне-

ний:

При исключении по методу Гаусса применяется стандартная операция, которая позволяет упорядочить исключение и получить удобный алгоритм для реализации этого метода на ЭВМ.

Решение состоит в том, что на каждом шаге преобразования системы (число шагов равно (n -1),гдеn — порядок решаемой системы) исключается одна из переменных из всех нижестоящих уравнений системы. Особенностью метода является то, что для проведения операции исключения на каждом шаге используется главный диагональный элемент, каковым является коэффициент при исключаемом неизвестном в главном уравнении, т.е. в уравнении, в котором это неизвестное остается.

Так как главный диагональный элемент входит в коэффициент преобразования в знаменателе, то обязательным условием возможности применения этого метода является неравенство нулю главного диагонального элемента на каждом шаге преобразований. Если все же он оказался равным нулю, то перед выполнением

61

очередного шага уравнения преобразуемой системы должны быть так переставлены, чтобы главный диагональный элемент не оказался нулевым.

Первый шаг. Будем считать, чтоa11 ¹ 0 . Запишем коэффициенты преобразования для каждого уравнения. Первое уравнение является главным, из второго и третьего исключается неизвестноеx1 .

Чтобы исключить из второго уравнения неизвестноеx1 , умножим первое уравне-

ние на коэффициент m2(1) и вычтем результат из второго уравнения:

уравнение на коэффициент m3(1) и результат умножения вычтем из третьего уравнения:

Второй шаг. Аналогичные преобразования производятся при условии, что главным уравнением является второе уравнение, так как будет исключаться второе неизвестное из уравнения ниже второго. Главным элементом будет считаться

элемент a22(1). Операция производится совершенно аналогично первому шагу. По-

скольку рассматривается система из трех уравнений, то преобразованию подвергается только третье уравнение.

Определим коэффициент преобразования для третьего уравнения:

(2 )a(1)

m = 32( ) . 3 a221

Умножим коэффициент m3(2) на второе уравнение и результат умножения вычтем из третьего уравнения:

В результате получим:

62

На этом заканчивается первый этап решения(прямой ход), так как все коэффициенты ниже главной диагонали нулевые.

Обратный ход (второй этап, процесс подстановки):

Для данного метода может быть использована модификация – преобразуются не только ниже стоящие уравнения по отношению к главному, но и само глав-

ное уравнение. В этом случае главный диагональный элемент превращается в единицу.

Рассмотренная последовательность выполнения операций достаточно легко реализуется с помощью ЭВМ.

4.3.2.Метод Гаусса без обратного хода (метод Жордана)

Вотличие от метода Гаусса с обратным ходом, метод Гаусса без обратного хода в процессе реализации прямого хода решения разрешает систему относительно неизвестных, то есть уже к концу прямого хода фактически получается решение системы уравнений, и нет необходимости в обратной подстановке. Реализация этого метода совершенно аналогична методу Гаусса с обратным ходом. Отличие состоит лишь в том, что операции по исключению неизвестных ведутся не только с элементами, стоящими ниже диагонали, но и с элементами, стоящими выше диагонали.

Как и в методе Гаусса с обратным ходом, необходимым условием является неравенство нулю главного диагонального элемента.

Рассмотрим данный метод на примере решения системы из трех уравнений

(4.1):

a11x1+ a12x2+ a13x3= b1a21x1+ a22x2+ a23x3= b2

a31x1+ a32x2+ a33x3= b3.

Первый шаг. Определим коэффициенты преобразований для второго и третьего уравнений:

63

m2(1) = a21, a11

m3(1) = a31. a11

Умножая поочередно первое уравнение на коэффициенты m2(1) и m3(1) и вы-

читая результат соответственно из второго и третьего уравнений, получим:

a11x1+ a12x2+ a13x3= b10x1+ a22(1 )x2+ a23(1 )x3= b2(1 )

0x1+ a32(1 )x2+ a33x3(1 ) = b3(1 ).

Второй шаг. Для исключения неизвестногох2 из первого и третьего уравнений определим соответствующие коэффициенты преобразований:

Третий шаг. Определим коэффициенты преобразований для первого и второго уравнений:

В результате произведения операций, аналогичных выполненным на первом и втором шагах, получим:

studfiles.net

Таблица факториалов до 50

Главная > ф >

В таблице приведены значения факториалов для чисел от 0 до 50.

tab.wikimassa.org

Двойной факториал — это… Что такое Двойной факториал?

Факториа́л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно:

.

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.

Свойства

Комбинаторное определение

В комбинаторике факториал определяется как количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества {A,B,C,D} можно линейно упорядочить 4!=24 способами:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

n! = Γ(n + 1)

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел. Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые в степени

Таким образом,

,

где произведение берется по всем простым числам.

Другие свойства

• x!² > x^x > x! > = x, при x>1

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают 0!! = 1.

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал дает число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Примориал (англ. Primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n. Например,

Последовательность праймориалов начинается так:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, … (последовательность A002110 в OEIS)

Суперфакториалы

Основная статья: Большие числа

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению суперфакториал четырёх равен (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное)

В общем

Последовательность суперфакториалов начинается (с n = 0) с

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (последовательность A000178 в OEIS)

Идея была обобщена в 2000 Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Super-duper-factorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Первые члены (с n = 0) равны:

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, где m-уровневый факториал n — произведение первых n (m − 1)-уровневых факториалов, то есть

где для n > 0 и .

Субфакториал

Субфакториал определяется как количество беспорядков порядка , то есть перестановок -элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

что такое факториал? спасибо всем

факториал n!=1*2*..*n

Факториа&#769;л числа n (обозначается n!) — произведение всех натуральных чисел до n включительно: n! = 1*2*….*n По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Эта функция часто используется в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториалом называется перестановка из Н-элементов, каждое расположение этих элементов в определённом порядке и вычисляется по формуле Рн=н

Факториал — последовательное перемножение чисел 5!=1*2*3*4*5 Это перемножение чисел, заданных функцией (не путать с обычным факториалом) (2n+1)!!=3*5*7*…

Факториал — это произведение всех целых чисел от 1 до n, обозначается n! и равен 1 * 2 * 3 *…*n, Например, 4! = 1*2*3*4 = 24 Факториал используется в математике, и связанных с ней областях.

Факториа&#769;л числа n (обозначается n!, произносится эн факториа&#769;л) — произведение всех натуральных чисел до n включительно: Иногда словом «факториал» неформально называют восклицательный знак.

Произведение. Значение факториала показывает, до какого периода совершалось произведение.

чтобы вычислить факториал нужно эти все числа перемножить

Факториал это число обазночаеться так 3! 4! 2! И т. д. Это означает: 3!=3х2х1 можно сделать вывод что это число умноженное на предыдущие числа до единицы

Какое наибольшее число точек можно расположить на плоскости, так чтобы любые три точки не лежали на одной прямой и были вершинами равнобедренного треугольника.

факториал 2! = 1 *2 факториал 5 = 5*4*3*2*1 или 1*2*3*4*5 и т. д. Научным языком Факториал — это произведение последовательных множителей начиная с единицы. Pn=n! n!=1*2*3 *…* (n-1)*n n -количество элементов! m — количество в размещении! Pn -количество перестановок!

Произведение натуральных чисел от одного до данного. Допустим 5!=1•2•3•4•5=120

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л.

Факториал числа а = а * (а-1)*(а-2)* …*1 Пример: факториал 7 = 7*6*5*4*3*2*1 Ещё можно так: Факториал целого числа а = произведению всех целых чисел от 1 до а (вкл)

touch.otvet.mail.ru

Факториал — Википедия

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

.

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так^[1]:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Рекуррентная формула[править]

Комбинаторная интерпретация[править]

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией[править]

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при .

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

.

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга[править]

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое^[2].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

• 100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
• 1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
• 10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа[править]

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции[править]

Для целого неотрицательного числа n:

Например:

Другие свойства[править]

• Для натурального числа n:

Двойной факториал[править]

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

• Для нечётного n:

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

• Для нечётного n:

Выведение формул

Осуществив замену для чётного n и для нечётного n соответственно, где  — целое неотрицательное число, получим:

• для чётного числа:

• для нечётного числа:

По договорённости: . Также это равенство выполняется естественным образом:

</div></div>

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[3]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал[править]

m-кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде где Тогда^[4]

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[5]:

Неполный факториал[править]

Убывающий факториал[править]

Убывающим факториалом называется выражение

.

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

3^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал[править]

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал[править]

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

.

Иногда праймориалом называют число , определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так^[6]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …

Суперфакториалы[править]

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел начинается так^[7]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так^[8]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000 …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

где для и

Субфакториал[править]

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

wp.wiki-wiki.ru

Факториал — это… Что такое Факториал?

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … (последовательность A000142 в OEIS)

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

Свойства

Рекуррентная формула

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

При этом можно утверждать, что

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

• 100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
• 1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
• 10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

Таким образом,

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Другие свойства

• Для натурального числа n

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

По определению полагают 0!! = 1.

Последовательность значений n!! начинается так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, … (последовательность A006882 в OEIS).

Кратный факториал

m-Кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом:

Пусть число n представимо в виде где Тогда^[1]

Двойной факториал является частным случаем m-кратного факториала для m = 2.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[2]:

Убывающий факториал

Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение всех простых чисел, не превышающих n. Например,

11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.

Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, … (последовательность A002110 в OEIS).

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, … (последовательность A000178 в OEIS).

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000 … (последовательность A055462 в OEIS)

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть

где для и

Субфакториал

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

Ссылки

См. также

Примечания

1. ↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
2. ↑ wolframalpha.com.

dal.academic.ru

Чему равен (x+3)! =????Факториал от (х+3)

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Вот формулы в виде рисунков, вам нужно подставить в эту формулу своё значение (в первой формуле вместо 2к подставьте n, а во второй вместо 2к+1 подставьте n+3,естевственно что остальные значения нужно будет коректировать под ваши данные), если вы хоть немного знакомы с математикой то у вас всё получится :)<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/a49d56cc33ea15e2f5b5f27d1fa9cb59_i-39.jpg» ><img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/a49d56cc33ea15e2f5b5f27d1fa9cb59_i-40.jpg» > У меня к сожалению нет возможности записать такую сложную математическую формулу на компе, еслиб могла я бы написала вам ответ…

блин, что такое факториал?

А через что выразить? Можно так: (x+3)! = x! (x+3)(x+2)(x+1)

Люди тут даже не знают что такое факториал?? ? К примеру факториал 5! = 5*4*3*2*1=120

touch.otvet.mail.ru

Факториал — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}.

Например,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

Из определения факториала следует соотношение (n−1)!=n!n{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}}, откуда при n=1{\displaystyle n=1} формально находим

0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Последнее равенство обычно принимают в качестве соглашения, хотя, как показано выше, оно следует из определения факториала для натуральных чисел при условии, что все значения функции связаны единым рекуррентным соотношением.

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако, степенно-показательная функция nn{\displaystyle n^{n}} растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например een

encyclopaedia.bid