Рубрика: Школьная жизнь

Функции y x2 – Функция y=x2 и ее график

alexxlab / / Школьная жизнь

Постройте график функции y = x^2

Задание.
Постройте график функции y = x^2.

Ответ
Для построения функции нужно проанализировать ее уравнение.
Очевидно, что функция содержит квадрат аргумента, следовательно, такая функция является квадратной. Графиком же квадратной функции будет парабола.
Узнаем, как будут направлены ветви параболы. Для этого обратим внимание на знак перед х в квадрате. Условно перед ним стоит знак «плюс», а это значит, что ветви параболы будут смотреть вверх.
Также парабола существует для любых значений аргумента х.
Найдем координаты точки, которая является вершиной параболы. Для этого используем известные формулы:

   

   

Получили вершину данной параболы в начале координат.
В принципе, выше приведенных вычислений можно было и не выполнять, так как мы имеем простейшее уравнение параболы, для которой известно, что она симметрична координатной оси Оу и ее вершина совпадает с точкой (0; 0).
Также необходимо вычислить некоторые точки, которые помогут построить данную параболу.
Подберем любые значения аргумента х и найдем соответствующие им значения функции. Возьмем простейшие значения х, чтобы удобнее было считать:
х = 1: — точка (1; 1).
х = 2: —точка (2; 4).
х = —1: —точка с координатами (—1; 1).
х = —2: —точка с координатами (—2; 4).
Покажем все пять точек на координатной плоскости и соединим их.

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = 2x – 2

Задание.
Постройте график функции y = 2x — 2

Решение.
Функция представлена в виде , следовательно, она линейная.
Начнем с вычисления области определения функции. Поскольку функция является линейной, то она имеет область определения всю числовую прямую.
Такой же вывод можно сделать и об области значений функции.
В таком случае для графика никаких ограничений не будет.
Проверим функцию, является ли она четной или нечетной. С этой целью подставим вместо переменной х переменную —х:

   

В результате получили, что данная функция является ни четной, ни нечетной.
Как упоминалось выше, функция — линейная. Тогда будет достаточно двух точек, чтобы построить ее график. С этой целью вычислим точки пересечения с координатными осями:
При пересечении оси Ох переменная х = 0. Подставим это значение в функцию:

   

При пересечении оси Оу переменная у = 0. Решим уравнение:

   

   

   

Итак, получили две точки пересечения с координатами:
(0; —2) и (1; 0).
Поскольку для линейной функции не существует точек минимума или максимума, то производную находить не будет.
Как уже упоминалось, достаточно двух точек, чтобы построить линейную функцию.

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = -2x^2 + 8

Задание.
Постройте график функции y = —2x^2 + 8.

Решение.
Любое построение начинается с рассмотрения самой функции.
Например, из заданной функции становится понятным, что ее графиком будет парабола, та как в ее записи есть квадрат переменной х.
Коэффициент перед квадратом х указывает на то, что ветви параболы будут направлены вниз, так как коэффициент содержит знак «минус».
Для построения параболы важно понимать, будет ли она симметрична одной из координатных осей, найти координаты точки ее вершины и несколько точек, через которые она пройдет. Среди этих точек могут быть точки пересечения с осями координат.
Определим симметричность осям координат:

   

Получаем, что значения функции для положительных и отрицательных значений аргумента х будут равными. Значит, функция является четной, то есть симметричной оси Оу.
Для вычисления координат вершины параболы есть специальная формула, но так как мы выяснили, что график будет симметричен Оу, значит вершина параболы будет лежать на этой оси, следовательно первой координатой вершины будет х = 0. Найдем у:

   

Вершина параболы — точка (0; 8).
Найдем точки, в которых парабола пересечет ось Ох. Одной из координат этих точек будет у = 0. Решим уравнение:

   

   

   

и
Две точки пересечения — точки (—2; 0) и (2; 0).
В принципе этих точек достаточно для построения параболы. Проведем через них плавную кривую.

ru.solverbook.com

Постройте график функции y = –2x + 2

Задание.
Построить график функции y = —2x + 2

Решение.
Функции подобного вида строятся очень просто, так как они являются линейными. А как известно линию можно провести всего через две точки. Поэтому все решение сводится к тому, что нужно определить две точки, которые принадлежат этой функции, нанести их на координатную плоскость и провести через них линию. Это и будет графиком заданной функции.
Проведем небольшой анализ данной функции.
Поскольку функция представлена в виде , то, как уже упоминалось выше, она называется линейной. Как известно, линия бесконечна, поэтому и область определения функции, и область ее значений будет вся числовая прямая.
Функция может быть четной, нечетной или ни той, ни другой. Определим это с помощью несложных вычислений:

   

Получили, что функция является ни той, ни другой.
Для получения точек линейной прямой, через которые можно будет построить график заданной функции, найдем точки пересечения этой прямой с координатными осями.
Сначала найдем точку пересечения с координатной осью Оу. Для этого подставим значение х = 0 в функцию:

   

Точка пересечения с осью Оу будет иметь координаты (0; 2).
Теперь найдем точку пересечения с координатной осью Ох. Для этого подставим значение у = 0 в функцию и решим полученное простое уравнение:

   

   

   

Точка пересечения с осью Оx будет иметь координаты (1; 0).
Отметим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую.
Заданная функция построена.

ru.solverbook.com

постройте график функции y=-x^2+2x. у самой вообще не получается!!!

Нарисуй ось ху. И подставляй вместо х цифры, например х=0, то у=0, если х=1.. то у=3, и отмечай их на графике на оси, потом уже соедини точки…

правила почитай

<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/d7dd4feb63d905b3796cb35ba165ec9a_i-21.jpg» >

y=-x^2-2x, кв. функция гр. функции является парабола, ветви направлены вниз т. к. a&lt;0 1) Вершина параболы x=-b/2a=2:-4=-0.5 2)Нули функции: -x^2-2x=0 x(-x-2)=0 x=0 -x-2=2

touch.otvet.mail.ru

Примеры с буквами – Буквенные выражения

alexxlab / / Школьная жизнь

Как решать выражения с буквами? – boeffblog.ru

Чтобы научиться решать этот вид заданий, необходимо запомнить несколько нехитрых вещей. 

Во-первых, если видно, что пример небольшой, и проще сразу подставить число вместо буквы, то так и надо делать.

Например:

Упростите вы­ра­же­ние   и найдите его значение при y = 0,4.

В этом задании можно сразу сделать замену, и вместо “игрека” подставить 0,4:  .

И при помощи нехитрых действий это превращается в . 

Таким образом, первая заповедь при решении таких заданий – “Не перемудри”. Видите, что проще подставить сразу – подставляйте и считайте.

Во-вторых, если не сработала первая заповедь, то запомните – фраза “Упростите выражение” означает, что там многое должно сократиться. Для этого могут применяться 3 способа:

1. Вынести общий множитель за скобку: 3x + 3 = 3 (x + 1).

 

2. Применить формулу квадрата суммы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, или квадрата разности: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 . 

 

3. Применить формулу разности квадратов: a2 – b2 = (a + b)(a – b).

После этого многое должно сократиться. Остается что-то простое, куда подставляются значения наших переменных (буквы меняются на цифры). И все!

Рассмотрим несколько примеров.

Упростите вы­ра­же­ние   и найдите его значение при a = 3, b = 0,2.

В этом примере работает первый способ, вынесение общего множителя и в числителе, и в знаменателе дроби: .

Теперь можно сократить на (2 – a).

Остается простая дробь: . Подставляем и считаем.

 

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:  при x = -13

Можно увидеть, что числитель первой дроби можно свернуть по формуле квадрат разности. Таким образом выражение перепишется в виде:  .

Затем, по правилу деления дробей переворачиваем вторую дробь: . 

Эту дробь можно сократить на (x – 7), и получится: .

Далее подставляем вместо икса его численное значение (-13) и считаем.

 

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: 

Первым делом, приведем к общему знаменателю разность дробей, которая записана в скобках. Общий знаменатель (как проводить математические операции с дробями смотрите здесь) 7xy, а в числителе получим x2 – 49y2.

Затем производим умножение, не забывая ставить скобки там, где это необходимо:

 НЕВЕРНО

 

 ВЕРНО

Теперь вспоминаем, что многое должно сократиться, и видим в числителе выражение в скобках, которое можно разложить по формуле разности квадратов на (x – 7y)(x + 7y).

Получаем:    

Сначала сокращаем на 7xy, а затем на (x + 7y): 

Остается от этого всего выражение, которое решается очень просто: x – 7y. 

 

Это были основные типы заданий на выражения с буквами. Задания, как видите, основываются всего лишь на трех операциях, поэтому должны легко решаться. Главное внимательнее читать условие и стараться упростить выражение. И запомните, что в них всегда что-то должно сократиться!


boeffblog.ru

В примерах на сложение заменили цифры буквами. Как восстановить примеры?

Пример 1. УДАР плюс УДАР равно ДРАКА

Стоит предположить, что Д=1, поскольку именно это буква является первой у пятизначного числа, ставшего результатом суммы четырехзначных. Дальше, Д+Д=А, но в тоже время Р+Р=А. Предположим, что А=2. В таком случае мы имеем Р+Р=12. Единица переходит выше, остается 2. Тогда у нас А+А+1=К. К=2+2+1=5. На следующую букву ничего не перешло, как и должно быть. Теперь У+У=ДР. У+У=16, У=8.

Теперь подставляем все цифры вместо букв: УДАР+УДАР=ДРАКА это 8126+8216=16252.

Пример 2. ДЕТАЛЬ плюс ДЕТАЛЬ равно ИЗДЕЛИЕ

Начнем с буквы И. И=1, поскольку, как и в предыдущем случае, она является лишней по числу букв. Также есть пример, что Л+Л=И. Но такое не может получиться, значит, мы получим в сумме не 1, а 11. Но сумма одинаковых цифр не может быть нечетной, поэтому 1 они получают с предыдущего сложения. Тогда Л+Л+1=11. Л=5. Сразу смотрим на А+А=Л. Мы знаем, что Л=5, что ушла единица на это сложение. И тогда А+А+1=5, А=2. С этого сложения единица не уходит выше. Поэтому считаем, что Т+Т=Е. Но в то же время Ь+Ь=1Е (эта единица ушла на уровень с Л). Также Е+Е=Д. И на этот пример 1 тоже не переносится. Делаем вывод, что Т — это число меньше 5. 1 и 2 уже заняты, поэтому лишь варианты 3 и 4. Предположим, что это 3. Тогда Т+Т=Е, 3+3=6. Тогда Е+Е=Д, 6+6=12. Но Д не может быть равной 2, эта цифра соответствует А.

Тогда считаем, что Т=4. Т+Е=Е, 4+4=8. Дальше — Е+Е=Д, 8+8=16. Шестерка остается, единица идет на уровень выше. Тогда Д=6. Д+Д=ИЗ, 6+6+1(с предыдущего уровня)=13. З=3. Идем назад к Ь+Ь=1Е, Ь+Ь=18. Ь=9.

Теперь подставляем все цифры вместо букв. ДЕТАЛЬ+ДЕТАЛЬ=ИЗДЕ­ЛИЕ это 684259+684259=136851­8.

Пример 3. ТИК плюс ТАК равно АКТ.

Решение может варьировать. Изначально есть следующие данные: Т+Т=А. То есть, можно сделать вывод, что число Т меньше 5. Тогда Т или 2, или 4. И мы не знаем, скосится ли единица с предыдущего сложения.

Допустим, что Т=2. Тогда К+К=2 или К+К=12. Тогда К=1 или К=6. Допустим, что К=1. Тогда И+А=К. Раз К=1, значит, число сложения больше 10, тогда Т+Т+1=А. Тогда А=2+2+1, А=5. Следует, что И+5=11. И И=6. И результат ТИК+ТАК=АКТ это 261+251=512.

Если возьмем, что Т=4. Тогда К+К=4 или же К+К=14. Используем первый случай. Тогда К=2. Тогда И+А=К, И+А=12 (логично, что появится единица, которая пойдет выше). Тогда Т+Т+1=А. А=9. И+9=12. И=3. Тогда ТИК+ТАК=АКТ это 432+492=924.. Стоит подбирать еще, вдруг имеются другие решения.

www.bolshoyvopros.ru

Числовые и буквенные выражения. Формула

              Числовые и буквенные выражения.

Формула

Сложение, вычитание, умножение, деление — арифметические действия (или арифметические операции). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+ (читаем «плюс«)          —   знак операции сложения,

— (читаем «минус«)         —  знак операции вычитания,

∙ (читаем «умножить«)    —  знак операции умножения,

: (читаем «разделить«)   —  знак операции деления.

Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки Например, запись 1290 : 2 – (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения. Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением. В этой записи могут присутствовать скобки.  Например, запись a + b –  3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв  в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными.

Подставив в буквенное выражение числа  вместо букв   и  вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

Буквенное выражение может не иметь значения,  если при подстановке   значений букв получается  числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.  Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено» для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла». Например, буквенное выражение a –  b  не имеет значения  при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея  всего 10 яблок (a = 10),  нельзя отдать из них 17  (b = 17)! 

В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла), т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для  любого натурального  числа b, частное b : 0 не определено.

 Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой. Например, если стороны семиугольника равны  a, b, c, d, e, f, g,  то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:                           

                                                       
         

p = a + b + c + d + e + f + g

При  a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

При  a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого  семиугольника  p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

 

 

Блок 1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из параграфа.  Для этого в пустые клетки впишите  слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением  клеток словаря еще раз внимательно просмотреть параграф.

  1. Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

     

      2.Знаки «+» (плюс), «-» (минус), «∙» (умножить,  «:» (разделить).

    

      3.Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки.   

   

       4.Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.

    

       5. Знак, стоящий перед  значением числового выражения.

    

      6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).

    

      7. Общее название букв в буквенном выражении.

    

      8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.

   

     9.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

    

     10. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

 

     11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.

  

     12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

   

 

 

 

Блок 2. Установите соответствие

Установите соответствие между заданием  в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде:   1а,   2г,    3б…

 

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

 Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что  их можно решать на компьютере, проверять решения и  сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но  решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

  1. Дан треугольник со сторонами c, d, m, выраженными в см
  2. Дан четырехугольник со сторонами b, c, d, m, выраженными в м
  3. Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
  4. Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
  5. Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
  6. Сумма двух чисел больше второго числа на 15
  7. Разность меньше уменьшаемого на 7
  8. Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом  из рядов  палубы m мест, рядов на палубе  на n больше, чем мест в ряду
  9. Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
  10. m = 8,  n = 10,   k = 5
  11. m = 6, n = 8,     k = 15
  12.  t = 121,  x = 1458

    

 

ТО:

  1. Значение данного выражения
  2. Буквенное выражение для периметра имеет вид
  3. Периметр, выраженный в сантиметрах
  4. Формула пути s, пройденного автомобилем
  5. Формула скорости v, движения туриста
  6. Формула времени t, движения туриста
  7. Путь, пройденный автомобилем в километрах
  8. Скорость туриста в километрах в час
  9. Время движения туриста в часах
  10. Первое число равно…
  11. Вычитаемое равно….
  12. Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
  13. Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
  14. Буквенное выражение для возраста Кати
  15. Возраст Кати
  16. Координата точки В, если координата точки С равна t
  17. Координата точки D, если координата точки С равна t
  18. Координата точки А, если координата точки С равна t
  19. Длина отрезка BD на числовом луче
  20. Длина отрезка CА на числовом луче
  21. Длина отрезка DА на числовом луче

Ответы (равно, имеет вид, не определено):

а)1;  б) s=b ∙d;  в) 9;   г) 40;   д) b + c + d + m;  е) 7;   ж) выражение не имеет смысла (некорректно) для натуральных чисел;   з) 2 ∙ m (m + n) ∙ k;   и) (m + n) – k;   к) 6;   л) 15;       м) 3760;   н) t –  3;  о) фигура не может быть  треугольником;   п) 22;    р) t – 3 ∙ 7;   с) 0;   т) 32;   у) 59600;   ф) 6019;   х) 2880;  ц) 10378;  ч)1440;   ш) на ноль делить нельзя;  щ) 13;   ы) 1800;  э) 496;  ю) 2;   я) 12;   аа) 14;   бб) 5;   вв) 35;    дд)  79200;   ее) 1900;   жж) 118;     зз) 18;   ии) 12800;  кк) 98;   лл) 1458;   мм) v = c : m;   нн) 100;   оо) 19900;   пп) t = b : m; рр) 2520;   сс) c + d + m;   тт) x;   уу) 1579;   фф) t + 2;   хх) 10206;   цц) 135;   чч) t + 2 ∙ 7; шш) 7 ∙ x;   щщ) x – 2;   ыы) 7 ∙ x – 2 ∙ 7;   ээ)  t + x ∙ 7;   юю) 10192;   яя) t + x;   ааа) 123;       ббб) 1456;   ввв) 10327.

 

ПОКАЗАТЕЛИ ТЕСТА. Число задач 70,  время выполнения 2 – 3  часа,  сумма баллов: 1 ∙ 22 + 2 ∙ 24 + 3 ∙ 24 = 142. Для фасетного теста можно использовать  следующую шкалу оценок.

Блок 4. Давайте поиграем

 Блок 5. Обучающая игра «Уроки кота Леопольда»

 

 

Для учителя приводим ответы к блокам параграфа 6

Ответы к игре «Уроки Леопольда»

Западня 1 : 1/2, 1/3, 2/3, 7/8.  Западня 2. 12, 2, 13 5. Западня 3.  6

Западня 4. 15.              Западня 5. 396

 

 Блок 1.  Словарь

 

Блок 2. Установите соответствие.

Вариант 1: 1и, 2з, 3е, 4б, 5м, 6л, 7а, 8ж, 9в, 10д, 11г, 12к, 13т, 14н, 15ф, 16о, 17у, 18с, 19р, 20п

Вариант 2: 1д, 2е, 3к, 4а, 5г, 6з, 7и, 8б, 9ж, 10в

 

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения (ответы под заданиями)

Ответы к игре «Сокровища»

Деревянный – 10250. Оловянный – 21640. Медный – 50400. Серебряный – 191000. Золотой – 289800.

ya-znau.ru

Как решать математические ребусы 🚩 замена цифр буквами математические ребусы 🚩 Хобби и развлечения 🚩 Другое

Вам понадобится

  • ручка, бумага, цветные карандаши, фломастеры

Инструкция

Если вы используете при составлении ребуса картинку, она должна «расшифровываться» в именительном падеже. Например, если на вашей картинке нарисован дом, расшифровываться он должен именно так, а не «доме» или «домов». Из этого правила, конечно, могут быть исключения, но в таком случае лучше заранее это обговорить в правилах к вашей загадке.

Вы можете усложнить разгадывание ребуса, используя в качестве картинки объекты, которые имеют разные названия. Например, «лошадь» может быть и «конем» или, изобразив голову человека, вы можете подразумевать «лицо».

Картинки в ребусах могут иметь как общее, так и частное название. Например, если вы изобразили птицу, в качестве разгадки может быть использовано как это слово, так и название именно этой птицы – орел, ворон, дрозд и т.п. Используйте запятые. Если вы поставите одну запятую перед картинкой, это будет означать, что нужно удалить первую букву загаданного слова, если пару запятых, две буквы и т.д. То же правило действует, когда вы ставите запятые после картинки. Например, нарисуйте крота, а перед ним поставьте запятую. Получится слово «рот».

Над (или под) картинкой или словом можно нарисовать перечеркнутые буквы, это будет означать, что из загаданного слова эти буквы нужно удалить. Например, нарисуйте волка, а над ним перечеркнутую букву «к» (или можно усложнить задачу и нарисовать перечеркнутую четверку, это будет означать, что надо удалить четвертую букву в слове), получится «вол».

Можно изменить несколько букв в загаданном слове, для этого используется знак равенства. Например, пишите слово «сила», а над ним «С=П», получается – «пила».

Можно использовать из длинного слова всего несколько букв, тогда надо написать над ним номера нужных для отгадки букв. Например, над крокодилом напишите 2, 5, 6, получается «род».

Рисунок, сделанный вверх ногами, означает, что слово нужно читать задом-наперед. То есть, к примеру, нарисуйте кота, переверните его вверх ногами. Какое слово загадано? Правильно, «ток».

Один самых популярных приемов при составлении ребусов, это размещение одного элемента загадки относительно другого так, чтобы можно было использовать предлоги «в», «над», «под», «у» и т.д. Например, напишите большую букву «О», а внутри нее поместите слог «да». Отгадка ребуса – «в-о-да».

Обратите внимание

Вы вполне можете попробовать свои собственные правила составления ребусов, но в таком случае не забудьте предупредить тех, кому предстоит их разгадать, что именно вы сделали на свой лад.

Полезный совет

Если вы плохо рисуете, а ограничиваться только буквенными ребусами не хотите, можете поискать картинки в старых журналах, газетах, в рекламных брошюрах – изображения вырезать и приклеить на лист бумаги, дописав остальное от руки. Либо воспользуйтесь компьютером, найдите картинки в интернете, а готовые ребусы распечатайте затем на принтере.

Источники:

  • Учимся разгадывать буквенные ребусы
  • Правила составления и решения ребусов

www.kakprosto.ru

УЧИМСЯ ЧИТАТЬ НА РУССКОМ

     Чтобы веселее запоминались буквы русской азбуки, можно воспользоваться  картинками.  Про каждую букву будет минимум 3 картинки, на которых нарисованы предметы, названия которых  начинаются с этой буквы, в которых эта буква в середине и в конце. 

 А,Б,В,Е ,  Г,Д,Ё   Ж,З,И,  К,Л,М  НОП

Например, буква » А «:,      

 Слова с «А» в начале:

арбуз, арка, аист, апельсин.

Слова с «А» в середине:

бант, ванна,лампа, парта.

Слова с «А» в конце слова: рама, акула, юла, лапмпа, ванна, арка, парта. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

   Например, буква  Б 

 Слова с, начинающиеся на букву Б:

бант, бабочка, букет, барабан, барашек.

Слова с буквой Б в середине:

собака, барабан, арбуз, рыба, бабочка, верблюд

Слова с буквой Б на конце:

столб, зуб, гриб, горб, лоб 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 Буква   «В«:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      Слова с буквой «В» в начале:

вишня, ворот, вилка, ведро

      Слова с буквой «В» в середине:

сова, слива, лавка, ковёр

     Сдова с буквой «В» на конце:

удав, лев, клюв

 

 

 

 

 

 

 

Например, буква «Е«:

     Использовать эти большие карточки можно по-разному, но лучше все же делать  под рисунками подписи,  дорисовывать всякое разное к имеющимся на карточке картинкам  и превращать их в  одну с общим сюжетом, который придумает ребенок или вы все вместе.

     Именно поэтому на них так много места. И еще, если их скопировать, то потом можно увеличивать до реального размера.

     Не скучайте!!! 

СЛОВА:

1. «Е» в начале слова: ель, еда, единица, енот.

 

2. «Е» в середине слова: дерево, тень, ведро, сеть, пень, девять

3. «Е» в конце слова: солнце, печенье, платье, варенье

uchneskuch.ru

Примеры по математике — генератор примеров

Сколько всего нужно узнать и выучить ребенку за короткий срок:

выучить буквы и цифры, научиться читать, писать, считать и решать.

Притом, что способности у всех деток разные.

Кто-то схватывает все «на лету», кому-то требуется чуть больше времени.

Чтобы закрепить и улучшить начальные навыки счета у детей, на сайте  «Быть МАМОЙ» создан онлайн — Генератор, который создает примеры и уравнения по математике для детей дошкольного и младшего школьного возраста.

С помощью такого онлайн генератора вы можете абсолютно бесплатно создать, скачать и распечатать готовые примеры на сложение и вычитание, на умножение и деление.

Готовые примеры по математике генерируются на странице в клеточку, что позволяет ребенку тренировать не только устный  счет, но и правильное написание цифр.
Генератор примеров и уравнений, имеет внутренние настройки, изменяя которые вы сможете создать примеры для детей разного возраста и уровня подготовки ( от 5 лет до 2-3 класса).

Чтобы получить и распечатать примеры по математике, вам нужно:

1. Задать (выбрать) параметры для заданий

  • по количеству примеров: 10, 20, 30, 60 (2листа), 90 (3 листа)
  • по виду задания: пример или уравнение
  • по функциям математических действий: сложение, вычитание, умножение и деление.
  • по диапазону чисел: от 1 до 100 (например — от 5 до 10, от 10 до 50 и т.п.)

2. Распечатать полученый файл. Предварительно вы можете сохранить файл с заданиями на компьютер или флешку.

ГЕНЕРАТОР ПРИМЕРОВ И УРАВНЕНИЙ

 

* Если вы генерируете примеры в браузере «Firefox», возможно некорректное отображение pdf.файлов в результате генерации (генерируется пустая страница в клеточку, либо нет знаков математических действий)

В этом случае вам нужно:

1. Сохранить полученный (некорректный) документ на компьютер, а затем открыть и распечатать файл с примерами с вашего компьютера.
2. Открыть данную страницу в другом браузере (Chrome, Яндекс), скопировав адрес страницы и вставив его в адресную строку.

 

Используйте онлайн генератор примеров по математике, если:

— Ваш ребенок только начал изучать счет. Выберите самые начальные параметры для генерации. Чтобы получились самые простые примеры по математике.

— Вашему ребенку требуется дополнительная подготовка по математике.

— Вы собираетесь в длительную поездку. Решение примеров и уравнений будет  полезным занятием, которое поможет скоротать время в дороге.

 

Генератор примеров по математике будет очень удобен как для родителей, так и для учителей.  Благодаря  параметрам выбора  можно создать сколько угодно заданий разного уровня сложности для подготовки.

 

Преимущества генератора математических примеров.

— Не нужно заранее покупать задачники и пособия по математике с примерами и уравнениями.

— Чтобы получить примеры для решения, не нужно предварительно скачивать программу на компьютер. Все примеры генерируются онлайн.

— Вы можете скачать файл с примерами на компьютер и распечатать его в любое время.

— Примеры генерируются на странице в клеточку, что очень удобно для правильного написания цифр ребенком.

— Вы можете подобрать задания индивидуально для вашего ребенка в зависимости от его уровня подготовки.

 

Если у вас возникнут трудности или вопросы по использованию генератора примеров — не стесняйтесь, задавайте вопросы в комментариях.
Отзывы также приветствуются 🙂

 


Читайте похожие записи:

tobemum.ru

Номера с буквами ааа

Отлично знаю все приемы манипуляций при звонках, хорошо разбираюсь в финансовых продуктах, потому что их мы и продаем для наших клиентов.

…

Отлично знаю все приемы манипуляций при звонках, хорошо разбираюсь в финансовых продуктах, потому что их мы и продаем для наших клиентов.

Всегда за честные сделки – не работаем с различными лохотронами.

Аббревиатура SWIFT расшифровывается как Society for Worldwide Interbank Financial Telecommunications.

В переводе это значит «Сообщество всемирных межбанковских финансовых телекоммуникаций», основной целью которого является передача информации и совершение платежей в международном формате.

  • В переводе это значит «Сообщество всемирных межбанковских финансовых телекоммуникаций», основной целью которого является передача информации и совершение платежей в международном формате.
  • Предпосылки к созданию системы SWIFT были замечены еще в начале 50-х годов 20 века, когда, спустя несколько лет после Второй Мировой войны, государства начали заниматься активной торговлей на международном уровне.
  • Как результат, это повлекло за собой резкое увеличение банковских функций и операций.
  • Ранее общение между банками совершалось посредством почты и телеграфа, однако новые условия диктовали новые правила – такие способы передачи информации стали неэффективными из-за стремительного увеличения объема банковских операций.
  • Более того, очень часто стали возникать недоразумения и ошибки во время проведения межбанковских операций, связанные с системами функционирования различных банков и отсутствием необходимой стандартизации.

Банкиры понимали, что рано или поздно возникнет новый способ бумажного обмена финансовой информации между всеми банками мира. Разработка такой системы началась в начале шестидесятых годов.

Непосредственная работа над данной системой, способной круглосуточно обеспечивать обмен финансовой информацией с высокой защитой и под контролем, началась в начале 1968 года.

Уже в 1972 создатели подготовили официальный проект и сделали необходимые расчеты по рентабельности этой системы.

В мае 1973 года при участии 239 банков, расположенных в 15 странах мира, была создана и учреждена платежная система под названием SWIFT.

  • Её разработчики трудились более четырех лет для практического осуществления этого учреждения, и года международная сеть, отвечающая за передачу данных, была официально запущена.
  • В конце этого же года число банков, желающих присоединиться к SWIFT, возросло до 586.
  • Ежедневно сообщество передавало 450 тысяч электронных сообщений.
  • На сегодняшний день в составе SWIFT находятся более 7 тысяч финансовых организаций и банков, которые находятся в 190 странах.

Несмотря на достаточно большое расстояние друг от друга (иногда возникает необходимость передачи информации из США в Австралию), они могут беспрепятственно обмениваться сообщениями и круглосуточно взаимодействовать.

Существует два типа сообщений: финансовые (передающиеся между пользователями системы) и системные (передающиеся между пользователями и системой).

Как получить красивые номера на авто официально

Все сообщения системы SWIFT включают в себя: Благодаря использованию компьютерного терминала (CBT) становится возможным осуществление связи с универсальным компьютером, передачей и получением сообщений и управлением прикладными задачами.

Все сообщения хранятся в региональном процессоре (RPG), после чего отправляются для обработки в следующий операционный центр.

Зеркальные номера на авто что это.

Там SWIFT занимается их обработкой: Поле проверки отправитель моментально получает уведомление: положительный результат – АСК, отрицательный – NAK.

Каждому сообщению автоматически причисляется входящий номер. На сегодняшний день в России SWIFT уступает в популярности таким известным системам переводов как, например, Western Union или «Юнистрим», однако для оплаты зарубежных услуг или перевода крупной суммы денег в другую страну является, по сути, самым рациональным решением (особенно для тех, у кого возникает постоянная необходимость отправки немалых денежных переводов за границу).

Зеркальные номера на авто что это такое — Автосправочник

Невероятная масштабность распространения SWIFT в мире позволяет осуществить перевод на клиентский счет любого известного банка, при этом сумма ограничивается только допустимыми величинами, которые не нарушают экономическое законодательство того или иного государства.

SWIFT-переводы отправляют финансовые средства не на ФИО получателя, а на определенные счета, при этом у вас всегда имеется возможность самому выбрать валюту перевода.

При переводе денег через SWIFT, комиссия всегда составляет определенную (фиксированную!

Есть ли в Курске блатные номера?

) сумму, которая будет увеличиваться в минимальной пропорции от суммы переводов, что будет выгодным при переводе больших сумм денег за рубеж.

  • Итак, основные преимущества SWIFT заключаются в: Недостатком же можно считать достаточно длительный срок обработки платежей – примерно 5 банковских дней.
  • Также, при выборе такого перевода обязательно учитывайте, что хоть сама система и имеет более-менее фиксированную комиссию, основные затраты получатся при получении денег в банке и межбанковском переводе.
  • Более того, система зависит от развития корреспондентских отношений банка, посредством которого вами осуществляется перевод (ведь один денежный перевод в SWIFT может осуществляться несколькими финансовыми организациями или банками).
  • Помимо этого, стоимость перевода может повысить наличие банков-посредников, которые возникают тогда, когда валюта перевода отличается от национальной валюты государства, в которое данный перевод осуществляется.

Итак, основные недостатки SWIFT заключаются в: SWIFT-кодом называют уникальный идентификационный код определенного банка или любого другого участника финансовых расчетов, использующегося при переводе денежных средств из одного государства в другое между банками (которые являются участниками системы SWIFT).

Код формируется по следующему стандарту: ISO 9362 (ISO 9362 — BIC).

SWIFT-коды банков обычно можно найти на сайте самого банка (раздел «реквизиты» или «переводы).

Вы также можете воспользоваться специальными справочниками SWIFT-кодов банков.

Стоит отметить, что данный код используется только на мировом рынке.

Автомобильные коды регионов в 2019 году на номерах России

Для проведения банковских операций внутринационального характера нужны другие коды.

Идентификационная система банков Российской Федерации называется «БИК». Безусловно, можно перечислить такие системы всех стран мира, но гораздо легче будет воспользоваться соответствующими справочниками.

  • Не стоит забывать, что участие в идентификационной системе SWIFT носит исключительно добровольный характер, поэтому отсутствие подключения к ней будет означать, всего лишь, замедление процесса международных банковских операций.
  • Также SWIFT-код гарантирует полную безопасность того или иного перевода, таким образом, риск того, что перевод затеряется между банками, сводится к минимуму.
  • Вы отправляетесь в далекое плавание по океану Письма. Они стоят, как корабли на рейде, готовые отправиться в плавание вместе со своими капитанами. Рука, не занятая письмом, должна лежать на столе, параллельно его краю. Если вы пишете и рисуете правой рукой, сидеть за столом и класть тетрадь надо так, как это делает мальчик.
  • Ученик должен сидеть за столом прямо, голова (но не туловище) должна быть слегка наклонена, ноги всей поверхностью касаются пола.

Если вы пишете и рисуете левой рукой, сидеть за столом и класть тетрадь надо так, как это делает девочка. Оптимальное положение пальцев, обеспечивающее ровный и аккуратный почерк, следующее: пишущий предмет лежит на верхней фаланге среднего пальца, фиксируется большим и указательным пальцами, причем большой расположен несколько выше указательного, опора – на мизинец; средний и безымянный пальцы расположены примерно перпендикулярно к краю стола.

Работа с буквами «Мой алфавит»

Расстояние от нижнего кончика пишущего предмета до указательного пальца примерно 1,5–2,5 см.

Кто звонит с номера +74992816692, узнать чей номер 84992816692

Верхний кончик пишущего предмета ориентирован на плечо пишущей руки.

Генератор автомобильных номеров. Помощь.

Кисть при письме не фиксирована, локоть не отрывается от стола.

Пальцы не должны сжимать пишущий предмет слишком сильно. Графические навыки письма (овладение формой букв, безотрывностью соединений, скоростью письма) – это один из видов двигательных навыков.

Блатные номера на авто, автономера — Красивые автомобильные.

Ознакомимся с примером.

Особенность графических навыков заключается в том, что они обслуживают умственные навыки (чтение, счет, орфографию) и формируются одновременно с ними.

Поэтому успешное овладение графическими навыками письма зависит от прочного овладения навыками чтения и грамотного письма.

  • Двигательный навык письма формируется медленно, особенно в первые два года обучения, а затем идет постепенное нарастание скорости письма и улучшение его качества, выработка стабильности.
  • Этот навык достигает стадии значительной автоматизации только после 7–9 лет обучения.
  • Письмо на первых порах связано и со значительным эмоциональным напряжением.
  • Ребенок остро переживает первые трудности и неудачи.

На первых этапах обучения письму затрата физических и духовных сил часто не приводит к желаемому результату.

Как оформить?

Рука как бы не слушается ребенка, так как движения пальцев, кисти и предплечья не согласованы.

Внимание ребенка полностью сосредоточивается только на процессе письма и с трудом распределяется между разными видами заданий. – и появилась голова Винни-Пуха.начинаем писать чуть ниже вспомогательной линии.

Поэтому переход от чисто графической работы к сочетанию ее со звукобуквенным анализом ведет к резкому снижению качества письма, особенно когда задание представляет для ученика большую трудность. Руку ведем вверх, закругляя линию чуть влево, затем ведем округлую линию вниз, чуть не доходя до нижней линии рабочей строки; закругляем вправо, доводим до нижней линии рабочей строки, закругляем вправо и ведем округлую линию до начала письма.

Документы

Учителю приходится следить за движением руки ребенка, подсказывать, куда ее вести, а иногда и помогать, взяв руку ребенка в свою, чтобы таким образом ученик ощутил, осознал, каким именно должно быть это усилие. И пока он хохотал, голова Слонопотама здорово ударилась о корень. Малый овал начинаем писать чуть ниже верхней линии рабочей строки, ведем вверх, чуть закругляем.

  • Сначала ребенок совершает относительно короткие движения в процессе письма, стремится быстрее прервать движение. Потом они заговорили о чем-то другом, и вскоре пришла пора Пуху и Пятачку идти домой. Сперва, пока они плелись по тропинке на краю Дремучего Леса, оба молчали… когда они дошли до Шести Сосен, Пух оглянулся кругом и, убедившись, что никто не подслушивает, сказал весьма торжественным тоном:– Винни-Пух знает, что поймать Слонопотама можно на мед, воздушные шарики или интересное задание. Доводим до верхней линии рабочей строки, ведем вниз округлую линию до нижней линии рабочей строки, поднимаемся вверх вправо и доводим до начала письма.)– Нарисуйте и раскрасьте лучи солнца. Заштрихуйте (сверху вниз) самое маленькое облако синим карандашом.
  • Однако даже в самом начале обучения ребенок способен без отрыва ручки и без особого напряжения писать отдельные буквы, затем слоги, а к концу года – слова из 4–5 букв. Но мед Винни-Пух съел сам, а вот интересное задание выполнить готов. Розовым карандашом заштрихуйте облако справа от солнышка.
  • Всякий навык формируется и закрепляется в процессе упражнений. На нём были стоптанные грязные ботинки, костюм кое-как болтался на его плечах. На доске – вырезанные из бумаги силуэты цветных карандашей, на обратной стороне которых написаны двустишия. Эта работа необязательна, но помогает проводить небольшие минутки отдыха.– За вашу помощь гномы решили познакомить вас с рабочей строкой и научить работать на ней. Вместе с ним мы будем учиться писать овалы и заданные линии на рабочей строке. Желтым карандашом заштрихуйте самое большое облако. (Начинаем писать от середины вспомогательной строки. Ведем палочку вниз, чуть не доводя до нижней линии рабочей строки; закругляем вправо, доводим до нижней линии и поднимаемся вверх вправо до середины рабочей строки.)(Начинаем писать с верхней линии рабочей строки, ведем вниз; чуть-чуть не доходя до нижней линии рабочей строки, закругляем вправо, доводим до нижней линии, ведем линию вверх вправо до середины рабочей строки.)(Начинаем писать сверху вниз.
  • Они должны быть организованы так, чтобы каждодневное упражнение отрабатывало и закрепляло навык письма. Нужно быть внимательным и запомнить, как называется каждая линия рабочей строки, чтобы в дальнейшем легко ориентироваться. Пух потер нос лапой и сказал, что, ну, наверное, Слонопотам будет гулять, мурлыкая себе под нос песенку и поглядывая на небо – не пойдет ли дождик, вот он и не заметит Очень Глубокой Ямы, пока не полетит в нее, а тогда ведь будет уже поздно…»(Начинаем писать сверху вниз. От точки, расположенной в первом ряду, ведем прямую наклонную линию вниз, к точке, расположенной во втором ряду.

Поэтому упражнения только тогда будут совершенствовать навык письма, когда они будут осуществляться осознанно. На доске начерчена такая же рабочая строка, как у вас в тетрадях. Запомним их названия: верхняя линия рабочей строки, нижняя линия рабочей строки, вспомогательная линия.(Начинаем движение от точки, расположенной на нижней линии рабочей строки; ведем линию вверх, касаемся верхней линии рабочей строки, ведем линию вниз и заканчиваем ее в точке на нижней линии рабочей строки.)(Начинаем движение от точки, расположенной на верхней линии рабочей строки; ведем линию вниз, касаемся нижней линии рабочей строки, ведем линию вверх и заканчиваем ее в точке на верхней линии рабочей строки.)Гость нашего урока – черепаха. ) не собаки, Чтоб с топотом, грохотом, воем и лаем Носиться за каждым мячом и трамваем. От первой точки ведем прямую линию вниз (она должна пройти через точку, расположенную посредине) до нижней точки. Затем ведем наклонную линию вверх, к третьей точке.

Отлично знаю все приемы манипуляций при звонках, хорошо разбираюсь в финансовых продуктах, потому что их мы и продаем для наших клиентов.

Образец приказа

Учитель, предъявляя учащимся требования к письму, разъясняет, почему они должны писать наклонно, без нажима, безотрывно. формировать навык проведения прямых и наклонных параллельных линий от заданных точек; закреплять знание понятий «вверху», «внизу», «вправо», «влево», «центр»; развивать мелкую моторику рук; учить соблюдать гигиенические правила при письме. Это она так испугала лягушат, когда они расположились на ночлег. Черепахи не бегают, ползают чинно, И на это есть очень простая причина: Испачкать свои костяные манишки Они не хотят, ведь они – не мальчишки. От нижней точки ведем прямую наклонную линию до верхней точки.)Пух, который тем временем совсем размечтался о меде, очнулся и даже подскочил и сказал, что мед гораздо приманочней, чем желуди. Далее ведем линию вниз (она должна пройти через точку, расположенную в середине) до нижней точки в третьем ряду.

  • Часть наиболее важных требований формулируется как правила письма, например: Когда дети начнут писать слова и предложения, вводится следующее правило: писать буквы и слова на одинаковом расстоянии друг от друга. Учитель показывает элементы иллюстрации, а дети говорят, где они расположены. Но лягушки все-таки успокоились, прилегли рядом с черепахой и посмотрели на ночное небо. Пятачок был другого мнения, и они чуть было не поспорили об этом; но Пятачок вовремя сообразил, что если они будут класть в ловушку желуди, то желуди придется собирать ему, Пятачку, а если они положат туда мед, то его достанет Пух.«…Пух принес горшок к западне, и Пятачок, выглянув из Очень Глубокой Ямы, спросил: «Принес? Пятачок заглянул в горшок и спросил: «Это все, что у тебя осталось? Спустя несколько часов, когда ночь уже потихоньку убиралась восвояси, Пух внезапно проснулся от какого-то щемящего чувства. От нижней точки ведем прямую наклонную линию к точке во втором ряду, от неё – наклонную линию вниз к следующей точке.
  • Методика этой работы примерно такая: учитель пишет на доске три предложения. Например, солнышко – в верхнем правом углу, травка – внизу, елочки – на траве, гриб – в середине на траве, цветок – на траве слева от гриба, бабочка – между солнышком и елками.– Вам нравится наш лес? Возьмите в руку одну фишку – это комната для первого звука. Для этого надо произнести слово так, чтобы этот звук был слышен.– Домики готовы, но что-то наши поросята загрустили. У него уже бывало раньше это щемящее чувство, и он знал, что оно означает: ему хотелось есть.…В рассветных сумерках Сосны казались грустными и одинокими; Очень Глубокая Яма казалась еще глубже, чем была, а горшок с медом, стоявший на дне, был совсем призрачным, словно тень. », кричал и просто: «Ай-ай-ай», но все это не помогало. – И он помчался прочь, так что только пятки засверкали, продолжая вопить: – Караул! От этой точки проводим линию до верхней точки в первом ряду.
  • В первом предложении все буквы и слова написаны на равных друг от друга расстояниях; во втором предложении слова написаны далеко друг от друга; в третьем предложении слова расположены очень близко друг к другу, а буквы в словах написаны на разных расстояниях. Лес способен поднять настроение любому человеку, который пришел в него как друг. Помогите им подготовить перышки к игре – заштрихуйте их. Оказывается, маленьким поросятам скучно жить по одному в своих домиках. Но когда Пух подошел поближе, нос сказал ему, что тут, конечно, мед, и язычок Пуха вылез наружу и стал облизывать губы. Он пытался стукнуть горшком обо что-нибудь, но, так как он не видел, обо что он стукает, и это не помогало. Узор повторяется.)А теперь, ребята, встать, руки медленно поднять.
  • Анализируя эти примеры, учащиеся вместе с учителем делают вывод: между словами всегда должны быть одинаковые расстояния, примерно равные букве Дети стоят, вытянув руки вперед ладонями вниз. Зеленый солнечный свет, особая лесная тишина, птичьи трели и жужжание насекомых, аромат лесных цветов несут успокоение и здоровье. Второй ученик повторяет то слово, которое назвал первый, и добавляет свое (например, читать, танцевать). Он пытался вылезти из западни, но, так как он не видел ничего, кроме горшка (да и тот не весь), и это не получалось.– Караул! Мы проверили осанку и свели лопатки, Мы походим на носках, а потом на пятках.

На видео о начислении заработной платы

Внимание!

  • В связи с частыми изменениями в законодательстве информация порой устаревает быстрее, чем мы успеваем ее обновлять на сайте.
  • Все случаи очень индивидуальны и зависят от множества факторов. Базовая информация не гарантирует решение именно Ваших проблем.

Поэтому для вас круглосуточно работают БЕСПЛАТНЫЕ эксперты-консультанты!

  1. Задайте вопрос через форму (внизу), либо через онлайн-чат
  2. Позвоните на горячую линию:

ЗАЯВКИ И ЗВОНКИ ПРИНИМАЮТСЯ КРУГЛОСУТОЧНО и БЕЗ ВЫХОДНЫХ ДНЕЙ.

komedianty.spb.ru

Область определения функции калькулятор – Область определения функции онлайн

alexxlab / / Школьная жизнь

Найти область определения функции — 22 Июля 2013 — Примеры решений задач

Калькулятор для для вычисления области определения функции.

Определение. Областью определения (ООФ) функции  y=f(x) называется множество значений переменной x, для которых существуют соответствующие значения y.

Для  нахождения  области  определения  элементарной  функции необходимо  рассмотреть  условие  существования  каждой  основной элементарной функции, входящей в данную функцию. Общим ООФ будет пересечение всех частных ООФ.

   Если функция составная (т.е. состоит из нескольких элементарных функций, каждая из которых определена на своем интервале), то нужно на каждом интервале определить ООФ для соответствующей функции, а после взять объединение полученных частных ООФ.

Пример 1. Найти область определения функции


Решение.  Для того чтобы найти область определения (domain) функции  достаточно решить неравенство

 

 

Область определения вся действительная ось за исключением точки x=2:


Область определения функции можно найти с помощью калькулятора

Данный калькулятор находит также область определения функции двух переменных и изображает на плоскости Oxy

Пример 2. Найти и изобразить на плоскости Oxy область определения (domain) функции

 

Решение. Вставляем в калькулятор arccos(x^2+y^2), нажимаем Ok, получаем ответ.

 

www.reshim.su

Фотоотчёт область определения функции калькулятор

Скачать — область определения функции калькулятор                                                                                                     …

Скачать — область определения функции калькулятор

                                                                                                               Описаниеобласть определения функции калькулятор

Область определения функции Онлайн калькулятор — Область определения функции онлайн. Найти область определения функции Онлайн калькулятор! Данный калькулятор даст сбыточность обнаружить область определения функции онлайн. Калькулятор для нахождения области определения функции онлайн (стремительно). Требуется сыскать область определения функции, для такового нужно знать области. Необходимость распознать область определения функции возникает при решении любой задачи. Калькулятор вычисляет значения функции для заданных значений х. Если при решении математических задач Вы не знаете, как разыскать область определения функции. Область определения функции можно сыскать с помощью калькулятора Данный калькулятор. Как выискать область определения функции? Примеры решений. Область определения функции — это большое количество чисел. Калькулятор для для вычисления плоскости определения функции. Следовательно, область определения функции это Область определения функции сыскать область определения функции онлайн; Четность. Область определения функции онлайн — калькулятор. Калькулятор считает значения функции, подставляя в то же время переменные. При решении многих задач приходится искать область определения функции. На нашем подробно описаны все необходимые свойства функции, основные свойства функции. Калькулятор вычисляет предел функции в заданной точке численным. Областью определения функции y=f(x) называется несоизмеримое количество значений x, для которых существуют. Калькулятор; Необходимость сыскать область определения функции возникает при решении любой задачи. Производной от элементарной и от сложной функции принципиально. Как обнаружить область определения и область значений функции. Касательной к графику функции из определения. При исследовании функций часто возникает проблема, как распознать область определения функции? Пример нахождения плоскости определения функции №1 Нахождение ветви определения любой. Найти область определения функции оналайн с решением Калькулятор для нахождения местности. Разобрано, что такое область определения функции, введено обозначение, перечислены. Область определения функции онлайн калькулятор — c подробным описанием Нахождение интервалов возрастания и убывания функции. При решении многих задач приходится искать область определения функции. Этот профессиональный онлайн калькулятор поможет вычислить и рассчитать предел функции. Найти область определения и область значений. И Вы узнаете область определения функции. Определения функции отрезка в область определения и не. При решении многих задач приходится искать область определения функции.

https://geometria.ru/communities/4861/albums/1024881

https://geometria.ru/communities/4861/albums/1020622

https://geometria.ru/communities/4861/albums/1022941

Альбом пуст. Загрузите фотографии.


geometria.ru

Функция двух и более переменных. Её область определения

При изучении многих закономерностей в естествознании и экономике приходится встречаться с функциями от двух (и более) независимых переменных.

Определение (для функции двух переменных). Пусть X, Y и Z — множества. Если каждой паре (x, y) элементов из множеств соответственно X и Y в силу некоторого закона f ставится в соответствие один и только один элемент z из множества Z, то говорят, что задана функция двух переменных z = f(x, y).

В общем случае область определения функции двух переменных геометрически может быть представлена некоторым множеством точек (x; y) плоскости xOy.

Подобно тому, как функция y = f(x) геометрически изображается графиком, можно геометрически истолковать и уравнение z = f(x, y).

Ставя в соответствие каждой точке аппликату z = f(x, y), мы получим некоторое множество точек (x; y; z) трёхмерного пространства – чаще всего некоторую поверхность. Поэтому равенство z = f(x, y) называют уравнением поверхности.

Из аналитической геометрии известно, что множество всех упорядоченных троек чисел (x; y; z) образует координатное пространство. При этом каждой тройке (x; y; z) в пространстве соответствует точка М(x; y; z) и наоборот.

Аналогично можно дать определение функции четырёх переменных u = f(x; y; z; t). В этом случае множество упорядоченных четвёрок чисел (x; y; z; t) образуют так называемое четырёхмерное пространство, а каждая четвёрка (x; y; z; t) называется точкой этого пространства. Однако область определения функции четырёх переменных уже не имеет наглядного геометрического истолкования.

Забавный, хотя и нематематический случай функции нескольких переменных можно найти в романе Джерома К. Джерома «Трое в лодке, не считая собаки». Герой романа сообщает: «Как-то раз я зашёл в библиотеку Британского музея, чтобы навести справку о средстве против пустячной болезни, которую я где-то подцепил, — кажется, сенной лихорадки. Я взял справочник и нашёл там всё, что мне было нужно…» Итак, описана функция одной переменной — найти симптомы одного заболевания. Дальше: «… а потом, от нечего делать, начал перелистывать книгу, просматривая то, что там сказано о разных других болезнях.» И герой находил у себя симптомы всех болезней, о которых читал: «Так я добросовестно перебрал все буквы алфавита, и единственная болезнь, которой я у себя не обнаружил, была родильная горячка». То есть, самая настоящая функция нескольких (многих) переменных — обнаружить у себя симптомы болезней (нескольких или даже многих), о которых человек прочёл. Впрочем, случай не такой уж и нематематический. Если условиться считать, что закон, которым задаётся функция, заключается в суммировании чисел, означающих число симптомов, а на выходе — число, которое следует толковать как степень нервного истощения героя. У этой функции есть и область определения — множество симптомов всех болезней, которые можно найти в справочниках.

Пример 0 (наиболее общий). Рассмотрим температуру t в пункте p земной поверхности P. Таким образом, возникает температурная функция , аргументом которой является точка p поверхности P, а значением t = T(p) — температура в этой точке. Чтобы привести эту функцию к числовой записи, точку p характеризуют некоторыми числовыми параметрами, например, широтой и долготой . После этого вместо t = T(p) пишут , где теперь t, , — числа. И t оказывается, таким образом, зависящей не от одной, а от двух переменных — и , поэтому такую числовую функцию называют функцией двух переменных. В этом же смысле температура атмосферы в целом есть функция трёх переменных: две первые (, ) указывают, над какой точкой земной поверхности проводится измерение температуры, а последняя — H — задаёт высоту, на которой оно выполняется.

Таким образом, то, что раньше выглядело как функция одного аргумента, при переходе к числовой записи может оказаться функцией нескольких числовых аргументов.

Аналогично можно ввести понятия функции пяти и вообще n переменных .

Множество D называется областью определения функции z, а множество E – множеством её значений. Переменные x и y по отношению к функции z называются её аргументами. Переменная z называется зависимой переменной.

Частным значениям аргументов

соответствует частное значение функции

Если функция нескольких переменных (например, двух переменных) задана формулой z = f(x, y), то областью её определения является множество всех таких точек плоскости x0y, для которых выражение f(x, y) имеет смысл и принимает действительные значения. Общие правила для области определения функции нескольких переменных выводятся из общих правил для области определения функции одной переменной. Отличие в том, что для функции двух переменных областью определения является некоторое множество точек плоскости, а не прямой, как для функции одной переменной. Для функции трёх переменных областью определения является соответствующее множество точек трёхмерного пространства, а для функции n переменных — соответствующее множество точек абстрактного n-мерного пространства.

Область определения функции двух переменных с корнем n-й степени

В случае, когда функция двух переменных задана формулой и n — натуральное число:

если n — чётное число, то областью определения функции является множество точек плоскости, соответствующих всем значениями подкоренного выражения, которые больше или равны нулю, то есть

если n — нечётное число, то областью определения функции является множество любых значений , то есть вся плоскость x0y.

Область определения степенной функции двух переменных с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a — положительное, то областью определения функции является вся плоскость x0y;

если a — отрицательное, то областью определения функции является множество значений , отличных от нуля: .

Область определения степенной функции двух переменных с дробным показателем степени

Область определения логарифмической функции двух переменных

Логарифмическая функция двух переменных определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество тех точек плоскости, в которых принимает значения, большие нуля: .

Область определения тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции — вся плоскость x0y.

Область определения функции — вся плоскость x0y.

Область определения функции — вся плоскость x0y, кроме пар чисел, для которых принимает значения .

Область определения функции — вся плоскость x0y, кроме пар чисел, для которых принимает значения .

Область определения обратных тригонометрических функций двух переменных

Область определения функции — множество таких точек плоскости, для которых .

Область определения функции — множество таких точек плоскости, для которых .

Область определения функции — вся плоскость x0y.

Область определения функции — вся плоскость x0y.

Область определения дроби как функции двух переменных

Если функция задана формулой , то областью определения функции являются все точки плоскости, в которых .

Область определения линейной функции двух переменных

Если функция задана формулой вида z = ax + by + c, то область определения функции — вся плоскость x0y.

Пример 1. Найти область определения функции двух переменных .

Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство

.

Умножаем всё неравенство на и получаем

.

Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.

Пример 2. Найти область определения функции двух переменных .

Решение. По правилам для области определения составляем двойное неравенство

.

Переносим икс в правую часть и получаем

.

Полученное выражение и задаёт область определения данной функции двух переменных.

Пример 3. Найти область определения функции двух переменных S = xy и частное значение этой функции при при x = 3, y = 5.

Решение. Область определения функции S = xy, выражающей зависимость площади многоугольника от длин его сторон, может быть записана двумя неравенствами  и , которые определяют I квадрант на плоскости xOy. Частное значение этой функции при x = 3, y = 5 составляет

Функции нескольких переменных

function-x.ru

область определения функции

Понятия четной и нечетной функции вам хорошо знакомы, и, как правило, их определения даются с упоминанием области определения, например: функция у=f(x) называется четной, если ее область определения D(f) симметрична относительно начала координат, и для всех х из этой области определения выполняется равенство f(-x)=f(x). Между тем, если равенство f(x)=f(-x) выполняется, то уж во всяком случае обе

Такого понятия в математическом языке, конечно же, нет, и этим словом мы называем здесь лишь функции у=[х] — целую часть х, у={х} — дробную часть х, с которыми вы наверняка уже встречались, и совсем не знакомые вам функцию у=sgn х (сигнум x) и функцию Дирихле. Целая часть, сигнум и функция Дирихле необычны в первую очередь

В определении функции в любой форме речь идет о том, что каждому элементу х из некоторого множества X ставится в соответствие некоторое число у. При этом каждый «нормальный» человек считает «внутри себя», что имеется в виду, конечно, непустое множество X — иначе какой смысл говорить о функции? Да и можно ли вообще говорить о каждом

При рассмотрении функций за скобками, в тени остается обычно много тонких вопросов, относящихся к самой сути математики — к логике рассуждений. Эти вопросы относятся к так называемым крайним случаям, где математическая, логическая ситуация становится парадоксальной, но неминуемо всплывают, если к доказательствам теорем и к решениям задач отнестись более внимательно, и именно с логической точки зрения,

Своим подписчикам я уже говорил, а многие уже, наверно, и сами догадались. Что последним временем я много говорил о разных частях исследования графика функции, которые надо сделать для того, что бы правильно построить этот график, то есть нахождение области определения, асимптот графика, экстремумов, промежутков выпуклости. Ну, вот теперь мы и подошли, к примеру, на котором

Я не просто так в предыдущей статье рассказывал о том, как находить область определения функции. Именно это нам очень пригодится при нахождении асимптот для графика функции. Это очень важно знать перед построением графика, тогда намного легче его строить и именно о них и пойдёт речь в этой статье. И на эту тему я сделал текстовый

При решении многих задач приходится искать область определения функции. Особенно это нужно знать при построении графика и исследовании функции. Именно поэтому я решил рассмотреть основные варианты, которые могут быть при нахождении области определения функции. Их не так много, наверняка, многие это знают и сами, но думаю, напомнить не будет лишним. И так, область определения функции

matemonline.com

Область определения функции онлайн калькулятор

Елена 17 сентября 2014, 11:51

Разговоры с бабой Нюрой

В начале июня 2014 в социальных сетях появились разговоры с бабой Нюрой. Это такая сетевая публицистика, когда нет ремарок а только диалоги. Автор этих текстов экс-директор Ялтинской киностудии Дмитрий Таран. Он ведет на ТРК «Крым» информационно-аналитическую программу «Информационная война». Баба Нюра реальный персонаж, ей 68 лет, при Советском Союзе она была опером уголовного розыска, затем замом главы райадминистрации, член партии, дети, внуки. Баба Нюра, а что такое, по-вашему, демократия? Митя, демократия — это священное право платежа. Опер середины 80-ых -…

Читать полностью…

www.babyblog.ru

Калькулятор для сравнения чисел – Калькулятор для сравнения дробей

alexxlab / / Школьная жизнь

Сравнение смешанных чисел. Онлайн калькулятор

Для сравнения смешанных чисел, когда дробные части – правильные дроби используют следующее правило:

При сравнении смешанных чисел больше то смешанное число, целая часть которого больше, если же целые части равны, то больше то смешанное число, дробная часть которого больше.

Если попадаются примеры, в которых целые части разные и одна или обе дробные части представляют собой неправильные дроби, сравнение смешанных чисел можно свести к сравнению обыкновенных дробей. Для этого нужно представить смешанные числа в виде неправильных дробей.

Сравним два смешанных числа и :

  1. Переводим смешанные числа в неправильные дроби:

  2. Приводим неправильные дроби к общему знаменателю:

  3. Сравниваем:

    , значит 

Смешанные числа равны, если соответственно равны их целые и дробные части.

Правило сравнения смешанного числа с натуральным числом:

Если целая часть смешанного числа больше или равна данному натуральному числу, то смешанное число больше данного натурального числа, а если целая часть смешанного числа меньше данного натурального числа, то смешанное число меньше данного натурального числа.

Если целая часть смешанного числа меньше данного натурального числа, а дробная часть является неправильной дробью, то сравнение можно свести к сравнению обыкновенных дробей.

Сравним смешанное число с натуральным числом 6:

  1. Переводим числа в неправильные дроби:

  2. Приводим неправильные дроби к общему знаменателю:

  3. Сравниваем:

    , значит 

Любое смешанное число больше любой правильной дроби.

Сравнение смешанного числа c неправильной дробью можно свести к сравнению двух неправильных дробей. Для этого смешанное число нужно представить в виде неправильной дроби.

Сравним смешанное число с неправильной дробью :

  1. Переводим смешанное число в неправильную дробь:

  2. Приводим неправильные дроби к общему знаменателю:

  3. Сравниваем:

    , значит 

Калькулятор сравнения смешанных чисел

Данный калькулятор поможет вам сравнить смешанные числа. Просто введите два числа и нажмите кнопку Сравнить. Данный калькулятор позволяет также сравнивать: натуральное число с дробью, смешанное число с дробью и натуральное число со смешанным.

naobumium.info

Сравнение обыкновенных дробей. Онлайн калькулятор

Сравнить две дроби – значит определить, какая из дробей больше, какая меньше или установить, что дроби равны.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

При сравнении двух дробей, у которых одинаковые числители, больше будет та дробь, у которой знаменатель меньше.

Например, больше , так как количество взятых долей в обеих дробях одинаковое, но первая дробь содержит более крупные доли, чем вторая:

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

При сравнении двух дробей, у которых одинаковые знаменатели, больше будет та дробь, у которой числитель больше.

Например, меньше , так как первая дробь содержит меньше взятых долей, чем вторая:

Сравнение дробей с разными знаменателями

Чтобы сравнить дроби, у которых разные числители и знаменатели, нужно привести их к общему знаменателю. После приведения дробей к общему знаменателю, их сравнивают по правилу сравнения дробей, у которых одинаковые знаменатели.

Например, сравним две дроби: и . Приводим их к общему знаменателю:

Теперь сравниваем их:

так как  , значит  

Равенство дробей

Две обыкновенные дроби считаются равными, если равны их числители и знаменатели или, если они выражают одну и ту же часть единицы.

Сравнение дроби с натуральным числом

Правильная дробь меньше любого натурального числа.

Чтобы сравнить неправильную дробь с натуральным числом, нужно натуральное число представить в виде неправильной дроби, затем привести дроби к общему знаменателю. После приведения дробей к общему знаменателю, их сравнивают по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравним неправильную дробь с числом 5.

1. Переводим натуральное число в неправильную дробь:

2. Приводим дроби к общему знаменателю:

3. Сравниваем:

так как , значит

Онлайн калькулятор сравнения дробей

Данный калькулятор поможет вам сравнить обыкновенные дроби. Просто введите две дроби и нажмите кнопку Сравнить.

naobumium.info

Онлайн калькуляторы для сравнения десятичных дробей

Одной из задач в области арифметики является сравнение десятичных дробей. Сам процесс обычно не вызывает никаких сложностей, однако иногда над решением нужно подумать. Если нет желания самостоятельно проводить расчеты или нужно сверить результат, за помощью можно обратиться к специальным онлайн-сервисам. Именно о них мы и расскажем в этой статье.

Читайте также: Конвертеры величин онлайн

Сравниваем десятичные дроби онлайн

На просторах интернета есть множество практически идентичных по реализации веб-ресурсов. Они функционируют примерно по одному и тому же алгоритму и одинаково хорошо справляются со своей главной задачей. Поэтому мы решили рассмотреть только два подобных сайта, а вы, исходя из представленных инструкций, сможете понять принцип работы на таких сервисах.

Способ 1: Calc

Одним из самых популярных сборников различных калькуляторов и конвертеров является сайт Calc. На нем вам доступно проведение самых разнообразных расчетов в совершенно любых областях науки, строительства, бизнеса, одежды и многого другого. Здесь присутствует инструмент, позволяющий провести необходимое нам сравнение. Произвести процедуру не составит труда, просто следуйте следующему руководству:

Перейти на сайт Calc

  1. Откройте калькулятор, перейдя по указанной выше ссылке с помощью любого удобного браузера.
  2. Здесь отметьте маркером пункт «Сравнить десятичные дроби».

  3. Заполните отобразившиеся поля, введя в каждое необходимое для сравнения число.

  4. Щелкните левой кнопкой мыши по плитке с надписью «Сравнить».

  5. Ознакомьтесь с полученным результатом и можете переходить к проведению других расчетов.

  6. Кроме этого доступна отправка в печать открывшегося документа и рассылка решения друзьям через социальные сети.

  7. Опуститесь вниз по вкладке. Там вы найдете другие материалы по теме десятичных дробей.

На этом проведение сравнения завершено, оно заняло буквально несколько минут, а решения не пришлось долго ждать. Надеемся, вопросов по работе с этим сайтом у вас не осталось, поэтому рекомендуем перейти к рассмотрению следующего.

Способ 2: Naobumium

Интернет-ресурс под названием Naobumium не только собрал в себе математические калькуляторы и правила, но и предоставляет информацию в сфере русского языка. Однако сегодня нас интересует только один инструмент. Давайте скорее ознакомимся с ним.

Перейти на сайт Naobumium

  1. Перейдите на главную страницу Naobumium, где на верхней панели выберите категорию «Арифметика».

  2. Обратите внимание на панель слева. Отыщите там раздел «Десятичные дроби» и разверните его.

  3. Кликните левой кнопкой мыши на надписи «Сравнение».

  4. Ознакомьтесь с представленными правилами, чтобы разобраться в принципе решения поставленной задачи.

  5. Опуститесь вниз по вкладке, где в соответствующие поля введите два необходимых для сравнения числа.

  6. Нажмите на кнопку «Сравнить».

  7. Ознакомьтесь с полученным результатом и переходите к решению следующих примеров.

    8. Читайте также:
    Перевод в систему СИ онлайн
    Перевод из десятичной в шестнадцатеричную систему онлайн
    Перевод из восьмеричной в десятичную онлайн
    Сложение систем счисления онлайн

Как видите, два рассмотренных сегодня сервиса мало чем отличаются друг от друга, разве что общая функциональность сайтов и оформление сразу бросаются в глаза. Поэтому мы не можем дать рекомендации по поводу выбора конкретного веб-ресурса. Подбирайте оптимальный вариант, исходя из собственных предпочтений.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.
Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Помогла ли вам эта статья?

ДА НЕТ

lumpics.ru

Калькулятор сравнения дробей с разными знаменателями, сортировка чисел онлайн


Сравнение обыкновенных дробей

Сравнить две дроби – значит определить, какая из дробей больше, какая меньше или установить, что дроби равны.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

При сравнении двух дробей, у которых одинаковые числители, больше будет та дробь, у которой знаменатель меньше.

Например, больше , так как количество взятых долей в обеих дробях одинаковое, но первая дробь содержит более крупные доли, чем вторая:

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

При сравнении двух дробей, у которых одинаковые знаменатели, больше будет та дробь, у которой числитель больше.

Например, меньше , так как первая дробь содержит меньше взятых долей, чем вторая:

Сравнение дробей с разными знаменателями

Чтобы сравнить дроби, у которых разные числители и знаменатели, нужно привести их к общему знаменателю. После приведения дробей к общему знаменателю, их сравнивают по правилу сравнения дробей, у которых одинаковые знаменатели.

Например, сравним две дроби: и . Приводим их к общему знаменателю:

Теперь сравниваем их:

так как , значит  

Равенство дробей

Две обыкновенные дроби считаются равными, если равны их числители и знаменатели или, если они выражают одну и ту же часть единицы.

Сравнение дроби с натуральным числом

Правильная дробь меньше любого натурального числа.

Чтобы сравнить неправильную дробь с натуральным числом, нужно натуральное число представить в виде неправильной дроби, затем привести дроби к общему знаменателю. После приведения дробей к общему знаменателю, их сравнивают по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример. Сравним неправильную дробь с числом 5.

1. Переводим натуральное число в неправильную дробь:

2. Приводим дроби к общему знаменателю:

3. Сравниваем:

так как , значит

Онлайн калькулятор сравнения дробей

Данный калькулятор поможет вам сравнить обыкновенные дроби. Просто введите две дроби и нажмите кнопку .

описание

Вам не нужно иметь навыки программирования для написания сложных сценариев или тратить время на классифицирование классифицированных программ — Excel или Word.

Как сравнить фракции

Теперь вы можете использовать готовые решения в повседневной работе.

Алгоритм поможет сразу отсортировать значения в алфавитном и обратном порядке, чтобы строить данные по количеству символов в слове или любому значению символа.

инструкции

Инструмент отлично справляется с добавленной стоимостью в столбце и отдельными словами, заданными запятой или пробелом.

Скопируйте данные, необходимые для сортировки в левом окне, укажите одну из четырех функций и нажмите кнопку Сортировать по.

По умолчанию он доступен Алфавитный порядок (A — R / 0 — 9).

По выбору Обратный порядок (H — A / 9 — 0), алгоритм сразу отображает матрицу в обратном направлении.

черты Значения на длину (от малого до большого) и Значения по длине (от более высокой до нижней) работайте по аналогичному принципу, но сортировка основана на количестве символов в строке.

Написать комментарий

Для меня важно знать, как работает служба и как ее можно улучшить. Написать комментарий по почте [email protected] или в нижней форме.

Добавьте ссылку на этот и другие полезные инструменты в свои закладки и поделитесь ими с коллегами.

Как работать с калькулятором регулярных фракций?

Калькулятор предназначен для спасения простые фракции и фракции с целыми числами (смешанный). Функция десятичных дробей запланирована в будущем, но в настоящее время она недоступна.

Чтобы начать работу с частичным калькулятором, вам нужно понять очень простой принцип ввод данных.

Все целые числа вводятся с помощью больших кнопок слева. Все счетчики вводятся с маленькими белыми кнопками, расположенными в верхней правой части цифр. Все символы вводятся нажатием кнопки в правом нижнем углу. Метод ввода данных является своего рода инновационным, поскольку он четко описывает весь числитель и знаменатель, который позволяет проводить расчеты, экономит время и позволяет более эффективно взаимодействовать с использованием.

Скажи это, вы должны добавить квадратный корень из двух пятых и один двадцать два на шестом шаге.

Начните вводить пример из корневой кнопки. Затем нажмите на номер 2 в области измерителя и номер пять в знаменателе. Первый термин готов. Теперь щелкните знак «+» — это надстройка. Затем введите целое число в основную клавиатуру, затем номер 2 в области счетчика и девять в знаменателе. Затем нажмите кнопку «^», а затем на номер шесть на главной клавиатуре.

В результате мы получаем готовый пример:

в настоящее время Нажмите эквивалентную кнопку и перейдите стоимость результата.

В приведенном выше примере показан почти весь арсенал дробных калькуляторов. Вы можете сделать то же самое так же размножение, деление и вычитание фракций, так же просто, как алгебраические, с одинаковыми и разными знаменателями, целыми числами и т. д.

Калькулятор также может рассчитывать фракции из фракций, что не часто требуется, но тем не менее очень важно решить ряд неотложных проблем.

Чтобы получить положительное отрицательное число, сначала введите номер и нажмите кнопку «+/-».

После этого число или часть автоматически завертываются в скобки с отрицательным значением или наоборот (в зависимости от начального состояния номера). Чтобы удалить число, счетчик или знаменатель, используйте соответствующую стрелку возврат на одну позицию, который находится в блоке как числителя, так и знаменателя.

Стрелки работают одинаково, а затем удаляют номера или символы на экране компьютера.

Управляйте частичным калькулятором с клавиатуры.

Используйте его Калькулятор веб-фракций не только с компьютерной мышью, но и с клавиатурой.

Логика очень проста:

  1. Все вводится как обычно, нажимая цифровые клавиши.
  2. Все счетчики вводятся путем добавления клавиши CTRL (например, CTRL + 1).
  3. Все знаменатели вводятся путем добавления клавиши ALT (например, ALT + 2).

Меры умножения, деления, добавления и вычитания, а также запуска соответствующих клавиш на клавиатуре, если они есть (обычно расположены с правой стороны, так называемая область Numpad).

Удаление выполняется нажатием клавиши Backspace. Очистка (красная кнопка «C») запускается нажатием клавиши «C». Квадратный корень — нажатием соседней клавиши «V».

Удаление выполняется нажатием клавиши Backspace.

Зачем вам нужен онлайн-калькулятор?

Дробный калькулятор онлайн предназначен для обработки гладкий и смешанный дробей (с целым числом).

Решение фракций часто необходимо для студентов и студентов, а также для инженеров и выпускников. Наш калькулятор позволяет создавать следующие действия с частицами: расщепление фракций, умножение фракций, добавление фракций и вычитание фракций. Калькулятор также может работать с корнями и ставками, а также с отрицательными числами, что делает его несколько раз превышает аналогичные веб-приложения.

Простой калькулятор фракционной дроби онлайн поможет вам решить дела с фракциями, поэтому вам не нужно беспокоиться о том, как противодействовать фракции.

Он становится здесь автоматически, поскольку само приложение вычисляет общий знаменатель и, наконец, показывает конечный результат.

Каковы преимущества этого метода для решения фракций?

калькулятор поддерживает работу с скобками, что позволяет решать фракции, даже в сложных математических случаях. Кампании часто необходимы для скобок алгебраические дроби или отрицательные фракции, над которыми мы должны постоянно избегать всех учащихся средних школ.

Калькулятор для сравнения фракций

Кроме того, вы можете использовать этот калькулятор сокращение фракций или дробные растворы с разными знаменателями. Кроме того, этот калькулятор, в отличие от многих других бесплатных сервисов, может работать с двумя, тремя, четырьмя и вообще с любым количеством дробей и чисел.

Калькулятор регулярных фракций абсолютно бесплатно и не требует регистрации.

Вы можете использовать его в любое время дня и ночи. Вы можете сделать это с помощью мыши или непосредственно с клавиатуры (это относится к числу и действиям). Мы попытались реализовать максимум удобный интерфейс частичные вычисления, которые делают сложные математические расчеты меняющимися в одно удовольствие!

🙂

Сравнение обыкновенных дробей

Удобный и простой онлайн-калькулятор фракций с точным решением вы можете:

  • Складывайте, вычитайте, размножайте и размещайте фрагменты в Интернете,
  • Получите частичное решение изображения и просто загрузите его.

Результат фракций будет здесь …

Наш калькулятор онлайн-калькуляторов имеет быстрый ввод.

Например, если вы хотите получить частичное решение , просто введите 1/2 + 2/7 в калькулятор и нажмите кнопку «Rescue Faction».

Калькулятор напишет вам детальное решение фракций и вопросы легко скопировать изображение.

Персонажи, используемые для записи в калькуляторе

знакзамечаниеПример записи
/Частичный символ (не используется для разделения) Фракция 1/3 1/3
+Знак плюса для добавления фракций1/2 + 3/5
— Минус для вычитания фракций3 / 5-2 / 7
* или ×Умножение фракций2/3 * 5/8
: или ÷ Фракция фракций (частичная «/» не используется!)1/3: 7/8

Вы можете ввести пример решения с клавиатуры или с помощью кнопки.

Характеристики калькулятора веб-фракций

Калькулятор фракций может выполнять операции только с двумя простыми фракциями.

Они могут быть правильными (счетчик меньше знаменателя) или неверны (счетчик больше знаменателя). Числа в числителе и знаменателе не должны быть отрицательными и больше 999.
Наш онлайн-калькулятор принимает решения по фракциям и направляет ответ на правильный формат — уменьшает долю и, при необходимости, назначает всю часть.

Просто используйте свойства минус, чтобы сохранить отрицательные части. При умножении и делении отрицательных дробей знак плюс добавляет плюс. Это означает, что продукт и распределение отрицательных дробей идентичны произведению и распределению того же положительного. Если фракция отрицательная, если вы ее умножаете или делите, удалите минус и добавьте ее в ответ. При добавлении отрицательных фракций результат будет таким же, как добавление одинаковых положительных пропорций.

Если вы добавите одну отрицательную долю, то это то же самое, что и вычесть тот же самый положительный результат.
При вычитании отрицательных дробей результат будет таким же, как если бы они были изменены в местах и ​​стали положительными.

Сравнение фракций

Это означает, что минус минус в этом случае дает плюс, и сумма не изменяется от суммы. Те же правила, которые мы используем при подсчете фракций, один из которых отрицателен.

Чтобы решить смешанные фракции (фракции, в которых размещена вся часть), просто заполните всю фракцию во фракцию.

Чтобы сделать это, умножьте всю часть на знаменатель и добавьте его в счетчик.

Если вы хотите сохранить 3 или более акций в Интернете, они должны быть приняты. Во-первых, подсчитайте первые две фракции, затем с полученным ответом определите следующую долю и так далее. Выполните операции на линии 2 фракций, и в конце вы получите правильный ответ.

Зачем принимать решения в калькуляторе

Решения в калькуляторе должны узнать, как сохранить дроби.
Калькулятор не имеет намерения решать фракции для вас.

Это не универсальный резак, это инструмент обучения. Это поможет вам понять решение, так что вы можете легко решить фракции самостоятельно. В дополнение к учебному калькулятору мы также рекомендуем изучить наши материалы: «Как разрешить фракции». Решение фракций. «

Если вы заметили какие-либо ошибки или неудобства при использовании калькулятора, пожалуйста, свяжитесь с нами в комментариях. Насколько это возможно, мы закончим калькулятор!

Онлайн калькулятор. Сравнение фракций.

Студент видит на экране несколько номеров с интересной цветовой схемой. Эти числа расположены в случайном порядке. Ребенок, который знает правильный порядок учетной записи, должен отредактировать от малого до большого. Проблема с упражнением заключается в том, что цифры, показанные на рисунке, не обязательно идут один за другим.

Фактически, промежутки между ними могут быть важными. Но студент, который выполняет эту задачу, должен помнить, какой из чисел больше и меньше. Когда ребенок создает последовательность, он немедленно переходит на следующий уровень (если ответ правильный) или после просмотра правильной опции — если он совершает ошибку.

Это упражнение не только развивает логическое мышление, оно учит вас анализировать и готовить последовательные выводы из образа, но также помнить о правильной последовательности чисел при подсчете.

Порядок увеличения является естественным для многих партий, поэтому ребенок может легко обнаружить его.

vipstylelife.ru

Сравнение чисел | Формулы с примерами

Сравнение рациональных чисел в математике

Определение
При сравнении чисел в математике, большим является то,
которое на координатной прямой находится правее.
Соответственно меньшее то, которое левее.

Сравнение целых чисел в пределах 10

Пример
— 5 1 > — 4; 6 > — 5; — 4 — 1 > — 5.

Сравнение двузначных чисел на координатной прямой

Пример
— 15 12 > — 14; 16 > — 15; — 14 — 11 > — 15.

Правила сравнения чисел

Правило ! Любое положительно число больше нуля.
1 > 0; 11 > 0; 0, 002 > 0; 10, 3231 > 0 235, 0902 > 0.
Правило
! Любое отрицательное число меньше нуля.
— 1 — 13 — 0, 0321 — 310, 3231 — 1235, 1235
Правило
! Любое отрицательное число меньше положительного.
Правило
! Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого, меньше.
— 700 — 4 > — 20,5; — 66 > — 22; — 1,43
Правило
! Направления возрастания чисел при движении по координатной
прямой — слева направо.

formula-xyz.ru

Сравнение рациональных чисел

Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.

Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.

Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.

В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы

4 > 1

Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:

Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.

Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное  правило

Находим модули чисел:

|4| = 4

|1| = 1

Сравниваем найденные модули:

4 > 1

Отвечаем на вопрос:

4 > 1

Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:

Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Например, сравним числа −3 и −1

Находим модули чисел

|−3| = 3

|−1| = 1

Сравниваем найденные модули:

3 > 1

Отвечаем на вопрос:

−3 < −1

Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.

Число −3 меньше, чем число −1. Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой

Видно, что число −3 лежит левее, чем −1. А мы знаем, что чем левее, тем меньше.

Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2

−4 < 2

Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».

Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки чисел. Минус перед числом будет говорить о том, что число отрицательное. Если знак числа отсутствует, то число положительное, но вы можете записать его для наглядности. Напомним, что это знак плюса

−4 < +2

Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.

Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет видоизменять, чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.

Пример 1. Сравнить рациональные числа

Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что    меньше, чем

Пример 2. Сравнить рациональные числа   и 

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем  , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 3. Сравнить числа 2,34 и

Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что 2,34  больше, чем 

2,35 > 

Пример 4. Сравнить рациональные числа   и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное  больше, чем  , потому что модуль числа  меньше, чем модуль числа

Пример 5. Сравнить рациональные числа 0 и

Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем

Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и 

Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем

Пример 7. Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403

Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль

4,530

Далее применим правило сравнения положительных чисел.

Находим модули чисел

|4,530| = 4,530

|4,403| = 4,403

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403

4,53 > 4,403

Пример 8. Сравнить рациональные числа   и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число  в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное  больше, чем  , потому что модуль числа  меньше, чем модуль числа 

Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.

Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.

Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256

Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256

|15| = 15

|2| = 2

15 > 2

поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256

15,4 > 2,1256

Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа

15,4000   2,1256

154000 > 21256

Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.

Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей

|−15| = 15

|−0| = 0

15 > 0

Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.

А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2

 −0,152 > −15,2

Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:

|−3| = 3

|−3| = 3

3 = 3

В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули

|−3,4| = 3,4

|−3,7| = 3,7

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7

−3,4 > −3,7

Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и 

Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.

Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью  . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)

0,(3)  < 

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Навигация по записям

spacemath.xyz

Чему равно i комплексные числа – Комплексные числа, примеры с решением

alexxlab / / Школьная жизнь

Комплексные числа | Формулы и расчеты онлайн

Определение комплексного числа

Комплексное число имеет вид

\[a+ib\]

здесь a и b – действительные числа, а i – число нового рода, называемое мнимой единицей.

Мнимые числа – представляют собой частный вид комплексных чисел (когда a = 0). С другой стороны, и действительные (т.е. положительные и отрицательные) числа, являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a называется абсциссой комплексного числа. Действительное число b называется ординатой комплексного числа. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i · i равно –1

\[i^2 = -1\]

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчиненные тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частности правилу 2. Отсюда произошли названия: Мнимая единица, мнимое число и т.п.

В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также в физике и технике (теория упругости, электротехника, аэродинамика и другие).

Великие математики,
открывшие комплексные числа и их свойства

История комплексных чисел

В связи с развитием алгебры, математикам потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел, числа нового рода. Комплексные числа.

Итальянский математик Кардано в середине 16-ого века для решения кубических уравнений ввел квадратные корни из отрицательных чисел. Квадратные корни из отрицательных чисел он назвал софистическими, т.е. мудреными.

Решения уравнений третьей степени по формулам Кардано исследовал итальянский математик Бомбелли. Он обнаружил некоторые свойства комплексных чисел.

Французкий математик Декарт в 30-х годах 17-ого века ввел наименование мнимые числа, которое применяется по сей день.

В противоположность мнимым числам прежде известные числа (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными.

Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом. Это термин впервые ввел немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году.

В 18-ом веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но само существование комплексных чисел многим казалось сомнительным.

В 1707-ом году Муавр открыл формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18-ого века русский академик Эйлер.

На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием.

В помощь студенту

Комплексные числа
 стр. 67

www.fxyz.ru

§1. Комплексные числа: основные определения

Тема Комплексные числа и многочлены

Лекция 22

Символ вводят соотношением и называют мнимой единицей. Другими словами,.

Определение. Выражение вида , где, называется комплексным числом, при этом числоназывают вещественной частью комплексного числаи обозначают, число– мнимой частьюи обозначают.

Из такого определения следует, что действительные числа – это те комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю.

Комплексные числа удобно изображать точками плоскости, на которой задана декартова прямоугольная система координат, а именно: комплексному числу соответствует точкаи наоборот. На осиизображаются вещественные числа и её называют вещественной осью. Комплексные числа виданазывают чисто мнимыми. Они изображаются точками на оси, которую называют мнимой осью. Эту плоскость, служащую для изображения комплексных чисел, называют комплексной плоскостью. Комплексное число, не являющееся действительным, т.е. такое, что, иногда называют мнимым.

Два комплексных числа называют равными тогда и только тогда, когда у них совпадают как вещественные, так и мнимые части.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производится по обычным правилам алгебры многочленов с учётом того, что . Операцию деления можно определить как обратную к операции умножения и доказать единственность результата (если делитель отличен от нуля). Однако на практике используется другой подход.

Комплексные числа иназывают сопряжёнными, на комплексной плоскости они изображаются точками, симметричными относительно вещественной оси. Очевидно, что:

1) ;

2) ;

3) .

Теперь разделить наможно следующим образом:

.

Не трудно показать, что

,

где символ обозначает любую арифметическую операцию.

Пусть некоторое мнимое число, а – вещественная переменная. Произведение двух биномов

есть квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами.

Теперь, имея в распоряжении комплексные числа, мы сможем решить любое квадратное уравнение .Если , то

и уравнение имеет два комплексных сопряжённых корня

.

Если , то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если, то уравнение имеет два одинаковых корня.

§2. Тригонометрическая форма комплексного числа

Как говорилось выше, комплексное число удобно изображать точкой. Можно также такое число отождествлять с радиус-вектором этой точки. При такой интерпретации сложение и вычитание комплексных чисел производится по правилам сложения и вычитания векторов. Для умножения и деления комплексных чисел более удобной оказывается другая форма.

Введём на комплексной плоскости полярную систему координат. Тогда, где,и комплексное числоможно записать в виде:

.

Эту форму записи называют тригонометрической (в отличие от алгебраической формы ). В этой форме числоназывают модулем, а– аргументом комплексного числа. Они обозначаются:,. Для модуля имеем формулу

Аргумент числа определён неоднозначно, а с точностью до слагаемого ,. Значение аргумента, удовлетворяющего неравенствам , называется главным и обозначается. Тогда,. Для главного значения аргумента можно получить такие выражения:

,

аргумент числа считается неопределённым.

Условие равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме имеет вид: модули чисел равны, а аргументы отличаются на число кратное .

Найдём произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме:

Итак, при умножении чисел их модули умножаются, а аргументы складываются.

Аналогичным образом можно установить, что при делении модули чисел делятся, а аргументы вычитаются.

Понимая возведение в степень как многократное умножение, можно получить формулу возведения комплексного числа в степень:

.

Выведем формулу для – корня-ой степени из комплексного числа(не путать с арифметическим корнем из действительного числа!). Операция извлечения корня является обратной по отношению к операции возведения в степень. Поэтому– это комплексное числотакое, что.

Пусть известно, атребуется найти. Тогда

.

Из равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует, что

, ,.

Отсюда (это арифметический корень!),

, .

Нетрудно убедиться, что может принимать лишьразличных по существу значений, например, при. Окончательно имеем формулу:

, .

Итак, корень -ой степени из комплексного числа имеетразличных значений. На комплексной плоскости эти значения располагаются в вершинах правильно-угольника, вписанного в окружность радиусас центром в начале координат. “Первый” корень имеет аргумент, аргументы двух “соседних” корней отличаются на.

Пример.Извлечём корень кубический из мнимой единицы:,,. Тогда:

,

,

.

studfiles.net

§1. Комплексные числа: основные определения

Тема Комплексные числа и многочлены

Лекция 22

Символ вводят соотношением и называют мнимой единицей. Другими словами,.

Определение. Выражение вида , где, называется комплексным числом, при этом числоназывают вещественной частью комплексного числаи обозначают, число– мнимой частьюи обозначают.

Из такого определения следует, что действительные числа – это те комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю.

Комплексные числа удобно изображать точками плоскости, на которой задана декартова прямоугольная система координат, а именно: комплексному числу соответствует точкаи наоборот. На осиизображаются вещественные числа и её называют вещественной осью. Комплексные числа виданазывают чисто мнимыми. Они изображаются точками на оси, которую называют мнимой осью. Эту плоскость, служащую для изображения комплексных чисел, называют комплексной плоскостью. Комплексное число, не являющееся действительным, т.е. такое, что, иногда называют мнимым.

Два комплексных числа называют равными тогда и только тогда, когда у них совпадают как вещественные, так и мнимые части.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производится по обычным правилам алгебры многочленов с учётом того, что . Операцию деления можно определить как обратную к операции умножения и доказать единственность результата (если делитель отличен от нуля). Однако на практике используется другой подход.

Комплексные числа иназывают сопряжёнными, на комплексной плоскости они изображаются точками, симметричными относительно вещественной оси. Очевидно, что:

1) ;

2) ;

3) .

Теперь разделить наможно следующим образом:

.

Не трудно показать, что

,

где символ обозначает любую арифметическую операцию.

Пусть некоторое мнимое число, а – вещественная переменная. Произведение двух биномов

есть квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами.

Теперь, имея в распоряжении комплексные числа, мы сможем решить любое квадратное уравнение .Если , то

и уравнение имеет два комплексных сопряжённых корня

.

Если , то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если, то уравнение имеет два одинаковых корня.

§2. Тригонометрическая форма комплексного числа

Как говорилось выше, комплексное число удобно изображать точкой. Можно также такое число отождествлять с радиус-вектором этой точки. При такой интерпретации сложение и вычитание комплексных чисел производится по правилам сложения и вычитания векторов. Для умножения и деления комплексных чисел более удобной оказывается другая форма.

Введём на комплексной плоскости полярную систему координат. Тогда, где,и комплексное числоможно записать в виде:

.

Эту форму записи называют тригонометрической (в отличие от алгебраической формы ). В этой форме числоназывают модулем, а– аргументом комплексного числа. Они обозначаются:,. Для модуля имеем формулу

Аргумент числа определён неоднозначно, а с точностью до слагаемого ,. Значение аргумента, удовлетворяющего неравенствам , называется главным и обозначается. Тогда,. Для главного значения аргумента можно получить такие выражения:

,

аргумент числа считается неопределённым.

Условие равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме имеет вид: модули чисел равны, а аргументы отличаются на число кратное .

Найдём произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме:

Итак, при умножении чисел их модули умножаются, а аргументы складываются.

Аналогичным образом можно установить, что при делении модули чисел делятся, а аргументы вычитаются.

Понимая возведение в степень как многократное умножение, можно получить формулу возведения комплексного числа в степень:

.

Выведем формулу для – корня-ой степени из комплексного числа(не путать с арифметическим корнем из действительного числа!). Операция извлечения корня является обратной по отношению к операции возведения в степень. Поэтому– это комплексное числотакое, что.

Пусть известно, атребуется найти. Тогда

.

Из равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует, что

, ,.

Отсюда (это арифметический корень!),

, .

Нетрудно убедиться, что может принимать лишьразличных по существу значений, например, при. Окончательно имеем формулу:

, .

Итак, корень -ой степени из комплексного числа имеетразличных значений. На комплексной плоскости эти значения располагаются в вершинах правильно-угольника, вписанного в окружность радиусас центром в начале координат. “Первый” корень имеет аргумент, аргументы двух “соседних” корней отличаются на.

Пример.Извлечём корень кубический из мнимой единицы:,,. Тогда:

,

,

.

studfiles.net

Комплексные числа и операции с ними


Введение

При решении квадратных уравнений часто возникает ситуация, когда дискриминант отрицательный. В этом случае это означает что парабола не пересекает прямую абсцисс ни в одной точке. Другими словами, корни квадратного уравнения не существуют среди вещественных значений и их также надо искать за пределами вещественных чисел.

Комплексная плоскость и мнимая единица

Естественным расширением числовой прямой является плоскость, которую называют комплексной плоскостью. Числовая прямая вещественных чисел и ее расширение до комплексной плоскости показано на рисунке 1. Любая точка на комплексной плоскости определяет одно комплексное число. Например на рисунке 1 показано число

Рисунок 1. Расширение множества вещественных чисел до множества комплексных числел.

Для того чтобы отделить одну координату от другой (реальную и мнимую части) вводят число , называемое мнимой единицей. Это так раз то число, которого не существует на множестве действительных чисел. Оно обладает особым свойством: . Тогда комплексное число может не только перемещаться по вещественной прямой вправо и влево, но и двигаться по комплексной плоскости потому что мы добавили ему слагаемое с мнимой единицей . Мнимую единицу в математической литературе принято обозначать как но в технике буква уже закреплена за обозначением электрического тока, поэтому чтобы избежать путаницы мы будем обозначать мнимую единицу буквой . Если и , тогда число является действительным и располагается на реальной оси . Если и , тогда число является чисто мнимым и располагается на мнимой оси . Если и , тогда число располагается в одной из четвертей комплексной плоскости.

Модуль и фаза комплексного числа

Представление комплексного числа как называют алгебраической формой записи. Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор (смотри рисунок 1), то можно вычислить длину этого вектора как

(1)

Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:

(2)

Тогда комплексное число можно представить в тригонометрической форме:

(3)

Связь угла поворота вектора комплексного числа с реальной и мнимой частью комплексного числа, представленного в алгебраической форме:

(4)

тогда

(5)

где учитывает четверть комплексной плоскости в которой расположено число :

(6)

На рисунке 2 показаны значения параметра , в зависимости от того в какой четверти комплексной плоскости расположено число.

Рисунок 2. Значение поправки фазы комплексного числа в зависимости от расположения на комплексной плоскости.

На рисунке 2а исходное комплексное число расположено в первой четверти комплексной плоскости и . Тогда и значение фазы комплексного числа равно:

(7)

(8)

(9)

(10)

Функция которая позволяет получить фазу комплексного числа c учетом четверти комплексной плоскости в которой расположено комплексное число называется функция арктангенс-2 и обозначается . Функция арктангенс-2 присутствует во всех математических приложениях и может быть использована для расчета верного угла поворота вектора комплексного числа.

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера

Мы уже рассмотрели алгебраическую и тригонометрическую формы записи комплексного числа. Помимо алгебраической и тригонометрической формы существует также показательная форма комплексного числа:

(11)

связанная с тригонометрической формой формулой Эйлера:

(12)

Cоотношение (12) легко доказать, если произвести разложение экспоненты в ряд Тейлора:

(13)

Представим ряд (13) в виде суммы четных и нечетных членов последовательности:

(14)

(15)

В выражении (15) первая сумма по четным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции , а вторая сумма по нечетным степеням дает разложение в ряд Тейлора функции . Таким образом, получено доказательство справедливости формулы Эйлера (12). Необходимо отметить, что формула Эйлера является одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Так например при помощи формулы Эйлера можно связать математические константы и с использованием мнимой единицы :

(16)

Операции над комплексными числами. Комплексно-сопряженные числа

В данном параграфе мы кратко рассмотрим операции над комплексными числами. Сумма двух комплексных чисел и представляет собой комплексное число

(17)

При сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются. На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3а).

Рисунок 3. Операции над комплексными числами.

Разность двух комплексных чисел и представляет собой комплексное число

(18)

При вычитании реальные и мнимые части комплексного числа также вычитаются. На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов по правилу параллелограмма (рисунок 3б). На первом шаге из вектора формируется вектор (обозначенный пунктирной линией на рисунке 3б), после чего вектор складывается с вектором по правилу параллелограмма.

Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:

(19)

Умножение комплексных проще выполнять если числа представлены в показательной форме:

(20)

При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются а фазы складываются. Операция произведения комплексных чисел показано на рисунке 3в.

Введем понятие комплексно-сопряженного числа. Число является комплексно-сопряженным числу . Комплексно-сопряженные числа отличаются знаком перед мнимой частью. Графически комплексно-сопряженные числа показаны на рисунке 3г. При этом можно заметить, что модули комплексно-сопряженных чисел равны а фазы имеют противоположные знаки. Произведение комплексно-сопряженных чисел

(21)

представляет собой действительное число равное квадрату модуля этих чисел.

Из элементарных операций нам осталось рассмотреть лишь деление комплексных чисел. Рассмотрим результат деления комплексных чисел в показательной форме:

(22)

Таким образом, при делении комплексных чисел модуль частного равен частному модулей исходных чисел, а фаза равна разности фаз исходных чисел. При этом необходимо потребовать, чтобы был не равен нулю, иначе у нас появится деление на ноль при расчете модуля частного.

Рассмотрим теперь деление комплексных чисел в алгебраической форме:

(23)

Домножим и числитель и знаменатель на число, комплексно-сопряженное знаменателю:

(24)

Выводы

В данной статье введено понятие комплексного числа и рассмотрены основные его свойства. Введено понятие мнимой единицы.

Подробно рассмотрена комплексная плоскость и представление комплексных чисел в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Введены понятия модуля и фазы комплексного числа.

Рассмотрены основные арифметические операции над комплексными числами. Показано как выполнять операции сложения, вычитания в алгебраической форме, введено понятие комплексно-сопряженных чисел, а также операции умножения и деления в показательной и алгебраической формах.


Список литературы

[1] Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2011.


[2] Дубровин В.Т. Теория функций комплексного переменного. Теория и практика Казань: Казанский государственный университет, 2010. [PDF]

ru.dsplib.org

Комплексные числа

         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Комплексные числа  
   
   
 
1.Понятие комплексного числа.
2.Тригонометрическая форма комплексного числа.

 

    
     
  19 20 21 22 23 24 25 26 27  
     
   

1.Понятие комплексного числа.

   Выражение вида z = x + iy называется комплексным числом.

   Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Re(z), число y — мнимой частью комплексного числа z и обозначается Im(z). Числа z = x + iy и z1 = x — iy называются сопряженными. Если равны действительные и мнимые части комплексного числа, то они называются равными т.е. z1 = z2 или x1 + iy1 = x2 + iy2.

Операции над комплексными числами.

  
 

   1. Сумма (разность) комплексных чисел.

z1+z2 = x1+x2+i(y1+y2).

   2. Произведение комплексных чисел.

z1z2 = (x1x2 — y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

отсюда

i² = (0 + i1)(0 + i1) = (0 -1) + i(0 + 0) = -1.

3. Деление двух комплексных чисел.

  
 

   Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат Oxy.

   Каждому комплексному числу Z = x + iy ставится в соответствие единственная точка плоскости z(xy). Плоскость Oxy, где каждая точка отождествлена с комплексным числом, называется комплексной.

   Координатные оси Ox и Oy, на которых расположены действительные и мнимые числа, называются действительной и мнимой осями.

  

2.Тригонометрическая форма комплексного числа.

   До любой точки комплексной плоскости из начала координат можно провести вектор определенной длины r. Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается |z|.

  
   
 

     Угол ϕ, образованный между вектором и осью Ox, называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z. Из значения ϕ = Arg z выделяется главное значение arg z, которое кратно 2π.

             ϕ = Arg z = arg z + 2kπ              где 0≤ argz < 2π

   Таким образом: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.

Следовательно, комплексное число z = x + iy можно представить как:

  
   
 

   Представление комплексного числа в такой форме, где r = |z| ≥ 0, ϕ = Arg z, называется тригонометрической формой комплексного числа.

  
 
   
 
  Пример.  
   
         
         
   
     
  19 20 21 22 23 24 25 26 27  
     

www.mathtask.ru

Комплексные числа

Глава 6

§ 28. Что такое комплексные числа

Повторить: § 17: векторы на плоскости.

В этой главе мы познакомимся с комплексными числами, о которых уже неоднократно упоминали. Итак, что же это такое?

Как известно, из отрицательного числа извлечь квадратный корень невозможно: квадраты всех чисел неотрицательны. Давайте, однако, вообразим, что нашлось такое необычное число i, квадрат которого равняется −1. Посмотрим, что получится, если это число i добавить к обычным числам.

Для начала поумножаем i на само себя: i2 = −1 (как мы и

договаривались), тогда i3 = (i2) · i = (−1) · i = −i; i4 = i3i = = (−i) · i = −i2 = −(−1) = 1 и т. д.

Задача 28.1. Чему равно i5? i6? i2003?

Теперь давайте умножать число i на обычные числа и складывать его с обычными числами. При этом будут получаться выражения наподобие 1 − i, −4i, 2 + 5i и т.д. Раскрывая скобки

иприводя подобные члены, такие выражения можно складывать

иперемножать; поскольку i2 всякий раз можно заменять на −1,

в выражения, получающиеся после упрощений, i будет входить не более чем в первой степени:

(2 + 5i) + (3 − i) = 2 + 3 + 5i − i = 5 + 4i;

(2 + 5i)(3 − i) = 6 + 15i − 2i − 5i2 = 6 + 13i − 5(−1) = 11 + 13i.

Задача 28.2. Упростите выражения: а) √3 + i3; б) (1 + i)20.

Имея в распоряжении число i, мы можем извлечь корень не

только из −1, но и из любого отрицательного числа. Например, в

√

 

 

 

√

 

 

√

 

 

2

= i

2

·2 = −2.

качестве −2 подойдет число i 2, поскольку (i

2)

 

 

 

√

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√

 

 

мы тоже

Впрочем, −i

2 также даст в квадрате −2; число −i

2

 

будем называть квадратным корнем из −2. Выделять из этих двух квадратных корней один «арифметический корень» мы не будем: для чисел, в записи которых участвует i, не удается разумным образом определить, какие из них следует считать положительными, а какие — отрицательными.

Задача 28.3. Пользуясь формулой для корней квадратного уравнения, найдите корни уравнения x2 − 4x + 5 = 0 (дискриминант этого уравнения отрицателен, так что в их записи будет участвовать i). Проверьте найденные значения x, подставив их в уравнение.

А если выражение с i стоит в знаменателе? Сейчас мы увидим, что всякую дробь, в знаменателе которой присутствует i, можно преобразовать так, чтобы в знаменателе были только обычные числа. Покажем это на примере.

Пусть требуется упростить выражение 2 +1 3i. Поступим так

же, как мы делали, когда в школьных примерах избавлялись от иррациональности в знаменателе: домножим числитель и знаменатель на «сопряженное выражение» 2 − 3i:

 

1

 

=

2 − 3i

 

=

2 − 3i

=

 

2

 

+

3

i.

 

2 + 3i

 

 

 

 

13

 

 

 

 

(2 + 3i)(2 − 3i)

4 − (−9)

 

 

 

 

13

Задача 28.4. Упростите выражения: а)

7 − 11i

; б)

 

1

.

 

 

3 + i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

165

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь можно ответить на вопрос, стоящий в заглавии этого параграфа: комплексные числа — это те самые выражения с участием i, которыми мы до сих пор занимались. Точнее говоря:

Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — обычные (действительные, или вещественные) числа. Комплексные числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d. Чтобы сложить или перемножить два комплексных числа, надо раскрыть скобки и привести подобные члены, заменяя i2 на −1.

Если провести это приведение подобных в общем виде, получится вот что:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Чтобы поделить одно комплексное число на другое, надо «домножить на сопряженные»:

a + bi

=

(a + bi)(c − di)

=

ac + bd

+ i

bc − ad

.

c + di

 

(c + di)(c − di)

c2 + d2

 

 

 

 

c2 + d2

Задача 28.5. Умножьте ac ++ dibi, вычисленное по вышеприведенной

формуле, на c+di и убедитесь, что действительно получится a+bi (то есть что деление комплексных чисел действительно является действием, обратным к умножению).

Комплексное число a+bi удобно изображать точкой на плоскости с координатами (a; b) (рис. 28.1). Абсцисса этой точки, то есть a, называется вещественной (или действительной) частью числа a+bi, а ордината этой точки, то есть b, называется мнимой частью числа a + bi. Плоскость с системой координат, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю, располагаются при таком изображении на оси абсцисс (когда речь

Рис. 28.1. Комплексная плоскость.

идет о таком изображении комплексных чисел, ось абсцисс принято называть вещественной, или действительной, осью, а ось ординат — мнимой осью). Комплексные числа, лежащие на действительной оси, складываются и умножаются так же, как обычные действительные числа: ведь в их записи i не участвует. Поэтому можно считать, что действительные числа — частный случай комплексных, а действительная ось, которую они заполняют, — это знакомая нам с младших классов числовая прямая.

Задача 28.6. Докажите, что уравнение z2 = −1 не имеет (в комплексных числах) других решений, кроме i и −i.

Указание. Пусть z = x + iy. Тогда z2 = x2 − y2 + i · 2xy. По условию, z2 = −1. Так как комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, получаем:

(

x2 − y2 = 1;

2xy = 0.

Решите эту систему уравнений.

Задача 28.7. Найдите все комплексные решения уравнения z3 = 1 и изобразите их на комплексной плоскости.

Указание. Решений три; на комплексной плоскости они окажутся вершинами правильного треугольника.

Задача 28.8. Найдите все комплексные решения уравнения z2 = = 5 − 12i.

Задача 28.9. Докажите, что для всякого отличного от нуля ком-

плексного числа a + bi существуют ровно два решения уравнения z2 = a + bi.

Результат задачи 28.9 показывает, что, имея в своем распоряжении комплексные числа, можно извлекать квадратные корни не только из отрицательных, но и вообще из любых комплексных чисел.

Если дано комплексное число z = a + bi, то сопряженным к нему называется число a − bi. Мы уже сталкивались с сопряженными комплексными числами, когда обсуждали деление комплексных чисел. Число, сопряженное к комплексному числу z, обозначается z¯. Говорят еще, что числа z и z¯ сопряжены друг другу. Сопряженные числа изображаются на комплексной плоскости точками, симметричными относительно действительной оси.

Задача 28.10. Докажите тождества:

¯

а) (¯)z = z; б) (z + w) = z¯ + w¯; в) (zw) = z¯ + w¯.

Задача 28.11. Пусть z и w — комплексные числа, не являющиеся действительными. Докажите, что z и w сопряжены тогда и только тогда, когда z + w и zw — действительные числа.

Задача 28.12. Докажите, что всякое квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня, сопряженных друг с другом. Верна ли для таких уравнений теорема Виета?

Если изобразить комплексные числа точками на плоскости, то оказывается, что у действий над комплексными числами есть геометрический смысл. Давайте выясним, какой геометрический операции соответствует сложение комплексных чисел.

Соединим начало координат 0 (соответствующее числу нуль) с точкой на плоскости, соответствующей комплексному числу z = x + iy — получится вектор OZ, имеющий координаты (x; y). Так как при сложении векторов их координаты складываются, то равенство z1 + z2 = z3 равносильно равенству OZ1 + OZ2 = OZ3 (рис.28.2). Итак, сложить комплексные числа — все равно что сложить соответствующие векторы.

studfiles.net

Просто о сложном: комплексные числа

Комплексные числа всегда меня занимали. Как и с понятием экспоненты, большинство определений подпадали под одну из двух категорий:

  • это математическая абстракция, всё упирается в формулы. Смиритесь.
  • это используется в продвинутой физике, поверьте. Просто дождитесь университета.

Какой хороший способ привлечь деток к математике! Сегодня мы возьмем эту тему штурмом, используя наши любимые инструменты:

  • Будем основываться на связях, а не на механических формулах.
  • Рассмотрим комплексные числа как дополнение к нашей системе счисления, такому же, как ноль, дробные или отрицательные числа.
  • Визуализируем идеи в графиках, чтобы лучше понять суть, а не просто изложим сухим текстом.

И наше секретное оружие: изучение по аналогии. Мы доберемся до комплексных чисел, начав с их предков, отрицательных чисел. Вот вам небольшое руководство:

Пока что смысла в этой таблице мало, но пусть она будет рядом. К концу статьи всё станет на свои места.

Давайте действительно поймем, что такое отрицательные числа

Отрицательные числа не так просты. Представьте, что вы — европейский математик в XVIII веке. У вас есть 3 и 4, и вы можете написать 4 – 3 = 1. Всё просто.

Но сколько будет 3 – 4? Что, собственно, это означает? Как можно отнять 4 коровы от 3? Как можно иметь меньше, чем ничего?

Отрицательные числа рассматривались как полная чушь, что-то, что «бросало тень на всю теорию уравнений» (Фрэнсис Масерес, 1759). Сегодня было бы полной чушью думать об отрицательных числах, как о чем-то нелогичном и неполезном. Спросите вашего учителя, нарушают ли отрицательные числа основы математики.

Что же произошло? Мы изобрели теоретическое число, которое обладало полезными свойствами. Отрицательные числа нельзя потрогать или ощутить, но они хорошо описывают определенные связи (как задолженность, например). Это очень полезная выдумка.

Вместо того, чтобы сказать «Я должен вам 30», и читать слова, чтобы понять в плюсе я или в минусе, я могу просто записать «-30», и знать, что это означает. Если я заработаю деньги и оплачу свои долги (-30 + 100 = 70), я смогу легко записать эту транзакцию несколькими символами. У меня останется +70.

Знаки плюса и минуса автоматически фиксируют направление — вам не нужно целое предложение, чтобы описать изменения после каждой транзакции. Математика стала проще, элегантнее. Стало не важно, являются ли отрицательные числа «осязаемыми» — у них есть полезные свойства, и мы пользовались ими, пока они крепко не вошли в наш обиход. Если кто-то из ваших знакомых еще не понял суть отрицательных чисел, теперь вы ему поможете.

Но не будем умалять человеческие страдания: отрицательные числа были настоящим сдвигом в сознании. Даже Эйлер, гений, открывший число е и много еще чего, не понимал отрицательные числа так же хорошо, как мы сегодня. Они рассматривались как «бессмысленные» результаты вычислений.

Странно требовать от детей, чтобы они спокойно понимали идеи, которые когда-то смущали даже самых лучших математиков.

Ввод мнимых чисел

С мнимыми числами та же история. Мы можем решать уравнения вроде этого целыми днями:

Ответами будут 3 и -3. Но представим, что какой-то умник приписал сюда минус:

Ну и ну. Такой вопрос заставляет людей съеживаться, первый раз видя его. Вы хотите вычислить квадратный корень из числа, меньшего, чем ноль? Это немыслимо! (Исторически реально существовали подобные вопросы, но мне удобнее представлять какого-то безликого умника, чтобы не вгонять в краску ученых прошлого).

Выглядит безумно, как в свое время выглядели и отрицательные числа, ноль и иррациональные числа (неповторяющиеся числа). В этом вопросе нет «реального» смысла, правда?

Нет, не правда. Так называемые «мнимые числа» нормальны настолько же, как и все другие (или настолько же ненормальные): они являются инструментом для описания мира. В том же духе, как мы представляем, что -1, 0.3 и 0 «существуют», давайте предположим, что существует некое число i, где:

Другими словами, вы умножаете i на себя же, чтобы получить -1. Что сейчас происходит?

Ну, сначала у нас конечно болит голова. Но, играя в игру «Давайте представим, что i существует», мы действительно делаем математику проще и элегантнее. Появляются новые связи, которые мы с легкостью можем описать.

Вы не поверите в i, как и те старые математики-ворчуны не верили в существовании -1. Все новые, сворачивающие мозг в трубочку понятия сложны для восприятия, и их смысл вырисовывается не сразу, даже для гениального Эйлера. Но, как показали нам отрицательные числа, странные новые идеи могут быть чрезвычайно полезными.

Я не люблю сам термин «мнимые числа» — такое чувство, что он был выбран специально, чтобы оскорбить чувства i. Число i такое же нормальное, как и другие, но за ним закрепилась кличка «мнимое», так что мы тоже будем ей пользоваться.

Визуальное понимание отрицательных и комплексных чисел

Уравнение x^2 = 9 на самом деле означает следующее:

или

Какое преобразование x, применяемое дважды, превращает 1 в 9?

Есть два ответа: «x = 3» и «x = -3». То есть, вы можете «масштабировать в» 3 раза или «масштабировать в 3 раза и перевернуть» (переворачивание или взятие обратного результата — всё это интерпретации умножения на отрицательную единицу).

А теперь давайте подумаем об уравнении x^2 = -1, которое можно записать так:

Какое преобразование x, применяемое дважды, превращает 1 в -1? Хм.

  • Мы не можем умножить дважды положительное число, потому что результат будет положительным.
  • Мы не можем умножить дважды отрицательное число, потому что результат опять будет положительным.

А как насчёт… вращения! Звучит, конечно, необычно, но что если представить х как «поворот 90 градусов», тогда применив х дважды, мы совершим поворот на 180 градусов на координатной оси, и 1 обернется в -1!

Вот это да! И если мы еще немного над этим поразмышляем, то мы можем совершить два оборота в противоположном направлении, и также перейти с 1 на -1. Это «отрицательное» вращение или умножение на -i:

Если мы дважды умножим на-i, то при первом умножении получим -i из 1, а при втором -1 из -i. Так что на самом деле существует два квадратных корня -1: i и -i.

Это довольно круто! У нас есть что-то вроде решения, но что оно означает?

  • i — это «новая мнимая размерность» для измерения числа
  • i (или -i) — это то, чем «становятся» числа при вращении
  • Умножение на i — это вращение на 90 градусов против часовой стрелки
  • Умножение на -i — это вращение на 90 градусов по часовой стрелке.
  • Двойное вращение в любом из направлений дает -1: оно опять возвращает нас к «обычной» размерности положительных и отрицательных чисел (ось x).

Все числа 2-мерные. Да, это трудно принять, но древним римлянам было бы также трудно принять десятичные дроби или деление в столбик. (Как это так, между 1 и 2 есть еще числа?). Выглядит странно, как и любой новый способ мыслить в математике.

Мы спросили «Как превратить 1 в -1 в два действия?» и нашли ответ: повернуть 1 на 90 градусов дважды. Довольно странный, новый способ мыслить в математике. Но очень полезный. (Между прочим, эта геометрическая интерпретация комплексных чисел появилась только десятилетия спустя после открытия самого числа i).

Также, не забывайте, что принятие оборота против часовой стрелки за положительный результат — это сугубо человеческая условность, и всё могло бы быть совсем по-другому.

Поиск множеств

Давайте углубимся немного в детали. При умножении отрицательных чисел (как -1), вы получаете множество:

  • 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

Поскольку -1 не меняет размер числа, а только знак, вы получаете одно и то же число то со знаком «+», то со знаком «-». Для числа х у вас получится:

Это очень полезная мысль. Число «х» может представлять хорошие и плохие недели. Представим, что хорошая неделя сменяет плохую; это хорошая неделя; а какой будет 47-я неделя?

-x означает, что неделя выдастся плохой. Видите, как отрицательные числа «следят за знаком» — мы можем просто ввести (-1)^47 в калькуляторе вместо того, чтобы считать («Неделя 1 хорошая, неделя 2 плохая… неделя 3 хорошая…»). Вещи, которые постоянно чередуются можно отлично смоделировать, используя отрицательные числа.

Хорошо, а что будет, если мы продолжим умножать на i?

Очень смешно, давайте немного это всё упростим:

Вот всё то же представлено графически:

Мы повторяем цикл каждый 4-й поворот. В этом определенно есть смысл, да? Любой ребенок скажет вам, что 4 поворота влево — это всё равно, что не поворачиваться вовсе. А теперь оторвитесь от мнимых чисел (i, i^2)и посмотрите на общее множество:

  • X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…

Точно, как отрицательные числа моделируют зеркальное отражение чисел, мнимые числа могут моделировать что угодно, что вращается между двумя измерениями «Х» и «Y». Или что угодно с циклической, круговой зависимостью — есть что-нибудь на примете?

Понимание комплексных чисел

Есть еще одна деталь для рассмотрения: может ли число быть и «реальным», и «мнимым»?

Даже не сомневайтесь. Кто сказал, что нам обязательно нужно поворачивать строго на 90 градусов? Если мы одной ногой станем на «реальную» размерность, а другой — на «мнимую», то будет выглядеть примерно так:

Мы находимся на отметке в 45 градусов, где вещественная и мнимая части одинаковы, и само число равно «1 + i». Это как хот-дог, где есть и кетчуп, и горчица — кто сказал, что нужно обязательно выбирать что-то одно?

По сути, мы можем выбрать любую комбинацию вещественной и мнимой части и сделать из всего этого треугольник. Угол становится «углом вращения». Комплексное число — это заумное название для чисел, в которых есть вещественная и мнимая части. Они пишутся, как «a + bi», где:

  • a — вещественная часть
  • b — мнимая часть

Неплохо. Но остается один последний вопрос: как «велико» комплексное число? Мы не можем измерить вещественную часть или мнимую отдельно, потому что мы упустим общую картину.

Давайте сделаем шаг назад. Размер отрицательного числа — это расстояние от нуля:

Это другой способ найти абсолютную величину. Но как измерить оба компонента на 90 градусах для комплексных чисел?

Это птица в небе… или самолет… Пифагор спешит на помощь!

Эта теорема выскакивает, где только можно, даже в числах, придуманных через 2000 лет после самой теоремы. Да, мы делаем треугольник, и его гипотенуза и будет равна расстоянию от нуля:

Хоть измерить комплексное число не так просто, как «просто опустить знак -», у комплексных чисел есть очень полезные применения. Давайте рассмотрим некоторые из них.

Реальный пример: Вращения

Мы не будем дожидаться университетского курса физики, чтобы попрактиковаться с комплексными числами. Мы займемся этим уже сегодня. Много можно рассказать на тему умножения комплексных чисел, но пока нужно понять главное:

  • Умножение на комплексное число совершает вращение на его угол

Давайте посмотрим, как это работает. Представьте, что я на лодке, движусь с курсом 3 единицы на Восток каждые 4 единицы на Север. Я хочу изменить свой курс на 45 градусов против часовой стрелки. Каким будет мой новый курс?

Кто-то может сказать «Это просто! Вычислите синус, косинус, погуглите значение по тангенсу…и тогда…» Кажется, я сломал свой калькулятор…

Давайте пойдем более простым путем: мы идем по курсу 3 + 4i (не важно, какой тут угол, нам всё равно пока) и хотим повернуться на 45 градусов. Ну, 45 градусов это 1 + i (идеальная диагональ). Так что мы можем умножить наш курс на это число!

Вот в чем суть:

  • Исходный курс: 3 единицы на Восток, 4 единицы на Север = 3 + 4i
  • Вращение против часовой стрелки на 45 градусов = умножение на 1 + i

При умножении мы получаем:

Наш новый ориентир — 1 единица на Запад (-1 на Восток) и 7 единиц на Север, можете нарисовать координаты на графике и следовать им.

Но! Мы нашли ответ за 10 секунд, без всяких синусов и косинусов. Не было векторов, матриц, отслеживания, в каком квадранте мы находимся. Это была простая арифметика и немного алгебры для приведения уравнения. Мнимые числа отлично справляются с вращением!

Более того, результат такого вычисления очень полезен. У нас есть курс (-1, 7) вместо угла (atan(7/-1) = 98.13, и сразу ясно, что мы во втором квадранте. Как, собственно, вы планировали нарисовать и следовать указанному углу? Используя транспортир под рукой?

Нет, вы бы конвертировали угол в косинус и синус (-0.14 и 0.99), нашли бы примерное соотношение между ними (около 1 к 7) и набросали бы треугольник. И тут комплексные числа несомненно выигрывают — аккуратно, молниеносно, и без калькулятора!

Если вы похожи на меня, то это открытие покажется вам сногсшибательным. Если нет, боюсь, что математика вас совсем не зажигает. Уж извините!

Тригонометрия хороша, но комплексные числа значительно упрощают вычисления (вроде поиска cos(a + b)). Это только маленький анонс; в следующих статьях я предоставлю вам полное меню.

Лирическое отступление: некоторые люди думают примерно так: «Эй, ну не удобно же иметь курс Север/Восток вместо простого угла для следования судна!»

Правда? Ну хорошо, посмотрите на свою правую руку. Какой угол между основанием вашего мизинца и кончиком указательного пальца? Удачи с вашим способом вычисления.

А можно просто ответить «Ну, кончик находится на Х дюймов вправо и Y дюймов вверх» и с этим уже можно что-то сделать.

Комплексные числа стали ближе?

Мы пронеслись смерчем по моим базовым открытиям в области комплексных чисел. Посмотрите на самую первую иллюстрацию, теперь он должен стать более понятным.

Есть еще столько всего интересного в этих красивых, чудных числах, но мой мозг уже устал. Моя цель была проста:

  • Убедить вас в том, что комплексные числа только рассматривались как «сумасшествие», а на деле они могут быть очень полезными (точно как и отрицательные числа)
  • Показать, как комплексные числа могут упростить некоторые задачи вроде вращения.

Если я кажусь слишком озабоченным этой темой, то для этого есть причина. Мнимые числа годами были моей навязчивой идеей — недостаток понимания меня раздражал.

Сейчас я наконец-то дошел до этого долгожданного понимания, и мне не терпелось поделиться с вами. Но меня по-прежнему злит, что вы знакомитесь с этими замечательными, несложными приемами понимания в блоге какого-то безумного лунатика, а не в классе на уроке математики. Мы душим в себе вопросы и «пыхтим» над непонятными вещами, потому что не хотим искать, находить и делиться чистыми, абсолютно логичными объяснениями.

Но зажечь свечу лучше, чем пробираться сквозь кромешную тьму: вот мои мысли, и я уверен, что огонек зажжется и в умах моих читателей.

Эпилог: Но они по-прежнему довольно странные!

Я знаю, они и для меня всё еще выглядят странными. Я пытаюсь мыслить, как мыслил первый человек, открывший ноль.

Ноль — это такая странная идея, «что-то» представляет «ничего», и это никак не могли понять в Древнем Риме. То же самое и с комплексными числами — это новый способ мышления. Но и ноль, и комплексные числа значительно упрощают математику. Если бы мы никогда не внедряли странности вроде новых систем счисления, мы бы до сих пор считали всё на пальцах.

Я повторяю эту аналогию, потому что так легко начать думать, что комплексные числа «не нормальные». Давайте быть открытыми к новшествам: в будущем люди будут только шутить над тем, как кто-то вплоть до XXI века не верил в комплексные числа.

Перевод статьи «A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers»

zero2hero.org

Какие из величин векторные – Два вида физических величин: скалярные величины и векторные величины | LAMPA

alexxlab / / Школьная жизнь

Два вида физических величин: скалярные величины и векторные величины | LAMPA

«Что-то я не помню такой темы в физике» — первое, что, наверное, пришло вам в голову. Да, вы правы — тема незаметная, но в некоторых учебниках она присутствует. «А нужна она мне для ЕГЭ?» Нужна. Точно нужна. Очень нужна. Постоянно нужна.

Давайте приступим. Надо запомнить, что в физике (школьной) есть два типа физических величин:

  • скалярная величина;
  • векторная величина.

Скалярная величина — это просто число. Ну, например, масса тела MMM — это скалярная величина. Пусть, например, M=3M = 3M=3 кг. Время ttt — скалярная величина. Например, время может быть такое: t=7t = 7t=7 сек. 

Векторная величина. Что это такое? Давайте вспомним (а для тех, кто не знал — узнаем), что

вектор — это направленный отрезок.

Стрелка — по-простому. У стрелки (вектора) есть длина (длина стрелки) и направление. Вектор — это нечто, что обладает длиной и направлением.

Примеры векторных величин: сила F⃗\vec {F}F⃗, скорость V⃗\vec{V}V⃗.

Длина вектора обозначается специальным символом — символом модуля | | — это две параллельные палочки. Например, ∣F⃗∣|\vec{F}|∣F⃗∣ — модуль силы;  ∣V⃗∣|\vec{V}|∣V⃗∣ — модуль скорости. Модуль вектора — это уже число. Например, может быть так, что модуль силы ∣F⃗∣=8|\vec{F}|=8∣F⃗∣=8 H, модуль скорости ∣V⃗∣=8|\vec{V}|=8∣V⃗∣=8 м/с.

Направление вектора изображается на картинке. Куда показывает вектор — туда он и направлен. Например, бывает так, что вектор направлен вверх, вниз и т.д. Вектор может быть направлен вдоль какой-то плоскости. Примеры можете видеть на картинках.

Может возникнуть вопрос: а как отличить векторную величину от скалярной? Или так: как я узнаю, что передо мной вектор, а не скаляр?

Ну, самое простое — это опыт. Решая задачи, читая теоретический материал, вы со временем запомните, какие величины векторные, а какие скалярные. Физических величин не так много, как может показаться.

А способ чуть посложнее — это представить эти величины и решить для себя: могут они иметь направление? Если да — то это вектор, если нет — скаляр.

Например: заряд конденсатора. Если заряд имеет направление, то куда он направлен? Непонятно — поэтому, скорее всего, заряд — это скалярная величина.

Другой пример: длина отрезка. Если эта физическая величина имеет направление, то откуда куда она направлена: от точки 1 до точки 2? Или от точки 2 до точки 1? Трудно выбрать — поэтому, скорее всего, длина отрезка — это скаляр.

lampa.io

Векторная величина в физике. Примеры векторных величин

Физика и математика не обходятся без понятия «векторная величина». Ее необходимо знать и узнавать, а также уметь с нею оперировать. Этому обязательно стоит научиться, чтобы не путаться и не допускать глупых ошибок.

Как отличить скалярную величину от векторной?

Первая всегда имеет только одну характеристику. Это ее числовое значение. Большинство скалярных величин могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Их примерами может служить электрический заряд, работа или температура. Но есть такие скаляры, которые не могут быть отрицательными, например, длина и масса.

Векторная величина, кроме числовой величины, которая всегда берется по модулю, характеризуется еще и направлением. Поэтому она может быть изображена графически, то есть в виде стрелки, длина которой равна модулю величины, направленной в определенную сторону.

При письме каждая векторная величина обозначается знаком стрелки на буквой. Если идет речь о числовом значении, то стрелка не пишется или ее берут по модулю.

Какие действия чаще всего выполняются с векторами?

Сначала — сравнение. Они могут быть равными или нет. В первом случае их модули одинаковые. Но это не единственное условие. У них должны быть еще одинаковые или противоположные направления. В первом случае их следует называть равными векторами. Во втором они оказываются противоположными. Если не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то векторы не равны.

Потом идет сложение. Его можно сделать по двум правилам: треугольника или параллелограмма. Первое предписывает откладывать сначала один вектор, потом от его конца второй. Результатом сложения будет тот, который нужно провести от начала первого к концу второго.

Правило параллелограмма можно использовать, когда нужно сложить векторные величины в физике. В отличие от первого правила, здесь их следует откладывать от одной точки. Потом достроить их до параллелограмма. Результатом действия следует считать диагональ параллелограмма, проведенную из той же точки.

Если векторная величина вычитается из другой, то они снова откладываются из одной точки. Только результатом будет вектор, который совпадает с тем, что отложен от конца второго к концу первого.

Какие векторы изучают в физике?

Их так же много, как скаляров. Можно просто запомнить то, какие векторные величины в физике существуют. Или знать признаки, по которым их можно вычислить. Тем, кто предпочитает первый вариант, пригодится такая таблица. В ней приведены основные векторные физические величины.

Обозначение в формулеНаименование
vскорость
rперемещение
аускорение
Fсила
римпульс
Енапряженность электрического поля
Вмагнитная индукция
Ммомент силы

Теперь немного подробнее о некоторых из этих величин.

Первая величина — скорость

С нее стоит начать приводить примеры векторных величин. Это обусловлено тем, что ее изучают в числе первых.

Скорость определяется как характеристика движения тела в пространстве. Ею задается числовое значение и направление. Поэтому скорость является векторной величиной. К тому же ее принято разделять на виды. Первый является линейной скоростью. Ее вводят при рассмотрении прямолинейного равномерного движения. При этом она оказывается равной отношению пути, пройденного телом, ко времени движения.

Эту же формулу допустимо использовать при неравномерном движении. Только тогда она будет являться средней. Причем интервал времени, который необходимо выбирать, обязательно должен быть как можно меньше. При стремлении промежутка времени к нулю значение скорости уже является мгновенным.

Если рассматривается произвольное движение, то здесь всегда скорость — векторная величина. Ведь ее приходится раскладывать на составляющие, направленные вдоль каждого вектора, направляющего координатные прямые. К тому же определяется он как производная радиус-вектора, взятая по времени.

Вторая величина — сила

Она определяет меру интенсивности воздействия, которое оказывается на тело со стороны других тел или полей. Поскольку сила — векторная величина, то она обязательно имеет свое значение по модулю и направление. Так как она действует на тело, то важным является еще и точка, к которой приложена сила. Чтобы получить наглядное представление о векторах сил, можно обратиться к следующей таблице.

СилаТочка приложенияНаправление
тяжестицентр телак центру Земли
всемирного тяготенияцентр телак центру другого тела
упругостиместо соприкосновения взаимодействующих телпротив внешнего воздействия
трениямежду соприкасающимися поверхностямив сторону, противоположную движению

Также еще векторной величиной является равнодействующая сила. Она определяется как сумма всех действующих на тело механических сил. Для ее определения необходимо выполнить сложение по принципу правила треугольника. Только откладывать векторы нужно по очереди от конца предыдущего. Результатом окажется тот, который соединяет начало первого с концом последнего.

Третья величина — перемещение

Во время движения тело описывает некоторую линию. Она называется траекторией. Эта линия может быть совершенно разной. Важнее оказывается не ее внешний вид, а точки начала и конца движения. Они соединяются отрезком, который называется перемещением. Это тоже векторная величина. Причем оно всегда направлено от начала перемещения к точке, где движение было прекращено. Обозначать его принято латинской буквой r.

Здесь может появиться такой вопрос: «Путь — векторная величина?». В общем случае это утверждение не является верным. Путь равен длине траектории и не имеет определенного направления. Исключением считается ситуация, когда рассматривается прямолинейное движение в одном направлении. Тогда модуль вектора перемещения совпадает по значению с путем, и направление у них оказывается одинаковым. Поэтому при рассмотрении движения вдоль прямой без изменения направления перемещения путь можно включить в примеры векторных величин.

Четвертая величина — ускорение

Оно является характеристикой быстроты изменения скорости. Причем ускорение может иметь как положительное, так и отрицательное значение. При прямолинейном движении оно направлено в сторону большей скорости. Если перемещение происходит по криволинейной траектории, то вектор его ускорения раскладывается на две составляющие, одна из которых направлена к центру кривизны по радиусу.

Выделяют среднее и мгновенное значение ускорения. Первое следует рассчитывать как отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому времени. При стремлении рассматриваемого интервала времени к нулю говорят о мгновенном ускорении.

Пятая величина — импульс

По-другому его еще называют количеством движения. Импульс векторной величиной является из-за того, что напрямую связан со скоростью и силой, приложенной к телу. Обе они имеют направление и задают его импульсу.

По определению последний равен произведению массы тела на скорость. Используя понятие импульса тела, можно по-другому записать известный закон Ньютона. Получается, что изменение импульса равно произведению силы на промежуток времени.

В физике важную роль имеет закон сохранения импульса, который утверждает, что в замкнутой системе тел ее суммарный импульс является постоянным.

Мы очень кратко перечислили, какие величины (векторные) изучаются в курсе физики.

Задача о неупругом ударе

Условие. На рельсах стоит неподвижная платформа. К ней приближается вагон со скоростью 4 м/с. Массы платформы и вагона — 10 и 40 тонн соответственно. Вагон ударяется о платформу, происходит автосцеп. Необходимо вычислить скорость системы «вагон-платформа» после удара.

Решение. Сначала требуется ввести обозначения: скорость вагона до удара — v1, вагона с платформой после сцепки — v, масса вагона m1, платформы — m2. По условию задачи необходимо узнать значение скорости v.

Правила решения подобных заданий требуют схематичного изображения системы до и после взаимодействия. Ось OX разумно направить вдоль рельсов в ту сторону, куда движется вагон.

В данных условиях систему вагонов можно считать замкнутой. Это определяется тем, что внешними силами можно пренебречь. Сила тяжести и реакция опоры уравновешены, а трение о рельсы не учитывается.

Согласно закону сохранения импульса, их векторная сумма до взаимодействия вагона и платформы равна общему для сцепки после удара. Сначала платформа не двигалась, поэтому ее импульс был равен нулю. Перемещался только вагон, его импульс — произведение m1 и v1.

Так как удар был неупругий, то есть вагон сцепился с платформой, и дальше он стали катиться вместе в ту же сторону, то импульс системы не изменил направления. Но его значение стало другим. А именно произведением суммы массы вагона с платформой и искомой скорости.

Можно записать такое равенство: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Оно будет верно для проекции векторов импульсов на выбранную ось. Из него легко вывести равенство, которое потребуется для вычисления искомой скорости: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

По правилам следует перевести значения для массы из тонн в килограммы. Поэтому при подстановке их в формулу следует сначала умножить известные величины на тысячу. Простые расчеты дают число 0,75 м/с.

Ответ. Скорость вагона с платформой равна 0,75 м/с.

Задача с разделением тела на части

Условие. Скорость летящей гранаты 20 м/с. Она разрывается на два осколка. Масса первого 1,8 кг. Он продолжает двигаться в направлении, в котором летела граната, со скоростью 50 м/с. Второй осколок имеет массу 1,2 кг. Какова его скорость?

Решение. Пусть массы осколков обозначены буквами m1 и m2. Их скорости соответственно будут v1 и v2. Начальная скорость гранаты — v. В задаче нужно вычислить значение v2.

Для того чтобы больший осколок продолжал двигаться в том же направлении, что и вся граната, второй должен полететь в обратную сторону. Если выбрать за направление оси то, которое было у начального импульса, то после разрыва большой осколок летит по оси, а маленький — против оси.

В этой задаче разрешено пользоваться законом сохранения импульса из-за того, что разрыв гранаты происходит мгновенно. Поэтому, несмотря на то что на гранату и ее части действует сила тяжести, она не успевает подействовать и изменить направление вектора импульса с его значением по модулю.

Сумма векторных величин импульса после разрыва гранаты равна тому, который был до него. Если записать закон сохранения импульса тела в проекции на ось OX, то он будет выглядеть так: (m1 + m2) * v = m1 * v1 — m2 * v2. Из него просто выразить искомую скорость. Она определится по формуле: v2 = ((m1 + m2) * v — m1 * v1) / m2. После подстановки числовых значений и расчетов получается 25 м/с.

Ответ. Скорость маленького осколка равна 25 м/с.

Задача про выстрел под углом

Условие. На платформе массой M установлено орудие. Из него производится выстрел снарядом массой m. Он вылетает под углом α к горизонту со скоростью v (данной относительно земли). Требуется узнать значение скорости платформы после выстрела.

Решение. В этой задаче можно использовать закон сохранения импульса в проекции на ось OX. Но только в том случае, когда проекции внешних равнодействующих сил равна нулю.

За направление оси OX нужно выбрать ту сторону, куда полетит снаряд, и параллельно горизонтальной линии. В этом случае проекции сил тяжести и реакции опоры на OX будут равны нулю.

Задача будет решена в общем виде, так как нет конкретных данных для известных величин. Ответом в ней является формула.

Импульс системы до выстрела был равен нулю, поскольку платформа и снаряд были неподвижны. Пусть искомая скорость платформы будет обозначена латинской буквой u. Тогда ее импульс после выстрела определится как произведение массы на проекцию скорости. Так как платформа откатится назад (против направления оси OX), то значение импульса будет со знаком минус.

Импульс снаряда — произведение его массы на проекцию скорости на ось OX. Из-за того, что скорость направлена под углом к горизонту, ее проекция равна скорости, умноженной на косинус угла. В буквенном равенстве это будет выглядеть так: 0 = — Mu + mv * cos α. Из нее путем несложных преобразований получается формула-ответ: u = (mv * cos α) / M.

Ответ. Скорость платформы определяется по формуле u = (mv * cos α) / M.

Задача о переправе через реку

Условие. Ширина реки по всей ее длине одинакова и равна l, ее берега параллельны. Известна скорость течения воды в реке v1 и собственная скорость катера v2. 1). При переправе нос катера направлен строго к противоположному берегу. На какое расстояние s его снесет вниз по течению? 2). Под каким углом α нужно направить нос катера, чтобы он достиг противоположного берега строго перпендикулярно к точке отправления? Сколько времени t потребуется на такую переправу?

Решение. 1). Полная скорость катера является векторной суммой двух величин. Первая из них течение реки, которое направлено вдоль берегов. Вторая — собственная скорость катера, перпендикулярная берегам. На чертеже получается два подобных треугольника. Первый образован шириной реки и расстоянием, на которое сносит катер. Второй — векторами скоростей.

Из них следует такая запись: s / l = v1 / v2. После преобразования получается формула для искомой величины: s = l * (v1 / v2).

2). В этом варианте задачи вектор полной скорости перпендикулярен берегам. Он равен векторной сумме v1 и v2. Синус угла, на который должен отклоняться вектор собственной скорости, равен отношению модулей v1 и v2. Для расчета времени движения потребуется разделить ширину реки на сосчитанную полную скорость. Значение последней вычисляется по теореме Пифагора.

v = √(v22 – v12), тогда t = l / (√(v22 – v12)).

Ответ. 1). s = l * (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

fb.ru

Векторные величины

 

Векторные величины и скаляры

 

В курсе физике часто встречаются такие величины, для описания которых достаточно знать только числовые значения. Например, масса, время, длина.

 

Величины, которые характеризуются только числовым значением, называются скалярными или скалярами.

Кроме скалярных величин, используются величины, которые имеют и числовое значение и направление. Например, скорость, ускорение, сила.

 

Величины, которые характеризуются числовым значением и направлением, называются векторными или векторами.

 

Обозначаются векторные величины соответствующими буквами со стрелкой наверху или выделяются жирным шрифтом. Например, вектор силы обозначается  или F. Числовое значение векторной величины называется модулем или длиной вектора. Значение вектора силы обозначают F или .

 

Изображение вектора

Векторы изображают направленными отрезками. Началом вектора называют ту точку, откуда начинается направленный отрезок (точка А на рис. 1), концом вектора – точку, в которой заканчивается стрелка (точка B на рис. 1).

рис. 1

 

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и направлены в одну сторону. Такие вектора изображают направленными отрезками, имеющими одинаковые длины и направления. Например, на рис. 2 изображены векторы .

рис. 2

 

При изображении на одном рисунке двух и более векторов, отрезки строят в заранее выбранном масштабе. Например, на рис. 3 изображены вектора, длины которых υ1 = 2 м/c, υ2 = 3 м/c.

рис. 3

Способ задания вектора

На плоскости вектор можно задавать несколькими способами:

1. Указать координаты начала и конца вектора. Например, вектор  на рис. 4 задан координатами начала вектора – (2, 4) (м), конца – (6, 8) (м). рис. 4

 

2. Указать модуль вектора (его значение) и угол между направлением вектора и некоторым заранее выбранным направлением на плоскости. Часто за такое направление в положительную сторону оси 0Х. Углы, измеренные от этого направления против часовой стрелки, считаются положительными. На рис. 5  вектор  задан двумя числами b и α , указывающими длину и направление вектора. рис. 5

interneturok.ru

Вопрос 10. Скалярные и векторные величины. Линейные операции с векторами.

Скалярные величины — величины, которые определяются только числовыми значениями. Например: масса, площадь, длина отрезка, температура.

Если величина, кроме числового значения характеризуется еще и направлением, то она называется векторной величиной или просто вектором. Например: сила, скорость, ускорение. Следовательно, вектор полностью определяется числом и направлением. Геометрически вектор изображают отрезком, длина которого соответствует его числовому значению, а для указания направления используют стрелку.

В

А

Обозначают вектор гдеА – начало вектора, В – конец вектора, или просто . Заметим, что т. к. длина отрезка соответствует числовому значению вектора, то это числовое значение наз-ютдлиной или модулем вектора и обозначают или .

Два вектора будем называть равными, если они имеют одно и то же направление и одинаковую длину. Вектор называется противоположным вектору . = В этом случае пишут = – .

Нулевым вектором наз-ся век-р, начало и конец кот-го совпадают. Его обозначают . Заметим, что модуль нулевого вектора равен 0, а направление не определено.

Единичный вектор — вектор, длина кот-го = единице.

2 Век-ра наз-ют коллинеарными , если онт лежат на одной и той же прямой , или -х прямых

Векторы ‖-ые одной и той же плоскости, наз. компланарными.

Одним из самых важных св-в вектора явл-ся то, что его можно перемещать‖-но самому себе в любую точку плоскости или пространства. (Поэтому коллинеарные векторы всегда можно перенести на одну прямую, а компланарные на одну плоскость).

Углом = ( , ) между векторами и называется угол при вершине в Δ, где = = .

В

Следовательно, 0 ≤ ≤

А С

^

Два вектора и считаются ортогональными (перпендикулярными), если . (,) =.Обозначают .В частности , где – любой вектор.

Линейными операциями над векторами называют сложение, вычитание, умножение вектора на число.

  1. Суммой векторов и называют третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что вектор отложен из конца вектора . Вектор получается по правилу треугольника или параллелограмма.

Свойства суммы

1) а + в = в + а,

2) (а + в)+ с = а + (в + с),

3) а + о = а, а + (- а)= о.

Если складываются более двух векторов, то сумма определяется по правилу замыкающей.

с = а1 + а2 +…+ аn .

2) Разностью двух векторов а и в наз-ся такой вектор d , который в сумме с векторами в дает вектор а .

а — в = d, если в + d = а.

Чтобы получить разность а — в двух векторов а и в , необходимо отложить их из одной точки и соединить конец второго вектора с концом первого.

studfiles.net

Векторные величины — PhysBook

Векторные величины и скаляры

В курсе физике часто встречаются такие величины, для описания которых достаточно знать только числовые значения. Например, масса, время, длина.

Величины, которые характеризуются только числовым значением, называются скалярными или скалярами.

Кроме скалярных величин, используются величины, которые имеют и числовое значение и направление. Например, скорость, ускорение, сила.

Величины, которые характеризуются числовым значением и направлением, называются векторными или векторами.

Обозначаются векторные величины соответствующими буквами со стрелкой наверху или выделяются жирным шрифтом. Например, вектор силы обозначается \(\vec F\) или F. Числовое значение векторной величины называется модулем или длиной вектора. Значение вектора силы обозначают F или \(\left|\vec F \right|\).

Изображение вектора

Векторы изображают направленными отрезками. Началом вектора называют ту точку, откуда начинается направленный отрезок (точка А на рис. 1), концом вектора – точку, в которой заканчивается стрелка (точка B на рис. 1).

Рис. 1.

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и направлены в одну сторону. Такие вектора изображают направленными отрезками, имеющими одинаковые длины и направления. Например, на рис. 2 изображены векторы \(\vec F_1 =\vec F_2\).

Рис. 2.

При изображении на одном рисунке двух и более векторов, отрезки строят в заранее выбранном масштабе. Например, на рис. 3 изображены вектора, длины которых \(\upsilon_1\) = 2 м/c, \(\upsilon_2\) = 3 м/c.

Рис. 3.
Способ задания вектора

На плоскости вектор можно задавать несколькими способами:

1. Указать координаты начала и конца вектора. Например, вектор \(\Delta\vec r\) на рис. 4 задан координатами начала вектора – (2, 4) (м), конца – (6, 8) (м).

Рис. 4.

2. Указать модуль вектора (его значение) и угол между направлением вектора и некоторым заранее выбранным направлением на плоскости. Часто за такое направление в положительную сторону оси 0Х. Углы, измеренные от этого направления против часовой стрелки, считаются положительными. На рис. 5 вектор \(\Delta\vec r\) задан двумя числами b и \(\alpha\) , указывающими длину и направление вектора.

Рис. 5.

www.physbook.ru

Физические величины, обозначение, векторные и скалярные

Тестирование онлайн

  • Тест по теме: «Физические величины»

Что такое физическая величина?

Нас окружает много различных материальных предметов. Материальных, потому что их возможно потрогать, понюхать, увидеть, услышать и еще много чего можно сделать. То, какие эти предметы, что с ними происходит, или будет происходить, если что-нибудь сделать: кинуть, разогнуть, засунуть в печь. То, почему с ними происходит что-либо и как именно происходит? Все это изучает физика. Поиграйте в игру: загадайте предмет в комнате, опишите его несколькими словами, друг должен угадать что это. Указываю характеристики задуманного предмета. Прилагательные: белый, большой, тяжелый, холодный. Догадались? Это холодильник. Названные характеристики — это не научные измерения вашего холодильника. Измерять у холодильника можно разное. Если длину, то он большой. Если цвет, то он белый. Если температуру, то холодный. А если его массу, то выйдет, что он тяжелый. Представляем, что один холодильник можно исследовать с разных сторон. Масса, длина, температура — это и есть физическая величина.

Но это лишь та небольшая характеристика холодильника, которая приходит на ум мгновенно. Перед покупкой нового холодильника можно ознакомиться еще с рядом физических величин, которые позволяют судить о том, какой он, лучше или хуже, и почему он стоит дороже. Представь масштабы того, на сколько все окружающее нас разнообразно. И на сколько разнообразны характеристики.

Обозначение физической величины

Все физические величины принято обозначать буквами, чаще греческого алфавита. НО! Одна и та же физическая величина может иметь несколько буквенных обозначений (в разной литературе).

И, наоборот, одной и той же буквой могут обозначаться разные физические величины.

Несмотря на то, что с такой буквой вы могли не сталкиваться, смысл физической величины, участие ее в формулах остается прежним.

Векторные и скалярные величины

В физике существует два вида физических величин: векторные и скалярные. Основное их отличие в том, что векторные физические величины имеют направление. Что значит физическая величина имеет направление? Например, число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить температура. Другие очень важные в физике величины имеют направление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смещение: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, то есть определить направление его движения. Векторные величины лучше запомнить.

Почему над буквами рисуют стрелку?

Рисуют стрелку только над буквами векторных физических величин. Согласно тому, как в математике обозначают вектор! Действия сложения и вычитания над этими физическими величинами выполняются согласно математическим правилам действий с векторами. Выражение «модуль скорости» или «абсолютное значение» означает именно «модуль вектора скорости», то есть численное значение скорости без учета направления — знака «плюс» или «минус».

Обозначение векторных величин

Главное запомнить

1) Что такое векторная величина;
2) Чем скалярная величина отличается от векторной;
3) Векторные физические величины;
4) Обозначение векторной величины

fizmat.by

Какие из данных величин являются векторными?

Кошмар. На элементарнейший вопрос ни одного верного ответа. Правильно так: скорость, сила, ускорение.

Скорость и ускорение. У этих величин есть не только значение, но и направление.

ускорение и скорость

скорость, сила, давление, ускорение.

Физика, физика, вся пипися синяя. Давление в точке x направлении r — это скаляр, а выражение F/S тогда читается скалярно. Давление в точке x — это совокупность скалярных давлений в точке по всем направлениям. Если в жидкости или газе выполняется закон Паскаля, то все эти скаляры в точке равны и отождествляются просто с давлением в точке. В нешкольном случае закон Паскаля может нарушаться, давление выражается через сложный тензорный объект. А если оса прокусывает кожу, то закон Паскаля применять нельзя. Получается какая-то неведомая школьная ерунда!

touch.otvet.mail.ru

Как различать сочетания размещения и перестановки – . .

alexxlab / / Школьная жизнь

Чем отличается сочетание от размещения

Б. Паскаль  и  Ферма, изучая теорию азартных игр, были основателями нового раздела математики, называемого комбинаторикой. В ней изучается, какое количество комбинаций заданного типа можно составить из предложенных элементов.

Определение

Сочетания — соединения, каждое из которых составлено из  k1 элементов, выбранных из n1 различных элементов, состав которых  отличается  хотя бы на один элемент.

Размещения — cоединения, каждое из которых составлено из  k1 элементов, взятых из n1 различных элементов, у которых состав элементов или их порядок отличают их друг от друга.

к содержанию ↑

Сравнение

Сочетания — соединения, содержащие k1 элементов, выбранных из n1 различных элементов.  Сочетания отличаются друг от друга хотя бы на один элемент. Порядок следования элементов не важен. Число сочетаний равно n1 элементов.

Наборы, которых отличает только порядок следования элементов, но не состав, считаются одинаковыми. Отличие сочетаний друг от друга составом, но не порядком следования элементов.

Пример. Сочетание — нужно выбрать 3 предмета из 6. Есть предметы с номерами от 1 до 6. Выбираем из этого набора предметы в любом порядке с номерами  1, 4 и 6. Это и есть сочетание.

Размещениями называют соединения, каждое из которых содержит k1  элементов, взятых из n1    различных элементов, которых отличает друг от друга порядок или состав элементов. В размещениях не должно быть дубликатов.

Размещения отличают друг от друга состав элементов или их порядок.  Из n1 элементов по к1 (к1 < n1). По-другому, из n1 элементов выбирают к1 элементов и размещают их на А позиций. Число размещений из n1 элементов по к1 обозначают символом Ак1n1 (читается: А из n1 по к1).

При этом две расстановки будут считаться разными, если у них есть отличие друг от друга хотя бы на один элемент. Или они состоят из одних и тех же предметов, но они расположены в разном порядке. Например, есть три элемента, размещаем их в определенном порядке: 15, 11, 12 или 11, 12, 15 или 12, 15,11. Это и есть размещение — различные комбинации с одними и теми же элементами. Число размещений больше числа сочетаний.

к содержанию ↑

Выводы TheDifference.ru

  1. Сочетания отличаются от размещений только тем, что они не зависят от порядка следования элементов.

thedifference.ru

Перестановки, сочетания, размещения Основные определения и обозначения

Различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества), называются перестановками этого множества. Число различных перестановок изn элементов равно

Произвольное k – элементное подмножество n – элементного множества называется сочетанием из n элементов по k.

Число сочетаний изn элементов по k равно

Упорядоченные k – элементные подмножества из n элементов называются размещением из n элементов по k.

Число размещений изn элементов по k равно

Методические указания к решению задач

Применяя формулы числа перестановок, сочетаний и размещений, следует исходить из определений этих понятий.

Пример 7. Задано множество .

  1. Составить всевозможные перестановки этого множества.

  2. Всевозможные сочетания по два элемента.

  3. Всевозможные размещения по два элемента.

Решение:

Пример 8. Сколько существует способов выбора из 7 человек комиссии, состоящей из 3 человек?

Решение. Число возможных составов комиссии равно числу всевозможных трехэлементных подмножеств множества, состоящего из 7 человек, т.е.

Пример 9. Сколькими способами можно разместить на полке 4 книги?

Решение. Искомое число способов равно числу способов упорядочения множества, состоящего из 4 элементов, т.е.

Пример 10. В студенческой группе 25 человек. Надо выбрать старосту группы, академорга и профорга. Сколькими способами может быть сделан выбор, если каждый член группы может занимать только один пост?

Решение. В данном примере из множества в 25 элементов нужно выбрать 3 элемента, но среди выбранных 3 элементов имеет значение порядок, так как здесь играет роль то, кто какой пост займет.

Например, выбор:

староста – Иванова, академорг – Алексеева, профорг – Петров отличается от выбора:

староста – Алексеева, академорг – Иванова, профорг – Петров.

Следовательно, число различных способов выбора равно числу размещений из 25 элементов по 3,

Пример 11. На профсоюзном собрании присутствует 50 человек. Необходимо выбрать делегацию из 5 человек на профсоюзную конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. В данном примере из множества в 50 элементов нужно выбрать подмножество из 5, порядок которых не играет роли. Поэтому число способов выбора делегации равно

Пример 12. Сколькими способами можно упорядочить множество так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

Решение. Здесь можно рассматривать 2 объекта: четные и нечетные числа.

Мест с четными номерами n. Таким образом, четные числа можно расставить n! способами. Общее число искомых перестановок по правилу умножения равно

    1. Перестановки и сочетания с повторениями Основные определения и обозначения

До сих пор мы рассматривали предметы, которые были попарно различны. А теперь рассмотрим совокупности, в которых имеются одинаковые предметы.

Пусть имеются предметы k различных типов, число предметов первого типа равно , второго типа —k—го типа —

Число различных перестановок, которые можно сделать из даных элементов, равно

Число m – элементарных подмножеств, порядок в которых не принимается во внимание, равно

studfiles.net

Мастер-класс по теме «Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения»

Разделы: Математика

Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения.

“Число, положение и комбинация – три
взаимно пересекающиеся, но различные
сферы мысли, к которым можно
отнести все математические идеи”.
Джозеф Сильвестр (1844 г.)

Цели занятия.

Образовательные:

  • познакомить студентов с новым разделом математики: «Комбинаторика», с его историей, основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека;
  • способствовать созданию учебного проекта как показатель качественного изучения темы занятия.

Развивающие:

  • развивать аналитические способности, логическое мышление,
  • индивидуальные способности каждого студента, создавая комфортную психологическую обстановку для каждого студента при обучении и создании проекта.

Воспитывающая:

  • формировать активность личности студента, умение работать в группе, отвечать за свои поступки.

Оборудование: компьютеры, проектор, экран, презентация, электронные и на бумажных носителях тесты, задачи “Судоку”, кубики Рубика, папки для ВСР (внеаудиторная самостоятельная работа), рабочие тетради, чистые ватманы, калькуляторы, цветная бумага, клей, ножницы, фломастеры.

Ход занятия

I. Организационный момент

Перекличка

Сообщение целей и задач занятия: В связи с тем, что по дисциплине “Математика” на 2 курсе специальности “Технология деревообработки” на тему “Основные понятия комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания” отводится 2 часа, а рассмотреть нужно много материала, решать задачи, создать проект, вам было выдано задание на внеаудиторную самостоятельную работу следующее: в литературе по истории математики, в энциклопедиях, в учебниках и в интернете найти материал о разделе математики, имеющем звучное название “комбинаторика”. Слайды № 1–2. Презентация

В календарно-тематическом плане по дисциплине “Математика” на 2 курсе специальности “Технология деревообработки” на тему “Основные понятия комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания” отводится 2 часа. Изучить теоретический материал, решить задачи разных видов за такой временной промежуток невозможно. Для достижения глубокого изучения материала было выдано задание на внеаудиторную самостоятельную работу: в литературе по истории математики, в энциклопедиях, в учебниках и в интернете найти материал о разделе математики, имеющем звучное название “комбинаторика”. Слайды № 1–2.

Вопросов для внеаудиторной самостоятельной работы выделено было три:

  1. Определения комбинаторики.
  2. Ученые – математики — первооткрыватели этого раздела.
  3. Применение комбинаторики в современной жизни.

Запись даты, темы урока.

II. Работа над темой занятия

Вступление:

Из глубокой древности до современного человечества дошли сведения о том, что уже тогда люди занимались выбором объектов и расположения их в том или ином порядке и увлекались составлением различных комбинаций. Так, например, в Древнем Китае увлекались составлением квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же (современная игра – задача “Судоку”). Такие задачи вы могли встречать в журналах и газетах. В частности, наша Мариинская газета “Вперед” довольно часто предлагает читателям такие задачи. В Древней Греции подобные задачи возникали в связи c такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты и т.д.

Комбинаторика ставится самостоятельным разделом математики, по сути – самостоятельной наукой лишь во второй половине XVII века, — в период, когда возникла теория вероятностей.

Таким образом, — комбинаторика – это самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторика – самостоятельная ветвь математической науки. Cлайд № 3

Термин “КОМБИНАТОРИКА” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять” — слайд № 4.

Как трактует это слово Большой Энциклопедический Словарь?

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”: перестановки, размещения, сочетания. Этот раздел иначе называют “комбинаторный анализ”.

Сегодня мы будем рассматривать перестановки, размещения, сочетания, как соединения, как комбинаторные конфигурации.

Разделы комбинаторики: перечислительная, структурная, вероятностная, топологическая – слайд № 5.

Давайте вспомним известное вам из детства сказание о том, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до развилки трех дорог, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый КОМБИНАТОРИКОЙ, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую – слайд № 6.

Итак, комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

Перестановки-соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их

Количество всех перестановок из n элементов обозначают

Число n при этом называется порядком перестановки – слайд № 7–10.

Произведение всех натуральных чисел от n до единицы, обозначают символом n! (Читается “эн - факториал”). Используя знак факториала, можно, например, записать:

1! = 1,

2! = 2•1 = 2,

3! = 3 •2 •1 = 6,

4! = 4 •3 •2 •1 = 24,

5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.

Необходимо знать, что 0!=1

Термин “перестановки” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается Рп и оно равно п!, т.е. Рп = п!, где п! = 1 * 2 * 3 * … п.

Решение: Р7 = 7!, где 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 2 (о квартете)

В знаменитой басне Крылова “Квартет” “Проказница мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка” исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.

Зададим вопрос: Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?

Решение: на слайде

Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их.

Cлайды № 11–13.

В комбинаторике размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Примеры решения задач:

Задача № 1. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.

Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:

Ответ:151200 способов

Задача № 2. В группе ТД – 21 обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно А243. По формуле находим

Ответ: 12144 способа

Сочетания-соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их .

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. Cлайды № 14–16.

В комбинаторике сочетанием из n по m называется набор m элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Термин “сочетание” впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно

Ответ: 120 вариантов.

Задача № 2. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

Решение: По формуле находим:

комиссий

Ответ: 120 комиссий.

Библиографическая справка – слайд № 17.

Общее у всех этих задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. “Особая примета” комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: “Сколькими способами…?”. Cлайд № 18.

3. Решение задач: тексты задач с решениями в приложении 1 – начало на слайде № 19.

4. Исторические сведения о комбинаторике на слайдах № 20–21 (частично даны сведения при изучении темы, остальные данные для проекта студенты возьмут из материалов для ВСР).

5. Связи комбинаторики на слайдах № 22–31 (частично даны сведения при изучении темы, остальные данные для проекта студенты возьмут из материалов для ВСР).

6. Выдвижение гипотезы. Гипотеза – это научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-нибудь явлений, вообще – предположение, требующее подтверждения.

Выдвигается гипотеза: Комбинаторика интересна и имеет широкий спектр практической направленности — слайд № 32.

7. Метод проектов: три группы студентов и группа преподавателей выполняют проект по теме: “Комбинаторика”, используя знания, полученные на занятии, а также материалы, подготовленные по заданию на ВСР: различные определения комбинаторики, ученые – математики - первооткрыватели этого раздела, применение комбинаторики в современной жизни.

8. Защита проектов: при защите проекта сделать вывод: подтверждает ли проект выдвинутую гипотезу или опровергает.

9. Тестирование: Часть студентов тестируется на компьютерах, остальные – на бумажных носителях по теме занятия. По мере выполнения тестов студенты решают задачу “Судока” или собирают кубик Рубика.

10. При выходе из кабинета каждый студент выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписями “всё понятно и усвоено”, “трудно и не всё понятно”, “не понятно и не усвоено”, и опускает в соответствующий конверт.

Информационные ресурсы

1. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский. Элементы высшей математики для школьников. Москва. “Наука”, 1987 год.

2. Грэхем Р., Кнут Д.А., Паташник О. Конкретная математика.. Москва “Мир”, 1998 г.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для техникумов, Москва. “Высшая Школа, 1983.

4. Перельман Я.И. “Занимательная алгебра. Занимательная геометрия, Москва, АСТ “Астрель”, 2002 год.

5. Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика”, Москва “Педагогика”, 1985.

6. Сканави М.И. “Сборник задач по математике для поступающих в вузы”, Москва, “Высшая школа”, 1998 г.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – 4-е изд. - М.: Наука, 1969.

8. Элементы теории вероятностей. Математика. Приложение к газете «Первое сентября»,  № 41, 42.

9. http//portfolio.1september.ru

10. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей, Москва, “ Просвещение”, 1990.

11. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. — 6-е изд. — М.: Наука, 1964.

12. Андреева Е. В. “Комбинаторные задачи”, Москва, “Чистые пруды”, 2005 г.

Приложение 1

20.06.2011

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Формулы размещения, сочетания, перестановки — Студопедия.Нет

Основные понятия комбинаторики: правила сложения и умножения, формулы размещений, сочетаний, перестановок

Понятие о комбинаторике

Комбинаторика – ветвь математики, изучающая различные комбинации и перестановки объектов. Возникла комбинаторика в 17 веке. Развивалась наука в 18 веке благодаря научным трудам итальянских ученых Кардано, Тартальи, Галилея; французских математиков Паскаля и Ферма; немецких ученых Лейбница и Эйлера. Впервые название науки «комбинаторика» ввел Леонард Эйлер.

Первоначально комбинаторика возникла на основе азартных игр. К таким играм относятся: карты, кости, шашки, шахматы, нарды. Выигрывает в них тот, кто лучше изучил выигрышные комбинации, просчитал все возможные исходы на несколько шагов вперед и избежал проигрыша.

 Не только игры давали пищу для комбинаторных размышлений. Разведчики, дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали различные шифры и коды.

В современном обществе с развитием ЭВМ комбинаторика добилась новых успехов. Она применяется довольно широко: в теории случайных процессов; в статистике; в математическом программировании; в вычислительной математике; в военном искусстве; в управлении и т.д.

С помощью комбинаторики, например, была решена проблема «четырех красок». Любую географическую карту можно раскрасить в четыре цвета так, что никакие две страны, имеющие общие границы, не будут окрашены в один цвет.

Правила умножения и сложения

Установим два важных правила, которые часто применяются при решении комбинаторных задач. Для этого рассмотрим решение следующей задачи.

Пример 1.В группе студентов 30 человек. Необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 30 учащихся, т.е. существует 30 способов выбора старосты. После того как староста уже выбран, профоргом можно выбрать любого из оставшихся 29 учащихся. Таким образом, одному способу выбора старосты соответствует 29 способов выбора профорга. Следовательно, общее число способов выбора старосты и профорга равно 30*29=870. 

Рассуждения, которые были проведены при решении предыдущих задач, подтверждают справедливость следующего простого утверждения.

Правило умножения.Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nк способами, то все к действий вместе могут бать выполнены n1∙ n2∙ n3∙…∙ nк способами.

Это правило дает удобный универсальный метод решения многих комбинаторных задач.

Пример 2.Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с четными номерами, а девочки — на места с нечетными номерами. Сколькими способами можно это сделать?

Первый мальчик может сесть на любое из четырех четных мест, второй – на любое из оставшихся трёх мест, третий – на любое из оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики могут занять четыре места 4*2*3*1=24 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья 24*24=576 способами.

Пример 3.Нефтекамский завод «Искож» выпускает трикотажные изделия. На складеимеется 20 изделий 1-го сорта и 30 изделий 2-го сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколько способов выбора двух изделий возможно в данной ситуации, если учитывается порядок выбора изделий?

Условимся первым действием считать выбор изделий 1-го сорта, вторым – выбор изделий 2-го сорта. По правилу умножения два изделия 1-го сорта можно выбрать 20*19=380 способами. Аналогично, два изделия 2-го сорта можно выбрать 30*29=870 способами. Согласно условию задачи следует выбрать два изделия одного сорта, не важно какого. Это могут быть либо изделия 1-го сорта, либо изделия 2-го сорта. Таким образом, должно быть выполнено либо первое действие, либо второе, но не первое действие, а затем второе. Эти действия не могут быть выполнены одновременно, поскольку они взаимно исключают друг друга. Поэтому общее число способов выбора изделий одного сорта равно 380+870=1250.

Соображения, которые были приведены при решении последней задачи, позволяют сформулировать правило сложения.

Правило сложения.Если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно из них можно выполнить m способами, а другое – n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно n+m способами.

Это правило легко распространить на любое конечное число действий.

Формулы размещения, сочетания, перестановки

Комбинаторика занимается вопросами о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных элементов. Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Пусть имеется некоторое множество, содержащее конечное число членов. Например, множество учебных групп в колледже, множество книг на полке, множество населенных пунктов в данной области или, например, множество целых положительных чисел, меньших 10, и т.д. Все элементы такого множества можно пронумеровать, т.е. каждому элементу множества можно поставить в соответствие одно из чисел: 1, 2, 3, 4, …,n; в результате получается некоторая последовательность элементов данного множества, которые обычно записывают в виде а1, а2, а2, …, ап. Такие “ занумерованные” множества будем называть упорядоченными. Таким образом, упорядоченное множество представим в виде некоторой последовательности, что будет использовано в дальнейшем. Очевидно, если в упорядоченном множестве поменять местами хотя бы два его элемента, то получим новое упорядоченное множество, которому будет соответствовать новая последовательность элементов данного множества. Введем определение факториала.

Определение.Произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно называют n − факториалом и пишутn! = 1∙2∙3∙4∙…∙(n – 1)∙n

Определение. Размещением из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Пример 4. Пусть имеется множество, содержащее четыре буквы:{A, B, С; Д}. Таких размещений 12: AB, AC, AD, BC, BD, CD, BA, CA, DA, CB, DB, DC.

Заметим, что размещения отличаются порядком входящих в них элементов и их составом. Размещения АВ и ВА содержат одинаковые буквы, но порядок их расположения различен. Поэтому эти размещения считаются разными.

Пример 5.Следующие последовательности цифр являются размещениями по 4 элемента из 10 элементов множества:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}: 3021, 4590, 8612, 7485, 1234.

В последнем примере не выписаны все возможные размещения, так как таких размещений более 5000.

На практике чаще представляет интерес количество размещений, а не их конкретный вид. Число размещений из nэлементов по mбудем обозначать символом Атп,где m<nилиm=n.

Теорема.Число размещений из n элементов по m равно

Пример 6.Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все десять цифр?

Так как в любом числе важную роль играет порядок входящих в него цифр, то для ответа на поставленный вопрос, очевидно, следует определить число размещений из 10 цифр по 4:

А410 = 10!/6!=7*8*9*10=5040.

Однако все последовательности из 4 цифр представляют собой четырёхзначное число, поскольку среди них есть и такие, у которых на 1-м месте находится 0. Найдем число таких последовательностей. Так как у рассматриваемых последовательностей на 1-м месте уже стоит 0, то следует выбрать ещё 3 цифры из оставшихся 9. Найдем число размещений из 9 по 3: А39=9!/6!=7*8*9=504. Таким образом, искомое число четырехзначных чисел равно разности А410 — А39 =5040-504=4536.

Рассмотрим теперь отдельно случай, когда m=n. Соответствующие этому случаю размещения называются перестановками.

Перестановками из n элементов называются такие соединения из всех n элементов которые отличаются друг от друга порядком расположения элементов.

Пример 7.Пусть имеются числа 3, 5, 7. Этому множеству чисел соответствует 6 перестановок: 357, 375, 537, 573, 753,735.

Пример 8.Слова “барк” и “краб” образованы в результате перестановки букв, составляющих слово “брак”. Число таких перестановок равно 24, так как

А44 = 4!/0!=4!=1*2*3*4=24.

Отметим, что перестановки состоят из одних и тех же элементов, но отличающихся между собой порядком. Число перестановок nразличных элементов будем обозначать символом Рп .

Теорема.Число перестановок n различных элементов равно n!, т.е. =n!

Так как перестановки являются частным случаем размещений, то при n=mполучаем

=  =n!/0!=n!

Пример 9.Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

Способ 1. Будем считать выделенные книги за одну книгу. Тогда для шести книг существует Р6=6!=720 перестановок. Однако четыре определенные книги можно переставить между собой Р4=4!=24 способами. По правилу умножения имеем Р6 ∙ Р4 =720∙24=17 280.

Способ 2.Возможны следующие случаи: первая из четырёх книг стоит на 1-м месте, тогда четвёртая стоит на 4-м месте; первая книга стоит на 2-м месте, а четвертая стоит на 5-м месте, первая стоит на 6-м месте, тогда четвертая стоит на последнем, 9-м месте. Число таких случаев равно шести. Сами книги могут быть переставлены Р4=4!=24 способами. Значит, по правилу умножения выделенные четыре книги можно расставить 6∙Р4=144 способами. Оставшиеся 5 книг можно переставить Р5=5!=120 способами. Воспользовавшись снова правилом умножения, приходим к тому же результату, который был получен при первом способе решения: Р4∙6∙Р5 = Р6 ∙ Р4 = 17 280.

Если два различных размещения состоят из одинаковых элементов некоторого множества, то они обязательно отличаются порядком входящих в них элементов. Иногда возникает необходимость не учитывать порядок элементов, входящих в размещение. В этом случае все m!размещений, которые состоят из одних и тех же элементов, считаются неразличимыми.

Предположим, что из чисел 3, 5, 7 необходимо составить различные произведения двух чисел. Таких произведений только три: 3∙5=15, 3∙7=21,5∙7=35. Это объясняется тем, что произведения вида 3∙5 и 5∙3 совпадают, так как порядок сомножителей, входящих в произведение, не учитывается. Если требуется из указанных цифр составить двузначные числа, то таких чисел уже шесть. Запишем эти числа: 35, 53, 37, 73, 57, 75. Как видно, здесь уже пришлось учитывать порядок цифр.

При выборе делегации в составе 3 человек из 30 учащихся не надо учитывать порядок выбранных делегатов, так как все члены делегации равноправны. Однако, выбирая физорга, старосту, профорга из тех же учащихся, порядок уже приходится учитывать. Каждый конкретный результат выбора из 30 учащихся делегации в составе 3 человек – это сочетание из 30 по 3 в отличие от размещения из 3 по 3.

Сочетаниями из n элементов по m в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Пример 10.Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Из смысла задачи следует, что порядок выбора книг не играет роли. Здесь важен только их состав. Как известно из предыдущего (см. задачу 5), число размещений из 10 по 4 равно А410=5040. Пусть теперь выбраны 4 книги из 10. Число таких возможных выборов, где не учитывается порядок выбранных книг, равно С410. Однако каждому из этих сочетаний будут соответствовать Р4=24 перестановки выбранных книг. Тогда выбор 4 книг из 10 с учетом их порядка по правилу умножения возможен С410 ∙ Р4 способами. С другой стороны, число указанных способов – это число размещений А410. Таким образом, число возможных способов выбора подарка равна 210.

Теорема.Число сочетаний из n элементов по m равно

Пример 11. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных?

Решение. Среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных. Белые шары можно выбрать С410 =10!/4!∙6!=210 способами. Черные шары можно выбрать С35 =5!/3!∙2!=10 способами. Тогда по правилу умножения искомое число способов равно С410 ∙ С35 =2100.

Пример 12. Десять команд участвуют в розыгрыше первенства России по хоккею, лучшие из которых занимают 1-е, 2-е и 3-е места. Две команды, занявшие последние места, не будут участвовать в следующем таком же первенстве. Сколько разных вариантов результата первенства может быть, если учитывать только положение первых трех и последних двух команд?

Решение. Первые три места могут быть распределены А310=10!/7!=720 способами. В результате останется семь команд, две из которых выбывают из следующего первенства. Так как в этом случае порядок выбывших команд не важен, то это может произойти С27=7!/2!∙5!=21 способами. Согласно правилу умножения получаем, что число разных результатов первенства равно А310∙ С27=15 120. [4]

Упражнения для закрепления

1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

7. Вычислить:

1)   2) 3)

8. Решите уравнения:

1) ; 2) 3) 4)

Контрольные вопросы

1. Что является предметом изучения комбинаторики?

2. Сформулируйте правило произведения и правило сложения.

3. Какие соединения называют размещениями?перестановками

4. Какие множества называют упорядоченными?

5. Какие соединения называют сочетаниями?

6. Дайте определение факториала.

 

studopedia.net

Перестановки, размещения, сочетания

Характерная примета в задачах из области комбинаторики – вопрос в них обычно можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов: «Сколькими способами…».

Первые задачи такого типа встречались уже, например, в древней и средневековой Индии.

«О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов» (Махавира, IX в.). Условие этой задачи, возможно, не очень понятно; судя по решению, здесь речь идет об ожерельях, которые бы отличались не по количеству или расположению камней одного и того же типа, а по наличию тех или иных камней – например, ожерелье из бриллиантов, из бриллиантов и кораллов, из бриллиантов, изумрудов и жемчугов и т. д.

Решение

Конечно, эту задачу можно решить простым перебором вариантов, но можно кое-что заметить. В разных ожерельях камни каждого конкретного вида могут наличествовать либо отсутствовать. Например, бриллианты могут быть, а могут не быть – две возможности. Как при наличии бриллиантов, так и при их отсутствии сапфиры могут быть, а могут или не быть – итого четыре возможности. И при наличии, и при отсутствии бриллиантов и сапфиров изумруды могут быть, а могут не быть, – итого восемь возможностей. И т. д. Следовательно, всего вариантов 25 = 32, правда, нужно еще вычесть один вариант отсутствия всех пяти камней (такое ожерелье, с точки зрения здравого смысла, ожерельем не является). Итак, ответ в задаче – 31 возможное ожерелье.

БСИКЖ БСИК БСИЖ БСИ БСКЖ БСК БСЖ БС
БИКЖ БИК БИЖ БИ БКЖ БК БЖ Б
СИКЖ СИК СИЖ СИ СКЖ СК СЖ С
ИКЖ ИК ИЖ И КЖ К Ж –

«Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, горьким, вяжущим, кислым, соленым, сладким. Друг, скажи, каково число всех разновидностей» (Шридхара, IX–X вв.).

Решение

Аналогично решению предыдущей задачи получаем 26 – 1 = 64 – 1 = 63.

Классическими понятиями комбинаторики являются перестановки, размещения и сочетания.

Перестановкой называется какой-либо способ упорядочения данного множества. Чтобы найти число всех перестановок множества из n предметов (это число обозначается Pn, от французского permutation – перестановка) – например, число способов, которыми можно расставить n томов на книжной полке, – обычно рассуждают таким образом. Первым можно поставить любой из n предметов, вторым – любой из (n – 1) оставшихся предметов, третьим любой из (n – 2) оставшихся предметов и т. д. В результате число перестановок будет равно произведению n множителей n (n – 1) (n – 2) … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1.

Рис. 1. Перестановки (варианты размещения четырех предметов по четырем ячейкам)

Упорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется размещением из n по m. С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, нетрудно найти, что число размещений из n по m (оно обозначается , от французского arrangement – размещение) равно произведению m множителей

n (n – 1) (n – 2) … (n – m + 2) (n – m + 1).

 

Рис. 2. Размещения (варианты размещения четырех предметов по трем ячейкам)

Наконец, неупорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется сочетанием из n по m. Число сочетаний обозначается , от французского combinaison – сочетание. Поскольку одному и тому же сочетанию соответствует Pm размещений (получаемых с помощью различных перестановок одного и того же набора m элементов), число сочетаний из n по m меньше числа размещений из n по m в Pm раз:

 

Рис. 3. Сочетания (неупорядоченные размещения)

Впервые понятия перестановки, размещения и сочетания в их взаимосвязи появились в написанной на древенееврейском языке арифметике (1321 г.) жившего в Провансе (Юго-Восточная Франция) Льва Герсонида, или Леви бен Гершона, однако его труд не был известен большинству последующих европейских математиков. В основном элементы комбинаторики были открыты и упорядочены математиками XVII и начала XVIII вв.

Например, термин permutation – перестановка – появился в учебнике «Теория и практика арифметика» (1656 г.) у работавшего в Лувене и Антверпене (ныне Бельгия) преподавателя математики Андре Таке, учебники которого получили большое распространение в XVII–XVIII вв. Понятие размещений и равенство вновь появились только у Я. Бернулли, давшего наиболее полное изложение комбинаторики во второй части «Искусства предположений», изданного в 1713 г. спустя четыре года после смерти автора и ставшего фундаментальной работой по теории вероятностей.

А вот история сочетаний, как мы сейчас убедимся, более давняя: а именно, числа сочетаний – оказывается, ни что иное, как давно знакомые нам биномиальные коэффициенты, которые мы (вслед за Эйлером) обозначали

Дело тут вот в чем: число – это коэффициент при an – mbm в разложении выражения (a + b)n. Когда бином (a + b) возводится в n-ую степень, т. е. перемножаются n выражений (a + b), множитель bm получается из m выражений (a + b), а an – m – из оставшихся (n – m) таких же выражений. Коэффициент равен числу, указывающему, сколько раз произведение an – mbm появляется в этом разложении, т. е. сколько раз можно выбрать m из n множителей. Слово combinaison – сочетание – употреблял уже Б. Паскаль, который, как уже было указано, уделил большое внимание свойствам биномиальных сочетаний, образующих треугольник Паскаля.

Соответственно, на числа сочетаний переносятся все уже известные свойства биномиальных коэффициентов, в частности, свойство

Это свойство можно доказать новым способом, исходя из комбинаторного смысла чисел . Сумма – это совокупное число, которым можно выбрать последовательно из n имеющихся элементов: ноль элементов (это можно сделать только одним способом), один элемент (это, разумеется, можно сделать n способами), два элемента и т. д., наконец, n элементов (снова одним способом). Каково же это суммарное число? Обратимся к способу решения вышеприведенной задачи об ожерельях! В данном сочетании первый элемент либо присутствует, либо нет – две возможности. Независимо от первого, второй либо присутствует, либо нет – значит, для присутствия или отсутствия первого и второго четыре возможности. Независимо от первого и второго, третий может присутствовать, может не присутствовать – итого 8 возможностей и т. д. Всего получается 2n всевозможных сочетаний, где каждый элемент может присутствовать, а может и отсутствовать, вплоть до одновременного отсутствия всех n элементов (единственный возможный вариант сочетания из n по 0): правда, индийская задача как раз этот – единственный – случай и исключала: ожерелье вовсе без камней – вообще не ожерелье.

Также по-новому, исходя из комбинаторного определения сочетаний, можно доказать и свойство , гарантирующее, вместе с очевидными равенствами , что числа сочетаний можно найти с помощью треугольника Паскаля. Попробуйте!

Доказательство

Рис. 4. Треугольник Паскаля

По определению, число сочетаний из n по m – это число способов, которыми можно из n предметов выбрать m, порядок которых неважен. Как-либо выделим (n – 1) предмет из данных n. Тогда составить неупорядоченную совокупность m предметов из n данных можно, либо выбрав все m лишь из выделенных (n – 1), либо взять один невыделенный предмет, а оставшиеся (m – 1) выбрать из выделенных (n – 1) предмета. Получается, что общее число способов, которым можно создать неупорядоченную совокупность m предметов из n данных, равно числу способов, которым можно из (n – 1) предметов выбрать m, плюс число способов, которым из (n – 1) предметов можно выбрать (m – 1). Таким образом,

Рис. 5. 

Т. н. мультипликативное представление биномиальных коэффициентов

 = (n (n – 1) (n – 2) … (n – m + 2) (n – m + 1)) / (m (m – 1) (m – 2) … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1)

впервые (после Леви бен Гершона) установил парижский преподаватель математики П. Эригон (1634 г.), но широкую известность оно получило благодаря работе Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», опубликованной в 1665 г. после смерти автора. Пожалуй, проще всего этот результат доказывается с помощью равенства . Впрочем, мы сейчас обычно записываем «мультипликативное представление» несколько иначе, с помощью знака факториала. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Факториалом 0 считается 1. Термин «факториал» впервые предложил французский математик Л. Ф. А. Арбогаст (1800 г.). Факториал числа n обозначается n! Это обозначение ввел в 1808 г. немецкий математик К. Крамп. Итак, n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n, 0! = 1. В этих обозначениях

Pn = n!,


Что касается самого слова «комбинаторика», то оно восходит к «Рассуждению о комбинаторном искусстве» двадцатилетнего Лейбница (1666 г.), которое положило начало этому разделу математики как самостоятельной науке. «Рассуждение» Лейбница содержало ряд теорем о сочетаниях и перестановках, но, кроме того, автор провозглашал весьма широкую применимость новой науки к таким разнообразным предметам, как замки, органы, силлогизмы, смешение цветов, стихосложение, логика, геометрия, военное искусство, грамматика, юриспруденция, медицина и богословие. В дальнейшем Лейбниц продолжил вынашивать грандиозный замысел комбинаторики, полагая, что, как обычная математика занимается большим и малым, единым и многим, целым и частью, так комбинаторика должна заниматься одинаковым и различным, похожим и непохожим, абсолютным и относительным местоположением. Лейбниц предвидел приложения комбинаторики к кодированию и декодированию, к играм, статистике, теории наблюдений. Следует отметить, что, хотя ныне мы понимаем комбинаторику более узко, тем не менее, предвидения Лейбница относительно развития математических теорий, относящихся к указанным предметам, ныне вовсе не выглядят такими беспочвенными, какими казались в его время.

school-collection.iv-edu.ru

Перестановки, размещения, сочетания

Характерная примета в задачах из области комбинаторики – вопрос в них обычно можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов: «Сколькими способами…».

Первые задачи такого типа встречались уже, например, в древней и средневековой Индии.

«О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов» (Махавира, IX в.). Условие этой задачи, возможно, не очень понятно; судя по решению, здесь речь идет об ожерельях, которые бы отличались не по количеству или расположению камней одного и того же типа, а по наличию тех или иных камней – например, ожерелье из бриллиантов, из бриллиантов и кораллов, из бриллиантов, изумрудов и жемчугов и т. д.

Решение

Конечно, эту задачу можно решить простым перебором вариантов, но можно кое-что заметить. В разных ожерельях камни каждого конкретного вида могут наличествовать либо отсутствовать. Например, бриллианты могут быть, а могут не быть – две возможности. Как при наличии бриллиантов, так и при их отсутствии сапфиры могут быть, а могут или не быть – итого четыре возможности. И при наличии, и при отсутствии бриллиантов и сапфиров изумруды могут быть, а могут не быть, – итого восемь возможностей. И т. д. Следовательно, всего вариантов 25 = 32, правда, нужно еще вычесть один вариант отсутствия всех пяти камней (такое ожерелье, с точки зрения здравого смысла, ожерельем не является). Итак, ответ в задаче – 31 возможное ожерелье.

БСИКЖ БСИК БСИЖ БСИ БСКЖ БСК БСЖ БС
БИКЖ БИК БИЖ БИ БКЖ БК БЖ Б
СИКЖ СИК СИЖ СИ СКЖ СК СЖ С
ИКЖ ИК ИЖ И КЖ К Ж –

«Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, горьким, вяжущим, кислым, соленым, сладким. Друг, скажи, каково число всех разновидностей» (Шридхара, IX–X вв.).

Решение

Аналогично решению предыдущей задачи получаем 26 – 1 = 64 – 1 = 63.

Классическими понятиями комбинаторики являются перестановки, размещения и сочетания.

Перестановкой называется какой-либо способ упорядочения данного множества. Чтобы найти число всех перестановок множества из n предметов (это число обозначается Pn, от французского permutation – перестановка) – например, число способов, которыми можно расставить n томов на книжной полке, – обычно рассуждают таким образом. Первым можно поставить любой из n предметов, вторым – любой из (n – 1) оставшихся предметов, третьим любой из (n – 2) оставшихся предметов и т. д. В результате число перестановок будет равно произведению n множителей n (n – 1) (n – 2) … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1.

Рис. 1. Перестановки (варианты размещения четырех предметов по четырем ячейкам)

Упорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется размещением из n по m. С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, нетрудно найти, что число размещений из n по m (оно обозначается , от французского arrangement – размещение) равно произведению m множителей

n (n – 1) (n – 2) … (n – m + 2) (n – m + 1).

 

Рис. 2. Размещения (варианты размещения четырех предметов по трем ячейкам)

Наконец, неупорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется сочетанием из n по m. Число сочетаний обозначается , от французского combinaison – сочетание. Поскольку одному и тому же сочетанию соответствует Pm размещений (получаемых с помощью различных перестановок одного и того же набора m элементов), число сочетаний из n по m меньше числа размещений из n по m в Pm раз:

 

Рис. 3. Сочетания (неупорядоченные размещения)

Впервые понятия перестановки, размещения и сочетания в их взаимосвязи появились в написанной на древенееврейском языке арифметике (1321 г.) жившего в Провансе (Юго-Восточная Франция) Льва Герсонида, или Леви бен Гершона, однако его труд не был известен большинству последующих европейских математиков. В основном элементы комбинаторики были открыты и упорядочены математиками XVII и начала XVIII вв.

Например, термин permutation – перестановка – появился в учебнике «Теория и практика арифметика» (1656 г.) у работавшего в Лувене и Антверпене (ныне Бельгия) преподавателя математики Андре Таке, учебники которого получили большое распространение в XVII–XVIII вв. Понятие размещений и равенство вновь появились только у Я. Бернулли, давшего наиболее полное изложение комбинаторики во второй части «Искусства предположений», изданного в 1713 г. спустя четыре года после смерти автора и ставшего фундаментальной работой по теории вероятностей.

А вот история сочетаний, как мы сейчас убедимся, более давняя: а именно, числа сочетаний – оказывается, ни что иное, как давно знакомые нам биномиальные коэффициенты, которые мы (вслед за Эйлером) обозначали

Дело тут вот в чем: число – это коэффициент при an – mbm в разложении выражения (a + b)n. Когда бином (a + b) возводится в n-ую степень, т. е. перемножаются n выражений (a + b), множитель bm получается из m выражений (a + b), а an – m – из оставшихся (n – m) таких же выражений. Коэффициент равен числу, указывающему, сколько раз произведение an – mbm появляется в этом разложении, т. е. сколько раз можно выбрать m из n множителей. Слово combinaison – сочетание – употреблял уже Б. Паскаль, который, как уже было указано, уделил большое внимание свойствам биномиальных сочетаний, образующих треугольник Паскаля.

Соответственно, на числа сочетаний переносятся все уже известные свойства биномиальных коэффициентов, в частности, свойство

Это свойство можно доказать новым способом, исходя из комбинаторного смысла чисел . Сумма – это совокупное число, которым можно выбрать последовательно из n имеющихся элементов: ноль элементов (это можно сделать только одним способом), один элемент (это, разумеется, можно сделать n способами), два элемента и т. д., наконец, n элементов (снова одним способом). Каково же это суммарное число? Обратимся к способу решения вышеприведенной задачи об ожерельях! В данном сочетании первый элемент либо присутствует, либо нет – две возможности. Независимо от первого, второй либо присутствует, либо нет – значит, для присутствия или отсутствия первого и второго четыре возможности. Независимо от первого и второго, третий может присутствовать, может не присутствовать – итого 8 возможностей и т. д. Всего получается 2n всевозможных сочетаний, где каждый элемент может присутствовать, а может и отсутствовать, вплоть до одновременного отсутствия всех n элементов (единственный возможный вариант сочетания из n по 0): правда, индийская задача как раз этот – единственный – случай и исключала: ожерелье вовсе без камней – вообще не ожерелье.

Также по-новому, исходя из комбинаторного определения сочетаний, можно доказать и свойство , гарантирующее, вместе с очевидными равенствами , что числа сочетаний можно найти с помощью треугольника Паскаля. Попробуйте!

Доказательство

Рис. 4. Треугольник Паскаля

По определению, число сочетаний из n по m – это число способов, которыми можно из n предметов выбрать m, порядок которых неважен. Как-либо выделим (n – 1) предмет из данных n. Тогда составить неупорядоченную совокупность m предметов из n данных можно, либо выбрав все m лишь из выделенных (n – 1), либо взять один невыделенный предмет, а оставшиеся (m – 1) выбрать из выделенных (n – 1) предмета. Получается, что общее число способов, которым можно создать неупорядоченную совокупность m предметов из n данных, равно числу способов, которым можно из (n – 1) предметов выбрать m, плюс число способов, которым из (n – 1) предметов можно выбрать (m – 1). Таким образом,

Рис. 5. 

Т. н. мультипликативное представление биномиальных коэффициентов

 = (n (n – 1) (n – 2) … (n – m + 2) (n – m + 1)) / (m (m – 1) (m – 2) … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1)

впервые (после Леви бен Гершона) установил парижский преподаватель математики П. Эригон (1634 г.), но широкую известность оно получило благодаря работе Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», опубликованной в 1665 г. после смерти автора. Пожалуй, проще всего этот результат доказывается с помощью равенства . Впрочем, мы сейчас обычно записываем «мультипликативное представление» несколько иначе, с помощью знака факториала. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Факториалом 0 считается 1. Термин «факториал» впервые предложил французский математик Л. Ф. А. Арбогаст (1800 г.). Факториал числа n обозначается n! Это обозначение ввел в 1808 г. немецкий математик К. Крамп. Итак, n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n, 0! = 1. В этих обозначениях

Pn = n!,


Что касается самого слова «комбинаторика», то оно восходит к «Рассуждению о комбинаторном искусстве» двадцатилетнего Лейбница (1666 г.), которое положило начало этому разделу математики как самостоятельной науке. «Рассуждение» Лейбница содержало ряд теорем о сочетаниях и перестановках, но, кроме того, автор провозглашал весьма широкую применимость новой науки к таким разнообразным предметам, как замки, органы, силлогизмы, смешение цветов, стихосложение, логика, геометрия, военное искусство, грамматика, юриспруденция, медицина и богословие. В дальнейшем Лейбниц продолжил вынашивать грандиозный замысел комбинаторики, полагая, что, как обычная математика занимается большим и малым, единым и многим, целым и частью, так комбинаторика должна заниматься одинаковым и различным, похожим и непохожим, абсолютным и относительным местоположением. Лейбниц предвидел приложения комбинаторики к кодированию и декодированию, к играм, статистике, теории наблюдений. Следует отметить, что, хотя ныне мы понимаем комбинаторику более узко, тем не менее, предвидения Лейбница относительно развития математических теорий, относящихся к указанным предметам, ныне вовсе не выглядят такими беспочвенными, какими казались в его время.

files.school-collection.edu.ru

8. Перестановки, размещения, , сочетания

В комбинаторных задачах комбинации предметов могут отличаться одна от другой числом предметов, их составом и порядком.

Пример. В отделении 5 новобранцев: Белкин, Пенкин, Фенькин, Свечкин и Овечкин. Их учат рассчитываться по порядку. Каждый раз их перестраивают по – новому и расчет повторяется. Сколько раз сержант может повторить это упражнение разными способами?

Можно обозначить солдат первыми буквами их фамилий. Например, ПСОФБ означает порядок, в котором солдаты расположились на построении. Все комбинации отличаются порядком букв и называются перестановками.

Пусть дано множество из N элементов. Занумеруем их от 1 до N.

Перестановкой из N элементов называется всякий способ нумерации этих элементов.

Теорема 2. Число всех различных перестановок из N элементов равно N!

Доказательство. Всякую перестановку из N элементов можно получить с помощью N действий: первое действие – выбор первого элемента, второе действие – выбор второго элемента и т. д., N – е действие – выбор элемента с номером N.

Первый элемент можно выбрать N Различными способами; второй выбирается из оставшихся N – 1 элементов, поэтому число всех способов выполнения второго действия будет N – 1. Далее останется N – 2 элемента, их можно разместить N – 2 способами. И т. д. Последнее действие можно выполнить одним способом. По правилу умножения число всех способов выполнения действий, т. е. число перестановок, равно (так обозначается функция факториал, т. е. произведение всех членов натурального ряда до N Включительно). ■

Число перестановок обозначается РN:

(4)

В случае с новобранцами (N = 5) РN = 5! = 120.

Пример. Свидетель происшествия запомнил, что четырехзначный номер автомобиля, скрывшегося с места происшествия, начинается с цифры 1, а завершается на 4, причем все цифры разные. Сколько автомобилей должна проверить автоинспекция?

Решение. Вторую и третью цифры надо выбирать из восьми, а именно из 0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9. Если выбрать вторую цифру восемью способами, то для третьей цифры останется 7 вариантов. Отсюда 8×7 = 56 способов.

Нужно перебрать из восьми цифр по две с учетом их порядка, поскольку 1674 и 1764 – разные номера. Такие комбинации называют размещениями.

Размещением из N элементов по K называется всякая перестановка из K элементов, выбранных каким – либо способом из данных N элементов.

Число размещений обозначается .

Теорема 3. Число всех размещений из N элементов по K вычисляется по формуле:

(5)

(в этой формуле K сомножителей).

Доказательство. Аналогично теореме 2. Каждое размещение можно получить с помощью K действий. Первое действие можно выполнить N способами, второе – N— 1 способами и т. д., K действие – (N – K + 1) способами. По правилу умножения , что и требовалось доказать. ■

Для рассмотренного выше примера .

Пример. Из 10 депутатов поселкового совета 7 проголосовали «за». Каково число всех возможных вариантов голосования?

Здесь порядок выбора не играет роли, поэтому комбинации отличаются только составом лиц. Такие комбинации называются сочетаниями.

Сочетанием из N элементов по K называется всякая совокупность K элементов, выбранных каким – либо способом из данных N элементов.

Теорема 4. Число всех сочетаний из N элементов по K вычисляется по формуле:

(6)

Доказательство. Возьмем какое – нибудь сочетание из N элементов по K:

(A, B, C, … , F) — здесь K букв.

Переставляя эти элементы всевозможными способами, получим K! всех размещений из N элементов по K одного и того же состава. Таким образом, из одного сочетания получается K! размещений. Следовательно, из сочетаний получится размещений, т. е. . Отсюда

, что и требовалось доказать. ■

В последнем примере = 10, = 7,

Другая формула для числа сочетаний имеет вид:

Теорема 5.Свойство :

(7)

Доказательство. Если из N элементов выбрать K элементов, то останется (N – K) элементов. Следовательно, каждому сочетанию из N элементов по K соответствует определенное сочетание из N элементов по (N – K ). Поэтому число тех и других сочетаний одинаково, что и требовалось доказать. ■

Формула (7) сокращает вычисления, например:

По определению 0! = 1, .

Числа называются биномиальными коэффициентами, с их помощью записывается так называемая формула бинома Ньютона:

Эту формулу можно доказать методом математической индукции.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Округлить до тысячных онлайн калькулятор – — !

alexxlab / / Школьная жизнь

Как округлить число до тысячных

Рассмотрим, как округлить число до тысячных, применяя правило округления.

Правило округления числа до тысячных

Чтобы округлить десятичную дробь до тысячных, надо оставить после запятой только три цифры, а остальные следующие за ней цифры отбросить.

Если первая из отброшенных цифр 0,1,2,3 или 4, то предыдущую цифру оставляем без изменений.

Если первая из отброшенных цифр 5,6,7,8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.

Примеры.

Округлить число до тысячных:

   

Чтобы округлить число до тысячных, после запятой нужно оставить лишь три цифры, а четвертую — отбросить. Поскольку отброшенная цифра — 4, предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Три целых, семь тысяч восемьсот пятьдесят четыре десятитысячных приближенно равно три целых, семьсот восемьдесят пять тысячных». 

   

Чтобы округлить это число до тысячных, после запятой оставляем три цифры, а четвертую — отбрасываем. Отброшенная цифра — 6, значит предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать семь целых две тысячи семьдесят шесть десятитысячных приближенно равно тридцать семь целых двести восемь тысячных». 

   

Округляя число до тысячных, оставляем после запятой три цифры, а все остальные — отбрасываем. Так как первая из отброшенных цифр — 8, к предыдущей прибавляем единицу. Читают: «Шестьдесят девять целых девяносто девять тысяч девятьсот восемьдесят одна стотысячная  приближенно равно семьдесят целых нуль тысячных».

   

Округляем число до тысячных, поэтому после запятой оставляем первые три цифры, а следующие за ними — отбрасываем. Так как первая из отброшенных цифр — 2, то предыдущую цифру не меняем. Читают: «Восемьсот шестьдесят три целых двенадцать тысяч четыреста двадцать три стотысячных приближенно равно восемьсот шестьдесят три целых сто двадцать четыре тысячных». 

   

Чтобы округлить данное число до тысячных, первые три цифры, стоящие после запятой, оставляем, а все остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр равна 5, а это означает, что предыдущую цифру следует увеличить на единицу. Читают: «Нуль целых триста пятьдесят девять стотысячных приближенно равно нуль целых четыре тысячных».

И еще пара примеров на округление числа до тысячных: 

   

   

www.for6cl.uznateshe.ru

Округление числа до необходимого десятичного разряда

Если отображение ненужных разрядов вызывает появление знаков ######, или если микроскопическая точность не нужна, измените формат ячеек таким образом, чтобы отображались только необходимые десятичные разряды.

Или если вы хотите округлить число до ближайшего крупного разряда, например, тысячной, сотой, десятой или единицы, используйте функцию в формуле.

С помощью кнопки

  1. Выделите ячейки, которые нужно отформатировать.

  2. На вкладке Главная выберите команду Увеличить разрядность или Уменьшить разрядность, чтобы отобразить больше или меньше цифр после запятой.

С помощью встроенного числового формата

  1. На вкладке Главная в группе Число щелкните стрелку рядом со списком числовых форматов и выберите пункт Другие числовые форматы.

  1. В списке Категория выберите значение Денежный, Финансовый, Процентный или Экспоненциальный в зависимости от типа ваших данных.

  2. В поле Число десятичных знаков введите число знаков после запятой, которые вы хотите отображать.

С помощью функции в формуле

Округлите число до необходимого количества цифр с помощью функции ОКРУГЛ. Эта функция имеет только два аргумента (аргументы — это части данных, необходимые для выполнения формулы).

  • Первый аргумент — это число, которое необходимо округлить. Он может быть ссылкой на ячейку или числом.

  • Второй аргумент — это количество цифр, до которого необходимо округлить число.

Предположим, что ячейка A1 содержит число 823,7825. Вот как можно округлить его.

  • Чтобы округлить до ближайшей тысяч и

    • Введите =ОКРУГЛ(A1;-3), что равно 1000

    • Число 823,7825 ближе к 1000, чем к 0 (0 кратно 1000 )

    • В этом случае используется отрицательное число, поскольку округление должно состоятся влево от запятой. Такое же число применяется в следующих двух формулах, которые округляют до сотен и десятков.

  • Чтобы округлить до ближайших сотен

    • Введите =ОКРУГЛ(A1;-2), что равно 800

    • Число 800 ближе к 823,7825, чем к 900. Наверное, теперь вам все понятно.

  • Чтобы округлить до ближайших десятков

  • Чтобы округлить до ближайших единиц

    • Введите =ОКРУГЛ(A1;0), что равно 824

    • Используйте ноль для округления числа до ближайшей единицы.

  • Чтобы округлить до ближайших десятых

    • Введите =ОКРУГЛ(A1;1), что равно 823,8

    • В этом случает для округления числа до необходимого количества разрядов используйте положительное число. То же самое касается двух следующих формул, которые округляют до сотых и тысячных.

  • Чтобы округлить до ближайших сотых

  • Чтобы округлить до ближайших тысячных

Округлите число в большую сторону с помощью функции ОКРУГЛВВЕРХ. Она работает точно так же, как функция ОКРУГЛ, за исключением того, что она всегда округляет число в большую сторону. Например, если необходимо округлить число 3,2 до ноля разрядов:

Округлите число вниз с помощью функции ОКРУГЛВНИЗ. Она работает точно так же, как функция ОКРУГЛ, за исключением того, что она всегда округляет число в меньшую сторону. Например, необходимо округлить число 3,14159 до трех разрядов:

  • =ОКРУГЛВНИЗ(3,14159;3), что равно 3,141

Стандартный десятичный разделитель для чисел можно настроить в параметрах Excel.

  1. Щелкните Параметры (в Excel 2010–2016) или нажмите кнопку Microsoft Office и выберите Параметры Excel (в Excel 2007).

  2. В категории Расширенные параметры нужно выбрать пункт Параметры правки, а затем установить флажок Автоматическая вставка десятичной запятой.

  3. В поле Число знаков после запятой введите положительное число для количества цифр справа от запятой или отрицательное число для количества цифр слева от запятой.

    Примечание: Например, если ввести 3 в поле Число знаков после запятой, а затем — 2834 в ячейке, то значение будет равно 2,834. Если ввести –3 в поле Число знаков после запятой, а затем — 283 в ячейке, то значение будет равно 283000.

  4. Нажмите кнопку ОК.

    В строке состояния будет отображаться индикатор Фиксированный десятичный формат.

  5. Выберите ячейку на листе и введите нужное число.

    Примечание: Установка флажка Фиксированный десятичный формат не влияет на уже введенные данные.

  • Чтобы не использовать для числа параметр «Фиксированный десятичный формат», при его вводе добавьте десятичную запятую.

  • Чтобы удалить десятичные запятые из чисел, введенных с использованием фиксированного десятичного формата, сделайте следующее:

    1. Щелкните Параметры (в Excel 2010–2016) или нажмите кнопку Microsoft Office и выберите Параметры Excel (в Excel 2007).

    2. В категории Расширенные параметры в разделе Параметры правки снимите флажок Автоматическая вставка десятичной запятой.

    3. В пустой ячейке введите число, соответствующее числу десятичных знаков, которое вы хотите удалить, например 10, 100 или 1000.

      Например, введите 100 в ячейке, если числа содержат два десятичных знака и вы хотите преобразовать их в целые числа.

    4. На вкладке Главная в группе Буфер обмена нажмите кнопку Копировать (или нажмите клавиши CTRL+C).

    5. Выделите на листе ячейки, содержащие числа с десятичными разрядами, которые вы хотите изменить.

    6. На вкладке Главная в группе Буфер обмена щелкните стрелку под кнопкой Вставить и выберите команду Специальная вставка.

    7. В диалоговом окне Специальная вставка в разделе «Операция» выберите Умножить.

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community, попросить помощи в сообществе Answers community, а также предложить новую функцию или улучшение на веб-сайте Excel User Voice.

См. также

Округление числа

Почему число округляется?

support.office.com

Округление чисел

Сегодня мы рассмотрим довольно скучную тему, без понимания которой двигаться дальше не представляется возможным. Эта тема называется «округление чисел» или по-другому «приближённые значения чисел».

Приближённые значения

Приближённые (или приблизительные) значения применяются тогда, когда точное значение чего-либо найти невозможно, или же это значение не важно для исследуемого предмета.

Например, на словах можно сказать, что в городе проживает полмиллиона человек, но это высказывание не будет истинным, поскольку количество человек в городе меняется — люди приезжают и уезжают, рождаются и умирают. Поэтому правильнее будет сказать, что в городе проживает приблизительно полмиллиона человек.

Ещё пример. В девять утра начинаются занятия. Мы вышли из дома в 8:30. Через некоторое время по дороге мы встретили своего товарища, который спросил у нас сколько сейчас времени. Когда мы выходили из дома было 8:30, на дорогу мы потратили какое-то неизвестное время. Мы не знаем сколько сейчас времени, поэтому отвечаем товарищу: «сейчас приблизительно около девяти часов».

В математике приближенные значения указываются с помощью специального знака. Выглядит он следующим образом:

Читается как «приблизительно равно».

Чтобы указать приблизительное значение чего-либо, прибегают к такой операции, как округление чисел.

Округление чисел

Для нахождения приближенного значения применяется такая операция, как округление чисел.

Слово «округление» говорит само за себя. Округлить число значит сделать его круглым. Круглым называется число, которое оканчивается нулем. Например, следующие числа являются круглыми,

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Любое число можно сделать круглым. Процедуру, при которой число делают круглым, называют округлением числа.

Мы уже занимались «округлением» чисел, когда делили большие числа. Напомним, что для этого мы оставляли без изменения цифру, образующую старший разряд, а остальные цифры заменяли нулями. Но это были лишь наброски, которые мы делали для облегчения деления. Своего рода лайфхак. По факту, это даже не являлось округлением чисел. Именно поэтому в начале данного абзаца мы взяли слово округление в кавычки.

На самом деле, суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч.

Рассмотрим простой пример на округление. Дано число 17. Требуется округлить его до разряда десятков.

Не забегая вперёд попробуем понять, что означает «округлить до разряда десятков». Когда говорят округлить число 17, от нас требуют найти ближайшее круглое число для числа 17. При этом, в ходе этого поиска возможно изменения коснутся и цифры, которая находится в разряде десятков в числе 17 (т.е единицы).

Представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что для числа 17 ближайшее круглое число это 20. Значит ответ к задаче таким и будет: 17 приблизительно равно 20

17 ≈ 20

Мы нашли приближённое значение для 17, то есть округлили его до разряда десятков. Видно, что после округления в разряде десятков появилась новая цифра 2.

Попробуем найти приближённое число для числа 12. Для этого снова представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что ближайшее круглое число для 12 это число 10. Значит ответ к задаче таким и будет: 12 приблизительно равно 10

12 ≈ 10

Мы нашли приближённое значение для 12, то есть округлили его до разряда десятков. В этот раз цифра 1, которая стояла в разряде десятков в числе 12, не пострадала от округления. Почему так случилось мы рассмотрим позже.

Попробуем найти ближайшее число для числа 15. Снова представим, что все числа от 10 до 20 лежат на прямой линии:

На рисунке видно, что число 15 одинаково удалено от круглых чисел 10 и 20. Возникает вопрос: которое из этих круглых чисел будет приближённым значением для числа 15? Для таких случаев условились принимать большее число за приближённое. 20 больше чем 10, поэтому приближённое значение для 15 будет число 20

15 ≈ 20

Округлять можно и большие числа. Естественно, для них рисовать прямую линию и изображать числа не представляется возможным. Для них существует свой способ. Например, округлим число 1456 до разряда десятков.

Мы должны округлить 1456 до разряда десятков. Разряд десятков начинается на пятёрке:

Теперь о существовании первых цифр 1 и 4 временно забываем. Остается число 56

Теперь смотрим, какое круглое число находится ближе к числу 56. Очевидно, что ближайшее круглое число для 56 это число 60. Значит заменяем число 56 на число 60

Значит при округлении числа 1456 до разряда десятков получим 1460

1456 ≈ 1460

Видно, что после округления числа 1456 до разряда десятков, изменения коснулись и самого разряда десятков. В новом полученном числе в разряде десятков теперь располагается цифра 6, а не 5.

Округлять числа можно не только до разряда десятков. Округлять можно также до разряда сотен, тысяч, десятков тысяч.

После того, как становится понятно, что округление это ни что иное, как поиск ближайшего числа, можно применять готовые правила, которые значительно облегчают округление чисел.

Первое правило округления

Из предыдущих примеров стало ясно, что округляя число до определенного разряда, младшие разряды заменяются нулями. Цифры, которые заменяются нулями, называют отбрасываемыми цифрами.

Первое правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Например, округлим число 123 до разряда десятков.

В первую очередь находим сохраняемую цифру. Для этого надо прочитать само задание. В разряде, о котором говорится в задании и находится сохраняемая цифра. В задании сказано: округлить число 123 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится двойка. Значит сохраняемой цифрой является цифра 2

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после двойки это цифра 3. Значит цифра 3 является первой отбрасываемой цифрой.

Теперь применяем правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Так и делаем. Оставляем без изменения сохраняемую цифру, а все младшие разряды заменяем нулями. Другими словами, всё что следует после цифры 2 заменяем нулями (точнее нулём):

123 ≈ 120

Значит при округлении числа 123 до разряда десятков, получаем приближённое ему число 120.

Теперь попробуем округлить то же самое число 123, но уже до разряда сотен.

Нам требуется округлить число 123 до разряда сотен. Снова ищем сохраняемую цифру. В этот раз сохраняемой цифрой является 1, поскольку мы округляем число до разряда сотен.

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после единицы это цифра 2. Значит цифра 2 является первой отбрасываемой цифрой:

Теперь применим правило. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Так и делаем. Оставляем без изменения сохраняемую цифру, а все младшие разряды заменяем нулями. Другими словами, всё что следует после цифры 1 заменяем нулями:

123 ≈ 100

Значит при округлении числа 123 до разряда сотен, получаем приближённое ему число 100.

Пример 3. Округлить число 1234 до разряда десятков.

Здесь сохраняемая цифра это 3. А первая отбрасываемая цифра это 4. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 3 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулём:

1234 ≈ 1230

Пример 4. Округлить число 1234 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 2. А первая отбрасываемая цифра это 3. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 2 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

1234 ≈ 1200

Пример 3. Округлить число 1234 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 1. А первая отбрасываемая цифра это 2. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит оставляем сохраняемую цифру 1 без изменений, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

1234 ≈ 1000

Второе правило округления

Второе правило округления выглядит следующим образом:

Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Например, округлим число 675 до разряда десятков.

В первую очередь находим сохраняемую цифру. Для этого надо прочитать само задание. В разряде, о котором говорится в задании и находится сохраняемая цифра. В задании сказано: округлить число 675 до разряда десятков.

Видим, что в разряде десятков находится семёрка. Значит сохраняемой цифрой является цифра 7

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после семёрки это цифра 5. Значит цифра 5 является первой отбрасываемой цифрой.

Теперь применяем второе правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

У нас первая из отбрасываемых цифр это 5. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 7, а всё что следует после неё заменить нулём:

675 ≈ 680

Значит при округлении числа 675 до разряда десятков, получаем приближённое ему число 680.

Теперь попробуем округлить то же самое число 675, но уже до разряда сотен.

Нам требуется округлить число 675 до разряда сотен. Снова ищем сохраняемую цифру. В этот раз сохраняемой цифрой является 6, поскольку мы округляем число до разряда сотен:

Теперь находим первую из отбрасываемых цифр. Первой из отбрасываемых цифр является та цифра, которая следует после сохраняемой цифрой. Видим, что первая цифра после шестёрки это цифра 7. Значит цифра 7 является первой отбрасываемой цифрой:

Теперь применяем второе правило округления. Оно говорит, что если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

У нас первая из отбрасываемых цифр это 7. Значит мы должны увеличить на единицу сохраняемую цифру 6, а всё что следует после неё заменить нулями:

675 ≈ 700

Значит при округлении числа 675 до разряда сотен, получаем приближённое ему число 700.

Пример 3. Округлить число 9876 до разряда десятков.

Здесь сохраняемая цифра это 7. А первая отбрасываемая цифра это 6. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 7, а всё что располагается после неё заменяем нулём:

9876 ≈ 9880

Пример 4. Округлить число 9876 до разряда сотен.

Здесь сохраняемая цифра это 8. А первая отбрасываемая цифра это 7. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 8, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

9876 ≈ 9900

Пример 5. Округлить число 9876 до разряда тысяч.

Здесь сохраняемая цифра это 9. А первая отбрасываемая цифра это 8. Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит увеличиваем на единицу сохраняемую цифру 9, а всё что располагается после неё заменяем нулями:

9876 ≈ 10000

Пример 6. Округлить число 2971 до сотен.

При округлении этого числа до сотен следует быть внимательным, поскольку сохраняемая цифра здесь 9, а первая отбрасываемая цифра это 7. Значит цифра 9 должна увеличиться на единицу. Но дело в том, что после увеличения девятки на единицу получится 10, а это цифра не вместится в разряд сотен нового числа.

В этом случае, в разряде сотен нового числа надо записать 0, а единицу перенести на следующий разряд и сложить с цифрой, которая там находится. Далее заменить все цифры после сохраняемой нулями:

2971 ≈ 3000

Округление десятичных дробей

При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, поскольку десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И каждая из этих двух частей имеет свои разряды:

Разряды целой части:

  • разряд единиц
  • разряд десятков
  • разряд сотен
  • разряд тысяч

Разряды дробной части:

  • разряд десятых
  • разряд сотых
  • разряд тысячных

Рассмотрим десятичную дробь 123,456 — сто двадцать три целых четыреста пятьдесят шесть тысячных. Здесь целая часть это 123, а дробная часть 456. При этом у каждой из этих частей есть свои разряды. Очень важно не путать их:

Для целой части применяются те же правила округления, что и для обычных чисел. Отличие в том, что после округления целой части и замены нулями всех цифр после сохраняемой цифры, дробная часть полностью отбрасывается.

Например, округлим дробь 123,456 до разряда десятков. Именно до разряда десятков, а не разряда десятых. Очень важно не перепутать эти разряды. Разряд десятков располагается в целой части, а разряд десятых в дробной.

Мы должны округлить 123,456 до разряда десятков. Сохраняемая цифра здесь это 2, а первая из отбрасываемых цифр это 3

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. А что делать с дробной частью? Её просто отбрасывают (убирают):

123,456 ≈ 120

Теперь попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда единиц. Сохраняемая цифра здесь будет 3, а первая из отбрасываемых цифр это 4, которая находится в дробной части:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.

Значит сохраняемая цифра останется без изменений, а всё остальное заменится нулём. Оставшаяся дробная часть будет отброшена:

123,456 ≈ 123,0

Ноль, который остался после запятой тоже можно отбросить. Значит окончательный ответ будет выглядеть следующим образом:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Теперь займёмся округлением дробных частей. Для округления дробных частей справедливы те же правила, что и для округления целых частей. Попробуем округлить дробь 123,456 до разряда десятых. В разряде десятых располагается цифра 4, значит она является сохраняемой цифрой, а первая отбрасываемая цифра это 5, которая находится в разряде сотых:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит сохраняемая цифра 4 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

123,456 ≈ 123,500

Попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда сотых. Сохраняемая цифра здесь это 5, а первая из отбрасываемых цифр это 6, которая находится в разряде тысячных:

Согласно правилу, если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Значит сохраняемая цифра 5 увеличится на единицу, а остальная часть заменится нулями

123,456 ≈ 123,460

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Навигация по записям

spacemath.xyz

Округление чисел

Чтобы округлить число до какого-либо разряда – подчеркнем цифру этого разряда, а затем все цифры, стоящие за подчеркнутой, заменяем нулями, а если они стоят после запятой – отбрасываем. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличиваем на 1.

Примеры.

Округлить до целых:

1) 12,5;   2) 28,49;   3) 0,672;  4) 547,96;   5) 3,71.

Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде единиц (целых) и смотрим на цифру, стоящую за ней. Если это цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения, а все цифры после нее отбрасываем. Если же за подчеркнутой цифрой стоит цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на единицу.

1) 12,5≈13;

2) 28,49≈28;

3) 0,672≈1;

4) 547,96≈548;

5) 3,71≈4.

Округлить до десятых:

6) 0, 246;   7) 41,253;   8 ) 3,81;   9) 123,4567;   10) 18,962.

Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде десятых, а затем поступаем согласно правилу: все стоящие после подчеркнутой цифры отбросим. Если за подчеркнутой цифрой была цифра 0 или 1 или 2 или 3 или 4, то подчеркнутую цифру не изменяем. Если за подчеркнутой цифрой шла цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на 1.

6) 0, 246≈0,2;

7) 41,253≈41,3;

8 ) 3,81≈3,8;

9) 123,4567≈123,5;

10) 18,962≈19,0.  За девяткой стоит шестерка, поэтому, девятку увеличиваем на 1. (9+1=10) нуль пишем, 1 переходит в следующий разряд и будет 19. Просто 19 мы в ответе записать не можем, так как должно быть понятно, что мы округляли до десятых — цифра в разряде десятых должна быть. Поэтому, ответ: 19,0.

Округлить до сотых:

11) 2, 045;   12) 32,093;   13) 0, 7689;   14)  543, 008;  15)  67, 382.

Решение. Подчеркиваем цифру в разряде сотых и, в зависимости от того, какая цифра стоит после подчеркнутой, оставляем подчеркнутую цифру без изменения (если за ней 0, 1, 2, 3 или 4) или  увеличиваем подчеркнутую цифру на 1 (если за ней стоит 5, 6, 7, 8 или 9).

11) 2, 045≈2,05;

12) 32,093≈32,09;

13) 0, 7689≈0,77;

14)  543, 008≈543,01;

15)  67, 382≈67,38.

Важно:  в ответе последней должна стоять цифра в том разряде, до которого вы округляли.

 

 

www.mathematics-repetition.com

Округлить до десятитысячных

Автор Сергей Валерьевич

Четверг, Февраль 18, 2016

   

Что значит округлить число до десятитысячных? Зачем иногда нужно это делать? Для этого существует несколько причин:
  • придание числу реального смысла;
  • показание точности измерения.

Как же округлить число до десятитысячных (то есть до четвертой цифры после запятой)? Для этого нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

  • Оставив в дробной части (эта та часть, которая находится в числе после запятой) пять первых цифры, удалить остальные. Если в дробной части всего четыре цифры (или меньше), то число уже округлено до десятитысячных.
  • Если пятая цифра в дробной части меньше пятёрки, то она удаляется, а четвёртая цифра не меняется.
  • Если пятая цифра в дробной части больше или равна пятёрке, то она удаляется, а четвёртая цифра увеличивается на единицу.

На самом деле, представленный алгоритм справедлив не только для округления до десятитысячных. Вы легко сможете сами адаптировать его на случай любого другого округления.

Теория и практика округления чисел до десятитысячных

Чтобы понять, как округлить число до десятитысячных, познакомимся подробнее с представленным алгоритмом и закрепим его на конкретных примерах.

  • Первый пример. Выполним округление числа 34,48342 до десятитысячных, руководствуясь представленным алгоритмом. Получается число, равное 34,4834, которое ближе к исходному, чем 34,4835.
  • Второй пример. Согласно третьему пункту алгоритма при округлении числа 54,72549 до десятитысячных у нас должно получиться 54,7255. Мы увеличиваем четвёртую цифру после запятой до пяти, так как пятая цифра после запятой (девять) превосходит пятёрку. В результате полученное число 54,7255 ближе к исходному, чем, если бы мы округлили его до 54,7254.
  • Третий пример. Процесс округления числа 31,365451 до десятитысячных даёт 31,3655. Четыре десятитысячных возросло до пяти, поскольку цифра, которую мы отбрасываем, является пятёркой, а после неё стоит одна значащая цифра. В результате полученное число 31,3655 ближе к исходному, чем если бы мы округлили его до 31,3656.

Нестандартные приёмы округления до десятитысячных

Выше описаны стандартные приёмы округления дробных чисел до десятитысячных. Существует, впрочем, еще одно правило при округлении, которое не изучается в курсе средней школы. Но тем не менее, вам может быть полезно о нём знать. Вот это правило.

Когда удаляется пятёрка, за которой не стоят значащие цифры, то округление до десятитысячных долей связано с ближайшим числом: последняя остающаяся цифра не меняется при её чётности, и увеличивается на один при нечётности.
  • Четвёртый пример. Округляя число 12,36565 до десятитысячного разряда, получаем 12,3656. Увеличение не делается, т. к. последней остающейся цифрой является чётная шестёрка. Не увеличенное (12,3656) и увеличенное (12,3657) числа равноудалены от исходного числа (12,36565).
  • Пятый пример. Округление 23,41635 до десятитысячных даст результат 23,4164, что диктуется нечётностью последней из сохраняемых цифр, которая должна быть усилена.

В чём смысл третьего правила? Ведь такое округление, применённое в отношении одного числа, не способствует увеличению точности. Но когда округляется множество чисел, количество увеличенных чисел примерно совпадёт с количеством уменьшенных. В результате погрешности взаимно компенсируются, что повышает истинность суммы этих чисел.

Материал представлен репетитором по математике и физике в Москве, Сергеем Валерьевичем

yourtutor.info

Округление чисел. Приближенные значения чисел

Числа, с которыми нам приходится иметь дело в реальной жизни, бывают двух типов. Одни в точности передают истинную величину, другие – только приблизительную. Первые называют точными, вторые – приближёнными.

В реальной жизни чаще всего пользуются приближёнными числами вместо точных, так как последние обычно не требуются. Например, приближённые значения используются при указании таких величин как длина или вес. Во многих же случаях точное число найти невозможно.

Правила округления

Для получения приближённого значения, полученное в результате каких-либо действий число нужно округлить, то есть заменить его ближайшим круглым числом.

Числа всегда округляют до определённого разряда. Натуральные числа округляются до десятков, сотен, тысяч и т. д. При округлении чисел до десятков, их заменяют круглыми числами, состоящими только из целых десятков, у таких чисел в разряде единиц стоят нули. При округлении до сотен, числа заменяются на более круглые, состоящие только из целых сотен, то есть нули стоят уже и в разряде единиц, и в разряде десятков. И так далее.

Десятичные дроби можно округлять так же как и натуральные числа, то есть до десятков, сотен и т. д. Но также их можно округлять и до десятых, сотых, тысячных частей и т. д. При округлении десятичных знаков разряды не заполняются нулями, а просто отбрасываются. В обоих случаях округление производится по определённому правилу:

Если отбрасываемая цифра больше или равна 5, то предыдущую нужно увеличить на единицу, а если меньше 5, то предыдущая цифра не меняется.

Рассмотрим несколько примеров округления чисел:

  • Округлить 43152 до тысяч. Здесь надо отбросить 152 единицы, так как справа от разряда тысяч стоит цифра 1, то предыдущую цифру отставляем без изменений. Приближённое значение числа 43152, округлённое до тысяч будет равно 43000.
  • Округлить 43152 до сотен. Первая из отбрасываемых чисел 5, значит предыдущую цифру увеличиваем на единицу: 43152 ≈ 43200.
  • Округлить 43152 до десятков: 43152 ≈ 43150.
  • Округлить 17,7438 до единиц: 17,7438 ≈ 18.
  • Округлить 17,7438 до десятых: 17,7438 ≈ 17,7.
  • Округлить 17,7438 до сотых: 17,7438 ≈ 17,74.
  • Округлить 17,7438 до тысячных: 17,7438 ≈ 17,744.

Знак ≈ называют знаком приближённого равенства, он читается – «приближённо равно».

Если при округлении числа результат получился больше начального значения, то полученное значение называется приближённым значением с избытком, если меньше – приближённым значением с недостатком:

7928 ≈ 8000, число 8000 – приближённое значением с избытком
5102 ≈ 5000, число 5000 – приближённое значением с недостатком

naobumium.info

Округлить до тысяч онлайн калькулятор — ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ — 22 ответа



В разделе Образование на вопрос ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ заданный автором Black star лучший ответ это десятки — 79310; 951040
сотни — 79300; 951000
тыщи — 79000; 951000
десятки тыщ — 80000; 100000
единицы — 11; 7
деятые — 10,5; 7,0
сотые — 10,50; 7,02
тысячные — 10,530; 7,025

Ответ от 22 ответа[гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ

Ответ от Катерина[гуру]
ничего не поняла, что вы хотели!

Ответ от Anna koroleva[активный]
идите вы

Ответ от Ёергей Златоустов[гуру]
Не понял!

Ответ от Легенда[гуру]
Что там округлять, если следующая за нужной цифрой 5 и больше, к предыдущей прибавляем единицу, если нет, то нет. Н-р: 10,5296 ~10,5 или 10,5296 ~10,53 Ну и т.п.
Держите: 10,5296 ~10,5; 10,5296 ~10,53; 7,02546 ~ 7,0; 7,02546 ~ 7,03; 7,02546 ~ 7,025; 7,02546 ~ 7,0255

Ответ от Коротеев Александр[гуру]
Что бы округлить до некоторого знака, надо посмотреть на предыдущий знак.
Если он от 0 до 4, то отбрасывается и всё, а если от 5 до 9 — отбрасывается, а к знаку до которого производится округление прибавляется 1.
Например 79306.
До десятков: 79310 (ибо 6 от 5 до 9),
до сотен: 79300 (ибо 0 от 0 до 4)
до тысяч: 79000
до десятков тысяч: 80000
10,5296
до единиц: 11 (ибо 5 от 5 до 9)
до десятых: 10,5 (ибо 2 от 0 до 4)
до сотых: 10,53
до тысячных: 10,530 (6 от 5 до 9 — поэтому к 9 прибавляется 1. 9+1=10, поэтому 1 переносится в следующий разряд. А 0 в конце я оставил — чтобы показать. Можно его и не писать на самом деле) .
Остальные аналогично, хорошо?

Ответ от Вероника[гуру]
А что вы хотели и поконкретнее пожалуйста,

Ответ от Пользователь удален[активный]
10,5296 ~10,5; 10,5296 ~10,53; 7,02546 ~ 7,0; 7,02546 ~ 7,03; 7,02546 ~ 7,025; 7,02546 ~ 7,0255 вроде так


Ответ от 2 ответа[гуру]

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

 

Ответить на вопрос:

22oa.ru

3 4 решение – Решение онлайн уравнений

alexxlab / / Школьная жизнь

3.4 Решение систем линейных уравнений

МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА.

Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается х1 из всех последующих уравнений. Затем с помощью второго уравнения исключается х2 из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-ого) уравнения не останется лишь один член с неизвестным xn, т.е. матрица системы будет приведена к треугольному виду.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное в этом уравнении неизвестное xn. Далее, используя это значение из предыдущего уравнения, вычисляем xn-1 и т.д. Последним найдем x1 из первого уравнения.

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 3

РЕШИТЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ

ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА.

Система задана в таблице 3.

ТАБЛИЦА 3

0,1,2

3,4,5,6

7,8,9

0,

1

x1+x2+2x3+3x4=1

3x1–x2–x3–2x4=–4

2x1+3x2–x3–x4=–6

x1+2x2+3x3–x4=–4

x1+2x2+3x3+4x4=5

2x1+x2+2x3+3x4=1

3x1+2x2+x3+2x4=1

4x1+3x2+2x3+x4=–5

2x1–x2+3x3–2x4=4

3x1+3x2+3x3+2x4=6

3x1–x2–x3+2x4=6

3x1–x2+3x3–x4=6

2,

3

x1+2x2+3x3–2x4=6

x1–x2–x3–3x4=8

3x1+2x2–x3+2x4=4

2x1–3x2+3x3+x4=–8

x1+3x2+5x3+7x4=12

3x1+5x2+7x3+x4=0

5x1+7x2+x3+3x4=4

7x1+x2+3x3+5x4=16

2x1–6x2+2x3+2x4=12

x1+3x2+5x3+7x4=12

3x1+5x2+7x3+x4=0

5x1+7x2+x3+3x4=4

4,

5

5x1–x2+x3+3x4=–4

x1+2x2+3x3–2x4=6

2x1–x2–2x3–3x4=8

3x1+2x2–x3+2x4=4

4x1–2x2+x3+4x4=3

2x1–x2+x3+3x4=1

3x1–x3+2x4=–3

2x1+2x2+2x3+3x4=–6

–x1+x2+x3+x4=4

2x1+x2+2x3+3x4=1

3x1+2x2+x3+2x4=1

4x1+3x2+2x3+x4=–5

6,

7

2x1–x2+2x3+2x4=–3

3x1+2x2+x3–x4=3

x1–3x2–x3–3x4=0

4x1+2x2+2x3+54=–15

x1–2x2+3x3–4x4=–2

2x1+3x2+4x3–5x4=8

3x1–x2–x3+7x4=–2

2x1–x2+6x3–3x4=7

3x1+2x2+5x3–x4=3

2x1–3x2–3x3+4x4=1

4x1+x2+3x3+2x4=3

5x1–2x2+x3+3x4=5

8,

9

2x1–x2+5x3–x4=1

3x1–3x2–2x3–5x4=2

x1–x2+2x3+3x4=10

3x1+2x2+7x3–2x4=1

3x1+x2+2x3–x4=8

2x1–3x2–3x3+x4=–3

4x1+2x2+5x3+3x4=6

x1+2x2–4x3–3x4=–3

2x1+3x2+5x3+x4=6

3x1+x2–x3+5x4=0

2x1–x2+3x4=–5

2x1+2x2–x3+7×4=–3

ПРИМЕР: Решить систему методом Гаусса

2x1+x2–0,1x3+x4=2,7

0,4x1+0,5x2+4x3–8,5x4=21,9

0,3x1–x2+x3 + 5,2x4=–3,9

x1+0,2x2+2,5x3–x4=9,9

РЕШЕНИЕ: Прямой ход. Приведем систему к треугольному виду. Исключим х1 из второго, третьего и четвертого уравнения. Для этого разделим первое уравнение на 2, получим систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35

0,4x1+0,5x2+4x3–8,5x4=21,9

0,3x1–x2+x3 + 5,2x4=–3,9

x1+0,2x2+2,5x3–x4=9,9

Затем умножим первое уравнение на 0,4 и результат вычтем из второго, затем умножим на 0,3 и вычтем из третьего, затем первое уравнение вычтем из четвертого. Получим систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35

0,3x2+4,02x3–8,7x4=21,36

–1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305

–0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Первое уравнение исключим из полученной системы и оставим его в качестве первого уравнения треугольной системы. Получим систему:

0,3x2+4,02x3–8,7x4=21,36

–1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305

–0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Первое уравнение разделим на 0,3 и получим систему:

x2+13,4x3–29x4=71,2

–1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305

–0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Исключим х2 из второго и третьего уравнений по аналогии с предыдущим. Получим систему:

x2+13,4x3–29x4=71,2

16,425x3 – 28,3x4=77,575

6,57x3–10,2x4=29,910

Первое уравнение исключаем из системы и оставляем его в качестве второго уравнения треугольной системы. Получим систему:

16,425x3 – 28,3x4=77,575

6,57x3–10,2x4=29,910

Первое уравнение разделим на 16,425 и исключим х3 из второго уравнения:

x3 – 1,72298x4=4,72298

1,11998x4=–1,11998

Первое уравнение полученной системы берем в качестве третьего уравнения треугольной системы, а второе уравнение – в качестве четвертого уравнения треугольной системы.

Таким образом получим треугольную систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35

x2+13,4x3–29x4=71,2

x3 – 1,72298x4=4,72298

1,11998x4=–1,11998

Обратный ход. Из треугольной системы находим:

х4=–1; х3=3; х2=2; х1=1.

studfiles.net

3.4. Решение задач теплопроводности с граничными условиями

по законам излучения

Сформулированные закономерности излучения твердых тел, жидкостей и газов, как уже было выше подчеркнуто, верны для термодинамически равновесного излучения, т.е. для постоянной во времени температуры тел-излучателей. Тем не менее их применяют при расчетах теплового состояния нагреваемых или охлаждаемых излучением твердых тел, полагая, что они приближенно выполняются и в нестационарных процессах. В этом случае при расчете процессов нестационарной теплопроводности к уравнению Фурье помимо описания начального распределения температуры в теле присоединяют граничное условие по закону излучения между твердыми телами, имеющее на основании зависимости (3.11) вид

(3.23)

В формуле (3.23) обозначены: и– коэффициент теплопроводности, площадь поверхности и ее термодинамическая температура соответственно для тела с меньшей и с большей площадью поверхности.

При теплообмене излучением между твердым телом и газом имеем на основании зависимости (3.19) следующее описание граничного условия:

. (3.24)

На практике часто твердое тело участвует в лучисто-конвективном теплообмене с газом. При этом, естественно, граничное условие для решения задач нестационарной и стационарной теплопроводности принимает вид

. (3.25)

Последнее равенство в компактной форме записывается как

. (3.26)

Все величины, используемые в (3.23)–(3.26), описаны выше в 1.5, 3.2, 3.3.

103

studfiles.net

3.3. Решение задачи 3

При разработке модуля программы численного интегрирования функции необходимо иметь в виду следующее.

Вычисление определенного интеграла от функции f(x)с пределами интегрированияaиb, как известно, равносильно определению площади фигуры, ограниченной ординатамиаиb, осью абсцисс и графиком подынтегральной функцииf(x). См. рис. 1.

Рис.1. Графическое представление численного интегрирования

При численном интегрировании отрезок [a,b] разбивается наnинтервалов длиной

h=(b—a)/n, и тогда искомая площадь представляется суммой площадейnэлементарных фигур.

В зависимости от того, каким образом определяется площадь элементарной фигуры S, получает название метод численного интегрирования. См. рис. 2.

Если площадь элементарной фигуры определяется приближенно как площадь прямоугольника – получаем метод прямоугольников (рис. 2-1).

Если площадь элементарной фигуры представляется площадью соответствующей трапеции – получаем метод трапеций (рис. 2-2).

Если элементарная фигура заменяется фигурой, в которой функция f(x)представляется параболой – получаем метод парабол, или метод Симпсона (рис. 2-3).

Рис. 2. Графическое представление методов численного интегрирования

Просуммировав площади всех элементарных фигур на интервале [a, b], получаем следующие формулы численного интегрирования:

  1. Метод прямоугольников

.

  1. Метод трапеций

.

  1. Метод Симпсона

.

Разумеется, все эти формулы являются приближенными. С увеличением числа nточность возрастает.

Для оценки правильности принятого алгоритма и составленной по нему программы интегрирования функции рекомендуется провести их проверку на решении следующей тестовой задачи:

приn=32.

Для этого необходимо в программе решения задачи предусмотреть возможность интегрирования наряду с заданной функцией по индивидуальному заданию также и функции f(x)=exс пределами интегрированияa=0, b= (=3,141592..=4arctg(1))и числомn=32.

Тестирование можно считать успешным, если значение интеграла от ex, вычисленное по разработанной программе, будет совпадать с тестовым с точностью до второго знака.

Результаты тестирования должны выводиться наряду с основными результатами интегрирования заданной функции.

3.4. Решение задачи 4

При разработке модуля программы решения нелинейных уравнений необходимо иметь в виду следующие пояснения и рекомендации.

Решение нелинейных уравнений вида F(x)=0заключается в поиске одного или всех таких значенийxна интервале [a,b], при подстановке которых функцияF(x)обращается в нуль.

Работу по решению этой задачи целесообразно провести в два этапа.

На первом этапе оценивается характер изменения функции F(x)при изменении аргументаxна интервале [a,b] и проверяется, имеет ли место перемена ее знака (переход через нуль). Количество таких переходов определяет и количество корней.

Рис. 3. Графическое представление функции F(x)

Для этого интервал [a,b] разбивается наnучастков, гдеnпринимается равным 10..15, и вычисляется функцияF(x)на каждом участке, т.е. при измененииxотa доbс шагомh=(b—a)/n.

Из полученной таким образом таблицы будет виден и характер изменения функции, и количество переходов через нуль.

На втором этапе путем последовательных приближений производится поиск корней одним из предлагаемых методов.

Метод итерацийоснован на последовательном задании аргументаxи вычислении по нему функцииF1(x), причем очередное значениеxприращивается предыдущему значению функцииx(n+1)=F1(x(n))до тех пор, пока соблюдается условие|x(n+1)-x(n)|>=E. Первоначальное значение аргументаx(первое приближение –x(1)) определяется из таблицы как ближайшее к месту перехода функцииF(x)через нуль. Последнее приближениеxи будет корнем уравнения с точностьюE[8].

Метод половинного деления (дихотомии)состоит в следующем.

  1. Определяем начальное значение x=(a+b)/2(как результат деления интервала [a,b] пополам).

  2. Вычисляем F(x).

  3. Если F(x)>0 иF(a)>0 илиF(x)<0 иF(a)<0(т.е. перемена знака функцииF(x)не произошла), то задаемa=x(т.е. перемещаем левую границу интервала в середину), уменьшая интервал вдвое и исключая при этом левую половину, на которой либо нет корней, либо есть четное число корней, иначе задаемb=x(исключаем правую половину интервала). См. рис. 4.

  4. Проверяем условие b—a<E, если оно выполняется, то возвращаемся к п.1. с новыми значениями границ интервала, иначе заканчиваем вычисления и считаем, что последнее значениеx и будет корнем уравнения с заданной точностьюE.

Рис.4. Геометрическое представление метода половинного деления

Метод Ньютона (касательных)основан также на последовательном задании значенийxи вычислении функцииF(x), причем очередное значениеxопределяется формулой:

x(n+1)=x(n)-F(x(n))/F’(x(n)),

где F’(x(n))– производная от функцииF(x)в точкеx(n).

Геометрически производная от F(x), как известно, по величине равна тангенсу угла наклона касательной к кривойF(x)в точкеx. Тогда точкаx(n+1)есть точка пересечения с осью абсцисс касательной к кривойF(x), проведенной в точкеx=x(n). См. рис. 5.

Рис. 5. Геометрическое представление метода Ньютона

Как и в методе итераций, начальное значение xзадается как ближайшее табличное к месту перехода функцииF(x)через нуль.

Выражение для производной F’(x)получают аналитически в результате дифференцирования функцииF(x). Значение производной может быть получено приближенно и численным методом:

F’(x)=(F(x+E)-F(x))/E.

Итерационный процесс приближения к корню (последовательное вычисление x(n+1)) продолжается до тех пор, пока будет выполняться условие|x(n+1)-x(n)|>=E.

Следует иметь в виду, что при выполнении задания и алгоритм, и программа должны предусматривать оба этапа работы: табулирование функции F(x)с выбором начального приближения и процесс поиска корней с заданной точностью.

studfiles.net

Булево выражение – Булево выражение — это… Что такое Булево выражение?

alexxlab / / Школьная жизнь

Булево выражение — это… Что такое Булево выражение?


Булево выражение

Логическое выражение в программировании — конструкция языка программирования, результатом вычисления которой является «истина» или «ложь».

В большинстве языков программирования среднего и высокого уровня определён набор встроенных операций сравнения позволяющих строить «простые» логические выражения. Самыми распространёнными являются:

ОперацияСиПаскаль
Равно===
Не равно !=<>
Больше>>
Меньше<<
Больше или равно>=>=
Меньше или равно<=<=

Например, логическое выражение «5 > 3» истинно, а «6 != 6» ложно.

В свою очередь, над логическими выражениями возможны операции результатом которых так же являются «истина» и «ложь» (см. логическая операция). Логические выражения построенные при помощи этих операций и содержащие несколько операций сравнения называются «сложными».

Примеры сложных логических выражений:

ЯзыкВыражение
си !A && (B || C)
паскальnot A and (B or C)
сиA > 3 && B < 6
паскаль(A > 3) and (B < 6)

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Булдакова, Людмила Степановна
  • Булева сигма-алгебра

Смотреть что такое «Булево выражение» в других словарях:

  • булево выражение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Булево выражение Математическое выражение, в котором все переменные имеют значения либо 0 либо 1. [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index …   Справочник технического переводчика

  • булево выражение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Булево выражение Математическое выражение, в котором все переменные имеют значения либо 0 либо 1. [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index …   Справочник технического переводчика

  • АЛГЕБРА ЛОГИКИ —         система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… …   Философская энциклопедия

dic.academic.ru

Булевы выражения — это… Что такое Булевы выражения?

В теории дискретных функциональных систем булевой функцией называют функцию типа , где — булево множество, а n — неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции. Элементы 1 (единица) и 0 (ноль) стандартно интерпретируют как истину и ложь, хотя в общем случае их смысл может быть любым. Элементы называют булевыми векторами. В случае n = 0 булева функция превращается в булеву константу.

Основные сведения

Каждая булева функция арности n полностью определяется заданием своих значений на своей области определения, то есть на всех булевых векторах длины n. Число таких векторов равно 2n. Поскольку на каждом векторе функция может принимать значение либо 0, либо 1, количество всех n-арных булевых функций равно . То, что каждая булева функция задаётся конечным массивом данных, позволяет представлять их в виде таблиц. Такие таблицы носят название таблиц истинности и в общем случае имеют вид:

x1x2…xnf(x1,x2,…,xn)
00…0f(0,0,…,0)
10…0f(1,0,…,0)
01…0f(0,1,…,0)
11…0f(1,1,…,0)
01…1f(0,1,…,1)
11…1f(1,1,…,1)

Практически все булевы функции малых арностей (0, 1 и 2) сложились исторически и имеют конкретные имена. Если значение функции не зависит от одной из переменных(т.е. строго говоря для любых двух булевых векторов, отличающихся лишь в значении этой переменной, значение функции на них совпадает), то эта переменная называется фиктивной.

Нульарные функции

При n = 0 количество булевых функций сводится к двум, первая из них тождественно равна 0, а вторая 1. Их называют булевыми константами — тоджественный нуль и тоджественная единица.

Унарные функции

При n = 1 число булевых функций равно . Им соответствуют следующие таблицы истинности.

xg1 ()g2 (=)g3 (1)g4 (0)
01010
10110

Здесь:

  • g1(x) — отрицание (обозначения: ),
  • g2(x) — тождественная функция,
  • g3(x) и g4(x) — соответственно, тождественная истина и тождественная ложь.

Бинарные функции

При n = 2 число булевых функций равно . Им соответствуют следующие таблицы истинности.

Здесь:

  • f1(x, y) — конъюнкция (обозначения: x&y, ),
  • f2(x, y) — дизъюнкция (обозначение: ),
  • f3(x, y) — эквивалентность (обозначения: ),
  • f4(x, y) — исключающее «или» (сложение по модулю 2; обозначения: ),
  • f5(x, y) — импликация от y к x (обозначения: ),
  • f6(x, y) — импликация от x к y (обозначения: ),
  • f7(x, y) — стрелка Пи́рса (функция Да́ггера, функция Ве́бба, антидизъюнкция; обозначение: ),
  • f8(x, y) — штрих Ше́ффера (антиконъюнкция; обозначение: ),
  • f9(x, y) — отрицание импликации f6(x, y),
  • f10(x, y) — отрицание импликации f5(x, y),
  • f11(x, y) = g1(x),
  • f12(x, y) = g1(y),
  • f13(x, y) = g2(x),
  • f14(x, y) = g2(y),
  • f15(x, y), f16(x, y) — тождественная истина и тождественная ложь.

Полные системы булевых функций

Суперпозиция и замкнутые классы функций

Результат вычисления булевой функции может быть использован в качестве одного из агрументов другой функции. Результат такой операции суперпозиции можно рассматривать как новую булеву функцию со своей таблицей истинности. Например, функции (суперпозиция конъюнкции, дизъюнкции и двух отрицаний) будет соответствовать следующая таблица:

xyzf(x,y,z)
0001
0011
0101
0111
1000
1010
1101
1110

Говорят, что множество функций замкнуто относительно операции суперпозиции, если любая суперпозиция функций из данного множества тоже входит в это же множество. Замкнутые множества функций называют также замкнутыми классами.

В качестве простейших примеров замкнутых классов булевых функций можно назвать множество {x}, состоящее из одной тождественной функции, или множество {0}, все функции из которого тождественно равны нулю вне зависимости от своих аргументов. Замкнуты также множество функций и множество всех унарных функций. А вот объединение замкнутых классов может таковым уже не являться. Например, объединив классы {0} и , мы с помощью суперпозиции сможем получить константу 1, которая в исходных классах отсутствовала.

Разумеется, множество P2 всех возможных булевых функций тоже является замкнутым.

Тождественность и двойственность

Две булевы функции тождественны друг другу, если на любых одинаковых наборах аргументов они принимают равные значения. Тождественность функций f и g можно записать, например, так:

Просмотрев таблицы истинности булевых функций, легко получить такие тождества:

А проверка таблиц, построенных для некоторых суперпозиций, даст следующие результаты:


(дистрибутивность конъюнкции и дизъюнкции)


Функция называется двойственной функции , если . Легко показать, что в этом равенстве f и g можно поменять местами, то есть функции f и g двойственны друг другу. Из простейших функций двойственны друг другу константы 0 и 1, а из законов де Моргана следует двойственность конъюнкции и дизъюнкции. Тождественная функция, как и функция отрицания, двойственна сама себе.

Если в булевом тождестве заменить каждую функцию на двойственную ей, снова получится верное тождество. В приведённых выше формулах легко найти двойственные друг другу пары.

Полнота системы, критерий Поста

Система булевых функций называется полной, если можно построить их суперпозицию, тождественную любой другой заранее заданной функции. Говорят ещё, что замыкание данной системы совпадает с множеством P2.

Американский математик Эмиль Пост ввёл в рассмотрение следующие замкнутые классы булевых функций:

  • Функции, сохраняющие константу T0 и T1;
  • Самодвойственные функции S;
  • Монотонные функции M;
  • Линейные функции L.

Им было доказано, что любой замкнутый класс булевых функций, не совпадающий с P2, целиком содержится в одном из этих пяти так называемых предполных классов, но при этом ни один из пяти не содержится целиком в объединении четырёх других. Таким образом критерий Поста для полноты системы сводится к выяснению, не содержится ли вся эта система целиком в одном из предполных классов. Если для каждого класса в системе найдётся функция, не входящая в него, то такая система будет полной, и с помощью входящих в неё функций можно будет получить любую другую булеву функцию.

Заметим, что существуют функции, не входящие ни в один из классов Поста. Любая такая функция сама по себе образует полную систему. В качестве примеров можно назвать штрих Шеффера или стрелку Пирса.

Представление булевых функций

Теорема Поста открывает путь к представлению булевых функций, синтаксическим способом, который в ряде случаев оказывается намного удобнее чем таблицами истинности. Отправной точкой здесь служит нахождение некоторой полной системы функций . Тогда каждая булева функция сможет быть представлена некоторым термом в сигнатуре Σ, который в данном случае называют также формулой. Относительно выбраной системы функций полезно знать ответы на следующие вопросы:

  • Как построить по данной функции представляющую её формулу?
  • Как проверить, что две разные формулы эквивалентны, то есть задают одну и ту же функцию?
    • В частности: существует ли способ приведения произвольной формулы к эквивалентной её канонической форме, такой что, две формулы эквивалентны тогда и только тогда, когда их канонические формы совпадают?
  • Как по данной функции построить представляющую её формулу с теми или иными заданными свойствами (например наименьшего размера), и возможно ли это?

Положительные ответы на эти и другие вопросы существенно увеличивают прикладное значение выбранной системы функций.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Простой конъюнкцией, или конъюнктом, называется конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза. Дизъюнктивной нормальной формой или ДНФ называется дизъюнкция простых конъюнкций. Например   — является ДНФ.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой, или СДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных называется такая ДНФ, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного набора, причём в одном и том же порядке. Например: .

Легко убедиться, что каждой булевой функции соответствует некоторая ДНФ, и даже СДНФ. Для этого достаточно взять таблицу истинности этой функции и найти все булевы векторы, на которых её значение равно 1. Для каждого такого вектора строится конъюнкция , где . Если взять дизъюнкцию этих конъюнкций, то результатом очевидно будет СДНФ. Поскольку на всех булевых векторах её значения совпадают со значениями исходной функции, она будет СДНФ этой функции. Например, для импликации , результатом будет , что можно упростить до .

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) определяется двойственно к ДНФ. Простой дизъюнкцией или дизъюнктом называется дизъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза. КНФ — это конъюнкция простых дизъюнкций.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ), относительно некоторого заданного конечного набора переменных, называется такая КНФ, у которой в каждую дизъюнкцию входят все переменные данного набора, причём в одном и том же порядке. Поскольку (С)КНФ и (С)ДНФ взаимодвойственны, свойства (С)КНФ повторяют все свойства (С)ДНФ, грубо говоря, «с точностью до наоборот».

КНФ может быть преобразована к эквивалентной ей ДНФ, путём раскрытия скобок по правилу:

которое выражает дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции. После этого, необходимо в каждой конъюнкции удалить повторяющиеся переменные или их отрицания, а также выбросить из дизъюнкции все конъюнкции, в которых встречается переменная вместе со своим отрицанием. При этом, результатом не обязательно будет СДНФ, даже если исходная КНФ была СКНФ. Точно также, можно всегда перейти от ДНФ к КНФ. Для этого следует использовать правило

выражающее дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции. Результат нужно преобразовать способом, описанным выше, заменив слово «конъюнкция» на «дизъюнкция» и наоборот.

Полиномы Жегалкина

Полином Жегалкина это форма представления логической функции с помощью Функции Жегалкина (Исключающее ИЛИ). Для получения полинома Жегалкина следует выполнить следуюющие действия:

  1. Получить ДНФ функции
  2. Все ИЛИ заменить на Исключающее ИЛИ
  3. Во всех термах заменить элементы с отрицанием на конструкцию: («элемент» «исключающее ИЛИ» 1)
  4. Раскрыть скобки по правилам алгебры Жегалкина и привести попарно одинаковые термы

BDD

См. также

Литература

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

булево выражение — это… Что такое булево выражение?


булево выражение

 

булево выражение
—
[Л.Г.Суменко. Англо-русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.]

Булево выражение
 Математическое выражение, в котором все переменные имеют значения либо 0 либо 1.
[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index&d=23]

Параллельные тексты EN-RU

The output signal of an equation can be fed into a further, higher order equation as an input signal thus creating a sequence of interlinked Boolean equations.
[Schneider Electric]

Выходной сигнал булевой функции можно подать на вход другой булевой функции, создавая, таким образом, последовательность взаимосвязанных булевых выражений.
[Перевод Интент]

The Boolean equations need to be defined without the use of brackets.
[Schneider Electric]

Булевы выражения должны определяться без скобок.
[Перевод Интент]

Тематики

  • Булева алгебра, элементы цифровой техники

Синонимы

  • булева функция

EN

  • Boolean
  • Boolean equation
  • Boolean expression

Справочник технического переводчика. – Интент. 2009-2013.

  • видеокоммутатор
  • коэффициент искажения синусоидальности кривой напряжения (тока)

Смотреть что такое «булево выражение» в других словарях:

  • булево выражение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Булево выражение Математическое выражение, в котором все переменные имеют значения либо 0 либо 1. [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index …   Справочник технического переводчика

  • Булево выражение — Логическое выражение в программировании конструкция языка программирования, результатом вычисления которой является «истина» или «ложь». В большинстве языков программирования среднего и высокого уровня определён набор встроенных операций… …   Википедия

  • АЛГЕБРА ЛОГИКИ —         система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… …   Философская энциклопедия

technical_translator_dictionary.academic.ru

булево выражение — это… Что такое булево выражение?


булево выражение

 

булево выражение
—
[Л.Г.Суменко. Англо-русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.]

Булево выражение
 Математическое выражение, в котором все переменные имеют значения либо 0 либо 1.
[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index&d=23]

Параллельные тексты EN-RU

The output signal of an equation can be fed into a further, higher order equation as an input signal thus creating a sequence of interlinked Boolean equations.
[Schneider Electric]

Выходной сигнал булевой функции можно подать на вход другой булевой функции, создавая, таким образом, последовательность взаимосвязанных булевых выражений.
[Перевод Интент]

The Boolean equations need to be defined without the use of brackets.
[Schneider Electric]

Булевы выражения должны определяться без скобок.
[Перевод Интент]

Тематики

  • Булева алгебра, элементы цифровой техники

Синонимы

  • булева функция

EN

  • Boolean
  • Boolean equation
  • Boolean expression

Справочник технического переводчика. – Интент. 2009-2013.

  • булева алгебра элементарных логических операции
  • булево линейное программирование

Смотреть что такое «булево выражение» в других словарях:

  • булево выражение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Булево выражение Математическое выражение, в котором все переменные имеют значения либо 0 либо 1. [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index …   Справочник технического переводчика

  • Булево выражение — Логическое выражение в программировании конструкция языка программирования, результатом вычисления которой является «истина» или «ложь». В большинстве языков программирования среднего и высокого уровня определён набор встроенных операций… …   Википедия

  • АЛГЕБРА ЛОГИКИ —         система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… …   Философская энциклопедия

technical_translator_dictionary.academic.ru

булево выражение — это… Что такое булево выражение?


булево выражение
  1. Boolean expression
  2. Boolean equation
  3. Boolean

 

булево выражение
—
[Л.Г.Суменко. Англо-русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.]

Булево выражение
 Математическое выражение, в котором все переменные имеют значения либо 0 либо 1.
[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index&d=23]

Параллельные тексты EN-RU

The output signal of an equation can be fed into a further, higher order equation as an input signal thus creating a sequence of interlinked Boolean equations.
[Schneider Electric]

Выходной сигнал булевой функции можно подать на вход другой булевой функции, создавая, таким образом, последовательность взаимосвязанных булевых выражений.
[Перевод Интент]

The Boolean equations need to be defined without the use of brackets.
[Schneider Electric]

Булевы выражения должны определяться без скобок.
[Перевод Интент]

Тематики

  • Булева алгебра, элементы цифровой техники

Синонимы

  • булева функция

EN

  • Boolean
  • Boolean equation
  • Boolean expression

Русско-английский словарь нормативно-технической терминологии. academic.ru. 2015.

  • булева алгебра элементарных логических операции
  • булево линейное программирование

Смотреть что такое «булево выражение» в других словарях:

  • булево выражение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Булево выражение Математическое выражение, в котором все переменные имеют значения либо 0 либо 1. [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index …   Справочник технического переводчика

  • булево выражение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Булево выражение Математическое выражение, в котором все переменные имеют значения либо 0 либо 1. [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index …   Справочник технического переводчика

  • Булево выражение — Логическое выражение в программировании конструкция языка программирования, результатом вычисления которой является «истина» или «ложь». В большинстве языков программирования среднего и высокого уровня определён набор встроенных операций… …   Википедия

  • АЛГЕБРА ЛОГИКИ —         система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… …   Философская энциклопедия

normative_ru_en.academic.ru

Булевское выражение — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Булевское выражение

Cтраница 1

Булевское выражение — это выражение, которое принимает значение True или False, Оно состоит из выражений отношений, булевских операторов, булевских переменных и / или других булевских выражений.  [1]

Булевское выражение служит для задания правил вычисления некоторого логического значения — подобно тому, как арифметическое выражение служит для задания правил вычисления некоторого числового значения.  [2]

Условные арифметические и булевские выражения также могут использоваться в операторах присваивания в качестве их правых частей.  [3]

Первичными булевскими выражениями являются логические значения true и false, отношения, логические переменные, указатели логических функций и булевские выражения ( безусловные или условные), заключенные в круглые скобки.  [4]

Если булевское выражение Е в (7.16) в свою очередь является условным, то для вычисления его значения снова применяем то же самое правило, так что вычисление значения условного выражения носит рекурсивный характер, Например, в качестве значения условного выражения вида (7.14) принимается значение выражения В2, если В1 принимает значение истина, значение выражения В4, если В1 принимает значение ложь, но ВЗ принимает значение истина, и значение выражения В5, если и В1, и ВЗ принимают значение ложь.  [5]

Поскольку булевские выражения в условиях также могут быть условными, то, очевидно, процесс вычисления значения булевского выражения носит рекурсивный характер и по этой причине: к булевскому выражению, входящему в условие, применяется то же самое формулируемое здесь правило для вычисления его значения.  [6]

Имеются дополнительные булевские выражения для сравнения элементных выражений и множеств. Например, множество А меньше множества В, если оно является соответствующим подмножеством В.  [7]

А — арифметические и булевские выражения, но и идентификаторы, описанные в программе в качестве массивов.  [8]

Порядок вычисления булевских выражений важен и в случае сравнения указателей.  [9]

В определении первичного булевского выражения фигурируют также указатели логических функций.  [10]

Правила являются булевскими выражениями.  [12]

THEN; рассматривается булевское выражение. Если его значение ненулевое ( истина), то выполняется следующий оператор после THEN.  [13]

Отметим еще некоторые простейшие булевские выражения, которые остаются истинными, независимо от истинности или ложности входящих в них высказываний.  [14]

Как видно, условное булевское выражение определяется рекурсивно: в его образовании участвует само определяемое понятие ( условное булевское выражение как частный случай булевского выражения) как в условии, так и справа от символа иначе.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

Построение таблицы истинности по булеву выражению

Построим таблицу истинности для следующей функции:

F(Xl,X2,XЗ) = (X1 V Х2) • (X1 v not ХЗ) v not (X2 • ХЗ)

Так как n=3, то всего может быть 8 различных комбинаций значений аргументов. (Для записи комбинаций следует пользоваться двоичной системой счисления.)

X1 X2 X3 F

X1

X2

X3

F

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

Вычислим значение F для каждого набора (х1,x2,х3).

F(0,0,0) = (0 or not 0) • (0 or 0) or not ( 0 • 0) = (0 v 1) •0 or not ( 0 ) = 0 •1 or 1=1

F(0,0,1) = (0 or not 0) • (0 or 1) or not (o •1) = (0 or 1) •1 or 1 = 1 и так далее.

Из приведенного примера видно, что построение таблицы истинности по логическому выражению сводится к вычислению значений этого выражения при всех возможных значениях аргументов.

Получение булевых выражений по таблицам истинности

Правила построения булева выражения:

1. Для каждой строки таблицы истинности с единичным значением функции построить м и н т е р м. (Минтермом называется терм-произведение, в котором каждая переменная встречается только один раз — либо с отрицанием, либо без него.) Переменные, имеющие нулевые значения в строке, входят а минтерм с отрицанием, а переменные со значением 1 — без отрицания.

2. Объединить все минтермы операцией дизъюнкция, что даст стандартную сумму произведений для заданной таблицы истинности.

Пример. Дана таблица истинности [2]:

X1

X2

X3

F

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

Построим булево выражение для F. Найдем строки, в которых F=1.Это вторая, третья и шестая.

Для второй строки X1=0, Х2=0, X3=1. Эту строку описывает минтерм not x1•not x2•X3

Для третьей строки X1=0, Х2=1, X3=0. Эту строку описывает минтерм not x1•X2•not x3

Для шестой строки X1=1, X2=0, X3=1. Эту строку описывает минтерм X1•not x2•X3

Объединяя термы, получим булево выражение для F:=not x1•not x2•X3 or not x1•X2•not x3 or X1•not x2•X3

В это выражение вошли термы-произведения для строк с единичным значением функции F, а вся сумма соответствует совокупности из трех строк. Для остальных пяти наборов значений входных переменных это выражение равно нулю.

studfiles.net

1 … 253 254 255 256 257 … 343