Рубрика: Школьная жизнь

Онлайн калькулятор: Комбинаторика. Генератор сочетаний.

Калькулятор ниже предназначен для генерации всех сочетаний из n по m элементов.
Число таких сочетаний, как можно рассчитать с помощью калькулятора Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания.

Описание алгоритма генерации под калькулятором.

Множество

Сохранить share extension

Алгоритм

Комбинации генерируются в лексикографическом порядке. Алгоритм работает с порядковыми индексами элементов множества.
Рассмотрим алгоритм на примере.
Для простоты изложения рассмотрим множество из пяти элементов, индексы в котором начинаются с 1, а именно, 1 2 3 4 5.
Требуется сгенерировать все комбинации размера m = 3.
Сначала инициализуется первая комбинация заданного размера m — индексы в порядке возрастания
1 2 3
Далее проверяется последний элемент, т. е. i = 3. Если его значение меньше n — m + i, то он инкрементируется на 1.
1 2 4
Снова проверяется последний элемент, и опять он инкрементируется.
1 2 5
Теперь значение элемента равно максимально возможному: n — m + i = 5 — 3 + 3 = 5, проверяется предыдущий элемент с i = 2.
Если его значение меньше n — m + i, то он инкрементируется на 1, а для всех следующих за ним элементов значение приравнивается к значению предыдущего элемента плюс 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Далее снова идет проверка для i = 3.
1 3 5
Затем — проверка для i = 2.
1 4 5
Потом наступает очередь i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
И далее,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 — последнее сочетание, так как все его элементы равны n — m + i.

skokaskoka.ru

Подбор цветов и генерация цветовых схем

Результат комфортен для глаз, даже при использовании агрессивных цветов. Вместе с тем, труднее найти диакритические знаки и основные факты.

Также монохроматические вариации сделаны для каждого цвета в других схемах.

Не следует злоупотреблять контрастными цветами в дизайне, используйте их только как цветовой акцент.

Триада образована тремя цветами, равномерно распределяя цветовой круг (120°). Цветовые схемы триады имеют много возможностей по сочетанию цветов, регулировке контраста, акцентов и баланса теплых/холодных цветов.

Меньшая дистанция между цветами вызывает в результате меньше напряжения. Тем не менее, тетрада всегда является более «нервной» и «вызывающей», чем другие цветовые схемы. Работая с ней, вы должны заботиться о связях между одним цветом и его смежным дополнительным цветом (комплементом). В случае тетрады (угол 90°), необходимо хорошее чувство цвета и очень деликатный подход к сочетанию цветов.

Вы можете задать дистанцию смежных (вторичных) цветов, угол не должен превышать 60°.

Модель акцентированной аналогии. Это аналогичная модель с добавлением дополнительного (контрастного) цвета. Модель должна рассматриваться как дополнение — она добавляет напряженности к цветовой палитре, и слишком агрессивна в случае злоупотребления. Вместе с тем, она может быть использована в некоторых деталях, а так же в качестве цветового акцента — порой получается очень эффективная и элегантная цветовая гамма.

Оттенок. На этой вкладке отображается цветовой круг. Кликните по ней для регулировки оттенков основных, дополнительных, и вторичных цветов.

Регулировка цветовой схемы. На этой вкладке можно регулировать яркость/насыщенность цвета и контраст цветовой схемы, или просто выбрать из предопределенных настроек.

Информация о цветовой схеме. Кликните по этой вкладке для отображения значений цветов фактической цветовой схемы, а так же для экспорта их в различные форматы данных.

Оттенок основного цвета. Чтобы изменить значения, перетащите ползунок по цветовому кругу. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

Оттенок дополнительного цвета. Чтобы изменить значения, перетащите ползунок по цветовому кругу. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

Оттенок вторичного цвета. Чтобы изменить угол/дистанцию, перетащите ползунок дальше или ближе от основного цвета. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

Оттенок вторичного цвета. Чтобы изменить угол/дистанцию, перетащите ползунок дальше или ближе от основного цвета. Для ввода числового значения, дважды кликните по нему.

Значение оттенка основного цвета. Кликните для ввода числового значения.

Угол/дистанция оттенка вторичных цветов. Кликните для ввода числового значения. Имеет смысл только в цветовых схемах, использующих вторичные цвета.

Будьте осторожны: из-за ошибки округления во время преобразования, значение RGB, используемое в цветовой схеме, может немного отличаться от введенного значения.

Значения RGB основного цвета.

Пресеты цветовых схем. Кликните и выберите предопределенные комбинации яркости, насыщенности и контрастности цветовой схемы.

Яркость и Насыщенность. Перетаскивайте ползунок по квадрату для регулировки яркости (вверх = светлее, вниз = темнее) и насыщенности (вправо = насыщенное, влево = разбавленное).

Контрастность цветовой схемы. Перетаскивайте ползунок по квадрату для регулировки контрастности вариантов цвета в схеме (вверх/вниз для темного варианта, влево/вправо для светлого варианта).

Контрастность цветовой схемы. Панель для регулировки яркости и насыщенности сразу всех вариантов схемы.

Коррекция Вариантов. Панель для регулировки яркости и насыщенности по отдельности для каждого цвета.

Список вариантов цвета. Выберите вариант цвета, а затем отрегулируйте его насыщенность и яркость при помощи ползунка на левом квадрате.

Схема палитры. Представлены четыре основных цвета, для легкого составления впечатления о схеме.

URL адрес цветовой схемы. Для каждой схемы существует уникальный ID. Вы можете сохранить эту ссылку в закладки, и вернуться к редактированию своей цветовой схемы в любой момент времени.

Предварительный просмотр цветовой палитры. Посмотрите, как выбранные цвета и их варианты сочетаются между собой.

Предварительный просмотр цветовой палитры. Посмотрите, как выбранные цвета и их варианты сочетаются между собой.

Пример веб-страницы (светлая/позитив). Кликните чтобы посмотреть пример веб-страницы, созданной при помощи текущей цветовой схемы. Это только пример, цвета палитры могут использоваться в сотнях разных вариаций.

Пример веб-страницы (темная/негатив). Кликните чтобы посмотреть пример веб-страницы, созданной при помощи текущей цветовой схемы. Это только пример, цвета палитры могут использоваться в сотнях разных вариаций.

Показать пример текста. Отметьте галочку, чтобы отобразить белый, черный и серый текст в окне предварительного просмотра цветовой схемы.

Рандомизация. Служит для создания случайной палитры согласно настройкам рандомизации.

Настройки рандомизации. Нажмите, чтобы установить, какие параметры должны быть рандомизированы.

colorscheme.ru

Генератор сочетаний элементов из N по M.

Данный калькулятор специально разработан для генерации всех возможных сочетаний (из n по m) элементов.

Количество всех сочетаний можно посчитать по данной формуле:

Сам же алгоритм генерирует все возможные сочетания в лексикографическом порядке. Данный алгоритм в калькуляторе работает только с порядковыми индексами всех элементов множества.

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

hostciti.net

15 генераторов по подбору цвета

Подбор цвета — это ответственный момент в работе любого дизайнера. Эксперименты с цветом порой дают неожиданные результаты. Цвет может объединять значимые элементы дизайна, помогать выделять значимые части, таким образом цвет может помогать выстраивать композицию. Известно значение цвета и в психологии — влияние на настроение, на работоспособность, душевное равновесие. Для творчества необходима подпитка, поиск идей, нестандартных решений. Чувство цвета поможет определиться с выбором. Однако возможности дизайнера, который постоянно ищет что-то новое, не безграничны. В этом случае на помощь приходят онлайн сервисы по подбору сочетания цветов. Здесь можно найти неплохие варианты.

Необходимо уметь пользоваться этими сервисами подбора цвета. В этом вам помогут знания, а именно как пользоваться цветовым кругом для сочетания цвета. Здесь на примерах и с картинками подробно изложены все цветовые схемы.

В подборке нашего сайта я выделила 2 категории подобных сервисов — русскоязычные и англоязычные.

Русские сервисы сочетания цветов

1. colorscheme — цветовой круг онлайн. Это инструмент для подбора и генерации цветовых схем. Вы можете выбрать один и вариантов сочетания цвета. Вы можете посмотреть шаблон дизайна страницы в выбранном сочетании цветов. Интересно также и то, что вы можете «посмотреть» на вашу палитру глазами других людей, имеющих некоторые отклонения в цветовосприятии.
   
2. In colour balance — всевозможные цветовые палитры, выделенные из лучших образцов фото.
   
3. colorup.tikkurila — помощь в поиске удачной цветовой схеме для интерьера, а также палитры для внешней отделки. Пригодится для работы дизайнерам интерьеров, архитекторам.
   
4. Color Adobe — сайт этот, конечно же не русский, но с поддержкой русского языка, и он будет понятен русскоговорящим, поэтому я и отнесла его сэту группу. Очень удобный подбор цвета. Изменяйте положение указателя на цветовой круге и выбирайте схему по определенной цветовой системе.
   
5. Генератор цветовых схем
   

Англоязычные сайты по подбору цвета

Не смотря на то, что эти сайты зарубежные, пользоваться ими несложно даже без знаний языка, так как генераторы интуитивно понятны. В обзоре я буду делать акценты на основные моменты их использования.

1. Random Material Generator — название генератора указывает на случайность выбора цветовой палитры. Нажмите на кнопку «Generate different random combination» для генерации цветовой схемы.
2. Material Mixer — позволяет смешать и посмотреть сочетания двух цветов.
   
3. Colorhunter — готовые цветовые решения.
   
4. Palette Generation — генерация оттенков цвета.
5. Material Palette — выберите 2 цвета, и вы увидите еще цвета, которые подходят для вашего дизайна.
   
6. Colorotate — воспользуйся конусом для создания собственной цветовой схемы. Чтобы пользоваться сайтом, разрешите загрузку Adobe Flash алеера в вашем браузере.
   
7. Colorblender — Вам нужно определить алгоритм сочетания цвета и, перемещая ползунки, выберите сочетания цвета по RGB. Если вы затрудняетесь, то на этой же странице вы найдете ссылку на полную таблицу сочетания цвета.
8. Colorspire — еще один простой цветовой круг, который поможет вам выбрать базовые цветовые сочетания, подобрать светлые, темные оттенки и т.д.
   
9. Paletton — подбор сочетания цветов в зависимости от разных цветовых систем.
   
10. Colorexplorer  — двигайте ползунки и выбирайте схему!
    

vgrafike.ru

Задачи инвестиционный менеджмент [DOC] — Все для студента

Расчет экономической эффективности инвестиционных проектов, рассчитаны показатели: чистый приведенный доход; индекс рентабельности; внутреннюю норму прибыли; срок окупаемости; дисконтированный срок окупаемости; определить точку Фишера. Составлено аналитическое заключение о целесообразности инвестиций.

• 33,85 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 10.11.2009 10:56

Задачи с решениями по дисциплине Инвестиции выставляемые на ГОСах в 2011 г. в ВолГУ. 1 задача: На основании данной таблицы и r=10% рассчитать чистую текущую стоимость (NPV), срок окупаемости проекта (PP), дисконтированный срок окупаемости проекта (DPP). 2 задача: Необходимо рассчитать чистую текущую стоимость проекта зная доходность по годам: (–150; 30; 70; 70; 45). Необходимо…

• 19,05 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 21.07.2011 21:29

ВЗФЭИ, 4 курс, 16 стр. Решено 5 задач. Условие задач: 1) Акции предприятия «Н » продаются по 45,00 за штуку. Ожидаемый дивиденд равен 3, 00. Инвестор считает, что стоимость акции в следующем году вырастет на 11,11%. а) Определите ожидаемую доходность инвестиции. б) Как изменится доходность при прочих неизменных условиях, если инвестор намеревается продать акцию через два…

• 107,75 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 11.11.2009 01:25

ВЗФЭИ, 4 курс, 10 стр. Решено 2 задачи. Условие задач: 1) Предприятие «Д » рассматривает проект по запуску новой производственной линии, которую планируется установить в неиспользуемом в настоящее время здании и эксплуатировать на протяжении 4-х лет. На реконструкцию здания в прошлом году было истрачено 100000, 00. Имеется возможность сдать неиспользуемое здание в аренду на 5…

• 27,58 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 11.11.2009 01:30

Содержит 36 задач с подробным решением. Перечень задач: Текущая доходность облигации. Выкупная стоимость сертификата. Анализ проектов различной продолжительности. Срок окупаемости инвестиционного проекта. Расчет внутренней нормы доходности. Внутренняя норма доходности проекта. Чистая текущая стоимость проекта. Расчет цены капитала. Расчет доходности акций. Цена векселя….

• 1,75 МБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 11.03.2011 16:08

Уфа, УГАТУ. — 19 с. Преподаватель: Савенко О.В. Тематика задач: Группировка и ее виды. Графическое построение рядов распределений Обобщающие статистические показатели Структурные средние величины Показатели вариации Выборочное наблюдение Корреляционно-регрессионный анализ Ряды динамики и их статистический анализ Экономические индексы Полностью решенный один вариант задач….

• 119,04 КБ
• дата добавления неизвестна
• изменен 22.10.2017 10:02

www.twirpx.com

Задача №631 (расчет показателей эффективности проектов)

Анализируются проекты (долл.):

Ранжируйте проекты по категориям IRR, PP, NPV, если i=13%.

Рекомендуемые задачи по дисциплине

Решение задачи:

Для определения целесообразности инвестиций необходимо, прежде всего, рассчитать такой показатель, как чистый дисконтированный доход. Чистый дисконтированный доход – это текущая стоимость будущих доходов (разности поступлений и затрат) за минусом инвестиционных затрат. Чистый дисконтированный доход определяется как сумма текущих эффектов за весь расчетный период, приведенная к начальному шагу, или это превышение интегральных результатов над интегральными затратами.

Результаты расчета чистого дисконтированного дохода по проекту А = 446 долл., по проекту В = 237 долл. Проект целесообразно реализовать при условии положительной величины чистого дисконтированного дохода. Результаты расчета показали, что оба проекта реализовать целесообразно. А если выбирать из проектов А и В, то предпочтение следует отдать проекту А.

Внутреннюю норму доходности можно охарактеризовать и как дисконтную ставку, по которой чистый дисконтированный доход в процессе дисконтирования будет приведен к нулю. Результаты расчета данного показателя по проекту А = 20%, по проекту В = 20%. Таким образом, по данному критерию оба проекта являются равноценными.

Период окупаемости является одним из наиболее распространенных и понятных показателей оценки эффективности инвестиционного проекта. Период окупаемости для разных условий реализации проектов по проекту А = 1,84 года, по проекту В = 1,83 года. И по данному критерию рассматриваемые проекты являются практически равноценными. Таким образом, исходя из максимума чистого приведенного дохода, следует выбрать проект А.

Подробное решение задачи представлено в ролике

vipreshebnik.ru

Инвестиционный менеджмент (решение задач) [DOC]

ВЗФЭИ, 4 курс, 10 стр. Решено 2 задачи. Условие задач:
1) Предприятие «Д » рассматривает проект по запуску новой производственной линии, которую планируется установить в неиспользуемом в настоящее время здании и эксплуатировать на протяжении 4-х лет. На реконструкцию здания в прошлом году было истрачено 100000,
00. Имеется возможность сдать неиспользуемое здание в аренду на 5 лет с ежегодной платой 25000,00.
Стоимость оборудования равна 200000,00, доставка оценивается в 10000,00, монтаж и установка в 30000,
00. Полезный срок оборудования – 5 лет. Предполагается, что оно может быть продано в конце 4-го года за 25000,
00. Потребуются также дополнительные товарно -материальные запасы в объеме 25000,00, в связи с чем кредиторская задолженность увеличится на 5000,00.
Ожидается, что в результате запуска новой линии выручка от реализации составит 200000,00 ежегодно. Переменные и постоянные затраты в каждом году определены в объеме 55000,00 и 20000,00 соответственно .
Стоимость капитала для предприятия равна 12%, ставка налога на прибыль – 38%.
а) Разработайте план движения денежных потоков и осуществите оценку экономической эффективности проекта.
б) Предположим, что в связи с вводом новой линии сбыт другой продукции уменьшится на 50000,
00. Влияет ли данное условие на общую эффективность проекта? Если да, то подкрепите свои выводы соответствующими расчетами.
2) Оборудование типа «Л» было куплено 5 лет назад за 75000,
00. В настоящее время его чистая балансовая стоимость составляет 30000,
00. Нормативный срок эксплуатации равен 15 годам, после чего оно должно быть списано.
Новое оборудование типа «М» стоит 150000,
00. Его монтаж обойдется в 10000,
00. Нормативный срок службы «М» составляет 10 лет, после чего его ликвидационная стоимость равна 0.
Внедрение «М» требует дополнительного оборотного капитала в объеме 25000,
00. При этом ожидается ежегодное увеличение выручки с 400000,00 до 450000,00, операционных затрат с 200000,00 до 215000,00.
Стоимость капитала для предприятия равна 10%, ставка налога на прибыль – 45%.
Используется линейный метод амортизации.
а) Разработайте план движения денежных потоков и осуществите оценку
экономической эффективности проекта.
б) Предположим, что к концу жизненного цикла проекта оборотный капитал будет высвобожден в полном объеме. Как повлияет данное условие на общую эффективность проекта? Подкрепите свои выводы соответствующими расчетами.

www.twirpx.com

Антикризисное управление предприятием

На этом сайте вы сможете найти лекции и задачи по экономике с решениями

Задачи по инвестиционному менеджменту

ЗАДАЧА по оценке эффективности инвестиций и антикризисному управлению №1. Первоначальные инвестиции по проекту равны 850 тыс. р. Ожидается, что в течение последующих

7 лет проект будет приносить 180 тыс. р. прибыли. Какова расчетная ставка рентабельности по

проекту? Срок окупаемости проекта?

РЕШЕНИЕ задачи по инвестициям

Срок окупаемости можем рассчитать по следующей формуле. Срок окупаемости инвестиций = сумма инвестиций/годовой денежный поток. Тогда срок окупаемости = 850/180=4,7 (года).

Расчетная ставка рентабельности по проекту или IRR – это ставка, при которой чистый дисконтированный доход (NPV)=0. В нашем случае за 7 лет NPV=180/(1+IRR)+…+180/(1+IRR)⁷-850=0. Методом подбора в экселе можем найти, чему будет равна расчетная ставка рентабельности.

ЗАДАЧА по оценке эффективности инвестиций и антикризисному управлению №2. Объект приобретается за 1 800 тыс. р. Ожидается, что через 5 лет за него можно будет получить

2250 тыс. р. Определите IRR.

ЗАДАЧА по оценке эффективности инвестиций и антикризисному управлению №3. Величина требуемых инвестиций по проекту рав­на 1 800 тыс. р.; предполагаемые доходы:

в первый год – 150 тыс. р., в последующие 8 лет — по 360 тыс. р. ежегодно. Оцените целесообразность

 принятия проекта, если цена капитала предприятия 10 %.

ЗАДАЧА по оценке эффективности инвестиций и антикризисному управлению №4. Предприятие рассматривает целесообразность приобретения новой технологической линии.

На рынке имеются две модели со следующими пара­метрами (тыс. р.).

Обоснуйте целесообразность приобретения технологической линии.

Перейти на главную страницу

www.goodstudents.ru

Задачи по инвестиционному менеджменту — задача

     Сценарный анализ – методика анализа риска, суть которой состоит в определении наилучшего, наихудшего и наиболее вероятного сценария реализации проекта и предполагаемой вероятности наступления наихудших и наилучших обстоятельств. Выбор сценариев осуществляется на основе предварительно проведенного анализа чувствительности проекта. 

     Задание:

1. По результатам решения учебной ситуации 2, составить наилучший и наихудший сценарии реализации проекта. За основной сценарий принимается ситуация, представленная в учебной ситуации 2 в таблице 6. Наилучший и наихудший сценарии оформить по форме таблиц 12-13.
2. Рассчитать по каждому из сценариев дисконтированный чистый денежный поток.

Таблица 12

Наилучший вариант реализации проекта (тыс. ден. ед.)

Наихудший вариант реализации проекта (тыс. ден. ед.)

3. Предполагаемая  вероятность наступления каждого  из сценариев, установленная экспертным путем,  указана в таблице 14. Самостоятельно заполните столбец 3 данной таблицы.

Величина  дисконтированного чистого денежного  потока по каждому 

из сценариев  и вероятность ее получения

4. Рассчитайте  среднее ожидаемое значение дисконтированного  чистого денежного потока, среднеквадратичное отклонение от ожидаемой величины и  коэффициент вариации (показатель риска на единицу дохода).

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

     Учебная ситуация 4

     Для формирования инвестиционного портфеля инвестор рассматривает четыре инвестиционных проекта.  Размер финансовых ресурсов, предназначенных для инвестирования ограничен суммой 35 000 ден. ед. Каждый из проектов может быть реализован только в полном объеме. Норма дисконта – 10 %.

     Основная  информация по проектам представлена в таблице 2.

     По  данным таблицы рассчитать показатели эффективности инвестиционных проектов, сравнить проекты между собой, выбрать  наиболее эффективные при условии, что бюджет капиталовложений должен быть использован как можно полнее.

     Таблица 2

     Характеристика  и оценка эффективности инвестиционных проектов

      Если  бюджет капиталовложений инвестора не позволяет  реализовать самые  эффективные проекты, то оптимальную комбинацию находят путем  последовательного пересмотра всех возможных вариантов сочетания проектов и расчетом суммарного ЧДД для каждого варианта. Комбинация, максимизирующая суммарный ЧДД, будет оптимальной.

      Рассмотрим  все возможные сочетания инвестиционных проектов, которые удовлетворяют  ограничению по финансовым возможностям инвестора. Оформите выводы по форме таблицы 3, которая уже содержит пример расчета по комбинации проектов «А+Б». Продолжите заполнение таблицы.

Таблица 3

Сочетания инвестиционных проектов

      Исходя  из проделанных расчетов, определите наиболее доходное сочетание проектов.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
 

     Учебная ситуация 5

      Допустим, инвестиционные проекты А, Б, В и Г, представленные в учебной ситуации 4, делимы, т.е. каждый из них можно реализовать не только целиком, но и любую его часть.

     Если  рассматриваемые  инвестиционные проекты  делимы, то для формирования оптимального инвестиционного портфеля необходимо предварительно проранжировать все проекты по мере убывания индекса доходности инвестиций. При недостатке финансовых ресурсов проект с более высоким значением индекса предпочтителен, поскольку доход с каждой вложенной в проект денежной единицы будет больше, чем у проекта с низким значением индекса. В инвестиционный проект включаются первые несколько проектов, которые в сумме в полном объеме могут быть профинансированы инвестором. Следующий по величине индекса доходности проект включается в портфель не в полном объеме, а лишь в той части, в которой он может быть профинансирован.

     По  условиям таблицы 2 учебной ситуации 4 составить инвестиционный портфель при условии, что все инвестиционные проекты можно реализовать частями (очередями).

     Проранжируйте проекты по степени убывания индекса  доходности инвестиций. Оптимальный вариант инвестиционного портфеля представить в форме таблицы 4.

Таблица 4

Портфель  инвестиционных проектов

      Проверьте, есть ли другие комбинации проектов, улучшающие суммарный ЧДД инвестиционного  портфеля.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
 

     Учебная ситуация 6

     Иногда  инвестор оказывается  в ситуации, когда  сумма доступных  источников финансирования инвестиций ограничена только на рассматриваемый год, в дальнейшем же таких ограничений не будет. Такую ситуацию называют временной оптимизацией инвестиционного портфеля. В этом случае необходимо оптимально распределить проекты по двум (или более) годам.

     В основу методики формирования инвестиционного портфеля в такой ситуации заложена следующая идея: по каждому проекту рассчитывается специальный индекс, который характеризует относительную потерю ЧДД в случае, если проект будет отсрочен к исполнению на год. Проекты с минимальным значением этого индекса могут быть отложены на следующий год.

     По  условиям учебной ситуации 4 составить  оптимальный инвестиционный портфель на два года в случае, если рассматриваемые  проекты делимы.

     Первоначально рассчитаем потерю ЧДД для случая, когда каждый из анализируемых проектов будет отсрочен к исполнению на год. Результаты расчетов оформить по форме таблицы 5.

     Таблица 5

     Расчет  индекса потерь ЧДД

freepapers.ru

Где находится ноль у римских цифр?

 1. Запись числа читается так же, как буквенные надписи, слева направо. Сначала идут римские цифры, соответствующие максимальным числам, потом меньшим и так по убыванию. Римские цифры I, X, C и M можно повторять до трех раз. Например, MDCCLIX – правильная запись, а записи CDM и CLLX – неправильные. В первом случае цифра M стоит на неправильном месте, во втором случае рядом стоят две цифры L.

 2. Перед любой цифрой кроме I может находиться одна цифра меньшего разряда (перед V и X может стоять I, перед L и C – X, перед D и M – C). В этом случае бóльшее число модифицируется, из него вычитается меньшее число. IV=5-1=4, XC=100-10=90.

 3. После того, как произведены все вычитания, модифицированные и не модифицированные цифры складываются. Например, XXXIX=3*10+(10-1)=39, XLVII=(50-10)+5+2*1=47.

 Нелегко, правда? Складывать и вычитать римские числа еще труднее. Попробуйте сложить XVII и XIX. Ответ: XXXVI.

 Такая сложная с нашей точки зрения система счисления была связана с тем, что римляне фактически записывали результаты счета на пальцах. Отсюда появление в качестве основания системы счисления чисел 5, 50 и 500.

 Небольшое отступление. Некоторые из Вас, дорогие читатели, вероятно, видели часы, на которых число 4, которое должно бы писаться так: IV, пишется в виде IIII. Совершенно не по правилам! В чем дело? Дело в культуре. Имя верховного бога древних римлян, Юпитера, писалось по-латински Ivupiter. Это – древнее написание, еще до того, как в латинском языке появились буквы U и J и имя громовержца стали писать Jupiter. Запрет на произнесение или написание имени божества без нужды («Не произноси имя божье всуе») был в ходу у многих народов тогдашнего мира. Римляне тоже уважительно относились к этому предрассудку. Поэтому две первые буквы имени Юпитера они предпочитали не писать. Отсюда IV=IIII.

 Как видим, ноль в такой системе записи чисел не нужен. Ноль ведь – отсутствие числа, а зачем записывать то, чего нет? Цифра ноль была придумана более 2 тысяч лет назад в Индии, тогда же, когда была придумана позиционная система счисления. Иногда еще ее называют поместной нумерацией. О том, что это такое, и чем позиционная система счисления лучше непозиционной, уже писалось в статье от 22.08.2013.

 Надо сказать, что древние римляне более всего проявили себя в положительных областях деятельности: в строительстве, в военном деле, в юриспруденции и в управлении. Философскими же вопросами они, в отличие от древних же греков, заниматься не любили. Римской философии, развитой и разветвленной, как у древних греков, не существует.
 Более того, римляне не страдали от этого комплексом неполноценности. Они совершенно чистосердечно считали, что поставлены богами для того, чтобы повелевать другими народами. Лучше всего этот взгляд на роль римлян выразил в эпической поэме «Энеида» великий поэт Вергилий.

 Герой поэмы, Эней, предок римлян, встречается в подземном царстве мёртвых, куда он попал в ходе своего путешествия из Трои в Италию, своего отца, Анхиза. Анхиз, поскольку он уже умер и приобщен к тайнам мира, через Энея обращается к своим далеким потомкам и провозглашает назначение будущего народа.

Смогут другие создать изваянья живые из бронзы
 Или обличье мужей повторить во мраморе лучше,
 Тяжбы лучше вести и движенья неба искусней
 Вычислят иль назовут восходящие звёзды, — не спорю:
 Римлянин! Ты научись народами править державно —
 В этом искусство твоё! — налагать условия мира,
 Милость покорным являть и смирять войною надменных

 Неплохо, правда? А вы говорите про какой-то там ноль!

1. Кто изобрел ноль?

eponim2008.livejournal.com

римская цифра 0 — Как римскими цифрами пишется цифра «0» ноль??? — 22 ответа



Как пишется цифра 0

В разделе Лингвистика на вопрос Как римскими цифрами пишется цифра «0» ноль??? заданный автором Xit лучший ответ это Так называемые “римские” цифры основаны на пальцевом счете и, по сути, являются сочетанием двоичной, четверичной, пятиричной и сорокаричной систем. В системе римских цифр числа от 1 до 39 (XXXIX) отображаются некоторой комбинацией одинаковых палочек (не букв латиницы I, V, X, порядок которых в алфавите не имеет ничего общего со счетом, в отличие, например от греческого!). А вот число сорок — “конец счета” — отображалось буквой L (от лат. Libra – вес) – отсюда знак фунта стерлингов. “Римские” цифры-буквы C (100), D (500), M (1000) – это первые буквы французских слов cent (сто) , demi (половина) и mille (ныне тысяча, в XIV веке означало просто “много”, ср. русское тьма = 10000) и появились они не ранее XV века (первая папская энциклика, датированная от “Рождества Христова”, MCDXXXI, т. е. 1431 г.) , тогда же и L приобрело значение 50 вместо 40. Это была безнадежная попытка путем приведения системы римских цифр к подобию десятиричной системы сделать их конкурентоспособными по сравнению с арабскими. Нуля среди римских цифр никогда не было.
Да и простейшие числовые операции в десятиричной системе римскими цифрами отобразить невозможно, поскольку эти цифры основаны не на десятиричной системе – попробуйте-ка написать таблицу умножения римскими цифрами! Комбинация четверичной и пятиричной систем проявляется в том, что первая “новая единица” V отражает наименьший цикл (5), но появляется при отображении числа 4 (IV). “Скачок” от системы, кратной двум, к системе, кратной пяти происходит на цифре 9, которая именно поэтому во всех западноевропейских языках называется “новой” (лат. nona, англ. nine, фр. neuf и т. п.) , а в балтославянских – “чудесной”: девять, лит. devyni- от “диво”.
Источник: ссылка

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Как римскими цифрами пишется цифра «0» ноль???

Ответ от Ётепанова Ирина[гуру]
никак

Ответ от Ёветлячок[гуру]
в римском исчислении нет нуля, когда придумали в Индии ноль, это произвело фурор

Ответ от Opa-22 opa-22[гуру]
никак

Ответ от Girl_actualy[гуру]
Там нет нули.

Ответ от Sick_my_duck[гуру]
они не пользовались этой цифрой
есть например Х десять ХХ двадцать и тд

Ответ от Lenka[активный]
никак не пишется 🙁

Ответ от Sova[гуру]
нет там такой цифры

Ответ от М.Г.Т.[гуру]
Нуля римляне не знали

Ответ от Ирина[гуру]
ноль придумали арабы, а у римлян его не было.

Ответ от IrisFlora[гуру]
да никак она не пишется
[править] Цифры
Число Римское
обозначение
1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M
Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует запоминалка:
Мы Дарим Сочные Лимоны, Хватит Всем И еще останется.
Соответственно M, D, C, L, X, V, I
[править] Примеры
Число Римское обозначение
0 отсутствует
4 IV (иногда IIII)
8 VIII
9 IX
31 XXXI
46 XLVI
99 XCIX
666 DCLXVI (все отдельные цифры, кроме M, по порядку — число зверя)
1989 MCMLXXXIX

Ответ от Ликси[гуру]
ну если цифра 10 пишется как X,то убираем одну палочку и получается / или . А там тебе выбирать… 🙂

Ответ от Єилипп —-[новичек]
Нуля в римских цифрах нету

Ответ от Алексей щербаков[новичек]
zero

Ответ от Лейсан Ахиярова[активный]
нету

Ответ от Avandy Electronics[активный]
Нет слова «нетУ» — для начала :))

Ответ от Араик Мелумян[новичек]
Римсие цифры- это натуральные цифры. Цифры которыми считают предметы, а 0-го предмета нет.

Ответ от DIA[новичек]
V, L и D не вычитают т. к. это половинные (не целые) значения (мысленно разрежьте X и Ф), которые можно записать не прибегая к вычету, тоже касается и значений менее 1/10. Также не правильно употребление 4-ех одинаковых символов подряд: 4000 не MMMM, а MV? с чертой над V (одна черта — тысячи, две черты — миллионы и т. д.) или D?, точнее I??, которые как раз значат 500 с еще одним 0. И тысячу правильно писать как CI? или Ф (где половинка, как раз D или I?), M — весьма новое обозначение. 50000 = I??? или L с чертой сверху. I с двумя и более черточками сверху используется начиная с миллиона, а с одной чертой встречается только в 9000.
Пример:
91794 — X?C?ФDCCXCIV
469342 — C?D?L?X?I?X?CCCXLII
56015303 — L??V??I??X?V?CCCIII
999 — CФXCIX
? — в теории это десяток, он добавлял 0 к цифрам, но как таковую определенную цифру это символ не означает, нуля нет!

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Римские цифры на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Римские цифры

Российский фонд технологического развития на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Российский фонд технологического развития

Российский химико-технологический университет имени Д И Менделеева на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Российский химико-технологический университет имени Д И Менделеева

Российский этнографический музей на Википедии
Посмотрите статью на википедии про Российский этнографический музей

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Как будет римскими цифрами ноль?

История нуля. Нуль бывает разный. Во-первых, нуль – это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль – это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5? Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте. Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне. На стенной надписи в Индии в IX веке н. э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах. Например, индийский математик Брахмагупта еще в VII века н. э. активно стал использовать отрицательные числа и действия с нулем. Но он утверждал, что число, деленное на нуль, есть нуль, что конечно ошибка, но настоящая математическая дерзость, которая привела к другому замечательному открытию индийских математиков. И в XII веке другой индийский математик Бхаскара делает еще попытку понять, что же будет при делении на нуль. Он пишет: «количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью». Леонардо Фибоначчи, в своем сочинении «Liber abaci» (1202) называет знак 0 по-арабски zephirum. Слово zephirum – это арабское слово as-sifr, которое произошло от индийского слова sunya, т. е. пустое, служившего названием нуля. От слова zephirum произошло французское слово zero (нуль) и итальянское слово zero. С другой стороны, от арабского слова as-sifr произошло русское слово цифра. Вплоть до середины XVII века это слово употреблялось специально для обозначения нуля. Латинское слово nullus (никакой) вошло в обиход для обозначения нуля в XVI веке. Нуль — это уникальный знак. Нуль – это чисто абстрактное понятие, одно из величайших достижений человека. Его нет в природе окружающей нас. Без нуля можно спокойно обойтись в устном счете, но невозможно обойтись для точной записи чисел. Кроме этого, нуль находится в противовесе всем остальным числам, и символизирует собой бесконечный мир. И если “все есть число”, то ничто есть все! Заключение В этой работе были рассмотрены 11 древних систем счисления, история «арабских» чисел и нуля. Из всех рассмотренных систем счисления, наиболее интересной мне показалась древне китайская нумерация. Так как она наиболее близка к нашей «арабской» системе счисления. Наиболее красивые цифры и числа в древнеегипетской системе счисления. Так же мне удалось узнать запутанную историю происхождения «арабских» чисел и нуля. В продолжение этой работы хотелось бы, исследовать каким образом в древности вели устный счет (сложение, вычитание, умножение и деление) , а также как использовались счетные доски (например, греческий абак) . Кроме этого, интересно узнать, как с помощью древних цифр происходило представление дробей. Можно попробовать создать свою систему счисления (двенадцатеричную) .

У тех римлян не было такого числа — ноль, поэтому никак.

Они вроде им и не пользовались…. Зачем им…

Никак. Не придумали. В том и новшество индийских (арабских) цифр. Если очень надо — nihil.

У них нуля не было

Небыло у римлян числа 0

Ноль или нуль озночает «никакой», так что нуля в Др. Риме не существовало как такового

его не существовало

touch.otvet.mail.ru

Где скрывается ноль у римских цифр?

Ноль скрывается в.. . яйце.. . В Древнем Риме было правило: любую трапезу начинать с яйца.. . … ab ovo… от яйца.. . …латинское выражение, свидетельствующее о начале нового цикла, в занчении «начать сначала», «начать с нуля» <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/f3df0fca3101cbf2a5628b9eaaa43502_i-184.jpg» > Ноль, при всей привычности его использования, до сих пор остается самым загадочным числом.. . Ноль — это ничто и всё одновременно.. . символ и Вечности, и Бесконечности.. . начало и завершение.. . замкнутый круг.. . пустота.. . В восточном сознании Пустота божественна, только бессущное, непредставимое и есть настоящее, истинное.. . Для римлян же Пустота, Ничто, Ноль — исчезновение, небытие — нечто пугающее.. . «В цифре ноль таится намек на неописуемое и невыразимое, в ней заключено беспредельное и бесконечное. Вот почему ее издавна боялись, ненавидели, а то и запрещали»(Чарлз Сейф, американский математик) Римляне нуля не знали, а потом долго не признавали.. . Зачем нужно число, которое ничего не исчисляет, навевает страх? ! Да и непозиционная системе счисления (в т. ч. и римская) нуля не требует.. . Цифрами считаются прописные буквы: I, V, X, L. С, D и М. Опреировать числами, записанными с их помощью, практически невозможно, поэтому для сложения-вычитания римляне использовали абаки — древнее разрядное устройство, в котором пробел и есть прообраз нуля!

У римлян было поверие, что ноль это не цифра, небыло такого понятия что то делать с результатом на 0, потому что или ты делаешь, или не делаешь вообще. 0 это так сказать не презнавалось цифрой.

Ушел в подполье.)

В колледже голове

В этом то их беда, что нет ноля

в римских цифрах его нет, и уравнения римскими цифрами не решаются

Ноль в яйце, яйцо в ларце )

Римские цифры- это первый, второй. А нулевой- разве бывает?

ВОТ ЭТО ОТВЕЕЕЕТЫ

Ноль вы имеете ввиду — ЦИФРУ или ЧИСЛО?

Нуля у римлян не было.

пишу вам всем из того самого Рима.. ноля не было. Был НУЛЬ!

Ноль — математика — проклятие биосферы.

в пез де азазазазаза

touch.otvet.mail.ru

Как пишется Нуль Римскими цифрами? Как пишется нуль Римскими цифрами? , весь инет перелазин нигде нету

Римская система не позиционная, и цифра ноль там не была нужна. Впервые ноль появился в Вавилоне, а в Европе был введен в 1202 г. Леонардо Фибоначчи, вместе с арабскими цифрами 0,1,2,…9. KI -было до 1970г-в <a rel=»nofollow» href=»http://ru.wikipedia.org/wiki/Римские_цифры» target=»_blank»>http://ru.wikipedia.org/wiki/Римские_цифры</a>

<a rel=»nofollow» href=»http://yandex.ru/clck/redir/AiuY0DBWFJ4ePaEse6rgeAjgs2pI3DW99KUdgowt9XvoT-twMUKrgCbXY9MpaLOeXtdtXXsMEBXF5910h72JDkXGKbpI6dCghfYFpf3RvsdWLh0dAtmTW9dBH-4Gr305G9lv3Zvurli7iOUvlLaCJoIqzXdzslEgTC5Uu3BpW-SgL180AnhPPGdii0JfdsfV?data=UlNrNmk5WktYejR0eWJFYk1LdmtxbjhoY2p4NFZFMzZsS0pjSHRhSThyS2E4b0NISTJ3ampKZTM4Z1R0eS1pb3RVLXNoMF9LUUdIZzE3MXJqQUJlUHRfN3YwR0hlZjNUM3lTTmFTN0pJNEpmRUZYMEpLemxVTHgwN0o4X2x6VG5GNS0ydkJQZlJJbGp2MWtHUmVILUVibUV3TkxPVjZPQ0x3TmFlR1hDYUxoWmw0ZXZ0VGVQMTR0OE8wbk11VzJ1TU1Kdm9PcWJuYzAxTWVuSUpnSjVhNmN1WjNHOXlvSXNzQlI2ZjdTTDJFMm5WdDFrN19hT3hR&b64e=2&sign=473f6fd6b61143720c424db2bc6c506e&keyno=0&l10n=ru» target=»_blank»>http://yandex.ru/clck/redir/AiuY0DBWFJ4ePaEse6rgeAjgs2pI3DW99KUdgowt9XvoT-twMUKrgCbXY9MpaLOeXtdtXXsMEBXF5910h72JDkXGKbpI6dCghfYFpf3RvsdWLh0dAtmTW9dBH-4Gr305G9lv3Zvurli7iOUvlLaCJoIqzXdzslEgTC5Uu3BpW-SgL180AnhPPGdii0JfdsfV?data=UlNrNmk5WktYejR0eWJFYk1LdmtxbjhoY2p4NFZFMzZsS0pjSHRhSThyS2E4b0NISTJ3ampKZTM4Z1R0eS1pb3RVLXNoMF9LUUdIZzE3MXJqQUJlUHRfN3YwR0hlZjNUM3lTTmFTN0pJNEpmRUZYMEpLemxVTHgwN0o4X2x6VG5GNS0ydkJQZlJJbGp2MWtHUmVILUVibUV3TkxPVjZPQ0x3TmFlR1hDYUxoWmw0ZXZ0VGVQMTR0OE8wbk11VzJ1TU1Kdm9PcWJuYzAxTWVuSUpnSjVhNmN1WjNHOXlvSXNzQlI2ZjdTTDJFMm5WdDFrN19hT3hR&b64e=2&sign=473f6fd6b61143720c424db2bc6c506e&keyno=0&l10n=ru</a> Как видите, нуля в римской системе… нет.

touch.otvet.mail.ru

Внеклассный урок — Римские цифры

Римские цифры

Римские числа представляют собой комбинацию буквенных обозначений, каждая буква обозначает число (цифру):

I = 1 

V = 5

X = 10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1000

Другие числа комбинируются из этих 7 буквенных обозначений цифр.

Некоторые римские числа:

Пояснения:

1) Числа комбинируются путем составления «вычитающих» или «добавляющих» комбинаций:

— меньшие числа, стоящие перед большими, вычитаются. Правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры. (хотя изредка число вычетов бывает и больше двух, что не мешает читать запись)

— меньшие числа, стоящие после больших, добавляются. Правлило применяется до трех подряд, потом — смотри предыдущее правило. (хотя изредка число добавленных букв бывет равно и четырем, что не мешает читать запись).

2) Цифра 0 (ноль) не входит в ряд римских цифр.

3) Любое число, записанное с горизонтальной линией над ним, подразумевает, что его следует умножить на 1000, чтобы получить результат. (Изредка используется двойное подчеркивание — сверху и снизу).

Примеры составления римских чисел:

ХХI => 20 + 1 = 21

MCMLXXXIII => 1000 + (-100 + 1000) + 50 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 +1 = 1983

MCMLXXVIII = 1978

Источник: www.dpva.info

raal100.narod.ru

Найти закон распределения — 25 Октября 2012 — Примеры решений задач

www.reshim.su

Функция распределения вероятностей дискретной величины

Рассмотрим пространство элементарных событий, в котором каждому элементарному событию в соответствие ставится число или вектор , т.е. на множестве есть определенная функция , которая для каждого элементарного события находит элемент одномерного пространства или — мерного пространства .

Эту функцию называют случайной величиной. В случае, когда отражает множество на одномерное пространство случайную величину называют одномерной. Если отображение осуществляется на , то случайную величину называют n- мерной (системой n случайных величин или n — мерным случайным вектором).

Величина называется случайной, если в результате проведения опыта под влиянием случайных факторов она приобретает то или другое возможное числовое значение с определенной вероятностью.

Если множество возможных значений случайной величины является счетно, то ее называют дискретной. В противном случае ее называют непрерывной.

Случайные величины для удобства обозначают прописными буквами латинского алфавита , а их возможные значения — строчными .

Для установления случайной величины необходимо знать не только множество возможных ее значений, но и указать, с какими вероятностями она приобретает то или иное возможное значение.

С этой целью вводят понятие закона распределения вероятностей – зависимость, которая устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины часто задают в табличной форме, функцией, или графически с помощью вероятностного многоугольника.

При табличной формы записи закона указывается множество возможных значений случайной величины находится в порядке их возрастания в первой строке, и соответствующих им вероятностей в следующей:

Случайные события должны быть попарно несовместимы и образовывать полную группу, то есть удовлетворять условие:

Приведенную зависимость называют условием нормировки для дискретной случайной величины , а таблицу распределения – рядом распределения.

Функция распределения вероятностей и ее свойства

Закон распределения вероятностей можно представить в виде функции распределения вероятностей случайной величины , которая может использоваться как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Функцию аргумента , устанавливающую вероятность случайного события называют функцией распределения вероятностей:

Ее следует понимать как функцию, которая устанавливает вероятность случайной величины, которая может принимать значения, меньше .

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. Она всегда положительная со значениями в пределах от нуля до единицы

2. Функция является монотонно возрастающей, а именно , если .

С этого свойства получают приведенные выводы:

a) Вероятность вступления случайной величиной возможных значений из промежутка равна прироста ее интегральной функции на этом промежутке:

б) Вероятность, что непрерывная случайная величина примет конкретное возможное значение, всегда равна нулю

Для непрерывной случайной величины выполняются такие равенства:

3. На крайних точках непрерывная случайная величина принимает значение 0 и 1.

Из этих границ следует, что для дискретной случайной величины с возможными значениями из ограниченного промежутка имеем

для

для

—————————-

Приведем решения задач на отыскание функции распределения.

Пример 1. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей:

Построить функцию распределения и ее график.

Решение. Согласно свойствами функции получим приведенные дальше значение.
1)
2)
3)
4)
5)
6)

Компактно функция распределения иметь запись

График функции распределения изображен на рисунке ниже

—————————-

Пример 2. Есть три коробки с шарами. В первой содержится 6 желтых и 4 синие шарики, во втором — 7 желтых и 3 синие, а в третьем — 2 желтых и 8 синих. Из каждой коробки наугад берут по одному шарику. Построить закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – появления числа синих шариков среди трех наугад взятых, определить закон распределения и построить график этой функции.

Решение. Среди трех наугад взятых шариков число синих может быть 0, 1, 2, 3.
В табличной форме закон распределения дискретной случайной величины имеет вид:

Вычислим вероятности . С этой целью обозначим — случайное событие, заключающееся соответственно в появлении желтого шарики и – появление синего с первой коробки. Подобным образом для остальных коробок . Вероятности этих событий такие:

Поскольку случайные события независимы, то вероятности находим по формулам:

Вычисление достаточно просты и сделаны обозначения полностью все объясняют. Проверим выполнение условия нормировки

Всегда выполняйте проверку данного условия: это достаточно просто сделать и позволяет быстро проверить правильность вычислений вероятности. В случаях, когда условие нормировки не выполняется нужно отыскать ошибку и исправить ее.

У нас же все вычисления правильны, потому записываем закон распределения вероятностей в табличной форме:

Вычисляем значение интегральной функции
1)
2)
3)
4)
5)

В случае ошибок при нахождении вероятностей последнее соотношение дает отличный от единицы результат, поэтому можете проверять и по этому значению. Упрощенно функция распределения будет иметь вид

а ее график следующий

—————————-

Пример 3. Закон распределения случайной величины задан функцией распределения вероятностей

Построить график функции распределения и вычислить вероятность, что случайная величина принадлежит промежутку .

Решение. Функция распределения будет иметь вид.

Используя определение, вычислим

Таким образом вероятность, что случайная величина принадлежит промежутку [1,4] равна 0,36.

—————————-

Внимательно разберитесь с приведенными примерами нахождения функции распределения, это Вам пригодится на практических занятиях. Старайтесь проверять условие нормирования, чтобы избежать дальнейших ошибок и правильно определяйте вероятности.

———————————————-

yukhym.com

Примеры решения задач на тему «Случайные величины»

Примеры решения задач на тему «Случайные величины».

   Задача 1. В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.

Решение. Возможные значения величины X: x₁ = 0; x₂ = 10 и x₃ = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p₁ = 0,89, вероятность выигрыша 10 у.е. (10 билетов) – p₂ = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p₃ = 0,01. Таким образом:

Легко проконтролировать:.

   Задача 2. Вероятность того, что покупатель ознакомился заранее с рекламой товара равна 0,6 (р=0,6). Осуществляется выборочный контроль качества рекламы путем опроса покупателей до первого, изучившего рекламу заранее. Составить ряд распределения количества опрошенных покупателей.

Решение.  Согласно условию задачи р = 0,6. Откуда: q=1-p = 0,4. Подставив данные значения, получим:  и построим ряд распределения:

   Задача 3. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.

Решение. Рассмотрим распределение Бернулли (или биномиальное): вероятность того, что в n  испытаниях событие А появится ровно k раз: , или:

Вернёмся к задаче.

Возможные значения величины X (число отказов):

x₀ =0 – ни один из элементов не отказал;

x₁ =1 – отказ одного элемента;

x₂ =2 – отказ двух элементов;

x₃ =3 – отказ всех элементов.

Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим

, ,

, .

Контроль: .

Следовательно, искомый закон распределения:

   Задача 4. Произведено 5000 патронов. Вероятность того, что один патрон бракованный . Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3 бракованных патрона?

Решение. Применим распределение Пуассона: это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом

количестве испытаний (массовые испытания), в каждом из которых вероятность события A очень мала, событие A наступит  k раз: , где .

Здесь n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим  , тогда искомая вероятность: .

   Задача 5. При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 при выстреле надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

Решение. Применим геометрическое распределение: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.

При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле: . Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;  k = 3. Следовательно, .

   Задача 6. Пусть задан закон распределения случайной величины X:

Найти математическое ожидание.

Решение. .

Заметим, что вероятностный смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины.

   Задача 7. Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:

Решение. Здесь .

Закон распределения квадрата величины X²:

.

Искомая дисперсия: .

Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) случайной величины от её математического ожидания.

   Задача 8. Пусть случайная величина задается распределением:

Найти её числовые характеристики.   

Решение: м, м²,

м²,   м.

Про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м², либо – ее математическое ожидание 6,4 м с отклонением  м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.

   Задача 9. Случайная величина X задана функцией распределения: .

Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале .

Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае  и , поэтому

.

   Задача 10. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

Решение. Так как функция распределения,

 для , то

при  ;

при  ;

при  ;

при  ;

Соответствующий график:

   Задача 11. Непрерывная случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения: .

Найти вероятность попадания X в интервал

.

Решение. Заметим, что это частный случай показательного закона распределения.

Воспользуемся формулой: .

.

   Задача 12. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Решение. Математическое ожидание:

.

Запишем закон распределения X²:

Математическое ожидание:

.

Находим дисперсию:

, .

   Задача 13. Непрерывная случайная величина задана на интервале  плотностью распределения , а вне этого интервала . Найти ее числовые характеристики.

Решение. Математическое ожидание:

.

Дисперсия: .

Среднее квадратическое отклонение: .

   Задача 14. Найти числовые характеристики случайной величины X, равномерно распределенной на интервале .

Решение. Для случайной величины, равномерно распределеной на интервале , плотность распределения: ,

поэтому: ; ;   .  

   Задача 15. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины  , а среднее квадратическое отклонение — . Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение из интервала  и записать закон распределения.

Решение. Запишем вначале закон распределения. Общая формула имеет вид: .

Подставляя  и , получим: .

Вероятность того, что X примет значение из интервала  имеет вид:

, где – функция Лапласа.

Значения этой функции находятся с помощью таблицы.

В нашем случае: .

По таблице находим: , следовательно:

.

war-math.narod.ru

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной законом распределения

A. 0,535;

B. 1,36;

C. 1;

D. 0,453.

Сравните величины σ для двух кривых НРС B

A.

Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей . Тогда математическое ожидание этой нормально распределенной случайной величины равно

C. 4.

Для стандартизованного нормального распределения величина σ равна:

A. 1;

B. 2;

C.

Непрерывная случайная величина, возможные значения которой лежат в некоторых конечных пределах, распределена по закону равномерной плотности, если:

A. плотность вероятности постоянна;

B. все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность;

C. плотность вероятности будет неотрицательной величиной и интеграл от плотности по отрезку, в котором заключены все значения случайной величины, равен единице.

Укажите условие нормировки непрерывной случайной величины:

A.

B.

C.

D.

Вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий…

A. больше вероятности каждого отдельного события;

B. меньше вероятности каждого отдельного события;

C. равна вероятности каждого отдельного события;

D. равна вероятности наиболее вероятного события;

E. равна вероятности наименее вероятного события.

Укажите формулу для определения математического ожидания дискретной случайной величины:

A.

B.

C.

D.

Укажите формулу для определения математического ожидания непрерывной случайной величины:

A.

B.

C.

D.

Укажите формулу для определения дисперсии дискретной случайной величины:

A.

B.

C.

D.

Функция распределения дискретной случайной величины…

A. показывает вероятность того, что случайная величина примет значения меньше величины , т.е

B. показывает вероятность того, что случайная величина примет значения больше величины , т.е.

C. равна вероятность того, что случайная величина примет значения , т.е.

D. показывает вероятность того, что случайная величина примет значения меньше либо равно величины , т.е.

Функция распределения дискретной случайной величины может быть представлена следующим образом:

A.

B.

C.

D.

Укажите формулу для определения среднего квадратического отклонения случайной величины:

A.

B.

C.

D.

Укажите правильные высказывания:

A. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная пределу, к которому стремится отношение числа случаев, в которых реализуется событие А, к общему числу испытаний при неограниченном увеличении числа испытаний.

B. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная отношению числа испытаний, в которых реализуется событие А, к общему числу испытаний.

C. Вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий больше вероятности каждого отдельного события.

D. Вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий равна произведению их вероятностей.

Укажите правильные высказывания:

A. Функция распределения непрерывной случайной величины указывает вероятность нахождения случайной величины в некотором интервале, отнесенную к ширине этого интервала.

B. Вероятность появления какого-либо события из нескольких несовместных событий меньше вероятности каждого отдельного события.

C. Плотность вероятности непрерывной случайной величины указывает вероятность того, что случайная величина принимает значения не больше х.

D. Функция распределения непрерывной случайной величины указывает вероятность того, что случайная величина принимает значения меньшие х.

Укажите правильные высказывания:

A. Плотность вероятности непрерывной случайной величины указывает вероятность нахождения случайной величины в некотором интервале, отнесенную к ширине этого интервала.

B. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции плотности вероятности нормального закона распределения и осью абсцисс, равна 0,5.

C. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции плотности вероятности нормального закона распределения и осью абсцисс, равна 1.

D. Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

E. Дисперсия характеризует среднее значение случайной величины.

Укажите правильные высказывания:

A. Среднее квадратическое отклонение характеризует среднее значение случайной величины.

B. Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

C. Дисперсия характеризует рассеяние случайной величины относительно ее математического ожидания.

D. Случайная величина называется непрерывной, если она принимает любые значения внутри некоторого интервала.

E. Случайная величина называется дискретной, если она принимает любое из значений в некотором интервале.

Укажите формулу плотности вероятности нормально распределенной непрерывной случайной – формулу Гаусса:

A.

B.

C

Случайная величина Х распределена нормально m=1,σ=3 , Укажите функцию плотности распределения величины Х:

A.

B.

C.

D.

cyberpedia.su

Число 25255012630848 (двадцать пять триллионов двести пятьдесят пять миллиардов двенадцать миллионов шестьсот тридцать тысяч восемьсот сорок восемь)

ochisle.ru

Число 80215225521391 (восемьдесят триллионов двести пятнадцать миллиардов двести двадцать пять миллионов пятьсот двадцать одна тысяча триста девяносто один)

ochisle.ru

Число 25329154298178 (двадцать пять триллионов триста двадцать девять миллиардов сто пятьдесят четыре миллиона двести девяносто восемь тысяч сто семьдесят восемь)

ochisle.ru

Число 225850309020 (двести двадцать пять миллиардов восемьсот пятьдесят миллионов триста девять тысяч двадцать)

ochisle.ru

Число 25265699251 (двадцать пять миллиардов двести шестьдесят пять миллионов шестьсот девяносто девять тысяч двести пятьдесят один)

ochisle.ru

Число 25170205008241 (двадцать пять триллионов сто семьдесят миллиардов двести пять миллионов восемь тысяч двести сорок один)

ochisle.ru

Число 2347285525920 (два триллиона триста сорок семь миллиардов двести восемьдесят пять миллионов пятьсот двадцать пять тысяч девятьсот двадцать)

ochisle.ru

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов (далее в тексте СП). Дорогие друзья! В состав экзамена по математике входит группа задач на решение векторов. Некоторые задачи мы уже рассмотрели. Можете посмотреть их в категории «Векторы».  В целом, теория векторов несложная, главное последовательно её изучить. Вычисления и действия с векторами в школьном курсе математики просты, формулы не сложные.  Загляните в справочник. В этой статье мы разберём задачи на СП векторов (входят в ЕГЭ). Теперь «погружение» в теорию:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала

И ещё:

*Длина вектора (модуль) определяется следующим образом:

Данные  формулы необходимо запомнить!!!

Покажем угол между векторами:

Понятно, что он может изменяться в пределах от 0 до 180⁰ (или в радианах от 0 до Пи).

Можем сделать некоторые выводы о знаке скалярного произведения. Длины векторов имеют положительное значение, это очевидно. Значит знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла между векторами.

Возможны случаи:

1. Если угол между векторами острый (от 0⁰ до 90⁰), то косинус угла будет иметь положительное значение.

2. Если угол между векторами тупой (от 90⁰ до 180⁰), то косинус угла будет иметь отрицательное  значение.

*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат будет положительным.

При  180^о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице,  и соответственно результат будет отрицательным.

Теперь ВАЖНЫЙ МОМЕНТ!

При 90^о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и СП равно нулю. Этот факт (следствие, вывод) используется при решение многих задач, где речь идёт о взаимном расположении векторов, в том числе и в задачах входящих в открытый банк заданий по математике.

Сформулируем утверждение:  скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы лежат на перпендикулярных прямых.

Итак, формулы СП векторов:

Если известны координаты векторов или координаты точек их начал и концов, то всегда сможем найти угол между векторами:

Рассмотрим задачи:

27724 Найдите скалярное произведение векторов a и b.

Скалярное произведение векторов мы можем найти по одной из двух формул:

Угол между векторами неизвестен, но мы без труда можем найти координаты векторов и далее воспользоваться первой формулой. Так как начала обоих векторов совпадают с началом координат, то координаты данных векторов равны координатам их концов, то есть

Как найти координаты вектора изложено в этой статье.

Вычисляем:

Ответ: 40

Найдём координаты векторов и воспользуемся формулой:

Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала, значит

Вычисляем скалярное произведение:

Ответ: 40

Найдите угол между векторами a и b. Ответ дайте в градусах.

Пусть координаты векторов имеют вид:

Для нахождения угла между векторами используем формулу скалярного произведения векторов:

Косинус угла между векторами:

Следовательно:

Координаты данных векторов равны:

Подставим их в формулу:

Угол между векторами равен 45 градусам.

Ответ: 45

Посмотреть решение

Посмотреть решение

27710. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов АВ и AD.

Посмотреть решение

27719. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов AB и BO.

Посмотреть решение

27719. Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов AB и АС.

Посмотреть решение

На этом  всё! Успехов вам! 

С уважением, Александр Крутицких.

На уроке физкультуры: — Так, парни, кто из вас курит? Честно! Не врать! Так. … значит, ты… и ты. … Понятно… Значит, так: мы с вами покурим, остальным — пять кругов по стадиону.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением ненулевых векторов x и y называется произведение

где |·|-модуль вектора, φ -угол между векторами.

Если x=0 или y=0, то скалярное произведение равно нулю.

Пусть в n-мерном пространстве задан ортонормированный базис

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пусть заданы векторы

тогда скалярное произведение (x,y) векторов x и y определяется соотношением:

Рис. 1

На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлены векторы x=(7,0) и y=(5,5).

Для вычисления скалярного произведения методом (1), вычислим нормы векторов x и y:

Учитывая что , получим:

Теперь вычислим скалярное произведение векторов x и y используя выражение (2):

Получили одинаковые результаты, но посдедний вариант вычисления проще и не требует знания угла между векторами.

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть заданы векторы x=AB и y=CD, где ,,,.

Переместим векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x’ и y’ с координатами (т.е. с конечными точками):

где

Из выражения (1) видно, что скалярное произведение векторов x и y зависит только от нормы векторов и от угла между ними. Так как |x’|=|x| , |y’|=|y| и угол между векторами x’ и y’ равен углу между векторами x и y, следовательно

Учитывая (2) получаем:

Рис. 2

На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлены векторы x=AB и y=CD, где A(4,1), B(9,-2), C(1,2), D(5,6).

Из выражения (1) видно, что скалярное произведение векторов x и y зависит только от нормы векторов и от угла между ними. Переместим параллельно векторы так, что их начальные точки совпали с началом координат. Тогда x’=(9-4, -2-1)=(5, -3), y’=(5-1, 6-2)=(4,4), |x’|=|x| , |y’|=|y| и угол между векторами x’ и y’ равен углу между векторами x и y. Следовательно

• Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
•  
• 1. (x,y)=(y,x) ( коммутативность) .
• 2. (x,y+z)=(x,y)+(x,z) (дистрибутивность относительно сложения векторов).
• 3. λ(x,y)=(λx,y)=(x,λy) (ассоциативность относительно умножения на число).

§ 2. Равносильные формулы алгебры логики.

Определение. Две формулы алгебры логики A и B называется равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в них высказываний .

Важнейшие равносильности можно разбить на три группы:

I. Основные равносильности.

3. .

4. .

5. .

6. .

7. — закон противоречия.

8. — закон исключительного третьего.

9. — закон снятия двойного отрицания.

II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

1. ;

2. .

— законы де Моргана.

5. .

6. .

III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Используя равносильности групп I, II, III, можно часть формулы алгебры логики или всю формулу заменить равносильной ей формулой.

Такие преобразования формул применяются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду,для упрощения формул.

Пример 1. Доказать равносильность .

Решение. Для доказательства равносильности подвергнём её левую часть равносильными преобразованиями:

.

Пример 2. Упростить формулу .

Решение. Подвергнём формулу A равносильным преобразованиям:

Пример 3. Доказать, что формула тождественно истинная.

Решение. Подвергнём формулу A равносильным преобразованиям

1.20. Доказать равносильность:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

1.21. Упростить формулу:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

1.22. Доказать тождественную истинность или тождественную ложность формул:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

_________

1 Здесь и в дальнейшем означает , подобно тому, как в алгебре не пишется знак умножения (или пишетсяв место).

1.23. Пусть F – тождественно ложная формула. Доказать, что .

1.24. Найдите x, если .

1.15. Последовательность высказываний определяется следующим рекуррентным соотношением:

, n > 3.

Высказывания ,,заданы, причёмиистинны, аложно. Истинно или ложно высказывание? Как выражаетсячерез,,?

1.26. Выразить все основные операции:

1) через операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания;

2) через конъюнкции и отрицания;

3) через дизъюнкции и отрицания;

4) через импликацию и отрицание.

1.27.

1) Выразить отрицание импликации через основные операции так, чтобы отрицания стояли только над аргументами.

2) Выразить операцию дизъюнкцию через импликацию.

1.28. Исключающей дизъюнкцией двух высказываний a и b называется новое высказывание, обозначаемое ( читают «либоa, либо b»), которое истинно, когда одно и только одно из данных высказываний истинно, и ложно а остальных случаях. Составить таблицу истинности исключающей дизъюнкции и выразить её через основные операции над высказываниями.

1.29. Штрихом Шеффера двух высказываний a и b называется новое высказывание, обозначаемое (Читают «a не совместно с b»), которое ложно только тогда, когда они оба данные высказывания истинны. Составить таблицу истинности штриха Шеффера и выразить его через основные операции над высказываниями. Доказать, что все основные операции над высказываниями можно выразить через штрих Шеффера.

1.30. Штрихом Лукасевича двух высказываний a и b называется новое высказывание ( читают «ниa, ни b») , которое истинно в том и только в том случае, когда оба данные высказывания ложны. Составить таблицу истинности штриха Лукасевича и выразить его через основные операции над высказываниями. Доказать, что все основные операции над высказываниями можно выразить через штрих Лукасевича.

1.31. Доказать, что операции отрицания не может быть выражена через основные операции (бинарные) над высказываниями.

1.32. Можно ли для каждой формулы найти равносильную, не содержащую знака отрицания?

1.33. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода – пойти купаться. В каком случае можно сказать, что решение мальчика не выполнено? В ответе отрицания должны содержаться лишь в простых высказываниях.

studfiles.net

Равносильные формулы алгебры высказываний / Алгебра логики [Ф.Г. Кораблёв] / 3dstroyproekt.ru

Две формулы алгебры высказываний $A$ и $B$ называются равносильными или эквивалентными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.

Равносильность формул будем обозначать знаком $\equiv$, а запись $A\equiv B$ означает, что формулы $A$ и $B$ равносильны.

Например, равносильны формулы:

$\overline { \overline { X } } \equiv X$,

$X\vee X\equiv X$,

Тождественно истинная формула

Формула $A$ называется тождественно истинной { или тавтологией } , если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Например, тожественно истинны формулы $X\vee \overline { X } $, $X\rightarrow (Y\rightarrow X)$

Тождественно ложная формула

Формула $A$ называется тождественно ложной { или противоречием } , если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее высказываний.

Например, тождественно ложна формула $X\wedge \overline { X } $

Выполнимая формула

Формула $A$ называется выполнимой, если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее высказываний.

Например, выполнима формула $X\vee \overline { X } $

Ясно, что отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Группы равносильностей

Между понятиями равносильности и операцией $\leftrightarrow$ существует следующая связь: если формулы $A$ и $B$ равносильны, то формула $A\leftrightarrow B$ — тавтология, и обратно, если формула $A\leftrightarrow B$ — тавтология, то формулы $A$ и $B$ равносильны.

Важнейшие равносильности алгебры высказываний можно разбить на следующие группы.

Равносильности алгебры Буля

Закон двойного отрицания: $\overline { \overline { X } } \equiv X$

Коммутативность: $X\wedge Y\equiv Y\wedge X$; $X\vee Y\equiv Y\vee X$

Ассоциативность: $X\wedge (Y\wedge Z)\equiv (X\wedge Y)\wedge Z$; $X\vee (Y\vee Z)\equiv (X\vee Y)\vee Z$

Дистрибутивность $\wedge$ относительно $\vee$: $X\wedge (Y\vee Z)\equiv (X\wedge Y)\vee (X\wedge Z)$; $(X\vee Y)\wedge Z\equiv (X\wedge Z)\vee (Y\wedge Z)$

Дистрибутивность $\vee $ относительно $\wedge $: $X\vee (Y\wedge Z)\equiv (X\vee Y)\wedge (X\vee Z)$; $(X\wedge Y)\vee Z\equiv (X\vee Z)\wedge (Y\vee Z)$

Законы де Моргана: $\overline { X\wedge Y } \equiv \overline { X } \vee \overline { Y } $; $\overline { X\vee Y } \equiv \overline { X } \wedge \overline { Y } $

Законы поглощения: $X\wedge (Y\vee X)\equiv X$; $X\vee (Y\wedge X)\equiv X$

Законы идемпотентности: $X\wedge X\equiv X$; $X\vee X\equiv X$

Свойства констант: $X\wedge 1\equiv X$; $X\vee 1\equiv 1$; $X\wedge 0\equiv 0$; $X\vee 0\equiv X$

Закон противоречия: $X\wedge \overline { X } \equiv 0$

Закон исключения третьего: $X\vee \overline { X } \equiv 1$

Равносильности, выражающие одни логические операции через другие

$X\leftrightarrow Y\equiv (X\rightarrow Y)\wedge (Y\rightarrow X)$

$X\leftrightarrow Y\equiv (\overline { X } \vee Y)\wedge (\overline { Y } \vee X)$

$X\leftrightarrow Y\equiv (X\wedge Y)\wedge (\overline { Y } \wedge \overline { X } )$

$X\rightarrow Y\equiv \overline { X } \vee Y$

$X\wedge Y\equiv \overline { \overline { X } \vee \overline { Y } } $

$X\vee Y\equiv \overline { \overline { X } \wedge \overline { Y } } $

$X | Y\equiv \overline { X\cdot Y } $

$X \downarrow Y\equiv \overline { X\vee Y } $

$X \rightarrow Y\equiv \overline { X } \vee Y$

$X \bigoplus Y\equiv (X \cdot \bar { Y } )\vee (\bar { X } \cdot Y)$

$X \sim Y\equiv \overline { X \bigoplus Y } \equiv (XY)\vee (\bar { X } \bar { Y } )$

3dstroyproekt.ru

Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики

Следует отметить, что между равносильностями, записанными в дизъюнктивной форме и в конъюнктивной форме, существует свойство симметрии: если дизъюнкцию заменить конъюнкцией, а конъюнкцию заменить дизъюнкцией, 0 заменить на 1, а 1 заменить на 0, при этом отрицания сохранить без изменений, то записанные слева и справа равносильности перейдут друг в друга. Следовательно, с помощью указанных замен можно из одних равносильностей получить другие. Это называется законом двойственности.

Следствия алгебры логики. Многие законы можно обобщить на случай большого числа переменных.

1. Законы де Моргана в обобщенной форме можно записать так:

и

2. Законы дистрибутивности для многих переменных:

ABCD…P = (AB)(AC)(AD) … (AP)

и A(BCD…P) = ABACAD…A P

или

_.

3. Законы поглощения для нескольких переменных:

А AB  ABСD = A;

A(ACD…P) = A;

;

.

Из симметрии трехчлена вида получим полезные эквивалентности:

1. Если одна из переменных входит в одну из трех конъюнкций с отрицанием, то .

Заметим, что здесь симметрия нарушена по B. И конъюнкция, не содержащая этого “нарушителя симметрии ” поглотилась согласно закону поглощения (4).

2. Если симметрия нарушена по двум переменным, например, имеем трехчлен вида , то его можно упростить следующим образом:

.

Пример. Упростить выражение .

Решение. Упростим выражения в скобках:

1. Перемножим полученные выражения.

2. Таким образом, .

Нормальные формы логических выражений. Одна и та же логическая функция может быть записана различным образом. Например, функция F(A,B) может быть записана следующими эквивалентными выражениями:

F(A,B)=илиF(A,B)=илиF(A,B)=.

Эквивалентность этих формул легко проверить по таблицам истинности или выполнив необходимые преобразования. Для исключения неоднозначности записи логические функции представляют в унифицированных формах. Такими формами являются: дизъюнктивная и конъюнктивная. В них используются элементарные дизъюнкции и конъюнкции. Эти формы часто используются и в представлении логических формул для построения по ним логических электронных схем, а также они полезны при решении текстовых задач, когда требуется представить полученное логическое выражение в определенной (нормальной) форме. Вначале дадим два определения:

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция, состоящая только из переменных или их отрицаний. Например, .

Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция, состоящая только из переменных или их отрицаний. Например, .

1. Дизъюнктивно нормальная форма (ДНФ): дизъюнкция элементарных конъюнкций. Например, .

2. Конъюнктивно нормальная форма (КНФ): конъюнкция элементарных дизъюнкций. Например, .

3. Минимальная дизъюнктивно-нормальная форма (МДНФ): ДНФ, имеющая самую короткую запись.

1. Минимальная конъюнктивно нормальная форма (МКНФ): КНФ, имеющая самую короткую запись.

Использование нормальных форм не устраняет полностью неоднозначности записи логических функций. Например, может быть записана такими выражениями:

или .

Поэтому среди нормальных форм выделяют такие, в которых функции записываются единственным образом. Их называют совершенными. Применяются совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная формы (СДНФ и СКНФ), которые имеют отличительные особенности:

2. Совершенная дизъюнктивно нормальная форма (СДНФ): ДНФ, удовлетворяющая условиям:

• Все элементарные конъюнкции различны;

• Нет нулевых конъюнкций;

• Ни одна из элементарных конъюнкций не повторяется;

• Каждая элементарная конъюнкция содержит все переменные или их отрицания.

1. Совершенная конъюнктивно нормальная форма (СДНФ): КНФ, удовлетворяющая условиям:

• Все элементарные дизъюнкции различны;

• Нет нулевых дизъюнкций;

• Ни одна из элементарных дизъюнкций не повторяется;

• Каждая элементарная дизъюнкция содержит все переменные или их отрицания.

Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная формы используются при проектировании элементов и узлов компьютера. Поскольку при проектировании отдельных узлов компьютера необходимо решить проблему построения логических и электрических схем, имея лишь описание алгоритма его работы (виде таблицы истинности или логической формулы). Воспользовавшись этими данными можно построить логическую, а затем электрическую или электронную схемы. Рассмотрим построение логической функции по известной таблице истинности.

Пусть необходимо получить логическую формулу, которая бы отвечала следующей таблице истинности.

Зададимся вопросом, в какой форме удобнее искать логическую формулу, отвечающую заданной таблице истинности? Для однозначности описания состояния входных переменных наилучшим образом подходит совершенная форма, т.к. только в ней присутствует информация о каждой логической переменной, что соответствует таблице истинности. Иначе говоря, функция принимает единичные значения при наборах входных переменных, соответствующих 0, 3 и 7.

Анализируя приведенную таблицу, заметим, что она содержит три строки, где функция F=1 и пять строк, где функция равна нулю. Для обеспечения состояний логического устройства, где F=1 воспользуемся построением логической формулы в виде СДНФ следующим образом. Для обеспечения единичного значения функции при А=0, В=0 и С=0 СДНФ должна иметь вид , при значенияА=0, В=1 и С=1 (четвертая строка), значение F=1 даст . Аналогично для последней строки –. Следовательно, для получения общей формулы, удовлетворяющей каждой из выделенных строк, необходимо взять дизъюнкцию этих трех конъюнкций и общая формула будет иметь вид.

1. Правило записи СДНФ функции по таблице истинности.

Для всех наборов переменных, на которых функция принимает единичные значения, записываются конъюнкции этих переменных, инвертируя те переменные, которым соответствуют нулевые значения. Затем конъюнкции соединяют знаком дизъюнкции.

Например, дана таблица истинности функции F:

СДНФ функции F будет состоять из двух наборов: .

По аналогичным соображениям строится логическая функция, соответствующая заданной таблице истинности. Учитывая свойство двойственности, правило записи СКНФ можно сформулировать следующим образом.

2. Правило записи СКНФ функции по таблице истинности.

Для всех наборов переменных, на которых функция принимает нулевые значения, записываются конъюнкции этих переменных, инвертируя те переменные, которым соответствуют единичные значения. Затем дизъюнкции соединяют знаком конъюнкции.

СКНФ функции F из предыдущего примера будет: .

Решение текстовых задач. Для успешного решения текстовых задач необходимо знать, как записываются. Составим для себя таблицу соответствия высказываний естественного языка и формул алгебры логики.

При решении текстовых задач желательно обходиться минимальным количеством переменных. Поэтому высказывания альтернативного типа, например «Погода пасмурная» и «Погода ясная», следует обозначать одной переменной, соответственно П и .

Задача. В олимпиаде по информатике участвовали трое друзей: А, В и С. Перед олимпиадой каждый из них высказал свои предположения.

A: Не может быть, чтобы победили В и С вместе. Не может быть также, чтобы победил либо В, либо С. Значит, не могу победить и я.

В: Если победит С, то победит и А, а я победить не смогу.

С: Не может быть, чтобы не победили А и В, я бы победил.

По результатам олимпиады оказалось, что прав был только один из друзей.

Кто победил в олимпиаде? Чье высказывание оказалось правдой?

Решение.

1. Обозначим переменные: A — «Победил А«, В — «Победил В«, С — «Победил С«.

2. Запишем высказывания друзей на языке алгебры логики и упростим их.

A: ===

==

В:

С:

1. Возможны три ситуации, когда прав лишь один из друзей.

Пусть не правы А и В:

=

Пусть не правы А и С:

Пусть не правы В и С:

Ответ: Победил С, правильное предположение сделал А.

Контрольные задания

1. Задано двоичное число 1101. На какое наименьшее двоичное число его необходимо умножить, чтобы результатом в десятичной системе счисления было число 19? Если решения нет, то в ответе записать 0, в противном случае запишите это число в двоичной системе счисления.

1. Даны три числа в различных системах счисления: A=16₍₁₀₎, B=21₍₈₎, C=12₍₁₀₎. Выполните следующие логические операции: AB+C. Ответ напишите в шестнадцатеричной системе счисления и в десятичной системе.

1. Постройте таблицу истинности для логической функции

1. Построить логическую функцию по заданной таблице истинности, которая имеет нулевые значения при следующих наборах переменных A, B, C: (001), (010), (011), (110).

1. Является ли данная функция тождественно ложной?

2. У трех приятелей Ленчика, Пончика и Батончика был четвертый друг, который был заядлым грибником, за что его прозвали Сыроежка. Определить, кто из четырех приятелей поехал в лес за грибами, если стало известно:

• Если Ленчик поехал, то и Батончик поехал.

• Если Батончик поехал, то Пончик поехал или Ленчик не поехал.

• Если Сыроежка не поехал, то Ленчик поехал, Пончик не поехал.

3. Укажите правильный ответ в следующей задаче.

Собирая грибы, три приятеля Ленчик, Пончик и Батончик нашли клад и, чтобы не перессориться, разделили его на три части. Каждый спрятал свою часть под своим деревом. Но, встретив лесника, они сбивчиво начали рассказывать о случившемся.

Ленчик: Я спрятал клад под дубом, а Пончик — под елкой.

Пончик: Батончик спрятал клад под сосной, а Ленчик — под дубом.

Батончик: Пончик спрятал клад под дубом, Я — под сосной.

Наблюдательный лесник понял, что один из них один раз соврал и один раз сказал правду, а двое — дважды сказали правду. Где каждый грибник спрятал свой клад?

Ответы:

1. Пончик — под елкой, Ленчик — под сосной, Батончик — под дубом.

2. Пончик — под сосной, Ленчик — под дубом, Батончик — под елкой.

3. Пончик — под елкой, Ленчик — под дубом, Батончик — под сосной.

4. Пончик — под сосной, Ленчик — под елкой, Батончик — под дубом.

5. Пончик — под дубом, Ленчик — под елкой, Батончик — под сосной.

studfiles.net

3. Равносильные формулы алгебры логики

3.1 Классификация формул алгебры высказываний.

Формула Хназываетсятождественно истинной (или тавтологией),если она превращается в истинное высказывание, то есть принимает значение 1, при всех наборах значений входящих в нее переменных. Тавтологии представляют собой схемы построения истинных высказываний, независимо от содержания и истинности составляющих элементарных высказываний.

Формула Хназываетсятождественно ложной,если она принимает значение 0 при всех наборах значений входящих в нее переменных.

Две формулы алгебры логики XиYназываютсярав­носильными, если при любых значениях входящих в них высказывательных переменных логические значения высказываний, получающихся из формулXиY, совпадают. Для указания равносильности формул использу­ют обозначение.

Существует тесная связь между понятием равно­сильности формул и понятием тавтологии.

Признак равносильности формул.Две формулыXиYалгебры высказываний равносильны тогда и только тогда, когда формулаявляется тавто­логией, и обратно, если формула– тавтология, то формулыXиYравносильны.

Отношение равносильности между формулами алгебры высказываний:

а) рефлексивно: ;

б) симметрично: если , то ;

в) транзитивно: если и, то.

3.2 Примеры равносильных формул.Равносильности формул алгебры логики часто называютзаконами логики.

Вот наиболее важные из них:

1. –закон тождества.

2. –закон противоречия.

3. –закон исключенного третьего.

4. –закон двойного отрицания.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. ; – законы идемпотентности.

10. ; – законы поглощения.

11. ; – законы склеивания.

12. законы коммутативности (переместительности):

–коммутативность конъюнкции;

–коммутативность дизъюнкции.

13. законы ассоциативности (сочетательности):

–ассоциативность конъюнкции;

–ассоциативность дизъюнкции.

14. законы дистрибутивности (распределительности):

–дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

–дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

15. ; – законы де Моргана.

Доказать эти равносильности можно, например, с помощью таблиц истинности.

Пример.

Докажем равносильность – закон де Моргана. При любых комбинациях значений, от которых зависят формулыXиY, эти формулы принимают некоторые логические значения. Всего будет четыре способа распределения логических значенийXиY. Надо показать, что в каждом из этих случаев значения левой и правой части равносильностисовпадают.

Логические значения в последних двух столбцах совпадают, следовательно, закон де Моргана справедлив.

Имеют место равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

Импликация выражается через:

16. –дизъюнкцию и отрицание;

17. –конъюнкцию и отрицание.

Эквиваленциявыражается через:

18. –конъюнкцию и импликацию;

19. –конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание;

20. –конъюнкцию и отрицание.

Из этих равносильностей следует вывод, что любую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, которая будет содержать только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание. Дальнейшее исключение логических операций невозможно.

Существует логическая операция, через которую можно выразить любую из пяти логических операций, которыми мы пользуемся: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Эта операция называется «штрих Шеффера», обозначается символом и определяется таблицей истинности

Согласно таблице, имеем: ;.

studfiles.net

Раздел 2. Логическая равносильность формул

2.1. Отношение равносильности

С помощью таблиц истинности можно установить, при каких наборах значений истинности входящих переменных формула будет принимать истинное или ложное значение (а также высказывание, имеющее соответствующую логическую структуру), какие формулы будут тавтологиями или противоречиями, а также установить, являются ли две данные формулы равносильными.

В логике говорят, что два предложения равносильны, если они одновременно истинны, либо одновременно ложны. Слово «одновременно» в этой фразе неоднозначно. Так, для предложений «Завтра будет вторник» и «Вчера было воскресенье» это слово имеет буквальный смысл: в понедельник они оба истинны, а в остальные дни недели – оба ложны. Для уравнений «х = 2» и «2х = 4» «одновременно» означает «при одних и тех же значениях переменной». Прогнозы «Завтра будет дождь» и «Неверно, что завтра не будет дождя» одновременно подтвердятся (окажутся истинными) либо не подтвердятся (окажутся ложными). В сущности, это один и тот же прогноз, выраженный в двух разных формах, которые можно представить формулами Х и . Эти формулы одновременно принимают значение «истина» либо значение «ложь». Для проверки достаточно составить таблицу истинности:

Видим, что значения истинности в первом и последнем столбцах совпадают. Такие формулы, как и соответствующие им предложения, естественно считать равносильными.

Формулы F₁ и F₂ называются равносильными, если их эквиваленция – тавтология.

Равносильность двух формул записывается так: (читается: формулаF₁ равносильна формуле F₂).

Проверить, равносильны ли формулы, можно двумя способами: 1) составить их эквиваленцию и с помощью таблицы истинности проверить, не является ли она тавтологией; 2) для каждой формулы составить таблицу истинности и сравнить итоговые результаты; если в итоговых столбцах при одинаковых наборах значений переменных значения истинности обеих формул будут равны, то формулы являются равносильными.

Пример 1: Выяснить, являются ли формулы равносильными: 1) ,; 2),.

Решение.

1) Воспользуемся для определения равносильности первым способом, то есть выясним, является ли эквиваленция формул итавтологией.

Составим эквиваленцию формул: . Полученная формула содержит две различные переменные (А и В) и 6 операций: 1); 2); 3); 4); 5); 6). Значит, в соответствующей таблице истинности будет 5 строк и 8 столбцов:

Из итогового столбца таблицы истинности видно, что составленная эквиваленция является тавтологией и, значит, .

2) Для того чтобы выяснить являются ли формулы иравносильными, используем второй способ, то есть составим для каждой из формул таблицу истинности и сравним итоговые столбцы. (Замечание. Для того чтобы эффективно использовать второй способ, необходимо, чтобы все составленные таблицы истинности начинались одинаково, то есть наборы значений переменных были одинаковы в соответствующих строках.)

В формуле две различные переменные и 2 операции, значит, в соответствующей таблице истинности 5 строк и 4 столбца:

В формуле две различные переменные и 3 операции, значит, в соответствующей таблице истинности 5 строк и 5 столбцов:

Сравнивая итоговые столбцы составленных таблиц истинности (так как таблицы начинаются одинаково, мы можем не обращать внимание на наборы значений переменных), видим, что они не совпадают и, следовательно, формулы не равносильны ().

Выражение не является формулой (так как символ «» не относится к какой-либо логической операции). Оно выражаетотношение между формулами (также как равенство между числами, параллельность между прямыми и т.п.).

Справедлива теорема о свойствах отношения равносильности:

Теорема 2.1. Отношение равносильности между формулами алгебры высказываний:

1) рефлексивно: ;

2) симметрично: если , то;

3) транзитивно: если и, то.

studfiles.net

1. Основные равносильности

–законы идемпотентности.

–закон снятия двойного отрицания.

–законы поглощения.

Докажем формулу 4.

Пусть А ≡ при x = 1, значение А = 1, при х = 0, значение А = 0. Итак во всех случаях значения формулы А совпадают со значениями х, следовательно, А ≡ х.

2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Замечание. Формулы 5 и 6 получаются из 3 и 4, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания.

Докажем формулы 1–4.

Докажем формулу 1.

1) при одинаковых логических значениях x и y формулы и – истинны, следовательно, истинной будет и коньюнкция т. е. обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.

2) пусть теперь x и y имеют разные логические значения, тогда будут ложными и одна из или При этом будет ложной и коньюнкция т. е. обе части равносильности имеют одинаковые ложные значения. Что и требовалось доказать.

Докажем формулу 3.

1) пусть x и y одновременно принимают истинные значения, тогда будет истинной и коньюнкция и ложным ее отрицание В то же время будут ложными и , следовательно, будет ложной и дизьюнкция

2) пусть хотя бы одна из переменных x или y принимает значение ложь, тогда тоже ложь, а – истина. В то же время отрицание хотя бы одной из переменных будет истинным, следовательно, будет истиной и дизьюнкция

Следовательно, во всех случаях обе части равносильности 3 принимают одинаковые логические значения.

Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.

Из равносильностей группы 2 следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: коньюнкцию и отрицание или дизьюнкцию и отрицание.

3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики

–коммутативность коньюнкции и дизьюнкции.

–ассоциативность коньюнкции и дизьюнкции.

–дистрибутивность коньюнкции относительно дизьюнкции и наоборот.

Докажем формулу 6.

При х = 1, формулы и будут истинны, тогда и – тоже истинна.

При х = 0, ≡ ≡ ≡ следовательно, ≡

Таким образом, обе части формулы 6 равносильны одной и той же формуле и поэтому принимают одинаковые логические значения. Что и требовалось доказать.

Равносильности 3-ей группы выражают основные законы алгебры логики: коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность (относительно логических операций – коньюнкции и дизьюнкции). Эти же законы имеют место в алгебре чисел. Поэтому над формулами алгебры логики можно производить те же преобразования, которые проводятся в алгебре чисел, т. е.

1) раскрытие скобок;

2) заключение в скобках;

3) вынесения за скобки общего множителя.

Кроме этих преобразований над формулами алгебры логики можно производить и преобразования, основанные на использовании равносильностей.

Равносильные преобразования формул используют

1) для доказательства равносильностей,

2) для приведения формул к заданному виду,

3) для упрощения формул.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквиваленции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций коньюнкции и дизьюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Пример.

1. Доказать равносильность

Доказательство:

2. Упростить формулу

3. Доказать тождественную истинность формулы

Запишем цепочку равносильных формул:

Что и требовалось доказать.

studfiles.net

§ 2. Равносильные формулы алгебры логики.

Определение. Две формулы алгебры логики A и B называется равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в них высказываний .

Важнейшие равносильности можно разбить на три группы:

I. Основные равносильности.

3. .

4. .

5. .

6. .

7. — закон противоречия.

8. — закон исключительного третьего.

9. — закон снятия двойного отрицания.

II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

1. ;

2. .

— законы де Моргана.

5. .

6. .

III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Используя равносильности групп I, II, III, можно часть формулы алгебры логики или всю формулу заменить равносильной ей формулой.

Такие преобразования формул применяются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.

Пример 1. Доказать равносильность .

Решение. Для доказательства равносильности подвергнём её левую часть равносильными преобразованиями:

.

Пример 2. Упростить формулу .

Решение. Подвергнём формулу A равносильным преобразованиям:

Пример 3. Доказать, что формула тождественно истинная.

Решение. Подвергнём формулу A равносильным преобразованиям

1.20. Доказать равносильность:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

1.21. Упростить формулу:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

1.22. Доказать тождественную истинность или тождественную ложность формул:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

_________

1 Здесь и в дальнейшем означает , подобно тому, как в алгебре не пишется знак умножения (или пишетсяв место).

1.23. Пусть F – тождественно ложная формула. Доказать, что .

1.24. Найдите x, если .

1.15. Последовательность высказываний определяется следующим рекуррентным соотношением:

, n > 3.

Высказывания ,,заданы, причёмиистинны, аложно. Истинно или ложно высказывание? Как выражаетсячерез,,?

1.26. Выразить все основные операции:

1) через операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания;

2) через конъюнкции и отрицания;

3) через дизъюнкции и отрицания;

4) через импликацию и отрицание.

1.27.

1) Выразить отрицание импликации через основные операции так, чтобы отрицания стояли только над аргументами.

2) Выразить операцию дизъюнкцию через импликацию.

1.28. Исключающей дизъюнкцией двух высказываний a и b называется новое высказывание, обозначаемое ( читают «либоa, либо b»), которое истинно, когда одно и только одно из данных высказываний истинно, и ложно а остальных случаях. Составить таблицу истинности исключающей дизъюнкции и выразить её через основные операции над высказываниями.

1.29. Штрихом Шеффера двух высказываний a и b называется новое высказывание, обозначаемое (Читают «a не совместно с b»), которое ложно только тогда, когда они оба данные высказывания истинны. Составить таблицу истинности штриха Шеффера и выразить его через основные операции над высказываниями. Доказать, что все основные операции над высказываниями можно выразить через штрих Шеффера.

1.30. Штрихом Лукасевича двух высказываний a и b называется новое высказывание ( читают «ниa, ни b») , которое истинно в том и только в том случае, когда оба данные высказывания ложны. Составить таблицу истинности штриха Лукасевича и выразить его через основные операции над высказываниями. Доказать, что все основные операции над высказываниями можно выразить через штрих Лукасевича.

1.31. Доказать, что операции отрицания не может быть выражена через основные операции (бинарные) над высказываниями.

1.32. Можно ли для каждой формулы найти равносильную, не содержащую знака отрицания?

1.33. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая погода – пойти купаться. В каком случае можно сказать, что решение мальчика не выполнено? В ответе отрицания должны содержаться лишь в простых высказываниях.

studfiles.net

Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (х) и выражения с ним находятся под знаком логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений подразумевает, что вы уже знакомы с понятием и видами логарифмов и основными формулами.
Как решать логарифмические уравнения?

Самое простое уравнение имеет вид log_ax = b, где a и b -некоторые числа,x — неизвестное.
Решением логарифмическое уравнения является x = a ^b при условии: a > 0, a 1.

Следует отметить, что если х будет находиться где-нибудь вне логарифма, например log₂х = х-2, то такое уравнение уже называется смешанным и для его решения нужен особый подход.

Идеальным случаем является ситуация, когда Вам попадется уравнение, в котором под знаком логарифма находятся только числа, например х+2 = log₂2. Здесь достаточно знать свойства логарифмов для его решения. Но такая удача случается не часто, поэтому приготовьтесь к более сложным вещам.

Но сначала, все-таки, начнём с простых уравнений. Для их решения желательно иметь самое общее представление о логарифме.

Решение простейших логарифмических уравнений

К таковым относятся уравнения типа log₂х = log₂16. Невооруженным глазом видно, что опустив знак логарифма получим х = 16.

Для того, чтобы решить более сложное логарифмическое уравнение, его обычно приводят к решению обычного алгебраического уравнения или к решению простейшего логарифмического уравнения log_ax = b. В простейших уравнениях это происходит в одно движение, поэтому они и носят название простейших.

Вышеиспользованный метод опускания логарифмов является одним из основных способов решения логарифмических уравнений и неравенств. В математике эта операция носит название потенцирования. Существуют определенные правила или ограничения для подобного рода операций:

• одинаковые числовые основания у логарифмов
• логарифмы в обоих частях уравнения находятся свободно, т.е. без каких бы то ни было коэффициентов и других разного рода выражений.

Скажем в уравнении log₂х = 2log₂ (1- х) потенцирование неприменимо — коэффициент 2 справа не позволяет. В следующем примере log₂х+log₂ (1 — х) = log₂ (1+х) также не выполняется одно из ограничений — слева логарифма два. Вот был бы один – совсем другое дело!

Вообщем, убирать логарифмы можно только при условии, что уравнение имеет вид:

log_a (…) = log_a (…)

В скобках могут находится совершенно любые выражения, на операцию потенцирования это абсолютно никак не влияет. И уже после ликвидации логарифмов останется более простое уравнение – линейное, квадратное, показательное и т.п., которое Вы уже, надеюсь, умеете решать.

Возьмем другой пример:

log₃ (2х-5) = log₃х

Применяем потенцирование, получаем:

2х-5 = х

х=5

Пойдем дальше. Решим следующий пример:

log₃ (2х-1) = 2

Исходя из определения логарифма, а именно, что логарифм — это число, в которое надо возвести основание, чтобы получить выражение, которое находится под знаком логарифма, т.е. (4х-1), получаем:

3 ² = 2х-1

Дальше уже дело техники:

2х-1 = 9

х =5

Опять получили красивый ответ. Здесь мы обошлись без ликвидации логарифмов, но потенцирование применимо и здесь, потому как логарифм можно сделать из любого числа, причем именно такой, который нам надо. Этот способ очень помогает при решении логарифмических уравнений и особенно неравенств.

Решим наше логарифмическое уравнение log₃ (2х-1) = 2 с помощью потенцирования:

Представим число 2 в виде логарифма, например, такого log₃9, ведь 3 ²=9.

Тогда log₃ (2х-1) = log₃9 и опять получаем все то же уравнение 2х-1 = 9. Надеюсь, все понятно.

Вот мы и рассмотрели как решать простейшие логарифмические уравнения, которые на самом деле очень важны, ведь решение логарифмических уравнений, даже самых страшных и закрученных, в итоге всегда сводится к решению простейших уравнений.

Во всем, что мы делали выше, мы упускали из виду один очень важный момент, который в последующем будет иметь решающую роль. Дело в том, что решение любого логарифмического уравнения, даже самого элементарного, состоит из двух равноценных частей. Первая – это само решение уравнения, вторая — работа с областью допустимых значений (ОДЗ). Вот как раз первую часть мы и освоили. В вышеприведенных примерах ОДЗ на ответ никак не влияет, поэтому мы ее и не рассматривали.

А вот возьмем другой пример:

log₃ (х ²-3) = log₃ (2х)

Внешне это уравнение ничем не отличается от элементарного, которое весьма успешно решается. Но это не совсем так. Нет, мы конечно же его решим, но скорее всего неправильно, потому что в нем кроется небольшая засада, в которую сходу попадаются и троечники, и отличники. Давайте рассмотрим его поближе.

Допустим необходимо найти корень уравнения или сумму корней, если их несколько:

log₃ (х ²-3) = log₃ (2х)

Применяем потенцирование, здесь оно допустимо. В итоге получаем обычное квадратное уравнение.

х ²-3 = 2х

х ²-2х-3 = 0

Находим корни уравнения:

х₁= 3

х₂= -1

Получилось два корня.

Ответ: 3 и -1

С первого взгляда все правильно. Но давайте проверим результат и подставим его в исходное уравнение.

Начнем с х₁= 3:

log₃6 = log₃6

Проверка прошла успешно, теперь очередь х₂= -1:

log₃ (-2) = log₃ (-2)

Так, стоп! Внешне всё идеально. Один момент — логарифмов от отрицательных чисел не бывает! А это значит, что корень х = -1 не подходит для решения нашего уравнения. И поэтому правильный ответ будет 3, а не 2, как мы написали.

Вот тут-то и сыграла свою роковую роль ОДЗ, о которой мы позабыли.

Напомню, что под областью допустимых значений принимаются такие значения х, которые разрешены или имеют смысл для исходного примера.

Без ОДЗ любое решение, даже абсолютно правильное, любого уравнения превращается в лотерею — 50/50.

Как же мы смогли попасться при решении, казалось бы, элементарного примера? А вот именно в момент потенцирования. Логарифмы пропали, а с ними и все ограничения.

Что же в таком случае делать? Отказываться от ликвидации логарифмов? И напрочь отказаться от решения этого уравнения?

Нет, мы просто, как настоящие герои из одной известной песни, пойдем в обход!

Перед тем, как приступать к решению любого логарифмического уравнения, будем записывать ОДЗ. А вот уж после этого можно делать с нашим уравнением все, что душа пожелает. Получив ответ, мы просто выбрасываем те корни, которые не входят в нашу ОДЗ, и записываем окончательный вариант.

Теперь определимся, как же записывать ОДЗ. Для этого внимательно осматриваем исходное уравнение и ищем в нем подозрительные места, вроде деления на х, корня четной степени и т.п. Пока мы не решили уравнение, мы не знаем – чему равно х, но твердо знаем, что такие х, которые при подстановке дадут деление на 0 или извлечение квадратного корня из отрицательного числа, заведомо в ответ не годятся. Поэтому такие х неприемлемы, остальные же и будут составлять ОДЗ.

Воспользуемся опять тем же уравнением:

log₃ (х ²-3) = log₃ (2х)

log₃ (х ²-3) = log₃ (2х)

Как видим, деления на 0 нет, квадратных корней также нет, но есть выражения с х в теле логарифма. Тут же вспоминаем, что выражение, находящееся внутри логарифма, всегда должно быть >0. Это условие и записываем в виде ОДЗ:

Т.е. мы еще ничего не решали, но уже записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Фигурная скобка означает, что эти условия должны выполняться одновременно.

ОДЗ записано, но необходимо еще и решить полученную систему неравенств, чем и займемся. Получаем ответ х > v3. Теперь точно известно – какие х нам не подойдут. А дальше уже приступаем к решению самого логарифмического уравнения, что мы и сделали выше.

Получив ответы х₁= 3 и х₂= -1, легко увидеть, что нам подходит лишь х1= 3, его и записываем, как окончательный ответ.

На будущее очень важно запомнить следующее: решение любого логарифмического уравнения делаем в 2 этапа. Первый — решаем само уравнение, второй – решаем условие ОДЗ. Оба этапа выполняются независимо друг от друга и только лишь при написании ответа сопоставляются, т.е. отбрасываем все лишнее и записываем правильный ответ.

Для закрепления материала настоятельно рекомендуем посмотреть видео:

На видео другие примеры решения лог. уравнений и отработка метода интервалов на практике.

На это по вопросу, как решать логарифмические уравнения, пока всё. Если что то по решению лог. уравнений осталось не ясным или непонятным, пишите свои вопросы в комментариях.

Заметка: Академия социального образования (КСЮИ) — готова принять новых учащихся.

reshit.ru

Как решать логарифмические уравнения — подробный разбор

Чтобы ответить на вопрос как решать логарифмические уравнения давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число.

Например,

или число 3 (показатель степени) мы можем записать так  , таким образом 

Основание логарифма всегда положительное число, не равное 1. Число под знаком логарифма — строго больше нуля.

Теперь переходим непосредственно к вопросу — как решать логарифмические уравнения из профильного и из базового ЕГЭ.

Пример 1 Найдите корень уравнения.

согласно определению логарифма:

Все неизвестные переносим в левую часть уравнения (слева от =), а известные — переносим в правую сторону.

Получим:

Делаем проверку:

Ответ:

Пример 2. Найдите корень уравнения.

Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:

То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.

или

Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим

Делаем проверку:

Получаем:

Ответ:

Пример 3. Найдите корень уравнения

Используем следующее свойство логарифма:

Тогда получим:

Делаем проверку:

Ответ:

Пример 4. Найдите корень уравнения.

Используя определение логарифма, получим:

Проверим:

Ответ: .

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

1. Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
2. Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
3. Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь.
4. Делаем проверку
5. Записываем ответ.

repetitor-mathematics.ru

Логарифмические уравнения. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Напомним центральное определение – определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Данное уравнение имеет единственный корень, его называют логарифмом b по основанию а:

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Напомним основное логарифмическое тождество.

Выражение  (выражение 1) является корнем уравнения  (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Итак мы видим, что каждому значению  ставится в соответствие значение . Обозначим b за х (), с за у, и таким образом получаем логарифмическую функцию:

Например:

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Еще раз обратим внимание, здесь , т. к. под логарифмом может стоять строго положительное выражение,  как основание логарифма.

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

График функции  при  изображен черным цветом. Рис. 1. Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности.

График функции  при  изображен красным цветом. Рис. 1.

Свойства данной функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна на всей своей области определения. При  монотонно (строго) возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При  монотонно (строго) убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Свойства логарифмической функции являются ключом к решению разнообразных логарифмических уравнений.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение, все остальные логарифмические уравнения, как правило, сводятся к такому виду.

Поскольку равны основания логарифмов и сами логарифмы, равны и функции, стоящие под логарифмом, но мы должны не упустить область определения. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:

Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.

Таким образом, мы получили смешанную систему, в которой есть уравнение и неравенство:

Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.

Сформулируем метод решения простейших логарифмических уравнений:

Уравнять основания логарифмов;

Приравнять подлогарифмические функции;

Выполнить проверку.

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 1 – решить уравнение:

Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства первый логарифм:

Найдем корень и подставим его в неравенство:

Ответ:

Пример 2 – решить уравнение:

Данное уравнение отличается от предыдущего тем, что основания логарифмов меньше единицы, но это никак не влияет на решение:

Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:

Найдем корень и подставим его в неравенство:

Получили неверное неравенство, значит, найденный корень не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

Пример 3 – решить уравнение:

Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:

Найдем корень и подставим его в неравенство:

Очевидно, что только первый корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

Итак, мы приступили к изучению важной темы – решение логарифмических уравнений. Мы рассмотрели методику решения простейших уравнений и несколько примеров ее применения. Далее мы перейдем к изучению более сложных логарифмических уравнений.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Reshit.ru (Источник).
2. Egesdam.ru (Источник).
3. Math.md (Источник).

Домашнее задание

1. Решить уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) ;

2. Решить уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

3. Решить уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

interneturok.ru

Логарифмические уравнения в задаче C1

18 февраля 2014

В этом видеоуроке мы рассмотрим решение довольно серьезного логарифмического уравнения, в котором не просто требуется найти корни, но и отобрать те из них, которые лежат на заданном отрезке.

Задача C1. Решите уравнение. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.

Замечание по поводу логарифмический уравнений

Перед тем как переходить непосредственно к уравнению, хочу поделиться небольшой исторической справкой. Дело в том, что ЕГЭ по математике в том виде, котором нам предстоит его сдавать, существует в России уже не первый год. И то уравнение, которое вы сейчас видите на своих экранах, появилось в контрольно-измерительных материалах уже давно.

Однако из года в год ко мне приходят ученики которые пытаются решать вот такие, прямо скажем, непростые уравнения, но при этом не могут понять: с чего им вообще начинать и как подступиться к логарифмам? Такая проблема может возникнуть даже у сильных, хорошо подготовленных учеников.

В результате многие начинают опасаться этой темы, а то и вовсе считать себя тупыми. Так вот, запомните: если у вас не получается решить такое уравнение, это совершенно не значит, что вы — тупые. Потому что, например, вот с таким уравнением вы справитесь практически устно:

log₂x = 4

А если это не так, вы сейчас не читали бы этот текст, поскольку были заняты более простыми и приземленными задачами. Конечно, кто-то сейчас возразит: «А какое отношение это простейшее уравнение имеет к нашей здоровой конструкции?» Отвечаю: любое логарифмическое уравнение, каким бы сложным оно ни было, в итоге сводится вот к таким простейшим, устно решаемым конструкциям.

Разумеется, переходить от сложных логарифмических уравнений к более простым нужно не с помощью подбора или танцев с бубном, а по четким, давно определенным правилам, которые так и называются — правила преобразования логарифмических выражений. Зная их, вы без труда разберетесь даже с самыми навороченными уравнениями в ЕГЭ по математике.

И именно об этих правилах мы будем говорить в сегодняшнем уроке. Поехали!

Решение логарифмического уравнения в задаче C1

Итак, решаем уравнение:

В первую очередь, когда речь заходит о логарифмических уравнениях, вспоминаем основную тактику — если можно выразиться, основное правило решения логарифмических уравнений. Заключается оно в следующем:

Теорема о канонической форме. Любое логарифмическое уравнение, что бы в него не входило, какие бы логарифмы, по какому бы основанию, и что бы в себе не cодержали, обязательно нужно привести к уравнению вида:

log_af (x) = log_ag(x)

Если мы посмотрим на наше уравнение, то заметим сразу две проблемы:

1. Слева у нас стоит сумма двух чисел, одно из которых вообще не является логарифмом.
2. Справа стоит вполне себе логарифм, однако в его основании стоит корень. А у логарифма слева — просто 2, т.е. основания логарифмов слева и справа различаются.

Итак, мы составили этакий список проблем, которые отделяют наше уравнение от того канонического уравнения, к которому нужно привести любое логарифмическое уравнение в процессе решения. Таким образом, решение нашего уравнения на данном этапе сводится к тому, чтобы устранить описанные выше две проблемы.

Любое логарифмическое уравнение решается быстро и легко, если свести его к канонической форме.

Сумма логарифмов и логарифм произведения

Давайте действовать по порядку. Сначала разберемся с конструкцией, которая стоит слева. Что мы можем сказать про сумму двух логарифмов? Давайте вспомним замечательную формулу:

log_af (x) + log_ag(x) = log_af (x) · g(x)

Но стоить учесть, что в нашем случае первое слагаемо вообще не является логарифмом. Значит, нужно представить единицу в виде логарифма по основанию 2 (именно 2, потому что слева стоит логарифм по основанию 2). Как это сделать? Опять вспоминаем замечательную формулу:

a = log_bb^a

Здесь нужно понимать: когда мы говорим «Любое основание b», то подразумеваем, что b все-таки не может быть произвольным числом. Если мы вставляем какое-то число в логарифм, на него сразу накладываются определенные ограничения, а именно: основание логарифма должно быть больше 0 и не должно быть равно 1. Иначе логарифм просто не имеет смысла. Запишем это:

0 < b ≠ 1

Давайте посмотрим, что происходит в нашем случае:

1 = log₂ 2¹ = log₂ 2

Теперь перепишем все наше уравнение с учетом этого факта. И сразу же применяем другое правило: сумма логарифмов равна логарифму произведения аргументов. В итоге получим:

Мы получили новое уравнение. Как видим, оно уже гораздо ближе к тому каноническому равнению, к которому мы стремимся. Но есть одна проблема, мы записали ее в виде второго пункта: у наших логарифмов, которые стоят слева и справа, разные основания. Переходим к следующему шагу.

Правила вынесения степеней из логарифма

Итак у логарифма, который стоит слева, основание просто 2, а у логарифма, который стоит справа, в основании присутствует корень. Но и это не является проблемой, если вспомнить, что из оснований из аргументов логарифма можно выносить в степень. Давайте запишем одно из этих правил:

log_abⁿ = n · log_ab

Переведя на человеческий язык: можно выносить степень из основания логарифма и ставить ее спереди в качестве множителя. Число n «мигрировало» из логарифма наружу и стало коэффициентом спереди.

С тем же успехом мы можем вынести степень из основания логарифма. Выглядеть это будет так:

Другими словами, если вынести степень из аргумента логарифма, эта степень также пишется в качестве множителя перед логарифмом, но уже не в виде числа, а в виде обратного числа 1/k.

Однако и это еще не все! Мы можем объединить две данные формулы и почить следующую формулу:

Когда степень стоит и в основании, и в аргументе логарифма, мы можем сэкономить время и упростить вычисления, если сразу же вынести степени и из основания, и из аргумента. При этом то, что стояло в аргументе (в нашем случае это коэффициент n), окажется в числителе. А то, что было степенью у основания, a^k, отправится в знаменатель.

И именно эти формулы мы сейчас будем применять для того, чтобы свести наши логарифмы к одному и тому же основанию.

Вынесение степени из основания логарифма

Прежде всего, выберем более-менее красивое основание. Очевидно, что с двойкой в основании намного приятней работать, чем с корнем. Таким образом, давайте попробуем привести второй логарифм к основанию 2. Давайте выпишем этот логарифм отдельно:

Что мы можем здесь сделать? Вспомним формулу степени с рациональным показателем. Другими словами, мы можем записать в корни в качестве степени с рациональным показателем. А затем выносим степень 1/2 и из аргумента, и из основания логарифма. Сокращаем двойки в коэффициентах в числителе и знаменателе, стоящих перед логарифмом:

Наконец, перепишем исходное уравнение с учетом новых коэффициентов:

log₂ 2(9x² + 5) = log₂ (8x⁴ + 14)

Мы получили каноническое логарифмическое уравнение. И слева, и справа у нас стоит логарифм по одному и тому же основанию 2. Помимо этих логарифмов никаких коэффициентов, никаких слагаемых ни слева, ни справа нет.

Следственно, мы можем избавиться от знака логарифма. Разумеется, с учетом области определения. Но прежде, чем это сделать, давайте вернемся назад и сделаем небольшое уточнение по поводу дробей.

Деление дроби на дробь: дополнительные соображения

Далеко не всем ученикам понятно, откуда берутся и куда деваются множители перед правым логарифмом. Запишем еще раз:

Давайте разберемся, что такое дробь. Запишем:

А теперь вспоминаем правило деления дробей: чтобы разделить на 1/2 нужно умножить на перевернутую дробь:

Разумеется, для удобства дальнейших вычислений мы можем записать двойку как 2/1 — и именно это мы наблюдаем в качестве второго коэффициента в процессе решения.

Надеюсь, теперь всем понятно, откуда берется второй коэффициент, поэтому переходим непосредственно к решению нашего канонического логарифмического уравнения.

Избавление от знака логарифма

Напоминаю, что сейчас мы можем избавиться от логарифмов и оставить следующее выражение:

2(9x² + 5) = 8x⁴ + 14

Давайте раскроем скобки слева. Получим:

18x² + 10 = 8x⁴ + 14

Перенесем все из левой части в правую:

8x⁴ + 14 − 18x² − 10 = 0

Приведем подобные и получим:

8x⁴ − 18x² + 4 = 0

Можем разделить обе части этого уравнения на 2, чтобы упростить коэффициенты, и получим:

4x⁴ − 9x² + 2 = 0

Перед нами обычное биквадратное уравнение, и его корни легко считаются через дискриминант. Итак, запишем дискриминант:

D = 81 − 4 · 4 · 2 = 81 − 32 = 49

Прекрасно, Дискриминант «красивый», корень из него равен 7. Все, считаем сами иксы. Но в данном случае корни получатся не x, а x², потому что у нас биквадратное уравнение. Итак, наши варианты:

Обратите внимание: мы извлекали корни, поэтому ответов будет два, т.к. квадрат — функция четная. И если мы напишем лишь корень из двух, то второй корень мы просто потеряем.

Теперь расписываем второй корень нашего биквадратного уравнения:

Опять же, мы извлекаем арифметический квадратный корень из обеих частей нашего уравнения и получаем два корня. Однако помните:

Недостаточно просто приравнять аргументы логарифмов в канонической форме. Помните об области определения!

Итого мы получили четыре корня. Все они действительно являются решениями нашего исходного уравнения. Взгляните: в нашем исходном логарифмическом уравнении внутри логарифмов стоит либо 9x² + 5 (эта функция всегда положительна), либо 8x⁴ + 14 — она тоже всегда положительна. Следовательно, область определения логарифмов выполняется в любом случае, какой бы корень мы не получили, а это значит, что все четыре корня являются решениями нашего уравнения.

Прекрасно, теперь переходим ко второй части задачи.

Отбор корней логарифмического уравнения на отрезке

Отбираем из наших четырех корней те, которые лежат на отрезке [−1; 8/9]. Возвращаемся к нашим корням, и сейчас будем выполнять их отбор. Для начала предлагаю начертить координатную ось и отметить на ней концы отрезка:

Обе точки будут закрашенные. Т.е. по условию задачи нас интересует заштрихованный отрезок. Теперь давайте разбираться с корнями.

Иррациональные корни

Начнем с иррациональных корней. Заметим, что 8/9 < 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Из этого следует, что корень из двух не попадает в интересующий нас отрезок. Аналогично мы получим и с отрицательным корнем: он меньше, чем −1, т. е. лежит левее интересующего нас отрезка.

Рациональные корни

Остается два корня: x = 1/2 и x = −1/2. Давайте заметим, что левый конец отрезка (−1) — отрицательный, а правый (8/9) — положительный. Следовательно, где-то между этими концами лежит число 0. Корень x = −1/2 будет находиться между −1 и 0, т.е. попадет в окончательный ответ. Аналогично поступаем с корнем x = 1/2. Этот корень также лежит на рассматриваемом отрезке.

Убедиться, что число 8/9 больше, чем 1/2, можно очень просто. Давайте вычтем эти числа друг из друга:

Получили дробь 7/18 > 0, а это по определению означает, что 8/9 > 1/2.

Давайте отметим подходящие корни на оси координат:

Окончательным ответом будут два корня: 1/2 и −1/2.

Сравнение иррациональный чисел: универсальный алгоритм

В заключении хотел бы еще раз вернуться к иррациональным числам. На их примере мы сейчас посмотрим, как сравнивать рациональные и иррациональные величины в математике. Для начала по между ними вот такую галочку V — знак «больше» или «меньше», но мы пока не знаем, в какую сторону он направлен. Запишем:

Зачем вообще нужны какие-то алгоритмы сравнения? Дело в том, что в данной задаче нам очень повезло: в процессе решения возникло разделяющее число 1, про которое мы точно можем сказать:

Однако далеко не всегда вы с ходу увидите такое число. Поэтому давайте попробуем сравнить наши числа «в лоб», напрямую.

Как это делается? Делаем то же самое, что и с обычными неравенствами:

1. Сначала, если бы у нас где-то были отрицательные коэффициенты, то мы умножили бы обе части неравенства на −1. Разумеется, поменяв при этом знак. Вот такая галочка V изменилась бы на такую — Λ.
2. Но в нашем случае обе стороны уже положительны, поэтому ничего менять не надо. Что действительно нужно, так это возвести обе части в квадрат, чтобы избавится от радикала.

Если при сравнении иррациональных чисел не удается с ходу подобрать разделяющий элемент, рекомендую выполнять такое сравнение «в лоб» — расписывая как обычное неравенство.

При решении это оформляется вот таким образом:

Теперь это все легко сравнивается. Дело в том, что 64/81 < 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Все, мы получили строгое доказательство, что все числа отмечены на числовой прямой х правильно и именно в той последовательности, в которой они должны быть на самом деле. Вот к такому решению никто не придерется, поэтому запомните: если вы сразу не видите разделяющее число (в нашем случае это 1), то смело выписывайте приведенную выше конструкцию, умножайте, возводите в квадрат — и в итоге вы получите красивое неравенство. Из этого неравенства точно будет понятно, какое число больше, а какое — меньше.

Возвращаясь к нашей задаче, хотелось бы еще раз обратить ваше внимание на то, что мы делали в самом начале при решении нашего уравнения. А именно: мы внимательно посмотрели на наше исходное логарифмическое уравнение и попытались свести его к каноническому логарифмическому уравнению. Где слева и справа стоят только логарифмы — без всяких дополнительных слагаемых, коэффициентов спереди и т. д. Нам нужны не два логарифма по основанию a или b, именно логарифм, равный другому логарифму.

Кроме того, основания логарифмов также должны быть равны. При этом если уравнение составлено грамотно, то с помощью элементарных логарифмических преобразований (сумма логарифмов, преобразование числа в логарифм и т.д.) мы сведем это уравнение именно к каноническому.

Поэтому впредь, когда вы видите логарифмическое равнение, которое не решается сразу «в лоб», не стоит теряться или пробовать подобрать ответ. Достаточно выполнить следующие шаги:

1. Привести все свободные элементы к логарифму;
2. Затем эти логарифмы сложить;
3. В полученной конструкции все логарифмы привести к одному и тому же основанию.

В результате вы получите простое уравнение, которое решается элементарными средствами алгебры из материалов 8—9 класса. В общем, заходите на мой сайт, тренируйтесь решать логарифмы, решайте логарифмические уравнения как я, решайте их лучше меня. А у меня на этом все. С Вами был Павел Бердов. До новых встреч!

Смотрите также:

1. Задача C1: логарифмы и тригонометрия в одном уравнении
2. Задача C1: еще одно показательное уравнение
3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №8
4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 3 (без логарифмов)
5. Что такое метод коэффициентов в ЕГЭ по математике?
6. Изюм и виноград (смеси и сплавы)

www.berdov.com

Логарифмические уравнения

   Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях «Тригонометрические уравнения», «Решение рациональных уравнений». В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.

Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение  в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.

Определение: 

Логарифмом числа a  по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

Основное логарифмическое тождество:

Например:

 log₃9 = 2, так как  3² = 9

Свойства логарифмов:

Частные случаи логарифмов:

Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.

Найдите корень уравнения:  log₃(4–x) = 4

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как  log_ba = x   b^x = a,  то

3⁴ = 4 – x

x = 4 – 81

x =  – 77

Проверка:

log₃(4–(–77)) = 4

log₃81 = 4

3⁴ = 81  Верно.

Ответ: – 77

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения:  log₂ (4 – x) = 7

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения log₅ (4 + x) = 2

Используем основное логарифмическое тождество.

Так как   log_ab = x       b^x = a,   то

5² = 4 + x

x =5² – 4

x = 21

Проверка:

log₅(4 + 21) = 2

log₅25 = 2

5² = 25 Верно.

Ответ: 21

Найдите корень уравнения  log₃(14 – x) = log₃5.

Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.

 Если    log_ca = log_cb,   то  a = b

14 – x = 5

x = 9

Сделайте проверку.

Ответ: 9

Решите самостоятельно:

Найдите корень уравнения  log₅(5 – x) = log₅3.

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения: log₄(x + 3) = log₄(4x – 15).

Если   log_ca = log_cb,   то  a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Сделайте проверку.

Ответ: 6

Найдите корень уравнения   log_1/8(13 – x) = – 2.

(1/8)^–2 = 13 – x

8² = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Сделайте проверку.

Небольшое дополнение – здесь используется свойство

степени (отрицательная степень дроби).

Ответ: – 51

Решите самостоятельно: 

Найдите корень уравнения:  log_1/7(7 – x) = – 2

Посмотреть решение 

Найдите корень уравнения  log₂ (4 – x) = 2 log₂ 5.

Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:

log_ab^m = m∙log_ab

log₂(4 – x) = log₂5²

Если    log_ca = log_cb,   то  a = b

4 – x = 5²

4 – x = 25

x = – 21