Рубрика: Школьная жизнь

Коэффициент жизненности Покровского:

Коэффициент миграции:

Коэффициент интенсивности миграционного оборота:

Коэффициент эффективности миграции:

Коэффициент общего прироста населения:

Определяем перспективную численность населения через три года:

12.6. Таблицы смертности и средней продолжительности жизни

Для анализа перспективной численности населения и средней продолжительности жизни используют таблицы смертности.

Таблица смертности представляет собой систему связанных друг с другом показателей, зависящих от уровня смертности, отнесенных к различным возрастам (табл. 12.1). На основе таблицы смертности рассчитывают среднюю ожидаемую продолжительность предстоящей жизни для отдельных возрастных групп.

Таблица 12.1

Макет таблицы смертности

Начальными данными всех остальных показателей таблицы смертности является вероятность смерти в течение года для лиц, достигших возраста х лет. Таблица смертности строится для одного поколения, т.е. для родившихся в одном году. Численность поколения условно принимается равной 10000 или 100000 человек.

Для расчета частных показателей перспективной численности населения (например, по отдельным возрастным группам) дополнительно к общим показателям привлекаются данные о численности и возрастной структуре населения на начало планируемого периода, данные о коэффициентах дожития, рассчитанных на основе таблиц смертности (дожития), данные о возрастных коэффициентах рождаемости для женщин в возрасте 15‑49 лет и др.

Для перспективных расчетов численности населения и численности отдельных возрастных групп применяется метод передвижки по возрастам. Данный метод заключается в том, что зарегистрированная по переписи определенная численность людей каждого возраста х лет умножается на соответствующий коэффициент дожития , в результате чего определяется численность населения возраста (х+1) лет.

Коэффициент дожития или коэффициент передвижки определяется путем сравнения числа живущих в двух смежных возрастных группах (х) и (х+1) лет:

Число живущих в возрасте х лет рассчитывается по формуле:

Рассмотрим на условном примере методику расчета таблицы смертности.

Пример. Имеются данные о возрастных коэффициентах смертности:

Условное поколение принимаем в 10000 человек. Предстоящее число человеко-лет для данного поколения 660000.

На основе возрастных коэффициентов смертности можно определить:

= 0,024, = 0,004,= 0,003 и т.д.

= 1 – = 0,976;= 1 –= 0,996;= 1 –= 0,997 и т.д.

Определив вероятность дожития до возраста х (), рассчитаем число доживающих до возрастах ():

= 10000 по условию;

= ·= 10000 · 0,976 = 9760;

= ·= 9760 · 0,996 = 9721;

= ·= 9721 · 0,997 = 9692 и т.д.

Число живущих в возрасте х лет () представляет собой среднюю величину из числа доживающих до возраста х и до возраста х+1, следовательно:

Определим число предстоящих человеко-лет жизни для разных возрастов:

= 660000 по условию;

= = 660000 – 9880 = 650120;

= –= 650120 – 9740,5 = 640379,5;

= – = 640379,5 – 9706,5 = 630673 и т.д.

Средняя продолжительность предстоящей жизни населения определяется как Тх /lх. Следовательно:

Полученные данные можно представить в виде следующей таблицы смертности (табл. 12.2).

Таблица 12.2

Контрольные вопросы

1. Дайте определение населения.

2. Перечислите основные задачи статистики населения.

3. Какие методы статистики используются при изучении населения?

4. Как определяется постоянное население?

5. Охарактеризуйте способы исчисления средней численности населения.

6. Перечислите показатели естественного движения населения.

7. Каким образом определяются коэффициенты брачности и разводимости?

8. Дайте определение механического движения населения.

9. Как определяются коэффициенты прибытия и выбытия?

10. На основе каких данных определяется общий прирост населения?

11. По какой формуле вычисляется перспективная численность населения?

12. Для чего используется таблица смертности и средней продолжительности жизни?

Задачи и упражнения

Задача 1

Имеются следующие показатели по сельскому району за год:

• численность населения на начало года: 12836 чел.;

• численность населения на конец года: 13154 чел.;

• число родившихся: 834 чел.;

• число умерших: 789 чел.

На основе этих данных определите коэффициенты:

1. рождаемости;

2. смертности;

3. естественного прироста населения;

4. жизненности Покровского.

Задача 2

Имеются следующие данные по области:

• численность населения на начало года: 3296 тыс. чел.;

• число родившихся: 1345 чел.;

• число умерших: 1413 чел.;

• прибыло на постоянное жительство: 756 чел.;

• убыло в другие регионы: 872 чел.

На основе имеющейся информации определите:

1. среднегодовую численность населения;

2. коэффициент естественного прироста населения;

3. коэффициент прибытия;

4. коэффициент выбытия;

5. коэффициент миграции;

6. коэффициент интенсивности миграционного оборота;

7. коэффициент эффективности миграции;

8. коэффициент общего прироста населения;

9. перспективную численность населения через четыре года.

Задача 3

В 2008 г. население города в среднем составляло 64500 чел. В течение года родилось 612 чел., умерло 674 чел. В составе населения женщины в возрасте 15-49 лет составляли 32%.

Определить:

1. общий коэффициент рождаемости;

2. общий коэффициент смертности;

3. специальный коэффициент рождаемости;

4. коэффициент естественного прироста населения;

5. коэффициент жизненности.

Задача 4

Число живущих в возрасте 35 лет – 9346 человек. Число доживающих до 35 лет – 9416 человек. Определите число умирающих в возрасте 35 лет.

Задача 5

По имеющимся данным заполнить таблицу смертности:

studfiles.net

Коэффициент жизненности Покровского:

Коэффициент миграции:

Коэффициент интенсивности миграционного оборота:

Коэффициент эффективности миграции:

Коэффициент общего прироста населения:

Определяем перспективную численность населения через три года:

12.6. Таблицы смертности и средней продолжительности жизни

Для анализа перспективной численности населения и средней продолжительности жизни используют таблицы смертности.

Таблица смертности представляет собой систему связанных друг с другом показателей, зависящих от уровня смертности, отнесенных к различным возрастам (табл. 12.1). На основе таблицы смертности рассчитывают среднюю ожидаемую продолжительность предстоящей жизни для отдельных возрастных групп.

Таблица 12.1

Макет таблицы смертности

Начальными данными всех остальных показателей таблицы смертности является вероятность смерти в течение года для лиц, достигших возраста х лет. Таблица смертности строится для одного поколения, т.е. для родившихся в одном году. Численность поколения условно принимается равной 10000 или 100000 человек.

Для расчета частных показателей перспективной численности населения (например, по отдельным возрастным группам) дополнительно к общим показателям привлекаются данные о численности и возрастной структуре населения на начало планируемого периода, данные о коэффициентах дожития, рассчитанных на основе таблиц смертности (дожития), данные о возрастных коэффициентах рождаемости для женщин в возрасте 15‑49 лет и др.

Для перспективных расчетов численности населения и численности отдельных возрастных групп применяется метод передвижки по возрастам. Данный метод заключается в том, что зарегистрированная по переписи определенная численность людей каждого возраста х лет умножается на соответствующий коэффициент дожития , в результате чего определяется численность населения возраста (х+1) лет.

Коэффициент дожития или коэффициент передвижки определяется путем сравнения числа живущих в двух смежных возрастных группах (х) и (х+1) лет:

Число живущих в возрасте х лет рассчитывается по формуле:

Рассмотрим на условном примере методику расчета таблицы смертности.

Пример. Имеются данные о возрастных коэффициентах смертности:

Условное поколение принимаем в 10000 человек. Предстоящее число человеко-лет для данного поколения 660000.

На основе возрастных коэффициентов смертности можно определить:

= 0,024, = 0,004,= 0,003 и т.д.

= 1 – = 0,976;= 1 –= 0,996;= 1 –= 0,997 и т.д.

Определив вероятность дожития до возраста х (), рассчитаем число доживающих до возрастах ():

= 10000 по условию;

= ·= 10000 · 0,976 = 9760;

= ·= 9760 · 0,996 = 9721;

= ·= 9721 · 0,997 = 9692 и т.д.

Число живущих в возрасте х лет () представляет собой среднюю величину из числа доживающих до возраста х и до возраста х+1, следовательно:

Определим число предстоящих человеко-лет жизни для разных возрастов:

= 660000 по условию;

= = 660000 – 9880 = 650120;

= –= 650120 – 9740,5 = 640379,5;

= – = 640379,5 – 9706,5 = 630673 и т.д.

Средняя продолжительность предстоящей жизни населения определяется как Тх /lх. Следовательно:

Полученные данные можно представить в виде следующей таблицы смертности (табл. 12.2).

Таблица 12.2

Контрольные вопросы

1. Дайте определение населения.

2. Перечислите основные задачи статистики населения.

3. Какие методы статистики используются при изучении населения?

4. Как определяется постоянное население?

5. Охарактеризуйте способы исчисления средней численности населения.

6. Перечислите показатели естественного движения населения.

7. Каким образом определяются коэффициенты брачности и разводимости?

8. Дайте определение механического движения населения.

9. Как определяются коэффициенты прибытия и выбытия?

10. На основе каких данных определяется общий прирост населения?

11. По какой формуле вычисляется перспективная численность населения?

12. Для чего используется таблица смертности и средней продолжительности жизни?

Задачи и упражнения

Задача 1

Имеются следующие показатели по сельскому району за год:

• численность населения на начало года: 12836 чел.;

• численность населения на конец года: 13154 чел.;

• число родившихся: 834 чел.;

• число умерших: 789 чел.

На основе этих данных определите коэффициенты:

1. рождаемости;

2. смертности;

3. естественного прироста населения;

4. жизненности Покровского.

Задача 2

Имеются следующие данные по области:

• численность населения на начало года: 3296 тыс. чел.;

• число родившихся: 1345 чел.;

• число умерших: 1413 чел.;

• прибыло на постоянное жительство: 756 чел.;

• убыло в другие регионы: 872 чел.

На основе имеющейся информации определите:

1. среднегодовую численность населения;

2. коэффициент естественного прироста населения;

3. коэффициент прибытия;

4. коэффициент выбытия;

5. коэффициент миграции;

6. коэффициент интенсивности миграционного оборота;

7. коэффициент эффективности миграции;

8. коэффициент общего прироста населения;

9. перспективную численность населения через четыре года.

Задача 3

В 2008 г. население города в среднем составляло 64500 чел. В течение года родилось 612 чел., умерло 674 чел. В составе населения женщины в возрасте 15-49 лет составляли 32%.

Определить:

1. общий коэффициент рождаемости;

2. общий коэффициент смертности;

3. специальный коэффициент рождаемости;

4. коэффициент естественного прироста населения;

5. коэффициент жизненности.

Задача 4

Число живущих в возрасте 35 лет – 9346 человек. Число доживающих до 35 лет – 9416 человек. Определите число умирающих в возрасте 35 лет.

Задача 5

По имеющимся данным заполнить таблицу смертности:

studfiles.net

12.3. Естественное движение населения

Основными показателями, характеризующими естественное движение населения, являются показатели рождаемости, смертности, естественного прироста, плодовитости, жизненности, брачности и разводимости.

Показатели естественного движения обычно исчисляются за год в расчете на 1000 человек, в промилле (‰).

Формулы расчета показателей естественного движения населения.

Коэффициент рождаемости:

где N – число родившихся;

среднегодовая численность населения.

Коэффициент смертности:

где M – число умерших.

Коэффициент естественного прироста населения:

или

Коэффициент плодовитости:

где – среднегодовая численность женщин в возрасте от 15 до

49 лет.

Коэффициент детской смертности:

где – число детей, умерших до 1 года.

Показатель жизненности Покровского:

Большое значение имеет группировка населения по семейному состоянию. Для этих целей определяют коэффициенты брачности и разводимости.

Коэффициент брачности:

где количество заключенных браков за год.

 Коэффициент разводимости:

где количество расторгнутых браков за год.

12.4. Механическое движение населения

Численность населения как в целом по стране, так и по отдельным ее регионам меняется не только в результате его естественного движения, но и в результате механического движения.

Механическое движение населения – это изменение численности населения за счет миграции, т.е. перемещения отдельных лиц как внутри страны, так и за ее пределы.

В зависимости от географического направления различают миграцию внутреннюю и внешнюю.

Внутренняя миграция – перемещение населения внутри страны.

Внешняя миграция — перемещение населения из одной страны в другую.

Также выделяют маятниковую миграцию, т.е. перемещение населения из одного места в другое (обычно из сельской местности в город или наоборот) на кратковременной основе.

Основные показатели механического движения населения:

Коэффициент прибытия:

где П – число прибывших на данную территорию.

Коэффициент выбытия:

где В – число выбывших с данной территории.

Коэффициент миграции:

Коэффициент интенсивности миграционного оборота:

Коэффициент эффективности миграции:

На основе данных о естественном и миграционном приросте населения рассчитывают абсолютные и относительные показатели общего прироста населения.

Общий прирост населения:

S = += N – М + П – В ,

где = N – М — естественный прирост населения;

= П – В — миграционный прирост или сальдо миграции.

Коэффициент общего прироста населения:

12.5. Расчет перспективной численности населения

Одной из задач статистики населения является определение перспективной численности населения. Перспективная численность населения рассчитывается на основе данных о естественном и механическом приросте населения за определенный период и предположении о сохранении выявленной закономерности на прогнозируемый период. Применение данного метода прогноза не отличается особой точностью и применяется лишь тогда, когда показатели рождаемости, смертности и миграции за предыдущие годы достаточно стабильны.

Перспективная численность населения на определенную дату рассчитывается по формуле:

где перспективная численность населения черезn лет;

численность населения на начало периода;

число лет;

коэффициент общего прироста населения.

Рассмотрим на примере расчет показателей естественного и механического движения населения.

Пример. Имеются следующие данные по городу за год:

1. численность населения на начало года, чел. (): 487520;

2. среднегодовая численность женщин в возрасте 15–49 лет, чел. (: 138400.

3. число родившихся, чел. (N): 6540;

4. число умерших, чел. (М): 5743;

5. прибыло на постоянное жительство, чел. (П): 3540;

6. убыло в другие населенные пункты, чел. (В): 2911.

На основе этих данных определить показатели естественного и механического движения населения, а также перспективную численность населения через три года.

Решение.

Определяем численность населения города на конец года:

Рассчитываем среднюю численность населения:

Определяем коэффициент рождаемости:

Вычислим коэффициент смертности:

Коэффициент естественного прироста населения:

или

Коэффициент плодовитости:

studfiles.net

Задача №7. Расчёт коэффициентов естественного и механического движения населения

Численность населения региона характеризуется следующими данными, тыс. чел.:

1. На начало года:                                                                       

фактически проживало                                  1504,6

в том числе временно                                   7,3

временно отсутствовало                                      4,8

2. В течение года:                                                                        

родилось                                                                7,8

в том числе постоянного населения             7,6

умерло                                                                  10,2

в том числе постоянного населения           10,1

прибыло на постоянное место жительства       35,6

выбыло постоянного населения на постоянное место жительства в другие населённые пункты                                                                   18,6

Определите:

1)  численность наличного населения на конец года;

2) численность постоянного населения на начало и конец года;

3) для постоянного населения коэффициенты:

– рождаемости, смертности, естественного прироста;

– жизненности, оборота населения, экономичности воспроизводства;

– миграции, интенсивности миграционного оборота; эффективности миграции, общего прироста населения.

Решение:

1) Численность наличного населения на конец года найдём по балансовой схеме:

НН_К = НН_Н + N – M + прибыло на постоянное место жительство +

+ вернулось из числа временно отсутствующих –

– выбыло постоянного населения на постоянное жительство в другие населённые пункты

где

НН_Ки НН_Н – численность наличного населения на конец и начало года,

N и M – число родившихся и умерших у наличного населения в течение года.

НН_К = 1504,6 + 7,8 – 10,2 + 35,6 – 18,6 = 1519,2 тыс. чел..

2) Численность постоянного населения на начало года найдём по формуле:

ПН_Н = НН_Н – ВП_Н + ВО_Н,

где

ПН_Н, НН_Н, ВП_Н, ВО_Н– численность постоянного, наличного, временно проживающего и временно отсутствующего населения на начало года.

ПН_Н = 1504,6 – 7,3 + 4,8 = 1502,1 тыс. чел.

на конец года:

ПН_К = ПН_Н + N – M + П – В,

где

N и M – число родившихся и умерших у постоянного населения в течение года;

П и В – число постоянного населения прибывшего и выбывшего на постоянное жительство в течение года.

ПН_К = 1502,1 + 7,6 – 10,1 + 35,6 – 18,6 = 1516,6 тыс. чел.

3) Для расчёта коэффициентов естественного и механического прироста необходимо найти среднюю численность постоянного населения.

Имея данные о численности постоянного населения на начало и конец года, среднюю численность определим по формуле средней арифметической простой:

Коэффициент рождаемости рассчитывается по формуле:

Коэффициент смертности рассчитывается по формуле:

Коэффициент естественного прироста можно определить по формуле:

На каждую тысячу человек постоянного населения в течение года родилось 5 детей, умерло примерно 7 человек, естественная убыль составила приблизительно 2 человека.

Определим коэффициент жизненности (показатель Покровского), представляющий собой отношение числа родившихся к числу умерших (за год) по формуле:

Коэффициент оборота населения рассчитывается по формуле:

Число родившихся и умерших на 1000 человек населения в среднем за год равно 11,73.

Коэффициент экономичности воспроизводства показывает удельный вес естественного прироста в общем обороте населения.

Коэффициент экономичности воспроизводства населения равен:

Следовательно, в регионе доля естественной убыли в общем обороте населения составляет 14%.

Рассчитаем показатели механического движения (миграции) населения.

Механическое движение (миграция) населения – это прибытие в данный населённый пункт и выбытие из него.

Коэффициент прибытия определяется по формуле:

На каждую 1000 человек постоянного населения в среднем за год прибыло приблизительно 23 человека.

Коэффициент выбытия определяется по формуле:

Число выбывших на каждую 1000 человек населения в среднем за год составило примерно 12 человек.

Коэффициент миграции (механического прироста) рассчитаем двумя способами:

или

Приток населения на данную территорию составил 11 человек на каждую 1000 человек постоянного населения.

Коэффициент интенсивности миграционного оборота рассчитывается по формуле:

или

Коэффициент эффективности миграции рассчитывается по формуле:

Прибавив к коэффициенту естественного прироста коэффициент миграции, получим коэффициент общего прироста населения

что означает прирост на каждую 1000 человек.

ecson.ru

Презентация на тему: Коэффициент жизненности Покровского

Если КЖ>1, то наблюдается превышение родившихся над умершими.

Если КЖ<0,5, то ситуация характеризуется как «демографическая зима».

Коэффициент естественного оборота населения

КОБ N M1000

S

Показывает число родившихся и умерших на 1000 человек населения за год.

Коэффициент эффективности воспроизводства населения

КЭФ.ВОСПРN M 100

N M

Показывает долю естественного прироста в общем обороте населения.

•Коэффициент брачности

КБР БS 1000

•Коэффициент разводимости

КРАЗSР 1000

•Коэффициент соотношения браков и

разводов Б

КБР/ РАЗР 100

Ожидаемая

продолжительность жизни при рождении

число лет, которое в среднем предстояло бы прожить человеку из поколения родившихся при условии, что на протяжении всей жизни этого поколения половозрастная смертность останется на уровне того года, для которого исчислен показатель.

Брутто-коэффициентвоспроизводства населения

49

КБРУТТОКПЛdДЕВ

15

где КПЛ – коэффициент фертильности (женщин в возрасте от 15 до 49 лет) при отсутствии смертности женщин;

dДЕВ – доля девочек, рожденных живыми.

Нетто-коэффициентвоспроизводства населения

49

КНЕТТОКПЛdДЕВ/ Р15

где dДЕВ/Р – доля девочек, рожденных живыми и доживших до возраста матери, в котором она ее родила.

Коэффициент младенческой смертности

где М0(М1) – число умерших детей в возрасте до одного года в предыдущем (текущем) году;

N0(N1) – число родившихся детей в предыдущем (текущем) году.

studfiles.net

Задача №5. Расчёт показателей воспроизводства населения

Численность населения в городе на 01.01.2001 г. составляла 693 540 человек.

В течение года

родилось 9 650 тыс. человек.,

а умерло 7 520 человек.

Сальдо миграции за этот период равнялось нулю.

Определите:

1) численность населения на конец года;

2) среднегодовую численность населения;

3) абсолютный естественный прирост населения за год;

4) коэффициент естественного прироста,

5) коэффициент общей рождаемости,

6) коэффициент общей смертности,

7) коэффициент жизненности населения.

Решение:

1) Численность населения на конец года рассчитывается по формуле:

S_К = S_Н + Δ_ест. + Δ_мех. = S_Н + (N – M) + (П – В)

S_К – численность населения на конец года,

S_Н – численность населения на начало года,

Δ_ест. – сальдо естественного прироста,

Δ_мех. — сальдо миграции (механического прироста),

N – число родившихся,

M – число умерших,

П – число прибывших,

В – число выбывших.

S_К = 693 540 + (9 650 – 7 520) + 0 = 695 670

2) Так как имеются данные о численности населения на начало и конец года, среднегодовая численность населения определяется по формуле средней арифметической простой:

3) Абсолютный естественный прирост населения за год равен:

Δ_ест. = N – M = 9 650 – 7 520 = 2 130

4) Коэффициент естественного прироста определяется по формуле:

5) Коэффициент общей рождаемости рассчитывается по формуле:

6) Коэффициент общей смертности рассчитывается по формуле:

Коэффициент естественного прироста можно определить также по формуле:

На каждую тысячу человек в течение года родилось 14 детей, умерло 11 человек, естественный прирост составил 3 человека.

7) Определим коэффициент жизненности по формуле:

ecson.ru

Задача №24. Расчёт численности населения, абсолютных и относительных показателей

По региону известны следующие данные за 2002 г.:

Коэффициент общего прироста населения, ‰– 6;

Коэффициент естественного прироста населения, ‰– 4;

Коэффициент жизненности – 1,5;

Среднегодовая численность населения – 580 тыс. чел.;

Среднегодовой абсолютный прирост численности населения за предыдущие годы – 3,2 тыс. чел.

Определите:

1. численность населения на начало и конец 2002 г.;

2. абсолютный естественный и миграционный прирост численности населения;

3. коэффициент миграционного прироста;

4. число родившихся,

5. число умерших;

6. ожидаемую численность населения региона на 01.01.2012 г.

Решение:

Коэффициент общего прироста населения рассчитывается по формуле:

К_общ = К_{N – M} + К_{П – В}

где

К_{N – M} – коэффициент естественного прироста,

К_{П – В} – коэффициент миграции (механического прироста)

Отсюда коэффициент миграционного прироста равен:

К_{П – В} = К_общ – К_{N – M} = 6 – 4 = 2‰.

Коэффициент жизненности (показатель Покровского), представляет собой отношение числа родившихся N к числу умерших (за год) M и рассчитывается по формуле:

Отсюда

N = M × 1,5.

Коэффициент естественного прироста можно рассчитать по формуле:

По условию задания

К_{N – M} = 4‰,

Тогда

Отсюда число умерших равно:

М = 4 640 чел.

Тогда число родившихся:

N = M × 1,5 = 6 960 чел.

Теперь определим абсолютный естественный прирост численности населения:

Δ_ест. = N – M = 6 960 – 4 640 = 2 320 чел.

Распишем формулу расчёта коэффициента миграции:

Отсюда абсолютный миграционный прирост численности населения равен:

Найдём численность населения на начало и конец 2002 г.

Распишем формулу для расчёта среднегодовой численности населения:

Отсюда

S_Н + S_К = 1 160 000

S_К = 1 160 000 – S_Н

Численность населения на конец года можно также рассчитать по формуле:

S_К = S_Н + Δ_ест. + Δ_мигр.

S_К – численность населения на конец года,

S_Н – численность населения на начало года,

Δ_ест. – сальдо естественного прироста,

Δ_мех. – сальдо миграции (механического прироста).

S_К = S_Н + 2 320 + 1 160

Решим уравнение:

1 160 000 – S_Н = S_Н + 2 320 + 1 160

S_Н = 578 260 чел.

Следовательно,

S_К = 1 160 000 – 578 260 = 581 740 чел.

Численность населения на начало и конец 2002 г. равны соответственно 578 260 чел. и 581 740 чел.

Найдём ожидаемую численность населения региона на 01.01.2012 г.

Предполагая, что средний абсолютный прирост будет неизменным на будущий период можно определить перспективную численность населения по формуле:

S_t – перспективная численность населения через t лет,

– среднегодовой абсолютный прирост численности населения за предыдущие годы.

ecson.ru

Перевод мер угла в градусной часовой системе

Перевод мер угла в градусной системе

Классическая запись меры угла в градусной системе выглядит следующим образом:

Эта запись обозначает, что мера угла содержит А градусов, В минут и С секунд.

Но иногда необходимо выразить меру угла только в секундах или только в градусах. Возможна и другая ситуация, когда мера угла задано либо в градусах, либо в секундах, а нам необходимо записать эту меру в классической форме. Далее мы покажем, как это делается.

Перевод меры угла из классического вида в секунды

Для того, чтобы перевести меру угла, записанного в классическом виде, в секундный необходимо:

· Количество градусов А умножить на 3600,

· Количество минут В’ умножить на 60,

· К количеству секунд С» прибавить ранее вычисленные значения.

В общем виде наши операции запишутся как:

Перевод меры угла из секундного вида в классический вид

Для перевода меры угла из секунд в классический вид, потребуется более сложный метод. Алгоритм (правила) перевода следующий:

Заданное число секунд S» делится на 3600 до целого числа. Этим самым мы вычисляем число градусов в мере угла S» / 3600 = A (до целого)

2. Умножаем полученное число градусов А на 3600 А1 = А * 3600

3. Из числа секунд S» вычитаем полученный результат умножения А1

S1″ = S» — A1

4. Полученную разность S1″ делим на 60 до целого, тем самым получаем число минут B’ в мере угла B’ = S1″ / 60 (до целого).

5. Умножаем полученное число минут В’ на 60 В1″ = В’ * 60

6. Вычитаем из числа S1″ число B1″ , и тем самым получаем число секунд С» в мере угла C» = S1″ — B1″

7. Записываем меру угла в классическом виде

ПРИМЕР:

Задана мера угла, равная 19936. Привести ее к классическому виду.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:

В классическом виде мера угла запишется как :

Перевод меры угла из классического вида в десятичный

Для перевода меры угла из классического вида в десятичный, проделаем следующие операции. Следует, однако, помнить, что при переводе меры угла в десятичный вид точность вычислений должна быть равна

1. Отделим градусную часть меры угла (А) от минутной (B’) и секундной (C»).

2. Преобразуем минутную часть меры угла (B’) в секунды, для чего умножим ее на 60.

3. Сложим секундную часть меры угла (C») с полученным произведением.

4. Разделим полученную сумму на 3600, тем самым получаем десятичную часть меры угла.

5. Объединяем градусную часть меры угла и десятичную, отделив их запятой.

ПРИМЕР:

Мера угла представлена в классическом виде как

РЕШЕНИЕ:

1. Отделим градусную часть меры угла А = 5;

4 Преобразуем минутную часть меры угла в секунды S1 = (B’) * 60 = 32 * 60 = 1920

3. Сложим полученный результат с секундной частью S2 = (C») + S1 = 16 + 1920 = 1932.

4. Разделим полученный результат на 3600 D = S2 / 3600 = 1932 / 3600 = 0,53666667

5. Объединим между собой градусную часть меры угла и частное от деления.

Перевод меры угла из десятичного вида в классический вид

В десятичном виде меру угла можно записать следующим образом:

A , aaaaaaaa Где

А – целая часть меры угла

аааааааа – дробная часть меры угла.

Для перевода меры угла из десятичного представления в классическое представление мы поступаем следующим образом:

1. Отделяем целую и дробную части меры угла. После этого у нас получится два числа:

А – количество градусов в мере угла;

0,аааааааа – дробная часть числа.

2. Умножим получившуюся дробную часть на 60

· Из получившегося числа отделим друг от друга целую и дробную части. После этого у нас получится два числа:

В (целая часть числа) представляет собой количество минут в мере угла

3. Умножим получившуюся дробную часть на 60

Получившееся число представляет собой количество секунд в мере угла

4 Объединив градусную, минутную и секундную части, мы получим классический вид записи меры угла.

ПРИМЕР:

Мера угла представлена в десятичном виде как

РЕШЕНИЕ:

1. Число градусов

2. Составим дробь следующего вида

3. Умножим эту дробь на 60

4. Число минут в мере угла

5. Составим дробь следующего вида

6. Умножив эту дробь на 60, получим число секунд

7. Объединив градусную, минутную и секундную части, мы получим классический вид записи меры угла.

ОТВЕТ:

Перевод мер угла в часовой системе

Классическая запись меры угла в часовой системе выглядит следующим образом:

Эта запись обозначает, что мера угла содержит А часов, В минут и С секунд.

Но иногда необходимо выразить меру угла только в секундах или только в часах. Возможна и другая ситуация, когда мера угла задано либо в часах, либо в секундах, а нам необходимо записать эту меру в классической форме. Далее мы покажем, как это делается.

Перевод меры угла из классического вида в секунды

Для того, чтобы перевести меру угла, записанного в классическом виде, в секундный необходимо:

· Количество часов А(h) умножить на 3600,

· Количество минут В(m) умножить на 60,

· К количеству секунд С(s) прибавить ранее вычисленные значения.

В общем виде наши операции запишутся как:

Перевод меры угла из секундного вида в классический вид

Для перевода меры угла из секунд в классический вид, потребуется более сложный метод. Алгоритм (правила) перевода следующий:

Заданное число секунд S делится на 3600 до целого числа. Этим самым мы вычисляем количество часов в мере угла S / 3600 = A(h) (до целого)

2. Умножаем полученное число часов А(h) на 3600 А1 = А(h) * 3600

3. Из числа секунд S вычитаем полученный результат умножения А1 S1 = S — A1

4. Полученную разность S1 делим на 60 до целого, тем самым получаем число минут B(m) в мере угла B(m) = S1 / 60 (до целого).

5. Умножаем полученное число минут В(m) на 60 В1 = В(m) * 60

6. Вычитаем из числа S1 число B1 , и тем самым получаем число секунд С(s) в мере угла C(s) = S1 — B1

8. Записываем меру угла в классическом виде

ПРИМЕР:

Задана мера угла, равная 19936. Привести ее к классическому виду.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:

В классическом виде мера угла запишется как :

Перевод меры угла из классического вида в десятичный

Для перевода меры угла из классического вида в десятичный, проделаем следующие операции. Следует, однако, помнить, что при переводе меры угла в десятичный вид точность вычислений должна быть равна

6. Отделим часовую часть меры угла (А(h)) от минутной (B(m)) и секундной (C(s)).

7. Преобразуем минутную часть меры угла (B(m)) в секунды, для чего умножим ее на 60.

8. Сложим секундную часть меры угла (C(s)) с полученным произведением.

9. Разделим полученную сумму на 3600, тем самым получаем десятичную часть меры угла.

10. Объединяем часовую часть меры угла и десятичную, отделив их запятой.

ПРИМЕР:

Мера угла представлена в классическом виде как

РЕШЕНИЕ:

2. Отделим часовую часть меры угла А(h) = 5;

mirznanii.com

Переход из часовой меры в градусную — Мегаобучалка

megaobuchalka.ru

Как перевести долготу во время? Академия фэншуй

academia-fengshui.ru

*часы **минуты **секунды в градусы? формула перевода?

часы в градусы? ? ?время в углы? вы не скажете, сколько сейчас времени в радианах?

Эм, ну ваши «часы» они и есть градусы, а минуты они и есть минуты, в одном градусе 60 минут. А в одной минуте 60 секунд.

В общем я понимаю что нужно вот что: a°b’c»=(a+b/60+c/3600)° Угадал?

24 часа = 360 угловых градусов (т. е. длина окружности полностью) . Тогда 1 час = 15 угловых градусов. 4 минуты (=1/15 часа) = 1 угловой градус. А 1 минута, соответственно = 15 угловых минут. С секундами точно также: 4 секунды времени = 1 угловая минута. 1 секунда времени = 15 угловых секунд.

Готовлюсь к ЗНО по географии, освежаю знания. Спасибо, а то забыл ))) 4 года прошло когда учили это.

touch.otvet.mail.ru

Перевод мер угла в градусной часовой системе

Классическая запись меры угла в градусной системе выглядит следующим образом: ,

Эта запись обозначает, что мера угла содержит А градусов, В минут и С секунд.

Но иногда необходимо выразить меру угла только в секундах или только в градусах. Возможна и другая ситуация, когда мера угла задано либо в градусах, либо в секундах, а нам необходимо записать эту меру в классической форме. Далее мы покажем, как это делается.

Перевод меры угла из классического вида в секунды

Возможно вы искали — Реферат: Передаточная функция дискретной системы

Для того, чтобы перевести меру угла, записанного в классическом виде, в секундный необходимо:

· Количество градусов А умножить на 3600,

· Количество минут В’ умножить на 60,

· К количеству секунд С» прибавить ранее вычисленные значения.

В общем виде наши операции запишутся как:

Похожий материал — Реферат: Переключательные функции одного и двух аргументов

Перевод меры угла из секундного вида в классический вид

Для перевода меры угла из секунд в классический вид, потребуется более сложный метод. Алгоритм (правила) перевода следующий:

Заданное число секунд S» делится на 3600 до целого числа. Этим самым мы вычисляем число градусов в мере угла S» / 3600 = A (до целого)

2. Умножаем полученное число градусов А на 3600 А1 = А * 3600

Очень интересно — Реферат: Пересечение кривых поверхностей

3. Из числа секунд S» вычитаем полученный результат умножения А1

S1″ = S» — A1

4. Полученную разность S1″ делим на 60 до целого, тем самым получаем число минут B’ в мере угла B’ = S1″ / 60 (до целого).

5. Умножаем полученное число минут В’ на 60 В1″ = В’ * 60

6. Вычитаем из числа S1″ число B1″ , и тем самым получаем число секунд С» в мере угла C» = S1″ — B1″

Вам будет интересно — Курсовая работа: Перетворення Фур’є. Спектри неперіодичних функцій

7. Записываем меру угла в классическом виде

ПРИМЕР:

Задана мера угла, равная 19936. Привести ее к классическому виду.

РЕШЕНИЕ:

Похожий материал — Реферат: Перпендикулярность геометрических элементов

ОТВЕТ:

В классическом виде мера угла запишется как :

Перевод меры угла из классического вида в десятичный

Для перевода меры угла из классического вида в десятичный, проделаем следующие операции. Следует, однако, помнить, что при переводе меры угла в десятичный вид точность вычислений должна быть равна

К-во Просмотров: 136

Бесплатно скачать Контрольная работа: Перевод мер угла в градусной часовой системе

cwetochki.ru

как определить градусную меру угла между часовой и минутной стрелкой . Время 17:00

(360/12)*5=150 градусов

150 градусов отметка каждого часа на часах это 30 градусов 360 делим на 12 и умножаем на 5

градусная мера между 6 и 12 часами равна 180 градусов, угол между 5 и 6 часами равен180/6=30 значит угол между минутной и часовой стрелкой в 5 часов равен 180-30=160 градусов

от 12 часов до 18часов — 180 градусов. шесть делений. по 30 градусов. 17 часов это пятое деление. 5 умножить на 30 =150

циферблат=360гр. делим на12 умножаем на 5 или на 7 получаем 150гр. (между минутной и часовой) или210гр. (между часовой и минутной)

touch.otvet.mail.ru

Перевод мер угла в градусной часовой системе

Перевод мер угла в градусной системе

Классическая запись меры угла в градусной системе выглядит следующим образом: ,

Эта запись обозначает, что мера угла содержит А градусов, В минут и С секунд.

Но иногда необходимо выразить меру угла только в секундах или только в градусах. Возможна и другая ситуация, когда мера угла задано либо в градусах, либо в секундах, а нам необходимо записать эту меру в классической форме. Далее мы покажем, как это делается.

Перевод меры угла из классического вида в секунды

Для того, чтобы перевести меру угла, записанного в классическом виде, в секундный необходимо:

· Количество градусов А умножить на 3600,

· Количество минут В’ умножить на 60,

· К количеству секунд С» прибавить ранее вычисленные значения.

В общем виде наши операции запишутся как:

Перевод меры угла из секундного вида в классический вид

Для перевода меры угла из секунд в классический вид, потребуется более сложный метод. Алгоритм (правила) перевода следующий:

Заданное число секунд S» делится на 3600 до целого числа. Этим самым мы вычисляем число градусов в мере угла S» / 3600 = A (до целого)

2. Умножаем полученное число градусов А на 3600 А1 = А * 3600

3. Из числа секунд S» вычитаем полученный результат умножения А1

S1″ = S» — A1

4. Полученную разность S1″ делим на 60 до целого, тем самым получаем число минут B’ в мере угла B’ = S1″ / 60 (до целого).

5. Умножаем полученное число минут В’ на 60 В1″ = В’ * 60

6. Вычитаем из числа S1″ число B1″ , и тем самым получаем число секунд С» в мере угла C» = S1″ — B1″

7. Записываем меру угла в классическом виде

ПРИМЕР:

Задана мера угла, равная 19936. Привести ее к классическому виду.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:

В классическом виде мера угла запишется как :

Перевод меры угла из классического вида в десятичный

Для перевода меры угла из классического вида в десятичный, проделаем следующие операции. Следует, однако, помнить, что при переводе меры угла в десятичный вид точность вычислений должна быть равна

1. Отделим градусную часть меры угла (А) от минутной (B’) и секундной (C»).

2. Преобразуем минутную часть меры угла (B’) в секунды, для чего умножим ее на 60.

3. Сложим секундную часть меры угла (C») с полученным произведением.

4. Разделим полученную сумму на 3600, тем самым получаем десятичную часть меры угла.

5. Объединяем градусную часть меры угла и десятичную, отделив их запятой.

ПРИМЕР:

Мера угла представлена в классическом виде как . Представить ее в десятичном виде.

РЕШЕНИЕ:

1. Отделим градусную часть меры угла А = 5;

4 Преобразуем минутную часть меры угла в секунды S1 = (B’) * 60 = 32 * 60 = 1920

3. Сложим полученный результат с секундной частью S2 = (C») + S1 = 16 + 1920 = 1932.

4. Разделим полученный результат на 3600 D = S2 / 3600 = 1932 / 3600 = 0,53666667

5. Объединим между собой градусную часть меры угла и частное от деления.

Перевод меры угла из десятичного вида в классический вид

В десятичном виде меру угла можно записать следующим образом:

A , aaaaaaaa Где

А – целая часть меры угла

аааааааа – дробная часть меры угла.

Для перевода меры угла из десятичного представления в классическое представление мы поступаем следующим образом:

1. Отделяем целую и дробную части меры угла. После этого у нас получится два числа:

А – количество градусов в мере угла;

0,аааааааа – дробная часть числа.

2. Умножим получившуюся дробную часть на 60

· Из получившегося числа отделим друг от друга целую и дробную части. После этого у нас получится два числа:

В (целая часть числа) представляет собой количество минут в мере угла 0, bbbbb – дробная часть числа

3. Умножим получившуюся дробную часть на 60

Получившееся число представляет собой количество секунд в мере угла

4 Объединив градусную, минутную и секундную части, мы получим классический вид записи меры угла.

ПРИМЕР:

Мера угла представлена в десятичном виде как . Представить ее в классическом виде.

РЕШЕНИЕ:

1. Число градусов равно целой части меры угла, то есть

2. Составим дробь следующего вида

3. Умножим эту дробь на 60

4. Число минут в мере угла равно целой части получившегося числа, то есть:

5. Составим дробь следующего вида

6. Умножив эту дробь на 60, получим число секунд в мере угла

7. Объединив градусную, минутную и секундную части, мы получим классический вид записи меры угла.

ОТВЕТ:

Перевод мер угла в часовой системе

Классическая запись меры угла в часовой системе выглядит следующим образом:,

Эта запись обозначает, что мера угла содержит А часов, В минут и С секунд.

Но иногда необходимо выразить меру угла только в секундах или только в часах. Возможна и другая ситуация, когда мера угла задано либо в часах, либо в секундах, а нам необходимо записать эту меру в классической форме. Далее мы покажем, как это делается.

Перевод меры угла из классического вида в секунды

Для того, чтобы перевести меру угла, записанного в классическом виде, в секундный необходимо:

· Количество часов А(h) умножить на 3600,

· Количество минут В(m) умножить на 60,

· К количеству секунд С(s) прибавить ранее вычисленные значения.

В общем виде наши операции запишутся как:

Перевод меры угла из секундного вида в классический вид

Для перевода меры угла из секунд в классический вид, потребуется более сложный метод. Алгоритм (правила) перевода следующий:

Заданное число секунд S делится на 3600 до целого числа. Этим самым мы вычисляем количество часов в мере угла S / 3600 = A(h) (до целого)

2. Умножаем полученное число часов А(h) на 3600 А1 = А(h) * 3600

3. Из числа секунд S вычитаем полученный результат умножения А1 S1 = S — A1

4. Полученную разность S1 делим на 60 до целого, тем самым получаем число минут B(m) в мере угла B(m) = S1 / 60 (до целого).

5. Умножаем полученное число минут В(m) на 60 В1 = В(m) * 60

6. Вычитаем из числа S1 число B1 , и тем самым получаем число секунд С(s) в мере угла C(s) = S1 — B1

8. Записываем меру угла в классическом виде

ПРИМЕР:

Задана мера угла, равная 19936. Привести ее к классическому виду.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:

В классическом виде мера угла запишется как :

Перевод меры угла из классического вида в десятичный

Для перевода меры угла из классического вида в десятичный, проделаем следующие операции. Следует, однако, помнить, что при переводе меры угла в десятичный вид точность вычислений должна быть равна

6. Отделим часовую часть меры угла (А(h)) от минутной (B(m)) и секундной (C(s)).

7. Преобразуем минутную часть меры угла (B(m)) в секунды, для чего умножим ее на 60.

8. Сложим секундную часть меры угла (C(s)) с полученным произведением.

9. Разделим полученную сумму на 3600, тем самым получаем десятичную часть меры угла.

10. Объединяем часовую часть меры угла и десятичную, отделив их запятой.

ПРИМЕР:

Мера угла представлена в классическом виде как . Представить ее в десятичном виде.

РЕШЕНИЕ:

2. Отделим часовую часть меры угла А(h) = 5;

4 Преобразуем минутную часть меры угла в секунды S1 = (B(m)) * 60 = 32 * 60 = 1920

4. Сложим полученный результат с секундной частью S2 = (C(s)) + S1 = 16 + 1920 = 1932.

5. Разделим полученный результат на 3600 D = S2 / 3600 = 1932 / 3600 = 0,53666667

6. Объединим между собой градусную часть меры угла и частное от деления.

Перевод меры угла из десятичного вида в классический вид

В десятичном виде меру угла можно записать следующим образом:

A , aaaaaaaa Где

А – целая часть меры угла

аааааааа – дробная часть меры угла.

Для перевода меры угла из десятичного представления в классическое представление мы поступаем следующим образом:

4. Отделяем целую и дробную части меры угла. После этого у нас получится два числа:

А – количество часов в мере угла;

0,аааааааа – дробная часть числа.

5. Умножим получившуюся дробную часть на 60

· Из получившегося числа отделим друг от друга целую и дробную части. После этого у нас получится два числа:

В (целая часть числа) представляет собой количество минут в мере угла 0, bbbbb – дробная часть числа

6. Умножим получившуюся дробную часть на 60

Получившееся число представляет собой количество секунд в мере угла

4 Объединив часовую, минутную и секундную части, мы получим классический вид записи меры угла.

ПРИМЕР:

Мера угла представлена в десятичном виде как . Представить ее в классическом виде.

РЕШЕНИЕ:

8. Число градусов равно целой части меры угла, то есть

9. Составим дробь следующего вида

10. Умножим эту дробь на 60

11. Число минут в мере угла равно целой части получившегося числа, то есть:

12. Составим дробь следующего вида

13. Умножив эту дробь на 60, получим число секунд в мере угла

14. Объединив градусную, минутную и секундную части, мы получим классический вид записи меры угла.

ОТВЕТ:

Соотношения между градусной и часовой системами счисления

Как мы договорились, за единицу измерения меры угла мы выбрали угол, величина которого равняется одному обороту () Но мы знаем, что угол, равный одному обороту , содержит 360 градусной системы счисления или 24(h) часовой системы счисления. Таким образом, мы можем записать следующее соотношение: Из этого соотношения легко вывести и соотношение между единицами мер угла разных систем счисления. Полученные результаты занесем в таблицы.

Таблица соотношений между единицами мер угла.

Градусная система Часовая система

1 градус 4m (минуты)

1 минута (1′) 4s (секунды)

1 секунда (1″) 1/15 s (секунды)

Часовая система Градусная система

1 час (1h) 15 градусов

1 минута (1m) 15 минут (15′)

1 секунда (1s) 15 секунд (15″)

botanim.ru

конвертация и копирование изображений из формата jpeg в docx

Текстовый редактор Microsoft Office Word является универсальной программой для создания документов, которая до сих пор остается самым востребованным пользователями приложением. Однако, устанавливая ее новые версии, они сталкиваются с изменениями в интерфейсе, которые в первое время могут несколько осложнить работу с редактором. Тем не менее сам он осваивается достаточно быстро. Это касается и функции прикрепления изображений формата jpg к Word 2010.

Как программа работает с рисунками?

Сразу стоит сказать, что редактор способен импортировать практически любые форматы изображений. Кроме jpg (jpeg), в документ можно вставить рисунки BMP, PNG, TIFF и др. В библиотеке Microsoft Office Word существуют разнообразные фигуры и рисунки для вставки. К тому же редактор располагает обширным контентом на своей официальной странице. Стоит упомянуть и об умении программы делать снимок содержимого экрана или его фрагмента, который в два движения мышью может оказаться в текстовом поле. Все эти возможности заключены в подразделе «Иллюстрации», расположенном в закладке «Вставка» ленты команд приложения.

Изображения jpeg и других форматов используются для иллюстрирования, однако часто возникает необходимость импортировать на страницу отсканированные или снятые иным способом текстовые страницы, сохраненные как рисунки. В некоторых случаях файлы изображения можно оставлять в редакторе без изменения (достаточно их должным образом разместить или обработать широким набором инструментов для создания эффектов), но чаще возникают ситуации, что им нужна конвертация в docx или doc. Нужно отметить, что конвертировать изображение в формат документа Word оказывается намного проще и быстрее, чем перепечатывать целую страницу.

Конвертирование рисунков

Конвертация jpeg силами самого Microsoft Word 2010 проведена быть не может, но в приложение можно интегрировать программу распознавания jpeg- и PDF-файлов. Лучшим из подобных пакетов является ABBYY FineReader, который после установки на компьютер может вызываться одним кликом по закладке в открытом документе Word.

После этого под лентой открывается меню, в котором пользователю предлагается преобразовать отсканированный документ, файл изображения или PDF. Для обработки jpeg нужно выбрать команду «Из файла» и задать параметры его сохранения, которые позволят либо отредактировать обработанный фрагмент, либо вставить его без изменений.

Если необходимо распознать текст из JPG и сохранить его в MS Office Word, помочь сможет программа ABBYY FineReader

Использовать ABBYY FineReader нужно, чтобы конвертировать изображения, сделанные по команде «Снимок». Если вы не собираетесь вносить изменение в скриншот, то можете оставить его на странице Word. Он будет вставлен в документ сразу под курсором. Для распознавания импортированное с помощью FineReader изображение нужно сохранить в папке на жестком диске или ином носителе. После конвертации jpg документ остается перенести в поле редактора.

Бесплатный контент для конвертирования изображений

Стоит отметить, что недостаток ABBYY FineReader заключается в платном статусе приложения.

Но для распознавания заключенных в формат рисунка текстовых документов можно использовать и бесплатно распространяющиеся программы.

Одна из них, STDU Viever, способна экспортировать изображения в текстовый файл, который можно перенести в поле редактирования Word 2010. Широкими возможностями по безошибочному распознаванию jpeg обладает и OpenOCR Cuneiform. Правда, эти приложения не интегрированы в Word, и для конвертации рисунков нужно выполнить чуть больше операций.

Как видите, разработчики Microsoft Office Word 2010 постарались сделать все, для того чтобы уже после краткого знакомства с программой вы могли уверенно работать с документами.

itguides.ru

Office Converter — онлайн конвертировать видео, аудио, изображения, документы и архивы бесплатно.

Конвертировать различные файлы, вы можете быть на компьютер, планшет и телефон службы преобразования

1 день Платин служба преобразования $5.00

1 месяц Серебряный convert службы $6.00 Горячий!

1 месяц золото конвертировать службы $15.00

1 месяц служба преобразования Платин $45.00

ru.office-converter.com

Программы конверторы пдф. Бесплатный PDF Конвертер доступен для скачивания

IceCream PDF Converter 2.73 бесплатная программа для конвертирования PDF-файлов в другие форматы, такие как FB2, EPUB, HTML, JPG и другие. А также есть возможность создания PDF-файлов из изображений или отсканированных документов и др.

В наше время стали популярными электронные книги , то есть устройства для чтения электронных книг. Но, большинство литературы, которая существует в электронном виде, хранится в формате PDF, в то время как читалок более удобным является формат EPUB или FB2. Чтобы преобразовать PDF в EPUB или FB2, и не только, ребята из IceCreamApps разработали программу IceCream PDF Converter.

Описание возможностей программы IceCream PDF Converter

Данное приложение позволяет конвертировать как из PDF, так и в PDF. Из PDF с помощью программы вы можете конвертировать в изображения формата jpg, gif, bmp и png. Данный тип конвертации производится постранично, то есть вы получаете каждую страницу PDF-файла в виде изображения.

Конвертированием в изображения дело не ограничивается. Вы, также, можете преобразовать свой PDF в файлы офисного формата, например, doc, odt. К тому же, поддерживается еще преобразование в такие форматы как: HTML, EPS, WMF и TIFF.

Теперь конвертирование из PDF. Здесь практически все тоже самое, но только в обратную сторону. Например, из изображений можно создать PDF. Причем вы сами задаете все настройки дизайна страницы — отступы, ориентация и другое. Также, с помощью IceCream PDF Convrte r вы сможете конвертировать файлы-таблицы Excel в PDF и файлы электронных книг EPUB, FB2 или MOBI. Присутствует поддержка файлов PDF, которые защищены паролем.

PDF Creator это бесплатный PDF конвертер, который вы можете скачать здесь. Просто кликните на кнопку скачивания рядом с этим текстом. На следующей странице выберите самую свежую версию и начните скачивание. Загрузка запустится в вашем браузере. После скачивания, вы сможете установить программу.

Вот как вы можете конвертировать в PDF

После установки приложения новый принтер будет доступен в вашей системе. Это виртуальный PDF принтер от PDF24. Простой печатайте свои файлы на этом принтере для конвертации в PDF. Все, что вы можете напечатать, будет преобразовано в PDF таким образом.

Как альтернатива, вы можете запустить Creator и перетащить ваши файлы в его основное окно. Так файлы будут сконвертированы в PDF. Через файловое контекстное меню также можно конвертировать в PDF вместе с PDF24.

Конвертируйте PDF в другой формат

Вы можете сконвертировать PDF файлы в другие форматы с PDF24 Creator так же. Чтобы это произошло, просто откройте ваш PDF в Creator и нажмите Сохранить. Затем вы сможете выбрать формат сохранения. Это можно сделать и через контекстное меню PDF файла.

Информация о PDF24 Creator

Для всех, кто не слышал о PDF24 Creator: Эта программа PDF принтер для создания PDF файлов из всего, что можно напечатать. Этот инструмент содержит много возможностей, которые часто требуются. Программа бесплатна и используется миллионами пользователями.

Как пользоваться PDF2Go

Вы пришли на PDF2Go в поисках онлайн-редактора для PDF-файлов. То есть вы уже знаете, что хотите сделать с файлом. Вы можете преобразовать файл в PDF, повернуть страницы, объединить несколько файлов в один, добавить или удалить пароль и не только.

Выберите действие, которое хотите выполнить с PDF-файлом, и мы перенаправим вас на страницу с доступными функциями. Отредактируйте PDF онлайн, а всё остальное сделаем мы.

Да, это действительно просто!

Конвертируйте PDF-файлы онлайн

Выберите конвертер:

Конвертируйте PDF-файлы в документы MS Word, презентации или изображения.

Конвертировать изображения в формат PDF так же просто, как презентации или другие документы. Например, можно сделать PDF-файл из текстового документа в формате Word

Редактируйте PDF-файлы онлайн

Отредактировать PDF-документ — простая задача, требующая простого решения. PDF2Go позволяет редактировать PDF-файлы быстро и легко.

Поворачивайте, разделяйте и объединяйте PDF-файлы, уменьшайте их размеры и соотношения сторон — это удобно и просто. Вы также можете защитить PDF-файл паролем.

Ваши файлы в полной безопасности!

Все загружаемые файлы удаляются через 24 часа. Мы не делаем резервных копий. Наш сервис полностью автоматизирован, то есть все операции выполняются автоматически.

Поддерживаемые форматы файлов

PDF, Microsoft Word, OpenOffice, TXT, RTF, EPUB и другие

JPG, PNG, BMP, TIFF, GIF, SVG и другие

PPT, PPTX, ODP и другие

PDF-редактор всегда с вами!

Название PDF2Go говорит само за себя. Вы можете конвертировать PDF-файлы в Word или поворачивать страницы документа на любом устройстве в любом браузере. Вам не надо ничего скачивать или устанавливать.

Редактируйте PDF-файлы в любом удобном для вас месте на компьютере, смартфоне или планшете — подойдёт любая операционная система, будь то Windows, Mac или Linux. Просто откройте браузер — и вперёд!

ellunium.ru

Как переформатировать файл pdf в jpg онлайн. Преобразование документа формата PDF в изображения JPG

С преобразованием файлов PDF в JPG прекрасно справляется программа Adobe Photoshop. Надо в программе открыть документ в окне «импорт PDF» и выбрать нужные страницы или отдельные изображения, отредактировать и сохранить файл в любом формате.

Фотошоп не установлен на компьютере, не проблема – можно воспользоваться конвертором. Рунет предлагает большой выбор подобных программ, вот некоторые бесплатные конверторы PDF:

Portable Document Format;

AVS Document Converte;

Icecream PDF Converter.

Программы конвертируют как из PDF формата, так и в него, склеивают исходные файлы в один документ, на выходе предлагают различные настройки.

Не хотите загромождать компьютер дополнительными программами, конвертируйте PDF в JPG . Это сделать легко и просто – заходите на сайт, загружаете PDF файл, жмете «преобразовать». За 5-10 минут, в зависимости от размеров документа, программа выдает JPG файлы. Можете скачать их постранично или архивом. Тройка популярных онлайн-конвертеров:

Http://pdf2jpg.net;

Http://convert-my-image.com/PdfToJpg_Ru;

Https://smallpdf.com/ru/pdf-to-jpg.

Как из PDF «вытащить» картинки

Иногда требуется не просто преобразовать документ, а извлечь из него отдельные изображения. Если потребовались одна-две картинки, можно просто сделать скриншот нужной страницы или воспользоваться онлайн-конвертером, затем обработать файл в графическом редакторе: вырезать необходимые картинки, отредактировать их до нужного размера.

Можно подобную процедуру проделать при помощи программы Adobe Reader. Открыть документ в этой программе, выделить требуемые картинки, в меню выбрать пункт «сделать снимок». Открыть файл через буфер обмена в графическом редакторе Paint или любом другом, обрезать до нужного размера и сохранить как изображение.

Приходится много работать с чертежами, схемами, шаблонами в формате ПДФ, установить на компьютере бесплатную программу «Фотоконвертер». Программа работает в пакетном режиме, располагает инструментами для редактирования, рисунок можно повернуть, обрезать, поменять размер.

Также для экспорта картинок из PDF можно использовать программу Adobe Acrobat. В этой программе есть функционал «экспорт изображений». Поможет решить задачу с извлечением картинок из PDF простенькая легкая утилита PDF Image Extraction Wizard. Способов конвертации файлов PDF в JPG и «вытаскивания» картинок из PDF немало, каждый может выбрать для себя наиболее подходящий.

Существует несколько способов перевода PDF-формата в JPG-формат. PDF разработан на языке PortScript компанией Adobe. Он нужен для предоставления полиграфической продукции в электронном виде. Для чтения формата PDF понадобится программа Acrobat Reader. Внутри программы можно обнаружить достаточно мощные опции для редактирования и работы с документами и PDF файлами.

Но сегодня разбираемся с тем, как превратить файл из одного формата в другой.

Первый способ

• Открываем нужный PDF-файл или документ.
• Масштабировать его необходимо так, чтобы вся нужная для перевода часть полностью отображалась на экране.
• Нажимаем на клавиатуре комбинацию клавиш Alt+PrtScn, чтобы PDF перевести в JPG.
• Теперь необходимо открыть любой графический редактор. Самый простой вариант — это программа Paint. Она является стандартной для всех операционных систем Windows.
• Теперь нужно нажать вкладку «Правка» (в Paint) и выбрать опцию «вставить».
• На экране появилась картинка с изображением нужных страниц PDF-документа.
• Теперь нужно обрезать все лишние части полученного изображения с помощью инструментов, предложенных в Paint.
• Сохранить полученную картинку можно в любом формате, в том числе и в JPG. Можете сделать таким образом неограниченное количество страниц.

Второй способ

• Необходимо скачать, а затем установить следующую программу по этой ссылке: UDC.zip (DEMO 33.6 Мб)
• Откройте нужный документ в формате PDF с помощью Acrobat Reader.
• Выберите функцию «Печать».
• В качестве устройства печати нужно выбрать не ваш принтер, а программу Universal Document Converter.
• Теперь нужно выбрать «Свойства»
• В появившемся окне выбираем пункт «Load settings»
• Вы увидите диалоговое окно, где указаны разные пресеты перевода форматов. Как вы уже догадались, нам нужно выбрать «PDF to JPEG».
• Нажимаем «Оpen».
• Подтверждаем печать.
• Файл сохранится на «My Documents\UDC Output Files» — это настройки по умолчанию. Их можно поменять внутри программы.
• Теперь файл можно открыть с помощью программы просмотра изображений и факсов.

Третий способ

• Также существуют сервисы в интернете, которые позволяют перевести PDF в JPG онлайн.
• convert pdf file to image online .
• Для перевода PDF в JPG воспользуйтесь этим сервисом и выполняйте его инструкции: online pdf to jpg free convert .
• С помощью этих ресурсов можно получить копии как отдельных страниц документа, так и всего документа в целом, но частями.
• Второй ресурс позволяет выбрать качество изображений и лимит страниц. Максимальное количество, которое можно выбрать — это 20 страниц.
• Изображения вы получите в одном архиве.
• Система работает так: вы загружаете нужные PDF-файлы, система их обрабатывает и переводит в JPG, затем вы скачиваете уже JPG-файлы того же содержания.

Задача перевести PDF в JPG не является сложной. Мы выражаем уверенность в том, что воспользовавшись материалами нашей статьи и теми способами, которые мы предложили, вы сможете спокойно достичь своих целей. Мы также уверены, что научившись один раз, вы научите и других, дорогой читатель.

Перевод JPG в PDF

И немного о том, как JPG

leally.ru

Программа для конвертации в пдф. Бесплатный PDF-конвертер

IceCream PDF Converter 2.73 бесплатная программа для конвертирования PDF-файлов в другие форматы, такие как FB2, EPUB, HTML, JPG и другие. А также есть возможность создания PDF-файлов из изображений или отсканированных документов и др.

В наше время стали популярными электронные книги , то есть устройства для чтения электронных книг. Но, большинство литературы, которая существует в электронном виде, хранится в формате PDF, в то время как читалок более удобным является формат EPUB или FB2. Чтобы преобразовать PDF в EPUB или FB2, и не только, ребята из IceCreamApps разработали программу IceCream PDF Converter.

Описание возможностей программы IceCream PDF Converter

Данное приложение позволяет конвертировать как из PDF, так и в PDF. Из PDF с помощью программы вы можете конвертировать в изображения формата jpg, gif, bmp и png. Данный тип конвертации производится постранично, то есть вы получаете каждую страницу PDF-файла в виде изображения.

Конвертированием в изображения дело не ограничивается. Вы, также, можете преобразовать свой PDF в файлы офисного формата, например, doc, odt. К тому же, поддерживается еще преобразование в такие форматы как: HTML, EPS, WMF и TIFF.

Теперь конвертирование из PDF. Здесь практически все тоже самое, но только в обратную сторону. Например, из изображений можно создать PDF. Причем вы сами задаете все настройки дизайна страницы — отступы, ориентация и другое. Также, с помощью IceCream PDF Convrte r вы сможете конвертировать файлы-таблицы Excel в PDF и файлы электронных книг EPUB, FB2 или MOBI. Присутствует поддержка файлов PDF, которые защищены паролем.

Pdf в Word 2019 скачать конвертер бесплатно

Конвертер PDF в Word (converter) — бесплатная программа, конвертер для преобразования (перевода) файлов формата PDF в формат, который может быть открыт при помощи офисных программ MS Office Word и не только.

На странице представлено 3 бесплатных программы для выполнения данной функции. Также ссылка на конвертер, который имеет более широкие функции преобразования, не только из pdf. Все они бесплатные. Однако вторая программа на данный момент бесплатна только для некоммерческого использования. Подробнее о типах лицензирования и правилах использования см. официальные сайты.

Хотя многим хочется, чтобы интерфейс (внешний вид) программы был на русском языке, но данные программы им не обладают, однако, интерфейс их, как правило, очень простой и интуитивно понятный, что даже, в принципе, русификация некоторым пользователям может и не потребоваться.

Работа программы

Абсолютно простая и понятная программа для конвертации или перевода в PDF. Сначала (левый верхний угол) выбираете PDF файлы (можно выбрать больше одного). Далее (в середине) выбираете выходной формат для конвертации и ниже указываете каталог, куда сохранить результаты) и в конце для конвертации нажимаете кнопку «Convert».

2. PDF Shaper Free

Описание

PDF Shaper — конвертер (converter), является мощной и бесплатной программой для работы с PDF, которая представляет собой коллекцию инструментов и утилит для редактирования и оптимизации PDF-документов и их содержимого. С помощью PDF Шейпера вы можете легко разбивать и объединять любые PDF-документы, извлекать текст и графику из PDF-файлов, шифровать / дешифровать документ с паролем и изменить пользовательские разрешения, конвертировать изображения (JPG) в PDF или PDF в изображения JPG, конвертировать Word DOC / DOCX в PDF и PDF в формат RTF, просматривать и распечатывать PDF-документы.

Основные преимущества

Программа предлагает очень удобный пользовательский интерфейс с изменяемыми темами и один из самых быстрых и стабильных алгоритмов обработки PDF с возможностью обрабатывать несколько файлов одновременно. Плюс поддержка последней ОС — Windows 10, а также любой версии, начиная с Windows XP, 32 и 64 бита.

Дополнительные инструменты

Помимо стандартных опций, PDF Shaper предлагает множество дополнительных инструментов, которые позволяют пользователю извлекать или удалять страницы, вращать или обрезать отдельные страницы, удалять изображения, обновлять информацию и метаданные PDF, добавлять водяные знаки, подписать PDF-документы с цифровой подписью и многое другое.

Программа PDF Shaper

Условия использования:

3. doPDF

Описание и основные функции
doPDF это бесплатный PDF конвертер (converter) для личного и коммерческого использования. Используя doPDF можно делать перевод в PDF с возможностью поиска файлов, выбрав команду «Печать» из практически любого приложения. Одним щелчком мыши вы можете конвертировать ваши Microsoft Excel, Word или PowerPoint документы или ваши письма и любимые веб-сайты в PDF-файлы.
doPDF устанавливает себя как драйвер виртуального принтера, так что после успешной установки появится в списке ваших «Принтеров и факсов». Для создания PDF-файлов, вы просто должны печатать документы в конвертер doPDF PDF. Откройте документ (с помощью Microsoft Word, WordPad, NotePad или любого другого приложения), нажмите Печать и выберите doPDF. Он спросит вас, куда сохранить файл PDF и когда закончили, файл PDF будет автоматически откроется в вашей стандартной программе для просмотра PDF.
Поддержка нескольких языков — выбрать язык для пользовательского интерфейса.

PDF Creator это бесплатный

ellunium.ru

Корни квадратного уравнения

Основные формулы

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1)   .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
;   .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что – действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения:
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
;   .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь – мнимая единица, ;
и – действительная и мнимая части корней:
;   .
Тогда

.

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках.
При , график касается оси абсцисс в одной точке.
При , график не пересекает ось абсцисс.

Ниже приводятся примеры таких графиков.

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

(f.1)   ;
(f.2)   ;
(f.3)   .

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):




,
где
;   .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

Найти корни квадратного уравнения:
(1.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

.

График функции   y = 2x ² + 7x + 3   пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
  и   .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Ответ

;
;
.

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

График функции   y = x ² – 4x + 4   касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

Ответ

;
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1)   .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1)   .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;
.

Тогда


.

График функции не пересекает ось абсцисс. Действительных корней нет.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Ответ

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-04-2016

1cov-edu.ru

Корень квадратного уравнения — это… Что такое Корень квадратного уравнения?

Корень квадратного уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где

Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b² − 4ac:

• при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

         (1)

• при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

• при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1), либо (без использования извлечения корня из отрицательного числа) формулой

Другие записи решений

Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax² + 2kx + c = 0.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

Мнемонические правила

• Из «Радионяни»:

  «Минус» напишем сначала,
  Рядом с ним p пополам,
  «Плюс-минус» знак радикала,
  С детства знакомого нам.

  Ну, а под корнем, приятель,
  сводится всё к пустяку:
  p пополам и в квадрате
  Минус несчастное прекрасное q.

• Из «Радионяни» (другой вариант):

  p, со знаком взяв обратным,
  на два мы его разделим,
  и от корня аккуратно
  знаком «минус-плюс» отделим.

  А под корнем очень кстати
  половина p в квадрате
  минус q — и вот решенья,
  то есть корни уравненья.

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми является только два случая: нулевого дискриминанта (один корень) и ненулевого (два корня).

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0):

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

См. также

Ссылки

• Решение квадратных уравнений онлайн [1],[2],[3]

Wikimedia Foundation. 2010.

• Корень женьшеня
• Корень квадратный

Смотреть что такое «Корень квадратного уравнения» в других словарях:

• Корень квадратный — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия

• Корень (в математике) — Корень в математике, 1) К. степени n из числа а ≈ число х (обозначаемое ), n я степень которого равна а (то есть xn = а). Действие нахождения К. называют извлечением корня. При а ¹ 0 существует n различных значений К. (вообще говоря,… …   Большая советская энциклопедия

• Квадратный корень — У этого термина существуют и другие значения, см. Корень (значения). Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими… …   Википедия

• Разложение Квадратного трехчлена — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

• Разложение квадратного трехчлена — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

• Квадратные уравнения — Квадратное уравнение  уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами …   Википедия

• Кубический корень — График функции y = Кубический (кубичный) корень из a  решение уравнения (обычно п …   Википедия

• Sqrt — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия

• Метод Мюллера — итерационный численный метод для вычисления корня заданной функции f(x) = 0. Был представлен Давидом Мюллером в 1956 году. Метод Мюллера основан на методе секущих, который строит на каждом шаге итерации прямые, проходящие через две точки на… …   Википедия

• ИСТИННЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ — еcтественного прироста нас., собственный коэффициент естественного прироста, коэффициент прогрессивности режима воспроиз ва, коэффициент Лотки, коэфф. естеств. прироста стабильного населения, соответствующего данному режиму воспроиз ва нас. И. к …   Демографический энциклопедический словарь

dic.academic.ru

Квадратные уравнения: приведённые уравнения, формулы корней

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным – это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax² + bx + c = 0  – квадратное уравнение

где x – это неизвестное, а a, b и c – коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a ≠ 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax² + bx + c = 0

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов обозначив их буквами p и q:

Уравнение   x² + px + q = 0   называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

Например, уравнение:

x² + 10x — 5 = 0

является приведённым, а уравнение:

-3x² + 9x — 12 = 0

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

x² — 3x + 4 = 0

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

ax² + bx + c = 0

ax² + 2kx + c = 0

x² + px + q = 0

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Обратите внимание на уравнение:

ax² + 2kx + c = 0

это преобразованное уравнение   ax² + bx + c = 0, в котором коэффициент b – четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Пример 1. Решить уравнение:

3x² + 7x + 2 = 0

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим чему равны коэффициенты:

a = 3, b = 7, c = 2

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

Пример 2:

x² — 4x — 60 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -4, c = -60

Так как в уравнении второй коэффициент – чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

x₁ = 2 + 8 = 10,   x₂ = 2 — 8 = -6

Ответ: 10, -6.

Пример 3.

y² + 11y = y — 25

Приведём уравнение к общему виду:

y² + 11y = y — 25

y² + 11y — y + 25 = 0

y² + 10y + 25 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, p = 10, q = 25

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Ответ: -5.

Пример 4.

x² — 7x + 6 = 0

Определим чему равны коэффициенты:

a = 1, p = -7, q = 6

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

x₁ = (7 + 5) : 2 = 6,   x₂ = (7 — 5) : 2 = 1

Ответ: 6, 1.

naobumium.info

Решение квадратных уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида , где . 

— коэффициент при  , или старший коэффициент.

— коэффициент при х, или второй коэффициент.

— свободный член.

Например, в уравнении   , , .

B уравнении   , ,

Если в квадратном уравнении  или  , то такое квадратное уравнение называется НЕПОЛНЫМ.

Неполное квадратное уравнение решается с помощью разложения на множители.

1. Если , то нужно вынести за скобки общий множитель.

Например,

Приравняем каждый множитель к нулю:

или

Ответ: {0,  }

2. Если , то нужно разложить на множители по формуле разности квадратов:

Например:

Приравниваем каждый множитель  к нулю, получаем:

или 

Коротко это уравнение решается так:

В этом месте важно не забыть знак  перед корнем!

Ответ: {}

Если  в квадратном уравнении  и  , то такое квадратное уравнение называется ПОЛНЫМ.

Полное квадратное уравнение решается с помощью нахождения ДИСКРИМИНТА.

Дискриминант квадратного уравнения  вычисляется по формуле:

.

Формулы для вычисления корней квадратного уравнения выглядят так:

В этих формулах дискриминант присутствует под знаком квадратного корня, поэтому

Eсли , то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по приведенным выше формулам.

Если ,  то квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Иногда  говорят, что в этом случае квадратное уравнение имеет один корень.

Итак, при решении квадратного уравнения удобно пользоваться таким алгоритмом:

1. Определяем, является ли квадратное уравнение полным, или неполным.

2. Если уравнение неполное, раскладываем левую часть на множители и приравниваем каждый множитель к нулю.

3. Если уравнение полное, то

• находим дискриминант квадратного уравнения по формуле
• если дискриминант меньше нуля, то записываем, что квадратное уравнение не имеет действительных корней
• если дискриминант равен нулю, то находим корни квадратного уравнения по формуле 
• если дискриминант больше нуля, то находим корни квадратого уравнения по формулам:, 

Если коэффициент   квадратного уравнения — четное число, то есть его можно записать как , или  то для нахождения корней квадратного уравнения удобно пользоваться формулами для четного второго коэффициента:

Два полезных замечания:

1. Если для коэффициентов квадратного уравнения  выполняется равенство , то , 

2. Если для коэффициентов квадратного уравнения  выполняется равенство , то , 

Эти свойства помогают устно решать некоторые громоздкие квадратные уравнения. Например, в квадратном уравнении  сумма коэффициентов равна 0, поэтому ,  .

В уравнении выполняется равенство , поэтому ,  

Рассмотрим несколько примеров.

Решим квадратные уравнения:

1.

а) найдем дискриминант этого уравнения:

Дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два различных корня.

б) Тогда: , 

Ответ:   {1; 1/2}

2.  

а) Найдем дискриминант этого уравнения:

. Очевидно, что  , и даже нет необходимости вычислять его точное значение.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

3. 

а) Найдем дискриминант этого уравнения:

б) Так как , уравнение имеет два совпадающих корня,

Если внимательно посмотреть на квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения, то становится очевидно, то что его можно преобразовать по формуле квадрата разности к выражению

, отсюда 

Ответ: 1/4.

А теперь я предлагаю вам посмотреть видеоурок с решением квадратного уравнения:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Корни квадратного уравнения, формулы и примеры

Определение и формула для вычисления корней квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения (1) вычисляются по формуле

Величина называют дискриминантом квадратного уравнения.

В зависимости от знака дискриминанта, квадратное уравнение (1) может иметь различное количество корней: если , то два различных действительных корня; если , то два совпадающих действительных корня; если же , то квадратное уравнение (1) действительных корней не имеет.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Приведенные квадратные уравнения (целые корни) 12 вариантов

ПрКУ Вариант 1.

1) — x² + 14x — 49 = 0;

2) x² + 32x + 256 = 0;

3) x² — 16x + 28 = 0;

4) x² — 6x + 13 = 0;

5) — x² — 32x — 256 = 0;

6) x² + 10x + 16 = 0;

7) — x² + 86x + 651 = 0;

8) x² + 5x — 24 = 0.

ПрКУ Вариант 2.

1) x² — 4x — 12 = 0;

2) x² — 34x + 289 = 0;

3) — x² + 44x — 195 = 0;

4) — x² + 2x — 12 = 0;

5) — x² + 7x — 6 = 0;

6) x² + 20x + 99 = 0;

7) x² + 44x + 475 = 0;

8) x² + 18x + 81 = 0.

ПрКУ Вариант 3.

1) — x² — 6x — 9 = 0;

2) x² + 4x + 11 = 0;

3) x² — 51x + 230 = 0;

4) x² + 21x + 38 = 0;

5) x² + 50x + 624 = 0;

6) x² — 30x + 225 = 0;

7) — x² + 11x — 28 = 0;

8) x² — 2x — 35 = 0.

ПрКУ Вариант 4.

1) x² — 4x + 13 = 0;

2) x² + 6x + 9 = 0;

3) — x² + 7x + 78 = 0;

4) x² — 11x + 30 = 0;

5) x² — 32x + 256 = 0;

6) — x² — 11x — 30 = 0;

7) — x² + 30x — 225 = 0;

8) x² + 40x — 500 = 0.

ПрКУ Вариант 5.

1) x² — 66x + 893 = 0;

2) x² + 24x + 144 = 0;

3) x² — 18x + 81 = 0;

4) — x² + 20x — 75 = 0;

5) — x² — 7x + 18 = 0;

6) — x² + 4x — 5 = 0;

7) x² + 85x + 400 = 0;

8) x² + 8x + 12 = 0.

ПрКУ Вариант 6.

1) — x² — 34x — 289 = 0;

2) x² + x — 30 = 0;

3) x² — 3x + 5 = 0;

4) — x² + 16x — 64 = 0;

5) x² + 3x + 7 = 0;

6) x² + 15x + 54 = 0;

7) x² — 42x + 320 = 0;

8) x² + 62x + 336 = 0.

ПрКУ Вариант 7.

1) x² — 24x + 144 = 0;

2) x² — 51x — 342 = 0;

3) x² — 3x — 28 = 0;

4) — x² + x — 3 = 0;

5) x² + 4x + 4 = 0;

6) — x² — 49x — 490 = 0;

7) — x² + 18x — 17 = 0;

8) x² — 6x + 8 = 0.

ПрКУ Вариант 8.

1) x² + 24x + 144 = 0;

2) x² + 8x + 15 = 0;

3) — x² — 22x — 112 = 0;

4) x² — 4x + 4 = 0;

5) x² — 37x + 232 = 0;

6) x² — 2x + 9 = 0;

7) — x² — 40x — 400 = 0;

8) — x² + 45x + 684 = 0.

ПрКУ Вариант 9.

1) x² + 12x + 27 = 0;

2) — x² + 27x + 810 = 0;

3) — x² + 2x — 1 = 0;

4) x² — 56x + 423 = 0;

5) x² + 5x + 8 = 0;

6) x² — 9x — 10 = 0;

7) x² + 20x + 51 = 0;

8) x² + 26x + 169 = 0.

ПрКУ Вариант 10.

1) — x² + 12x — 32 = 0;

2) x² — 11x — 12 = 0;

3) x² + 4x — 32 = 0;

4) — x² + 86x — 825 = 0;

5) — x² + 4x — 12 = 0;

6) x² + 4x + 4 = 0;

7) x² — 32x + 256 = 0;

8) x² + 90x + 425 = 0.

ПрКУ Вариант 11.

1) x² + 5x + 13 = 0;

2) x² — 14x — 147 = 0;

3) x² — 40x + 400 = 0;

4) — x² — 6x — 9 = 0;

5) x² + 99x + 890 = 0;

6) — x² — 16x — 63 = 0;

7) — x² + 30x — 225 = 0;

8) x² — 24x + 95 = 0.

ПрКУ Вариант 12.

1) x² + 34x + 285 = 0;

2) x² — 5x + 12 = 0;

3) x² + 6x + 9 = 0;

4) x² — 18x + 72 = 0;

5) x² — x — 6 = 0;

6) — x² — 9x — 14 = 0;

7) x² — 40x + 400 = 0;

8) — x² + 83x + 630 = 0.

ОТВЕТЫ Приведенное квадратное уравнение (ПрКУ)

Вариант

ЗАДАНИЕ

1

2

3

4

5

6

7

8

1

7

-16

2; 14

корней нет

-16

-8; -2

-7; 93

-8; 3.

2

-2; 6

17

5; 39

корней нет

1; 6

-11; -9

-25; -19

-9.

3

-3;24;

корней нет

5; 46

-19; -2

-26; —

15

4; 7;

-5; 7.

4

корней нет;

-3

-6; 13

5; 6

16

-6; -5

15

-50;

5

19; 47

-12

9

5; 15

-9; 2

корней нет

-80; -5

-6; -2.

6

-17

-6; 5

корней нет

8

корней нет

-9; -6

10; 32

-56; —

7

12

-6; 57

-4; 7

корней нет

-2

-35; -14

1; 17

2;4

8

-12

-5; -3

-14; -8

2

8; 29

корней нет

-20

-12; 57

9

-9; -3

-18; 45

1

9; 47

корней нет

-1; 10

-17; -3

-13.

10

4; 8

-1; 12

-8; 4

11; 75

корней нет

-2

16

-85; -5

11

корней нет

-7; 21

20

-3

-89; -10

-9; -7

15;

5; 19

12

-19; -15

корней нет

-3

6; 12

-2; 3

-7; -2

20

-7; 90

infourok.ru

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем  решение такого уравнения. Но что-то мне  подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение.

Квадратичная функция.

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Неполные квадратные уравнения.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Теорема Виета.

Квадратное уравнение и ЕГЭ.

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a,b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Пусть пока  будет так. *Далее поясню, некорректность второго пункта.

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

Далее не трудно заметить, что число корней зависит от этого самого дискриминанта:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х₁= 3      х₂= 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные 

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить  2x²+8x–192=0

а=2   b=8   c= –192

D = b²–4ac = 8²–4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х₁= 8   х₂= –12 

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить  x²–22x+121 = 0

а=1   b=–22   c=121

D = b²–4ac =(–22)²–4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что  х₁= 11  и   х₂= 11 

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить  x²–8x+72 = 0

а=1   b= –8   c=72

D = b²–4ac =(–8)²–4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b  – действительные числа, i  – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x²–16 = 0     =>   4x² =16     =>   x² = 4    =>      x₁ = 2     x₂ = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x²–45x = 0   =>   9x (x–5) =0   =>   x = 0   или   x–5 =0

x₁ = 0     x₂ = 5

Случай 3. Коэффициенты   b = 0   и   c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

— если для коэффициентов уравнения аx²+bx+c=0  выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения аx²+bx+c=0  выполняется равенство

a + с = b, то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1:   5001x²–4995x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2:   2501x²+2507x+6=0

Выполняется равенство a + с = b, значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а² +1), а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² + (а² +1)∙х+ а= 0    = >   х₁= –а    х₂= –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение  6х² +37х+6 = 0.

х₁= –6    х₂= –1/6.

2. Если в уравнении ax² – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а² +1),  а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² – (а² +1)∙х+ а= 0      = >   х₁= а    х₂= 1/a.

 Пример. Рассмотрим уравнение 15х² –226х +15 = 0.

х₁= 15    х₂= 1/15.

3. Если в уравнении ax² + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a² – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a», то его корни равны

аx² + (а² –1)∙х – а= 0    = >    х₁= – а    х₂= 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х² +288х – 17 = 0.

х₁= – 17    х₂= 1/17.

4. Если в уравнении  ax² – bx – c = 0  коэффициент «b» равен (а² – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx² –  (а² –1)∙х – а= 0      = >   х₁=  а    х₂= – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х²– 99х –10 = 0.

х₁= 10    х₂= – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

Теорема: Пусть квадратное уравнение  aх² + bx + c = 0   имеет корни  х₁  и  х₂, тогда справедливы формулы Виета

Доказательство:

Пример. Рассмотрим уравнение  х²– 14х + 45 = 0.  Запишем a=1   b= –14   c=45.

Ответ определить  несложно, возможны следующие варианты произведений

45 = 1∙45    45 = 3∙15    45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда. 

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х² – 11х+5 = 0  (1)      =>     х² – 11х+10 = 0  (2)     

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что  х₁ = 10  х₂ = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х² «перебрасывали» двойку), получим

х₁ = 5  х₂ = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х²:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х₁ = 5  х₂ = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий  ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись: 

15+ 9x²— 45x = 0  или  15х+42+9x²— 45x=0  или   15 -5x+10x² = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h    и прочими.

3. Если получите большой дискриминант, то посмотрите как можно извлечь такой корень без калькулятора.

На этом всё. Надеюсь, статья была для вас полезной.

Получить материал статьи в формате PDF

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

1.2. Основные операции над множествами

Объединением множеств А и В называется множество АВ, все элементы которого являются элементами множества А или множества В:

АВ={x:xA или хВ},

где  – знак объединения.

На диаграмме Эйлера это может быть показано штриховкой (рис. 2).

Рис. 2. Объединение множеств АВ

Пересечением множеств А и В называется множество АВ, элементы которого являются элементами обоих множеств:

АВ={x:xA и хВ},

где  – знак пересечения.

Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис. 3.

Рис. 3. Пересечение множеств АВ

Разностью множеств А и В называется множество А\В, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В:

А\В={x:xA и хВ},

где – знак непринадлежности (отрицание принадлежности), \ – знак разности.

Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис. 4.

Рис. 4. Разность множеств А\В

Так, если А={1,2,3,4,5}, В={4,6}, то А\В={1,2,3,5}, В\А={6}.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество АВ=(А\В)(В\А), изображенное на рис. 5,  – знак симметрической разности.

Так, если А={1,2,3}, В={3,4,5}, то АВ={1,2,4,5}.

Рис. 5. Симметрическая разность множеств АВ

Рассмотренные операции являются двухместными (бинарными). Имеется одноместная (унарная) операция дополнения.

Дополнением множества А является множество , содержащее элементы универсума I, не включенные во множество А:

где – знак дополнения, «инверсия», читается «не А».

Соответствующая диаграмма Эйлера изображена на рис. 6.

Рис. 6. Дополнение множества А до универсума I

Так, если А={3,4}, а I={1,2,3,4,5}, тоA={1,2,5}.

Используя рассмотренные операции, можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется одноместная операция дополнения, затем пересечения и только потом – операция объединения (разности). Для изменения порядка выполнения операций в выражении используют скобки.

1.3. Декартово произведение множеств

Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения множеств.

Декартовым произведением АВ множеств А и В называется множество М вида

М={(a_i,b_j):a_iA, b_jB}.

Здесь круглыми скобками () обозначается последовательность, т.е. множество, в котором зафиксирован порядок элементов (упорядоченное множество). Другое название такой последовательности – вектор (кортеж). Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами, нумеруемыми слева направо. Векторы длины 2 часто называют упорядоченными парами, длины 3 – тройками и т.д. Вектор U длины n иногда называют n-кой («энкой»). Проекцией пр_iU вектора U называется его i-я компонента. Таким образом, М=АВ это множество пар.

В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат одному множеству А² (В²).

Аналогично понятию декартова произведения двух множеств определяется декартово произведение n множеств:

1.4. Соответствия и функции

Соответствием между множествами А и В называется подмножество их декартова произведения GА·В.

Если (а,b)G, то b соответствует а при соответствии G. Множество проекций пр₁G называется областью определения соответствия, множество пр₂G – областью значений соответствия. Если пр₂G=А, то соответствие полностью определенное (в противном случае – частичное). Если пр₂G=В, то соответствие сюрьективно.

Множество всех bВ, соответствующих элементу а, в А называется образом а в В при соответствии G. Множество всех а, которым соответствует b, называется прообразом b в А при соответствии G.

Всюду определенное соответствие называют отображением и иногда записывают как Г:ХY, где  – знак отображения.

Подмножество FX·Y называется функцией, если для каждого элемента х, хХ найдется не более одного элемента yY в парах вида (х,y)F. При этом, если для каждого элемента х имеется один элемент y, то функция полностью определена, в противном случае – частично определена (недоопределена). Множество Х – область определения функции F, множество Y – область значений функции. Часто вместо записи (х,y)F используют запись y=F(х), при этом элемент х называют аргументом или переменной, а y – значением функции F. Количество аргументов определяет местность функции.

Сопоставим с декартовым произведением двух множеств прямоугольную решетку, узлы которой взаимно однозначно соответствуют элементам декартова произведения [9-10].

На рис. 7а изображено подмножество декартова произведения множеств Х={х₁,х₂,х₃,х₄} и Y={y₁,y₂,y₃}, не являющееся функцией, на рис. 7б – являющееся полностью определенной функцией; на рис. 7в – являющееся частично определенной функцией.

Рис.7. Подмножества декартова произведения XY

Соответствие G между множествами Х и Y называется взаимно однозначным, если каждому элементу хХ соответствует определенный элемент yY, и, наоборот, каждый элемент yY оказывается поставленным в соответствие одному элементу хХ.

Соответствие между множеством функций и множеством чисел называется функционалом [19]. Часто говорят «функционал качества».

Например, функционалом может быть определенный интеграл, ставящий в соответствие некоторой функции число.

Соответствие между двумя множествами функций называется оператором. Например, имеется оператор дифференцирования.

Множество А называется эквивалентным множеству В, если существует взаимнооднозначное соответствие множеств А и В, это обозначается как

А=В или АВ.

Этот факт позволяет определять неизвестную мощность одних множеств по известной мощности других, им эквивалентным. Множества, эквивалентные (равномощные) множеству натуральных чисел, называются счетными. В счетных множествах возможна нумерация элементов. Пример множества, не являющегося счетным – множество всех действительных чисел отрезка [0,1]. Это доказывается теоремой Кантора [19]. Попробуем пронумеровать это множество. Расположим все числа, изображенные бесконечными десятичными дробями в порядке нумерации:

0, а₁₁ а₁₂ а₁₃ …

0, а₂₁ а₂₂ а₂₃ …

0, а₃₁ а₃₂ а₃₃ …

. . . . . .,

где первая цифра индекса – номер бесконечной десятичной дроби. Рассмотрим теперь любую бесконечную десятичную дробь 0, b₁ b₂ b₃… такую, что b₁а₁₁, b₂а₂₂, b₃а₃₃ и т.д. Такая дробь не входит в указанную последовательность, так как отличается от первого числа первой цифрой, от второго числа – второй цифрой и т.д. Следовательно, все числа из отрезка [0,1] не могут быть пронумерованы, т.е. это множество несчетно. Его мощность называется континуум и все эквивалентные ему множества называются континуальными. Так, множество всех подмножеств счетного множества континуально.

studfiles.net

Тема 1. Множества и операции над ними

Содержание

1. Понятие множества и элемента множества.

2. Способы задания множества.

3. Отношения между множествами. Подмножества.

4. Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера.

Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;

Дополнительная литература 2, 31, 82, 87, 92

Введение

Успешное обучение математике младших школьников требует от учителя не только мастерства, но и глубокого понимания сути математических понятий и факторов. Дело не только в том, что в начальных классах закладываются основы таких важнейших понятий, как «число» и «величина», происходит ознакомление с элементами буквенной символики и геометрии, развиваются логические умения, но и в том, что многие математические понятия младшие школьники используют без строгих определений, а во многих случаях и неявно. Все это предъявляет особые требования к математической подготовке учителя начальных классов. Он должен владеть понятиями натурального числа и величины, знать различные определения арифметических действий над числами, их свойства, уметь выполнять и объяснять устные и письменные вычисления, обосновывать выбор действия и устанавливать вид зависимости между величинами при решении текстовых задач. Учителю необходимо и умение использовать уроки математики для воспитания учащихся, в частности для формирования у них основ научного мировоззрения.

Математика, как и другие науки изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления, но изучает лишь их особые стороны. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят: «Геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие важнейшие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще, любые математические объекты – это результат выделения из предметов и явлений окружающего мира количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования их от всех других свойств. Следовательно, математические объекты реально не существуют, нет в окружающем нас мире геометрических фигур, чисел и т.д. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития общества и существуют лишь в мышлении человека.

Более того, при образовании математических объектов происходит не только абстрагирование от многих свойств предметов, но и приписывание им таких свойств, которыми никакие реальные предметы не обладают. Например, свойство неограниченной протяженности в обоих направлениях – прямой не обладает ни какой реальный предмет.

Эта лекция будет посвящена одному из таких математических объектов — понятию множества.

1. Понятие множества и элемента множества

Множество – одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах.

Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое целое. Так, биолог, изучая животный мир и растительный мир данной области, классифицирует все особи по видам, виды по родам. Каждый вид является некоторой совокупность живых существ, рассматриваемой как единое целое.

Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. По словам одного из создателей теории множеств – немецкого математика Георга Кантора (1845–1918), «множество есть многое, мыслимое нами как целое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такового определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся остальные понятия математики. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве чисел от 1 до 10, натуральных числах, множестве треугольников и квадратов на плоскости.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве учащихся некоторого класса, о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве натуральных чисел.

Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обычной речи, где его связывают с большим количеством предметов. В математике этого не требуется. Здесь рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

В основном множества обозначают буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z, L.

Определение. Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым и обозначают знаком .

Определение. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

В математике и других науках нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. Например, мы говорим, что число 5 натуральное. Другими словами, число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Или, например, число 0,45 не является натуральным числом. Это означает, что число 0,45 не принадлежит множеству натуральных чисел.

Предложение вида “ Объект а принадлежит множеству А” можно записать, используя символы: аА. Прочитать его можно по-разному:

Объект а принадлежит множеству А.

Объект а – элемент множества А.

Множество А содержит элемент а.

Предложение “ Объект а не принадлежит множеству А” можно записать так: а  А. Его читают:

Объект а не принадлежит множеству А.

Объект а не является элементом множества А.

Множество А не содержит элемента а.

Пример

Пусть А – множество однозначных чисел. Тогда предложение “7А” можно прочитать: “Число 7 однозначное”, а запись “ 14 А” означает: “Число 14 не является однозначным”.

Множества бывают конечными и бесконечными. Так, множество дней недели конечно, а множество точек прямой бесконечно. Бесконечными множествами являются и такие множества, как множество натуральных чисел (N), множество целых чисел (Z), множество рациональных чисел (Q), множество действительных чисел (R).

studfiles.net

Лекция 1.Множества. Операции над множествами

Дискретная математика — область математики, в которой изучаются свойства структур конечного характера, а также бесконечных структур, предполагающих скачкообразность происходящих в них процессов или отделимость составляющих их элементов.

Список литературы:

1. Яблонский С.В. — Введение в дискретную математику

2.  Белоусов А.И. — Дискретная математика  

3. Капитонова Ю.В. и др. – Лекции по дискретной математике

4. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. — Элементы дискретной математики

5. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов

6. Зайцева С.С. Дискретная математика

К разделам дискретной математики обычно относятся: теория множеств, комбинаторика, общая алгебра, теория графов, математическая логика, теория алгоритмов, теория автоматов, теория кодирования и т.д.

1. Множества. Операции над множествами.

1.1. Множество. Способы задания множеств.

Дискретная математика изучает в основном конечные множества и операции на них.

В 1872 г. Георг Кантор, создатель теории множеств, дал следующие определения для множества:

Множество – это объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью.

Множество – это определенная совокупность объектов. Эти объекты называются элементами множества.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: A, B, X, Y, A₁, A₂, …, элементы множеств – строчными буквами: a, b, x, y, a₁, a₂, … .

Числовые множества:

N — множество всех натуральных чисел;

N0 — множество неотрицательных целых чисел

Z -множество целых чисел;

Q — множество рациональных чисел;

I — множество иррациональных чисел;

R — множество действительных чисел;

C — множество комплексных чисел;

Символ  обозначает принадлежность.

Запись означает, что элементx принадлежит множеству A.

Если элемент x не принадлежит множеству A, то пишут .

Множества бывают:

1. конечные; частный случай – единичное (одноэлементное) множество, например, множество преподавателей в этой аудитории, или множество десятичных цифр;

2. бесконечные; пример – множество натуральных чисел;

3. пустое (Ø).

Пустым множеством называют множество, не содержащее ни одного элемента.

Способы задания (описания) множеств:

1) Множество A определяется непосредственным перечислением всех своих элементов a₁, a₂, …, a_n, т.е. записывается в виде: A=a₁, a₂, …, a_n. При задании множества перечислением обозначения элементов обычно заключают в фигурных скобках и разделяют запятыми.

Перечислением можно задавать только конечные множества.

2) Множество A определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества T, которые обладают общим свойством P(x). В этом случае используется обозначение , т.е. элементы множества задаетсяхарактеристическим предикатом (условием).

Характеристическим предикатом можно задать как конечные, так и бесконечные множества.

3) Множество A можно задать порождающей процедурой (рекурсивное задание, задание алгоритмом). Используется обозначение .

Порождающая процедура – это процедура, которая в процессе работы порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определенного множества.

Пример .. – множество натуральных чисел от 1 до 4. Множество заданоперечислением всех своих элементов. Причем, элемент 3A, а 5A.

Пример .. M=C, C++, Java, C# – множество языков программирования, имеющих С-подобный синтексис. Задано перечислением.

Пример .. Множество A из примера 1.1. можно задать характеристическим предикатом .

Пример .. Зададим рекурсивно множество X алгоритмом:

1) 3X;

2) если xX, то элемент и (1x) принадлежат X;

3) других элементов в X нет.

Заметим, что это множество – конечное, и его можно было задать выписыванием его элементов

.

Частным случаем рекурсивного задания множества является способ задания, основанный на процедуре, называемой математической индукцией. Рассмотрим его на примере задания множества натуральных чисел.

Пример .. Множество N задается следующими правилами:

1) задается базис индукции (исходный элемент):

1N;

2) указывается индуктивный переход:

если nN, то (n+1)N;

3) устанавливается правило замыкания:

других элементов, кроме построенных правилами 1 и 2, в N нет.



Задача: Определить различными способами множество М_2n-1 всех нечетных чисел, не превышающих 10.

1.2. Подмножество. Равенство множеств.

Универсум. Булеан.

Определение 1.1. Множество A называется подмножеством множества B (обозначается AB), если каждый элемент A есть элемент B, т.е. если xA, то xB.

Символ  обозначает отношение включение между множествами.

Пример .. Пусть и. ТогдаBA.

Но .

В частности, каждое множество есть подмножество самого себя, т.е. AA.

Определение 1.2. Пусть A и B – некоторые множества. Говорят, что A равно B, и пишут A=B, если для любого x имеем: xA тогда и только тогда, когда xB.

Иначе говоря, A=B тогда и только тогда, когда AB и BA.

Если AB и AB, то это записывается AB, и говорят, что A есть собственное подмножество B. Пустое множество есть подмножество любого данного множества A, т.е. A.

Таким образом, доказательство равенства двух множеств A и B состоит из двух этапов:

1) Доказать, что A есть подмножество B.

2) Доказать, что B есть подмножество A.

Определение 1.3. Универсальное множество U (или универсум) есть множество, обладающее таким свойством, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

В теории чисел универсальное множество обычно совпадает с множеством всех целых или натуральных чисел. В математическом анализе универсальное множество может быть множество всех действительных чисел или множество всех точек n-мерного пространства.

Следует отметить, что универсальное множество U, хотя, и названо универсальным, однозначно не определено, если точно не указана область рассмотрения (предметная область). Конечно, любое множество, содержащее U, может быть использовано как универсальное множество.

По определению, каждое множество есть подмножество универсального множества.

Пример .. Так, для множества за универсум можно взять множество натуральных чисел, т.е.U=N.

Определение 1.4. Булеаном множества A (обозначается (A)) называется множество, состоящее из всех подмножеств множества A.

Пример .. Пусть .

Следовательно, булеан множества A есть множество (A)=.

Множество A из примера 1.8. содержит три элемента, а булеан (A) состоит из 2³=8 элементов. В общем случае, если множество A содержит n элементов, множество (A) включает 2ⁿ элементов, т.к. A имеет 2ⁿ подмножеств.

По этой причине (A) часто обозначают через 2^A.

1.3. Операции над множествами.

Множество часто задают графически с помощью диаграмм Эйлера Л. Эйлер (1707-1783) – швейцарский математик, механик и физик.

Например, задание множеств M₁=a, b, c, d и M₂=a, c, e, f приведено на рисунке, где замкнутые линия, называемые кругами Эйлера, ограничивают элементы одного множества.

В дальнейшем графическое изображение множеств было плодотворно исследовано Дж. Венном (1834-1923), создавшим диаграммную теорию изучения множеств различной природы.

Диаграммы, задающие множества, принято называть диаграммы Эйлера-Венна.

Если имеются некоторые множества, то из них можно получать новые с помощью определенных операций. Для наглядного изображения операций над множествами воспользуемся диаграммами Эйлера-Венна.

Определение 1.5. Объединением множеств A и B называется множество, (которое обозначается AВ) состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Пример .9. Пусть , .

Тогда .

Определение 1.6. Пересечением множеств А и В называется множество, (которое обозначается АВ) которое состоит из общих элементов этих множеств.

Пример .10. Пусть ,. Тогда.

Определение 1.7. Разностью множеств А и В называется множество, (которое обозначается А\В) всех тех и только тех элементов множества А, которые не принадлежат В.

Определение 1.8. Симметрическая разность множеств А и В (обозначается А∆В) есть множество (А\В)(В\А).

Пример .11. Пусть ,.

Тогда ,,

.

Определение 1.9. Дополнением множества А (обозначается ) –это множество элементов универсума, которые не принадлежат А, т.е. .

Пример .12. Пусть.

Тогда, если , то.

Операции пересечения и объединения допускают следующее обобщение.

Пусть задано семейство множеств , где. Тогда

Операции над множествами обладают рядом важных свойств.

Теорема 1.1. Пусть задан универсум U. Тогда  A, B, C  U выполняются следующие свойства:

1. Свойства коммутативности: АВ=ВА

АВ=ВА

2. Свойства ассоциативности: А(ВС)=(АВ)С

А(ВС)=(АВ)С

3. Свойства дистрибутивности: А(ВС)=(АВ)(АС)

А(ВС)=(АВ)(АС)

4. Свойства тождества: А=А А=

АU=U АU=А

5. Законы идемпотентности: АA=A

АA=A

6. Свойства поглощения: А(АВ)=А

А(АВ)=А

7. Двойное дополнение:

8. Свойства дополнения: А=U

А=

9. Законы де Моргана:

Кроме того, .

Докажем свойство дистрибутивности  относительно :

А(ВС)=(АВ)(АС).

Доказательство.

Пусть M= А(ВС) и K=(АВ)(АС).

1) Докажем, что MK.

Пусть элемент xM, тогда либо xA, либо x(ВС).

1. Если xA, то x(АВ) и x(АС). Значит x(АВ)(АС), т.е. xK.

2. Если x(ВС)., то xВ и xС. Значит x(АВ) и x(АС). Т.о. x(АВ)(АС), т.е. xK.

Значит, MK.

2) Докажем, что KM.

Пусть элемент xK, тогда x(АВ)(АС).

Это возможно только тогда, когда и x(АВ) и x(АС).

Здесь возможны 2 варианта.

1. xA. Но тогда получаем, что xА(ВС), т.е. xM.

2. xA. Но тогда получаем, что и xВ и xС. Т.е. x(ВС). Но это значит, что xА(ВС), т.е. xM.

Значит, KM.

3) Так как MK и KM, то M=K, то есть А(ВС)=(АВ)(АС).

Остальные тождества доказываются аналогично.

Определение 1.10. Покрытием множества A называется набор подмножеств , гдеI – некоторое множество индексов, если каждый элемент A принадлежит хотя бы одному из A_i.

Пример .3. Пусть A=, , , .

Тогда , , , , ,  является покрытием множества A.

Определение 1.11. Разбиением множества A называется набор его попарно непересекающихся подмножеств , гдеI – некоторое множество индексов.

— разбиение множества A, если выполняются два условия:

1) ;

2) , т.е.aA тогда и только тогда, когда aA_i для некоторого iI.

Пример .. Пусть A=, , , .

Тогда множество A=, , ,  является разбиением множества A.

Всего возможны 17 вариантов разбиения множества A.

studfiles.net

Тема 2. Операции над множествами

Содержание

1. Пересечение множеств.

2. Объединение множеств.

3. Законы пересечения и объединения множеств.

4. Вычитание множеств. Дополнение одного множества до другого.

5. Понятие разбиения множества на классы.

6. Декартово произведение множеств.

Основная литература 7, 10, 11, 16, 23, 33, 34;

Дополнительная литература 82, 87, 92

1. Пересечение множеств

Из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества. Считают, что эти новые множества являются результатомопераций над множествами.

Пример

Пусть даны два множества: А = 2, 4, 6, 8  и В = 5, 6, 7, 8, 9.

Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В: С = 6, 8 . Так, полученное множество С называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обозначают А  В. Тогда определение можно представить в символической записи:

х      х   и х  .

Если изображать множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной частью.

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А  В = .

Замечание. Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением

• Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти АВ, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат А и В, т.е. их общие элементы.

• Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А  В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Пример

Найдем пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – двузначных натуральных чисел.

Характеристическое свойство элементов множества А – «быть четным натуральным числом», характеристическое свойство элементов множества В – «быть двузначным натуральным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четным и двузначным натуральным числом». Таким образом, множество А  В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24  АВ, поскольку число 24 четное и двузначное.

Пример

Найти пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4. Данные множества А и В бесконечные, и множество В – подмножество множества А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А и множеству В, будут элементы множества В. Следовательно, А  В = В.

2. Объединение множеств

Для того, чтобы объяснить школьнику, что 2 + 3 = 5, учитель берет 2 красных кружка и 3 синих. Просит перечислить эти кружки, затем предлагает к красным кружкам придвинуть синие (т.е. объединить эти две совокупности, два множества) и пересчитать все кружки совокупности. Устанавливается, что их 5, т.е. 2 +3 = 5. Таким образом, сложение чисел опирается на операцию объединения двух множеств.

В рассмотренном примере объединялись множества, не имеющие общих элементов. В математике приходится выполнять объединение и пересекающихся множеств.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают   . В символической записи: х      х  или х  .

Если изобразить пересекающиеся множества при помощи кругов Эйлера, то их объединение изобразится заштрихованной областью (рис. 1). Если множества А и В не пересекаются, то их объединение изображают так (рис. 2).

Рис 1. Рис. 2.

Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называют также объединением.

• Если все элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти , достаточно перечислить элементы, принадлежащие А или В, т.е. хотя одному из множеств.

Пример

Так, если А = 2, 4, 6, 8, В = 5, 6, 7, 8, 9, то А  В = 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

• Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А  В составляется из характеристических свойств множеств А и В с помощью союза «или».

Пример

Найти объединение множества А четных чисел и множества В двузначных чисел. Так как свойство элементов множества А – «быть четным числом», а свойство элементов В – «быть двузначным числом», то в объединение данных множеств войдут числа, характеристическое свойство которых — «быть четным или двузначным числом».

Например, в А  В есть числа: 8, поскольку оно четное; 17, поскольку оно двузначное; 36, поскольку оно четное и двузначное.

Пример

Найти объединение множеств А – четных натуральных чисел и множества В – натуральных чисел, кратных 4.

Ранее было установлено, что В  А. Поэтому элементами, принадлежащими множеству А  , будут элементы множества А.

Следовательно, в данном случае  = А.

studfiles.net

Операции над множествами

Пусть некоторое множество, содержащее все элементы, которые могут быть использованы в некоторый момент их рассмотрения. Такое множество назовем Универсальным. Тогда для любого множества справедливо АÎP(E).

Рис.1.5. Соотношение и дополнения

Назовем Дополнением в множество или такое, что

. (1.30)

Например, для ={1,2,3,4,5} и ={2,4} Þ ={1,3,5}. Иллюстрация дополнения на диаграмме Эйлера представлена на рис. 1.5. Если множество задано по форме от , то определяется следующей эквиваленцией:

, (1.31)

Откуда следует ÛÛÎ, а отсюда:

. (1.32)

Из свойств дополнений можно отметить:

1.  = Æ и =,

2.  =Û,

3.  ÛÍ.

Последнюю эквиваленцию для примера докажем. Если AÍB, то Þ и Þ и Þ и, как следствие,

.

Если же Í, то

А, следовательно,

Эквиваленция доказана.

Если А и В заданы «формулами от » и соответственно, то утверждение ÛÍ эквивалентно следующему

. (1.33)

Иногда для множеств и , таких, что вводят понятие дополнения до и обозначается

. (1.34)

Положим и и определим Объединение множеств , элементы которого принадлежат или (рис.1.6) или иначе:

Рис.1.6. Иллюстрация объединения множеств

. (1.35)

Если и определены через формы от и соответственно, то

.

Из свойств объединения отметим:

1.  ,

2. 

3.  , то есть [P(X) или P(X)] Û P(X),

4.  Коммутативность: AÈB = BÈA, то есть [P(X) или Q(X)] Û [Q(X) или P(X)],

5.  Ассоциативность: AÈ(BÈC) = (AÈB)ÈC.

Следует отметить, что

А, следовательно, можно записать

. (1.36)

Пример 1.1.

A)  Если A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6} Þ AÈB = {1,2,3,4,5,6}.

Б) Если A = {X | X Кратное 5}, B = {X | X кратное 2} Þ AÈB = {X | X кратное 5 или Х кратное 2}. Если xÏAÈB Þ (X не кратное 5 и не кратное 2).

Теперь для множеств и введем множество, называемое Пересечением А и В: ,такое, что его элементы принадлежат и А и В (рис.1.7), т. е.:

Рис.1.7. Иллюстрация пересечения множеств

,

Или

. (1.37)

Пример 1.2.

A)  A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6} Þ AÇB = {3,4}.

B)  Если A = {X | X кратное 5} и B = {X | X кратное 2} Þ AÇB = {X | X кратное 5 и кратное 2} = {X | X кратное 10}.

Если и заданы как формы от и соответственно:

Заметим, что

,

Так что справедливо

. (1.38)

Если АÇВ=Æ, то множества и называются Непересекающимися.

К свойствам операции пересечения можно отнести:

1. 

2. 

3.  , то есть

4.  Коммутативность: , то есть

5.  Ассоциативность: AÇ(BÇC) = (AÇB)ÇC = AÇBÇC.

Взаимодействие операций объединения и пересечения множеств рассмотрим на множествах , заданных на свойствах соответственно:

1.  Дистрибутивность пересечения относительно объединения:

, (1.39)

То есть (опуская аргумент Х):

.

Действительно:

2. Дистрибутивность объединения относительно пересечения:

(1.40)

То есть

.

Доказательство этого свойства такое же, как в предыдущем случае.

3. Исходя из принципа исключения третьего справедливо:

,

.

4. Теорема де Моргана

(1.41)

Действительно, используя (1.38), получим:

Û ( и ) Û [( или ) и ] Û [ и ] или [ и ] Û Или .

Точно так же, используя (1.30), можно доказать, что

. (1.42)

Для множеств и можно ввести операцию «Вычитания» множеств A\BÎP(E), которая определяет множество элементов, принадлежащих и не принадлежащих (рис.1.8).

Рис.1.8. Иллюстрация разности множеств

,

Или

. (1.43)

Пример 1.3.

1)  A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, A\B={1,2}.

2) A={X | X кратно 5}, B={X | X кратно 2} Þ A\B={X | X кратно 5 и Х не кратно 2}Þ A\B={X | X оканчивается на 5}.

Если и заданы формами от , и соответственно, то

. (1.44)

Запись (1.43) можно видоизменить, учитывая, что

,

Тогда

(1.45)

Или иначе

,

Что и отражается в (1.44). Очевидно, что, если A¹B, то:

.

Используя понятие разности множеств, выражение (1.34) для дополнения B при AÍB можно записать

.

Учитывая свойства операций объединения и пересечения можем установить так называемые «законы поглощения»:

(1.46)

(1.47)

Для доказательства (1.46) предварительно покажем, что

.

Действительно, например, для первого соотношения

Û и Þ .

Кроме того, если , так как (Или ) Þ ( или ) Þ . Теперь в (1.46) можем записать , а отсюда .

Для доказательства (1.47) следует учесть, что

,

Так, например,

Þ ( или ) Þ .

Но тогда, если обозначить , то получим:

( и ) Þ ( и ) Þ .

Рассмотрим теперь вопрос о мощности множеств, получаемых при операциях с ними. Пусть заданы A1,A2,…,AnÎP(E), причём | Ai | = ni. Рассмотрим объединение . Тогда число можно получить, перечислив все элементы , а затем все элементы . Но в этом случае общие элементы будут перечислены дважды (рис.1.6), т. е.:

| A1 | + | A2 | = | A1ÈA2 | + |A1ÇA2| Û |A1ÈA2| = |A1| + |A2| — |A1ÇA2|. (1.48)

Для трёх множеств, используя (1.48), получим:

Тогда по индукции можем для объединения n множеств записать

(1.49)

po-teme.com.ua

Свойства операций над множествами

Свойства 1 — 18 обладают двойственностью в том смысле, что если заменять символы « » на «», «» на «» и «» на «», то получится снова одно из свойств 1 — 18. Таким образом, каждой теореме, доказанной на основании формул 1-18, соответствует двойственная теорема. Свойства 6 — 18 доказывается методом встречных включений. В качестве примера докажем свойство 12.

Доказательство свойства 12:

.

Обозначим ,.

1. Пусть . Покажем, что.

(хотя бы одному из множеств).

2. Пусть . Покажем, что.

.

Из 1) и 2) следует, что .

Упражнение. Доказать самостоятельно свойства 6-18.

Разность множеств. Дополнение

Определение 7.Разностью множеств  и называется множество, состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежатВ.

Обозначается . Таким образом,

.

Заметим, что между свойствами операций над множествами и свойствами арифметических операций над числами прослеживается некоторая аналогия (свойства 6-9,12).Однако эта аналогия неполная (свойства 10-11). Приведём ещё два примера по поводу этого замечания.

Пример 1.Пусть— произвольные множества. Тогда

=.

Упражнение. Доказать самостоятельно утверждение примера 1.

Пример 2..

Доказательство примера 2:

1. Пусть верно равенство

.

Так как слагаемое есть часть суммы, то .

2. Пусть . Множествосостоит из элементов множестваА, не принадлежащих множествуВ. Объединяя это множество со множествомВ, получим множествоА.

Если множество В имеет элементы, не входящие во множествоА, то при объединенииВсполучим множество, отличное отА.

Определение 8.Дополнением СА множества А называется множество элементов из множестваЕ, которые не принадлежатА, то есть

.

Справедливы следующие свойства:

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. Дополнение объединения равно пересечению дополнений:

а) ;

б) ;

25. Дополнение пересечения равно объединению дополнений:

а) ;

б) ;

26. .

Свойства 19-26 также как и свойства 1-18 обладают двойственностью. Свойства 24 и 25 выражают так называемый принцип двойственности.

Определение 9.Симметрической разностью множеств А и Вназывается множество

.

Обозначается . Легко видеть, что

.

Упражнение. Доказать самостоятельно последнее утверждение и свойства 19-26.

§2. Отображение

Пусть А, В — произвольные множества изЕ,.

Определение 1.Отображением множества А во множество Вназывается соответствиеf, которое каждому элементуотносит один и только один элемент, который обозначаетсяи называетсязначением отображения f или образом элемента а при отображении f.МножествоАназываетсяобластью определения отображения.

Обозначается или.

Определение 2.Образом подмножества D из А при отображении fназывается совокупность элементов вида, гдеапробегает всё множествоD.

Обозначается . Таким образом,

.

Определение 3.Множествоназываетсямножеством значений отображения f.

Отображение также называютфункцией с областью определения А и множеством значений, лежащим в В.В некоторых разделах математики в зависимости от природы множествАиВи свойствf отображениеfназываютфункционалом, оператороми так далее.

Определение 4.Прообразом элемента bВназывается совокупность всех элементов, что.

Обозначается . Таким образом,

.

Если , то=.

Определение 5. Прообразом множества Кназывается множество

.

Для прообразов множеств исправедливы следующие соотношения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Если , то.

Упражнение.

а) доказать самостоятельно соотношения 1-4;

б) выяснить, верны ли аналогичные соотношения для образов множеств и:

1.;

2.;

3.;

4. Если, то.

Определение 6.Отображениеназываетсяотображением А на В или сюрьективным отображением,если, то есть если

.

Определение 7.Отображениеназываетсяинъективным отображением,если для любого элементаего полный прообразсостоит ровно из одного элемента, или если для любого элементаего полный прообраз состоит не более чем из одного элемента.

Определение 7.Отображениеназываетсяинъективным отображением,если различным элементамсоответствуют различные элементы, то есть

.

Определение 8.Отображениеназываетсявзаимно-однозначным или биективным отображением,если для любого элементаего прообразсостоит ровно из одного элемента, или если оно одновременно является инъективным и сюрьективным.

studfiles.net

04. Основные операции над множествами

matica.org.ua

Калькулятор квадратного уравнения онлайн

Квадратное уравнение-многочлен уравнения второй степени. Общий вид: ax² + bx + c = 0, где ≠ 0

Формула квадратного уравнения

x =(- b ±√ (b² — 4 * a * c)) / 2 * a

Квадратное уравнение это полиномиальное уравнение второй степени. Общий вид которого  ax²+bx+c=0, где a ≠0.

Формула квадратного уравнения:

ax² + bx + c = 0,

где,

• a = коэффициент x²
• b = коэффициент x
• c = константа.

Квадратное уравнение решение:

x = (- b ± √ (b² — 4 * a * c)) / 2 * a

Пример 1:

Вычислите корни (x1, x2) из квадратного уравнения, x² + 2x — 8 = 0.

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значение a = 1, b = 2 и c = — 8.

Шаг 2:

Найдем  X: Подставим значения в формулу x = (- b ±√ (b² — 4 * a * c)) / 2 * a

Шаг 3:

Получаем корни, x = (- 2 ±√ 2² — 4 * 1 * — 8) / 2 * 1,  x = — 4 и x = 2 , соответственно x1 = — 4 и x2 = 2.

Пример 2 :

Вычислите корни (x1, x2) квадратного уравнения, x² — 10x + 25 = 0

Шаг 1:

Из приведенного выше уравнения, значение a = 1, b = — 10 and c = 25.

Шаг 2:

Найдем  X: Подставим значения в приведенную формулу x = (- b ±√ (b² — 4 * a * c)) / 2 * a

Шаг 3:

Получили корни, x = (- 2 ±√(2² — 4 * 1 * — 8)) / 2 * 1 x = 5 и x = 5, соответственно x1 = 5 и x2 = 5. Здесь х = 5, называется двойным корнем.

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

calcsbox.com

Решение квадратного уравнения: онлайн калькулятор

Решить {$ main.types[data.type] $}

Введите уравнение * x + =

Введите уравнение * x² + * x + =

Онлайн урок: Признаки делимости на 9 и на 3 по предмету Математика 6 класс

Пусть у нас есть 153 конфеты. Нужно раздать их троим детям поровну, используя только признак делимости.

Число 153 можно разложить на 1 сотню, 5 десятков и 3 единицы.

Разделим сначала нашу сотню конфет. Каждый ребенок получит по 33 конфеты и в остатке одна.

Теперь разделим один десяток конфет на троих. Имеем по 3 конфеты у каждого и одна в остатке. Значит, для наших пяти десятков каждому ребёнку по 15 (3•5) конфет и в остатке 5 (1•5) конфет.

По аналогии поступим с количеством конфет в единицах- тут всем достанется 1 конфета.

Мы не смогли разделить 1 конфету из сотен, 5 конфет из десятков. То есть в сумме получим  1 + 5 = 6 конфет, которые можно разделить по 2 конфеты каждому.

В итоге каждому ребёнку получится по 33 + 15 + 1 + 2 = 51 конфете.

Значит, число 153 делится без остатка на 3, а 1 + 5 — это сумма цифр этого числа.

Мы на примере посмотрели, как используется признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3

Если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3

Пример 1

Выберите среди чисел 75432, 2772825, 5402070 те, которые делятся на 3

Решение:

По признаку делимости на 3, нужно найти сумму цифр каждого числа и дальше работать с нею.

Для первого: 7 + 5+ 4+ 3+ 2 = 21,а 21 : 3 = 7, то есть сумма цифр делится на 3, значит и наше число делится на 3

Для второго: 2 + 7 + 7 + 2 + 8 + 2 + 5 = 33, а 33 : 3 = 11, то есть сумма цифр делится на 3, значит и наше число делится на 3

Для третьего: 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 7 + 0 = 18, а 18 : 3 = 6, то есть сумма цифр делится на 3, значит и наше число делится на 3

Пример 2

Замените звёздочки в числах 2*5, 31*, *15, на необходимые цифры, чтобы эти числа стали делиться на 3

Решение:

Возьмем первое число 2*5. Из признака делимости мы знаем, что нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Значит, 2 + 5 + * должно делиться на 3.

Сумма известных цифр равна 8, значит, вместо звездочки можно взять, например, 1

Тогда сумма станет 9 и она делится на 3, значит и получившееся число 215 будет делиться на 3

Кроме единицы подходят цифры: 4, 7, так как они отличаются от 1 на 3 и 6 каждая.

Возьмем второе число 31*. Сумма первых цифр равна 4, значит, вместо звездочки минимум надо брать 2, чтоб в сумме было 6

Тогда сумма цифр будет делиться на 3 и само число, 312, будет делиться тоже.

Кроме двойки брать можно и другие цифры, прибавляя по 3: 5 или 8

Получившиеся числа 315 или 318 будут делиться на 3

Берём последнее число *15. Сумма последних двух цифр 6, уже делится на 3. Значит нужно брать вместо первой цифры такие, которые делятся на 3. Это 3, 6 или 9

Получившиеся числа 315, 615, 915 будут делиться на 3 без остатка.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Из признака делимости на 3 можно получить интересный признак делимости на 6

Чтобы ваше число делилось на 6, нужно чтоб оно делилось на 2 и на 3 одновременно.

Пример

Делится ли 216 на 6?

Решение:

216— это чётное число, значит, оно делится на 2

Сумма цифр числа 216 равна 2 + 1+ 6 = 9, значит, оно делится на 3

Отсюда, делаем вывод, что 216 делится на 6

ladle.ru

рассмотрим на примере и выведем правило

 

Рассмотрим простенькую задачу. В одном хозяйстве было собрано утром 846 куриных яиц. Хозяйство это было общим, его содержит 9 семей. Надо разделить между ними поровну все яйца. Как проверить, не выполняя деление, делится ли число 846 на 9 без остатка.

Сначала разложим данное число по разрядам. Число 846 состоит из 8 сотен, 4 десятков и 6 единиц.

Начнем разбираться с сотнями. Если в 100 яиц раскладывать по девяти корзинам, то у нас останется одной яйцо лишнее. То есть с каждой сотни яиц будет 1 яйцо. Так как у нас 8 сотен целых, то следовательно останется 8 яиц.

Теперь разберемся с десятками. Если десять яиц раскладывать по девяти корзинам, то тоже останется одно лишнее яйцо, с каждого десятка. Так как в нашем числе десятков 4, то следовательно останется 4 яйца.

6 яиц которые были в разряде единиц, мы никак не сможем разложить по девяти корзинам, следовательно они тоже останутся.

Теперь сложим все яйца, которые у нас остались. 8 от сотен, 4 от десятков и 6 от единиц, в сумме 8+4+6=18 яиц. 18 яиц можно разложить по девяти корзинам, и не останется ни одного лишнего яйца. Следовательно 846 яиц можно разложить поровну по девяти корзинам.  Это значит, что число 846 делится без остатка на 9.

Признак делимости на 9

Теперь, можем сформулировать признак делимости числа на 9.

• Если сумма цифр числа делится без остатка на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится без остатка на 9, то и само число не будет делиться на 9 без остатка.

Приведем несколько примеров:

Число 76 005 будет делиться без остатка на 9, так как сумма составляющих его цифр: 7+6+0+0+5=18 делится на 9 без остатка.

Число 51 734  не делится без остатка на 9, так как сумма составляющих его цифр: 5+1+7+3+4=20 не делится на 9 без остатка.

Признак делимости на 3

Аналогичным образом получим признак делимости числа на 3.

От деления сотни на 3, будет оставаться единица. От деления десятки на 3, тоже будет оставаться единица. Получаем копию ситуации с девяткой.

• Если сумма цифр числа делится без остатка на 3, то и само число делится на 3. Если сумма цифр числа не делится без остатка на 3, то и само число не будет делиться на 3 без остатка.

Число 76 005 будет делиться без остатка на 3, так как сумма составляющих его цифр: 7+6+0+0+5=18 делится на 3 без остатка.

Число 51 734  не делится без остатка на 3, так как сумма составляющих его цифр: 5+1+7+3+4=20 не делится на 3 без остатка.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Признаки делимости на 2, на 5 и на 10: рассуждаем логически и даем ответ!
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПростые и составные числа: разложение чисел на простые множители

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

«Признаки делимости на 9 и на 3»

Конспект открытого урока по математике в 6 классе.

Тема: «Признаки делимости на 9 и на 3»

Тип: урок постановки учебной задачи.

Формы организации учебной деятельности: работа в парах; работа в группах; индивидуальная работа; фронтальная работа.

Цели:

Предметные: создать условия для освоения учащимися признаков делимости на 9 и на 3 и формулирования ими данных признаков.

Метапредметные: создать условия для формирования следующих УУД:

личностных: самоопределение, смыслообразование;

познавательных: формулирование познавательной цели, поиск и выделение информации, анализ с целью выделения признаков, формулирование проблемы, самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера;

коммуникативных: планирование, постановка вопросов;

регулятивных: целеполагание (постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что ещё неизвестно), планирование (определение последовательности промежуточных целей с учётом конечного результата; составление плана и последовательности действий).

Задачи. Предметные:

1) актуализировать знания, необходимые для открытия и освоения учащимися признаков делимости на 9 и на 3.

2) с помощью практических заданий обеспечить понимание учащимися признаков, позволяющих без непосредственного деления определять делимость на 9 и на 3.

3) формировать у учащихся навыки определения чисел, делящихся на 9 и на 3 без непосредственного деления, а на основании признаков делимости.

Метапредметные:

1) предложить сформулировать проблему;

2) предложить сформулировать познавательную цель после формулирования проблемы;

4) организовать обсуждение результатов с доведением неверных версий до логического противоречия.

 План урока:

1. Организационный момент (приветствие учащихся).

2. Устная работа. Актуализация опорных знаний.

3. Постановка учебной задачи

4. «Открытие» детьми нового.

5. Первичное закрепление

6. Самоонализ и самоконтроль

7. Применение новых знаний

8. Итоги урока. Рефлексия.

Ход урока:

1. Организационный момент (приветствие учащихся).

2. Актуализация опорных знаний.

Ребята скажите с какими понятиями мы познакомились на прошлых уроках./ делитель, кратное, признаки делимости на 10, на 5 и на 2.

1. Какое число называют делителем данного натурального числа?

2. Назовите все делители числа 16.

3. Какое число называют кратным натуральному числу a?

4. Выберите из чисел 14, 21, 75,42, 51, 63, 68, 74, 95, 90, 70 те которые:

а) кратны 7;

б) кратны 2;

в) кратны 5;

г) кратны 10.

Работа в парах.

Перед вами записан ряд чисел, попробуйте распределить их по уже известным признакам делимости. (Приложение 1)

240, 242, 244, 414, 40, 120, 246, 95, 54, 235,250,12, 252, 340, 102,

Какие колонки вам не составило трудности заполнить? / Первые три.

А как вы определили, что число делится на 2? на 5? на 10? / Использовали признаки делимости на 10, на 5 и на 2.

А как вы определили, что число делится на 9 и на 3?/ Делили

Сформулируйте, в чем возникли затруднения.

Возникает проблема: учащиеся умеют делить числа нацело, не выполняя, деление, используют признаки делимости на 2, на 5, на 10, как по записи натурального числа узнать делится число на 9, или делится оно на 3, вызывает у них затруднение. А можно ли, не выполняя, деление определить, делится ли число на 9 или на 3?

3. Постановка учебной задачи.

Значит, что нового мы должны узнать на этом уроке? Так давайте совместно попробуем вывести новые правила, научимся применять их при решении задач. Предлагается ребятам разделиться на группы для решения проблемы.

Первой группе необходимо найти простой и короткий способ быстрого определения делимости числа на 9 без выполнения деления. Второй группе необходимо найти простой и короткий способ быстрого определения делимости числа на 3 без выполнения деления. — Сформулировать правила.

4.  «Открытие» детьми нового.

Задание на 2 — 3 мин. У каждой группы на столе лежит карточка с числами, кратными 3 и 9. Внимательно посмотрите и попробуйте найти то общее, по которому можно определить, что число делится на 3, на 9. Учитель может помогать учащимся наводящими вопросами. А теперь посмотрите, подумайте в группах: что общего у чисел, делящихся на 3? что общего у чисел, делящихся на 9? Карточки (Приложение 2)

Карточка 1. Внимательно посмотрите и попробуйте, не выполняя деление, найти то общее, по которому можно определить, что число делится на 3? 159, 297, 264, 171, 222, 4623?

Карточка 2. Внимательно посмотрите и попробуйте, не выполняя деление, найти то общее, по которому можно определить, что число делится на 9? 297, 171, 468, 117, 396, 7587?

С помощью каких примет можно определить делимость чисел на 3, 9?

Заслушиваются представители каждой группы. Обсуждаются все предложенные способы. Выбираются наиболее рациональный и удобный в применении. Формулируются правила.

Ребята, какая у нас сегодня цель урока? Найти способы быстрого определения делителей числа без выполнения деления. Какая тема урока?

Признаки делимости на 9 и на 3.

Если сумма цифр делится на 3, то само число тоже делится на 3.

Если сумма цифр делится на 9, то само число тоже делится на 9.

5. Первичное закрепление

Выполнение заданий с проговариванием в громкой речи в парах:

1. Из представленных чисел, выбери те числа, которые делятся на 3? Которые делятся на 9? 75 432; 2 772 825; 5 402 070.

2. Из представленных чисел, выбери те числа, которые делятся на 3:

24 600; 67 085; 67 899.

3. Из представленных чисел, выбери те числа, которые делятся на 9:

12 350; 347 958; 67 500.

6. Самоанализ и самоконтроль

Самостоятельная работа по вариантам с последующей самопроверкой.

(Приложение 3)

1. Какие из чисел 23478, 2355, 106200, 3453, 6660, 83400, 45819 делятся:

а) на 3; б) на 9.

2. В числе 2*2 замените * цифрой так, чтобы полученное число:

а) делилось на 3, но не делилось на 9;

б) делилось на 9.

Вариант 2

1. Какие из чисел 45741, 2355, 78000, 3456, 664650, 7545, 65457 делятся:

а) на 3; б) на 9.

2. В числе 112* замените * цифрой так, чтобы полученное число:

а) делилось на 3, но не делилось на 9;

б) делилось на 9.

Прежде чем проверим работу, проведем физкультминутку.

Если число делится на 3, делаем наклоны вперед, если на 9, то делаем наклоны вправо и влево (часики), а если не делится — остаемся неподвижны.

А теперь мы проверим, на сколько вы правильно справились с заданием?

Как вы определили, что делятся на 3 и на 9, по каким признакам?

7. Применение новых знаний. Задания из учебника № 62, 63, 64 (с. 14)

8. Итоги урока. Рефлексия.

1) Ученикам предлагается в листах с фразами поставить знак у тех слов, которые им больше подходят к окончанию урока.

• Урок полезен, всё понятно.

• Ещё придётся потрудиться.

• Да, трудно всё-таки учиться!

2) Учащиеся по кругу высказываются одним предложением.

• Я научился…

• Мне было трудно…

• Сегодня я узнал…

• У меня получилось…

• Теперь я могу…

Спасибо вам за урок.

Домашнее задание 86, 87

Для желающих дома вывести признак деления на 6.

infourok.ru

Признаки делимости чисел. Признаки делимости на 9, на 3

Разделы: Математика

---

Цель урока:

1. Сформулировать признаки делимости натуральных чисел на 9 и на 3.

2. Развивать коммуникативные умения при работе в парах.

3. Формировать общеучебные навыки.

Учебник: Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. Математика. 6 класс. – М.: Мнемозина, 2008.

Ход урока

1. Мотивация на изучение новой темы.

Повторение признаков делимости натуральных чисел на 2, на 5, на 10. Фронтальная работа.

Задание. Любое ли число, делящееся на 5, делится на 10? Всегда ли запись числа, делящегося на 5, оканчивается цифрой 5? Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы полученное число делилось на 5?

а) 378*; б) 25*5; в) 4*13?

2. Изучение и закрепление темы “Признаки делимости на 9, на 3”.

Сформировать группы по 4 человека. Каждому участнику в группе даётся по одному числу 486, 485, 648, 865.

Задание 1. Не выполняя деления, можно ли данное количество яиц разложить в 9 корзин поровну. (Выполняют задание индивидуально, используя текст учебника на с. 13 – 14.)

Формируют в группе пары и рассказывают друг другу деление яиц по корзинам. Перед каждым заданием пары меняют.

Рассказывают деление яиц у доски 4 человека.(486, 485, 648, 865).

Пример. 486 яиц. Если раскладывать поровну в 9 корзин одну сотню яиц, то одно яйцо останется. От четырёх сотен останется 4 яйца. Если раскладывать поровну в 9 корзин один десяток, то останется одно яйцо. От восьми десятков останется 8 яиц. Не разложенными останутся 4 яйца от сотен, 8 яиц от десятков и ещё 6 яиц. 4 + 8 + 6 = 18. 18 яиц можно разложить поровну в 9 корзин. Значит, 486 яиц можно разложить поровну в 9 корзин. Это значит, что число 486 делится без остатка на 9.

Аналогично рассказывают о числах 485; 648; 865.

На доске учитель делает запись:

Задание: Сформулируйте признак делимости числа на 9.

Ответ: Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9.

Задание 2. составьте схему для логического квадрата по признаку делимости чисел на 9. (Учащиеся работают в парах. Изображают схему в тетради. Учитель изображает схему на доске.)

 

Задание 3. Сформулируйте по логической схеме высказывания и составьте совмещённое правило. (Работают в парах.)

1. Если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на 9.
2. Если сумма цифр числа не делится на 9, то число не делится на 9.
3. Если число делится на 9, то сумма цифр числа делится на 9.
4. Если число не делится на 9, то сумма цифр числа не делится на 9.

При фронтальной работе правило озвучивают.

Совмещённое правило записывают в тетради и на доске.

Задание 4. Сформулируйте к правилам вопросы-суждения и постройте ответы.

(Работа ведётся в парах.)

Вопрос 1. Чем объяснить, что число 5402070 делится на 9?

Ответ: Сумма цифр данного числа 18 делится на 9.

Если сумма цифр числа делится на 9, то число делится на9.

Число 5402070 делится на 9.

Вопрос 2. Каким образом в числах, делящихся на 9, поставить цифры вместо звёздочек: 2*5, 46*, *14?

Ответ: Суммы цифр 225, 468, 414 делятся на 9.

Если числа делятся на 9, то сумма цифр делится на 9.

Вместо звёздочек поставим цифры 2, 8, 4.

Вопрос 3. Как доказать, что число 75432 не делится на 9?

Ответ: Сумма цифр числа 21 не делится на 9.

Если сумма цифр числа не делится на 9, то число не делится на 9.

Число 75432 не делится на 9.

Задание 5. Запишите какие-нибудь три четырёхзначных числа, которые делятся на 9. (Задание самостоятельно выполняют на карточке, сдают на проверку учителю.)

3.

Рефлексия.

Задание 1. Прочитайте тему урока и сформулируйте задачу, которую ещё надо решить.

Ответ: Надо сформулировать признак делимости чисел на 3.

Задание 2. Составьте план решения данной задачи.

Ответ. Идёт фронтальная работа по составлению плана:

1. Проанализировать четыре числа.
2. Сформулировать признак делимости числа на 3.
3. Составить логическую схему по признаку делимости чисел на 3.
4. Сформулировать по схеме 4 высказывания.
5. К высказываниям сформулировать вопросы-суждения и построить ответы.
6. Придумать четыре числа, которые делятся на3.
7. Придумать четыре числа, которые не делятся на 3.

Карточки с вопросами раздаются каждому ученику.

(Работают в парах. Запись ведут на отдельных листах.)

Фронтальная работа по вопросам.

На доске логическая схема.

По схеме формулируют четыре высказывания.

4. Домашнее задание.

Подготовить рассказ по карточке.

13.05.2011

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Признаки делимости на 9 и 3

Урок 4

Тема: Признаки делимости на 9 и 3

Оборудование: доска, мел

Повторение:

«Крестики-нолики»

1. 1 – делитель любого числа.

2. 0 – делитель любого числа.

3. Число 1 имеет только 1 делитель.

4. Число 5 имеет 3 делителя.

5. Число 100 кратно 20

6. Числа 15, 30, 45 кратны 15

7. Самое маленькое кратное любого числа – 1.

8. Самое большое кратное числа – само это число

9. Самый большой делитель числа – само это число.

Новый материал:

Давайте сразу запишем:

• Признак делимости на 9: Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Прочитаем несколько раз эту запись и постараемся запомнить.

Давайте проверим. так ли это на самом деле:

Возьмём число: 76 455

Найдём сумму его цифр: 7+6+4+5+5=27 – делится на 9

Проверим, действительно ли число 76 455 делится на 9 (76 455 : 9 = 8495)

Проверьте теперь сами число: 33309. (Сумма цифр 18, 33309:9=3701)

Запишем теперь признак делимости на 3. На самом деле он точно такой же попробуйте сформулировать мне его, глядя на предыдущий

• Признак делимости на 3: Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Упражнение 1: Учебник: №58.

Упражнение 2: Учебник: №60

Упражнение 3: Учебник №62

Задания на урок:

1. Устно: 72, 73, 74, 75

2. № 59

3. №61

4. №64

5. №68

6. №69

7. №77

8. №79

9. №84

10. №86(а, в)

Домашнее задание:

1. Учебник: (стр.13-14) – прочитать.

2. № 81, 82, 85, 86(б, г)

globuss24.ru

Что такое проценты и как их считать

1 : 100 = 1
100 = 0,01 = 1%

25 : 100 = 25
100 = 1
4 = 0,25 = 25%

50 : 100 = 50
100 = 1
2 = 0,5 = 50%

100% чего-либо - 50% чего-либо = 50% чего-либо

100 : 100 = 100
100 = 1 = 100%

100% чего-либо + 100% чего-либо = 200% чего-либо

150 : 100 = 150
100 = 150
100 = 11
2 = 1,5 = 150%

200 : 100 = 200
100 = 2 = 200%

100% чего-либо + 200% чего-либо = 300% чего-либо

100% - 30% = 70%

300 меньше 1000 на 70%
Значение уменьшилось на 70%
План сделан на 30%, он недовыполнен на 70%

333,33% - 100% = 233,33%

1000 больше 300 на 233,33%
Значение увеличилось на 233,33%
План сделан на 333,33%, он перевыполнен на 233,33%

Признак делимости на 4 | Математика

Определить, делится ли число на 4 нацело, можно с помощью признака делимости. Делимость на 4 зависит от двух последних цифр в записи числа.

1-й признак делимости на 4

Натуральное число делится без остатка на 4:

— если его запись оканчивается двумя цифрами, образующими число, которое делится на 4;

— если его запись оканчивается двумя нулями.

Чтобы не проверять делимость на 4 числа, образованного двумя последними цифрами, непосредственным делением, можно воспользоваться другим признаком.

2-й признак делимости на 4

Натуральное число делится без остатка на 4, если сумма предпоследней цифры в его записи и половины последней цифры — чётное число.

Схематически делимость на 4 трёхзначного числа в этом случае выглядит так:

Для шестизначного числа признак делимости на 4 схематично можно изобразить так:

1) Определить, какие из данных чисел делятся без остатка на 4:

23452; 1400; 75415; 43928; 9672; 87530; 6497; 10000; 311020; 712112; 45908; 65439; 83760; 56736; 34514; 39782.

Решение:

Прежде всего отбросим все нечётные числа: 75415, 6497, 65439 — они не делятся на 4.

Далее отбираем числа, запись которых оканчивается двумя нулями: 1400, 10000 — они делятся на 4.

В оставшихся числах проверяем делимость на 4 числа, образованного двумя последними цифрами:

23452 делится на 4, так как 52 делится без остатка на 4 (5+2:2=5+1=6 — чётное число).

43928 делится на 4, так как 28 делится на 4.

9672 кратно 4, так как 72 кратно 4 (7+2:2=7+1 — чётное число).

311020 делится нацело на 4, так как 20 делится на 4.

712112 делится на 4, так как 12делится на 4.

45908 делится на 4, так как 08 делится на 4.

83760 делится на 4, так как 60 делится на 4 (6+0:2=6 — чётное число).

56736 делится на 4, так как 36 делится без остатка на 4.

87530 не делится на 4, так как30 не делится нацело на 4.

34514 не делится на 4, так как 14 не кратно 4.

39782 не делится на 4, так как 82 не делится без остатка на 4 (8+2:2=8+1=9 — нечётное число).

Ответ: 23452; 1400; 43928; 9672; 10000; 311020; 712112; 45908; 83760; 56736.

2) Найти какое-либо четырёхзначное натуральное число, кратное 4, сумма цифр которого на 1 больше их произведения.

Решение:

Самый простой случай — если запись натурального числа оканчивается двумя нулями. В этом случае произведение цифр числа равно нулю. Значит, сумма цифр должна равняться единице. Подходящий вариант — 1000.

Ответ: 1000.

www.for6cl.uznateshe.ru

какое число делится на 9 7 6 и 4

любое кроме нуля

любое… кроме нуля конечно)

252 вроде наименьшее

это число 9*7*4*6

1512 и многие другие