Школьная жизнь — Страница 250 — Таловская средняя школа

Как строить в полярной системе координат – ?

alexxlab / 29.04.201908.06.2019 / Школьная жизнь

Говорят, что на плоскости введена Полярная система координат, если заданы:

1) некоторая точка 0, называемая Полюсом;

2) некоторый луч, исходящий из точки 0 И называемый Полярной осью.

Полярными координатами точки M называются два числа: Полярный радиус и Полярный угол — угол между полярной осью и вектором .

Пусть на плоскости введены декартова и полярная системы координат, причем начало декартовой системы совпадает с полюсом, а полярная ось — с положительной полуосью абсцисс. Тогда прямоугольные координаты X, Y точки М и ее полярные координаты ρ, φ связаны следующими формулами:

Задание 4. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1. Построить линию по точкам, придавая φ значения от до через промежуток .

2. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

3. По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить тип линии.

Решение.

1) Совместим декартову и полярную системы координат и рассмотрим окружность произвольного, достаточно большого радиуса С центром в полюсе. Построим радиусы, образующие углы с полярной осью, где принимает значения от до с шагом . Вычислим косинусы этих углов и по этим значениям найдем . Результаты вычислений занесем в таблицу:

0
1	0,92	0,7	0,38	0	-0,38	-0,7	-0,92	-1	-0,92	-0,7	-0,38	0	0,38	0,7	0,92	1
0,16	0,17	0,19	0,24	0,33	0,53	1,11	4,16	∞	4,16	1,11	0,53	0,33	0,24	0,19	0,17	0,16

Построим точки () и по полученным точкам построим искомую линию:

2) Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами:

Отсюда , .

Тогда имеем:

Или после упрощения

3) Чтобы определить тип линии, определяемой полученным уравнением,

Преобразуем его к каноническому виду:

Или

Окончательно получим:

Где ,. Таким образом, данное уравнение определяет параболу.

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

3.2.4. Кривые в полярной системе координат

Рис. 31

Полярная система координат задана, если задана точка , называемая полюсом, и исходящий из полюса луч , который называется полярной осью. Положение любой точки в полярной системе координат однозначно определяется ее полярными координатами: полярным радиусом — расстоянием от полюса до точки и полярным углом — углом поворота полярной оси до совпадения с вектором (рис.31).

В полюсе полярный радиус , а полярный угол не определен. Для всех точек плоскости, не совпадающих с полюсом .

Полярный угол измеряется в радианах и считается положительным, если отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярный угол определяется с точностью до , где — целое число. Это означает, что точки с полярными координатами и при целом совпадают.

Если задана полярная система координат, то каждой паре чисел , из которых , соответствует точка плоскости, для которой эти числа являются ее полярными координатами. Если , то эта точка расположена на луче, составляющим угол с полярной осью , и на расстоянии от полюса. Если , то эта точка совпадает с полюсом.

Из определения полярных координат следует, что уравнение задает на плоскости окружность с центром в полюсе и радиусом , а уравнение задает на плоскости луч, проходящий через полюс и составляющий с полярной осью угол , в частности уравнения полярной оси .

Рис. 32

Если задать на плоскости прямоугольную декартову систему координат, поместив ее начало в полюс и совместив ось абсцисс с полярной осью, то, как легко видеть из рис. 32, декартовы координаты и выражаются через полярные координаты из соотношений

Если каждое уравнение системы возвести в квадрат и сложить их, то получим уравнение , из которого по заданным декартовым координатам можно определить полярный радиус.

Задача 3

Построить кривую, заданную уравнением , перейдя к полярным координатам.

Решение

Воспользуемся формулами, связывающими декартовы координаты с полярными координатами

и .

Тогда уравнение заданной кривой можно записать в виде

, или .

Сокращая последнее уравнение на и используя формулу , получим

, или .

Поскольку — периодическая функция с периодом , то можно построить кривую на промежутке , длина которого равна периоду функции, а затем использовать периодичность.

На промежутке , функция определена только при , что равносильно неравенству , или . Поэтому найдем несколько точек на кривой при из промежутка и нанесем их на плоскость в полярной системе координат.

Кривая при получится поворотом на угол , равный периоду функции. Заданная кривая называется лемнискатой Бернулли, ее вид показан на рисунке 35.

Рис. 35

nww13.narod.ru

Полярная система координат.

Поиск Лекций

Функций при помощи электронных

Таблиц Excel.»

Автор работы: Белкин Алексей Васильевич,

ученик 10 класса МБОУ «Многопрофильная гимназия г. Лагани»

Научный руководитель: Никифоров Евгений Алексеевич,

учитель математики МБОУ «Многопрофильная гимназия г. Лагани»

Г. Лагань — 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
1.1.Инструкция по построению кривых с помощью программы Microsoft Excel.	3-5
1.2. Полярная система координат	5-6
1.3. Инструкция по построению кривых в полярных координатах с помощью программы Microsoft Excel	6-10
1.4. Построение кусочно-заданной функции на примере построения эскиза национального орнамента	11-12
Заключение	13 — 14
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы.При изучении, темы преобразования графиков функций возникла необходимость построения графиков элементарных функций и уравнений выше второй степени. Для изучения свойств этих функций Microsoft Excel предлагает широкие возможности, которые в школьных учебниках по информатике не оговариваются.

Вопрос (мотивация): Как построить график с изменяющимся параметром, для дальнейшего его изучения?

Проблема: необходимо найти удобный (сравнительно простой, наглядный, доступный) способ построения графиков элементарных функций и уравнений степеней выше второй с двумя переменными.

Гипотеза: для решения поставленной проблемы, возможно использовать инструменты прикладной программы Microsoft Excel, а для построения графиков уравнений высших порядков ввести новые переменные, или новую систему координат, или и то и другое одновременно.

Поэтому, объект нашего исследования —прикладная программа Microsoft Excel, ее возможности для построений графиков функцийи исследования их.

Исходя из этого, предметом нашего исследования стали уравнения элементарных функций и кривых высших порядков.

Цель работы – показать алгоритм построение графиков функций в Excel, принцип построения линий высших порядков в полярной системе координат с помощью формул перехода от декартовых координат к полярным координатам. Результаты исследования: в процессе работы я:

Ø Научился строить графики функций, с дальнейшей возможностью изучения их свойств

Ø изучил переход от декартовой системы координат к полярной и обратно;

Ø исследовал изменения вида графиков функций и кривых, в зависимости от параметров входящих в её уравнение;

Ø познакомились с некоторыми замечательными кривыми известных математиков.

Планы и перспективы: продолжить изучение плоских кривых.

Инструкция по построению кривых с помощью программы

Microsoft Excel.

Пусть задана функция y= f(x), где х – независимая переменная , а y – переменная зависящая от х.

Для начала нам необходимо задать значения независимой переменной с заданным шагом (шаг лучше выбрать дробным значением). Чем меньше шаг вычисления независимой переменной тем точнее построенный график.

Задаем формулу по которой определяется зависимая переменная. Вычисляем для каждого значения независимой переменной ее соответствующее значение функции.

По построенным данным строим график функции.

Следовательно, математическая модель у нас уже есть. Рассмотрим пример построения уравнения графика и ее исследования

. Рассмотрим в качестве примера тригонометрическую функцию

Построим компьютерную модель исследования.

Для дальнейших исследований будем одновременно строить график исходной элементарной функции y= sinx и преобразованной функции и сравнивать полученные результаты.

Формулы будут записаны в терминах электронных таблиц следующим образом:

А3= -7 А4 =А3+0,1 (шаг можно уменьшить например до 0,001) B3 =sin(a3) у меня независимая переменна изменяется на интервале (-7;7), что примерно соответствует интервалу ( )

d3= -7 d4 =d3+0,1 E3 =sin($f$1*d3) В ячейке F1 будем задавать значение параметра k, и рассматривать полученные изменения графика функции

Фрагмент произведенных расчетов из электронной таблицы приведен ниже

В приложенном к работе файле Microsoft Excel работа графики можно увидеть полные вычисления и полученные результаты

Для детального изучения преобразований графики построил в одной системе координат, что дает возможность сравнить полученные результаты.

Для дальнейших исследований достаточно теперь изменить значение в ячейке f1, и получим иную картину. Например f1=-4

Как видно значения функции автоматически пересчитаны, и построен уже другой график. Данные возможности мною были продемонстрированы одноклассникам на уроке математики. В дальнейшем мои товарищи на уроки изучили свойства полученных графиков функций и наглядно изучили преобразования графиков следующих функций

( и др.)

Полярная система координат.

Мои исследования, на этом не закончились, возник вопрос в построении более сложных графиков. В качестве примера мною рассмотрено уравнение

В полярной системе координат положение точки определяется полярным радиусом R и углом , образуемым полярным радиусом с полярной осью. Следовательно, полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел . Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Если в декартовой системе координат предельно простое выражение определяет прямую линию, то это же выражение, переписанное в форме , уже превращается в спираль. Фигуры в полярных координатах образуются как след конца бегающего по кругу полярного радиуса переменной длины. Длина полярного радиуса определяется величиной угла, который в данный момент времени он образует с полярной осью. Координата берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида , которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных . Для полюса , угол произвольный.

Связь между полярной и декартовой системами координат.

Точка О — полярный полюс, луч ОЕ будем называть полярной осью, отрезок ОМ — называют длиной полярного радиуса R, положительный угол от луча ОЕ до луча F — полярный угол.

Если известны полярные координаты R и , точки М, то можно уставить связь с её декартовыми координатами.

Построим прямоугольный ОМЕ. В этом треугольнике гипотенуза ОМ=R, ЕОМ = , катет ЕМ = у, катет ОЕ = х координаты точки М.

Для того, чтобы перейти от полярных координат к декартовой системе, используют формулы: , , . Обратно, чтобы, имея прямоугольные координаты, получить расстояние нужное для задания полярных координат, надо воспользоваться теоремой Пифагора: , затем , .

Некоторые замечательные кривые.На протяжении многих лет ученые собирали информацию о формулах, рисующих разные фигуры. Многие фигуры получили свои названия. Список таких названий внушителен: спираль Архимеда, Ферма, Галлилея, Фибоначчи, кардиоида, овалы Кассини, лемниската Бернулли, фигуры Лиссажу, розы Гвидо Гранди, кривые Маклорена, верзьера (локон Марии Аньези) и т.д.

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

8 класс решение систем уравнений – Система уравнений. Подробная теория с примерами.

alexxlab / 28.04.201908.06.2019 / Школьная жизнь

Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения.

Методы решения систем уравнения.

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение. Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки )
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
6x-9y=-30
-4y+9y=2+30

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

tutomath.ru

Системы уравнений — Алгебра — 8 класс

Вариант 1.

Обязательная часть.

№1. Какие из следующих пар чисел (0; — 1,5), (-1; 1), (-1; -2) являются решением уравнения х – 2у = 3?

№2. Постройте график уравнения 3х – у = 2.

№3. Определите, какая из прямых проходит через начало координат, и постройте эту прямую:

у = 2х – 4;

у = ;

у = 2.

№4. Решите систему уравнений

№5. Вычислите координаты точек пересечения прямой у = х + 2 и окружности х² + у² = 10.

Дополнительная часть.

№6. Решите систему уравнений

№7. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой у = 2х – 7 и проходящей через точку А (4; 7).

№8. Федор на вопрос о том, сколько лет ему и его брату, ответил: «Вместе нам 20 лет, а 4 года назад я был в 2 раза старше брата. Сосчитайте, сколько лет каждому из нас».

Вариант 2.

Обязательная часть.

№1. Через какие из следующих точек: А(0; 4), В(2; 0), С(-3; -10) проходит прямая 2х – у = 4??

№2. Постройте график уравнения у = -2х + 6.

№3. Определите, какая из прямых проходит через точку (0; 4), и постройте эту прямую:

у = 2х + 4;

у = — ;

Х = 4.

№4. Решите систему уравнений

№5.Составьте систему уравнений и решите задачу:

В шести больших и восьми маленьких коробках вместе 116 карандашей, а в трех больших и десяти маленьких – 118 карандашей. Сколько карандашей в большой коробке и сколько в маленькой?

Дополнительная часть

№6. Решите систему уравнений .

№7. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются точки пересечения прямых х = 1, у = -2, у = -2х + 6.

№8. Сумма двух чисел равна 22, а разность квадратов этих чисел равна 176. Что это за числа?

Вариант 1.

Обязательная часть.

№1. Какие из следующих пар чисел (0; — 1,5), (-1; 1), (-1; -2) являются решением уравнения х – 2у = 3?

№2. Постройте график уравнения 3х – у = 2.

№3. Определите, какая из прямых проходит через начало координат, и постройте эту прямую:

у = 2х – 4;

у = ;

у = 2.

№4. Решите систему уравнений

№5. Вычислите координаты точек пересечения прямой у = х + 2 и окружности х² + у² = 10.

Дополнительная часть.

№6. Решите систему уравнений

№7. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой у = 2х – 7 и проходящей через точку А (4; 7).

Вариант 2.

Обязательная часть.

№1. Через какие из следующих точек: А(0; 4), В(2; 0), С(-3; -10) проходит прямая 2х – у = 4??

№2. Постройте график уравнения у = -2х + 6.

№3. Определите, какая из прямых проходит через точку (0; 4), и постройте эту прямую:

у = 2х + 4;

у = — ;

Х = 4.

№4. Решите систему уравнений

№5.Составьте систему уравнений и решите задачу:

Дополнительная часть

№6. Решите систему уравнений .

№7. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются точки пересечения прямых х = 1, у = -2, у = -2х + 6.

№8. Сумма двух чисел равна 22, а разность квадратов этих чисел равна 176. Что это за числа?

multiurok.ru

Основные методы решения систем повышенной сложности. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

Выбор метода решения системы зависит от её специфики. Основными являются стандартные методы – метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод введения новых переменных. Возможны иные методы и их комбинации. Рассмотрим их на примерах.

Пример 1. Решить систему

Решение: Специфика данной системы в том, что второе уравнение раскладывается на множители

Мы получили систему, линейную относительно . Исходную систему упростили методом подстановки. Полученную систему решаем методом алгебраического сложения.

Мы решили систему комбинацией методов подстановки и алгебраического сложения.

Ответ:

Пример 2. Решить систему

Решение: Можно сделать замену переменной и тем самым понизить степень уравнения. Но мы применим метод подстановки, выразим

Получили биквадратное уравнение. По теореме Виета

Ответ:

Пример 3. Решить систему

Решение: Применим метод алгебраического сложения, чтобы избавиться от у.

Ответ:

Пример 4. Решить систему

Решение: Важно увидеть, что левая часть первого уравнения – это формула квадрата разности.

Мы получили линейную систему двух уравнений относительно x и y Вычтем из первого уравнения второе.

Ответ: (2; 1).

Пример 5. Решить систему

Заметим, что и произведем замену переменных:

Решаем систему относительно новых переменных:

Мы решили систему относительно новых переменных, перейдем к старым переменным.

Ответ:

Пример 6. Решить систему

Решение: Заметим одинаковые члены и почленно поделим одно уравнение на другое.

Мы можем сократить на только если но это так и есть, т.к. в противном случае исходная система содержала бы противоречие.

По этой же причине и

Подставим x в первое уравнение.

Мы решили систему методом почленного деления уравнений.

Ответ:

Пример 7. Решить систему

Решение:

В левой части каждого уравнения стоит квадратный трехчлен относительно x с параметром y. Каждый одночлен имеет степень 2, уравнение неоднородное. Есть метод решения таких уравнений, но справа должен быть 0. Умножим первое уравнение на -2.

Ответ:

Пример 8. Решить систему

Решение: Имеем систему двух неоднородных уравнений второй степени. Как и в предыдущей системе, нам необходимо обнулить правую часть одного из уравнений. Умножим первое уравнение на -2.

Мы получили однородное уравнение второй степени.

Решим первое уравнение путем деления на старшую степень x или y.

Тут возможны два варианта

1. В таком случае и Но это создает противоречие во втором уравнении системы.

2. Разделим обе части уравнения на

Получили квадратное уравнение относительно .

Корни квадратного уравнения

возникает противоречие, система не имеет решения.

Ответ:

Мы рассмотрели системы двух уравнений с двумя неизвестными, решили их, обсудили методы решения. Важно, что эти системы были даны в явном виде. На следующих уроках нам придется получать системы, решая текстовые задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 130 – 140(а).

interneturok.ru

План-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему: Решение систем, содержащих уравнение второй степени.

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1.Организационный момент

— Здравствуйте ребята, присаживайтесь.

Учащиеся рассаживаются, слушают учителя.

2. Актуализация опорных знаний и способов действий

— Итак, начнем. Откройте тетради, запишите число, классная работа. Сегодня мы приступим к изучению новой темы. Для начала посмотрите на доску и ответьте на несколько вопросов.

Учитель заранее написал на доске системы уравнений, задает вопросы ученикам.

— На доске записаны системы уравнений.

— Какие способы решения систем уравнений вам известны?

-Графический метод на сегодняшнем уроке мы применять не будем, так как он не всегда удобен и часто дает приближенные корни.

-Обратите внимание на 1 систему уравнений. Каким способом мы можем решить эту систему?
-Напомните мне формулировку теоремы Виета.

-Можем ли мы узнать корни данной системы, опираясь на сказанную теорему?

— А могут ли x=-2,y=5 ?

— Подставляя в систему уравнений заметим, что от перемены мест слагаемых сумма и произведение не меняются. Следовательно в ответе будут 2 пары чисел: x=5, y=-2 ; x=-2,y=5.

— Посмотрите на 2 систему. Каким способом мы можем ее решить?

-А какой из этих двух способов будет более рациональным?

-Решим вторую систему уравнений способом сложения.

Учитель вызывает 1 ученика к доске.

-Что получится при сложении?

-Как найдём y?

-Какой ответ получится?

— А может ли х=3, у=5?

-Обратите внимание на 3 и 4 системы уравнений. Чем они отличаются от предыдущих систем?

— Итак, мы подошли к изучению новой темы. Как вы думаете, как она будет звучать?

-Запишите тему урока: Решение систем, содержащих уравнение второй степени.

Записывают в тетради число, классная работа.

Слушают и отвечают на вопросы учителя:

— Способ подстановки, способ сложения, по теореме, обратной теореме Виета и графический.

— Способом подстановки, по теореме, обратной теореме Виета.

-Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

-Можем. x=5, y=-2

— Могут.

— Способом подстановки и способом сложения.

-Способ сложения.

Один из учеников выходит к доске, решает.

2х=10

х=5

— Выразим y из любого уравнения и подставим х.

y=8-x

y=8-5=3

-х = 5 и y=3.

-Нет. Второе уравнение будет неверным.

— Они содержат уравнения второй степени.

-Решение систем, содержащих уравнение второй степени.

3. Изучение нового материала

-Записываем третью систему уравнений в тетрадь. Как вы сказали, существуют несколько способов решения систем уравнений. Как вы думаете, каким способом можно решить данную систему?

Учитель вызывает ученика к доске.

— При решении методом подстановки, что нужно сделать в первую очередь?

-Посмотрите внимательно на первое уравнение. Что вы можете о нем сказать?

-Распишите 1 уравнение.

-Что будем делать дальше?

-У вас получилась новая система уравнений. Как мы будем ее решать?

-Решите любых из этих двух способов.

-Запишите ответ.

-Записываем 4 уравнение в тетрадь.

Учитель вызывает ученика к доске.

-Каким способом будем решать данную систему?

— При решении методом подстановки, что нужно сделать в первую очередь?

-После того, как мы выразили, что будем делать дальше?

-Что получится?

— Продолжай решать, проговаривая каждое действие.

-Записываем ответ.

-Как вы заметили системы, содержащие уравнения второй степени решаются также как и системы, содержащие уравнения 1 степени.

Слушают учителя, отвечают на вопросы

записывают решение в тетрадь.

— Способом подстановки.

1 ученик выходит к доске.

— Выразить одну переменную через другую.

-Разность квадратов.

— Так как , подставим в первое уравнение. Получим:

-Способом сложения или подстановки.

2х=6

х=3

-Подставим в 1 уравнение х, получим:

3+у=4

у=1

Ответ: (1;3)

1 ученик выходит к доске.

-Способом подстановки.

— Выразить одну переменную через другую.

-Подставим у первое уравнение вместо y выражение 3х-6.

Раскрываем скобки, приводим подобные.

Умножим на -1.

Получилось квадратное уравнение. Решаем по общей формуле.

D =

Подставляем полученные корни во второе уравнение, получим:

= 19,8

= -3

Ответ: и (1; -3).

4. Первичное применение нового материала

-Для закрепления данной темы обратимся к учебнику. Решаем № 492(1)

Учитель вызывает ученика к доске.

-Каким способом будем решать данную систему?

-Решай систему, проговаривая каждое действие.

-Решаем следующий № 493 (1,3).

Учитель вызывает ученика к доске.

-Каким способом будем решать?

-Решай систему, проговаривая каждое действие.

Учитель вызывает ученика к доске.

-Каким способом будем решать?

-Можно ли данную систему решить другим способом?

Ученики поднимают руку, желающие выходят к доске.

Решают у доски по очереди:

-Способом сложения.

-Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым.

5х=20

х=4

Подставляем х в первое уравнение. Для начала выразим у:

у=2х-3

у=2*4-3=5

Ответ: (4;5)

Ученик выходит к доске.

-Способом подстановки.

-Подставляем во второе уравнение вместо у выражение (х+6).

Так как уравнение приведенное, решим по теореме Виета:

Подставляем в первое уравнение полученные корни:

Ответ: (-3;3) и (7;13).

Ученик выходит к доске.

-Способом подстановки.

-Можно. Способом сложения. Умножив любое уравнение на -1 и сложить.

Умножим первое уравнение на -1 и сложим.

Так как уравнение приведенное, решим по теореме Виета:

Выразим х из первого уравнения и подставим:

Ответ: (3;-1) и (-5;3).

5. Постановка домашнего задания

-Наш урок подошел к концу. Запишите домашнее задание.

Учитель записывает домашнее задание на доске.

П 32. Стр 136.

№ 492. Решить систему уравнений 1 степени с двумя неизвестными.

№ 493. Решить систему уравнений.

Записывают домашнее задание.

6. Подведение итогов урока

Учитель задает вопросы.

— Подводя итоги урока, давайте вспомним способы решения систем уравнений.

-Какие способы мы используем для решения систем, содержащих уравнения 2 степени?

-Все ли вам было понятно? Ученики, которые выходили к доске, подойдите ко мне с дневниками.

До свидания!

Учитель прощается с учениками, выставляет оценки.

Учащиеся отвечают на вопросы:

-Способ сложения, способ подстановки, теорема обратная теореме Виета.

— Способ сложения, способ подстановки.

-Да.

Прощаются с учителем. Подходят для выставления оценок.

nsportal.ru

Задачи на составление систем уравнений 8 класс

Задачи на составление систем уравнений

1.Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см². Найти стороны прямоугольника. ( Отв. 10 см и 4 см)

2. Площадь прямоугольника равна 120 см², а диагональ его равна 17 см. Найти стороны прямоугольника. ( Отв. 15 см и 8 см)

3. Прямоугольный участок земли площадью 2400 м² обнесен кругом изгородью, длина которой равна 200м. Найти длину и ширину этого участка. ( Отв. 60 м и 40 м)

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см. а его площадь 180 см². Найти катеты. ( Отв. 40 см и 9 см)

5. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, а его площадь 96 см². Найти стороны треугольника. ( Отв. 12 см ; 16 см; 20 см)

6. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а среднее геометрическое 12. Найти эти числа. ( Отв. 36 и 4 )

7. Среднее арифметическое двух чисел равно 17, а среднее геометрическое 15. Найти эти числа. ( Отв. 9 и 25 )

8. Расстояние между двумя городами, равное 480 км, пассажирский поезд проходит на 4 ч скорее, чем товарный. Если скорость пассажирского поезда увеличить на 8 км/ч, а скорость товарного увеличить на 2 км/ч, то пассажирский поезд пройдет все расстояние на 5 ч скорее товарного. Найти скорость каждого поезда. ( Отв. 40 км/ч и 30 км/ч)

9. Из города А и В, расстояние между которыми равно 180 км, отправлены в одно и то же время два поезда навстречу друг другу. После их встречи поезд, вышедший из А, прибывает в В через 2ч, а другой поезд приходит в А через 4 ч 30мин. Найти скорость каждого поезда. ( Отв. 36 км/ч и 24 км/ч)

10. На двух прямоугольных участках земли посажено рядами 350 плодовых деревьев, причем оказалось, что на каждом участке число рядов на 1 больше числа деревьев в ряду. Сколько деревьев было посажено в каждом ряду на том и другом участке, если на первом из них было на 130 деревьев больше, чем на втором? ( Отв. 15 деревьев и 10 деревьев)

11. Деревянная балка весит 90 кг, а железная балка, длина которой на 2м больше деревянной, весит 160 кг, причем вес одного погонного метра железной балки на 5 кг больше веса погонного метра деревянной балки. Найти вес одного погонного метра и длину каждой балки. ( Отв. 15 кг; 6 м; 20 кг; 8 м)

12. Учет урожая на участках двух соревнующихся бригад показал, что на участке первой бригады было собрано 200 ц пшеницы, а на участке второй бригады, имеющем площадь на 2 га больше, собрано 300 ц пшеницы при урожае, на 5 ц с гектара большем, чем на первом участке. Найти площадь каждого участка земли и количество собранной пшеницы с 1 га того и другого участка. ( Отв. 10 га; 20 ц; 12 га; 25 ц; 8 га; 25 ц; 10 га; 30 ц)

13. Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска. Велосипедист, двигаясь на спуске со скоростью, на 6 км/ч большей, чем на подъеме, затрачивает на путь от А до В 2ч 40 мин., а на обратный путь от В до А на 20 мин. меньше. Найти скорость велосипедиста на подъеме и на спуске, и длину подъема в направлении от А к В, если длина всей дороги равна 36 км. ( Отв. 12 км/ч и 18 км/ч; 24 км)

14. Для состязания велосипедистов установлена дистанция 6 км. Велосипедист А обогнал велосипедиста В, придя к финишу на 2 мин. раньше В. Если бы А уменьшил скорость на 0,1 км/мин., а В на столько же увеличил свою скорость, то В пришел бы к финишу на 2 мин. раньше А. Найти скорость в час каждого велосипедиста. ( Отв. 36 км/ч и 30 км/ч)

15. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 6 и в остатке 2. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 5 и в остатке 2. Найти это число. ( Отв. 32)

infourok.ru

«Решение систем уравнений способом подстановки» конспект урока алгебры 8 класс.

Управление образования администрации муниципального образования «Вельский муниципальный район»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №92 г. Вельска»

«Решение систем уравнений способом подстановки»

конспект урока алгебры 8 класс.

г. Вельск

2016 г.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение. 3

2. Основная часть. 4

3. Заключение. 10

4. Список литературы. 10

5. Приложения. 11

Введение.

В данной методической разработке представлен конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение систем уравнений способом подстановки». Этот материал будет интересен учителям математики по применению проблемно-деятельностного подхода.

Актуальность этой методической разработки состоит в том, что представленный урок математики разработан с элементами ФГОС. Выбранная тема урока, важный материал для обучающихся 8 класса, так как прочные знания по этой теме помогут решить данное задание при сдаче ОГЭ, а также для решения задач различной тематики и сложности. В данной методической разработке показан урок «открытия» нового знания.

Структура урока «открытия» нового знания (первый из трех в данной теме)

1)этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности;

2) этап актуализации и пробного учебного действия;

3) этап создания проблемной ситуации и выхода из затруднения;

4) этап построения проекта выхода из затруднения, изучение нового;

5) этап первичного закрепления с проговариванием во внешней речи;

6) этап включения в систему знаний и повторения;

7) этап рефлексии учебной деятельности на уроке.

Цель: формировать представление о системе уравнений; познакомить обучающихся со способом подстановки его применением при решении системы уравнения.

Задачи:

Научить в реальной ситуации использовать способ подстановки;
Учить слушать вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
Развивать умение обрабатывать информацию, формировать коммуникативную компетенцию, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Техническое оборудование: Компьютер, проектор, учебник «Алгебра» для 8 класса под редакцией Г.Ф.Дорофеева. Издательство Москва «Просвещение» 2009год., электронная презентация.

Основная часть

Технологическая карта урока алгебры в 8 классе по теме «Решение систем уравнений способом подстановки»

Этапы урока	Задачи этапа	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	УУД
1. Организационный момент	Создать благоприятный психологический настрой на работу	Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.	Включаются в деловой ритм урока.	Личностные: самоопределение. Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
2. Вводная беседа.	Актуализация опорных знаний и способов действий.	Новые знания будет трудно осваивать без умения быстро и верно решать уравнения и системы уравнений, а также знаний теории. (Приложение1, Слайд 1) а) Что является решением уравнения с двумя переменными? б)Что значит решить систему уравнений? в) Какими способами можно решить систему уравнений? г) Что является решением системы уравнений? Устная работа по презентации. 1). Является ли пара чисел (3;1) решением уравнения:(Приложение1, Слайд 2) 2) В данных уравнениях выразите переменную у через х: (Приложение1, Слайд 3) 3) 1. Выясните, является ли пара чисел (–1; 1) решением системы уравнений: (Приложение1, Слайд 4) Повторяем алгоритмы решения систем уравнений методом алгебраического сложения. 1).Назовите этапы метода алгебраического сложения, если имеются противоположные коэффициенты 2)Назовите этапы метода алгебраического сложения, если нет противоположных коэффициентов 3). Решите системы уравнений (устно) (Приложение1, Слайд 5)	Отвечают на вопросы учителя, выполняют устные задания.	Коммуникативные: развитие устной научной речи, умение слушать и говорить. Познавательные: анализ и разделение алгоритма на два случая.
3.Целеполагание и мотивация	Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока.	На доске записаны две системы линейных уравнений. К доске выходят по очереди 2 ученика и решают совместно с классом системы уравнений, (Приложение 4). Ответить на вопрос: — какими способами можно решить систему уравнений? — А можно ли решить систему уравнений б) другим способом, не выполняя построения графика? — А как решить систему уравнений используя умения выражать одну переменную через другую? (Приложение1, Слайд 6) — Как этот способ можно назвать? -Какая цель нашего урока сегодня? -Чему должны научиться на уроке? Это и будут наши цели на урок. Запишите тему урока « Способ подстановки» (Приложение2,Слайд 7)	Решают системы Обобщают знания о методах решения систем уравнений. Выясняют, что можно использовать другой способ решения систем уравнений. Способ подстановки. Цель урока: Решение систем уравнений способом подстановки.	Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: постановка вопросов. Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование цели урока.
4. Изучение нового материала.	Работа над алгоритмом решения системы уравнений способом подстановки.	Работа над алгоритмом решения системы уравнений способом подстановки.( Приложение2, Слайд 8,9). Алгоритм в учебнике стр. 176 Пример решения системы уравнения. (Приложение2, Слайд 10).	Учащиеся работают с учебником.	Познавательные: применение новых знаний на практике.
5. Первичное закрепление.	Обучение применению алгоритма.	Устная работа: 1. Определите, из какого уравнения системы и какую переменную удобнее выразить. (Приложение2, Слайд 11) Давайте решим систему уравнений б) новым способом – подстановкой ( Приложение 4). Сравните ответы. Оба способа дают один и тот же результат.	Определяют какую переменную удобнее выразить. Делают вывод- системы уравнений можно решать разными способами.	Познавательные: применение новых знаний на практике, умение делать выводы о способах решения систем уравнений.
6. Включение новых знаний в систему учебных действий.	Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий.	Решают из учебника № 650 (а,в,д), № 651(а,в,д), (Приложение 5) , № 652(а,в) (Приложение 6). Учащиеся выходят решать к доске, комментируя применение алгоритма.	На местах самостоятельное решение в тетради с проверкой.	Коммуникативные: контроль, коррекция, оценка действий.
7. Подведение итогов урока.	Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся	-Какими способами можно решить систему уравнений? -Расскажите алгоритм решения системы уравнений способом подстановки. -Каким способом больше нравиться решать системы уравнений? (Приложение2, Слайд 12)	Правильно выбирать способ решения систем уравнений.	Регулятивные: оценка-осознание уровня и качества усвоения; контроль
8. Информация о домашнем задании.	Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.	№ 650 (б,г), № 651(б,г),№ 652(б,г), с 175-176 (Приложение3, Слайд 13)
9. Рефлексия	Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе.	Закончите предложение: Мне на уроке понравилось…. Мне показалось сложным… Я бы еще хотел выполнить… Главным результатом считаю…		Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли и эмоции; Познавательные: рефлексия.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная методическая разработка была посвящена уроку «открытия» новых знаний по алгебре в 8 классе. Урок был проведен для учителей школы в рамках методической недели.

Задача учителя активизировать деятельность каждого учащегося, создать ситуации для их творческой активности в процессе обучения. Использование новых технологий не только оживляет и разнообразит учебный процесс, но и открывает большие возможности для расширения образовательных рамок, несомненно, несет в себе огромный мотивационный потенциал и способствует принципам индивидуализации обучения.

Из проделанной работы можно сделать следующие общие выводы: для повышения интереса к математике необходимо применять различные технологии, а правильная организация работы по математике и подбор материала поможет созданию эмоционального настроения учащихся по решению учебных задач урока, и тем самым обеспечить прочные и осознанные знания изучаемого материала.

Литература

Учебник «Алгебра» для 8 класса под редакцией Г.Ф.Дорофеева. Издательство Москва «Просвещение» 2009год.
Дидактические материалы по алгебре для 8 класса к учебнику алгебры 8 класс под редакцией Г.Ф.Дорофеева.
Образовательные порталы интернета.

Приложение 4

Решение систем уравнений способом сложения.

а) домножим первое уравнение на 2

(-) вычтем из второго уравнения первое

х=3, найдем у, подставив 3 вместо х в первое уравнение

3·4+6у=9

6у=-3

у=-

Ответ: ( -3;-0.5)

б)

13х=26

х=2 10·2+5у=10

5у=-10

у=-2

Ответ: (2; -2).

Решим эту же систему уравнений способом подстановки.

выразим из второго уравнения у=2-2х.

Подставим вместо у, выражение у=2-2х в первое уравнение.

3х-5(2-2х)=16

3х-10+10х=16

13х=26

Х=2

Найдем у. у=2-2·2= -2

Ответ :(2; -2)

Приложение 5

Решают из учебника № 650 (а,в,д), № 652(а,в,д).

в) д)

3х+2х=5 у=2 2b+3b+=-15 z-4+2z=14

5х=5 5b=-15 3z=18

х=1 b=-3, a=-3 z=6, y=6-4, y=2

Ответ: (1;2) Ответ: (-3;-3) Ответ:(2;6).

№ 651(а,в,д),

а) в)

у=21-х у=21-8 х=2у+5 х=2·(-0,5)+5

21-х-х=3 у=3 3(2у+5)+4у=10 х=4

-2х=-18 6у+15+4у=10

х=9 10у=-5

Ответ:(9;3) у=-0,5

Ответ: (4;-0,5)

д)

u=1-2v u=1-4

3(1-2v)+5v=1 u=-3

3-6v+5v=1

-v=-2

v=2

Ответ: (-3;2)

Приложение 6.

№ 652(а,в)

Решите систему уравнений, применив любой из известных вам способов:

Подстановка:

а)

n=8-2m n=8-10

3m+4(8-2m)=7 n=-2

3m+32-8m=7

-5m=-25

m=5

Ответ: (-5;2)

Сложение:

в) 5·(-47) + 2b=15

-235+2b=15

a=-47 2b=250

b=125

Ответ:(-47; 125)

kopilkaurokov.ru

«Решение систем уравнений второй степени» ( 8 класс)

Конспект урока по алгебре по теме: «Решение систем уравнений второй степени»

( 8 класс)

Учитель МАОУ «СОШ № 45» города Калининграда:

Маврина Т.В.

Цели урока:

Повторить способы решения систем уравнений.
Рассмотреть способ подстановки при решении систем уравнений, составленных из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени.

Ход урока

I.Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока

II. Проверка домашнего задания (фронтально).

III. Устные упражнения.

IV. Повторение изученного материала.

Вспомнить определение решения системы 2-х уравнений с двумя неизвестными (см. файлы).

Вспомнить способы решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Решить №492 (3)

Решить номер №492 (1)

V. Изучение нового материала.

1.Рассмотреть сначала системы уравнений с двумя переменными , составленные из одного уравнения 2-ой степени и одного уравнения 1-ой степени.

V. Закрепление изученного материала.

VI. Подведение итогов урока.

Научились решать систему уравнений , содержащую одно уравнение линейное, а другое уравнение 2-ой степени.

VII. Задание на дом

п 32

Решить задачи № 493( 2, 4), 494 (2,4), 495 (2, 4), 496 (2,4).

infourok.ru

Градиент функции калькулятор онлайн – Найти градиент функции | Онлайн калькулятор

alexxlab / 27.04.201908.06.2019 / Школьная жизнь

Градиент — 15 Сентября 2015 — Примеры решений задач

Определение. Вектор с координатами называется градиентом функции u=f(x,y,z) и обозначается

С помощью оператора Гамильтона ( или набла-оператора)

можно кратко записать градиент функции:

Градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.

Модуль градиента определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u=f(x,y,z).

Пример 1. Найти градиент grad z, модуль градиента |grad z| для функции z=7-5x²-10y² в точке M(-5;7)

Решение. Для функции двух переменных градиент находим по формуле

1) Находим частные производные (см. калькулятор частных производных)

2) Подставляем в формулу, получаем градиент функции в произвольной точке

Найти градиент функции можно также с помощью калькулятора

3) Подставляем координаты точки M(-5;7), получаем

4) Находим модуль градиента в точке M(-5;7) по формуле:

Вывод: Если движение происходит в направлении градиента функции (50;-140), то получаем скорость максимального изменения функции 148,66 в точке M(-5;7).

Если движение будет происходить в других направлениях, то скорость будет меньше. Покажем это на примере.

Пример 2. Найти скорость изменения функции z=7-5x²-10y² в точке M(-5;7) по направлению вектора l(2;-3).

Решение. Пункты 1),2) и 3) совпадают с решением примера 1.

4) Скорость изменения функции z=7-5x²-10y² в точке M(-5;7) по направлению вектора l(2;-3) находим по формуле производной по направлению:

www.reshim.su

градиент калькулятор онлайн

Вы искали градиент калькулятор онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и градиент найти, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «градиент калькулятор онлайн».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как градиент калькулятор онлайн,градиент найти,градиент онлайн калькулятор,градиент функции в точке онлайн калькулятор,градиент функции онлайн,калькулятор онлайн градиент,найти градиент,найти градиент функции в точке онлайн,найти градиент функции в точке онлайн калькулятор,онлайн калькулятор градиент. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и градиент калькулятор онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, градиент онлайн калькулятор).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же градиент калькулятор онлайн Онлайн?

Решить задачу градиент калькулятор онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

www.pocketteacher.ru

Найти градиент функции | Онлайн калькулятор

Основные функции

: x^a

модуль x: abs(x)

: Sqrt[x]
: x^(1/n)
: a^x
: Log[a, x]
: Log[x]
: cos[x] или Cos[x]

: sin[x] или Sin[x]

: tan[x] или Tan[x]

: cot[x] или Cot[x]

: sec[x] или Sec[x]

: csc[x] или Csc[x]

: ArcCos[x]

: ArcSin[x]

: ArcTan[x]

: ArcCot[x]

: ArcSec[x]

: ArcCsc[x]

: cosh[x] или Cosh[x]

: sinh[x] или Sinh[x]

: tanh[x] или Tanh[x]

: coth[x] или Coth[x]

: sech[x] или Sech[x]

: csch[x] или Csch[е]

: ArcCosh[x]

: ArcSinh[x]

: ArcTanh[x]

: ArcCoth[x]

: ArcSech[x]

: ArcCsch[x]

[19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)

mrcalc.ru

Градиент и производная по направлению. Контрольные онлайн

Градиент и производная по направлению

Даны  скалярное поле  точки , . 
   Найти:
   а) градиент поля  в точке ;
   б) производную функции  в точке  по направлению  от точки  к точке .

Решение
   а) Градиент поля в точке вычисляется по формуле .
   Найдем частные производные данной функции и их значения в точке :
,
,
.
   Следовательно, .
   б) Производная скалярного поля по направлению вектора в точке вычисляется по формуле , где , , .
   Для решаемой задачи , , ,
, , , .    Следовательно, .

www.matem96.ru

Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры

Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению

1) функции одной переменной;

2) функции трёх переменных в нашем случае.

Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy отображается приращение функции f(x), соответствующее приращению аргумента x. Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x, y, z отображаются на осях Оx, Оy, Оz. Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?

И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.

Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, — это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).

Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:

1) функцию u = f(M), определённую в окрестности точки M с координатами x, y, z;

2) произвольный вектор l с направляющими косинусами cosα, cosβ, cosγ.

Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l. На получившейся прямой отметим точку M1, координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:

Величину отрезка MM1 можно обозначить .

Функция u = f(M) при этом получит приращение

Определение производной по направлению. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается , то есть

Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:

Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.

Пример 1. Найти производную функции в точке M0(1; 2; 3) по направлению вектора .

Решение. Найдём частные производные функции в точке M0:

Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:

Следовательно,

Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

А сейчас — домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.

Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере — в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.

Пример 3. Найти производную функции в точке M0(1; 1; 1) по направлению вектора .

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора

Найдём частные производные функции в точке M0:

Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

Градиент функции нескольких переменных в точке M0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M0 и величину этого максимального роста.

Как найти градиент?

Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:

То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.

Для градиента функции двух переменных формула короче:

Пример 4. Найти градиент функции в точке M0(2; 4;).

Решение. Найдём частные производные функции в точке M0:

Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:

Поделиться с друзьями

Производные

Функции нескольких переменных

function-x.ru

Lection15

Лекция 15. «Дифференцирование функции нескольких переменных»

Градиент функции двух переменных и производная по направлению.

Определение. Градиентом функции

называется вектор

Иначе, этот вектор может быть записан следующим образом:

или

Как видно из определения градиента функции, компонентами вектора градиента являются частные производные функции.

Пример. Вычислить градиент функции

в точке A(2,3).

Решение. Вычислим частные производные функции.

В общем виде градиент функции имеет вид:

Подставим координаты точки A(2,3) в выражения частных производных

В градиент функции в точке A(2,3) имеет вид:

Аналогично можно определить понятие градиента функции трех переменных:

Определение. Градиентом функции от трех переменных

называется вектор

Иначе, этот вектор может быть записан следующим образом:

Определение производной по направлению.

Пусть задана функция двух переменных

и произвольный вектор

Рассмотрим приращение этой функции, взятое вдоль данного вектора

Т.е. вектор коллинеарный по отношению к вектору. Длина приращения аргумента

Производной по некоторому направлению называется предел отношения приращения функции вдоль данного направления на длину приращения аргумента, когда длина приращения аргумента стремиться к 0.

Формула для вычисления производной по направлению.

Исходя из определения градиента, производную функции по направлению, можно посчитать следующим образом.

Пусть

некоторый вектор. Вектор с тем же направлением, но единичной длины назовем

Координаты этого вектора вычисляются следующим образом:

Из определения производной по направлению , производная по направлениюможет быть вычислена по следующей формуле:

Правая часть этой формулы представляет собой скалярное произведение двух векторов

Поэтому, производную по направлению можно представить в виде следующей формулы:

Из этой формулы следует несколько важных свойств вектора градиента.

Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, если направление вектора S совпадает с направлением градиента; это наибольшее значение производной равно ||.
Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору равна нулю.

Первое свойство градиента следует из того очевидного факта, что скалярное произведение двух векторов принимает наибольшее значение, когда вектора совпадают по направлению. Второе свойство следует из того, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Кроме того, из первого свойства следует геометрический смысл градиента – градиент это вектор, вдоль направления, которого производная по направлению наибольшая. Так как производная по направлению определяет тангенс угла наклона касательной к поверхности функции, то градиент направлен вдоль наибольшего наклона касательной.

Пример 2. Для функции (из примера 1)

Вычислить производную по направлению

в точке A(2,3).

Решение. Для вычисления производной по направлению надо вычислить вектор градиента в указанной точке и единичный вектор направления (т.е. нормализовать вектор).

Вектор градиента был вычислен в примере 1:

Вычисляем единичный вектор направления:

Вычисляем производную по направлению:

#2. Максимум и минимум функции нескольких переменных.

Определение. Функция

Имеет максимум в точке (т. е. прии), если

для всех точек , достаточно близких к точкеи отличных от нее.

Определение. Совершенно аналогично говорят, что функция

Имеет минимум в точке (т. е. прии), если

для всех точек , достаточно близких к точкеи отличных от нее.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т. е. говорят, что функция имеет экстремум в данной точке, если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке.

Например, функция

Имеет очевидный минимум z = -1 при x = 1 и y = 2.

Функция

Имеет максимум в точке приx = 0 и y = 0.

Теорема. (необходимые условия экстремума).

Если функция достигает экстремума при,, то каждая частная производная первого порядка отz или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Замечание. Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об экстремальных значениях функции. Можно привести примеры функций, которые в некоторых точках имеет нулевые частные производные, но не имеет экстремума в этих точка.

Пример. Функции, которая имеет нулевые частные производные, но не имеет экстремума.

В точке .

В самом деле:

Достаточные условия экстремума.

Теорема. Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е.

Тогда при ,

имеет максимум, если

имеет минимум, если

не имеет ни минимума, ни максимума, если

может иметь экстремум, а может и не иметь — требуется дополнительное исследование, если

Пример 3.2. Исследовать на максимум и на минимум функцию

Решение.

Найдем критические точки, т.е. точки, в которых первые частные производные равны нулю или не существуют.

Сначала вычисляем сами частные производные.

Приравниваем частные производные нулю и решаем следующую систему линейных уравнений

= 0

Умножаем второе уравнение на 2 и складываем с первым. Получится уравнение только от y.

Находим и подставляем в первое уравнение

Преобразуем

Находим

Следовательно, точка () является критической.

Вычислим вторые производные второго порядка и подставим в них координаты критической точки.

В нашем случае, подставлять значения критических точек не надо, так как вторые производные являются числами.

В итоге имеем:

Следовательно, найденная критическая точка, является точкой экстремума. Более того, так как

то эта точка минимума.

studfiles.net

Найти градиент, дивергенцию, ротор | UpByte.Net

В области $V$ задано скалярное поле, если каждой точке $M$ из $V$ поставлено в соответствие число $u\left(M \right)$. Скалярное поле $u\left(M \right)$ называется дифференцируемым в точке $M_{0}$ из области $V$, если приращение поля $\Delta u$ в этой точке можно представить в виде: $\Delta u=g\cdot \Delta r+o\left(\rho \right)$, где $\rho =\rho \left(M_{0},M \right)$ — расстояние между точками $M_{0}$ и $M$, $\Delta u=u\left(M \right)-u\left(M_{0} \right)$. Вектор $g\left(M_{0} \right)$ называется градиентом дифференцируемого в точке $M_{0}$ скалярного поля. В декартовой системе координат \[grad u=\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k\] Если каждой точке $M$ из области $V$ поставлен в соответствие некоторый вектор $F\left(M \right)$, то говорят, что в $V$ задано векторное поле. Дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность достаточно малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля. Оператор дивергенции, примененный к полю $F$, обозначается $divF$ или $\bigtriangledown \cdot F$. \[div F=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{P_{F}}{V}\] где $P_{F}$-поток векторного поля $F$ через сферическую поверхность площадью $S$, ограничивающую объем $V$. Ротор — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Обозначается $rot$ или $curl$, вычисляется по формуле $rot F = \bigtriangledown \times F$.

С помощью нашего решебника вы можете вычислить градиент, дивергенцию, ротор векторного поля, выполнить другие операции векторного анализа. Ниже приведены примеры команд. Скопируйте и вставьте в строку решателя или просто наберите ваш пример а затем нажмите кнопку «Решить».

Вычислить градиент функции

grad sin(x^2 y)

del z e^(x^2+y^2)

grad of a scalar field

Вычислить градиент функции в полярных координатах

grad sqrt(r) cos(theta)

Вычислить дивергенцию векторного поля

div (x^2-y^2, 2xy)

div [x^2 sin y, y^2 sin xz, xy sin (cos z)]

divergence calculator

Вычислить ротор векторного поля

curl [-y/(x^2+y^2), -x/(x^2+y^2), z]

rotor operator

Вычислить Лапласиан функции

Laplace e^x sin y

Laplace x^2+y^2+z^2

laplacian calculator

Вычислить выражения

div (grad f)

curl (curl F)

grad (F . G)

upbyte.net

Степени окисления si – Степень окисления кремния (Si), формула и примеры

alexxlab / 26.04.201908.06.2019 / Школьная жизнь

Таблица степеней окисления химических элементов. Максимальная и минимальная степень окисления. Возможные степени окисления химических элементов.

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Химический справочник / / Таблица Менделеева. Названия. Электронные формулы. Структурные формулы. Таблицы степеней окисления и валентности. Изотопы. / / Таблица степеней окисления химических элементов. Максимальная и минимальная степень окисления. Возможные степени окисления химических элементов.

Таблица степеней окисления химических элементов. Возможные степени окисления химических элементов. Стандартные, высшие, низшие, редкие степени окисления, исключения. Максимальная степень окисления и минимальная степень окисления.

Степень окисления – это условный заряд атомов химического элемента в соединении, вычисленный из предположения, что все связи имеют ионный тип. Степени окисления могут иметь положительное, отрицательное или нулевое значение, поэтому алгебраическая сумма степеней окисления элементов в молекуле с учётом числа их атомов равна 0, а в ионе – заряду иона.

Степени окисления металлов в соединениях всегда положительные.
Высшая степень окисления соответствует номеру группы периодической системы, где находится данный элемент (исключение составляют: Au⁺³ (I группа), Cu⁺² (II), из VIII группы степень окисления +8 может быть только у осмия Os и рутения Ru.
Степени окисления неметаллов зависят от того, с каким атомом он соединён:
- если с атомом металла, то степень окисления отрицательная;
- если с атомом неметалла то степень окисления может быть и положительная, и отрицательная. Это зависит от электроотрицательности атомов элементов.
Высшую отрицательную степень окисления неметаллов можно определить вычитанием из 8 номера группы, в которой находится данный элемент, т.е. высшая положительная степень окисления равна числу электронов на внешнем слое, которое соответствует номеру группы.
Степени окисления простых веществ равны 0, независимо от того металл это или неметалл.
В неорганической химии обычно применяется понятие степень окисления, а в органической химии — валентность, так как многие из неорганических веществ имеют немолекулярное строение, а органических — молекулярное.

Таблица: Элементы с неизменными степенями окисления.

Элемент	Характерная степень окисления	Исключения
H	+1	Гидриды металлов: LIH

dpva.ru

SiO2, степень окисления кремния и кислорода в нем

Общие сведения об оксиде кремния и степени окисления в SiO2

При нагревании в вакууме сублимируется без плавления. Брутто-формула – SiO₂. Молярная масса 44,9 г/моль.

Рис. 1. Оксид кремния. Строение молекулы.

В газообразном состояние (выше 1000^oC) – термодинамическиусточивый мономер. В твердом состоянии – метастабильный нестехиометрический полимер (SiO_1-_x)_n (рис. 1), при старении или умеренном длительном нагревании (отжиге) распадается на кластеры Si_n и (SiO₂)_n.Реагирует с перегретым водяным паром, разлагается фтороводородной кислотой, щелочами. Окисляется кислородом, галогенами.

SiO2, степени окисления элементов в нем

Чтобы определить степени окисления элементов, входящих в состав оксида кремния, сначала необходимо разобраться с тем, для каких элементов эта величина точно известна.

Степень окисления кислорода в оксидах всегда равна ( — 2). Для нахождения степени окисления кремния примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности:

x + 2× (-2)= 0;

x – 4 = 0;

x = +4.

Степень окисления кремния в оксиде равна (+4):

Si⁺⁴O^-2₂.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Какая степень окисления у кремния?

Кремний может существовать в виде простого вещества – неметалла, а как известно, степень окисления неметаллов в элементарном состоянии равна нулю.
Бинарные соединения кремния с металлами носят название силицидов, они образуются при окислении металлов кремнием или при нагревании смеси соответствующих оксидов в инертной атмосфере:

Степень окисления кремния в силицидах равна (-4).
Кремний в степени окисления (+4) входит в состав соединений с галогенами, кислородом и серой, азотом, углеродом и водородом: , , , , (ответ на вопрос «какая степень окисления у кремния»).
Для того, чтобы найти определить степень окисления каждого элемента в предложенных соединениях воспользуемся алгоритмом, предполагающим составление уравнение электронейтральности.
Итак, в состав силиката цинка входят атомы цинка, кремния и кислорода. Степень окисления цинка постоянна и равна (+2). Кислород, во всех веществах, кроме пероксидов и фторида кислорода проявляет степень окисления равную (-2). Для того, чтобы определить степень окисления кремния, примем её значение за «x». Тогда, уравнение электронейтральности примет следующим образом:

Аналогичным образом выясним степени окисления элементов, входящих в состав других веществ: , , .

ru.solverbook.com

Mathway | Популярные задачи

1	Найти число нейтронов	H
2	Найти массу одного моля	H_2O
3	Определить кислотность pH	0.76M(HCl)(solution)
4	Найти массу одного моля	H_2O
5	Баланс	H_2(SO_4)+K(OH)→K_2(SO_4)+H(OH)
6	Найти массу одного моля	H
7	Найти число нейтронов	Fe
8	Найти число нейтронов	Tc
9	Найти конфигурацию электронов	H
10	Найти число нейтронов	Ca
11	Баланс	CH_4+O_2→H_2O+CO_2
12	Найти число нейтронов	C
13	Найти число протонов	H
14	Найти число нейтронов	O
15	Найти массу одного моля	CO_2
16	Баланс	(a+b/c)(d-e)=f
17	Баланс	CH_4+O_2→H_2O+CO_2
18	Баланс	C_8H_18+O_2→CO_2+H_2O
19	Найти атомную массу	H
20	Определить, растворима ли смесь в воде	H_2O
21	Найти конфигурацию электронов	Na
22	Найти массу одного атома	H
23	Найти число нейтронов	Nb
24	Найти число нейтронов	Au
25	Найти число нейтронов	Mn
26	Найти число нейтронов	Ru
27	Найти конфигурацию электронов	O
28	Найти массовую долю	H_2O
29	Упростить	корень пятой степени 243
30	Определить, растворима ли смесь в воде	NaCl
31	Найти эмпирическую/простейшую формулу	H_2O
32	Найти степень окисления	H_2O
33	Найти конфигурацию электронов	K
34	Найти конфигурацию электронов	Mg
35	Найти конфигурацию электронов	Ca
36	Найти число нейтронов	Rh
37	Найти число нейтронов	Na
38	Найти число нейтронов	Pt
39	Найти число нейтронов	Be	Be
40	Найти число нейтронов	Cr
41	Найти массу одного моля	H_2SO_4
42	Найти массу одного моля	HCl
43	Найти массу одного моля	Fe
44	Найти массу одного моля	C
45	Найти число нейтронов	Cu
46	Найти число нейтронов	S
47	Найти степень окисления	H
48	Баланс	CH_4+O_2→CO_2+H_2O
49	Найти атомную массу	O
50	Найти атомное число	H
51	Найти число нейтронов	Mo
52	Найти число нейтронов	Os
53	Найти массу одного моля	NaOH
54	Найти массу одного моля	O
55	Найти конфигурацию электронов	H
56	Найти конфигурацию электронов	Fe
57	Найти конфигурацию электронов	C
58	Найти массовую долю	NaCl
59	Найти массу одного моля	K
60	Найти массу одного атома	Na
61	Найти число нейтронов	N
62	Найти число нейтронов	Li
63	Найти число нейтронов	V
64	Найти число протонов	N
65	Вычислить	2+2
66	Упростить	H^2O
67	Упростить	h*2o
68	Определить, растворима ли смесь в воде	H
69	Найти плотность при стандартной температуре и давлении	H_2O
70	Найти степень окисления	NaCl
71	Найти степень окисления	H_2O
72	Найти атомную массу	He	He
73	Найти атомную массу	Mg
74	Вычислить	(1.010^-15)/(4.210^-7)
75	Найти число электронов	H
76	Найти число электронов	O
77	Найти число электронов	S
78	Найти число нейтронов	Pd
79	Найти число нейтронов	Hg
80	Найти число нейтронов	B
81	Найти массу одного атома	Li
82	Найти массу одного моля	H_2O
83	Найти эмпирическую формулу	H=12% , C=54% , N=20	, ,
84	Найти число протонов	Be	Be
85	Найти массу одного моля	Na
86	Найти конфигурацию электронов	Co
87	Найти конфигурацию электронов	S
88	Баланс	C_2H_6+O_2→CO_2+H_2O
89	Баланс	H_2+O_2→H_2O
90	Баланс	C_2H_6+O_2→CO_2+H_2O
91	Найти конфигурацию электронов	P
92	Найти конфигурацию электронов	Pb
93	Найти конфигурацию электронов	Al
94	Найти конфигурацию электронов	Ar
95	Найти массу одного моля	O_2
96	Найти массу одного моля	H_2
97	Баланс	CH_4+O_2→CO_2+H_2O
98	Найти число нейтронов	K
99	Найти число нейтронов	P
100	Найти число нейтронов	Mg

www.mathway.com

Кремний степени окисления — Справочник химика 21

Между положением в периодической таблице легких элементов и их химическими свойствами не всегда обнаруживается закономерная взаимосвязь. Например, бериллий (II группа) во многих отношениях напоминает алюминий (группа ША) много общего также между бором и кремнием. Степени окисления этих элементов соответствуют номерам их групп, но, судя по свойствам образуемых ими соединений, по кислотно-основным характеристикам этих элементов и их физическим свойствам, между ними существует необычная для периодической системы диагональная связь. Причиной этого является сходство так называемых ионных потенциалов у диагонально расположенных в периодической таблице пар элементов. Ионным потенциалом (не пу- [c.105]
Соединения кремния (IV). Кремний находится в степени окисления +4 в соединениях с галогенами, кислородом и серой, азотом, углеродом, водородом. Рассмотрим некоторые его бинарные соеди- [c.412]

Наиболее устойчива для кремния степень окисления — -4. [c.418]

В этом же ряду уменьшается роль внешней электронной пары в образовании химических связей и со стороны атома участвуют уже не четыре, а только два электрона. Так, если для германия (подобно углероду и кремнию) наиболее характерна степень окисления +4, то для свинца +2 в соединениях олова различие в степенях окисления проявляется менее резко, хотя производные олова (IV) более устойчивы. [c.482]

Радиусы ионов Mg +, АР+ и атома кремния в степени окисления — -lV соответственно равны (по Полингу) 0,065 0,050 и 0,041 нм. Как влияет изменение радиусов ионов на характер химических свойств гидроксидов [c.66]

Соединения с отрицательной степенью окисления кремния. При окислении металлов кремнием (700—1200°С) или при нагревании смеси соответствующих оксидов и кремния в инертной атмосфере образуются силициды [c.412]

Химические свойства ионов титана(IV), циркония(IV) и гафния (IV) напоминают свойства ионов урана, церия, олова, свинца, германия и кремния той же степени окисления свойства ионов титана(III) обнаруживают общность с ионами V(III), Fe(III) и Al (III). Имея почти одинаковые атомные и ионные радиусы вследствие лантаноидного сжатия (2г 0,145 нм Hf 0,144 нм 2г + 0,074 нм Hf+ 0,075 нм), цирконий и гафний очень похожи друг на друга по химическим свойствам. Цирконий и гафний образуют всегда общие минералы. Наиболее удобными технологическими методами разделения циркония и гафния являются ионный обмен или жидкостная экстракция. [c.609]

Б главных подгруппах устойчивость соединений, в которых элемент проявляет высшую степень окисленности, с увеличением порядкового номера элемента, как правило, уменьшается. Так, соединения, в которых степень окисленности углерода или кремния равна +4, вполне устойчивы, тогда как аналогичные соединения свипца (например, РЬОг) мало устойчивы и легко восстанавливаются. В побочных подгруппах проявляется обратная закономерность с возрастанием порядкового номера элемента устойчивость высших окислительных состояний повышается. Так, соединения хрома (VI)—сильные окислители, а для соединений молибдена (VI) и вольфрама(VI) окислительные свойства ие характерны. [c.648]

Кремний, как и углерод, в соединениях проявляет степень окисления, равную 4 однако его координационное число может быть равно и 4 и 6 (в отличие от углерода), что объясняется большим объемом атома кремния. Кремний — более электронодонорный элемент, чем углерод, поэтому его связь с другими элементами более поляризована. Отличие между углеродом и кремнием проявляется и в различной энергии диссоциации по связям С—X и 51—X. Так, соединения кремния со многими элементами (водородом, галогенами, серой и др.) легко гидролизуются уже при нормальной температуре (в присутствии кислот или щелочей), в то время как связь углерода с этими же элементами (за исключением галогенов) довольно прочная. Реакционная способность связи —51—Н в кремнийорганических соединениях уменьшается, в противоположность связи С—Н, [c.181]

По сравнению с ранее рассмотренными элементами 2-го периода у бора наблюдается дальнейшее ослабление признаков неметаллического элемента. В этом отношении он напоминает кремний (диагональное сходство в периодической системе). Для бора наиболее характерны соеди гения, в которых его степень окисления равна +3. Отрицатель- [c.435]

В отличие от углерода ря — ря-связывание для кремния не характерно и потому зр- и 8р -гибридные состояния неустойчивы. Кремний в соединениях может иметь степени окисления +4, О и —4. [c.469]

Кремний 81(15 2 2р 35 Зр ) по числу валентных электронов является аналогом углерода. Однако у кремния больший размер атома, меньшая энергия ионизации, большее сродство к электрону и большая поляризуемость атома. Поэтому кремний — элемент 3-го периода — по структуре и свойствам однотипных соединений существенно отличается от углерода — элемента 2-го периода. Максимальное координационное число кремния равно итести, а наиболее характерное — четырем. Как п для других элементов 3-го периода, рл — ря-связывание для кремния не характерно и потому в отличие от углерода р- и зр -гибридные состояния для него неустойчивы. Кремний в соединениях имеет степени окисления +4 и —4. [c.410]

Сколько электронов находится на внешнем электронном уровне ионов Mg +, А1 + и атома кремния в степени окисления +1V В прямой или обратной зависимости находится усиление кислотных свойств гидроксидов от увеличения заряда ионов (степени окисления атомов), гидроксиды которых рассматриваются [c.66]

Поскольку электроотрицательности кремния и водорода близки, степень окисления атома Н, соединенного с 81 (а также с Ое и 8п) считаем нулевой. [c.390]

Анодное растворение марганца сопровождается пассивацией анодов, вызываемой образованием непроводящей пленки гидрата закиси марганца Мп(0Н)2. Образование последней свидетельствует о том, что окисление марганца протекает через промежуточные стадии низших степеней окисления. Явления пассивации уменьшаются при интенсивном перемешивании раствора электролита и при использовании анодов, содержащих углерод и кремний — Обычно применяют ферромарганец марки Мп-3, содержащий не менее 78% Мп, около 13% Ре, 6—7% С и 1,25% 51. [c.204]

Соединения со степенью окисления кремния —4 и его соединения с металлической связью [c.471]

Простое вещество (469). 2. Соединения со степенью окисления кремния —4 и его соединения с металли

www.chem21.info

Соединения со степенью окисления –4

С менее электроотрицательными элементами, чем он сам, углерод образует карбиды; кремний – силициды; германий – германиды; олово – станниды; свинец- плюмбиды.

СН₄ – метан – простейший ковалентный карбид водорода; С₂Н₆ – этан – перкарбид водорода.

Большое значение имеют карбиды d-элементов IV-VIII групп, например, Fe₃C. Многие из них имеют металлические признаки, обладают высокой твёрдостью, жаропрочностью, тугоплавкостью, высокой коррозионной стойкостью. Карбиды, как и силициды, получают прокаливанием при высоких температурах смеси металлов или их оксидов с порошком угля в электрических печах:

V₂O₅ + 7C = 2VC + 5CO

2Mg + Si = Mg₂Si

6MnO + 5Si = 2Mn₃Si + 3SiO₂

По структуре и свойствам силициды отличаются от карбидов. Так, силициды s- и d-элементов I-II групп Ca₂Si, CaSi, CaSi₂ – полупроводники, химически неустойчивы. Карбиды подразделяются на:

ионные – s и р- металлы- производные метана Al₄C₃ или ацетилена СаС₂, разлагаются водой или разбавленными кислотами с выделением метана или ацетилена;
ковалентные – карбиды неметаллов, например, карборунд SiC, это тугоплавкие, химически инертные вещества;
металлоподобные –d-элементы — металлы сохраняют свои металлические структуры, атомы углерода внедряются в пустоты, при этом сохраняется электропроводность металлов. У них высокая твёрдость, жаропрочность, химическая стойкость.

Аналог метана SiH₄ – силан. Существуют также Si₂H₆, Si₃H₈, Si₄H₁₀…Si₆H₁₄. Кремневодороды чрезвычайно неустойчивы, поскольку связи Si-H и Si-Si слабее связей С-Н и С-С. На воздухе самовоспламеняются, вследствие чего в природе существовать не могут.

Германий и его аналоги с магнием образуют соединения состава Mg₂Э. В ряду Mg₂Ge – Mg₂Sn- Mg₂Pb увеличивается доля металлической связи, уменьшается температура плавления, энтальпия образования. Также типичны соединения олова и свинца с s-элементами: Na₂Sn; NaSn, NaSn₂, а также эвтектические сплавы.

Соединения со степенью окисления + 2

Для углерода – CO (угарный газ), CS, HCN. В молекуле СО – тройная связь, поэтому у молекулы высокая энергия диссоциации и сходство с физическими свойствами азота. В обычных условиях СО химически инертен. СО образуется при сгорании угля в недостатке кислорода или в результате взаимодействия СО₂ с раскалённым углём:

2С + О₂ = 2СО

СО₂ + С  2CO

При нагревании СО проявляет восстановительные свойства, что применяется в металлургии. При 700^оС сгорает:

2СО + О₂ = СО₂

Поэтому его применяют в качестве газообразного топлива. При нагревании окисляется серой:

CO + S = COS

При облучении или в присутствии катализатора СО взаимодействует с хлором.

СО взаимодействует со многими металлами, образуя комплексные соединения – карбонилы, например, [Fe(CO)₅], [Ni(CO)₄]. Роль акцептора выполняют свободные металлы, а роль донора – молекулы СО.

Цианид водорода HCN смешивается с водой в любых отношениях. Его водный раствор- синильная кислота – очень сильный яд – очень слабая кислота с К_д = 7,910^-10. Жидкий циановодород постепенно полимеризуется. При нагревании растворы цианидов постепенно окисляются в цианаты:

2CN^— + O₂ = 2CNO^—

При кипячении цианидов с серой образуются тиоцианаты (роданиды):

CN^— + S = CNS^—

Получение цианида водорода:

CO + NH₃ = HCN + HOH

Его применяют в органическом синтезе, соли – в добыче золота, для получения комплексных солей.

При нагревании цианидов малоактивных металлов до 350-450^оС образуется дициан – очень реакционноспособный ядовитый газ:

Hg(CN)₂ = Hg + (CN)₂

Дициан по свойствам подобен галогенам:

(СN)₂ + H₂ = 2HCN

Для кремния степень окисления +2 неизвестна, для германия известны лишь немногочисленные бинарные соединения. Оксиды и гидроксиды олова и свинца ЭО и Э(ОН)₂амфотерны:

Э(ОН)₂ + 2HCl =ЭCl₂ + 2HOH

Э(ОН)₂ + 2КОН = К₂[Э(ОН)₄]

В ряду Ge(OH)₂-Sn(OH)₂-Pb(OH)₂ происходит усиление основных свойств.

Соединения со степенью окисления +4

Степень окисления +4 углерод и кремний проявляют в их соединениях с более электроотрицательными неметаллическими элементами:

СГ₄; СОГ₂; СО₂; Н₂СО₃; НСО₃^—; СО₃^2-; COS; CS₂; CSГ₂

SiГ₄; SiO₂; SiS₂; Si₃N₄; SiC

По химической природе эти соединения являются кислотными. Некоторые из них легко взаимодействуют с водой, образуя кислоты, и с основными соединениями, образуя соли:

COCl₂ + 2HOH = H₂CO₃ + 2HCl

CaS + CS₂ = CaCS₃

Тетрагалогениды углерода и кремния: CF₄ и SiF₄ – газы; CCl₄, SiCl₄, SiBr₄ – жидкости; CBr₄, CI₄— твёрдые вещества. С ростом длины связи в ряду CF₄ – CCl₄ – CBr₄— CI₄ устойчивость соединений снижается и возрастает химическая активность. Тетрафторид полимеризуется с образованием полимера – тефлона. Тетрахлорид – негорючий растворитель органических веществ, жидкость для огнетушителя. Смешанный фторид-хлорид углерода CCl₂F₂ – фреон – применяется в качестве хладагента в холодильных машинах и установках. В отличие от тетрагалогенидов углерода тетрагалогениды кремния гидролизуются:

SiCl₄ + 3HOH = H₂SiO₃ + 4HCl

Вследствие гидролиза тетрагалогениды кремния во влажном воздухе дымят.

Оксодигалогениды (карбонигалогениды) – значительно более реакционноспособны, чем тетрагалогениды, легко гидролизуются:

COCl₂ + HOH = CO₂ + 2HCl

Наибольшее применение находит COCl₂ – фосген. Его широко используют в органическом синтезе. Это очень ядовитый газ.

Дисульфид углерода (сероуглерод) – летучая бесцветная жидкость. Его получают взаимодействием паров серы с раскалённым углём. Сероуглерод легко окисляется:

CS₂ + 3O₂ = CO₂ + 2SO₂

В воде не растворяется. Сероуглерод используется как хороший растворитель органических веществ, фосфора, серы, йода. Его основная масса применяется в производстве вискозного шёлка и для борьбы с вредителями в сельском хозяйстве. Он ядовит.

COSтакже легко воспламеняется и ядовит. При взаимодействии сероуглерода с основными сульфидами образуются сульфидокарбонаты (тиокарбонаты):

K₂S + CS₂ = K₂[CS₃]

K₂[CS₃] + 2HCl = H₂CS₃ + 2KCl

Тиоугольная кислота – это маслянистая жидкость, относится к разряду слабых кислот, разлагается водой:

H₂CS₃+ 3HOH=H₂CO₃+ 3H₂S

Диоксид углерода (углекислый газ) имеет линейную структуру О=С=О, молекула неполярна. Это газ без цвета и запаха, тяжелее воздуха примерно в 1,5 раза, сравнительно легко сжижается. Диоксид углерода, растворяясь в воде, образует слабую угольную кислоту. В растворе устанавливается динамическое равновесие:

НОН+ СО₂ H₂CO₃ H⁺ + HCO^—₃; K₁ = 4,410^-7

HCO₃^— H⁺ + CO₃^2-; K₂ = 4,710^-11

Угольная кислота образует средние (карбонаты) и кислые (гидрокарбонаты) соли. наибольшее применение имеют: карбонат натрия – сода, поташ; карбонат кальция – мел, мрамор; гидрокарбонат натрия – питьевая сода.

Диоксид кремния – бесцветное твёрдое вещество, имеющее полимерное строение. Ему соответствует ряд кислот, состав которых выражают формулой xSiO₂yH₂O, простейшая из них – метакремниевая кислота – SiO₂H₂O = H₂SiO₃. Кислоты, в которых х2, называются поликремниевыми. Природные силикаты – это соли поликремниевых кислот. Диоксид кремния и соответствующие ему кислоты нерастворимы в воде.

Гексафторосиликат водорода H₂SiF₆ в свободном состоянии не выделен, в водном растворе –это сильная (типа серной) гексафторокремниевая кислота.

Диоксид олова – амфотерен. Очень активен тетрахлорид олова, с водой гидролиз протекает до образования гидроксида, дымится во влажном воздухе:

SnCl₄ + 4HOH  Sn(OH)₄ + 4HCl

SnCl₄ + 4NH₃ + 6HOH = H₂[Sn(OH)₆] + 4NH₄Cl — -оловянная кислота

При стоянии -оловянная кислота переходит в неактивную форму --оловянную кислоту.

Диоксид свинца обладает сильными окислительными свойствами. Свинец образует и смешанные оксиды Pb₂O₃ и Pb₃O₄(сурик — оранжево-красного цвета, краситель, окислитель), которые можно рассматривать как соли свинца (II) с кислотами свинца (IV):

Pb₂O₃ = PbPbO₃

Pb₃O₄ = Pb₂PbO₄

В разном валентном состоянии можно убедиться реакцией взаимодействия с разбавленной азотной кислотой:

Pb₂PbO₄ + 4HNO₃ = 2Pb(NO₃)₂ + PbO₂ + 2HOH

studfiles.net

Таблица степени окисления химических элементов

Порядковый номер	Русское / англ. название	Химический символ	Степень окисления
1	Водород / Hydrogen	H	(+1), (-1)
2	Гелий / Helium	He	0
3	Литий / Lithium	Li	(+1)
4	Бериллий / Beryllium	Be	(+2)
5	Бор / Boron	B	(-1), 0, (+1), (+2), (+3)
6	Углерод / Carbon	C	(-4), (-3), (-2), (-1), 0, (+2), (+4)
7	Азот / Nitrogen	N	(-3), (-2), (-1), 0, (+1), (+2), (+3), (+4), (+5)
8	Кислород / Oxygen	O	(-2), (-1), 0, (+1), (+2)
9	Фтор / Fluorine	F	(-1)
10	Неон / Neon	Ne	0
11	Натрий / Sodium	Na	(+1)
12	Магний / Magnesium	Mg	(+2)
13	Алюминий / Aluminum	Al	(+3)
14	Кремний / Silicon	Si	(-4), 0, (+2), (+4)
15	Фосфор / Phosphorus	P	(-3), 0, (+3), (+5)
16	Сера / Sulfur	S	(-2), 0, (+4), (+6)
17	Хлор / Chlorine	Cl	(-1), 0, (+1), (+3), (+5), (+7), редко (+2) и (+4)
18	Аргон / Argon	Ar	0
19	Калий / Potassium	K	(+1)
20	Кальций / Calcium	Ca	(+2)
21	Скандий / Scandium	Sc	(+3)
22	Титан / Titanium	Ti	(+2), (+3), (+4)
23	Ванадий / Vanadium	V	(+2), (+3), (+4), (+5)
24	Хром / Chromium	Cr	(+2), (+3), (+6)
25	Марганец / Manganese	Mn	(+2), (+3), (+4), (+6), (+7)
26	Железо / Iron	Fe	(+2), (+3), редко (+4) и (+6)
27	Кобальт / Cobalt	Co	(+2), (+3), редко (+4)
28	Никель / Nickel	Ni	(+2), редко (+1), (+3) и (+4)
29	Медь / Copper	Cu	+1, +2, редко (+3)
30	Цинк / Zinc	Zn	(+2)
31	Галлий / Gallium	Ga	(+3), редко (+2)
32	Германий / Germanium	Ge	(-4), (+2), (+4)
33	Мышьяк / Arsenic	As	(-3), (+3), (+5), редко (+2)
34	Селен / Selenium	Se	(-2), (+4), (+6), редко (+2)
35	Бром / Bromine	Br	(-1), (+1), (+5), редко (+3), (+4)
36	Криптон / Krypton	Kr	0
37	Рубидий / Rubidium	Rb	(+1)
38	Стронций / Strontium	Sr	(+2)
39	Иттрий / Yttrium	Y	(+3)
40	Цирконий / Zirconium	Zr	(+4), редко (+2) и (+3)
41	Ниобий / Niobium	Nb	(+3), (+5), редко (+2) и (+4)
42	Молибден / Molybdenum	Mo	(+3), (+6), редко (+2), (+3) и (+5)
43	Технеций / Technetium	Tc	(+6)
44	Рутений / Ruthenium	Ru	(+3), (+4), (+8), редко (+2), (+6) и (+7)
45	Родий / Rhodium	Rh	(+4), редко (+2), (+3) и (+6)
46	Палладий / Palladium	Pd	(+2), (+4), редко (+6)
47	Серебро / Silver	Ag	(+1), редко (+2) и (+3)
48	Кадмий / Cadmium	Cd	(+2), редко (+1)
49	Индий / Indium	In	(+3), редко (+1) и (+2)
50	Олово / Tin	Sn	(+2), (+4)
51	Сурьма / Antimony	Sb	(-3), (+3), (+5), редко (+4)
52	Теллур / Tellurium	Te	(-2), (+4), (+6), редко (+2)
53	Иод / Iodine	I	(-1), (+1), (+5), (+7), редко (+3), (+4)
54	Ксенон / Xenon	Xe	0
55	Цезий / Cesium	Cs	(+1)
56	Барий / Barium	BA	(+2)
57	Лантан / Lanthanum	La	(+3)
58	Церий / Cerium	Ce	(+3), (+4)
59	Празеодим / Praseodymium	Pr	(+3)
60	Неодим / Neodymium	Nd	(+3), (+4)
61	Прометий / Promethium	Pm	(+3)
62	Самарий / Samarium	Sm	(+3), редко (+2)
63	Европий / Europium	Eu	(+3), редко (+2)
64	Гадолиний / Gadolinium	Gd	(+3)
65	Тербий / Terbium	Tb	(+3), (+4)
66	Диспрозий / Dysprosium	Dy	(+3)
67	Гольмий / Holmium	Ho	(+3)
68	Эрбий / Erbium	Er	(+3)
69	Тулий / Thulium	Tm	(+3), редко (+2)
70	Иттербий / Ytterbium	Ib	(+3), редко (+2)
71	Лютеций / Lutetium	Lu	(+3)
72	Гафний / Hafnium	Hf	(+4)
73	Тантал / Tantalum	Ta	(+5), редко (+3), (+4)
74	Вольфрам / Tungsten	W	(+6), редко (+2), (+3), (+4) и (+5)
75	Рений / Rhenium	Re	(+2), (+4), (+6), (+7), редко (-1), (+1), (+3), (+5)
76	Осмий / Osmium	Os	(+3), (+4), (+6), (+8), редко (+2)
77	Иридий / Iridium	Ir	(+3), (+4), (+6), редко (+1) и (+2)
78	Платина / Platinum	Pt	(+2), (+4), (+6), редко (+1) и (+3)
79	Золото / Gold	Au	(+1), (+3), редко (+2)
80	Ртуть / Mercury	Hg	(+1), (+2)
81	Талий / Thallium	Tl	(+1), (+3), редко (+2)
82	Свинец / Lead	Pb	(+2), (+4)
83	Висмут / Bismuth	Bi	(+3), редко (+3), (+2), (+4) и (+5)
84	Полоний / Polonium	Po	(+2), (+4), редко (-2) и (+6)
85	Астат / Astatine	At	—
86	Радон / Radon	Ra	0
87	Франций / Francium	Fr	—
88	Радий / Radium	Ra	(+2)
89	Актиний / Actinium	Ac	(+3)
90	Торий / Thorium	Th	(+4)
91	Проактиний / Protactinium	Pa	(+5)
92	Уран / Uranium	U	(+3), (+4), (+6), редко (+2) и (+5)

ru.solverbook.com

Решить онлайн иррациональные уравнения – Калькулятор иррациональных уравнений

alexxlab / 25.04.201908.06.2019 / Школьная жизнь

Иррациональные уравнения

О чем пойдет речь? Об уравнениях, которые содержат под знаком радикала функцию от переменной. Впрочем, знак радикала может быть заменен степенью с дробным показателем. Такие уравнения считают иррациональными.

Основные свойства иррациональных уравнений

1. Любой корень четной степени являются арифметическими, т.е. подкоренные выражения всегда неотрицательны и принимают только неотрицательные значения.

2. Любой корень нечетной степени определен при всех значениях подкоренного выражения и могут принимать любые значения.

3. Уравнение √(f(x)) = g(x) равносильно системе (здесь и далее под записью √(f(x)) будем понимать корень квадратный из выражения, стоящего в скобках):

{f(x) = (g(x))2,
{g(x) ≥ 0.

Какими способами можно решать иррациональные уравнения?

1. Возвести обе части уравнения в одну и ту же степень.
2. Заменой переменной.
3. Способом умножения обеих частей на одинаковые выражения.
4. Применение свойств функций, входящих в уравнение.

Рассмотрим примеры уравнений, решаемых этими методами.

Пример 1.

Решить уравнение √(3х² – 14х + 17) = 3 – 2х.

Решение.

Воспользуемся свойством 3 из выше перечисленных и получим систему:

{3х² – 14х + 17 = (3 – 2х)²,
{3 – 2х ≥ 0.

Из первого уравнения получаем х² + 2х – 8 = 0. Его корни: -4 и 2. Но неравенству нашей системы удовлетворяет лишь число -4.

Ответ: -4.

Возможен и другой путь решения этого уравнения. Не будем записывать систему. Забудем неравенство. Работаем только с уравнением. Но будем помнить, что возведение обеих частей уравнения в четную степень, приводит к уравнению-следствию. Оно наряду с корнями исходного уравнения может содержать и другие корни, которые называются посторонними. Поэтому после решения уравнения-следствия необходимо найти способ отсеять посторонние корни. Обычно это можно сделать при помощи проверки, которая в данном случае рассматривается как один из этапов решения.

Очевидно, что опять получим корни уравнения-следствия: -4 и 2. Проверка проводится путем подстановки в исходное уравнение √(3х² – 14х + 17) = 3 – 2х.

Если х = -4, то получаем √121 = 11, что верно. При х = 2 получаем √1 = -1, что не верно и корень 2 отсеян.

Ответ: х = -4.

Пример 2.

Решить уравнение ³√(4х + 3) – ³√(х + 2) = 1

Решение.

Возведём обе части уравнения в третью степень

(³√(4х + 3) – ³√(х + 2))3 = 13.

Получим (4х + 3) – (х + 2) – 3(³√(4х + 3)³√(х + 2))(³√(4х + 3) – ³√(х + 2)) = 1

Или (4х + 3) – (х + 2) – 3³√((4х + 3)(х + 2))(³√(4х + 3) – ³√(х + 2)) = 1.

Учитывая первоначальное условие, уравнение примет вид

(4х + 3) – (х + 2) – 3³√((4х + 3)(х + 2)) = 1. Выполнив несложные преобразования, мы получим

3х – 3³√((4х + 3)(х + 2)) = 0,

х =³√((4х + 3)(х + 2)).

Для решения данного уравнения необходимо повторное возведение в куб.

Выполнив его, будем иметь

х³= 4х² + 11х + 6,

х³ – 4х²– 11х – 6 = 0.

Способом подбора найдём один корень уравнения. Это число -1.

Разделив уголком многочлен х³ – 4х² – 11х – 6 на х + 1 получим трёхчлен х²– 5х – 6.

Корни уравнения х²– 5х – 6 = 0 – числа: -1; 6.

Следовательно, корнями уравнения х³ – 4х² – 11х – 6 = 0 будут числа -1; 6.

Подставляя числа -1; 6 в первоначальное уравнение убедимся в том, что корень уравнения – число 6.

Ответ: 6.

Пример 3.

Решить уравнение х² – х√(4x + 5) = 8х + 10

Решение.
Заметим, что 8х + 10 = 2(√(4x + 5))². Проверкой убеждаемся, что х = 0 не является корнем данного уравнения. Значит, поделив на х² обе части данного уравнения, получим ему равносильное:

1 – √(4x + 5)/х = 2(√(4x + 5)/х)²

Заменим √(4x + 5)/х = t и решим полученное квадратное уравнение 1 – t = 2t^2.

Получим t₁ = -1 и t₂ = 1/2. Вернёмся к исходной переменной х и получим 2 уравнения

1) √(4x + 5)/х = -1,

2) √(4x + 5)/х = 1/2

Из первого уравнения х = -1. (х = 5 приходится отбросить после проверки).

Из второго -х = 8 ± 2√21. Для отсеивания посторонних корней здесь проще проанализировать условие, чем делать подстановку. Ведь уравнение легко преобразуется к виду √(4x + 5) = 0,5х, которое равносильно системе

{4х + 5 = 0,25х²,
{0,5х ≥ 0.

Теперь очевидно, что подходит х = 8 + 2√21. И общий

ответ: х = -1 и х = 8 + 2√21.

Пример 4.

Решить уравнение √(8х + 1) + √(3х – 5) = √(7х + 4) + √(2х – 2).

Решение.

Воспользуемся формулой √а + √b = (a – b) / (√а – √b), которая верна при a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b.

С учетом ОДЗ (х ≥ 1 2/3 ) эту формулу можно применить к выражениям стоящим в левой и правой части уравнения.

И получим: (5х + 6) / (√(8х + 1) – √(3х – 5)) = (5х + 6) / (√(7х + 4) – √(2х – 2))

или (5х + 6)((√(8х + 1) – √(3х – 5)) – (√(7х + 4) – √(2х – 2)) = 0

Оно равнозначно совокупности 2 уравнений:

1) (5х + 6) = 0 и

2) √(8х + 1) – √(3х – 5) = √(7х + 4) – √(2х – 2)

Из первого получаем х = -1,2. Но это значение не входит в ОДЗ.

Сопоставим второе уравнение с исходным. При сложении этих уравнений получим:

2√(8х + 1) = 2√(7х + 4).

х = 3 .

Ответ: 3.

Невозможно описать все способы решения иррациональных уравнений в одной статье. Вряд ли вообще найдется источник с таким полным содержанием. Да он вам и не нужен. Для успешной подготовки к ЕГЭ, как и подготовки любого специалиста вообще, важно не запомнить теорию или методы и воспроизвести в аналогичных случаях, а, важнее, овладеть ими и применить в незнакомой ситуации. То есть некоторый базовый запас знаний надо научиться применять творчески. Тогда вы сами способны будете изобрести новые способы, то есть делать открытия.

Успехов вам. А своими находками делитесь с друзьями. Это можно сделать и через комментарии к статьям в блоге.

Остались вопросы? Не знаете, как решить иррациональное уравнение?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

blog.tutoronline.ru

Онлайн-урок №10 «Иррациональные уравнения и неравенства.»

Решение иррациональных уравнений

Иррациональными называются такие уравнения, в которых переменная стоит под знаком корня.
1) Уравнения вида  или  решаются путем возведения обеих частей в степень корня. Здесь обязательна проверка полученных корней, так как под корнем четной степени может стоять только положительное число или ноль и сам корень может принимать только неотрицательные значения.
2) Уравнения вида  или  решаются путем возведения обеих частей в степень корня. Здесь проверка не нужна, так как под корнем может стоять любое действительное число и сам корень принимает любые значения.
Пример: Решить уравнение .
Решение:
Проверка: . Квадратный корень принимает отрицательное значение, что невозможно – данный корень лишний. , т.е. корень  подходит.
Ответ: 2/3.

Решение иррациональных неравенств

Иррациональными называются такие неравенства, в которых переменная стоит под знаком корня.

1) Неравенство вида . При решении необходимо рассмотреть два случая:
а) если правая сторона неравенства неотрицательна, то мы имеем выражение вида «неотрицательное число»>«неотрицательное число», что выполнено не всегда и его необходимо полноценно решать

Стоит обратить внимание, что второе условие выполнено автоматически, если выполнено третье, т.е. его можно не записывать при решении.
б) или если правая сторона неравенства отрицательна, то имеем выражение вида «неотрицательное число»>«отрицательное число», что выполнено всегда с учетом ОДЗ, т.е.

Множества из решений обоих случаев объединяют и получают ответ.
Пример: Решить неравенство .
Решение:

Ответ:

2) Неравенство вида . При решении достаточно рассмотреть одну эквивалентную систему неравенств:

В отличие от предыдущего варианта случай не имеет смысла, так как тогда мы получаем выражение вида «неотрицательное выражение»<«отрицательное выражение», что невозможно.

3) Неравенства вида заменяются эквивалентной системой:

Второе условие выполнено автоматически при выполнении третьего, поэтому его можно не писать.

4) Неравенства вида заменяются эквивалентным неравенством:
.
В них не записываются ограничения на ОДЗ, т.к. подкоренное выражение в корне нечетной степени и сам корень может принимать любые значения.

Замечание. Иррациональные неравенства можно решать графическим методом.
Пример: Решить неравенство графически: .
Решение: Первая функция монотонно убывает, вторая монотонно возрастает на области определения.

Если уравнение имеет корень, то он единственный, по графику легко его увидеть: . Эта точка отвечает пересечению, т.е. равенству двух функций.
Далее по графику выписываем множество аргументов, при которых выполнено неравенство.
Конечно же, такой способ решения эффективен в том случае, когда точки пересечения функций являются целыми и небольшими числами.
Ответ: .

Неравенства других четных и нечетных степеней решаются аналогично.

vneshkoly.com.ua

Решение всех типов иррациональных уравнений

Видеолекция «Решение иррациональных уравнений. Задание 15»

В курсе математики средней школы сложные иррациональные уравнения практически не встречаются, однако, их легко встретить среди задач Задания 15. Поэтому будем учиться их решать.

В видеолекции «Решение ирациональных уравнений. Задание 15» мы рассматриваем решение всех типов иррациональных уравнений, начиная с совсем простых и заканчивая сложными уравнениями уровня Задания 15.

КУПИТЬ видеолекцию «Решение ирациональных уравнений. Задание 15»

В видеолекции вы найдете пошаговый разбор следующих иррациональных уравнений:

10.

Фрагмент видеолекции:

КУПИТЬ видеолекцию «Решение ирациональных уравнений. Задание 15»

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Иррациональные уравнения и системы — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к решению иррациональных уравнений и систем

К оглавлению…

Существуют два равноценных метода решения иррациональных уравнений с квадратными корнями:

Метод равносильных переходов (с учетом ОДЗ). При этом для правильной записи области допустимых значений, в общем случае необходимо потребовать неотрицательности всех подкоренных выражений, а также выражений, которым равны корни квадратные (если таковые можно алгебраически выразить из уравнения).
Метод перехода к уравнению-следствию (без учета ОДЗ). В этом методе обязательно требуется проверка корней подстановкой.

Честно говоря, в иррациональных уравнениях порой так сложно правильно записать ОДЗ, что даже если Вы будете пробовать это сделать, то корни всё равно лучше проверять подстановкой, особенно если корни представляют из себя целые числа.

Обратите внимание на очень частую ошибку – если Вы решаете уравнение типа:

То при записи ОДЗ необходимо требовать неотрицательность правой части, то есть накладывать условие:

Причем необходимо понимать, что данное условие нужно дополнительно добавлять в ОДЗ даже если к подобному уравнению Вы пришли уже после нескольких преобразований (возведений в квадрат), а не только в случае, когда уравнение изначально выглядело соответствующим образом.

В иррациональных уравнения особо актуально становится следующее замечание: для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, необходимо, чтобы хотя бы один их них равнялся нолю, а остальные существовали. Когда множителями являются корни, а не просто скобки как в рациональных уравнениях, то они часто могут и не существовать. Так возникают ошибки.

Если в иррациональном уравнении много корней, то крайне желательно перед возведением этого уравнения в квадрат перенести корни справа налево или наоборот так, чтобы с каждой из сторон получилась именно сумма корней, то есть заведомо положительное выражение. Если же, по каким-то причинам, Вы решили возводить в квадрат разность корней (т.е. выражение чей знак неизвестен), то будьте готовы получить несколько посторонних корней. В этом случае обязательно нужно проверить все корни подстановкой, потому что правильно записать ОДЗ уже скорее всего не получится.

Если в иррациональном уравнении имеется корень в корне, то необходимо будет несколько раз возводить это уравнение в квадрат, при этом главное понимать, что в соответствии с изложенными выше условиями, при каждом таком возведении могут получаться всё новые и новые условия для ОДЗ. В таких уравнениях при возможности лучше проверять корни подстановкой.

При решении иррациональных уравнений часто удобно использовать замену. При этом главное помнить, что после введения замены в некоторое уравнение это уравнение должно:

во-первых, стать проще;
во-вторых, больше не содержать первоначальной переменной.

Кроме того, важно не забывать выполнять обратную замену, т.е. после нахождения значений для новой переменной (для замены), записывать вместо замены то, чему она равна через первоначальную переменную, приравнивать это выражение к найденным значениям для замены и опять решать уравнения.

При решении систем иррациональных уравнений с двумя неизвестными зачастую достаточно действовать по стандартной схеме. А именно, выразить одну из переменных из одного из уравнений и подставить данное выражение вместо соответствующей переменной в другое уравнение. После чего получится некоторое иррациональное уравнение с одной неизвестной, которое затем следует решить с учетом всех правил решения иррациональных уравнений. Значение первой переменной затем нужно найти используя её выражение через уже найденную переменную.

При решении систем иррациональных уравнений с большим количеством переменных также зачастую достаточно использовать метод подстановки. Также при решении систем иррациональных уравнений часто помогает метод замены переменных. При этом нужно понимать, что после введения замены переменных в систему:

во-первых, она опять-таки должна упроститься;
во-вторых, новых переменных должно быть столько же сколько и старых;
в-третьих, система больше не должна содержать старых переменных;
в-четвёртых, нужно не забыть выполнить обратную замену.

Основные свойства степеней

К оглавлению…

При решении иррациональных уравнений необходимо помнить много свойств степеней и корней. Перечислим ниже основные из них. У математических степеней есть несколько важных свойств:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

Основные свойства математических корней

К оглавлению…

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак «минус»):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным, то для таких корней имеется следующее важное свойство:

Итак всегда нужно помнить, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное выражение, и сам корень тоже есть неотрицательное выражение. Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

Основные свойства квадратного корня

К оглавлению…

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно очень хорошо запомнить и не путать:

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

Обратите внимание на другой случай использования последнего свойства. Если под корнем квадратным имеется произведение двух отрицательных величин (т.е. по итогу величина положительная, а значит корень существует), то этот корень раскладывается на множители следующим образом:

educon.by

решение иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения, которые встречаются в задании В6 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике имеют такой вид:

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно возвести обе части уравнения в квадрат.

Внимание! Возведение в квадрат левой и правой частей уравнения может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, после того, как корни уравнения будут найдены, нужно сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение и проверить, получим ли мы верное равенство.

Давайте рассмотрим примеры решения иррациональных уравнений из Задания В7.

1. Задание В6 (№ 26656)

Найдите корень уравнения

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Сделаем проверку. Для этого подставим число 3 в исходное уравнение:

— верно.

Ответ: 3

2. Задание В6(№ 26656)

Найдите корень уравнения

Решение.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Перенесем дробь в левую часть уравнения и приведем к общему заменателю:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем к нулю числитель:

Сделаем проверку:

— верно

Ответ: 87.

3. Задание В6 (№ 26668)

Найдите корень уравнения .

Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Cделаем проверку:

— верно.

Оба корня нас устраивают. В ответе требуется указать меньший корень.

Ответ: -9

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox или
Chrome

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Таблица пифагора до 15 – Таблица умножения | Формулы с примерами

alexxlab / 24.04.201908.06.2019 / Школьная жизнь

Таблица умножения на 15

Большая таблица умножения чисел на 15 (пятнадцать)
Множители	Произведение (Результат)
15 * 1 =	15
15 * 2 =	30
15 * 3 =	45
15 * 4 =	60
15 * 5 =	75
15 * 6 =	90
15 * 7 =	105
15 * 8 =	120
15 * 9 =	135
15 * 10 =	150
15 * 11 =	165
15 * 12 =	180
15 * 13 =	195
15 * 14 =	210
15 * 15 =	225
15 * 16 =	240
15 * 17 =	255
15 * 18 =	270
15 * 19 =	285
15 * 20 =	300
15 * 21 =	315
15 * 22 =	330
15 * 23 =	345
15 * 24 =	360
15 * 25 =	375
15 * 26 =	390
15 * 27 =	405
15 * 28 =	420
15 * 29 =	435
15 * 30 =	450
15 * 31 =	465
15 * 32 =	480
15 * 33 =	495
15 * 34 =	510
15 * 35 =	525
15 * 36 =	540
15 * 37 =	555
15 * 38 =	570
15 * 39 =	585
15 * 40 =	600
15 * 41 =	615
15 * 42 =	630
15 * 43 =	645
15 * 44 =	660
15 * 45 =	675
15 * 46 =	690
15 * 47 =	705
15 * 48 =	720
15 * 49 =	735
15 * 50 =	750
15 * 51 =	765
15 * 52 =	780
15 * 53 =	795
15 * 54 =	810
15 * 55 =	825
15 * 56 =	840
15 * 57 =	855
15 * 58 =	870
15 * 59 =	885
15 * 60 =	900
15 * 61 =	915
15 * 62 =	930
15 * 63 =	945
15 * 64 =	960
15 * 65 =	975
15 * 66 =	990
15 * 67 =	1005
15 * 68 =	1020
15 * 69 =	1035
15 * 70 =	1050
15 * 71 =	1065
15 * 72 =	1080
15 * 73 =	1095
15 * 74 =	1110
15 * 75 =	1125
15 * 76 =	1140
15 * 77 =	1155
15 * 78 =	1170
15 * 79 =	1185
15 * 80 =	1200
15 * 81 =	1215
15 * 82 =	1230
15 * 83 =	1245
15 * 84 =	1260
15 * 85 =	1275
15 * 86 =	1290
15 * 87 =	1305
15 * 88 =	1320
15 * 89 =	1335
15 * 90 =	1350
15 * 91 =	1365
15 * 92 =	1380
15 * 93 =	1395
15 * 94 =	1410
15 * 95 =	1425
15 * 96 =	1440
15 * 97 =	1455
15 * 98 =	1470
15 * 99 =	1485
15 * 100 =	1500
… * 101 =	…

Автор: Bill4iam

kvn201.com.ua

Как быстро и легко запомнить таблицу умножения

На первый взгляд таблица Пифагора большая и непонятная. Посмотришь на неё и разводишь руками – как это всё запомнить?!

Не надо паники! Стоит для начала внимательно её рассмотреть.

Ведь вся хитрость таблицы Пифагора в том, что на ней хорошо заметны закономерности!

Именно поэтому с ней таблицу умножения получается запомнить легко и быстро.

Вот их-то, в основном, мы и будем запоминать.

А для начала нам эти закономерности надо найти.

Кстати, возможно уже сейчас вам захотелось

Распечатать таблицу Пифагора пустую и заполненную

Здесь вы найдёте заполненную таблицу, такую как на картинках в этой статье.

Это таблица пустая большая

А это – две поменьше на один лист

Итак.

Как легко и быстро запомнить таблицу умножения

Таблица Пифагора детям

Смотрим внимательно. Что мы тут видим? Вообще-то, каждый из вас имеет полное право увидеть свои закономерности. От этого даже лучше запомнится.

Я же с вами здесь поделюсь тем, что заметили мы с дочкой Мариной.

Первое наблюдение, или минус полтаблицы

При внимательном рассмотрении, оказывается, что нижняя половинка таблички, если её сложить по малиновой диагонали, зеркально отражает верхнюю.

Почему так? Догадались? Верно – потому что

2 х 5 = 5 х 2

Ну а

8 х 7 = 7 х 8

А это означает, что нам надо выучить только половину таблицы. Уже в два раза легче!

Смотрим дальше

Умножение на два

Что такое умножение на два? Ну конечно – взять число два раза

2 х 2 = 2 + 2

8 х 8 = 8 + 8

Надеюсь прибавить в уме число к самому себе тут каждый сможет?

Повторите несколько раз в уме, сколько будет от 2 до 9 умножить на два.

Готово! Умножение на два мы выучили

Умножение на три и на четыре

Тут особо никаких секретов нет. Просто умножение на три это ещё раз прибавить к числу, умноженному на два его же.

То есть 2 х 3 = 4 + 2, а 6 х 3 = 12 + 6 и т.д.

Ну а для умножения на четыре – нужно сложить результат умножения на два сам с собой.

2 х 4 = 4 + 4, а 6 х 4 = 12 + 12

Одним словом – для умножения на три и четыре надо бы уметь быстро вспоминать умножение на два.

Здесь я вам уже очень советую нарисовать много пустых таблиц Пифагора и постепенно их заполнять. Те ячейки, которые уже знаешь – как.

Умножение на пять

Переходим к умножению на пять. Почему на пять? Потому что про пять есть хитрость.

Итак. Посмотрите на столбик умножения на пять. Видите что у нас там?

Да. У нас там или круглое число (то, что заканчивается на ноль), или с пятёркой на конце. Каждое последующее число больше предыдущего на пять.

А теперь вот какой ещё мы с Мариной обнаружили фокус:

Если умножаем пять на чётное число – результат круглый. Если на нечётное – результат с пятёркой на конце.

Плюс ещё один секрет – для чётных чисел, чтобы получить первую цифру, нужно разделить число на два.

То есть:

Если нам нужно умножить 6 на 5. Что мы делаем:

Первое – шесть четное, значит на конце – нолик.

Второе – 6 разделить на два – 3. Значит вначале – три!

Значит, 6 на 5 будет 30!

Ну и, конечно же, запомните, что пятью пять – двадцать пять! Это же просто песня какая-то!

Теперь, когда мы уже знаем умножение на 2, 3, 4, и 5, совершенно точно пора заполнить нашу табличку и посмотреть – сколько ещё осталось выучить?

Да! Заполняйте не только столбики 2,3, 4, 5, но и строчки 2, 3, 4, и 5.

Ну, что видите? Учить-то уже почти и нечего!

Умножение на девять

Тут есть какая-то хитрость с костяшками пальцев. Я её, увы, не помню.

Мы с умножением на 9 поступаем так:

Надеюсь, все тут знают, что 2 х 10 это 20, 3 х 10 это 30, а 8 х 10 это 80 ?

Отлично?

Так вот, умножение на девять, это ведь умножение на 10 минус число.

То есть:

2 х 9 это у нас 20 – 2 = 18

5 х 9 это – 50 – 5 = 45.

И не забывайте, что мы вообще-то с вами уже изучили умножение на два и на пять и на три.

Умножение на шесть, семь и восемь

Снова заполните все квадратики таблицы Пифагора. Те, что вам уже известны.

Видите сколько осталось?

А это можно и выучить, правда?

Впрочем, думаю, и здесь можно найти какие-то закономерности.

Например, если уж совсем не учится, можно вспомнить какие-то ближайшие выученные квадратики и добавлять к ним нужное число.

Например:

Возьмём умножение на шесть.

И тут у нас, кстати, ещё одна песенка: шестью шесть – тридцать шесть! Запомнили?

Далее…

Вообще-то до пяти мы уже всё знаем. Ну, а если вдруг забыли, сколько будет 6 на 4?

Вспоминаем так: 6 х 5 = 30 (это ну очень легко вспомнить) . Значит, 6х4 это у нас – 30 – 6 = 24

Дальше у нас идёт… 6х6. «Шесть на шесть – тридцать шесть! Совершенно верно!»

Ага. Значит, 6 х 7 у нас… Это будет 36 + 6 = 42!

Вот и закончились все наши секреты, которые мне удалось припомнить.

Легко вам и интересно выучить таблицу умножения!

Учите с нами, заходите почаще!

irinaroslova.ru

Альтернатива таблице Пифагора, которая поможет р

Помните, как всех нас заставляли в школе зазубривать таблицу умножения наизусть? От нас даже не требовалось особого понимания её свойств. Достаточно было лишь запомнить аккуратные столбцы примеров. Даже на тетрадках по математике чуть ли не в обязательном порядке изображалась такая таблица умножения. Вот как это выглядело поколение назад:

Да и сегодня практически ничего не изменилось. И наши дети продолжают заучивать наизусть НЕПРАВИЛЬНУЮ таблицу умножения. Да-да, вы не ослышались! То, что изображено на школьных тетрадях — НЕ таблица умножения.

Настоящая таблица умножения выглядит вот так:

Во-первых, это действительно таблица. Во-вторых, она интересная! У неё даже есть своё особое название — «таблица Пифагора». Для заучивания вы можете оставить в покое верхнюю и левую колонки можно не брать, запомнив только основной прямоугольник.

Вот три причины, по которым «таблица Пифагора» лучше общеизвестных столбиков:

1. В ней нет мусора и информационного шума в виде левой части примеров;

2. Над ней можно подумать. Кроме того, ребёнок автоматически будет искать в ней закономерности. И самостоятельно их находить. даже если он ещё не знает, что такое умножение;

3. Таблицу Пифагора можно повесить перед глазами ребёнка, и вскоре он совершенно незаметно для себя запомнит эти числа. Кстати, в «таблице» надо запоминать гораздо меньше, чем в «примерах».

Приведём простой пример использования таблицы Пифагора для развития математического мышления: числа, симметричные относительно диагонали — равны. Следовательно, от перестановки мест сомножителей произведение не меняется (то есть, умножение коммутативно).

Такая таблица запоминается лучше, эффективнее и интереснее, поскольку человеческий мозг ориентирован на поиск симметрии. Любая симметрия автоматически врезается нам в память. И когда ребенок учится умножать таким образом, он воспринимает этот процесс как своё достижение! А то, что человек придумал сам, запоминается навсегда, в отличие от того, что ему пришлось зазубрить или услышать от других.

В процессе запоминания таблицы Пифагора мозг не просто воспринимает сухую информацию в виде каких-то непонятных столбиков примеров, а думает и анализирует и постоянно тренируется.

Вот ещё один замечательный факт: если взять любое число и провести прямоугольник от начала таблицы до этого числа, то количество клеточек в прямоугольнике и будет равняться этому числу.

Таким образом, умножение обретает более глубинный смысл. Это уже не сокращенная запись нескольких одинаковых слагаемых, а правило из геометрии: площадь прямоугольника равна произведению сторон.

Ну а делить с такой таблицей вообще проще простого!!!

Распечатайте своему ребёнку такую таблицу умножения в дополнение к той, что он проходит в школе, и объясните, как ею пользоваться. Можно также выделить на такой таблице квадраты по диагонали.

Психологи утверждают, что развитие логического и аналитического мышления пригодится любому ребёнку. Подобно судоку или раскраскам для взрослых, таблица Пифагора является отличной тренировкой для мозга!

Источник: http://pyatimenutka.ru/

Революционный способ решения примеров на умножение. Почему я раньше о нем не знала?

5 гениальных математических лайфхаков

fabiosa.ru

Таблица умножения для детей: Распечатать. Как учить

Нередко родители сталкиваются с проблемой, когда ребенку задают выучить таблицу умножения. Все мы были когда-то детьми, тоже учили и как-то выучили. Конечно, проще выучить стихотворение на урок литературы, а здесь столько чисел и как всё запомнить? Ребенку «зубрежка» надоедает, становится скучной. Кроме этого у него может быть плохо развита способность запоминать отдельные не связанные между собой элементы, так называемая механическая память.

На сегодняшний день существует много различных методов заучивания таблицы умножения для детей. Их часто практикуют в школе, но даже к третьему классу, дети не понимают, что учат. Поэтому дожидаться, когда школьнику зададут на дом выучить таблицу умножения, не стоит.

Таблица умножения для детей: способы запоминания

Чтобы помочь ребенку быстро выучить таблицу умножения, нужно понимать сам процесс умножения.Для начала ребенок должен хорошо уметь считать и понимать, например, что к 2 яблокам прибавить ещё 2 яблока будет 4. Важно, чтобы малыш правильно произносил цифры и не путал их. Только тогда можно приступить к изучению таблицы Пифагора.

Таблица Пифагора для детей скачать и распечатать

К занятиям родители должны приготовить различные одинаковые предметы: кружочки, квадратики, яблоки, груши и др. Последние лучше вырезать из картона. Затруднений при умножении на единицу у ребенка возникнуть не должно. Начнем с умножения на 2. Для этого следует разложить, например, картонные яблоки или другие предметы 4 ряда по 2 единицы. Предложите ребенку посчитать количество рядов и предметов. Объясните, что если умножить 2 ряда на 2 предмета, будет 4; 4 ряда на 2 предмета будет 8 и т. д. Когда ребенок освоит умножение на два, переходите к умножению на три. Здесь уже сделайте 3 ряда по 3 предмета.

Скачать таблицу умножения на 2

Как выучить таблицу умножения в игровой форме

Другой быстрый способ, который поможет выучить таблицу умножения, это изучение в игровой форме. Этот метод следует применять тогда, когда ребенок «вызубрил» таблицу и имеет некоторые пробелы. Данный игровой метод представляет собой игру в фанты. Необходимо сделать заготовку карточек, на которых написать умножения на различные числа.

Принцип игры следующий: ребенку предлагаете взять любую карточку, к примеру 5×7, при правильном ответе карточку кладет к себе, если ответ неверный карточка кладется вниз колоды. Путем повторения одних и тех же примеров, ребенок их легко запомнит и усвоит.

Если в семье два школьника, то это будет отличным вариантом изучения таблицы умножения. При этом у ребенка задействована не только механическая, но и зрительная память.

Чтобы работала не только механическая, но и визуальная память, Скачайте таблицу умножения (плакат), распечатайте и повесьте на видное место. Приобрести можно и специальные магнитики с цифрами на холодильник. Ребенку не будет скучно учить одному. Вы на кухне готовите ужин, а малыш учит таблицу, передвигая правильно магнитики. В помощь ребенку сейчас имеется большой выбор различных товаров. Поэтому у родителей не должно возникнуть трудностей, при выборе таблице умножения.

Таблица умножения в стихах

Следующий прием, который поможет ребенку выучить таблицу умножения, мнемонический. Суть его в том, что ребенок заучивает рифмованные слова или ассоциации.

Таблица умножения на 3 в стихах

Изучение таблицы умножения требует усидчивости и терпения от школьника, но некоторые способы запоминания таблицы умножения облегчат запоминание, и сделают его веселым и быстрым.

Например, вот так легко запомнить таблицу умножения на 9.

Распечатать таблицу умножения на 9

Эффективный способ запоминания умножения на 9

Скачать плакат «Таблица умножения»

Сохраните на компьютер и распечатайте таблицу умножения:

Полезные статьи:

КАК НАУЧИТЬ РЕБЕНКА БЫСТРО СЧИТАТЬ

ЦИФРЫ КАРТОЧКИ РАСПЕЧАТАТЬ

МЕТОДИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ДОШКОЛЬНИКОВ

razvitiedetei.info

Таблица умножения — Кормление в стойлах они введут вместе с просвещением…

Вы же наверняка знаете, что я преподаю математику. А еще вы не раз слышали мнение, что уровень математического образования падает.

Вот, когда мои дети учились во втором классе, я отчетливо себе поняла, почему падает уровень математического образования в школе. Именно во втором классе при закладке самого фундамента математического образования возникает такая гигантская невосполнимая дыра, которую уже никакими костылями в виде калькуляторов не подопрешь.

А именно, главная проблема — в таблице умножения. Посмотрите на тетради в клетку, которые есть у ваших детей-школьников.
Я долго-долго ходила по магазинам в поисках тетрадей. И все равно, на всех — вот такая картина.

Есть тетради еще хуже (для старшеклассников) на которых таблицы умножения нет, а есть куча бессмысленных формул.
Ну, так чем же эта тетрадь плоха? Ничего не подозревающий родитель видит, что на тетради таблица умножения. Вроде, всю жизнь же на тетрадях была таблица умножения? Что не так-то?

А проблема как раз в том, что на тетради НЕ таблица умножения.

Таблица умножения, дорогие мои читатели, это вот:

Иногда эту же таблицу даже называют красивым слово «таблица Пифагора». Верхнюю и левую колонки можно не брать, только основной прямоугольник.

Во-первых, это таблица. Во-вторых, она интересная!
Ни один ребенок в здравом уме не будет рассматривать выписанные столбиками примеры.
Ни один ребенок, как бы гениален он ни был, не сможет найти в выписанных примерах интересные фишки и закономерности.
Ну, и вообще, когда учитель говорит: «выучи таблицу умножения», а ребенок даже перед собой таблицы не видит — он сразу понимает, что математика — это такая наука, где обычные вещи названы как-то по-другому и надо много-много зубрить, а понять ничего невозможно. И вообще, надо делать «так, как сказано», а не «так, как есть смысл».

Чем же «таблица» лучше?
Во-первых, в ней нет мусора и информационного шума в виде левой части примеров.
Во-вторых, над ней можно подумать. Тут даже нигде не написано, что это умножение — просто таблица.
В-третьих, если она постоянно под рукой и ребенок на нее постоянно натыкается, он волей-неволей начинает запоминать эти числа. В частности, на вопрос «семью восемь» он никогда не ответит 55 — ведь числа 55 вообще в таблице нет и не было!
Запоминать столбики примеров способны только дети с аномальной памятью. В «таблице» надо запоминать гораздо меньше.

Кроме того, ребенок автоматом ищет закономерности. И сам самостоятельно их находит. Даже такие закономерности находят дети, еще не умеющие умножать.
Например: числа, симметричные относительно диагонали — равны. Понимаете, людской мозг просто настроен искать симметрию, и если ее находит и замечает — очень радуется. А что это означает? Это означает, что от перестановки мест сомножителей произведение не меняется (или что умножение коммутативно, говоря проще).

Понимаете, ребенок замечает это сам! А то, что человек придумал сам, он запомнит навсегда, в отличие от того, что он зазубрил или ему сказали.
Помните свой экзамен в вузе по математике? Вы же забыли все теоремы курса, кроме той, что вам досталась, и вам пришлось ее доказывать злобному преподу! Ну, это если вы не списывали, конечно. (Я утрирую, но почти всегда это близко к правде).

А потом ребенок видит, что можно не всю таблицу учить, а только половину. Если мы уже знаем строчку умножения на 3, то нам не надо запоминать «восемь на три», а достаточно вспомнить «три на восемь». Уже вдвое меньше работы.

А кроме того, очень важно, что ваш мозг не принимает сухую информацию в виде каких-то непонятных столбиков примеров, а думает и анализирует. Т.е. тренируется.

Кроме коммутативности умножения можно заметить, например, еще такой замечательный факт. Если ткнуть в любое число и провести прямоугольник от начала таблицы до этого числа, то количество клеточек в прямоугольнике — ваше число.

И тут умножение уже получает более глубинный смысл, чем просто сокращенная запись нескольких одинаковых слагаемых. Идет смысл и для геометрии — площадь прямоугольника равна произведению его сторон )

А вы не представляете, насколько проще делить с такой таблицей!!!

Короче, если ваш ребенок во втором классе, распечатайте ему вот такую, правильную, таблицу умножения. Повесьте на стену большую, чтобы он на нее поглядывал, когда делает уроки или сидит за компом. Или еще какой дурью страдает. И напечатайте и заламинируйте ему маленькую (или напишите на картоне). Пусть он ее в школу с собой таскает, и просто удобно под рукой держит. (не помешает на такой таблице выделить квадраты по диагонали, чтобы лучше видно)
У моих детей есть — вот такая. И им это реально помогло во втором классе и до сих пор очень сильно помогает на уроках математики.

Вот, честное слово, сразу средний балл по математике увеличится, а ребенок перестанет ныть, что математика тупая. А в придачу, в будущем вашему ребенку тоже будет проще. Он поймет, что надо шевелить мозгами, а не зубрить. И мало, что поймет, он еще и научится это делать.

И повторюсь: в примерах столбиками ничего плохого нет. И количество информации в них содержится такое же, как и в «таблице». Но и ничего хорошего в таких примерах тоже нет. Это — информационный мусор, из которого нужное еще не враз найдешь.

antonisakov.livejournal.com

Таблица умножения Пифагора.Тайны или реальность.

Структура таблицы умножения Пифагора

Впервые таблица Пифагора примерно в таком же виде, каком мы ее находим на обложках ученических тетрадей, появилось в сочинениях Никомаха (1-2 вв.).

Числа в каждой строке таблицы Пифагора образуют последовательность чисел составленных определенным образом.

Умножение натуральных чисел есть не что иное, как многократное прибавление к сумме одного и того же слагаемого.

Таблица Пифагора симметрична относительно диагонали, ведущей из левого верхнего угла в правый нижний. Данное свойство – геометрическая иллюстрация свойства умножения.

Цифры в первом столбце и последние цифры в девятом столбце повторяют друг друга, но идут в обратном порядке. Этим свойством обладают последние цифры второго и восьмого столбцов; третьего и седьмого, четвертого и шестого. Я сделал открытие: для произвольных двух цифр А и В последняя цифра произведения АВ равна последней цифре произведения (10-А)*(10-В), так как разность чисел АВ и (10-А)*(10-В) делится на 10. Рассмотрим некоторые факты: назовем квартетом четыре числа таблицы Пифагора расположенные в вершинах некоторого квадрата, а числа стоящие на диагонали таблицы – диагональными.

Оказывается, если стороны этого квадрата параллельны диагоналям таблицы Пифагора, то суммы диагональных чисел квартета равны. Если стороны квадрата параллельны сторонам таблицы, то равны произведения диагональных чисел квартета. Если при этом квадрат расположен симметрично главной диагонали таблицы Пифагора, то суммы всех чисел квартета – квадрат некоторого натурального числа.

Таблица умножения Пифагора¹

	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

Очень интересно составлена таблица умножения на 9 (см. таблицу 2), если внимательно посмотреть, то можно заметить закономерность:

9
18
27
36
45
54
63
72
81

Таблица № 2

Поэтому свою таблицу умножения Пифагор считал самым значительным открытием, так как в ней зашифрован закон гармонии развития числовой основы вселенной, как единой целой.

В российских школах традиционно доходят до 10*10. В Великобритании до 12*12, что связано, в том числе с единицами английской системе мер длины (1фут =12 дюймов) и денежного обращения (существовавшей до 1971 г.: 1 фут стерлингов=20 шиллингам, 1 шиллинг=12 пенсам).

Практическое применение таблицы умножения Пифагора

Мною было найдено в источниках одно из удивительных применений таблицы Пифагора – гадание, где нехитрые вычисления помогут раскрыть характер человека.

В современных интерпретациях Пифагора способы предсказания и расчета судьбы человека по дате его рождения присутствуют в таблице № 3, в которой в квадрате из 9 ячеек, расположены цифры, каждая из которых указывает на одно из определяющих качеств человека.

Таблица № 3

1111	2222	3333
4444	5555	6666
7777	8888	9999

Набор цифр даты рождения тестируемого человека даёт возможность заполнить таблицу и таким образом «прочитать» судьбоносные качества человека, дать ему представление о том, на что ему следует опираться в своей жизни.

Это – не так и уж мало, особенно для человека только – только входящего в жизнь.

Результаты практического применения

Для этого нужно узнать дату рождения и провести исследование.

О чём может рассказать дата моего рождения, используя квадрат Пифагора.

Начинаем складывать:

Цифры дня и месяца рождения: 2+1+0+1=4
Цифры года рождения: 1+9+9+5=24
Складываем получившиеся два числа: 4+24=28, получилось первое рабочее число-28
Складываем цифры первого рабочего числа: 2+8=10, получили второе рабочее число-10
Из первого рабочего числа отнимите удвоенную первую цифру дня рождения: 28-2*2=24, получили третье рабочее число-24
Для того, чтобы получилось следующее рабочее число, сложите цифры третьего числа 2+4=6, получили четвертое рабочее число-6

Получили два ряда цифр:

1ряд – дата рождения: 21.01.1995

2ряд – рабочие числа: 28,10,24,6

Подсчитайте общее количество цифр в двух рядах. В моём случае их 15. По словам Пифагора, человек приходит на землю 15 раз, а потом переходит жить в другое, более совершенное измерение.

Теперь нарисуйте квадрат 3 на 3 и разделите на 9 маленьких квадратиков.

В первый квадратик впишите все единицы из двух рядов, во второй двойки, в третий -тройки и так далее.

А теперь посмотрим, о чём рассказывают нам цифры.

Квадрат 1. Характер

эгоист

11- человек эгоистичный, но иногда может подумать о других

111- человек с положительным устойчивым характером

1111- характер очень волевой и сильный

11111- самодур и диктатор

111111 – жестокий человек, но для близких пойдет на всё. Крайне неприятен в общении.

Квадрат 2. Биоэнергия

Двоек нет. Биополе отсутствует. Канал открыт для активного поглощения энергии, таким людям нравятся старые вещи (коллекционеры). Они неплохо относятся к окружающим, но при этом пытаются поживиться за счёт других, «поглощая их биополе».

2 – биоэнергии хватает для жизни, но в данный момент её маловато, поэтому надо заниматься спортом. Эти люди сверхчувствительны к атмосферным перепадам.

22 – биоэнергии достаточно, такой человек способен лечить других людей.

222 – хороший экстрасенс.

2222- этих людей очень любит противоположный пол, но если присутствует и 666 то нужно быть осторожнее.

Квадрат 3. Организованность и способности к наукам

Нет троек — очень аккуратный и пунктуальный человек, который выделяется среди окружающих культурной речью и воспитанностью.

3 — у таких людей всё зависит от настроения. Они не любят беспорядок, но уборку проводят в зависимости от настроения (хочу делаю, хочу — нет).

33 – хорошие способности к точным наукам ( математике, физике, химии).

333 — способность к наукам. Аккуратные до занудства.

3333 — из них получаются хорошие ученые.

Квадрат 4. Здоровье

Нет четверок – у этого человека проблемы со здоровьем.

4 — здоровье нормальное, проблемы начинаются в преклонном возрасте.

44- очень здоровый человек, обладающий высокой сопротивляемостью болезням.

444 – то же что и 44, только ярче выражено.

Квадрат 5. Интуиция

Нет пятерок – человек родился с неоткрытым каналом интуиции. Он активен, старается что-то предпринять. Всегда обдумывает свои действия, но совершает много ошибок, таким людям приходится пробивать себе дорогу с огромным трудом

5 — канал открытый, эти люди делают меньше ошибок.

55 – сильно развитая интуиция ( могут быть следователями или юристами).

555 — ясновидящие, всё, что происходит вокруг им понятно, они знают, что делать.

5555 — таким людям подвластно время и пространство.

Квадрат 6

Нет шестерок – человек пришёл в этот мир, чтобы получить профессию, физический труд он не любит, но вынужден им заниматься.

6 — земной человек, думает об учебе, но без физической работы ему не обойтись.

66 — любит трудиться, хотя физическая работа для него только –хобби.

666 — тревожный знак, очень привлекательный, активный человек, однако требует от партнера больших денежных затрат.

6666 -этот человек много и тяжело работал.

Квадрат 7

Нет семерок-человек тяжёлой судьбы

7 — у этого человека есть неярко выраженный талант.

77 — знак очень талантливых людей. Они музыкальны, имеют художественный вкус, могут рисовать. В нем есть всё и хорошее и плохое.

777 — знак особый, эти люди столкнутся с серьёзными трудностями.

7777 — знак тревоги, люди будьте осторожны.

Квадрат 8. Ответственность

Нет восьмерок- человек легко берёт в долг, но не спешит отдавать.

8 — человек с развитым чувством ответственности.

88 -очень развито чувство ответственности. Этот человек всегда готов помочь другим.

888 — призван служить народу.

8888 — человек имеет парапсихологические способности, а так же имеет способности в области точных наук.

Квадрат 9. Ум

9 — такому человеку надо развивать свой ум.

99 — умная голова, но дана лентяю.

999 — умный, удачливый человек.

9999 — человек редкого ума, однако груб и немилосерден.

Проанализировав дату своего рождения, я получил следующую таблицу:

1ряд – дата рождения: 21.01.1995

2ряд – рабочие числа: 28,10,24,6

Вывод:

У меня характер очень волевой и сильный, присутствуют экстрасенсорные способности. Я очень аккуратный и пунктуальный человек, здоровье хорошее, о здоровье задумаюсь в старости, присутствует интуиция, земной человек, думаю об учебе, но без физической работы мне не обойтись, человек с развитым чувством ответственности, умная голова, но дана лентяю, хотя я с этим не согласен.

Мне было интересно узнать о своих родителях, используя данный квадрат.

Моя мама родилась 13.06.1967 года, а папа 29.09.1965 года. Я составил по описанной схеме два квадрата.

Начинаем складывать:

Цифры дня и месяца рождения: 1+3+6=10 / 2+9+9=20
Цифры года рождения: 1+9+6+7=23 / 1+9+6+5=21
Складываем получившиеся два числа: 10+23=33, получилось первое рабочее число-33 / 41
Складываем цифры первого рабочего числа: 3+3=6, получили второе рабочее число-6 / 5
Из первого рабочего числа отнимите удвоенную первую цифру дня рождения: 33-2*1=31, получили третье рабочее число-31 / 37
Для того чтобы получилось следующее рабочее число, сложите цифры третьего числа 3+1=4, получили четвертое рабочее число-4 /10

Получили два ряда цифр:

1ряд – дата рождения: 13.06.1967 / 29.09.1965

2ряд – рабочие числа:33, 6, 31, 4 / 41, 5, 37, 1

Подсчитайте общее количество цифр в двух рядах, в этом случае их 13. По словам Пифагора, человек приходит на землю 15 раз, значит, мама и папа прейдут на землю ещё 2 раза.

Мама Папа

Вывод:

Мама – это человек с положительным устойчивым характером. Такие как она могут стать хорошими учеными. Здоровье хорошее, проблемы начнутся в преклонном возрасте. Очень привлекательный, активный человек, однако требует от партнера больших денежных затрат. У обладательницы одной 9 преобладает неярко выраженный талант. Нет восьмерок — человек легко берёт в долг, но не спешит отдавать. Моя мама очень экономна, и не берет в долг. Нет пятерок – человек родился с неоткрытым каналом интуиции. Он активен, старается что-то предпринять. Всегда обдумывает свои действия, но совершает много ошибок, таким людям приходится пробивать себе дорогу с огромным трудом.

Папа – это человек с положительным устойчивым характером. Биоэнергии хватает для жизни, но в данный момент её маловато, поэтому надо заниматься спортом. Эти люди сверхчувствительны к атмосферным перепадам. У таких людей всё зависит от настроения. Они не любят беспорядок, но уборку проводят в зависимости от настроения (хочу делаю , хочу — нет). Здоровье хорошее, проблемы начнутся в преклонном возрасте. Сильно развитая интуиция (могут быть следователями или юристами). Земной человек, думает об учебе, о работе, но без физической работы ему не обойтись. Папа имеет три 9, что по таблице Пифагора означает, что он человек умный и удачливый.

Нет восьмерок- человек легко берёт в долг, но не спешит отдавать. Мой папа умный и удачливый человек.

Результаты тестирования

Очень интересно было узнать у своих одноклассников и учащихся нашей школы, о том знают ли они таблицу умножения Пифагора, как она была составлена, где она появилась впервые, можно ли её применить к магическому гаданию, и хотели бы вы узнать о своём характере и магическом влиянии звезд на вашу жизнь. Все эти вопросы² я задал учащимся пятых – одиннадцатых классов.

Мною был проведен социологический опрос с 6 -11 классы, который показал уровень знания истории математики, знания таблицы умножения.

Вот такие интересные результаты я получил³.

Вывод: Анализируя результаты опроса, большинство знает: таблицу умножения Пифагора, структуру по которой составлена таблица, биографию ученого, догадываются о практическом применении и хотят узнать о своём характере, но не знают о первом упоминании, о таблице умножения Пифагора в сочинениях Никомаха.

Заключение:

Я узнал много нового о жизни Пифагора, о его исследованиях, но для меня осталось загадкой, является ли Пифагор автором таблицы умножения, так как в литературных источниках, подтверждению этому факту не нашлось.

Мне стало понятно, что возникновение школы Пифагора оказала большое влияние на становление философии. Заслугой пифагорейцев было заложение основ развития математических, физических, астрономических и географических знаний, которые изучают в наше время в школах. В основе вещей лежит число, учил Пифагор, познать мир — значит познать управляющие им числа. Изучая числа, они разработали числовые отношения, и нашли их во всех науках — музыке, астрономии, математике, физике и так далее. Интересно было узнать, что в сферу интересов членов союза входили научные исследования – религиозные и философские изыскания, политическая деятельность. Пифагорейцы вели суровый образ жизни, превыше всего ценили самообладание, смелость и коллективную дисциплину, жили они вместе, у них было совместное имущество, и даже свои открытия они считали общим достоянием. Из этого я сделал вывод, что открытие «Таблицы умножения Пифагора», остается загадкой и автор её неизвестен. Деятельность же союза была окружена тайной, поэтому никаких текстов о ранних Пифагорейцах не осталось.

Мне стало ясно, что свою таблицу умножения Пифагор считал самым значительным открытием, так как в ней зашифрован закон гармонии развития числовой основы вселенной, как единой целой.

Мною было найдено в источниках одно из удивительных применений таблицы Пифагора – гадание. Я провел исследование и узнал, как влияют на меня числа, скрывающиеся в дате моего дня рождения, так же исследовал дату рождения моих родителей, используя квадрат Пифагора.

Я научился в поисковой системе сети Интернет находить нужную мне информацию.

Проведя опрос среди учащихся нашей школы, я сделал следующие выводы, чтобольшинство знает: таблицу умножения Пифагора, структуру по которой составлена таблица, биографию ученого, догадываются о практическом применении и хотят узнать о своём характере, но не знают о первом упоминании, о таблице умножения Пифагора в сочинениях Никомаха.

Теперь я могу рассказать по желанию любого человека, как влияет числа даты его рождения на его судьбу.

Данная работа поможет учащимся узнать много нового о жизни Пифагора, о применении таблицы умножения, об использовании таблицы в магических целях.

Учителя могут использовать биографию Пифагора на уроках математики, истории, МХК или воспользоваться списком литературы или адресами в Интернете.

Занимаясь исследованием данной темы и рассмотрев различные точки зрения, я сделал вывод, что цели, которые я ставил перед собой, я достиг. А работа, проведенная мной, является завершенной.

Приложение № 1

Анкета:

Знаете ли вы таблицу умножения Пифагора?
Знаете ли вы, как составлена таблица умножения?
Пифагор был древнегреческим ученым?
Впервые таблица умножения Пифагора появилась в сочинениях:

А) Никомаха

Б) Фалеса

В) Пифагора

Г) Архимеда

Знаете ли вы о практическом применении таблицы умножения Пифагора?
Как вы думаете можно ли применить таблицу умножения Пифагора к магическому гаданию?
Хотите ли вы узнать о своем характере, используя квадрат Пифагора?

Список литературы

Ямвлих, «О пифагоровой жизни».
Башмакова И. Г., Лапин А. И. «Пифагор» /Квант. — 1986. — № 1.
Бертран Рассел, «История западной философии».
А. А. Корнеев. «Два источника, две составные части таблицы Пифагора» /
Пифагореизм.
Неопифагореизм.
Теорема Пифагора.
Пифагоров строй.
Пифагоровы числа.
Пифагоровы штаны.
Пифагорейский пентакл.
Пифагор Регийский.
Пифагор (кратер) .
А.Б. Павлова «К проблеме о связи пифагореизма с Востоком»
Реале Дж., Антисери Д. Западная философия от истоков до наших дней. Античность. М., 1997.
Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. Л., 1990.
Целлер Э. Очерки истории греческой философии. СПб., 1996.
Шредер Л.Ю. Пифагор и индийцы // Журнал Министерства Народного Просвещения. 1888. №10-11.
Фрагменты ранних греческих философов. Ч. 1 / Под ред. И.Д. Рожанского. М., 1989.
Лукьянов А.Е. Становление философии на Востоке (Древний Китай и Индия). М., 1992.
Пифагорейские Золотые Стихи с комментарием философа Гиерокла: Пер. с древнегреч. И. Петер. М., 1996.
Алексей Корнеев. «Феномен русского умножения»
Энциклопедия юного математика для среднего и старшего школьного возраста/ Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика,1985.-352с.
Корнеева А.А. Философия и лад/ А.А.Корнеева// Наука.-2001.-№ 4.-с.11-23
Бортникова И. Цифра, счисление, число/И.Бортникова//Наука.-2003.-№ 3.-с.11-23
Журнал П/С приложение «Математика»-2007.-№44
Энциклопедия юного астронома для среднего и старшего школьного возраста/ сост. Н.П.Ерпылёв.-М.:Педагогика, 1980.-352с.
Детская энциклопедия для среднего и старшего школьного возраста в 12т. Т.2 Мир небесных тел./Академия педагогических наук СССР. – 3-е изд.-М.:Педагогика, 1972.-480с.

multiurok.ru

ТАБЛИЦА ПИФАГОРА — ФОРМУЛЫ по МАТЕМАТИКЕ

ПОДЕЛИТЕСЬ: // (function() { if (window.pluso)if (typeof window.pluso.start == «function») return; if (window.ifpluso==undefined) { window.ifpluso = 1; var d = document, s = d.createElement(‘script’), g = …

СМОТРИТЕ ещё:

Таблица квадратов 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241 8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 Если Вы только начинаете учить сложение, вычитание, умножение, деление, то есть считать, то можно перейти на ТРЕНАЖЕР и проверить свою технику счета.

СМОТРИТЕ ещё:

Чтобы просмотреть числа в этой таблице, кликните по ней мышкой, таблица увеличиться. Аналогично, уменьшаем. ПРОДОЛЖЕНИЕ Ниже эта же таблица простых чисел, но напечатана в ворде: Простые числа — это целое положительное число больше …

СМОТРИТЕ ещё:

КВАДРАТОМ ЧИСЛА а называется произведение двух множителей, каждый из которых равен а. РЕКОМЕНДУЮ: Очень хорошо знать НАИЗУСТЬ таблицу квадратов от 1 до 20 или даже до 30! Знание таблицы поможет вам при решении …

СМОТРИТЕ ещё:

КУБОМ ЧИСЛА а называется произведение трех множителей, каждый из которых равен а. Эта таблица поможет вам при извлечении кубических корней, при решении задач на нахождение объемов тел. ЖЕЛАТЕЛЬНО ЗНАТЬ НАИЗУСТЬ ПЕРВЫЙ СТОЛБИК! Таблица кубов 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 1000 1331 1728 2197 2744 3375 4096 4913 5832 6859 2 8000 9261 10648 12167 13824 15625 17576 19683 21952 24389 3 27000 29791 32768 35937 39304 42875 46656 50653 54872 59319 4 64000 68921 74088 79507 85184 91125 97336 103823 110592 117649 5 125000 132651 140608 148877 157464 166375 175616 185193 195112 205379 6 216000 226981 238328 250047 262144 274625 287496 300763 314432 328509 7 343000 357911 373248 389017 405224 421875 438976 456533 474552 493039 8 512000 531441 551368 571787 592704 614125 636056 658503 681472 704969 9 729000 753571 778688 804357 830584 857375 884736 912673 941192 970299 ПОДЕЛИТЕСЬ: //

СМОТРИТЕ ещё:

Таблица факториалов чисел от 1 до 50 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5040 8! = 40320 9! = 362880 10! = 3628800 11! = 39916800 12! = 479001600 13! = 6227020800 14! = 87178291200 15! = 1307674368000 16! = 20922789888000 17! = 355687428096000 18! = 6402373705728000 19! = 121645100408832000 20! = 2432902008176640000 21! = 51090942171709440000 22! = 1124000727777607680000 23! = 25852016738884976640000 24! = 620448401733239439360000 25! = 15511210043330985984000000 26! = 403291461126605635584000000 27! = 10888869450418352160768000000 28! = 304888344611713860501504000000 29! = 8841761993739701954543616000000 30! = 265252859812191058636308480000000 31! = 8222838654177922817725562880000000 32! = 263130836933693530167218012160000000 33! = 8683317618811886495518194401280000000 34! = 295232799039604140847618609643520000000 35! = 10333147966386144929666651337523200000000 36! = 371993326789901217467999448150835200000000 37! = 13763753091226345046315979581580902400000000 38! = 523022617466601111760007224100074291200000000 39! = 20397882081197443358640281739902897356800000000 40! = 815915283247897734345611269596115894272000000000 41! = 33452526613163807108170062053440751665152000000000 42! = 1405006117752879898543142606244511569936384000000000 43! = 60415263063373835637355132068513997507264512000000000 44! = 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000 45! = 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000 46! = 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000 47! = 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000 48! = 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000 49! = 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000 50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

СМОТРИТЕ ещё:

Таблица умножения чисел от 1 до 20 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260 14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280 15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320 17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340 18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360 19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380 20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 Если Вы только начинаете учить сложение, вычитание, умножение, деление, то есть считать, то можно перейти на ТРЕНАЖЕР и проверить свою технику счета.

СМОТРИТЕ ещё:

lyudmilanik.com.ua

Просмотр rtf онлайн – Конвертер RTF файлов онлайн, бесплатное преобразование документов в RTF

alexxlab / 23.04.201908.06.2019 / Школьная жизнь

Чем открыть RTF — Rusadmin

Файловый формат RTF знаком многим пользователям, имеющим дело с документами. Множество деловой документации, электронные книги и брошюры, тексты разного рода и содержания – все они существуют, в том числе, в виде rtf-файлов. Когда возникает необходимость просмотреть содержимое таких документов, то на помощь приходит известный текстовый редактор MS Word, легко открывающий файлы данного типа. Но единственная ли это альтернатива? Конечно же, нет. В данной статье я расскажу, чем открыть файл RTF, какие программы нам в этом помогут, и как их использовать.

Описание формата RTF

Содержание статьи:

Что такое RTF

Как известно, «.rtf» — одна из форм расширения текстовых файлов. Такое буквосочетание является аббревиатурой от слов «Rich Text Format» (обогащённый текстовый формат). Документ в таком формате поддерживает так называемый «rich text» (обогащённый текст), что позволяет при редактировании документа оперировать несколькими вариантами форматирования текста, различными шрифтами и их размерами, размещать картинки JPG и PNG внутри текста, поддерживать пользовательские настройки вкладок и так далее.

Формат был создан корпорацией Microsoft в 1987 году, на протяжении 20 лет пережил несколько модификаций, а в 2008 году Microsoft заявила о прекращении его поддержки. Тем не менее, «rtf» ныне является одним из наиболее популярных текстовых форматов.

Обычно формат текста RTF открывается практически на любом пользовательском компьютере (обычно с помощью установленного текстового редактора MS Word). Если же у вас нет доступа к просмотру файлов данного типа, тогда рекомендую установить и использовать одну из программ, которые я перечислю ниже.

Расширение RTF

Лучшие программы для открытия rtf файлов

Существует достаточное количество программ, позволяющих открывать текстовые файлы с расширением rtf. Алгоритм открытия таких файлов стандартный: вы запускаете соответствующую программу, кликаете в ней на вкладку «Файл» (File), выбираете там «Открыть» (Open), и указываете программе путь к нужному rtf-файлу на диске вашего ПК.

Среди программных продуктов просмотрщиков RTF могу порекомендовать следующие варианты:

Microsoft WordPad – упрощённый текстовый редактор от Майкрософт, обычно включён в состав ОС Windows начиная с Windows 95. Позволяет просматривать, редактировать и сохранять текстовые файлы формата rtf;

Microsoft Word – уже упомянутый мной популярный текстовый редактор, входит в состав офисного пакета приложений Microsoft Office. Актуальная версия продукта – Microsoft Office Word 2016;
Microsoft Works – упрощённый пакет офисных приложений для домашнего использования. Текстовый редактор данного пакета по своим функциональным возможностям является чем-то средним между уже упомянутым WordPad и MS Word, обеспечивая эффективную поддержку формата rtf;
Atlantis Word Processor – условно-бесплатный текстовый редактор для ОС Виндовс. Среди его преимуществ – компактность (занимает всего 3 мегайбайта) и скорость обработки rtf-файлов;
TextMaker Viewer – бесплатное приложение для ОС Виндовс, умеющее открывать и просматривать абсолютное большинство текстовых документов, в том числе и нужного нам формата rtf;
Corel WordPerfect Office X6 – известный пакет офисных программ от компании Corel, включающий в себя текстовый редактор WordPerfect X3, имеется поддержка формата rtf. Продукт имеет платный характер;
Apache OpenOffice – бесплатный набор офисных программ, отличная альтернатива платному Microsoft Office. Входящий в данный пакет текстовый редактор (Writer) эффективно поддерживает работу с rtf-файлами;
AbiSource AbiWord – бесплатный текстовый редактор, по своему функционалу похож на MS Word, может стать эффективным ответом на вопрос «rtf чем открыть»;
TextMaker – текстовый редактор, входящий в офисный пакет SoftMaker Office. Также обладает поддержкой формата rtf.

Файл данного формата поддерживают другие текстовые редакторы, умеющие работать с форматированным текстом.

Формат текста

Как открыть файл rtf онлайн

Также существуют несколько сетевых инструментов, позволяющих просмотреть и редактировать rtf онлайн. Я бы отметил сервис «Google Документы», позволяющий просматривать документы rtf онлайн.

Также можно установить соответствующее расширение (Docs Online Viewer) для Google Chrome или аналог для Mozilla Firefox, позволяющее открывать rtf-файлы с помощью функционала указанных браузеров.

Кроме того, можно воспользоваться сетевыми конвертерами (например, Zamzar), позволяющими перевести ваш rtf-документ в более удобный для вас текстовый формат (к примеру, в не менее популярный «doc»).

Сервис ZAMZAR

Заключение

В вопросе редактирования RTF расширения вам помогут программы, перечисленные мной выше. Рекомендую обратить внимание на свободные альтернативы, в частности, на офисный пакет OpenOffice, который позволит абсолютно бесплатно работать с файлами данного типа. Консерваторам же могу порекомендовать шаблонные Microsoft Wordpad и Microsoft Word – множество пользователей, как не крути, выбирают именно их.

Вконтакте

Facebook

Twitter

Одноклассники

Как вы оцените статью?
Загрузка…

rusadmin.biz

RTF в DOC | Zamzar

Расширение файла	.rtf
Категория	Document File
Описание	Расширенный текстовый формат (RTF) это формат файлов, который позволяет написать текстовый файл, сохранить его на одной операционной системе, а затем иметь возможность открыть его на другой. Вы не можете добавлять изображения или объекты — он направлен исключительно на текст. Вы можете создать файл с помощью «Microsoft Word» в «Windows», сохранить его в виде файла в формате RTF (он будет иметь имя файла с суффиксом .rtf) и отправить его кому-либо, кто использует «WordPerfect 6.0» на любой версии «Windows», и они смогут открыть файл и прочитать его. Большинство людей сталкивались с этим форматом, когда писали файлы в «WordPad RTF».
Действия	*RTF в DOC* — Конвертировать файл сейчас View other document file formats
Технические детали	Спецификация RTF использует наборы символов ANSI, PC-8, «Macintosh» и «IBM PC». Он определяет контрольные слова и символы, которые служат в качестве команды общему знаменателю форматирования. При сохранении файла в расширенном текстовом формате, файл обрабатывается писателем RTF, который преобразовывает разметки текстового процессора к языку RTF. При считывании, управляющие слова и символы оформляются читателем RTF, который преобразует язык RTF в форматирование для текстового процессора, который будет отображать документ.
Ассоциированные программы	AbiWord Kword Microsoft Word TextEdit WordPad
Разработано	Microsoft
Тип MIME	text/rtf
Полезные ссылки	Более подробная информация о файлах RTF Какие бесплатные программы можно использовать, чтобы открыть файл RTF? Convert RTF file

www.zamzar.com

Чем открыть формат RTF? Программы для чтения RTF файлов

RTF

Если вы не смогли открыть файл двойным нажатием на него, то вам следует скачать и установить одну из программ представленных ниже, либо назначить программой по-умолчанию, уже установленную (изменить ассоциации файлов). Наиболее популярным программным обеспечением для даного формата является программа Microsoft Office Excel Viewer (для ОС Windows) и программа Apple TextEdit (для ОС Mac) — данные программы гарантированно открывают эти файлы. Ниже вы найдете полный каталог программ, открывающих формат RTF для операционной системы Windows, Mac, Linux, iOS, Android.

Общее описание расширения

Формат файла RTF относится к расширениям из категории Текстовые форматы, его полное название — Rich Text Format File.

Файл RTF (с англ. Rich Text Format File) является текстовым форматом, обладающим возможностью переносить текст между разными программами. RTF Rich Text Format был разработан в 1982 году с использованием дополнений от компании Microsoft, а также от Adobe. Формат RTF поддерживает любой современный текстовый редактор, обладающий опцией форматирования текстовых документов.

Узнать подробнее что такое формат RTF

Что еще может вызывать проблемы с файлом?

Наиболее часто встречаемой проблемой, из-за которой пользователи не могут открыть этот файл, является неверно назначенная программа. Чтобы исправить это в ОС Windows вам необходимо нажать правой кнопкой на файле, в контекстном меню навести мышь на пункт «Открыть с помощью», а выпадающем меню выбрать пункт «Выбрать программу…». В результате вы увидите список установленных программ на вашем компьютере, и сможете выбрать подходящую. Рекомендуем также поставить галочку напротив пункта «Использовать это приложение для всех файлов RTF».

Другая проблема, с которой наши пользователи также встречаются довольно часто — файл RTF поврежден. Такая ситуация может возникнуть в массе случаев. Например: файл был скачан не польностью в результате ошибки сервера, файл был поврежден изначально и пр. Для устранения данной проблемы воспользуйтесь одной из рекомендаций:

Попробуйте найти нужный файл в другом источнике в сети интернет. Возможно вам повезет найти более подходящую версию. Пример поиска в Google: «Файл filetype:RTF». Просто замените слово «файл» на нужное вам название;
Попросите прислать вам исходный файл еще раз, возможно он был поврежден при передаче;

Знаете другие программы, которые могут открыть RTF? Не смогли разобраться как открыть файл? Пишите в комментариях — мы дополним статью и ответим на ваши вопросы.

filesreview.com

RTF формат — чем открыть?

Открыть офлайн формат RTF можно с помощью:

LibreOffice
OpenOffice
TextEdit для Mac OS X
WordPad для Windows

Онлайн можно открыть с помощью:

Документы Гугл
Яндекс браузер

RTF расшифровывается как Rich Text Format или «багатый текстовый формат» (перевод автора:)).

Основан или изобретен в 1982 году программистами компаний Adobe и Microsoft. После эти компании что-то не поделили и программисты от Microsoft продолжили разработывать свой формат RTF, а программисты Abode сделали на его основе PostScript.

Структура RTF документа приведена на рисунке ниже.

Файл RTF открытый в блокноте

Документ начинается с тега

{\rtf1

и заканчивается

}

Я чуть — чуть знаю HTML и эти языки разметки мне показались очень похожими. Там также есть открывающий тег (например <P> — начало обзаца) и закрывающий (</P> — конец абзаца). В формате RTF это тег — «\par».

То есть, если нужно часть текста как-то изменить, то эта часть текста заключается в фигурные скобки {} и ставится тег нужный тег, например \b — жирный текст.

Подробнее про то, как открыть RTF-формат. Мне крайне не нравится что-либо устанавилвать на свой компьютер под Microsoft Windows 10. По умолчаню там встроена программа WordPad и она без проблем справляется со своей задачей.

Запустить WordPad можно найдя ее через поиск.

Поиск программы WordPad в Windows 10

Для того, чтобы открыть окошко поиска нужно нажать на кнпоку .

Как открыть с помощью Документов Гугл.

Заходим https://www.google.ru/intl/ru/docs/about/ и жмем Открыть Документы Гугл
В правом нижнем углу жем кнпоку «Создать документ»
Раскрываем меню Файл > Открыть
Переходим на вкладку Загрузка — жмем Открыть и выбираем RTF файл на своем компьютере.

RTF файл в Документах Гугл

Теперь этот RTF файл будет у вас в Гугл Диске — вы сможете его всегда и везде (где есть интернет) открыть и сохранить в любой из доступных форматов.

Доступные форматы для сохранения документов

Таким образом можно конвертировать RTF документ онлайн в более удобный для вас формат. На андройде, как мне кажется, тоже можно через Документы Гугл работать.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

youpk.ru

Открыть DOC онлайн

Для того, чтобы просмотреть и отредактировать текстовый документ, совсем не обязательно иметь на компьютере Microsoft Word или устанавливать альтернативные программы.

Сегодня файлы DOC можно открыть прямо в окне браузера, используя специальные онлайн-сервисы. При этом, некоторые из них предлагают привычные инструменты для внесения правок в документ.

Способы просмотра DOC онлайн

Всё, что Вам понадобится, это любой браузер и доступ в Интернет. Для использования некоторых сервисов не обойтись без зарегистрированного аккаунта.

Для просмотра документов можно использовать следующие сервисы:

Word Online;
Google Документы;
Яндекс Диск;
DocsPal;
View Documents Online.

Каждый из перечисленных вариантов работает как с DOC-форматом, так и с DOCX.

Способ 1: Word Online

Веб-версия Word включает все основные функции аналогичной программы на Windows. К тому же, она имеет привычный интерфейс. Правда, для начала нужные документы придётся загрузить на OneDrive – облачное хранилище от Microsoft. Делается это так:

1. Перейдите на страницу сервиса OneDrive и нажмите «Вход».

1. Пройдя авторизацию, Вы попадёте в хранилище файлов. Нажмите «Добавить» и выберите «Файлы». В открывшемся окне найдите документ.

1. Загруженный файл можно просмотреть, просто кликнув по нему.

Документ откроется в новой вкладке через сервис Word Online. Тут можно увидеть знакомую панель со всеми необходимыми инструментами.

Если Вы что-то редактировали и результат нужно сохранить, то перейдите в меню «Файл».

Нажмите «Сохранить как» и выберите подходящий вариант.

Способ 2: Google Документы

Google тоже не отстаёт от тенденций, предоставляя удобный сервис для работы с файлами DOC. Принцип схожий: сначала документ загружается в хранилище, а потом открывается через редактор.

Рассмотрим процедуру подробнее:

1. Перейдите на страницу сервиса Google Документы. При необходимости пройдите авторизацию.
2. Оказавшись на главной странице, нажмите кнопку открытия новых файлов.

1. Перейдите во вкладку «Загрузка» и выберите файл на компьютере, нажав соответствующую кнопку. После загрузки сразу начнётся открытие DOC-файла.

Выглядеть это будет так:

В верхней панели Вы найдёте все часто используемые инструменты для форматирования текста. После внесения правок нажмите «Файл», наведите курсор на «Скачать как» и выберите подходящий вариант.

Способ 3: Яндекс Диск

Как вариант, можно воспользоваться облачным хранилищем от российских разработчиков. Яндекс Диск имеет собственный просмотрщик, а при необходимости редактирования можно быстро перейти в Word Online.

Открыть DOC можно следующим образом:

1. Перейдите на страницу сервиса Яндекс Диск и при необходимости авторизуйтесь (подойдут данные от Яндекс Почты).
2. Нажмите кнопку «Загрузить» и выберите документ на компьютере.

1. Выберите папку облачного хранилища, где будет размещён новый файл, и нажмите «Загрузить».

1. После загрузки, в указанной папке можно найти Ваш документ и открыть его двойным кликом.

Режим просмотра лишён излишеств, а при необходимости внесения правок можно нажать «Редактировать». Так Вы перейдёте в описанный ранее Word Online.

Преимущество использования облачных хранилищ в том, что доступ к документам можно будет получать в любое время с любого компьютера, подключенного к Интернет.

Способ 4: DocsPal

Отличное решение, если Вам нужно быстро просмотреть DOC-файл, не затрачивая время на авторизацию. Правда, в DocsPal недоступно редактирование.

В использовании сервис прост:

1. Перейдите на страницу просмотра файлов DocsPal.
2. Нажмите кнопку «Browse file» и выберите документ на жёстком диске.
3. Для просмотра загруженного файла нажмите «View file».

Через некоторое время откроется окно просмотра DOC. При необходимости можно увеличить или уменьшить текст.

На заметку: с помощью DocsPal также можно конвертировать различные файлы.

Способ 5: View Documents Online

Открыть документ онлайн можно и через этот сервис. В нём предусмотрена возможность редактирования, но для этого нужно оплачивать подписку.

Инструкция такая:

1. Перейдите на страницу загрузки DOC на View Documents Online.
2. Выберите файл и нажмите кнопку «Upload And View».

В режиме просмотра можно управлять масштабом и оставлять аннотации.

Для просмотра и редактирования DOC онлайн можно использовать Word Online или Google Документы, однако для этого придётся проходить авторизацию и выгружать файл в облачное хранилище. Сугубо для просмотра DOC без регистрации подойдут сервисы DocsPal и View Documents Online.

itguides.ru

Кейсы с ответами по управлению персоналом – Репозиторий Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королёва: Недопустимый идентификатор

alexxlab / 22.04.201908.06.2019 / Школьная жизнь

Кейсы по управлению персоналом с решениями

Используйте кейсы по управлению персоналом с решениями, чтобы развивать сотрудников, находить решение проблем. Какие ситуации рассматривать читайте в статье.

Из статьи вы узнаете:

Зачем нужны кейсы по управлению персоналом?

Кейс (от англ. сase) — описание конкретной ситуации. За основу берутся реальные факты, проблемы, с которыми сталкиваются в организациях. В ходе решения сотрудники анализируют предложенную ситуацию, ищут решение.

Скачайте документы по теме:

Алгоритм действия при разборе проблемы:

исследование ситуации;
сбор и анализ недостающей информации;
обсуждение вариантов решения проблемы;
выработка наилучшего решения.

Скачать документ >>>

Выделяйте достаточное количество времени, опираясь на сложность поставленной задачи. Подбирайте кейсы по управлению персоналом с ответами, которые могут решить сотрудники. В ходе разбора проблемы направляйте коллег, если они не могут сориентироваться. Но не подсказывайте ответ полностью. О том, какие бывают кейсы, читайте в книге «Практика эффективного рекрутмента» в «Системе Кадры». Чтобы прочесть главу, оформите демодоступ на 3 дня.

Разновидности кейсов

В зависимости от того, какие именно нужно выявить способности, компетенции или черты соискателя, меняется сюжет, форма, размер, задача и вопросы кейса. Условно все кейсы можно разделить по типу и назначению, к примеру, по аналогии с отборочными интервью, так как они выполняют идентичную задачу — оценку соответствия компетенций кандидата вакантной должности…

Скачать главу

Преимущества HR-кейсов с решениями и пояснениями

Практическая направленность. Кейс позволяет применять теоретические знания к решению задач. Подход компенсирует академическое образование, дает широкое представление о процессах и бизнесе.
Интерактивный формат. HR-кейсы с решениями обеспечивают эффективное усвоение материала за счет эмоциональной вовлеченности, активного участия персонала. Люди вникают в ситуацию — они ставят себя на место главного героя, решают проблему от его лица.
Конкретные навыки. Кейсы по управлению персоналом с решениями помогают совершенствовать «мягкие навыки», которым не учат в вузе, но они считаются необходимыми в рабочем процессе.

Совместный разбор проблем — уникальный способ обучения персонала. Поэтому решение кейсов используется в бизнес-школах, корпорациях и университетах. Чтобы максимально развить сотрудников, не применяйте известные ситуации. Разрабатывайте кейсы самостоятельно или поручайте это работникам.

Смотрите примеры кейсов по управлению персоналом в электронном журнале «Директор по персоналу»:

Как создавать кейсы HR?

Используйте не только готовые кейсы HR, но и создавайте их самостоятельно при помощи коллег. Разделите группы на подгруппы, в каждой из которых должно быть около 5–10 человек. Подробно объясните алгоритм действия, уточните, все ли поняли, что от них требуется.

Дайте группе задание описать случай, который произошел недавно. Кейс задачи по управлению персоналом должны основываться только на реальных ситуациях с четко отслеживаемой проблемой. Попросите коллег определить позиции, роли и места действующих лиц: менеджеров, сотрудников, партнеров. Затем описываются факты, этапы развития событий и действия людей.

Пример

Вы директор по развитию в организации, в которую недавно пришли. Фирма выходит на новый рынок, а перед вами поставили задачу обучить сотрудников современным принципам работы. Не все хотят тратить время на тренинги, поэтому реагируют агрессивно. Цель — найти способы воздействия на персонал, чтобы мотивировать его.

Второй этап создания кейса напоминает мозговой штурм. Сотрудники описывают варианты решения проблемы, аргументируют действия. После чего они презентуют и защищают их. Следите за реакцией коллег. Пресекайте жесткую критику, иначе вспыхнет конфликт.

Узнайте о бизнес-кейсах по управлению персоналом в «Системе Кадры»:

Решение кейсов по управлению персоналом с ответами

Кейс «Проверяй, но доверяй»

Давайте кейс сотрудникам, претендующим на повышение. Используйте для оценки управленческих компетенций:

навыки организации работы отделов;
умение делегировать полномочия;
способность рационально распределять время.

Ситуация

В компании по производству шоколада после ухода руководителя отдела технологии на его место назначили Екатерину В., которая ранее работала ведущим специалистом. Но кандидатов было несколько: Екатерина В. и Лиза Н. Обе имели одинаковый уровень навыков, но руководители выбрали Екатерину, ведь она дольше работала в компании.

Через полгода выявились недостатки в работе Екатерины. Она отличалась скрупулезностью, проверяла все отчеты работников. В группе были квалифицированные специалисты, сдававшие все вовремя. Уже после первых проверок было ясно, что ошибки не допускаются. Но даже спустя несколько месяцев Екатерина продолжала проверки, а поэтому оставалась допоздна. В итоге накопилась раздражительность и усталость. Она не прислушивалась к другим работникам, а поступала так, как считала нужным.

Учитывая, что премию получали на отдел, а с отчетами запаздывали, руководство снизило стимулирующие выплаты на коллектив. Екатерина отвечала на возмущение давно работающих сотрудников тем, что не может отдельно подготавливать их отчеты, так как руководство требует документы одновременно от новичков и опытных специалистов. Отчеты приходится задерживать, а отдел получает меньше премии.

Вопросы и задания

Кто из участников в большей степени влияет на ситуацию?
Что сделать, чтобы руководство получало отчеты вовремя?
Дайте рекомендации Екатерине В.: как наладить порядок проверки и подачи работы специалистов отдела.

Ответы к кейсу по управлению персоналом с решениями

Используйте и другие кейсы для оценки персонала по компетенциям, проводите тестирование. Подходите к вопросам повышения ответственно и обдуманно, иначе возможно появление проблем, которые негативно отразятся на прибыльности фирмы, психологическом климате в коллективе.

Кейс «Бумажная фабрика»

Нужен, чтобы оценить профессиональные компетенции:

знание основ мотивации и разработки системы вознаграждения в зависимости от рабочих показателей;
умение видеть интересы работников и работодателей и учитывать их, решая бизнес-задачи;
способность выявлять причинно-следственные связи между условиями оплаты и мотивацией персонала.

Кому давать кейс: претендентам на должность менеджера, руководителя отдела мотивации HR-службы…

Смотреть кейс полностью

Полная версия ответа доступна после бесплатной регистрации

Смотрите видео кейсы по управлению персоналом в «Системе Кадры»:

Кейс по управлению персоналом с решениями «Требую повышения»

Используйте для оценки социально-личностных компетенций претендентов на должность специалиста, ведущего специалиста или HR-менеджера. С помощью него вы определите:

модель поведения человека, нацеленность на карьерный рост, готовность принимать ответственность;
умение выполнять сложную работу, если требуют обстоятельства;
исполнительность, управляемость, самокритичность.

Ситуация

Вы несколько лет работаете в фирме в отделе обучения персонала. Обязанности однообразны, а вы не отвечаете за результат, так как совместно с другими специалистами выполняете работу по поручению менеджера отдела:

получаете заказ на обучение, вносите его в базу планирования;
подготавливаете список сотрудников на обучение, повышение квалификации по заявкам управляющих подразделений;
вносите данные и передаете заявку руководителю.

Вы дошли до стадии, когда стало скучно. Вы не хотите увольняться, так как есть возможность отпрашиваться, а в коллективе хороший психологический климат. В последнее время чувствуете, что неудовлетворенность усиливается, вы хотите выполнять сложную работу, которая не зависит от других. Вы уверены, что менеджер мог бы предложить место повыше. В ответ на просьбу о повышении он сказал, что ответит через пару дней.

Через два дня руководитель предложил следующие условия:

по результатам работы он не видит оснований для повышения, но предлагает в течение следующих месяцев выполнять функции ведущего специалиста;
распоряжение о повышении сделают, если справитесь с работой;
оплата не изменится, но если работа выполняется качественно и в срок, вы получите премию.

Вопросы и задания

Оцените предложение менеджера по каждому пункту.
Какие условия хотели бы изменить?
Предложите свой вариант решения.

Ответы к кейсу по управлению персоналом с решениями

Рассмотренные кейсы по управлению персоналом включают пример проблем с решением. Опираясь на них, составьте аналогичные кейсы с актуальными для вашей организации ситуациями. Привлекайте определенных сотрудников или формируйте группы.

Вывод

Для успешного управления персоналом организации используйте кейсы, которые учат анализировать, находить проблему и подбирать способы ее решения. Разбор ситуаций, не относящихся к трудовой деятельности персонала, проводите в качестве игры для общего развития сотрудников.

www.hr-director.ru

организация эффективной работы сотрудников компании

Как несистематизированные процессы снижают эффективность работы сотрудников компании

“Кадры решают все”, — так говорил отец всех народов И.В. Сталин. С этим можно согласиться лишь в том случае, если процессы в компании четко регламентированы и контролируются. А что происходит, когда толковый специалист приходит в компанию, начинает действовать в рамках своих компетенций, но в процессе коллективной работы оказывается в ситуации “хронического согласования” и наличия “черных дыр” в управлении?

Процессы принятия решений должны быть регламентированы

Ситуация: в управляющую строительную компанию на работу приняли руководителя проекта Алексея. Он должен организовать проектирование и строительство технологически сложного медицинского объекта. И вот наступает момент, когда Алексею необходимо заключить контракты с проектировщиками, поставщиками медицинского оборудования, строителями, поставщиками электроэнергии на объект и т.д. И если процессы принятия решения не регламентированы, то у Алексея начинается беспокойство. И чем крупнее компания, тем уровень беспокойства выше.

Бывает, что решение по сделке согласовывается внутри компании неделями, а то и месяцами. Ведь необходимо проверить все условия сделки — привлечь юристов, финансистов, специалистов по безопасности, специалистов по закупкам… Так как процессы принятия решений слабо регламентированы и хаотичны, значительную часть рабочего времени он тратит контроль за их ходом — делает списки задач, обзванивает сотрудников подразделений, чтобы уточнить этап согласования документа, бегает по кабинетам, чтобы получить какую-то информацию, запрашивает ее в письменной форме. Решения часто “зависают”, последовательность согласований не регламентирована, поэтому “ручной” контроль становится вынужденной мерой.

Такая неблагодарная работа сильно демотивирует и становится катализатором стресса для каждого участника этого процесса.

Отсутствует система управления задачами и поручениями

Пример: Руководитель департамента закупок Иван постоянно “завален” делами, т.к. находится в конце маршрута сделки. Перед тем как сделки попадут сюда, их рассматривает финансовый департамент. Важные сделки, поступая на рассмотрение в финансовый департамент, могут подолгу там “висеть”, а потом разом передаваться дальше. “Зависание” — это меньшее, что может произойти с делом — часто дела просто теряются, и никто в департаменте не может объяснить почему. В действительности, это происходит из-за того, что руководитель финансового департамента Светлана перегружена задачами, процедура делегирования не отлажена, сроки рассмотрения дел не регламентированы. Важные дела часто уходят из фокуса из-за большого количества менее важных задач, которыми мог бы заниматься заместитель руководителя финансового департамента. Финансовый департамент выступает в качестве “черной дыры”. Неудивительно, что при такой “системе” авральные ситуации и стресс для всех участников процесса — нормальное явление.

Но вот происходит чудо — решение все-таки принимается, все компетентные лица согласовали условия сделки, и контракт подписан. Начинается этап реализации обязательств по контракту и в управляющую компанию начинает поступать огромное количество рабочей информации от подрядчиков. В большинстве российских компаний отсутствует надежная система управления задачами и поручениями, руководителю приходится в ручном режиме ставить задачи и постоянно контролировать их в ущерб важным делам, которыми может заниматься только он. С учетом объемов информации, поступающих на имя руководителя, это сильный демотиватор и постоянный источник стресса (см. Что снижает эффективность работы персонала? Демотивирующие факторы работы). Каждому руководителю важно, чтобы дела исполнялись вовремя, а авральных ситуаций не происходило.

Открытый доступ к корпоративной информации

Пример: Руководитель компании Дмитрий ежедневно получает большое количество входящей информации по ходу реализации всех текущих проектов. Он выдает поручения специалистам в надежде, что поручения будут исполнены в сроки. Но вот через какое-то время Дмитрий получает претензию от подрядчика о неисполнении обязательств и срыве сроков реализации проекта по вине управляющей компании. Как это произошло? Проектировщик объекта, согласно договору, запросил у управляющей компании исходные данные для проектирования. Дмитрий выдал поручение руководителю технического департамента Сергею предоставить исходные данные проектировщику. Сергей, в свою очередь, ежедневно получает большое количество задач по проектам, и иногда эти задачи выходят из его фокуса ввиду отсутствия надежной системы управления заданиями. Так произошло и в этот раз, письмо “Предоставить исходные данные проектировщику” где-то потерялось в почте Сергея, в итоге исходные данные не были предоставлены, и проектировщик не мог приступить к исполнению своих обязательств и закончить работу в установленные сроки.

Очевидно, что ситуация приобрела авральный характер и стала источником стресса для руководителя компании и его подчиненных.

Частым источником беспокойства и снижения эффективности работы персонала является ограниченный доступ к корпоративной информации, которая необходима для принятия тех или иных решений.

Пример: Руководитель проекта Алексей хочет знать, как были реализованы похожие технические решения в ранее завершенных проектах, какие подрядчики привлекались для выполнения проектов, как менялись бюджеты завершенных проектов и что влияло на эти изменения. Чтобы получить эту информацию и двигаться дальше, ему необходимо сделать запрос в службу хранения корпоративной информации и ожидать исполнения запроса. И если сроки исполнения такого запроса не регламентированы, то это создает дополнительный источник стресса для сотрудника, ведь запрос может исполняться от нескольких дней до нескольких недель.

Наш кейс по организации эффективной работы — Как мы решили эти проблемы в нашей компании?

Профиль предприятия:

Производство фармпрепаратов, проектирование, строительство и оснащение медицинских объектов. Распределенная структура: головной офис и производство продукции — в Москве, филиал в Санкт-Петербурге. 150 сотрудников.

Ситуация:

Предприятие было классическим образцом предприятия с традиционными для постсоветского процессами управления, частыми явлениями была беготня с бумажками по кабинетам, авральные ситуации и стрессы у персонала.

Например, поручения по документам выдавались так: секретарь, получая входящий документ по электронной почте, распечатывал его на принтере и делал отметку в журнале регистрации, затем прикладывал к документу листок для резолюции, нес ее директору, а тот ставил резолюцию на документ с назначением исполнителя. Затем эта бумажка с документом возвращалась секретарю, который сканировал и резолюцию, и документ и отправлял файл назначенному исполнителю по электронной почте.

При такой системе выдачи поручений никакого контроля за их исполнением и быть не могло (см. Контроль работы персонала: получить готовые отчёты в 2 клика?). Файлы, отправленные ответственным исполнителям по почте, улетали в никуда, а фраза «мне ничего не приходило» звучала все чаще. Приходилось тратить время и нервы на доказательство того, что файлы все-таки были отправлены.

Процессы принятия решений также не были регламентированы и происходили хаотично. Инициатор процесса передавал распечатанный проект договора на согласование и постоянно обзванивал подразделения в поисках состояния своего дела. Иногда документы терялись и приходилось повторять процедуру.

Такая «система» служила источником постоянного стресса и снижения эффективности работы персонала.

Выход из ситуации:

Было принято решение внедрить автоматизированную систему управления процессами (см. CRM система как инструмент контроля и мотивации сотрудников). Чтобы избежать снижения эффективности у персонала, было необходимо создать надежную корпоративную систему, при которой участникам процессов не нужно было бы беспокоиться о том, что и когда им нужно сделать. Система на основе заложенных в нее правил должна была автоматически ставить задачи всем участникам процессов и автоматически контролировать ход их исполнения. Сотрудник, инициирующий сделку, всегда бы знал, что процесс находится под постоянным контролем системы и не беспокоился том, что его дела “зависнут”.

Участник процесса всегда должен был видеть, в какой срок ему нужно сделать свою часть работы.
Необходимо было предусмотреть удобную систему делегирования задач, которая позволила бы выводить менее важные дела из фокуса руководителей департаментов.

Руководитель компании должен был быть всегда уверен, что выданные им поручения выполняются вовремя, ведь система контролирует сроки и не дает сотрудникам упускать важные дела из фокуса.
Потребители корпоративной информации должны получать моментальный доступ к данным, которые необходимы для принятия решений. Сотрудники не должны беспокоиться о том, что их запрос будет обрабатываться неделями.

Реализовав все эти требования, в сентябре 2016 г. система была запущена эксплуатацию. Мы достигли следующих результатов: в единое информационное пространство с центральным офисом объединены удаленные структурные подразделения предприятия, повышена степень взаимодействия сотрудников предприятия в процессе согласования документации (сроки согласования документов снижены в 6 раз, сроки обработки входящих документов и выдачи поручений по ним — в 10 раз), на 100% исключена возможность потери документов в процессе их согласования, повышена безопасность доступа к информации, повышена степень исполнительской дисциплины сотрудников за счет усовершенствованных механизмов контроля. В итоге нам удалось добиться существенного повышения эффективности работы и снижения уровня стресса у персонала.

Краткое описание проекта по организации работы компании

Состояние проекта: введен в промышленную эксплуатацию.
Сроки реализации проекта: декабрь 2015 — сентябрь 2016.

Профиль предприятия:

Производство фармпрепаратов, проектирование, строительство и оснащение медицинских объектов. Распределенная структура: головной офис и производство продуктов.

Цели проекта:

— Сделать процессы подготовки, согласования, исполнения документов прозрачными;
— Организовать оптимальный доступ к корпоративной информации;
— Предотвратить утерю и несанкционированное изменение документов на стадии их согласования и передачи на исполнение;
— Повысить исполнительскую дисциплину.
— Снизить уровень стресса у персонала.

Результаты проекта:

— Повышена степень взаимодействия подразделений предприятия в процессе принятия решений;
— Исключена возможность потери и изменения документов в процессе их согласования;
— Повышена степень исполнительской дисциплины сотрудников за счет автоматизации постановки и контроля исполнения заданий.
— Повышена эффективность работы и снижен уровень стресса у участников процессов.

Как достичь успеха в бизнесе? Постановка целей, мотивация, тренинги — методика Владимира Якубы

Автор: Павел Горшков, руководитель проектов, [email protected]

promdevelop.ru

Метод тренинга: кейсы. Примеры кейсов. Как составить кейс на трениге

Описание: Группе передают информацию в виде фактов, основывающихся на реальной ситуации и просят обсудить проблемы, проанализировать вопросы и дать рекомендации. Кейс обучает принимать решения или отрабатывать новый навык на основе анализа вводной информации. Кейс создается тренером заранее на основе информации, полученной при подготовке тренинга. Также можно использовать готовые кейсы. Или адаптировать готовый кейс под потребности тренинга.

Влияние на групповую динамику:

Повышает: непонятная инструкция, наличие правильного ответа и его поиск, “подстегивание” временем», сравнение с другими, неправильно выбранное время для кейса (когда нет лидера), тема далека или не понятна, острая тема, мало времени, недостаток информации.

Снижает: знакомая тема, подсказки, шутки, снятие рамок, множественность решений.

Количество участников: группа не более 10 человек

Как создать кейс на тренинге с помощью участников?

Группа делиться на подгруппы по 5 – 10 человек.

Шаг 1 – Группе дается задание

Задание: Опишите случай из вашего опыта, относительно данной темы. ( Например: месяц назад, у нас в отделе, случилась такая ситуация…”)

Требования к случаю:

должен быть основан на реальной ситуации
четко определена задача (проблема), вокруг которой строится анализ. Например тема: “ Способы нематериальной мотивация персонала

Случай должен содержать следующие пункты:

места, позиции и роли основных действующих лиц. Например: директор, сотрудник, и т.п.
краткое описание — только факты — основных этапов развития событий и действий действующих лиц. Например: “Вы новый директор по развитию в компании. Компания выходит на новый рынок, перед вами поставлена задача…Сотрудники реагируют так то»

Шаг 2 – Группы меняются описанием ситуаций

Задание: Продумайте решение данной ситуации, напишите варианты решения данной ситуации и аргументируйте выбранные действия.

Шаг 3 — Презентация решений и оценка решений по группам

Так группа, которая создавала кейс, дает обратную связь по предложенному решению.

Однажды, я проводила тренинг «Креативность в бизнесе», для компании Ингосстрах. И там я использовала метод кейсов. Попробуйте решить его и вы, только без этого «гугл помоги».

Сможете решить кейс за 1 минуту?

Итак, называется кейс «Галерея Lafayette», и основан он на реальных событиях.
Молодой предпринимательнице на начальном этапе становления ее бизнеса не хватало средств на традиционные методы продвижения товара на рынок, она творчески подходила к решению проблем и добивалась своего очень дешевыми способами. Однажды она приехала завоевывать Европу, а управляющий парижской Галереи Lafayette отказался покупать ее продукцию – новые духи. Но она никогда не сдавалась. Когда наша героиня чего-то хотела, она была очень изобретательна в стремлении добиться своего. Женщина все таки нашла способ за 5 минут доказать управляющему, что ее духи могут занять достойное место в престижной галерее Lafayette.
Что сделала женщина? Ваши варианты?

А сделала оно вот что. Дама открыла вдруг сумочку, достала оттуда большой флакон с какой-то желтоватой жидкостью и с размаху грохнула его об пол. Через уже через несколько минут не могла отбиться от вопросов: «Да, это мои новые духи,- сияя улыбкой, повторяла она.- Это Youth Dew, а меня зовут Эсте Лаудер. Вы никогда не слышали моего имени»

Примеры кейсов для тренинга по Управлению сотрудниками (мотивация, наставничество)

Пример кейса по продажам «Профиль клиента» для тренинга продаж здесь

Кейс №1 «Разработка способов воздействия на сотрудника»

На основании анализа ситуации проанализировать причины изменения поведения Ю. Малевина. Разработать способы воздействия на Малевина для изменения его поведения. Заполните таблицу «Оценка причин поведения»

Описание ситуации:

Ю. Малевин работает в ООО «Три кита» с 2009 г. в должности техника-технолога холодильного оборудования. За время работы его три раза отмечали за высокое качество работы и регулярно выплачивали премии по итогам года. Однако за последний год отношения Ю. Малевина с коллегами стали натянутыми. Он вообще никогда не был особенно разговорчивым, но сейчас потребовал от коллег держаться подальше от его рабочего места. Ю. Малевин дал понять, что у него пропадают инструменты, и он хочет обезопасить свое рабочее место. Ухудшилось и качество его работы. Примерно год назад производимые им аппараты оценивались как полностью бездефектная продукция. В настоящее время при выборочном контроле оказалось, что его изделия требуют переделки в трех случаях из ста. Таким образом, уровень брака в его работе вырос с нулевого до 3 %. У его коллег брак не превышает 1,5 %.

Поведение Ю. Малевина вызвало беспокойство у руководителей подразделения. Хороший работник превратился в середняка. Что могло стать причиной изменения поведения Ю. Малевина?

Используя табл. 2. выберите из списка возможные причины изменения поведения, оцените их по 7-балльной шкале и прокомментируйте свои оценки.

Таблица 2. Оценка причин поведения

Прокомментируйте каждую из своих оценок.

Что можно предпринять менеджеру? Заполните табл. 3

Таблица 3. Способы воздействия для изменения поведения

Источник: «Организационное поведение» Г. Р. Латифуллина

Кейс № 2 «Выбор сотрудника»

Описание ситуации: Вы являетесь Управляющим пяти АЗС компании «Лесной город» в городе N. Одной из Ваших АЗС является «Зеленый Кедр». У нее максимальная проходимость среди других Ваших АЗС. В связи с этим нагрузка на персонал достаточно большая. Если заправщики у Вас еще удерживаются, так как суммарно получают хорошие чаевые, то текучка кассиров у Вас достаточно высокая. Так что перед Вами стоит задача поиска и оценки кандидата на должность кассира, поскольку их Вам не хватает. Ситуация еще осложняется тем, что АЗС «Зеленый Кедр» имеет мини-маркет с открытой выкладкой, так что задач у кассиров много, а чаевые они не получают. К тому же и функционал у кассиров шире, чем в других топливных компаниях, поэтому найти хорошего кандидата бывает трудно.

В функциональные обязанности кассиров компании «Лесной город» входит:

Обслуживание клиентов на кассе;
Приемка товаров;
Контроль сроков годности товаров;
Участие в проведении инвентаризации товара;
Выполнение плана продаж по промо продукции;
Уборка помещений (полы, полки, туалет и т.д.)

Условия работы: график 2/2 месяц в день с 9 до 21, месяц в ночь с 21 до 9 (по
договоренности с управляющим АЗС можно только в день или только ночь). Вам как управляющему удобнее, чтобы кассир мог выходить как в день, так и в ночь.

Задача: Подумайте, пожалуйста, и напишите профиль кандидата на вакансию кассира на АЗС «Зеленый Кедр» в компании «Лесной город». Какими характеристиками и компетенциями (знаниями, навыками, особенностями личности он должен обладать), чтобы успешно работать кассиром на Вашей АЗС

Кейс № 3 “Розничный магазин”

Описание ситуации: Продавец Петрова А.К. работает в отделе один год. За время работы ей удалось в достаточной мере освоить ассортимент отдела, установить доброжелательные отношения с коллективом сотрудников. По характеру спокойная, уравновешенная. К работе относится ответственно, проявляет желание работать в магазине. Однако в общении с покупателями инициативы не проявляет. Реагирует на вопросы, просьбы о помощи в выборе товара, доброжелательна, но старается свести это общение к минимуму. С большей увлеченностью занимается расстановкой товара, поддержанием чистоты и порядка в торговом зале, в связи с чем потенциальные покупатели часто остаются без внимания продавца и уходят.

Задание: продумайте и составьте мотивационную беседу с сотрудником Петровой А.К. на проявление инициативы в общении с покупателями.

Кейс № 4 “Аптека”.

Описание ситуации: Провизор Васильева Н.Н. работает в аптеке давно. Прекрасно разбирается в ассортименте, активна в общении с покупателями. Наиболее часто занимает позицию «советчика». Имеет свое представление о том, какие препараты предпочтительны для детей, настаивает на своем мнении, оценивает выбор покупателя.

Задание: продумайте и составьте мотивационную беседу с сотрудником Васильевой Н.Н. на реализацию основной своей функции – продавать товар исходя из запросов покупателя.

Кейс № 5 “Новый сотрудник”

Продавец Ильина М.К., 19 лет. В компании на испытательном сроке. В работе нравится возможность общения с людьми, заинтересована в получении опыта работы продавцом, инициативна в работе с покупателями.

Систематически нарушает требования к внешнему виду продавца (молодежный стиль, открытые части тела) мотивируя это тем, что не имеет средств на обновление гардероба, ссылается на невысокую зарплату.

Задание: продумайте и составьте мотивационную беседу с сотрудником Ильиной М.К. на соответствие требованиям к стандартам внешнего вида. Кейсы для тренинга продаж можно посмотреть здесь

Получи больше практики на моей авторской онлайн Школе тренеров.

—> Узнать когда ближайший онлайн курс Школа тренеров

Книги по теме:

blogtrenera.ru

Разбор кейсов для менеджеров по персоналу (продвинутый уровень?!) — Психологион

Нашел прелюбопытнейший «кейс для менеджера по персоналу» (особо любопытно то, что кейс спозиционирован как «продвинутый уровень»). Ссылка вот — hr-portal.ru/tool/keysy-dlya-menedzhera-po-personalu-prodvinutyy-uroven

У меня предложение всем, кто интересуется прикладной психологией и темой HR: а давайте разберем этот кейс вместе. Вернее, я его уже разобрал, и видео со своим разбором прилагаю ниже. А вам, друзья, предлагаю сформулировать до просмотра моего видео мнение своё собственное: как бы вы действовали с этим кандидатом, что бы вы ему отвечали, какова была бы ваша стратегия и почему, зачем именно такая?
Итак, чтобы вы не ходили туда-сюда по сайтам, приведу текст этого кейса прямо здесь:

«Предлагается провести анализ и разбор конкретных ситуаций из жизни HR-менеджера.

Кейс: На собеседование на одну из ключевых должностей в компании пришел претендент, мужчина 30 лет. Данные его резюме, компетентность и опыт работы превышают ваши ожидания. Это „именно тот“, кого вы так долго искали.

И вот соискатель сидит перед вами в весьма небрежной позе. Одна из первых его фраз звучит так:

— Ну, давайте, задавайте мне свои вопросы. Я даже знаю, о чем именно вы меня спросите. Я все вопросы знаю наизусть.

А. Вопросы к менеджеру по персоналу:

1. Почему кандидат так себя ведет?

2. Чего он хочет добиться этими словами?

Б. Какой из перечисленных ниже вариантов ответа вы выберете:

1. Очень хорошо, что вы их знаете. Давайте начнем…

2. А почему вы думаете, что знаете, какие вопросы я собираюсь задать?

3. Вы пришли на собеседование. Значит, заинтересованы в этой работе. Поэтому, будьте добры, ведите себя уважительно.

4. Вы слишком самоуверенны. Не боитесь, что это качество помешает вам в трудоустройстве?

5. Ваш собственный вариант ответа.

Кейс:… В ходе беседы претендент парирует вашу реплику:

— Ну, вы так говорите только потому, что вы — женщина. У нас, у мужчин, занимающихся бизнесом, взгляд на этот вопрос совершенно иной.

А. Вопросы к менеджеру по персоналу:

1. Почему кандидат так себя ведет?

2. Чего он хочет добиться этими словами?

Б. Какой из перечисленных ниже вариантов ответа собеседнику вы выберете:

1. Вы, что же, полагаете, что женщины глупее мужчин?

2. Вы хотите сказать, что лучше разбираетесь в бизнесе только потому, что вы — мужчина?

3. Вам не кажется, что ведете себя вызывающе?

4. Да, вы правы, мы, женщины, совсем по-другому смотрим на многие вещи.

5. Ваш собственный вариант ответа.

Эти два высказывания неприятны для вас, в целом же претендент вас полностью устраивает. Более того, прочие кандидаты, с которыми вы уже беседовали, намного уступают этому по требуемым компетенциям и опыту.

С. Вопросы к менеджеру по персоналу:

1. Примете ли вы на работу данного претендента?

2. Если „да“, то какие меры предпримете в период адаптации нового сотрудника?»

*******

Вот такой кейс.

А вот мои видеоразмышления к этому кейсу:

psihologion.ru

Кейс «Сложный подбор». Оценка социальных и коммуникативных компетенции | Статья

Этот кейс поможет оценить способность человека не зависеть от внешних влияний и оценок, самостоятельно выражать собственное мнение и отвечать за него, умение осознанно сопереживать текущему эмоциональному состоянию других людей, толерантность.

Для чего:

для оценки социальных и коммуникативных компетенций:

способности человека не зависеть от внешних влияний и оценок, самостоятельно выражать собственное мнение и отвечать за него;
умения осознанно сопереживать текущему эмоциональному состоянию других людей;
толерантности.

Кому давать кейс: соискателям на должность менеджера по подбору персонала, другим HR-специалистам.

Ситуация

Кадровое агентство «Альфа» специализируется на подборе различного персонала. На прошлой неделе в агентство обратился клиент – наркологический центр «Бета» – с заявкой подобрать 10 % от общего состава сотрудников центра. Заказ был крупный и сложный по-своему, так как на рынке труда ресурс специалистов, необходимых центру, очень ограничен.

Система управления наркологическими медицинскими учреждениями такова, что высококвалифицированные специалисты пытаются найти место в коммерческих центрах. Это создает некоторую стагнацию на рынке в данном секторе. Получается, чтобы выполнить этот заказ, нужно обратиться к рынку медицинских работников, которые ищут работу в других секторах, и предложить им должности в наркологической клинике-заказчике.

С первых телефонных интервью менеджер по подбору столкнулась с тем, что соискатели отказывались от предложения переквалифицироваться, объясняя это тем, что они не хотят лечить тех, кто, возможно, на почве наркомании совершили преступления. Менеджер по подбору стала подбирать информацию, чтобы разобраться, почему так относятся к этой работе, и выяснила, что существует совершенно противоположная позиция. Есть специалисты, которые считают, что наркоманы и алкоголики нужны нашему обществу, так как они стимулируют рост рынка труда в области экспериментальной психологии, наркологии и других сферах медицинской деятельности. То есть если не будет людей упомянутых категорий в нашем обществе, то и пропадет потребность в работниках, которые их лечат и обслуживают.

Перед менеджером по подбору встал выбор – продолжать поиск и всячески стараться приукрасить работу в наркологическом центре, чтобы выполнить заказ, или отказаться от него по моральным убеждениям, которых она тоже придерживалась.

Вопросы и задания

Дайте свою оценку ситуации.

Чьей точки зрения Вы придерживаетесь?

Можно ли назвать отношение менеджера по подбору персонала непрофессиональным?

Комментарии

В кейсе описана ситуация, в которой профессиональные задачи вступают в противоречие с общественными нормами и ценностями. С помощью этого кейса можно оценить умение соискателя спокойно, без враждебности воспринимать чужой образ жизни, поведение, обычаи, чувства, мнения, идеи, верования. Соискателю необходимо принять решение за руководителя отдела персонала.

Интерпретация ответов на вопросы кейса

Варианты ответов	Как толковать
1. Соискатель убежден, что существование наркомании дает не только рабочие места, но и развитие различных наук, что помогает не только зависимым людям, но и всем остальным, так мы все пользуемся плодами новых открытий и технологий в медицине. Менеджеру по персоналу не стоит проявлять свое личное отношение к этому, это непрофессионально. Она должна выполнить заказ и подобрать отличный персонал для клиники.	Предложенная ситуация очевидно спорная. Но нужно учитывать, что общество уже давно определило свою позицию к этому явлению: 1. Наркомания – это плохо, значит, с ней нужно бороться; 2. Наркомания – это болезнь, значит, за нее нельзя наказывать; 3. Наказание за преступ ление еще никто не отменял. А рассматривать людей, зависимых от наркотиков, в качестве подопытных для развития медицины, которой будут пользоваться не наркоманы, противоречит всяческим нормам морали и права.
2. По мнению кандидата, все области общественной жизни, а не только медицина, должны способствовать тому, чтобы искоренять и предупреждать развитие наркомании. Это значит, что целый слой медицинских работников всегда найдет себе работу. Но если медики не хотят работать с наркоманами, то не следует склонять людей к той работе, которая противоречит их моральным принципам.	В этом ответе предложена рациональная альтернатива. Говоря о том, что действительно общество должно стремиться к искоренению наркомании и адаптации наркологической медицины к другим направлениям, соискатель демонстрирует социальную зрелость.
3. Точка зрения соискателя такова, что менеджер по подбору должен быть максимально честен с теми соискателями, которые не имеют опыта работы в наркологических центрах. Если для них будет важнее размер оплаты, значит, это их личный выбор. Ситуация не требует поступиться собственными этическими убеждениями, скорее, менеджеру по подбору нужно вести переговоры максимально тактично, уважая позицию других людей, будь то заказчики, кандидаты или общество.	Соискатель придерживается нейтрального отношения к наркоманам и демонстрирует умение спокойно, без враждебности воспринимать чужой образ жизни. Предлагает альтернативную позицию и проявляет терпение к общественным явлениям, которые оцениваются как негативные.

www.hr-director.ru

Подбор персонала- примеры ролевых кейсов для HR кандидатов

Подбор персонала — Кейс для интервью “ Текучесть кадров”

Ситуация: Дизайн студия полного цикла “N”. Занимается разработкой дизайна и креатива. Основная специализация студии: дизайн в полиграфии, упаковка, разработка названия, креативной концепции. Так же компания заявляет, что может осуществлять необходимые маркетинговые исследования, создание видеопродукции и т.д.

Компания имеет давнюю историю. Она была создана до кризиса и до 1998 года входила в десятку известнейших дизайн-студий. Ее известность основывалась на славе одного из директоров агентства как автора одного из наиболее удачных и широко известных брендов Москвы. Компания выжила в кризис, однако значительно утратила свои позиции, пропустив в первую двадцатку другие дизайн-студии. Былое не забывается и ощущается даже новыми сотрудниками. Ощущение утраты, стремление вернуться на Олимп присутствует у всех. Важно отметить, что данный результат во многом представляется в виде славы, а не денежных результатах. Дух компании – “Все на данный момент не плохо, но делается все хуже и хуже”. Таковое ощущение присутствует всегда, при этом ситуации в положении компании за последние годы не менялась ни в худшую, ни в лучшую сторону.

Положение на рынке

Рынок насыщен и конкурентами и клиентами. И тех и других большое количество и большое разнообразие. Компания “N” относится к “крепкому середнячку”. Она делает высокого качества дизайн и креатив. На рынке действуют несколько гораздо более известных широкой публике компаний (не более 5-7). Отрицательно на рынок влияют “Free style” — вольные дизайнеры, которые часто демпингуют и уровень их работы порой может отпугнуть клиента от услуги как таковой. Это усложняет процесс обоснования цены с клиентом. Количество других студий, работающих с компании “N” в одной нише не поддается подсчетам. В этой нише, равно как и во всех других на рынке нет признанного лидера, не по известности, ни по оборотам, ни по прибыли.

Клиентская политика

Компания берется фактически за любую работу, если ее интересует заказчик.

Если заказ включает в себя то, на чем не специализуется компания – привлекаются другие агентства. На данный момент у компании большое портфолио успешных на рынке разработок. Клиентами компании являются многие крупные компании, есть обладатели титула “народной марки”.

Организационная структура

В компании 17 человек. Три менеджера по работе с клиентами, два верстальщика, 4 дизайнера, один принт-менеджер (менеджер по работе с типографиями), бухгалтер и системный администратор, три курьера, два директора – совладельца, оба принимающие активное участие в бизнесе, о чем будет сказано ниже. Секретаря в компании нет. Принимают звонки и ведут документацию менеджеры. Все сотрудники работают в компании на полной ставке и оформлены в штат компании. Средний возраст сотрудников – 22 года. Половина персонала совмещают работу с учебой (дневной формы обучения нет). Все сотрудники находятся на ставке. Выплаты никогда не задерживают. За хорошую работу (авралы) получают премию (около 1/6 зарплаты). Штрафов нет. Проценты от контракта ни менеджеры, ни дизайнеры не получают. Сотрудников кормят за счет компании. Офис компании – огромная квартира-мансарда на Садовом кольце. Повар готовит домашние обеды, учитывая вкусовые предпочтения всех сотрудников, посты, диеты и т.д. Гендерный состав приблизительно равный.

В компании жесткое соблюдение 8-часового рабочего дня. Работа с 10:00 до 19:00 с часовым перерывом на обед.

Персонал

Директора: Первый – занимается административным управлением. Постоянно присутствует в офисе, контролирует все процессы в организации. Второй – известный дизайнер, занимается творческим процессом (создает идеи, работает над концепциями, занимается издательством книг по дизайну от случая к случаю). Оба очень активно общаются между собой и с сотрудниками офиса. Первому около 45 лет, бывший военный, второму – 35 лет, в дизайне более 10 лет. Имеет имя и хорошую репутацию в профессиональной среде. Атмосфера дружеская. Интриг, конфликтов не бывает. Общее раздражение менеджеров часто вызывает творческие порывы креативного директора. В курилке, куда ходят подавляющее число сотрудников, часто слышится брюзжание.

Бизнес-задачи на данный момент

Точные стратегические планы не известны всем сотрудникам компании и, возможно, полностью совпадают с амбициями креативного директора. Среди сотрудников присутствует стремление к известности марки их компании на рынке (в худшем варианте – среди профессионального сообщества, в лучшем – в широких массах столицы, последнее предпочтительнее). Основой целью компании остается извлечение максимальной прибыли.

Производственный процесс

Клиенты приходят в компанию по рекомендациям других клиентов. Количество повторных заказов значительное. Всегда инициатива исходит от заказчика. Сами менеджеры никак не ищут новых клиентов, не ведут активных продаж со старыми клиентами. При этом все производственные мощности компании загружены полностью, уместна формулировка “нормально, достаточно”. При появления заказа клиент-менеджер снимает запрос и делает предварительную смету. Если заказ подтверждается, происходит уточнение заказа, формирование технического задания. После этого начинается процесс создания продукта, на протяжении которого периодически менеджер и дизайнер проводят встречи с клиентами. Менеджеры контролируют весь процесс производства и общаются с клиентами. У бизнеса есть важнейший сезон – Новый год, которые активно начинается с сентября месяца.

У компании был опыт издания двух книг по дизайну для узкой аудитории. Это была инициатива креативного директора. После этого сбыт тиража стал проблемой. На одного из менеджеров была возложена функции контроля реализации книги среди книжных магазинов. Все сотрудники относят издание книг к некоммерческой деятельности компании.

Основные сложности

Срывание сроков и брак типографий. Сложность услуги: создание и продажа идей клиентам. Высокая текучесть кадров плохо влияет на процесс ведения клиента. Раз в три месяца меняется 2 из 4 менеджера и 3 дизайнера из четырех. Самый большой стаж работы среди них – 12 месяцев у менеджеров и 2 года у дизайнеров. При том, что производственный цикл длится, как правило, от 3 недель до 4 месяцев.

Вопрос

Какие меры нужно предпринять для того, что бы снизить текучесть кадров?

hrhelpline.ru

Кейсы для управленцев от Станислава Соловьева

Сборник управленческих задач предназначен для оценки управленческих способностей личности | Он может применяться для подбора, оценки и обучения руководителей высшего и среднего звена на предприятиях..

Кейсы для управленцев | Сборник управленческих задач

Аннотация к сборнику управленческих задач

Сборник управленческих задач предназначен для оценки управленческих способностей личности. Он может применяться для подбора, оценки и обучения руководителей высшего и среднего звена на предприятиях. Более продвинутая методика для оценки управленческого интеллекта имеется в моей книге «Кадровые технологии».

Внимательно прочитайте каждый вопрос и выберите варианты ответов, которые для него приведены.

Сборник управленческих задач

Задача №1 «Управление организацией».

Какое из указанных ниже мероприятий целесообразно, по Вашему мнению, осуществить управляющим, чтобы оптимально отреагировать на неожиданные изменения ситуации?

А. Прежде всего, оценить характер изменений, затем привести в соответствие с ним цели и деятельность самой организации, а также методы управления ею.

Б. В случае изменений всегда принимаются поспешные, несообразные решения, затрачиваются напрасные, ненужные усилия. От этого организация работает неравномерно. Поэтому нужно в срочном порядке выявить все негативные ситуации, устранить их и постараться поддерживать в деятельности организации необходимую стабильность.

В. Изменения, возникающие в окружающей обстановке, сказываются на навыках, которые требуются от сотрудников организации, Поэтому необходимо прилагать усилия к тому, чтобы они могли приспособиться к любым изменениям.

Задача №2 «Навыки управляющего».

Какое из приведенных ниже суждений относительно трех видов навыков управляющих Вы считаете правильным?

А. Значимость технологических навыков снижается по мере того, как повышается ранг управляющего и соответственно растет значимость концептуальных навыков.

Б. Чем выше ранг управляющего, тем больше требуется от него коммуникативных навыков. Важность технологических навыков остается неизменной для управляющего любого ранга.

В. По мере ужесточения окружающей обстановки повышается значимость коммуникативных навыков.

Задача №3 «Стиль управления».

В каком из приведенных ниже примеров можно увидеть недостатки демократических методов управления?

А. Благодаря тому, что управляющие внимательно прислушиваются к мнениям подчиненных и учитывают их в своей деятельности, между управляющими и подчиненными устанавливаются тесные, доверительные отношения. Однако при этом у подчиненных развивается сильное чувство зависимости и не воспитывается самостоятельность.

Б. Если управляющие будут выслушивать мнение каждого подчиненного, они будут тратить много времени на уговоры, убеждения, урегулирование различных вопросов. В связи с этим может случиться так, что управляющие будут не в состоянии своевременно проводить в жизнь необходимые мероприятия в экстремальных условиях.

В. Если управляющие будут слишком часто прибегать к выслушиванию мнений подчиненных, то последним это постепенно надоест, и они станут избегать первых, советоваться со старшими по возрасту коллегами, общение с которыми «удобнее», чем общение с начальством.

Задача №4 «Навыки управляющего».

Укажите, какие из этих групп навыков требуются от руководителей соответственно нижнего, среднего и высшего звена?

Укажите, от руководителя какого звена (нижнего, среднего или высшего звена) требуются данные умения и навыки?

От руководителя нижнего звена
От руководителя среднего звена
От руководителя высшего звена

Степень значимости	А	Б	В
1	Умение сплачивать подчиненных	Технологические навыки	Умение предвидеть
2	Умение планировать	Умение сплачивать подчиненных	Умение сплачивать подчиненных
3	Технологические навыки	Умение проявлять инициативу	Умение идти на компромисс
4	Умение идти на компромисс	Умение идти на компромисс	Умение привлекать к себе людей
5	Умение предвидеть	Умение планировать	Умение планировать
6	Умение творчески рассуждать, мыслить	Умение воспитывать подчиненных	Умение быстро принимать трезвые решения

Задача №5 «Управленческие действия».

Как должен действовать управляющий, когда со стороны вышестоящих инстанций не поступает четких указаний, не определяются конкретные цели?

А. Нужно выйти с предложением в вышестоящую инстанцию и запросить необходимые указания?

Б. Проанализировать обстановку, определить, что необходимо сделать по собственной инициативе в интересах своей организации и приступить к осуществлению действий по мобилизации персонала на решение выявленных задач.

В. Отсутствие четких указаний и постановки конкретных целей со стороны вышестоящей инстанции может объясняться тем, что в этих сферах считают нецелесообразным и несвоевременным принимать поспешные решения. Поэтому предпринимать какие-либо практические действия нужно только после того, как поступят указания сверху.

Задача №6 «Управленческие действия».

Управляющий собрал ответственных за производственный сектор лиц для обсуждения вопроса о том, какие станки закупить, компании «К», или компании «С»? Мнения разделились, в каждом из них есть свой резон. Какую из предлагаемых ниже позиций Вы как управляющий займете?

А. Поскольку практическую работу по использованию станков фактически выполняют подчиненные рядовые работники, то следует продолжить обсуждение данного вопроса с ними и вести дело к тому, чтобы в их среде сложилось окончательное решение.

Б. Нужно внимательно выслушать мнения обеих сторон и после этого самому принять окончательное решение, а затем разъяснить всем, по каким причинам такое решение принято. Если потребуется, убедить несогласных.

В. Глубоко разобраться в достоинствах и недостатках обоих мнений, затем доложить об этом вышестоящему управляющему и обратиться к нему с просьбой, принять какое-либо решение.

Задача №7 «Трудолюбие».

Попробуйте выбрать из приводимых ниже вариантов три вида наиболее эффективных мер, которые возбуждали бы интерес к выполняемой работе.

А. Осуществлять такое руководство, которое обеспечивало бы достаточные знания о характере выполняемой работы.

Б. Время от времени менять работу, чтобы одна и та же работа не надоедала.

В. В случае, когда требуется заставить людей выполнять работу, нужно объединить хорошо понимающих друг друга работников в одну группу.

Г. Подробно, в деталях объяснить людям характер работы, и таким образом, сделать так, чтобы она была выполнена без срывов.

Д. Работу, которую нужно выполнить, следует время от времени дополнять новыми задачами. Неплохо организовать своего рода соревнование за лучший результат.

Е. Точно указать на недостатки и положительные моменты выполняемой работы.

Задача №8 «Отношение к труду».

В каком из приведенных ниже случаев проявляется сознательность людей по отношению к труду?

А. В сложных условиях жизни любой будет трудиться с энтузиазмом. Однако, как только появляются свободное время и жизненный комфорт, возникает тяга не к работе, а к развлечениям.

Б. Когда человек достигает определенного уровня жизни, у него появляется свободное время, для него работа становится не только источником дохода, но и средством удовлетворения духовных и интеллектуальных запросов.

В. Когда в жизни появляется достаток, и она протекает с комфортом, человек ищет развлечений, удовольствий. В этом случае он теряет всякий интерес к работе и тем более стремится избежать трудностей.

Задача №9 «Чувство принадлежности к предприятию».

Какой из приведенных ниже примеров является наиболее приемлемым для закрепления у сотрудников чувства принадлежности к предприятию, стимулирования трудолюбия?

А. При определении целей работы на предприятии. А также при составлении рабочих планов надо делать так, чтобы подчиненные по мере возможности принимали в этом участие, высказывали свое мнение.

Б. Необходимо, насколько это, возможно, избегать того, чтобы заставлять подчиненных выполнять непосильную работу или давать им нагоняй. Надо проявлять постоянную заботу о каждом подчиненном.

В. Установить строгий порядок на рабочих местах и самому как управляющему соблюдать его, показывая пример остальным. Одновременно надо заставлять подчиненных соблюдать установленный порядок и не допускать самовольных действий.

Задача №10 «Удовлетворенность работой».

Как управляющий должен отреагировать на заявление работника о том, что он не получает удовлетворения от своей работы?

А. Точно установить, какая работа дала бы удовлетворение этому подчиненному, и, если есть возможность, как можно скорее постараться предоставить ее взамен прежней.

Б. Думается, что любой хотел бы иметь работу по душе и приносящую удовлетворение. Однако в условиях фирмы предоставить такого рода работу для всех ее работников невозможно. В связи с этим нужно убедительно разъяснить работнику, что в фирме есть много сотрудников, которые терпеливо трудятся на порученных им участках.

В. Нужно разъяснить работнику, что удовлетворенность работой определяется тем, как к ней относиться и как ее выполнять. Надо доказать, что и от выполняемой им работы можно получать большое удовлетворение, если видеть в ней творческие начала.

Задача №11 «Определение целей и задач деятельности».

Попробуйте выбрать из приведенных ниже рекомендаций три наиболее важные, которые желательно учитывать при определении подчиненным целей их деятельности.

А. Добиваться понимания того, какое значение поставленные цели имеют для достижения целей организации.

Б. По мере возможности определять цели деятельности с учетом мнения подчиненных.

В. Добиваться всестороннего понимания целей каждым подчиненным. Культивировать у подчиненных чувство справедливости.

Г. Если при определении целей исходить из способностей подчиненных, то будет очень трудно достичь их, сколько ни старайся.

Д. Можно достигнуть любых целей, если учитывать способности подчиненных.

Е. При определении целей деятельности нужно по возможности прибегать к конкретным фактам и цифрам.

Задача №12 «Слаженность группы».

Какие, по вашему мнению, из приведенных ниже мер являются наиболее эффективными для культивирования атмосферы взаимовыручки, взаимодействия между подчиненными?

А. Будь то сфера производства или сфера торговли, на предприятии следует создавать своего рода атмосферу соперничества (соревнования) между рабочими группами.

Б. Определить объем работы в рамках предприятия, распределить ее между всеми починенными, сделать так, чтобы каждый не выходил за рамки своей компетенции. Одновременно с этим осуществлять руководство таким образом, чтобы гарантировать успешное выполнение работы каждым работником и чтобы ни кто не мешал друг другу.

В. Провести неофициальные мероприятия, например, дружеские встречи или экскурсии, в ходе которых работники могли бы с удовольствием и непринужденно пообщаться друг с другом. Наряду с этим надо с помощью собраний и других мероприятий способствовать тому, чтобы работники стали понимать характер работы друг друга.

Задача №13 «Сработанность группы».

Почему в малой группе легче добиться единства действий, чем в большой? Какие из приведенных ниже причин являются обоснованными?

А. Образ мышления одного человека отличается от образа мышления другого. Поэтому в малой группе легче найти общую для всех точку соприкосновения. В большой же группе добиться этого значительно труднее, поскольку общение в малой группе интенсивнее, чем в большой.

Б. Если группа малочисленна, то в ней легче обеспечить единство действий. Это связано со стремлением людей к взаимопониманию.

В. В любой группе всегда есть люди, чье мнение расходится с мнением окружающих. Если группа малочисленная, то, естественно, и меньше таких людей. Поэтому не требуется затрачивать слишком много усилий на уговоры таких людей.

Задача №14 «Соревнование».

Какое из приведенных ниже положений, касающихся соревнования, является правильным?

А. Поскольку считается, что человек стремится одержать над другим верх, его следует вовлекать в соревнование.

Б. Соревнование нередко повышает коэффициент полезного действия человека в трудовой деятельности. Однако человек, не имеющий перспективы победить в соревнованиях, постепенно отказывается от них. Соревнования, проводимые в течение длительного времени, не только не повышают, а, наоборот, понижают коэффициент полезного действия работников.

В. В соревновании только часть работников напрягает свои силы, вкладывает душу в работу. Большинство же не меняет привычного для себя трудового ритма. Поэтому соревнование почти не изменяет коэффициента полезного действия работников.

Задача №15 «Сложное решение».

При приближении к Солнечной системе командир космического корабля получил сообщение с Земли, в котором сказано, что за время отсутствия корабля на Земле произошли необратимые изменения, привычной для людей формы цивилизации больше не существует. Разумная жизнь на планете существует в другой форме – энергетической.

Команде корабля предлагается перейти в энергетическую форму или создать резервацию с привычными формами животного и растительного мира. Командиру предлагается проинформировать команду о случившемся и до возвращения на Землю сообщить о принятом решении. Какое решение вы приняли бы в данной ситуации, будучи командиром корабля?

А. Принять решение за всю команду и сообщить о нем на Землю. Команду же поставить перед свершившемся фактом.

Б. Поговорить с каждым членом экипажа, узнать его личное предпочтение, а после этого принять решение за всех.

В. Собрать команду, сообщить о радиограмме и выслушать коллективное мнение. После этого самостоятельно принять решение.

Г. Вызвать первого помощника и врача экспедиции и совместно с ними принять решение за всех.

Д. Собрать команду, сообщить о радиограмме и помочь выработать совместное решение.

Е. Собрать команду, сообщить о полученной информации и, участвуя в этом процессе как рядовой член, предложить каждому после обсуждения принять индивидуальное решение.

Пройти тест Сборник управленческих задач

Сайт Станислава Соловьева

Пример результата теста


другие статьи автора в группе:

Онлайн-тесты Психология Социология Маркетинг, продажи, тренинги Интересно		Дети Фото, видео, походы Песни для души Обсуждение

subscribe.ru

Факториал что это такое – Как найти факториал числа 🚩 вычислить произведение всех простых чисел 🚩 Математика

alexxlab / 21.04.201908.06.2019 / Школьная жизнь

Факториал — Википедия. Что такое Факториал

Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л. Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}.

Например,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

Из определения факториала следует соотношение (n−1)!=n!n{\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}}, откуда при n=1{\displaystyle n=1} формально находим

0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Последнее равенство обычно принимают в качестве соглашения, хотя, как показано выше, оно следует из определения факториала для натуральных чисел при условии, что все значения функции связаны единым рекуррентным соотношением.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются
n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	≈1,551121004 × 10²⁵
50	≈3,041409320 × 10⁶⁴
70	≈1,197857167 × 10¹⁰⁰
100	≈9,332621544 × 10¹⁵⁷
450	≈1,733368733 × 10¹⁰⁰⁰
1000	≈4,023872601 × 10²⁵⁶⁷
3249	≈6,412337688 × 10¹⁰⁰⁰⁰
10000	≈2,846259681 × 10³⁵⁶⁵⁹
25206	≈1,205703438 × 10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	≈2,824229408 × 10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	≈2,503898932 × 10^1000004
1000000	≈8,263931688 × 10^5565708
10¹⁰⁰	≈10^{9,956570552 × 10¹⁰¹}
10¹⁰⁰⁰	≈10^10¹⁰⁰³
10^10 000	≈10^{10^10 004}
10^100 000	≈10^{10^100 005}
10^10¹⁰⁰	≈10^{10^10¹⁰⁰}

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако, степенно-показательная функция nn{\displaystyle n^{n}} растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например een{\displaystyle e^{e^{n}}}.

Свойства

Рекуррентная формула

n!={1n=0,n⋅(n−1)!n>0.{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}}

Комбинаторная интерпретация

В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения 0!=1{\displaystyle 0!=1}. Так, формула для числа размещений из n{\displaystyle n} элементов по m{\displaystyle m}

Anm=n!(n−m)!{\displaystyle A_{n}^{m}={\frac {n!}{(n-m)!}}}

при n=m{\displaystyle n=m} обращается в формулу для числа перестановок из n{\displaystyle n} элементов (порядка n{\displaystyle n}), которое равно n!{\displaystyle n!}.

Связь с гамма-функцией

Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением

n!=Γ(n+1){\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}.

Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при n=−1,−2,−3…{\displaystyle n=-1,-2,-3\ldots }.

Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция Π(z)=Γ(z+1){\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}, которая при Re(z)>−1{\displaystyle \mathrm {Re} (z)>-1} может быть определена как

Π(z)=∫0∞tze−tdt{\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t} (интегральное определение).

Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: Π(n)=n!{\displaystyle \Pi (n)=n!}. Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению Π(z)=zΠ(z−1){\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)}.

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

n!=2πn(ne)n(1+112n+1288n2−13951840n3−5712488320n4+163879209018880n5+524681975246796800n6+O(n−7)),{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}\right)\right),}

см. O-большое^[1].

Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

n!≈2πn(ne)n.{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

При этом можно утверждать, что

2πn(ne)ne1/(12n+1)<n!<2πn(ne)ne1/(12n).{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n+1)}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}.}

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

⌊np⌋+⌊np2⌋+⌊np3⌋+….{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots .}

Таким образом,

n!=∏pp⌊np⌋+⌊np2⌋+…,{\displaystyle n!=\prod _{p}p^{\lfloor {\frac {n}{p}}\rfloor +\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\rfloor +\ldots },}

где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, следовательно произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа n:

(xn)(n)=n!{\displaystyle \left(x^{n}\right)^{(n)}=n!}

Например:

(x5)(5)=(5⋅x4)(4)=(5⋅4⋅x3)‴=(5⋅4⋅3⋅x2)″=(5⋅4⋅3⋅2⋅x)′=5⋅4⋅3⋅2⋅1=5!{\displaystyle \left(x^{5}\right)^{(5)}=\left(5\cdot x^{4}\right)^{(4)}=\left(5\cdot 4\cdot x^{3}\right)»’=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot x^{2}\right)»=\left(5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot x\right)’={5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5!}

Другие свойства

Для натурального числа n:

n!2⩾nn⩾n!⩾n{\displaystyle n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n}

Для любого n>1:

n!{\displaystyle n!} не является квадратом целого числа.

Факториал дробного числа

Для дробного числа, факториал может определяться по формуле:

n!=[n]!⋅([n]+1){n}{\displaystyle n!=[n]!\cdot ([n]+1)^{\left\{n\right\}}}

где, [n]{\displaystyle [n]}- целая часть от изначального числа ([4,5] = 4), a {n}{\displaystyle \{n\}}- дробная часть ({4,5} = 0,5).

История

Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение n!{\displaystyle n!} предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году^[2]. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (лат. Methodus differentialis, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента 2π{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}} была неопределённая константа)^[3].

Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:

(12)!=π2{\displaystyle \left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}

Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение^[4]:

x!=limm→∞mxm!(x+1)(x+2)…(x+m){\displaystyle x!=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)}}}

Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Санкт-Петербургской Академии наук в 1729—1730 годах.

Обобщения

Двойной факториал

Двойной факториал числа n обозначается n‼ и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность, что и n.

n!!=2⋅4⋅6⋅…⋅n=∏i=1n22i=21n2⋅(n2)!{\displaystyle n!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{\frac {n}{2}}2i=2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n}{2}}}}\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)!}

Для нечётного n:

n!!=1⋅3⋅5⋅…⋅n=∏i=0n−12(2i+1)=n!21n−12⋅(n−12)!{\displaystyle n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod _{i=0}^{\frac {n-1}{2}}(2i+1)={\frac {n!}{2^{{\color {white}1}^{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2}}}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}}

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.

n!!=(n+1)!(n+1)!!{\displaystyle n!!={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}}

Для нечётного n:

n!!=n!(n−1)!!{\displaystyle n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}}

Выведение формул

Осуществив замену n=2k{\displaystyle n=2k} для чётного n и n=2k+1{\displaystyle n=2k+1} для нечётного n соответственно, где k{\displaystyle k} — целое неотрицательное число, получим:

для чётного числа:

(2k)!!=2⋅4⋅6⋅…⋅2k=∏i=1k2i=2k⋅k!{\displaystyle (2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod _{i=1}^{k}2i=2^{k}\cdot k!}

для нечётного числа:

(2k+1)!!=1⋅3⋅5⋅…⋅(2k+1)=∏i=0k(2i+1)=(2k+1)!2k⋅k!{\displaystyle (2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod _{i=0}^{k}(2i+1)={\frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}}

По договорённости: 0!!=1{\displaystyle 0!!=1}. Также это равенство выполняется естественным образом:

0!!=20⋅0!=1⋅1=1{\displaystyle 0!!=2^{0}\cdot 0!=1\cdot 1=1}

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[5]:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …

Кратный факториал

m-кратный факториал числа n обозначается n!!…!⏟m{\displaystyle \textstyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}} и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде n=mk−r,{\displaystyle n=mk-r,} где k∈Z,{\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,} r∈{0,1,…,m−1}.{\displaystyle r\in \{0,1,\ldots ,m-1\}.} Тогда^[6]

n!!…!⏟m=∏i=1k(mi−r){\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)}

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[7]:

n!!…!⏟m=∏i=1k(mi−r)=mk⋅Γ(k−rm+1)Γ(1−rm).{\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} _{m}=\prod _{i=1}^{k}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right)}}.}

Неполный факториал

Убывающий факториал

Убывающим факториалом называется выражение

(n)k=nk_=n[k]=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−k+1)=n!(n−k)!=∏i=n−k+1ni{\displaystyle (n)_{k}=n^{\underline {k}}=n^{[k]}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}=\prod _{i=n-k+1}^{n}i}.

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

n^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

n(k)=nk¯=n⋅(n+1)⋅…⋅(n+k−1)=(n+k−1)!(n−1)!=∏i=n(n+k)−1i.{\displaystyle n^{(k)}=n^{\overline {k}}=n\cdot (n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k-1)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}=\prod _{i=n}^{(n+k)-1}i.}

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

p5#=2×3×5×7×11=2310{\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310}.

Иногда праймориалом называют число n#{\displaystyle n\#}, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая 1#≡1{\displaystyle {\textstyle {1\#\equiv 1}}}) начинается так^[8]:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, …

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Симон Плуффэ (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

sf⁡(4)=1!×2!×3!×4!=288{\displaystyle \operatorname {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288}

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

sf⁡(n)=∏k=1nk!=∏k=1nkn−k+1=1n⋅2n−1⋅3n−2⋯(n−1)2⋅n1.{\displaystyle \operatorname {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}

Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так^[9]:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000, …

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Hyperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0{\displaystyle n\geqslant 0} начинается так^[10]:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 829 312 000 000, 3 769 447 945 987 085 350 501 386 572 267 520 000 000 000, 6 916 686 207 999 802 072 984 424 331 678 589 933 649 915 805 696 000 000 000 000 000, …

Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение (m − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до n, то есть

mf⁡(n,m)=mf⁡(n−1,m)mf⁡(n,m−1)=∏k=1nk(n−k+m−1n−k),{\displaystyle \operatorname {mf} (n,m)=\operatorname {mf} (n-1,m)\operatorname {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k},}

где mf⁡(n,0)=n{\displaystyle \operatorname {mf} (n,0)=n} для n>0{\displaystyle n>0} и mf⁡(0,m)=1.{\displaystyle \operatorname {mf} (0,m)=1.}

Субфакториал

Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

См. также

Примечания

wiki.sc

Факториал — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

<math>n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_{i=1}^n i.</math>

Например:

<math>5 ! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</math>.

По договорённости: <math>0! = 1</math>. Также это равенство выполняется естественным образом:

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так^[1]:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе. Обозначение факториала в формате <math>n!</math> предложил французский математик Кристиан Крамп в 1808 году^[2].

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция <math>e^{e^n}</math>).

Свойства

Рекуррентная формула

<math>n!= \begin{cases}

1 & n = 0,\\ n \cdot (n-1)! & n > 0. \end{cases}</math>

Комбинаторная интерпретация

ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.

Связь с гамма-функцией

Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

<math>n! = \Gamma(n+1).</math>

Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при <math>n=-1, -2, -3\ldots</math>.

Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

<math>\Pi(z)=\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d}t</math>.

Поскольку <math>\Pi(z) = \Gamma(z+1) \,,</math> то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: <math>\Pi(n) = n!.</math> Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению <math>\Pi(z) = z\Pi(z-1)\,.</math>

Формула Стирлинга

Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

<math>n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} — \frac{139}{51840 n^3} — \frac{571}{2488320 n^4} + \frac{163879}{209018880 n^5} + \frac{5246819}{75246796800 n^6} + O\left(n^{-7}\right)\right),</math>

см. O-большое^[3].

<math>n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

При этом можно утверждать, что

<math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}.</math>

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

100! ≈ 9,33×10¹⁵⁷;
1000! ≈ 4,02×10²⁵⁶⁷;
10 000! ≈ 2,85×10^35 659.

Разложение на простые числа

Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

<math>\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor + \ldots.</math>

Таким образом,

<math>n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},</math>

где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

Связь с производной от степенной функции

Для целого неотрицательного числа n:

<math>\left( x^n \right)^{(n)}=n!</math>

Например:

<math>\left( x^5 \right)^{(5)}

= \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} = \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right) = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right) = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)’ = {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!</math>

Другие свойства

Для натурального числа n:

<math>n!^2 \geqslant n^n \geqslant n! \geqslant n</math>

Обобщения

Двойной факториал

<math>n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2}} 2i = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!</math>

Для нечётного n:

<math>n!! = {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n} = \prod_{i=0}^{\frac{n-1}{2}} (2i+1) = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>

Для нечётного n:

Выведение формул

Формула для чётного n:

<math>n!! = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!</math>

Выведение формулы:

<math>\begin{align} n!! & = {\color{Gray}\underbrace{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n}_{\color{Black}\tfrac{n}{2}}} = {\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n}{2}}} \; \cdot \; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n}{2}}} =

\\ & = {2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} \right )} = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )! \end{align}</math>

Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:

<math>\begin{align} 14!! & = 2^{\frac{14}{2}} \cdot \left ( \frac{14}{2} \right )! = 2^7 \cdot 7! =

\\ & = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) = \\ & = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7) = \\ & = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 = 645120 \end{align}</math>

Формула для нечётного n:

<math>n!! = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>

Выведение формулы:

<math>\begin{align}n!! & = {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n}}_{\color{Black}\frac{n+1}{2}}}

= \frac{{\color{Gray}\overbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}^{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} \cdot {\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot n}^{\color{Black}\frac{n+1}{2}}}} {\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \\ & = \frac{\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot {\color{OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot {\color{OliveGreen}(n-1)} \cdot n}^{\color{Black}n}} {\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{(n-1)!!} \end{align}</math>

Таким образом можно показать связь между двойными факториалами двух соседних неотрицательных целых чисел через обычный факториал одного из них. Далее продолжим выведение формулы для двойного факториала нечётного n. Вернёмся на шаг назад (до возникновения в явном виде (n-1)!!) и осуществим некоторые тождественные алгебраические преобразования над знаменателем:

<math>\begin{align}& {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = {\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n-1}{2}}} \; \cdot \; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1) \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n-1}{2}}} =

\\ & = {2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{2} \right )} = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )! \end{align}</math>

Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в формулу для <math>n!!</math>:

<math>n!! = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>

Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:

<math>\begin{align} 15!! & = \frac{15!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{15-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{15-1}{2} \right )!}

\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7)}}} = \\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{(2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7)}}} = \\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot {\color{OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot {\color{OliveGreen}8} \cdot 9 \cdot {\color{OliveGreen}10} \cdot 11 \cdot {\color{OliveGreen}12} \cdot 13 \cdot {\color{OliveGreen}14} \cdot 15}{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14}}} = \\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15}} = 2027025 \end{align}</math>

Осуществив замену <math>n=2k</math> для чётного n и <math>n=2k+1</math> для нечётного n соответственно, где <math>k</math> — целое неотрицательное число, получим:

для чётного числа:

<math>(2k)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k\cdot k!</math>

для нечётного числа:

<math>(2k+1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+1) = \prod_{i=0}^{k} (2i+1) = \frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!}</math>

По договорённости: <math>0!! = 1</math>. Также это равенство выполняется естественным образом:

</div></div>

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений n!! начинается так^[4]:

Кратный факториал

m-кратный факториал числа n обозначается <math>\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m</math> и определяется следующим образом. Пусть число n представимо в виде <math>n=mk-r,</math> где <math>k \in \mathbb{Z},</math> <math>r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}.</math> Тогда^[5]

<math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)</math>

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями m-кратного факториала для m = 1 и m = 2 соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением^[6]:

<math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^{k} (mi-r)=m^k \cdot \frac {\Gamma \left (k-\frac {r} {m} +1 \right )} {\Gamma \left ( 1- \frac {r} {m} \right)}.</math>

Неполный факториал

Убывающий факториал

Убывающим факториалом называется выражение

<math>(n)_k = n^{\underline{k}} = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} = \prod_{i=n-k+1}^n i</math>.

Например:

n = 7; k = 4,

(n − k) + 1 = 4,

n^k = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

Возрастающий факториал

Возрастающим факториалом называется выражение

<math>n^{(k)} = n^{\overline{k}} = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.</math>

Праймориал или примориал

Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается p_n# и определяется как произведение n первых простых чисел. Например,

<math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310</math>.

Иногда праймориалом называют число <math>n\#</math>, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное n.

Последовательность праймориалов (включая <math>{\textstyle{1\# \equiv 1}}</math>) начинается так^[7]:

Суперфакториалы

Нейл Слоан и Симон Плуффэ (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

<math> \operatorname{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288</math>

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

<math>

 \operatorname{sf}(n)
 =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
 =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.
</math>

Последовательность суперфакториалов чисел <math>n \geqslant 0</math> начинается так^[8]:

Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел <math>n \geqslant 0</math> начинается так^[9]:

<math>\operatorname{mf}(n,m) = \operatorname{mf}(n-1,m)\operatorname{mf}(n,m-1)=\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}, </math>

где <math>\operatorname{mf}(n,0)=n</math> для <math>n>0</math> и <math>\operatorname{mf}(0,m)=1.</math>

Субфакториал

См. также

Напишите отзыв о статье «Факториал»

Примечания

↑ Последовательность A000142 в OEIS
↑ [www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kramp.html Крамп, Кристиан]
↑ Коэффициенты этого разложения дают A001163 (числители) и A001164 (знаменатели)
↑ Последовательность A006882 в OEIS
↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
↑ [www.wolframalpha.com/input/?i=product+%28m*i-r%29%2C+i%3D1..k wolframalpha.com].
↑ Последовательность A002110 в OEIS
↑ Последовательность A000178 в OEIS
↑ Последовательность A055462 в OEIS

Отрывок, характеризующий Факториал

– Молодцы! – сказал, смеясь, Ростов. – Что, сено есть?
– И одинакие какие… – сказал Ильин.
– Развесе…oo…ооо…лая бесе… бесе… – распевали мужики с счастливыми улыбками.
Один мужик вышел из толпы и подошел к Ростову.
– Вы из каких будете? – спросил он.
– Французы, – отвечал, смеючись, Ильин. – Вот и Наполеон сам, – сказал он, указывая на Лаврушку.
– Стало быть, русские будете? – переспросил мужик.
– А много вашей силы тут? – спросил другой небольшой мужик, подходя к ним.
– Много, много, – отвечал Ростов. – Да вы что ж собрались тут? – прибавил он. – Праздник, что ль?
– Старички собрались, по мирскому делу, – отвечал мужик, отходя от него.
В это время по дороге от барского дома показались две женщины и человек в белой шляпе, шедшие к офицерам.
– В розовом моя, чур не отбивать! – сказал Ильин, заметив решительно подвигавшуюся к нему Дуняшу.
– Наша будет! – подмигнув, сказал Ильину Лаврушка.
– Что, моя красавица, нужно? – сказал Ильин, улыбаясь.
– Княжна приказали узнать, какого вы полка и ваши фамилии?
– Это граф Ростов, эскадронный командир, а я ваш покорный слуга.
– Бе…се…е…ду…шка! – распевал пьяный мужик, счастливо улыбаясь и глядя на Ильина, разговаривающего с девушкой. Вслед за Дуняшей подошел к Ростову Алпатыч, еще издали сняв свою шляпу.
– Осмелюсь обеспокоить, ваше благородие, – сказал он с почтительностью, но с относительным пренебрежением к юности этого офицера и заложив руку за пазуху. – Моя госпожа, дочь скончавшегося сего пятнадцатого числа генерал аншефа князя Николая Андреевича Болконского, находясь в затруднении по случаю невежества этих лиц, – он указал на мужиков, – просит вас пожаловать… не угодно ли будет, – с грустной улыбкой сказал Алпатыч, – отъехать несколько, а то не так удобно при… – Алпатыч указал на двух мужиков, которые сзади так и носились около него, как слепни около лошади.
– А!.. Алпатыч… А? Яков Алпатыч!.. Важно! прости ради Христа. Важно! А?.. – говорили мужики, радостно улыбаясь ему. Ростов посмотрел на пьяных стариков и улыбнулся.
– Или, может, это утешает ваше сиятельство? – сказал Яков Алпатыч с степенным видом, не заложенной за пазуху рукой указывая на стариков.
– Нет, тут утешенья мало, – сказал Ростов и отъехал. – В чем дело? – спросил он.
– Осмелюсь доложить вашему сиятельству, что грубый народ здешний не желает выпустить госпожу из имения и угрожает отпречь лошадей, так что с утра все уложено и ее сиятельство не могут выехать.
– Не может быть! – вскрикнул Ростов.
– Имею честь докладывать вам сущую правду, – повторил Алпатыч.
Ростов слез с лошади и, передав ее вестовому, пошел с Алпатычем к дому, расспрашивая его о подробностях дела. Действительно, вчерашнее предложение княжны мужикам хлеба, ее объяснение с Дроном и с сходкою так испортили дело, что Дрон окончательно сдал ключи, присоединился к мужикам и не являлся по требованию Алпатыча и что поутру, когда княжна велела закладывать, чтобы ехать, мужики вышли большой толпой к амбару и выслали сказать, что они не выпустят княжны из деревни, что есть приказ, чтобы не вывозиться, и они выпрягут лошадей. Алпатыч выходил к ним, усовещивая их, но ему отвечали (больше всех говорил Карп; Дрон не показывался из толпы), что княжну нельзя выпустить, что на то приказ есть; а что пускай княжна остается, и они по старому будут служить ей и во всем повиноваться.
В ту минуту, когда Ростов и Ильин проскакали по дороге, княжна Марья, несмотря на отговариванье Алпатыча, няни и девушек, велела закладывать и хотела ехать; но, увидав проскакавших кавалеристов, их приняли за французов, кучера разбежались, и в доме поднялся плач женщин.
– Батюшка! отец родной! бог тебя послал, – говорили умиленные голоса, в то время как Ростов проходил через переднюю.
Княжна Марья, потерянная и бессильная, сидела в зале, в то время как к ней ввели Ростова. Она не понимала, кто он, и зачем он, и что с нею будет. Увидав его русское лицо и по входу его и первым сказанным словам признав его за человека своего круга, она взглянула на него своим глубоким и лучистым взглядом и начала говорить обрывавшимся и дрожавшим от волнения голосом. Ростову тотчас же представилось что то романическое в этой встрече. «Беззащитная, убитая горем девушка, одна, оставленная на произвол грубых, бунтующих мужиков! И какая то странная судьба натолкнула меня сюда! – думал Ростов, слушяя ее и глядя на нее. – И какая кротость, благородство в ее чертах и в выражении! – думал он, слушая ее робкий рассказ.
Когда она заговорила о том, что все это случилось на другой день после похорон отца, ее голос задрожал. Она отвернулась и потом, как бы боясь, чтобы Ростов не принял ее слова за желание разжалобить его, вопросительно испуганно взглянула на него. У Ростова слезы стояли в глазах. Княжна Марья заметила это и благодарно посмотрела на Ростова тем своим лучистым взглядом, который заставлял забывать некрасивость ее лица.
– Не могу выразить, княжна, как я счастлив тем, что я случайно заехал сюда и буду в состоянии показать вам свою готовность, – сказал Ростов, вставая. – Извольте ехать, и я отвечаю вам своей честью, что ни один человек не посмеет сделать вам неприятность, ежели вы мне только позволите конвоировать вас, – и, почтительно поклонившись, как кланяются дамам царской крови, он направился к двери.
Почтительностью своего тона Ростов как будто показывал, что, несмотря на то, что он за счастье бы счел свое знакомство с нею, он не хотел пользоваться случаем ее несчастия для сближения с нею.
Княжна Марья поняла и оценила этот тон.
– Я очень, очень благодарна вам, – сказала ему княжна по французски, – но надеюсь, что все это было только недоразуменье и что никто не виноват в том. – Княжна вдруг заплакала. – Извините меня, – сказала она.
Ростов, нахмурившись, еще раз низко поклонился и вышел из комнаты.

– Ну что, мила? Нет, брат, розовая моя прелесть, и Дуняшей зовут… – Но, взглянув на лицо Ростова, Ильин замолк. Он видел, что его герой и командир находился совсем в другом строе мыслей.
Ростов злобно оглянулся на Ильина и, не отвечая ему, быстрыми шагами направился к деревне.
– Я им покажу, я им задам, разбойникам! – говорил он про себя.
Алпатыч плывущим шагом, чтобы только не бежать, рысью едва догнал Ростова.
– Какое решение изволили принять? – сказал он, догнав его.
Ростов остановился и, сжав кулаки, вдруг грозно подвинулся на Алпатыча.
– Решенье? Какое решенье? Старый хрыч! – крикнул он на него. – Ты чего смотрел? А? Мужики бунтуют, а ты не умеешь справиться? Ты сам изменник. Знаю я вас, шкуру спущу со всех… – И, как будто боясь растратить понапрасну запас своей горячности, он оставил Алпатыча и быстро пошел вперед. Алпатыч, подавив чувство оскорбления, плывущим шагом поспевал за Ростовым и продолжал сообщать ему свои соображения. Он говорил, что мужики находились в закоснелости, что в настоящую минуту было неблагоразумно противуборствовать им, не имея военной команды, что не лучше ли бы было послать прежде за командой.
– Я им дам воинскую команду… Я их попротивоборствую, – бессмысленно приговаривал Николай, задыхаясь от неразумной животной злобы и потребности излить эту злобу. Не соображая того, что будет делать, бессознательно, быстрым, решительным шагом он подвигался к толпе. И чем ближе он подвигался к ней, тем больше чувствовал Алпатыч, что неблагоразумный поступок его может произвести хорошие результаты. То же чувствовали и мужики толпы, глядя на его быструю и твердую походку и решительное, нахмуренное лицо.
После того как гусары въехали в деревню и Ростов прошел к княжне, в толпе произошло замешательство и раздор. Некоторые мужики стали говорить, что эти приехавшие были русские и как бы они не обиделись тем, что не выпускают барышню. Дрон был того же мнения; но как только он выразил его, так Карп и другие мужики напали на бывшего старосту.
– Ты мир то поедом ел сколько годов? – кричал на него Карп. – Тебе все одно! Ты кубышку выроешь, увезешь, тебе что, разори наши дома али нет?
– Сказано, порядок чтоб был, не езди никто из домов, чтобы ни синь пороха не вывозить, – вот она и вся! – кричал другой.
– Очередь на твоего сына была, а ты небось гладуха своего пожалел, – вдруг быстро заговорил маленький старичок, нападая на Дрона, – а моего Ваньку забрил. Эх, умирать будем!
– То то умирать будем!
– Я от миру не отказчик, – говорил Дрон.
– То то не отказчик, брюхо отрастил!..
Два длинные мужика говорили свое. Как только Ростов, сопутствуемый Ильиным, Лаврушкой и Алпатычем, подошел к толпе, Карп, заложив пальцы за кушак, слегка улыбаясь, вышел вперед. Дрон, напротив, зашел в задние ряды, и толпа сдвинулась плотнее.
– Эй! кто у вас староста тут? – крикнул Ростов, быстрым шагом подойдя к толпе.
– Староста то? На что вам?.. – спросил Карп. Но не успел он договорить, как шапка слетела с него и голова мотнулась набок от сильного удара.
– Шапки долой, изменники! – крикнул полнокровный голос Ростова. – Где староста? – неистовым голосом кричал он.
– Старосту, старосту кличет… Дрон Захарыч, вас, – послышались кое где торопливо покорные голоса, и шапки стали сниматься с голов.
– Нам бунтовать нельзя, мы порядки блюдем, – проговорил Карп, и несколько голосов сзади в то же мгновенье заговорили вдруг:
– Как старички пороптали, много вас начальства…
– Разговаривать?.. Бунт!.. Разбойники! Изменники! – бессмысленно, не своим голосом завопил Ростов, хватая за юрот Карпа. – Вяжи его, вяжи! – кричал он, хотя некому было вязать его, кроме Лаврушки и Алпатыча.
Лаврушка, однако, подбежал к Карпу и схватил его сзади за руки.
– Прикажете наших из под горы кликнуть? – крикнул он.
Алпатыч обратился к мужикам, вызывая двоих по именам, чтобы вязать Карпа. Мужики покорно вышли из толпы и стали распоясываться.
– Староста где? – кричал Ростов.
Дрон, с нахмуренным и бледным лицом, вышел из толпы.
– Ты староста? Вязать, Лаврушка! – кричал Ростов, как будто и это приказание не могло встретить препятствий. И действительно, еще два мужика стали вязать Дрона, который, как бы помогая им, снял с себя кушан и подал им.
– А вы все слушайте меня, – Ростов обратился к мужикам: – Сейчас марш по домам, и чтобы голоса вашего я не слыхал.
– Что ж, мы никакой обиды не делали. Мы только, значит, по глупости. Только вздор наделали… Я же сказывал, что непорядки, – послышались голоса, упрекавшие друг друга.
– Вот я же вам говорил, – сказал Алпатыч, вступая в свои права. – Нехорошо, ребята!
– Глупость наша, Яков Алпатыч, – отвечали голоса, и толпа тотчас же стала расходиться и рассыпаться по деревне.
Связанных двух мужиков повели на барский двор. Два пьяные мужика шли за ними.
– Эх, посмотрю я на тебя! – говорил один из них, обращаясь к Карпу.
– Разве можно так с господами говорить? Ты думал что?
– Дурак, – подтверждал другой, – право, дурак!
Через два часа подводы стояли на дворе богучаровского дома. Мужики оживленно выносили и укладывали на подводы господские вещи, и Дрон, по желанию княжны Марьи выпущенный из рундука, куда его заперли, стоя на дворе, распоряжался мужиками.
– Ты ее так дурно не клади, – говорил один из мужиков, высокий человек с круглым улыбающимся лицом, принимая из рук горничной шкатулку. – Она ведь тоже денег стоит. Что же ты ее так то вот бросишь или пол веревку – а она потрется. Я так не люблю. А чтоб все честно, по закону было. Вот так то под рогожку, да сенцом прикрой, вот и важно. Любо!
– Ишь книг то, книг, – сказал другой мужик, выносивший библиотечные шкафы князя Андрея. – Ты не цепляй! А грузно, ребята, книги здоровые!
– Да, писали, не гуляли! – значительно подмигнув, сказал высокий круглолицый мужик, указывая на толстые лексиконы, лежавшие сверху.

Ростов, не желая навязывать свое знакомство княжне, не пошел к ней, а остался в деревне, ожидая ее выезда. Дождавшись выезда экипажей княжны Марьи из дома, Ростов сел верхом и до пути, занятого нашими войсками, в двенадцати верстах от Богучарова, верхом провожал ее. В Янкове, на постоялом дворе, он простился с нею почтительно, в первый раз позволив себе поцеловать ее руку.
– Как вам не совестно, – краснея, отвечал он княжне Марье на выражение благодарности за ее спасенье (как она называла его поступок), – каждый становой сделал бы то же. Если бы нам только приходилось воевать с мужиками, мы бы не допустили так далеко неприятеля, – говорил он, стыдясь чего то и стараясь переменить разговор. – Я счастлив только, что имел случай познакомиться с вами. Прощайте, княжна, желаю вам счастия и утешения и желаю встретиться с вами при более счастливых условиях. Ежели вы не хотите заставить краснеть меня, пожалуйста, не благодарите.
Но княжна, если не благодарила более словами, благодарила его всем выражением своего сиявшего благодарностью и нежностью лица. Она не могла верить ему, что ей не за что благодарить его. Напротив, для нее несомненно было то, что ежели бы его не было, то она, наверное, должна была бы погибнуть и от бунтовщиков и от французов; что он, для того чтобы спасти ее, подвергал себя самым очевидным и страшным опасностям; и еще несомненнее было то, что он был человек с высокой и благородной душой, который умел понять ее положение и горе. Его добрые и честные глаза с выступившими на них слезами, в то время как она сама, заплакав, говорила с ним о своей потере, не выходили из ее воображения.

wiki-org.ru

Факториал простыми словами

Факториал: определение из Википедии

Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

n
!
=
1
⋅
2
⋅
…
⋅
n
=

∏

i
=
1

i
.

{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i.}

Например:

5
!
=
1
⋅
2
⋅
3
⋅
4
⋅
5
=
120

{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}
.
По договорённости:

0
!
=
1

{\displaystyle 0!=1}
. Также это равенство выполняется естественным образом:

0
!
=

(
n
−
1
)
!

n
=
1

n
!

n
=
1

1
!

=
1

{\displaystyle 0!={\Bigl .}(n-1)!{\Bigr |}_{n=1}={\Bigl .}{\frac {n!}{n}}{\Bigr |}_{n=1}={\frac {1!}{1}}=1}

Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:
1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, …
Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция

{\displaystyle e^{e^{n}}}
).

Факториал: определение из словаря Ефремовой

м.
Произведение чисел натурального ряда от единицы до некоторого данного числа (в
математике).

На текущей странице дано определение слова факториал простым языком. Надеемся, что после прочтения этого объяснения простыми словами, у вас больше не осталось вопросов, что такое факториал.

wikisimple.ru

Факториал Википедия

n!=1⋅2⋅…⋅n=∏k=1nk{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k}.

Например,

5!=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120{\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}.

0!=1{\displaystyle 0!=1}.

Факториалы всех чисел составляют последовательность A000142 в OEIS; значения в научной нотации округляются
n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	≈1,551121004⋅10²⁵
50	≈3,041409320⋅10⁶⁴
70	≈1,197857167⋅10¹⁰⁰
100	≈9,332621544⋅10¹⁵⁷
450	≈1,733368733⋅10¹⁰⁰⁰
1000	≈4,023872601⋅10²⁵⁶⁷
3249	≈6,412337688⋅10¹⁰⁰⁰⁰
10000	≈2,846259681⋅10³⁵⁶⁵⁹
25206	≈1,205703438⋅10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	≈2,824229408⋅10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	≈2,503898932⋅10^1000004
1000000	≈8,263931688⋅10^5565708
10¹⁰⁰	≈10^{9,956570552⋅10¹⁰¹}
10¹⁰⁰⁰	≈10^10¹⁰⁰³
10^10 000	≈10^{10^10 004}
10^100 000	≈10^{10^100 005}
10^10¹⁰⁰	≈10^{10^10¹⁰⁰}

Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе,

ru-wiki.ru

Транспортная задача решение – Транспортная задача. Методы решения

alexxlab / 20.04.201908.06.2019 / Школьная жизнь

Решение транспортной задачи распределительным методом на примерах

Если запасы груза равны суммарным потребностям, то транспортная задача называется замкнутой. Если же существует профицит (запасы превышают потребности) или дефицит (запасы меньше потребностей) груза, то транспортная задача называется открытой.

Пример 1. Решить транспортную задачу распределительным методом, составив первоначальный план перевозок по правилу минимального элемента.

Из трёх пунктов отправления нужно отправить груз в четыре пункта потребления.

В пункте A1 в наличии 40 единиц груза, в пункте A2 — 60 единиц, в пункте A3 — 100. Пункту потребления B1 требуются 35 единиц груза, пункту B2 — 35, пункту B3 — 80, пункту B4 — 50.

Решение. Строим таблицу, в которой в последний столбец записываем количества грузов в пунктах отправления, а в последнюю строку — количества грузов, которые требуются в пунктах потребления. В клетки пересечения пункта отправления Ai и пункта потребления Bj записываем затраты в условных единицах на перевозку груза из соответствующего пункта отправления в соответствующий пункт потребления. Получилась следующая таблица:

Таблица 1. Условие транспортной задачи в примере 1

Пункт отправления	Пункт назначения				Запас груза
Пункт отправления	B1	B2	B3	B4	Запас груза
A1	2	5	6	4	40
A2	2	4	5	2	60
A3	2	3	4	1	100
Потребность в грузе	35	35	80	50

Строим первоначальный план перевозок, применяя правило минимального элемента

Из всех клеток таблицы выбираем клетку с минимальной стоимостью перевозок. Это клетка A3B4. Ей соответствует стоимость c34 = 1. Это клетка, соответствующая пункту отправления A3 и пункту потребления B4. Запас груза в пункте A3 равен 100 единицам, а потребность в грузе в пункте B4 — 50 единицам.

Удовлетворим потребность пункта B4 за счёт пункта A3: впишем в правый нижний угол клетки A3B4 число 50, а стоимость, равную 1, возьмём в кружок.

Теперь по правилу минимального элемента следующую клетку с минимальным элементом следует искать или в столбце, или в строке, в которой находится пройденная клетка A3B4. В нашем случае в пункте отправления A3 осталилось неизрасходовано 50 единиц груза. Поэтому следующую клетку с минимальной стоимстью ищем в строке, соответствующей пункту отправления A3. Это клетка A3B1 с минимальной стоимостью c31 = 2. Пункту потребления B1 требуются 35 единиц груза. Удовлетворим потребность пункта B1 за счёт пункта A3: впишем в правый нижний угол клетки A3B1 число 35, а стоимость 2 возьмём в кружок.

Далее следует двигаться или по столбцу, или по строке, в которой находится кретка A3B1. В пункте отправления A3 осталось неизрасходовано 15 единиц груза. Поэтому вновь движемся по строке и находим клетку A3B2 с минимальной стоимостью c32 = 3. Оставшиеся в пункте A3 15 единиц груза отправляем в пункт потребления B2, в правый нижний угол клетки A3B2 впишем число 15, а стоимсть 3 возьмём в кружок.

Вновь нам предстоит двигаться или по столбцу, или по строке, в которой находится пройденная клетка. В пройденной клетке A3B2 запасы груза в пункте отправления A3 были израсходованы, поэтому дальше двигаемся уже по столбцу. Приходим на строку, соответствующую пункту отправления A2, в клетку A2B2, с минимальной в данном столбце стоимостью перевозок c22 = 4. У пункта потребления B2 остались неудовлетворённые потребности в 20 единицах груза. Удовлетворим эти потребности за счёт пункта отправления A2: в правый нижний угол клетки A2B2 вписываем число 20, а стоимость 4 возьмём в кружок.

Как двигаться дальше — по строке или по столбцу? Угадайте с одного раза! Правильно, по строке, потому что в пункте отправления A2 остались неизрасходованы 40 единиц груза. Попадаем в клетку A2B3. Куда направим оставшиеся 40 единиц груза? Потребности пунктов потребления B1, B2 и B4 уже удовлетворены, поэтому 40 единиц груза, требующиеся пункту потребления B3, направим в этот пункт, в правый нижний угол клетки A2B3 вписываем число 40, а стоимость 5 берём в кружок.

Таблица 2. Первоначальный план перевозок в примере 1

Все запасы груза, находившиеся в пункте отправления A2, израсходованы, поэтому дальше двигаемся по столбцу и попадаем в клетку A1B3, соответствующую пункту отправления A1. Запасы груза в этом пункте составляют 40 единиц, а неудовлетворённые потребности в грузе в пункте потребления B3 — также 40 единиц. Удовлетворим потребности пункта B3 за счёт пункта A1, впишем в правый нижний угол клетки A1B3 число 40, а стоимость перевозки 6 возьмём в кружок.

На этом потребности в грузе во всех пунктах потребления удовлетворены, а запасы груза во всех пунктах отправления израсходованы.

Найдём значение линейной формы, соответствующей первоначальному плану перевозок:

z(x1) = 6⋅40 + 4⋅20 + 5⋅40 + 2⋅35 + 3⋅15 + 1⋅50 = 685.

Клетки таблицы, содержащие кружочки, будем называть «занятыми местами», а клетки, не содержащие кружочков — «свободными местами». Первоначальный план перевозок составлен. Но мы ещё не решили всю транспортную задачу!

Оценка «свободных мест» и оптимальности плана перевозок

Следующий этап решения транспортной задачи после составления плана перевозок — исследование этого плана на минимум. Для этого исследуются знаки «свободных мест». Если во всех «свободных местах» имеются знаки «плюс», то транспортная задача решена, то есть план перевозок по стоимости является минимальным. Если же хотя бы одно из «свободных мест» имеет знак «минус», то план не даёт мимимума стоимости и его нужно улучшить.

Знаки «свободных мест» определяются следующим образом: начиная с любого «свободного места», двигаемся по ломаной линии, шагая только по «занятым местам». После каждого кружочка поворот делается только под прямым углом. Затем двигаемся до второго кружочка (не обязательно соседнего) и опять поворачиваем под прямым углом.

Таким образом, на пути по строке или столбцу в строке или столбце не могут встретиться больше двух кружков. Такое движение продолжается до тех пор, пока поворот от последнего кружочка не приведёт к исходному пункту, то есть исходному «свободному месту». Каждое движение должно быть или вертикальным, или горизонтальным, то есть перемещение по диагонали не допускается. Идя от исходной точки, то есть «свободного места», не обязательно брать первый встретившийся на пути кружок. Иногда можно пропустить один или несколько кружков, если через них невозможно кратчайшим путём вернуться к исходной точке. Путь, пройденный по вышеизложенным правилам, называется циклом.

Составим цикл для свободного места A1B1. В первой клетке, то есть A1B1, в правом верхнем углу ставим знак «плюс» (и так делаем всегда в начальной клетке цикла). Идём к «занятому месту» — к клетке A1B3, в правом верхнем углу которой ставим знак «минус». Далее знаки чередуются по правилу: у нечётных вершин цикла — знак «плюс», у чётных — «минус».

Получаем следующий цикл:

A1B1 → A1B3 → A2B3 → A2B2 → A3B2 → A3B1.

Значение «свободного места» получаем так: составляем ряд из стоимостей перевозки в каждой клетке цикла, взятых со знаком «плюс» или «минус», в зависимости от того, какой знак поставлен в правом верхнем углу соответствующей клетки. По этому правилу получаем оценку свободного места A1B1:

Δ11 = 2 − 6 + 5 − 4 + 3 − 2 = −2.

Точно так же составляем циклы для «свободных мест» A1B2, A1B4, A2B1, A2B4, A3B3 и вычисляем их оценки:

Δ12 = 5 − 6 + 5 − 4 = 0,

Δ14 = 4 − 1 + 3 − 4 + 5 − 6 = 1,

Δ21 = 2 − 4 + 3 − 2 = −1,

Δ24 = 2 − 1 + 3 − 4 = 0,

Δ33 = 4 − 3 + 4 − 5 = 0.

Так как оценки Δ11 и Δ21 отрицательны, первоначальный план перевозок — не оптимальный и его нужно улучшить. Таким образом, решение транспортной задачи ещё не получено.

Улучшение плана перевозок

Среди оценок «свободных мест» две отрицательные: Δ11 = −2 и Δ21 = −1. Выберем наименьшее из этих отрицательных значений: Δ11 = −2. Вдоль цикла для соответствующего ему «свободного места» A1B1 выбираем наименьшее из чисел в кружочке, отмеченных знаком «минус». Это число 20, обозначим его буквой θ («тэта»):

θ = min{40, 20, 35} = 20.

Смотрим в первоначальный план перевозок. Найденное число «тэта» прибавляется ко всем «кружочкам» в клетках с положительными знаками и вычитается из всех «кружочков» в клетках с отрицательными знаками, включая само наименьшее число.

Таким образом, получаем перенаправление единиц груза для нового плана перевозок:

x’11 = x11 + θ = 0 + 20 = 20,

x’23 = x23 + θ = 40 + 20 = 60,

x’32 = x32 + θ = 15 + 20 = 35,

x’13 = x13 − θ = 40 − 20 = 20,

x’31 = x31 − θ = 35 − 20 = 15,

x’34 = x34 = 50.

Так как x’22 = x22 − θ = 20 − 20 = 0, то в новой таблице клетка A2B2 становится «свободным местом». Значение в клетке A3B4 остаётся прежним: x’34 = x34 = 50, так как эта клетка не входит в цикл.

Таблица 3. Второй план перевозок в примере 1

Значение линейной формы для нового плана перевозок вычисляется следующим образом. Вычисляется «экономия»: наименьшее число «тэта» умножается на число, стоящее в кружочке в соответствующей клетке. Получается отрицательное число, так как «тэта» — отрицательное число. К значению линейной формы предыдущего плана прибавляется «экономия», то есть отрицательное число (фактически вычитается «экономия», если удобнее смотреть на неё «экономически», то есть считать положительным числом).

Вычислим значение линейной формы для плана перевозок x2:

z(x2) = z(x1) + θ⋅Δ21 = 685 + 20⋅(−2) = 645.

Для новой таблицы, как уже было показано, составляем циклы от «свободных мест» и вычисляем оценки «свободных мест»:

Δ12 = 5 − 3 + 2 − 2 = 2,

Δ14 = 4 − 1 + 2 − 2 = 3,

Δ21 = 2 − 2 + 6 − 5 = 1,

Δ22 = 4 − 3 + 2 − 2 + 6 − 5 = 2,

Δ24 = 2 − 1 + 2 − 2 + 6 − 5 = 2,

Δ33 = 4 − 2 + 2 − 6 = −2.

Среди оценок свободных мест — одна отрицательная: Δ33 = −2, поэтому план x2 — не оптимальный.

Рассмотрим цикл, соответствующий «свободному месту» с отрицательной оценкой:

A3B3 → A3B1 → A1B1 → A1B3.

Точно так же, как было сделано в случае первоначального плана, вдоль этого цикла выбираем наименьшее из чисел в кружочке, отмеченных знаком «минус». Это число 15:

θ = min{15, 20} = 15.

Это число прибавляем ко всем «кружочкам» в клетках с положительными знаками и вычитаем из всех «кружочков» в клетках с отрицательными знаками и получаем перенаправление единиц груза для нового плана перевозок:

x’11 = x11 + θ = 20 + 15 = 35,

x’33 = x33 + θ = 0 + 15 = 15,

x’13 = x13 − θ = 20 − 15 = 5,

x’31 = x13 − θ = 15 − 15 = 0.

Таблица 4. Третий план перевозок в примере 1

Вычислим значение линейной формы для плана перевозок x3:

z(x3) = z(x2) + θ⋅Δ33 = 645 + 15⋅(−2) = 615.

Составим циклы для «свободных мест» плана x3 и вычислим оценки:

Δ12 = 5 − 6 + 4 − 3 = 0,

Δ14 = 4 − 1 + 4 − 6 = 1,

Δ21 = 2 − 2 + 6 − 5 = 1,

Δ22 = 4 − 5 + 4 − 3 = 0,

Δ24 = 2 − 1 + 4 − 5 = 0,

Δ31 = 2 − 2 + 6 − 4 = 2.

Так как оценки всех «свободных мест» неотрицательны, план x3 — оптимальный, он даёт минимум линейной формы z = 615.

Так как оценки Δ12, Δ22 и Δ24 равны нулю, то эта транспортная задача имеет бесконечное множество оптимальных планов (решений).

Пример 2. Решить транспортную задачу распределительным методом, составив первоначальный план перевозок по правилу северо-западного угла.

Из трёх пунктов отправления нужно отправить груз в три пункта потребления.

В пункте A1 в наличии 20 единиц груза, в пункте A2 — 40 единиц, в пункте A3 — 40. Пункту потребления B1 требуются 20 единиц груза, пункту B2 — 20, пункту B3 — 60.

Строим таблицу, руководствуясь теми же соображениями, что в примере 1.

Таблица 5. Условие транспортной задачи в примере 2

Пункт отправления	Пункт назначения			Запас груза
Пункт отправления	B1	B2	B3	Запас груза
A1	3	4	3	20
A2	1	1	2	40
A3	1	5	4	40
Потребность в грузе	20	20	60

Применение правила северо-западного угла начинается с составления плана перевозок для первого пункта отправления (для A1), то есть с левого верхнего (северо-западного) угла таблицы. Далее, как и по правилу минимального элемента, нужно двигаться вперёд по строке или столбцу, в которых находится пройденная клетка, но, в отличие от правила минимального элемента, не требуется искать в этих строке или столбце минимальный элемент (клетку с минимальной стоимостью), а можно двигаться последовательно от соседнего элемента к соседнего до тех пор, пока все запасы груза в пунктах отправления не будут распределены по всем пунктам потребления.

Если при применении правила северо-западного угла на каком-либо шаге, кроме последнего, окажется, что все имеющиеся запасы груза в одном соответствующем пункте отправления передаются одному пункту потребления (потребности одного пункта потребления удовлетворены за один шаг за счёт одного пункта отправления), то транспортная задача имеет вырожденный (сингулярный) план перевозок. В этом случае в соседнюю клетку — вправо или вниз — от пройденной следует вписать нуль. Рекомендуется вписывать нуль в ту соседнюю клетку, которой соответствуют меньшие транспортные расходы.

Итак, начинаем движение с клетки A1B1. Запас груза в пункте отправления A1 равен 20. Потребность в грузе в пункте потребления B1 составляет также 20. Удовлетворяем потребность пункта потребления B1 за счёт пункта отправления A1 и в правый нижний угол клетки A1B1 вписываем 20. Видим, что мы получаем вырожденный (сингулярный) план перевозок. Поэтому в правый нижний угол соседней клетки с меньшими транспортными расходами (A2B1) вписываем нуль.

Далее, соответственно правилу северо-западного угла, движемся по клеткам A2B2, A2B3, A3B3 и получаем план перевозок x1.

Таблица 6. Первый план перевозок в примере 2

Значение линейной формы плана x1:

z(x1) = 3⋅20 + 1⋅20 + 2⋅40 + 4⋅40 = 280.

Знаки «свободных мест» (для установления оптимальности плана) определяются точно так же, как и в случае применения правила минимального элемента (пример 1) — составляются циклы для каждого «свободного места». В нашем случае получаем следующие циклы:

A1B2 → A2B2 → A2B1 → A1B1,

A1B3 → A2B3 → A2B1 → A1B1,

A3B1 → A2B1 → A2B3 → A3B3,

A3B2 → A2B2 → A2B3 → A3B3.

Вычисляем оценки «свободных мест»:

Δ12 = 4 − 1 + 1 − 3 = 1,

Δ13 = 3 − 2 + 1 − 3 = −1,

Δ31 = 1 − 1 + 2 − 4 = −2,

Δ32 = 5 − 1 + 2 − 4 = 2.

Так как два свободных места имеют отрицательные оценки, план x1 — не оптимальный и его нужно улучшить. Решение транспортной задачи ещё не получено.

Выбираем «свободную» клетку A3B1, у которой минимальная отрицательная оценка: Δ31 = −2. Вдоль цикла, соответствующего этой клетке, выбираем наименьшее из чисел в кружочке, отмеченное знаком минус:

θ = min{0, 40} = 0.

В результате перенаправления грузов клетка A2B1 становится «свободным местом» в плане перевозок x2, а «свободное место» A3B1 становится «занятым местом», которому соответствует количество груза 0 единиц.

Таблица 7. Второй план перевозок в примере 2

Вычисляем значение линейной формы для плана x2:

z(x2) = z(x1) + θ⋅Δ31 = 280 + 0⋅(−2) = 280.

Для плана x2 вычисляем оценки «свободных мест»:

Δ12 = 4 − 1 + 2 − 4 + 1 − 3 = −1,

Δ13 = 3 − 4 + 1 − 3 = −3,

Δ21 = 1 − 2 + 4 − 1 = 2,

Δ32 = 5 − 1 + 2 − 4 = 2.

Среди оценок свободных мест две — отрицательные, поэтому план перевозок необходимо улучшить. В следующем плане перевозок «свободное место» A1B3 становится «занятым местом», так как его оценка Δ13 = −3 — наибольшая по модулю отрицательная оценка.

Вдоль цикла, соответствующего этой клетке, выбираем наименьшее из чисел в кружочке, отмеченное знаком минус:

θ = min{40, 20} = 20.

Таблица, соответствующая плану перевозок x3, будет следующей:

Таблица 8. Третий план перевозок в примере 2

Находим значение линейной формы для плана x3:

z(x3) = z(x2) + θ⋅Δ13 = 280 + 20⋅(−3) = 220.

Вычисляем оценки «свободных мест»:

Δ11 = 3 − 3 + 4 − 1 = 3,

Δ12 = 4 − 3 + 2 − 1 = 2,

Δ21 = 1 − 2 + 4 − 1 = 2,

Δ32 = 5 − 1 + 2 − 4 = 2.

Окончательное решение данной транспортной задачи получено. Поскольку все оценки «свободных мест» — неотрицательные, план x3 является оптимальным планом и ему соответствует минимум линейной формы z = 220.

Резюмируя выполненные выше решения, сформулируем алгоритм решения транспортной задачи распределительным методом (поиска оптимального плана транспортной задачи).

Эти шаги следует повторять до тех пор, пока оценки всех «свободных мест» не станут положительными.

Если в ходе решения транспортной задачи появились вырожденные (сингулярные) планы, то возможно, что число «тэта» равно нулю. Тогда на соответствующей итерации решения значение линейной формы не меняется (что и было показано в примере 2).

Продолжение темы «Линейное программирование»

function-x.ru

Транспортная задача — решение методом потенциалов

Одна из самых распространенных и востребованных оптимизационных задач в логистике – транспортная задача. В классическом виде она предполагает нахождение оптимального (т.е. сопряженного с минимальными затратами) плана грузоперевозок.

Например, у нас есть сеть розничных магазинов, которым требуется определенное количество товаров. Также имеется ряд складов поставщиков, где требуемые товары хранятся. При этом на каждом складе различный объем запасов этих товаров. Кроме этого нам известны тарифы – затраты на перевозку 1 товара от каждого склада к каждому магазину.

Возникает необходимость разработать такой план перевозок, чтобы магазины получили требуемое количество товаров с наименьшими затратами на транспортировку. Вот именно в таких случаях (и во множестве других) приходится решать транспортную задачу.

Теоретический материал по транспортной задаче

Транспортная задача (задача Монжа — Канторовича) — математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.

Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления (например, складов) в пункты потребления (например, магазины), с минимальными общими затратами на перевозки.

Математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид:

где: Z — затраты на перевозку грузов;
X — объем груза;
C — стоимость (тариф) перевозки единицы груза;
A — запас поставщика;
B — запрос потребителя;
m — число поставщиков;
n — число потребителей.

Общий план решения транспортной задачи методом потенциалов

Решить транспортную задачу можно различными методами, начиная от симплекс-метода и простого перебора, и заканчивая методом графов. Один из наиболее применяемых и подходящих для большинства случаев методов – итерационное улучшение плана перевозок.

Суть его в следующем: находим некий опорный план и проверяем его на оптимальность (Z → min). Если план оптимален – решение найдено. Если нет – улучшает план столько раз, сколько потребуется, пока не будет найден оптимальный план.

Ниже приведен алгоритм решения транспортной задачи в самом общем виде:

Построение транспортной таблицы.
Проверка задачи на закрытость.
Составление опорного плана.
Проверка опорного плана на вырожденность.
Вычисление потенциалов для плана перевозки.
Проверка опорного плана на оптимальность.
Перераспределение поставок.
Если оптимальное решение найдено, переходим к п. 9, если нет – к п. 5.
Вычисление общих затрат на перевозку груза.
Построение графа перевозок.

Подробная инструкция по решению транспортной задачи

1. Построение транспортной таблицы

Строим таблицу, где указываем запасы материалов, имеющиеся на складах поставщиков (Ai), и потребности заводов (Bj) в этих материалах.

В нижний правый угол ячеек таблицы заносим значение тарифов на перевозку груза (Cij).

2. Проверка задачи на закрытость

Обозначим суммарный запас груза у всех поставщиков символом A, а суммарную потребность в грузе у всех потребителей – символом B.

Тогда:

Транспортная задача называется закрытой, если A = B . Если же A ≠ B , то транспортная задача называется открытой. В случае закрытой задачи от поставщиков будут вывезены все запасы груза, и все заявки потребителей будут удовлетворены. В случае открытой задачи для ее решения придется вводить фиктивных поставщиков или потребителей.

Проверим задачу на закрытость:

A = 10 + 20 + 30 = 60

B = 15 + 20 + 25 = 60

A = B, следовательно данная транспортная задача – закрытая.

3. Составление опорного плана

Составляет предварительный (опорный) план перевозок. Он не обязательно должен быть оптимальный. Это просто своеобразный «черновик», «набросок», улучшая который мы постепенно придем к плану оптимальному.

Есть разные методы нахождения опорного плана. Наиболее распространены следующие:

а) Метод Северо-Западного угла. Показать

Суть метода проста — ячейки транспортной таблицы последовательно заполняются максимально возможными объемами перевозок, в направлении сверху вниз и слева направо. То есть сперва заполняется самая верхняя левая ячейка («северо-западная» ячейка), потом следующая справа и т.д. Затем переходят на новую строку и вновь заполняют ее слева направо. И так пока таблица не будет заполнена полностью.

Подробное описание метода и пример можно посмотреть здесь.

б) Метод минимального элемента. Показать

Метод заключается в том, что для заполнения ячеек транспортной таблицы выбирается клетка с минимальным значением тарифа. Затем выбирается следующая клетка с наименьшим тарифом и так продолжается до тех пор, пока таблица не будет заполнена (все запасы и потребности при этом обнулятся).
Подробное описание метода и пример можно посмотреть здесь

в) Аппроксимация Фогеля. Показать

Основа метода в нахождении разности (по модулю) между парой минимальных тарифов в каждой строке и столбце. Затем в строке или столбце с наибольшей разностью заполняется клетка с наименьшим тарифом. Затем все эти действия повторяются заново, только при этом уже не учитываются заполненные клетки.
Подробное описание аппроксимации Фогеля и пример можно посмотреть онлайн

г) Метод двойного предпочтения. Показать

Суть метода в том, что отмечаются клетки с наименьшим тарифом по строкам, а затем по столбцам. Затем ячейки заполняются в следующей очередности: сначала клетки с двумя отметками, потом с одной, наконец без отметок.
Подробное описание метода и пример можно посмотреть здесь

4. Проверка опорного плана на вырожденность

Клетки таблицы, в которые записаны отличные от нуля перевозки, называются базисными, а остальные (пустые) — свободными.

План называется вырожденным, если количество базисных клеток в нем меньше, чем m + n -1. Если во время решения задачи получился вырожденный план, то его необходимо пополнить, проставив в недостающем числе клеток нулевую перевозку и превратив, тем самым, эти клетки в базисные (общий баланс и суммарная стоимость перевозок плана при этом не изменятся). Однако проводить пополнение плана, выбирая клетки произвольно, нельзя. План должен быть ациклическим!

План называется ациклическим, если его базисные клетки не содержат циклов. Циклом в транспортной таблице называется несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией так, чтобы две соседние вершины ломаной были расположены либо в одной строке, либо в одном столбце. Ниже приведен пример цикла:

Ломаная линия может иметь точки самопересечения, но не в клетках цикла.

Кол-во базисных клеток = 5

m + n – 1 = 3 + 3 – 1 = 5

Следовательно, первоначальный план перевозок – невырожденный.

5. Вычисление потенциалов для плана перевозки

Для анализа полученных планов и их последующего улучшения удобно ввести дополнительные характеристики пунктов отправления и назначения, называемые потенциалами.

Этот метод улучшения плана перевозок называется методом потенциалов. Есть другие методы итерационного улучшения плана перевозок, но здесь мы их рассматривать не будем.

Итак, сопоставим каждому поставщику Ai и каждому потребителю Bj величины Ui и Vj соответственно так, чтобы для всех базисных клеток плана было выполнено соотношение:

Ui + Vj = Cij

Добавим к транспортной таблице дополнительную строку и столбец для Ui и Vj.

Предположим, что U1 = 0.

Тогда мы сможем найти V3 = C13 – U1 = 1 – 0 = 1.

Зная V3, мы теперь можем найти U3:

По аналогии вычисляем все оставшиеся потенциалы:

6. Проверка плана на оптимальность методом потенциалов

Для каждой свободной клетки плана вычислим разности

ΔCij = Cij – (Ui + Vj )

и запишем полученные значения в левых нижних углах соответствующих ячеек.

План является оптимальным, если все разности ΔCij ≥ 0.

В данном случае план – неоптимальный (ΔC22 < 0), и его следует улучшить путем перераспределения поставок.

7. Перераспределение поставок

Найдем ячейку с наибольшей по абсолютной величине отрицательной разностью ΔCij и построим цикл, в котором кроме этой клетки все остальные являются базисными. Такой цикл всегда существует и единственен.

Отметим ячейку с отрицательной разностью ΔCij знаком «+», следующую знаком «-», и так далее, поочередно.

Затем находим минимальной значение груза в ячейках цикла имеющих знак «-» (здесь это 5) и вписываем его в свободную ячейку со знаком «+». Затем последовательно обходим все ячейки цикла, поочередно вычитая и прибавляя к ним минимальное значение (в соответствии со знаками, которыми эти ячейки помечены: где минус — вычитаем, где плюс — прибавляем).

Получим новый опорный план перевозок:

Так как базисных клеток стало больше, чем m + n – 1, то базисную клетку с нулевым значением делаем свободной:

Снова вычисляем значения потенциалов и разности ΔCij:

На этот раз все разности ΔCij ячеек положительные, следовательно, найдено оптимальное решение.

8. Если оптимальное решение найдено, переходим к п. 9, если нет – к п. 5.

У нас оптимальное решение найдено, поэтому переходим к пункту 9.

9. Вычисление общих затрат на перевозку груза

Вычислим общие затраты на перевозку груза (Z), соответствующие найденному нами оптимальному плану, по формуле:

Zmin = 10 ∙ 1 + 15 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 15 ∙ 1 + 15 ∙ 2 = 110 ден. ед.

Общие затраты на доставку всей продукции, для оптимального решения, составляют 110 ден. ед.

10. Построение графа перевозок

Найдя оптимальный план перевозок, построим граф. Вершинами графа будут «склады» и «магазины». В вершинах укажем соответствующие объемы запасов и потребностей. Дугам, соединяющим вершины графа, будут соответствовать ненулевые перевозки. Каждую такую дугу подпишем, указав объем перевозимого груза.

В результате получится граф, аналогичный изображенному ниже:

Все, транспортная задача решена. Поздравляю!

Практическое применение транспортной задачи

Транспортная задача применяется во многих случаях. Это оптимизация поставок сырья и материалов на производственные предприятия. Это оптимизация доставок товаров со складов в розничные магазины. Это оптимизация пассажирских перевозок, и много-многое другое.

Галяутдинов Р.Р.

galyautdinov.ru

Транспортная задача — пример и оформление

Пример. На три базы поступили ящики с заготовками деталей, которые необходимо доставить на четыре завода. Исходные данные представлены в нижеследующей транспортной таблице.

Таблица 10.3

Определите оптимальный план доставки заготовок на заводы с учетом минимизации совокупных транспортных затрат.

Решение

Обозначим искомые объемы поставок от i-ой базы-поставщика к j-му заводу-потребителю через .

Математическая модель данной задачи будет иметь вид:

I итерация:

1 этап: проверка сбалансированности запасов и потребностей.

Представленная транспортная задача является открытой, т.к. суммарная мощность баз-поставщиков меньше суммарной потребности заводов-потребителей на 200 ящиков:

,
,
.
Сведем данную транспортную задачу к закрытой: введем фиктивную базу А4 с недостающей мощностью а4 = 200 ящиков:

.
Зададим значения условных транспортных затрат на единицу груза от данной базы к заводам-потребителям равными нулю, результаты занесем в следующую таблицу.

Таблица 10.4

С учетом фиктивного поставщика математическая модель будет иметь вид:

2 этап: разработка исходного опорного плана.

Для отыскания исходного опорного плана воспользуемся методом минимальной стоимости. Согласно таблице поставок (таблица 10.4) минимальная стоимость соответствует клеткам строки фиктивного поставщика. Рассмотрим, к примеру, клетку «4-3». Объем поставок для данной пары поставщик-потребитель составит:

Запишем в клетку «4-3» объем поставок x43=200 (таблица 10.5). Запасы фиктивного поставщика исчерпаны (зачеркиваем остальные клетки данной строки, они в дальнейших рассмотрениях не участвуют).

Таблица 10.5

Из свободных клеток минимальная стоимость соответствует клеткам «1- 1» и «1-4» (cij=1), выберем, к примеру, клетку «1-4». Вписываем в данную клетку объем поставок x14=100 (таблица 10.6). Запасы первого поставщика исчерпаны (зачеркиваем остальные клетки данной строки, они в дальнейших рассмотрениях не участвуют).

Таблица 10.6

Следующая свободная клетка с наименьшей стоимостью поставок единицы груза – клетка «2-1» (c21=2). Объем поставок для данной пары поставщик-потребитель составит:

Запишем в клетку «2-1» объем поставок x21=100 (таблица 10.7). Потребность первого завода-потребителя полностью удовлетворена (зачеркиваем незадействованную клетку данной колонки – «3-1», она в дальнейших рассмотрениях не участвуют).

Таблица 10.7

Оставшиеся запасы второго поставщика целесообразно направить для удовлетворения потребностей второго завода-потребителя, так как стоимость доставки единицы груза здесь наименьшая (c 22=3). Вписываем в соответствующую клетку объем поставок x22=100 (таблица 10.8).

Таблица 10.8

Таким образом, потребность второго завода-потребителя полностью удовлетворена и мощность второго поставщика полностью задействована, поэтому вычеркиваем незадействованные клетки «2-3», «2-4» и «3-2», в дальнейших рассмотрениях они не участвуют.

Продолжая данные рассуждения, в результате получим следующее распределение поставок:

Таблица 10.9

Совокупные транспортные издержки для данного плана поставок составят (усл. ден. ед.):

.
3 этап: проверка вырожденности опорного плана.

Количество задействованных клеток в таблице поставок (таблица 10.9): N=6. Ранг r системы ограничений транспортной задачи равен:

.
Так как, , следовательно, опорный план транспортной задачи вырожденный. Определим количество фиктивных поставок:

.
В любой свободной клетке таблицы поставок проектному параметру xij присвоим нулевое значение. Выберем, к примеру, клетку «3-2» (клетки для фиктивных поставок необходимо выбирать таким образом, чтобы в дальнейшем можно было корректно построить контур перераспределения поставок).

Таблица 10.10

4 этап: расчет потенциалов.

Для первой строки принимаем ?1=0. Рассмотрим загруженную клетку «1-4»: .

Для загруженной клетки «3-4»: .

Аналогично последовательно находим потенциалы строк и колонок по остальным загруженным клеткам, результаты расчетов представлены в таблице 10.11.

Таблица 10.11

5 этап: проверка плана на оптимальность.
По таблице 10.11 для незагруженных клеток проверим условие оптимальности ():

«1-1»: ,

«1-2»: ,

«1-3»: ,

«2-3»: ,

«2-4»: ,

«3-1»: ,

«4-1»: ,

«4-2»: ,

«4-4»: .

Опорный план не оптимальный, так как имеются клетки, для которых условие оптимальности не выполняется: «2-3», «2-4», «4-4».

6 этап: поиск «вершины максимальной неоптимальности» (ВМН).

Для клеток «2-3», «2-4», «4-4» рассчитаем оценки: .

,
,
.
.
Выбор ВМН неоднозначен (можно выбрать любую), примем клетку «4-4» в качестве ВМН. Пометим ее в таблице поставок знаком (таблица 10.12).

Таблица 10.12

7 этап: построение контура перераспределения поставок.

Построим контур перераспределения поставок (таблица 10.13).

Таблица 10.13

В таблице 10.13 начиная с ВМН разделим вершины на загружаемые
и разгружаемые.

8 этап: определение минимального элемента в контуре перераспределения и перераспределение поставок по контуру.

В рамках построенного контура из клеток со статусом «разгружаемые» выберем клетку с наименьшим объемом поставок (полностью разгружаемую клетку):

.
Выбор неоднозначен, полностью разгружаем, к примеру, клетку x34 и загружаем ВМН (x44=200). Для обеспечения соответствия объемов запасов и потребностей перераспределим поставки по контуру – разгрузим клетку «4-3» на 200 ящиков (x43=0) и загрузим на этот же объем клетку «3-3» (x33=100+200=300).

9 этап: получения нового опорного плана.

В результате перераспределения поставок по контуру получим новый опорный план (таблица 10.14).

Таблица 10.14

Совокупные транспортные издержки для данного плана поставок составят (усл. ден. ед.):

II итерация:

1 этап: проверка вырожденности опорного плана.

Опорный план условно невырожденный.

2 этап: расчет потенциалов.

Результаты расчета потенциалов приведены в таблице 10.15.

Таблица 10.15

3 этап: проверка плана на оптимальность.
«1-1»: ,

«1-2»: ,

«1-3»: ,

«2-3»: ,

«2-4»: ,

«3-1»: ,

«3-4»: ,

«4-1»: ,

«4-2»: .

Опорный план не оптимальный, так как имеются клетка «2-3», для которой условие оптимальности не выполняется.

4 этап: поиск «вершины максимальной неоптимальности» (ВМН).

Клетку «2-3» примем в качестве ВМН. Пометим ее знаком (таблица 10.16).

Таблица 10.16

5 этап: построение контура перераспределения поставок.

Построим контур перераспределения поставок (таблица 10.17).

Таблица 10.17

В таблице 10.17 начиная с ВМН разделим вершины на загружаемые
и разгружаемые.

6 этап: определение минимального элемента в контуре перераспределения и перераспределение поставок по контуру.

.
Полностью разгружаем клетку x22 и загружаем ВМН (x23=100). Для обеспечения соответствия объемов запасов и потребностей перераспределим поставки по контуру – разгрузим клетку «3-3» на 100 ящиков (x33=200) и загрузим на этот же объем клетку «3-2» (x32=100).

7 этап: получения нового опорного плана.

В результате перераспределения поставок по контуру получим новый опорный план (таблица 10.18).

Таблица 10.18

Совокупные транспортные издержки для данного плана поставок составят (усл. ден. ед.):

.
III итерация:

1 этап: проверка вырожденности опорного плана.

Опорный план невырожденный.

2 этап: расчет потенциалов.

Результаты расчета потенциалов приведены в таблице 10.19.

Таблица 10.19

3 этап: проверка плана на оптимальность.
«1-1»: ,

«1-2»: ,

«1-3»: ,

«2-2»: ,

«2-4»: ,

«3-1»: ,

«3-4»: ,

«4-1»: ,

«4-2»: .

Опорный план не оптимальный, так как имеются клетка «3-1», для которой условие оптимальности не выполняется.

4 этап: поиск «вершины максимальной неоптимальности» (ВМН).

Клетку «3-1» примем в качестве ВМН. Пометим ее знаком (таблица 10.20).

Таблица 10.20

5 этап: построение контура перераспределения поставок.

Построим контур перераспределения поставок (таблица 10.21).

Таблица 10.21

В таблице 10.21 начиная с ВМН разделим вершины на загружаемые

и разгружаемые .

.
Полностью разгружаем клетку x21 и загружаем ВМН (x31=100). Для обеспечения соответствия объемов запасов и потребностей перераспределим поставки по контуру – разгрузим клетку «3-3» на 100 ящиков (x33=100) и загрузим на этот же объем клетку «2-3» (x23=200).

7 этап: получения нового опорного плана.

В результате перераспределения поставок по контуру получим новый опорный план (таблица 10.22).

Таблица 10.22

Совокупные транспортные издержки для данного плана поставок составят (усл. ден. ед.):

VI итерация:

1 этап: проверка вырожденности опорного плана.

Опорный план невырожденный.

2 этап: расчет потенциалов.

Результаты расчета потенциалов приведены в таблице 10.23.

Таблица 10.23

3 этап: проверка плана на оптимальность.
«1-1»: ,

«1-2»: ,

«1-3»: ,

«2-1»: ,

«2-2»: ,

«2-4»: ,

«3-4»: ,

«4-1»: ,

«4-2»: .

Найденный опорный план оптимальный, так как для всех незагруженных клеток выполняется условие оптимальности. Оптимальное решение является единственным, так как все неравенства строгие.

Ответ: оптимальное распределение поставок:

.
Данное распределение поставок обеспечит оптимальные транспортные издержки в размере 2300 усл. ден. ед.

СКАЧАТЬ методические указания к решению транспортной задачи: Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность

Еще записи по теме

www.ikasteko.ru

Решение транспортной задачи методом потенциалов

Пример.

1. Проверим, является ли данная задача замкнутой.

Подсчитаем суммарные запасы груза и суммарные потребности заказчиков

, .

Поскольку , модель транспортной задачи замкнутая, и задача имеет оптимальный план.

2. Построим первый опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла.

Начинаем заполнение распределительной таблицы с верхней левой клетки, то есть построение исходного опорного плана начинаем с удовлетворения потребностей первого потребителя b1 за счет запасов первого поставщика a1. Для этого сравниваем запас a1 = 200 с потребностями b1 = 150. Так как a1 > b1, то потребности b1 полностью удовлетворяем за счет a1, и в первую клетку помещаем min (200, 150)=150. У первого поставщика осталось 50 единиц груза. Так как потребности первого получателя груза полностью удовлетворены, исключим из рассмотрения первый столбец, заполнив в нем оставшиеся клетки точками. Далее заполняем таблицу по строкам слева направо и сверху вниз. Следующая самая верхняя левая незаполненная клетка – (1,2). Потребителю b2 поставляем 50 единиц груза, оставшихся у первого поставщика. Поскольку от первого поставщика весь груз вывезен, заполняем оставшиеся клетки первой строки точками. Второму получателю, пока что, недопоставлено 80 единиц груза. Следующая незаполненная клетка – (2,2). Потребителю b2 отправляем недостающие 80 единиц груза, при этом его потребности полностью удовлетворены, поэтому оставшиеся клетки во втором столбце заполняем точками. У второго поставщика a2 осталось еще 100 единиц груза. Аналогичным образом заполняем оставшиеся клетки, пока не удовлетворим всех потребителей и не вывезем все запасы груза у поставщиков.

В результате распределения груза получим первый опорный план, в котором x11 = 150, x12 = 50, x22 = 80, x23 = 100, x33 = 50, x34 = 140. Эти переменные соответствуют заполненным клеткам и являются базисными, остальные переменные, соответствующие клеткам с точками, являются свободными (значения свободных переменных равны нулю). Первый опорный план можно представить в матричном виде

Число заполненных клеток k = 6. Это число должно равняться рангу системы ограничений r = m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6. Так как k = r = 6, то построенный план является невырожденным. Подсчитаем затраты на перевозку по этому плану

3. Построим первое опорное решение транспортной задачи методом минимальной стоимости (минимального тарифа).

Найдем клетку с минимальным тарифом. Это клетка (1,3) с тарифом

C13 =1. Построение исходного опорного плана начинаем с занесения поставки груза в клетку с наименьшей стоимостью c13. Заполняем клетку x13 = 150. Оставшиеся клетки третьего столбца заполняем точками, так как потребности третьего получателя полностью удовлетворены. У первого поставщика осталось 50 единиц груза. Ищем следующую клетку с минимальным тарифом. Таких клеток две: c14 =2, c32 =2. Заполним сначала клетку (3,2). Поставим в нее x32=min (190, 130)=130. Второй столбец заполняем точками. У третьего поставщика осталось 60 единиц груза. Ищем следующую клетку с наименьшим тарифом – это клетка (1,4). В нее помещаем 50 единиц груза, min(50,140)=50. Первую строку заполняем точками, так как от первого поставщика вывезен весь груз. Четвертому получателю недопоставлено 90 единиц. Аналогичным образом распределяем весь имеющийся груз и получаем первый опорный план перевозок.

Подсчитаем затраты на перевозку по этому плану.

Итак, в каждой строке и в каждом столбце таблицы заполнена хотя бы одна клетка, циклов по заполненным клеткам нет, число заполненных клеток m+n-1=6, следовательно, план опорный и невырожденный.

4. Проверка первого опорного плана (решения) на оптимальность. Метод потенциалов

После построения исходного опорного плана приступаем к проверке его на оптимальность методом потенциалов, который заключается в последовательном улучшении опорных планов транспортной задачи на основе информации, полученной с помощью чисел, называемых потенциалы поставщиков и потребителей (, — двойственные переменные, то есть переменные задачи, двойственной к транспортной). Потенциалы находим из условия , где cij — тарифы заполненных клеток. Будем проверять на оптимальность первый опорный план, построенный методом минимального тарифа. В двойственной задаче одна свободная переменная, поэтому возьмем одну любую из двойственных переменных и приравняем ее к нулю. Возьмем, например,(выгоднее брать в качестве нулевой переменной ту, которая соответствует строке или столбцу с наибольшим количеством заполненных клеток).

В таблице в дополнительном столбце справа помещаем потенциалы отправителей , а в строке снизу – потенциалы получателей. Составим систему уравнений для определения потенциалов:

Из этой системы находим

Считаем оценки для свободных клеток:

Запишем получившиеся оценки в левом верхнем углу свободных клеток.

Так как среди оценок имеются отрицательные , то данный план не является оптимальным. Его можно улучшить перераспределением поставок. Для этого выбираем свободную клетку с наименьшим отрицательным значением (наибольшим по абсолютной величине). В данном случае это клетка (3,3).

Сроим цикл пересчета, начиная с клетки (3,3), в которую нужно поместить поставку груза (её отмечают знаком «+»), и двигаясь по занятым клеткам (в данном случае это клетки (3,4), (1,4), (1,3)), поочередно отмечая их знаками «-», «+». Если в клетку (3,3) добавили +, то в смежных по циклу клетках необходимо вычесть для сохранения баланса перевозок по третьей строке и третьему столбцу. Звенья цикла должны быть параллельны строкам или столбцам таблицы, причем в каждой вершине цикла встречаются ровно два звена, одно из которых находится в строке, а другое – в столбце. Количество вершин в цикле должно быть четно. В результате построения цикла в соответствующих строках и столбцах должно быть парное количество знаков «-», «+».

Определяем величину поставки в клетку (3,3), как минимальную величину из поставок, стоящих в отрицательных клетках, то есть . Перераспределяем по циклу поставки на величину . Значение записываем в незанятую клетку (3,3), отмеченную знаком «+», двигаясь по циклу, прибавляем эту величину к поставкам в клетках со знаком «+», вычитаем в клетках со знаком «-».

В результате получаем новое опорное решение или новый опорный план, в котором клетки с грузом, равным величине , становятся свободными.

Если освобождается больше одной клетки, то есть число заполненных клеток меньше числа m + n — 1, то такой план называется вырожденными, и для определения потенциалов необходимо ввести недостающее количество нулевых элементов в число основных базисных переменных. Свободные клетки заполняют нулевыми поставками так, чтобы они не образовывали цикл по заполненным клеткам, и чтобы в каждой строке и в каждом столбце находилась хотя бы одна заполненная клетка. Проверим новый опорный план на оптимальность. Пусть =0. Тогда найдем все остальные потенциалы, рассматривая только заполненные клетки и помня, что для них , то есть что сумма потенциалов должна быть равна тарифу, стоящему на пересечении соответствующих потенциалам строки и столбца.

Число заполненных клеток k=m+n-1, следовательно, план невырожденный. Найдем оценки Для всех клеток с точками, где стоят свободные переменные. Данный опорный план не является оптимальным, так как не все оценки для свободных клеток , а именно, .

Возьмем клетку (2,2) за начало цикла пересчета. Цикл будет проходить по клеткам (2,2), (3,2), (3,3), (1,3), (1,4), (2,4) и опять вернется в (2,2).

Ищем количество единиц груза , перераспределяемых по циклу пересчета, как минимум по клеткам, помеченных знаком минус. Получаем новый опорный план

Проверяем данный опорный план на оптимальность

Полученный опорный план является оптимальным, так как все оценки для свободных клеток . Выписываем оптимальный план: x11 = 0; x12 = 0; x13 = 60; x14 =140; x21 = 150; x22 = 30; x23 = 0; x24 = 0; x31 = 0; x32 = 100; x33 = 90; x34 = 0. Или в матричной форме

Высчитываем минимальные затраты на транспортировку продукции:

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

« Предыдущая 1 … 248 249 250 251 252 … 343 Следующая »

3.2.4. Кривые в полярной системе координат

Полярная система координат.

Поиск по сайту

Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения.

Решим методом подстановки

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Системы уравнений — Алгебра — 8 класс

Основные методы решения систем повышенной сложности. Видеоурок. Алгебра 9 Класс

План-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему: Решение систем, содержащих уравнение второй степени.

Задачи на составление систем уравнений 8 класс

«Решение систем уравнений способом подстановки» конспект урока алгебры 8 класс.

«Решение систем уравнений второй степени» ( 8 класс)

Градиент — 15 Сентября 2015 — Примеры решений задач

градиент калькулятор онлайн

Где можно решить любую задачу по математике, а так же градиент калькулятор онлайн Онлайн?

Найти градиент функции | Онлайн калькулятор

Градиент и производная по направлению. Контрольные онлайн

Градиент и производная по направлению

Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры

Lection15

Найти градиент, дивергенцию, ротор | UpByte.Net

Таблица степеней окисления химических элементов. Максимальная и минимальная степень окисления. Возможные степени окисления химических элементов.

SiO2, степень окисления кремния и кислорода в нем

Общие сведения об оксиде кремния и степени окисления в SiO2

SiO2, степени окисления элементов в нем

Примеры решения задач

Какая степень окисления у кремния?

Mathway | Популярные задачи

Кремний степени окисления — Справочник химика 21

Соединения со степенью окисления –4

Таблица степени окисления химических элементов

Иррациональные уравнения

Онлайн-урок №10 «Иррациональные уравнения и неравенства.»

Решение всех типов иррациональных уравнений

Иррациональные уравнения и системы — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к решению иррациональных уравнений и систем

Основные свойства степеней

Основные свойства математических корней

Основные свойства квадратного корня

решение иррациональных уравнений

Таблица умножения на 15

Как быстро и легко запомнить таблицу умножения

Распечатать таблицу Пифагора пустую и заполненную

Как легко и быстро запомнить таблицу умножения

Таблица Пифагора детям

Первое наблюдение, или минус полтаблицы

Умножение на два

Умножение на три и на четыре

Умножение на пять

Умножение на девять

Умножение на шесть, семь и восемь

Альтернатива таблице Пифагора, которая поможет р

Таблица умножения для детей: Распечатать. Как учить

Таблица умножения для детей: способы запоминания

Таблица Пифагора для детей скачать и распечатать

Как выучить таблицу умножения в игровой форме

Таблица умножения в стихах

Скачать плакат «Таблица умножения»

Таблица умножения — Кормление в стойлах они введут вместе с просвещением…

Таблица умножения Пифагора.Тайны или реальность.

ТАБЛИЦА ПИФАГОРА — ФОРМУЛЫ по МАТЕМАТИКЕ

Чем открыть RTF — Rusadmin

Что такое RTF

Лучшие программы для открытия rtf файлов

Как открыть файл rtf онлайн

Заключение

RTF в DOC | Zamzar

Чем открыть формат RTF? Программы для чтения RTF файлов

Общее описание расширения

Что еще может вызывать проблемы с файлом?

RTF формат — чем открыть?

Открыть DOC онлайн

Способы просмотра DOC онлайн

Способ 1: Word Online

Способ 2: Google Документы

Способ 3: Яндекс Диск

Способ 4: DocsPal

Способ 5: View Documents Online