Рубрика: Школьная жизнь

Математика с нуля. Пошаговое изучение математики

Spacemath.xyz – это новый проект, предназначенный для людей, которые хотят изучить математику самостоятельно с нуля. Сразу скажем, здесь нет лёгких решений и подобных заявлений, таких как «Купи эту книгу и сдай математику на 5» или «Освой математику за 12 часов» вы тут не увидите. Математика довольно большая наука, которую следует осваивать последовательно и очень медленно.

Сайт представляет собой уроки по математике, которые упорядочены по принципу «от простого к сложному». Каждый урок затрагивает одну или несколько тем из математики. Уроки разбиты на шаги. Начинать изучение следует с первого шага, и так далее по возрастанию.

Каждый изученный урок должен быть понятным. Поэтому не поняв одного урока, нельзя переходить к следующему, поскольку каждый урок в математике основан на понимании предыдущего. Если вы с первого раза урок не поняли – не расстраивайтесь. Некоторые люди потратили месяцы и годы, чтобы понять хотя бы одну единственную тему. Отчаяние и уныние точно не ваш путь. Читайте, изучайте, пробуйте и снова пробуйте.

Математика хорошо усваивается, когда человек самостоятельно открыв учебник, учит самогó себя. При этом вырабатывается определенная дисциплина, которая очень помогает в будущем. Если вы будете придерживаться принципа «от простого к сложному», то с удивлением обнаружите, что математика не так уж и сложна. Возможно даже она покажется вам интересной и увлекательной.

Что даст вам знание математики? Во-первых, уверенность. Математику знает не каждый, поэтому осознание того, что вы знаете хоть какую-то часть этой серьёзной науки, делает вас особенным. Во-вторых, освоив математику, вы с лёгкостью освоите другие науки и сможете мыслить гораздо шире. Знание математики позволяет овладеть такими профессиями как программист, бухгалтер, экономист. Никто не станет спорить, что эти профессии сегодня очень востребованы.

В общем, дерзай друг!

Желаем тебе удачи в изучении математики!

Новые уроки будут скоро. Оставайся с нами!

Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

spacemath.xyz

Как самому выучить математику? — Toster.ru

Натыкайся на те задачи которые не можешь решить и уделяй им время. Потом пойдет все быстрее и быстрее. Не слушай никого, кто говорит, что учить поздно. У каждого своя судьба, и свои стартовые условия. Но каждый в итоге получает то, что он действительно хочет. Осилить школьную математику, нармально любому человеку. Это общий культурный багаж, без понимания которого, человек будет ограничен. На самом деле все школьные предметы, развивают разные способности мышления. Потом неплохо повторить и физику — чтобы понимать, почему вокруг все так происходит.

Математика программисту в большинстве случаев не нужна. Но нужно знание основ, чтобы быстро разобраться в новом. Обязательно знание некоторых важных разделов:, типа логики и др. Без математики ты не сможешь зазкончить нормальное обучение по ComputerScience.
И самое главное, мозг должен уметь думать и решать задачи. Именно это и развивает в чистом виде — математика.

Но в реальности программисту, кроме умения думать, нужно и воображение, и абстрактное мышление, отличная память, знание английского, и умение общаться; еще умение постоянно учиться, хорошая общая эрудированность и вкус и тд. А так же крепкое здоровье. Так- что не циклись на математике, это всего лишь часть большого целого.

PS: Забудь про криптографию. Ты это не осилишь. Разберись, сейчас — как делить столбиком 🙂

toster.ru

Изучаем алгебру легко и просто

Алгебра — это важнейший предмет школьной программы, который изучается с начала средних классов и заканчивается сдачей ЕГЭ. Начиная с самых азов изучения алгебры школьнику очень важно хорошо разбираться и знать каждую тему. Поскольку этот предмет имеет эллиптический способ изучения, или «от простого — к сложному», какой-либо пробел даже в самой незначительной теме может сказаться отрицательно на результате сдачи ЕГЭ по алгебре. А ЕГЭ, как известно — это пропуск к получению высшего образования и освоению будущей специальности.

Изучение алгебры: особенности, варианты построения обучения

Далеко не всем легко дается алгебра, что вполне объяснимо. Это довольно сложный предмет, который не терпит условностей и предположений. И даже если в начальных классах преобладают неплохие результаты по математике, столкнувшись с сухим языком формул и функций, можно легко запутаться и алгебра станет «темным лесом», а обучаться тому предмету, который не понятен, очень тяжело.

Алгебра бесплатно сегодня предлагается для обучения многими интернет-ресурсами. Обучение может быть построено несколькими способами. Это может быть изучение всего школьного курса алгебры с нуля. Подобный подход интересен тем школьникам, которым особо тяжело даются точные науки. Например, если у человека гуманитарный склад ума и изучение алгебры ему нелегко даётся с самого начала. Также если непонятны некоторые конкретные темы, то можно дополнительно изучить их и прорешать все практические занятия по этим темам.  Еще, для более успешной сдачи ЕГЭ по алгебре, можно решить задания ЕГЭ прошлого года. Это поможет понять смысл построения задач и подготовиться к экзамену. Готовясь к сдаче ЕГЭ важно осветить такие вопросы, как понятие линейной функции, решения неравенств, особенности геометрической прогрессии, интеграл и многие другие.

Бесплатные уроки алгебры, преподаваемые в средней школе, могут быть недостаточно понятны школьнику, элементарная нехватка времени и необходимость подготовки по другим дисциплинам делает невозможным более глубокое изучение некоторых тем и повторение пройденного материала. Конечно, можно обратиться к репетитору по алгебре, походить на платные факультативы, но это, опять же, займет время, нужно будет подстраиваться под график репетитора и посещать факультатив в строго определенные часы. Между тем, изучение алгебры невозможно без повторного осмысления и закрепления пройденного материала. Основным принципом составления обучения данного предмета должна являться доступность и научность в изложении материала.

Особое внимание стоит уделять решению практических заданий. ЕГЭ по алгебре имеет именно практическую направленность, поэтому важно, чтобы школьник умел решать задания по любой теме. Также важно, при изучении алгебры, заложить в сознании школьника основательные и крепкие знания по предмету. В современный век цифровых технологий алгебра — одна из наиболее важных и полезных наук. Если человек хочет избрать в будущем какую-либо техническую специальность, без более углублённого изучения алгебры не обойтись. 

Альтернатива алгебры бесплатно — видеоуроки

Если вы не совсем хорошо разбираетесь в точных науках, а именно в алгебре, предлагаем прибегнуть к помощи нашего интернет ресурса. Это отличный способ повторить пройденный материал, понять особо сложные темы, позаниматься практически. Особенно важно изучение таких тем, как исследование функций, касательная, таблица производных и многие другие. В случае, когда школьник пропустил некоторые занятия, что усложнило понимание предмета, видеоуроки восполнят этот пробел в знаниях. Также это отличное решение проблемы временного отсутствия учителей. ЕГЭ по алгебре даст более высокий результат, если школьник будет постоянно практиковаться в решении задач по предмету. Поступив в институт и приступив к изучению Начала анализа, некогда будет возвращаться к пропущенным и недопонятым школьным темам, поэтому получать высшее образование нужно с уверенными и крепкими знаниями алгебры. 

interneturok.ru

Школьная математика, онлайн-учебник: 1 класс и старше — бесплатно

Вопросы и комментарии

10 декабря, 2018 — 13:33

Гость

 Ответить  

22 августа, 2018 — 10:43

Иштван

14 июня, 2018 — 17:30

Абу

14 июня, 2018 — 17:28

Абу

 Ответить  

13 июня, 2018 — 03:06

Абу

19 апреля, 2018 — 17:57

VzlomT13

 Ответить  

19 апреля, 2018 — 17:56

VzlomT13

15 апреля, 2018 — 17:53

людмила

 Ответить  

14 апреля, 2018 — 13:24

Жасур

 Ответить  

9 октября, 2017 — 20:26

Даниэль

10 января, 2017 — 18:50

Евгений

 Ответить  

9 декабря, 2016 — 19:58

Гость

 Ответить  

24 ноября, 2016 — 03:06

Никита

17 ноября, 2016 — 12:21

tihiro

16 ноября, 2016 — 10:29

оксана

 Ответить  

30 сентября, 2016 — 23:54

Гость

13 сентября, 2016 — 13:43

А Мир

 Ответить  

14 апреля, 2016 — 17:57

Ваня

7 февраля, 2016 — 23:15

инесса

 Ответить  

29 октября, 2015 — 11:29

Елена

21 июля, 2015 — 00:27

Victor

21 июля, 2015 — 15:43

Леонид Некин

21 июля, 2015 — 20:01

Victor

27 июня, 2015 — 11:02

Сафия

5 февраля, 2015 — 07:12

таня короткова…

 Ответить  

27 января, 2015 — 13:45

Дмитрий

 Ответить  

23 ноября, 2014 — 15:59

мари)

 Ответить  

9 ноября, 2014 — 10:41

Елена

 Ответить  

30 октября, 2014 — 12:48

йогу тимати

29 апреля, 2014 — 00:04

ggg

 Ответить  

8 декабря, 2013 — 23:46

Саша

17 ноября, 2013 — 14:01

лера

15 октября, 2013 — 16:58

Orla Colgan

 Ответить  

22 марта, 2013 — 23:03

Akella

23 марта, 2013 — 01:15

Леонид Некин

Страницы: 1  2   >  >>

www.nekin.info

ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС . МАТЕМАТИКА С САМОГО НАЧАЛА . часть 01: galina6111

Год работы в маленькой сельской школе с выпускниками 9 класса и с классом 10 не прошёл даром.
Вывод простой , известный любому технарю — чем переделывать,проще с самого начала самому делать то что необходимо.
Вот и возникла необходимость написать курс обучения  математике с самого начала.
Применяемые для обучения учебники имеют один принципиальный порок.
Они все написаны в расчёте на преподавателя — учителя.
А за что получет свою оплату учитель ? — За время.За часы.
Чем дольше учитель обучает — тем зарплата выше.
И никакой ответственности за результат этой учёбы.

Публикуемый материал ориентирован на ученика. Проверен на единичных учениках 5,6,7,8 классов.А также выпускниках 11 класса.Результаты испытания позволяют считать возможной эту публикацию. Для широкого применения.
Для обучения всяких гуманитариев, лиц женского пола и прочего контингента.Который считается ни на что не годным в плане обучения математике.
Редактор ЖЖ не позволяет постить статью полностью и с адекватным отображением мат. формул.Поэтому, пока идёт оформление материала,желающие могут скачать сразу и полностью,не дожидаясь публикации в ЖЖ.
Так же будет продолжена публикация цикла » Такая математика ! » ,отражающего мой личный взгляд на проблемы обучения и образования.Как в РФ ,так и в КР. Цикл имеет больше дискуссионную направленность.

Полностью скачать публикуемую часть курса математики ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС. С САМОГО НАЧАЛА 01 :

ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС. С САМОГО НАЧАЛА 01.docx  https://cloud.mail.ru/public/LWKo/eexzhULQR

Математика  с самого начала

Год работы в средней школе дал возможность оценить реальные знания выпускников. Очень часто средний выпускник 11 класса не знает простого. Например – сложения дробей.

Поэтому, для особо продвинутых  и одарённых выпускников, — начнём с самого начала.

Внук Яги

Что такое – математика ?

Прежде всего – это просто ещё один язык.

И моя задача – научить на этом языке читать, понимать прочитанное. В идеале – ещё и суметь записать ответ на этом языке.

Учить думать школьников на этом языке – не есть задача учителя средней школы. Тем более, что сдав выпускные экзамены, нормальный человек этот язык нормально забывает .По экспоненте, иногда сразу после экзамена. Ввиду  не востребованности этого языка в текущей  реальности….

Что главное в любом языке ?

Это – не грамматика. И  не умение читать написанное…

Это – Слово и умение на этом языке говорить. Используя слова языка.

Главное в любом языке – Взаимопонимание между людьми.

В языке Математика ,аналогично, главное – это Число. И умение выражать свои мысли.При помощи Чисел и для общения с другими людьми.

Говорить с Числами – производить некие действия, операции с ними.

 1. Число́ — основное понятие математики^[1],используемое для количественной
характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей.

2.   ОПЕРАЦИЯ – это просто ДЕЙСТВИЕ.  Действие над Числами.

В любом языке комбинацией слов можно выразить некую мысль.И эту мысль можно словами озвучить,произнести ,высказать. Её можно даже записать. При помощи иероглифов. Они же знаки, символы или буквы алфавита.

В языке Математика – всё точно так же. При помощи комбинации чисел и действий над этими числами можно выразить некую мысль. А при помощи иероглифов эту мысль можно записать. И прочитать.

Иероглифы в Математике то же самое – знаки, символы, буквы алфавита и цифры.

Что такое Число – посмотрите ещё раз выше. А цифра – это всего лишь знак или символ, при помощи которого записывается это число. Число – оно единственное в своём роде. Можно сказать – каждое число уникально. А вот знаков, которыми можно это число записать – бесконечное множество.

В отличии от большинства разговорных человеческих языков , которые считаются натуральными, язык Математика – язык искусственный. Примером искусственного человеческого языка является самый известный язык эсперанто.Как средство межнационального общения. Некоторые исследователи считают искусственными языки латынь и иврит. Дата создания языка иврит и его автор известны однозначно. Как и авторы и дата создания языка эсперанто.

Язык Математика предназначен решения ряда прикладных задач,круг которых постоянно расширяется.Соответственно , развивается и расширяется сам язык Математика.

Я вижу свою задачу,в рамках школьного курса языка Математика, научить всех желающий  : читать и понимать мысли,записанные на языке Математика иероглифами этого языка.Поняв написанную мысль – решить поставленную этой мыслью задачу или принять своё решение.В идеале – сделать следующий шаг.То есть — записать решение и свой ответ иероглифами языка Математика.

ВСЁ !

В моих планах не стоит научить Вас думать на этом языке , делать из Вас Математика !

Только – читать, понимать написанное  и записать решение и ответ.

Создатели языка Математика декларируют его однозначность.

То есть принцип, когда одному понятию или объекту  соответствует один и только один иероглиф. И обратно – одному иероглифу соответствует одно и только одно понятие или объект.

В реальности этот принцип далеко не всегда соблюдается. И при изучении языка Математика на русском языке следует учитывать, что на других языках могут быть совершенно отличными как сами иероглифы, так и понятия , с которыми эти иероглифы связаны.

Начнём ?

Одночлены и многочлены 

Числа можно записать разными иероглифами. Число, оно ведь — как ?
Число – это некая таки постоянная величина.

И мы можем записать его значение однозначно. При помощи цифр. Одной комбинации цифр соответствует одно число .И наоборот – одному числу соответствует одно число.

А можем записать число – в ОБЩЕМ ВИДЕ, при помощи других символов.Например, букв.В первую очередь – букв латинского алфавита. Причём, принято использовать буквы латинского алфавита начиная с НАЧАЛА этого алфавита для записи так называемых параметров , а латинские буквы ,начиная с КОНЦА алфавита – для записи переменных.

Что – такое параметр и что такое переменная – разберём при случае в следующий раз. Тема – достаточно ржачная….

Вот и получается, что так или иначе комбинируя иероглифы Математики, мы можем записывать различные смысловые или понятийные единицы :

1. Комбинацию из цифр, знаков операций ( не содержащая знаков операций сложения + и вычитания — ,а также операций сравнения ( = , >,  < и их комбинаций), символов параметров или переменных – назовём  Одночленом. Примеры :

3, c , 5a , 6by , cz³

это всё примеры — ОДНОЧЛЕНОВ

2.    Знаки операций + и – отделяют одночлены друг от друга, превращая одночлен в МНОГОЧЛЕН.

                             Пример такого многочлена :

X² + X – 2

Надеюсь, ничего непонятного в изложенном материале – нет.

Математические понятия ( слова)

Вы уже начали знакомиться с математическими словами (понятиями) : цифра, операция, параметр, переменная, знак, символ.

Продолжим знакомство с этим Матом.

И первое ,самое часто встречающееся матерное слово –

ВЫРАЖЕНИЕ

Оно же – алгебраическое выражение.

Это одночлен или многочлен, не содержащий знаки операций сравнения ( =, <, >другие ) Пример выражения :

X² + X – 2

Вот встретилось выражение.Какое задание его обычно сопровождает ?

Упростить или найти значение. Потому как ничего другого с выражением сделать и нельзя.Упростить, если это возможно.

galina6111.livejournal.com

бесплатные онлайн курсы по математике для школьников

Домашнее обучение становится все более популярным. И сегодня не составляет труда найти полезные  ресурсы для обучения онлайн. Поэма Жогло, мама хоумскулера, сделала поборку лучших сайтов по математике для школьников.

Основная идея – сделать ребёнка максимально самостоятельным, но при этом всё же контролируемым. Данные ресурсы больше подойдут для средних классов, хотя и для малышей тоже есть, что подобрать. Все сайты бесплатные или с бесплатной версией.

И так, программа №1 — это XtraMath. Это всего одна единственная программа, без которой у нас не обходится ни одного дня с математикой.

Суть этой программы — наработать скорость в простейших вычислениях: +,-,/,*. Для этого вы регистрируете вашего ребенка и себя, как родителя. Ребенок самостоятельно выполняет задания, а потом на почту родителям приходит подробнейший отчет об успехах. Отчёт можно смотреть и онлайн. Сайт на английском, но всё предельно понятно и просто. Можно выбирать разный режим — скорость, с которой будут подаваться примеры. Мы сначала прошли обычный, а сейчас делаем тоже самое, но быстрее. После прохождения блока ребенку выдается сертификат, который вы можете себе распечатать.
 

Алгоритм построения занятий
 

Далее, хочу рассказать об основном алгоритме, по которому строятся наши занятия дома. Здесь основной перечень сайтов, который подходит для ежедневных тренировок, связанных с освоением школьной программы по базовым темам. Мы не пользуемся ни учебниками, ни тетрадями, распечатками и пр., в равной степени, как и калькулятором.

1. Новую тему мы смотрим, используя канал MathTutor на сайте Интерурок. Альтернативным вариантом (или дополнительным) подходит Академия Хана  — с украинским или русским переводом. В русской версии роликов больше.
    
2. Далее мы нарешиваем примеры для закрепления услышанного, используя тренажер на сайте Rastu. На этом же сайте найдёте и краткую информацию по теме (например формула или принцип расчета). Если пример сделан неправильно, то сверху над ним появится подсказка. Ребёнок занимается самостоятельно, так как на любом этапе видно сколько примеров решено и сколько сделано ошибок. По этому результату всегда понятно: или мы переходим к следующей подтеме, или стоит ещё порешать эту.
    
3. Когда уже есть понимание темы, и она закреплена на тренажере, мы используем сайт ozenoknet. Этот сайт подходит именно для закрепления материала, а не для нарешивания в связи с тем, что примеров по каждому разделу не так много. Но зато там есть другие интересности: за выполненные задания ребёнок получает виртуальную коллекцию «призов» и «кубков». Они будут отражаться на его страничке в соответствующих разделах. Кроме этого здесь есть электронный журнал, где отражены все данные отдельно по каждой теме и присвоен уровень: «хорошо», «отлично» и «неплохо».
    
4. Ну и напоследок самое приятное — это компьютерные игры на сайтах jmathpage.com и mathplayground.com. Игр необыкновенное множество и все они математические!
    

Перечень дополнительных ресурсов
 

1. Математические тренажёры

• www.mathgames.com/skills — это супер тренажёр, но требует минимальные знания английского. Мой сын от него в восторге! На личной страничке отображается вся статистика о проделанной работе: время затраченное на каждое задание, начало и конец занятий, результаты по каждой теме. Очень удобно использовать, так как выдаёт списки заданий либо по классу (наша программа немного не совпадает) либо по темам.
   
• www.ck12.org — ещё один тренажёр на английском. Отдельно для младшей школы, геометрия, алгебра, вычисления и пр.
   
• www.buzzmath.com — тренажёр на английском с очень интересной подачей заданий! Уверена вашим деткам он понравится!! На сайте указано, что задания рассчитаны на 6-9-й классы, но на мой взгляд, можно смело решать с 5-го. Сайт платный. Но если заходить как «визитор», то можно заниматься бесплатно. Единственный минус — ваши результаты сохраняться не будут.
   
• eu.ixl.com — это отличный сайт, тоже на английском. Этот сайт требует платной регистрации, но если не регистрироваться, то вы ежедневно можете проходить на нём ограниченное число заданий.
   
• www.splashmath.com — очень интересный тренажёр с мультяшной анимацией для 1-5 классов на английском языке. Уверена, что с ним математику полюбит любой ребёнок! Сайт платный, но есть и открытая версия, которая позволяет без оплаты решать по 20 вопросов ежедневно. Кроме этого, после каждого занятия вашего чада, с сайта на ваш электронный адрес будет приходить подробный отчёт о проделанной работе: с чем дитё отлично справилось, а по каким темам есть трудности.
   
• www.adaptedmind.com — очень весёленький тренажёр с «чудищами», участвующими в решении задачек. Сайт на английском языке для 1-6 классов.
   
• www.khanacademy.org/math — тренажёры от Академии Хана. На английском языке. Для того чтобы здесь заниматься, необходимо пройти небольшой тест, который определит, над какими темами стоит работать.
   
• www.tenmarks.com — тренажёр на английском языке с предварительным тестированием.
   
• www.yaklas.com.ua — отличный сайт, но только с 7-го класса. Можно выбрать как украинский язык, так и русский. Есть много разных предметов, кроме математики. Каждая тема делится на теоретическую часть и практическую. Бесплатно можно делать только несколько заданий.
   
• bitclass.ru/math — сайт на русском языке. Похож, в общем, на предыдущий, но охватывает темы начиная с 5-го.
   
• school-assistant.ru/?class=matematika — сайт на русском языке. Сначала идёт теория, а после — несколько задач на закрепление материала.
   
• www.knewton.com/learn — тренажёр на английском, интересная система, построенная на анализе индивидуальной успеваемости: в зависимости от допущенных ошибок — отсылает к тому или иному видео с теорией. К сожалению, большинство заданий рассчитаны на 7-й класс и старше.
   
• www.uchportal.ru/load/29-1-2 — тренажеры на русском языке (предварительно скачать по указанным ссылкам)
   
• www.kokch.kts.ru/math/index.html — тесты на русском языке

2. Генераторы случайных примеров

• egeurok.ru — на русском языке. Сначала формируете список заданий, потом ребёнок решает, а после нажимаете ответы и сверяете с ответами вашего чада. Можно распечатывать, а можно и не печатать — кому как удобно.
   
• www.math-aids.com — аналогичный вариант на английском языке.
   
• www.mathinenglish.com/menuWorksheets.php — примеры на сайте с английским языком.
   
• www.math-drills.com/ — отличный сайт на английском.
   
• www.worksheetworks.com/math.html — примеры формируете сами исходя из установленных вами ограничений.
   
• /www.bymath.net/ — сайт на русском языке. Много теории. По каждой теме есть задания.

3. Математические игры онлайн

На русском языке:

На английском языке:

4. Занимательная математика

Сайты на русском языке.

• www.problems.ru — сайт для продвинутых математиков — разобранные решения олимпиад и пр.
   
• domzadanie.ru — много интересных задачек.
   
• nazva.net/rubric/all — отличная копилка для тех, кто любит думать.

5. Программы помощники

• loviotvet.ru — помогает решать примеры и уравнения с отображением этапов решения, производит наглядно вычисления «в столбик». Сайт на русском языке.
   
• www.nigma.ru/index.php?t=math — поможет с уравнениями. Сайт на русском языке.
   
• math-prosto.ru — охватывает всего несколько тем как онлайн-решатель, но зато довольно доступно подаётся теория. Сайт на русском языке.
   
• www.mathway.com — проверит правильность составления уравнений. Англоязычный ресурс, но всё очень просто и понятно.
   
• znanija.com/predmet/matematika — русскоязычный сайт, на котором вы можете задать любой интересующий вас вопрос и получить ответ онлайн от помощника. Есть возможность и для других предметов.

6. Списки полезных ссылок на английском языке

Надеюсь, что ваши ежедневные занятия математикой теперь будут ещё увлекательнее!

Источник

ЧИТАЙ ТАКЖЕ: 10 украинских школ, в которых можно учиться дистанционно

ЧИТАЙ ТАКЖЕ: 10 сайтов для школьников, которые объяснят уроки лучше любого учителя

ЧИТАЙ ТАКЖЕ: Причины и следствия, или Год без лета: каким должно быть изучение истории в школе

Загрузка…

www.uaua.info

Как выучить математику с нуля самостоятельно?

Математика наравне с родным языком является одной из самых главных наук, и не только в школе. Зачастую без нее не обойтись ни в повседневной жизни, ни в карьере. Кроме того, математику необходимо сдавать в выпускных классах. Но как быть, если все упущено? Давайте разберемся, как выучить эту науку самостоятельно, да еще и с нуля, и подготовиться к экзаменам.

Эта статья будет полезна также тому, кто давно окончил школу, но есть желание поступить в колледж или вуз по технической специальности. В этом случае тоже нужно постигать математику с азов или же подтянуть знания в тех темах, которые были не понятны при учебе или попросту забыты.

Предлагаем воспользоваться приведенными ниже инструкциями. Но обращаем внимание: успех полностью зависит от самого учащегося.

Моральная подготовка

Прежде чем приступить к изучению математики, следует морально подготовиться. Особенно это касается тех, кому данный предмет в школе практически не давался. Ведь бывает так, что у человека не математический, а гуманитарный склад ума.

Ниже мы обсудим, что делать, если не получается разобраться в одной из тем. Но в любом случае нужно быть готовым к долгому изучению, ибо быстро выучить математику на самом деле практически невозможно.

Моральная подготовка заключается в том, чтобы:

1. Постараться дать себе понять, что при желании можно изучить любую науку. Ведь как-то отличники и хорошисты разбираются в дисциплине. Тем более если учитель говорит, что это легкая тема, то стоит поверить.
2. На время отложить развлечения, общение с друзьями и различные мероприятия, которые не столь важны, ради того чтобы подтянуть знания по царице всех наук. Пусть основная часть времени будет посвящена изучению непонятных тем.
3. Перед началом занятий дать себе хорошенько отдохнуть. Например, погулять на свежем воздухе в парке, выполнить несколько физических упражнений или неотложных дел. Ибо очень важно, чтобы никакие заботы и просьбы со стороны не отвлекали.
4. Настроиться на тренировку памяти с целью запомнить правила и формулы. Они на самом деле не такие сложные, как кажется.
5. Понять, что математика по большей части требует от человека логического мышления и смекалки.
6. Воспринимать науку не как что-то должное, а как игру в головоломку, в которой нужно пройти конкретные этапы и проверить «запасным вариантом» правильность решения задачи.
7. Убедить себя в том, что тренировка на запоминание полезна для мозга.
8. Понять, что решение многих задач и примеров, построение фигур и графиков, а также различные геометрические доказательства – это увлекательный процесс, который можно применить на практике.

Пусть подобные рекомендации станут для вас помощниками каждый раз, когда вам захочется оставить изучение сложных тем. Оказывается, не так уж и сложно выучить математику с нуля.

Оценка своих знаний

Очень важно уметь оценить свои знания. Например, вы являетесь учеником 9 класса, или же на данный момент лето, и стоит цель хорошо подучить пропущенные и непонятые ранее темы. В таком случае делаем так: открываем учебник 5-го класса, находим любую сложную задачу и решаем ее. Если ответ правильный, то с легкостью приступаем к задачам за 6-й класс и проверяем себя по ним. Желательно прорешать по паре заданий из каждой темы.

А теперь разберем, как быстро выучить правила математики.

Обязательно найдется такая задача, которую вы затруднитесь решить. Например, тема связана с квадратными уравнениями, но пример дан в виде двух произведений со скобками, которые нужно раскрыть. А вы забыли правила раскрытия скобок, вследствие чего ответ неправильный, проверочное решение не сходится. Стоит в таком случае отметить в отдельном листе-плане, что нужно разобраться, в каком случае ставится знак «+», а в каком «–» при раскрытии скобок. Также следует проработать и остальные темы.

Немного геометрии

Что касается геометрии, то ее тоже следует начинать изучать сначала, чтобы понять, что такое фигуры, теоремы, как вообще работать в данной дисциплине.

Но как выучить математику за короткий срок, если практически все темы непонятны или незнакомы, и возможно ли это? Вот несколько рекомендаций.

Если многое упущено

Стоит ли говорить о том, что математику с нуля лучше всего разбирать с репетитором или родственником, одноклассником? Самому изучить этот предмет довольно сложно, особенно по сравнению с историей или географией. Но тем не менее, если есть много свободного времени, можно пробовать решать примеры самостоятельно. Возможно, для этого придется детально изучить более простые темы, которые в основном входят в программу 5-го класса.

Теперь составим план наших действий:

1. Приобретите учебники и решебники за все классы средней школы. Программа должна соответствовать тому, что вы изучаете в школе.
2. Составьте список всех тем, которые имеются.
3. Подготовьте чистую тетрадь для решения задач. Не рекомендуется решать примеры на клочках бумаги, пусть все проведенные действия будут перед глазами, даже если они с помарками и ошибками.
4. Если у вас сохранились конспекты с пройденными уроками и решенными в классе примерами, обязательно проработайте их. Выпишите в тетрадь задачку, затем закройте конспект, начните решать самостоятельно. Как закончите, сверьтесь, что вы сделали правильно, а что не так.
5. Выучите правило и формулы по текущей теме. Помните о том, что математика не «любит» зубрить, она «любит» понимать определение.

Такой подход поможет самостоятельно выучить математику. Как запомнить все и сразу? На самом деле этого делать не нужно.

Лучший способ запомнить

Как было сказано выше, обычное зазубривание не поможет. Нужно разобраться. Допустим, у вас тема связана с нахождением определения объема фигур в геометрии. Эти формулы довольно простые, их легко запомнить. Но чтобы лучше усвоить урок, желательно, следуя формуле, решить задачу. Заодно вы заметите последовательность: что от чего зависит и как выводится. Например, элементарное нахождение площади прямоугольника: умножаем длины двух сторон, не лежащих параллельно. И все, задача решена. Куда сложнее определить площадь круга или объем цилиндра, но если запомнить формулы, то и это не составит труда.

А как выучить математические правила, если они с формулами не связаны? Все довольно просто. Например, то же раскрытие скобок. Нужно лишь запомнить, что «умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс (и наоборот) всегда дает минус». И все. В дальнейшем решить даже самые сложные задачи на раскрытие скобок будет получаться на раз-два!

Успешное освоение

Полученные знания всегда следует закреплять. Вы запомнили формулу дискриминанта или заучили последовательность нахождения неизвестной через построение графиков. Обязательно прорешайте различные примеры на эту тему еще и еще, чтобы отложилось все в памяти.

Учителя, да и репетиторы, рекомендуют время от времени возвращаться к пройденной теме, чтобы проверить себя. Это, на самом деле, отнимет несколько минут. Наверняка вы замечали, что те, кто успевает по математике, способны за 15-20 минут сдать работу, которая рассчитана на полчаса. Что здесь удивительного? Просто тема была освоена достаточно хорошо и не нужно долго ломать голову, вспоминать формулы или пытаться спросить у соседа.

Как выучить математику за 5 минут до контрольной, и возможно ли это? Разумеется, если предыдущие разделы освоены хорошо, а нынешний не изучен по каким-то причинам, то можно пробежаться по правилам и формулам. Но успех будет лишь в том случае, если тема логически продолжает ранее изученные.

Не дается и все тут

К сожалению, большинство учащихся не могут разобраться в науке ни в классе, ни самостоятельно. Нужно, чтобы тему объяснили отдельно. Зачастую приходится прибегать к помощи репетитора.

Но есть возможность выучить математику с нуля самостоятельно и бесплатно. Естественно, с помощью вездесущего интернета:

• видеоуроки на YouTube,
• ознакомительные курсы на математических сайтах,
• онлайн-репетитор.

Таким образом, можно найти способ без лишних затрат разобраться в теме. Существует множество видеоуроков на отдельно взятые темы, которые легко изучить, посмотрев, как правильно и в какой последовательности решаются задачи. Желательно повторить пройденный урок самостоятельно.

Если тема очень сложная

В математике сложных тем достаточно много, особенно в 9, 10 и 11 классах. Зачастую без помощи знающих людей не обойтись. Поэтому стоит внимательно слушать урок, чтобы не возникло проблем в будущем.

Ведь даже самая сложная тема поддается объяснению и пониманию. Только нужно тренировать в себе усидчивость, терпение и желание учиться. Ведь неспроста это слово означает «учи себя». Многие ученики ближе к выпускным экзаменам спрашивают, как выучить математику, чтобы балл был высокий. Все просто: готовиться следует заранее (прорабатывать все темы и решать предлагающиеся задачи).

Необходимые инструменты для работы

Многие учителя настоятельно требуют, чтобы ученики запоминали таблицу умножения, учились считать в уме и обходились без калькуляторов насколько это возможно. Действительно, существовала же как-то математика без электронно-вычислительной техники? Были счеты, но они только развивали мышление. А современные гаджеты, наоборот, ослабляют мыслительную деятельность и ухудшают запоминание. Поэтому современному школьнику лучше позаботиться заранее о том, как выучить математику, а точнее арифметику, чтобы в будущем было проще решать любые задачи без помощи калькулятора.

Как видите, математика – сложная наука, требующая усидчивости. Быстро выучить ее не удастся. Поэтому желательно изучать внимательно каждую тему начиная с младших классов.

fb.ru

Как найти радиус, если известен только диаметр

16 апреля 2012

Автор КакПросто!

Если вы работаете с окружностью, вы часто пользуетесь терминами радиус и диаметр. Существует ряд простых формул, позволяющих найти радиус, зная длину окружности, площадь окружности и объем сферы. Есть ли формула, позволяющая узнать радиус, зная значение диаметра?

Статьи по теме:

Инструкция

Пример. Диаметр окружности d равен 8. Чему равен радиус r? Решение: r=d/2, значит, чтобы найти радиус, надо значение диаметра 8 разделить на два. 8/2=4. Ответ: r=4, радиус равен четырем.

Видео по теме

Источники:

• радиус на сайте формула.ру

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Как найти радиус, если известен только диаметр

Инструкция

• Диаметр (от древнегреческого διάμετρος «диаметр, поперечник») – это отрезок, который соединяет две точки на окружности или сфере, проходящий через центр этой окружности или сферы. Диаметром также называется длина этого отрезка. Радиус (от латинского radius «луч, спица колеса») – это отрезок, который соединяет центр окружности или сферы с любой точкой, находящейся на этой окружности или сфере, радиусом называется также длина этого отрезка.
• Радиус принято обозначать буквой r, диаметр – буквой d. По определению радиус равен половине диаметра, а диаметр равен по величине двум радиусам. Соответственно d=2r, r=d/2. Значит, для того, чтобы узнать величину радиуса, зная диаметр, надо разделить диаметр на два.
• Пример. Диаметр окружности d равен 8. Чему равен радиус r? Решение: r=d/2, значит, чтобы найти радиус, надо значение диаметра 8 разделить на два. 8/2=4. Ответ: r=4, радиус равен четырем.
• Если вы ищите длину радиуса или диаметра, помните, что длина не может быть отрицательным числом. Поэтому если в ходе решения вы пришли к формуле d=2r= √x (квадратный корень из x), а x равен, к примеру 16, то диаметр d=±4,и радиус r=±2. Так как длина не может быть отрицательным числом, получаете ответ: диаметр равен четырем, радиус равен двум.
• Интересен факт того, что в анатомии также встречается слово «радиус», оно обозначает одну из костей предплечья, лучевую кость (находится кнаружи и слегка кпереди от локтевой кости). А еще у слова радиус есть значение, уходящее истоками в древний Рим – это название короткого римского меча, который использовали легионеры для обороны. Легионер говорил: «Здесь я и Рим!» – чертил на земле этим мечом полосу и защищался до последнего.

completerepair.ru

Как найти радиус, если известна длина окружности

радиус = длина/2 пи, или r=c/2п, где п — 3.14 а с — длина окружности

половина длины окружности это радиус !

Разделить на пи и еще на 2

С=2пи*R отсюда и ищи радиус

R= L : 3.14159(число Пи) : 2

р= ц / пи умноженное на 2 ?

нахрен его искать, если у тебя естя рисунак,, ти што ниможешь померять линейкой!

R= L : 3.14(число Пи) : 2

touch.otvet.mail.ru

Как найти диаметр, если известна длина окружности?

С =2ПR формула длины окружности D=2R соотношение между диаметром и радиусом D=C:3,14то, что тебе нужно сделать. основное правило — нахождение неизвестного множителя.

разделить длину на число пи

разделить на 3,1415926.

раздели длину окружности на число пи пи =3.14

Длина окружности С=piD; диаметр D=C/pi. pi=3,14.

2000лет тому назад знали, как найти диаметр ,—стыдно за Вас.

touch.otvet.mail.ru

Как найти диаметр круга?

Чтобы написать, как найти диаметр круга, необходимо сначала определить, что это такое. Итак, диаметр круга – это прямая, которая проходит через центр круга и соединяет точки на окружности.

Ниже мы рассмотрим способы нахождения диаметра окружности через её длину, площадь вписанного круга, и через радиус.

Определение диаметра

Принято считать, что какой бы величины ни была окружность, отношение ее длины к диаметру – это постоянное число «Пи», которое примерно равно 3,14. Чтобы понять, как найти диаметр круга, следует привести формулы и на примере показать вычисления данной величины.

Радиус

Если известен радиус круга, то диаметр вычислить очень просто:

D = 2R, где D – это диаметр, а R – радиус. Получается, диаметр равен двум радиусам. Например, известно, что радиус равен 10 см, тогда диаметр вычисляем так: D=2*10, получается, что диаметр равен 20 см.

Длина окружности

В случае, если известна длина окружности, для вычисления может быть полезным число . Вот какой формулой можно воспользоваться: D = l/, где l – это длина круга. Получается, если длина окружности равна 18 см, то диаметр вычисляем так: D = 18 / 3,14 ≈ 5,73 см.

О нахождении длины окружности можно узнать в статье Как найти длину окружности.

Площадь круга

Если известна только площадь круга, то это значение также можно применить. При этом площадь обозначается буквой S. Исходя из формулы S=R², можно найти радиус, а значит, и диаметр. Итак, радиус R = √ (S / ). Для нахождения радиуса делим площадь на число Пи и извлекаем из этого значения квадратный корень. Таким образом, если площадь равна 25 см, то радиус вычисляется так: R = √ (25 / 3,14) ≈ √8 ≈ 2,8 см. Затем можно вычислить диаметр: D = 2R, D = 2,8*2= 5,6 см.

Дополнительно о нахождении диаметра можно прочитать в статье Как найти диаметр окружности.

elhow.ru

Задачи на расстояние от точки до кривой. Видеоурок. Алгебра 10 Класс

Тема: Производная

Урок: Задачи на расстояние от точки до кривой

Что такое расстояние от точки докривой? Точку  можно соединить со многими точками кривой. Каждый раз будут получаться разные расстояния. Среди них нужно найти наименьшее. Это расстояние и будет называться расстоянием от точки до кривой. На кривой надо найти такую точку , чтобы расстояние было наименьшим (см. рис. 1).

Рис. 1. Расстояние от точки до кривой.

Видим, что задача на расстояние – это задача на экстремум, на минимум, то есть без производной не обойтись.

Вспомним, что расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра (см. рис.2).

Рис. 2. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между прямыми – это тоже длина перпендикуляра (см. рис.3).

Рис. 3. Расстояние между прямыми.

Расстояние от точки до окружности легко найти. Нужно соединить центр с точкой , в результате получится точка .  – искомое расстояние (см. рис.4).

Рис. 4. Расстояние от точки до окружности.

Расстояние между двумя окружностями, которые не пересекаются. Нужно соединить центры, получим две точки  и .  – искомое расстояние (см. рис.5).

Рис. 5. Расстояние между двумя окружностями.

Сформулируем задачу в общем виде и напомним, каким образом ее решать. Мы повторили, что такое расстояние. Вспомним формулу расстояния между двумя заданными точками.  Предположим, что на координатной плоскости даны две точки  и  (см. рис.6).

Рис. 6. Расстояние между двумя заданными точками.

Расстояние между точками вычисляется по формуле  

.

Таким образом, находится расстояние между точками, если известны координаты этих точек.

На параболе  найти точки ближайшие к началу координат, то есть к точке .

Рис. 7. График функции.

Решение.

Из простейшего анализа задачи можно увидеть, что задача имеет два решения, в силу симметрии графика функции относительно оси Y (см. рис.7).

Координаты искомой точки:  . По соответствующей формуле можем найти квадрат расстояния:

. Это расстояние должно быть наименьшим. Упростим эту формулу и получим:

  или

.

Можно сразу использовать производную для решения задачи, но пока попытаемся воспользуемся свойствами биквадратной функции. С помощью замены переменной , получим:

. Задача свелась к нахождению минимума следующей квадратичной функции  .  Найдем абсциссу вершины  (см. рис.8).

Рис. 8. Абсцисса вершины параболы.

Задача практически решена. Наименьшее значение этой функции будет тогда, когда . Вычислим . Значит, функция  ведет себя следующим образом (см. рис.9):

Рис. 9. Схематический график функции .

Без производной, с помощью свойств квадратичной функции, решили задачу. Если , то  , отсюда , . Если значения координат  известны, вычислим значения . ;  Получили ответ  ; .

Итак, была задача: найти точки на кривой, которые бы отстояли от начала координат на наименьшее расстояние. Такие точки найдены. Первая точка —  , вторая точка – .

Напомним ход решения задачи. Точка   зависит только от , ее координаты – . При выражении квадрата расстояния, получили функцию от . Можно с помощью производной найти минимум. Можно сделать проще. Если сделать замену , получим квадратичную функцию и можно найти наименьшее значение данной квадратичной функции.

Ответ: .

На графике функции  найти точку , ближайшую к данной точке . Решение.

Сделаем рисунок (см. рис.10).

Рис. 10. График функции .

Заданы координаты двух точек:  и .

Найдем расстояние АМ:

.

 или .

 — квадратичная функция от . Вспомним, что нужно найти минимальное значение, то есть . Графиком этой функции является парабола, ветвями направленная вверх, значит, минимум находится в вершине. Выделим полный квадрат и получим:

. Выяснилось, что . Равенство достигается, когда  принимает самое минимальное значение. Это будет в случае, когда . Таким образом, получили ответ , а . Значит, координаты точки .

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели задачи на расстояние от точки до кривой. Можно находить само это расстояние, можно искать точки, которые обеспечивают минимум этого расстояния. Повторили, что такое расстояние между фигурами. Расстояние от точки до кривой – это наименьшее из расстояний, которое получается, когда точка на кривой пробегает все возможные значения. Например, точка  может пробегать все значения на кривой , но наименьшее расстояние будет тогда, когда точка  имеет координаты . Для этого нужно, во-первых, вспомнить, что такое расстояние, и во-вторых, каким образом ищется расстояние между точками, если известны координаты. И, наконец, надо записать квадрат расстояния и проанализировать полученную функцию. Если не удается это сделать элементарными средствами, с помощью свойств квадратичной функции, то надо использовать производную и искать наименьшее значение функции .

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

Сделай дома

№ 46.52 (а) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

interneturok.ru

Задачи на расстояние от точки до кривой. Патриотическое воспитание

На уроке по теме «Задачи на расстояние от точки до кривой» вначале повторяются основные понятия, связанные с решением задачи на расстояние от точки до кривой. При решении подобных задач обычно применяется производная. Методика решения задачи объясняется на конкретных примерах.

Тема: Производная

Урок: Задачи на расстояние от точки до кривой

1. Опорные факты

Что такое расстояние от точкидокривой? Точку можно соединить со многими точками кривой. Каждый раз будут получаться разные расстояния. Среди них нужно найти наименьшее. Это расстояние и будет называться расстоянием от точки до кривой. На кривой надо найти такую точку , чтобы расстояние было наименьшим (см. рис. 1).

Рис. 1. Расстояние от точки до кривой.

Видим, что задача на расстояние – это задача на экстремум, на минимум, то есть без производной не обойтись.

Вспомним, что расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра (см. рис.2).

Рис. 2. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между прямыми – это тоже длина перпендикуляра (см. рис.3).

Рис. 3. Расстояние между прямыми.

Расстояние от точки до окружности легко найти. Нужно соединить центр с точкой , в результате получится точка . – искомое расстояние (см. рис.4).

Рис. 4. Расстояние от точки до окружности.

Расстояние между двумя окружностями, которые не пересекаются. Нужно соединить центры, получим две точки и . – искомое расстояние (см. рис.5).

Рис. 5. Расстояние между двумя окружностями.

Сформулируем задачу в общем виде и напомним, каким образом ее решать. Мы повторили, что такое расстояние. Вспомним формулу расстояния между двумя заданными точками. Предположим, что на координатной плоскости даны две точки и (см. рис.6).

Рис. 6. Расстояние между двумя заданными точками.

Расстояние между точками вычисляется по формуле

.

Таким образом, находится расстояние между точками, если известны координаты этих точек.

2. Задача 1

На параболе найти точки ближайшие к началу координат, то есть к точке .

Рис. 7. График функции.

Решение.

Из простейшего анализа задачи можно увидеть, что задача имеет два решения, в силу симметрии графика функции относительно оси Y (см. рис.7).

Координаты искомой точки: . По соответствующей формуле можем найти квадрат расстояния:

. Это расстояние должно быть наименьшим. Упростим эту формулу и получим:

или

.

Можно сразу использовать производную для решения задачи, но пока попытаемся воспользуемся свойствами биквадратной функции. С помощью замены переменной , получим:

. Задача свелась к нахождению минимума следующей квадратичной функции . Найдем абсциссу вершины (см. рис.8).

Как эффективно решить много задач одновременно | Stimulas.ru

Мы живем в мире, в котором одновременно происходит миллион событий. Для многих из нас вовлеченность в несколько дел сразу – это способ идти в ногу со временем и чувствовать, что мы не останемся позади.

Но есть одна проблема: только 2% людей способны действовать в режиме многозадачности эффективно. Это означает, что остальные 98% из нас бегают как белка в колесе, стремясь всюду успеть.

Как оказалось, наш мозг не очень хорошо приспособлен делать больше чем одно дело за раз. Мозг может «зависнуть», когда сталкивается с несколькими задачами. Исследователи обнаружили, что когда мы пытаемся работать в многозадачном режиме, мозг быстро перенаправляет свое внимание с одного предмета на другой, вместо того, чтобы решать вопросы одновременно.

План действий

Хотя большинство из нас склонны браться за несколько дел сразу, исследования показывают, что людям, которым трудно длительное время концентрироваться на одной задаче, скорее всего, будет еще сложнее решать несколько задач одновременно.

Но не стоит отчаиваться. Если вы готовы признать, что параллельное решение нескольких задач не является вашей сильной стороной, попробуйте воспользоваться советами, которые помогут фокусироваться на одном деле без ущерба для производительности.

Положите трубку. Заблокируйте все, что отвлекает вас от работы – выключите телефон, телевизор и все остальное, что привлекает вас от того, что вам нужно сделать.

Составьте план работы. Это может быть полезно, если вы проводите много времени за компьютером или работаете на дому. Составьте расписание на день, выделив в нем время для каждой запланированной задачи (и не забудьте о перерывах для отдыха и еды). Таким образом, вы будете знать, что нужно делать, когда вы садитесь работать. К тому же, это поможет избежать соблазна посидеть в соцсетях или поболтать со знакомыми.

Ставьте цели. Обдумывайте, что вы собираетесь сделать, прежде чем начать делать это. Если у вас нет четкой цели, вы можете легко отвлечься. Перед началом решения новой задачи потратьте несколько минут, чтобы распланировать действия.

Хорошо позавтракайте. Здоровый завтрак поможет повысить концентрацию и работоспособность.

Медитируйте. Исследования показывают, что занятия восточными практиками могут улучшить функцию мозга и помогут лучше сосредоточиться. Они также помогут уменьшить стресс.

Слушайте внимательно. Эффективность восприятия информации значительно снижается, когда мы слушаем кого-то и одновременно отвечаем на СМС, читаем новости или смотрим забавное видео. Если вы разговариваете с кем-либо, сосредоточьтесь только на беседе.

Поддерживайте порядок. Чтобы избежать отвлекающих действий, наведите порядок в вашем компьютере. Оставьте на рабочем столе только нужные приложения и файлы. Закройте программы и документы, которые вам не понадобятся.

Делайте перерывы. Исследования показывают, что краткие перерывы во время выполнения работы помогают улучшить внимание.

Читайте. Хотите еще больше советов? Есть много книг, которые помогут вам разработать стратегии для достижения более глубокой концентрации.

Вне всякого сомнения, эти советы помогут вам сосредоточиться на решении одной задачи. А потом еще одной. И еще. В конечном итоге вы успеете сделать больше и почувствуете себя увереннее.

Горват Евгений Анатольевич

VN:F [1.9.20_1166]

Рейтинг: 0 (из 0 оценок)

Рекомендуем к прочтению:

stimulas.ru

Много задач – это не задача

Много задач – это не задача

За последние годы я пересмотрела отношение к многофункциональности. Эта концепция – откровенная ложь, и она ведет вас к неудаче. Пытаясь «сделать все», вы идете в обратном направлении, переключаясь с одной задачи на другую и перескакивая от одной мысли к другой. На самом деле вы тратите больше и больше времени. Чем шире круг задач, которые вы выполняете синхронно, тем значительнее временные потери.

Когда вы выполняете несколько задач одновременно, вам кажется, что вы исключительно эффективны, но тем самым вы вводите себя в заблуждение. Каждый раз при переключении на новую задачу вам приходится немного возвращаться назад, чтобы напомнить себе, на чем вы остановились и что следует делать дальше. Вы тратите в два раза больше времени на некоторых этапах решения задачи. Кроме того, поскольку вы пытаетесь продвинуться в решении сразу нескольких задач, случаются ошибки и требуется дополнительное время на их устранение. Наконец, по мере того как вы добавляете новые задачи, у вас не возникает чувства освобождения и облегчения, которое мы испытываем, когда список наших дел сокращается.

Так что же вы можете сделать? Избавьтесь от желания стать суперженщиной и…

• Приведите в порядок свои мысли. Какой самый простой, наименее сложный, легкий способ подойти к решению задачи или выполнению проекта? Помогите себе и разбейте задачу на части. Воспринимайте отвлекающие моменты как врага. Не окажитесь жертвой электронного письма, последующего звонка или просьбы. Вы можете попасть в ловушку выполнения самых легких задач, но не самых важных, трудных или тех, где самые высокие ставки. Ведь вы же не хотите, чтобы самая серьезная работа или наиболее значимые задачи оказались отложенными!

• Выполните одну небольшую часть. Даже 20 минут или час на одну скромную задачу продвинут весь проект вперед.

• Всегда имейте какое-нибудь занятие, чтобы заполнить время ожидания. Для меня это обычно актуально, когда я посещаю врача. Подумайте, чем вы можете себя занять, если вам придется ожидать приема у стоматолога, процедуры маммограммы и т. д. Я, как правило, беру с собой для просмотра отчеты по ценным бумагам или пишу благодарственные письма. У вас возникнет чувство огромного облегчения, если вы набросаете от руки несколько записок людям, которые вам небезразличны.

Следующая глава >

econ.wikireading.ru

много задач — Перевод на английский — примеры русский

На основании Вашего запроса эти примеры могут содержать грубую лексику.

На основании Вашего запроса эти примеры могут содержать разговорную лексику.

Остается еще много задач, в том числе создание надежной экономической базы, решение проблем окружающей среды и обеспечение безопасности женщин.

Many challenges still remain, including providing a secure economic base for the country, dealing with environmental issues, and securing women’s safety.

Несмотря на очевидность того, что прогресс в области развития молодежи достигается по ряду направлений, перед нами стоит еще много задач.

Although it is evident that progress on youth development has been made on many fronts, many challenges still remain.

Государства-члены не должны ставить перед Секретариатом слишком много задач, не предоставляя ресурсы в нужном объеме.

It is for the Member States to ensure that we are not imposing too many tasks on the Secretariat and spreading resources too thinly.

Перед Организацией стоит много задач, которые имеют целью защитить международное сообщество от кризисов и спада на международном уровне.

The Organization faces many tasks, whose aim is to protect the international community against crises and a decline at the international level.

Сегодня, несмотря на значительные успехи, в ходе становления демократии в Гаити предстоит решить еще много задач.

Despite significant advancements, today Haiti’s nascent democracy continues to face many challenges.

Разумеется, нам предстоит решить еще много задач.

Тем не менее остается еще много задач.

У развивающихся стран остается много задач.

Перед НАФО стоит много задач и трудностей в деле сохранения и оптимального использования рыбных ресурсов, находящихся под ее управлением.

NAFO has faced many challenges to the conservation and optimum utilization of the fishery resources under its management.

Что касается Центральноафриканской Республики, то мы должны признать, что нам предстоит решить еще много задач, если мы действительно хотим достичь целей в области развития, сформулированных в Декларации тысячелетия (ЦРДТ), в установленные сроки.

In the case of the Central African Republic, we must acknowledge that many challenges remain to be addressed if we are to truly strive to achieve the Millennium Development Goals (MDGs) within the agreed time frame.

В этих двух посланиях был признан огромный прогресс, достигнутый в Афганистане, однако отмечалось, что остается решить много задач, и в них содержалось также приветствие в связи со своевременным созывом этой Группы.

They both acknowledged the tremendous progress that had been accomplished in Afghanistan but noted that many challenges remained, and they welcomed the timely convening of the Panel.

Перед нами стоит много задач, но нет более безотлагательной, чем преодоление «эпидемии» спада, распространяющейся от находящихся в затруднительном положении стран и грозящей охватить мировую экономику.

We face many challenges, but none more immediate than the contagion of recession spreading from those countries currently in difficulty to affect the wider world economy.

Хотя мы с полным основанием можем приветствовать достигнутый менее чем за 10 лет прогресс, предстоит еще решить много сложных проблем, воспользоваться многочисленными возможностями и коллективно выполнить много задач.

Although we can legitimately rejoice in the progress made in less than a decade, there are still many challenges to be met, many opportunities to be seized and many tasks to be carried out collectively.

Вопрос о защите гражданских лиц в вооруженном конфликте не является новым пунктом в повестке дня, но, как показывает план действий, существует еще много задач, которые предстоит выполнить.

The protection of civilians in armed conflict is not a new agenda item, but, as the road map demonstrates, there are still many tasks to be carried out.

Тем не менее перед правительством по-прежнему стоит много задач, таких, как ликвидация гендерных стереотипов, обеспечение доступа девочек к образованию, насилие и разрыв между законами и их осуществлением.

Nevertheless, many challenges, such as gender stereotyping, girls’ access to education, abuse, and gaps between the laws and their enforcement, still confronted the Government.

Более того, сегодня перед миром стоит много задач, требующих общей мобилизации сил всех государств, в том числе и Китайской Республики, чье участие в усилиях по достижению мира и развития во всем мире уже высоко ценится.

Furthermore, there are many challenges facing the world today requiring the general mobilization of all States, including the Republic of China, whose participation in efforts for peace and development throughout the world is already highly appreciated.

Хотя справедливо то, что на сегодняшний день достигнуты конкретные результаты, справедливо также и то, что остается решить еще много задач.

Although it is true that concrete progress has been made to date, it is also true that many challenges remain.

Есть много задач, которые не следует ставить перед миротворческими силами Организации Объединенных Наций, и есть много мест, в которые их не следует посылать.

There are many tasks which United Nations peacekeeping forces should not be asked to undertake and many places they should not go.

У Тербовена много задач…

context.reverso.net

Как внедрить в подсознание несколько задач?

Как внедрить в подсознание несколько задач сразу и так, чтобы они были 100% исполнены?

Задумайтесь на секунду…

Вероятно, у вас, как и у других людей, иногда появляется куча неотложных дел, которые требуют срочного решения? А вы хотели бы, чтобы все они разрешались быстро, наилучшим образом и как бы сами собой?

Если да, то читайте дальше очень внимательно..

Вспомните свое детство, сказку “Золотая рыбка”. Помните?

…Первый раз забросил старик невод… Второй раз пришел к синему морю…

К чему это я? Да к тому, что именно так выглядит обычная работа с подсознанием.

Ведь большинство людей может давать своему подсознанию только одно поручение за один раз. 

Но как это неудобно…

(Всякий раз, чтобы внедрить новое задание, нужно заново настраиваться на работу, входить в транс… К тому же подсознание может отклонить ваш запрос или “поставить его в очередь”… И сколько времени понадобится на выполнение? Ответ знает только ваше подсознание!)

НО!

Я могу давать своему подсознанию сразу много задач!

У меня есть личный способ сделать это!

Причем со сто % уверенностью, что все мои желания будут исполнены, как по велению волшебной палочки. Для этого существуют 2 особые техники… Это просто и быстро!

При этом срок исполнения будет не три месяца (к примеру), а значительно быстрее – буквально за один раз.

Для этого в дополнение к методам внедрения многозадачных поручений есть одна особая фишка!

Я открою вам свой личный и многократно проверенный секрет!

Рассказываю подробнее…

Однажды у меня скопилось много важных дел, решение которых зависело не только от меня, но и от внешних обстоятельств. Мне нужно было найти хорошего редактора, который помог бы мне улучшить мой сайт, нужно было дописать книгу, подготовить рекламную кампанию по одному проекту и ответить на целую кучу писем.

Я всегда давал поручения своему подсознанию, но в этот раз задач было слишком много, а времени не было. Я запросил информацию в инфополе и получил два удивительных метода. Оказалось все очень просто!

Просто ложишься, делаешь кое-что, и – вуаля…

Все! Подсознание сразу начинает работать над всеми загруженными в него заданиями!

Уже в этот день мне пришли важные идеи по книге, отвечая на письма (на этот раз удивительно легко и быстро), я познакомился с одной девушкой, которая оказалась отличным редактором. А на следующее утро я  покупаю  газету, читаю заголовок, в голову тут же приходит план рекламного проекта! Я набросал его за 10 минут, а позже он принес мне несколько миллионов!

Все, что мне оставалось после работы с методом – только использовать приходящие возможности!

К тому же все обстоятельства словно шли мне навстречу, было ощущение, что какая-то сила помогает сделать все наилучшим образом!

Именно так работает метод!

А все, что нужно делать, я вам расскажу.

Получив этот особый документ в свое распоряжение, вы сможете:

1. внедрить в свое подсознание за один раз много задач;

2. сделать так, чтобы оно их точно услышало и сразу начало работу;

3. в разы сократить сроки исполнения желаний (целей).

И вот что удобно!

Даже если вы не успеете проговорить про себя все свои желания, подсознание в момент такой особой работы услышит все, что вы хотели ему поручить. Даже отдельные обрывки мыслей!!!

Что можно поручить своему подсознанию?

Да все что угодно!

Дать вам прибыльную бизнес-идею, пока вы спите, послать решение сложной ситуации, дать ответы на важные для вас вопросы, подготовить определенные события…

При этом ваши желания начнут сбываться очень и очень быстро! Хотите?

Тогда у меня для вас супер приятный сюрприз!

Получите сегодня 2 лучших метода внедрения “Многозадачных поручений подсознанию” и одну уникальную фишку (благодаря которой подсознание вас 100% услышит) по этой привлекательной цене!

Всего – 350 р.! Чтобы быстро получить метод, просто перейдите по ссылке и следуйте инструкции >>>

И БОЛЕЕ ТОГО, Я ДАЮ ВАМ 100% ГАРАНТИЮ СВОЕЙ ЛИЧНОЙ ПОДДЕРЖКИ!

Я всегда поддерживаю связь со своими подписчиками и обязательно отвечаю на все вопросы. Если в процессе практики что-то пойдет не так, или вы захотите что-либо уточнить, я всегда вам помогу. Возможно, отвечу не сразу, так как писем в моей почте каждый день очень много, но гарантирую, что непременно отвечу.

Мой личный адрес: [email protected]

P.S. И не ищите в интернете, этой информации там просто нет!

Просто перейдите по ссылке и следуйте инструкции >>>

С уважением, Александр Клинг

 

omkling.com

Что делать, если много задач и мало времени?

Видеомаркетинг —
мощный инструмент продвижения

Что делать, если много задач
и мало времени?

Искусство управлять временем называют тайм-менеджментом. Это целая наука, о том, как сосредоточиться на важных вещах и успеть сделать запланированные дела в срок. Женский портал Women’s Time расскажет что делать, если много задач и мало времени на их выполнение. Давайте разбираться вместе!

Каждому человеку в сутки отведено 24 часа на выполнение тех или иных действий. Ни больше, ни меньше. Почему же тогда одним удается справляться с поставленными задачами, а другие вечно находятся в хаосе, не успевая выполнить и часть запланированных дел? Мы согласимся, что у каждого человека разная степень сложности выполняемых задач. Например, ученик, который должен отсидеть необходимое время в школе, затем выполнить домашнее задание и может идти гулять. Или же бизнесмен, который работает и днем, и ночью. Но тем не менее, любой человек способен научиться управлять временем, сделав свой день чуточку легче и выделив пару свободных часиков для себя или семьи, что является немаловажным.

Главное – не паниковать! Если вы постоянно будете переживать насчет того, что не успеваете выполнять свою работу в срок, то ничего хорошего из этого не выйдет.

Лучше заострить внимание на тех действиях, которые отнимают ваше свободное время в течение дня.

Они могут быть вполне безобидными, например использование социальных сетей для общения или развлечений. Если вы каждый час заходите на свою страничку проверить обновления, даже на 10 минут, в общей сумме вы тратите на просиживание в социальных сетях около нескольких часов в день, а это достаточно много, согласитесь. Если поставлено много задач и мало времени на их выполнение, рекомендуем несколько подробнее изучить основы тайм-менеджента, которые помогут быстро и эффективно выполнять работу, затрачивая минимум усилий на ее выполнение. Звучит нереально, но это действительно так. Попробуйте и сами убедитесь на личном опыте.

Вы можете задать вопрос психологам Women’s Time Оксане и Сантошу Тумадин и получить ответ, совет, рекомендации по решению различных ситуаций.

Смотрите видеоуроки психологов журнала Womens Time

 

womenstime.ru

Учёные доказали, что сотрудники, перед которыми ставят много задач, имеют низкую производительность труда

Бытует мнение, что многозадачность снижает вашу производительность. Новое научное исследование подтвердило это. Оказывается, выполнение нескольких дел одновременно мешает эффективной мозговой активности.

Это стало нормой

Работа современных офисных сотрудников перестала быть похожей на нудную рутину. Люди отвечают на телефонные звонки, отвлекаются на обсуждения с коллегами и выполняют свою непосредственную задачу за один промежуток времени. Давно стало нормой, когда задачи не сменяют друг друга в логичной последовательности, а окружают вас плотным кольцом. Когда-то этот метод выполнения работы был признан наиболее эффективным. Прогрессивные сотрудники отчего-то решили, что, если хвататься за несколько дел сразу, успеешь намного больше, в сравнении с теми, кто этого не делает.

Одна задача за один раз

Однако результаты нового исследования опровергают современные представления о профпригодности. Эксперты утверждают, что лучше стремиться к последовательному выполнению дел, чем практиковать многозадачность. Ученые хотели «заглянуть» в мозг добровольцам, которые смотрели короткие отрывки популярных кинофильмов о Джеймсе Бонде, Индиане Джонсе и всеми любимого мегаблокбастера «Звездные войны».

Последовательный сбор информации

Когда вы смотрите кинофильм, мозг собирает информацию о последовательности сюжетных эпизодов и обрабатывает ее. Это дает вам возможность вникнуть в происходящее на экране. Если одновременно с просмотром вы начинаете обращать внимание на что-то, не имеющее отношения к фильму, увлекательная цепочка последовательности, выстроенная мозгом, прерывается. Переключив свое внимание обратно, вы должны приложить определенные усилия, для того чтобы восстановить сюжетные нюансы в памяти.

Эксперименты

Всего было проведено два эксперимента. В ходе первого из них участники последовательно просматривали 6,5-минутные отрывки из каждого фильма. Во втором эксперименте эти же куски были раздроблены на 50-секундные части и демонстрировались добровольцам в произвольной хронологии. Таким образом, имитировалась современная многозадачность, когда работник выполняет свои поручения в случайной последовательности, постоянно отрываясь от основного дела.

Что показало сканирование мозга?

Сканирование мозговой активности проводилось с помощью функциональной МРТ. Исследователям удалось выявить, что участки мозга, отвечающие за сочетание отдельных частей информации в целую цепочку, работали более эффективно, когда добровольцы смотрели отрезки фильмов целиком. В том случае, когда указанные куски были разбиты на отдельные сегменты и демонстрировались в случайной последовательности, мозговая активность снижалась.

В заключение

Полученные данные говорят нам о том, что лучше выполнять за один раз только одну задачу, поэтому не стремитесь концентрировать свое внимание на нескольких делах сразу.

Именно об этом говорит нам соавтор исследования, доцент университета Аалто в Хельсинки, Лиро Йескеляйнен: «Вы попадаете в ловушку многозадачности, но вместо реальных успехов вы имеете лишь чувство неполноценности».

fb.ru

Много процессов chrome.exe в диспетчере задач: попытка решить проблему

Всем привет Если вы часто пользуетесь Хромом, то наверно вы знаете, что этот браузер любит много плодить процессов chrome.exe, которые очень аппетитно кушают оперативу… Процесс chrome.exe это только от Хрома. Но тут еще такой прикол, все браузеры, которые основаны на нем, у них такая же проблема. В той же Опере, в Яндекс Браузере, везде куча процессов, потому что все это хромовская семейка

Бороться с этими процессами особо смысла нет, потому что это нормально. Хром так задуман, чтобы работать на нескольких процессах. Дело в том, что каждый процесс имеет свою задачу, но большинство процессов это и есть вкладки (так было раньше, сейчас вроде что-то поменялось, ну или мне показалось). Вот например у браузера Мозиллы такой ерунды нет, там один процесс и есть браузер, все, больше нет. Какие-то дополнительные процессы у Мозиллы тоже есть, но вот скажу честно, что я их просто в диспетчере завершил а потом удалил из папки Мозиллы. И все, больше они меня не достают, а браузер работает стабильно и без них.

С Хромом так не получится, ну что бы там что-то удалить и это решит проблему. Вот смотрите, например я запустил Яндекс Браузер и там открыта всего одна вкладка, но при этом вот сколько процессов browser.exe в диспетчере задач:

То есть тут целых восемь процессов browser.exe и что они делают, это известно только разработчикам! Когда я запустил браузер Opera (тоже была открыта только Экспресс-панель), то ситуация почти повторилась, тут мы видим шесть процессов opera.exe и один opera_crashreporter.exe:

Но что за процесс этот opera_crashreporter.exe? Ну тут ничего секретного нет, как видно из названия, этот процесс обеспечивает доставку инфы о ошибках в центр разработки. Ну примерно как-то так

Что Яндекс Браузер, что Опера, все они основаны на хромовском движке, поэтому для них много процессов, это нормально. Сейчас только Мозилла вроде работает на одном процессе. А вот по поводу Internet Explorer даже не знаю что сказать, вроде бы у него не было много процессов, но вот сейчас для интереса открыл в нем десять вкладок и создалось примерно столько же процессов (не считал сколько). Кстати, открывать много вкладок в Internet Explorer, это прямой путь к тормозам…

Что делать, какое решение есть или все пропало? Нет, ничего не пропало, решение реально есть. Вся фишка заключается в том, что есть специальный плагин для Хрома, который отправляет неактивные вкладки в спячку. Вы можете вручную указать, через сколько нужно времени неактивной вкладке переходить в спящий режим. В итоге получается так, что если например у вас открыто где-то несколько десятков вкладок, но вы сидите на одной, то остальные через некоторое время уснут. И оперативка, которая была выделена для вкладок, освободится. А когда вы нажмете на спящую вкладку, то она проснется. Ну, надеюсь что понятно все обьяснил

Плагин я этот знаю давно, однако я им не пользуюсь, ибо основной мой браузер это Мозилла. Даже название его забыл, но я хорошо помню, что плагин работал четко и без глюков. Покопавшись в интернете, я быстро вспомнил название этого плагина, он называется The Great Suspender.

Вот ссылка на загрузку плагина:

https://chrome.google.com/webstore/detail/the-great-suspender/klbibkeccnjlkjkiokjodocebajanakg

Как видите, ссылка большая и если вдруг она работать не будет, то ищите плагин просто по его названию. Ну то есть пишите в Гугле типа такого:

Google Chrome The Great Suspender

И потом выбираете в результатах ссылку на официальное хранилище плагинов.

На самой странице плагина вам нужно нажать на Установить:

Потом нажимаете снова Установить, уже вот в этом окошке:

После этого у вас появится иконка в правом верхнем углу, если ее нажать то откроется такое меню:

Вот тут чтобы попасть в настройки, то нужно нажать Settings, ну, думаю что это и так понятно. В общем идем в настройки, вот как они выглядят:

Теперь смотрите, самая главная опция, это то меню, где написано 1 hour, это тут вы можете указать через сколько времени бездействия стоит вкладке засыпать. Потом идет опция Do not suspend pinned tabs, эта галочка запрещает или разрешает засыпать закрепленным вкладкам. Вторая галочка, Do not suspend tabs that contain unsaved form inputs, это что мол не стоит засыпать, если на вкладке есть какие-то поля для текста, в которые вы вводили какой-то текст, ну что-то вроде этого. Еще есть крутая галочка Automatically unsuspend when tab gains focus, это вообще круть, короче когда вы наводите мышкой на вкладку, то она автоматом просыпается.

В самом низу есть еще важная опция Enable screen capturing, это чтобы когда вкладка заснула, то когда вы активируете ее потом, то чтобы вместо надписи Tab suspended Click to reload был снимок страницы. В общем как видите, сделано все очень удобно

Я в настройках выставил, чтобы вкладки засыпали в течении двадцати секунд. Что мне не понравилось, это то, что вкладки на самом деле не засыпают, а просто удаляются. Ну может я ошибаюсь, но у меня такое сложилось впечатление. То есть удаляется именно содержимое вкладки, а когда вы нажимаете на вкладку, то страница просто заново загружается.

Я открыл Яндекс поисковик, потом, через 20 секунд вкладка стала бледной (заголовок вкладки):

Когда я нажал на саму вкладку, то было такая надпись:

То есть одно нажатие и вкладка восстановлена. Вверху есть еще такая надпись как:

Add www.yandex.ru to whitelist

Это чтобы добавить сайт в белый список и он больше не будет засыпать.

Ну то есть все это работает, никаких глюков мной замечено не было. Теперь давайте я сделаю эксперимент. Я открою десять вкладок в Хроме, просто что-то наберу в поиске и открою десять вкладок. И потом сравню картину в диспетчер ДО и ПОСЛЕ. Вот смотрите, открыты десять вкладок, есть там и немного тяжелые сайты, но в диспетчере всего семь процессов chrome.exe:

Теперь через полминуты, ну чтобы уж точно все вкладки ушли в спячку, то я снова посмотрел в диспетчер и увидел там уже такую картину:

Кстати, я все вкладки проверил, все уснули

Итак, что мы видим во второй картинке. Процессов также осталось семь, но уже они куда меньше потребляют оперативы! Насколько меньше, не считал, но точно в пару раз меньше. Кстати внизу еще можете посмотреть на Загрузка ЦП, как видите нагрузка на процессор тоже прилично упала (хотя наверно без плагина эффект был примерно такой же). Вкладки реально засыпают, правда не так, как может показаться вначале, просто удаляется содержимое страницы, а потом, когда вы нажимаете на саму вкладку, то страница снова загружается. Впрочем я уже об этом писал

Ну что, какой вывод можно сделать? Я не думаю, что это суперское решение. Однако, если у вас часто открыто много вкладок в Хроме, то плагин The Great Suspender поможет вам сэкономить оперативочку.

То, чем мне не нравится The Great Suspender, я уже написал, что он на самом деле не уводит вкладку в спящий режим (то есть нет такого механизма как свопинг), а тупо удаляет содержимое вкладки. А потом просто загружается страница заново. Ну мне это не нравится, с таким успехом лучше оптимизировать работу с закладками. Но это мне не нравится, а вам то может и понравится

Ну что ребята, вроде бы все, надеюсь что все тут было вам понятно и что данная инфа вам пригодилась. Удачи вам и хорошего настроения

На главную! Google Chrome 01.10.2018

virtmachine.ru

Симплекс метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает задачу линейного программирования симплекс методом. Дается подробное решение с пояснениями. Для решения задачи линейного программирования задайте количество ограничений и количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите в статье: Решение задачи линейного программирования. Симплекс метод.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Симплекс метод

Симплекс метод − это метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП). Суть метода заключается в нахождении начального допустимого плана, и в последующем улучшении плана до достижения максимального (или минимального) значения целевой функции в данном выпуклом многогранном множестве или выяснения неразрешимости задачи. Подробнее в статье: Решение задачи линейного программирования. Симплекс метод.

Примеры решения ЗЛП симплекс методом

Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:

Р е ш е н и е. Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x₀ записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последняя строка — это целевая функция, умноженная на −1. Последние три векторы столбцы обазуют базис в трехмерном пространствое. Следовательно базисные переменные , а свободные переменные :

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x₂. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x₃. Сделаем исключение Гаусса для столбца x₂, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x₁. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x₄. Сделаем исключение Гаусса для столбца x₁, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение можно записать так: .

Значение целевой функции в данной точке: F(X)=.

Пример 2. Найти максимум функции

при условиях

Р е ш е н и е. Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x₀ записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последняя строка — это целевая функция, умноженная на −1:

Базисные векторы x₄, x₃, следовательно, все элементы в столбцах x₄, x₃, ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x₄, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x₃, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.

Симплекс таблица примет вид:

какое будет число отрицательное или положительное. если плюс делить на минус 2. если плюс делить на плюс

Если плюс делить/умножать на минус — отрицательное. Если плюс делить/умножать на плюс — положительное. Если минус делить/умножать на минус — положительное.

Если плюс делить/умножать на минус — отрицательное. Если плюс делить/умножать на плюс — положительное. Если минус делить/умножать на минус — положительное.

Если плюс делить/умножать на минус — отрицательное. Если плюс делить/умножать на плюс — положительное. Если минус делить/умножать на минус — положительное.

Если плюс делить/умножать на минус — отрицательное. Если плюс делить/умножать на плюс — положительное. Если минус делить/умножать на минус — положительное.

Я так понимаю — вы копируя ответы друг друга, пытаетесь проявить собственную интеллектуальность?

,,+»на,, -«=„-» ,,-«на,, -«=„+» ,,+»на,, +»=,,+»

Примеры деления рациональных чисел. 10 : 5 = 2, так как 12 · 5 = 10 (−4) : (−2) = 2, так как 2 · (−2) = −4 (−18) : 3 = −6, так как (−6) · 3 = −18 12 : (−4) = −3, так как (−3) · (−4) = 12

Если плюс делить/умножать на минус — отрицательное. Если плюс делить/умножать на плюс — положительное. Если минус делить/умножать на минус — положительное.

Если плюс делить/умножать на минус — отрицательное. Если плюс делить/умножать на плюс — положительное. Если минус делить/умножать на минус — положительное.

touch.otvet.mail.ru

как минус 1 умножить на минус 4

это вычисление делается в уме. получается плюс четыре!

-1*-4=4 минус на минус дает плюс.

1умножаешь на 4и ставишь знак —

согласна с андреем хотя…. мне кажется что получается -4!))

молча… 4 будет

я согласна с тем что -1*(-4)=4

touch.otvet.mail.ru

что первое? умножение, деление, минус, плюс? как?

первое — возведение в степень

умножение деление — подряд потом остальное

умножение или деление — по порядку например 1:2х3 — первое деление, второе умножение или 1х2: 3 здесь уже первое умножение потом минус или плюс — по порядку.

смотря какое уравнение или пример, может там скобки !

умнож, плюс, делен, минус

1+2*3. первое 2*3, второе 1 + 6 1+2/3-4*5 первое 2/3, потом 4*5, потом 1+ответ2/3, затем ответ1+2/3*4*5 Т. е. Первые умножение и деление в зависимости от положения в примере, затем плюс и минус тоже в зависимости от положения. Если есть скобки, то независимо от знака, скобки первые.

первое деление втарое умножение третие плюс минус а если скобка то первое

? zy gf Ученик (66), Вопрос на голоcовании 2 года назад 1 Нравится Ответить ГОЛОСОВАНИЕ ЗА ЛУЧШИЙ ОТВЕТ Free Sweeper 2 года назад Оракул (51827) первое — возведение в степень 0/1 1 Нравится Пожаловаться Всего за 187 руб Чесноков Александр Семенович Математика. 5 класс. Дидактические материалы. Практикум labirint.ru Аванс только 75-летним! Агентство недвижимости по выкупу квартир. Выкупим за 1 день. Максимальная цена. kvbyro.ru green flower 2 года назад Просветленный (35009) умножение деление — подряд потом остальное 0/1 Нравится Пожаловаться Д К 2 года назад Оракул (60266) умножение или деление — по порядку например 1:2х3 — первое деление, второе умножение или 1х2: 3 здесь уже первое умножение потом минус или плюс — по порядку. 1/1 1 Нравится Пожаловаться marina 2 года назад Профи (752) смотря какое уравнение или пример, может там скобки ! 0/1 Нравится Пожаловаться S.A. 2 года назад Знаток (268) умнож, плюс, делен, минус 0/1 Нравится Пожаловаться savka savka 2 года назад Ученик (241) 1+2*3. первое 2*3, второе 1 + 6 1+2/3-4*5 первое 2/3, потом 4*5, потом 1+ответ2/3, затем ответ1+2/3*4*5 Т. е. Первые умножение и деление в зависимости от положения в примере, затем плюс и минус тоже в зависимости от положения. Если есть скобки, то независимо от знака, скобки первые. 0/1 Нравится Пожаловаться Анжелина Камалетдинова 3 месяца назад Ученик (103) первое деление втарое умножение третие плюс минус а если скобка то первое 0/1 Нравится Пожаловаться Введите текст ответа ФотоВидеоИсточник: Символов: 3800 Ответить Нажимая на кнопку, вы принимаете условия пользовательского соглашения ПОХОЖИЕ ВОПРОСЫ что первее решается минус или плюс? Елена Сибирцева в «Прочее образование», 4 года назад• 13 ответов что делается первым умножение или деление в математике ДанкаС: в «Естественные науки», 6 лет назад• 20 ответов сколько будет: два плюс два и умножить на два…. probe в «Детские сады», 8 лет назад• 25 ответов Что первее идет деление или умножение? oleg begunov в «Домашние задания», 11 месяцев назад• 3 ответа Подскажите мне пожалуйста что то я совсем запуталась с дочерью в примере что первое делается сложение или умножение ? Вероника Ткач в «Домашние задания», 6 лет назад• 28 ответов

touch.otvet.mail.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

График функции y = 1/cos(x)^(2)

Решение

          1   
f(x) = -------
          2   
       cos (x)

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$$

(0, 1)

(0, 1)

(pi, 1)

[pi, oo)

(-oo, 0]

True

True

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале «Молодой ученый»



Известно, что решение некоторых теоретических и практических задач, а также моделирование некоторых физических процессов требует определение границ отрезков (интервалов) в которых находятся корни кубического уравнения с действительными коэффициентами.

В данной статье предлагается способ, с помощью которого можно определить аналитический вид вершин таких границ.

Ключевые слова: кубическое уравнение, действительные корни, многочлен, конечные промежутки, аналитический, границы.

It is known that the solution of some theoretical and practical problems, as well as the modeling of certain physical processes, requires the determination of the boundaries of segments (intervals) in which the roots of a cubic equation with real coefficients are located.

In this article, we propose a method by which we can determine the analytical form of the vertices of such boundaries.

Keywords: cubic equation, real roots, polynomial, finite intervals, analytic, boundaries.

Нахождение конечных отрезков, в которых может находиться каждый из действительных корней, имеет большое практическое значение для инженеров.

Существуют различные методы решения кубических уравнений. Эти методы разделяются на аналитические (точные) и численные. Аналитическим методам относятся метод Карно, тригонометрический способ Виета, использование возвратных уравнений и т. д. [1,2,3].

Численным методам можно отнести методы Ньютона (касательных, хорд и их совместное применение) [1,2], метод Горнера, Лобачевского, метод итерации, деления отрезка пополам, метод скоростного спуска и т. д. Каждый из этих методов имеют свои плюсы и минусы.

Предложенный мною способ находится как бы между точным и численным методами. Так что если кубическое уравнение имеет два или три одинаковых корня, то этот способ позволяет точно аналитическими формулами найти эти корни. Однако если кубическое уравнение имеет три различных действительных корней, то устанавливаются три интервала вершины которых задаются аналитически.

Аналитическое задании вершин интервалов в которых находятся действительные корни кубических уравнений позволяют установить пределы изменения физических параметров входящих в эти уравнения.

Как известно [1], для нахождения критических точек и интервалов возрастания и убывания мы поступаем следующим образом. Сначала делаем подстановку . Тогда получаем:

.

Пусть . Подставляяполучаем:

Следовательно, еслито

Другими словами прифункция возрастающая. А если возможно три случая:

1) в промежутке функция возрастающая;

2) в промежутке функция убывающая;

3) в промежутке функция возрастающая.

С другой стороны если подставитьито прифункция возрастающая, а при

а) в промежутке функция возрастающая;

б) в промежутке функция убывающая;

с) в промежутке функция возрастающая.

Таким образом понятно, что второй корень находится в промежутке.Предположим, что одним из корней уравненияявляется x_o.

Тогда,

или ,

Сравнивая последнее уравнение с уравнением , получаем:

Таким образом, одним из корней является, другие две корня являются решением уравнения или .Для этого. Тогда

Определим промежуток, в котором находятся корни x_o:Тогда

Как видно эти корни находятся в промежутке.

Пусть. Здесь.

Условие равенство возможно при.

Следовательно, при

при

А теперь предположим, чтоТогда . Здесь Следовательно

, здесь

.

Так как,то

Таким образом в этом случае получается

То есть

Аналогично можно показать чтo при

.

Если все три корни равны, тоЗдесь получаем

Так как , то В этом случаеКак видим, если два или все три корня равны, то они совпадают с одной из точек .Можно показать, что в этом случае график функции касается оси абсцисс.

Действительно, если функция имеет вид ,, тогдаиТаким образом в точке уравнение касательной будет. А это и есть уравнение абсциссы.

В этом случае график функции при

А при

Таким образом, если нам дано уравнение в виде , то вычисляются значение выражений,D=и определяется знак D. Если Dто уравнение имеет три действительных корня. При этом если , то один из корней отрицательный, а если , то уравнение не имеет отрицательных корней. В случае когда , то график функции в одной точке пересекает, а в другой касается оси абсцисс то есть два корня совпадают. Если все три корня равны, то . А теперь рассмотрим случайВ этом случаеи график функции с осью абсцисс имеет всего одну точку пересечения. Найдем абсциссу этой точки.

Пусть . Тогда

Отсюда получаемили.

Здесь, если ,то. В этом случае все три корня совпадают.

Это точка является точкой перехода. Действительно приполучаем , и в этой точке .

С другой стороны, так как

,то при получаеми. То есть в этой точке касательная совпадает с осью абсцисс и график функции является кубической параболой.

Рассуждая аналогическим образом, можно показать, что при и

1) если , то ;

2) если , то

здесь . А при и

1) единственный корень уравнения находится в промежутке ;

2) а при единственный корень уравнения находится в промежутке .

Таким образом, в данной статье предлагается способ, с помощью которого можно определить аналитический вид вершин границ отрезков (интервалов), в которых могут находиться корни кубических уравнений.

Литература:

1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — Изд 7-е стереотипное. – М: Государственное издательство технико-теоретической литературы, — с.138–139.
2. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа — М.: Наука, 1968.
3. Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. — M.: Наука 1972.

Основные термины (генерируются автоматически): корень, кубическое уравнение, ось абсцисс, промежуток, график функции, уравнение, единственный корень уравнения, случай график функции, функция, образ.

moluch.ru

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы.

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы.

Кубическим уравнением называется уравнение вида

ax³ + bx² + cx +d = 0 , (1)

где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, а х — переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Δ= -4b³d + b²c² — 4ac³ + 18abcd — 27a²d².

Итак, возможны только 3 следующих случая:

• Δ > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
• Δ < 0 — уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
• Δ = 0 — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2умя совпадающими корнями, и еще 1ним отличным от них, либо с уравнением с 3емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результант его и его второй производной равен нулю)

На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень α. Затем делим многочлен на (х- α), (если α корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.

Формула Кардано.

Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).

Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида

y³ + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

x= y — b/3a (3)

p= — b²/3a² + c/a

q= 2b³/27a³ — bc/3a² + d/a

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

Q=(p/3)³ + (q/2)²

α = (-q/2 + Q^1/2)^1/3

β = (-q/2 — Q^1/2)^1/3

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Δ = — 108Q

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

y₁= α + β

y₂= — (α + β)/2 + (3^1/2(α — β)/2)i

y₃ =- (α + β)/2 — (3^1/2(α — β)/2)i

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y₁. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y₂, y₃ и подставьте их в (3).

Если Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y₁, y₂, y₃ и подставьте их в (3).

Если же Q =0, то все корни уравнений (1) и (2) вещественные, причем как минимум 2 корня каждого из уравнений совпадают. При этом имеем

α = β, и

y₁=2α,

y₂= y₃ = — α. Аналогично подставляем в (3) и получаем ответ.

Тригонометрическая формула Виета.

Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения, то есть уравнения вида

x³ + ax² + bx +c = 0 (4)

 

Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

Итак, алгоритм применения этой формулы:

1. Вычисляем

Q=(a²— 3b)/9

R=(2a³ — 9ab + 27c)/54

2. Вычисляем

S = Q³ — R²

3. a) Если S>0, то вычисляем

φ=(arccos(R/Q^3/2))/3

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

x₁= — 2(Q)^1/2cos(φ) — a/3

x₂= — 2(Q)^1/2cos(φ+2π/3) — a/3

x₃= — 2(Q)^1/2cos(φ-2π/3) — a/3

б) Если S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Вычисляем

φ=(Arch( |R|/|Q|^3/2)/3

Тогда

единственный корень (вещественный): x₁= -2sgn(R)*|Q|^1/2*ch(φ) — a/3

Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

x₂= sgn(R)*|Q|^1/2*ch(φ) — a/3 +(3|Q|)^1/2 sh(φ)i

x₃= sgn(R)*|Q|^1/2*ch(φ) — a/3 -(3|Q|)^1/2sh(φ)i

 

ГДЕ:

ch(x)=(e^x+e^-x)/2

Arch(x) = ln(x + (x²-1)^1/2)

sh(x)=(e^x-e^-x)/2

sgn(x) — знак х

в) Если S=0,то уравнение имеет меньше трех различных решений:

x₁= -2*R^1/3 — a/3

x₂=x₃=R^1/3 — a/3

tehtab.ru

Примеры решений кубических уравнений

Обзор методов решения кубических уравнений приведен на странице “Решение кубических уравнений”. Здесь мы приводим два примера, используя формулы Кардано и Виета.

Пример решения кубического уравнения с комплексными корнями

Решить кубическое уравнение:
(1.1)   .

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (1.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, не содержит ли это уравнение целых корней. Член без – это 1. У числа 1 есть два делителя: 1 и – 1. Подставим в уравнение (1.1) и . Ни для одного из этих чисел уравнение не выполняется. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

Пусть обозначают коэффициенты при , и свободный член. Делаем подстановку
(1.2)   .
В результате получаем уравнение приведенного вида:
(1.3)   ,
где
;
.

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Для этого находим дискриминант:
.
Дискриминант положителен. Следовательно, уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных.

Нахождение корней по формуле Кардано

Поскольку дискриминант положителен, то находим корни по формуле Кардано:
,   ,
где
;   ;   .
При , для величин и , можно взять действительные значения корней. Тогда соотношение     выполняется автоматически.

В нашем случае:
;
;
;
;
;
;
;


;
.

Итак, мы нашли корни неполного кубического уравнения. По формуле (1.2) находим корни исходного уравнения:
.

Ответ

;


;


.

Пример с действительными корнями

Решить кубическое уравнение:
(2.1)   .

Решение

Поиск целых корней

Уравнение (2.1) имеет целые коэффициенты. Проверим, нет ли у этого уравнения целых корней. Свободный член – это 1. У него есть два делителя: 1 и – 1. Подставим в уравнение (2.1) и . Уравнение не выполняется ни для одного из этих чисел. Следовательно, целых корней нет.

Сведение уравнения к приведенному виду

В исходном уравнении (2.1),
.
Делаем подстановку
(2.2)  
и приводим уравнение (2.1) к приведенному (неполному) виду:
(2.3)   ,
где
;
.

Определение вида корней

Определяем, имеет ли уравнение комплексные корни. Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен. Следовательно, уравнение имеет три действительных корня.

Нахождение корней по формуле Виета

Поскольку дискриминант отрицателен, то находим корни по формуле Виета:
;
;
;

;

.

Итак, мы нашли корни приведенного кубического уравнения. По формуле (2.2) находим корни исходного уравнения:
.

Ответ

;
;
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 02-10-2016

1cov-edu.ru

Кубические уравнения, формулы и примеры

Определение и формула кубического уравнения

Решение таких уравнений всегда можно найти с помощью формул Кардано (Джероламо (Джироламо, Иероним) Кардано (1501-1576) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог).

Формулы Кардано — формулы для нахождения корней приведенного кубического уравнения

   

К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение общего вида (1) заменой . Коэффициенты уравнений (1) и (2) после такой замены связаны соотношениями:

   

Решение приведенного кубического уравнения (2) ищем в виде

   

После подстановки уравнение сводится к виду

   

Функции и выбираются так, чтобы слагаемое

   

Для нахождения функций и нужно решить систему

   

которая после замены , приводится к системе

   

Согласно теореме Виета, значения и являются корнями квадратного уравнения

   

Откуда

   

Выполняя обратную замену, находим три такие пары и , удовлетворяющие условию . А тогда находим три корня уравнения (2) , откуда .

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Кубическое уравнение, Корни кубического уравнения, Дискриминант кубического уравнения, формула Кардане

Кубическим называется уравнение:

Это уравнение с помощью формулы x = z — а/3 можно привести к виду: Корни кубического уравнения вычисляются по формуле z = u+v (формула Кардане) Все три корня уравнения определяются следующими формулами: где u1 — любое из трех значений и, определяемых первой из формул, v1 — то из трех значений v, которое соответствует u на основании равенства

Дискриминантом кубического уравнения называется выражение

Из уравнения при D 0 — три различных действительных корня.

Замечание. Третий случай ( D > 0 ) называется неприводимым. В этом случае все корни уравнения с действительными коэффициентами являются действительными, однако для нахождения их по формуле z = … следует извлекать кубические корни из комплексных чисел.

Формула называется формулой Кардане. Правило, соответствующее этой формуле, впервые опубликовано в книге итальянского ученого Д. Кардане «Великое искусство или о правилах алгебры» (1545). Это правило решения кубического уравнения было получено ранее (1535) другим итальянским математиком Н. Тартальей.

Пример решения кубического уравнения смотрите ниже

 

Примеры работ

Материалы сайта

Обращаем Ваше внимание на то, что все материалы опубликованы для образовательных целей.

univer-nn.ru

Формулы квадратного и кубического уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида
$ax^2 + bx + c = 0 $
Оно может иметь один корень, два или ни одного (в поле вещественных чисел).
Сначала нужно вычислить дискриминант $D=b^2-4ac $, если:

• $D > 0$, уравнения имеет два корня;
• $D = 0$, уравнение имеет один корень;
• $D

Корни ищем по формулах:
$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$;
$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$.

Вы можете посмотреть, как данные формулы применяется на практике на странице онлайн решения квадратного уравнения уравнения или же в специальном видео-уроке!

Кубическим уравнением называется уравнение вида
$ax^3 + bx^2 + cx +d = 0 $, (1)
где $a, b,c ,d$ — постоянные коэффициенты, а $ x $ — переменная.
Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются вещественными числами.
Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:
$ \delta= -4b^3d + b^2c^2 — 4ac^3 + 18abcd — 27a^2d^2$.
Итак, возможны только 3 следующих случая:

• $ \delta>0 $- тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
• $ \delta
• $ \delta=0 $ — хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2-умя совпадающими корнями, и еще 1-ним отличным от них, либо с уравнением с 3-емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результат его и его второй производной равен нулю).

На практике часто, решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень $ \alpha $. Затем делим многочлен на $ (x- \alpha),$ (если $ \alpha $ корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.
Формула Кардано.
Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комплексных чисел).
Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида
$y^3 + py + q = 0$ (2)
К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:
$x= y -\frac {b}{3a}$ (3)
$p= — \frac{b^2}{3a^2} + \frac{c}{a} $
$q= \frac{2b^3}{27a^3} — \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$
Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:
$Q=(\frac{p}{3})^3 + (\frac{q}{2})^2$
$\alpha = (-\frac{q} {2} + Q^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$
$\beta = (-\frac{q} {2} — Q^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$
Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен
$\delta = — 108Q $
Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:
$y_1= \alpha + \beta$;
$y_2= — \frac{\alpha + \beta}{2} + 3^{\frac{1}{2}}\frac{\alpha — \beta}{2}i$;
$y_3 = — \frac{\alpha + \beta}{2} — 3^{\frac{1}{2}}\frac{\alpha — \beta}{2}i$.
Вы можете посмотреть, как описанный метод применяется на практике на странице онлайн решения кубического уравнения!

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Решение кубических уравнений, формулы и примеры

Запишем поэтапный ход деления. Делим старший элемент делимого (слагаемое со старшей степенью) на старший элемент делителя. То есть надо подобрать такой одночлен, что его произведение со старшим элементом делителя, то есть , будет равно старшему элементу делимого, то есть . Искомый одночлен равен , записываем его в поле для частного:

Далее делитель умножаем на полученное частное (для этого каждое слагаемое делителя умножаем на ), записываем результат под делимым так, чтобы каждая степень полученного после умножения выражения была записана под соответствующей степенью делимого:

Отнимаем многочлены:

Поскольку степень полученного остатка больше степени делителя, то деление продолжаем. Теперь подбираем одночлен, на который нужно умножить делитель , чтобы получить в результате старшее слагаемое остатка . Таким одночленом является , его записываем в поле для частного к записанному уже там значению :

Умножаем делитель на указанный одночлен, результат записываем под остатком и вычитаем от него:

Степень полученного остатка равна степени делителя (а должна быть строго меньше, чтобы процесс деления закончился), поэтому деление продолжаем.

Чтобы получить выражение , делитель нужно умножить на 2 (записываем это слагаемое в частное со знаком плюс), а результат этого умножения записываем под последним остатком и вычитаем от него. В результате получаем остаток, равный нулю. Деление закончено.

Итак, полное оформление деления многочлена на многочлен столбиком имеет следующий вид:

В результате деления можем сделать следующие выводы:

1) поскольку остаток равен нулю, то значение — корень многочлена ;

2) многочлен можно записать в виде:

   

ru.solverbook.com

Операции над множествами — Мегаобучалка

Федеральное агентство по образованию

Тверской колледж имени А.Н. Коняева

«Множества»

Учебно-методическое пособие по предмету «Математика»

для студентов первого курса

Тверь,

Одобрено предметной (цикловой) Заместитель директора

комиссией по учебной работе

Председатель Дац В.А. Виноградов Н.Е.

____________________ _____________________

Составил: Бодров Е.Н.

__________________

Учебное пособие содержит теоретический и практический материал по теме «Множества». Пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплины «Математика», «Дискретная математика», а также может быть полезно преподавателям математики.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………………….. 4

1. Основные понятия теории множеств…………………………………………………. 5

2. Изображение множеств……………………………………………………………………. 6

3. Операции над множествами……………………………………………………………… 7

4. Основные свойства операций над множествами…………………………………. 9

5. Примеры решения задач……………………………………………………………….. 10

6. Задачи для самостоятельного решения……………………………………………. 12

Приложение А………………………………………………………………………………….. 15

Список литературы…………………………………………………………………………… 22

ВВЕДЕНИЕ

Теоретико-множественные понятия встречаются практически во всех разделах современной математики и составляют ее фундамент. Теоретико-множественный подход способствует развитию общей культуры студентов, помогает видеть связи между явлениями. Таким образом, теоретико-множественный подход при изучении курса математики создает благоприятные условия для целенаправленного изучения языка математики, способствует повышению научности и четкости в изложении материала, содействует выявлению связей между различными разделами математики, помогает развитию математической культуры студентов.

Основным средством формирования теоретико-множественных понятий и их применения при изучении программного материала является специальный подбор системы упражнений и задач. Предлагаемое пособие по теме «Множества» содержит как теоретический, так и практический материал. Рассматриваемая система упражнений рассчитана на овладение студентами общими методами рассуждений, активизацию их мыслительной деятельности, выработку творческого подхода к решению задач, установление связи теоретико-множественных понятий с окружающей действительностью.

 

 

Основные понятия теории множеств

Понятия множество, элементы множества – одни из основных неопределяемых понятий современной математики.

Под множеством (семейством, набором, ансамблем) понимается совокупность объектов, объединенных некоторым признаком, свойством. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами.

Пример 1.1. — множество натуральных чисел, — множество целых чисел,

— множество рациональных чисел, — множество действительных чисел.

Запись означает, что элемент принадлежит множеству .

Запись означает, что элемент не принадлежит множеству .

Для обозначения множеств будем применять прописные буквы латинского алфавита, а элементов – строчные буквы латинского алфавита.

Способы задания множества:

1. Перечислением, то есть

2. Указанием свойства, которым обладают элементы, принадлежащие этому множеству. Данное свойство называется характеристическим. Множество записывается следующим образом:

, — характеристическое свойство.

Пример 1.2. — множество цифр, .

 

Определение 1.1. Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначение — Ø.

Определение 1.2. Множество называется подмножеством множества , если всякий элемент множества является элементом множества . Обозначение — .

Определение 1.3. Универсальным называют множество , состоящее из всех возможных элементов, обладающих данным признаком.

Определение 1.4. Множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Определение 1.5. Мощность множества — это число элементов множества . Обозначение — .

Изображение множеств

Множества принято изображать с помощью кругов Эйлера-Венна. Элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству, и точками вне круга, если они не принадлежат множеству. Тот факт, что является подмножеством , с помощью кругов Эйлера-Венна изображается следующим образом (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1. Иллюстрация кругами Эйлера-Венна

Операции над множествами

1. Под объединением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств и (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1. Объединение множеств

Пример 3.1.Даны множества и . Тогда объединение этих множеств: .

2. Под пересечением двух множеств и (обозначение ) понимается множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно множествам и (рисунок 3.2.).

Рисунок 3.2. Пересечение множеств

Пример 3.2.Даны множества и . Тогда пересечение этих множеств:

3. Разностью множеств и (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов , которые не принадлежат множеству (рисунок 3.3.).

Рисунок 3.3. Разность множеств

Пример 3.3.Даны множества и . Тогда разность этих множеств: .

4. Симметрической разностью множеств и (обозначения или ) называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одному из множеств, но не являются общими элементами (рисунок 3.4.).

Рисунок 3.4. Симметрическая разность множеств

Пример 3.4.Даны множества и . Тогда симметрическая разность этих множеств: .

5. Дополнением к множеству (обозначение ) называется множество тех и только тех элементов, которые не принадлежат множеству , то есть дополняют его до универсального множества (рисунок 3.5.).

 

Рисунок 3.5. Дополнение к множеству

megaobuchalka.ru

Множества Операции над множествами

РЕФЕРАТ

Множества. Операции над множествами

СОДЕРЖАНИЕ

Способы задания множества

Включение и равенство множеств

Диаграммы Эйлера-Венна

Операции над множествами

а) Объединение множеств

б) Пересечение множеств

в) Разность множеств

Дополнение множества

Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.

Примеры множеств:

1) множество студентов в данной аудитории;

2) множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;

3) множество точек данной геометрической фигуры;

4) множество чётных чисел;

5) множество корней уравнения х² -5х+6=0;

6) множество действительных корней уравнения х² +9=0;

Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект.

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.

Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а

А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А.

Например, пусть N–множество натуральных чисел. Тогда 5

N , но N, N. Если А — множество корней уравнения х² -5х+6=0, то 3 А, а 4А.

В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения:

N- множество всех натуральных чисел;

Z- множество всех целых чисел;

Q- множество всех рациональных чисел;

R- множество всех действительных чисел.

Приняты также обозначения Z⁺ , Q⁺ , R⁺ соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и Z^Ї , Q^Ї , R^Ї -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.

Способы задания множества

Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:

1) перечисление элементов множества;

2) указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Первым способом особенно часто задаются конечные множества. Например, множество студентов учебной группы задаётся их списком. Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d ,обозначают с помощью фигурных скобок: А={a; b; c; …;d} . Множество корней уравнения х² -5х+6=0 состоит из двух чисел 2 и 3: А={2; 3}. Множество В целых решений неравенства -2 < х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.

Второй способ задания множества является более универсальным. Множество элементов х, обладающих данным характеристическим свойством Р(х), также записывают с помощью фигурных скобок: Х={х | Р (х)}, и читают: множество Х состоит из элементов х, таких, что выполняется свойство Р(х). Например, А={х | х² -5х+6=0}. Решив уравнение х² -5х+6=0, мы можем записать множество А первым способом: А={2; 3}.

Другой пример: Х={х | -1 ≤ х < 4, х

Z}, т.е. Х есть множество целых чисел х, таких, что –1 ≤ х

Рассмотрим и такой пример: F={f | │fґ(x)│≤ 1 , 1 < x < 2}, т.е. F- множество функций f, производная которых в интервале (1; 2) не превосходит по абсолютной величине числа 1.

Может случиться, что характеристическим свойством, определяющим множество А, не обладает ни один объект. Тогда говорят, что множество А — пустое (не содержит ни одного элемента) и пишут: А= Ш.

Например, А={х | хІ+9=0, х

R} –множество действительных чисел х, таких, что хІ+9=0- пустое множество, т.к. таких действительных чисел нет.

Включение и равенство множеств

Пусть Х и У – два множества. Если каждый элемент х множества Х является элементом множества У, то говорят, что множество Х содержится во множестве У и пишут: Х

У или У Х. Говорят также, что Х включено в У или У включает Х, или что Х является подмножеством множества У. Знаки включения или относятся только ко множествам и их не следует смешивать со знаками принадлежности Î и . Если, например, А — множество всех студентов вуза, а В – множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество А, т.е. В А. Пустое множество считают подмножеством любого множества Х, т.е. Ш Х, каким бы ни было множество Х. Ясно также, что каждое множество является подмножеством самого себя: Х Х.

Если для двух множеств Х и У одновременно имеют место два включения Х

У и У Х, т.е. Х есть подмножество множества У и У есть подмножество множества Х, то множества Х и У состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и У называют равными и пишут: Х=У. Например, если А={2; 3}, а В={х | хІ –5х+6=0}, то А=В.

Если Х

У, но Х≠ У, т.е. существует хотя бы один элемент множества У, не принадлежащий Х, то говорят, что Х есть собственное подмножество множества У, и пишут: Х У. Например: NZ, ZQ, QR. Далее нам потребуется множество, которое содержит в качестве своего подмножества любое другое множество. Такое «всеобъемлющее» множество будем называть универсальным и обозначать буквой U .

Диаграммы Эйлера-Венна

Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.). Покажем, например, с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что множество А является подмножеством множества В:

С помощью такой диаграммы становиться наглядным, например, такое утверждение:

если А

В, а В С, то АС.

Строгое доказательство этого утверждения, не опирающееся на диаграмму, можно провести так: пусть х

А; так как А В, то х В, а так как В С, то из х В следует, что х С; значит, из того, что х А, следует хС, а поэтому А С.

mirznanii.com

Операции над множествами

К переменным типа set применимы следующие операции: =, <>, >=, <=, in, +, -, *.

Операции = и <> используются для проверки эквивалентности: два значения переменной типа set считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Пример.

[1, 3] = [3, 1] возвращает true,
[1..3] = [1, 2, 3] возвращает true,
[1] <> [2] возвращает true,
[1, 2, 3] = [1, 4, 3] возвращает false,
[red, blue] = [red, yellow] возвращает false.

Операции >= и <= используются для проверки принадлежности одного множества другому: так, если множество a содержится во множестве b, то a <= b дает true.

Пример.

[1, 2] <= [1, 2, 3] дает <span>true</span>

Пустое множество [ ] содержится во всех множествах, т.е. всегда [ ] <= [b] дает true.

Операция in используется для установления наличия определенного элемента в величине типа set. Так, если x есть элемент множества b, то (x in b) дает true. Общий вид:

здесь x – величина базового типа, a – величина типа set.

Пример.

red in [red, yellow] возвращает true;
red in [blue, green] возвращает false.

Замечание 1. Чтобы проверить, является ли значение n цифрой, удобно использовать операцию in следующим образом:

Замечание 2. Результат операции in может быть неопределенным в некоторых случаях.

Пример. Пусть

a: set of 1..50;
x: integer.

Если заслать в x число, большее максимального значения 50 (например, x := 55), то в этом случае результат операции x in a не всегда false.

К переменным типа set, относящимся к одному и тому же конкретному типу, применимы операции:
+ объединение;
* пересечение;
— дополнение.

Пусть a и b – операнды, имеющие один и тот же конкретный тип. Тогда
a + b представляет собой объединение множества элементов, входящих в a и b (одинаковые элементы не повторяются).
a * b – пересечение множества элементов a и b (только те, которые есть в обоих множествах).
a – b – множество элементов, которые есть в a, но отсутствуют в b.

Пример.

[1, 3] + [1, 4] = [1, 3, 4];
[1, 3] * [1, 4] = [1];
[1, 3] - [1, 4] = [3].

Операция a := a + x добавляет элемент x к множеству a. Если x уже имелся в a, то множество a не меняется. a := a – x исключает x из a. Если x отсутствовал в a, то множество a не меняется.

 

Операции над множествами:

• присвоение
• объединение
• пересечение
• дополнение
• тождественность
• нетождественность
• содержится во множестве
• содержит множество
• принадлежность элемента множеству

 

pas1.ru

операции над множествами — 12 Февраля 2015 — Примеры решений задач

Пример1. Найдем пересечение множеств А = {а, b, с, d, е} и  В  =  {b, d, e, g, к}. Решение :  Обоим множествам принадлежат элементы b, d, e. Поэтому А ∩ В = {b, d, e}. Пояснение. Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B. Пример 2. Найдем объединение и разность множеств А и В, если А =  { х| -2/5 ≤ x ≤ 7/3},  В =  { х| -1/4 ≤ x ≤ 3}. Решение. Если изобразить данные множества на числовой прямой, то объединение А ∪ В есть часть оси, где имеется хотя бы одна штриховка, т.е. отрезок [-2/5; 3]. Иначе говоря, А ∪ В = { х| -2/5 ≤ x ≤ 3}. Разность А\В есть часть отрезка, изображающего множество А, отмеченная лишь одной штриховкой, т.е. полуинтервал [-2/5; -1/4), точка -1/4 принадлежит В и поэтому не принадлежит А\В.Другими словами, А\В = { х| -2/5 ≤ x < -1/4}. Пояснение. Объединением двух множеств A и B называется множество A  B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B. Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Разность между основным множеством E и множеством A называется дополнением множества A в E и обозначается A’ Пример 3. Известно, что А – множество учащихся, увлекающихся историей, В – множество учащихся, интересующихся биологией. Сформулируйте условия, при которых: а) А ∪ В= В; б) А ∩ В = Ø. Решение: а) выясним, в каком отношении находятся множества А и В. Известно, что А ∪ В= В, в том случае, когда А ⊂ В, т.е. все элементы множества А являются также и элементами множества В. Таким образом, А ∪ В= В, если все учащиеся, увлекающиеся историей, увлекаются и биологией; б) Исходя из равенства А ∩ В = Ø множества А и В не пересекаются, т.е. они не имеют общих элементов. Поэтому А ∩ В =Ø, если все учащиеся, увлекающиеся историей, не интересуются биологией.

www.reshim.su

Операции над множествами и их свойства

Шпаргалка: Множества Операции над множествами

РЕФЕРАТ

Множества. Операции над множествами

СОДЕРЖАНИЕ

Способы задания множества

Включение и равенство множеств

Диаграммы Эйлера-Венна

Операции над множествами

а) Объединение множеств

б) Пересечение множеств

в) Разность множеств

Дополнение множества

Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.

Примеры множеств:

1) множество студентов в данной аудитории;

2) множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;

3) множество точек данной геометрической фигуры;

4) множество чётных чисел;

5) множество корней уравнения х2 -5х+6=0;

6) множество действительных корней уравнения х2 +9=0;

Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект.

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.

Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А.

Например, пусть N–множество натуральных чисел. Тогда 5N, но N, N. Если А — множество корней уравнения х2 -5х+6=0, то 3 А, а 4А.

В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения:

N- множество всех натуральных чисел;

Z- множество всех целых чисел;

Q- множество всех рациональных чисел;

R- множество всех действительных чисел.

Приняты также обозначения Z+, Q+, R+ соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и ZЇ, QЇ, RЇ -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.

Способы задания множества

Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:

1) перечисление элементов множества;

2) указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Первым способом особенно часто задаются конечные множества. Например, множество студентов учебной группы задаётся их списком. Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d, обозначают с помощью фигурных скобок: А={a; b; c; …;d}. Множество корней уравнения х2 -5х+6=0 состоит из двух чисел 2 и 3: А={2; 3}. Множество В целых решений неравенства -2 < х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.

Второй способ задания множества является более универсальным. Множество элементов х, обладающих данным характеристическим свойством Р(х), также записывают с помощью фигурных скобок: Х={х | Р (х)}, и читают: множество Х состоит из элементов х, таких, что выполняется свойство Р(х). Например, А={х | х2 -5х+6=0}. Решив уравнение х2 -5х+6=0, мы можем записать множество А первым способом: А={2; 3}.

Другой пример: Х={х | -1 ≤ х < 4, х Z}, т.е. Х есть множество целых чисел х, таких, что –1 ≤ х < 4, значит, по-другому: Х={-1; 0; 1; 2; 3}.

Рассмотрим и такой пример: F={f | │fґ(x)│≤ 1, 1 < x < 2}, т.е. F- множество функций f, производная которых в интервале (1; 2) не превосходит по абсолютной величине числа 1.

Может случиться, что характеристическим свойством, определяющим множество А, не обладает ни один объект. Тогда говорят, что множество А — пустое (не содержит ни одного элемента) и пишут: А= Ш.

Например, А={х | хІ+9=0, хR} –множество действительных чисел х, таких, что хІ+9=0- пустое множество, т.к. таких действительных чисел нет.

Включение и равенство множеств

Пусть Х и У – два множества. Если каждый элемент х множества Х является элементом множества У, то говорят, что множество Х содержится во множестве У и пишут: Х У или У Х. Говорят также, что Х включено в У или У включает Х, или что Х является подмножеством множества У. Знаки включения или относятся только ко множествам и их не следует смешивать со знаками принадлежности Î и . Если, например, А — множество всех студентов вуза, а В – множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество А, т.е. В А. Пустое множество считают подмножеством любого множества Х, т.е. Ш Х, каким бы ни было множество Х. Ясно также, что каждое множество является подмножеством самого себя: Х Х.

Если для двух множеств Х и У одновременно имеют место два включения Х У и У Х, т.е. Х есть подмножество множества У и У есть подмножество множества Х, то множества Х и У состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и У называют равными и пишут: Х=У. Например, если А={2; 3}, а В={х | хІ –5х+6=0}, то А=В.

Если Х У, но Х≠ У, т.е. существует хотя бы один элемент множества У, не принадлежащий Х, то говорят, что Х есть собственное подмножество множества У, и пишут: Х У. Например: NZ, ZQ, QR. Далее нам потребуется множество, которое содержит в качестве своего подмножества любое другое множество. Такое «всеобъемлющее» множество будем называть универсальным и обозначать буквой U .

Диаграммы Эйлера-Венна

Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.). Покажем, например, с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что множество А является подмножеством множества В:

С помощью такой диаграммы становиться наглядным, например, такое утверждение:

если АВ, а В С, то АС.

Строгое доказательство этого утверждения, не опирающееся на диаграмму, можно провести так: пусть х А; так как А В, то х В, а так как В С, то из х В следует, что х С; значит, из того, что х А, следует хС, а поэтому А С.

Операции над множествами

С помощью нескольких множеств можно строить новые множества или, как говорят, производить операции над множествами. Мы рассмотрим следующие операции над множествами: объединение, пересечение, разность множеств, дополнение множества. Все рассматриваемые операции над множествами мы будем иллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна.

Объединение множеств

Объединением АВ множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

Символическая запись этого определения: А В={х | хА или хВ}.

Здесь союз «или» понимается в смысле «неразделительного или», т.е. не исключается, что х может принадлежать и А и В. Отметим, что в таком случае элемент х, входящий в оба множества А и В, входит в их объединение только один раз (поскольку для множества не имеет смысла говорить о том, что элемент входит в него несколько раз).

Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

На диаграмме объединение множеств А и В выделено штриховкой.

Если множество А определяется характеристическим свойством Р (х), а множество В — характеристическим свойством Q(х), то А В состоит из всех элементов, обладающих, по крайней мере, одним из этих свойств.

Примеры объединений двух множеств:

1) Пусть А={2; 5; 7}, В={3; 5; 6}. Тогда А В ={2; 3; 5; 6; 7}.

2) Пусть А=[-1/4; 2], В=[ -2/3; 7/4]. Тогда А В=[-2/3; 2] .

3) Пусть А= {х | х=8k, k Z}, B={x | x=8n-4, n Z}. Тогда A B ={x | 4m, mZ}.

Операция объединения множеств может проводиться не только над двумя множествами. Определение объединения множеств можно распространить на случай любого количества множеств и даже – на систему множеств. Система множеств определяется так: если каждому элементу α множества М отвечает множество Аα, то совокупность всех таких множеств мы будем называть системой множеств.

Объединением системы множеств {Аα } называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Аα. При этом общие элементы нескольких множеств не различаются.

Таким образом, элемент хтогда и только тогда, когда найдется такой индекс α0 М, что х A α0.

В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, …, n, применяется запись Если M=N, то имеем объединение последовательности множеств .

Рассмотрим ещё один пример: пусть М=(1; 2) и для каждого α є М определим множество Аα =[0;α]; тогда = [0;2).

Из определения операции объединения непосредственно следует, что она коммутативна, т.е. А1A2 = A2 А1, и ассоциативна, т.е. (А1A2 ) А3 = А1(A2 А3 ).

Пересечение множеств

Пересечением А ∩ В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А и В.

Символическая запись этого определения: А ∩ В={х | хА и х В}.

Поясним определение пересечения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

А ∩ В

На диаграмме пересечение множеств А и В выделено штриховкой.

Если множество А задается характеристическим свойством Р(х), a множество В-свойством Q(х), то в А ∩ В входят элементы, одновременно обладающие и свойством Р(х), и свойством Q(х).

Примеры пересечений двух множеств:

1) Пусть А={2; 5; 7; 8}, В={3; 5; 6; 7}.Тогда А ∩ В={5; 7}.

2) Пусть А=[-1/4; 7/4], В=[-2/3; 3/2]. Тогда А ∩ В= [-1/4; 3/2].

3) Пусть А= {х | х=2k, k є Z}, B={x | x=3n, n є Z}. Тогда А ∩ В ={x | x=6m, m Z}.

4) Пусть А- множество всех прямоугольников, В-множество всех ромбов. Тогда А ∩ В -множество фигур, одновременно являющихся и прямоугольниками, и ромбами, т.е. множество всех квадратов.

Операцию пересечения можно определить и для произвольной системы множеств {Аα }, где α М. Пересечением системы множеств {Аα }, называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств Аα, α М, т.е. = {x | xАα для каждого α М}.

В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, …, n, применяется запись . Если M=N, то имеем пересечение последовательности множеств .

В рассмотренном выше примере системы множеств Аα =[0; α], αМ =(1; 2) получим:=[0;1].

Операция пересечения множеств, как и операция объединения, очевидно, коммутативна и ассоциативна, т.е. А1 ∩A2 = A2 ∩А1 и (А1 ∩A2 )∩ А3 = А1 ∩(A2 ∩ А3 ).

Разность множеств

Разностью А\В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.

А\В={х | х А и хВ},

что можно пояснить на диаграмме Эйлера-Венна следующим образом:

На диаграмме разность А\В выделена штриховкой.

Примеры разностей множеств:

1. Пусть А={1; 2; 5; 7}, В={1; 3; 5; 6}. Тогда А\В ={2;7}, а В\А={3; 6}.

2. Пусть А=[-1/4;2], В=[-2/3; 7/4]. Тогда А\В=(7/4;2], а В\А=[-2/3; -1/4).

3. Пусть А — множество всех четных целых чисел, В — множество всех целых чисел, делящихся на 3. тогда А\В — множество всех четных целых чисел, которые не делятся на 3, а В\А –множество всех нечетных целых чисел, кратных трем.

Дополнение множества

Пусть множество А и В таковы, что АВ. Тогда дополнением множества А до множества В называется разность В\А. В этом случае применяется обозначение СB А=В\А. Если в качестве множества В берётся универсальное множество U, то применяется обозначение СА=СU А=U\А и такое множество просто называют дополнением множества А. Таким образом, символическая запись определения дополнения множества будет следующей: СА={x | x A}.

На диаграммах Эйлера-Венна можно так пояснить определения СВ А и СА:

laservirta.ru

Операция над множествами — это… Что такое Операция над множествами?



Операция над множествами

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Сравнение множеств

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент B:

В этом случае A называется подмножеством B, B — надмножеством A. Если и , то A называется собственным подмножеством B. Заметим, что . По определению .

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:

Операции над множествами

Бинарные операции

Ниже перечислены основные операции над множествами:

Если множества A и B не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Унарные операции

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (множество U, которое содержит A):

Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).

Обозначение происходит из того, что

Приоритет выполнения операций

Сначала выполняются операции дополнения, затем объединения, пересечения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

Wikimedia Foundation. 2010.

• Операция на Плайя-Хирон
• Операция присваивания в С++

Смотреть что такое «Операция над множествами» в других словарях:

• Операции над множествами — Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико множественными операциями или сет операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые …   Википедия

• Операции над нечёткими множествами — обобщают операции над обыкновенными множествами. Эти операции обычно определяются поэлементно над значениями функции принадлежности. Наиболее популярны операции пересечения и объединения нечётких множеств, определяемые, соответственно, операциями …   Википедия

• Операции над нечеткими множествами — Операции над нечёткими множествами обобщают операции над обыкновенными множествами. Эти операции обычно определяются поэлементно над значениями функции принадлежности. Наиболее популярны операции пересечения и объединения нечетких множеств,… …   Википедия

• Теория топосов — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Теория топосов  раздел теории категорий, изучающий топосы  категор …   Википедия

• Объединение (значения) — Объединение  многозначный термин, входит в состав сложных терминов. В Викисловаре есть статья «объединение» Объединение  разновидность организаций. Объединение  общее название крупных воинских формирований …   Википедия

• ДЕСКРИПТИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел теории множеств, изучающий внутреннее строение множеств в зависимости ют тех операций, при помощи к рых эти множества могут быть построены из множеств сравнительно простой природы (напр., замкнутых или открытых подмножеств данного… …   Математическая энциклопедия

• Множеств теория —         учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно… …   Большая советская энциклопедия

• МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — наивная учение о свойствах множеств, преимущественно бесконечных, элиминирующее свойства элементов, составляющих эти множества. . Понятие множества принадлежит к числу первоначальных математич. понятий и может быть пояснено только при помощи… …   Математическая энциклопедия

• ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ — точно определенное указание действий над данными, позволяющее с помощью цифровой вычислительной машины дискретного действия преобразовать за конечное количество операций нек рый массив данных (входные данные) в другой массив данных (выходные… …   Математическая энциклопедия

• Прямое произведение — Прямое или декартово произведение  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих… …   Википедия

dic.academic.ru

2.2.4 Операции над множествами

Объединением множествА и В (обозначается) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множествA,B(рис. 2.2):

= {x:или}.

Пересечением множествAиВ (обозначается) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат иА, иВ (рис. 2.3):

= {x:и}.

Если общих элементов в множествах AиBнет, то=

Пусть U–универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

Дополнением (доU) множестваА (обозначается) называется множество всех элементов, не принадлежащихA, но принадлежащихU (рис. 2.4):

= U \ A.

Операции объединения, пересечения и дополнения {} часто называютбулевыми операциями над множествами, а алгебру множеств, в которой используются только эти операции, – булевой алгеброй множеств.

Рисунок 2.2 – Диаграмма объединения множеств АиВ

Рисунок 2.3 – Диаграмма пересечения множеств АиВ

Рисунок 2.4 – Диаграмма дополнения множества А

В алгебре множеств, кроме рассмотренных операций, определены также операции разности, симметрической разности и прямого (декартова) произведения множеств.

Разностью множествА иВ (обозначаетсяА\В) называется множество всех тех и только тех элементовА, которые не содержатся вВ (рис. 2.5):

А\В= {x:и}.

Разность множеств – операция строго двуместная и некоммутативная: в общем случае

А\В В\А.

Разность множеств можно представить через пересечение и дополнение

A\B = .

Рисунок 2.5 – Диаграмма разности множеств А и В

Симметрической разностью множествА иВ (обозначаетсяАB) называется множество всех тех элементовА или B, которые не содержатся вAиВ одновременно (рис. 2.6):

АВ= {x:или, но}.

Рисунок 2.6 – Диаграмма симметрической разности множеств АиВ

Прямое (декартово) произведение множеств Aи B – это множество элементов в виде упорядоченных пар (a,b), где

Для этой операции можно записать

{()|}.

Элементы () называются кортежами (векторами, наборами, словами). В произведении могут участвовать более двух множеств. Количество множеств, участвующих в произведении, определяет длину кортежей.

Произведение множеств – операция некоммутативная

,

поэтому элементы кортежей нельзя переставлять.

В множествах АиВмогут быть одинаковые элементы, поэтому и в кортеже могут оказаться одинаковые элементы, например как буквы в словах.

Если множество А умножается на себя, то можно записать

,и т.д.

где А², А³ – степени множества А.

Произведение двух множеств A= {a₁,a₂,a₃} иB= {b₁,b₂} можно представить в виде графика, показанного на рис. 2.7, где каждая вертикальная линия обозначена элементом изА, каждая горизонтальная линия элементом изВ, а каждая жирная точка представляет пару (a_i,b_i).

Рисунок 2.7 – График произведения множеств А и В

Пример 1. Пусть универсальное множествоU – множество всех сотрудников некоторой фирмы;А – множество всех сотрудников данной организации старше 35 лет;В – множество сотрудников, имеющих стаж работы более 10 лет; С – множество менеджеров фирмы. Каков содержательный смысл (характеристическое свойство) каждого из следующих множеств:

а) ; б); в); г)В \ С; д)С\B?

а) – множество сотрудников организации, стаж работы которых не превышает 10 лет.

б) – множество менеджеров фирмы не старше 35 лет, имеющих стаж работы более 10 лет.

в) – множество всех сотрудников фирмы старше 35 лет, а также сотрудников, не менеджеров, стаж работы которых более 10 лет.

г) В\С – множество сотрудников организации со стажем работы более 10 лет, не работающих менеджерами.

д) С\В – множество менеджеров со стажем работы не более 10 лет.

Пример 2. Задать множества,, если:

М – множество всех натуральных чисел, не превосходящих 100;

N – множество натуральных чисел.

– множество всех натуральных чисел, больших 100.

Запись без указания универсального множестваU не ясна:

– то ли это множество всех отрицательных целых чисел;

– то ли это множество положительных дробных чисел;

– то ли это пустое множество натуральных чисел.

Пример 3. Осуществить операции объединения, пересечения, дополнения, разности и симметрической разности над множествами

А = {a, b, c, d} и B = {с, d, e, f, g, h}.

= {a, b, c,d,e, f, g, h};

= {c, d}.

A \ B = {a, b};

B \ A = {e, f, g, h};

{a, b,e, f, g, h}.

Универсальное множество U не определено, поэтому, строго говоря, операции дополнения над множествамиAиВне могут быть выполнены. Если принять в качестве универсального множества объединение множествA и B

U= {а,b,с,d,e,f,g,h}, тогда

=U\А = {е, f, g,h}, = U\B = {а, b}.

Пример 4. ПустьU = {1, 2, 3, 4},А = {1, 3, 4},В = {2, 3}, С ={1, 4}.

Найти:

a) ; б) ; в); г).

a)== ({1, 2, 3, 4} \ {1, 3, 4})({1, 2, 3, 4}\{2, 3}) =

{2}{1, 4} = {1, 2, 4}.

б) = = {1, 2, 3, 4}\ ({1, 3, 4}{2, 3}) = {1, 2, 3, 4}\{3} =

= {1, 2, 4}.

в) =={l, 3, 4}({l, 2, 3, 4}\{2, 3}) ={1, 3, 4}{1, 4} =

= {1, 4}.

г) = ({2, 3}\{1, 3, 4})({1, 2, 3, 4}\{1, 4}) ={2}{2, 3} =

= {2, 3}.

Пример 5. Получить прямое произведение множеств

А = {a, b} и В = {p, q, r}.

АВ = {(a, p),(a, q),(a, r),(b, p),(b, q),(b, r)}.

studfiles.net

ГОСЫ / вопрос 5 / Лекция 9

Лекция №9

Эллипс. Каноническое уравнение. Исследование формы эллипса по его уравнению. Характеристические элементы эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Способы построения эллипса. Эллипс как результат сжатия окружности к одному из ее диаметров

Пусть на плоскости даны две точки и, расстояние между которыми равно, и дано некоторое число, которое удовлетворяет условиям:или.

Определение 9.1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек иесть величина постоянная, равная

Точки и называются фокусами эллипса, расстояние между ними обозначается через и называется фокусным расстоянием.

Введем прямоугольную систему координат таким образом, что ось пройдет через фокусы эллипса, ось— серединный перпендикуляр к отрезку.

1. Пусть

2. Точка является точкой эллипсатогда и только тогда, когда

3. ;

(1)

(2)

4. Покажем, что данное уравнение действительно есть уравнение эллипса – ведь пока мы доказали только, что каждая точка , удовлетворяющая уравнению (1) удовлетворяет и уравнению (2). Докажем обратное утверждение: каждая точка , удовлетворяющая уравнению (2), есть точка эллипса, т.е. для нее выполняется условие .

Найдем расстояния :

1. Выразим в координатах ;

2. Из уравнения (2) следует, что . Так как, имеем;

3. Из (a) и (b) следует, что =. Так как, то.

4. Аналогичными рассуждениями приходим к выводу, что

5. Найдем

Таким образом, — каноническое уравнение эллипса

Исследование формы эллипса по каноническому уравнению

1. Эллипс – фигура ограниченная. Координаты точек эллипса ограничены неравенствами: . Это означает, что фигура эллипс есть ограниченная фигура, не выходящая за пределы прямоугольника со сторонамии.

Если точка эллипса принадлежит оси , то она имеет координаты. Если точка эллипса принадлежит оси, то она имеет координаты. Значит, неравенства, определяющие эллипс, имеют вид:.

2. Эллипс – фигура симметричная. В уравнение входят только чётные степени координат. Значит, эллипс есть линия, симметричная относительно осей координат и начала координат. Ось, проходящая через фокусы эллипса, называется первой или фокальной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось – второй осью симметрии.

Поэтому для исследования эллипса его достаточно рассмотреть в I четверти.

Для I четверти получаем, что . При возрастанииотдо,монотонно убывает отдо.

3. Каждая ось симметрии пересекает эллипс в двух точках: ,,,–вершины эллипса. Отрезки иназываютсяосями эллипса. — большая ось,- малая ось. Начало координат–центр эллипса. Отрезки ,,,–полуоси эллипса, причём –большие полуоси; –малые полуоси.

4. Когда фокусы эллипса расположены на оси , имеем, что. Когда фокусы располагаются на оси,, тогда.

Определение 9.2. Эксцентриситетом эллипса называется число, равное отношению фокусного расстояния к длине большей полуоси и обозначается: .

Так как .

От значения эксцентриситета зависит форма эллипса. Действительно, выразим отношение через эксцентриситет:. Имеем, что.

Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем больше и при, эллипс похож на окружность. При увеличении эксцентриситета эллипс вытягивается вдоль оси.

Определение 9.3. Фокальными радиусами точки , принадлежащей эллипсу, называются отрезки, соединяющие эту точку с фокусамии.

Для каждой точки эллипса существует два фокальных радиуса.

Обозначаются: ,

.

Определение 9.4. Фокальным параметром называется длина отрезка , если он перпендикулярен осии обозначается:

Пусть , значит. Т.к., то;

Таким образом, фокальный параметр равен отношению квадрата малой полуоси эллипса к его большой полуоси.

Определение 9.5. Директрисами эллипса называются две прямые: .

Так как эксцентриситет эллипса меньше 1, то директрисы, параллельные оси , находятся вне эллипса.

Директриса и фокус считаются соответствующими, если они расположены по одну сторону от центра фигуры.

Геометрический смысл эксцентриситета эллипса

Теорема 9.6. Отношение расстояния от каждой точки , принадлежащей эллипсу, до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказать:

Доказательство:

1. Выразим ;

2. Выразим

1. Найдем отношение:

4. Аналогично доказывается, что

Параметрические уравнения эллипса.

1. Пусть в прямоугольной системе координат задан эллипс своим каноническим уравнением, причём.

2. Начертим в этой системе координат

две окружности: и .

3. Рассмотрим — прямоугольные и

выразим координаты , принадлежащей

эллипсу:

:

:

4. Подставим полученные выражения в уравнение эллипса:

_.

Таким образом, этот эллипс можно задать уравнениями вида:

— параметрические уравнения эллипса.

Способы построения эллипса

Способ №1 (в основу положено определение 9.1)

В чертежную доску вбиваются два гвоздика ис расстоянием. В них фиксируются концы нити длиной. Натянув эту нить приложением к ней острия карандаша, передвигают карандаш так, чтобы нить все время была натянутой. При этом карандаш вычертит эллипс, как геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек иесть величина постоянная, равная

Способ №2 (в основу положено определение 9.1)

Так как эллипс есть геометрическое место вершин треугольников, имеющих общее основание 2с и данную сумму двух других сторон 2а, то необходимо построить множество треугольников с общей вершиной по стороне и сумме двух других сторон, при этом всякий раз задавая угол .

Способ №3 (в основу положено свойство симметричности эллипса): построить по точкам часть эллипса в первой четверти, используя уравнение, а затем использовать симметричность линии относительно осей координат и начала координат.

Способ №4 (по заданным полуосям):

1. Построить две окружности с центром в начале координат и радиусами, равными полуосям эллипса: _{и ;}

2. Проведем из начала координат луч, пересекающий каждую окружность соответственно в точках ,;

3. Через точку проведем прямую, параллельно оси, через точку— прямую, параллельную оси;

4. Точка пересечения прямых и– точка эллипса;

5. Аналогичные действия проводим при построении следующего луча, проходящего через начало координат.

Эллипс как результат сжатия окружности к одному из ее диаметров

Способ №3 построения доказывает одно важное наглядное свойство эллипса. Действительно, — произвольная точка эллипса, аесть точка большой окружности, имеющая ту же абсциссу, т.е. лежащая на той же вертикальной прямой, что и. Тогда,.

Из подобия :или

Таким образом, эллипс получился из «большой» окружности преобразованием плоскости: каждая точка большой окружности переходит в точкуэллипса с той же абсциссой, но с ординатой, полученной из ординаты точкиумножением на число.

Такое преобразование называется равномерным сжатием плоскости к оси абсцисс в отношении .

Таким образом, обосновывается следующее утверждение: всякий эллипс получается сжатием окружности к одному из ее диаметров.

studfiles.net

Конспект лекций по дисциплине «Высшая математика», страница 17

Отрезок B₁B₂ = 2b называется (при а > b) малой осью эллипса;  – малая полуось эллипса.

3. ;   ;     и существует, если   или  ,   (от А₁  до А₂).

;    и существует, если   (от В₁ до В₂).

Кривая расположена в прямоугольнике  А₁В₁А₂В₂.

4. Степень вытянутости эллипса определяет параметр – эксцентриситет:

   или   ,   .

Если a = b, то имеем окружность с центром в т.О(0;0) и радиуса а. В этом случае .

Если , то имеем отрезок А₁А₂ и . Эллипс (при ) получен равномерным сжатием окружности сверху – снизу.

Аналогично можно рассмотреть случай, когда фокусы F₁F₂ расположены на оси ОУ ().

Пример: построение эллипса по каноническому уравнению и отыскание его параметров…

б) Смещенный эллипс

 – уравнение смещенного эллипса. Центр расположен в        т. С(α;β).

При построении смещенного эллипса применяется преобразование системы координат – параллельный перенос.

ХОУ – старая система координат;

т.О(0;0) – начало координат;

Х’СУ’ – новая система координат; т.С(α,β) – ее начало координат.

, , масштабная единица одна и та же.

Возьмем на плоскости произвольно т.М. В системе ХОУ ее координаты х,у; в системе Х’СУ’ – х’,у’ , причем ; . Отсюда 

Сделаем в уравнении смещенного эллипса замену переменной по формулам , получим каноническое уравнение эллипса .

Строим эллипс по его каноническому уравнению в системе Х’СУ’.

Пример: построение эллипса, заданного в смещенном виде:  .

3.3 Гипербола – ГМТ плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости – фокусов F₁, F₂ – постоянен и равен   числу 2а.

а) Каноническое уравнение

Выбор системы координат: ось ОХ проходит через фокусы F₁, F₂; ось ОУ – срединный перпендикуляр к отрезку F₁F₂, называемому фокусным расстоянием F₁F₂ = 2с.

vunivere.ru

Лекция 15. Эллипс

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 15. Эллипс.

Краткое содержание: определение эллипса, основная терминология, каноническая для эллипса система координат и каноническое уравнение эллипса, параметрические уравнения эллипса, эллипс как результат сжатия окружности, касательная к эллипсу, зеркальное свойство эллипса, директрисы и фокальный параметр эллипса, второе определение эллипса.

Глава 15. Эллипс.

п.1. Основные определения.

Определение. Эллипсом называется ГМТ плоскости сумма расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

рис.1.

Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса эллипса называется фокальным радиусом точки М.

Обозначения: – фокусы эллипса,– фокальные радиусы точки М.

По определению эллипса, точка М является точкой эллипса тогда и только тогда, когда – постоянная величина. Эту постоянную принято обозначать 2а:

. (1)

Заметим, что .

По определению эллипса, его фокусы есть фиксированные точки, поэтому расстояние между ними есть также величина постоянная для данного эллипса.

Определение. Расстояние между фокусами эллипса называется фокусным расстоянием.

Обозначение: .

Из треугольника следует, что, т.е.

.

Обозначим через bчисло равное, т.е.

. (2)

Определение. Отношение

(3)

называется эксцентриситетом эллипса.

Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для эллипса.

Определение. Ось, на которой лежат фокусы эллипса, называется фокальной осью.

Построим каноническую для эллипса ПДСК, см. рис.2.

В качестве оси абсцисс выбираем фокальную ось, а ось ординат проводим через середину отрезка перпендикулярно фокальной оси.

рис.2.

Тогда фокусы имеют координаты ,.

п.2. Каноническое уравнение эллипса.

Теорема. В канонической для эллипса системе координат уравнение эллипса имеет вид:

. (4)

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на эллипсе удовлетворяют уравнению (4). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения (4) дает координаты точки, лежащей на эллипсе. Отсюда будет следовать, что уравнению (4) удовлетворяют те и только те точки координатной плоскости, которые лежат на эллипсе. Отсюда и из определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (4) является уравнением эллипса.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой эллипса, т.е. сумма ее фокальных радиусов равна 2а:

.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости и найдем по этой формуле фокальные радиусы данной точки М:

, , откуда получаем:

.

Перенесем один корень в правую часть равенства и возведем в квадрат:

.

Сокращая, получаем:

.

Приводим подобные, сокращаем на 4 и уединяем радикал:

.

Возводим в квадрат

.

Раскрываем скобки и сокращаем на :

,

откуда получаем:

.

Используя равенство (2), получаем:

.

Разделив последнее равенство на , получаем равенство (4), ч.т.д.

2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (4) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

Тогда из (4) следует:

.

Подставляем это равенство в выражение для фокальных радиусов точки М:

.

Здесь мы воспользовались равенством (2) и (3).

Таким образом, . Аналогично,.

Теперь заметим, что из равенства (4) следует, что

или и т.к., то отсюда следует неравенство:

.

Отсюда, в свою очередь, следует, что

или и

, . (5)

Из равенств (5) следует, что , т.е. точка М(х, у) является точкой эллипса, ч.т.д.

Теорема доказана.

Определение. Уравнение (4) называется каноническим уравнением эллипса.

Определение. Канонические для эллипса оси координат называются главными осями эллипса.

Определение. Начало канонической для эллипса системы координат называется центром эллипса.

п.3. Свойства эллипса.

Теорема. (Свойства эллипса.)

1. В канонической для эллипса системе координат, все

точки эллипса находятся в прямоугольнике

, .

2. Точки лежат на

эллипсе.

3. Эллипс является кривой, симметричной относительно

своих главных осей.

4. Центр эллипса является его центром симметрии.

Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения эллипса.

3, 4) Пусть М(х, у) – произвольная точка эллипса. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (4). Но тогда координаты точек также удовлетворяют уравнению (4), и, следовательно, являются точками эллипса, откуда и следуют утверждения теоремы.

Теорема доказана.

рис.3.

Определение. Величина 2а называется большой осью эллипса, величина а называется большой полуосью эллипса.

Определение. Величина 2bназывается малой осью эллипса, величинаbназывается малой полуосью эллипса.

Определение. Точки пересечения эллипса с его главными осями называются вершинами эллипса.

Замечание. Эллипс можно построить следующим образом. На плоскости в фокусы «забиваем по гвоздю» и закрепляем на них нить длиной . Затем берем карандаш и с его помощью натягиваем нить. Затем передвигаем карандашный грифель по плоскости, следя за тем, чтобы нить была в натянутом состоянии.

Из определения эксцентриситета следует, что

Зафиксируем число а и устремим число с к нулю. Тогда при ,и. В пределе мы получаем

или – уравнение окружности.

Таким образом, мы можем считать, что окружность есть эллипс с нулевым эксцентриситетом.

Устремим теперь . Тогда,и мы видим, что в пределе эллипс вырождается в отрезок прямойв обозначениях рисунка 3.

п.4. Параметрические уравнения эллипса.

Теорема. Пусть – произвольные действительные числа. Тогда система уравнения

, (6)

является параметрическими уравнениями эллипса в канонических для эллипса системе координат.

Доказательство. Достаточно доказать, что система уравнений (6) равносильна уравнению (4), т.е. они имеют одно и то же множество решений.

1) Пусть (х, у) – произвольное решение системы (6). Разделим первое уравнение на а, второе – на b, возводим оба уравнения в квадрат и складываем:

.

Т.е. любое решение (х, у) системы (6) удовлетворяет уравнению (4).

2) Обратно, пусть пара (х, у) является решением уравнения (4), т.е.

.

Из этого равенства следует, что точка с координатами лежит на окружности единичного радиуса с центром в начале координат, т.е. является точкой тригонометрической окружности, которой соответствует некоторый угол:

рис.4.

Из определения синуса и косинуса сразу же следует, что

, , где, откуда и следует, что пара (х, у) является решением системы (6), ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Эллипс можно получить в результате равномерного «сжатия» окружности радиуса а к оси абсцисс.

Пусть – уравнение окружности с центром в начале координат. «Сжатие» окружности к оси абсцисс есть ни что иное, как преобразование координатной плоскости, осуществляемое по следующему правилу. Каждой точке М(х, у) поставим в соответствие точку этой же плоскости, где,– коэффициент «сжатия».

рис.5.

При этом преобразовании каждая точка окружности «переходит» в другую точку плоскости, имеющую ту же самую абсциссу, но меньшую ординату. Выразим старую ординату точки через новую:

и подставим в уравнение окружности:

.

Отсюда получаем:

. (7)

Отсюда следует, что если до преобразования «сжатия» точка М(х, у) лежала на окружности, т.е. ее координаты удовлетворяли уравнению окружности, то после преображования «сжатия» эта точка «перешла» в точку , координаты которой удовлетворяют уравнению эллипса (7). Если мы хотим получить уравнение эллипса с малой полуосьюb, то нужно взять коэффициент сжатия

.

рис.6.

п.5. Касательная к эллипсу.

Теорема. Пусть – произвольная точка эллипса

.

Тогда уравнение касательной к этому эллипсу в точке имеет вид:

. (8)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в первой или второй четверти координатной плоскости: . Уравнение эллипса в верхней полуплоскости имеет вид:

. (9)

Воспользуемся уравнением касательной к графику функции в точке:

, (10)

где – значение производной данной функции в точке. Эллипс в первой четверти можно рассматривать как график функции (8). Найдем ее производную и ее значение в точке касания:

,

. Здесь мы воспользовались тем, что точка касания является точкой эллипса и поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса (9), т.е.

.

Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной (10):

,

откуда получаем:

или

.

Отсюда следует:

.

Разделим это равенство на :

.

Осталось заметить, что , т.к. точкапринадлежит эллипсу и ее координаты удовлетворяют его уравнению.

Аналогично доказывается уравнение касательной (8) в точке касания, лежащей в третьей или четвертой четверти координатной плоскости.

И, наконец, легко убеждаемся, что уравнение (8) дает уравнение касательной в точках ,:

или , иили.

Теорема доказана.

п.6. Зеркальное свойство эллипса.

Теорема. Касательная к эллипсу имеет равные углы с фокальными радиусами точки касания.

рис.7.

Пусть – точка касания,,– фокальные радиусы точки касания, Р иQ– проекции фокусов на касательную, проведенную к эллипсу в точке.

Теорема утверждает, что

. (11)

Это равенство можно интерпретировать как равенство углов падения и отражения луча света от эллипса, выпущенного из его фокуса. Это свойство получило название зеркального свойства эллипса:

Луч света, выпущенный из фокуса эллипса, после отражения от зеркала эллипса проходит через другой фокус эллипса.

Доказательство теоремы. Для доказательства равенства углов (11) мы докажем подобие треугольников и, в которых стороныибудут сходственными. Так как треугольники прямоугольные, то достаточно доказать равенство

. (12)

Так как по построению – расстояние от фокусадо касательнойL(см. рис.7),. Воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой на плоскости:

.

Так как уравнение касательной к эллипсу в точке имеет вид

,

то

,

и

.

Здесь мы воспользовались формулами (5) для фокальных радиусов точки эллипса.

Теорема доказана.

Второе доказательство теоремы:

, ,– нормальный вектор касательнойL.

. Отсюда, .

Аналогично находим, и, ч.т.д.

п.7. Директрисы эллипса.

Определение. Директрисами эллипса называются две прямые, которые в канонической для эллипса системе координат имеют уравнения

или . (13)

рис.8.

Теорема. Пусть М – произвольная точка эллипса, ,– ее фокальные радиусы,– расстояние от точки М до левой директрисы,– до правой. Тогда

, (14)

где – эксцентриситет эллипса.

Доказательство.

рис.9.

Пусть М(х, у) – координаты произвольной точки эллипса. Тогда

, ,

откуда и следуют равенства (14).

Теорема доказана.

п.8. Фокальный параметр эллипса.

Определение. Фокальным параметром эллипса называется длина перпендикуляра, восстановленного в его фокусе до пересечения с эллипсом.

Фокальный параметр принято обозначать буквой р.

рис.9.

Из определения следует, что фокальный параметр

.

Теорема. Фокальный параметр эллипса равен

. (15)

Доказательство. Так как точка N(–с; р) явяляется точкой эллипса, то ее координаты удовлетворяют его уравнению:

.

Отсюда находим

,

откуда и следует (15).

Теорема доказана.

п.9. Второе определение эллипса.

Теорема из п.7. может служить определением эллипса.

Определение. Эллипсом называется ГМТ для которых отношение расстояния до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная меньше единицы и называемая его эксцентриситетом:

.

рис.10.

Разумеется, в этом случае, первое определение эооипса является теоремой, которую необходимо доказывать.

studfiles.net

Векторная алгебра. Элементы аналитической геометрии, страница 6

Определение 7.4. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, при условии, что 2а > 2с, где 2с – расстояние между фокусами.

Фокусы эллипса лежат на оси абсцисс, начало координат – в середине отрезка между фокусами, их координаты соответственно . Они располагаются внутри эллипса.

Уравнение эллипса:

,                                                 (7.12)

где  (рис.7.9).

Если центр симметрии эллипса смещен в точку ), то уравнение эллипса будет записано так:

.                                          (7.13)

Как видно из уравнений эллипса, его график симметричен относительно обеих осей координат и каждому значению х соответствует два значения у. Кроме того график пересекает оси координат в точках  и . Эти точки называют вершинами эллипса. Для удобства его построения строят основной прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат: х = а, х = –а, у = b, у = –b, и вписывают в него эллипс.

Рис. 7.9

7.7. Каноническое уравнение гиперболы

Определение 7.5. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух заданных, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, при условии, что , где 2с – расстояние между фокусами.

Фокусы гиперболы располагают на оси ОХ, которую называют фокальной и действительной осью, потому что только с ней пересекаются вершины гиперболы в точках . Фокусы гиперболы лежат на более удаленном расстоянии от начала координат, чем вершины, так как по условию . Пересечения с осью ОУ нет, поэтому ее называют еще мнимой осью гиперболы.

Уравнение гиперболы:

,                                          (7.14)

где  (рис. 7.10).

То же уравнение гиперболы со смещенным центром симметрии в точке ( запишется в виде:

.                                         (7.15)

Гипербола также симметрична относительно обеих осей координат. При построении ее графика также строится основной прямоугольник со сторонами
 и , затем проводят его диагонали. Они будут служить асимптотами – прямыми, к которым стремятся точки графика гиперболы, но не достигают при неограниченном удалении x от начала координат. Если x неограниченно удаляется от начала координат, то y тоже будет уходить в бесконечность. График гиперболы приведен на рис. 7.10. Если фокальной и действительной осью будет служить ось ОY, то уравнение такой гиперболы будет записано так:

На рис. 7.10 она изображена пунктирной линией.

Рис. 7.10

7.8. Приведение уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду

Все перечисленные уравнения носят название канонических уравнений, так как для их вывода использовался один и тот же прием.

Итак, мы рассмотрели четыре кривых второго порядка: окружность, параболу, эллипс и гиперболу. Возникает вопрос: существуют ли другие линии, определяемые уравнением второй степени ? Чтобы ответить на этот вопрос, приведем примеры.

1) . Этому уравнению удовлетворяет только одна точка на плоскости О(0,0), т.к. сумма квадратов двух чисел всегда больше нуля.

2) . Это уравнение можно переписать в виде (х – у)(х + у)=0, и приравнять каждый из сомножителей нулю. Получим две пересекающиеся прямые х = у и х = –у.

3) х – 2ху + у = 0. Оно равносильно уравнению  = 0, которое представляет две слившиеся прямые х – у = 0.

4) , . Каждое из этих уравнений также представляет пары прямых х = , у = .

5) . Это уравнение не может определять никакую линию на плоскости, так как сумма положительных чисел не может быть равно нулю.

Приведенные примеры показывают, что нельзя однозначно ответить на поставленный вопрос. Необходимо подходить к каждому случаю отдельно.

Рассматривая уравнения второго порядка, не содержащие члена с произведением координат, можно привести его к одному из рассмотренных выше видов с помощью выделения полного квадрата по каждой из переменных. Покажем, как это делается, на примере.

Пример 7.7. Привести уравнение к каноническому виду, указать вид кривой.

.

Решение. Представим левую часть в виде суммы квадратов:

(х – 1 + (у – 9 – 7 = 0,

или

.

Это уравнение представляет окружность с центром в точке (–1,–3) и радиусом, равным .

Пример 7.8. Показать, что данное уравнение

16x² + 25y² + 32x – 100y – 284 = 0

определяет эллипс, приведя его к каноническому виду. Найти центр эллипса, его полуоси и фокусы. Сделать чертеж

Решение. Сгруппируем слагаемые, содержащие x и y:

16(x² + 2x) + 25(y²– 4y) – 284 = 0

После этого выражения в скобках преобразуем таким образом, чтобы можно было воспользоваться формулой полного квадрата, т.е. в каждой скобке добавим и отнимем такое число, чтобы можно было воспользоваться формулой: a² + 2ab + b² = (a + b)²:

.

Отсюда получаем:

16(x²+1)² – 16 + 25(y²–2)² – 100 – 284 = 0,

или

16(x²+1)² + 25(y²–2)² = 400.

Разделив это уравнение на 400, получим

.

Это уравнение – каноническое уравнение эллипса, центр которого находится в точке С(–1,2). Большая полуось равна a=4, малая b=3, фокальное расстояние .

Пример 7.9. Показать, что уравнение

9x² –16y² + 18x + 64y – 199 = 0

определяет гиперболу, приведя его к каноническому виду. Найти центр гиперболы, ее полуоси, фокусы и уравнения асимптот. Сделать чертеж.

Решение. Дополняя члены, содержащие x и y, до полного квадрата:

9(x² + 2x) – 16(y² – 4y) – 199 = 0,

или

9(x + 1)² – 9 – 16(y – 2)² + 64 – 199 = 0.

Отсюда получаем каноническое уравнение гиперболы:

.

Следовательно, центр гиперболы находится в точке С(–1;2), действительная полуось a=4, мнимая b=3, фокальное расстояние . Уравнения асимптот имеют вид

,

или   3x–4y–10 = 0       и       3x+4y–2 = 0.

Построение гиперболы лучше начинать с построения асимптот, а затем уже отмечать вершины, фокусы и другие точки.

7.9. Заключение

На этом мы закончим знакомство с аналитической геометрии, и перейдем к новой теме, которая называется математический анализ. Основным понятием этого раздела высшей математики является понятие функции.

vunivere.ru

Каноническое уравнение эллипса. Полуоси эллипса. Построение эллипса, если известно его каноническое уравнение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где a – большая полуось; b – малая полуось. Точки F1(c,0) и F2(-c,0) − c называются

a, b — полуоси эллипса.

Нахождение фокусов, эксцентриситета, директрис эллипса, если известно его каноническое уравнение.

Определение гиперболы. Фокусы гиперболы.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.

Каноническое уравнение гиперболы. Полуоси гиперболы. Построение гиперболы, если известно ее каноническое уравнение.

Каноническое уравнение:

Большая полуось гиперболы составляет половину минимального расстояния между двумя ветвями гиперболы, на положительной и отрицательной сторонах оси (слева и справа относительно начала координат). Для ветви расположенной на положительной стороне, полуось будет равна:

Если выразить её через коническое сечение и эксцентриситет, тогда выражение примет вид:

Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется поперечной осью гиперболы.

Нахождение фокусов, эксцентриситета, директрис гиперболы, если известно ее каноническое уравнение.

Эксцентриситет гиперболы

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с –