0 корень из 2 – Калькулятор корней — извлечь корень онлайн

0 корень из 2

Вы искали 0 корень из 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 0 корень из 3, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «0 корень из 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 0 корень из 2,0 корень из 3,1 5 корней из 5,1 в корне,1 корень из 25,1 корень из 8,1 под корнем,10 корня из 3,15 корень из 1,16 корень из 4,188 корень из,2 3 под корнем,2 4 корня из 3,2 в корне 4,2 в степени минус корень из 2,2 из 4 корней,2 из под корня 2,2 корень 1,2 корень из 0,2 корень из 1,2 корень из 16 корень из 36,2 корень из 9,2 под корнем 3,2 под корнем 3 2,2401 корень восьмой степени из,25 корень из 4,3 2 под корнем,3 5 в корне,3 в степени 2 корня из 2,3 из под корня 3,3 корень,3 корень 4,3 корень 4 2,3 корень 5,3 корень 8 27,3 корень из 1,3 корень из 25,3 корень из 4,3 корень числа,3 корней из 4,3 корня,3 корня из 0 3,3 корня из 4,3 под корнем,3 под корнем 2,3 под корнем 3 2,3 под корнем 8 под корнем,3 под корнем на 3 под корнем,32 корней из 5,364 корень,389 корень из,39 корень,4 2 в корне,4 5 корень,4 в корне,4 в корне из 4,4 из корня 5,4 корень,4 корень 1,4 корень 25,4 корень из 1,4 корень из 25,4 корень из 8,4 корня из 3 в 3 степени,4 под корнем,5 корень 4,5 корень из 1,5 корня из 4,5 под корнем,5184 корень,6 корень из 4,7 в корне,8 в степени корень из 3,8 корень из 1,8 корень из 4,9 из корня 3,арифметический корень калькулятор,арифметический корень натуральной степени калькулятор,арифметический корень натуральной степени калькулятор онлайн,арифметический корень натуральной степени онлайн калькулятор,в степени под корнем число,внесите множитель под знак корня онлайн калькулятор,внести множитель под знак корня онлайн калькулятор,вывести из корня онлайн,вывести из под корня онлайн,вывести из под корня число онлайн,вывести корень онлайн,вывести число из под корня онлайн,выделение корня онлайн,вынесение из под корня онлайн,вынесение онлайн из под корня,вынести из под корня онлайн,вынести множитель из под знака корня онлайн калькулятор,высчитать корень из числа онлайн,вычесть корень,вычисление квадратного корня онлайн,вычисление квадратных корней,вычисление корней,вычисление корней калькулятор онлайн,вычисление корней онлайн,вычисление корней онлайн калькулятор,вычисление корня,вычисление корня n степени онлайн,вычисление корня квадратного онлайн,вычисление корня кубического онлайн,вычисление корня онлайн,вычисление кубического корня онлайн,вычисление кубического корня онлайн калькулятор,вычисление с корнями,вычисления корней калькулятор,вычисления корня,вычислите корень,вычислите корень 4 степени из 4096,вычислите корень 5 степени из 100000,вычислите корень из 3 корень из 2,вычислитель корней,вычислитель корней онлайн,вычислить из числа корень,вычислить квадратный корень онлайн,вычислить квадратный корень онлайн калькулятор,вычислить корень,вычислить корень 3 степени онлайн,вычислить корень 4 степени,вычислить корень 4 степени онлайн,вычислить корень из числа,вычислить корень квадратный онлайн,вычислить корень квадратный онлайн калькулятор,вычислить корень кубический онлайн,вычислить корень кубический онлайн калькулятор,вычислить корень онлайн,вычислить корень онлайн калькулятор,вычислить корни,вычислить корни онлайн,вычислить кубический корень онлайн,вычислить кубический корень онлайн калькулятор,вычислить онлайн корни,вычитание корней онлайн калькулятор,действия с корнями калькулятор онлайн,действия с корнями онлайн калькулятор,дробный с корнями калькулятор,из под корня 2,из числа вычислить корень,извлекаем корень,извлечение квадратного корня калькулятор онлайн,извлечение квадратного корня онлайн калькулятор,извлечение корней онлайн,извлечение корня из числа онлайн,извлечение корня калькулятор онлайн,извлечение корня кубического онлайн,извлечение корня онлайн,извлечение корня онлайн калькулятор,извлечение кубического корня онлайн,извлечения корней калькулятор,извлечь из корня корень,извлечь квадратный корень калькулятор,извлечь квадратный корень онлайн,извлечь квадратный корень онлайн калькулятор,извлечь корень,извлечь корень 3 степени,извлечь корень 3 степени онлайн,извлечь корень из числа,извлечь корень из числа онлайн,извлечь корень калькулятор онлайн,извлечь корень квадратный калькулятор,извлечь корень квадратный онлайн,извлечь корень кубический онлайн,извлечь корень кубический онлайн калькулятор,извлечь корень онлайн,извлечь корень онлайн калькулятор,извлечь корень третьей степени,извлечь кубический корень онлайн,как в онлайн калькуляторе обозначить корень,как ввести корень в онлайн калькулятор,как вводить корень в калькулятор онлайн,как вводить корень в онлайн калькулятор,как вывести из под корня число онлайн,как вывести число из под корня онлайн,как вынести из под корня число онлайн,как вынести число из под корня онлайн,как вычислить корень 4 степени,как вычислить корень в степени,как вычислить корень из 3,как вычислить корень из числа на калькуляторе,как записать корень 3 степени в онлайн калькулятор,как записать корень в онлайн калькулятор,как из под корня вывести число онлайн,как из числа высчитать корень из,как извлечь корень из числа на калькуляторе,как на калькуляторе вычислить корень из числа,как на калькуляторе извлечь квадратный корень из числа,как на калькуляторе извлечь корень квадратный из числа,как на калькуляторе посчитать корень 4 степени,как написать в калькуляторе корень 3 степени,как посчитать корень 3 степени,как посчитать корень 4 степени,как посчитать корень 4 степени на калькуляторе,как решить корень из 3 2,калькулятор 3 степени корень,калькулятор 4 степени корень,калькулятор n степени корня,калькулятор арифметический корень,калькулятор арифметический корень натуральной степени,калькулятор арифметических корней,калькулятор арифметического корня,калькулятор в степени корень,калькулятор вычисления корней,калькулятор действия с корнями онлайн,калькулятор для вычисления корней,калькулятор для корней,калькулятор для корней онлайн,калькулятор для корней онлайн калькулятор,калькулятор для корней со степенями,калькулятор дробей и корней,калькулятор дробей и корней со степенями,калькулятор дробный с корнями,калькулятор из под корня онлайн калькулятор,калькулятор извлечения корней,калькулятор извлечения корней онлайн,калькулятор извлечь квадратный корень,калькулятор извлечь корень квадратный,калькулятор извлечь корень кубический онлайн,калькулятор квадратного корня,калькулятор квадратные корни,калькулятор квадратный корень,калькулятор квадратных корней,калькулятор квадратных корней онлайн,калькулятор коренів,калькулятор корень,калькулятор корень 3 степени онлайн,калькулятор корень 4 степени,калькулятор корень n степени,калькулятор корень n степени онлайн,калькулятор корень в 4 степени,калькулятор корень в степени,калькулятор корень в степени онлайн,калькулятор корень в третьей степени,калькулятор корень и степень онлайн,калькулятор корень из,калькулятор корень из дроби,калькулятор корень квадратный,калькулятор корень н степени,калькулятор корень пятой степени,калькулятор корень со степенью,калькулятор корень степени,калькулятор корень степени н,калькулятор корень степени онлайн,калькулятор корень третьей степени,калькулятор корень числа онлайн,калькулятор корень энной степени,калькулятор корней,калькулятор корней n степени,калькулятор корней в степени,калькулятор корней в степени онлайн,калькулятор корней вычисления,калькулятор корней дробей,калькулятор корней и степеней,калькулятор корней и степеней онлайн,калькулятор корней и степеней с решением,калькулятор корней квадратных,калькулятор корней кубических,калькулятор корней кубических онлайн,калькулятор корней онлайн,калькулятор корней онлайн вычитание,калькулятор корней онлайн с решением подробно,калькулятор корней онлайн со степенями,калькулятор корней решение корней онлайн,калькулятор корней с решением,калькулятор корней сложение,калькулятор корней со степенями,калькулятор корней со степенями онлайн,калькулятор корней со степенями онлайн с подробным решением,калькулятор корней степеней,калькулятор корней степени,калькулятор корней степени n,калькулятор корней умножение,калькулятор корней умножения,калькулятор корни,калькулятор корни и степени,калькулятор корни квадратные,калькулятор корни кубические,калькулятор корня,калькулятор корня 3 степени,калькулятор корня n степени,калькулятор корня квадратного,калькулятор корня кубического,калькулятор корня кубического онлайн,калькулятор корня степени,калькулятор корня степени n,калькулятор кубические корни,калькулятор кубических корней,калькулятор кубических корней онлайн,калькулятор кубического корня онлайн,калькулятор кубического корня онлайн калькулятор,калькулятор онлайн вынесение множителя из под знака корня,калькулятор онлайн вычисление корней,калькулятор онлайн вычисление кубического корня,калькулятор онлайн вычислить корень,калькулятор онлайн вычислить корень кубический,калькулятор онлайн вычислить кубический корень,калькулятор онлайн действия с корнями,калькулятор онлайн для корней,калькулятор онлайн извлечение корня,калькулятор онлайн корень,калькулятор онлайн корень 3 степени,калькулятор онлайн корень 4 степени,калькулятор онлайн корень 6 степени,калькулятор онлайн корень n степени,калькулятор онлайн корень и степень,калькулятор онлайн корень из,калькулятор онлайн корень степени,калькулятор онлайн корень четвертой степени,калькулятор онлайн корень числа,калькулятор онлайн корней,калькулятор онлайн корней и степеней,калькулятор онлайн корни,калькулятор онлайн корни степени,калькулятор онлайн корня кубического,калькулятор онлайн кубических корней,калькулятор онлайн найти корень,калькулятор онлайн примеры с корнями,калькулятор онлайн с квадратным корнем,калькулятор онлайн с корнем,калькулятор онлайн с корнем квадратным,калькулятор онлайн с корнями,калькулятор онлайн с корнями выражения,калькулятор онлайн с корнями и степенями,калькулятор онлайн с кубическим корнем,калькулятор онлайн степени корень,калькулятор онлайн степени корни,калькулятор онлайн степень и корень,калькулятор примеров с корнями,калькулятор разных корней,калькулятор с дробями и корнями и степенями онлайн,калькулятор с дробями и степенями и корнями,калькулятор с квадратным корнем,калькулятор с квадратным корнем онлайн,калькулятор с корнем,калькулятор с корнем 3 степени,калькулятор с корнем квадратным,калькулятор с корнем квадратным онлайн,калькулятор с корнем кубическим,калькулятор с корнем кубическим онлайн,калькулятор с корнем онлайн,калькулятор с корнями,калькулятор с корнями и степенями,калькулятор с корнями и степенями онлайн,калькулятор с корнями онлайн,калькулятор с корнями степеней,калькулятор с кубическим корнем,калькулятор с кубическим корнем онлайн,калькулятор с решением с корнями,калькулятор со степенями и корнями,калькулятор степеней и корней,калькулятор степеней и корней онлайн,калькулятор степеней и корней с решением,калькулятор степеней корней,калькулятор степеней с корнями,калькулятор степени и корни,калькулятор степени корней,калькулятор степени корня,калькулятор степенной корень,калькулятор степенных корней,калькулятор степень корня,калькулятор умножение корней,калькулятор умножения корней,квадратные корни калькулятор,квадратные корни калькулятор онлайн,квадратные корни онлайн,квадратные корни онлайн калькулятор,квадратный корень вычислить онлайн,квадратный корень из 10 в 10 степени,квадратный корень из 4 096,квадратный корень из числа онлайн,квадратный корень из числа онлайн калькулятор,квадратный корень калькулятор,квадратный корень калькулятор онлайн,квадратный корень найти онлайн,квадратный корень онлайн,квадратный корень онлайн калькулятор,квадратный корень онлайн посчитать,квадратный корень посчитать онлайн,квадратный корень рассчитать онлайн,корень 0 25,корень 0 5,корень 1 2,корень 1 3,корень 1 5,корень 1 из 25,корень 10 2 корень 3,корень 12 степени из 144,корень 2 4,корень 2 5,корень 2 в 3 степени,корень 2 степени из 4,корень 244,корень 25 2,корень 25 4,корень 25 из 4,корень 25 степени из 25,корень 3 4,корень 3 5,корень 3 6,корень 3 7,корень 3 из 0,корень 3 из 25,корень 3 степени вычислить,корень 3 степени из 2,корень 3 степени из 2 корень из 2,корень 3 степени из 25,корень 3 степени из 4,корень 3 степени из 4 корень 5,корень 3 степени из 7,корень 3 степени из 7 корень 4 степени,корень 3 степени как записать в калькулятор,корень 3 степени калькулятор,корень 3 степени онлайн,корень 3 степени онлайн калькулятор,корень 3 степени онлайн калькулятор онлайн,корень 4 25,корень 4 3,корень 4 5,корень 4 6,корень 4 из 25,корень 4 из 8,корень 4 из 9,корень 4 степени из 2 в 3 степени,корень 4 степени из 4 в квадрате,корень 4 степени из 8,корень 4 степени из 8 корень из 2,корень 4 степени калькулятор,корень 4 степени онлайн,корень 4 степени онлайн калькулятор,корень 469,корень 5 1,корень 5 3,корень 5 4,корень 5 из 9,корень 5 степени из 7776,корень 5 степени онлайн калькулятор,корень 6 3,корень 6 корень 2 4,корень 6 степени из 4,корень 6 степени онлайн калькулятор,корень 8 степени из 3,корень 8 степени из 4,корень n ой степени калькулятор,корень n степени калькулятор,корень n степени калькулятор онлайн,корень n степени онлайн калькулятор,корень в 3 степени из 10 6,корень в 3 степени из 4,корень в 3 степени онлайн,корень в 4 степени из 2,корень в 4 степени из 7,корень в 4 степени калькулятор,корень в 5 степени из 1,корень в 8 степени из 3,корень в степени 4 из 1,корень в степени 4 из 7,корень в степени калькулятор,корень в степени онлайн,корень в степени онлайн калькулятор,корень в третьей степени калькулятор,корень восьмой степени из 2401,корень восьмой степени онлайн,корень вычесть,корень вычислить,корень вычислить онлайн,корень знак калькулятор,корень и степень онлайн калькулятор,корень из,корень из 0 00032,корень из 0 04,корень из 0 1,корень из 0 2,корень из 0 25,корень из 0 3,корень из 0 4,корень из 0 6,корень из 0 64,корень из 1 16,корень из 1 2,корень из 1 5,корень из 1 7,корень из 1 8,корень из 10 делить на 10,корень из 141,корень из 146,корень из 188,корень из 194,корень из 2 0,корень из 2 9,корень из 2 корень из 3 в 4 степени,корень из 210,корень из 217,корень из 25 4,корень из 292,корень из 3 25,корень из 3 6,корень из 3 в 8 степени,корень из 3 как вычислить,корень из 316,корень из 336,корень из 356,корень из 389,корень из 396,корень из 4 25,корень из 4 3,корень из 4 5,корень из 4 9,корень из 4 в 7 степени,корень из 4 в степени 3,корень из 4 делить на 4,корень из 4 степени 8,корень из 436,корень из 45000,корень из 469,корень из 5 делить на 2,корень из 6 4,корень из 7 в степени 4,корень из 8 1,корень из 8 4 степени,корень из 8 в 3 степени,корень из 9 5,корень из дроби калькулятор,корень из калькулятор,корень из калькулятор онлайн,корень из онлайн калькулятор,корень из степени онлайн,корень из числа,корень из числа вычислить,корень из числа онлайн,корень из числа онлайн калькулятор,корень извлечь,корень извлечь из корня,корень калькулятор,корень калькулятор онлайн,корень квадратный вычислить онлайн,корень квадратный из числа вычислить,корень квадратный из числа онлайн,корень квадратный из числа онлайн калькулятор,корень квадратный калькулятор,корень квадратный онлайн,корень квадратный онлайн калькулятор,корень квадратный посчитать онлайн,корень кубический вычислить онлайн,корень кубический из числа онлайн,корень кубический калькулятор,корень кубический онлайн,корень кубический онлайн калькулятор,корень н степени калькулятор,корень н степени онлайн,корень на калькуляторе,корень найти,корень найти онлайн,корень онлайн,корень онлайн в степени,корень онлайн калькулятор,корень посчитать,корень посчитать онлайн,корень пятой степени калькулятор,корень пятой степени онлайн,корень рассчитать,корень расчет,корень седьмой степени онлайн,корень со степенью калькулятор,корень степени 3 из 7,корень степени n калькулятор,корень степени n онлайн калькулятор,корень степени калькулятор,корень степени калькулятор онлайн,корень степени н онлайн,корень степени онлайн калькулятор,корень степенной калькулятор,корень считать,корень третий степени онлайн,корень третьей степени из 2,корень третьей степени из 4,корень третьей степени калькулятор,корень третьей степени онлайн,корень третьей степени онлайн калькулятор,корень четвертой степени калькулятор,корень четвертой степени калькулятор онлайн,корень четвертой степени онлайн,корень четвертой степени онлайн калькулятор,корень числа калькулятор онлайн,корень числа онлайн,корень числа онлайн калькулятор,корень шестой степени онлайн,корень энной степени калькулятор,корневой калькулятор,корневой калькулятор онлайн,корни вычисление,корни вычислить,корни вычислить онлайн,корни и степени калькулятор,корни из чисел,корни калькулятор,корни калькулятор онлайн,корни квадратные калькулятор,корни квадратные онлайн,корни кубические калькулятор,корни онлайн,корни онлайн калькулятор,корни онлайн решение,корни онлайн считать,корни решение онлайн,корни степени онлайн калькулятор,корни считать онлайн,кубические корни калькулятор,кубический корень знак онлайн калькулятор,кубический корень из числа онлайн,кубический корень онлайн,кубический корень онлайн калькулятор,кубический корень посчитать онлайн,на калькуляторе корень,найти значение выражения онлайн с корнями,найти значение выражения с корнями онлайн,найти значение выражения с корнями онлайн калькулятор,найти квадратный корень из числа онлайн,найти квадратный корень онлайн,найти корень,найти корень из числа,найти корень из числа онлайн,найти корень калькулятор онлайн,найти корень квадратный,найти корень квадратный из числа онлайн,найти корень квадратный онлайн,найти корень кубический онлайн,найти корень онлайн,найти корень онлайн калькулятор,найти корень числа онлайн,найти корни,найти корни онлайн,найти кубический корень онлайн,нахождение корней,нахождение корней онлайн,онлайн вывести из под корня,онлайн вывести корень,онлайн выделение корня,онлайн высчитать корень из числа,онлайн вычисление квадратного корня,онлайн вычисление корней,онлайн вычисление корня,онлайн вычисление корня n степени,онлайн вычисление корня степени n,онлайн вычислитель корней,онлайн извлечение корней,онлайн извлечение корня,онлайн извлечь корень 3 степени,онлайн калькулятор вычисление кубического корня,онлайн калькулятор вычислить корень квадратный из числа,онлайн калькулятор вычислить корень кубический,онлайн калькулятор вычислить кубический корень,онлайн калькулятор вычитание корней,онлайн калькулятор действия с корнями,онлайн калькулятор для корней,онлайн калькулятор извлечение корня,онлайн калькулятор извлечения корней,онлайн калькулятор квадратных корней,онлайн калькулятор корень,онлайн калькулятор корень 3 степени,онлайн калькулятор корень n степени,онлайн калькулятор корень и степень,онлайн калькулятор корень степени,онлайн калькулятор корень четвертой степени,онлайн калькулятор корней,онлайн калькулятор корней в степени,онлайн калькулятор корней и степеней,онлайн калькулятор корней кубических,онлайн калькулятор корни,онлайн калькулятор корни степени,онлайн калькулятор корня n степени,онлайн калькулятор корня кубического,онлайн калькулятор кубических корней,онлайн калькулятор кубического корня,онлайн калькулятор найти значение выражения с корнями,онлайн калькулятор найти корень,онлайн калькулятор примеры с корнями,онлайн калькулятор с квадратным корнем,онлайн калькулятор с корнем,онлайн калькулятор с корнем квадратным,онлайн калькулятор с корнями,онлайн калькулятор с корнями и степенями,онлайн калькулятор с кубическим корнем,онлайн калькулятор степеней и корней,онлайн калькулятор степени корни,онлайн калькулятор степень и корень,онлайн квадратные корни,онлайн квадратный корень,онлайн корень,онлайн корень в степени,онлайн корень и степень калькулятор,онлайн корень из числа,онлайн корень н степени,онлайн корень степени n,онлайн корень умножить на корень,онлайн корень четвертой степени,онлайн корни,онлайн найти корень,онлайн найти корень из числа,онлайн нахождение корней,онлайн посчитать корни,онлайн расчет корня,онлайн решение квадратных корней,онлайн решение корней,онлайн решение корней со степенями,онлайн решение корни,онлайн считать корни,онлайн умножение корней,онлайн упрощение корней,перевод корней в числа,под корнем 1,под корнем 2 3,под корнем 2 под корнем 3,под корнем 3,под корнем 3 2,под корнем 3 под корнем 5,посчитать квадратный корень онлайн,посчитать корень,посчитать корень 8 степени онлайн,посчитать корень квадратный онлайн,посчитать корень кубический онлайн,посчитать корень онлайн,посчитать корни онлайн,посчитать кубический корень онлайн,посчитать онлайн корень квадратный,примеры с корнями калькулятор онлайн,примеры с корнями онлайн калькулятор,рассчитать квадратный корень,рассчитать квадратный корень онлайн,рассчитать корень,рассчитать корень квадратный,рассчитать корень квадратный онлайн,рассчитать онлайн корень квадратный,расчет корень,расчет корня онлайн,решение выражений онлайн с корнями,решение калькулятор корней,решение квадратных корней онлайн,решение корней,решение корней онлайн,решение корней онлайн калькулятор,решение корней со степенями онлайн,решение корней со степенями онлайн калькулятор,решение корни онлайн,решение онлайн квадратных корней,решение онлайн корней,решение онлайн корни,решение примеров с корнями и степенями онлайн калькулятор,решить онлайн выражение с корнями,решить онлайн корень,решить пример онлайн калькулятор с корнями,с корнями онлайн калькулятор,сложение корней калькулятор онлайн,сложение корней онлайн,сложение корней онлайн калькулятор,сравнение корней онлайн,сравнить числа онлайн с корнями,сравнить числа с корнями онлайн,степени и корни калькулятор,степени корней калькулятор,степенной корень калькулятор,степенные корни калькулятор,степень корня калькулятор,считать корень,считать корни онлайн,тройной корень из числа калькулятор,умножение корень на корень онлайн,умножение корней калькулятор онлайн,умножение корней онлайн,умножение корней онлайн калькулятор,умножения корней калькулятор,упростите выражение калькулятор с корнями,упростить корень онлайн,четвертой степени корень онлайн калькулятор. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 0 корень из 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 1 5 корней из 5).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 0 корень из 2 Онлайн?

Решить задачу 0 корень из 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

чему равен корень из двух

ничему вродь не равен. . если тока 1

приблизительно 1,41 для повседневной жизни хватит. а вообще 1.41421356

1,4142135 всё просто

приблизительно 1,4142135623730950488016887242097….но обяно числовым значением не пользуються, как например в тригонометрии

Любопытство проявляете? 1,4142

вообще лучще его оставить таким каким он есть просто корень из 2 но если уж так надо, то это будет 1,4142…приблизительно

лучще оставить корень из 2

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2.

Ответ: 1,41421356237.

1,4 очень просто

touch.otvet.mail.ru

корень из 2/2 это одно и то же, что и 1/ корень из 2?

Если бы Вы писали скобки, каждому было бы ясно, что это верно: (корень (2) ) /2 = 1 / корень (2)

Нет. Это не так.

да. Все правильно, числитель и знаменатель поделили на корень из 2.

объясни получше, что у тебя здесь написано, а то 2/2 = 1 вобще то

Разве 2/2 не равняется 1? Тогда корень из 1=1.

Корень из 2/2= корень 1 = 1 А 1/корень из 2 = 1/1.41 = 0,707

Конечно нет! 2/2 будет 1 а 1/из2будет ироциональное число.

touch.otvet.mail.ru

Квадратный корень из 2 — WiKi

История

  Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800–1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}  при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

1+2460+51602+10603=1.41421(296).{\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421(296).} 

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

1+13+13⋅4−13⋅4⋅34=577408≈1.414215686.{\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686.} 

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел[источник не указан 2097 дней].

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}  в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

an+1=an+2an2=an2+1an.{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.} 

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше n{\displaystyle n} ), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с a0=1{\displaystyle a_{0}=1} :

  • 32=1,5{\displaystyle {\frac {3}{2}}={\color {Green}1}{,}5} 
  • 1712=1,416…{\displaystyle {\frac {17}{12}}={\color {Green}1{,}41}6\ldots } 
  • 577408=1,414215…{\displaystyle {\frac {577}{408}}={\color {Green}1{,}41421}5\ldots } 
  • 665857470832=1,4142135623746…{\displaystyle {\frac {665857}{470832}}={\color {Green}1{,}41421356237}46\ldots } 

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}  до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ.

Мнемоническое правило

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».

Свойства квадратного корня из двух

Половина 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}  приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

22=12=12=cos⁡45∘=sin⁡45∘.{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.} 

Одно из интересных свойств 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}  состоит в следующем:

 12−1=2+1{\displaystyle \ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1} . Потому что (2+1)(2−1)=2−1=1.{\displaystyle ({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1.} 

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} :

2+2+2+⋯=2.{\displaystyle {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=2.} 

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i, используя только квадратные корни и арифметические операции:

i+iii{\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}}  и −i−i−i−i.{\displaystyle {\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.} 

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

222 ⋅⋅⋅=2{\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2} 

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π{\displaystyle \pi } :

2m2−2+2+⋯+2→π{\displaystyle 2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}\to \pi \quad } при m→∞.{\displaystyle m\to \infty .} 

С точки зрения высшей алгебры, 2{\displaystyle {\sqrt {2}}}  является корнем многочлена x2−2{\displaystyle x^{2}-2}  и поэтому является целым алгебраическим числом[2]. Множество чисел вида a+b2{\displaystyle a+b{\sqrt {2}}} , где a,b{\displaystyle a,b}  — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается Q[2]{\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}  и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

 2=1+12+12+12+12+⋱.{\displaystyle \ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}.} 

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}} , то последующая имеет вид m+2nm+n{\displaystyle {\frac {m+2n}{m+n}}} . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

32; 75; 1712; 4129; 9970; 239169; 577408; 1393985; 33632378…{\displaystyle {\frac {3}{2}};\ {\frac {7}{5}};\ {\frac {17}{12}};\ {\frac {41}{29}};\ {\frac {99}{70}};\ {\frac {239}{169}};\ {\frac {577}{408}};\ {\frac {1393}{985}};\ {\frac {3363}{2378}}\dots } 

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216. Соотношение сторон равно 1:2{\displaystyle 1:{\sqrt {2}}} . При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,…

См. также

Примечания

Литература

  • Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.

Ссылки

www.ru-wiki.org

Задачи на сложение и вычитание в пределах 10 – Задачи в стихах на сложение и вычитание в пределах 10

Задачи в стихах на сложение и вычитание в пределах 10

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Новосибирска Дзержинского района

«Лицей №113»

630089 город Новосибирск, улица Бориса Богаткова, д.241/1

т. (383) 267-69-07; 267-74-01 sch_113_nsk@nios.ru

Задачи в стихах

на сложение и вычитание в пределах 10

1 класс

Автор: Птицына Наталья Васильевна,

учитель начальных классов

Новосибирск

2016

И ребят он угощал:

Одну сливу дал Наташе,

Одну – Лене, одну – Саше.

Две осталось у него.

Сколько было слив всего?

В магазине купить соли,

Вымыть пол,

Покрасить стол,

Привести из сада Сашу,

Сварить рисовую кашу.

Не ленился если в школе,

Скажи, сколько дел у Оли?

Гости за столом сидят.

Правильно чтоб торт разрезать,

Считает Лена всех подряд:

Я и папа с мамой,

Катя со Светланой,

Бабушка и Оля,

Кареглазый Коля.

На сколько частей должна разрезать торт Лена?

Встретить белку и лису,

Встретить волка и лося,

Встретить зайца у куста.

Сколько животных можно встретить зимой в лесу?

Уселась белочка на сук,

Вспорхнул на ветку воробей,

На тропку выполз муравей –

Все улыбнулись солнцу!

Сколько всего животных улыбнулись солнцу?

Два да три…

Их будет…?

Бродили по местам грибным.

И нашли под елью скоро

Два огромных мухомора.

Походили у осин и нашли ещё один.

Сколько грибов нашли друзья?

  • Мышка, лягушка, ёж, петушок

Строили в поле себе теремок.

Сделали крышу, крыльцо и окошки

И протоптали к дому дорожки.

Сколько животных строили теремок?

Сидели на опушке.

Одна им подмигнула

И в озеро нырнула.

Сколько лягушек осталось на опушке?

Им навстречу муравей.

Сколько будет насекомых?

Сосчитай – ка поскорей!

За малиной в лес спешат.

Испугался вдруг один,

Убежал и след простыл.

Сколько смелых медвежат

За малиной в лес спешат?

Подарил одну матрёшку.

Мы её открыли, а там ещё четыре.

Сколько же всего матрёшек у Серёжи?

Строит домик на воде.

И пришли ему помочь:

Папа, мама, сын и дочь.

И приплыл паучок.

Посчитай –ка всех, дружок!

Пять орешков в мешке,

Ещё три на полке.

Посчитай их, сколько?

В вазе четыре,

У Саши одно.

Сколько всего?

Прилетела мама.

Сколько птиц стало?

Белая козочка и два индюшонка.

Если нам их сосчитать,

Всех их будет ровно…(пять).

Золотой гребешок

Зёрна отыскал,

Курочек позвал.

Прибежали курочки:

Две из переулочка,

Три из-за поворота,

Одна из огорода.

А сейчас проверь,

Сколько курочек теперь?

Ищет всех своих сынишек:

Двое спрятались на ветке

У кукушки, у соседки;

Трое спрятались в цветах;

Трое – в ягодных кустах.

А один, ленивый самый,

Дома спит под одеялом.

Растерялась мама – мышь.

Сосчитай мышат, малыш!

Помоги их всех найти,

К маме – мышке привести!

Десять лисят к ним прибежали.

Восемь лисят скрылись у речки,

Двое в канаве, в тёмном местечке.

Трое котят за забор убежали.

Четверо – в будку, их видно едва ли.

Ну – ка, проверь – все разбежались?

Или немногие всё же остались?

Крот увидел два грибка,

А подальше у осин

Он нашёл ещё один.

Кто ответить нам готов,

Сколько крот нашёл грибов?

Своим детям семь котлет.

За обедом съели детки

Всего лишь три котлетки.

А сколько котлет

Не съели дети на обед?

Покатился Колобок,

Встретил серого зайчишку,

Встретил волка, встретил мишку,

Да плутовку лису

Повстречал ещё в лесу.

Отвечайте скорей,

Колобок сколько встретил зверей?

Три забрались под ушат,

Два мышонка спят под ёлкой,

Сосчитать мышей недолго.

Продавали рукавички.

Прилетело ещё пять,

Сколько будут продавать?

И сестрёночка Ириша.

Сосчитайте поскорей,

Сколько же в семье детей?

— Ты откуда, непоседа?

— Запасаюсь я к зиме:

Видишь яблоки на мне.

Собираю их в лесу,

6 принёс да 3 несу.

Призадумался сосед:

Это много или нет?

Обезьянок там видала:

3 сидели на песке,

2 качались на доске,

А ещё 3 спинки грели.

Сосчитать вы всех успели?

Волк, лиса, малышка крот

Были дружные соседи.

На пирог пришли к медведю.

Вы, ребята, не зевайте:

Сколько всех зверей считайте.

Подосиновик нашёл.

Походил вокруг осин

И нашёл ещё один.

Сколько всего подосиновиков нашёл зайчик?

Мышке тапочки купил.

И на все четыре лапки

Натянула мышка тапки.

Побежала по тропинке

Да споткнулась о травинку.

С лапки тапочка упала

И куда –то запропала.

Тапку мышка не нашла

И без тапочки пошла.

Сколько тапочек осталось у мышки?

На песочке в ряд лежат.

Одному из пяти братцев

Захотелось искупаться.

Остальным же неохота

Возвращаться вновь в болото.

Сколько лягушат осталось лежать на песке?

Вышло десять малышей.

Пять из них на травку сели,

Остальные — на качели.

Сколько ребят село на качели?

Десять спелых груш нашёл.

Семь из них он дал ежатам,

Остальные же – зайчатам.

Сколько груш дядя ёж дал зайчатам?

Шли толпой на водопой.

А навстречу три тигрёнка

С водопоя шли домой.

Сосчитайте поскорей,

Сколько встретилось зверей?

Собрала десяток шишек.

Сразу все не отдала,

По одной всего дала.

Старшему – еловую,

Среднему – сосновую,

Младшему – кедровую.

Сколько шишек осталось у мамы белки?

Животных имеет, а счёт не ведёт.

Я буду, ребята, их называть,

А вы постарайтесь быстрей сосчитать:

Корова, телёнок, два сереньких гуся,

Овца, поросёнок и кошка Катуся.

Сколько всего животных у бабушки Нади?

Белых бусинок – горошин.

А росточков из земли

Показалось только три.

Три горошинки взошло!

Сколько их не проросло?

Греет свой пушистый бок.

Прибежал ещё один

И уселся рядом с ним.

Сколько стало щенят?

Этой покупкой довольна была.

Если морковку ещё ей купить,

Сколько их будет?

Ты сможешь сложить?

Прибежала с праздника — и молчок.

Стали ей потерянный примерять.

Сколько же у Золушки их опять?

Не приложат ума,

Сколько тарелок

Нужно подать,

Чтоб каждому щи

Из отдельной хлебать?

Карандаш один у Гриши.

Сколько же карандашей

У обоих малышей?

И одинок, и грустен он.

Но подошёл к нему сынок,

И больше слон не одинок.

Сколько слонов теперь, ребята?

Два зайца сидели

И дружно весёлую песенку

Пели.

Один убежал,

А второй вслед глядит.

Сколько у домика

Зайцев сидит?

А за ней – Аринка.

А потом пришёл Игнат.

Сколько стало всех ребят?

В зоопарке звери сели.

Два пятнистых леопарда

Солнцу улыбаются

И со старым добрым львом

Весело качаются.

Сколько всего зверей?

Повстречал ещё там двух.

Сколько стало петухов?

У кого ответ готов?

Ёжик притащил.

Самое румяное белке подарил.

С радостью подарок

Получила белка.

Сосчитайте яблоки

У ежа в тарелке!

Два голубя снялись и улетели.

Ну –ка, скажите мне поскорей,

Сколько осталось сидеть голубей?

Играли в прятки у бочонка.

Один в бочонок еле влез.

А сколько убежало в лес?

На горе катается?

Трое в саночках сидят,

Один дожидается.

Червячка с крючка сняла.

Наварила щука щей,

Пригласила трёх ершей.

Говорили всем ерши:

— Щи у щуки хороши!

Сколько было всего рыбок?

Два мяча у Вани.

Два мяча да два. Малыш!

Сколько их сообразишь?

Утка удочку нашла.

По траве, росой умытой,

Утка к озеру пришла.

Долго клёва ожидала,

Подсекла трёх сазанов,

Одного ерша поймала…

Сосчитай её улов.

Шёл баран на водопой.

Трёх овечек за собою

Вёл он важно к водопою.

Сколько вместе их? Считайте!

Ответ быстро называйте!

Улеглись в лукошечке.

Тут одна к ним прибежала.

Сколько вместе кошек стало?

Одна из сорок не знала урок.

Сколько прилежно

Трудилось сорок?

А крольчата лежат и молчат:

За кадушкой — один,

За кормушкой — один,

Под листом — один,

Под кустом – один.

Как детей поскорее найти?

Их должно быть чуть меньше пяти.

Лишь три только птицы.

Но к ним прилетели

Ещё две синицы.

Так сколько же птиц

Здесь в кормушке у нас?

Покажет на карточке

Каждый из вас.

Два грибка и три морковки.

Прибежал хорёк, утащил грибок.

Съел зайчонок две морковки.

Что осталось на верёвке?

Подосиновик нашла,

Две лисички, боровик

И зелёный моховик.

Сколько я нашла грибов?

У кого ответ готов?

Решили попробовать сыру.

Тут следом явились подружки –

Три сереньких мышки – норушки.

Кот спал в это время на крыше,

Про этот не ведая пир.

А ну, сосчитай, сколько мышек

Съели оставленный сыр?

Возле кадки три лопатки.

Все лопатки сосчитать!

Сколько будет?

Ровно…(пять).

На скорлупку глядят.

Два яичка в гнезде

У наседки лежат.

Сосчитай поскорей:

Сколько будет цыплят

У наседки моей?

Товарных два вагона,

А три других в сцеплении

Готовы к отправлению.

Прибавь – ка к двум вагонам три

И сколько станет – назови!

Плавать и нырять хотят?

Три уплыли далеко,

Два нырнули глубоко.

Сколько их всего в пруду?

Сосчитать я не могу.

Бегают, резвятся.

К шалунишкам три дружка

С громким лаем мчатся.

Вместе будет веселей.

Сколько же всего друзей?

Волна их весело качала.

Три лодки взяли рыбаки,

Чтоб переплыть простор реки.

А сколько лодок у причала

Волна по – прежнему качала?

Одного домой позвали.

Он в окно глядит, считает,

Сколько их теперь играет?

Куклы Танины сидят:

Два медведя, Буратино

И весёлый Чипполино,

И котёнок, и слонёнок.

Помогите вы Танюшке

Сосчитать её игрушки!

Другой лежит – трава над головой.

А четверо на солнечной опушке

Играют в прятки – ушки на макушке.

Пересчитать, дружочек мой, сумей – ка,

Всю заячью весёлую семейку.

Маленьких, удаленьких –

Целая семья опят.

Сколько их на пне сидят?

Что – то рисуют старательно.

Соседу задачку про водоём

Нужно решить обязательно.

Вот и тебе задачка, мой друг:

Сколько друзей собралось вокруг?

Вышиты узорами.

Сколько вышить нам осталось –

Подсчитаем скоро мы.

На ней тыква большая,

А пониже тоже

Три тыквы моложе.

А под горкою в траве

Ещё две.

Ну – ка, кто скажет сейчас,

Сколько тыкв всего у нас?

К блюдцу с молоком приник.

Вот другой. Ему смешно

Видеть пса через окно.

Вот ещё один сидит,

Тихо мышку сторожит.

Три других моих котёнка

Спят, мурлыча потихоньку.

Вот задача для ребят –

Всех пересчитать котят!

Шесть детей на луг гулять.

Все гусята, как клубочки.

Три сынка, а сколько дочек?

Плюс мама лайка.

Сколько будет?

Сосчитай – ка!

Шесть ярко – красных помидоров.

Потом четыре оторвалось,

А сколько на кусте осталось?

Две утки плывут неизвестно куда,

Три рыбки у берега тихо плеснули

И в синюю воду обратно нырнули.

Сколько их всех?

Две птички – невелички.

Потом за ними заодно

Ещё четыре птички.

Порхали птички над столом,

Чирикали и пели

Почти минуту, а потом

Куда – то улетели.

Обратно – порх –через окно

Одна, за ней четыре.

Так сколько ж с девочкою той

Осталось их в квартире?

Пять лесных орешков мелких.

Вот ещё один лежит,

Мхом заботливо укрыт.

Ну и белка! Вот хозяйка!

Все орешки посчитай – ка.

Четыре – у Наташи.

Вы кубики все эти

Скорей считайте, дети.

И работа закипела.

Побежали за лозой

Суслик с рыжею Лисой,

Мячиком катился Ёжик,

Белка с Лаской мчались тоже,

Даже Мишка – хвастунишка

Следом кинулся вприпрыжку.

Сколько здесь зверят трудилось?

Что в ответе получилось?

Стерегут поплавки.

Рыбак Корней

Поймал трёх окуней,

Рыбак Евсей –

Четырёх карасей.

Сколько рыб рыбаки

Натаскали из реки?

На пирог пришли соседи:

Ёж, барсук, енот, косой,

Волк с плутовкою лисой.

А медведь никак не мог

Разделить на всех пирог.

От труда медведь вспотел,

Он считать ведь не умел.

Помоги ему скорей,

Посчитай – ка всех зверей.

Песни распевали.

Вскоре пять кузнечиков

Голос потеряли.

Сосчитай без лишних слов,

Сколько в хоре голосов?

Во дворе – две курочки,

Два гуся – в пруду,

Один индюк в саду.

Сколько птиц всего? Считайте!

Ответ быстро называйте!

Попало немало:

Три окуня, три карася,

Один ершок – и того в горшок.

Уху сварю, всех – всех угощу.

Сколько рыб я сварю?

Прилетело семь сорок.

А из них лишь три сороки

Приготовили уроки.

Сколько лодырей – сорок

Прилетело на урок?

Две ещё к ним прилетели.

Отвечайте быстро, смело,

Сколько всех их прилетело?

Со своих сбежали веток.

Все повисли до одной

На хвостах вниз головой.

Раскричались, раскачались,

Меж собой передрались.

Больше всех досталось в драке

Самой главной забияке.

С ветки сбросили её.

Сколько будет без неё?

А потом ещё один.

Вы ответьте на вопрос:

Сколько он грибов принёс?

Четыре конфеты.

Ещё дала три Алла.

Сколько всего стало?

Голосистый певунок,

Шесть хохлаток тоже там.

Сколько всех их?

Скажешь сам?

Под высокою сосной

К медвежонку в день рожденья

Собрался народ лесной:

Ёжик, волк, енот, барсук,

Заяц, лось, лисёнок – друг.

Посчитайте поскорей,

Сколько было всех гостей?

Дал вчера семь штук конфет.

Съел одну конфетку внук.

Сколько же осталось штук?

Пять огурцов уже съели.

Осталось сколько их, ребятки?

Вы сосчитать сумели?

Вид их очень уж красив.

Съел четыре сливы Павел.

Сколько мальчик слив оставил?

Три других за облаками.

Два спустились на ручей.

Сколько было всех гусей?

Паровоз и два коня,

Серебристый самолёт,

Три ракеты, вездеход…

Сколько вместе?

Как узнать?

Помогите сосчитать!

Восемь рыжиков нашёл.

Шесть грибов в корзинку,

Остальных – на спинку.

— Сколько рыжиков везёшь

На своих иголках, ёж?

Ехать в Кошкино хотят.

Сели кошки у окошек.

Восемь окон, сколько кошек?

И под ёлкой три.

Сколько будет всех грибочков?

Ну – ка, говори!

Мы отведать их успели:

Пять румяных, наливных,

Три с кислинкой. Сколько их?

Восемь резвых коз,

Беленьких и сереньких,

Вверх задравши хвост.

Пять козочек белых.

Сколько было серых?

Ребята, сколько всего птиц?

Пять дали товарищи в школе.

Яблок сколько всего

Стало, друзья, у него?

Четыре Наташки

Под солнцем весенним

Играли в пятнашки.

Так сколько, ребята, ответьте скорей,

Под солнцем осенним играло детей?

Пироги с капустой печь.

Для Наташи, Коли, Вовы

Пироги уже готовы,

Да ещё один пирог

Кот под лавку уволок.

Да ещё из печки пять

Маме нужно вынимать.

Если сможешь, помоги –

Сосчитай – ка пироги!

И без дела не снуют.

Три несут травинку,

Три несут былинку,

Три несут иголки.

Сколько их под ёлкой?

Собрала своих цыплят.

Шесть бежали впереди,

Три остались позади.

Беспокоится их мать

И не может сосчитать.

Посчитайте – ка, ребята,

Сколько было всех цыплят.

Рыбак Корней поймал трёх окуней,

Рыбак Евсей – четырёх карасей.

А рыбак Михаил двух сомов изловил.

Сколько рыб рыбаки

Натаскали из реки?

Надо сосчитать наседке:

Шесть — на грядках, три — во ржи.

Сколько их всего, скажи?

На ветке рядком

Весело чирикали –

Каждый о своём.

Трактор проехал,

Разлетелись все;

Шесть летят к деревне,

А сколько в траве?

Нам подарки принесла:

Гречку загорелую,

И пшеницу зрелую,

И бруснику спелую,

Дыню полосатую,

Свёклу бородатую,

И морковь хвостатую.

Яблоки душистые,

Персики пушистые,

Груши золотистые

Осень принесла.

Сколько всего подарков осени вы насчитали?

Восемь маслят и один мухомор.

Сколько всего грибов?

Греметь?

Ульи строит наш

Медведь.

Ульев сделал он

Лишь семь –

На два меньше, чем

Хотел.

Сколько ульев хотел сделать мишка?

Два других за облаками,

Пять спустились на ручей.

Сколько было всех гусей?

Болтая вечерком,

Дойти до самых жарких стран

Задумали пешком.

— А я, пожалуй, не пойду, —

Промолвил павиан, —

В зоологическом саду

Не станет обезьян.

Сколько обезьян отправилось в жаркие страны?

Поймал шесть окуней.

А друг его Сергей

Трёх небольших ершей.

Сосчитай без лишних слов

Этих мальчиков улов.

Два листика Алёша дал.

Скажите сколько у него

Осенних листиков всего?

Четыре каштана,

В другом кармане

Их пять.

Мы просим, дети,

Каштаны эти

Пересчитать.

А с ними три мышонка,

А с ними три весёлых

Умытых поросёнка

Бежали спозаранку

Из дома на полянку.

Посчитайте поскорей,

Сколько было всех друзей,

Что утром спозаранку

Играли на полянке?

Одну из них взяла Наташа.

Теперь уж сколько чашек там?

Подумай и ответишь сам.

Девять маленьких ребят.

В первом едут двое только,

Во втором детишек сколько?

И угостил своих друзей:

Четыре вишни дал он Вите,

А остальные все Никите.

Сколько вишен дал Никите?

Вы сосчитайте и скажите.

Одна из них на клумбу села.

Все остальные через сад

К себе на пасеку спешат.

Так сколько ж пчёл летит из сада?

Нам сосчитать тех пчёлок надо.

Девять ягодок малины,

Пять дала своей подружке.

Сколько ягод стало в кружке?

Диме нет ещё шести.

Дима всё ещё не может

До Серёжи дорасти.

На сколько лет Дима младше Серёжи?

И плясали, и резвились.

После добрый Дед Мороз

Нам подарки преподнёс.

Дал большущие пакеты,

В них же – вкусные предметы.

Стала я пакет вскрывать,

Содержимое считать:

Две конфеты в бумажках синих,

Пять орехов рядом с ними,

Груша с яблоком, один

Золотистый мандарин.

Всё лежит в пакете этом!

Сосчитайте все предметы!

Собрала своих цыплят.

Семь бежали впереди,

Три остались позади.

Беспокоится их мать

И не может сосчитать.

Сосчитайте – ка, ребята,

Сколько было там цыпляток.

Прыгают в поле десять сорок.

Девять взлетели, сели на ели.

Сколько осталось в поле сорок?

По дорожке идут.

За ними вдогонку

Двое бегут.

Так сколько ж всего

По дорожке лесной

Торопится в школу

Зайчишек зимой?

Вдоль тропинки

И несла грибы в корзинке:

Пять опят

И пять лисичек

Для лисят и для лисичек.

Сколько всего грибов несла лисица?

Белка сделала качели.

И на белкины качели

Собрались лесные звери:

Заяц, куница,

Рыжая лисица,

Ёж и шестеро зайчат –

На качели все спешат.

Вы, ребята, не зевайте,

Всех зверей пересчитайте.

Ну и в дождь, конечно, мокли:

Двое жёлтеньких маслят,

Пять тоненьких опят

Да три рыжие лисички –

Очень милые сестрички.

Вы, ребята, не молчите.

Сколько всех грибов?

Скажите!

И увидел мухомор,

Два опёнка,

Два сморчка,

Три маслёнка,

Два строчка…

У кого ответ готов:

Сколько я нашёл грибов?

Десять счётных палочек.

Две из них сломались.

Сколько же осталось?

Как зелены они, стройны!

Деревьев сколько тут? Узнайте

И хорошенько сосчитайте.

Окон очень много в нём.

Тут их шесть, четыре там.

Посчитай все окна сам.

Здесь пять мешков, там тоже пять.

Так сколько же мешков собрали?

Десять кукол на витрине.

Куколку одну купили

Папа с мамою для Лили.

Сколько кукол на витрине

Осталось в детском магазине?

Десять крошечных цыплят.

Здесь три только.

Деток сколько

Под наседкою сидят?

Четыре пингвина,

Совёнок и мама сова

Однажды в июле

В Москву заглянули

Всего на денёк или два.

Сколько птиц захотели Москву посмотреть?

Посчитай поверней и скорее ответь!

  • Подарили Пете книжку о ракете.
    Прочитал Петя, подарил Свете.
    Света – Ване, Ваня – Тане,
    Таня – маленькой Марьяне.
    Сколько детей прочитали книгу?

  • Дали каждому обед:
    Собачке – в миске,
    В блюдечке киске,
    Курочке – несушке
    Пшена в черепушке,
    Машеньке – в тарелочке
    Голубой не маленькой.
    Сколько их обедает?

  • Играли ребята в прятки.
    Прятались все:
    Коля – в овсе,
    Оля – за Колей,
    Егорка – за горкой,
    Андрейка – за лейкой,
    Тимошка – за кошкой,
    Лена – за сено,
    Светка – за веткой,
    Филипп – за гриб.
    А Барбос пришёл.
    Сразу всех нашёл.
    Сколько детей нашёл пёс?

  • Семь ребят каталось с горки.
    Убежал домой Егорка,
    А потом ушел Вадим
    И Сережа вслед за ним.
    Сколько на горке осталось детей?
    Кто посчитал, отвечайте скорей!

  • У Маши были конфеты.
    Она угостила Свету,
    Наташу, Иру, Сережу,
    Таню и Петю тоже.
    Одна конфета осталась,
    А Машенька растерялась:
    Сколько же было конфет?
    Кто может дать ответ?

  • У Сашки в кармашке
    Конфеты в бумажке.
    Он дал по конфете
    Свете и Пете,
    Ирине, Галине,
    Марине и Нине.
    И сам съел конфету.
    Сколько было конфет?

  • Много зверей в зоопарке живет:
    Белый медведь, жираф, бегемот,
    Тигр, шимпанзе, лиса и енот,
    Слон, леопард, снежный барс и койот.
    Кто потрудился зверей сосчитать,
    Прошу вас ответ немедленно дать!

  • Пой–ка, подпевай-ка!
    Птичек посчитай-ка!
    Эта птичка – соловей,
    Эта птичка – воробей,
    Эта птичка – совушка – сонная головушка.
    Эта птичка свиристель,
    Эта птичка – коростель,
    Эта птичка скворушка – серенькое пёрышко.
    Это – зяблик,
    Это стриж,
    Это – развесёлый чиж.
    Ну а это – злой орлан.
    Птички, птички – по домам.
    Сколько птиц насчитали вы, дети?
    Кто быстрее всех ответит?

  • В класс пришли ученики
    И по рисунку принесли.
    Вы, ребята, не зевайте –
    Все рисунки посчитайте:
    У Вики – гвоздики,
    У Никитки – маргаритки,
    У Анютки – незабудки,
    У Андрея – орхидея,
    Ландыши – у Саши,
    Георгины – у Марины,
    У Алены – пионы,
    У Наташки – ромашки,
    Тюльпаны – у Оксаны,
    Нарциссы – у Ларисы.

  • В первом классе нашей школы
    Учатся Егорка, Коля,
    Шесть Сергеев, две Наташи.
    Скажет кто-нибудь сейчас,
    Сколько девочек у нас?

На забор уселась галка,
Начинается считалка:
Раз, два, три, четыре , пять…
Буду всех ребят считать.
Юлю, Мишу, Свету, Колю,
Петю, Иру, Витю, Олю.
Если я считать устану,
На минуту перестану.
Помолчу, передохну,
И опять считать начну.
Считала, считала.
А не понятно галке,
Сколько ребят в считалке?

  • У мамы моей пять сыновей.
    Начну я считать – выходит не пять.
    Смотрите: Володя – мой первый брат,
    Вот Костя – второй,
    Вот и третий – Игнат,
    Четвёртый Гришутка.
    А пятого нет.
    Считаю сначала.
    Всё тот же ответ.
    Всё время четыре выходит на счёт.
    Кто пятого сына, ребята найдёт?

  • Мы большущая семья.
    Самый младший – это я.
    Таня есть и Вася есть,
    Юра, Шура, Зина, Маша,
    И Наташа тоже наша.
    Сколько детей в семье?

  • Сидят рыбаки, стерегут поплавки.
    Рыбак Корней поймал окунька.
    Другой рыбак – башмак,
    Евсей – карася,
    Рыбаку Кирюше попалась галоша.
    А рыбак Михаил Сома изловил.
    Сколько рыбок рыбаки
    Натаскали из реки?

  • Разноцветные клубки
    Бабушка достала
    И для внуков дорогих
    Подарочки связала:
    Шапочку – для Маши,
    Кофточку – Наташе,
    Варежки – Илюше,
    Носочки – для Андрюши,
    Шарфик – для Ромочки
    Перчатки – для Томочки.
    Рады внучата подаркам таким,
    Сказали спасибо все как один.
    Сколько же всего ребят
    Бабушку благодарят?

  • У Алёнки в гостях
    Два цыплёнка в лаптях,
    Петушок в сапожках,
    Курочка в серёжках,
    Селезень в кафтане,
    Утка в сарафане
    И корова в юбке
    В тёплом полушубке.
    Сколько всего гостей у Алёнки?

  • Ксюша съела барбариску,
    А Илья жуёт ириску.
    И Олеся очень рада
    Вкусной дольке мармелада.
    А у Олечки сюрприз!
    Ей достался главный приз:
    В длинном фантике красивом
    Две конфеты с черносливом.
    Посчитай скорей ответ,
    Сколько было всех конфет.

  • Я, Серёжа, Коля, Ванда —
    Волейбольная команда.
    Женя с Игорем пока
    Запасных два игрока.
    А когда подучатся,
    Сколько нас получится?

  • В снег упал Серёжа,
    А за ним Алёша,
    А за ним Ирина,
    А за ней Марина,
    А потом упал Игнат.
    Сколько на снегу ребят?

  • На качелях две Елены.
    А с мячом Иван, Игнат.
    Две Ирины прибежали
    На скакалках поскакать.
    Валя, Зина и Егор.
    Вот и в сборе весь наш двор.
    А теперь скажите мне,
    Сколько деток во дворе?

  • По лесу охотник шёл,
    В чащу леса он зашёл.
    Повстречались ему здесь
    Заяц, волк, лиса, медведь.
    Звери все до одного
    Убежали от него.
    Сосчитайте всех зверей!
    И как можно поскорей.

  • Сколько яблок у ребят
    Солнышком в руках горят?
    У Наташи и у Ромы,
    У Серёжи и у Томы,
    На столе ещё одно солнышком напоено.
    Ну- ка, сколько яблок, братцы?
    Кто сумеет догадаться?

  • Над рекой летали птицы:
    Голубь, щука, две синицы,
    Два стрижа и пять угрей.
    Сколько птиц? Ответь скорей.

  • Сколько раз твердили кошке:
    Некрасиво есть без ложки.
    Только я вбегаю в дом,
    Лижет кашу языком.
    С поросёнком ещё хуже:
    Он опять купался в луже.
    А козлёнок непослушный
    Съел четыре грязных груши.
    Сколько было непослушных?

  • Повезло опять Егорке,
    У речки он сидит не зря:
    Два карасика в ведёрке
    И четыре пескаря.
    Но смотрите, у ведёрка
    Появился хитрый кот.
    Сколько рыб домой Егорка
    На уху нам принесёт?

  • У утенка день рожденья, 
    Игры, танцы, угощенья. 
    В гости все друзья пришли 
    И подарки принесли. 
    Мячик подарил баран. 
    Ослик – звонкий барабан. 
    А подарок от зайчишки 
    Не морковка, а две книжки. 
    Все подарки хороши, 
    Рад утенок от души. 
    Стал подарки он считать 
    И решил: их ровно пять. 
    Посчитай и дай ответ, 
    Он ошибся или нет.

  • Молоточками стуча, 
    Веселясь и хохоча, 
    Шли по лесу гномики, 
    Чтоб построить домики. 
    Гном Седая Борода 
    Дом построил у пруда, 
    Круглый, толстенький Ватрушка 
    Дом построил на опушке, 
    Гномик озорной Егорка 
    Дом построил у пригорка, 
    А веселый гном Незнайка 
    Дом построил на лужайке. 
    А Ворчалка, хмурый гном, 
    Прямо в чаще строит дом. 
    Сколько было гномиков, 
    И сколько было домиков?

  • Как под ёлкой встали в круг
    Зайка, белка и барсук,
    Встали ёжик и енот,
    Лось, кабан, лиса и кот.
    А последним встал медведь,
    Сколько всех зверей? Ответь!

Список литературы

Веденина В.П. Творческие работы учащихся //Нач.шк. — №6.- 1996.

Волина В.В. Праздник числа.- М., 1996.

Герасимова М. А я делаю так… //Нач.шк. — №8. – 1994.

Дроздова В.Е. Весёлые задачи //Нач.шк. -№6 – 1991.

Егорова О.А. Задачи в стихах //Нач.шк. — №3. – 2005.

Капустинская И.Ю. Весёлые задачи //Нач.шк. — №2. – 1992.

Кострюкова Задачки в стихах //Нач.шк. — №10. – 2009.

Матющенко Е.В. Какие оценки в школе? //Нач.шк. — №8. – 1996.

Михайлова А.В. Хорошо зимой в лесу! //Нач.шк.- №1.- 2004.

Михайлова Н.А. Весёлые задачи //Нач.шк. — №2.- 1995.

Полончук О.Г. Задачи в стихах //Нач.шк. — №6. – 2004.

Сорочинская О.Л. Весёлые задачи //Нач.шк. — №6. – 1993.

Широких О.С.Весёлые задачи // Нач.шк. -№6 – 1991.

infourok.ru

Сложение и вычитание в пределах 10. Решение задач. 1-й класс

Разделы: Начальная школа


Цели урока:

  • Познавательные:
    • закрепление изученных приёмов сложения и вычитания вида +, – 3;
    • формирование умений решать простые задачи на сложение и вычитание в приделах первого десятка.
  • Личностные: ориентация на понимание причин успеха в учебной деятельности, на понимание предложений и оценок учителей, одноклассников.
  • Регулятивные:
    • принятие и сохранение учебной задачи;
    • планирование своих действий в соответствии с поставленной задачей и  условиями реализации.
  • Коммуникативные:
    • нахождение общего решения в совместной деятельности, сотрудничество с  одноклассниками и учителем.

ХОД УРОКА

1. Организация начала урока

Прозвенел звонок и смолк.
Начинается урок.
Проверь, дружок,
Готов ли ты начать урок?
Всё ль на месте,
Всё ль в порядке,
Ручка, книжка и тетрадки?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Тут затеи и задачи,
Игры, сказки всё для вас!
Пожелаем всем удачи –
За работу, в добрый час!

2. Мотивация

– Дети, сегодня мы с вами побываем в сказке. Главный герой её – царь, который очень любил математику: задачи, ребусы математические на досуге решать, хитроумные книги читать по математике. Но вот прошли годы, состарился царь-математик. Настала пора о наследнике ему подумать. И решил царь – наследником царства будет тот из его родственников, кто покажет себя лучшим знатоком математики.
Приказал царь в главном зале дворца столы поставить, доски развесить. «Управлять государством нелегко – думал царь, – много приходится размышлять. Знания нужны. Вот и выберу того, кто лучше других умеет соображать, мыслить, математику любить».
– Ребята, а кто из вас желает побывать во дворце у царя и стать претендентом на престол? Поднимите руки.
– Тогда возьмите волшебные палочки и вместе со мной произнесите волшебные слова: «Крибле-крабле-бумс!» (Приложение 1, слайд 1)

Слова царя: «Я рад видеть вас, первоклассники, в моём царстве. И повелеваю вам, претендентам на царский престол, начать работу с «Гимнастики» мозга.

3. Устный счёт

– Посчитайте от 1 до 10 и обратно;
– Что происходит при счёте до 10? А при обратном?
– Какое число идёт при счёте за числом 8?
– Какое число стоит при счёте перед числом 5?
– Какое число стоит при счёте перед числом 10?
– Какое число встречается раньше: 0 или 10? 3 или 5?
– Назовите соседей числа 7, 4, 6.
– Какое число больше чем 5 на 1?
– Какое число меньше чем 5 на 1?

4. Игра «Отвечай – не зевай» (разрезные цифры).

7 + 2
8 уменьшить на 1
5 увеличить на 3
6 – 3
4 + 2, полученный результат уменьшить на 3
Первое слагаемое 6, второе слагаемое 3. Найти сумму.

У Коли и Марины
4 мандарина.
Из них у брата – 3.
А сколько у сестры?

5 лодок было у причала,
Волна их весело качала.
3 лодки взяли рыбаки,
Чтоб переплыть простор реки.
И сколько лодок у причала
Волна по-прежнему качала?

У маленькой Светы
4 конфеты.
Ещё дала 2 Алла.
Сколько всего стало?
Молодцы!  (Приложение 1, слайд 2).

– А теперь посмотрите на геометрические фигуры и скажите, как можно назвать одним словом все эти фигуры?
– Как называют каждую фигуру?
– Как можно провести в каждом четырёхугольнике отрезок так, чтобы из каждой фигуры получилось два треугольника?
– Какая фигура называется треугольником?

Физминутка  (Приложение 1, слайд 3)

(бег на месте).

А сейчас хочу я, дети
Прокатить вас на карете.
Ну-ка, братцы, не зевайте –
Все к карете подбегайте.

Учитель:  Мы с вами много трудились и нам пора подкрепиться. Чтобы быть сильным и здоровым, необходимо правильно питаться. А именно нам необходимы витамины. А где содержится много витаминов?
Сейчас я двум группам дам рисунки, по которым вы составите задачи. А с остальными ребятами мы поработаем по учебнику. Страница 105 №4.
Проверка задач.

Итак, мои дорогие претенденты, витаминами мы с вами подкрепились, а сейчас мы с вами отдохнём.

Физминутка (под музыку)

– Чтобы быть наследником надо много знать (Приложение 1, слайд 4). Выберите себе задание, с которым вы считаете, что можете справиться сами.

У-1                            У-2                          У-3

7 + 2 = 1                   8 +  = 10              3 +  = 
9 – 3 = 2                    – 2 = 8                10 –   =
6 – 2 = 3                    + 3 = 10               +  = 10

Проверка.

5. Самостоятельная работа

В тетрадях на печатной основе страница 38.

Взаимопроверка.

6. Итог урока

– Наш конкурс подходит к концу. Но прежде, чем объявить наследника престола, царь хочет услышать:
– Понравилось ли вам, уважаемые претенденты, в математическом царстве?
– Какое задание было самым интересным?
– А какое – самым трудным? (Приложение 1, слайд 5 и магнитофон)

Ребята, вы меня поразили.
Сердце моё вы покорили.
Желаю и впредь так держать –
пятёрки одни получать!

– Утешили вы меня, старика. Есть, кому царство оставить, кому управление доверить. Назначаю наследником престола (ученик), который лучше и быстрее всех считает, решает сложные задачи. Не боится трудностей.
Поздравляю наследника. А вам, уважаемые претенденты, ваш учитель вручит ордена моего государства (6 слайд).

18.07.2012

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Сложение и вычитание в пределах 10

Конспект по ФЭМП в подготовительной к школе группе «Сложение и вычитание до 10»

Калимуллина Сания Фагимовна — воспитатель МБДОУ «Детский сад общеразвивающего вида «Светофорик» города Буинска Буинского муниципального района Республики Татарстан»

Конспект по ФЭМП в подготовительной к школе группе

«Сложение и вычитание до 10»

Программное содержание:

• Продолжать учить, самостоятельно составлять и решать задачи на сложение и вычитание в пределах 10.

• Упражнять в умении ориентироваться на листе бумаги в клетку.

• Совершенствовать умение ориентироваться в окружающем пространстве относительно себя и другого лица.

• Развивать внимание, память, логическое мышление.

Методические приёмы:

Игровые 

Наглядные (использование демонстрационного и раздаточного материала).

Словесные (напоминание, указание, вопросы, индивидуальные ответы детей).

Поощрение, анализ занятия.

Оборудование и материалы:  ноутбук, интерактивная доска, презентация в среде Power Point

Раздаточный материал:  простые карандаши (по 1 на каждого ребёнка, карточки с заданиями.

Ход ООД:

1.Приветствие. (Эмоциональный настрой)

Дружно за руки возьмёмся

И друг другу улыбнёмся.

Ты мой друг и я твой друг.

Дружат все друзья вокруг.

2.Сообщение темы.

Воспитатель: Ребята, вы любите путешествовать?

(Ответы детей)

Воспитатель: У меня есть мечта – я хочу полететь на Луну. А вы хотите? Предлагаю вам сегодня отправиться со мной в путешествие на Луну. В космосе происходят очень невероятные вещи и поэтому в полёт могут отправиться только внимательные, находчивые, сообразительные ребята. А сейчас, я вас проверю на внимательность, сообразительность и смекалку.

3. Разминка для ума.

1) Наступил долгожданный апрель. Сначала зацвела 1 яблоня, а потом еще 3 сливы. Сколько деревьев зацвело?

Дети: В апреле деревья не цветут.

2) В вазе было 7 тюльпанов, 3 нарцисса. Сколько тюльпанов было в вазе?

Дети: В вазе было 7 тюльпанов.

Воспитатель: Кто летает на ракете на Луну? (профессия)

(Ответы детей)

Воспитатель: Каким должен быть космонавт?

Дети: Здоровым, умным, сильным.

Воспитатель: А еще космонавт должен хорошо считать, отгадывать загадки и не бояться трудностей. Сейчас мы и узнаем, кто из вас может стать космонавтом и отправиться в полёт.

1,2,3,4,5. В мире можно всё пересчитать.

Сколько в комнате углов? (4)

Сколько ног у воробьёв? (2)

Сколько пальцев на руках? (10)

Сколько пальцев на ногах?(10)

Сколько солнышек на небе? (1)

Сколько глаз у человека? (2)

Сколько огоньков у светофора? (3)

Сколько колёс у машины? (4)

Воспитатель: Вот какие молодцы! Быстро пересчитали. Можно всех брать в полёт! Теперь я полностью уверена, что вы находчивые, внимательные, сообразительные ребята и с вами можно отправиться в космическое путешествие без опасения.

Воспитатель: Вот мы и готовы, но только на чём мы доберёмся до Луны, ведь среднее расстояние от Земли до Луны составляет 384400 километров ?

Дети: На ракете.

Воспитатель: А кто был главным конструктором строительства ракет?

Дети: Сергей Алексеевич Королёв.

Воспитатель: Мы тоже будем конструкторами и соберём свой космический корабль для путешествия.

4. Графический диктант (ракета) «Нарисуйте космический корабль по клеточкам»

Воспитатель: Ребята, через минуту мы с вами должны быть в полной готовности. Командиром корабля буду я, а вы членами экипажа.

Воспитатель: Экипаж, внимание! Обратный отсчёт за запуск корабля от 10 до 1 – пошёл!

Дети: 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1. – Полетели!

(Музыка)

Воспитатель: Посмотрите, как красиво наша Земля!

Воспитатель: Ребята, какие планеты вы знаете? В нашей солнечной системе 9 планет. Но вот беда: все они перепутались. Давайте расставим их по порядку, но для начала вспомним считалочку про планеты.

На земле жил звездочёт

Он планетам вёл отчёт.

Меркурий раз

Венера два

Три Земля

Четыре Марс

Пять Юпитер

Шесть Сатурн

Семь Уран

Восьмой Нептун

Девятый дальше всех Плутон

Кто не видеть – выйди вон

5. Расставь планеты по порядку.

Воспитатель: Внимание экипаж. Метеориты преградили нам путь. Что же делать? Ребята, их надо сравнить, ведь метеориты бывают разные: одни большие, другие маленькие.

6. Задание «Расставь знаки»

А сравнить мы их сможем, если расставим знаки: > = <

9 5

5 3

3 2

  1. 7

  2. 8

  3. 0

  4. 10

3 3

Воспитатель: Смотрите, еще больше метеоритов. Что же делать? Надо их сложить и вычитать.

(Дети выполняют задания на сложение и вычитание.)

Воспитатель: Путь свободен.

7. Физминутка.

Ждут нас быстрые ракеты

Для прогулок по планетам

На какую захотели, на такую полетели,

Но у нас один секрет

Опоздавшим места нет.

8. Воспитатель: Экипаж внимание! На нас движется какой – то объект! Кого напоминает вам этот объект!

Дети: Робота.

Воспитатель: Ребята, робот необычный. Вам не кажется, что детали что – то нам напоминают?

Дети: Геометрических фигур.

Воспитатель: А из каких геометрических фигур он выложен?

Дети: Из прямоугольников, квадратов, треугольников.

Воспитатель: Правильно. А теперь ребята, давайте сосчитаем, сколько всего геометрических фигур понадобилось для того, чтобы выложить робота?

Дети: Для того, чтобы выложить робота понадобилось 10 геометрических фигур.

Воспитатель: Вот мы прилетели на Луну.

Луна – спутник Земли. Это самое близкое к нам космическое тело.

Кто это встречает нас на Луне?

Дети: Лунтик

Воспитатель: Он любит считать звезды, изучать их. Ребята, Лунтик приготовил нам некоторые созвездия, которые он увидел в свою подзорную трубу, но вот беда: все линии стерлись. Как нам быть? Нам надо соединить цифры по порядку от меньшего к большему и узнать, что увидел Лунтик.

9. «Соедини по точкам»

Воспитатель: Что же, ребята, время нашего полёта закончилось. Нам пора возвращаться на Землю.

Внимание экипаж! Ведём обратный отсчёт от 10 до 1

Дети: 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1! – Полетели!

Воспитатель: Есть касание! Мы снова на Земле! С удачным возвращением. Разрешите мне, как командиру корабля, поздравить вас и наградить медалями за отличный полёт.

10. Итог занятия.

1) Понравился вам наш полёт на Луну?

2) Что самое трудное было?

3) Что показалось лёгким?

4) Хотите еще отправиться в такой полёт?

Воспитатель: Ребята, мне было интересно вместе с вами полетать на Луну. Спасибо вам, что вы согласились со мной путешествовать. На этом наше занятие окончено.

infourok.ru

Весёлые задачи 1 класс. Сложение и вычитание в пределах 10

Весёлые задачи

Сложение и вычитание в пределах 10

1. 2 жучка бежали в домик

Им на встречу муравей.

Сколько будет насекомых?

Сосчитай-ка поскорей?

(2+1=3 насекомых)

2. 5 весёлых медвежат

За малиной в лес спешат.

Испугался вдруг один,

Убежал и след простыл.

Сколько смелых медвежат

за малиной в лес спешат?

(5 -1=4 медвежонка)

3. В день рожденья я Серёжке

Подарил одну матрёшку.

Мы её открыли, а там ещё четыре

Сколько матрёшек у Серёжи?

(1+4=5 матрёшек)

4. Сосед бобёр на речке

Строит домик на воде.

И пришли ему помочь:

Папа, мама, сын и дочь.

И приплыл паучок.

Посчитай-ка всех дружок!

(1+1+1+1+1++1=6 штук )

5.У белки в дупле

5 орешков в мешке

ещё 3 на полочке.

Посчитай-ка их, сколько ?

(5+3=8 орешек)

6. 5яблок в корзине в вазе 4,

У Саши одно.

Сколько всего?

(5+4+1=10 штук)

7. 9 совят в гнезде сидят

Прилетела мама

Сколько птиц стало ?

(9+1=10 сов)

8.Петя — петушок

Золотой гребешок.

Зерна отыскал,

Курочек позвал.

Прибежали курочки:

2-из переулочка,

3-из-за поворота,

1-из огорода.

А сейчас проверь,

Сколько курочек теперь?

(2+3+1=6 курочек)

9. Полевая мама -мышка.

Ищет всех своих сынишек:

2 спрятались за веткой,

3 спрятались в цветах ;

3 в ягодных кустах,

А 1 ленивый самый,

Дома спит под одеялом.

Растерялась мама-мышь!

Сосчитай мышат, малыш!

Помоги их всех найти,

маме мышки привести.

(2+3+3+1=9мышат)

10. 9 мышек жили в норке.

Ели сыр, таскали корки .

Жили мышки не тужили

Вперёд хозяйству приносили

И хозяин рассердился.

Всех мышей поймать решил:

Кошку злобную завёл.

Мышеловку приобрёл.

Мышки не остерегались

В первый день 6 штук поймались

Во второй и третий день,

Все попрятались они.

На четвёртый день опять

Вышли мышки погулять,

Кошка их подстерегла

И ещё 1 поймала.

Сколько же мышей опять

выйдет завтра погулять.

(9-6-1=2 мышки )

11. Мне 10 лет, а брат Серёжа

На 8 лет меня моложе.

Узнайте сколько лет ему,

Серёже, брату моему?

(10-8=2 года )

12. Мы большущая семья,

Самый младший-это я!

Сразу нас не перечесть:

Маня есть и Ваня есть,

Юра, Шура, Клаша, Даша,

И Наташа тоже наша.

Мы по улице идём-

Говорят, что детский дом,

Посчитайте поскорей,

Сколько нас в семье детей? (1++1+1+1+1+1+1+1=8 детей)

13. 7 воробышек спустились на грядки,

Скачут и что-то клюют без оглядки.

Котик-хитрюга внезапно подкрался,

Мигом схватил одного и умчался.

Вот как опасно клевать без оглядки.

Сколько теперь их осталось на грядке ?

(7-1=6 воробушек )

14. 2 цыплёнка стоят,

2 в скорлупках сидят.

6 яиц под крылом

У наседки лежат.

Посчитай поверней,

Отвечай поскорей:

Сколько будет цыплят

У наседки моей?

(2+2+6=10цыплят )

15. Кто то вечером к медведю

На пирог пришли соседи:

Ёж,барсук,енот,»косой»

Волк с плутовкою лисой.

А медведь никак не мог,

Разделить на всех порог.

От труда медведь вспотел,-

Он считать ведь не умел

Помоги ему скорей,

Посчитай-ка всех зверей. (1+1+1+1+1+1+1=7зверей)

16. Я сегодня рано встала,

Кукол всех пересчитала:

3 матрёшки на окошке,

2 матрёшки на перинке,

Пупсик с Катей, Буратино

И Петрушка в колпаке.

На зелёном сундучке.

Я считала, я трудилась ,

Но потом со счёту сбилась.

Помогите мне опять

Кукол всех пересчитать! (3+2+1+1+1+1=9 кукол)

17. Нам из Гомеля тётя

Ящик яблок прислала.

В этом ящике яблок

Было, в общем немало.

Начал яблоки эти

Спозаранок считать я.

Помогали мне сёстры,

Помогали мне братья…

И пока мы считали

8 раз отдыхали,

8 раз мы сидели

И по яблоку съели.

И осталось их столько?

Ох, осталось их столько,

Что ,когда в этот ящик

Мы опять поглядели,

Там на дне его чистом

Только стружки белели…

Вот прошу угадать я

Сколько было нас братьев?

Сколько было сестёр?

Поделили мы яблоки

Все без остатка.

А всего то их было

50 без десятка.

(8+8=16 отдыхали

50-10=40 яблок было

40:16= 3 брата и 2 сестры)

18.Ветер дунул, лист сорвал.

И ещё один упал.

А потом упало 5.

Кто их может сосчитать? (1+1+5=7 листьев)

19.Ёжик по грибы пошёл ,

10 рыжиков нашёл.

8 положил в корзину,

Остальное же на спину.

Сколько рыжиков везёшь

на своих иголках ёж? ( 10-8=2 гриба )

20. 3 ромашки-желтоглазки,

2 весёлых василька

Подарили дети маме

Сколько же цветов

в букете? (3+2= 5 цветов)

21.Группа малышей утят.

Плавать и нырять хотят.

6 уплыли далеко,

2 нырнули глубоко.

Сколько же утят в пруду?

Сосчитать я не могу? (6+2=8 утят)

22.-5 малышек медвежат

Мама уложила спать.

Одному никак не спится ,

а скольким хороший сон

сниться . (5-1=4 медвежатам )

23.Цапя по воде шагала,

Лягушат себе искала,

2 спрятались в траве.

6 под кочкой.

Сколько лягушат спаслось?

Только точно! (2+6=8 лягушат)

24.-2 розы Маша сорвала

В подарок маме принесла

Сорви ещё и подари

Ты мамочке не две, а…… (2+1=3)

25.У куклы 5 нарядных платьев.

Какое нынче одевать?

Есть у меня для куклы шерсть

Свяжу, и платьев будет………… (5+1=6)

26. 5 щенят в футбол играли

Одного домой позвали, он в окно глядит

Считает, сколько их теперь играет?

(5-1=4 щенка)

27. 5ворон на крышу сели

2 ещё к ним прилетели,

Отвечайте быстро, смело.

Сколько всех их прилетело? (5+2=7 ворон)

28.В снег упал Серёжа,

Зина и Антоша,

А за ними Лена,

Катенька и Гена.

А потом Игнат.

Сколько на снегу ребят? (1+1+1+1+1+1+1=7 ребят)

29 . На качелях 2 Елены.

А с мячом Иван, Игнат.

2 Ирины прибежали

На скакалках поскакать.

Валя, Зина и Егор.

Вот и в сборе весь наш двор.

А теперь скажите мне,

сколько деток во дворе? (2+1+1+2+1+1+1=9 ребят)

30.Белка, ёжик и енот

Волк, лиса, малышка крот.

Были дружные соседи.

На пирог пришли к медведю.

Вы, ребята не зевайте.

Сколько всех зверей, Считайте? (1+1+1+1+1+1+1=7 зверей)

31.-2 щенка баловника.

Бегают, резвятся.

К шалунишкам 3 дружка

С громким лаем мчатся.

Вместе будет веселей.

Сколько же теперь друзей? (2+3= 5 щенков)

32.В шкафу на полке 5 книг.

Я прочитала 2 из них.

Осталось сколько книг читать?

Вы это можете узнать? (5-2=3 книги)

33.Красиво вышила Татьяна

2 лилии и 2 тюльпана.

Какие чудные цветы!

А сколько их, нам подскажи? (2+2=4 цветка)

34.Я нашёл в дупле у белки

5 лесных орехов мелких.

Вот ещё один лежит,

Мхом заботливо укрыт,

Ну, и белка, вот хозяйка!

Все орешки сосчитай-ка! (5+1=6 орехов)

35.В шкафу стояло 9 чашек.

Одну из них взяла Наташа.

Сколько чашек теперь там?

Подумай и скажи нам .(9-1=8 чашек )

36.Мурка ,кошка-мышеловка,

Съела 3 мышей в кладовке,

И опять к норе подкралась.

Цап! Ещё 1 попалась.

Вот так Мурка! Сколько ей

Удалось поймать мышей? (3+1=4 мышки)

37.Дружно Муравьи живут

И без дела не снуют:

2 несут травинку,

3 несут былинку,

5 несут от ёлки колючие иголки.

Сколько муравьишек занято работой. (2+3+5=10 муравьёв)

38.На снежные горке

Катался Егорка,

Антон и Саша.

Скажи скорей,

Сколько каталось детей ?

Антона и Сашу с горы

столкнула Наташа.

Сколько теперь на горе детей?

(1+1+1+1=4 детей 4-2=2 осталось)

39.У хохлатки есть ребятки:

10 крошечных цыплят.

Здесь 3 только.

Деток сколько под крылом её сидят?

(10-3 =7 деток)

40.Сегодня 10 лет Серёже,

Диме нет ещё 6.

Дима всё никак не может

до Серёжи дорасти.

А на сколько лет моложе

мальчик Дима, чем Серёжа?(10-6= на 4 года )

41.Над рекой летали птицы.

Голубь, щука, 2 синицы,

2 стрижа и 5 угрей.

Сколько птиц ответь скорей!

(щука, угорь – рыбы 1+2+2=5 птиц)

42.Просят Колю сосчитать

сколько будет 5 да 5

Коля фыркнул: «Пустяки,

это будет……. 2 руки! (5+5=10)

infourok.ru

Веселые задачки в стихотворной форме по математике на тему «Сложение и вычитание в пределах 10» (1 класс)

ПРИБАВИТЬ И ВЫЧЕСТЬ 1

Карандаш один у Миши, карандаш один у Гриши.

Сколько же карандашей у обоих малышей? (1+1=2)

Утка морковку в корзине несла, этой покупкой довольна была.

Если морковку ещё ей купить, сколько их будет? Ты можешь сложить? (1+1=2)

Ёжик по лесу шел, на обед грибы нашел: два — под берёзой, один — у осины.

Сколько их будет в плетёной корзине? (2+1=3)

На поляне у дубка крот увидел 2 грибка.

А подальше, у осин, он нашел ещё один.

Кто ответить нам готов, сколько крот нашел грибов? (2+1=3)

3 яблока из сада ёжик притащил. Самое румяное белке подарил.

С радостью подарок получила белка. Сосчитайте яблоки у ежа в тарелке! (3-1=2)

2 петуха на жердь взлетели, ударив крыльями, запели: — Ку-ка-ре-ку!

Потом ещё один взлетел и тоже радостно запел.

Теперь, дружочек мой, давай-ка, всех петухов пересчитай-ка! (2+1=3)

На пасеке 3 медвежонка играли в прятки у бочонка.

Один в бочонок еле влез. А сколько убежало в лес? (3-1=2)

В класс вошла Маринка, А за ней — Иринка,

А потом пришёл Игнат. Сколько стало всех ребят? (1+1+1=3)

3 яблока… Одно сорвать ручонка так и тянется.

Но прежде надо сосчитать! А сколько же останется? (3-1=2)

Ну-ка, сколько здесь ребят, на горе катается?

Трое в саночках сидят, один дожидается. (3+1=4)

Я рисую кошкин дом: 3 окошка, дверь с крыльцом.
Наверху ещё окно, чтобы не было темно.

Посчитай окошки в домике у кошки. (3+1=4)

4 сороки пришли на уроки, одна из сорок не знала урок.
Сколько ж прилежно трудилось сорок? (4-1=3)

3 пушистых кошечки улеглись в лукошечке.
Тут одна к ним прибежала. Сколько вместе кошек стало? (3+1=4)

К речке бежало трое утят, свежей воды все напиться хотят!

Уточка — мама за ними спешит. Сколько их вместе? Скорее скажи. (3+1=4)

4 краски есть у Сани, одна у маленького брата.
Все краски посчитайте сами. Ну, постарайтесь-ка, ребята! (4+1=5)

На блюдце у Андрюши 4 жёлтых груши.
Есть мальчик захотел, одну из груш он съел.
Теперь считайте груши на блюдце у Андрюши. (4-1=3)

6 весёлых медвежат за малиной в лес спешат.

Но один малыш устал, от товарищей отстал.

А теперь ответ найди: сколько мишек впереди? (6-1=5)

.

В кормушке сидели лишь 3 только птицы, но к ним прилетела ещё и синица.

Так сколько же птиц на кормушке у нас? Скажет словами каждый из вас! (3+1=4)

5 щенят в футбол играли, одного домой позвали.
Он в окно глядит, считает. Сколько их теперь играет? (5-1=4)

8 храбрых малышей переходят вброд ручей.

Один отстал: «Домой хочу!» Сколько их пришло к ручью? (8-1=7)

Я нашёл в дупле у белки 5 лесных орешков мелких.
Вот ещё один лежит, мхом заботливо укрыт.
Ну и белка! Вот хозяйка! Все орешки посчитай-ка. (5+1=6)

7 воробьев опустились на грядки, скачут и что-то клюют без оглядки.
Котик-хитрюга внезапно подкрался, мигом схватил одного и умчался.
Вот как опасно клевать без оглядки. Сколько же птиц осталось на грядке? (7-1=6)

6 грибов нашёл Вадим, а потом ещё один.

Вы ответьте на вопрос: сколько он грибов принёс? (6+1=7)

Внуку Шуре добрый дед дал вчера 7 штук конфет.

Съел одну конфету внук. Сколько же осталось штук? (7-1=6)

В шкафу стояло 9 чашек. Одну из них взяла Наташа.

Сколько чашек теперь там? Подумай и ответишь сам! (9-1=8)

В сад 9 пчёлок прилетело. Одна из них на клумбу села.
Все остальные через сад к себе на пасеку спешат.

Так сколько ж пчёл летит из сада? Нам сосчитать тех пчёлок надо! (9-1=8)

Было в детском магазине 10 кукол на витрине.

Куколку одну купили папа с мамою для Лили.

Сколько кукол на витрине осталось в детском магазине? (10-1=9)

Я дыню разрезал на 10 кусков. Теперь, посчитай-ка, вопрос мой таков:

Все 10 кусков ароматны и сладки. Один дам тебе. Сколько будет в остатке? (10-1=9)

5 весёлых медвежат за малиной в лес спешат.

Испугался вдруг один, убежал — и след простыл.

Сколько смелых медвежат за малиной в лес спешат? (5-1=4)

5 малышек- медвежат мама уложила спать. Одному никак не спится.

А скольким сон хороший снится? (5-1=4)

2 жучка бежали в домик. Им навстречу муравей.

Сколько будет насекомых? Сосчитай-ка поскорей! (2+1=3)

9 совят в гнезде сидят. Прилетела мама. Сколько птиц стало? (9+1=10)

7 мартышек, 7 соседок со своих сбежали веток.

Все повисли до одной на хвостах вниз головой.

Раскачались, раскричались, меж собою передрались.

Больше всех досталось в драке самой главной забияке.

С ветки сбросили её. Сколько будет без неё? (7-1=6)

5 щенят, плюс мама-лайка. Сколько будет? Сосчитай-ка! (5+1=6)

.

ПРИБАВИТЬ И ВЫЧЕСТЬ 2

3 голубя белых на крыше сидело, 2 голубя вдруг улетело.

Ну, скажите мне поскорей, сколько осталось голубей? (3-2=1)

4 зайца шли из школы, и вдруг на них напали пчёлы.

2 зайчика спаслись едва. А сколько не успело? (4-2=2)

В садике гулял павлин, подошёл ещё один.

2 павлина за кустами. Сколько их? Считайте сами! (1+1+2=4)

4 спелых груши на веточке качалось.

2 груши снял Павлуша. А сколько груш осталось? (4-2=2)

Как-то четверо ребят с горки покатились.

Двое в саночках сидят. Сколько в снег свалились? (4-2=2)

3 цыплёнка стоят, на скорлупки глядят.
2 яичка в гнезде у наседки лежат. Сосчитай поскорей:

Сколько будет цыплят у наседки моей? (3+2=5)

Над рекой летели птицы: голубь, щука, 2 синицы,

2 стрижа и 5 угрей. Сколько птиц? Ответь скорей! (1+2+2=5)

Наша Маша рано встала, кукол всех пересчитала:

2 матрёшки на окошке, 2 Маринки на перинке,

2 Танюшки на подушке, а Петрушка в колпачке — на дубовом сундучке.

Игрушки быстро сосчитайте и ответ мне называйте! (2+2+2+1=7)

7 гусей пустились в путь, 2 решили отдохнуть.
Сколько их под облаками? Сосчитайте, дети, сами! (7-2=5)

Красиво вышила Татьяна 2 лилии и 2 тюльпана.
Какие чудесные цветы! А сколько их — нам скажешь ты? (2+2=4)

Сколько маленьких утят плавать и нырять хотят?

3 уплыли далеко, 2 нырнули глубоко.

Сколько их всего в пруду? Сосчитать я не могу! (3+2=5)

3 лисёнка играли на травке лесной, 2 зайчонка спешили с рыбалки домой.

А если прибавим ещё и лису, сколько зверей мы увидим в лесу? (3+2+1=6)

Вот 8 зайчат по дорожке идут, за ними вдогонку ещё 2 бегут.

Так сколько всего по дорожке лесной торопится в школу зайчишек зимой? (8+2=10)

Решила старушка ватрушки испечь, поставила тесто, печь затопила,

А сколько их надо — совсем позабыла.

2 штучки — для внучки, 2 штучки — для деда,

2 штучки — для Тани, дочурки соседа.

Считала, считала, да сбилась, а печь-то совсем протопилась.

Помогите старушке — сосчитайте ватрушки! (2+2+2=6)

На воде — 2 уточки, во дворе — 2 курочки, 2 гуся — в пруду, 1 индюк в саду. Сколько птиц всего? Считайте! Ответ быстро называйте! (2+2+2+1=7)

Повёл ротозей в поле гусей: 5 белых, 2 серых, 1 конопатый!

А сколько их было? Кто скажет, ребята? (5+2+1=8)

5 ворон на крышу сели, 2 ещё к ним прилетели.

Отвечайте быстро, смело. Сколько всех их прилетело? (5+2=7)

7 листьев Вася сам собрал, 2 листика Алёша дал.

Скажите, сколько у него осенних листиков всего? (7+2=9)

5 синиц на ветку сели, к ним 2 галки прилетели.

Сосчитайте быстро, детки, сколько птиц сидит на ветке? (5+2=7)

У меня и Аллочки 10 счётных палочек.

2 из них сломалось. Сколько же осталось? (10-2=8)

-Бабушка, милая, хочу пирожок!

-Хорошо, испеку! Сколько надо, дружок?

-2 для мамы, 2 для папы, для сестрёнки тоже 2,

2 тебе, 2 мне испечь. Ох, мне всех не перечесть!

Кто малышу помочь готов? Сколько надо пирогов? (2+2+2+2+2=10)

Если знаешь ты таблицу, на вопрос ответишь смело.

Сколько птичек-невеличек на кормушку прилетело?

Воробьёв драчливых пара, и синичек тоже пара,

Пара сизых голубей, ну, и пара снегирей. (2+2+2+2=8)

Мы ходили на базар, выбирали там товар: 3 морковки, 2 петрушки,
Тыква, свёкла, сельдерей. Сколько будет овощей? (3+2+1+1+1=8)

Жили-были под дубочком 10 пухленьких грибочков.

Прискакал бельчонок вдруг — и грибов не стало 2-х.

У кого ответ готов? Сколько там теперь грибов? (10-2=8)

В деревне у бабушки 2 поросёнка, белая козочка и 2 индюшонка.

Если нам их сосчитать, всех их будет ровно… (2+1+2=5)

У меня стоят на полке: 2 зелёных лягушонка,

2 медведя и мышонок и чудесный кукушонок.
А ещё стоит слонёнок и щенок с зашитым ухом,

Розовенький поросёнок с красной пуговкой на брюхе.

А теперь хочу послушать: сколько у меня игрушек? (2+2+1+1+1+1+1=9)

Как-то раз в лесу густом ёж построил себе дом.

Пригласил лесных зверей. Сосчитай их поскорей:

3 зайчонка, 2 лисёнка, 2 бельчонка, 2 бобра. Называть ответ пора! (3+2+2+2=9)

2 мяча у Ани, 2 мяча у Вани.

Сколько, дети, всех мячей? Отвечайте мне скорей! (2+2=4)

В 2-х автобусах сидят 8 маленьких ребят.

В первом едут двое только. Во втором их будет сколько? (8-2=6)

У маленькой Светы — 4 конфеты. Ещё дала 2 Алла.

Сколько всего стало? (4+2=6)

.

ПРИБАВИТЬ И ВЫЧЕСТЬ 3

Возле грядки 2 лопатки, возле кадки 3 лопатки.

Все лопатки сосчитать! Сколько будет? Ровно … (2+3=5)

Через поле по прямой шёл баран на водопой,

Трёх овечек за собою вел он важно к водопою.

Сколько вместе их? Считайте! Ответ быстро называйте! (1+3=4)

Белка сушит на верёвке 2 грибка и 3 морковки.
Прибежал хорёк, утащил грибок.

Съел зайчонок 2 морковки. Что осталось на верёвке? (2+3-1-2=2)

К двум пушистеньким зайчишкам прибежали 3 братишки.

Всем пора бы это знать, что их будет ровно … (2+3=5)

Две мышки проникли в квартиру, решили попробовать сыру.

Тут следом явились подружки — 3 сереньких мышки — норушки.
Сколько мышек, считайте? Ответ быстро называйте! (2+3=5)

На рельсах перегона товарных 2 вагона,

А 3 других в сцеплении, готовы к отправлению.

Прибавь-ка к 2 вагонам 3 и сколько станет — назови! (2+3=5)

2 щенка – баловника бегают, резвятся.

К шалунишкам 3 дружка с громким лаем мчатся.

Вместе будет веселей. Сколько же всего друзей? (2+3=5)

5 лодок было у причала, волна их весело качала.

3 лодки взяли рыбаки, чтоб переплыть простор реки.

А сколько лодок у причала волна по-прежнему качала? (5-3=2)

Посадил я 5 хороших белых бусинок — горошин,

А росточков из земли показалось только 3.

3 горошины взошло. Сколько их не проросло? (5-3=2)

Яблочки в саду поспели. Мы отведать их успели:

5 румяных, наливных, три с кислинкой. Сколько их? (5+3=8)

Вышла курочка гулять, собрала своих цыплят:

7 бежали впереди, 3 осталось позади.

Беспокоится их мать и не может сосчитать.

Сосчитайте-ка, ребята, сколько было всех цыплят? (7+3=10)

К серой цапле на урок прилетело 7 сорок.

А из них лишь 3 сороки приготовили уроки.

Сколько лодырей – сорок прилетело на урок? (7-3=4)

Сеть тяну, рыбу ловлю. Попало немало:

2 окунька, 3 карася, 1 ершок — и того в горшок.

Уху сварю, всех угощу. Сколько рыб я сварю? (2+3+1=6)

3 больших, 3 маленьких, маленьких, удаленьких —
Целая семья опят. Сколько их на пне сидят? (3+3=6)

Стоит горка крутая, на ней тыква большая,

А пониже тоже 3 тыквы моложе. А под горкою в траве ещё 2.

Ну-ка, кто скажет сейчас? Сколько тыкв всего у нас? (1+3+2=6)

3 гуся летят над нами, 3 других за облаками.

2 спустились на ручей. Сколько было всех гусей? (3+3+2=8)

Есть игрушки у меня: паровоз и 2 коня,

Серебристый самолёт, 3 ракеты, вездеход…

Сколько вместе? Как узнать? Помогите сосчитать? (1+2+1+3+1=8)

Ёж спросил ежа — соседа:

-Ты откуда, непоседа?

-Запасаюсь я к зиме, видишь яблоки на мне? Собираю их в лесу: 6 принёс да 3 несу.

Призадумался сосед:

-Это мало или нет?

Поскорей мне дай ответ! (6+3=9)

У пенёчков 5 грибочков и под ёлкой 3.

Сколько будет всех грибочков? Ну-ка, говори! (5+3=8)

На удочку Андрей поймал 6 окуней.

А друг его Сергей трёх небольших ершей.

Сосчитай без лишних слов этих мальчиков улов. (6+3=9)

Вот 7 дубков и 3 сосны. Как зелены они, стройны!

Деревьев сколько тут? Узнайте! И хорошенько сосчитайте! (7+3=10)

Вот котёнок – озорник к блюдцу с молоком приник.

Вот другой — ему смешно видеть пса через окно.

Вот ещё один сидит — тихо мышку сторожит.

3 других моих котёнка — спят, мурлыча потихоньку.

Вот задача для ребят: всех пересчитать котят! (1+1+1+3=6)

Все ли здесь цыплятки — детки? Надо сосчитать наседке:

6 — на грядках, 3 — во ржи. Сколько их всего, скажи? (6+3=9)

Однажды 3 цыплёнка, а с ними 3 мышонка,

А с ними 3 весёлых умытых поросёнка

Бежали спозаранку из дома на полянку.

Посчитайте поскорей, сколько было всех друзей,

Что утром спозаранку, играли на полянке? (3+3+3=9)

Я вошёл в тенистый бор и увидел мухомор,

  1. опёнка, 2 сморчка, 3 маслёнка, 2 строчка…

У кого ответ готов? Сколько я нашёл грибов? (1+2+2+3+2=10)

Сбежала от Федоры посуда: 3 стакана, 3 чашки, 3 блюдца.

Кто сосчитать готов? Сколько всего беглецов? (3+3+3=9)

В зоопарке я бывала, обезьянок я видала:

3 сидели на песке, 2 качались на доске, а ещё 3 спинки грели.

Сосчитать вы всех успели? (3+2+3=8)

.

Белка с рынка возвращалась и с лисою повстречалась:

-Что ты, белочка, несешь? — задала лиса вопрос.

-Я несу своим детишкам: 2 ореха и 3 шишки.

Ты, лиса, мне подскажи: сколько будет 2+3?

Лиса быстро сосчитала, ровно 10 насчитала.

Ах ты, рыжая плутовка, обманула белку ловко!

Вы, ребята, ей не верьте! И ответ её проверьте. (2+3=5)

5 котят песок копают, 3 на солнце загорают,

2 купаются в золе. Сколько всех? Скажите мне! (5+3+2=10)

У белки в дупле 5 орешков в мешке,
Ещё 3 на полке. Посчитай-ка их, сколько? (5+3=8)

Петя — петушок, золотой гребешок,

Зёрна отыскал, курочек позвал.

Прибежали курочки: две из переулочка,

Три из-за поворота, одна из огорода.

А сейчас проверь! Сколько курочек теперь? (2+3+1=6)

Полевая мама — мышка ищет всех своих сынишек:

Двое спрятались на ветке. Трое спрятались в цветах.

Трое — в ягодных кустах. А один, ленивый самый,

Дома спит под одеялом.

Помоги их всех найти, к маме-мышке привести! (2+3+3+1=9)

Майским вечером к пеструшке на блины пришли подружки:

3 несушки, 3 клохтушки. Сколько курочек в избушке? (3+3=6)

Дружно муравьи живут, они без дела не снуют.

Два несут травинку, три несут былинку, три несут иголки.

Сколько их у ёлки? (2+3+3=8)

Привела гусыня-мать 6 детей на луг гулять.
Все гусята, как клубочки: 3 сынка. А сколько дочек? (6-3=3)

У Коли и Маринки 4 мандаринки.

Из них у Коли — 3. А сколько у сестры? (4-3=1)

У маленькой Светы 4 конфеты, ещё дала 3 Алла.

Сколько всего стало? (4+3=7)

В садик тёти Гали 5 гусей забралось.

Троих прогнали. Сколько там осталось? (5-3=2)

На кустике перед забором 7 красных помидоров.

Потом 3 оторвалось. А сколько на кусте осталось? (7-3=4)

7 кубиков у Маши, а 3 у Наташи.

Вы кубики все эти скорей считайте, дети! (7+3=10)

.

.

.

.

ПРИБАВИТЬ И ВЫЧЕСТЬ 4

Сидят рыбаки, стерегут поплавки. Рыбак Корней поймал 3-х окуней,

Рыбак Евсей – 4-х карасей, а рыбак Михаил 2-х сомов изловил.

Сколько рыб рыбаки натаскали из реки? (3+4+2=9)

Рада Алёнка — нашла 2 маслёнка, да 4 в корзинке. Сколько грибов на картинке? (2+4=6)

Влетели к девочке в окно 2 птички-невелички, потом за ними заодно ещё 4 птички.

Сколько вместе их? Считайте! Ответ быстро называйте! (2+4=6)

3 ягнёнка дружно жили, да козлят ещё четыре.
Вместе им-то веселей! Сколько же всего друзей? (3+4=7)

На тарелочке 7 слив, вид их очень уж красив.

Съел 4 сливы Павел. Сколько мальчик слив оставил? (7-4=3)

Посадила бабка в печь пирожки с капустой печь.

Для Наташи, Кати, Вовы пирожки уже готовы.

Да ещё один пирог — кот под лавку уволок.

Да в печи — 4 штуки. Пироги считают внуки.

Если можешь, помоги сосчитать все пироги! (1+1+1+1+4=8)

4 Алёнки, 4 Наташки под солнцем весенним играли в пятнашки.

Так сколько, ребята, ответьте скорей, под солнцем весенним играло детей? (4+4=8)

Есть у Нади 5 тетрадей, папа девочке их дал.

Дал и Ире он 4. Ты б тетради посчитал! (5+4=9)

Взял 9 вишенок Сергей, он угостил своих друзей.

4 дал он Вите, а остальные все Никите.

Сколько вишен дал Никите? Вы сосчитайте и скажите! (9-4=5)

5 яблок в корзине, в вазе четыре, у Саши одно. Сколько всего? (5+4+1=10)

Ниночка рисует дом. Окон много- много в нём.

Тут их 6, 4 — там. Посчитай все окна сам! (6+4=10)

Шла овчарка по дорожке, у неё — 4 ножки.

Ей навстречу — чёрный дог. Сколько всех собачьих ног? (4+4=8)

В день рожденья я Серёжке подарил одну матрёшку.

Мы её открыли, а там ещё 4.

Так сколько же матрёшек получилось у Серёжки? (1+4=5)

7 антенн на этой крыше. Наш электрик, дядя Миша,

Лишь 4 укрепил, остальные — брат Кирилл.

Сколько же Кирилл антенн установил? (7-4=3)

4 павлина, 4 пингвина, совёнок и мама-сова.

Однажды в июле в Москву заглянули всего на денёк или два.

Сколько же птиц в июле в Москву заглянули? (4+4+1+1=10)

.

.

.

ПРИБАВИТЬ И ВЫЧЕСТЬ 5

Завтракали на привале. Нам с собой яичек дали.

Всмятку 2 и 5 крутых. Посчитай-ка, сколько их? (2+5=7)

7 огурцов собрали с грядки. 5 огурцов уж съели.
Осталось сколько их, ребятки? Вы б сосчитать сумели? (7-5=2)

3 яблока было у Коли, 5 дали товарищи в школе.

Яблок сколько всего стало, друзья, у него? (3+5=8)

В хоре 7 кузнечиков песни распевали. Вскоре 5 кузнечиков голос потеряли.
Сосчитай без лишних слов, сколько в хоре голосов? (7-5=2)

Бегали по лесу 8 резвых коз: беленьких и сереньких, вверх задравши хвост.

5 козочек белых. Сколько было серых? (8-5=3)

В одном кармане 4 каштана, в другом кармане их 5.

Мы просим, дети, каштаны эти пересчитать! (4+5=9)

Стала курица считать маленьких цыпляток:

Жёлтых 5 и чёрных 5, а всего … (5+5=10)

2 гуся летят над нами, 2 других за облаками,

5 спустились за ручей. Сколько было всех гусей? (2+2+5=9)

Вот задумал ёж друзей пригласить на юбилей.

Пригласил 2-х медвежат, 3-х зайчат и 5 бельчат.

Посчитайте поскорей, сколько у ежа друзей? (2+3+5=10)

В кружку сорвала Марина 8 ягодок малины,

5 дала своей подружке. Сколько ягод стало в кружке? (8-5=3)

У деревьев грибы сохли, ну, и в дождь, конечно, мокли.

Двое жёлтеньких маслят, 5 тоненьких опят.

Да 3 рыжие лисички, очень милые сестрички.

Вы, ребята, не молчите, Сколько всех грибов? Скажите! (2+5+3=10)

Мама-курица цыплят привела в фруктовый сад.

-Посмотрите, детки, груша упала с ветки.

Вот ещё упало 5, кто их может сосчитать?

Но цыплята маловаты, помогите им, ребята! (1+5=6)

4 мышки — крохотушки, очень дружные подружки
Вышли в поле погулять. Прибежали ещё 5.
Очень дружно они пели. Всех их было ровно… (4+5=9)

Мы на ёлке веселились, и плясали, и резвились.

После добрый Дед Мороз нам подарки приподнёс.

Дал большущие пакеты, в них же — вкусные предметы.

Стала я пакет вскрывать, содержимое считать:

2 конфеты в бумажках синих, 5 орехов рядом с ними.
Груша с яблоком, один — золотистый мандарин.

Всё лежит в пакете этом! Сосчитайте все предметы! (2+5+1+1+1=10)

.

Шла лисица вдоль тропинки и несла грибы в корзинке:

5 опят и 5 лисичек для лисят и для лисичек.

Кто ответить готов? Сколько грибов? (5+5=10)

infourok.ru

Сложение и вычитание в пределах 10.Решение задач

Я Абдикова Нургуль Галымтаевна. 2005 году закончила АРПИ. В данное время учитель начальных классов в школе имени Б.Колдасбаева. На уроках пременяю новые технологии. Детям даю разно уровневые задания. В неделе начальных классов урок путешествие по математике на тему «Приём вычисления с переходом через десяток » учителя отценили на отлично.

Просмотр содержимого документа
«сложение и вычитание в пределах 10.Решение задач»

Тема: Сложение и вычитание в пределах 10 и решение задач. Цель: закрепить приемы сложения и вычитание; основанные на составе чисел, и решение задач. -совершенствовать навыки быстрого и стабильного счета в пределах 10; -совершенствовать умение решать задачи; -активизация мыслительной деятельности, развитие логического мышления, грамотной математической речи. -воспитывать доброжелательность, взаимопомощь и аккуратность. Тип урока: урок-закрепление. Вид урока: Путешествие Формы урока: коллективная, индивидуальная. Методы урока: словесный, практический, наглядный, игровой, частично –поисковый, Оборудование: карточки с примерами. полоски бумаги, солнышко, рисунки паровозика . Ход урока: Организационный момент: Поздоровались: психологический настрой к уроку: Сколько времени в году? Назовите их? А какое сейчас время года? Посмотрите в окно на улице снег, мороз, холодно. А в нашем классе тепло и уютно. Так — как нас согревает, ласковое, теплое солнышко. Посмотрите друг на друга, улыбнитесь и пожелайте удачи. Сообщение темы и целей урока: Сегодня на уроке, мы повторим ранее изученный материал. Но урок наш будет не совсем обычным. Мы отправимся с вами в увлекательное путешествие, где будем решать, соображать, удивляться, думать и обязательно считать. А на чем мы отправимся в путь, вы узнаете если отгадаете загадку: Братцы в гости снарядились. Друг за друга уцепились. И помчались в путь далекий. Лишь оставили дымок. (поезд) Правильно. На поезде. И так приобретайте билеты, а затем поудобней садитесь в вагоны . ( вагон 1 : вагон 2) Открываем тетради пишем. Дату отправления. Сегодняшнее число. Классная работа. Разминка 1.Счет прямой, обратный. 2.Назовите соседей чисел 7,5,3. 3.Какие цифры потерялись? Мы отправляемся дальше. Следующая станция «Помогай-ка » мы должны помочь нашему хорошему другу Незнайке решить задачу. Для этого открываем учебник. И читаем задачу. Было 6 кукол. Отдала 2 куклы Осталось -?к 6-2= 4 (к) Ответ : осталось 4 куклы. Остальные работают в тетрадях.

Физкультминутка: Мы работали, устали. А теперь тихонько встали. Сколько раз в ладоши хлопнем (5) Сколько раз ногою топнем (3) Мы присядем сколько раз (6) Я прошу вас тихо сесть. Отправляемся в путь, следующая станция «Посчитай- ка». И здесь нас встречает Буратино, давайте вместе с Буратино вспомним мы с вами состав чисел:

8 10 9

4537 7352 1327

6371 4913 6452

8012 5828 1864

4467 4553 5236

8526 3964 4409

Остальные дети в это время играют в игру «Засели домики» Молодцы ребята!

Игра. Кто быстрее? Решение примеров с учебника

Следующая станция «Логиков» -Ребята, Мы подъехали к трем дорогам. По какой из них нам поехать дальше? Верная та дорога, которая длиннее синей, но короче красной (зеленая). -Вот и попали мы на поляну Радости, на которой растут необычные цветы с записанными выражениями. Сравните эти выражения.

2-1*4 5*3+1 2+2*4

Итог урока: Рефлексия . Ну, что же дети, виднеется остановка «Школа», с которой мы начинали свой путь. Наше путешествие подходит к концу. -Есть такая традиция – оставлять о себе на память доброе имя. А теперь, ребята, давайте посадите свои цветочки на поляне Радость, если урок понравилось красные цветочки если не понравилось синие. Понравилось вам наше путешествие? Где мы сегодня побывали? Молодцы! Наш урок закончен. Спасибо вам за хорошую работу. Выставления оценок. Домашнее задание.

Костанайская область

Село Амангельды

kopilkaurokov.ru

«Нумерация чисел первого десятка», «Сложение и вычитание в пределах 10», «Решение задач».

Конспект урока математики в 1 классе

Место проведения: ГБОУ школа-интернат № 17 г. Самары

Разработала и провела: Смолина Наталья Владимировна


Тема: Урок-закрепление по темам: «Нумерация чисел первого десятка», «Сложение и вычитание в пределах 10», «Решение задач».


Цель: закрепить знания о числах 0 и 10, умение соотносить их с цифрами и количеством предметов, умение выполнять действия сложения и вычитания в пределах 10, умеие решать задачи.

Обучающие: 

1) закреплять навык прямого и обратного счета в пределах 10,

2)закреплять вычислительные навыки в пределах 10 без перехода через разряд,

3)продолжать вырабатывать умение решать задачи на уменьшение на несколько единиц, на сравнение.

4)вырабатывать умение называть и различать геометрические линии.

Коррекционно-развивающие:

1)коррекция зрительного восприятия на основе упражнений в сравнении,

2)развитие и коррекция способности к соцальной адаптации в общественных местах,

3) коррекция и развитие воображения учащихся через задания с воображаемой ситуацией.

Воспитывающие:

1) воспитание интереса к предмету «Математика»,

2)воспитание активного интереса к изучению окружающей действительности.

Оборудование:

  • карточки с числовым рядом,

  • иллюстрации овощей, фруктов, продуктов,

  • иллюстрации к задачам,

  • плакат с изображением геометрических линий,

  • плакат со словом «геометрия»

  • плакат с высказываниями: «Математика — точная наука», «Математика — царица наук»

  • плакат с ребусами

Ход урока.


1. Психологический настрой.


У нас на уроке много гостей. Издавна русские люди говорили: «Гости в дом — радость в дом». Улыбкой друг другу создадим хорошее настроение и начнём работу.

2. Актуализация знаний.

— Сегодня мы отправимся в путешествие. Как вы думаете, куда? Не на Луну, не в космос, ни на необитаемый остров. Мы прогуляемся по городу и зайдем в те места, где люди бывают ежедневно. А знаете, почему? Прежде чем человек может отправиться в столь далекие и опасные путешествия, он должен научиться хорошо ориентироваться в окружающем его пространстве. А что это — окружающее нас пространство? Это наш класс, школа, улица, общественные места города.

3. Постановка проблемной ситуации.

— А какие занания должны быть у человека, который выходит из дома один? (выслушиваются ответы детей). Правильно. А еще даже, чтобы ответить на простейшие вопросы, сколько этажей в твоем доме, сколько людей тебе встретилось и т. п., что надо уметь делать ? Конечно, уметь считать, и не приблизительно, примерно уметь считать, а точно, потому что математика — точная наука (показать детям плакат с этим высказываением).


— А в каких профессиях нужна математика? Да, ребята, практически во всех. Послушайте:

Чтоб врачом, моряком

или летчиком стать,

Надо прежде всего

математику знать.

И на свете нет профессии,

вы заметьте-ка,

Где бы вам не пригодилась математика.

4. Основная часть урока.

4.1.Числовой ряд натуральных чисел.

— Ну что ж, в путь. Итак, мы выходим из квартиры и заходим в лифт. Но вот проблема: многие из кнопок стерлись и их не видно. Надо восстановить числовой ряд. (Детям раздаются листочки с числовым рядом от 0 до 10, в котором пропущены числа.). Вставьте пропущенные числа.

— Пока мы спускаемся, давацте сосчитаем ступени (показываю рисунок лестницы со ступенями), а вот нам навстречу идут соседи. Сосчитайте. Какие числа нам помогли сосчитать? Правильно, натуральные. Что это за числа? (выслушать ответ). Правильно, посмотрите на плакат:

Натуральные числа — это числа, которые используют для счета предметов

или для указания порядкового номера

4.2. Нумерация в пределах 10 (четные и нечетные числа)

Вот мы вышли из дома и идем вдоль домов по улице. Мы помним, что с одной стороны улицы идут четные номера домов, с другой — нечетные. Назовите четные номера от 0 до 10. Теперь нечетные.


4.3. Сложение и вычитание в пределах 10.

  • Дошли до магазина. Нам нужно кое-что купить. Догадываетесь, какие знания мы будем опять использовать? Действительно, математические знания и умения нам нужны на каждом жизненном шагу. В магазине нас ждут примеры на сложение и вычитание в пределах 10.

Все задачи сопровождаются иллюстрациями.

1. Нам надо купить 3 кабачка и 2 баклажана. Сколько всего овощей купили?

2. Еще мы возьмем 6 яблок и 4 груши. Сколько всего фруктов возьмем?

3. Из кассеты яиц, в которой лежит 3 десятка яиц, возьмем только 2 десятка. Сколько десятков останется в кассете?

4. С полки, на которой стоят 9 бутылок молока, возьмем себе 2 бутылки. Сколько бутылок молока останется на полке?

5. 10 разных булочек разложили в 2 пакета. Как это можно сделать? Что надо вспомнить? Правильно, состав числа 10.

4.4. Решение задачи на уменьшение на несколько единиц.

  • Выходим из магазина, относим покупки домой. А теперь отдохнем? Поедем в цирк?

  • Нам нужно проехать 9 остановок на автобусе до цирка. Считаем до 9 по цепочке.

  • Ну, вот и цирк! Заходим, показываем билеты, раздеваемся в гардеробе и проходим на свои места. Чтобы найти свой ряд и место, знания какой науки нам пригодятся? Разумеется, математики.

  • В цирке нас ждут задачи. А что такое задача? (Это математический рассказ, в котором есть условие и вопрос). А что такое условие задачи? (это то, что нам известно). Что такое вопрос задачи ? (то, что надо узнать, найти).

  • Итак, выступление диких зверей. Кто изображен на иллюстрации? (тигры и львы). Послушайте задачу: На арене цирка выступали 6 львов, а тигров на 2 меньше. Сколько тигров выступало на арене цирка?

  • О ком задача? (о львах и тиграх)

  • Что нам известно о львах? (их было 6)

  • Известно, сколько было тигров? (нет, не известно)

  • Но что сказано про тигров? (их было на 2 меньше, чем львов)

  • Что значит «на 2 меньше»? (столько же, но без двух)

  • Что надо узнать в задаче, какой вопрос? (сколько тигров выступало)

  • Какие слова возьмем для краткой записи? (львы и тигры)

  • Что напишем напротив слова «львы»? (6)

  • Что напишем напротив слова «тигры»? (их количество нам неизвестно, значит, ставим занк вопроса, но сказано, что на 2 меньше, значит, после знака вопроса ставим запятую и пишем на 2 меньше)

  • Каким действием узнаем, сколько выступало тигров? (вычитанием). Почему? (тигров было меньше). Один ученик записывает решение на доске, остальные с помощью красно-зеленых светофоров показывают, согласны они с записанным решением или нет.

  • Какой будет ответ? (4 тигра выступало на арене цирка).

4.5. Физминутка.

4.6. Математические ребусы.

ПО2Л

ВИ3НА

О5

Р1НА

4.7. Решение задачи на сравнение.

  • Антракт! Идем в буфет. Смотрите, на одном подносе лежит 5 пирожных, а на другом -8 пирожков. Чего больше? Чего меньше? Как узнать, на сколько пирожков больше, чем пирожных? (чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, надо из большего вычесть меньшее).

  • А чтобы проверить, действительно ли на 3 меньше, что надо сделать? (соединить пирожные и пирожки в пары с помощью линий). (Ребята окружают первую парту и соединяют в пары). Сколько пирожков осталось без пары? (3). Значит, чего больше? (пирожков). На сколько? (на 3).

4.8. Геометрический материал.

  • Повеселились? Поедем домой. Едем на остановке обратно 9 остановок. Считаем в обратном порядке от 9 до 1 по цепочке.

  • Проезжаем мимо стройки. А вы занете, какая наука помогает строить дома, чертить чертежи? (на доске плакат со словом «геометрия»). Это геометрия, что в переводе означает «гео» — земля, «метрио» — измеряю. Давайте, пока едем, повторим названия линий, которые мы изучили.

  • Перед вами пронумерованные линии. Назовите линию под номером 1 (отрезок). Что такое отрезок (прямая, у которой есть начало и конец). Под цифрой два? (луч). Что такое луч? (прямая, у которой есть начало и нет конца). Как назвается эта линия? (ломаная). Из чего состоит ломаная? (из отрезков). А эта фигура? (многоугольник). Как по-другому называется многоугольник? (замкнутая ломаная).

4.9. Задачи на логическое мышление.

  • Вот мы и дома! Нам надо приготовить себе ужин. Одно яйцо варится 4 минуты. Сколько минут будут варится два таких яйца? (4 минуты).

  • Пойдемте чистить зубы. Вот вам задача: пока мальчик чистил зубы, он оставил включенным кран с водой. За 1 минуту из крана вылилось 3 литра воды. Сколько литров выльется за 2 минуты? (6 литров).

  1. Подведение итогов.

— Какие вы молодцы, ребята. Очень хорошо потрудились!

— Понравилась вам прогулка?

— Где мы побывали?

— Знания каких наук мы использовали? Да, знания математики, чтобы считать, русского языка, чтобы общаться и понимать друг друга, чтения, чтобы читать названия остановок, вывески, ценники и другую полезную нам информацию, окружающего мира, геометрии).

— Да, все ж без математики

Нам невозможно жить!

Любите математику

И вы поймете вдруг,

Что правда математика —

Царица всех наук.

infourok.ru

Тесты по английскому языку готовые с ответами – Тесты по грамматике английского языка с ответами для магистратуры

Тесты | Секреты английского языка

Когда вы изучаете английский с учителем, он контролирует, насколько хорошо вы усвоили материал. Но при самостоятельном изучении языка эта задача представляется сложной. И в этом как раз могут помочь тесты. По сути, тест – это проверочная работа, при помощи которой вы сможете проверить себя, свои знания, достаточно ли вы изучили тот или иной вопрос, хорошо ли вы в нем разбираетесь.

Наши проверочные тесты разделены по уровням — начальный, средний и сложный. В тесте 10 вопросов, на каждый вопрос дается 4 варианта ответа. Правильный только 1. За каждый правильный ответ вы получаете 1 балл. Свой результат вы можете узнать, кликнув по ссылке «показать результат».
Результаты оцениваются следующим образом:
— 0-5 баллов — «плохо»
— 6-7 баллов — «удовлетворительно»
— 8-9 баллов — «хорошо»
— 10 баллов — «отлично»

Со временем также будут добавлены тесты на общий уровень английского языка.

 Грамматические тесты

  • Лексические тесты

    • Лексический тест (1)
    • Лексический тест (2)
    • Лексический тест (3)
    • Лексический тест (4)
    • Лексический тест (5)
    • Лексический тест (6)
    • Лексический тест (7)
    • Лексический тест (8)
    • Тест Phrasal verbs
    • Тест Phrasal verbs (2)
    • Тест фразовый глагол take
    • Тест фразовый глагол get
    • Price, cost, charge, value
    • Do, make
    • Do, make(2)
    • To live, life, live, alive, living
    •  Shade , shadow
    • To find out, to learn, to discover
    • To begin, to start, to commence
    • Test: join/attend, give/provide
    • Use the correct verb
    • Advice, advise
    • Other, another, others
    • Other, another, others (2)
    • Fun, funny
    • Annoy, aggravate
    • Big, large, great
    • Home, house
    • Assure, ensure, insure, reassure
    • Синонимы
    • Синонимы и антонимы
    • Однокоренные слова
    • Difference in British and American vocabulary
    • Groups of people

     Работа с текстом

     Сводные тесты

englsecrets.ru

Тесты по английскому языку

Проверьте ваши знания грамматики и лексики английкого языка с помощью интерактивных онлайн тестов. Проходите наши тесты по английскому языку многократно, каждый раз с новыми вопросами.

  • Articles

    Тест на знание и употребление артиклей в английском языке.

  • Present Tenses

    Тест на употребление настоящих времён в английском языке.

  • Present Simple Questions — Do or Does

    Тест начального уровня на построение общих вопросов в настоящем времени.

  • Passive Voice

    Тест на знание и употребление пассивного залога в английском языке.

  • Past Tenses

    Проверка знания прошедших времён в английском языке.

  • Prepositions of Time and Place

    Проверка знания предлогов, выражающих временные и пространственные отношения.

  • Modal Verbs

    Тестирование навыка правильного использования модальных глаголов в английском языке.

  • Future Tenses

    Упражнение на знание будущих времён английского языка.

  • The Conditional Mood

    Проверка знания и правильного употребления сослагательного наклонения в английском языке.

  • The Gerund

    Правильное использование герундия в английском языке.

  • Degrees of Comparison

    Проверка умения правильно выбирать и употреблять степени сравнения прилагательных и наречий в соответствии с ситуацией общения.

  • The Infinitive

    Проверка умения правильно употреблять неличные формы глагола (инфинитив) в английском языке.

  • Participle

    Тест на знание и употребление причастия в английском языке.

  • Sequence of Tenses

    Оцените свое знание согласования времён в английском языке (косвенная речь).

  • The Infinitive (complex object)

    Тест на знание сложного дополнения с инфинитивом в английском языке.

  • Pronouns (personal and possessive)

    Продемонстрируйте свое знание личных и притяжательных местоимений в английском языке.

  • Word Order

    Тест на порядок слов в английском повествовательном и вопросительном предложении.

  • The Infinitive (with or without to)

    Употребление частицы to с инфинитивом в английском языке.

  • Pronouns (reflexive and emphatic)

    Правильное употребление возвратных и усилительных местоимений в английском языке.

  • Pronouns (possessive and abridgements)

    Проверьте ваши знания в употреблении притяжательных местоимений и сокращений.

  • Еще тесты по грамматике
  • Travel, journey, voyage

    Проверка на правильное употребление существительных английского языка, связанных с путешествиями (travel, journey, voyage, trip, tour).

  • Price, cost, value, worth

    Знаете ли вы разницу в употреблении синонимов английского языка, обозначающих ценность? Проверьте себя (price, cost, value, worth).

  • Slip, mistake, error

    Различия между словами английского языка, означающими ошибку (a slip, a mistake, an error).

  • Opportunity, possibility, chance

    Проверка правильного использования существительных английского языка, выражающих возможность (opportunity, possibility, chance).

  • Way, road, path, route

    Тонкости употребления английских существительных, обозначающих путь (a way, a road, a path, a route).

  • Director, manager, chief, boss, head

    Оценка правильного использования английских существительных, обозначающих руководителя (director, manager, chief, boss, head).

  • Bank, shore, coast, beach, seaside

    Тест на знание существительных английского языка, обозначающих берег (bank, shore, coast, beach, seaside).

  • Work, job, post, position

    Правильный выбор существительных английского языка, связанных с должностью (work, job, post, position).

  • Master, owner, host

    Тест на знание существительных английского языка, обозначающих хозяина (a master, an owner, a host).

  • Accident, incident, event

    Оцените, насколько хорошо вы знаете разницу между английскими словами, связанными с происшествиями (an accident, an incident, an event).

  • Trade, profession, occupation

    Уместное употребление существительных английского языка, связанных с профессией (trade, profession, occupation).

  • Quantity, number, amount, count

    Проверьте ваши навыки употребления существительных английского языка, выражающих количество (quantity, number, amount, count).

  • Wage, salary, stipend, fee, royalties

    Тест на знание и употребление существительных английского языка с общим значением оплаты (wage, salary, stipend, fee, royalties).

  • Advantage, benefit, profit, gain

    Проверка навыков употребления существительных-синонимов, имеющих значение выгоды, преимущества (advantage, benefit, profit, gain).

  • Business Expressions

    Оцените ваш навык использования английских выражений связанных с бизнесом.

  • Piece, slice, lump

    Тест на знание и употребление существительных английского языка, обозначающих кусок чего-либо (a piece, a slice, a lump).

  • Suit, costume, dress, clothes

    Тест на знание и употребление существительных английского языка, связанных с одеждой (suit, costume, dress, clothes).

  • Idea, conception, notion, thought

    Различия между существительными английского языка, связанных с понятием идеи (idea, conception, notion, thought).

  • Bill, fine, fare, tip

    Тест на знание и употребление существительных английского языка с общим значением «оплаты за что-либо» (bill, fine, fare, tip).

  • Region, state, district, vicinity

    Тонкости употребления английских существительных, обозначающих районы и участки земли (region, state, district, vicinity).

  • Еще тесты по существительным
  • Some or any

    Тест на употребление английских местоимений (some, any).

  • Another, other, others, the others

    Оценка правильного употребления местоимений английского языка (another, other, others, the others).

  • Something, everything, nothing, nobody

    Проверьте свое знание местоимений английского языка (something, everything, anything, nothing, nobody и др.).

  • This, these, that, those

    Проверьте свои знания в употреблении указательных местоимений (that, those, this, these).

  • Еще тесты по местоимениям
  • Little, a little, few, a few

    Когда и как используются местоименные прилагательные английского языка (little, a little, few, a few).

  • Hot, warm, cool, cold, frosty

    Тест на знание английских прилагательных обозначающих холод, тепло, жару (hot, warm, cool, cold, frosty).

  • Big, large, great

    Выбор между прилагательными, выражающими понятие “большой” (big, large, great).

  • Comfortable, convenient, suitable

    Оценка знания нюансов английских прилагательных с общим значением “подходящий” (comfortable, convenient, suitable).

  • Beautiful, lovely, handsome, pretty

    Тест на уместное употребление английских прилагательных с общим значением красоты (beautiful, lovely, handsome, pretty).

  • Little, small, tiny

    Тест на употребление английских прилагательных, обозначающих маленький размер (little, small, tiny).

  • Quick, fast, rapid, swift

    Тест на правильное употребление английских прилагательных, связанных с быстротой (quick, fast, rapid, swift).

  • Clever, intelligent, smart

    Нюансы употребления английских прилагательных, обозначающих ум и сообразительность (clever, intelligent, smart).

  • Different, various, diverse

    Тест на знание английских прилагательных, связанных с отличиями (different, various, diverse).

  • Awful, terrible, dreadful, horrible

    Оцените свое знание прилагательных с негативной оценкой (awful, terrible, dreadful, horrible).

  • Huge, vast, enormous, immense

    Тест на знание различий между английскими прилагательными с общим значением величины (huge, vast, enormous, immense).

  • Lonely, alone, single, solitary

    Проверка правильного употребления английских прилагательных с общим значением одиночества (lonely, alone, single, solitary).

  • Afraid, frightened, scared, fearful

    Проверка умения правильно выбирать между английскими прилагательными, обозначающих испуг (afraid, frightened, scared, fearful).

  • Busy, engaged, occupied

    Проверьте свое знание и умение различать английские прилагательные с общим значением занятости (busy, engaged, occupied).

  • Happy, lucky, fortunate

    Проверка умения различать английские прилагательные, связанные с понятием счастья (happy, lucky, fortunate).

  • Effective, efficient, skilled, experienced

    Тест на способность правильно выбрать для данного контекста прилагательные с общим значением эффективности (effective, efficient, skilled, experienced).

  • Empty, vacant, blank

    Тест на знание различий прилагательных с общим значением “пустой” (empty, vacant, blank).

  • Thin, slender, slim, lean, meager

    Тест на знание и уместное использование прилагательных, связанных с худобой (thin, slender, slim, lean, meager).

  • Stout, fat, fleshy, plump

    Проверка правильного употребления английских прилагательных с общим значением полноты (stout, fat, fleshy, plump).

  • Quiet, calm, still, peaceful

    Тренировка уместного использования прилагательных с общим значением покоя (quiet, calm, still, peaceful).

  • Famous, well-known, celebrated, distinguished, eminent

    Различия между английскими прилагательными с общим значением известности (famous, well-known, celebrated, distinguished, eminent).

  • Greedy, mean, stingy

    Потренируйте ваши навыки в употреблении прилагательных, имеющих общее значение жадности и скупости (greedy, mean, stingy).

  • Strange, queer, odd, quaint

    Тест на знание английских прилагательных с общим значением “странный” (strange, queer, odd, quaint).

  • Funny, witty, amusing, merry

    Тест на правильное употребление английских прилагательных, связанных с чувством юмора (funny, witty, amusing, merry).

  • Weak, feeble, faint, frail

    Различия между прилагательными английского языка с общим значением слабости (weak, feeble, faint, frail).

  • Еще тесты по прилагательным
  • Also, too, either, neither

    Тест на выбор подходящего английского наречия (also, too, either, neither).

  • Despite, in spite of, although, however

    Тест на знание и употребление союзов и предлогов, выражающих уступку и противопоставление (despite, in spite of, although, however).

  • Still, yet, already

    Проверка правильного использования наречий времени английского языка (still, yet, already).

  • Fairly, rather, quite

    Тест на знание и употребление наречий, выражающих достаточную или желаемую степень качества или количества (fairly, rather, quite).

  • Еще тесты по наречиям, союзам
  • Say, tell, talk, speak

    Проверка правильного выбора между английскими глаголами, связанных с говорением (to say, to tell, to talk, to speak).

  • Do, make

    Выбор между глаголами, выражающими понятие “сделать” (to do, to make).

  • Learn, study, teach

    Различия в лексическом значении английских глаголов, связанных с учебой (to learn, to study, to teach).

  • Go, come, walk

    Тест на правильное употребление английских глаголов движения (to go, to come, to walk).

  • Offer, suggest

    Тест на английские глаголы, обозначающие значение “предлагать” (to offer, to suggest).

  • Get, gain, receive, obtain

    Тренировка умения правильно использовать глаголы с общим значением получения (to get, to gain, to receive, to obtain).

  • Allow, permit, let

    Тест на знание разницы в лексическом значении английских глаголов разрешения (to allow, to permit, to let).

  • Answer, reply, respond

    Тест на правильное использование английских глаголов с общим значением “ответить” (to answer, to reply, to respond).

  • Take, bring, carry

    Оцените свое знание английских глаголов с общим значение “нести” (to take, to bring, to carry).

  • See, look, glance

    Проверка умения правильно использовать глаголов с общим значением “смотреть” в зависимости от контекста (to see, to look, to glance, to stare, to peep).

  • Raise, lift, pick up

    Тест на знание и употребление английских глаголов с общим значением “поднимать” (to raise, to lift, to pick up).

  • Finish, end, complete

    Различия между английскими глаголами, означающих “закончить” (глаголы to finish, to end, to complete).

  • Appreciate, estimate, value

    Тест на знание и правильное употребление английских глаголов, выражающих оценку (to appreciate, to estimate, to value).

  • Defend, protect, guard

    Различия в значении английских глаголов, связанных с защитой (to defend, to protect, to guard).

  • Begin, start, commence

    Узнайте, насколько хорошо вы ориентируетесь в употреблении глаголов с общим значением “начать” (to begin, to start, to commence).

  • Learn, find out, discover

    Различия между английскими глаголами с общим значением “узнавать” (to learn, to find out, to discover).

  • Ask, inquire, question, demand

    Тест на знание английских глаголов, связанных с задаванием вопроса (to ask, to inquire, to question, to demand).

  • Appear, seem, turn out, prove

    Тест на знание и употребление глаголов английского языка (to appear, to seem, to turn out, to prove).

  • Hold, keep, retain, preserve

    Проверка правильного употребления английских глаголов удержания (to hold, to keep, to retain, to preserve).

  • Continue, go on, proceed

    Проверка умения правильно использовать английские глаголы с общим значением “продолжить” (to continue, to go on, to proceed).

  • Swim, sail, float, drift

    Тест на знание и употребление глаголов английского языка, связанных с плаванием (swim, sail, float, drift).

  • Choose, elect, select, pick out

    Различия в лексическом значении английских глаголов выбора (to choose, to elect, to select, to pick out).

  • Earn, gain, acquire, receive

    Тест на употребление глаголов английского языка с общим значением «получать, приобретать» (earn, gain, acquire, receive).

  • Shut, close, lock

    Проверка умения правильно выбирать английские глаголы, связанные с закрыванием (to shut, to close, to lock).

  • Cry, weep, sob

    Тест на знание и употребление английских глаголов, обозначающих плач (to cry, to weep, to sob).

  • Pull, drag, draw

    Проверка знания английских глаголов с общим значением “тащить” (to pull, to drag, to draw).

  • Wait, expect, anticipate

    Проверка умения правильно использовать английские глаголы с общим значением «ожидать» (to wait, to expect, to anticipate).

  • Understand, realize, grasp

    Нюансы лексического значения английских глаголов, связанных с пониманием (to understand, to realize, to grasp).

  • Abandon, leave, give up, quit, resign

    Тест на знание лексических различий глаголов английского языка со значением «оставлять, покидать» (to abandon, to leave, to give up, to quit, to resign).

  • Break, destroy, ruin

    Тест на уместное употребление английских глаголов с общим значением разрушения (to break, to destroy, to ruin).

  • Change, alter, vary, adjust

    Проверьте ваши знания в употреблении глаголов-синонимов с общим значением «изменить» (to change, to alter, to vary, to adjust).

  • Catch, snatch, seize, grab

    Проверьте свои знания и навыки употребления глаголов-синонимов английского языка имеющих общее значение «схватить, хватать» (to catch, to snatch, to seize, to grab).

  • Want, wish, desire, long, crave

    Проверка знания английских глаголов со значением желания (to want, to wish, to desire, to long, to crave).

  • Shout, cry, scream, shriek

    Проверьте свое умение в зависимости от контекста использовать английские глаголы, обозначающие крик (to shout, to cry, to scream, to shriek).

  • Note, notice, take notice, pay attention

    Тренировка умения правильно использовать глаголы английского языка, связанные с вниманием (to note, to notice, to take notice, to pay attention).

  • Show, demonstrate, display, exhibit, reveal

    Тест на знание и употребление глаголов английского языка (to show, to demonstrate, to display, to exhibit, to reveal).

  • Hit, beat, pound, slap

    Проверьте ваши навыки правильного употребления глаголов движения, выражающих нанесение удара (hit, beat, pound, slap).

  • Еще тесты по глаголам
  • www.native-english.ru

    Тест на знание английского языка с ответами

    Зачем нужен тест на знание английского языка?

    Владеть английским языком можно по-разному, кто-то не может связать и двух слов, кто-то бегло говорит и делает ошибки, а некоторые знают язык профессионально. Чтобы посоревноваться друг с другом в знании инглиша, была введена специальная шкала для тестирования уровня владения данным языком. Итак, использовав по меньшей мере 10 различных пособий и собственный опыт, с гордостью представляю самый лучший бесплатный тест на знание английского языка онлайн.

    Вам необходимо без посторонней помощи и подсказок ответить на 40 вопросов. Сначала идут вопросы полегче, они написаны на русском языке и направлены на понимание основ английской грамматики. Постепенно вопросы усложняются и, соответственно, исчезает русский язык. Благодаря данному решению мы сможем дать шанс начинающим ответить хотя бы на некоторые вопросы.

    Рекомендация от Гуру: старайтесь не угадывать ответы, пропускайте очень сложные вопросы!

    Оценка результатов (Ваш уровень):

    0-8 – Beginner (начальный уровень)
    9-14 – Elementary (базовый уровень) / A1
    15-22 – Pre-intermediate (ниже среднего) / A2
    23-30 – Intermediate (средний) / B1
    31-35 – Upper-intermediate (выше среднего) / B2
    36-40 – Advanced (продвинутый) / C1

    ↓ Не забудьте похвастаться своим уровнем английского в социальных сетях! ↓

    Читайте также:

    ❤ Поделись статьей с друзьями! И подпишись на email-рассылку и Twitter. ❤


    English Guru

    Автор 312 статей в этом блоге.

    Администратор сайта English Guru. Лейтмотив данного проекта — учить английский в увлекательной форме. Судите сами, мы добиваемся успеха в том, что мы любим, т. е. профессионал в любом деле всегда начинал с простого хобби, а настоящим гуру может называться только тот, кто сделал своё увлечение смыслом жизни.

    Посмотреть все статьи автора English Guru →
    Личный сайт

    englishgu.ru

    Тест с ответами по английскому языку

    Тест на знание английского языка:

    1. How many books did you buy? – I bought _____ .

    o​ fifteenth

    o​ fifth

    o​ five

    o​ fiftieth

    Вы отвeтили fifteenth — это неправильный ответ, правильный ответ five.

    2. Only _____ students were present at the lecture.

    o​ sixth

    o​ sixteen

    o​ sixtieth

    o​ sixteenth

    Вы отвeтили sixth — это неправильный ответ, правильный ответ sixteen.

    3. Show me _____ page, please.

    o​ twoth

    o​ the second

    o​ two

    o​ the twoth

    Вы отвeтили the second — это правильный ответ!

    4. His second work is better than _____ .

    o​ the first

    o​ the one

    o​ the oneth

    o​ oneth

    Вы отвeтили the first — это правильный ответ!

    5. Open chapter _____ please.

    o​ fifth

    o​ fifteenth

    o​ fiftieth

    o​ five

    Вы отвeтили five — это правильный ответ!

    6. December is _____ month of the year.

    o​ twelve

    o​ eleven

    o​ the twelfth

    o​ the eleventh

    Вы отвeтили the twelfth — это правильный ответ!

    7. 3,147

    o​ three thousand one hundred and forty-seven

    o​ third thousand one hundred and forty-seven

    o​ three thousand a hundred and forty-seven

    o​ three thousand one hundred and four-seven

    Вы отвeтили three thousand one hundred and forty-seven — это правильный ответ!

    8. Read _____ paragraph at home.

    o​ nine

    o​ the ninth

    o​ ninety

    o​ the nine

    Вы отвeтили the nine — это неправильный ответ, правильный ответ the ninth.

    9. Four times four is _____ .

    o​ sixty

    o​ six

    o​ sixteenth

    o​ sixteen

    Вы отвeтили sixteen — это правильный ответ!

    10. There are _____ pupils in our class.

    o​ twentieth eight

    o​ twenty eight

    o​ twenty eighth

    o​ twentieth eighth

    Вы отвeтили twenty eight — это правильный ответ!

    Результаты прохождния теста
    Вы ответили правильно на 10 из 10 вопросов, что составляет 100% от общего количества.
    1. Take these (book) please.

    o​ book

    o​ books

    o​ bookes

    o​ bookz

    Вы отвeтили books — это правильный ответ!

    2. This (song) is wonderful.

    o​ songs

    o​ songes

    o​ song

    o​ songz

    Вы отвeтили song — это правильный ответ!

    3. Moscow and London are big (city).

    o​ city

    o​ citis

    o​ citys

    o​ cities

    Вы отвeтили cities — это правильный ответ!

    4. They are good (boy).

    o​ boy

    o​ boyz

    o​ boies

    o​ boys

    Вы отвeтили boys — это правильный ответ!

    5. Did you buy (tomato) yesterday?

    o​ tomatos

    o​ tomats

    o​ tomatoes

    o​ tomatoz

    Вы отвeтили tomatoes — это правильный ответ!

    6. These (knife) are very sharp.

    o​ knives

    o​ knifes

    o​ knife

    o​ knifies

    Вы отвeтили knives — это правильный ответ!

    7. The (roof) of these houses are unsafe.

    o​ rooves

    o​ roofes

    o​ roofs

    o​ roof

    Вы отвeтили roofs — это правильный ответ!

    8. Three (man) of our group are football players.

    o​ man

    o​ mans

    o​ men

    o​ mens

    Вы отвeтили men — это правильный ответ!

    9. Our winter (vacation) lasts two (week).

    o​ vacation, weeks

    o​ vacations, weeks

    o​ vacation, week

    o​ vacations, week

    Вы отвeтили vacation, weeks — это правильный ответ!

    ​ 10. The height of this plant is four (inch).

    o​ inch

    o​ inchs

    o​ inches

    o​ inchez

    Вы отвeтили inches — это правильный ответ!

    Результаты прохождния теста
    Вы ответили правильно на 7 из 10 вопросов, что составляет 70% от общего количества.
    1. Have you a ball? Yes, I ________ .

    o​ do

    o​ am

    o​ have

    o​ ball

    Вы отвeтили do — это неправильный ответ, правильный ответ have.

    2. My room is very ________ .

    o​ green

    o​ deep

    o​ far

    o​ good

    Вы отвeтили good — это правильный ответ!

    3. ________ colour is my dress?

    o​ What

    o​ Where

    o​ Who

    o​ When

    Вы отвeтили What — это правильный ответ!

    4. Is your umbrella new or ________ ?

    o​ red

    o​ old

    o​ long

    o​ wide

    Вы отвeтили old — это правильный ответ!

    5. We are going to a party at the Shen’s house. ______ house is on Fifth Street.

    o​ Their

    o​ Theirs

    o​ This

    o​ Our

    Вы отвeтили This — это неправильный ответ, правильный ответ Their.

    6. Is ________ a zebra ora tiger?

    o​ that

    o​ these

    o​ this

    o​ their

    Вы отвeтили this — это правильный ответ!

    7. Have you many violets in your ________?

    o​ garden

    o​ school

    o​ store

    o​ office

    Вы отвeтили garden — это правильный ответ!

    8. What bird ________ this? It is an eagle.

    o​ at

    o​ is

    o​ do

    o​ on

    Вы отвeтили is — это правильный ответ!

    9. My pencils are ________ the box.

    o​ to

    o​ at

    o​ in

    o​ with

    Вы отвeтили at — это неправильный ответ, правильный ответ in.

    10. Jimmy can run very ________ .

    o​ tall

    o​ many

    o​ hard

    o​ fast

    Вы отвeтили fast — это правильный ответ!

    liketest.ru

    Тест по английскому языку для начинающих с ответами (тест на знание английского)

    Если вы когда-либо занимались английским языком, у вас обязательно должны остаться какие-либо остаточные знания. Иногда интерес к языку просыпается через несколько лет по окончанию школы или университета. Во многих случаях человек вынужден начать изучать язык, выйдя на работу, на которой необходимо общение с иностранцами. Перспективы отъезда за рубеж, как на работу, так и на обучения также становятся стимулом для изучения английского.

    Как себя оценить?

    Для того, чтобы найти для себя наиболее оптимальный курс обучения, необходимо пройти тест на уровень знания английского языка. Это вам сэкономит и время, и силы, а иногда и значительные средства. Наиболее популярным и эффективным считается лексико-грамматический тест со множественным выбором, в котором вопросы располагаются в порядке возрастания сложности.

    Предлагаем Вам пройти тест по английскому языку для начинающих

    В начальной части теста (первые 10 вопросов), определяется владеет ли испытуемый формами глагола be, простыми видовременными формами основных глаголов и модальными глаголами.

    Если человек ответит хотя бы на первые восемь вопросов из этих десяти, значит, он обладает элементарным уровнем лексико-грамматических навыков, и, немного повторив материал, он может взяться за упражнения подобного типа из раздела upper-elementary.

    Перешагнув уровень upper-elementary, можно взяться за следующие 10 вопросов теста. Итак, перед Вами тест по английскому языку для начинающих. Ваша цель получить 15 и более правильных ответов!

    Тест закончен, что дальше?

    Вот Вы и прошли тест на знание английского языка. Взгляните на результаты, и если Вы набрали более 15 баллов, переходите на новый уровень Pre-intermediate. Но имейте в виду, что для преодоления этого барьера необходимо серьезно заняться, так называемыми, четырьмя видами речевой деятельности:

    • Аудированием – прослушиванием текстов с различными степенями восприятия информации. Основные из них: 1) прослушивание с усвоением главной мысли; 2) прослушивание текста с целью определения специфической информации и 3) усвоение детальной информации прослушивании текста;
    • Чтением – выполнением тестов с теми же целями, только уже имея опорные речевые материалы в виде печатных текстов.
    • Письмом – научиться писать письма личного характера и сочинять высказывания с элементами личного рассуждения (проще говоря, писать эссе)
    • Говорением – что и является основной целью изучения английского языка.

     

    Все эти упражнения вы можете отрабатывать онлайн на нашем сайте Lim-English.com. Эффект от обучения по методике Олега Лиманского Вы почувствуете очень быстро и обязательно выполните тест на 20 баллов!

    Кстати, если Вы любите тесты, на нашем сайте Вы найдете большое количество тестов по английскому языку онлайн на самые разнообразные темы: грамматика, лексика, артикли, предлоги, тесты для учеников, студентов, ЕГЭ и многие другие.

    lim-english.com

    Тест на знание английского языка с ответами

    Тест на знание английского языка:
    Результаты прохождния теста

    1.​ 1. My father is _______ yours.

    o​ as strong

    o​ the best

    o​ stronger than

    o​ the better than

    Вы отвeтили stronger than — это правильный ответ!

    2.​ 2. ________? No, it’s my cousin Jack’s.

    o​ Is that Marys car?

    o​ Whose car is that?

    o​ That’s your car, is not?

    o​ Is that your car?

    Вы отвeтили Whose car is that? — это неправильный ответ, правильный ответ Is that your car?.

    3.​ 3. I bought ________ pair of pants and a shirt.

    o​ an

    o​ a

    o​ the

    o​ —

    Вы отвeтили a — это правильный ответ!

    4.​ 4. Jane ______ to the hospital to visit her cousin.

    o​ gone

    o​ goed

    o​ go

    o​ went

    Вы отвeтили go — это неправильный ответ, правильный ответ went.

    5.​ 5. We ______ with them just last night.

    o​ was

    o​ are

    o​ were

    o​ been

    Вы отвeтили were — это правильный ответ!

    6.​ 6. I saw _______ car crash last week.

    o​ an

    o​ a

    o​ the

    o​ —

    Вы отвeтили the — это неправильный ответ, правильный ответ a.

    7.​ 7. ______ medicine for your cold?

    o​ You taking

    o​ Are you taking

    o​ Do you take

    o​ Is you taking

    Вы отвeтили Are you taking — это правильный ответ!

    8.​ 8. There are ______ hotels in the desert.

    o​ not many

    o​ this

    o​ little

    o​ none

    Вы отвeтили none — это неправильный ответ, правильный ответ not many.

    9.​ 9. Do you brush your teeth after every meal?

    o​ No, I dont. I brush my teeth once a day.

    o​ I always brushing my teeth.

    o​ Yes, I brush the teeth after every meal.

    o​ Yes, I do.

    Вы отвeтили No, I dont. I brush my teeth once a day. — это неправильный ответ, правильный ответ Yes, I do..

    o​ 10. Are you the president of this company? No, ________

    o​ I are a secretary.

    o​ I am my employee.

    o​ I’m the secretary.

    o​ I’ve the vice-president.

    Вы отвeтили I’m the secretary. — это правильный ответ!

    Результаты прохождния теста
    Вы ответили правильно на 8 из 10 вопросов, что составляет 80% от общего количества.
    1.​ 1. ______ thinking about your brother?

    o​ What you were

    o​ Were you

    o​ You were

    o​ You was

    Вы отвeтили Were you — это правильный ответ!

    2.​ 2. Where were you yesterday? _________

    o​ I were with your sister at the movies.

    o​ I was with he and she.

    o​ I wasn’t in town.

    o​ I wasn’t to the office.

    Вы отвeтили I wasn’t in town. — это правильный ответ!

    3.​ 3. Which books are yours: these or those?

    o​ Those are my.

    o​ Mine books are these

    o​ They are mine

    o​ Those are my books, and these are yours.

    Вы отвeтили Those are my books, and these are yours. — это правильный ответ!

    4.​ 4. The glass ______ water is on the table.

    o​ to

    o​ of

    o​ a

    o​ with

    Вы отвeтили of — это правильный ответ!

    5.​ 5. We are going to a party at the Shen’s house. ______ house is on Fifth Street.

    o​ Their

    o​ Theirs

    o​ This

    o​ Our

    Вы отвeтили This — это неправильный ответ, правильный ответ Their.

    6.​ 6. Melissa is really a snob: she walked right ______ me without even saying hello.

    o​ from

    o​ across

    o​ by

    o​ of

    Вы отвeтили by — это правильный ответ!

    7.​ 7. How was the movie last night? _________

    o​ The movie was very long and very boring.

    o​ Was fantastic.

    o​ It was better then his first movie.

    o​ The movie was science fiction kind.

    Вы отвeтили The movie was very long and very boring. — это правильный ответ!

    8.​ 8. Paul, you can have ice cream ______ you eat your dinner.

    o​ before

    o​ after

    o​ until

    o​ since

    Вы отвeтили after — это правильный ответ!

    9.​ 9. Once upon a time, ______ three bears who lived in a forest in a little red house near a brook.

    o​ were

    o​ was

    o​ was there

    o​ there were

    Вы отвeтили there were — это правильный ответ!

    10.​ 10. ______ you like? I like grapes and figs.

    o​ What kind of fruit

    o​ How many fruit do

    o​ Types of fruit do

    o​ What type of fruit do

    Вы отвeтили What kind of fruit — это неправильный ответ, правильный ответ What type of fruit do.

    Результаты прохождния теста
    Вы ответили правильно на 10 из 10 вопросов, что составляет 100% от общего количества.
    1.​ 1. ________ the answer? Yes, the answer is twenty eight.

    o​ Do you know

    o​ Are you knowing

    o​ You know

    o​ Know you

    Вы отвeтили Do you know — это правильный ответ!

    2.​ 2. 1 + 1 = 2.

    o​ one plus one, two

    o​ one plus one is two

    o​ one and one am two

    o​ one more one is two

    Вы отвeтили one plus one is two — это правильный ответ!

    3.​ 3. ______ your new job?

    o​ Like

    o​ Do you like

    o​ Like you

    o​ You like

    Вы отвeтили Do you like — это правильный ответ!

    4.​ 4. Do you ever talk to _______ ?

    o​ myself

    o​ itself

    o​ herself

    o​ yourself

    Вы отвeтили yourself — это правильный ответ!

    5.​ 5. _______ ? I’m going to work.

    o​ Where are you going?

    o​ Why are you going?

    o​ What are you going?

    o​ Where you going?

    Вы отвeтили Where are you going? — это правильный ответ!

    6.​ 6. Anna told me a very _______ story.

    o​ interest

    o​ interests

    o​ interested

    o​ interesting

    Вы отвeтили interesting — это правильный ответ!

    7.​ 7. Can she speak a foreign language? ________ .

    o​ Yes, she can speaks English

    o​ Yes, she can. She speaks English very well.

    o​ Yes, she cans.

    o​ She can speak the English.

    Вы отвeтили Yes, she can. She speaks English very well. — это правильный ответ!

    8.​ 8. Have you _______ been to Asia? No, I haven’t.

    o​ ever

    o​ always

    o​ still

    o​ much

    Вы отвeтили ever — это правильный ответ!

    9.​ 9. I don’t think _______ can run faster than Usain Bolt.

    o​ everyone

    o​ no one

    o​ one

    o​ anyone

    Вы отвeтили anyone — это правильный ответ!

    10.​ 10. Isn’t there anything better than this on TV? I’m sorry, _______

    o​ there is anything better than this

    o​ they isn’t

    o​ this is the better show.

    o​ there’s nothing better.

    Вы отвeтили there’s nothing better. — это правильный ответ!

    testdoc.ru

    Тест по английскому языку для начинающих онлайн

    Тесты по английскому для начинающих, специально созданы, для лучшего визуального восприятия своих достижений. Когда вы проходите с легкостью этот тест, вы понимаете, что идете по верному пути изучения языка, если тест принесет вам определенные трудности, не стоит расстраиваться, нужно просто уделить больше внимания определенным темам.

    После прохождения определенного материала, обязательно пройдите онлайн тесты по английскому для начинающих. Это отличный помощник в изучении иностранного языка.

    Онлайн тест по английскому языку для начинающих

    Вопрос 1 из 20

    Продолжить

    Чтобы продолжить тест, выберите один из вариантов ответа.

    Вы ответили правильно на
    18 вопросов из 20

    Ваш результат:

    Упс!… Два балла((( Скорее начинайте учить английский язык с онлайн самоучителем Lim English. С ним Вы гарантированно получите результат.

    “Удовлетоворительно”. Начинайте учить английский язык с онлайн самоучителем Lim English по уникальной методике Олега Лиманского. Результат не заставит себя ждать!

    “Хорошо” Поздравляем! Вы не плохо владеете английским языком в рамках выбранного уровня. Начинайте учить английский язык с онлайн самоучителем Lim-English по уникальной методике Олега Лиманского. С ним Вы гарантированно улучшите свои знания.

    Поздравляем! Это отличный результат. Вы прекрасно владеете английским языком в рамках выбранного уровня. У Вас появилась отличная возможность поднять свой уровень с онлайн самоучителем Lim-English. Вы получите ежедневную практику.

    Превосходный результат! Вы отлично владеете английским языком в рамках выбранного уровня. Нет предела совершенству, используйте онлайн самоучитель Lim-English — это отличный способ всегда быть в форме. Проверьте свои силы на наших курсах для продвинутых.

    Неправильные ответы:

    Вопрос № {1}
    Ваш ответ: {2}
    Правильный ответ: {3}

    lim-english.com

    Sin a 4 5 – sinA =4/5 , then sin2A = ?

    Ответы@Mail.Ru: Если cos a = 4/5, то sin a

    корень квадратный 1 минус cos в квадрате а

    cos2a+sin2a=1 sin2a=1-cos2a sina=квадратный корень из (1-cos2a) Всё, подставляй…. )

    sin a в квадрате+cos a в квадрате =1, отсюда sin a = квадратный корень из (1- cos a в квадрате) , т. е. sina=квадр. корень из (1-16/25)=квадр. корень из 9/25=3/5

    оператор ответил уже

    Нужно научится вычислять значения всех других тригонометрических функций, зная значение одной из них. Знаешь, как проще всего это делать, причем можно не знать вообще никаких тригонометрических формул? Рисуй прямоугольный треугольник и ставь величину сторон, соответствующую заданной тригонометрической функции. В твоем случае гипотенуза равна 5, ПРИЛЕЖАЩИЙ катет равен 4 (потому что косинус острого угла прямоугольного треугольника ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе! ) . Находи ПРОТИВОЛЕЖАЩИЙ катет по теореме Пифагора sqrt(5^2-4^2)=sqrt(25-16)=sqrt(9)=3. А синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе — значит 3/5! И сразу видны из треугольника значения тангенса 3/4, котангенса 4/3, секанса 5/4, косеканса 5/3 — все что твоей душеньке угодно! А если синус дан, рисуешь прямоугольный треугольник с гипотенузой знаменателя, и противолежащим катетом числителя, считаешь по теореме Пифагора прилежащий катет, и снова все тригонометрические функции перед тобой! А в случае тангенса — знаменатель на прилежащий катет, числитель на противолежащий, считаешь по теореме Пифагора гипотенузу, и так далее! А если знаменателя нет (в случае тангенса, котангенса, секанса, косеканса) , то просто принимаешь знаменатель равным ЕДИНИЦЕ и делаешь то же самое! Запомни этот метод, работает БЕЗОТКАЗНО, и не надо помнить вообще никаких тригонометрических соотношений, нужно знать ТОЛЬКО ОПРЕДЕЛЕНИЯ!

    touch.otvet.mail.ru

    найти cos a если sin a= -4/5 a меньше 3Pi/2 больше 2Pi найти cos a если sin a= -4/5 a меньше 3Pi/2 больше 2Pi

    sin a= -4/5 а- в третьей или четвертой четверти. соs a= ±3/5 далее используй сведения про а. я не могу, ибо «a меньше 3Pi/2 больше 2Pi»— нонсенс)))) если имелось в виду наоборот: «a БОЛЬШЕ 3Pi/2 МЕНЬШЕ 2Pi», то это 4 четверть. косинус положителен. соs a= 3/5

    идиыктукткткцыт

    sin a= -4/5 а- в третьей или четвертой четверти. соs a= ±3/5 далее используй сведения про а. я не могу, ибо «a меньше 3Pi/2 больше 2Pi»— нонсенс)))) если имелось в виду наоборот: «a БОЛЬШЕ 3Pi/2 МЕНЬШЕ 2Pi», то это 4 четверть. косинус положителен. соs a= 3/5

    sin^2 a+cos^2 a=1 cos^2 a=1-sin^2 a cos a=+√(1-sin^2 a) cos a=3/5

    sin^2 a+cos^2 a=1 cos^2 a=1-sin^2 a cos a=+√(1-sin^2 a) cos a=3/5 попробуй еще так sin a= -4/5 а- в третьей или четвертой четверти. соs a= ±3/5 далее используй сведения про а. я не могу, ибо «a меньше 3Pi/2 больше 2Pi»— нонсенс)))) если имелось в виду наоборот: «a БОЛЬШЕ 3Pi/2 МЕНЬШЕ 2Pi», то это 4 четверть. косинус положителен. соs a= 3/5 или такsin a= -4/5 а- в третьей или четвертой четверти. соs a= ±3/5 далее используй сведения про а. я не могу, ибо «a меньше 3Pi/2 больше 2Pi»— нонсенс)))) если имелось в виду наоборот: «a БОЛЬШЕ 3Pi/2 МЕНЬШЕ 2Pi», то это 4 четверть. косинус положителен. соs a= 3/5

    3/5, потому что 4 четверть. Или 0,6. ПО формуле sin^2+cos^2=1.

    sin a= -4/5 а- в третьей или четвертой четверти. соs a= ±3/5 далее используй сведения про а. я не могу, ибо «a меньше 3Pi/2 больше 2Pi»— нонсенс)))) если имелось в виду наоборот: «a БОЛЬШЕ 3Pi/2 МЕНЬШЕ 2Pi», то это 4 четверть. косинус положителен. соs a= 3/5

    <a rel=»nofollow» href=»http://www.youtube.com/channel/UCxtisrSSo6QknuKk8HbiXHA» target=»_blank»>http://www.youtube.com/channel/UCxtisrSSo6QknuKk8HbiXHA</a> подпишись на канал пж

    я 4 класс, я не знаю

    sin a= -4/5 а- в третьей или четвертой четверти. соs a= ±3/5 далее используй сведения про а. я не могу, ибо «a меньше 3Pi/2 больше 2Pi»— нонсенс)))) если имелось в виду наоборот: «a БОЛЬШЕ 3Pi/2 МЕНЬШЕ 2Pi», то это 4 четверть. косинус положителен. соs a= 3/5

    sin 3pi/10 cos pi/5 cos 3pi/10 sin pi/5 = sin 3pi/10 cos 3pi/10 cos pi/5 sin pi/5 = = 1/2 sin 2(3pi/10) 1/2 sin 2pi/5 = 1/4 sin 3pi/5 sin 2pi/5 = =1/4 * 1/2 (cos(3pi/5 — 2pi/5) — cos(3pi/5 + 2pi/5) ) = 1/8 (cos pi/5 — cos pi ) = = 1/8 (cos pi/5 — 1 )

    вместо пи поставь 180

    -3/5 (3 координатная четверть)

    sin^2 a+cos^2 a=1 cos^2 a=1-sin^2 a cos a=+√(1-sin^2 a) cos a=3/5 попробуй еще так sin a= -4/5

    гммм я знаю ответ ответ (не устал писать)?!?!

    touch.otvet.mail.ru

    Mathway | Популярные задачи

    1 Найти точное значение sin(30)
    2 Найти точное значение sin(45)
    3 Найти точное значение sin(60)
    4 Найти точное значение sin(30 град. )
    5 Найти точное значение sin(60 град. )
    6 Найти точное значение tan(30 град. )
    7 Найти точное значение arcsin(-1)
    8 Найти точное значение sin(pi/6)
    9 Найти точное значение cos(pi/4)
    10 Найти точное значение sin(45 град. )
    11 Найти точное значение sin(pi/3)
    12 Найти точное значение arctan(-1)
    13 Найти точное значение cos(45 град. )
    14 Найти точное значение cos(30 град. )
    15 Найти точное значение tan(60)
    16 Найти точное значение csc(45 град. )
    17 Найти точное значение tan(60 град. )
    18 Найти точное значение sec(30 град. )
    19 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    20 График y=sin(x)
    21 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    22 Найти точное значение cos(60 град. )
    23 Найти точное значение cos(150)
    24 Найти точное значение tan(45)
    25 Найти точное значение sin(30)
    26 Найти точное значение sin(60)
    27 Найти точное значение cos(pi/2)
    28 Найти точное значение tan(45 град. )
    29 График y=sin(x)
    30 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
    31 Найти точное значение csc(60 град. )
    32 Найти точное значение sec(45 град. )
    33 Найти точное значение csc(30 град. )
    34 Найти точное значение sin(0)
    35 Найти точное значение sin(120)
    36 Найти точное значение cos(90)
    37 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
    38 Найти точное значение sin(45)
    39 Найти точное значение tan(30)
    40 Преобразовать из градусов в радианы 45
    41 Найти точное значение tan(60)
    42 Упростить квадратный корень x^2
    43 Найти точное значение cos(45)
    44 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
    45 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
    46 Найти точное значение cot(30 град. )
    47 Найти точное значение arccos(-1)
    48 Найти точное значение arctan(0)
    49 График y=cos(x)
    50 Найти точное значение cot(60 град. )
    51 Преобразовать из градусов в радианы 30
    52 Упростить ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2
    53 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
    54 Найти точное значение sin((5pi)/3)
    55 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
    56 Найти точное значение sin((3pi)/4)
    57 Найти точное значение tan(pi/2)
    58 Найти угол А tri{}{90}{}{}{}{}
    59 Найти точное значение sin(300)
    60 Найти точное значение cos(30)
    61 Найти точное значение cos(60)
    62 Найти точное значение cos(0)
    63 Найти точное значение arctan( квадратный корень 3)
    64 Найти точное значение cos(135)
    65 Найти точное значение cos((5pi)/3)
    66 Найти точное значение cos(210)
    67 Найти точное значение sec(60 град. )
    68 Найти точное значение sin(300 град. )
    69 Преобразовать из градусов в радианы 135
    70 Преобразовать из градусов в радианы 150
    71 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
    72 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
    73 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
    74 Преобразовать из градусов в радианы 60
    75 Найти точное значение sin(135 град. )
    76 Найти точное значение sin(150)
    77 Найти точное значение sin(240 град. )
    78 Найти точное значение cot(45 град. )
    79 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
    80 Упростить 1/( кубический корень от x^8)
    81 Найти точное значение sin(225)
    82 Найти точное значение sin(240)
    83 Найти точное значение cos(150 град. )
    84 Найти точное значение tan(45)
    85 Вычислить sin(30 град. )
    86 Найти точное значение sec(0)
    87 Упростить arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
    88 Найти точное значение cos((5pi)/6)
    89 Найти точное значение csc(30)
    90 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
    91 Найти точное значение tan((5pi)/3)
    92 Найти точное значение tan(0)
    93 Вычислить sin(60 град. )
    94 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
    95 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
    96 Вычислить arcsin(-1)
    97 Найти точное значение sin((7pi)/4)
    98 Найти точное значение arcsin(-1/2)
    99 Найти точное значение sin((4pi)/3)
    100 Найти точное значение csc(45)

    www.mathway.com

    Тригонометрия зачем нужна – Тригонометрия в жизни — Тригонометрия

    Тригонометрия в нашей жизни

    Тригонометрия в нашей жизни

    Суворова А.А. 1

    1МОУ Кременкульская СОШ

    Грязнова Т.А. 1

    1МОУ Кременкульская СОШ

    Текст работы размещён без изображений и формул.
    Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

    Введение

    Актуальность:

    Данная тема является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки, а также тесно связана с деятельностью человека. Имеет теоретическую и практическую значимость.

    Объект исследования: Тригонометрия.

    Предмет исследования: Графики тригонометрической функции – синусоида и косинусоида.

    Цель:

    Узнать о способах применения графиков тригонометрических функции в жизни человека.

    Задачи:

    Изучить теорию.

    Составить историческую справку о графиках тригонометрических функций.

    Описать применении графиков тригонометрических функций в окружающем нас мире и различных отраслях.

    Вывести свой биоритм жизни.

    Изготовить демонстрационную модель движения графика синуса.

    Методы:

    Теоретический.

    Материальное моделирование.

    Аналитический.

    Гипотеза:

    Графики тригонометрических функций широко применяются человеком, начиная с древности, и заканчивая настоящим временем.

    Теоретическая часть

    Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы.

    Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации, например, компьютерной томографии и ультразвук, в химии (Приложение 1, рис.1), в сейсмологии (Приложение 1, рис.2), в метеорологии, в океанографии (Приложение 1, рис.3), в архитектуре (Приложение 1, рис.4), в экономике, в компьютерной графике, в кристаллографии (Приложение 1, рис.5) и многих других областях.

    Часто с синусами и косинусами приходится сталкиваться геодезистам. Они имеют специальные инструменты для точного измерения углов. При помощи синусов и косинусов углы можно превратить в длины или координаты точек на земной поверхности.

    История возникновения

    Зачатки тригонометрии можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая (Приложение 2, рис.1) . 56-я задача из папируса Ринда (II тысячелетие до н. э.) предлагает найти наклон пирамиды, высота которой равна 250 локтей, а длина стороны основания — 360 локтей.

    Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй во время квадратуры (Приложение 2, рис. 2). Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения sin угла 3. По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла.

      Несколько десятилетий спустя  Клавдий Птоломей  в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике. Среди прочего, описана стереографическая проекция, исследованы несколько практических задач, например: определить высоту и азимут небесного светила по его склонению и часовому углу. С точки зрения тригонометрии, это значит, что надо найти сторону сферического треугольника по другим двум сторонам и противолежащему углу.

    В общем, можно сказать, что тригонометрия использовалась для:

    ·         точного определения времени суток; (Приложение 2, рис. 3)

    ·         вычисления будущего расположения небесных светил, моментов их восхода и заката, затмений Солнца и Луны;

    ·         нахождения географических координат текущего места;

    ·         вычисления расстояния между городами с известными географическими координатами.

    Гномон— древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (стела, колонна, шест), позволяющий по наименьшей длине его тени (в полдень)

    определить угловую высоту солнца. Так, под котангенсом понималась длина тени от вертикального гномонавысотой 12 (иногда 7) единиц; первоначально эти понятия использовались для расчёта солнечных часов. Тангенсом называлась тень от горизонтального гномона. Косекансом и секансом назывались гипотенузы соответствующих прямоугольных треугольников (отрезки AO на рисунке слева)

    Тригонометри́ческие фу́нкции (Приложение 2, рис. 5)  — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

    Синус и косинус относятся к прямым тригонометрическим функциям.

    Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с тетивой). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с санскрита, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» (جيب‎). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus — «синус», имеющим то же значение (следует отметить, что именно в этом значении оно применяется как анатомический термин синус). Термин «косинус» (лат. Cosinus) — это сокращение от лат. Complementi sinus — дополнительный синус.

    Первый график синусоиды (Приложение 2, рис. 6)  появился в книге Альбрехта Дюрера (Приложение 2, рис. 4)  «Руководство к измерению циркулем и линейкой» (нем. Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, 1525 год). В 1630-х годах, Жиль Роберваль (Приложение 2, рис. 7), в ходе своих исследований циклоиды, независимо вычертил  синусоиду, он же опубликовал формулу тангенса двойного угла. Джон Валлис (Приложение 2, рис. 8)  в своей «Механике» (1670), опередив своё время, правильно указал знаки синуса во всех квадрантах и указал, что у синусоиды бесконечно много «оборотов». График тангенса для первого квадранта впервые начертил Джеймс Грегори (1668) (Приложение 2, рис. 9).

    В настоящее время график синуса можно встретить в следующих моментах нашей жизни.

    Архитектура

    Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений

    рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

    Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой.

    Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (то же самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения 

    Ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу.

    Медицина и биология.

    Модель биоритмов (Приложение 2, рис.11), которые в свою очередь подразумевают цикличность процессов в живом организме можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

    Формула сердца. В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.

    Формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров, деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

    Также тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

    Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея «измерения углов» не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории вновь позабыли.

    Движение рыб в воде и полёт птиц (Приложение 2, рис. 10) происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

    Измерительные работы

    Тригонометрией пользуются при измерение расстояния между точек на местности. Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта «дерево». На местности можно выбрать точку  B   и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, например с помощью астролябии, углы A и B. Эти данные, т.е. c, a и b   позволяют решить треугольник  АВС и найти искомое расстояние d = AC.   Сначала находим угол С sinC: С=180-а-b, sinC=sin(180-a-b)=sin(a+b). Затем с помощью теоремы синусов находим d.

    Практическая часть

    Изготовление демонстрационной модели движения графика синуса.

    Для изготовления данной модели мне потребовалось:

    Фанера.

    Силовые кнопки.

    Шляпная резинка.

    Гуашь.

    Мебельный лак.

    Изготовление модели мы начали с того, что:

    Вырезали фанеру по нужному размеру.

    Нанесли на неё разметку в виде графика синуса и косинуса на координатной плоскости.

    Панель покрыли мебельным лаком.

    По контуру синусоиды разместили силовые кнопки.

    По силовым кнопкам протянули шляпную резинку с обозначением начальной точки.

    Испытали модель в действии.

    Заключение.

    Описание аналитической части.

    Изучив графики тригонометрических функций – синусоиду и косинусоиду, можно сделать вывод, что тригонометрия тесно связана с жизнью человека и его деятельностью, начиная с древности, и заканчивая настоящим временем.

    Исследовав аналитический материал, мы выяснили, что тригонометрия присутствует во многих областях науки.

    Дали строгие определения тригонометрии и тригонометрическим функциям.

    Определили сферы применения синусоиды и косинусоиды, а также подтвердили значимость математики в окружающем нас мире. В ходе практического исследования применили полученные знания..

    Вывод.

    Мы убедились, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась и графики тригонометрических функций – синусоида и косинусоида действительно являются яркими представительницами в окружающем нас мире, а не только линиями в тетради. Они являются замечательными кривыми, которые практически всегда рядом с нами.

    Хочется, чтобы данное исследование оказалось не только интересным, но и полезным. А демонстрационная модель будет служить наглядностью на уроках математики при изучении этих функций. Имеет метапредметную связь с другими областями науки.

    Источники

    https://ru.wikipedia.org/wiki

    https://ru.wikipedia.org/wiki

    http://www.math34.ru

    Приложение 1.

     

    Рис.1рисрисирис. 2

    Рис. 1

    Рис. 2

    Рис. 3

    Рис. 4

    Рис. 5

    Приложение 2

    Рис. 2

    Рис. 1

    Рис. 1

    Рис. 3

    Рис. 4

    Рис. 5

    Рис. 6

    Рис. 7

    Рис. 8

    Рис. 9

    Рис. 10

    Рис.1рисрисирис. 1

    Рис.1рисрисирис. 3

    Рис. 11

    Просмотров работы: 900

    school-science.ru

    Когда не нужна тригонометрия / Habr

    Просматривая различный код по выводу на экран какой-нибудь даже примитивной графики, я заметил чрезмерную любовь некоторых программистов к тригонометрии. Часто код пестрит синусами, косинусами и арктангенсами там, где без них можно обойтись. Этим грешат даже хорошие программисты, которые способны спроектировать сложную систему, но почему-то не освоили вектора в объёме школьной программы. Буквально азов векторной алгебры хватает для решения многих насущных проблем. В этом топике я хочу провести краткий ликбез, напомнить основные действия с векторами на плоскости и в качестве примера решить две задачи без тригонометрии: поиск отражённого луча по падающему лучу и произвольно расположенному зеркалу, а также рисование наконечника стрелки. Если вы можете представить в голове рисование произвольно направленной стрелки без синусов и косинусов, смело пропускайте этот топик. Для остальных постараюсь объяснять попроще.

    Теория
    Итак, вектором (рассматриваем только двумерный случай) называется пара чисел:

    Геометрический смысл — это отрезок на плоскости, для которого важна длина и направление, но не важно положение. То есть параллельный перенос не меняет вектора. Часто полезно отождествлять вектор с точкой (x,y) на плоскости — это всё равно что провести вектор из точки (0,0) в точку (x,y). Рассмотрим основные операции.
    Сложение векторов:

    Геометрический смысл изображён на картинке — мы перемещаем второй вектор, чтобы его начало совпало с концом первого, и результатом считаем вектор от начала первого до конца второго:

    Умножение вектора на скаляр (число):

    Геометрический смысл — удлинение вектора в соответствующее число раз, не меняя направление (разве что на противоположное, если a отрицательно). Умножение на -1 перевернёт вектор на 180°, не меняя длину. Деление вектора на число a — это умножение на 1/a.
    Скалярное произведение векторов:

    Очень важная штука. Перемножая два вектора, мы получаем число, которое характеризует длину проекции одного на другой. Перемножив два вектора, по знаку мы можем определить, направлены ли вектора в одну сторону (скалярное произведение положительно), направлены противоположно (скалярное произведение отрицательно) или перпендикулярны друг другу (произведение равно нулю). Не нужно для этого вычислять арктангенсы отношений координат каждого вектора и сравнивать углы. Два умножения, одно сложение и дело в шляпе.
    Также важно, что скалярное произведение вектора самого на себя — это квадрат его длины (следствие теоремы Пифагора):

    Вектор называют нормированным или единичным, если его длина равна единице. Нормировать произвольный ненулевой вектор — это поделить его на длину. Получится единичный вектор, сонаправленный исходному.
    Скалярное произведение произвольного вектора на единичный даст точную длину проекции этого вектора на направление единичного. Чтобы получить не просто длину, а сам вектор-проекцию, надо умножить эту длину на наш единичный вектор:

    В скобках скалярное произведение векторов a и e, а затем умножение вектора e на скаляр.
    Что делать, если нам нужна проекция на ненормированный вектор? Чтобы нормировать, надо извлечь корень, а это долго и грустно. Однако, если мы приглядимся к формуле, то поймём, что нам нужно поделить результат на квадрат длины, то есть просто на скалярное произведение вектора на себя. То есть проекция a на произвольный ненулевой b будет вычисляться так:

    Скалярное произведение двух единичных векторов — это косинус угла между ними. Если вдруг вам всё-таки потребовался угол между направлениями, проверьте, может, вам вовсе не угол нужен, а его косинус (или синус, который в ряде случаев можно получить из основного тригонометрического тождества). Тогда вам не потребуется ковыряться с арктангенсами.
    Вот, собственно, вся базовая теория. Теперь попробуем её применить.
    Вычисление отражённого луча
    Отражённый луч может пригодиться не только для оптических задач, а ещё, скажем, при моделировании упругого столкновения объекта со стенкой, что незаменимо при программировании анимированных красивостей. Тогда вектор скорости объекта изменится как раз по закону отражения. Итак, у нас есть падающий вектор l и некоторая произвольная прямая, от которой производится отражение. Прямая может быть задана, к примеру, двумя точками. Требуется определить отражённый вектор r той же длины, что и l:

    Зная, что угол падения равен углу отражения, можно придумать какой-то такой наивный алгоритм:
    • Посчитать разность координат точек прямой, взять арктангенс их отношения — получим наклон прямой к оси x.
    • Аналогично определить наклон падающего луча к оси x.
    • Посчитать разность этих углов, вычесть её из 90° — получим угол падения.
    • Добавить угол падения дважды и ещё 180° к углу наклона падающего луча — получим угол наклона отражённого луча.
    • Вычислить длину падающего луча и умножить на синус и косинус угла наклона отражённого луча — получим результирующий вектор.
    Итого: два арктангенса, синус, косинус и квадратный корень.
    Однако если мыслить векторами, то простое геометрическое построение даёт существенно более быстрое решение:

    Две проекции вектора l на нормаль со знаком минус да плюс ещё один вектор l в точности дадут нам результат:

    Делить не надо, если нормаль уже нормирована. Кстати, я не рассказал, как её определить. Если прямая задана двумя точками (x1,y1) и (x2,y2), то вектор нормали (ненормированый) легко определяется вот так:

    Иногда важен знак нормали, чтобы знать, какая сторона прямой «внешняя». В нашей задаче это неважно, вы в этом легко можете убедиться.
    Кстати, полученная формула отражённого луча действует и в трёхмерном варианте, только нормаль надо определять уже для плоскости.
    Рисование стрелки
    Пусть заданы концы стрелки (x1,y1) и (x2,y2). Надо нарисовать усики фиксированного размера на конце (x2,y2). Посмотрим рисунок:

    Здесь точка (x2,y2) обозначена буквой P. Необходимо вычислить координаты точек A и B, чтобы провести отрезки PA и PB. Будем считать, что нам задана продольная и поперечная длины усиков h и w. Внимательный читатель уже может сам предложить алгоритм: чтобы найти точку O, надо вычесть из P h, умноженное на единичный вектор вдоль стрелки (тут, похоже, без корня не обойтись, но он нужен всего один раз!). А затем A и B уже определяются, добавляя к O вектор нормали, домноженный на w и −w. Заметьте, что мы нигде не определяли угол раствора стрелки (вообще это арктангенс отношения w и h), но он нам и не нужен: стрелка легко рисуется и так.
    Заключение
    В целом тригонометрия пригождается не так часто. Без тригонометрических функций вычисляется преломлённый луч по закону Снеллиуса. Если вам нужно повернуть сложный чертёж на определённый угол, вам потребуется только синус и косинус этого самого угла. Из них составляется матрица вращения, и на неё домножаются по очереди все точки. Тригонометрия на самом деле медленная, особенно когда её много. Поэтому не используйте её там, где она не нужна.

    habr.com

    Связь тригонометрии с реальной жизнью

    «Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека»

    Обоснование актуальности проекта.

    Тригонометрия — это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. 
    Слово тригонометрия впервые появляется в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса. 
    Тригонометрия – слово греческое, и в буквальном переводе означает измерение треугольников ( trigonan – треугольник, metreo — измеряю).
    Возникновение тригонометрии было тесно связано с землемерием, астрономией и строительным делом.…

    Школьник в 14-15 лет не всегда знает, куда пойдет учиться и где будет работать.
    Для некоторых профессий ее знание необходимо, т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии,  используются и в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

    1. Определение  предмета исследования

     Почему знания тригонометрии необходимы для современного человека?

        3.  Цели проекта.

    Связь тригонометрии с реальной жизнью.

    1. Проблемный вопрос
      1. Какие понятия тригонометрии чаще всего используются в реальной жизни?
      2. Какую роль играет тригонометрия в астрономии, физике, биологии и медицине?
      3. Как связаны архитектура, музыка и тригонометрия?

    2. Гипотеза

    Большинство  физических явлений природы, физиологический процессов, закономерностей в музыке и искусстве можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.

    1. Проверка  гипотезы

          Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия) – микрораздел математики , в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций.

    Зачатки тригонометрических познаний зародились в древности. На раннем этапе тригонометрия развивалась в тесной связи с астрономией и являлась ее вспомогательным разделом.

    История тригонометрии:

    Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад.

    Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.

    Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом и Птолемеем.

    Древние люди вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море.

    Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.

    Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi  стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.

          В XVII – XIX вв. тригонометрия становится одной из глав математического  анализа.

    Она находит большое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении  колебательных движений и других периодических процессов.

    Жан Фурье доказал, что всякое периодическое  движение может быть  представлено (с любой степенью точности) в виде суммы простых гармонических колебаний.

    Стадии развития тригонометрии:

    • Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов.

    • Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением  специально построенных отрезков прямых. Результат — возможность решать плоские треугольники.

    • Необходимость табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

    • Тригонометрические функции превращались в самостоятельные объекты исследований.

    • В XVIII в. тригонометрические функции были включены

       в систему математического анализа.

    Где применяется тригонометрия

    Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

    Тригонометрия в астрономии:

      Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

     Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

    Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)

    Достижения Виета в тригонометрии
    Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
    Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

    Тригонометрия в физике:

    В окружающем нас мире приходится сталкиваться  с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

    Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

    Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний,              — полная фаза колебаний, r  — начальная фаза колебаний.

    Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

     Механические колебания .   Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

    Тригонометрия в природе. 

    Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?». Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное  сияние?», «Что такое оптические иллюзии?» ,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».

    Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях. 

    Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

         Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

    Многофункциональная тригонометрия

    • Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

    • К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

    • Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца — комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

    Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.

    • Одно из фундаментальных свойств живой природы — это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

    • Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

    • Основной земной ритм – суточный.

    • Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

    Тригонометрия в биологии

    Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

    • Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца — комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

    • Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

            Связь биоритмов с тригонометрией

    •        Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.  Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза   

    Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

    При полёте  птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

    Возникновение музыкальной гармонии

    • Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

    • Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

    • диатоническая гамма  2:3:5

    Тригонометрия в архитектуре

    • Детская школа Гауди в Барселоне

    • Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

    • Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

    1. Интерпретация

    Мы привели лишь малую часть того, где можно встретить тригонометрические функции.. Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

    Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, медицине. Можно приводить бесконечно много примеров периодических процессов живой и неживой природы. Все периодические процессы можно описать с помощью тригонометрических функций и изобразить на графиках

    Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы,

    в которых она играет важную роль, будут расширяться.

    Заключение

    • Выяснили,   что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

    • Доказали, что  тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, астрономии и медицине.

    • Думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она  играет важную роль, будут расширяться.

    videouroki.net

    Тригонометрия и ее практическое применение




    Математическая работа
    «Тригонометрия и ее практическое применение »

    Выполнила:

    студентка 2 курса

    группы КД-207

    Суворова Елена Викторовна
    Руководитель:

    преподаватель математики

    Орлова Галина Николаевна

    2014

    Содержание


    Введение 3

    История тригонометрии 5

    Синус, косинус, тангенс, котангенс 5

    Архитектура 6

    Биология. Медицина 7

    Определение расстояния до недоступной точки 8

    Задачи 9

    Заключение 11



    Введение 3

    История тригонометрии 5

    Синус, косинус, тангенс, котангенс 5

    Архитектура 6

    Биология. Медицина 7

    Определение расстояния до недоступной точки 8

    Задачи 9

    Заключение 11


    Введение

    Тригонометрия-одна из самых древних и интересных наук, занимающаяся изучением геометрических фигур. Наш мир невозможно представить без их существования . Эта наука имеет огромный запас различных теорем, которые постоянно применятся как при решение математических задач, так и в жизни.

    Многие задаются вопросами: зачем нужна тригонометрия? Как она используется в нашем мире? С чем может быть связана тригонометрия? И вот ответы на эти вопросы. Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия, в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации ,например, компьютерной томографии и ультразвук, в аптеках, в химии, в теории чисел, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

    Цель: уметь доказывать теоремы косинусов и синусов, применять их в решение задач, выбирать правильный ход решения при их использовании, знать, где данные теоремы применяются в жизни, рассмотреть задачи с практическим содержанием.


    История тригонометрии


    Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса. Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников ( “ trigonan” – треугольник, “ metreo”- измеряю). Возникновение тригонометрии связано с землемерием, астрономией и строительным делом. Наибольший стимул для развития тригонометрии возник в связи с решением задач астрономии ( для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т.д.) Начиная с 17 в. Тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т.д.



    Синус, косинус, тангенс, котангенс


    Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе .

    Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к прилежащему катету.

    Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.


    Архитектура


    Широко используется тригонометрия в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

    Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения

    Ситуация меняется , так как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаи, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу

    Биология. Медицина


    Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

    Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов. Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Строго говоря, идея «измерения углов» не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории вновь позабыли.


    Определение расстояния до недоступной точки


    Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник А1В1С1, у которого и измеряем длины сторон А1В1 и АС1 этого треугольника. Так как треугольник АВС пропорционален треугольнику А1В1С1, то По известным расстояниям АС, А1С1 и А1В1 находим расстояние АВ. Для упрощения вычислений удобно построить треугольник А1В1С1 так, чтобы А1С1:АС=1:1000. Например, если АС=130м, то расстояние А1С1 возьмём равным 130 мм. В этом случае

    поэтому, измерив расстояние А1В1 в миллиметрах, мы сразу получаем расстояние АВ в метрах. ПРИМЕР. Пусть Строим треугольник А1В1С1 так, чтобы Измеряем отрезок А1В1. Он равен 153 мм, поэтому искомое расстояние равно 153 м.


    Задачи


    Задача №1

    Катер пересекает реку. Скорость течения v1, скорость катера относительно воды v2. Под каким углом α к берегу должен идти катер, чтобы пересечь реку за минимальное время; по кратчайшему пути?

    Дано:

    v1


    v2

    Решение:


    Катер пересечет реку за минимальное время по кратчайшему пути, если его скорость относительно берегов будет перпендикулярна берегу. Из рисунка видно, что

    Ответ:

    Задача №2

    Как изменяется длина вашей тени, если вы идете по направлению к фонарному столбу?

    Ответ: тень уменьшается

    Задача № 3

    Вычислить высоту вертикального предмета, основание которого недоступно

    Решение. Допустим, что можно выбрать горизонтальный базис AВ = b, из концов которого видна вершина S измеряемой высоты. Пусть h — высота угломерного инструмента. Измерив углы α и β треугольника Sнайдём (по теореме синусов):

    , откуда

    и, наконец ,


    Заключение


    В ходе исследования выяснено, что изучать тригонометрию интересно и полезно, так как тригонометрия в жизни нам встречается часто.

    Решение задач на вычисление способствует развитию конструктивного мышления, аналитического и логического мышления — что необходимо в современной жизни.

    Установлено, что систематическая работа по формированию навыков решения задач по геометрии с применением тригонометрии способствует развитию общего интеллектуального развития учащихся, их творческих способностей, потенциала школьника, умению разбираться в создавшейся ситуации, делать нужные умозаключен, при этом главная цель — не получение результата решения задачи, а само решение задачи, как совокупность логических шагов, приводящих к получению ответа. Очень важно научиться использовать оптимальные методы решения задач, среди которых тригонометрический метод является наиболее простейшим.

    Цель достигнута: Научилась доказывать теоремы косинусов и синусов, применять их в решение задач, выбирать правильный ход решения при их использовании, узнала, где данные теоремы применяются в жизни, рассмотрела задачи с практическим содержанием.

    docs.likenul.com

    Зачем нужна тригонометрия — Где в реальной жизни используется тригонометрия? — 22 ответа

    

    Trigonometry

    В разделе Естественные науки на вопрос Где в реальной жизни используется тригонометрия? заданный автором Европейский лучший ответ это Вся «классическая» геодезия на тригонометрии сидит и тригонометрией погоняет. Поскольку фактически геодезисты занимаются тем, что «решают» треугольники.
    А вот что на эту тему думает Вики, она дама сурьезныя.. .
    ====
    Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.
    Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию) , фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография) , сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.
    ==========
    Вики в данной статье не рассказывает про быстрое преобразование Фурье, алгоритмы сжатия и еще кое-какие аспектыИсточник:

    Ответ от 22 ответа[гуру]

    Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Где в реальной жизни используется тригонометрия?

    Ответ от юрий денисеня[гуру]
    Если ты в реальной своей жизни собираешся стать дворником, то оно тебе нафиг не нужно, а если ты планируешь к примеру стать инженером, то поверь — пожалеешь, что не доучил!

    Ответ от Арчи Гудвин[гуру]
    в строительстве

    Ответ от тракторостроение[гуру]
    Нам препод буквально вчера про нее родимую говорил, что не вспомним мы про нее до тех пор, пока наши дети тригонометрию не начнут изучать

    Ответ от философский[гуру]
    Конечно напрасно. Ее (тригонометрию) нужно
    преподавать только в специальных секциях,
    вроде тайных сообществ. Куда можно вступить
    только с рекомендацией от членов такого
    общества, или же решив несколько сложных
    кубических уравнений. А в школе преподавать,
    это баловство одно… Тот кто любит тригонометрию,
    тот больше преподавателя знает, а тот который
    считает что она (тригонометрия) ,
    в жизни не нужна будет, с тем и мучаться
    бесполезно, все равно либо в артисты, либо в депутаты,
    либо в дворники пойдет.

    Ответ от ERDETREU[гуру]
    Тригонометрия нужна не т олько для измерения углов. Тригонометрические функции просто часто попадаются, даже там, где о геометрии и речи нет. Хотя мне, например, ни фига не нужны. Но, в конце концов, это же так просто…

    Ответ от RS-232[гуру]
    Везде, где есть техника.

    Ответ от Лидия Гармашова[новичек]
    В астрономии, медицине геодезии, строительстве. ВЕЗДЕ


    Ответ от 2 ответа[гуру]

    Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

    Тригонометрия на Википедии
    Посмотрите статью на википедии про Тригонометрия

    Эвджен Фахрие на Википедии
    Посмотрите статью на википедии про Эвджен Фахрие

     

    Ответить на вопрос:

    22oa.ru

    Зачем нужна алгебра, тригонометрия и т.д?

    Фу какая ерунда! Если я балет не понимаю, то значит балет это фигня? ? Или не читаю книжки про любовь, значит книжки фигня? ? Если Вам не подуше математика, что ж тут такого. Математика в этом не виновата. А виновата система обучения, которая заваливает Ваши головушки нужной и ненужной инфой. Не, математика это очень интересно, поверьте, хотя без проводника, там и заблудиться можно.

    Тебе — не нужна. Не забивай свою светлую головку. :))) Денежку считать научили. Буковки разбирать тоже. и слава Богу. :))) Всё остальное — ересь :))))

    Система образования в ССССР и в последующем в России, считается одной из самых мощных в мире. А предметы, которые Вы назвали развивают в подростке логическое и абстрактное мышление, дабы не только как обученные обезьянки галочки в тестах по ЕГЭ ставили, а могли анализировать ситуации, принимать интуитивно правильные решения. Алгебра, геометрия, физика, информатика — это те предметы, которые и развивают эти способности.

    а ты мобильником пользуешься, телевизор смотришь и вообще электричеством пользуешься? А машины, а самолеты и всего не перечислишь. Так тригонометрия и алгебра -эта нечальная ступенечка того математического аппарата, который сегодня необходим. А если не хочешь выглядеть дремучей и закончить школу, не заморачивайся зачем в программе это все есть. Там еще мало, просто за десять лет всего не изучишь.

    Да да да!! ! я с тобой полностью согласна)) ) Она на фиг не нужна! Сколько не учи формулы они все равно забываются! главное научились считать и хватит! Так что она на фиг не нужна)))))

    Я тоже не понимаю! Дали нам первоначальный курс математики: плюс минус и деление умножение! Этого в жизни хватает. Что в магазине ценники с квадратными корнями? Или цены в интернете как уравнения? НЕТ! Это вообще не понятная хрень где надо буквы с цифрами равнять! Расстраивает и то — что надо еще это фигню на ЕГЭ и ОГЭ сдавать… Если кто нибудь объяснит мне зачем она нужна и с чем её едят, я может быть начну её понимать…

    для работников в магазине и низкоквалифицированным кассирам алгебра конечно не нужна, там можно и обыкновенной математикой обойтись, но вы обратите внимание на статистику — многие ученые и просто богатые люди, которые добились своих богатств сами, в свое время делали акцент именно на алгебре, ведь только она помогает разрешить многие жизненные трудности. а человек который дружит с ней и уделяет ей много времени высоко ценится при устройстве на работу, не важно куда, пусть даже ты устраиваешься на работу связанную с гуманитарными науками. грамотный работодатель четко понимает, что такие люди владеют невероятной усидчивостью, всегда доводят начатое да конца и всегда успевают в сроки, да и плюс к этому обладают хорошо развитой логикой.

    Как говорила наша учительница: «Если незнаете алгебру, то фиг вы поймёте: физику, химию, геометрию!! » В физике, алгебре, геометрии конечно же немножко легче, чем в алгебре. В физике интересные явления, законы и т. д.; в химии там какие-то растворы, смешание этих растворов, реакции, короче их не так нудно учить как алгебру. НО!! законы, растворы, явления, реакции и т. д. -это всего лишь цветочки!!! Дальше пойдут ягодки-решение задач, лабораторки! И вот эти ягодки связаны чёрт возьми с этой нудной алгеброй! Казалось бы :»Да ну нафиг эту алгебру, онаж в жизни не пригодится! Стану архитектором!! Нукась какие там предметы надо учить, чтоб стать архитектором?? Тааакс посмотрим: физика, черчение, БАЦ АЛГЕБРЯ ЁПРСТ

    education.ques.ru

    Число минус матрица – Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

    Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

    Действия с матрицами

    Данная матрица состоит из шести элементов:

    Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

    Это просто таблица (набор) чисел!

    Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

    Рассматриваемая матрица имеет две строки:

    три столбца:

    СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

    Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например:

    – матрица «три на три».

    Если в матрице один столбец

    или одна строка

    ,

    то такие матрицы также называют векторами.

    Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

    Вернемся к нашей матрице

    .

    Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

    Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:


    Действие второе. Умножение матрицы на число.

    Пример:

    Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

    Еще один полезный пример:

    – умножение матрицы на дробь

    Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:


    Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО- это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей.

    И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

    Мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать. Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

    А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

    Пример:

    В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на 1/2, так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

    Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

    Действие пятое. Умножение матриц.

    Как умножить матрицы ?

    Пример:

    Умножить матрицы

    Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

    – попытайтесь сразу уловить закономерность.

    Пример сложнее:

    Умножить матрицы

    Формула:

    В результате получена так называемая нулевая матрица.

    Если в задании предложено умножить матрицу M на матрицу N, то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

    Переходим к матрицам третьего порядка:

    Умножить матрицуы

    Формула очень похожа на предыдущие формулы:

    А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

    Умножьте матрицы

    Ответ.

    Как проверить решение? Необходимо выполнить матричное умножение либо

    Проверка:

    Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах).

    Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

    Пример:

    Найти обратную матрицу для матрицы

    Обратную матрицу найдем по формуле:

    ,

    где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

    Как вычислить определитель?

    Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы.

    Обозначения: Если дана матрица

    ,

    то ее определитель обозначают |A|. Также очень часто определитель обозначают латинской буквой D или греческой Δ.

    1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО.

    2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число. Как Вы догадываетесь, для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

    Начнем с определителя «два» на «два»:

    Сразу рассмотрим пример:

    Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.

    Начнем с двух простых способов

    Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

    Пример:

    Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».

    Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

    Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс». Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

    Пример:

    Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

    Правило Крамера.

    А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три».

    Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

    Находим главный определитель системы:

    Если D=0, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет/

    Если D≠0, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:

    И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

    Пример

    Решить систему по формулам Крамера.

    Решение:

    Решим систему по формулам Крамера.

    значит, система имеет единственное решение.

    Ответ: ..

    Собственно, здесь опять комментировать особо нечего. Но есть пара замечаний.

    Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .

    Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

    1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

    2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения.

    Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

    Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:

    – на месте отсутствующих переменных ставятся нули.

    Пример

    Решить систему матричным методом

    Решение:

    Запишем систему в матричной форме: AX=b, где

    Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице A нужно было бы поставить нули.

    .

    Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение . Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран в разделе «Как найти обратную матрицу?»

    Обратную матрицу найдем по формуле:

    ,

    где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

    Сначала разбираемся с определителем:

    Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

    Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

    То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце.

    В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно.

    Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

    Таким образом:

    – матрица миноров соответствующих элементов матрицы A.

    – матрица алгебраических дополнений.

    – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

    Теперь записываем обратную матрицу:

    Ни в коем случае не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления.Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

    Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.

    Ответ: .

     

    Действия с матрицами

    Данная матрица состоит из шести элементов:

    Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

    Это просто таблица (набор) чисел!

    Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

    Рассматриваемая матрица имеет две строки:

    три столбца:

    СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

    Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например:

    – матрица «три на три».

    Если в матрице один столбец

    или одна строка

    ,

    то такие матрицы также называют векторами.

    Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

    Вернемся к нашей матрице

    .

    Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

    Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:



    

    infopedia.su

    Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

    Вернемся к нашей матрице

     

    .

     

    Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

    Проведем «тождественное преобразование» матрицы, которое её не изменит.

    Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

     
     

    У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

    Обратный пример:

    .

     

    Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

     

     
     

    Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

     

     

    2) Умножение матрицы на число.

    Пример:

    Преобразовать:

     

    Как видим, чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

    Пример:

    Преобразовать:

     
     

    применив умножение матрицы на дробь.

     

     

    Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО (это правильно, но усложняет вид):

     

    Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

    И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

     

    Что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

     

    А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

     

    Пример:

    В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на (1/2), так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

     

    Примечание: В теории высшей математики школьным понятием «деление» обычно не пользуются. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». Любое деление – это частный случай умножения.

     

     

    Транспонирование матрицы

    Определение: Чтобы транспонировать матрицу, нужно строки исходной матрицы записать в столбцы транспонированной матрицы. А именно: строку номер «m» исходной матрицы в столбец номер «m» транспонированной матрицы. После транспонирования новой матрице выдают особый знак: к символу исходной матрицы справа сверху добавляют большую букву T, или штрих.

    Следствие: Если исходная матрица Amn – порядка (размером) «m на n», то матрица, транспонированная к исходной матрице, будет размером «n на m» и иметь вид ATn∙т.

    Следствие: При операции транспонирования элементы на главной диагонали матрицы (от верхнего левого до нижнего правого) остаются неизменными.

     

    Пример:

    Транспонировать матрицу .

    Внимание: не «транспортировать», не «трансвестировать», а «транспонировать»!

    Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

    .

    Таким образом, DT – это матрица, транспонированная к исходной матрице D.

    Подчеркнём, что исходная матрица A и транспонированная матрица AT — это две различные, в общем случае, матрицы.

    A = AT только в особых случаях: если A – симметричная матрица, когда элементы, симметричные относительно главной диагонали исходной матрицы, равны.

     

    Пример пошаговый:

    Транспонировать матрицу

    Примечание: В матрице B на главной диагонали расположены элементы: {-1; 4; -6}.

     

    Заполняем места элементов транспонированной матрицы BT. Другими словами, строим эту самую транспонированную матрицу.

    Сначала переписываем первую строку B — в первый столбец BT.:

    Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

    И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

     

    Примечание: Транспонировать – это значит прибить матрицу в левом верхнем элементе и повернуть её (исходную матрицу) вокруг главной диагонали на 180°.

     

     

    Сумма (разность) матриц.

    Сумма матриц — действие несложное.

    НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

    Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой.

    — Такое действие не определено для этих матриц!

     

    Определение: Для того чтобы получить матрицу, равную сумме (разности) двух исходных матриц, необходимо сложить (вычесть) их соответствующие элементы:

    Пример:

    Сложить матрицы и

    В соответствии с определением, запишем:

    .

    Для разности матриц, аналогично, находим разность соответствующих элементов:

    Пример:

    Найти разность матриц и .

    А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу H:

    Примечание: В теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

     

     

    Умножение матриц.

    Скажем сразу, правило умножения матриц (есть в любом учебнике по алгебре) выглядит очень странно для неподготовленного слушателя, но мы объясним это на конкретных примерах. Прежде всего: «Какие матрицы можно умножать?»

    Следствие (из строгого определения): Для умножения матрицы K на матрицу L слева необходимо, чтобы число столбцов матрицыKравнялось числу строк матрицыL.

     

    Пример:

    Можно ли умножить матрицу

    на матрицу ?

    , значит, умножать данные матрицы можно.

    А вот если, в данном случае, матрицы переставить местами, то умножение уже невозможно!

    , значит, выполнить умножение нельзя, и, вообще, такая запись не имеет смысла:

    Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

    Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так, но с разным результатом, т. к. в общем случае KL ¹ LK. Например, для матриц

    и существует как произведение , так и .

     

    Как умножать матрицы?

    Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

    Начнем с самого простого:

    Пример:

    Умножить матрицу на матрицу
    Мы будем сразу приводить формулу для каждого случая:

    – попытайтесь сразу уловить закономерность. Поэтому:

     

     

    Пример сложнее:

    Умножить матрицу на матрицу

    Формула: . В таком случае произведение:

    .

    В результате мы получили так называемую нулевую матрицу.

    Попробуйте самостоятельно выполнить умножение . Правильный ответ — .

    Обратите внимание, что! Это почти всегда так!

     

    Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!Если в задании предложено умножить матрицу M на матрицу N, то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

     

    Примеры с матрицами третьего порядка:

    Умножить матрицу на матрицу .

    Формула умножения очень похожа на предыдущие формулы:

    .

    А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

    Умножьте матрицу на матрицу .

    Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

    .

     

     

    Нахождение обратной матрицы

    Смотри, после вычисления определителей, раздел 2.3.

     

    Вычисление определителей

     

    В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись.

    Мы не будем давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, будем стараться минимизировать математическую терминологию, так как большинству читателей легче от этого не станет. Наша задача – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка.

    Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

    Определение:Определитель, или детерминант матрицы, – это единственное для данной матрицы число, оно определяется всеми элементами матрицы и характеризует всю матрицу. Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы.

    Для вектора таким характерным числом является модуль вектора. Для действительного числа произвольного знака таким характерным числом является абсолютное значение, или модуль числа. Но, в отличие от модуля ненулевого вектора или числа, определитель матрицы может иметь любой знак и быть равным нулю, в том числе для ненулевой исходной матрицы.

    Обозначение: Определитель матрицы обозначается символом данной матрицы в прямых (одинарных, или двойных) скобках, как у модуля вектора, или D, или Δ, или det(A). Т. е., как |A|, или ||A||, или латинской буквой D, или греческой буквой Δ, или det(A) для матрицы A. При этом вместо A в новые скобки может быть вписана вся таблица.

    На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

    Определитель четвертого порядка встречается значительно реже, но о нем тоже поговорим.

    Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании в строке или столбце D речи не идет. Менять местами числа нельзя! Но если очень хочется, то можно… (На самом деле, есть десяток теорем о детерминантах, об условиях, при которых можно переставлять строки и столбцы, но не отдельные элементы, определителя со сменой (или без смены) знака определителя).

    Таким образом, если дан определитель, то ничего внутри него не трогаем!

     

    1) Что значит вычислить (найти, раскрыть, решить) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса (?) в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

    2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число. Как Вы догадываетесь, для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы.

     

    Определитель матрицы «два на два», его формула:

    .

    ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайней мере, на время изучения высшей математики в ВУЗе. Сразу рассмотрим пример:

    Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

     

    Определитель матрицы «три на три», его формула:

    Пример:

     

    Приведенная формула определителя «три на три» длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать промахов? Определитель «три на три»можно раскрыть 10 способами (10-ю способами получить приведённую формулу). Четыре из них – «простые», и шесть – «нормальные».

     

    Начнем с четырёх простых способов «параллельных полосок» Саррюса:

    1) два способа дополнительных столбцов;

    2) два способа дополнительных строк.

    Первый способ дополнительных столбцов состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбцы и аккуратно карандашом проводят линии:

    .

    Заметим, что элементы на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс», а элементы на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус.

     

    Пример:

     

    Второй способ дополнительных столбцов состоит в том, что слева, перед определителем приписывают второй и третий (ближе к определителю) столбцы и проводят линии, начиная с главной диагонали.

     

    Первый способ дополнительных строк состоит в том, что снизу от определителя приписывают первую (ближе к определителю) и вторую строки и проводят линии, начиная с главной диагонали.

     

    Второй способ дополнительных строк состоит в том, что сверху от определителя приписывают вторую и третью (ближе к определителю) строки и проводят линии, начиная с главной диагонали.

     

    Во всех четырёх простых способах элементы матрицы, находящиеся на «красных» диагоналях, параллельных главной диагонали, входят в формулу со знаком «плюс». Элементы матрицы, находящиеся на «синих» диагоналях, входят в формулу со знаком минус. Вычисления по остальным простым способам проведите самостоятельно.

     

    Сравните решение «по формуле» и «простые решения». Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

     

    Теперь рассмотрим 6 «нормальных» способов для вычисления определителя. Почему «нормальных» Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

    Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки. Вычислить определитель можно, разложив его по любой строке или по любому столбцу. Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется алгоритм одного и того же типа (смотрите в книгах по высшей алгебре теорему Лапласа о разложении определителя матрицы по любой строке или столбцу, но мы обещали нашим студентам «не докучать моралью строгой»).

    Теорема Лапласа: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно?

    Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

    В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.

    Для этого нам понадобится «матрица знаков»: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

    Примечание: Внимание! «Матрица знаков» – это изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает вам понять алгоритм вычисления определителя.

    Сначала приведём полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления по теореме Лапласа, разложив его по первой строке:

     

     

    И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:

     

    ?

     

    Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или, как их еще называют, МИНОРОВ. Термин надо запомнить. Минор – маленький, точнее, по смыслу в данном случае, — определитель уменьшенной матрицы.

     

    Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё. Запишем рядом исходную матрицу и «матрицу знаков», одинаковую для любой матрицы «три на три»:

     

    Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец). Сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

     

     

    1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

     

     

    2) Затем записываем сам элемент:

     

     

    3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

    Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

     

     

    Переходим ко второму элементу строки.

     

    4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

     

     

    5) Затем записываем второй элемент:

     

     

    6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

    Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

     

     

    Переходим к третьему элементу первой строки. Никакой оригинальности:

     

    7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

     

     

    8) Записываем третий элемент:

     

     

    9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

    Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

     

    Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

     

    Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым. В этом и состоит ценность теоремы Лапласа!

     

    Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм. При этом матрица знаков у нас увеличится:

    В следующем примере раскроем определитель по четвертому столбцу:

     

    Пример:

    А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше будет также раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

     

     

    Вычисление обратной матрицы

     

    Что такое обратная матрица? Прежде определим единичную матрицу.

     

    Определение: Единичной матрицей n-го порядка называется такая матрица En, что для любой квадратной матрицы n-го порядка An выполняется соотношение

    .

    Можно показать, что у единичной матрицы на главной диагонали расположены единицы, а все остальные элементы равны нулю.

     

    Определение: Обратной матрицей для матрицы An с неравным нулю определителем (|An|¹0) называется такая матрица An-1, для которой выполняется соотношение

    .

     

    Что необходимо знать и уметь для успешного изучения данного материала? Ответ. Вы должны уметь вычислять определители. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые операции с матрицами.

    Обратную матрицу A-1можно найти по следующей формуле:

     

    где |A| – определитель матрицы A, Ãматрица алгебраических дополнений исходной матрицы, а ÃTприсоединённая матрица, или транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

     

    (Обозначение Ã читаем «A с тильдой»)

     

    Понятие обратной матрицы, как и понятие определителя, существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

     

    Обозначения:Как Вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается добавлением надстрочного индекса (-1) к символу исходной матрицы.

    Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но мы настоятельно рекомендуем изучить более простое задание, чтобы усвоить общий принцип решения.

    Пример:

    Найти обратную матрицу для матрицы .

    Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

     

    1) Сначала находим определитель матрицы.

    .

    Важно! У матрицы, определитель которой равен НУЛЮ, обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ (Это следствие из основной теоремы об обратной матрице).

    В рассматриваемом примере, как выяснилось, |A| = -2 ¹ 0, а значит, всё в порядке.

     

    2) Находим матрицу миноров элементов.

    Матрица миноров элементов имеет такие же размеры, как и матрица A, то есть, в данном случае,

    .

    Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

    Возвращаемся к нашей матрице . Сначала рассмотрим левый верхний элемент

    .

    Как найти минор этого элемента матрицы?

    А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

    Оставшееся число в данном случае и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

     

     

    Рассматриваем следующий элемент матрицы :

    Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

    То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

     

    Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

    Готово.

    – это и есть матрица миноровсоответствующих элементов матрицы A.

    3) Находим матрицу алгебраических дополнений соответствующих элементов.

    Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

    . Именно у тех чисел, которые обведены в кружок! Получим:

     

    — это матрица Ã алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

     

     

    4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений.

     

    — это транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

     

    Ответ.

    Вспоминаем нашу формулу

    Всё найдено!

    Таким образом, искомая обратная матрица:

     

    Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНОделить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа.

     

    Как проверить решение? По определению обратной матрицы, необходимо выполнить матричное умножение либо .

     

    6) Проверка:

     

    Получена так называемая единичная матрица(с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах). Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

     

    Перейдём к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три».

     

     

    Пример:

    Найти обратную матрицу для матрицы

    .

    Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

     

    Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы B.

     

    

    infopedia.su

    Вычитание матриц онлайн

    Вычитание матриц

    Вычитание матриц – это операция нахождения разности двух матриц одного и того же размера, которая определяется через сложение матриц и через умножение матрицы на число.

    Разность матриц А и В – это матрица С = А – В такого же размера как исходные матрицы, получаемая из исходных путем прибавления к матрице А матрицы В, умноженной на -1.
    Таким образом, разность матриц выглядит так:
    Аm×n – Вm×n = Аm×n + (-1) × Вm×n = Аm×n + (-Вm×n) = Сm×n

    Фактически при вычитании матриц от элементов aij матрицы А отнимают соответствующие элементы bij матрицы В:
    aij – bij = aij + (-1) × bij = aij + (-bij) = сij
    где i принимает значение от 1 до m, j имеет значения от 1 до n.

    Рассмотрим пример вычитания матриц равного размера 3×3.
    Даны две матрицы:

    Найти разность матриц А и В.
    Решение:

    Вы также можете

    в качестве элементов матрицы вводить целые и дробные числа, а также выражения с переменной x (например, в ячейку матрицы можно ввести 2x, или sin(x), или даже ((x+2)^2)/lg(x)).
    Полный список доступных функций можно найти в справке.

    www.yotx.ru

    Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

    Действия с матрицами

     

    Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можетебесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

    Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

    Начнем.

    Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

    Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

    Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

    Данная матрица состоит из шести элементов:

    Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

    Это просто таблица (набор) чисел!

    Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

    Рассматриваемая матрица имеет две строки:

    и три столбца:

    СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

    Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

    Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

    На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

    Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

    Действие пятое. Умножение матриц.

    Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.



    Как умножить матрицы?

    Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

    Начнем с самого простого:

    Пример:
    Умножить матрицу на матрицу
    Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

    – попытайтесь сразу уловить закономерность.

    Пример сложнее:

    Умножить матрицу на матрицу

    Формула:

    В результате получена так называемая нулевая матрица.

    Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

    Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

    Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

    Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

    Переходим к матрицам третьего порядка:

    Умножить матрицу на матрицу

    Формула очень похожа на предыдущие формулы:

    А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

    Умножьте матрицу на матрицу

    Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

    Будет время, распишу подробнее

    Действия с матрицами

     

    Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можетебесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

    Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.



    Начнем.

    Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

    Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

    Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

    Данная матрица состоит из шести элементов:

    Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

    Это просто таблица (набор) чисел!

    Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

    Рассматриваемая матрица имеет две строки:

    и три столбца:

    СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

    Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

    Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

    На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

    Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

    Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

    Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

    Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

    У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

    Обратный пример: . Выглядит безобразно.

    Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

    Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому-что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

    2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

    Пример:

    Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

    Еще один полезный пример:

    – умножение матрицы на дробь

    Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

    Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

    И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

    Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

    Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

    А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

    Пример:

    В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

    Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

    cyberpedia.su

    Действия с матрицами

    Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

    Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

    Начнем.

    Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

    Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

    Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

    Данная матрица состоит из шести элементов: Все числа (элементы) внутри матрицы  существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:Это просто таблица (набор) чисел!

    Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

    Рассматриваемая матрица имеет две строки: и три столбца:

    СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

    Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

    Если в матрице один столбец или одна строка, то такие матрицы также называютвекторами.

    На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точкизаписаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение:и– это две совершенно разные точки плоскости.

    Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

    1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

    Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

    Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

    Обратный пример: . Выглядит безобразно.

    Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

    Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому-что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

    2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

    Пример:

    Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

    Еще один полезный пример:

    –умножение матрицы на дробь

    Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО: Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если– окончательный ответ задания).

    И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

    Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.  

    Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

    А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

    Пример:

    В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2без остатка.

    Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

    3) Действие третье. Транспонирование матрицы

    Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

    Пример: Транспонировать матрицу

    Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

    –транспонированная матрица.

    Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

    Пошаговый пример: Транспонировать матрицу

    Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

     

    Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

    И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

    Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

    4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

    Сумма матриц действие несложное. НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

    Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

    Пример: Сложить матрицы и

    Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

    Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

    Пример: Найти разность матриц ,

    А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

     

    Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

    5) Действие пятое. Умножение матриц.

    Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

    Какие матрицы можно умножать?

    Чтобы матрицу  можно было умножить на матрицунеобходимо,чтобы число столбцов матрицы  равнялось числу строк матрицы .

    Пример: Можно ли умножить матрицу  на матрицу ?

    , значит, умножать данные матрицы можно.

    А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

    , следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла

    Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

    Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так. Например, для матриц, ивозможно как умножение, так и умножение

    Как умножить матрицы?

    Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

    Начнем с самого простого:

    Пример: Умножить матрицу  на матрицу Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

    –попытайтесь сразу уловить закономерность.

    Пример сложнее:

    Умножить матрицу на матрицу

    Формула:

    В результате получена так называемая нулевая матрица.

    Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ).

    Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

    Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

    Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу, то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

    Переходим к матрицам третьего порядка:

    Умножить матрицу на матрицу

    Формула очень похожа на предыдущие формулы:

    А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

    Умножьте матрицу на матрицу

    Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

    Будет время, распишу подробнее

    6) Действие шестое. Нахождение обратной матрицы.

    Данная тема достаточно обширна, и вынес даннай вопрос на отдельную страницу.

    А пока спектакль закончен.

    Желаю успехов!

    studfiles.net

    Матрицы. Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

    Линейная алгебра. Матрицы

    Линейная алгебра. Матрицы (вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Под матрицей в математике понимается таблица,

    Подробнее

    ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,…, n в строчку одно за другим.

    ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

    Подробнее

    Линейная алгебра. Матрицы

    Линейная алгебра. Матрицы вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Шаги решения задачи с использованием математики:.

    Подробнее

    Глава 1. Начала линейной алгебры

    Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

    Подробнее

    3. Определители высших порядков

    Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

    Подробнее

    Примеры решений контрольных работ

    Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

    Подробнее

    1. Определители. a11 a12. a21 a22

    . Определители. Определитель второго порядка Пусть задана таблица четырех чисел, расположенных в две строки и в два столбца 2 () 2 22 Элементы а, а 2 образуют первую строку, элементы а 2, а 22 образуют

    Подробнее

    Лекция 5: Определители

    Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

    Подробнее

    Рис Ввод матриц на рабочий лист

    МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 11 Умножение матриц 12 Транспонирование матриц 13 Обратная матрица 14 Сложение матриц 15 Вычисление определителей Обратите внимание на особенность

    Подробнее

    Глава 3. Определители

    Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

    Подробнее

    Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

    Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

    Подробнее

    2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

    Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

    Подробнее

    Тема 3: Определители

    Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

    Подробнее

    Математика (БкПл-100)

    Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

    Подробнее

    МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

    ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

    Подробнее

    РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

    -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

    Подробнее

    ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

    Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

    Подробнее

    ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

    Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

    Подробнее

    Матрицы. А. Данильченко

    Матрицы А. Данильченко http:ri.ifmo.ruct Основные определения Матрица элементов пространства X размера элемент пространства X[ ], записываемый в виде таблицы, т.е. его координаты упорядочены по строкам

    Подробнее

    МАТРИЦЫ. Определение

    Определение Матрицей размером m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

    Подробнее

    АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

    Подробнее

    Тема 1-7: Определители

    Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

    Подробнее

    С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

    АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

    Подробнее

    ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

    ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в — учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

    Подробнее

    1. Линейные системы и матрицы

    1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

    Подробнее

    Лекция 11: Обратная матрица

    Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

    Подробнее

    сайты:

    Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Ранг матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

    Подробнее

    ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

    А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

    Подробнее

    Практикум по линейной алгебре

    Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

    Подробнее

    МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

    ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

    Подробнее

    Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

    Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

    Подробнее

    Задача 1 Вычислить определитель матрицы

    Задача Вычислить определитель матрицы 4 4 A 4 4 Решение Для вычисления определителя приведем матрицу к треугольному виду. После этого определитель будет равен произведению элементов главной диагонали.

    Подробнее

    Элементы линейной алгебры

    Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

    Подробнее

    Линейная алгебра Вариант 4

    Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

    Подробнее

    docplayer.ru

    Примеры действий с матрицами


    Примеры действий с матрицами:

    1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

    . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

    Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: 



    Обратный пример: .

    Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

    2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

    Пример:

    Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

    Еще один полезный пример:

     – умножение матрицы на дробь

    Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:



    Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО. И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

    Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

    А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

    Пример:

    В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

    3) Действие третье. Транспонирование матрицы

    Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

    Пример:
    Транспонировать матрицу 

    Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

     – транспонированная матрица.

    Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом  или штрихом справа вверху.

    Пошаговый пример:
    Транспонировать матрицу 

    Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

     

    Потом переписываем вторую строку во второй столбец:


    И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

    Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

    4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

    Сумма матриц действие несложное. 


    НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

    Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!


    Пример:
    Сложить матрицы  и 

    Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

    Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

    Пример:
    Найти разность матриц , 

    А Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

     

    5) Действие пятое. Умножение матриц.

    Чтобы матрицу   можно было умножить на матрицу  необходимо, чтобы число столбцов матрицы  равнялось числу строк матрицы .

    Пример: 
    Можно ли умножить матрицу  на матрицу ?

    , значит, умножать данные матрицы можно.

    А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

    , следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла 

    Как умножить матрицы?

    Пример:
    Умножить матрицу  на матрицу 
     

    Пример сложнее:

    Умножить матрицу  на матрицу 

    Формула: 

    В результате получена так называемая нулевая матрица.

    Попробуйте самостоятельно выполнить умножение  (правильный ответ ).

    Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

    Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

    Если в задании предложено умножить матрицу  на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

    Переходим к матрицам третьего порядка:

    Умножить матрицу  на матрицу 

    Формула очень похожа на предыдущие формулы:


    umotnas.ru

    Задачи элементы комбинаторики – Лекция 1: Элементы комбинаторики — Теория вероятности

    Элементы комбинаторики. Методы решения некоторых задач

    Разделы: Математика


    1) Немного истории.

    В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело с различного рода множествами и подмножествами: устанавливать их связь между элементами каждого, определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, значит и в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

    Поговорим об одном из разделов теории вероятности – комбинаторике.

    Комбинаторика — ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.
    С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов — во время работы.
    Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.
    Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
    Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французс- ким ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
    Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей” помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду “дерева”. Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”).
    Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n
    В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

    2) ЗАДАЧИ

    1. В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье — чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

    1 способ. Перечислим возможные варианты

    Чай(Ч)
    Компот (К)

    Мясо с макаронами(М)

    Рыба с картошкой(Р)

    Курица с рисом(Кр)

    Борщ (Б)

    БМЧ/ БМК

    БРЧ/БРК

    БКрЧ/БКрК

    Солянка(С)

    СМЧ/ СМК

    СРЧ/СРК

    СКрЧ/СКрК

    Грибной суп(Г)

    ГМЧ/ГМК

    ГРЧ/ГРК

    ГКрЧ/ГКрК

    18 вариантов.
    2 способ. Дерево возможностей.

    3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=1

    2. Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

    1 способ. Обозначим мячи — М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3, К4, К5.
    Перечислим возможные варианты:

    М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5,
    М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5,
    М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5,
    М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5
    М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5,
    М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5,
    М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5,
    М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5

    Ответ: 40 вариантов.
    2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 40

    3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

    1 способ.
    Перечислим возможные варианты.

     

    0

    2

    6

    2

    20

    22

    26

    3

    30

    32

    36

    6

    60

    62

    66

    7

    70

    72

    76

    9

    90

    92

    96

    2 способ. Дерево возможностей.

    3 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х3=15 .

    4. Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?

    1 способ. Перечислим возможные варианты номеров такси:

     

    1

    2

    3

    4

    5

    1

    211

    212

    213

    214

    215

    2

    221

    222

    223

    224

    225

    3

    231

    232

    233

    234

    235

    4

    241

    242

    243

    244

    245

    5

    251

    252

    253

    254

    255

    Ответ: 25 человек.

    2 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х5=25

    5. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

    1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:

    №1 — Саша — есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)
    №2 — Петя — 4 варианта
    №3- Денис — 3 варианта
    №4- Оля — 2 варианта
    №5 — Настя- 1 вариант

    Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120

    2 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=120

    6. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

    1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:

    11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,
    11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д

    Ответ: 10 пар.

    2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.
    Число элементарных событий = = 10

    7. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?

    1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.
    Получаем следующие пары:
    В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.

    Ответ: 6 пар.

    2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем:
    х = 6

    8. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.

    Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?
    Обозначим участников по первой заглавной букве страны и пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6
    Р1 — имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантов
    И2 — 5 вариантов
    У3- 4 варианта
    Н4- 3 варианта
    К5- 2 варианта
    Ф6- 1 вариант
    Используя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 720

    2 способ. Используя понятие факториала, получаем: 6!=720

    9. В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?

    Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся.
    Возможны следующие тройки:
    Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В,
    Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-В
    С-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В,
    К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В,
    Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В

    2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно = 15

    10. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?

    Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети:
    =35, число четверок у Вали из 9 дисков -= 126
    По правилу умножения находим число обменов 35х126=4410

    11. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

    Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 — =70, из 70 рядовых 15 -. По правилу умножения находим число выбора отряда:
    10х70х= 700х

    12. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

    Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 -=126, из 7 сапфиров 2 — =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21=52920

    13. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

    Здесь речь идет о размещениях
    Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя — из 8, на профорга — из 7
    По правилу умножения получаем 9х8х7=504

    14. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

    На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной — из 24, завуча среднего звена — из 23, завуча по воспитательной работе — 22. По правилу умножения получаем:
    25х24х23х22 = 303600
    Или, зная формулу размещения, получаем

    15. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?

    Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами, для Васи — 5х7х9=315, для Коли — 4х6х8=192. По правилу умножения получаем
    480х315х192=29030400 способами.

    16. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

    В русском языке 9 гласных букв — а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно=120 способами. Применяя правило умножения, получаем:
    36х120=4320

    17. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?
    Эта задача на размещение

    Другой способ решения.
    1цвет выбирается из 8 тканей 8 способами
    2цвет выбирается 7 способами
    3 цвет — 6способами
    Используя правило умножения, получаем 8х7х6=336 способов.

    18. В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?

    Из 15 предметов 5 любых можно выбрать

    19. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?

    1 способ. Обозначим белые — Б1, Б2, Б3, алые — А1,А2, чайные — Ч1, Ч2, Ч3,Ч4
    Перечислим возможные варианты
    Б1-А1-Ч1, Б1-А1-Ч2, Б1-А1-Ч3, Б1-А1-Ч4, Б1-А2-Ч1,Б1-А2-Ч2, Б1-А2-Ч3, Б1-А2-Ч4
    Б2- А1-Ч1, Б2-А1-Ч2, Б2-А1-Ч3, Б2-А1-Ч4, Б2-А2-Ч1,Б2-А2-Ч2, Б2-А2-Ч3, Б2-А2-Ч4
    Б3- А1-Ч1, Б3-А1-Ч2, Б3-А1-Ч3, Б3-А1-Ч4, Б3-А2-Ч1,Б3-А2-Ч2, Б3-А2-Ч3, Б3-А2-Ч4

    Ответ: 24 варианта.

    2способ. Дерево возможностей

     3 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х3х4=24

    20. К 60-летию Победы группа школьников отправилась по местам боевых действий в Смоленской области. Они планировали осуществить поход по маршруту деревни Сосновка-Быковка- Масловка- Видово. Из С в Б можно проплыть по реке или пройти пешком, из Б в М- пешком или на автобусе, из М в В — по реке, пешком или автобусе. Сколько вариантов похода есть у щкольников?

    1 способ. Обозначим СБ — путь из Сосновки в Бытовку, ВГ — путь из Быковки в Масловку, МВ — путь из Масловки в Видово.
    По реке -Р, пешком — П, на автобусе — А
    Перечислим возможные варианты:
    СБР- БМП-МВР, СБР- БМП-МВП, СБР- БМП-МВА
    СБР-БМА-МВР, СБР-БМА-МВП, СБР-БМА-МВА
    СБА- БМП-МВР, СБА- БМП-МВП, СБА- БМП-МВА
    СБА-БМА-МВР, СБА-БМА-МВП, СБА-БМА-МВА
    Ответ: 12 вариантов.

    2 спосо

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Элементы комбинаторики

    Вопросы занятия:

    ·  вспомнить, что изучает комбинаторика;

    ·  повторить основные виды комбинаций элементов: перестановки, размещения и сочетания;

    ·  вспомнить, как выводят формулы для их вычисления.

    Материал урока

    В науке и на практике очень часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов, а затем подсчитывать число этих комбинаций.

    Такие задачи получили своё название. Их называют комбинаторными задачами.

    А раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой.

    Само слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать».

    Определение.

    Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

    Комбинаторика тесно связана со многими другими областями математики – алгеброй, геометрией, теорией вероятностей. И имеет широкий спектр применения, например, в информатике и статистической физике.

    Давайте решим несколько комбинаторных задач.

    Задача. Лера, Карина, Глеб и Максим решили сыграть друг с другом по одной партии в бадминтон. Сколько партий было сыграно?

    Для краткости имена будем обозначать первой буквой.

    Сначала давайте составим все пары, в которых принимала участие Лера. Получим три такие пары.

    Теперь составим пары, в которых участвовала Карина, но не принимала участия Лера. Так как пара Лера – Карина у нас уже записана. Таким образом, получим две новые пары.

    Затем запишем пары, в которые входит Глеб, но не входят Лера и Карина. Получим только одну пару.

    Других вариантов составления пар нет, так как все пары, куда входит Максим, уже составлены.

    Итак, мы получили 6 различных пар.

    Можем сделать вывод, что было сыграно 6 партий в бадминтон.

    Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

    Задача.

    Определить, сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 2, 6, 8 и 9. При этом цифры в числе не должны повторяться.

    Первой цифрой числа может быть любая из данных цифр.

    Поставим на первое место, например, цифру 2. Тогда на втором месте могут стоять цифры 6, 8 или 9. Если на втором месте стоит цифра 6, то на третьем соответственно могут быть цифры 8 или 9. Так мы получим 2 числа: 268 и 269. Если на втором месте стоит цифра 8, то на третьем может быть 6 или 9. Также получим два числа. И если на втором месте стоит 9, то третьей цифрой числа могут быть 6 или 8. Аналогично можно расписать возможные варианты, если первой цифрой числа являются 6, 8 или 9.

    Схему, которую мы построили при решении задачи, называют деревом возможных вариантов. И по ней становится понятно, что, используя 4 цифры, можно составить 24 различных трёхзначных числа.

    Можно было по-другому решить задачу. Рассуждая так: первую цифру мы выбираем четырьмя способами, вторую тремя, так как после выбора первой осталось три цифры. А третью — двумя. Получаем, что общее количество искомых трёхзначных чисел равно:

    При решении данной задачи мы воспользовались комбинаторным правилом умножения.

    Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос — сколько их существует.

    Сформулируем его в общем виде.

    Пусть имеется  элементов и требуется выбрать из них один за другим  элементов. Если первый элемент можно выбрать  способами, после чего второй элемент можно выбрать  способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать  способами из оставшихся и так далее, то число способов, которыми могут быть выбраны все  элементов, равно произведению:

    В комбинаторике различают три вида различных соединений (комбинаций) элементов фиксированного(конечного) множества. Это перестановки, размещения и сочетания.

    И сейчас давайте поговорим о каждом из этих видов поподробнее.

    Начнём с перестановок. Кстати, перестановки – это простейшие комбинации, которые можно составить из элементов конечного множества.

    Вот, например. Пусть есть 3 книги. Обозначим их буквами a, b и c. Понятно, что эти книги мы можем расставить на полке совершенно разными способами.

    Если первой поставить книгу а, то возможны такие расположения книг на полке: a, b, c и a, c, b.

    Если первой поставить книгу b, то возможными будут такие расположения книг: b, a, c и b, c, a.

    Ну, а если же первой поставить книгу c, то можно получить следующие расположения книг на полке: c, a, b и c, b, a.

    Заметим, мы получили 6 возможных расположений книг на полке.

    Каждое из этих возможных расположений книг называют перестановкой из трёх элементов.

    Определение.

    Перестановкой из  элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

    Напомним, что число перестановок из  элементов обозначают так:

    и говорят « из ».

    Вернувшись к рассмотренному примеру, можно сказать, что число перестановок из трёх элементов .

    Это же значение мы могли бы получить, пользуясь комбинаторным правилом умножения:

    Т.е. для выбора первого элемента существует 3 варианта. Для каждого из них есть 2 варианта выбора второго элемента. И третий элемент мы выбираем единственным способом.

    Значит, число перестановок из трёх элементов действительно равно 6.

    А теперь давайте вспомним, как выводится формула числа перестановок из  элементов.

    Пусть у нас есть  элементов. Тогда на первое место можно поставить один из них, то есть  вариантов. На второе место можно поставить любой из оставшихся «» элементов. На третье место можно поставить любой из оставшихся «» элементов. И так далее … . В результате получим следующую запись:

    Расположив множители в порядке возрастания, получаем формулу числа перестановок из  элементов:

    Кстати, для записи произведения первых  натуральных чисел есть специальное обозначение  .А читают его « факториал».

    Например, .

    По определению считают, что .

    Таким образом, число всевозможных перестановок из  элементов вычисляется по формуле: .

    Например, найдём число перестановок из 5 элементов.

    Задача.

    Имеется 9 карандашей, 4 из которых — простые. Сколькими способами можно разложить их в коробке так, чтобы все простые карандаши лежали рядом?

    Сначала все простые карандаши давайте условимся рассматривать как один карандаш. Тогда нам нужно разложить в коробке не 9, а 6 карандашей.

    Найдём сколькими способами это можно сделать. Т.е. имеем, число перестановок из 6 элементов равно .

    В каждом из полученных способов 4 простых карандаша тоже можно разложить по-разному. А точнее .

    Для нахождения общего числа способов нужно . В ответ запишем 17280 способов.

    Теперь перейдём к следующему виду комбинаций – размещения.

    И начнём с примера. Пусть есть 4 шара и 3 пустые ячейки. В каждую ячейку можно поместить только по одному шару. Для удобства обозначим шары буквами: А, B, C и D.

    Если поместим шар А в первую ячейку, шар B — во вторую ячейку, а шар C — в третью, то мы получим одну из возможных упорядоченных троек шаров.

    Выбирая по-разному шары для каждой из ячеек, получим, например, такие тройки:

    Каждую такую упорядоченную тройку, составленную из 4 элементов, называют размещением из 4 элементов по 3.

    Определение.

    Размещением из  элементов по , где , называется любое множество, состоящее из  элементов, взятых в определённом порядке из данных  элементов.

    Два размещения из  элементов по  считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком их следования.

    Число размещений из  элементов по  обозначают так:

    И читают « из  по ».

    Вернёмся к примеру. Можем обозначить число размещений из четырёх элементов по три таким образом: .

    Вычислим количество таких размещений для данного случая, пользуясь правилом комбинаторного умножения. Первый элемент мы выбирали одним из 4 способов, так как им может быть любой из 4 шаров. Второй элемент мы можем выбрать 3 способами и третий — 2. Так получаем, что число размещений из 4 элементов по 3 равно

    С помощью таких же рассуждений можно вывести формулу для вычисления числа размещений из  элементов по .

    Для выбора первого элемента можно взять любой из  элементов, то есть существует  способов. Для выбора второго элемента можем взять любой из «» оставшихся элементов, то есть «» способов. Третий элемент можно выбрать «» способами. И так далее … . Так  -ый элемент можно выбрать «» способами.

    Умножим и разделим правую часть этого равенства на «». Заменим  произведением и расположим множители в порядке возрастания. Заметим, что в числителе записано произведение всех натуральных чисел от 1 до  включительно. А ведь это произведение равно .

    Мы получили формулу для вычисления числа размещений из  элементов по  при .

    Стоит обратить внимание на то, что размещения из  элементов по  отличаются только порядком следования элементов, так как каждый из них должен участвовать в размещении. Тогда получаем, что такое размещение является перестановкой.

    Рассмотрим пример: вычислить число размещений из 5 элементов по 3.

    Воспользовавшись формулой размещений, получим,

    Задача.

    Девять карточек пронумерованы цифрами от 1 до 9. Из этих карточек 4 наугад выкладывают в ряд. Сколько при этом различных четырёхзначных чисел можно получить?

    Суть задачи состоит в том, что из 9 данных цифр нужно составить всевозможные четырёхзначные числа, не повторяя цифры в числе. Следовательно, решение задачи сводится к отысканию числа размещений из 9 элементов по 4.

    Запишем формулу для нахождения числа размещений. Представим числитель и знаменатель в виде произведения. Сократим дробь. Остаётся вычислить произведение. В результате получим,

    Значит, можно получить 3024 различных четырёхзначных числа.

    Ну а теперь давайте поговорим о последнем виде комбинаций элементов, о сочетаниях.

    Начнём с примера. Пусть имеются 5 цветков различного цвета. Для удобств обозначим их буквами: А, B, C, D и Е. Будем составлять букеты из 3 цветков.

    Если в букет входит цветок А, то можем составить такие букеты:

    АBC, АBD, АBЕ, АCD, АCЕ, и АDЕ.

    Если в букет входит цветок B, но не входит А, то составим букеты:

    BCD, BCЕ, и BDЕ.

    Если же в букет входит цветок C и не входят А и B, то получим только один букет: CDЕ.

    Так мы с вами указали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются 3 цветка из данных 5.

    Таким образом, мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3.

    Определение.

    Сочетанием из  элементов по  называется любое множество, составленное из  элементов, выбранных из данных  элементов.

    Число сочетаний из  элементов по  обозначают так:

    И читают « из  по ».

    В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке расположены элементы. Сочетания считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом.

    Так, например, такие два букета

    являются размещениями. Так как в их состав входят одни и те же элементы, только с разным расположением.

    А два таких букета

    являются сочетаниями, ведь они отличаются составом элементов.

    В рассмотренном примере мы составили все сочетания из 5 элементов по 3. И выяснили, что их число равно 10.

    Вспомним, как выводится формула числа сочетаний из  элементов по .

    Допустим, что имеется множество из  элементов, и из них составлены все возможные сочетания по  элементов. Число таких сочетаний равно . В каждом из этих сочетаний можно выполнить  перестановок. В результате мы получим все размещения, которые можно получить из  элементов по . Получим такую запись.

    Из неё следует, что число сочетаний из  элементов по  равно частному «числа размещений из  элементов по » и «числа перестановок из  элементов».

    Пользуясь уже известными формулами числа перестановок и размещений, получим такое равенство.

    Так мы с вами получили формулу нахождения числа сочетаний из  элементов по . При этом .

    Рассмотрим пример: найти число сочетаний из 7 элементов по 4.

    По формуле сочетаний имеем:

    Задача.

    Турист запланировал взять с собой в поездку 8 футболок, при этом всего их у него насчитывается 12. Сколькими способами он может сделать выбор?

    Применим формулу сочетаний из  элементов по . У вас мог возникнуть вопрос, почему мы не ищем число размещений? Но вспомнив отличие размещений от сочетаний, становится ясно, что туристу не важно, в каком порядке он соберёт футболки. Ему важно, какие именно из них он возьмёт с собой.

    Итак, запишем формулу числа сочетаний из 12 элементов по 8. Получаем,

    Итоги урока

    На этом уроке мы рассмотрели тему «элементы комбинаторики». Вспомнили, что изучает комбинаторика. Повторили, основные виды комбинаций элементов: перестановки, размещения и сочетания. И вспомнили, как выводят формулы для их вычисления.

     

    videouroki.net

    9 класс. Алгебра. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности. — Комбинаторные задачи.

    Комментарии преподавателя

     

    Тема урока: «Комбинаторные задачи». Человеку часто приходится сталкиваться с задачами, когда ему нужно посчитать число способов реализации некоторого действия. Например: вы забыли пароль на вашем компьютере, сколько вариантов вам придется перебрать, прежде чем вы сможете восстановить доступ? На данном уроке рассматривается раздел математики, который позволяет ответить на вопросы: сколькими способами, сколько вариантов и так далее. Этот раздел носит имя «комбинаторика».

     

    Для на­ча­ла рас­смот­рим про­стой при­мер. Пусть в неко­то­ром ре­ги­оне ре­ши­ли вве­сти фор­мат но­ме­ра ав­то­мо­би­ля в виде числа. Во­прос: какое ко­ли­че­ство ав­то­мо­би­лей мы смо­жем снаб­дить раз­лич­ны­ми но­ме­ра­ми? Вни­ма­тель­ный уча­щий­ся сразу за­ме­тит непол­но­ту фор­му­ли­ров­ки за­да­чи, не прав­да ли? И дей­стви­тель­но, во-пер­вых, не ука­за­но, какое ко­ли­че­ство зна­ков долж­но на­хо­дить­ся в но­ме­ре ав­то­мо­би­ля, во-вто­рых, какие зна­че­ния могут при­ни­мать от­дель­ные цифры та­ко­го но­ме­ра. Ну и ко­неч­но, как при­ня­то при ре­ше­нии по­доб­ных задач, нач­нем мы ре­ше­ние с рас­смот­ре­ния самых про­стых слу­ча­ев.

    Пусть при­ня­ты толь­ко трех­знач­ные но­ме­ра, при­чем фор­ми­ру­ют­ся они толь­ко циф­ра­ми 1, 2 и 3. Также вво­дит­ся несколь­ко нестан­дарт­ное тре­бо­ва­ние: пусть одна и та же цифра в но­ме­ре будет встре­чать­ся не более од­но­го раза. Это нужно для упро­ще­ния ре­ше­ния. В этом слу­чае от­ве­тить на во­прос за­да­чи со­всем про­сто. Нужно пе­ре­чис­лить все воз­мож­ные ком­би­на­ции из трех цифр. Вот они: , , , , , .

    Всего 6 штук. Со­гла­си­тесь, ма­ло­ва­то для ав­то­мо­биль­ных но­ме­ров. Да­вай­те те­перь будем ну­ме­ро­вать ма­ши­ны че­ты­рех­знач­ны­ми чис­ла­ми. При­чем каж­дая цифра числа будет ме­нять­ся в диа­па­зоне от од­но­го до че­ты­рех. Также со­хра­ним тре­бо­ва­ние к од­но­крат­но­му при­сут­ствию каж­дой цифры в но­ме­ре. Здесь пе­ре­би­рать но­ме­ра вруч­ную уже за­мет­но тя­же­лее, если не ве­ри­те, убе­ди­тесь са­мо­сто­я­тель­но. А пока вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щим при­е­мом:

    пер­вая цифра но­ме­ра – 4 зна­че­ния;

    вто­рая – 3 зна­че­ния;

    тре­тья – 2 зна­че­ния.

    У по­след­ней цифры оста­ет­ся толь­ко одна воз­мож­ность. Тогда общее ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов равно про­из­ве­де­нию . Этот пе­ре­бор можно про­ил­лю­стри­ро­вать при по­мо­щи так на­зы­ва­е­мо­го де­ре­ва воз­мож­ных ва­ри­ан­тов (Рис. 1.). Но­ме­ра машин можно по­лу­чить, если про­чи­тать каж­дую ветку дан­ной схемы свер­ху вниз.

    Рис. 1. Де­ре­во ва­ри­ан­тов ав­то­мо­биль­ных но­ме­ров

    24 – это уже зна­чи­тель­но лучше, чем 6, од­на­ко все равно нам этого мало. В преды­ду­ще

    www.kursoteka.ru

    Элементы комбинаторики

    Цели занятия.

    Образовательные:

    познакомить обучающихся с новым разделом математики: «Комбинаторика»,  основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека;

    Развивающие:

    развивать умения решать комбинаторные  задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» по формулам, практических навыков и умений, аналитические способности, логическое мышление,

    Воспитывающая:

    формировать активность личности обучающегося, умение работать в группе

    показать, что решения комбинаторных задач возникли из практических потребностей человека.

    Оборудование: компьютеры, проектор, экран, презентация, тесты, книги.

    Ход занятия

    1. Организационный момент.

    Класс разделен на группы. В группе может быть 4 или 5обучающихся.

    Каждый обучающийся отвечает за свое поручение. (Тем самым он учится быть и руководителем, и секретарем и т.д). Переходя от каждого нового задания, обучающиеся меняются поручениями. 

    Проверка д/з.

    Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

    ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)

    Задачи такого типа называются комбинаторными.

    Комбинаторика –  раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин «комбинаторика» был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, — всемирно известным немецким учёным.

    Комбинаторные задачи  делятся на несколько групп.

    1. Сообщение новых знаний.
      1. Задача:

    Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?

    abc  acb

    bac bca

    cab cba     ответ:6

    Это задача на   перестановки

    Перестановкой из n элементов называется  каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

    Pn = n(n-1)(n-2)∙…∙3∙2∙1

    Pn = n!

    Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!    n! = 1 · 2 · 3 · … · n.

    Факториалы растут удивительно быстро.

    n          1          2          3          4          5          6          7          8                   9                    10

    n!        1          4          6          24        120      720      5040    40 320    362 880       3 628800

     Задача. Сколькими способами можно расставить  8 участниц  финального забега  на  восьми беговых дорожках?

    P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320

    Задача.

    Квартет

    Проказница Мартышка

    Осёл,

    Козёл,

    Да косолапый Мишка

    Затеяли играть квартет

    Стой, братцы стой! –

    Кричит Мартышка, — погодите!

    Как музыке идти?

    Ведь вы не так сидите…

    И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

    Вот пуще прежнего пошли у них разборы

    И споры,

    Кому и как сидеть…

    Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?

    P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

    Задача. У нас имеется  5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги . Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

      Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.

    Это размещения .

    Размещением из n элементов по k (k≤n)  называется любое множество, состоящее из k  элементов, взятых в определённом порядке из данных  n  элементов.

    Ank=n!/(n-k)!

     Задача. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами  можно составить  расписание на один день, чтобы  в нём было 4 различных предмета? 

    A94 =9!/5! = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024

    Задача.  Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5  книг?

    Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

    123  124  125  134  135  145

            234  235  245

                    345         ответ: 10

    Это сочетания .   

    Сочетанием из n элементов по k  называется любое множество, составленное  из  k элементов, выбранных  из данных  n  элементов.

    Cnk=n!/((n-k)!k!)

      Задача. В  классе  7 человек  успешно занимаются  математикой.  Сколькими способами  можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

    C72 =21

    Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать так, чтобы он начинался словами «Сколькими способами…»

    1. Физкультминутка.
    2. Закрепление темы.

    Тест по комбинаторики ( 8 обучающихся выполняют тест на компьютере, остальные на бумаге, взаимопроверка)

    Вариант 1.

    1.    Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

     1) 30                          2)       100              3)       120              4) 5

     2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

     1) 128                        2)       495                   3) 36                     4) 48

     3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

     1) 10                          2) 60                     3) 20                     4) 30

      № задания   1          2          3

     № ответа       3          2          4

                                                              Вариант 2.

    1.    Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

    1)           100              2)       30                3)       5                  4)     120

    2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

    1)           3                  2)       6                  3)       2                  4)     1

    3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.

    1)           10000                    2)       1680             3)       32              4)    1600

    № задания     1          2          3

    № ответа        4          1          2

    Вариант 3.

    1.    Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

    1)           24                2)       4                  3)       16                4) 20

    2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

    1)           30                2)       21                3)       14                4) 7

    3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

    1)  22                         2)       11                3)       150              4)     110

    № задания     1          2          3

    № ответа        1          2          4

    Вариант 4

    1.    Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

    1) 5        2)       120              3)       25                4)   100

    2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх  для участия в праздничном концерте?

    1) 455                           2)       45           3)       475                4)   18

    3.  В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

    1)  600                       2)       100              3)       300              4)720

    № задания     1          2          3

    № ответа        2          1          4

    2)  Проблемный вопрос:

    Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?

    Решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, задач из  ГИА, ЕГЭ.

    Области применения  комбинаторики:
    -учебные заведения ( составление расписаний)

    -сфера общественного питания (составление меню)

    -лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

    -спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

    -агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

    -география (раскраска карт)

    -биология (расшифровка кода ДНК)

    -химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

    -экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

    -криптография (разработка методов шифрования)

    -доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

    -военное дело (расположение подразделений)

        Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.

      Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.

      Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.

    Вывод:

    Комбинаторика повсюду.

    Комбинаторика везде.

    Комбинаторика вокруг  нас.

    VI. Д/з:

     1.В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров. 

      Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?

    2.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но  забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

    3.     В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

    4. Проект «История комбинаторики»

    VII.Итог, рефлексия.

    Определи своё  настроение в конце урока.

    videouroki.net

    Элементы комбинаторики

    ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

    Процесс получения навыков подсчета комбинаторных объектов можно расчленить на три этапа в зависимости от времени обучения и методов подсчета:

    • подсчет методом непосредственного перебора;

    • подсчет с использованием комбинаторных принципов;

    • подсчет с использованием формул комбинаторики.

    Справочный материал  Перебор возможных вариантов в комбинаторных задачах

    Рисунок 1. Виды комбинаторных задач

    Пример.

    В магазине продают шарфы трех цветов: зеленый, голубой и розовый. Подружки покупают себе по одному шарфу. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?

    Решение.

    Что дано? Шарфы трех цветов.

    Что нужно сделать? Узнать количество способов покупки двух шарфов.

    Поскольку в условии задачи не сказано о том, что подружки покупают шарфы различных цветов, то они могут купить либо два шарфа одного цвета, либо два шарфа различных цветов.

    Могут быть куплены следующие шарфы:

    зеленый, зеленый

    зеленый, голубой

    зеленый, розовый

    голубой, голубой

    розовый, розовый

    розовый, голубой

    Ответ. Возможно 6 способов покупки двух шарфов.

     Перебор объектов с помощью графов в комбинаторных задачах

    Пример.

    Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в числе могут повторяться?

    Решение.

    Что дано? Цифры 1, 2, 3.

    Что нужно сделать? Узнать количество способов составления трехзначных чисел.

    Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выписать все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем – начинающиеся с цифры 2; после чего – начинающиеся с цифры 3 (см. Рисунок 2). Таких комбинаций получим 27. При переборе легко было упустить какую–нибудь из них.

    Рисунок 2. Перебор объектов при помощи графа–дерева

    Ответ. Возможно 27 способов записи трехзначных чисел.

    Пример.

    При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было четверо?

    Решение.

    Что дано? 4 друга.

    Что нужно сделать? Узнать количество способов рукопожатия рук другу.

    Четырех друзей поместим в вершины графа и проведем все возможные ребра, которые будут обозначать рукопожатия каждой пары друзей (см. Error: Reference source not found). Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и рукопожатий было сделано 6.

    Ответ. Возможно 6 способов рукопожатий.

     Перебор объектов с помощью составления таблиц вариантов в комбинаторных задачах

    Пример.

    Сколько различных двухзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в числе могут повторяться?

    Решение.

    Что дано? Цифры 1, 2, 3.

    Что нужно сделать? Узнать количество способов составления двухзначных чисел.

    Составим таблицу всевозможных вариантов составления двухзначных чисел следующим образом:

    Таблица 1. Таблица вариантов

    вторая цифра

    первая цифра

    1

    2

    3

    1

    11

    12

    13

    2

    21

    22

    23

    3

    31

    32

    33

    Из Таблица 1 видно, что можно образовать 9 различных двухзначных чисел.

    Ответ. Возможно 9 способов составления двухзначных чисел.

    studfiles.net

    Математика 1 класс примеры игры – игры решать примеры 1 класс

    Математические игры в 1 классе «Занимательная математика»

    Задания, игры и упражнения по

    математике для 1 класса

    «Числа от 1 до 10. Сложение и вычитание в пределах 10»

    1. Напиши соседей чисел.

    2

    4

    5

    7

    4

    5

    6

    7

    2

    3

    3

    4

    2

    5

    7

    2. Вставь вместо звёздочки знак «+» или «-»:

    5 * 3 = 8 7 * 2 = 9

    3 * 5 = 8 2 * 7 = 9

    8 * 3 = 5 9 * 7 = 2

    8 * 5 = 3 9 * 2 = 7

    5 * 4 = 9 6 * 4= 10

    3 * 7 = 10 1 * 9 = 10

    7 * 4 = 3 5 * 4 = 1

    2 * 2 * 3 = 1

    3 * 2 * 1 = 4

    4 * 1 * 2 = 1

    3. Заверши рисунки и записи:

    а)


    + 2 — 3

    2 + 2 – 3 = …

    б)

    — 2 + 1

    4 — … + … = …

    4. Реши. Прочитай полученные слова:


    УЧЕБНИК КОНФЕТА ПОДЪЕЗД

    7 – 1 = … … — … = … … — … = …

    5. Расшифруй слово:

    7 – 2 – 1 = … Н 2 + 2 + 2 = … Е

    5 – 4 + 1 = … О 3 + 4 – 2 = … Ц

    4 — 1 – 2 = … С 4 – 3 + 2 = … Л

    1 10 9 8 5 6

    Расшифруй слово:

    О

    7 — 2

    Л

    6 + 3


    Е

    6 — 5

    Ц

    6 — 4

    М

    5 — 1

    Д

    2 + 1

    4 5 9 5 3 1 2

    6. Найди ошибки:

    8 = 8 4 + 3 = 8 2 + 7 = 9

    7 > 4 3 + 1 < 6 6 – 4 > 3

    3 < 1 7 + 1 = 1 + 7 5 < 5 + 4

    7. Найди лишние выражения и зачеркни их:


    1 + 6 3 + 4 2 + 3 5 + 2

    7 – 2 7 – 6 8 – 3 7 – 3

    8. Раскрась грани кубика Рубика:

    9 — 7

    1 + 8

    3 + 6

    4 + 5

    7 + 2

    9 — 0

    6 — 4

    9 + 0

    6 + 3

    8 — 7

    4 — 3

    6 – 5

    7 — 4

    8 — 5

    9 – 6

    9 — 8

    0 + 1

    7 — 6

    1 2 3 9

    9. Из каких чисел состоит?


    7777

    1

    2

    3

    4

    5

    6


    77????

    1

    4

    3

    2

    5


    10. Числовая лесенка

    11. Реши выражения и раскрась Жар-птицу.



    5 4 3 2

    12. Дай математическую информацию о числе: однозначное или двузначное, чётное или нечётное; состав числа; соседи числа на числовом отрезке.

    13. Найди закономерность. Продолжи ряды чисел влево и вправо:

    4 6 … …

    … … 3 4 5 … … … … …

    14. Игра «Лишнее число»

    Даны числа: 1, 10, 6.

    Задание: найди лишнее число.

    15. Игра «Чем похожи?»

    Даны выражения: 3 + 4

    1 + 6

    Задание: ответить на вопрос – что общего у этих выражений?

    16. Игра «Ошибки-невидимки»

    Учащимся предлагаются математические записи, содержащие ошибки.

    Задание: необходимо исправить ошибку, ничего не исправляя, сделать её невидимой.

    8 = 7 6 + 3 =10 7 – 2 = 2

    17. Игра «Числа вокруг нас»

    Учащимся предлагается назвать как можно больше слов, в состав которых входит название какого-нибудь числа.

    Например, 1 – единица, единство, одинокий, однажды и т . д.;

    2 – двойка, двойник, двушка, двустволка, дуэт и т. д.

    18. Найди закономерность и вставь пропущенное число:

    7 5

    2


    9 4

    ?

    2

    3

    1

    4

    4

    8

    6

    7

    ?

    2

    10

    8

    4

    5

    1

    6

    ?

    3

    4

    3

    1

    8

    5

    3

    6

    ?

    3

    19. Реши кроссворд

    Вопросы

    По горизонтали

    1. Вид ее – как запятая. Хвост крючком, и не секрет:
    Любит всех она лентяев, а лентяи ее – нет.

    4. Цифра вроде буквы О – это ноль иль ничего.
    Круглый ноль такой хорошенький, но не значит ничегошеньки!
    Если ж слева рядом с ним единицу примостим,
    Он побольше станет весить, потому что это – …

    5. Гляди-ка, эта цифра – стул, который я перевернул.

    9. Шесть через голову перекатилась –
    И я у вас получилась.

    10. Не похож он на пятак, не похож на рублик,
    Круглый он, да не дурак, с дыркой, да не бублик!

    11. Я горбатая старушка. Или стружка – завитушка.

    По вертикали

    2. Два кольца, но без конца, в середине нет гвоздя.
    Если я перевернусь, то совсем не изменюсь.
    Ну, какая цифра я?

    3. Цифра легкая совсем!
    Я косу принесу
    И срисую ту косу!

    6. Один заметил: «Нуль с хвостом»,
    Другой: «С хвостом, но только кошка».
    А третий помолчал немножко.

    7. Налитая, симпатичная, цифра самая отличная!

    8. На одной ноге в болоте вы меня легко найдете.
    Или: На длинной ножке, застыв до поры,
    Отдыхает палочка после игры.

    Ответы

    По горизонтали

    1. Два. 4. Десять. 5. Четыре. 9. Девять. 10. Ноль. 11. Три.

    По вертикали

    2. Восемь. 3. Семь. 6. Шесть. 7. Пять. 8. Единица.

    20. Отгадай ребусы:

    21. Игра «Молчанка»

    22. Найди значения выражений. Раскрась.

    23. Реши кроссворд

    infourok.ru

    игры математика 1 класс примеры

    игры обучающие играем бесплатно

    • игры обучающие для девочек Игра для любителей математики, а также Маши и Медведя, задача проста — медвежонок несет Машу в корзинке и в определенные промежутки времени Маша загадывает Мишке пример, вы должны ответить правильно и только тогда вы продолжите путь.

    • игры математика 2 класс примеры

    • игры математика 4 класс — игры обучающие

    • игры математика для 1 класса

    • игры математика для 2 класса

    • игры математика примеры — игры обучающие

    • игры математика таблица умножения — игры обучающие

    • игры решаем примеры — игры обучающие

    • математика 1 класс игры — игры обучающие

    • игры математика 1 класс играть На протяжение уровня появляются разнообразные существа несущие примеры разной сложности, твоя задача решить пример до того как они доберутся до твоего домика.

    • игры для 1 класса по математике — игры обучающие

    • математика 7 лет игры — игры обучающие В игре нам предстоит решать разнообразные математические примеры того уровня сложности, который вы сами зададите в начале игры.

    • интеллектуальные игры математика — игры обучающие Вы играете на время и вам нужно сопоставить правильные ответы к примерам соответствующие им, после правильного прохождения уровня вам откроется крутая картинка.

    • игры математика 1 класс задачи Лопайте насекомых, пока они летят решая примеры, которое появляется у каждого.

    • занимательная математика 4 класс игры — игры обучающие

    • развивающие игры по математике 5 6 лет — игры обучающие Вычисляйте заданный пример, и кликайте на одно из чисел в пузырьках, которое содержит ответ на этот пример.

    • игры по математике для школьников — игры обучающие Каждый правильно решенный пример будет ускорять вашего персонажа.

    • занимательная математика 1 класс игры — игры обучающие

    • игры ребусы по математике — игры обучающие В каждом уровне нам представляется пример, сложенный из спичек, и наша цель — переложить минимальное количество спичек так, чтобы получился правильный ответ.

    • игры математика решать примеры — игры обучающие

    • игры математика 3 класс развивающие — игры обучающие Потренируй свои математические способности с помощью этой игры.

    • игры с математикой 2 класс — игры обучающие

    • игры математика 3 класс задачи — игры обучающие Эта игра отлично подойдет для маленьких детей которые учатся считать.

    • игры математика 3 класс примеры Джангл Бреин прекрасно подойдёт для детей. Вы соревнуетесь в своих знаниях с компьютером или же с другим игроком в знании математики. С каждым уровнем, математические примеры все сложнее, путь всё труднее.

    • игры для девочек математика 6 класс За определенное время вы должны решить в уме двадцать примеров на умножение, деление, сложение и вычитание.

    legoigri.ru

    Игры и задания по математике для учащихся 1 класса


    Игры и задания по математике.

    1 класс

    Акулова И.А. – учитель начальных классов

    КГУ « Школа-гимназия №10»

    г.Усть-Каменогорск

    Методические рекомендации предназначены для учителей начальных классов. Они содержат дидактические игры и задания для индивидуальной работы по математике в 1 классе 12-летней общеобразовательной школы.

    С помощью предлагаемой системы игр и заданий можно успешно организовать индивидуальную и самостоятельную работу при изучении программного курса «Математика».

    Предлагаемый материал систематизирован по разделам и темам программы.

    ВВЕДЕНИЕ

    «Программа 12-летней школы» включает две содержательные части обучения в 1 классе:

    • Подготовительный период – «Азбука познания»

    • Учебно-познавательный период – «Познание и развитие».

    Специальный подготовительный период, обеспечивающий адаптацию учащихся к школьному обучению выделен в Программе с учётом того, что в 1 класс приходят шестилетние дети с разным уровнем подготовки к школе.

    Игры и задания, предложенные в методическом пособии, систематизированы в соответствии с данной особенностью организации обучения первоклассников.

    Общеизвестно, что учебная деятельность для шестилетних детей представляет особые трудности, связанные с психофизиологическими особенностями данного возраста. Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Немаловажная роль здесь отводится дидактическим играм – современному и признанному методу обучения и воспитания, обладающему образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве.

    Методические рекомендации могут быть использованы в качестве рабочей тетради, а также как отдельные игры и задания.

    Но надо помнить, что дидактическая игра – не самоцель на уроке, а средство обучения и воспитания. На неё нужно смотреть как на вид преобразующей творческой деятельности в тесной связи с другими видами учебной работы.

    3

    Для удобства отслеживания качества знаний, умений и навыков учащихся предлагаем соответствующий раздел из программы 12-летней общеобразовательной школы.

    после окончания 1 класса

    Знания:

    • переместительное свойство сложения,

    • таблица сложения в пределах 10 и соответственные случаи вычитания. Состав числа до 10.

    Умения:

    • читать, записывать и сравнивать однозначные числа, десятки;

    • выполнять сложение и вычитание однозначных чисел, сложение, вычитание и разностное сравнение чисел; составлять, записывать и читать суммы, разность двух чисел и находить их значения;

    • распознавать геометрические фигуры; начертит (построить) отрезок заданной длины.

    4

    АЗБУКА ПОЗНАНИЯ

    Раздел: «Простейшие представления»

    Тема: «Счёт предметов»

    1. Игра «Дорисуй бусы». Посчитай бусинки.

    1. Игра «Художник».

    Помоги художнику дорисовать картинки из квадратов. Сколько у тебя получилось рисунков?

    5


    1. Игра «Помоги считать Винни-Пуху».

    Медвежонок Винни-Пух очень любит мед. Увидел он на дереве пчелиное гнездо и полез за медом.

    Мишка очень любит мед.
    Отчего? Кто поймет?
    В самом деле, почему
    Мед так нравится ему?

    Б.Заходер

    Лезет и все вокруг считает, чтобы не скучно было: сколько веток у сосны? Сколько шишек на каждой ветке? Сколько птиц на дереве? Сколько облачков в небе? Сколько пчел вьется вокруг пчелиного гнезда? Одна пчела укусила Винни-Пуха прямо в нос! Ой!

    6

    Тема: «Сравнение предметов»

    1. «Больше — меньше».

    Поставь рядом с животными числа в порядке уменьшения размеров.

    1. «Длиннее — короче». «Выше — ниже»

    Раскрась футболку самого высокого мальчика в зеленый цвет, а футболку самого низкого мальчика — в коричневый цвет. 

    Раскрась волосы мальчика в длинных штанах в темный цвет, а ботинки мальчика в коротких штанах в синий цвет.

    7

    Тема: «Представление о пространстве»

    1. Игра «Дорисуй картинку».

    Расположи предметы на картинках в указанных местах.

    8

    Над домом

    Рядом с домом

    На доме

    Перед домом

    Под столом

    Над столом

    Слева от стола

    Перед столом

    Справа от стола


    Тема: «Представление о времени»

    1. Определи, который час показывают эти часы.

    1. Пронумеруй картинки по порядку.

    9

    Тема: «Порядковый счёт»

    1. Игра «Художник»

    Помоги художнику дорисовать картинки. Назови – первый, второй, третий, четвёртый, пятый, шестой, седьмой рисунок.

    10

    Тема: «Линии»

    1. Игра «Весёлый Карандаш».

    Карандаш рисовал различные линии.

    Помоги ему дать название каждой из них. Соедини линию с её названием.

    1. Найди на ковре линии разных видов.

    Назови их.

    11

    Тема: «Точка. Луч. Угол»

    1. Помоги Чиполлино найти фигуру, в которой все углы прямые. Раскрась её.

    1. Найди на ковре точки, лучи, углы.

    Посчитай их.

    12

    Тема: «Отрезок и измерение его длины»

    1. Найди одинаковые по длине отрезки. Соедини их линией.

    13

    ПОЗНАНИЕ И РАЗВИТИЕ

    Раздел: «Числа. Сложение и вычитание»

    Тема: «Числа в пределах десяти»

    1. Игра «Поймай Цифрозавра».

    Найди все цифры на рисунке – обведи их.

    1. Игра «Сумма и разность».

    Раскрась суммы красным цветом, а разности – синим.

    14

    3. Игра «Необычная прогулка».

    На разных берегах речки живут зверушки. Они любят ходить друг к другу в гости.

    Идут по мостику и считают бревнышки. Те, кто ходят в гости с левого берега на правый, считают, сколько

    бревнышек они уже прошли. А те, кто ходят с правого берега на левый, считают, сколько бревнышек еще осталось пройти.

    Давайте погуляем по мостику вместе со зверятами.

    Мы по мостику крутому
    Ходим к берегу другому.
    Тут прибавить, здесь отнять —
    Все придется нам понять.

    15


    1. Игра «Воздушный шар».

    Посади каждый воздушный шар на его посадку.

    5. Игра «Магазин».

    Купи в магазине вещь, соединив её с нужной цифрой.

    16


    1. Игра « Доктор Айболит».

    Догадайся, кому из животных нужна помощь.

    1+8-5= 9-5+3=

    8-1-6= 4+2+2+1=

    2+7-6= 8-4+5-7=

    1. Игра «Кто быстрее?»

    Больше или меньше? Сравни числа и первым дойди до приза.

    17


    1. Игра «Где причал?»

    1. Игра «Помоги птицам заселить числовые домики»

    18


    1. «Определи маршрут самолёта».

    Реши круговые примеры.

    1. Игра «Помоги зайчику найти свою квартиру в доме».

    Реши примеры.

    19

    12. Игра «Укрась ёлочку».

    Укажи стрелкой, где висят игрушки. Раскрась их. Дорисуй игрушки – составь примеры.

    20

    13. Игра «Запуск ракеты».

    Полетай по звёздам – реши примеры.

    21


    1. Расставьте значки в соответствии с цифрами.

    1. Проведи линии так, чтобы разделить предметы на четыре группы. Назови каждую группу.

    22

    16. Найдите в каждой рамке лишний предмет. Объясни, почему он лишний. Назови остальные — одним словом.

    Попробуй сам нарисовать четыре предмета так, чтобы один был лишний.

    1. Расставь все предметы по квадратам так, чтобы в каждой строке и в каждом столбике был только один из них.

    23

    18. Дорисуй рисунки так, чтобы все они были одинаковыми.

    Раскрась рисунки.

    19. Нарисуй недостающую фигуру.

    24

    20. Составь по рисунку задачи и реши их.

    21. Реши логическую задачу.

    25

    Тема: «Десятки. Сто»

    1. Игра «Футбол». Реши примеры и забей гол в ворота.

    26

    2. Игра «Помоги Буратино». Продолжи ряды.

    1. Игра «Летучая мышь»

    Соедини кружки, начиная с самого маленького числа.

    27


    Тема: «Повторение. Чему мы научились?»

    1. Творческое задание.

    Сочини сказку про цифры.

    28

    2. Игра «Учимся с Аликом».

    Реши примеры. Соедини пример с ответом.

    3. Игра «Помоги Львёнку».

    Закрась все квадраты, в которых сумма чисел равна 10.

    Что получилось?

    29


    СОДЕРЖАНИЕ

    Введение ………………………………………………………3

    Азбука познания. «Простейшие представления»

    Счёт предметов …………………………………………..….5

    Сравнение предметов………………………………………….7

    Представление о пространстве.……………………………….8

    Представление о времени………………….. ………………..9

    Порядковый счёт……..………………………………………10

    Линии………………………………………………………….11

    Точка. Луч. Угол …………………………………………….12

    Отрезок и измерение его длины…………………..…………13

    Познание и развитие. «Числа. Сложение и вычитание»

    Числа в пределах 10…………………………………………..14

    Десятки. Сто……… …………………………………………26

    Повторение. Чему мы научились?..………………………… 28

    Литература ……………………………………………………31

    30

    28


    1. Программы. 1-4 классы 12-летней школы (Пробный вариант) – Алматы: Атамура, 2004.

    2. Математика. Методическое руководство (пробный вариант): для учителей 1 класса 12-летней общеобразовательной школы/ Т.К.Оспанов, А.С.Акрамова, Ж..К.Астамбаева. — Алматы: Атамура, 2003.

    3. Математика: Учебник для 1 класса 12-летней общеобразовательной школы (пробный вариант)/А.Е.Абылкасымова, Т.К.Оспанов, А.С.Кенеш. – Алматы: Атамура, 2004.

    4. Математика: Рабочая тетрадь для 1 класса 12-летней общеобразовательной школы (пробный вариант)/ А.Е.Абылкасымова, Т.К.Оспанов, А.С.Кенеш. – Алматы: Атамура, 2004.

    5. Шклярова Т.В. «Математика. Сборник упражнений. 1-2 класс» — М: 2Грамотей», 2009.

    6. Узорова О.В. «Контрольные и олимпиадные задания по математике». Пособ.для четырёхлет. Нач.шк.: 1-2 кл. – М.:АСТ: Астрель, 2005.

    7. Давайте поиграем: Мат. Игры для детей 5-6 лет/ Н.И.Касабуцкий, Г.Н.Скобелев, А.А.Столяр – м.: Просвещение, 1991.

    8. Цыкина Н.А. «Тестовые и контрольные работы по математике для начальной школы (1-4 классы)» – Волгоград: учитель, 2003.

    9. Математика: тесты: 1 кл/ С.И.Волкова, И.С.Ордынкина. – Тула: Родничок; М.: Астрель, 2005.

    10. Тихомирова Л.Ф. «Логика. Дети 5-7 лет» — Ярославль: Академия Холдинг, 2000.

    11. Михайлова З. А. Игровые занимательные задачи для дошкольников. – М.: Просвещение, 1985.

    31


    infourok.ru

    Практикум по теории статистики шмойлова решебник онлайн – . .., .. .

    Практикум по теории статистики | Шмойлова Р.А., Минашкин В.Г., Садовникова Н.А.

    Настоящее издание представляет собой практическое пособие по статистике. Книга получила высокие отзывы на кафедре статистики Российского государственного торгово-экономического университета. Авторы учебника Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова. Второе издание 2006 года, первое – 1998, под редакцией Р.А. Шмойловой. Версия переработана и дополнена. Заново написаны главы 7 и 8Содержит 416 страниц. Практическое пособие составлено в соответствии с типовой учебной программой курса «Теория статистики». Приведен сжатый обзор основополагающих понятий общей теории статистики, описана группировку статистических данных, рассмотрены абсолютные, относительные и средние величины. Есть информация по статистическим распределениям, выборочном наблюдении, рядах динамики, индексах и их использовании в экономико-статистических исследованиях. Изложены типовые примеры с решениями и задачи, даны ответы. Содержится раздел с советами для преподавателям. В приложениях даются математико-статистические таблицы, которые помогут для решения задач. Книга будет полезна для преподавателей, аспирантов, студентов экономических вузов, менеджеров, учащихся спецфакультетов второго высшего образования.

    Доп. информация: КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ (полное содержание в pdf файле в виде закладок)
    Раздел I. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА
    Глава 1. Статистика как наука

    Глава 2. Сбор статистической информации

    Глава 3. Статистическая сводка и группировка

    Глава 4. Статистические таблицы

    Глава 5. Графическое изображение статистических данных

    Гл а в а 6. Формы выражения статистических показателей
    Раздел II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
    Гл а в а 7. Показатели вариации и анализ частотных распределений.

    Глава 8. Выборочное наблюдение.

    Гл а в а 9. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений.

    Глава 10. Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений.

    Глава 11. Статистический анализ структуры.

    Глава 12. Экономические индексы

    Гл а в а 13. Общие вопросы анализа и обобщения статистических данных.
    Задания для самостоятельной работы студентов.

    Приложения.

    Ответы к задачам.
    на всех страницах — водяной знак(читать абсолютно не мешает) «только для ознакомления, специально для ***»

    bookfi.net

    Практикум по теории статистики | Шмойлова Р.А., Минашкин В.Г., Садовникова Н.А.

    Настоящее издание представляет собой практическое пособие по статистике. Книга получила высокие отзывы на кафедре статистики Российского государственного торгово-экономического университета. Авторы учебника Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова. Второе издание 2006 года, первое – 1998, под редакцией Р.А. Шмойловой. Версия переработана и дополнена. Заново написаны главы 7 и 8Содержит 416 страниц. Практическое пособие составлено в соответствии с типовой учебной программой курса «Теория статистики». Приведен сжатый обзор основополагающих понятий общей теории статистики, описана группировку статистических данных, рассмотрены абсолютные, относительные и средние величины. Есть информация по статистическим распределениям, выборочном наблюдении, рядах динамики, индексах и их использовании в экономико-статистических исследованиях. Изложены типовые примеры с решениями и задачи, даны ответы. Содержится раздел с советами для преподавателям. В приложениях даются математико-статистические таблицы, которые помогут для решения задач. Книга будет полезна для преподавателей, аспирантов, студентов экономических вузов, менеджеров, учащихся спецфакультетов второго высшего образования.

    Доп. информация: КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ (полное содержание в pdf файле в виде закладок)
    Раздел I. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА
    Глава 1. Статистика как наука

    Глава 2. Сбор статистической информации

    Глава 3. Статистическая сводка и группировка

    Глава 4. Статистические таблицы

    Глава 5. Графическое изображение статистических данных

    Гл а в а 6. Формы выражения статистических показателей
    Раздел II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
    Гл а в а 7. Показатели вариации и анализ частотных распределений.

    Глава 8. Выборочное наблюдение.

    Гл а в а 9. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений.

    Глава 10. Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений.

    Глава 11. Статистический анализ структуры.

    Глава 12. Экономические индексы

    Гл а в а 13. Общие вопросы анализа и обобщения статистических данных.
    Задания для самостоятельной работы студентов.

    Приложения.

    Ответы к задачам.
    на всех страницах — водяной знак(читать абсолютно не мешает) «только для ознакомления, специально для ***»

    booksee.org

    Практикум по теории статистики | Шмойлова Р.А., Минашкин В.Г., Садовникова Н.А.

    Настоящее издание представляет собой практическое пособие по статистике. Книга получила высокие отзывы на кафедре статистики Российского государственного торгово-экономического университета. Авторы учебника Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова. Второе издание 2006 года, первое – 1998, под редакцией Р.А. Шмойловой. Версия переработана и дополнена. Заново написаны главы 7 и 8Содержит 416 страниц. Практическое пособие составлено в соответствии с типовой учебной программой курса «Теория статистики». Приведен сжатый обзор основополагающих понятий общей теории статистики, описана группировку статистических данных, рассмотрены абсолютные, относительные и средние величины. Есть информация по статистическим распределениям, выборочном наблюдении, рядах динамики, индексах и их использовании в экономико-статистических исследованиях. Изложены типовые примеры с решениями и задачи, даны ответы. Содержится раздел с советами для преподавателям. В приложениях даются математико-статистические таблицы, которые помогут для решения задач. Книга будет полезна для преподавателей, аспирантов, студентов экономических вузов, менеджеров, учащихся спецфакультетов второго высшего образования.
    Доп. информация: КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ (полное содержание в pdf файле в виде закладок)Раздел I. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКАГлава 1. Статистика как наука
    Глава 2. Сбор статистической информации
    Глава 3. Статистическая сводка и группировка
    Глава 4. Статистические таблицы
    Глава 5. Графическое изображение статистических данных
    Гл а в а 6. Формы выражения статистических показателейРаздел II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАГл а в а 7. Показатели вариации и анализ частотных распределений.
    Глава 8. Выборочное наблюдение.
    Гл а в а 9. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений.
    Глава 10. Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений.
    Глава 11. Статистический анализ структуры.
    Глава 12. Экономические индексы
    Гл а в а 13. Общие вопросы анализа и обобщения статистических данных.Задания для самостоятельной работы студентов.
    Приложения.
    Ответы к задачам.на всех страницах — водяной знак(читать абсолютно не мешает) «только для ознакомления, специально для ***»

    b-ok.org

    Практикум по теории статистики — Шмойлова Р.А.

    Автор: Шмойлова Р.А., Минашкин В.Г., Садовникова Н.А.

    Описание: Цель учебного пособия «Практикум по теории статистики» — помочь студентам лучше осмыслить категории статистической науки, научить их применять научные методы статистического исследования и за статистическими показателями увидеть конкретное содержание, а также выработать практические навыки решения конкретных задач различного типа в разных областях экономики. По содержанию, применяемой терминологии и символике практикум ориентирован на учебник под редакцией профессора Р.А. Шмойловой «Теория статистики», который успешно выдержал четыре издания: первое издание вышло в 1996 г., а четвертое — в 2003 г. Практикум по теории статистики состоит из двух разделов и тринадцати глав. Каждая глава содержит три подраздела: Методические указания и решение типовых задач, Задачи и упражнения и Рекомендации преподавателям. В первом подразделе книги «Практикум по теории статистики» даются методические указания для студентов, где раскрываются основные категории статистической науки и показывается методология исчисления показателей , которые используются в аналитической работе, а также приводятся решения типовых задач (кроме глав 1 и 2). Во втором подразделе представлен набор задач и упражнений для проведения практических занятий и самостоятельных заданий студентов, построенных на фактических данных, взятых из статистических сборников и периодической печати, или на условных данных, В конце практикума на сложные задачи даны ответы.
    Третий, весьма краткий, подраздел главы предназначен для преподавателей. В нем авторы учебного пособия «Практикум по теории статистики» делятся опытом организации учебного процесса по курсу теории статистики, в частности излагается содержание аудиторных (практических и семинарских) занятий со студентами, даются разъяснения авторов о том, что должна представлять собой внеаудиторная работа студентов, содержатся рекомендации относительно контрольных работ по темам курса. После всех глав практикума представлены индивидуальные задания по всему курсу для самостоятельной работы студентов с необходимыми статистическими данными. Эти задания могут раздаваться студентам на первом же занятии по курсу, что в значительной мере облегчит работу и преподавателя, и студента. Ими можно воспользоваться при решении задач по отдельным темам курса в соответствии с рекомендациями, содержащимися в конце каждой главы практикума. В приложениях 1-17 содержатся необходимые данные для решения задач и математико-статистические таблицы, а в приложении 18 приведены интернет-ресурсы, содержащие статистическую информацию и аналитические обзоры. Многолетний опыт работы кафедры показывает, что предлагаемые задания, представляющие собой взаимосвязанную систему упражнений, выполнение которых студентами обязательно, обеспечивают систематическую последовательную работу студентов в течение всего времени изучения курса по учебному плану.
    Во втором издании практикума (1-е изд. — 1998 г.) полностью переработаны главы 7 и 8, обновлены цифровые материалы, в некоторых главах добавлены новые типы задач, а также представлены интернет-ресурсы статистической информации. Учебное пособие «Практикум по теории статистики» подготовлено авторским коллективом преподавателей кафедры теории статистики и прогнозирования Московского государственного университета экономики, статистики и информатики. Труд авторов распределился следующим образом; Р.А. Шмойлова, профессор, кандидат экономических наук — предисловие, главы 1, 2, 5, 7 и 10; В.Г. Минашкин, профессор, кандидат экономических наук — главы 6, 8, 11 и 12; Н.А. Садовникова, доцент, кандидат экономических наук — главы 3, 4, 9 и 13.
    Содержание книги

    ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА
    Статистика как наука
    Сбор статистической информации (теория статистического наблюдения)
    Статистическая сводка и группировка
    Статистические таблицы
    Графическое изображение статистических данных
    Формы выражения статистических показателей
    АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
    Показатели вариации и анализ частотных распределений
    Выборочное наблюдение
    Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений
    Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений
    Статистический анализ структуры
    Экономические индексы
    Общие вопросы анализа и обобщения статистических данных
    Задания для самостоятельной работы студентов


     скачать учебное пособие: Практикум по теории статистики — Шмойлова Р.А. (22.26 Мбайт)

    institutiones.com

    Практикум по теории статистики | Шмойлова Р.А., Минашкин В.Г., Садовникова Н.А.

    Настоящее издание представляет собой практическое пособие по статистике. Книга получила высокие отзывы на кафедре статистики Российского государственного торгово-экономического университета. Авторы учебника Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова. Второе издание 2006 года, первое – 1998, под редакцией Р.А. Шмойловой. Версия переработана и дополнена. Заново написаны главы 7 и 8Содержит 416 страниц. Практическое пособие составлено в соответствии с типовой учебной программой курса «Теория статистики». Приведен сжатый обзор основополагающих понятий общей теории статистики, описана группировку статистических данных, рассмотрены абсолютные, относительные и средние величины. Есть информация по статистическим распределениям, выборочном наблюдении, рядах динамики, индексах и их использовании в экономико-статистических исследованиях. Изложены типовые примеры с решениями и задачи, даны ответы. Содержится раздел с советами для преподавателям. В приложениях даются математико-статистические таблицы, которые помогут для решения задач. Книга будет полезна для преподавателей, аспирантов, студентов экономических вузов, менеджеров, учащихся спецфакультетов второго высшего образования.

    Доп. информация: КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ (полное содержание в pdf файле в виде закладок)
    Раздел I. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА
    Глава 1. Статистика как наука

    Глава 2. Сбор статистической информации

    Глава 3. Статистическая сводка и группировка

    Глава 4. Статистические таблицы

    Глава 5. Графическое изображение статистических данных

    Гл а в а 6. Формы выражения статистических показателей
    Раздел II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
    Гл а в а 7. Показатели вариации и анализ частотных распределений.

    Глава 8. Выборочное наблюдение.

    Гл а в а 9. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений.

    Глава 10. Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений.

    Глава 11. Статистический анализ структуры.

    Глава 12. Экономические индексы

    Гл а в а 13. Общие вопросы анализа и обобщения статистических данных.
    Задания для самостоятельной работы студентов.

    Приложения.

    Ответы к задачам.
    на всех страницах — водяной знак(читать абсолютно не мешает) «только для ознакомления, специально для ***»

    en.bookfi.net

    Практикум по теории статистики | Шмойлова Р.А., Минашкин В.Г., Садовникова Н.А.

    Настоящее издание представляет собой практическое пособие по статистике. Книга получила высокие отзывы на кафедре статистики Российского государственного торгово-экономического университета. Авторы учебника Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова. Второе издание 2006 года, первое – 1998, под редакцией Р.А. Шмойловой. Версия переработана и дополнена. Заново написаны главы 7 и 8Содержит 416 страниц. Практическое пособие составлено в соответствии с типовой учебной программой курса «Теория статистики». Приведен сжатый обзор основополагающих понятий общей теории статистики, описана группировку статистических данных, рассмотрены абсолютные, относительные и средние величины. Есть информация по статистическим распределениям, выборочном наблюдении, рядах динамики, индексах и их использовании в экономико-статистических исследованиях. Изложены типовые примеры с решениями и задачи, даны ответы. Содержится раздел с советами для преподавателям. В приложениях даются математико-статистические таблицы, которые помогут для решения задач. Книга будет полезна для преподавателей, аспирантов, студентов экономических вузов, менеджеров, учащихся спецфакультетов второго высшего образования.

    Доп. информация: КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ (полное содержание в pdf файле в виде закладок)
    Раздел I. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА
    Глава 1. Статистика как наука

    Глава 2. Сбор статистической информации

    Глава 3. Статистическая сводка и группировка

    Глава 4. Статистические таблицы

    Глава 5. Графическое изображение статистических данных

    Гл а в а 6. Формы выражения статистических показателей
    Раздел II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
    Гл а в а 7. Показатели вариации и анализ частотных распределений.

    Глава 8. Выборочное наблюдение.

    Гл а в а 9. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений.

    Глава 10. Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений.

    Глава 11. Статистический анализ структуры.

    Глава 12. Экономические индексы

    Гл а в а 13. Общие вопросы анализа и обобщения статистических данных.
    Задания для самостоятельной работы студентов.

    Приложения.

    Ответы к задачам.
    на всех страницах — водяной знак(читать абсолютно не мешает) «только для ознакомления, специально для ***»

    ua.booksee.org

    Решебник по практикуму по теории статистики шмойлова

    скачать русский язык практика 9 класс решебник пичугов

    27 окт 2013. Русский язык, 9 класс, Практика, Пичугов Ю.С., 2013.. См. также книги, презентации, ГДЗ, решения задач, решебники, ЕГЭ, ГИА:. 295062307271 13 окт 2013. Скачать Русский язык. Учебник. Практика.

    Подробнее

    скачать гдз за 6 класс по математике

    Скачать решебник по математике за 6 класс Виленкина. Перейти к скачиванию ГДЗ. ГДЗ по математике, 6 класс, Виленкин. Смотрите также другие ГДЗ. 8661476544 Гдз по математике н я виленкин за 6 класс — Более

    Подробнее

    игнашов решебник по динамике

    27 май 2009. Автор: Игнашов И.А. Жанр: решебник Издательство: Игнашов И.А.. добрые люди — Решенные задачи по теме Динамика из учебн. 8218201145 Решебник Игнашова по задачнику Мещерского по теоретической

    Подробнее

    гдз алгебра мордкович часть 2

    Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс. базовый уровень. Часть 2. Задачник / А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова, Т. Г. 0589647113 готовые домашние задания, гдз по алгебре,

    Подробнее

    верещагина бондаренко

    30 авг 2013. Molet: Если Ваш ребенок идет во второй класс и будет учить Английский в школе по учебнику (он белого цвета) от Т.А. Притыкина, К.А. 7168928337 22 июл 2009. Аудиокурсы к учебникам английского

    Подробнее

    docplayer.ru

    Тип поверхности второго порядка – Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры

    Поверхности второго порядка

    § 7. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения

    Основные теоретические сведения

    Цилиндрической поверхностью или просто цилиндром называется всякая поверхность, которую можно получить движением прямой, перемещающийся параллельно некоторому вектору и все время пересекающей данную линию, которая носит название направляющей. Движущаяся прямая называется образующей.

    Конической поверхностью или просто конусом называется поверхность, образованная движением прямой, проходящей через данную точку, называемую вершиной конуса, и скользящей по данной кривой. Движущаяся прямая называется образующей конуса, а кривая, по которой скользит образующая, — направляющей.

    Вращением фигуры вокруг данной прямой (оси вращения)называется такое движение, при котором каждая точка фигуры описывает окружность с центром на оси вращения, лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси вращения.

    Поверхность, образованная вращением линии вокруг оси, называется поверхностью вращения.

    Канонические уравнения поверхностей второго порядка

    Поверхность второго порядка задается в прямоугольных координатах уравнением второй степени

    (7.1)

    Путем преобразования координат (поворотом осей и параллельным переносом) уравнение (7.1) приводится к каноническому виду. В случае, когда в уравнении (7.1) отсутствуют члены с произведением координат , это уравнение выделением полных квадратов по,,и параллельным переносом осей координат приводится к каноническому виду подобно тому, как это делалось для линий второго порядка (см. Исследование общего уравнение линии второго порядка). Поверхности второго порядка и их канонические уравнения представлены в табл. 3.

    Форму и расположение поверхностей второго порядка обычно изучают методом параллельных сечений. Сущность метода заключается в том, что поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Форма и параметры полученных сечений позволяют выяснить форму самой поверхности.

    Таблица 3

    Поверхность второго порядка,

    каноническое уравнение

    Вид

    1

    2

    Эллипсоид

    1

    2

    Гиперболоид:

    однополостный,

    двуполостный,

    Конус,

    Параболоид:

    эллиптический,

    гиперболический,

    1

    2

    Цилиндр:

    эллиптический,

    гиперболический,

    параболический,

    Примеры решения задач

    Задача 7.1. Составить уравнение сферы, радиус которой , а центр находится в точке.

    Решение. Сфера – это множество точек, отстоящих от центра на одном и том же расстоянии. Следовательно, обозначив через координаты произвольной точкисферы и выразив через них равенство, будем иметь

    .

    Возведя обе части равенства в квадрат, получим искомое каноническое уравнение сферы:

    .

    Если центр сферы поместить в начало координат, то уравнение сферы имеет более простой вид:

    .

    Ответ. .

    Задача 7.2. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей

    (7.1)

    Решение. Канонические уравнения образующих через точку и точкунаправляющей, имеет вид

    (7.2)

    Исключим ,,из уравнений (7.1) и (7.2). Для этого в уравнениях (7.2) заменимнаи определими:

    ;

    Подставив эти значения ив первое уравнение системы (7.1), будем иметь:

    или

    Полученное уравнение определяет конус второго порядка (см. табл. 3)

    Задача 7.3. Какую поверхность определяет уравнение

    Решение. Эта поверхность есть гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси Действительно, данное уравнение не содержит, а направляющая цилиндра есть гипербола

    с центром симметрии в точке и действительной осью, параллельной оси.

    Задача 7.4. Исследовать и построить поверхность, заданную уравнением

    Решение. Пересечем поверхность плоскостью . В результате имеем

    откуда . Это уравнение параболы в плоскости

    Сечение заданной поверхности плоскостью есть парабола

    Сечение плоскостью есть пара пересекающихся прямых:

    Сечение плоскостями, параллельными плоскости , есть гиперболы:

    При действительная ось гиперболы параллельна оси, приоси. Исследуемая поверхность является гиперболическим параболоидом (по ассоциации с формой, поверхность получила название «седло»).

    Замечание. Интересным свойством гиперболического параболоида является наличие прямых линий, лежащих всеми своими точками на его поверхности. Такие прямые называются прямолинейными образующими гиперболического параболоида. Через каждую точку гиперболического параболоида проходят две прямолинейные образующие.

    Задача 7.5. Какую поверхность определяет уравнение

    Решение. Чтобы привести данное уравнение к каноническому виду, выделим полные квадраты переменных ,,:

    Отсюда

    Сравнивая полученное уравнение с табличными (см. табл. 3), видим, что это уравнение однополостного гиперболоида, центр которого смещен в точку Путем параллельного переноса системы координат по формулам

    приведем уравнение к каноническому виду:

    Замечание. Однополостный гиперболоид, как и гиперболический, имеет два семейства прямолинейных образующих.

    studfiles.net

    ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА • Большая российская энциклопедия

    ПОВЕ́РХНОСТИ ВТОРО́ГО ПОРЯ́ДКА, мно­же­ст­ва то­чек 3-мер­но­го про­стран­ст­ва, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых в де­кар­то­вой сис­те­ме ко­ор­ди­нат удов­ле­тво­ря­ют ал­геб­раи­че­ско­му урав­не­нию 2-й сте­пе­ни $$a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+ 2a_{12}xy+ 2a_{13}xz+\\ + 2a_{23}yz+ 2a_{14}x+ 2a_{24}y+ 2a_{34}z+a_{44}= 0.\tag{*}$$ Это урав­не­ние мо­жет и не оп­ре­де­лять дей­ст­ви­тель­но­го гео­мет­рич. об­раза, но для со­хра­не­ния общ­но­сти в та­ких слу­ча­ях го­во­рят, что оно оп­ре­де­ля­ет мни­мую П. в. п. Су­ще­ст­ву­ет пря­мо­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой урав­не­ние (*) при­во­дит­ся к од­но­му из сле­дую­щих ка­но­нич. ви­дов, ка­ж­до­му из ко­то­рых со­от­вет­ст­ву­ет оп­ре­де­лён­ный класс по­верх­но­сти вто­ро­го по­ряд­ка.

    Нераспадающиеся поверхности

    Не­вы­ро­ж­даю­щие­ся:

    эл­лип­ти­че­ские

    1. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ – эл­лип­со­ид,

    2. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1$ – мни­мый эл­лип­соид;

    ги­пер­бо­ли­че­ские

    3. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ – од­но­по­ло­ст­ный ги­пер­бо­ло­ид,

    4. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$ – дву­по­ло­ст­ный ги­пер­бо­ло­ид;

    па­ра­бо­ли­че­ские ($p\gt 0, q\gt 0$)

    5. $\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z$ – эл­лип­тич. па­ра­бо­ло­ид,

    6. $\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=2z$ – ги­пер­бо­лич. па­ра­бо­лоид.

    Вы­ро­ж­даю­щие­ся:

    ци­лин­д­ри­че­ские

    7. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ – эл­лип­тич. ци­линдр,

    8. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$ – мни­мый эл­лип­тич. ци­линдр,

    9. $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ – ги­пер­бо­лич. ци­линдр,

    10. $y^2=2px$ – па­ра­бо­лич. ци­линдр;

    ко­ни­че­ские

    11. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$ – ко­нус,

    12. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$ – мни­мый ко­нус.

    Распадающиеся вырождающиеся поверхности

    13. $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ – па­ра пе­ре­се­каю­щих­ся плос­ко­стей,

    14. $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$ – па­ра мни­мых пе­ре­се­каю­щих­ся плос­ко­стей,

    15. $x^2=a^2$ – па­ра па­рал­лель­ных плос­ко­стей,

    16. $x^2=–a^2$ – па­ра мни­мых па­рал­лель­ных плос­ко­стей,

    17. $x^2=0$ – па­ра сов­па­даю­щих плос­ко­стей.

    П. в. п., имею­щая един­ст­вен­ный центр сим­мет­рии (центр П. в. п.), на­зы­ва­ет­ся цен­траль­ной П. в. п.; без цен­тра сим­мет­рии или с не­оп­ре­де­лён­ным цен­тром – не­цен­траль­ной по­верх­но­стью вто­ро­го по­ряд­ка.

    Сре­ди П. в. п., со­дер­жа­щих хо­тя бы од­ну точ­ку, ог­ра­ни­чен­ны­ми яв­ля­ют­ся лишь эл­лип­ти­че­ские, все ос­таль­ные не­ог­ра­ни­чен­ные. Пе­ре­се­че­ния П. в. п. с плос­ко­стью яв­ля­ют­ся ли­ния­ми вто­ро­го по­ряд­ка.

    Ис­сле­до­ва­ние ви­да П. в. п. мо­жет быть про­ве­де­но (таб­ли­цы 1 и 2) без при­ве­де­ния урав­не­ния (*) к ка­но­нич. ви­ду с по­мо­щью т. н. ин­ва­ри­ан­тов П. в. п., со­став­лен­ных из ко­эф­фи­ци­ен­тов это­го урав­не­ния. Ос­нов­ные ин­ва­ри­ан­ты: $$S=a_{11}+a_{22}+a_{33}, \\ T=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \\ \delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}, \Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34} \\ a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}.$$

    Таблица 1. Классификация поверхностей второго порядка по инвариантам
     Невырождающиеся  поверхностиВырождающиеся  поверхности
    $\Delta \gt 0$$\Delta \lt 0$$\Delta = 0$
    Центральные поверхности $\delta \neq 0$$\delta S\gt 0, T\gt 0$Мнимый  эллипсоидЭллипсоидМнимый конус
    $\delta S \leq 0$ и(или) $T \leq 0$Однополостный  гиперболоидДвуполостный  гиперболоидДействительный  конус
    Нецентральные поверхности $\delta = 0$ Гиперболический  параболоидЭллиптический  параболоидЦилиндрические и распадающиеся поверхности (см. табл. 2)
    Таблица 2. Цилиндрические и распадающиеся поверхности второго  порядка ($\Delta=0, \delta=0$)
    $T\gt 0$Цилиндрические поверхности  $\Delta’ \neq 0$Распадающиеся поверхности  $\Delta’ = 0$
    Эллиптический цилиндрПара мнимых пересекающихся плоскостей 
    Мнимый  $\Delta’S \gt 0$Действительный  $\Delta’S \lt 0$
    $T\lt 0$Гиперболический цилиндрПара пересекающихся плоскостей
    $T = 0$Параболический цилиндрПара мнимых параллельных плоскостей $\Delta» \gt 0$Пара  совпадающих плоскостей $\Delta» = 0$
    Пара параллельных плоской $\Delta» \lt 0$

    Их зна­че­ния не ме­ня­ют­ся при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се и по­во­ро­те сис­те­мы ко­ор­ди­нат. Ис­поль­зу­ют­ся так­же се­ми­ин­ва­ри­ан­ты (по­лу­ин­ва­ри­ан­ты) $Δ′$ и $\Delta″$, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ин­ва­ри­ан­та­ми от­но­си­тель­но по­во­ро­та сис­те­мы ко­ор­ди­нат:$$Δ′=Δ_{11}+Δ_{22}+Δ_{33},$$ где $Δ_{ij}$ – ал­геб­ра­ич. до­пол­не­ние эле­мен­та $a_{ij}$ в $Δ$; $$\Delta»=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{14} \\ a_{14} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{24} \\ a_{24} & a_{44} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{33} & a_{34} \\ a_{34} & a_{44} \end{vmatrix}.$$Их зна­че­ния не ме­ня­ют­ся при по­во­ро­те осей ко­ор­ди­нат. Ин­ва­ри­ан­ты П. в. п. оп­ре­де­ля­ют П. в. п. с точ­но­стью до дви­же­ний евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва. Лю­бые две не­рас­па­даю­щие­ся П. в. п., ин­ва­ри­ан­ты ко­то­рых со­от­вет­ст­вен­но рав­ны, эк­ви­ва­лент­ны по от­но­ше­нию к груп­пе дви­же­ния про­стран­ст­ва, т. е. мо­гут быть со­вме­ще­ны дви­же­ни­ем.

    По от­но­ше­нию к бо­лее ши­ро­кой, чем груп­па дви­же­ний, груп­пе аф­фин­ных пре­об­ра­зо­ва­ний эк­ви­ва­лент­ны­ми яв­ля­ют­ся П. в. п., ка­но­нич. урав­не­ния ко­то­рых сов­па­да­ют; име­ет­ся 17 аф­фин­но эк­ви­ва­лент­ных клас­сов, ка­но­нич. урав­не­ния ко­то­рых по­лу­ча­ют­ся из урав­не­ний 1–17 при $a=b=c=1$ и $2p=2q=1$.

    В про­ек­тив­ной гео­мет­рии эк­ви­ва­лент­ны­ми яв­ля­ют­ся П. в. п., ко­то­рые мо­гут быть пе­ре­ве­де­ны друг в дру­га при про­ек­тив­ных пре­об­ра­зо­ва­ни­ях (груп­па ко­то­рых ши­ре, чем груп­па аф­фин­ных пре­об­ра­зо­ва­ний). Име­ет­ся 8 про­ек­тив­но эк­ви­ва­лент­ных клас­сов, т. е. ме­ж­ду не­ко­то­ры­ми аф­фин­ны­ми клас­са­ми име­ет­ся про­ек­тив­ная общ­ность. Это свя­за­но с тем, что при про­ек­тив­ных пре­об­ра­зо­ва­ни­ях ис­че­за­ет осо­бая роль бес­ко­неч­но уда­лён­ных эле­мен­тов про­стран­ст­ва. Напр., эл­лип­со­ид и дву­по­ло­ст­ный ги­пер­бо­ло­ид, раз­лич­ные с аф­фин­ной точ­ки зре­ния, при­над­ле­жат од­но­му про­ек­тив­но­му клас­су по­верх­но­стей вто­ро­го по­ряд­ка.

    П. в. п. впер­вые пред­став­ле­ны урав­не­ния­ми 2-й сте­пе­ни у Л. Эй­ле­ра (1748), совр. на­зва­ния не­вы­ро­ж­ден­ных П. в. п. да­ны Г. Мон­жем (1801).

    bigenc.ru

    Понятие поверхности второго порядка

    Поверхностью называется непрерывное двупараметрическое множество точек.

    Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

    в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

    Уравнение мы будем называть общим уравнением поверхности второго порядка.

    Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравнение и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.

    Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

    Справедливо следующее утверждение.

    являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго порядка относительно преобразований декартовой системы ко­ординат.

    Классификация поверхностей второго порядка

    Теорема: Для произвольной поверхности , заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат, что в этой системе поверхностьимеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов.

    1) — эллипсоид,

    2) — мнимый эллипсоид,

    3) — однополостный гиперболоид,

    4) — двуполостный гиперболоид,

    5) — конус,

    6) — мнимый конус (точка),

    7) — эллиптический параболоид,

    8) — гиперболический параболоид,

    9) — эллиптический цилиндр,

    10) — мнимый эллиптический цилиндр,

    11) — две мнимые пересекающиеся плоскости (ось),

    12) — гиперболический цилиндр,

    13) — две пересекающиеся плоскости,

    14) — параболический цилиндр,

    15) — две параллельные плоскости,

    16) — две мнимые параллельные плоскости,

    17) — две совпадающие плоскости (плоскость).

    В выше перечисленных уравнениях ­— положительные параметры. Систему координат называют канонической.

    Классификация центральных поверхностей.

    Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате указанных операций уравнение поверхности примет вид:

    Так как инвариант для центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения , равно, то коэффициенты удовлетворяют условию:

    Возможны следующие случаи:

    1. Коэффициенты одного знака, а коэффициентотличен от нуля. В этом случае поверхностьS называется эллипсоидом.

    Если коэффициенты одного знака, то левая часть ни при каких значенияхне обращается в нуль, т.е. уравнению поверхностине удовлетворяют координаты никакой точки. В этом случае поверхностьназываетсямнимым эллипсоидом.

    Если знак коэффициентов противоположен знаку коэффициента , то поверхностьназываетсявещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

    Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

    положительны. Обозначим эти числа соответственно . После несложных преобразований уравнение эллипсоидаможно записать в следующей форме:

    Уравнение называетсяканоническим уравнением эллипсоида.

    Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением то оси,иназываются его главными осями.

    2. Из четырех коэффициентов , два – одного знака, а два других – противоположного. В этом случае поверхность называетсяоднополостным гиперболоидом.

    Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

    Тогда числа:

    положительны. Обозначим эти числа соответственно . После несложных преобразований уравнениеоднополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

    Уравнение называетсяканоническим уравнением однополостного гиперболоида.

    Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением то оси,иназываются его главными осями.

    3. Знак одного из первых трех коэффициентов , противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность называетсядвуполостным гиперболоидом.

    Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канонической форме. Пусть, ради определенности,

    Тогда:

    Обозначим эти числа соответственно через . После несложных преобразований уравнениедвуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

    Уравнение называетсяканоническим уравнением двуполостного гиперболоида.

    Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси ,иназываются его главными осями.

    4. Коэффициент равен нулю. В этом случае поверхностьназываетсяконусом второго порядка.

    Если коэффициенты — одного знака, то левая часть обращается в нульлишь для, т.е. уравнению поверхностиудовлетворяют координаты только одной точки. В этом случае поверхностьназываетсямнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты имеют разные знаки, то поверхностьявляетсявещественным конусом второго порядка.

    Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

    Обозначим

    соответственно через . Тогда уравнениеможно записать в виде

    Уравнение называетсяканоническим уравнением вещественного конуса второго порядка.

    Классификация нецентральных поверхностей второго порядка.

    Пусть — нецентральная поверхность второго порядка, т.е. поверхность, для которой инвариантравен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

    для системы координат

    Так как инвариант и его значение, вычисленное для уравнения, равно, то один или два из коэффициентовравны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

    1. Один из коэффициентов равен нулю. Ради определенности будем считать, что(если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем

    переименования осей координат). Перейдем от координат к новым координатампо формулам.

    Подставляя , найденные изв левую частьи заменяя затем

    на ,на,наи на , получим следующее уравнение поверхностив новой системе координат:

    1) Пусть ,. Поверхностьраспадается на пару плоскостей.

    При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки и — одинаковы, и вещественными, если знаки и различны.

    2) Пусть . Уравнениепринимает вид:

    Известно, что уравнение является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси. При этом, еслиимеют одинаковый знак, то левая часть отлична от нуля для любыхи, т.е. цилиндр будетмнимым. Если же среди коэффициентов имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будетвещественным. Отметим, что в случае, когда иимеют одинаковые знаки, a — противоположный, то величины положительны.

    Обозначая их соответственно через и, мы приведем уравнениек виду:

    Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, и имеют различные знаки, мы получимгиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду:

    3) Пусть . Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами:

    При этом оставим старые обозначения координат . Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверхностив новой системе координат, достаточно заменить в уравнениина . Получим следующее уравнение:

    Уравнение определяет так называемыепараболоиды. Причем если и имеют одинаковый знак, то параболоид называетсяэллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

    Уравнение легко получается из. Еслии имеют разные знаки, то параболоид называетсягиперболическим. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид:

    Это уравнение также легко может быть получено из .

    2. Два из коэффициентов , , равны нулю. Ради определенности будем считать, что и . Перейдем отк новым координатам по формулам:

    Подставляя , найденные изв левую частьи заменяя затемна , на , на и на , получим следующее уравнение поверхностив новой системе координат:

    1) Пусть . Поверхностьраспадается напару параллельных плоскостей.

    При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки иодинаковы, ивещественными, если знаки и — различны, причем при эти плоскости сливаются в одну.

    2) Хотя бы один из коэффициентов илиотличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг оситак, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначениядля новых координат точек, уравнениепримет вид:

    которое является уравнением параболического цилиндра с образующими, параллельными новой оси .

    studfiles.net

    Классификация поверхностей второго порядка

    Для применения алгоритма используется уравнения поверхности второго порядка вида:

    © Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

    НомерНазвание формулыЗапись формулы
    (1) Эллипсоид
     x2
     a2
      +   y2
     b2
      +   z2
     c2
        =   1
    (2) Мнимый эллипсоид
     x2
     a2
      +   y2
     b2
      +   z2
     c2
        =   – 1
    (3) Мнимая коническая поверхность
     x2
     a2
      +   y2
     b2
      +   z2
     c2
        =   0
    (4) Однополостной гиперболоид
     x2
     a2
      +   y2
     b2
      –   z2
     c2
        =   1
    (5) Двуполостной гиперболоид
     x2
     a2
      +   y2
     b2
      –   z2
     c2
        =   – 1
    (6) Коническая поверхность
     x2
     a2
      +   y2
     b2
      –   z2
     c2
        =   0
    (7) Эллиптический параболоид
     x2
     a2
      +   y2
     b2
        =   z
    (8) Эллиптический цилиндр
     x2
     a2
      +   y2
     b2
        =   1
    (9) Мнимый эллиптический цилиндр
     x2
     a2
      +   y2
     b2
        =   – 1
    (10) Пара совпадающих прямых
     x2
     a2
      +   y2
     b2
        =   0
    (11) Гиперболический параболоид
     x2
     a2
      –   y2
     b2
        =   z
    (12) Гиперболический цилиндр
     x2
     a2
      –   y2
     b2
        =   1
    (13) Пара пересекающихся плоскостей
     x2
     a2
      –   y2
     b2
        =   0
    (14) Параболический цилиндр

     y2     =   2px

    (15) Параллельные плоскости
    (16) Мнимые параллельные плоскости
     x2
     a2
        =   – 1
    (17) Пара совпадающих плоскостей

     x2     =   0

    scolaire.ru

    Поверхности второго порядка

    Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

    1. Эллипсоид.

    Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением :

    (1)

    Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

    Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h , где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

    (2)

    Исследуем уравнения (2) при различных значениях h .

    1) Если

    > c (c>0), то и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.

    2) Если

    , то и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c ) и (0; 0; — c ) (плоскости касаются эллипсоида).

    3) Если

    , то уравнения (2) можно представить в виде

    откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями

    и . При уменьшении значения и увеличиваются и достигают своих наибольших значений при , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается самый большой эллипс с полуосями и .

    Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz .

    Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферо й .

    2. Однополосный гиперболоид.

    Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением (3)

    Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.

    Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy ( y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения

    и

    из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

    Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy . Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

    или (4)

    из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями

    и ,

    достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании

    величины a* и b* возрастают бесконечно.

    Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

    Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

    3. Двуполостный гиперболоид.

    Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

    (5)

    Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

    Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

    и

    из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

    Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями

    или (6)

    из которых следует, что при

    >c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и . При увеличении величины a* и b* тоже увеличиваются.

    При

    уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с) (плоскости касаются данной поверхности).

    При

    уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.

    Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

    4. Эллиптический параболоид.

    Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

    (7)

    где p>0 и q>0.

    Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

    Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

    и

    из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

    Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

    или (8)

    из которых следует, что при

    плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями и . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскостьz=0 касается данного гиперболоида). При h

    Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.

    Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

    В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).

    5. Гиперболический параболоид.

    Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением

    (9)

    mirznanii.com

    Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка

          б) ;

          в) ;

          г) ;

          д) ;

          е) .

    § 8.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

          Геометрическое место точек 3 – мерного пространства, координаты которых в некоторой прямоугольной системе координат  удовлетворяют уравнению

                                             (8.5.1)

    где хотя бы один из коэффициентов  не равен нулю, называется поверхностью второго порядка.

          Для любой поверхности второго порядка существует прямоугольная система координат , в которой уравнение этой поверхности имеет один из следующих 17 видов:

          1) эллипсоид (рис. 8.4);

          2) мнимый эллипсоид ;

          3) однополостный гиперболоид (рис. 8.5);

          4) двуполостный гиперболоид (рис. 8.6);

          5) конус (рис. 8.7);

          6) мнимый конус ;

          7) эллиптический параболоид (рис. 8.8);

          8) гиперболический параболоид (рис. 8.9);

          9) эллиптический цилиндр (рис. 8.10);

          10) мнимый эллиптический цилиндр ;

          11) гиперболический цилиндр (рис. 8.11);

          12) параболический цилиндр (рис. 8.12);

          13) пара пересекающихся плоскостей ;

          14) пара мнимых пересекающихся плоскостей ;

          15) пара параллельных плоскостей ;

          16) пара мнимых параллельных плоскостей ;

          17) пара совпадающих плоскостей .

          Уравнения 1) – 17) называются каноническими уравнениями поверхностей второго порядка.

     

                                  Рис. 8.4                                                    Рис. 8.5

                           Рис. 8.6                                                       Рис. 8.7

     
     

                                  Рис. 8.8                                                 Рис. 8.10 

                                                              Рис. 8.9

     

                       Рис. 8.11                                                          Рис. 8.12

          При преобразовании уравнения поверхности второго порядка (8.5.1) можно, как и в случае кривой второго порядка, использовать инварианты. Инвариантами поверхностей второго порядка являются

              ,

              ,

              ,

              .

    Их значения не меняются при повороте и параллельном переносе осей координат.

          Пример 1. Поверхность задана уравнением в прямоугольной системе координат

          .

    Найдите каноническую систему координат и каноническое уравнение этой поверхности. Определите тип поверхности.

          Решение. Найдем сначала ортогональное преобразование переменных, приводящее матрицу А квадратичной формы  к диагональному виду.

          .

          Ее характеристический многочлен

    .

    Следовательно, матрица А имеет собственные значения   .

          Для нахождения собственных векторов матрицы А решаем однородные системы линейных уравнений с матрицами  соответственно и выделяем по одному ненулевому решению:

                        ;

    ,     

                  ;

    ,    

                        .

    Векторы  ортогональны друг другу как собственные векторы симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям. Нормируя их, получаем

          ,

          ,

         

    и матрицу перехода Р к новому ортонормированному базису

          .

          Проверим правильность нахождения матрицы Р:

    Матрица Р найдена верно.

          Применяя к исходному уравнению ортогональное преобразование координат

          ,

    получаем новое уравнение поверхности в прямоугольной системе координат со старым центром О и направляющими векторами :

         

         

         

            

             .

          Выполняя параллельный перенос системы координат  по формулам

         

    приходим к уравнению

         

    или

          .

    Это – каноническое уравнение двуполостного гиперболоида в прямоугольной системе координат .

          Вычислим координаты начала  канонической системы координат в старой прямоугольной системе координат. Поскольку

          ,

          .

          Пример 2. Исследуйте поверхность второго порядка, заданную в прямоугольной системе координат уравнением

          .

          Решение. Начнем с приведения квадратичной формы  к каноническому виду. Матрицей этой квадратичной формы является матрица

    vunivere.ru

    Поверхности второго порядка

    Поверхности второго порядка.

    Если в пространстве R3 ввести прямоугольную систему координат Oxyz, то каждая поверхность определяется некоторым уравнением F(x,y,z)=0,

    (x,y,z) – координаты любой точки поверхности. Если F(x,y,z) – многочлены не выше второй степени относительно совокупности переменных x,y,z, то уравнение F(x,y,z)=0 называется уравнением второго порядка, а поверхность изображаемая этим уравнением называется поверхностью второго порядка.

    Если поверхность имеет специфическое расположение относительно системы координат ( например, симметрична относительно некоторых координатных плоскостей, или имеет вершину в начале координат и пр.), то её уравнение имеет достаточно простой вид, который называется каноническим.

    Канонический вид уравнений поверхностей второго порядка. Геометрическое изображение.

    1). Сфера радиуса R с центром в начале координат (рис.56)

    x2+y2+z2=R2.

    Уравнение (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2 изображает сферу радиуса R с центром в точке M0(x0,y0,z0).

    2). Эллипсоид с полуосями a,b,c и центром в начале координат (рис. 57)

    + + =1.

    При a=b=c=R эллипсоид превращается в сферу радиуса R.

    3). Однополостный гиперболоид с полуосями a, b, c и осью Oz (рис. 58)

    + =1.

    Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z=h являются эллипсами

    + =1+

    Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями x=h или y=h являются гиперболами.

    =1- или =1-

    4). Двуполостсный гиперболоид с полуосями a,b,c и осью Oz (рис.59)

    + = -1.

    Сечение гиперболоида горизонтальными плоскостями z=h, c являются эллипсами

    + = – 1.

    Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями x=h или y=h являются гиперболами.

    = — -1 или =- -1.

    5). Параболоид эллиптический с параметрами a,b,p и вершиной в начале координат ( рис.60)

    + = 2pz.

    Сечение параболоида горизонтальными плоскостями z=h (h>0 при h< 0 при

    P<0) есть эллипсы

    + = 2ph.

    Сечение параболоида вертикальными плоскостями x=h или y=h являются параболами.

    = 2pz или = 2pz.

    6). Параболоид гиперболический с параметрами a, b, p и вершиной начале координат (рис.61)

    = 2pz.

    Сечение параболоида горизонтальными плоскостями z=h представляют собой гиперболы

    = 1

    Сечение вертикальными плоскостями x=h и y=h являются параболами

    =-2pz + и = 2pz+ .

    7). Конус эллиптический с вершиной в начале координат и осью Oz (рис.62)

    + =1.

    Если a=b, то конус круглый или круговой. Пересечение конуса горизонтальными плоскостями являются эллипсами

    + =

    (при h=0 эллипс вырождается в точку).

    Сечение конуса вертикальными плоскостями x=h и y=h являются гиперболами

    = — =- . при h0

    Или парой пересекающих прямых

    =0 =0 при h=0

    К поверхностям второго порядка относятся цилиндры направляющие которых – линии второго порядка. Мы ограничимся пересечением цилиндров, направляющие – прямые , параллельные оси Oz.

    8) Цилиндры:

    (1) Эллиптический (рис.63)

    + =1.

    Если a=b=R, то цилиндр – круговой x2+y2=R.

    (2) Гиперболический (рис.64)

    =1.

    (3) Параболический (рис.65)

    y2=2px.

    Примечание . Если в каждом из приведённых канонических уравнений заменить x=x1x0, y=y1y0, z=z1z0, где (x0,y0,z0) – фиксированные числа, то новые уравнения представляют те же поверхности и они занимают в системе координат O1x1y1z1 такое же положение относительно плоскостей x1=x0, y1=y0, z1=z0 как поверхности, заданные канонически относительно координатных плоскостей x=0, y=0, z=0. Другими словами, приведённые формулы представляют параллельный сдвиг поверхности на вектор OM=(x0,y0,z0).

    Метод параллельных сечений

    Если задано уравнение той или иной поверхности, то возникает задача исследования её формы и расположения относительно координатных осей. Для решения этой задачи обычно применяют метод параллельных сечений: поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными плоскостями координат. Форма и размер полученных сечений позволяют выяснить геометрическую форму самой поверхности.

    Пересечение поверхности с плоскостью

    Линию в пространстве R3 можно определить как пересечение двух плоскостей. Таким образом уравнение линии можно записать в виде системы

    Для исследования этой линии удобно воспользоваться цилиндром, проектирующем её на ту или иную координатную плоскость. Если, например, проектируем линию на плоскость Oxy, то исключим z из системы и получим уравнение (x,y)=0.Оно изображает направляющую проектирующего цилиндра на плоскость Oxy. В зависимости от того, будет ли (x,y)=0 эллипсом, гиперболой, параболой, парой прямых – изучаемая линия сохранит соответствующее название.

    5.5.1. Сохранить уравнение сферы с центром в точке М0(-5;3;2) и касающейся плоскости 2x-2y+z-4=0.

    Для составления уравнения сферы нужен её радиус. В данном случае R – расстояние от М0 до плоскости:

    R= =6.

    Искомое уравнение : (x+5)2+(y-3)2+(z-2)2=36.

    5.5.2. Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей 6x-3y-2z-35=0 и 6x-3y-2z+63 =0, если её центр расположен на прямой = = .

    1) Определим точки М1 и М2 пересечения прямой с плоскостями (заметим что прямая перпендикулярна плоскостям ). Для этого параметрическое уравнение прямой x = 11+6t, y=-4-3t, z=-3-2t подставляем в уравнения плоскостей, находим t и возвращаемся к этим уравнениям.

    6(11+6t) – 3(-4-3t) – 2(-3-2t)-35=0,

    t=-1, M1 (5,-1,-1).

    Аналогично находим М2(-7,5,3).

    2) Центр сферы М0 — середина отрезка М1М20(-1,2,1).

    Радиус сферы R = М0М1==7.

    3) Уравнение сферы (x+1)2+(y-2)2+(z-1)2=49.

    5.5.4. Составим уравнение сферы ,проходящей через четыре точки О(0;0;0), А(2;0;0), В(1;1;0), С(1;0;-1).

    Уравнение сферы ищем в виде

    (xa)2+(yb)2+(zc)2=R2.

    Где (a, b, c) – координаты центра и – координаты центра и R – радиус неизвестные. Координаты данных точек превращают уравнение сферы в верные равенства, т.е.

    После возведения в квадрат, приведения подобных слагаемых получается система, из которой a=1, b=0, c=0, R2=1.

    Ответ. (x-1)2+y2+z2=1.

    5.5.6. Найти точки пересечения поверхности + =1 и прямой = = .

    Параметрические уравнения прямой x=4t, y=-3t, z=-2+4t подставим в уравнение однополосного гиперболоида и определим значение t: +=1, (t-1)2=0, t1,2=1. Следовательно, x=4, y=-3, z=-2. Прямая имеет с гиперболоидом две совпадающие точки пересечения, т. е. прямая касается поверхности гиперболоида в точке М1(4;-3;2).

    5.5.7. При каких значениях параметра p плоскость 2x-2yz=p касается сферы x2+y2+z2=81?

    Если плоскость касается сферы, то расстояние от её центра до плоскости равно радиусу сферы, т. е . =9.

    Отсюда =27, т.е. p=27.

    5.5.10. Методом параллельных сечений исследовать поверхность, определяемую уравнением + = -1.

    1) Перепишем уравнение в виде + = -1. И пересекаем поверхность плоскостями z=h параллельными координатной плоскости Oxy.

    В сечениях получаются линии с уравнениями + = -1.

    При 2 эти уравнения имеют изображения ( мнимые эллипсы) при h = 2 они изображают точки (0;0;2) и (0;0;-2), а при 2 получаются эллипсы

    + = 1, где c=.

    С увеличением увеличиваются и полуоси эллипсов 4с и 3с, т. е. эллипсы расширяются (рис.66). Поверхность симметрична относительно плоскости Oxy.

    2) Перепишем уравнение поверхности в виде = — -1 и пересечём её вертикальными плоскостями y=l. При каждом l (- ; + ) соответствующие уравнения описывают гиперболы. В частности, при l=0 получаем гиперболу = -1, расположенную в плоскости Oxz.

    3) Сечение поверхности плоскостями x=r также гиперболы

    =-1- .

    Но из пп. 1) и 2) уже можно сделать вывод о строении поверхности : она состоит из эллипсов , <<нанизанных>> на гиперболу =-1 ( =0). Поскольку два сечения, параллельных Oxz и Oyz – гиперболы, а одно – параллельное Oxy –эллипс, то поверхность называется гиперболоидом эллиптическим; для уточнения – двуполостный, ибо состоит из двух отдельных частей ( над и под плоскостью Oxy).

    5.5.12. Определить линию пересечения поверхностей

    (x-4)2+(y-7)2+(z+1)2=36 и 3x+y-z-9=0.

    Первая поверхность это сфера, вторая- плоскость. Они пересекаются или по окружности, или в одной точке , или вовсе не пересекаются .

    Найдём расстояние d от центра сферы М0(4;7;-1) до плоскости 3x+yz-9=0.

    d= = = .

    Поскольку d <R (R=6- радиус сферы ), то плоскость пересекает эту сферу по окружности.

    Центр O(x1;y1;z1) этой окружности расположен на перпендикуляре М0О, опущенным из центра сферы М0 на заданную плоскость (рис.67).

    Уравнение перпендикуляра М0О в параметрической форме имеет вид

    x = 4+3t, y=7+t, z=-1-y.

    Подставим эти равенства в уравнение плоскости и находим t.

    3(4+3t) + (7+t)- (-1-t)-9 =0, t=-1.

    Подставим t= -1 в параметрические уравнения перпендикуляра М0О.

    Находим : x=1, y=6 , z=0, т. е. О(1;6;0) – центр окружности пересечения сферы и плоскости.

    Из ОМ0А (рис.67) находим r2=R2d2, r2=36-11=25, r=5.

    Таким образом получено, что кривая

    Представляя собой окружность радиуса 5 с центром в точке О(1;6:0).

    5.5.13. Составить уравнения касательных плоскостей к сфере

    (x-2)2+ (y+1)2 + (z-3)2=6 в точках её пересечения с прямой = = .

    Точки пересечения прямой со сферой получаются подстановкой равенств

    x=1+t, y= —t, z=1+2t в уравнение сферы, определением t и подстановкой обратно в уравнение прямой .

    Имеем (1+t-2)2 + (-t+1)2 + (1+2t-3)2=6 , 6(t-1)2=6, t1=0, t2=2. Далее x1=1, y1=0, z1=1, x2=3, y2=-2, z2=5. Итак, М1(1;0;1), М2(3;-2;5) – точки пересечения прямой и сферы.

    Составим уравнение первой касательной плоскости, проходящей через

    М1(1;0;1). Её нормальный вектор , где М0(2;-1;3) центр сферы:

    = (-1;+1;-2) , а уравнение плоскости: — (x-1) + y-2(z-1)=0 или x=y+2z-15=0.

    Уравнение второй плоскости по аналогии: xy+2z-15=0.

    Полученные плоскости параллельны потому, что данная прямая проходит через центр сферы М0(2;-1;3) (получается при t=1).

    5.5.14. Установить, что плоскость y-2=0 пересекает эллипсоид

    + + =1 по эллипсу. Найти его полуоси и вершины.

    Пересечение двух поверхностей в пространстве представляет некоторую линию, принадлежащую как одной так и другой поверхности. Уравнение этой линии в нашем случае имеет вид

    Подставим y=2 в первое уравнение и получаем + =.

    Это уравнение эллипса, расположенного в плоскости y-2=0.

    Поско4льку каноническое уравнение полученного эллипса имеет вид + =1, то полуоси равны a= и b=, а вершины эллипса расположены в точках А1(0;2;-) и А2(8;2;0) — на большом диаметре,

    В1(0;2;-) и В2(0;2;) – на меньшем диаметре.

    5.5.15. Исследовать линию пересечения гиперболоида + z2=1 с плоскостью 4x-3y-12z-6=0, пользуясь её проекциями на координатные плоскости.

    Линия пересечения гиперболоида с плоскостью определяется системой

    Выражаем из второго уравнения

    Z= и z2=

    И подставляем в первое уравнение. Получаем

    9y2+8xy+16x-12y-60=0.

    Это уравнение проекции на плоскость Oxy линии пересечения гиперболоида с плоскостью. Вместе с тем это уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Oz, направляющая которой есть исследуемая линия. Уравнение этой линии следует привести к каноническому виду известными формулами преобразования координат (поворот осей и сдвиг). В данном случае методом разложения на множители можно получить ( y+2)(9y+8x-30)=0, т.е. наша линия представляет пару прямых y+2=0 и 8x+9y-30=0, которые пересекаются в точке

    Т.е. М1(6;-2).

    По аналогии с этим, проектируем искомую линию на плоскость Oxz. Получаем пару прямых x-3z=0 и 5x-9z-12=0, которые пересекаются в точке М2(6;2).

    Наконец, на плоскость Oyz искомая линия проектируется в прямые y+2=0 и 5y+8z-6=0, которые пересекаются в точке М3(-2;2).

    Если проекции на координатные плоскости данной линии являются пересекающимися прямыми, то сама линия представляет пару пересекающихся в точке М(6;-2;2) прямых. Координаты М получаются из координат её проекции М1, М23.

    5.5.17. Дан гиперболический параболоид x2- =z и одна из его касательных плоскостей: 10x-2yz-21=0. Найти уравнение каждой из тех двух прямых, по которой плоскость касается с параболоидом.

    Уравнение искомых прямых задаются системой уравнений, которую последовательно преобразуем.

    studfiles.net