Рубрика: Школьная жизнь

где a0 , a1 , …, an действительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

Обозначим этот корень через

следовательно,

Символ

Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

где

Комплексные числа вида

Комплексные числа вида

Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Суммой двух комплексных чисел

Произведением двух комплексных чисел

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

3. Коммутативный закон умножения:

4. Ассоциативный закон умножения:

mirznanii.com

Решить комплексные уравнения онлайн с решением

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Для наглядности решим такое задание:

Вычислить \[ (z_1\cdot z_2)^{10},\] если \[z_1=-1+\sqrt 3i, z_2=\frac{1}{4}(\cos 30^{\circ}+i\sin30^{\circ}).\]

Так же читайте нашу статью «Решить однородную систему уравнений онлайн решателем»

В первую очередь обратим внимание на то, что одно число представлено в алгебраической, другое — в тригонометрической форме. Его необходимо упростить и привести к следующему виду

\[ z_2 = \frac{1}{4} (\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}).\]

Выражение \[z_1\cdot z_2^10\] говорит о том, что в первую очередь делаем умножение и возведение в 10-ю степень по формуле Муавра. Эта формула сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Получим:

\[\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}=\sqrt {(-1)^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac{\sqrt 3}{-1}=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\]

\[z_1=2(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})\]

Придерживаясь правил умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, сделаем следующее:

если

\[z_1=\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}\cdot(\cos \varphi _1+i\sin\varphi _1), z_2=\begin{vmatrix} z_2 \end{vmatrix}\cdot(\cos \varphi _2+i\sin\varphi _2),\]

то

\[z_1 \cdot z_2=\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix} z_2 \end{vmatrix}\cdot (\cos (\varphi _1+\varphi _2)+i\sin(\varphi _1+\varphi _2))\]

В нашем случае:

\[z_1 \cdot z_2= 2 \cdot\frac{1}{4}\cdot(\cos (\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6})+i\sin(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6}))=\frac{1}{2}\cdot(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})\]

Далее применяем формулу Муавра \[ z^n=\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}^n\cdot(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi),\] которая является следствием указанного выше правила:

\[(z_1+z_2)^{10}=(\frac{1}{2})^{10}\cdot(\cos (10\cdot\frac{5\pi}{6})+i\sin\cdot\frac{5\pi}{6}))=\frac{1}{2^{10}}\cdot\cos \frac{25\pi}{3}+i\sin\frac{25\pi}{3}.\]

Делая дробь \[\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\] правильной, приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 оборота \[(8\pi рад.):\]

\[ (z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]

Ответ: \[(z_1+z_2)^{10}=\frac{1}{2^{10}}\cdot(\cos \frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})\]

Данное уравнение можно решить еще одним способом, который сводится к тому, чтобы привести 2 -е число в алгебраическую форму, после чего выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и применить формулу Муавра:

\[z_2=\frac{1}{4} (\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})= \frac{1}{4}(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2})=\frac{\sqrt3}{8}+\frac{i}{8}.\]

Где можно решить систему уравнений с комплексными числами онлайн?

Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Решить уравнение с комплексными числами

Решить уравнение

Прикрепленные файлы:

Поступил ответ 31 Октября 2017 от Викиматика

$$\left(2-2\sqrt{3}\right)ix^4+1=0.$$ 

$$\left(2-2\sqrt{3}\right)ix^4=-1.$$ 

$$x^4=-{{1}\over {\left(2-2\sqrt{3}\right)i}}={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}.$$ 

$$x=\sqrt{{{i}\over {2-2\sqrt{3}}}}.$$ 

Переведем комплексное число $z={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}$ к алгебраической форме.

$$z={{i}\over {2-2\sqrt{3}}}={{i\left(2+2\sqrt{3}\right)}\over {\left(2-2\sqrt{3}\right)\left(2+2\sqrt{3}\right)}}={{2i\left(1+\sqrt{3}\right)}\over {4-4\cdot 3}}={{2i\left(1+\sqrt{3}\right)}\over {-8}}=-i\left({{1+\sqrt{3}}\over {4}}\right).$$ 

Тригонометрическая форма комплексного числа $z$ будет иметь вид

$$z=r\left({\cos  \varphi \ }+i{\sin  \varphi \ }\right),\ где:$$ 

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{0^2+{\left({{1+\sqrt{3}}\over {4}}\right)}^2}={{1+\sqrt{3}}\over {4}}$ — модуль числа $z$;

$\varphi =-\pi /2$ — главное значение аргумента числа $z$.

Тогда

$$z=r\left({\cos  \varphi \ }+i{\sin  \varphi \ }\right)={{1+\sqrt{3}}\over {4}}\left({\cos  \left(-{{\pi }\over {2}}\right)+i{\sin  \left(-{{\pi }\over {2}}\right)\ }\ }\right).$$ 

Для нахождения $\sqrt{z}$ воспользуемся формулой Муавра:

$$\sqrt{z}=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi k}\over {4}}\right)+i{\sin  \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi k}\over {4}}\right)\ }\ }\right),\ где\ k=0,\ 1,\ 2,\ 3.$$ 

При $k=0$ получаем значение корня:

$$z_0=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{-{{\pi }\over {2}}}\over {4}}\right)+i{\sin  \left({{-{{\pi }\over {2}}}\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left(-{{\pi }\over {8}}\right)+i{\sin  \left(-{{\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$ 

При $k=1$ получаем значение корня:

$$z_1=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi }\over {4}}\right)+i{\sin  \left({{-{{\pi }\over {2}}+2\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{3\pi }\over {8}}\right)+i{\sin  \left({{3\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$ 

При $k=2$ получаем значение корня:

$$z_2=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{-{{\pi }\over {2}}+4\pi }\over {4}}\right)+i{\sin  \left({{-{{\pi }\over {2}}+4\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{7\pi }\over {8}}\right)+i{\sin  \left({{7\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$ 

При $k=3$ получаем значение корня:

$$z_3=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{-{{\pi }\over {2}}+6\pi }\over {4}}\right)+i{\sin  \left({{-{{\pi }\over {2}}+6\pi }\over {4}}\right)\ }\ }\right)=\sqrt{{{1+\sqrt{3}}\over {4}}}\left({\cos  \left({{11\pi }\over {8}}\right)+i{\sin  \left({{11\pi }\over {8}}\right)\ }\ }\right).$$ 

wikimatik.ru

Система комплексных линейных уравнений

Вы ввели следующую систему уравнений

Решение системы следующее

Решение системы линейных уравнений

Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество. Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений:

— иметь только одно верное решение;

— иметь бесконечное множество корней;

— иметь несовместный тип (когда решений быть не может).

Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом — самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа.

Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами — ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк.

Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных!

Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей  а также в множестве специализированных задач.

Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Практическое применение:

Ну, раз  бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа. 

Второе, в школе Вам это наверняка не понадобится, но вот в институте, особенно институтах связи, при расчетах токов в сложных контурах в электротехнике, наверняка пригодится.

Синтаксис 

Для  пользователей XMPP клиентов:  linur_i <список элементов системы>

список элементов системы  — является список значений перечисленных в одну или несколько строк разделенными пробелами между собой

linur_i 5:2 3 10 2 -11:3 0:-30

Примеры 

linur_i 5:2 3 10 2 -11:3 0:-30

Корни системы линейных уравнений равны следующим значениям.

Переменные считаются слева направо

1.4389598942265:-1.941383869546

-0.3591890700749:2.2763331864257

 то есть x1=1.4389598942265 — 1.941383869546 i 

x2=-0.3591890700749+2.2763331864257 i

Рассчитаем комплексную систему линейных уравнений

такого вида

Записываем все элементы в поле ввода. Как видите, данные могут быть не только числовые но и быть произвольным выражением, включающее в себя комплексные числа.

И получаем следующий результат.

Успехов в расчетах !

• Скалярное произведение двух матриц >>

abakbot.ru

Действия с комплексными числами

Комплексные числа — числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb{R,}$ а
$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чисел
обозначается $\mathbb{C}.$

Действия над комплексными числами.

Сложение комплексных чисел:

$$(x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2).$$

Умножение двух комплексных чисел:

$$(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+(x_1y_2+x_2y_1)i.$$

Умножение комплексного числа на действительное:

$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$

Деление комплексных чисел:

$$\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+i(y_1x_2-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}=$$ $$\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{y_1x_2-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i.$$

Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$

Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$

Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$

Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.

Примеры:

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой  форме: 

1.421.  $(2+3i)(3-i).$

Решение:

$(2+3i)(3-i)=6-2i+9i-3i^2=6+7i+3=9+7i.$

Ответ: $9+7i.$

1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$

Решение.

$(2i-i^2)^2+(1-3i)^3=(2i+1)^2+1-3(3i)^2+3(3i)-(3i)^3=$ $=4i^2+4i+1-27i^2+9i-27i^3=-4+4i+1+27-9i+27i=24+22i.$

Ответ: $24+22i.$

1.425. $\frac{2-i}{1+i}.$

Решение.

$$\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i-i+i^2}{1-i^2}=\frac{2-3i-1}{1+1}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$$

Ответ: $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$

 {jumi[*4]}

1.428. $\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}.$

Решение.

$$\frac{(1+i)(3+i)}{3-i}-\frac{(1-i)(3-i)}{3+i}=\frac{(1+i)(3+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}-$$ $$-\frac{(1-i)(3-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{9+15i+7i^2+i^3}{9-i^2}-\frac{9-15i+7i^2-i^3}{9-i^2}=$$ $$=\frac{9+15i-7-i-9+15i+7-i}{10}=\frac{28}{10}i=\frac{14}{5}i.$$

Ответ: $\frac{14}{5}i.$

Найти действительные решения следующего уравнения:

1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$

Решение.

$(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i\Rightarrow$

$x+xi-2y+5yi=-4+17i\Rightarrow$

$(x-2y)+(x+5y)i=-4+17i\Rightarrow$

$$\left\{\begin{array}{lcl}x-2y=-4\\x+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2y-4\\2y-4+5y=17\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lcl}x=2\\y=3\end{array}\right. .$$

Ответ: $x=2; y=3.$

Домашнее задание.

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой  форме: 

1.422.  $(1+2i)^2.$

Ответ: $-3+4i.$

1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$

Ответ: $-4i.$

1.426. $\frac{1}{1+4i}+\frac{1}{4-i}.$

Ответ: $\frac{5}{17}-\frac{3}{17}i.$

1.427. $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^3.$

Ответ: $i.$

 Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Ответ: $x=1/3; y=1/4.$

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

           $(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

Ответ: $z_1=1; z_2=i.$

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

           $(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$

mathportal.net

Корни кубического комплексного уравнения

Исходное кубическое уравнение

Первый корень

Второй корень

Третий корень

Мы добрались до возможности решать  кубические  уравнения общего вида, имеющего комплексные коэффиценты.  

Использовать будем методику которая называется подстановкой Виета.

Итак,  когда мы из общего уравнения третьей степени 

подстановкой 

мы создали приведенное кубическое уравнение 

Подстановкой вида

мы можем получить уравнение

Фактически, это квадратное уравнение. Решив которое мы получим   корни w.

Удивительно, но нам совершенно не важно какой корень мы возьмем от этого квадратного уравнения. Окончательный вариант все равно будет правильный.

А через них мы узнаем корни приведенного уравнения.

Чем удобен такой подход, от например решения уравнения по методу Кардано?

Он алгоритмически понятен и нагляден. И это главное.

Бот корректно вычисляет корни кубического комплексного уравнения, даже в том случае, если коэффициентами являются какие либо выражения ( с вещественными и/или мнимыми значениями)

Рассмотрим примеры?

Пишем коэффиценты слева направо (через пробел)

1 2-i sin(3-i) -7

Получаем

Вот еще один

Корни его будут равны

А вот корни  обычного уравнения с вещественными числами.

«Это легкотня» — говорит моя дочь, складывая два плюс два. 

Корни такого кубического уравнения

Удачных расчетов!

• Корни уравнения 4 степени онлайн >>

abakbot.ru

1. Рассчитываем суммарные крайние точки (или одну крайнюю точку)
2. Рассматриваем $AC$ какого-нибудь товара на всех участках всех КПВ
3. Располагаем эти участки в соответствии с законом возрастающей $AC$

Пример 1
Найдите суммарную КПВ двух стран:

Данные КПВ являются линейными функциями.

Рассчитаем суммарные крайние точки данных КПВ: по $y$: $10+5=15$, по $x$: $5+10=15$.

Рассмотрим $AC_x$: первая функция обладает постоянной (ибо функция линейная) $AC_x=\dfrac{10}{5}=2$; вторая функция обладает также постоянной $AC_x$, но уже равной $\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$. Первый участок суммарной КПВ будет представлен функцией с меньшей $AC_x=\dfrac{1}{2}$, а на втором участке $AC_x=2$.

Пример 2
Найдите суммарную КПВ двух стран:

В данном случае мы имеем одну линейную и одну вогнутую КПВ.

Крайние точки суммарной КПВ: по $y$: $5+10=15$, по $x$: $5+10=15$.

Теперь перейдем к оценке альтернативной стоимости. У линейной функции она постоянна и по $x$ равна $\dfrac{5}{5}=1$. $AC_x$ вогнутой функции не является константой. Она возрастает на при движении вдоль оси $x$ ($tg$ углов наклона касательных, проведенных к каждой точке данного графика возрастают). Для построения суммарной КПВ необходимо расположить участки в соответствии с законом возрастающей альтернативной стоимости. Поэтому нам надо найти на вогнутой КПВ участки, где $AC_x>1$ и где $AC_x<1$. Найдем точку, в которой $AC_x=1$. $tg$ угла наклона касательной, взятый по модулю, в ней должен равняться $1$, производная данной функции в этой точке тоже должна быть равна $1$:

$y(x)= \sqrt{100-x^2}$
$y'(x)=|\dfrac{-x}{\sqrt{100-x^2}}|=|-1|$
$x^2=100-x^2$
$x^2=50$
$x=5\sqrt{2}$

Очевидно, что $AC_x$ на участке, располагающемся слева от этой точки меньше $1$, а на находящемся справа больше.

Размещаем наши фрагменты двух КПВ по правилу, получаем: первый кусочек с $AC_x<1$ является частью вогнутой функции, второй есть линейная функция с $AC_x=1$, третий — оставшийся фрагмент вогнутой функции с $AC_x>1$.

При совместном производстве благ тот или иной товар будет производить тот субъект, у которого это получается лучше всего (то есть с наименьшими альтернативными издержками). В такой ситуации ресурсы каждого производителя будут использоваться максимально эффективно, ибо они будут задействованы в создании того блага, для которого подходят лучше всего (например, если мы выращиваем морковь и ловим рыбу, то в данном случае лопатой будут копать, а не использовать её вместо весла). Поэтому, работая вместе, две страны смогут произвести больше благ, чем при индивидуальной работе.

iloveeconomics.ru

Pract_1_BI

Задачи по курсу Тема 1. Базовые экономические понятия

Экономическая теория и институциональная экономика

Часть I. Микроэкономика

Кривая производственных возможностей (КПВ)

1. Фермер имеет два поля одинаковой площади, на которых может выращивать капусту и свеклу. Земля на каждом поле однородна. Максимальный урожай, который можно получить с первого поля, составляет 120 тонн капусты или 60 тонн свеклы. Относительно второго поля известно, что максимально возможный урожай капусты составляет 240 тонн, а альтернативная стоимость производства одной тонны свеклы равна 3 тонны капусты.

1. Построить КПВ для каждого поля и написать их уравнения.

2. Определить альтернативную стоимость выращивания 1 тонны капусты и 1 тонны свеклы на каждом поле.

3. Определить, какое поле имеет сравнительное преимущество в выращивании капусты, а какое – в выращивании свеклы; решить аналогичный вопрос об абсолютных преимуществах.

4. Построить совокупную КПВ.

5. Используя совокупную КПВ, определить альтернативную стоимость выращивания 80 тонн свеклы, альтернативную стоимость выращивания 300 тонн капусты.

2. Иван работает 40 часов в неделю и может производить 3 продукта – А, В, и С, затрачивая на производство единицы каждого из них 4, 2 и 5 часов соответственно.

1. Определить максимально возможный выпуск каждого продукта в неделю.

2. Построить двумерную КПВ для продуктов А и В и написать ее уравнение, считая что Иван должен выпускать ровно 2 единицы продукта С в неделю и определить альтернативную стоимость производства единицы продуктов А и В.

3. Построить трехмерную КПВ, написать ее уравнение.

3. На рисунке изображены две кривые производственных возможностей. Построить совокупную КПВ. Ответ обосновать.

4. Андрей и Олег работают в мастерской и производят столы и табуретки. Андрей затрачивает 6 часов на производство стола и 40 минут на производство табуретки. Олег на производство стола тратит 3 часа, а одну табуретку делает за 30 минут.

1. Определить, кому следует производить табуретки, а кому столы, если Андрей и Олег решат распределить обязанности. В какой пропорции Андрей и Олег могут обмениваться столами и табуретками, чтобы данный обмен был взаимовыгоден? Какова пропорция безубыточного обмена?

2. Исходя из 48 часов рабочего времени, построить КПВ для Андрея и Олега, написать их уравнения.

3. Построить КПВ совместного труда Андрея и Олега. Определить альтернативную стоимость производства 120 табуреток, альтернативную стоимость производства 20 столов.

5. Предположим, что страна производит только два товараX и Y. Единственный ресурс, используемый в производстве товаров X и Y – труд, который имеется в размере 64 единиц. Производственные функции¹ для товаров X и Y:

где X,Y – количества товаров X и Y, L_X, L_Y — количество труда, необходимое для производства товаров X и Y соответственно. По имеющимся данным построить КПВ и написать ее уравнение. Ответ обосновать.

6*. Точки A, B, C и D лежат на одной кривой производственных возможностей. У точек A и C известны обе координаты: A(2,8) и C(6,3). У точек B и D известна только одна координата: В(3,b) и D(7,d). Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные координаты b и d? Решение обосновать.

1Производственная функция показывает зависимость объема производства товара от объемов используемых ресурсов.

Николаева Т.П. 2012 – 2013 уч. год

studfiles.net

2.4 Оптимизация на КПВ | Экономика для школьников

Имеем: КПВ некоторый страны задана функцией $x^2+y^2=100$, цены товаров $x$ и $y$ соответственно равны $10$ и $5$, найти при каком объёме производства данных товаров выручка от их продажи будет максимальной.

Построим КПВ:

$x^2+y^2=100$

$y^2=100-x^2$

$y=\sqrt{100-x^2}$

Теперь разберемся с функцией выручки (выручка обозначается буквами $»TR»$ (от англ «total revenue»)):

$TR=PQ$, где $P$ — цена товара, $Q$ — его количество.

В данном случае у нас $2$ товара, поэтому функция $TR$ будет зависеть от двух переменных $Q_x$ и $Q_y$:

$TR=P_xQ_x+P_yQ_y=10Q_x+5Q_y$

Далее для простоты будем писать не $Q_x$, $Q_y$, а просто $x$, $y$

Данная функция выручки может быть построена в трехмерной плоскости. Что мы можем сделать с этой функцией, чтобы перевести её в двухмерное пространство? В первую очередь можно выразить $y$ через $2$ другие переменные ($TR$;$x$):

$y=\dfrac{TR}{5}-2x$.

Так как значение $TR$ нам не задано, мы можем сами выбрать оптимальную для нас величину выручки. Будем фиксировать значение $TR$ на разных уровнях (будем преходить на более высокие графики — увеличивать значение выручки), пока не достигнем оптимального ($TR_1 \to TR_2 \to TR_3$). $TR_3$ будет оптимальной величиной, ибо точка, в которой функция выручки касается графика КПВ, будет на границе нашей области производственных возможностей, следовательно, точка касания будет приносить максимальную выручку, а график выручки будет занимать самое высокое положение из всех доступных (выручка будет наибольшей из всех возможных). Если бы мы выбрали меньшее значение выручки, то мы недополучили бы часть денег — мы смогли бы произвести ещё больше товаров $x$ и $y$ и продать их (в этом случае у нас была бы возможность улучшения ситуации). Если бы выбрали большее значение переменной $TR$ ($TR_4$), то не смогли бы произвести соответствующий ей объём товаров, ибо нет такой точки (с точки зрения производства), в которой мы бы получили такую выручку.

Как мы уже выяснили, оптимальная точка будет лежать на графике КПВ. Её положение на данной линии будет зависеть от соотношения цен товаров $x$ $y$, которые и задают наклон функции выручки.

Линейная функция $y=\dfrac{TR}{5}-2x$ будет иметь постоянный $tg$ угла наклона, равный по модулю $2$. Чтобы найти положение оптимальной точки на графике КПВ необходимо взять производную функции КВП (обычно это делается по переменной $x$) и приравнять её к производной функции выручки (взятой также по $x$ — $y'(x)$) . То есть угол наклона касательной в оптимальной точке должен совпадать с углом наклона функции выручки.

КПВ:
$y=\sqrt{100-x^2}$
$y'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{100-x^2}}$

$TR$:
$y=\dfrac{TR_3}{5}-2x$
$y'(x)=-2$

$\dfrac{-x}{\sqrt{100-x^2}}=-2$

Отсюда находим $x$ и соответствующее ему значение $y$:

$x=4\sqrt5$
$y=2\sqrt5$

Считаем выручку:

$TR=10\cdot{4\sqrt5}+5\cdot{2\sqrt5}=50\sqrt5$

У этой задачи есть более легкое и быстрое решение: подставляем функцию КПВ вместо переменной $x$ в функции выручки:
$TR=10x+5\sqrt{100-x^2}$
Получаем функцию, зависимую от одной переменной. Максимизируем данную функцию обычным способом, беря производную и приравнивая её к 0.

В общем виде:

КПВ:
$y=f(x)$

$TR$:
$TR=P_x\cdot{x}+P_y\cdot{y}$
$y=\dfrac{TR}{P_y}-\dfrac{P_xx}{P_y}$

Фиксируем $TR$=$TR^*$ на некотором оптимальном уровне:

$y=\dfrac{TR^*}{P_y}-\dfrac{P_x\cdot{x}}{P_y}$

Берем производные функций КПВ и выручки, приравниваем их:

$f'(x)=-\dfrac{P_x}{P_y}$

Находим оптимальные $x$, $y$, $TR$

Особого внимания заслуживает случай с линейной функцией КПВ (аналогично поступаем и с выпуклой).
Имеем: КПВ задана функцией $y=10-2x$; $P_x=5$, $P_y=10$. Найти максимальную выручку.
В данном случае у нас нет возможности провести касательную к графику функции КПВ, но мы также можем воспользоваться методом фиксации значения $TR$ и поиска оптимальной точки.

$TR=5x+10y$
$y=\dfrac{TR^*}{10}-\dfrac{x}{2}$

Точно также будем двигать в право функцию выручки, пока она не займет наивысшее положение из всех возможных — пока значение выручки, приносимой комбинациями $x$ и $y$, не станет максимальным из всех доступных. Максимальную выручку в данном случае мы можем получить в точке $y=10$, $x=0$. Считаем $TR=10\cdot{10}=100$. При линейной функции КПВ метод тот же, но функция выручки уже не будет касательной.

Также интересен случай с функцией КПВ, имеющей излом. Воспользуемся тем же методом, что и в двух предыдущих случаях, только опять же здесь функция выручки не будет касательной, проведенной к графику КПВ.

Имеем: график КПВ состоит из двух участков, заданных функциями $y=15-\dfrac{x}{2}$ при $x$ принадлежащем $[0;10]$, $y=30-2x$ при $x$ принадлежащем $[10;15]$. $P_x=P_y=5$.

$TR=5x+5y$
$y=\dfrac{TR}{5}-x$

Двигаем график выручки вправо, пока он не займет максимально доступное значение. В данном случае это значение оказалось в точке излома графика КПВ (такое бывает не всегда). Так случилось, потому что угол наклона графика выручки был меньше угла наклона одной из функций КПВ, но больше угла наклона второй.

$x=y=10$
$TR=5\cdot{10}+5\cdot{10}=100$

В общем виде:

КПВ:
$y=f(x)$

$TR$:
$TR=P_x\cdot{x}+P_y\cdot{y}$
$y=\dfrac{TR}{P_y}-\dfrac{P_xx}{P_y}$

Фиксируем $TR$=$TR^*$ на некотором оптимальном уровне:

$y=\dfrac{TR^*}{P_y}-\dfrac{P_x\cdot{x}}{P_y}$

Двигаем функцию выручки вправо, пока не достигнем наибольшего уровня $TR$ из всех возможных. Находим соответствующие точке пересечения значения $x$, $y$, $TR$.

Вообще весь данный метод поиска максимальной выручки основан на фиксации переменной $TR$ и её движении вправо до того момента, пока мы не достигнем максимально высокого уровня графика, которому соответствует максимально возможное значение выручки и оптимальные $x$ и $y$. Просто методы подсчета этих оптимальных значений товаров различны для различных функций КПВ.

Еще одним распространённым типом задач является поиск оптимальных объёмов производства товаров при заданной пропорции их потребления.

КПВ некоторой страны задана функцией $x^2+y^2=100$. Жители потребляют товары $x$ и $y$ только в пропорции $\dfrac{1}{2}$. Найти оптимальные объёмы производства данных благ.

Как обычно начнем с построения КПВ

Далее у нас имеется ограничение — потребление $x$ и $y$ в определенной пропорции. Если $\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{2}$, то $y=2x$. Все точки, для которых верна пропорция $\dfrac{x}{y}=\dfrac{1}{2}$, будут лежать на одной прямой, являющейся лучом решений.

Как известно, эффективная точка будет лежать на границе производственных возможностей. Одновременно он будет принадлежать лучу решений. Найдем её:

$y=\sqrt{100-x^2}=2x$

Из уравнения находим $x$ и соответствующий ему $y$:

$x=2\sqrt{5}$

$y=4\sqrt{5}$

В общем виде:

КПВ:

$y=f(x)$

Пропорция производства товаров:

$y=kx$

Отсюда находим $x$ и $y$

iloveeconomics.ru

2.5 Кое-что о кривой торговых возможностей

Страна, участвующая в процессе обмена благами, может обладать абсолютным или сравнительным преимуществом в их изготовлении.

Концепция абсолютного преимущества (Адам Смит)
Абсолютное преимущество — это возможность сделать товар, потратив на его производство меньшее количество ресурсов. Согласно данной теории страна продаёт то благо, в производстве которого имеет абсолютное преимущество. Но ведь некоторые страны могут иметь абсолютное преимущество в производстве обоих благ. Зачем им тогда обмениваться товарами с другими государствами? На этот вопрос может ответить концепция сравнительного преимущества.

Концепция сравнительного преимущества (Давид Рикардо)
Страна продает то благо, в производстве которого имеет сравнительное преимущество, то есть тот товар, который она может производить с меньшими альтернативными издержками.

Взаимовыгодная торговля расширяет набор различных комбинаций благ, доступных для потребления, ибо при торговле страна может специализироваться на производстве того товара, который получается у неё лучше всего, то есть с меньшими альтернативными издержками.

Определение 2
Кривая торговых возможностей показывает все возможные комбинации двух благ, которые страна может получить с учетом взаимовыгодной торговли.

Обычно кривая торговых возможностей представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном. Почему отрицательным? Чтобы увеличить количество одного блага, нам необходимо отказаться от какого-то количества другого блага — обменять второе благо на первое. Следовательно, если мы хотим увеличить количество блага $x$ ($\Delta x$), например, нам придется обменять какое-то количество блага $y$ ($\Delta y$) на желаемый объём товара $x$ — положительный прирост аргумента повлечет за собой отрицательный прирост значения функции.

Наклон прямой КТВ определяется пропорцией обмена благ на мировом рынке — отношением цены первого блага, выраженной в единицах второго блага, к единице второго блага (если, например, на мировом рынке мы обмениваем 1 единицу $x$ на 4 единицы $y$, то тангенс угла наклона прямой КТВ будет равен $\dfrac{P_x}{P_y}=\dfrac{4y}{y}=\dfrac{x}{0{,}25x}=4$).

Теперь рассмотрим основные принципы построения КТВ на примере двух наиболее распространенных в задачах случаев — когда у нас линейная КПВ и когда у нас вогнутая КПВ.

Задача 1. КПВ линейна

В стране А производится 2000 единиц товара $y$ и 500 единиц товара $x$ с постоянными альтернативными издержками. На мировом рынке единица товара $y$ стоит $2$ единицы товара $x$. Построить КТВ.

Для начала построим КПВ.

КПВ задается функцией $y=2000-4x$.

Теперь разберемся с КТВ. КТВ будет иметь наклон, равный $\dfrac{P_x}{P_y}=\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1}{2}$. Обратимся к графику КПВ: нарисуем на нем прямую КТВ с наклоном 0,5 и начнем двигать её вправо, пока на не достигнет наивысшего положения из всех возможных, то есть пока нам не станет доступным наибольшее количество комбинаций товаров $x$ и $y$. Данное движение линии КТВ аналогично методу поиска максимальной выручки. Сначала мы продаём всё, что произвели, потом покупаем все товары на вырученные деньги. Для максимума потребления нужно на продаже заработать максимальное количество денег. Точкой специализации будет точка с координатами (0;2000) (там, где КТВ пересекает КПВ).

Мы будем производить только благо $y$, ибо альтернативные издержки его производства меньше, чем отношение цен товаров на мировом рынке. Произведя 2000 единиц данного товара, мы можем продать все или часть. Зная угол наклона прямой и координаты 1 крайней точки, можно найти координаты второй и вывести уравнение прямой. Крайние точки нашей максимально высокой КТВ будут иметь координаты (0;2000) (4000;0). Максимальное количество товара $x$, которое можно получить, обменяв максимально возможное количество блага $y$, составляет 4000.

Задача 2. Вогнутая КПВ

В целом принцип построения КТВ в данном случае схож с принципом построения КТВ, рассмотренном в предыдущем пункте. В данной ситуации также необходимо взять прямую с углом наклона, равным соотношению цен товаров, и двигать её вправо до достижения максимально высокого уровня. Точкой специализации здесь в большинстве случаев является точка касания графика КПВ и прямой КТВ.

Пусть КПВ некоторой страны задана функцией $y=\sqrt{100-x^2}$, за 1 единицу товара $x$ необходимо отдать $\dfrac{4}{3}$ единицы товара $y$. Построить КТВ.

Построим график КПВ. Теперь КТВ. Данная прямая обладает углом наклона, равным по модулю $\dfrac{3x}{4x}=0{,}75$.

Нарисуем КТВ на одном графике с КПВ, начнем двигать её вверх, пока она не займет максимально высокую позицию. Нетрудно догадаться, что в наивысшем положении она будет касаться графика КПВ. Эта точка касания и будет оптимальной (если мы выберем более низкое положение КТВ, то тем самым мы сократим область возможных комбинаций потребления двух благ, располагающуюся под КТВ, что не очень хорошо). Найдем эту точку — точку специализации.

$КПВ'(x)=y'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{100-x^2}}$

$\dfrac{x}{\sqrt{100-x^2}}=\dfrac{3}{4}$

$x=6$

$y=8$

При движении влево вдоль КПВ мы обмениваем $x$ на $y$, при движении вправо, соответственно, $y$ на $x$.

iloveeconomics.ru

Как построить кривую производственных возможностей

1 октября 2011

Автор КакПросто!

Кривая производственных возможностей — это обычная модель, с помощью которой можно отразить, от какого количества одного блага нам придется отказаться, чтобы получить некоторое количество другого блага. Так как же построить такую модель?

Статьи по теме:

Вам понадобится

• Бумага, текст задачи, линейка, ручка, карандаш, ластик.

Инструкция

В задаче могут быть просто даны значения. Тогда нужно просто нанести их на график точками и построить график. Также можно сначала получить уравнение и по нему построить график.

Источники:

• задачи по производственным возможностям

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Альтернативная стоимость и КПВ | Экономика для школьников

1.1 Найдем $AC_x$ в точке $x=3$ (чему равна $AC$ в точке, и откуда это берется, подробнее можно узнать в подборке $2.1$).
$y'(x)=-3$
Альтернативная стоимость товара $x$ в данном случае постоянна и равна $3$ единицам товара $y$.

1.2 Сейчас мы находимся в точке с координатами $(3;9)$. Максимально возможный объём производства товара $y$ равен $18$. Ищем разницу между максимально возможным количеством производств товара $y$ ($18$) и фактическим производством этого товара в данной точке ($9$): $18-9=9$. Альтернативная стоимость трех единиц продукции $x$ равна $9$ единицам продукции $y$.

1.3 Теперь проделаем тоже самое с товаром $y$. Для удобства можно выразить переменную $x$ через переменную $y$:
$y=18-3x$

$3x=18-y$

$x=6-\dfrac{y}{3}$

Находим производную данной функции:
$x'(y)=-\dfrac{1}{3}$

Альтернативная стоимость товара $y$ в данном случае постоянна и равна $\dfrac{1}{3}$ единицы товара $x$.

1.4 Если мы производим $3$ единицы товара $y$, то максимально можно произвести только $5$ единиц товара $x$. Всего же можно произвести $6$ единиц товара $x$, при $y=0$; $6-5=1$
Альтернативная стоимость трех единиц продукции $y$ равна $1$ единице продукции $x$.

2 $y=100-2x^2$

2.1 $y'(x)=-4x$
$AC_ {5й.ед. x}=4\cdot5=20$
$AC$ пятой единицы товара $x$ равна 20 единицам продукции $y$.

2.2 $y_{max}=100$ (при $x=0$)
$y(5)=100-2\cdot5^2=50$
$100-50=50$
$AC$ пяти единиц товара $x$ равна $50$ единицам товара $y$

2.3 $y(x)=100-2x^2$
$x(y)=\sqrt{50-0{,}5y}$
$x'(y)=\dfrac{-0{,}5}{2\sqrt{50-0{,}5y}}$
$x'(5)=-\dfrac{1}{4\sqrt{47{,}5}}$
$AC$ пятой единицы товара $y$ равняется $\dfrac{1}{4\sqrt{47{,}5}}$ единиц товара $x$

2.4 $x_{max}=5\sqrt 2$ примерно равно $7{,}07$
$x(5)=\sqrt{47{,}5}$, что примерно $6{,}89$
$AC$ пяти единиц товара $y$ составляет $7{,}07-6{,}89=0{,}18$ единиц товара $x$

3 $y=\sqrt{100-x^2}$

3.1 $y'(x)=- \dfrac {x}{\sqrt{100-x^2}}$

$y'(6)=-0{,}75$

Альтернативная стоимость шестой единицы товара $x$ равна $0{,}75$ единицы товара $y$

3.2 Всего можно произвести $10$ единиц продукта $y$. Если $x=6$, $y=8$. $10-8=2$. Альтернативная стоимость шести единиц товара $x$ равна $2$ единицам товара $y$

3.3 Выразим $y$ через $x$:
$x(y)=\sqrt{100-y^2}$

Данная функция такая же как и исходная функция, следовательно, ответы к пунктам $3.3$, $3.4$ аналогичны

iloveeconomics.ru

Акимов — Решение задач — Стр 4

Ответ: производство манго, не уменьшая производства :киви, можно увеличить до 76,67 т за счет выращивания всех :киви в восточной части.

19. Альтернативная стоимость одного часа отдыха в первые

2 °

5 часов составляет 2 рыбки {1: = 2) или 4 :кокоса{ 5 = 4). Альтерна­

5 часов альтернативная стоимость одного часа отдыха равна 0,8 рыбки

{-i = 0,8) или 1,6 :кокоса{ = 1,6). Поскольку Робинзон один час

отдыха оценивает выше, чем одну рыбку или два :кокоса, то отсюда следует, что в последние 5 часов он однозначно предпочтет отдых.

Пусть Х — :количестворыбок, необходимых для приготовления :ко:кофишбургера, тогда 2Хсоответствующее :количество :кокосов. Тогда 2Х+ Х= 24, та:к :ка:к Робинзон способен употребить не более 24 единиц собранной продукции Х= 8. Следовательно, за день Робинзон будет добывать 16 :кокосов и 8 рыбок: в течение первых пяти часов он добывает 16 :кокосов и 2 рыбки, в течение 3,75 часа из последующих 5 часов добываются остальные 6 рыбок.

Ответ: Р= 8; К= 16.

20. Точка, в :которой производится 100 т фасоли, соответствует верхнему участку КПВ, отражающему производственные возмож­ ности одного из полей. Из графи:ка КПВ следует, что на этом поле можно произвести либо 150 т фасоли, либо 30 т риса (150120 =30). Следовательно, альтернативные издержки производства 1 т риса со-

ставят 5 т фасоли ( 1 50 = 5).

30

Ответ: 5 т фасоли.

21. а) Поскольку у страныА имеется в наличии 400 единиц тру­ довых ресурсов, то ее экономика может производить 4000 единиц блага Х (10· 400 = 4000) либо 3200 единиц благаУ (8· 400 = 3200).

Альтернативные издержки производства блага Х в стране А состав-

( 3200

ляют 0,8 единиц блага У 4000 = 0,8). СтранаВ располагает 1000

единиц труда, экономика страны В может производить 24 000 единиц блага Х (24• 1000 = 24 000) либо 30 000 единиц благаУ

studfiles.net

Вариант 1

1.

Решение:

8 • 3 = 24	6 • 9 = 54	9 • 9 = 81
42 : 7 = 6	32 : 4 = 8	27 : 3 = 9
7 • 8 = 56	8 • 8 = 64	72 : 8 = 9
48 : 6 = 8	35 : 7 = 5	5 • 8 = 40

Вариант 2

1.

Решение:

54 : 9 = 6	63 : 7 = 9	3 • 6 = 18
4 • 8 = 32	5 • 9 = 45	28 : 4 = 7
9 • 4 = 36	42 : 6 = 7	18 : 6 = 3
9 • 7 = 63	81 : 9 = 9	30 : 5 = 6

Тест 2. Выбор правильного ответа.

Вариант 1

1.

Укажи значение произведения чисел 7 и 9:

2.

Укажи значение частного чисел 45 и 9:

3.

Какое из чисел делится на 8?

4.

В виде произведения каких чисел можно представить число 54?

• 1 )7 и 8
• 2) 6 и 8
• 3) 9 и 6

5.

Какое число надо вставить, чтобы равенство 49 : … = 7 стало верным?

6.

Частное каких чисел равно 9?

• 1) 18 и 9
• 2) 3 и З
• 3) 36 и 4

Решение:
• 3) 36 и 4

7.

Произведение каких чисел равно 18? Укажи все пары.

• 1) 6 и 3
• 2) 7 и 4
• 3) 3 и 4
• 4) 9 и 2

Решение:
• 1) 6 и 3
• 4) 9 и 2

8.

Значение какого выражения вдвно 8?

• 1) 42 : 6
• 2) 81 : 9
• 3) 20 : 5
• 4) 14 : 2
• 5) 32 : 4
• 6) 63 : 7

Решение:
• 5) 32 : 4

9.

На какое число надо разделить 56, чтобы получилось 8?

• 1) на 6
• 2) на 7
• 3) на 8

Решение:
• 2) на 7

10.

Какой знак надо поставить вместо точек, чтобы запись 72 : 8 … 36 : 6 стала верной?

11.

При каком значении а неравенство а : 7 > 6 станет верным?

• 1) при а = 14
• 2) при а = 21
• 3) при а = 49

Решение:
• 3) при а = 49

12.

Значение какого из выражений равно 2?

• 1) 64 : 8 : 2
• 2) 64 : 8 : 4
• 3) 64 : 8 • 2

Решение:
• 2) 64 : 8 : 4

13.

Укажи верное равенство:

• 1) 3 • 4 = 56 : 8
• 2) 28 : 4 = 2 • 7
• 3) 56 : 8 = 28 : 4

Решение:
• 3) 56 : 8 = 28 : 4

14.

Какие два числа в указанном порядке надо вставить вместо троеточий, чтобы равенство 9 • … : … = 6 стало верным?

• 1)2 и 6
• 2)3 и 9
• 3)4 и 6

15.

Укажи все из приведенных здесь чисел, которые делятся на 9, но не делятся на 6:

Решение:
• 3)45
• 4)27

Вариант 2

1.

Укажи значение произведения чисел 8 и 8.

2.

Укажи значение частного чисел 42 и 7.

3.

Какое из чисел делится на 6?

4.

В виде произведения каких двух чисел можно представить число 24?

• 1) 8 и 2
• 2) 7 и З
• 3) 8 и З

Решение:
• 3) 8 и З

5.

Какое число радо вставить вместо троеточия, чтобы равенство 64 : … = 8 стало верным?

6.

Значение частного каких двух чисел равно 4?

• 1) 36 и 6
• 2) 24 и 6
• 3) 2 и 2

Решение:
• 2) 24 и 6

7.

Произведение каких чисел равно 12? Укажи все пары.

• 1) 6 и 3
• 2) 3 и 4
• 3) 2 и 7
• 4) 6 и 2

Решение:
• 2) 3 и 4
• 4) 6 и 2

8.

Значение какого выражения равно 7?

• 1) 24 : 4
• 2) 28 : 4
• 3) 36 : 9
• 4) 56 : 7
• 5) 64 : 8
• 6) 18 : 6

Решение:
• 2) 28 : 4

9.

На какое число надо разделить 36, чтобы получилось 4?

• 1) на 8
• 2) на 6
• 3) на 9

Решение:
• 3) на 9

10.

Какой знак надо поставить вместо точек, чтобы запись 63 : 9 … 56 : 7 стала верной?

11.

При каком значении Ь запись b : 8 < 4 станет верной?

• 1) при b = 32
• 2) при b = 16
• 3) при b = 40

Решение:
• 2) при b = 16

12.

Значение какого на выражений равно 16

• 1) 32 : 8 • 2
• 2) 32 : 8 • 4
• 3) 32 : 8 : 2

Решение:
• 2) 32 : 8 • 4

13.

Укажи верное равенство.

• 1) 42 : 7 = 32 : 4
• 2) 2 • 3 = 42 : 7
• 3) 32 : 4 = 2 • 3

Решение:
• 2) 2 • 3 = 42 : 7

14.

Какие два числа в указанном порядке надо записать в «окошки», чтобы равенство 8 • … : … = 4 стало верным?

• 1) 5 и 8
• 2) 3 и 6
• 3) 3 и 4

Решение:
• 2) 3 и 6

15.

Укажи все из приведенных здесь чисел, которые делятся на 6, но не делятся на 4.

• 1) 12
• 2) 18
• 3) 24
• 4) 36
• 5) 42

Решение:
• 2) 18
• 5) 42

На странице использованы материалы из книги С. И. Волковой и И. С. Ордынкиной — «Математика. Тесты 3 класс»

mat-zadachi.ru

Карточки по математике для отработки таблицы умножения (3 класс)

infourok.ru

Учебно-методический материал (математика, 3 класс) по теме: Материал для отработки внетабличного умножения и деления

nsportal.ru

Конспект урока по математике в 3 классе по теме «Решение примеров и задач на усвоение таблицы умножения и деление однозначных чисел»

Тема. Решение примеров и задач на усвоение таблицы умножения и деление однозначных чисел.

Цель: — закрепить знание таблицы умножения и деления однозначных чисел, умение решать задачи, находить неизвестное число; расширять кругозор, обогащать словарный запас учащихся; совершенствовать навыки устного и письменного счёта;

— развивать память, мышление, творческое воображение, речь;

— воспитывать самостоятельность, аккуратность, любовь к природе, интерес к познанию окружающего мира.

Оборудование: тетради, карточки с заданиями, слайдовая презентация.

Тип урока: урок-путешествие.

Ход урока

1. Организация класса

Прозвенел уже звонок.

Начинаем наш урок.

— Я желаю вам хорошего настроения на уроке и удачного выполнения всех заданий.

— Запишите дату сегодняшнего урока, чтобы запомнить, когда вы отправились в путешествие.

II. Сообщение темы и задач урока

— Чтобы определить тему нашего урока, вам нужно в каждом ряду закрасить «лишние» ягодки. (Дети выполняют задание)

— Какие ягодки остались в первом ряду? А во втором? Что это за числа?

— Что будем повторять на уроке?

— Да, мы будем повторять и закреплять знание таблицы умножения.

— А отправимся мы в путешествие в лес, где нас ждут интересные задания. За каждое правильно выполненное задание вы получите орешек. У кого будет больше орешков – тот получит отличную оценку. Обуваем сапожки, одеваем курточки и в путь!

III. Актуализация знаний.

1. Беседа:

— Какое время года мы провожаем?

— Какие изменения происходят в природе осенью?

— А почему опадают листья с деревьев?

— За лето ласточки очистили воздух, забрали много пыли и ядовитых веществ, поэтому нельзя жечь опавшую листву. Мы идём по дорожке, пошуршим листвой. Посмотрим, как листочки красиво кружат, падая на землю.

— Помогите листочкам красиво покружить над землёй, выполнив задание.

(Учащиеся выполняют задание «цепочкой». Получают орешки.)

2. Беседа:

— Один из признаков осени – отлёт птиц.

— Каких вы знаете перелётных птиц? А почему птицы улетают? (Слайды птиц перелётных и зимующих)

— Назовите птиц и решите «цепочки».

(Учащиеся выполняют задание «цепочкой». Получают орешки.)

3. Решение примеров.

— Ласточки, улетая в тёплые края, оставили вам задание: решить примеры, найти ответ и соединить с примером. Помашем ласточке ручками, скажем: «Возвращайтесь!»

(Дети работают самостоятельно. Самопроверка с доски)

— В каком порядке выполняются действия в примерах?

4. Решение уравнений.

— Как звери осенью готовятся к зиме?

— Помогите белочке собрать грибы, записав спрятавшееся число под грибочком.

(Дети самостоятельно находят неизвестное число. Взаимопроверка с доски.)

— Как найти неизвестный множитель? Неизвестное делимое? Делитель?

5. Физкультминутка.

По дорожке шли, шли,

Много грибочков нашли.

Присели, собрали

И дальше пошли. (2-3 раза)

6. Работа в парах.

— Люди тоже любят собирать и готовить грибы. Все знают, что самый ядовитый гриб – бледная поганка. (Слайды ядовитых и съедобных грибов)

— А как называется царь-гриб? Расшифруйте название гриба, решив примеры.

(Дети работают в парах. Пары получают орешки.)

7. Работа в группах.

— Мы вышли на полянку. Подышим свежим воздухом. Чем пахнет? Да, грибами.

— Давайте наберём полные корзины грибов.

(На доске – 3 корзины, у детей – грибы с ответами)

— 1 группа выбрать и положить в корзину грибы с ответами таблицы умножения на 7.

— 2 группа выбрать и положить в корзину грибы с ответами таблицы умножения на 8.

— 3 группа выбрать и положить в корзину грибы с ответами таблицы умножения числа 9.

(Дети вклеивают в корзины грибочки с ответами.)

— А почему вы не выбрали мухоморы?

29

30

42

28

14

21

(За работу группы получают орешки)

8. Решение задачи.

— Задача тоже о грибах.

Маша нашла 8 белых грибов, маслят – на 2 меньше, чем белых, а сыроежек – в 7 раз больше, чем маслят. Сколько всего грибов нашла Маша?

(Учитель записывает краткую запись на доске, один ученик решает у доски, «сильные» учащиеся – самостоятельно)

IV. Рефлексия

— После прогулки по лесу хорошо вернуться домой, выпить горячего чая, погладить кошечку.

— Давайте вспомним, что мы повтори на уроке.

— Какое у вас настроение после прогулки? Отдохните и

(2 строчки в классе, 2 строчки дома)

Дети считают орешки, учитель выставляет оценки.

— Спасибо за урок!

Общеобразовательная школа І-ІІІ ступеней №10

города Тореза

бул.Ильича, 3, г. Торез, Донецкая Народная Республика, тел. (06254)3-15-26

e-mail: sс[email protected] идентификационный код 25702074

Конспект урока

по математике

в 3 классе

по теме

«Решение примеров и задач на усвоение таблицы умножения и деление однозначных чисел»

Разработала

учитель начальных классов

Кислякова

Татьяна Анатольевна

Стаж работы – 28 лет

Категория – высшая

2015 год

infourok.ru

Внетабличное умножение и деление. Тренажеры по математике 3 класс — Kid-mama

На этой странице вы найдете обучающие онлайн игры и тренажеры по математике по теме «Внетабличное умножение и деление».

Мы научимся умножать и делить двузначные числа на однозначные, научимся работать с круглыми числами, узнаем хитрости и секреты, которые помогут нам быстро считать в уме.

У нас для этого есть два вида тренажеров: обучающие тренажеры с анимацией и тренажеры для закрепления, в которых надо ввести ответ.

1Обучающие игры — тренажеры

 «Внетабличное умножение в пределах 100»  обучающая игра-тренажер по математике 3 класс.

Перейти на страницу с тренажером

 «Внетабличное деление в пределах 100»  обучающая игра-тренажер по математике 3 класс.

Перейти на страницу с тренажером

2Тренажеры для закрепления внетабличного умножения и деления

Тренажер №1

Тренажер по математике 3 класс «Внетабличное умножение и деление. Примеры вида 30 · 2 = …,   60 : 3 = …,  80 : 40 = ….»

Перейти на страницу с тренажером

Тренажер №2 — В этом тренажере необходимо вставлять пропущенные числа так, чтобы равенство стало верным. То есть решать уравнения.

Тренажер по математике 3 класс «Внетабличное умножение и деление. Уравнения.

Перейти на страницу с тренажером

Тренажер №3

Тренажер по математике 3 класс «Внетабличное умножение в пределах 100. Примеры вида 32 · 2,  3 · 24».

Перейти на страницу с тренажером

Тренажер № 4

Тренажер по математике 3 класс «Внетабличное деление в пределах 100»

Перейти на страницу с тренажером

kid-mama.ru

Практическое занятие №5

Введение формул в ЭТ. Стандартные функции Excel

Задание №1

Заполнить таблицу по образцу, рассчитать возраст каждого.

Выполнение:

1. Заполнить таблицу по образцу. В С2:С11 отметить формат Время (главная – число — дата)

2. В D2 введите формулу: =(ГОД(СЕГОДНЯ()-С2)-1900)

Эта формула будет вычислять всегда правильное количество полных лет человека, т.к. для вычисления используется функция СЕГОДНЯ, которая в каждый конкретный момент времени использует текущую дату. (Таблица была составлена 01.10.2015, при использовании этого примера позже 5.12.2015 будут другие данные в столбце С)

3. Протяните значения на С2:С11

4. Заполните таблицу цветом

Итог:

Задание №2 Посчитать формулу

Выполнение:

1. Заполните таблицу аналогично картинке. Заполните цветом

2. Посчитайте по формуле значение m

Итог:

Задание №3

Самостоятельно оформить таблицу для вычисления формулы: υ=2πR/Т — скорость при движении по окружности. Не менее 10 пунктов. Таблицу заполнить цветом.

Практическая работа №6

«MS Excel. Фильтрация (выборка) данных из списка»

«Построение диаграмм»

Задание №1

Создайте таблицу в соответствие с образцом, приведенным на рисунке. Переименуйте лист 1 под именем «Расчет».

Технология выполнения задания:

1.      Установите курсор-рамку внутри таблицы.

3.      Выполните команду меню Данные — Сортировка.

4.      Выберите Сортировать по — отдел (Все отделы в таблице расположатся по алфавиту).

Для того чтобы ежедневно распечатывать список товаров, оставшихся в магазине (имеющих ненулевой остаток), нужно получить отфильтрованные данные.

5.      Установите курсор-рамку внутри таблицы данных.

6.      Выполните команду меню Данные — Фильтр

7.      Снимите выделение в таблицы.

8.      У каждой ячейки заголовка таблицы появилась кнопка «Стрелка вниз», она не выводится на печать, позволяющая задать критерий фильтра. Мы хотим оставить все записи с ненулевым остатком.

9.      Щелкните по кнопке со стрелкой, появившейся в столбце Количество остатка. Раскроется список, по которому будет производиться выборка. Снимите галочку с цифры ноль. Нажмите ОК. Данные в таблице будут отфильтрованы.

10.  Вместо полного списка товаров, мы получим список проданных на сегодняшний день товаров.

11.  Фильтр можно усилить. Если дополнительно выбрать какой-нибудь отдел, то можно получить список неподанных товаров по отделу.

12.  Для того, чтобы снова увидеть перечень всех непроданных товаров по всем отделам, нужно в списке «Отдел» выбрать критерий «Все».

13.  Чтобы не запутаться в своих отчетах, вставьте дату, которая будет автоматически меняться в соответствии с системным временем компьютера Формулы – Вставить функцию — Дата и время — Сегодня.

14.  Восстановите исходный вариант таблицы и отмените режим фильтрации. Для этого щелкните по кнопке со стрелкой и в раскрывшемся списке выберите строку Все, либо выполните команду Данные — Фильтр – Выделить все.

 Задание №2

Построить график для формулы

Выполнение:

1. Откройте свою практическую работу №5

2. Постройте диаграммы

— для столбца m (выделить весь столбец, на панели инструментов выбрать вкладку Вставка – Диаграммы – График – выбрать любой — ОК)

— для всех столбцов: выделить все столбцы, Вставка – Диаграммы – Гистограмма – выбрать любую — ОК)

— для столбцов h и ω: выделить столбцы, Вставка – Диаграммы – Линейчатая – выбрать любую — ОК)

— для столбцов c и m: выделить столбцы, Вставка – Диаграммы – Другие – Поверхность — выбрать любую — ОК)

3. Пересохранить работу

Практическая работа №7

время выполнения 2 часа

«Построение графиков функций в MS Excel»

Задание №1

Построить графики функций y1= x ² и y2= x ³ на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,5.

Выполнение задания:

1. Заполнить таблицу значений:

2. Рассчитайте столбцы В и С по формулам: Y1=X*X и Y2=X*X*X

3. Выделить таблицу и указать тип диаграммы Точечная.

4. Выбрать формат точечной диаграммы с гладкими кривыми.

5. В Макете указать название диаграммы «Графики», дать название осей: X и Y

6. Должен получиться график:

Самостоятельная работа:

Задание №1

Построить графики функций y1= x ² -1, y2= x ²+1 на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,3.

Задание №2

Построить графики функций y1=1/x³, y2= 3/x на интервале [- 5 ; -0,5] с шагом 0,5.

Задание №3

 Построить графики функций y1= -2/x, y2=2/x на интервале [0,5 ; 5] с шагом 0,5.

Результаты:

Задание №1

Задание №2

Задание №3

infourok.ru

Зачетная практическая работа по Excel

Итоговая работа по Excel

Задание №1

«АГЕНТСТВО ПО ПРОДАЖЕ НЕДВИЖИМОСТИ»

B

C

D

E

F

G

H

I

1

Район

Стоимость 1 кв.м., $

Площадь квартиры, кв.м.

Коэффициент престижности

Стоимость квартиры, $

Налог на приватизацию, $

Плата агентству по продаже недвижимости

Стоимость перевода и регистрации недвижимости

Общая стоимость квартиры и услуг, $

2

Алмалинский

740

42

3,2

3

Ауэзовский

584

25

1,5

4

Бостандыкский

750

39

2,7

5

Жетысусский

695

27

1,9

6

Медеуский

740

35

2,9

7

Турксибский

560

22

1,2

Выходные данные

F

Налог на приватизацию, $ (1% от стоимости квартиры)

G

Плата агентству по продаже недвижимости, $ (5% от стоимости квартиры)

H

Стоимость перевода и регистрации недвижимости, $ (5% от стоимости квартиры)

I

Общая стоимость квартиры и услуг, $

Уровень C. 1) Стоимость квартиры находится путем произведения стоимости площади квартиры на коэффициент престижности: =B2*C2*D2

2) Налог на приватизацию вычисляется по формуле: =0,01*E2

Уровень B. 1) Вычислите самостоятельно плату агентству по продаже недвижимости (столбец G) и стоимость перевода и регистрации недвижимости (столбец H).

2) Общая стоимость квартиры и услуг находится путем сложения соответствующих значений в столбцах E, F, G, H.

Уровень A. 1) В ячейку A8 занесите курс доллара (1$ = 133 тенге).

2) Столбце J вычислите общую стоимость квартиры и услуг в тенге, на основе курса доллара в ячейке A8.

Задание №2

Задание № 3

1.Ввести информацию в таблицу.

Успеваемость

Математика

Информатика

Физика

Среднее

Иванов И.И.

Петров П.П.

Сидоров С.С.

Кошкин К.К.

Мышкин М.М.

Мошкин М.М.

Собакин С.С.

Лосев Л.Л.

Гусев Г.Г.

Волков В.В.

Среднее по предмету

2.Вычислить средние значения по успеваемости каждого ученика и по предметам.

3.Построить гистограмму по успеваемости по предметам.

5.Построить пирамидальную диаграмму по средней успеваемости каждого ученика

6.Построить круговую диаграмму по средней успеваемости по предметам. Добавить в этой диаграмму процентные доли в подписи данных.

Задание №4

Построить графики функций y₁= x² и y₂= x³ на интервале [- 3 ; 3] с шагом 0,5.

Задание №5

Построить графики функций y₁=х^-3, y₂= на интервале [- 5 ; -0,5] с шагом 0,5.

Задание №6

Построить графики функций y₁= , y₂= на интервале [0,5 ; 5] с шагом 0,5.

infourok.ru

Практическая работа_Excel. Практическая работа № 4

Тема: Создание электронной книги. Относительная и абсолютная адресация в Excel

Цель занятия: Применение относительной и абсолютной адресаций для финансовых расчетов. Сортировка, условное форматирование и копирование созданных таблиц. Работа с листами электронной книги.

Ход работы:

1. Запустите табличный процессор Microsoft Excel.
2. Сохраните в своей папке Работа в Excel на диске D: рабочую книгу под именем Ведомость.xlsx

Задача 1.

Создать таблицы ведомости начисления заработной платы за два месяца на различных листах электронной книги, произвести расчеты, условное форматирование, сортировку, установить комментарии к отдельным ячейкам  и выполнить защиту данных.

1. Создайте таблицу расчета заработной платы по образцу

2. Произвести расчеты во всех столбцах таблицы.

Формулы для расчета:

• При расчете Премии используется формула: Оклад * %Премии, то есть в ячейке D5 наберите формулу = $D$4*C5, скопируйте формулу
• При расчете Всего начислено используется формула: Оклад + Премия
• При расчете Удержания  используется формула:

Всего начислено * %Удержания, для этого в ячейке F5 наберите формулу

= $F$4*E5

• При расчете К выдаче используется формула:

Всего начислено – Удержания.

3. Рассчитайте итоги по столбцам, а также минимальный, максимальный и средний доходы.
4. Переименуйте Лист 1  в – Зарплата октябрь.
5. Скопируйте содержимое листа «Зарплата октябрь» на новый лист из контекстного меню на ярлыке листа.
6. Присвоить скопированному листу имя Зарплата ноябрь.
7. Измените значение Премии на 32 %. Убедитесь, что программа произвела пересчет формул.
8. Между колонками Премия и Всего начислено вставьте новую колонку Доплата.
9. Значение доплаты примите равным 5 %.
10. Рассчитайте значение доплаты для всех сотрудников по формуле:  Оклад * % Доплаты.
11. Измените формулу для расчета значений колонки Всего начислено:

Оклад + Премия + Доплата

УСЛОВНОЕ ФОРМАТИРОВАНИЕ ЯЧЕЕК

12. Перейдите на лист – Ведомость за октябрь
13. Зададим условное форматирование для чисел в столбце К выдаче по следующим условиям:

• значений  меньше 5000 – выделить красным цветом шрифта
• значения между 5000 и 7000 – выделить белым цветом шрифта на красном фоне
• значения между 7000 и 10000 – зеленым цветом шрифта;
• значения большие или равно 10000 – синим цветом шрифта.

Для этого:

• Выделите числовой диапазон ячеек – К выдаче (G5:G18)
• На странице ленты Главная разверните кнопку Условное форматирование, Правило выделения ячеек, Меньше

• Заполните открывшееся окно как это показано на рисунке и нажмите ОК
• Чтобы задать второе условие дайте команду Условное форматирование, Правило выделения ячеек, Между
• Заполните открывшееся окно как показано на рисунке ниже, в Пользовательском формате задайте цвет шрифта – белый, цвет заливки – красный

• Самостоятельно задайте условное форматирование для оставшихся двух видов значений:

• значения между 7000 и 10000 – зеленым цветом шрифта;
• значения большие или равно 10000 – синим цветом шрифта.

СОРТИРОВКА

1. Проведите сортировку по табельному номеру в порядке возрастания. Для этого

• Выделите диапазон A5:G18
• На странице ленты Данные нажмите кнопку Сортировка
• Заполните диалоговое окно как на рисунке

2. А теперь выполним сортировку фамилий в алфавитном порядке возрастания. Для этого

• Выделите диапазон A5:G18
• На странице ленты Данные нажмите кнопку Сортировка
• Заполните диалоговое окно как на рисунке

3. Чтобы отсортировать, например значения для табельного номера не меняя остальные строки в таблице надо:

• Выделить диапазон А4:А18 (к сортируемому диапазону добавляется одна ячейка сверху – как шапка столбца)
• На странице ленты Данные нажмите кнопку
• В открывшемся окне установите флажок Сортировать в пределах указанного выделения и нажмите кнопку ОК

КОММЕНТАРИИ К ЯЧЕЙКАМ

1. Для ячейки D4 внесем комментарий «Премия пропорционально окладу». Для этого:

• Сделайте активной ячейку D4,
• Дайте команду Рецензирование, Создать примечание
• В появившемся окне введите текст примечания – Премия пропорционально окладу
• При создании примечания в правом верхнем углу ячейки D3 появилась красная точка, которая свидетельствует о наличии примечания.
• Чтобы скрыть примечание нажмите на ссылку Показать или скрыть примечание
• При наведении указателя мыши а ячейку с красной точкой, примечание появляется как всплывающая подсказка.
• Команда Показать все примечания – скрывает (выводит) тексты всех примечаний

ЗАЩИТА РАБОЧЕГО ЛИСТА

1. Защитим рабочий лист — Зарплата октябрь от изменений. Для этого:

• Дайте команду командой Рецензирование, Защитить лист
• В строке Пароль для отключения защиты введите пароль (например, 12345), нажмите ОК
• Подтвердите пароль – 12345.
• Убедитесь, что лист защищен и невозможно ввести или удалить данные.
• Снимите защиту листа (Рецензирование, Снять защиту листа).
• Сохраните созданную вами электронную книгу Ведомость.xlsx

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ:

Задание 1:

Выполнить в файле Ведомость.xlsx на рабочем листе Ведомость ноябрь:

1. Выполните сортировку по табельному номеру в порядке убывания
2. Сделать примечание на любые 3 ячейки.
3. Сделать условное форматирование оклада и премии за ноябрь месяц:

• до 2000 р. – желтым цветом заливки, синим цветом шрифта;
• от 2000 до 5000 – зеленым цветом шрифта;
• от 5000 до 6000 – белый цвет шрифта, зеленый цвет заливки;
• от 6000 до 8000 – красный цвет шрифта;
• от 8000 до 10000 – розовый цвет заливки, черный цвет шрифта;
• свыше 10000 – малиновым цветом заливки, белым цветом шрифта.

4. Построить круговую диаграмму начисленной суммы к выдаче всех сотрудников за ноябрь месяц.
5. Защитите лист от изменений, установите пароль
6. Проверьте защиту. Убедитесь в неизменяемости данных.
7. Снимите защиту с листа.

Анализ результатов работы и формулировка выводов

В  отчете необходимо предоставить: в своей папке файл: Ведомость.xlsx (два рабочих листа)

reshitko.ru

Практическая работа «EXCEL.Работа с формулами»

Практическая работа «EXCEL.Работа с формулами»

Задание 1.

Выполните вычисления по следующим формулам:

А=((X+2)*X+3)*X+4, B=, C= ,

считая заданными величины x, y, z соответственно в ячейках A3, B3 и C3.

Задание 2.

На листе 2 создайте таблицу, содержащую сведения о ценах на продукты. Заполните пустые клетки таблицы произвольными ценами, кроме столбца «Среднее значение» и строки «Всего».

Октябрь

Ноябрь

Декабрь

Среднее значение

Молоко

Масло

Сметана

Творог

Всего

Упражнение 3.

1. Создайте таблицу по образцу:

Психологическое тестирование студентов.

2. Задайте соответствующие форматы для имеющихся данных. В последнем столбце задайте формат Процентный.

Порядок выполнения:

1. Откройте файл Работа1. Активизируйте чистый лист. Создайте таблицу.

2. Выделите ячейки, содержащие текст и с помощью команды меню Формат-Ячейки во вкладке Число задайте формат Текстовый. Так же задайте числовой формат для числовых данных и процентный формат для ячеек последнего столбца таблицы.

3. В ячейке последнего столбца D2 введите формулу =С2/В2 и скопируйте ее на все ячейки столбца.

4. Выделите ячейку В6 и измените формат. После анализа изменений, измените формат.

Задание №5. В ячейках B3:B10 размещены оптовые цены на 8 товаров.  В ячейке B1 размер торговой наценки, который составляет  20% от оптовой цены. В ячейках C3:C10 рассчитать розничные цены всех товаров, если розничная цена равна сумме оптовой цены и торговой наценки.

5. Оформление таблицы в Excel: шрифтовое оформление, выравнивание в ячейках, центрирование по столбцам, выбор обрамления и выбор фона.

Задание №5. Оформите фрагмент таблицы так, как показано на рисунке

infourok.ru

EXCEL Практическая работа №3

Практическая работа №3 – Функции и форматы чисел в Excel

Задание 1. Функции (3 балла)

Задание 2. Форматы чисел (1 балл)

Задание 3. Разметка на страницы (1 балл)

Задание 1. Функции

Постановка задачи:

Дан список чисел. С помощью встроенных функций Excel вычислить:

• сумму всех чисел из списка;

• среднее арифметическое всех чисел из списка;

• минимальный элемент из списка;

• максимальный элемент из списка.

1. Откройте файл work2_1, созданный в работе 2.

1.2. В ячейке F25 с помощью функции суммы списка вычислите сумму всех значений столбца F

• Сделайте активной ячейку F25.

• Для вставки функции нажмите:

• Далее выберите категорию «Математические» и в списке функций выберите «СУММ».

• В появившемся окне в поле необходимо указать блок ячеек, по которым будет производиться суммирование (можно выделить мышкой в таблице).

• Нажав «Ok» в ячейке будет получена сумма всех значений выделенного блока.

1.3. В ячейку E25 введите пояснение «Сумма y».

1.4. Аналогичным образом в ячейке F26 с помощью функции «СРЗНАЧ» в категории «Статистические» вычислите среднее арифметическое значений функции. В ячейку E26 введите пояснение «Среднее y».

1.5. Аналогичным образом в ячейке F27 с помощью функции «МИН» категории «Статистические» вычислите минимальное из всех значений функции. В ячейку E27 введите пояснение «Минимальное y».

1.6. Аналогичным образом в ячейке F28 с помощью функции «МАКС» категории «Статистические» вычислите максимальное из всех значений функции. В ячейку E28 введите пояснение «Максимальное y».

1.7. Оформите полученную таблицу следующим образом:

1.8. В ячейках G25:G28 вычислите соответственно от полученных значений в ячейках F25:F28 наименьшее целое число, синус, косинус и тангенс углов в радианах, воспользовавшись функциями «ЦЕЛОЕ», «SIN», «COS», «TAN» категории «Математические».

Наименьшее целое

Тангенс

Косинус

Синус

Покажите результат преподавателю.

Задание 2. Форматы чисел

2.1. Скопируйте значения столбца A в столбцы K, L, M и N.

2.2. В столбце K установите числовой формат с числом десятичных знаков после запятой равным двум. Выделить нужные ячейки → ПКМ по выделенным ячейкам → Формат ячеек :

2.3. Аналогичным образом в столбце L установите финансовый формат, в столбце M – процентный, в столбце N – текстовый.

2.4. Сохраните полученный результат под именем work2_2.

Покажите результат преподавателю.

Задание 3. Разметка на страницы

ЛКМ

3.1. Произведите разметку на страницы полученной таблицы:

ЛКМ

3.2. Настройте ширину столбцов так, чтобы основная и вспомогательная таблицы поместились на одном листе:

Двигаем границы столбцов

Покажите результат преподавателю.

videouroki.net

Урок Excel Практическая работа №2

Практическая работа №2 – Нахождение значений функции

Задание 1. Адресация и вычисления. (4 балла)

Задание 2. Формат. (1 балл)

Задание 1. Адресация и вычисления

Постановка задачи:

Вычислить значения функции

для всех х на интервале [-2,2] с шагом 0,2 при k = 10.

1. Заполните основную и вспомогательную таблицы для расчетов, как показано на рис. 1.

Начальное значение x

Шаг

Рис. 1

1.2. Используя функцию автозаполнения, заполните столбец А числами от 1 до 21, начиная с ячейки А2 и заканчивая ячейкой А22 аналогично тому, как заполнили блок ячеек годами и датами в ра­боте №1.

1.3. Адресация.

Заполните столбец B значениями x:

Это означает, что в ячейку В2 заносится значение из ячейки Н2 (начальное значение x), знак $ указывает на абсолютную адресацию.

Это означает, что в этой ячейке начальное значение x будет увеличено на величину шага, которая берется из ячейки I2.

Столбец заполнится значениями X от -2 до 2 с шагом 0,2.

1.4. Поместите в ячейку C2 формулу значение которой – адрес на коэффициент k (ячейка J2). Заполните этой формулой (выбрав предварительно необходимый тип адресации в ней) блок C3:C22.

1.5. Заполните столбец D значениями функции:

Столбец заполнился как положительными, так и отрицатель­ными значениями функции y1. Проверьте – начальное значение 3 и конечное значение 3.

1.6. Аналогичным образом заполните столбец E значениями функции:

Проверьте – все значения положительные, начальное значение 3 и конечное значение 3.

1.7. Заполните столбец F значениями функции

Проверьте! Значения функции как положительные, так и отрицательные. Начальное значение 6. Конечное значение 6.

1.8. Теперь измените исходные значения в дополнительной таблице и посмотрите за изменениями в основной.

Покажите результат преподавателю.

Задание 2. Формат

Оформите внешний вид таблицы, как показано на рис. 2. Ниже – подробнее.

Рис. 2

2.1. Вставьте две пустые строки сверху:

ПКМ на первой строке → вставить → строку.

2.2. Объедините в первых двух строках требуемые ячейки (см. рис. 2):

1. Выделить нужные ячейки

1. Объединить ячейки

2.3. В полученные ячейки занесите заголовки таблиц (см. рис. 2).

2.4. Сделайте выделение у границ таблицы:

Выделить нужные ячейки, нажав клавишу Ctrl → ПКМ по выделенным ячейкам → Формат ячеек → Граница → Отметить «внешние» и «внутренние» → Ok.

2.4. Сделайте заливку ячеек таблицы (см. рис. 2):

Выделить нужные ячейки, нажав клавишу Ctrl → ПКМ по выделенным ячейкам → Формат ячеек → Заливка → Выбрать цвет → Ok.

2.5. Сохраните свою работу под именем work2_1 – она вам потребуется для дальнейших практических работ.

Покажите результат преподавателю.

videouroki.net

Материал по информатике и икт (10 класс) по теме: Практическая работа в Excel Использование встроенных функций и операций в ЭТ

Практическая работа Excel

1. Запустите Excel 2007, переименуйте Лист1 в ведомость.
2. Столбцы i и Mi заполните с помощью Автозаполнения.
3. Столбам Pi и  Fi поставьте формат ячеек (п.к.-формат ячеек-денежный-р-число знаков после запятой – 2) и заполните данными.

4. Значения столбцов Fi  и Vi вычисляются по формулам:Vi=Fi/Pi; Oi=Fi-Pi.
5. В эту таблицу снизу добавьте ячейки по образцу и выполните соответствующие вычисления (используйте функции МАКС(Е4:Е15) и СРЗНАЧ(Е4:Е15), МАКС(F4:F15) и СРЗНАЧ(F4:F15)).
6. Переименуйте Лист2 в сведения о стаже сотрудников. Заполните таблицу по образцу (чтобы расположить текст вертикально – п.к. мыши – выравнивание и надпись повернуть на 90 градусов ;  в ячейках С3:С12 поставить формат ячеек – дата-длинный формат даты)

7. Вычислить стаж работников по формуле: = ГОД(СЕГОДНЯ()-Дата приема на работу)-1900. (в ячейках D3:D12 поставьте формат ячеек – числовой-число знаков 0).
8. Скопировать таблицу на лист3 (переименовав его в тарифные ставки), добавить столбец Тарифные ставки и вычислить их таким образом: 1 – если стаж меньше 8 лет, 2 – если стаж больше 8 лет (=ЕСЛИ(D3

9. Скопируйте таблицу на лист4 (налоги), измените заголовок таблицы, добавьте столбцы Ставка, Начислено, Налог, Заработная плата.

Начислено=Ставка*Тарифные ставки.

Налог  если Начислено меньше 3000, 12%,  если Начислено больше 3000 20% (=ЕСЛИ(G3

Заработная плата Начислено — Налог

10. Сохранить в папке под именем  Встроенные функции

nsportal.ru

А средством для достижения этой цели — её «инструментом» — и являются формулы преобразования тригонометрических выражений,

знакомство с которыми мы начнём с изучения наиболее важных из них — формул синуса и косинуса суммы аргументов.

Именно эти формулы считаются основными и наиболее важными формулами преобразования тригонометрических выражений, поскольку из этих формул без особого труда выводятся практически все формулы тригонометрии.

Доказательство самих формул синуса и косинуса суммы аргументов технически довольно сложно, и оно не входит в базовый курс обучения. 

Примечание. Для краткости и упрощения в дальнейшем исключим слово «аргументов» из названий формул — это общепринятая практика — и, говоря о формулах синуса или косинуса суммы (разности), будем понимать, что это формулы синуса или косинуса суммы (разности)  аргументов этих функций.

Формула синуса суммы:  sin(x&plus;y)=sinx⋅cosy&plus;cosx⋅siny.        (1)

Формула косинуса суммы:  cos(x&plus;y)=cosx⋅cosy−sinx⋅siny.       (2)

Рассмотрим теперь выражение sin(x−y)  в таком виде: sin(x+(−y)) — и воспользуемся формулой синуса суммы (1): sin(x&plus;(−y))=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y).

Теперь вспомним о свойстве чётности функции косинус: cos(−y)=cosy —

и свойстве нечётности функции синус: sin(−y)=−siny.

Тогда:

sin(x&plus;(−y))=sinx⋅cos(−y)&plus;cosx⋅sin(−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny.

Формула синуса разности:  sin(x−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny.    (3)

и свойствами чётности функции косинус  cos(−y)=cosy,

и нечётности функции синус  sin(−y)=−siny.

Тогда получим:

cos(x&plus;(−y))=cosx⋅cos(−y)−sinx⋅sin(−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny.

Формула косинуса разности: cos(x−y)=cosx⋅cosy+sinx⋅siny.   (4)

www.yaklass.ru

Формулы приведения, сумма, разность синусов и косинусов

Формулы приведения

Формулы приведения дают возможность находить значения тригонометрических функций для любых углов (а не только острых). С их помощью можно совершать преобразования, упрощающие вид тригонометрических выражений.

Рисунок 1.

Кроме формул приведения при решении задач используются следующие основные формулы.

1) Формулы одного угла:

2) Выражение одних тригонометрических функций через другие:

Замечание

В этих формулах перед знаком радикала должен быть поставлен знак $»+»$ или $»-«$ в зависимости от того, в какой четверти находится угол.

Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов

Формулы суммы и разности функций:

Кроме формул суммы и разности функций, при решении задач бывают полезны формулы произведения функций:

Основные соотношения между элементами косоугольных треугольников

Обозначения:

$a$, $b$, $c$ — стороны треугольника;

$A$, $B$, $C$ — противолежащие перечисленным сторонам углы;

$p=\frac{a+b+c}{2} $ — полупериметр;

$S$ — площадь;

$R$ — радиус описанной окружности;

$r$ — радиус вписанной окружности.

Основные соотношения:

1) $\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C} =2\cdot R$ — теорема синусов;

2) $a^{2} =b^{2} +c^{2} -2\cdot b\cdot c\cdot \cos A$ — теорема косинусов;

3) $\frac{a+b}{a-b} =\frac{tg\frac{A+B}{2} }{tg\frac{A-B}{2} } $ — теорема тангенсов;

4) $S=\frac{1}{2} \cdot a\cdot b\cdot \sin C=\sqrt{p\cdot \left(p-a\right)\cdot \left(p-b\right)\cdot \left(p-c\right)} =r\cdot p=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R} $ — формулы площади.

Решение косоугольных треугольников

Решение косоугольных треугольников предполагает определение всех его элементов: сторон и углов.

Пример 1

Даны три стороны $a$, $b$, $c$:

1) в треугольнике для вычисления углов можно применять только теорему косинусов, так как только главное значение арккосинуса находится в пределах $0\le \arccos x\le +\pi $, соответствующих треугольнику;

2) находим угол $A$, применив теорему косинусов $\cos A=\frac{b^{2} +c^{2} -a^{2} }{2\cdot b\cdot c} $, а затем обратную тригонометрическую функцию $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

3) находим угол $B$, применив теорему косинусов $\cos B=\frac{a^{2} +c^{2} -b^{2} }{2\cdot a\cdot c} $, а затем обратную тригонометрическую функцию $B=\arccos \left(\cos B\right)$;

4) находим угол $C$ по формуле $C=180{}^\circ -\left(A+B\right)$.

Пример 2

Даны две стороны $a$, $b$ и угол $C$ между ними:

1) находим сторону $c$ по теореме косинусов $c^{2} =a^{2} +b^{2} -2\cdot a\cdot b\cdot \cos C$;

2) находим угол $A$, применив теорему косинусов $\cos A=\frac{b^{2} +c^{2} -a^{2} }{2\cdot b\cdot c} $, а затем обратную тригонометрическую функцию $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

3) находим угол $B$ по формуле $B=180{}^\circ -\left(A+C\right)$.

Пример 3

Даны два угла $A$, $B$ и сторона $c$:

1) находим угол $C$ по формуле $C=180{}^\circ -\left(A+B\right)$;

2) находим сторону $a$ по теореме синусов $a=\frac{c\cdot \sin A}{\sin C} $;

3) находим сторону $b$ по теореме синусов $b=\frac{c\cdot \sin B}{\sin C} $.

Пример 4

Даны стороны $a$, $b$ и угол $B$, противолежащий стороне $b$:

1) записываем теорему косинусов $b^{2} =a^{2} +c^{2} -2\cdot a\cdot c\cdot \cos B$, используя заданные величины; отсюда получаем квадратное уравнение $c^{2} -\left(2\cdot a\cdot \cos B\right)\cdot c+\left(a^{2} -b^{2} \right)=0$ относительно стороны $c$;

2) решив полученное квадратное уравнение, теоретически можем получить один из трех случаев — два положительных значения для стороны $c$, одно положительное значение для стороны $c$, отсутствие положительных значений для стороны $c$; соответственно и задача будет иметь два, одно или нуль решений;

3) используя конкретное положительное значение стороны $c$, находим угол $A$, применив теорему косинусов $\cos A=\frac{b^{2} +c^{2} -a^{2} }{2\cdot b\cdot c} $, а затем обратную тригонометрическую функцию $A=\arccos \left(\cos A\right)$;

4) находим угол $C$ по формуле $C=180{}^\circ -\left(A+B\right)$.

spravochnick.ru