Рубрика: Школьная жизнь

Способы задания множеств

I. Перечисление (список элементов).

II. Порождающая процедура.

III. Разрешающая процедура (описание характеристических свойств, которыми должны обладать элементы).

I. Задание множества списком

 Списком можно задать лишь множества, содержащие несколько элементов. Задание типа

N = 1, 2, 3 . . .

не список, а условное обозначение, допустимое, когда оно заведомо не вызывает разногласий.

Пример:

Определим А как множество все целых чисел х строго между 6 и 10. Это можно записать следующим образом:

и прочитать как : “А — множество, содержащее 7, 8, 9”.

Множества часто рассматриваются как “неупорядоченные совокупности элементов”, хотя иногда полезно подчеркнуть, что, например,

.

Мы не делаем никакой оговорки о порядке, в котором рассматриваются элементы, поэтому было бы неправильно допускать какой-либо определенный порядок.

Выясним далее, какие из приведенных определений верные:

.

Если число членов множества В легко вычисляется, и среди элементов множества нет повторений, то определение верно.

Множество С также выглядит правильным, за исключением лишь того, что число 6 повторяется дважды. Мы можем проверить, принадлежит ли элемент или нет. Таким образом, это наиболее важное требование в определении множества выполнено. Следовательно, мы можем рассматривать эту запись как верную и эквивалентную . Однако в этой ситуации возникают следующие проблемы. Если мы рассмотрим первоначальное определение С и выбросим одно из чисел 6 из множества, то мы, очевидно, будем иметь и. Возникает противоречие. Поэтому мы будем рассматривать повторение символов в определении множеств как упоминание одного и того же символа, а его дублирование как недосмотр.

Определение D также справедливо. Заметим, что это множество множеств, такое, что оно имеет только два элемента, в частности, , даже еслии. Это легко проверить, так каки только В и С являются элементами D.

II. Порождающая процедура

Описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. Тогда элементы множества — все объекты, которые могут быть получены (построены) с помощью такой процедуры.

Примеры:

1) Описание множества (множество всех чисел вида), где исходные объекты для построения множества — натуральные числа, а порождающая процедура для вычисления описана формулой.

2) Множество

Порождающая процедура определяется двумя правилами:

а) ; б) если, то.

Правила, описанные таким образом, называются индуктивными или рекурсивными.

3) Множество , заданное следующим образом.

Пусть имеется процедура вычисления цифр разложения числа  в бесконечную десятичную дробь

 = 3,1415926536 . . .

По мере вычисления будем образовывать из последовательности цифр данной десятичной дроби трехзначные числа

314, 159, 265 и т. д.

Множество всех таких чисел образует множество .

4) Распространенная порождающая процедура — образование новых множеств из других множеств с помощью операций над множествами.

III. Задание множества описанием его элементов (разрешающая процедура)

Примеры:

— множество всех натуральных чисел (N).

— множество всех решений уравнения .

— множество всех действительных чисел.

— множество всех чисел , гдеможно интерпретировать как описание свойства его элементов, заключающегося в возможности представить их в виде.

— заданное как “множество всех целых чисел, являющихся степенью двойки”, . Такой способ задания множества применяется, когда свойство элементов М может быть описано коротким выражением. Например, P(x) читается: «х обладает свойством Р», то М задается при помощи обозначениячитается: «М — множество элементов х, обладающих свойством Р».

Пример:

1) .

2) .

Требования к описанию свойств — точность и недвусмысленность.

Пример:

Множество всех красивых первокурсниц математического факультета 2002 г. не строго определено, так как у разных людей – различные критерии отбора.

Надежный способ точно описать свойства элементов данного множества — задание распознающей (разрешающей) процедуры, которая для любого объекта устанавливает, обладает он свойством или нет (т. е. является элементом множества или нет).

Пример:

Для , то есть для свойства, быть степенью двойкиразрешающей процедурой является любой метод разложения целых чисел на простые множители. Здесь разрешающая процедура не является порождающей. Но ее нетрудно таковой сделать: например, порождающая процедура может быть таковой. Берем последовательно все натуральные числа и каждые из них разлагаем на простые множители: те числа, которые не содержат множителей, отличных от двойки, включаем в .

С другой стороны порождающая процедура может не быть разрешающей. Например, при получении действует порождающая процедура. Но с ее помощью нельзя определить, будет ли произвольное трехзначное число принадлежатьили нет, т. е. множествобесконечно, и если при построении n — чисел множества некоторое (проверяемое) число не встретилось, то еще нельзя утверждать, что оно не принадлежит.

Обобщение: Суть порождающей процедуры в том, что с ее помощью из уже полученных элементов множества или других объектов получают (или могут получить) все последующие элементы.

Суть разрешающей процедуры в том, что она разрешает (или не разрешает) предложенному для проверки объекту быть или не быть элементом данного множества в зависимости от его свойств.

Понятие “точно заданное множество” нуждается в уточнении. Одна из основных трудностей задания множества (даже из множеств, точность описания которых не вызывает сомнения) с помощью вполне, казалось бы, законных средств — в том, что можно сконструировать описание множеств, которые приводят к противоречиям — “парадоксам теории множеств”. Например, множество всех подмножеств по смыслу своего описания этого множества должно содержать все мыслимые множества. Но оно само содержится в множестве своих подмножеств в качестве элемента.

Перед дальнейшим изложением будет удобно определить два специальных множества.

Определение: Пустое множество (обозначается ) есть множество, обладающее свойством:

при любом х.

Другое множество, определение которого зависит от задачи, называют универсальным множеством.

Определение: Универсальное множество (обозначается U) есть множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.

Рассмотрим теперь множество. Оно имеет n элементов. Будем говорить, что мощность этого множества есть n.

Определение: Мощностью (длиной, размерностью) множества называется число элементов этого множества. Обозначим .

Далее любое множество В, которое имеет то же число элементов, что и А, имеет такую же мощность, и естественно, эти элементы не надо пересчитывать. Для небольших множеств достаточно легко пересчитать элементы, но для других множеств, например N, это может быть невозможно. Далее следует строгое, но неформальное определение количества элементов.

Определение: Говорят, что множество Х конечно, если или для некоторогосуществует множествотакое, что оно имеет то же самое число элементов, что и X. Еслии никакого n не может быть найдено, то Х называютбесконечным.

studfiles.net

Способы задания множеств

I. Перечисление (список элементов).

II. Порождающая процедура.

III. Разрешающая процедура (описание характеристических свойств, которыми должны обладать элементы).

I. Задание множества списком

 Списком можно задать лишь множества, содержащие несколько элементов. Задание типа

N = 1, 2, 3 . . .

не список, а условное обозначение, допустимое, когда оно заведомо не вызывает разногласий.

Пример:

Определим А как множество все целых чисел х строго между 6 и 10. Это можно записать следующим образом:

и прочитать как : “А — множество, содержащее 7, 8, 9”.

Множества часто рассматриваются как “неупорядоченные совокупности элементов”, хотя иногда полезно подчеркнуть, что, например,

.

Мы не делаем никакой оговорки о порядке, в котором рассматриваются элементы, поэтому было бы неправильно допускать какой-либо определенный порядок.

Выясним далее, какие из приведенных определений верные:

.

Если число членов множества В легко вычисляется, и среди элементов множества нет повторений, то определение верно.

Множество С также выглядит правильным, за исключением лишь того, что число 6 повторяется дважды. Мы можем проверить, принадлежит ли элемент или нет. Таким образом, это наиболее важное требование в определении множества выполнено. Следовательно, мы можем рассматривать эту запись как верную и эквивалентную . Однако в этой ситуации возникают следующие проблемы. Если мы рассмотрим первоначальное определение С и выбросим одно из чисел 6 из множества, то мы, очевидно, будем иметь и. Возникает противоречие. Поэтому мы будем рассматривать повторение символов в определении множеств как упоминание одного и того же символа, а его дублирование как недосмотр.

Определение D также справедливо. Заметим, что это множество множеств, такое, что оно имеет только два элемента, в частности, , даже еслии. Это легко проверить, так каки только В и С являются элементами D.

II. Порождающая процедура

Описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. Тогда элементы множества — все объекты, которые могут быть получены (построены) с помощью такой процедуры.

Примеры:

1) Описание множества (множество всех чисел вида), где исходные объекты для построения множества — натуральные числа, а порождающая процедура для вычисления описана формулой.

2) Множество

Порождающая процедура определяется двумя правилами:

а) ; б) если, то.

Правила, описанные таким образом, называются индуктивными или рекурсивными.

3) Множество , заданное следующим образом.

Пусть имеется процедура вычисления цифр разложения числа  в бесконечную десятичную дробь

 = 3,1415926536 . . .

По мере вычисления будем образовывать из последовательности цифр данной десятичной дроби трехзначные числа

314, 159, 265 и т. д.

Множество всех таких чисел образует множество .

4) Распространенная порождающая процедура — образование новых множеств из других множеств с помощью операций над множествами.

III. Задание множества описанием его элементов (разрешающая процедура)

Примеры:

— множество всех натуральных чисел (N).

— множество всех решений уравнения .

— множество всех действительных чисел.

— множество всех чисел , гдеможно интерпретировать как описание свойства его элементов, заключающегося в возможности представить их в виде.

— заданное как “множество всех целых чисел, являющихся степенью двойки”, . Такой способ задания множества применяется, когда свойство элементов М может быть описано коротким выражением. Например, P(x) читается: «х обладает свойством Р», то М задается при помощи обозначениячитается: «М — множество элементов х, обладающих свойством Р».

Пример:

1) .

2) .

Требования к описанию свойств — точность и недвусмысленность.

Пример:

Множество всех красивых первокурсниц математического факультета 2002 г. не строго определено, так как у разных людей – различные критерии отбора.

Надежный способ точно описать свойства элементов данного множества — задание распознающей (разрешающей) процедуры, которая для любого объекта устанавливает, обладает он свойством или нет (т. е. является элементом множества или нет).

Пример:

Для , то есть для свойства, быть степенью двойкиразрешающей процедурой является любой метод разложения целых чисел на простые множители. Здесь разрешающая процедура не является порождающей. Но ее нетрудно таковой сделать: например, порождающая процедура может быть таковой. Берем последовательно все натуральные числа и каждые из них разлагаем на простые множители: те числа, которые не содержат множителей, отличных от двойки, включаем в .

С другой стороны порождающая процедура может не быть разрешающей. Например, при получении действует порождающая процедура. Но с ее помощью нельзя определить, будет ли произвольное трехзначное число принадлежатьили нет, т. е. множествобесконечно, и если при построении n — чисел множества некоторое (проверяемое) число не встретилось, то еще нельзя утверждать, что оно не принадлежит.

Обобщение: Суть порождающей процедуры в том, что с ее помощью из уже полученных элементов множества или других объектов получают (или могут получить) все последующие элементы.

Суть разрешающей процедуры в том, что она разрешает (или не разрешает) предложенному для проверки объекту быть или не быть элементом данного множества в зависимости от его свойств.

Понятие “точно заданное множество” нуждается в уточнении. Одна из основных трудностей задания множества (даже из множеств, точность описания которых не вызывает сомнения) с помощью вполне, казалось бы, законных средств — в том, что можно сконструировать описание множеств, которые приводят к противоречиям — “парадоксам теории множеств”. Например, множество всех подмножеств по смыслу своего описания этого множества должно содержать все мыслимые множества. Но оно само содержится в множестве своих подмножеств в качестве элемента.

Перед дальнейшим изложением будет удобно определить два специальных множества.

Определение: Пустое множество (обозначается ) есть множество, обладающее свойством:

при любом х.

Другое множество, определение которого зависит от задачи, называют универсальным множеством.

Определение: Универсальное множество (обозначается U) есть множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.

Рассмотрим теперь множество. Оно имеет n элементов. Будем говорить, что мощность этого множества есть n.

Определение: Мощностью (длиной, размерностью) множества называется число элементов этого множества. Обозначим .

Далее любое множество В, которое имеет то же число элементов, что и А, имеет такую же мощность, и естественно, эти элементы не надо пересчитывать. Для небольших множеств достаточно легко пересчитать элементы, но для других множеств, например N, это может быть невозможно. Далее следует строгое, но неформальное определение количества элементов.

Определение: Говорят, что множество Х конечно, если или для некоторогосуществует множествотакое, что оно имеет то же самое число элементов, что и X. Еслии никакого n не может быть найдено, то Х называютбесконечным.

studfiles.net

Множества. способы задания множеств — математика, уроки

ПрактическАЯ РАБОТА

Тема: Множества. Способы задания множеств.

Цели:

• ознакомиться с понятием множества;

• ознакомиться со способами задания множеств;

• ознакомиться с основными видами множеств.

Оснащение занятия: конспект лекций.

Порядок выполнения работы

Задание 1.

1. Ознакомиться с лекцией 1.

2. Выписать в тетрадь определения. Ответить на вопросы:

а). Какие множества называются конечными, какие бесконечными, какие пустыми? Приведите примеры конечных, бесконечных, пустых множеств.

б). Что значит задать множество?

в). Что значит задать множество пересечением элементов? Когда это можно сделать? Приведите пример множеств, заданных пересечением элементов.

г). Что значит задать множество указанием характеристического свойства элементов? Приведите примеры множеств, заданных указанием характеристического свойства элементов.

д). Дайте определение характеристического свойства элементов множества.

3. Записать в тетрадь образцы решения заданий

Лекция 1.

Тема «Множества. Способы задания множеств»

Множества. 
Множество — совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое. Элемент множества — объект А называется элементом множества, если он обладает характеристическим свойствами этого множества.
Способы задания множеств. 
1) Перечислением — при перечислении множества его элементы принято заключать в фигурные скобки: 
{2,4,6,…} — множество четных чисел, 
{3,6,9,…}— множество чисел кратных трем. 
Под многоточием в данных случаях подразумеваются все последующие числа: в первом случае — четные, а во втором — кратные трем.
2) Описание свойств — для задания (описания) некоторого множества 
X, состоящего из элементов, обладающих свойством α, используют запись X={x |α(x)}. Читается как: «X — множество элементов x таких, что α(x)». Например, Y={y | y∈N и y — множество натуральных чисел, меньших 7.
Характеристическое свойство множеств. 
 Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему. 
Равные множества, подмножества. 
  Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Тогда пишут A = B. Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a, b, c допускает шесть видов записи:

{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

Множество  является подмножеством множества , если любой элемент, принадлежащий , также принадлежит . Формальное определение:

Универсальное множество. 
Определение: Универсальное множество — это такое множество, которое состоит из всех элементов, а так же подмножеств множества объектов исследуемой области.
Конечные и бесконечные множества. 
Множества, состоящие из бесконечного числа элементов, называются бесконечными, из конечного – конечными.
 Пустое множество. 
 Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. ∅ 
Основные числовые и геометрические множества. 
 Z− множество целых чисел;
 Q− множество рациональных чисел;
 I− множество иррациональных чисел;
 R− множество действительных чисел;
 C− множество комплексных чисел.

Образцы решения заданий

Пример 1. Задать с помощью характеристического свойства элементов множество всех положительных чисел. 

Ответ:    .

Пример 2. Задать перечислением элементов множества, заданные указанием характеристического свойства элементов: 

. Ответ: М  = {1; 2; 3; 4}.

Пример 3. Указать стандартное обозначение множества М и изобразить его на числовой прямой:

Примеры для самостоятельного решения.

Задание 2. Выполните указанные примеры.

1. Приведите примеры множеств, составленных из объектов следующих видов:

а) неодушевленных предметов;

б) животных;

в) растений;

г) геометрических фигур;

д) населенных пунктов;

е) водоемов;

ж) политических деятелей.

2.  Назовите элементы, принадлежащие множеству:

а) студентов вашей группы;

б) предметов, изучаемых в I семестре вашей специальности;

в) всех частей света;

г) субъектов федерации, входящих в Российскую Федерацию.

3. Пусть А – множество многоугольников. Принадлежат ли этому множеству:

а) восьмиугольник;

б) параллелограмм;

в) отрезок;

г) параллелепипед;

д) круг;

е) полукруг?

4. Множество С состоит из квадрата, круга и треугольника. Принадлежит ли этому множеству диагональ квадрата?

5. Прочитайте запись и укажите, какие из указанных высказываний истина, а какие ложь:

а) 270   N;                             ж) -3  Z;

б)    0    N;                     з)  Q;

в) –3   N;                        и)  R;

г) 1   Q;                            к) sin 2,3  R; 

д) –7   N;                             л) tg   R. 

е) 22  N;           

6. Пусть Е – множество европейских государств, А – множество азиатских государств. Какие из следующих высказываний истина, а какие – ложь?

а) Франция   Е;                 з) Волга  Е;

б) Испания  Е;                  и)  Нигерия  А;

в) Монголия  А;        к)  Гималаи  А;

г) Индия  А;                 л) Япония  А;

д)  Ирак  Е;        м) Альпы  Е;

е) Турция  А;                   н) Швеция  А.       

ж) Байкал  А;                        

7. Запишите перечислением элементов следующие множества:

а) А – множество нечетных чисел на отрезке [1; 15];

б) В – множество натуральных чисел, меньших 8;

в) С – множество натуральных чисел, больших 10, но меньших 12;

г) D – множество двузначных чисел, делящихся на 10;

д) Е – множество натуральных делителей числа 18;

е) F – множество чисел, модуль которых равен .

8. Запишите перечислением элементов следующие множества:

а) множество различных букв в слове «головоломка»;

б) множества цифр числа 134433154.

9. Изобразите на числовой прямой множество решений неравенства с одним неизвестным  x:

а) x   5,3;

б) x  ≤  –3,8;

в) – 4,5  ≤  x 

г) 2,7   ≤  x  ≤  9.

10. Выясните, множество решений какого неравенства изображено на числовой прямой в каждом случае:

11. Найдите длину каждого из следующих множеств и назовите их элементы:

а) {а}; б) {{а}}; в) ; г) {}; д) {{ a; b }, { а }}; е) {{ a; b; c}, а }; 
ж) {{ а }, а, }.

2) Из каких элементов состоят следующие множества:

а) множество трехзначных чисел, составленных с помощью цифр 1 и 3;

б) множество трехзначных чисел, составленных с помощью цифр 1, 3, 5, причем так, что никакие две цифры не встречаются дважды;

в) множество трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 3, 5 так, что любые две соседние цифры различны;

г) множество трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 5.

3) Задайте перечислением элементов множество делителей числа 36. Можно ли задать таким образом множество чисел, кратных числу 36?

Контроль знаний обучающихся:

kopilkaurokov.ru

2.Способы задания множества

Множество можно задать, перечислив все его элементы.

Например, множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6. Поскольку все его элементы окажутся перечисленными, то это множество задано. При этом возможна запись А = 3, 4, 5, 6, в которой перечисленные элементы заключаются в фигурные скобки.

Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно, таким образом, и задать конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множеств: указывают характеристическое свойство его элементов.

Определение. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Пример

Множество А – двузначных чисел. Свойство, которым обладает любой элемент данного множества, — “быть двузначным числом”. Это характеристическое свойство дает возможность решить вопрос о том, принадлежит ли какой-либо объект множеству А или не принадлежит. Так, число 21 содержится в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множеству А не принадлежит – оно не является двузначным.

Иногда одно и тоже множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными сторонами и как множество ромбов с прямыми углами.

Вывод: чтобы задать некоторое множество, достаточно либо перечислить все его элементы, либо указать характеристическое свойство его элементов. Второй способ более общий: он позволяет задавать и конечные и бесконечные множества в отличие от первого способа, который, как правило, можно использовать для задания конечных множеств с небольшим количеством элементов. Хотя первый способ используется иногда и для задания бесконечных множеств. Например, множество натуральных чисел может быть задано в виде  = 1, 2, 3, …. Однако такой способ записи возможен лишь тогда, когда по записанной части множества ясно, что означает многоточие.

Одно и тоже множество может быть задано и первым и вторым способом.

Пример

Множество В натуральных чисел, меньших 7, заданное посредством указания характеристического свойства его элементов, можно задать и так: В=1,2,3,4, 5, 6, т.е. перечислив все его элементы.

3. Отношения между множествами. Подмножество

Даны два множества:

А = a, b, c, d, e и B = b, d, k, e. Видим, что элементы b и d принадлежат одновременно множеству А и множеству В. Говорят, что b и d – общие элементы множеств А и В, а сами множества пересекаются.

Замечание. Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.

Рассмотрим теперь множества А = a, b, c, d, e и В = c, d, e. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включено в А или что множество В является подмножеством множества А.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.

Если В – подмножество множества А, то пишут: В  А – и читают: «В – подмножество А», «В – включается в А».

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, т. е.   А, и что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. А  А. Поэтому среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.

studfiles.net

Способы задания множества

Произвольные множества будем обозначать прописными, а элементы множества — строчными буквами латинского алфавита, пустое множество — символом Ø.

Существуют два различных способа задания множества. Можно дать полный перечень элементов этого множества. Этот способ называется перечислением множества. Элементы перечисляемого множества заключают обычно в фигурные скобки. Например, множество А, состоящее из букв русского алфавита, вместе с пробелом (его обозначают знаком ∆) запишется так: А = {а, б, в, …, ю, я, ∆}. Множество студентов учебной группы определяется списком в соответствующем журнале. Понятно, что этот способ задания множества применим только для конечных множеств. Обычно его используют в тех случаях, когда число элементов множества не очень велико.

Другой способ состоит в том, что задается свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий рассматриваемому множеству, и не обладает ни один элемент, ему не принадлежащий. Этот способ называют описанием множества, а свойство, определяющее множество, характеристическим.

При описании множеств используются различные символы, операции. Если A есть некоторое множество, а x — входящий в него объект, то символическая запись x  A означает, что x является элементом множества A; при этом говорят: «x входит в А», «x принадлежит А». Если x не принадлежит множеству А, то пишут x  А. Пусть, например, А есть множество букв русского алфавита, тогда, обозначив букву д как элемент х, а букву d как элемент y, можно записать х  A, y  А. В том случае, когда речь идет о нечетком множестве, указывается степень достоверности, с которой x принадлежит множеству A, Это выражается записью P (x  A). Например, пусть A — множество юношей, а x обозначает девятнадцатилетнего мужчину; тогда, исходя из приведенных выше рассуждений, можно записать 0,5 (x  A).

3. Отношения между множествами

Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, английский математик Джон Венн (1834 — 1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости. Намного раньше Леонард Эйлер (1707 — 1783) для этих целей использовал круги, при этом точки внутри круга считались элементами множества. Такие изображения сейчас называют диаграммами Эйлера — Венна.

Пусть даны два произвольных множества A и B, тогда возможны пять случаев отношений между ними:

• Множества A и B не имеют общих элементов (см. рис. 1а).

• Множества A и B имеют общие элементы, но не все элементы множества A принадлежат множеству B , и не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят о пересечении множеств A и B (см. рис. 1б).

• Все элементы множества B принадлежат множеству A, но не все элементы множества А принадлежат множеству В. В этом случае говорят о включении множества В во множество А (см. рис. 1в).

Определение: Если имеются два множества A и B, причем каждый элемент множества В принадлежит множеству А, то множество В называется подмножеством множества А. Записывается это так: В  А.

Само множество A и пустое множество Ø называют несобственными подмножествами множества А. Все остальные подмножества называются собственными.

Все элементы множества A принадлежат множеству B, но не все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят о включении множества A во множество B (А  В) (см. рис. 1г).

Все элементы множества A принадлежат множеству B и все элементы множества B принадлежат множеству A. В этом случае говорят, что множества A и B равны (см. рис. 1д).

Определение: а) Два множества A и B называются равными (или совпадающими), если А  В и В  А.

б) Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывается это так: А = В.

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 1

Определение: Множество, относительно которого все множества, рассматриваемые в данной задаче, являются подмножествами, называется универсальным. Универсальное множество будем обозначать буквой U.

Упражнения: Ответьте, какой из ситуаций, отображенных на рисунке 1, соответствуют отношения множеств, описанных ниже.

1. А — множество успевающих студентов и В — множество участников художественной самодеятельности.

2. А — множество студентов-юношей и В — множество студенток.

3. А — множество отличников учебной группы и В — множество всех студентов этой же учебной группы.

4. Какое соотношение между множеством успевающих студентов юридического факультета (А) и множеством всех студентов того же факультета (В) является мечтой деканата этого факультета.

5. В — множество студентов, присутствующих на лекции и А — множество всех студентов данного потока.

studfiles.net

Способы задания множеств

Упрощение выражений. Видеоурок. Математика 5 Класс

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык – математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» – можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася – друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить– значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .

Также  будет эквивалентно первым двум: .

Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.

Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.

Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример: от числа  нужно отнять число .

Вычислить можно, но если бы первое ч

interneturok.ru

Формулы. Уравнения. Упрощение выражений. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

www.yaklass.ru

Формулы. Уравнения. Упрощение выражений — методическая рекомендация. Математика, 5 класс.

www.yaklass.ru

Упрощение выражений

МОУ “Тоншаевская средняя школа” Тоншаевского района Нижегородской области

Конспект урока математики «Упрощение выражений»

5 класс

УМК: Н.Я.Виленкин

Пенькова Елена Валерьевна, учитель математики

ИСТОЧНИКИ:

1. Тесты по  математике 5 класс: к учебнику Н.Я. Виленкина /В.Н. Рудницкая. – М.: Издательство «Экзамен», 2014 (тестовые задания 1-4, 5, 6 для актуализации)
2. Дидактические материалы по математике: 5 класс: практикум /А.С. Чесноков и др. – М.: Академкнига/Учебник, 2012 (примеры для упрощения выражений, уравнения, текстовые задачи)

1. http://pandia .org/text/78/423/22512.php (стихи для физкульминутки)

Учебник: Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Н.Я. Виленкин и др]. – М.: Мнемозина, 2011.

Тип урока: Урок-практикум

Цели:

Образовательные:

— закрепление знаний распределительного закона умножения, применение этого закона при решении различных упражнений;

— обобщить знания учащихся по теме «Упрощение выражений», продолжить формирование умений решения уравнений, применение их при решении задач;

— продолжить формирование умений составления математических моделей реальных ситуаций;

Развивающие задачи урока.

— развивать качества мышления: гибкость мышления, рациональность мышления, самостоятельность мышления через систему подобных задач.

Воспитательные задачи:

— воспитывать целеустремленность, самостоятельность в овладении знаниями, математическую аккуратность, сознательную дисциплину.

Оборудование: Презентация

ХОД УРОКА:

Ориентировочно-мотивационный этап:

Организационный момент: Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке мы с вами окунемся в одну всем известную сказку и поможем ее героям.

Актуализация: А что это за сказка, вы узнаете, правильно собрав паззл. Кусочек паззла открывается при правильном выполнении задания (Презентация «Паззл»), (устная работа, с объяснением каждого примера)

На основание какого свойства записано равенство (а+5)·х=ах+5х?

Сочетательного свойства сложения

Переместительного свойства сложения

Распределительного свойства умножения относительно сложения

Сочетательного свойства умножения

На основание какого свойства записано равенство (х-8)·а=ах-8а?

Сочетательного свойства умножения

Переместительного свойства сложения

Распределительного свойства умножения относительно сложения

Распределительного свойства умножения относительно вычитания

Чему равно значение выражения 25·160+75·160

1600

16000

3200

32000

Упростить выражение 52х+48х

100х

6х

100·(х+х)

2х+100

Упростите выражение 52х-48х

4х

100х

4(х-х)

2х-4

Упростить выражение 800а+а

801а

810а

800·(а+а)

800·2а

Упростить выражение 75у-у

77у

0

74у

75у

Решить уравнение 25+х=30

55

5

15

6

Решите уравнение 102-х=62

164

100

40

44

Решите уравнение 24х=72

1728

48

3

96

Решите уравнение 2х+10=20

5

15

0

20

Решите уравнение 3х-42=18

180

24

8

20

Мотивация: В одном сказочном городе жили коротышки. Коротышками их называли потому, что они были очень маленькие. В городе у них было очень красиво. Вокруг каждого дома росли цветы, поэтому улицы назывались именами цветов: улица Колокольчиков, аллея Ромашек, бульвар Васильков. А сам город назывался Цветочным городом.

В одном домике на улице Колокольчиков жило шестнадцать малышей-коротышей. Кто помнит героев этой сказки? Чем они занимались? (Самым главным из них был малыш-коротыш, по имени Знайка. В этом же домике жил известный доктор Пилюлькин, который лечил коротышек от всех болезней. Жил здесь также знаменитый механик Винтик со своим помощником Шпунтиком; жил Сахарин Сахариныч Сиропчик, который прославился тем, что очень любил газированную воду с сиропом. Жил ещё в этом доме охотник Пулька. У него была маленькая собачка Булька и ещё было ружьё, которое стреляло пробками. Жил художник Тюбик, музыкант Гусля и другие малыши: Торопыжка, Ворчун, Молчун, Пончик, Растеряйка, два брата — Авоська и Небоська.)

Но самым известным среди них был малыш, по имени Незнайка. Его прозвали Незнайкой за то, что он ничего не знал. Если Незнайка брался за какое-нибудь дело, то делал его не так, как надо, и все у него получалось шиворот-навыворот. Читать он выучился только по слогам, а писать умел только печатными буквами. 

Содержательный этап:

Как Незнайка хотел стать музыкантом.

Малыши и малышки очень любили музыку, а Гусля был замечательный музыкант. У него были разные музыкальные инструменты, и он часто играл на них. Все слушали музыку и очень хвалили. Незнайке было завидно, что хвалят Гуслю, вот он тоже захотел играть на трубе, да нот не знает. Ребята, помогите Незнайке выучить ноты. Для того, чтобы открыть ноту, придется выполнить задание:

Упростить выражение (устно):

24а+16а (40a)

13k+k (14k)

m+m (2m)

12y-3y (9y)

350x-350x (0)

12z-z (11z)

3l-2l+l (2l)

Молодцы! Помогли Незнайке освоить ноты. Теперь и он может похвастаться перед другими малышами умением играть на трубе.

Как Незнайка был художником.

После того как Незнайка с вашей помощи освоил трубу, решил он стать, как Тюбик, художником. Тюбик был вовсе не жадный, он подарил Незнайке свои старые краски и кисточку. Начал Незнайка рисовать картину, да что-то не получается у него. Ребята, помогите Незнайке нарисовать картину. Чтобы собрать картинку надо выполнить задание. После выполнения примеров, будет открываться кусочек картины. Работать будем по группам.

1 группа – 1 ряд – верхняя строчка (3 уравнения)

2 группа – 2 ряд – вторая строчка (3 уравнения)

3 группа – 3 ряд – третья строчка (3 уравнения)

Решить уравнение:

34х+17х=1173 (23)

48у-25у=437 (19)

7t+t+27=99 (9)

15z-z-16=82 (7)

5m+7m=132 (11)

42x-28x+180=600 (30)

29x+67x=30720 (320)

50y-18y=832 (26)

6z-z+18=43 (5)

Молодцы! Вот какую красивую картину помогли вы нарисовать Незнайке… Все коротышки очень удивлялись, как это Незнайка смог это сделать…ведь у него ничего никогда не получалось…

Физкультминутка

Мы писали, мы писали,
Наши пальчики устали,
А сейчас мы отдохнём,
руки, ноги разомнем:
«1» подняться, подтянуться.
«2» согнуться, разогнуться.
«3» в ладоши 3 хлопка, головою 3 кивка.
на «4» руки шире.
«5» руками помахать.
«6» за парту тихо сесть.

Как Незнайка сочинял стихи

Окрыленный успехом, решил Незнайка, как и поэт Пудик, писать стихи. С рифмами только проблемы у него. Никак не может к словам подобрать рифмы: палка – селедка, пакля-шмакля и т.д. Помогите Незнайке подобрать рифмы к словам: урок, задача, уравнение? Для этого надо правильно решить задачку.

Провод длинной 60 м разрезали на два куска так, что длина одного из них оказалась в 5 раз больше другого. Найдите длину каждого куска провода.

(х+5х=60, ответ: 10 и 50) рифма — звонок

Грузоподъемность первого самосвала в 4 раза больше, чем грузоподъемность второго. Найдите грузоподъемность каждого самосвала, если грузоподъемность второго самосвала на 24 т меньше первого.

(4х-х=24, ответ: 8 и 32) рифма — неудача

Смесь, состоящая из 3 частей цейлонского чая и 4 частей индийского чая, имеет массу 210 г. Сколько граммов цейлонского чая в этой смеси.

(4х+3х=210, ответ: 90) рифма — сравнение

Ребята, а теперь попробуйте, используя данные рифмы, сами сочинить стихи, хотя бы из двух строк.

Примеры: Вот закончился урок,

Прозвенел уже звонок!

Вот какая неудача –

Не решается задача!

Приведем вам для сравнения

Два решения уравнения!

Рефлексивно-оценочный этап:

Оценка знаний учащихся: Сегодня на уроке, решая различные задачки, вы помогли Незнайке выучить ноты, научиться рисовать и составлять рифмы. Теперь подведем итоги урока (выставляются оценки)

Рефлексия: В тетрадочках поставьте себе один из смайликов, который соответствует вашему настроению после урока:

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Область определения показательной и логарифмической функции — Студопедия.Нет

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Найти область определения функции .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти область определения функции .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Область определения тригонометрических функций

Область определения функции y = sin(x) — множество R действительных чисел.

Область определения функции y = cos(x) — так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи» и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) — множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) — так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) — множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) — так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [- 4; 4].

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [0; 1].

Область определения дроби

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции — множество ]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 13. Найти область определения функции .

Решение. Область определения первого слагаемого — данной функции — множество R действительных чисел, второго слагаемого — все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции — все x, кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции — вся числовая прямая или, что то же самое — множество R действительных чисел или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо «икса», знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 16. Найти область определения функции .

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2].

Понятие экстремума функции

studopedia.net

Функции и свойства натуральных логарифмов: область определения, график

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.

Если , то .

Логарифм — крайне важная математическая величина, поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.

…

Вконтакте

Facebook

Twitter

Мой мир

Свойства логарифмов

Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что  означает, что:

.

Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.

Приведем некоторые тождества:

;

;

.

Приведем основные алгебраические выражения:

;

;

;

.

Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.

Обозначения:

• lg x — десятичный;
• ln x — натуральный.

Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.

График натурального логарифма

Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.

Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:

Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве:  . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:

.

Для удобства мы можем взять пять опорных точек:

;

;

;

;

.

Как посчитать логарифмы от этих пяти значений? Очень просто, ведь:

;

;

;

;

;

.

Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.

Построив по точкам график, получаем приблизительный график:

Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.

Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале  .

Предел натурального log

Изучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y<0.

Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х<0 не существует.

Предел натурального log можно записать таким образом:

Это интересно! Азы геометрии: правильная пирамида — это

Формула замены основания логарифма

Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.

Начнем с логарифмического тождества:

.

Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:

,

где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).

Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:

.

Воспользуемся свойством (только вместо «с» у нас выражение):

Отсюда получаем универсальную формулу:

.

В частности, если z=e, то тогда:

.

Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.

Это интересно! Уравнение по трем точкам: как найти вершину параболы, формула

Решаем задачи

Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.

Задача 1. Необходимо решить уравнение ln x = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то  , получаем:

.

Задача 2. Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то  , получаем:

.

Тогда:

.

.

Еще раз применим определение логарифма:

.

Таким образом:

.

Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.

Задача 3. Решите уравнение .

Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:

.

Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

.

Первый корень уравнения:

.

Второй корень уравнения:

.

Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:

.

Используя определение логарифма: если  , то , получаем оба корня:

.

Вспомним, что область определения: . Оба корня больше нуля, так что оба решения верны и подходят.

Внимание! Когда в логарифмических уравнениях у вас получается два корня или больше, не забывайте про область определения. Аргумент, стоящий под логарифмом никогда не может быть меньше нуля. Если одно из решений делает выражение под логарифмом меньше либо равным нулю — такой корень вам не подходит, исключите его.

Интересные сведения

Логарифмы (особенно натуральные и десятичные) широко применимы почти во всех сферах деятельности.

Например, в теории простых чисел, количество простых чисел в интервале от 0 до n будет равно приблизительно:  , при этом s-ое простое число приблизительно будет равно  .

В математическом анализе, как мы уже убедились ранее, натуральные логарифмы встречаются сплошь и рядом, при этом они объединяют тригонометрические и логарифмические функции при помощи интегралов, например интеграл от тангенса:

.

В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.

В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти натуральное число N понадобится  битов.

В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.

В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.

В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.

Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.

Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства

Доказательство основного свойства натурального логарифма

uchim.guru

Логарифмическая функция, формула и примеры

Определение и формулы логарифмической функции

Замечание. Показательная и логарифмическая функции являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой — биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.

Свойства логарифмической функции

1) Область определения: .

2) Множество значений: .

3) Четность/нечетность: функция общего вида.

4) Период: функция непериодическая.

5) Точки пересечения графика функции с координатными осями:

• с осью абсцисс: точка ;
• с осью ординат точек пересечения нет.

6) Промежутки знакопостоянства:

• : для и для ;
• для и для .

7) Монотонность:

• : функция убывает для любого ;
• : функция возрастает для любого .

8) Точек минимума/максимума нет.

9) График

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Примеры область определения логарифмической функции примеры решения

Конспект урока по математике 2 класс. Тема «Периметр многоугольника». Конспект урока по математики 2 класс по УМК «Начальная школа 21 века». Попова Любовь Александровна. 06.01.2017.

Как найти область определения функции?

Будем исходить из того, что Вы знаете, что такое область определения функции и что Вам известны области определения основных элементарных функций (постоянной, корня, степенной функции и т. п.). Если нет, то рекомендуем вернуться к информации указанной статьи, так как ниже мы будем постоянно опираться на нее, объясняя, как найти область определения функции.

Навигация по странице.

Что значит найти область определения функции?

Известно, что когда задается какая-либо функция, то сразу указывается ее область определения. Другими словами, нельзя говорить о функции без ее области определения. Тогда возникает логичный вопрос, откуда взяться задаче с формулировкой найти область определения функции, если область определения должна быть указана вместе с самой функцией? А дело здесь вот в чем.

Функции очень часто задают, просто записывая формулу вида y=f(x) , при этом область определения функции явно не указывают. В этом случае подразумевают, что областью определения функции является множество всех таких значений аргумента, при котором выражение f(x) смысл (то есть, ОДЗ переменной x выражения f(x) ). Так вот встает задача нахождение этого множества значений аргумента, которая по сути и составляет задачу поиска области определения функции.

Что указывает на возможное ограничение области определения?

В школе обычно изучаются функции действительной переменной. При этом область определения отдельно взятой функции это, либо все множество действительных чисел R, либо некоторое его подмножество, например, промежуток (0, +∞) или множество [−3, 1)∪[5, 7) . По виду формулы, задающей функцию, можно определить, что область определения функции отлична от множества R. Давайте рассмотрим, что указывает на возможное наличие ограничений области определения:

Правила нахождения области определения

Первые задачи на нахождение области определения функции начинают проскакивать на уроках алгебры в 8-9 классе. Они довольно простые и решаются, исходя из очевидных соображений.

В качестве примера приведем рассуждения, позволяющие найти область определения функции y=2·x+1 . Мы можем вычислить значение выражения 2·x+1 для любого значения переменной x, поэтому, область определения функции y=2·x+1 – это множество всех действительных чисел.

Но дальше начинают встречаться функции все более и более сложных видов, особенно в сборниках задач по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ, и возникает потребность в строгих правилах, позволяющих находить области определения всевозможных функций. Но тут всплывает неприятный сюрприз: в учебниках алгебры эти правила отдельно не выделены и их приходится выискивать из контекста. Восполним этот пробел.

Для удобства изучения дальнейшего материала расположите перед собой таблицу областей определения функций.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Для начала научимся находить Область определения суммы функций. Понятно, что такая функция имеет смысл для всех таких значений переменной, при которой имеют смысл все функции, составляющие сумму. Поэтому не вызывает сомнений справедливость следующего утверждения:

Давайте условимся и дальше использовать записи, подобные последней, под которыми будем понимать пересечение числовых множеств, записанных внутри фигурной скобки, либо одновременное выполнение каких-либо условий. Это удобно и достаточно естественно перекликается со смыслом систем.

Дана функция y=x 7 +x+5+tgx, и надо найти ее область определения.

Функция f представлена суммой четырех функций: f1 — степенной функции с показателем 7 , f2 — степенной функции с показателем 1 , f3 — постоянной функции и f4 — функции тангенс.

Переходим к нахождению Области определения произведения функций. Для этого случая имеет место аналогичное правило:

Оно и понятно, в указанной области определены все функции произведения, а значит и сама функция f.

Найти область определения функции y=3·arctgx·lnx.

Структуру правой части формулы, задающей функцию, можно рассматривать так f1(x)·f2(x)·f3(x) , где f1 – это постоянная функция, f2 – это функция арктангенс, а f3 – логарифмическая функция с основанием e.

Областью определения функции y=3·arctgx·lnx является множество всех действительных положительных чисел.

В частности, области определения функций y=f(x) и y=−f(x) совпадают, и это позволяет утверждать, что Область определения разности функций можно найти так же, как и область определения суммы функций.

Найдите область определения функции y=log3x−3·2 x.

D(f1)=(0, +∞) . Найдем область определения функции f2 . Она совпадает с областью определения показательной функции с основанием 2 , то есть, D(f2)=(−∞, +∞) .

Теперь мы можем найти область определения функции y=log3x−3·2 x :

Область определения сложной функции

Рассмотрим для начала Сложную функцию f, которой соответствует формула y=f1(f2(x)) . Как же найти область определения сложной функции f? Изучив соответствующий пункт в учебнике [2, c. 118] , становится ясно, что D(f) — это множество всех x из области определения функции f2 , для которых f2(x) входит в область определения функции f1 .

Давайте рассмотрим решения нескольких примеров. В процессе мы не будем подробно описывать решение систем неравенств, так как это выходит за рамки этой статьи.

Найти область определения функции y=lnx 2 .

Исходную функцию

poiskvstavropole.ru

Логарифмической функцией называется функция

Свойства логарифмической функции

1. Область определения:

2. Множество значений:

3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности.

4. Периодичность функции: непериодическая.

5. Нули: функция обращается в нуль при X = 1.

6. Промежутки знакопостоянства: Если то функция положительна для отрицательна для если то функция положительна для отрицательна для

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: если функция убывает для если возрастает для

9. Асимптоты: прямая X = 0 (ось Oy) – вертикальная асимп­тота.

10. График функции для изображен на рис. 6.9, а для на рис. 6.10.

Рис. 6.9 Рис. 6.10

Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда

или

Функция если является обратной для функции при

Функция если является обратной для функции при

Пример 1. Определить знак числа:

1) 2) 3) 4)

Решение. 1) Поскольку основание логарифма больше 1 (А = 7) и значение, стоящее под знаком логарифма, больше 1 (B = 35), то из свойств логарифмической функции

2) Для основания логарифма имеем и для выражения, стоящего под знаком логарифма, выполняется Поэтому

3) Так как основание логарифма 5 и 5 > 1, а выражение, стоящее под знаком логарифма, равно и то

4) Для основания логарифма выполняется а под знаком логарифма число 19 (19 > 1). Поэтому

Пример 2. Сравнить числа:

1) и 2) и

3) и 3.

Решение. 1) Используем тот факт, что логарифмические функции с основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому

Тогда

2) Рассмотрим числа и Так как

и

то

следовательно,

3) Известно, что или

Если A ³ 0, B ³ 0.

В нашем случае тогда

Т. е.

Пример 3. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число

Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то

Пример 4. Найти функцию, обратную функции Построить графики обеих функций в одной системе координат.

Решение. Найдем функцию, обратную данной:

Построим графики функций:

А) строим график функции график функции переносим параллельно на две единицы вправо по оси Ox и на две единицы вниз по оси Oy;

Б) график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой (рис. 6.11).

Рис. 6.11

matica.org.ua

4.4. Приведение к каноническому виду уравнения кривой 2-го порядка

Общее уравнение кривой 2-го порядка:

(23)

Уравнение (23) можно представить в виде , где – квадратичная форма уравнения кривой, а – линейная функция.

Приведение уравнения кривой (23) к каноническому виду начинается с приведения к каноническому виду соответствующей квадратичной формы . Её матрица Из характеристического уравнения находятся собственные значения и матрицы , при этом , так как . Затем находят соответствующие собственные векторы, которые после нормировки образуют ОНБ .

В новом базисе квадратичная форма примет канонический вид:

. (24)

Переход от ОНБ к ОНБ описывается матрицей , в столбцах которой находятся координаты векторов ОНБ . Связь между координатами и определяется из уравнения т. е.

. (25)

Подставляя зависимости (25) в линейную функцию получим:

Тогда уравнение (23) примет вид:

(26)

Выделяя в (26) полные квадраты, получим каноническое уравнение одной из кривых 2-го порядка. О какой кривой идет речь, можно определить сразу по матрице квадратичной формы. Если , то линия, задаваемая уравнением (23), Эллиптического типа, если – Гиперболического, если – Параболического типа.

Пример 20. Определить тип кривой 2-го порядка и построить её:

Решение. Уравнение кривой представим в виде Где – квадратичная форма, – линейная функция.

Квадратичная форма, соответствующая заданной кривой, Её матрица .

Так как , то кривая параболического типа. Составим характеристическое уравнение и найдём собственные значения матрицы :

Собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям:

Построим ОНБ из собственных векторов:

Матрица перехода Выполним проверку соответствия ориентации ОНБ ориентации ОНБ : , значит, ориентация совпадает. В этом базисе .

Так как то Подставляя эти разложения в линейную часть кривой, получим:

Тогда уравнение кривой примет вид или т. е. где Заданная кривая изображена на рисунке 1.

Рисунок 1

Пример 21. Привести уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду и определить тип кривой:

Решение. Уравнение кривой представим в виде Где – квадратичная форма, – линейная функция.

В нашем случае , её матрица .

Определим тип кривой. Для этого вычислим Так как То заданная кривая эллиптического типа.

Приведем квадратичную форму к каноническому виду. Для нахождения собственных значений матрицы составим характеристическое уравнение: Т. е. , тогда .

Теперь найдём соответствующие им собственные векторы:

Построим ОНБ: , тогда матрица перехода от ОНБ к ОНБ имеет вид: Так как значит, ориентация ОНБ соответствует ориентации ОНБ .

Матрица заданной квадратичной формы в базисе имеет вид: , а сама квадратичная форма: .

Напомним, что матрица может быть получена в результате преобразования подобия: , где – матрица перехода к новому ОНБ. Координаты и связаны между собой соотношением: т. е. .

Преобразуем линейную часть уравнения кривой:

Теперь можно записать уравнение кривой в координатах :

Таким образом, выполнен первый шаг в преобразовании кривой к каноническому виду, в результате которого в исходном уравнении кривой исчезло слагаемое, содержащее произведение координат и .

Выделим полные квадраты: или . Если то каноническое уравнение заданной кривой 2-го порядка примет вид и задаёт эллипс с полуосями Кривая изображена на рисунке 2.

Рисунок 2

Литература: [3, 6, 7, 15].

matica.org.ua

АГ. Приведение уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду

Алгебраические линии второго порядка достаточно часто встречаются в математике и физике, поэтому их исследование представляет собой важную
задачу. К счастью, это исследование несложно провести в наиболее общем виде до конца. В частности можно показать, что общее уравнение

приводится двумя преобразованиями к значительному более простому — каноническому виду. Эти преобразования допускают геометрическую интерпретацию.
Уравнение (1) определяет кривую одного из трёх типов (вырожденные случаи упомянем ниже отдельно): эллипс, гиперболу или параболу. Эти кривые обычно
расположены по отношению к осям координат «неудачно». Смысл преобразований, приводящих уравнение кривой к каноническому виду, заключается в
переходе к системе координат, по отношению к которой кривая будет расположена так, как показано на рис. 1 а, б, в. Обратите внимание: эллипс и гипербола имеют
центр симметрии, и начало координат совмещено с ним. Также следует отметить, что большая ось эллипса расположена вдоль оси абсцисс, а мнимая ось гиперболы —
вдоль оси ординат. У параболы вершина совмещена с началом координат, а ветви направлены вправо. Случаям рис. 1 а, б, в соответствуют уравнения

Именно к такой форме и нужно приводить уравнение кривой второго порядка: в этом случае понятно расположение кривой на координатной плоскости, и легко
определяются её основные характеристики.

Возможны два типа преобразований системы координат : параллельный перенос

(начало координат переносится в точку ) и поворот на угол (против часовой стрелки)

Параллельный перенос может исключить слагаемые, пропорциональные и ; поворот исключает слагаемое, пропорциональное .

Перед тем как начинать преобразовывать уравнение, следует вычислить т.н. малый дискриминант . Он позволяет определить тип кривой:
соответствует эллипсу, соответствует гиперболе, соответствует параболе (опять-таки
возможны случаи вырождения). Если , то первое действие — перенос начала координат в центр симметрии кривой. Выполняем
преобразование (2) и требуем обращения в нуль линейных слагаемых по переменным и . Второе действие — поворот, после которого
исчезнет слагаемое, пропорциональное .

Если , то у кривой нет центра симметрии. Поэтому сначала выполняется поворот, убирающий слагаемое, пропорциональное .
Затем выполняется сдвиг, с помощью которого вершина параболы совмещается с началом координат.

Наконец, упомянем о вырожденных случаях. Эллипс может выродиться в точку или вовсе стать мнимым
. Гипербола может выродиться в две пересекающиеся прямые .
Парабола может выродиться в две параллельные прямые , одну прямую или две мнимые прямые ().

Заметим, что несложно вывести формулы, с помощью которых можно сразу по уравнению (1) указать преобразование координат, приводящее это
уравнение к каноническому виду и сам этот вид. Однако запоминать эти формулы сложно да и не нужно: все преобразования исключительно просты.
Также существуют и другие характерные числа, роль которых подобна роли малого дискриминанта (большой дискриминант, полуинварианты) —
они позволяют, не проводя преобразований, указать не только тип кривой, но и отделить вырожденные случаи. Кроме того, через них выражаются
коэффициенты уравнения кривой в канонической форме. Эти формулы здесь также не обсуждаются.

Рассмотрим несколько примеров. Задание — привести уравнение к каноническому виду.

Примеры.

Пример 1. Случай центральной кривой.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую гиперболического типа. Это значит, что нужно начинать с параллельного
переноса системы координат. Применяя замену (2), получаем

.
Требуем, чтобы коэффициенты при линейных слагаемых обратились в нуль:

Уравнение принимает вид
.
Теперь выполняем поворот (3):
.
Требуем обращения в нуль коэффициента при слагаемом, пропорциональном :
.
Мы выбрали один угол поворота, хотя их существует целое семейство. Уравнение принимает вид

или
.
Уже понятно, что это уравнение гиперболы, но в каноническом виде справа должна быть, строго говоря, единица. Поэтому нужно повернуть
систему координат ещё на угол — переменные поменяются местами и уравнение примет канонический вид.
На рис. 2 изображена гипербола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение гиперболы имеет
канонический вид.

Пример 2. Случай нецентральной кривой: случай преобразования сводящегося к повороту.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую параболического типа. Это значит, что нужно начинать с поворота
системы координат. Применяя замену (3), получаем


.
Требуем обращения в нуль коэффициента при :
.
Опять-таки выбран один из возможных углов поворота. Подстановка этих функций угла поворота в уравнение кривой приводит к уравнению
.
И снова понятно, что получилось уравнение параболы, но оно не каноническое. Для приведения к каноническому виду нужно выполнить ещё один
поворот на угол .
На рис. 3 изображена данная парабола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение имеет канонический вид.

Пример 3. Случай нецентральной кривой.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую параболического типа. Это значит, что нужно начинать с поворота
системы координат. Применяя замену (3), получаем

.
Требуем обращения в нуль коэффициента при :
.
И снова выбран один из возможных углов поворота. Подстановка этих функций угла поворота в уравнение кривой приводит к уравнению
.
Теперь нужно выполнить параллельный перенос системы координат, чтобы совместить вершину параболы с началом координат.
Применять формальную процедуру замены координат нет необходимости (хотя можно сделать и так) — вместо этого перепишем уравнение тождественно
.
Фактически был выделен полный квадрат. Таким образом, второе преобразование очевидно:
.
Приходим к каноническому уравнению параболы:
.
На рис. 4 изображена данная парабола в исходной системе координат, и изображены оси координат, в которых уравнение имеет канонический вид.
Также изображена система координат, получающаяся после первого преобразования — поворота.

Пример 4. Отсутствие геометрического образа.

Здесь , т.е. уравнение описывает кривую эллиптического типа. Это значит, что нужно начинать с параллельного
переноса системы координат. Применяя замену (2), получаем

.
Требуем, чтобы коэффициенты при линейных слагаемых обратились в нуль:
.
Уравнение принимает вид
.
Теперь выполняем поворот (3):
.
Чтобы пропорциональное слагаемое обратилось в нуль, выберем, например, .
Уравнение преобразуется к виду
.
Такое уравнение не задаёт кривой на плоскости (т.н. мнимый эллипс).

corum.mephist.ru

14.3. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Пусть на плоскости задана декартова система координат (декартов базис , и точкаО– начало координат). Рассмотрим общее уравнение 2-го порядка:

. (14.25)

Обозначим через сумму старших слагаемых:

и рассмотрим квадратичную форму

.

Ее матрица симметрическая.

Пусть — произвольное евклидово пространство,,— линейный оператор вс матрицейв базисе,, следовательно,— самосопряженный оператор в. Тогда существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора(см. лекцию 13, § 13.3, теорема 9), в этом базисе матрица операторадиагональная и имеет вид, где— собственные значения (см. § 12.3).

Если матрица перехода от базиса ,к базису, то(см. § 12.2).

Рассмотрим теперь линейное преобразование неизвестных с матрицей :. Квадратичная форма от новых неизвестныхимеет вид, где.

Итак, если — ортонормированный базис из собственных векторов оператора, матрицакак матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному ортогональна () , следовательно, матрица квадратичной формы от неизвестныхдиагональная и.

Такой способ приведения квадратичной формы к каноническому виду называется методом собственных векторов.

Пример 4. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом собственных векторов.

Матрица квадратичной формы имеет вид. Рассмотрим в произвольном евклидовом пространстве,, линейный операторс матрицейв некотором ортонормированном базисе. Найдем его собственные векторы.

Характеристическое уравнение ,, его корни,.

Имеем для :и,;

для :и,.

Положим ,и получим,.

В базисе ,матрица операторадиагональная:. Нормируем векторыи:и,.

Матрица перехода от базиса ,к базису,. Вернемся к квадратичной форме. Положим, т.е.

(14.26)

Тогда .

Замечание.Формулы (14.26) – формулы поворота осей координат на уголпротив хода часовой стрелки. Уголопределяется соотношениями

,().

В общем случае преобразование поворота

(14.27)

приведет линию (14.25) к виду

. (14.28)

Эта процедура называется приведением линии 2-го порядка к главным осям (из дальнейшего изложения будет ясно, что, если (14.25) – эллипс или гипербола, новые оси ипараллельны главным осям кривой).

Коэффициенты ив уравнении (14.28) – характеристические числа матрицыи могут быть найдены как корни уравнения, или

. (14.29)

Обозначим ,.

Имеем (действительно, из (14.29) находим, или, и по теореме Виета).

Случай 1.(кривая эллиптического типа).

Преобразуем (14.28) следующим образом:

,

или, обозначив , придем к равенству

.

Положим (14.30)

и в новой системе координат имеем

. (14.31)

Формулы (14.30) – формулы параллельного переноса начала координат в точку .

Случай 1. а) Знакпротивоположен знаку(и, следовательно, знаку). Тогда (14.31) определяет эллипс:

;

б) , уравнение (14.31) определяет одну точку:;

в) Знаки исовпадают, нет точек (мнимый эллипс).

Случай 2.(кривая гиперболического типа).

В этом случае знаки ипротивоположны.

а) , уравнение (14.31) определяет гиперболу:

;

б) , уравнение (14.31) принимает вид:

.

Пусть , тогдаи уравнение (14.31) можно переписать в следующем виде:

. (14.32)

Уравнение (14.32) определяет пару пересекающихся прямых: .

Случай 3.(кривая параболического типа).

Пусть для определенности (тогда).

Уравнение (14.25) преобразованием (14.27) приводится к виду

. (14.33)

Пусть , тогда (14.33) можно переписать следующим образом:

.

Получим и

. (14.34)

Уравнение (14.34) определяет параболу.

Если же , то уравнение (14.33) перепишем в виде

.

Обозначив и положив, придем к уравнению

. (14.35)

а) , уравнение (14.35) определяет пару параллельных прямых:.

б) , уравнение (14.35) определяет пару совпадающих прямых:.

в) , нет точек (пара мнимых прямых).

Сведем полученные результаты в таблицу:

Пример 5. Определить вид и расположение кривой 2-го порядка

. (14.36)

Слагаемые 2-го порядка в (14.36) составляют квадратичную форму

,

которую преобразование неизвестных по формулам

(14.37)

приводит к сумме квадратов (пример 4).

Тогда уравнение кривой (14.36) преобразованием (14.37) приводится к виду

.

Здесь ,и, следовательно,, кривая эллиптического типа.

Как в случае 1, соберем слагаемые, содержащие неизвестное и дополним их до полного квадрата, аналогично поступим со слагаемыми, содержащими:

, или

Положим и получим

. (14.38)

Уравнение (14.38) – уравнение эллипса с полуосями и центром в точке. Рис. 14.1 — схематический рисунок кривой.

195

studfiles.net

Приведение к каноническому виду общего уравнения кривых второго порядка

Задание 1. Определить тип кривой 2-го порядка, привести к каноническому виду её уравнение

.

Построить кривую.

Решение. Представим уравнение кривой в виде , где и – её квадратичная форма и линейная часть соответственно. Матрица квадратичной формы , , значит, кривая параболического типа.

Составим характеристическое уравнение:

,

Откуда , . Найдём собственные векторы.

При получим, что , откуда или . Пусть – базисная переменная, – свободная, тогда при получим , а соответствующий собственный вектор . Аналогично, при : , откуда , т. е. , тогда .

и ортогональны, так как соответствуют различным собственным значениям. Это можно проверить, вычислив непосредственно их скалярное произведение . Так как , то ОНБ из собственных векторов составят

и .

Проведём проверку соответствия ориентации ОНБ ОНБ . Для этого составим матрицу из векторов построенного ОНБ. Если , то надо менять и местами, если , то ориентации базисов совпадают. В нашем случае ориентации базисов совпадают, так как .

В этом базисе квадратичная форма примет вид: , при этом является матрицей перехода от ОНБ к ОНБ . Связь между координатами в этих базисах выражается соотношениями , . Подставляя эти разложения в линейную часть уравнения кривой, получим

.

Уравнение параболы примет вид: , или , т. е. , где , . Её график изображен на рисунке 11.

Ответ: парабола; .

Рисунок 11

Задание 2. Определить тип кривой 2-го порядка, привести к каноническому виду её уравнение

.

Построить кривую.

Решение. Представим уравнение кривой в виде , где и – её квадратичная форма и линейная часть соответственно. Матрица квадратичной формы , её , значит, кривая эллиптического типа.

Для нахождения собственных значений составим характеристическое уравнение: . Его корни , . Найдём собственные векторы.

При : , откуда получаем, что . Если – базисная переменная, – свободная, то, полагая , получим , тогда . Аналогично, при : , откуда, тогда .

Собственные векторы и ортогональны , а , тогда ОНБ составят , . Проверим соответствие ориентации ОНБ ориентации ОНБ : , т. е. ориентации совпадают. В этом базисе , − матрица перехода от ОНБ к ОНБ . Связь между координатами в разных базисах выражается соотношениями , . Подставляя эти формулы в линейную часть уравнения кривой, получим

,

Тогда уравнение кривой в новой системе координат примет вид: или , т. е. , где , .

График кривой изображен на рисунке 12.

Ответ: эллипс; .

Рисунок 12

matica.org.ua

Что такое скаляр и вектор

Физические величины различной природы могут иметь различную математическую структуру описания.

Из элементарного курса известны простейшие определения скаляра (скалярной величины) и вектора (векторной величины):

¾ скаляром называется величина, которая при определенном выборе единицы измерения однозначно характеризуется числом, ее измеряющим;

¾ вектор определяется своей величиной (модулем) и направлением в пространстве и складывается с другим вектором той же физической размерности по правилу треугольника или параллелограмма.

Для описания вектора в трехмерном пространстве (рис. П.1.1) необходимо одновременно задать три параметра (три проекции, или модуль вектора и углы между направлением вектора и какими-либо двумя из трех координатных направлений). Очевидное различие в математических структурах скалярной и векторной величин приводит к различию в свойствах указанных объектов.

Строгая классификация физических объектов основана на изучении характера изменения их компонент при преобразованиях систем координат (т.е. при переходе от одной координатной системы к другой). В физике чаще всего имеют дело с преобразованиями систем координат в обычном трехмерном пространстве или в четырехмерном пространстве-времени Минковского.

Трансформационные свойства физических величин могут быть различны в этих случаях. К примеру, кинетическая энергия материальной точки — скаляр относительно преобразований системы координат в трехмерном пространстве и одна из компонент 4-вектора относительно преобразований в пространстве Минковского.

Важно отметить, что и вид преобразований системы координат может оказаться существенным. Так “вращения” и “сдвиги” координатных систем отличаются тем, что переводят “правые” координатные системы в “правые”, а «отражение» относительно одной из координатных поверхностей переводит «правую» координатную систему в «левую». Физическая величина может оказаться инвариантной (неизменной) при преобразовании «вращения» и неинвариантной при преобразовании «отражения».

При изучении преобразований систем координат в основной части курса мы ограничимся преобразованиями сдвига и вращения правых декартовых систем координат.

В общем, указание трансформационных свойств физической величины (т.е. ее тензорного характера) имеет смысл только по отношению к определенной группе преобразований координат в данном пространстве. С рассматриваемой точки зрения, скаляр — это величина, инвариантная относительно (разрешенных) преобразований координат, а вектор — совокупность компонент, которые при преобразовании координат трансформируются по определённому правилу, с этим правилом мы познакомимся ниже. Многокомпонентные физические объекты более сложной математической структуры, чем вектор, будут подробно описаны ниже по мере рассмотрения соответствующих физических ситуаций.

Ниже для описания скалярной величины или функции используются общепринятые обозначения. Векторные величины принято описывать или в символической форме (т.е. без указания конкретной системы координат), например, вектор , или в координатной форме , где упорядоченные величины в фигурных скобках представляют собой проекции вектора на соответствующие координатные линии декартовой системы координат.

Сложение векторных величин по правилу треугольника или параллелограмма (рис. П.1.2)

эквивалентно покоординатному сложению:

Для векторных величин определено умножение на скалярную величину:

Геометрический образ описанной операции очень нагляден: вектор направлен так же как и вектор , но его величина в «l раз больше» (если l>0 и размерности не имеет). Если l<0, то направление векторов и противоположны. Если l физически размерная величина, сравнить непосредственно величины векторов и не представляется возможным.

Поскольку вектор определен величиной и направлением в пространстве, его можно представить в форме:

,

где – единичный безразмерный вектор (орт), совпадающий по направлению с исходным вектором ; обозначение используется для записи абсолютной величины (модуля) вектора .

Заметим, что в декартовой системе координат имеет место соотношение:

Для декартовой системы координат в трехмерном пространстве удобно ввести орты координатных линий: (используемые иногда обозначения не всегда удобны). В этом случае вектор можно представить в форме:

Определение операций «сложение» и «умножение на скалярную величину» позволяет ввести операцию «вычитания» векторов (рис. П.1.2) по следующему правилу:

.

Для векторных величин известны три различные операции умножения. Первая из них, скалярное произведение двух векторов, определена правилом:

где a— угол между направлениями векторов и , результат операции —скалярная величина (рис. П.1.3).

Если для произвольных векторов и , таких, что и , имеет место соотношение , то такие векторы называются ортогональными друг другу. Геометрический смысл скалярного произведения двух векторов становится очевидным, если заметить, что выражение представляет собой либо произведение проекции вектора на направление на модуль вектора , то есть , либо произведение проекции вектора на направление вектора на модуль вектора , то есть . Легко проверить, что .

Векторное произведение векторов и определено правилом:

где – орт, направленный по нормали к плоскости, в которой расположены векторы и , причем система направлений , , является «правой» системой: кратчайшее угловое расстояние между направлениями векторов и (угол a) соответствует движению от к против часовой стрелки, если смотреть с конца орта (или с конца вектора ). Очевидно, что направление орта нормали совпадает с направлением вектора .

Легко видеть, что результатом векторного произведения двух векторов является вектор, причем . В координатной форме записи имеют место соотношения

Если , то векторы и либо параллельны друг другу, т.е. , либо антипараллельны, т.е. .

Геометрический смысл векторного произведения становится наглядным, если векторы и представляют собой направленные отрезки двух прямых, исходящих из одной точки пространства, в этом случае величина представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

В качестве упражнения рекомендуется проверить соотношения:

 

Прямое или тензорное произведение двух векторов определено следующим образом. Если имеем вектор , или в координатной форме , и вектор , или в координатной форме {b_x,, b_y, b_z}, то можно построить двухиндексный объект – матрицу

=

как результат тензорного произведения = Ä , что в координатной форме имеет вид

С_ij = a_i b_j , i,j=1,2,3.

Объект, построенный таким образом, обладает свойствами тензора второго ранга. Тензоры второго и более высокого ранга используются при описании физических явлений в механике сплошных сред, электродинамике, теории относительности и т.д.

Описание алгебраических операций над векторными величинами заключим напоминанием, что операция деления векторных величин не определена.

 

 

Похожие статьи:

poznayka.org

СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ

Министерство общего и профессионального образования РФ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет Кафедра теоретической физики

ЗАПРЯГАЕВ С. А.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. Векторный анализ

Методические укзания к практическим занятиям по курсу «ЭЛЕКТРОДИНАМИКА»

для студентов 3-гокурса дневного отделения

Рекомендовано Учебно МетодическимОбъединением университетов РФ в качестве учебного пособия

1

1.1Исходные определения

Скаляром называется величина, определяемая одним численным значением.Вектором называется величина, задаваемая численным значением и направлением в пространстве. Математическое изображение

вектора есть:	~	A, или	~	(ниже используется обозначение — A).
	A, или		A

Геометрически, вектор изображается отрезком прямой линии, направление которой совпадает с направлением величины A в данной точке, а длина (или модуль вектора A = |A|) равна численному значению вектора (в определенных единицах измерения). Введено понятиенулевой вектор — это вектор, модуль которого равен нулю. Направление такого вектора не задано. Два вектораравны между собой, если модули их одинаковы и направления совпадают (обозначение A = B). Для векторов введен ряд математических операций (но не все в сравнении с числами).Суммой двух векторовA иB называется векторC, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на слагаемых векторах (рис. 1.a). Суммой N векторов является вектор C, замыкающий N + 1 — угольник,

1

q q

q q

*

HY

A2

6

A

YH

q q

q Hq

Hq q qCq q3q q

q q q q

q q q q

—

HH

C —

AN

B

C —

−B

A

H

Bq

A1

H

?

a)

q q q

q

б)

в)

Рис. 1: Сложение векторов

построенный на слагаемых векторах (рис. 1.б). Из определения суммы векторов следует коммутативность A + B = B + A иассоциативность

(A + B) + C = A + (B + C) векторного сложения. Вектор называется противоположным заданному A (обозначается −A), если модуль его равен |A|, а направление прямо противоположно вектору A.Разностью двух векторов A и B называется сумма уменьшаемого вектора с вектором, противоположным вычитаемому A − B = A + (−B) (рис. 1.в).Проекция вектора A на ось e есть число, равное:

где ϕ -уголмежду напрвлением вектора A и положительным направлением оси e.Умножение вектора Aна скаляр a определяет вектор, модуль

P3 k=1

2

которого равен a · A, а направление совпадает с направлением вектора

A, если a > 0 и противоположно направлению вектора A, если a			<
0. Умножение вектора на число удовлетворяет соотношениям: a(b A)			=
(a · b)A,	a(A + B) =	aA + aB. Линейно зависимыми называются
векторы,	для которых	выполняется равенство PiN=1 αiAi = 0, где	αi

-числа,не все равные нулю. Два линейно зависимых вектора параллельны (коллиниарны) друг другу. Три линейно зависимых вектора лежат в одной плоскости (компланарны). Если три вектора линейно независимы, то любой вектор единственным образом разлагается по этим векторам.Базисом трехмерного пространства называется произвольная система трех линейно независимых векторов ei, i 1 ÷ 3. При заданном базисе для любого вектора имеем:

	3
	kX	(2)
A = A1 e1 + A2 e2 + A3 e3 =	Akek
	=1
Откладывая тройку базисных векторов из	одной точки	пространства

(начало координат) и называя прямые, являющиеся продолжением ek, осями координат, получим косоугольную декартову систему координат. Если базисные векторы взаимно ортогональны и |ek| = 1, то они называютсяортами прямоугольной декартовой системы координат. Часто используются следующие общепринятые обозначения e1 = i-ортоси X, e2 = j-ортоси Y , e3 = k-ортоси Z.Радиусвектор точки (r) — есть вектор, проведенный из начала координат к заданной точке пространства r = x i+y j+z k. Здесь x, y, z — декартовы координаты точки. В дальнейшем будут использованы обозначения x1 ≡ x; x2 ≡ y; x3 ≡ z. В результате

r = xk ek. Модуль радиус вектора обозначается r и равен r =

√

x2 + y2 + z2.Единичный радиусвектор — есть вектор, равный n = r/r.

1.2 Произведения векторов

Для векторов определены два типа произведения — скалярное и векторное. Скалярное произведение двух векторов A и B есть число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение двух векторов обозначается (A · B) или A · B и по определению(1) равно произведению модуля одного вектора на проекцию

εi j k

	3
второго вектора на направление первого:
A · B = A B cos(Ad· B) = AB · B = A · BA	(3)

По определению скалярное произведение коммутативно A · B = B · A и дистрибутивно (A + B) · C = A · C + B · C. На основании (3) проекция вектора на ось равна скалярному произведению орта оси на вектор. Из равенства скалярного произведения нулю следует взаимная ортогональность векторов. Орты прямоугольной декартовой системы

координат ортогональны между собой ei · ej		= δij. Используя(2) для
скалярного произведения (3), имеем
	3	3
A · B =	X	kX	(4)
	Ak Bn (en · ek) =	AkBk
	k,n=1	=1

Векторным произведением двух векторов A и B называется вектор, обозначаемый [A × B], равный по величине произведению модулей векторов на синус угла между ними и направленный перпендикулярно плоскости векторов сомножителей в ту сторону, откуда поворот от первого сомножителя A ко второму Bна меньший угол виден против хода часовой стрелки. Векторное произведение некоммутативно, так как [A × B] = −[B × A], но дистрибутивно [A × (B + C)] = [A × B] + [A × C]. Из равенства [A × B] = 0 следует параллельность векторов A и B. Векторное произведение имеет простой геометрический смысл: |[A × B]| равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Векторное произведение ортов прямоугольной декартовой системы координат равно:

3
kX	i, j 1, 2, 3	(5)
[ei × ej] = εi j k ek
=1

— символ Леви-Чевита,равный нулю, если хотя бы два индекса совпадают; равный +1, если i, j, k образуют циклическую; и −1, если i, j, k образуют нециклическую перестановку от последовательности 1, 2, 3. В практических приложениях используются следующие соотношения для εi j k

3						3
εi k l· εi s t=		δks	δkt		;	εi k l· εi k t= 2δlt	(6)
X						X
i=1		ls	lt			i,k=1

Определитель квадратной матрицы 3 × 3 можно представить в следующем виде:

	3
det A = ||A|| =	X	(7)
	A1 iA2 jA3 kεi j k.

i,j,k=1

4

Используя (2), (5), получаем общее выражение для вычисления векторного произведения:

[A B] =

3

3

e1

e2

e3

(8)

AiBj [ei ej] =

εi j kAiBjek

=

A1

A2

A3

X

X

×

×

B1

B2

B3

i,j=1

i,j,k=1

Смешанное произведение трех векторов

3

3

X

X

εi j kAnBiCj (en · ek) =

A · [B × C] =

AnBiCj en · [ei × ej] =

i,j,n=1

i,j,n,k=1

3

εi j k

AkBiCj =

3

A1

A2

A3

(9)

=

εk i jAkBiCj=

B1

B2

B3

X

X

C1

C2

C3

i,j,k=1

k,i,j=1

Из (9) вытекает, что значение смешанного произведения не меняется при циклической перестановке векторов, входящих в него. Численно смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах, входящих в произведение. Если любые два вектора в смешанном произведении одинаковы или параллельны, то такое произведение равно нулю. Наконец, если все три вектора лежат в одной плоскости, смешанное произведение также равно нулю. Таким образом, если для трех векторов A · [B × C] 6= 0, то данные векторы образуют базис. При этом, если A · [B × C] > 0, базис называется правым. Если A · [B × C] < 0, базис называется левым. Используя (9), εi j k можно представить в следующем виде

εi j k = [ei × ej] · ek

(10)

Двойное векторное произведение обозначается [A×[B×C]] и для его вычисления справедлива формула

D ≡ [A × [B × C]] = B (A · C) − C (A · B)

(11)

Для доказательства равенства (11) перепишем двойное векторное произведение с учетом(2), используя равенство(5), получим:

	3		3
	X		X
D =	AiBjCk [ei × [ej × ek]] =		AiBjCkεl j kεl n ien
	i,j,k=1		i,j,k,l,n=1
Выполняя суммирование по l на основании (6) и(4), получим:
	3	en = B (A · C) − C (A · B)
D = i,n=1 AiBnCi − AiBiCn
	X

studfiles.net

Скаляры и векторы. Изображение векторов. Примеры скалярных и векторных величин

В теории электромагнитного поля применяется некоторый традиционный математический аппарат, без которого невозможно построить ясное и обозримое изложение. К числу математических средств, которые нам потребуются, относятся разделы векторной алгебры и векторного анализа. Эти разделы в общем знакомы из курса высшей математики, однако в нашем курсе они тоже будут кратко описаны.

Первым необходимым понятием являются скалярные и векторные величины.

В математике и технике приходится иметь дело с величинами двух родов: одни из величин связаны с понятием о направлении в пространстве, другие имеют чисто числовой характер и не связаны с направлением. Рассмотрим например, температуру, массу, плотность, энергию, перемещение точки, скорость, ускорение, силу. Четыре последние величины резко отличаются от первых тем, что с ними обязательно должно быть связано понятие о направлении: например, точка может перемещаться вверх или вниз, вперед или назад.

Наоборот, температура, например, не имеет направления. и чтобы охарактеризовать ее, мы должны измерить ее например, в градусах Цельсия, полученное число и даст величину температуры. Точно так же можно измерить в соответствующих единицах массу, плотность и т.п. Эти величины принадлежат к классу величин, называемых скалярами.

Скаляром называется величина, характеризующаяся при выбранной единице меры одним числом.

Рассмотрим теперь один из векторов – скорость точки. Указания величины скорости, измеренной, например в м\с недостаточно для характеристики скорости. Нужно еще знать направление движения точки. Точно так же имеют определенное направление и ускорение точки, и сила, действующая на точку. Дадим поэтому следующее определение:

Вектором называется величина, характеризующаяся, помимо измеряющего ее числа, еще своим направлением в пространстве.

Простейшим вектором является прямолинейный отрезок , имеющий определенну величину – длинуАВи определенное направление – от начальной точкиАк конечной точкеВ.

На чертежах векторы изображаются стрелками (рисунок Error: Reference source not found). Направление стрелки указывает на направление вектора, длина стрелки дает длину вектора. Обычно векторы обозначаются жирными латинскими буквами: , но при письме от руки это неудобно, поэтому мы будем пользоваться буквами со стрелкой: .

1. − Вектор AB

Иногда приходится рассматривать величины тоже направленного характера, но более сложного, чем векторы, строения. Эти величины называются тензорами. Мы рассмотрим их позднее.

8. Операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение

Векторное исчисление должно ввести ряд операций с векторами и тензорами, как например сложение, умножение, дифференцирование, и изучить эти операции. Эти операции определяются таким образом, чтобы при их помощи легко было интерпретировать те комбинации векторов, которые приходится изучать. В результате как основные элементы векторного исчисления – вектор и тензор, так и операции над ними оказываются хорошо приспособленными для изучения тех физических явлений, в которых большую роль играет направление величин. С одной стороны, это упрощает исследование, с другой, ведет его более естественным и наглядным образом, не требуя введения посторонних элементов.

Рассмотрим, как определяется величина и направление вектора.

Векторы , можно представить как, и, где,− единичные векторы, называемые также ортами, а числаа,b− абсолютные значения векторов, .

Орты, соответствующие направлениям осей x,y,zдекартовой координат, будут обозначаться,,(рисунок Рисунок 2 ). Любой вектортогда можно представить в виде разложения, где,,являются его проекциями на оси декартовой системы координат. Они также называются компонентами (составляющими) вектора.

Положение какой-либо точки пространства P может быть определено вектором , начальной точкой которого служит некоторая, определенным образом выбранная точкаO, а концом – точкаP. Вектор мы будем называть радиусом-вектором точкиP относительно точкиОи будем обозначать обычно как. Про точкуP, заданную радиусом-вектором, мы будем говорить, для краткости, что дана точка.

2. −Орты декартовой системы координат и радиус-вектор

Сложение векторов векторов сводится к сложению их компонент:

,

эта операция обозначается с помощью обыкновенного знака алгебраического сложения: . Сложение обладает свойством коммутативности: сумма не меняется от перестановки слагаемых:.

Геометрически это выглядит, как показано на рисунке Рисунок 3 .

3. — Сложение векторов

Скалярное произведение необходимо, например, в механике при вычислении работы, производимой постоянной силой при прямолинейном перемещении и при условии, что сила действует под углом α к перемещению. Работа в этом случае вычисляется как скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения. Скалярное произведение двух произвольных векторов определяется как , то есть произведение их длин, умноженное на угол между ними (рисунок Рисунок 4 ). Результатом скалярного произведения является скаляр.

4. — Скалярное произведение

Векторное произведение. К необходимости рассматривать такую операцию приводят требования геометрического и физического характера.

Векторным произведением векторов иназывается вектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на векторахи, перпендикулярный плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы вращение откна кратчайшем пути вокруг полученного вектора происходило в ту же сторону, как вращение осиxк осиyвокруг осиz(рисунок Рисунок 5 ).

5. −Векторное произведение

Векторное произведение вычисляется как

,

тогда компоненты векторного произведения получаются из раскрытия определителя:

Изменение порядка сомножителей приводит к изменению знака векторного произведения: .

Размерность векторного произведения – единицы измерения площади, т.е. квадратные метры.

Кроме описанных операций сложения, скалярного и векторного произведений, мы будем использовать векторные дифференциальные операторы. Их определение дается позже, непосредственно перед использованием.

studfiles.net

Скаляры и векторы

Физика > Скаляры и векторы

 

Скаляр и вектор – чем отличаются понятия в физике и какая связь: определения и термины, величина и направление, скаляры без направления, величины и график.

Скаляры – физические величины, отображенные числом, а векторы используют числа и направления.

Задача обучения

• Научиться различать вектор и скаляр.

Основные пункты

• Скаляр – физическая величина, представленная числом.
• Вектор – физическая величина, характеризующаяся величиной и направлением.
• Среди скаляров можно вспомнить высоту, площадь, объем и массу.
• Векторы – смещение, ускорение и скорость.

Термин

Координатная ось – набор перпендикулярных линий, определяющих координаты относительно начала координат. Например, х и у указывают на горизонтальное и вертикальное положения.

Чаще всего, физические величины можно поделить на две категории: вектор и скаляр. Они отличаются необходимой для характеристики информацией. Векторы нуждаются в величине и направлении, а скаляры обходятся лишь первым критерием. Скаляры можно воспринимать как числа, а векторы – стрелки, указывающие на определенное направление.

Пример вектора. Обычно они отображаются стрелками с длиной, показывающей величину, а направление указано стрелой

Вектор нуждается в величине и направлении. Величина отображается числом, чтобы можно было сравнить два вектора. Стрелка состоит из двух частей: длина, определяющая величину, и направление на оси координат. Чем больше величина, тем длиннее стрелка. Вектор может отображать скорость, смещение и ускорение. Чтобы указать направление, нужно располагать опорной точкой, которой часто выступают координатные оси.

Скаляры лишены направления. Их используют для отображения величин, которые не нуждаются в направлении (высота, масса, объем).

---

v-kosmose.com

Введение в скаляры и векторы

Физика > Введение в скаляры и векторы

 

Скаляр и вектор – описание понятий и определений в физике: координаты, длина, произведение векторов, скалярное произведение векторов, отличие скаляра и вектора.

Вектор – любая величина, обладающая размером и направлением, а скаляр может похвастаться лишь величиной.

Задача обучения

• Отличать скаляры от векторов.

Основные пункты

• Вектор – любое количество с величиной и направлением.
• Скаляр – любое количество с величиной, но лишенное направления.
• Смещение и скорость – векторы, а расстояние и скорость – скаляры.

Термины

• Вектор – количество, обладающее величиной и направлением (между двумя точками).
• Скаляр – количество с величиной, но без направления.

Пример

Скорость человека способна оставаться стабильной при повороте за угол или смене направления. Учитывая этот факт, с чем же мы столкнулись: вектор или скаляр? Скорость – скалярная величина, так как не меняется из-за направления.

В чем отличие между расстоянием и смещением? Первая характеризуется только величиной, в то время как смещение – величиной и направлением. Смещение – пример векторной величины, а расстояние – скалярной.

Вектор отображает геометрический объект, обладающий величиной и направлением. В соответствии с векторной алгеброй, его можно добавить к другим векторам. Направление задается знаками + или -. Вектор отображается отрезком линии с конкретным направлением или стрелой, объединяющей точки А и В — направление вектора.

Вектор часто изображают в виде линейного отрезка с определенным направлением или же как стрелу, соединяющую А и В

Некоторые физические величины, вроде дистанции, не обладают направлением. Здесь и появляется скаляр, который остается стабильным при смене системы координат. Может выражаться числом и обладает величиной, но лишен направления. Например, 45°C, 150 калорий, дистанция в 3 метра – все это скаляры. Если располагаем температурой в -23°C, то отрицательный знак указывает не на направление, а на точку в шкале. Скаляры никогда не отображаются стрелками.

К скалярным величинам относятся длина, площадь, время, температура и т. д.

К векторным величинам относятся: Сила, ускорение, импульс, скорость, индукция, напряжённость…

---

v-kosmose.com

Скаляры и векторы. Изображение векторов. Примеры скалярных и векторных величин

В теории электромагнитного поля применяется некоторый традиционный математический аппарат, без которого невозможно построить ясное и обозримое изложение. К числу математических средств, которые нам потребуются, относятся разделы векторной алгебры и векторного анализа. Эти разделы в общем знакомы из курса высшей математики, однако в нашем курсе они тоже будут кратко описаны.

Первым необходимым понятием являются скалярные и векторные величины.

В математике и технике приходится иметь дело с величинами двух родов: одни из величин связаны с понятием о направлении в пространстве, другие имеют чисто числовой характер и не связаны с направлением. Рассмотрим например, температуру, массу, плотность, энергию, перемещение точки, скорость, ускорение, силу. Четыре последние величины резко отличаются от первых тем, что с ними обязательно должно быть связано понятие о направлении: например, точка может перемещаться вверх или вниз, вперед или назад.

Наоборот, температура, например, не имеет направления. и чтобы охарактеризовать ее, мы должны измерить ее например, в градусах Цельсия, полученное число и даст величину температуры. Точно так же можно измерить в соответствующих единицах массу, плотность и т.п. Эти величины принадлежат к классу величин, называемых скалярами.

Скаляром называется величина, характеризующаяся при выбранной единице меры одним числом.

Рассмотрим теперь один из векторов – скорость точки. Указания величины скорости, измеренной, например в м\с недостаточно для характеристики скорости. Нужно еще знать направление движения точки. Точно так же имеют определенное направление и ускорение точки, и сила, действующая на точку. Дадим поэтому следующее определение:

Вектором называется величина, характеризующаяся, помимо измеряющего ее числа, еще своим направлением в пространстве.

Простейшим вектором является прямолинейный отрезок , имеющий определенну величину – длинуАВи определенное направление – от начальной точкиАк конечной точкеВ.

На чертежах векторы изображаются стрелками (рисунок Error: Reference source not found). Направление стрелки указывает на направление вектора, длина стрелки дает длину вектора. Обычно векторы обозначаются жирными латинскими буквами: , но при письме от руки это неудобно, поэтому мы будем пользоваться буквами со стрелкой: .

1. − Вектор AB

Иногда приходится рассматривать величины тоже направленного характера, но более сложного, чем векторы, строения. Эти величины называются тензорами. Мы рассмотрим их позднее.

8. Операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение

Векторное исчисление должно ввести ряд операций с векторами и тензорами, как например сложение, умножение, дифференцирование, и изучить эти операции. Эти операции определяются таким образом, чтобы при их помощи легко было интерпретировать те комбинации векторов, которые приходится изучать. В результате как основные элементы векторного исчисления – вектор и тензор, так и операции над ними оказываются хорошо приспособленными для изучения тех физических явлений, в которых большую роль играет направление величин. С одной стороны, это упрощает исследование, с другой, ведет его более естественным и наглядным образом, не требуя введения посторонних элементов.

Рассмотрим, как определяется величина и направление вектора.

Векторы , можно представить как, и, где,− единичные векторы, называемые также ортами, а числаа,b− абсолютные значения векторов, .

Орты, соответствующие направлениям осей x,y,zдекартовой координат, будут обозначаться,,(рисунок Рисунок 2 ). Любой вектортогда можно представить в виде разложения, где,,являются его проекциями на оси декартовой системы координат. Они также называются компонентами (составляющими) вектора.

Положение какой-либо точки пространства P может быть определено вектором , начальной точкой которого служит некоторая, определенным образом выбранная точкаO, а концом – точкаP. Вектор мы будем называть радиусом-вектором точкиP относительно точкиОи будем обозначать обычно как. Про точкуP, заданную радиусом-вектором, мы будем говорить, для краткости, что дана точка.

2. −Орты декартовой системы координат и радиус-вектор

Сложение векторов векторов сводится к сложению их компонент:

,

эта операция обозначается с помощью обыкновенного знака алгебраического сложения: . Сложение обладает свойством коммутативности: сумма не меняется от перестановки слагаемых:.

Геометрически это выглядит, как показано на рисунке Рисунок 3 .

3. — Сложение векторов

Скалярное произведение необходимо, например, в механике при вычислении работы, производимой постоянной силой при прямолинейном перемещении и при условии, что сила действует под углом α к перемещению. Работа в этом случае вычисляется как скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения. Скалярное произведение двух произвольных векторов определяется как , то есть произведение их длин, умноженное на угол между ними (рисунок Рисунок 4 ). Результатом скалярного произведения является скаляр.

4. — Скалярное произведение

Векторное произведение. К необходимости рассматривать такую операцию приводят требования геометрического и физического характера.

Векторным произведением векторов иназывается вектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на векторахи, перпендикулярный плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы вращение откна кратчайшем пути вокруг полученного вектора происходило в ту же сторону, как вращение осиxк осиyвокруг осиz(рисунок Рисунок 5 ).

5. −Векторное произведение

Векторное произведение вычисляется как

,

тогда компоненты векторного произведения получаются из раскрытия определителя:

Изменение порядка сомножителей приводит к изменению знака векторного произведения: .

Размерность векторного произведения – единицы измерения площади, т.е. квадратные метры.

Кроме описанных операций сложения, скалярного и векторного произведений, мы будем использовать векторные дифференциальные операторы. Их определение дается позже, непосредственно перед использованием.

studfiles.net

📝векторные и скалярные велечины

Часто многим ученикам или даже студентам сложно понять отличия векторной и скалярной величины. Поэтому я хотел бы объяснить максимально понятным языком суть каждого из этих понятий и на примерах показать главные их отличия. Так как они оба часто используются в математических задачах, для правильного и быстрого решения которых нужно знать это.

Начнём с определений:

Векторной величиной, или вектором (в широком смысле), называется всякая величина, обладающая направлением.
Скалярной величиной, или скаляром, называется величина, не обладающая направлением.

То есть у вас уже должна появиться основная картина, если есть направление у величины, то это вектор, а если нет, то это скаляр. Далее рассмотрим всё на конкретных примерах.

Пример 1. Когда какая-то сила действует на материальную точку, то она будет вектором, так как она обладает направлением. Так же и скорость материальной точки — тоже вектор.

Пример 2. А от уже температура тела будет скаляром, так как с ней не связано никакое направление. Поэтому масса тела и его плотность — тоже будут скалярами.

Если не учитывать направление векторной величины, то ее, как и скалярную, можно измерить, выбрав соответствующую единицу измерения. Но в этом случае полученное число, характеризует скалярную величину полностью, а векторную только частично. Её можно полностью охарактеризовать направленным отрезком, предварительно задав линейный масштаб. И это хорошо показано в следующем примере.
Пример 3. Направленный отрезок АВ при введенном масштабе MN, изображающем единицу силы (1 Н) (более подробно смотрите на рисунке), характеризует силу в 3,5 Н, направление которой совпадает с направлением отрезка АВ (указанным стрелкой).

Думаю, после таких явных данных у вас уже не должно появиться проблем, при различии этих понятий.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Градусы в радианы | Алгебра

Рассмотрим, как перевести градусы в радианы и как радианы перевести в градусы.

I. Перевод градусов в радианы

n°=n·1°. Соответственно, чтобы перевести n° в радианы, надо n умножить на π/180°:

Обозначения радиана (сокращённо рад) обычно не пишут (но его подразумевают). Обозначение градуса в записи пропускать нельзя.

Примеры.

Выразить в радианах величины углов, градусная мера которых равна:

10°; 30°; 45°; 90°; 120°; 180°; 300°; 360°; -22,5°.

Решение:

II. Перевод из радиан в градусы

n рад =n · 1 рад. Соответственно, чтобы перевести радианы в градусы, надо количество радиан умножить на 180°/π:

Таким образом,

Следовательно, если радианная мера угла содержит множитель π, проще заменить π на 180°.

Примеры.

Выразить в градусах величины углов, радианная мера которых равна:

Решение:

То есть точное значение градусной меры при переводе из радианной можно получить только при наличии множителя π.

Таблица соответствия градусов и радиан некоторых углов от 0° до 360°

www.algebraclass.ru

Как перевести градусы в радианы

Люди в математической науке довольно часто сталкиваются с такой задачей, как перевод градусов в радианы или наоборот. Выполнить данную задачу довольно просто и для этого не нужно иметь глубокие познания  в различных прикладных науках или математике. Итак, для начала необходимо разобраться с этими величинами измерения. Градус и радиан – это основные единицы, которыми измеряются плоские углы в математике и физике. Ещё данные единицы используют  в картографии для определения координат в любой точке земного шара.

Эти величины измерения обозначаются следующим образом:

• рад – радиан
• градус — º

Как перевести градусы в радианы

Для начала, чтобы стала понятной формула перевода градусов в радианы, нужно научиться переводить угол в радианы и радианы в угол:

• 1 рад = (180/π)ºπ 57,295779513, где известно, что π = 3,14
• 1° = (π/180) рад π 0,017453293 рад

По вышеизложенным формулам сразу же становиться ясно, что π рад = 180°, именно из них и берут своё начало понятные всем и простые формулы для перевода величин измерения. Сейчас рассмотрим основные формулы, которые используются при переводе:

1.    Градусы в радианы

Zº=Z рад × (180/π), где Zº — угол в градусах, а Z рад – угол в радианах, π = 3,14

2.  Радианы в градусы

Z рад = Z° × (π/180)

Теперь рассмотрим пример, чтобы стало понятней, как пользоваться вышеприведёнными формулами на практике. Для этого возьмём два угла 20º и 100º:

1.    Перевод градусов в радианы

• 20º = 20 рад × (π/180) π 0,35 рад
• 100º = 100 рад × (180/π) π 1, 7453 рад

2.    Перевод радиан в градусы

• 20 рад = 20º × (180/π) π 1146,15, где π = 3,14
• 100 рад = 100° × (180/π) π 5729, 577, где π = 3,14

Рассмотрев формулы для перевода величин измерения, становиться понятно, что справиться с поставленой задачей довольно просто. Для тех людей, которые самостоятельно не хотят проводить расчеты,  в интернете существует множество сайтов, на которых с помощью он-лайн калькуляторов можно перевести градусы в радианы или наоборот, их использование значительно облегчит вам выполнение различных задач по тригонометрии.

• < Как плести косичку рыбий хвост
• Как убрать пробелы в ворде >

razuznai.ru

Как радианы в градусы перевести ?

Для перевода радиан в градусы и обратно следует пользоваться следующими формулами: Rad := Grad * Pi / 180; — перевод градусов (Grad) в радианы (Rad) Grad := Rad * 180 / Pi; — обратный перевод 1 радиан = 1/2&#960; оборотов = 180/&#960; градусов = 200/&#960; градов 180° = &#960;. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот. &#945;[рад] = (&#960; / 180) &#215; &#945;[°] &#945;[°] = (180 / &#960;) &#215; &#945;[рад] где: &#945;[рад] — угол в радианах, &#945;[°] — угол в градусах 1 рад &#8776; 57,295779513° &#8776; 57°17&#8242;44,806&#8243;

ваще пи — это 180 градусов. так и рожай

В телефоне есть Конвертер валют И есть там раздел: «Радианы в градусы»

напечатай вот эту картинку <a rel=»nofollow» href=»http://ru.wikipedia.org/wiki/Файл: Degree-Radian_Conversion.svg» target=»_blank»>http://ru.wikipedia.org/wiki/Файл: Degree-Radian_Conversion.svg</a>

&#945;[рад] = (&#960; / 180) &#215; &#945;[°] &#945;[°] = (180 / &#960;) &#215; &#945;[рад] где: &#945;[рад] — угол в радианах, &#945;[°] — угол в градусах 1 рад &#8776; 57,295779513° &#8776; 57°17&#8242;44,806&#8243;

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС. Для перевода радиан в градусы, необходимо воспользоваться следующей формулой: (а) ° = (а) рад • 180°/π  Например, у нас есть значение угла А = 3 (это в радианах). Для того, чтобы успешно перевести эту величину в обычные градусы, надо помножить величину радиана на 180 градусов и поделить на число Пи (3,14). В данном примере это значит 3*180/3.14 = 171. То есть, 3 радиана — это 171°. Чтобы перевести обратно в радианы используем следующую формулу: <img src=»https://content-8.foto.my.mail.ru/mail/hawk.1979/_myphoto/i-95.jpg» alt=»» data-big=»1″ data-lsrc=»//content-18.foto.my.mail.ru/mail/hawk.1979/_myphoto/p-95.jpg»>

touch.otvet.mail.ru

Координатная плоскость | Matemsha

В повседневной жизни часто можно услышать фразу: «Оставь мне свои координаты». В ответ человек обычно оставляет свой адрес или номер телефона, то есть данные, по которым его можно найти.

Координаты могут обозначаться самыми разными наборами цифр или букв.

Например, номер автомобиля — это координаты, потому что по номеру машины можно определить из какого она города и кто ёё владелец.

Координаты— это набор данных, по которому определяется положение того или иного объекта.

Примерами координат являются: номер вагона и места в поезде, широта и долгота на географической карте, запись положения фигуры на шахматной доске, положение точки на числовой оси и т.д.

Всегда, когда мы по определенным правилам однозначно обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, мы задаём координаты объекта.

Декартова система координат

Французкий математик Рене Декарт (1596–1650) предложил задавать положение точки на плоскости с помощью двух координат.

Для нахождения координат нужны ориентиры, от которых ведётся отсчёт.

• На плоскости такими ориентирами будут служить две числовые оси. На чертеже обычно первую ось рисуют горизонтально, её называют осью АБСЦИССи обозначают буквой «X», записывают ось «Ox». Положительное направление на оси абсцисс выбираютслева направои показывают стрелкой.
• Вторую ось проводят вертикально, её называютосью ОРДИНАТи обозначают буквой «Y», записывают ось «Oy». Положительное направление на оси ординат выбираютснизу вверхи показывают стрелкой.

Оси взаимно перпендикулярны (т.е. угол между ними равен 90°) и пересекаются в точке, которую обозначают «O». Точка «O» является началом отсчёта для каждой из осей.

Запомните

Система координат— это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчёта для каждой из них.

Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс«Ox» — горизонтальная ось.

Ось ординат«Oy» — вертикальная ось.

Координатная плоскость — плоскость, в которой построена система координат. Обозначается плоскость как «x0y».

Обращаем ваше внимание на выбор длины единичных отрезков по осям.

Цифры, обозначающие числовые значения на осях можно располагать как справа, так и слева от оси «Oy». Цифры на оси «Ox», как правило, пишут внизу под осью.

Обычно единичный отрезок на оси «0y» равен единичному отрезку на оси «0x». Но бывают случаи, когда они не равны друг другу.

Оси координат делят плоскость на 4угла, которые называют координатными четвертями. Четверть, образованная положительными полуосями (правый верхний угол), считают первой I.

Отсчитываем четверти (или координатные углы) против часовой стрелки.

matemsha.ru

Координатные четверти | Алгебра

Выясним, как в тригонометрии координатные четверти связаны с градусной и радианной мерой углов.

Тригонометрические углы получают в результате поворота луча OP₀ вокруг точки O. Поэтому точка P₀ соответствует углу 0°.

При положительном направлении обхода поворот луча происходит по часовой стрелке. Градусная мера всей окружности равна 360°. Каждая из четвертей занимает угол в 90°.

Таким образом,

I координатной четверти соответствуют углы от 0° до 90°,

II — от 90° до 180°,

III — от 180° до 270°,

IV — от 270° до 360°.

Переводя градусную меру в радианную, получим аналогичное разбиение окружности по координатным четвертям в радианах:

Углы 0°, 90°, 180°,270°, 360° не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Отрицательные значения углов получают поворотом луча против часовой стрелки. Соответственно, иллюстрация разбиения по координатным четвертям в этом случае выглядит так:

Примеры.

Определить, углом какой четверти является угол:

а) 47°; -24°; 300°; 185°; -203°;1200°;

Решение:

а) 47° — угол I координатной четверти, так как 0°<47°<90°;

-24° — угол IV координатной четверти, так как -90°<-24°<0°;

300° — угол IV координатной четверти, так как 270°<300°<360°;

185° лежит в III координатной четверти, так как 180°<185°<270°;

-203° лежит во II координатной четверти, так как

-180°<-203°<-270°;

1200°=120°+360°·3.

120° — угол II координатной четверти, поскольку 90°<120°<180°. Значит, 1200° также является углом II четверти.

b) π/5 — угол I координатной четверти, так как

7π/6 — угол II координатной четверти, так как

Сравнение радианной меры угла с 0, π/2, π, 3π/2 и 2π иногда вызывает затруднения. В этом случае можно перевести радианную меру в градусную.

Другой способ: если дробь неправильная, можно найти ближайшее к коэффициенту перед π в числителе число, которое делится нацело на знаменатель, и представить числитель как сумму (или разность) этого целого числа и остатка.

Очевидно, что 7π/6>π. Поскольку  π/6 — острый угол, то π/6<π/2. Следовательно, 7π/6<3π/2.

откуда  13π/8 — угол IV координатной четверти.

значит — 9π/5 — угол I четверти.

Следовательно, 19π/4 — угол II четверти.

www.algebraclass.ru

Координатная плоскость. Прямоугольная система координат. Построение точки по ее координатам

Самостоятельная работа.
(проверка методом взаимопроверки)

Вариант 1.

Глаз:  (3; 5).

Вариант 2.

Глаз:
(2; 9).

Отвечают.
Решают у доски (1 – 2 ученика), остальные на местах в тетрадях.

Домашнее задание

Домашнее задание

1. P(-1,5;  10),

2. (-1,5;  11),

3. (-2;  12),

4. (-3;  12),

5. (-3,5;  11),

6. (-3,5;  10),

7. (-5;  12),

8. (-9;  14),

9. (-14;  15),

10. (-12;  10),

11. (-10;  8),

12. (-8;  7),

13. (-4;  6),

14. (-6;  6),

15. (-9;  5),

16. (-12;  3),

17. (-14;  0),

18. (-14;  -2),

19. (-12;  -2),

20. (-7;  -1),

21. (-3;  3),

22. (-4;  1),

23. (-3;  0),

24. (-4;  -1),

25. (-2,5;  -2),

26. (-1;  -1),  

27. (-2;  0),

28. (-1;  1),

29. (-2;  3),

30. (2;  -1),

31. (7;  -2),

32. (9;  -2),

33. (9;  0),

34. (7;  3),

35. (4;  5),

36. (1;  6),

37. (-1;  6),

38. (3;  7),

39. (5;  8),

40. (7;  10),

41. (9;  15),

42. (4;  14),

43. (0;  12),

44. (-1,5;  10).

45.  P (-3,5;  10),

46. (-4;  6),

47. (-3;  3), 

48. P (-1,5;  10),

49. (-1;  6),

50. (-2;  3).

Глаза:

51. (-2; 11),

52. (-3;  11)

Записывают Д/з

Рефлексия урока

1.Сегодня на уроке мне понравилось….
2.Сегодня на уроке я повторил…
3.Сегодня на уроке я закрепил…
4.Сегодня на уроке я поставил себе оценку…
5.Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…

6. В каких знаниях уверен….

7. Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…
8. Кому, над чем следовало бы еще поработать….

9. Насколько результативным был урок сегодня…..

Оценки за урок.
— Спасибо за урок. Урок окончен. До свидания.

Отвечают на вопросы

infourok.ru

Урок по математике «Координатная плоскость»

Технологическая карта урока математики

Тема: Координатная плоскость

Дидактическая цель: создать условия для обобщения и систематизации материала по теме «Координатная плоскость»

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний учащихся

Цели по содержанию урока:

Образовательные:

• Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Координатная плоскость»

• Проверить умения и навыки учащихся по теме «Координатная плоскость»

Развивающие:

• Развивать мышление, внимание, память учащихся,

• Развивать навыки работать в группе и самостоятельно

• Развивать навыки работы на компьютере

Воспитательные:

• Прививать интерес к предмету через применение информационно-коммуникационных технологий

• Воспитывать бережное отношение к учебе

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, парная, индивидуальная

Методы урока: частично-поисковый, практический

Средства обучения: рабочая тетрадь, презентация для интерактивной доски, тесты

Оборудование: проектор, интерактивная доска, ноутбуки

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1. Организационный момент

Проверка готовности к уроку, приветственное слово.

Тренинг «Улыбка друг другу», пожелание успехов в работе.

Объяснение работы в тетради, оценивания

Проверяют готовность к работе.

Участвуют в тренинге, желают успехов работе.

Слушают и запоминают.

2. Актуализация знаний

Вопросы:

1. Внимательно рассмотрите объекты на экране. Скажите, что объединяет эти объекты?

2. Назовите математика, изображенного на экране?

3. Чем знаменит этот математика?

4. Сформулируйте тему нашего урока.

5. Скажите, чем на уроке мы будем заниматься?

Рассматривают, отвечают на вопросы.

Координаты, координатная плоскость

Рене Декарт

Автор понятия «координатная плоскость», иначе «декартова система координат»

«Координатная плоскость»

Решать задачи по теме «Координатная плоскость»

3. Закрепление

Задание на закрепление и проверку знаний.

Задание 1. «Элементы координатной плоскости». Вставьте пропущенные слова.

Задание 2. «Алгоритм определения координат точек». Определите координаты точек.

Задание 3. «Расположение точек по четвертям (координатным углам)». Распределение точек по координатным углам

Самостоятельная работа. Самопроверка

Самостоятельно в рабочих тетрадях, 2 ученика у доски. Самопроверка и фронтальная проверка.

Самостоятельно в рабочих тетрадях, 2 ученика у доски. Самопроверка и фронтальная проверка.

4. Применение знаний

Организация работы на компьютере.

Тренажёр «Рисуем по координатам»

Работа в парах, каждой группе индивидуальный рисунок. Самооценка работы в группе.

5. Физминутка

Организация проведения физминуток.

Физминутка для глаз (стенд)

Физминутка динамическая («елочка»)

Выполнение упражнений.

6. Контроль

Тест «Координатная плоскость)

Выполнение теста, взаимопроверка, оценивание

Итог урока

10 – 12 баллов — оценка «5»

7 – 9 баллов — оценка «4»

5-6 баллов – оценка «3»

0-4 баллов — «Старайся, лучше!»

Подсчитывание итога в баллах, и выставление оценки

Домашнее задание

Задание дифференцированное:

Нарисовать рисунок на координатной плоскости, используя:

• 10 точек

• 15 точек

• 20 точек

Выбор оптимального задания, фиксирование в дневник.

Рефлексия

Задание:

Расположите свою звезду в соответствующую четверть:

I – «У меня все получилось»

II – «Получилось, но не все»

III – «Я не старался и не хотел работать»

IV – «Я старался, но результат средний»

Самооценка своей работы на уроке, расположение звезд на плоскости на доске.

infourok.ru

Координатная плоскость, 6 класс

Координатная плоскость.

Цели урока:

I.Развивающая:

-развитие навыков работы с системой координат,

-развитие графической культуры учащихся, математической речи учащихся

-развитие смекалки, творческих способностей

-расширение кругозора.

II.Воспитывающая:

-воспитание познавательной активности, аккуратности, обдуманности;

-формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля

-повышение интереса к предмету

III.Обучающая:

-ознакомление с прямоугольной системой координат на плоскости

-активизация мыслительной деятельности;

-свободное оперирование координатами точек

Ход урока

1. Организация начала занятия.

2. Проверка дом. задания.

3. Новая тема.

— В речи взрослых вы могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты». Это выражение означает, что ваш собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, которые и считаются координатами человека. Главное здесь в том, что по этим данным человека можно найти.

Именно в этом и состоит суть координат или, как обычно говорят, системы координат: это правило по которому определяется положение того или иного объекта.

— Системы координат пронизывают всю практическую жизнь человека.

Зрительный зал.

Шахматы

Игра «Морской бой».

Географические координаты.

Тема урока «Координатная плоскость».

(записываем в тетрадях дату, тему)

Цель нашего урока: научиться отмечать точки на плоскости по их координатам и по данным точкам на плоскости определять их координаты.

Итак, мы отправляемся в путь. Но сначала проверим, готовы ли вы к испытаниям.

1. На пути нам встретилась речка, через которую перекинут мост. Но перейти по нему можно лишь в том случае, если на дорожном указателе все записи верны. Ребята, как вы думаете, сможем перейти через мост?

-Какие прямые называют параллельными?

-Какие прямые называются перпендикулярными?

—
С помощью каких чертежных инструментов строят перпендикулярные прямые?

(исправляют записи и записывают на доске)

2. –Что такое координатная прямая?

-Что называют координатами точки на прямой?

-Какими числами являются координаты точек на горизонтальной прямой, расположенных справа от начала координат, слева от начала координат?

Какими числами обозначают координаты точек на вертикальной прямой, расположенных выше начала координат, ниже начала координат?

-Какую координату имеет эта точка?

(указкой показываю на точки, расположенные на координатной прямой, дети говорят координату этой точки)

Молодцы! Теперь мы с вами можем идти дальше.

3. Проведем две перпендикулярные координатные прямые х и у с равными единичными отрезками, которые пересекаются в начале отсчета- точке О.

(проектирую, рассказываю детям, хором читаем название осей. Предлагаю построить систему координат у себя в тетради, я в это время записываю на доске: ось Ох- ось абсцисс, ось Оу — ось ординат)

Ось абсцисс и ось ординат вместе образуют систему координат на плоскости.

Точка О — начало координат.

Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.

Построенная нами система координат называется прямоугольной или декартовой системой координат.

В XIV веке французский математик Никола Оресм ввел по аналогии с географическими координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широту и долготу ординатой и абсциссой. Это нововведение оказалось чрезвычайно удачным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании этого метода принадлежит великому французскому математику Рене Декарту (1596-1650). В его честь такая система координат называется декартовой.

-Какие еще способы указания места, основанные на этой системе, вы знаете?

(На этой системе основаны многие способы указания места. Например, билет в театре — ряд и место, шахматы — буква и число; игра «Морской бой» — буква и число и др. )

П
оложение точки М определяется парой чисел (-5;3)

Эту пару чисел называют координатами точки М

Число –5 называют абсциссой,

Число 3-ординатой точки М.

При записи координат точки необходимо соблюдать следующий порядок:

абсцисса всегда пишется на первом месте, а ордината – на втором.

(Абсцисса — от лат. «abscissus» — отсекаемый (отрезок на оси х).
Ордината — от лат. «ordinatus» — упорядоченный (отрезок на оси у). )

Запись М(-5;3) можно прочитать так: точка эм с абсциссой –5 и ординатой 3.

Откройте учебник на стр.245, прочитаем другие варианты чтения этой записи.

-На сколько частей разбивают плоскость оси координат?

Полученные части называют координатными четвертями.

(на доске ставим знаки координат точек, расположенных в каждой из четвертей)

(Рассмотрим координатную плоскость на окружающей местности).

-Где еще могут лежать точки?

-Как вы думаете, чему равна ордината точки, лежащей на оси абсцисс (точка В)?

—
Как вы думаете, чему равна абсцисса точки, лежащей на оси ординат (точка А)?

IV. Закрепление нового материала.

А) Игра math (строим точки на плоскости по координатам, при проверке получается «рыба»)

Б) Программа «Координатная плоскость»

V. Подведение итогов урока.

VI. Домашнее задание: изучить п.45; решить №1417, №1418, №1421(а).

infourok.ru

Координатная плоскость

В повседневной жизни вы могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты!».

Как вы понимаете эту фразу?

Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, т.е. данные, по которым его можно найти.

Определение

Числа, с помощью которых указывают, где находится некоторый объект, называют его координатами.

С координатами вы уже не раз встречались и в математике. Вы умеете выполнять две операции: отмечать на координатной прямой точку с заданной координатой и, наоборот, определять координату заданной точки. Для этого на прямой выбирают начало отсчёта, положительное направление и единичный отрезок. После этого любая точка прямой получает свою собственную координату. 

Координата точки указывает, таким образом, её место на координатной прямой.

Возникает вопрос: а можно ли определить местоположение точки на плоскости?

Наверняка, хоть раз в жизни вы играли в такую игру как «Морской бой».

Поле этой игры состоит из квадрата размерами 10 на 10 клеточек. В этом поле изображаются корабли: 1 четырёхклеточный, 2 трёхклеточных, 3 двухклеточных и 4 одноклеточных. При этом между любыми двумя соседними кораблями должен оставаться промежуток не меньше одной клетки.

На экране изображён один из вариантов расположения кораблей. Каждая клеточка квадрата обозначается парой: (буква –число), указанных вдоль нижней и левой сторон квадрата. Например, корабль расположен в клетке (Ж; 4). Суть этой игры найти все корабли соперника первым. При обозначении положения клетки первой указывают её горизонтальную координату, а второй – вертикальную.

Именно в этом и состоит суть координат или, как обычно говорят, системы координат: это правило, по которому определяется положение того или иного объекта.

Системы координат встречаются в нашей жизни постоянно.

Вы знакомы с системой координат в зрительном зале кинотеатра (номер ряда и номер места), в поезде (номер вагона и номер места), с системой географических координат (долгота и широта).

Что нужно знать для того, чтобы найти своё место в кинотеатре? Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым – номер кресла в этом ряду. Значит, чтобы правильно занять своё место в зрительном зале необходимо знать две координаты: ряд и место.

Например, в билете указаны: 3 ряд 2 место. Посмотрите где это место расположено.

Обратите внимание, что при определении местоположения нам необходимо знать две характеристики или два значения.

Подобным образом можно обозначить и положение точки на плоскости.

Рене Декарт –  французский математик ввёл в 1637 году систему координат, которая используется во всем мире и известна каждому школьнику. Её называют также «Декартова система координат».

Чтобы задать декартову прямоугольную систему координат на плоскости проводят две взаимно перпендикулярные координатные прямые х и у, называемые координатными осями.

Точка пересечения осей – «O» называется началом координат.

На каждой оси ОX и ОY задаётся положительное направление и выбирается единичный отрезок.

Каждая из координатных осей имеет своё название: горизонтальную ось называют осью абсцисс (или осью х), вертикальную ось называют осью ординат (или осью у). Эти прямые составляют систему координат на плоскости.

Определение

Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью.

Оси разбивают координатную плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями. Их нумеруют римскими цифрами и против часовой стрелки.

Говорят: первая четверть, вторая четверть, третья четверть и четвертая четверть.

Каждая точка такой плоскости имеет две координаты.

Рассмотрим, как определяется положение точки на координатной плоскости.

Например, у нас есть точка М. И нужно определить её координаты. Для этого проведём перпендикуляр из этой точки на горизонтальную ось или ось абсцисс.

Точка пересечения с осью х называется абсциссой точки М.

В нашем случае, абсцисса точки М 3.

Далее, из этой же точки проведём перпендикуляр до пересечения с вертикальной осью, или осью ординат.

Точка пересечения с осью у называется ординатой точки М.

В нашем случае, ордината точки М 5.

Абсцисса и ордината точки М называются координатами этой точки. Их принято записывать рядом с буквой, обозначающей точку, в круглых скобках. Причем, на первом месте всегда пишется абсцисса, а на втором – ордината.

Читают эту запись так: «точка М с абсциссой 3 и ординатой 5», или «точка М с координатами 3 и 5». Обратите внимание, если переставить координаты местами, то получится совсем другая точка. Например, точка N (5; 3).

Определение

Координаты точки (х;у) на плоскости – это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (х), а на втором – ордината (у) этой точки.

Сделаем вывод: координаты можно указать для любой точки координатной плоскости: для этого надо из точки провести перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси  соответствует основание перпендикуляра.

Точки любой прямой, перпендикулярной оси абсцисс, имеют одну и ту же абсциссу.

Например, все точки прямой а имеют абсциссу 4. Все точки оси ординат имеют абсциссу 0, т.е. координаты любой точки оси ординат имеют вид (0; у).

Точки любой прямой, перпендикулярной оси ординат, имеют одну и ту же ординату.

Например, все точки прямой b имеют ординату -3. Все точки оси абсцисс имеют ординату 0, т.е. координаты любой точки оси абсцисс имеют вид (х; 0).

Начало координат – точка О – лежит и на оси абсцисс, и на оси ординат. Значит, её координаты (0; 0).

Построить точку по её координатам можно несколькими способами.

Например, построим точку А (-5; 7).

Первый способ: на оси х находим  абсциссу точки А. Она у нас равна -5. Проводим перпендикуляр из этой точки относительно оси ОХ. Далее, на оси у, найдём ординату точки. Она равна 7. Проводим перпендикуляр из этой точки относительно оси ОУ. Точка, где пересеклись оба перпендикуляра, и есть искомая точка А.

Второй способ построения точки по заданным координатам. Можно сместиться по оси ОХ влево на 5 единиц, т.к. абсцисса точки – отрицательное число. А затем, параллельно оси ОX  вверх на 7 единиц, т.к. ордината точки положительное число. Точка, где пересеклись оба перпендикуляра, и есть искомая точка А.

Сделаем ещё один очень важный вывод:

Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Задание

Построите на координатной плоскости точки, а затем последовательно соедините их отрезками.

Какая фигура у нас получилась в итоге? Правильно! Это котик!!!

videouroki.net

Координатная плоскость

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (2,1 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок закрепления и применения знаний, умений, навыков

Цели:

• Образовательные:

Задачи: обобщить и систематизировать сведения и прямоугольной системе координат; отрабатывать умение определять координаты точки, строить точки по заданным координатам; воспитывать самостоятельность, аккуратность, точность выполнения заданий; чувство коллективизма; развивать логическое мышление, память, внимание, культуру речи

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят ученики в ходе урока: закрепят и актуализируют знания, умения и навыки в построении координатных осей, в нахождении точки по заданным координатам, в построении точки по заданным координатам.

Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска (если есть) презентация PowerPoint, карточки с заданиями для самостоятельной работы, карточки с изображением смайликов для рефлексии.

Мотивация: презентация, в урок включены игровые моменты.

Важно: в данной презентации используется макроса DragAndDrop. Чтобы он работал, нужно его включить. Для этого делаем следующее: режим показа слайдов/выскакивает окно: Оповещение системы безопасности – макрос/щелкаем мышкой на Включить содержимое и щелкаем ОК. Макрос включен.

План:

1. Организационный момент.
2. Устная работа
3. Решение задач
4. Физкультминутка
5. Решение задач (продолжение)
6. Самостоятельная работа
7. Итог урока
8. Домашнее задание
9. Рефлексия

Ход урока

1. Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас завершающий урок по теме “Координатная плоскость” и на этом уроке с помощью различных игр мы еще раз вспомним все основные понятия по данной теме, а так же повторим и закрепим построение и нахождение точек на координатной плоскости. Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока.

(Слайд 1)

Для начала поработаем устно.

2. Устная работа

Разгадайте кроссворд (слайд 4)

Чтобы вспомнить все основные понятия разгадаем кроссворд.

1. Как располагаются координатные прямые Х и У на плоскости? (перпендикулярно)
2. Координатную прямую Х называют ось….(абсцисс)
3. Координатную прямую У называют ось….(ординат)
4. На сколько четвертей делят координатные прямые Х и У плоскость? (четыре)
5. Под каким углом пересекаются координатные прямые? (прямым)
6. Как называется точка пересечения координатных прямых? (началом)
7. Как называют пару чисел, определяющих положение точки на плоскости? (координаты)
8. Сколько чисел нужно указать, чтобы задать положение точки на координатной плоскости? (две)

(Кроссворд анимированный, сделан с помощью автофигур, поэтому чтобы он работал нужно нажать на любую из цифр, в произвольном порядке – появиться вопрос, после прочтения вопроса еще раз нажать на эту же цифру – в сетке кроссворда появиться ответ).

Игра “Кукарямба” (слайд 6)

Давайте поиграем в игру “Кукарямба”. Правила игры: на координатной плоскости отмечены точки, я показываю на точку, вы называете ее координату. Если коо

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Производные гиперболических функций — КиберПедия

Гиперболические функции встречаются в механике, электротехнике и других технических дисциплинах. Многие формулы для гиперболических функций похожи на формулы для тригонометрических функций, кроме свойства ограниченности.

Формулы для гиперболических функций

1. .

Доказательство. Рассмотрим искомую разность

. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

2. .

Доказательство. Рассмотрим произведение

. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

3. .

Доказательство. Рассмотрим произведение

.

Рассмотрим произведение .

Сложим два произведения и приведем подобные:

. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

Ещё много других свойств гиперболических функций похожих на свойства тригонометрических функций, которые доказываются аналогично.

Докажем формулы для производных гиперболических функций.

1. Рассмотрим гиперболический синус .

При нахождении производной константу выносим за знак производной. Далее применяем свойство о производной разности двух функций и . Находим производную функции по таблице производных: . Производную функции ищем как производную сложной функции .

Поэтому, производная .

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

2. Рассмотрим гиперболический косинус .

Полностью применяем предыдущий алгоритм, только вместо свойства о производной разности двух функций и применяем свойство о производной суммы двух этих функций. .

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

3. Рассмотрим гиперболический тангенс .

Находим производную по правилу отыскания производной дроби.

.

4. Производную гиперболического котангенса

можно найти как производную сложной функции .

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

Дифференциал функции

Пусть функция – дифференцируема в точке , тогда её приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , может быть представлено в виде

, (8.1)

где – некоторое число, не зависящее от , а – функция аргумента , которая является бесконечно малой при .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух бесконечно малых слагаемых и . Было показано, что второе слагаемое является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем т.е. (см. 8.1). Поэтому первое слагаемое является главной линейной частью приращения функции . В замечании 8.1. получена другая формула (8.1.1) для приращения функции , а именно: . (8.1.1)

Определение 8.3.Дифференциаломфункции в точке называется главная линейная частью её приращения, равная произведению производной в этой точке на произвольное приращение аргумента , и обозначается (или ):

(8.4)

Дифференциал функции называют также дифференциалом первого порядка.

Под дифференциалом независимой переменной понимается любое, независящее от , число. Чаще всего, в качестве этого числа берётся приращение переменной , т.е. . Это согласуется с правилом(8.4) нахождения дифференциала функции

Рассмотрим функцию и найдем её дифференциал.

, т.к. производная . Таким образом, получили: и дифференциал функции можно находить по формуле

. (8.4.1)

Замечание 8.7.Из формулу (8.4.1) следует, что.

Таким образом, запись можно понимать не только как обозначение для производной , но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных.

8.7. Геометрический смысл дифференциала функции

Пусть к графику функции проведена (см. рис. 8.1) касательная . Точка находится на графике функции и имеет абсциссу – . Даем произвольное приращение , такое, чтобы точка не вышла из области определения функции .

Рисунок 8.1 Изображение графика функции

Точка имеет координаты . Отрезок . Точка лежит на касательной к графику функции и имеет абсциссу – . Из прямоугольного следует, что , где угол – угол между положительным направлением оси и касательной, проведенной к графику функции в точке . По определению дифференциала функции и геометрического смысла производной функции в точке , делаем вывод, что . Таким образом, геометрический смысл дифференциала функции заключается в том, что дифференциал представляет собойприращение ординаты касательной к графику функции в точке .

Замечание 8.8.Дифференциал и приращение для произвольной функции , вообще говоря, не равны между собой.В общем случае, разность между приращением и дифференциалом функции является бесконечно малой высшего порядка малости, чем приращение аргумента. Из определения 8.1следует, что , т.е. .

На рисунке 8.1точка лежит на графике функции и имеет координаты . Отрезок .

На рисунке 8.1 выполнено неравенство , т.е. . Но возможны случаи, когда справедливо противоположное неравенство . Это выполняется для линейной функции и для выпуклой вверх функции.

cyberpedia.su

Найти производную y’ = f'(x) = sinh(sinh(sinh(x))) (гиперболический синус от (гиперболический синус от (гиперболический синус от (х))))

Решение

$$\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )}$$

[LaTeX]

cosh(x)*cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))

$$\cosh{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )}$$

[LaTeX]

    2        2                                    2                                                                                 
cosh (x)*cosh (sinh(x))*sinh(sinh(sinh(x))) + cosh (x)*cosh(sinh(sinh(x)))*sinh(sinh(x)) + cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*sinh(x)

$$\sinh{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )}$$

[LaTeX]

/                                        2        3                                    2                                              2                                                                                            2                                                   \        
\cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x))) + cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x))) + cosh (x)*cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x))) + 3*cosh (sinh(x))*sinh(x)*sinh(sinh(sinh(x))) + 3*cosh(sinh(sinh(x)))*sinh(x)*sinh(sinh(x)) + 3*cosh (x)*cosh(sinh(x))*sinh(sinh(x))*sinh(sinh(sinh(x)))/*cosh(x)

$$\left(3 \sinh{\left (x \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (x \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{3}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )}\right) \cosh{\left (x \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Найти производную y’ = f'(x) = sinh(sinh(sinh(sinh(x)))) (гиперболический синус от (гиперболический синус от (гиперболический синус от (гиперболический синус от (х)))))

Решение

sinh(sinh(sinh(sinh(x))))

$$\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )}$$

[LaTeX]

cosh(x)*cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))

$$\cosh{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )}$$

[LaTeX]

    2        2              2                                                2        2                                                              2                                                                                                                                     
cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh (sinh(sinh(x)))*sinh(sinh(sinh(sinh(x)))) + cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(sinh(sinh(x))) + cosh (x)*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(sinh(x)) + cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(x)

$$\sinh{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )}$$

[LaTeX]

/                                                                  2        3              3                                                2        3                                                              2                                                                        2              2                                                          2                                                                                                                                                2        3                                                                                    2        2                                                                              2                                                                             \        
\cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x)))) + cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh (sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x)))) + cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x)))) + cosh (x)*cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x)))) + 3*cosh (sinh(x))*cosh (sinh(sinh(x)))*sinh(x)*sinh(sinh(sinh(sinh(x)))) + 3*cosh (sinh(x))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(x)*sinh(sinh(sinh(x))) + 3*cosh(sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(x)*sinh(sinh(x)) + 3*cosh (x)*cosh (sinh(x))*cosh(sinh(sinh(x)))*sinh(sinh(sinh(x)))*sinh(sinh(sinh(sinh(x)))) + 3*cosh (x)*cosh (sinh(sinh(x)))*cosh(sinh(x))*sinh(sinh(x))*sinh(sinh(sinh(sinh(x)))) + 3*cosh (x)*cosh(sinh(x))*cosh(sinh(sinh(sinh(x))))*sinh(sinh(x))*sinh(sinh(sinh(x)))/*cosh(x)

$$\left(3 \sinh{\left (x \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (x \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (x \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + 3 \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{3}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{3}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh^{3}{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{3}{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \cosh^{2}{\left (x \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )} + \cosh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \cosh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (\sinh{\left (x \right )} \right )} \right )} \right )}\right) \cosh{\left (x \right )}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Таблица первообразных

Таблица первообразных («интегралов»). Таблица интегралов. Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.

Формулы интегрирования по частям. Правила интегрирования.

Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.

Если x — независимая переменная, то:

Свойства логарифмов. Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln).

Натуральный логарифм ln (логарифм по основанию е = 2,718281828459045… ) ln(e)=1;  ln(1)=0

Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1), где f(x) — функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R_n — остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.

2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от  linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена (=Макларена,Тейлора в окрестностях точки 0) и Тейлора в окрестностях точки 1. Первые члены разложений основных функций в ряды Тейлора и Макларена.

Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена( =Макларена, Тейлора в окрестностях точки 0)

Примеры некоторых распространенных разложений в ряды Тейлора в окрестностях точки 1

studfiles.net

Онлайн калькулятор: Обратные гиперболические функции

Гиперболические функции уже есть, теперь для общности и обратные гиперболические функции. А там, глядишь, и до решения кубических уравнений дойдем.
Итак, калькулятор ниже, описание обратных гиперболических функций — под ним.

Знаков после запятой: 2

Сохранить share extension

Обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус:

Функция нечетная, строго возрастает. Определена для всей числовой оси. Область значений — вся числовая ось.

Обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус

Функция строго возрастает. Определена для интервала от единицы включительно до плюс бесконечности. Область значений — от нуля до плюс бесконечности.

Обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс:

Функция нечетная, строго возрастает. Определена для интервала от минус единицы до плюс единицы исключительно. Область значений — вся числовая ось.

Обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс:

Функция нечетная, строго убывает на интервалах от минус бесконечности до минус единицы исключительно и от единицы исключительно до плюс бесконечности.

Обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс:

Функция строго убывает на интервале от нуля до единицы включительно. Функция многозначная, то есть каждому аргументу соответствует два результата — положительный и отрицательный.

Обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс:

Функция нечетная, строго убывает на интервалах от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности.

planetcalc.ru

Метод математической индукции

Описание метода

Метод математической индукции является одним из наиболее часто встречающихся методов в математике. Допустим требуется доказать некоторое утверждение , которое содержит целочисленный (индукционный) параметр , где . Наиболее часто в качестве параметра используются натуральные числа. Непосредственная проверка утверждения для каждого конкретного значения невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно.

    Метод математической индукции выполняется в три этапа.

    На первом этапе необходимо убедиться в справедливости утверждения для начального значения параметра , т.е. необходимо убедиться в справедливости утверждения . Данный этап метода называется  базой (базисом) индукции.

На втором этапе предполагается, что утверждение справедливо при условии, что . Этот этап метода называется  индукционным предположением.

Если на третьем этапе будет доказано утверждение , то справедливость утверждения будет иметь место для произвольного значения . Отметим, что выполнение третьего этапа метода обычно является наиболее трудоемкой частью метода.

Ниже предлагаются примеры задач, решение которых осуществляется методом математической индукции.

Примеры решения задач

Пример 1. Доказать, что  

                                        ,                         (1)

где  .

    Доказательство. Обозначим  .

    Пусть  , тогда    и из формулы (1) следует  .

    Предположим, что

                                                .                        (2)

    Теперь требуется убедиться в том, что формула (1) выполняется и при , т.е. надо показать, что

                                             .                         (3)

    Из формул (1) и (2) получаем  

,     или    .

    Отсюда следует формула (3). Следовательно, утверждение (1) доказано.

Пример 2. Доказать, что  

                             ,                         (4)

где  .

    Доказательство. Обозначим  .

    Пусть  , тогда    и .

    Пусть и справедлива формула

                                               .                         (5)  

    Пусть  . Докажем, что      или  

                                           .                         (6)

    Так как  , то с учетом индукционного предположения (5) получаем

 .

    Следовательно, формула (6) является доказанной, а рассматриваемое равенство (4) справедливо для произвольных значений .   

Пример 3. Доказать, что  

                                    ,                         (7)

где  .

    Доказательство. Обозначим  .

    Если  , то     и  .

    Предположим, что  

                                                   .                         (8)  

    Докажем,  что   .   

    Из формул (7) и (8) следует, что

.  

    Отсюда вытекает справедливость формулы (7) для произвольных значений .   

    Пример 4.  Если числовая последовательность     является геометрической прогрессией, знаменатель которой равен  , то                                                       

                                                              (9)

    Доказательство. Обозначим  .

    Если  , то    и  

    Пусть    Необходимо показать, что  

    Так как     и  , то с учетом индукционного предположения имеем

,  

или      

    Отсюда следует справедливость формулы (9).

Пример 5.  Доказать, что  

       ,                         (10)

где  .

    Доказательство.  Обозначим левую часть равенства (10) как  .

    Если  , то    и  .

    Пусть  . Покажем, что  .

    Из определения и  равенства    следует, что

                                         .                         (11)

    Если воспользоваться известной формулой  ,

то из равенства (11) получим  ,   

  или  .

    Отсюда, согласно принципу математической индукции, следует справедливость формулы (10).

    Пример 6.  Доказать, что

         ,                         (12)

где  .

    Доказательство.  Обозначим  .

    Пусть  .  Тогда     и   .

    Предположим, что  ,  и покажем,  что  .

    Поскольку    ,  то   ,  

   или   .

    Формула (12) доказана.

    Пример 7.  Доказать неравенство

                                    ,                         (13)

где  .

    Доказательство.  Обозначим  .

    Если  , то  , т.е. неравенство (13) выполняется.

    Предположим, что  . Покажем, что  .

    Так как   и  ,  то  .

    Очевидно, что для решения задачи требуется доказать неравенство

                                        ,                         (14)

которое выполняется для произвольных натуральных  .

    Доказательство неравенства (14) будем вести методом от противного. Допустим, что существуют такие значения  , при которых выполняется противоположное неравенство, т.е. имеет место неравенство

                                          .                         (15)

    Преобразуем неравенство (15) следующим образом:

,      или  .

    Поскольку получили числовое противоречие , то неравенство (14) верно. Тем самым доказано, что   и неравенство (13)  выполняется для любых значений , где .

    Примечание. Проведя аналогичные рассуждения, можно доказать: если ,  то  .

    Пример 8.  Доказать, что выражение  кратно   (делится на число без остатка), где  .   

    Доказательство.  Если  , то  . Очевидно, что в данном случае требуемое утверждение выполняется.

    Пусть    кратно . Покажем, что выражение    также будет делиться на число без остатка.

    Так как  ,  то  

,     или  .                       (16)

    Согласно индукционному предположению, выражение кратно , поэтому из формулы (16) следует, что таковым будет и выражение .  

    В этой связи утверждение задачи доказано.

    Пример 9.  Доказать, что для любого натурального выражение  кратно .   

    Доказательство.  Если  , то    и    кратно .  Предположим, что кратно . Убедимся в том, что   также будет кратно .

    Так как  , то   ,   или  .                         (17)

    Поскольку натуральное число, то выражение всегда принимает только четные значения. В этой связи выражение   кратно . Согласно индукционному предположению кратно и поэтому из формулы (17) следует, что  делится на число  без остатка.

    Утверждение задачи доказано.

blog.tutoronline.ru

Примеры — Математическая индукция

Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального n справедливы следующие равенства:
          а) ;
          б) .

Решение.

а) При n = 1 равенство справедливо. Предполагая справедливость равенства при n, покажем справедливость его и при n + 1. Действительно,

что и требовалось доказать.

б) При n = 1 справедливость равенства очевидна. Из предположения справедливости его при n следует

Учитывая равенство 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2, получаем

1³ + 2³ + … + n³ + (n + 1)³ = (1 + 2 + … + n + (n + 1))²,

т. е. утверждение справедливо и при n + 1.

Пример 1. Доказать следующие равенства

www.sites.google.com

Во многих разделах математики приходится доказывать истинность утверждения, зависящего от , т. е. истинность высказывания P(N) Для «NÎN (для любого NÎN P(N) Верно).

Часто это удается доказать Методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом арифметики и, следовательно, принимается без доказательства. Согласно принципу математической индукции предложение P(N) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены два условия:

1. Предложение P(N) истинно для N = 1.

2. Из предложения, что P(N) истинно для N = K (K — Произвольное натуральное число) следует, что оно истинно для N = K + 1.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства

1. Проверяют истинность утверждения для N = 1 – база индукции.

2. Предполагают, что утверждение верно для N = K – Индуктивное предположение.

3. Доказывают, что тогда оно верно и для N = K + 1 индуктивный переход.

Иногда предложение P(N) оказывается верным не для всех натуральных N, а начиная с некоторого для N = N0. В этом случае в базе индукции проверяется истинность P(N) при N = N0.

Пример 1. Пусть . Доказать, что

1. База индукции: при N = 1 по определению S1 = 1 и по формуле получаем один результат. Утверждение верно.

2. Индуктивное предположение. Пусть N = k и .

3. Индуктивный переход. Пусть N = k + 1. Докажем, что .

Действительно, в силу индуктивного предположения

Преобразуем это выражение

Индуктивный переход доказан.

Замечание. Полезно записать, что дано (индуктивное предположение) и что нужно доказать!

Пример 2. Доказать

.

1. База индукции. При N = 1, утверждение, очевидно, верно.

2. Индуктивное предположение. Пусть N = K и

3. Индуктивный переход. Пусть N = K + 1. Докажем:

Действительно, возведем правую сторону в квадрат как сумму двух чисел:

Используя индуктивное предположение и формулу суммы арифметической прогрессии: , получим

Пример 3. Доказать неравенство

для .

1. Базой индукции в этом случае является проверка истинности утверждения для , т. е. необходимо проверить неравенство . Для этого достаточно возвести неравенство в квадрат: или 63 < 64 – неравенство верно.

2. Пусть неравенство верно для , т. е.

.

3. Пусть , докажем:

.

Используем предположение индукции

Зная как должна выглядеть правая сторона в доказываемом неравенстве выделим эту часть

Остается установить, что лишний множитель не превосходит единицы. Действительно,

.

Пример 4. Доказать, что при любом натуральном число оканчивается цифрой .

1. Наименьшее натуральное , с которого справедливо утверждение, равно . .

2. Пусть при число оканчивается на . Это означает, что это число можно записать в виде , где – какое-то натуральное число. Тогда .

3. Пусть . Докажем, что оканчивается на . Используя полученное представление, получим

Последнее число имеет ровно единиц.

Задачи.

1. Доказать, что при каждом верны равенства

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10).

2. Доказать, что при любом .

1) кратно .

2) кратно .

3) кратно .

4) кратно .

5) кратно .

6) кратно 19.

3. Доказать справедливость следующих неравенств для всех натуральных .

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

4. Доказать, что при любом натуральном верно неравенство

1) . 2) .

5. Доказать равенство для любого

1) ,

(в левой части содержится корней).

2) .

6. Пусть – произвольные неотрицательные числа, причем

.

Доказать, что .

7. Доказать неравенство Бернулли

,

8.Пусть – произвольные положительные числа, причем

. Доказать, что .

matica.org.ua

Метод математической индукции

Брянский Городской Лицей №1

Исследовательская работа на тему:

Метод Математической Индукции

Выполнил

М елешко К онстантин

ученик 10 физико-математического

Брянского Городского Лицея №1

Проверил

Т юкачева О льга И вановна

-2003-

Содержание исследовательской работы

Содержание_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2

Введение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3

Основная часть

Полная и неполная индукция_ _ _ _ _ _ _ _ _3-4

Принцип математической индукции_ _ _ _ _4-5

Метод математической индукции_ _ _ _ _ _ 6

Решение Методом Математической Индукции

К задачам на суммирование_ _ _ _ _ _ _ _ _ 7

К задачам на доказательство неравенств_ _8

К задачам на делимость _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11

К задачам на доказательство тождеств _ _ _12

К другим задачам _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13

Заключение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16

Список использованной литературы _ _ _ _17

Введение

Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство

Лежащее в основе арифметики понятие «следовать за» тоже появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами.

Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства.

Суть Математической Индукции

Покажем на примере использование М етода М атематической И ндукции и в конце сделаем обобщающий вывод.

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция).

Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин.

Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи:

1=1=1²

1+3=4=2²

1+3+5=9=3²

1+3+5+7=16=4²

1+3+5+7+9=25=5²

После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод:

1+3+5+…+(2n-1)=n²

т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n²

Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости при-

ведённой формулы.

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам.

Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем.

Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числаn(например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n² ). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения nневозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает его справедливость и при n=k+1.

Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для следующего числа n=1+1=2. Из справедливости утверждения для n=2 вытекает его справедливость для n=2+

+1=3. Отсюда следует справедливость утверждения для n=4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение верно для любого n.

Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип.

Принцип математической индукции.

Если предложение А( n ), зависящее от натурального числа n , истинно для n =1 и из того, что оно истинно для n = k (где k -любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n = k +1, то предположение А( n ) истинно для любого натурального числа n .

В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n> p, где p-фиксированное натуральное число. В этом случае принципматематической индукции формулируется следующим образом.

Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k)ÞA(k+1).

Применение метода математической индукции в задачах на суммирование

Применение метода математической индукции в задачах на суммирование

Пример:

Доказать, что

1+x² +x³ +x⁴ +….+xⁿ =

Решение.

Пусть k- любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.

Докажем тогда

В самом деле ,

.

Значит, по принципу математической индукции формула верна для любого натурального n.

Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств.

Доказать, что при любом натуральном n>1

Решение.

Обозначим левую часть неравенства через

Пусть

mirznanii.com

Метод математической индукции (ММИ) | Математика, которая мне нравится

Рассмотрим на примере, как работает метод.

Задача. Доказать, что для всех натуральных справедливо равенство

Решение. Обозначим через левую часть равенства, а через — его правую часть.

1) Докажем сначала, что .

Доказательство.

2) Дано: . Нужно доказать: .

Доказательство.

Тем самым, утверждение доказано для любого , поскольку из его истинности для следует, что оно истинно для , из его истинности при следует его истинность для и т.д.

Предположим, что нам нужно доказать последовательность утверждений

Для того чтобы доказать все эти утверждения, достаточно доказать две теоремы:

1. — верное утверждение.

2. Если для какого-либо натурального верно утверждение , то верно и утверждение .

Такой способ доказательства последовательности утверждений называется  методом математической индукции. Первая часть метода называется базой индукции, вторая — индукционным переходом.

Теорема. Если последовательности и таковы, что , и для любого натурального

то для всех натуральных выполняется равенство .

С помощью метода математической индукции можно также доказывать неравенства.

Теорема. Если последовательности и таковы, что , и для любого натурального

то для всех натуральных выполняется неравенство .

Пример. Доказать, что для всех натуральных

Доказательство.
1.

Действительно,

2.

Теорема. Если последовательности и с положительными членами таковы, что , и для любого натурального

то для всех натуральных выполняется неравенство .

Задачи. Доказать

1. .

2. .

3. при .

4. при .

5. Доказать, что сумма всевозможных произведений квадратов натуральных чисел, взятых по два (от 1 до ), равна

6. Доказать, что для всех натуральных

(четверок — ).

7. Доказать, что для всех натуральных

8. Доказать, что для всех натуральных

9. Доказать, что для всех натуральных

10. Доказать, что сторона правильного вписанного в окружность -угольника выражается формулой

где — радиус этой окружности (двоек — ).

11. Доказать, что прямых, пересекающихся в одной точке и лежащих в одной плоскости, делят эту плоскость на частей.

12. Доказать, что различных прямых, лежащих в одной плоскости, разбивают эту плоскость на области, которые могут быть закрашены красной и синей краской так, что все смежные области (т.е. области, имеющие общий отрезок прямой) будут закрашены разными красками.

13. Доказать, что если — суммы членов геометрических прогрессий, у которых первые члены , а знаменатели соответственно равны , то

14. Доказать, что сумма всех членов каждой горизонтальной строки таблицы

равна квадрату нечетного числа.

15. Доказать, что произведение

состоящее из сомножителей, равно

16. Доказать, что сумма всевозможных парных произведений натуральных чисел равна

17. Доказать, что для любого натурального

hijos.ru

Лекция 06. Метод математической индукции

Лекция 6. Метод математической индукции.

Новые знания в науке и жизни добываются разными способами, но все они (если не углубляться в детали) делятся на два вида – переход от общего к частному и от частного к общему. Первый – это дедукция, второй – индукция. Дедуктивные рассуждения – это то, что в математике обычно называют логическими рассуждениями, и в математической науке дедукция является единственным законным методом исследования. Правила логических рассуждений были сформулированы два с половиной тысячелетия назад древнегреческим учёным Аристотелем. Он создал полный список простейших правильных рассуждений, силлогизмов – «кирпичиков» логики, одновременно указав типичные рассуждения, очень похожие на правильные, однако неправильные (с такими «псевдологическими» рассуждениями мы часто встречаемся в СМИ).

Индукция (induction – по-латыни наведение) наглядно иллюстрируется известной легендой о том, как Исаак Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения после того, как ему на голову упало яблоко. Ещё пример из физики: в таком явлении, как электромагнитная индукция, электрическое поле создает, «наводит» магнитное поле. «Ньютоново яблоко» – типичный пример ситуации, когда один или несколько частных случаев, то есть наблюдения, «наводят» на общее утверждение, общий вывод делается на основании частных случаев. Индуктивный метод является основным для получения общих закономерностей и в естественных, и в гуманитарных науках. Но он имеет весьма существенный недостаток: на основании частных примеров может быть сделан неверный вывод. Гипотезы, возникающие при частных наблюдениях, не всегда являются правильными. Рассмотрим пример, принадлежащий Эйлеру.

Будем вычислять значение трехчлена при некоторых первых значенияхn:

Заметим, что получаемые в результате вычислений числа являются простыми. И непосредственно можно убедиться, что для каждого n от 1 до 39 значение многочлена является простым числом. Однако приn=40 получаем число 1681=41², которое не является простым. Таким образом, гипотеза, которая здесь могла возникнуть, то есть гипотеза о том, что при каждом n число является простым, оказывается неверной.

Лейбниц в 17 веке доказал, что при всяком целом положительном n число делится на 3, числоделится на 5 и т.д. На основании этого он предположил, что при всяком нечётномk и любом натуральном n число делится наk, но скоро сам заметил, что не делится на 9.

Рассмотренные примеры позволяют сделать важный вывод: утверждение может быть справедливым в целом ряде частных случаев и в то же время несправедливым вообще. Вопрос о справедливости утверждения в общем случае удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции (полной индукции, совершенной индукции).

6.1. Принцип математической индукции.

♦ В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем:

1) проверяется справедливость этого утверждения для n=1 (базис индукции),

2) предполагается справедливость этого утверждения для n=k, где k – произвольное натуральное число 1 (предположение индукции), и с учётом этого предположения устанавливается справедливость его для n=k+1.

Доказательство. Предположим противное, то есть предположим, что утверждение справедливо не для всякого натурального n. Тогда существует такое натуральное m, что:

1) утверждение для n=m несправедливо,

2) для всякого n, меньшего m, утверждение справедливо (иными словами, m есть первое натуральное число, для которого утверждение несправедливо).

Очевидно, что m>1, т.к. для n=1 утверждение справедливо (условие 1). Следовательно, – натуральное число. Выходит, что для натурального числаутверждение справедливо, а для следующего натурального числаm оно несправедливо. Это противоречит условию 2. ■

Заметим, что в доказательстве использовалась аксиома о том, что в любой совокупности натуральных чисел содержится наименьшее число.

Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется методом полной математической индукции.

 Пример 6.1. Доказать, что при любом натуральном n число делится на 3.

Решение. Воспользуемся методом полной математической индукции.

1) При n=1 , поэтому a₁ делится на 3 и утверждение справедливо при n=1.

2) Предположим, что утверждение справедливо при n=k, , то есть что число делится на 3, и установим, что при n=k+1 число делится на 3.

В самом деле,

.

Т.к. каждое слагаемое делится на 3, то их сумма также делится на 3. ■ 

 Пример 6.2. Доказать, что сумма первых n натуральных нечётных чисел равна квадрату их числа, то есть .

Решение. Воспользуемся методом полной математической индукции.

1) Проверяем справедливость данного утверждения при n=1: 1=1² – это верно.

2) Предположим, что сумма первых k () нечётных чисел равна квадрату числа этих чисел, то есть . Исходя из этого равенства, установим, что сумма первых k+1 нечётных чисел равна , то есть .

Пользуемся нашим предположением и получаем

. ■ 

Метод полной математической индукции применяется для доказательства некоторых неравенств. Докажем неравенство Бернулли.

 Пример 6.3. Доказать, что при и любом натуральномn справедливо неравенство (неравенство Бернулли).

Решение. 1) При n=1 получаем , что верно.

2) Предполагаем, что при n=k имеет место неравенство (*). Используя это предположение, докажем, что. Отметим, что приэто неравенство выполняется и поэтому достаточно рассмотреть случай.

Умножим обе части неравенства (*) на число и получим:

, то есть (1+.■ 

Доказательство методом неполной математической индукции некоторого утверждения, зависящего от n, где проводится аналогичным образом, но в начале устанавливается справедливость для наименьшего значенияn.

В некоторых задачах явно не сформулировано утверждение, которое можно доказать методом математической индукции. В таких случаях надо самим установить закономерность и высказать гипотезу о справедливости этой закономерности, а затем методом математической индукции проверить предполагаемую гипотезу.

 Пример 6.4. Найти сумму .

Решение. Найдём суммы S₁, S₂, S₃. Имеем ,,. Высказываем гипотезу, что при любом натуральномn справедлива формула . Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом полной математической индукции.

1) При n=1 гипотеза верна, т.к. .

2) Предположим, что гипотеза верна при n=k, , то есть . Используя эту формулу, установим, что гипотеза верна и приn=k+1, то есть

.

В самом деле,

.

Итак, исходя из предположения, что гипотеза верна при n=k, , доказано, что она верна и при n=k+1, и на основании принципа математической индукции делаем вывод, что формула справедлива при любом натуральном n. ■ 

 Пример 6.5. В математике доказывается, что сумма двух равномерно непрерывных функций является равномерно непрерывной функцией. Опираясь на это утверждение, нужно доказать, что сумма любого числа равномерно непрерывных функций является равномерно непрерывной функцией. Но поскольку мы ещё не ввели понятие «равномерно непрерывная функция», поставим задачу более абстрактно: пусть известно, что сумма двух функций, обладающих некоторым свойством S, сама обладает свойством S. Докажем, что сумма любого числа функций обладает свойством S.

Решение. Базис индукции здесь содержится в самой формулировке задачи. Сделав предположение индукции, рассмотрим функций f₁, f₂, …, f_n, f_n+1, обладающих свойством S. Тогда . В правой части первое слагаемое обладает свойствомS по предположению индукции, второе слагаемое обладает свойством S по условию. Следовательно, их сумма обладает свойством S – для двух слагаемых «работает» базис индукции.

Тем самым утверждение доказано и будем использовать его далее. ■ 

 Пример 6.6. Найти все натуральные n, для которых справедливо неравенство

.

Решение. Рассмотрим n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Имеем: 2¹>1², 2²=2², 2³<3², 2⁴=4², 2⁵>5², 2⁶>6². Таким образом, можно высказать гипотезу: неравенство имеет место для каждого . Для доказательства истинности этой гипотезы воспользуемся принципом неполной математической индукции.

1) Как было установлено выше, данная гипотеза истинна при n=5.

2) Предположим, что она истинна для n=k, , то есть справедливо неравенство . Используя это предположение, докажем, что справедливо неравенство.

Т. к. и при имеет место неравенство

при ,

то получаем, что . Итак, истинность гипотезы приn=k+1 следует из предположения, что она верна при n=k, .

Из пп. 1 и 2 на основании принципа неполной математической индукции следует, что неравенство верно при каждом натуральном . ■ 

 Пример 6.7. Доказать, что для любого натурального числа n справедлива формула дифференцирования .

Решение. При n=1 данная формула имеет вид , или 1=1, то есть она верна. Сделав предположение индукции, будем иметь:

,

что и требовалось доказать. ■ 

 Пример 6.8. Доказать, что множество, состоящее из n элементов, имеет подмножеств.

Решение. Множество, состоящее из одного элемента а, имеет два подмножества. Это верно, поскольку все его подмножества – пустое множество и само это множество, и 2¹=2.

Предположим, что всякое множество из n элементов имеет подмножеств. Если множество А состоит изn+1 элементов, то фиксируем в нём один элемент – обозначим его d, и разобьём все подмножества на два класса – не содержащие d и содержащие d. Все подмножества из первого класса являются подмножествами множества В, получающегося из А выбрасыванием элемента d.

Множество В состоит из n элементов, и поэтому, по предположению индукции, у него подмножеств, так что в первом классеподмножеств.

Но во втором классе подмножеств столько же: каждое из них получается ровно из одного подмножества первого класса добавлением элемента d. Следовательно, всего у множества А подмножеств.

Тем самым утверждение доказано. Отметим, что оно справедливо и для множества, состоящего из 0 элементов – пустого множества: оно имеет единственное подмножество – самого себя, и 2⁰=1. ■ 

29

studfiles.net

Метод математической индукции

Во многих разделах математики приходится доказывать истинность утверждения, зависящего от , т.е. истинность высказыванияp(n) для nN (для любого nN p(n) верно).

Часто это удается доказать методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом арифметики и, следовательно, принимается без доказательства. Согласно принципу математической индукции предложение p(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены два условия:

1. Предложение p(n) истинно для n = 1.

2. Из предложения, что p(n) истинно для n = k (k — произвольное натуральное число) следует, что оно истинно для n = k + 1.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства

1. Проверяют истинность утверждения для n = 1 – база индукции.

2. Предполагают, что утверждение верно для n = k – индуктивное предположение.

3. Доказывают, что тогда оно верно и для n = k + 1 индуктивный переход.

Иногда предложение p(n) оказывается верным не для всех натуральных n, а начиная с некоторого для n = n₀. В этом случае в базе индукции проверяется истинность p(n) при n = n₀.

Пример 1. Пусть . Доказать, что

1. База индукции: при n = 1 по определению S₁ = 1 и по формуле получаем один результат. Утверждение верно.

2. Индуктивное предположение. Пусть n = k и .

3. Индуктивный переход. Пусть n = k + 1. Докажем, что .

Действительно, в силу индуктивного предположения

Преобразуем это выражение

Индуктивный переход доказан.

Замечание. Полезно записать, что дано (индуктивное предположение) и что нужно доказать!

Пример 2. Доказать

.

1. База индукции. При n = 1, утверждение, очевидно, верно.

2. Индуктивное предположение. Пусть n = k и

3. Индуктивный переход. Пусть n = k + 1. Докажем:

Действительно, возведем правую сторону в квадрат как сумму двух чисел:

Используя индуктивное предположение и формулу суммы арифметической прогрессии: , получим

Пример 3. Доказать неравенство

для .

1. Базой индукции в этом случае является проверка истинности утверждения для , т.е. необходимо проверить неравенство. Для этого достаточно возвести неравенство в квадрат:или 63 < 64 – неравенство верно.

2. Пусть неравенство верно для , т.е.

.

3. Пусть , докажем:

.

Используем предположение индукции

Зная как должна выглядеть правая сторона в доказываемом неравенстве выделим эту часть

Остается установить, что лишний множитель не превосходит единицы. Действительно,

.

Пример 4. Доказать, что при любом натуральном числооканчивается цифрой.

1. Наименьшее натуральное , с которого справедливо утверждение, равно..

2. Пусть при числооканчивается на. Это означает, что это число можно записать в виде, где– какое-то натуральное число. Тогда.

3. Пусть . Докажем, чтооканчивается на. Используя полученное представление, получим

Последнее число имеет ровно единиц.

Задачи.

1. Доказать, что при каждом верны равенства

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8) .

9) .

10).

2. Доказать, что при любом .

1. кратно .

2. кратно .

3. кратно .

4. кратно .

5. кратно .

6. кратно 19.

3. Доказать справедливость следующих неравенств для всех натуральных .

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

4. Доказать, что при любом натуральном верно неравенство

1) . 2).

5. Доказать равенство для любого

1. ,

(в левой части содержится корней).

2. .

6. Пусть – произвольные неотрицательные числа, причем

.

Доказать, что .

7. Доказать неравенство Бернулли

,

8.Пусть – произвольные положительные числа, причем

. Доказать, что .

studfiles.net

Решите неравенство (x+1)*(x^2-1)

a*x^2 + b*x + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

-21      
---- 
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -1$$
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -1$$
$$x \geq 1$$ 

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство x^2+2*x-1

a*x^2 + b*x + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-1) = 8

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

       ___   1 
-1 - \/ 2  - --
             10

                 2                               
/       ___   1 \      /       ___   1 \         
|-1 - \/ 2  - --|  + 2*|-1 - \/ 2  - --| - 1 
                     2               
  16   /  11     ___\        ___     
- -- + |- -- - \/ 2 |  - 2*\/ 2  
но
                     2               
  16   /  11     ___\        ___     
- -- + |- -- - \/ 2 |  - 2*\/ 2  >= 0
  5    \  10        /                
     

Тогда
$$x \leq - \sqrt{2} - 1$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \sqrt{2} - 1 \wedge x \leq -1 + \sqrt{2}$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (x+2)*(x^2+1)

a*x^2 + b*x + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1) = -4

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

-541      
----- 
значит решение неравенства будет при:
$$x \leq -2$$
 _____          
      \    
-------•-------
       x1

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (x-1)*(x^2+1)

a*x^2 + b*x + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (1) = -4

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

-181      
----- 
значит решение неравенства будет при:
$$x \leq 1$$
 _____          
      \    
-------•-------
       x1

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство (x-1)*(x^2-1)

a*x^2 + b*x + c = 0

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1) = 4

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

-441      
----- 
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq -1$$
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x3      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq -1$$
$$x \geq 1$$ 

www.kontrolnaya-rabota.ru