Рубрика: Школьная жизнь

Файлы в формате TIF и TIFF – чем открыть на компьютере и онлайн

Все растровые графические редакторы, даже самые простые, способны сохранять изображения в разных форматах. Классический Paint предлагает на выбор шесть форматов, Adobe Photoshop и другие профессиональные инструменты – десятки. Но к чему такое огромное количество форматов, если можно обойтись всего лишь несколькими, и почему до сих пор не разработан единый формат, снимающий все ограничения и трудности, возникающие при работе с изображениями разных типов?

Ответ звучит довольно просто – каждый из форматов обладает своим уникальным, а порою и взаимоисключающим набором особенностей, позволяющим использовать изображение в определенной сфере с максимальной эффективностью. Таков, к примеру, формат TIFF или TIF, о котором мы сегодня и будем говорить. С этим весьма примечательным во многих отношениях форматом вам, наверное, приходилось сталкиваться не раз, но, скорее всего, вы не задумывались о его особенностях и преимуществах, равно как и не задавались вопросом, чем открыть TIFF.

TIFF – что это за формат

И всё же, для чего нужен TIFF, и чем он так хорош? Начнем с того, что TIFF и TIF – это один и тот же формат. Файлы TIF и TIFF имеют идентичную структуру, разница тут только в расширении. Формат появился на свет в 1986 году благодаря совместным усилиям компаний Microsoft и Aldus Corporation и изначально использовался в языке описания страниц PostSсript. Некоторое время он носил статус основного графического формата в ОС NeXTSTEP, и благодаря своей способности хранить данные изображений с большой глубиной цвета был взят на вооружение производителями фотокамер и полиграфического оборудования.

Особенности, преимущества и недостатки

В настоящее время TIFF активно используется в полиграфии, при отправке факсов, оцифровке печатных документов, а также в качестве промежуточного формата сохранения проектов в графических редакторах. Примером тому может служить многостраничный TIFF, который после окончательного редактирования часто сохраняется в документ PDF. Свою нишу занимает TIFF и в фотографии, будучи позиционируем как альтернатива «сырому» формату RAW.

В TIFF, как и в JPEG, используется сжатие (оно необязательное), но в отличие от популярного формата сжатие в TIFF практически не приводит к потере качества, впрочем, многое здесь зависит от алгоритма. Так, если файл TIFF предполагается выводить на печать, необходимо отдавать предпочтение изображениям без сжатия или сжатым с использованием алгоритмов LZW или ZIP. Другим немаловажным преимуществом формата является поддержка широкого диапазона цветовых пространств, среди которых доступны бинарное, полутоновое, с индексированной палитрой, RGB, CMYK, YCbCr и CIE Lab. Следует отметить также и способность TIFF хранить как растровые, так и векторные данные, что делает его универсальным форматом подобно PDF.

Но за универсальность приходится платить. Формат не лишен своих недостатков, среди которых самым главным является значительный размер файлов TIF, по весу как минимум в 10 раз превосходящих файлы JPEG. Большой размер ограничивает использование файлов этого типа в вебе, более того, их просмотр не поддерживается даже самыми популярными браузерами. Проблемы с показо

viarum.ru

Чем открыть TIF файл — Rusadmin

При работе с различными цифровыми изображениями пользователь может встретиться с файлом, имеющим расширение «tif». При попытке открытия данного файла часто доступно для просмотра лишь одно изображение, при этом, по заверению создателей данного файла, в нём может находиться сразу несколько изображений. Что же делать в данной ситуации? Разумеется, использовать соответствующий софт, умеющий корректно открывать нужные нам tif-файлы. В данном материале я расскажу, чем открыть TIF файл, какие программы вам в этом помогут, и как ими воспользоваться.

Содержание статьи:

Что такое tif

Расширение «tif» является аббревиатурой от слов «Tagged Image file» (помеченный тегами файл изображения). Параллельно также существует похожий формат, отличающийся лишь одной лишней буквой – tiff, являющийся аббревиатурой от «Tagged Image File Format» (формат файла изображения, помеченного тегами).

Файл с расширением «.tif» или «.tiff» является собой файл, использующийся для хранения высококачественной растровой графики. Данный формат поддерживает компрессию без потерь в качестве изображения, поэтому довольно популярен среди дизайнеров и художников, которые довольно часто хранят свои работы в виде файлов формата «tif».

Важной особенностью данного формата является возможность хранения нескольких изображений в одном файле, которые можно последовательно просмотреть с помощью специальных программ.

Также существует похожий формат файла «geoTIFF», в котором, наряду с изображениями, хранятся координаты GPS в форме метаданных.

Если вам нужна помощь в воспроизведении иных форматов воспользуйтесь стандартным поиском на сайте, одни из них VSD, EPS и RTF.

Как открыть файл .tif

Ниже я перечислю программы просмотрщики, позволяющие открыть tif формат файла. Реализуется это стандартным образом: запускаете нужную программу, выбираете в меню «Файл» (File), в нём «Открыть» (Open), указываете системе путь к нужному файлу и просматриваете открывшееся изображение. Если в tif-файле хранятся несколько изображений, то переключение между ними обычно производится с помощью нажатия на соответствующие стрелки экранного функционала (влево-вправо).

Какие же программы умеют корректно открывать tif-файлы? Рекомендую обратить внимание на следующие инструменты:

Средство просмотра фотографий Windows. Классический, встроенный в функционал современных ОС Виндовс, инструмент, применяющийся для просмотра изображений (правда, в Виндовс 10 он по умолчанию скрыт, и необходима его активация). Для просмотра tif-файла с помощью данного инструмента необходимо кликнуть на таком файле правой клавишей, в открывшемся меню выбрать опцию «Открыть с помощью», и в имеющемся списке выбрать «Средство просмотра фотографий Windows».

• XnView – кроссплатформенный вьювер для просмотра изображений. Поддерживает просмотр более 500 видов графических файлов и конвертацию из одного вида файла в другой (более 50 форматов). Индивидуальное пользование данным продуктом бесплатное;
• InViewer – компактный и быстрый просмотрщик с продвинутым интерфейсом также позволяет просматривать содержимое tif-файлов;
• Open Freely – ещё один бесплатный вьювер, умеющий открывать множество видов документов, включая необходимый нам формат tif;
• FastStone Image Viewer – функциональный инструмент, включающий в себя редактор, вьювер и конвертер изображений, также умеет работать с tif-файлами;
• CorelDRAW Graphics Suite X8 – известный графический редактор, разработанный канадской компанией Corel. Имеет платный характер, поддерживает просмотр и редактирование файлов с расширением tif;
• Adobe Photoshop CC – не менее известный редактор для работы с изображениями от компании Adobe Systems. Среди всего богатства его возможностей также имеется поддержка работы с форматом tif;
• ACD Systems ACDSee 20 – мощный графический редактор и вьювер, умеющий просматривать и tif формат. Также имеет платный характер;
• Adobe Illustrator CC – векторный графический редактор отлично справляется и с файлами нужного нам формата.

Умеют просматривать tif-файлы и другие программы для просмотра изображений.

Как открыть tif online

Чтобы выполнить просмотр tif онлайн рекомендую воспользоваться возможностями онлайн-сервиса Ofoct. Перейдите на ресурс, нажмите на кнопку «Upload» и загрузите нужный tif-файл с вашего ПК для просмотра.

Также могу порекомендовать такие приложения как TIF Viewer (Google Chrome), Google Docs Viewer (Mozilla, Opera), а также плагин AlternaTIFF для вашего браузера, позволяющий открывать файлы с форматом tif.

Заключение

Ответом на вопрос о том, чем открыть TIF файлы, станут перечисленные мной программы и сетевые инструменты, позволяющие легко просматривать содержимое tif-файла. Если же вам необходимо провести конвертацию tif-файла в более удобный формат (например, jpg), то в этом помогут соответствующие сетевые сервисы (например, Convertio или Zamzar), работа с которыми интуитивно понятна и не принесёт пользователю никаких проблем.

Вконтакте

Facebook

Twitter

Одноклассники

Pinterest

rusadmin.biz

Чем открыть многостраничный документ формата tiff?

Ладно формат не самый привычный и удобный (отчего бы не выбрать «стандартный» и всем понятный .jpeg? ), так ведь и эти «тифы» не так просты – открыть ты его откроешь, в принципе, любым средством просмотра фотографий, но кроме как указания о том, что эта «картинка» имеет несколько «кадров», вы больше ничего не увидите.

Как «извлечь»/открыть/просмотреть все страницы многостраничного файла,
имеющего расширение TIF?

1. По правой кнопке мыши открываем файл с помощью «Просмотр фотографий Windows»

А если Вам не надо печатать все страницы документа?

Значит, следует открыть многостраничный документ TIF другим способом.

1. Открыв файл в привычной для меня бесплатной программе — просмотрщике XnView, в левом нижнем углу видим «Кадр 01/06».

Так зачем нужны эти самые многостраничные документы формата TIF?

На самом деле, для нашего с Вами удобства. Представьте документ, в котором много-много страниц. Вам не надо их печатать выборочно, а вот листать документ, а не кучу сложенных в одну папку (которую надо, как минимум будет распаковать из архива – ведь скачивают файлы, а не папки) листиков-картинок.
Формат TIFF (сокращение от английского Tagged Image File Format) предназначен для хранения именно растровой графики. Что примечательно, при хранении файлы такого формата могут иметь расширение как .tif, так и .tiff.

Сохранение в одном файле нескольких страничек одновременно – одно из главных достоинств TIFF-формата. Так что для просмотра этих файлов и надо использовать программы для просмотра многостраничных документов.

Какими программами работать с многостраничными TIFF файлами?

На рынке программного обеспечения в наличии широкий ряд утилит для открытия и работы с TIFF – как платных, так и бесплатных, наиболее популярные из них:

1. FastStone Image Viewer – бесплатен для некоммерческого использования с версии 3.5. Имеет встроенный эскизовый файловый менеджер. Также может использоваться как менеджер изображений.
2. XnView позволяет читать около 500 форматов (включая многостраничные и анимированные еще форматы APNG, TIFF, GIF, ICO и т.д..).
3. AlternaTIFF – дополнение (плагин) к браузеру, предназначенный для открытия и отображения файлов формата TIFF. Поддерживает большинство популярны браузеров семейства ОС Windows, начиная с XP.
4. Стандартная программа в ОС Windows для просмотра изображений и факсов.

Таким образом, при выборе программы для открытия и работы с форматом tif проблем быть не должно – для этого существует достаточное количество бесплатных программ.

—

ana-sm.com

Открыть tif файл онлайн: просмотр тифф

Топ 1: WidsMob Viewer

WidsMob Viewer лучший браузер TIFF на Mac для быстрого и удобного просмотра тысяч изображений TIFF. Вам не нужно открывать фотографии на компьютерах Mac один за другим. Photo Viewer позволяет пользователям открывать фотографии в папке и подпапке, открыв одну фотографию. Кроме того, вы можете просматривать изображения в формате TIFF с невероятно высоким разрешением экрана Retina. Программа просмотра файлов TIFF позволяет пользователям настраивать фотографии TIFF в нескольких частях. Вы можете настроить резкость, экспозицию, температуру, насыщенность, оттенок и контраст в браузере файлов TIFF. Кроме того, вы также можете добавить несколько эффектов на этих изображениях.

Программа просмотра изображений TIFF предлагает пять режимов просмотра. Первый — это полноэкранный режим, с помощью которого вы можете получать фотографии в формате TIFF с нулевым интерфейсом. Режим библиотеки позволяет людям просматривать файлы TIFF в соответствии с различными папками. Вы можете просматривать конкретные фотографии с легкостью. Режим миниатюр — это хороший способ быстрого просмотра всех фотографий. Вы также можете попробовать режим слайд-шоу для автоматического просмотра изображений в формате TIFF в полноэкранном режиме. Последний режим EXIF, который может получить доступ к подробной информации о камере, ISO и другой информации.

Photo Viewer — это также интеллектуальный конвертер файлов TIFF. Вы можете использовать пакетную функцию для переименования, изменения размера или преобразования фотографий в файлы TIFF без повторения. Кроме того, легко сортировать изображения в формате TIFF. Вы можете собрать их по данным или имени. Если вам нужно выбрать фотографии, вы можете нажать на значок избранного, чтобы добавить фотографии в специальную папку. Любимый вариант выглядит как пятиконечная звезда. После этого вы можете поделиться в Facebook и Twitter или сохранить в формате JPEG, PNG, TIFF, Microsoft BMP или JPEG-2000. Кроме того, вы можете настроить качество изображения во время сохранения.

Топ 2. IrfanView

IrfanView как мощный просмотрщик изображений TIFF поддерживает просмотр и сохранение файлов различных типов. Вы можете просматривать и редактировать не только формат изображения TIFF, но и другие типы файлов. Кроме того, IrfanView может просматривать многостраничные файлы TIFF, а программа просмотра файлов TIFF в Windows проста в использовании. Вы можете открыть произвольную страницу TIFF для просмотра или перетащить файлы TIFF для удобного просмотра. IrfanView может быть плагином браузера TIFF для работы с Chrome, что означает, что вы можете просматривать изображения TIFF без установки. Чтобы часто просматривать файлы изображений в формате TIFF, вы можете бесплатно загрузить и использовать IrfanView для частного и некоммерческого использования.

Если вы хотите редактировать файлы в форматах TIFF, вы можете использовать горячие клавиши для добавления или удаления страниц. Или вы можете сжать изображения в формате TIFF по отдельности. Кроме того, IrfanView позволяет пользователям рисовать файлы формата TIFF. Рисование линий, обводка или выпрямление изображений — все это допустимо в программе просмотра TIFF Chrome во время просмотра. Кроме того, браузер IrfanView TIFF имеет 32- и 64-битную версию, которую вы можете применить.

Топ 4. Быстрый просмотрщик изображений

Для просмотра страниц TIFF на смартфонах вы можете попробовать Быстрый просмотрщик изображений. Приложение просмотра TIFF может работать не только на Android, но и на устройствах iOS. Вы можете попробовать TIFF Viewer для Android бесплатно. Тем не менее, пользователи iPhone должны стоить несколько долларов на iTunes. Что касается FIV TIFF, вы можете просматривать большие битовые изображения с высоко оптимизированными кодами. Вам не нужно загружать фотографии TIFF в локальное хранилище. Просто откройте с камеры или облачного хранилища, и тогда вы сможете открывать файлы TIFF без каких-либо временных данных.

FIV может открывать одну или несколько страниц TIFF, а также другие файлы формата изображения. Не забудьте распаковать эти страницы. Вы можете использовать Fast Image Viewer для просмотра черно-белых отсканированных изображений с невероятно быстрым декодированием и удобочитаемым масштабным изображением Кроме того, FIV поддерживает анимацию GIF, PNG и FLI в файловом браузере и главном окне. Наиболее важным ключом является то, что конвертер TIFF может открывать файлы изображений быстрее, чем другие программы просмотра TIFF.

Топ 5. Evince File Viewer

Evince File Viewer это средство просмотра документов, разработанное для среды рабочего стола GNOME Вы можете использовать Evince для открытия файлов формата PDF, TIFF, XPS, DVI и PostScript. Вы можете использовать программу просмотра TIFF бесплатно для просмотра нескольких файлов TIFF в режиме миниатюр. После этого вы можете распечатывать фотографии в формате TIFF или редактировать их с помощью сложных фильтров. Evince предоставляет читателям две страницы TIFF для просмотра слева и справа. Или вы можете смотреть в полноэкранном режиме или в режиме слайд-шоу, чтобы иметь дело с текстами TIFF.

Кроме того, Evince может открывать зашифрованные документы PDF. Если вы не хотите читать весь текст TIFF, вы можете выполнить поиск по ключевому слову в файловом браузере Windows TIFF, чтобы получить ссылки. Вы можете получить интегрированный поиск, показывающий количество найденных результатов, с помощью программы просмотра TIFF и принтера. У Evince были ограничения по DRM для PDF-файлов, однако в настоящее время вы можете отключить его по желанию.

Для просмотра файлов TIFF на другом устройстве вы можете найти 5 лучших программ просмотра TIFF для разных устройств. WidsMob Viewer должен быть лучшим средством просмотра TIFF / TIF для Mac, IrfanView для Windows, встроенным средством просмотра TIFF для веб-браузера, Fast Image Viewer и Evince File Viewer для смартфона.

• 0поделились
• 0Facebook
• 0Twitter
• 0VKontakte
• 0Google+
• 0Odnoklassniki

Все растровые графические редакторы, даже самые простые, способны сохранять изображения в разных форматах. Классический Paint предлагает на выбор шесть форматов, Adobe Photoshop и другие профессиональные инструменты – десятки. Но к чему такое огромное количество форматов, если можно обойтись всего лишь несколькими, и почему до сих пор не разработан единый формат, снимающий все ограничения и трудности, возникающие при работе с изображениями разных типов?

Ответ звучит довольно просто – каждый из форматов обладает своим уникальным, а порою и взаимоисключающим набором особенностей, позволяющим использовать изображение в определенной сфере с максимальной эффективностью. Таков, к примеру, формат TIFF или TIF, о котором мы сегодня и будем говорить. С этим весьма примечательным во многих отношениях форматом вам, наверное, приходилось сталкиваться не раз, но, скорее всего, вы не задумывались о его особенностях и преимуществах, равно как и не задавались вопросом, чем открыть TIFF.

Особенности, преимущества и недостатки

В настоящее время TIFF активно используется в полиграфии, при отправке факсов, оцифровке печатных документов, а также в качестве промежуточного формата сохранения проектов в графических редакторах. Примером тому может служить многостраничный TIFF, который после окончательного редактирования часто сохраняется в документ PDF. Свою нишу занимает TIFF и в фотографии, будучи позиционируем как альтернатива «сырому» формату RAW.

В TIFF, как и в JPEG, используется сжатие (оно необязательное), но в отличие от популярного формата сжатие в TIFF практически не приводит к потере качества, впрочем, многое здесь зависит от алгоритма. Так, если файл TIFF предполагается выводить на печать, необходимо отдавать предпочтение изображениям без сжатия или сжатым с использованием алгоритмов LZW или ZIP. Другим немаловажным преимуществом формата является поддержка широкого диапазона цветовых пространств, среди которых доступны бинарное, полутоновое, с индексированной палитрой, RGB, CMYK, YCbCr и CIE Lab. Следует отметить также и способность TIFF хранить как растровые, так и векторные данные, что делает его универсальным форматом подобно PDF.

Но за универсальность приходится платить. Формат не лишен своих недостатков, среди которых самым главным является значительный размер файлов TIF, по весу как минимум в 10 раз превосходящих файлы JPEG. Большой размер ограничивает использование файлов этого типа в вебе, более того, их просмотр не поддерживается даже самыми популярными браузерами. Проблемы с показом TIFF-изображений могут также возникнуть на телефонах, DVD-плеерах и других мобильных гаджетах. Среди прочих минусов формата стоит упомянуть низкую скорость серийной съемки в фотографии, более высокое потребление ресурсов компьютера при обработке и нерациональность использования в повседневных нуждах.

Программы для чтения файлов TIFF

Что такое формат TIFF и где он применяется, надеемся, понятно, теперь перейдем к вопросу, чем его открыть. По большому счету, никакие сторонние программы вам для этого не понадобятся. Для просмотра TIFF-изображений можно использовать как встроенное средство отображения фотографий Windows 7 и 8.1, так и универсальное приложение «Фотографии» Windows 10. Но с таким же успехом вы можете прибегнуть к помощи вьюверов от сторонних разработчиков.

XnView

Один из самых популярных и лучших просмотрщиков изображений, поддерживающий более 400 графических форматов. Если вы ищете, чем открыть формат TIFF, поставьте XnView и разом забудьте обо всех проблемах. Приложение позволят не только просматривать, но и конвертировать файлы разных форматов между собой. В наличии множество дополнительных функций, включая редактирование, работу с метаданными, создание HTML-страниц, изменение размера изображений, создание скриншотов, подсчет используемых в картинке цветов, применение различных фильтров и эффектов и многое другое.

Как сделать многостраничный TIFF? Собрать его без труда можно в XnView. Выберите в меню программы Инструменты – Многостраничный файл – Создать, добавьте в программу «склеиваемые» файлы, укажите папку для сохранения и нажмите «Создать». Исходниками могут служить не только отдельные TIFF-файлы, но также изображения других форматов. Дополнительно поддерживается настройка параметров создания многостраничного файла – нажав кнопку «Опции», вы можете выбрать алгоритм сжатия и выходное качество картинки.

FastStone Image Viewer

Еще один популярный инструмент, совмещающий в себе функции просмотрщика, графического браузера, конвертера и редактора изображений. Программой поддерживаются работа с метаданными и эскизами, уровнями и кривыми, изменение размера изображений с использованием одиннадцати алгоритмов, создание скриншотов, цветокоррекция, добавление водяных знаков, устранение эффекта красных глаз, применение визуальных эффектов и пакетная обработка.

Возможности FastStone Image Viewer включают также и создание многостраничных файлов PDF и TIFF. Опция доступна из меню «Создать». Последовательность действий примерно такая же, как и в XnView – пользователю предлагается выбрать массив склеиваемых файлов, указать формат и сжатие, при этом программа позволяет установить размер выходной картинки и применить к ней эффект тени. Использовать FastStone Image Viewer можно и для создания индекс-листов, слайд-шоу и лент изображений.

IrfanView

Маленькая, но достаточно функциональная программа для просмотра графических файлов. Установившему IrfanView пользователю будут доступны такие функции как цветокоррекция, чтение метаданных, в том числе, при работе в полноэкранном и слайд-шоу режиме, создание скриншотов, получение изображений со сканеров, извлечение иконок из исполняемых файлов EXE, DLL и ICL, создание на основе изображений веб-страниц.

Кроме открытия файлов TIFF приложением IrfanView поддерживается их объединение в многостраничные изображения. Для создание такого файла в меню приложения нужно выбрать Options – Multipage images – Crеate Multipage TIF, сформировать список объектов, указать, если требуется, метод сжатия и другие параметры, после чего запустить процедуру создания, нажав кнопку «Crеate TIF image». Есть в программе немало и других полезных функций, например, воспроизведение видео и аудио.

Picasa

Эта программа представляет собой менеджер изображений, наделенный базовыми инструментами редактирования. Picasa позволяет просматривать и упорядочивать изображения, применять к ним несложные эффекты, обмениваться ими с другими пользователями через социальные сети, почту и специальный веб-сервис. Программа является неплохим подспорьем в создании коллажей, слайд-шоу, презентаций и видео. Также с ее помощью можно создавать резервные копии изображений на CD или DVD, добавлять в метаданные тэги и гео-координаты. В плане функционала Picasa уступает трем предыдущим программам, но с просмотром TIFF справляется ничуть не хуже.

ACDSee Free

Чем открыть TIF еще? Если вам ни к чему множество функций редактирования, воспользуйтесь ACDSee Free – бесплатной версией популярного органайзера изображений. Программа отличается высокой скоростью работы и большим набором настроек вывода на печать. Из дополнительных возможностей инструмента стоит отметить расширенные опции масштабирования, а также применение гамма-коррекции.

Чем открыть файл TIFF онлайн

Если по какой-то причине просмотр TIFF невозможен (произошел сбой ассоциаций, используется мобильное устройство и т.п.), не составит труда открыть TIFF онлайн, воспользовавшись одним из веб-инструментов.

TIFF Viewer Online

Простой ресурс для просмотра файлов разных типов, среди которых имеется и TIFF. В использовании предельно прост. Файл загружается с компьютера или по URL на сервер, где конвертируется в доступный для просмотра в браузере формат. Ссылка «View» открывает файл для просмотра в отдельной вкладке, ссылка «Dеlete» удаляет его с сервера. Можно также выбрать качество просматриваемой картинки. Доступен сервис по адресу www.ofoct.com/viewer/tiff-viewer-online.html.

CoolUtils.com

С помощью данного сервиса можно объединить TIFF файлы в один онлайн. Принцип работы прост. Пользователь один за другим загружает на сервер файлы, жмет кнопку «Combine My Files» и тут же получает собранный файл. К сожалению, число добавляемых файлов ограничено пятью, нет также и возможности настройки параметров. Объединять с помощью сервиса можно только файлы TIFF. Располагается веб-инструмент по адресу www.coolutils.com/ru/online/TIFF-Combine.

Jinaconvert.com

Немногим больше возможностей по созданию многостраничных TIFF онлайн предоставляет веб-конвертер Jinaconvert.com (jinaconvert.com/ru/convert-to-tiff.php). В отличие от CoolUtils.com, за один раз вы можете загрузить значительно больше файлов, к тому же они совсем необязательно должны быть формата TIFF. В данном случае TIFF является выходным форматом, в качестве же исходников могут быть использованы изображения JPEG или PNG. Настраивать параметры конвертирования веб-инструмент не позволяет.

Что лучше использовать

Формат TIFF не относится к числу «экзотических», поэтому с его открытием прекрасно справляются штатные средства Windows. Что касается таких мобильных платформ как Андроид, то здесь для просмотра TIFF-изображений понадобятся специальные программы, которые, впрочем, без труда можно найти в Плей Маркете. Если речь идет о создании многостраничных TIFF, отдавать предпочтение следует сторонним программам, поскольку онлайновые сервисы предлагают в этом плане весьма скудный функционал, не столько создавая страницы по типу PDF, сколько просто склеивая отдельные файлы в один длинный файл-полотно, не удобный для просмотра.

t-31.ru

Чем открыть TIFF

TIFF представляет собой формат, в котором сохраняются изображения с тегами. Причем они могут быть как векторные, так растровые. Наиболее широко применяется для упаковки сканированных изображений в соответствующих приложениях и в полиграфии. В настоящее время правами на данный формат обладает компания Adobe Systems.

Чем открыть TIFF

Рассмотрим программы, которые поддерживают данный формат.

Способ 1: Adobe Photoshop

Adobe Photoshop является самым известным фоторедактором в мире.

Скачать Adobe Photoshop

1. Открываем изображение. Для этого нужно щелкнуть на «Открыть» на выпадающем меню «Файл».



Можно воспользоваться командой «Ctrl + O» или нажать на кнопку «Открыть» на панели.



2. Выбираем файл и нажимаем на «Открыть».



Возможно также просто перетащить исходный объект из папки в приложение.



Окно Adobe Photoshop с открытым графическим представлением.

Способ 2: Gimp

Gimp является по функциональности аналогом Adobe Photoshop, но в отличие от него, данная программа бесплатная.

Скачать Gimp бесплатно

1. Открываем фото через меню.



2. В обозревателе осуществляем выбор и кликаем на «Открыть».



Альтернативными вариантами открытия являются использование «Ctrl + O» и перетаскивание картинки в окно программы.



Открытый файл.

Способ 3: ACDSee

ACDSee – многофункциональное приложение по работе с файлами изображений.

Скачать ACDSee бесплатно

Для выбора файла имеется встроенный обозреватель. Открываем, щелкнув кнопкой мыши по изображению.

Поддерживается применение сочетания клавиш «Ctrl + O» для открытия. А можно просто нажать «Open» в меню «File» .

Окно программы, в котором представлено изображение формата TIFF.

Способ 4: FastStone Image Viewer

FastStone Image Viewer – просмотрщик графических файлов. Есть возможность редактирования.

Скачать FastStone Image Viewer бесплатно

Выбираем исходный формат и кликаем по нему дважды.

Также можно открыть фото при помощи команды «Открыть» в основном меню или применить комбинацию «Ctrl + O».

Интерфейс FastStone Image Viewer с открытым файлом.

Способ 5: XnView

XnView применяется для просмотра фото.

Скачать XnView бесплатно

Выбираем исходный файл во встроенной библиотеке и кликаем по нему два раза.

Также можно использовать команду «Ctrl + O» или выбрать «Открыть» на выпадающем меню «Файл».

В отдельной вкладке отображается изображение.

Способ 6: Paint

Paint является стандартным редактором изображения Windows. Имеет минимум функций и также позволяет открывать формат TIFF.

1. В выпадающем меню выбираем «Открыть».



2. В следующем окне кликаем по объекту и нажимаем на «Открыть». .

Можно просто осуществить перетаскивание файла из окна Проводника в программу.

Окно Paint с открытым файлом.

Способ 7: Средство просмотра фотографий Windows

Самым простым способом открытия данного формата является использование встроенного просмотрщика фотографий.

В Проводнике Windows нажимаем на искомое изображение, после чего в контекстном меню надо щелкнуть на «Просмотр».

После этого объект отображается в окне.

Стандартные приложения Windows, такие как средство просмотра фотографий и Paint, справляются с задачей открытия формата TIFF с целью просмотра. В свою очередь, Adobe Photoshop, Gimp, ACDSee, FastStone Image Viewer, XnView также содержат еще и инструменты для редактирования.

Помогла ли вам эта статья?

lumpics.ru

Онлайн конвертер изображений из TIFF в PSD

Во что: JPGDDSICOPNGTIFFGIFBMPPNMPSPS2PS3PPMPSDPTIFRADPICTPAMPBMPCLPCXPDBPDFPCDPFMPGMPALMVICARVIFFWBMPWDPWEBPXBMXPMXWDUYVYUILRFGSGISUNSVGTGAAAIDCXDIBDPXEPDFEPIEPSEPS2EPS3EPSIAVSCINCMYKCMYKAEPSFEPTEXRFAXJ2CJ2KJXRMIFFMONOMNGMPCMTVOTBJPTJP2FITSFPXGRAYHDRJNGJBIGINFOHRZP7

Глубина цвета 32 (True color, YCbCrK)24 (True color, YCbCr) 8 (Grayscale)

тип сжатия baseline (default)progressivelosslesssequential

sample 1:1:1 (11:11:11) (default)4:2:2 (22:21:21)4:2:1 (22:21:11)4:4:2 (22:22:21)4:1:1 (22:11:11)

lossless predictor Auto select best predictor01234567

Surface format R8G8B8: (24 bits per pixel, R:8, G:8, B:8) R5G6B5: (16 bits per pixel, R:5, G:6, B:5) A8R8G8B8: (32 bits per pixel, A:8, R:8, G:8, B:8) A8B8G8R8: (32 bits per pixel, A:8, B:8, G:8, R:8) X8R8G8B8: (32 bits per pixel, A:x, R:8, G:8, B:8) X8B8G8R8: (32 bits per pixel, A:x, B:8, G:8, R:8) A1R5G5B5: (16 bits per pixel, A:1, R:5, G:5, B:5) X1R5G5B5: (16 bits per pixel, A:x, R:5, G:5, B:5) L8: (8 bits per pixel, luminance:8) A8L8: (16 bits per pixel, A:8, L:8) DXT1: (compressed, 1-bit alpha) DXT2: (compressed, 4-bit premultiplied alpha) DXT3: (compressed, 4-bit nonpremultiplied alpha) DXT4: (compressed, interpolated premultiplied alpha) DXT5: (compressed, interpolated nonpremultiplied alpha)

генерировать mip-карту ДаНет

Глубина цвета: 64 (True color, RGBA)48 (True color, RGB)32 (True color, RGBA, transparent)24 (True color, RGB)8 (Indexed)4 (Indexed)1 (Mono)bpp

степень сжатия 0 — None1 — Lowest23456789- Highest

Глубина цвета64 (True color, RGBA)48 (True color, RGB)32 (True color, RGBA)32 (CMYK)24 (True color, RGB)8 (Indexed)4 (Indexed)1 (Mono)

тип сжатияNONECCITT RLE (for 1 bpp only)CCITT Fax3 (for 1 bpp only)CCITT Fax4 (for 1 bpp only)LZWFLATEJPEGJBIG (for 1 bpp only)JPEG 6+PACKBITS

степень сжатия0 — None1 — Lowest23456789 — Highest

Порядок байтовот младшего к старшемуот старшего к младшему

save TIFF file with MultistripSinglestripTiled

Jpeg subsample 1:1:1 (11:11:11) (default)4:2:2 (22:21:21)4:1:1 (22:11:11)

photometric mono Leave As IsMinimum is WhiteMinimum is Black

with fill order most significant to leastleast significant to most

создать превью

Сохранить EXIF, если есть

Сохранить IPTC, если есть

BigTIFF формат

Конвертировать!

online-converting.ru

TIF — формат файла. Чем открыть TIF?

Файлы формата TIF открываются специальными программами. Существует 2 типа форматов TIF, каждый из которых открывается разными программами. Чтобы открыть нужный тип формата, изучите описания файлов и скачайте одну из предложенных программ.

Расширение TIF (полн. Tagged Image File Format) – популярный среди пользователей формат передачи графических изображений. Он широко востребован для распознавания текстовой информации, а также при сканировании графических изображений, таблиц, текста.

Файлы TIF регулярно применяют при отправке/получении факса. Но все же основное предназначение данного расширения – это работа с графическими данными.

Авторскими правами на Tagged File обладает компания Adobe Systems. Следует отметить, что характерная особенность TIF формата – это хранение графических изображений, имеющих большую глубину цветовой палитры.

При генерации формата TIF разработчиками преследовалась главная цель – сжатие графики без потерь, однако, на сегодняшний день у пользователей появилась дополнительная возможность конвертации в файл с расширением JPEG с потерей данных.

Таким образом, если встретили у себя на ПК формат TIF: вы имеете дело с высококачественным растровым графическим изображением.

Программы для открытия TIF файлов

Для открытия и работы с TIF форматом не требуется установка специализированных приложений. Adobe Photoshop, Microsoft Windows Photos, а также CorelDRAW – это лишь малый перечень программного обеспечения, которое нередко идет в комплекте с установкой ОС Windows.

Среди остальных, весьма распространенных программ, интегрированных для работы с расширением TIF, можно отметить:

Создание и редактирование файлов TIF рекомендуется производить в Adobe Photoshop. Это программное средство обладает широким функционалом и набором специальных инструментов для работы с графическими изображениями.

Конвертация TIF в другие форматы

Формат TIF неприхотлив к преобразования в форматы с другим расширением. JPEG/JPG, ODG, PNG, GIF, DWG, DJVU/DJV – это даже не полный перечень расширений, в которые можно конвертировать TIF.

Процесс конвертации может быть реализован с применением Canon Easy-PhotoPrint EX, Lizardtech DjVu Solo, Artweaver. Это наиболее популярные программы, используемые для трансляции TIF формата.

Но, как правило, любая графическая система, способная поддерживать работу с TIF, имеет встроенный конвертер данных.

Почему именно TIF и в чем его достоинства?

Главное и неоспоримое достоинство TIF – это высокое качество изображения. Если вы сторонник насыщенного цвета и высокого разрешения графических изображений, расширение TIF – это то, что идеально вам подойдет.

www.azfiles.ru

Область определения функции примеры решения

Область определения функции примеры решения

Как найти область определения функции?

Рассмотрим область определения функции в математике на примерах.

Найти область определения функции примеры решений

Рассмотрим простые примеры, как находить область определения функции.

Пример нахождения области определения функции.

Найти область определения функции

y = 2 / (x + 2)

Область определения функции – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл.

В данном примере область определения функции составляют все числа, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Ведь на ноль делить нельзя.

Значит мы должны найти значения икс, при которых знаменатель обратится в ноль и исключить их из области определения функции.

Для решения этой задачи приравняем знаменатель к нулю:

x + 2 = 0

Решим это уравнение:

x = -2

Итак, при x = -2 знаменатель будет равен нулю. На ноль делить нельзя, а значит при этом значении икс функция теряет смысл. Теперь мы можем найти область определения функции

y = 2 / (x + 2)

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме числа -2.

Пример нахождения области определения функции.

Найти область определения функции

y = 2 / (4x² — 4x + 1)

Мы уже знаем, как находить область определения функции: надо указать значения аргумента, при которых она имеет смысл.

Здесь перед нами дробное выражение. Знаменатель не должен быть равен нулю.

Значит, область определения функции в данном случае – это все числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.

Как найти такие числа? Приравнять знаменатель нулю:

4x² — 4x + 1 = 0

и решить это квадратное уравнение.

Решаем и находим, что корень уравнения x = 0,5.

Теперь можно указать область определения функции – это вся числовая прямая, кроме числа 0,5.

А что значит указать область определения функции? Это значит указать все значения аргумента (т.е. икса), при которых функция имеет смысл.

В нашем случае это все числа, кроме 0,5.

www.sbp-program.ru

Область определения функции

Остановимся на процедуре нахождения области определе­ния функции.

1. В том случае, когда функция задана в аналитическом виде (посредством формулы)

(3.1)

и никаких ограничений или оговорок более не имеется, область ее определения устанавливается исходя из правил выполнения математических операций, входящих в формулу f в (3.1). Эти ограничения хорошо известны: подкоренное выражение в кор­не четной степени не может быть отрицательным, знаменатель дроби не может быть равным нулю, выражение под знаком ло­гарифма должно быть только

положительным, а также неко­торые другие. Приведем здесь два примера.

Пример 1. у = log₂ (x² — 5x + 6).

Область определения этой функции находится из условия x² — 5x + 6 > 0. Поскольку x = 2 и x = 3 — корни квадратно­го трехчлена, стоящего под знаком логарифма, то это условие выполняется на двух полубесконечных интервалах: (-, 2) и (3,). На рис. 3.4 выделена заштрихованная полоса, в которой график функции отсутствует.

Рис. 3.4

Пример 2. у = arcsin .

Область определения этой функции находится из совокуп­ности двух условий: аргумент под знаком arcsin не может быть по модулю больше единицы и знаменатель аргумента не дол­жен равняться нулю, т.е.

Двойное неравенство эквивалентно двум более простым нера­венствам: х + 2 ≥ 1 и х + 2 ≤ -1. Отсюда получаем, что область определения функции состоит из двух полубесконечных проме­жутков: (-, -3] и (-1,). Запретная точках = —2 сюда не попадает. В отличие от предыдущего примера концы полуин­тервалов входят в область определения функции.

2. Область определения функции задана вместе с функцией f(x).

Пример 3. у = 3x^—4­­^/3 + 2, 1 ≤ х ≤ 4.

3. Функция имеет определенный прикладной характер, и область ее существования определяется также и реальными значениями входящих параметров (например, задачи с физи­ческим смыслом).

Определение 2. Функция у = f(x) называется четной (сим­метрия относительно оси Оу), если для любых значений аргу­мента из области ее определения выполнено равенство

Определение 3. Функция у = f(x) называется нечетной (симметрия относительно начала координат О), если выпол­нено условие:

Например, функции у = х² и у = cos x являются четными, а функции у = x³ и у = sin x— нечетными.

Приложения в экономике

Приведем примеры использования функций в области эко­номики.

1. Кривые спроса и предложения. Точка равнове­сия. Рассмотрим зависимости спроса D (demand) и предложе­ния S (supply) от цены на товар Р (price). Чем меньше цена, тем больше спрос при постоянной покупательной способности населения. Обычно зависимость D от Р имеет вид ниспадаю­щей кривой (рис. 3.5, а):

(3.2)

где а < 0. В свою очередь предложение растет с увеличением цены на товар, и потому зависимость S от Р имеет следующую характерную форму:

(3.3)

где b ≥ 1 (рис. 3.5, б). В формулах (3.2) и (3.3) с и d — так называемые экзогенные величины; они зависят от внешних причин (благосостояние общества, политическая обстановка и т.п.). Вполне понятно, что переменные, входящие в формулы (3.2) и (3.3), положительны, поэтому графики функций имеют смысл только в первой координатной четверти.

Рис. 3.5

Для экономики представляет интерес условие равновесия, т.е. когда спрос равен предложению; это условие дается урав­нением

и соответствует точке пересечения кривых D и S — это так называемая точка равновесия (рис. 3.6). Цена Ро, при которой выполнено условие (3.4), называется равновесной.

Рис. 3.6

При увеличении благосостояния населения, что соответ­ствует росту величины с в формуле (3.2), точка равновесия М смещается вправо, так как кривая D поднимается вверх; при этом цена на товар растет при неизменной кривой предло­жения S.

2. Паутинная модель рынка. Рассмотрим простейшую задачу поиска равновесной цены. Это одна из основных проб­лем рынка, означающая фактически торг между производите­лем и покупателем (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Пусть сначала цену P₁ называет производитель (в прос­тейшей схеме он же и продавец). Цена P₁ на самом деле выше равновесной (естественно, всякий производитель стремится по­лучить максимум выгоды из своего производства). Покупатель оценивает спрос D₁ при этой цене и определяет свою цену Р₂, при которой этот спрос D₁ равен предложению. Цена Р₂ ниже равновесной (всякий покупатель стремится купить подешев­ле). В свою очередь производитель оценивает спрос D₂, соот­ветствующий цене P₂, и определяет свою цену Р₃, при которой спрос равен предложению; эта цена выше равновесной. Процесс торга продолжается и при определенных условиях приводит к устойчивому приближению к равновесной цене, т.е. к «скручи­ванию» спирали. Если рассматривать последовательность чисел, состоящую из называемых в процессе торга цен, то она имеет своим пределом равновесную цену Р₀: P_n = P₀.

studfiles.net

Область определения функции двух переменных

Разделы: Математика

Цели работы:

• повторить и систематизировать нахождение области определения функции, закрепить это понятие и наглядно представить в координатной плоскости и в пространстве;
• рассмотреть аналитические и геометрические методы не изолированно друг от друга, а в тесной взаимосвязи. Это позволит облегчить переход от стандартных решений конкретных математических задач к нестандартным;
• воспитание интереса к математике и мультимедиа, активности, мобильности; восприятие компьютера, как инструмента обучения;
• использование компьютера для нахождения области определения и построения графиков с помощью графического редактора 3D Grapher 1.2, Copyright © 2000-2002 RomanLab Software и формирование информационной компетентности учащихся.

Определение функции двух переменных

Если каждой паре ( x;y) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторого множества D соответствует единственное значение величины, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная на множестве D.

Обозначается: z=f(x;y) или z=z(x;y).

Например, S=ab, S=S(a;b)- функции двух переменных; V=abc, V=V(a,b.c) – функция трех переменных;

A= – функция трех переменных.

Способы задания функций нескольких переменных

Чтобы задать функцию двух (трех) переменных, нужно указать способ, с помощью которого для каждой пары (тройки) значений аргументов можно найти соответствующее значение функции. Наиболее часто функция задается аналитически — это явное задание функции или неявное задание

Например, — это явно заданная функция двух переменных; уравнение задает неявно две функции двух переменных.

Область определения функции

Непрерывное множество пар значений независимых переменных , при которых функцияопределена, называется областью определения функции.

Область определения называется замкнутой областью, если она включает в себя свою границу; открытой областью, если она не включает в себя свою границу; ограниченной областью, если может быть помещена в круг конечного радиуса.

Геометрически изобразить область определения функции можно только для функций:

• одной переменной – на прямой ,
• двух переменных – на плоскости ,
• трех переменных– в пространстве .

Геометрическое изображение самой функции возможно только для функции двух переменных.

Графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость в область D, которая является областью определения функции.

На рис. изображена поверхность графика функции и ее область определения.

В курсе учебного материала 9-го класса мы рассматриваем следующие задания на нахождение и построение области определения функции.

ПРИМЕРЫ

Найти область определения функции

Решение. Областью определения данной функции является вся плоскость, т.к. нет ограничений на переменные x и y.

2. Найти область определения функции .

Решение. Данная функция определена, когда xy > 0, т.е. в тех точках координатной плоскости, в которых знаки координат x и y - одинаковы. Это будут точки, лежащие в I и III координатных четвертях, т.е. множество точек, удовлетворяющих условиям:

и

3. Найти область определения функции .

Решение. Данная функция определена при условии, когда

Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции .

Решение. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, т.е. следовательно, . Геометрическим решением неравенства служит полуплоскость, расположенная выше прямой и сама прямая.

5. Найти область определения функции и изобразить её графически.

.

Решение. Областью определения функции является множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

6. Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции

Решение. Эта функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно, т.е. Данным соотношениям удовлетворяют координаты всех точек, находящихся внутри кольца, образованного двумя окружностями с центрами в начале координат и радиусами R=3, R=4.

7. Изобразить на координатной плоскости Оху область определения функции

.

Решение. Учащиеся не могут найти область определения данной функции аналитически, но с помощью графического редактора 3D Grapher 1.2 это выполняется легко.

В Приложении приведено ещё несколько примеров, с решениями, для учащихся девятых классов.

Для учащихся 10-11 классов мы предлагаем систему упражнений по нахождению и построению области определения функции двух переменных. При этом отрабатываются свойства логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Данные упражнения можно использовать при изучении нового материала, при повторении, при решении уравнений и неравенств.

Найти и изобразить на плоскости область определения функции

Решение. Область определения функции есть пересечение областей определения слагаемых функции. Для первой функции подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. Если значение логарифмической функции неотрицательно, то выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше или равно единице, т.е. отсюда . Это неравенство задает нам множество точек плоскости, лежащих вне окружности с центром в начале координат, радиуса 2, включая и точки данной окружности. Вторая функция определена при Следовательно, Имеем две параболы с вершиной в начале координат . Поэтому полученное неравенство задает нам часть плоскости, заключенную между этими параболами, включая границы без начала координат. Третья функция определена при

Областью определения данной функции является общая часть найденных областей определения слагаемых.

Покажите на координатной плоскости xOy область определения функции

.

Решение. Ограничения для функции имеют вид:

3. Изобразить область определения функции

Решение. Эта функция определена при , т.е.

Областью определения является часть плоскости, расположенная между двумя прямыми.

4. Найти область определения функции .

Решение. Областью определения функции является решение неравенства. Поэтому нужно решить неравенство

Решая данное неравенство, получим Это область, заключенная между двумя параболами и .

5. Построить область определения функции

Решение. Область определения данной функции определяется системой неравенств:

Первое неравенство определяет круг с центром в точке (-2;0) и радиусом равным 2 за исключением его границы:

Второе неравенство определяет I и III координатные четверти, за исключен

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Доказательство неравенств методом математической индукции.

Доказательство методом математической индукции основано на следующей аксиоме: если предложение, в формулировку которого входит натуральное число п, истинно при п=1 и из его истинности при n=k ( где ) следует, что оно истинно и при , то оно истинно при всех натуральных значениях п.

Таким образом, доказательство по методу математической индукции проводится следующим образом:

1) доказываемое утверждение проверяется при п =1;

2) предполагая справедливость утверждения при n=k, доказывается справедливость утверждения для n=k+1.

Некоторые утверждения справедливы не для всех натуральных п, а для п, начиная с некоторого числа р. В таком случае первый шаг доказательства – это проверка справедливости утверждения для п=р .

П р и м е р. Доказать, что если , то

Доказательство. При n=3 неравенство верно: . Предположим, что неравенство выполняется при n=k (k>3), т.е. предположим, что , и докажем, что тогда неравенство выполняется и при n=k+1, т. е. докажем, что

В самом деле, имеем: . Итак, .

Но при любом натуральном значении k. Следовательно, тем более .

Согласно методу математической индукции можно сделать вывод о том, что доказываемое неравенство справедливо при всех .

Доказательство неравенств методом полной индукции.

Полная индукция – это метод рассуждений, при котором вывод делается на основании рассмотрения всех случаев, возможных по условию задачи.

П р и м е р. Доказать, что если .

Доказательство. Рассмотрим случаи:

1) . Получаем

, т.к.

Неравенство верно.

2) , т.е. .

Тогда . Неравенство справедливо.

3) т.е. .

Тогда . Неравенство справедливо.

Мы рассмотрели все возможные случаи. Значит неравенство верно для .

6. Доказательство неравенств с помощью методов математического анализа.

В этом случае доказательство неравенств сводят к исследованию соответствующих функций с помощью производных.

П р и м е р. Доказать неравенство

Доказательство. Перепишем неравенство в виде: .

Рассмотрим функцию .

Найдём производную . При , . Это значит, что при возрастает, причём . Поэтому при .

Литература

1. В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. – М, 1999

2. Рогановский Н.М., Рогановская Е. Н. Элементарная математика- Мн., 2000

Тема: Иррациональные уравнения и неравенства.

План

1. Иррациональные уравнения, основные методы их решения.

2. Иррациональные неравенства.

Иррациональные уравнения.

Иррациональными называются уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень.

Все корни чётной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими, т.е. если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишён смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то значение корня положительно.

Все корни нечётной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения и в зависимости от знака подкоренного выражения могут принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения.

Основные методы решения иррациональных уравнений:

1. возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2. замена переменной;

3. умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию;

4. применение свойств функций, входящих в уравнение.

Следует помнить, что ряд преобразований, которые применяются при реализации указанных методов, например возведение обеих частей уравнения в чётную степень, приводят к уравнению-следствию. Оно, наряду с корнями исходного уравнения содержит и другие корни, которые называют посторонними. Поэтому после решения уравнения-следствия необходимо найти способ отсеять посторонние корни. Обычно это можно сделать при помощи проверки, которая в данном случае рассматривается как один из этапов решения.

Возможен и другой путь реализации некоторых методов решения иррациональных уравнений – переход к равносильным системам, в которых учитывается область определения уравнения и требование неотрицательности обеих частей уравнения, возводимых в чётную степень.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решим уравнение .

Решение. Возводим обе части уравнения в квадрат, получаем:

Проверка показывает, что только является корнем исходного уравнения.

Ответ: -4.

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Выполним замену. Обозначим: заметим, что .

Тогда и .

Исходное уравнение принимает вид:

Полученное уравнение равносильно системе:

Из получившейся системы, имеем: .

Возвращаемся к подстановке, получаем:

Ответ: 1; .

Пример 3. Решим уравнение .

Решение: Пусть

Тогда имеем:

Откуда последовательно получаем:

Возвращаясь к первоначальным подстановкам, получим:

Откуда

С помощью проверки убеждаемся, что оба корня являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 1; -15.

Пример 4. Решим уравнение .

Решение: Рассмотрим функцию .

Исходное уравнение принимает вид: .

. Функция монотонно возрастает на всей области определения. Поэтому уравнение может иметь не более одного корня. Легко видеть, что является корнем уравнения.

Ответ: 5.

Иррациональные неравенства.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. При этом используются те же приёмы, что и при решении иррациональных уравнений: возведение обеих частей неравенства в одну и ту же степень, введение новых переменных, использование свойств функций, входящих в обе части неравенства и т.д.

Рассмотрим некоторые виды иррациональных неравенств и подходы к их решению:

1) Неравенство вида равносильно системе

2) Неравенство вида равносильно неравенству .

3) Неравенство вида равносильно совокупности систем

4) Неравенство вида равносильно системе

Пример 5. Решим неравенство .

Решение. Введём новую переменную . Тогда исходное неравенство принимает вид:

.

Решая это неравенство и возвращаясь к исходным переменным, получаем: .

Ответ: .

Пример 6. Решим неравенство .

Решение: Перепишем неравенство в виде: .

Это неравенство равносильно системе неравенств:

Откуда получаем .

Пример 6. Решим неравенство .

Решение: Рассмотрим функцию . Область определения этой функции . Функция возрастает на всей области определения, причём . Значит, неравенство решений не имеет.

Ответ: нет решений.

Литература

1. В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. – М, 1999

2. Рогановский Н.М., Рогановская Е. Н. Элементарная математика- Мн., 2000

Текстовые задачи

План

infopedia.su

Метод математической индукции

Вступление

Основная часть

1. Полная и неполная индукция

2. Принцип математической индукции

3. Метод математической индукции

4. Решение примеров

5. Равенства

6. Деление чисел

7. Неравенства

Заключение

Список использованной литературы

Вступление

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений — это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Хотя и выросла область применения метода математической индукции, в школьной программе ему отводится мало времени. Ну, скажите, что полезного человеку принесут те два-три урока, за которые он услышит пять слов теории, решит пять примитивных задач, и, в результате получит пятёрку за то, что он ничего не знает.

А ведь это так важно — уметь размышлять индуктивно.

Основная часть

По своему первоначальному смыслу слово “индукция” применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения.

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция).

Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин.

Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи:

1=1=1²

1+3=4=2²

1+3+5=9=3²

1+3+5+7=16=4²

1+3+5+7+9=25=5²

После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод:

1+3+5+…+(2n-1)=n²

т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n²

Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости приведённой формулы.

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам.

Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем.

Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n (например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n² ). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает его справедливость и при n=k+1.

Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для следующего числа n=1+1=2. Из справедливости утверждения для n=2 вытекает его справедливость для n=2+

+1=3. Отсюда следует справедливость утверждения для n=4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение верно для любого n.

Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип.

Принцип математической индукции.

Если предложение А( n ), зависящее от натурального числа n , истинно для n =1 и из того, что оно истинно для n=k (где k -любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1 , то предположение А( n ) истинно для любого натурального числа n .

Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k)ÞA(k+1).

ПРИМЕР 1

Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n² .

Решение: 1) Имеем n=1=1² . Следовательно,

утверждение верно при n=1, т.е. А(1) истинно.

2) Докажем, что А(k)ÞA(k+1).

Пусть k-любое натуральное число и пусть утверж-дение справедливо для n=k, т.е.

1+3+5+…+(2k-1)=k² .

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)² .

В самом деле,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k² +2k+1=(k+1)² .

Итак, А(k)ÞА(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что предпо-ложение А(n) истинно для любого nÎN.

ПРИМЕР 2

Доказать, что

1+х+х² +х³ +…+хⁿ =(хⁿ⁺¹ -1)/(х-1), где х¹1

Решение: 1) При n=1 получаем

1+х=(х² -1)/(х-1)=(х-1)(х+1)/(х-1)=х+1

следовательно, при n=1 формула верна; А(1) ис-тинно.

2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.

1+х+х² +х³ +…+х^k =(х^k+1 -1)/(х-1).

Докажем, что тогда выполняется равенство

1+х+х² +х³ +…+х^k +x^k+1 =(x^k+2 -1)/(х-1).

В самом деле

1+х+х² +x³ +…+х^k +x^k+1 =(1+x+x² +x³ +…+x^k )+x^k+1 =

=(x^k+1 -1)/(x-1)+x^k+1 =(x^k+2 -1)/(x-1).

Итак, А(k)ÞA(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что форму-ла верна для любого натурального числа n.

ПРИМЕР 3

Доказать, что число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n-3)/2.

Решение: 1) При n=3 утверждение спра-

 А₃ =3(3-3)/2=0 диагоналей;

А₂ А(3) истинно.

2) Предположим, что во всяком

выпуклом k-угольнике имеет-

А₁ ся А_k =k(k-3)/2 диагоналей.

А_k Докажем, что тогда в выпуклом

А_k+1

(k+1)-угольнике число

диагоналей А_k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Пусть А₁ А₂ А₃ …A_k A_k+1 -выпуклый (k+1)-уголь-ник. Проведём в нём диагональ A₁ A_k . Чтобы под-считать общее число диагоналей этого (k+1)-уголь-ника нужно подсчитать число диагоналей в k-угольнике A₁ A₂ …A_k , прибавить к полученному числу k-2, т.е. число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины А_k+1 , и, кроме того, следует учесть диагональ А₁ А_k .

Таким образом,

_k+1 =_k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Итак, А(k)ÞA(k+1). Вследствие принципа математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.

ПРИМЕР 4

Доказать, что при любом n справедливо утвер-ждение:

1² +2² +3² +…+n² =n(n+1)(2n+1)/6.

Решение: 1) Пусть n=1, тогда

Х₁ =1² =1(1+1)(2+1)/6=1.

Значит, при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что n=k

Х_k =k² =k(k+1)(2k+1)/6.

3) Рассмотрим данное утвержде-ние при n=k+1

X_k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X_k+1 =1² +2² +3² +…+k² +(k+1)² =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1)² =(k(k+1)(2k+1)+6(k+1)² )/6=(k+1)(k(2k+1)+

+6(k+1))/6=(k+1)(2k² +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

+2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Мы доказали справедливость равенства и при n=k+1, следовательно, в силу метода математиче-ской индукции, утверждение верно для любого на-турального n.

ПРИМЕР 5

Доказать, что для любого натурального n спра-ведливо равенство:

1³ +2³ +3³ +…+n³ =n² (n+1)² /4.

Решение: 1) Пусть n=1.

Тогда Х₁ =1³ =1² (1+1)² /4=1.

Мы видим, что при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что равенство верно при n=k

mirznanii.com

basics:induction [VF]

§

Не знаю, кто его придумал! Где-то читал, что Паскаль — для доказательства формулы бинома Ньютона1).

Этот метод применяется для доказательства утверждений, зависящих от параметра, принимающего натуральные значения; целью ставится доказать справедливость утверждения при всех значениях параметра.

П

Пример. Доказать справедливость формулы

при всех натуральных .

При каждом частном значении формулу можно проверить, но как совершить «переход к бесконечности» — сделать вывод о справедливости формулы для всего бесконечного набора значений ?

Для этого и используется метод математической индукции, который заключается в следующем: пусть имеется некоторое утверждение A , зависящее от параметра , принимающего значения из . Будем обозначать это утверждение А .

1. Проверяем справедливость утверждения А (этот пункт называется базисом индукции).

2. Выдвигаем предположение о справедливости утверждения А при (индукционное предположение).

3. На основании индукционного предположения доказываем утверждение А (индукционное заключение).

Если это удается осуществить, то делаем вывод, что утверждение А справедливо для всех натуральных чисел .

Проиллюстрируем работу метода на примере формулы суммы первых натуральных чисел. При она, очевидно, верна. Пусть справедлива формула

Тогда на ее основании выводим

т.е. формула остается справедливой и при . Следовательно она справедлива при всех .

?

Доказать справедливость формул

при .

§

Метод математической индукции — мощное, но не всесильное средство доказательства. Известны примеры истинных утверждений А , справедливость которых не может быть установлена этим методом.

П

Пример. Доказать неравенство

Решение. Справедливость для очевидна. Предположим, что оно верно для некоторого , нужно показать справедливость неравенства

Домножаем неравенство индукционного предположения на дробь , получаем:

Для того, чтобы прийти к неравенству индукционного заключения, достаточно показать, что

Это неравенство эквивалентно следующему:

возведение в квадрат приводит к:

Последнее, очевидно, неверно.

Попробуем доказать методом математической индукции более сильное утверждение

следствием которого будет доказываемое выше. Кажется, что мы должны прийти к тому же противоречию. Однако на этот раз метод осечки не дает. Для неравенство очевидно справедливо. Предположим, что оно справедливо для какого-то . Домножим его на и проверим выполнимость неравенства

Имеем:

что справедливо. ♦

Итак, исходное неравенство справедливо, но доказать его методом математической индукции не удается, хотя более сильное утверждение — удается! Такая ситуация называется парадоксом изобретателя, это название было придумано в XX веке венгерским математиком Д.Пойа2). Противоречие разрешается следующим соображением: если утверждение А слабее утверждения B , то и индукционные предположения, которые применяются в ходе доказательства, также будут находиться в том же соотношении — фактически мы получаем больший исходный ресурс для вывода индукционного заключения.

§

Иногда, ввиду особенности утверждения А , утверждение А не имеет смысла, тогда в качестве базиса индукции рассматривается утверждение А . В дальнейшем подобные модификации метода математической индукции будем применять без излишних комментариев.

pmpu.ru

Метод математической индукции — ПриМат

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: если требуется доказать истинность утверждения то сначала проверяют данное утверждение для некоторого натурально числа , обычно , а потом допускают истинность выражения Далее доказывают истинность утверждения

Упражнение:

Доказательство одноцветности всех лошадей — ошибочное доказательство, что все лошади одного цвета, придуманное венгерским математиком Пойа. Доказательство призвано продемонстрировать ошибки, возникающие при неправильном использовании метода математической индукции.

Доказываемое утверждение: все лошади одного цвета.

Доказательство:

Проведем доказательство по индукции.

База индукции:

Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета.
Шаг индукции:
Пусть доказано, что любые  лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим  каких-то лошадей. Уберем одну лошадь. Оставшиеся  лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберем какую-то другую. Оставшиеся  лошадей снова будут одного цвета. Значит, все  лошадей одного цвета.

Отсюда следует, что все лошади одного цвета. Утверждение доказано.

В чем ошибка?
Решение

Спойлер

Опровержение

Противоречие возникает из-за того, что шаг индукции не сообразуется с базой. Он верен лишь при . При  (база индукции) получаемые множества оставшихся лошадей не будут пересекаться, и утверждение о равенстве цветов всех лошадей сделать нельзя.

[свернуть]

Пример:

Доказать равенство:

Пусть данное утверждение верно для  

Докажем истинность утверждения для

Доказать, что для всех натуральных чисел справедливо неравенство .

Для неравенство принимает вид , т.е. оно справедливо.

Предположим, требуемое неравенство имеет место при некотором и покажем, что оно же справедливо и для .

Сложим предположение индукции с неравенством . Находим , что и требовалось доказать.

Тест «Метод математической индукции»

Лимит времени: 0

Информация

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   Количество баллов: 1

   С помощью теста мат.индукции можно доказать:

   Правильно
   

   Неправильно
   

2. Задание 2 из 3

   Количество баллов: 1

   Расположите части метода в порядке выполнения:

ib.mazurok.com

Суть метода математической индукции.

Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от натуральной переменной. Доказательство истинности предложения А(n) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе.

Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

1. Предложение А(n) истинно для n=1.

2. Из предположения, что А(n) истинно для n=k (где k – любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n=k+1.

Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А(n) для всех натуральных n, то, во-первых, следует проверить истинность высказывания А(1) и, во-вторых, предположив истинность высказывания А(k), попытаться доказать, что высказывание А(k+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А(n) признается истинным для всех значений n.

Метод математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач.

2. Метод математической индукции в решении задач на делимость.

С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.

Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как оно получается с помощью метода математической индукции.

Пример 1. Если n – натуральное число, то число четное.

При n=1 наше утверждение истинно: — четное число. Предположим, что — четное число. Так как ,a 2k – четное число, то и четное. Итак, четностьдоказана приn=1, из четности выведена четность.Значит,четно при всех натуральных значенияхn.

Пример 2. Доказать истинность предложения

A(n)={число 5кратно 19},n – натуральное число.

Решение.

Высказывание А(1)={число кратно 19} истинно.

Предположим, что для некоторого значения n=k

А(k)={число кратно 19} истинно. Тогда, так как

, очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A(n) истинно при всех значениях n.

3. Применение метода математической индукции к суммированию рядов.

Пример 1. Доказать формулу

, n – натуральное число.

Решение.

При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.

Предположим, что формула верна при n=k, т.е.

.

Прибавим к обеим частям этого равенства и преобразуем правую часть. Тогда получим

Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана.

Пример 2. Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна .

Решение.

Обозначим искомую сумму , т.е..

При n=1 гипотеза верна.

Пусть . Покажем, что.

В самом деле,

.

Задача решена.

studfiles.net

на тему: «Метод математической индукции»

МОУ ШИЛИ

Реферат

на тему:

«Метод математической индукции»

Выполнила:

ученица 11 «А» класса

Терещенко Мария

Проверила:

Ерёмина Людмила

Александровна

Калининград

2008

Содержание:

1.Введение стр.3

2.Основная часть стр.4

-принцип математической индукции стр.6

-метод математической индукции в решении задач на делимость стр.7

-применение метода математической индукции к суммированию рядов стр.8

-пример применения метода математической индукции к доказательству неравенств стр.9

-метод математической индукции в применение к другим задачам стр.10

3.Заключение стр.11

4.Список используемой литературы стр.12

-2-

Введение

В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений — это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.

Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока.

Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). И, тем не менее, этот индуктивный вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Хотя и выросла область применения метода математической индукции, в школьной программе ему отводится мало времени. Ну, скажите, что полезного человеку принесут те два-три урока, за которые он услышит пять слов теории, решит пять примитивных задач, и, в результате получит пятёрку за то, что он ничего не знает.

А ведь это так важно — уметь размышлять индуктивно.

-3-

Основная часть

По своему первоначальному смыслу слово “индукция” применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения.

Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4< n < 20 представим в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция).

Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия новых истин.

Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи:

1=1=1 2

1+3=4=2 2

1+3+5=9=3 2

1+3+5+7=16=4 2

1+3+5+7+9=25=5 2

-4-

После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n 2

Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством справедливости приведённой формулы.

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам.

Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Он заключается в следующем.

Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого натурального числа n (например нужно доказать, что сумма первых n нечётных чисел равна n 2 ). Непосредственная проверка этого утверждения для каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает его справедливость и при n=k+1.

Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для следующего числа n=1+1=2. Из справедливости утверждения для n=2 вытекает его справедливость для n=2+1=3. Отсюда следует справедливость утверждения для n=4 и т.д. Ясно, что, в конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение верно для любого n.

Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип.

-5-

Принцип математической индукции.

Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение А(n) истинно для любого натурального числа n.

В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n>p, где p-фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом.

Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k) >А(k+1) для любого k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p.

Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k) >A(k+1).

-6-

Метод математической индукции в решении задач на делимость.

Пример 1

Доказать, что при любом n , 7 n -1 делится на 6 без остатка.

Решение:

1)Пусть n=1, тогда Х 1 =7 1 -1=6 делится на 6 без остатка. Значит при n=1 утвержде-ние верно. 2) Предположим, что при n=k ,7 k -1 делится на 6 без остатка. 3) Докажем, что утверждение справедливо для n=k+1.

X k+1 =7 k+1 -1=7

7 k -7+6=7(7 k -1)+6.

Первое слагаемое делится на 6, поскольку 7 k -1 делится на 6 по предположению, а вторым слага-емым является 6. Значит 7 n -1 кратно 6 при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

Пример 2

Доказать, что 33n+3-26n-27 при произвольном натуральном n делится на 262(676) без остатка.
Решение: Предварительно докажем, что 33n+3-1 делится на 26 без остатка.
1) При n=0
33-1=26 делится на 26
2) Предположим, что при n=k
33k+3-1 делится на 26
3) Докажем, что утверждение
верно при n=k+1.
33K+6-1=27,33k+3-1=26,33k+3+(33k+3-1) -делится на 26
Теперь проведём доказательство утверждения, сформулированного в условии задачи.
1) Очевидно, что при n=1 утверждение верно
33+3-26-27=676
2) Предположим, что при n=k
выражение 33k+3-26k-27 делится на 262 без остатка.
3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1
33k+6-26(k+1)-27=26(33k+3-1)+(33k+3-26k-27).
Оба слагаемых делятся на 262; первое делится на 262, потому что мы доказали делимость на 26 выражения, стоящего в скобках, а второе делится по предположению индукции. В силу метода математической индукции утверждение доказано

-7-

Применение метода математической индукции к суммированию рядов.

Пример 3

Доказать, что

1+х+х 2 +х 3 +…+х n =(х n+1 -1)/(х-1), где х (1)

Решение:

1) При n=1 получаем

1+х=(х 2 -1)/(х-1)=(х-1)(х+1)/(х-1)=х+1

следовательно, при n=1 формула верна; А(1) истинно.

2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.

1+х+х 2 +х 3 +…+х k =(х k+1 -1)/(х-1).

Докажем, что тогда выполняется равенство

1+х+х 2 +х 3 +…+х k +x k+1 =(x k+2 -1)/(х-1).

В самом деле

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k )+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Итак, А(k) > A(k+1).

На основании принципа математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа n.

-8-

Пример применения метода математической индукции к доказательству неравенств.

Пример 4

Доказать, что при n>2 справедливо неравенство

1+(1/2 2 )+(1/3 2 )+…+(1/n 2 )<1,7-(1/n).

Решение:

1) При n=3 неравенство верно

1+(1/2 2 )+(1/3 2 )=245/180<246/180=1,7-(1/3).

2).Предположим, что при n=k

1+(1/2 2 )+(1/3 2 )+…+(1/k 2 )=1,7-(1/k).

3) Докажем справедливость не-

равенства при n=k+1

(1+(1/2 2 )+…+(1/k 2 ))+(1/(k+1) 2 )<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2 ).

Докажем, что 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2 )<1,7-(1/k+1) U

(1/(k+1) 2 )+(1/k+1)<1/k U (k+2)/(k+1) 2 <1/k U

k(k+2)<(k+1) 2 U k 2 +2k<k 2 +2k+1.

Последнее очевидно, а поэтому

1+(1/2 2 )+(1/3 2 )+…+(1/(k+1) 2 )<1,7-(1/k+1).

В силу метода математической индукции неравенство доказано.

-9-

Метод математической индукции в применение к другим задачам.

mirznanii.com

Метод математической индукции — реферат

     Калининский район

     МОУ лицей № 81 

     Секция  математики 

     Радько  Тарас Александрович 
 
 
 
 

     РЕФЕРАТ 
 
 

     Метод математической индукции 
 
 
 

     Научный руководитель:

     Ятайкина  Алла Аркадьевна,

     учитель математики 
 

     План 

Введение

1. Суть метода математической индукции
2. Метод математической индукции в решении задач на делимость
3. Применение метода математической индукции к суммированию рядов
4. Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств
5. Метод математической индукции в применение к другим задачам

Список использованной литературы 

      Введение 

     Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

     Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока. Поэтому можно  быть уверенным, что и завтра оно  появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине  движения Солнца по небу (более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар). И, тем не менее, этот индуктивный  вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра.

     Роль  индуктивных выводов в экспериментальных  науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем  дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом  глубокого продумывания опытных  данных, в частности законов Кеплера  движения планет, выведенных им при  обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными  и в дальнейшем для уточнения  сделанных предположений. После  опытов Майкельсона по измерению  скорости света в движущейся среде  оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.

     В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что  она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство  

      .

     Лежащее в основе арифметики понятие следовать  за тоже появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами.

     Не  следует, однако, думать, что этим исчерпывается  роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять  теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано  логических ошибок, то они постольку  верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы  аксиом можно вывести очень много  утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно она позволяет  отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства. 

1. Суть  метода математической индукции

     Во  многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от натуральной переменной. Доказательство истинности предложения А(n) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе.

     Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

1. Предложение А(n) истинно для n=1.
2. Из предположения, что А(n) истинно для n=k (где k – любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n=k+1.

     Этот  принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный  ряд чисел, и, следовательно, принимается  без доказательства.

     Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А(n) для всех натуральных n, то, во-первых, следует проверить истинность высказывания А(1) и, во-вторых, предположив истинность высказывания А(k), попытаться доказать, что высказывание А(k+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А(n) признается истинным для всех значений n.

     Метод математической индукции широко применяется  при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач  на делимость, при решении некоторых  геометрических и многих других задач. 

2. Метод математической индукции в решении задач  на

     делимость 

     С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных  чисел.

     Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как оно  получается с помощью метода математической индукции.

     Пример 1. Если n – натуральное число, то число четное.

      При n=1 наше утверждение истинно: — четное число. Предположим, что — четное число. Так как , a 2k – четное число, то и четное. Итак, четность доказана при n=1, из четности выведена четность .Значит, четно при всех натуральных значениях n.

     Пример 2. Доказать истинность предложения

     A(n)={число 5 кратно 19}, n – натуральное число.

     Решение.

     Высказывание А(1)={число кратно 19} истинно.

     Предположим, что для некоторого значения n=k

     А(k)={число кратно 19} истинно. Тогда, так как

      , очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A(n) истинно при всех значениях n. 

3. Применение  метода математической индукции к

     суммированию  рядов 

     Пример 1. Доказать формулу 

      , n – натуральное число. 

     Решение.

     При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.

     Предположим, что формула верна при n=k, т.е. 

      . 

     Прибавим  к обеим частям этого равенства  и преобразуем правую часть. Тогда получим 

     Таким образом, из того, что формула верна  при n=k, следует, что она верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана.

     Пример 2. Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна .

     Решение.

     Обозначим искомую сумму  , т.е. .

     При n=1 гипотеза верна.

     Пусть . Покажем, что .

     В самом деле, 

      . 

     Задача  решена.

     Пример 3. Доказать, что сумма квадратов n первых чисел натурального ряда равна .

     Решение.

     Пусть .

      .

     Предположим, что  . Тогда

       и окончательно  .

     Пример 4. Доказать, что .

     Решение.

      .

     Если  , то

      . 

     Пример 5. Доказать, что 

      . 

     Решение.

     При n=1 гипотеза очевидно верна.

     Пусть .

     Докажем, что  .

     Действительно, 

4. Примеры применения метода математической индукции к

     доказательству  неравенств 

     Пример 1. Доказать, что при любом натуральном n>1 

      . 

     Решение.

     Обозначим левую часть неравенства через .

      , следовательно, при n=2 неравенство справедливо.

     Пусть при некотором k. Докажем, что тогда и . Имеем , .

     Сравнивая и , имеем , т.е. .

     При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому . Но , значит, и .

     Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.

     Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство .

     Доказательство.

     Пусть неравенство справедливо при  n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е. 

       . (1) 

     Докажем, что тогда неравенство справедливо  и при n=k+1, т.е. 

      . 

     Действительно, не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) , а к правой 2. Получим справедливое неравенство , или . Утверждение доказано.

     Пример 3. Доказать, что , где >-1, , n – натуральное число, большее 1.

     Решение.

     При n=2 неравенство справедливо, так как .

     Пусть неравенство справедливо при  n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е. 

      . (1) 

     Покажем, что тогда неравенство справедливо  и при n=k+1, т.е. 

      . (2) 

     Действительно, по условию, , поэтому справедливо неравенство 

      , (3) 

     полученное  из неравенства (1) умножением каждой части  его на . Перепишем неравенство (3) так: . Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое , получим справедливое неравенство (2).

     Пример 4. Доказать, что 

       (1) 

     где , , n – натуральное число, большее 1.

     Решение.

     При n=2 неравенство (1) принимает вид

      . (2) 

     Так как  , то справедливо неравенство 

      . (3) 

referat911.ru

55 лет — С Юбилеем по Датам — Поздравления

«Стихи на день рождения 55 лет»

Поздравляем с юбилейной датой!
И хотим Вам от души сказать:
Далеко ещё Вам до заката,
Солнце высоко в 55!
На висках чуть (уж) серебрится проседь,
Не стоит беспокоиться о ней!
Желтеют листья, но ещё не осень!
Впереди так много тёплых дней!
Много радости, улыбок, смеха,
Много достижений и побед!
От души желаем Вам успеха,
Счастья и, конечно, долгих лет!

55 — прекрасная дата!
Пусть жизнь Ваша будет щедра и богата!
Здоровья побольше, терпенья чуток
Вложили мы в праздничный сей поздравок!
Пусть будет достигнуто много вершин!
Пусть будет ещё юбилей не один!
Пусть будет душа озорной, молодой!
Пусть в дом лишь удачи идут чередой!

«На 55 лет стихи»

Пусть возраст пятьдесят пять лет
Даст новые возможности!
Пусть по-иному жизнь пойдет
И в прошлом канут сложности!
Пусть солнце льет лучи, мой друг
И звезды в реку смотрятся!
Пусть будет радостным досуг,
Дела идут и спорятся!

Две пятерки — это славно,
Это радостно, красиво.
Две пятерки жизнь поставит,
И оценка справедлива.
Поздравляем с юбилеем,
Нежных слов не пожалеем.
Сложим много теплых строк!
И желает поздравок,
Чтобы бури и невзгоды
Теплым ветром унесло.
И желаем Вам удвоить
Это славное число!

«Необычные поздравления с днем рождения на 55 лет»

Всего две цифры пять и пять.
Но как же много они значат
и как все выглядит иначе.
Лишь от того, как их подать …
Сложи их – будет только десять
И детство видится опять …
Еще нельзя все в жизни взвесить.
Но мир весь хочется обнять.
Умножить их – будет двадцать пять
Еще неведомы болезни.
Готов друзей своих обнять
И хочешь жить и быть полезным.
Две цифры рядом пять и пять
Умеешь взвешивать и спорить
Но многих хочется обнять.
Но знаешь жизнь и можешь строить
И перестраивать опять!

С юбилеем! Две пятёрки,
Как погоны на плечах!
Пусть же Вам не будет горько
Помнить о своих годах!
Пусть усилия, старанья
Вам приносят только прок!
Пусть исполнит пожеланья
Этот скромный поздравок!
Пусть улыбки дарит солнце,
А мечты даёт луна!
Пусть стучит в Ваше оконце
Легкокрылая весна!

«Стихотворения на день рождения 55 лет»

Переставь хоть так, хоть этак,
Будет только цифра пять!
Хорошо на белом совете
Лет своих не замечать!
Мы желаем много новых
Увлечений отыскать.
Силы жизненной готова
Вам природа много дать.
Посадите привезенный
Из далеких стран жасмин.
Оставайтесь в жизнь влюбленной!
Вы всегда нужны другим.

Кто сказал, что две пятерки
Повод сесть и погрустить?
От веселья больше толку,
Ведь еще вам жить и жить!
Этот возраст не закат,
А лучи рассвета!
Всех желаний звездопад,
Ключики к ответам!
Так что этот поздравок
Вас пусть вдохновляет!
И здоровья даст вам Бог,
На верный путь направит.

«Официальные поздравления с днем рождения на 55 лет»

В Ваш дневник судьба рисует красным
Две пятерки — пятьдесят и пять.
Пусть же будет этот день прекрасным!
И хотим мы дружно пожелать:
Пусть дожди проходят стороною,
Пусть поярче солнце светит Вам.
Больше светлых мыслей и покоя
И путевку на Мальдивы вам к ногам!

Вот тебе пятьдесят пять,
Но не ягодка опять,
А цветешь как роза ты,
О тебе мои мечты!
Ты наивна и прекрасна,
Взгляд твой ласковый и ясный,
А душа — полна, как море,
Пусть обходит тебя горе!
Пусть удача ходит рядом,
На тебя бросает взглядом,
Пусть продлится вечерок,
Я дарю свой поздравок!

«Текст поздравления на день рождения 55 лет»

55 лет Вам! С Юбилеем!
Пусть он только счастье принесёт!
Будет и прекрасней и добрее
Каждый новый день, и каждый год!
Всё, что заставляет улыбаться,
От чего на сердце Вам светлей –
Радость, вдохновение и счастье
Пусть подарит этот Юбилей!

Две пятерки, вот так дата,
И поздравить с ней сейчас
Вся семья, родня так рада,
Юбиляр, конечно Вас!
Живите только на отлично
(Про две пятерки неспроста),
Не забывайте Вы о личном,
Живите счастливо до ста!
В душе храните оптимизм,
Любите жизнь, родных, друзей,
Пусть исполняются капризы,
Пусть жить Вам будет веселей!

Пятьдесят плюс пять годков –
Твой сегодня праздник!
Много слов сказать готов
В честь твою прекрасных!
Пусть здоровье никогда
В жизни не подводит,
И на долгие года
Пусть печаль уходит!

Пятьдесят и еще пять!
Вам хотим мы пожелать:
Первое — здоровы будьте,
Про диету не забудьте,
Во-вторых — забудь про всех,
Чаще думай о себе.
В-третьих, пожелать хотим,
Чтобы мир в семье царил,
Чтоб вы были в состоянье
Все исполнить пожеланья!

«Счастья, здоровья» — друзья говорят.
Поздравленья по службе — нехитрая сценка.
Две пятерки, как свечки, горят и горят —
То ли годы твои, то ли чья-то оценка.

Мы с 55 юбилеем вас спешим поздравить,
Добра и счастья в жизни пожелать!
Ваш возраст так легко сейчас исправить,
Ведь свой экзамен сдали вы на «пять»!
И потому стареть никак не смейте,
А весело живите, звонко смейтесь!

Две пятерки встали в ряд —
Смотрятся красиво.
Друг за дружкой семенят
Ах, какое диво!
Вверх головки приподняв,
Словно две подружки,
Ох, веселый у них нрав,
Вовсе не старушки!
Две пятерки — не года,
Станут еще краше,
Только жаль, что вот одна
Будет скоро старше.

Пусть грядущие дни дарят радости,
Замечательное настроение!
Появляются даже от малости
Удовольствие и впечатления!
Пусть поддержка друзей ощущается,
А в семье ждут любовь, уважение!
Пусть хорошие люди встречаются,
Будет только приятным общение!
В день 55-летия
Пожелать очень хочется разного:
Благоденствия и долголетия,
Счастья в доме, здоровья и праздника!

Пусть возраст — 55 лет
Даст новые возможности!
Пусть по-иному жизнь пойдет
И в прошлом канут сложности!
Пусть солнце льет лучи в окно
И звезды в реку смотрятся!
Пусть будет радостным досуг,
Дела идут и спорятся.

55 — да разве ж это много?
Пусть говорят «все прожито» — не верь,
Пока живем, что было, есть — все живо.
Когда еще нам жизнь захлопнет дверь.
У Вас еще дел много впереди,
Живите долго, мудро и красиво!
И первый бокал я хочу поднять за нашу виновницу торжества.
Ты женщина — цветок, источник и звезда,
Таинственно нежна, прекрасна и горда.
Ты пламя очага и дома,
Ты свет, что на земле, не гаснет никогда.

pozdrawlandiya.ru

Оригинальные поздравления с юбилеем 55 лет мужчине в стихах

Хит! Мужчинам именные поздравления!

А

Абрам Адам Александр Алексей Альберт Анатолий Андрей Антон Арсений Аркадий Артём Артур Афанасий

Б

Богдан Борис

В

Вадим Валентин Валерий Василий Вениамин Виктор Виталий Владимир Владислав Всеволод Вячеслав

Г

Геннадий Георгий Герман Глеб Григорий

Д

Данила Давид Дмитрий Денис

Е

Евгений Егор Ефим

З

Захар

И

Иван Игорь Илья Иннокентий Иосиф

К

Кирилл Константин

Л

Лев Леонид Мирон Михаил

М

Макар Марк Матвей Максим

Н

Назар Никита Николай

О

Олег Остап

П

Павел Пётр Платон

Р

Родион Роман Ростислав Руслан Рустам

С

Савелий Святослав Семён Сергей Спартак Станислав Степан

Ю

Юрий

Т

Тарас Тимофей Тимур Тихон

Ф

Феликс Фёдор Филипп Фома

Э

Эдуард

Я

Яков Ян Ярослав

Пятьдесят пять лет тебе,
Славный День рождения.
Бережно хранит в себе,
Мыслей впечатления.

За лихую юность в целом,
Молодость цветущую.
Мудрость, опытом и делом,
Жизнь вперёд ведущую.

Многое в судьбе сложилось,
И хотим мы пожелать.
Родником, чтоб сердце билось,
Высоко тебе летать.

Пусть душа в полёте вечном,
Дарит радость много лет.
В настроеньи безупречном,
По утрам встречать рассвет.

Быть среди своих знакомых,
Нужным с помощью всегда.
И событий ярких, новых,
На бескрайние года.

Автор: Александр Золотарёв © Россия 2012 год

В День рождения лекарства,
Напрочь отменяются.
Пятьдесят пять без коварства,
За тобой гоняются.

Принимай охотно годы,
В них воспоминания.
Лучших дней твоих походы,
Где то и страдания.

Пожелаю жить без боли,
Пусть здоровье радует.
Сердце прыгает от воли,
И давленье падает.

Ты был вечным заводилой,
Выполнял тяжёлый труд.
Обладал огромной силой,
Думал годы не возьмут.

Вновь крепись и не сдавайся,
Про болезни все забудь.
Своей жизнью наслаждайся,
И до ста лет с нами будь.

Автор: Александр Золотарёв © Россия 2012 год

Пятьдесят пять лет по праву,
Дарят свой авторитет.
Сконцентрировав всю славу,
Дню рождения льют свет.

В них подведены итоги,
Жизни, иногда крутой.
В планах новые дороги,
Вновь намечены судьбой.

По мужски прошёл их, твёрдо,
Именинник дорогой.
Голову ты держишь гордо,
Мы любуемся тобой.

Как мужчина, знаешь цену,
Этой жизни не простой.
Гонишь прочь с души измену,
Живёшь честною мечтой.

Пускай счастье пышет садом,
Не давая постареть.
Чтобы мог чудесным взглядом,
Весело вперёд смотреть.

Автор: Александр Золотарёв © Россия 2012 год

Вам также может понравиться:

В 55 лет твой взгляд,
Мудростью наполнен.
Глаза радостно блестят,
Жизнью ты доволен.

Крепкую хранишь семью,
Бережно, с любовью.
Распахнул судьбу свою,
Счастью и здоровью.

Муж, отец и лучший дед,
Всем необходимый.
Мы желаем много лет,
Жить тебе любимый.

В День рождения, прими,
Все подарки нежно.
Весело нам подмигни,
Улыбнись безбрежно.

Молодым душою будь,
Сердцем чист и ясен.
Про обиды все забудь,
Ведь твой мир прекрасен.

Автор: Александр Золотарёв © Россия 2012 год

Две цифры рядом, 5 и 5,
Так много могут рассказать!
Когда-то было просто пять,
Еще ты не умел читать!

5 и 5 сложились в сумму!
Ты мог читать, о многом думать!
Недавно в школу ты пошел,
Первых друзей себе нашел!

Можно 5 на 5 умножить.
Будет ровно 25!
Знаешь, что всего дороже,
И о чем нужно мечтать!

Видишь, где добро, где зло,
В чем не очень повезло!
У тебя уже семья
И, только верные, друзья!

Просто рядом 5 и 5,
Значит, юбилей опять!
Ты уже не молодой,
Богатый опыт за спиной!

Только надо, все же, учесть:
Бодрость есть и силы есть;
Твои руки дела просят,
И мечты на крыльях носят!

Мы, в твои 55,
Можем только пожелать
Здоровым, богатым, удачливым быть,
Веселым, счастливым и жизнь любить!

Автор: Нина Лованова © Россия 2012 год

xn——6kcgckjdalpd7agrhkrw1a8ysa.xn--p1ai

Прикольные поздравления на 55 лет

Круглая дата сегодня настала,
Рядом две цифры прекрасные стали,
Пусть две пятерки красивые эти
Только хорошее дарят на свете!

Пусть у тебя будет в сердце лишь счастье,
И никогда больше ты не печалься.
Пусть с каждым годом крепчает здоровье,
Беды навеки оставят в покое!

*******

Дата круглая такая-
Две пятерочки сейчас,
От души Вас поздравляем
И желаем, что б у Вас
Было счастье в полной мере,
Состояние росло,
Чтобы в жизни и карьере
Обязательно везло.

*******

Всего две цифры пять и пять.
Но как же много они значат,
И как все выглядит иначе.
Лишь от того, как их подать…
Сложи их — будет только десять
И детство видится опять…
Еще нельзя все в жизни взвесить.
Но мир весь хочется обнять.
Умножь их — будет двадцать пять
Еще неведомы болезни.
Готова всех друзей обнять
И хочешь жить и быть полезной.
Две цифры рядом пять и пять —
Умеешь взвешивать и спорить.
Не многих хочется обнять.
Но знаешь жизнь и можешь строить,
И перестраивать опять.

*******

Аудио поздравления

На день Рождения, юбилей 55 лет!
Две пятерки встали в ряд —
Смотрятся красиво.
Друг за дружкой семенят
Ах, какое диво!

Вверх головки приподняв
Словно две подружки
Ох, веселый у них нрав
Вовсе не старушки!

*******

Казалось эта дата не придет,
Бежали дни, года, десятилетия …
И вот настал и этот день-
День вашего 55-летия.
Пусть этот день морщинок не прибавит,
А старые разгладит и сотрет,
И счастье в дом надолго принесет.
Желаем жить, не зная бед,
Не ведая ненастья,
И чтоб хватило на 100 лет
Здоровья, доброты и счастья!

*******

Юбилярша, мы завидуем Вам!
Ведь Вы выглядите вновь лучше всех.
Пусть удача улыбнется делам.
И разделайте врагов под орех!

Мы желаем, чтобы вновь приходил
В 55 лет хороший настрой!
Чтоб достаток вновь с расходом дружил.
А еще желаем быть молодой!

*******

Пришла пора гулять до упада
Хорошо, что нет снегопада
А то носы б мы понадбили
И кого- то бы прибили

Ведь будем долго отмечать
И пора б уже начать
У тебя пятьдесят пятый юбилей
Ведь наливай, давай скорей

День сегодня будет пьяный
Юбилей такой желанный
Тебе желаем похмелиться
И чтоб в хлам совсем напиться.

*******

Юбилей такая хорошая штука,
Все вокруг поздравляют.
55 лет – это не шутка,
И тебя все уважают.

Ты многого в жизни достигла,
Желаю, чтобы судьба тебя любила,
Чтобы все желания сбывались
Мечты, конечно, исполнялись.

Пусть не будет в жизни твоей бед
И живи ты много долгих лет.
С днем рождения тебя родная,
Оставайся лишь всегда такая.

*******

Чего тебе в 55
Сегодня можно пожелать?
Пусть сбудутся твои мечты,
И внукам радуешься ты!

Пусть жизнь хорошая придет,
Удача и здоровье ждет,
Хочу везенья пожелать,
И никогда не унывать!

*******

Два по пять, два по пять,
Вот Вам и пятьдесят пять.
В душе еще молода,
Но на пенсию пора.

Пожелаю в юбилей
Много дорогих гостей,
И богатства, и добра,
Чтоб в душе весна цвела.

*******

Ты — женщина, и ты прекрасна!
Ты выглядишь всегда потрясно.
Ты как элитное вино —
С годами лучше всех оно.
Уже полвека и 5 лет,
Как появилась ты на свет.
И в это самое число
Нам несказанно повезло,
Ведь Бог тебя нам подарил,
Вокруг тебя объединил.
От меня тебе поклон.
Под бокалов нежный звон
Теплые слова дарю
И за все благодарю.

*******

Юбилей 55 лет,
Ты еще не древний дед,
А солидный светский лев,
И успешным стать успел!
Пожелать хотим мы счастья,
Чтобы было все прекрасно,
Никогда не падать духом,
Никогда не верить слухам,
Чтобы в доме был уют,
Окупался любой труд,
Никогда чтоб не болеть,
И душой лишь молодеть!

smejsa.ru

Число 5 в нумерологии — что оно значит и как использовать его силу

В науке нумерологии число 5 имеет особое значение. Оно способно серьезно влиять на жизнь любого человека, даже рождённого не в этот день. Разберёмся в тонкостях науки о числах и конкретно числе пять.

В статье:

Нумерология — число 5 и его значение

Как уже было сказано, нумерология — наука, направленная на изучение мистически-эзотерических связей между числами от одного до девяти (опционально — ноля) и явлениями физического и тонкого мира. Это древнее учение, впервые о нём заговорили ещё в Древнем Вавилоне, но без какой-либо системы. Впоследствии из Вавилона об этой науке узнали в Египте и Греции, а из Греции нумерология перекочевала в Китай, где превратилась в целое отдельное направление мистических практик.

Индия, Древний Египет, Восток — легче сказать, где не распространено изучение и толкование чисел с попыткой предсказать будущее человека. Считается, что начало этой традиции в более-менее современном виде положили жрецы Древнего Египта, по дате рождения рассчитывавшие судьбы членов династии фараонов и просто людей из знатных семей. Сейчас существует множество методик, рассчитывающих различные числа, влияющие на жизнь человека. Например — число Души, либо — число имени.

Число пять в нумерологии занимает особое место — в исчислении оно стоит практически «посередине», на границе, как и шестёрка. Но если цифра 6 означает начало второй части исчисления, направлена на мир, гармонию и порядок, то её предыдущий собрат совершенно не таков. Как говорит нумерология, число 5 — символ предпринимателя, человека, заточенного на получение прибыли, долгие и далёкие поездки, постоянный поиск чего-то за горизонтом.

Магия числа 5 распространяется на все сферы деятельности человека, рожденного в пятый по счёту день месяца. Помимо этого, она оказывает большое влияние на любую вещь, имеющую подобную цифру в своём номере — серийном, заводском, порядковом. Приобретая квартиру или дом, машину или какую-либо иную вещь, имеющую номер, обратите на этот номер внимание: возможно, эта крупная покупка не подходит вам энергетически. Или наоборот — подходит, но лучше всё же знать наверняка, а не полагаться на волю случая.

Цифра 5 в нумерологии — знак активных людей

Что означает число 5 в нумерологии? Прежде всего — интроверсию, то есть направленность внутрь, вглубь себя, энергетическое погружение. Пять — это прогресс, движение, духовное саморазвитие, личностный рост, улучшение себя и условий своей жизни.

Данная цифра обладает многими положительными качествами. Такими, как большая любознательность, направленная на многие стороны жизни, неудержимое любопытство, тяга к знаниям. Постоянство — если человек пятёрки за что-то берётся, то не бросает на полдороги, а доводит до конца, даже если уже охладел. Также имеется и склонность к проведению опытов, исследований — такой человек хочет попробовать на вкус саму жизнь, убедиться в вещах на своём опыте, поставить под сомнение непререкаемые догмы.

Люди пятёрки могут получать не очень высокие оценки в учёбе, если им не интересен предмет изучения или его подача, но в критической ситуации подобные люди отличаются редкой находчивостью. Не растеряться при пожаре, наводнении, землетрясении или менее опасной чрезвычайной ситуации могут именно они. Крайне свободолюбивы, не терпят поводка и понуканий, а потому стремятся занимать высокие должности, открывать свой бизнес, чтобы не терпеть чужие команды. Цифра 5 в нумерологии означает, что благодаря отменно развитой интуиции, люди этого числа ухитряются ловить попутный ветер жизни и выходить сухими из самых больших неприятностей.

Однако многие положительные черты «пятерочников» уравновешиваются их негативными сторонами характера. Такими, как импульсивность, излишняя порывистость, неусидчивость на грани с гиперактивностью. Для рождённого под этим числом человека мучительно просиживание штанов на одном месте. Без возможности проявить себя в бурной деятельности, подобный человек становится вспыльчив, резок, неуживчив, демонстрирует неудовлетворение такой жизнью. «Пятёрка», которая не занята делом, отнимающим всю лишнюю энергию — сущее мучение для окружающих.

Внешне, чаще всего, люди числа пять демонстрируют свою глубинную энергию всем телом. Их жесты уверенны, походка широка, в глазах так и сверкает внутренняя сила. Они тяготеют к цветам красного оттенка — вишнёвым, малиновым, багровым, бордовым, тёмно-розовым. Это яркие, запоминающиеся люди, оставляющие след в памяти любого человека.

Значение цифры 5 в нумерологии — как применять пятёрку в жизни

Что значит число 5 в нумерологии? Какое влияние оказывает на сферы жизни, как использовать возможности этого сильного числа, раскрыть свой потенциал с его помощью? Что следует знать насчёт его особенностей и жизненной миссии?

Прежде всего, помните: это число руководителя, лидера всего и во всём. Не босса, а именно лидера. То есть, того, кто не только отдает приказы, но и подаёт пример, демонстрируя на себе что следует делать. Набитые в юности шишки трансформируются в жизненный опыт и интуицию, сильно помогающие в дальнейшем. Ведь зачастую, в молодости, подобные люди ведут себя крайне безрассудно и ввязываются в авантюры, будто пытаясь нарваться неприятности.

Несмотря на свою энергетическую направленность внутрь эта цифра была и остаётся знаком экстравертов, людей общества и общения. Благодаря дару красноречия и деловой хватке бизнес, предпринимательство, иные сферы деловой деятельности являются будто специально созданными для них. Они ценят простые жизненные радости вроде вкусной еды и крепкого сна. Значение цифры 5 в нумерологии ясно говорит: рутина — не для таких, в рутинной возне растрачивается жизнь этих людей, что подобно захоронению заживо. Неутомимый интерес к миру, желание расти и развиваться, умение налаживать социальные связи — вот что является главными талантами «пятёрки», чем она по праву может гордиться и пользоваться от рождения до самой смерти.

Подводя итоги, мы можем сказать что значит цифра 5 в нумерологии. А значит она яркого, запоминающегося, энергичного человека, общественного деятеля, активиста, бизнесмена, адвоката, юриста. Главное в жизни для «пятёрки» — найти ту область, в которую она сможет направить все свои силы, достигнув немалых вершин. А оставшуюся нежность и заботу отдать своим домашним, друзьям. Остальное приложится само собой.

Вконтакте

Одноклассники

Facebook

Мой мир

grimuar.ru

Что значит цифра 5 в нумерологии?

Все мы слышали о нумерологии, как об эзотерической науке. Она занимается изучением влияния чисел на судьбу человека. Нумерологией занимались еще в глубокой древности. Это и понятно, ведь нас сплошь и рядом окружают цифры, и ученые всегда пытались определить, например, как зависит жизнь человека от даты его рождения. Интересно, а что означает цифра 5 в нумерологии?

Место цифры 5 в нумерологии

Цифра 5 в нумерологии имеет особое значение. Она характеризует достижение пяти основных целей в жизни любого индивидуума, а именно:

• крепкое здоровье;
• долгая жизнь;
• воплощение духовного и материального богатства;
• добродетель;
• естественное окончание жизненного пути.

Покровителем пятерки является планета Юпитер, у которой есть еще одно название – «планета большого счастья». Цифра 5 символизирует собой соединение пяти основных стихий:

• воды;
• огня;
• земли;
• металла;
• дерева.

Цифра 5 в нумерологии означает, что все эти стихии дополняют и восполняют друг друга в окружающих нас предметах и явлениях. В магии пятерка считается самой солнечной цифрой, которая в идеале означает совершенствование. В цветовой палитре этому числу свойственны все цвета красных тонов.

Психология числа 5

Цифра 5 в нумерологии считается противоречивой и таинственной. Она включает в себя две противоположности:

• цифра 3 – символ триединства;
• цифра 2 – символ двуликости, разделения.

Пятерка – это одновременно символ Вечной жизни и Вселенской любви, а также жизни и любви земной. Одна из тайн числа 5 связана с магией. Раскладам 3+2 и 2+3 соответствуют две пентаграммы:

• Прямая – вершина пятиконечной звезды обращена вверх и является символом Духа, который властвует над четырьмя стихиями. Такая пентаграмма обозначает «Человека совершенного». Внутри прямой пентаграммы есть пятиугольник с направленной вниз вершиной. Это означает, что даже идеальный человек может иметь недостатки.
• Обратная – вершина пятиконечной звезды обращена вниз и является символом Зла. Но в центре обратной пентаграммы пятиугольник направлен вершиной вверх. Это является знаком того, что самый бездушный человек содержит в себе частичку добра.

Цифра 5 в нумерологии по дате рождения

В нумерологии все сводится к простым числам, каждому их которых соответствуют определенные характеристики, отражающими жизнь каждого отдельного взятого человека. Такое судьбоносное число можно рассчитать по дате его рождения. Зная его, можно разобраться, какие стороны вашего характера являются сильными, а какие — слабыми, к каким целям нужно стремиться, чтобы не тратить время на решение задач, вам неподвластным. Как определить ваше счастливое число, поможет учение Пифагора. Простое однозначное число можно получить путем сложения всех цифр даты вашего рождения. Например, ваша дата рождения 15.04.1984. Чтобы найти ваше число рождения, нужно получить сумму всех этих чисел. Складываем 1+5+0+4+1+9+8+4=32. Приводим цифру 32 к однозначной также путем сложения 3+2=5. Так мы получили число вашего рождения, равное пяти. Теперь разберемся, что значит цифра 5 в нумерологии, и как число рождения влияет на человека.

Цифра пять и ее влияние на характер человека

Цифра 5 в нумерологии считается одним из самых мощных простых чисел. Поэтому она может влиять на характер людей. В свою очередь человек, которому покровительствует цифра пять, способен оказывать сильное влияние на окружающих. В своей жизни такие люди стараются всего достигнуть самостоятельно, приобретая при этом в сфере своей деятельности огромный опыт. Они очень любознательны, не страшатся жизненных испытаний и любят земные радости. При этом они всегда стремятся помочь другим людям, которые обращаются к ним, заведомо зная, что получат полезный и мудрый совет. Как правило, такие люди в обществе пользуются авторитетом и уважением. Пятерка в жизни человека способствует стабильности, профессиональному росту, надежности.

Качества, присущие людям с числом рождения 5

Люди с числом рождения пять, как правило, находчивы, и остроумны. У них есть способности к изучению иностранных языков. Такие личности очень харизматичны, что делает их душой компании. Человек с числом рождения пять ненавидит серое однообразие и любые ограничения. Они очень интересные собеседники. Учитывая разноплановость таких людей, им важно определиться, какие из их способностей станут для них доминирующими в достижении устойчивого положения в жизни. Ведь велик соблазн попробовать себя в разных сферах деятельности. Но это может помешать им правильно выбрать свой жизненный путь. Такие люди импульсивны, и если они будут неразумно растрачивать свои способности, то это им не позволит себя реализовать, как было определено изначальным повелением. Проанализировав человека с числом рождения 5, можно определить его основные положительные и отрицательные качества, а именно:

• положительные — находчивость, энергичность, быстрота мышления, склонность к исследованиям и другие;
• отрицательные – импульсивность, беспокойство, неусидчивость.

Для близких такие люди готовы пожертвовать собой. Они ценят верную крепкую дружбу. «Пятерки» совершают благородные поступки, не требуя взамен ничего. Такие люди с уважением относятся к законам и исполняют их.

Значение во взаимоотношениях для людей с числом рождения 5

Значение цифры 5 в нумерологии связано также и с взаимоотношениями между мужчиной и женщиной. Люди, которые находятся под влиянием этого числа, их еще называют пятерочники, не стремятся вступать в брак. Это связано не только с тем, что они очень ценят свою свободу. Такие люди боятся, что семейные отношения могут стать препятствием для реализации их способностей в выбранной ими профессиональной деятельности. Для пятерок особое значение имеет наличие со спутником жизни общих целей и интересов. Брачный союз для таких людей возможен только в случае, если у партнеров абсолютные совпадения во взглядах на жизнь.

Характеристика людей, родившихся пятого числа

Выше мы рассмотрели качества, присущие людям, которые живут под покровительством цифры пять, рассчитанной по дате рождения. Но в нумерологии, значение цифры 5 по дате рождения, определяют не только по расчетной величине, но и по числу месяца. Для людей, родившихся 5-го числа, свойственны такие качества:

• Меркантильность – главной целью в их жизни является приобретение денег и владение ими.
• Деловые качества — обычно им в финансовых делах сопутствует везение.
• Такие люди не всегда законопослушны – в своем стремлении быстрее получить деньги они часто нарушают закон.
• Изобретательность – они очень правильно направляют свою энергию на нахождение кратчайших путей к обогащению.

В то же время есть у них и хорошие качества:

• Способность быстро принимать решения.
• Сдержанность в отношениях с другими людьми.
• Покладистость. С ними легко ужиться, но только таким же меркантильным людям, как и они.
• Такие люди обладают высоким интеллектом.

Заключение

Нумерология очень познавательная и интересная наука, с проявлениями которой мы сталкиваемся ежедневно. Цифра 5 в нумерологии означает также пять пальцев на руках и ногах у человека, пять органов чувств. Ранее самой высокой оценкой знаний ученика считалась именно пятерка. Существует пять наименований классов животных, а также много других понятий в нашей жизни, которые характеризуются цифрой пять. Если вы выбрали пятерку датой важного события, вас ждет успех. Правда, может и не сразу, но такова сущность цифры пять – привести к победе тернистым путем.

fb.ru

Цифры с буквенными наращениями — Гнать, дышать, держать, зависеть…

В ряде случаев допускается написание порядковых числительных арабскими цифрами с наращением падежного окончания:
в 1-м ряду;
откройте 22-ю страницу;
в составе 10-го мотополка.

При этом нужно помнить следующие правила.

КАКИЕ ЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАПИСЫВАЮТСЯ ЦИФРАМИ С НАРАЩЕНИЕМ

Цифрами с наращением записываются только порядковые числительные. Количественные числительные записываются только цифрами или словами даже в косвенных падежах.

Правильно: в 4-м квартале 2010 года, браслеты с тремя бриллиантами, браслеты с 3 бриллиантами.
Неправильно: браслеты с 3-мя бриллиантами.

КАК ПРАВИЛЬНО СОСТАВИТЬ НАРАЩЕНИЕ

Наращение должно быть:
1. Однобуквенным, если последней букве числительного предшествует гласный звук.

Правильно: 5-й (пятый, пятой), 5-я (пятая), 5-е (пятое, пятые), 5-м (пятым, пятом), 5-х (пятых)
Неправильно: 5-ый, 5-ой, 5-ая, 5-ое, 5-ые, 5-ым, 5-ом, 5-ых

2. Двухбуквенным, если последней букве числительного предшествует согласный.

Правильно: 5-го (пятого), 5-му (пятому), 30-ми (тридцатыми)
Неправильно: 5-ого, 5-ому, 30-ыми.

КОГДА НАРАЩЕНИЕ НЕ ПИШЕТСЯ

1. С римскими цифрами: XX съезд, XXI век

2. В номерах томов, глав, страниц, иллюстраций, таблиц, приложений и т. п. — если родовое слово (том, глава и т. д.) предшествует номеру: в томе 6; главе 5; на с. 85; на рис. 8.

При этом, если родовое название элемента стоит после числительного, числительное следует писать с наращением: в 6-м томе; в 5-й главе.

3. Даты (годы и числа месяца), если слово год или название месяца следует за числом: В 1997 году; 12 декабря 1997 года. Неверно: В 1972-м году; 12-го декабря 1997-го года.

При этом, если слово год или название месяца опущено или поставлено перед числом, падежное окончание рекомендуется наращивать: в мае, числа 20-го; год 1920-й; Грянул 1917-й; Концерт перенесли с 15 мая на 22-е; 20-го же апреля…

НАРАЩЕНИЯ ПРИ ПЕРЕЧИСЛЕНИИ

1. Если один за другим следуют два порядковых числительных через запятую или союз, то наращение пишется у обоих: 1-й, 2-й ряды; 9-е и 10-е классы.

2. Если один за другим следуют более двух порядковых числительных через запятую, точку с запятой или союз, наращение пишется только у последнего: ученики 5, 7, 9-х классов; 8, 11, 15, 18-й секторы.

3. Если подряд идут два числительных через тире, то наращение пишется:

а) только у второго, когда оно одинаковое у обоих числительных: 50—60-е годы; в 20—30-х гг.;

б) у каждого числительного, когда падежные окончания у них разные или когда предшествующие первому числительному слова управляют только им и не связаны со вторым: в 20-м—30-х секторах; в начале 70-х-80-е годы.

Пруфлинк: http://diamondsteel.ru/useful/handbook/6.html#6.2.2. (Мильчин)

ls-gramota.livejournal.com

Заполни отмеченные поля квадрата 5 на 5

Решение:
Нарисуем квадрат, заполненный цифрами от 1 до 5.

Если соотнести данную таблицу с квадратом из условия задачи, то сравнивая последнюю стоку можем записать следующие соответствия:

• цифра 2 ~ буква «М»,
• цифру 3 ~ буква «И»
• цифра 4 ~ буква «Р»
• цифра 5 ~ буква «А»
• цифра 1 ~ буква «Ж»

Далее в квадрате из условия задачи видим, что во 2-ой строке указаны буквы «М», «И», «Р», которые из полученного соответствия являются цифрам 2, 3, 4, которые должны быть размещены во 2-ой строке на 2, 3 и 4 позициях. Данному условию соответствует 1 строка нашей числовой таблицы. Поменяем ее местами со 2 строкой и получим:

Далее нам нужно учесть условие задачи, что буквы (а в нашем случае цифры) не повторяются по горизонтали, по вертикали и по диагоналям большого квадрата.

Для этого будем менять местами 1, 3 и 4 строки, чтобы наша таблица соответствовала заданному условию. Получим следующую таблицу:

По сути мы получили магический квадрат.

Магический квадрат — это квадрат в клетки которого записываются числа от 1 до 9, так чтобы сумма чисел по любой горизонтали, вертикали, диагонали была одинаковая.

А теперь вновь вернемся от цифр к буква и получим следующий квадрат:

Таким образом в выделенные ячейки нам нужно вставить букву «А» — в 3-й строке и 3-м столбце, и буквы ЖМИ в 4-строке.

Второй вариант решения задачи «Пропущенная буква»

Для начала найдем такую клетку, в которой можно однозначно определить какая там должна быть буква.
Возьмем центральную ячейку, так как она стоит на пересечении обоих диагоналей, вертикали и горизонтали.

Шаг 1

Можно точно сказать, что там не стоит буква «М», ни «Р» — так как эти буквы
стоят на побочной диагонали, ни «И» (так как буква «И» уже есть в вертикале)
и не «Ж» (так как же стоит на главной диагонали), значит в этой ячейки буква «А».

Шаг 2

Далее посмотрим на ячейку во второй строке и 5 столбце.

Шаг 3

Там не могут быть буквы: «М», «И», «Р» и не может быть «Ж», значит там тоже должна буква «А».

Шаг 4

Во 2 строке остается только одна пустая ячейка, в которой может быть только буква «Ж».

Шаг 5

Далее рассмотрим ячейку в четверной строке и 2 столбце.

Шаг 6

В ней не может быть «И», «М», «А», «Р». Там может быть только «Ж».

Шаг 7

Двигаемся дальше. Заполним симметричную ячейку в четвертой строке и 4 столбце.

Шаг 8

Там не может быть буква «Р», «А», «Ж», «М». Ставим туда букву «И».

Шаг 9

Заполним ячейку в 4 строке и 3 столбце.

Шаг 10

Там не может быть буква «И», «Ж», не может быть «А, «Р». Остается только один вариант — буква «М».

Шаг 11

     При решении этой задачи очень легко запутаться и допустить 
ошибку. Однако постоянно проверяя себя, можно этого избежать!

Заполняем буквы в 1 ряду и центральном столбце — там может быть только буква «Ж».

Шаг 12

В каждой из диагоналей заполнено по 4 буквы, соответственно можно легко заполнить пустые ячейки.

Шаг 13

В 1 строке и 1 столбце нужно поставить букву — «Р», а в 2 строке и 5 столбце — букву «И».

Шаг 14

Заполним далее букву в 3 строке и 2 столбце.

Шаг 15

Там точно не могут быть буквы: М, Ж, И, А, значит там буква «Р».

Шаг 16

Во 2 столбце осталась последняя не заполненная буква.

Шаг 17

Туда нужно поставить букву: «А».

Шаг 18

В 1 строке осталась одна пустая ячейка. Туда нужно поставить букву «М».

Шаг 19

И поставим букву в последнюю пустую ячейку в 4 столбце — «Ж».

Шаг 20

Продолжая рассуждения, заполняются оставшиеся буквы в квадрате.

В 3 строке и 5 столбце не может быть И, А, Ж, Р. Ставим туда букву М.

Шаг 21

Тогда в 3 строке и 1 столбце будет буква — «И», а в пятом столбце в пустую ячейку поставим букву «Р».

Шаг 22

И в последнюю пустую ячейку в 4 строке и 1 столбце поставим букву «А».

Шаг 23

Квадрат полностью заполнен.

Шаг 24

Задача решена.

shkolnaiapora.ru

Метры квадратные в Километры квадратные

Конвертируем метр² в километр²

1 Метр квадратный (м²)
=
1.0E-6 Километр (км²)

Вектор. Определение и основные понятия

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление.

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины.

Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Тема: Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Цели:

• Обучающая – познакомить учащихся со способом решения логических задач с помощью кругов Эйлера — Венна

• Развивающая – способствовать развитию логического мышления, памяти, самостоятельности и инициативы при выполнении групповых и индивидуальных заданий.

• Воспитывающая – способствовать формированию информационной культуры учащихся, ответственности в групповой и индивидуальной работе.

Ход урока:

1) Орг. момент.

— Какие геометрические фигуры вы знаете?

— Как вы думаете, как мы их будем сегодня использовать при решении задач?

— Такое применение геометрических фигур, в основном кругов, при решении логических задач ввел Леонардо Эйлер. Тема нашего сегодняшнего урока «Решение задач с помощью кругов Эйлера»

2) Сообщение исторического материала: сообщение делает учащийся из 6 класса.

Одним из первых, кто использовал для решения задач круги, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с кругами. Затем этот метод основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783).

Леонард Эйлер, крупнейший математик XVIII века, родился в Швейцарии. В 1727г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. Эйлер попал в круг выдающихся математиков, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома.

Леонард Эйлер

(1707 – 1783)

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже диктовал ученикам, которые проводили за него громоздкие вычисления.

С1761 по 1768 год им были написаны знаменитые «Письма к немецкой принцессе», где Эйлер как раз и рассказывал о своем методе, об изображении множеств в виде кругов. Именно поэтому рисунки в виде кругов, обычно называют «кругами Эйлера». Эйлер отмечал, что изображение множеств в виде кругов «очень подходит для того, чтобы облегчить наши рассуждения». Понятно, что слово «круг» здесь весьма условно, множества могут изображаться на плоскости в виде произвольных фигур.

После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848). Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в его книге «Алгебра логика». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна.

3) Пример решения задач:

Задача 1. Все мои друзья занимаются каким-нибудь видом спорта. 16 из них увлекаются футболом, а 12 — баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Угадайте, сколько у меня друзей?

Решение: Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два множества (можно вводить обозначения их не только кругами), так как два вида спорта. В одном я буду фиксировать друзей, которые увлекаются футболом, а в другом — баскетболом. Поскольку некоторые из моих друзей увлекаются и тем и другим видом спорта, то квадраты нарисую так, чтобы у них была общая часть (пересечение). В этой общей части ставим цифру 2.В оставшейся части «футболистов» круга ставим цифру 14 (16 − 2= 14). В свободной части «баскетболистов» круга ставим цифру10 (12 − 2 = 10). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 14 + 2 + 10 = 26 друзей.

Ответ: 26 друзей.

Задача 2. Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж: 

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем: 

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов». 
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок». 
Получаем: 

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны». 
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. 
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

Задача 3. Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков: 
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно, 
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон. 
Ответ. 8 книг прочитал только Рон.

4) Работа в группах. Самостоятельное решение задач, с последующей проверкой. 1 группа: Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение

Изобразим множества следующим образом: 

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек. 
Ответ. 5 человек заняты только спортом.

2 группа: Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Решение

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде. 
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

3 группа: «троечники»

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

Решение. Нарисуем круги Эйлера. Внутри большего круга, изображающего всех учеников класса, поместим три меньших круга М, Р, И, означающих соответственно математика, русский язык и история.

Дальнейшие расчеты не представляют большого труда. Так как число ребят, имеющих «тройки» по математике и истории, равно 7, то число учеников, имеющих только две «тройки» — по математике и по истории, равно 7-5=2. Тогда 17-4-5-2=6 учеников имеют две «тройки» — по математике и по русскому языку, а 22-5-2-11=4 ученика только две «тройки» — по истории и по русскому языку. В этом случае без «тройки» учится 40-22-4-6-4=4 ученика. А имеют «тройки» по двум предметам из трех 6+2+4=12 человек.

4 группа: Любители физики

Из 100 семиклассников, выполнивших практическое задание по физике, 75 сделали модели, а 65 эскиз фонтана, а 10 человек ни чего не сделали. Сколько учеников сделали модель и эскиз?

Решение: В большом круге, изображающем 100 семиклассников, поместим 2 меньших круга, изображающих учеников, выполнивших модель и эскиз фонтана. Мы видим, что 90 учеников (100-10)выполнили хотя бы одну часть задания; 15 учеников (90-75) сделали только эскиз фонтана, 75-15=50 – учеников сделали эскиз и фонтан.

Ответ: 50 учеников.

4) Итог урока.

— Чем был для вас полезен сегодняшний урок?

5) Домашнее задание: В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, ителевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 -и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?

1 группа: Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

2 группа: Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

3 группа: «троечники»

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»? Сколько человек имеют «тройки» по двум из трех предметов?

4 группа: Любители физики

Из 100 семиклассников, выполнивших практическое задание по физике, 75 сделали модели, а 65 эскиз фонтана, а 10 человек ни чего не сделали. Сколько учеников сделали модель и эскиз?

infourok.ru

исследовательская работа «Решение задач с помощью кругов Эйлера»

ГУ «Челгашинская средняя школа»

отдела образования акимата Карасуского района Костанайской области

Научно — исследовательская работа

«Решение задач с помощью кругов Эйлера»

Выполнила: Лукс Анастасия

ученица 9 класса

Руководитель: Гладких Оксана Александровна

учитель математики

Челгаши, 2016 г

Содержание:

2.1

Теоретические основы о кругах Эйлера……………………………………….

2.2

Решение задач с помощью кругов Эйлера……………………………………

2.3

Зачем нужны круги Эйлера?………………………………………………………..

2.4

Задачи для самостоятельного решения…………………………………………

Заключение……………………………………………………………………………………………..

Список использованной литературы…………………………………………………………

Приложение……………………………………………………………………………………………..

Аннотация

В данной работе подобраны задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, здесь так же содержится исторический материал, теоретические справки. Тематика подобранных задач разнообразна, и включает в себя как задачи, разбираемые в школьной программе, так и нестандартные, олимпиадные. Актуальность этой работы определяется успешным применением комбинаторики и ее приложений в различных областях науки и сферы. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.

Введение

Во все времена представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.

Комбинаторика – раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из данных объектов.

Выбор объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, учёному-агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав.

Гипотеза работы: Показать, что решение комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера имеет практическое применение.

Основополагающий вопрос: А все ли мы знаем о комбинаторике?

Проблемно-тематический вопрос: Как решение комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера помогают нам в изучении математики, так и в жизни в дальнейшем?

Цель работы: показать широту применения решений комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера для привития интереса учащихся к данной науке.

Задачи:

• Познакомиться с историей возникновения науки комбинаторики;

• Уметь составлять и решать задачи с помощью кругов Эйлера;

• Применять полученные знания в дальнейшем обучении;

• Расширить и углубить представление о практическом значении математики в жизни;

• Уметь работать с научно-познавательной литературой, анализировать, делать выводы;

• Работать над созданием собственного банка задач

Актуальность выбранной темы заключается в необходимости решения комбинаторных задач на уроках математики, применении их в жизни, т.к. они имеют социальную значимость, помогают разобраться в новых веяниях жизни. Основа хорошего понимания комбинаторики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач.

1. Историческая справка

Леонард Эйлер ( 1707 — 1783 ), его называли идеальным математиком 18 века. (Приложение 1)

Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным членом базельского питомника гениев.

Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику под руководством, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.

Леонард Эйлер написал более 850 научных работ. В одной из них и появились круги. А впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Позднее аналогичный прием использовал ученый Джон Венн (Приложение 2)— британский логик и философ; основные труды в области логики классов; и этот приём назвали «диаграммы Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логика, статистика, компьютерные науки. При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов и они получили название «круги Эйлера-Венна». Этот метод даёт более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.

Во многих учебниках математики множество всех действительных чисел изображено с помощью кругов Эйлера. (Приложение 3)

2. Круги Эйлера: почему один раз увидеть лучше, чем сто раз услышать?

2.1.Теоретические основы о кругах Эйлера.

Эйлеровы круги (круги Эйлера) — это принятый в логике способ моделирования, наглядного изображения отношений между объемами понятий с помощью кругов, предложенный знаменитым математиком Л. Эйлером .

Кругами Эйлера называют фигуры, условно изображающие множества и наглядно иллюстрирующие некоторые свойства операций над множествами. В литературе круги Эйлера иногда называют диаграммами Венна (или диаграммами Эйлера — Венна). Круги Эйлера иллюстрируют основные операции над множествами.

Множество представляет собой объединение некоторых объектов или предметов в единую совокупность по каким — либо общим свойствам или законам. Например, множество звезд на небе, множество букв на странице книги, множество правильных дробей со знаменателем 6.

Множества состоят из элементов. Множество задается или перечислением его элементов, или указанием общего свойства элементов множества.

A

b

Например: элемент b принадлежит множеству А (). Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством.

Если каждый элемент множества В является и элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А ().

А

В

Рассмотрим два множества, которые имеют общие элементы — множество точек закрашенной части круга.

1. Закрашенная часть круга содержит те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество А, и в множество В. Значит, множество точек закрашенной части круга является пересечением множеств А и В ()

2. Закрашенная часть круга состоит из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В. Значит, множество точек закрашенной части круга является объединением множеств А и В ()

Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Наиболее трудной темой для учащихся является «Логика». Решать логические задачи можно, в том числе, и с помощью кругов Эйлера.

2.2. Решение задач с помощью кругов Эйлера

Рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с применением кругов Эйлера на уроках математики.

Задача 1

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием.

Решение

В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки.

чтобы легче решать задачу, представим ее данные на следующей схеме

На этой схеме большой круг означает всех школьников, о которых идёт речь. Круг З изображает школьников, собирающих значки (всего их 23), а круг М — школьников, собирающих марки (всего их 35). В пересечении кругов З и М стоит число 16 — это те, кто собирает и значки, и марки. Значит, только значки собирает 23 — 16 = 7 человек, только марки собирает 35 — 16 = 19 человек. Всего марки и значкисобирает19 + 7 + 16 = 42 человека. Остаётся 52 — 42 = 10 человек, не увлечённых коллекционированием. Это число можно вписать в свободное поле круга.

23-16 16 35-16

=7 =19

значки марки

52-(7+16+19)

=10

Ответ: 10 школьников не увлекаются коллекционированием.

Задача 2

В классе 15 мальчиков. Из них 10 человек занимается волейболом и 9 баскетболом. Сколько мальчиков занимается и тем, и другим?

Решение

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера. Этот рисунок подсказывает нам рассуждения. Разберём это рассуждение и впишем нужное число в каждую из образовавшихся на диаграмме частей. Только баскетболом занимается 15 — 10 = 5 мальчиков; только волейболом занимается 15 — 9 = 6 мальчиков; в двух секциях занимается 15 — (5+6) = 4 человека.

15-10=5 4 9-5=4

волейб. футб.

15

Ответ: 4 мальчика занимаются двумя видами спорта.

Задача 3

В доме 120 жильцов, у некоторых из них есть собаки и кошки. На рисунке круг С изображает жильцов с собаками, круг К — жильцов с кошками. Сколько жильцов имеют собак? Сколько жильцов имеют кошек? Сколько жильцов не имеют ни кошек, ни собак?

Решение

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера. Этот рисунок подсказывает нам рассуждения. Так как только собак имеют 15 жильцов, а собак и кошек 8, то в общем собак имеют 15+8=23 человека; кошек 23 + 8 = 31 человек. Для того чтобы узнать количество жильцов, которые не имеют ни кошек, ни собак надо от 120 — (15 + 8 +23) = 94 человека.

15+8=23 8 23+8=31

собаки кошки

120-(15+8+23)=94

Ответ: 94 жильца не имеют ни кошек, ни собак.

Задача 4

В группе из 80 туристов, приехавших на экскурсию а Москву, 52 хотят посетить Большой театр, 30 — Художественный театр, 12 хотят посетить оба театра, остальные в театры ходить не хотят. Сколько человек не собирается идти а театр?

Решение

Только большой театр посетят: 52-12=40 туристов;

только художественный театр посетят 30-12=18 туристов;

80-(40+18+12)=10 туристов не собираются идти в театр.

52-12=40 12 30-12=18

б.театр х.театр

80-(40+18+12)=10

Ответ: 10 человек не собираются идти в театр.

Задача 5

На пикник поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 50 человек, с сыром — 60 человек, с ветчиной — 40 человек, с сыром и колбасой — 30 человек, с колбасой и ветчиной = 15 человек, с сыром и ветчиной — 25 человек, 5 человек взяли с собой все три вида бутербродов, а несколько человек вместо бутербродов взяли пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

Решение

Сначала отметим 5 человек, которые взяли с собой все три вида бутербродов;

затем вычислим:

15 — 5 = 10 человек взяли 2 вида бутербродов с колбасой и ветчиной;

25 — 5 = 20 человек взяли два вида бутербродов с сыром и ветчиной;

30 — 5 = 25 человек взяли два вида бутербродов с сыром и колбасой;

50 — (10 + 5 + 25) = 10 человек взяли бутерброды только с колбасой;

60 — (25 + 5 + 20) = 10 человек взяли бутерброды только с сыром;

40 — (10 + 5 + 20) = 5 человек взяли бутерброды только с ветчиной.

Пирожки взяли 92 — (10 + 25 + 10 + 10 + 5 + 20 + 5) = 7 человек.

к 50

30-5 15-5

5

с 60 25-5 в 40

92

Ответ: 7 человек взяли с собой пирожки.

Задача 6

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение

1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только:

метро и троллейбусом – (10 – х) человек,
автобусом и троллейбусом–(9 – х) человек,
метро и автобусом – (12 – х) человек.

Найдем, сколько человек пользуется одним только

метро: 20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.

автобусом: 15 — (12 — х) — (9 — х) — х = х – 6

троллейбусом: 23 — (10 — х) — (9 — х) — х = х + 4, так как всего 30 человек, составляем уравнение: х+(12 – х)+(9 – х)+(10 – х)+(х + 4)+(х – 2)+ х – 6) =30, отсюда х = 3.

м 20

12-х 10-х

а х т

15 9-х 23

30

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3. Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, потому что, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.

Ответ: 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

Задача 7

Школа представила отчёт: «Всего в школе 60 шестиклассников, из них 37 отличников по математике, 33 — по русскому языку и 42 — по физкультуре. При этом у 21 человека «пятёрки» и по математике и по русскому, у 23 — по математике и по физкультуре, у 22 — по русскому и по физкультуре. При этом 20 человек учатся на «отлично» по всем трём предметам. Верен ли отчёт школы?

Решение

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера.

Сначала отметим 20 человек, которые учатся на «отлично» по всем трём предметам.

Затем выясним, сколько человек имеет отличные оценки по двум предметам.

21 — 20 = 1 ученик имеет «пятёрки» по русскому и по математике;

22 — 20 = 2 ученика имеют » пятёрки» по русскому языку и физкультуре;

23 — 20 = 3 ученика имеют пятёрки по математике и физкультуре.

Далее выясним, сколько учеников имеют «пятёрки» только по одному из трёх предметов.

37 — (3 +20 +1) = 13 учеников имеют отличные оценки только по математике;

33 — (1 + 20 + 2) = 10 учеников учатся на «отлично» по русскому языку;

42 — (3 + 20 +2) = 17 учеников имеют «пятёрки» по физкультуре.

Выясним, совпадает ли количество учеников — отличников с количеством шестиклассников в школе.

13 + 1 + 10 +2 + 20 + 3 +17 = 66 учеников учатся на отлично.

66>60

М 37

21-20 23-20

Р 33 20 42 Ф

22-20

60

Ответ: отчёт школы неверен.

Задача 8

В классе учатся 40 человек. Из них по русскому имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека и по физике – 11 человек. Семь человек имеют «тройки» и по математике, и по физике, из них пятеро имеют «тройки и по русскому языку. Сколько людей учатся без «троек»? Сколько людей имеют «тройки» по двум из трёх предметов?

Решение

Изобразим условие с помощью кругов Эйлера. Сначала отметим тех 5 человек, кто имеет тройки по всем трём предметам. Затем тех, кто имеет тройки по двум предметам. Дальнейшие расчёты не составляют труда.

40-(4+4+11+4+6+2+5)=4 человека учатся без «троек»

6+4+2=12 человек имеют «тройки» по двум предметам

Р 4

19-(5+4+4) 22-(7+11)

=6 =4

М 5 Ф

4 7-5=2 11

40

Ответ: 4 человека учатся без «троек», 12 человек имеют «тройки» по двум предметам.

Задача 9

100 шестиклассников участвовали в опросе, в ходе которого выяснялось, какие пирожки нравятся им больше: с мясом, с капустой и картошкой. В результате 20 опрошенных выбрали только с мясом, 28- только с капустой, 12 только с картошкой. Выяснилось, что 13 школьников отдают одинаковое предпочтение пирожкам с мясом и капустой, 6-учеников-с мясом и картошкой, 4 ученика с капустой и картошкой, а 9 ребят совершенно равнодушны к пирожкам. Некоторые из школьников ответили, что одинаково любят и с мясом, и картошкой, и капустой. Сколько таких ребят?

Решение

Пусть X – искомое число учеников, любящие все виды пирожков. Тогда: 20+28+12+13+6+4+9+Х=100 Х=6

мясо

20

6 13

х

12 4 28

картошка капуста

100

Ответ: 6 ребят любят одинаково и с мясом, и картошкой, и капустой.

Задача 10

Ребята заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах, созданных киностудией «Мельница». В частности, вопросы были о мультфильмах, повествующих о приключениях трёх самых известных богатырей — Алёши Поповича, Добрыни Никитича и Ильи Муромца.

Оказалось, что большинству из них нравятся «Три богатыря и Шамаханская царица», «Три богатыря на дальних берегах» и «Три богатыря. Ход конём». В анкетировании принимали участие 38 учеников. Мультфильм «ДБ», нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «ХК», шестерым — «ШЦ. «, а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У мультфильма «ХК» -13 фанатов, 5 из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким ребятам нравится мультфильм «ШЦ».

Решение

Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга.

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «ХК» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «ДБ »

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят в последнее время смотрят только «ХК»

Осталось только разобраться, сколько ребят двум другим вариантам предпочитает мультфильм «ШЦ». От всего количества учеников отнимаем всех тех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «ШЦ». Теперь смело можем сложить все полученные цифры и выяснить, что: мультфильм «ШЦ» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.

Ш.Ц.

38-(6+2+1+11+3+7)=8

6 2

1

21-(3+6+1)=11 13-(5+1)=7

3

Д.Б. Х.К.

38

Ответ: 17 ребятам.

2.3 Зачем нужны круги Эйлера?

Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение каких-то понятий (например, соотношение рода и вида) – мы их рассмотрели на примере в начале работы.

А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. (Приложение 4)

Забавно, правда? И главное, все сразу становится понятно. Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать простую схему, которая сразу расставит все по местам.

Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором. Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться. (Приложение 5)

2.4 Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1.

В школьных кружках занимаются 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Ответ: 10 ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. 11 человек заняты только спортом.

Задача 2.

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3 . Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Ответ: 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Задача 3.

В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 — в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?

Ответ: 10 учеников не являются читателями школьной библиотеки.

Задача 4.

В классе 35 учеников. 24 из них играют в футбол, 18 — в волейбол, 12 — в баскетбол. 10 учеников одновременно играют в футбол и волейбол, 8 — в футбол и баскетбол, а 5 — в волейбол и баскетбол. Сколько учеников играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно?

Ответ: 4 ученика играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно.

Задача 5.

При опросе 100 учеников 6-х классов выяснилось, что у 78 человек есть планшет, у 85 — смартфон, а у 8 учеников нет ни планшета, ни смартфона. У скольких учеников есть и планшет, и смартфон?

Ответ: 71 ученик имеет и планшет и смартфон

Задача 6.

В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое. Половина детей любят только пирожное, а 20 человек – пирожное и мороженое. Сколько детей любят только мороженое?

Ответ: 6 детей любят только мороженное.

Задача 7.

На стройке работают 30 рабочих. 17 рабочих строят обувной магазин, 20 рабочих строят парикмахерскую. Сколько рабочих работают на обоих объектах?

Ответ: 7 человек работают на обоих объектах.

Задача 8.

Часть туристов разговаривает на английском, а часть на немецком. На английском – 90% , на немецком — 60%.Сколько туристов разговаривают сразу на двух языках.

Ответ: 50% туристов разговаривают сразу на двух языках.

Задача 9.

В классе 30 человек.19-ходят на кружок по математике, 10-на кружок по русскому языку, 1-человек ходит на русский и на математику. Сколько человек не посещают кружки?

Ответ: 2 ученика не посещают кружки.

Задача 10.

Из 90 детей на футбол ходят 35 детей, на волейбол 28 и на баскетбол 27 детей. На футбол и волейбол ходят одновременно 10 детей, на футбол и баскетбол – 8 детей, на волейбол и баскетбол — 5, на все три – 4. Сколько детей никуда не ходят?

Ответ: 19 детей никуда не ходят

Задача 11.

Множество М состоит из m лиц, владеющих хотя бы одним иностранным языком – английским, французским и немецким. Известно, что английским языком владеют 70 лиц, французским 65, немецким.50, английским и французским-40, английским и немецким-20, немецким и французским – 15, а всеми тремя языками-5. Найти m.

Ответ: 115 лиц владеющих хотя бы одним иностранным языком

Задача 12

При обследовании 85 студентов были получены следующие данные о числе студентов, изучающих различные языки: немецкий – 53 человек, французский – 48, немецкий и французский – 28 человек, французский и испанский – 8, немецкий и испанский – 24 человека, все три языка – 7 человек. Сколько студентов изучают испанский язык?

Ответ: 37 студентов изучают только испанский язык.

Задача 13

В группе 25 студентов. Сдали коллоквиум по алгебре: на «5» — 8 человек, на «4» и «5» — 4 человека, на «4» — 10 человек, на «3» — 6 человек, на «3» и «5» — 5 студентов, на «3» и «4» — 4 человека, на «3» и «4» и «5» — 3 студента. Сколько студентов не сдали коллоквиум?

Ответ: 11 студентов не сдали коллоквиум.

Задача 14

Каждый из 50 парней силён, умён, красив. Сильных и умных – 17 человек, умных и красивых – 25 человек, сильных и красивых – 16, сильных – 30, умных – 35, красивых – 28. Сколько парней обладают всеми тремя качествами

Ответ: 15 парней обладают всеми тремя качествами

Задача 15

Каждый из 40 студентов занимаются спортом, из них баскетболом — 21,волейболом — 26, лёгкой атлетикой — 18, баскетболистов и атлетов — 10, волейболистов и баскетболистов — 12, атлетов и волейболистов — 8. Сколько студентов занимаются всеми тремя видами спорта?

Ответ: 5 студентов занимаются всеми тремя видами спорта

Задача 16

Множество М состоит из m студентов, которые занимаются хотя бы в одном кружке математики, физики, астрономии. В математическом — 60, физическом — 50, в астрономическом – 45, в математическом и астрономическом — 26, в физическом и астрономическом — 20, в математическом и физическом -15, во всех трёх кружках 6. Найти m.

Ответ: 100 студентов которые занимаются хотя бы в одном кружке

Задача 17

В группе 35 студентов. Из них отличников 20, спортсменов 15, активистов 16, отличников и спортсменов 7, активистов и отличников 3, активистов и спортсменов 8. Сколько студентов являются отличниками, спортсменами и активистами

Ответ: 2 студента являются отличниками, спортсменами и активистами

Задача 18

Каждая из 45 девушек умна, воспитана или красива. Воспитана и умна -20, красива и умна –10, воспитана и красива –8, воспитанных –30, умных – 25, красивых – 20. Сколько девушек обладает всеми тремя указанными качествами?

Ответ: 8 девушек обладает всеми тремя указанными качествами

Задача 19

Из 220 школьников 163 играют в баскетбол, 175 в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играют в баскетбол и футбол?

Ответ: 142 одновременно играют в баскетбол и футбол

Задача 20

Среди 35 туристов одним английским владеют 11 человек, английским и французским 5 человек. 9 человек не владеют ни английским, ни французским. Сколько человек владеют только французским языком?

Ответ: 10 человек владеют только французским языком

Задача 21

В течении 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных и 2 ветреных и холодных, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течении скольких дней в сентябре стояла хорошая погода?

Ответ: В течении 15 дней в сентябре стояла хорошая погода

Заключение

В результате работы над данной темой я изучила теоретический материал по теме «Круги Эйлера» и пришла к следующим выводам:

1. Круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьных уроках, но и вполне себе житейских проблем. Выбора будущей профессии, например.

2. Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы трех уравнений с тремя неизвестными. Таким образом, моя гипотеза подтвердилась. Автор метода — ученый Леонард Эйлер, говорил о названных его именем схемах: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Я согласна с его словами. Круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

Список используемой литературы

1. Дихтярь М. Б., Эргле Е. В. Элементы комбинаторики в школьном курсе математики – Саратов: ГОУ ДПО «СарИПКиПРО», 2007.- 48 с.

2. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика – М.: Педагогика, 1989. – 352с.

3. Коннова Е. Г. Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад. 6-9 класс. Часть 2. ООО «Легион», 2010. – 112 с.

4. Коннова Е. Г. Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад. 6-9 класс. Часть 1. ООО «Легион», 2010. – 112 с.

5. Глейзер Г. И. история математики в школе: IV – VI кл. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1981. – 239 с.

6. Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: книга для учителя. М.: Просвещение, 1984.- 286с

7. http://ru.wikipedia.org

8. http://combinatoric.ru.gg

9. http://dic.academic.ru

10. http://gultyaeva.blogspot.ru/2010/08/blog-post_21.html

11. http://fipi.ru/view

Приложение 1

Леонард Эйлер

Приложение 2

Джон Венн

Приложение 3

Множество всех действительных чисел, изображенное с помощью кругов Эйлера

Приложение 4

Популярный в интернете мем (информация в той или иной форме (медиаобъект, фраза, концепция или занятие), как правило остроумная и ироническая, спонтанно приобретшая популярность в интернет-среде посредством распространения в Интернете разнообразными способами)

Приложение 5

Как определиться, какую профессию выбрать?

infourok.ru

КОМБИНАТОРИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА.

КОМБИНАТОРИКА. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА.

Щербакова А.Ю. 1

---

1

Коренец Е.И. 1

---

1

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

         

Именно математика дает

надежнейшие правила:

кто им следует – тому не опасен

обман чувств.

Л. Эйлер

Введение

Во все времена представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.

Комбинаторика – раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из данных объектов. Особая примета комбинаторных задач – это вопрос, который можно сформулировать таким образом, что он начинался бы словами:

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Выбор объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, учёному-агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав.

Гипотеза работы: Решение комбинаторных задач с помощью кругов Эйлера развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, имеет практическое применение.

Основополагающий вопрос: А все ли я знаю о комбинаторике?

Проблемный вопрос: Может ли помочь комбинаторика в реальной жизни?

Цель работы: изучить решение логических задач путем построения кругов (диаграмм)Эйлера.

Задачи:

• Познакомиться с историей возникновения науки комбинаторики;

• Находить возможные комбинации для решения комбинаторных задач

• Уметь составлять и решать задачи с помощью кругов Эйлера;

• Поработать с ресурсами Internet;

• Применять полученные знания в дальнейшем обучении;

• Расширить и углубить представление о практическом значении математики в жизни;

• Уметь работать с научно-познавательной литературой, анализировать, делать выводы.

Объект исследования : логические задачи.

Методы:отбор источников информации, изучение материала и анализ его.

Актуальность выбранной темы заключается в необходимости решения комбинаторных задач на уроках математики, применении их в жизни, т.к. они имеют социальную значимость, помогают разобраться в новых веяниях жизни. Основа хорошего понимания комбинаторики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач.

История комбинаторики

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен»(Vвек до н.э.). По мнению её авторов, все в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. Большой интерес математиков вызывали магические квадраты.(см.Приложение 1) Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют «сочетания».Античные греки рассматривали комбинаторные задачи. Хрисипп (IIIв. до н. э.) и Гиппарх(II в.до н.э.) подсчитывали сколько следствий можно получить из 10 аксиом. У Хрисиппа получилось более миллиона. Во все века математики исследовали задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями. Позднее Д.Кардано провел исследование азартной игры в кости . (Азартными называют те игры, в которых выигрыш зависит не только от умения игрока, но и от случайности). Было замечено, что при многократном бросании однородного кубика (все шесть граней которого отмечены соответственно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6) число очков от 1 до 6 выпадают в среднем одинаково часто, иными словами, выражаясь языком математики, выпадение определённого числа очков имеет вероятность, равную 1/6. Аналогично вероятность появления на верхней грани кости чётного числа очков равна 3/6, так как из шести равновозможных случаев чётное число появляется только в трёх. Математически заинтересовались азартной игрой П.Ферма и Б.Паскаль. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались в криптографии — как для разработки шифров, так и их взломов. Комбинаторика и треугольник Паскаля. Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл их способ вычисления. Число сочетаний можно вычислять не через факториал, а с помощью арифметического треугольника. Строится треугольник: его бедра и вершина состоят из единиц, а в основании каждый элемент строки получается суммированием двух стоящих непосредственно над ним элементов.(см.Приложение 2) Паскаль также как и Лейбниц считается основоположником современной комбинаторики .(см.Приложение 3) А вот сам термин комбинаторика придумал Лейбниц. В 1666г. он опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве ». Его ученик — Якоб Бернулли (см.Приложение 4) — основатель теории вероятности, изложил много интересного о комбинаторике. Дал научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений занимался Я. Бернулли во второй части своей книги «Искусство предугадывания» в 1713 г., в которой указал формулы для числа размещений из n элементов по k, выводились выражения для степенных сумм .

Позднее обнаружили тесную связь между комбинаторными и аналитическими задачами Абрахам де Муавр Джеймс Стирлинг. Они нашли формулы для нахождения факториала. Окончательно комбинаторику, как раздел математики, оформил в своих трудах Эйлер. Кроме перестановок и сочетаний Эйлер изучал разбиение, а также сочетания и размещения с условиями.

Современным отцом комбинаторики считается Пал Эрдёш. (см.Приложение 5) Он ввел вероятностный анализ. Внимание к комбинаторике повысился во второй половине XX века, с появлением компьютеров.

Многие специалисты в области математики и физики считают, что именно комбинаторная задача может стать толчком в развитии всех технических наук. Некоторые из них всерьез утверждают, что комбинаторика является подспорьем для всех современных наук, особенно космонавтики.

Области применения комбинаторики:

• учебные заведения ( составление расписаний)

• сфера общественного питания (составление меню)

• лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

• география (раскраска карт)

• спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

• производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)

• агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

• азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

• химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

• экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)

• криптография (разработка методов шифрования)

• доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

• биология (расшифровка кода ДНК)

• военное дело (расположение подразделений)

• астрология (анализ расположения планет и созвездий

Теория конфигураций и теория перечисления

Наиболее разработанным разделом комбинаторики является теория конфигураций. Она рассматривает задачи выбора и расположения элементов некоторого множества, в соответствии с заданными правилами. Элементарными комбинаторными конфигурациями являются сочетания, размещения, перестановки. Для подсчёта числа этих конфигураций используются правила суммы и произведения.

Правило суммы:

Если элемент A можно выбрать m способами, а элемент B можно выбрать k способами, то выбор элемента A или B можно осуществить m + k способами.

Правило суммы можно перефразировать на теоретико-множественном языке. Обозначим через | A | число элементов множества A, через A B — объединение множеств A и B, через AxB — декартово произведение множеств A и B. Тогда для непересекающихся множеств A и B выполняется равенство:

| A B | = | A | + | B |.

Обобщением правила суммы является правило произведения.

Правило произведения:

Если элемент A можно выбрать m способами, а после каждого выбора элемента A элемент B можно выбрать k способами, тогда, упорядоченную пару элементов (A, B) можно выбрать m*k способами.

Правило произведения можно распространить на выбор последовательности (x₁, x₂, …, xn) произвольной конечной длиныn. На теоретико-множественном языке правило произведения формулируется так:

| Aх B | = | A | | B |.

Правило размещения.

Назовём множество, содержащееn элементов, n-множеством.

Последовательность (x₁, x₂, …, x_k ) длины k без повторяющихся элементов из элементов данного n-множества назовём k-размещением.

Обозначим символом число размещений из n по k элементов (от фран. «arrangement» — размещение). Используя правило произведения, вычислим число . Пусть произвольное размещение длины k имеет вид: (x₁, x₂, …, x_k ).

Элемент x₁ можно выбрать n способами. После каждого выбора x₁ элемент x₂ можно выбрать (n — 1) способами. После каждого выбора элементов x₁ и x₂ элемент x₃ можно выбрать (n — 2) способами, и т.д. После каждого выбора элементов x₁, x₂, …, x_k-1 элемент x_k можно выбрать (n -(k — 1)) = (n — k + 1) способами. Тогда, по правилу произведения, последовательность (x₁; x₂; , …, x_k ) можно выбрать числом способов, равным

n(n — 1)(n — 2) … (n — k + 1) = (1.1)

Произведение в левой части равенства (1.1) умножим и разделим на (n — k)!, получим:

. (1.2)

Если в форуме (1.2) k = n, то есть число Pn перестановок из n элементов

Pn = n! (от «permutation»- перестановка).

Правило сочетания.

k-подмножество данного n-множества называется k-сочетанием.

Обозначим через число k-сочетаний из данныхn элементов. Формулу для числа получим, рассуждая следующим образом. Если каждое сочетание упорядочить всеми возможными способами, то получим все k-последовательностей изn элементов, без повторений, то есть все k-размещения. Иными словами, Откуда: (1.3) или Предполагая, что n и k — целые положительные числа и 0!=1, сформулируем основные свойства сочетаний.

Основные свойства сочетаний.

1. Условились, что

Как выбрать формулу? (см.Приложение 6) Сводка формул для всех видов соединений. (см.Приложение 7)

Сочетания и размещения широко используются при вычислении классической вероятности случайных событий.

Пример. В корзине находятся 20 орехов, из которых 7 грецких. Наудачу выбирают 5 орехов. Найти вероятность того, что среди выбранных орехов содержатся 2 грецких.

Решение. Число исходов опыта . Случайное событие A — среди пяти выбранных орехов содержатся 2 грецких ореха. Число исходов, благоприятствующих событию A, равно: . Искомая вероятность .

Задачи.

1. Найти вероятность того, что случайно выбранное 5-значное (десятичное) число не содержит цифры 5.

2. Предприятие располагает 5 вакансиями для мужчин, 5 вакансиями для женщин и 4 вакансиями для работников любого пола. В отдел кадров предприятия обратилось 20 человек, среди которых 12 мужчин и 8 женщин. Сколькими способами предприятие может заполнить имеющиеся вакансии?

3. В классе 25 учеников, из которых 13 юношей и 12 девушек. Сколькими способами 25 учеников могут встать в шеренгу так, чтобы юноши после удаления из строя девушек, оказались построенными по росту; аналогично девушки после удаления из строя юношей оказались построенными по росту?

Круги Эйлера

Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

На рисунке представлено множество – все возможные игрушки. Некоторые из игрушек являются конструкторами – они выделены в отдельный овал. Это часть большого множества «игрушки» и одновременно отдельное множество (ведь конструктором может быть и «Лего», и примитивные конструкторы из кубиков для малышей). Какая-то часть большого множества «игрушки» может быть заводными игрушками. Они не конструкторы, поэтому мы рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводной автомобиль» относится одновременно к множеству «игрушки» и является частью меньшего множества «заводная игрушка». Поэтому и изображается внутри обоих овалов сразу.

Автор метода — ученый Леонард Эйлер (1707-1783) (см.Приложение 8) . Он так и говорил о названных его именем схемах: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Эйлер считается немецким, швейцарским и даже российским математиком, механиком и физиком. Дело в том, что он много лет проработал в Петербургской академии наук и внес существенный вклад в развитие российской науки. Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли на свой лад. Например, чешский математик Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами. Круги Эйлера имеют прикладное назначение. С их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике. Круги Эйлера можно разделить их на те, что описывают объединение каких-то понятий и описывают пересечение множеств по какому-то признаку. (см.Приложение9)

Пример пересечения — какую профессию выбрать? Нарисую схему в виде кругов Эйлера. Схема сразу расставит все по местам и поможет определиться с выбором. То, что окажется на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет прокормить, но и будет нравиться.

Чертеж, вроде этого, поможет определиться с выбором:

Рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера.

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер | Линкор	7000
Крейсер	4800
Линкор	4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор?

Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

1. Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000

2. Крейсер: 1 + 2 = 4800

3. Линкор: 2 + 3 = 4500

Чтобы найти Крейсер & Линкор (обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 — количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор.

Вывод

Круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи. Для этого необходимо запомнить порядок этапов :

1. Записать краткое условие.

2. Выполнить рисунок.

3. Записать данные в круги Эйлера.

4. Анализировать, рассуждать и записывать результаты в части круга.

5. Записать ответ.

Задачи:

1. Сколько существует натуральных чисел, меньших 1000, которые делятся на 3 , но не делятся на 2 и на 5?

2. Сколько существует различных десятизначных чисел, состоящих только из нулей и единиц, которые содержат не более трех единиц ?

3. Биатлонист проходит четыре огневые точки, на каждой он делает по 5 выстрелов. Сколько существует различных способов промахнуться не более 4?

4. По результатам одного социологического исследования, было установлено, что из 200 людей смотрящих телевизор, 110 человек смотрят спортивную передачу, 120 – комедии, 85 предпочитаю драмы, 50 смотрят драмы и спорт, 70 – комедии и спорт, 55 смотрят комедии и драмы и 30 человек смотрят все три вида передач. Сколько человек, смотрят спорт или комедии или драмы? сколько человек не смотрят ничего из вышеперечисленного?

5. Человек имеет 10 друзей и течение нескольких дней, приглашает некоторых из них в гости, так что компания, ни разу не повторяется. Сколько дней он может так делать?

6. Найти количество трехзначных чисел, которые делятся на 7, но не делятся на 2 и на 5.

7. На данный момент, в классе 20 учеников, получивших сначала учебного года, хотя одну двойку, 17 учеников, получивших не менее двух двоек, 8 учеников, получивших не менее трех двоек, три ученика получивших не менее 4 двоек, один ученик получивший 5 двоек, больше пяти двое нет ни у кого. Сколько всего двое в журнале?

Задача 1.

Решение:

Определение: множество А называется подмножество множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

Если в некоторой задаче считается что элементы принадлежат некоторым множествам, то это множество называется универсальным.

Например, в задаче № 1 универсальным множеством можно считать множество чисел, от 1 до 999.

A = количество элементов во множестве А

В = 333

Если число делится на 2 и 3, то число делится на 6

A В = 166

Если число делится на 3 и 5, то число делится на 15

В D = 66

При таком подсчете, мы дважды посчитали числа, которые входят во множество

АВD = 33

(В/А)/D = В — AВ — ВD + AВD = 333 – 166 – 66 + 33 = 134

Задача 2

Определение: Правило суммы.

Все множества способов подсчета можно разбить на пересекающиеся множества. Тогда общее количество способов вычисляется как сумма множеств.

С = = 1-0 единиц

С = = 10-1 единица

С = = 45

С = = 120

120+45+10+1=176

Задача 3.

С = = 1 способ – 0 промахов

C = = 20 способов – 1 промах

С = = 190 способов – 2 промаха

С = =1140 способов – 3 промаха

С = =4845 способов – 4 промаха

Всего 1 + 20 + 190 +1140 + 4845= 6196 способов

Задача 4.

Формула включений и исключений

А ВD = A + В +D — AВ — AD — ВD — AВD

а) А ВD = 110 + 120 + 85 – 70 -55 – 50 + 30 =170

б)200-170=30 человек ничего не смотрят

Задача 5.

Составим таблицу друзей

С = = 10 компаний из 1 человека

С = = 45 компаний из 2 человек

С = = 120 компаний из 3 человек

С = = 210 компаний из 4 человек

С = = 252 компании из 5 человек

С ==210 компаний из 6 человек

С = = 120 компаний из 7 человек

С = =45 компаний из 8 человек

С = =10 компаний из 9 человек

С = = 1 компания из 10 человек

Итого 10+45+120+210+252+210+120+45+10+1= 1023 способов

Задача 6.

Всего 900 трехзначных чисел.

A = 900:7=128 чисел

АВ =900:14=64 числа

АD = 900: 35=25 чисел

АВD =900:70=12 чисел

А = А — АВ — АD + АВD = 128 – 64 – 25 + 12 = 51 число

Задача 7.

Найдем количество учеников, получивших ровно четыре двойки.

1. 3 – 1= 2 ученика получили 4 двойки

Теперь узнаем количество учеников , получивших ровно три двойки, ровно две двойки и ровно одну двойку.

1. 8 – 2 — 1 = 5 учеников получили 3 двойки

2. 17 – 5 – 2 – 1 = 9 учеников получили 2 двойки

3. 20 – 9 – 5 – 2 – 1 = 3 ученика получили 1 двойку

4. 1×3 + 2×9 + 3×5 + 4×2 + 5×1 = 49 двоек в журнале

Вывод

Для решения данных логических задач, использовала круги Эйлера, что позволило успешно решить поставленные задачи. Этот способ показался мне удобным и надежным, так как он упрощает путь к решению задачи, делая его наглядным.

Заключение

В процессе изучения данной темы, я научилась грамотно оперировать такими понятиями как «множество», «объединение множеств», «пересечение множеств», «разность множеств» и использовать их при решении задач. В процессе решения задач я расширила свои знания по математике, познакомилась с ещё одним способом решения задач, который был мне мало знаком. Для решения задач с помощью кругов Эйлера можно воспользоваться алгоритмом, состоящим из нескольких этапов.

Применение кругов Эйлера позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы составлением сложных уравнений. Моя гипотеза подтвердилась. Решения задач с громоздкими условиями и со многими данными просты и не требуют особых умозаключений. Применение кругов Эйлера придает задачам наглядность и простоту.

Практическая значимость заключается в расширении возможностей при решении логических задач. Пригодится для решения задач занимательного характера, позволит применять методы и правила для решения нетрадиционных задач. Приобретенные сведения и знания способствуют повышению интеллектуального развития, помогают развить умение наблюдать и анализировать.

Круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьных уроках, но и вполне себе житейских проблем. Они заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с разных сторон, уметь выбирать из множества способов решения наиболее простой, легкий путь. Сам Леонард Эйлер говорил: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Список использованной литературы

1. Галеева Р. А. Тренируем мышление. Задачи на сообразительность / Р. А. Галеева, Г. С. Курбанов, И. В. Мельченко – Изд. 2 – е – Ростов н/Д: Феникс, 2006.

2. Игнатьев. Е.И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах/Худож. Н.Я. Бойко. – Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995.

3. Рыбников К.А.Комбинаторный анализ. Очерки истории.-М.: Изд.мехмата МГУ1996.-124с.

4. История математики под редакцией Юшкевича А.П. М.: Наука Том 1.С древнейших времен до начала Нового времени.1970.

5. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. Шк. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988.

6. Увлекательные логические задачки, которые будут интересны детям и взрослым. http://logika.vobrazovanie.ru

Приложение

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3.

Приложение 4.

Якоб Бернулли.

Приложение 5.

Математика — это орудие, с помощью которого человек познает и покоряет себе окружающий мир.

Пал Эрдеш.

Приложение 6.

Приложение 7.

Приложение 8.

Приложение 9.

Просмотров работы: 3526

school-science.ru

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА

5 класс

Факультативные занятия

«Математика после уроков»

Занятие № 17

ЦЕЛЬ:

• познакомить учащихся с решением логических задач с помощью кругов Эйлера;

• организовать деятельность, направленную на отработку умений решать простейшие задачи с помощью кругов Эйлера, производить безошибочно математические вычисления; повышать уровень математического развития школьников в результате углубления и систематизации знаний по основному курсу;

• содействовать усвоению учащимися на более высоком уровне общих операций логического мышления: анализа, синтеза, сравнения, обобщения и систематизации; содействовать формированию устойчивого интереса школьников к предмету.

ТИП ЗАНЯТИЯ: изучение нового материала с первичным закреплением

ФОРМА ЗАНЯТИЯ: практикум

ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП:

• записать на доске: 1) тему занятия; 2)ключевые слова: круги Эйлера ; 3)ответы примеров заданий «Подумай в свободное время»;

• подготовить презентацию по теме урока.

1. Организационный момент

2. Соображалка

• Какой высоты получится столб, если поставить один на другой все сантиметровые кубики, заключенные в одном кубическом метре?

Решение: 1м=100см, значит в 1м³ — 100∙100∙100 кубиков со стороной 1см , т. Е. высота столба будет 10км. ОТВЕТ: 10км

• Гномик обманывает в субботу, воскресенье и среду, а в остальные дни говорит правду. В какие дни он может точно сказать: «Я обманул вчера»?

Решение: Гномик может точно сказать: «Я обманул вчера» не только в понедельник, в четверг, но и в среду, и в субботу. ОТВЕТ: Понедельник, среда, четверг, суббота.

3. Ничего себе!

16 951 889 100 554∙1 000 000 000 000 вариантов первых десяти ходов. Чтобы сделать столько ходов, все человечество должно было бы непрерывно передвигать фигуры в течение 217 миллиардов лет!

4. Разгадай

• Можно ли так бросить мяч, чтобы он, пролетев некоторое расстояние, остановился и начал двигаться в обратном направлении?

5. Определение совместной цели деятельности.

• Цель сегодняшнего занятия – познакомиться с одним из способов решения логических задач с помощью кругов Эйлера; научиться безошибочно проводить математические вычисления.

6. Сообщение биографических данных. Леонард Эйлер (1707-1783) – один из величайших ученых всех времен и народов. Его именем названы более 10 (!) формул математики. В день его 200-летия со дня рождения этого великого математика было издано на его родине в Швейцарии все его наследие, которое состояло из 72 томов по 600 страниц каждый. 30 томов посвящено математике, 31 – механике и астрономии, остальные физике и другим предметам. Применение кругов Эйлера при решении задач придает им наглядность и простоту.

7. ТЕМА

Познакомимся с методом решения логических задач кругами Эйлера на примерах.

• Задача 1. В группе зарубежных туристов, состоящей из 100 человек, 10человек не знали ни немецкого, ни французского языка, 75 знали немецкий, 83 знали французский. Сколько туристов знали оба языка?

Решение: Всего владело иностранными языками 100-10=90 туристов. Пусть х –число туристов, владеющих двумя иностранными языками.

(75-х)+(83-х)+х=90;

Немецкий французский 158-х=90;

75-х Х 83-х х=158-90;

Х=68.

ОТВЕТ: 68 туристов владеют двумя иностранными языками.

Ф И З К У Л Ь Т М И Н У Т К А

• Задача 2. В классе 35 учеников, каждый из которых любит футбол, волейбол или баскетбол. 24из них любят футбол, 18 – волейбол, 12 — баскетбол. Дело в том, что 10 учеников одновременно любят и футбол, и волейбол, 8 – футбол и баскетбол,5 – волейбол и баскетбол. Сколько учеников этого класса любят все три вида спорта?

Решение: Всего в классе 35 учеников. Пусть п- число учеников, которые любят все три вида спорта.

(6+п)+(3+п)+(п-1)+910-п)+(8-п)+(5-п)+п=35;

Футбол-24 10-п волейбол- 18 (8+3п)+(23-3п)+п=35;

6+п 3+п п=4.

П

8-п 5-п ОТВЕТ: 4 ученика любят все три вида спорта.

П-1

Баскетбол -12

• Задача 3. В классе 38 учеников. Каждый из них занимается хоть одним видом спорта из числа следующих: легкая атлетика, волейбол, плавание. Легкой атлетикой занимается 19 человек, волейболом – 21 человек, плаванием – 12, причем легкой атлетикой и волейболом – 7 человек, волейболом и плаванием – 3 человека, легкой атлетикой и плаванием – 6 человек. Сколько учеников занимаются всеми тремя видами спорта?

Решение:

• 1способ: (19+21+12)-(6+7+3)=36, а не 38. Расхождение вызвано тем, что трижды вычли число учащихся, занимающихся тремя видами спорта. Их 38-36=2 человека.

ОТВЕТ: 2 человека занимаются всеми тремя видами спорта.

• 2 способ: Воспользуемся кругами Эйлера и придем к уравнению, где х- количество учеников, занимающихся всеми тремя видами спорта.

Волейбол -21 плавание – 12 (11+х)+(3+х)+(6+х)+

+(3-х)+(7-х)+(6-х)+х=38;

3-х х=2.

11+х 3+х

Х ОТВЕТ: 2 человека занимаются всеми тремя видами спорта.

7-х 6-х

6+х

Легкая атлетика — 19

8. Подумай в свободное время

ОТВЕТ: 687538+13863=701401.

ОТВЕТ: 96431+6116=102547.

9. Подведение итогов занятия

infourok.ru

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Текст этой презентации

Слайд 1

Для тех , кому интересно
«Решение задач с помощью кругов Эйлера»
5-6 класс

Слайд 2

Изображение множеств в виде кругов подходит для того, чтобы облегчить рассуждения при решении задач

Слайд 3

Задача:
Все мои друзья занимаются каким-нибудь видом спорта. 17 из них увлекаются футболом, а 14 — баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Угадайте, сколько у меня друзей?

Слайд 4

1.Изобразим два множества , так как два вида спорта. В одном будем фиксировать друзей, которые увлекаются футболом, а в другом — баскетболом
2.Поскольку некоторые из друзей увлекаются и тем и другим видом спорта, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть (пересечение)

Слайд 5

2
15
12
17 из них увлекаются футболом, а 14 — баскетболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта.
Расставить числа , согласно условию задачи: 1)В общей части ставим цифру 2(двое увлекаются и тем и другим видом спорта)
2)В оставшейся части «футболистов» круга ставим цифру 15 (17 − 2 = 15). В свободной части «баскетболистов» круга ставим цифру12 (14 − 2 = 12).
футболом
баскетболом
3)Всего друзей 15+2+12=29 Ответ:29 друзей

Слайд 6

Задача: В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?

Слайд 7

1.Изобразим три множества , так как три увлечения. В одном будем фиксировать ребят из драмкружка, во втором ребят , которые поют. В третьем будем фиксировать ребят, которые увлекаются спортом.
2.Поскольку некоторые из ребят увлекаются всем , то круги нарисуем так, чтобы у них было пересечение.

Слайд 8

драмкружок
хор
спорт

Слайд 9

драмкружок
хор
спорт
3 спортсмена посещают и драмкружок и хор , поэтому заполняем эту общую часть.
3
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?

Слайд 10

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
Окрашенная часть показывает занятие ребят в драмкружке и хоре.

Слайд 11

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
По условию в драмкружке 10 ребят из хора . А так как в предыдущих рассуждениях поставлено число 3 ,то в оставшейся части ставим число 7 (10-3=7)

Слайд 12

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
3
7

Слайд 13

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
Окрашенная часть показывает занятие спортсменов в драмкружке

Слайд 14

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
По условию в драмкружке 8 спортсменов . А так как в предыдущих рассуждениях поставлено число 3 ,то в оставшейся части ставим число 5 (8-3=5)

Слайд 15

3
5
драмкружок
хор
спорт
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?

Слайд 16

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
Окрашенная часть показывает сколько спортсменов поют в хоре .

Слайд 17

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
По условию в хоре 6 спортсменов . А так как в предыдущих рассуждениях поставлено число 3 ,то в оставшейся части ставим число 3 (6-3=3)

Слайд 18

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
3
3

Слайд 19

драмкружок
хор
спорт
3
7
5
3

Слайд 20

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
Окрашенная часть показывает сколько ребят в драмкружке

Слайд 21

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
По условию 27 занимаются в драмкружке . А так как в предыдущих рассуждениях поставлены числа 3,5,7 ,то в оставшейся части ставим число 12 (27-(3+5+7)=12)

Слайд 22

драмкружок
хор
спорт
3
7
5
12
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?

Слайд 23

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
Окрашенная часть показывает сколько ребят поют в хоре

Слайд 24

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
По условию 32 поют в хоре . А так как в предыдущих рассуждениях поставлены числа 3,3,7 ,то в оставшейся части ставим число 19 (32-(3+3+7)=19)
3
7
3
19

Слайд 25

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
Окрашенная часть показывает сколько ребят занимаются спортом.

Слайд 26

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
По условию 22 человека увлекаются спортом. А так как в предыдущих рассуждениях поставлены числа 3,5,3 ,то в оставшейся части ставим число 11 (22-(3+5+3)=11)
драмкружок
хор
спорт

Слайд 27

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке?
драмкружок
хор
спорт
11
3
5
3

Слайд 28

драмкружок
хор
спорт
3
7
5
3
19
11
12

Слайд 29

Всего занимаются 12+19+11+7+3+3+5=60 человек. Не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке 70-60=10 человек
Ответ: 10 человек

Слайд 30

Задача:
Из 220 студентов 163 играют в шахматы,175-в футбол,22 человека не играют в эти игры . Сколько студентов одновременно играют в шахматы и в футбол?
шахматы
футбол
х
163-х
175-х
220-22=198(чел)-играют в игры
163-х+х+175-х=198 338-х=198 х=140 140 студентов одновременно играют в шахматы и в футбол

Слайд 31

Реши :
9  моих  друзей  любят  бананы,  8  –  апельсины,  а  7  –  сливы,  5  –  бананы  и  апельсины,  3  –  бананы  и  сливы,  4  –  апельсины  и  сливы, 2 бананы,  апельсины  и  сливы.  Сколько  у  меня  друзей?

Слайд 32

Проверь решение:
бананы
апельсины
сливы
3
2
3
1
2
1
2
3+3+2+1+2+2+1=14 друзей
Ответ:14 друзей

Слайд 33

Домашнее задание:
1.Каждый из членов команды играет либо в футбол , либо в хоккей , либо в футбол и в хоккей . Сколько человек в команде ,если известно , что 18 человек играют в обе игры,22 человека играют в футбол,21 в хоккей?
2.В некоторой школе есть класс увлеченных ребят.Семь учеников из этого класса увлекаются математикой,шесть-физикой,пять-астрономией.Четверо из учеников увлекаются математикой и физикой,трое-математикой и астрономией,двое-физикой и астрономией,а один –и математикой,и физикой,и астрономией.Сколько учеников в классе?

Слайд 34

Проверь:
футбол
хоккей
1)
18
22-18=4
21-18=3
4+18+3=25(чел.)
Ответ:25 человек

Слайд 35

2)
математика
физика
астрономия
1
2
1
1
1
1
3
Ответ:10 человек
1+1+1+1+1+2+3=10(чел)

Слайд 36

Спасибо за внимание

topslide.ru

Решение задач с помошью кругов Эйлера

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А+Б), надо найти сектор А, для этого из общего множества (Торты│Пироги) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги – Пироги = А+Б+В-(Б+В) = А = 1200 – 7700 = 4300

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Выпечка?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.Решение задачи №2

Для решения задачи отобразим множества Пироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А+Б = 9700

Пироженое │ Выпечка =  А+Б+В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б+В), надо найти сектор В, для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка ) отнимем множество Пироженое.

Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А+Б+В-(А+Б) = В = 14200–9700 = 4500 

Сектор В равен 4500, следовательно  Выпечка = Б + В = 4300+5100 = 9400

Задача №3
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение задачи №3

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

спаниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

спаниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4

Задача №4

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастанияколичества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение задачи №4

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А 

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1

Задача №5В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение задачи №5

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K —  канарейки,

Щ – щеглы,

С – содержание,

Р – разведение.

Далее будем закрашивать красным цветом сектора согласно запросам, наибольший по величине сектор даст большее количество страниц на запрос.

Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу. 

Задачи для самостоятельного решения

Задача №6

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастанияколичества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Задача №7

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастанияколичества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Использованные материалы >>> 

Решение подобных задач  по информатике >>>

Ответы к задачам для самостоятельного решения

Автор: Natalia Zaytseva на 3:45 

Отправить по электронной почтеНаписать об этом в блогеОпубликовать в TwitterОпубликовать в FacebookПоделиться в Pinterest

Ярлыки: 9 класс, ЕГЭ по информатике, Информатика

infourok.ru

Решение задач с помощью кругов Эйлера.

Задачи занятия:

Образовательные:

рассмотреть решение логических задач с помощью кругов Эйлера.

Развивающие:

развитие логического мышления;

развитие поисковой, творческой, познавательной деятельности;

развитие познавательного интереса к предмету;

Воспитывающие:

формирование эстетического наслаждения от выполненной работы;

формирование навыков само- и взаимоконтроля.

Оборудование:

набор задач каждому ученику;

компьютер, проектор;

презентация.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

2. Всё то что мы изучили раннее используем при решении задач. ( слайд 2—5)

3. Зачем нужны круги Эйлера? (слайд 6)

Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение

А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера

1. Изучение нового материала.

Задача 1. (слайд 7,8)

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной. 

Сколько шестиклассников:

1. Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями районной библиотеки;
3. Не являются читателями школьной библиотеки; 
4. Являются читателями только районной библиотеки;
5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Заметим, что первый вопрос является ключевым для понимания и решения данной задачи. Ведь не сразу сообразишь, как получается 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе звучит подсказка к пониманию условия: есть ученики, которые посещают обе библиотеки. А если условие задачи изобразить на схеме, то ответ на первый вопрос становится очевидным.

Решение.

1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2. 35 – 20 = 15 (человек) – не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)

3. 35 – 25 = 10 (человек) – не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

4. 35 – 25 = 10 (человек) – являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

5. 35 – 20 = 15 (человек) – являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).

Очевидно, что 2 и 5, а также 3 и 4 – равнозначны и ответы на них совпадают

Задача №2: (слайд 9,10)

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 , немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3.

Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение:

Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом – тех, кто знает французский, и третьим кругом – тех, кто знают немецкий.

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3.

Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют ещё и немецким. Значит, английским и французским владеют 10-3=7 человек.

В общую часть английского и французского кругов вписываем цифру 7.

Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из них владеют ещё и французским. Значит, английским и немецким владеют 8-3=5 человек

В общую часть английского и немецкого кругов вписываем число 5

Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. Значит, немецким и французским владеют 5-3=2 человека.

В общую часть немецкого и французского кругов вписываем цифру 2.

Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20 человек.

Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и другими языками, значит, только английский знают 13 человек.

Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют и другими языками, значит, только французский знают 30 человек

По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13 +5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним языком

французский

немецкий

2

30

20

3

5

7

13

английский

Задача 3.( слайд 11,12) ( самостоятельно парами)

В  трёх  седьмых  классах 70 ребят. Из  них  27  занимаются  в  драмкружке,  32  поют  в хоре,  22  увлекаются  спортом.  В  драмкружке  10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8  спортсменов;  3  спортсмена  посещают  и  драмкружок  и  хор. Сколько  ребят  не  поют  в  хоре,  не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение.

Пусть 
Д – драмкружок, 
Х – хор, 
С – спорт.

Тогда 
в круге Д – 27 ребят, 
в круге Х – 32 человека, 
в круге С – 22 ученика.

Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8 – 3 = 5  спортсменов, не поющих в хоре и  6 – 3 = 3, не посещающих драмкружок.

Легко видеть, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов посещают хор или драмкружок,

22 – (5 + 3 + 3) = 11 занимаются только спортом; 

70 – (11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Ответ: 10 человек и 11 человек

Задача 4°

Из 100 приехавших туристов 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. 10 человек не знали ни немецкого, ни французского. Сколько туристов знали оба эти языка?

83

х

75

Получим уравнение: 75+83-х=90

158-х=90

х=68

Задача 4. (слайд 16,17,18)

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение.

1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются
только метро и троллейбусом – (10 – х) человек, 
только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек, 
только метро и автобусом – (12 – х) человек.

Найдем, сколько человек пользуется одним только метро: 
20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.

Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х + 4 – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: 
х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30, 
отсюда х = 3.

2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3. Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.

Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

1. Отрабатывание навыков решения задач.

1. Решение примеров

Урок 1: №

Урок 2: №

1. Д/З: Урок 1: п. 9.3, №

Урок 2: №

multiurok.ru

Таблица тангенсов.

o-math.com

Таблица Брадиса — ЛОГАРИФМЫ ТАНГЕНСОВ МАЛЫХ УГЛОВ И КОТАНГЕНСОВ УГЛОВ БЛИЗКИХ К 90

Логарифмы тангенсов малых углов и котангенсов углов близких к 90° (Таблица Брадиса 17)

Логарифмы тангенса любого острого угла, содержащего целое число градусов и ми­нут, берется из таблицы брадиса 17, если угол заключается между 0° и 14°, из таблица брадиса 18, если между 14° и 76°, из таблица брадиса 19, если между 76° и 90°. Работа по таблице брадиса 17 производится точно так же, как по таблице 16. Подыскание логарифмов котангенсов ведется по этим же таблицам, но его можно избегнуть, заменяя их тангенсами дополнительных углов.

Таблцы 15 — 19 позволяют решать и обратный вопрос, а именно: находить значе­ние острого угла по данному значению его логарифма синуса, косинуса, тангенса, ко­тангенса 

_______________

Источник информации: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: Для средней школы. / В.М. Брадис . — 57-е изд., — М.: Просвещение, 1990.

Конус, Цилиндр, Уравнение конуса, Уравнение цилиндра, Эллипсоид, Гиперболоид, Параболоид

Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая алгебраическим уравнением второй степени относительно текущих координат х, у, z.

Советуем посмотреть видео по уравнениям второго порядка, где тема поверхностей раскрывается очень подробно

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Уравнение эллипсоида

Уравнение однополосного гиперболоида

Уравнение двуполосного гиперболоида

Уравнение конуса

Уравнение эллиптического параболоида

Уравнение гиперболического параболоида

Уравнение эллиптического цилиндра

Уравнение гиперболического цилиндра

Уравнение параболического цилиндра

univer-nn.ru

3.15. Конус второго порядка

Определение. Конусом второго порядканазывается поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

. (3.52)

Уравнение (3.52) называется каноническим уравнением конуса второго порядка.

Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечении этой поверхности плоскостью получаем линию, распадающуюся на пару вещественных пересекающихся прямых, проходящих через начало координат. Аналогично в сечении конуса второго порядка координатной плоскостьюполучается пара вещественных пересекающихся прямых.

Сечением конуса второго порядка плоскостями получаются кривые, проекции которых на плоскостьопределяются уравнениями

. (3.53)

Если , то проекция линии пересечения вырождается в точку, которая является вершиной конуса. Если, то уравнение (3.53) принимает вид

, (3.54)

т. е. проекцией линии сечения является эллипс с полуосями и. При увеличении абсолютной величиныполуоси эллипсов увеличиваются.

z

О

y

x

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии конуса второго порядка, а начало координат  центром симметрии.

Убедимся, что вещественный конус образован прямыми линиями, проходящими через начало координат. Для этого достаточно установить, что прямая, соединяющая произвольную отличную от начала координат точкуконуса и начало координат, полностью располагается на конусе, т. е. координаты любой точкипрямойудовлетворяют уравнению (3.52) конуса.

Точка лежит на поверхности конуса, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению (3.52), т. е.. Параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку, имеют вид,,, где некоторое число. Тогда при подстановке в правую часть соотношения (3.52) координат произвольной точки прямой получим:, т. е. любая точка прямойпринадлежит конусу второго порядка, определяемому уравнением (3.52). Таким образом, конус образован прямыми, проходящими через начало координат.

3.16. Цилиндрическая поверхность

Пусть в плоскости расположена произвольная кривая. Через каждую точку этой кривой проведем прямую, параллельную оси. Множество этих прямых образуют поверхность, которая называетсяцилиндрической. Кривая называетсянаправляющей этой поверхности, а прямые, параллельные оси , ее образующими.

z

y

O

L

x

Аналогично определяются цилиндрические поверхности с образующими, параллельными осям и.

Покажем, что цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси, определяется уравнением вида

. (3.55)

Пусть направляющая в плоскостизадается уравнением (3.55). Возьмем произвольную точкуна поверхности. Эта точка расположена на некоторой образующей, которая пересекает координатную плоскостьв точке, принадлежащей прямой. Поэтому координаты точкиудовлетворяют соотношению (3.55). Функция, задаваемая (3.55), не зависит от, поэтому координаты точкитакже удовлетворяют (3.55). Если же, тои координатыине удовлетворяют равенству (3.55). Это означает, что уравнение (3.55) является уравнением поверхности.

Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси , не содержит координатыи совпадает с уравнением направляющей.

Например, уравнение определяет цилиндрическую поверхность, которая называется эллиптическим цилиндром. Уравненияиопределяют цилиндрические поверхности, называемые параболическим и гиперболическими цилиндрами соответственно.

Эти три поверхности являются цилиндрическими поверхностями второго порядка. В общем случае цилиндрическая поверхность не обязательно является поверхностью второго порядка.

studfiles.net

Лекция №9

Лекция 9

Коническая поверхность второго порядка. Цилиндрические поверхности.

Определение 9.1. Конической поверхностью с вершиной в точке О и направляющей называется множество точек пространства образованное всеми прямыми проходящими через точку О и пересекающими линию.

Вывод уравнения конической поверхности:

Пусть задана каноническая поверхность с вершиной в центе координат и плоскостиz=h. Пусть она задана в этой плоскости уравнением:

z=h

Пусть- образующей конической поверхности.. Так как.т.к..

— каноническое уравнение конической поверхности.

Определение 9.2. Конической поверхностью второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением(13)

Исследование конической поверхности методом сечений:

Коническая поверхность с началом в центре координат.

1. Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию

, распадающуюся на две пересекающиеся прямые

и

2. Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые: и

3.Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy. Получим:

или , из которых следует, что приh>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с полуосями . При увеличении абсолютной величиныh полуоси итакже увеличиваются.

4. При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку (0;0;0).

Цилиндрические поверхности второго порядка.

Определение 9.3. Поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию L , называется цилиндрической.

Определение 9.4. Цилиндрической поверхностью с направляющей и образующей параллельной векторуназывается множество точек пространства, таких, что прямая проходящая через любую точку этого множества параллельна векторуи пересекает линию.

направляющая, образующая,.

Вывод уравнения цилиндрической поверхности:

Рассмотрим аффинную систему координат. Плоскость ,— направляющая.

Так каклежит вxOy, значит уравнение линии примет вид:

. Пусть точка , но принадлежит образующей цилиндрической поверхности. Тогда образующая пересекаетв точке.,.

. Выразим из третьего уравнения, получим. Подставим получившееся выражение в оставшиеся два уравнения.

. Подставим получившиеся значения X и Y в уравнение линии :

F (-)=0

F (,)=0

— уравнение цилиндрической поверхности.

Цилиндрические поверхности второго порядка определяются в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями:

• — эллиптический цилиндр. В частности при a=b — круговой, z- любое; (14) (рис. 1)

• — гиперболический цилиндр,

z- любое;

(15) (рис.2)

(16) (рис.3)

Уравнения (14)-(16) не содержат переменной z. На плоскости Оху уравнение (14) определяет эллипс с полуосями a и b. Если точка (х;у) лежит на этом эллипсе, то при любом z точка (х;у;z) лежит на поверхности, заданной каноническим уравнением (13). Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прямой, параллельной оси Оz и пересекающей эллипс в плоскостиОху.

Этот эллипс называют направляющей линией данной поверхности, а все возможные положения движущейся прямой – образующими.

В случае гиперболического и параболического цилиндров ((15), (16)) направляющими линиями поверхностей являются гипербола и парабола, а образующими – прямые, параллельные оси Оz и проходящие через гиперболу и параболу в плоскости Ох.

5

studfiles.net

Конус

конус, конус за цепене на дърва
Конус  —это тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Содержание

• 1 Связанные определения
• 2 Свойства
• 3 Уравнение конуса
• 4 Развёртка
• 5 Вариации и обобщения
• 6 См. также
• 7 Примечания
• 8 Литература

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Свойства

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

а полная площадь поверхности (т. е. сумма площадей боковой поверхности и основания)

где R — радиус основания, l — длина образующей.

• Объём кругового конуса равен

• Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

где S1 и S2 — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

• Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Уравнение конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

• В сферической системе координат с координатами (r, φ, θ):

• В цилиндрической системе координат с координатами (r, φ, z):

или

• В декартовой системе координат с координатами (x, y, z):

Это уравнение в каноническом виде записывается как

где константы a, с определяются пропорцией Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением где функция  является однородной, то есть удовлетворяющей условию для любого действительного числа α.

Развёртка

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

Вариации и обобщения

• В алгебраической геометрии конус — это произвольное подмножество векторного пространства над полем , для которого для любого
• В топологии конус над топологическим пространством X есть фактор-пространство по отношению эквивалентности (

См. также

В Викисловаре есть статья «конус»

• Коническая поверхность
• Коническое сечение
• Конус (топология)
• Световой конус
• Конус отображения
• Биконус

Примечания

Литература

• Статья «Конус» в Математической энциклопедии.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.

конус, конус геометрия, конус за цепене на дърва, конус из бумаги, конус морзе, конус развивка, конус рисунок, конус формули, конус фото, конусная плойка

---

Конус Информацию О

---

---

Конус Комментарии

Конус
Конус
Конус Вы просматриваете субъект

Конус что, Конус кто, Конус описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

§ 2. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка.

Для получения канонических уравнений поверхностей 2-го порядка потребуется дополнительное преобразование уравнений поверхностей вращения – сжатие (растяжение) геометрических фигур.

Сжатие будем понимать как преобразование точек пространства по отношению к некоторой неподвижной плоскости :

▫ пусть – прямая, перпендикулярная к плоскости ;

▫ пусть в пространстве выделена про­из­вольная точка ;

▫ применим к пространству, то есть ко всем его точкам, преобразование: такое, что =·: если число <1, то точка будет ближе к плоскости , чем точка ; мы это будем понимать так: точка приблизилась к плоскости ; если число >1, то точка удалилась от плоскости .

Применим сжатие пространства к плоскости симметрии каждой из рассмотренных ранее поверхностей вращения.

Эллипсоид:

1). Имеем уравнение эллипсоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – трехосный эллипсоид: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Гиперболоид однополостный:

1). Имеем уравнение однополостного гиперболоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – однополостный гиперболоид: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Гиперболоид двуполостный:

1). Имеем уравнение двуполостного гиперболоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – двуполостный гиперболоид: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Параболоид эллиптический:

1). Имеем уравнение параболоида вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – параболоид эллиптический: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Конус эллиптический:

1). Имеем уравнение конуса вращения: . Тождественно преобразуем это уравнение: . Применим преобразование сжатия пространства к координатной плоскости :

2). Получаем уравнение: – конус эллиптический: каноническое уравнение поверхности (для удобства переменные оставлены прежним шрифтом!).

Ниже приводятся примеры, в которых постановка задачи и её выполнение отличаются от рассмотренных в общетеоретических исследованиях.

☺☺

Пример 6–10: Доказать, что двуполостный гиперболоид: может быть получен вращением гиперболы вокруг оси и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости .

Решение:

1). Пусть имеем гиперболу : Совершим её вращение относительно оси (действительная ось гиперболы): В соответствии с общим правилом сложим уравнения системы: . Получено: уравнение поверхности, которое называют двуполостный гиперболоид вращения с осью вращения .

2). Представим последнее уравнение в виде: , и применим равномерное сжатие пространства к плоскости : → двуполостный гиперболоид вращения преобразуется в заданный двуполостный гиперболоид: .

Ответ: доказательство в тексте, рисунок отражает результат выполненных действий.

Пример 6–11: Доказать, что эллиптический параболоид: может быть получен в результате вращения параболы , =0 вокруг оси и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости .

Решение:

1). Параболу: расположенную в плоскости , вращаем относительно оси : В соответствии с общим правилом сложим уравнения системы: – это параболоид вращения. Перепишем это выражение в виде: .

2). Уравнение путём тождественных преобразований представим в виде: .

3). Применим равномерное сжатие пространства к плоскости : → параболоид вращения преобразуется в заданный эллиптический параболоид.

Ответ: доказательство в тексте, рисунок отражает результат выполненных действий.

Пример 6–12: Составить уравнение конуса с вершиной в точке (0,0,), направляющая которого дана уравнениями , =0.

Решение:

1). Образующая конуса есть вращающаяся прямая, имеющая одну точку (0,0,) неподвижной, а вторую точку принадлежащей эллипсу, расположенному в плоскости . Выделим одну из образующих точкой (,0,0). Тогда уравнение вращающейся вокруг оси линии можем записать в виде : =.

2). Применим преобразование координат: ,,. Этим преобразованием задача преобразована к виду, уже рассмотренному выше: вращается линия: построить поверхность вращения.

3). Легко получаем уравнение: – это уравнение конуса вращения с осью вращения и вершиной в точке (0,0,).

4). Представим последнее уравнение в виде: , и применим равномерное сжатие пространства к плоскости : В результате сжатия пространства получили эллиптический конус: . Для проверки правильности полученного решения полезно убедиться, что значении =0 имеем исходную образующую конуса: .

Ответ: уравнение конуса: .

☻

studfiles.net

Конус — это… Что такое Конус?

Прямой круговой конус. Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом. Усечённый прямой круговой конус.

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «шишка») — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Связанные определения

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Свойства

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

где  — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

• Площадь поверхности такого конуса равна

где  — радиус основания,  — длина образующей.

• Объём кругового конуса равен

• Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

где S₁ и S₂ — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнение конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

или

Это уравнение в каноническом виде записывается как

где константы a, с определяются пропорцией Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением где функция  является однородной, то есть удовлетворяющей условию для любого действительного числа α.

Развёртка

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

С имеющимися и полученными значениями можно нарисовать развёртку конуса на бумаге или другом материале, чтобы из развёртки получить конус как наглядное пособие или промышленное изделие.

Вариации и обобщения

См. также

Литература

dic.academic.ru

Конус — Википедия

Прямой круговой конус. Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом. Усечённый прямой круговой конус.

Конус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка»^[1]) — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Связанные определения[править]

• Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
• Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
• Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
• Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
• Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
• Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
• Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
• Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
• Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
• Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

• Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

где α — угол раствора конуса.

• Площадь боковой поверхности такого конуса равна

а полная площадь поверхности (т. е. сумма площадей боковой поверхности и основания)

где R — радиус основания, l — длина образующей.

• Объём кругового конуса равен

• Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

где S₁ и S₂ — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнение конуса[править]

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

или

Это уравнение в каноническом виде записывается как

где константы a, с определяются пропорцией Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением где функция  является однородной, то есть удовлетворяющей условию для любого действительного числа α.

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

Вариации и обобщения[править]

www.wiki-wiki.ru