Рубрика: Школьная жизнь

39. Статистические показатели динамики

Показатели динамики – это показатели, характеризующие изменение во времени уровней ряда. К ним относятся: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста и абсолютное значение одного процента прироста, пункт роста.

1) Абсолютный прирост –  определяется, как разность между текущим и базисным уровнями динамического ряда и показывает на сколько текущий уровень превышает базисный. Базисный абсолютный прирост вычисляется по формуле: DY_i^б =Y_i-Y₀; цепной абсолютный прирост: DY_i^ц= Y_i-Y_i-1.

Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному приросту последнего периода (момента) времени.

2) Темп роста — определяется как отношение текущего уровня к базисному и показывает, во сколько раз текущий уровень превышает базисный.

а) базисный: б) цепной:

Между  цепными и базисным коэффициентами роста существует взаимосвязь: произведение последовательных цепных коэффициентов роста равно базисному коэффициенту роста за весь промежуток времени; а частное от деления текущего базисного коэффициента роста на предыдущий базисный коэффициент роста равно текущему цепному коэффициенту роста.

3) Темп прироста — показывает, на сколько процентов уровень текущего периода (момента) времени больше (или меньше) базисного уровня.

Базисный: Цепной:

4) Абсолютное значение 1% прироста — рассчитывается как отношение абсолютного цепного прироста к цепному темпу прироста за тот же период времени. Используется  для правильной оценки значения полученного темпа прироста. А_i показывает какое абсолютное значение скрывается за относительным показателем 1% прироста.

40. Средние показатели ряда динамики

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют средние  показатели динамики: средний уровень ряда и средние показатели изменения уровней ряда.

Средние уровни ряда определяются для интервальных рядов с равноотстоящими интервалами по формуле средней арифметической простой

; n – число уровней ряда

Для интервального ряда с неравноотстоящими интервалами средние уровни ряда определяется по формуле средней арифметической взвешенной

; — длительность интервала времени между уровнями

Для моментных рядов с равноотстоящими интервалами средние уровни ряда определяются по формуле средней хронологической простой

; n – количество дат

Для моментных рядов с неравноотстоящими датами средние уровни ряда определяются по формуле средней хронологической взвешенной

— период времени между двумя смежными датами

Средние показатели изменения уровней ряда рассчитываются усреднением цепных показателей динамики.

1) Средний абсолютный прирост определяется как простая средняя арифметическая величина из цепных абсолютных приростов и показывает, на сколько в среднем изменялся показатель в течение изучаемого периода времени:

2) Средний темп роста определяется как средняя геометрическая из цепных темпов роста и показывает, сколько процентов в среднем составлял рост показателя.

,

где n – количество периодов времени.

4. Средний темп прироста показывает на сколько процентов в среднем рос показатель в течение изучаемого периода времени.

studfiles.net

Вопрос 14. Статистические ряды динамики и их виды.

Одной из важных задач статистики является изучение развития процессов и явлений во времени. Эта задача и решается с помощью построения рядов динамики.

Ряд динамики – это ряд расположенных в хронологическом порядке показателей, характеризующих изменение величины общественных явлений во времени.

Правильно построенный динамический ряд состоит из сопоставимых статистических показателей. Для этого необходимо, чтобы состав изучаемой совокупности был один и тот же на всем протяжении ряда, т.е. относился к одной и той же территории, к одному и тому же кругу объектов. Кроме того, данные ряда должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения, а промежутки времени между значениями ряда должны быть по возможности одинаковыми.

Виды рядов динамики:

В зависимости от того, к моментам или периодам времени привязываются статистические данные различают:

1. моментные ряды динамики — это когда уровни ряда динамики показывают состояние явления на определённый момент времени или на определенную дату.

Особенность моментного ряда динамики в том, что некоторые его уровни содержат элементы повторного счёта, т.е. каждый последующий уровень полностью или частично содержит в себе предыдущий уровень. Поэтому суммирование уровней моментного динамического ряда не имеет смысла, а имеет значение только разность уровней ряда.

Напр.: бессмысленно складывать численность работающих по состоянию на 1 января, 1 февраля, 1 марта и т. д. Полученная сумма ничего не выражает, т.к. в ней многократно повторяются одни и те же показатели.

2. интервальные ряды динамики — это когда уровни ряда

динамики характеризуют размеры общественных явлений за

определенные интервалы времени.

Уровни интервального ряда динамики могут быть суммированы.

В зависимости от вида статистических показателей ряды динамики подразделяются:

1. ряды динамики абсолютных величин. Они являются первоначальными, так как их получают при сводке материалов статистического наблюдения.

2. ряды динамики относительных величин. Такие ряды являются производными. Они характеризуют темпы динамики изучаемого явления, изменение его структуры интенсивности. Суммирование уровней в таких рядах не имеет смысла, а используется такие ряды для характеристики качественных изменений экономики.

3. ряды динамики средних величин. Это ряды показателей, которые выражают средние значения изучаемого явления за определенные промежутки времени. Суммирование уровней в таких рядах не имеет смысла, а используются такие ряды для характеристики качественных изменений экономики.

Вопрос 15. Аналитические показатели рядов динамики.

При изучении динамики социально-экономических явлений рассчитывают аналитические показатели:

— абсолютные приросты;

• темпы роста;

• темпы прироста;

• абсолютное значение одного процент прироста (снижения).

Рассчитываются эти показатели через абсолютное или относительное сравнение уровней динамического ряда.

Уровнем ряда называется абсолютная величина каждого члена динамического ряда. Различают:

• начальный уровень- это величина первого члена ряда —

• конечный уровень — это величина последнего члена ряда —

• средний уровень – это средняя из всех значений ряда —

При этом сравниваемый уровень называется текущим, а тот уровень, а которым сравнивают — базисным.

Если сравнивается каждый последующий уровень с предыдущим, то получают цепные показатели динамики.

Если каждый уровень сравнивается с начальным, то получают базисные показатели динамики.

1. Абсолютный прирост – это разность двух уровней ряда динамики.

Он показывает, на сколько единиц данный уровень больше или меньше уровня, взятого для сравнения. Он выражается в тех же единицах, что и уровни ряда динамики.

Цепной абсолютный прирост () рассчитывается как разность

между текущим уровнем () и уровнем, который ему предшеству-

ет ():

Базисный абсолютный прирост (Уб ) рассчитывается как разность между сравниваемым уровнем () и уровнем принятым за базу сравнения ():

2. Темп роста – это отношение двух уровней ряда динамики.

Он показывает, во сколько раз больше или меньше или сколько процентов данный уровень составляет по отношению к другому уровню, взятому для сравнения. Темп роста может выражаться в коэффициентах или в процентах.

Цепной темп роста ()– это отношение между текущими уровнями

() и предшествующим ():

Тц= (;;…)

Базисный темп роста () —это отношение базисного абсолютного

прироста(У_i) к базисному уровню (У₀):

Тб=(;;…)

Если темп роста меньше единицы, то имеет место не рост, а снижение анализируемого уровня.

3. Темп прироста — это отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения.

Он показывает на сколько процентов уровень данного периода боль

ше или меньше уровня, принятого за базу сравнения. Может вы

ражаться в коэффициентах.

Цепной темп прироста (∆Т_ц ) — это отношение цепного абсолютного

прироста (∆ У_ц к предыдущему уровню (У_i-1 ):

∆Т_{ц=или ΔТц =Тц-1}

Базисный темп прироста (∆Т_Б) – это отношение базисного абсолют

ного прироста (∆ У_Б ) к базисному уровню (У₀ ) :

∆Т_Б=

Темп прироста может быть как положительный, так и отрицательной величиной.

4. Абсолютное значение одного процента прироста (А)— это отношение абсолютного прироста за определенный период к темпу прироста за этот же период, выраженному в процентах.

Этот показатель раскрывает, какая абсолютная величина скрывается за один процент прироста:

А=или А= 0,01

Выражается абсолютное значение одного процента прироста или снижения в тех же единицах измерения, что и анализируемый уровень динамического ряда.

Между многими аналитическими показателями существует определенная взаимосвязь:

1. Сумма цепных абсолютных приростов за какой-то период времени, равна базисному абсолютному приросту за весь этот период:

∆ У= ∑ ∆ У_Ц = У_n—У₀

2. Разность между анализируемыми и предыдущим базисными абсолютными приростами даёт соответствующий цепной абсолютный прирост:

(У_i-У₀)- (У_i-1 -У₀)= У_i— У_i-1

3. Последовательное произведение цепных темпов роста, выраженных в коэффициентах за определенный период времени даёт базисный темп роста за этот же период:

4. Отношение анализируемого базисного темпа к предыдущему даёт соответствующий цепной темп роста:

studfiles.net

средний уровень ряда, средний темп роста за период.

Средний абсолютный прирост (или средняя скорость роста) — средняя арифметическая из показателей скорости роста за отдельные промежутки времени.

Формула расчета среднего абсолютного прироста:

где n — число уровней ряда;

— абсолютные изменения по сравнению с предшествующим уровнем. Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличивался или уменьшался уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени. Характеризует среднюю абсолютную скорость роста (или снижения) уровня, является интервальным показателем, вычисляя средний абсолютный прирост, указывают:

1) за какой календарный период исчислен средний прирост;

2) в расчете на какую единицу времени он исчислен.

Средний коэффициент роста — показатель, вычисляемый по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды: , гдеK,K,…K_n-1, — коэффициенты роста по сравнению с уровнем предшествующего периода; n — число уровней ряда.

Средний темп роста — средний коэффициент роста, выраженный в процентах: Т = К100 %, где K-. средний годовой коэффициент роста.

Средний темп прироста (или снижения), выраженный 8 процентах, показывает, на сколько процентов увеличивался (или снижался) уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени. Средний темп прироста характеризует сред­нюю интенсивность роста.

Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит от характера показателя, лежащего в основе ряда, т. е. от вида временного ряда:

1) средний уровень интервального ряда динамики абсолютных величин с равностоящими уровнями рассчитывается по формуле простой

средней арифметической: 

 где n — число фактических уровней за последовательные равные отрезки времени;

2) средний уровень интервального ряда с разностоящими уровнями исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной:

где t — число периодов времени, в течение которых уровень не изменялся;

3) средний уровень моментного ряда с равностоящими уровнями исчисляется по формуле средней хронологической:

4) средний уровень моментного ряда с разностоящими уровнями исчисляется по формуле.

37. Статистика качества жизни населения: понятие, источники статистических данных.

Качество жизни населения — это степень удовлетворения материальных, духовных и социальных потребностей человека. Качество жизни населения напрямую зависит от ее уровня. С ростом уровня жизни населения будет расти доход населения, следовательно, обеспеченность населения материальными благами будет повышаться, и качество жизни также будет расти.

Под «качеством жизни» в широком смысле понимается удовлетворенность населения своей жизнью с точки зрения различных потребностей и интересов. Это понятие охватывает характеристики и индикаторы уровня жизни как экономической категории, условия труда и отдыха, жилищные условия, социальную обеспеченность и гарантии, охрану правопорядка и соблюдение прав личности, природно-климатические условия, показатели сохранения окружающей среды, наличие свободного времени и возможности хорошо его использовать, наконец, субъективные ощущения покоя, комфортности и стабильности.

В наше время даже без данных статистики видно, что переход всей экономики нашей страны на рыночные формы хозяйствования совершается в основном за счет социальной сферы, что наглядно проявляется в ухудшении демографической ситуации и падении уровня и качества жизни большинства населения. Все больше людей теряют здоровье, снижается основной показатель страны, такой как рождаемость, большими темпами сокращается продолжительность жизни, но самое главное – стареет население России, а с ним и рабочая сила.

Это просто объедение двух понятий.

Уровень и качество жизни населения напрямую зависит от возможностей людей удовлетворять свои потребности, а как известно, для удовлетворения постоянных первичных потребностей человеку нужен постоянный определенный доход. Основным доходом населения Российской Федерации является заработная плата.

Заработная плата – составляющая дохода работника, полученная им в ходе трудовой деятельности. Помимо заработной платы уровень дохода и качество жизни населения зависит от социального обеспечения, доступности материальных, духовных благ и услуг, а также уровня образования основных масс населения страны и др.

Применение статистики в изучении уровня и качества жизни населения позволяет решать множество задач, главной из которых является получение статистических данных об уровне и качестве жизни населения с целью их повышения.

Перед статистикой уровня жизни населения стоят следующие задачи:

• разработка системы показателей, объективно, достоверно и всестороннее характеризующих уровень и качество жизни населения;

• статистический анализ динамики уровня и качества жизни населения;

• выявление обстоятельств, оказывающих влияние на изменение уровня и качества жизни населения;

• определение основных тенденций и закономерностей изменения уровня и качества жизни населения;

• анализ разрозненности показателей уровня и качества жизни населения по регионам;

• определение уровня удовлетворения потребностей жителей страны в материальных ресурсах и услугах по сопоставлению с установленными нормами потребления;

• усовершенствование системы источников для сбора статистической информации об уровне и качестве жизни населения;

• определение показателей уровня и качества жизни населения, которые будут связаны между собой.

Для решения последней задачи в 1992 г. в Центре экономической конъюнктуры и прогнозирования была предложена система основных показателей уровня жизни населения:

• обобщающие показатели;

• доходы населения;

• потребление и расходы населения;

• денежные сбережения населения;

• накопленное имущество и жилище;

• социальная дифференциация населения;

• малообеспеченные слои населения.

studfiles.net

2. Основные показатели рядов динамики.

Простейшими показателями анализа, которые используются при решении ряда задач, являются абсолютный прирост, темпы роста и прироста, а также абсолютное значение (содержание) 1% прироста.

Если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то полученные при этом показатели называются цепными. Если же все уровни связываются с одним и тем же уровнем, выступающим как постоянная база сравнения, то полученные при этом показатели называются базисными.

Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным. Абсолютный прирост равен разности между сравниваемыми уровнями и измеряется в тех же единицах, что и эти уровни:

Δ = yi / y0,

Δ = yi / y0-i

Абсолютный прирост за единицу времени (месяц, год) измеряет абсолютную скорость роста (или снижения) уровня.

Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных при–ростов равна соответствующему базисному приросту.

Относительными показателями динамики являются темпы роста и темпы прироста, характеризующие интенсивность процесса роста.

Темп роста (Тр) – статистический показатель, который отражает интенсивность изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным, а в случае уменьшения – какую часть базисного уровня составляет сравниваемый уровень. Измеряется отношением текущего уровня к предыдущему или базисному:

Как и другие относительные величины, темп рос–та может быть выражен не только в форме коэффициента (простого отношения уровней), но и в процентах.

Между цепными и базисными темпами роста, выраженными в форме коэффициентов, существует определенная взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному тем–пу роста за весь соответствующий период.

Темп прироста (Тпр) характеризует относительную величину прироста и вычисляется по формуле:

Абсолютное значение 1 % прироста, который определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста:

Эта величина показывает, сколько в абсолютном выражении дает каждый процент прироста.

3. Средние показатели динамики

С течением времени изменяются не только уровни явлений, но и показатели их динамики – абсолютные приросты и темпы развития. Поэтому для обобщающей характеристики развития, для выявления и измерения типичных основных тенденций и закономерностей и решения других задач анализа используются средние показатели временного ряда: средние уровни, средние абсолютные приросты и средние темпы динамики.

К расчету средних уровней ряда динамики часто приходится прибегать уже при построении временного ряда – для обеспечения сопоставимости числителя и знаменателя при расчете средних и относительных величин.

Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит прежде всего от характера показателя, лежащего в основе ряда.

Наиболее просто исчисляется средний уровень интервального ряда динамики абсолютных величин с равностоящими уровнями. Расчет производится по формуле простой средней арифметической:

где n – число фактических уровней за последовательные равные отрезки времени.

Сложнее обстоит дело с исчислением среднего уровня моментного ряда динамики абсолютных величин. Моментный показатель может изменяться почти непрерывно. Поэтому очевидно, что, чем более подробными и исчерпывающими данными о его изменении мы располагаем, тем более точно можно исчислить. Это зависит от того, насколько подробны имеющиеся данные. Здесь возможны различные случаи.

При наличии исчерпывающих данных об изменении моментного показателя его средний уровень исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной для интервального ряда с разностоящими уровнями:

где t – число периодов времени, в течение которых уровень не изменялся.

Если промежутки времени между соседними датами равны друг другу, т. е. когда мы имеем дело с равными (или примерно равными) интервалами между датами, тогда для моментального ряда с равностоящими уровнями расчет среднего уровня ряда производим по формуле средней хронологической:

Для моментального ряда с разностоящими уровнями расчет среднего уровня ряда производится по формуле:

Выше шла речь о среднем уровне рядов динамики абсолютных величин. Для рядов динамики средних и относительных величин средний уровень нужно исчислять исходя из содержания и смысла этих средних и относительных показателей.

Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличивался или уменьшался уровень по сравнению с предыдущим в среднем за еди–ницу времени. Средний абсолютный прирост характеризует среднюю абсолютную скорость роста (или снижения) уровня и всегда является интервальным показателем. Он вычисляется путем деления общего прироста за весь период на длину этого периода в тех или иных единицах времени:

В качестве основы и критерия правильности исчисления среднего темпа роста (как и среднего абсолютного прироста) можно использовать в роли определяющего показателя произведение цепных темпов роста, которое равно темпу роста за весь рассматриваемый период.

Средний темп роста, выраженный в форме коэффициента, показывает, во сколько раз увеличивался уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени.

Для средних темпов роста и прироста сохраняет силу та же взаимосвязь, которая имеет место между обычными темпами роста и прироста:

Средний темп прироста (или снижения), выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличивался (или снижался) уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени. Средний темп прироста характеризует среднюю интенсивность роста.

studfiles.net

Средние показатели динамики: уровень ряда, абсолютный прирост, темп роста

Средний уровень ряда в статистике

Средний уровень ряда определяет обобщенную величину абсолютных уровней. Он определяется по средней, исчисленной из значений, меняющихся во времени. Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики разные.

Средний уровень из абсолютных уровней для интервальных рядов динамики рассчитывается по формуле средней арифметической:

1. При равных интервалах используют среднюю арифметическую простую:

n — число уровней ряда.

2. При неравных интервалах используют среднюю арифметическую взвешенную:

t1,… tn — веса, длительность интервалов времени.

Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается по формуле:

1. С равностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической моментного ряда:

2. С неравностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической взвешенной:

Средний абсолютный прирост в задачах статистики

Средний абсолютный прирост определяется как среднее из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода. Он рассчитывается по формулам:

1. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет рассчитывают средний абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:

2. Средний абсолютный прирост рассчитывают через базисный абсолютный прирост в случае равных интервалов

Средний темп роста

Средний темп роста есть свободная обобщающая характеристика интенсивности изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.

В качестве основы и критерия правильности вычисления среднего темпа роста (снижения) применяется обобщающий показатель, который рассчитывается как произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то используют среднюю геометрическую.

Так как средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выражен в процентах, то для равностоящих рядов динамики расчеты по средней геометрической сводятся к вычислению средних коэффициентов роста из цепных по «цепному способу»:

Определение среднего коэффициента роста может быть упрощено, если будут ясны уровни динамического ряда. Так как произведение цепных коэффициентов роста равно базисному, то в подкоренное выражение подставляют базисный коэффициент роста.

Формула для определения среднего коэффициента роста для равностоящих рядов динамики по «базисному способу» будет такая:

Средний темп прироста

Средние темпы прироста рассчитываются на основе средних темпов роста (Тр) вычитанием из последних 100%:

univer-nn.ru

Средние показатели рядов динамики.

Абсолютные и относительные характеристики ряда динамики, рассчитанные по уровням ряда, изменяются во времени. Они варьируют по годам, что требует их обобщения и расчета средних показателей: среднего уровня ряда, средних абсолютных приростов, средних темпов роста и прироста. Часто использование средних показателей ряда динамики становится просто необходимым. Например, сельскохозяйственная продукция в огромной степени зависит от погодных условий данного года, и сравнение годовых показателей становится нецелесообразным. Правильнее сравнивать среднегодовые уровни, среднегодовые абсолютные приросты и темпы роста за определенные промежутки времени.

К среднегодовым показателям приходится прибегать и при невозможности сопоставить абсолютные данные. Например, чтобы определить производство продукции на душу населения, необходимо абсолютный размер производства разделить на численность населения, которая для данного промежутка времени не является постоянной.

Средний уровень интервального ряда динамики определяется как простая средняя арифметическая из уровней за равные промежутки времени:

                                                                   (11.10)

где       п – количество уровней ряда динамики.

Если дан моментный ряд и промежутки времени между датами равны, то средний уровень моментного ряда вычисляется по формуле:

                                        (11.11)

Если дан моментный ряд и промежутки времени между датами не равны, то средний уровень моментного ряда определяется как средняя арифметическая взвешенная.

                                                              (11.12)

Средний абсолютный прирост (абсолютное изменение) определяется как средняя арифметическая простая из абсолютных изменений за равные промежутки времени (цепных абсолютных изменений) или как частное от деления базисного абсолютного изменения на число осредняемых отрезков времени от базисного до сравниваемого периода:

                                                         (11.13)

где       п – число цепных абсолютных приростов.

Средний темп роста определяется как средняя геометрическая цепных темпов роста за п лет или из общего (базисного) темпа роста за п лет:

                                                 (11.14)

Средний темп прироста определяется как разность между средним темпом роста и единицей:

                                                                      (11.15)

Рассмотренные относительные показатели ряда динамики имеют широкое применение в практической и научной работе. Многие показатели экономического и социального развития государства представлены в виде показателей ряда динамики – общих абсолютных приростов, темпов роста, темпов прироста, средних уровней ряда, средних абсолютных приростов, средних темпов роста и прироста.

Применение перечисленных показателей динамики является первым этапом анализа динамических рядов, позволяющим выявить скорость и интенсивность развития явлений, которые представлены в виде динамического ряда. Дальнейший анализ рядов динамики социально-экономических показателей связан с более сложными обобщениями, с определением основной тенденции, колеблемости уровней и связи рядов.

www.ekonomstat.ru

Средние показатели динамики. Неганова Л.М. Статистика

Динамика социально-экономических явлений и задачи ее статистического изучения

Явления общественной жизни, изучаемые социально-экономической статистикой, находятся в непрерывном изменении и развитии. С течением времени – от месяца к месяцу, от года к году – изменяются численность населения и его состав, объем производимой продукции, уровень производительности труда и т. д., по϶ᴛᴏму одной из важнейших задач статистики будет изучение изменения общественных явлений во времени – процесса их развития, их динамики. Эту задачу статистика решает путем построения и анализа рядов динамики (временных рядов).

Ряд динамики (хронологический, динамический, временной ряд) – ϶ᴛᴏ последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Ряд включает два обязательных элемента: время и конкретное значение показателя (уровень ряда).

Стоит сказать, что каждое числовое значение показателя, характеризующее величину, размер явления, называется уровнем ряда. Кроме уровней каждый ряд динамики содержит указания о тех моментах либо периодах времени, к кᴏᴛᴏᴩым ᴏᴛʜᴏϲᴙтся уровни.

При подведении итогов статистического наблюдения получают абсолютные показатели двух видов. Важно заметить, что одни из них характеризуют состояние явления на определенный момент времени: наличие на ϶ᴛᴏт момент каких-либо единиц совокупности или наличие того или иного объема признака. К таким показателям относится численность населения, парк автомобилей, жилищный фонд, товарные запасы и т. д. Величину таких показателей можно определить непосредственно только по состоянию на тот или иной момент времени, а потому данные показатели и ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙующие ряды динамики и называются моментными.

Другие показатели характеризуют итоги какого-либо процесса за определенный период (интервал) времени (сутки, месяц, квартал, год и т. п.). Такими показателями будут, например, число родившихся, количество произведенной продукции, ввод в действие жилых домов, фонд заработной платы и др. Величину данных показателей можно подсчитать только за какой-нибудь интервал (период) времени, по϶ᴛᴏму такие показатели и ряды их значений называются интервальными.

Из различного характера интервальных и моментных абсолютных показателей вытекают некᴏᴛᴏᴩые особенности (ϲʙᴏйства) уровней ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙующих рядов динамики. В интервальном ряду величина уровня, представляющего собой итог какого-либо процесса за определенный интервал (период) времени, зависит от продолжительности ϶ᴛᴏго периода (длины интервала). При прочих равных условиях уровень интервального ряда тем больше, чем больше длина интервала, к кᴏᴛᴏᴩому ϶ᴛᴏт уровень относится.

В моментных же рядах динамики, где тоже есть интервалы – промежутки времени между соседними в ряду датами, – величина того или иного конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между соседними датами.

Стоит сказать, что каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени. При ϶ᴛᴏм единица совокупности, входящая в состав одного уровня, не входит в состав других уровней, по϶ᴛᴏму в интервальном ряду динамики уровни за примыкающие друг к другу периоды времени можно суммировать, получая итоги (уровни) за более продолжительные периоды (так, суммируя месячные уровни, получим квартальные, суммируя квартальные, получим годовые, суммируя годовые – многолетние).

Иногда путем последовательного сложения уровней интервального ряда за примыкающие друг к другу интервалы времени строится ряд нарастающих итогов, в кᴏᴛᴏᴩом каждый уровень представляет собой итог не только за данный период, но и за другие периоды, начиная с определенной даты (с начала года и т. д.). Нужно помнить, такие нарастающие итоги нередко приводятся в бухгалтерских и других отчетах предприятий.

В моментном динамическом ряду одни и те же единицы совокупности обычно входят в состав нескольких уровней, по϶ᴛᴏму суммирование уровней моментного ряда динамики само по себе не имеет смысла, так как получающиеся при ϶ᴛᴏм итоги лишены самостоятельной экономической значимости.

Выше говорилось о рядах динамики абсолютных величин, являющихся исходными, первичными. Наряду с ними могут быть построены ряды динамики, уровни кᴏᴛᴏᴩых будут относительными и средними величинами. Стоит заметить, что они также могут быть либо моментными, либо интервальными. В интервальных рядах динамики относительных и средних величин непосредственное суммирование уровней само по себе лишено смысла, так как относительные и средние величины будут производными и исчисляются путем деления других величин.

При построении и перед анализом ряда динамики нужно прежде всего обратить внимание на то, ɥᴛᴏбы уровни ряда были сопоставимы между собой, так как только в ϶ᴛᴏм случае динамический ряд будет правильно отражать процесс развития явления. Сопоставимость уровней ряда динамики – ϶ᴛᴏ важнейшее условие обоснованности и правильности выводов, полученных в результате анализа ϶ᴛᴏго ряда. При построении динамического ряда надо иметь в виду, что ряд может охватывать большой период времени, в течение кᴏᴛᴏᴩого могли произойти изменения, нарушающие сопоставимость (территориальные изменения, изменения круга охвата объектов, методологии расчетов и т. д.).

При изучении динамики общественных явлений статистика решает следующие задачи:

• измеряет абсолютную и относительную скорость роста либо снижения уровня за отдельные промежутки времени;
• дает обобщающие характеристики уровня и скорости его изменения за тот или иной период;
• выявляет и численно характеризует основные тенденции развития явлений на отдельных этапах;
• дает сравнительную числовую характеристику развития данного явления в разных регионах или на разных этапах;
• выявляет факторы, обусловливающие изменение изучаемого явления во времени;
• делает прогнозы развития явления в будущем.

Основные показатели рядов динамики

При изучении динамики могут быть использованы различные показатели и методы анализа, как элементарные, более простые, так и более сложные, требующие ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙенно применения более сложных разделов математики.

Простейшими показателями анализа, кᴏᴛᴏᴩые могут быть использованы при решении ряда задач, в первую очередь при измерении скорости изменения уровня ряда динамики, будут абсолютный прирост, темпы роста и прироста, а также абсолютное значение (содержание) одного процента прироста. Расчет данных показателей основан на сравнении между собой уровней ряда динамики. При ϶ᴛᴏм уровень, с кᴏᴛᴏᴩым производится сравнение, называется базисным, так как он будет базой сравнения. Обычно за базу сравнения принимается либо предыдущий, либо какой-либо предшествующий уровень, например первый уровень ряда.

В случае если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то полученные при ϶ᴛᴏм показатели называются цепными, так как они представляют собой как бы звенья «цепи», связывающей между собой уровни ряда. В случае если же все уровни связываются с одним и тем же уровнем, выступающим как постоянная база сравнения, то полученные при ϶ᴛᴏм показатели называются базисными.

Часто построение ряда динамики начинают с того уровня, кᴏᴛᴏᴩый будет использован в качестве постоянной базы сравнения. Выбор ϶ᴛᴏй базы должен быть обоснован историческими и социально-экономическими особенностями развития изучаемого явления. В качестве базисного целесообразно брать какой-либо характерный, типичный уровень, например конечный уровень предыдущего этапа развития (или средний его уровень, если на предыдущем этапе уровень то повышался, то понижался).

Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, т. е. за тот или иной промежуток (период) времени. Абсолютный прирост равен разности между сравниваемыми уровнями и измеряется в тех же единицах, что и данные уровни:

Δ =yi — yi-1;

Δ =yi — y0,

где уi – уровень i-го года; yi-1 – уровень предшествующего года; y0 – уровень базисного года. В случае если уровень уменьшился по сравнению с базисным, то ? ‹ 0; он характеризует абсолютное уменьшение уровня.

Абсолютный прирост за единицу времени (месяц, год) измеряет абсолютную скорость роста (или снижения) уровня. Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных приростов равна ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙующему базисному приросту, т. е. общему приросту за весь период.

Более полную характеристику роста можно получить только тогда, когда абсолютные величины дополняются относительными. Относительными показателями динамики будут темпы роста и темпы прироста, характеризующие интенсивность процесса роста.

Отметим, что темп роста (Тр) – статистический показатель, кᴏᴛᴏᴩый демонстрирует интенсивность изменения уровней ряда динамики и показывает, во сколько раз увеличился уровень по сравнению с базисным, а в случае уменьшения – какую часть базисного уровня составляет сравниваемый уровень; измеряется отношением текущего уровня к предыдущему или базисному:

Как и другие относительные величины, темп роста может быть выражен не только в форме коэффициента (простого отношения уровней), но и в процентах. Как и абсолютные приросты, темпы роста для любых рядов динамики сами по себе будут интервальными показателями, т. е. характеризуют тот или иной промежуток (интервал) времени.

Между цепными и базисными темпами роста, выраженными в форме коэффициентов, существует определенная взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста за весь ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙующий период, например: y2/ y1 y3/ y2 = y3/ y1.

Отметим, что темп прироста (Тпр) характеризует относительную величину прироста, т. е. представляет собой отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню:

Отметим, что темп прироста, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличился (или уменьшился) уровень по сравнению с базисным, принятым за 100 %.

При анализе темпов развития никогда не следует упускать из виду, какие абсолютные величины – уровни и абсолютные приросты – скрываются за темпами роста и прироста. Нужно, в частности, иметь в виду, что при снижении (замедлении) темпов роста и прироста абсолютный прирост может возрастать.

В связи с данным важно изучать еще один показатель динамики – абсолютное значение (содержание) 1 % прироста, кᴏᴛᴏᴩый определяется как результат деления абсолютного прироста на ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙующий темп прироста:

Кстати, эта величина показывает, сколько в абсолютном выражении дает каждый процент прироста. Иногда уровни явления за одни годы несопоставимы с уровнями за другие годы из-за территориальных, ведомственных и иных изменений (изменения методологии учета и исчисления показателей и т. п.). Чтобы обеспечить сопоставимость и получить пригодный для анализа временной ряд, нужно произвести прямой пересчет уровней, несопоставимых с другими. При этом иногда нет необходимых для ϶ᴛᴏго данных. В таких случаях можно использовать особый прием, называемый смыканием рядов динамики.

Пусть, например, произошло изменение границ территории, по кᴏᴛᴏᴩой изучалась динамика развития какого-то явления в i-м году. Тогда данные, полученные до ϶ᴛᴏго года, окажутся несопоставимы с данными за последующие годы. Чтобы сомкнуть данные ряды и получить возможность анализа динамики ряда за весь период, примем в каждом из них за базу сравнения уровень i-го года, за кᴏᴛᴏᴩый есть данные как в прежних, так и в новых границах территории. Эти два ряда с одинаковой базой сравнения можно затем заменить одним сомкнутым рядом динамики. По данным сомкнутого ряда можно вычислить темпы роста по сравнению с любым годом, можно рассчитать и абсолютные уровни за весь период в новых границах. Важно заметить, что однако, при всем этом надо иметь в виду, что результаты, полученные путем смыкания рядов динамики, содержат в себе некᴏᴛᴏᴩую погрешность.

Графически динамика явлений наиболее часто изображается в виде столбиковых и линейных диаграмм. Применяются и другие формы диаграмм: фигурные, квадратные, секторные и т. п. Аналитические графики обычно строятся в виде линейных диаграмм.

Средние показатели динамики

С течением времени изменяются не только уровни явлений, но и показатели их динамики – абсолютные приросты и темпы развития, по϶ᴛᴏму для обобщающей характеристики развития, для выявления и измерения типичных основных тенденций и закономерностей и решения других задач анализа могут быть использованы средние показатели временного ряда – средние уровни, средние абсолютные приросты и средние темпы динамики.

К расчету средних уровней ряда динамики часто приходится прибегать уже при построении временного ряда – для обеспечения сопоставимости числителя и знаменателя при расчете средних и относительных величин. Пусть, например, нужно построить ряд динамики производства электроэнергии на душу населения в Российской Федерации. Для ϶ᴛᴏго за каждый год крайне важно количество произведенной электроэнергии в данном году (интервальный показатель) разделить на численность населения в том же году (момент-ный показатель, величина кᴏᴛᴏᴩого непрерывно меняется на протяжении года). Ясно, что численность населения на тот или иной момент времени в общем случае несопоставима с объемом производства за весь год в целом. Стоит сказать, для обеспечения сопоставимости нужно и численность населения как-то приурочить ко всему году, а ϶ᴛᴏ можно сделать, исключительно рассчитав среднюю численность населения за год.

Часто приходится прибегать к средним показателям динамики и потому, что уровни многих явлений сильно колеблются от периода к периоду, например от года к году, то повышаясь, то понижаясь.
Стоит отметить, что особенно ϶ᴛᴏ относится ко многим показателям сельского хозяйства, где год на год не приходится, по϶ᴛᴏму при анализе развития сельского хозяйства чаще оперируют не годовыми показателями, а более типичными и устойчивыми среднегодовыми показателями за несколько лет.

При вычислении средних показателей динамики крайне важно иметь в виду, что к данным средним показателям полностью ᴏᴛʜᴏϲᴙтся общие положения теории средних величин. Это означает прежде всего, что динамическая средняя будет типичной, если она характеризует период с однородными, более или менее стабильными условиями развития явления. Выделение таких периодов – этапов развития – в определенном отношении аналогично группировке. В случае если же динамическая средняя величина исчислена за период, в течение кᴏᴛᴏᴩого условия развития явления существенно менялись, т. е. период, охватывающий разные этапы развития явления, то такой средней величиной нужно пользоваться с большой осторожностью, дополняя ее средними величинами за отдельные этапы.

Средние показатели динамики должны также удовлетворять логико-математическому требованию, согласно кᴏᴛᴏᴩому при замене средней величиной тех фактических величин, из кᴏᴛᴏᴩых получена средняя, не должна изменяться величина определяющего показателя, т. е. некᴏᴛᴏᴩого обобщающего показателя, связанного с осредняемым показателем. Метод расчета среднего уровня ряда динамики зависит прежде всего от характера показателя, лежащего в основе ряда, т. е. от вида временного ряда.

В наибольшей степени просто рассчитывается средний уровень интервального ряда динамики абсолютных величин с равностоящими уровнями. Расчет производится по формуле простой средней арифметической:

где n – число фактических уровней за последовательные равные отрезки времени.

Сложнее обстоит дело с вычислением среднего уровня моментного ряда динамики абсолютных величин. Момент-ный показатель может изменяться почти непрерывно, по϶ᴛᴏму чем более подробны и исчерпывающи данные о его изменении, тем более точно можно вычислить средний уровень. Более того, сам метод расчета зависит от того, насколько подробны имеющиеся данные. Здесь возможны различные случаи.

При наличии исчерпывающих данных об изменении мо-ментного показателя его средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной для интервального ряда с разностоящими уровнями:

где t – число периодов времени, в течение кᴏᴛᴏᴩых уровень не изменялся.

В случае если промежутки времени между соседними датами равны друг другу, т. е. когда мы имеем дело с равными (или примерно равными) интервалами между датами (например, когда известны уровни на начало каждого месяца или квартала, года), тогда для моментного ряда с равностоящими уровнями расчет среднего уровня ряда производим по формуле средней хронологической:

Для моментного ряда с разностоящими уровнями расчет среднего уровня ряда производится по формуле

Выше шла речь о среднем уровне рядов динамики абсолютных величин. Стоит сказать, для рядов динамики средних и относительных величин средний уровень нужно вычислять исходя из содержания и смысла данных средних и относительных показателей.

Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличивался или уменьшался уровень по сравнению с предыдущим периодом в среднем за единицу времени (в среднем ежемесячно, ежегодно и т. д.). Средний абсолютный прирост характеризует среднюю абсолютную скорость роста (или снижения) уровня и всегда будет интервальным показателем. Стоит заметить, что он рассчитывается путем деления общего прироста за весь период на длину ϶ᴛᴏго периода в тех или иных единицах времени:

Пользовательское соглашение:
Интеллектуальные права на материал — Неганова Л.М. Статистика принадлежат её автору. Данное пособие/книга размещена исключительно для ознакомительных целей без вовлечения в коммерческий оборот. Вся информация (в том числе и «Средние показатели динамики») собрана из открытых источников, либо добавлена пользователями на безвозмездной основе.
Для полноценного использования размещённой информации Администрация проекта Зачётка.рф настоятельно рекомендует приобрести книгу / пособие Неганова Л.М. Статистика в любом онлайн-магазине.

Тег-блок: Неганова Л.М. Статистика, 2015. Средние показатели динамики.

xn--80aatn3b3a4e.xn--p1ai

Таблица умножения на 0

Главное помнить золотое правило, что любое целое или дробовое число, умноженное на ноль, будет равняться соответственно только нулю, без всяких исключенный.

Автор: Bill4iam

kvn201.com.ua

60 умножить на 20 сколько будет?

учи арифметику — недоросль

Зависит от системы счисления. В десятичной будет 1200.

В розницу 1200, а оптом — думай сам.

Сейчас… поищу калькулятор на компьютере…

Будущий экономист делает уроки…

в начале умножить 6 на 2. Получится 12 (см. таблицу умножения) . И к числу 12 приписывай все нули (при умножении) =1200. Ты учишься в 3 классе?

в школе. сколько будет один плюс один? молчание. . где твой папа работает? на мясокомбинате.. . училка намекает ученику: вот смотри, вчера твой папа принёс домой курочку, и сегодня принёс домой курочку, сколько будет всего курей? а он курей домой не носит.. . а что же он носит? ляжки.. . ну хорошо, вчера папа принёс ляжку, и сегодня принёс ляжку, что будет? ЖОПА

touch.otvet.mail.ru

сколько будет 0 умножить на 6

зайка, чё на ноль ни умножай — результат один))

0, маленький гений! учи правила!

Миллион (шесть нулей) ..

при умножении на 0 — всегда получается 0!

«Пустоту» взять шесть раз.

милион без милиона

0 (лучше учи правила, говорю по собственному опыту — пригодятся)

0*6 = 0+0+0+0+0+0=0 Ответ: 0

touch.otvet.mail.ru

5. Расчет индекса сезонности

Индексы сезонности (I_s)  спец. показатели, используемые при изучении сезонных колебаний. Рассчитываются по формуле:

^{где  средняя для каждого месяца за изучаемый период;}

^{общий средний месячный уровень за изучаемый период.}

Покажем расчет индекса сезонности на примере. Пример 5.1 Имеются следующие данные по строительной фирме об объеме выполненных работ по месяцам 2001–2003 гг. по сметной стоимости.

Для получения проведем осреднение уровней одноименных периодов по формуле простой средней арифметической:

январь — …декабрь —

Осредненные значения уровней ряда для каждого месяца годового цикла представлены в таблице данного примера.

Далее по исчисленным месячным средним уровням определяем общий средний уровень

где n — число месяцев.

Значение общего среднего уровня можно вычислить также по итоговым данным за отдельные годы:

где n — число лет;

 — сумма среднегодовых уровней ряда динамики.

В завершение определим индексы сезонности по месяцам года по формуле:

январь — февраль —

Рассчитанные индексы сезонности представлены в таблице примера.

Следовательно, мин. объем выполненных работ строительная фирма имела в январе, а максимальный — в августе.

Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тенденция роста незначительна, изучение сезонности основано на методе постоянной средней, являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ заключается в следующем: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляется (в процентах) уровень каждого месяца.

Однако помесячные данные одного года из-за элемента случайности могут быть ненадежными для выявления закономерности колебаний. Поэтому на практике используются помесячные данные за ряд лет (обычно не менее трех лет). Тогда для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня за три года, затем определяются среднемесячный уровень для всего ряда и отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда (в процентах).

Задачи и упражнения самостоятельно

1. Имеются следующие показатели по предприятию:

Определите за первое полугодие:

1) среднемесячную стоимость оборотных средств за I и II кварталы и за полугодие;

2) базисные темпы роста и прироста стоимости оборотных средств; проверьте взаимосвязь между ними;

3) среднемесячный темп роста и прироста стоимости оборотных средств;

4) абсолютный прирост стоимости оборотных средств во II квартале по сравнению с I кварталом.

2. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда динамики и недостающие в таблице цепные показатели динамики по следующим данным о производстве продукции предприятия объединения (в сопоставимых ценах):

3. Имеются следующие данные о розничном товарообороте во всех каналах реализации в регионе:

Для изучения общей тенденции розничного товарооборота региона по месяцам за 20012003 гг. проведите:

1) 1.преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени:

а) а)в квартальные уровни,

б) б)в годовые уровни;

2) 2 сглаживание квартальных уровней розничного товарооборота с помощью скользящей средней.

Изобразите графически фактические и сглаженные уровни ряда динамики.

Сделайте выводы о характере тенденции розничного товарооборота по всем каналам реализации в регионе.

4. Имеются следующие данные о внутригодовой динамике поставки хлопчатобумажных тканей в розничную сеть области по кварталам за 20012003 гг.

Для анализа внутригодовой динамики поставки хлопчатобумажных тканей:

1) определите индексы сезонности с применением метода аналитического выравнивания по прямой;

2) представьте графически сезонную волну поставки хлопчатобумажных тканей по кварталам года и сделайте выводы.

5. Относительный показатель динамики численности официально зарегистрированных безработных по региону в первом полугодии составил 95%, во втором полугодии  108%. Как изменилась численность безработных в целом за год?

6. Каковы должны быть в среднем ежегодные темпы прироста, чтобы за три года объем продукции увеличился на 10 млн т и составил 100 млн т.?

7. По данным об объемах продаж внешнеторговой компании (млн дол.) за период с 1998 по 2003 г. было построено уравнение тренда:

Сделайте прогноз объема продаж на 2004 и 2005 гг. с вероятностью 95%, если относительная ошибка уравнения 5,5%.

studfiles.net

5. Расчет индекса сезонности

Индексы сезонности (I_s)  спец. показатели, используемые при изучении сезонных колебаний. Рассчитываются по формуле:

^{где  средняя для каждого месяца за изучаемый период;}

^{общий средний месячный уровень за изучаемый период.}

Покажем расчет индекса сезонности на примере. Пример 5.1 Имеются следующие данные по строительной фирме об объеме выполненных работ по месяцам 2001–2003 гг. по сметной стоимости.

Для получения проведем осреднение уровней одноименных периодов по формуле простой средней арифметической:

январь — …декабрь —

Осредненные значения уровней ряда для каждого месяца годового цикла представлены в таблице данного примера.

Далее по исчисленным месячным средним уровням определяем общий средний уровень

где n — число месяцев.

Значение общего среднего уровня можно вычислить также по итоговым данным за отдельные годы:

где n — число лет;

 — сумма среднегодовых уровней ряда динамики.

В завершение определим индексы сезонности по месяцам года по формуле:

январь — февраль —

Рассчитанные индексы сезонности представлены в таблице примера.

Следовательно, мин. объем выполненных работ строительная фирма имела в январе, а максимальный — в августе.

Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тенденция роста незначительна, изучение сезонности основано на методе постоянной средней, являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ заключается в следующем: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляется (в процентах) уровень каждого месяца.

Однако помесячные данные одного года из-за элемента случайности могут быть ненадежными для выявления закономерности колебаний. Поэтому на практике используются помесячные данные за ряд лет (обычно не менее трех лет). Тогда для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня за три года, затем определяются среднемесячный уровень для всего ряда и отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда (в процентах).

Задачи и упражнения самостоятельно

1. Имеются следующие показатели по предприятию:

Определите за первое полугодие:

1) среднемесячную стоимость оборотных средств за I и II кварталы и за полугодие;

2) базисные темпы роста и прироста стоимости оборотных средств; проверьте взаимосвязь между ними;

3) среднемесячный темп роста и прироста стоимости оборотных средств;

4) абсолютный прирост стоимости оборотных средств во II квартале по сравнению с I кварталом.

2. Используя взаимосвязь показателей динамики, определите уровни ряда динамики и недостающие в таблице цепные показатели динамики по следующим данным о производстве продукции предприятия объединения (в сопоставимых ценах):

3. Имеются следующие данные о розничном товарообороте во всех каналах реализации в регионе:

Для изучения общей тенденции розничного товарооборота региона по месяцам за 20012003 гг. проведите:

1) 1.преобразование исходных данных путем укрупнения периодов времени:

а) а)в квартальные уровни,

б) б)в годовые уровни;

2) 2 сглаживание квартальных уровней розничного товарооборота с помощью скользящей средней.

Изобразите графически фактические и сглаженные уровни ряда динамики.

Сделайте выводы о характере тенденции розничного товарооборота по всем каналам реализации в регионе.

4. Имеются следующие данные о внутригодовой динамике поставки хлопчатобумажных тканей в розничную сеть области по кварталам за 20012003 гг.

Для анализа внутригодовой динамики поставки хлопчатобумажных тканей:

1) определите индексы сезонности с применением метода аналитического выравнивания по прямой;

2) представьте графически сезонную волну поставки хлопчатобумажных тканей по кварталам года и сделайте выводы.

5. Относительный показатель динамики численности официально зарегистрированных безработных по региону в первом полугодии составил 95%, во втором полугодии  108%. Как изменилась численность безработных в целом за год?

6. Каковы должны быть в среднем ежегодные темпы прироста, чтобы за три года объем продукции увеличился на 10 млн т и составил 100 млн т.?

7. По данным об объемах продаж внешнеторговой компании (млн дол.) за период с 1998 по 2003 г. было построено уравнение тренда:

Сделайте прогноз объема продаж на 2004 и 2005 гг. с вероятностью 95%, если относительная ошибка уравнения 5,5%.

studfiles.net

Сезонные колебания. Индексы сезонности. Метод постоянной средней

Продолжаем тему, начатую статьей Аналитические показатели динамики.

Здесь мы поговорим про средние индексы сезонности — аналитические показатели рядов динамики, характеризующие сезонные колебания.

Сезонными колебаниями называют внутригодичные, постоянно повторяющиеся изменения изучаемых явлений. При анализе рядов внутригодовой динамики получают количественные характеристики, отражающие характер изменения показателей по месяцам годового цикла.

Сезонные колебания описывают индексами сезонности, которые рассчитываются как отношение фактического значения показателя к некоторому теоретическому (расчетному) уровню

Где i — порядковый номер сезонного цикла (года), j — порядковый номер внутрисезонного периода (месяца).

Полученые значения подвержены случайным отклонениям, поэтому производится усреднение по годам и получение средних индексов сезонности для каждого периода годового цикла (месяца)

В зависимости от характера изменений ряда динамики формула может рассчитываться разными методами.

Я рассмотрю самый простой метод — метод постоянной средней. Метод может применяться для рядов динамики, где отсутствуют какие-либо тенденции повышения/понижения, либо же они незначительны. Иными словами, наблюдаемая величина колеблется около какого-то постоянного значения.

Здесь

,

где

, средняя по каждому внутрисезонному периоду j (месяцу) для всех n сезонов

, общая средняя по всем сезонам (n) и внутрисезонным периодам (m)

Калькулятор ниже.

Показатели

Для разделения полей можно использовать один из этих символов: Tab, «;» или «,» Пример: -50.5;-50.5;-50.5;-50.5;-50.5;-50.5;-50.5;-50.5;-50.5;-50.5;-50.5;-50.5

Знаков после запятой: 1

Индекс сезонности

Сохранить share extension

planetcalc.ru

Анализ сезонных колебаний. Индекс сезонности. Метод абсолютных и относительных разностей.

При анализе колеблемости динамических ря­дов наряду с выделением случайных колебаний, возникает  за­дача изучения периодических колебаний. Как правило, изучение периодических (сезонных) колебаний необходимо с целью ис­ключения их влияния на общую динамику для выявления чи­стой (случайной) колеблемости.

К сезонным относят все явления, ко­торые обнаруживают в своем развитии отчетливо выраженную закономерность внутригодичных изменений, т.е. более или ме­нее устойчиво повторяющиеся из года в год колебания уровней. Часто эти колебания могут быть не связаны со сменой времен го­да. К сезонным явлениям относят, например, потребление элект­роэнергии; неравномерность производственной деятельности в отраслях пищевой промышленности, связанных с переработкой сельскохозяйственного сырья; перевозки пассажирским транспортом; спрос на многие виды продукции и услуги.

Как бы ни проявлялась сезонность, она наносит большой ущерб национальной экономике, связанной с неравномерным ис­пользованием оборудования и рабочей силы, с неравномерной за­грузкой транспорта, необходимостью создания резервов мощно­стей и т.д. Комплексное регулирование сезонных изменений по отдельным отраслям должно основываться на исследовании се­зонных отклонений.

Многие временные ряды имеют ярко выраженные сезонные компоненты, повторяющиеся с определенной периодичностью. Эта периодичность имеет место каждый год.

Если в анализируемой временной последовательности наблюдаются устойчивые отклонения от тенденции (в большую или в меньшую сторону), то можно предположить наличие в ряду динамики некоторых (одного или нескольких) колебательных процессов.

Это особенно заметно, когда изучаемые явления имеют сезонный характер, — возрастание или убывание уровней повторяется регулярно с интервалом в один год (например, производство молока и мяса по месяцам года, потребление топлива и электроэнергии для бытовых нужд, сезонная продажа товаров и т.д.).

Задачи, которые необходимо решить в ходе исследования сезонности:

1. выявить наличие сезонности;
2. численно выразить сезонные колебания;
3. выделить факторы, вызывающие сезонные колебания;
4. оценить последствия сезонных колебаний;
5. провести математическое моделирование сезонности.

Для измерения сезонных колебаний статистикой предложе­ны различные методы. Наиболее простые и часто употребляемые из них:

1. метод абсолютных разностей;
2. метод относительных разностей;
3. построение индексов сезонности.

Первые два способа предполагают нахождение разностей фак­тических уровней и уровней, найденных при выявлении основ­ной тенденции развития (тренда).

Применяя способ абсолютных разностей, оперируют непос­редственно размерами этих разностей, а при использовании ме­тода относительных разностей, определяют отношение абсолют­ных размеров указанных разностей к выровненному уровню. При выявлении основной тенденции используют либо метод сколь­зящей средней, либо аналитическое выравнивание. В некоторых случаях в стационарных рядах можно пользоваться разностью фактических уровней и средним месячным уровнем за год. Использование данных за несколько лет связано с тем обстоятельством, что в отклоне­ниях по отдельным годам сезонные колебания смешиваются со случайными. Чтобы элиминировать случайные колебания, берут средние отклонения за несколько лет.

Для выделения сезонной волны надо определить средний уровень за каждый месяц по 3-5-летним дан­ным  и общую среднюю за весь рас­сматриваемый период.

Общая средняя  получается делением суммы уровней за все три-пять лет на 36 или 60 (общее число месяцев). Затем определяется абсолютное отклонение средних месячных показателей от общей средней.

Метод абсолютных разностей заключается в расчете месячных средних и общей средней с последующим их сравнением:

• y_t— средний месячный уровень показателя за три и более лет,
• y_c — среднемесячное значение показателя  за все годы.

Если сезонность оценивается по данным за 3 года (36 месяцев), если за 5 лет (60 месяцев):

где: y_i— значение уровня динамического ряда. Величина и знак значений абсолютных отклонений определяют наличие сезонности.

В качестве показателя, характеризующего сезонную неравномерность, используется показатель относительного отклонения.

Метод относительных разностей является развитием метода абсолютных разностей. Для нахождения относительных разно­стей абсолютные отклонения делят на общую среднюю и выра­жают в процентах.  По величине и знакам значений относительных отклонений можно судить о величине и силе влияния сезонного фактора.

Вместо относительных разностей за каждый месяц может быть вычислен индекс сезонности, который рассчитывается как отно­шение среднего уровня соответствующего месяца к общей сред­ней. Индекс сезонности рассчитывается:

• y_t — средний уровень показателя соответствующего месяца  за три и более лет,
• y_c — среднемесячное (по году) значение  показателя  за все годы (общая средняя).

Рассчитанные значения индекса сезонности сравниваются со значением 100 %. Если индекс сезонности превышает 100 % — это свидетельствует о влиянии сезонного фактора в сторону увеличения уровней динамического ряда и наоборот. Расчет индекса сезонности по данной формуле не учитывает наличие тренда.  Выделение сезонной волны можно выполнить на основе по­строения аналитической модели проявления сезонных колебаний. Построение аналитической модели выявляет основной закон ко­леблемости данного временного ряда в связи с переходом от ме­сяца к месяцу и дает лишь среднюю характеристику внутригодичных колебаний.

Определим наличие сезонных колебаний для динамического ряда условного показателя:

Вывод: ярко выраженные сезонные колебания приходятся на июнь-июль, недоучет которых при составлении прогноза, может существенно исказить его.

Смотри также:

helpstat.ru

Средние уровни и индексы сезонности

Полученные индексы сезонности дают оценку того, как в отдельные месяцы года количество заключённых браков отклоняется от среднего значения. Таким образом, зимой браков заключается больше.

2. Ряд динамики имеет общую тенденцию, и она определена либо методом скользящего среднего, либо методом аналитического выравнивания.

Индекс сезонности ,

где — исходные уровни ряда:

—уровни ряда, полученные в результате определения скользящих средних для тех же периодов времени, что и исходные уровни:

i — номер месяца или квартала, для которого определяется индекс сезонности:

n — число лет наблюдения за процессом.

В случае, если тенденция развития определялась методом аналитического выравнивания, расчетная формула получения индексов сезонности совершенно аналогична предыдущей, но вместо — уровней, полученных методом скользящих средних, используются— полученные методом аналитического выравнивания.

Пример 6.

Определить скользящие средние по трем уровням ряда.

Таблица 14

Реализация сахара в продовольственных магазинах города, т

На основе исходных и сглаженных уровней ряда строятся индексы сезонности:

Так для января:

Для февраля:

и т. д.

Таблица 15

Индексы сезонности по месяцам

Таким образом, повышенный спрос на сахар в магазинах города наблюдается в апреле, июне, ноябре, декабре.

На линейном графике, можно увидеть закономерности изменения объёма продаж сахара по месяцам года.

Объем продаж сахара, т.

Индекс сезонности, %

studfiles.net

Индивидуальные индексы

16. Наиболее часто употребляемый метод измерения сезонных колебаний – это так называемый индекс сезонности. Порядок расчета индекса сезонности зависит от вида динамического ряда: стационарного или нестационарного. В стационарных (стабильных) рядах динамики, в которых нет ярко выраженной тенденции к росту или снижению, внутригодовые колебания происходят вокруг некоторого постоянного уровня. В этом случае формула расчета индекса сезонности следующая: где у_i – фактические уровни ряда; – общий для всего динамического ряда средний уровень. Для того, чтобы получить устойчивую оценку размера сезонных колебаний, на которой не отражались бы особенности условий конкретного года, индекс сезонности рекомендуется рассчитывать за несколько лет, используя следующую формулу: , где Т – число лет.

В стационарных рядах динамики расчет индекса сезонности состоит в определении простой средней арифметической за одни и те же внутригодовые промежутки времени всего изучаемого периода, а затем в сопоставлении полученных средних с общей средней динамического ряда. Формула расчета: где – средний уровень по одноименным внутригодовым отрезкам времени (месяцам, кварталам). При наличии тренда, т. е. в нестационарных рядах динамики, порядок расчета индекса сезонности следующий: 1. По одноименным внутригодовым уровням ряда (месячным, квартальным) за ряд лет определяют расчетные уровни при помощи скользящей средней или методом аналитического выравнивания. 2. Определяется процентное отношение фактических уровней ряда у_i и расчетных (выравненных) уровней. 3. Получение показателей сезонности усредняются за все годы. Упрощенная формула расчета индекса сезонности для нестационарных рядов динамики выглядит так: . Наглядное представление о характере колебаний позволяет получить график ‹‹сезонной волны››.

Интерполяцией называется расчет неизвестных уровней динамического ряда, исходя из имеющихся значений того же динамического ряда, либо по данным другого динамического ряда, связанного с характеризуемым. Метод экстраполяции основывается на предположении о неизменности факторов, определяющих развитие изучаемого объекта, и заключается в распространении закономерностей развития объекта в прошлом на его будущее.

Для прогнозирования в зависимости от характера исходной информации могут быть использованы различные группы методов экстраполяции: приемы, основанные на средних показателях динамики; методы, основанные на выявлении основной тенденции; адаптивные методы, учитывающие степень влияния предыдущих уровней. Особое место в прогнозировании занимают методы многофакторного моделирования. Временем упреждения при прогнозировании называется отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные, до момента, к которому относится прогноз. Рекомендуется руководствоваться следующим эмпирическим правилом: срок упреждения не должен превышать третьей части длины базы прогноза. Экстраполяция позволяет получить точечное значение прогноза. Однако точное совпадение прогнозных оценок с фактическими данными маловероятно. Следовательно, прогноз должен быть дан в виде интервала значений. Наиболее простым методом прогноза по данным изолированного ряда динамики является использование средних показателей ряда. При отсутствии тенденции можно предположить, что прогнозируемый уровень равен среднему значению уровней в прошлом. На основе нестационарных рядов динамики краткосрочные прогнозы могут быть получены в зависимости от типа развития с помощью среднего абсолютного прироста (если общая тенденция развития является линейной) и среднего темпа роста (в случае тенденции развития по геометрической прогрессии). Эти методы рассматриваются как предварительный прогноз и могут использоваться для оценки качества краткосрочных прогнозов, полученных иными методами, когда проводится сравнение ошибок прогноза. Распространенным методом является прогнозирование на основе экстраполяции тренда. Результаты прогноза зависят от принятого вида уравнения тренда. Долгосрочные прогнозы предполагают многофакторное моделирование динамики. Многофакторное моделирование осуществляется на основе анализа корреляции взаимосвязанных рядов динамики.

17. Индекс — это обобщающий относительный показатель, характеризующий изменение уровня общественного явления во времени, по сравнению с программой развития, планом, прогнозом или его соотношение в пространстве.

Наиболее распространена сравнительная характеристика во времени. В этом случае индексы выступают какотносительные величины динамики. Индексный метод является также важнейшим аналитическим средством выявления связей между явлениями. При этом применяются уже не отдельные индексы, а их системы. В статистической практике индексы применяются при анализе развития всех отраслей экономики, на всех этапах экономической работы. В условиях рыночной экономики особенно возросла роль индексов цен, доходов населения, фондового рынка и территориальных индексов.

Статистика осуществляет классификацию индексов по следующим признакам:

1. В зависимости от объекта исследования:

• индексы объемных (количественных) показателей (индексы физического объема: товарооборота, продукции, потребления)

• индексы качественных показателей (индексы цен, себестоимости, заработной плата)

 По степени охвата элементов совокупности:

• индивидуальные индексы (дают сравнительную характеристику отдельных элементов явления)

• общие индексы (характеризуют изменение совокупности элементов или всего явления в целом)

3. В зависимости от методологии исчисления общие индексы подразделяются на:

• агрегатные (агрегатные индексы являются основной формой индексов и строятся как агрегаты путем взвешивания индексируемого показателя с помощью неизменной величины другого, взаимосвязанного с ним показателя).

• средние (являются производными от агрегатных)

4. В зависимости от базы сравнения различают:

• базисные (если при исчислении индексов за несколько периодов времени база сравнения остается постоянной)

• цепные (если база сравнения постоянно меняется)

Способы построения индексов зависят от содержания изучаемого явления, методологии расчета исходных статистических показателей и целей исследования. В каждом индексе выделяют 3 элемента:

В каждом индексе выделяют 3 элемента:

• индексируемый показатель — это показатель, соотношение уровней которого характеризует индекс

• сравниваемый уровень — это тот уровень, который сравнивают с другим.

• базисный уровень — это тот уровень, с которым производится сравнение.

Для расчета индекса необходимо найти отношение сравниваемого уровня к базисному и выразить его в виде коэффициента, если база сравнения приравнивается к единице, или в процентах, если база сравнения принимается за 100%. Обычно расчеты индексов производятся в форме коэффициентов с точностью до третьего знака после запятой, т. е. до 0,001, в форме процентов — до десятых долей процента, т.е. до 0,1%.

Для удобства построения индексов используется специальная символика:

• i — символ индексируемого показателя — индекс, характеризующий изменение уровня элемента явления.

• I — с подстрочным индексируемым показателем — для группы элементов или всей совокупности в целом.

• q — количество проданных товаров или произведенной продукции в натуральном выражении

• p — цена за единицу товара

• z — себестоимость единицы продукции

• w — производительность труда

• T — отработанное время или численность работников

• l — средняя заработная плата одного работника

Индивидуальные индексы характеризуют изменение отдельного элемента явления.

Индивидуальный индекс физического объема товарооборота

Так, для изучения изменения количества проданных товаров (физического объема продаж) следует построить индивидуальный индекс физического объема товарооборота как отношение количества товара одного вида, проданного в отчетном периоде, к количеству того же товара, проданного в базисном периоде (i_q = q₁ / q₀ ). Поскольку базисный уровень индексируемого показателя приравнивается к 1 или 100%, то разность между полученным индексом и 1 или 100% характерзиует относительную величину изменения количества проданного товара. По этому индексу можно определить и абсолютное изменение количества проданного товара в натуральном выражении как разность между числителем и знаменателем индекса .

Произведем расчет индивидуальных индексов физического объема товарооборота.

По телевизорам: или 90% и рассчитываем тыс.шт, то есть в отчетном периоде по сравнению с базисным было продано телевизоров на 40 тыс.штук, или на 10% меньше, чем в базисном году.

По видеомагнитофонам: , и рассчитываем тыс.шт, то есть количество проданных видеомагнитофонов возрасло на 50 тыс. штук или на 25%.

studfiles.net

Коэффициент сезонности в торговле по товарам (формулы)

Сезонность товаров отражает на сколько изменятся продажи на товары в будущем относительно заданного периода. Коэффициент сезонности используется для прогнозирования продаж на основе фактических продажах в прошлом.

Особенности расчета коэффициента сезонности:

1. Сезонность учитывает влияние внешних факторов на изменение продаж. Основным признаком показателя сезонности является то, что мы не можем оказать влияние на его изменения. Например, увеличение продаж на цветы и конфеты в праздники 8 марта или рост объемов продаж мороженного в летний период. Мы не можем повлиять с вами на жаркую погоду или наличие праздников. Следовательно, все эти факторы являются внешними и относятся к сезонным колебаниям.
2. Расчет сезонности исключает внутренние факторы изменения продаж Исключаем все колебания продаж в текущем периоде связанные с деятельностью магазина, которая не планируется в будущем. Например, проведение промо акций или отсутствием товара на полке.
3. Используются только сопоставимые продажи по магазинам – показатель LFL

Совет:

Не используйте усреднение показателя по месяцам, используйте отклонения от текущего периода. Нередко можно встретит рекомендацию – «при расчете коэффициента сезонности рассчитайте среднее значение продаж за период и посмотрите отклонение продаж относительно каждого месяца». В результате, данный метод приводит к ошибкам расчетах, так как не учитывает относительно какого месяца вы планируете продажи.

Как рассчитать сезонность продаж? Формулы и таблица сезонности в Excel.

Давайте рассмотрим пример расчета. Предположим, что сейчас январь месяц и нам надо рассчитать сезонность продаж на следующий год по месяцам.

1. Исключаем все внутренние факторы, которые не планируются в будущем (акции, недопоставки и т.д.)
2. Учитываем только магазины и объекты LFL.
3. Возьмем продажи за прошлый период –  за год. Так как на дворе январь, то нам необходимо посмотреть на сколько продажи последующих месяцев отличаются от января.
4.  Делим продажи февраля прошлого периода на январь прошлого периода.  И так последующие месяцы.
5.  В результате мы получаем коэффициент, перемножив который на текущие продажи января мы получим прогноз продаж на будущий период.

Коэффициент сезонности в феврале относительно января 

Коэффициент сезонности товаров по месяцам в продажах по категориям

Каждая категория товаров имеет свое сезонное изменение продаж. Индекс сезонности в таблице рассчитан:

• • на основе факта продаж 456 магазинов формата Супермаркет
• • исключены все продажи промо акций
• • Учтены только сопоставимые магазины, присутствующие в течении всего периода (LFL)
• • Анализ построен на основе трех лет продаж

КатегорииБакалеяВодаДиабетическое питаниеКондитеркаМолокоМясоОвощи и фруктыПивоПтицаРыба

Продажи по дням недели

День недели играет важную роль в изменении продаж в розничной торговле. Самые низкие продажи приходятся на понедельник, а пик выручки приходится на субботу. Следовательно, выручка магазинов в субботу в 1,5 раза выше выручки понедельника.

Поделись или поставь Like, чтобы не потерять информацию:

Читайте также:

Если статья была для вас полезна, ставьте Лайк или поделитесь информацией со своими друзьями.

InsoRET » Основные показатели » Коэффициент сезонности объема продаж в магазинах или как спрогнозировать изменение продаж

Копирование текста запрещено авторским правом. Для использования материалов напишите владельцу сайта https://insoret.ru/chernova_daria/

insoret.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Решите неравенство cos(pi*x/4)>0 (косинус от (число пи умножить на х делить на 4) больше 0)

с изменением знака при 0

   /   /       pi       \\    
   |   |       -- + pi*n||    
   |   |  1    2        || > 0
cos|pi*|- -- + ---------||    
   \   \  40       pi   //    

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство cos(x)>-pi*1/4 (косинус от (х) больше минус число пи умножить на 1 делить на 4)

           /-pi \   1 
pi*n + acos|----| - --
           \ 4  /   10

   /           /-pi \   1 \   -pi 
cos|pi*n + acos|----| - --| > ----
   \           \ 4  /   10/    4  

   /  1               /-pi \\   -pi 
cos|- -- + pi*n + acos|----|| > ----
   \  10              \ 4  //    4  

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

www.kontrolnaya-rabota.ru

cos (3п / 4)

Угол 3 п / 4 не относится к распространенным углам, поэтому воспользоваться таблицей значений тригонометрической функции не получится. Для вычисления искомого значения будем использовать тригонометрические формулы, среди которых нас интересуют формулы приведения.
Для того, чтобы воспользоваться формулами приведения, нужно разложить данный аргумент на сумму или разность двух аргументов, которые принадлежат выше упомянутой таблице.
Например, аргумент 3 п / 4 можно разложить на сумму п / 2 и п / 4 или разность п и п / 4. Указанные значения входят в таблицу, следовательно можно применить формулу косинуса от суммы или разности, а далее найти значение косинуса 3 п / 4 с помощью таблицы значений тригонометрических функций.
Запишем косинус 3 п / 4 как разность аргументов:

Разложим полученное выражение по формуле косинуса разности:

Найдем значения тригонометрических функций из таблицы и подставим их в формулу:

Если необходимо, можно найти приближенное значение:

Также можно без применения специальных формул воспользоваться таблицами Брадиса.
По этим таблицам значение косинуса 3 п / 4 равно 0,707107.

ru.solverbook.com

чему равен косинус 3пи на 4 ???

минус корень из двух на два

минус корень из 2 на 2

135 градусов или минус корень из 2 на 2

cos3Пх4=cos12П= -(корень) две целых две десятых

cos (3пи/4)= cos 135 град = cos(90+45)= cos 90cos45-sin90sin45=-sin90sin45=-V2/2 (-корень из 2 на 2) Пояснение: использована формула косинуса суммы.

touch.otvet.mail.ru

Один из подходов к изучению тригонометрии в 10-м классе

Разделы: Математика

Еще в 1905 г. русские читатели могли прочесть в книге Уильяма Джеймса “Психология” его рассуждения о том, “почему зубрение представляет такой дурной способ учения?”

“Знания, приобретенные путем простого зубрения, почти неизбежно забываются совершенно бесследно. Наоборот, умственный материал, набираемый памятью постепенно, день за днем, в связи с различными контекстами, связанный ассоциативно с другими внешними событиями и неоднократно подвергший обсуждению, образует такую систему, вступает в такую связь с остальными сторонами нашего интеллекта, легко возобновляется в памяти массою внешних поводов, что остается надолго прочным приобретением”.

С тех пор прошло более 100 лет, а слова эти поразительно остаются злободневными. В этом каждодневно убеждаешься, занимаясь со школьниками. Массовые пробелы в знаниях настолько велики, что можно утверждать: школьный курс математики в дидактическом и психологическом отношениях – не система, а некое устройство, поощряющее кратковременную память и нисколько не заботиться о памяти долговременной.

Знать школьный курс математики – значит владеть материалом каждого из направлений математики, быть в состоянии актуализировать любое из них в любое время. Чтобы достичь этого, нужно систематически обращаться каждому из них, что порой не всегда возможно из-за сильной загруженности на уроке.

Есть другой путь долговременного запоминания фактов и формул – это опорные сигналы.

Тригонометрия – один из больших разделов школьной математики, изучаемой в курсе геометрии 8, 9 классов и в курсе алгебры 9 класса, алгебры и начал анализа в 10 классе.

Самый большой объем изучаемого материала по тригонометрии приходится на долю 10 класса. Большую часть этого материала из тригонометрии можно изучить и запомнить на тригонометрическом круге (окружность единичного радиуса с центром в начале прямоугольной системы координат). Приложение1.ppt

Это следующие понятия тригонометрии:

• определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла;
• радианное измерение углов;
• область определения и область значений тригонометрических функций
• значения тригонометрических функций для некоторых значений числового и углового аргумента;
• периодичность тригонометрических функций;
• четность и нечетность тригонометрических функций;
• возрастание и убывание тригонометрических функций;
• формулы приведения;
• значения обратных тригонометрических функций;
• решение простейших тригонометрических уравнений;
• решение простейших неравенств;
• основные формулы тригонометрии.

Рассмотрим изучение этих понятий на тригонометрическом круге.

1) Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

После введения понятия тригонометрического круга (окружность единичного радиуса с центром в начале координат), начального радиуса (радиус окружности по направлению оси Ох), угла поворота, учащиеся самостоятельно получают определения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса на тригонометрическом круге, используя определения из курса геометрии, то есть, рассматривая прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 1.

Косинусом угла называется абсцисса точки на окружности при повороте начального радиуса на данный угол.

Синусом угла называется ордината точки на окружности при повороте начального радиуса на данный угол.

2) Радианное измерение углов на тригонометрическом круге.

После введения радианной меры угла (1 радиан – это центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности), учащиеся делают вывод, что радианное измерение угла – это числовое значение угла поворота на окружности, равное длине соответствующей дуги при повороте начального радиуса на заданный угол. .

Тригонометрический круг разделен на 12 равных частей диаметрами окружности. Зная, что угол радианам, можно определить радианное измерение для углов кратных .

и т.д.

А радианные измерения углов, кратных, получаются аналогично:

3) Область определения и область значений тригонометрических функций.

Будет ли соответствие углов поворота и значений координат точки на окружности функцией?

Каждому углу поворота соответствует единственная точка на окружности, значит данное соответствие – функция.

Получаем функции

На тригонометрическом круге видно, что область определения функций – множество всех действительных чисел, а область значений — .

Введем понятия линий тангенсов и котангенсов на тригонометрическом круге.

1) Пусть Введем вспомогательную прямую, параллельную оси Оу, на которой определяются тангенсы для любого числового аргумента.

2) Аналогично получаем линию котангенсов. Пусть у=1, тогда . Значит, значения котангенса определяются на прямой, параллельной оси Ох.

На тригонометрическом круге без труда можно определить область определения и область значений тригонометрических функций:

для тангенса —

для котангенса —

4) Значения тригонометрических функций на тригонометрическом круге.

Катет , противолежащий углу в равен половине гипотенузы, то есть Другой катет по теореме Пифагора:

Значит по определению синуса, косинуса, тангенса, котангенса можно определить значения для углов кратных или радианам. Значения синуса определяются по оси Оу, косинуса по оси Ох, а значения тангенса и котангенса можно определить по дополнительным осям, параллельным осям Оу и Ох соответственно.

Табличные значения синуса и косинуса расположены на соответствующих осях следующим образом:

Табличные значения тангенса и котангенса —

5) Периодичность тригонометрических функций.

На тригонометрическом круге видно, что значения синуса, косинуса повторяются через каждые радиана, а тангенса и котангенса – через радиан.

6)Четность и нечетность тригонометрических функций.

Это свойство можно получить, сравнивая значения положительных и им противоположных углов поворота тригонометрических функций. Получаем, что

Значит, косинус – четная функция, все остальные функции – нечетные.

7) Возрастание и убывание тригонометрических функций.

По тригонометрическому кругу видно, что функция синус возрастает и убывает

Аналогично рассуждая, получаем промежутки возрастания и убывания функций косинуса, тангенса и котангенса.

8) Формулы приведения.

За угол берем меньшее значение угла на тригонометрическом круге. Все формулы получаются в сравнении значений тригонометрических функций на катетах выделенных прямоугольных треугольников.

Алгоритм применения формул приведения:

1) Определить знак функции при повороте на заданный угол.

При повороте на угол функция сохраняется, при повороте на угол — целое, нечетное число, получается кофункция (

9) Значения обратных тригонометрических функций.

Введем обратные функции для тригонометрических функций, пользуясь определением функции.

Каждому значению синуса, косинуса, тангенса и котангенса на тригонометрическом круге соответствует только одно значение угла поворота. Значит, для функции область определения , область значений — Для функции область определения — , область значений — . Аналогично получаем область определения и область значений обратных функций для косинуса и котангенса.

Алгоритм нахождения значений обратных тригонометрических функций:

1) нахождение на соответствующей оси значения аргумента обратной тригонометрической функции;

2) нахождение угла поворота начального радиуса с учетом области значений обратной тригонометрической функции.

Например:

10) Решение простейших уравнений на тригонометрическом круге.

Чтобы решить уравнение вида , найдем точки на окружности, ординаты которых равны и запишем соответствующие углы с учетом периода функции.

Для уравнения , найдем точки на окружности, абсциссы которых равны и запишем соответствующие углы с учетом периода функции.

Аналогично для уравнений вида Значения определяются на линиях тангенсов и котангенсов и записываются соответствующие углы поворота.

11) Решение неравенств.

Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точки на окружности с ординатой и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом периода функции.

Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точки на окружности с абсциссой и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом периода функции.

Чтобы решить неравенства вида , необходимо найти точку на линии тангенсов с координатой и прочитать соответствующее неравенство против часовой стрелки с учетом области определения и периода функции.

Аналогично для неравенств с котангенсом.

Необходимо практиковать чтение промежутков на тригонометрическом круге, тогда решения неравенств определяются безошибочно.

12) Основные формулы тригонометрии.

1) Основные тригонометрические тождества.

Очевидны выводы формул которые получаются в прямоугольном треугольнике на тригонометрическом круге.

2) Формулы сложения выводятся с использованием скалярного произведения векторов начального и “конечного” радиусов.

Другие формулы сложения получаются с использованием предыдущей, формул приведения и свойств четности и нечетности тригонометрических функций.

Почти все формулы тригонометрии являются следствиями этих основных формул.

Все понятия и формулы тригонометрии получают сами ученики под четким руководством учителя с помощью тригонометрического круга. В дальнейшем этот “круг” будет служить для них опорным сигналом или внешним фактором для воспроизведения в памяти понятий и формул тригонометрии.

Выводы:

Изучение тригонометрии на тригонометрическом круге способствует:

• выбору оптимального для данного урока стиль общения, организации учебного сотрудничества;
• целевые ориентиры урока становятся личностно значимыми для каждого ученика;
• новой материал опирается на личный опыт действия, мышления, ощущения учащегося;
• урок включает в себя различные формы работы и способы получения и усвоения знаний; присутствуют элементы взаимо- и самообучения; само- и взаимоконтроля;
• имеет место быстрое реагирование на непонимание и ошибку (совместное обсуждение, опоры-подсказки, взаимоконсультации).

18.01.2008

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

основные понятия, история :: SYL.ru

Синус, косинус, тангенс – при произнесении этих слов в присутствии учеников старших классов можно быть уверенным, что две трети из них потеряют интерес к дальнейшему разговору. Причина кроется в том, что основы тригонометрии в школе преподаются в полном отрыве от реальности, а потому учащиеся не видят смысла в изучении формул и теорем.

В действительности данная область знаний при ближайшем рассмотрении оказывается весьма интересной, а также прикладной – тригонометрия находит применение в астрономии, строительстве, физике, музыке и многих других областях.

Ознакомимся с основными понятиями и назовем несколько причин изучить этот раздел математической науки.

История

Неизвестно, в какой момент времени человечество начало создавать будущую тригонометрию с нуля. Однако документально зафиксировано, что уже во втором тысячелетии до нашей эры египтяне были знакомы с азами этой науки: археологами найден папирус с задачей, в которой требуется найти угол наклона пирамиды по двум известным сторонам.

Предполагается, что знаменитая теорема Пифагора, относящаяся к основам тригонометрии, была известна вавилонянам почти четыре тысячи лет назад.

Название

Дословно термин «тригонометрия» можно перевести как «измерение треугольников». Основным объектом изучения в рамках данного раздела науки на протяжении многих веков был прямоугольный треугольник, а точнее – взаимосвязь между величинами углов и длинами его сторон (сегодня с этого раздела начинается изучение тригонометрии с нуля). В жизни нередки ситуации, когда практически измерить все требуемые параметры объекта (или расстояние до объекта) невозможно, и тогда возникает необходимость недостающие данные получить посредством расчётов.

Например, в прошлом человек не мог измерить расстояние до космических объектов, а вот попытки эти расстояния рассчитать встречаются задолго до наступления нашей эры. Важнейшую роль играла тригонометрия и в навигации: обладая некоторыми знаниями, капитан всегда мог сориентироваться ночью по звездам и скорректировать курс.

Основные понятия

Для освоения тригонометрии с нуля требуется понять и запомнить несколько основных терминов.

Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему (либо, что то же самое, отношение синуса к косинусу). Котангенс – это единица, деленная на тангенс.

Стоит упомянуть и знаменитое число Пи (3,14…), которое представляет собой половину длины окружности с радиусом в одну единицу.

Популярные ошибки

Люди, изучающие тригонометрию с нуля, совершают ряд ошибок – в основном по невнимательности.

Во-первых, при решении задач по геометрии необходимо помнить, что использование синусов и косинусов возможно только в прямоугольном треугольнике. Случается, что учащийся «на автомате» принимает за гипотенузу самую длинную сторону треугольника и получает неверные результаты вычислений.

В-третьих, пока задача полностью не решена, не стоит округлять какие бы то ни было значения, извлекать корни, записывать обыкновенную дробь в виде десятичной. Часто ученики стремятся получить в задаче по тригонометрии «красивое» число и сразу же извлекают корень из трёх, хотя ровно через одно действие этот корень можно будет сократить.

Этимология слова «синус»

История слова «синус» поистине необычна. Дело в том, что буквальный перевод этого слова с латыни означает «впадина». Всё потому, что верное понимание слова затерялось при переводе с одного языка на другой.

Названия базовых тригонометрических функций произошли из Индии, где понятие синуса обозначалось словом «тетива» на санскрите — дело в том, что отрезок вместе с дугой окружности, на которую он опирался, походил на лук. Во времена расцвета арабской цивилизации индийские достижения в области тригонометрии были заимствованы, и термин перешел в арабский язык в виде транскрипции. Случилось так, что в этом языке уже было похожее слово, обозначающее впадину, и если арабы понимали фонетическую разницу между родным и заимствованным словом, то европейцы, переводящие научные трактаты на латынь, по ошибке буквально перевели арабское слово, никакого отношения к понятию синуса не имеющее. Им мы и пользуемся по сей день.

Таблицы значений

Существуют таблицы, в которые занесены числовые значения для синусов, косинусов и тангенсов всех возможных углов. Ниже представим данные для углов в 0, 30, 45, 60 и 90 градусов, которые необходимо выучить как обязательный раздел тригонометрии для «чайников», благо запомнить их довольно легко.

Геометрическое представление

Начертим круг, через его центр проведем оси абсцисс и ординат. Ось абсцисс располагается горизонтально, ось ординат – вертикально. Обычно они подписываются как «X» и «Y» соответственно. Теперь из центра окружности проведем прямую таким образом, чтобы между ней и осью X получился нужный нам угол. Наконец, из той точки, где прямая пересекает окружность, опустим перпендикуляр на ось X. Длина получившегося отрезка будет равна численному значению синуса нашего угла.

Применение

Одними из первых специалистов, использующих тригонометрию, были моряки, не имеющие никакого другого ориентира в открытом море, кроме неба над головой. Сегодня капитаны кораблей (самолётов и других видов транспорта) не ищут кратчайший путь по звёздам, зато активно прибегают к помощи GPS-навигации, которая без использования тригонометрии была бы невозможна.

Практически в каждом разделе физики вас ждут расчёты с использованием синусов и косинусов: будь то приложение силы в механике, расчёты пути объектов в кинематике, колебания, распространение волн, преломление света – без базовой тригонометрии в формулах просто не обойтись.

Ещё одна профессия, которая немыслима без тригонометрии – это геодезист. Используя теодолит и нивелир либо более сложный прибор – тахиометр, эти люди измеряют разницу в высоте между различными точками на земной поверхности.

Повторяемость

Тригонометрия имеет дело не только с углами и сторонами треугольника, хотя именно с этого она начинала своё существование. Во всех областях, где присутствует цикличность (биологии, медицине, физике, музыке и т. д.) вы встретитесь с графиком, название которого наверняка вам знакомо — это синусоида.

В заключение

Задумываясь о том, как выучить тригонометрию, большинство учащихся средней и старшей школы начинают считать её сложной и непрактичной наукой, поскольку знакомятся лишь со скучной информацией из учебника.

www.syl.ru

Тригонометрические функции. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

Корень n-й степени и его свойства

Корень n-й степени и его свойства

Что такое корень n-й степени? Как извлечь корень?

                В восьмом классе вы уже успели познакомиться с квадратным корнем. Решали типовые примеры с корнями, применяя те или иные свойства корней. Также решали квадратные уравнения, где без извлечения квадратного корня – никак. Но квадратный корень – это лишь частный случай более широкого понятия – корня n-й степени. Помимо квадратного, бывает, например, кубический корень, корень четвёртой, пятой и более высоких степеней. И для успешной работы с такими корнями неплохо бы всё-таки для начала быть на «ты» с корнями квадратными.) Поэтому у кого проблемы с ними – настоятельно рекомендую повторить.

            Извлечение корня – это одна из операций, обратных возведению в степень.) Почему «одна из»? Потому, что, извлекая корень, мы ищем основание по известным степени и показателю. А есть ещё одна обратная операция – нахождение показателя по известным степени и основанию. Такая операция называется нахождением логарифма. Она более сложная, чем извлечение корня и изучается в старших классах.)

            Итак, знакомимся!

            Во-первых, обозначение. Квадратный корень, как мы уже знаем, обозначается вот так: . Называется этот значок очень красиво и научно – радикал. А как обозначают корни других степеней? Очень просто: над «хвостиком» радикала дополнительно пишут показатель той степени, корень которой ищется. Если ищется кубический корень, то пишут тройку: . Если корень четвёртой степени, то, соответственно, . И так далее.) В общем виде корень n-й степени обозначается вот так:

, где .

            Число a, как и в квадратных корнях, называется подкоренным выражением, а вот число n для нас здесь новое. И называется показателем корня.

            Как извлекать корни любых степеней? Так же, как и квадратные – сообразить, какое число в n-й степени даёт нам число a.)

            Как, например, извлечь кубический корень из 8? То есть ? А какое число в кубе даст нам 8? Двойка, естественно.) Вот и пишут:

            Или . Какое число в четвёртой степени даёт 81? Тройка.) Значит,

            А корень десятой степени из 1? Ну, ежу понятно, что единица в любой степени (в том числе и в десятой) равна единице. ) То есть:

 и вообще .

   С нулём та же история: ноль в любой натуральной степени равен нулю. Стало быть, .

           Как видим, по сравнению с квадратными корнями, здесь уже посложнее соображать, какое число в той или иной степени даёт нам подкоренное число a. Сложнее подбирать ответ и проверять его на правильность возведением в степень n. Ситуация существенно облегчается, если знать в лицо степени популярных чисел. Поэтому сейчас – тренируемся. 🙂 Распознаём степени!)

Ответы (в беспорядке):

          Да-да! Ответов побольше, чем заданий.) Потому, что, к примеру, 2⁸, 4⁴ и 16² – это всё одно и то же число 256.

          Потренировались? Тогда считаем примерчики:

          Ответы (тоже в беспорядке): 6; 2; 3; 2; 3; 5.

          Получилось? Великолепно! Движемся дальше.)

Ограничения в корнях. Арифметический корень n-й степени.

          В корнях n-й степени, как и в квадратных, тоже есть свои ограничения и свои фишки. По своей сути, они ничем не отличаются от таковых ограничений для квадратных корней.

          Например, попробуем посчитать вот такой корень:

          Не подбирается ведь, да? Что 3, что -3 в четвёртой степени будет +81. 🙂 И с любым корнем чётной степени из отрицательного числа будет та же песня. А это значит, что извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел нельзя. Это запретное действие в математике. Такое же запретное, как и деление на ноль. Поэтому такие выражения, как ,  и тому подобные – не имеют смысла.

          Зато корни нечётной степени из отрицательных чисел – пожалуйста!

          Например, ; , и так далее.)

          А из положительных чисел можно со спокойной душой извлекать любые корни, любых степеней:

          В общем, понятно, думаю. ) И, кстати, корень совершенно не обязан извлекаться ровно. Это просто примеры такие, чисто для понимания.) Бывает, что в процессе решения (например, уравнений) выплывают и довольно скверные корни. Что-нибудь типа . Из восьмёрки кубический корень извлекается отлично, а тут под корнем семёрка. Что делать? Ничего страшного. Всё точно так же.  – это число, которое при возведении в куб даст нам 7. Только число это очень некрасивое и лохматое. Вот оно:

          Причём, это число никогда не кончается и не имеет периода: цифры следуют совершенно беспорядочно. Иррациональное оно… В таких случаях ответ так и оставляют в виде корня.) А вот если корень извлекается чисто (к примеру, ), то, естественно, надо корень посчитать и записать:

          Идём дальше.

          Снова берём наше подопытное число 81 и извлекаем из него корень четвёртой степени:

          Потому, что три в четвёртой будет 81. Ну, хорошо! Но ведь и минус три в четвёртой тоже будет 81!

          Получается неоднозначность:

          И, чтобы её устранить, так же, как и в квадратных корнях, ввели специальный термин: арифметический корень n-й степени из числа a – это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

          А ответ с плюсом-минусом называется по-другому – алгебраический корень n-й степени. У любой чётной степени алгебраическим корнем будет два противоположных числа. В школе же работают только с арифметическими корнями. Поэтому отрицательные числа в арифметических корнях попросту отбрасываются. Например, пишут: . Сам плюс, конечно же, не пишут: его подразумевают.

          Всё, казалось бы, просто, но… А как же быть с корнями нечётной степени из отрицательных чисел? Ведь там-то всегда при извлечении получается отрицательное число! Так как любое отрицательное число в нечётной степени также даёт отрицательное число. А арифметический корень работает только с неотрицательными числами! На то он и арифметический.)

          В таких корнях делают вот что: выносят минус из-под корня и ставят перед корнем. Вот так:

          В таких случаях говорят, что  выражен через арифметический (т.е. уже неотрицательный) корень .

          Но есть один пунктик, который может вносить путаницу, – это решение простеньких уравнений со степенями. Например, вот такое уравнение:

          Пишем ответ: . На самом деле, этот ответ – всего-навсего сокращённая запись двух ответов:

          Непонятка здесь заключается в том, что чуть выше я уже написал, что в школе рассматриваются только неотрицательные (т.е. арифметические) корни. А тут один из ответов с минусом… Как быть? Да никак! Знаки здесь – это результат решения уравнения. А сам корень – величина всё равно неотрицательная! Смотрите сами:

          Ну как, теперь понятнее? Со скобочками?)

          С нечётной степенью всё гораздо проще – там всегда получается один корень. С плюсом или с минусом. Например:

          Итак, если мы просто извлекаем корень (чётной степени) из числа, то мы всегда получаем один неотрицательный результат. Потому что это – арифметический корень. А вот, если мы решаем уравнение с чётной степенью, то мы получаем два противоположных корня, поскольку это – решение уравнения.

          С корнями нечётных степеней (кубическими, пятой степени и т.д.) проблем никаких. Извлекаем себе и не паримся со знаками. Плюс под корнем – значит, и результат извлечения с плюсом. Минус – значит, минус.)

          А теперь настал черёд познакомиться со свойствами корней. Некоторые уже будут нам знакомы по квадратным корням, но добавится и несколько новых. Поехали!

Свойства корней. Корень из произведения.

           Это свойство уже знакомо нам из квадратных корней. Для корней других степеней всё аналогично:

       То есть, корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя отдельно.

        Если показатель n чётный, то оба подкоренных числа a и b должны быть, естественно, неотрицательными, иначе формула смысла не имеет. В случае нечётного показателя ограничений никаких нет: выносим минусы из-под корней вперёд и дальше работаем с арифметическими корнями.)

        Как и в квадратных корнях, здесь эта формула одинаково полезна как слева направо, так и справа налево. Применение формулы слева направо позволяет извлекать корни из произведения. Например:

        Эта формула, кстати говоря, справедлива не только для двух, а для любого числа множителей. Например:

        Также по этой формуле можно извлекать корни из больших чисел: для этого число под корнем раскладывается на множители поменьше, а дальше извлекаются корни отдельно из каждого множителя.    

        Например, такое задание:

       Число достаточно большое. Извлекается ли из него корень ровно – тоже без калькулятора непонятно. Хорошо бы его разложить на множители. На что точно делится число 3375? На 5, похоже: последняя цифра – пятёрка.) Делим:

        Ой, снова на 5 делится! 675:5 = 135. И 135 опять на пятёрку делится. Да когда ж это кончится!)

   135:5 = 27. С числом 27 всё уже ясно – это тройка в кубе. Значит,  

        Тогда:

        Извлекли корень по кусочкам, ну и ладно.)

        Или такой пример:

         Снова раскладываем на множители по признакам делимости. Каким? На 4, т.к. последняя парочка цифр 40 – делится на 4. И на 10, т.к. последняя цифра – ноль. Значит, можно поделить одним махом сразу на 40:

         Про число 216 мы уже знаем, что это шестёрка в кубе. Стало быть,

         А 40, в свою очередь, можно разложить как . Тогда

         И тогда окончательно получим:

         Чисто извлечь корень не вышло, ну и ничего страшного. Всё равно мы упростили выражение: мы же знаем, что под корнем (хоть квадратным, хоть кубическим — любым) принято оставлять самое маленькое число из возможных. ) В этом примере мы проделали одну весьма полезную операцию, тоже уже знакомую нам из квадратных корней. Узнаёте? Да! Мы вынесли множители из-под корня. В данном примере мы вынесли двойку и шестёрку, т.е. число 12.

Как вынести множитель за знак корня?

             Вынести множитель (или множители) за знак корня очень просто. Раскладываем подкоренное выражение на множители и извлекаем то, что извлекается.) А что не извлекается – так и оставляем под корнем. Смотрите:

          Раскладываем число 9072 на множители. Так как у нас корень четвёртой степени, в первую очередь пробуем разложить на множители, являющиеся четвёртыми степенями натуральных чисел – 16, 81 и т.д.

          Попробуем поделить 9072 на 16:

 Поделилось!

           А вот 567, похоже, делится на 81:

           Значит, .

           Тогда

Свойства корней. Умножение корней.

                Рассмотрим теперь обратное применение формулы – справа налево:

           На первый взгляд, ничего нового, но внешность обманчива. ) Обратное применение формулы значительно расширяет наши возможности. Например:

           Хм, ну и что тут такого? Умножили и всё. Здесь и впрямь ничего особенного. Обычное умножение корней. А вот такой пример!

           Отдельно из множителей корни чисто не извлекаются. Зато из результата – отлично. )

           Опять же формула справедлива для любого числа множителей. Например, надо посчитать вот такое выражение:

           Здесь главное – внимание. В примере присутствуют разные корни – кубические и четвёртой степени. И ни один из них точно не извлекается…

           А формула произведения корней применима только к корням с одинаковыми показателями. Поэтому сгруппируем в отдельную кучку кубические корни и в отдельную – четвёртой степени. А там, глядишь, всё и срастётся.))

            И калькулятора не понадобилось.)

Как внести множитель под знак корня?

                Следующая полезная вещь – внесение числа под корень. Например:

           Можно ли убрать тройку внутрь корня? Элементарно! Если тройку превратить в корень, то сработает формула произведения корней. Итак, превращаем тройку в корень. Раз у нас корень четвёртой степени, то и превращать будем тоже в корень четвёртой степени.) Вот так:

           Тогда

           Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа. Причём той степени, какой хотим (всё от конкретного примера зависит). Это будет корень из n-й степени этого самого числа:

           А теперь – внимание! Источник очень грубых ошибок! Я не зря здесь сказал про неотрицательные числа. Арифметический корень работает только с такими. Если у нас в задании где-то затесалось отрицательное число, то либо минус так и оставляем, перед корнем (если он снаружи), либо избавляемся от минуса под корнем, если он внутри. Напоминаю, если под корнем чётной степени получается отрицательное число, то выражение не имеет смысла.

           Например, такое задание. Внести множитель под знак корня:

           Если мы сейчас внесём под корень минус два, то жестоко ошибёмся:

           В чём здесь ошибка? А в том, что четвёртая степень, в силу своей чётности, благополучно «съела» этот минус, в результате чего заведомо отрицательное число  превратилось в положительное . А верное решение выглядит так:

           В корнях нечётных степеней минус хоть и не «съедается», но его тоже лучше оставлять снаружи:

           Здесь корень нечётной степени – кубический, и мы имеем полное право минус тоже загнать под корень. Но предпочтительнее в таких примерах минус также оставлять снаружи и писать ответ выраженным через арифметический (неотрицательный) корень , поскольку корень  хоть и имеет право на жизнь, но арифметическим не является.

           Итак, с внесением числа под корень тоже всё ясно, я надеюсь.) Переходим к следующему свойству.

Свойства корней. Корень из дроби. Деление корней.

               Это свойство также полностью повторяет таковое для квадратных корней. Только теперь мы его распространяем на корни любой степени:

       Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

        Если n чётно, то число a должно быть неотрицательным, а число b – строго положительным (на ноль делить нельзя). В случае нечётного показателя единственным ограничением будет .

        Это свойство позволяет легко и быстро извлекать корни из дробей:

       Идея понятна, думаю. Вместо работы с дробью целиком мы переходим к работе отдельно с числителем и отдельно со знаменателем.) Если дробь десятичная или, о ужас, смешанное число, то предварительно переходим к обыкновенным дробям:

       А теперь посмотрим, как эта формула работает справа налево. Здесь тоже выявляются очень полезные возможности. Например, такой примерчик:

       Из числителя и знаменателя корни ровно не извлекаются, зато из всей дроби – прекрасно.) Можно решить этот пример и по-другому – вынести в числителе множитель из-под корня с последующим сокращением:

       Как вам будет угодно. Ответ всегда получится один – правильный. Если ошибок не наляпать по дороге.)

       Итак, с умножением/делением корней разобрались. Поднимаемся на следующую ступеньку и рассматриваем третье свойство – корень в степени и корень из степени.

Корень в степени. Корень из степени.

        Как возвести корень в степень? Например, пусть у нас есть число . Можно это число возвести в степень? В куб, например? Конечно! Помножить корень сам на себя три раза, и – по формуле произведения корней:

       Здесь корень и степень как бы взаимоуничтожились или скомпенсировались. Действительно, если мы число, которое при возведении в куб даст нам тройку, возведём в этот самый куб, то что получим? Тройку и получим, разумеется! И так будет для любого неотрицательного числа. В общем виде:

       Если показатели степени и корня разные, то тоже никаких проблем. Если знать свойства степеней.)

       Если показатель степени меньше показателя корня, то просто загоняем степень под корень:

       В общем виде будет:

        Идея понятна: возводим в степень подкоренное выражение, а дальше упрощаем, вынося множители из-под корня, если это возможно. Если n чётно, то a должно быть неотрицательным. Почему – понятно, думаю.) А если n нечётно, то никаких ограничений на a уже нету:

        Разберёмся теперь с корнем из степени. То есть, в степень будет возводиться уже не сам корень, а подкоренное выражение. Здесь тоже ничего сложного, но простора для ошибок значительно больше. Почему? Потому, что в игру вступают отрицательные числа, которые могут вносить путаницу в знаках. Пока начнём с корней нечётных степеней – они гораздо проще.

        Пусть у нас есть число 2. Можно его возвести в куб? Конечно!

        А теперь – обратно извлечём из восьмёрки кубический корень:

        С двойки начали, к двойке же и вернулись.) Ничего удивительного: возведение в куб скомпенсировалось обратной операцией – извлечением кубического корня.

        Другой пример:

        Здесь тоже всё путём. Степень и корень друг друга скомпенсировали. В общем виде для корней нечётных степеней можно записать такую формулку:

        Эта формула справедлива для любого действительного числа a. Хоть положительного, хоть отрицательного.

        То есть, нечётная степень и корень этой же степени  всегда друг друга компенсируют и получается подкоренное выражение. 🙂

        А вот с чётной степенью этот фокус может уже не пройти. Смотрите сами:

        Здесь пока ничего особенного. Четвёртая степень и корень четвёртой же степени тоже друг друга уравновесили и получилась просто двойка, т.е. подкоренное выражение. И для любого неотрицательного числа будет то же самое. А теперь всего лишь заменим в этом корне два на минус два. То есть, посчитаем вот такой корень:

        Минус у двойки благополучно «сгорел» из-за четвёртой степени. И в результате извлечения корня (арифметического!) мы получили положительное число. Было минус два, стало плюс два.) А вот если бы мы просто бездумно «сократили» степень и корень (одинаковые же!), то получили бы

        Что является грубейшей ошибкой, да.

        Поэтому для чётного показателя формула корня из степени выглядит вот так:

        Здесь добавился нелюбимый многими знак модуля, но в нём страшного ничего нет: благодаря ему, формула также работает для любого действительного числа a. И модуль просто отсекает минусы:

        И так далее.) Эта формула – аналог формулы корня квадратного из квадрата:

        Только в корнях n-й степени появилось дополнительное разграничение на чётные и нечётные степени. Чётные степени, как мы видим, более капризные, да.)

        А теперь рассмотрим новое полезное и весьма интересное свойство, уже характерное именно для корней n-й степени: если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить (разделить) на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

        Чем-то напоминает основное свойство дроби, не правда ли? В дробях мы тоже числитель и знаменатель можем умножать (делить) на одно и то же число (кроме нуля). На самом деле, это свойство корней – тоже следствие основного свойства дроби. Когда мы познакомимся со степенью с рациональным показателем, то всё станет ясно. Что, как и откуда. )

        Прямое применение этой формулы позволяет нам упрощать уже совершенно любые корни из любых степеней. В том числе, если показатели степени подкоренного выражения и самого корня разные. Например, надо упростить вот такое выражение:

        Поступаем просто. Выделяем для начала под корнем четвёртую степень из десятой и – вперёд! Как? По свойствам степеней, разумеется! Выносим множитель из-под корня или работаем по формуле корня из степени.

        А вот  упростим, используя как раз это свойство. Для этого четвёрку под корнем представим как :

        И теперь – самое интересное – сокращаем мысленно показатель под корнем (двойку) с показателем корня (четвёркой)! И получаем:

        Вся цепочка преобразований выглядит так:

        Или такой пример:

        Это было прямое применение формулы. А вот обратное применение ещё сильнее повышает наш математический уровень. Сомневаетесь? Напрасно! Дело в том, что обратное применение этой формулы справа налево  позволяет нам сравнивать различные корни. Очень мощная штука!

Как сравнивать корни?

       Допустим, надо (без калькулятора!) сравнить два числа:

 и

       Корень квадратный из пяти – это двойка с хвостиком. Корень кубический из десяти – это тоже двойка с хвостиком. А вот какой из двух хвостиков длиннее, а какой короче – вопрос. С ходу так и не скажешь. Пока показатели корней — разные.) А вот, если их как-то преобразовать к одинаковым, то всё, глядишь, и наладится! Для этого ищем наименьшее общее кратное показателей корней. В данном случае показатели корней равны 2 и 3, т.е. оба корня будем приводить к шестёрке. Как? По вышеупомянутому свойству:

            Берём . Как корень из квадратного превратить в корень шестой степени, но так, чтобы суть выражения не изменилась? Чтобы получить шестёрку в показателе корня, надо исходный показатель корня 2 домножить на 3. Это нам надо. Но тогда и пятёрку под корнем придётся дополнительно возвести в степень 3 (т.е. в куб): это уже математике надо. Значит,

.

        С числом  всё аналогично. Только десятку под корнем будем дополнительно возводить в квадрат:

        Теперь дело за малым – сравнить два числа  и .

        Ясно, что , а значит, и  и, стало быть,

        Если перед корнями тусуются какие-то множители, то убираем их внутрь корней и – по накатанной колее. Например, такое задание:

        Сравнить  и .

        Первым делом вносим множители под корни:

        А теперь – приводим оба корня к одному показателю. К четвёрке.)

        Ну, число  уже и так приведено и уже готово для сравнения. А вот  преобразуем:

.

        Вот теперь всё и прояснилось: , поэтому .

        А это значит, что

        Этот принцип сравнения одинаковых корней по подкоренным выражениям, строго говоря, основывается на монотонном возрастании функции . То есть, большему числу соответствует и больший корень. И наоборот.) В разделе по функциям и графикам мы этому факту уделим отдельное внимание, а здесь мы просто им пользуемся. Себе во благо. 🙂

        Что ж, осталось последнее усилие. Собираем волю в кулак и знакомимся с последним (и тоже новым для нас) свойством корней – корень под корнем.

Как извлечь корень из корня?

        Это свойство на самом деле очень простое и по своей сути очень похоже на возведение степени в степень. Так как является обратным к этой операции.) Вот как оно выглядит:

        Чтобы извлечь корень из корня, надо перемножить показатели корней.

        Это свойство позволяет несколько вложенных корней заменить одним корнем. Например:

        Или такой пример:

        Причём вложений может быть сколько угодно – формула всё равно сработает:

        Как видим, никаких хитростей. Просто перемножаем показатели и считаем (если считается).

        Вот, собственно, всё что я пока хотел рассказать.)) Следующим этапом нашей работы с корнями будет преобразование иррациональных выражений. Но это – в следующий раз.

        А теперь, как всегда, делаем задания.

Задание 1

        Вычислить:

Задание 2

        Вычислить:

Задание 3

        Найти значение выражения:

Задание 4

        Вынести множитель из-под знака корня:

        Внести множитель под знака корня:

Задание 5

        Решите уравнение: 

Задание 6

        Вычислите:

        Ответы в беспорядке: 1,2; ; 2; ; 3; 6; ; 20; ; 72; 2,1; 5; 0,4; -2; ; 12; 6; 14; 4; 20/3; ; -8; ; ; 20; 42.

        Всё решилось? Одной левой? Великолепно! Корни – не ваш камень преткновения.) Не всё получилось? Не беда! Не ошибается тот, кто ничего не делает.)

abudnikov.ru

Действия со степенями и корнями

• Войти
• Регистрация

• Схемы
  • Биология
  • География
  • История
  • Математика и алгебра
  • Медицина
  • Обществознание
  • Педагогика
  • Политология
  • Право
  • Психология
  • Русский язык
  • Социология
  • Физика
  • Философия
  • Химия
  • Экономика
  • Прочее
• Книги
  • Биология
  • География
  • История
  • Математика и алгебра
  • Медицина
  • Обществознание
  • Педагогика
  • Политология
  • Право
  • Психология
  • Русский язык
  • Социология
  • Физика
  • Философия
  • Химия
  • Экономика
  • Прочее
• Комментарии
• Люди
• Добавить свою схему
• Заказать работу

xn--e1aogju.xn--p1ai

Действия с корнями

157 сантиметров в миллиметрах | Сколько мм в 157 см

Пересчёт см в мм

157 Сантиметров (см)
=
1570 Миллиметров (мм)