Рубрика: Школьная жизнь

Чему равен синус 45 градусов? Формула и расчет Vovet.ru

Способы решения геометрических задач, используя функции треугольников — это наука тригонометрия (дословно переводится, как «измерение треугольников»). Хотя еще со времен Древней Греции ученые использовали вычисленные функции для решения астрономических, архитектурных и геодезических вычислений, но только в конце шестнадцатого века немецкий математик Бартоломеус Питискус ввел этот термин для отдельного раздела математики, посвященного изучению тригонометрических функций и их приложений.

Синус 45° градусов равен √2/2

Докажем это. Чтобы определить, чему равен синус 45 градусов, необходимо построить прямоугольный треугольник АВС, примем значение угла В равным 45 градусам. Зная теорему о свойствах прямоугольного треугольника, возможно вычислить значение остальных углов. Так как треугольник является прямоугольным, следовательно угол С будет равен 90 градусам, угол В изначально равен 45 градусам, а сумма всех углов прямоугольного треугольника составляет 180 градусов.

∠А + ∠В + ∠С = 180° , теперь можно вычислить значение угла А

∠А = 180° —∠С — ∠В = 180° — 90° — 45° = 45°

Теперь мы знаем, что два угла у нас равны между собой, следовательно треугольник у нас равнобедренный, значит можно использовать такое свойство равнобедренного треугольника, как равность катетов. Применяем для решения задачи теорему Пифагора

АВ²=АС²+ВС²

Заменяем стороны АС и ВС на переменную a (мы помним, что стороны у нас равны друг другу!), следовательно:

АВ² = а² + а² = 2а²,

Тогда АВ=а√2.

Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе, где ВС – катет, АВ – гипотенуза.

sin α = BC / AB

Можете также заодно узнать значение sin(135°) или синус 360° градусов.

vovet.ru

sin 45 равен

Разберемся, чему sin 45 равен.
Значение синуса можно вычислить многими способами, рассмотрим три из них.

1 способ.
Для вычисления значений тригонометрических функций от основных значений углов принято использовать таблицу их значений.

Будем использовать таблицу, по которой можно определить значение от аргументов в радианах и градусах.
Найдем пересечение между функцией синус и 45 градусами. При этом получим значение корень из 2 / 2.
Запишем математически найденное значение:

2 способ.
Если нет таблицы, то значение синуса 45 градусов можно определить с помощью тригонометрической окружности (еще принято называть тригонометрическим кругом).

Значения синусов на тригонометрической окружности находятся на оси Оу. Найдем значение функции синус от 45 градусов.
На окружности найдем точку, которая отвечает значению аргумента синуса — 45 градусов. Затем опустим перпендикуляр на ось Оу, после чего получим значение . Итак, получили, что синус от 45 градусов равен .

3 способ.
График синуса (синусоида) также может пригодится для определения значения синуса 45 градусов. Для этого на оси Ох находят значение, которое соответствует 45 градусам, проводят перпендикуляр относительно оси Ох на линию графика и проецируют полученную точку на Ось Оу. Полученное значение и будет ответом. Но для использования графика нужно иметь некоторые знания об основных значениях углов и значениях функции синус и расположении их на координатных осях.

ru.solverbook.com

Синус 45 | Треугольники

Угол 45 градусов в геометрических задачах — один из самых часто встречающихся.

Соответственно, регулярно приходится использовать значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для этого угла.

Найдем, чему равен синус 45 градусов.

Утверждение:

Доказательство:

 Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с острым углом 45 градусов:

   ∠C=90º, ∠A=45º.

 Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то
 ∠B=90º —∠A=45º.

Так как два угла треугольника равны: ∠A=∠B, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB.

Следовательно, AC=BC.

По теореме Пифагора

Пусть AC=BC=a, тогда

По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника:

Имеем:

Поскольку иррациональность в знаменателе оставлять не принято, и числитель, и знаменатель дроби умножаем на квадратный корень из двух:

Что и требовалось доказать.

Переведем 45º в радианы:

Значит, синус пи на четыре равен

www.treugolniki.ru

чему равен синус 45 градусов?

Ответы (11)

корень из 2 деленый на 2

0

ответ написан почти 2лет назад

А как вы это вычеслили?

0

комментарий написан почти 2лет назад

Войдите что бы оставлять комментарии

корень из двух деленное на два

0

ответ написан почти 2лет назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

корень из 2 делёная на два

0

ответ написан почти 2лет назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

синус 0,7071,косинус столько же…

0

ответ написан почти 2лет назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

синус — корень из двух деленое на два. косинус — корень из двух на два, оно одинаково с синусом

0

ответ написан почти 2лет назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

конечно, корень из двух деленный на два, а косинус такой же!

0

ответ написан почти 2лет назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

Эт синус (180 градусов минус 135 градусов), по формулам приведения дальше сами знаете)))

0

ответ написан почти 2лет назад

дальше сами не знаем =)

0

комментарий написан почти 2лет назад

что?

0

комментарий написан почти 2лет назад

Войдите что бы оставлять комментарии

корень из 2х делённый на 2.

0

ответ написан почти 2лет назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

0

ответ написан почти 2лет назад

Sin45=√2/2 Легко

0

комментарий написан почти 2лет назад

Войдите что бы оставлять комментарии

синус 45

0

ответ написан почти 2лет назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

0,70710678118

0

ответ написан почти 2лет назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

Оставить ответ

Войдите, чтобы написать ответ

education.ques.ru

чему равен sin(-45), cos(-45), tg(-45) и ctg(-45)

Посмотри на их графики. Вообще эти графики надо помнить наизусть, они простые. И ты увидишь, что sin -45° = — sin 45° (и вообще sin -a = -sin a), и cos -45° = cos 45° (и вообще cos -a = cos a), и tg -45° = -tg 45°, и ctg -45° = -ctg 45°. Имея в голове эти графики или глядя на них, легко разберешься и с более сложными случаями вроде sin 135°… А «синусы и косинусы это лишь отношения сторон угла (катетов, гипотенузы) » — это лишь простой частный случай. Затем окажется, что это мнимая и действительная части экспонент мнимых чисел, а затем — что это функции, обратные к эллиптическим интегралам.

синусы и косинусы это лишь отношения сторон угла (катетов, гипотенузы) думаю что угол должен браться по модулю. в противном случае это будет угол 360-45=315 градусов

sin(-45)=-sin45 и т. д.

Если смущает «-«, то -45 = 315 градусов Т. е sin(-45)=sin(315)= — корень из 2/2 cos(-45)=корень из 2/2 tg(-45)=ctg(-45)=-1

touch.otvet.mail.ru

чему равен sin в квадрате 45 гр?cos в квадрате 45гр?и sin2угла 45 гр?

Sin ^2 45°=1/2(1-cos 2*45°)=1/2(1-cos 90°)=1/2(1-0)=1/2 cos^2 45°=1/2(1+cos 2*45°)=1/2(1+cos 90°)=1/2 sin 2*45°=sin 90°=1 Можно последнее, конечно, расписать, но выйдет тоже самое >> sin 2*45°= 2* sin 45°*cos45°=2*1/2 корень 2* 1/2 корень2=1 Удачи х)

sin в квадрате 45 гр <img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/litvinenko.l/_animated/i-192.gif» > cos в квадрате 45гр <img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/litvinenko.l/_animated/i-193.gif» > sin2угла 45 гр <img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/litvinenko.l/_animated/i-194.gif» >

sin^2(45)=0.5 cos^2(45)=0.5 sin2(45)=2sin(45)*cos(45)=1

sin^2 45 гр = 0,5 и cos^2 45 гр=0,5 а sin2 угла 45 гр = 1

1. 1/2 2. 1/2 3. 1 Вот так.

согласен с Ласточкой и Nicha sin45=корень 2 / 2, а квадрат =1 / 2 cos 45 тоже самое sin2(45)=2sin(45)*cos(45)=1

touch.otvet.mail.ru

Таблица. Мантиссы (дробные части) десятичных логарифмов.

dpva.ru

Десятичный логарифм и его свойства

Определение и формулы десятичного логарифма

Этот логарифм является решением показательного уравнения . Иногда (особенно в зарубежной литературе) десятичный логарифм обозначается еще как , хотя первые два обозначения присущи и натуральному логарифму.

Первые таблицы десятичных логарифмов были опубликованы английским математиком Генри Бригсом (1561-1630) в 1617 г. (поэтому иностранные ученые часто называют десятичные логарифмы еще бригсовыми), но эти таблицы содержали ошибки. На основе таблиц (1783 г.) словенского и австрийского математики Георга Барталомея Веги (Юрий Веха или Веховец, 1754-1802) в 1857 г. немецкий астроном и геодезист Карл Бремикер (1804-1877) опубликовал первое безошибочное издание. При участии русского математика и педагога Леонтия Филипповича Магницкого (Телятин или Теляшин, 1669-1739) в 1703 г. в России были изданы первые таблицы логарифмов. Десятичные логарифмы широко применялись для вычислений.

Свойства десятичных логарифмов

Этот логарифм обладает всеми свойствами, присущими логарифму по произвольному основанию:

1. Основное логарифмическое тождество:

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. Переход к новому основанию:

8. .

9. .

Функция десятичного логарифма — это функция . График этой кривой часто называют логарифмикой.

Свойства функции y=lg x

1) Область определения: .

2) Множество значений: .

3) Функция общего вида.

4) Функция непериодическая.

5) График функции пересекается с осью абсцисс в точке .

6) Промежутки знакопостоянства: для та для .

7) Функция возрастает на всей области определения.

8) Точек минимума/максимума нет.

9) График:

Производная логарифма натурального

Интеграл от натурального логарифма

Ряд Маклорена

ru.solverbook.com

Таблица Брадиса логарифм

Полная таблица Брадиса

Как пользоваться таблицей Брадиса логарифмов

www.kontrolnaya-rabota.ru

Таблица десятичных логарифмов — Справочник химика 21

    Следует учитывать, что при пользовании таблицами десятичных логарифмов числа будут определяться с относительной погрешностью, равной —где п — число знаков мантиссы логарифмов, [c.774]

    Для отыскания приближенных значений натуральных логарифмов по таблицам десятичных логарифмов найдем связь между натуральными и десятичными логарифмами. [c.44]

    ТАБЛИЦА 1. Трехзначные десятичные логарифмы [c.486]

    Чтобы найти lg2,55, пользуясь табл. 1, приходится оценивать интерполированием его величину как среднее между приведенными в таблице логарифмами чисел 2,5 и 2,6. В приложении Б дается таблица четырехзначных логарифмов, из которой можно непосредственно определить значение логарифма 2,55, равное 0,4065. (Пользуясь таблицей приложения Б, вы должны мысленно вставлять десятичную запятую в двухзначные числа, помещенные в первую слева колонку). [c.486]

    Логарифмические таблицы также очень удобны для вычислений. Наиболее часто пользуются таблицами десятичных логарифмов. Так как любое число можно представить в виде другого числа, состоящего из тех же цифр и умноженного на 10 в некоторой целой степени, то десятичные логарифмы чисел N и ]У-10 различаются только характеристиками и имеют одинаковые мантиссы  [c.42]

    При пользовании таблицами десятичных логарифмов числа определяются с относительной ошибкой, приблизительно равной 1/10″, где я — число знаков мантиссы логарифмов. Поэтому четырехзначные таблицы дают результаты с четырьмя верными знаками. [c.42]

    Рассчитайте количество иода, выделившегося на всех стадиях реакции между появлением окраски раствора, и количество пероксида водорода, которые остаются в растворе на этих стадиях. Учитывая увеличение объема смеси вследствие добавок раствора тиосульфата натрия, определите молярную концентрацию пероксида водорода в начале каждого этапа реакции, а также ее десятичный логарифм. Запишите полученные данные в таблицу  [c.77]

    Степень а носит название десятичного логарифма числа Л, т. е. 1 Л = а. Например, число 100 может быть изображено как десять во второй степени, так как 100 = 102 следовательно, десятичным логарифмом 100 будет число 2. Таким же образом десятичным логарифмом 1 ООО окажется число 3, так как 1 ООО = 10 , и т. д. Понятно, что для подавляющего большинства чисел их десятичный логарифм окажется длинной десятичной дробью. Так, логарифмом двойки будет число 0,30103. логарифмом пяти будет число 0,69897 или приблизительно 0,7. логарифмом 101 будет число 2,00432 и т. д. Система десятичных логарифмов широко используется для быстрых подсчетов и издается в виде специальных таблиц. Она позволяет вместо длительных операций умножения и деления свести подсчеты к сложению или вычитанию логарифмов. На этой основе построены и счетные логарифмические линейки. [c.210]

    Таблицу значений натуральных логарифмов чисел см., например, в справочнике Митропольский А.К. Краткие математические таблицы. М., 1962, С. 56— 57. При отсутствии таких таблиц 1п вычисляют, умножая десятичный логарифм величины на коэффициент, равный 2,3. [c.109]

    Для функции (тг]) нами составлена таблица III (см. в конце книги), при чем и здесь вычисления производились с переходом в десятичным логарифмам, т.-е. по формуле  [c.21]

    Для каждого процента снижения массы находили по таблицам соответствующий ему пробит, а также определяли десятичные логарифмы доз гербицида (табл. 9)-Уравнением прямой линии является, как известно, г/=а-Ь л, где у — пробиты процентов снижения массы растений по сравнению с контролем х — логарифмы доз а и Ь — искомые параметры уравнения. Решение уравнения связи проводится по способу наименьших [c.139]

    Вспомогательная таблица для вычисления десятичных, логарифмов чисел, встречающихся при расчетах спуска сточных вод в водоем по растворенному [c.173]

    Если какое-то число равно 10 % то это значит, что десятичный логарифм его равен 0,54. По таблице антилогарифмов найдем, что логарифму 0,54 соответствует число 3,5. [c.154]

    Для натуральных логарифмов составлены таблицы, которые помещены во всех полных математических справочниках. Укажем формулу, связывающую десятичный и натуральный логарифмы одного и того же числа  [c.12]

    Вычисляя результаты анализа с помощью таблиц логарифмов, надо учитывать, что вычислительная погрешность, вносимая в результат вследствие применения таблицы /г-значных логарифмов, делает не вполне надежной к-тую значащую его цифру. Для практически полного устранения вычислительной погрешности, обусловленной применением таблиц логарифмов, надо пользоваться таблицами логарифмов с одним лишним (запасным) десятичным знаком. Однако эта погрешность настолько мала, что часть запасного десятичного знака не берут и вычисляют к-значный результат посредством таблицы /г-значных результатов. Средняя квадратичная погрешность не больше единицы разряда послед- [c.178]

    Выразим первый сомножитель в виде смешанной десятичной дроби, помня, что а=10 . Для этого по таблице антилогарифмов найдем число, логарифм которого равен 0,2. Это число (с округлением до двух значащих цифр) равно 1,6, т. е. 10 2 = 1,6. Подставив это значение в предыдущее выражение, найдем  [c.175]

    Если требуемая точность не достигается применением пятизначных логарифмов, то необходимо использовать семизначные логарифмы, которые соответствую значениям веса воды, взятым с точностью до третьего десятичного знака, приведенного в таблице. [c.273]

    Из величин Л°, находимых непосредственно из стандартных таблиц для ф» или вычисляемых по стандартным и 5°, с помощью соотношения (с1) может быть непосредственно найдена константа равновесия для стандартной температуры. Согласно (159) А° = = —/ 7 ° 1п РС или, подставляя значения для 7° и 7 и переходя от натуральных логарифмов к десятичным, а также умножая на 1000 для перехода от больших калорий к малым  [c.236]

    С другой стороны, из значения pH можно вычислить концентрацию водородных ионов. Например, pH = 7,35. Вычислить [

www.chem21.info

Таблица Брадиса — Натуральные логарифмы ( основание e = 2,71828… )

_______________

Источник информации: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: Для средней школы. / В.М. Брадис . — 57-е изд., — М.: Просвещение, 1990.

infotables.ru

Определение подобных треугольников

Рассмотрим два прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30° (рис. 364).

Стороны второго треугольника по сравнению с первым уменьшены в два раза:

\(\frac{AB}{A’B’}\) = 2; \(\frac{AC}{A’C’}\) = 2; \(\frac{BC}{B’C’}\) = 2.

У этих треугольников углы попарно равны. Стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны:

\(\frac{AB}{A’B’}\) = \(\frac{AC}{A’C’} = \frac{BC}{B’C’}\) = 2.

Такие треугольники называют подобными. Стороны, лежащие против равных углов, называются сходственными.

Таким образом, подобными называются треугольники, у которых yглы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Подобие треугольников записывается так: \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’.

Отношение сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия. В данном случае коэффициентом подобия треугольников АBС и А’В’С’ будет число 2.

Если же взять отношения ^A’B’/_AB = ^A’C’/_AC = ^B’C’/_BC , то коэффициент подобия будет равен ¹/₂.

Свойство прямой, параллельной какой-либо стороне треугольника.

Проведём в треугольнике АBС прямую DЕ параллельно стороне АС (рис. 365).

Получим треугольник DВЕ. Докажем, что \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)DВЕ.

Вследствие параллельности сторон DЕ и АС ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
Угол В является общим для этих треугольников. Следовательно, углы этих треугольников попарно равны.

Так как DЕ || АС, то \(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE}\).

Проведём через точку Е прямую, параллельную стороне AB (рис. 366).

Получим: \(\frac{BC}{BE} = \frac{AC}{AK}\), но АК = DЕ.

Поэтому

\(\frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE}\)

Сопоставляя полученную пропорцию с пропорцией \(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE}\) получим:

\(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE}\), т.е.

сходственные стороны треугольников AВС и DВЕ пропорциональны.
Раньше было доказано, что углы этих треугольников попарно равны.

Значит, \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)DВЕ.

Следовательно, прямая, проведённая параллельно какой-либо стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Отношение площадей двух подобных треугольников

Пусть \(\triangle AВС \sim \triangle A’В’С’\)(черт. 380). Из подобия треугольников следует, что

∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’ и ∠С = ∠С’. Кроме того, ^AB/_A’B’ = ^BC/_B’C’ = ^AC/_A’C’.

В этих треугольниках из вершин В и В’ проведём высоты и обозначим их через h и h’. Площадь первого треугольника будет равна ^AC•h/₂, а площадь второго треугольника ^A’C’•h’/₂.

Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго — через S’ получим: ^S/_S’ = ^AC•h/_A’C’•h’ или ^S/_S’ = ^AC/_A’C’ • ^h/_h’

Из подобия треугольников АВО и А’В’О’ (они подобны, потому что прямоугольные, и, кроме того, имеют по равному острому углу, а именно ∠A = ∠A’) следует:

h/_h’ = ^AB/_A’B’ . Но ^AB/_A’B’= ^AC/_A’C’ . Следовательно, ^h/_h’ = ^AC/_A’C’. Заменив в формуле ^S/_S’ = ^AC/_A’C’ • ^h/_h’ отношение ^h/_h’ равным ему отношением ^AC/_A’C’ , получим:

^S/_S’ = ^AC/_A’C’ • ^AC/_A’C’ , или
$$ \frac{S}{S’} = \frac{(AC)^2}{(A’C’)^2} $$

Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать так: ^S/_S’ = (^AC/_A’C’)².

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.

Построение подобных треугольников

Мы уже знаем, что для построения треугольника, подобного данному, достаточно из какой-нибудь точки, взятой на стороне треугольника, провести прямую, параллельную стороне треугольника. Получим треугольник, подобный данному (черт. 382):

Квадратичная функция, ее свойства, примеры и график

Функция y = ax² + bx + c, где a, b и c — заданные числа, a ≠ 0, x — переменная, называется квадратичной функцией. Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

При этом многочлен ax² + bx + c называют квадратным трехчленом. Числа a, b и c называются коэффициентами квадратного трехчлена: a — первым коэффициентом, b — вторым,                        c — свободным членом. Значения x, при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, называются корнями квадратного трехчлена.

Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение                 ax² + bx + c = 0. Рассмотрим пример, найдем корни квадратного трехчлена x² — x — 2. Решая уравнение x² — x — 2 = 0, получаем: x₁ = -1, x₂ = 2.

Число корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 зависит от знака его дискриминанта                     D = b² — 4ac, а значит и квадратный трехчлен:

• имеет два различных корня, если D > 0;
• имеет один корень (два равных корня), если D = 0;
• не имеет действительных корней, если D < 0.

Рассмотрим пример, квадратный трехчлен 3x² — 8x + 5 имеет два различных корня, так как          D = 8² — 4* 3*5 = 4 > 0, корни этого трехчлена: x₁ = 5/3,  x₂ = 1.

Квадратный трехчлен 4x² — 4x + 1 имеет один корень, так как D = 4² — 4*4*1 = 0, корень этого трехчлена  х = 1/2.

Квадратный трехчлен 2x² — 5x + 6 не имеет действительных корней, так как                                       D = 5² — 4*2*6 = — 23 < 0.

График квадратичной функции

Рассмотрим самую простую квадратичную функцию y = x², т. е. функцию y = ax² + bx + c, при a = 1, b = c = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений.

Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Кривая, являющаяся графиком функции y = x², называется параболой. Ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с ее осью симметрии называют вершиной параболы. Вершиной параболы y = x² является начало координат.

Рассмотрим функцию вида y = 2x², чтобы построить график составим таблицу значений.

Сравним графики функций y = 2х² и y = х². При одном и том же х значение функции y = 2х² в 2 раза больше значения функции y = х². Это значит, что каждую точку графика y = 2х² можно получить из точки графика функции y = х² с той же абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции y = 2х² получается растяжением графика функции y = х² в 2 раза вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию вида y = 1/2x², чтобы построить график составим таблицу значений.

Сравним графики функций y = 1/2x² и y = х². Каждую точку графика y = 1/2x² можно получить из точки графика функции  y = х² с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции y = 1/2x² получается сжатием графика функции y = х² в 2 раза вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию вида y = —x²,  и сравним с функцией y = х². При одном и том же значении х значения этих функций равны по модулю и противоположны по знаку. Следовательно, график функции y = —x² можно получить симметрией относительно оси абсцисс графика функции  y = х². Составим таблицу значений.

Говорят, что ветви параболы y = х² направлены вверх, а ветви параболы y = —x² направлены вниз. Аналогично график функции y = -2х² симметричен графику функции y = 2х² относительно оси абсцисс. График функции y = -1/2х² симметричен графику функции y = 1/2х² относительно оси абсцисс. График функции y = ах² при любом а ≠ 0 также называют параболой. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, а при а < 0 вниз.

Рассмотрим функцию вида y = x² — 2х — 3, чтобы построить график составим таблицу значений.

Вообще, графиком функции y = ax² + bx + c является парабола, получаемая сдвигом параболы      y = ax² вдоль координатных осей. Равенство y = ax² + bx + c называют уравнением параболы.

Автор публикации

0 Комментарии: 3Публикации: 81Регистрация: 04-09-2015

prostoi-sovet.ru

График квадратичной функции | Формулы с примерами

Графики квадратичной функции 9 класс

Правило
Любую квадратичную функцию можно представить в виде , где

Примеры, свойства, правила

Правила
1)  y = 2x² — 4x + 3.

   I способ — выделение полного квадрата:

y = 2x² — 4x + 3 = 2(x² — 2x) + 3 =

= 2(x² — 2 • x • 1 + 1²) — 2 • 1² + 3 = 2(x — 1)² + 1;

   II способ — по формулам:

x₀ =    -4   2 • 2 = 1,    y₀ = y(1) = 2 • 1² — 4 • 1 + 3 = 1, значит y = 2(x — 1)² + 1.

2)  y = 2 — 3x² + x = 2 — 3(x² — 13x) =

= 2 — 3(x² — 2 • 16 • x + (16)² + 3 • (16)²) = -3 (x — 16)² + 2 1 12.

График квадратичной функции, рисунок

Правило
График функции — y = a(x — x₀)² + y₀ — парабола, которую можно получить из параболы y = ax² с помощью двух параллельных переносов (сдвигов:

1)  вдоль оси OX на X₀ вправо, если x₀ > 0,
или на |x₀| влево, если x₀

2)  вдоль оси OY на y₀ вверх, если y₀ > 0,
или на |y₀| вниз, если y₀

Порядок выполнения сдвигов — любой.

Правило
Вершина параболы y = a(x — x₀)² + y₀— точка O₁(x₀,y₀).

Ось симметрии — прямая x = x₀.

Область значений — интервал [y₀, +?), если a > 0, или (-?, y₀], если a

Пример 1
1)  y = 2x² — 4x + 3 y = 2(x -1)² + 1

Пример 2
2)  y = 1 — 12x² — 2x y = -(x + 2)² + 3

Формулы по алфавиту:

© 2019 Все права защищены
При использовании материалов данного сайта обязательно указывать ссылку на источник

formula-xyz.ru

Квадратичная функция — урок. Алгебра, 8 класс.

Функция y=kx2 и её график

В \(7\)-м классе мы изучали функции \(у = m\), \(у = kx\), \(у = kx + m\), y=x2 и пришли в итоге к выводу, что уравнение с двумя переменными вида \(у = f(x)\) (функция) есть математическая модель, удобная для того, чтобы, задав конкретное значение независимой переменной \(x\) (аргумента), вычислить соответствующее значение зависимой переменной \(y\).

 

На самом деле функция y=kx2 в одном случае нам немного знакома. Смотри: если \(k = 1\), то получаем y=x2; эту функцию мы изучили в \(7\)-м классе, и ты, наверное, помнишь, что её графиком является парабола.

 

 

Обсудим, что происходит при других значениях коэффициента \(k\).

Рассмотрим две функции: y=2×2 и y=0.5×2. Составим таблицу значений для первой функции y=2×2:

 

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(-1\)	\(2\)	\(-2\)	\(1.5\)	\(-1.5\)
\(y\)	\(0\)	\(2\)	\(2\)	\(8\)	\(8\)	\(4.5\)	\(4.5\)

 

Построим точки \((0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5)\) на координатной плоскости; они намечают некоторую линию. Проведём её.

 

 

Составим таблицу значений для второй функции y=0.5×2:

 

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(-1\)	\(2\)	\(-2\)	\(3\)	\(-3\)
\(y\)	\(0\)	\(0.5\)	\(0.5\)	\(2\)	\(2\)	\(4.5\)	\(4.5\)

 

Построим точки \((0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), (3; 4,5), (-3; 4,5)\) на координатной плоскости; они намечают некоторую линию. Проведём её.

 

 

Сравни полученные рисунки. Не правда ли, проведённые линии похожи? Каждую из них называют параболой.

Точку \((0; 0)\) называют вершиной параболы, а ось \(y\) — осью симметрии параболы.

Обрати внимание!

От величины коэффициента \(k\) зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх или, как ещё говорят, «степень крутизны» параболы.

Точно так же обстоит дело с любой другой функцией вида y=kx2, где \(k > 0\).

Графиком её является парабола с вершиной в начале координат, ветви параболы направлены вверх, причём тем круче, чем больше коэффициент \(k\).

Ось \(y\) является осью симметрии параболы.

 

Кстати, ради краткости речи математики часто вместо длинной фразы «парабола, служащая графиком функции y=kx2» говорят «парабола y=kx2», а вместо термина «ось симметрии параболы» используют термин «ось параболы».

 

Ты замечаешь, что имеется аналогия с функцией \(у = kx\)?

Если \(k > 0\), то графиком функции \(у = kx\) является прямая, проходящая через начало координат (помнишь, мы говорили коротко: прямая \(у = kx\)), причём и здесь от величины коэффициента \(k\) зависит «степень крутизны» прямой. Это хорошо видно на рисунке, где в одной системе координат изображены графики линейных функций \(у = kx\) при трёх значениях коэффициента \(k\).

 

 

Вернёмся к функции y=kx2. Выясним, как обстоит дело в случае отрицательного коэффициента \(k\). Построим, например, график функции y=−x2 (здесь \(k = — 1\)). Составим таблицу значений:

 

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(-1\)	\(2\)	\(-2\)	\(3\)	\(-3\)
\(y\)	\(0\)	\(-1\)	\(-1\)	\(-4\)	\(-4\)	\(-9\)	\(-9\)

 

Отметим точки \((0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; — 9)\) на координатной плоскости; они намечают некоторую линию. Проведём её.

 

 

Это парабола с вершиной в точке \((0; 0)\), ось \(y\) — ось симметрии, но в отличие от случая, когда \(k > 0\), на этот раз ветви параболы направлены вниз. Аналогично обстоит дело и для других отрицательных значений коэффициента \(k\).

 

Обрати внимание!

Итак, графиком функции y=kx2 (k≠0) является парабола с вершиной в начале координат; ось \(y\) является осью параболы; ветви параболы направлены вверх при \(k>0\) и вниз — при \(k<0\).

Отметим ещё, что парабола y=kx2 касается оси \(x\) в точке \((0; 0)\), т. е. одна ветвь параболы плавно переходит в другую, как бы прижимаясь к оси \(x\).

 

Если построить в одной системе координат графики функций y=x2 и y=−x2, то нетрудно заметить, что эти параболы симметричны друг другу относительно оси \(x\), что хорошо видно на рисунке.

 

 

Точно так же симметричны друг другу относительно оси \(x\) параболы y=2×2 и  y=−2×2.

 

 

Обрати внимание!

Вообще график функции \(у = — f(x)\) симметричен графику функции \(у = f(x)\) относительно оси абсцисс.

www.yaklass.ru

Пошаговое руководство построение графика квадратичной функции

Для того, чтобы начертить график функции в Прямоугольной системе координат, нам необходимы две перпендикулярные прямые xOy (где O это точка пресечения x и y), которые называются «координатными осями», и нужна единица измерения.

У точки в этой системе есть две координаты.
M(x, y): M это название точки, x это абсцисса и она измеряется по Ox, а y это ордината и мерится по Oy.
Две координаты отображают расстояние от точки до двух осей.

Если мы рассмотрим функцию f: A -> B (где A — область определения, B — область значений функции), тогда точку на графике данной функции можно представить в форме P(x, f(x)).

Пример
f:A -> B, f(x) = 3x — 1
If x = 2 => f(2) = 3×2 — 1 = 5 => P(2, 5) &in; Gf (где Gf это график данной функции).

Квадратичная функция

Стандартная форма: f(x) = ax² + bx + c

Вершинная форма: $f(x)=(a+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a}$
где Δ = b² — 4ac

Если a > 0, то минимальным значением f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет выпуклая парабола, вершина которой (точка, в которой она меняет направление) это $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Если a < 0, то минимальное значение f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет вогнутая парабола, вершина которой это$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Парабола симметрична относительно прямой, которую она пересекает $x=-\frac{b}{2a}$ и которая называется «осью симметрии».
Именно поэтому, ког

www.math10.com

[Билет 24] Квадратичная функция. Выделение полного квадрата. Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа. Прямая и обратная теоремы Виета. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.

Квадратичная функция.

Функция, заданная формулой y = ax2 + bx + c , где x и y — переменные, а a, b, c — заданные числа, причем a  не равно 0 ,
называется квадратичной функцией

Выделение полного квадрата.

Вывод формулы корней квадратного уравнения, условия их существования и числа.

 – дискриминант квадратного уравнения.

Прямая и обратная теоремы Виета.

3. Теорема Виета Теорема. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Доказательство. Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член — буквой q.Пусть D>0 .Тогда это уравнение имеет два корня: и найдём сумму и произведение корней:

3.1 Теорема, обратная теореме Виета Теорема. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения Доказательство. По условию m+n=-p,а mn=q. Значит, уравнениеможно записать в виде: Подставив вместо x число m, получим: Значит, число m является корнем уравнения. Аналогично можно показать, что число n так же является корнем уравнения:

Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители.

Теорема. Пусть

x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена x² + px + q. Тогда этот трехчлен раскладывается на линейные множители следующим образом: x² + px + q = (x — x₁) (x — x₂).

Доказательство. Подставим вместо

p и q их выражения через x₁ и x₂ и воспользуемся способом группировки:

x² + px + q = x² — (x₁ + x₂) x + x₁ x₂ = x² — x₁ x — x₂ x + x₁ x₂ = x (x — x₁) — x₂ (x — x₁) = = (x — x₁) (x — x₂). Теорема доказана. 

Квадратное уравнение. График квадратного трехчлена

• Уравнение вида

называется квадратным уравнением. Число D = b² — 4ac — дискриминант этого уравнения.
Если

то числа

являются корнями (или решениями) квадратного уравнения. Если D = 0, то корни совпадают:

Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Справедливы формулы:

— формулы Виета; а
ах² + bх + с = а(х — х₁)(х — х₂) —
формула разложения на множители.
Графиком квадратичной функции (квадратного трехчлена) у = ах² + bх + с является парабола. Расположение параболы в зависимости от знаков коэффициента а и дискриминанта D приведено на рис.

Числа х₁ и х₂ на оси абсцисс — корни квадратного уравнения ах² + bх + + с = 0; координаты вершины параболы (точки А) во всех случаях

точка пересечения параболы с осью ординат имеет координаты (0; с).
Подобно прямой и окружности парабола разбивает плоскость на две части. В одной из этих частей координаты всех точек удовлетворяют неравенству у > ах² + bх + с, а в другой — противоположному. Знак неравенства в выбранной части плоскости определяем, найдя его в какой-либо точке этой части плоскости.
Рассмотрим понятие касательной к параболе (или окружности). Прямую у — kx + 1 назовем касательной к параболе (или окружности), если она имеет с этой кривой одну общую точку.

В точке касания М(х; у) для параболы выполняется равенство kx +1 = ах² + bх + с (для окружности — равенство (х — х₀)² + (kx + 1 — у₀)² — R²). Приравнивая дискриминант полученного квадратного уравнения нулю (так как уравнение должно иметь единственное решение), приходим к условиям для вычисления коэффициентов касательной.

fizmatinf.blogspot.com

Как построить график квадратичной функции

Автор Сергей Валерьевич

Четверг, Декабрь 10, 2015

Построение графика квадратичной функции всегда было проблемой для многих школьников. Проблема в том, что на уроках в школе этому важнейшему материалу зачастую уделяют не достаточно внимания. В результате, когда появляется необходимость, ученику очень трудно отыскать в школьном учебнике или интернете чёткий алгоритм построения графика квадратичной функции (параболы), а вместо этого приходится по крупицам выискивать необходимую информацию из множества различных источников. Решим эту проблему раз и навсегда! В данной статье репетитором по математике и физике представлен алгоритм построения параболы.

Алгоритм построения графика функции y=ax²+bx+c

Данный алгоритм продемонстрируем на примере построения графика квадратичной функции . В этом случае: , и .

1. Определим, куда направлены ветви соответствующей параболы. Если , то ветви параболы направлены вверх, если , то ветви параболы направлены вниз.

В нашем примере . Следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины параболы определяется по формуле:

   

Ордината вершины параболы определяется путем подстановки в уравнение квадратичной функции и вычисления соответствующего значения.

В нашем случае абсцисса вершины параболы равна:

   

yourtutor.info

Квадратичная функция — это… Что такое Квадратичная функция?

квадратичная функция — — [[http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23]] квадратичная функция Функция вида y= ax2 + bx + c (a ? 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a, (b2 4ac) /4a], при а>0 ветви параболы… …   Справочник технического переводчика

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ — КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, математическая ФУНКЦИЯ, значение которой зависит от квадрата независимой переменной, х, и задается, соответственно, квадратичным МНОГОЧЛЕНОМ, например: f(x) = 4х2 + 17 или f(x) = х2 + 3х + 2. см. также КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ …   Научно-технический энциклопедический словарь

Квадратичная функция — Квадратичная функция  [quadratic function] — функция вида   y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). График К.ф. — парабола, вершина которой имеет координаты [ b/ 2a,  (b2 4ac) /4a], при а> 0   ветви параболы направлены вверх, при a< 0 –вниз… …   Экономико-математический словарь

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ, КВАДРАТНЫЙ, КВАДРАТИЧНЫЙ — (quadratic) Функция, имеющая следующий вид: у=ах2+bх+с, где a≠0 и высшая степень х – квадрат. Квадратное уравнение у=ах2 +bх+с=0 может быть также решено с использованием следующей формулы: х= –b+ √ (b2–4ac) /2а. Эти корни являются действительными …   Экономический словарь

Аффинно-квадратичная функция — Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве S называется всякая функция Q: S→K, имеющая в векторизованной форме вид Q(x)=q(x)+l(x)+c, где q квадратичная функция, l линейная функция, с константа. Содержание 1 Перенос начала отсчета 2… …   Википедия

Афинно-квадратичная функция — Аффинно квадратичной функцией на аффинном пространстве называется всякая функция , имеющая в векторизованной форме вид , где симметричная матрица, линейная функция, константа. Содержание …   Википедия

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения …   Википедия

Функция потерь — – функция, которая в теории статистических решений характеризует потери при неправильном принятии решений на основе наблюдаемых данных. Если решается задача оценки параметра сигнала на фоне помех, то функция потерь является мерой расхождения… …   Википедия

целевая функция — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] целевая функция В экстремальных задачах — функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это… …   Справочник технического переводчика

Целевая функция — [target function] в экстремальных задачах функция, минимум или максимум которой требуется найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум Ц.ф. и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые к нему… …   Экономико-математический словарь

dic.academic.ru

Урок по математике » Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания» (5 класс)

Провела учитель математики: Пузанова Людмила Филипповна.

Тема: « Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания.»

Класс 5

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цели урока:

Личностные: развивать умение слушать; ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении математических задач

Метапредметные: формировать умение работать в парах.

Предметные: Описывать свойства натурального ряда, Читать и записывать натуральные числа, сравнивать и упорядочивать их. Решать задачи с помощью сложения и вычитания.

Выполнять вычисления с натуральными числами умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию)

Ресурсы урока

Основные: Учебник: Математика. 5 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений / С.М.Никольский, интерактивная доска, компьютер.

Межпредметные связи умение применять изученные понятия, результаты, ме­тоды для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера

Основные понятия Натуральные числа и нуль. Способы решения задачи .

Технологическая карта урока

Приветствие,
Подготовка класса к работе, организация внимания детей.

II. Выборочное краткое

решение домашней работы

до 10 минут

Анализируют ошибки допущенные, при решении заданий.

Выполняют вычисления с натуральными числами

Организует работу учащихся

Личностные: самоопределение.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Познавательные: умения формулировать вопросы к тексту, самостоятельно формулировать ответы с опорой на текст.

Самоопределение к деятельности.

Этап работы с информацией.

5 мин

Разбирают решение задачи рабочей тетради стр13. № 44

Организует и контролирует обсуждение вопросов.

IV. Постановка учебной задачи

1-2 мин

Устанавливаем цели урока.

Организует работу по целеполаганию и мотивации

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: постановка вопросов.

Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование

V. Этап тренинга

10 мин

Обсуждаем, что это за этап, производим целеполагание, планирование, распределение времени, задаём необходимость самооценки и коррекции результатов.

Решают в парах задачи 45 – 47. По истечении отведённого для выполнения заданий времени производим самооценку и коррекцию результатов.

Организует и контролирует работу учащихся.

Организует обсуждение и итоги работ.

Познавательные УУД: формирование умений по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов;

–  по использованию доказательной математической речи;

–  по работе с информацией, в том числе и с различными математическими текстами;

– регулятивные УУД (формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные результаты;

– коммуникативные УУД формирование умений совместно с другими детьми в группе находить решение задачи и оценивать полученные результаты.

VI. Физкультминутка.

1-2 мин

Ученики выполняют упражнение.

Сядьте ровно. Руки положите за спины. Не поворачивая головы, посмотрите на окно, на стенд на противоположной стороне, наверх, на парту, на доску. Закройте глаза, представьте голубое небо. Откройте глаза. Руки положите на стол.

VII. Этап закрепления нового материала. Работа с самопроверкой по эталону

20 мин

Выполняют самостоятельно с взаимопроверкой задания на стр. 20. № 71(а), 72(а),

По истечении времени, отведённого для выполнения работы, её результаты выносятся для обсуждения в классе:
Ошибки выявляются и уясняются в парной работе детей.

Организует выполнение учащимися самостоятельной работы,

самопроверку, самооценку.

познавательные УУД формирование умений по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов;

регулятивные УУД формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные результаты;

коммуникативные УУД формирование умений совместно с другими детьми в группе сверять полученные результаты с образцом.

VI. Домашнее задание

1 мин

Записывают домашнее задание

Комментирует дом задание: Стр.21 Информационный блок . № 74, 75

VII. Рефлексия Подведение итогов урока

1 мин

Участвуют в рефлексии, выражают свое настроение. устно оценивают содержание урока.

Организует рефлексию..

Я предлагаю вам закончить предложения: Мне на уроке понравилось…

Мне показалось трудным…

Я бы ещё хотел выполнить …

Главным результатом считаю…

Я бы хотел повторить…

Я на уроке узнал….

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

Регулятивные: оценка, самооценка

infourok.ru

Разработка урока по математике 5 класс «Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания»

Автор: Трушина Н.В.

МБОУ «Краснопоймовская СОШ»

Учитель: Трушина Наталья Вячеславовна

Класс: 5 класс

Предмет: математика

Конспект урока на тему: «Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания»

Продолжительность: 45 минут

Тип урока: комбинированный

Форма урока: урок-сказка

Цели урока:

Образовательные цели: создать условия для углубления навыков решения текстовых задач арифметическим способом.

Развивающие цели: создать условия для развития логического мышления, поисково-познавательной активности обучающихся, смекалки, настойчивости и математической речи.

Воспитательные цели: создать условия для воспитания трудолюбия, чувства ответственности за свои знания, за успехи своего коллектива.

План урока:

Организационный момент (1 мин)

Актуализация знаний и умений (устный счет – 10 мин)

Формирование умений и навыков (25 мин)

Физкультминутка (4 мин)

Итоги урока (3 мин)

Постановка домашнего задания (2 мин)

1. Организационный момент (1 мин)

Приветствие, постановка темы и цели урока.

-Здравствуйте, ребята! Сегодня 19 сентября и тема нашего урока «Решение текстовых задач»

Как вы думаете, чему мы должны с вами сегодня научиться?

А кто мне скажет, какую задачу мы называем текстовой?

Открываем свои тетради, записываем число, классная работа и тема урока. Как вы правильно сказали, целью нашего сегодняшнего урока будет углубление навыков решения текстовых задач. А помогут нам в этом сказочные герои. Ну, что ж, начнем!

— В мире много сказок

Грустных и смешных.

И прожить на свете

Нам нельзя без них!

Пусть герои сказок

Дарят нам тепло,

Пусть добро навеки

Побеждает зло!

2. Актуализация знаний и умений (10 мин)

Устный счет

Помогите Золушке вовремя вернуться домой. Вычислите устно:

а) 23+8+11-12=31+11-12=32-12-8=12

б) 59-56+29-14=3+29-14=32-14-6=12

в) 90-16/2+23/5=12

г) 60-22/2+46/5=12

Помогите Иа найти ошибку и исправить ее:

а) 90+81+9=180

б) 18*4+28*3=156

в) 223+3*9=252

г) 20+16+42=77

3. Формирование умений и навыков (25мин)

А теперь давайте попробуем решить такую задачу:

Задача №1

В окрестностях пруда четыре болота. В каждом болоте по 58 кочек, а на каждой кочке живет по шесть лягушек. Каждая лягушка мечтает стать лягушкой – путешественницей.

Сколько нужно уток, чтобы осуществилась их мечта?

Надеюсь, вы не забыли способ передвижения лягушки – путешественницы по воздуху!?

Решение:

4*58*6*2=2784 (ут)

Ответ: нужно 2784 утки

Задача №2

Узнав о дне рождения ослика Иа, Винни – Пух решил подарить ему несколько горшочков меда. Придя домой, он обнаружил, что у него есть 25 горшочков. Мед из 15 горшочков он тут же съел, а остальные захватил с собой. По дороге он съел мед еще из 3 горшочков. Сколько горшочков с медом все – таки получил в подарок ослик Иа?

Решение:

25-15-3=7 (г)

Ответ: Иа получил 7 горшочков с медом.

4. Физкультминутка

Раз – подняться, потянуться.

Два – нагнуться, разогнуться.

Три – в ладоши три хлопка.

Головою три кивка.

На четыре – руки шире,

Пять – руками помахать,

Шесть – на место тихо сесть.

Семь и восемь – лень отбросим!

Пока мы с вами отдыхали, наши герои тоже решили попить чай. И вот, что у них произошло…

Задача №3

Белоснежка, Золушка и Спящая Красавица решили попить чай. Белоснежка и Золушка выпили вдвоем 11 чашек, Белоснежка и Спящая Красавица выпили вдвоем 15 чашек, а Золушка и Спящая Красавица выпили вдвоем 14 чашек. Вопрос: сколько чашек чая выпили все три девушки вместе?

Решение:

(11+15+14)/2=20 (ч)

Ответ: вместе они выпили 20 чашек чая.

Решите задачу из учебника:

С. 20 № 74

Первая бригада собрала за смену 52 прибора, вторая – на 9 приборов меньше, чем первая, а третья – на 12 приборов больше, чем вторая. Сколько всего приборов собрали три бригады за смену?

1 бригада – 52 прибора

2 бригада — ? приборов, на 9 приборов меньше, чем первая

3 бригада — ? приборов, на 12 приборов больше, чем вторая

Решение:

1. 52-9=43 (пр) – собрала 2 бригада;

2. 43+12=55 (пр) – собрала 3 бригада;

3. 52+43+55=150 (пр) – собрали три бригады вместе.

Ответ: всего три бригады собрали 150 приборов за смену.

5. Итоги урока (3 мин)

Итак, ребята, сегодня на уроке мы с вами вспомнили, что такое текстовая задача; повторили методы решения текстовых задач, которые вы уже знали и научились новым методам.

6. Постановка домашнего задания:

№68 – на оценку «3»

№72 – на оценку «4»

№75 – на оценку «5»

videouroki.net

Конспект урока «Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания», 5 кл

1. Ф.И.О. учителя:

2. Класс: 5-Б Дата: 19.09.16. Предмет: математика № урока 10

3. Тема урока: Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания.

4. Тип урока: Урок усвоения новых знаний.

5. Цель урока:

Образовательная— изучение этапов составления числового выражения по условию задачи, составлять математическую модель ситуации.

Развивающая- развитие логического мышления, внимания, умения практического применения знаний.

Воспитательная- привитие интереса к предмету, воспитание ответственности за результаты своего учебного труда.

multiurok.ru

План-конспект урока по математике (5 класс) на тему: Решение текстовых задач

nsportal.ru

Математика 5 класс: Решение текстовых задач на сложение — OnliSkill

00:05:51

Обнаружено блокирование рекламы на сайте

Для существования нашего сайта необходим показ рекламы. Просим отнестись с пониманием и добавить сайт в список исключений вашей программы для блокировки рекламы (AdBlock и другие).

05:51

Как решить задачу? Как перевести условие задачи в математические выражения и правильно найти ответ? В данном видеуроке разбирается алгоритм решения текстовых задач на сложение.

Следующие уроки

08:06

05:26

05:30

03:57

05:42

onliskill.ru

«Арифметические способы решения текстовых задач»

Разделы: Математика

---

УМК: С. М. Никольский, М. К. Потапов и др. “Математика. 5 класс”, М. Просвещение, 2010.

Цели урока:

• обучающая – обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темам “Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания”, “Решение текстовых задач с помощью умножения и деления”, “Задачи на “части”, “Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности”, “Задачи на совместную работу”, повторить основный правила действий с дробями
• развивающая –  обеспечить условия общему развитию учащихся, развитию как логического, так и образного мышление, лучшему освоению естественного языка, развитию математического кругозора, мышления, математической речи внимания и памяти, креативных способностей и навыков самоконтроля.
• воспитательная – повысить эффективность обучения математики и смежных дисциплин, воспитывать активность, мобильность, умение общаться, общую культуру.

Задачи урока:

• Показать знания, полученные по темам “Решение текстовых задач с помощью умножения и деления”, “Задачи на “части”, “Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности”, “Задачи на совместную работу”, и продемонстрировать их практическую значимость.

Тип урока: урок повторения изученного материала.

Форма урока: комбинированный урок

Продолжительность урока: 45 минут.

Оборудование урока: наглядность по теме урока, презентация,  интерактивная доска, классная доска, сеть из 11 ПК.

План урока:

I. Организационный момент  

II. Актуализация опорных знаний

III. Старинные задачи

IV. Применение знаний

V. Практическая часть

VI. Подведение итогов урока

VII. Домашнее задание

Ход урока

I. Организационный момент

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Сегодня у нас урок обобщения по теме “ Арифметические способы решения текстовых задач ”.

II. Актуализация знаний.

Прежде мы приступим к работе по теме урока , я бы хотела проверить как вы справились с домашним заданием. Есть ли вопросы по домашнему заданию? Откройте ваши тетради, я пройду, посмотрю ваши работы.

А теперь повторим пройденный материал. 11 человек выполняют тестовые задания по пройденному материалу за компьютерами, остальные – работают устно.

Устная работа (задание интерактивной доске).

Задание 1. Вася Незнайкин получил от учителя карточку с задачей для самостоятельной домашней работы и записал краткое условие задачи в черновике схематически. Дома он обнаружил, что потерял карточку и располагает только следующей схемой (смотрим на интерактивную доску) и помнит, что в задаче говорилось о варенье.

Помогите Васе записать ответ задачи, зная, что число 3500 обозначает граммы. Какую задачу можно составить по такому условию?

Ответ: 1 кг 400 г

Лучшей была признана задача: “Чтобы порадовать Вини Пуха Кролик смешал 2 горшочка меда и 3 горшочка сгущенного молока. Сколько грамм меда он использовал, если получилось 3500 грамм вкусной еды, которую Вини Пух съел за 2 часа?”

Задание 2. Пончик может съесть торт за 3 часа, а Топтыжка за 6 часов. За сколько часов они съедят такой торт вместе, если начнут есть одновременно? (При затруднении можно воспользоваться черновиком для вычислений)

Ответ: за 2 часа

Задание 3. Страница 62 № 281 (а).

“У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?” Ответ: 13овец и 22 овцы

Молодцы! Вы хорошо справились с задачами. С тестами учащиеся тоже справились успешно.

III. А теперь решим несколько старинных задач. (Тексты на интерактивной доске) Указать, каким методом вам удобнее пользоваться. У доски 4 ученика. Класс решает самостоятельно, первый 3 работы можно показать и получить оценку.

1. Китай, II век. “Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно. Через сколько дней они встретятся?”

Что вызвало затруднение?

2. Страница 250 № 1124. Индия, III – IV вв. “Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, все вместе дали 132. Сколько дал первый?”

3. Страница 252 № 1130. Древнекитайская задача. “В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.”

Подсказка при затруднении: “Представьте, что все кролики встали на задние лапки. Сколько тогда ног будет в этой клетке? Откуда же лишние ноги?”

4. Страница 251 № 1127. Задача из “Всеобщей арифметики И. Ньютона “Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динаров больше, то он мог бы дать каждому по три. Но он раздает лишь по два, и у него еще остается три. Сколько бедных?”

IV. Применение знаний.

А теперь поработаем немного самостоятельно. Решаем по вариантам следующие задачи из вашего учебника (8 минут): страницы 250, 251

• 1 вариант № 1119 (а), 1125 (а)
• 2 вариант № 1119 (б), 1125 (б)
• 3 вариант № 1120 (а), 1126 (а)
• 4 вариант № 1120 (б), 1126 (б)

Ученики, которые первыми справились с задачами соберут работы своего варианта и проверят их как эксперты, оценки будут поставлены в журнал. А пока они работают – проверьте свои решения по образцам решений, приведенным на интерактивной доске, и проанализируйте свои ошибки, если они есть.

Подводим итоги самостоятельной работы.

V. Практическая часть.

Перейдем к решению задач, отмеченных в вашем учебнике, как задачи повышенной трудности.

• № 1133 (а), 1136 (а), 1137 (а)
• № 1133 (а). Смешано 3 сорта муки: 15 фунтов по 8 к., 20 фунтов по 7 к. и 25 фунтов по 4 к. за фунт. Сколько стоит фунт смеси?
• № 1136 (а). На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставило столько книг, сколько до этого стояло на второй полке, то книг на полках стало поровну. Определите, сколько книг первоначально стояло на каждой полке.
• № 1137 (а). За краски и две кисти заплатили 32 р. 19 к., за краски и кисть – 21 р. 72 к. Сколько стоят краски? Сколько стоит кисть?

Разбираем подробно решение каждой задачи. Решаем их и записываем решение на интерактивной доске и сохраняем его для последующего индивидуального анализа при необходимости. За решения у доски поставлены 3 оценки.

VI. Подведение итогов урока.

Заключительное слово учителя, выставление оценок.

VII. Домашнее задание.

Выполнение домашней разноуровневой работы.

• I уровень. № 1139 (а), 1141 (а), 1073.
• II уровень. №1132 (а). 949 (б), 1075.

А сейчас я попрошу вас, оценить свою работу на уроке и высказать свое мнение об уроке.

Лист обратной связи

• Сегодняшний урок мне позволил ______________________________________
• Невероятно интересным на уроке было _________________________________

3.07.2013

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания в 5 классе. Урок 2.

Тема: «1.6. Решение текстовых задач с помощью сложения и вычитания.»

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Личностные: развивать умение слушать; ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении математических задач

Метапредметные: формировать умение работать в группах и парах.

Предметные: Описывать свойства натурального ряда, Читать и записывать натуральные числа, сравнивать и упорядочивать их. Решать задачи с помощью сложения и вычитания.

Выполнять вычисления с натуральными числами умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию)

Основные: Учебник: Математика. 5 класс: учеб. для общеобразовательных учреждений / С.М.Никольский, интерактивная доска, компьютер.

Межпредметные связи умение применять изученные понятия, результаты, ме­тоды для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера

Основные понятия Натуральные числа и нуль. Способы решения задачи .

Этапы урока	время	Деятельность учащихся	Деятельность учителя	УУД
I. Организационная часть.	1 мин		Приветствие, Подготовка класса к работе, организация внимания детей.
II. Выборочное краткое домашней работы	до 10 минут	Анализируют ошибки допущенные, при решение заданий. Выполняют вычисления с натуральными числами	Организует работу учащихся	Личностные: самоопределение. Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. Познавательные: умения формулировать вопросы к тексту, самостоятельно формулировать ответы с опорой на текст.
Самоопределение к деятельности. Этап работы с информацией.	5 мин	Разбирают решение задачи рабочей тетради стр13. № 44	Организует и контролирует обсуждение вопросов.
IV. Постановка учебной задачи	1-2 мин	Устанавливаем цели урока.	Организует работу по целеполаганию и мотивации	Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: постановка вопросов. Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование
V. Этап тренинга	10 мин	Обсуждаем, что это за этап, производим целеполагание, планирование, распределение времени, задаём необходимость самооценки и коррекции результатов. Решают в парах задачи 45 – 47. По истечении отведённого для выполнения заданий времени производим самооценку и коррекцию результатов.	Организует и контролирует работу учащихся. Организует обсуждение и итоги работ.	Познавательные УУД: формирование умений по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов; –  по использованию доказательной математической речи; –  по работе с информацией, в том числе и с различными математическими текстами; – регулятивные УУД (формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные результаты; – коммуникативные УУД формирование умений совместно с другими детьми в группе находить решение задачи и оценивать полученные результаты.
VI. Физкультминутка.	1-2 мин	Ученики выполняют упражнение.	Сядьте равно. Руки положите за спины. Не поворачивая головы, посмотрите на окно, на стенд на противоположной стороне, наверх, на парту, на доску. Закройте глаза, представьте голубое небо. Откройте глаза. Руки положите на стол. Продолжим…
VII. Этап закрепления нового материала. Работа с самопроверкой по эталону	20 мин	Выполняют самостоятельно с взаимопроверкой задания на стр. 20. № 71(а), 72(а), 74 По истечении времени, отведённого для выполнения работы, её результаты выносятся для обсуждения в классе: Ошибки выявляются и уясняются в парной работе детей.	Организует выполнение учащимися самостоятельной работы, самопроверку, самооценку.	познавательные УУД формирование умений по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов; регулятивные УУД формирование умений ставить личные цели деятельности, планировать свою работу, действовать по плану, оценивать полученные результаты; коммуникативные УУД формирование умений совместно с другими детьми в группе сверять полученные результаты с образцом.
VI. Домашнее задание	1 мин	Записывают домашнее задание	Комментирует дом задание: Стр.21 Информационный блок . № 74, 75
VII. Рефлексия Подведение итогов урока	1 мин	Участвуют в рефлексии, выражают свое настроение. устно оценивают содержание урока.	Организует рефлексию.. Я предлагаю вам закончить предложения: Мне на уроке понравилось… Мне показалось трудным… Я бы ещё хотел выполнить … Главным результатом считаю…	Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; Регулятивные: оценка, самооценка

multiurok.ru

Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

1. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

ab = |a||b|cos (5.1)

Скалярное произведение коммутативно и удовлетворяет свойству линейности по каждому из сомножителей.

Из определения скалярного произведения следует часто применяющаяся формула для вычисления длины вектора:

(5.2)

Пусть теперь векторы а и b заданы своими координатами: аи b. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

ab = (5.3)

В качестве следствия из этой теоремы получаем формулу для вычисления косинуса угла между векторамиa и b:

(5.4)

2. Векторное произведение векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов (а, b, c), приведенных к общему началу, называется правой, если, находясь внутри трехгранного угла, образованного этими векторами, поворот от а к b, от b к с, от с к а виден против часовой стрелки (рис. 5.1). В противном случае тройка векторов называется левой (рис. 5.2).

правая тройка левая тройка

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, удовлетворяющий условиям:

1. |c| = |a||b| sin , где  – угол между векторами а и b;

2. вектор с перпендикулярен векторам а и b;

3. тройка векторов (а, b, c) является правой.

Мы будем обозначать векторное произведение следующим образом: с = а  b.

Свойства векторного произведения.

1. Векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда а  b = 0, в частности, а  а = 0.

2. Если векторы а и b привести к общему началу, то длина их векторного произведения |а  b| будет равна площади S параллелограмма, построенного на векторах а и b (см. рис. 5.3) (геометрический смысл векторного произведения).

Рис. 5.3

3. Свойство антикоммутативности: а  b = – b  a.

4. Числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения:

а  b = (а  b), а  b = (а  b).

5. Свойство дистрибутивности:

(a + b)  c = a  c + b  c, a  (b + c) = a  b + a  c.

Если известны координаты векторов аи b, то векторное произведение вычисляется по формуле:

a  b = (5.5)

Для координатной записи векторного произведения удобно использовать символы определителя 2-го и 3-го порядков:

a  b =(5.6)

или

a  b = (5.7)

3. Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением трех векторов a, b и с называется скаляр (а  b)c.

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение (а  b)c трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с, приведенных к общему началу, и взятому со знаком «+», если тройка (a, b, с) правая, и со знаком «–», если тройка (a, b, с) левая.

В связи с этим смешанное произведение принято обозначать abс = (а  b)c = a(b  c).

Заметим, что тройка векторов меняет свою ориентацию (т.е. будучи левой становится правой, и наоборот), если в ней переставляются любые два вектора. Поэтому справедливы равенства: abс = – baс = – сbа = –acb.

Если три вектора определены своими координатами: а, bи с, то смешанное произведение вычисляется по формуле:

 abс = (5.8)

Используя смешанное произведение, можно сформулировать простое и удобное условие компланарности трех векторов: три вектора a, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Следовательно, три вектора a, b и с компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю:

 = 0  (5.9)

studfiles.net

Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

1. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

ab = |a||b|cos (5.1)

Скалярное произведение коммутативно и удовлетворяет свойству линейности по каждому из сомножителей.

Из определения скалярного произведения следует часто применяющаяся формула для вычисления длины вектора:

(5.2)

Пусть теперь векторы а и b заданы своими координатами: аи b. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

ab = (5.3)

В качестве следствия из этой теоремы получаем формулу для вычисления косинуса угла между векторамиa и b:

(5.4)

2. Векторное произведение векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов (а, b, c), приведенных к общему началу, называется правой, если, находясь внутри трехгранного угла, образованного этими векторами, поворот от а к b, от b к с, от с к а виден против часовой стрелки (рис. 5.1). В противном случае тройка векторов называется левой (рис. 5.2).

правая тройка левая тройка

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, удовлетворяющий условиям:

1. |c| = |a||b| sin , где  – угол между векторами а и b;

2. вектор с перпендикулярен векторам а и b;

3. тройка векторов (а, b, c) является правой.

Мы будем обозначать векторное произведение следующим образом: с = а  b.

Свойства векторного произведения.

1. Векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда а  b = 0, в частности, а  а = 0.

2. Если векторы а и b привести к общему началу, то длина их векторного произведения |а  b| будет равна площади S параллелограмма, построенного на векторах а и b (см. рис. 5.3) (геометрический смысл векторного произведения).

Рис. 5.3

3. Свойство антикоммутативности: а  b = – b  a.

4. Числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения:

а  b = (а  b), а  b = (а  b).

5. Свойство дистрибутивности:

(a + b)  c = a  c + b  c, a  (b + c) = a  b + a  c.

Если известны координаты векторов аи b, то векторное произведение вычисляется по формуле:

a  b = (5.5)

Для координатной записи векторного произведения удобно использовать символы определителя 2-го и 3-го порядков:

a  b =(5.6)

или

a  b = (5.7)

3. Смешанное произведение векторов.

Смешанным произведением трех векторов a, b и с называется скаляр (а  b)c.

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение (а  b)c трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b и с, приведенных к общему началу, и взятому со знаком «+», если тройка (a, b, с) правая, и со знаком «–», если тройка (a, b, с) левая.

В связи с этим смешанное произведение принято обозначать abс = (а  b)c = a(b  c).

Заметим, что тройка векторов меняет свою ориентацию (т.е. будучи левой становится правой, и наоборот), если в ней переставляются любые два вектора. Поэтому справедливы равенства: abс = – baс = – сbа = –acb.

Если три вектора определены своими координатами: а, bи с, то смешанное произведение вычисляется по формуле:

 abс = (5.8)

Используя смешанное произведение, можно сформулировать простое и удобное условие компланарности трех векторов: три вектора a, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Следовательно, три вектора a, b и с компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю:

 = 0  (5.9)

studfiles.net

4. Векторы. Скалярное и векторное произведения векторов.

п.1. Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Обозначение: .

Теорема. (Свойства скалярного произведения.)

1). Скалярное произведение подчиняется закону коммутативности:

                         , .

2). Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой или векторы ортогональны:

              или  или .

3). Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

                           .

4).  .

   Доказательство. Все свойства очевидны из определения и их доказательства предоставляются читателям.

Теорема. (Свойство линейности скалярного произведения.)

1) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложениявекторов:

                     ,  .

2) Скалярный множитель можно выносить за знак скалярногопроизведения:

             , , .

   Доказательство. По свойству 4 предыдущей теоремы и по свойству проекции вектора на вектор (на ось) имеем:

.

Второе свойство доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Замечание. Скалярное произведение можно рассматривать как числовую функцию от двух переменных, определенную на декартовом квадрате  множества векторов :

                                        ,

т.е. , .

Тогда, свойства теоремы могут быть записаны так:

1) , ;

2) , , .

Первое из этих свойств называется свойством аддитивности функции f по первому аргументу, а второе – свойством однородности по первому аргументу. Если выполняются оба свойства, то говорят, что функция f линейна по первому аргументу. Отсюда происходит и название этих свойств скалярного произведения.

   В силу коммутативности,  скалярное произведение какфункция двух переменных линейна и по второму аргументу, т.е. справедливы еще два свойства:

3) ,  ;

4) , , .

Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

   Другими словами, пусть , . Тогда

                             .                       (1)

   Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональныхвекторов равно нулю, а скалярный квадрат единичного вектора равен 1 , получаем:

         

      

     

      

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть . Тогда .

   Доказательство. Эта формула нам уже известна. Здесь ее можно получить, используя равенство (1), в котором положим :

       ,

откуда и следует доказываемая формула.

Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть , . Тогда

.

   Доказательство. Очевидно.

п.5. Смешанное и векторное произведения векторов в координатной форме.

Теорема. Пусть , , . Тогда:

1) ;

2) .

   Доказательство. 1) Используем свойство линейности векторногопроизведения:

 

.

   Далее, заметим, что векторные произведения коллинеарных векторов равны нулевому вектору:

                  .

Рассмотрим другие векторные произведения базисных векторов:

                      

                                            рис.4.

, , .

Эти равенства легко устанавливаются с помощью рис.4.

Отсюда следует: 

, ч.т.д.

2) Воспользуемся только что доказанной формулой:

        .

Теперь, по теореме о скалярном произведении векторов в координатной форме, получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Векторное произведение часто записывают в форме определителя:

                          .

Разумеется это не определитель, а лишь форма записи векторногопроизведения. Она компактна и удобна для запоминания.

Следствие. Определитель не изменяется при круговой перестановке строк (столбцов) определителя. При транспозиции двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

   Доказательство. С одной стороны,

                  .

С другой стороны,

                  .

Но, , откуда и следует утверждение. Далее, т.к. , то

               .

Так как определитель не изменяется при транспонировании, то доказанное свойство справедливо и для столбцов определителя.

Следствие доказано.

it-iatu.ru

Физический смысл скалярного произведения векторов. Векторное произведение векторов » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.2. Физический смысл скалярного произведения векторов. Работа постоянной силы.

   Пусть материальная точка перемещается под действием постоянной силы  вдоль вектора перемещения .

                   

                                   рис.1.

   На рисунке 1 сила  разложена на две ортогональные составляющие  и , причем, из физики нам известно, что работа при перемещении материальной точки вдоль вектора  создается составляющей  и равна .

   С другой стороны, , откуда получаем:

                           .

п.3. Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением вектора  на вектор  называется третий вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:

1)  и ;

2) тройка векторов  является правоориентированной;

3) .

              

                                        рис.2.

Обозначение: .

   Из определения следует, что, если векторы ,  и  отложить от одной точки, то

1) вектор  перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы  и ;

2) кратчайший поворот вектора  к вектору  происходит против часовой стрелки, если смотреть «сверху», т.е. со стороны вектора ;

3) длина вектора  численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и , как на его сторонах.

Теорема. (Свойства векторного произведения.)

1). Антикоммутативность:

                   , .

2). Условие коллинеарности векторов:

                      .

3). Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и , как на его сторонах.

   Доказательство. 1) Пусть . Рассмотрим вектор . Этот вектор удовлетворяет всем трем условиям определения векторного произведения вектора  на вектор .

   Действительно, т.к.  и , то и  и . Далее, тройка векторов  является правоориентированной, т.е. кратчайший поворот от вектора  к вектору  происходит против часовой стрелки, если смотреть на плоскость, в которой лежат векторы  и  «снизу», т.е. со стороны вектора .

   И, наконец, , ч.т.д.

2) Если один из векторов или оба равны нулю, то они коллинеарные и их векторное произведение равно нулевому вектору, тут все очевидно. Пусть векторы  и  ненулевые. Тогда  или , а это в свою очередь равносильно тому, что , ч.т.д.

3) Следует из формулы площади параллелограмма.

Теорема доказана.

Возможно найдутся ответы здесь:

fxdx.ru

Векторное произведение — это… Что такое Векторное произведение?

Векторное произведение в трёхмерном пространстве.

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».

Определение и история

Векторным произведением вектора на вектор в пространстве называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

Обозначение:

В литературе^[1] определение векторного произведения может даваться по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат. А далее выводится данное выше определение, а также определение правой и левой тройки векторов.

Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения, а из них выводиться остальное.

Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году^[2] одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю^[3].

Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке (то есть выберем произвольно в пространстве точку и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой ). Концы векторов, совмещённых началами в точке , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны. Рассмотрим плоскость  — единственную плоскость, проходящую через концы векторов, совмещённых началами в точке . Тогда можно в плоскости провести через концы векторов , совмещённых началами в точке , единственную окружность и выяснить направление обхода трёх точек на окружности, смотря на неё с одной из сторон от плоскости.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трёхмерном пространстве называется правой, если наблюдателю, находящемуся по одну сторону с точкой от плоскости , обход концов приведённых в общее начало векторов в указанном порядке кажется совершающимся в плоскости по часовой стрелке.

B противном случае  — левая тройка. В этом случае наблюдателю, находящемуся с другой стороны от плоскости , обход концов таких векторов будет казаться совершающимся против часовой стрелки.

Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Заметим, что определения «правой» и «левой» тройки векторов не зависят от хиральности рассматриваемой системы координат; более того, они вообще не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого само векторное произведение.

Свойства

Геометрические свойства векторного произведения

Рисунок 1: Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения. Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений.

• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Алгебраические свойства векторного произведения

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

или

где  — символ Леви-Чивиты.

Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания, аналогично:

или

Формулы для левой системы координат можно легко получить из формул правой системы координат, записав те же векторы и во вспомогательной правой системе координат ():

Обобщения

Кватернионы

Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы , ,  — стандартные обозначения для ортов в : они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

Заметим, что соотношения через векторное произведение между , и соответствуют правилам умножения для кватернионов , и . Если представить вектор как кватернион , то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

Преобразование к матричной форме

Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

где

Пусть равен векторному произведению:

тогда

Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь независимых компонент в -мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

Из общих свойств векторного произведения следует, что

  и  

а так как кососимметрична, то

В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»).

Распространение на матрицы

В трёхмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу как столбец векторов, тогда

Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот. Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например ( — матрица, ,  — векторы):

После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

 — единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонентно, представляя их как «векторы из векторов», стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, теорема Стокса в примет вид:

где ротор матрицы вычисляется как векторное произведение матрицы на оператор Гамильтона слева. В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

Размерности, не равные трём

Пусть  — размерность пространства.

Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение , можно ввести только для размерностей 3 и 7.

Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в -мерном пространстве на операцию с сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты с индексами, можно явно записать такое -валентное векторное произведение как

Такое обобщение дает гиперплощадь размерности .

Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести бивектор, компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:

.

Эта конструкция называется внешним произведением.

Для двумерного случая операция

.

называется псевдоскалярным произведением, так как получающееся пространство одномерно и результат есть псевдоскаляр. (Двухиндексное внешнее произведение, описанное выше, можно ввести и для двумерного пространства, однако оно, очевидно, достаточно тривиально связано с псевдоскалярным произведением, а именно внешнее произведение в этом случае представляется матрицей, на диагонали которой нули, а оставшиеся два недиагональных элемента равны псевдоскалярному произведению и минус псевдоскалярному произведению).

Алгебра Ли векторов

Векторное произведение вводит на структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению с касательной алгеброй Ли к группе Ли ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

См. также

Произведения векторов

Другое

Примечания

Литература

• Кочин Н. Е. Введение в векторный и тензорный анализ.

Ссылки

dic.academic.ru

Понятие скалярного, векторного и смешанного произведения векторов. Скалярное произведение векторов

Глава 3 Понятие скалярного, векторного и смешанного произведения векторов.

3.1 Скалярное произведение векторов.

В главе 1 была введена операция умножения вектора на число. Теперь же введём в рассмотрение скалярное произведение двух векторов  и .

Определение:Скалярным произведением двух векторов и называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Будем обозначать скалярное произведение —

Таким образом:

-угол между векторами и

Скалярное произведение обладает следующими свойствами.

Свойство 1:   переместительное свойство

Свойство 2:   Скалярное произведение равно модулю одного из векторов умноженному на проекцию другого вектора на направление первого

Свойство 3:   Распределительное свойство

Свойство 4:   Пусть и — скаляры

Свойство 5: Чтобы векторы и были перпендикулярны необходимо и достаточно чтобы их скалярное произведение было равно нулю

Если векторы и  заданы своими координатами, то можно получить правило вычисления скалярного произведения.

Пусть:        

                 

  Используя полученную формулу, можно получить другие полезные формулы, часто применяемые при решении различных задач.

3.2 Векторное произведение

Пусть даны два вектора и .

Определение: Векторным произведением двух векторов и  называется вектор , обладающий следующими свойствами.

1.  Модуль вектора  равен произведению модулей векторов и на синус угла между ними

2.  Вектор  перпендикулярен векторам и .

3.  Вектор  направлен таким образом, что для наблюдателя находящегося в его конце кратчайший поворот первого вектора  к второму вектору  должен происходить против хода часовой стрелки (см. рис. 3.1)

    

                                                                                                         

 

        

Рис 3.1

Будем обозначать векторное произведение  проще .

Свойства векторного произведения.

Свойство 1:   Если векторы и не коллинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на векторах  и .

        B                                          C

                             

 

A                                       D

Рис 3.2

Свойство 2:   Векторное произведение векторов и равно нулю тогда и только тогда когда векторы и  коллинеарны.

Свойство 3:   При перестановке векторов и векторное произведение этих векторов меняет знак на противоположенный.

Свойство 4:   Пусть и  — числа

Свойство 5:   Распределительное свойство

Если векторы и заданы своими координатами , , то их векторное произведение:

- единичные векторы лежащие на осях ОХ, ОУ, OZ направленные вдоль оси декартовой системы координат.

3.3 Смешанное произведение трёх векторов.

  Прежде чем дать определение смешанного произведения, введём в рассмотрение понятие правой и левой тройки векторов. Пусть три вектора  с общим началом не лежат в одной плоскости.

Определение: Тройка векторов  называется правой (левой) тройкой если для наблюдателя, находящегося в конце третьего вектора , кратчайший поворот от первого вектора  ко второму вектору  происходит против хода часовой стрелки. На Рис. 3.3 показана правая тройка , на Рис. 3.4 левая тройка .

                                                         

 

Рис 3.3

        

 

Рис 3.4

Определение: Смешанным произведением трёх векторов  называется число равное скалярному произведению векторов  и .

Смешанное произведение трёх векторов обозначается  или  таким образом по определению

где  — угол между векторами  и .

  Очень важным при решении задач является геометрический смысл смешанного произведения. Пусть три вектора  имеют общее начало и не лежат в одной плоскости. Построим на этих векторах как на рёбрах параллелепипед  (Рис. 3.5)

B₁                                         C₁

 

A₁                             D₁        

                                                                                                  

                                                    B                         C

A                           D

Рис. 3.5

  По определению смешанного произведения

Величина  геометрически выражает площадь параллелограмма АВСD.

  Величина   является проекцией вектора  на направление вектора , причём если угол — острый, то , если  — тупой то ,  — высота параллелепипеда, таким образом

легко видеть, что если векторы  образуют правую тройку то угол — острый и имеем знак плюс, в случае же если векторы  образуют левую тройку то угол   — тупой и имеет знак минус.

  Таким образом, смешанное произведение трёх векторов  равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, и взятого со знаком плюс, если векторы  образуют правую тройку и со знаком минус если векторы образуют левую тройку.

  Очень важно уметь вычислять смешанное произведение в случае если векторы  заданы своими координатами.

,

,

Ещё одним свойством смешанного произведения является его связь с понятием компланарности векторов.

vunivere.ru

Квадратный корень, формула, калькулятор | Формулы с примерами

Квадратный корень 8 класс

Формула, определение
Квадратный корень из числа a — в алгебре является число (b),
квадрат которого равен a ( a ? 0 ).

Калькулятор квадратного корня онлайн, возвести в квадрат онлайн

Правило Числа 6 и -6 это квадратные корни из 36, поскольку 6² = 36 и (-6)² = 36.