Рубрика: Школьная жизнь

Ірраціональні числа (позначення для множини — I{\displaystyle \mathbb {I} }) — це всі дійсні числа, що не є раціональними: I=R∖Q{\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }, — тобто не можуть бути записані як відношення цілих чисел zn{\displaystyle {\frac {z}{n}}} (z∈Z{\displaystyle z\in \mathbb {Z} }, n∈

uk.wikipedia.org

Ірраціональні числа

19.11.2016

 Які числа є ірраціональними? Ірраціональне число — це не раціональне дійсне число, тобто воно не може бути представлено як дріб (як відношення двох цілих чисел), де m — ціле число, n — натуральне число. Ірраціональне число можна представити як нескінченну неперіодичну десяткову дріб.

Ірраціональне число не може мати точного значення. Тільки у форматі 3,333333…. Наприклад, квадратний корінь з двох – є ірраціональним числом.

Яке число ірраціональне? Ірраціональним числом (на відміну від раціональних) називається нескінченна десяткова неперіодична дріб.

Безліч ірраціональних чисел найчастіше позначають великою латинською літерою в напівжирному накресленні без заливки. Т. о.:

Тобто множина ірраціональних чисел це різниця множин речових і раціональних чисел.

Властивості ірраціональних чисел.

Сума 2-х невід’ємних ірраціональних чисел може бути раціональним числом.

Ірраціональні числа визначають дедекиндовы перерізу в множині раціональних чисел, в нижньому класі у яких немає самого великого числа, а у верхньому немає меншого.

Усяке дійсне трансцендентне число – це ірраціональне число.

Всі ірраціональні числа є або алгебраїчними, або трансцендентними.

Безліч ірраціональних чисел скрізь щільно на числовій прямій: між кожною парою чисел є ірраціональне число.

Порядок на множині ірраціональних чисел изоморфен порядку на множині дійсних трансцендентних чисел.

Безліч ірраціональних чисел нескінченно, є безліччю 2-ї категорії.

Результатом кожної арифметичної операції з раціональними числами (крім, ділення на 0) є раціональні числа. Результатом арифметичних операцій над ірраціональними числами може стати як раціональне, так і ірраціональне число.

Сума раціонального та ірраціонального чисел завжди буде ірраціональним числом.

Сума ірраціональних чисел може бути раціональним числом. Наприклад, нехай x ірраціональне, тоді y=x*(-1) теж ірраціональне; x+y=0, а число 0 раціональне (якщо, наприклад, скласти корінь будь-якого ступеня з 7 і мінус корінь такою ж мірою з семи, то отримаємо раціональне число 0).

Ірраціональні числа, приклади.

γ — ζ(3) — ρ— √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Числа. Ірраціональні числа. для будь-якого натурального n, що не є точним квадратом;

ex для будь-якого раціонального x ≠ 0;

ln x для будь-якого позитивного раціонального x ≠ 1;

Числа. Ірраціональні числа. (число пі), а також Числа. Ірраціональні числа.n для будь-якого цілого n ≠ 0.

moyaosvita.com.ua

Ірраціональні числа — Howling Pixel

Ірраціональні числа (позначення для множини — I{\displaystyle \mathbb {I} }) — це всі дійсні числа, що не є раціональними: I=R∖Q{\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }, — тобто не можуть бути записані як відношення цілих чисел zn{\displaystyle {\frac {z}{n}}} (z∈Z{\displaystyle z\in \mathbb {Z} }, n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }), а лише нескінченними неперіодичними десятковими дробами.

Уперше І. ч. постали в геометрії під час вивчення довжин відрізків піфагорцями, які, як стверджує легенда^{[джерело?]}, виявили неспівмірність з одиничною деяких геометричних величин. Оскільки це суперечило їхній філософії (цілком побудованій на натуральних числах), відкриття якнайсуворіше були приховували, навіть покаравши на смерть одного зі своїх братів — Гіппаса Метапонтського, який (за різними джерелами) чи-то першим знайшов, чи-то розголосив цей факт.

Відмінності записування дійсних чисел

Десятковий дріб будь-якого раціонального числа має періодично повторювану частину (зокрема це можуть бути нулі, як у скінченних дробів і цілих чисел), н-д:

• 13=.3¯{\displaystyle {\frac {1}{3}}={}.{\overline {3}}},^[1] що означає «нуль цілих і три в періоді» (довжина періоду — один), тобто 3{\displaystyle 3} повторюється нескінчену кількість разів;
• 227=3.142857¯{\displaystyle {\frac {22}{7}}=3.{\overline {142857}}}, що означає «три цілих і сто сорок дві тисячі вісімсот п’ятдесят сім у періоді» (довжина періоду — шість), тобто 142857{\displaystyle 142857} повторюється нескінчену кількість разів;
• 265132=2.0075¯{\displaystyle {\frac {265}{132}}=2.00{\overline {75}}}, що означає «дві цілих, нуль сотих і сімдесят п’ять у періоді» (довжина періоду — два), тобто 75{\displaystyle 75} повторюється нескінчену кількість разів;
• 52=2.5≡2.50¯{\displaystyle {\frac {5}{2}}=2.5\equiv 2.5{\overline {0}}}, скінченний дріб «дві цілих, п’ять десятих»,^[2] тобто 0{\displaystyle 0} повторюється нескінчену кількість разів;
• 31=3.≡2.9¯{\displaystyle {\frac {3}{1}}=3.{}\equiv 2.{\overline {9}}}, ціле число «три еквівалентне двом цілим і дев’ять у періоді»,^[3] тобто 9{\displaystyle 9} повторюється нескінчену кількість разів.

Періодичність дробу можна вважати критерієм приналежності числа до множини раціональних чисел.

Розкладання І. ч. у десятковий дріб не позначається такою періодичністю. Наприклад, відомо, що число пі — ірраціональне та навіть трансцендентне, тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та їх комбінації повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Інший спосіб записування додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. Відмінність полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а І. ч. — нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

Приклади

Квадратні корені

Квадратний корінь з двох — це перше число, ірраціональність якого було доведено. Іншим відомим ірраціональним числом є золотий перетин. Квадратні корені усіх натуральних чисел, які не є квадратними числами, є ірраціональними.

Приклади

355113=3+17+116,{\displaystyle {\frac {355}{113}}=3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{16}}}},} — скінченний;

2=1+12+12+12+…=[1;2,2,2…]=[1;(2)]{\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ldots }}}}}}=[1;2,2,2\ldots ]=[1;(2)]} — з періодом довжини один;

3=1+11+12+11+12+…=[1;1,2,1,2…]=[1;(1,2)]{\displaystyle {\sqrt {3}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\ldots }}}}}}}}=[1;1,2,1,2\ldots ]=[1;(1,2)]} — з періодом довжини два;

π=3+17+115+11+1292+…=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,…]{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+\ldots }}}}}}}}=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\ldots ]} (A001203 в енциклопедії цілих послідовностей) — неперіодичний.

Філософське значення

Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} (перше знайдене І. ч.).

Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків про Всесвіт як місце гармонії, яку власне можна описати відношеннями натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональним числом, дає приємне для вуха звучання.

З’ясування того, що 2≈1,4142135{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1{,}4142135} не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики, яка полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можливо відобразити числами, а лише через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилася від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

Властивості

• Будь-яке дійсне число можна записати нескінченним десятковим дробом, проте тільки І. ч. записують неперіодичними десятковими дробами.
• Сума двох додатніх І. ч. може бути раціональним числом.
• Кожне І. ч. визначає такий переріз Дедекінда у множині раціональних чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому — найменшого числа.
• Кожне І. ч. є або алгебраїчним, або трансцендентним. Кожне дійсне трансцендентне — ірраціональним.
• Множина І. ч. скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними числами є І. ч. (і навіть нескінченно багато).
• Порядок на множині І. ч. — ізоморфний порядку на множині дійсних трансцендентних чисел.
• Множина І. ч. є незліченною, другої категорії.

Топологічні властивості R∖Q{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }

Примітки

1. ↑ Тут використано англійську систему записування дробів без нулів. У пострадянських країнах для розділення цілої частини від дробної використовують кому замість крапки, а для позначення повторюваної частини — дужки замість верхньої риски.
2. ↑ Десяткові дроби є нескінченними за побудовою, тому зрозуміло, що після певного десяткового знака можуть стояти самі нулі (a0,a1…an000…{\displaystyle a_{0},a_{1}…a_{n}000…}), відкиданням яких отримують скінченні дроби.
3. ↑ Можемо записати як нескінченний періодичний дріб, оскільки з означення маємо, що 2+910+9100+…=3{\displaystyle 2+{\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+…=3}.

Література

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.

Істо́рія матема́тики — галузь знань, що займається дослідженням походження та розвитку математичних відкриттів та методів, а також математичних праць минулого.

Слово «математика» походить від грец. μάθημα (мàтема), що означає «пізнання» чи «вивчення»; математик, грец. μαθηματικός (математикóс), — «людина, охоплена жадобою пізнання». Математика первісно виникла як один із напрямків пошуку істини (у грецькій філософії) у сфері просторових відношень (землеміряння — геометрії) та обчислень (арифметики), для практичних потреб людини рахувати, обчислювати, вимірювати, досліджувати форми та рух фізичних тіл. Нині цей термін позначає цілком визначену область знань, пов’язану із дослідженням задач про кількість, просторові форми, процеси розвитку та формальні структури, в основі якого лежать точні означення та строгі дедуктивні методи.

Алгебра (від араб. الجبر‎ аль-джебр — відновлення) — розділ математики, що вивчає математичні операції і відношення, та утворення, що базуються на них: многочлени, алгебраїчні рівняння, алгебраїчні структури. Вивчення властивостей композицій різного виду в XIX столітті привело до думки, що основне завдання алгебри — вивчення властивостей операцій незалежно від об’єктів, до яких вони застосовуються. З того часу алгебру стали розглядати як загальну науку про властивості та закони композиції операцій. В наші дні алгебра — одна з найважливіших частин математики, що має застосування як у суто теоретичних, так і в практичних галузях науки.

Бет, івр. בֵּי»ת‎ — друга літера гебрайської абетки. Пишеться ב. Має числове значення (гематрію) 2.

Дійсні числа — елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв’язування алгебраїчних рівнянь.

Наочно поняття дійсного числа можна уявити за допомогою числової прямої. Якщо на прямій обрати напрям, початкову точку та одиницю довжини для вимірювання відрізків, то кожному дійсному числу можна поставити у відповідність єдину точку на цій прямій, і навпаки, кожна точка представлятиме єдине дійсне число. Через цю відповідність, термін числова пряма зазвичай використовується як синонім множини дійсних чисел.

Множину дійсних чисел стандартно позначають R{\displaystyle \mathbb {R} } чи R (від англ. real, нім. reel).

З погляду сучасної математики, множина дійсних чисел утворює неперервне впорядковане поле. Це означає, що дійсні числа можна додавати, віднімати, множити та ділити (окрім ділення на нуль), і для них справджуються всі звичні властивості арифметичних дій (комутативність і асоціативність додавання та множення, дистрибутивність додавання та віднімання відносно множення тощо), їх можна порівнювати між собою (відомо котре з двох дійсних чисел більше, а котре менше чи вони рівні між собою), а також, що на числовій прямій немає «дірок» — між будь-якими дійсними числами знайдеться дійсне число.

Евклі́дова геоме́трія — геометрична теорія, заснована на системі аксіом, вперше викладеній у підручнику «Начала» Евкліда (давньогрецькою: Στοιχεῖα Stoicheia, III століття до н. е.). Метод Евкліда полягає в прийнятті невеликого набору інтуїтивно зрозумілих аксіом і виведення з них багатьох інших теорем. Хоча багато визначень Евкліда були висловлені іншими математиками, Евклід був першим, хто показав, як ці пропозиції могли б використовуватися у всеосяжну дедуктивну та логічну систему. «Начала» починаються з планіметрії, яка і до сьогодні вивчається у середній школі як аксіоматика і базується на доведеннях. Більша частина «Начал» вказує на доведення того, що зараз називають алгеброю та теорією чисел.

Більше двох тисяч років прикметник «евклідова» був непотрібним, оскільки жодна інша форма геометрії ще не існувала. Аксіоми Евкліда здавались настільки очевидними (за винятком аксіоми паралельності), що будь-яка теорема, що випливала з них, вважалася вірною в абсолютному, часто метафізичному сенсі. Сьогодні відомо багато інших несуперечливих неевклідових геометрій, перші з яких з’явилися на початку 19 ст. Зокрема, із загальної теорії відносності Альберта Ейнштейна слідує що фізичний простір неевклідовий, а евклідовий простір для нього існує лише там, де слабке гравітаційне поле.

Евклідова геометрія є прикладом аналітичної геометрії, оскільки вона логічно йде від аксіом до тверджень без використання координат(на відміну від аналітичної геометрії, яка їх використовує).

Закон виключеного третього (поширена лат. назва tertium non datur — «третього не дано») — закон класичної логіки, який полягає в тому, що з двох висловлювань — «А» чи «не А» — одне обов’язково є істинним, тобто два судження, одне з яких є запереченням іншого, не можуть бути одночасно хибними.

Закон виключеного третього є одним з основоположних принципів «класичної математики».

З інтуїцистської (і, зокрема, конструктивістської) точки зору, встановлення істинності висловлювання виду «А чи не А» означає або (а) встановлення істинностіA{\displaystyle A}, або (б) встановлення істинності його заперечення ¬A{\displaystyle \neg A}. Оскільки, взагалі кажучи, не існує загального методу, що дозволяє для будь-якого висловлювання за кінцеве число кроків встановити його істинність або істинність його заперечення, закон виключення третього не повинен застосовуватися в рамках інтуїционістського і конструктивного напрямків в математиці як аксіома.

У математиці та мистецтві дві величини утворюють золотий перетин, якщо співвідношення їх суми і більшої величини дорівнює співвідношенню більшої і меншої. Це відношення прийнято позначати грецькою буквою φ{\displaystyle \varphi \,}.

Золотий перетин вважається співвідношенням найвідповіднішим естетичному сприйняттю зображення. Застосовується в мистецтві й архітектурі, найчастіше як золотий прямокутник. Золотий прямокутник утворюється при поділі відрізку АВ в такій точці О, що площа прямокутника, одною стороною якого є весь відрізок, а іншою — менший з відрізків, дорівнює площі квадрата з більшим відрізком як стороною (|АВ| * |OB| = |AO|²).

φ=AO+OBAO=AOOB{\displaystyle \varphi ={\frac {AO+OB}{AO}}={\frac {AO}{OB}}}

Це рівняння має єдиний додатний розв’язок

φ=1+52≈1.61803398874989484…{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803398874989484\dots }

Відношення двох відрізків приблизно дорівнює 13:8.

Число φ{\displaystyle \varphi \,} деколи називають золотим числом.

Квадратний корінь з числа 2 — дійсне число більше нуля, яке при множенні саме на себе дає число 2. Позначення: 2.{\displaystyle {\sqrt {2}}.} Приведемо значення кореня з 2 з 65 знаками після коми:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

Геометричний корінь з 2 можливо представити як довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 (це слідує з теореми Піфагора). Можливо, це було перше відоме в історії математики ірраціональне число (тобто число, яке неможливо точно представити у вигляді дробу).

Гарним і часто використовуваним наближенням до 2{\displaystyle {\sqrt {2}}} є дріб 9970{\displaystyle {\tfrac {99}{70}}}. Незважаючи на те, що чисельник і знаменник дробу лише двозначні цілі, воно відрізняється від реального значення менше, ніж на 1/10000.

Підмножиною Y множини X називається козліченною, якщо її доповнення до X є не більш ніж зліченною множиною. Таким чином, Y містить всі елементи X крім не більше ніж зліченної кількості. Наприклад, раціональні числа є зліченною підмножиною дійсних чисел, тому ірраціональні числа є козліченною підмножиною дійсних. Якщо доповнення є скінченним, тоді Y називають коскінченною підмножиною.

Константи Фейгенбаума — дві математичні константи, названі на честь їх відкривача Мітчела Фейгенбаума. Вони виражають відношення в біфуркаційних діаграмах.

δ={\displaystyle \delta =} 4.66920160910299067185320382… це відношення попереднього біфуркаційного інтервалу до наступного, або відношення діаметрів успішних кіл на осі дійсних чисел множини Мандельброта. Фейгенбаум спочатку відносив це число до періоду подвоєння біфуркацій в логістичному відображенні, але пізніше він показав, що ця константа також зберігається для одновимірних відображень з одиничним квадратичним максимумом. Як результат цього узагальнення, кожна хаотична система, яка має таку поведінку, буде біфуркувати з тією самою швидкістю (константою Фейгенбаума). Константа Фейгенбаума може бути використана для передбачання часу виникнення хаосу в системах. Ця константа була відкрита в 1975 році.

Друга константа Фейгенбаума ,

α={\displaystyle \alpha =} 2.502907875095892822283902873218…,

це відношення між шириною гілки і шириною однієї з її підгілок (окрім тих, які найближчі до згину). Це число використовується для опису багатьох динамічних систем. Припускається, що обидві константи є трансцентними, хоча це ще не доведено.

Корінь дванадцятої степені з двійки або 12√2 — алгебраїчне ірраціональне число. Воно є найбільш важливим для теорії музики, де воно задає співвідношення частоти півтонів в рівномірно-темперованого строю з дванадцяти тонів. Уперше це число було запропоноване для задання музичного строю в 1580 (вперше описано, переписано в 1610) Сімоном Стевіном.

|Посада= Крістоф Рудольфф (нім. Christoph Rudolff, 1499—1545) — німецький математик, автор першого підручника з алгебри у якому запропонував знак радикала, який залишився в науці. Належав до школи «косистів» (німецьких алгебраїстів XVI століття).

Лінійно впорядкована множина (ланцюг) — частково впорядкована множина (множина на якій задане ⩽{\displaystyle \leqslant } відношення нестрогого порядку), в якій для будь-яких двох елементів a{\displaystyle a} і b{\displaystyle b} виконується a⩽b{\displaystyle a\leqslant b} чи b⩽a.{\displaystyle b\leqslant a.}

Тобто, для ⩽{\displaystyle \leqslant } вимога рефлексивності посилена до вимоги повноти.

Частковий випадок лінійно впорядкованої множини — цілком впорядкована множина. Іншими словами: лінійний порядок = частковий порядок з умовою повноти.

Лінійний порядок використовується в

Наївна теорія множин — одна з декількох теорій множин, в якій описуються фундаментальні складові математики.. Термін було популяризовано завдяки книзі Пола Халмоша «Наївна теорія множин» (1960). Неофіційний зміст цієї теорії підтримує обидва аспекти математичної теорії множин: як ті, що відомі з дискретної математики (наприклад, діаграми Венна та їх символічний розгляд у Булевій алгебрі), так і більш «повсякденні» поняття теорії множин, що використовуються більше у сучасній математиці.

Множини відіграють велику роль в математиці. По суті, у багатьох сучасних формальних операціях більшість математичних об’єктів (числа, відношення, функції і т. д.) визначені в термінах множин. Наївна теорія множин може розглядатися як трамплін для розуміння більш формальних процедур і також для багатьох інших цілей.

Непере́рвна фу́нкція — одне з основних понять математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція f(x){\displaystyle f(x)} дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам Δx{\displaystyle \Delta x} аргумента x{\displaystyle x} відповідають малі зміни Δf{\displaystyle \Delta f} значення функції, що можна записати так: Δf→0{\displaystyle \Delta f\to 0} коли Δx→0.{\displaystyle \Delta x\to 0.} Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

В математиці тригонометричне число (англ. trigonometric number) — ірраціональне число, отримане як синус або косинус раціонального числа обертів або, що те ж саме, синус або косинус кута, величина якого в радіанах є раціональним кратним числа пі , або синус або косинус раціонального числа градусів.

Функція Діріхле — функція визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення 1 якщо аргумент є раціональним числом і значення 0 якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:

D(x)={1,x∈Q0,x∈R∖Q{\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}

де Q множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.

Ці́лі чи́сла — в математиці елементи множини Z={…−3,−2,−1,0,1,2,3…}{\displaystyle \mathbb {Z} =\lbrace \ldots -3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3\,\ldots \rbrace }, яка утворюється замиканням натуральних чисел відносно віднімання. Таким чином, цілі числа замкнуті відносно додавання, віднімання та множення.

Необхідність розгляду цілих чисел викликана неможливістю в загальному випадку відняти від одного натурального числа інше — можна віднімати тільки менше число від більшого. Введення нуля і від’ємних чисел робить віднімання такою ж повноцінною операцією, як додавання.

Множина цілих чисел складається з

Для позначення множини цілих чисел використовується символ ℤ, який може в різних авторів використовуватися для позначення групи множин: ℤ⁺, ℤ₊ або ℤ^> для позначення додатних цілих чисел, ℤ^≥ для не від’ємних цілих чисел, ℤ^≠ для всіх цілих чисел крім нуля. Деякі автори використовують позначення ℤ^* для всіх цілих чисел крім нуля, інші для позначення не від’ємних цілих чисел, або для {–1, 1}.

Дійсне число є цілим, якщо його десяткове подання не містить дробової частини (але може містити знак). Приклади дійсних чисел:

Числа 142857; 0; -273 є цілими.

Числа 5½; 9,75 не є цілими.

Число́ є одним з найголовніших об’єктів математики, який використовується для підрахунку, вимірювання та для маркування. Символи, які використовуються для позначення чисел називаються цифрами. Окрім того, що цифри використовуються при лічбі та вимірюванні, вони використовуються також для маркування (наприклад, як номер телефону), упорядкування (серійний номер і для кодування (ISBN). Взагалі, термін число може вказувати на символ, слово або математичну абстракцію.

В математиці, поняття числа розширювалось з плином часу. Було додано такі поняття як нуль, від’ємні числа, раціональні числа ( 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , −23{\displaystyle -{\frac {2}{3}}}), дійсні числа ( 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} and π {\displaystyle \pi } ), комплексні числа, які розширюють дійсні числа введенням поняття про − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} . Над числами виконуються арифметичні операції, такі як додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до степеня. Їх використання називається арифметикою. Деякі властивості натуральних чисел досліджуються у теорії чисел, — великому розділі математики.

Окрім практичного використання, числа мають також культурне значення. Наприклад, у західному суспільстві число 13 вважається нещасливим, а «мільйон» може означати «багато». В наші часи нумерологія вважається псевдонаукою, проте антична та середньовічна думка пронизана вірою в містичне значення чисел. Нумерологія сильно вплинула на давньогрецьку математику, та підштовхнула до дослідження багатьох проблем в теорії чисел, які актуальні й досі.

Протягом XIX століття математики почали розвивати багато різних абстракцій, які мають спільні властивості з числами або які можна розглядати як узагальнення поняття числа. Серед перших були гіперкомплексні числа, які узагальнювали комплексні числа. Тепер системи числення розглядаються як важливі приклади загальних категорій, таких як кільце та поле, і використання терміну «число» є питанням домовленості, без фундаментального значення.

У давнину у слов’янських мовах слово «число» означало «знак», «символ», «поняття», «ідея»^{[джерело?]}. Під словом «числити» розуміли в ті часи «значити», «думати», а також «записувати щось за допомогою знаків», «робити певні дії зі знаками».

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

howlingpixel.com

Ірраціональні числа

Уперше виникли в геометрії при вивченні довжин. Геометрично ірраціональне число виражає собою довжину відрізка, неспільномірного з відрізком одиничної довжини. За легендою, піфагорці відкрили несумірність деяких геометричних величин, але оскільки це суперечило їх філософії, цілком побудованій на натуральних числах, вони утримували це відкриття у найсуворішій таємниці і навіть покарали на смерть одного з членів свого братства — Гіппаса Метапонтського, який (за різними джерелами) чи першим знайшов, чи розголосив цей факт.

Зміст

• 1 Відмінності в записі раціональних та ірраціональних чисел
• 2 Філософське значення
• 3 Властивості
  • 3.1 Топологічні властивості
• 4 Література

Відмінності в записі раціональних та ірраціональних чисел

Раціональні числа при записі їх у десятковий дріб мають періодично повторювану частину. Наприклад,

Періодичність дробу можна вважати за критерій приналежності числа до раціональних чисел. При розкладанні ірраціональних чисел у десятковий дріб не спостерігається такої періодичності. Наприклад, відомо, що число пі π = 3 , 1415926 … {\displaystyle \pi =3,1415926\ldots }  — ірраціональне, і навіть трансцендентне. Тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та комбінації цифр повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Існує інший спосіб задання додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. У цьому разі, різниця між раціональними та ірраціональними числами полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а ірраціональних нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

Приклади.

скінченний;

з періодом довжини один;

з періодом довжини два;

(A001203 в енциклопедії цілих послідовностей) — неперіодичний.

Філософське значення

Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} (перше знайдене ірраціональне число).

Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків. Всесвіт є місцем гармонії, а гармонію, в свою чергу, можна описати відношенням натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональне число, дає приємне для вуха звучання. Відкриття того, що довжина діагоналі квадрата зі сторонами довжиною 1, тобто 2 ≈ 1 , 4142135 {\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1,4142135} , не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики.

Криза полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можуть бути виражені числами. Але ті самі математичні величини можуть бути виражені через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилась від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

Властивості

• Всяке дійсне число може бути записане нескінченим десятковим дробом, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними десятковими дробами.
• Кожне ірраціональне число визначає такий переріз Дедекінда у множині раціональних чисел, для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому класі немає найменшого раціонального числа.
• Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним, а кожне трансцендентне число є ірраціональним.
• Множина ірраціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними (і навіть раціональними) числами є ірраціональне число (і навіть нескінченно багато ірраціональних чисел).
• Множина ірраціональних чисел — незліченна множина другої категорії.

Топологічні властивості

Підпростір R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } евклідового простору R {\displaystyle \mathbb {R} } має наступні властивості:

• R {\displaystyle \mathbb {R} } \ Q {\displaystyle \mathbb {Q} } є Gδ-множиною, але не Fσ-множиною в R {\displaystyle \mathbb {R} } . Фактично, R ∖ Q = ⋂ α ∈ Q ( R ∖ { α } ) {\displaystyle R\setminus \mathbb {Q} =\bigcap _{\alpha \in Q}(R\setminus \{\alpha \})} .
• Евклідова метрика перетворює R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } на метричний простір. Тому R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } є цілком нормальним та паракомпактним.
• Повний метричний простір R {\displaystyle \mathbb {R} } \ Q {\displaystyle \mathbb {Q} } є простором другої категорії.
• R {\displaystyle \mathbb {R} } \ Q {\displaystyle \mathbb {Q} } сепарабельний, бо ірраціональні числа π+q, де q ∈ Q {\displaystyle q\in \mathbb {Q} } утворюють скрізь щільну множину в R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } .
• R {\displaystyle \mathbb {R} } \ Q {\displaystyle \mathbb {Q} } задовольняє другу аксіому зліченності.
• R {\displaystyle \mathbb {R} } \ Q {\displaystyle \mathbb {Q} } не локально-компактний і не σ-локально компактний.
• R {\displaystyle \mathbb {R} } \ Q {\displaystyle \mathbb {Q} } цілком відокремлений.
• R {\displaystyle \mathbb {R} } \ Q {\displaystyle \mathbb {Q} } щільний у собі.
• R {\displaystyle \mathbb {R} } \ Q {\displaystyle \mathbb {Q} } не розсіяний.
• R {\displaystyle \mathbb {R} } \ Q {\displaystyle \mathbb {Q} } нульвимірний.

Література

1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) . Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. 

ірраціональні числа на, ірраціональні числа сериал, ірраціональні числа фибоначи, ірраціональні числа фибоначчи

Ірраціональні числа Інформацію Про

Ірраціональні числа Коментарі

Ірраціональні числа
Ірраціональні числа
Ірраціональні числа Ви переглядаєте суб єкт.

Ірраціональні числа що, Ірраціональні числа хто, Ірраціональні числа опис

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Раціональні числа

19.11.2016

 Які числа раціональні? Раціональні числа (на відміну від ірраціональних)– це числа з позитивним чи негативним знаком (цілі і дробові) і нуль. Більш точне поняття раціональних чисел, звучить так:

Раціональне число — число, яке видається звичайної дробу m/n, де чисельник m — цілі числа, а знаменник n — натуральні числа, наприклад 2/3.

Нескінченні неперіодичні дроби НЕ входять в безліч раціональних чисел.

Тому число «Пі» (π = 3,14…), підстава натурального логарифма, e (e = 2,718..) або √2 НЕ є раціональними числами.

Раціональні числа, приклади:

3/4; 9/12; 1/2;

Безліч раціональних чисел.

Крім того, одну дріб можна записати різними способами і видами, але значення її не загубиться. Наприклад, 3/4 і 9/12, будь дріб, яку можна отримати з іншої дробу (і навпаки) множачи їх або ділячи чисельник і знаменник на однакову натуральне число, є одним і тим же раціональним числом). Так як діленням чисельника і знаменника дробу на НОД, можемо отримати єдине подання раціонального числа, яке не можна скоротити, то можемо говорити про їх безлічі як про безліч несократимых дробів з взаємно простими цілим чисельником і натуральним знаменником:

де gcd(m,n) — НСД чисел m і n.

Безліч раціональних чисел – це природне узагальнення безлічі цілих чисел. Якщо раціонального числа a=m/n знаменник n=1, то a=m буде цілим числом.

Кожне раціональне число легко виразити як дріб, в якому чисельник є цілим числом, а знаменник – натуральним числом.

a/b, де a ∈ Z (a належить цілим числам), b∈N (b належить натуральним числам).

Використання раціональних чисел в реальному житті.

У реальному житті безліч раціональних чисел використовується для рахунку частин деяких цілих подільних об’єктів, наприклад, тортів або інших продуктів, які розрізаються на частини перед вживанням, або для грубої оцінки просторових відносин протяжних об’єктів.

Властивості раціональних чисел.

Основні властивості раціональних чисел.

1. Упорядкованість. Для будь-яких раціональних чисел a і b є правило, яке дозволяє однозначно ідентифікувати між ними 1-але й тільки одне з 3-х відносин: «<», «>» або «=». Це правило – правило впорядкування і формулюють його ось так:

2 позитивні числа a=ma/na і b=mb/nb пов’язані тим же відношенням, що і 2 цілих числа ma⋅nb і mb⋅na;

2 від’ємних числа a і b зв’язані відношенням, що і 2 позитивні числа |b| |a|;

коли a позитивно, а b — негативно, то a>b.

∀a,b∈Q (a∨a>b∨a=b)

2. Операція додавання. Для всіх раціональних чисел a і b є правило підсумовування, яке ставить їм у відповідність певне раціональне число c. При цьому саме число c – це сума чисел a і b і її позначають як (a+b), а процес знаходження цього числа називають підсумовування.

Правило підсумовування виглядає так:

ma/na+mb/nb=(ma⋅nb+mb⋅na)/(na⋅nb).

∀a,b∈Q ∃!(a+b)∈Q

3. Операція множення. Для будь-яких раціональних чисел a і b є правило множення, воно ставить їм у відповідність певне раціональне число c. Число c називають добутком чисел a і b і позначають (a⋅b), а процес знаходження цього числа називають множення.

Правило множення виглядає так: mana⋅mbnb=ma⋅mbna⋅nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Транзитивність відносини порядку. Для будь-яких трьох раціональних чисел a, b і c, якщо a менше b, а b менше c, то a менше c, а якщо a дорівнює b і b дорівнює c, то a одно c.

∀a,b,c∈Q (a∧b⇒a∧(a = b∧b = c ⇒ a = c)

5. Комутативність додавання. Від зміни місць раціональних доданків сума не змінюється.

∀a,b∈Q a+b=b+a

6. Асоціативність додавання. Порядок складання 3-х раціональних чисел не впливає на результат.

∀a,b,c∈Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Наявність нуля. Є раціональне число 0, воно зберігає всяке інше раціональне число при складанні.

∃0∈Q ∀a∈Q a+0=a

8. Наявність протилежних чисел. У будь-якого раціонального числа є протилежне раціональне число, при їх складання виходить 0.

∀a∈Q ∃(−a)∈Q a+(−a)=0

 9. Комутативність множення. Від зміни місць раціональних множників добуток не змінюється.

∀a,b∈Q a⋅b=b⋅a

10. Асоціативність множення. Порядок перемноження 3-х раціональних чисел не має впливу на підсумок.

∀a,b,c∈Q (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

11. Наявність одиниці. Є раціональне число 1, воно зберігає всяке інше раціональне число в процесі множення.

∃1∈Q ∀a∈Q a⋅1=a

12. Наявність зворотних чисел. Кожне раціональне число, відмінне від нуля має зворотне раціональне число, помноживши на яке отримаємо 1.

∀a∈Q ∃a−1∈Q a⋅a−1=1

 13. Дистрибутивность множення відносно додавання. Операція множення пов’язана зі складанням за допомогою розподільного закону:

∀a,b,c∈Q (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c

14. Зв’язок стосунки порядку з операцією додавання. До лівої і правої частин раціонального нерівності додають одне і те ж раціональне число.

∀a,b,c∈Q a⇒a+c

15. Зв’язок стосунки порядку з операцією множення. Ліву і праву частини раціонального нерівності можна помножити на однакову невід’ємне раціональне число.

∀a,b,c∈Q c>0∧a⇒a⋅c⋅c

 16. Аксіома Архімеда. Яким би не було раціональне число a, легко взяти стільки одиниць, що їх сума буде більше a.

moyaosvita.com.ua

1.11. Поняття про ірраціональні числа. Дійсні числа

Арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа а називають невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а. Арифметичний квадратний корінь із числа а позначають

Теорема. Серед раціональних чисел немає такого, яке дорівнювало б значенню

Припустимо протилежне. Нехай існує таке раціональне число, квадрат якого дорівнює 2. Це число можна подати у вигляді нескорочуваного дробу де — натуральні числа. Тоді Оскільки число — парне, то й число , що йому дорівнює також парне, а тому число — також парне (адже квадрат непарного числа є непарне число), тобто де — натуральне число. Підставивши цей вираз у рівність дістанемо Оскіль­ки — парне число, то — також парне, тому і — парне число. Отже, і — парні числа, а це суперечить припущенню, що дріб нескоротний. Звідси випливає, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2. Таким чином, не є раціональним числом.

Це число називають ірраціональним. Ірраціональними числами є і т. ін.

Зауважимо, що до ірраціональних чисел належить число яке виражає відношення довжини кола до його діаметра.

У теоремі 1.10 доведено, що кожне раціональне число є нескінченним періодичним десятковим дробом. Було зазначено також, що будь-який періодичний десятковий дріб є поданням деякого раціонального числа.

Крім періодичних нескінченних десяткових дробів, існують непе­ріодичні дроби: такий, наприклад, дріб в якого після першої двійки одна одиниця, після другої — дві одиниці і т. д. Кожний неперіодичний нескінченний десятковий дріб де — ціла частина числа х; — десяткові знаки, є поданням деякого нового (не раціонального) числа, що називається ірраціональним. Множину всіх таких чисел називають множиною ірраціональних чисел.

Множиною дійсних чисел називають множину всіх раціональних і всіх ірраціональних чисел. Таким чином, з’ясовується, що будь-яке дійсне число подається нескінченним десятковим дробом. Множина всіх дійсних чисел позначається R.

Дійсні числа впорядковано за величиною, тобто для будь-яких двох дійсних чисел і справджується лише одне і лише одне із співвідношень: Сенс нерівності між дійсними числами визначається правилом порівняння нескінченних десяткових дробів.

Для дійсного числа наближення з точністю до з недостачею і з надлишком визначаються так:

Очевидно, що

Додавання до десяткового дробу числа рівносильне збіль­шенню останньої цифри дробу на одиницю. Зауважимо, що кожне з десяткових наближень і дійсного числа є раціональним числом.

Приклад. Випишемо перші п’ять наближень (з недостачею та надлишком) для числа

Для дійсних чисел можна визначити арифметичні операції додавання і множення. Віднімання визначається як дія, обернена до додавання, а ділення — як дія, обернена до множення. Основні властивості арифметичних дій із цілими числами справеджуються і для дійсних чисел.

Визначимо суму і добуток двох дійсних чисел і Для їхніх наближень з недостачею та надлишком із точністю до справджуються такі нерівності

Сумою дійсних чисел і називають таке дійсне число яке при будь-якому цілому невід’ємному задовольняє нерівності Можна довести, що таке число існує і єдине.

Добутком невід’ємних дійсних чисел і називають таке дійсне число яке при будь-якому цілому невід’ємному задовольняє нерівності Можна довести, що таке число існує і єдине.

Дійсні числа можна зображати точками координатної осі.

Множину всіх дійсних чисел називають числовою віссю; вона зображається всією координатною прямою, її позначають (читається: «проміжок від мінус нескінченності до плюс нескінченності»).

Множина всіх чисел, що задовольняють подвійну нерівність називають числовим проміжком (або проміжком) і позначають (читається: «проміжок від до ».

Множину всіх чисел, що задовольняють нерівності і позначають відповідно (читається: «проміжок від до включаючи та »), [a; b) і (a; b].

Проміжок називають інтервалом, проміжок — відрізком або сегментом, а проміжки [a; b) і (a; b] — напівінтервалами.

studfiles.net

Ірраціональне число

Ірраціональне число — це дійсне число, яке не є раціональним, тобто яке не може бути представленим у вигляді дробу , Де m — ціле число, n — натуральне число. Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, непорівнянних із відрізком одиничної довжини, знали вже стародавні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі і сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа .

Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається заголовною латинською буквою «i» в напівжирному накресленні без заливки — . Таким чином: , Тобто безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових і раціональних чисел.

1. Історія

Концепція ірраціональних чисел була неявним чином сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манаві (бл. 750 р. до н. Е.. — Бл. 690 р. до н. Е..) З’ясував, що квадратні корені деяких натуральних чисел, таких як 2 і 61, не можуть бути явно виражені.

Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппаса з Метапонті (бл. 500 рр.. до н. е..), піфагорійці, який знайшов це доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить в будь-який відрізок. Однак Гиппас обгрунтував, що не існує єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до протиріччя. Він показав, що якщо гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника містить ціле число одиничних відрізків, то це число повинне бути одночасно і парних, і непарною. Доказ виглядало наступним чином:

• Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a: b, де a і b вибрані найменшими з можливих.
• За теоремою Піфагора: a = 2 b.
• Так як a парне, a повинно бути парним (так як квадрат непарного числа був би непарних).
• Оскільки a: b нескоротного, b зобов’язана бути непарним.
• Так як a парне, позначимо a = 2 y.
• Тоді a = 4 y = 2 b.
• b = 2 y, отже b парне, тоді і b парне.
• Однак було доведено, що b непарне. Протиріччя.

Грецькі математики назвали це відношення несумірних величин алогос (невимовним), проте згідно з легендами не віддав Гіппаса належної поваги. Існує легенда, що Гиппас зробив відкриття, перебуваючи в морському поході, і його викинуло за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел і їх відносин». Відкриття Гіппаса поставило перед пифагорейской математикою серйозну проблему, зруйнувавши лежало в основі всієї теорії припущення, що числа та геометричні об’єкти єдині й нероздільні.

Феодор Кіренський довів ірраціональність коренів натуральних чисел до 17 (крім, природно, точні квадрати — 1, 4, 9 і 16), але зупинився на цьому, так як имевшаяся в його інструментарії алгебра не дозволяла довести ірраціональність квадратного кореня з 17. З приводу того, яким могло бути це доказ, істориками математики було висловлено кілька різних припущень. Згідно найбільш правдоподібного припущенням Жана ИТАР (1961), воно було засноване на пифагорейской теорії парних і непарних чисел, у тому числі — на теоремі про те, що непарне квадратне число за вирахуванням одиниці ділиться на вісім трикутних чисел.

Пізніше Евдокс Кнідський (410 або 408 р. до н. е.. — 355 або 347 р. до н. е..) розвинув теорію пропорцій, яка брала до уваги як раціональні, так і ірраціональні відносини. Це послужило підставою для розуміння фундаментальної суті ірраціональних чисел. Величина стала вважатися не числом, але позначенням сутностей, таких як відрізки прямих, кути, площі, обсяги, проміжки часу — сутностей, які можуть змінюватися безперервно (в сучасному розумінні цього слова). Величини були протиставлені числах, які можуть змінюватися лише «стрибками» від одного числа до сусіднього, наприклад, з 4 на 5. Числа складаються з найменшою неподільною величини, в той час як величини можна зменшувати нескінченно.

Оскільки жодне кількісне значення не зіставлялося величині, Евдокс зміг охопити і сумірні, і несумірні величини при визначенні дробу як відносини двох величин, і пропорції як рівності двох дробів. Прибравши з рівнянь кількісні значення (числа), він уникнув пастки, що складається в необхідності назвати ірраціональну величину числом. Теорія Евдокса дозволила грецьким математикам здійснити неймовірний прогрес в геометрії, надавши їм необхідне логічне обгрунтування для роботи з непомірними величинами. «Книга 10 елементів» Евкліда присвячена класифікації ірраціональних величин.

1.1. Середні століття

Середні століття ознаменувалися прийняттям таких понять як нуль, негативні числа, цілі і дробові числа, спершу індійськими, потім китайськими математиками. Пізніше приєдналися арабські математики, які першими стали вважати негативні числа алгебраїчними об’єктами (поряд і на рівних правах з позитивними числами), що дозволило розвинути дисципліну, нині звану алгеброю.

Арабські математики з’єднали давньогрецькі поняття «числа» і «величини» в єдину, більш загальну ідею дійсних чисел. Вони критично ставилися до уявлень Евкліда про відносини, на противагу їй вони розвинули теорію відносин довільних величин і розширили поняття числа до відносин безперервних величин. У своїх коментарях на Книгу 10 елементів Евкліда, перський математик Аль Махане (ок 800 мм. Н. Е..) Досліджував і класифікував квадратичні ірраціональні числа (числа виду) і більш загальні кубічні ірраціональні числа. Він дав визначення раціональним та ірраціональним величинам, які він і називав ірраціональними числами. Він легко оперував цими об’єктами, але міркував як про відокремлені об’єктах, наприклад:

На противагу концепції Евкліда, що величини суть в першу чергу відрізки прямих, Аль Махане вважав цілі числа і дроби раціональними величинами, а квадратні і кубічні корені — ірраціональними. Він також ввів арифметичний підхід до безлічі ірраціональних чисел, оскільки саме він показав ірраціональність наступних величин:

Єгипетський математик Абу Каміл (бл. 850 р. н. Е.. — Бл. 930 р. н. Е..) Був першим, хто визнав прийнятним визнати ірраціональні числа рішенням квадратних рівнянь або коефіцієнтами в рівняннях — в основному, у вигляді квадратних або кубічних коренів, а також коренів четвертого ступеня. У X столітті іракський математик Аль Хашимі вивів загальні докази (а не наочні геометричні демонстрації) ірраціональності твори, приватного та результатів інших математичних перетворень над ірраціональними та раціональними числами. Ал Хазін (900 р. н. Е.. — 971 р. н. Е..) Подає таке визначення раціональної та ірраціональної величини:

Багато з цих ідей були пізніше перейняті європейськими математиками після переведення на латину арабських текстів у XII столітті. Аль Хассар, арабський математик із Магрибу, що спеціалізувався на ісламських законах про спадщину, в XII столітті ввів сучасну символьну математичну нотацію для дробів, розділивши чисельник і знаменник горизонтальній рисою. Та ж нотація з’явилася потім у роботах Фібоначчі в XIII столітті. Протягом XIV-XVI ст. Мадхава з Сангамаграми і представники Керальской школи астрономії та математики досліджували нескінченні ряди, що сходяться до деяких ірраціональним числам, наприклад, до π, а також показали ірраціональність деяких тригонометричних функцій. Джестадева навів ці результати в книзі Йуктібхаза.

1.2. Наш час

У XVII столітті в математиці міцно зміцнилися комплексні числа, вклад у вивчення яких внесли Абрахам де Муавр (1667-1754) і Леонард Ейлер (1707-1783). Коли теорія комплексних чисел в XIX столітті стала замкнутою і чіткою, стало можливим класифікувати ірраціональні числа на алгебраїчні і трансцендентні (довівши при цьому існування трансцендентних чисел), тим самим переосмисливши роботи Евкліда за класифікацією ірраціональних чисел. По цій темі в 1872 були опубліковані роботи Вейерштрасса, Гейне, Кантора і Дедекинда. Хоча ще в 1869 році Мере почав розгляду, схожі з Гейне, саме 1872 прийнято вважати роком народження теорії. Вейерштрасс, Кантор і Гейне обгрунтовували свої теорії за допомогою нескінченних рядів, у той час як Дедекинда працював з (нині так званим) Дедекіндовим перетином безлічі дійсних чисел, розділяючи всі раціональні числа на дві множини з певними характеристичними властивостями.

Ланцюгові дроби, тісно пов’язані з ірраціональними числами (ланцюгова дріб, що представляє дане число, нескінченна тоді і тільки тоді, коли число є ірраціональним), були вперше досліджені Катальді в 1613 році, потім знову привернули до себе увагу в роботах Ейлера, а на початку XIX століття — в роботах Лагранжа. Дирихле також вніс значний вклад у розвиток теорії ланцюгових дробів.

У 1761 році Ламберт показав, що π не може бути раціонально, а також що e ⁿ ірраціонально при будь-якому ненулевом раціональному n. Хоча доказ Ламберта можна назвати незавершеним, прийнято вважати його досить суворим, особливо враховуючи час його написання. Лежандр в 1794 році, після введення функції Бесселя-Кліффорда, показав, що π ірраціонально, звідки ірраціональність π слід тривіально (раціональне число у квадраті дало б раціональне). Існування трансцендентних чисел було доведено Ліувіля в 1844-1851 роках. Пізніше Георг Кантор (1873) показав їх існування, використовуючи інший метод, і обгрунтував, що будь-який інтервал речового ряду містить нескінченно багато трансцендентних чисел. Шарль Ерміта довів в 1873 році, що e трансцендентно, а Фердинанд Ліндеман в 1882 році, грунтуючись на цьому результаті, показав трансцендентність π. Доказ Ліндеманна було потім спрощено Вейерштрасом в 1885 році, ще більше спрощено Давидом Гільбертом в 1893 році і, нарешті, доведено до майже елементарного Адольфом Гурвіцем і Паулем Горданом.

2. Властивості

• Усяке дійсне число може бути записано у вигляді нескінченної десяткового дробу, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними нескінченними десятковими дробами.
• Ірраціональні числа визначають Дедекіндови перетину в множині раціональних чисел, у яких в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому немає найменшого числа.
• Кожне трансцендентне число є ірраціональним.
• Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним.
• Безліч ірраціональних чисел скрізь щільно на числовій прямій: між будь-якими двома числами є ірраціональне число.
• Безліч ірраціональних чисел незліченно, є безліччю другої категорії. ^[1]

3. Теореми

3.1. Корінь з 2 — ірраціональне число

Припустимо гидке: раціональний, тобто представляється у вигляді нескоротного дробу , Де m і n — цілі числа. Зведено передбачуване рівність в квадрат:

.

Звідси випливає, що m ² парне, отже, четно і m . Нехай m = 2 r , Де r ціле. Тоді

Отже, n ² парне, отже, четно і n . Ми отримали, що m і n парних, що суперечить нескоротного дробу . Значить, вихідне припущення було невірним, і — Ірраціональне число.

3.2. log _{2 Березня} — Ірраціональне число

Припустимо гидке: log _{2 Березня}раціональний, тобто представляється у вигляді дробу , Де m і n — цілі числа. Оскільки log ₂ 3> 0 , m і n можуть бути обрані позитивними. Тоді

Але 2 ^m парне, а 3 ⁿ непарній. Отримуємо протиріччя.

3.3. e — Ірраціональне число

Див розділ «Доказ ірраціональності» в статті «e».

4. Інші ірраціональні числа

Ірраціональними є:

• для будь-якого натурального n , Яка не є точним квадратом
• e ^x для будь-якого раціонального
• ln x для будь-якого позитивного раціонального
• π , А також π ⁿ для будь-якого натурального n

znaimo.com.ua

Читайте также

oplib.ru

Правовая статистика

Тема 1. Понятие статистики как науки. 2

1.Понятие статистики. 2

2.История становления статистики как науки. 2

3.Задачи правовой статистики. 4

4.Отрасли правовой статистики. 4

Тема 2. Предмет и метод правовой статистики. 5

Тема 3. Статистическое наблюдение. 6

1.Понятие и этапы статистического наблюдения. 6

2.Виды статистического наблюдения. 8

3. Выборочное наблюдение. 9

Тема 4. Статистическая группировка. Графическое изображение статистических данных. 10

1.Понятие статистической сводки. 10

2.Понятие статистической группировки. Основания группировки. 11

3.Виды группировок. 12

4.Ряды распределения. 13

5.Статистическая таблица. 13

6.Графики в статистике. 14

Тема 5. Обобщающие показатели в уголовно-правовой статистике. 16

1.Абсолютные числа и обобщающие показатели. 16

2.Понятие, виды относительных величин. 16

3.Понятие, виды и общие правила поведения средних величин. 18

Тема 6. Статистический анализ. 19

1.Понятие и задачи статистического анализа. 19

2.Показатели структуры преступности. 20

3.Статистический анализ деятельности правоохранительных органов. 20

4.Задачи и виды обобщения судебной практики. 21

Тема 7. Криминологическое прогнозирование и планирование. 21

Правовая статистика

Никитина Ирина Александровна

Учебники:

1. Остроумов С.С. “Советская судебная статистика”

2. Кардоколов Ю.Ф “Правовая статистика” Красноярск, 1998-2001 г.

3. “Правовая статистика” под ред. Яковлевой З.Г. Москва 1986 г.

4. Савюк Л.К. “Юридическая статистика”, “ Правовая статистика” Москва-Юрист 1999-2006

5. Лунеев В.В. “Юридическая статистика” Москва-Юрист 2001-2006 г.

6. УМК “Правовая статистика”

7. Общая теория статистики

Тема 1. Понятие статистики как науки.

1. Понятие статистики.

2. История становления статистики как науки.

3. Задачи правовой статистики.

4. Отрасли правовой статистики.

1. Понятие статистики.

В современное время статистика употребляется в трёх значениях:

1. Статистика как совокупность сведений о массовых явлениях в жизни общества и природы (напр., статистика населения, разводов, преступности и т.д.). Как в абсолютных, так и в относительных числах.

На 31.08.2009г. прожиточный уровень населения составляет 5083 рубля.

На долю теневой экономики приходится 40% ВНН (валового нац. налога).

В прошлом году на территории РФ зарегистрировано ≈3,5 млн. преступлений.

2. Статистика понимается как вид практической деятельности по сбору, обработке, анализу и обнародованию статистических материалов.

3. Статистика – это отрасль знаний, в которой излагаются теоретические вопросы сбора, сводки, группировки и анализа количественных сведений о массовых явлениях. Эта отрасль знаний представляет собой самостоятельную науку и соответствующую ей учебную дисциплину.

2. История становления статистики как науки.

История развития.

Первое упоминание о статистике мы находим в 23 в. до н.э. в Китае. Ещё в древности люди пытались подсчитывать народонаселение. В 15-16 вв. статистика уже начала формироваться как самостоятельная наука. В 17 в. сформировалась.

В статистике выделяют 3 основных направления:

1. Описательное направление.

Основоположник – Конринг. Его ученик и последователь Ахенваль с 1742 г. в Марбургском университете начал читать курс “Статистика”.

Представители этого направления разработали систему описания государственного устройства, они считали, что статистика – это остановившаяся история. Основная задача статистики – это описание государственных достопримечательностей (одна из основных достопримечательностей – это народонаселение). Собирался описательный информационный материал, который впоследствии почти не анализировался. Наибольшее распространение получила в Англии, Франции и Германии.

2. Политическая арифметика.

Это Английская школа сложилась на сто лет раньше описательного направления. В 1662 г. в Лондоне была опубликована монография “Естественные и политические наблюдения, сделанные над бюллетенями смертности”, авторство этой работе предписывается Граунту. В последующем эти изыскания были развиты англ. экономистом У. Петти “Политическая арифметика”.

Основное содержание: они считали, что статистика – это не только собирание и подытоживание сведений, но и совокупность методов обработки этих сведений, позволяющих числами выразить закономерности развития общественных явлений.

Наибольшее развитие эта школа получила в 17-18 вв. в Англии, Голландии и в Италии. Имела своих последователей и в России.

3. математическое направление в статистике.

Возникло в первой половине 19 в. Наиболее заметной фигурой этого направления был Кетле – немецкий учёный.

Особенность: сторонники направления считали основой статистики теорию вероятности. Они считали необходимым при статистических исследованиях использовать математические методы.

В развитии статистики в России видное место занимали представители описательного направления. В работах Кириллова, Татищева статистика трактовалась преимущественно как описательная наука, но уже во второй половине 19 в. стала развиваться и политическая арифметика. Считалось, что суть статистики – переход от единичных неустойчивых факторов к закономерностям в развитии. Считалось, сто общественные явления можно изучать только на основе массовых наблюдений.

Видными представителями статистики второй половины 19 в. были Янсон, Чупров. У Чупрова был “Курс статистики”.

В конце 19 в. в России появились сторонники математического направления (Чебышев, Марков).

Первое статистическое учреждение в России было создано в 1811 г. при Министерстве Юстиции, называлось “Статистическое отделение”, оно собирало, сводило по стране ежегодные отчёты губернаторов о преступности и других правонарушениях.

В 1852 г. был образован статистический комитет, а в 1857 г. он был преобразован в Центральный статистический комитет.

В ходе судебных реформ 1861, 1864 гг. в России была создана новая организация уголовной статистики. Суть этой организации – это купонная система. Эта система просуществовала до 1909 г.

Послереволюционный период. В 1917 г. одним из первых декретов советской власти создаётся Центральный статистический кабинет РСФСР, в 1923 г. он преобразуется в Центральное статистическое управление СССР. В этом управлении был отдел моральной статистики.

Отдел моральной статистики занимался сбором информации:

• о преступности,

• они собирали данные о негативных явлениях общества (алкоголизм, бродяжничество, проституция, наркомания и т.д.),

• сведения по безнадзорности, правонарушения несовершеннолетних, условиях формирования их личности в семье;

• сведения о существовании религии в стране; о деятельности правозащитных организаций.

С середины 30-х гг. отдел статистики был убран. Вся информация о статистики была сосредоточена в органах прокуратуры. это продолжалось до 60-х гг.

В 1987 г. были сняты ограничения на публикацию статистической информации о 7 серьёзных преступлениях. С 2000 г. в целом сняты ограничения на публикацию статистической информации.

studfiles.net

Общая теория Статистики. Формулы, примеры

1.1. Сущность и виды средних

ü  Средняя арифметическая

ü  Средняя гармоническая

ü  Средняя квадратическая

ü  Средняя хронологическая

ü  Средняя геометрическая

1.2. Показатели вариации

1.3. Структурные средние

2.1. Ошибки выборочного наблюдения

2.2. Расчет необходимой численности выборки

2.3. Способы отбора единиц из генеральной совокупности

3.1. Сущность и виды индексов

3.2. Индивидуальные индексы

3.3. Агрегатные индексы. Система индексов

3.4.  Применение индексов в факторном анализе

3.5. Средние из индивидуальных индексов

3.6. Индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов

4.1. Сущность и виды рядов динамики

4.2. Аналитические показатели рядов динамики

4.3. Средние уровни рядов динамики

4.4. Графическое изображение рядов динамики

4.5. Сглаживание рядов динамики с помощью скользящей средней

4.6. Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

5.1. Линейная регрессия

5.2. Параболическая корреляция

5.3. Гиперболическая корреляция

5.4. Множественное уравнение регрессии

5.5. Коэффициенты корреляции

primer.by

Правовая статистика

Задача 1

Вопрос

Система статистических показателей и методология анализа деятельности юридических консультаций.

Ответ

Цель статистического наблюдения — это получение достоверной информации об исследуемом явлении и процессе для выявления закономерностей их развития. Исходя из общего определения цели статистического наблюдения, можно вывести понятие главной цели статистического наблюдения для правоохранительных органов.

Цель наблюдения должна быть сформулирована ясно, четко и развернуто, так как неясно поставленная цель может привести к тому, что в процессе наблюдения будут собраны ненужные данные или недополученные данные для анализа.

После установления цели наблюдения необходимо четко определить, что именно подлежит исследованию, то есть определить объект наблюдения.

Объект статистического наблюдения — это совокупность общественных явлений, процессов, фактов или событий, подлежащих исследованию. Для четкого определения наблюдаемой совокупности необходимо указать существенные признаки объекта наблюдения, отличающие его от других объектов. Например, при учете лиц, совершивших преступления, регистрации подлежат только субъекты именно преступления, а не лица, совершившие административные или другие правонарушения.

Полное предоставление об объекте статистического наблюдения можно получить использую такие понятия статистики, как единицы наблюдения (совокупности), отчетные единицы и единицы измерения.

Единица наблюдения — это неделимый составной элемент изучаемой совокупности, признаки которой регистрируются в процессе статистического наблюдения. Иными словами, единица наблюдения — это часть, элемент объекта изучения, носитель регистрируемых при наблюдении признаков. Единицей наблюдения может выступать человек, факт, предмет, процесс и т.д.

Отчетная единица — это источник, откуда поступает первичная статистическая информация о признаках, характеризующих единицы наблюдения.

Единица измерения показывает, в каких величинах учитываются изучаемые статистикой социально-правовые явления.

Выбор места проведения обследования зависит главным образом от цели наблюдения.

Различают следующие организационные формы статистического наблюдения:

-· статистическая отчетность;

-· специально организованное наблюдение;

-· регистры и мониторинг.

Статистическая отчетность.

Главным источником статистической информации является отчетность.

Отчетность — это официальный документ, содержащий занесенные в специальную форму и представленные в вышестоящие учреждения или статистические органы сведения о работе подотчетных подразделений за определенный период. Отчетность основана на первичном учете и является результатом его обобщения. Первичный учет — это регистрация различных фактов, событий, производимая по мере их совершения, как правило, на особом документе, называемом первичным учетным документом.

Различают общегосударственную и внутриведомственную отчетность. Общегосударственная отчетность обязательна для предприятий и организаций всех форм собственности и предоставляется в органы государственной статистики.

Внутриведомственная отчетность используется министерствами и ведомствами для своих оперативных нужд.

По способам предоставления сведений отчетность бывает телеграфной, телетайпной и почтовой.

По содержанию отчетность бывает типовой и специализированной. Типовые формы отчетности содержат одни и те же показатели для всех предприятий и организаций данной отрасли и всех отраслей народного хозяйства. В специализированной отчетности вопросы видоизменяются в зависимости от особенностей отдельных отраслей народного хозяйства.

Все формы статистической отчетности утверждаются Росстатом.

Данные статистической отчетности могут служить эффективным средством управления социальными процессами лишь при соблюдении следующих общих требований к отчетности:

-· отчетные данные должны быть достоверными, полными, точными и своевременными;

-· данные отчетности должны быть сопоставимы, то есть, единообразны по своим качественным признакам и отрезкам времени.

Следующая форма статистического наблюдения — специально организованное статистическое наблюдение . Данная форма наблюдения применяется при необходимости получения показателей, не охваченные официальной статистической отчетностью. Наиболее простым примером данного наблюдения является перепись. Перепись — это специально организованное наблюдение, повторяющееся, как правило, через равные промежутки времени, с целью получения данных о численности, составе и состоянии объекта наблюдения по ряду признаков. Из всех переписей наиболее известны переписи населения.

Регистровая форма наблюдения — это форма непрерывного статистического наблюдения за долговременными процессами, имеющими фиксированное начало, стадию развития и фиксированный конец. В практике статистики различают регистры населения и регистры предприятий. В правовой статистике данная форма наблюдения не применяется.

В случае если на территории одного судебного района общее число адвокатов во всех адвокатских образованиях, расположенных на территории данного судебного района, составляет менее двух на одного федерального судью, адвокатская палата по представлению органа государственной власти соответствующего субъекта Российской Федерации учреждает юридическую консультацию.

Юридическая консультация является некоммерческой организацией, созданной в форме учреждения. Вопросы создания, реорганизации, преобразования, ликвидации и деятельности юридической консультации регулируются Гражданским кодексом Российской Федерации, Федеральным законом «О некоммерческих организациях» и настоящим Федеральным законом.

Вопросы, связанные с порядком и условиями материально-технического обеспечения юридической консультации, выделением служебных и жилых помещений для адвокатов, направленных для работы в юридической консультации, а также с оказанием финансовой помощи адвокатской палате для содержания юридической консультации, регулируются законами и иными нормативными правовыми актами субъекта Российской Федерации.

Собрание (конференция) адвокатов ежегодно определяет размер вознаграждения, выплачиваемого адвокатской палатой адвокату, направляемому для работы в юридической консультации, а также смету расходов на содержание юридической консультации.

Президиум коллегии образует юридические консультации и руководит их деятельностью.

Для обеспечения граждан, предприятий и учреждений квалифицированной юридической помощью Президиум должен правильно определить количество адвокатов в каждом регионе, дислокацию юридических консультаций с учетом количества обращений за юридической помощью, общего объема выполняемой работы, перспективы дальнейшего расширения профессиональной деятельности адвокатов и обеспечения оказания правовой помощи всем, кому это необходимо.

Одной из важнейших функций в деятельности президиумов коллегий адвокатов является контроль за профессиональной деятельностью адвокатов. Президиум должен своевременно выявлять и предупреждать ошибки и недостатки в работе адвокатов, повышать эффективность их деятельности.

Анализ практики работы ряда коллегий адвокатов свидетельствует, что наиболее эффективными являются следующие формы контроля:

— комплексные и целевые проверки юридических консультаций и отдельных адвокатов;

— проверка адвокатских производств — досье;

— заслушивание выступлений адвокатов в судах первой и второй инстанций, составление и обсуждение рецензий на эти выступления;

— проверка жалоб, заявлений и других деловых бумаг, составляемых адвокатами.

В процессе осуществления контроля наряду с другими вопросами следует обращать внимание на:

— качество защиты, осуществляемой на предварительном следствии и в судах по уголовным делам;

— качество юридической помощи при ведении адвокатами гражданских дел;

— качество процессуальных и других документов, составляемых адвокатами;

— качество устных советов и консультаций;

— работу по пропаганде правовых знаний.

Участие адвоката на предварительном следствии, ведение дела и выступление в суде проверяются с точки зрения полноты и тщательности подготовки к делу, умения ставить вопросы свидетелям и экспертам, а также содержания и формы защитительной речи.

Особое внимание необходимо уделять обоснованности правовой позиции, избираемой адвокатами, содержанию ходатайств и заявлений. При этом надлежит обращать внимание, были ли ходатайства удовлетворены, обжалован ли прокурору отказ следователя в удовлетворении ходатайства, заявлены ли ходат

mirznanii.com

Правовая статистика

НОУ ВПО ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ, БИЗНЕСА и ПРАВА

(г. Ростов-на-Дону)

ОП «Юриспруденция»

Кафедра «Государственно-правовые дисциплины»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Выполнил

студент заочной формы обучения

группы ЮЗ-502Г

Батрак Алина Дмитриевна

Проверила

КЮН., Доцент Сазанова Е.А.

г. Ростов-на-Дону

2015г.

Содержание

1. Введение

2. Отрасли правовой статистики

3. Заключение

4. Задача

5. Список литературы

Введение

Термин «статистика» появился в середине 18 века. Означал «государствоведение». Получил распространение в монастырях. Постепенно приобрел собирательное значение.

Сам термин «статистика» происходит от латинского слова status (статус), которое означает «положение, состояние вещей». От корня этого слова образовались словаstato — государство и statista — знаток государства. От того же корня образовалось и существительное statistica.

Статистика, наука, занимающаяся изучением приемов систематического наблюдения над массовыми явлениями социальной жизни человека, составлением численных их описаний и научной обработкой этих описаний. Наблюдения, производимые статистиками, выражаются всегда в цифрах и относятся к числу, весу и мере наблюдаемых явлений и предметов; они всегда массовые, то есть относятся к огромному числу однородных предметов и явлений. Численные статистические описания всегда представляются в виде таблиц, каждая цифра которой есть сумма предметов или явлений взятой для наблюдения массы, расположенной в группы по заранее определенным признакам. Результаты научной обработки этих таблиц выражаются в так называемых средних числах, служащих для определения вероятности наступления в будущем явлений при прочих равных условиях явлений, аналогичных с теми, которые служили предметом наблюдений. Описывая и анализируя массовые явления социальной жизни, статистика выясняет законы их последовательности и причинной зависимости. По способу производства статистических наблюдений различают описание явлений, приуроченное к одному определенному моменту (переписи и анкеты) и последовательное описание хода изменчивых явлений (текущая регистрация).

Для того чтобы изучить массовые явления и процессы общественной жизни, в том числе и преступность, следует, прежде всего, собрать необходимые сведения, то есть статистические данные. Статистические данные — это совокупность количественных (цифровых) характеристик, полученных в результате статистического исследования (наблюдения и научной обработки). Формирование информационной базы (статистических данных) с помощью статистического исследования социальных явлений и процессов — сложный многоступенчатый процесс. В данном процессе выделяются следующие этапы:

· Статистическое наблюдение;

· Сводка и группировка собранного материала;

· Обработка и анализ сводных статистических данных.

Задачи статистики:

Переход от отраслевого принципа сбора информации к статистики предприятия. Статистика предприятия дает достаточную информацию для взаимосвязанного анализа функционирования рынков труда, капитала, товаров и услуг.

Переход на качественно новые международные стандарты в области статистики цен, занятости, стоимости рабочей силы и уровня жизни населения.

Создана основа для широкого применения разнообразных математических и статистических методов для расчетов и контроля надежности статистических данных.

Создана система статистических показателей для 3-х уровней управления: федерального (макроэкономические показатели), территориального (отрасли и сектора экономики), предприятий (статистика предприятий).

Правовая статистика является одной из отраслей статистической науки.

Основная цель правовой статистики — учет досудебного производства по уголовному делу и обеспечении государственных органов, физических и юридических лиц объективными и достоверными данными о состоянии преступности, административного производства, деятельности органов уголовного преследования, суда, органов, ведающих исполнением наказаний, дисциплинарных советов, контрольно-надзорных органов, осуществляющих проверки деятельности хозяйствующих субъектов, государственных органов, осуществляющих прием обращений граждан и юридических лиц, а также нарушений законности и мероприятий по борьбе с ними, посредством ведения единой унифицированной статистической системы.

Особенность и актуальность данной темы заключается в том, что статистические данные сообщаются в количественной форме, т.е. статистика говорит языком цифр, отображающих общественную жизнь во всем многообразии ее проявлений. При этом статистику, прежде всего, интересуют те выводы, которые можно сделать на основе анализа надлежащим образом собранных и обработанных цифровых данных.

Изучение статистической науки играет важную роль в подготовке высококвалифицированных юристов — как практиков, так и научных работников. Статистика имеет огромное значение: криминологическое, уголовно-правовое, пенитенциарное, криминалистическое, административно-правовое. Соответствующие ее показатели нужны специалистам административного, уголовного, гражданского и других отраслей права. Соответственно специалист в области юридических наук должен овладеть основными вопросами теории статистики, т.е. статистической методологией как совокупностью приемов и методов, в определенной мере инвариантных к конкретному содержанию используемых статистических данных: о ее предмете и методе, законе больших чисел, статистическом наблюдении, группировка, обобщающих показателях и статистическом анализе.

1. Предмет правовой статистики

Главная особенность любой науки, дающая ей право на самостоятельное существование как особой отрасли знания, заключается в предмете познания, в принципах и методах его изучения, которые в совокупности образуют её методологию.

Статистика имеет дело, прежде всего с количественной стороной явлений и процессов общественной жизни. Одной из характерных особенностей статистики является то, что при изучении количественной стороны общественных явлений и процессов она всегда отображает качественные особенности исследуемых явлений, т.е. изучает количество в неразрывной связи, единстве с качеством.

Не всякое изучение количественных соотношений есть учет. Различные количественные отношения между явлениями можно представить в виде тех или иных математических формул, и это само по себе еще не будет учетом. Одна из характерных особенностей учета — подсчет отдельных элементов, отдельных единиц, из которых складывается то или иное явление. В учете используются различные математические формулы, но их применение обязательно связано с подсчетом элементов.

Учет является средством контроля и мысленного обобщения процессов общественного развития.

Лишь благодаря статистике управляющие органы могут получать всестороннюю характеристику управляемого объекта, будь то национальное хозяйство в целом или отдельные его отрасли или предприятия. Статистика дает сигналы о неблагополучии в отдельных частях механизма управления, показывая, таким образом необходимость обратной связи — управляющих решений. Общие принципы и методы научного познания служат фундаментом для понимания и правильного использования статистической методологии.

Качество в научно — философском понимании — это свойства, присущие предмету или явлению, которые отличают данный предмет или явление от других. Качество — это то, что делает предметы и явления определенными. Пользуясь философской терминологией, можно сказать, что статистика изучает общественные явления как единство их качественной и количественной определенности, т.е. изучает меру общественных явлений.

Предметом государственной правовой статистики является количественная сторона массовых правовых или других юридически значимых явлений и процессов в конкретных условиях места и времени в целях раскрытия их качественного своеобразия, тенденции и закономерности их развития. Следовательно, правовая статистика имеет своей целью учесть все нарушения законности, рассматриваемые соответствующими органами государства, и мероприятия по борьбе с этими нарушениями.

Отрасли правовой статистики

Различный характер правонарушений, которая призвана учитывать правовая статистика, а также специфические особенности деятельности учреждений, осуществляющих практические меры контроля над ними, обуславливают выделение в ее системе следующих самостоятельных отраслей (разделов):

1. уголовно-правовая статистика, имеющая своим объектом количественную сторону преступности и мер государственного социального контроля над ней (наказания и иные меры уголовно-правового характера за совершение преступлений;

2. гражданско-правовая статистика, непосредственным объектом которой является количественная сторона гражданских правоотношений, рассматриваемых судом, арбитражем, нотариатом, и вынесенных ими решений;

Каждая отрасль правовой статистики в свою очередь подразделяются на несколько разделов в соответствии с основными стадиями уголовного, гражданского и административного процессов.

Уголовно-правовая статистика, отражающая своими показателями основные этапы деятельности уголовной юстиции по отправлению уголовного правосудия подразделяется:

1. статистику органов уголовного преследования. Это статистика досудебного производства по уголовному делу, отражающая деятельность органов дознания, предварительного следствия и прокуратуры.

Данный раздел включает:

— во-первых, учет и регистрацию преступлений, уголовных дел, материалов о преступлениях, разрешенных в соответствии с уголовно-процессуальным законодательством, а также лиц, совершивших преступления и потерпевших от преступлений;

— во-вторых, учет мероприятий по расследованию преступлений – сроки расследования, меры пресечения и процессуального контроля, суммы возмещенного материального ущерба, профилактическую работу и т.д.

2. статистику судебного производства по уголовному делу, отражающую работу судов всех инстанций по отправлению уголовного правосудия.

В этом разделе производится учет, с одной стороны, количественных показателей (число поступивших в суды уголовных дел, их движение, количество осужденных и оправданных лиц, штатную численность и дислокацию судов и т.д.), с другой – качественных показателей (сроки рассмотрения уголовных дел, виды и размеры наказания и т.д.).

3. статистику исполнения приговоров, которая отражает деятельность органов уголовно-исполнительной системы по реализации назначенного судом уголовного наказания и иных мер уголовно-правового характера за совершение преступлений.

Здесь учитывается число мест лишения свободы, в том числе исправительных колоний для взрослых и воспитательных колоний для несовершеннолетних, число лиц, содержащихся в указанных учреждениях и т.д.

Также данный раздел включает лимитную наполняемость и учет различных категорий осужденных по широкому кругу социально-демографических, уголовно-правовых и криминологических признаков, движение контингента осужденных, состояние дисциплины и преступности среди осужденных, а также мероприятия администрации ИК по исправлению осужденных и т.д.

Здесь же отражается работа судов по условно-досрочному освобождению и замене наказания более мягким.

Показатели уголовно-правовой статистики характеризуют деятельность органов предварительного расследования, судов и уголовно-исполнительных учреждений и состояние преступности.

В пределах уголовно-правовой статистики находит отражение и статистика прокурорского надзора за исполнением законов органами, осуществляющими оперативно-розыскную деятельность, дознание и предварительное следствие, и отправлением правосудия по уголовным делам, а также надзор за исполнением законов администрацией органов и учреждений, исполняющих наказание и назначаемые судом меры принудительного характера, администрацией мест содержания задержанных и заключенных под стражу.

Все это играет серьезную роль в улучшении работы этих органов, а также в деле изучения и предупреждения преступности.

Гражданско-правовая статистика.

Ее основная цель – учет гражданско-правовых споров, находящихся на разрешении судов общей юрисдикции и арбитражных судов, а также учет гражданско-правовых споров, находящихся на разрешении судов общей юрисдикции и арбитражных судов, а также учет результатов их деятельности по рассмотрению споров.

К ней относится учет и таких гражданских правоотношений, которые, не будучи связаны с правонарушением и не являясь предметом гражданского спора, удостоверяются в административном, нотариальном порядке или в порядке бесспорного судебного производства (например, выдача нотариусом свидетельства о праве наследования, удостоверения завещаний и пр.).

Гражданско-правовая статистика подразделяется на два раздела:

1. статистику гражданского судопроизводства, отражающую работу судов всех инстанций по рассмотрению гражданских споров.

Этот раздел включает:

— учет основных процессуальных действий суда: сроки рассмотрения, вынесение решений, рассмотрение дел в кассационной и надзорной инстанциях и п. суда же относится и учет деятельности органов прокуратуры в области надзора за работой судов по рассмотрению ими гражданских дел (ст. 376, 377 ГПК).

В данном разделе отражается также деятельность арбитражных судов и нотариата.

2. статистику исполнения судебных решений, освещающую деятельность судебных исполнителей по приведению в исполнении решений судов по гражданским делам.

Аналогичные разделы имеет и административно-правовая статистика.

Учет административных правонарушений осуществляется органами, непосредственно рассматривающими эти дела, в соответствии с компетенцией, закрепленной федеральными законами. Наряду с правоохранительными органами, обладающими надзорными и контролирующими функциями, в стране существует множество ведомственных и вневедомственных контролирующих структур, учет деятельности которых на федеральном уровне не налажен.

Правовая статистика в соответствии с указанными выше разделами практически соотносится с оперативными нуждами органов, осуществляющих уголовно-правовую, административно-правовую или гражданско-правовую защиту прав и интересов граждан, общества и государства. Поэтому на практике приходится иметь дело со статистикой милиции, прокуратуры, в том числе военной прокуратуры, органов службы федеральной безопасности, таможенной службы, судов, в том числе арбитражных, нотариата, органов системы исполнения наказаний и пр.

Итак, в подразделении уголовно-правовой статистики по стадиям уголовного процесса отчетливо проявляется построение ее применительно к нуждам отдельных ведомств уголовной юстиции и судов, что, однако, не является непреодолимым препятствием в координации их деятельности по государственному социальному контролю над преступностью.

Уяснение сущности и предмета правовой статистики будет неполным, если не рассмотреть ее взаимоотношения и связи с другими науками, место в системе современных юридических знаний.

С момента своего зарождения, становления и последующего развития правовая статистика основывается, с одной стороны, на единых принципах общей теории статистики, а с другой стороны, на положениях тех юридических наук, которые раскрывают социально-правовую сущность отраженной в статистических показателях ее соответствующих отраслей и объективной действительности – социальных явлений (процессов и событий).

С этих позиций можно говорить о месте и взаимосвязи как в целом правовой статистики с правоведением, так и ее отдельных отраслей с соответствующими отраслями правовой науки.

Эта связь очевидна. Так, уголовно-правовая статистика находится в неразрывном единстве с уголовным правом и процессом, криминологией, уголовно-исполнительным правом, криминалистикой, определяющими социально-правовую сущность, материальную природу основных объектов ее наблюдения. То есть налицо теснейшая взаимосвязь уголовно-правовой статистики, с одной стороны уголовного права и процесса, криминологии, всех наук криминалистического комплекса в особенности – с другой.

Уголовное право, к примеру, дает критерии, позволяющие отделить преступное поведение от непреступного; отнесение конкретного деяния к числу преступных осуществляется процессуальным решением.

Таким образом, уголовное право и уголовный процесс очерчивают границы преступности – объекта наблюдения уголовно-правовой статистики.

Предоставляя указанным наукам соответствующие данные о количественно-качественных параметрах преступности, их изменении во времени и пространстве, о работе органов уголовной юстиции, правосудия, статистика способствует тем самым развитию этих наук, их постоянной связи с практикой. Например, данные уголовно-правовой статистики (как и криминологическая информация в целом) позволяет уточнить эффективность действия соответствующих уголовно-правовых норм и учесть эти показатели в процессе правотворчества, при корректировке уголовного закона, то есть криминализации или декриминализации деяний.

Что же касается криминологии, то проводимые ею изучения преступности – это всегда статистико-криминологические исследования, на базе которых анализируются и оцениваются ее особенности в каждый конкретный период времени. Эти исследования призваны обнаруживать рассогласование между количественными и особенно качественными характеристиками преступности и уголовно-правовой политикой государства. Уголовно-правовая политика является, скорее, отражением внутренней политики государства, чем тенденций современной преступности.

Статистико-криминологические показатели – надежные индикаторы, предупреждающие общество о том, что существующие нормы закона уже неадекватны требованиям современного общества и нужны их соответствующие корректировки.

В условиях резко изменившейся ситуации в стране стратегические задачи, стоящее перед уголовно-правовой политикой, остаются неизменными и требуют лишь скорейшего осуществления: через разработку общенациональной программы социально-правового контроля над преступностью (основ государственной политики в области социально-правового контроля над преступностью), системную реформу законодательства криминального комплекса, коренную перестройку органов уголовной юстиции и судебной системы – переход к качественно иным, более надежным и цивилизованным формам уголовно-правового контроля над преступностью.

На достижение этих результатов можно рассчитывать лишь при условии, если наметится «прорыв» в решении основополагающих политических и социально-экономических проблем (в частности, дальнейшее развитие экономики, без чего невозможно искоренить бедность) и на этой основе сформируется общественное согласие, которое и потребует соответствующего правового поведения.

Право, закон – всегда компромисс различных социальных сил, реализующих свое стремление к свободе. И в этом смысле количество уголовно-правовых запретов также должно определяться разумным компромиссом между законодательным ограничением свободы (в виде системы таких запретов) и отсутствием их в отношении некоторых форм антиобщественного поведения, то есть компромиссом между свободой и ее ограничением.

Адекватность отражения действительности в процессе правотворчества во многом определяется полнотой и объективностью информации о социальных явлениях и процессах, в значительной мере зависит от состояния и «пропускной способности» каналов поступления такой информации и от восприимчивости к ней самого законодателя.

«из всех областей права наиболее изменчивым является право уголовное: на понятиях о преступлении и наказании с наглядностью отражаются все политические и социальные перевороты народной жизни, и чем быстрее развивается жизнь, тем быстрее совершаются эти реформы».

Отрыв уголовно-правовой статистики от криминалистических наук и последних от статистики ведет, как свидетельствует исторический опыт, к бесплодным схоластическим построениям, к уходу от реальной действительности.

Говоря о научных основах правовой статистики – статистической методологии как совокупности специфических способов, приемов, методов, с помощью которых она изучает различные явления, в том числе и правонарушения, необходимо исходить из того, что они разрабатываются общей теорией статистики и в определенной мере инвариантны по отношению к конкретному содержанию всех отраслей социально-экономической статистики, в том числе и данных правовой статистики.

Заключение

В современных условиях используется три основных учета: бухгалтерский оперативный и статистический. Если бухгалтерский и оперативный учет направлены на регистрацию и изучение совершения конкретных и, следовательно, единичных фактов, то суть статистического учета заключается о регистрации и изучении массовых процессов и явлений, т.е. массовых фактов. Однако нужно иметь в виду, что в реальной действительности все эти три формы учета очень тесно взаимосвязаны, так как накопление массового, по общему правилу, происходит путем учета единичного. Значение статистики и учета в жизни общества проявляется о следующем: — они дают объективную картину состояния общества, его экономики, культуры, науки, нравственных и других важнейших показателей благополучия или (и) неблагополучия на конкретный момент времени; — они позволяют осуществлять постоянное наблюдение за ходом выполнения различных народно-хозяйственных, программ и выявляют диспропорции, отклонения на тех или иных участках развития; — они выступают в качестве важнейшего средства сопоставления показателей развития различных стран друг с другом; — могут выступать в качестве важнейшей основы научного планирования дальнейшего развития общества. В конечном счете значение учета и статистики в жизни общества может быть сведено к двум ключевым терминам — познавательное и практическое. Правовая статистика играет существенную роль в деле борьбы с нарушителями законности, в улучшении деятельности суда, прокуратуры, органов внутренних дел и юстиции. Статистические материалы используются  всего для оперативного руководства работой этих органов в целях контроля и выявления положительных и отрицательных сторон в их деятельности. Учет в области осуществления правосудия является одновременно и контролем над следственной и судебной практикой. Следует также иметь в виду использование материалов правовой статистики в сфере законодательства. Разработка проектов законов в области различных отраслей права, уголовного, гражданского и арбитражного процесса, а также в области судоустройства не может обойтись без целого ряда показателей, отражающих распространенность конкретных видов нарушений, практического применения отдельных статей действующего законодательства. Иллюстрируя своими данными практику применения тех или иных законов, характеризуя движения определенных нарушений, правовая статистика подтверждает целесообразность или, наоборот, нецелесообразность действия в данный период конкретного закона, его эффективность. Отсюда может возникнуть необходимость установления новых форм борьбы с определенными нарушениями. Огромная роль правовой статистики и в деле изучения и предупреждения преступности.

Основные задачи правовой статистики состоят в следующем: — изучение показателей и закономерностей, характеризующих структуру, динамику и общее состояние преступности и правонарушений; — выявление показателей, характеризующих причины и условия, способствующие совершению преступлений, правонарушений; — изучение с помощью статистических показателей особенностей и закономерностей, характеризующих личность правонарушителя; — изучение количественных характеристик работы, предпринимаемой в стране в плане обеспечения законности и правопорядка, — статистическое изучение с целью сравнения и использования положительного опыта в области укрепления законности и правопорядка в других странах.

Задача

Условие:

В январе-ноябре 2007 г. раскрыто 1421,4 тыс. преступлений, зарегистрировано 2316,8 тыс. преступлений.

Решение:

Необходимо определить 1% от общих зарегистрированных преступлений, то есть 2316.8:100=23.168, затем 1421.4:23.168=61.3% будет составлять уровень раскрываемости

studfiles.net

Помогла ли вам эта статья?

lumpics.ru

Решение системы уравнений в excel

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

​Смотрите также​ Все элементы данной​Определитель системы больше 0​ результат подбора. Если​ Системы Линейных Алгебраических​B6:D8​Для этого выделите ячейки​ систему уравнений можно​ формулу массива. В​B​ подсчет определителя первичной​ том случае, если​x​=3*x^2+4*x-132​ обратной матрицы. Для​ мыши и выделяем​

Варианты решений

​ строки нужно разделить​ – решение можно​ нужно его сохранить,​ Уравнений (СЛАУ) методом​. Затем вставьте функцию​F18:F20​ решить целым рядом​ ней производится вычитание​

Способ 1: матричный метод

​. Но на этот​ матрицы. Процедура происходит​ все определители будут​.​Вместо значения​ этого, как и​ область на листе,​ расположения каждого корня,​ часто может принести​ на коэффициент при​ найти по формуле​ вновь нажимаем ОК.​


​ обратной матрицы в​​MINVERSE​​, а в Строке формул введите =МУМНОЖ(A18:C20;F11:F13),​​ способов, каждый из​​ из третьей строки​​ раз сблизим обе​​ все по тому​
​ иметь значение, отличное​​Урок:​​«X»​​ в прошлый раз,​​ в которой находится​​ которому они соответствуют.​​ пользу не только​​ с. Введем в​​ Крамера (D​
​ В противном случае​​ MS EXCEL.​​(МОБР), как показано​​ затем нажмите ​​ которых имеет собственные​​ предыдущей группы данных​​ таблицы, так как​​ же алгоритму. Как​​ от нуля. Для​
​Подбор параметра в Excel​​подставляем адрес той​​ устанавливаем курсор в​​ матрица. Как видим,​​ Если в каком-то​​ в учебе, но​​ строку формулу массива:​​x​​ – «Отмена».​


1. ​Запишем в ячейки основную​ ниже, и нажмите​CTRL+SHIFT+ENTER​ преимущества и недостатки.​ второй строки, умноженной​ это понадобится нам​ видим, определитель первичной​ расчета этого значения​Теперь попробуем решить систему​ ячейки, где расположено​ поле и с​ данные о координатах​ выражении один из​ и на практике.​ {=B12:E12/D12}.​/ |A|).​Для подбора параметра программа​ матрицу системы и​​Ctrl+Shift+Enter​​.​ Но все эти​​ на отношение второго​​ для работы в​
   
2. ​ таблицы тоже отличный​ в Экселе опять​ уравнений методом Крамера.​ число​​ зажатой левой кнопкой​​ размещения автоматически заносятся​
   
3. ​ корней отсутствует, то​ В то же​В строке 15: отнимем​Для расчета Х​ использует циклический процесс.​ столбец свободных членов. ​.​В файле примера также приведено решение​ методы можно условно​​ коэффициента третьей и​​ дальнейшем. Важным условием​ от нуля, а​

   ​ имеется отдельная функция​

   ​ Для примера возьмем​​0​​ мыши выделяем курсором​ в поле окна.​

   ​ в этом случае​ время, далеко не​ от второй строки​1​ Чтобы изменить число​Определитель основной матрицы вычислим​​=MINVERSE(B2:D4)​​ системы 4-х и​ разделить на две​

   
4. ​ второй строки. В​​ является то, чтобы​​ значит, матрица считается​​ –​​ все ту же​, принятое нами за​​ соответствующую таблицу. Аналогичное​​ После того, как​ коэффициент считается равным​ каждый пользователь ПК​ третью, умноженную на​​: =U2/$U$1, где U2​​ итераций и погрешность,​
   
5. ​ с помощью формулы =МОПРЕД(A11:C13)​​=МОБР(B2:D4)​​ 5-и уравнений.​ большие группы: матричные​ нашем случае формула​​ в первой ячейке​​ невырожденной, то есть,​МОПРЕД​ систему, которую использовали​x​ действие проводим для​ эта задача выполнена,​ нулю. Если коэффициент​ знает, что в​ коэффициент при с​ – D1. Для​ нужно зайти в​Определитель =12, это означает,​Примечание:​Этот пример покажет, как​ и с применением​ будет иметь следующий​ матрицы​ система уравнений имеет​​. Синтаксис данного оператора​​ в​.​ внесения координат в​ наиболее очевидным было​ не обозначен в​ Экселе существует собственные​​ второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}).​​ расчета Х​ параметры Excel. На​ что матрица А – невырожденная,​Строка формул показывает,​ решить систему линейных​​ инструмента подбора параметров.​​ вид:​A​​ решения.​​ следующий:​
   
6. ​Способе 1​Переходим во вкладку​ поле​ бы нажать на​ уравнении, но соответствующий​ варианты решений линейных​
   
7. ​ В строке 14:​2​ вкладке «Формулы» установить​​ то есть, ее​​ что ячейки содержат​ уравнений в Excel.​ В некоторых случаях​​=B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)​​значение было отличным​Теперь пора найти корни​=МОПРЕД(массив)​:​«Данные»​​«Массив2»​​ кнопку​ корень имеется, то​

   ​ уравнений. Давайте узнаем,​

   ​ от первой строки​: =U3/$U$1. И т.д.​ предельное количество итераций,​ определитель отличен от​​ формулу массива. Это​​ К примеру, у​​ не всегда матричные​​После ввода формулы выделяем​

   
8. ​ от нуля. В​​ уравнения. Корень уравнения​​Таким образом, как и​​14​​. Жмем на кнопку​​, только на этот​​«OK»​ считается, что коэффициент​​ как с применением​​ отнимаем вторую и​
   
9. ​ Получим корни уравнений:​​ относительную погрешность. Поставить​​ нуля. В этом​​ означает, что вы​​ нас есть следующая​ методы подходят для​ весь ряд и​ обратном случае следует​ будет равен отношению​ у функции​x1​«Анализ «что если»»​ раз выделяем значения​, но не стоит​ равен​ инструментария этого табличного​​ третью, умноженные на​​Для примера возьмем простейшую​ галочку «включить итеративные​ случае система линейных​​ не сможет

my-excel.ru

Решение систем линейных уравнений в Excel

Решение систем линейных уравнений в Excel

1. Введение

Многие задачи организации строительного производства сводятся к решению систем линейных уравнений вида:

называемой системой n линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) с n

неизвестными.

При этом произвольные числа aij (i = 1, 2,…,n;j = 1, 2,…,n) называются

коэффициентами при неизвестных, а числа bi (i = 1, 2,…, n) – свободными

членами.

Систему(1) можно записать в матричной форме

A X = B,

где A – матрица коэффициентов при неизвестных:

X – вектор-столбецнеизвестных X= (x1, x2, …, xn)T:

B –вектор-столбецсвободных членов:

b1

b2B ,

bn

или B = (b1,b2,…,bn)T.

2.Операции с матрицами в Excel

ВExcel для операций с матрицами служат функции из категории «Математические»:

1) МОПРЕД(матрица) – вычисление определителя матрицы, 2)МОБР(матрица) – вычисление обратной матрицы, 3)МУМНОЖ(матрица1;матрица2) – произведение матриц, 4)ТРАНСП(матрица) – транспонирование матрицы.

Первая из этих функций в качестве результатавозвращает число (определитель матрицы), поэтомувводится как обычная формула (ENTER).

Последние три возвращают блок ячеек, поэтому должны вводиться как формулы массива (CTRL+SHIFT+ENTER).

Рассмотрим задачурешения СЛАУ на следующем примере

8×1 2×2 8×3 24,

2×1 2×2 10×3 48,

2×1 4×2 8×3 18.

Матрица коэффициентов при неизвестных A (3) имеет вид

а вектор-столбецсвободных членов (5)B =(–24,–48,18)T.

Решим СЛАУ (7) в среде MS Excel тремя различными способами.

Матричный способ решения (обратной матрицы)

Обе части матричного равенства (2) умножим на обратную матрицу А-1.ПолучимA–1 A X=A–1 B. Так какA–1 A=E, гдеE – единичная матрица (диагональная матрица, у которой по главной диагонали расположены единицы). Тогда решение системы (2) запишется в следующем виде

Для решения необходимо найти для матрицы A (3) обратнуюA-1 и умножить

еена вектор-столбецB (5) свободных членов, последовательно

2

МУМНОЖ(матрица1;матрица2), завершая в каждом случае ввод комбинацией

CTRL+SHIFT+ENTER.

Метод Крамера

Решение СЛАУ находится по формулам Крамера

где det A =A – определитель матрицы (3) системы (главный определитель), detAi =Ai (i = 1, 2, …,n)– определители матрицAi (вспомогательные определители), которые получаются изA заменойi-гостолбца на столбец свободных членовB (5).

Для рассматриваемой СЛАУ (7) вспомогательные матрицы имеют следующий вид

Разместим их на рабочем листе (рис. 1).

Рис. 1

Далее, воспользовавшись функцией МОПРЕД(матрица), вычислим определители всех матриц (рис. 2).

3

Рис. 2

Аналогичная формула (=МОПРЕД(A3:C5)) для вычисления определителя матрицыA записана в ячейкуE8. Осталось найти решение системы. Соответствующие формулы Excel запишем в интервал решенияB7:B9 (рис. 3), в котором и увидим результат (рис. 4).

Обратите внимание на то (рис. 3), что при вычислении xi (i = 1, 2, 3)

анализируется значение определителя матрицы системы A, вычисленное в ячейке E8, и, если оно равно нулю, то в B7 помещается текст«Решения нет», а в ячейки B8 и B9 – пустые строки.

Рис. 3

Рис. 4

3. Решение СЛАУ с использованием инструмента Поиск решения

Широкий класс производственных задач составляют задачи оптимизации. Задачи оптимизации предполагают поиск значений аргументов, доставляющих функции, которую называют целевой, минимальное или максимальное значение при наличиикаких-либодополнительных ограничений. Excel располагает мощным средством для решения оптимизационных задач.

4

Это инструмент-надстройка,который называетсяПоиск решения (Solver)

(доступен через менюСервис  Поиск решения).

Задачу решения СЛАУ можно свести к оптимизационной задаче.

Для чего одно из уравнений (например, первое) взять в качестве целевой функции, а оставшиеся n-1рассматривать в качестве ограничений.

Запишем систему(1) в виде

a11x1a12x2a1nxn b10,

Для решения этой задачи необходимо записать выражения (формулы) для вычисления значений функций, стоящих слева в уравнениях системы (12). Отведем для примера под эти формулы интервал C7:C9. В ячейкуC7 введем формулу=A3*$B$7+B3*$B$8+C3*$B$9-D3 и скопируем ее в оставшиесяC8 иC9. В них появятся соответственно=A4*$B$7+B4*$B$8+C4*$B$9-D4 и=A5*$B$7+B5*$B$8+C5*$B$9-D5.

В окне диалога Поиск решения (рис. 5) задать параметры поиска (установить целевую ячейкуC7 равной нулю, решение в изменяемых ячейкахB7:B9, ограничения заданы формулами в ячейкахC8 и С9). После щелчка по кнопкеВыполнить в

интервале B7:B9 получим результат (рис. 6) – решение СЛАУ.

Рис. 5

Рис. 6

5

studfiles.net

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х² + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

1. Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
2. Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
3. Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
4. Умножим обратную матрицу Ах^-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
5. Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.
5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х³ + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Х_n+1 = X_n– F (X_n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х³ – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

exceltable.com

Решение систем уравнений в среде Microsoft Excel

Разделы: Информатика

Цели урока:

обучающие:

• повторение и закрепление знаний учащихся правил записи арифметических выражений и формул в электронных таблицах;
• повторение алгоритма решения систем уравнений;
• формирование знаний и умений в решении систем уравнений, используя возможности электронных таблиц;

развивающие:

• формирование умений анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии;

воспитывающие:

• осуществление эстетического воспитания;
• воспитание аккуратности, добросовестности.

Тип урока: урок закрепления изученного материала и объяснения нового.

ХОД УРОКА

I. Организационная часть.

Здравствуйте! Все мы знаем, что одну и ту же информацию можно закодировать любым способом. Перед вами набор чисел. Известно, что каждому числу ставится в соответствие буква в русском алфавите. Расшифруйте эту информацию, кто быстрее!

9	15	1	15	10	6	–	19	10	13	1	!
						–					!

Ответ: “Знание – сила!”

Молодцы! А знаете, кому принадлежит это выражение? (Если нет, то один ученик ищет ответ в Интернете. Остальные отвечают на вопросы: Для чего предназначена программа Excel? (Программа Excel предназначена для хранения и обработки данных, представленных в табличном виде) Что собой представляет документ в Excel? (Каждый документ в Excel представляет собой набор таблиц – рабочую книгу, которая состоит из одного или многих рабочих листов) Какая функция используется для подсчета суммы чисел? (Функция СУММ). Как определить адрес ячейки? (Excel вводит номера ячеек автоматически. Адрес ячейки составляется как объединение номеров столбца и строки без пробела между ними)

Выражение английского философа Френсиса Бэкона “Знание – сила!” и будет эпиграфом к нашему уроку. («Нравственные и политические очерки», 1597).

II. Повторение пройденного материала.

Мы уже знакомы с программой Microsoft Excel, умеем записывать арифметические выражения и различные формулы, находить значения арифметических выражений и построить графики функций. Чтобы проверить выполнение домашнего задания, предлагаю каждому пройти тестирование. (Приложение 1)

Хорошо, все справились и каждому поставим соответствующие оценки в журнал. А давайте устроим путешествие в математику и вспомним, что мы понимаем под понятием: “Решить систему уравнений”? (Найти такие значения х и у, которые будут удовлетворять и первое уравнение и второе). Какие способы существуют для решения систем уравнений (метод подстановки, метод сложения и графический способ). Сегодня мы с вами научимся решать системы уравнений, используя возможности электронных таблиц.

III. Объяснение нового.

А. Решим систему графическим способом. Преобразуем данную систему

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Как в Excel решить систему линейных уравнений — Трюки и приемы в Microsoft Excel

В этой статье мы расскажем, как использовать формулы для решения систем линейных уравнений.

Вот пример системы линейных уравнений:
3x + 4y = 8
4x + 8y = 1

Решение состоит в нахождении таких значений х и у, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Эта система уравнений имеет одно решение:
x = 7,5
y = -3,625

Количество переменных в системе уравнений должно быть равно количеству уравнений. Предыдущий пример использует два уравнения с двумя переменными. Три уравнения требуются для того, чтобы найти значения трех переменных (х,у и z). Общие действия по решению систем уравнений следующие (рис. 128.1).

Рис. 128.1. Использование формулы для решения системы из двух уравнений

1. Выразите уравнения в стандартной форме. Если это необходимо, используйте основы алгебры и перепишите уравнение так, чтобы все переменные отображались по левую сторону от знака равенства. Следующие два уравнения идентичны, но второе приведено в стандартном виде:
   3x - 8 = -4y
3x + 4y = 8.
2. Разместите коэффициенты в диапазоне ячеек размером n x n, где n представляет собой количество уравнений. На рис. 128.1 коэффициенты находятся в диапазоне I2:J3.
3. Разместите константы (числа с правой стороны от знака равенства) в вертикальном диапазоне ячеек. На рис. 128.1 константы находятся в диапазоне L2:L3.
4. Используйте массив формул для расчета обратной матрицы коэффициентов. На рис. 128.1 следующая формула массива введена в диапазон I6:J7 (не забудьте нажать Ctrl+Shift+Enter, чтобы ввести формулу массива): =МОБР(I2:J3).
5. Используйте формулу массива для умножения обратной матрицы коэффициентов на матрицу констант. На рис. 128.1 следующая формула массива введена в диапазон J10:JJ11, который содержит решение (x = 7,5 и у = -3,625): =МУМНОЖ(I6:J7;L2:L3). На рис. 128.2 показан лист, настроенный для решения системы из трех уравнений.

Рис. 128.2. В Excel можно решить систему из трех уравнений, применив нужные формулы

Пример решения системы уравнений

Навигация по записям

По теме

Новые публикации

excelexpert.ru

12. Решение систем линейных уравнений в excel

Сначала рассмотрим решение системы линейных уравнений методом Крамера. Для этого используем уже решенный пример 11.

В EXCEL реализована функция вычисления определителей (см. п.7). Запишем матрицу коэффициентов и матрицы, полученные из нее заменой по очереди всех столбцов на столбец свободных членов. Листинг вычислений представлен на рис. 8:

Рис. 8

Матрицы записаны в диапазонах

, а значения определителей – в ячейках . Столбец свободных членов – вG2:G6. Решение системы – в I2:I6.

Тот же пример решим с помощью обратной матрицы. В EXCEL реализованы функции для нахождения обратных матриц и перемножения матриц (см. п.7). Листинг решения представлен на рис. 9. В диапазоне записана матрица коэффициентов, в ячейках– вектор свободных членов, в диапазонеобратная матрица, в ячейках– решение системы, полеченное как результат умножения матрицына матрицу.

Рис. 9

Предложим еще один способ решения линейных систем в EXCELL. Возможно, для систем он не покажется эффективным, однако знакомство с ним полезно для решения задач оптимизации, в частности задач линейного программирования. Инструментом для этого метода служит процедура Поиск решения, которая находится в Надстройках. После вызова процедуры появляется окно, представленное на рис. 11.

Покажем решение системы на примере.

►Пример 18. Решить систему

Рис. 10

В ячейки введена матрица коэффициентовуравнений системы, в– коэффициенты последнего уравнения, в ячейкиG3:G6 — столбец свободных членов. Ячейки B1:E1 отведем для значений неизвестных. В ячейках F3:F6 сосчитаем сумму произведений коэффициентов каждого уравнения на неизвестные (для этого воспользуемся встроенной функцией СУММПРОИЗВ). Выберем ячейку F6 в качестве целевой и вызовем процедуру Поиск решения. В окошке установим, что целевая ячейка должна быть равной свободному члену последнего уравнения, и заполним поля. В поле «изменяя ячейки» введем B1:E1. В поле «ограничения» будем вводить первые уравнения. А именно, значение в ячейкеF3 должно равняться заданному значению в ячейке G3 (1-е уравнение). Аналогично добавляем два других уравнения. После заполнения всех полей нажимаем .

Решение системы находится в ячейках B1:E1.

Рис. 11

Индивидуальное задание

Каждый студент выполняет задание при конкретных значениях и, которые определяются по номеру в журнале группы:−первая цифра номера по списку,− вторая. Если номер по списку однозначный.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	1	1	1	1	1	1	1	1		2
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	2	2	2	2	2	2	2	2	2	3
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0

1. Вычислить определители:

, ,.

2. Даны матрицы:

,,,.

Вычислить:

1. , где — единичная матрица;

3. (вычисления проводить, сохраняя три знака после запятой).

3. Решить матричное уравнение (найти матрицу ).

.

4. Решить системы уравнений двумя способами: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

а) б)

5. Исследовать системы уравнений и найти решение, если оно существует:

а)

б)

в)

6. Исследовать и решить системы уравнений:

а)

б)

в)

Приложение

Здесь приведены примеры работы с матрицами и примеры решения систем с использованием математического пакета MATHEMATICA. Первоначально студент должен ознакомиться с работой интерфейса. Для любой работы необходимо знать операции ввода, вывода результатов; команды для выполнения операций.

Ввод данных осуществляется через знак «=». Программа подтверждает ввод строкой «In[1]:=…». Результат выполнения операции находится в строке, начинающейся словом «Out[1]=». Номера в квадратных скобках ввода и вывода совпадают.

Выполнение любой операции происходит по команде со строгим выполнением заданного формата.

Найти эти форматы можно в справке VIRTUALBOOK. Там же приведены примеры выполнения операций. Ниже приведен ряд команд для выполнения заданий по теме.

Ввод матрицы.

In[4]:= m1 = {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}} Out[4]= {{2, -5, 4}, {3, -1, 8}, {2, 6, 1}, {-1, 3, 4}}

Имя матрицы m1. Сама матрица вводится построчно с использование фигурных скобок.

Умножение матриц.In[1]:= m2 = {{1, 6, 4}, {-4, -2, 4}, {3, 1, 8}} In[1]:= m3 = {{2, -1, 2, 6}, {-5, 5, -2, 3} Out[1]= {{1, 6, 4}, {-4, -2, 4}, {3, 1, 8}} Out[2]= {{2, -1, 2, 6}, {-5, 5, -2, 3}} In[7]:= m1.m2 Out[7]= {{34, 26, 20}, {31, 28, 72}, {-19, 1, 40}, {-1, -8, 40}}

Команда для умножении «.».

Вычисление определителя.

In[10]:=Det[m2]Out[10]= 252

Матрица m2 введена выше.

Нахождение обратной матрицы.In[8]:=Inverse[m2]Out[8]= {{-(5/63), -(11/63), 8/63}, {11/63, -(1/63), -(5/63)}, {1/126, 17/252, 11/ 126}}

Вычисление собственных чисел и собственных векторов.In[14]:=Eigenvalues[{{1, 2}, {2, 1}}]Out[14]= {3, -1}In[16]:=Eigenvectors[{{1, 2}, {2, 1}}]Out[16]= {{1, 1}, {-1, 1}}

m4 = {{2, 1}, {8, 7}, {3, -5}, {-4, 6}}

Определение ранга матрицы.

In[18]:=MatrixRank[m1]Out[18]= 3

Решение систем линейных уравнений.In[17]:=Solve[{2x+y-z+ 2t== 12, -x+ 2y+ 4z+ 3t== 4, 2x+y+ 4z- 2t== -10,x+ 3y+ 5z+ 2t== 3}, {x,y,z,t}]Out[17]= {{x-> 1,y-> 2,z-> -2,t-> 3}}.

В этом примере система имеет единственное решение. Вместо знака равенства в ответе используется « ->». Ниже система, имеющая множество решений и система, не имеющая решений.

In[20]:= Solve[{x + y + z == 4, 2 x + y + z == 5, 3 x + 2 y + 2 z == 9}, {x, y, z}] Equations may not give solutions for all»solve», In[21]:= Solve[{x + y + z == 4, 2 x + y + z == 5, 3 x + 2 y + 2 z == 10}, {x, y, z}] Out[20]= {{x -> 1, y -> 3 — z}} Out[21]= {}

Наряду со строчной записью ввода вывода использоваться записью матриц и других математических объектов в привычном виде. Для этого можно использовать команду TraditionalForm

Использование традиционной символики.

In[23]:=m= {{1, 2, 3}, {2, 3, 7}, {-8, 6, 4}}

In[24]:= TraditionalForm[m]

Out[23]= {{1, 2, 3}, {2, 3, 7}, {-8, 6, 4}}

Out[24]//TraditionalForm

=

1Элементами матрицы могут быть и другие математические объекты, при этом свойства, рассмотренные для числовых матриц, в основном сохраняются.

studfiles.net

apteki.guru

Статьи » Программа Lilly – «Ваше простое решение»

Держатели карт «Ваше простое решение» имеют возможность купить лекарственный препарат «Сиалис» с 20%-ной скидкой. Препарат отпускается только по рецепту врача и в определенном количестве. Для уточнения более подробной информации обращайтесь по телефону горячей линии 8 (800) 555-5679 или перейдите на сайт www.karta.ochenprosto.ru

Порядок заполнения анкеты на получение карты:

Для получения карты необходимо заполнить все поля регистрационной формы, ознакомиться с представленной информацией и подписать ее. Так вы даете свое согласие на обработку персональных данных и можете участвовать в программе «Ваше простое решение».

Как выглядит карта «Ваше простое решение»:

saulyk.ru

Сеть Аптек 36.6 Здоровье

17.06.2017

Программа Lilly – «Ваше простое решение»

Держатели карт «Ваше простое решение» имеют возможность купить лекарственный препарат «Сиалис» с 20%-ной скидкой. Препарат отпускается только по рецепту врача и в определенном количестве. Для уточнения более подробной информации обращайтесь по телефону горячей линии     8 (800) 555-5679 или перейдите на сайт www.karta.ochenprosto.ru

Присоедениться к Данной программе и получить дисконтную карту, Вы можете в любой Аптеке нашей сети.

Препарат, участвующий в программе и особенности покупки:

Препарат/  Скидка    /  Месячный лимит     

СИАЛИС 20мг N1 таб. покрытые пленочной оболочкой Lilly del Caribe Inc.

Скидка 20%

Месячный лимит 4 уп.

СИАЛИС 20мг N2 таб. покрытые пленочной оболочкой Lilly del Caribe Inc.

Скидка 20%

Месячный лимит 4 уп.

СИАЛИС 20мг N4 таб. покрытые пленочной оболочкой Lilly del Caribe Inc.

Скидка 20%

Месячный лимит 2 уп.

СИАЛИС 20мг N8 таб. покрытые пленочной оболочкой Lilly del Caribe Inc.

Скидка 20%

Месячный лимит 2 уп.

СИАЛИС 5мг N14 таб. покрытые пленочной оболочкой Lilly del Caribe Inc.

Скидка 20%

Месячный лимит 2 уп.

СИАЛИС 5мг N28 таб. покрытые пленочной оболочкой Lilly del Caribe Inc.

Скидка 20%

Месячный лимит 2 уп.

Как выглядит карта «Ваше простое решение»:

366-zdorovye.ru

Новости » Программа Lilly – «Ваше простое решение»

Держатели карт «Ваше простое решение» имеют возможность купить лекарственный препарат «Сиалис» с 20%-ной скидкой. Препарат отпускается только по рецепту врача и в определенном количестве. Для уточнения более подробной информации обращайтесь по телефону горячей линии 8 (800) 555-5679 или перейдите на сайт www.karta.ochenprosto.ru

Порядок заполнения анкеты на получение карты:

Для получения карты необходимо заполнить все поля регистрационной формы, ознакомиться с представленной информацией и подписать ее. Так вы даете свое согласие на обработку персональных данных и можете участвовать в программе «Ваше простое решение».

Как выглядит карта «Ваше простое решение»:

saulyk.ru

Дополнительные Скидки по Программе производителей

Главная страница / Дополнительные Скидки по Программе производителей

Дополнительные скидки по Программе производителей — это программа поддержки потребителей, направленная на увеличение доступности Продуктов (лекарственных препаратов), участвующих в Программе, в результате снижения их стоимости.

Данный препарат входит в список Программы поддержки пациентов, благодаря которой, соблюдая рекомендации врача, вы можете получить снижение стоимости лечения

Если у вас уже есть карта Программы — предъявите ее в любой из аптек-участников программы и приобретите препарат с дополнительной скидкой.

В случае отсутствия карты — Вы можете обратиться в аптеку-участнику программы, заполнить анкету от производителя и получить у сотрудника аптеки свою карту постоянного клиента.

Узнать подробнее о Программе, списке участвующих препаратов и размере скидок Вы можете на официальном сайте производителей.

Внимание! Список препаратов и размер скидок может изменяться.

Карта «Забота о Вас»

«Карта Здоровья»

«Карта Здоровья» — компания «Астра Зенека».

Карта выдается пациенту при предъявлении рецепта на лекарственные средства,

участвующие в программе.

Список участников и размер скидок может изменяться.

Подробности на сайте http://kartazdorovia.ru/

Карта «Ваше простое решение»

«Карта Ваше простое решение» — компания «Эли Лилли».

Карта выдается пациенту при предъявлении рецепта на лекарственные средства,

участвующие в программе.

Список участников и размер скидок может изменяться.

Подробности на сайте: karta.ochenprosto.ru

xn--80acmmje0cecak.xn--p1ai

Пользовательское соглашение

Уважаемый пользователь!

Добро пожаловать на сайт компании ООО «Лилли Фарма» (далее – «Лилли»). Использование данного сайта осуществляются согласно настоящему Пользовательскому соглашению (далее — «Соглашение») и в соответствии с применимым законодательством. Если Вы отказываетесь соблюдать требования настоящего Соглашения, просим Вас покинуть этот сайт.

Лилли не несет ответственность за любые убытки, включая, помимо прочего, убытки или вред, связанные с любыми нарушениями функционирования, ошибками, недоработками, перерывами в работе, замедлением операции передачи данных или получением компьютерного вируса. Пользователь соглашается принять на себя весь риск, связанный с использованием настоящего сайта.

Заявление о возрасте. Данный сайт предназначен для лиц старше 18 лет.

Веб-сайт

Данный сайт предназначен для использования исключительно в информационных целях. Данный сайт не содержит медицинских рекомендаций. Мнения и точки зрения, высказываемые в статьях, принадлежат авторам этих статей. Лилли не несет ответственность за содержание внешних ссылок на посторонние сайты. Содержание сайта должно рассматриваться только как источник информации или образовательный материал. Данный сайт, включая любые установленные посредством него коммуникации, не предназначен для установления взаимоотношений между врачом и пациентом. Вам не следует использовать информацию, представленную на данном сайте вместо консультации с врачом или другим специалистом. Вам не следует предпринимать какие-либо действия или напротив, воздерживаться от них под влиянием информации, полученной на данном сайте без получения предварительной консультации компетентного специалиста.

Любая медицинская информация, которая предлагается на данном сайте, должна досконально рассматриваться и разъясняться специалистом и не должна изыматься из научного и редакционного контекста, в котором она собрана и представлена. Ни при каких обстоятельствах информация и документы, размещенные на данном сайте, не могут рассматриваться как абсолютная научная истина; они представляют собой только точки зрения докладчиков и/или авторов. Мнения докладчиков и/или авторов являются только их мнениями, и, следовательно, не отражают точку зрения компании Лилли. Интеллектуальная собственность и авторские права на текст, макет, графику и логотипы, размещенные на данном сайте, защищены законом Российской Федерации.

Данный сайт не содержит прямо или косвенно какой-либо рекламы или информации о лекарственных препаратах в формах и дозировках, отпускаемых по рецептам врачей, или о методах лечения, составляющих предмет медицинских услуг, изделиях медицинского назначения либо медицинской технике группы компаний Лилли и/или иных лиц, для использования которых требуется специальная подготовка, а равно информации об изготовителях и продавцах указанных выше товаров и услуг.

Отказ от гарантийных обязательств и ограничение ответственности

Обучающие материалы и другая информация, представленная в данной секции сайта или полученная посредством посещения этой секции сайта, представлена в соответствии с принципами «как есть» и «как доступна» без каких-либо гарантий. Ваше пользование этим сайтом или переход на связанные сайты по ссылкам проводится на Ваш страх и риск. Несмотря на то, что информация, представленная на данном сайте, получена или компилирована из надежных источников, мы не можем, и не будем гарантировать, утверждать, или ручаться прямо или косвенно, в отношении точности, достоверности, последовательности, своевременности, полноты или постоянной доступности любой информации или других содержательных материалов (включая предоставленные третьими сторонами). То же относится и к информации, представленной на сайтах, соединенных ссылками с данным сайтом.

Лилли не несет ответственность ни за какое принятое Вами решение, действие или бездействие, вызванное Вашим доверием к любым содержательным материалам сайта, информации или данным (включая предоставленные третьими сторонами). То же относится и к информации, представленной на сайтах, соединенных ссылками с данным сайтом.

Администрация сайта, филиалы, бенефициары, правопреемники, третьи стороны, поставляющие информационные материалы для сайта, и другие работающие с ним третьи стороны не будут нести прямую или косвенную ответственность, за любые убытки или потери, очевидно или предположительно связанные с использованием данного сайта (включая прямые, косвенные, случайные или любые другие виды убытков или потерь независимо от формы действий или оснований для жалоб). Данное соглашение сохраняет силу даже в случае, если администрация сайта, филиалы, бенефициары, правопреемники, третьи стороны, поставляющие информационные материалы для сайта, и другие работающие с ним третьи стороны осведомлены о возможности или вероятности подобного ущерба. Если Вы являетесь медицинским работником, сюда же относится, помимо прочего, ущерб, связанный с Вашими решениями по наблюдению и лечению больных, постановкой диагнозов, и разработкой терапевтических стратегий на основании информационных материалов, представленных на данном сайте.

Возмещение убытков

Вы соглашаетесь защищать, возмещать убытки и ограждать филиалы организаций, работающих с сайтом, бенефициаров, правопреемников, третьи стороны, поставляющие информационные материалы для данной секции вэб-сайта и другие работающие с ним третьи стороны от любых потерь, издержек, затрат или убытков (включая обоснованные оплаты услуг адвокатов, экспертов, другие обоснованные судебные издержки), которые были понесены в результате или любым другим образом связанны с: (1) Вашим нарушением условий настоящей политики, (2) Вашим несанкционированным или незаконным использованием данного сайта, и (3) несанкционированным или незаконным использованием сайта любым человеком, использующим Ваши идентификационные данные.

Пользование сайтом

Сайт предназначен для Вашего персонального использования в некоммерческих целях в соответствии с порядком и условиями, оговоренными в данном Соглашении.

Защита прав интеллектуальной собственности

Данный сайт и информационные материалы, которые содержатся на сайте, защищены законодательством в области авторского права и интеллектуальной собственности; они принадлежат компании Лилли и обладателям лицензии. Информационные материалы данного сайта не могут быть воспроизведены, использованы для презентации, адаптированы, переведены, исправлены, переданы, опубликованы, распространены, переизданы, или использованы другим способом, полностью или частично, без специального предварительного письменного разрешения от компании Лилли.

Возможность использования на ограниченной основе

Если любое положение или обязательство существующего соглашения окажется юридически недействительным или неприменимым, законность или возможность применения любого положения или обязательства, содержащегося в настоящем документе, не должна быть затронута; все недействительные положения или обязательства следует рассматривать отдельно от остальной части настоящего соглашения.

Законодательная база и юрисдикция

Использование сайта регулируется законодательством Российской Федерации. Вы признаете и соглашаетесь с тем, что получаете доступ к данной секции и его информационным материалам и пользуетесь ими полностью на Ваш собственный страх и риск, поэтому принимаете на себя всю ответственность. Компания Лилли может в любое время и без предварительного уведомления, по собственному решению аннулировать Ваше право на использование данной секции сайта. В случае аннулирования указанного права, Вам будет отказано в авторизации при получении доступа к данной секции. Ограничения, введенные для Вас, в отношении загрузки любого документа с сайта, и заявления об отказе и ограничении ответственности, включенные в данное Соглашение, будут сохранять силу в том случае, если настоящее Соглашение будет аннулировано по любой причине в любое время. Компания Лилли не будет нести никакой ответственности перед Вами или другими сторонами в отношении аннулирования доступа к данной секции сайта.

Компания Лилли не несёт ответственность за содержание сайтов любой третьей стороны, включая любой сайт, через который пользователь смог получить доступ к настоящему сайту или к которому может быть открыт доступ с настоящего сайта. Лилли не принимает на себя ответственность в отношении любого такого сайта или ссылки

Настоящим компания Лилли защищает и сохраняет любые свои права.

ООО «Лилли Фарма»

Россия, 123117, г.Москва, Пресненская набережная, 10 блок А

Тел.: +7 495 258-50-01 / Факс: +7 495 258-50-05

Сообщение о нежелательных явлениях

Данный сайт не является подходящим инструментом для сообщения в компанию Лилли информации о нежелательных явлениях и жалоб на продукцию. Для сообщения указанной информации просьба обращаться по адресу: [email protected]

Изменения сайта

Данный сайт может быть изменен, его работа может быть прервана, или он может оказаться недоступным в любое время без предупреждения, временно или на длительный промежуток времени. Мы не несем ответственность за возникновение таких ситуаций.

Изменение настоящего Соглашения

Данное Соглашение может быть изменено компанией Лилли по своему усмотрению, поэтому мы рекомендуем периодически просматривать содержание Соглашения. Изменения будут вступать в силу с момента размещения их в соответствующей секции Соглашения. Вы соглашаетесь с новыми условиями Соглашения, продолжая пользоваться сайтом. Если Вы не согласны с изменениями, внесенными в Соглашение, Вы должны прекратить пользоваться сайтом.

karta.ochenprosto.ru

Простое решение

Участвуя в потребительском обществе, вы вносите вклад в создание интерактивной социально ориентированной среды будущего и, таким образом, выгодно выражаете свою гражданскую позицию!

Хотите ЕЗДИТЬ в отпуск, СТРАХОВАТЬСЯ и получать топливо ДАРОМ?

ХОТИТЕ узнать настояший СЕКРЕТ БЛАГОПОЛУЧНОЙ ЖИЗНИ?
		Потребительское Общество «Простое Решение» — добровольное объединение людей, которые сами решили устроить себе жизнь такую, какую хотят. Знакомы подобные желания? После успешного коммерческого опыта, мы стали задумываться о том, как сделать жизнь лучше для себя и своего окружения. Затем мы искали подходящую форму для этого, а когда столкнулись с потребительской кооперацией, то поняли, что нужная форма существует уже долгие годы!
Наши возможности
Потребительские Целью общества является удовлетворение потребностей пайщиков-членов. Самые популярные потребности у нас становятся программами. Качество гарантировано, потому что услуги оказываются только «своими» и только «для своих»​​​​​​​​​​​​​.​​​​​​​ Кооперативные ​Кооператив открывает большие возможности для реализации прогрессивных и жизнеутверджающих идей. Если вы в состоянии предложить действительно качественный продукт или услугу, то вы попали по адресу. Вы можете заполнить заявку на собственную программу здесь.
Ваша программа
Некоторые наши пайщики вступили к нам потому, что смогли увидеть возможности для развития собственного дела в некоммерческом формате. Cкладывается ощущение, что в России никто не создавал условий для развития предпринимательства, в то время как в большинстве стран это поддерживается всеми возможными способами. В России пока ещё много проблем у малого и среднего бизнеса, которые решены в развитых странах — правовая база, бюрократия и т.д. Многие предприниматели не выдерживают и отказываются от реализации своих идей.
Мы стремимся сделать так, чтобы в нашем Потребительском Обществе всё стало иначе. Представьте, что вы можете устроить опрос и проверить потенциальный интерес среди пайщиков, а также получить качественную обратную связь. Если пайщиков много, а услуга актуальна, то вероятность, что первые клиенты-пайщики позволят вашему делу выйти на уровень самоокупаемости, высока. Но главное, по закону, в большинстве случаев вам не требуется оформлять лицензии и получать разрешения, чтобы оказывать услуги, которые требуют лицензирования в коммерческих организациях. Можно просто взять и начать, а оформить всё необходимое уже после того, как поймёте, что начинает получаться.

www.simple-consume.ru

Следующая глава >

psy.wikireading.ru

Тест — Пример теста

konstruktortestov.ru

Пример теста

Экономическая наука — это:

а) наука, изучающая домашнее хозяйство;

б) наука о выборе, который делает общество в условиях ограниченных ресурсов для удовлетворения потребностей людей;

в) наука, изучающая экономические показатели деятельности предприятий;

г) наука, изучающая условия для получения максимальной прибыли.

Из приведенных четырех ответов необходимо выбрать один.

Пример задачи

Количество товаров в стране увеличилось в три раза, цены на товары — в два раза.

Как изменилась масса денег в обращении, если скорость обращения денег увеличилась в два раза?

Для того чтобы решить эту достаточно простую задачу, студент должен применить формулу из курса «Экономика», которая показывает связь между массой денег в обращении в макроэкономике, с одной стороны, и количеством товаров в стране, ценами на них и скоростью обращения денег — с другой (например, формула И. Фишера). Такой же подход в основном применяется и в отношении алгоритма решения других задач курса.

Условия тестов и задач (номера заданий по темам) доводятся преподавателем до студенческой аудитории непосредственно на практическом занятии. Аудитории может быть предложен один или несколько вариантов заданий. Оценки выставляются в баллах – по общему количеству верных и неверных ответов по каждому вопросу в задании: каждому верному ответу присваивается один балл (условный плюс «+»), каждому неверному — также один балл (условный минус «-»). В итоге получается соотношение верных и неверных ответов. Например, 71/15. Это означает, что студент получил 71 «плюс» и 15 «минусов». Такая дифференциация дает более точную картину для оценки знаний и умений, показанных студентами при выполнении аудиторной контрольной работы, чем традиционная четырехбалльная система.

Экзамен проводится в устной форме, в экзаменационном билете два теоретических вопроса (перечень вопросов для подготовки к экзамену приводится ниже), ответ оценивается по четырехбалльной системе: от оценки «отлично» до оценки «неудовлетворительно».

ПЛАНЫ проведения практических занятий

Тема 1. Эко­но­ми­ка и ее роль в об­ще­ст­ве. Предмет и методология экономики как науки (2 час.)

Вопросы

1. Эко­но­ми­ка и ее роль в жиз­ни об­ще­ст­ва. Глав­ная функ­ция эко­но­ми­ки. Ме­сто и роль че­ло­ве­ка в со­вре­мен­ной эко­но­ми­че­ской сис­те­ме.

2. Ха­рак­те­ри­сти­ка ста­дий дви­же­ния про­дук­та тру­да.

3. По­треб­но­сти и про­из­вод­ст­во, их со­от­но­ше­ние. За­кон воз­вы­ше­ния по­треб­но­стей. Бла­га и их клас­си­фи­ка­ция. По­треб­но­сти и ре­сур­сы. Эко­но­ми­че­ский вы­бор.

4. Фак­то­ры про­из­вод­ст­ва: ха­рак­те­ри­сти­ка раз­лич­ных под­хо­дов.

5. По­ня­тие эко­но­ми­че­ской сис­те­мы. Ста­дии раз­ви­тия про­из­вод­ст­ва и его со­вре­мен­ная струк­тур­а.

6. Со­от­но­ше­ние эко­но­ми­ки, по­ли­тики, пра­ва.

7. Что изу­ча­ет эко­но­ми­че­ская тео­рия? Ее роль в по­зна­нии объ­ек­тив­ной дей­ст­ви­тель­но­сти.

8. Эко­но­ми­че­ские от­но­ше­ния: по­ня­тие и сис­те­ма.

9. Эко­но­ми­че­ские ка­те­го­рии и эко­но­ми­че­ские за­ко­ны. Функ­ции эко­но­ми­че­ской нау­ки.

10. Ис­то­рия за­ро­ж­де­ния и глав­ные эта­пы раз­ви­тия эко­но­ми­че­ской тео­рии. Ос­нов­ные на­прав­ле­ния эко­но­ми­че­ской мыс­ли.

11. Ме­то­ды ис­сле­до­ва­ния эко­но­ми­че­ской дей­ст­ви­тель­но­сти.

12. Экономические основы анализа правовых феноменов.

studfiles.net

Тесты разное

konstruktortestov.ru

Примеры тестов | Ставропольская краевая юношеская библиотека

«Примеры тестов, используемых при приеме на работу»

Тест на концентрацию

Описание задания

На бланке вы видите 25 перепутанных линий. Вам необходимо проследить каждую линию слева направо, определить, где она кончается. Начинаются линии слева, кончаются обязательно справа. Начинайте с линии, обозначенной слева №1, найдите, где она заканчивается, там соответствующий номер, затем переходите к линии №2 и т.д. Ответы записывайте по порядку, например: 1—17, 2—-14. 3—22 и т. д. Выполнять задание следует только путем зрительного контроля, не вести линии карандашом или пальцем.
На выполнение задания вам дается 10 минут.

Тест на мотивацию

Описание задания

Промежуточные цифры уточняют ту или иную степень выраженности утверждения в соответствии с вашей точкой зрения. «Крестик», поставленный между цифрами «З» и «4», означает неопределенность в отношении утверждения, то есть, что вы не имеете суждения по данному вопросу и не знаете, соответствует ли данное утверждение действительности по отношению к вам.
Не размышляйте слишком долго над отдельными вопросами и внимательно следите за тем, чтобы не пропустить ни одного,
Этот тест не допускает никаких «правильных» или «неправильных» ответов. Важно, чтобы вы отвечали на вопросы как можно более честно.
В вашем распоряжении десять минут.
А теперь включите секундомер.
После каждого вопроса пометьте соответствующие вашим представлениям цифры между 1 и 6.
(неверно) 1 — 2 — 3 —4—5 —- 6 (верно)

1. Нужно еще в молодости построить себе дом.

2. Я всегда ем все, что мне дают.

3. Жизнь—достаточно серьезное дело.

4. Я не могу не веселиться, когда радостно празднуют чей-нибудь день рождения.

5. Я всегда возвращаю найденные мной чужие вещи.

6. Я всегда стараюсь выполнять свои обещания.

7. Мужчина должен иметь в жизни четко определенные цели.

8. Я трачу много денег, чтобы обеспечить свою безопасность,

9. Я редко думаю о своем личном будущем.

10. Когда я иду в ресторан, я заранее знаю, что закажу.

11. Мои родители обращались со мной очень строго.

12. Только под нажимом я могу работать хорошо и точно.

13. Если бы я нашел что-то, что мне очень понравилось, я оставил бы это у себя.

14. Я смешлив и жизнерадостен.

15. Только постоянные усилия ведут к успеху.

16. Окружающие утверждают, что я по-настоящему усерден.

17. Иногда я жажду по-настоящему поссориться.

18. Большинство людей мне кажутся более целеустремленными и уверенными в себе, чем я.

19. Указания начальства я выполняю беспрекословно.

20. Музыка, исполненная чувств, сильно воздействует на меня.

21. Когда мы вечером выходим из дому, чаще всего подруга предлагает, куда нам пойти,

22. Я тщательно поддерживаю свой дом в порядке и чистоте.

23. Я никогда не вступаю в споры с продавцами.

24. Я считаю, что только сугубое прилежание поможет преодолеть неблагоприятные полосы в жизни.

25. Я хотел бы добиться успеха в своей профессиональной деятельности.

26. Некоторые задания доставляют мне истинное удовольствие.

27. Я не задумываюсь о своем личном будущем.

26. Я воспринимаю критику без особого расстройства.

29. Когда другие нервничают, я относительно спокоен.

30. У меня часто бывают спазмы, не знаю, почему это происходит.

31. Я настолько уверен и себе, что это шокирует окружающих.

Правильные ответы и комментарии к тестовым заданиям

Концентрация внимания

• 1—16; 2-14; 3-13; 4—9; 6—1; 7-13; 8-11; 9-5; 10-2;
• 11—12; 12—24; 13—15; 14—23; 15—17; 16—7; 17—25;
• 18—20; 19—19; 20—10; 21—6; 22—4; 23—3; 24-22; 25—21.

Тест на мотивацию

Если ваши оценки находятся в диапазоне между 1 и 3,5, те ваша внешняя мотивируемость невелика. Ваша мотивация определяется внутренне или вовсе отсутствует. В последнем случае, то есть при ярко выраженном негативном отношении к миру, вы должны сначала улучшить свое душевное состояние и лишь затем подвергать себя стрессам, связанным с поступлением на работу и тестированием. 3,5-6

Если ваши оценки располагаются в диапазоне между 3,5 и 6, то вы, скорее всего, мотивируемы извне. Вами руководят внешние побуждения и принуждения. Вам обязательно следует при подготовке к тестированию найти помощника, скажем, попро¬сить помощи у кого-нибудь кому вы доверяете.
Шкала ВТ 1—3,5

Если ваши оценки заключены между 1 и 3,5; то ваша внутренняя мотивация слаба. Она, скорее, определяется внешним образом или отсутствует полностью.

В этом случае вы должны обрести внешние стимулы для решения неприятных для вас задач. Затем вы можете вознаградить себя, если, успешно выполнив определенную «порцию» тренировочных заданий, удовлетворите какое-нибудь свое скромное желание. 3,5-6

Если ваши оценки заключены в диапазоне от 3,5 до 6, то у вас не будет трудностей с тренировками. Вам следует распределить упражнения на несколько недель и не пытаться преодолеть все сразу, чтобы не упустить деталей.
Шкала ЛЖ 3—4

Оценка должна быть как можно ближе к 3,5.

Если это не так, то это значит, вы где-то сплутовали или ошиблись. Проверьте, пожалуйста, свои отметки и подсчеты.

www.stavkub.ru

Примеры тестов

Данный раздел нашего сайта предназначен для того, чтобы вы могли оценить свою степень готовности к тестированию для мигрантов по русскому языку. 

Мы предлагаем 4 вида тестов, так же как и на официальном тестировании  для мигрантов по русскому языку государственного образца. Тесты имеют разный уровень сложности, предполагая различный уровень владения языком. Самым простым является тестирование для получения разрешения на работу (на патент на работу). Экзамен для для иностранных граждан для получения гражданства значительно сложнее. Он подразумевает серьезные теоретические и практические знания по русскому языку, владение обширным словарным запасом, умение выразить свою мысль по-русски и понимать устную русскую речь на бытовом и информационном уровне. 

Пробное тестирование для мигрантов по русскому языку проводится бесплатно.  

Если вы считаете, что не сможете самостоятельно подготовиться к экзамену, то Единный Центр Тестирования  мигрантов (иностранных граждан) по Москве  и Московской области   предлагает платные курсы для подготовки разного уровня: от полноценных курсов русского языка до курсов «Русский язык для иностранцев».

 У нас вы можете подготовиться к тестированию по русскому языку любого уровня, на РВП, на ВнЖ, к комплексному экзамену для иностранных граждан, к экзамену на патент. В нашем Центре вы можете получить Сертификат на патент для работы. 

Подготовка к предстоящему на следующий день 

тестированию ежедневно в 17-00 бесплатно!!! 

Единый Центр Тестирования мигрантов (экзамен для иностранных граждан) предлагает свои услуги. 

У нас функционирует  Бюро переводов, в котором можно перевести на китайский с русского статью, научную работу, паспорт.

Собираешься сдавать экзамен для иностранных граждан на патент, звони: +7 (495) 374-65-17, +7 915 147 92 38, 8(915)166-52-59

Приглашаем к сотрудничеству организации и заинтересованные лица!

xn——6kctncacjgce1efhiakewo2opd.xn--p1ai

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка:

Определение. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число

.

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя (они же элементы матрицы А).

Элементы а₁₁, а₂₂ составляют главную диагональ, а элементы а₂₁, а₁₂ – побочную диагональ.

Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка:

.

Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число D, которое определяется выражением:

Элементы а₁₁, а₂₂, а₃₃ – расположены на главной диагонали, элементы а₁₃, а₂₂, а₃₁ – на побочной диагонали.

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка

Определитель 2-го порядка вычисляется по определению:

.

Пример 1

Для вычисления определителя 3-го порядка можно воспользоваться следующими правилами:

Правило Саррюса: дописать справа к элементам определителя сначала 1-й столбец, затем 2-й (можно внизу дописать первую и вторую строки), (рис.1), произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также произведения элементов, стоящих на двух параллелях к ней, содержащих по 3 элемента – нужно взять со знаком «плюс», а произведение элементов побочной диагонали и двух параллелях к ней, содержащих по 3 элемента – нужно взять со знаком «минус» (рис. 1). Сумма этих шести произведений дает определитель 3-го порядка, соответствующий матрице А.

,

— — — + + +

Рис. 1

Пример 2

Вычислить .

Решение

,

– – – + + +

таким образом:

Правило треугольника:одно из трех слагаемых, со знаком «плюс» есть произведение элементов главной диагонали определителя, каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла определителя, слагаемые со знаком «минус» строятся так же, но относительно побочной диагонали (рис.2).

(+) (-)

Рис. 2

Пример 3

Вычислить определитель по правилу треугольника: .

Решение

Свойства определителей

Рассмотрим свойства определителей на примере определителя 3-го порядка.

Рассмотрим определитель:

.

Определение. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение минора .

Пример 4

Минор элемента а₁₂: .

Определение. Алгебраическим дополнениемлюбого элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, есть число четное, либо с противоположным знаком, если эта сумма есть число нечетное. Обозначение алгебраического дополнения А_ij.

Пример 5

Свойство 1.Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Пример 6

Вычислим определитель, разложив его по элементам 1-ой строки:

.

Свойство 2. Величина определителя не изменится, если каждую его строку заменить столбцом с тем же номером.

Свойство 3. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна его умножению на (–1).

Свойство 4.Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки определителя можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Определитель, имеющий два одинаковых столбца или две одинаковых строки, равен нулю.

Свойство 7. Определитель равен нулю, если элементы двух столбцов или двух строк пропорциональны.

Свойство 8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые:

.

Свойство 9.Если к элементам некоторого столбца (или строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на общий множитель, то величина определителя не изменится.

Пример 7

Вычислим определитель:

,

при вычислении определителя первую строку умножили на 2 и сложили со второй, затем разложили определитель по 2-й строке.

Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (или строки) определителя равна нулю.

Обратная матрица

Пусть дана квадратная матрица А порядка n.

Обратной матрицей по отношению к данной А называется матрица , которая будучи умноженной, как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.

По определению

А · = · А = Е.

Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной или вырожденной.

Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле

,

где — определитель матрицы А, — союзная матрица по отношению к данной матрице, в которой элементы каждой строки данной матрицы заменены алгебраическими дополнениями элементов соответствующих столбцов. Например, для квадратной матрицы 2-го порядка союзной является матрица

,

для квадратной матрицы 3-го порядка союзной является матрица

.

Пример

Для матрицы найти обратную.

Решение

Обратную матрицу находим по формуле

.

Определитель матрицы , следовательно, матрица неособенная и обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:

.

Тогда обратная матрица имеет вид

.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$

— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}.$$

Эту формулу называют «правило треугольника»: одно из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком «+», есть произведение элементов главной диагонали матрицы, каждое из двух других — произведение элементов лежащих на параллели к этой диагонали и элемента из противоположного угла матрицы, а слагаемые, входящие в со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно второй (побочной) диагонали. 

Примеры.

Вычислить определители второго порядка:

3.1. $\begin{vmatrix}-1&4\\-5&2\end{vmatrix}$

Решение.

$\begin{vmatrix}-1&4\\-5&2\end{vmatrix}=-1\cdot 2-(-5)\cdot 4=-2+20=18.$

Ответ: 18.

3.2. $\begin{vmatrix}a+b&a-b\\a-b&a+b\end{vmatrix}$

 Решение.

$\begin{vmatrix}a+b&a-b\\a-b&a+b\end{vmatrix}=(a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab.$

Ответ: $4ab.$

3.8. Решить уравнение:

$\begin{vmatrix}x&x+1\\-4&x+1\end{vmatrix}=0.$

Решение.

$\begin{vmatrix}x&x+1\\-4&x+1\end{vmatrix}=x(x+1)-(-4)(x+1)=x^2+x+4x-4=x^2+5x+4.$

Осталось решить квадратное уравнение $x^2+5x+4=0:$

$D=25-16=9$

$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$

Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$

 {jumi[*4]}

3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$

Решение.

$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$

$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$

Ответ: $0.$

3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$

 Решение.

 $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$

$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$

$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).$

Ответ: $\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).$

Свойства определителя:

1) Если матрицу транспонировать, то определитель не изменится: $\det A^T=\det A.$

2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.

4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.

5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).

Примеры:

3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.$

Доказательство.

$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$

 $\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.$

 Что и требовалось доказать.

3.31. Проверить, что определитель $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}$ делится на $x-y, y-z$ и $z-x.$

Проверка. 

1)  Пользуясь 6-м свойством определителей от первого столбца отнимаем второй, а затем используем 2-е свойство и выносим общий множетель за определитель.

 $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}0&1&1\\x-y&y&z\\x^2-y^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}0&1&1\\x-y&y&z\\(x-y)(x+y)&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ 

 $(x-y)\begin{vmatrix}0&1&1\\1&y&z\\x+y&y^2&z^2\end{vmatrix}.$

Таким образом, мы доказали, что определитель делится на $x-y.$ Совершенно аналогично доказываются и два других случая:

2) $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}1&0&1\\x&y-z&z\\x^2&y^2-z^2&z^2\end{vmatrix}=$  $\begin{vmatrix}1&0&1\\x&y-z&z\\x^2&(y-z)(y+z)&z^2\end{vmatrix}=$

 $(y-z)\begin{vmatrix}1&0&1\\x&1&z\\x^2&y+z&z^2\end{vmatrix}.$

3) $\begin{vmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{vmatrix}=$ $\begin{vmatrix}1&1&0\\x&y&z-x\\x^2&y^2&z^2-x^2\end{vmatrix}=$  $\begin{vmatrix}1&1&0\\x&y&z-x\\x^2&y^2)&(z-x)(z+x)\end{vmatrix}=$

  $(z-x)\begin{vmatrix}1&1&0\\x&y&1\\x^2&y^2&z+x\end{vmatrix}.$

Минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ $n-$ го порядка называется определитель $n-1-$ го порядка, полученного из исходного определителя вычеркиванием $i-$й строки и $j-$го столбца:

$M_{ij}=$\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}

Алгебраическим дополнением $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ $n-$ го порядка называется число равное произведению минора $M_{ij}$ на $(-1)^{i+j}:$ $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$

Определители $n-$го порядка вычисляются с помощью метода понижения порядка — по формуле $\det A=\sum\limits_{j=1}^na_{ij}A_{ij}$ ($i$ фиксированно) — разложение по $i-$й строке.

Из этой формулы и второго свойства определителей — $\det A^T=\det A,$ следует, что верна также формула разложения по $j$ столбцу $\det A=\sum\limits_{i=1}^na_{ij}A_{ij}$ ($j$ фиксированно).

Метод приведения к треугольному виду заключается в преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из ее диагоналей, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению диагональных элементов.

Примеры.

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

3.50. $\begin{vmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&3\end{vmatrix}.$

Решение.

Вычислим этот определитель с помощью разложения по второй строке: $\begin{vmatrix}1&0&2\\0&2&0\\2&0&3\end{vmatrix}=$ $0\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}0&2\\0&3\end{vmatrix}+$ $2\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}+$ $0\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&0\\2&0\end{vmatrix}$ $=2(3-4)=-2.$

3.54. (a) $\begin{vmatrix}2&-3&4&1\\4&-2&3&2\\a&b&c&d\\3&-1&4&3\end{vmatrix}.$

Решение.

Вычислим этот определитель с помощью разложения по третьей строке: $\begin{vmatrix}2&-3&4&1\\4&-2&3&2\\a&b&c&d\\3&-1&4&3\end{vmatrix}=$ $a\cdot(-1)^{3+1}$ $\begin{vmatrix}-3&4&1\\-2&3&2\\-1&4&3\end{vmatrix}+$ $b\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}2&4&1\\4&3&2\\3&4&3\end{vmatrix}+$ $+c\cdot(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}2&-3&1\\4&-2&2\\3&-1&3\end{vmatrix}+$ $d\cdot(-1)^{3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$

$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$

$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$

$=8a+15b+12c-19d.$

Ответ: $8a+15b+12c-19d.$

   {jumi[*4]}

3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$

Решение.

 Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:

$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два 

$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394.$ 

Ответ: $394.$

Домашнее задание:

Вычислить определители второго порядка:

3.3. $\begin{vmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{vmatrix}.$

Ответ: $1.$

3.7. $\begin{vmatrix}\frac{1-t^2}{1+t^2}&\frac{2t}{1+t^2}\\-\frac{2t}{1+t^2}&\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{vmatrix}.$

Ответ: $1.$

Решить уравнение:

3.9. $\begin{vmatrix}\cos 8x&-\sin 5x\\\sin 8x&\cos 5x\end{vmatrix}=0.$

Ответ: $x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3},$ $k\in Z.$ 

Вычислить определители 3-го порядка:

3.12.  $\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}.$

Ответ: $0.$

3.15. $\begin{vmatrix}\alpha^2+1&\alpha\beta&\alpha\gamma\\\alpha\beta&\beta^2+1&\beta\gamma\\\alpha\gamma&\beta\gamma&\gamma^2+1\end{vmatrix}.$

Ответ: $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+1.$

3.25. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1x+b_1&c_1\\a_2+b_2x&a_2x+b_2&c_2\\a_3+b_3x&a_3x+b_3&c_3\end{vmatrix}=$ $(1-x^2)\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.$

3.32. Проверить, что определитель $\begin{vmatrix}x&y&x+y\\y&x+y&x\\x+y&x&y\end{vmatrix}$ делится на $x+y$ и $x^2-xy+y^2.$

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$

Ответ: $-14.$

3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$

Ответ: $4.$

3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$

Ответ: $2a-8b+c+5d.$

3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$

Ответ: $665.$

  {jumi[*4]}

mathportal.net

Определители квадратных матриц

К оглавлению

I. Определитель матрицы первого порядка

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент, называется элемент  а₁₁:

.

II. Определитель матрицы второго порядка

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

.

Например, пусть

.

III. Определитель матрицы третьего порядка

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение.

Замечание. Вычисление определителей четвертого и более высокого порядка приводит к большим вычислениям, так как

·        для нахождения определителя первого порядка мы находим одно слагаемое, состоящее из одного сомножителя,

·        для нахождения определителя второго порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двух слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения двух сомножителей,

·        для нахождения определителя третьего порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из шести слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей,

·        для нахождения определителя четвертого порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двадцати четырех слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения четырех сомножителей и т.д.

Определить количество слагаемых в алгебраической сумме, можно вычислив факториал:

Вычисление определителя четвертого порядка приводит к большим вычислениям. Поэтому в этом случае используют искусственные методы, о которых мы остановимся позже.

IV. Примеры для самостоятельного решения

А. Вычислить определитель второго порядка:

Б. Вычислить определитель третьего порядка:

В. Решить уравнение:

К оглавлению

miemp-mi-gor.narod.ru

1.2. Определители второго и третьего порядка. Обратная матрица

Определителем второго порядка, соответствующим матрице

называется число .

Этот определитель обозначают или .

Следовательно, согласно определению .

Определителем третьего порядка, соответствующим матрице , называется число, обозначаемое или и определяемое равенством

.

Для запоминания этого определения существует простое правило, которое называется «правилом треугольников». Каждое слагаемое, стоящее в правой части со знаком плюс, представляет собой произведение трех элементов определителя, взятых, как показано на схеме 1. Каждое слагаемое, стоящее со знаком минус, представляет собой произведение трех элементов определителя, взятых, как показано на схеме 2.

Минором элемента (I =1,2,3; J =1,2.3) определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, получающийся из данного определителя третьего порядка вычеркиванием I-той строки J-того столбца, на пересечении которых стоит элемент . Минор элемента обозначают .

Алгебраическим дополнением элемента определителя третьего порядка называется произведение минора этого элемента на число , где I — номер строки, J — номер столбца, на пересечении которых стоит элемент . Алгебраическое дополнение элемента обозначают .

Таким образом,

Справедлива следующая теорема.

Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (или столбца) на их алгебраические дополнения, т. е.

Матрица называется Обратной матрицей по отношению к матрице , если выполняется условие: , где — единичная матрица.

Если определитель матрицы А отличен от нуля, то существует единственная обратная матрица , которая находится по формуле:

,

Где ∆ — определитель матрицы А,, — алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Задание 2. Найти матрицу, обратную к данной матрице А.

.

Решение.

1) Вычислим определитель матрицы А:

.

, следовательно, обратная матрица существует и единственна.

2) Находим алгебраические дополнения элементов определителя

Матрицы А.

3) Составим обратную матрицу:

4) Проверим правильность нахождения матрицы , исходя из

Определения обратной матрицы.

Аналогично. Следовательно, обратная матрица найдена верно.

matica.org.ua

Определители квадратных матриц

	Главная > Учебные материалы > Математика:  Определители квадратных матриц
	1.Определители квадратных матриц. 2.Свойства определителей.
	1 2 3 4 5 6 7 8 9
	1.Определители квадратных матриц.    Как известно из раздела матричной алгебры, матрицы получили широкое распрастранение в экономике. Для того, чтобы как-то характеризовать матрицу, а также решать различные задачи с использованием матриц, в математике введено понятие определитель матрицы. Т.е. определитель матрицы — это число, характеризующее матрицу (параметр). Для каждой квадратной матрицы можно рассчитать число по ее элементам по определенной формуле, которое будет ее характеризовать.
	Для матрицы первого порядка определитель равен элементу а11.
	Для матрицы второго порядка определитель равен разности произведений элементов матрицы, рассчитанный по формуле:
	Для матрицы третьего порядка определитель равен числу, рассчитанному по формуле:
	Определители квадратных матриц можно вычислить и другим способом: с помощью разложения элементов матрицы по строке. Для того, чтобы использовать такой способ, предварительно рассчитывают миноры и алгебраические дополнения. Минором Mij элемента аij называется определитель n-1 порядка, а алгебраическое дополнение это произведение Аij = (-1)i+j Mij
	Таким образом, определитель третьего порядка можно разложить по элементам первой строки так:
	2.Свойства определителей.
	1. При транспонировании определитель не меняется. 2. Если поменять местами любые две строки (столбца) матрицы, то определитель поменяет знак на противоположный. 3. Для любой матрицы, определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. 4. Определитель равен нулю, если матрица содержит две одинаковые строки (столбца). 5. Определитель равен нулю, если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю. 6. Если суммировать произведения элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов любой другой строки (столбца), то определитель равен нулю. 7. Общий множитель любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
	Пример.
	1 2 3 4 5 6 7 8 9

www.mathtask.ru