Рубрика: Школьная жизнь

равно i — с русского на английский

translate.academic.ru

равно I — это… Что такое равно I?

dic.academic.ru

равно i — с английского на русский

translate.academic.ru

равно+i — с английского на все языки

translate.academic.ru

2 в (-1) степени равно чему??

дробь одна вторая

если в степени присутствует минус, то число стоит в знаменателе, где числитель равен одному, в твоём случае это 1/2

Ольга, ну все достаточно просто: есть такая формула: число «A» в степени (-n) равно дроби: в числителе единица, в знаменателе число «А» в степени n. Любое число в степени (-1) — это дробь — единица, деленная на это число.

touch.otvet.mail.ru

один плюс один равно три? верно ли это?

(a+b) x (a-b) = a x a — ab + ab — b x b В правой части -ab и +ab уничтожаются, значит, получается: (a + b) x (a- b) = a x a — b x b Поделим оба выражения на (a — b): ((a + b) x (a — b)) / (a — b) = (a x a — b x b) / (a — b) Упростим выражение в левой части: (a + b) = (a x a — b x b) / (a-b) Предположим, что а = b = 1 и мы получим: 1 + 1 = (1 — 1) / (1 — 1) Когда мы делим одинаковые выражения, мы получаем 1. То есть уравнение даёт: 2 = 1, а если мы прибавим по 1 к каждой части, то 2 = 3, а следовательно 1 + 1 = 3…

математически нет, а вот с философской точки зрения вполне возможно.

1 плюс 1 равно 11

Если открыть учебник математики за начальный класс, то можно с точностью сказать, что 1+1=2.

Конечно верно

Стандартная рекламная фраза: заплати за две единицы товара (один плюс один) и получи три.

Люди считают себя чем-то уникальным, и вся теория бытия построена на их неповторимости. Один — их единица измерения, но это ошибка. Все системы, изобретённые людьми, — лишь набросок. «Один плюс один равно двум — всё, что мы выучили. Но один плюс один не равняется двум. Нет вообще никаких чисел и никаких букв. » Мы навесили эти ярлыки, чтобы как-то упростить жизнь, сделать её понятнее; мы придумали шкалу измерений, чтобы забыть о нашей неизмеримости.

Абсолютно верно

Рома, 1-1=0, а на ноль делить нельзя!

один мужик + одна баба = семья из 3х и часто больше

iSlate Dobrovolsky Ты это с фильма люси взял

1+1=1 это берём одну каплю воды и другую каплю воды соединяем их и получаем одну большую каплю воды, или понравился ответ один мужик + одна баба = семья из 3х и часто больше но в итоге 1+1 равно 1 семья)

touch.otvet.mail.ru

Направление вектора и направляющие косинусы

Направление вектора: основные понятия и определения

Первая точка называется началом вектора, а вторая – его концом.

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается ; его длина считается равной нулю. В противном случае, если длина вектора положительна, то его называют ненулевым.

Замечание. Если длина вектора равна единице, то он называется ортом или единичным вектором и обозначается .

Ненулевой вектор также можно определить как направленный отрезок.

Замечание. Направление нулевого вектора не определено.

Направляющие косинусы вектора

Замечание. Однозначно направление вектора задают его направляющие косинусы.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора необходимо вектор нормировать (то есть вектор поделить на его длину):

Замечание. Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.

ru.solverbook.com

1. Пространство геометрических векторов

1. Геометрический вектор. Длина и направление вектора. Равенство векторов

Из школьного курса геометрии известно, что через две различные точки A и B можно провести прямую и при том только Точки A и B, а также все точки, лежащие между ними, называют отрезком. Расстояние между точками A и B, называют длиной отрезка.

Определение 1.1. Геометрическим вектором называют направленный отрезок, то есть отрезок, конечные точки которого упорядочены: одна из них является началом, а вторая – концом отрезка.

Чтобы отличать вектор от отрезка, у конца вектора ставят стрелку. Вектор имеет две характеристики:

1. длина,

2. направление.

Длина вектора определяется путем измерения: выбрав единичный отрезок, устанавливаем, сколько раз этот единичный отрезок или какая-либо его часть укладывается в данном отрезке. (Например, =1,38 см. означает, что в качестве единичного отрезка выбран отрезок длиной в 1 сантиметр и в отрезкеPQ 138 раз укладывается сотая доля такого отрезка). Далеко не всегда единичный отрезок или любая его часть укладывается в измеряемый отрезок целое число раз. Например, если построить квадрат, сторона которого имеет длину, равную 1, то на какие бы доли мы ни дробили сторону, в диагональ квадрата не может уложиться целое число таких долей. Это означает, что сторона и диагональ квадрата несоизмеримы и длина диагонали выражается иррациональным числом.

Существование несоизмеримых отрезков было установлено древнегреческим математиком и философом-мистиком Пифагором ( VI в. до н.э). Необходимость выражать числом длины всех отрезков потребовала введения, наряду с рациональными, иррациональных чисел. Множество, включающее в себя все рациональные и иррациональные числа, называют множеством действительных чисел и обозначают символом «R». Теория действительных чисел в своем современном виде существует благодаря трудам выдающихся европейских математиков второй половины XIX в. Р. Дедекинда (1831-1916), Г. Кантора (1845-1918), К. Вейерштрасса (1815-1897).

Теория действительного числа позволила строго обосновать возможность установления взаимно однозначного соответствия между действительными числами и точками прямой (аксиома непрерывности Кантора-Дедекинда). Если на прямой выбрать направление и эталон длины (отрезок OE на рис. 1.2.), то каждой точке X этой прямой соответствует действительное число x равное длине отрезка OX со знаком “+”, если направление вектора совпадает с направлением прямой, и со знаком “ — “ , если направления прямой и вектора противоположны. С другой стороны, каждому действительному числу, соответствует вполне определенная точка такой прямой. Из школьного курса математики известно, что описанную выше прямую называютчисловой осью. Связь между действительными числами и точками числовой оси столь глубока, что конкретные числа в математике часто называют “точками”.

Определение 1.2. Векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение 1.3. Два коллинеарных вектора называют сонаправленными, если после приложения их к какой-либо одной точке конец одного из векторов оказывается лежащим между началом и концом второго вектора или совпадать с ним, и противонаправленными , если концы их оказываются лежащими по разные стороны от общего начала.

На рис. 1.2. и, а также. Здесь символами «» и «» обозначены сонаправленность и противонаправленность векторов.

Отметим, что величина угла между сонаправленными векторами равна 0, между противонаправленными — .

Определение 1.4. два вектора называют равными, если они сонаправлены и длины их равны. Два вектора называют противоположными, если они противонапрвлены и длины их равны.

Аналогично тому, как длина вектора определяется путем сравнения с длиной заранее выбранного единичного отрезка, направление вектора определяется путем сравнения с заранее выбранными «базисными» направлениями. Базисные направления указываются с помощью базисных векторов.

Пусть V₁ — множество всех направленных отрезков, лежащих на одной числовой прямой и приложенных к точке О (рис. 1.2). Каждый из этих отрезков определяет длину и направление всех, равных ему векторов, как лежащих на той же прямой, но приложенных к другим точкам, так и лежащих на любой из параллельных ей прямых. Поэтому, определив направления векторов из множества V₁ , мы определим направления всех, коллинеарных им векторов.

Очевидно, что векторы из множества V₁ имеют лишь 2 возможных направления: они могут быть сонаправленныи или противонаправленными единичному вектору . Это означает, что выбравв качестве базисного вектора, и приняв его направление за положительное, можно описать направления всех, коллинеарных ему векторов либо как положительное, либо как отрицательное.

Определение 1.6. Векторы называют компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Отметим, что два вектора всегда компланарны (см. рис 1.3 и рис. 1.4). Действительно два направленных отрезка могут быть либо коллинеарны либо неколлинеарны. Если они коллинеарны, то они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рс.1.3.). Как известно из школьного курса геометрии через прямую можно провести бесконечно много плоскостей, для которых эта прямая является линией пересечения. Через две параллельные прямые также всегда можно провести плоскость. Это и означает, что коллинеарные отрезки являются также и компланарными.

Пусть теперь два направленных отрезка неколлинеарны (рис 1.4). Начала этих векторов могут быть приложены либо к одной точке, либо к разным точкам. В первом случае направленные отрезки определяют три точки: общее начало и два различных конца, а через три точки можно провести плоскость. Во втором случае к каждому из начал этих отрезков можно приложить векторы, равные другому направленному отрезку. Таким образом, получим два параллельных треугольника, которые определят две параллельные плоскости.

Пусть V² — множество всех направленных отрезков, лежащих в одной плоскости и приложенных к какой-либо «удобной» точке плоскости (точке О на рис 1.5). Проведем через эту точку две взаимно перпендикулярные числовые оси с единичными векторами и. Каждый из направленных отрезков множества V₂ определяет длину и направление всех, равных ему векторов, как лежащих в той же плоскости, но приложенных к другим точкам, так и лежащих на любой из параллельных ей плоскостей. Поэтому, определив направления векторов из множества V² , мы определим направления всех, компланарных им векторов.

Очевидно, что направление любого вектора из V² можно задать, указав углы, которые образует этот вектор с двумя базисными векторами и(рис 1.5). Таким образом, имея два базисных вектора, можно задать направление любого направленного отрезка, компланарного им. Для этого достаточно найти в V² вектор, равный интересующему нас направленному отрезку, и указать величины углов, которые он образует с базисными векторами

Три вектора могут быть как компланарны, так и некомпланарны (рис. 1.6). Пусть V³ – множество всех направленных отрезков в пространстве, приложенных к какой-либо «удобной» точке пространства – точке О. проведем через эту точку три взаимно перпендикулярных оси и приложим к ней три единичных вектора отрезками,и(рис. 1.6), направление которых совпадает с направлениями осей. Тогда направление любого вектора из V³ можно задать, указав величины углов, которые данный вектор образует с ,и(рис. 1.6). Любой направленный отрезок пространства имеет своего «представителя» во множестве V³ . Его направление можно задать, указав направление равного ему вектора из V³.

Таким образом, направление и длина любого геометрического вектора может быть задана, если известны длина и направление равного ему отрезка, приложенного к «удобной» точке, к которой приложены также и базисные векторы. Для описания всех коллинеарных векторов достаточно рассмотреть множество V¹, всех компланарных – V², всех векторов пространства – V³ .

Определение 1.5. Множество всех равных друг другу векторов называют свободным вектором.

Свободные векторы обозначают символами: ,и т.п. Свободный вектор будем рассматривать через его представителя: направленный отрезок, приложенный к «удобной» точке. Таким образом, изучение всех геометрических векторов будет сведено к изучению пространств V¹, V² и V³.

Но пространства эти будут неполны, если в каждое из них не ввести нуль-вектор.

Определение 1.6. Нуль-вектор – это вектор, длина которого равна 0.

Обозначение нуль-вектора: . В пространствах V¹, V² и V³нуль-вектором принято считать точку приложения базисных векторов.

studfiles.net

как найти направление вектора

Вы искали как найти направление вектора? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как определить направление вектора, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как найти направление вектора».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как найти направление вектора,как определить направление вектора,как узнать направление вектора,направление вектора,направление вектора как найти,направление вектора как определить. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти направление вектора. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как узнать направление вектора).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти направление вектора Онлайн?

Решить задачу как найти направление вектора вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

Как определить направление вектора напряженности

Заряженные тела могут влиять друг на друга без соприкосновения через электрическое поле. Поле, которое создается статичными электрическими частицами, именуется электростатическим.

Инструкция

1. Если в электрическое поле, создаваемое зарядом Q, разместить еще один заряд Q0, то оно будет влиять на него с определенной силой. Это колляция именуется напряженностью электрического поля E. Она представляет собой отношение силы F, с которое поле действует на правильный электрический заряд Q0 в определенной точке пространства, к значению этого заряда: E = F/Q0.

2. В зависимости от определенной точки пространства, значение напряженности поля E может меняться, что выражается формулой Е = Е (x, y, z, t). Следственно напряженность электрического поля относится к векторным физическим величинам.

3. От того что напряженность поля зависит от силой, действующей на точечный заряд, то вектор напряженности электрического поля E идентичен с вектором силы F. Согласно закону Кулона, сила, с которой взаимодействуют две заряженные частицы в вакууме, направлена по прямой линии, которая соединяет эти заряды.

4. Майкл Фарадей предложил наглядно изображать напряженность поля электрического заряда с поддержкой линий напряженности. Эти линии совпадают с вектором напряженности во всех точках по касательной. На чертежах их принято обозначать стрелками.

5. В том случае, если электрическое поле однородно и вектор его напряженности непрерывен по своему модулю и направлению, то линии напряженности параллельны с ним. Если электрическое поле создается правильно заряженным телом, линии напряженности направлены от него, а в случае с негативно заряженной частицей – по направлению к нему.

Для того дабы обнаружить напряженность электрического поля , внесите в него вестимый пробный заряд. Измерьте силу, которая действует на него со стороны поля и рассчитайте значение напряженности. Если электрическое поле создается точечным зарядом либо конденсатором, рассчитайте его по особым формулам.

Вам понадобится

• электрометр, динамометр, вольтметр, линейку и транспортир.

Инструкция

1. Определение напряженности произвольного электрического поля Возьмите заряженное тело, размеры которого незначительны по сопоставлению размерами тела, генерирующего электрическое поле. Отлично подойдет заряженный металлический шар с малой массой. Измерьте величину его заряда электрометром и внесите в электрическое поле. Уравновесьте силу, действующую на заряд со стороны электрического поля динамометром и снимите с него показания в ньютонах. Позже этого значение силы, поделите на величину заряда в Кулонах (E=F/q). Итогом будет напряженность электрического поля в вольтах на метр.

2. Определение напряженности электрического поля точечного заряда Если электрическое поле генерируется зарядом, величина которого знаменита, для определения его напряженности в некоторой точке пространства удаленной от него, измерьте это расстояние между избранной точкой и зарядом в метрах. Позже этого величину заряда в Кулонах, поделите на измеренное расстояние, возведенное во вторую степень (q/r?). Полученный итог умножьте на показатель 9*10^9.

3. Определение напряженности электрического поля конденсатора Измерьте разность потенциалов (напряжение) между пластинами конденсатора. Для этого параллельно ним присоедините вольтметр, итог зафиксируйте в вольтах. После этого измерьте расстояние между этими пластинами в метрах. Поделите значение напряжения на расстояние между пластинами, итогом будет напряженность электрического поля . Если между пластинами размещен не воздух, определите диэлектрическую проницаемость данной среды и поделите итог не ее значение.

4. Определение электрического поля , сделанного несколькими поля ми Если поле в данной точке является итогом наложения нескольких электрических полей, обнаружьте векторную сумму значений этих полей, с учетом их направления (тезис суперпозиции полей). Если надобно обнаружить электрическое поле, образованное двумя поля ми, постройте их векторы в данной точке, измерьте угол между ними. После этого возведите всякое из их значений в квадрат, обнаружьте их сумму. Вычислите произведение значений напряженности полей, умножьте его на косинус угла, тот, что равен 180? минус угол между векторами напряженностей, а итог умножьте на 2. Позже этого от суммы квадратов напряженностей отнимите полученное число (E=E1?+E2?-2E1E2*Cos(180?-?)). При построении полей рассматривайте, что силовые линии выходят из правильных зарядов и входят в негативные.

Видео по теме

Объектами векторной алгебры являются отрезки прямой, имеющие направление и длину, называемую модулем. Дабы определить модуль вектора , следует извлечь квадратный корень из величины, представляющей собой сумму квадратов его проекций на координатные оси.

Инструкция

1. Векторы характеризуются двумя основными свойствами: длиной и направлением. Длина вектора именуется модулем либо нормой и представляет собой скалярное значение, расстояние от точки начала до точки конца. Оба свойства используются для графического изображения разных величин либо действий, скажем, физических сил, движения элементарных частиц и пр.

2. Местоположение вектора в двухмерном либо трехмерном пространстве не влияет на его свойства. Если перенести его в другое место, то изменятся лишь координаты его концов, впрочем модуль и направление останутся бывшими. Эта автономность разрешает применять средства векторной алгебры в разных вычислениях, скажем, определения углов между пространственными прямыми и плоскостями.

3. Весь вектор дозволено задать координатами его концов. Разглядим для начала двухмерное пространство: пускай предисловие вектора находится в точке А (1, -3), а конец – в точке В (4, -5). Дабы обнаружить их проекции, опустите перпендикуляры на ось абсцисс и ординат.

4. Определите проекции самого вектора , которые дозволено вычислить по формуле:АВх = (xb – xa) = 3;ABy = (yb – ya) = -2, где:ABx и ABy – проекции вектора на оси Ох и Оу;xa и xb – абсциссы точек А и В;ya и yb – соответствующие ординаты.

5. В графическом изображении вы увидите прямоугольный треугольник, образованный катетами с длинами, равными проекциям вектора . Гипотенузой треугольника является величина, которую необходимо вычислить, т.е. модуль вектора . Примените теорему Пифагора:|АВ|? = ABx? + ABy? ? |AB| = ?((xb – xa)? + (yb – ya)?) = ?13.

6. Видимо, что для трехмерного пространства формула усложняется путем добавления третьей координаты – аппликат zb и za для концов вектора :|AB| = ?((xb – xa)? + (yb – ya)? + (zb – za)?).

7. Пускай в рассмотренном примере za = 3, zb = 8, тогда:zb – za = 5;|AB| = ?(9 + 4 + 25) = ?38.

Видео по теме

Для того дабы определить модуль точечных зарядов идентичной величины, измерьте силу их взаимодействия и расстояние между ними и произведите расчет. Если же необходимо обнаружить модуль заряда отдельных точечных тел, вносите их в электрическое поле с вестимой напряженностью и измеряйте силу, с которой поле действует на эти заряды.

Вам понадобится

• – крутильные весы;
• – линейка;
• – калькулятор;
• – измеритель электростатического поля.

Инструкция

1. Если есть два идентичных по модулю заряда, измерьте силу их взаимодействия при помощи крутильных весов Кулона, которые единовременно являются эмоциональным динамометром. Позже того, как заряды придут в баланс, и проволока весов скомпенсирует силу электрического взаимодействия, на шкале весов зафиксируйте значение этой силы. Позже этого при помощи линейки, штангенциркуля, либо по особой шкале на весах обнаружьте расстояние между этими зарядами. Рассматривайте, что разноименные заряды притягиваются, а одноименные отталкиваются. Силу измеряйте в Ньютонах, а расстояние в метрах.

2. Рассчитайте значение модуля одного точечного заряда q. Для этого силу F, с которой взаимодействуют два заряда, поделите на показатель 9•10^9. Из полученного итога извлеките квадратный корень. Итог умножьте на расстояние между зарядами r, q=r•?(F/9•10^9). Заряд получите в Кулонах.

3. Если заряды неодинаковые, то один из них должен быть предварительно знаменит. Силу взаимодействия знаменитого и неведомого заряда и расстояние между ними определите при помощи крутильных весов Кулона. Рассчитайте модуль неведомого заряда. Для этого силу взаимодействия зарядов F, поделите на произведение показателя 9•10^9 на модуль знаменитого заряда q0. Из получившегося числа извлеките квадратный корень и умножьте итог на расстояние между зарядами r; q1=r•?(F/(9•10^9•q2)).

4. Определите модуль незнакомого точечного заряда, внеся его в электростатическое поле. Если его напряженность в данной точке заблаговременно незнакома, внесите в нее датчик измерителя электростатического поля. Напряженность измеряйте в вольтах на метр. Внесите в точку с вестимой напряженностью заряд и с поддержкой эмоционального динамометра измерьте силу в Ньютонах, действующую на него. Определите модуль заряда, поделив значение силы F на напряженность электрического поля E; q=F/E.

Видео по теме

Обратите внимание!
Вектор напряженности имеет лишь одно направление в всякой точке пространства, следственно линии напряженности никогда не пересекаются.

jprosto.ru

Направление вектора магнитной индукции

Магнитное поле характеризуют при помощи вектора магнитной индукции ().

Если свободно вращающуюся магнитную стрелку, которая является небольшим магнитом, обладающим полюсами (северным (N) и южным(S)), поместить в магнитное поле, то она будет поворачиваться до тех пор, пока не установится определённым образом. Аналогично ведет себя рамка с током, повешенная на гибком подвесе, имеющая возможность поворачиваться. Способность магнитного поля ориентировать магнитную стрелку используют для того, чтобы определить направление вектора магнитной индукции.

Направление вектора магнитной индукции

Так, направлением вектора магнитной индукции считают направление, которое указывает северный полюс магнитной стрелки, которая может свободно поворачиваться в магнитном поле.

Такое же направление имеет положительная нормаль к замкнутому контуру с током. Направление положительной нормали определяют при помощи правила правого винта (буравчика): положительная нормаль направлена туда, куда поступательно перемещался бы буравчик, если бы его головку вращали по направлению течения тока в контуре.

Применяя контур с током или магнитную стрелку, можно выяснить, как направлен вектор магнитной индукции магнитного поля в любой точке.

Для определения направления вектора иногда удобно использовать так называемое правило правой руки. Его применяют следующим образом. Пытаются в воображении охватить правой рукой проводник таки образом, чтобы при этом большой палец указывал направление силы тока, тогда кончики остальных пальцев направлены так же как вектор магнитной индукции.

Частные случаи направления вектора магнитной индукции прямого тока

Если магнитное поле в пространстве создается прямолинейным проводником с током, то магнитная стрелка будет в любой точке поля устанавливаться по касательной к окружностям, центры которых лежат на оси проводника, а плоскости перпендикулярны проводу. При этом направление вектора магнитной индукции определим, используя правило правого винта. Если винт вращать так, что он будет поступательно двигаться по направлению силы тока в проводе, то вращение головки винта совпадает с направлением вектора . На рис. 1 направлен от нас, перпендикулярно плоскости рисунка.

Ориентируясь на местности при помощи компаса, мы каждый раз проводим опыт по определению направления вектора Земного поля.

Пусть в магнитном поле движется заряженная частица, тогда на нее действует сила Лоренца (), которая определена как:

где q – заряд частицы; – вектор скорости частицы. Сила Лоренца и вектор магнитной индукции всегда взаимно перпендикулярны. Для заряда большего нуля (), тройка векторов и связана правилом правого винта (рис.2).

Линии магнитного поля и направление вектора B

Визуализировать картину магнитного поля можно при помощи линий магнитной индукции. Линиями магнитной индукции поля называют линий, для которых касательными в любой точке являются векторы магнитной индукции рассматриваемого поля. Для прямого проводника с током линиями магнитной индукции являются концентрические окружности, плоскости их перпендикулярны проводнику, центры на оси провода. Специфика линий магнитного поля заключена в том, что они бесконечны и являются всегда замкнутыми (или уходящими в бесконечность). Это означает, что магнитное поле является вихревым.

Принцип суперпозиции вектора B

Если магнитное поле создано не одним, а совокупностью токов или движущихся зарядов, то оно находится как векторная сумма отдельных полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом отдельно. В виде формулы принцип суперпозиции записывают как:

Или:

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

4.3 Проекция вектора на направление другого вектора

Рассмотрим два вектора и.

О

К

Отрезок ОК является проекцией вектора на направление вектора. Из полученного прямоугольного треугольника очевидно, что:

.

Из формулы (4.1) следует:

,

следовательно, можем записать:

.

Окончательно, проекция вектора на направление другого вектора вычисляется по формуле:

(4.6)

ЛЕКЦИЯ 5

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

5.1 Определение векторного произведения

Векторным произведением двух векторов иназывается третийвектор , обладающий свойствами:

1. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторыи.

.

2. Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторахи, как на сторонах.

(5.1)

3. Векторы ,,, в том порядке, как они записаны, образуютправую тройку векторов.

Обозначения:

.

5.2 Вычисление векторного произведения двух векторов

Рассмотрим векторы: и. Векторное произведение этих векторов равноопределителю третьего порядка, элементами первой строки которого являются единичные орты , элементами второй и третьей строк – координаты векторовисоответственно.

(5.2)

Запишем разложение определителя в формуле (5.2) по элементам первой строки:

Таким образом, координаты векторного произведения векторов и, т.е. вектораесть:

Т.е.

Из определения векторного произведения следует, что длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах

и , значит,

(5.3)

Равенство (5.3) является геометрическим смыслом векторного произведения.

5.3 Свойства векторного произведения

1.

2.

3.

Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Это следует из определения векторного произведения.

5.4 Векторные произведения единичных орт

Рассмотрим векторы . Из определения векторного произведения следует, что:

(5.4)

Очевидны равенства:

(5.5)

Чтобы определить другие векторные произведения векторов , пользуются схемой:

Из схемы видно, что

5.5 Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов

Исходя из определения скалярного и векторного произведения векторов, учитывая свойства и приложение этих операций, делаем выводы:

(5.6)

Т.е. скалярное перпендикулярных векторов равно нулю.

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т.е. выполняются равенства:

(5.7)

ЛЕКЦИЯ 6

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

6.1 Определение смешанного произведения векторов

Смешанным произведением трёх векторов называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий.

(6.1)

Обозначение .

6.2 Смешанное произведение векторов в координатной форме

(6.2)

6.3 Свойства смешанного произведения

1.

2.

6.4 Геометрический смысл смешанного произведения

Смешанное произведение трёх векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

ЛЕКЦИЯ 7

Элементы аналитической геометрии

7.1 Прямая на плоскости

Уравнение прямой линии, проходящей через точку перпендикулярно вектору:

(7.1)

Уравнение пучка прямых, проходящих через заданную точу :

(7.2)

Уравнение прямой линии, проходящей через

Две заданные точки и:

(7.3)

Уравнение прямой линии с заданным угловым коэффициентом:

(7.4)

Уравнение прямой линии в отрезках на осях:

(7.5)

Общее уравнение прямой линии на плоскости:

(7.6)

В уравнении (7.6) вектором-нормалью прямой является вектор: .

Уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору(каноническое уравнение прямой на плоскости):

(7.7)

Параметрические уравнения прямой линии на плоскости:

(7.8)

Расстояние от точки до прямой:

(7.9)

studfiles.net

Направление — вектор — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Направление — вектор

Cтраница 1

Направление вектора е зависит только от расположения излучающих поверхностей относительно точки пространства. Определив величину и направление этого вектора, мы тем самым определяем и величину углового коэффициента с этой площадки для любой ее ориентации. Из векторной алгебры известно, что задание проекций искомого вектора — на три заданных направления вполне определяет вектор. Поэтому задание величин угловых коэффициентов для трех различных направлений элементарной площадки вполне определяет величину и направление единичного вектора излучения.  [1]

Направления векторов, соответствующих комплексам Z и У, являются зеркальным изображением друг относительно друга в оси вещественных, так как аргументы комплексов Z и У равны и противоположны по знаку.  [2]

Направления векторов о, Щ и г4 показаны на рие.  [3]

Направления векторов, соответствующих комплексным величинам Z и К, являются зеркальным изображением относительно друг друга в оси вещественных, так как аргументы комплексных величин Z и Y равны и противоположны по знаку.  [4]

Направления векторов показаны на рис. 351, г. Вектор w p направлен перпендикулярно к А Р в сторону вращения колеса / / вокруг полюса Р, так как вращение этого колеса ускоренное.  [5]

Направления вектора wc в моменты t1 и / 2 показаны на рисунках.  [6]

Направление векторов, представляющих расположенные кон-сольно грузы, должно быть изменено на обратное при подсчете максимального прогиба вала, необходимого для вычисления первого критического числа оборотов.  [7]

Направление вектора at однозначно связано с направлением движения точки по кругу. Выбирают направление ю так: если смотреть на движущуюся точку с острия вектора а, то точка должна двигаться против часовой стрелки.  [8]

Направления векторов a, b и с можно использовать для обозначения осей кристалла, а величины векторов могут быть наименьшими из тех, которые удовлетворяют изложенным выше требованиям.  [9]

Направления векторов Я4 и чв не могут быть противоположны, так как при этом не выполнялась бы теорема о проекциях скоростей.  [10]

Направление вектора Н в однородной и изотропной среде совпадает с направлением вектора В.  [11]

Направление вектора задается углами, которые он образует с осями координат. В трехмерном случае направление вектора однозначно определяется заданием двух углов, в двухмерном — одного. Углы эти называются направляющими, а отвечающие им косинусы — направляющими косинусами.  [12]

Направление вектора е зависит только от расположения излучающих поверхностей относительно точки пространства. Определив величину и направление этого вектора, мы тем самым определяем и величину углового коэффициента с этой площадки для любой ее ориентации. Из векторной алгебры известно, что задание проекций искомого вектора, на три заданных направления вполне определяет вектор. Поэтому задание величин угловых коэффициентов для трех различных направлений элементарной площадки вполне определяет величину и направление единичного вектора излучения.  [13]

Направления векторов vxy и v тоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы.  [14]

Направления векторов Е в электрическом толе изображаются силовыми линиями. Так называются линии, в каждой точке которых вектор Е направлен по касательной. В неравномерном поле Е изменяется от точки к точке.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

www.ngpedia.ru

4. Решение матричных уравнений

Чтобы решать матричные уравнения, нужно уметь строить обратную матрицу. Матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если справедливы равенства А^-1А = АА^-1 = Е, где Е — единичная матрица. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля, то есть матрица была невырожденной. Чтобы построить обратную матрицу для матрицы А, нужно выполнить следующие операции:

1. вычислить определитель матрицы А, обозначаемый det А,

2. если det А не равен нулю, то найти матрицу А^т, для чего поменять местами строки и столбцы матрицы А,

3. затем в матрице А^т каждый элемент заменить на его алгебраическое дополнение. Полученную матрицу обозначают Ã^т,

4. разделить матрицу Ã^т на det А, т.е. каждый элемент матрицы Ã^т разделить на det А. В результате получится матрица обратная матрице А. Чтобы решить матричное уравнение АХ=В, нужно умножить слева обе части уравнения на А^-1, тогда Х=А^-1В. Для решения уравнения ХА=В, нужно обе части уравнения умножить справа на А^-1, тогда Х=ВА^-1. Напомним, что порядок умножения важен, так как, вообще говоря, A^-1B ≠ BA^-1.

Итак,

AX=B => X=A^-1B,

XA=B => X=BA^-1.

Пример 9

Решить матричное уравнение:

12 0

Х∙ 3 -1 1 = 1 4 -3

1 0 -1

Обозначим матрицы буквами:

1 2 0

А = 3 -1 1 , В= 1 4 -3 .

1 0 -1

Тогда данное уравнение примет вид: XA = B. Следовательно, Х = ВА^-1.

Вычислим определитель матрицы А.

det А=1·(-1)·(-1)+2·1·1+3·0·0-1·(-1)·0-0·1·1-3·2·(-1)=1+2+0-0-

-0+6=9.

Т.к. det А ≠ 0, то А^-1 существует.

Построим А^т. Для этого поменяем местами строки и столбцы.

1 3 1

А^т= 2 -1 0

0 1 -1

Заменим каждый из элементов матрицы его алгебраическим дополнением.

1 2 2

= 4 -1 -1

1 2 -7

Разделив каждый элемент этой матрицы на det А, получим обратную матрицу А^-1. Итак,

12 2

А^-1=1/9· 4 -1 -1

1 2 -7

НайдёмХ = ВА^-1.

1 2 2

Х = 1/9· 1 4 -3 4 -1 -1 =

1 2 -7

=1/9 · (1·1+4·4+(-3)·1 1·2+4·(-1)+(-3)·2 1·2+4·(-1)+(-3)·(-7)) =

=1/9 · (14 -8 19).

Проверим правильность решения. Для этого подставим матрицу Х в

Уравнение ХА = В.

1 2 0

1/9· 14 -8 19 · 3 -1 1 =

1 0 -1

= 1/9 · (14·1-8·3+19·1 14·2+8·1+19·0 14·0-8·1-19·1) =

= 1/9·(9 36 -27) = (1 4 -3).

Т.е. уравнение решено, верно. Итак, .

5. Вычисление ранга системы векторов

Ранг системы векторов равен числу линейно независимых векторов этой системы, он совпадает с рангом матрицы, строками которой являются координаты векторов в заданной системе координат. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Если векторы заданы своими координатами, то, чтобы найти ранг системы векторов, нужно составить матрицу A, строками которой являются координаты векторов. Затем, с помощью элементарных преобразований (умножения строки на число, перестановки строк, прибавление к строке другой строки, умноженной на число), следует все элементы ниже главной диагонали превратить в нули. То есть алгоритм тот же, что и в методе Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений. В результате получим матрицу эквивалентную матрицеA.

Определитель, у которого все элементы ниже главной диагонали равны нулю, равен произведению элементов главной диагонали. Следовательно, выделенный определитель, порядок которого равен k, равняется. Любой определитель(k+1)порядка содержит нулевую строку, следовательно, равен нулю. Итак, если все элементы главной диагонали полученной матрицы отличны от нуля, то ранг матрицы и системы векторов равенk. Если же несколько элементов главной диагонали равны нулю, то для подбора ненулевого определителя максимального порядка, следует переставить столбцы матрицы.

studfiles.net

Матричные уравнения

r A r B r C r A r B

0 r C min r A , r B

Решить матричное уравнение, полагая все матрицы коэффициентов, участвующие в преобразованиях, невырожденными.

24

Предприятие производит мебель трех видов и продает ее в четырех регионах.

Предприятие за определенный период производит n типов продукции

101. на производство единицыj-готипа (столбцы) задается матрицей затрат

вида на производство всей продукции за этот период.

S AX

studfiles.net

Пакет аналитических вычислений Maple, страница 7

Существует ровно один многочлен, такой, что f(Λ_A) = r(Λ_A) и deg r < m, который определяется интерполяционными условиями:

Этот многочлен называется интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра. Тогда мы можем дать новое определение f(A).

Определение 7.2. Пусть функция f определена на спектре матрицы A, тогда f(A) = r(A), где r(λ) — интерполяционный многочлен Лагранжа-Cильвестра.

Свойства функции от матрицы:

1. Пусть λ₁,…, λ_n— все собственные значения матрицы A  C_n,n, тогда f(λ₁₎,…, f(λ_n)- собственные значения f(A).

2.  Пусть матрицы A и B подобны, причем B=  S^-1AS, тогда f(B) = S^—1f(A)S.

3. Если A = diag{A₁, …, A_k}, то f(A) = diag{f(A₁), …, f(A_k)}.

В пакете LinearAlgebra содержатся функции позволяющие вычислять различные функции от матриц. Рассмотрим эти функции.

Пример 7.1. Возвести матрицу A в степени 2 и 0,5, где A =

Пример 7.2. Найти е^A и е^{Ax, где A =}

Пример 7.3. Найти A², cos(A) и е^A, где A =

Глава 8

Матричные уравнения

8.1 Уравнение вида AХ=ХB

Рассмотрим матричное уравнение AX= XB, где ,,.

Теорема 8.1. Общее решение уравнения AX= XB, где , . ,,

может быть найдено по формуле: .

Где  — общее решение уравнения ,, , , .

Если , то , если  , то  — произвольная правильная верхняя треугольная матрица.

Матрица X зависит от N произвольных параметров , , где, , .

Пример 8.1. Решить матричное уравнение AX= XB,

где  A=  , B=

Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

Реферат

по дисциплине: «Математика»

на тему:

«Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij , где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Пример.

— симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида

называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

a (А+В) =aА ±aВ

А(a±b) = aА ±bА

матрица алгебраический линейный уравнение

Пример. Даны матрицы А =

; B = , найти 2А + В.

2А =

, 2А + В = .

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить едини чная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А×Е = Е×А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^Т А^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^Т А^Т , где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А =

; В = А^Т =;

другими словами, b_ji = a_ij .

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)^T = C^T B^T A^T ,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А =

, В = , С = и число a = 2. Найти А^Т В+aС.

A^T =

; A^T B = × = = ;

aC =

; А^Т В+aС = + = .

Пример. Найти произведение матриц А =

и В = .

АВ =

× = .

ВА =

× = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=

, В =

АВ =

×= = .

Определение. Определителем квадратной матрицы А=

называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: det A = , где

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A =

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n.

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a_1k . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

det A = det A^T ;

Свойство 2. det (AB) = detA×detB

Свойство 3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

mirznanii.com

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Обозначим через Δ_i определитель, получающийся из определителя Δ основной матрицы системы уравнений заменой его i-го столбца столбцом из свободных членов b₁,b₂,…,b_n (с сохранением без изменения всех остальных столбцов).

Квадратная система линейных уравнений с определителем основной матрицы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение, определяемое следующей формулой:

Эта формула называется формулой Крамера, а алгоритм решения системы линейных уравнений — методом Крамера или правилом Крамера.

Метод главных элементов

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений.

(1)

Рассмотрим расширенную прямоугольную матрицу, состоящую из коэффициентов системы a[i,j] и свободных членов b[i].

Выбираем ненулевой наибольший по модулю элемент, не принадлежащий столбцу свободных членов. Пусть это будет . Этот элемент называется главным элементом, а строка, в которой он находится, называется главной строкой.

Вычисляются множители:

для всех .Далее производим следующие преобразования: к каждой неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель для этой строки. В результате мы получим матрицу, у которой q-й столбец состоит из нулей. Отбросим этот столбец и главную p-ю строку, получим новую матрицу с меньшим на единицу числом строк и столбцов. Над матрицей повторяем те же операции, после чего получаем матрицу и т.д. Таким образом, мы построим последовательность матриц, последняя из которых представляет двучленную матрицу — строку, её также будем считать главной строкой. Для определения неизвестных объединяем в систему все главные строки, начиная с последней. После надлежащего изменения нумерации неизвестных получается система с треугольной матрицей, из которой легко шаг за шагом найти неизвестные данной системы. Заметим, что метод Гаусса является частным случаем метода главных элементов, а схема метода Гаусса получается, если за главный элемент всегда выбирать левый верхний элемент соответствующей матрицы. Запрограммировать метод главных элементов непросто, поэтому чтобы уменьшить вычислительную погрешность, применяют метод Гаусса с выбором главного элемента. Необходимое условие применения метода главных элементов: определитель системы не равен нулю.

Метод квадратных корней

Пусть дана линейная система:

Ax=b

где — симметрическая матрица. Тогда матрицуА можно представить в виде произведения двух транспонированных между собой треугольных матриц

где

и

Производя перемножение матриц , для определения элементов матрицыТ получим следующие уравнения:

Отсюда последовательно находим:

(3)

При наличии соотношения (2) уравнение (1) эквивалентно двум уравнениям:

Отсюда последовательно находим:

Изложенный способ решения линейной системы носит название метода квадратных корней.

Схема Халецкого

Для удобства рассуждений систему линейных уравнений запишем в матричном виде:

Ax=b, (1)

где — квадратная матрица порядкаn и

А=ВС, (2)

,

Тогда элементы определяются по формулам:

Ву=b, Cx=y

Отсюда

Этот метод получил название схемы Халецкого.

studfiles.net

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Министерство образования и науки РФ

–––––––——————————–––––––

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

————————————————————

Матрицы, определители

и системы линейных уравнений

Методические рекомендации к решению задач

Санкт-Петербург

2006

УДК 00000000

Матрицы, определители и системы линейных уравнений: Методические указания к решению задач / Сост.: Е.А. Толкачева, М.Н. Абрамова, А.И. Куприянов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006. 32 с.

Содержат решения основных типов задач элементарной линейной алгебры. Разобраны различные методы решения этих задач.

Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний

 СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2004

Методические указания предназначены для студентов-заочников младших курсов. При изучении курса высшей математики делается упор на умение решать задачи. Основные методы решения тех или иных задач целиком переносятся на самостоятельную проработку. Программа курса высшей математики включает в себя, наряду с другими разделами, и определители, матрицы, системы линейных уравнений. Студент в своей работе может ориентироваться на любые источники, содержащие сведения по линейной алгебре. В качестве основного источника выбрана книга Писменного [3] – наиболее доступная, с точки зрения авторов. В начале каждого параграфа дается ссылка на этот учебник. Ответы каждого примера либо подчеркнуты, либо, при необходимости выделены отдельно.

Настоящие указания являются составной частью цикла методических разработок кафедры высшей математики №2 СПбГЭТУ «ЛЭТИ», и призванных помочь студентам-заочникам в самостоятельной работе.

Глава 1. Матрицы и определители §1. Алгебра матриц

Основные определения и утверждения по данному разделу можно найти на стр.10-14, ч.1, [3]. Матрицу, по главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы – нули, называют единичной и обозначают E.

При решении задач в параграфе, будем использовать матрицы:

, ,и. ()

1. Вычислите A+Bдля матриц из ().

Решение:

Суммой матриц будет матрица, элементы которой получены суммированием элементов слагаемых. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности, причем результат будет той же размерности.

=

.

2. Вычислите 3A+2B для матриц из ().

Решение:

Найдем сначала матрицы 3Aи 2B. При умножении матрицы на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

=.

Для матрицы Bаналогично:.

Сложим результаты: .

3. Вычислите A∙BиB∙A для матриц из ().

Решение:

Перемножить матрицы можно, если количество столбцов первого сомножителя совпадает с количеством строк второго сомножителя. Если умножается матрица порядка m×kна матрицу порядкаk×n, то в результате получится матрица порядкаm×n. Для получения ее—го элемента необходимо элементыi—ой строки левой матрицы умножить на соответствующие элементыj—го столбца правой матрицы и сложить полученные результаты.

==

=

. =. Произведение матриц не коммутативно, то есть для любых матрицAиB:A∙BB∙A, что и показывают полученные результаты.

4. Вычислите A²для матрицы из ().

Возвести матрицу в n—ую степень, значит умножить ее на себяnраз.

==.

5. Вычислите C∙D иD∙Cдля матриц из ().

Решение:

Произведение C∙D не определено, так как число столбцов матрицы, которых три, не совпадает с числом строк матрицы, которых два. Напоминаем, что перемножить матрицы можно, если количество столбцов первого сомножителя совпадает с количеством строк второго сомножителя.

Если умножается матрица порядка 2×2на матрицу порядка2×3, то в результате получится матрица порядка 2×3.

=

.

6. Вычислите C^T∙Dдля матриц из ().

Решение:

При выполнении операций над матрицами в первую очередь выполняется транспонирование, затем умножение матриц. Для того чтобы найти транспонированную матрицу надо строки матрицы записать в столбцы (или наоборот, столбцы в строки).

.

7. Вычислите D∙Eдля матриц из ().

Решение:

На главной диагонали матрицы Eстоят 1, другие элементы равны нулю.

.

Легко проверить, что E∙D=D. Полученные равенства верны для произвольных матриц. Единичная матрицаEпри умножении матриц играет роль числа 1 при умножении чисел.

8. Найти значение многочлена f(x)=x²+x+2для матрицы∙D().

Решение:

Запись f(D)=D²+D+2будет не корректна: выражениеD²+Dесть матрица размера 2×2, к которой нельзя прибавить число 2. А потомуf(D)=D²+D+2E, гдеE— единичная матрица подходящего размера.

==

=== .

9. Вычислите: .

Решение:

При вычислениях следует помнить о последовательности выполнения действий: сначала умножение матриц и умножения матрицы на число, потом сложение матриц.

==

==

.

studfiles.net

Вспомогательный определитель — Документ

Системы линейных уравнений

Система уравнений следующего вида:

,

где а_ij, b_i – числовые коэффициенты, x_i – переменные, называется системой линейных уравнений.

Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения системы в тождества.

Система линейных уравнений называется:

• совместной, если она имеет хотя бы одно решение;

• несовместной, если она не имеет решений;

• определенной, если она имеет единственное решение;

• однородной, если все b_i = 0;

• неоднородной, если все b_i ≠ 0.

Правило Крамера

(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

 = det A  0;

Теорема. (Правило Крамера):

Система из n уравнений с n неизвестными

В случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

х_{i= ;}

где  — главный определитель, составленный из числовых коэффициентов при неизвестных, а _i – вспомогательный определитель, получаемый из главного заменой i -го столбца столбцом свободных членов b_i.

_i =

Пример. Решить систему, используя правило Крамера.

;

₁= ; ₂= ; ₃= ;

x₁ = ; x₂ = ; x₃ = ;

Пример. Найти решение системы уравнений:

 = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x₁ = = 1;

₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x₂ = = 2;

₃ = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x₃ = = 3.

Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

Матричный метод

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Этот метод удобен для решения систем невысокого порядка. Он основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Введем обозначения:

A = — матрица коэффициентов системы;

B = матрица – столбец свободных членов;

X = — матрица – столбец неизвестных.

Систему уравнений можно записать в матричной форме:

AX = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1AX = A^-1B,

т.к. А^-1А = Е, то ЕХ = А^-1В, получим

Х = А^-1В — решение матричного уравнения

Пример. Решить систему матричным методом

Решение. Обозначим:

, , .

Получаем матричное уравнение .

Его решение , т.е.

.

(Нахождение обратной матрицы было рассмотрено ранее).

Ответ:

Метод Гаусса

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Определение: Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы.

Определение: Матрица называется расширенной матрицей системы, если к матрице А присоединить столбец свободных членов системы.

Расширенная матрица – это закодированная запись системы. Строки матрицы соответствуют уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим уравнением эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работу с уравнениями можно заменить работой со строками матрицы.

Определение: Матрицу А называют ступенчатой, если:

А) любая ее строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент,

Б) первый отличный от нуля элемент каждой ее строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки.

Метод Гаусса является эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему ступенчатого вида, которая легко решается и исследуется. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

Разберем идею метода Гаусса на конкретных примерах.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем к виду:

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

gigabaza.ru

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Матрицы

 

Матрицей размера m ´ n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

 

.

 

Числа называются элементами матрицы. Таким образом, первый индекс элемента указывает на номер строки, второй – на номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Если m=n, т.е. число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Диагональ квадратной матрицы, составленная из элементов a₁₁, a₂₂, …, a_nn, называется главной диагональю.

Квадратная матрица называется единичной, если на главной диагонали у нее стоят единицы, а остальные элементы – нули.

Пусть дана произвольная матрица .Матрица , у которой каждая строка является столбцом матрицы А с тем же номером (и, следовательно, каждый столбец является строкой матрицы А), называется транспонированной к матрице А. Переход от матрицы А к В называется транспонированием. Будем обоз­на­чать транспонированную матрицу А^Т.

Заметим, что .

 

Определители

 

Для квадратных матриц существует численная характеристика, которая также имеет и многочисленные другие приложения. Прежде чем сформулировать определение определителя матрицы, введем одно вспомогательное понятие.

Пусть (s₁, s₂, … ,s_n) – строка из n различных чисел от 1 до n. Будем говорить, что в строке имеется нарушение, если существует такая пара чисел (s_i, s_j), что i < j, а s_i> s_j. Другими словами, если в этой строке большее число стоит раньше меньшего. Например, в строке (1, 4, 2, 3) имеется два нарушения (4, 2) и (4, 3).

Определителем матрицы порядка n (или определителем n-го порядка) называется сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце и расположенных по возрастанию номеров строк, причем член берется со знаком плюс, если строка из номеров столбцов его элементов имеет четное число нарушений, и со знаком минус – в противном случае.

Для обозначения определителя будем употреблять запись:

 

или det A .

 

Основываясь на определении, мы можем записать явные формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков:

 

(1.1)

 

(1.2)

 

Примеры:

1) ,

2) .

Выражение определителя третьего порядка является достаточно громоздким. Для запоминания формулы существуют два удобных способа. Первый способ вычисления определителя третьего порядка схематично можно изобразить следующим образом:

Второй способ заключается в том, что под элементами матрицы выписываются снова первая и вторая строки. Тогда вычисление определителя схематично можно изобразить следующим образом:

 

Свойства определителей

 

Перечислим некоторые простейшие свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Пример.

.

 

2. Если матрица содержит строку, состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю.

3. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки, то ее определитель изменит знак.

Пример.

.

 

4. Если в матрице есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

5. При умножении строки матрицы на число, ее определитель умножается на это число.

6. Если все элементы i-й строки матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых , то ее определитель равен сумме определителей двух матриц, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в заданной матрице, а i-я строка в первой матрице состоит из элементов b_j, а во второй – из элементов c_j.

Прежде чем перейти к следующему свойству, сформулируем важное определение.

Будем говорить, что строка является линейной комбинацией строк

 

,

 

если существуют некоторые числа a₁, …, a_m, такие, что для любого i = 1, …, n выполняется следующее: , или то же самое можно записать в обозначениях строк:

 

.

 

7. Если одна из строк матрицы есть линейная комбинация остальных строк этой матрицы, то ее определитель равен нулю.

Пример.

.

 

Этот определитель равен нулю, так как третья строка есть сумма первой строки и второй строки, умноженной на 2.

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-нибудь ее строке прибавить линейную комбинацию остальных строк этой матрицы.

Пример.

 

.

 

Второй определитель получен из первого прибавлением к первой строке второй и третьей строк, затем общий множитель первой строки был вынесен за знак определителя по свойству 5 и получился определитель, имеющий две одинаковые строки, который по свойству 4 равен нулю.

Заметим, что из первого свойства вытекает, что все остальные свойства могут быть сформулированы не только для строк матрицы, но и для ее столбцов.

 

Алгебра матриц

 

Понятие матрицы, благодаря своим многочисленным применениям, стало предметом самостоятельной теории, в основе которой лежат алгебраические операции над матрицами: сложение и умножение.

Определим сначала равенство и сложение матриц.

Матрицы А и В одинаковых размеров n´m с элементами и называются равными, если для i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m. Равенство матриц обозначается А = В.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров n´m с элементами и называется матрица С = А + В, элементы которой получаются путем сложения соответствующих элементов данных матриц: для i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Определенное таким образом сложение будет, очевидно, коммутативным и ассоциативным.

Для сложения существует и обратная операция – вычитание матриц А – В. Роль нуля играет при этом нулевая матрица, составленная из одних нулей.

Введем операцию умножения матрицы на число.

Произведением матрицы А на число lназывается матрица С = l × А, элементы которой получаются умножением элементов матрицы А на число l: , где i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Все перечисленные выше операции над матрицами аналогичны операциям над числами и являются вполне естественными.

Следующая операция умножения матриц на первый взгляд покажется не столь очевидной.

Произведением матрицы А размера m´n с элементами и матрицы В размера n´p с элементами называется матрица С = АВ размера m´p c элементами , если

 

, (1.7)

 

где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p.

Пример.

 

.

 

Теперь можно легко составлять и вычислять матричные выражения.

Пример. Если , то .

 

Нахождение обратной матрицы

 

Существует два способа нахождения обратной матрицы.

1.Первый способ основан на теореме о существовании обратной матрицы.

Пример. Найти обратную матрицу к матрице .

Вычислим определитель этой матрицы . Так как detA ¹ 0, то обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения всех элементов (см. форулу (1.3):

 

 

Составим присоединенную матрицу

 

.

 

Находим обратную матрицу, поделив каждый элемент присоединенной матрицы на определитель матрицы А:

 

.

 

2.Метод элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования этой матрицы:

а) перестановка двух строк или двух столбцов,

б) умножение строки или столбца на отличное от нуля число,

в) прибавление к одной строке или столбцу другой строки или столбца.

Заметим, что если матрица А получается из матрицы В элементарными преобразованиями, то, обратив эти преобразования, можно и матрицу В получить из матрицы А.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из этих матриц получается из другой элементарными преобразованиями.

Пусть – матрицы, выражающие элементарные преобразования, которые данную матрицу А приводят к единичной матрице, т.е.

 

.

 

Умножив левую и правую части этого матричного равенства справа на матрицу , получим

 

.

 

Таким образом, одни и те же элементарные преобразования приводят матрицу А к единичной, а единичную матрицу к матрице .

Метод элементарных преобразований нахождения обратной матрицы заключается в том, что к данной матрице А справа приписывается единичная матрица такого же порядка. Затем над строками полученной прямоугольной матрицы производятся элементарные преобразования такие, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица. При этом на месте единичной матрицы получится матрица, которая будет как раз обратной к матрице А.

Пример. Найти обратную к матрице .

Припишем справа единичную матрицу

 

.

 

Разделив первую строку на три и обнулив элемент в первом столбце ниже тройки, получим

 

.

 

Умножив вторую строку на три и обнулив элемент во втором столбце выше , получим

 

.

 

Таким образом,

 

.

 

Метод Крамера

 

Изложенная выше теория определителей позволяет исследовать на совместность системы, имеющие одинаковое количество уравнений и неизвестных.

Теорема 1.3. (Крамера).Система n уравнений с n неизвестными

 

(1.10)

 

имеет единственное решение, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Это решение находится по формулам Крамера:

 

, (1.11)

 

где D – определитель матрицы системы, а D_k – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой k-го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Выберем произвольное число k = 1,…,n. Умножим левую и правую части первого уравнения системы (1.10) на , второго уравнения – на , …, последнего – на . Затем сложим левые и правые части полученных равенств, сгруп­пировав слагаемые с одинаковыми переменными х_i. Получим равенство

 

.

 

или

 

.

 

При х_k получим коэффициент . Это есть определитель матрицы системы D. Коэффициенты при остальных х_j, j ¹ k, имеют вид и будут равны нулю, так как сумма представляет собой определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (вместо k-го столбца в определителе D стоит j-й столбец).

Таким образом, получили равенство

 

.

 

Выражение справа, очевидно, является разложением по k-му столбцу определителя

 

,

 

получающегося из определителя D заменой k-го столбца столбцом из чисел b₁, b₂, …, b_n, т.е. D_k. Тогда имеем . Отсюда, так как D ¹ 0, получаем .

Пример. Решить систему.

Вычислим определители:

 

.

 

 

Так как определитель матрицы системы Δ отличен от нуля, то система совместна, тогда решения системы находятся по формулам (1.11):

 

.

 

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Матрицы

 

Матрицей размера m ´ n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

 

.

 

Числа называются элементами матрицы. Таким образом, первый индекс элемента указывает на номер строки, второй – на номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Если m=n, т.е. число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Диагональ квадратной матрицы, составленная из элементов a₁₁, a₂₂, …, a_nn, называется главной диагональю.

Квадратная матрица называется единичной, если на главной диагонали у нее стоят единицы, а остальные элементы – нули.

Пусть дана произвольная матрица .Матрица , у которой каждая строка является столбцом матрицы А с тем же номером (и, следовательно, каждый столбец является строкой матрицы А), называется транспонированной к матрице А. Переход от матрицы А к В называется транспонированием. Будем обоз­на­чать транспонированную матрицу А^Т.

Заметим, что .

 

Определители

 

Для квадратных матриц существует численная характеристика, которая также имеет и многочисленные другие приложения. Прежде чем сформулировать определение определителя матрицы, введем одно вспомогательное понятие.

Пусть (s₁, s₂, … ,s_n) – строка из n различных чисел от 1 до n. Будем говорить, что в строке имеется нарушение, если существует такая пара чисел (s_i, s_j), что i < j, а s_i> s_j. Другими словами, если в этой строке большее число стоит раньше меньшего. Например, в строке (1, 4, 2, 3) имеется два нарушения (4, 2) и (4, 3).

Определителем матрицы порядка n (или определителем n-го порядка) называется сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце и расположенных по возрастанию номеров строк, причем член берется со знаком плюс, если строка из номеров столбцов его элементов имеет четное число нарушений, и со знаком минус – в противном случае.

Для обозначения определителя будем употреблять запись:

 

или det A .

 

Основываясь на определении, мы можем записать явные формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков:

 

(1.1)

 

(1.2)

 

Примеры:

1) ,

2) .

Выражение определителя третьего порядка является достаточно громоздким. Для запоминания формулы существуют два удобных способа. Первый способ вычисления определителя третьего порядка схематично можно изобразить следующим образом:

Второй способ заключается в том, что под элементами матрицы выписываются снова первая и вторая строки. Тогда вычисление определителя схематично можно изобразить следующим образом:

 

Свойства определителей

 

Перечислим некоторые простейшие свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Пример.

.

 

2. Если матрица содержит строку, состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю.

3. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки, то ее определитель изменит знак.

Пример.

.

 

4. Если в матрице есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

5. При умножении строки матрицы на число, ее определитель умножается на это число.

6. Если все элементы i-й строки матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых , то ее определитель равен сумме определителей двух матриц, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в заданной матрице, а i-я строка в первой матрице состоит из элементов b_j, а во второй – из элементов c_j.

Прежде чем перейти к следующему свойству, сформулируем важное определение.

Будем говорить, что строка является линейной комбинацией строк

 

,

 

если существуют некоторые числа a₁, …, a_m, такие, что для любого i = 1, …, n выполняется следующее: , или то же самое можно записать в обозначениях строк:

 

.

 

7. Если одна из строк матрицы есть линейная комбинация остальных строк этой матрицы, то ее определитель равен нулю.

Пример.

.

 

Этот определитель равен нулю, так как третья строка есть сумма первой строки и второй строки, умноженной на 2.

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-нибудь ее строке прибавить линейную комбинацию остальных строк этой матрицы.

Пример.

 

.

 

Второй определитель получен из первого прибавлением к первой строке второй и третьей строк, затем общий множитель первой строки был вынесен за знак определителя по свойству 5 и получился определитель, имеющий две одинаковые строки, который по свойству 4 равен нулю.

Заметим, что из первого свойства вытекает, что все остальные свойства могут быть сформулированы не только для строк матрицы, но и для ее столбцов.

 

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Особенности вычисления определителя матрицы

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………….. 2

1. Постановка задачи………………………………………………………………………….. 3

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи……………… 5

2.1 Определитель матрицы………………………………………………………………….. 5

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений…………………… 6

2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя……………………………………. 8

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи…………………….. 9

4. Программная реализация решения задачи………………………………………. 11

5. Пример выполнения программы…………………………………………………….. 16

Заключение………………………………………………………………………………………. 18

Список использованных источников и литературы……………………………… 19

Введение

Многие проблемы, возникающие в экономических исследованиях, планировании и управлении, будучи сформулированными математически, представляют собой задачи, в которых необходимо решить систему алгебраических уравнений.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для нахождения матрицы, обратной к данной, определения ранга матрицы и нахождения определителя.

Целью данной курсовой работы является реализация вычисления определителя методом исключения Гаусса.

1. Постановка задачи

Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. Требуется вычислить её определитель.

Вычисление определителя матрицы заключается в выполнении над матрицей алгоритма Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. В результате выполнения алгоритма получаем диагональную матрицу, её определитель равен произведению элементов, стоящих на диагонали.

Пример 1.

Вычислить определитель матрицы методом A исключения Гаусса.

.

Решение:

Приведем матрицу к диагональному виду методом Гаусса.

~.

Тогда определитель матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на диагонали:

.

Знак определяется количеством обменов строк, следовательно определитель матрицы

.

Пример 2.

Вычислить определитель матрицы методом A исключения Гаусса.

.

Решение:

Приведем матрицу к диагональному виду методом Гаусса.

~.

Тогда определитель матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на диагонали:

.

Знак определяется количеством обменов строк, следовательно определитель матрицы

.

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Определитель матрицы

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка n, нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка n-1. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы A будем обозначать

или det A.

Определение. Определителем квадратной матрицы

второго порядка называется число

.

Определителем

квадратной матрицы порядка n,

, называется число

где

— определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и столбца с номером k.

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. Требуется вычислить её определитель.

Воспользуемся идеями метода Гаусса решения систем линейных уравнений.

Дана система:

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

…

an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn = bn

Выполним следующий алгоритм.

На первом шаге найдём в первом столбце наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на первую строчку (обменяв две соответствующие строки матрицы A и два соответствующих элемента вектора B), а затем будем отнимать это уравнение от всех остальных, чтобы в первом столбце все элементы (кроме первого) обратились в ноль. Например, при прибавлении ко второй строке будем домножать первую строку на -a21/a11, при добавлении к третьей — на -a31/a11, и т.д.

На втором шаге найдём во втором столбце, начиная со второго элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на вторую строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных (в том числе и от первого), чтобы во втором столбце все элементы (кроме второго) обратились в ноль. Понятно, что эта операция никак не изменит первый столбец — ведь от каждой строки мы будем отнимать вторую строку, домноженную на некоторый коэффициент, а во второй строке в первом столбце стоит ноль.

Т.е. на i-ом шаге найдём в i-ом столбце, начиная с i-го элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на i-ю строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных. Понятно, что это никак не повлияет на все предыдущие столбцы (с первого по (i-1)-ый).

В конце концов, мы приведём систему к так называемому диагональному виду:

c11 x1 = d1

c22 x2 = d2

…

cnn xn = dn

Т.е. мы нашли решение системы.

Замечание 1. На каждой итерации найдётся хотя бы один ненулевой элемент, иначе система бы имела нулевой определитель, что противоречит условию.

Замечание 2. Требование, что на каждом шаге мы выбираем наибольший по модулю элемент, очень важно в смысле численной устойчивости метода. Если выбирать произвольный ненулевой элемент, то это может привести к гигантской погрешности, когда получившееся решение будет отличаться в разы от правильного.

2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя

Будем выполнять те же самые действия, что и при решении системы линейных уравнений, исключив только деление текущей строки на a[i][i] (точнее, само деление можно выполнять, но подразумевая, что число выносится за знак определителя). Тогда все операции, которые мы будем производить с матрицей, не будут изменять величину определителя матрицы, за исключением, быть может, знака (мы только обмениваем местами две строки, что меняет знак на противоположный, или прибавляем одну строку к другой, что не меняет величину определителя).

Но матрица, к которой мы приходим после выполнения алгоритма Гаусса, является диагональной, и определитель её равен произведению элементов, стоящих на диагонали. Знак, как уже говорилось, будет определяться количеством обменов строк (если их нечётное, то знак определителя следует изменить на противоположный). Таким образом, мы можем с помощью алгоритма Гаусса вычислять определитель матрицы за O(N3).

Осталось только заметить, что если в какой-то момент мы не найдём в текущем столбце ненулевого элемента, то алгоритм следует остановить и вернуть 0.

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

Блок-схема решения задачи представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Блок-схема решения задачи для функции DETERMINATE

4 Программная реализация решения задачи

;ФУНКЦИЯ, ВЫЧИСЛЯЮЩАЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

(DEFUN DETERMINANT (MATRIX SIZE)

;ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

;ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

(DECLARE (SPECIAL DET))

;ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАССИВЫ И ПЕРЕМЕННЫЕ

(DECLARE (SPECIAL PAR))

(DECLARE (SPECIAL R))

(DECLARE (SPECIAL T_))

(DECLARE (SPECIAL I))

(DECLARE (SPECIAL II))

;*********************

(SETQ R (MAKE-ARRAY SIZE :ELEMENT-TYPE ‘FLOAT :INITIAL-ELEMENT 0))

(SETQ T_ 1)

(SETQ DET 1)

(DO

((J 0))

((>= J (- SIZE 1)))

;ИСКЛЮЧАЕМ ДЕЛЕНИЕ НА 0

(IF (= (AREF MATRIX J J) 0)

(PROGN

(SETQ II (+ J 1))

;ИЩЕМ СТРОКУ В КОТОРОЙ J-Й ЭЛЕМЕНТ НЕ 0

(DO

(())

((OR (/= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))))

(SETQ II (+ II 1))

)

;ЕСЛИ НЕТ ТАКОЙ СТРОКИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 0

(IF (AND (= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))) (SETQ T_ 0))

mirznanii.com

Матрицы, определители, системы линейных уравнений

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

^ квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

^

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если и , то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу ^ называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице ^ , обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

1. 
   
   
2. 
   
   

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

1. 
   .
   
2. 
   — нельзя, т.к. размеры матриц различны.
   
3. 
   .
   

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному ^ и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   .
   

Примеры.

1. 
   .
   
2. 
   Найти 2A-B, если , .
   

.

3. 
   Найти C=–3A+4B.
   

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице ^ ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

1. 
   Пусть
   

Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.

2. 
   Найти произведение матриц.
   

.

3. 
   .
   
4. 
   — нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
   
5. 
   Пусть
   

Найти АВ и ВА.

6. 
   
   

Найти АВ и ВА.

, B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы ^ на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

^

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

^ , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

1. 
   
   
2. 
   .
   
3. 
   Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и
   

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

^ , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

1. 
   .
   
2. 
   .
   
3. 
   Решите уравнение..
   

.

(x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

(x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

(x-4)(x-1)=0.

x₁ = 4, x₂ = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

te.zavantag.com

Ответы@Mail.Ru: 23 это четное число

23 — это нечётное число …

Я тоже всегда догадывался, что сажа — белая…

нет, 24 — другое дело

21 — очко четное, делится на два полушария

Нет. Блин, я это с 5 лет знаю….

Если число делится на 2 без остатка то это число четное. Если нет то нечетное.

это как посмотреть

да как тебе будет угодно. а вообще нет

Нет нечётное, так как на 2 не делится.

С утра было нечётное))))))))))))))))))))))))))))))))))))

не чётное, а зачётное!! ! Я родилась 23-го))))

Это же утверждение! Новое слово в математике. Тянет на Нобелевскую!

Нет, чётное число должно делиться на 2 без остатка.

Ахаха… Конечно — НЕТ

touch.otvet.mail.ru

Четность чисел — Сайт rmomatematik!

·         Четные числа — это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K, подобрав подходящее целое K (например, 4 = 2 х 2, 6 = 2 х 3, и т.д.).

·         Нечетные числа — это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K + 1, подобрав подходящее целое K (например, 3 = 2 х 1 + 1, 5 = 2 х 2 + 1, и т.д.).

• Сложение и вычитание:

• • Чётное ± Чётное = Чётное
  • Чётное ± Нечётное = Нечётное
  • Нечётное ± Чётное = Нечётное
  • Нечётное ± Нечётное = Чётное
• Умножение:
• • Чётное × Чётное = Чётное
  • Чётное × Нечётное = Чётное
  • Нечётное × Нечётное = Нечётное
• Деление:
• • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
  • Чётное / Нечётное -­— если результат целое число, то оно Чётное
  • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
  • Нечётное / Нечётное —если результат целое число, то оно Нечётное

          Сумма любого числа четных чисел – четно.

          Сумма нечетного числа нечетных чисел – нечетно.

          Сумма четного числа нечетных чисел – четно.

          Разность двух чисел имеет ту же четность, что и их сумма.
(напр. 2+3=5 и 2-3=-1 оба нечетные)

          Алгебраическая (со знаками + или -) сумма целых чисел имеет ту же четность, что и их сумма.
(напр. 2-7+(-4)-(-3)=-6 и 2+7+(-4)+(-3)=2 оба четны)

       
Идея четности имеет много разных применений. Самые простые из них:

1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).

2. Если в некоторой цепочке чередуются объекты двух видов, а начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов, если начало и конец одного вида, то нечетное число. (четное число объектов соответствует нечетному числу переходов между ними и наоборот !!!)

2′. Если у объекта чередуются два возможных состояния, а исходное и конечное состояния различны, то периодов пребывания объекта в том или ином состоянии — четное число, если исходное и конечное состояния совпадают — то нечетное. (переформулировка п.2)

3. Обратно: по четности длины чередующийся цепочке можно узнать, одного или разных видов ее начало и конец.

3′. Обратно: по числу периодов пребывания объекта в одном из двух возможных чередующихся состояний можно узнать, совпадает ли начальное состояние с конечным. (переформулировка п.3)

4. Если предметы можно разбить на пары, то их количество четно.

5. Если нечетное число предметов почему-то удалось разбить на пары, то какой-то из них будет парой к самому себе, причем такой предмет может быть не один (но их всегда нечетное число).

(!) Все эти соображения можно на олимпиаде вставлять в текст решения задачи, как очевидные утверждения.

Примеры:

Задача 1. На плоскости расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей … 9-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?

Решение: Нет, не могут. Если бы они могли вращаться, то в замкнутой цепочке чередовалось бы два вида шестеренок: вращающиеся по часовой стрелке и против часовой стрелки (для решения задачи не имеет никакого значения, в каком именно направлении вращается первая шестеренка !) Тогда  всего должно быть четное число шестеренок, а их 9 штук?! ч.и.т.д. (знак «?!» обозначает получение противоречия)

Задача 2. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки + и -, чтобы получилось выражение, равное нулю?
Решение: Нет, нельзя. Четность полученного выражения всегда будет совпадать с четностью суммы 1+2+…+10=55, т.е. сумма всегда будет нечетной. А 0 — четное число?! ч.т.д.

rmomatematik.jimdo.com

Чётные и нечётные числа — Википедия

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два.

Если m чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .

С точки зрения теории сравнений, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

• Деление:
  • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат — целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
  • Чётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Чётное
  • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, и соответственно обладать атрибутами чётности не может
  • Нечётное / Нечётное = если результат — целое число, то оно Нечётное

Признак чётности[править]

В десятичной системе счисления[править]

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётной (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число также является чётным, в противном случае — нечётным.

42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.

31, 75, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

В других системах счисления[править]

Для всех систем счисления с чётным основанием (например, для шестнадцатеричной), действует тот же признак чётности: число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2. Для систем счисления с нечётным основанием существует другой признак чётности: число чётно тогда и только тогда, когда чётна сумма его цифр^[1][2]. Например, число, обозначаемое записью «136», чётно в любой системе счисления, начиная с семеричной^[1].

История и культура[править]

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь», а нечётные — «ян»^[3].

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции. Например в США, Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше 11), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли. Например, вполне допустимо подарить даме букет из 12, 14, 16 и т. д. цветов или срезов кустового цветка, имеющих множество бутонов, у которых они, в принципе, не подсчитываются. Тем более это относится к бо́льшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

В высших учебных заведениях со сложными графиками учебного процесса применяются чётные и нечётные недели. Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий и в некоторых случаях время их начала и окончания. Такая практика применяется для равномерности распределения нагрузки по аудиториям, учебным корпусам и для ритмичности занятий по дисциплинам с малой аудиторной нагрузкой (1 раз в 2 недели)

В графиках движения поездов применяются чётные и нечётные номера поездов, зависящие от направления движения (прямое или обратное). Соответственно чётностью/нечётностью обозначается направление, в котором проходит поезд через каждую станцию.

С чётными и нечётными числами месяца иногда увязаны графики движения поездов, которые организованы через день.

Согласно Правилам дорожного движения, в зависимости от чётности или нечётности числа месяца может быть разрешена стоянка под знаками 3.29, 3.30.

• Последовательность A005408 в OEIS: нечётные числа
• Последовательность A005843 в OEIS: чётные числа
• Последовательность A179082 в OEIS: чётные числа с чётной суммой цифр в десятичной записи

www.wikiznanie.ru

Что такое нечетные числа и как их узнать? :: SYL.ru

Прежде чем говорить про четные и нечетные числа, стоит уяснить несколько моментов о том, какие вообще группы чисел бывают. Это необходимо для того, чтобы не пытаться выяснять четность дроби.

С каких чисел начинается изучение в основной школе?

Первыми идут натуральные. Они также сначала появились исторически. Человечеству было необходимо подсчитывать предметы. Причем при счете ноль не используется, поэтому он не входит в группу натуральных чисел. Здесь все целые, которые больше единицы.

Именно для них впервые дается определение четности. Чтобы понять, какое число нечетное, нужно запомнить признак четного. Оно заканчивается на одну из цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Все остальные будут нечетными. Минимальное из них равно единице. Максимального не существует.

Какие числа идут дальше?

Целые. В их множество входит уже ноль и все отрицательные числа. Цепочка натуральных чисел была ограничена слева, а вправо продолжалась бесконечно. С целыми оказывается бесконечное количество чисел и слева от нуля.

В этот момент немного меняется определение четности. Оно теперь должно делиться на два без остатка. Значит, нечетные числа при делении на два дают ответ с остатком.

Причем даже вводится общая запись: для четных — 2n, нечетные — (2n+1). Если для натуральных не существует только максимального четного или нечетного, то у целых нет и минимального.

А что потом?

Рациональные (другое название — вещественные) числа. Кроме уже упомянутых, в это множество входят еще и дроби. То есть числа, которые можно представить в виде двух. Первое из них является числителем и представляется в виде целого числа. Второе — знаменатель, который никогда не равен нулю.

Кстати, для них не вводится понятие четности. Поэтому нечетные числа, записанные в виде дроби, не существуют вовсе.

Какие результаты дают действия с четными и нечетными числами?

Их можно рассмотреть в порядке усложнения арифметического действия. Тогда первым и вторым пойдут сложение и вычитание. Неважно, какое из них выполняется, ответ будет зависеть только от начальной пары чисел. К примеру, если исходные числа четные, то результат действия будет делиться на два. Такой же итог будет, если стоит разность или сумма нечетных чисел. Чтобы получить нечетное число, придется складывать или вычитать четное с нечетным.

Это легко можно проверить, используя их общую запись. Например, сложение двух четных чисел: 2n+2n = 4n = 2*2n. Здесь 2n — четное число, которое еще умножается на два. Значит, оно точно будет делиться нацело на двойку. То есть ответ — четный.

При сложении четного с нечетным имеем такую запись: 2n + (2n + 1) = 4n + 1. Первое слагаемое — четное число, к которому прибавляется единица. Последнее слагаемое не даст разделить этот результат на два нацело.

Третье действие — умножение. При его выполнении всегда будет четный ответ, если есть хотя бы один множитель четный. В ситуации, когда перемножаются два нечетных числа, результатом окажется нечетное.

Для иллюстрации последнего потребуется сделать такую запись: (2n + 1) * (2n + 1) = 4n + 2n + 2n + 1 = 8n + 1. Опять первое слагаемое представляет собой четное число, а единица сделает его нечетным.

С четвертым действием — делением — все не так однозначно. Начать можно с двух четных. Во-первых, может получиться дробь, тогда о четности речи не идет. Во-вторых, результатом бывает целое число. Но и тогда однозначного ответа на вопрос о будущей четности получить невозможно. Оценить ее можно только после выполнения деления. Ответ может быть как четным, так и нечетным.

Если делится нечетное число на четное, то ответ оказывается всегда дробным. Значит, его четность не определяется.

Когда в делении участвуют нечетные числа, то результатом также может оказаться дробь. Но если ответ целый, то он обязательно будет нечетным.

При делении четного на нечетное, как в предыдущей ситуации, возможно два варианта: дробь или целое число. Во втором случае оно всегда будет четным.

www.syl.ru

число 18 четное или нечетное

что за вопрос конечно четное

Детка это знает даже 1 летний ребенок

для записи бесконечного множества ЧИСЕЛ применяют 10 цифр: 13579 нечетные 24680 четные числа. оканчивающиеся на четную цифру. называют ЧЕТНЫМИ, делящимися на 2 без остатка или НАЦЕЛо; остальные числа называются НЕЧЕТНЫМИ и на что ( сколько ) они делятся нацело, можно ЛЕГКо сказать только про оканчивающиеся на 5; про остальные ( не все ) есть признаки делимости.

ЧЕТНОЕЕ! ААААА, ШО ЗА ДУРАЦКИЕ ВОПРОСЫ?

touch.otvet.mail.ru

Знаем на 5! — Свойства четных и нечетных чисел

Свойства четных и нечетных чисел Обычно четные и нечетные числа связывают только с натуральными числами. Здесь мы распространим их на любые целые числа. Целое число называется четным, если оно делится на 2, и нечетным, если оно на 2 не делится. Например, число 6 — четное, число 0 — четное, 5 — нечетное, число —1 — тоже. Любое четное число можно представить в виде 2а, а любое нечетное — в виде 2а + 1 (или 2а — 1), где число а — целое. Два целых числа называются числами одинаковой четности, если оба они четные или оба нечетные. Два целых числа называются числами разной четности, если одно из них четное, а другое нечетное. Рассмотрим свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач. 1. Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно. 2. Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и все произведение нечетно. 3. Сумма любого количества четных чисел — число четное. 4. Сумма четного и нечетного чисел — число нечетное. 5. Сумма любого количества нечетных чисел — число четное, если число слагаемых четно, и нечетное, если число слагаемых нечетно. Как убедиться в справедливости этих свойств? Например, для свойства 4 это можно сделать так: 2я + (26+ \) = (2а + 2Ь)+ 1. Но число 2а + 2Ъ — четное как сумма двух четных чисел (свойство 3), а тогда вся сумма — число нечетное, так как на 2 не делится. Проведите аналогичные рассуждения, скажем, для свойства 5, взяв суммы двух и трех нечетных чисел. Copyright «Знаем на 5!» © 2019

«Математик (alpha)» Календарь «  Июнь 2019  » Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс           1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

znaemna5.ucoz.ru

Запоминание через понимание. Визуализация синуса

Запоминание через понимание

Смотрим определение синуса в учебнике геометрии. «Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе».

Дает ли это определение понимание синуса? Нет, не дает. Определение не полное. Потому что оно рассматривает только частный случай треугольника — прямоугольный треугольник.

Смотрим определение синуса в учебнике алгебры. «Ордината точки Р, полученной при повороте точки Р (1;0) вокруг начала координат на угол а-радиан, называется синусом числа а, а абсцисса этой точки — косинусом».

Это определение вообще из области математической абстракции, так как вводит отрицательные значения синуса и косинуса. И с пониманием синуса по этому определению ещё больше сложностей.

Есть простой тест на понимание синуса и косинуса. Попросите школьника нарисовать линию косинуса для произвольного треугольника (не прямоугольного). Если он этого сделать не может — он не понимает, что такое синус и косинус.

Иллюстрация 1. Тест на понимание. Где линия косинуса?
(Предполагается описанная окружность с единичным диаметром)

Итак, школьные учебники не дают информации для понимания понятий «синус» и «косинус». Основное понятие тригонометрии (и элементарное понятие) «засекретили», спрятали в частных случаях и в математических абстракциях.

При возникновении проблем с пониманием сейчас можно обратиться к поисковым системам и найти в них недостающую информацию. Чтобы визуализировать синус и косинус, нужно вернуться к истокам тригонометрии, понять, откуда эти понятия появились, и для каких целей.

Изначально синус не связан с треугольником. Синус появился из окружности и вписанного в окружность угла.

В окружности с единичным диаметром синус — это хорда, на которую опирается вписанный угол. А косинус — это перпендикулярная хорде-синусу хорда. На иллюстрации видно, что для любого вписанного угла в окружности имеется две линии синуса и две линии косинуса, которые образуют прямоугольник.

Вот эту иллюстрацию и следует использовать для запоминания понятий «синус» и «косинус». По этой иллюстрации можно дать определение синусу своими словами.

Иллюстрация 2. В окружности с единичным диаметром линии синуса и косинуса (для вписанного угла)
образуют прямоугольник. На картинке виден частный случай — прямоугольный треугольник,
в котором линия косинуса совпадает с катетом.

Связан ли синус (длина хорды) с противолежащим углом? Ведь мы привыкли говорить «синус угла». Связь длины хорды с углом очень не простая… Скорее, можно говорить о табличном соответствии длины хорды и величины вписанного в окружность угла.

Синус напрямую связан с другим элементом в окружности — с её диаметром. Если мы рассмотрим окружность с произвольным диаметром и вписанный в эту окружность произвольный треугольник (не прямоугольный), то синус получается путем деления стороны треугольника на диаметр этой окружности. То есть, синус — это коэффициент пропорциональности стороны вписанного в окружность треугольника. Понятие «синус» напрямую связано со стороной треугольника. Но традиции есть традции — принято говорить «синус угла».

Как получаются синусы сторон треугольника видно на иллюстрации ниже. Мы можем вычислить синусы всех сторон (или синусы всех углов, как принято говорить), измерив точной линейкой стороны треугольника и диаметр описанной окружности, и разделив каждую сторону на диаметр. Величины углов нам для этого не нужны.

Иллюстрация 3. Опишем вокруг треугольника окружность
и точно измерим стороны треугольника и диаметр окружности

В результате мы получим пропорционально уменьшенный треугольник, вписанный в окружность с единичным диаметром, стороны которого и будут синусами сторон исходного треугольника.

Иллюстрация 4. Стороны треугольника стали синусами,
когда мы уменьшили окружность до единичного диаметра

Усвоив понятие синуса, визуализировав его у себя в воображении, поняв, откуда оно появилось, можно переходить к частным случаям синуса и косинуса, изложенным в учебниках. Легко заметить, что в прямоугольном треугольнике одна из сторон (гипотенуза) одновременно является и диаметром описанной окружности. Теперь становится более понятным определение из учебника геометрии, по которому синус угла — это отношение катета к гипотенузе (т.е., к диаметру окружности). На иллюстрации 2 видно, что косинус совпадает со стороной треугольника только в прямоугольном треугольнике. В любом другом треугольнике линия косинуса находится вне треугольника. В учебнике алгебры, где синус рассматриваются как проекция точки окружности на ось координат, переходят на половины углов и полухорды, и с единичного диаметра на единичный радиус. Для чего? Чтобы ввести отрицательные значения тригонометрических функций.

На иллюстрации 3 и 4 видна теорема синусов. Теорема синусов является очевидной и не нуждается в доказательстве. Если синусы сторон (углов) изначально получены нами путем деления каждой стороны треугольника на диаметр описанной окружности, то отношение любой стороны треугольника к синусу стороны (синусу угла) будет одной и той же величиной, равной диаметру окружности. Это и есть теорема синусов.

a/sinA = b/sinB = c/sinC = d

(sin A — коэффициент пропорциональности стороны «a»)

————————————————-

А как же все таки угол связан со своим синусом?

Ведь для решения задач удобно находить синус угла по значению самого угла. Сейчас это не проблема. На любом калькуляторе вы можете набрать sin (вставить угол) и получить результат с заданной точностью.

Изменение значения синуса при равномерном изменении величины угла визуально похоже на перемещение с равноускоренным движением (представьте падающий на землю шарик и его ускорение в каждую секунду). И очень приблизительные значения синуса (по углу) можно вычислить по формуле перемещения с равноускоренным движением. Но четкой функциональной зависимости значения синуса от величины угла нет. С заданной точностью синус вычисляется по формуле:

В.Козаренко

Дата размещения материала на сайте: 17 марта 2011 года

mnemotexnika.narod.ru

Интегрирование тригонометрических функций: методы и примеры

Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида

 (1)

Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами

 (2)
 (3)
 (4)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам

 (5)

и

 (6)

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника [wiki.eduVdom.com]

Теорема 1. Теорема Фалеса1). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть А₁, А₂, А₃ — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и А₂ лежит между А₁ и А₃ (рис.1).

Наш любимый «Д» класс.: ЗНАЙ ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ!

слагаемое     слагаемое     сумма
    20     +     30      =    50

10 + X = 15        Нам неизвестно слагаемое.
     X = 15 - 10   Чтобы найти слагаемое, нужно от суммы отнять другое

                   слагаемое.
     Х = 5
10 + 5 = 15        Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
    15 = 15        В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                   Решили правильно.

2. Нахождение неизвестного уменьшаемого.
уменьшаемое     вычитаемое     разность
    70       -      30      =     40
                                      
 X - 10 = 15       Нам неизвестно уменьшаемое.
      X = 15 + 10  Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.           
      Х = 25
25 - 10 = 15       Делаем проверку: вместо   Х   подставим число и посчитаем.
     15 = 15       В левой и правой части получился одинаковый ответ. 
                   Решили правильно.
 
3. Нахождение неизвестного вычитаемого.
уменьшаемое     вычитаемое     разность
    70       -      30      =     40
                                      
 25 - X = 15       Нам неизвестно вычитаемое.
      X = 25 - 15  Чтобы найти вычитаемое, нужно от уменьшаемого отнять разность.           
      Х = 10
25 - 10 = 15       Делаем проверку: вместо   Х   подставим число и посчитаем.
     15 = 15       В левой и правой части получился одинаковый ответ. 
                   Решили правильно.
 
4-5. Нахождение неизвестного множителя.
множитель     множитель     произведение
    9     *     5      =       45

 5 * X = 15       Нам неизвестен множитель.
     X = 15 : 5   Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить 
                  на известный множитель.
     Х = 3
 5 * 3 = 15       Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
    15 = 15       В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                  Решили правильно.

 Х * 4 = 12       Нам неизвестен множитель.
     X = 12 : 4   Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить 
                  на известный множитель.
     Х = 3
 3 * 4 = 12       Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
    12 = 12       В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                  Решили правильно.
 
6. Нахождение неизвестного делимого.
делимое     делитель     частное
    20   :     4      =    5

 Х : 3 = 6        Нам неизвестно делимое.
     X = 6 * 3    Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель.
     Х = 18
18 : 3 = 6        Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
     6 = 6        В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                  Решили правильно.

 Х : 2 = 7        Нам неизвестно делимое.
     X = 7 * 2    Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное.
     Х = 14
14 : 2 = 7        Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
     7 = 7        В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                  Решили правильно.
 
7. Нахождение неизвестного делителя.
делимое     делитель     частное
    24   :     4      =    6

35 : Х = 7        Нам неизвестен делитель.
     X = 35 : 7   Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.
     Х = 5
35 : 5 = 7        Делаем проверку: вместо Х подставим число и посчитаем.
     7 = 7        В левой и правой части получился одинаковый ответ.
                  Решили правильно.
 
 
 

У Васи больше яблок, чем у Маши:


4>
3

У Васи и Маши неравное количество яблок. Это неравенство (четыре не равно трём):


4≠
3

У Маши меньше яблок, чем у Васи:


3<
4

У Васи и Маши неравное количество яблок. Это неравенство (три не равно четырём):


3≠
4

У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (четыре равно четырём):


4=
4

 У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (два плюс три равно пяти):


2 + 3=
5

У Васи и Маши равное количество яблок. Это равенство (пять равно сумме чисел два плюс три):


5=
2 + 3

У Васи и Маши на двоих 5 яблок:


2
первое
слагаемое+



3
второе
слагаемое=


5
сумма



От перемены мест слагаемых сумма не меняется [a + b = b + a]:


3+
2= 5

У Васи и Маши на двоих 5 яблок (примеры с несколькими арифметическими действиями выполняются поэтапно):


2+ 
2 + 1 = 2 + (2 + 1) = 2 + 3 = 5

Сумма не зависит от группировки её слагаемых [(a + b) + c = a + (b + c)]:


2+ 
2 + 1 = (2 + 2) + 1 = 4 + 1 = 5

У Васи осталось 2 яблока:


5
уменьшаемое-


3
вычитаемое=

 2
разность

У Васи нет яблок, он ещё должен принести 5 яблок, у него -5 яблок (числа могут быть отрицательными) [a − b = a + (−b)]:


3-
3 - 5= (3 - 3) - 5 = 0 - 5 = 0 + (-5) = -5

У Васи и Маши на двоих -2 яблока [a - (b + c) = a - b - c]:


-5+

3= 3 + (-5) = 3 - 5 = 3 - (3 + 2) = 3 - 3 - 2 = (3 - 3) - 2 =  - 2

Сколько яблок у ребят?


2+
3= 5

Сколько яблок у Васи (если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится второе слагаемое)?

5 - 
3=
2

Сколько яблок у Маши?

5 - 
2=
3

Сколько яблок у ребят (если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое)?


3+
2= 5

x+
3= 5

Если x = 4, то 
4 + 3 = 7
7 ≠ 5 (неверно)

Если x = 3, то 
3 + 3 = 6
6 ≠ 5 (неверно)

Если x = 2, то 
2 + 3 = 5
5 = 5 (правильно)

Ответ: Вася съест 2 яблока

Положительное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак:


x+
3= 5

x = 5 - 3 = 2

Проверка: 2 + 3 = 5 (правильно)

Ответ: Вася съест 2 яблока

Правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Отрицательное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак:


x-
2= 3

x = 3 + 2 = 5

Проверка: 5 - 2 = 3 (правильно)

Ответ: у Васи было 5 яблок

Правило: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Отрицательное число можно перенести за знак равно, поменяв его знак:


5-
x= 3

5 = 3 + x
5 - 3 = x
2 = x

Проверка: 5 - 2 = 3 (правильно)

Ответ: Вася подарил 2 яблока

Правило: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.