Рубрика: Школьная жизнь

При решении многих математических задач необходимо быстро и точно строить графики любых функций, изучаемых в школьном курсе алгебры. Т.к. на уроке предстоит много построений, начинаем, вспоминая, как строить график линейной функции y = kx + b на основе анализа углового коэффициента и коэффициента смещения (слайд 2)

Сопоставляем уравнения и графики (слайд 3):

Построим в тетрадях в одной системе координат графики функций (y = —x; y = —x -4; y = -1/3 x – 2; y = 2x + 5; y = x + 1), проверяя себя при помощи слайда 4

Вспомним определение модуля числа x (слайд 5)

Рассматриваем, как можно построить график функции y = |x| на основании определения модуля, отбрасывая части прямых, не лежащих в полуплоскостях x < 0 и x> 0 (слайд 6)

Аналогично рассматриваем способ построения графика функции y = |x + 1| (слайд 7)

Сравнивая графики и уравнения функций (слайд 8-9),

делаем вывод о том, как можно построить график функции y = |x + a| — b смещением графика функции y = |x| (слайд 10-11)

Строим в тетрадях графики функций y = |x-3| + 3, y = |x – 3| — 2, y = |x+2| — 5, y = |x + 3| + 2 и проверяем себя при помощи слайда 12

Далее учащиеся должны на основе рисунка, представленного на слайде 13, задать функцию уравнением:

При построении графиков очень важно научить ребят анализировать область определения и множество значений функции и “переносить” указанные множества на координатную плоскость.

Заполняем таблицу (слайд 12):

	D(y)	E (y)
y = |x|
y = |x – 3|
y = |x – 3| +2
y = — |x|
y = |x + 2| -5
y = — |x +2| -5

И рассматриваем, как множества значений можно определить на основе графиков (слайд 15)

Учащимся предлагается определить D (y) и E(y) по рисунку (слайд 16):

Ученики самостоятельно придумывают уравнение функции по заданным D(y) и E(y) (слайд 17):

Анализируя графики и уравнения (слайд 18), ученики делают вывод о том, как влияет знак минуса перед модульными скобками на график. И самостоятельно задают уравнение по графикам, представленным на слайде 19.

Ход урока № 2

Устно проговариваем уравнения функций по графикам (слайд 20):

Аналогично схеме предыдущего урока (слайд 21-27) ученики знакомятся с тем, каким образом влияет коэффициент перед аргументом функции на график. В результате они должны научиться описывать уравнением следующие графики:

Для закрепления полученных знаний, в тетрадях в одной системе координат ребята строят следующие графики:

y = |0,5x| при -3 < x< 3;

y = 3 при -1 < x< 1;

y = -|x + 3| + 6 при -4 < x < -2;

y = -|x — 3| + 6 при 2 < x < 4;

y = |x + 3| + 4 при -4 < x < -2;

y = |x — 3| + 4 при 2 < x ? 4;

y = -|0,5x – 1,5| + 7 при -5 < x < -1;

y = -|0,5x + 1,5| + 7 при 1 < x < 5.

Проверяют себя по слайду 29:

Домашнее задание: придумать картину, состоящую из отрезков прямых, и описать ее при помощи уравнений функций.

Ход урока № 3

Построим графики функций y = |3x| — 3 и y = |3x – 3|. Как в каждом случае связаны y(x) и y(-x)?

Наличие условия y(x) = y(-x) означает симметрию относительно …?

Приведите примеры уравнений функции, графики которых будут симметричны относительно оси ординат

Если в модульные скобки заключается переменная y, то мы получаем условие |y| = |-y|. Какую симметрию задает это условие?

На слайде 34 последовательно рассматриваем цепочку построения графиков:

y = 3x – 3, |y| = 3x – 3, |y| = |3x| — 3, |y| = |3x – 3| путем преобразований симметрии.

Выводим и запоминаем три правила:

Распределите, к какому типу из трех (y = f(|x|, |y| = f(x), y = |f(x)|), можно отнести каждое уравнение:

|y| = 2 – x, y = |3x — 4|, |x| + |y| = 2, |y| = 3x – 4, y = |3|x| — 4|, y = |3x| — 4, |y| = |3|x| — 4|, |y| = |3x – 4|.

Проверяем себя (слайд 35)

Строим последовательную цепочку графиков (тонкими линиями в тетрадях):

1) y = 3x – 4, y = |3x – 4|, y = |3|x| - 4|, |y| = |3|x| — 4|

2) y = 3x – 4, y = 3|x| — 4, y = |3|x| — 4|

Рассматриваем способ построения графика соответствия |x| + |y| = 2.

Самостоятельно строим график |x| — |y| = 2 и проверяем себя по слайду 39.

Домашнее задание: придумать пять уравнений соответствий с модулем, в которых встречаются все случаи, рассмотренные на уроке, и построить графики.

17.03.2008

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Урок алгебры в 8-м классе по теме: «Модуль и квадратичная функция»

Разделы: Математика

“Великое множество функций
Любой может школьник назвать.
Но лишь о немногих сегодня
Решили мы вам рассказать”

Изучение квадратичной функции с модулем позволяет углубить знания учащихся в преобразовании графиков квадратичной функции. Учащиеся с большим интересом выполняют любые задания с модулем. Рассмотренные приемы построения графиков функции являются общими и применяются не только к квадратичной, но и к другим функциям.

Ход урока

I. Вводное слово учителя

Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Математика рассматривает абстрактные переменные величины, изучает законы их взаимосвязи, не углубляясь в природу задачи. Например, в соотношении Y = Х² математик или геодезист увидит зависимость площади квадрата от его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может увидеть зависимость силы Y сопротивления воздуха или воды от скорости Х движения.

Математика же изучает эту зависимость в отвлеченном виде, и она устанавливает, например, что увеличение Х в 2 раза приведет к увеличению Y в 4 раза, и это заключение может применяться в любой конкретной ситуации.

Модуль и квадратичная функция

Построение графиков функций:

1. Y = АХ² + ВX + C,
2. Y = АХ² + ВX + C ,
3. Y = АХ² + ВХ + С

II. Устная работа

1) Дать определение модуля числа Х

2) Дать определение квадратичной функции, рассказать все, что известно об этой функции (график, свойства).

3) Найти на рисунке график функции Y = –Х² + 4Х – 3.

4) На каком рисунке изображен график функции Y = –(Х + 1)(2 – Х)?

5) Вспомнить, как построить график функции Y = Х

По определению модуля

График функции Y = Х симметричен относительно оси У.

III. Построение графиков функций:

Y = АХ² + ВX + C,

Y = АХ² + ВX + C,

Y = АХ² + ВХ + С

Работа проводится в группах, т.к. графики в К–1 в) и К–3 в) одинаковы, их необходимо сравнить и сделать вывод (всего 3 группы). Каждой группе выдается карточка, в ней 3 задания. Учащиеся должны построить графики квадратичной функции, содержащей модуль, используя определение модуля и сделать вывод: как построить график данной функции, используя график квадратичной функции и симметрию относительно осей координат.

Работа в группах.

Задание: построить график функции, используя:

а) определение модуля;
б) график функции Y = АХ² + ВХ + С;
в) симметрию относительно осей координат.

а) Y = Х² – 4 Х + 3
б) Y = Х² – 4 Х + 3
в) Y = Х² – 4 Х + 3

а) Y = Х² + 2 Х – 3
б) Y = Х² + 2 Х – 3
в) Y = Х² + 2 Х – 3

а) Y = –Х² + 4 Х – 3
б) Y = –Х² + 4 Х – 3
в) Y = –Х² + 4 Х – 3

IV. Учащиеся делают вывод о расположении графиков указанных функций

Вопрос: а) Как построить график функции Y = f (X)?

(1 способ. Построить график функции Y = f (X), если Х 0 и Y = f (–Х), если Х< 0.
2 способ. Построить график функции Y = f (X) и отобразить правую часть графика симметрично относительно оси Y).

б) Как построить график функции Y = f (X) ?

(Построить график функции Y = f (X) и точки с отрицательными ординатами симметрично отобразить относительно оси Х).

в) Как построить график функции Y = f (X) ?

(Построить график функции Y = f (X), если Х 0 и эту часть графика симметрично отобразить относительно оси Y, а потом точки с отрицательными ординатами отобразить симметрично относительно оси Х.)

г) Почему графики функций Y = –Х² + 4X – 3 и Y = Х² – 4X + 3 одинаковы?

(Так как А = А , –А = А)

V.

У рассмотренных функций под знаком модуля была независимая переменная. Теперь рассмотрим функции, где под знаком модуля стоит либо сама функция, либо и функция, и независимая переменная одновременно, т.е. зависимости вида

Y = АХ² + ВX+ C и Y = АХ² + ВX + C

Приведем конкретные примеры.

а) Y = Х² – 4X+ 3

По определению

Построим график функции Y = f (X) и берем ту его часть, которая расположена выше оси Х, т.к. Х² – 4X+ 3 0 и добавим к ней ее симметричное отображение относительно оси Х.

б) Y = Х² – 4X+ 3

Сначала строим график функции Y = Х² – 4X+ 3 , а затем множество точек, координаты которых удовлетворяют условию Y = Х² – 4X+ 3 , т.е. график функции Y = Х² – 4X+ 3 отображаем относительно оси Х.

VI. Творческое задание

Дана функция Y = Х² + 2X– 3

Выполнить всевозможные преобразования данной квадратичной функции с модулем.

10.03.2005

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Как построить график модуля 🚩 график функции модуль 🚩 Математика

27 декабря 2018

Автор КакПросто!

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. Также в математике модуль разности двух величин равен расстоянию между ними.

Статьи по теме:

Инструкция

Рассмотрим функцию f(x) = |x|. Для начала построим график этой функции без знака модуля, то есть график функции g(x) = x. Этот график является прямой, проходящей через начало координат и угол между этой прямой и положительным направлением оси абсцисс составляет 45 градусов.

Так как модуль величина неотрицательная, то ту часть графика, которая находится ниже оси абсцисс необходимо зеркально отобразить относительно нее. Для функции g(x) = x получим, что график после такого отображения станет похож на букву V. Этот новый график и будет являться графической интерпретацией функции f(x) = |x|.

Видео по теме

Обратите внимание

График модуля функции никогда не будет находится в 3 и 4 четверти, так как модуль не может принимать отрицательных значений.

Полезный совет

Если в функции присутствуют несколько модулей, то их нужно раскрывать последовательно, а затем накладывать друг на друга. Результат и будет искомым графиком.

Источники:

• как построить график функции с модулями

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

График модуля — Как построить график функции y=lxl (модуль «х»)??? — 22 ответа



График функции модуль х

В разделе Домашние задания на вопрос Как построить график функции y=lxl (модуль «х»)??? заданный автором DArk_mUnn лучший ответ это

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Как построить график функции y=lxl (модуль «х»)???

Ответ от шеврон[гуру]
прямая выходящая из начала координат и идет в первую четверть с такими координатами как (1;1), (2;2)(3;3)(4;4)

Ответ от Пользователь удален[гуру]
строишь у=х, потом левую его часть отображаешь вверх. получается галочка с вершиной в 0

Ответ от Особь[гуру]
Если вся функция с модулем, то все отрицательное на графике зеркально отражаешь вверх относительно осиХ (оси абсцисс).

Ответ от ростепель[гуру]
1. Берешь линейку
2. берешь карандаш
3. рисуешь оси координат x и y
4. рисуешь внизу (слева, справа, на черновике, где понравится) таблицу из двух колонок.
5. В шапке пишешь x и y соответственно в левой и правой колонке.
6. Далее в левую колонку выставляешь знчения х: -2, -1, 0, 1,2,3…
7. В правой выставляешь подсчитанный результат. (если х = -2, то |x| = 2, т. к. y = x, следовательно у = 2)
8. Вписываем результат и действуем аналогично с другими числами
9. Рисуем на графике, пользуясь подсчитанными координатами из таблицы.
10. Любуемся и несем сдавать работу
11. получаем отличную оценку)
Удачи!

Привет! Вот еще темы с нужными ответами:

Ответить на вопрос:

22oa.ru

Помогла ли вам эта статья?

lumpics.ru

Как вытащить картинку из PDF

На днях мне по работе потребовалось вытащить картинку из PDF (Portable Document Format). Сие желание было не мое, так что мне пришлось покорно повиноваться и сделать это. Задача, скажу я вам, нелегкая. Дело в том, что данный формат очень трудно редактировать. Разработчики, а это компания Adobe Systems, известная нам по таким продуктам, как Photoshop CC, Acrobat Pro DC, After Effects и т.д и т.п, хорошо об этом позаботились.

Как вытащить картинку из PDF

В данном посте я опишу несколько способов. Естественно, платные приложения мы рассматривать не будем, если кому таковые будут интересны, напишите в комментарии,- я вас с ними познакомлю.

Вариант 1

Открываем PDF. Как это реализовать? Для этого можно воспользоваться программой Adobe Acrobat Reader или Foxit Reader. Мы будем работать с первой.

Чаще всего данный файл защищен от редактирования и доступен только для чтения (просмотра).  Как это не покажется странным, но в данном случае лучше всего воспользоваться стандартным приложением Windows 7, — Ножницы.

Для сохранения нажать по иконке в форме дискетки.

В более новых операционных системах можно создать скриншот экрана, после чего открыть Paint или любой другой графический редактор и вставить из буфера обмена (используя горячие клавиши CTRL+V) то, что мы, если можно так выразиться, сфотографировали.

Далее произвести несложные действия в редактировании изображения.

Способ 2

При условии, что документ уже открыт, наводим мышкой на нужную нам картинку и затем кликаем по нему вначале левой кнопкой мыши, а затем правой. Далее в контекстном меню нужно выбрать «Копировать изображение».

Далее, как и в первом примере, вставляем из буфера обмена в Paint или другое графическое приложение, так же можно это проделать и в Word. Полученный результат сохраняем.

Пример 3

Мало кто знает из пользователей, но PDF часто создается из изображений. Казалось бы в таком случае будет легко. Возможно, для кого-то и так. Но посудите сами, в данном случае на странице как текст так и рисунок — это одно сплошное изображение. Здесь мы воспользуемся инструментом «Сделать Снимок». Выделяем рисунок при помощи мышки и после того, как мы это сделали, — «Редактирование» и «Сделать снимок».

Далее, как не трудно догадаться, как в вышеописанных способах, используем Paint, Word и другие утилиты.

Как извлечь картинки из PDF онлайн

Не могу не рассказать и об онлайн сервисах.

Smallpdf.com

Если вам в тягость проделывать все то, что я написал выше, просто откройте данный сайт, перетащите файл в соответствующее поле и подождите пару минут.

Выбираем необходимую функцию.

Далее будет предложено скачать готовый архив с изображениями всего, что находилось в вашем документе.

В загруженном на компьютер архиве останется выбрать только нужное.

Похожий сервис — //www.konwerter.net/en/extractimages и //www.extractpdf.com.

На этом все. Надеюсь статья была вам полезной. Ставьте лайки, делитесь с друзьями. Пока!

Будет интересно почитать

xn--e1agaedegkgsq.xn--p1ai

irina-se.com

Как научить детей решать задачи по математике: советы именитых педагогов и простых мам

Научить детей решать задачи по математике — дело учителя, но и родители не должны оставаться в стороне, если их чадо «тормозит» в этом вопросе. Одним учебником математики сыт не будешь. Ведь если научить ребенка самостоятельно решать задачи в 1-3 классах, дальше он будет щелкать как семечки не только задачи по математике, но и по физике, химии, геометрии и др. И самое главное — этот навык пригодится ребенку в жизни!

vogazeta.ru

В статье Как научить ребенка математике мы подробно писали, из каких 4 частей состоит любая задача и что нужно сделать в первую очередь, чтобы ребенок понял, чего от него хотят и как ответить на вопрос задачи. Уяснив алгоритм решения задач, ребенок сможет самостоятельно решить практически любую задачу, даже несмотря на то, что они все кажутся такими разными. 

Основные типы задач по математике: краткий конспект

Небольшой ликбез, т.к. далеко не все родители учились в педагогических ВУЗах и владеют методикой преподавания. Пробежимся по теории, чтобы понимать, кто, кому и чего «должен». Зная ключевые моменты, вам будет проще помочь ребенку в решении задач, которые вызывают у него сложности, вы сможете определить, где пробелы в знаниях и что нужно «подтянуть» в каждом конкретном случае.

iqsha.ru

Рассмотрим самые распространенные виды задач в начальных классах.

1. Простые задачи на сложение и вычитание

К этой группе относятся несколько задач, но для всех есть общие рекомендации:

• Решаются в одно действие.
• Иногда удобно составить уравнение.
• На их примере ребенок должен научится выполнять краткую запись. 
• Если краткого условия недостаточно, нарисовать рисунок. Если не помог рисунок, показываем на конкретных предметах и производим действия с ними.
• Четко усвоить, что «+» — это прибавить, увеличить, а «-» — уменьшить, отнять, вычесть.
• Хорошо запомнить компоненты арифметических действий:

слагаемое + слагаемое = сумма
уменьшаемое — вычитаемое = разность

• Понять разницу между словами «стало» и «осталось». Четко понимать, что значит «на … меньше», «на … больше».

• Важно понять и запомнить: чтобы узнать, НА СКОЛЬКО одно число больше или меньше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее.

• Важно понять и запомнить: чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

• Важно понять и запомнить: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.

• Важно понять и запомнить: чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Задачи с косвенным вопросом

Это самые коварные задачи из этой группы. Внимательно прочитайте условие — и поймете почему.

На стоянке у первого подъезда 7 машин. Это на 2 машины больше, чем на стоянке у второго подъезда. сколько машин на стоянке у второго подъезда.

2. Составные задачи на сложение и вычитание

Эти задачи решаются двумя и более действиями.

Есть несколько способов решения:

• по действиям с пояснениями;
• по действиям с вопросами;
• выражением.

В решении таких задач главное:

• найти главное и сделать краткую запись;
• разложить эту задачу на несколько простых и составить план решения;
• помнить главное: по двум данным находим третье.

3. Задачи на понимание смысла действий умножения и деления

• Важно запомнить названия компонентов действий и понять их смысл:

1-й множитель х 2-й множитель = произведение
делимое : делитель =частное

• Ребенок должен понимать, что 1-й множитель показывает, КАКОЕ число повторяется а 2-й множитель показывает — СКОЛЬКО РАЗ оно повторяется.

Это очень важно для правильной записи в задачах, иначе получится бессмыслица.

Советы о том, как научить ребенка осознанно относиться к умножению и делению, вы найдете в нашей статье Как научить детей быстро считать: математика до школы. Если возникли проблемы с решением задач на умножение — сдайте чуть-чуть назад, закрепите осознание этого арифметического действия.

4. Простые задачи на умножение и деление

• Очень важно понять и запомнить разницу «в «, «на».

«Во сколько раз» или «на сколько»?  Предлог «на» — это сложение или вычитание, а «в» — умножение или деление.

• Важно понять и запомнить: чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, нужно большее число разделить на меньшее.

 5. Составные задачи на все 4 арифметические действия

6. Задачи на цену, количество, стоимость

7. Задачи на движение

Это отдельная обширная тема, вернемся к ней позже.

Типичные ошибки в решении задач

Ошибка №1. Ребенок невнимательно прочитал условие задачи.

Часто бывает так, что ошибки возникают от невнимательности.  Так часто бывает в задачах с косвенным вопросом. Ребенок смотрит на цифры, вроде все логично, но… не верно.

Например: «У Маши 8 конфет, это на 2 меньше, чем у Кати. Сколько конфет у Кати».

Ребенок видит «на 2 меньше» и делает «логичный» вывод, что надо отнять. Отнять можно от бОльшего числа, т.е. сразу напрашивается решение 8-2=6. И ответ: 6 конфет у Кати. А ответ-то не тот! Если внимательно почитать условие, то станет понятно, что у Кати конфет больше чем у Маши. И вовсе тут не отнимать надо.

Как исправить ошибку. Сразу разберитесь с условием, поможет краткая запись.

Ошибка №2. Ребенок допустил ошибку в решении.

Когда в задаче несколько неизвестных, решение затрудняется, требуется выполнить не одно действие, а придумать целую цепочку рассуждений. 

Как исправить ошибку. Для начала определим, каких данных нам не хватает. Решаем по действиям. Находим нужные числа (помним правило: по двум неизвестным находим третье), подставляем их и отвечаем на вопрос задачи.

Ошибка №3. Неправильная запись ответа.

Часто ребенок пишет не то пояснение.

Как исправить ошибку.  Нужно внимательно прочитать вопрос задачи. Уяснить раз и навсегда, что ответ начинается с числа, а дальше пишем, что требовалось найти (переписываем формулировку вопроса задачи). 

Творческий подход в решении задач

www.craftykidsathome.com

• Учите ребенка рассуждать.
• Придумывайте задачи с лишними или недостающими данными.

Пусть ребенок сам вычеркнет лишнее, те данные, которые не влияют на решение.

• Дайте условие, а ребенок пусть сам придумает ответ.
• Пусть ребенок сам составит обратную задачу.
• Придумать несколько задач на одно решение.
• Придумать, как решить задачу другим способом и объяснить его.

На школу надейся, а сам не плошай

Заглянем в педагогику и «расшифруем» мысли умных и заслуженных, исходя из сегодняшних реалий.

В далеком 1867 году К. Ушинский сказал: «У хороших преподавателей дело выходит так, что арифметическая задача есть вместе занимательный рассказ, урок сельского хозяйства или домашней экономии, или историческая или статистическая тема и упражнение в языке».

«Расшифровка» следующая.

• Ученика нужно поставить в такие условия, чтобы он оказался в эпицентре событий, т.е., решая задачу, видел ее применение в жизни.

Не всегда задачи в школьном учебнике «вдохновляют» современных школьников. Многим не ясно условие по одной простой причине: ребенок не имеет представления о том, что говорится. Например, задача про надои и бидоны с молоком, а городской «деть» и корову-то в глаза не видел, не то, что тонны молока в бидонах. Или в задаче использованы такие значения, которые в жизни нереальны — это затрудняет восприятие, т.к. ребенок все воспринимает буквально.

Задача родителей — помочь ребенку ПОНЯТЬ условие. Любым способом: хоть рисуй, хоть танцуй.

• К решению задач нужно подходить творчески.

Интерес заставляет ребенка быть активным, а активность в свою очередь усиливает внимание.

В каждодневной жизни нам то и дело приходится решать задачи. Привлекайте ребенка, задавайте вопросы, просите совета. Например, тема ремонта. Вычислить метраж комнаты; просчитать нужное количество краски, зная расход на метр квадратный; купить линолеум, зная длину и ширину комнаты; просчитать, какой метраж выгоднее, если есть напольное покрытие шириной 2, 5 метра и 3 метра, чтобы меньше остатков было и по цене вышло выгоднее. Купить ткань на пошив постельного белья, зная размеры матраса. Примеров масса! И это работает гораздо эффективнее, чем «бездушная» задача в учебнике, которая совершенно не привязана к жизни и не вызывает эмоциональный отклик.

• При решении жизненных задач у ребенка помимо всего прочего развивается наблюдательность, речь, появляется рабочее настроение, развиваются творческие способности и самостоятельность.

Через некоторое время вы заметите, что ребенок различными способами комбинирует информацию, с легкостью составляет задачи сам, находя идеи в окружающем мире, а не высасывая из пальца.

• Когда ребенка просят составить собственную задачу, нужно следить и за содержанием, и за решением. Задача должна быть осмысленной и целесообразной.

Например, нельзя допускать таких «ляпов», как «Я съел 13 желтых груш и 20 зеленых яблок. Сколько фруктов я съел?» Задача теряет смысл, если она оторвана от жизни.

• От задачи надо идти к примеру, а не наоборот.

Дети мыслят не абстрактно, а конкретными образами. Пример 12-6 ни о чем не говорит, а вот ситуация, когда из 12 человек 6 уже купили билеты на футбольный матч — это совсем другое дело. Тут ребенок не задумываясь ответит, что оставшиеся шестеро очень рискуют, нужно поторопиться, иначе билетов может не хватить и придется сидеть у телевизора, вместо того, чтобы активно скандировать на трибунах в поддержку любимой команды.

Лебединцев в своей книге «Введение в современную методику математики» писал: «То влияние, которое может оказывать обучение счислению и вообще математике на умственное развитие детей, находится в прямой зависимости от материала, которым мы пользуемся при обучении; если в учебном материале будут преобладать отвлеченные упражнения в действиях и хитроумные задачи с условиями, лишенными внутренней связи и, по существу, далекими от жизни, то, упражняя учащихся на таком материале, мы, может быть, и выработаем у них формальные навыки в вычислениях и, пожалуй, изощрим их ум для разгадывания разных ребусов и головоломок, но отнюдь не сделаем их более способными к правильному мышлению в жизни или какой-либо области знания…».

Французский педагог Жан Мосе тоже был уверен, что «заставлять ребенка начинать с отвлеченного правила и затем предлагать ему задачи — это значит идти наперекор ходу развития человеческого ума…».

Практические советы по решению задач от реальных мам

fb.ru

Что нам Ушинский, Лебединцев и Мосе, спросим у тех, кто «из нашей песочницы». Как они помогают своим детям решать задачи по математике, что «работает», какие приемы на практике доказали свою эффективность и помогли повысить успеваемость.

Татьяна, мама учеников 4 кл. и 6 кл. 

«Я знаю, что особую сложность у детей вызывают задачи на скорость, поэтому начала готовить своих мальчишек к этому уже с 1 класса. Когда ехали к бабушке в Пинск, говорили о скорости, засекали время, считали сколько мы проехали км, смотрели на знаки и вычисляли сколько нам останется времени, если мы будем ехать с такой же скоростью и сколько, если папа будет ехать с другой. В общем, я очень удивлялась, когда мои пацаны на скорость задачи решали как орехи. Я поняла, что в моем детстве не хватало практического представления того, о чем говорилось в задачах».

Ольга, мама ученика 1 кл. и ученицы 4 кл.

«С задачами старшая плохо дружит))  Почти всегда приходит за помощью. Стараюсь выработать алгоритм решения, но частенько упираюсь в «лень подумать». Если совсем «затык», рисуем схемы. На дополнительные задачи совсем нет времени, а сама по своей воле заниматься ими дочь точно не будет)) Иногда встречаются задачи с некорректно поставленным вопросом, тут приходится помогать с формулировкой ответа.

Младшего усадить за математику очень сложно. В те редкие моменты, когда дело доходит до задач, он их решает в уме и выдает ответ устно).»

Вероника, мама учеников 2 кл. и 4 кл.

«Младший задачи решает без проблем, но ненавидит чертить схемы к ним и писать пояснения. Старший ходит на факультатив по математике, дома домашку сам делает». 

Катерина, мама ученика 2 кл. и ученицы 5 кл.

«Сын отлично справляется сам. Он такие схемы рисует, что я иногда в шоке)). Если за помощью обращается дочь, стараюсь упростить условие задачи до понятных образов, а потом она сама догадывается, как сложную модель решить».

Татьяна, мама ученицы 5 кл.

«Чаще всего прибегаем к рисованию. Прямо вот как по условию… садимся и рисуем, как есть. Так сказать, наглядность помогает. Велосипедист выехал… значит рисуем человечка на велосипеде, город из которого он выехал и тд)))) Если катер плывет по течению, рисуем море, волны)))))) С пояснениями никогда исправлений со стороны учителя не было, да и у нас, собственно, тоже вопросов не возникало. Смотри по условию, что спрашивают — и пиши ответы возле каждого действия».

Наталья, мама ученика 5 кл.

«Приходилось объяснять дроби на примере сломанных карандашей, порванных в клочья бумажек. В гостях в тот момент был друг-проектировщик, он именно так решил наглядно пояснить сыну задачу. Я обычно прибегаю к помощи рисования. В задачах на скорость/время/расстояние рисовали целые истории: кто куда и на чем поехал, кого встретил по дороге и в какой момент. Порой решение задач превращалось в мультфильм, одного черновика обычно мало. Несколько раз решали задачи всей семьей: мама отдельно от папы, потом сравнивали результаты и каждый объяснял ребенку свой «самый рациональный и простой» способ. Как правило, у мужчин своя логика)), мое решение обычно отличается от папиного».

Уважаемые читатели! Делитесь в комментариях своими находками и сложностями в решении задач по математике с детьми. будем разы разобраться вместе и помочь советами и полезными статьями на интересующие вас темы. 

rastishka.by

Задачи на нахождение суммы

 {module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ

1 — 2 КЛАССЫ

  Решение задач на нахождение суммы для 1 — 2 классов состоит из одного действия. Для получения верного ответа необходимо выполнить сложение двух данных в условии чисел. Получившаяся сумма будет являться ответом. Данные задачи являются простейшими в решении.

  Внимание! Зелёным цветом выделены задачи повышенной трудности.

  1) На берёзе сидело 6 воробьёв. Прилетело ещё 4. Сколько воробьёв стало?

  2) Белка устроила гнездо в дупле дуба. Днём она принесла туда 8 грибов, а вечером — 4 гриба. Сколько грибов оказалось в дупле?

  3) На цветке сидит пчела, собирает пыльцу. К ней прилетела ещё 1 пчела. Сколько всего пчёл на цветке?

  4) Ребята заготовили для птиц 5 кг рябины и 5 кг семян арбуза. Сколько всего килограммов семян заготовили ребята?

  5) Вокруг Марса вращаются 2 естественных спутника, а вокруг планеты Уран — 5 спутников. Сколько всего спутников у Марса и Урана вместе? Если знаешь, как они называются, — напиши.

  6) Геологи нашли 7 камней, масса которых 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг, 7 кг. Эти камни разложили в 4 рюкзака так, что в каждом рюкзаке масса камней была одинакова. Как это сделали?

  7) В хоре пели 4 мальчика и 6 девочек. Сколько детей всего пело в хоре?

  8) Дети учатся в школе 4 месяца до Нового года и 5 месяцев после Нового года. Сколько всего месяцев дети учатся в школе?

  9) На стройку привезли 5 машин песку и 3 машины цемента. Сколько всего машин привезли на стройку?

  10) В первом конверте 5 марок, а во втором 3 марки. Сколько всего марок в двух конвертах?

  11) Мальчик за первую четверть исписал 6 тетрадей, за вторую четверть 3 тетради. Сколько всего тетрадей он исписал за две четверти?

  12) В коридоре стояло 5 стульев. Принесли ещё 3. Сколько стульев стало?

  13) В первый день машина проехала 30 км, во второй — 10 км. Сколько километров машина проехала за два дня?

  14) Во дворе играли 5 котят. К ним подошли ещё 3 котёнка. Сколько котят стало?

  15) В первую четверть Аня болела 4 дня, во вторую — 6 дней. Сколько всего дней Аня болела в эти две четверти?

  16) В автобусе ехало 7 пассажиров. На остановке вошли ещё 3 пассажира. Сколько пассажиров стало в автобусе?

  17) В первый день около школы посадили 20 деревьев, во второй — ещё 10 деревьев. Сколько всего деревьев посадили?

  18) В первой группе 7 мальчиков, во второй группе 3 мальчика, а в третьей столько, сколько в первой и второй вместе. Сколько мальчиков в третьей группе?

  19) Осенью Таня засушила 4 кленовых листа и 5 дубовых листьев. Сколько всего листьев засушила Таня?

  20) В первый день в магазин привезли 5 пачек книг, во второй 4 пачки книг, а в третий столько, сколько в первый и второй вместе. Сколько книг привезли в магазин в третий день?

  21) Зина купила 5 тетрадей в клетку и 2 тетради в линейку. Сколько всего тетрадей купила Зина?

  22) За последние три столетия исчезли 36 видов млекопитающих и 94 вида птиц. Скольких  всего видов птиц и млекопитающих лишилась наша родная планета? Если знаешь их, назови хотя бы некоторых.

  23) Возле школы росло 9 елей. Посадили ещё 4 дуба и 6 елей. Сколько всего елей стало возле школы?

  24) Дикие гуси живут 80 лет, а собаки — 20 лет. Орёл живет столько, сколько собака и гусь вместе. Сколько лет живёт орёл?

  25) Сейчас охота в нашей стране запрещена полностью на 18 видов зверей и 29 видов птиц. На сколько видов зверей и птиц запрещена охота?

  26) Таня вымыла 6 тарелок, а Коля вымыл 7 тарелок. Сколько всего тарелок вымыли дети?

  27) В одной квартире живёт 3 человека, во второй — 4 человека, а в третьей — столько, сколько в первой и второй вместе. Сколько человек живёт в третьей квартире?

  28) Глаз насекомого имеет мозаичное (фасеточное) строение. Он состоит из множества глазков. У мухи их 4 тысячи, а у муравья 6 тысяч глазков. Сколькими глазами на тебя смотрят вместе муха и муравей?

 {module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}

samopodgotovka.com

Простые задачи на движение

Задачи по математике для 4 класса.

Задача 1

С какой скоростью летел вертолет, если за 2 часа он пролетел расстояние в 600 километров?

Решение:
• 1) 600 : 2 = 300
• Ответ: 300 километров.

Задача 2

Скорость орла 30 метров в секунду. Какое расстояние пролетит орел за 5 секунд?

Решение:
• 1) 30 * 5 = 150
• Ответ: 150 метров.

Задача 3

Авианосец проплыл 90 км со скоростью 30 км/чес. Сколько времени он затратил?

Решение:
• 1) 90 : 30 = 3
• Ответ: 30 часа.

Задача 4

Мотоциклист двигался со скоростью 35 км/час В пути он был 2 часа Какое расстояние он преодолел за это время?

Решение:
• 1) 2 * 35 = 70
• Ответ: 70 километров.

Задача 5

Улитка проползла 36 метров за 2 часа. Сколько всего метров проползла улитка?

Решение:
• 1) 36 : 2 = 18
• Ответ: 18 километров в час.

Задача 6

Велосипедист проехал 28 км со скоростью 14 км/час. Сколько времени у него заняла дорога?

Решение:
• 28 : 14 = 2
• Ответ: 2 часа.

Задача 7

Деревня от города находится на расстоянии 30 км. Сколько времени будет идти пешеход из деревни в город, если его скорость 6 км/час?

Решение:
• 1) 30 : 6 = 5
• Ответ: 5 часов.

Задача 8

Какое расстояние пролетит комар за 19 секунд, если его скорость 4 метра в секунду?

Решение:
• 1) 4 * 19 = 76
• Ответ: 76 метров.

Задача 9

Ворона пролетела 150 м со скоростью 10 метров в секунду. Сколько времени она потратила на полет

Решение:
• 1) 150 : 10 = 10
• Ответ: 15 секунд.

Задача 10

Скорый поезд проезжает за 5 часов расстояние в 450 километров. С какой скоростью движется поезд?

Решение:
• 1) 450 : 5 = 90
• Ответ: 90 километров в час.

Задача 11

Велосипедист проехал с одинаковой скоростью 70 км за 5 часов. Какова скорость велосипедиста?

Решение:
• 70 : 5 = 14
• Ответ: 14 километров в час.

Задача 12

Рыбаки прошли на лодке 12 километров со скоростью 12 км/час. Какое расстояние они преодолели?

Решение:
• 1) 12 * 5 = 60
• Ответ: 60 километров.

mat-zadachi.ru

Задачи по математике: смешные и страшные, безумные и непонятные….

Поводом для написания этого поста было желание поделиться с вами мнением об учебной программе по математике «г-жи» Петерсон. Начиная с 1-го класса, и вот уже в 4-м, читая учебник ребенка, я не могу понять, как это вообще могло попасть в школы. Но почитав отзывы других людей, мнения специалистов и других родителей, я понял, что не все так просто…. Так что необходимо время, чтобы адекватно и всесторонне «озвучить» данную тему. Попутно, собирая информацию, я наткнулся на множество примеров того, чего не должно быть в учебниках (задачниках и т.д.), но, увы, есть. Встречаются просто опечатки, курьезы, а можно найти и то, от чего «волосы встают дыбом». Не буду заниматься сортировкой, а просто дам вам возможность оценить всё самим… Начали:

1. Что это за велосипедисты со скоростью несущегося автомобиля?

2. «Веселая» задача 21, да? Интересно, у составителя свои дети есть?

3. Читаю и одуреваю

4. Задача для дальтоников или?

5. Приучают детей к порошку?

6. А почему не задан вопрос: «Сколько сотрудников МЧС искали потерявшихся девочек»?

7. Спасибо конечно за «великий и могучий русский» — это патриотично, но ЗАЧЕМ считать ругательства? Больше нечего?

8. Съесть 2 пачки соли на обед, рыбы на ветках — всё еще ничего, но отмеченные кружком…. 🙂 В чем вопрос или как это решить?

9. Писал если и красивый(-ая), то явно не умный(-ая)

10. Комментарии излишни

11. Так Сережа или Миша?

12. А действительно, что (кто) получилось? Приучаем детей к мутантам?

13. Пропаганда иностранной рабочей силы?

14. Чем проще, тем лучше?

15. Ну не идиоты — составители? Решить можно, но зачем такие задачи????

16. У кого-то дальтонизм или проблемы другого характера?

17. Ну кто-то же должен проверять то, что печатают…

18. «Реализм» задач поражает

19. Задача из лихих 90-х?

20. А точно они не смогли ее напугать? Мне и то жутковато

21. «Доигрались» все. Особенно те, кто придумал задачу

22. Так одинаковое или разное?

23. А кто укусил автора задачи и сколько раз?

24. Что-то не то фермер собирал…, явно 🙂

25. Каковы исходные данные для определение возраста Ослика?

26. А за тетрадь явно забыли заплатить вообще

27. Под номерами 1 и 4 — просто шедевры 🙂 Да и в №3 так и не определились, собирают помидоры или огурцы

Продолжать можно долго, но думаю, что и так хватит для того, чтобы понять «высочайший» уровень учебного материала по математике

fortels.livejournal.com

Рекомендации репетитора по поиску решений математических задач

Если вы хотите научиться решать сложные или даже не очень сложные задачи по математике, то кроме знаний различных теорем, определений, алгоритмов и свойств необходимо выработать четкую стратегию работы над задачами. Репетитор по математике — не сервис по ремонту автомобилей, в работе которого вы никакого участия не принимаете. Ваши знания — это результат в первую очередь вашего труда, который надо уметь организовывать. В этом процессе репетитор может выступить только как советчик, проводник и опытный наставник. Прислушайтесь к его советам, и вы получите «на выходе» результат, о котором, возможно, даже и не мечтали.

Как научиться решать задачи? Советы репетитора по математике

1) Прочитайте задачу несколько раз. Сделайте столько подходов к тексту, сколько требуется для полного запоминания его содержания. Ваша мыслительная деятельность будет значительно более продуктивной, если из нее исключить учебник, на который приходится постоянно переключать внимание.

2) Старайтесь представлять данные условия (особенно с длинным текстом) схемами, табличками, рисунками или любыми понятными вам формами краткой записи (предварительной модели). Рисунок должен быть максимально аккуратным, компактным и информативным.

3) Постарайтесь сравнить задачу с какой-нибудь из стандартных. Для этого просмотрите ваши прошлые записи, сделанные с репетитором. В планы урока репетитор по математике обычно включает разбор нескольких важных базовых номеров, на которых строятся остальные задания. Если в одном из них вы узнали свою задачу — примените к ней известное общее правило. Если полного сходства нет, то попробуйте позаимствовать принцип составления алгоритма и применить его в новой ситуации. Любые соответствия между условиями задач могут подсказать вам план действий.

4) Если вам кажется, что задача ни капли не похожа на стандартную, попытайтесь разбить ее на более мелкие части и оценить каждую из них. Эти подзадачи, решенные в определенном порядке, часто составляют тело комбинированной составной задачи. Это может быть ваш случай.

5) Не бросайте решение даже после нескольких неудачных попыток справиться с заданием. Возможно, следующий подход окажется более результативным. Ваше упорство — ключ к двери знаний. К отложенной проблеме нужно обязательно вернуться еще раз. Попробуйте это сделать через пару часов, на следующий день или даже через несколько дней. Помните о том, что при многократных попытках найти решение сложной задачи (или ошибку в существующем), вы не только пробуете новые алгоритмы и теоремы, но и просматриваете использованные. Это положительно влияет на прочность заучивания материала и на формирование уверенности в знаниях.

6) Заучите или повторите теорию. Большинство проблем неумения школьника решать не только сложные математические вопросы, но и простые кроются в недостатке теоретической подготовки. Репетитор по математике часто не имеет достаточного времени на проведение с вами необходимой работы по заучиванию. Старайтесь компенсировать этот недостаток самостоятельным просмотром теоретических опорных правил.

7) Не забывайте про возможность изменить сюжет задачи. В геометрии полезно выполнить какое-нибудь дополнительное построение, а в алгебре, например, при решении олимпиадных текстовых задач на движение в 5 классе, можно «продлить» задачу, представляя себе ситуацию, когда один из участников движения не останавливается (как сказано в условии), а двигается дальше до момента остановки второго. Дополнительное построение не должно сильно усложнять рисунок. Обычно проводят одну — две линии для построения какого-нибудь вспомогательного треугольника.

8) Чаще проверяйте алгебраические выкладки и вычисления. Возможно, вам не удается решить задачу только по причине наличия арифметической ошибки.

9) При решении задач по геометрии в случае крайней необходимости не бойтесь вводить вторую переменную. Это можно сделать даже тогда, когда у вас нет условий для составления второго уравнения. Если ответ задачи не зависит от какого-нибудь параметра и этот параметр введен в решение задачи в качестве дополнительной переменной, то при составлении с ней уравнения, скорее всего, вы увидите, как этот параметр сократится.

10) Если вам не удается справиться с геометрической задачей, попробуйте изменить ее рисунок. Это следует сделать так, чтобы не затронуть параметры математических объектов из условия, их форму и свойства, числовые или логические взаимосвязи. Если при этом какой-то параметр (длина отрезка или величина угла) изменился, то, скорее всего, при имеющемся наборе данных его вообще нельзя найти. С такой задачей не справится ни школьный преподаватель, ни репетитор по математике, ни преподаватель ВУЗа. Даже самый умный математик в мире откажется вам помочь. Тогда нет смысла тратить на его поиск драгоценное время.

11) Старайтесь находить объяснения всем выводам и фактам, которые вы используете в процессе решения. Не придумывайте своих свойств, проверку истинности которых вы не производите.

12) Иногда справиться с задачей помогает ее ответ. Его особенности могут нести информацию о том, с чьей помощью этот ответ получен. Например, наличие иррационального числа в комплекте с целыми значениями условия геометрической задачи, укажет на поиск нелинейного уравнения или на вычисление , Если вы знаете чему равен, например, , то наличие его в ответе и угла в условии помогут догадаться использовать биссектрису угла. Наличие в записи ответа тригонометрического уравнения (с синусами и косинусами) обратной тригонометрической функции , подскажет замену и прием деления обеих частей на .

13) Решение нестандартных задач есть великое искусство, которым можно овладеть только при полной самоотдаче, любви к предмету, мотивации и глубоком погружении в предмет. Если оценивать влияние занятий с репетитором по математике на формирование умения нестандартно мыслить, то гораздо большее значение здесь будут играть ваши собственные стремления к познанию и к тренировке мышления. Гениями не рождаются, ими становятся. Безусловно, способности закладывается с рождения, но если их не развивать, то потенциальный гений так и умрет, не проявив своей гениальности.

14) Проявляйте творческую активность и изобретательность. Репетитор по математике может только направлять вас в тут или иную сторону, вооружая знаниями и подсказками общего порядка. Каждая конкретная задача может быть в своем роде уникальной и неповторимой. Такие задачи, как правило, рассчитаны на ученика, сочетающего в себе мощную теоретической подготовку с практикой решения задач, умноженной на математическую интуицию, видение и смекалку.

Постоянно совершенствуйте мастерство решать задачи, думайте, ищите, ошибайтесь, исправляйте промахи, пробуйте и упорствуйте. При такой целеустремленности и заряженности вам и репетитор по математике не понадобиться.

Успехов в побед в вашем нелегком труде!

Александр Николаевич Колпаков, репетитор по математике в Москве.

Профессиональный репетитор и методист в Строгино.

Метки: Ученикам

ankolpakov.ru

Математические задачи в стихах | Социальная сеть работников образования

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №7»

ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В СТИХАХ

Автор Голубева Елена, 8 «А»

Руководитель Михалина Е.А.,

учитель математики

Реутов – 2009

Содержание

Введение        3

1. Математическая задача как предмет исследования        4

2. Классификация занимательных задач        5

3. История развития занимательной математики и увеличения знаний о ней        7

3.1. Вавилон и Древняя Греция. Диофант и его вычисления        7

3.2. Древняя Индия. Ал-Хорезми        9

3.3. Франсуа Виет        11

Заключение        13

Список используемой литературы        14

Приложение        15

Предмет «математика» настолько серьезен,

что полезно не упускать возможности

сделать его более занимательным.

Блез Паскаль [1].

Математические задачи интересного содержания и нестандартного решения встречаются на каждой математической олимпиаде, будь то школьная, городская или даже международная. Я участвовала во многих математических олимпиадах, и на каждой из них были различные задачи, но все очень и интересные и сложные. Такие задачи в школьных учебниках математики встречаются редко, и они всегда очень интересны, несмотря на то, что решать их трудно. Они совершенно разные по содержанию и по форме, но при решении необходимы определенные знания. Такие задачи не только интересней по содержанию, но они и лучше запоминаются, тренируют память и логическое мышление, провоцируют лучшее усвоение проходимого учебного материала.

Интерес к подобным задачам перерос в стремление узнать о них чуть больше, понять, когда начало зарождаться целое искусство создания занимательных задач в стихах. Это стремление побудило меня к написанию этой работы.

Объектом исследования стали занимательные математические задачи на составление математических уравнений и систем уравнений.

Цели  работы — углубление знаний о занимательных задачах в стихах на составление математических уравнений и систем уравнений, развитие логического мышления и тренировка памяти посредством решения задач.

Задачи исследования:

1. изучение научных и литературных источников;
2. поиск и решение занимательных задач в стихах;
3. составление своей задачи в стихах на составление системы уравнений второй степени;
4. анализ и обобщение полученной информации.

Актуальность:

Задачи, которые были исследованы в ходе написания работы, могут быть использованы на занятиях школьного кружка по занимательной математике, в качестве дополнительного материала к урокам и для проведения олимпиад различных уровней сложности. Все они могут заинтересовать школьников и скрасить учебный процесс.

Составлять задачи в стихах достаточно сложно, именно поэтому занимательных  задач, представленных в стихотворном виде, не очень много. В древние времена это делали в те периоды, когда математика считалась «высоким искусством» и изучалась знатными людьми. В наше время стихи на математические темы сочиняются в основном для развития интереса к этой науке у школьников и для различных олимпиад.

Математическая задача — это связанный лаконический рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса).

В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требования задачи — это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме («Найти площадь треугольника» или «Чему равна площадь прямоугольника?»).

Иногда задачи формируются таким образом, что часть условия или всё условие включено в одно предложение с требованием задачи.

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, то есть такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.

Рассматривая задачу, в ней можно выделить следующие составные элементы:

1. Словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу.

2. Числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи.

3. Задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называют искомыми. 

К занимательной математике (математическим развлечениям) относят разнообразные головоломки, игры, фокусы и прочие увлекательные задачи, связанные с математикой и требующие для решения находчивости, смекалки и оригинальности мышления.

Занимательность традиционных математических развлечений сразу бросается в глаза. Однако занимательность в широком смысле означает способность занять внимание и воображение. Обычно «занимательное» понимается как увлекательное, интересное, притягивающее к себе. Это происходит прежде всего благодаря необычности, нетрадиционности сюжета, когда в качестве исходных данных и ситуаций используются вымышленные или реальные персонажи, определенными средствами достигающие заданной цели.

В переводе с  латинского языка слово «интерес» (interest) означает «имеет значение, важно».

В толковом словаре русского языка Ушакова [2] слово «интерес» определяется:

ИНТЕРЕ’С, а, м. [от латин. interest — имеет значение].

1. только ед. Внимание, возбуждаемое по отношению к кому-чему-н. значительному, важному, полезному или кажущемуся таким. 2. Предмет, тема, приковывающая, возбуждающая внимание (книжн.)

В словаре русского языка С.И. Ожегова мы можем встретить следующее определение слова «занимательный»: способный занять внимание, воображение, интересный. В другом словаре русского языка под редакцией А.П. Евгеньева под «занимательным» понимают возбуждающий, вызывающий интерес, внимание; увлекательный [3].

Познавательный интерес – является самым значительным  свойством человека: познавать окружающий мир в стремлении проникать в его многообразие, закономерности. Занимательные задачи являются одним из самых мощных инструментов развития человеческого интеллекта. Не зря люди передавали эти задачи устно и письменно из поколения в поколение.

Занимательные задачи – нестандартные математические задачи, обычно с сюжетом, отличающиеся от обычных задач оригинальным построением условия и методом решения и вызывающие у человека, решающего их, интерес. Немногочисленность занимательных математических задач относительна. Их во много раз меньше стандартных задач школьной программы, однако, если целенаправленно искать их в книгах, то можно найти огромное их количество.

Изучая историю математики можно заметить, что есть задачи, которые с древних времен и до наших дней не потеряли популярности. И даже в наши дни они присутствуют во многих сборниках занимательных задач. И многие авторы используют древние методы их составления (например, представляют задачи в стихах). 

Существуют различные классификации задач, например, по способу подачи информации (текстовые, графические, задачи-рисунки), по способу решения (арифметические, алгебраические, геометрические, графические), по содержанию (количественные и качественные) и т.д.

Ещё, некоторыми авторами выделяются: стандартные прикладные задачи, нестандартные прикладные задачи, нестандартные задачи, не являющиеся прикладными, и материалы, вообще не являющиеся задачами. При этом «нестандартные» дополнительно можно разделить в зависимости от нестандартной формы, способа решения и особенностей.

В литературе можно встретить огромное количество классификаций «занимательных задач». Деятели математики предлагали различные классификации, сильно отличающие друг от друга. В разное время свои классификации предлагали: Г. Ленгауэр, М. Гарднер, Б.Л. Кордемский и др.

Например, Б.Л. Кордемский, большой специалист в области занимательных задач, выделяет две категории задач данного типа:

1. задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности — типа задач математических олимпиад; 
2. задачи типа математических развлечений. Эти задачи прямого отношения к школьной программе не имеют и, как правило, не предполагают хорошей математической подготовки. Сюда входят задачи различной степени сложности и, прежде всего, упражнения развивающие математическую инициативу.

Вторую категорию заданий Б.Л. Кордемский классифицировал по двум принципам: предметному (по связям задач с тем или иным предметом школьного курса математики) и операционно-тематическому (по сюжетам в сочетании с группами однородных операций — действий, применяемых для решения задач, объединенных темой). Из задач, попадающих по его классификации под второй принцип, можно выделить следующие:

1. «Затруднительные положения»
2. «Геометрия на спичках»
3. «Семь раз примерь, один раз отрежь»
4. «Умение везде найдет применение»
5. «С алгеброй и без нее»
6. «Математика почти без вычислений»

Несмотря на то, что в литературе можно встретить огромное количество классификаций «занимательных задач», в своей работе мы будем придерживаться классификации, предложенной И.Ф. Шарыгиным и А.В. Шевкиным. Авторами предлагаются следующие виды:

1. задачи, связанные с числами:

    1.1. числовые выражения;

    1.2. числовые ребусы;

    1.3. другие задания;

2. задачи на «четность»;

3. задачи на «переливания»;

4. задачи на «взвешивания»;

5. логические задачи;

6. задачи — «шутки»;

7. задачи на «худший случай»; принцип Дирихле;

8. геометрия на плоскости;

9. геометрия в пространстве;

10. математическая смесь [4].

Таким образом, проанализировав методико-математическую литературу по данной проблеме, можно сделать вывод, что не существует четкого определения понятия «занимательные задачи». Но, несмотря на это, существует большое количество классификаций занимательных задач.

Рассмотрев найденные классификации занимательных задач, я не могла не выделить среди задач в стихах несколько групп по способу их решения:

1. Шутливые задачи –  не требуют вычислений для их решения, достаточно лишь внимательно прочитать или прослушать условие, и ответ станет очевидным. Но все же мне интересны более сложные задачи. И я постаралась найти несколько примеров таких задач (см. приложение).
2.    Задачи на составление уравнения  –  для их решения требуется составить уравнение. 
3.    Задачи на составление систем уравнений первой степени – задачи, для решения которых нужно составить систему простых уравнений.
4. Задача на составление системы уравнений второй степени – на мой взгляд, самые сложные. Для их решения требуется составить систему уравнений второй степени, т.е. систему квадратных уравнений. Они, как мне кажется, более всего подходят для учеников восьмого класса по сложности. Но таких задач крайне мало, ведь составлять их очень сложно да и в восьмом классе их не решают. Вдохновившись более простыми задачами, я попробовала составить такую сама (см. приложение).

При решении задачи главное — осмысление содержания задачи, способность выразить его на языке алгебры. Проще говоря, записать условие задачи посредством символов — математических знаков. 

3.1. Вавилон и Древняя Греция. Диофант и его вычисления

Изучая историю математики и решая занимательные математические задачи, я заинтересовалась историей квадратных уравнений. Оказывается, такие уравнения были известны ещё в древности, хотя, современных обозначений и терминов древние ученые, конечно не знали. Не знали они и отрицательных чисел. С необходимости вычисления квадратов, введения неизвестного переменного числа начиналась наука алгебра.

Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана практической жизнью. Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. Так наряду с задачей вычисления площади квадрата  сторона которого равна a известна, ставилась обратная задача: какую длину a должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь   равнялась b. Эти задачи были связаны с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера и развитием астрономии и математики.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в клинописных текстах встречаются квадратные уравнения:

x2 + x = ¾, x2 – x =14 ½

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до нахождения правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенные в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонская табличка с вычислением   = 1.41421296.

О Диофанте известно очень мало. Есть основание полагать, что он жил около III в. н.э. Одна группа уравнений, так называемые неопределенные уравнения, до сих пор называются диофантовыми уравнениями. Именно для них он нашел способ решения.

Скудные сведения о Диофанте может дополнить нам лишь надпись на надгробном камне, сформулированная задача в стихах:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком,

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его

прожил, Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

При решении этой задачи путем составления можно получить значение, которое показывает, сколько прожил Диофант.

В первой книге своего сочинения Диофант рассматривает задачи, приводящиеся к определенным уравнениям вида ах=b или ах2=b, имеющим только одно положительное рациональное решение. Здесь же он впервые в истории науки пытается разработать систему символов, в том числе следующие:

Применялись Диофантом и другие символы для сокращения записи. В настоящее время считается общепризнанным, что Диофант был первым ученым, предпринявшим попытку создания буквенной символики.

Большинство из 189 задач шести книг «Арифметики» Диофанта посвящено решению неопределенных уравнений и их систем, например:

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.. Диофант сумел возродить и развить числовую алгебру вавилонян, освободив ее от геометрических построений, которыми пользовались греки.

 У Диофанта впервые появляется буквенная символика. Он ввел обозначения: неизвестной, квадрата, куба, четвертой, пятой и шестой степеней, а также первых шести отрицательных степеней. Однако Диофант, видимо, не нашел в этом деле последователей ни в его эпоху, ни много позднее. Лишь с конца XV века в Европе началась интенсивная разработка алгебраической символики, а завершение создания буквенного исчисления произошло только в конце XVI — начале XVII века в трудах Виета и Декарта».

3.2. Древняя Индия. Ал-Хорезми

Широко известны математики древней Индии Ариабхата (V в.), Брахмагупта (VII в.) и Бхаскара (XII в), который написал книгу под названием «Лилавати», то есть «Прекрасная» (наука арифметика).

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном индийским математиком и астрономом Ариабхаттой.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого математика Индии 12 века Бхаскары:

               Обезьянок резвых стая

           Всласть поевши развлекалась,

           Их в квадрате часть восьмая

           На поляне забавлялась.

           А 12 по лианам…

           Стали прыгать, повисая.

           Сколько было обезьянок,

           Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче уравнение:

Или ( х/8)2 +12 = х

Бхаскара пишет под видом х2 – 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая:                    х2-64х+322 = -768+1024,

(х-32)2=256,

х-32=±16,

х1 = -16, х2 =48

Вот ещё одна из древнеиндийских задач (математика Сриддхары XI в.):

«Есть кадамба цветок,

на один лепесток

пчелок пятая часть опустилась.

        Рядом тут же росла

        Вся в цвету сименгда

        И на ней третья часть поместилась.

Разность ты их найди,

Её трижды сложи

И тех пчел на Кутай посади.

        Лишь одна не нашла

        Себе места нигде

        Все летала то взад, то вперед и везде

        Ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне,

Подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось» 

Особую роль в истории развития алгебры в первой половине IX века сыграл трактат Ал-Хорезми на арабском языке под названием «Книга о восстановлении и противопоставлении» (на арабском языке — «Китаб аль-джебр валь-мукабала»). Позднее при переводе на латинский язык арабское название трактата было сохранено. С течением времени «аль-джебр» сократили до «алгебры».

         В трактате решение уравнений рассматривается уже не в связи с арифметикой, а как самостоятельный раздел математики. Арабский математик показывает, что в алгебре применяются неизвестные, их квадраты и свободные члены уравнений. Ал-Хорезми назвал неизвестное «корнем». При решении различных видов уравнений Ал-Хорезми предлагает переносить отрицательные члены уравнений из одной части в другую, называя это восстановлением. Вычитание равных членов из обеих частей уравнения при этом он называет противопоставление (валь мукабала).

         В рукописях Ал-Хорезми все математические выражения и все выкладки записаны словами, вот почему алгебру того времени и более поздних времен называли риторической, т. е. словесной. В период работы над алгебраическим трактатом Ал-Хорезми уже знал о числовой алгебре Вавилона и других стран Востока. Он был знаком с геометрической алгеброй греков и достижениями индийских астрономов и математиков.

         Ал-Хорезми выделил алгебраический материал в особый раздел математики и освободил его от геометрического толкования, хотя в некоторых случаях пользовался геометрическими доказательствами. Алгебраический труд Ал-Хорезми стал образцом, который изучали и которому подражали многие математики более позднего времени. Последующие алгебраические сочинения и учебники по своему характеру стали приближаться к современным.          

 Алгебраический трактат Ал-Хорезми известен под заглавием: «Краткая книга восполнения и противопоставления» (по-арабски: «Китаб мухтасар ал-джабр ва-л-мукабала»). Трактат состоит из двух частей — теоретической и практической. В первой из них излагается теория линейных и квадратных уравнений, а также затрагиваются некоторые вопросы геометрии. Во второй части алгебраические методы применены к решению конкретных хозяйственно-бытовых, торговых и юридических задач.

Ал-Хорезми показывает, какие числа применяются в алгебре. Если арифметика оперирует с обычными числами, которые «составляются из единиц», то в алгебре фигурируют числа особого вида — неизвестная величина, ее квадрат (в современных обозначениях х и х2) и свободный член уравнения.

 Неизвестную величину Ал-Хорезми называет термином «корень» (джизр) и дает следующее определение: «Корень — это всякая вещь, умножаемая на себя, будь то число, равное или большее единицы, или дробь, меньшая ее». Такое определение, не совсем понятное современному читателю, связано с тем, что при решении уравнений всегда искали не только х, но и х2. Поэтому неизвестная рассматривалась как корень из квадрата неизвестной. В определении подчеркивается также, что неизвестная может принимать как целые, так и дробные значения. Термин «корень», применяемый Ал-Хорезми, является, по всей вероятности, переводом санскритского слова «мула» («корень растения»), которым обозначали неизвестную в уравнении индийские математики. Позднее в арабской литературе для той же цели применяли термин «вещь» («шай»).
Квадрат неизвестной назван словом «имущество» («мал») и определяется как «то, что получается из корня при его умножении на себя». Свободный член уравнения -— «простое число» — Ал-Хорезми называет «дирхемом», т.е. денежной единицей.

Ал-Хорезми выделяет следующие шесть видов уравнений :

1) «квадраты равны корням», что в современной записи
означает ах2 = bх;

2) «квадраты равны числу», т.е. ах2 = с’,

3) «корни равны числу», т.е. ах = с;

4) «квадраты и корни равны числу», т.е. ах2 + bх — с;
5) «квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх;
6) «корни и числа равны квадрату», т.е. bх + с = ах2.
Для каждого из этих видов даются примеры:

Для того чтобы данное уравнение привести к одному из указанных типов, ал-Хорезми вводит два особых действия, названия которых фигурируют в заглавии книги. Первое из них — это ал-джабр (восполнение). Оно состоит в перенесении отрицательного члена из одной части уравнения в другую. Именно от этого термина возникло современное слово «алгебра».

Второе действие — ал-мукабала (противопоставление) — состоит в сокращении равных членов в обеих частях уравнения [1].

3.3. Франсуа Виет

Диофант, как уже говорилось, дал понятие об алгебраическом уравнении, записанном символами, однако очень далекими от современных. Первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины Франсуа Виет. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона [5].

Ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних».

         Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое — новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось. Трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден. Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене:

 «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой… скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства…»

Виет показал, что, оперируя символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Символика Виета позволила и решать конкретные задачи, и находить общие закономерности, полностью обосновывая их. Таким образом, алгебра выделались в самостоятельную ветвь математики, не зависящую от геометрии.

Итак, занимательные математические задачи – это особая группа задач, развивающая логику, память, вызывающая интерес у школьников.  В 8 классе общеобразовательных учреждений всегда проходят решение квадратных уравнений, а решение простых уравнений до этого идет с начальной школы.

Составлением задач на решение уравнений занимались многие математики прошлого, такие, как Диофант, Ал-Хорезми и др. Общепринятое использование алгебраических знаков и латинского алфавита в математике началось с работ Франсуа Виета, посвятившего этому огромное количество времени.

Выводы:

1. в ходе исследования я изучила историю развития алгебры и решения уравнений;
2. нашла большое количество задач в стихах различной сложности и тематики;
3. составила свою задачу в стихах;
4. проанализировала найденный материал и выделила самые главные аспекты.

Задачи, которые были исследованы в ходе написания работы, могут быть использованы на занятиях школьного кружка по занимательной математике, в качестве дополнительного материала к урокам и для проведения олимпиад различных уровней сложности. Все они могут заинтересовать школьников и скрасить учебный процесс.

1. Шейнина О.С., Соловьева Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2004.
2.  Толковый словарь русского языка. Под ред. Д.Н.Ушакова –  М., 1935-1940.
3. Ожегов С.И. Словарь русского языка. Под ред. Н.Ю. Шведовой. – М., Издательство «Советская энциклопедия», 1973.
4. Нагибин С.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1984.
5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; под ред. Телявского С.А. Алгебра: Учебник для 8 кл. средней школы. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1994.
6. Вавилов В.В., Мельников И.И. и др. Задачи по математике. Справочное пособие. – М.: Наука, 1987.
7. Клиниченко Д.В. Задачи по математике для любознательных: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1992.
8. Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Сборник задач по математике: Учебное пособие. – М.: Издательство МЭИ, 2000.

Совы

22 совы скучали

На больших сухих суках.

22 совы мечтали

О семи больших мышах,

О мышах довольно юрких,

В аккуратных серых шкурках.

Ответ: 22 совы [1].

Данная задача была сочинена автором для того, чтобы легче было запомнить приблизительную запись числа π в обыкновенной дроби, равную 22/7. Это отношение прослеживается в условии задачи.

Однако решением к данной задаче является отнюдь не дробь. Стоит еще раз перечитать условие, как сразу становится понятным, что сов всего 22, а строки о мышах приведены для того, чтобы запутать решающего.

Задача про хвосты

По тропинке вдоль кустов

Шли 11 хвостов.

Сосчитать я так же смог,

Что шагало 30 ног.

Это вместе шли куда-то

Петухи и поросята.

А теперь вопрос таков:

Сколько было петухов?

И узнать я был бы рад,

Сколько было поросят?

Ты сумел найти ответ?

До свиданья, вам привет.

Решение:

1) Пусть x поросят, (11 – x) петухов. Тогда:

4 x + 2 (11 – x) = 30

4 x + 22 – 2 x = 30

2 x = 30 – 22

2 x = 8

x = 8 : 2

x = 4 (пор.)

Пр. 4 * 4 + 2 (11 – 4) = 30

                    16 + 22 – 8 = 30

                                    30 = 30

2) 11 – 4 = 7 (пет.)

Ответ: 4 поросенка, 7 петухов.

Фонтаны

Четыре фонтана струями играли –

Неспешно о силе своей рассуждали:

«Тот пруд, что работники роют вдали,

За сколько бы дней мы заполнить смогли?»

Фонтан первый вымолвил: «Что до меня,

Четыре мне всего достало бы дня».

«Мне – три», «Мне –  лишь два», «ну а мне одного», —

Тотчас отвечали коллеги его.

«А если всем вместе нам пруд наполнять,

Как долго придется ночами не спать?»

Смеркалось, защелкал в саду соловей,

Вторгаясь в шум струй неумолчный друзей.

Решение:

Все фонтаны, работая вместе, заполнят пруд за x дней. Каждый из фонтанов заполнит за день соответственно 1/4, 1/3, 1/2 часть пруда либо весь пруд. Тогда:

                                                                                         1         1         1

(1 +         +        +        ) x = 1

                                                                                                       2         3         4

                                                                                                              25

          x = 1

                                                                                                             12

                                                                                                                      12

x  =          .

      25

                       12

Ответ: за         дня [1].

                       25

Задача про груши

Если Грушам дать по груше,

То одна в избытке груша,  

Если дать по паре груш,       

То не хватит пары груш.

Сколько Груш и сколько груш?

Решение: Пусть x – все девочки, y – груши

. Тогда:

2x = y + 2  

x = y – 1

2 * (y – 1) = y + 2

x = y – 1

2y – 2 = y + 2

x = y – 1

y = 4

x = 4 – 1

y = 4

x = 3

y = 4

x = 3

y = 4                                                         Ответ: 3 девочки, 4 груши [6], [7].

Лошадь и мул

Как-то лошадь и мул вместе вышли из дома,

Их хозяин поклажей большой нагрузил,

Долго-долго тащились дорогой знакомой,

Из последних уже выбиваясь сил.

«Тяжело мне идти!» — лошадь громко стенала.

Мул с иронией молвил (нес он тоже немало):

«Неужели, скажи, я похож на осла?

Может, я и осел, но вполне понимаю:

Моя ноша значительно больше твоей.

Вот представь: я мешок у тебя забираю,

И мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей.

А вот если  тебе мой мешок перебросить,

Одинаковый груз наши спины б согнул».

Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади?

Сколько нес на спине умный маленький мул?

Решение: Пусть x – поклажа, которую несла лошадь; y – поклажа, которую нес мул. Тогда:

y + 1 = 2 (x – 1)                                   y + 1 = 2 x – 2                                     x + 2 + 1 = 2 x – 2

y – 1 = x + 1                                         y = x + 2                                               x = 5, тогда  y = 7.

Ответ: лошадь несла 5 мешков, мул – семь [1], [8].

Галки и палки

Прилетели галки, сели на палки,

Если на каждой палке

Сядет по одной галке,

То для одной галки

Не хватит палки.

Если же на каждой палке

Сядет по две галки,

То одна из палок

Будет без галок.

Сколько было галок?

Сколько было палок?

Решение: Пусть x – число палок, y – число галок. Тогда:

y = x+ 1  

y = x + 1

y + 2 = 2 x

y = x + 1

x + 1 + 2 = 2 x

x = 3

y = 4.

Ответ: 3 палки и 4 галки.

В кино

Недавно были мы в кино

И фильм отличный посмотрели.

На этот фильм сходить давно

С друзьями очень мы хотели.

В начале было нас немного.

Мы обзвонили всех подряд.

В кино пошли всего в итоге:

В квадрате мы и чей-то брат.

Но чтобы нам в кино сходить

Билеты надо бы купить…

Нам говорят: билеты есть.

Но вместе сядут только шесть.

Есть пятый ряд – 6 мест подряд,

А остальных – на третий ряд.

Мы согласились: фильм классный,

Не возвращаться же назад!

Так сколько было нас всего?

Узнайте также (заодно)

То, сколько было нас вначале

И как же мы расселись в зале?

Ещё подсказка вам нужна

Чтоб вычислить число ребят,

Которые, купив попкорна,

Спешили сесть на третий ряд:

Вам надо вычесть единицу

Из первоначального числа

И это возвести в квадрат.

Решение:

1) Пусть x – кол-во ребят пошедших в кино                                        

вначале, y – ребята, которые сели на 3-ий ряд. Тогда:                            

x2 + 1 = 6 + y                                        x2 + 1 = 6 + (x – 1)2

y = (x – 1)2                                                                              y = (x – 1)2

 x2 + 1 = 6 + x2 – 2x + 1                     2x = 6

y = (x – 1)2                                            y = (x – 1)2                                         

x = 3                                                       x = 3

y = (3 – 1)2                                                  y = 4

2) 4 + 6 = 10 (реб.) – всего детей.

Ответ: Всего в кино пошли 10 ребят.

Эту задачу придумала автор работы.

nsportal.ru

2. Берков В.Ф., Яскевич Я.С., Павлюкевич В.И. Логика. – Минск: Терра-системс, 1998. – 480 с.

3. Гетманова А.Д. Логика для юристов. М.: Омега-Л, 2007. – 424 с.

4. Иванов Е.А. Логика. – М.: Издательство БЕК, 2002. – 368 с.

5. Ивин А.А. Логика. – М.: Знание, 1998. – 248 с.

6. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика: Учебник для юридических вузов. М.: Юристь, 2001. – 256 с.

7. Курбатов В.И. Логика. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2005. – 283 с.

8. Михалкин Н.В. Логика и аргументация для юристов. Учеб. пособие. М.: Юрайт, 2011. – 365 с.

Дополнительная

1. Арно А., Николь П. Логика или искусство мыслить. – Харьков, 2009. – 512 с.

2. Гетманова А. Д. Логика. Углублённый курс. Учебное пособие для ВУЗов. – М., 2008. – 192 с.

3. Гусев Д. А.Логика. – М., 2010. – 376 с.

4. Карпинская О.Ю., Лященко О.В., Меськов В.С., Шрамко Я.В. Экспресс-Логика. — М., 1997. — с 135.

СЕМИНАР 3. Логические операции с понятиями.

Время: 2 часа

Цель занятия:усвоить основные приёмы логических операций с понятиями.

Ключевые понятия:отношения между понятиями: тождество, пересечение, подчинение, соподчинение, противоположность, противоречие; обобщение, ограничение, категория, род, вид.

Вопросы для обсуждения:

1. Отношения между понятиями. Круги Эйлера.

2. Определение понятий. Приемы, сходные с определением.

3. Деление понятий.

4. Обобщение и ограничение понятий.

Темы рефератов:

1. Определения и подобные ему операции.

2. Значение определений в науке и в мышлении человека.

Логические задачи:

1. Являются ли совместимыми понятия:

1. Невиновный, осужденный;

2. Конница, кавалерия;

3. Метр, единица измерения;

4. Килограмм, единица измерения длины;

5. Самолёт, крыло самолёта;

6. Преступление, преступник;

7. Адвокат, судья;

8. Способность, память;

9. Кодекс законов, Конституция;

10. Кража, грабеж;

11. Гражданское право, уголовное право;

12. Президентская республика, парламентская республика;

13. Право, административное право;

14. Осужденный, неосужденный;

15. Монархия, республика.

2. Изобразите отношения между понятиями в кругах Эйлера:

1. Государство. Унитарное государство. Россия. Федеративное государство.

2. Ученый. Юрист. Общественный деятель.

3. Наказание. Лишение свободы на определенный срок. Исправи­тельные работы.

4. Предприниматель. Депутат. Отец. Спортсмен. Легкоатлет.

5. Обязательные работы. Ограничение свободы. Вид уголовного наказания. Принудительные работы.

6. Еженедельник. Периодическое издание. Газета.

7. Кража. Мошенничество. Разбой. Преступление против собст­венности. Грабеж.

8. Населенный пункт. Село. Город. Город России. Столица;

9. Студент. Студент РГУП. Студент-юрист. Военнообязанный;

10. Память. Способность. Зрительная память. Хорошая память. Плохая память.

11. Закон. Конституция. Основной закон государства. Закон о праве собственности.

12. Право. Уголовное право. Гражданское право. Юрист. Адвокат.

13. Суд. Судья. Секретарь суда. Судебное заседание. Приговор суда.

14. Кот. Кот Бегемот. Млекопитающее. Фантастический персонаж. Примус Кота Бегемота.

15. Автомобиль. Автомобиль «Мерседес». Автомобиль белого цвета. Собственность гражданина России.

16. Самолёт. Самолёт ТУ134. Пассажирский самолёт. Грузовой самолёт. Винт самолёта. Крыло самолёта.

17. Окружность. Шар. Треугольник. Плоская фигура. Квадрат. Правильная фигура.

18. Юрист. Мужчина. Человек. Сын. Прокурор.

19. Тоталитарное государство. Демократическое государство. Франция. Президентская республика. Великобритания.

20. Мама. Бабушка. Внучка. Дочка. Сестра.

21. Недвижимость. Квартира. Автомобиль. Автомобиль «Мерседес». Собственность.

22. Режиссёр. Актёр. Музыкант. Поэт.

23. Квартира. Однокомнатная квартира. Квартира на втором этаже. Собственность гражданина России.

24. Преступление. Кража. Кража со взломом. Грабёж. Хищение. Хулиганский поступок.

25. Сделка, оформленная в письменном виде. Сделка в устной форме. Нотариально заверенная сделка. Покупка овощей на рынке. Проезд на такси.

3. Ограничьте и обобщите понятия:

1. Книга;

2. Планета;

3. Столица;

4. Город;

5. Животное;

6. Президент;

7. Следователь;

8. Закон;

9. Дружба;

10. Студент.

4. Установите, является ли определение корректным, а если — нет, укажите, какие правила нарушены:

1. Адвокат – это юрист.

2. Анатолий Фёдорович Кони — автор произведения «Судебные речи».

3. Административное правонарушение — посягающее на государственный или общественный порядок, собственность, права и свободы граждан, на установленный порядок управления противоправное, виновное (умышленное или неосторожное) действие либо бездействие, за которое законодательством предусмотрена административная ответственность.

4. Демократ – человек демократических убеждений.

5. Прокурор – это не адвокат.

6. Терроризм – язва на теле человечества.

7. Кража – это преступление.

8. Солдат есть храбрый человек, который готов умереть за своё отечество.

9. Преступление – это преступное деяние.

10. Юрист – слуга закона.

5. Попробуйте дать определение данным понятиям:

Республика, государство, монархия, агрессия, ошибка, дисциплина, преступление, юрист, адвокат, прокурор.

6. Соблюдены ли правила деления в примерах, а если — нет, то какое правило нарушено?

1. Государственная власть в РФ осуществляется на основе разделения на законодательную, исполнительную.

2. Право делится на частное и публичное.

3. Судебные приговоры делятся на обвинительные приговоры с назначением наказания, подлежащим отбыванию заключённым; обвинительные приговоры без назначения наказания; обвинительные приговоры с назначением наказания и отсрочкой его исполнения.

4. Право делится на материальное, процессуальное и гражданское.

5. Договоры делятся на устные, письменные и безвозмездные.

6. Преступления делятся на умышленные, неосторожные и должностные.

7. Войны бывают справедливые, несправедливые и освободительные.

8. Уголовные преступления делятся на тяжкие, умышленные, неумышленные и убийства.

9. Правовая ответственность делится на административную и дисциплинарную.

10. Монархии бывают абсолютные и парламентские.

7. Произведите деление данного понятия, используя, если нужно, выражения «и т.д.», и «и др.»:

1. Закон;

2. Общество;

3. Наука;

1. Понятие;

2. Право;

3. Юрист;

4. Государство;

5. Отношения между людьми;

6. Конституция;

Методические рекомендации:

Для подготовки к семинарскому занятию необходимо знать виды отношений между понятиями, правила обобщения, ограничения понятий, а также правила определения и деления понятий.

Отношения между понятиями.

Отношения между самими предметами находят отражение в отношениях между понятиями.

По содержанию между понятиями могут быть два вида отношений – сравнимость и несравнимость. Сравнимые— это понятия, имеющие в своем содержании общие существенные признаки, по которым они и сравниваются.

Несравнимые– понятия, не имеющие сколько-нибудь существенных в том или ином отношении существенных признаков. Например, «скрипка» и «собака».

Сравнимые понятия по объему имеют в свою очередь два основных вида отношений – совместимость и несовместимость.

Совместимые –это понятия, объемы которых полностью или частично совпадают.

Несовместимые — понятия, объемы которых не совпадают ни в одном элементе, но которые могут быть включены частично или полностью в объем большего для них понятия.

Между совместимыми понятиями складываются следующие отношения.

1. Отношения равнозначности (тождества) – в таком отношении находятся понятия, объемы которых полностью совпадают, хотя их содержание может различаться. Графически эти отношения изображаются так:

где А и В – равнозначные понятия, а круг – это их объем. Например, «Санкт-Петербург» и «Ленинград».

2. Отношения подчинения– в таком отношении находятся понятия, одно из которых входит в объем другого, но не исчерпывает его, а составляет лишь часть. Графическое изображение такого отношения:

где А – подчиненное понятие, а В – подчиняющее. Например, «береза» и «дерево».

3. Отношения пересечения– это отношение существует между понятиями, объемы которых совмещаются лишь частично. Графически это изображается так:

где А и В – перекрещивающиеся понятия. Например, «студент» и «спортсмен».

Несовместимые понятия могут находиться в следующих отношениях.

1. Отношения соподчинения– данное отношение характеризует понятия, которые имеют общий род и, взятые в отдельности, подчинены ему как виды, а вместе – соподчинены и, следовательно, обладают одной и той же степенью общности. Графически:

где А и В – соподчиненные видовые понятия, а общий круг – их родовое понятие. Например, «растительный мир» и «животный мир» — виды родового понятия «органический мир».

2. Отношения противоречия –это отношение существует между понятиями, из которых одно отражает наличие у предмета каких-либо признаков, а другое эти признаки отрицает, не заменяя их другими признаками. Графически:

где А и не-А – противоречащие понятия, а круг – их общий род. Например, «щедрость» и «нещедрость» — с точки зрения отношения людей к материальным благам.

3. Отношения противоположности— в этом отношении находятся понятия, каждое из которых выражает наличие у предметов каких-либо признаков, но сами эти признаки носят противоположный характер. Графически:

где А и В – противоположные понятия. Например, «щедрость» и «скупость».

cyberpedia.su

Виды понятий. Логическая характеристика понятия — КиберПедия

Логическая характеристика понятия – это установление отнесенности данного понятия к определенным видам.

По объёмным характеристикампонятия делятся на виды:

а) единичные и общие понятия.

Единичные понятия – их объём составляет единственный предмет.

Общие понятия – число элементов их объёма больше единицы.

б) пустые и непустые понятия.

Пустые понятияили понятия с нулевым объёмом –понятия, обозначающие предметы, не существующие в действительном мире.

Непустые понятия –понятия о реально существующих предметах, явлениях, событиях, процессах.

в) регистрирующие и нерегистрирующие понятия.

Регистрирующие понятия – понятия, число элементов объёма которых можно сосчитать (выразить натуральным числом).

Нерегистрирующие понятия– понятия, объём которых в принципе не может быть сосчитан.

По содержательным особенностям понятия делятся на виды:

а) конкретные и абстрактные понятия.

Конкретные понятия – предметные понятия, в которых мыслятся обладающие определенными свойствами предметы, явления или их классы.

Абстрактные понятия –понятия об отвлечённых от предметов свойствах и отношениях.

б) абсолютные и относительные понятия.

Абсолютные (безотносительные) – понятия, в которых предметы мыслятся вне зависимости от других.

(Со)относительные понятия – понятия, в которых предметы мыслятся в связи или в соотнесенности с другими предметами, не входящими в объём данного понятия.

в) положительные и отрицательные понятия.

Положительные понятия – понятия, в содержании которых мыслится наличие определённых признаков.

Отрицательные понятия – понятия, в содержании которых мыслится отсутствие определенных признаков.

В разных контекстах предметные понятия могут употребляться в собирательном либо в разделительном смыслах, в зависимости от того, может ли контекст понятия быть отнесен к каждому элементу его объёма или только ко всему объёму в целом. Само же понятие называется собирательным, когда в нем мыслитсясовокупность однородных предметов как целое (ср.: «собирательные существительные» в лексико-грамматической теории).

2.4. Отношения между понятиями

Каждое понятие в отношении другого понятия является сравнимым либо несравнимым.

Несравнимые понятия – понятия, в содержании которых нет ближайших общих признаков.

Cравнимые понятия имеют общие признаки в содержании.

Отношения сравнимых понятий по объёму делятся на два класса:

совместимость понятий – отношение понятий, чьи объёмы полностью или частично совпадают, и

несовместимость понятий – отношение понятий, чьи объёмы не имеют общих элементов.

Каждый из этих классов делится еще на три вида отношений, иллюстрируемых круговыми схемами.

Совместимые понятия

Равнозначные (тождественные) понятия – их объем состоит из одних и тех же элементов.

Перекрещивающиеся (пересекающиеся) понятия имеют как общие, так и различные элементы объёма, т. е. находятся в отношении частичного совпадения.

Подчинённые понятия(отношение рода и вида) – объём одного понятия полностью входит в объем другого, не исчерпывая его.

Чтобыправильно определить вид совместимости, надо ответить на вопросы:

1) все ли (А) являются (В)?

2) все ли (В) являются (А)?

Если ответы «да, да» – это тождество, «да, нет» – подчинение, если «нет, нет» – перекрещивание.

Несовместимые понятия

Соподчинённыепонятия – не имеют между собой общих элементов объема, но являются видовыми по отношению к общему родовому понятию.

Противоположныепонятия – выражающие крайние виды общего родового понятия, не исчерпывая его.

Противоречащиепонятия – взаимоисключающие, исчерпывающие виды одного рода.

Для различения противоположности и противоречия надо попытаться отыскать среднее понятие между данными; если есть среднее понятие – это противоположность, если среднего нет – противоречие.

Определение понятий

Определение– логическая операция, раскрывающая содержание понятия путём перечисления его существенных признаков.

Явное определение в языке имеет форму предложения и состоит из двух частей: определяемой и определяющей.Неявноеопределение задаетсячерез совокупность условий, которым удовлетворяет определяемое понятие – для его усвоения необходимо осмыслить более широкий фрагмент или целый текст, иногда несколько текстов.

Явные определения делятся на номинальные и реальные.

Номинальное определение объясняет/переводит значение термина, слова.

Реальное определение раскрывает существенные признаки определяемого предмета.

2.5.1. Способы определения

Основное (родовидовое, классическое) определение – определение через указание на ближайший род и видовые отличия.

Дополнительные способы определения.

а) Генетическое определение – определение, в котором указывается на ближайший род и способ возникновения определяемого.

б) Операциональное определение – определение, в котором задаётся алгоритм распознавания определяемого предмета.

в)Аксиоматические, конструктивные и конвенциональные определения – определения на основе утверждений или соглашений в рамках компетентного сообщества.

г) Остенсивное определение – прямое указание на определяемый предмет.

Приёмы, близкие к определению (используются тогда, когда строгое определение дать трудно, или невозможно, или непонятно для адресата):

описание – перечисление внешних признаков;

характеристика – перечисление некоторых существенных внутренних признаков;

приведение примеров – перечисление некоторых элементов объёма;

сравнение – указание на некоторое сходство с более понятными предметами.

2.5.2. Правила и ошибки определения

Правило 1. Соразмерность: объёмы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.

Ошибки: а) Слишком широкое определение.

б) Слишком узкое определение.

Правило 2. Отсутствие круга или тавтологии.

Ошибки: а) «Круг в определении»: определение понятия А через понятие В, а понятия В через понятие А.

б) Тавтология: в определяющей и определяемой частях встречаются одно и то же понятие, однокоренные слова.

Правило 3. Определение положительного понятия не должно быть отрицательным.

Правило 4. Ясность, точность, краткость определения, отсутствие метафор (правило минимальности).

Основные ошибки: а) Метафоричность: неясное определение.

б) Определение неизвестного через другое неизвестное.

2.6. Деление понятий

Деление– логическая операция распределения объёма данного понятия на видовые подклассы.

Делимое понятие – понятие, которое подлежит делению.

Основание деления– признак, в соответствии с которым выделяются члены деления.

Члены деления– видовые по отношению к делимому понятия, результат деления.

Логическое деление понятий на виды нельзя путать с мереологическим делением – делением целого на части.

Виды деления

1. Дихотомия или двучленное деление.

Основанием дихотомического деления является признак, который наличествует у одного члена деления и отсутствует у второго. Члены деления противоречат друг другу и вместе исчерпывают объём делимого понятия.

2. Делениепо видоизменению признака.

Признак, выбранный в качестве основания деления, присущ выделяемым видам (членам деления) в разной степени.

3. Соразделениеили сложное деление – последовательное деление понятия по различным основаниям. В результате получается классификация.

Правила и ошибки деления

Правило 1. Соразмерность. Сумма объёмов видов должна быть равна объёму делимого родового понятия.

Ошибки: а) Неполное деление: упущены члены деления.

б) Лишние члены деления или обширное деление.

Правило 2. Одно основание. Делить каждый раз необходимо по одному признаку.

Ошибка: не одно основание.

Правило 3. Члены деления должны исключать друг друга, т.е. каждый элемент делимого понятия должен входить только в один член деления.

Ошибка: пересечение, подчинение членов деления.

Правило 4.Непрерывность деления. При многоступенчатом последовательном делении нужно переходить к ближайшим видам, между которыми нельзя найти объём другого понятия.

Ошибка: скачок в делении.

Вопросы для повторения

1. Что такое понятие?

2. Что называют в логике предметом, признаками, существенными признаками предметов?

3. Что такое содержание и объём понятия?

4. Сформулируйте закон, лежащий в основе ограничения и обобщения понятий. В чём суть этих операций?

5. Назовите виды понятий по объёму и по содержанию, приведите примеры.

6. Перечислите типы совместимости и несовместимости понятий, приведите примеры.

7. В чём суть определения, каковы его виды, правила и типичные ошибки?

8. В чём смысл деления понятия, каковы его виды, правила и ошибки?

Резюме по теме

Понятие является элементарной, базовой формой мышления, поэтому от логического качества понятий во многом зависит и качество всех более сложных мыслительных образований – суждений, вопросов, рассуждений. Логические операции с понятиями – их обобщение, определение, классификация, выяснение соотношений их объемов – базовые познавательные процедуры учебного и исследовательского процесса, требующие самого строгого логического (само)контроля.

cyberpedia.su

Виды понятий по содержанию и по их объему

До сих пор речь шла о понятии вообще. Но в практике мышления функционирует великое множество вполне определенных и притом самых разнообразных понятий. Как же разделить их на виды? Это можно сделать в соответствии с двумя фундаментальными характеристиками всякого понятия – содержанием и объемом.

Виды понятий по содержанию

В соответствии с этим признаком понятия можно разделить на следующие значимые группы.

Конкретные – понятия, в которых находят свое отражение сами предметы и явления, обладающие относительной самостоятельностью существования, например «алмаз», «дуб», «юрист».

Абстрактные – это понятия, в которых мыслятся свойства предметов или отношения между предметами, не существующие самостоятельно, без этих предметов: «твердость» (например, алмаза), «долговечность» (например, дуба), «компетентность» (например, юриста).

Те понятия, в которых отражается наличие у предметов мысли каких-либо качеств, свойств и т. д., называются положительными, например, «металл», «живое», «порядок», «глупость».

Отрицательные– понятия, которые характеризуются отсутствием у предметов мысли каких-либо качеств, свойств и т. п. В русском языке они выражаются с помощью отрицательных частиц («не»), приставок («без-» и «бес-») и др., например: «неметалл», «неживое», «бездействие», «беспорядок». В словах иностранного происхождения используются также иностранные приставки «а-» («аморальность»), «анти-» («антиобщественный»), «дез-» («дезинформация»), «контр-» («контрреволюция») и прочие.

В соотносительных понятиях один предмет мысли предполагает существование другого и без него невозможен («соотносится» с ним – этим и обусловлено его название). Таковы понятия «родители» и «дети»: нельзя быть сыном или дочерью без родителей; в свою очередь, отцами или матерями нас делают именно дети.

В безотносительных понятиях мыслится предмет, существующий до известной степени самостоятельно, «отдельно» от других: «природа», «растение», «животное», «человек».

Виды понятий по их объему

По объему все понятия можно разделить на три вида:

· единичные, в объем которых входит один-единственный предмет, – «первый космонавт», «столица Франции», «Луна» т. п.; единичные понятия выражаются в языке именами собственными или эквивалентными им выражениями;

· общие, в объем которых входит несколько (два и более) предметов, – «стол», «дом», «химический элемент»;

· пустые (или нулевые), в объем которых не входит ни одного реально существующего предмета, – «кентавр», «русалка», «человек, побывавший на Марсе».

Употребление пустых понятий требует определенной осторожности, ибо способно приводить к недоразумениям и парадоксам. Начать с того, что порой весьма трудно решить, является некоторое понятие пустым или нет: понятия, являющиеся непустыми в одной системе («шкале ценностей»), могут оказаться пустыми в другой, и наоборот. Так, понятие «Бог» для верующего человека будет непустым, ибо Господь существует; атеист же полагает это понятие пустым.

Рассказывают, что один врач из Тулузы (Франция), желая позабавиться, поместил в местной газете объявление: «В связи с выездом за границу продаю редкую историческую реликвию – череп Вольтера-ребенка». В течение недели он получил более ста вопросов о цене реликвии. Простаки, они не поняли, что понятие «череп Вольтера-ребенка» – пустое!

Деление понятий на виды по их содержанию и объемуимеет немаловажное значение в логике. Оно позволяет в огромном понятийном материале, накопленном науками и повседневной практикой людей, выделять немногие наиболее крупные и распространенные группы, а также более или менее отчетливо представлять себе особенности этих групп.

Дать логическую характеристику понятию – значить определить, к какому виду понятий оно относится. Рассматриваемое понятие может быть конкретным или абстрактным, положительным или отрицательным, соотносительным или безотносительным, и, наконец, единичным, общим или пустым. Например понятие «первый в мире ребенок-космонавт» – пустое, конкретное, положительное, безотносительное.

Отношения между понятиями

Отношения между самими предметами находят свое отражение в отношениях между понятиями. Все многообразие этих отношений можно классифицировать также на основе важнейших логических характеристик понятия: его содержания и объема. Общая схема отношений между понятиями представлена на рисунке 2.1.

Если в содержании двух понятий имеются общие признаки, то их объемы можно сравнивать, и такие понятия называются сравнимыми; если же общих признаков нет, то сравнение объемов оказывается бессмысленным, и такие понятия называются несравнимыми. В самом деле, как сравнивать такие вещи, как «ответственность» и «романс», «деньги» и «впадина», «невоспитанность» и «радуга»?

Правда, такое деление носит в известной мере условный, относительный характер, ибо степень несравнимости тоже может быть различной. Например, что общего между столь, казалось бы, различными понятиями, как «космический корабль» и «авторучка», кроме некоторого, чисто внешнего сходства в форме строения? А между тем и то, и другое – творения человеческого гения.

Несравнимые понятия есть и в юридической науке и практике: «алиби» и «пенсионный фонд», «вина» и «версия», «юрисконсульт» и «независимость судьи» и т. д. и т. п. Несравнимость характеризует даже, казалось бы, близкие по содержанию понятия: «предприятие» и «администрация предприятия», «трудовой спор» – «рассмотрение трудового спора» и «орган рассмотрения трудового спора», «коллективный договор» и «коллективные переговоры по поводу коллективного договора». Это обстоятельство важно учитывать в процессе оперирования подобными понятиями, чтобы вопреки желанию не впасть в комическое положение.

Дальнейший логический анализ несравнимых понятий невозможен. Поэтому ниже вновь пойдет речь лишь о сравнимых понятиях.

Сравнимые понятия, в свою очередь, распадаются на две группы: совместимые и несовместимые. Отношения между понятиями изображают с помощью круговых схем (кругов Эйлера), где каждый круг обозначает объем понятия. Кругом (или точкой) изображается и единичное понятие.

где А – понятие.

Совместимыминазываются такие понятия, объемы которых имеют общие элементы, т. е. полностью или частично совпадают. Существуют три вида совместимости:

· равнозначными, или тождественными, называются понятия, которые, различаясь содержанием, имеют равные объемы, к примеру, «река Нил» – «самая длинная река в мире», автор романа «Красное и черное» – «автор романа «Пармская обитель», «равносторонний прямоугольник» – «квадрат» – «равноугольный ромб». Объемы тождественных понятий изображаются кругами, полностью совпадающими.

где А и В – равнозначные понятия, а круг – их общий объем.

Равнозначные понятия нередко используются в юридической практике. Таковы, например, понятия «гражданство» и «подданство». В государствах с республиканской формой правления, где есть конституция, употребляется понятие «гражданство», а при монархической форме правления ему соответствует «подданство»;

· пересечение (перекрещивание) – отношение между понятиями, объемы которых частично совпадают. Примерами таких понятий являются следующие пары: «горожанин» и «садовод», «студент» и «спортсмен», «служащий» и «взяточник». Они изображаются пересекающимися кругами.

где А и В – пересекающиеся понятия, а общая часть – область частичного совпадения их объемов;

· отношение подчинения характеризуется тем, что объем одного понятия целиком включается (входит) в объем другого понятия, но не исчерпывает его. Вот графическое изображение этого отношения:

где А – подчиняющее понятие, а В – подчиненное.

Это отношение вида и рода; А – подчиняющее (родовое) понятие («животное»),
В – подчиненное (видовое) понятие («слон»): слоны полностью включаются в класс животных, но не исчерпывают его.

Несовместимыминазываются такие понятия, объемы которых не имеют общих элементов. Несовместимые понятия могут находиться в следующих отношениях;

· соподчинение: объемы двух понятий А и В произвольным образом включаются в объем третьего, более широкого понятия С. В таком отношении находятся, к примеру, понятия «береза» и «сосна», объемы которых включаются в объем более широкого понятия «дерево».

где А и В – соподчиненные видовые понятия, а общий круг С – их родовое понятие;

· противоречие (контрадикторность): объемы понятий А и не-А полностью исчерпывают объем родового понятия С, при этом одно понятие отрицает некоторый признак, входящий в содержание другого понятия, не заменяя его никаким другим признаком: например, «нетрудовые доходы» – «трудовые доходы», «справедливость» – «несправедливость», «белый» – «небелый». Это видно на схеме:

где А и не-А – противоречащие понятия, а круг – их общий род;

· противоположность (контрарность): объемы понятий А и В не произвольно включаются в объем родового понятия С, а занимают в нем наиболее удаленные части, располагаются, так сказать, на разных полюсах родового понятия. В указанном отношении находятся такие понятия, одно из которых имеет с своем содержании некоторый признак, а в другом понятии этот признак заменен на противоположный, например, «богатство» – «бедность», «мудрость» – «глупость», «истец» – «ответчик». Вот схема:

где А и В – противоположные понятия, занимающие лишь крайние позиции в рамках общего для них рода и не исключающие чего-то среднего.

Рис. 2.1. Общая схема отношений между понятиями

Какое значение имеет знание отношений между понятиями? Без преувеличения огромное и разнообразное – для правильного употребления понятий в устной и письменной речи. И наоборот, незнание этих отношений способно повлечь за собой искаженное отражение действительности – отношений между самими вещами.

Особое значение имеет употребление различных понятий об одном и том же событии или лице в политике. Политическая ситуация зачастую меняется очень быстро, и вслед за этим меняются оценки одного и того же события.

Вспомним из истории эпизод с Наполеоном, когда он самовольно отбыл с Эльбы на материк и за короткий срок вновь покорил Францию. Вот как быстро менялись понятия о нем по мере его приближения к Парижу. Первые сообщения гласили: «Корсиканское чудовище высадилось в бухте Хуан», «Людоед идет к Грасу», «Узурпатор вошел в Гренобль». Далее: «Бонапарт занял Лион», «Наполеон приближается к Фонтенбло».
И последнее: «Его императорское величество ожидается завтра в своем верном Париже».

Это все примеры равнозначных понятий, но какую интенсивную эволюцию претерпело их содержание: от непримиримо враждебного к нейтральному и затем к верноподданническому.

Знание родовидовых отношений между понятиями имеет значение для правильного написании соответствующих слов. Если в одно сложное слово объединяются слова, выражающие род и вид, то оно пишется слитно: «сельскохозяйственное производство», «западноевропейские государства», «незаконнорожденный» и т. д.

Но если взять в качестве сравнения соподчиненные понятия, то тут ситуация иная. Равноправность соподчиненных понятий в смысле степени обобщения требует написания их через дефис: «юго-запад Москвы», «газетно-журнальное дело», даже «красно-коричневые» (при всем желании сблизить или отождествить то и другое сами слова приходится в силу законов логики разделять дефисом).

Сказанного достаточно, чтобы уяснить себе, какое многообразное познавательное и практическое значение имеет изучение и знание отношений между понятиями, овладение приемами их анализа в тех или иных интеллектуально-речевых фрагментах.

infopedia.su

ЛЕКЦИИ. / Правовой колледж ЛНУ им. Франко =lybs.ru= =lybs.ru=

Важной проблемой логики является классификация понятий, благодаря которой они систематизируются. Следствием этого является мысленное упорядочение предметного мира, ориентированного на его (мира) объективную упорядоченность.

Наибольшее различие существует между теми понятиями, в которых отражаются реально существующие (или существовавшие) предметы, и теми, в которых мыслятся воображаемые предметы, — так называемыми нулевыми понятиями. Последние еще называют понятиями с пустым объемом или просто — пустыми, а противоположные — непустые.

Непустое понятие — понятие, в котором мыслятся реально существующие (или существовавшие) предметы.

Например: «Токио», «Карфаген», «Ярослав Мудрый», «океан», «слон», «мамонт».

Пустое понятие — понятие, в котором мыслятся предметы, которых еще не было и нет, или никогда не будет.

Например: «человек, побывавший на Марсе», «врач, способный победить раковую болезнь на любой стадии ее течения», «вечный двигатель», «античное божество», «абсолютно черное тело». Не только непорожі, но и пустые понятия делятся по объему и содержанию.

По объему, то есть по количеству предметов, которые в них мыслятся, понятия делятся на общие и единичные.

Общее понятие — понятие, в котором мыслится два или более предметов.

Например: «полюс Земли», «планета Солнечной системы», «элементарная частица», «ведьма», «вечный двигатель».

Единичное понятие — понятие, в котором мыслится один-единственный предмет.

Например: «самая длинная на Земле река», «Черновицкий государственный университет», «самая полноводная река на Месяца», «Коростенский государственный педагогический институт».

Все понятия, независимо от того, к какому из перечисленных видов и подвидов они относятся, делятся на сборные и незбірні.

Собирательное понятие — понятие, в котором каждый элемент объема является совокупностью относительно самостоятельных предметов, которые мыслятся как один предмет («созвездие», «созвездие Водолея»; «оркестр двадцать второго века»). Все остальные относятся к незбірних.

Выбрав подходящую основу разделения, перечисленные виды понятий в свою очередь можно разделить на подвиды. Так, общие понятия делятся на регистрирующие, в объеме которых мыслится конечна, исчисляемая множество предметов («пора года», «областной центр Украины»), и нереєструючі, объем которых не поддается исчислению («элементарная частица», «небесное тело»).

В зависимости от того, мыслятся в понятиях признаки вместе с их носителями (предметами) или изолированно от них, они делятся на конкретные и абстрактные.

Конкретное понятие — понятие, в котором мыслятся признаки с их носителями, то есть соответствующими предметами.

Абстрактное понятие — понятие, в котором мыслится признак, изолированная от ее носителя.

Так, в понятии «гениальный человек» мыслятся и признаки, присущие гениальным людям, и носители этих признаков — гениальные люди, а в понятии «гениальность» соответствующая признак отделяется сознанием от ее носителя и мыслится как нечто отдельное, как самостоятельный предмет мысли (как это парадоксально не звучит). Поэтому понятие » гениальный человек» относится к конкретным, а «гениальность» — к абстрактным.

Понятия разделяют еще на позитивные и негативные.

Положительное понятие — понятие, в котором выражается наличие у предмета определенных признаков.

Отрицательное (оспаривающее его) понятия — понятия, и котором выражается отсутствие у предмета признаков, составляющих содержание соответствующего положительного понятия.