Для исследования
различных явлений полезно знать, как
изменение одних величин влияет на другие
величины.
Понятие функции
связано с установлением зависимости
(связи) между двумя (несколькими)
переменными величинами при их совместном
изменении, или установлением зависимости
между элементами двух (нескольких)
множеств.
Определение.
Пусть даны две
переменные х и y с областями изменения Х и Y.
Переменная y называется функцией от х,
если по некоторому правилу или закону
каждому значению ставится в соответствие одно определенное
значение.
Для указания этого
факта, что y есть функция от х,
пишут: ,,и т.п.
Можно также сказать,
что функция fотображает множество Х на множество Y.
Это обозначается так
(рис.1.1).
Рис. 1.1
Переменная х называется независимой
переменной или аргументом.
Переменная y называется зависимой
переменной или функцией.
Относительно самих
величин х и y говорят, что они находятся в функциональной
зависимости.
1.3. Область определения и изменения функции
Определение.
Совокупность всех
значений независимой переменной х,
для которых функция y определена, называется областью
определения или областью
существования этой функции.
Определение.
Множество Х называется областью
определения функции и обозначается .
Обычно областью
определения функции являются:
;
;
;
;
; ;
; ;
,
где ,и.
Например, для
функций:
1)
;
2)
.
Область определения
функции может состоять из одного или
нескольких промежутков и из отдельных
точек.
Определение.
Множество значений Y называется областью
изменения или областью значений функции, и
обозначается .
Область изменения
функции (множество ее значений)
определяется законом соответствия.
Например, для
функций
1)
;;
2)
;.
Определение.
Функция называетсячисловой функцией, если ее область определения и множество значенийсодержатся в множестве действительных
чиселR.
В дальнейшем будем
изучать лишь числовые функции. Частное
значение функции призаписывается так:.
Например, если
,
то,,и т.п.
1.4. Последовательность
Определение.
Функция, определенная
на множестве натуральных чисел
,
называетсяпоследовательностью.
Значения функции
т.е. элементы множестваназываются членами последовательности,
а– общим членом последовательности.
Последовательность
обычно обозначают через или.
Например,
;.
1.5. График функции
Для наглядного
представления функции строят ее график.
Определение.
Графиком функцииназывается множество всех точек плоскости,
для каждой из которыхх является значением аргумента,
а y – соответствующим значением функции.
Например, графиком
функции является верхняя полуокружность радиусас центром в(рис. 1.2).
Рис. 1.2
1.6. Способы задания функции
Задать функцию –
это значит указать правило, позволяющее
по данному значению независимой
переменной находить соответствующее
значение функции.
Существует три
основных способа задания функции:
аналитический, табличный и графический.
Аналитический
способ состоит в том, что зависимость между
переменными величинами задается в виде
формулы (аналитического выражения),
указывающей, какие и в каком порядке
действия надо выполнить, чтобы получить
значение функции, соответствующее
данному значению аргумента.
Например, ;;,
где.
Аналитический
способ является наиболее совершенным,
т.к. к нему могут быть применены методы
математического анализа, позволяющие
полностью исследовать функцию.
Табличный способпредусматривает задание таблицы, в
которой различным значениям аргументапоставлены соответствующие значения
функции:
х
х1
х2
…
хn
y
y1
y2
…
yn
Такие таблицы
составляются, например, по данным
эксперимента; для облегчения вычислений
с часто встречающимися функциями
(таблицы логарифмов, таблицы
тригонометрических функций и т.д.).
Графический
способзадания функции состоит в том,
что в данной системе координат задается
некоторая кривая. Преимуществом
графического задания является его
наглядность, недостатком – его неточность.
studfiles.net
что значит функция определена — что значит «фукция определена»? — 22 ответа
В разделе Образование на вопрос что значит «фукция определена»? заданный автором шеврон лучший ответ это функция определена формулой y=f(x) на определенном промежутке (a,b), a функция определена формулой y=f(x) на определенном промежутке (a,b), a
Ответ от 22 ответа[гуру]
Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: что значит «фукция определена»?
Ответ от худосочный[эксперт] Определить: Вывести, высчитать что-л. путем измерения, вычисления и т. п. Например, Определить площадь круга, Определить функцию при значениях от 0 до 5. Если функция определена, то указаны значения переменных, при которых она вычисляется. другими словами: Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x, при которых функция y = f ( x ) определена, называется областью определения функции. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции.
Ответ от Простить[гуру] А польностью вопрос сформулировать нельзя? А не отрывками? Контест скажи. Функция какая и что надо. Разберемся тогда.
Ответ от Ada[мастер] это значит, что функция (предположим у) существует при каких-то хю например, если функция у=1/(х-4) то она определена при х от -бесконечности до 4 (не включая 4) и от 4 (не включая 4) до +бесконечности. соотвественно не определена при х=4 (т. к. на ноль сам понимаешь…)
Ответ от 2 ответа[гуру]
Привет! Вот еще темы с нужными ответами:
Функция математика на Википедии Посмотрите статью на википедии про Функция математика
Ответить на вопрос:
Предыдущий вопрос
Следующий вопрос
22oa.ru
Предел функции в точке. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (т.е
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (т.е. в самой точке функция может быть и не определена)
Определение. Число называется пределом функции при , если для любого существует такое число , что для всех таких, что
верно неравенство
.
То же определение может быть записано в другом виде:
Если то верно неравенство .
Запись предела функции в точке:
Определение. Если при только при , то — называется пределом функции в точке слева, а если при только при , то называется пределом функции в точке справа.
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция не определена в самой точке , но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Пределы и называются также односторонними пределами функции в точке . Также говорят, что – конечный предел функции .
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности
Определение. Число называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что для всех , таких что выполняется неравенство
При этом предполагается, что функция определена в окрестности бесконечности.
Обозначение:
Графически это определение можно представить в виде:
y y
A A
0 0
x x
y y
A A
x x
0 0
Аналогично можно определить пределы для любого и
для любого .
Основные теоремы о пределах
Теорема 1. , где С = const.
Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции и имеют конечные пределы при .
Теорема 2.
Теорема 3.
Следствие.
Теорема 4.при
Теорема 5.Если в некоторой окрестности точки и , то .
Аналогично определяется знак предела при .
Теорема 6.Если в некоторой окрестности точки и , то .
Определение. Функция называется ограниченной в некоторой окрестности точки , если существует такое число , что для всех точек из этой окрестности.
Теорема 7.Если функция ) имеет конечный предел при , то она ограничена в некоторой окрестности точки .
Доказательство. Пусть , т.е. , тогда
или , т.е. где
Теорема доказана.
Бесконечно малые функции и их свойства
Определение. Функция называется бесконечно малой при , где а может быть числом или одной из величин , или , если .
Бесконечно малой функция является только при указании к какому числу стремится аргумент . При различных значениях функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример. Функция является бесконечно малой при и не является бесконечно малой при , т.к. .
Теорема.Для того, чтобы функция при имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестностии точки выполнялось равенство
,
где – бесконечно малая при фунукция ( при ).
megaobuchalka.ru
Определение непрерывности функции в точке
Непрерывность в точке
Определение непрерывности функции в точке Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности U(x0) этой точки, и если предел при x стремящемся к x0 существует и равен значению функции в x0: .
Здесь подразумевается, что x0 – это конечная точка. Значение функции в ней может быть только конечным числом.
Если привлечь сюда определение конечного предела функции в конечной точке, то можно дать развернутую формулировку определения непрерывности функции. Поскольку имеется два равносильных определения предела функции (по Коши и по Гейне), то можно дать, как минимум, еще два эквивалентных определения непрерывности.
Определение непрерывности функции в точке по Гейне Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности U(x0) этой точки, и если для любой последовательности {xn}, сходящейся к x0: , элементы которой принадлежат окрестности U(x0), последовательность {f(xn) } сходится к f(x0): .
Определение непрерывности функции в точке по Коши Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности U(x0) этой точки, и если, для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0, существует такое число δε> 0, зависящее от ε, что для всех x, принадлежащих δε — окрестности точки x0: , значения функции принадлежат ε — окрестности точки f(x0): .
Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности. По Гейне: . По Коши: .
Легко видеть, что определение непрерывности отличается от определения предела только тем, что вместо проколотой окрестности точки используется просто окрестность точки, которая содержит . При этом значение предела может быть равным только значению функции в этой точке: .
Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Далее мы рассматриваем новую функцию: . Ее называют приращением функции в точке . Считаем, что она зависит от переменной : . Тогда можно дать еще одно определение.
Определение непрерывности функции в точке в терминах приращений Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел приращения этой функции в точке , при , равен нулю: .
Определение отсутствия непрерывности
Теперь приведем определение того, что функция не является непрерывной в точке .
Определение отсутствия непрерывности функции в точке Функция , определенная на некоторой окрестности точки не является непрерывной в этой точке, если предела функции при не существует, или он не равен значению функции в точке : .
По Гейне это означает, что существует такая последовательность , для которой предел либо не существует, либо он не равен : .
По Коши это означает, что существует такое , так что для любого существует , для которого : .
Непрерывность на концах отрезка
В рассмотренных выше определениях считается, что функция определена на некоторой окрестности слева и справа от точки . Если функция определена на некотором отрезке , то мы можем применять эти определения для внутренних точек отрезка, для которых . Для концов отрезка a и b нужно дать определение односторонней непрерывности, аналогичное определению односторонних пределов.
Определение непрерывности справа (слева) Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x0, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x0 равен значению функции в x0: .
Примеры
Пример 1
Используя определения по Гейне и Коши доказать, что функция непрерывна для всех x.
Решение
Пусть есть произвольное число. Докажем, что заданная функция непрерывна в точке . Функция определена для всех x. Поэтому она определена в точке и в любой ее окрестности.
Используем определение по Гейне
Используем определение непрерывности по Гейне ⇑. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к : . Применяя свойство предела произведения последовательностей имеем: . Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , то . Непрерывность доказана.
Используем определение по Коши
Используем определение непрерывности по Коши ⇑. Рассмотрим случай . Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки . Поэтому будем считать, что (П1.1) .
Применяя (П1.2), оценим абсолютную величину разности: ; (П1.3) . Вводим положительные числа и , связав их соотношениями: . Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П1.3), если и если , то .
Это означает, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству , автоматически выполняется неравенство: . Это означает, что функция непрерывна в точке .
Теперь рассмотрим точку . В этом случае . Вводим положительные числа и : .
Отсюда видно, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x, таких что , выполняется неравенство: . Это означает, что функция непрерывна в точке .
Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n – натуральное число, непрерывна на всей действительной оси.
Пример 2
Используя определение непрерывности по Коши ⇑ доказать, что функция непрерывна для всех .
Решение
Заданная функция определена при . Докажем, что она непрерывна в точке .
Рассмотрим случай . Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки . Поэтому будем считать, что (П2.1) .
Применим формулу: (П2.2) . Положим . Тогда .
Учитывая (П2.1), сделаем оценку:
. Итак, .
Применяя это неравенство, и используя (П2.2), оценим разность:
. Итак, (П2.3) .
Вводим положительные числа и , связав их соотношениями: . Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П2.3), если и если , то .
Это означает, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству , автоматически выполняется неравенство: . Это означает, что функция непрерывна в точке .
Теперь рассмотрим точку . Нам нужно показать, что заданная функция непрерывна в этой точке справа. В этом случае . Вводим положительные числа и : .
Отсюда видно, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x, таких что , выполняется неравенство: . Это означает, что . То есть функция непрерывна справа в точке .
Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n – натуральное число, непрерывна при .
Использованная литература: О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003. С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru
1.3. Некоторые общие свойства функций
а) Четность и
нечетность.
Определение.Функция у=f(x)называется
четной, если для любого значения х из области
определения функции, значение – хтакже
принадлежит области определения и
выполняется равенство:
f(x)=f(–x).
Согласно определению,
четная функция определена в интервале,
симметричном относительно начала
координат.
График четной
функции симметричен относительно оси
ординат.
Определение.Функция у=f(x)называется
нечетной, если для любого значения х из области
определения функции, значение – хтакже
принадлежит области определения и
выполняется равенство
f(x)=
–f(–x).
Нечетная функция
определена также в интервале, симметричном
относительно начала координат.
Ее график симметричен
относительно начала координат.
б) Периодичность
функций
Определение.Функция у=f(x)называется
периодической, если существует такое
число Т0,
что для любого значениях взятогоиз области
определения функции, значения х+Т, х–Ттакже
принадлежит области определения и
выполняется равенство:
f(x)=f(xТ).
Число Т называется
периодом функции.
в) Монотонность
функций
Переменную величину
называют монотонной, если она возрастает
либо убывает.
Определение.Функция у=f(x)называется
монотонно возрастающей на интервале
(а,в),
если для любых х1и х2, принадлежащих
этому интервалу, из неравенства х1<х2 следует
неравенство f(x1)<f(x2).
Определение.Функция у=f(x)называется
монотонно убывающей на интервале (а,в),
если для любых х1и х2, принадлежащих
этому интервалу, из неравенства х1<х2 следует
неравенство f(x1)>f(x2).
Рассмотрим примеры
1. Найти область
определения функций
а) у=5 х2
Решение.
Выражение у=5-х2 при
любом действительном значении х принимает
действительные значения. Область
определения функции D(f)=(,+).
б) у=
Решение.
Данная функция
определена для всех значений х,
кроме тех,при которых
знаменатель дроби 2х-1
обращается в нуль. Решая уравнение 2х-1=0, находим:
х=Поэтому
областью определения данной функции
является объединение двух интервалов D(f)=(, )(,+).
в) у=
Решение.
Корни квадратные
определены только для неотрицательных
чисел. Для нахождения области определения
составим и решим неравенство х10, х1
Таким образом, областью определения
функции является интервал [1,+). D(f)=[1,+).
г)
Решение.
Область определения
данной функции можно рассматривать как
совокупность всех значений х,
удовлетворяющих неравенству
Неравенство равносильно системе неравенств
Из рисунка видно,
что решением системы будет интервал .
Таким образом D(f )=.
д)
Решение.
Логарифмическая
функция определена для положительных
значений аргумента. Для нахождения
области определения функции составим
систему
Область определения
функции есть объединение интервалов.
D(f )=(—1,1)(1,+).
е)
Решение.
Функция у=arccosx определена на интервале [–1,1]. Поэтому
область определения данной функции
можно рассматривать как множество
значений, удовлетворяющих неравенству
D(f)=[0,4].
2. Установить
четность или нечетность функции
а) у=х2+5х
Решение.
Область определения D(f)=(,+)– симметрична
относительно начала координат.
Воспользуемся определением четной и
нечетной функции. Имеем
f(–x)=(–x)2+5(–x)=x2–5x.
Таким образом, f(–x)f(x)
иf(–x) –f(x), т.е. заданная
функция не является ни четной , ни
нечетной.
б) у=2х+2-х
Решение.
Область определения D(f)=(;+).
Имеем f(x)=2-х+2-(-х)=2-х+2х, т.е. f(x)= f(x). Данная
функция – четная.
в)
Решение.
Найдем область
определения функции
D(f)=(,3)(3,+).
Область определения
симметрична относительно начала
координат. Найдем
f(–x)===,
т.е. f(x)=f(x), и, следовательно,
данная функция – нечетная.
г)
Решение.
Область определения
функции D(f )=(,1)(1,+)несимметрична
относительно начала координат. Данная
функция не является ни четной, ни
нечетной.
д)
Решение.
Найдем область
определения данной функции
D(f)=(,1)(—1,1)(1,+). Область
определения симметрична относительно
начала координат.
Найдем f(–x)=
Видно, что f(x)f(x)
и f(x) –f(x). Поэтому данная функция не является ни
четной, ни нечетной.
3. Определить, какие
из следующих функций периодичны и найти
их основные периоды.
При выполнении
этих упражнений необходимо помнить,
что функции у=sinxи y=cosxимеют период,
равный 2, а функции y=tgxи y=ctgx – период, равный .
а) у=cos8x
Решение.
Так как основной
период функции cosxесть2, то основной период функции у=cos8xравен ,
т.е..
б) y= sin
6x+tg4x
Решение.
Здесь для первого
слагаемого основной период равен ,
а для второго – он равен. Очевидно, что основной период данной
функции есть наименьшее общее кратное
чисели,
т.е..
в) y=ln
cos
2x
Решение.
Основной период
для функции cosxравен 2, для cos2xравен . Следовательно,
для данной функции основной период
равен .
г) y=sin23x
Решение.
Преобразуем
выражение sin23x=.Период
функции cos6x равен .
Следовательно, данная функция имеет
период, равный.
д) y=sin
Решение.
Функция y=sin не является периодической т.к. для числа х=0, число х–Т, (если Т>0)
или число х+Т, (если Т<0)
не принадлежит области определения
функции.
1.4. Упражнения для
самостоятельной работы студентов
1. Найти область
определения функции
2.Установить
четность или нечетность функции
studfiles.net
определенная функция — это… Что такое определенная функция?
определенная функция
мат. certain function
Большой англо-русский и русско-английский словарь.
2001.
определенная формула
определенная цена
Смотреть что такое «определенная функция» в других словарях:
полностью определенная функция — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN completely defined function … Справочник технического переводчика
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННАЯ ФУНКЦИЯ — комплекснозначная функция j на группе G, удовлетворяющая неравенству для любых наборов Совокупность П. о. ф. на G образует конус в пространстве М(G).всех ограниченных функций на G, замкнутый относительно операций умножения и комплексного… … Математическая энциклопедия
функция адресации — Функция, реализуемая определенными компонентами системы обработки информации, сопоставленная с пространством памяти, определенная на множестве адресов в этом пространстве памяти и предназначенная для выделения по адресу единственной подобласти в… … Справочник технического переводчика
ФУНКЦИЯ — (лат. functio – исполнение) обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Гёте). Наука о функциях органов живых существ – физиология; специальная наука о функциях нервной системы – физиология органов… … Философская энциклопедия
Функция Шпрага-Гранди — широко используется в теории игр для нахождения выигрышной стратегии в комбинаторных играх, таких как игра Ним. Функция Шпрага Гранди определяется для игр с двумя игроками, в которых проигрывает игрок, не имеющий возможности сделать… … Википедия
ФУНКЦИЯ — ФУНКЦИЯ, в математике одно из основных понятий, выражение, определяющее регулярную зависимость между двумя множествами переменных величин, заключающуюся в том, что каждому элементу одного множества соответствует определенная, единственная… … Научно-технический энциклопедический словарь
ФУНКЦИЯ — (Function; Funktion) форма психической активности или проявление либидо, принципиально остающаяся неизменной в меняющихся условиях.Юнговская типологическая модель зиждется на четырех психологических функциях: мышлении, чувстве, ощущении и… … Словарь по аналитической психологии
ФУНКЦИЯ — (от лат. fonctio исполнение) 1) обязанность, круг деятельности, назначение, роль; 2) физиол. специфическая деятельность животного или растительного организма, его органов, тканей и клеток; 3) лог. отношение зависимости двух изменяющихся величин… … Профессиональное образование. Словарь
НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ — функция заданная уравнением нек рые множества, т. е. такая функция f, что при любом имеет место . Если топологич. пространства и для нек рой точки выполняется условие то при определенных условиях в нек рой окрестности точки уравнение … Математическая энциклопедия
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… … Математическая энциклопедия
МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ — функция одного переменного, определенная на нек ром подмножестве действительных чисел, приращение к рой при не меняет знака, т. е. либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если строго больше (меньше) нуля, когда то М. ф. наз.… … Математическая энциклопедия
dic.academic.ru
определяющая функция — это… Что такое определяющая функция?
определяющая функция
determining function
Большой англо-русский и русско-английский словарь.
2001.
определяющая формула
определяющее взаимодействие
Смотреть что такое «определяющая функция» в других словарях:
функция, определяющая специфическую для страны информацию — — [Е.С.Алексеев, А.А.Мячев. Англо русский толковый словарь по системотехнике ЭВМ. Москва 1993] Тематики информационные технологии в целом EN national functionsNLSFUNC … Справочник технического переводчика
Функция предложения — функция, определяющая предложение в зависимости от влияющих на него различных факторов: 1) цены производства, 2) цены самого блага: 3) технологии, 4) ожиданий ценовых и дефицитных; 5) размера налогов и субсидий: 6) количества продавцов и др … Словарь по экономической теории
Функция спроса — функция, определяющая величину спроса в зависимости от влияющих на него различных факторов: цены, увеличения (или сокращения) доходов потребителя; изменения вкусов и предпочтений, ожиданий ценовых и дефицитных, колебаний расходов на рекламу,… … Словарь по экономической теории
Функция состояния — Функция состояния функция, определяющая состояние системы: Термодинамическая функция состояния Волновая функция в квантовой механике … Википедия
функция расхода пневмопривода — pneumatic expenditure function Функция, определяющая массовый расход газа в интервале значений от единицы до максимума при данном значении показателя адиабаты. Шифр IFToMM: Раздел: ДИНАМИКА ПРИВОДОВ … Теория механизмов и машин
Производственная функция Кобба-Дугласа — функция, определяющая взаимозаменяемость труда и капитала. Выведена в 20 х гг. американскими учеными К. Коббом и П. Дугласом … Экономика: глоссарий
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ — в статистической физике ф ция, определяющая вероятность относит. расположения комплекса из s любых молекул жидкости или газа; при s=2 К. ф. наз. парной или бинарной. Появление корреляций в расположении молекул среды связано с тем, что в ближайшем … Физическая энциклопедия
СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — разложение единицы, монотонное непрерывное слева в сильной операторной топологии отображение действительной прямой во множество ортогональных проекторов в гильбертовом пространстве, удовлетворяющее условиям Всякая самосопряженная (т. е.… … Математическая энциклопедия
Адхьявасая — определяющая функция Буддхи или интеллекта … Словарь йоги и веданты
ЛИБЕРАЛИЗМ — (от лат. liberalis свободный) идейное течение, в основе которого лежит убеждение в необходимости постепенного реформирования общества с целью более полной реализации индивидуальных ценностей, и в первую очередь индивидуальной свободы. Л. является … Философская энциклопедия
ГОСТ 23070-78: Анализ и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных схем. Термины и определения — Терминология ГОСТ 23070 78: Анализ и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных схем. Термины и определения оригинал документа: Многовариантный анализ 32. Анализ переходных процессов радиоэлектронной схемы Одновариантный анализ, при котором получают… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Существуют
две схемы выбора m элементов из множества, состоящего из n элементов:
— без
возвращения,
когда выбранные элементы после извлечения
не возвращаются в исходное множество;
— с
возвращением,
когда выбор осуществляется поэлементно
с обязательным возвращением отобранного
элемента в исходное множество на каждом
шаге выбора.
Схема
выбора без возвращений.
Соединения. Виды соединений
Пусть А – совокупность некоторых n объектов (предметов, элементов и пр.) а1,
а2,
… аn,
объединенных некоторым признаком или
свойством. Из различных элементов
множества А можно образовать группы. Если в каждую
группу входит одно и то же количество
элементов, например, m (m ≤ n),
взятых из множества А,
то говорят, что они образуют соединения из n элементов по m в каждом.
В
зависимости от того, входят ли в соединение все
элементы множества А,- или только часть
элементов этого множества, имеет ли значение порядок
следования элементов, или порядок следования
элементов значения не имеет, под общим
именем соединений принято понимать следующие три типа
комбинаций: перестановки; размещения; сочетания.
Перестановки
Перестановками называются такие изменения, в результате
которых количество выбираемых предметов
сохраняется, а порядок их извлечения
может изменяться случайным способом.
Определение
1.
Соединения, в которые входят все n элементов множества А и которые отличаются только порядком
следования элементов, называются перестановками из n элементов. Количество перестановок
обозначается и читается «Пэ из эн».
Число
перестановок Р из n элементов равно:
Произведение n·(n — 1)·(n — 2)·…
·1
называется факториалом числа n,
обозначается символом n!,
который читается «эн-факториал».
Принято,
что 0!
= 1 и 1!
= 1.
Размещения
Определение
2.
Соединения, каждое из которых содержит m различных элементов (m ≤ n),
взятых из n элементов множества А,
отличающихся друг от друга или составом элементов или порядком расположения элементов, называются размещениями из n элементов по m в каждом.
Число
таких размещений обозначается символом ,
читается «А
из эн по эм».
Число
возможных размещений из n элементов по m в каждом равно произведению m последовательно убывающих на единицу
чисел, из которых большее есть n,
т.е.
Это
еще одна, на мой взгляд, более удобная
расчетная формула для Размещений. По
определению, перестановки являются
частным случаем размещений,
когда m = n: Рn=
А.
Сочетания
Сколькими
способами можно выбрать из n различных объектов (предметов) m штук?
Определение
3.
Соединения, каждое из которых содержит m различных элементов (m ≤ n),
взятых из n элементов множества А,
отличающихся друг от друга по крайней
мере одним элементом, называются сочетаниями из n элементов по m.
Число
таких сочетаний обозначается символом илии читается «цэ из эн по эм».
Из
определения следует, что сочетания
отличаются друг от друга хотя бы одним
элементом, т.е. составом входящих элементов. Изменение порядка
следования элементов внутри одного
сочетания не приводит к образованию
нового сочетания.
Число
всех возможных сочетаний из n элементов по m в каждом выражается формулой
Факториальная
запись этой формулы.
studfiles.net
2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие
Существуют
две схемы выбора m элементов из множества, состоящего из n элементов:
— без
возвращения,
когда выбранные элементы после извлечения
не возвращаются в исходное множество;
— с
возвращением,
когда выбор осуществляется поэлементно
с обязательным возвращением отобранного
элемента в исходное множество на каждом
шаге выбора.
Схема
выбора без возвращений.
Соединения. Виды соединений
Пусть А – совокупность некоторых n объектов (предметов, элементов и пр.) а1,
а2,
… аn,
объединенных некоторым признаком или
свойством. Из различных элементов
множества А можно образовать группы. Если в каждую
группу входит одно и то же количество
элементов, например, m (m ≤ n),
взятых из множества А,
то говорят, что они образуют соединения из n элементов по m в каждом.
В
зависимости от того, входят ли в соединение все
элементы множества А,- или только часть
элементов этого множества, имеет ли значение порядок
следования элементов, или порядок следования
элементов значения не имеет, под общим
именем соединений принято понимать следующие три типа
комбинаций: перестановки; размещения; сочетания.
Перестановки
Перестановками называются такие изменения, в результате
которых количество выбираемых предметов
сохраняется, а порядок их извлечения
может изменяться случайным способом.
Определение
1.
Соединения, в которые входят все n элементов множества А и которые отличаются только порядком
следования элементов, называются перестановками из n элементов. Количество перестановок
обозначается и читается «Пэ из эн».
Число
перестановок Р из n элементов равно:
Произведение n·(n — 1)·(n — 2)·…
·1
называется факториалом числа n,
обозначается символом n!,
который читается «эн-факториал».
Принято,
что 0!
= 1 и 1!
= 1.
Размещения
Определение
2.
Соединения, каждое из которых содержит m различных элементов (m ≤ n),
взятых из n элементов множества А,
отличающихся друг от друга или составом элементов или порядком расположения элементов, называются размещениями из n элементов по m в каждом.
Число
таких размещений обозначается символом ,
читается «А
из эн по эм».
Число
возможных размещений из n элементов по m в каждом равно произведению m последовательно убывающих на единицу
чисел, из которых большее есть n,
т.е.
Это
еще одна, на мой взгляд, более удобная
расчетная формула для Размещений. По
определению, перестановки являются
частным случаем размещений,
когда m = n: Рn=
А.
Сочетания
Сколькими
способами можно выбрать из n различных объектов (предметов) m штук?
Определение
3.
Соединения, каждое из которых содержит m различных элементов (m ≤ n),
взятых из n элементов множества А,
отличающихся друг от друга по крайней
мере одним элементом, называются сочетаниями из n элементов по m.
Число
таких сочетаний обозначается символом илии читается «цэ из эн по эм».
Из
определения следует, что сочетания
отличаются друг от друга хотя бы одним
элементом, т.е. составом входящих элементов. Изменение порядка
следования элементов внутри одного
сочетания не приводит к образованию
нового сочетания.
Число
всех возможных сочетаний из n элементов по m в каждом выражается формулой
Факториальная
запись этой формулы.
studfiles.net
Урок по алгебре и началам анализа «Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений»
Урок по алгебре и началам анализа
на тему «Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений»
Тип урока: комбинированный
Цели урока:
Обучающая:
повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний;
научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний;
решить простейшие комбинаторные задачи с помощью формул для нахождения числа размещений, перестановок, сочетаний.
Воспитывающая:
воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске;
воспитывать умение работать самостоятельно.
Развивающая:
способствовать развитию внимания.
Оборудование: карандаш, линейка, тетрадь, дидактический материал (карточки-задания).
Обобщение знаний (повторить определения размещений, перестановок, сочетаний и формулы для их нахождения) — 15 мин
Закрепление и проверка усвоения материал решить простейшие комбинаторные задачи с помощью формул для нахождения числа размещений, перестановок, сочетаний. – 10 мин
Домашняя работа — 3 мин
Итог урока – 2 мин
I этап: Организационно-мотивационный
Сообщение темы урока, организация обстановки способствующей усвоению материала.
В практике часто встречаются задачи, при решении которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называется комбинаторикой.
Рассмотрим такие задачи:
1) Перестановки
Задача №1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
В задаче нам нужно составить комбинации из трех цифр и подсчитать их число. В процессе решения этой задачи постараемся выяснить структуру полученных комбинаций (чем одна комбинация отличается от другой), способ рассуждений и правило подсчета комбинаций.
135, 153, 315, 351, 513, 531.
При решении этой задачи мы составили 6 комбинаций из трех цифр. Обратим внимание, что каждая из полученных комбинаций отличается друг от друга только порядком расположения элементов. Такие комбинации называются перестановками.
Определение. Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения.
Число перестановок из n элементов обозначается . Для любого натурального числа n справедлива формула
Задача №2. Сколькими способами можно поставить на полке рядом 5 разных книг?
Решение:
Задача №3. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлены 6 приборов?
Решение:
2) Размещения
Задача №4. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
На первом месте в комбинации из двух может стоять любая из цифр 1,3,5. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр двумя способами. Перечислим все комбинации: 13; 15; 31; 35; 51; 53.
Обратим внимание, что каждая из полученных комбинаций отличается друг от друга самими элементами или порядком их расположения. Такие комбинации называются размещениями.
Определение. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Число размещений из n элементов по k обозначают и вычисляют по формуле:
Задача №5. Учащиеся 5 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 5 различных предметов?
Решение: Любое расписание на один день, составленное из 5 различных предметов, отличается от другого либо предметами, либо порядком следования. Значит, речь идет о размещениях из10 по 5:.
3) Сочетания
Задача №6. Пусть имеются цифры 1,3,5. Из них нужно составить комбинации по 2 элемента, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Решение 13; 15; 35.
Алгоритм: сначала отбрасываем последнюю цифру в исходной записи (5), потом вторую в исходной записи (3), потом третью (1). Каждая из этих комбинаций отличается от любой другой, хотя бы одним входящим в нее элементом. Нет ни одной комбинации с одинаковым составом элементов. Такие комбинации называются сочетаниями.
Определение. Сочетаниями из данных n элементов по k называют любую группу из k этих элементов.
Понятие сочетания не связано с расположением (порядком) элементов.
Число сочетаний из n элементов по k обозначают и вычисляют по формуле:
Задача №7. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 2 карты?
Решение:
Рассмотрим различные комбинаторные задачи.
Задача №8. Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3,5,7,9.Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр один раз?(12)
Типичные задачи, в которых обычно путаются учащиеся
Сочетания
Размещения
1. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек? {Вася, Петя} = {Петя, Вася} – одно и тоже. Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 5, значит это сочетание из пяти по два.
1. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями? {Вася, Петя} ≠ {Петя, Вася} – разные обмены. Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 5, значит это размещение из пяти по два.
Перестановки
1. Сколькими способами n человек могут сесть на одной скамейке? Pn = n!
2. Сколькими способами n человек могут сесть за круглым столом?
Рассмотрим различные комбинаторные задачи.
Задача №8. Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3,5,7,9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр один раз?
Задача №9. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет? (24)
Задача №10. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? (870)
Задача №11. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов? (210)
Задача №12. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?
Задача №13. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
Задача №14. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.
Задача №15. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Задача №16. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Задача №17. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Самостоятельная работа по вариантам
1 вариант
2 вариант
3 вариант
1. Сколько различных экзаменационных комиссий по 3 человека можно составить, если на кафедре 20 преподавателей?
1. В нашем распоряжении есть 5 разноцветных флагов. Сколько различных сигналов, состоящих из 3 флагов, можно поднять на флаг штоке?
1. Сколькими способами можно выбрать 6 различных пирожных в кондитерской, где имеется 11 сортов пирожных?
2. Сколькими способами можно окрасить трехкомнатную квартиру (каждая комната окрашивается одной краской, все комнаты окрашиваются в разные цвет), если имеется 10 различных красок?
2. Имеется 7 путевок в различные дома отдыха и 7 кандидатов. Сколькими способами можно распределить эти путевки?
2. В шахматном турнире участвуют 12 человек. Каждый из участников должен сыграть с каждым из остальных по две партии. Сколько всего партий должны сыграть участники турнира?
3. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?
3. В колоде 52 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?
3. Сколькими способами из 30 человек может выбрать собрание председателя и секретаря?
Домашняя работа
№ 1. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек.
Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?
№ 2. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями.
Сколько всего фотографий необходимо было для этого?
№ 3. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?
infourok.ru
Основные понятия комбинаторики перестановки размещения сочетания
Понятия перестановки, сочетания и размещения в комбинаторике являются самыми начальными и основными понятиями. Рассмотрим начальное понятие, которое начинают изучать уже в пятом классе школы.
Перестановки Пусть необходимо переставить несколько различных объектов всеми возможными способами. При этом количество объектов изменяться не будет, будет изменяться лишь их порядок. Наборы, которые получатся в результате, называют перестановками.
Например, нужно найти количество способов, которыми можно выстроить в ряд трактор, велосипед и машину. Для удобства решения обозначим данные объекты буквами Т, В и М. Таким образом, покажем все возможные способы и посчитаем их количество: (ТВМ), (ТМВ), (ВТМ), (ВМТ), (МТВ), (МВТ). При подсчете видим, что количество таких способов 6.
Их количество можно рассчитать по формуле: .
Тогда данную задачу можно решить намного быстрее: . Здесь 3 – это число объектов, которые необходимо переставить.
Размещения Если необходимо из какого-то набора объектов выбирать объекты, количество которых не совпадает с количеством всего набора, и переставлять их всеми возможными способами, то в таком случае будет менять состав объектов в наборе, а также их порядок. Такие наборы называют размещениями, а их количество можно посчитать с помощью формулы: . Сочетания Если из какого-то количества различных объектов нужно выбирать другое количество объектов всеми возможными способами (в этом случае меняется состав набора, но порядок в нем не важен). Такие наборы называют сочетаниями. Их количество находят по формуле:
1 кв. километр (кв. км) = 1 000 000 кв. метров (кв. м) 1 кв. метр (кв. м) = 100 кв. дециметров (кв. дм) = 10 000 кв. сантиметров (кв. см) 1 кв. дециметр (кв. дм) = 100 кв. сантиметров (кв. см) = 10 000 кв. миллиметров (кв. мм.) 1 гектар (га) = 100 аров (а) = 10 000 кв. метров (кв. м) 1 ар (а) = 100 кв. метров (кв. м)
Удельная теплота сгорания топлива В таблице приведена удельная теплота сгорания для бензина, дерева, дизельного топлива, каменного угля, керосина, пороха, спирта, топлива для реактивных самолетов (ТС–1).
Англо-американская система мер Англо–американские меры длин, площади и объема: морская, английская, международная, географическая мили, дюйм, фут, ярд, сотка, гектар, акр, гран, карат, тройская унция, фунт, центал, короткая, длинная и регистровая тонны, пинта, кварта, галлон, баррель, бушель.
Тепловые свойства веществ В таблице приведены удельная теплоёмкость, температура плавления, удельная теплота плавления для твердых тел, удельная теплоёмкость, температура кипения, удельная теплота парообразования для жидкостей и удельная теплоёмкость, температура конденсации для газов.
Плотность газов и паров В таблице приведены плотности и формулы для основных газов и паров.
Плотность твердых веществ и жидкостей В таблице приведены плотности для некоторых твердых веществ и жидкостей.
Любой из материалов, опубликованных на этом сайте, не может быть воспроизведен в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения владельцев авторских прав. Все статьи имеющиеся на ресурсе размещены с разрешения авторов.
www.habit.ru
Калькулятор Футы в Сантиметры | Сколько см в футе
Пересчёт ft в cm
1 Фут (ft) = 30.48 Сантиметров (см)
Футы
Фут (обозначается как «ft») — единица измерения длины. Фут равен 0,3048 м или 12 дюймам и используется в английской системе мер и США. Единица фут образовалась от английского слова «нога».
Сантиметры
Сантиметр (обозначается как «см») — единица длины в метрической системе, она занимает равную позицию по значимости и распространенности с граммом и секундой в СИ. Сантиметр (0.01 (или 1E-2) метра) – наиболее применяемая мера длины.
Калькулятор расстояний и длин
Конвертировать из
Конвертировать в
Основные единицы измерения длины
Сантиметр
см
Фут
ft
Дюйм
in
Километр
км
Метры
м
Миля (США)
mi
Миллиметр
мм
Морская Миля
Nm
Ярд
yd
Другие единицы измерений
Локоть
Ангстрем
Å
Арпан
Астрономическая единица
au
Аттометр
am
Барликорн
Калибр
cl
Чейн
ch
Cloth Nail
c.n.
Cloth Span
c.s.
Cubit(Biblical)
cub.
Cubit(Greek)
cub.
Дециметр
дм
Декаметр
dam
Эксаметр
Em
Famn
Морская сажень
ftm
Фемтометр
fm
Ферми
Палец
fing.
Фурлонг
fur
Гигаметр
Gm
Хэнд
Ладонь
handb.
Гектометр
hm
Кэн
Килопарсек
kpc
Лига
Световой год
ly
Линк (звено цепи)
li
Длинный Локоть
l.c.
Тростинка
l.r.
Мегаметр
Mm
Мегапарсек
Mpc
Микрометр
Мил
Мил(Шведский)
Римская миля
Нанометр
nm
Парсек
pc
Перч
Петаметр
Pm
Пика
Пикометр
pm
Планка
Поинт
Поле
rd
Reed(Biblical)
Род
rd
Roman Actus
Russian Аршин
Спэн
Тераметр
Tm
Твип
Микродюйм
Vara Conuquera
Vara De Tarea
Основные единицы измерения длины
Сантиметр
см
Фут
ft
Дюйм
in
Километр
км
Метры
м
Миля (США)
mi
Миллиметр
мм
Морская Миля
Nm
Ярд
yd
Другие единицы измерений
Локоть
Ангстрем
Å
Арпан
Астрономическая единица
au
Аттометр
am
Барликорн
Калибр
cl
Чейн
ch
Cloth Nail
c.n.
Cloth Span
c.s.
Cubit(Biblical)
cub.
Cubit(Greek)
cub.
Дециметр
дм
Декаметр
dam
Эксаметр
Em
Famn
Морская сажень
ftm
Фемтометр
fm
Ферми
Палец
fing.
Фурлонг
fur
Гигаметр
Gm
Хэнд
Ладонь
handb.
Гектометр
hm
Кэн
Килопарсек
kpc
Лига
Световой год
ly
Линк (звено цепи)
li
Длинный Локоть
l.c.
Тростинка
l.r.
Мегаметр
Mm
Мегапарсек
Mpc
Микрометр
Мил
Мил(Шведский)
Римская миля
Нанометр
nm
Парсек
pc
Перч
Петаметр
Pm
Пика
Пикометр
pm
Планка
Поинт
Поле
rd
Reed(Biblical)
Род
rd
Roman Actus
Russian Аршин
Спэн
Тераметр
Tm
Твип
Микродюйм
Vara Conuquera
Vara De Tarea
Результат конвертации:
Часто используемые калькуляторы расстояний и мер длины
kalkulator.pro
Перевод дюймов в сантиметры, дюймов в см: таблица и калькулятор
Чтобы перевести дюймы в сантиметры, воспользуйтесь формой или таблицей ниже.
Длина в дюймах:
Перевести в сантиметры
1 дюйм = 2,54 см
Посмотреть определения дюйма и сантиметра. Перейти к таблице для обратного перевода сантиметров в дюймы.
Дюймы в сантиметры
От 0 до 1
От 1 до 100
От 101 до 200
Дюймы
См
Дюймы
См
Дюймы
См
0,01
0,0254
1
2,54
101
256,54
0,02
0,0508
2
5,08
102
259,08
0,03
0,0762
3
7,62
103
261,62
0,04
0,1016
4
10,16
104
264,16
0,05
0,1270
5
12,70
105
266,70
0,06
0,1524
6
15,24
106
269,24
0,07
0,1778
7
17,78
107
271,78
0,08
0,2032
8
20,32
108
274,32
0,09
0,2286
9
22,86
109
276,86
0,10
0,2540
10
25,40
110
279,40
0,11
0,2794
11
27,94
111
281,94
0,12
0,3048
12
30,48
112
284,48
0,13
0,3302
13
33,02
113
287,02
0,14
0,3556
14
35,56
114
289,56
0,15
0,3810
15
38,10
115
292,10
0,16
0,4064
16
40,64
116
294,64
0,17
0,4318
17
43,18
117
297,18
0,18
0,4572
18
45,72
118
299,72
0,19
0,4826
19
48,26
119
302,26
0,20
0,5080
20
50,80
120
304,80
0,21
0,5334
21
53,34
121
307,34
0,22
0,5588
22
55,88
122
309,88
0,23
0,5842
23
58,42
123
312,42
0,24
0,6096
24
60,96
124
314,96
0,25
0,6350
25
63,50
125
317,50
Дюймы
См
Дюймы
См
Дюймы
См
0,26
0,6604
26
66,04
126
320,04
0,27
0,6858
27
68,58
127
322,58
0,28
0,7112
28
71,12
128
325,12
0,29
0,7366
29
73,66
129
327,66
0,30
0,7620
30
76,20
130
330,20
0,31
0,7874
31
78,74
131
332,74
0,32
0,8128
32
81,28
132
335,28
0,33
0,8382
33
83,82
133
337,82
0,34
0,8636
34
86,36
134
340,36
0,35
0,8890
35
88,90
135
342,90
0,36
0,9144
36
91,44
136
345,44
0,37
0,9398
37
93,98
137
347,98
0,38
0,9652
38
96,52
138
350,52
0,39
0,9906
39
99,06
139
353,06
0,40
1,0160
40
101,60
140
355,60
0,41
1,0414
41
104,14
141
358,14
0,42
1,0668
42
106,68
142
360,68
0,43
1,0922
43
109,22
143
363,22
0,44
1,1176
44
111,76
144
365,76
0,45
1,1430
45
114,30
145
368,30
0,46
1,1684
46
116,84
146
370,84
0,47
1,1938
47
119,38
147
373,38
0,48
1,2192
48
121,92
148
375,92
0,49
1,2446
49
124,46
149
378,46
0,50
1,2700
50
127,00
150
381,00
Дюймы
См
Дюймы
См
Дюймы
См
0,51
1,2954
51
129,54
151
383,54
0,52
1,3208
52
132,08
152
386,08
0,53
1,3462
53
134,62
153
388,62
0,54
1,3716
54
137,16
154
391,16
0,55
1,3970
55
139,70
155
393,70
0,56
1,4224
56
142,24
156
396,24
0,57
1,4478
57
144,78
157
398,78
0,58
1,4732
58
147,32
158
401,32
0,59
1,4986
59
149,86
159
403,86
0,60
1,5240
60
152,40
160
406,40
0,61
1,5494
61
154,94
161
408,94
0,62
1,5748
62
157,48
162
411,48
0,63
1,6002
63
160,02
163
414,02
0,64
1,6256
64
162,56
164
416,56
0,65
1,6510
65
165,10
165
419,10
0,66
1,6764
66
167,64
166
421,64
0,67
1,7018
67
170,18
167
424,18
0,68
1,7272
68
172,72
168
426,72
0,69
1,7526
69
175,26
169
429,26
0,70
1,7780
70
177,80
170
431,80
0,71
1,8034
71
180,34
171
434,34
0,72
1,8288
72
182,88
172
436,88
0,73
1,8542
73
185,42
173
439,42
0,74
1,8796
74
187,96
174
441,96
0,75
1,9050
75
190,50
175
444,50
Дюймы
См
Дюймы
См
Дюймы
См
0,76
1,9304
76
193,04
176
447,04
0,77
1,9558
77
195,58
177
449,58
0,78
1,9812
78
198,12
178
452,12
0,79
2,0066
79
200,66
179
454,66
0,80
2,0320
80
203,20
180
457,20
0,81
2,0574
81
205,74
181
459,74
0,82
2,0828
82
208,28
182
462,28
0,83
2,1082
83
210,82
183
464,82
0,84
2,1336
84
213,36
184
467,36
0,85
2,1590
85
215,90
185
469,90
0,86
2,1844
86
218,44
186
472,44
0,87
2,2098
87
220,98
187
474,98
0,88
2,2352
88
223,52
188
477,52
0,89
2,2606
89
226,06
189
480,06
0,90
2,2860
90
228,60
190
482,60
0,91
2,3114
91
231,14
191
485,14
0,92
2,3368
92
233,68
192
487,68
0,93
2,3622
93
236,22
193
490,22
0,94
2,3876
94
238,76
194
492,76
0,95
2,4130
95
241,30
195
495,30
0,96
2,4384
96
243,84
196
497,84
0,97
2,4638
97
246,38
197
500,38
0,98
2,4892
98
248,92
198
502,92
0,99
2,5146
99
251,46
199
505,46
1,00
2,5400
100
254,00
200
508,00
Дюймы
См
Дюймы
См
Дюймы
См
Дюймы в сантиметры
От 201 до 300
От 301 до 400
От 401 до 500
Дюймы
См
Дюймы
См
Дюймы
См
201
510,54
301
764,54
401
1 018,54
202
513,08
302
767,08
402
1 021,08
203
515,62
303
769,62
403
1 023,62
204
518,16
304
772,16
404
1 026,16
205
520,70
305
774,70
405
1 028,70
206
523,24
306
777,24
406
1 031,24
207
525,78
307
779,78
407
1 033,78
208
528,32
308
782,32
408
1 036,32
209
530,86
309
784,86
409
1 038,86
210
533,40
310
787,40
410
1 041,40
211
535,94
311
789,94
411
1 043,94
212
538,48
312
792,48
412
1 046,48
213
541,02
313
795,02
413
1 049,02
214
543,56
314
797,56
414
1 051,56
215
546,10
315
800,10
415
1 054,10
216
548,64
316
802,64
416
1 056,64
217
551,18
317
805,18
417
1 059,18
218
553,72
318
807,72
418
1 061,72
219
556,26
319
810,26
419
1 064,26
220
558,80
320
812,80
420
1 066,80
221
561,34
321
815,34
421
1 069,34
222
563,88
322
817,88
422
1 071,88
223
566,42
323
820,42
423
1 074,42
224
568,96
324
822,96
424
1 076,96
225
571,50
325
825,50
425
1 079,50
Дюймы
См
Дюймы
См
Дюймы
См
226
574,04
326
828,04
426
1 082,04
227
576,58
327
830,58
427
1 084,58
228
579,12
328
833,12
428
1 087,12
229
581,66
329
835,66
429
1 089,66
230
584,20
330
838,20
430
1 092,20
231
586,74
331
840,74
431
1 094,74
232
589,28
332
843,28
432
1 097,28
233
591,82
333
845,82
433
1 099,82
234
594,36
334
848,36
434
1 102,36
235
596,90
335
850,90
435
1 104,90
236
599,44
336
853,44
436
1 107,44
237
601,98
337
855,98
437
1 109,98
238
604,52
338
858,52
438
1 112,52
239
607,06
339
861,06
439
1 115,06
240
609,60
340
863,60
440
1 117,60
241
612,14
341
866,14
441
1 120,14
242
614,68
342
868,68
442
1 122,68
243
617,22
343
871,22
443
1 125,22
244
619,76
344
873,76
444
1 127,76
245
622,30
345
876,30
445
1 130,30
246
624,84
346
878,84
446
1 132,84
247
627,38
347
881,38
447
1 135,38
248
629,92
348
883,92
448
1 137,92
249
632,46
349
886,46
449
1 140,46
250
635,00
350
889,00
450
1 143,00
Дюймы
См
Дюймы
См
Дюймы
См
251
637,54
351
891,54
451
1 145,54
252
640,08
352
894,08
452
1 148,08
253
642,62
353
896,62
453
1 150,62
254
645,16
354
899,16
454
1 153,16
255
647,70
355
901,70
455
1 155,70
256
650,24
356
904,24
456
1 158,24
257
652,78
357
906,78
457
1 160,78
258
655,32
358
909,32
458
1 163,32
259
657,86
359
911,86
459
1 165,86
260
660,40
360
914,40
460
1 168,40
261
662,94
361
916,94
461
1 170,94
262
665,48
362
919,48
462
1 173,48
263
668,02
363
922,02
463
1 176,02
264
670,56
364
924,56
464
1 178,56
265
673,10
365
927,10
465
1 181,10
266
675,64
366
929,64
466
1 183,64
267
678,18
367
932,18
467
1 186,18
268
680,72
368
934,72
468
1 188,72
269
683,26
369
937,26
469
1 191,26
270
685,80
370
939,80
470
1 193,80
271
688,34
371
942,34
471
1 196,34
272
690,88
372
944,88
472
1 198,88
273
693,42
373
947,42
473
1 201,42
274
695,96
374
949,96
474
1 203,96
275
698,50
375
952,50
475
1 206,50
Дюймы
См
Дюймы
См
Дюймы
См
276
701,04
376
955,04
476
1 209,04
277
703,58
377
957,58
477
1 211,58
278
706,12
378
960,12
478
1 214,12
279
708,66
379
962,66
479
1 216,66
280
711,20
380
965,20
480
1 219,20
281
713,74
381
967,74
481
1 221,74
282
716,28
382
970,28
482
1 224,28
283
718,82
383
972,82
483
1 226,82
284
721,36
384
975,36
484
1 229,36
285
723,90
385
977,90
485
1 231,90
286
726,44
386
980,44
486
1 234,44
287
728,98
387
982,98
487
1 236,98
288
731,52
388
985,52
488
1 239,52
289
734,06
389
988,06
489
1 242,06
290
736,60
390
990,60
490
1 244,60
291
739,14
391
993,14
491
1 247,14
292
741,68
392
995,68
492
1 249,68
293
744,22
393
998,22
493
1 252,22
294
746,76
394
1 000,76
494
1 254,76
295
749,30
395
1 003,30
495
1 257,30
296
751,84
396
1 005,84
496
1 259,84
297
754,38
397
1 008,38
497
1 262,38
298
756,92
398
1 010,92
498
1 264,92
299
759,46
399
1 013,46
499
1 267,46
300
762,00
400
1 016,00
500
1 270,00
Дюймы
См
Дюймы
См
Дюймы
См
Единицы длины: дюйм и сантиметр
Дюйм (сокращенно ″) — единица длины в британской имперской системе мер, официальной системе мер и весов, принятой
в Британской империи.
Почти во всех странах, где была в ходу имперская система мер, она была заменена на метрическую систему. Тем не менее, единицы
имперской системы мер всё ещё широко употребляются в Великобритании, Канаде, некоторых других странах – членах Британского Содружества, а также в США.
1 дюйм равен в точности 25,4 мм или 2,54 см.
Сантиметр (см) — единица длины в метрической системе мер, которая в своём современном варианте называется
Международная система единиц (СИ).
Основной единицей длины в системе СИ является метр. Префикс «санти» означает «одна сотая». 1 сантиметр равен 0,01 метра.
1 сантиметр приблизительно равен 0,3937 дюйма.
dateandtime.info
Сколько в метре (погонном, квадратном) сантиметров: таблица
26 декабря 2016
2412
Зачастую возникает необходимость соотносить различные единицы измерения друг с другом. Это может оказаться важным при измерении длины отреза ткани, площади комнаты или объёма посуды.
Определяем точные значения
Казалось бы, что может быть проще, если один сантиметр – сотая доля метра, то и ответ на вопрос, сколько в 1 метре сантиметров, очевиден, то есть значение равно 100. Но дело в том, что количество см очень зависит от того, идёт ли речь о погонном кубическом или квадратном метре.
Теперь разберемся, сколько в квадратном метре сантиметров? Такой величиной измеряют площадь, и она представляет собой квадрат со стороной 1м. В каждом метре 100 см, поэтому по периметру квадратного — их укладывается 400.
Для того, чтобы оценить, сколько сантиметров укладывается во всей площади м², существует другая единица, аналогичная квадратному метру – квадратный сантиметр.
А сколько см² в 1 м²? Как уже говорилось, квадратный метр – это квадрат со стороной 1 м и площадью 1 кв.м. Соответственно, см² – такой же квадрат со стороной в 1 см. На м² их укладывается не 100, как если бы речь шла об обычных сантиметрах, а 10 000. Следовательно, в 1 м² – 10 000 кв.см.
Чтобы визуально представить, почему происходит увеличение количества сантиметров в 100 раз, можно взять обыкновенный тетрадный лист в клеточку, и начертить на нём квадрат.
Тогда можно будет легко посчитать, сколько клеток приходится на каждую сторону квадрата, а сколько – занимает площадь. То же самое происходит и с м².
Сколько в 1 кубическом метре кубических сантиметров? С см³ всё ещё сложнее, чем с квадратными, поскольку речь идёт уже не о квадрате, а о кубе со стороной 1 м. Соответственно, и см³ в нём помещается ещё в 100 раз больше – 1000 000.
Такая огромная разница в размерах делает необходимым применение ещё одной единицы измерения – кубического дециметра (литра), составляющего 1000 куб.см. При том, что погонный и квадратный дециметр используются редко.
Как и в примере с м² и см², количество сантиметров в метре увеличивается ещё в 100 раз. Визуализировать это сложнее, чем единицы площади, но при желании также возможно.
Чтобы измерить периметр м³ погонными сантиметрами, а также его площадь – квадратными, пользуются формулами вычисления периметра и площади поверхности объёмных тел. Периметр м³ будет составлять 1200 см, а площадь поверхности 60 000 кв.см.
Сколько в погонном метре сантиметров?
С этим вопросом гораздо проще, чем со всеми предыдущими. Погонный метр – это линейный, обычный метр, которым измеряют длину. И погонных сантиметров в нём укладывается ровно столько, сколько видно из названия – 100.
Дизайн детской комнаты для девочки — идеи есть в нашей публикации.
Как ухаживать за орхидеями можно узнать из этой статьи.
Отсюда вы узнаете, как выбирать палки для скандинавской ходьбы.
Таблица-шпаргалка
Итак, чтобы было легче разобраться с единицами измерения, их можно свести в одну таблицу, в которой будет видно их соотношение, и можно будет довольно легко перевести одни единицы в другие.
Погонный м
Квадратный м
Кубический м
Погонный см
100
400 по периметру
1200 по периметру
Квадратный см
—
10 000
60 000 по площади
Кубический см
—
—
1000 000
И еще немного информации по теме — в следующем видео.
Статья была полезна?
0
Рассказать друзьям:
nektarin.su
Калькулятор количества досок в 1 кубе. Таблица сечений пиломатериалов. Таблица сколько 6 метровых досок в одном кубе
На этой странице вы сможете посчитать количество досок в одном кубическом метре. Также показана таблица стандартных сечений пиломатериалов и таблица количества досок (бруса) в 1 кубе для длины 6 метров.
Калькулятор расчета количества досок (бруса) в одном кубометре по сечению и длине
ОТВЕТ: в одном кубе 0 шт
Калькулятор известно количество досок (бруса) — сколько это кубов?
ОТВЕТ: таких доски (бруса) это 0 м3 стоимостью 0 руб
Таблица стандартных размеров сечений досок и бруса.
Сечения досок и бруса имеют стандартные размеры, которые соответствуют ГОСТ 24454-80 «Пиломатериалы хвойных пород. Размеры»
Толщина, мм
Ширина, мм
16
75
100
125
150
—
—
—
—
—
19
75
100
125
150
175
—
—
—
—
22
75
100
125
150
175
200
225
—
—
25
75
100
125
150
175
200
225
250
275
32
75
100
125
150
175
200
225
250
275
40
75
100
125
150
175
200
225
250
275
44
75
100
125
150
175
200
225
250
275
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
60
75
100
125
150
175
200
225
250
275
75
75
100
125
150
175
200
225
250
275
100
—
100
125
150
175
200
225
250
275
125
—
—
125
150
175
200
225
250
—
150
—
—
—
150
175
200
225
250
—
175
—
—
—
—
175
200
225
250
—
200
—
—
—
—
—
200
225
250
—
250
—
—
—
—
—
—
—
250
—
Таблица сколько 6 метровых досок в одном кубе
Для досок стандартной длины 6 метров посчитана следующая таблица. Пиломатериалы маленьких сечений имеющиеся в розничной продаже конечно же меньше 6 метров. Обычно это 3 м или 2,5 м. Для расчета количества любых нестандартных размеров используйте калькулятор вверху страницы.
№ п/п
Размер сечения, мм
Длина, мм
Количество в 1 кубе, шт
Площадь которую можно зашить используя 1 куб, м2
1
16х75
6000
138,89
62,50
2
16х100
6000
104,17
62,50
3
16х125
6000
83,33
62,50
4
16х150
6000
69,44
62,50
5
19х75
6000
116,96
52,63
6
19х100
6000
87,72
52,63
7
19х125
6000
70,18
52,63
8
19х150
6000
58,48
52,63
9
19х175
6000
50,13
52,63
10
22х75
6000
101,01
45,45
11
22х100
6000
75,76
45,45
12
22х125
6000
60,61
45,45
13
22х150
6000
50,51
45,45
14
22х175
6000
43,29
45,45
15
22х200
6000
37,88
45,45
16
22х225
6000
33,67
45,45
17
25х75
6000
88,89
40,00
18
25х100
6000
66,67
40,00
19
25х125
6000
53,33
40,00
20
25х150
6000
44,44
40,00
21
25х175
6000
38,10
40,00
22
25х200
6000
33,33
40,00
23
25х225
6000
29,63
40,00
24
25х250
6000
26,67
40,00
25
25х275
6000
24,24
40,00
26
32х75
6000
69,44
31,25
27
32х100
6000
52,08
31,25
28
32х125
6000
41,67
31,25
29
32х150
6000
34,72
31,25
30
32х175
6000
29,76
31,25
31
32х200
6000
26,04
31,25
32
32х225
6000
23,15
31,25
33
32х250
6000
20,83
31,25
34
32х275
6000
18,94
31,25
35
40х75
6000
55,56
25,00
36
40х100
6000
41,67
25,00
37
40х125
6000
33,33
25,00
38
40х150
6000
27,78
25,00
39
40х175
6000
23,81
25,00
40
40х200
6000
20,83
25,00
41
40х225
6000
18,52
25,00
42
40х250
6000
16,67
25,00
43
40х275
6000
15,15
25,00
44
44х75
6000
50,51
22,73
45
44х100
6000
37,88
22,73
46
44х125
6000
30,30
22,73
47
44х150
6000
25,25
22,73
48
44х175
6000
21,65
22,73
49
44х200
6000
18,94
22,73
50
44х225
6000
16,84
22,73
51
44х250
6000
15,15
22,73
52
44х275
6000
13,77
22,73
53
50х75
6000
44,44
20,00
54
50х100
6000
33,33
20,00
55
50х125
6000
26,67
20,00
56
50х150
6000
22,22
20,00
57
50х175
6000
19,05
20,00
58
50х200
6000
16,67
20,00
59
50х225
6000
14,81
20,00
60
50х250
6000
13,33
20,00
61
50х275
6000
12,12
20,00
62
60х75
6000
37,04
16,67
63
60х100
6000
27,78
16,67
64
60х125
6000
22,22
16,67
65
60х150
6000
18,52
16,67
66
60х175
6000
15,87
16,67
67
60х200
6000
13,89
16,67
68
60х225
6000
12,35
16,67
69
60х250
6000
11,11
16,67
70
60х275
6000
10,10
16,67
71
75х75
6000
29,63
13,33
72
75х100
6000
22,22
13,33
73
75х125
6000
17,78
13,33
74
75х150
6000
14,81
13,33
75
75х175
6000
12,70
13,33
76
75х200
6000
11,11
13,33
77
75х225
6000
9,88
13,33
78
75х250
6000
8,89
13,33
79
75х275
6000
8,08
13,33
80
100х100
6000
16,67
10,00
81
100х125
6000
13,33
10,00
82
100х150
6000
11,11
10,00
83
100х175
6000
9,52
10,00
84
100х200
6000
8,33
10,00
85
100х225
6000
7,41
10,00
86
100х250
6000
6,67
10,00
87
100х275
6000
6,06
10,00
88
125х125
6000
10,67
8,00
89
125х150
6000
8,89
8,00
90
125х175
6000
7,62
8,00
91
125х200
6000
6,67
8,00
92
125х225
6000
5,93
8,00
93
125х250
6000
5,33
8,00
94
150х150
6000
7,41
6,67
95
150х175
6000
6,35
6,67
96
150х200
6000
5,56
6,67
97
150х225
6000
4,94
6,67
98
150х250
6000
4,44
6,67
99
175х175
6000
5,44
5,71
100
175х200
6000
4,76
5,71
101
175х225
6000
4,23
5,71
102
175х250
6000
3,81
5,71
103
200х200
6000
4,17
5,00
104
200х225
6000
3,70
5,00
105
200х250
6000
3,33
5,00
106
250х250
6000
2,67
4,00
xn--80ahyhwag.xn--p1ai
Меры длины, площади, объёма, массы
Меры длины линейные, меры площади, меры объёма, меры массы. Три варианта таблицы умножения. Десятичная система счисления
Меры длины, площади, объёма, массы. Таблицы умножения
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, или детерминант, – в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число («значение» определителя). Очень часто под понятием «определитель» имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе. Открытие определителей приписывают японскому математику С.Кова (1683) и, независимо, Г.Лейбницу (1693). Современная теория восходит к работам Ж.Бине, О.Коши и К.Якоби в начале 19 в.
Простейший определитель состоит из 4 чисел, называемых элементами и расположенных в виде 2-х строк и 2-х столбцов. О таком определителе говорят, что он 2-го порядка. Например, таков определитель
значение которого равно 2ґ5 – 3ґ1 (т.е. 10 – 3 или 7). В общем случае определитель 2-го порядка принято записывать в виде
а его значение равно a1b2 – a2b1, где a и b – числа или функции.
Определитель 3-го порядка состоит из 9 элементов, расположенных в виде 3-х строк и 3-х столбцов. В общем случае определитель n-го порядка состоит из n2 элементов, и обычно его записывают как
Первый индекс каждого элемента указывает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, поэтому aij – элемент i-й строки и j-го столбца. Часто такой определитель записывают в виде |aij|.
Один из методов вычисления определителя, почти всегда используемый при вычислении определителей высокого порядка, состоит в разложении по «минорам». Минором, соответствующим любому элементу определителя, называется определитель меньшего на 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например, минором, соответствующим элементу a2 из определителя
«Алгебраическим дополнением» элемента называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент, четна, и со знаком минус, если она нечетна. В приведенном выше примере элемент a2 состоит в 1-м столбце и во 2-й строке; сумма (1 + 2) нечетна, и поэтому алгебраическое дополнение элемента a2 равно его минору, взятому со знаком минус, т.е.
Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, определитель
разложенный по первому столбцу, имеет вид
а его разложение по второй строке, имеет вид
Вычислив каждый минор и умножив его на коэффициент, нетрудно убедиться в том, что оба выражения совпадают.
Значение определителя.
Под значением определителя
принято понимать сумму всех произведений из n элементов, т.е.
В этой формуле суммирование ведется по всем перестановкам j1, ј, jn чисел 1, 2, ј, n и перед членом ставится знак плюс, если перестановка четна, и минус, если эта перестановка нечетна. Такая сумма насчитывает ровно n! членов, половина которых берется со знаком плюс, половина – со знаком минус. Каждый член суммы содержит по одному члену из каждого столбца и каждой строки определителя. Можно доказать, что эта сумма совпадает с выражением, получаемым при разложении определителя по минорам.
Свойства определителя.
Среди наиболее важных свойств определителя назовем следующие.
(i) Если все элементы любой строки (или любого столбца) равны нулю, то и значение определителя равно нулю:
(ii) Если элементы двух строк (или двух столбцов) равны или пропорциональны, то значение определителя равно нулю:
(iii) Значение определителя не изменится, если все его строки и столбцы поменять местами, т.е. записать первую строку в виде первого столбца, вторую строку – в виде второго столбца и т.д. (такая операция называется транспонированием). Например,
(iv) Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на произвольный множитель. В следующем примере элементы второй строки умножаются на –2 и прибавляются к элементам первой строки:
(v) Если поменять местами две строки (или два столбца), то определитель изменит знак:
(vi) Если все элементы одной строки (или одного столбца) содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя:
Пример. Вычислим значение следующего определителя 4-го порядка:
Прибавим к 1-й строке 4-ю строку:
Вычтем 1-й столбец из 4-го столбца:
Умножим 3-й столбец на 3 и вычтем из 4-го столбца:
Если угодно, то строки и столбцы можно поменять местами:
Разложим определитель по элементам четвертой строки. Три элемента этой строки равны нулю, ненулевой элемент стоит в третьем столбце, а поскольку сумма (3 + 4) нечетна, его алгебраическое дополнение имеет знак минус. В результате получаем:
Минор можно разложить по элементам третьей строки: два ее элемента равны нулю, а отличный от нуля элемент стоит в третьем столбце; сумма (3 + 3) четна, поэтому предыдущее равенство можно продолжить:
Применения.
Решение системы уравнений
можно получить, если первое уравнение умножить на b2, второе – на b1, а затем вычесть одно уравнение из другого. Проделав эти операции, мы получим
или, если
то
Такая запись решения с помощью определителей допускает обобщение на случай решения системы n линейных уравнений с n неизвестными; каждый определитель будет n-го порядка. Определителем системы линейных уравнений
будет
Заметим, что если D = 0, то уравнения либо несовместны, либо не являются независимыми. Поэтому предварительное вычисление определителя D позволяет проверить, разрешима ли система линейных уравнений.
Определители в аналитической геометрии.
Общее уравнение конического сечения представимо в виде
Определитель
называется дискриминантом. Если D = 0, то кривая вырождается в пару параллельных или пересекающихся прямых либо в точку (см. также КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ).
Другой пример: площадь треугольника A с вершинами в точках (обход – против часовой стрелки) (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3) определяется выражением
Связь определителей с матрицами.
Матрицей называется запись массива чисел в виде прямоугольной таблицы. Определители связаны с квадратными матрицами; например, определитель матрицы
Если A, B и С – квадратные матрицы и , то |A|Ч|B| = |C|. См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.
Якобиан.
Если x = f (u, v), y = g (u, v) – преобразование координат, то определитель
называется якобианом или определителем Якоби этого преобразования. Если J № 0 в некоторой точке, то в ее окрестности уравнения преобразования можно однозначно разрешить относительно u и v, представив их как функции от x и y.
www.krugosvet.ru
Умножение — определитель — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Умножение — определитель
Cтраница 1
Умножение определителей одного и того же порядка производится по правилу умножения матриц.
[1]
Но умножение определителя, одна строка которого состоит из векторов, на некоторый вектор можно, очевидно1), произвести, умножая эту строку на данный вектор.
[2]
Правила умножения определителей совпадают с правилами умножения матриц, поэтому определитель, полученный в результате перемножения двух матриц, равен произведению двух отдельных определителей.
[3]
Согласно правилу умножения определителей, с учетом формул упр.
[4]
С помощью умножения определителей доказать, что при перестановке двух строк ( или столбцов) определитель меняет знак.
[5]
С помощью умножения определителей доказать, что при перестановке двух строк ( или столбцов) определитель меняет знак.
[6]
Теорема об умножении определителей могла бы быть доказана и без использования теоремы Лапласа.
[7]
Теорема об умножении определителей не приводит в случае вырожденных матриц ни к какому высказыванию сверх того, что их произведение также будет вырожденным, хотя вырожденные квадратные матрицы можно еще различать по их рангам.
[8]
Это следует из правила умножения определителей.
[9]
Это тождество выражает теорему умножения определителей. Произведение двух определителей Третьего порядка равно определителю того же порядка, у которого на пересечении г — го столбца и fe — й строки стоит сумма произведений элементов 1-го столбца множимого на соответствующие элементы й-й строки множителя. Для краткости говорят, что определитель-произведение получается умножением столбцов первого определителя на строки второго.
[10]
Свойство 5 выражает правило умножения определителя на некоторое число.
[11]
Сопоставляя эти формулы с законом умножения определителей ( в конце гл.
[12]
В этом и состоит теорема об умножении определителей.
[13]
Эту теорему называют также теоремой об умножении определителей.
[14]
Доказанное предложение называют также теоремой об умножении определителей. Кроме того, ясно, что если хотя бы одно из преобразований А или В вырожденное, то вырожденным будет и их произведение.
[15]
Страницы:
1
2
3
www.ngpedia.ru
Далее будем рассматривать только квадратные матрицы. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, называемое Определителем матрицы и вычисляемое по определенному правилу.
Определитель матрицы естественно возникает при решении систем линейных уравнений, или в свернутой форме , или в свернутой форме . Предыдущая формула получается разложением определителя по первой строке.
Возьмем теперь квадратную матрицу -го порядка
(9.2)
Для записи определителя -го порядка матрицы будем применять обозначения . При матрица состоит из одного элемента и ее определитель равен этому элементу. При получаем определитель .
Минором элемента матрицы называют определитель матрицы -го порядка, получаемого из матрицы вычеркиванием -той строки и -го столбца.
Пример 7. Найти минор матрицы:
.
По определению, минор элемента есть определитель матрицы, получаемой из матрицы вычеркиванием первой строки и второго столбца. Следовательно, .
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента обозначается , следовательно, .
Пример 8. Найти алгебраическое дополнение элемента матрицы из примера 7.
.
Определителем квадратной матрицы -го порядка называется число:
,
(9.3)
Где ‑ элементы первой строки матрицы (9.2), а их алгебраические дополнения.
Запись по формуле (9.3) называется Разложением определителя по первой строке.
Рассмотрим свойства определителей.
Свойство 1.При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.
Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому определение определителя можно сформулировать так:
Определителем квадратной матрицы -го порядка называется число:
,
(9.4)
Где ‑ элементы первого столбца матрицы (9.2), а их алгебраические дополнения.
Свойство 2.Если поменять местами две строки или два столбца матрицы , то ее определитель изменит знак на противоположный.
Свойства 1 и 2 позволяют обобщить формулы (9.3) и (9.4) следующим образом:
Определитель квадратной матрицы -го порядка (будем в дальнейшем говорить определитель -го порядка) равен сумме попарных произведений любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
, или .
Свойство 3.Определитель, у которого две строки или два столбца одинаковы, равен нулю.
Действительно, поменяем в определителе две одинаковые сроки местами. Тогда, по свойству 2 получим определитель , но с другой стороны, определитель не изменится, т. е. . Отсюда .
Свойство 4.Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя умножить на число , то определитель умножится на .
.
Умножим элементы -той строки на . Тогда получим определитель:
.
Следствие 1. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.
Следствие 2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Свойство 5.Определитель, у которого две строки (два столбца) пропорциональны, равен нулю.
Пусть -я строка пропорциональна -ой строке. Вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 3 равен нулю.
Свойство 6. Если каждый элемент строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: у одного из них -той строкой (столбцом)служат первые слагаемые, а у другого – вторые.
Разложив определитель по -той строке получим:
.
Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Прибавив к элементам -той строки определителя соответствующие элементы -ой строки, умноженные на число , получим определитель . Определитель равен сумме двух определителей: первый есть , а второй равен нулю, так как у него -тая и -тая строки пропорциональны.
Свойство 8. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т. е.:
Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.
Рассмотрим вспомогательный определитель , который получается из данного определителя заменой -той строки -той строкой. Определитель равен нулю, так как у него две одинаковые строки. Разложив его по -той строке получим:
.
Большое значение имеет следующий критерий равенства определителя нулю. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда когда его строки (столбцы) линейно зависимы.
Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если одна (один) из них является линейной комбинацией с действительными коэффициентами остальных.
Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих квадратных матриц, т. е. .
< Предыдущая
Следующая >
matica.org.ua
Глава 4. Свойства определителей
Глава 4. Свойства определителей
Глава 4. Свойства определителей
СВОЙСТВО 1. Величина
определителя не изменится, если все его строки
заменить столбцами, причем каждую строку
заменить столбцом с тем же номером, то есть
.
СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов
или двух строк определителя равносильна
умножению его на -1. Например,
.
СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два
одинаковых столбца или две одинаковые строки, то
он равен нулю.
СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов
одного столбца или одной строки определителя на
любое число k равносильно
умножению определителя на это число k. Например,
.
СВОЙСТВО 5. Если все элементы
некоторого столбца или некоторой строки равны
нулю, то сам определитель равен нулю. Это
свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).
СВОЙСТВО 6. Если соответствующие
элементы двух столбцов или двух строк
определителя пропорциональны, то определитель
равен нулю.
СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й
строки определителя представляет собой сумму
двух слагаемых, то определитель может быть
представлен в виде суммы двух определителей, из
которых один в n-м столбце или
соответственно в n-й строке
имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой —
вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у
вех трех определителей одни и те же. Например,
СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого
столбца (или некоторой строки) прибавить
соответствующие элементы другого столбца (или
другой строки), умноженные на любой общий
множитель, то величина определителя при этом не
изменится. Например,
.
Дальнейшие свойства определителей
связаны с понятием алгебраического дополнения и
минора. Минором некоторого элемента называется
определитель, получаемый из данного путем
вычеркиванием строки и столбца, на пересечении
которых расположен этот элемент.
Алгебраическое дополнение любого
элемента определителя равняется минору этого
элемента, взятому со своим знаком, если сумма
номеров строки и столбца, на пересечении которых
расположен элемент, есть число четное, и с
обратным знаком, если это число нечетное.
Алгебраическое дополнение элемента мы
будем обозначать большой буквой того же
наименования и тем же номером, что и буква, кторой
обозначен сам элемент.
СВОЙСТВО 9. Определитель
равен сумме произведений элементов
какого-либо столбца (или строки) на их
алгебраические дополнения.
Знак зодиака Стрелец. По лунному календарю – это сухой бесплодный знак. Благоприятен для работ с почвой, но не для посадок и пересадок. Из ухода эффективен только полив растений.
Год Свиньи по китайскому гороскопу
Другие графические счетчики оставшегося времени 2019 года:
Бесплатные калькуляторы дат
date.kalkulator.pro
Сколько осталось дней до 25.11.2022
Осталось времени до этой даты
ДНИ
ЧАСЫ
МИНУТЫ
СЕКУНДЫ
Скопируйте код счетчика себе на сайт или в блог:
Осталось времени
Лет
3
месяцев
40
недель
180
дней
1263
часов
30327
минут
1819630
секунд
109177820
Луна будет Новая, 1 лунный день
Продолжительность дня 7 часов 36 минут
Длина ночи 16 часов 24 минут
Знак зодиака Стрелец. По лунному календарю – это сухой бесплодный знак. Благоприятен для работ с почвой, но не для посадок и пересадок. Из ухода эффективен только полив растений.
Год Тигра по китайскому гороскопу
Другие графические счетчики оставшегося времени 2022 года:
Бесплатные калькуляторы дат
date.kalkulator.pro
Сколько осталось дней до 25.11.2020
Осталось времени до этой даты
ДНИ
ЧАСЫ
МИНУТЫ
СЕКУНДЫ
Скопируйте код счетчика себе на сайт или в блог:
Осталось времени
Лет
1
месяцев
17
недель
76
дней
533
часов
12807
минут
768430
секунд
46105820
Луна будет Прибывающая, 9.8 лунный день
Продолжительность дня 7 часов 35 минут
Длина ночи 16 часов 25 минут
Знак зодиака Стрелец. По лунному календарю – это сухой бесплодный знак. Благоприятен для работ с почвой, но не для посадок и пересадок. Из ухода эффективен только полив растений.
Год Крысы по китайскому гороскопу
Другие графические счетчики оставшегося времени 2020 года:
Бесплатные калькуляторы дат
date.kalkulator.pro
Сколько осталось дней до 25.11.2021
Осталось времени до этой даты
ДНИ
ЧАСЫ
МИНУТЫ
СЕКУНДЫ
Скопируйте код счетчика себе на сайт или в блог:
Осталось времени
Лет
2
месяцев
28
недель
128
дней
898
часов
21567
минут
1294030
секунд
77641820
Луна будет Убывающая, 19.7 лунный день
Продолжительность дня 7 часов 36 минут
Длина ночи 16 часов 24 минут
Знак зодиака Стрелец. По лунному календарю – это сухой бесплодный знак. Благоприятен для работ с почвой, но не для посадок и пересадок. Из ухода эффективен только полив растений.
Год Быка по китайскому гороскопу
Другие графические счетчики оставшегося времени 2021 года:
Бесплатные калькуляторы дат
date.kalkulator.pro
Сколько осталось дней до 25.07.2019
Осталось времени до этой даты
ДНИ
ЧАСЫ
МИНУТЫ
СЕКУНДЫ
Скопируйте код счетчика себе на сайт или в блог:
Осталось времени
Лет
0
месяцев
1
недель
6
дней
44
часов
1071
минут
64270
секунд
3856220
Луна будет в Последней четверти, 22 лунный день
Продолжительность дня 16 часов 13 минут
Длина ночи 7 часов 47 минут
Знак зодиака Лев. По лунному календарю – это сухой бесплодный знак. Не рекомендуется делать посадки и пересадки. Благоприятное время для прополки, покосов, подкормок, работы с почвой, обрезок, борьбе с вредителями и болезнями.
Год Свиньи по китайскому гороскопу
Другие графические счетчики оставшегося времени 2019 года:
Бесплатные калькуляторы дат
date.kalkulator.pro
Сколько осталось дней до 25.08.2019
Осталось времени до этой даты
ДНИ
ЧАСЫ
МИНУТЫ
СЕКУНДЫ
Скопируйте код счетчика себе на сайт или в блог:
Осталось времени
Лет
0
месяцев
2
недель
10
дней
75
часов
1815
минут
108910
секунд
6534620
Луна будет в Последней четверти, 23.4 лунный день
Продолжительность дня 14 часов 11 минут
Длина ночи 9 часов 49 минут
Знак зодиака Дева. По лунному календарю – это влажный бесплодный знак. Не рекомендуются работы с ягодными и овощными культурами. Благоприятное время для ухода за цветами и декоративными растениями.
Год Свиньи по китайскому гороскопу
Другие графические счетчики оставшегося времени 2019 года:
Бесплатные калькуляторы дат
date.kalkulator.pro
Сколько осталось дней до 25.10.2019
Осталось времени до этой даты
ДНИ
ЧАСЫ
МИНУТЫ
СЕКУНДЫ
Скопируйте код счетчика себе на сайт или в блог:
Осталось времени
Лет
0
месяцев
4
недель
19
дней
136
часов
3279
минут
196750
секунд
11805020
Луна будет Старая, 25.8 лунный день
Продолжительность дня 9 часов 38 минут
Длина ночи 14 часов 22 минут
Знак зодиака Скорпион. По лунному календарю – это влажный плодородный знак. Благоприятное время для борьбы с вредителями и болезнями, сбора урожая для длительного хранения. Благоприятное время для любых посадок и пересадок, ухода за цветами.
Год Свиньи по китайскому гороскопу
Другие графические счетчики оставшегося времени 2019 года:
Параметры замеров плотностей пива (в пределах: 0.5-28.5 и 1.002-1.113):
После того как сусло сварено (приготовлено) и охлаждено до 18-23 градусов, а дрожжи еще не заданы, следует померить его начальную плотность. Кстати, на этикетках пива, сваренного на заводе, такая плотность обозначается как «начальная экстрактивная плотность». Показаниям ареометра или гидрометра будет соответствовать значение алкоголя по таблице ниже. Примем это значение за «А». Это вовсе не означает, что в свежеприготовленном сусле содержится алкоголь — ему попросту неоткуда там взяться! А значение необходимо нам для расчетов.
После того как основное брожение закончилось, дрожжи сделали свое белое дело — переработали сахара в спирт, делаем замер конечной плотности сусла. Теперь в нашем сусле алкоголь действительно есть. Смотрим какое значение алкоголя соответствует нашей конечной плотности. Это будет — «B».
Теперь, чтобы узнать какое количество спирта в сусле набродили дрожжи нужно из А вычесть В.
Алкоголь в сусле после брожения = А — B
Например: Перед брожением плотность сусла составила 12,25 по ареометру, что по таблице составляет А=6,00 % алкоголя. После 10 дней брожения плотность сусла составила 2,50 по ареометру, что по таблице составляет B=1,00 % алкоголя. Значит в нашем пиве будет 6,00 % — 1,00 % = 5,00 % алкоголя.
Алкоголь (%)
Плотность в единицах
Плотность по ареометру (%)
Алкоголь (%)
Плотность в единицах
Плотность по ареометру (%)
0.00
1.002
0.50
7.50
1.060
15.00
0.25
1.004
1.00
7.75
1.061
15.38
0.50
1.006
1.50
8.00
1.063
15.75
0.75
1.008
2.00
8.25
1.065
16.25
1.00
1.010
2.50
8.50
1.067
16.75
1.25
1.012
3.00
8.75
1.069
17.25
1.50
1.014
3.50
9.00
1.071
17.75
1.75
1.016
4.00
9.25
1.073
18.50
2.00
1.018
4.50
9.50
1.075
18.75
2.25
1.020
5.00
9.75
1.076
19.13
2.50
1.022
5.50
10.00
1.078
19.50
2.75
1.024
6.00
10.25
1.080
20.00
3.00
1.026
6.50
10.50
1.082
20.50
3.25
1.028
7.00
10.75
1.084
21.00
3.50
1.030
7.50
11.00
1.086
21.50
3.75
1.032
8.00
11.25
1.088
22.00
4.00
1.034
8.50
11.50
1.090
22.50
4.25
1.036
9.00
11.75
1.092
23.13
4.50
1.038
9.50
12.00
1.093
23.25
4.75
1.040
9.88
12.25
1.095
23.75
5.00
1.041
10.25
12.50
1.097
24.25
5.25
1.043
10.75
12.75
1.098
24.50
5.50
1.045
11.25
13.00
1.100
25.00
5.75
1.047
11.75
13.25
1.102
25.50
6.00
1.049
12.25
13.50
1.104
26.00
6.25
1.051
12.75
13.75
1.105
26.25
6.50
1.053
13.25
14.00
1.107
26.75
6.75
1.055
13.38
14.25
1.109
27.25
7.00
1.056
14.00
14.50
1.111
27.75
7.25
1.058
14.50
14.75
1.113
28.25
Параметры замеров плотности пива ареометром:
Материал из Википедии
Градус Brix (Брикс) (символ °Bx) — мера массового отношения растворённой в воде сахарозы к жидкости. Измеряется сахариметром, определяющим удельную массу жидкости, или проще — рефрактометром. Раствор в 25 °Bx — 25 % (вес/вес), означает 25 граммов сахара в 100 граммах жидкости. Или, выражаясь иначе, в 100 граммах раствора находятся 25 граммов сахарозы и 75 граммов воды.
Брикс, Боллинг, Плато
Шкала Боллинга была разработана немецким химиком Карлом Боллингом. Она опирается на концентрацию раствора сахарозы как массовая доля сахарозы при 17,5 °C
Шкала Брикса изначально была выведена, когда Адольф Брикс пересчитал шкалу Боллинга в отношении температуры 15,5 °C. Шкала Брикса была впоследствии пересчитана снова и сейчас ссылается к температуре 20°C. Брикс может быть исчислен по следующей формуле: 261.3*(1 — 1/р), где р — плотность раствора при температуре 20°C.
Шкала Плато, исчисляемая в градусах Плато также является усовершенствованием шкалы Боллинга. Она основывается на температуре раствора 17,5 °C с небольшой особенностью, с приближением 260*(1 — 1/р), где р — плотность раствора при температуре 17,5 °C.
Эти три шкалы часто используются попеременно, так как разница несущественна. Брикс в основном используется для фруктовых соков, в виноделии и сахарной промышленности.
Плато используется в пивоварении.
Боллинг все ещё встречается в старых сахариметрах и все ещё используется в винодельческой промышленности Южной Африки.
Применение
Шкала Брикса используется в пищевой промышленности для измерения среднего количества сахара в фруктах, овощах, соках, вине, безалкогольных напитках и в сахарной промышленности. Различные страны используют шкалу в различных отраслях промышленности.
Для фруктовых соков один градус брикс примерно равен 1-2% сахара по массе, что обычно хорошо сопоставимо с воспринимаемой сладостью.
Так как Брикс связан с концентрацией растворённых твёрдых веществ (в основном сахарозы) в жидкости, он также связан с удельной массой (плотностью) жидкостей. А поскольку удельная масса (плотность) раствора сахарозы широко известна, Брикс также может быть определён рефрактометром.
Современные измерители по шкале Брикса — это цифровые рефрактометры, которые определяют значение Брикса на основе значения рефрактометра. Эти приборы обычно компактны, брызгонепроницаемы и просты в использовании, и могут быть использованы кем угодно прямо на месте. Всё чаще Брикс измеряется для определения идеального времени для сбора урожая фруктов и овощей, чтобы продукция достигла потребителя в идеальной стадии или в идеальном качестве для последующей переработки в виноделии.
Существует две шкалы измерений плотности (содержания сахара) в жидкости: Brix и Gravity. По сути, это одно и то же, но в разных единицах измерения, как температура по Цельсию и по Фаренгейту. В России более популярны Ареометры, которые измеряют в единицах Brix, в Европе и мире более популярны Гидрометры, где единица измерения Gravity.
Как снимать показания
Начальная плотность меряется очень просто, вы просто капаете на Рефрактометр 1-2 капли сусла перед тем, как поставить пиво на брожение и определяете его плотность в Brix. Граница белого поля и синего четко показывает текущий результат.
C конечной плотность немного сложнее. Когда жидкость уже содержит алкоголь, рефрактометр дает искаженные показания, но существует специальный калькулятор, который позволяет определить точные цифры конечной плотности вашего пива. Так же он помогает посчитать конечное содержание алкоголя.
Калькулятор начальной плотности из Brix в Gravity
C помощью данного калькулятора вы можете пересчитать показания из Brix в Gravity: вставьте цифру Measured Brix (Измерения в Brix), нажмите Посчитать и калькулятор посчитает данный показатель в Gravity.
Калькулятор из Brix в Gravity во время брожения и после его окончания
Введите Original Brix (Начальная плотность в Brix – то что показывал рефрактометр в самом начале) и Current Brix (Конечная плотность в Brix — то, что вам показывает рефрактометр сейчас). Нажмите Посчитать и калькулятор высчитывает Current Gravity (Реальную конечную плотность в Gravity).
Калькулятор Содержания алкоголя в % и Начальной плотности в Gravity
Введите Current Brix (Конечная плотность в Brix — то, что вам показывает рефрактометр сейчас) и Current Gravity (Реальную конечную плотность в Gravity, то, что вы посчитали в пункте 2). Нажмите Посчитать и калькулятор покажет ABV (Конечное содержания алкоголя в вашем пиве в %) и Original Gravity (Начальной плотности в Gravity).
Международная шкала горечи (International Bitterness Units — IBU)— измеряет количество изогумолона (isohumulone) – горького вещества в хмеле, альфа кислота, соответственно в пиве, количество миллиграмм на литр. Этот IBU калькулятор рассчитывает хмелевую горечь на основе внесения до шести хмелей. Он работает для солодового и экстрактного пивоварения. Международная единица горечи (IBU) используется для того, что бы узнать на сколько ваше пиво горькое (чем выше горечь, тем выше показатель IBU). Пиво с количеством изогумолона до 20 IBU, для подавляющего большинства людей, имеет мягкий, не горький вкус, это разные легкие Лагеры. Пиво с 60 IBU имеет достаточно горький привкус – это Стауты типа Гинесса. После 100 IBU у большинства людей возникает что-то похожее на вкусовой шок, однако всегда найдутся любители погорчее и погорячее. В этом деле существую, конечно же, и крайности. Так компания Flying Monkeys Brewery из Ontario выпустила напиток под названием “Alpha Fornication” с горечью в 2500 IBU, что побило предыдущий рекород — напиток от Mikkeller “Hop Juice X 2007 IBU” – в 2007 IBU.
Вы можете использовать этот калькулятор для собственного крафтового рецепта, чтобы ваше пиво соответствовало выбранному стилю пива.
Калькулятор горечи (IBU)
Граммы
Альфа
Кипятить, мин
Тип
Утилизация
IBUs
ГранулыШишковой
0,0000
0,00
ГранулыШишковой
0,0000
0,00
ГранулыШишковой
0,0000
0,00
ГранулыШишковой
0,0000
0,00
ГранулыШишковой
0,0000
0,00
ГранулыШишковой
0,0000
0,00
ИНСТРУКЦИЯ:
Введите объем вашего сусла до кипячения в литрах
Введите объем сусла в конце варки (после кипячения) в литрах
Укажите начальную плотность сусла (после кипячения). Для перевода процентной экстрактивности в весовую необходимо умножить показатель на 4. Например, начальная экстрактивность сусла составила 12 %. 12 х 4 = 48, значит весовая плотность равна 1.048
Введите вес хмеля в граммах
Введите содержание альфа-кислоты в вашем хмеле;
Укажите время варки в минутах, если хмель добавляется за 45 минут до конца варки, введите 45.
www.mirbeer.ru
Перевод из Plato в SG и измерение алкоголя (%ABV) в готовом пиве.
Параметры замеров плотностей пива в SG (1.003-1.113):
Материал из Википедии
Градус Brix (Брикс) (символ °Bx) — мера массового отношения растворённой в воде сахарозы к жидкости. Измеряется сахариметром, определяющим удельную массу жидкости, или проще — рефрактометром. Раствор в 25 °Bx — 25 % (вес/вес), означает 25 граммов сахара в 100 граммах жидкости. Или, выражаясь иначе, в 100 граммах раствора находятся 25 граммов сахарозы и 75 граммов воды.
Брикс, Боллинг, Плато
Шкала Боллинга была разработана немецким химиком Карлом Боллингом. Она опирается на концентрацию раствора сахарозы как массовая доля сахарозы при 17,5 °C
Шкала Брикса изначально была выведена, когда Адольф Брикс пересчитал шкалу Боллинга в отношении температуры 15,5 °C. Шкала Брикса была впоследствии пересчитана снова и сейчас ссылается к температуре 20°C. Брикс может быть исчислен по следующей формуле: 261.3*(1 — 1/р), где р — плотность раствора при температуре 20°C.
Шкала Плато, исчисляемая в градусах Плато также является усовершенствованием шкалы Боллинга. Она основывается на температуре раствора 17,5 °C с небольшой особенностью, с приближением 260*(1 — 1/р), где р — плотность раствора при температуре 17,5 °C.
Эти три шкалы часто используются попеременно, так как разница несущественна. Брикс в основном используется для фруктовых соков, в виноделии и сахарной промышленности.
Плато используется в пивоварении.
Боллинг все ещё встречается в старых сахариметрах и все ещё используется в винодельческой промышленности Южной Африки.
Применение
Шкала Брикса используется в пищевой промышленности для измерения среднего количества сахара в фруктах, овощах, соках, вине, безалкогольных напитках и в сахарной промышленности. Различные страны используют шкалу в различных отраслях промышленности.
Для фруктовых соков один градус брикс примерно равен 1-2% сахара по массе, что обычно хорошо сопоставимо с воспринимаемой сладостью.
Так как Брикс связан с концентрацией растворённых твёрдых веществ (в основном сахарозы) в жидкости, он также связан с удельной массой (плотностью) жидкостей. А поскольку удельная масса (плотность) раствора сахарозы широко известна, Брикс также может быть определён рефрактометром.
Современные измерители по шкале Брикса — это цифровые рефрактометры, которые определяют значение Брикса на основе значения рефрактометра. Эти приборы обычно компактны, брызгонепроницаемы и просты в использовании, и могут быть использованы кем угодно прямо на месте. Всё чаще Брикс измеряется для определения идеального времени для сбора урожая фруктов и овощей, чтобы продукция достигла потребителя в идеальной стадии или в идеальном качестве для последующей переработки в виноделии.
www.mirbeer.ru
Как перевести градусы Брикса в сахар. Шкала Брикса — Наука и Техника — Каталог статей
«Градусы Брикс» — вводящий в заблуждение термин, поскольку «градусы» в научном контексте обычно относятся либо к уровням температуры, либо к геометрическим углам. «Степень» в этом смысле описывает массовую долю сахарозы (столового сахара) в растворе, где 1 градус Брикса (записано ° Bx) означает 1 г сахарозы на 100 г водного раствора. Когда раствор состоит исключительно из сахарозы и воды, это означает, что вы можете рассчитать общий объем присутствующей воды, потому что 1 г воды имеет объем точно 1 мл по определению. Например, раствор объемом 100 мл, измеряющий 10 ° Bx, содержит 90 мл воды, поскольку общая масса раствора составляет 100 г, из которых 10 г — сахароза и, следовательно, 90 г должны состоять из воды.
Несмотря на то, что шкала Брикса выглядит тайной, она полезна в кулинарном мире, особенно с винами. В зависимости от вкуса и конкретных целей данного вина, значение от 18 до 24 ° Bx обычно является идеальным.
Следует отметить, что хотя теоретически ° Bx является мерой только содержания сахара, в действительности это показатель всех растворенных веществ в напитке или препарате из-за способа оценки ° Bx. На практике, однако, твердые вещества, растворенные в соответствующих жидкостях, таких как вино, вносят незначительный вклад в общее содержание растворенного вещества, точно так же, как поваренная соль для всех целей и задач «целиком» состоит из хлорида натрия.
Для измерения градусов Брикса вам понадобится рефрактометр, устройство, использующее свет для оценки удельного веса (меры плотности) водного раствора. Шаг 1: откалибруйте рефрактометр
Откалибруйте прибор, используя дистиллированную воду. Это должно дать нулевое значение. Шаг 2: очистить стекло (призма)
Вы должны убедиться, что поверхность рефрактометра чистая и сухая. Шаг 3: нанесите жидкость
Поместите небольшое количество раствора для испытания на призму. Пару капель достаточно. Шаг 4: Направьте рефрактометр
Посмотрите в окуляр, направив призму на источник света. Не смотри на солнце. Шаг 5: Получите ваше чтение
Сфокусируйте окуляр и возьмите показание, где основание синего цвета соответствует шкале. Это чтение образца Brix.
www.winstein.org
Таблица показателей рефрактометра BRIX — Траварт
Шкала Brix поможет вам определить качественную еду. Она измеряет содержание твердых частиц в соке, который включает сахара и ценные минералы и микроэлементы.
Как только вы научитесь тестировать фрукты и овощи с помощью рефрактометра, у вас есть инструмент, который вам нужен, чтобы увидеть, является ли продукт низкого, среднего, хорошего или отличного качества.
Содержание статьи
Таблица показателей преломления рефрактометра при замере соков фруктов, ягод и овощей — Калиброванный в % соотношении сахарозы В пределах данного вида растений, урожай с более высоким показателем преломления будет иметь более высокое содержание сахара, более высокое содержание минералов, более высокое содержание белка и больший удельный вес или плотность. Продукты с высоким значением BRIX представляют более минеральную, питательную пищу с более низким содержанием нитратов и воды, более низкую температуру замерзания и лучшие атрибуты хранения.
Фрукты и ягоды
Низкий
Средний
Хороший
Отличный
Яблоко
6
10
14
16
Авокадо
4
6
8
10
Банан
8
10
13
14
Черника
8
12
14
18
Дыня
8
12
14
16
Вишня
6
8
14
18
Кокос
8
10
14
16
Виноград
8
12
16
20
Грайпфрукт
6
10
14
18
Лимон
4
6
14
12
Лайм
4
6
10
12
Манго
4
6
10
14
Апельсин
6
10
14
20
Папая
6
10
18
22
Персик
6
10
14
18
Груша
8
10
12
14
Ананас
12
14
20
22
Изюм
60
70
75
80
Малина
6
8
12
14
Клубника
6
8
12
14
Томат
4
6
8
12
Арбуз
8
12
14
16
Овощи
Низкий
Средний
Высокий
Отличный
Спаржа
2
4
6
8
Свекла
6
8
10
12
Перец
4
6
8
12
Брокколи
6
8
10
12
Капуста
6
8
10
12
Морковь
4
8
12
16
Цветная капуста
4
6
8
10
Сельдерей
4
6
10
12
Молодая кукуруза
6
10
18
24
Горох
4
6
10
12
Огурец
4
6
8
12
Салат
4
6
8
10
Чеснок
28
32
36
40
Стручковая фасоль
4
6
8
10
Острый перец
4
6
8
10
Кальраби
6
8
10
12
Лук
4
6
8
10
Петрушка
4
6
8
10
Арахис
4
6
8
10
Картошка
3
5
7
8
Батат
6
8
10
14
Брюква
4
6
10
12
Тыква
6
8
12
14
Кукуруза
6
10
18
24
Репа
4
6
8
12
Видео как проверить качество овощей и фруктов
Определение влажности меда
Определение влажности меда с помощью рефрактометра можно сделать с помощью таблицы для конвертации показателей BRIX в % содержание воды в меде. Согласно стандарту ГОСТ 19792-2001 предельное значение массовой доли воды во всех видах меда не должно превышать 21%. При влажности меда более 21% происходит брожение меда.
Таблица соответствия показаний BRIX и влажности меда
BRIX при 20 С
Влажность меда в %
77
21
78.35
20%
79.39
19%
80.42
18%
81.45
17%
82.5
16%
83.55
15%
84.61
14%
85.66
13%
Видео как проверить влажность меда
Конвертер Brix в Specific Gravity и выход спирта
Значение BRIX
Значение Specific Gravity
Потенциальный выход спирта:
1
1.0039
0.5%
2
1.0078
1.0%
3
1.0117
1.5%
4
1.0157
2.0%
5
1.0197
2.5%
6
1.0237
3.0%
7
1.0277
3.6%
8
1.0318
4.1%
9
1.0359
4.7%
10
1.0400
5.2%
11
1.0442
5.8%
12
1.0484
6.4%
13
1.0526
7.0%
14
1.0568
7.6%
15
1.0611
8.2%
16
1.0654
8.8%
17
1.0698
9.5%
18
1.0741
10.1%
19
1.0785
10.8%
20
1.0830
11.5%
21
1.0875
12.2%
22
1.0920
12.9%
23
1.0965
13.6%
24
1.1011
14.4%
25
1.1057
15.1%
26
1.1103
15.9%
27
1.1150
16.7%
28
1.1197
17.5%
29
1.1244
18.3%
30
1.1292
19.2%
travart.ru
Рефрактометр со шкалой Брикса. Проверяем сахарный песок
Здравствуйте. В сегодняшнем обзоре я расскажу о рефрактометре RSG-100ATC со шкалой 0-32% Brix. Рефрактометр измеряет коэффициент преломления жидкости. В данном случае используется шкала Брикс — мера массового отношения растворённой в воде сахарозы к жидкости. Например, Раствор в 25 °Bx — 25 % (вес/вес), означает 25 граммов сахарозы в 100 граммах жидкости. Или, выражаясь иначе, в 100 граммах раствора находятся 25 граммов сахарозы и 75 граммов воды. Шкала Брикса используется в пищевой промышленности для измерения среднего количества сахара во фруктах, овощах, соках, вине, безалкогольных напитках, в сахарной промышленности и т.д. Из обзора вы узнаете зачем это нужно, а также в завершении обзора вас ждет тестирование сахарного песка от четырёх производителей. Как выяснилось, не весь сахар одинаково полезен…
Рефрактометр добрался ко мне за две недели почтой Китая. Он поставляется вот в такой удобной пластиковой коробочке для хранения:
В комплект входит инструкция на английском языке:
Тряпочка для протирки призмы, отвертка для калибровки и пипетка для отбора проб:
И, прежде чем я перейду непосредственно к рефрактометру – его краткие характеристики со страницы магазина:
Test Range: Brix 0 — 32%
Min. Div.: Brix 0.2%
Accuracy: Brix ± 0.20%
Automatic Temperature Compensation System (ATC)
Traditional version: Using screw driver for calibration
Sturdy and light weighted Aluminum body
Item length: approx. 175 mm
Рефрактометр выполнен из алюминиевого сплава. Для удобного удержания используется рифлёная резина.
Рефрактометр оснащен системой ATC. Это автоматическая температурная компенсация, позволяющая использовать растворы температурой от 10 до 30 градусов. Но наиболее точное измерение обеспечивается при температуре раствора 20 градусов:
На фото вы видите калибровочный винт, прикрывающийся резиновым колпачком. Для калибровки нужно капнуть на линзу дистиллированную воду и винтом установить шкалу на ноль.
Призма, прикрытая стеклом:
Откидываем стекло:
И капаем одну – две капли раствора на призму:
После чего закрываем призму стеклом. Много раствора не требуется, самое главное, чтобы раствор равномерно распределился по призме и при этом отсутствовали воздушные пузырьки.
Принцип действия рефрактометра основан на свойстве света при переходе из более плотной оптической среды в менее плотную, полностью отражаться от границы сред.
Преломление знакомо многим. Наверное, все видели, эффект преломления в воде, например, ложки в стакане или:
В случае с рефрактометром на стекло известной оптической плотности наносится капля жидкости и по углу преломления считывается коэффициент преломления. Плотность раствора изменяется в зависимости от количества сахара в нём. Для считывания показаний достаточно поднести к глазу окуляр рефрактометра и считать показание по нанесённой шкале. При этом вращением окуляра можно подстроить резкость под своё зрение. Соответственно, одним рефрактометром можно измерять различные величины. Существуют специальные таблицы для перевода различных величин. Но всё же проще и удобнее для разных величин использовать разные рефрактометры. Это практичнее и быстрее, к тому же бОльшая шкала может не уместится в конкретном рефрактометре.
Например, на фото сверху рефрактометр со шкалой Брикса, снизу рефрактометр с бОльшей по размеру шкалой содержания алкоголя:
Соответственно и длина алкогольного рефрактометра – больше.
Перед использованием, как я и писал выше нужно капнуть на призму дистиллированной воды и проверить, а при необходимости и произвести калибровку:
В данном случае – калибровки не потребовалось.
Рефрактометр полезен домашним виноделам, пивоварам, самогонщикам. Можно посмотреть, выработали ли дрожжи весь сахар в браге и не нужно ли добавить подкормку. В случае плодовых браг рефрактометр позволит узнать, не нужно ли добавить сахару и его количество для нормальной работы дрожжей.
Вот результат по сахарной браге. Гидромодуль: 1 килограмм сахара на 4 литра воды.
Изначально – 22 Брикс:
К сожалению, не на всех снимках получилась четкая граница, глазом всё видно резко.
По окончании брожения – 6,5 Брикс:
Для Android существует калькулятор «BrixCalc», который позволяет по этим показаниям определить примерное содержание алкоголя в браге:
13,9 градусов – это нормальное содержание алкоголя. Для браги нормой считается 12-15 градусов, которые можно получить естественным путём, без укрепления, например, «хвостами». При этих градусах дрожжи заканчивают свою работу и умирают.
И в завершении обзора, как я и обещал в самом начале – проверка сахарного песка от четырёх производителей. Наверное, многие замечали, например, когда вы пьёте чай, что один сахарный песок более сладкий, чем другой. И это вам не показалось. Недобросовестные производители – не спят.
В гипермаркете крупной торговой сети «Липкая железяка» я приобрел четыре пакета сахарного песка от разных производителей. Эта торговая сеть очень распространена и многие легко могут приобрести данный сахарный песок. Впрочем, он есть и в других магазинах, но от этого он не станет лучше или хуже.
Сахарный песок в количестве 5 грамм разводился водой до 50 грамм. Все измерения выполнены не на глаз, а всё взвешивалось:
В результате, в идеале мы должны получить 10 Брикс.
Итак, образец номер один:
Беларусь, город Слуцк:
10 Брикс:
Это качественный сахарный песок.
Образец номер два:
Беларусь, г.п. Городея:
9,5 Брикс:
Качество подкачало. Да и на вкус этот сахар не такой сладкий. И в браге градус получается меньшим. Не советую к приобретению.
Образец номер три:
Россия, Санкт-Петербург:
После изготовления раствора, стало понятно, что тут всё не так просто… На поверхности воды появилась белая пена. Давайте вспомним, как изготовляется сахар из сахарной свёклы:
Свеклу, которая поступает на сахарные заводы, моют и заливают раствором извести. Это делается для того, чтобы обеззаразить побитую, треснутую, подгнившую свеклу. Раствор извести или известковое молоко уничтожает микробы и бактерии. Если производитель не соблюдает технологию, остатки извести попадают в готовый продукт. А при добавлении такого сахара в чай и появляется белая пена на поверхности жидкости.
А ещё пены может добавить:
Следующим этапом в производстве сахара является измельчение свеклы, получение так называемой стружки, из которой при добавлении воды вытягивают сахар. Сахар вытягивают из свеклы с помощью особых химических соединений. Они называются поверхностно активными веществами (ПАВ). По сути, это чистящее средство. Оказывается, ПАВ есть в мыле и стиральных порошках. Было замечено, что если в смесь тертой свеклы и воды добавить поверхностно активные вещества, сходные с поверхностно активными веществами стирального порошка, то выход сахара в конце процесса увеличивается. Почему так происходит? Грубо говоря, свекольную стружку отстирали. ПАВ склеивают всю грязь в сахарном сиропе и превращают её в осадок. После этого ПАВ отфильтровываются. Если это делают с нарушением технологии, поверхностно активные вещества попадают в готовый продукт. А это однозначно брак.
И мало того, что на поверхности появилась белая пена, на дне осталось немного не растворившегося вещества.
Кроме того, рафинированный и нерафинированный сахар-песок могут быть заменены частично на другие пищевые продукты (мука, манная крупа) или непродовольственные товары (мел, алебастр, гипс, известь, песок). Известны также случаи обнаружения инспекторами Госторгинспскции (ныне Роспотребнадзор) подмешивания к сахарному песку толченого стекла. Для обнаружения таких способов фальсификации проверяется растворимость продукта и прозрачность раствора сахара. Все указанные средства фальсификации нерастворимы в воде. После размешивания и растворения сахара они выпадут в осадок.
Как итог – самый худший результат теста. Всего 9 Брикс:
Данный сахарный песок КАТЕГОРИЧЕСКИ не рекомендую к приобретению. Мало того, что он содержит вещества не полезные для здоровья, сахар не сладкий, так еще и раствор имеет мерзкий вид из-за пены и осадка.
Образец номер четыре:
Россия, город Курск:
Результат – 10 Брикс:
Качественный и сладкий сахарный песок, вреда здоровью он не нанесёт, в отличии от предыдущего образца.
Спасибо за внимание. Всем здоровья.
Товар предоставлен для написания обзора магазином. Обзор опубликован в соответствии с п.18 Правил сайта.
mysku.ru
Шкала Брикса — это… Что такое Шкала Брикса?
Градус Brix (Брикс) (символ °Bx) — мера массового отношения растворённой в воде сахарозы к жидкости. Измеряется сахариметром, определяющим удельную массу жидкости, или проще — рефрактометром. Раствор в 25 °Bx — 25 % (вес/вес), означает 25 граммов сахара в 100 граммах жидкости. Или, выражаясь иначе, в 100 граммах раствора находятся 25 граммов сахарозы и 75 граммов воды.
Брикс, Боллинг, Плато
Шкала Боллинга была разработана немецким химиком Карлом Боллингом. Она опирается на концентрацию раствора сахарозы как массовая доля сахарозы при 17,5 °C
Шкала Брикса изначально была выведена, когда Адольф Брикс пересчитал шкалу Боллинга в отношении температуры 15,5 °C. Шкала Брикса была впоследствии пересчитана снова и сейчас ссылается к температуре 20 °C. Брикс может быть исчислен по следующей формуле: 261.3*(1 — 1/р), где р — плотность раствора при температуре 20 °C.
Шкала Плато, исчисляемая в градусах Плато также является усовершенствованием шкалы Боллинга. Она основывается на температуре раствора 17,5 °C с небольшой особенностью, с приближением 260*(1 — 1/р), где р — плотность раствора при температуре 17,5 °C.
Эти три шкалы часто используются попеременно, так как разница несущественна. Брикс в основном используется для фруктовых соков, в виноделии и сахарной промышленности.
Плато используется в пивоварении.
Боллинг все ещё встречается в старых сахариметрах и все ещё используется в винодельческой промышленности Южной Африки.
Применение
Шкала Брикса используется в пищевой промышленности для измерения среднего количества сахара в фруктах, овощах, соках, вине, безалкогольных напитках и в сахарной промышленности. Различные страны используют шкалу в различных отраслях промышленности.
Для фруктовых соков один градус брикс примерно равен 1-2 % сахара по массе, что обычно хорошо сопоставимо с воспринимаемой сладостью.
Так как Брикс связан с концентрацией растворённых твёрдых веществ (в основном сахарозы) в жидкости, он также связан с удельной массой (плотностью) жидкостей. А поскольку удельная масса (плотность) раствора сахарозы широко известна, Брикс также может быть определён рефрактометром.
Современные измерители по шкале Брикса — это цифровые рефрактометры, которые определяют значение Брикса на основе значения рефрактометра. Эти приборы обычно компактны, брызгонепроницаемы и просты в использовании, и могут быть использованы кем угодно прямо на месте. Всё чаще Брикс измеряется для определения идеального времени для сбора урожая фруктов и овощей, чтобы продукция достигла потребителя в идеальной стадии или в идеальном качестве для последующей переработки в виноделии.
См. также
В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 15 июля 2011.
dic.academic.ru
Таблица соответствия показаний ареометра Брикса и плотности. Brix. Брикс. Единицы измерения плотности жидкости.
Техническая информация тут
Перевод единиц измерения величин
Таблицы числовых значений
Алфавиты, номиналы, единицы тут
Математический справочник
Физический справочник
Химический справочник
Материалы
Рабочие среды
Оборудование
Инженерное ремесло
Инженерные системы
Технологии и чертежи
Личная жизнь инженеров
Калькуляторы
Поиск на сайте DPVAПоставщики оборудованияПолезные ссылкиО проектеОбратная связьОтветы на вопросы.Оглавление
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Алфавиты, номиналы, единицы / / Перевод единиц измерения величин. Перевод единиц измерения физических величин. Таблицы перевода единиц величин. Перевод химических и технических единиц измерения величин. Величины измерения. Таблицы соответствия величин. / / Перевод единиц измерения Плотности, удельного веса, насыпной плотности, объемного веса, величин линейной, плоскостной плотности … / / Таблица соответствия показаний ареометра Брикса и плотности. Brix. Брикс. Единицы измерения плотности жидкости.
Таблица соответствия показаний ареометра Брикса и плотности. Brix. Брикс. Единицы измерения плотности жидкости. Что показывает ареометр Брикса? Плотность через % Брикса. Брикс. Brix.
Применяется для измерения степени насыщения растворов сахара в воде.
Показания ареометра Брикса ( Brix %) при 20°C
Плотность жидкости при 20°C, кг/м 3
0
1.00000
5
1.00965
10
1.03998
15
1.06104
20
1.08287
25
1.10551
30
1.11898
35
1.15331
40
1.17853
45
1.20467
50
1.23174
55
1.25976
60
1.28873
65
1.31866
70
1.34956
75
1.38141
80
1.41421
85
1.44794
90
1.48259
95
1.51814
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Расчет допусков и посадок подшипникового соединения. Пример решения задачи.
Примеры решения задач по метрологии
Расчет подшипникового соединения
Требуется определить:
1. Систему данного соединения.
2. Верхние и нижние отклонения посадочного внутреннего диаметра подшипника и диаметра вала.
3. Предельные размеры посадочных диаметров подшипника и вала.
4. Допуски на изготовление внутреннего диаметра подшипника и вала (сначала подсчитать через их предельные размеры, а затем проверить через отклонения).
5. Предельные натяги или зазоры данного соединения.
6. Допуск посадки (сначала подсчитать через натяги или зазоры, а затем проверить через допуски на изготовление подшипника и шейки вала).
7. Выполнить графическое изображение полей допуска данного соединения в масштабе 1:1000, на котором показать их отклонения, предельные размеры и величины натяга или зазора.
Решение:
1. Данное соединение выполнено в системе отверстия, при этом отверстием является внутреннее кольцо подшипника, а валом – шейка чашки дифференциала заднего моста.
2. В соответствии с ГОСТ 3325-85 для подшипников класса точности 0 в основных типах соединений в системе отверстия применяется посадка L0/m6. При этом предельные отклонения отверстия и вала номинальным диаметром свыше 50 мм до 80 мм составляют:
Отверстие, мкм
Вал, мкм
Верхнее отклонение, ES
Нижнее отклонение, EI
Верхнее отклонение, es
Нижнее отклонение, ei
0
-15
+45
+11
3. Исходя из величины предельных отклонений для отверстия и вала, определяем предельные размеры посадочных диаметров:
Dmax = Dn = 75 мм;
Dmin = Dn + EI = 75 + (- 0,015) = 74,985 мм;
dmax = dn + es = 75 + 0,045 = 75,045 мм;
dmin = dn – ei = 75 + 0,011 = 75,011 мм.
4. Определяем допуски через предельные размеры:
— на изготовление внутреннего диаметра подшипника:
6. Определяем допуск посадки, который для данного соединения равен допуску натяга или разности максимального или минимального натягов:
ТП = Nmax – Nmin = 60 – 11 = 49 мкм = 0,049 мм.
Проверяем расчет через допуски на изготовление подшипника и шейки вала:
ТП = ТD + Тd = 15 + 34 = 49 мкм = 0,049 мм.
Результат проверочного расчета совпадает с предыдущим результатом, значит, расчет выполнен правильно.
7. По результатам расчетов выполняем графическое изображение полей допуска данного соединения в масштабе 1:1000, на котором показываем их отклонения, предельные размеры и величины натяга или зазора (см. рисунок 1).
Расположение полей допусков отверстия и вала указывает, что посадка выполнена с гарантированным натягом.
***
Пример решения задачи на расчет допусков и посадок резьбового соединения
k-a-t.ru
Решение задач по метрологии
Решение задач по метрологии (смотрите также решение задач по статистике)
Для того, чтоб работать с любыми явлениями, объектами, схемами и проектами в материальном мире, необходимы измерения. Без измерений невозможно перевести представление об объекте в форму, понятную для какой-то абстрактной работы. С самого детства мы знакомы с измерительными приборами: линейкой измеряем расстояние, часами – время, весами – массу, спидометром – скорость и так далее. Однако метрология – это не чисто эмпирические измерения, а целая система знаний об измерениях. Сюда же входит и умение анализировать полученные измерениями данные. Поэтому метрология – не просто сводка единиц измерения, а ещё и целая собственная методология.
Если кратко, метрология – это наука, изучающая меры и измерительные инструменты. Выделить для них целую науку – это правильно: ведь только на мерах и измерительных инструментах можно построить научное знание и применить абстрактные формулы и исчисления к реальному миру.
Пример оформления курсовой работы по метрологии нашими специалистами:
Поэтому в метрологию входит не только знание формул, соотношений и названий различных единиц измерения. Знать надо также историю различных стран и их культуру (чтобы понять корни различных систем измерения), физику и химию (чтобы грамотно применять метрологические знания к реальному миру) и не только. Здесь нужно не только чисто научное, но и инженерное мышление, чтобы понять, как проводить некоторые виды измерений и как получить нужные данные.
Решение задач по метрологии, стандартизации и сертификации касается не только метрологии теоретической (которую обычно и преподают в различных ВУЗах на технических факультетах), но и метрологии прикладной, призванной решать различные практические проблемы. Правильное решение метрологии – это решение множества проблем, это и получение точных данных путём измерений, и более рациональные системы мер, и новации в рациональном использовании различных ресурсов. Большая часть метрологии основана на теории, а её задачи решаются простым приложением теоретических знаний к практике. Но часто этого недостаточно.
Любая техническая специальность немыслима без прикладной метрологии. Любой ВУЗ или факультет, готовящий студентов по техническим специальностям, уделяет много внимания метрологии, стандартизации и сертификации. Это касается и строителей, и физиков, и инженеров-электронщиков, и многих других. Кроме теоретических задач, в курс обучения входит и метрологическая практика, которая требует серьёзного освоения теории, а также применения знаний из смежных областей. Если решение задач по метрологии вызывает у вас проблемы, то вы можете обратиться к специалистам и решить задачи по метрологии на заказ. Опытный специалист сможет за сумму, которую вы оговорите, решить ваши конкретные задачи, пояснить последовательность выполняемых действий, а также оформить решение задачи так, как требуется в вашем ВУЗе.
Нет, вы, конечно, и сами понимаете важность изучения метрологии как науки и как инструмента других наук. И вы сознавали, что вам придётся уделить метрологии много вниманияю Но так получается, увы, не всегда: сессия содержит много экзаменов и зачётов, и к каждому надо готовиться, а в сутках – сколько в сутках часов? На таком уровне с метрологией знакомы все.
Вот и получается, что в условиях ограниченного времени решение задач по метрологии лучше доверить специалистам. Если же вы позже захотите уделить предмету больше времени и улучшить свои знания, вам на помощь могут прийти и частные репетиторы, и преподаватели, которые смогут на договорной основе привить вам понимание сути метрологии и фактические знания по теме.
Такое решение метрологии на заказ часто становится настоящим спасением для студентов в сложной ситуации. Примеры задач по метрологии с решениями могут стать не только образцом для механического переноса условий, но и ключом к пониманию науки в целом.
Заказать нам работу!
dx-dy.ru
Информатики и радиоэлектроники
Министерство
образования Республики Беларусь
БЕЛОРУССКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра
метрологии и стандартизации
Метрология и измерения Учебно — методическое пособие
Метрология
и измерения: Учебно-методическое пособие
для индивидуальной работы студентов/
А.П. Белошицкий и др.; под общ. ред. С.В.
Лялькова. — Мн.: БГУИР, 1999. -72 с.: ил. 1. ISBN
985-444-103-2
Учебно-методическое
пособие «Метрология и измерения»
предназначено для индивидуальной работы
студентов, изучающих курсы измерений.
Оно содержит краткие методические
указания, список рекомендуемой литературы
и НТД, контрольные вопросы, решения
типовых задач и задачи для самостоятельного
решения.
Пособие
может быть использовано при проведении
практических и лабораторных занятий,
связанных с оценкой погрешностей
получаемых результатов. Оно также будет
полезно самому широкому кругу студентов,
аспирантов и научно-педагогических
работников при решении ими конкретных
практических задач метрологии и
стандартизации.
При
изучении темы необходимо особо обратить
внимание на следующее:
—
формы представления погрешностей
средств измерений;
—
правила выбора нормирующего значения
ХN;
—
способы нормирования и формы выражения
пределов допускаемых погрешностей;
—
обозначение классов точности средств
измерений.
Контрольные вопросы
1
Что такое погрешность средства измерений?
2
Что такое основная и дополнительная
погрешности средств измерений?
3
Какие существуют формы представления
погрешностей средств измерений?
4
Какие существуют правила выбора
нормирующего значения ХN?
5
Как регламентируются способы нормирования
и формы выражения пределов допускаемых
погрешностей?
6
Что такое класс точности средства
измерения и чем он определяется?
7
Как обозначаются классы точности?
Решение
типовых задач
Задача
№ 1
Определить
пределы инструментальных абсолютной
и относительной погрешностей измерения
тока I = 67 мA, если измерения проводились
магни-тоэлектрическим миллиамперметром
с нулем в начале шкалы, классом точности
1.0 и пределом измерения А = 100 мA.
Решение
Для
магнитоэлектрического миллиамперметра
класс точности определяется
значением
максимальной приведенной погрешности,
т.е.
= ±1,0
%.
Так
как
,
то
предел инструментальной абсолютной
погрешности
(мА).
Миллиамперметр
имеет равномерную шкалу с нулем в начале
шкалы, и поэтому XN =
A = 100 мA:
.
Предел
инструментальной относительной
погрешности
.
Задача
№ 2
Определить
пределы инструментальных абсолютной
и относительной погрешностей измерения
напряжения U=8,6 B, если измерения проводились
магнитоэлектрическим вольтметром с
нулем в середине шкалы, классом точности
2,5 и пределами измерения А = ±
25 В.
Решение
Как
и в предыдущей задаче, предел абсолютной
погрешности находится из формулы:
.
Вольтметр
имеет равномерную шкалу с нулем в
середине шкалы. Поэтому
Oценить
инструментальные погрешности измерения
тока двумя магни-тоэлектрическими
миллиамперметрами с классами точности
0,5 и 1.0 и указать, какой из результатов
получен с большей точностью, а также,
могут ли показания I1 = 19,0 мA и I2 = 18,6 мA исправных приборов отличаться
так, как задано в условии? Миллиамперметры
имеют нули в начале шкалы и пределы
A1 =
=
50 мA и A2 = 20 мA.
Решение
Инструментальные
абсолютные погрешности можно найти из
формул:
Видно,
что второе измерение проведено с большей
точностью, так как точность обратно
пропорциональна модулю относительной
погрешности.
В
наихудшем случае (когда погрешности
приборов будут иметь противоположные
знаки) модуль разницы между результатами
измерений ||
= |I1 — I2|
не должен превышать сумму модулей
абсолютных погрешностей, т.е.
||
< |1|
+ |2|
.
Получаем
||
= 0,4 (мA) < |1|
+ |2|
= 0,45 (мA).
Таким
образом, при исправных миллиамперметрах
можно получить указанные значения I1 и I2.
studfiles.net
Решение задач по метрологии [DOC]
Кумертауский филиал УГАТУ, 3 курс, 6 семестр, преподаватель Вдовыкина О. В, специальность 210200 «Автоматизация технологических процессов и производств. Дисциплина — метрология стандартизация сертификация. Также вложены две лабораторные работы, вопросы по дисциплине и методичка.
1,52 МБ
дата добавления неизвестна
изменен
БГТУ, ПГС.
Определения основных элементов сопряжения, условное обозначение посадок и квалитетов на чертежах и расчет калибров.
Расчет и выбор посадок подвижных и неподвижных соединений.
Расчет допусков и посадок шпоночных соединений.
Расчет и выбор посадок деталей под подшипники
качения.
Допуски и посадки шлицевых соединений.
602,63 КБ
дата добавления неизвестна
изменен
Метрология, стандартизация и сертификация.
Расчет абсолютной и относительной погрешности, математическое ожидание. 27 примеров.
32,87 КБ
дата добавления неизвестна
изменен
В каждой части по 10 задач по различным темам курса «Метрология, стандартизация и сертификация». Первая часть состоит из трех разделов: метрология, стандартизация и сертификация. В первой части для решения различных задач используют различные формулы, коэффициенты, графики для определения результатов измерения, оценки его точности и, например, для задачи №1- границ доверительного…
907,44 КБ
дата добавления неизвестна
изменен
ОНПУ заочное. стр. -13 Построение схемы полей допусков гладкого цилиндрического соединения. Расчёт и выбор посадок подшипника качения на валу и в отверстии корпуса. Расчёт размерных цепей. Расчёт предельного контура резьбового профиля для резьбового соединения, построение резьбового профиля и схемы полей допусков.
585,18 КБ
дата добавления неизвестна
изменен
Иркутский государственный университет путей сообщения. Электротехнический факультет. 3 курс. Преподаватель Жигулина Е. Н. Вариант 91.
Включает в себя задачи: Погрешности средств измерений, Определение погрешности результата косвенных измерений, Применение масштабных измерительных преобразователей для измерения тока и напряжения, Выбор измерительной аппаратуры, Измерение…
136,77 КБ
дата добавления неизвестна
изменен
www.twirpx.com
Сборник примеров и задач по метрологии 5 страница
Сборник примеров и задач по метрологии 5 страница
Ответ: IВ = 5 мА.
6.2.12. Какой верхний предел измерения должен быть у вольтметра класса точности К = 0,5, чтобы напряжение в диапазоне U = 10…25, В измерялось с погрешностью ?
Ответ: UВ = 40 В.
6.2.13. Высокоомным компенсатором постоянного тока класса точности c/d = 0,02/0,01, имеющего верхний предел измерения UВ = 1,6 В, измерено напряжение U = 0,80126 В. Определите предельную погрешность измерения (в нормальных условиях) и запишите результат измерения (формулы 6.4, 6.5).
Ответ: ( ) мВ.
6.2.14. На отсчетном устройстве цифрового вольтметра класса точности c/d = 0,5/0,2 с автоматическим выбором диапазона измерения отсчитано показание U = 54,68 В. Определите предельные абсолютную и относительную погрешности результата измерения.
Ответ: , В; .
6.2.15. Каким прибором будет точнее измерено напряжение U = 7,5 В, если имееется:
а) электромеханический вольтметр класса точности К1 = 0,1 с верхним пределом измерения UВ1 = 15 В;
б) цифровой вольтметр класса точности c2/d2 = 0,2/0,1 с верхним пределом измерения UВ2 = 10 В?
Ответ: первым.
6.2.16. Каким прибором будет точнее измерено напряжение U = 9 В, если имеется:
а) электромеханический вольтметр класса точности К1 = 0,1 с верхним пределом измерения UВ1 = 30 В;
б) цифровой вольтметр класса точности c2/d2 = 0,2/0,1 с верхним пределом измерения UВ2 = 10 В?
Ответ: вторым.
6.2.17. Для измерения напряжения U = 20 В можно использовать один из четырех вольтметров:
а) электромеханический вольтметр класса точности К1 = 1,5 с верхним пределом измерения UВ1 = 30 В;
б) электромеханический вольтметр класса точности К2 = 0,5 с диапазоном измерения Uд2 = (-20 ÷ +20) В;
в) электромеханический вольтметр класса точности К3 = 0,5 с диапазоном измерения Uд3 = (10 ÷ 30) В;
г) цифровой вольтметр класса точности c4/d4 = 0,5/0,1 с верхним пределом измерения UВ4 = 100 В?
Какой из приборов нужно выбрать, чтобы было выполнено точнее?
Решение. Из перечисленных приборов следует выбрать тот, у которого при измерении напряжения U = 20 В будет меньшая относительная погрешность.
а) Относительную погрешность определим по формуле:
,
где — приведенная погрешность первого прибора;
— его нормируещее значение, равное в этом случае верхнему пределу измерения:
б) Во втором случае используем ту же формулу, только нормируещее значение будет равно В
Следовательно, .
в) В третьем случае также используется та же формула, но нормирующее значение будет равно В.
Следовательно, .
г) в четвертом случае воспользуемся формулой
.
Сравнение показывает, что относительная погрешность получается меньше в четвертом случае. Следовательно, нужно выбрать цифровой вольтметр.
6.2.18. В паспорте цифрового вольтметра записана формула для определения приведенной . К какому классу точности он относится? (формулы 6.1, 6.2).
Ответ: c/d = 0,1/0,05.
6.2.19. Напишите обозначение класса точности c/d цифрового вольтметра, если известно, что предельное значение основной погрешности при конечном значении измеряемой величины составляет , а при значении, равном половине конечного, — .
Ответ: c/d = 0,01/0,005
6.2.20. Цифровой вольтметр с пределом измерения UВ = 100В при измерении напряжений U1 = 50 В и U2 = 25 В имеет относительные погрешности и . К какому классу точности c/d он относится?
Ответ: c/d = 0,2/0,1
6.2.21. У цифрового вольтметра В7-18 относительная погрешность нормирована формулой , где UВ – верхний предел измерения. К какому классу точности он относится? (формулы 6.1, 6.3).
Ответ: c/d = 0,1/0,02 (0,07/0,02).
6.2.22. Имеются два цифровых вольтметра: V1 – класс точности c1/d1 = 0,1/0,05 и V2 – класс точности c2/d2 = 0,15/0,025; оба с верхним пределом измерения UВ = 1В. При каких значениях измеряемого напряжения выгоднее применять V1 (меньше допускаемая погрешность)?
Ответ: В
6.2.23. Определите значения аддитивной и мультипликативной составляющих погрешностей цифрового вольтметра класса точности c/d = 0,1/0,05 при показании U = 5 В и верхнем пределе измерения UВ = 10 В (формулы 6.8 – 6.11).
Ответ: .
6.2.24. Определите значения аддитивной и мультипликативной составляющих погрешностей цифрового моста класса точности c/d = 0,05/0,02 при верхнем пределе измерения RВ = 1000 Ом и показании R = 500 Ом.
Ответ: .
6.2.25. Относительная погрешность измерительного преобразователя перемещения выражается трехчленной формулой (6.7) . Определите абсолютные значения аддитивной , мультипликативной и квадратической составляющих погрешности измерения перемещения Х = 1 м (формула 6.6).
Ответ: м; м; м.
6.2.26. Относительная погрешность моста для измерения сопротивлений выражается трехчленной формулой . Определите абсолютные значения аддитивной , мультипликативной и квадратической составляющих погрешности измерения сопротивления R = 2,4 кОм.
Ответ: Ом; Ом; Ом.
Библиографический список
1. Артемьев Б.Г., Голубев С.М. Справочное пособие для работников метрологических служб. Кн. 1. М.: Издательство стандартов, 1986.
6. Методы нормирования погрешностей средств измерений. 43
6.1. Основные сведения. 43
6.2. Задачи и примеры.. 48
Библиографический список. 54
Приложение. 55
Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 419 | Нарушение авторских прав
Сборник примеров и задач по метрологии 1 страница | Сборник примеров и задач по метрологии 2 страница | Сборник примеров и задач по метрологии 3 страница |mybiblioteka.su — 2015-2019 год. (0.02 сек.)
mybiblioteka.su
Примеры решения типовых задач
1. Определить значение сопротивления R4 (рис. 8.1) при балансе моста, если R2 = 1 кОм, R3 = 5 кОм. Измерения осуществляются на постоянном токе.
Рис. 8.1. Мостовая схема измерения сопротивлений
Решение.
При балансе моста ток через амперметр равен нулю, это означает, что Uc = Uд. Напряжение на сопротивлении R3 равно в момент баланса напряжению на сопротивлении R4, т. е. I1R3 = I2R4. Значения токов
Окончательно уравнение баланса моста R2R3 = R1R4, откуда
2. Определить добротность последовательного колебательного контура, если ток в момент резонанса I0 = 10 мА, напряжение на конденсаторе UCO = 5 В, а частота контура f0 = 1 МГц, сопротивление потерь rk = 5 Ом
Решение.
Ом
3. Определить погрешность измерения сопротивления Rx = 100 Ом методом вольтметра-амперметра, если Rv = 1 МОм.
Решение.
Задачи
1. Определить погрешность измерения сопротивления Rx = 1 кОм омметром с классом точности 1,0, если Rом = 100 Ом.
2. Определить индуктивность катушки, если модель ее полного сопротивления на частоте f = 1 МГц равен 100 Ом, а сопротивление катушки RL = 5 Ом.
3. Общая индуктивность при согласном включении двух катушек L0 = 10 мкГн, а при встречном включении общая индуктивность Lв = 18 мкГн. Определить взаимную индуктивность.
4. Определить активное сопротивление контура, если образцовое сопротивление Rобр = 10 Ом, а показания вольтметра при резонансе U1 = 2 В, а при включении в контуре образцового резистора U2 = 1 В.
5. Определить чувствительность мостовой схемы (рис. 8.1), если при измерении сопротивления одного из плеч моста на ΔR = 100 Ом напряжение в измерительной диагонали изменилось на величину ΔU = 0,3 В.
6. Оценить абсолютное отклонение величины сопротивления R4 (рис. 8.1) при резонансе моста, если величина тока резонанса I = 0,1 А, напряжение питания моста U = 5 В, сопротивление измерительного прибора Rн = 100 Ом, R1 = 1 кОм, R2 = 2 кОм, R3 = 2 кОм, R4 = 4 кОм.
7. Определить активное сопротивление катушки индуктивности, измеренное мостовой схемой, если Lx = 1 мкГн, C1 = 1 нФ, Rв = 10 Ом, R1 = 200 Ом.
8. Определить сопротивление потерь катушки индуктивности, если частота последовательного колебательного контура f = 1 МГц, значение образцового конденсатора C0 = 1 нФ, а добротность контура Q = 100.
9. Определить тангенс диэлектрических потерь конденсатора и погрешность его определения, если Cобр1 = 1,5 нФ, Cобр2 = 1 нФ, Q1 = 50, Q2 = 30. Погрешность измерения добротности составляет σQ1 = 0,5 %, σQ2 = 0,7 %.
10. Определить погрешность измерения частоты косвенным методом, если погрешности измерения индуктивности и емкости равны σL = 0,5 %, σC = 0,2 %.
11. При двукратных измерениях исследуемой катушки на частотах f1 = 1 МГц и f2 = 1,5 МГц, значения образцовых конденсаторов Cобр1=1нФ, Cобр2 = 0,1 нФ. Определить собственную емкость и индуктивность катушки.
12. Определить сопротивление резистора, измеряемого методом преобразования его во временный интервал, если число импульсов, подсчитанных счетчиком, N = 20, период следования импульсов Tк= 0,1 мкс, образцовый конденсатор С = 0,1 нФ.
13. Определить добротность контура, измеряемую косвенным методом, если относительный уровень A = 0,707, резонансная частота f0 = 1 МГц, полоса пропускания Df = 10 МГц.
14. Определить добротность контура, измеряемую цифровым куметром, если логарифмический декремент затухания q = 1000 рад/с, а время измерения tx= 1 мкс.
15. В момент t = 0 в колебательном контуре возникают затухающие колебания по закону u(t) = 10e-50tcos(2p · 106t). Определить момент времени tx, когда значение огибающей данного колебания будет равно амплитуде постоянного напряжения u2 = 10e—p, подаваемого на вход устройства сравнения.
ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЦЕПЕЙ СВЧ.
ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ
Примеры решения типовых задач
1. Определить длину основной волны в прямоугольном волноводе, если длина волны в свободном пространстве l0 = 3 см, а
Решение.
2. Определить входное сопротивление короткозамкнутой линии передачи с волновым сопротивлением 50 Ом длиной 10 см на частоте 3 ГГц.
Решение.
3. Волновое сопротивление тракта Zв = 50 Ом. Длина волны в волноводе lв = 40 мм. Смещение ближайшего минимума Dl = 18 мм. Коэффициент бегущей волны КБВ = 0,5. Определить сопротивление нагрузки.
Решение.
По круговой диаграмме сопротивлений, соединив точку прямой с центром диаграммы, получаем точку А в месте пересечения с КБВ = 0,5.
По диаграмме определяем в точке значение R/Zв = 0,55 и X/Zв= 0,24
Определяем сопротивление нагрузки
Задачи
1. Определить волновое сопротивление коаксиальной линии, у которой D/d = 3,6, а диэлектрическая проницаемость диэлектрика e = 2,2.
2. Значения lв, Dl, КБВ измерены с помощью измерительной линии. Определить Zн/Zв, если lв = 4 см, Dl = 0,04 см, КБВ = 0,5.
3. Определить сопротивление нагрузки, если Zв = 50 Ом, КСВ = 1,2, длина волны в линии передачи l = 4 см, смещение ближайшего минимума Dl = 0,4 см.
4. Оценить погрешность измерения сопротивления нагрузки примера 3, если погрешность измерения КСВ составляет sКСВ = 0,5 %, погрешность измерения длины волны sl = 0,7 % и погрешность измерения смещения составляет sсм = 0,3 %.
5. Определить входное сопротивление разомкнутой линии передачи длиной 5 см с волновым сопротивлением 50 Ом на частотах f = 3 ГГц; 5 ГГц; 10 ГГц.
6. КБВ в линии передачи равен 0,6. Определить коэффициент отражения.
7. Определить волновое сопротивление линии передачи с параметрами: R = 5 Ом, L = 5 мкГн, G = 0,5 См, C = 5 нФ на частоте f = 10 ГГц. Оценить погрешность измерения, если пренебречь величинами R и G.
8. Показания индикатора в минимуме и максимуме напряженности поля равны соответственно Amin = 1,5; Amax = 5. Определить КБВ в линии передачи при квадратичной характеристике детектора.
9. Волновое сопротивление линии передачи Zв = 50 Ом. Определить коэффициент отражения от нагрузки Zн = 30 Ом; 100 Ом; 150 Ом.
10. Значения напряженности поля падающей и отраженной волн равны Eпад= 0,5 В; Eотр = 0,3 В. Определить КБВ в линии передачи.
11. Определить входное сопротивление линии передачи, если Zв = 50 Ом, l = 3 см, l = 7,5 см, а Zн = 100 Ом; (50 + j20) Ом; (100 – j10) Ом.
12. Определить волновое сопротивление l/4-трансформатора, если Zв1 = 50 Ом, а Zв2 = 100 Ом.
13. Определить коэффициент распространения в прямоугольном медном волноводе на основной волне H10 на l0 = 3 см.
14. Определить коэффициент распространения в круглом медном волноводе на основной волне H11 на l0 = 3 см.
15. Определить сопротивление Zн, если волновое сопротивление линии передачи Zв = 50 Ом; КСВ = 1,5; x = 5 см, Dl = 0,08 см.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
1. Понятие об измерении. Основные элементы процесса измерения.
2. Классификация измерений. Особенности электрорадиоизмерений.
3. Классификация погрешностей.
4. Оценивание и способы уменьшения случайных погрешностей.
5. Способы оценивания и исключение систематических ошибок.
6. Формы представления результатов измерения и показатели точности.
66. Измерение параметров цепей с распределенными постоянными.
67. Автоматизация радиоэлектронных измерений.
68. Автоматизация процессов управления в осциллографе.
69. Цифровые осциллографы.
70. Автоматизированный анализатор спектра.
71. Интерфейс RS-232C.
72. Отечественная стандартизация.
73. Методы стандартизации.
СЛОВАРЬ НОВЫХ ТЕРМИНОВ
Аналогово-цифровой преобразователь – измерительный преобразователь, в котором непрерывная измеряемая величина автоматически преобразуется в дискретную и подвергается цифровому кодированию.
Аналоговый измерительный прибор – прибор, показания которого являются непрерывной функцией измеряемой величины.
Болометр – металлический терморезистор, обладающий свойством сильно изменять свое сопротивление при изменении температуры.
Времяимпульсный метод – метод, заключающийся в предварительном линейном преобразовании значения измеряемой величины во временной интервал с последующим непосредственным кодированием временного интервала.
Динамическая погрешность – погрешность, возникающая при переменной во времени измеряемой величине.
Жидкокристаллический индикатор – индикатор, который модулирует внешний световой поток под действием электрического поля или тока.
Измерение – нахождение значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств – средств измерений.
Измерительная линия – вспомогательная линия передачи для измерения параметров СВЧ-цепей.
Измерительная система – совокупность средств измерений (мер, измерительных преобразователей, измерительных приборов) и вспомогательных устройств, соединенных между собой каналами связи, предназначенная для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для автоматической обработки, передачи или использования в автоматических системах управления.
Измерительная установка – совокупность средств измерений (мер, измерительных преобразователей, измерительных приборов) и вспомогательных устройств, предназначенная для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для непосредственного восприятия наблюдателем и расположенная в одном месте.
Измерительный преобразователь – средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки или хранения, но не поддающейся непосредственному восприятию наблюдателем.
Измерительный прибор – средство измерения, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем.
Инструментальная погрешность – погрешность из-за несовершенства средств измерения, их схемы, конструкции, состояния в процессе эксплуатации.
Калибратор – мера, с помощью которой градуируют или проверяют градуировочные характеристики осей (шкал) экрана осциллографа.
Калориметрический метод – метод измерения мощности СВЧ-сигнала, заключающийся в определении количества тепла, которое выделяется при рассеивании электромагнитной энергии.
Коррелометр– прибор для измерения корреляционных функций сигналов.
Косвенные измерения – измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной математической зависимости между этой величиной и величиной-аргументом, полученными при прямых измерениях.
Коэффициент амплитудной модуляции – отношение максимального отклонения напряжения к среднему значению напряжения.
Логометр – прибор, предназначенный для измерения отношения двух величин.
Мера – средство измерений, которое служит для воспроизведения физической величины заданного размера.
Метод измерений – совокупность приемов использования принципов и средств измерений обеспечивающая сравнение измеряемой величины с единицей.
Метод поразрядного уравновешивания – метод, состоящий в поочередном сравнении измеряемой величины с суммой образцовых дискретных величин, изменяющихся по определенному закону.
Метрология – наука об измерениях.
Объект измерения – физическая величина, которая подлежит измерению.
Пиковый детектор – измерительный преобразователь, на выходе которого постоянная составляющая непосредственно соответствует пиковому значению напряжения на входе.
Пиксел – минимальный дискретный элемент цифрового изображения на экране дисплея.
Погрешность – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.
Пондемоторный метод – метод измерения мощности СВЧ-сигналов, основанный на использовании механического действия электромагнитного поля.
Принцип измерений – совокупность физических явлений, на которых основаны измерения.
Прямые измерения – измерения, при которых искомое значение величины у находят непосредственно из опытных данных.
Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях.
Случайная погрешность – составляющая погрешности измерения, которая при повторных измерениях в одних и тех же условиях изменяется случайным образом.
Совместные измерения – производимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для нахождения зависимости между ними.
Совокупные измерения – производимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин находят решением систем уравнений, получаемых при прямых измерениях различных сочетаний этих величин.
Спейсеры – зазорозадающие распорные элементы в жидкокристаллических индикаторах.
Средства измерений – технические средства, используемые для целей измерений и имеющие нормированную точность.
Статическая погрешность – погрешность, возникающая при неизменной во времени измеряемой величине.
Термопара – слой, состоящий из двух разнородных проводников.
Устройство сравнения – средство измерения, предназначенное для осуществления сравнения измеряемой величины с мерой.
Цифро-аналоговый преобразователь – преобразователь двоичного кода в аналоговый сигнал.
Частотно-импульсный метод – метод, основанный на преобразовании значения измеряемой величины в пропорциональное значение частоты с последующим преобразованием в код.
Эталоны единиц – средства измерений, обеспечивающие воспроизведение и хранение единицы с целью передачи ее размера нижестоящим по поверочной схеме средствам измерений, выполняемые по особой спецификации и официально утвержденные в установленном порядке в качестве эталона.
ЛИТЕРАТУРА
1. Архипенко А.Г., Белошицкий А.П., Ляльков С.В. Метрология, стандартизация и сертификация: Учеб. пособие. В 3 ч. – Мн.: БГУИР, 1997.
2. Архипенко А.Г. Основы метрологии и измерительная техника: Тексты лекций. В 2 ч. – Мн.: МРТИ, 1989.
3. Белошицкий А.П. и др. Метрология и измерения: Учеб.-метод. пособие для индивидуальной работы студ. / Под общ. ред. С.В. Лялькова. – Мн.: БГУИР, 1999.
4. Винокуров В.И., Капкин С.И., Петилин И.Г. Электрорадиоизмерения: Учеб. пособие для радиотехнических спец. вузов / Под ред. В.И. Винокурова. 2-е изд. – М.: Высш. шк., 1986.
5. Верник С.М., Кушнир Ф.В., Рудницкий В.Б. Повышение точности измерения в технике связи. – М.: Радио и связь, 1981.
13. Основы метрологии и электрические измерения: Учеб. для вузов / Под ред. Е.М. Душина. – Л.: Энергоатомиздат, 1987.
14. Самарин А.В. Жидкокристаллические дисплеи. – М.: Солон-Р, 2002.
15. Сапаров В.Е. Системы стандартов и электросвязи в радиоэлектронике: Учеб. пособие для институтов. – М.: Радио и связь, 1985.
16. Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля. – М.: Высш. шк., 1989.
17. Телор Дж. Введение в теорию ошибок: Пер. с англ. – М.: Мир, 1985.
18. Цифровая осциллография / Под ред. А.М. Беркутова и Е.М. Прошина. – М.: Энергоатомиздат, 1987.
19. Закон Республики Беларусь «Об обеспечении единства измерений».
20. Закон Республики Беларусь «О стандартизации».
Учебное издание
МЕТРОЛОГИЯ И РАДИОИЗМЕРЕНИЯ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
для студентов специальности 1-39 01 01
«Радиотехника»
Составитель
ЯНУШКЕВИЧ Виктор Францевич
Редактор Г.А. Тарасова
Дизайн обложки И.С. Васильевой
Подписано в печать 9.09.05. Формат 60х84 1/16. Гарнитура Таймс. Бумага офисная.
Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 17,64. Уч.-изд. л. 18,76. Тираж 60. Заказ 849.
Издатель и полиграфическое исполнение:
Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»
ЛИ № 02330/0133020 от 30.04.04 ЛП № 02330/0133128 от 27.05.04
211440 г. Новополоцк, ул. Блохина, 29
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
zdamsam.ru
Задачи по метрологии Задача 11
Выбор измерительных
средств для контроля размеров
Условие.
Выбрать универсальные измерительные
средства для размеров отверстия и вала,
указанных в задаче 1 (табл. 1.1) или
полученных в задачах 2 или 3 (в зависимости
от задания по гладким цилиндрическим
соединениям).
Указания к решению
Для
выбора средств и методов измерений
линейных размеров от 1 до 500
мм при приемке изделий ГОСТ 8.051-81
устанавливает допускаемые погрешности
измерений ()
в зависимости от допуска на изготовление
изделия IT по квалитету и номинальному
измеряемому размеру (табл. 11.1). Погрешности
измерения являются наибольшими
погрешностями измерений, включающими
в себя все составляющие, зависящие от
измерительных средств, установочных
мер, температурных деформаций, базирования
и т.д.
При допусках на
изготовление, не соответствующих
значениям, указанным в табл. 11.1, допускаемая
погрешность выбирается по ближайшему
меньшему значению допуска для
соответствующего размера.
Существует связь
между относительной погрешностью
измерения
Амет()
= мет/
IT (где мет – среднее квадратичное отклонение
погрешности измерения), количеством m принятия бракованных деталей в качестве
годных, количеством n неправильно забракованных деталей и
вероятным предельным значением С выхода размера за каждую границу поля
допуска у неправильно принятых деталей.
Предельные значения m, n и С приведены в табл. 11.2.
При определении
параметров m, n и С рекомендуется принимать для квалитетов
2-7 Амет ()
= 0,16; для квалитетов 8-9 Амет ()
= 0,12; для квалитетов 10 и грубее Амет ()
= 0,1.
В случае отсутствия
измерительного средства с требуемой
погрешностью измерения СИ назначают
приемочные границы путем смещения их
внутрь допуска на деталь на величину
С.
Предельное значение
С можно рассчитать по формуле С = Сдоп — Спр,
где Сдоп – допустимое значение С, определяемое
по табл. 11.2 в зависимости от допуска на
изготовление IT;
Спр – принятое значение С, определяемое по
тому допуску IT, который по табл. 11.1
соответствует погрешности измерения
СИ выбранного измерительного средства.
Результаты выбора
измерительного средства заносятся в
табл. 11.3.
Справочные данные
для выбора измерительных средств
приведены в табл. 11.4.
Таблица 11.1
Допускаемые погрешности измерений для линейных размеров (гост 8.051-81, ст сэв 303-76)
Номинальные размеры,
мм
К в а л и т е т ы
2
3
4
5
6
7
8
м к м
1Т
1Т
1Т
1Т
1Т
1Т
1Т
До 3
1,2
0,4
2,0
0,8
3
1,0
4
1,4
6
1,8
10
3,0
11
3,0
Св. 3 до 6
1,5
0,6
2,5
1,0
4
1,4
5
1,6
8
2,0
12
3,0
18
4,0
Св.6 до 10
1,5
0,6
2,5
1,0
4
1,4
6
2,0
9
2,0
15
4,0
22
5,0
Св.10
до 18
2,0
0,8
3,0
1,2
5
1,6
8
2,8
11
3,0
18
5,0
27
7,0
Св.18 до 30
2,5
1,0
4,0
1,4
6
2,0
9
3,0
13
4,0
21
6,0
38
8,0
Св.30 до 50
2,5
1,0
4,0
1,4
7
2,4
11
4,0
16
5,0
25
7,0
39
10,0
Св.50 до 80
3,0
1,2
5,0
1,8
8
2,8
13
4,0
19
5,0
30
9,0
46
12,0
Св.80 до 120
4,0
1,6
6,0
2,0
10
3,0
15
5,0
22
6,0
35
10,0
54
12,0
Св.120 до 180
5,0
2,0
8,0
2,8
12
4,0
18
6,0
25
7,0
40
12,0
63
16,0
Св.180 до 250
7,0
2,8
10,0
4,0
14
5,0
20
7,0
29
8,0
46
12,0
72
18,0
Св.250 до 315
8,0
3,0
12,0
4,0
16
5,0
23
8,0
32
10,0
52
14,0
81
20,0
Св.315 до 400
9,0
3,0
13,0
5,0
18
6,0
25
9,0
36
10,0
57
16,0
89
24,0
Св.400 до 500
10,0
4,0
15,0
5,0
20
6,0
27
9,0
40
12,0
63
18,0
97
26,0
Окончание табл.
11.1
Номинальные размеры,
мм
К в а л и т е т ы
9
10
11
12
13
14
15
16
17
м к м
1Т
1Т
1Т
1Т
1Т
1Т
1Т
1Т
1Т
До 3
25
6
40
8
60
12
100
20
140
30
250
50
400
80
600
120
1000
200
Св. 3 до 6
30
8
48
10
75
16
120
30
180
40
300
60
480
100
750
160
1200
240
Св.6 до 10
36
9
58
12
90
18
150
30
220
50
360
80
580
120
900
200
1500
300
Св.10 до 18
43
10
70
14
110
30
180
40
270
60
430
90
700
140
1100
240
1800
380
Св.18 до 30
52
12
84
18
130
30
210
50
330
70
520
120
840
180
1300
280
2100
440
Св.30
до 50
62
16
100
20
160
40
250
50
390
80
620
140
1000
200
1600
320
2500
500
Св.50 до 80
74
18
120
30
190
40
300
60
460
100
740
160
1200
240
1900
400
3000
600
Св.80 до 120
87
20
140
30
220
50
350
70
540
120
870
180
1400
280
2200
440
3500
700
Св.120 до 180
100
30
160
40
250
50
400
80
630
140
1000
200
1600
320
2500
500
4000
800
Св.180 до 250
115
30
185
40
290
60
400
100
720
160
1150
240
1850
380
2900
600
4600
1000
Св.250 до 315
130
30
210
50
320
70
520
120
810
180
1300
260
2100
440
3200
700
5200
1100
Св.315 до 400
140
40
230
50
360
80
570
120
890
180
1400
280
2300
460
3600
800
5700
1200
Св.400 до 500
155
40
250
50
400
80
630
140
970
200
1550
320
2500
500
4000
800
6300
1400
Примечание. Разрешается увеличение
допускаемой погрешности измерения при
уменьшении размера, учитывающего это
увеличение, а также в случае разделения
на размерные группы для селективной
сборки.
Таблица 11.2
Амет ()
m
n
C/IT
Амет ()
m
n
C/IT
%
%
1,6
3,0
5,0
8,0
0,37 — 0,39
0,87 — 0,90
1,60 — 1,70
2,60 — 2,80
0,70 — 0,75
1,20 — 1,30
2,00 — 2,25
3,40 — 3,70
0,01
0,03
0,06
0,10
10,0
12,0
16,0
3,10 — 3,50
3,75 — 4,11
5,00 — 5,40
4,50 — 4,75
5,40 — 5,80
7,80 — 8,25
0,14
0,17
0,25
Примечание. Первые значенияmиnсоответствуют закону нормального
распределения погрешности измерения,
вторые – закону равной вероятности.
При неизвестном законе распределения
погрешности измерения значенияmиnможно определять как среднее из
приведенных значений.
Пример. Выбрать универсальные измерительные
средства для измерения диаметра отверстия
100Н8, диаметра вала
100f7 и длины вала l = 80 мм по среднему классу точности.
Корнем называют не только часть растения, но и математический элемент. По умолчанию он предназначен для расчётов и вычисления именно квадратного корня, то есть числа в степени одна вторая. У этого математического элемента есть и другое название – радикал, произошедшее, вероятно, от латинского слова radix. Поэтому в некоторых случаях радикал обозначается буквой r.
Что такое корень и его назначение
В общих чертах его знак похож на латинскую букву V, с тем лишь отличием, что правая часть длиннее левой. Связано это с тем, что справа пишется число большее, чем левое. И как было сказано выше – левое часто не пишут (если речь идет о квадратном корне).
Пример 1. √16 = 4. Полная запись выглядела бы так: 2√16 = 4. Как видно из примера, двойка по умолчанию не пишется. Она обозначает то, сколько раз число 4 было умножено на само себя. Иными словами – 4, умноженное на 4 равняется числу 16.
Пример 2. 3√8 = 2. Тут уже вычисляется кубический корень (третьей степени). Число 8 получается из умножения числа 2 на само себя три раза – 2*2*2 = 8.
Немного истории
Современное обозначение извлечения квадратного корня из восьми, где восьмёрка находится под правым «крылышком» корня (знака), раньше имело бы выражение вида r8 с чёрточкой над восьмёркой. Но это было не всегда удобно по ряду причин.
Изменить выражение на современный лад впервые предложил в 1525 году авторитетный немецкий математик Кристоф Рудольф. Этот человек внёс большой вклад в развитие алгебры в целом, излагая сложные математические формулы доступным и ясным языком. Его труд примечателен еще и тем, что изобилует доступными и наглядными примерами. Поэтому даже спустя два века на его работу ссылаются многие учебники.
На данный момент в типографике знак корня почти не отличается в разных странах, так как вариант Рудольфа пришёлся по вкусу большинству.
Применение
Разумный вопрос, который рано или поздно возникает у человека, только начавшего изучать математику – зачем вообще нужен квадратный корень? Конечно, он, может, никогда и не пригодится уборщице тёте Люсе или дворнику дяде Васе, но для более образованного человека квадратный корень всё же нужен.
Начнём с того, что квадратный корень нужен для вычисления диагонали прямоугольника. Ну и что с того? – спросят многие. А с того, что это нужно для качественного ремонта, чтобы правильно и аккуратно разложить линолеум, сделать навесной потолок и для проведения многих других работ в сфере строительства.
Ведь дома и квартиры строят люди, вещи и материалы для ремонта изготавливают люди, либо машины, которыми управляют опять-таки люди. А человеку свойственно ошибаться. Поэтому вычисление квадратного корня может существенно сэкономить нервы и деньги при ремонте какого-либо помещения.
Квадратный корень также необходим физикам, математикам, программистам и другим профессионалам, чья профессия связана с вычислениями и наукой. Без подобных знаний наука стояла бы на месте. Однако даже простому человеку никогда не помешают базовые знания о корне. Ведь эти знания развивают мозг, заставляют его работать, образуя новые нейронные связи. Чем больше знаний в голове – тем больше человек запомнит.
Как набирать
Знак корня на клавиатуре
В электронном виде этот символ может понадобиться как студентам, учителям, научным деятелям. Связано это может быть с докладом, проектом, рефератом и так далее. В стандартной раскладке клавиатуры нет символа квадратного корня, так как он не является популярным или часто используемым. Но его можно набрать и другими способами.
Самые распространённые программы для работы с документами – это пакет MS Office, в частности, Microsoft Word. Набрать квадратный корень в этой программе можно несколькими способами, которые по аналогии могут подойти и к другим программам, с небольшими различиями в интерфейсе.
Способы набора символа в Ворде
Можно использовать следующие варианты:
При помощи набора специального кода. В самом низу клавиатуры находится клавиша с названием Alt. Этих клавиш две, подойдёт любая из них. В правой части клавиатуры есть цифры, над которыми находится клавиша Num Lock. Эту клавишу нужно предварительно нажать, чтобы активировать цифры, находящиеся под ней. Затем зажимаем клавишу Alt и не отпуская клавишу, набираем: 251. После этого на экране появится нужный значок.
Ещё один способ связан с меню «вставка-символ». После того как будет найден нужный знак, его можно будет повторять, как ранее использованный. Его код в меню поиска — 221A, (латинская буква). Предварительно лучше включить Юникод.
Самый «красивый» символ набирается с помощью компонента Microsoft Equation 3.0. Для этого надо зайти в «вставка-объект-Microsoft Equation 3.0», после чего найти там нужный знак и использовать его. При этом методе знак смотрится лучше всего, так как тут он отображается правильно с типографической и математической точки зрения.
liveposts.ru
О знаке квадратного корня. Историческая справка репетитора по математике
Ззнак квадратного корня знаком всем. Его используют школьники и студенты, преподаватели и репетиторы по математике, доктора наук и академики. Однако не все знают, что современная форма и появилась не сразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с в далекого XIII в., когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называли квадратный корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R.
В XV в. Н.Шюке писал вместо . Современный знак корня произошел от обозначения, применяемого немецкими математиками XV-XVI вв., называвшие алгебру — наукой «Косс», а математиков -алгебраистов «коссистами». (Математики XII-XV вв. писали все свои труды исключительно на латинском языке. Они называли неизвестное — res (вещь). Итальянские математики перевели слово res как cosa. Последний термин заимствовали немцы, от которых и появилось коссисты и косс.)
В XV в. некоторые немецкие коссисты для обозначения квадратного корня пользовались точкой перед выражением или числом. В скорописи эти точки заменялись черточками, а позже они перешли в символ Один такой знак означал обычный квадратный корень. Если нужно было обозначить корень четвертой степени, то применялся сдвоенный знак знак Для обозначения кубического корня использовали утроенный знак
Комментарий репетитора по математике: остается только гадать, как именно обозначался корень восьмой степени. Если брать аналогию с четвертой степенью, то этот знак должен был отождествлять трехкратное извлечение квадратного корня, то есть для этого нужно было поставить три квадратика. Однако, это обозначение занято кубическим корнем.
Скорее всего, в последствии от таких обозначений как раз и образовался знак V, близкий по записи к знакомому школьникам современному знаку, но без верхней черты. Впервые этот знак был замечен в немецкой алгебре «Красивый и быстрый счет при помощи искусных правил алгебры»:
Автором этого труда был преподаватель математики из Вены, уроженец Чехии Криштоф Рудольф. Книга пользовалась большим успехом и постоянно переиздавалась на протяжении всего XVI в. и после аж до 1615г. Знаком корня, предложенного Криштофом пользовались А.Жирар, С.Стевин (он писал показатель корня справа от знака радикала в кружке: V (2) или V (3).
В 1626г. нидерландский математик А.Жирар видоизменил знак корня Рудольфа и ввел совсем близкое к современному обозначение Такая форма записи начала вытеснять прежний знак R. Однако некоторое время знак корня писали разрывая верхнюю черту, а именно так: .
И только в 1637 году Рене Декарт соединил горизонтальную черту с галочкой, применив новое обозначение в своей книге «геометрия».
Но и здесь не было точной копии современной формы. Запись Декарта несколько отличалась от той, к который мы с вами привыкли одной деталью. У него было записано: , где буква С, поставленная сразу после радикала, указывала на запись кубического корня. В современном виде это выражение выглядело бы так: .
Самое близкое к современному написанию радикала применял Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1685 г.) Впервые запись корня, полностью совпадающая с сегодняшней, встречается в книге французского математика Ролля «Руководство алгебры», вышедшей в 1690 г. Только через некоторое время после ее написания математики планеты принята, наконец, единую и окончательная форма записи квадратного корня:
Колпаков А.Н. Профессиональный репетитор по математике.
Метки:
Алгебра
ankolpakov.ru
Преобразование выражений с корнями (внесение множителя под знак корня)
Тема: Функция . Свойства квадратного корня
Урок: Преобразование выражений с корнями (внесение множителя под знак корня)
Начнем урок с повторения теории.
Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .
.
Из определения следует тождество при .
Пример 1. Вычислите , т. к. .
Пример 2. Решите уравнение
Решение. Уравнение может показаться очевидным и выполненным всегда при всех значениях переменной . Действительно, мы уже знакомы с тождеством, которое представляет собой это уравнение, однако, важно помнить, что оно выполнено при , что и будет являться решением уравнения. Это тот случай, в котором решением уравнения может являться не одно или несколько чисел, как мы привыкли, а целая числовая полуось.
Ответ..
Основные свойства квадратного корня:
а)
б)
в)
Рассмотрим две важнейшие типовые задачи урока, на методе решения которых будет базироваться подход к другим подобным задачам.
Пример 3. Внесите множитель под знак корня: а) , б) .
Решение. Задачи отличаются только знаком выражения, которое является множителем перед корнем, но это принципиальный аспект дальнейшего решения.
а) Внесение положительного множителя под знак корня. Если , то , тогда .
б) Внесение отрицательного множителя под знак корня. Если , то (т. к. ), тогда .
Ответ.; .
Как видно из приведенного примера, знак вносимого под корень выражения важен, и если он отрицательный, то перед корнем после внесения множителя должен остаться минус, в случае внесения положительного множителя, значение выражения остается положительным.
Когда нам известны два принципиальных подхода к решению задач, можем перейти к различным примерам.
Пример 4. Внесите множитель под знак корня: а) , б) , в) .
Решение. а) Т. к. множитель перед корнем положительный, то .
б) Т. к. множитель перед корнем отрицательный, то .
в) В этой задаче может показаться, что решение имеет различные варианты, т. к. знак выражения перед корнем не известен, но следует заметить, что такое же выражение находится и под знаком корня, т. е. оно неотрицательно по определению квадратного корня (). Имеем вариант для внесения неотрицательного числа .
Ответ.; ; .
Пример 5. Внесите множитель под знак корня и упростите: а) , б) .
Решение. Задачи похожи, однако, отличаются знаками вносимых под корень множителей, подход к решению нам уже известен, применим его.
а) , тогда .
б) , тогда .
Ответ..
Пример 6. Внесите множитель под знак корня и упростите: а) , б) .
Решение. а) По определению квадратного корня , т. к. если произведение трех одинаковых чисел неотрицательно, то и эти числа неотрицательны, тогда вносим под корень неотрицательное число: .
б) По определению квадратного корня , тогда вносим под корень отрицательное число: .
Ответ.; .
На следующем уроке рассмотрим более сложные задачи на преобразования выражений с корнями, в которых нам понадобятся знания обо всех основных свойствах квадратного корня.
Список литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Старая школа (Источник).
2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
3. Обучающие курсы (Источник).
Домашнее задание
1. №318, 319, 332, 339, 340, 343. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Внесите множитель под знак корня: а) , б) , в) .
3. Внесите множитель под знак корня, если известно, что : а) , б) .
4. Расположите в порядке возрастания числа: а) , б) .
interneturok.ru
Правила квадратного корня — Квадратный Корень
Применение операции корня к числам
Квадратный корень из числа — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной .[1][2] Часто под этим понятием подразумевают более узкое — т. н. арифметический квадратный корень — неотрицательное число.
Рациональные числа
Корень из рационального числа является рациональным числом, только если и (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.
Непрерывная дробь
корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с
предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие
рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой
стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от [3][4]. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.
Действ
www.sites.google.com
Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)
Тема: Функция . Свойства квадратного корня
Урок: Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)
Напомним определение квадратного корня:
квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое число неотрицательное число , квадрат которого равен : .
Из определения квадратного корня сразу следует следующее тождество:
.
Рассмотрим несколько примеров на вычисление корней: , т. к. ; , т. к. ; , т. к. ; .
Напомним также основные свойства квадратного корня:
1. (). Если и – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.
2. (). Если – неотрицательное число, а – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.
3. ().
Примеры:
1. .
2. .
Докажем теперь ещё одно не менее важное свойство квадратного корня:
, т. е.: .
Доказательство:
Напомним вначале определение модуля: . Примеры: , , .
Рассмотрим два случая:
1. , т. к. – можно пользоваться определением корня квадратного из неотрицательного числа.
2. . В этом случае: . Тогда для числа можем воспользоваться результатами первого случая: .
Утверждение доказано
Естественным обобщением данного свойства является формула:
.
Рассмотрим типовые задачи на применение указанного свойства.
Примеры:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Необходимо понимать, что во всех рассмотренных примерах значение корней всегда получается неотрицательным (несмотря на наличие перед некоторыми ответами знака . К примеру, в примере 4 ответ положительный, так как знак выражения , а перед самим выражением стоит ещё один . Как известно, минус на минус даёт плюс.
Решим ещё несколько примеров, в которых фигурируют уже несколько переменных:
5.
( – по условию, – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).
6.
( – по условию, – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).
7.
( – по условию, – так как ).
8.
( – по условию, – так как ).
Итак, мы рассмотрели вынесение множителя из-под знака корня. Мы научились выносить множитель из-под корня с учётом его знака, а также решили несколько примеров.
На следующем уроке мы научимся вносить множитель под знак квадратного корня.
Список литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
2. ЕГЭ! Сдам! (Источник).
3. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов (Источник).
Домашнее задание
1. №336-338 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Упростить выражение: а) ; б) ; в) ; г) .
3. Упростить выражение: а) , б) , в) .
interneturok.ru
[Билет 33] Корень n-й степени из числа. Алгебраический и арифметический корни. Функция √
Корень n-й степени из числа. Определение корня. Безусловно, все так или иначе знакомы с интуитивным понятием квадратного корня — это такое число, квадрат которого равен a. Аналогично определяется корень n-й степени из числа a, где n — положительное число.
Определение. Корнем n-й степени из числа a называется такое число, n-я степень которого равна a.
Согласно данному определению корень n-й степени из числа а — это решение уравнения xn=a. Число корней этого уравнения зависит от n и от а.
Рассмотрим функцию f(x)=x^n. Как известно, на промежутке [0; ∞) эта функция при любом n возрастает и принимает все значения промежутка [0; inf). По теореме о корне уравнение xn=a для любого а, принадлежащего промежутку [0; ∞), имеет неотрицательный корень и только один. Его называют арифметическим корнем n-й степени из числа n и обозначают n√a Число n называют показателем корня, а само число a — подкоренным выражением. Знак корня √ так же называют радикалом.
Алгебраический и арифметический корни. Арифметическим корнем n–й степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n–я степень которого равна a .
Алгебраическим корнем n–й степени из данного числа называется множество всех корней из этого числа. Алгебраический корень чётной степени имеет два значения: положительное и отрицательное, например:
Функция √
Квадратный корень из числа a — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен a, то есть решение уравнения x2 = aотносительно переменной x
Квадратный корень как элементарная функция
График функции y=x Квадратным корнем называют также функцию x вещественной переменной x, которая каждому x0 ставит в соответствие арифметическое значение корня. Свойства функции y=x Свойства функции y=3x Функция y=nx .
Степенная функция с положительным дробным показателем.
Степенная функция с положительным дробным показателем это функция, заданная формулой y = xr, где r — положительная несократимая дробь.
Свойства функции y = xr:
Область определения — луч [о;+) .
Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
Функция y = xr возрастает на [о;+) .
На пример график функции y = x5/2, заключен между графиками функций y = x2 и y = x3, заданных на промежутке [о;+) . Подобный вид имеет любой график функции вида y = xr, где r > 1, а график любой степенной функции y = xr, где 0r y = x2/3.
Степенная функция с отрицательным дробным показателем.
Степенная функция с отрицательным дробным показателем это функция, заданная формулой y = x — r, где r — положительная несократимая дробь.
Свойства функции y = x — r:
Облать определения — промежуток (о;+) .
Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
Функция y = x — r убывает на (о;+) .
График функции y = x — rподобен ветке гиперболы, построенной на положительных значениях аргумента функции.
fizmatinf.blogspot.com
Арифметический квадратный корень. Вынесение, внесение множителя под знак корня
Множество
всех значений X (xX),
которые может принимать аргумент функции x,
называется областью определения этой
функции.
Множество
всех значений Y (yY),
которые может принимать функция f(x),
называется областью значений этой
функции.
Примеры:
Областью определения функции y = x²
является интервал (– ;
),
а областью значений функции – интервал
[0; ).
Задача
1. Найти
область определения функции
.
Решение:
Область определения функции находится
как решение неравенства 2x – 4 0 x 2, т.е. x
[2; ).
Задача
2. Найти
область определения функции .
Решение:
Область определения функции находится
как решение неравенства 4 – x² > 0 – 2 < x < 2, т.е. x (–2; 2).
Элементарные функции
Степенная
функция: y = xn (n — степень, nR)
Линейная y = x,
квадратичная y = x²,
кубическая y = x3,
гиперболическая и постояннаяy = 1функции
являются частными случаями степенной
функции со степенями n = 1; 2; 3; –1; 0.
Показательная
функция: y = ax (a — основание
степени, a > 0, a 1).
Показательная
функция с основанием a = e
= 2,718… называется экспоненциальной функцией y = ex.
Областью
определения показательной функции
является интервал (– ;
),
а областью значений функции – интервал
(0; ).
Логарифмическая
функция: y = logax (a — основание
логарифма, a > 0, a 1).
Логарифмическая
функция с основанием a = e
= 2,718… называется натуральным
логарифмом:y = lnx,
а логарифмическая функция с основанием a = 10
— десятичным
логарифмом: y = lgx.
Областью
определения логарифмической функции
является интервал (0; ),
а областью значений функции интервал
(– ;
).
Тригонометрические
функции: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx.
Областью
определения функций y = sinx, y = cosx является интервал (– ;
),
а областью значений функций – интервал
[– 1; 1]. Областью определения функции y = tgx является интервал (–
/2 + n;
/2
+ n),
а областью значений функции — (– ;
).
Областью определения функции y = ctgx является интервал (n;
+ n),
а областью значений функции — (– ;
).
Обратные
тригонометрические функции: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.
Областью
определения функций y = arcsinx, y = arccosx является интервал [– 1; 1], а областью
значений функций – интервал (– ;
).
Областью определения функции y = arctgx является интервал (– ;
),
а областью
значений функции — (–
/2 + n;
/2
+ n).
Областью
определения функции y = arcctgx является интервал (– ;
),
а областью
значений функции — (n;
+ n).
Пример
функции прибыли:
В наиболее общем виде прибыль П (profit)
определяется как разность между полным
доходом (выручкой) от реализации продукции
или услуг R
(revenue)
и полными издержками (затратами) C (cost): П = R – C. С
учетом кривой спроса R = pQ = (p0 – aQ)Q,
где Q (quantity)
— объем реализации, p (price)
— цена. С другой стороны издержки делятся
на постоянные и переменные, т.е. C = Cf + CvQ.
Таким образом, П = – aQ2+ (p0 – CvQ)
– Cf,
т.е. зависимость П от Qквадратичная.
Обратная функция
Если
из зависимости y = f(x)
вытекает соотношение x = g(y),
то функция g(y)
называется обратной функцией (относительно
функции f(x)).
Пример: Обратной
функцией линейной функции y = 2x + 4 является функция .
Показательная
и логарифмическая функции, тригонометрические
и обратные тригонометрические функции
являются обратными.
Область
определения X функции f(x) является областью значений Y обратной функции g(y) и наоборот.
studfiles.net
Понятие функции. Способы задания функции
Понятие функции является одним из важнейших понятий математики и её
приложений. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления
реального мира.
Пусть X и Y —
какие-то множества. Имеет место функция, определённая на множестве X
со значениями на множестве Y, если в силу
некоторого закона f каждому элементу
x∈X ставится в соответствие один и
только один элемент y∈Y.
Это записывается в виде
y = f(x).
Другими словами, с помощью функции y = f(x)
множество X отображается в множество
Y. Поэтому функцию называют также отображением.
Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского самолёта.
Пусть X — множество пассажиров, а Y —
множество кресел салона. Тогда возникает соответствие f :
каждому пассажиру x∈X сопоставляется
то кресло y = f(x),
в котором он сидит.
Наблюдается, таким образом, простой пример функции, областью
определения которой является множество X пассажиров,
а областью значений — множество f(X)
занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y,
то множество значений функции будет подмножеством Y,
не совпадающим со всем множеством Y.
Если, однако, какому-то пассажиру
удастся сесть сразу в два кресла и
, то
нарушится принцип однозначной определённости значений функции, поэтому такая ситуация
не является функциональной в смысле данного выше определения функций, поскольку требуется,
чтобы каждому значению x аргумента соответствовало
бы одно определённое значение y = f(x)
функции.
В математическом анализе часто X
обозначают как D (область определения функции), а Y
как E (область значений функции) и при этом
D и E называют
подмножествами R (множества действительных чисел).
На сайте есть урок Как найти область определения функции.
Как нетрудно догадаться по названию нашего сайта, он назван так в честь функции от
икса или f(x). И это неслучайно. Функции составляют бОльшую
часть предметов рассмотрения не только математического анализа, но и дискретной математики, а также
широко используются в программировании, где от профессионалов требуется выделять однотипные вычисления
в функции.
Пример 1. Даны множества A = {a, b, c, d, e} и
L = {l, m, n}.
Можно ли между элементами этих множеств установить такое соответствие, чтобы оно было
функцией? Если да, то записать это соответствие, указав стрелками, какой элемент какому
соответствует.
Решение. Итак, множество A содержит
5 элементов, а множество L — 3 элемента. Если мы
поставим стрелки, ведущие от каждого элемента множества L к
элементам множества A, то некоторым элементам L
будут соответствовать более одного элемента A. Такое
соответствие не является функцией по определению. Но если мы проведём стрелки от элементов
A к элементам L,
то некоторым элементам A будут соответствовать одни и те
же элементы L, но при этом каждому элементу A
будет соответствовать не более одного элемента L. Такое
соответствие не противоречит определение функции, следовательно, ответ на вопрос задания —
положительный.
Можно задать, например, такое соответствите между элементами данных
множеств, которое будет функцией:
Пример 2. Даны множества A = {70, 140, 30, 48} и
В = {35, 15, 12}. Установить
между элементами множеств соответствие, заданное правилом «элемент A
можно нацело поделить на элемент В«. Будет ли
такое соответствие функцией?
Решение. Между элементами множеств A и
В устанавливается следующее соответствие:
Это соответствие является функцией, так как каждому элементу из множества
A соответствует не более одного элемента из множества
В.
Аналитическое задание функции.
Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена
в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые
должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение
функции.
При аналитическом задании функции указывают область определения, либо
не указывают. В первом случае функция задаётся в виде
y = f(x), x∈D,
где D — область определения функции, во втором случае —
в виде y = f(x).
Во втором случае областью определения функции считается наибольшее множество, на котором
имеет смысл формула, которой задана функция, то есть наибольшее множество аргумента, которое
приводит к действительным значениям функции.
Важно, что функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью
которой она задана. Например, функции y = x², x∈]-∞,+∞[ и
y = x², x∈[2, 4],
выраженные одной и той же формулой y = x²,
так как они имеют разные области определения.
Наоборот, одна и та же функция может быть задана разными формулами на
различных участках области определения. Пусть, например,
Здесь две формулы задают одну функцию, определённую на всей числовой
прямой. При x≤0 значения этой функции
определяются по первой формуле, а при x>0 — по
второй.
Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции
можно вычислить при любых значениях аргумента. Недостатком этого способа задания функции
является его малая наглядность.
Графический способ задания функции
График функции даёт наглядное представление о её свойствах. Например,
график линейной функции y = kx + b
— прямая линия, график квадратичной функции y = ax² + bx + c —
парабола и т. д. При этом строятся графики функций, заданных геометрически, т. е. в виде
формул или уравнений. Таким образом, под графиком функции понимается множество точек
плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.
Графический способ задания функции помимо геометрического изображения
функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически.
Задать функцию графически — это значит построить её график. Это часто делают самопишущие
приборы. Например, в медицине электрокардиограф строит электрокардиограмму — кривую
изменения электрических импульсов сердечной мышцы.
Графиком числовой функции y = f(x)
называется множество точек плоскости с координатами (x; f(x)),
абсциссы которых — числа из области определения функции, а ординаты — соответствующие значения
функции.
Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия
может служить графиком функции. Линия только в том случае задаёт функцию, если любая прямая,
параллельная оси 0y, пересекает её не более чем в
одной точке.
Пример 4. На рисунке ниже — график параболы,
заданной уравнением y² = 2x.
Является ли этот график графиком функции?
Решение. График параболы, заданной уравнением y² = 2x,
не является графиком функции, поскольку прямая, параллельная оси 0y,
пересекает его в двух точках при всех значениях x,
кроме x = 0. Заданное уравнение
эквивалентно двум уравнениям ,
каждое из которых определяет функцию. Графиком функции
служит верхняя половина параболы, а графиком функции —
её нижняя половина.
Табличный способ задания функции
При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента
записывается соответствующее значение функции. Широко известных таблицы квадратов и кубов
чисел, квадратных корней, то есть таблицы функций ,
,
.
Недостатком табличного способа задания функции является то, что в
таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности
изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.
Если функция y зависит от переменной u, то есть
y = f(u), а
u, в свою очередь, является какой-либо функцией от
независимой переменной x, то есть u = g(x),
то переменная y называется функцией от функции или
сложной функцией от x.
Это записывается в виде
y = f(u), u = g(x)
или
y = f[g(x)].
Таким образом, сложной называется функция, аргументом которой является
не независимая переменная, а некоторая функция от неё.
Область определения сложной функции — это множество тех значений x
из X, для которых соответствующие значения
u принадлежат области определения U
функции y = f(u). Ни для
каких других значений x сложная функция не имеет смысла.
Из определения следует, что сложная функция y = f[g(x)]
может быть представлена в виде цепочки простых функций y = f(u), u = g(x).
Переменную u принято называть промежуточным аргументом
в отличие от независимой переменной x. Цепочка,
составляющая сложную функцию, может состоять не только из двух, но и из большего числа
звеньев.
Например, функция
состоит из трёх звеньев: ,
, .
Пример 5. Представить сложную функцию
в виде
звеньев — простых функций.
Решение. Цепочка, составляющая данную функцию, состоит из следующих
звеньев:
Пример 6. Представить сложную функцию
в виде
звеньев — простых функций.
Решение. Цепочка, составляющая данную функцию, состоит из следующих
звеньев:
Если функция y задана уравнением
вида f(x, y) =0, не
разрешённым относительно y, то она называется
неявной функцией аргумента x (Что такое разрешить
уравнение относительно одной из переменных — в примере 8).
Пусть задана некоторая функция y = f(x),
т. е. некоторое соответствие между множествами D(f)
(область определения) и E(f)
(множество значений). Если обратное соответствие есть функция,
т. е. каждому значению y∈E(f)
соответствует одно единственное значение x∈E(f),
то её называют обратной функцией по отношению к функции f(x).
В этом случае уравнение y = f(x)
определяет x как неявную функцию от y.
Если это уравнение разрешимо относительно x, то
получим явное выражение обратной функции: x = g(y).
Пример 7. Будет ли функцией соответствие, обратное
функции
? А
соответствие, обратное функции ?
Решение. Соответствие, обратное функции, заданной в первом условии,
также является функцией:
.
Соответствие, обратное функции, заданной во втором условии,
не является функцией, так как ,
то есть значениям икса, кроме нуля, соответствуют два значения игрека.
Весь раздел «Исследование функций»
function-x.ru
Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции
ИНСТИТУТ БИЗНЕСА, ПРАВА И ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
МАТЕМАТИКА
на тему
Понятие функции. Область определения функции.
Способы задания функции
Выполнил: Мальский Эдуард Александрович,
студент 2 курса
юридического факультета
заочного отделения
группа 25-ЮЗП
Преподаватель:
Оценка:_______________
Подпись преподавателя:_______________
2004 г.
Оглавление
контрольной работы по дисциплине «Математика»
на тему «Понятие функции. Область определения функции.
Способы задания функции»
Введение……………………………………………………………………………3
1. Функция и её свойства……………………………………………………..4
2. Способы задания функции…………………………………………………..5
3. Виды функций и их свойства………………………………………………6
Заключение……………………………………………………………………….11
Список использованной литературы……………………………………………12
Введение.
Функция — одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2 . Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции — теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Раздел 1. Функция и её свойства.
Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у .
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у , соответствующее заданному значению х .
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция- если для любых х1 и х2 , таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(х1 )<f(х2 )
Убывающая функция- если для любых х1 и х2 , таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f(х1 )>f(х2 )
Раздел 2. Способы задания функции.
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x) , где f(x)- с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Раздел 2. Виды функций и их свойства.
1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b— некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности .
Cвойства функции y=kx :
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx — нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b , где k иb— действительные числа. Если в частности, k=0 , то получаем постоянную функцию y=b ; если b=0 , то получаем прямую пропорциональность y=kx .
Свойства функции y=kx+b :
1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая .
4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y=k/x:
1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k/x— нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Графиком функции является гипербола .
5)Функция y=x2
Свойства функции y=x2 :
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x2— четная функция
3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает
4. На промежутке (-¥;0] функция убывает
Графиком функции является парабола .
6)Функция y=x3
Свойства функции y=x3 :
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x3— нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn , где n — натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2 ; y=x3 . Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8… В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2 . График функции напоминает параболу y=x2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9… В этом случае функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3 . График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x—n, где n — натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7… В этом случае функция y=x—n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x-2 :
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x-2 — четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
9)Функция y=Öх
Свойства функции y=Öх:
1. Область определения — луч [0;+¥).
2. Функция y=Öх — общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+¥).
10)Функция y=3Öх
Свойства функции y=3Öх:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. Функция y=3Öх нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
11)Функция y=nÖх
При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Öх . При нечетном n функция y=nÖх обладает теми же свойствами, что и функция y=3Öх.
12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=xr , где r — положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=xr :
1. Область определения- луч [0;+¥).
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+¥).
На рисунке изображен график функции y=x5/2 . Он заключен между графиками функций y=x2 и y=x3 , заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr , где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2/3 . Подобный вид имеет график любой степенной функции y=xr , где 0<r<1
13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем- функция, заданная формулой y=x—r , где r — положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=x—r:
1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+¥)
14)Обратная функция
Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo уравнениеf(x)=yo имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция fобратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
mirznanii.com
Укажите область определения функции y=f(x)
область определения функции — это означает какие значения может принимать х. те все ли действия. записанные в формуле выполнимы.
невыполнимыми мб извлечение корня из отрицательного числа .при четной степени корня ( на множестве действительных чисел) ; а также деление на ноль. Пример: у=к\х обл. опр х не равно 0. для у=кх; у=кх+в; у=х»2 область опр. от минус до плюс бесконечности. те любое число.
вот твой х и определяет область f)))
в каких пределах х действует функция. ну, например, от 0 до 5. (зависит от конкретной функции)
А ты вообще знаешь, что такое ООФ — область определения функции?
ставится в соответствие одно определенное
значение
.
,
,
и т.п.
.
,
и
.
.
называетсячисловой функцией, если ее область определения 
и множество значений
содержатся в множестве действительных
чиселR.
призаписывается так:
.
,
,и т.п.
– общим членом последовательности.
или
.
.
называется множество всех точек плоскости
,
для каждой из которыхх является значением аргумента,
а y – соответствующим значением функции.
является верхняя полуокружность радиуса
с центром в
(рис. 1.2).
;;
,
где.
0,
что для любого значениях взятого из области
определения функции, значения х+Т, х–Т также
принадлежит области определения и
выполняется равенство:
Т).
Поэтому
областью определения данной функции
является объединение двух интервалов D(f)=(, 
)
(
,+).
0, х
1
Таким образом, областью определения
функции является интервал [1,+). D(f)=[1,+).
равносильно системе неравенств
.
.
(1,+).
(3,+).
=
=
,
(1,+) несимметрична
относительно начала координат. Данная
функция не является ни четной, ни
нечетной.
(—1,1)
(1,+). Область
определения симметрична относительно
начала координат.
,
т.е.
.
,
а для второго – он равен
. Очевидно, что основной период данной
функции есть наименьшее общее кратное
чисел
и
,
т.е..
.Период
функции cos 6x равен 
.
Следовательно, данная функция имеет
период, равный
.
не является периодической т.к. для числа х=0, число х–Т, (если Т>0)
или число х+Т, (если Т<0)
не принадлежит области определения
функции.
и читается «Пэ из эн».
,
читается «А
из эн по эм».
.
или
и читается «цэ из эн по эм».
и читается «Пэ из эн».
,
читается «А
из эн по эм».
.
или
и читается «цэ из эн по эм».
. Для любого натурального числа n справедлива формула 
и вычисляют по формуле:
Теперь разберемся, сколько в квадратном метре сантиметров? Такой величиной измеряют площадь, и она представляет собой квадрат со стороной 1м. В каждом метре 100 см, поэтому по периметру квадратного — их укладывается 400.
Сколько в 1 кубическом метре кубических сантиметров? С см³ всё ещё сложнее, чем с квадратными, поскольку речь идёт уже не о квадрате, а о кубе со стороной 1 м. Соответственно, и см³ в нём помещается ещё в 100 раз больше – 1000 000.
— идеи есть в нашей публикации.
,
(мА).
.
На данный момент в типографике знак корня почти не отличается в разных странах, так как вариант Рудольфа пришёлся по вкусу большинству.
Автором этого труда был преподаватель математики из Вены, уроженец Чехии Криштоф Рудольф. Книга пользовалась большим успехом и постоянно переиздавалась на протяжении всего XVI в. и после аж до 1615г. Знаком корня, предложенного Криштофом пользовались А.Жирар, С.Стевин (он писал показатель корня справа от знака радикала в кружке: V (2) или V (3).
.
и постояннаяy = 1 функции
являются частными случаями степенной
функции со степенями n = 1; 2; 3; –1; 0.
.