Рубрика: Школьная жизнь

Тест статистика с ответами

1. К современным значениям термина «статистика» не относится:

• отрасль практической деятельности людей, по сбору, обработки и анализу данных, характеризующих состояние экономики и культуры страны

• общественная наука, разрабатывающая теоретические положения и методы, используемые статистической практикой

• статистические данные, представляемые в отчетности предприятий

• обследование нелегальных видов деятельности

2. К основным стадиям экономико-статистических исследований не относится:

• планирование и организация

• сбор информации методом массового статистического наблюдения

• обработка информации методом статистических группировок

• анализ статистической информации на основе расчета обобщающих статистических показателей абсолютных, относительных и средних величин

3. Статистической информаций является:

• расчетный материал

• первичный статистический материал о социально-экономических явлениях, формирующийся в процессе статистического наблюдения, которые, затем подвергается систематизации, сводке, анализу и обобщению

• вариационный ряд распределения

• обработанный материал

4. Основные свойства статистической информации:

• постоянство и незаконность

• периодичность динамичность

• массовость и стабильность

• единовременность

5 Статистическим наблюдением является:

• научно организованный сбор информации о моментных процессах

• научно организованный сбор информации о стабильных процессах

• научно организованный сбор информации о массовых общественных явлениях и процессах общественной жизни

• научно организованный сбор информации об единичных явлениях

6. Статистическое наблюдение не может проводиться:

• органами государственной статистики

• научно-исследовательскими институтами

• экономическими службами банков, бирж, фирм

• частными лицами

7. Основные формы статистического наблюдения:

• отчетность и специально организованные наблюдения

• отчетность и атрибутивные ряды распределения

• вариационные ряды распределения и специально организованные наблюдения

• выборочные и специально организованные наблюдения

8. Специально организованное статистическое наблюдение это…

• сбор сведений с помощью специально организованных переписей, единовременных учетов и обследований

• сбор сведений с помощью опроса только менеджеров предприятий

• сбор сведений о деятельности только строительных организаций

• сбор сведений о деятельности только домашних хозяйств

9. Какая форма не является специально организованным наблюдением?

10. Какие отчетные документы деятельности предприятия представляются в органы государственной статистики?

• декларация по страховым взносам на обязательное пенсионное страхование

• расчетная ведомость по средствам фонда социального страхования

• баланс и отчет о прибылях и убытках

• сведения о затратах на производство и продажу продукции

11. Статистический ряд распределения это…

• бессистемное распределение единиц изучаемой совокупности

• упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку

• хаотичное распределение единиц изучаемой совокупности

• упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности по баллам

12. Как называется ряд распределения, построенный по качественному признаку?

• дискретный

• атрибутивный

• вариационный

• интервальный

13. В чем отличие дискретного ряда распределения от интервального?

• варианты имеют значения целых чисел

• варианты имеют значения дробных чисел

• варианты имеют значения отрицательных чисел

• варианты имеют значения комплексных чисел

14. Какие показатели не входят в состав обобщающих показателей?

• абсолютные показатели

• относительные показатели

• средние величины

• атрибутивные показатели

15. К какому классу относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая?

• к классу структурных средних

• к классу порядковых средних

• к классу степенных средних

• к классу промежуточных средних.

16. Расположите средние величины в соответствии с правилом мажорантности (в порядке возрастания).

• средняя квадратическая, средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя гармоническая

• средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя гармоническая

• средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратическая

• средняя геометрическая; средняя арифметическая; средняя квадратическая средняя гармоническая

17. Понятие средней величины.

• обобщающий показатель, характеризующий структурные сдвиги

• частный показатель, характеризующий индекс цен

• частный показатель, характеризующий развитие явления

• обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени

18. Основное условие правильного расчета средних величин.

• рассчитываются для качественно однородных совокупностей

• рассчитываются для разнокачественных совокупностей

• рассчитываются для качественно не однородных совокупностей

• рассчитываются для разнородных совокупностей по существенным признакам

refdocx.ru

Тесты статистика с ответами вопросы 187-250

187. Укажите, какой из индексов является общим индексом себестоимости:

    4) I = ∑Z1Q1 / ∑Z0Q1;

188 Тест. Какое из приведенных ниже положений не дает характеристику несплошному наблюдению?

    2) Сплошное;

189. В Законе «О государственной статистке» не включается следующий раздел…

    4) Ежегодные статистические данные.

190. Чему равен нормальный момент четвёртого порядка, если за базу сравнения принимается нормальное распределение?

    1) 3;

191. Общий индекс урожайности имеет вид:

    1) I = ∑Y1*П1 / ∑у0*П1;

192. Какое из перечисленных правил построения статистических таблиц не отвечает требованиям?

    3) при разных единицах измерения отводить отдельную графу нет смысла, а также не указывать единицы измерения по графам или строкам;

193. Как называется площадь, которая занята посевами к моменту окончания весеннего сева, и с которой в данном году предполагается получить продукцию?

    2) весенняя продуктивная площадь;

194. .Каким термином можно определить количество продукции с гектара посева?

    2) урожайность;

195. Как определяется показатель сохранности скота?

    3) отношение поголовья скота в обороте к числу павших и погибших животных;

196. Если суммарную энергетическую мощность разделить на размер площади с/х угодий и умножить на 100, то получим:

    2) Показатель энергообеспеченности;

197. Какой из перечисленных показателей рассчитывается делением общего объема выполненных тракторами работ в эталонных гектарах на среднегодовое кол-во условных эталонных тракторов?

    3) Среднегодовая выработка;

198. Какой из ответов выходит за рамки вопроса о видах индекса производительности труда?

    3) прямой, косвенный;

199. Как определить производство продукции всего по хозяйству на 100 га с/х угодий?

    1) производство продукции (стоимость продукции) растениеводства и животноводства разделить на площадь с/х угодий и результат умножить на 100;

200. Какая себестоимость называется фактической?

     1) себестоимость, отражающая фактические затраты и определяющаяся по данным бухгалтерского учета в конце года;

201. Что является объектом статистического наблюдения?

    1) Совокупность общественных явлений и процессов, которые подлежат статистическому наблюдению;

202. Обследование бюджетов, доходов, расходов населения по охвату единиц совокупности является наблюдением:

    3) обследованием основного массива;

203. Каким видом группировок решается задача по определению причинно-следственных связей между исследуемыми признаками?

    3) Аналитическими;

Тест —  204. Расчленение однородной совокупности по величине варьирующего признака проводится в статистике при помощи группировок:

    2) структурных;

205. Относительные величины структуры:

А) характеризуют состав явления и показывают, какой удельный вес в общем итоге составляет каждая его часть;

Б) характеризуют соотношение отдельных составных частей явления.

Относительные величины координации:

В) характеризуют состав явления и показывают, какой удельный вес в общем итоге составляет каждая его часть;

Г) характеризуют соотношение отдельных частей явления.

Ответы: 4) б, г.

206. Ряд динамики может состоять:

А) из абсолютных суммарных величин;

Б) из относительных и средних величин.

Ответы: 3) а, б;

207. За 2003 — 2005 гг. капитал коммерческого банка увеличился на 20%, абсолютное значение 1% прироста — 12 тыс. грн. Определите капитал банка в 2005 году (тыс. грн).

Ответы: 3) 2400;

208 Тест. Как называют способность выборочной совокупности возобновлять генеральную совокупность?

    2) Репрезентативность;

209. Какую формулу необходимо выбрать, чтобы рассчитать среднюю гармоническую простую?

    1) XСр = N / ∑1/X

210. Что понимается под статистической гипотезой?

    3) Научное предположение о свойствах случайных величин, которое проверяется по результатам статистического наблюдения;

211. Какие существуют виды диаграмм?

    2) Линейные, столбиковые, ленточные, прямоугольные, круговые, секторные, радиальные, фигурные;

212. Коэффициент вариации рассчитывается как:

    1) процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической;

Тест по статистике — 213. Сущность аналитического выравнивания заключается в:

    1) применении тех или иных уравнений аналитического выравнивания;

214. Какова величина коэффициента корреляции, если связь слабая, не тесная?

   1) 0 ≤ R ≤ 0,2;

215. 3емельныеучастки, покрытые естественной травянистой растительностью и используемые для сенокошения, называют:

    3) сенокосы;

216. Среднее поголовье животных рассчитывается, как:

    2) путем деления суммы кормо-дней за определенный период на число дней этого периода;

217. Что такое продуктивность животных?

    3) это средний выход продукта в расчете на одно животное;

218. Показатель динамики средней заработной платы исчисляют формулой агрегатного индекса:

    2) I = ∑X1T1 : ∑X0T;

219. Какая площадь называется весенней продуктивной?

    2) площадь, которая сохранилась к окончанию весеннего сева;

220. Какая продукция называется товарной?

     1) Часть валовой продукции, которая реализована;

221. Что является единицей статистического наблюдения?

    1) Первичный элемент объекта исследования, который является носителем существенных признаков и особенноCmЕй, которые подлежат регистрации;

222. По полноте охвата единиц наблюдения — наблюдение бывает…

    3) сплошное, несплошное;

223. Какая относительная величина характеризует изменение процессов и явлений во времени?

    4) относительная величина динамики.

224 Тест по статистике. Относительные величины динамики получаются в результате сопоставления показателей каждого последующего периода:

А) с предыдущим;

Б) с первоначальным.

Ответы: 3) а, 6;

225. Ряд динамики характеризует:

А) структуру совокупности по какому-то признаку;

Б) изменение характеристики совокупности во времени.

Уровень ряда динамики это:

В) определенное значение варьирующего признака в совокyпности;

Г) величина показателя на определенную дату или за определенный период.

Ответы: 4) Б, Г;

226. Индивидуальный индекс представляет собой результат сравнения двух одноименных величин, относящихся к:

А) различным периодам времени;

Б) различным территориям.

Ответы: 1) а;

227. Дать определение показателю коэффициента корреляции…

    3) измеритель тесноты связи при простой прямолинейной зависимости;

228. К какому виду средних относится варианта, которая приходится на середину вариационного ряда?

    2) Медиана;

229. Какой способ отбора нуждается в предыдущей градации генеральной совокупности на качественно однородные группы?

     2) Серийный;

230. При помощи какой формулы рассчитывается парный коэффициент корреляции?

     1) R = Yx – Y*X / Gy*Gx;

231. Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

     2) XСр = ∑Xi / N

232. Что называется темпом роста?

     1) отношение каждого последующего уровня к предыдущему или к начальному уровню;

233. Какой имеет вид формула общего трудового индекса?

     2) I = ∑T0Q1 : ∑T1Q1;

234 Тест. Что такое залежи?

     1) это земли, которые раннее использовались под посевы с.-х. культур, но в течение нескольких лет не засевались;

235. Как называется показатель, который определяется отношением числа телят, полученных за год только от коров, к числу коров на начало года?

    3) выход приплода на 100 коров;

236. Средняя яйценоскость кур рассчитывается…

    2) путем деления валового сбора яиц (без яиц молодок) на среднюю численность кур-несушек за соответствующий период;

237. При помощи, каких средств предприятия возмещают стоимость износа основных фондов?

    2) амортизационных отчислений;

238. Как рассчитать показатель среднедневной выработки?

    1) общий объем выполненных тракторами работ в эталонных гектарах делим на количество отработанных тракторо-дней;

239. Какая площадь называется обсемененной?

    1) площадь, на которую высеяли семена;

240. Какая продукция называется валовой?

    2) продукция, полученная в хозяйстве;

241. Что является предметом статистики как общественной науки?

     3) количественная сторона массовых общественных явлений в конкретных условиях места и времени;

242. Определить всхожесть зерна можно при помощи наблюдения…

    2) выборочного;

243. Какая относительная величина характеризует отношение планового показателя к другой величине, принятой за базу сравнения?

    3) относительная величина выполнения планового задания;

244. Ряды распределения бывают:

А) атрибутные;

Б) вариационные.

Ответы: 3) а, б;

245 Тест по статистике. Поголовье коров на фермах хозяйства на протяжении квартала изменялось следующим образом, (гол.) на:

1.01-614 1.02-588 1.03-610 1.04-620

Определить среднее поголовье коров за квартал.

Ответы: 3) 605;

246. За прошлый год объемы промышленного производства увеличились на 2,5%, А оптовые цены на промышленную продукцию уменьшились в среднем на 1,2%. Темп роста объема промышленного производства составил, % :

А) 102,5; б)97,5;

Оптовых цен:

В) 101,2; г) 98,8.

Ответы: 2) а, г;

Тест по статистике —  247. Каким ученым был открыт закон нормального распределения?

    3) Гауссом;

248. Каким правилом пользуются на практике при исследовании совокупности на предмет её соответствия нормальному закону?

    2) Правилом 3 сигм;

249. Какую из приведенных математических функций используют для выравнивания ряда динамики, если коэффициент роста (цепной) стабильный?

    3) Yt = ао*а1T;

250 Тест. Формула среднего квадрата отклонения будет иметь такой вид…

    2) G2 = ∑(Xi – XСр)2*Fi / ∑Fi

testua.ru

Тест с ответами по статистике

1. Что такое статистика?
а) вид научно-практической деятельности, направленной только на обработку информации
б) вид научно-практической деятельности, направленной только на получение информации, характеризующей количественные закономерности жизни общества
в) вид научно-практической деятельности, направленной на получение, обработку, анализ и хранение информации, характеризующей количественные закономерности жизни общества во всём ее многообразии в неразрывной связи с её качественным содержанием+

2. Продолжите фразу: «Статистика – это вид научно-практической деятельности, которая направлена на получение, обработку, анализ и хранение информации, характеризующей количественные закономерности жизни общества во всём ее многообразии в неразрывной связи с её…»
а) количественным содержанием
б) качественным содержанием+
в) объемом
г) формой существования

3.Индекс потребительских цен вырос за последние два года на 7,6 %. Каким образом произошло изменение покупательной способности денег?
а) увеличилась на 8,1 %
б) выросла на 7,1%
в) упала на 7,1 %+

4. Какой бывает статистическая совокупность?
а) первичной и вторичной
б) однородной и комбинированной
в) структурной и аналитической
г) однородной и разнородной+

5.Индекс потребительских цен в отчётном периоде по сравнению с базисным составил 112 %. Индекс покупательной способности рубля составляет:
а) 95,0 %
б) 89,2 %+
в) 110 %

6.Что такое индекс реальных денежных доходов?
а) как отношение индекса национального дохода и индекса цен+
б) как произведение индекса национального дохода и общего индекса потребления на душу населения
в) как отношение индекса национального дохода и индекса себестоимости

7. Какова особенность статистического исследования?
а) в нем изучаются только неварьирующие признаки
б) в нем изучаются как варьирующие, так и неварьирующие признаки
в) в нем изучаются только варьирующие признаки+
г) в нем изучаются не только варьирующие признаки

8. Какую закономерность можно назвать статистической?
а) выявленная на основе случайного наблюдения за объектами
б) выявленная на основе массового наблюдения, то есть проявляющаяся лишь в большой массе явлений через преодоление свойственной её единичным элементам случайности+
в) выявленная на основе единичного наблюдения и проявляющаяся лишь в большой массе явлений через преодоление несвойственной её элементам случайности

9. По данным 2% выборочного обследования (n=100) средний стаж работников = 6 годам при среднем квадратическом отклонении = 30%. Чему равна предельная ошибка выборки для среднего стажа работы с вероятностью 0,954?
а) 6%+
б) 0,3%
в) 5%
г) 3%

10. Коэффициент дожития это:
а) отношение средней численности доживших до возраста t и возраста t+1 в двух смежных возрастных периодах: t и t+1 к числу доживших до периода t+
б) отношение предстоящих лет жизни на среднюю численность доживших
в) отношение средней численности, живущих в двух смежных возрастных периодах: t и t+1 к числу живущих в период t

11. Какое из данных понятий отражает наиболее общие и существенные свойства, признаки, связи и отношения предметов и явлений объективного мира?
а) разряд
б) статистика
в) определение
г) вариант
д) категория+

12. Инфляция за пять лет составила 4,9 % , 5,7%, 6,3%,7,4%. Выясните, сколько составляет среднегодовая инфляция за пять лет?
а) 105,5%
б) 112,5%
в) 106,1 %+

13. Что такое «наблюдение основного массива»?
а) наблюдение за величинами «среднего» размера
б) наблюдение малозначительных величин
в) наблюдение за важнейшей единицей совокупности
г) наблюдение основной единицы совокупности
д) наблюдение за совокупностью за исключением малозначительных величин+

14. Торговое предприятие перевыполнило собственный план по товарообороту на 5%, при этом объем товарооборота снизился на 2%. Каков относительный показатель плана?
а) 103,0%
б) 107,1%
в) 102,9%
г) 93,3%+

15. Что за цель у «монографического наблюдения»?
а) изучение минимально-возможной единицы совокупности
б) изучение важнейшей для исследователя единицы совокупности+
в) изучение минимально допустимой единицы совокупности
г) изучение наибольшей единицы совокупности
д) изучение минимальной единицы совокупности

16. «Выборочное наблюдение» проводится:
а) заданным отбором единиц совокупности в необходимом количестве при ошибке репрезентативности
б) случайным отбором нескольких единиц совокупности в необходимом количестве при допустимой ошибке выборки+
в) случайным отбором нескольких единиц совокупности
г) случайным отбором нескольких единиц совокупности в необходимом количестве
д) заданным отбором нескольких единиц совокупности в необходимом количестве при допустимой ошибке выборки

17. Каким образом проводится организация «почтового способа» проведения наблюдения?
а) необходимые сведения тайно собираются непосредственно лицами-регистраторами
б) необходимые сведения запрашиваются и передаются через «почтовый ящик»
в) необходимые сведения по распоряжению руководящих органов собираются непосредственно лицами-регистраторами
г) необходимые сведения запрашиваются и передаются непосредственно из рук в руки
д) необходимые сведения запрашиваются и передаются при помощи соответствующих органов связи+

18. Как проходит организация «экспедиционного способа наблюдения»?
а) лица-регистраторы собирают по почте заполненные регистрируемыми лицами формуляры наблюдений
б) лица-регистраторы на месте проведения наблюдения собирают заполненные регистрируемыми лицами формуляры наблюдений
в) лица-регистраторы собирают в статистических органах заполненные регистрируемыми лицами формуляры наблюдений
г) регистрируемые лица самостоятельно заполняют формуляр и отправляют его в статистические органы
д) лица-регистраторы на месте проведения наблюдения сами получают необходимые сведения и заполняют формуляр наблюдений+

shooltest.ru

Статистика Тесты с ответами ИММиФ Тема 1-2

Для быстрого поиска по странице нажмите Ctrl+F и в появившемся окошке напечатайте слово запроса (или первые буквы)

ТЕМА 1

Предметом статистики как науки является…

метод статистики

статистические показатели

+количественные закономерности массовых варьирующих общественных явлений

группировки и классификации

Статистическая наука начала оформляться…

+в XVII в.

в VII в.

в XIX в.

до начала современного летоисчисления

Укажите, что из перечисленного не является характерной особенностью статистики как науки

изучение количественной стороны массовых общественных явлений в неразрывной связи с качественной стороной

+изучение всех общественных и природных явлений

изучение явлений в конкретных условиях места и времени

выявление тенденций и закономерностей в массовых социально-экономических явлениях и процессах

Основным разделом статистической науки является…

+общая теория статистики

промышленная статистика

теория вероятностей

математическая статистика

Элементом какой отрасли статистической науки является статистика строительства

+экономической статистики

общей теории статистики

социальной статистики

математической статистики

«Социальной физикой» называл статистику представитель «статистико-математического» школы (кто?)…

Граунт, Галлей (Англия, 17 век)

Ахенваль (Германия, 18 век)

М.Ломоносов (Россия, 18 век)

+Кетле (Бельгия, 19 век)

Укажите неправильное суждение. Государственная статистика в России…

+издает 1 ежемесячный, 1 ежеквартальный журнал, 1 статистический ежегодник

разрабатывает и утверждает формы стат. отчетности, обязательные к исполнению юри-дическими лицами в РФ

имеет территориальные органы в регионах страны

представлена Госкомстатом РФ

Работник, для которого сбор статистических данных является профессиональной деятельностью, именуется…

сборщиком данных

статистом

переписчиком

+статистиком

Выберите наиболее точное определение: «Совокупность статистическая – это…»

множество элементов, обладающих общими признаками

множество элементов, обладающих одним общим и одним варьирующим признаками

любое предметное множество явлений природы и общества

+реально существующее множество однородных элементов, обладающих общими при-знаками и внутренней связью

Что является носителем информации в статистической совокупности?

+единица совокупности

элемент математического множества

атрибутивный варьирующий признак

признак совокупности

Статистическая совокупность отличается от математической…

тем, что преподается в статистике

существованием элементов в абстрактном представлении

количеством элементов

+существованием элементов в материальной действительности

Элемент статистической совокупности – это…

элемент таблицы Менделеева

элемент математического множества

признак совокупности

+носитель информации

Признак «площадь земельных участков для индивидуального строительства» является…

атрибутивным

+количественным

качественным

количественно-качественным

Признак «социальный слой в обществе» является…

+атрибутивным

+качественным

количественным

количественно-качественным

Вариация – это:

изменение состава совокупности

изменение массовых явлений во времени

изменение структуры статистической совокупности в пространстве

+изменение значений признака внутри наблюдаемой совокупности

Какой из перечисленных признаков является варьирующим?

скорость падения тела в пустоте

+курс доллара

+цена одного килограмма винограда

температура кипения воды

 

Тема 2

Чем отличается статистическое наблюдение от наблюдения писателя, художника

различием времени наблюдения

+различной целью наблюдения

+научной организованностью и планомерностью

различием объекта наблюдения

Перечень признаков (или вопросов), подлежащих регистрации в процессе наблюдения, называется

+программой наблюдения

инструментарием наблюдения

статистическим формуляром

инструкцией

Вопрос в формуляре статистического обследования «Сколько времени Вы посвящаете просмотру ТВ-передач (часов в неделю)?», — является по форме составления…

закрытым

+открытым

открыто-закрытым

смешанным

Вопрос в формуляре статистического обследования «Как часто Вы ходите в кинотеатры?»: « Почти каждую неделю», « Один раз вмесяц», «Реже, чем один раз в месяц», — является по форме составления…

косвенным

открыто-закрытым

+закрытым

открытым

Объект статистического наблюдения – это…

единица наблюдения

единица статистической совокупности

отчетная единица

+статистическая совокупность

Объект статистического наблюдения – это…

единицей наблюдения

единицей статистической совокупности

+отчетной единицей

учетной единицей

Единица наблюдения и отчетная единица – это понятия, которые…

никогда не совпадают

совпадают всегда

одно и то же

+иногда могут совпадать

Срок (период) наблюдения – это

критический момент (дата) наблюдения

+время, в течение которого происходит заполнение статистических формуляров

конкретный день года, час дня, по состоянию на который должна быть проведена регистрация признаков по каждой единице совокупности

Непрерывное статистическое наблюдение задолго временными процессами, имеющими фиксированное начало, стадию развития и фиксированный конец – это…

специально организованное статистическое наблюдение

+регистровая форма наблюдения

выборочное наблюдение основного массива

форма статистического наблюдения перепись населения России относится к…

единовременное, специально организованное наблюдение

периодическое, регистровое, выборочное наблюдение

+периодическое, специально организованное, сплошное наблюдение

Перепись населения России проводится…

один раз в 25 лет

один раз в 5 лет

+один раз в 10 лет

один раз в 15 лет

Перепись населения РФ проводилась в период с 9 по16 октября 2002 г.Критическим моментом было 00 часов ночи с 08 на 09 октября. Счетчик пришел в семью 16 октября. В семье 14 октября родился ребенок. Как должен поступить счетчик относительно этого ребенка?

проконсультироваться у руководства

пометить в блокноте

внести в переписной лист

+не вносить запись в переписной лист

Перепись населения РФ проводилась в период с 9 по 16 октября 2002 г.Критическим моментом было 00 часов ночи с 08 на 09 октября. Счетчик пришел всемью 11 октября. В семье 10 октября умер человек. Как должен поступить счетчик

пометить в блокноте

+внести с пометкой о смерти

не вносить сведения об умершем в переписной лист

внести без пометки о смерти

Перепись населения РФ проводилась в период с 9 по16 октября 2002 г.Критическим моментом было 0 часов ночи с 08 на 09 октября. Счетчик пришел всемью 15 октября и попал на свадьбу. Два часа назад молодожены возвратились из ЗАГСа после регистрации брака (до этого в браке они не состояли). Что должен записать счетчик в переписном листе в вопросе: «Состоите ли Вы в браке внастоящее время?» о каждом из супругов?

+не состоит в браке

состоит в браке

поставить прочерк, т.к. затруднительно определить

Почему переписи населения проводятся обычно в зимнее время?

меньшие транспортные расходы

достигается экономия ресурсов на подготовку персонала

не нужен критический момент наблюдения

+наименьшая подвижность опрашиваемых

В РФ существует такая форма статистического наблюдения, как регистр населения?

+только проектируется

+Нет

Да

test-for-you.ru

Тест с ответами по статистике

1. Что такое статистика?
а) вид научно-практической деятельности, направленной только на обработку информации
б) вид научно-практической деятельности, направленной только на получение информации, характеризующей количественные закономерности жизни общества
в) вид научно-практической деятельности, направленной на получение, обработку, анализ и хранение информации, характеризующей количественные закономерности жизни общества во всём ее многообразии в неразрывной связи с её качественным содержанием+

2. Пример: коэффициент младенческой смерти в регионе равен 15 %. Что это значит?
а) из каждой 1000 умерших 15 человек — это дети в возрасте до 1 года
б) из 1000 родившихся 15 детей умирают в возрасте до 1 года+

3.Какое из данных соотношений характерно для демографического старения населения?
а) К дет меньше К общ
б) К пож больше К общ+
в) К пож больше К дет

4. Что такое «объект наблюдения»?
а) совокупность единиц наблюдения, имеющая наименьший удельный вес в генеральной совокупности
б) определенная совокупность единиц наблюдения, выбранная согласно поставленной цели, для исследования+
в) определенная генеральная совокупность
г) определенная совокупность единиц наблюдения
д) совокупность единиц наблюдения, имеющая наибольший удельный вес в совокупности

5. Что подразумевает под собой понятие «место статистического наблюдения»?
а) адрес представителя статистического органа, проводящего сбор статистических данных
б) место обработки статистических данных
в) место сбора статистических данных+
г) адрес статистического органа
д) адрес местного органа власти, на территории которого проводится статистическое наблюдение

6.Определите, какой из данных методов определения показателя «валовой внутренний продукт» применяется, если он рассчитан как сумма валовой добавленной стоимости отраслей народного хозяйства?
а) производственный+
б) распределительный
в) конечного использования

7. ВВП методом конечного использования рассчитывается как:
а) сумма первичных доходов, получаемых институциональными единицами, участвовавшими в производстве
б) валовой выпуск – промежуточное потребление + чистые налоги на продукты и импорт
в) конечное потребление + валовое накопление + сальдо экспорта – импорта+

8.Что представляет собой наблюдение основного массива?
а) включение в состав совокупности малозначимых единиц
б) исключение из состава совокупности малозначимых единиц и исследование исключенной части
в) включение в состав совокупности малозначимых единиц и исследование всей совокупности
г) исключение из состава совокупности значимых единиц и исследование оставшейся части
д) исключение из состава совокупности малозначимых единиц и исследование основной ее части+

9.Каким образом изменится величина индекса –дефлятора если индекс стоимости ВВП равен 109,2 а, физический объём ВВП вырос на 4,1%?
а) вырос на 4.8 %+
б) сократился на 5,1 %
в) вырос на 5,1 %

10.Что такое «критический момент» при проведении статистического наблюдения?
а) определенное число статистических единиц наблюдения
б) определенная дата, на которую регистрируются все сведения+
в) календарные сроки проведения наблюдения
г) любое число статистических единиц наблюдения
д) срок статистического наблюдения

11. В 2004 году было изготовлено 850 мл.машин. По сравнению с 2001 годом темп прироста составил (-13,3%). Каков обьем производства в 2001 году?
а) 723,9
б) 748,3+
в) 963,0

12. Индекс цен фиксированного состава составил 95%, а индекс структурных сдвигов – 125%.Как изменилась средняя цена под влиянием изменения цен отдельных товаров и изменения ассортимента продаж?
а) Снизилась на 24%
б) Выросла на 19%+
в) Выросла на 32%
г) Выросла на 20%

13. Индекс средних затрат по совокупности компании составил 1,25. Произошли изменения в структуре производства каждой компании и индекс структурных сдвигов составил 0,98. Какие изменения произошли в затратах труда в среднем в каждой компании:
а) Снизились на 27,6%
б) Возросли на 22,5%
в) Снизились на 22,5%
г) Увеличились на 27,6%+

14. В отделении коммерческого банка обследовано 36% валютных счетов. В выборку попали 100 счетов, в том числе: пенсионеров – 60 человек, средний размер вклада х=200 дол., при дисперсии 4800; рабочих и служащих – 40 человек, средний размер вклада х=250 дол., при дисперсии 8800. Какова средняя ошибка типической выборки?
а) 10
б) 8,0
в) 6,4+
г) 4,8

15.Обследовано 36% продукции предприятия. На сколько меньше будет ошибка собственно – случайной бесповторной выборки,чем ошибка повторной выборки?
а) 64%
б) 20%
в) 36%
г) 25%+

answerstest.ru

Тест с ответами по правовой статистике

1. Дайте определение понятию «Средняя величина» – …
1. значение признака, находящееся в середине ряда распределения
2. обобщенная типическая характеристика признака в данной совокупности+
3. значение признака, встречающееся чаще других

2. Количественные характеристики преступности:
1. Уровень преступности+
2. Уголовно-правовая наказуемость
3. Территориальное распределение преступности
4. Латентность преступности.

3. Что такое отношение показателя уровня преступности к предшествующему значению того же показателя?
1. Коэффициент преступности
2. Индекс преступной активности
3. Темп роста преступности+
4. Темп прироста преступности.

4. Как называются таблицы, в которых статистическая совокупность расчленяется на отдельные группы по какому-либо одному признаку, причем каждая из групп может быть охарактеризована рядом показателей?
1. простыми таблицами
2. перечневыми таблицами
3. групповыми таблицами+
4. комбинационными таблицами.

5. Дайте определение понятию «Вариация»- …
1. изменение, некоторое уклонение от основного направления развития
2. изменчивость (отклонение) индивидуальных значений признака по единицам совокупности+
3. применение основного методического положения в разных видоизменениях

6. Что такое экспликация?
1. линия, на которую нанесены деления, отвечающие определенным числам.
2. условная величина отрезка шкалы, отвечающая определенной числовой единице.
3. словесное описание графика, включающее название, отражающее его содержание, цифровые данные, характеризующие масштабные шкалы и пояснения условных обозначений. +
4. совокупность линий, фигур, точек, которыми изображены статистические данные.

7. Что такое графики поверхностей распределения исследуемых объектов?
1. Точечные графики.
2. Линейные графики.
3. Объемные графики. +
4. Диаграммы.

8. Что такое величина, представляющая собой частное от деления суммы индивидуальных значений признаков на их количество?
1. Средняя гармоническая
2. Средняя арифметическая +
3. Средняя геометрическая
4. Средняя квадратическая.

9. НЕ относится к показателям вариации:
1. Показатели структуры
2. Показатели формы
3. Показатели качества+
4. Показатели размера

10. Сущность статистического анализа взаимосвязей заключается в следующем….
1. является необходимым этапом криминологических исследований
2. является важнейшим условием принятия обоснованных управленческих решений
3. имеет существенное теоретическое и практическое значение, поскольку дает возможность перейти от констатации социально-правовых фактов к их объяснению и воздействию на них+

11. Что полагает под собой отбор единиц наблюдения в случайном порядке методом жеребьевки?
1. Типическая выборка
2. Собственно случайная выборка +
3. Механическая выборка
4. Гнездовая выборка

12. Для оценки степени тесноты связи при линейной зависимости используется…
1. коэффициент парной корреляции
2. корреляционное отношение+
3. коэффициент корреляции рангов

13. Что из перечисленного является именованными числами?
1. средние обобщающие показатели
2. абсолютные обобщающие показатели+
3. относительные обобщающие показатели
4. все обобщающие показатели.

14. Дайте определение понятию «Статистический показатель» -…
1. то, по чему можно судить о развитии и ходе чего-нибудь
2. обобщающая характеристика какого-то свойства отдельных единиц, группы единиц или совокупности в целом+
3. количественное выражение результата какого-либо действия

15. Дайте определение понятию «Статистический анализ» – …
1. метод исследования путем разложения изучаемого предмета на составные части
2. третий этап статистического исследования, на котором исчисляются статистические показатели с целью 3. выявления сущности изучаемых явлений, установления взаимосвязей и закономерностей его развития+
4. разработка приемов вычислений и их применения к решению различных вопросов о величинах

shooltest.ru

Статистика Тесты с ответами Тема 3-4-5

Для быстрого поиска по странице нажмите Ctrl+F и в появившемся окошке напечатайте слово запроса (или первые буквы)

 

Тема 3. Статистические графики

«Статистический график», это:

наглядного обобщение результатов произвольного исследования

изображения явления в пространстве в статике

изобразительная картина действительности

мысленное изображение закономерности

+это геометрические плоскостные (двухмерные) или объемные (трехмерные) изображения статистических данных, отражающие размеры статистических совокупностей, сложившуюся их структуру, размещение, выполнение плана, динамику и связь явлений

Что отражает столбиковая диаграмма?

статистические совокупности по составу

соотношения различных статистических совокупностей по какому-либо изменяющемуся в пространстве признаку

структуру совокупности по трем признакам

+единственную меру признака

Понятие «Экспликация графика» — это:

пространство размещения знаков, которое имеет определенные размеры и пропорции сторон

размещение знаков в поле графика

эталоны знака, отражающие величину геометрических знаков. Они изображаются в виде кругов, прямоугольников, квадратов и обычно выносятся с поля графика

+словесное объяснение содержания графика и значения каждого его геометрического знака

Масштабные ориентиры, это:

мысленное изображение закономерности

экспликация графика

символы понятий

пространство размещения знаков

+эталоны знака, отражающие величину геометрических знаков. Они изображаются в виде кругов, прямоугольников, квадратов и обычно выносятся с поля графика

 

Друзья, более 600 собак Воронежского приюта Дора https://vk.com/priyt_dora очень нуждаются в поддержке! Приют бедствует, не хватает средств на корм и лечение.  Не откладывайте добрые дела, перечислите прямо сейчас любую сумму на «Голодный телефон» +7 960 111 77 23 или карту сбербанка 4276 8130 1703 0573. По всем вопросам обращаться +7 903 857 05 77 (Шамарин Юрий Иванович) 

 

Центрограммы дают возможность:

выразить явление в пространстве

показать изменения явлений во времени

дать соотношения различных статистических совокупностей по какому-либо изменяющемуся в пространстве признаку

+составить целые статистико-географические описания

описать статистические совокупности по составу

Структурные диаграммы позволяют:

сопоставить статистические совокупности по времени

выразить явление в пространстве

разместить знаки в поле графика

+сопоставить статистические совокупности по составу

выразить символы понятий

Что положено в основу деления графиков на диаграммы и статистические карты

размещение знаков в поле графика

экспликация графика

символы понятий

+поле графика, в виде чистой бумаги, либо географической, либо контурной карты

эталоны знака, отражающие величину геометрических знаков

Картодиаграммы позволяют:

выразить явление в пространстве

отражают явления, периодически повторяющиеся во времени

составить целые статистико-географические описания

+показать географическое распределение отображаемого статистикой явления размещением на контурной географической карте специальных знаков-символов

показать структуру совокупности по трем признакам

Что выражает «Диаграммы сравнения»?

статистические совокупности по составу

+соотношения различных статистических совокупностей по какому-либо изменяющемуся в пространстве признаку

структуру совокупности по трем признакам

географическое распределение отображаемого статистикой явления

показывают изменения явлений во времени

Диаграмма «Знаки Варзара» относится к:

спиральным диаграммам

картодиаграммам

динамическим диаграммам

+структурным диаграммам

Центрограммам

Динамические диаграммы:

показывают географическое распределение отображаемого статистикой явления

статистические совокупности по составу

позволяют сопоставить статистические совокупности по составу

отражают явления, периодически повторяющиеся во времени

+показывают изменения явлений во времени

 

Тема 4. Сводка и группировка материалов статистических наблюдений

Назначение структурной группировки

выявить влияние фактора в основе группировки на результат

выявить влияние и взаимозависимость двух анализируемых факторов в генеральной совокупности

+определить удельный вес отдельных групп в генеральной совокупности

создать новую группировку

выявить возможность перегруппировки уже сгруппированных данных

Сущность аналитической группировки

создать новую группировку

выявить влияние фактора в основе группировки на результат

выявить возможность перегруппировки уже сгруппированных данных

+выявить влияние и взаимозависимость двух анализируемых факторов в генеральной совокупности

определить удельный вес отдельных групп в генеральной совокупности

С какой целью создаются комбинированные группировки

с целью учета различных признаков нескольких структурных группировок одновременно

с целью выявления одновременного влияния нескольких факторов на систему

с целью разделения генеральной совокупности по основным факторам

с целью выявления влияния нескольких факторов на систему

+с целью углубленного изучения генеральной совокупности по нескольким факторам

По каким направлениям проводятся вторичные группировки

по наименьшему удельному весу группы в общем итоге

по наибольшему удельному весу группы в общем итоге

+по величине интервалов первичной группировки

по величине наибольшей группы в первичной группировке

+по удельному весу отдельных групп в общем итоге

Назначение вторичной группировки

перегруппировка ранее сгруппированных материалов для выявления влияния факторов друг на друга

перегруппировка ранее сгруппированных материалов для обеспечения управляемости двумя или несколькими группировками

перегруппировка ранее сгруппированных материалов для обоснования полученных ранее выводов

перегруппировка ранее сгруппированных материалов для создания двух или нескольких группировок

+перегруппировка ранее сгруппированных материалов для обеспечения сопоставимости двух или нескольких группировок

 

Тема 5. Статистические показатели и система показателей. Абсолютные и относительные величины

Что выражают в статистике абсолютные величины

выражают количественные отношение новых значений явления к принятым за базу

выражают индексы исследуемого явления

выражают отношение новых значений явления к принятым за базу

выражают соотношение двух сопоставимых величин в единицах или процентах

+выражают конкретные значения исследуемого явления в натуральных единицах

Как определяется «относительная величина координации»

как соотношение аналогичных показателей за равный период времени

как отношение одноименных показателей, относящихся к различным объектам совокупности за один и тот же период

как соотношение различных показателей, приведенных к одной базе

как отношение заданной части совокупности ко всей совокупности

+как отношение заданной части совокупности к другой ее части, принятой за базу

Как определяется «относительная величина сравнения»

как соотношение различных показателей, приведенных к одной базе

как отношение одноименных показателей, относящихся к различным объектам совокупности за один и тот же период

как отношение заданной части совокупности ко всей совокупности

как отношение заданной части совокупности к другой ее части, принятой за базу

+как соотношение аналогичных показателей за равный период времени

В чем заключается сущность относительных величин

они выражают отношение новых значений явления к принятым за базу

они выражают количественные отношение новых значений явления к принятым за базу

они выражают индексы исследуемого явления

они выражают конкретные значения исследуемого явления в натуральных единицах

+они выражают соотношение двух сопоставимых величин в единицах или процентах

Как определяется «относительная величина структуры»

как соотношение различных показателей, приведенных к одной базе

как отношение одноименных показателей, относящихся к различным объектам совокупности за один и тот же период

изображения явления в пространстве в статике

+как отношение заданной части совокупности ко всей совокупности

как отношение заданной части совокупности к другой ее части, принятой за базу

как соотношение аналогичных показателей за равный период времени

изобразительная картина действительности

test-for-you.ru

найти производную по направлению вектора в точке — 13 Сентября 2015 — Примеры решений задач

а) Дана функция z=z(x,y) , направляющий вектор l и точка А. Найти производную по направлению в точке.

Решение.Формула производной по направлению:

   1) Находим частные производные:

  2) Находим значение частных производных в точке A(-2; 0):

Частные производные можно найти с помощью калькулятора частные производные.

   3) Находим направляющие косинусы:

Направляющие косинусы, т.е. координаты нормированного (единичного) вектора можно найти с помощью калькулятора нормировки вектора.

    4)  Полученные значения частных производных и направляющих косинусов подставляем в формулу производной по направлению, получаем:

 

Следующий пример.

б) Дана функция z=z(x,y) , точка А и точка N. 

Найти производную в точке A по направлению точки N.

Решение. Выполнение первых двух пунктов решения совпадает с примером 1, поэтому начинаем с пункта 3.

3) Находим координаты направляющего вектора l:

4) Находим направляющие косинусы:

 5) Полученные значения частных производных и направляющих косинусов подставляем в формулу производной по направлению, получаем:

Второй способ найти производную функции по направлению см. градиент функции.

www.reshim.su

4.1.4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «Производная по направлению. Градиент»

Задача 1.

Составить уравнение касательной плоскости к поверхности

Указание

Уравнение касательной плоскости к поверхности

В точке (Х0, Y0, Z0) имеет вид:

Решение

Подставим эти значения в уравнение касательной плоскости:

Ответ:

Задача 2.

Составить уравнение касательной плоскости к поверхности

В точке (1,2,-1).

Указание

Найдите частные производные Z по Х и У как производные неявной функции:

Решение

Уравнение касательной плоскости:

Ответ:

Задача 3.

Составить уравнения нормали к поверхности

В точке (0,4,2).

Указание

Будем называть нормалью прямую, проходящую через данную точку перпендикулярно касательной плоскости, проведенной через эту точку. Тогда канонические уравнения нормали выглядят так:

Решение

Следовательно, канонические уравнения нормали:

Ответ:

Задача 4.

Найти производную функции

И точке М(2,-4) по направлению вектора MN, если N(-1,-8).

Указание

Производная функции Z = F (X, Y) в точке (Х0, У0) по направлению L, заданному вектором А = (Ха, Уа, Za), имеет вид:

Направляющие косинусы направления L.

Решение

Ответ: 9,2.

Задача 5.

Найти производную функции

В точке (3,2,1) по направлению, образующему с координатными осями равные тупые углы.

Указание

Причем

Решение

Найдем направляющие косинусы направления L, используя свойство направляющих косинусов:

(поскольку косинус тупого угла отрицателен).

Тогда

Ответ:

Задача 6.

Найти градиент функции

В точке А(6,10,-5).

Указание

Воспользуйтесь формулой

Решение

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

Градиент

Градиент

 

Производная по направлению. Градиент

 

Пусть в некоторой области задана функция и точка . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. .

Будем предполагать, что функция и ее частные производные первого порядка непрерывны в области .

Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е. .

Для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора используют формулу: ,
где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.

Пусть в каждой точке некоторой области задана функция .
Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции и обозначается или (читается «набла у»): .

При этом говорят, что в области определено векторное поле градиентов.

Для нахождения градиента функции в заданной точке используют формулу:
.

 

Свойства градиента

1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

 

Примеры решения задач

Пример 1. Найти производную от функции в точке по направлению вектора .

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора :
,
где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.

По условию задачи вектор имеет координаты . Тогда его длина равна:
.

Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения:
.

Далее для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции :

Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :

В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора и значения частных производных первого порядка от функции в точке в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:

Ответ: производная от функции в точке по направлению вектора равна .

 

Пример 2. Найти градиент функции в точке .

Решение.

Поскольку градиентом функции называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, то для решения задачи сначала найдем все частные производные первого порядка от заданной функции:

Далее вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :

Подставим полученные значения в формулу градиента функции в заданной точке :
.

Ответ: градиент функции в точке равен .

 

Пример 3. Найти производную функции в точке по направлению градиента функции в той же точке.

Решение.

Для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора используют формулу:
,
где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.

В данном случае вектор совпадает с градиентом функции в точке : .

Следовательно, для решения задачи необходимо найти значения всех частных производных первого порядка от функции в точке , а также координаты и длину градиента функции в той же точке.

Вычислим значения частных производных первого порядка от функции в точке :

Для нахождения координат вектора , равного градиенту функции в заданной точке , вычислим значения частных производных первого порядка от функции в этой точке:

Длина вектора равна: .

Найдем направляющие косинусы вектор по формулам:
.

Подставим полученные значения в формулу для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора :

Ответ: производная функции в точке по направлению градиента функции в той же точке равна 1.

 

Задания для самостоятельной работы

1. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Ответ: .

2. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Ответ: .

3. Найти производную функции в точке по направлению вектора .
Ответ: .

4. Найти градиент функции в точке .
Ответ: .

5. Найти градиент функции в точке .
Ответ: .

6. Найти градиент функции в точке .
Ответ: .

pgsksaa07.narod.ru

1.4 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент

Предположим, что в каждой точке М некоторой области D задано значение скалярной величины , т. е. такой величины, которая полностью характеризуется своим числовым значением. Например, это может быть температура точек неравномерно нагретого тела, плотность распределения электрических зарядов, потенциал электрического поля и т. д. При этом называют скалярной функцией точки и записывают.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в области D задана скалярная функция точки , то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Если скалярное поле отнесено к системе координат , то задание точкиМ равносильно заданию ее координат .

Поверхностью уровня скалярного поля называют геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, т. е., в зависимости от физического смысла поля они могут называться изотермическими, изобарическими и т. п.

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.

Пусть задано скалярное поле, т. е. задана функция . Возьмем точкуи некоторое направление, определяемое направляющими косинусами. При перемещении в данном направлении точкив точкуфункцияполучает приращение

,

которое называют приращением функции в данном направлении. Величину перемещения точки обозначим через, тогда можно записать, что

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции в направленииназывают предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при условии, что перемещение стремится к нулю

.

Вычислить производную по направлению можно, используя следующую теорему:

ТЕОРЕМА. Если функция дифференцируема, то ее производнаяпо любому направлениюсуществует и равна

,

где — направляющие косинусы направления.

ПРИМЕР. Найти производную функции в точкепо направлению, идущему от точкик точке.

РЕШЕНИЕ

Найдем единичный вектор e, соответствующий направлению :

,

,

.

Частные производные функции равны:

.

Вычислим частные производные в точке и найдем производную по направлению из равенства

,

получим .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом функции называют вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, т. е.

.

Используя определение градиента, формулу производной по направлению можно записать в виде:

,

где — единичный вектор направления.

Меняя направление , мы будем получать различные значения производной, причем наибольшее значение наблюдается, когда направлениесовпадает с вектором. Таким образом,определяет направление, в котором скорость возрастания функции является наибольшей.

Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в данной точке.

ПРИМЕР. Дано скалярное поле . Составить уравнение линии уровня. Вычислить с помощью градиента производную скалярного поля в точкепо направлению вектора. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке.

РЕШЕНИЕ

Поверхностью уровня (линией уровня) данного скалярного поля является окружность с центром в точке , радиуса 1:

, .

Градиент функции равен: .

Найдём единичный вектор направления :, а затем производную скалярного поляпо направлениюв точке:

, .

Так как , то данное скалярное поле возрастает по направлению векторасо скоростью равной 1.

Теперь найдём производную по направлению :

, .

Наибольшая скорость возрастания скалярного поля в точке равна 2.

studfiles.net

Пусть отрезок длины направлен по вектору

, ,

Тогда его проекция на оси координат будет:

, , .

Если существует предел отношения , то он называется Производной функции в точке По направлению и обозначается символом , т. е.

или .

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке производную по любому направлению , причем

.

Доказательство. Функция дифференцируема, поэтому

(т. к. , , и ).

В частности, если , то и .

Аналогично при , и при .

В случае функции двух переменных вектор будет лежать в плоскости , поэтому формула для производной по направлению будет иметь следующий вид:

.

Так как в плоскости , , то справедлива также формула

.

Если частные производные и представляют собой скорость изменения функции вдоль соответствующей оси координат, то Производная по направлению выражает скорость изменения функции по отношению к величине перемещения точки В направлении вектора .

В частности, если , то плоскость, проходящая через точку и вектор параллельно оси , пересечет поверхность по некоторой кривой . В этом случае скорость изменения функции в направлении вектора будет численно равна тангенсу угла , образованного касательной к кривой в точке , соответствующей точке , и вектором . При она будет выражать крутизну возрастания функции в направлении вектора , а при — крутизну убывания.

Таким образом, производная по направлению оказывается весьма полезной при исследовании поведения функции в окрестности заданной точки.

Пример 15. Найти производную функции в точке по направлению от точки в точке .

Решение. Найдем вектор и соответствующий ему единичный вектор :

.

Таким образом, вектор имеет следующие направляющие косинусы , .

Теперь найдем частные производные функции :

,

,

И их значения в точке :

,

.

Подставляя в формулу найденные значения частных производных и направляющих косинусов, получим искомую производную функции по направлению вектора :

.

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

72. Производная по направлению | Решение задач по математике и другим п

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Проведем через точки М и М1 вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются Направляющими косинусами Вектора .

Расстояние между точками М и М1 на векторе обозначим DS.

Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке:

z

M

M1

y

x

Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

Где величины e1, e2, e3 – бесконечно малые при .

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

;

Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

Из этого уравнения следует следующее определение:

Определение: Предел называется Производной функции U(X, Y, Z) по направлению вектора В точке с координатами ( x, y, z).

Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А :

Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:

=

За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т. е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

Cosa = ; cosb = —

Окончательно получаем: — значение производной заданной функции по направлению вектора .

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

Решение пропорций | Математика

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах. 

Решить уравнения с пропорцией:

 1)  25 : x = 10 : 18

Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

   

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

   

Ответ: 45.

   

Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

   

   

   

Ответ: 13,5.

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

   

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

   

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100,  мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10: 

   

Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:

   

Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:

   

   

Ответ: 18.

Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.

   

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:

   

Смешанные числа переводим в неправильные дроби:

   

   

   

Ответ: 28.

При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:

   

Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:

   

   

   

   

   

   

Ответ: 10,5.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

   

Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:

   

   

   

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: 1,12.

www.for6cl.uznateshe.ru

Уравнение пропорции и его решение

Определение и уравнение пропорции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пропорцией называется равенство двух отношений: или .

Например. или

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Величины и называются крайними членами, а величины и — средними членами пропорции.

Если равенство верно, то пропорция называется правильной.

Например. Пропорция , является правильной, поскольку и

Основное свойство пропорции

Основное свойство пропорции. В правильной пропорции произведение крайних равно произведению средних ее членов:

   

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо перемножить средние члены и произведение разделить на известный крайний член:

   

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо перемножить крайние члены~ и произведение разделить на известный средний член.

   

ПРИМЕР 1

Задание	Решить уравнение
Решение	Если данное уравнение рассматривать как пропорцию, то неизвестным является ее средний член, а тогда
Ответ

ru.solverbook.com

Как решать уравнения с пропорциями онлайн

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в математике встречаются простые линейные уравнения, которые сильно напоминают обыкновенную пропорцию. Например, вот такое уравнение:

\[\frac{x}{2} = \frac{4}{5}\]

Чтобы решить уравнениt с пропорцией применяют правила креста. Данное правило заключается в том, что если в члене пропорции имеются знаки «\[+\] или \[-\], то в обязательном порядке необходимо взять данный член пропорции в скобки перед применением правила пропорции.

Так же читайте нашу статью «Решить уравнение с разделяющими переменными онлайн»

Другими словами данное правило можно описать так: если нарисовать крест поверх пропорции, то произведения членов пропорции, лежащих на концах креста, равны.

Допустим, дано уравнения следующего вида, которое мы решим используя правила пропорции:

\[x \cdot 5 = 2 \cdot 4\]

Оперируя простыми арифметически действиями, решим данное уравнение:

\[5x = 8 \mid \div 5\]

\[\frac{5x}{5} = \frac{8}{5}\]

\[x = \frac{8}{5}\]

\[x = 1\frac{3}{5}\]

Все предельно просто, главное помнить правила пропорции и не забывать о смене знака на противоположные при переносе члена с одной стороны на другую.

Где можно решить уравнение пропорцией онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

www.pocketteacher.ru

Задачи и задания на пропорции: примеры и решение

Решение заданий на пропорции

Если один из членов пропорции неизвестен и надо его найти, то говорят, что надо решить пропорцию. Решение пропорций всегда выполняется с помощью свойства пропорции.

Задание 1. Найдите неизвестный член пропорции:

a)	x	=	3	;     б)	1	=	5
	2		1		3		x

Решение: Так как неизвестны крайние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить средние члены и разделить полученный результат на известный крайний член:

a) x =	2 · 3	,   x = 6.	б) x =	3 · 5	,   x = 15.
	1			1

Ответ: а) x = 6, б) x = 15.

Задание 2. Решите пропорции:

a)	30	=	5	;     б)	7	=	x
	x		8		5		10

Решение: Так как неизвестны средние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить крайние члены и разделить полученный результат на известный средний член:

a) x =	30 · 8	,   x = 48.	б) x =	7 · 10	,   x = 14.
	5			5

Ответ: а) x = 48, б) x = 14.

Задание 3. Известно, что 21x = 14y. Найдите отношение x к y.

Решение: сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7:

получим:

3x = 2y

Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части у x убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y:

После сокращения отношений у нас остаётся:

Ответ: 2 к 3.

Задачи на пропорции с решением

Задача 1. Из 300 читателей библиотеки 108 человек – студенты. Какой процент всех читателей составляют студенты?

Решение: Примем всех читателей библиотеки за 100% и запишем условие задачи кратко:

300 – 100%
108 – ?%

Составим пропорцию:

Найдём x:

x =	108 · 100	= 36
	300

Ответ: 36% всех читателей составляют студенты.

Задача 2. При варке варенья используют ягоды и сахар в отношении 5:2. Сколько надо ягод, если взяли 450 грамм сахара?

Решение: составим пропорцию:

Найдём x:

x =	5 · 450	= 1125
	2

Ответ: На 450 гр сахара надо взять 1125 гр ягод.

naobumium.info

Урок «Пропорции и уравнения 6 класс»

Министерство образования Республики Саха (Якутия)

Ленское районное управление образования

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа п. Пеледуй» муниципального

образования «Ленский район» Республики Саха (Якутия)

Урок «Пропорции и уравнения 6 класс»

Учитель математики

Николаева А.П.

Пеледуй, 2017 год

Открытый урок по математике 6 класс

Тема: «Пропорции и уравнения»

Цель урока:1) обучение решению задач разными способами

2) научить мыслить и управлять своей мыслью для решения задач

3) научить понимать силу и красоту математики

Тип урока: игра, урок проводится во время декады математики в школе

Оборудование: плакаты, карточки, видеопроектор

«Человек разумный» есть в первую очередь «человек играющий» , поэтому обучать даже самым серьезным вещам следует по возможности играя, эта мысль приходила в голову выдающимся педагогам на протяжении всей истории человечества.

Девиз: «Для того, чтобы научиться решать задачи, нужно решать их»

Мудрые мысли: 1) « Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев, делать его немного занимательным» Б.Паскаль

2) «Больше думай, не болтай, но и формул, правил ты не забывай»

Открытие

В труде применяем сложение,

Сложению и честь и почет;

К умению прибавим терпение,

А сумма –успех принесет!

Нельзя забывать вычитание

Чтоб зря не потратился день,

Из суммы старанья и знания

Мы вычтем безделье и лень!

В труде умножение поможет

Чтоб дельной работа была,

Сократ трудолюбие умножит-

Умножаться наши дела

Деление нам служит на деле,

Оно нам поможет всегда:

Кто поровну трудности делит,

Разделит успехи труда!

Поможет любое из действий,

Они нам удачу несут

И в жизни поэтому вместе

Шагают наука и труд!

Представление команд :

«Математики» Девиз: «К математике способность проявляй, лениться мысли не позволяй»

« Пифагорейцы»: Девиз: «Посредством уравнений ,теорем мы уйму разрешим проблем»

1 конкурс Из истории математики ( это задание было дано заранее )

А) Пропорции

Слово «пропорция» означает «соразмерность», Определенное соотношение частей между собой»

Учение об отношениях и пропорциях особенно успешно развивалось в 4 веке до н.э. в Древней Греции, славившейся произведением искусства, архитектуры, развитыми ремеслами. С Пропорциями связано представление о красоте, порядке и гармонии о созвучных аккордах в музыке. Теория отношений и пропорций была подробно изложена в « Началах» Евклида ( 3 век до н.э.) там приводится и доказательство основного свойства пропорции. Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного изображения предмета. Знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского разделена в таком отношении, которое называют « Золотое Сечение». Окружающие нас предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплеты многих книг имеют отношение ширины и длины, близкое к числу 0,618. Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, что отношение расстояния между парами листьев является примером «Золотого сечения»

Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры, Парфенон, было построено в 5 веке до н.э. Отношение высоты фасада здания к его длине равно о,618

Б) Уравнения

Среди задач, которые с древних времен приходилось решать людям. Много было похожих, однотипных: вычисление площадей участков, нахождение объемов фигур определенной формы, деление доходов, вычисление стоимости товара, измерение массы с помощью различных единиц и другие.

Для однотипных задач в разное время, в разных странах пытались отыскать общие способы, правила решения. В этих правилах рассказывалось, как найти неизвестную величину через данные числа для группы похожих задач. Так возникла алгебра,_ один из разделов математики, в котором вначале в основном рассматривалось решение различных уравнений.

Некоторые алгебраические понятия и общее примеры решения задач знали уже в Древнем Вавилоне и Египте более 4000лет назад. Большой вклад в создание алгебры внес выдающийся древнегреческий математик ДИОФАНТ (3 век), которого по праву считают «отцом алгебры». Диофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввел специальный символ вычитания, использовал сокращение слов

В начале нашей эры греческая наука и культура пришли в упадок. Но к этому времени больших успехов в развитии математики достигли индийские ученые. С 5 по 12век ими было сделано много открытий. Культуру древних индейцев усвоили их соседи: арабы, узбеки, персы, таджики другие народы. И в 9-15 веке мировым центром наук становится Средняя Азия, подарившая миру много ученых математиков. Их труды оказали большое влияние на развитие науки в Европе.

Конкурс капитанов

1. Что за чиж на черном поле 1) Говорит она без звучно,

Чертит клювом белый след? Но понятно и не скучно,

У чижа ни ног, ни крыльев, Ты беседуй чаще с ней

Ни пера, ни пуха нет (мел) станешь лучше и умней ( книга)

2. Ног нет, а хожу Что проходит сквозь окно, не боится

Рта нет, а скажу: никого (луч света)

Когда спать, когда вставать (будильник)

3)Не видно и не слышно ее Она всегда с трудом дается нам

Стоит заговорить о ней Зато потом, когда ответ получен,

И она исчезнет (тишина) То словно свет блеснет по сторонам,

Где только, что еще бродили тучи ) (задача)

Разминка команд

1. У семи братьев по одной сестрице, много сестер? ( одна)

2. Ты да я , да мы с тобой. Много ли нас стало? (двое)

3. Я –цифра, меньше десяти, меня тебе легко найти

Но если букве Я прикажешь рядом встать,

Я все: отец, и ты, и дедушка, и мать ( семь семья)

4)Я приношу с собою боль

Лица на форме искажения, а Ф на П заменишь коль

То я всего лишь знак сложения ( флюс плюс)

Вопросы болельщикам

Арифметический я знак, В задачниках меня найдешь во многих строчках, Лишь О ты вставишь, зная как

И я _ географическая точка( плюс полюс)

Я не люблю у школьников быть в дневнике,

Ему из-за меня вся не мила природа

Но если внутрь меня поставишь Е

То- среди женского я рода (два дева)

Задание командам

Определите, является ли прямо пропорциональной, обратно пропорциональной зависимость между величинами:

1 путем, пройденным машиной с постоянной скоростью и временем ее

Движения

2 стоимостью товара, купленного по одной цене, и его количеством

3 площадью квадрата и длиной его стороны

4 массой стального бруска и его объемом

5 числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда

Некоторую работу, и временем выполнения этой работы.

6 Стоимостью товара и его количеством, купленным на определенную сумму денег

7 Объемом куба и длиной его ребра

8 Периметром квадрата и длиной его стороны.

ЗАДАНИЕ КОМАНДАМ

Каждой команде и болельщикам раздаются карточки с заданием: реши уравнение, реши две задачи. Верно выполненное задание приносит команде 3 балла, эти баллы умножаются на количество участников команды. Баллы болельщиков прибавляются к баллам участников команды.

ЗАМОРОЧКИ ИЗ БОЧКИ

1 Что называется пропорцией?

2 Приведи пример пропорции в буквенном виде, как называется каждая буква для пропорции

3 Назови основное свойство пропорции

4 Что называется уравнением?

5 Что такое корень уравнения?

6 Продолжи фразу:

А) Корни уравнения не изменятся, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую,( изменив при этом его знак)

Б) корни уравнения не изменятся, если обе части уравнения умножить или разделить ( на одно и то же число, не равное нулю)

7 Какое двузначное число при отражении в зеркале увеличится в 4,5 раза

(18 и 81 )

8 На листе написано число 66. Как увеличить это число в полтора раза, не делая над ним никаких действий. ( 66 перевернуть лист 99)

9 Сколько раз нужно распилить 5-ти метровое бревно, чтобы получить метровые чурки (4 раза )

10) 60 листов книги имеют толщину 1см. Какова толщина всех листов книги, если в ней 240 страниц (2 см)

ЗАДАНИЕ КОМАНДАМ И БОЛЕЛЬЩИКАМ ( использован местный материал)

Работник «Сургутнефтегаз» от поселка Пеледуй до поселка Витим, расстояние

между которыми 30 км, ехал на легковой машине со скоростью 6о км\ч, а от

Витима до Талака на ехал на автобусе для рабочих вахты, скорость которого в

1,5 раза меньше легковой машины. На весь путь работник затратил 3,5 часа. Найти расстояние от Витима до Талакана

infourok.ru

Урок математики «Пропорция. Решение уравнений»

МБОУ «Большеатнинская СОШ»

Атнинского муниципального района Республики Татарстан

Разработка урока математики

по теме «Пропорция. Решение

уравнений» (6 класс)

2014 год

План конспект урока математики в 6 классе

Тема: «Пропорция. Решение уравнений.»

Цель: формировать навык нахождения неизвестных членов пропорции, решения уравнений, имеющих вид пропорции;

закрепить основное свойство пропорции на практике: при решении задач и при решении уравнений;

воспитывать умение оценивать объективно труд своих товарищей.

Тип урока: урок повторения изученного материала..

Вид урока: комбинированный.

Оборудование: учебник, интерактивная доска.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Посмотрите, всё ль в порядке:

Книжка, ручки и тетрадки.

Прозвенел сейчас звонок.

Начинается урок.

2. Устный счет.

Тейк офф – тач даун (встает тот, кто знает ответ на заданный вопрос)

1. У стола квадратной формы отпилили 1 угол. Сколько углов осталось? (5)

2. Сколько концов у трех с половиной палок? (8)

3. Врач прописал 5 уколов. Через полчаса — по уколу. Через сколько часов после первого укола будет сделан последний укол? (2ч.)

4. На столе горят 7 свечей, 3 свечи потушили. Сколько свечей останется на столе через 5-6 часов? (3)

5. Назовите взаимно обратные числа.(3/5 и 5/3; 2,5 и 2,5)

6. Найдите 10% от 500; 40% от 300; 50% от 600; 100% от 520.

3. Актуализация знаний.

1) Найдите отношения:

А) 12кг к 400г; (30)

Б) 40м к 2 км; (0,02)

Какой вывод можно сделать? (Если значения двух величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо предварительно перейти к одной единице измерения).

2) Как называется равенство двух отношений? (пропорция)

4. Сообщение темы урока.

Континиус Раунд Робин (учитель задает вопрос и дает время подумать; четыре ученика в команде по очереди отвечают по кругу до того момента, пока учитель не остановит процесс).

Подумайте, что вы знаете про пропорции? (анализ ответов учащихся)

Сегодня на уроке продолжим работу над темой «Пропорция». Ребята, как вы думаете изученная нами тема «Пропорция» понадобится вам в жизни? Почему и где?

16 : 2 =8; 12 : 1,5 = 8;

Что вы можете сказать про эти записи? (Равенство двух отношении называется пропорцией).

Как называются 16 и 1,5? (крайние члены пропорции).

Как называются 2 и 12? (средние члены пропорции).

Как определить пропорция верна или неверна? (основное свойство пропорции).

Как найти неизвестный крайний член пропорции?

Как найти неизвестный средний член пропорции?

Что произойдет, если поменять местами крайние или средние члены пропорции? (получившиеся новые пропорции тоже верны).

5. Закрепление. Работа в тетрадях.

Задача: Настоящие охотники за приведениями получили новое оборудование – ультрасовременные ловушки. Две такие ловушки захватывают за один раз 18 приведений. Сколько ловушек надо взять на операцию, чтобы отловить одновременно 27 приведений?

2л – 18приведении

Хл — 27приведении

Составляем пропорцию и решаем её. Ответ: 3 ловушки.

Задача 2. Решение уравнений.

№777 (решить уравнения) используя структуру Финк — Райт – Раунд Робин (учитель задает вопрос и дает время подумать; ученики думают и записывают ответы на свой листочек; ученики по очереди зачитывают свой ответ с листочка).

Пришло время ответить на вопрос, заданный в начале урока. Ребята, как вы думаете изученная нами тема «Пропорция» понадобится вам в жизни? Почему и где? Для ответов мы используем структуру Таймд Пэа Шэа (учитель задает вопрос и дает время подумать; учитель озвучивает, кто начинает первым и сколько времени дается каждому из учеников для ответа; два ученика отвечают на вопрос по очереди в течение данного времени).

6.Домашнее задание №798(составить пропорцию), №799 (при каком значении х верна пропорция) на стр.131.

7. Самостоятельная работа. Выполнение теста по теме «Пропорция» (ваши тесты будут служит билетиками на выход).

8. Подведение итогов урока.

Как связаны между собой понятия «отношение» и «пропорция»?

Что называют отношение двух чисел?

Как называется равенство двух отношений?

Что называется пропорцией?

Каким свойством обладает пропорция?

videouroki.net

Конспект урока по теме «Решение уравнений с помощью пропорции»

Математика, 6 класс Дата____________ Учитель: Чакал Э.М.

Тема: «Решение уравнений с помощью пропорции».

Цели урока:

1. Обучающие: закрепить понятия: пропорция, ее крайние и средние члены; основное свойство пропорции; закрепить эти понятия на решении уравнений и задач.

2. Развивающие: развитие кругозора, мышления, внимания, культуры математической речи, привитие интереса к изучению математики.

3. Воспитательные: воспитание аккуратности, чувство коллективизма, самоконтроля.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

В древности, наблюдая за окружающей природой и создавая произведения искусства, люди искали закономерности, которые позволяли бы определить прекрасное, т.е. пытались вывести формулу красоты. Ряд “формул красоты” известен. Это правильные геометрические формы: квадрат, круг, равносторонний треугольник и т. д. Эстетическое наслаждение, получаемое человеком при наблюдении совершенных форм, объясняется “божественным отношением” или “золотым сечением”. Соблюдение определенных отношений в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных отношений между размерами отдельных частей растений, скульптуры, здания “Золотое сечение” являлось критерием гармонии и красоты во времена Пифагора и в эпоху возрождения. И об этом мы поговорим сегодня на уроке.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Что называется отношением двух чисел?

Что показывает отношение двух чисел?

Что такое пропорция?

Сформулируйте основное свойство пропорции?

Устные задания :

Найти отношение:

а) ; б) .

Верна ли пропорция:

а) ; б)

За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?

Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограмм сахарного песку надо взять на 12 кг ягод?

4. Решение уравнений на основное свойство пропорции.

Решить № 56-58(а,б)

5. Историческая пауза.

На знаменитой картине Леонардо Да Винчи «Мадонна в скалах» с очевидностью просматриваются линии “золотого сечения”. Голова Мадонны делит длину картины по золотому сечению. При желании можно с успехом продолжить деление картины по “золотому сечению” и дальше. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении “золотого сечения”, придают ей характер уравновешенности и спокойствия. Скульптурные творения греческих мастеров Фидия, Политекта, Мирона, Праксителя по праву считаются эталонами красоты человеческого тела. Оценивая фигуру того или иного человека, мы невольно сравниваем ее с этими признанными эталонами (рис. № 5) По мнению многих искусствоведов, художников, скульпторов эпохи Возрождения, основные пропорции человеческого тела подчинены законам “золотого сечения”.Немецкий профессор–искусствовед А. Цейзинг (XIX век) утверждал, что фигура идеально сложенного человека должна подчиняться следующим закономерностям. Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон.

Как вы думаете, тело мужчины или женщины ближе всего к идеалу?

Мужчины! Чтобы приблизиться к идеалу, женщины надевают туфли на каблуках. Оказывается, что у женщин ноги короче, чем у мужчин.

Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к пропорциям золотого сечения, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. Давайте теперь вместе ответим на вопрос: “Зачем учить математике, где она пригодится в жизни?”

6. Тестовая работа.

I вариант

1. Решить уравнение: 6,4:0,16=4:х

1) 10; 2) 2,5; 3) 0,1; 4) 1.

2. Решить задачу:

Для 10 порций салата требуется 200г лука. На сколько порций хватит 60г лука?

1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 9.

II вариант

1. Решить уравнение: 0,75:1,5=5:х

1) 10; 2) 2,5; 3) 0,1; 4) 1

2. Решить задачу:

6 рабочих могут выполнить работу за 12 дней. Сколько ещё надо нанять рабочих, чтобы выполнить эту работу за 8 дней?

1) 3; 2) 4; 3) 2; 4) 9.

7. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова:

-Я узнал…

-Я почувствовал…

-Я увидел…

-Я сначала испугался, а потом…

-Я заметил, что …

-Я сейчас слушаю и думаю…

-Мне интересно следить за…

Решить № 56-58 (в,г)

infourok.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = dx/cos(2*x) (d х делить на косинус от (2 умножить на х))

Дан интеграл:

  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dx
 | cos(2*x)   
 |            
/             

Подинтегральная функция

Домножим числитель и знаменатель на

получим

   1        cos(2*x)
-------- = ---------
cos(2*x)      2     
           cos (2*x)

Т.к.

то

   2               2     
cos (2*x) = 1 - sin (2*x)

преобразуем знаменатель

 cos(2*x)      cos(2*x)  
--------- = -------------
   2               2     
cos (2*x)   1 - sin (2*x)

сделаем замену

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |    cos(2*x)       
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (2*x)     
 |                   
/                    
  

  /                  
 |                   
 |    cos(2*x)       
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (2*x)     
 |                   
/                    
  

Т.к. du = 2*dx*cos(2*x)

  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 2*\1 - u /   
 |              
/               

Перепишем подинтегральную функцию

               1       1  
             ----- + -----
    1        1 - u   1 + u
---------- = -------------
  /     2\         4      
2*\1 - u /                

тогда

                     /             /          
                    |             |           
                    |   1         |   1       
                    | ----- du    | ----- du  
  /                 | 1 + u       | 1 - u     
 |                  |             |           
 |     1           /             /           =
 | ---------- du = ----------- + -----------  
 |   /     2\           4             4       
 | 2*\1 - u /                                 
 |                                            
/                                             
  

= -log(-1 + u)/4 + log(1 + u)/4

делаем обратную замену

Ответ

  /                                                           
 |                                                            
 |    1            log(-1 + sin(2*x))   log(1 + sin(2*x))     
 | -------- dx = - ------------------ + ----------------- + C0
 | cos(2*x)                4                    4             
 |                                                            
/                                                             

где C0 — это постоянная, не зависящая от x

www.kontrolnaya-rabota.ru

Mathway | Популярные задачи

1	Найти производную — d/dx	квадратный корень x
2	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм x
3	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
4	Найти производную — d/dx	e^x
5	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
6	Найти производную — d/dx	1/x
7	Найти производную — d/dx	x^2
8	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
9	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
10	Найти производную — d/dx	sin(x)^2
11	Найти производную — d/dx	sec(x)
12	Вычислить	интеграл e^x относительно x
13	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
14	Вычислить	интеграл квадратного корня x по x
15	Вычислить	натуральный логарифм 1
16	Вычислить	e^0
17	Вычислить	sin(0)
18	Найти производную — d/dx	cos(x)^2
19	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
20	Вычислить	cos(0)
21	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
22	Найти производную — d/dx	x^3
23	Найти производную — d/dx	sec(x)^2
24	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
25	Вычислить	интеграл arcsin(x) относительно x
26	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
27	Вычислить	интеграл sec(x)^2 относительно x
28	Найти производную — d/dx	e^(x^2)
29	Вычислить	интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30	Найти производную — d/dx	sin(2x)
31	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
32	Найти производную — d/dx	tan(x)^2
33	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
34	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
35	Найти производную — d/dx	2^x
36	График	натуральный логарифм a
37	Вычислить	e^1
38	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
39	Вычислить	натуральный логарифм 0
40	Найти производную — d/dx	cos(2x)
41	Найти производную — d/dx	xe^x
42	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
43	Вычислить	интеграл 2x относительно x
44	Найти производную — d/dx	( натуральный логарифм x)^2
45	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм (x)^2
46	Найти производную — d/dx	3x^2
47	Вычислить	натуральный логарифм 2
48	Вычислить	интеграл xe^(2x) относительно x
49	Найти производную — d/dx	2e^x
50	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм 2x
51	Найти производную — d/dx	-sin(x)
52	Вычислить	tan(0)
53	Найти производную — d/dx	4x^2-x+5
54	Найти производную — d/dx	y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55	Найти производную — d/dx	2x^2
56	Вычислить	интеграл e^(3x) относительно x
57	Вычислить	интеграл cos(2x) относительно x
58	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
59	Найти производную — d/dx	1/( квадратный корень x)
60	Вычислить	интеграл e^(x^2) относительно x
61	Вычислить	sec(0)
62	Вычислить	e^infinity
63	Вычислить	2^4
64	Найти производную — d/dx	x/2
65	Вычислить	4^3
66	Найти производную — d/dx	-cos(x)
67	Найти производную — d/dx	sin(3x)
68	Вычислить	натуральный логарифм 1/e
69	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
70	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
71	Найти производную — d/dx	1/(x^3)
72	Вычислить	интеграл e^x относительно x
73	Вычислить	интеграл tan(x)^2 относительно x
74	Вычислить	интеграл 1 относительно x
75	Найти производную — d/dx	x^x
76	Найти производную — d/dx	x натуральный логарифм x
77	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
78	Найти производную — d/dx	x^4
79	Вычислить	предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80	Вычислить	интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81	Найти производную — d/dx	f(x) = square root of x
82	Найти производную — d/dx	x^2sin(x)
83	Вычислить	интеграл sin(2x) относительно x
84	Найти производную — d/dx	3e^x
85	Вычислить	интеграл xe^x относительно x
86	Найти производную — d/dx	y=x^2
87	Найти производную — d/dx	квадратный корень x^2+1
88	Найти производную — d/dx	sin(x^2)
89	Вычислить	интеграл e^(-2x) относительно x
90	Вычислить	интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91	Вычислить	2^5
92	Найти производную — d/dx	e^2
93	Найти производную — d/dx	x^2+1
94	Вычислить	интеграл sin(x) относительно x
95	Вычислить	2^3
96	Найти производную — d/dx	arcsin(x)
97	Вычислить	предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98	Вычислить	e^2
99	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
100	Вычислить	интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

1	Найти производную — d/dx	квадратный корень x
2	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм x
3	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
4	Найти производную — d/dx	e^x
5	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
6	Найти производную — d/dx	1/x
7	Найти производную — d/dx	x^2
8	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
9	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
10	Найти производную — d/dx	sin(x)^2
11	Найти производную — d/dx	sec(x)
12	Вычислить	интеграл e^x относительно x
13	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
14	Вычислить	интеграл квадратного корня x по x
15	Вычислить	натуральный логарифм 1
16	Вычислить	e^0
17	Вычислить	sin(0)
18	Найти производную — d/dx	cos(x)^2
19	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
20	Вычислить	cos(0)
21	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
22	Найти производную — d/dx	x^3
23	Найти производную — d/dx	sec(x)^2
24	Найти производную — d/dx	1/(x^2)
25	Вычислить	интеграл arcsin(x) относительно x
26	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
27	Вычислить	интеграл sec(x)^2 относительно x
28	Найти производную — d/dx	e^(x^2)
29	Вычислить	интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30	Найти производную — d/dx	sin(2x)
31	Вычислить	интеграл натурального логарифма x по x
32	Найти производную — d/dx	tan(x)^2
33	Вычислить	интеграл e^(2x) относительно x
34	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
35	Найти производную — d/dx	2^x
36	График	натуральный логарифм a
37	Вычислить	e^1
38	Вычислить	интеграл 1/(x^2) относительно x
39	Вычислить	натуральный логарифм 0
40	Найти производную — d/dx	cos(2x)
41	Найти производную — d/dx	xe^x
42	Вычислить	интеграл 1/x относительно x
43	Вычислить	интеграл 2x относительно x
44	Найти производную — d/dx	( натуральный логарифм x)^2
45	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм (x)^2
46	Найти производную — d/dx	3x^2
47	Вычислить	натуральный логарифм 2
48	Вычислить	интеграл xe^(2x) относительно x
49	Найти производную — d/dx	2e^x
50	Найти производную — d/dx	натуральный логарифм 2x
51	Найти производную — d/dx	-sin(x)
52	Вычислить	tan(0)
53	Найти производную — d/dx	4x^2-x+5
54	Найти производную — d/dx	y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55	Найти производную — d/dx	2x^2
56	Вычислить	интеграл e^(3x) относительно x
57	Вычислить	интеграл cos(2x) относительно x
58	Вычислить	интеграл cos(x)^2 относительно x
59	Найти производную — d/dx	1/( квадратный корень x)
60	Вычислить	интеграл e^(x^2) относительно x
61	Вычислить	sec(0)
62	Вычислить	e^infinity
63	Вычислить	2^4
64	Найти производную — d/dx	x/2
65	Вычислить	4^3
66	Найти производную — d/dx	-cos(x)
67	Найти производную — d/dx	sin(3x)
68	Вычислить	натуральный логарифм 1/e
69	Вычислить	интеграл x^2 относительно x
70	Упростить	1/( кубический корень от x^4)
71	Найти производную — d/dx	1/(x^3)
72	Вычислить	интеграл e^x относительно x
73	Вычислить	интеграл tan(x)^2 относительно x
74	Вычислить	интеграл 1 относительно x
75	Найти производную — d/dx	x^x
76	Найти производную — d/dx	x натуральный логарифм x
77	Вычислить	интеграл sin(x)^2 относительно x
78	Найти производную — d/dx	x^4
79	Вычислить	предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80	Вычислить	интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81	Найти производную — d/dx	f(x) = square root of x
82	Найти производную — d/dx	x^2sin(x)
83	Вычислить	интеграл sin(2x) относительно x
84	Найти производную — d/dx	3e^x
85	Вычислить	интеграл xe^x относительно x
86	Найти производную — d/dx	y=x^2
87	Найти производную — d/dx	квадратный корень x^2+1
88	Найти производную — d/dx	sin(x^2)
89	Вычислить	интеграл e^(-2x) относительно x
90	Вычислить	интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91	Вычислить	2^5
92	Найти производную — d/dx	e^2
93	Найти производную — d/dx	x^2+1
94	Вычислить	интеграл sin(x) относительно x
95	Вычислить	2^3
96	Найти производную — d/dx	arcsin(x)
97	Вычислить	предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98	Вычислить	e^2
99	Вычислить	интеграл e^(-x) относительно x
100	Вычислить	интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

cos 2 x dx интеграл

Вы искали cos 2 x dx интеграл? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и cos 2 x интеграл, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «cos 2 x dx интеграл».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как cos 2 x dx интеграл,cos 2 x интеграл,cos 2x интеграл,cos 2xdx интеграл,cos2x интеграл,cos2xdx интеграл,интеграл cos 2 x,интеграл cos 2 x dx,интеграл cos 2x,интеграл cos x 2,интеграл cos x 2 dx,интеграл cos2x,интеграл dx cos 2 x,интеграл x cos 2 x,интеграл x cos x 2,интеграл x cos x 2 dx,интеграл от cos2x. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и cos 2 x dx интеграл. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь или введите в окно ввода ниже свой запрос (например, cos 2x интеграл).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же cos 2 x dx интеграл Онлайн?

Решить задачу cos 2 x dx интеграл вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на этой странице.

www.pocketteacher.ru

Интеграл (cos(2*x))/2 (dx)

Дано

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   \int \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )}, dx = \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 x \right )}, dx

   1. пусть
      u = 2 x
      .

      Тогда пусть
      du = 2 dx
      и подставим
      \frac{du}{2}
      :

      \int \cos{\left (u \right )}, du

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         \int \cos{\left (u \right )}, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}, du
         $$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $$
            \int \cos{\left (u \right )}, du = \sin{\left (u \right )}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}
      $$

   Таким образом, результат будет: $$
   \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}
   $$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   \frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ mathrm{constant}

---

Ответ:

\frac{1}{4} \sin{\left (2 x \right )}+ mathrm{constant}

Ответ

1
/
|
| cos(2*x) sin(2)
| ——— dx = ——
| 2 4
|
/
0

$${{\sin 2}over{4}}$$

Численный ответ

Ответ (Неопределённый)

/
|
| cos(2*x) sin(2*x)
| ——— dx = C + ———
| 2 4
|
/

$${{\sin \left(2,x\right)}over{4}}$$

Загрузка… (39*(x^3)*y)/(26*(x^2)*(y^2)) 10*1/((x-3)^2-5)>=0 >>

uchimatchast.ru

Интеграл cos(2*x)^3 (dx)

Дано

$$\int_{0}^{1} \cos^{3}{\left (2 x \right )}, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   \cos^{3}{\left (2 x \right )} = \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \cos{\left (2 x \right )}

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть
      u = \sin{\left (2 x \right )}
      .

      Тогда пусть
      du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx
      и подставим
      du
      :

      \int — \frac{u^{2}}{2} + \frac{1}{2}, du

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            \int — \frac{u^{2}}{2}, du = — \frac{1}{2} \int u^{2}, du

            1. Интеграл
               u^{n}
               есть
               \frac{u^{n + 1}}{n + 1}
               :

               \int u^{2}, du = \frac{u^{3}}{3}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            — \frac{u^{3}}{6}

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            \int \frac{1}{2}, du = \frac{u}{2}

         Результат есть:
         — \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}
         $$

      Если сейчас заменить $$
      u
      ещё в:

      — \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \cos{\left (2 x \right )} = — \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         \int — \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}, dx = — \int \sin^{2}{\left (2 x \right )} \cos{\left (2 x \right )}, dx

         1. пусть
            u = \sin{\left (2 x \right )}
            .

            Тогда пусть
            du = 2 \cos{\left (2 x \right )} dx
            и подставим
            \frac{du}{2}
            :

            \int u^{2}, du

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               \int u^{2}, du = \frac{1}{2} \int u^{2}, du

               1. Интеграл
                  u^{n}
                  есть
                  \frac{u^{n + 1}}{n + 1}
                  :

                  \int u^{2}, du = \frac{u^{3}}{3}
                  $$

               Таким образом, результат будет: $$
               \frac{u^{3}}{6}
               $$

            Если сейчас заменить $$
            u
            ещё в:

            \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )}
            $$

         Таким образом, результат будет: $$
         — \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )}

      1. пусть
         u = 2 x
         .

         Тогда пусть
         du = 2 dx
         и подставим
         \frac{du}{2}
         :

         \int \cos{\left (u \right )}, du

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            \int \cos{\left (u \right )}, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}, du
            $$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $$
               \int \cos{\left (u \right )}, du = \sin{\left (u \right )}
               $$

            Таким образом, результат будет: $$
            \frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}
            $$

         Если сейчас заменить $$
         u
         ещё в:

         \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}

      Результат есть:
      — \frac{1}{6} \sin^{3}{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}

3. Теперь упростить:

   \frac{1}{6} \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 3\right) \sin{\left (2 x \right )}
   $$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $$
   \frac{1}{6} \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 3\right) \sin{\left (2 x \right )}+ mathrm{constant}

---

Ответ:

\frac{1}{6} \left(- \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 3\right) \sin{\left (2 x \right )}+ mathrm{constant}

Ответ

1
/
| 3
| 3 sin(2) sin (2)
| cos (2*x) dx = —— — ——-
| 2 6
/
0

$$-{{\sin ^32-3,\sin 2}over{6}}$$

Численный ответ

Ответ (Неопределённый)

/
| 3
| 3 sin(2*x) sin (2*x)
| cos (2*x) dx = C + ——— — ———
| 2 6
/

$${{\sin \left(2,x\right)-{{\sin ^3\left(2,x\right)}over{3}}
}over{2}}$$

Загрузка… x/2+y=2 y=x+5 x^3=3 >>

uchimatchast.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = cos(2*x)^2 dx (косинус от (2 умножить на х) в квадрате)

Решение

  1             
  /             
 |              
 |     2        
 |  cos (2*x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \cos^{2}{\left (2 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

[LaTeX]

1. Перепишите подынтегральное выражение:

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. пусть .

         Тогда пусть и подставим :

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

         Если сейчас заменить ещё в:

      Таким образом, результат будет:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

   Результат есть:

3. Добавляем постоянную интегрирования:

---

Ответ:

  1                                 
  /                                 
 |                                  
 |     2           1   cos(2)*sin(2)
 |  cos (2*x) dx = - + -------------
 |                 2         4      
/                                   
0                                   

$${{\sin 4+4}\over{8}}$$

Численный ответ

[LaTeX]

Ответ (Неопределённый)

[LaTeX]

  /                               
 |                                
 |    2               x   sin(4*x)
 | cos (2*x) dx = C + - + --------
 |                    2      8    
/                                 

$${{{{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+2\,x}\over{4}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Калькулятор онлайн — Сокращение дробей

С помощью данного калькулятора онлайн вы можете сократить обыкновенную, неправильную, смешанную дробь.

Если числитель больше знаменателя, то после сокращения дроби выделяется целая часть.

Калькулятор онлайн для сокращения дробей не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс нахождения решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода дробей, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода дробей

В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \( -\frac{2}{3} \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -5&8/3
Результат: \( -5\frac{8}{3} \)

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Обыкновенные дроби. Деление с остатком

Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком, и решение записывают в таком виде:
497 : 4 = 124 (1 остаток).

Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 — делимое, 4 — делитель. Результат деления при делении с остатком называют неполным частным. В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, — остаток. В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело. Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.

Остаток всегда меньше делителя.

Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64 : 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.

Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток.

Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.

Числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель.

Поскольку числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель, считают, что черта дроби означает действие деление. Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».

Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \( \frac{m}{n} \), где числитель m — делимое, а знаменатель п — делитель:
\( m:n = \frac{m}{n} \)

Верны следующие правила:

Чтобы получить дробь \( \frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.

Чтобы получить дробь \( \frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\( \large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)

Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\( \large \frac{a}{b} = \frac{a : m}{b : m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби.

Два последних преобразования называют сокращением дроби.

Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю.

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \( \frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \( \frac{5}{5} \) или \( \frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями. Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями.

Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными.

Например:
\( 5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 — целая часть, а \( \frac{2}{3} \) — дробная часть.

Если числитель дроби \( \frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число:
\( \large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)

Если числитель дроби \( \frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число:
\( \large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)

Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.

Действия с дробями. Сложение дробей.

С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \( \frac{2}{7} \) и \( \frac{3}{7} \). Легко понять, что \( \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\( \large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)

Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\( \large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение смешанных дробей

Такие записи, как \( 2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями. При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \( \frac{2}{3} \) — ее дробной частью. Запись \( 2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».

При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \( \frac{8}{3} \) и \( 2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \( \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)

Таким образом, неправильная дробь \( \frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \( 2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть.

Вычитание дробей (дробных чисел)

Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\( \frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \( \frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

С помощью букв это правило записывается так:
\( \large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\( \large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)

Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби.

Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

Деление дробей

Возьмем дробь \( \frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \( \frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \( \frac{2}{3} \).

Если мы теперь «перевернем» дробь \( \frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \( \frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{3}{2} \) называют взаимно обратными.

Взаимно обратными являются, например, дроби \( \frac{6}{5} \) и \( \frac{5}{6} \), \( \frac{7}{18} \) и \( \frac{18}{7} \).

С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \( \frac{a}{b} \) и \( \frac{b}{a} \)

Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1. Например: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)

Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.

Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
\( \large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)

Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.

www.math-solution.ru

Калькулятор сокращения дробей

Примеры сокращения дробей

Сократим дробь	64
	88

Способ 1
1. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя (вы можете воспользоваться калькулятором нахождения НОД)
    НОД (64 ; 88) = 8
2. Разделим числитель и знаменатель на их НОД
   64 : 8 = 8
   88 : 8 = 11
3. Подставим результаты деления в числитель и знаменатель. Получаем дробь

Способ 2
1. Разложим числитель и знаменатель на простые множители (вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители)
   64 = 2∙2∙2∙2∙2∙2
   88 = 2∙2∙2∙11

2. Представим числитель и знаменатель дроби в виде их разложения на простые множители
   

	2∙2∙2∙2∙2∙2
	2∙2∙2∙11

3. Вычеркнем те множители, которые повторяются и в числителе и в знаменателе
   

	2∙2∙2∙2∙2∙2	=
	2∙2∙2∙11

	2∙2∙2∙2∙2∙2
	2∙2∙2∙11

4. Оставшиеся множители запишем в числитель и знаменатель. Если в числителе или знаменателе остаются несколько множителей, то нужно перемножить их между собой.
   

	2∙2∙2∙2∙2∙2	=
	2∙2∙2∙11

	2∙2∙2∙2∙2∙2	=
	2∙2∙2∙11

Перейти в калькулятор

Сократим дробь   6	20
	48

Способ 1
1. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя (вы можете воспользоваться калькулятором нахождения НОД)
    НОД (20 ; 48) = 4
2. Разделим числитель и знаменатель на их НОД
   20 : 4 = 5
   48 : 4 = 12
3. Подставим результаты деления в числитель и знаменатель. Получаем дробь

Способ 2
1. Разложим числитель и знаменатель на простые множители (вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители)
   20 = 2∙2∙5
   48 = 2∙2∙2∙2∙3

2. Представим числитель и знаменатель дроби в виде их разложения на простые множители
   

6	2∙2∙5
	2∙2∙2∙2∙3

3. Вычеркнем те множители, которые повторяются и в числителе и в знаменателе
   

6	2∙2∙5	=
	2∙2∙2∙2∙3

6	2∙2∙5
	2∙2∙2∙2∙3

4. Оставшиеся множители запишем в числитель и знаменатель. Если в числителе или знаменателе остаются несколько множителей, то нужно перемножить их между собой.
   

6	2∙2∙5	=
	2∙2∙2∙2∙3

6	2∙2∙5	=
	2∙2∙2∙2∙3

Перейти в калькулятор

Сократим дробь	246
	764

Способ 1
1. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя (вы можете воспользоваться калькулятором нахождения НОД)
    НОД (246 ; 764) = 2
2. Разделим числитель и знаменатель на их НОД
   246 : 2 = 123
   764 : 2 = 382
3. Подставим результаты деления в числитель и знаменатель. Получаем дробь

Способ 2
1. Разложим числитель и знаменатель на простые множители (вы можете воспользоваться калькулятором разложения числа на простые множители)
   246 = 2∙3∙41
   764 = 2∙2∙191

2. Представим числитель и знаменатель дроби в виде их разложения на простые множители
   

3. Вычеркнем те множители, которые повторяются и в числителе и в знаменателе
   
4. Оставшиеся множители запишем в числитель и знаменатель. Если в числителе или знаменателе остаются несколько множителей, то нужно перемножить их между собой.
    Перейти в калькулятор

matematika-club.ru

Сокращение обыкновенных дробей. Онлайн калькулятор

Сокращение дроби – это замена данной дроби, на равную ей дробь, у которой числитель и знаменатель меньше, чем у данной дроби.

Сокращение дроби выполняется путём деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

Сократить можно только такую дробь, у которой члены имеют какой-нибудь общий делитель, помимо единицы.

Например, дробь можно сократить, а дробь нельзя, так как у первой дроби числитель и знаменатель имеют общие делители помимо единицы (это 2 и 4), а числитель и знаменатель второй дроби не имеют никакого общего делителя, кроме единицы.

Дробь, которую нельзя сократить, называется несократимой дробью.

Сокращение можно произвести или постепенно или сразу, выполнив деление членов дроби на НОД.

При постепенном сокращении дробь сокращают более одного раза. Сначала подбирают наименьший общий делитель (кроме единицы) для обоих членов дроби и сокращают дробь на него. Полученную после сокращения дробь, если можно, сокращают таким же путём снова и такое постепенное сокращение продолжают до тех пор, пока не получится несократимая дробь.

Пример: сократить дробь . Сначала сократим эту дробь, используя постепенное сокращение:

В результате мы получили несократимую дробь . Тот же результат мы получим, если найдём НОД чисел 24 и 432. НОД (24, 432) = 24, сократив члены дроби на 24, получим:

Если числитель дроби делится на знаменатель, то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель:

Калькулятор сокращения дробей

Данный калькулятор поможет вам выполнить сокращение обыкновенной дроби. Просто введите числитель и знаменатель и нажмите кнопку Сократить.

naobumium.info

Онлайн сокращение алгебраических дробей с подробным решением

Калькулятора онлайн выполняет сокращение алгебраических дробей в соответствии с правилом сокращения дробей: замена исходной дроби равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем, т.е. одновременное деление числителя и знаменателя дроби на их общий наибольший общий делитель (НОД). Также калькулятор выводит подробное решение, которое поможет понять последовательность выполнения сокращения.

Выполнение сокращения дробей

проверка возможности выполнения сокращения алгебраической дроби

1) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби

определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя алгебраической дроби

2) Сокращение числителя и знаменателя дроби

сокращение числителя и знаменателя алгебраической дроби

3) Выделение целой части дроби

выделение целой части алгебраической дроби

4) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

Помощь на развитие проекта CAE-CUBE.ru

Уважаемый Посетитель сайта.
Если Вам не удалось найти, то что Вы искали — обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.
Если же сайт оказался Ваме полезен — подари проекту CAE-CUBE.ru всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Порядок действий при сокращении алгебраической дроби калькулятором онлайн:

1. Чтобы выполнить сокращение алгебраической дроби введите в соответствующие поля значения числителя, знаменателя дроби. Если дробь смешанная, то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если дробь простая, то оставьте поле целой части пустым.
2. Чтобы задать отрицательную дробь, поставьте знак минус в целой части дроби.
3. В зависимости от задаваемой алгебраической дроби автоматически выполняется следующая последовательность действий:

• определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби;
• сокращение числителя и знаменателя дроби на НОД;
• выделение целой части дроби, если числитель итоговой дроби больше знаменателя.
• перевод итоговой алгебраической дроби в десятичную дробь с округлением до сотых.

В результате сокращения может получиться неправильная дробь. В этом случае у итоговой неправильной дроби будет выделена целая часть и итоговая дробь будет переведена в правильную дробь.

II. Для справки:

дробь

— число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Обыкновенная дробь (простая дробь) записывается в виде двух чисел (числитель дроби и знаменатель дроби), разделенных горизонтальной чертой (дробной чертой), обозначающей знак деления.

числитель дроби

—

cae-cube.ru

Сокращение алгебраических дробей | Математика

Опираясь на вышеуказанное свойство, мы можем упрощать алгебраические дроби так же, как это делают с арифметическими дробями, сокращая их.

Сокращение дробей состоит в том, что числителя и знаменателя дроби делят на одно и то же число.

Если алгебраическая дробь одночленная, то числитель и знаменатель представляется в виде произведения нескольких множителей, и сразу видно, на какие одинаковые числа можно их разделить:

Ту же дробь мы можем написать подробнее: . Мы видим, что последовательно можно делить и числителя и знаменателя 4 раза на a, т. е. в конце-концов разделить каждого из них на a⁴. Поэтому ; также и т. п. Итак, если в числителе и знаменателе имеются множителями различные степени одной и той же буквы, то можно сократить эту дробь на меньшую степень этой буквы.

Еще примеры:

Если дробь многочленная, то приходится сначала эти многочлены разложить, если возможно, на множители, и тогда явится возможность увидать, на какие одинаковые множители можно делить и числителя и знаменателя.

Примеры:

…. числитель легко раскладывается на множители «по формуле» – он представляет собой квадрат разности двух чисел, а именно (x – 3)². Знаменатель к формулам не подходит и придется его разлагать приемом, употребляемым для квадратного трехчлена: подыщем 2 числа, так, чтобы их сумма равнялась –1 и их произведение = –6, – эти числа суть –3 и + 2; тогда x² – x – 6 = x² – 3x + 2x – 6 = x (x – 3) + 2 (x – 3) = (x – 3) (x + 2).

Итак,

maths-public.ru

3 класс. Моро. Учебник №2. Ответы к стр. 15

Числа от 1 до 100
Умножение и деление (продолжение)
Внетабличное умножение и деление
Ответы к стр. 15

1. Выполни действия в указанном порядке:Замени число 72 суммой таких двух слагаемых, чтобы его легко было разделить на 4, на 3, на 6.

72 : 4 = 40 : 4 + 32 : 4 = 10 + 8 = 18
72 : 3 = 60 : 3 + 12 : 3 = 20 + 4 = 24
72 : 6 = 36 : 6 + 36 : 6 = 6 + 6 = 12

2. 

84 : 6 = 14     3 • 18 = 54     86 : 2 = 43     68 : 2 = 34
57 : 3 = 19     4 • 17 = 68     60 : 4 = 15     96 : 3 = 32
91 : 7 = 13     6 • 13 = 78     93 : 3 = 31     88 : 4 = 22

3. В городе 3 театра, а библиотек в 6 раз больше. На сколько в городе больше библиотек, чем театров?

1) 3 • 6 = 18 (б.) — библиотек
2) 18 — 3 = 15 (зд.)
О т в е т: в городе библиотек больше, чем театров на 15 зданий.

4. Цена билета 200 р. Пассажир отдал в кассу 500 р. для покупки 2 билетов. Сколько сдачи он должен получить?
Дополни условие и реши задачу.

1) 200 • 2 = 400 (р.) — стоимость 2-х билетов
2) 500 — 400 = 100 (р.) — сдача
О т в е т: пассажир должен получить 100 р. сдачи.

5. 

39 : 3 • 4 = 52    100 — 3 • 4 = 88        84 — (48 + 26) = 10
64 : 2 • 3 = 96    6 • 9 + 48 : 6 = 62    23 + (75  — 48) = 50
48 : 4 • 8 = 96    66 : 3 • 2 — 5 = 39     53 — (53 — 40) = 40

6. Найди и сравни длины ломаных.

Длина ломаной ABCD = 3 + 3 + 1 = 7 (см)
Длина ломаной KOCEM = 25 + 20 + 20 = 25 = 90 (мм) = 9 (см)

6. Найди в многоугольниках прямые, острые и тупые углы. Выпиши их названия.

Прямые углы: ABC, BCD, KTO, PKT.
Острые углы: KPO, ENS, ESN.
Тупые углы: BAM, CDM, AMD, TOP, NES. 

---

Вычисли.

64 : 4 = 16    7 • 12 = 84    50 : 2 = 25    39 : 3 = 13

Ответы по математике. Учебник. 3 класс. Часть 2. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова М. А., Волкова С. И., Степанова С. В.

Математика. 3 класс

3 класс. Моро. Учебник №2. Ответы к стр. 15

4.9 (97.5%) 8 vote[s]

volzsky-klass.ru

Конспект урока математики «Виды углов», 3 класс

Тема: Виды углов.

Вид урока: урок первичного закрепления новых знаний.

Цель:

закрепление общего представления об угле, видах углов.

Задачи:

• учить различать прямой, острый и тупой угол;

• учить строить данные углы;

• развивать внимание, воображение учащихся;

• закреплять навыки работы с угольником.

• развивать наглядно-образное мышление, способствовать развитию мыслительных операций анализа и синтеза.

• воспитывать познавательный интерес, мотивацию к учебной деятельности.

Оборудование: геометрические фигуры, листочки, угольники, карандаши.

компьютер;

мультимедиа проектор;

презентация Power Point.

Ход урока

I Орг.момент.

— У нас сегодня с вами гости. Повернемся и поздороваемся с ними.

— Садитесь.

Будем отвечать активно,
Хорошо себя вести,
Чтобы гости дорогие
Захотели вновь прийти.

II Ф.зарядка (слайд № 1)

Ол – оль угол – уголь

Ат – ать аппарат — решать

Тре

Четырех

Пяти

Шести угольник

Семи

Восьми

Я начертил(а) …. .

III Устный счет

1. «Лишняя фигура» (слайд №2)

(на партах лежат многоугольники и круг)

Какая фигура лишняя? Почему? (щелчок)

Как называются все остальные фигуры?

Покажите 7-угольник, 5-угольник, четырехугольник.

2. «Отгадай слово» (слайд № 3)

Переверните многоугольники и решите устно примеры. Ответ запишите в таблице. Прочитайте. (щелчок)

IV Тема урока и целеполагание.

Угол.

Сегодня у нас урок геометрии и конструирования. Мы будем разговаривать о видах углов. Давайте договоримся о том, что мы хотим узнать к концу урока,

чему научиться:

— что такое угол?

— какие бывают виды углов?

— зачем нужны углы?

— сравнивать углы

— строить углы

V Н.м.

1. На прошлом уроке мы познакомились с видами углов. Назовите их. (табличка)

— Углы окружают нас и в повседневной жизни.

— Обернитесь, рассмотрите наш класс. Приведите свои примеры, где можно найти углы вокруг нас.

(слайд № 4)

3. — Посмотрите на рисунки. Назовите предметы, где есть прямой угол, острый, тупой угол.

(слайд № 5)

Зачем нужно знать углы? Чтобы построить дом, запустить ракету, красиво писать буквы.

Как вы понимаете понятие «острый угол»?, «тупой»?

— Не всегда удобно определять прямой угол на глаз. Для этого используют линейку-угольник. Чтобы определить прямой угол, нужно совместить вершину и одну сторону угла с вершиной и стороной прямого угла на линейке-угольнике.

4. Покажите многоугольники, у которых есть прямой угол. Докажите.

Найдите многоугольник, у которого 4 прямых угла. Как еще его можно назвать? (прямоугольник)

Найдите многоугольник, у которого есть острый угол.

Найдите многоугольник, у которого 6 тупых углов.

Вывод: Чтобы определить вид угла, надо совместить его вершину и сторону соответственно с вершиной и стороной прямого угла на угольнике. Если вторая сторона окажется внутри прямого угла, то угол острый, а если вторая сторона окажется снаружи – то тупой.

Чтобы чистенько писать —
Надо пальчики размять!

Разминка пальчиков.

1. «Замок» — открываем – закрываем.
2. «Цепочка»
3. Массаж кончиков пальцев «Этот пальчик самый толстый…»

— Прочитайте дату.

— Какой сегодня день недели?

— Запишите в тетрадях число.

— Какое число записано у нас в тетрадях?

— Сколько в нем десятков и единиц?

4. Практическая работа. Построение модели прямого угла, острого и тупого.

— С помощью угольника удобно не только определять прямые углы, но главное – строить их. Построим прямой угол, (1 ученик на доске, а дети в тетрадях строят прямой угол.)

Кто построит острый угол? тупой?

Закрасьте острый угол зеленым карандашом, тупой угол – красным.

Выполняется взаимопроверка в парах.

5. Нахождение углов. (слайд №6)

— Посмотрите на карточки и доску. Используя угольник, выпишите номера прямых углов, тупых, острых.

У компьютера пойдет работать …(самостоятельно)

Проверяем. (щелчок)

VI Физминутка

Покажите руками:

прямой угол;

тупой угол;

острый угол.

Встаньте парами и постройте угол. Какой у вас получился угол?

Найдите в классе углы и встаньте в угол.

VII Закрепление.

Задание на карточках.

— Прочитайте задание и выполните в тетрадях.

 (построить многоугольник, у которого 1 прямой угол, и т.д.)

V. Итог урока. Рефлексия.

 

-Кто доволен своей работой на уроке? Прикрепите на нашей полянке красный цветочек.

-Кто считает, что работал не во всю силу и хотел бы на следующий раз работать лучше – желтый цветочек.

-Кто не доволен своей работой – синий цветочек.

-Посмотрите, какая полянка у нас получилась. Я вижу, что в основном дети старались и работали хорошо.

Давайте построим полянку вокруг для цветов с прямым углом.

— Что вы узнали нового, интересного?

— Какое задание понравилось больше всего?

VIII Домашнее задание.

Игра «Весёлый конструктор» Построение многоугольника с заданными углами.

(слайд №7) Спасибо за работу!

Слайды.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

infourok.ru

Учебник Моро 3 класс 2 часть. Страница 35

Страница 35 — Учебник Моро 3 класс 2 часть

15. Найди на рисунке прямые, острые и тупые углы. Выпиши их номера.
Прямые углы — 8, 9, 10, 11, 13, 14, 12, 15.
Острые углы — 1, 2, 3, 4, 6.
Тупые углы — 5, 7. .
16. Выполни деление с остатком.
36:7             44:5         60:8            80:12        44: 18
36 : 7 = 5 (ост. 1)
44 : 5 = 8 (ост. 4)
60 : 8 = 7 (ост. 4)
80 : 12 = 6 (ост. 8)
44 : 18 = 2 (ост. 8)
17. Запиши по 3 числа, при делении которых на 8 в остатке получается 5; 6; 2; 0.
121, 29, 37; 22, 30, 38; 18, 26, 34; 8, 16, 24.

18. Выйдет ли квадратная проволочная рамка со стороной 7 см из треугольной рамки, каждая сторона которой равна 9 см?

1) 9 • 3 = 27 см — периметр треугольной рамки.

2) 27 : 7 = 3 (ост. 6) — квадратная рамка не получится Ответ: нет.

19. На юношеских соревнованиях по плаванию на 100 м Косте осталось проплыть четвёртую часть дистанции, а Вите — пятую её часть. Кто из них ближе к финишу и на сколько метров?

1) 100 : 4 = 25 м — осталось проплыть Косте.

2) 100 : 5 = 20 м — осталось проплыть Вите.

3) 25 — 20 = 5 — на столько ближе Витя.

Ответ: Витя ближе на 5 м.

20. Сравни:

21. Что больше и на сколько:

22. Реши:

23. 1) Ломаная состоит из четырёх одинаковых звеньев, длиной 3 см каждое. Найди длину этой ломаной.

2) Начерти ломаную такой же длины, но состоящую из трёх звеньев одной длины; разной длины.

1) 4 • 3 = 12 см — длина ломанной.

24. Начерти в тетради пятиугольник, в котором будет 2 прямых угла, 2 тупых и 1 острый угол.

25. Переставь карточки так, чтобы равенство стало верным.

26. Найди разными способами площадь данной фигуры.

matem1234.ru

Конспект урока по математике на тему «Острые и тупые углы»

Урок математики «Острые и тупые углы»

Цель  урока : научить различать  тупые , прямые,  острые   углы .

Задачи:

-обучающие:

1.Учить определять острые  и  тупые углы с помощью модели прямого угла.

-развивающие:

1.Формировать представление о плоских геометрических фигурах как части плоскости.

2. Продолжить работу по классификации геометрических фигур.

-воспитательные:

1.Воспитывать аккуратность, внимательность.

Тип урока — введение новых знаний

Формы работы учащихся — парная, индивидуальная, фронтальная работа

Оборудование: круг с секторами, карточки с геометрическими фигурами, разноуровневые карточки, проволока, модели треугольников, стихи – напоминалки.

I Актуализация знаний.

1. Организационный момент.

Ученик читает стихотворение.

Есть о математике молва,
Что она в порядок ум приводит,
Потому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.
Ты нам, математика, даешь
Для победы важную закалку.
Учится с тобою молодежь
Развивать и волю, и смекалку.

— Вот и мы сегодня на уроке продолжим развивать смекалку, волю, целеустремленность, накапливать знания, отрабатывать умения.

На уроке нам предстоит путешествовать по стране Математике. Перед вами маршрут нашего путешествия. На карте 6 секторов, 5 различных областей математики. Хотите их узнать? Тогда давайте откроем их по порядку. (Арифметика, геометрия, где мы познакомимся с новой темой, экология и математика, фольклор, логика.)

— Итак, в путь! (Открываем сектор “Арифметика»)

(Слайд 1.)
а)Игра “Математический баскетбол”.

 Баскетбол — командная спортивная игра, цель которой забросить руками мяч в подвешенную корзину.

— Любой из вас забьёт гол, если правильно решит пример. (Дети по цепочке решают примеры).

8+ 7 9 + 5 12 – 4 6 + 5 13 – 7 14 – 6 8 – 8 5 + 7 15 – 9 9 + 9

б) Решите задачу в общем виде.

На доске записаны два выражения. Какое выражение подойдет для решения задач А+В А-В
— На тарелке было А конфет, Маша съела В конфет. Сколько конфет осталось?
— Оля решила А задач по математике, Миша В задач. Сколько всего задач решили ребята?
— У Лены А карандашей, а у Оли В карандашей. На сколько карандашей у Лены больше, чем у Оли?
— В классе было А девочек, а мальчиков на В меньше. Сколько мальчиков было в классе?

в) Работа с карточками (изображение геометрических фигур)

— Что изображено на листочках? (плоские геометричеcкие фигуры)

Разделите их на группы, т.е. распределите с помощью цветных карандашей в «мешки».

Проверяем…

В первую группу выделили прямые. Назовите их. Докажите, что это прямые.

Во вторую группу выделили лучи. Назовите их. Докажите, что это лучи.

В третью группу выделили отрезки. Назовите их. Докажите.

В четвертую группу – угол.

II. «Открытие» учащимися нового знания

 (Слайд 2.)

1) — Тему урока вам подскажет кроссворд. Кроссворд “Геометрический”.

 1) Часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. (Луч).

2) Геометрическая фигура, не имеющая углов. (Круг).

3) Самая маленькая геометрическая фигура. (Точка).

4) Геометрическая фигура, имеющая форму вытянутого круга. (Овал).

 — Тема нашего урока спряталась по вертикали. Найдите её. (Угол). (щелчок вылетают геометрические фигуры).

— Сформулируйте пожалуйста тему нашего урока. (Сектор «Геометрия»)

— Ребята, а зачем мы будем изучать углы?

— Как вы думаете, вам эти знания пригодятся?

(Ответы детей)

 — Углы окружают нас и в повседневной жизни. Приведите свои примеры, где можно найти углы вокруг нас.

Слайд 3-4.

Посмотрите на рисунки: уголок соединительный для труб и уголок канцелярский для бумаг; угольник плотника и угольник чертёжный; угловой стол и угловой диван.

— Ребята, а может, кто-то знает, что такое угол? (выслушиваются мнения детей)

Правильность нашей формулировки, мы проверим чуть позже.

— Люди, каких профессий чаще всего встречаются с углами? (конструктор, инженер, дизайнер, строитель, архитектор, моряк, астроном, архитектор, портной и т.д.)

— Ребята, а теперь от красных полей отступите одну клеточку и поставьте точку О. От этой точки проведите два луча.

На доске заранее нарисовать точку О (2). Вызваю 2 детей, чтобы они провели лучи на доске.

— Что за фигуры у нас получилась? (угол)

— Посмотрите, какие разные эти углы.

— Ребята, а теперь попробуйте дать определение углу.

Работа в парах.

(Вывод: угол — это геометрическая фигура, образованная двумя разными лучами

с общим началом).

— Ребята, а теперь посмотрите на фигуру, которую нарисовала я.

— Это угол, или нет.

(Дети говорят – нет, еще раз возвращаемся к правилу, после этого делаем вывод о том, что это тоже угол – развернутый)

Слайд 6. (вывод по углу)

Плакат на доске

Точка О – вершина угла. Угол можно назвать одной буквой, записанной около его вершины. Угол О. Но может быть несколько углов, имеющих одну вершину. Как быть тогда? (На доске чертеж таких углов)

 Ответы детей.

— В таких случаях если называть разные углы одной буквой, то будет непонятно, о каком угле идёт речь. Что этого не произошло, на каждой стороне угла можно отметить по одной точке, поставить около неё букву и обозначить угол тремя буквами, при этом всегда в середине записывают букву, обозначающую вершину угла. Угол АОВ. Лучи АО и ОВ – стороны угла.

Чертёж на доске

Работа с текстом учебника в оранжевой рамке с.52.

III. Первичное закрепление.

Работа в парах. Задание №2

— Углы бывают разные. Перед вами различные виды углов.

— Как называется этот угол? (прямой) Как доказать что он действительно прямой?

— Как называются эти углы? (непрямые)

— Сегодня мы узнаем, как они называются.

IV. Формулирование нового знания.

(Слайд 7 — 9 )

Не всегда удобно определять прямой угол на глаз. Для этого используют линейку-угольник.

— Каким цветом выделен угол больше прямого? (Голубым).

— Меньше прямого? (Зелёным).

— Какой же угол из трёх предложенных прямой?

— Почему вы так решили? (Вершина и стороны угла совпали с прямым углом на линейке-угольнике).

— Как же определить вид угла?

ВЫВОД:

Чтобы определить вид угла, надо совместить его вершину и сторону соответственно с вершиной и стороной прямого угла на угольнике.

 — Каждый из углов имеет своё название. Острый угол – это угол, который меньше прямого. Тупой угол – это угол, который больше прямого.

(На доске появляются таблички с названием углов)

Работа с текстом учебника в оранжевой рамке с. 53.

— Какой угол мы будем считать главным?

Мама мой взяла листок,
И загнула уголок,
Угол вот такой у взрослых
Называется ПРЯМЫМ.

Если угол уже — ОСТРЫМ,
Если шире, то — ТУПЫМ.

V.Формулирование темы и целей урока.

VI. Физкультминутка.

Сколько здесь грибочков,

Столько приседаем.

Сколько здесь цветочков,

Руки поднимаем.

Поднимаем ручки,

Разгоняем тучки.

Ярче, солнышко, свети,

Хмурый дождик запрети.

Вот окончен дальний путь.

Можно сесть и отдохнуть.

VII. Применение новых знаний.

Самостоятельная работа.(Разноуровневые задания)

Карточка № 1.

1.Напиши названия углов

2.Распредили на группы углы:

Карточка № 2

Обведи все фигуры, для которых высказывание «Фигура имеет тупой угол» будет истинным.

Карточка № 3

4.Напиши названия острых, прямых и тупых углов

Острые углы: ___________________________________

Прямые углы:___________________________________

Тупые углы:____________________________________

VIII. Математика и фольклор. (Сектор «Математика и фольклор»)

— Творчество русского народа тесно связано с математикой. Народ с большим удовольствием использует слово угол в своих пословицах и поговорках. Какие пословицы и поговорки вы нашли дома?

А теперь послушайте мои пословицы и поговорки.

Без углов дом не строится, без пословицы речь не молвится.

Красна изба не углами, а пирогами.

Скажешь с уха на ухо, узнают с угла на угол.

Молотить — так с краю, а за стол — так в угол полез. 

IX. Математика и экология. (Сектор «Математика и экология»)

Решение задачи.(Решить разными способами).

Для проекта «Грибы брянского леса» дети сделали 12 муляжей грибов. 4 из них были грузди, 5 – лисички, а остальные – белые грибы. Сколько муляжей белых грибов сделали дети?

X. Логика. (Сектор «Логика»)

Дети разложили в коробки муляжи грибов, принесённых для создания уголка брянского леса. Узнайте, где какой гриб лежит, если все надписи на коробках ложные.

Здесь Здесь Здесь

груздь. сыроежки нет. подосиновик.

XI. Итог урока. Рефлексия.

На партах у вас проволока. Сделайте из нее прямой угол и проверьте с помощью угольника, затем сделайте острый и тупой.

(Слайд 10.)

— Расскажите мне по схеме о том, что вам дал сегодняшний урок математики?

Поднимите сигналы. Оцените свою работу на уроке.

XII. Домашнее задание. (Сектор «Д.з.»)

С. 53, №6, №7 – по желанию

infourok.ru

Урок по математике на тему «Угол. Прямой, острый и тупой угол».

Дата: 24.01.2018

Урок: математика

Тема: прямой, острый и тупой углы

Цели: продолжить знакомство с понятием «угол»; ввести термины «прямой угол», «тупой угол», «острый угол»; учить строить прямой угол с помощью модели и чертежного угольника; совершенствовать умения решать задачи; развивать внимание и мышление.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устный счет.

1. Какие цифры нужно вставить в «окошки», чтобы получились верные равенства?

8 – 3 = 7 9 – 4 = 6

5 – 6 = 4 7 – 8 = 2

4 – 7 = 3 6 – 2 = 8

III. Сообщение темы урока.

– Рассмотрите чертеж на доске:

– Какая из данных фигур «лишняя»? (Фигура 2.)

– Как называется эта фигура?

– Сегодня на уроке мы будем строить углы.

IV. Работа по теме урока.

1. Задание 1.

– Начертите два луча, имеющие общее начало, которые пересекаются под прямым углом. Можете использовать угольник.

– Рассмотрите рисунок. Найдите прямой угол. (Номер 2.)

– С помощью какого инструмента ответим на этот вопрос? (С помощью угольника.)

Учитель демонстрирует изготовление модели прямого угла.

– Сложите большой лист бумаги. Вот так:

– У вас получился прямой угол. Теперь возьмите маленький лист бумаги и сложите его так же.

– У вас опять получился прямой угол. Догадайтесь, какое высказывание будет верным:

1) синий угол больше красного;

2) красный угол больше синего;

3) синий и красный углы одинаковы?

– Все прямые углы можно наложить так, чтобы их стороны совпали. А стороны угла – лучи.

Учащиеся проверяют наложением.

– Сделайте модель прямого угла с помощью веера.

– Покажите прямые углы на крышке стола и других предметов.

2. Задание 2.

– Рассмотрите рисунок. У какого дома крыша «острая»? (У первого дома.)

– У какого дома крыша «тупая»? (У второго.)

– Найдите на рисунке задания 1 острый угол. (Розовый.)

– Розовый угол – острый. Если его наложить на прямой угол так, чтобы одна его сторона совпала со стороной прямого угла, то другая его сторона пройдет внутри прямого.

– Найдите на рисунке задания 1 тупой угол. (Желтый угол.)

Желтый угол – тупой. Если его наложить на прямой угол так, чтобы одна его сторона совпала со стороной прямого угла, то другая его сторона пройдет вне прямого угла. Рассмотрим рисунок. Каким цветом закрашен прямой угол?

– Рассмотрите фигуры, представленные на доске.

– Сколько углов у каждой фигуры? Какие из углов острые, тупые? Проверьте это с помощью угольника.

3. Задание 3.

– На какой угол раскрыли каждый веер? (Острый, тупой, развернутый, прямой.)

4. Задание 4.

– Начертите острый и прямой углы, расположив их так, как показано на рисунке.

– Какой угол меньше: острый или прямой? (Острый.)

– Все острые углы меньше прямого.

– Проведите из общей вершины этих углов несколько лучей так, чтобы с лучом зеленого цвета они образовали острые лучи.

5. Задание 5.

– Начертите тупой и прямой углы, расположив их так, как показано на чертеже.

– Какой угол больше: тупой или прямой? (Тупой.)

– Все тупые углы больше прямого.

– Проведите из общей вершины этих углов несколько лучей так, чтобы с лучом зеленого цвета они образовывали тупые углы.

6. Задание 6.

– Можно ли острый угол расположить внутри прямого? (Можно.)

– Покажите это на чертеже.

7. Задание 7.

– Можно ли тупой угол расположить внутри прямого? (Нет, так как прямой угол всегда меньше прямого.)

– А прямой угол внутри тупого? (Можно.)

– Покажите на чертеже, как это можно сделать.

Физкультминутка

8. Работа по карточкам.

Карточка 1

Постройте угол с вершиной в точке А так, чтобы одна его сторона проходила через точку В, а другая – через точку С. Закрасьте углы разным цветом.

Карточка 2

Постройте острый угол, стороны которого проходят через точки А и В. Закрасьте углы синим цветом.

Карточка 3

Постройте тупой угол, стороны которого проходят через точки А и В. Закрасьте углы синим цветом.

Карточка 4

С помощью угольника постройте прямой угол так, чтобы его вершиной была точка А, а одна из сторон проходила через точку В. Закрасьте угол синим цветом.

Карточка 5

С помощью угольника постройте прямой угол с вершиной в точке А так, чтобы точка С находилась внутри прямого угла.

Карточка 6

Постройте острый угол с вершиной в точке В так, чтобы точка А была внутри угла.

Карточка 7

Постройте тупой угол так, чтобы его вершиной была точка А, а одна сторона угла проходила через точку В.

Карточка 8

С помощью угольника постройте два прямых угла со стороной ОА. Закрасьте их разным цветом.

V. Итог урока.

– Что нового узнали на уроке?

– Что такое «угол»?

– Как изготовить модель прямого угла?

– Какой угол называется острым?

– Какой угол называется тупым?

Домашнее задание: начертить прямой, острый и тупой углы.

compedu.ru

Урок по математике на тему «Угол. Прямой, острый и тупой угол».

Дата: 24.01.2018

Урок: математика

Тема: прямой, острый и тупой углы

Цели: продолжить знакомство с понятием «угол»; ввести термины «прямой угол», «тупой угол», «острый угол»; учить строить прямой угол с помощью модели и чертежного угольника; совершенствовать умения решать задачи; развивать внимание и мышление.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устный счет.

1. Какие цифры нужно вставить в «окошки», чтобы получились верные равенства?

8 – 3 = 7 9 – 4 = 6

5 – 6 = 4 7 – 8 = 2

4 – 7 = 3 6 – 2 = 8

III. Сообщение темы урока.

– Рассмотрите чертеж на доске:

– Какая из данных фигур «лишняя»? (Фигура 2.)

– Как называется эта фигура?

– Сегодня на уроке мы будем строить углы.

IV. Работа по теме урока.

1. Задание 1.

– Начертите два луча, имеющие общее начало, которые пересекаются под прямым углом. Можете использовать угольник.

– Рассмотрите рисунок. Найдите прямой угол. (Номер 2.)

– С помощью какого инструмента ответим на этот вопрос? (С помощью угольника.)

Учитель демонстрирует изготовление модели прямого угла.

– Сложите большой лист бумаги. Вот так:

– У вас получился прямой угол. Теперь возьмите маленький лист бумаги и сложите его так же.

– У вас опять получился прямой угол. Догадайтесь, какое высказывание будет верным:

1) синий угол больше красного;

2) красный угол больше синего;

3) синий и красный углы одинаковы?

– Все прямые углы можно наложить так, чтобы их стороны совпали. А стороны угла – лучи.

Учащиеся проверяют наложением.

– Сделайте модель прямого угла с помощью веера.

– Покажите прямые углы на крышке стола и других предметов.

2. Задание 2.

– Рассмотрите рисунок. У какого дома крыша «острая»? (У первого дома.)

– У какого дома крыша «тупая»? (У второго.)

– Найдите на рисунке задания 1 острый угол. (Розовый.)

– Розовый угол – острый. Если его наложить на прямой угол так, чтобы одна его сторона совпала со стороной прямого угла, то другая его сторона пройдет внутри прямого.

– Найдите на рисунке задания 1 тупой угол. (Желтый угол.)

Желтый угол – тупой. Если его наложить на прямой угол так, чтобы одна его сторона совпала со стороной прямого угла, то другая его сторона пройдет вне прямого угла. Рассмотрим рисунок. Каким цветом закрашен прямой угол?

– Рассмотрите фигуры, представленные на доске.

– Сколько углов у каждой фигуры? Какие из углов острые, тупые? Проверьте это с помощью угольника.

3. Задание 3.

– На какой угол раскрыли каждый веер? (Острый, тупой, развернутый, прямой.)

4. Задание 4.

– Начертите острый и прямой углы, расположив их так, как показано на рисунке.

– Какой угол меньше: острый или прямой? (Острый.)

– Все острые углы меньше прямого.

– Проведите из общей вершины этих углов несколько лучей так, чтобы с лучом зеленого цвета они образовали острые лучи.

5. Задание 5.

– Начертите тупой и прямой углы, расположив их так, как показано на чертеже.

– Какой угол больше: тупой или прямой? (Тупой.)

– Все тупые углы больше прямого.

– Проведите из общей вершины этих углов несколько лучей так, чтобы с лучом зеленого цвета они образовывали тупые углы.

6. Задание 6.

– Можно ли острый угол расположить внутри прямого? (Можно.)

– Покажите это на чертеже.

7. Задание 7.

– Можно ли тупой угол расположить внутри прямого? (Нет, так как прямой угол всегда меньше прямого.)

– А прямой угол внутри тупого? (Можно.)

– Покажите на чертеже, как это можно сделать.

Физкультминутка

8. Работа по карточкам.

Карточка 1

Постройте угол с вершиной в точке А так, чтобы одна его сторона проходила через точку В, а другая – через точку С. Закрасьте углы разным цветом.

Карточка 2

Постройте острый угол, стороны которого проходят через точки А и В. Закрасьте углы синим цветом.

Карточка 3

Постройте тупой угол, стороны которого проходят через точки А и В. Закрасьте углы синим цветом.

Карточка 4

С помощью угольника постройте прямой угол так, чтобы его вершиной была точка А, а одна из сторон проходила через точку В. Закрасьте угол синим цветом.

Карточка 5

С помощью угольника постройте прямой угол с вершиной в точке А так, чтобы точка С находилась внутри прямого угла.

Карточка 6

Постройте острый угол с вершиной в точке В так, чтобы точка А была внутри угла.

Карточка 7

Постройте тупой угол так, чтобы его вершиной была точка А, а одна сторона угла проходила через точку В.

Карточка 8

С помощью угольника постройте два прямых угла со стороной ОА. Закрасьте их разным цветом.

V. Итог урока.

– Что нового узнали на уроке?

– Что такое «угол»?

– Как изготовить модель прямого угла?

– Какой угол называется острым?

– Какой угол называется тупым?

Домашнее задание: начертить прямой, острый и тупой углы.

multiurok.ru

Презентация «Острые и тупые углы»

2 класс

Математика

Тема урока: « Острые и тупые углы»

Внимание!

Презентация к уроку составлена на основе заданий, расположенных в учебнике.

Некоторые задания можно выполнять интерактивно:

1) в режиме редактирования.

Например, продолжить ряд, сравнить или вставить пропущенные числа.

2) во время демонстрации навести курсор на нужную фигуру до появления ладошки. Кликнуть! Нужный предмет переместиться.

3) во время демонстрации использовать инструмент перо или ручка.

МАТЕМАТИКА

Учимся обозначать углы

1

 Проведите прямую. Отметьте на ней точку О. Приложите угольник вершиной к точке О. Проведите луч ОС. Отметьте на прямой точки А и В.

С

С

или ВОС

Это – угол СОВ



В

О

В

А

О

 Назовите угол, к которому на этом чертеже приложен угол.

Угол обозначают, указывая его вершину и по одной точке на каждой стороне угла. При этом буква, обозначающая вершину, стоит посередине.

МАТЕМАТИКА

Учимся обозначать углы

 Назовите углы на рисунке.

2

B

O

C

D

O

C

O

D

B

Внимание!

Данное задание можно выполнять интерактивно. Во время демонстрации навести курсор на нужную фигуру до появления ладошки. Кликнуть!

BОС

DOВ

BOD

СОВ

DOC

COD

МАТЕМАТИКА

Учимся обозначать углы

2

 Назовите углы на рисунке.

B

O

C

D

O

C

O

D

B

COD

DOC

Внимание!

Данное задание можно выполнять интерактивно. Во время демонстрации навести курсор на нужную фигуру до появления ладошки. Кликнуть!

BОС

BOD

DOВ

СОВ

Урок 1.26. Острые и тупые углы

МАТЕМАТИКА

Учимся обозначать углы

 Назовите углы на рисунке.

2

B

O

C

D

O

C

O

D

B

BOD

COD

DOC

DOВ

Внимание!

Данное задание можно выполнять интерактивно. Во время демонстрации навести курсор на нужную фигуру до появления ладошки. Кликнуть!

BОС

СОВ

МАТЕМАТИКА

Учимся обозначать углы

2

 Назовите углы на рисунке.

B

O

C

D

O

C

O

D

B

BOD

BОС

СОВ

DOC

DOВ

COD

прямой

не прямой

не прямой

 Найдите прямой угол.

Урок 1.26. Острые и тупые углы

МАТЕМАТИКА

Учимся различать углы

3

 Чем изображённые углы отличаются от прямого?

B

А

C

D

E

O

B

O

D

прямой

угол

острый

угол

тупой

угол

Угол, который полностью помещается внутри прямого угла, называется острым . Угол АОВ – острый.

Угол, внутри которого полностью помещается прямой угол, называется тупым . Угол CED – тупой.

МАТЕМАТИКА

Применяем новые знания

4

 Назовите острые, прямые, тупые углы.

Угол СОD – острый

В

А

Угол ВОС – острый

С

Угол АОВ – острый



O

D

МАТЕМАТИКА

Применяем новые знания

4

 Назовите острые, прямые, тупые углы.

Угол СОD – острый

В

А

Угол ВОС – острый

С

Угол АОВ – острый



O

Угол ВOD – прямой

D

Угол АOС – прямой

Угол AOD – тупой

МАТЕМАТИКА

Применяем новые знания

5

 Назовите все фигуры, для которых высказывание «Фигура имеет тупой угол» будет истинным .

 Назовите фигуры, для которых это высказывание будет ложным .

Внимание!

Данное задание можно выполнить интерактивно. Для этого презентацию надо перевести в режим редактирования.

МАТЕМАТИКА

Применяем новые знания

5

 Назовите все фигуры, для которых высказывание «Фигура имеет тупой угол» будет истинным .

истинное

истинное

истинное

ложное

ложное

ложное

 Назовите фигуры, для которых это высказывание будет ложным .

ПРОВЕРЬ!

МАТЕМАТИКА

Выбираем задания и тренируемся

6

 Составьте выражение.

9

Найдите его значение, если b = 4, c = 9.

– 4

Т. –

У лебедя b птенцов, а у тетерева с птенцов. На сколько птенцов больше у тетерева, чем у лебедя?

с пт.

Л. –

b пт.

На сколько – ?

c – b

= 5 (пт.)

Ответ: на 5 птенцов больше у тетерева.

МАТЕМАТИКА

7

Рассмотрите треугольник слева. Сравните суммы чисел по сторонам. Подберите числа для второго треугольника так, чтобы суммы чисел по его сторонам были равны 16 .

5

6

3

4

7

2

1

7

4

Внимание!

Данное задание можно выполнить интерактивно. Для этого презентацию надо перевести в режим редактирования.

МАТЕМАТИКА

7

Рассмотрите треугольник слева. Сравните суммы чисел по сторонам. Подберите числа для второго треугольника так, чтобы суммы чисел по его сторонам были равны 16 .

3

5

3

4

9

6

7

2

5

4

7

1

ПРОВЕРЬ!

multiurok.ru

Алгебра

При возникновении проблем с изучением алгебры, которую с уверенностью можно назвать одной из важнейших наук в наше время высоких цифровых технологий, не спешите обращаться к репетитору или посещать факультативные занятия! Также не стоит зарываться в куче учебников, зубря дни напролет формулы и правила!

Вы можете посмотреть уроки по алгебре онлайн на нашем сайте! И, что немаловажно, все уроки по алгебре – бесплатны и доступны в любое время суток! Десятки тематических видеоуроков по алгебре  способны оказать серьезную помощь в усвоении этой науки как на ранних этапах, так и при знакомстве с более сложными темами, которые изучают школьники в старших классах. Практическая сторона изучения данного предмета также не остаётся в тени: наши преподаватели помогут решить задачи по алгебре любой сложности, кроме того, при необходимости вы сможете задать вопрос учителю, который в короткие сроки постарается ответить на него.

Важность знания алгебры

С давних пор алгебра считалась одной из самых важных наук, но сегодня ее актуальность возрастает с каждым годом. Знания самых разных тем по алгебре необходимы представителям самых перспективных профессий будущего: современное программирование, поиск и хранение информации, создание новых приборов и устройств, кодирование и декодирование информации, экономические расчеты. Практически во всех отраслях человеческой деятельности – от культуры до космоса – применяются методы математического моделирования, которые широко используют практически все разделы алгебры. Так, например линейная алгебра широко используется в экономике: использование элементов алгебры – матриц – является одним из основных методов решения многих экономических задач.А ведь начальные знания алгебры закладываются именно в школе! Сегодня изучить алгебру бесплатно могут все школьники, не обращая внимания на материальное положение родителей, которое, по каким-то причинам не позволяет пользоваться услугами репетиторов или устроить ребенка в престижную школу с хорошими учителями. Существенным является и то, что для изучения алгебры в наши дни необязательно выходить из дома и общаться с учителем, вызывать преподавателя-репетитора домой. Возможность усваивать материалы уроков по алгебре онлайн абсолютно бесплатно – это то, что окажет заметную помощь школьнику как в наверстывании пропущенного материала по алгебре, так и в улучшении качества получаемых в школе знаний.

Видеоуроки по алгебре

Еще не так давно, чтобы решить проблемы с учебой, надо было воспользоваться помощью более опытного человека или потратить время (а нередко и деньги) на дополнительные занятия. С развитием информационных технологий ситуация изменилась. Получить образовательные материалы теперь проще, чем двадцать лет назад. Интернет стал незаменимым помощником каждого школьника. Наши видеоуроки эффективнее многих других методов помогают ученикам усвоить сложные темы по алгебре и разобраться в ее формулах и правилах. Сегодня учебник по алгебре можно найти бесплатно и при этом его не нужно читать – видеоформат упрощает многое! На страницах образовательного портала InternetUrok.ru размещено множество видеороликов, в которых подробно рассматриваются различные темы школьного курса алгебры: дифференцирование, производная, логарифм и многочлены, особенности систем уравнений. Подготовка при помощи видеоуроков к экзамену по алгебре решит многие проблемы, сэкономит силы, сбережет время и нервы. Нужно просто сесть за компьютер и посетить раздел «Алгебра» нашего сайта. Темы уроков, которым посвящены видеоролики, разбиты на разделы, соответствующие классам обучения с 7-го по 11-й.

Программа по алгебре

На страницах нашего портала вы сможете познакомиться с такими темами по алгебре, как логарифм, производная, дифференцирование, многочлены, система уравнений (из курса линейной алгебры). Эти и многие другие темы расположены в разделе алгебра 7 класса, а также 8, 9, 10 и 11 классов в онлайн-доступе. Наши опытные учителя помогут решить задачи по алгебре разной сложности. Программа по алгебре ориентирована в конечном итоге на успешную сдачу ЕГЭ и ГИА по данному предмету.

С помощью нашего портала InternetUrok.ru вы сможете изучить алгебру бесплатно, не обращаясь к услугам платных репетиторов или посещая факультативные курсы.

interneturok.ru

Алгебра — Математика — Смотреть онлайн видео уроки для начинающих бесплатно!

---

В категории Алгебра собраны бесплатные онлайн видео уроки по этой теме. Алгебра – это раздел математики, который изучает операций над элементами множества произвольной природы (числа, понятия, буквы). Основные разделы: Элементарная алгебра — изучает базовые понятия, свойства операций с вещественными числами. Общая алгебра — изучает различные алгебраические системы. Линейная алгебра – изучает векторы, свойства векторных пространств, в том числе и матрицы. Универсальная алгебра — изучает свойства, характерные для всех алгебраических систем. Алгебраическая теория чисел. Алгебраическая геометрия. Алгебраическая комбинаторика. Изучение алгебры по видео урокам будет полезно как для начинающих, так и для более опытных математиков. Видеоуроки из рубрики Алгебра Вы можете смотреть бесплатно в любое удобное время. К некоторым видео урокам по алгебре приложены дополнительные материалы, которые можно скачать. Приятного Вам обучения!

---

---

Всего материалов: 20
Показано материалов: 1-10

---

---

Векторы (9 класс) — понятия и определения, сложение, вычитание, умножение на число

В этом онлайн уроке рассказывается о том, что такое вектор и основные действия над ними (9 класс). Здесь вы ознакомитесь с основными понятиями и определениями. А именно, понятие вектора, определение длины (модуля) вектора, какие вектора называются коллинеарными и равными. Кроме того, вы узнаете, как правильно совершать действия над векторами. Это сложение векторов по правилу треугольника и параллелограмма, вычитание векторов по правилу треугольника, умножение вектора на число. При изучении…

Решение уравнений с модулем (8 класс), примеры

Это видео посвящено вопросу о том, как решить уравнений с модулем (8 класс). При решении уравнений, содержащих модуль, будет применяться раскрытие модуля по определению. Геометрическим смыслом модуля является расстояние от нуля до точки на координатной прямой. А так как расстояние не может быть отрицательным, то и модуль числа всегда больше или равен нулю, т.е. модуль отрицательного числа является положительное число. Здесь будет рассмотрено несколько простых примеров уравнений с модулем. Весь…

Решение простых линейных уравнений (7 класс), примеры

Онлайн урок «Решение простых линейных уравнений (7 класс), примеры» посвящен вопросу о том, как решать уравнения. Здесь будет разобрано шесть достаточно простых примеров. Каждое уравнение будет решено с подробным объяснением процесса происходящего. Обязательно обратите внимание на последовательность действий, при решении этих примеров. Так вам будет проще понять суть способов решения и использовать полученные знания на практике. В этом видео уроке примеры подобраны таким образом, чтобы охватить…

Выделение полного квадрата — метод, решение примера

Здесь рассказывается о том, как выполняется выделение полного квадрата — метод, решение примера. Данная тема относится к элементарной математике. Квадратичная функция является многочленом второй степени. Метод, который будет изучаться на данном видео уроке, называется выделение полного квадрата. Этот метод достаточно часто используется в математике при решении уравнений, построении графиков, а также при вычислении неопределенного интеграла. Алгоритм этого метода основан на известной формуле…

Решение квадратных уравнений (8 класс). Находим корни по формуле

В этом видео уроке рассказывается о том, как решить квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений обычно начинают изучать в общеобразовательной школе, 8 класс. Корни квадратного уравнения находят по специальной формуле. Пусть задано квадратное уравнение вида ax2+bx+c=0, где x — неизвестное, a, b и c — коэффициенты, которые являются действительными числами. Для начала, необходимо определить дискриминант по формуле D=b2-4ac. После этого остается вычислить корни квадратного уравнения по…

Решение систем линейных уравнений методом подстановки

Видео «Решение систем линейных уравнений методом подстановки» посвящено вопросу об одном из способов решения систем уравнений. Метод подстановки является алгебраическим способом решения системы линейных уравнений. В отличие от графического, здесь не нужно будет строить графики, и определять координаты точки их пересечения. Для изучения данного метода, здесь рассматривается достаточно простая система уравнений. Основная суть способа подстановки заключается в том, что сначала из одного уравнения…

Решение системы уравнений способом подстановки

В этом онлайн уроке рассказывается о том, как решаются системы линейных уравнений способом подстановки. Решением системы уравнений называются такие значения неизвестных, при которых все уравнения данной системы имеют верное равенство. Идея способа подстановки заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую. Далее, полученное выражение подставляется в другое уравнение системы вместо этой переменной. В результате такой подстановки получается уравнение с одной неизвестной, которое…

Элементарная математика. Разложение дробей на простейшие

В этом онлайн уроке рассказывается о том, как правильно выполняется разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Эта тема относится к элементарной математике. Допустим, задана правильная рациональная дробь, которая является отношением двух многочленов. Правильная — это значит, что степень многочлена в числителе меньше степени знаменателя. Степень многочлена знаменателя показывает на то, сколько он имеет корней. Причем среди них могут быть как действительные, так и…

Решение системы уравнений методом сложения — пример и задача

В этом видео уроке рассказывается о том, как решить систему уравнений методом сложения. Это один из самых простых и популярных способов решения систем линейных уравнений. Здесь будет рассмотрена простая система с двумя неизвестными. Решить систему — это значит найти такие значения неизвестных, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям. Если рассматривать график данной системы, то решением будут координаты точек пересечения прямых двух уравнений. Для нахождения корней системы уравнений в этом…

Деление многочлена на многочлен уголком (столбиком), пример — алгебра 9 класс

Видео урок «Деление многочлена на многочлен уголком (столбиком), пример — алгебра 9 класс» посвящен вопросу о том, как правильно делить многочлены. Здесь вы узнаете, какая рациональная дробь называется правильной, а какая — неправильной. А так же, как представить неправильную рациональную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Затем будет разобран конкретный пример, в котором требуется представить рациональную дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. При решении…

---

---

---

Если у Вас есть качественные видео уроки, которых нет на нашем сайте, то Вы можете добавить их в нашу коллекцию. Для этого Вам необходимо загрузить их на видеохостинг (например, YouTube) и добавить код видео в форму добавления уроков. Возможность добавлять свои материалы доступна только для зарегистрированных пользователей.

videourokionline.ru

Математика с нуля

Spacemath.xyz – это новый проект, предназначенный для людей, которые хотят изучить математику самостоятельно с нуля. Сразу скажем, здесь нет лёгких решений и подобных заявлений таких как «Купи эту книгу и сдай математику на 5» или «Освой математику за 12 часов» вы тут не увидите. Математика это огромная наука, которую следует осваивать последовательно и очень медленно.

Сайт представляет собой уроки по математике, которые упорядочены по принципу «от простого к сложному». Каждый урок затрагивает определенную тему из математики. Уроки разбиты на шаги. Начинать изучение следует с самого первого шага, и так далее.

Каждый изученный урок должен быть понятным. Поэтому, не поняв одного урока, нельзя переходить к следующему, потому что каждый урок в математике основан на понимании предыдущего. Если вы с первого раза урок не поняли – не расстраивайтесь. Некоторые люди потратили месяцы и годы, чтобы понять одну единственную тему. Поэтому, отчаяние и уныние точно не ваш путь. Читайте, изучайте, пробуйте и снова пробуйте.

Уроки специально представлены в виде статей, а не видеороликов. Видеоролики в большинстве своём утомляют человека, заставляя его зевать. При этом, мозг не всегда задействован в процесс обучения. Лучше всего математика усваивается, когда человек самостоятельно открыв учебник, учит самого себя. При этом вырабатывается определенная дисциплина, которая очень помогает в будущем.

Математику с нуля следует осваивать самому, размышляя, пробуя, ошибаясь и снова пробуя. Просмотр видеороликов, и бесполезное сидение на уроках и лекциях, где мозг не задействован – это пустая трата времени, и тем более не изучение математики.

Если вы будете придерживаться принципа «от простого к сложному», то с удивлением обнаружите, что математика не так уж и сложна. Возможно даже она покажется вам интересной и увлекательной.

Что даст вам знание математики? Во-первых, уверенность. Математику знает не каждый, поэтому осознание того, что вы знаете хоть какую-то часть этой серьёзной науки, делает вас особенным. Во-вторых, освоив математику, вы с лёгкостью освоите другие науки и сможете мыслить гораздо шире. Знание математики позволяет овладеть такими профессиями как программист, бухгалтер, экономист. Никто не станет спорить, что эти профессии сегодня очень востребованы.

В общем, дерзай друг!

Желаем тебе удачи в изучении математики!

Новые уроки будут скоро. Оставайся с нами!

www.dist.by

Множество значений функции

Определение 1

Функцией, заданной на множестве $X$ и принимающей значения из множества $Y$ называют некую закономерность, по которой каждому элементу из множества $X$ соответствует лишь один и только один элемент из множества $Y$.

Из этого определения следует, что множество (область) значений функции — это те значения функции $y(x)$, которые она может принимать соответственно области её определения. Теперь перейдём к следующему определению.

Определение 2

Область (множество) значений функции на некотором рассматриваемом отрезке — это интервал значений, которые функция принимает на этом рассматриваемом отрезке.

Чаще всего в учебной литературе встречается термин «множество значений функции». Кратко его обозначают $E(f)$.

Как определить область значения функции

Для определения множества значений функции пользуются графическим методом, методом поисков минимума и максимума, вычислением производной и другими.

Определение множества значений функции графическим методом

Графический метод подразумевает построение графика функции и изучение этого графика. Этот метод наиболее удобен, если не известна какая-либо закономерность изменения функции $f(x)$, а есть только набор произвольных точек или собственно сам график.

Пример 1

Рисунок 1. Определение множества значений функции графическим методом

На данном рисунке область значений функции $y=f(x)$ равна $E(y)=3$, так как на протяжении всего отрезка функция $y$ не меняет своего значения и всегда равна $3$, тогда как область определения функции $D(y)=[0;3.5]$.

Скобки в данном случае для области определения функции необходимо использовать квадратные, так как обе точки закрашены, то есть включены в отрезок. В случае если точки не закрашены, они не включаются в отрезок и тогда применяются круглые скобки.

Метод нахождения области значения функции через производную

Метод нахождения области значения функции через производную состоит в том, чтобы сначала оценить область её определения (то есть определить те значения, которые может принимать аргумент $x$, а затем осуществить процедуру нахождения самой производной. После этого осуществляют поиск значений $x$, при которых производная функции равна нулю и при которых производная не существует.

Рассмотрим пример нахождения области значений функции через производную.

Пример 2

Дана функция $f(x)=\sqrt{16-x^2}$. Найдите область её значений.

Сначала определяем, какие значения может принимать $x$ для существования функции.

При значении $x^2>16$ под корнем получается отрицательное число, а это значит, что область определения функции от $[-4;4]$ включительно.

Теперь найдём производную функции:

$(\sqrt{16-x^2})’=-\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}$

Если в знаменателе производной нуль, то производной не существует, в данном случае это условие выполняется при $x=±4$.

Приравниваем производную к нулю и находим значения $x$. Производная данной функции принимает нулевое значение при $x=0$. Теперь подставляем найденные значения производной в нашу функцию, и получаем, что наименьшее значение функции — это $f(4)$ и $f(-4)$, при этих значениях функция равна нулю, а наибольшее значение $f(x)$ — при $x=0$, в этой точке функция равна $16$.

Метод поиска минимума и максимума

Метод поиска минимума и максимума основан на том, чтобы найти максимальное и и минимальное значение, которые функция принимает на изучаемой области.

Пример 3

Определите область значений функции:

$y=6-4sinx$

Проанализируем данную функцию. Так как минимальное значение синуса равно минус единице, а а максимальное — единице, то подставив эти значения получаем, что $max(f(x))=10$ при $x=\frac{3π}{2}$, а минимум $min(f(x))=2$ при $x=\frac{π}{2}$. Следовательно, множество значений, которые может принимать данная функция — $E(x)=[2;10]$.

Разница между областью значения и областью определения функции

Стоит обратить внимание, что область значений функции — не одно и то же с термином «область определения функции».

Определение 3

Область определения функции $D(y)$ — это диапазон таких значений переменной $x$, при которых существует функция $y(x)$.

Например, рассмотрим функцию $y(x)=x^2$. В данном случае область определения этой функции будет множеством вещественных (действительных) чисел $\mathbb{R}$, а сама функция будет принимать значения только положительных действительных чисел $\mathbb{R}^+$, так как вещественное число, возведённое в квадрат, не может давать отрицательное значение. То есть, в этом примере множество значений функции — это множество положительных вещественных чисел $\mathbb{R}^+$.

Также имеют место случаи, когда область определения функции совпадает с областью значений. В качестве иллюстрации можно рассмотреть функцию $y(x)=2x$. За аргумент $x$ данная функция может принимать любое действительное число из множества $\mathbb{R}$, а значения, которые будет принимать сама функция — это удвоенные числа из множества всех действительных чисел. То есть, в данном случае областью значений $E(y)$ будет также всё множество вещественных чисел $\mathbb{R}$.

spravochnick.ru

5.2. Множество значений функции.

1º. Множеством (областью) значений E(y)функцииy=f(x)называется множество всех таких чиселy₀, для каждого из которых найдется числоx₀такое, чтоf(x₀)=y₀.

2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , гдеm– наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток, гдеn– наибольшее значение этого многочлена.

Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

3º. Области значений основных элементарных функций:

Пример 15. Найти множество значений функции, еслиx≤1.

Решение: Данная функция не определена при x=0и, следовательно, задана на множестве.

Рассмотрим x<0, тогда|x|=-xи функция принимает вид. Так какдляx<0, то. Таким образом, на промежуткефункция принимает значения от 5 до +∞.

Если x>0, то|x|=xи функция имеет вид. Так какдля, то.

Ответ: .

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ; 2.; 3.;

4. ; 5.; 6.;

7. ; 8.; 9.;

10. ; 11.; 12.;

13. ; 14.;

15. ; 16.;

17. ; 18..

19. При каких xточки графика функциилежат выше прямой?

20. При каких xточки графикалежат не ниже точек графика функции?

Найти множество значений функции:

21. , если; 22., если.

Тема №6. Иррациональные уравнения.

1º. Иррациональнымназывают уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степеньсостоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;

б) возводят обе части полученного уравнения в n-ую степень:;

в) учитывая, что , получают уравнениеи решают его.

3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корнейпутем их подстановки в исходное уравнение.

Пример 16. Решить уравнение .

Решение: Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Получим:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Откуда получим:

Проверка: 1) При x=5имеем:. Таким образом,x=5является корнем заданного уравнения.

2) . Таким образом,x=197– посторонний корень.

Ответ: 5.

4º. Метод замены переменнойпродемонстрируем на примере.

Пример 17. Решить уравнение .

Решение: Область определения уравнения: Пусть, тогдаПоэтомуОтсюда:

1) Получили неверное числовое равенство, значит, в этом случае нет корней.

2)

Ответ: -8/7.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ; 2.;

3. ; 4.;

5. ; 6.;

7. ; 8.;

9. ; 10..

Найдите наименьший корень уравнения:

11. ; 12.;

13. .

Найдите произведение всех корней уравнения:

14. ; 15..

Решите уравнения:

16. ; 17.;

18. .

Тема №7. Показательные уравнения.

7.1. Методы решения показательных уравнений.

1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

2º. Основные способы решения показательных уравнений:

1) простейшее уравнение имеет решение;

2) уравнение вида логарифмированием по основаниюa сводят к виду;

3) уравнение вида равносильно уравнению;

4) уравнение вида равносильно уравнению.

5) уравнение вида через заменусводят к уравнению, а затем решают совокупность простейших показательных уравнений;

6) уравнение со взаимно обратными величинами заменойсводят к уравнению, а затем решают совокупность уравнений;

7) уравнения, однородные относительно a^g(x)иb^g(x)при условиивидачерез заменусводят к уравнению, а затем решают совокупность уравнений.

studfiles.net

5.2. Множество значений функции.

1º. Множеством (областью) значений E(y)функцииy=f(x)называется множество всех таких чиселy₀, для каждого из которых найдется числоx₀такое, чтоf(x₀)=y₀.

2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , гдеm– наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток, гдеn– наибольшее значение этого многочлена.

Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

3º. Области значений основных элементарных функций:

Пример 15. Найти множество значений функции, еслиx≤1.

Решение: Данная функция не определена при x=0и, следовательно, задана на множестве.

Рассмотрим x<0, тогда|x|=-xи функция принимает вид. Так какдляx<0, то. Таким образом, на промежуткефункция принимает значения от 5 до +∞.

Если x>0, то|x|=xи функция имеет вид. Так какдля, то.

Ответ: .

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ; 2.; 3.;

4. ; 5.; 6.;

7. ; 8.; 9.;

10. ; 11.; 12.;

13. ; 14.;

15. ; 16.;

17. ; 18..

19. При каких xточки графика функциилежат выше прямой?

20. При каких xточки графикалежат не ниже точек графика функции?

Найти множество значений функции:

21. , если; 22., если.

Тема №6. Иррациональные уравнения.

1º. Иррациональнымназывают уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степеньсостоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;

б) возводят обе части полученного уравнения в n-ую степень:;

в) учитывая, что , получают уравнениеи решают его.

3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корнейпутем их подстановки в исходное уравнение.

Пример 16. Решить уравнение .

Решение: Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Получим:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Откуда получим:

Проверка: 1) При x=5имеем:. Таким образом,x=5является корнем заданного уравнения.

2) . Таким образом,x=197– посторонний корень.

Ответ: 5.

4º. Метод замены переменнойпродемонстрируем на примере.

Пример 17. Решить уравнение .

Решение: Область определения уравнения: Пусть, тогдаПоэтомуОтсюда:

1) Получили неверное числовое равенство, значит, в этом случае нет корней.

2)

Ответ: -8/7.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ; 2.;

3. ; 4.;

5. ; 6.;

7. ; 8.;

9. ; 10..

Найдите наименьший корень уравнения:

11. ; 12.;

13. .

Найдите произведение всех корней уравнения:

14. ; 15..

Решите уравнения:

16. ; 17.;

18. .

Тема №7. Показательные уравнения.

7.1. Методы решения показательных уравнений.

1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

2º. Основные способы решения показательных уравнений:

1) простейшее уравнение имеет решение;

2) уравнение вида логарифмированием по основаниюa сводят к виду;

3) уравнение вида равносильно уравнению;

4) уравнение вида равносильно уравнению.

5) уравнение вида через заменусводят к уравнению, а затем решают совокупность простейших показательных уравнений;

6) уравнение со взаимно обратными величинами заменойсводят к уравнению, а затем решают совокупность уравнений;

7) уравнения, однородные относительно a^g(x)иb^g(x)при условиивидачерез заменусводят к уравнению, а затем решают совокупность уравнений.

studfiles.net

5.2. Множество значений функции.

1º. Множеством (областью) значений E(y)функцииy=f(x)называется множество всех таких чиселy₀, для каждого из которых найдется числоx₀такое, чтоf(x₀)=y₀.

2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , гдеm– наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток, гдеn– наибольшее значение этого многочлена.

Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

3º. Области значений основных элементарных функций:

Пример 15. Найти множество значений функции, еслиx≤1.

Решение: Данная функция не определена при x=0и, следовательно, задана на множестве.

Рассмотрим x<0, тогда|x|=-xи функция принимает вид. Так какдляx<0, то. Таким образом, на промежуткефункция принимает значения от 5 до +∞.

Если x>0, то|x|=xи функция имеет вид. Так какдля, то.

Ответ: .

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ; 2.; 3.;

4. ; 5.; 6.;

7. ; 8.; 9.;

10. ; 11.; 12.;

13. ; 14.;

15. ; 16.;

17. ; 18..

19. При каких xточки графика функциилежат выше прямой?

20. При каких xточки графикалежат не ниже точек графика функции?

Найти множество значений функции:

21. , если; 22., если.

Тема №6. Иррациональные уравнения.

1º. Иррациональнымназывают уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степеньсостоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;

б) возводят обе части полученного уравнения в n-ую степень:;

в) учитывая, что , получают уравнениеи решают его.

3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корнейпутем их подстановки в исходное уравнение.

Пример 16. Решить уравнение .

Решение: Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Получим:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Откуда получим:

Проверка: 1) При x=5имеем:. Таким образом,x=5является корнем заданного уравнения.

2) . Таким образом,x=197– посторонний корень.

Ответ: 5.

4º. Метод замены переменнойпродемонстрируем на примере.

Пример 17. Решить уравнение .

Решение: Область определения уравнения: Пусть, тогдаПоэтомуОтсюда:

1) Получили неверное числовое равенство, значит, в этом случае нет корней.

2)

Ответ: -8/7.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ; 2.;

3. ; 4.;

5. ; 6.;

7. ; 8.;

9. ; 10..

Найдите наименьший корень уравнения:

11. ; 12.;

13. .

Найдите произведение всех корней уравнения:

14. ; 15..

Решите уравнения:

16. ; 17.;

18. .

Тема №7. Показательные уравнения.

7.1. Методы решения показательных уравнений.

1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

2º. Основные способы решения показательных уравнений:

1) простейшее уравнение имеет решение;

2) уравнение вида логарифмированием по основаниюa сводят к виду;

3) уравнение вида равносильно уравнению;

4) уравнение вида равносильно уравнению.

5) уравнение вида через заменусводят к уравнению, а затем решают совокупность простейших показательных уравнений;

6) уравнение со взаимно обратными величинами заменойсводят к уравнению, а затем решают совокупность уравнений;

7) уравнения, однородные относительно a^g(x)иb^g(x)при условиивидачерез заменусводят к уравнению, а затем решают совокупность уравнений.

studfiles.net

5.2. Множество значений функции.

1º. Множеством (областью) значений E(y)функцииy=f(x)называется множество всех таких чиселy₀, для каждого из которых найдется числоx₀такое, чтоf(x₀)=y₀.

2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , гдеm– наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток, гдеn– наибольшее значение этого многочлена.

Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

3º. Области значений основных элементарных функций:

Пример 15. Найти множество значений функции, еслиx≤1.

Решение: Данная функция не определена при x=0и, следовательно, задана на множестве.

Рассмотрим x<0, тогда|x|=-xи функция принимает вид. Так какдляx<0, то. Таким образом, на промежуткефункция принимает значения от 5 до +∞.

Если x>0, то|x|=xи функция имеет вид. Так какдля, то.

Ответ: .

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ; 2.; 3.;

4. ; 5.; 6.;

7. ; 8.; 9.;

10. ; 11.; 12.;

13. ; 14.;

15. ; 16.;

17. ; 18..

19. При каких xточки графика функциилежат выше прямой?

20. При каких xточки графикалежат не ниже точек графика функции?

Найти множество значений функции:

21. , если; 22., если.

Тема №6. Иррациональные уравнения.

1º. Иррациональнымназывают уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степеньсостоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;

б) возводят обе части полученного уравнения в n-ую степень:;

в) учитывая, что , получают уравнениеи решают его.

3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корнейпутем их подстановки в исходное уравнение.

Пример 16. Решить уравнение .

Решение: Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Получим:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Откуда получим:

Проверка: 1) При x=5имеем:. Таким образом,x=5является корнем заданного уравнения.

2) . Таким образом,x=197– посторонний корень.

Ответ: 5.

4º. Метод замены переменнойпродемонстрируем на примере.

Пример 17. Решить уравнение .

Решение: Область определения уравнения: Пусть, тогдаПоэтомуОтсюда:

1) Получили неверное числовое равенство, значит, в этом случае нет корней.

2)

Ответ: -8/7.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ; 2.;

3. ; 4.;

5. ; 6.;

7. ; 8.;

9. ; 10..

Найдите наименьший корень уравнения:

11. ; 12.;

13. .

Найдите произведение всех корней уравнения:

14. ; 15..

Решите уравнения:

16. ; 17.;

18. .

Тема №7. Показательные уравнения.

7.1. Методы решения показательных уравнений.

1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

2º. Основные способы решения показательных уравнений:

1) простейшее уравнение имеет решение;

2) уравнение вида логарифмированием по основаниюa сводят к виду;

3) уравнение вида равносильно уравнению;

4) уравнение вида равносильно уравнению.

5) уравнение вида через заменусводят к уравнению, а затем решают совокупность простейших показательных уравнений;

6) уравнение со взаимно обратными величинами заменойсводят к уравнению, а затем решают совокупность уравнений;

7) уравнения, однородные относительно a^g(x)иb^g(x)при условиивидачерез заменусводят к уравнению, а затем решают совокупность уравнений.

studfiles.net

Найдите множество значений функции у = 7 — sin 2x — Математика 10 класс — Школьная математика — Каталог статей

(Ф. Хаусдорф.) ‘ quotes[1]='»Математика — это язык, на котором написана книга природы.» (Г. Галилей) ‘ quotes[2]='»Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает на­стойчивость и упорство в достижении цели.» (А. Маркушевич) ‘ quotes[3]='»Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.» (А.Н. Крылов) ‘ quotes[4]='»Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.» (М.И. Калинин) ‘ quotes[5]='»Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?» (Платон) ‘ quotes[6]='»Математика есть лучшее и даже единственное введение в изу­чение природы.» (Д.И. Писарев) ‘ quotes[7]='»Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.» (А.С. Пушкин) ‘ quotes[8]='»Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.» (В. Произволов) ‘ quotes[9]='»В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.» (Н.Е. Жуковский) ‘ quotes[10]='»Химия – правая рука физики, математика – ее глаз.» (М.В. Ломоносов) ‘ quotes[11]='»Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.» (М.В. Ломоносов) ‘ quotes[12]='»Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.» (Н.И. Лобачевский) ‘ quotes[13]='»Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств.» (Л. Эйлер) ‘ quotes[14]='»Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир.» (И. Гете) ‘ quotes[15]='»Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике или свести параллели к схождению…» (В.Ф. Каган) ‘ quotes[16]='»Счет и вычисления — основа порядка в голове.» (Песталоцци) ‘ quotes[17]='»Величие человека — в его способности мыслить.» (Б. Паскаль) ‘ quotes[18]='»Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.» (Д.Пойа) ‘ quotes[19]='»Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным.» (Б. Паскаль) ‘ quotes[20]='»В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми мелкими ошибками.» (И. Ньютон) ‘ quotes[21]='»Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым.» (Л. Карно) ‘ quotes[22]='»Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.» (М.В. Остроградский) ‘ quotes[23]='»Математика — это цепь понятий: выпадет одно звенышко — и не понятно будет дальнейшее.» (Н.К. Крупская) ‘ quotes[24]='»Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.» (А.П. Конфорович) ‘ quotes[25]='»Доказательство — это рассуждение, которое убеждает.» (Ю.А. Шиханович) ‘ quotes[26]='»В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.» (И. Кант) ‘ var whichquote= Math.floor(Math.random()*(quotes.length)) document.write(quotes[whichquote])

free-math.ru

Лекция 19. Функция. Область определения и множество значений функции.

Функция — одно из важнейших математических понятий.

Определение: Если каждому числу из некоторого множества x поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y — зависимой переменной или значением функции или простофункцией.

Говорят также, что переменная y является функцией от переменной x.

Обозначив соответствие некоторой буквой, например f, удобно писать: y=f (x), то есть, значение y получается из аргумента x с помощью соответствия f. (Читают: y равно f от x.) Символом f (x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному x.

Пример 1 Пусть функция задается формулой y=2x²–6. Тогда можно записать, что f(x)=2x²–6. Найдем значения функции для значений х, равных, например, 1; 2,5;–3; т. е. найдем f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2•1²–6=–4;
f(2,5)=2•2,5²–6=6,5;
f(–3)=2•(–3)²–6= 12.

Заметим, что в записи вида y=f (x) вместо f употребляют и другие буквы: g, и т. п.

Определение: Область определения функции — это все значения x, при которых существует функция.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Другими словами, область определения функции, заданной формулой, является все значения аргумента, за исключением тех, которые приводят к действиям, которые мы не можем выполнить. На данный момент мы знаем только два таких действия. Мы не можем делить на нуль и не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Определение: Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значения функции.

Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины l железного стержня от температуры нагревания t выражается формулой , где l₀ начальная длина стержня, а —коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях t. Однако, областью определения функцииl=g(t) является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.

Пример.

Укажите область значений функции y = arcsinx.

Решение.

Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1), то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1, а наибольшее при x = 1.

Мы получили область значений функции арксинуса .

Найдите множество значений функции на отрезке [1; 4].

Решение.

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку [1; 4]:

Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках :

Следовательно, множеством значений функции на отрезке является интервал .

Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) на открытых интервалах (a; b), .

Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем односторонние пределы на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах открытого интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.

 

Похожие статьи:

poznayka.org

Хи квадрат-распределение. Распределение Пирсона. Квантили хи-квадрат распределения

-распределение. Распределение Пирсона. В таблице приведены значения квантилей Χ21-α(m) в зависимости от числа степеней свободы m и вероятности α m/α 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001 1 0,00016 0,00063 0,00393 0,0158 0,0642 1,642 2,706 3,841 5,412 6,635 10,827 2 0,0201 0,0404 0,103 0,211 0,446 3,219 4,605 5,991 7,824 9,210 13,815 3 0,115 0,185 0,352 0,584 1,005 4,642 6,251 7,815 9,837 11,341 16,268 4 0,297 0,429 0,711 1,064 1,649 5,989 7,779 9,488 11,668 13,277 18,465 5 0,554 0,752 1,145 1,610 2,343 7,289 9,236 11,070 13,388 15,086 20,517 6 0,872 1,134 1,635 2,204 3,070 8,558 10,645 12,592 15,033 16,812 22,457 7 1,239 1,564 2,167 2,833 3,822 9,803 12,017 14,067 16,622 18,475 24,322 8 1,646 2,032 2,733 3,490 4,594 11,030 13,362 15,507 18,679 20,090 26,125 9 2,088 2,532 3,325 4,168 5,380 12,242 14,684 16,919 19,679 21,666 27,877 10 2,588 3,059 3,940 4,865 6,179 13,442 15,987 18,307 21,161 23,209 29,588 11 3,053 3,609 4,575 5,578 6,989 14,631 17,275 19,675 22,618 24,725 31,264 12 3,571 4,178 5,226 6,304 7,807 15,812 18,549 21,026 24,054 26,217 32,909 13 4,107 4,765 5,892 7,042 8,634 16,985 19,812 22,362 25,472 27,688 34,528 14 4,660 5,368 6,571 7,790 9,467 18,151 21,064 23,685 26,873 29,141 36,123 15 5,229 5,985 7,262 8,547 10,307 19,311 22,307 24,996 28,259 30,578 37,697 16 5,812 6,614 7,962 9,312 11,152 20,465 23,542 26,296 29,633 32,000 39,252 17 6,408 7,255 8,672 10,085 12,002 21,615 24,769 27,587 30,995 33,409 40,790 18 7,015 7,906 9,390 10,865 12,857 22,760 25,989 28,869 32,346 34,805 42,312 19 7,633 8,567 10,117 11,651 13,716 23,900 27,204 30,144 33,687 36,191 43,820 20 8,260 9,237 10,851 12,443 14,578 25,038 28,412 31,410 35,020 37,566 45,315 21 8,897 9,915 11,591 13,240 15,445 26,171 29,615 32,671 36,343 38,932 46,797 22 9,542 10,600 12,338 14,041 16,314 27,301 30,813 33,924 37,659 40,289 48,268 23 10,196 11,298 13,091 14,848 17,187 28,429 32,007 35,172 38,968 41,638 49,728 24 10,856 11,992 13,848 15,659 18,062 29,553 33,196 36,415 40,270 42,980 51,179 25 11,542 12,697 14,611 16,473 18,940 30,675 34,382 37,652 41,566 44,314 52,620 26 12,198 13,409 15,379 17,292 19,820 31,795 35,563 38,885 42,856 45,642 54,052 27 12,879 14,125 16,151 18,114 20,703 32,912 86,741 40,113 44,140 46,963 55,476 28 13,565 14,847 16,928 18,939 21,588 34,027 37,916 41,337 45,419 48,278 56,893 29 14,256 15,574 17,708 19,768 22,475 35,139 39,087 42,557 46,693 49,588 58,302 30 14,953 16,306 18,493 20,599 23,364 36,250 40,256 43,773 47,962 50,892 59,703

tehtab.ru

Таблица критических точек распределения χ2 (хи-квадрат) критерия Пирсона

Ниже представлена таблица значений критических точек распределения χ2 (хи-квадрат) критерия Пирсона, широко используемые в задачах математической статистики, таких как построение доверительных интервалов, проверка статистических гипотез и непараметрическое оценивание.

Число степеней свободы k	Уровень значимости α
	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99
1	6,6	5	3,8	0,0039	0,00098	0,00016
2	9,2	7,4	6	0,103	0,051	0,02
3	11,3	9,4	7,8	0,352	0,216	0,115
4	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
5	15,1	12,8	11,1	1,15	0,831	0,554
6	16,8	14,4	12,6	1,64	1,24	0,872
7	18,5	16	14,1	2,17	1,69	1,24
8	20,1	17,5	15,5	2,73	2,18	1,65
9	21,7	19	16,9	3,33	2,7	2,09
10	23,2	20,5	18,3	3,94	3,25	2,56
11	24,7	21,9	19,7	4,57	3,82	3,05
12	26,2	23,3	21 ,0	5,23	4,4	3,57
13	27,7	24,7	22,4	5,89	5,01	4,11
14	29,1	26,1	23,7	6,57	5,63	4,66
15	30,6	27,5	25	7,26	6,26	5,23
16	32	28,8	26,3	7,96	6,91	5,81
17	33,4	30,2	27,6	8,67	7,56	6,41
18	34,8	31,5	28,9	9,39	8,23	7,01
19	36,2	32,9	30,1	10,1	8,91	7,63
20	37,6	34,2	31,4	10,9	9,59	8,26
21	38,9	35,5	32,7	11,6	10,3	8,9
22	40,3	36,8	33,9	12,3	11	9,54
23	41,6	38,1	35,2	13,1	11,7	10,2
24	43	39,4	36,4	13,8	12,4	10,9
25	44,3	40,6	37,7	14,6	13,1	11,5
26	45,6	41,9	38,9	15,4	13,8	12,2
27	47	43,2	40,1	16,2	14,6	12,9
28	48,3	44,5	41,3	16,9	15,3	13,6
29	49,6	45,7	42,6	17,7	16	14,3
30	50,9	47	43,8	18,5	16,8	15

Задача

Имеется три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.6, 3.4, 2.0.

Проверить гипотезу : дисперсия равна 10.0.

Используются таблицы распределения хи-квадрат.

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение или онлайн-помощь на зачете/экзамене 〉〉

Решение

Вычислим среднее и исправленную дисперсию:

Для того, чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу  о равенстве неизвестной генеральной дисперсии гипотетическому значению  при конкурирующей гипотезе  вычисляем наблюдаемое значение критерия:

При уровне значимости  находим:

 — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике 〉

100task.ru

Решим задачи, контрольные, курсовые… — Таблица критических точек распределения Пирсона (хи-квадрат).

k /α	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99
1	6,63	5,02	3,84	0,00	0,00	0,00
2	9,21	7,38	5,99	0,10	0,05	0,02
3	11,34	9,35	7,81	0,35	0,22	0,11
4	13,28	11,14	9,49	0,71	0,48	0,30
5	15,09	12,83	11,07	1,15	0,83	0,55
6	16,81	14,45	12,59	1,64	1,24	0,87
7	18,48	16,01	14,07	2,17	1,69	1,24
8	20,09	17,53	15,51	2,73	2,18	1,65
9	21,67	19,02	16,92	3,33	2,70	2,09
10	23,21	20,48	18,31	3,94	3,25	2,56
11	24,72	21,92	19,68	4,57	3,82	3,05
12	26,22	23,34	21,03	5,23	4,40	3,57
13	27,69	24,74	22,36	5,89	5,01	4,11
14	29,14	26,12	23,68	6,57	5,63	4,66
15	30,58	27,49	25,00	7,26	6,26	5,23
16	32,00	28,85	26,30	7,96	6,91	5,81
17	33,41	30,19	27,59	8,67	7,56	6,41
18	34,81	31,53	28,87	9,39	8,23	7,01
19	36,19	32,85	30,14	10,12	8,91	7,63
20	37,57	34,17	31,41	10,85	9,59	8,26
21	38,93	35,48	32,67	11,59	10,28	8,90
22	40,29	36,78	33,92	12,34	10,98	9,54
23	41,64	38,08	35,17	13,09	11,69	10,20
24	42,98	39,36	36,42	13,85	12,40	10,86
25	44,31	40,65	37,65	14,61	13,12	11,52
26	45,64	41,92	38,89	15,38	13,84	12,20
27	46,96	43,19	40,11	16,15	14,57	12,88
28	48,28	44,46	41,34	16,93	15,31	13,56
29	49,59	45,72	42,56	17,71	16,05	14,26
30	50,89	46,98	43,77	18,49	16,79	14,95
31	52,19	48,23	44,99	19,28	17,54	15,66
32	53,49	49,48	46,19	20,07	18,29	16,36
33	54,78	50,73	47,40	20,87	19,05	17,07
34	56,06	51,97	48,60	21,66	19,81	17,79
35	57,34	53,20	49,80	22,47	20,57	18,51
36	58,62	54,44	51,00	23,27	21,34	19,23
37	59,89	55,67	52,19	24,07	22,11	19,96
38	61,16	56,90	53,38	24,88	22,88	20,69
39	62,43	58,12	54,57	25,70	23,65	21,43
40	63,69	59,34	55,76	26,51	24,43	22,16
41	64,95	60,56	56,94	27,33	25,21	22,91
42	66,21	61,78	58,12	28,14	26,00	23,65
43	67,46	62,99	59,30	28,96	26,79	24,40
44	68,71	64,20	60,48	29,79	27,57	25,15
45	69,96	65,41	61,66	30,61	28,37	25,90
46	71,20	66,62	62,83	31,44	29,16	26,66
47	72,44	67,82	64,00	32,27	29,96	27,42
48	73,68	69,02	65,17	33,10	30,75	28,18
49	74,92	70,22	66,34	33,93	31,55	28,94
50	76,15	71,42	67,50	34,76	32,36	29,71

 

О распределении Пирсона а Excel

Критические точки распределения Пирсона (хи-квадрат) можно вычислить в Excel по формуле =ХИ2ОБР(α; k)
где α — уровень значимости, k — число степеней свободы
Допустим, вам нужно вычислить значение при α = 0,1, k = 15. Забиваем в ячейку формулу
=ХИ2ОБР(0,1; 15). Получаем результат 22,307.

 

 

www.reshim.su

Квантили распределения хи-квадрат

Кванти́ли распределе́ния хи-квадра́т — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики таких как построение доверительных интервалов, проверка статистических гипотез и непараметрическое оценивание

Квантиль хи-квадрат — это число величина хи-квадрат, при котором функция распределения хи-квадрат равна заданной затребованной вероятности а

Равенство функции распределения хи-квадрат вероятности а означает, что с вероятностью а будут наблюдаться значения хи-квадрат, не большие, чем найденный определенный согласно функции распределения квантиль хи-квадрат Таким образом, найти квантиль означает разграничить распределения хи-квадрат согласно заданной вероятности а

Содержание

• 1 Определение
• 2 Замечания
• 3 Аппроксимация квантилей
• 4 Таблица квантилей
• 5 См также
• 6 Примечания

Определение

Пусть F n }  — функция распределения хи-квадрат χ 2 n n} с n степенями свободы, и α ∈ [ 0 , 1 ] Тогда α -квантилем этого распределения называется число χ α , n 2 ^} такое, что

F n χ α , n 2 = α \left\chi _^\right=\alpha }

Замечания

• Прямо из определения следует, что случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат с n степенями свободы, не превышает значение χ α , n 2 ^} с вероятностью α и превышает его с вероятностью 1 − α
• Функция F n } строго возрастает для любого n ∈ N } Следовательно, определена её обратная функция F n − 1 ^} , и

F n − 1 α = χ α , n 2 ^\alpha =\chi _^}

• Функция F n − 1 ^} не имеет простого представления Однако, возможно вычислить её значения численно

Аппроксимация квантилей

Для получения приближенных значений квантилей распределения хи-квадрат χ α , n 2 ^} существуют аппроксимации

• Аппроксимация Корниша-Фишера

χ α , n 2 = n + A n + B + C n + D n + E n n ^=n+A}+B+}}+}+}}}} ,

где:

A = d 2 }} ,

B = 2 3 d 2 − 1 }\left^}-1\right}

C = d ⋅ d 2 − 7 9 2 ^}-7}}}}}

D = − 6 d 4 + 14 d 2 − 32 405 ^}+14^}-32}}}

E = d ⋅ 9 d 4 + 256 d 2 − 433 4860 2 ^}+256^}-433}}}}}

d = 20637 ⋅ ln ⁡ 1 1 − α − 016 04274 − 15774 }-016\right}^}-15774} при 05 ≤ α ≤ 0999

d = − 20637 ⋅ ln ⁡ 1 α − 016 04274 + 15774 }-016\right}^}+15774} при 0001 ≤ α < 05

• Аппроксимация Голдштейна

χ α , n 2 = n ⋅ [ ∑ i = 0 6 n − i 2 ⋅ d i ⋅ a i + b i n + c i n 2 ] 3 ^=n\cdot ^^}}}\cdot ^}\cdot \left_}+_}}+_}^}}\right}\right]}^}} ,

где d определяется аналогично, а коэффициенты a, b,c приведены в таблице

a	b	c
10000886	-02237368	-001513904
04713941	002607083	-0008986007
00001348028	001128186	002277679
-0008553069	-001153761	-001323293
000312558	0005169654	-0006950356
-00008426812	000253001	0001060438
000009780499	-0001450117	0001565326

Таблица квантилей

Нижеприведённая таблица получена с помощью функции chi2inv пакета MATLAB

Также квантили можно получить с помощью других программных средств:

• пакет LibreOffice, электронная таблица Calc, функция CHIINV
• библиотека scipy для языка python, функция scipystatsdistributionschi2ppf
• встроенная функция в электронной таблице Excel : ХИ2ОБР или ХИ2ОБР
• библиотека MathNet для Net и Mono, метод MathNetNumericsDistributionsChiSquaredInvCDFn,a
• встроенная функция языка R: qchisqp, df

Чтобы получить значение χ α , n 2 ^} , необходимо найти строку, соответствующую нужному n , и колонку, соответствующую нужному α Искомое число находится в таблице на их пересечении
Например:

χ 0025 , 10 2 = 20483 ^=20483} ; χ 0975 , 10 2 = 3247 ^=3247} Квантили χ α , n 2 ^}

	0,01	0,025	0,05	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,975	0,99
1	6,6349	5,0239	3,8415	2,7055	1,6424	1,0742	0,7083	0,4549	0,275	0,1485	0,0642	0,0158	0,0039	0,001	0,0002
2	9,2103	7,3778	5,9915	4,6052	3,2189	2,4079	1,8326	1,3863	1,0217	0,7133	0,4463	0,2107	0,1026	0,0506	0,0201
3	11,345	9,3484	7,8147	6,2514	4,6416	3,6649	2,9462	2,366	1,8692	1,4237	1,0052	0,5844	0,3518	0,2158	0,1148
4	13,277	11,143	9,4877	7,7794	5,9886	4,8784	4,0446	3,3567	2,7528	2,1947	1,6488	1,0636	0,7107	0,4844	0,2971
5	15,086	12,833	11,07	9,2364	7,2893	6,0644	5,1319	4,3515	3,6555	2,9999	2,3425	1,6103	1,1455	0,8312	0,5543
6	16,812	14,449	12,592	10,645	8,5581	7,2311	6,2108	5,3481	4,5702	3,8276	3,0701	2,2041	1,6354	1,2373	0,8721
7	18,475	16,013	14,067	12,017	9,8032	8,3834	7,2832	6,3458	5,4932	4,6713	3,8223	2,8331	2,1673	1,6899	1,239
8	20,09	17,535	15,507	13,362	11,03	9,5245	8,3505	7,3441	6,4226	5,5274	4,5936	3,4895	2,7326	2,1797	1,6465
9	21,666	19,023	16,919	14,684	12,242	10,656	9,4136	8,3428	7,357	6,3933	5,3801	4,1682	3,3251	2,7004	2,0879
10	23,209	20,483	18,307	15,987	13,442	11,781	10,473	9,3418	8,2955	7,2672	6,1791	4,8652	3,9403	3,247	2,5582
11	24,725	21,92	19,675	17,275	14,631	12,899	11,53	10,341	9,2373	8,1479	6,9887	5,5778	4,5748	3,8157	3,0535
12	26,217	23,337	21,026	18,549	15,812	14,011	12,584	11,34	10,182	9,0343	7,8073	6,3038	5,226	4,4038	3,5706
13	27,688	24,736	22,362	19,812	16,985	15,119	13,636	12,34	11,129	9,9257	8,6339	7,0415	5,8919	5,0088	4,1069
14	29,141	26,119	23,685	21,064	18,151	16,222	14,685	13,339	12,078	10,821	9,4673	7,7895	6,5706	5,6287	4,6604
15	30,578	27,488	24,996	22,307	19,311	17,322	15,733	14,339	13,03	11,721	10,307	8,5468	7,2609	6,2621	5,2293
16	32	28,845	26,296	23,542	20,465	18,418	16,78	15,338	13,983	12,624	11,152	9,3122	7,9616	6,9077	5,8122
17	33,409	30,191	27,587	24,769	21,615	19,511	17,824	16,338	14,937	13,531	12,002	10,085	8,6718	7,5642	6,4078
18	34,805	31,526	28,869	25,989	22,76	20,601	18,868	17,338	15,893	14,44	12,857	10,865	9,3905	8,2307	7,0149
19	36,191	32,852	30,144	27,204	23,9	21,689	19,91	18,338	16,85	15,352	13,716	11,651	10,117	8,9065	7,6327
20	37,566	34,17	31,41	28,412	25,038	22,775	20,951	19,337	17,809	16,266	14,578	12,443	10,851	9,5908	8,2604
21	38,932	35,479	32,671	29,615	26,171	23,858	21,991	20,337	18,768	17,182	15,445	13,24	11,591	10,283	8,8972
22	40,289	36,781	33,924	30,813	27,301	24,939	23,031	21,337	19,729	18,101	16,314	14,041	12,338	10,982	9,5425
23	41,638	38,076	35,172	32,007	28,429	26,018	24,069	22,337	20,69	19,021	17,187	14,848	13,091	11,689	10,196
24	42,98	39,364	36,415	33,196	29,553	27,096	25,106	23,337	21,652	19,943	18,062	15,659	13,848	12,401	10,856
25	44,314	40,646	37,652	34,382	30,675	28,172	26,143	24,337	22,616	20,867	18,94	16,473	14,611	13,12	11,524
26	45,642	41,923	38,885	35,563	31,795	29,246	27,179	25,336	23,579	21,792	19,82	17,292	15,379	13,844	12,198
27	46,963	43,195	40,113	36,741	32,912	30,319	28,214	26,336	24,544	22,719	20,703	18,114	16,151	14,573	12,879
28	48,278	44,461	41,337	37,916	34,027	31,391	29,249	27,336	25,509	23,647	21,588	18,939	16,928	15,308	13,565
29	49,588	45,722	42,557	39,087	35,139	32,461	30,283	28,336	26,475	24,577	22,475	19,768	17,708	16,047	14,256
30	50,892	46,979	43,773	40,256	36,25	33,53	31,316	29,336	27,442	25,508	23,364	20,599	18,493	16,791	14,953
31	52,191	48,232	44,985	41,422	37,359	34,598	32,349	30,336	28,409	26,44	24,255	21,434	19,281	17,539	15,655
32	53,486	49,48	46,194	42,585	38,466	35,665	33,381	31,336	29,376	27,373	25,148	22,271	20,072	18,291	16,362
33	54,776	50,725	47,4	43,745	39,572	36,731	34,413	32,336	30,344	28,307	26,042	23,11	20,867	19,047	17,074
34	56,061	51,966	48,602	44,903	40,676	37,795	35,444	33,336	31,313	29,242	26,938	23,952	21,664	19,806	17,789
35	57,342	53,203	49,802	46,059	41,778	38,859	36,475	34,336	32,282	30,178	27,836	24,797	22,465	20,569	18,509
36	58,619	54,437	50,998	47,212	42,879	39,922	37,505	35,336	33,252	31,115	28,735	25,643	23,269	21,336	19,233
37	59,893	55,668	52,192	48,363	43,978	40,984	38,535	36,336	34,222	32,053	29,635	26,492	24,075	22,106	19,96
38	61,162	56,896	53,384	49,513	45,076	42,045	39,564	37,335	35,192	32,992	30,537	27,343	24,884	22,878	20,691
39	62,428	58,12	54,572	50,66	46,173	43,105	40,593	38,335	36,163	33,932	31,441	28,196	25,695	23,654	21,426
40	63,691	59,342	55,758	51,805	47,269	44,165	41,622	39,335	37,134	34,872	32,345	29,051	26,509	24,433	22,164
41	64,95	60,561	56,942	52,949	48,363	45,224	42,651	40,335	38,105	35,813	33,251	29,907	27,326	25,215	22,906
42	66,206	61,777	58,124	54,09	49,456	46,282	43,679	41,335	39,077	36,755	34,157	30,765	28,144	25,999	23,65
43	67,459	62,99	59,304	55,23	50,548	47,339	44,706	42,335	40,05	37,698	35,065	31,625	28,965	26,785	24,398
44	68,71	64,201	60,481	56,369	51,639	48,396	45,734	43,335	41,022	38,641	35,974	32,487	29,787	27,575	25,148
45	69,957	65,41	61,656	57,505	52,729	49,452	46,761	44,335	41,995	39,585	36,884	33,35	30,612	28,366	25,901
46	71,201	66,617	62,83	58,641	53,818	50,507	47,787	45,335	42,968	40,529	37,795	34,215	31,439	29,16	26,657
47	72,443	67,821	64,001	59,774	54,906	51,562	48,814	46,335	43,942	41,474	38,708	35,081	32,268	29,956	27,416
48	73,683	69,023	65,171	60,907	55,993	52,616	49,84	47,335	44,915	42,42	39,621	35,949	33,098	30,755	28,177
49	74,919	70,222	66,339	62,038	57,079	53,67	50,866	48,335	45,889	43,366	40,534	36,818	33,93	31,555	28,941
50	76,154	71,42	67,505	63,167	58,164	54,723	51,892	49,335	46,864	44,313	41,449	37,689	34,764	32,357	29,707

См также

• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки

Примечания

1. ↑ Goldberg H, Levine H Approximate formulas for the percentage points and normalization of t and χ 2 } // AMS 1945 V17 P 216—225
2. ↑ Goldstein RB Chi-square quantiles, Algorithm 451 // Commun Assoc Comp 1973 V 16 P 483—485

---

Квантили распределения хи-квадрат Информацию О

---

---

Квантили распределения хи-квадрат Комментарии

Квантили распределения хи-квадрат
Квантили распределения хи-квадрат
Квантили распределения хи-квадрат Вы просматриваете субъект

Квантили распределения хи-квадрат что, Квантили распределения хи-квадрат кто, Квантили распределения хи-квадрат описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com

Критерий согласия Пирсона χ2 (Хи-квадрат)

До конца XIX века нормальное распределение считалась всеобщим законом вариации данных. Однако К. Пирсон заметил, что эмпирические частоты могут сильно отличаться от нормального распределения. Встал вопрос, как это доказать. Требовалось не только графическое сопоставление, которое имеет субъективный характер, но и строгое количественное обоснование.

Так был изобретен критерий χ² (хи-квадрат), который проверяет значимость расхождения эмпирических (наблюдаемых) и теоретических (ожидаемых) частот. Это произошло в далеком 1900 году, однако критерий и сегодня на ходу. Более того, его приспособили для решения широкого круга задач. Прежде всего, это анализ номинальных данных, т.е. таких, которые выражаются не количеством, а принадлежностью к какой-то категории. Например, класс автомобиля, пол участника эксперимента, вид растения и т.д. К таким данным нельзя применять математические операции вроде сложения и умножения, для них можно только подсчитать частоты.

Наблюдаемые частоты обозначим О (Observed), ожидаемые – E (Expected). В качестве примера возьмем результат 60-кратного бросания игральной кости. Если она симметрична и однородна, вероятность выпадения любой стороны равна 1/6 и, следовательно, ожидаемое количество выпадения каждой из сторон равна 10 (1/6∙60). Наблюдаемые и ожидаемые частоты запишем в таблицу и нарисуем гистограмму.

Нулевая гипотеза заключается в том, что частоты согласованы, то есть фактические данные не противоречат ожидаемым. Альтернативная гипотеза – отклонения в частотах выходят за рамки случайных колебаний, то есть расхождения статистически значимы. Чтобы сделать строгий вывод, нам потребуется.

1. Обобщающая мера расхождения между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами.
2. Распределение этой меры при справедливости гипотезы о том, что различий нет.

Начнем с расстояния между частотами. Если взять просто разницу О — E, то такая мера будет зависеть от масштаба данных (частот). Например, 20 — 5 =15 и 1020 – 1005 = 15. В обоих случаях разница составляет 15. Но в первом случае ожидаемые частоты в 3 раза меньше наблюдаемых, а во втором случае – лишь на 1,5%. Нужна относительная мера, не зависящая от масштаба.

Обратим внимание на следующие факты. В общем случае количество градаций, по которым измеряются частоты, может быть гораздо больше, поэтому вероятность того, что отдельно взятое наблюдение попадет в ту или иную категорию, довольно мала. Раз так, то, распределение такой случайной величины будет подчинятся закону редких событий, известному под названием закон Пуассона. В законе Пуассона, как известно, значение математического ожидания и дисперсии совпадают (параметр λ). Значит, ожидаемая частота для некоторой категории номинальной переменной E_i будет являться одновременное и ее дисперсией. Далее, закон Пуассона при большом количестве наблюдений стремится к нормальному. Соединяя эти два факта, получаем, что, если гипотеза о согласии наблюдаемых и ожидаемых частот верна, то, при большом количестве наблюдений, выражение

будет иметь стандартное нормальное распределение.

Важно помнить, что нормальность будет проявляться только при достаточно больших частотах. В статистике принято считать, что общее количество наблюдений (сумма частот) должна быть не менее 50 и ожидаемая частота в каждой градации должна быть не менее 5. Только в этом случае величина, показанная выше, будет иметь стандартное нормальное распределение. Предположим, что это условие выполнено.

У стандартного нормального распределения почти все значение находятся в пределах ±3 (правило трех сигм). Таким образом, мы получили относительную разность в частотах для одной градации. Нам нужна обобщающая мера. Просто сложить все отклонения нельзя – получим 0 (догадайтесь почему). Пирсон предложил сложить квадраты этих отклонений.

Это и есть знамений критерий χ² Пирсона. Если частоты действительно соответствуют ожидаемым, то значение критерия будет относительно не большим (т.к. большинство отклонений находится около нуля). Но если критерий оказывается большим, то это свидетельствует в пользу существенных различий между частотами.

«Большим» критерий становится тогда, когда появление такого или еще большего значения становится маловероятным. И чтобы рассчитать такую вероятность, необходимо знать распределение критерия при многократном повторении эксперимента, когда гипотеза о согласии частот верна.

Как нетрудно заметить, величина хи-квадрат также зависит от количества слагаемых. Чем их больше, тем большее значение должно быть у критерия, ведь каждое слагаемое внесет свой вклад в общую сумму. Следовательно, для каждого количества независимых слагаемых, будет собственное распределение. Получается, что χ² – это целое семейство распределений.

И здесь мы подошли к одному щекотливому моменту. Что такое число независимых слагаемых? Вроде как любое слагаемое (т.е. отклонение) независимо. К. Пирсон тоже так думал, но оказался неправ. На самом деле число независимых слагаемых будет на один меньше, чем количество градаций номинальной переменной n. Почему? Потому что, если мы имеем выборку, по которой уже посчитана сумма частот, то одну из частот всегда можно определить, как разность общего количества и суммой всех остальных. Отсюда и вариация будет несколько меньше. Данный факт Рональд Фишер заметил лет через 20 после разработки Пирсоном своего критерия. Даже таблицы пришлось переделывать.

По этому поводу Фишер ввел в статистику новое понятие – степень свободы (degrees of freedom), которое и представляет собой количество независимых слагаемых в сумме. Понятие степеней свободы имеет математическое объяснение и проявляется только в распределениях, связанных с нормальным (Стьюдента, Фишера-Снедекора и сам хи-квадрат).

Чтобы лучше уловить смысл степеней свободы, обратимся к физическому аналогу. Представим точку, свободно движущуюся в пространстве. Она имеет 3 степени свободы, т.к. может перемещаться в любом направлении трехмерного пространства. Если точка движется по какой-либо поверхности, то у нее уже две степени свободы (вперед-назад, вправо-влево), хотя и продолжает находиться в трехмерном пространстве. Точка, перемещающаяся по пружине, снова находится в трехмерном пространстве, но имеет лишь одну степень свободы, т.к. может двигаться либо вперед, либо назад. Как видно, пространство, где находится объект, не всегда соответствует реальной свободе перемещения.

Примерно также распределение статистического критерия может зависеть от меньшего количества элементов, чем нужно слагаемых для его расчета. В общем случае количество степеней свободы меньше наблюдений на число имеющихся зависимостей. Это чистая математика, никакой магии.

Таким образом, распределение χ² – это семейство распределений, каждое из которых зависит от параметра степеней свободы. А формальное определение критерия хи-квадрат следующее. Распределение χ² (хи-квадрат) с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

Далее можно было бы перейти к самой формуле, по которой вычисляется функция распределения хи-квадрат, но, к счастью, все давно подсчитано за нас. Чтобы получить интересующую вероятность, можно воспользоваться либо соответствующей статистической таблицей, либо готовой функцией в специализированном ПО, которая есть даже в Excel.

Интересно посмотреть, как меняется форма распределения хи-квадрат в зависимости от количества степеней свободы.

С увеличением степеней свободы распределение хи-квадрат стремится к нормальному. Это объясняется действием центральной предельной теоремы, согласно которой сумма большого количества независимых случайных величин имеет нормальное распределение. Про квадраты там ничего не сказано )).

Проверка гипотезы по критерию хи-квадрат

{module 111}

Вот мы и подошли к проверке гипотез по методу хи-квадрат. В целом техника остается прежней. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что наблюдаемые частоты соответствуют ожидаемым (т.е. между ними нет разницы, т.к. они взяты из той же генеральной совокупности). Если этот так, то разброс будет относительно небольшим, в пределах случайных колебаний. Меру разброса определяют по критерию хи-квадрат. Далее либо сам критерий сравнивают с критическим значением (для соответствующего уровня значимости и степеней свободы), либо, что более правильно, рассчитывают наблюдаемый p-value, т.е. вероятность получить такое или еще больше значение критерия при справедливости нулевой гипотезы.

Т.к. нас интересует согласие частот, то отклонение гипотезы произойдет, когда критерий окажется больше критического уровня. Т.е. критерий является односторонним. Однако иногда (иногда) требуется проверить левостороннюю гипотезу. Например, когда эмпирические данные уж оооочень сильно похожи на теоретические. Тогда критерий может попасть в маловероятную область, но уже слева. Дело в том, что в естественных условиях, маловероятно получить частоты, практически совпадающие с теоретическими. Всегда есть некоторая случайность, которая дает погрешность. А вот если такой погрешности нет, то, возможно, данные были сфальсифицированы. Но все же обычно проверяют правостороннюю гипотезу.

Вернемся к задаче с игральным кубиком. Рассчитаем по имеющимся данным значение критерия хи-квадрат.

Теперь найдем табличное значение критерия при 5-ти степенях свободы (k) и уровне значимости 0,05 (α).

То есть χ²_{0,05; 5} = 11,1.

Сравним фактическое и табличное значение. 3,4 (χ²) < 11,1 (χ²_{0,05; 5}). Расчетный критерий оказался меньшим, значит гипотеза о равенстве (согласии) частот не отклоняется. На рисунке ситуация выглядит вот так.

Если бы расчетное значение попало в критическую область, то нулевая гипотеза была бы отклонена.

Более правильным будет рассчитать еще и p-value. Для этого нужно в таблице найти ближайшее значение для заданного количества степеней свободы и посмотреть соответствующий ему уровень значимости. Но это прошлый век. Воспользуемся ПЭВМ, в частности MS Excel. В эксель есть несколько функций, связанных с хи-квадрат.

Ниже их краткое описание.

ХИ2.ОБР – критическое значение критерия при заданной вероятности слева (как в статистических таблицах)

ХИ2.ОБР.ПХ – критическое значение критерия при заданной вероятности справа. Функция по сути дублирует предыдущую. Но здесь можно сразу указывать уровень α, а не вычитать его из 1. Это более удобно, т.к. в большинстве случаев нужен именно правый хвост распределения.

ХИ2.РАСП – p-value слева (можно рассчитать плотность).

ХИ2.РАСП.ПХ – p-value справа.

ХИ2.ТЕСТ – по двум заданным диапазонам частот сразу проводит тест хи-квадрат. Количество степеней свободы берется на одну меньше, чем количество частот в столбце (так и должно быть), возвращая значение p-value.

Давайте пока рассчитаем для нашего эксперимента критическое (табличное) значение для 5-ти степеней свободы и альфа 0,05. Формула Excel будет выглядеть так:

=ХИ2.ОБР(0,95;5)

Или так

=ХИ2.ОБР.ПХ(0,05;5)

Результат будет одинаковым – 11,0705. Именно это значение мы видим в таблице (округленное до 1 знака после запятой).

Рассчитаем, наконец, p-value для 5-ти степеней свободы критерия χ² = 3,4. Нужна вероятность справа, поэтому берем функцию с добавкой ПХ (правый хвост)

=ХИ2.РАСП.ПХ(3,4;5) = 0,63857

Значит, при 5-ти степенях свободы вероятность получить значение критерия χ² = 3,4 и больше равна почти 64%. Естественно, гипотеза не отклоняется (p-value больше 5%), частоты очень хорошо согласуются.

А теперь проверим гипотезу о согласии частот с помощью функции ХИ2.ТЕСТ.

Проверка гипотезы с помощью функции эксель ХИ2.ТЕСТ

Никаких таблиц, никаких громоздких расчетов. Указав в качестве аргументов функции столбцы с наблюдаемыми и ожидаемыми частотами, сразу получаем p-value. Красота.

Представим теперь, что вы играете в кости с подозрительным типом. Распределение очков от 1 до 5 остается прежним, но он выкидывает 26 шестерок (количество всех бросков становится 78).

p-value в этом случае оказывается 0,003, что гораздо меньше чем, 0,05. Есть серьезные основания сомневаться в правильности игральной кости. Вот, как выглядит эта вероятность на диаграмме распределения хи-квадрат.

Сам критерий хи-квадрат здесь получается 17,8, что, естественно, больше табличного (11,1).

Надеюсь, мне удалось объяснить, что такое критерий согласия χ² (хи-квадрат) Пирсона и как с его помощью проверяются статистические гипотезы.

Напоследок еще раз о важном условии! Критерий хи-квадрат исправно работает только в случае, когда количество всех частот превышает 50, а минимальное ожидаемое значение для каждой градации не меньше 5. Если в какой-либо категории ожидаемая частота менее 5, но при этом сумма всех частот превышает 50, то такую категорию объединяют с ближайшей, чтобы их общая часта превысила 5. Если это сделать невозможно, или сумма частот меньше 50, то следует использовать более точные методы проверки гипотез. О них поговорим в другой раз.

Ниже находится видео ролик о том, как в Excel проверить гипотезу с помощью критерия хи-квадрат.

Скачать файл с примером.

Поделиться в социальных сетях:

statanaliz.info

Таблица критических точек распределения Пирсона хи-квадрат

Таблица критических точек распределения Пирсона «хи-квадрат»)

k /α	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99
1	6,63490	5,02389	3,84146	0,00393	0,00098	0,00016
2	9,21034	7,37776	5,99146	0,10259	0,05064	0,02010
3	11,34487	9,34840	7,81473	0,35185	0,21580	0,11483
4	13,2767	11,14329	9,48773	0,71072	0,48442	0,29711
5	15,08627	12,8325	11,0705	1,14548	0,83121	0,55430
6	16,81189	14,44938	12,59159	1,63538	1,23734	0,87209
7	18,47531	16,01276	14,06714	2,16735	1,68987	1,23904
8	20,09024	17,53455	15,50731	2,73264	2,17973	1,64650
9	21,66599	19,02277	16,91898	3,32511	2,70039	2,08790
10	23,20925	20,48318	18,30704	3,94030	3,24697	2,55821
11	24,72497	21,92005	19,67514	4,57481	3,81575	3,05348
12	26,21697	23,33666	21,02607	5,22603	4,40379	3,57057
13	27,68825	24,7356	22,36203	5,89186	5,00875	4,10692
14	29,14124	26,11895	23,68479	6,57063	5,62873	4,66043
15	30,57791	27,48839	24,99579	7,26094	6,26214	5,22935
16	31,99993	28,84535	26,29623	7,96165	6,90766	5,81221
17	33,40866	30,19101	27,58711	8,67176	7,56419	6,40776
18	34,80531	31,52638	28,86930	9,39046	8,23075	7,01491
19	36,19087	32,85233	30,14353	10,11701	8,90652	7,63273
20	37,56623	34,16961	31,41043	10,85081	9,59078	8,26040
21	38,93217	35,47888	32,67057	11,59131	10,2829	8,89720
22	40,28936	36,78071	33,92444	12,33801	10,98232	9,54249
23	41,63840	38,07563	35,17246	13,09051	11,68855	10,19572
24	42,97982	39,36408	36,41503	13,84843	12,40115	10,85636
25	44,31410	40,64647	37,65248	14,61141	13,11972	11,52398
26	45,64168	41,92317	38,88514	15,37916	13,84391	12,19815
27	46,96294	43,19451	40,11327	16,15140	14,57338	12,87850
28	48,27824	44,46079	41,33714	16,92788	15,30786	13,56471
29	49,58788	45,72229	42,55697	17,70837	16,04707	14,25645
30	50,89218	46,97924	43,77297	18,49266	16,79077	14,95346
31	52,19139	48,23189	44,98534	19,28057	17,53874	15,65546
32	53,48577	49,48044	46,19426	20,07191	18,29076	16,36222
33	54,77554	50,72508	47,39988	20,86653	19,04666	17,07351
34	56,06091	51,96600	48,60237	21,66428	19,80625	17,78915
35	57,34207	53,20335	49,80185	22,46502	20,56938	18,50893
36	58,61921	54,43729	50,99846	23,26861	21,33588	19,23268
37	59,89250	55,66797	52,19232	24,07494	22,10563	19,96023
38	61,16209	56,89552	53,38354	24,8839	22,87848	20,69144
39	62,42812	58,12006	54,57223	25,69539	23,65432	21,42616
40	63,69074	59,34171	55,75848	26,5093	24,43304	22,16426
41	64,95007	60,56057	56,94239	27,32555	25,21452	22,90561
42	66,20624	61,77676	58,12404	28,14405	25,99866	23,65009
43	67,45935	62,99036	59,30351	28,96472	26,78537	24,39760
44	68,70951	64,20146	60,48089	29,78748	27,57457	25,14803
45	69,95683	65,41016	61,65623	30,61226	28,36615	25,90127
46	71,20140	66,61653	62,82962	31,43900	29,16005	26,65724
47	72,44331	67,82065	64,00111	32,26762	29,95620	27,41585
48	73,68264	69,02259	65,17077	33,09808	30,75451	28,17701
49	74,91947	70,22241	66,33865	33,93031	31,55492	28,94065
50	76,15389	71,42020	67,50481	34,76425	32,35736	29,70668

Обычно такая точность (5 знаков после запятой) не требуется. Достаточно 1-2 знаков после запятой.

 

www.matem96.ru

Распределение «хи-квадрат» и его применение

Распределение вероятных значений случайной величины χ2 непрерывно и ассиметрично. Оно зависит от числа степеней свободы (n) и приближается к нормальному распределению по мере увеличения числа наблюдений. Поэтому применение критерия χ2 к оценке дискретных распределений сопряжено с некоторыми погрешностями, которые сказываются на его величине, особенно на малочисленных выборках. Для получения более точных оценок выборка, распределяемая в вариационный ряд, должна иметь не менее 50 вариантов. Правильное применение критерия χ2 требует также, чтобы частоты вариантов в крайних классах не были бы меньше 5; если их меньше 5, то они объединяются с частотами соседних классов, чтобы в сумме составляли величину большую или равную 5. Соответственно объединению частот уменьшается и число классов (N). Число степеней свободы устанавливается по вторичному числу классов с учетом числа ограничений свободы вариации.

Так как точность определения критерия χ2 в значительной степени зависит от точности расчета теоретических частот (Т), для получения разности между эмпирическими и вычисленными частотами следует использовать неокругленные теоретические частоты.

В качестве примера возьмем исследование, опубликованное на сайте, который посвящен применению статистических методов в гуманитарных науках.

Критерий «Хи-квадрат» позволяет сравнивать распределения частот вне зависимости от того, распределены они нормально или нет.

Под частотой понимается количество появлений какого-либо события. Обычно, с частотой появления события имеют дело, когда переменные измерены в шкале наименований и другой их характеристики, кроме частоты подобрать невозможно или проблематично. Другими словами, когда переменная имеет качественные характеристики. Так же многие исследователи склонны переводить баллы теста в уровни (высокий, средний, низкий) и строить таблицы распределений баллов, чтобы узнать количество человек по этим уровням. Чтобы доказать, что в одном из уровней (в одной из категорий) количество человек действительно больше (меньше) так же используется коэффициент Хи-квадрат.

Разберем самый простой пример.

Среди младших подростков был проведён тест для выявления самооценки. Баллы теста были переведены в три уровня: высокий, средний, низкий. Частоты распределились следующим образом:

Высокий (В) 27 чел.

Средний (С) 12 чел.

Низкий (Н) 11 чел.

Очевидно, что детей с высокой самооценкой большинство, однако это нужно доказать статистически. Для этого используем критерий Хи-квадрат.

Наша задача проверить, отличаются ли полученные эмпирические данные от теоретически равновероятных. Для этого необходимо найти теоретические частоты. В нашем случае, теоретические частоты – это равновероятные частоты, которые находятся путём сложения всех частот и деления на количество категорий.

В нашем случае:

(В + С + Н)/3 = (27+12+11)/3 = 16,6

Формула для расчета критерия хи-квадрат:

χ2 = ∑(Э — Т)² / Т

Для обработки полученных данных используем критерий хи-квадрат.

Для этого построим таблицу распределения эмпирических частот, т.е. тех частот, которые мы наблюдаем:

Теоретически, мы ожидаем, что частоты распределятся равновероятно, т.е. частота распределится пропорционально между мальчиками и девочками. Построим таблицу теоретических частот. Для этого умножим сумму по строке на сумму по столбцу и разделим получившееся число на общую сумму (s).

Итоговая таблица для вычислений будет выглядеть так:

χ2 = ∑(Э — Т)² / Т

n = (R — 1), где R – количество строк в таблице.

В нашем случае хи-квадрат = 4,21; n = 2.

По таблице критических значений критерия находим: при n = 2 и уровне ошибки 0,05 критическое значение χ2 = 5,99.

Полученное значение меньше критического, а значит принимается нулевая гипотеза.

Вывод: учителя не придают значение полу ребенка при написании ему характеристики.

Таблица 1

Студенты почти всех специальностей изучают в конце курса высшей математики раздел «теория вероятностей и математическая статистика», реально они знакомятся лишь с некоторыми основными понятиями и результатами, которых явно не достаточно для практической работы. С некоторыми математическими методами исследования студенты встречаются в специальных курсах (например, таких, как «Прогнозирование и технико-экономическое планирование», «Технико-экономический анализ», «Контроль качества продукции», «Маркетинг», «Контроллинг», «Математические методы прогнозирования», «Статистика» и др. – в случае студентов экономических специальностей), однако изложение в большинстве случаев носит весьма сокращенный и рецептурный характер. В результате знаний у специалистов по прикладной статистике недостаточно.

Поэтому большое значение имеет курс «Прикладная статистика» в технических вузах, а в экономических вузах – курса «Эконометрика», поскольку эконометрика – это, как известно, статистический анализ конкретных экономических данных.

1. Орлов А.И. Прикладная статистика. М.: Издательство «Экзамен», 2004.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1999. – 479с.

3. Айвозян С.А. Теория вероятностей и прикладная статистика, т.1. М.: Юнити, 2001. – 656с.

4. Хамитов Г.П., Ведерникова Т.И. Вероятности и статистика. Иркутск: БГУЭП, 2006 – 272с.

5. Ежова Л.Н. Эконометрика. Иркутск: БГУЭП, 2002. – 314с.

6. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. М. : Наука, 1975. – 111с.

7. Мостеллер Ф. Вероятность. М. : Мир, 1969. – 428с.

8. Яглом А.М. Вероятность и информация. М. : Наука, 1973. – 511с.

9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. – 256с.

10. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. – 543с.

11. Математическая энциклопедия, т.1. М.: Советская энциклопедия, 1976. – 655с.

12. http://psystat.at.ua/ — Статистика в психологии и педагогике. Статья Критерий Хи-квадрат. Автор: Попов О.А.

mirznanii.com