Автор: alexxlab

Основные правила математики. Геометрия. Теоремы, определения. 8 класс

Многоугольник

• Многоугольник — геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная
• Выпуклый многоугольник— многоугольник, который лежит по одну сторону от прямой, которая проходит через 2 его смежные вершины
• Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющие 2 несоседние вершины
• Формула суммы углов -угольника
  , — число вершин(сторон)

Параллелограмм

• Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны

Свойства параллелограмма

• В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны
• В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Признаки параллелограмма

• Если в четырехугольнике 2 стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм
• Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм
• Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм

Трапеция

• Трапеция  — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны — не параллельны
• Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции
• Не параллельные стороны называются боковыми сторонами
• Трапеция равнобедренная, если её боковые стороны равны
• Трапеция прямоугольная, у которой одна боковая сторона, перпендикулярна основаниям

Прямоугольник

• Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые

Свойства прямоугольника

• Диагонали прямоугольника равны

Признаки прямоугольника

• Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник
• Если в параллелограмме есть хотя бы 1 прямой угол, то этот параллелограмм прямоугольник

Ромб

• Ромб — параллелограмм у которого все стороны равны

Свойства ромба

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, являются биссектрисами углов

Признаки ромба

• Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
• Параллелограмм, диагональ которого является биссектрисой его угла

Квадрат

• Квадрат прямоугольник, у которого все стороны равны

Свойства квадрата

• Все углы квадрата прямые
• Диагонали квадрата равны, взаимно-перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам, являются биссектрисами углов

Симметрия

• Две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к нему
• Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметрична ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры
• Две точки называются симметричными относительно точки О, если О середина отрезка
• Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

Площади

• Высота треугольника -перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника(основание)
• Высота параллелограмма -перпендикуляр, проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание
• Равные многоугольники имеют равные площади
• Высота трапеции — перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание
• Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников
• Площадь квадрата равна квадрату его стороны
• Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон
• Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
• Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания
• Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы
• Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее основания на высоту

Прямоугольный треугольник

• Теорема Пифагора:в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
• Теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный
• Пифагоровы тройки: треугольники со сторонами 3,4,5; 6,8,10 и т. д
• Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой
  
• Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенуз и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой проведенной из вершины прямого угла
  
  

Подобие

• Подобные треугольники -это треугольники, у которых углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
• Коэффициент подобия — это число , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников
• Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Признаки подобия треугольников

• Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны
• Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны
• Третий признак подобия треугольников:если три стороны одного треугольника пропорциональным трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Средняя линия треугольника.

• Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
  

Некоторые свойства геометрических фигур

• Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, образуют с его сторонами подобные между собой треугольники
• Теорема Фалеса Параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают на них равные отрезки
• Пропорциональные отрезки Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки

Окружность

• Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
• Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
• Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
• Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу
• Формула длины окружности
• Формула площади круга

Окружность и треугольник

Описанный четырехугольник

• Описанный четырехугольник — четырехугольник, каждая сторона которого касается данной окружности. Окружность называют вписанной. Центр окружности, вписанной в четырехугольник,— точка пересечения биссектрис всех его углов.
• Свойство четырехугольника, описанного около окружности : Если четырехугольник описан около окружности, то сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон.
• Признак четырехугольника, в который можно вписать окружность: Если у четырехугольника сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон, то в него можно вписать окружность.
• Признак принадлежности четырех точек одной окружности: Если одна сторона выпуклого четырёхугольника видна из двух его вершин под равными углами, то около этого четырёхугольник можно описать окружность.

2018-2023

Геометрические формулы для 8-го класса – Learn Cram

16 мая 2020 г. 16 мая 2020 г. Геометрия — это раздел математики, изучающий взаимное расположение фигур, размеров и форм. Это было преобладающим в прежние времена, и люди использовали для вычисления длин, площадей и объемов, используя формулы геометрии. Мы перечислили некоторые из популярных геометрических формул для 8-го класса, которые вы можете использовать во время подготовки. Вы можете использовать список нескольких формул геометрии для 8-го класса для решения задач. Существует множество формул, связанных с геометрическими фигурами и фигурами. Вам может показаться, что некоторые из них сложны или вы с трудом их знали. Студенты могут получить доступ к основным формулам геометрии, с которыми мы сталкиваемся в нашей повседневной жизни, связанным с длиной, пространством и так далее.

Учащиеся, которым нужны геометрические формулы для 8 класса, могут получить их бесплатно здесь. Вам не нужно платить какую-либо сумму, и вы можете получить их напрямую через доступные быстрые ссылки. Выберите конкретную форму или фигуру и изучите общую формулу геометрии, связанную с ней, отсюда. У нас есть почти все, что описано в геометрии, и вам не нужно искать дальше. Познакомьтесь с темой Формулы геометрии в геометрии, пройдя дополнительные модули

Загрузите PDF-формулы геометрии класса 8 на этой странице и с легкостью решайте самые сложные задачи. Вы можете получить геометрические формулы от простых фигур до даже сложных фигур. Легко решайте свои задачи с помощью нашего листа формул по геометрии для 8-го класса и получайте высокие баллы на экзаменах.

Часто задаваемые вопросы по геометрическим формулам класса 8

1. Как вы запоминаете геометрические формулы?

Первый и главный шаг к изучению геометрии — перестать думать, что это сложно. Не просто зубрить и пытаться понять, что решает эта конкретная формула. Как только вы узнаете, какая проблема реальной жизни решается формулой геометрии, вы не забудете ее на всю жизнь.

2. Где я могу получить лист формул геометрии для класса 8?

На этой странице вы можете получить лист формул геометрии класса 8, который включает все формулы, относящиеся к основным формам, а также к сложным фигурам. Выберите форму по вашему выбору и изучите формулу, относящуюся к ней, за один раз отсюда.

3. Как мне добиться хороших результатов в формулах геометрии для 8-го класса?

Единственная мантра, позволяющая хорошо разбираться в формулах геометрии для 8-го класса, — это изучить концепцию, лежащую в основе формул, а не вдумываться в нее. Таким образом, вы никогда не забудете формулы.

Заключение

Мы надеемся, что представленные на нашей странице данные о формулах геометрии для класса 8 прояснили ваши опасения. Используйте список всех формул геометрии и решайте различные задачи простым способом. В случае каких-либо предложений или опечаток в формулах геометрии класса 8, перечисленных выше, не стесняйтесь обращаться к нам через раздел комментариев.

CBSE Class 8 Math Formulas

GeeksforGeeks выступили с инициативой снизить нагрузку на учащихся из-за того, что они собирают все важные формулы, используемые в их учебной программе для 8-го класса, в одном месте. Математические формулы класса 8 от GeeksforGeeks разработаны таким образом, что они охватывают все важные формулы и свойства, используемые в каждой главе, вкратце. Это помогает студенту пересматривать и учиться легко и быстро. Для ученика 8-го класса может быть трудно понять повышение уровня сложности по сравнению с предыдущими уроками. Кроме того, с такой дисциплиной, как математика, вы должны всегда оставаться в курсе. Эта тема очень важна как в учебе, так и в личной жизни. Чтобы получить высокий уровень знаний, вы должны сначала освоить математические формулы для 8-го класса, прежде чем переходить к их применению к своим вопросам.

Вам может быть интересно, где можно получить точные математические формулы для 8-го класса для определенного набора вопросов. Вот почему GeeksforGeeks предлагает вам эту информацию прямо сейчас. Ниже перечислены все математические формулы для 8-го класса на одной странице для вас, поэтому вам не нужно искать другую!

Глава 1: Рациональные числа

В арифметике к различным типам чисел относятся целые, действительные числа, натуральные числа, целые числа, дробные числа, простые числа и составные числа. Различные типы рациональных чисел рассматриваются в математических формулах «Рациональные числа 8 класса», которые помогут учащимся изучить концепции рациональных чисел, их уникальность среди остальных чисел и их использование в высшей арифметике.

Любое число, которое может быть выражено как a ⁄ b, где b ≠ 0 является рациональными числами. Ниже приведены формулы и свойства, используемые для рациональных чисел:

• Аддитивная идентичность: (a ⁄ b + 0) = (a ⁄ b).
• Мультипликативная идентичность: (a ⁄ b) × 1 = (a/b).
• Обратное мультипликативное : (a ⁄ b) × (b/a) = 1.
• Обратное аддитивное: a + (-a) = (-a) + a = 0.
• Свойство замыкания – Дополнение: . Для любых двух рациональных чисел a и b число a + b также является рациональным числом.
• Свойство замыкания – вычитание: Для любых двух рациональных чисел a и b, a – b также является рациональным числом.
• Свойство замыкания — умножение: Для любых двух рациональных чисел a и b число a × b также является рациональным числом.
• Свойство замыкания – Деление: Рациональные числа не замыкаются при делении.
• Переместительное свойство – дополнение : Для любых рациональных чисел a и b, a + b = b + a.
• Коммутативное свойство – Вычитание: Для любых рациональных чисел a и b, a – b ≠ b – a.
• Коммутативное свойство – умножение: Для любых рациональных чисел a и b (a x b) = (b x a).
• Коммутативное свойство – Деление: Для любых рациональных чисел a и b (a/b) ≠ (b/a).
• Ассоциативное свойство – Дополнение: Для любых рациональных чисел a, b и c (a + b) + c = a + (b + c).
• Ассоциативное свойство – вычитание: Для любых рациональных чисел a, b и c, (a – b) – c ≠ a – (b – c)
• Ассоциативное свойство – умножение: Для любого рационального числа a, b и c, (a x b) х с = а х (б х с).
• Ассоциативное свойство – деление: Для любых рациональных чисел a, b и c (a/b) / c ≠ a/(b/c).
• Распределительное свойство: Для любых трех рациональных чисел a, b и c, a × (b + c) = (a × b) +(a × c).

Глава 2. Линейные уравнения с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной — это выражение, которое обозначается как ax+b = 0, где a и b — любые два целых числа, а x — переменная и состоит только из одного решения. Как следует из названия линейное уравнение с одной переменной, уравнение этого типа имеет только одно решение. Существует четыре различных способа решения линейных уравнений с одной переменной:

1. Линейные уравнения типа Линейное выражение с одной стороны и числа с другой стороны :
   • Перенесите число в ту сторону, где присутствуют все числа, сохраняя знак числа.
   • Решите (добавьте/вычтите) уравнение с обеих сторон, чтобы максимально упростить его, чтобы получить значение переменной.
2. Линейные уравнения типа с переменными с обеих сторон :
   • Транспонируйте и число, и переменную, чтобы они оказались на одной стороне, сохраняя знак числа.
   • Решите (добавьте/вычтите) уравнение с обеих сторон, чтобы максимально упростить его, чтобы получить значение переменной.
3. Линейные уравнения типа с числом в знаменателе и переменными с обеих сторон уравнение выводится к простой форме, а затем решается как линейное уравнение типа, которое имеет переменные с обеих сторон, чтобы получить значение переменной.
4. Линейные уравнения типа Приводимые к линейной форме :
   • Такие уравнения имеют вид: (x + a / x + b) = c / d .
   • Таким образом, эти уравнения решаются с помощью перемножения числителя и знаменателя, чтобы получить простую линейную форму, такую ​​как (x + a) d = c (x + b) . Это линейное уравнение типа, которое имеет переменные с обеих сторон, которые можно решить дальше, чтобы получить значение переменной.

Глава 3: Понимание четырехугольников

Четырехугольник — это замкнутый объект с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя углами, который является разновидностью многоугольника. Он состоит из четырех неколлинеарных точек, соединенных вместе. Сумма внутренних углов четырехугольника всегда равна 360 градусам. Давайте теперь поймем следующие важные замечания о формулах, обсуждаемых в этой главе:

• Классификация многоугольников : Многоугольники классифицируются в соответствии с количеством сторон (или вершин), которые они имеют, как указано ниже:

• Свойство суммы углов из четырехугольник равен 360°.
• Сумма мер внешних углов многоугольника : Независимо от количества сторон в многоугольниках сумма измерений внешних углов равна 360 градусам.
• Типы четырехугольников : Измерения углов и длин сторон четырехугольников используются для их классификации. Вся площадь, занимаемая фигурой, равна площади четырехугольника. Периметр двумерной формы – это все расстояние, пройденное ее границами. Ниже приведены свойства, площади и уравнения периметра для различных четырехугольников:

Глава 4: Практическая геометрия

Эта глава посвящена построению четырехугольника. Четырехугольник — геометрическая фигура, представляющая собой четырехугольник с четырьмя углами и двумя диагоналями. Например, квадрат, прямоугольник, ромб и т. п. 

Для однозначного построения четырехугольника требуется пять измерений.

• Четырехугольник можно построить единственным образом, если известны длины его четырех сторон и диагонали.
• Четырехугольник можно построить однозначно, если известны две его диагонали и три стороны.
• Четырехугольник можно построить однозначно, если известны две его смежные стороны и три угла.
• Четырехугольник можно построить однозначно, если известны его три стороны и два угла между ними.

Глава 5. Обработка данных

Обработка данных – это процесс сбора, организации и представления необработанной информации таким образом, чтобы она была полезна другим, например, в виде графиков, диаграмм и т.  д. Любая проблема, которую нам необходимо изучить. нуждается в сборе данных, которые затем должны быть представлены таким образом, чтобы обеспечить четкое визуальное представление специфики проблемы, а также изучить альтернативные решения. Ниже приводится список формул и важных терминов, обсуждаемых в этой главе:

• Данные: Данные — это систематическая запись фактов или отдельных значений количества.
• Упорядочивание данных в порядке изучения их характерных особенностей называется представлением данных.
• Частота: Определяется как количество раз появления определенного объекта. Таблица используется для представления частоты различных объектов в заданных данных и называется Таблица распределения частот .
  • Если данные, представленные в таблице распределения частот, представлены в виде групп заданных значений, то она называется сгруппированной таблицей распределения частот . Эти групповые данные заданных значений группируются и называются интервалами классов. Однако количество значений, которые содержит каждый класс, называется размером или шириной класса.
    1. Нижнее значение в интервале классов называется Нижний предел класса .
    2. Верхнее значение в интервале классов называется пределом верхнего класса .
• Графическое представление данных:
  1. Пиктограмма: Графическое представление данных с помощью символов.
  2. Гистограмма : Отображение информации с использованием столбцов одинаковой ширины, высота которых пропорциональна соответствующим значениям.
  3. Двойная гистограмма: Гистограмма, показывающая одновременно два набора данных. Это полезно для сравнения данных.
  4. Гистограмма : графическое представление частотного распределения в виде прямоугольников с интервалами классов в качестве оснований и высотой, пропорциональной соответствующим частотам, таким образом, что между любыми последовательными прямоугольниками нет промежутка.
  5. Круговая диаграмма или круговая диаграмма : Графическое представление числовых данных в виде секторов круга, где площадь каждого сектора пропорциональна величине данных, представленных сектором.
• Вероятность = Количество исходов, составляющих событие / Общее количество исходов, если исходы равновероятны.

Глава 6. Квадраты и квадратные корни

Квадратное число — это натуральное число (пусть q), которое может быть выражено как0052 2 , где n также является натуральным числом. например 4 — квадратное число, как 4 = 2 ² . Квадратный корень — это операция, обратная возведению в квадрат.

Если q — натуральное число такое, что p ² = q, то

√q = p и –p

 Некоторые важные свойства квадратов и квадратных корней перечислены ниже:

9023 4

Есть представляют собой 2n несовершенных квадратных чисел между n ² и (n+1) ² .

Если полный квадрат состоит из n цифр, то его квадратный корень будет состоять из n/2 цифр, если n четное, или (n+1)/2, если n нечетное.

Глава 7. Кубы и кубические корни

Обратной формулой куба является формула кубического корня. Мы умножаем число три раза, чтобы получить его куб в формуле куба, поэтому в этой ситуации мы разбиваем число, которое нужно записать как произведение трех равных чисел, и получаем кубический корень .

Рассмотрим любое число m, которое может быть представлено как произведение любого числа три раза по формуле m = n × n × n = n ³ . n ³ известен как куб из n, а m теперь известен как кубический корень из n:

³ √m = n

Метод нахождения кубического корня: Существует два различных способа определения кубического корня числа, а именно:

1. Метод простой факторизации 902 36
2. Метод оценки

Глава 8: Сравнение величин

Класс 8. Формулы сравнения величин, представленные здесь, были тщательно подготовлены экспертами, чтобы помочь учащимся понять все концепции и формулы, используемые в Главе 8. Приведенные ниже формулы по некоторым важным темам, таким как различные Налоги, такие как налог с продаж, налог на добавленную стоимость, налог на товары и услуги, налог на прибыль и убытки, процентное изменение и скидки, предназначены для того, чтобы помочь учащимся своевременно внести изменения и получить более высокие баллы на экзаменах.

Следующие формулы помогут учащимся понять основы простой арифметики, связанной с деньгами:

• Прибыль = Цена продажи – Себестоимость
• Убыток = Себестоимость – Цена продажи
• Если SP > CP , то это прибыль.
• Если SP = CP , то это не прибыль и не убыток.
• Если CP > SP , то это потеря.
• Скидка = маркированная цена – цена продажи
• Скидка, % = скидка × 100 / MP
• Процент прибыли = (прибыль / себестоимость) × 100
• Процент потерь = (потеря / стоимость) × 100
• Процент увеличился = изменение значения / исходное значение
• Простой процент = (Принципал × скорость × время) / 100
• Соединенные проценты = сумма — Принцип
• Sales Sales. налог или НДС = Налог с продажной цены = (Себестоимость × Ставка налога с продаж) / 100
• Сумма счета = Цена продажи + НДС

Глава 9. Алгебраические выражения и тождества класс 8, это сложная глава, в которой вы должны запомнить все уравнения и правильно их применять. GeeksforGeeks упростит им задачу, разместив все формулы на одной странице. Мы думаем, что здесь приведены алгебраические формулы и алгебраические тождества для класса 8.

Эти формулы помогут учащимся быстро учиться и обеспечат легкий доступ к информации, когда это необходимо.

• (а + б) ² = а ² + 2аб + б ²
• (а – б) ² = а ² – 2аб + б ²
• (а + б) (a – b) = a ² – b ²
• (x + a) (x + b) = x ² + (a + b)x + ab
• (x + a) (x – b) = x ² + (a – b)x – ab
• (x – a) (x + b) = x ² + (b – a)x – ab
• (x – a) (x – b) = x ² – (a + b)x + ab
• (a + b)3 = a ³ + b ³ + 3ab(a + b)
• (a – b)3 = a ³ – b ³ – 3ab(a – b)

Глава 10.

Визуализация твердого тела Формы 

Объемная геометрия жизненно важна в повседневной жизни, поскольку помогает нам понять множество форм, с которыми мы сталкиваемся, и их свойства. Всестороннее понимание визуализации твердотельных объектов может помочь учащимся освоить более сложные принципы геометрии и решать реальные ситуации. В результате очень важно понимать многочисленные формулы, связанные с различными твердыми телами, которые помогут в повседневных вычислениях.

Давайте узнаем о некоторых важных понятиях и формулах, используемых в этой главе.

• Твердые тела определяются их формой и тем фактом, что они занимают место. Грани твердого тела представляют собой многоугольные сечения, из которых состоит твердое тело.
• Многогранник: Многогранник — это твердотельный объект, окаймленный многоугольниками (платоническое тело).
• Формула Эйлера: Многогранник имеет определенное количество плоских граней, ребер и вершин, удовлетворяющих формуле:

F + V – E = 2

, где F – количество граней. Буквы V и E обозначают количество вершин и ребер соответственно.

• Призма: Призма является сплошной с параллелограммными боковыми гранями и конгруэнтными параллельными концами многоугольника (или основаниями). Две треугольные грани, три прямоугольные грани, шесть вершин и девять ребер составляют призму.
• Пирамида: Пирамида – это многогранник, основанием которого является многоугольник с любым числом сторон и дополнительными гранями, представляющими собой треугольники с одной вершиной. Одна квадратная грань, четыре треугольных грани, пять вершин и восемь ребер составляют пирамиду.
• Тетраэдр: Если основание пирамиды представляет собой треугольник, она называется треугольной пирамидой. Тетраэдр — другое название треугольной пирамиды.
• Размеры тела: Твердое тело имеет три измерения (измерения) – длину, ширину и высоту. Плоские формы имеют два измерения (измерения): длину и ширину (или глубину). В результате они называются двумерными и трехмерными формами соответственно. Их называют двумерными и трехмерными фигурами соответственно. Треугольники, прямоугольники и круги являются двухмерными формами, тогда как кубы, цилиндры, конусы и сферы являются трехмерными фигурами. Под разными углами трехмерные объекты кажутся разными. В результате они могут быть нарисованы под разными углами, такими как вид сверху, вид спереди и вид сбоку.
• Картирование : Карта — это не то же самое, что фотография. Карта показывает, где находится одна вещь или место по отношению к другим объектам или местам. Символы используются для обозначения различных предметов и мест. На карте нет привязки или перспективы. С другой стороны, перспектива имеет решающее значение при создании изображения. Кроме того, карты имеют масштаб, который устанавливается для каждой карты.
• Грани, вершины и ребра: Грани — это многоугольные сечения, составляющие многогранник. Ребра — это отрезки, соединяющие грани многогранника. Вершины многогранника — это точки пересечения ребер. В вершине многогранника сходятся три и более ребра.

Глава 11: Измерение

Формулы для измерения класса 8, глава 11, перечислены здесь. Здесь вы найдете ресурсы для измерения, основанные на программе CBSE (2021-2022) и самом последнем образце экзамена. Работайте с формулами и примерами, чтобы лучше понять идею измерения. Измерение — это процесс вычисления площади и периметра различных геометрических форм, таких как треугольники, трапеции, прямоугольники и т. д.

• Периметр: Длина контура любой простой замкнутой фигуры называется периметром.
  • Периметр прямоугольника = 2 × (l + b) единиц.
  • Периметр квадрата = 4 × сторона.
  • Периметром круга называется его окружность. Следовательно, длина окружности равна 2 π r.
  • Периметр параллелограмма = 2 (основание + высота)
  • Периметр треугольника = a + b + c                                             (где a, b и c — длины сторон)
  • Периметр трапеции = a + b + c + d                                   (где a, b, c, d — стороны трапеции)                                             (где a — длина первой пары b — длина второй пары)
  • Периметр ромба = 4 × сторона
  • Периметр шестиугольника = 6 × сторона
• Площадь криволинейной поверхности конуса = 1/2 × l × 2πr = πrl , где «r» — радиус основания, а «l» — наклонная высота. ‘l’ = √(r ² + H ² )
• Объем кубоида = базовая площадь × высота = длина × ширина × высота
• Объем конуса = (1 /3) πr ² H
• Объем счета = = (4/3) π r ³
• Объем полушария = (2/3) πr ³

Глава 12. Показатели и степени

Показатель степени представляет значение, которое относится к числу раз число умножается само на себя. Например, 5 × 5 × 5 можно записать как 5 ³ . Даже очень маленькие числа могут быть выражены в виде отрицательных показателей. Вот список некоторых законов, относящихся к экспонентам:

• Закон произведения: a ^m × a ⁿ = a ^{m + n}
• Закон частного: a ^{m 90 053/а n  = am – n}
• Закон нулевого показателя степени: a ⁰ = 1
• Закон отрицательного показателя степени: a ^-m = 1/a ^m
• Закон мощности степени : (а ^м )n = a ^mn
• Закон мощности произведения: (ab) ⁿ = a ^m b ^m
• Закон мощности частного: (a/b) ^m = a ^m /b ^m

Глава 13.

Прямые и обратные пропорции

Чтобы показать, как количества и количества связаны друг с другом, используется прямая и обратная пропорция. Прямо пропорциональные и обратно пропорциональные — это другие термины, используемые для их описания.

• Пропорции: Пропорциональность представлена ​​символом ∝. Например, если мы утверждаем, что p пропорционально q, это подразумевает p ∝ q , а если мы говорим, что p обратно пропорционально q, то это подразумевает «p∝1/q». Эти отношения регулируются некоторыми правилами пропорциональности. Теперь значение «p» изменяется с точки зрения «q» в обоих случаях, или когда значение «q» изменяется, значение «p» также изменяется. Константа пропорциональности равна изменению обоих значений. По сути, пропорция указывает на то, что два отношения, такие как p/q и r/s, эквивалентны, то есть p/q = r/s.
• Прямая пропорция или вариация: Можно сказать, что любые две величины a и b находятся в прямой зависимости, если они изменяются (увеличиваются или уменьшаются) друг с другом таким образом, что отношение их соответствующих значений остается неизменным. Отсюда следует, что если a/b = k, где k — любое положительное число, то говорят, что a и b прямо пропорциональны. например Если количество купленных вещей увеличивается, то увеличивается и общая стоимость покупки.
• Величины, которые увеличиваются или уменьшаются параллельно, не обязательно должны быть прямо пропорциональны, а обратная пропорция не всегда должна быть прямо пропорциональна.
• Обратная пропорция: Говорят, что две величины x и y находятся в обратной пропорции, если увеличение x вызывает пропорциональное уменьшение y (и наоборот ) таким образом, что произведение их соответствующих значений остается постоянный. То есть, если xy = k, то говорят, что x и y изменяются обратно пропорционально. например Если количество людей увеличивается, время, затрачиваемое на приготовление еды, уменьшается. Или если скорость увеличится, время, необходимое для преодоления заданного расстояния, уменьшится.

Глава 14: Факторизация

Факторизация — это один из наиболее распространенных способов приведения алгебраического или квадратного уравнения к его простейшей форме. В результате нужно быть знакомым с формулами факторизации, чтобы разложить сложное уравнение. Ниже приведен список различных формул и свойств, полезных для решения задач полиномов, тригонометрии, алгебры и квадратных уравнений.

• Факторизация : Факторизация — это процесс выражения алгебраического уравнения в виде произведения его компонентов. В качестве коэффициентов можно использовать числа, переменные или алгебраические выражения.
• Несократимый множитель: Компонент, который нельзя далее сформулировать как произведение сомножителей, называется неприводимым.
• Метод факторизации: Метод общего фактора представляет собой метод методического разложения уравнения на множители. Есть три шага, чтобы решить эту проблему:
  • Каждый член утверждения должен быть записан как произведение неприводимых элементов.
  • Найдите и разделите похожие компоненты.
  • В каждом члене соедините оставшиеся элементы в соответствии с распределительным законом.
• Все термины в данном выражении могут иногда не иметь общего множителя, но термины могут быть сгруппированы так, чтобы все термины в каждой группе имели общий делитель. Когда мы это делаем, для всех групп появляется общий множитель, что приводит к необходимой факторизации выражения. Это метод перегруппировки.
• При факторинге путем перегруппировки имейте в виду, что любая перегруппировка (т. е. перестановка) членов в предоставленном уравнении может привести или не привести к факторизации. Мы должны соблюдать язык и использовать метод проб и ошибок, чтобы прийти к желаемой перегруппировке.
• Ряд факторизуемых выражений имеет вид или может быть разложен на множители в виде: – б ² и x ² + (a + b)x + ab . Эти выражения можно легко разложить на множители, используя приведенные ниже тождества: – 2аб + б ² = (a – b) ²
• a ² – b ² = (a + b) (a – b)
• x ^{2 90 053 + (а + б)х + аб = (x + a)(x + b)}

Помните, что числовой член дает ab в формулировках с факторами типа (х + а) (х + б) . Его коэффициенты а и b следует выбирать так, чтобы их сумма с учетом знаков равнялась коэффициенту х.

При делении многочлена на одночлен мы можем разделить многочлен либо путем деления каждого члена на одночлен, либо с помощью метода общего множителя.

Мы не можем разделить каждый член многочлена делимого на многочлен делителя при делении многочлена на другой многочлен. Вместо этого оба полинома факторизуются, а их общие делители сокращаются.

У нас есть подразделения алгебраических выражений в случае подразделений алгебраических выражений, которые мы обсуждали в этой главе.

Делимое = делитель × частное

или

Делимое = делитель × частное + остаток

Глава 15. Введение в графики

Использование графических инструментов для отображения данных особенно эффективно при организации и понимании информация. Ниже приведены некоторые примеры графических методов:

• При сравнении категорий гистограмма является наиболее подходящим инструментом.
• Круговые диаграммы — лучший способ сравнить части целого.
• Гистограмму можно использовать для упрощения интерпретации данных, когда они представлены с интервалами.
• Линейный график удобен в ситуации, когда данные постоянно меняются с течением времени.
• Координата x и координата y необходимы для фиксации точки на листе графика.
• График изображает отношение между зависимой переменной и независимой переменной.

Глава 16. Игра с числами

Говорят, что число имеет общую форму, если оно может быть представлено как сумма произведений его цифр и связанных с ними разрядных значений. Числа можно записывать разными способами. В результате ab = 10a +b будет выражаться двузначным числом. При решении головоломок или игре с числами полезна общая форма чисел. Когда числа изложены в общей форме, могут быть указаны причины, по которым они делятся на 10, 5, 2, 9 или 3.

Правила кратности:

• Признак делимости на 2: число делится на 2, если его единица равна 0, 2, 4, 6 или 8.

Кон­цеп­ция но­вых ис­точ­ни­ков З. на ос­но­ве раз­ви­тия сфе­ры ус­луг, воз­ник­шая в ев­роп. стра­нах в нач. 1970-х гг., от­ра­зи­ла важ­ней­шую роль этой сфе­ры в раз­ви­тии совр. эко­но­ми­ки, пре­ж­де все­го ин­фор­ма­ци­он­ных, рек­реа­ци­он­ных и ту­ри­стич. ус­луг. Сфе­ра ус­луг в зап.-ев­роп. стра­нах рас­ши­ря­лась с 1971 еже­год­но бо­лее чем на 1 млн. ра­бо­чих мест; в сер. 1990-х гг. толь­ко ус­лу­ги ме­ст­но­го зна­че­ния по улуч­ше­нию ус­ло­вий оби­та­ния соз­да­ли в стра­нах ЕС 3 млн. ра­бо­чих мест. В РФ до­ля сфе­ры ус­луг к нач. 21 в. не дос­тиг­ла чет­вер­ти всех за­ня­тых; дан­ные о за­ня­тых в этой сфе­ре в рос. ста­ти­сти­ке от­сут­ст­ву­ют, пуб­ли­ку­ют­ся лишь дан­ные о ви­дах дея­тель­но­сти – гра­фа «про­чие ком­му­наль­ные, со­ци­аль­ные и пер­со­наль­ные ус­лу­ги» – чис­лен­ность за­ня­тых по ока­за­нию этих ус­луг со­ста­ви­ла 2,46 млн. чел. (2005).

В свя­зи с пе­ре­хо­дом к ры­ноч­ной эко­но­ми­ке в Рос­сии зна­чи­тель­но из­ме­ни­лась струк­ту­ра З. по разл. фор­мам соб­ст­вен­но­сти (табл. 2). За­ко­но­мер­ным бы­ло со­кра­ще­ние З. в сме­шан­ном сек­то­ре эко­но­ми­ки; с 2001 ста­ла со­кра­щать­ся чис­лен­ность и до­ля за­ня­тых в об­ществ. ор­га­ни­за­ци­ях.

Важ­ная ха­рак­те­ри­сти­ка З. и рын­ка тру­да – те­ку­честь ра­бо­чей си­лы (до­ля тех, кто пре­бы­вал в долж­но­сти ме­нее го­да). В стра­нах с бо­лее вы­со­кой те­ку­че­стью за­фик­си­ро­ва­на и бо́ль­шая ве­личи­на это­го по­ка­за­те­ля (ок. чет­вер­ти в Ка­на­де и бо­лее чет­вер­ти в США) по срав­не­нию с ев­роп. стра­на­ми, где те­ку­честь ни­же (Фран­ция ок. 17%, Гер­ма­ния ок. 13%). В стра­нах с бо­лее стро­ги­ми за­ко­на­ми в об­лас­ти З. (Фран­ция, Ита­лия, Шве­ция) ди­на­ми­ка те­ку­че­сти име­ет цик­лич. ха­рак­тер. Дос­та­точ­но раз­ви­тое за­ко­но­да­тель­ст­во по ох­ра­не З. умень­ша­ет в от­но­ше­нии по­сто­ян­ных ра­бот­ни­ков воз­мож­ность со­кра­ще­ния ра­бо­чих мест, т. к. де­ла­ет ме­ро­прия­тия по их ли­к­ви­да­ции про­це­ду­рой со зна­чит. за­тра­та­ми; та­ко­го же яв­ле­ния в от­но­ше­нии ра­бо­таю­щих по врем. кон­трак­там не на­блю­да­ет­ся. Об­сле­до­ва­ния стран ОЭСР по­ка­зы­ва­ют, что за­ме­ны по­сто­ян­ных ра­бо­чих мест на вре­мен­ные в зна­чит. объ­ё­ме не на­блю­да­ет­ся, за ис­клю­че­ни­ем Ис­па­нии, где это яв­ле­ние име­ет дос­та­точ­ные мас­шта­бы для по­тен­ци­аль­но­го влия­ния на уро­вень те­ку­че­сти ра­бо­чей си­лы.

Ре­гу­ли­ро­ва­ние З. в РФ осу­ще­ст­в­ля­ет­ся на ос­но­ве двух за­ко­нов: За­ко­на о за­ня­то­сти на­се­ле­ния (1991), ре­гу­ли­рую­ще­го со­ци­аль­но-эко­но­мич. про­бле­мы без­ра­бо­ти­цы, и Тру­до­во­го ко­дек­са (2002), ре­гу­ли­рую­ще­го со­ци­аль­но-тру­до­вые от­но­ше­ния, в от­ли­чие, напр., от Япо­нии, где сфе­ру за­ня­то­сти ре­гу­ли­ру­ет ок. 30 за­ко­нов. Ус­ло­вия за­ня­то­сти иностр. граж­дан в РФ оп­ре­де­ля­ет Фе­де­раль­ный за­кон «О пра­во­вом по­ло­же­нии ино­стран­ных гра­ж­дан в Рос­сий­ской Фе­де­ра­ции» (2002), а так­же дву­сто­рон­ние пра­ви­тельств. со­гла­ше­ния.

Час­тич­ная, или «не­пол­ная», З. су­ще­ст­ву­ет в ви­де доб­ро­воль­ной З., свя­зан­ной с по­треб­но­стью ра­бот­ни­ка ог­ра­ни­чить по вре­ме­ни своё уча­стие в на­ём­ном тру­де, и вы­ну­ж­ден­ной З., свя­зан­ной с по­треб­но­стя­ми фир­мы (пред­при­ятия). Не­пол­ная З. не за­ни­ма­ет зна­чит. объ­ё­ма, так, в ср. в стра­нах ЕС за­ня­то на ус­ло­ви­ях не­пол­но­го ра­бо­че­го вре­ме­ни ок. 6% всех за­ня­тых, но её раз­ви­тие силь­но от­ли­ча­ет­ся как по стра­нам, так и по ха­рак­те­ру тру­да за­ня­тых на этих ус­ло­ви­ях. В РФ, кро­ме эко­но­ми­че­ски доб­ро­воль­ной не­пол­ной З., ко­то­рая не по­лу­чи­ла не­об­хо­ди­мо­го раз­ви­тия, ши­ро­ко рас­про­стра­не­на не­пол­ная З. в ви­де ра­бо­таю­щих не­пол­ное ра­бо­чее вре­мя по ини­циа­ти­ве ад­ми­ни­ст­ра­ции и ра­бот­ни­ков, ко­то­рые от­прав­ле­ны в т. н. ад­ми­ни­ст­ра­тив­ные от­пус­ка. Эти ви­ды не­пол­ной за­ня­то­сти во мно­гом ком­пен­си­ро­ва­ли рост ре­ги­стри­руе­мой без­ра­бо­ти­цы в 1990-е гг. В 2000 чис­лен­ность за­ня­тых не­пол­ное ра­бо­чее вре­мя со­ста­ви­ла 77% по от­но­ше­нию к 1995, чис­лен­ность ра­бот­ни­ков в адм. от­пус­ках – 104%, в 2005 по срав­не­нию с 1995 – со­от­вет­ст­вен­но 23 и 41%, что, не­смот­ря на умень­ше­ние, для ста­биль­но рас­ту­щей эко­но­ми­ки со­став­ля­ет ве­со­мую ве­ли­чи­ну.

В 1994–95 Рос­сия, Ук­раи­на, за­тем др. стра­ны СНГ на­ча­ли вво­дить но­вые стан­дарт­ные нац. сис­те­мы клас­си­фи­ка­ции за­ня­тий на ба­зе ме­ж­ду­нар. мо­де­ли, за ко­то­рую при­ня­ли Ме­ж­ду­нар. стан­дарт­ную клас­си­фи­ка­цию за­ня­тий, 1988 (ИСКО-88).

В струк­ту­ре за­ня­тых по ви­дам эко­но­мич. дея­тель­но­сти (табл. 3) осо­бен­но за­мет­но от­ста­ва­ние Рос­сии от вы­со­ко­раз­ви­тых зап. стран в сфе­ре фи­нан­со­вой дея­тель­но­сти, опе­ра­ци­ях с не­дви­жи­мым иму­ще­ст­вом и ус­лу­гах по арен­де, в пре­дос­тав­ле­нии со­ци­аль­ных и пер­со­наль­ных ус­луг, в т. ч. в здра­во­охра­не­нии.

Таблица 3. Структура численности занятых по видам экономической деятельности (2004, % к итогу)*
	Россия***	Велико-  британия	Германия	США	Франция	Швеция
Сельское хозяйство**	9,7	1,2	2,3	1,6	4,1	2,1
Обрабатывающие производства	17,8	13,5	22,8	11,8	16,9	16,1
Строительство	6,8	7,7	6,8	7,7	6,7	5,7
Торговля, ремонт	15,6	15,5	14,0	15,0	13,6	12,6
Гостиницы, рестораны	1,8	4,4	3,4	6,6	3,3	2,9
Финансовая деятельность	1,5	4,2	3,6	5,0	2,7	2,1
Операции с имуществом	6,2	11,3	9,2	12,3	10,0	12,9
Образование	9,3	9,1	5,7	8,7	6,9	11,2
Здравоохранение и социальные услуги	7,0	12,0	11,4	12,0	11,8	16,2
Коммунальные, социальные, персональные услуги	3,2	5,6	5,4	9,4	4,3	5,1
* Приводится неполный перечень видов, поэтому сумма не равна 100%.
** Включая рыболовство и рыбоводство.
*** Россия — 2005. Данные по РФ в соответствии с Общероссийским классификатором видов экономической       деятельности (ОКВЭД), разработанным на основе международного классификатора ИСКО-88.

Для ре­гу­ли­ро­ва­ния осн. со­став­ляю­щих З. го­су­дар­ст­во осу­ще­ст­в­ля­ет по­ли­ти­ку З., на­прав­лен­ную на пол­ное и эф­фек­тив­ное ис­поль­зо­ва­ние ра­бо­чей си­лы в ря­ду др. фак­то­ров про­из-ва для дос­ти­же­ния вы­со­ких тем­пов эко­но­мич. рос­та. В по­сле­во­ен­ный пе­ри­од раз­ви­тые го­су­дар­ст­ва стре­ми­лись со­дей­ст­во­вать рас­ши­ре­нию гиб­кой, не­пол­ной З. на доб­ро­воль­ной ос­но­ве, по­ощ­ря­ли во­вле­че­ние жен­щин в об­ществ. про­из-во. Гос. по­ли­ти­ка З. пы­та­ет­ся вли­ять на спрос и пред­ло­же­ние ра­бо­чей си­лы, её пе­ре­рас­пре­де­ле­ние с це­лью наи­бо­лее про­дук­тив­но­го ис­поль­зо­ва­ния. Осн. про­грам­ма­ми обыч­но яв­ля­ют­ся про­грам­мы соз­да­ния но­вых ра­бо­чих мест, ре­ст­рук­ту­ри­за­ции за­ня­то­сти для фор­ми­ро­ва­ния бо­лее эф­фек­тив­ной струк­ту­ры эко­но­ми­ки, про­грам­мы пе­ре­обу­че­ния и пе­ре­ква­ли­фи­ка­ции ра­бот­ни­ков. В 1990-е гг. раз­ви­тые стра­ны Ев­ро­пы, ис­пы­тав­шие кри­зис З., при­ня­ли но­вые ини­циа­ти­вы и одоб­ри­ли мо­дель под­держ­ки про­из-ва с ин­тен­сив­ной З. (employment-intensive pattern), при­знав, что уве­ли­че­ние чис­лен­но­сти за­ня­тых при лю­бом уров­не эко­но­мич. рос­та же­ла­тель­но с эко­но­мич. и со­ци­аль­ной то­чек зре­ния. За­тра­ты на гос. ре­гу­ли­ро­ва­ние за­ня­то­сти в стра­нах ОЭСР в 1990-е гг. бы­ли весь­ма зна­чи­тель­ны­ми и ко­ле­ба­лись по от­но­ше­нию к ВВП от 1,6% в Ита­лии до 3,1% во Фран­ции.

В со­от­вет­ст­вии с кон­вен­ция­ми МОТ нац. пра­ви­тель­ст­ва долж­ны со­дей­ст­во­вать фор­ми­ро­ва­нию пол­ной, про­дук­тив­ной и сво­бод­но из­бран­ной З., что мож­но рас­смат­ри­вать как об­щую па­ра­диг­му по­ли­ти­ки З., в макс. сте­пе­ни от­ве­чаю­щей нац. ин­те­ре­сам. Ев­роп. го­су­дар­ст­ва­ми эта по­ли­ти­ка стро­ит­ся на ос­но­ве Ев­роп. пак­та за­ня­то­сти (1999), в ко­то­ром дос­ти­же­ние пол­ной за­ня­то­сти на­зва­но це­лью этой по­ли­ти­ки. По­ли­ти­ка З. ре­ша­ет та­кие во­про­сы, как пра­во­вой рег­ла­мент ра­бо­че­го вре­ме­ни, ми­ним. уро­вень оп­ла­ты тру­да, воз­рас­тные гра­ни­цы за­ня­то­сти и т. п. на об­ще­фе­де­раль­ном уров­не.

Наи­бо­лее пол­ные дан­ные о З. мо­гут фор­ми­ро­вать­ся в ре­зуль­та­те спец. об­сле­до­ва­ний, про­во­ди­мых в раз­ви­тых стра­нах не ме­нее 4 раз в год (в ряде стран, напр. в Фин­лян­дии, Шве­ции, – еже­ме­сяч­но). В РФ с 1992 про­во­дит­ся еже­год­ное «Вы­бо­роч­ное об­сле­до­ва­ние на­се­ле­ния по про­бле­мам за­ня­то­сти», с 1999 – 4 раза в год.

Уровень участия в рабочей силе: цель, формула и тенденции

Что такое уровень участия в рабочей силе?

Уровень участия в рабочей силе является оценкой активной рабочей силы в экономике. Формула представляет собой количество людей в возрасте 16 лет и старше, которые работают или активно ищут работу, деленное на общее количество неинституционализированного гражданского трудоспособного населения.

По данным Бюро статистики труда США (BLS), которое ежемесячно публикует данные, за 12 месяцев, закончившихся в феврале 2023 года, уровень участия в рабочей силе США колебался от 62,1% до 62,5%. По состоянию на февраль 2023 года он составляет 62,5%.

С 2013 г. ежемесячные показатели оставались стабильными на уровне около 63% после резкого снижения после Великой рецессии; однако в начале 2020 года уровень участия в рабочей силе резко упал с 63,4% до 61,4% в первой половине года в результате пандемии COVID-19. Его низшая точка была достигнута в апреле 2020 года, когда ставка опустилась до 60,2%.

Ключевые выводы

• Уровень участия в рабочей силе показывает процентную долю всех людей трудоспособного возраста, которые работают или активно ищут работу.
• В сочетании с данными по безработице это может дать некоторое представление о состоянии экономики.
• Начиная с 2013 года уровень участия в рабочей силе США оставался стабильным на уровне около 63%, пока не разразилась пандемия COVID-19. По состоянию на февраль 2023 года он составлял 62,5%.
• Показатель меняется со временем в зависимости от социальных, демографических и экономических тенденций.
• Участие в рабочей силе в мире неуклонно снижается с 1990 года.

Уровень участия

Понимание уровня участия в рабочей силе

Уровень участия в рабочей силе является важным показателем для использования при анализе данных о занятости и безработице, поскольку он измеряет количество людей, которые активно ищут работу, а также тех, кто в настоящее время работает. Он не включает людей, находящихся в лечебных учреждениях (в тюрьмах, домах престарелых или психиатрических больницах) и военнослужащих.

Он включает всех других людей в возрасте 16 лет и старше и сравнивает долю тех, кто работает или ищет работу вне дома, с теми, кто не работает и не ищет работу вне дома.

Поскольку он учитывает людей, которые отказались от поиска работы, это может сделать уровень участия в рабочей силе несколько более надежным показателем, чем уровень безработицы. Цифры по безработице не учитывают тех, кто отказался от поиска работы.

Некоторые экономисты утверждают, что уровень участия в рабочей силе и данные о безработице следует рассматривать вместе, чтобы лучше понять реальный статус занятости в экономике.

Коэффициент участия в рабочей силе Формула

Формула участия в рабочей силе:

( Количество занятых + Ищу работу ) × 100 Гражданское неинституциональное население \begin{aligned}&\frac{ ( \text{Число работающих} + \text{Число ищущих работу} ) \times 100 }{ \text{Гражданское неинституциональное население} } \\\end{aligned} ​Гражданское неинституциональное население (количество работающих+количество ищущих работу) × 100​​

Это относится ко всем членам населения в возрасте 16 лет и старше. ( Количество занятых + Ищу работу ) × 100 Гражданское неинституциональное население \frac{ ( \text{Число занятых} + \text{Число ищущих работу} ) \times 100 }{ \text{Гражданское неинституциональное население} } Гражданское неинституциональное население (количество работающих + количество ищущих работу) × 100​

Факторы, влияющие на уровень участия

Участие в рабочей силе не существует в вакууме. Вместо этого на него влияют различные социальные, экономические и демографические факторы. По мере изменения этих факторов участие в рабочей силе может увеличиваться или уменьшаться. Эти изменения могут происходить быстро или медленно. Они могут иметь краткосрочное влияние на участие в рабочей силе или могут привести к долгосрочным изменениям.

Экономические факторы

Краткосрочные и долгосрочные экономические тенденции могут влиять на уровень участия в рабочей силе. В долгосрочной перспективе влияние могут оказать индустриализация и накопление богатства.

Индустриализация имеет тенденцию к увеличению участия, создавая возможности для трудоустройства. Высокий уровень накопленного богатства может снизить участие, потому что более состоятельным людям просто меньше нужно работать, чтобы зарабатывать на жизнь.

В краткосрочной перспективе на уровень участия влияют деловые циклы и уровень безработицы. Во время экономического спада уровень участия в рабочей силе имеет тенденцию к снижению, потому что многие уволенные работники разочаровываются и перестают искать работу. Экономическая политика, такая как жесткое регулирование рынка труда и щедрые программы социальных пособий, также может привести к снижению участия в рабочей силе.

Социальные факторы

Социальные ожидания и изменения этих ожиданий могут повлиять на то, кто доступен для участия в рабочей силе. Поскольку ожидается, что разные группы будут работать или нет, уровень участия в рабочей силе будет повышаться или понижаться.

Например, если считается, что женатые мужчины несут ответственность за содержание своих семей, а замужние женщины остаются дома, то женщины перестанут работать после замужества или после рождения детей, что снижает уровень участия в рабочей силе. Однако если предполагается, что оба родителя должны иметь возможность работать, то некоторые родители любого пола уйдут с рынка труда, а другие останутся.

Ожидания в отношении образования также могут повлиять на уровень участия в рабочей силе. Если большинство молодых людей изучают профессию или семейный бизнес по мере взросления, а затем ожидается, что они будут работать сразу после окончания средней школы, тогда взрослые начнут работать в возрасте от 17 до 19 лет. В странах или демографических группах однако там, где обучение в колледже более распространено, больше молодых людей продолжают свое образование после окончания средней школы. Участие в рабочей силе снизится, потому что они не присоединятся к рабочей силе до тех пор, пока им не исполнится двадцать или около двадцати пяти лет.

Демографические факторы

Изменения численности населения трудоспособного возраста от поколения к поколению также влияют на участие в рабочей силе. По мере того, как большие возрастные когорты достигают пенсионного возраста, уровень участия в рабочей силе может снижаться.

Например, выход на пенсию постоянного потока бэби-бумеров привел к сокращению участия в рабочей силе. Бэби-бумеры составляют одну из крупнейших демографических групп населения. Поскольку поколения после бэби-бумеров меньше, они не будут заменены таким же количеством активных молодых работников, когда они уйдут на пенсию.

Тенденции участия

Уровень участия в рабочей силе изменился в зависимости от экономических, социальных и демографических тенденций в долгосрочной перспективе. Он неуклонно рос во второй половине 20-го века, достигнув пика в 67,3% в апреле 2000 года. Когда в 2008 году разразилась Великая рецессия, уровень участия несколько лет резко снижался, стабилизировавшись на уровне около 63% к 2013 году.

Тенденция участия женщин в рабочей силе во многом соответствует долгосрочным тенденциям для всего населения. Уровень участия женщин в рабочей силе почти удвоился с 32% до 60% за 50 лет с 1948 по 1998 год. С тех пор этот показатель упал до 54,6% в апреле 2020 года с 57,9% в феврале 2020 года. По состоянию на февраль 2023 года он в настоящее время составляет 57,2%.

Уровень участия в рабочей силе США, составлявший 62,5% в феврале 2023 года, включал 57,2% участия женщин и 68,0% участия мужчин.

Почему снизился уровень участия

По данным Федеральной резервной системы, доля людей трудоспособного возраста (от 25 до 54 лет) в рабочей силе достигла пика в 72% в 1919 году.95 и с тех пор снижается. Это примерно соответствует некоторым тенденциям снижения участия в рабочей силе в 21 веке. Есть ряд причин, по которым уровень участия в рабочей силе снизился.

• Великая рецессия : Во время Великой рецессии с 2007 по 2009 год безработица выросла с 5% до 10%. В последующее десятилетие рынок труда восстановился. Но многие работники, покинувшие рынок труда, так и не вернулись к работе на полный рабочий день, даже после того, как рабочие места появились. Хотя общая безработица вернулась к докризисному уровню, уровень долгосрочной безработицы увеличился, поскольку рабочие, потерявшие работу, оставались вне рабочей силы в течение более длительных периодов времени.
• COVID-19 : В начале 2020 года произошло еще одно резкое падение участия в рабочей силе, поскольку пандемия COVID-19 остановила экономику США. Многие уязвимые работники не могли или не желали оставаться на постоянной работе, в то время как другие увольнялись с работы, чтобы заботиться о членах семьи дома. Из-за ожиданий ухода женщины уходили с работы чаще, чем мужчины.
• Выход на пенсию : Бэби-бумеры составляют самый большой сегмент населения. По мере того, как они достигают пенсионного возраста и уходят из состава рабочей силы, уровень участия снижается, так как не хватает более молодых работников, чтобы заменить их. По данным Совета экономических консультантов при президенте, с 2007 по 2014 год сокращение участия в рабочей силе почти наполовину было результатом старения рабочей силы.
• Колледж : Еще одним фактором, снижающим участие в рабочей силе, является увеличение посещаемости колледжей среди представителей младшего возраста. Поступление в колледжи в возрасте от 18 до 24 лет увеличилось примерно с 35% до 41% с 2000 по 2018 год; однако уровень зачисления в бакалавриат снизился из-за пандемии: с осени 2020 года по осень 2021 года количество зачисленных в бакалавриат снизилось на 7,8%. По состоянию на октябрь 2022 года оно продолжало падать, но более медленными темпами.

Национальный уровень безработицы в США в феврале 2023 года составил 3,6%.

Участие в глобальной рабочей силе

Участие в рабочей силе в мире неуклонно снижается с 1990 года. По данным Всемирного банка, уровень участия в рабочей силе в мире составлял 59% в конце 2021 года по сравнению с 62% в 2010 году.

В следующей таблице показаны страны с самым высоким и самым низким уровнем участия в рабочей силе по состоянию на 2021 год (последние данные):

Территория США Пуэрто-Рико также попала в список, заняв место среди стран с самым низким уровнем участия в рабочей силе на уровне 40%.

Что измеряет уровень участия в рабочей силе?

Уровень участия в рабочей силе измеряет активную рабочую силу страны, состоящую из людей в возрасте 16 лет и старше. Он учитывает людей, которые перестали искать работу, но все еще хотят работать, в отличие от уровня безработицы.

Что влияет на уровень участия в рабочей силе?

На показатель влияют три основных фактора: экономический, демографический и социальный. Например, недавний выход на пенсию большого числа бэби-бумеров привел к снижению этого показателя, в то время как появление большого числа женщин на рынке труда во второй половине 20-го века увеличило этот показатель. В апреле 2020 года, после того как в США поразила пандемия COVID-19, показатель снизился более чем на 3% по сравнению с началом того же года.

Насколько уровень участия в рабочей силе США соотносится с показателями других стран?

Согласно последним данным Всемирного банка за 2021 год, США находятся в середине списка с показателем 61%, что на несколько пунктов опережает мировой показатель в 59%. Самый высокий показатель был у Катара (88%), а самый низкий у Джибути (31%).

Как измеряется уровень участия в рабочей силе?

Уровень участия в рабочей силе измеряется Бюро статистики труда на основе ежемесячного обследования домохозяйств, проводимого Бюро переписи населения США. В этом опросе респондентов спрашивают об их возрасте и о том, работают ли они или ищут работу. На этой основе правительство может оценить уровень участия в рабочей силе.

Почему снижается уровень участия в рабочей силе?

Уровень участия неуклонно снижался с конца 1990-х годов, в основном из-за выхода на пенсию бэби-бумеров и других демографических изменений. В 2020 году произошло резкое падение участия в рабочей силе из-за пандемии COVID-19, которая закрыла многие предприятия и вынудила многих уязвимых людей уйти с рынка труда.

Практический результат

Уровень участия в рабочей силе измеряет процент взрослых, которые либо работают, либо активно ищут работу. Он не включает тех, кто находится в армии, тюрьмах или иным образом вне обычного рынка труда. Он также учитывает людей, которые не ищут работу, что делает его более надежной статистикой, чем обычный уровень безработицы.

Полная занятость: определение, виды и примеры

Что такое полная занятость?

Полная занятость – экономическая ситуация, при которой все имеющиеся трудовые ресурсы используются максимально эффективно. Полная занятость означает наибольшее количество квалифицированной и неквалифицированной рабочей силы, которая может быть задействована в экономике в любой момент времени.

Настоящая полная занятость — это идеальная — и, вероятно, недостижимая — ситуация, при которой каждый, кто хочет и может работать, может найти работу, а безработица равна нулю. Это теоретическая цель, к которой должны стремиться лица, определяющие экономическую политику, а не реально наблюдаемое состояние экономики. С практической точки зрения экономисты могут определить различные уровни полной занятости, связанные с низким, но ненулевым уровнем безработицы.

Ключевые выводы

• Полная занятость — это когда все имеющиеся трудовые ресурсы используются максимально эффективно.
• Полная занятость означает наибольшее количество квалифицированной и неквалифицированной рабочей силы, которая может быть задействована в экономике в любой момент времени.
• Экономисты определяют различные типы полной занятости на основе своих теорий как цели экономической политики.
• Многие современные экономисты согласны с тем, что некоторая безработица необходима, чтобы избежать инфляции и позволить работникам переходить с одной работы на другую, получать образование или повышать квалификацию.
• Уровень безработицы 5% или ниже часто считается полной занятостью в реальном мире.

Полная занятость

Полная занятость

Полная занятость рассматривается как идеальный уровень занятости в экономике, при котором ни один работник не является вынужденно безработным. Полная занятость труда является одним из компонентов экономики, которая работает с полным производственным потенциалом и производит в точке на границе своих производственных возможностей. Если есть какая-либо безработица, то экономика не работает в полную силу, и возможно некоторое повышение экономической эффективности.

Однако, поскольку ликвидировать всю безработицу из всех источников практически невозможно, полная занятость может оказаться недостижимой. Для многих экономистов более новое понимание полной занятости требует определенного уровня безработицы, чтобы сдерживать инфляцию и позволять работникам переходить с одной работы на другую, продолжать свое образование или повышать квалификацию.

Уровень безработицы в 5% часто считается полной занятостью. Этого уровня безработицы достаточно, чтобы свести к минимуму инфляцию и позволить работникам перемещаться между работами, но те, кто хочет работать полный рабочий день, должны иметь возможность найти работу на полный рабочий день (даже если это не их любимая профессия).

Кривая Филлипса

Что касается циклической безработицы, многие макроэкономические теории представляют полную занятость как цель, достижение которой часто приводит к инфляционному периоду. Связь между инфляцией и безработицей является важной частью монетаристской и кейнсианской теорий. Эта инфляция является результатом того, что рабочие имеют более высокий располагаемый доход, что, согласно концепции кривой Филлипса, приведет к росту цен.

Это создает потенциальную проблему для разработчиков экономической политики, таких как Федеральная резервная система США, у которых есть двойной мандат на достижение и поддержание как стабильных цен, так и полной занятости. Если на самом деле существует компромисс между занятостью и инфляцией в соответствии с кривой Филлипса, то одновременная полная занятость и ценовая стабильность могут быть невозможны.

Австрийская школа

С другой стороны, некоторые экономисты также выступают против чрезмерного стремления к полной занятости, особенно за счет чрезмерной экспансии денег и кредита посредством денежно-кредитной политики. Экономисты австрийской школы считают, что это приведет к разрушительным перекосам в финансовом и производственном секторах экономики. Это может даже привести к увеличению безработицы в долгосрочной перспективе, спровоцировав последующую рецессию, поскольку ограничения реальных ресурсов вступают в противоречие с искусственно повышенным спросом на различные виды капитальных благ и дополняющую рабочую силу.

Виды безработицы

Безработица может быть вызвана циклическими, структурными, фрикционными или институциональными причинами. Политики могут сосредоточиться на уменьшении основных причин каждого из этих видов безработицы, но при этом они могут столкнуться с компромиссами по отношению к другим целям политики.

Структурный

Желание поощрять технический прогресс может вызвать структурную безработицу. Например, когда работники устаревают из-за автоматизации заводов или использования искусственного интеллекта.

Институциональный

Институциональная безработица возникает в результате институциональной политики, влияющей на экономику. Это могут быть государственные программы, продвигающие социальную справедливость и предлагающие щедрые социальные льготы, а также явления на рынке труда, такие как объединение в профсоюзы и дискриминационный прием на работу.

Фрикционный

Некоторая безработица может быть полностью неизбежна для политиков, например, фрикционная безработица, вызванная тем, что работники добровольно меняют работу или впервые входят в состав рабочей силы. Поиск новой работы, набор новых сотрудников и подбор подходящего работника на подходящую работу — все это часть этого.

Циклический

Циклическая безработица — это колеблющийся тип безработицы, который увеличивается и уменьшается в рамках нормального хода делового цикла. Эта безработица возрастает, когда экономика находится в рецессии, и снижается, когда экономика растет. Следовательно, чтобы экономика была при полной занятости, она не может находиться в рецессии, вызывающей циклическую безработицу.

Кривая Филлипса циклична. Он утверждает, что полная занятость неизбежно приводит к более высокой инфляции, что, в свою очередь, приводит к росту безработицы.

По большей части лица, определяющие макроэкономическую политику, сосредоточены на сокращении циклической безработицы, чтобы приблизить экономику к полной занятости. В этом случае они могут столкнуться с компромиссами против роста инфляции или риска искажения других секторов экономики.

Циклическую безработицу, которая обусловлена ​​изменениями в экономических циклах, не следует путать с «сезонной безработицей», когда изменения в составе рабочей силы предсказуемо происходят в течение года. Например, рабочие места в секторе розничной торговли обычно сокращаются после традиционного периода -до праздника торговый сезон заканчивается после Нового года. Безработица возрастает, когда люди, нанятые на праздники, больше не нужны для удовлетворения спроса.

Типы полной занятости

Из-за сложности и сомнительной желательности достижения истинной полной занятости экономисты разработали другие, более прагматичные цели экономической политики.

Естественная ставка

Естественный уровень безработицы представляет собой только количество безработных из-за структурных и фрикционных факторов на рынках труда. Естественный уровень служит достижимым приближением к полной занятости, принимая во внимание, что технологические изменения и нормальные транзакционные издержки на рынках труда всегда будут означать некоторую умеренную безработицу в любой данный момент времени.

Неускоряющийся уровень инфляции

Уровень безработицы без ускорения инфляции (NAIRU) представляет собой уровень безработицы, который согласуется с низким и стабильным уровнем инфляции цен. NAIRU полезен в качестве цели политики для экономических политиков, которые действуют в рамках двойного мандата, чтобы сбалансировать полную занятость и стабильные цены.

Это не полная занятость, но это максимально приближенная экономика к полной занятости без чрезмерного повышательного давления на цены из-за повышения заработной платы. Современные экономисты часто имеют в виду NAIRU, когда говорят о полной занятости. Обратите внимание, что NAIRU имеет смысл только концептуально и как цель политики, если и когда действительно существует стабильный компромисс между безработицей и инфляцией, как это утверждает кривая Филлипса.

Преимущества полной занятости

Полная занятость может обеспечить ряд преимуществ как для отдельных лиц, так и для общего социально-экономического баланса страны. По мере того, как занятость увеличивается до уровня полной занятости, преимущества включают:

• Сокращение бедности, если все работники имеют доступ к работе на уровне или выше преобладающей ставки оплаты труда
• Повышение заработной платы и условий труда, которые работодатели должны обеспечить для работников
• Предотвращение демотивации безработных или потери ценных навыков
• Рост ВВП по мере того, как работники могут позволить себе товары и услуги
• Сокращение государственных расходов на пособия по безработице и программы социального обеспечения
• За вычетом государственных займов из-за увеличения поступлений от подоходного налога

Примеры полной занятости

Полная занятость – идеальное условие. В результате реальных примеров полной занятости нет. Страны работают над увеличением занятости до полной занятости и снижением уровня безработицы.

Однако есть примеры того, что экономисты считают полной занятостью, когда безработица в стране настолько близка к нулю, насколько позволяют реальные условия, не вызывая инфляции или других экономических трудностей. В целом, полная занятость в реальном мире часто считается занятостью 95% или выше.

К концу 2021 года в число стран, чьи зарегистрированные уровни безработицы можно было считать полной занятостью, входили Бахрейн (1,9%), Бенин (1,6%), Куба (2,8%), Германия (3,5%), Япония (2,8%), Мальта (3,5%). %), Мексика (4,4%), Нидерланды (4%), Норвегия (5%), Польша (3,4%) и Таиланд (1,4%).

В Соединенных Штатах уровень безработицы составлял 3,4% в январе 2023 года, что является одним из самых низких исторических показателей с 1948 года. Самый низкий уровень безработицы в США с 1948 года составлял 2,7% в 1952 году. Оба эти уровня будут рассматриваться экономистами как полная занятость. .

Однако данные по безработице не учитывают тех, кто полностью выбыл из состава рабочей силы, поскольку перестал искать работу, даже если они предпочли бы иметь работу, или тех, кто работает неполный рабочий день, но предпочел бы полный рабочий день. время работы. В реальных условиях полной занятости любой желающий мог бы найти работу с полной занятостью.

Какая ставка считается полной занятостью?

Многие экономисты считают уровень безработицы 5% или ниже максимальной занятостью или максимально близкой к полной занятости, насколько это возможно в реальном мире. Это означает, что уровень полной занятости составляет 95% или выше.

Как узнать, есть ли полная занятость?

В Соединенных Штатах Бюро трудовой статистики считает, что полная занятость имеет место, когда уровень безработицы равен NAIRU, отсутствует циклическая безработица и ВВП страны находится на своем потенциале. Для многих стран эти условия выполняются, когда уровень безработицы составляет 5% или ниже.

Почему существует безработица при полной занятости?

Полная занятость и нулевая безработица в реальном мире не одно и то же. Некоторые виды безработицы неизбежны или даже необходимы для предотвращения инфляции, позволяют работникам переходить с одной работы на другую или дают людям возможность улучшить свое образование или профессиональные навыки. Отрасли и компании также меняются, что меняет имеющиеся рабочие места, и этот процесс в конечном итоге приносит пользу экономике, даже если он оставляет некоторых работников временно безработными.

Итог

Полная занятость — это когда все имеющиеся трудовые ресурсы используются максимально эффективно, не вызывая инфляции. Это теоретическое состояние, в котором каждый, кто хочет найти работу на полный рабочий день, может это сделать, а уровень безработицы составляет 0%.

Многие современные экономисты согласны с тем, что некоторая безработица необходима, чтобы избежать инфляции. Временная безработица также может дать работникам время, чтобы сменить работу, пойти в школу или иным образом улучшить свои навыки. В реальном мире уровень безработицы 5% или ниже часто считается полной занятостью. Этот уровень безработицы предотвращает инфляцию и позволяет работникам перемещаться между работами, но он достаточно низок, чтобы те, кто хочет работать полный рабочий день, могли найти какую-то работу на полный рабочий день.

Это интеграл можно выполнить с помощью простой u-подстановки.

и  =  х ²         дю = 2x дх

и интеграл становится

Зона

Вызов из расчета за первый год, если область R ограничен снизу величиной y = g ₁ (x) и выше на y = g ₂ (x), и  <   x  < б, площадь указана как 

Там это еще один способ получить это выражение. Если мы допустим подынтегральную функцию 1, то двойной интеграл по области R

Это дает нам еще один способ определения площади.

Примечание:  Если область ограничена слева x =  h ₁ (y) а справа ч ₂ (у) с в < y < d, то двойной интеграл от 1 dxdy можно также можно использовать для нахождения площади.

Пример 

Установите двойной интеграл, который дает площадь между y = х ²   и  у = х ³ . Затем с помощью компьютера или калькулятора оценить этот интеграл.

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса». Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Пошаговые примеры — как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

А проверить решение задачи на производную можно на .

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Вычисление производной — одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:

• Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций

Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена «шпаргалка» основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая.

Производные простых функций

1. Производная от числа равна нулю
с´ = 0
Пример:
5´ = 0

Пояснение :
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю.

2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение :
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение :
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с .

Откуда следует, что
(cx + b)» = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|» = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение :
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)»= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)» = 2x
(x 3)» = 3x 2
Для запоминания формулы :
Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)» = — 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)» = (x -1)» , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)» = -1x -2 = — 1 / х 2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
(1 / x c)» = — c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)» = — 2 / x 3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
(√x)» = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)» = (х 1/2)» значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)» = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)» = 1 / (n n √x n-1)

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Калькулятор производных — Калькулятор дифференцирования

Введите функцию и переменную, чтобы найти производную с помощью калькулятора производных.

Enter function 🛈 ⌨

Wrt: 🛈 xyzuvtwθ

No. of derivatives (n): 🛈

This will be calculated:

$${\frac{d}{dx}[sin(x)]}$$

ADVERTISEMENT

ADVERTISEMENT

Table of Contents:

• Производная — Определение
• Как рассчитать производную?
• Производные правила — формулы 

Give Us Feedback

✎

✉

Калькулятор дифференцирования — это онлайн-инструмент исчисления, который находит производную заданной функции.  Он может выполнять явную дифференциацию одним щелчком мыши. Если вы ищете неявное дифференцирование, воспользуйтесь нашим калькулятором неявного дифференцирования. 

Самое главное, что этот дифференциальный калькулятор показывает пошаговый расчет вместе с подробным ответом.

Производная — Определение

Пусть f (x) — функция, область определения которой содержит открытый интервал в некоторой точке x ₀ . Функция f (x) называется дифференцируемой в точке x ₀ , а производная функции f (x) в точке x ₀ определяется выражением:

Другими словами, производная измеряет чувствительность к изменению значения функции по отношению к изменению ее аргумента. Функция, обратная производной, известна как первообразная.

Как рассчитать производную?

Чтобы дифференцировать функцию, давайте вычислим производную 1 / x, чтобы понять основную идею вывода.

Поскольку 1 / x = x ^-1

Мы будем использовать правило продукта (см. Правила ниже).

d / dx ( x ^-1 ) = -1 (x ^-2 ) = — 1 / x ²

Пример:

Найти производную от (x + 7) ² .

Решение:

Шаг 1: Нанесите символ деривации.

Шаг 2: Примените правило мощности.

Некоторым функциям требуется вторая производная для завершения процесса дифференцирования. В этом случае вы можете использовать наш калькулятор второй производной. 2)`

Функция complex_modulus вычисляет модуль комплексного числа онлайн . Для расчета комплексного модуля с помощью калькулятора просто введите комплексное число в алгебраической форме и применить функция комплексный_модуль.

Для расчетный модуль комплексного числа после z=3+i, введите complex_modulus(`3+i`) или напрямую 3+i, если Кнопка complex_modulus уже появляется, возвращается результат 2.

Синтаксис:

комплекс_модуль(комплекс),комплекс — комплексное число.

Примеры:

complex_modulus(`1+i`), возвращает `sqrt(2)`

Расчет онлайн с помощью complex_modulus (калькулятор комплексного модуля)

См. также

Список связанных калькуляторов:

• Амплитуда комплексного числа : амплитуда. Калькулятор амплитуды определяет амплитуду комплексного числа из его алгебраической формы.
• Решение квадратного уравнения с комплексным числом: complexe_solve. Калькулятор уравнений комплексных чисел возвращает комплексные значения, для которых квадратное уравнение равно нулю.
• Калькулятор комплексных сопряжений : комплексное_сопряжение. Онлайн-калькулятор сопряженных чисел возвращает сопряженное комплексное число.
• Экспоненциальный: эксп. Функция exp вычисляет в режиме онлайн экспоненту числа.
• Калькулятор комплексного модуля: комплексный_модуль. Калькулятор модуля позволяет вычислить модуль комплексного числа онлайн.
• Калькулятор комплексных чисел: комплексное_число. Калькулятор комплексных чисел позволяет выполнять вычисления с комплексными числами (расчеты с i).
• Мнимая часть комплексного числа : imaginary_part. Калькулятор мнимой части позволяет вычислить онлайн мнимую часть комплексного числа.
• Действительная часть комплексного числа: real_part. Калькулятор вещественной части позволяет вычислить в режиме онлайн действительную часть комплексного числа.

Прочие ресурсы

• Исправленные упражнения на комплексные числа
• Бесплатные онлайн-викторины по математике по комплексным числам
• Научитесь считать с комплексными числами

Триггерные производные — MathCracker.com

Инструкции: Используйте калькулятор тригонометрической производной для вычисления производной любой предоставленной вами функции, включающей тригонометрические функции, показаны все этапы. Пожалуйста, введите функцию, которую вы хотите дифференцировать, в поле формы ниже. 93), просто для примера.

Затем, когда вы уже набрали соответствующую функцию, вы можете нажать кнопку «Рассчитать», чтобы получить все шаги расчета показанная вам производная.

Тригонометрические функции играют решающую роль в исчислении, а также в вычислении производных вообще. В конце концов, более сложный функции могут свести свои производные к вычислению производной для более простых тригонометрических функций.

Основные триггерные производные

Идея использования производных правил состоит в том, чтобы разбить сложную функцию и дифференцировать ее, используя производные известных функций. В частности, простой триггер такие функции, как синус, косинус, тангенс и котангенс, будут играть в этом важную роль.

Каковы основные производные триггера?

• Триггерная производная 1: \(\frac{d}{dx} \sin (x) = \cos(x)\)
• Триггер Производная 2: 92(х)\)
• Триггерная производная 5: \(\frac{d}{dx} \sec (x) = \sec(x)\tan(x)\)
• Триггерная производная 6: \(\frac{d}{dx} \sec (x) = -\csc(x)\cot(x)\)

Это основные производные, которые вам нужно очень хорошо знать и, возможно, запомнить, чтобы использовать производные правила для вычислять более сложные производные

Тригональные производные в градусах?

Нет, производные тригонометрических функций выражены в радианах, поэтому найденные тригонометрические производные отражают тот факт, что аргумент x измеряется в радианах.

Итак, например, предположим, что мы хотели вычислить производную sin в градусах , поэтому мы определяем \(f(y) = \sin(y)\), где \(y\) равно измеряется в градусах.

Теперь пусть \(x = \frac{\pi y}{180}\) будет эквивалентным углом в радианах, а также решая для \(y\), мы находим, что \(y = \frac{180 x}{ \pi}\), поэтому с помощью цепного правила:

\[\displaystyle \frac{d}{dy} f(y) = \displaystyle \frac{d}{dy} f(y(x)) \frac{dy}{dx} = \frac{180}{\ пи} \cos(y) \]

Итак, исходя из этого, производная синуса в градусах на самом деле равна косинусу в градусах, но умноженному на множитель \(\frac{180}{\pi}\).

Как найти производные в тригонометрии?

Триггерные производные находятся по определению с использованием основных триггерных тождеств. Например, используя синус формулы суммы, мы можем вывести производную от \(\sin(x)\), используя определение лимита:

\[\ displaystyle \ frac {d} {dx} \ sin (x) = \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ sin (x + h) — \ sin (x)} {h} \] \[\ displaystyle = \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ sin (x) \ cos (h) + \ cos (x) \ sin (h) — \ sin (x)} {h} \ ] \[\ displaystyle = \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ sin (x) (\ cos (h) -1) + \ cos (x) \ sin (h)} {h} \] \[\ displaystyle = \ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ left ( \ frac {\ sin (x) (\ cos (h) -1)} {h} + \ frac {\ cos (x) \ sin (ч)}{ч} \справа) \] \[\displaystyle = \displaystyle \lim_{h \to 0}\left(\frac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h} \right)+ \displaystyle \lim_{h \ до 0} \ влево ( \ гидроразрыва {\ соз (х) \ грех (ч)} {ч} \ вправо) \] \[\displaystyle = \sin(x) \displaystyle \lim_{h \to 0} \left( \frac{(\cos(h)-1)}{h} \right)+ \cos(x) \displaystyle \lim_{h \to 0}\left(\frac{\cos(x)\sin(h)}{h} \right) \] \[\displaystyle = \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)\]

Советы и подсказки

Главный вывод для вас — всегда помнить, что такое 6 триггерных производных , и знать их наизусть, так как вы будете использовать их постоянно вместе с основные правила дифференциации. 2(x)+ \frac{1}{x}\). Найдите его производную 92}\]

Очень полезно изобразить функцию и ее производную на графике. См. ниже:

Пример производной триггерной функции

Рассмотрим следующую тригонометрическую функцию: \(f(x) = \sin(x) + x \cos(x)\), найдем ее производную.

Решение: Теперь нам нужно работать с производной следующей триггерной функции \(\displaystyle f(x)=\sin\left(x\right)+x\cos\left(x\right)\).

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\cos\left(x\right)+\sin\left(x\right)\right)\)

По линейности мы знаем, что \(\frac{d}{dx}\left( x\cos(x)+\sin(x) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\cos(x )\right)+\frac{d}{dx}\left(\sin(x)\right)\), поэтому подключите это:

\(\displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\cos\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\ верно)\)

Прямое дифференцирование: \(\frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)\), и мы можем использовать правило произведения: \( \frac{d}{dx}\left( x\cos\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right) )+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

\(\displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left( х\вправо)\вправо)+\cos\влево(х\вправо)\)

Применяя прямое дифференцирование: \(\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)\)

\(\displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \left(-\sin\left(x\right)\right)+\ потому что \ влево (х \ вправо) \)

и тогда мы находим

\(\displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle x\cdot\left(-\sin\left(x\right)\right)+\cos\left(x\right)+\cos\left(x\right)\)

Мы группируем члены, которые умножают \(\cos\left(x\right)\), а затем упрощают \(1+1 = 2\)

\(\displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle x\cdot\left(-\sin\left(x\right)\right)+2\cos\left(x\right)\)

Путем реорганизации терминов:

\(\displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)\)

Окончательный вывод : Мы заключаем, что производная определяется как:

\[f'(x) = -x\sin\left(x\right)+2\cos\left(x\right)\]

Получается следующий график:

Пример: Триггерные производные и неявное дифференцирование

Найти \(\frac{dy}{dx}\) для \( \sin(x)+\cos(y) = 1 \).

Интегральные функции:

Si(x)

Интегральный синус от x

Ci(x)

Интегральный косинус от x

Shi(x)

Интегральный гиперболический синус от x

Chi(x)

Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа

вводить в виде 7. 3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

15/7

— дробь

Другие функции:

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

Калькулятор дробей

Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении.

Правила выражений с дробями:

Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями.

Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью
и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной части и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 .
Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т. е. 1,45 .

Математические символы