Автор: alexxlab

Метод Крамера для решения системы двух линейных уравнений: алгоритм следования, примеры.

Квадратная матрица 2-го порядка и её определитель

Квадратной матрицей 2-го порядка A называется таблица из 4-х чисел вида: $$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} $$

В квадратной матрице 2-го порядка две строки и два столбца.

Например: $ |A| = \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 2,5 & 3 \\ \end{vmatrix} $

Определителем матрицы 2-го порядка называется число:

$$ A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} = ad-bc $$

Например: $\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 2,5 & 3 \\ \end{vmatrix} = 1\cdot3-2,5\cdot(-4) = 3+10 = 13$

Метод Крамера для решения системы 2-х линейных уравнений

Дана система 2-х линейных уравнений:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a_1 x+b_1 y=c_1 \\ a_2 x+b_2 y=c_2 \end{array} \right.} $$

Определим главный определитель системы:

$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = a_1 b_2-a_2 b_1 $$

и вспомогательные определители:

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = c_1 b_2-c_2 b_1, \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \\ \end{vmatrix} = a_1 c_2-a_2 c_1 $$

Тогда решение системы:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \\ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \end{array} \right.} $$

Соотношение коэффициентов уравнений, значений определителей, расположения прямых и количества решений:

$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

$ \Delta \neq 0 $

$ \Delta = 0, \Delta _x \neq 0, \Delta_y \neq 0 $

$ \Delta = \Delta_x = \Delta_y = 0$

Прямые пересекаются

Прямые параллельны

Прямые совпадают

Бесконечное множество решений

Внимание!

Метод Крамера используется в линейной алгебре для решения систем линейных уравнений произвольного порядка $N \ge 2$.

Главный определитель, вспомогательные определители и решения таких систем находятся аналогично.

Поэтому для метода Крамера несложно составить алгоритм и запрограммировать для решения прикладных задач.

Метод Крамера для N=3 (три уравнения, три переменных) рассмотрен в §49 данного справочника.

Примеры

Пример 1. Решите систему уравнений методом Крамера:

$ а) {\left\{ \begin{array}{c} 5x-4y = 3 \\ 2x-3y = 4 \end{array} \right.} $

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 5 & -4 \\ 2 & -3 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot(-3)-2\cdot(-4) = -15+8 =-7 $$

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 4 & -3 \\ \end{vmatrix} = 3\cdot(-3)-4\cdot(-4) = -9+16 = 7 $$

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot4-2\cdot3 = 20-6 = 14 $$

$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{7}{-7} = -1, y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{14}{-7} = -2 $$

Ответ: (-1;-2)

$ б) {\left\{ \begin{array}{c} 4x-3y = 7 \\ 3x-4y = 0 \end{array} \right.} $

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 3 & -4 \\ \end{vmatrix} = 4\cdot(-4)-3\cdot(-3) = -16+9 = -7 $$

$$ \Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & -3 \\ 0 & -4 \\ \end{vmatrix} = 7\cdot(-4)-0\cdot(-3) = -28 $$

$$ \Delta_y = \begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 3 & 0 \\ \end{vmatrix} = 4\cdot0-3\cdot7 = -21 $$

$$ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-28}{-7} = 4, y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-21}{-7} = 3 $$

Ответ: (4;3)

$ в) {\left\{ \begin{array}{c} 5a-4b = 9 \\ 2a+3b = -1 \end{array} \right.} $

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 5 & -4 \\ 2 & 3 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot3-2\cdot(-4) = 15+8 = 23 $$

$$ \Delta_a = \begin{vmatrix} 9 & -4 \\ -1 & -3 \\ \end{vmatrix} = 9\cdot3-(-1)\cdot(-4) = 27-4 = 23 $$

$$ \Delta_b = \begin{vmatrix} 5 & 9 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot(-1)-2\cdot9 = -5-18 = -23 $$

$$ a = \frac{\Delta_a}{\Delta} = \frac{23}{23} = 1, b = \frac{\Delta_b}{\Delta} = \frac{-23}{23} = -1 $$

Ответ: (1;-1)

$ r) {\left\{ \begin{array}{c} 7a+4b = 5 \\ 3a+2b = 1 \end{array} \right.} $

$$ \Delta = \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 3 & 2 \\ \end{vmatrix} = 7\cdot2-3\cdot4 = 14-12 = 2 $$

$$ \Delta_a = \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = 5\cdot2-1\cdot4 = 10-4 = 6 $$

$$ \Delta_b = \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 7\cdot1-3\cdot5 = 7-15 = -8 $$

$$ a = \frac{\Delta_a}{\Delta} = \frac{6}{2} = 3, b = \frac{\Delta_b}{\Delta} = \frac{-8}{2} = -4 $$

Ответ: (3;-4)

Пример 2*.2+5a-5}{a-5} \\ y = \frac{4a+25}{a-5} \end{array} \right.} $

Ответ: 1) $a \neq \pm5$; 2) a = 5; 3) a = -5

в чем суть, как применяется для решения систем линейных уравнений

С помощью метода Крамера решают системы линейных алгебраических уравнений или СЛАУ. Освоить данный способ – значит, существенно упростить определение ответов многих задач по математическому анализу и другим дисциплинам. Однако правило справедливо не во всех случаях, а применимо лишь в тех примерах, где число неизвестных и уравнений в системе одинаковое. Рассмотрим подробнее описание данного метода.

Метод Крамера — в чем заключается, суть для чайников

Габриель Крамер был великим математиком. Еще в детстве он отличался уникальными интеллектуальными способностями.

С двадцати лет Крамер преподавал в университете Женевы. Путешествуя по Европе, Габриель повстречался с другим ученым, Иоганном Бернулли, который в дальнейшем стал его наставником. Благодаря плодотворному сотрудничеству с Бернулли, Крамер опубликовал множество трудов по геометрии, математике и философии.

Свободное время ученый посвящал углубленному изучению математических теорий. В результате трудоемких исследований Габриелю удалось изобрести собственный способ решения систем линейных уравнений любой сложности.

Метод Крамера представляет собой способ решения систем линейных уравнений.

Методика великого ученого применима в тех случаях, когда пример состоит из систем линейных уравнений, в которых их количество соответствует числу неизвестных, а определитель не равен нулю.

В том случае, когда для любой крамеровской системы уравнений n*m можно подобрать единственное решение (Х₁, Х₂, … Х_n), справедлива формула:

\(x_{i}=\frac{\Delta _{i}}{\Delta }\)

где \(\Delta _{i}\) является определителем матрицы, которая получена на основе основной матрицы А с помощью замены i-го столбца на столбец со свободными членами системы;

\(\Delta\) представляет собой определитель матрицы.

Таким образом, записывают формулу Крамера.

Теоремы замещения и аннулирования

Перед решением системы линейных уравнений необходимо изучить две важные закономерности. К ним относят:

• теорему аннулирования;
• теорему замещения.

Теорема замещения

При сложении произведений алгебраических дополнений какого-либо столбца и произвольных чисел b₁, b₂, b₃ получают новый определитель, в котором данными значениями осуществляют замену соответствующих элементов первоначального определителя, отвечающим данным алгебраическим дополнениям.

К примеру, можно записать справедливое равенство:

\(b_{1}A_{11}+b_{2}A_{21}+b_{3}A_{32}=\begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\)

где A₁₁, А₂₁, А₃₁ являются алгебраическими дополнениями для компонентов а₁₁, а₂₁, а₃₁ первого столбца первоначального определителя:

\(\Delta =\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\)

Теорема аннулирования

В сумме произведения компонентов одной строки или столбца и алгебраических дополнений соответствующих компонентов другой строки или столбца равны нулю.

В качестве примера можно записать справедливое равенство:

\(a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31}=0\)

Применение метода Крамера для решения систем линейных уравнений (СЛАУ)

Данная методика актуальна для поиска ответа на задачи, которые содержат системы линейных уравнений. Метод Крамера позволяет найти решение систем с числом строк, равных количеству неизвестных. Таким образом, решают квадратные системы уравнений. В процессе необходимо вычислить определители матрицы, включая основные и дополнительные, которые получены с помощью замещения одного из столбца главного определителя на столбец, состоящий из свободных членов системы алгебраических уравнений. Наглядно ознакомиться с алгоритмом можно на примере задачи.

Требуется решить с помощью метода Крамера СЛАУ:

\(\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 = b_2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{cases}\)

Определим неизвестные \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\)Порядок действий простой. Необходимо составить из системы матрицу:

\( A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\)

А также следует записать столбец, состоящий из свободных членов:

\(B = \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}\)

Затем нужно рассчитать главный определитель матрицы:

\(\Delta = |A|\)

Кроме того, требуется записать дополнительные определители \(\Delta_i\)

Дополнительные определители получают на основе главного определителя с помощью замены столбцов по очереди на столбец, в котором записаны свободные члены:

\(\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}\)

Бывает, что при расчетах получается \(\Delta = 0\). В таком случае метод Крамера не применим для решения системы.

По итогам расчетов с помощью формулы Крамера можно сделать вывод неизвестных для системы линейных уравнений, что является ответом к задаче:

\(x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta}, x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta}, x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta}\)

Порядок решения однородной системы уравнений

Метод Крамера – удобный способ решения систем линейных уравнений. Однако однородные системы являются отдельным случаем. Рассмотрим пример:

\(\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z = 0\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z = 0\\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=0 \end{cases}\)

Решениями системы однородного типа могут являться:

• нулевые решения x = y = z =0;
• решения, которые не равны нулю.

В том случае, когда определитель \(\Delta\) записанной однородной системы не равен нулю, то есть \(\Delta \neq 0\) такая система обладает единственным решением. Таким образом, вспомогательные определители \(\Delta_{x}= \Delta_{y}=\Delta_{z}= 0\) как такие, у которых имеется нулевой столбец и поэтому, за формулами Крамера (x = y = z =0).

В том случае, когда однородная система имеет решение, не равное нулю, ее определитель \(\Delta\) будет иметь нулевое значение, то есть \(\Delta=0\). Действительно, если один неизвестный элемент, например х, не равен нулю, тогда, исходя из однородности \(\Delta_{x}= 0\) справедливо равенство \(\Delta*x=0.\) В результате \(\Delta= 0 (x\neq 0)\).

Метод Крамера позволяет достаточно просто решать системы линейных уравнений. Главное, соблюдать условия применения данного правила. В результате многие задачи из математического анализа станут намного проще. Если при освоении этой и других тем возникают трудности, выход есть. На сервисе Феникс.Хелп каждый учащийся получит квалифицированную помощь.

Метод Крамера

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $\Delta\neq 0$.
2. Для каждой переменной $x_i$($i=\overline{1,n}$) необходимо составить определитель $\Delta_{x_i}$, полученный из определителя $\Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=\frac{\Delta_{x_{i}}}{\Delta}$ ($i=\overline{1,n}$).

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Пример №1

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 3x_1+2x_2=-11;\\ & -x_1+5x_2=15. \end{aligned}\right.$ методом Крамера.

Решение

Матрица системы такова: $ A=\left( \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array} \right)$. Определитель этой матрицы:

Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $\Delta_{x_1}$ и $\Delta_{x_2}$. Определитель $\Delta_{x_1}$ получаем из определителя $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 3 & 2\\ -1 & 5 \end{array}\right|$ заменой первого столбца (именно этот столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $\left(\begin{array} {c} -11\\ 15\end{array}\right)$:

Аналогично, заменяя второй столбец в $\Delta=\left|\begin{array}{cc}3&2\\-1&5\end{array}\right|$ столбцом свободных членов, получим:

Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

Ответ: $x_1=-5$, $x_2=2$.

Пример №2

Решить СЛАУ $ \left\{\begin{aligned} & 2x_1+x_2-x_3=3;\\ & 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\\ & x_1+x_3=-2. \end{aligned} \right.$, используя метод Крамера.

Решение

Определитель системы:

Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_1}$:

Заменяя второй столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_2}$:

Заменяя третий столбец в $\Delta$ столбцом свободных членов, получим $\Delta_{x_3}$:

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Ответ: $x_1=1$, $x_2=-2$, $x_3=-3$.

Пример №3

Решить СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1+3x_2-x_3=15;\\ & -9x_1-2x_2+5x_3=-7. \end{aligned}\right.$ используя метод Крамера.

Решение

Матрица системы $ \left( \begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\\ -9 & -2 & 5 \end{array} \right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

Теперь матрица системы $ \left( \begin{array} {cc} 2 & 3 \\ -9 & -2 \end{array} \right) $ стала квадратной, и определитель её $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 3\\ -9 & -2 \end{array}\right|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

Ответ можно записать в таком виде: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{13x_3-9}{23};\\ & x_2=\frac{-x_3+121}{23};\\ & x_3\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

Примечание

В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ $\left\{\begin{aligned} & 2x_1-5x_2+10x_3=14;\\ & -4x_1+10x_2-7x_3=5. \end{aligned}\right.$. Если перенести в правые части уравнений $x_3$, получим: $ \left\{\begin{aligned} &2x_1-5x_2=-10x_3+14;\\ &-4x_1+10x_2=7x_3+5. \end{aligned}\right.$. Определитель данной системы $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & -5\\ -4 & 10 \end{array}\right|=20-20=0$. Однако если перенести в правые части уравнений переменную $x_2$, то получим систему $ \left\{\begin{aligned} &2x_1+10x_3=5x_2+14;\\ &-4x_1-7x_3=-10x_2+5. \end{aligned}\right.$, определитель которой $\Delta=\left| \begin{array} {cc} 2 & 10\\ -4 & -7 \end{array}\right|=-14+40=26$ не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере №3.

Пример №4

Решить СЛАУ

методом Крамера.

Решение

Матрица системы $\left(\begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \\ 2 & -6 & 1 & -4 & -2 \\ -1 & 4 & 5 & -3 & 0 \end{array}\right)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

Ответ таков: $\left\{\begin{aligned} & x_1=\frac{-17x_4+144x_5}{19};\\ & x_2=\frac{-15x_4+41x_5}{19};\\ & x_3=\frac{20x_4-4x_5}{19}; \\ & x_4\in R; \; x_5\in R. \end{aligned}\right.$ Переменные $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные, переменные $x_4$, $x_5$ – свободные.

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

Методическая разработка урока по математики на тему «Решение системы линейных уравнений методом Крамера»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данная методическая разработка предназначена для проведения учебного занятия по дисциплине «Математика» на тему «Решение систем линейных уравнений методом Крамера» для студентов первого курса по программе учебной дисциплины, разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта для специальностей среднего профессионального образования.

В результате изучения темы студент должен:

знать:

• решение систем линейных уравнений методом Крамера;
• применение знаний при решении систем линейных уравнений.

уметь:  

• решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера
• решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

При разработке данного урока в зависимости от специфики подготовки студентов можно внести дополнения и изменения в содержание, последовательность изучения материала урока и распределение времени.

Наблюдается связь истории с математикой, при изучении материала использована задача прикладного характера для будущей практической деятельности, что прививает интерес к предмету. Данная методическая разработка содержит: учебно-методическую карту, ход, где сформулированы цели занятия и последовательность проведения урока, указан список литературы.

При проведении занятия, использованы учебные пособия, технические и наглядные средства обучения

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА

Дисциплина: Математика

Тема занятия: Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Вид занятия (тип урока): Комбинированный

Цели урока:

Дидактическая:

• повторить пройденный материал;
• углубить знания студентов по теме «Решение систем линейных уравнений»;

3) изучить решение систем линейных уравнений c помощью метода Крамера;         

4) научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.

Развивающая:

способствовать развитию:

• логического мышления;
• памяти;
• умению сравнивать, обобщать, анализировать;
• интереса к избранной специальности.

Воспитательная:

стремиться воспитывать:

• чувства ответственности, исполнительности, аккуратности;
• чувство гордости за избранную профессию;
• положительное отношение к знаниям, учениям;
• интерес к математике

Межпредметные связи:

Обеспечивающие: история, русский язык, информатика

Обеспечиваемые: специальные предметы

Обеспечение занятия:

1. Наглядные пособия: Приложение (Презентация к уроку), меловые иллюстрации
2. Раздаточный материал: карточки.
3. Технические средства обучения: калькуляторы, компьютеры, интерактивная доска

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент

Здравствуйте, студенты. Тема урока: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера». Ученый-математик Колмогоров А.Н. говорил: «Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления», поэтому математика связана с будущей специальностью. В результате изучения темы научимся решать задачи прикладного характера для профессиональной деятельности.

2. Постановка целей занятия

Цели урока: повторить пройденный материал; углубить знания по теме «Решение систем линейных уравнений»; изучить решение систем линейных уравнений с помощью метода Крамера; научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.

3. Проверка домашнего задания

4. Проверка знаний

Экспресс — опрос

1. Какое уравнение называется линейным?
2. Напишите систему m линейных уравнений с n переменными.
3. Назовите коэффициенты при переменных.
4. Какие числа называются свободными членами?
5. Что является решением системы?
6. Какие методы решения систем линейных уравнений знаете?

Ответы: Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

5. Изучение нового материала

В школьном курсе рассматриваются способ подстановки и способ сложения. В курсе высшей математике решают методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы. Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера

5.1 Знакомство с биографией Крамера

При изучении новой темы «Решение систем линейных уравнений методом Крамера» важное место занимает связь истории с математикой, что прививает интерес к предмету. Познакомимся с биографией Габриэля Крамера.

Сведения из истории

Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.

Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача.

Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.

В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне и других. Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.

В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.

В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего мира.

Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции

5.2 Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Теорема Крамера.

Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной свободными членами:

6. Закрепление.

6.1 Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера

2)  Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза.   Какова величина прибыли каждого из отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?

Решение. Пусть x и y – прибыли первого и второго отделений в минувшем году.

Тогда условие задачи можно записать в виде системы:

Решив систему, получим x = 4, y = 8.                                                

Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения — 4 млн усл. ед., второго — 8 усл.ед.: 

б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед.,

второго 1,4. 8 = 11,2 млн усл. ед.

При решении системы уравнений могут встретиться три случая:

1) система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия:

2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия:

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

3) система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия:

Система называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

6.2 Решение системы трех линейных уравнений с тремя двумя неизвестными методом Крамера

Ответ: (1; 0; -1) .

Решение. Находим определители системы:

Ответ: (1; 0; -1) .

7. Домашнее задание (слайд № 23)

Решите системы:

8. Подведение итогов

Подведем итоги урока. По результатам работы на уроке выставляются оценки, с последующей демонстрацией успеваемости в виде диаграммы на интерактивной доске.

Урок окончен. Спасибо за внимание. До свидания.

Литература:

Основная

1. Григорьев В.П.Дубинский Ю.А Элементы высшей математики. Москва, 2014
2. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика. Москва, 2008

Дополнительная

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математики. Москва, 2013

Интернет-ресурсы: www.en.edu.ru

ХОД УРОКА

Презентация «Решение системы линейных уравнений методом Крамера»

Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений

Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами — числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй — при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство.

Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной

Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае — несовместимой.

Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственный, систему уравнений называют неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

Решение СЛАУ можно найти разными способами.

МЕТОД КРАМЕРА

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

— определители, образованные с заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.

—————————————————————

Задача 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Задача 2.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

Найдем составляющие определителя:

Подставим найденные значения в определитель

Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

По формулам Крамера находим

Решение системы

Данный пример можно решить математическим калькулятором YukhymCALC . Фрагмент программы и результаты вычислений наведены ниже.

——————————

МЕТОД К Р А М Е Р А

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5*4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9-40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52=10

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4*2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2)= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1+24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1*(-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1*(5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+(-3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2-30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Посмотреть материалы:

{jcomments on}

Метод Крамера – теорема, примеры решений

Метод Крамера часто применяется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этот способ решения один из самых простых. Как правило, данный метод применяется только для тех систем, где по количеству неизвестных столько же, сколько и уравнений. Чтобы получилось решить уравнение, главный определитель матрицы не должен равняться нулю.

Габриель Крамер – математик, создатель одноименного метода решения систем линейных уравнений

Габриель Крамер – известный математик, который родился 31 июля 1704 года. Ещё в детстве Габриель поражал своими интеллектуальными способностями, особенно в области математики. Когда Крамеру было 20 лет, он устроился в Женевский университет штатным преподавателем.

Во время путешествия по Европе Габриель познакомился с математиком Иоганном Бернулли, который и стал его наставником. Только благодаря Иоганну, Крамер написал много статей по геометрии, истории математики и философии. А в свободное от работы время изучал математику всё больше и больше.

Наконец-то наступил тот день, когда Крамер нашёл способ, при помощи которого можно было бы легко решать не только лёгкие, но и сложные системы линейных уравнений.

В 1740 году у Крамера были опубликованы несколько работ, где доступно изложено решение квадратных матриц и описан алгоритм, как находить обратную матрицу. Далее математик описывал нахождения линейных уравнений разной сложности, где можно применить его формулы. Поэтому тему так и назвали: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».

Учёный умер в возрасте 48 лет (в 1752 году). У него было ещё много планов, но, к сожалению, он так и не успел их осуществить.

Вывод формулы Крамера

Пусть дана система линейных уравнений такого вида:

где , , – неизвестные переменные, – это числовые коэффициенты, в – свободные члены.

Решением СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнение) называются такие неизвестные значения  при которых все уравнения данной системы преобразовываются в тождества.

Если записать систему в матричном виде, тогда получается , где

В данной главной матрице находятся элементы, коэффициенты которых при неизвестных переменных,

Это матрица-столбец свободных членов, но есть ещё матрица-столбец неизвестных переменных:

После того, когда найдутся неизвестные переменные, матрица и будет решением системы уравнений, а наше равенство преобразовывается в тождество. . Если умножить , тогда . Получается: .

Если матрица – невырожденная, то есть, её определитель не равняется нулю, тогда у СЛАУ есть только одно единственное решение, которое находится при помощи  метода Крамера.

Как правило, для решения систем линейных уравнений методом Крамера, нужно обращать внимания на два свойства, на которых и основан данный метод:

1. Определитель квадратной матрицы равняется сумме произведений элементов любой из строк (столбца) на их алгебраические дополнения:

, здесь – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, n.

2. Сумма произведений элементов данной матрицы любой строки или любого столбца на алгебраические дополнения определённых элементов второй строки (столбца) равняется нулю:

,

,

где – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, n. .

Итак, теперь можно найти первое неизвестное . Для этого необходимо умножить обе части первого уравнения системы на , части со второго уравнения на , обе части третьего уравнения на и т. д. То есть, каждое уравнение одной системы нужно умножать на определённые алгебраические дополнения первого столбца матрицы :

Теперь прибавим все левые части уравнения, сгруппируем слагаемые, учитывая неизвестные переменные и приравняем эту же сумму к сумме правых частей системы уравнения:

.

Можно обратиться к вышеописанным свойствам определителей и тогда получим:

И предыдущее равенство уже выглядит так:

Откуда и получается .

Аналогично находим . Для этого надо умножить обе части уравнений на алгебраические дополнения, которые находятся во втором столбце матрицы .

Теперь нужно сложить все уравнения системы и сгруппировать слагаемые при неизвестных переменных. Для этого вспомним свойства определителя:

Откуда получается .

Аналогично находятся все остальные неизвестные переменные.

Если обозначить:

тогда получаются формулы, благодаря которым находятся неизвестные переменные методом Крамера:

, , .

Замечание.

Тривиальное решение при может быть только в том случае, если система уравнений является однородной . И действительно, если все свободные члены нулевые, тогда и определители равняются нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. Конечно же, тогда формулы , , дадут

Нужна работа? Есть решение!

Более 70 000 экспертов: преподавателей и доцентов вузов готовы помочь вам в написании работы прямо сейчас.

Подробнее Гарантии Отзывы

Метод Крамера – теоремы

Прежде чем решать уравнение , необходимо знать:

1. теорему аннулирования;
2. теорему замещения.

Теорема замещения

Сумма произведений алгебраических дополнений любого столбца (строки) на произвольные числа равняется новому определителю, в котором этими числами заменены соответствующие элементы изначального определителя, что отвечают данным алгебраическим дополнениям.

Например,

=

где – алгебраические дополнения элементов первого столбца изначального определителя:

Теорема аннулирования

Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равняется нулю.

Например:

Алгоритм решения уравнений методом Крамера

Метод Крамера – простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Такой вариант применяется исключительно к СЛАУ, у которых совпадает количество уравнений с количеством неизвестных, а определитель отличен от нуля.

Итак, когда выучили все этапы, можно переходить к самому алгоритму решения уравнений методом Крамера. Запишем его последовательно:

Шаг 1. Вычисляем главный определитель матрицы

и необходимо убедиться, что определитель отличен от нуля (не равен нулю).

Шаг 2. Находим определители

Это и есть определители матриц, которые получались из матрицы при замене столбцов на свободные члены.

Шаг 3. Вычисляем неизвестные переменные

Теперь вспоминаем формулы Крамера, по которым вычисляем корни (неизвестные переменные):

, , .

Шаг 4. Выполняем проверку

Выполняем проверку решения при помощи подстановки в исходную СЛАУ. Абсолютно все уравнения в системе должны быть превращены в тождества. Также можно высчитать произведение матриц . Если в итоге получилась матрица, которая равняется , тогда система решена правильно. Если же не равняется , скорей всего в одном из уравнений есть ошибка.

Давайте для начала рассмотрим систему двух линейных уравнений, так как она более простая и поможет понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы поймёте простые и короткие уравнения, тогда сможете решить более сложные системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Кроме всего прочего, есть системы уравнений с двумя переменными, которые решаются исключительно благодаря правилу Крамеру.

Итак, дана система двух линейных уравнений:

Для начала вычисляем главный определитель (определитель системы):

Значит, если , тогда у системы или много решений, или система не имеет решений. В этом случае пользоваться правилом Крамера нет смысла, так как решения не получится и нужно вспоминать метод Гаусса, при помощи которого данный пример решается быстро и легко.

В случае, если , тогда у система есть всего одно решение, но для этого необходимо вычислить ещё два определителя и найти корни системы.

и

Часто на практике определители могут обозначаться не только , но и латинской буквой , что тоже будет правильно.

Корни уравнения найти просто, так как главное, знать формулы:

,

Так как мы смогли решить систему двух линейных уравнений, теперь без проблем решим и систему трёх линейных уравнений, а для этого рассмотрим систему:

(1)

Здесь алгебраические дополнения элементов – первый столбец . Во время решения не забывайте о дополнительных элементах. Итак, в системе линейных уравнений нужно найти три неизвестных – при известных других элементах.

Создадим определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

Умножим почленно каждое уравнение соответственно на , , – алгебраические дополнения элементов первого столбца (коэффициентов при ) и прибавим все три уравнения. Получаем:

Согласно теореме про раскладывание, коэффициент при равняется . Коэффициенты при и будут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается

После этого можно записать равенство:

(2)

Для нахождения и перемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно на , во втором – на и прибавим. Впоследствии преобразований получаем:

 где

,

Если  , тогда в результате получаем формулы Крамера:

= , = , =

Порядок решения однородной системы уравнений

Отдельный случай – это однородные системы:

(3)

Среди решений однородной системы могут быть, как нулевые решения , так и решения отличны от нуля.

Примеры решения методом Крамера

Рассмотрим на примере решение методом Крамера и вы увидите, что сложного ничего нет, но будьте предельно внимательно, так как частые ошибки в знаках приводят к неверному ответу.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение

Первое, что надо сделать – вычислить определитель матрицы:

Как видим, , поэтому по теореме Крамера система имеет единственное решение (система совместна). Далее нужно вычислять вспомогательные определители. Для этого заменяем первый столбец из определителя на столбец свободных коэффициентов. Получается:

Аналогично находим остальные определители:

И проверяем:

,

.

Ответ

, .

Задача

Решить систему методом Крамера

Решение

Как вы понимаете, сначала находим главный определитель:

Как мы видим, главный определитель не равняется нулю и поэтому система имеет единственное решение. Теперь можно вычислить остальные определители:

При помощи формул Крамера находим корни уравнения:

, , .

Чтобы убедиться в правильности решения, необходимо сделать проверку:

Как видим, подставив в уравнение решённые корни, у нас ответ получился тот же, что и в начале задачи, что говорит о правильном решении уравнений.

Ответ

Система уравнений имеет единственное решение: , , .

Есть примеры, когда уравнение решений не имеет. Это может быть в том случае, когда определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных неравны нулю. В таком случае говорят, что система несовместна, то есть не имеет решений. Посмотрим на следующем примере, как такое может быть.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение

Как и в предыдущих примерах находим главный определитель системы:

В этой системе определитель равняется нулю, соответственно, система несовместна и определенна или же несовместна и не имеет решений. Чтобы уточнить, надо найти определители при неизвестных так, как мы делали ранее:

Мы нашли определители при неизвестных и увидели, что все они не равны нулю. Поэтому система несовместна и не имеет решений.

Ответ

Система не имеет решений.

Часто в задачах на системы линейных уравнений встречаются такие уравнения, где есть не одинаковые буквы, то есть, кроме букв, которые обозначают переменные, есть ещё и другие буквы и они обозначают некоторое действительное число. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. Давайте и рассмотрим такой пример.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение

В этом примере – некоторое вещественное число. Находим главный определитель:

Находим определители при неизвестных:

Используя формулы Крамера, находим:

, .

Ответ

,

.

И наконец, мы перешли к самой сложной системе уравнений с четырьмя неизвестными. Принцип решения такой же, как и в предыдущих примерах, но в связи с большой системой можно запутаться. Поэтому рассмотрим такое уравнение на примере.

Задача

Найти систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь действуют система определителей матрицы высших порядков, поэтому вычисления и формулы рассмотрены в этой теме, а мы сейчас просто посчитаем систему уравнений с четырьмя неизвестными.

Решение

В изначальном определители из элементов второй строки мы отнимали элементы четвёртой строки, а из элементов третьей строки отнимались элементы четвёртой строки, которые умножались на 2. Также отнимали из элементов четвёртой строки элементы первой строки, умноженной на два. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Теперь можно находить определители при неизвестных:

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки мы вычитали элементы четвёртой строки.

Теперь по формулам Крамера нужно найти:

,

,

,

.

Ответ

Итак, мы нашли корни системы линейного уравнения:

,

,

,

.

Подведём итоги

При помощи метода Крамера можно решать системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если определитель не равен нулю. Такой метод позволяет находить определители матриц такого порядка, как на благодаря формулам Крамера, когда нужно найти неизвестные переменные. Если все свободные члены нулевые, тогда их определители равны нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. И конечно же, если определители равняются нулю, лучше решать систему методом Гаусса, а не Крамера, только тогда ответ будет верный.

Рекомендуем почитать для общего развития

Анкилов А. В. Высшая математика, ч. 1: учеб. Пособие/П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников – Ульяновск – 2011 – 252 с.

Письменный Д. – Конспект лекций по высшей математике: учеб. для вузов/Письменный Д. – М. 2006 – 602 с.

Решение методом Крамера в Excel

Метод Крамера в Excel 2003 (XLS)

Метод Крамера в Excel от 2007 (XLSX)

Решение систем методом крамера примеры. Линейные уравнения

Метод Крамера.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ).

Формулы на примере системы из двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решить методом Крамера систему

Относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы Вычисление определителей. :

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Пример 1:
Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:

Заменим в этом определителе первый столбец столбцом коэффициентов из правой части системы и найдем его значение:

Сделаем аналогичное действие, заменив в первом определителе второй столбец:

Применим формулы Крамера и найдем значения переменных:
и .
Ответ:
Замечание: Этим методом можно решать системы и большей размерности.

Замечание: Если получается, что , а делить на ноль нельзя, то говорят, что система не имеет единственного решения. В этом случае система имеет или бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

Пример 2 (бесконечное количество решений):

Решить систему уравнений:

относительно переменных х и у .
Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Решение систем методом подстановки.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Значит, остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными .
Получили, решением системы являются любые пары значений переменных, связанных между собой равенством .
Общее решение запишется так:
Частные решения можно определять выбирая произвольное значение у и вычисляя х по этому равенству связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частные решения:

Пример 3 (решений нет, система несовместна):

Решить систему уравнений:

Решение:
Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы:

Применять формулы Крамера нельзя. Решим эту систему методом подстановки

Второе уравнение системы — равенство, неверное ни при каких значениях переменных (конечно же, так как -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не верно ни при каких значениях переменных, то и вся системы не имеет решений.
Ответ: решений нет

Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.

(2.4)

если 0. Здесь

Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Решение . Находим определитель основной матрицы системы

Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно. 

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам

(2.5)

где  – определитель основной матрицы ,  i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .

Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.

Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.

2.4. Определители n-го порядка

Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .

Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя

Получаем



Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.6)

Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:

т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.

Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс, можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.

Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы :

.

Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.

Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя .

Например,

Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю .

Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число .

Например,

Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:

С количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера :

где Δ — определитель матрицы системы ,

Δ i — определитель матрицы системы, в котором вместо i -го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы . Когда D≠0 , значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

,,

Решаем систему по формулам Крамера :

Примеры решения систем уравнений методом Крамера.

Пример 1 .

Дана система:

Решим ее методом Крамера.

Сначала нужно вычислить определитель матрицы системы:

Т.к. Δ≠0, значит, из теоремы Крамера система совместна и у нее есть одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ 1 получаем из определителя Δ, заменяя его первый столбец столбцом свободных коэффициентов. Получаем:

Таким же путем получаем определитель Δ 2 из определителя матрицы системы заменяя второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель?

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы .

метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
и

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам:
,

Пример 7

Решить систему линейных уравнений

Решение : Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

;

;

Ответ : ,

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение» . В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса .

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера.

Решение : Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ : .

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: .
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие . Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
– на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.

Пример 10

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока).

Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока).

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом

Решение : Запишем систему в матричной форме:
, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули.

Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса) .

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений: $x_i = \frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ — номер крайнего справа столбца.
4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = \frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

• Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

• С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
• При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$\begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = \begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = \begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end{array} = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = \begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end{array} = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end{array} = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac {D_1}{D}$

$x_2 = \frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$\begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 — x_3 = 10 \\ \end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 3 = — 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = — 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = \begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end{array} = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) — (-1) \cdot 2 \cdot 21 = — 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = — 296$

$D_2 = \begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end{array} = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = — 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = \begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end{array} = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 — (-2) \cdot 3 \cdot 10 — (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = — 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = \frac{D_1} {D} = \frac{- 296}{-64} = 4 \frac{5}{8}$

$x_2 = \frac{D_1} {D} = \frac{108} {-64} = — 1 \frac {11} {16}$

$x_3 = \frac{D_1} {D} = \frac{-60} {-64} = \frac {15} {16}$

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Вычисление определителя матрицы 2 × 2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, потому что у него есть несколько приложений, таких как вычисление площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы , чтобы определить, существует ли решение системы уравнений.Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются в виде матрицы. Расшифровать данные можно только с помощью обратимой матрицы и определителя. В наших целях мы ориентируемся на определитель как на показатель обратимости матрицы. Для вычисления определителя матрицы необходимо следовать определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Общее примечание: Найдите определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 2 [/ latex], учитывая

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} a & b \\ c & d \ end {array} \ right] [/ latex]

определяется как

Рисунок 1

Обратите внимание на изменение обозначений.Есть несколько способов указать определитель, включая [latex] \ mathrm {det} \ left (A \ right) [/ latex] и замену скобок в матрице прямыми линиями, [latex] | A | [/ latex] .

Пример 1: Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найдите определитель заданной матрицы.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {cc} 5 & 2 \\ -6 & 3 \ end {array} \ right] [/ latex]

Решение

[латекс] \ begin {array} {l} \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {cc} 5 & 2 \\ -6 & 3 \ end {array} | \ hfill \ \ = 5 \ left (3 \ right) — \ left (-6 \ right) \ left (2 \ right) \ hfill \\ = 27 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители.Этот метод, известный как правило Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь своего новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий Курб. algébriques. Правило Крамера — это жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных, при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, что и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если оно существует.Однако, если система не имеет решения или бесконечное количество решений, это будет обозначено нулевым определителем. Чтобы выяснить, является ли система непоследовательной или зависимой, необходимо использовать другой метод, например исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно рассмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений с использованием основных операций со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {array} {c} {a} _ {1} x + {b} _ {1} y = {c} _ {1} \ left (1 \ right) \\ {a} _ { 2} x + {b} _ {2} y = {c} _ {2} \ left (2 \ right) \ end {array} [/ latex]

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и решаем для другой.Скажите, что мы хотим решить для [latex] x [/ latex]. Если уравнение (2) умножается на коэффициент, противоположный коэффициенту [латекс] y [/ латекс] в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент [латекс] y [/ латекс] в уравнении (2) ), и мы добавляем два уравнения, переменная [latex] y [/ latex] будет удалена.

[латекс] \ begin {array} \ text {} b_ {2} a_ {1} x + b_ {2} b_ {1} y = b_ {2} c_ {1} \ hfill & \ text {Multiply} R_ { 1} \ text {by} b_ {2} \\ — b_ {1} a_ {2} x − b_ {1} b_ {2} y = −b_ {1} c_ {2} \ hfill & \ text {Умножить} R_ {2} \ text {by} −b_ {2} \\ \ text {______________________} \\ b_ {2} a_ {1} x − b_ {1} a_ {2} x = −b_ {2} c_ { 1} −b_ {1} c_ {2} \ end {array} [/ latex]

Теперь решите [латекс] x [/ латекс].

[латекс] \ begin {array} {l} {b} _ {2} {a} _ {1} x- {b} _ {1} {a} _ {2} x = {b} _ {2 } {c} _ {1} — {b} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ x \ left ({b} _ {2} {a} _ {1} — {b} _ {1} {a} _ {2} \ right) = {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ \ text { } x = \ frac {{b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {1} {c} _ {2}} {{b} _ {2} {a} _ {1 } — {b} _ {1} {a} _ {2}} = \ frac {\ left [\ begin {array} {cc} {c} _ {1} & {b} _ {1} \\ { c} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} \ right]} {\ left [\ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} \ right]} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Аналогичным образом, чтобы найти [latex] y [/ latex], мы исключим [latex] x [/ latex].

[латекс] \ begin {array} \ text {} a_ {2} a_ {1} x + a_ {2} b_ {1} y = a_ {2} c_ {1} \ hfill & \ text {Multiply} R_ { 1} \ text {by} a_ {2} \\ — a_ {1} a_ {2} x − a_ {1} b_ {2} y = −a_ {1} c_ {2} \ hfill & \ text {Умножить} R_ {2} \ text {by} −a_ {1} \\ \ text {______________________} \\ a_ {2} b_ {1} y − a_ {1} b_ {2} y = a_ {2} c_ {1 } −a_ {1} c_ {2} \ end {array} [/ latex]

Решение для [latex] y [/ latex] дает

[латекс] \ begin {array} {l} {a} _ {2} {b} _ {1} y- {a} _ {1} {b} _ {2} y = {a} _ {2 } {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ y \ left ({a} _ {2} {b} _ {1} — {a} _ {1} {b} _ {2} \ right) = {a} _ {2} {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2} \ hfill \\ \ text { } y = \ frac {{a} _ {2} {c} _ {1} — {a} _ {1} {c} _ {2}} {{a} _ {2} {b} _ {1 } — {a} _ {1} {b} _ {2}} = \ frac {{a} _ {1} {c} _ {2} — {a} _ {2} {c} _ {1} } {{a} _ {1} {b} _ {2} — {a} _ {2} {b} _ {1}} = \ frac {| \ begin {array} {cc} {a} _ { 1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {c} _ {2} \ end {array} |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1 } & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Обратите внимание, что знаменатель для [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для решения для [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], но правило Крамера также вводит новые обозначения:

Ключ к правилу Крамера заключается в замене интересующего столбца переменных столбцом констант и вычислении детерминантов. Затем мы можем выразить [латекс] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] как частное двух определителей.

Общее примечание: правило Крамера для систем 2 × 2

Правило Крамера — это метод, который использует детерминанты для решения систем уравнений, которые имеют то же количество уравнений, что и переменные.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс] \ begin {array} {c} {a} _ {1} x + {b} _ {1} y = {c} _ {1} \\ {a} _ {2} x + {b} _ {2} y = {c} _ {2} \ end {array} [/ latex]

Решение, использующее правило Крамера, дается как

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {cc} {c} _ {1} & {b} _ {1} \\ {c} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ { a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |}, D \ ne 0; \ text {} \ text {} y = \ frac {{D} _ {y}} {D } = \ frac {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {c} _ {2} \ end {array } |} {| \ begin {array} {cc} {a} _ {1} & {b} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} \ end {array} |}, D \ ne 0 [/ латекс].

Если мы решаем для [latex] x [/ latex], столбец [latex] x [/ latex] заменяется столбцом констант. Если мы решаем для [latex] y [/ latex], столбец [latex] y [/ latex] заменяется постоянным столбцом.

Пример 2: Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующую систему [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 2 [/ latex], используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {c} 12x + 3y = 15 \\ \ text {} 2x — 3y = 13 \ end {array} [/ latex]

Решение

Решите для [латекс] x [/ латекс].

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {rr} \ hfill 15 & \ hfill 3 \\ \ hfill 13 & \ hfill -3 \ end {array} |} {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 3 \\ \ hfill 2 & \ hfill -3 \ end {array} |} = \ frac {-45 — 39} {- 36 — 6} = \ frac {-84} {- 42} = 2 [/ latex]

Найдите [латекс] и [/ латекс].

[латекс] y = \ frac {{D} _ {y}} {D} = \ frac {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 15 \\ \ hfill 2 & \ hfill 13 \ end { array} |} {| \ begin {array} {rr} \ hfill 12 & \ hfill 3 \\ \ hfill 2 & \ hfill -3 \ end {array} |} = \ frac {156 — 30} {- 36 — 6} = — \ frac {126} {42} = — 3 [/ латекс]

Решение [латекс] \ left (2, -3 \ right) [/ latex].

Попробуйте 1

Используйте правило Крамера для решения системы уравнений 2 × 2.

[латекс] \ begin {массив} {l} \ text {} x + 2y = -11 \ hfill \\ -2x + y = -13 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Правило Крамера с двумя переменными

Правило Крамера — еще один метод, позволяющий решать системы линейных уравнений с использованием определителей.

В терминах обозначений матрица — это массив чисел, заключенный в квадратные скобки, а определитель — это массив чисел, заключенный в две вертикальные черты.

Формула для определения определителя матрицы 2 x 2 очень проста.

Давайте быстро рассмотрим:

Определитель матрицы 2 x 2

Быстрые примеры того, как найти детерминанты матрицы 2 x 2

Пример 1 : Найдите определитель матрицы A ниже.

Пример 2 : Найдите определитель матрицы B ниже.

Пример 3 : Найдите определитель матрицы C ниже.

Зная, как найти определитель матрицы 2 x 2, теперь вы готовы изучить процедуры или шаги по использованию правила Крамера. Вот так!

Правила Крамера для систем линейных уравнений с двумя переменными

• Присвойте имена каждой матрице

матрица коэффициентов:

X — матрица:

Y — матрица:

до найдите переменную x.

до найдите переменную y.

Несколько моментов, которые следует учитывать при рассмотрении формулы:

1) Столбцы \ large {x}, \ large {y} и постоянные члены \ large {c} получаются следующим образом:

2) Оба знаменателя при решении \ large {x} и \ large {y} совпадают. Они происходят из столбцов \ large {x} и \ large {y}.

3) Глядя на числитель при решении для \ large {x}, коэффициенты столбца \ large {x} заменяются постоянным столбцом (красным).

4) Таким же образом, чтобы найти \ large {y}, коэффициенты \ large {y} -столбца заменяются постоянным столбцом (красным).

Примеры решения систем линейных уравнений с двумя переменными с использованием правила Крамера

Пример 1 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Начните с извлечения трех соответствующих матриц: коэффициентов, \ large {x} и \ large {y}. Затем решите каждый соответствующий определитель.

После того, как все три детерминанта вычислены, пришло время найти значения \ large {x} и \ large {y}, используя приведенную выше формулу.

Я могу записать окончательный ответ как \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({2, — 1} \ right)}.

Пример 2 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Задайте свои коэффициенты, матрицы \ large {x} и \ large {y} из данной системы линейных уравнений. Затем рассчитайте их детерминанты соответствующим образом.

Помните, что всегда вычитает произведений диагональных записей.

• Для матрицы коэффициентов (используйте коэффициенты обеих переменных x и y )

• Для X — матрица (заменить столбец x постоянным столбцом)

• Для Y — матрица (заменить столбец y на постоянный столбец)

Надеюсь, вам удобно вычислять определитель двумерной матрицы.Чтобы окончательно решить требуемые переменные, я получаю следующие результаты…

Записав окончательный ответ в точечной нотации, я получил \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({6, — 5} \ right)}.

Пример 3 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Эта проблема может быть решена довольно легко методом исключения. Это связано с тем, что коэффициенты переменной x являются «одинаковыми», но только противоположными по знакам (+1 и -1). Чтобы решить эту проблему с помощью метода исключения, вы добавляете соответствующие столбцы, и переменная x исчезает, оставляя вам одношаговое уравнение в \ large {y}.Я говорю об этом, потому что у каждой техники есть недостатки, и лучше выбрать наиболее эффективную. Всегда уточняйте у своего учителя, можно ли использовать другой подход, если метод не указан для данной проблемы.

В любом случае, поскольку мы учимся решать по правилу Крамера, давайте продолжим и разберемся с этим методом.

Я построю три матрицы (коэффициент, \ large {x} и \ large {y}) и оценю их соответствующие детерминанты.

• Для X — матрица (прописная D с нижним индексом x)

• Для Y — матрица (прописная D с индексом y)

После получения значений трех требуемых определителей я вычислю \ large {x} и \ large {y} следующим образом.

Окончательный ответ в виде баллов: \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({- 1,2} \ right)}.

Пример 4 : Решить по правилу Крамера систему с двумя переменными

Поскольку мы уже рассмотрели несколько примеров, я предлагаю вам попробовать решить эту проблему самостоятельно. Затем сравните свои ответы с решением ниже.

Если вы поймете все правильно с первого раза, это означает, что вы становитесь «профи» в отношении правила Крамера. Если вы этого не сделали, попытайтесь выяснить, что пошло не так, и научитесь не совершать ту же ошибку в следующий раз.Так вы станете лучше разбираться в математике. Изучите множество проблем и, что более важно, много практикуйтесь самостоятельно.

Вы должны получить ответ ниже…

Пример 5 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

В нашем последнем примере я включил ноль в столбец констант. Каждый раз, когда вы видите число ноль в столбце констант, я настоятельно рекомендую использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений.Почему? Потому что вычисление определителей для матриц \ large {x} и \ large {y} значительно упрощается. Убедитесь сами!

Окончательное решение этой проблемы —

Возможно, вас заинтересует:

Правило Крамера 3 × 3

Решение уравнений процесса тяги. Линейные уравнения

Метод Крамера основан на использовании определителей при решении систем линейных уравнений.Это значительно ускоряет процесс принятия решения.

Кратерный метод можно использовать при решении системы стольких линейных уравнений, как в каждом уравнении неизвестного. Если определитель системы не равен нулю, в решении можно использовать метод Крамера, если он равен нулю, нельзя. Кроме того, метод Крамера можно использовать при решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестном, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Deterpetes

получается заменой коэффициентов на соответствующие неизвестные для свободных участников:

;

.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, система линейных уравнений имеет одно единственное решение и неизвестное, равное отношению определителей. В знаменателе — определитель системы, а в числителе — определитель, полученный из определителя системы путем замены коэффициентов одновременно неизвестными свободными членами.Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решите систему линейных уравнений:

Согласно теореме крамера Имеем:

Итак, решение Решение (2):

Онлайн-калькулятор, решающий кратерный метод.

Три случая решения систем линейных уравнений

Как ясно теорем Крамера При решении системы линейных уравнений может быть три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместно и определена)

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное количество решений

(система совместного и неопределенного)

**,

тех.Коэффициенты при неизвестных и свободных членах пропорциональны.

Третий случай: в системе линейных решений нет

(система непонятна)

Итак, система м. Linear Equations S. n. переменная называется нон-стоп , если у нее нет решения, и суставной , если у нее есть хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определенным , более чем одно — неопределенным .

Примеры решения систем линейных уравнений по Крамеру

Пусть дано системе

.

На основе теоремы Крамера

………….
,

где
—

определение системы. Остальные определители получаем, заменяя столбец коэффициентами соответствующих переменных (неизвестных) свободных членов:

Пример 2.

.

Следовательно, система определена. Чтобы найти ее решения, вычислим определители

По формулам краулера находим:

Итак (1; 0; -1) — единственное решение системы.

Для проверки решений систем уравнений 3 x 3 и 4 x 4 вы можете использовать онлайн-калькулятор, решая метод Крамера.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях нет переменных, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Это следующий пример.

Пример 3. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:

.

Решение. Находим определитель системы:

Внимательно посмотрите на систему уравнений и определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система определена. Чтобы найти ее решения, мы вычисляем детерминанты в неизвестном

По формулам краулера находим:

Итак, решение системы (2; -1; 1).

Для проверки решений систем уравнений 3 x 3 и 4 x 4 вы можете использовать онлайн-калькулятор, решая метод Крамера.

Начало страницы

Продолжаем решать систему по методу Крамера вместе

Как уже было сказано, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестном не равны нулю, система непонятна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующий пример.

Пример 6. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо неполна и определена, либо противоречива, то есть не имеет решений. Для пояснения вычислим детерминанты при неизвестном

Определители при неизвестном не равны нулю, следовательно, система неполная, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 x 3 и 4 x 4 вы можете использовать онлайн-калькулятор, решая метод Крамера.

В задачах по системе линейных уравнений встречаются и такие, где встречаются и другие буквы, обозначаемые переменными. Эти буквы обозначают какое-то число, чаще всего действительное. На практике такие уравнения и системы уравнений приводят к задачам поиска общих свойств любых явлений и объектов. То есть вы изобрели какой-то новый Материал или устройство, и для описания его свойств, как правило, независимо от размера или количества экземпляров, необходимо решать систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов с переменными — буквы.Например, ходить не обязательно.

Следующий пример представляет собой аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных и букв, обозначающих допустимое число.

Пример 8. Решите систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Мы находим детерминанты в неизвестном

Метод Крамера или так называемое правило краулера — это способ поиска неизвестных значений из систем уравнений.Его можно использовать только в том случае, если количество искомых значений эквивалентно количественным алгебраическим уравнениям В системе, то есть основная матрица, сформированная из системы, должна быть квадратной и не содержать нулевых строк, а также если ее определители должны не быть нулевым.

Теорема 1.

Теорема Крамера Если главный определитель $ d $ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений согласована, а решение имеет единственное.Решение такой системы вычисляется по так называемым формулам Крамера для решения линейных уравнений: $ x_i = \ FRAC (D_I) (D) $

Что такое метод Крамера

Суть метода Крамера заключается в следующим образом:

1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляется главный определитель матрицы $ D $. Когда вычисленный определитель основной матрицы при вычислении метода Крамера оказался нулевым, то система не имеет единственного решения или имеет бесконечное количество решений.В этом случае рекомендуется применить метод Гаусса, чтобы найти общий или базовый отклик для системы.
2. Затем нужно заменить крайний столбец основной матрицы на столбец свободных элементов и вычислить идентификатор $ d_1 $.
3. Повторите то же самое для всех столбцов, получив определители от $ d_1 $ до $ d_n $, где $ n $ — номер крайнего правого столбца.
4. После того, как все определители найдены $ d_1 $ … $ d_n $, можно вычислить неизвестные переменные по формуле $ x_i = \ frac (d_i) (D) $.

Приемы вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы размерностью больше 2 к 2 можно использовать несколько способов:

• Правило треугольников, или правило Сарруса, напоминающее правило то же правило. Суть метода треугольника заключается в том, что при вычислении определителя произведение всех чисел, связанных на рисунке красной линии справа, записывается со знаком плюс, а все числа, соединенные таким же образом на рисунке на слева — со знаком минус.B, тогда другое правило подходит для матриц 3 x 3. 3. В случае правила Сарруски сначала соответствует сама матрица, а затем переписывается в свой первый и второй столбцы. Через матрицу и эти дополнительные столбцы по диагонали, элементы матрицы, лежащие на главной диагонали или параллельно ей, записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на боковой диагонали или параллельно ей — со знаком минус.

Рис. 1. Правило треугольника для вычисления определителя для метода Крамера

• Используя метод, известный как метод Гаусса, также иногда этот метод называют уменьшением порядка определителя.В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольной форме, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя невозможно умножить или разделить строки или столбцы на числа, не сделав их как множитель или делитель. В случае поиска определителя возможно только вычесть и сложить струны и столбы между собой после предварительного скашивания отрезанной линии до ненулевого множителя.Также при каждой перестановке строк или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости изменения финального знака в матрице.
• При решении метода Крамера для Славы с 4 неизвестными лучше всего использовать именно метод Гаусса для поиска и нахождения идентификаторов или определять определитель через поиск минорных.

Решение систем уравнений по Крамеру

Применимый метод Крамера для системы из двух уравнений и двух желаемых значений:

$ \ begin (Cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\\\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ End (Cases)

Для удобства отобразить в развернутом виде:

$ A = \ begin (array) (CC | C) A_1 & A_2 & B_1 \\\\ A_3 & A_4 & B_1 \ \ END (Array) $

Найдем определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$ D = \ begin (array) (| CC |) A_1 & A_2 \\\ \ A_3 & A_4 \\ END (Array) = A_1 \ CDOT A_4 — A_3 \ CDOT A_2 $

Если главный определитель не равен нулю, необходимо вычислить пару определителей из двух матриц с заменен столбец основной матрицы на строку свободных элементов для решения примера метода:

$ D_1 = \ begin (array) (| cc |) b_1 & a_2 \\\\ b_2 & a_4 \\\\ \ \ конец (массив) = b_1 \\ cdot a_4 — b_2 \\ cdot a_4 $

$ D_2 = \\ begin (массив) (| CC |) A_1 & B_1 \\\\ A_3 & B_2 \\\\ \\ END (Массив) = A_1 \ CDOT B_2 — A_3 \ CDOT B_1 $

Теперь найдите неизвестные $ x_1 $ и $ x_2 $:

$ x_1 = \ FRAC (D_1) (D)

$ x_2 = \ FRAC (D_2) (D)

Пример 1.

Метод Крамера для решения уклона с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и три является искомым.

Решите систему уравнений:

$ \ begin (Дела) 3x_1 — 2x_2 + 4x_3 = 21 \ 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 9 \ 2X_1 — X_2 — X_3 = 10 \ END (Дела)

Рассмотрим главный определитель матрицы, используя вышеупомянутое правило числа 1:

$ D = \ begin (array) (| CCC |) 3 & -2 & 4 \\\\ 3 & 4 & -2 \ ED (Array) = 3 \ CDOT 4 \ CDOT (- 1) + 2 \ Cdot (-2) \ CDOT 2 + 4 \ CDOT 3 \ CDOT (-1) — 4 \ CDOT 4 \ CDOT 2 — 3 \ CDOT (-2) \ CDOT (-1) — (- 1) \ CDOT 2 \ CDOT 3 = — 12-8-12-32-6 + 6 = — 64 $

А теперь еще три детерминанта:

$ D_1 = \ begin (массив) (| CCC |) 21 & 2 & 4 \\\\ 9 & 4 & 2 \\\\ 10 & 1 & 1 \ END (Array) = 21 \ CDOT 4 \ CDOT 1 + (- 2) \ CDOT 2 \ CDOT 10 + 9 \ CDOT (-1) \ CDOT 4-4 \ CDOT 4 \ CDOT 10-9 \ CDOT (-2 ) \ CDOT (-1) — (-1) \ CDOT 2 \ $ D_2 = \ begin (array) (| CCC |) 3 & 21 & 4 \\\\ 3 & 9 & 2 \\ ED (Массив) = 3 \ CDOT 9 \ CDOT (- 1) + 3 \ CDOT 10 \ CDOT 4 + 21 \ CDOT 2 \ CDOT 2-4 \ CDOT 9 \ CDOT 2-21 \ CDOT 3 \ CDOT (-1) — 2 \ CDOT 10 \ CDOT 3 = — 27 + 120 + 84-72 + 63-60 = 108 $

$ D_3 = \ begin (массив) (| CCC |) 3 & -2 & 21 \\\\ 3 & 4 & 9 \\\\ 2 & 1 & 10 \ END (массив) = 3 \ \ CDOT 4 \ CDOT 10 + 3 \ Cdot (-1) \ CDOT 21 + (-2) \ CDOT 9 \ CDOT 2-21 \ CDOT 4 \ CDOT 2 — (-2) \ CDOT 3 \ CDOT 10 — (-1) \ CDOT 9 \ CDOT 3 = 120 — 63 — 36 — 168 + 60 + 27 = — 60

Найдите нужные значения:

$ X_1 = \ FRAC (D_1) (D) = \ FRAC (- 296) (- 64) = 4 \ FRAC (5) (8)

$ X_2 = \ FRAC (D_1) (D) = \ FRAC (108) (-64) = — 1 \ FRAC (11) (16)

$ X_3 = \ FRAC (D_1) (D) = \ FRAC (-60) (-64) = \ FRAC (15) (16)

В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почвенного сложения системы уравнений.Всем, кто заходил на сайт через эту страницу, рекомендуется ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям материал покажется слишком простым, но в процессе решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения

Математические задачи в целом. А теперь разберем правило кратера, а также решение системы линейных уравнений с помощью

Reverse matrix (Матричный метод).Все материалы представлены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут узнать, как решать системы вышеуказанными методами.

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? — Ведь более простая система Вы можете решить школьным методом, методом убийства сложения!

Дело в том, что даже если иногда и бывает, такая задача встречается — решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам краулера.Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило краулера для более сложного случая — системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые желательно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений

На первом этапе вычисляем определитель, он называется главным определителем системы .

Метод Гаусса.

Если, система имеет одно решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два детерминанта:
и

На практике вышеуказанные детерминанты также могут обозначаться латинскими буквами.

Корни уравнений находятся по формулам:
,

Пример 7.

Решите систему линейных уравнений

Решение : Видим, что коэффициенты уравнения достаточно большие, там присутствуют правые десятичные дроби с запятой.Запятая — довольно редкий гость в практических задачах по математике, я взял эту систему из эконометрической задачи.

Как решить такую ​​систему? Можно попробовать выразить одну переменную через другую, но в этом случае обязательно получатся ужасные штаны, с которыми работать крайне неудобно, а оформление раствора будет смотреться просто ужасно. Вы можете умножить второе уравнение на 6 и выполнить вычитание почвы, но также получатся те же дроби.

Что делать? В таких случаях на помощь приходит формула кратера.

;

;

Ответ :,

Оба корня имеют бесконечные хвосты и находятся приблизительно, что вполне приемлемо (и даже обыкновенно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, так как задача решается по готовым формулам, однако есть один нюанс. При использовании этого метода обязательный фрагмент дизайна задачи представляет собой следующий фрагмент: «Итак, система имеет единое решение» .В противном случае рецензент может наказать вас за неуважение к теореме Крамера.

Вовсе не будет лишним, что удобно проводить на калькуляторе: в левую часть каждого уравнения системы подставляем приблизительные значения. В итоге с небольшой ошибкой должны быть вывернуты числа, которые находятся в нужных частях.

Пример 8.

Ответ представить в обыкновенные неправильные дроби. Сделайте чек.

Это пример самостоятельного решения (пример чистого дизайна и ответа в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Находим главный определитель системы:

Если, в системе бесконечно много решений или неприметных (не решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если система имеет одно решение и для нахождения корней необходимо вычислить еще три определителя:
«

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

Как видите, случай «три-три» принципиально не отличается от случая «два-два», столбцы свободных членов последовательно «прогуливаются» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9.

Решите систему в соответствии с формулами искателя.

Решение : Устранение неполадок системы в соответствии с формулами поискового робота.

Итак, у системы есть единственное решение.

Ответ :.

Собственно, и здесь комментировать больше нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам.Но есть пара замечаний.

Бывает, что в результате вычислений получаются «плохие» неинтерпретируемые дроби, например :.
Рекомендую следующий алгоритм лечения. Если под рукой нет компьютера, сделайте так:

1) Допускается ошибка в расчетах. Как только вы столкнулись с «плохой» фракцией, сразу нужно проверить, правильно ли проводящий кондиционер . Если условие переписывается без ошибок, то нужно пересчитать детерминанты, используя разложение на другой строке (столбце).

2) Если проверка ошибок не обнаружена, вероятно, это опечатка в условии присвоения. В этом случае спокойно и аккуратно доводим задачу до конца, а затем обязательно проверяем И делаем это на доводке после решения. Конечно, проверка дробного ответа неприятна, но это будет обезоруживающий аргумент для учителя, который очень любит ставить минус любому подобному бяке. Как работать с дробями, подробно описано в ответе например 8.

Если под рукой есть компьютер, то воспользуйтесь автоматизированной программой, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока.Кстати, выгоднее всего сразу использовать программу (еще до принятия решения), вы сразу увидите промежуточный шаг, на котором была допущена ошибка! Тот же калькулятор автоматически рассчитывает системное решение. матричный метод.

Замечание Второе. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых отсутствуют переменные, например:

Здесь в первом уравнении нет переменной, во втором — переменной. В таких случаях очень важно правильно и внимательно записать основной идентификатор:
— На месте отсутствующих переменных стоят нули.
Кстати, определители с нулями рационально раскрыть по строке (столбцу), которая равна нулю, так как вычислений заметно меньше.

Пример 10.

Решите систему в соответствии с формулами искателя.

Это пример независимого решения (образец чистого дизайна и ответ в конце урока).

Для случая системы из 4 уравнений с 4 неизвестными формула Крамера записывается по аналогичным принципам.Живой пример можно посмотреть на уроке свойств определителя. Уменьшение порядка определителя — пять определителей 4-го порядка полностью твердые. Хотя задание уже вполне напоминает сапог профессора на груди у удачливого ученика.

Метод обратной матрицы по существу является частным случаем матричного уравнения (см. Пример № 3 указанного урока).

Чтобы изучить этот раздел, вы должны уметь раскрыть детерминанты, найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны в ходе объяснения.

Пример 11.

Решите систему матричным методом

Решение : Запишите систему в матричной форме:
, где

Посмотрите, пожалуйста, на систему уравнений и матрицу. По какому принципу писать элементы в матрице, думаю всем понятно.Единственный комментарий: если бы в уравнениях не было переменных, то в соответствующих местах матрицы нужно было бы ставить нули.

Обратную матрицу находим по формуле:
где — транспонированная матрица алгебраических сложений к соответствующим элементам матрицы.

Сначала разберемся с определителем:

Здесь определитель раскрывается в первой строке.

Внимание! Если, то матрица возврата не существует, и решить систему матричным методом невозможно.В этом случае система решается путем исключения неизвестного (метод Гаусса).

Теперь вам нужно вычислить 9 второстепенных и записать их в Mind Matrix

Ссылка: Полезно знать значение индексов двойной подстановки в линейной алгебре. Первая цифра — это номер строки, в которой находится этот элемент. Вторая цифра — это номер столбца, в котором находится этот элемент:

То есть, индекс двойной подстановки указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце и, например, элемент находится в 3 строках, 2 столбцах

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Используя определители 3-го порядка, решение такой системы может быть записано в той же форме, что и для системы двух уравнений, т.е.е.

(2,4)

, если 0. Здесь

Это правило Крамера решений системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .

Пример 2.3. Решите систему линейных уравнений, используя правило краулера:

Decision . Находим определитель основной матрицы системы

Начиная с 0, чтобы найти системное решение, вы можете применить правило искателя, но предварительно рассчитывается еще более трех определителей:

Проверка:

Следовательно, решение найдено правильно.

Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядков, предполагают, что одни и те же правила могут быть сформулированы для обеих линейных систем любого порядка. Действительно имеет место

Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем матрицы основной системы (0) имеет одно и только одно решение, и это решение рассчитывается по формулам.

(2.5)

где  — определитель основной матрицы ,  и. — определитель матрицы , получено из основного, замена i. — столбец столбца свободных элементов .

Учтите, что если  = 0, то правило кравера не применяется. Это означает, что система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.

При формулировании теоремы Крамера естественным образом возникает вопрос о вычислении определителей высшего порядка.

2.4. Детерминанты N-го порядка

Дополнительный минор М. iJ. Элемент а. iJ. назвал детерминант, полученный из этого скрещивания i. — I ряд. j. — в колонку. Алгебраическое дополнение A. iJ. Элемент а. iJ. называется второстепенным этого элемента, взятого со знаком (-1) i. + Дж. . A. iJ. = (–1) i. + Дж. M. iJ..

Например, мы находим миноры и дополнения к алгебраическим элементам a. 23 I. а. 31 определитель

Получить



Используя понятие алгебраического дополнения, можно сформулировать теорему о разложении определителя n. -o строка или столбец порядка .

Теорема 2.1. Определитель матрицы A. равен сумме произведений всех элементов определенной строки (или столбца) на их алгебраические сложения:

(2.6)

Эта теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метод понижения порядка . В результате разложения определителя n. -o порядок для любой строки или столбца, он получает N определителей ( n. -1) -go порядок. Чтобы таких определителей было меньше, желательно выбрать строку или столбец, в котором больше всего нулей. На практике формула определения определителя обычно записывается в виде:

тех.Алгебраические сложения записываются явно через миноры.

Примеры 2.4. Вычислите определители, предварительно положив их на любую строку или столбец. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранная строка или столбец будет обозначен стрелкой.



2.5. Основные свойства определителей

Разложив определитель для любой строки или столбца, мы получаем N определителей ( п. -1) -го порядка.Тогда каждый из этих детерминантов ( n. -1) -go order также может быть разложен на количество определителей ( n. -2) -go order. Продолжая этот процесс, можно перейти к определителям 1-го порядка, т.е.перед элементами матрицы, определитель которой вычисляется. Итак, для вычисления определителей 2-го порядка необходимо будет вычислить сумму двух членов, для определителей 3-го порядка — количество 6 компонентов, для определителей 4-го порядка — 24 члена.Количество компонентов будет резко увеличиваться с увеличением порядка определителя. Это означает, что вычисление идентификаторов очень высокого порядка становится довольно трудоемкой задачей, невыносимой даже для компьютера. Однако детерминанты можно вычислить по-разному, используя свойства детерминантов.

Свойство 1. . Определитель не изменится, если его поменять местами и столбцами, т.е.При транспонировании матрицы :

.

Это свойство указывает на равенство строк и столбцов определителя. Другими словами, любое утверждение о столбцах определителя верно для его строк и наоборот.

Свойство 2. . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).

Следствие . Если определитель имеет две идентичные строки (столбец), то он равен нулю.

Свойство 3. . Суммарный множитель всех элементов в любой строке (столбце) может быть достигнут по знаку идентификатора. .

Например,

Следствие . Если все элементы определенной строки (столбца) определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю .

Имущество 4. . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число .

Например,

Свойство 5. . Определитель произведений матриц равен произведению определителей матриц:

Метод Крамера.

Метод Craver используется для решения линейных алгебраических уравнений ( Slough ).

Формулы на примере системы двух уравнений с двумя переменными.
Дано: Решите систему метода Крамера

Относительно переменных h. и w. .
Решение:
Находим определитель матрицы, составленной из коэффициентов системы вычисления определителей.:

Используем формулы краулера и находим значения переменных:
и.
Пример 1:
Решите систему уравнений:

относительно переменных h. и w. .
Решение:

Заменяем в этом определителе первый столбец столбца коэффициентов из правой части системы и находим его значение:

Проделаем аналогичное действие, заменив второй столбец в первом недостающем:

Применим формулы крамера и найдем значения переменных:
и.
Ответ:
Комментарий: Этот метод позволяет решать системы и большего измерения.

Комментарий: Если оказывается, что и на ноль делить нельзя, то говорят, что в системе нет единого решения. В этом случае у системы есть или бесконечно много решений, или решений нет вообще.

Пример 2. (бесконечное количество решений):

Решите систему уравнений:

относительно переменных ч. и w. .
Решение:
Находим определитель матрицы, составленной из системных коэффициентов:

Решение систем подстановкой.

Первое из уравнений системы — равенство, верное при любых значениях переменных (потому что 4 всегда равно 4). Это означает, что остается только одно уравнение. Это уравнение связи между переменными.
Поступило, решения системы — это любые пары значений переменных, приведенные к равенству.
Общее решение Ошибки, подобные этой:
Частные решения могут быть определены путем выбора произвольного значения y и вычисления X на этом равенстве связи.

и т.д.
Таких решений бесконечно много.
Ответ: общее решение
Частное решение:

Пример 3. (решений нет, система непонятна):

Решаем систему уравнений:

Решение:
Находим определитель матрицы, составленной из системных коэффициентов:

Невозможно использовать формулы Крамера.Решаю эту систему заменой

Второе уравнение системы — равенство, неверно при любых значениях переменных (разумеется, поскольку -15 не равно 2). Если одно из уравнений системы не выполняется ни при каких значениях переменных, то вся система не имеет решений.
Ответ: Нет решений

Правило Крамера

Рассмотрим общую линейную систему 2 на 2

Умножение первого уравнения на a ₂₂ , второго на — a ₁₂ и сложение результатов исключает y и позволяет оценить x :

при условии, что a ₁₁ a ₂₂ — a ₁₂ a ₂₁ ≠ 0.Точно так же умножение первого уравнения на — a ₂₁ , второго на a ₁₁ и сложение результатов исключает x и определяет y :

снова предполагая, что a ₁₁ a ₂₂ — a ₁₂ a ₂₁ ≠ 0. Эти выражения для x и y могут быть записаны в терминах определителей как следует:

и

Если исходная система записана в матричной форме,

, то знаменатели в приведенных выше выражениях для неизвестных x и y оба равны определителю матрицы коэффициентов.Кроме того, числитель в выражении для первого неизвестного, x , равен определителю матрицы, которая получается, когда первый столбец матрицы коэффициентов заменяется столбцом констант, а числитель в выражении для вторая неизвестная, y , равна определителю матрицы, которая получается, когда второй столбец матрицы коэффициентов заменяется столбцом констант. Это Правило Крамера для линейной системы 2 на 2.

Расширение шаблона до линейной системы 3 на 3,

Правило Крамера гласит, что если определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля, то выражения для неизвестных x, y и z принимают следующий вид:

Общая форма правила Крамера выглядит следующим образом: Система из n линейных уравнений в n неизвестных, записанных в матричной форме A x = b как

будет иметь уникальное решение, если det A ≠ 0, и в этом случае значение неизвестного x _j дается выражением

, где A _j — это матрица, которая получается, когда столбец j матрицы коэффициентов A заменяется матрицей столбцов b .

Два важных теоретических результата о квадратных системах вытекают из правила Крамера:

Теорема F . Квадратная система A x = b будет иметь уникальное решение для каждой матрицы столбцов b тогда и только тогда, когда det A ≠ 0.

Теорема G . Однородная квадратная система A x = 0 будет иметь только тривиальное решение x = 0 тогда и только тогда, когда det A ≠ 0.

Хотя правило Крамера имеет теоретическое значение, поскольку оно дает формулу для неизвестных, обычно оно не является эффективным методом решения, особенно для больших систем. Метод исключения Гаусса по-прежнему остается предпочтительным. Однако правило Крамера может быть полезно, когда, например, необходимо значение только одного неизвестного.

Пример 1 : Используйте правило Крамера, чтобы найти значение y , учитывая, что

Поскольку эта линейная система эквивалентна матричному уравнению

Правило Крамера подразумевает, что второе неизвестное, y , дается выражением

при условии, что знаменатель — определитель матрицы коэффициентов — не равен нулю.Сокращение строк с последующим расширением Лапласа по первому столбцу оценивает эти детерминанты:

С этими расчетами (*) означает

Решения

Борис Крамер — UCSD

Абстракция

Эта диссертация посвящена проблемам проектирования, оптимизации и управления сложными крупномасштабными динамическими системами с различных точек зрения.Цель состоит в том, чтобы разработать новые алгоритмы и методы, которые позволяют более эффективно решать реальные проблемы, а также обеспечить математическое понимание успеха этих методов. Эта диссертация состоит из трех основных статей. В главе 3 мы предлагаем новый метод решения крупномасштабных алгебраических уравнений Риккати, возникающих при оптимальном управлении, фильтрации и редукции модели. Мы представляем алгоритм на основе проекции, использующий правильное ортогональное разложение, которое демонстрирует получение высокоточных решений с низким рангом.Этот метод является распараллеливаемым, легко реализуемым для практиков и является первым шагом на пути к свободному от матриц подходу к решению ARE. Приведены численные примеры для n> = 100 000 неизвестных. В главе 4 мы разрабатываем метод идентификации системы, основанный на тангенциальной интерполяции. Это решает проблему подгонки линейных инвариантных систем ко времени к откликам ввода-вывода сложной динамики, где количество входов и выходов относительно велико.Этот метод снижает вычислительную нагрузку, налагаемую полным разложением по сингулярным значениям, за счет тщательного выбора направлений, на которые будет проецироваться импульсный отклик перед сборкой матрицы Ганкеля. Шаг идентификации и редукции модели следует из алгоритма реализации собственной системы. Мы представляем три численных примера, систему демпфера с пружинной массой, задачу теплопередачи и систему гидродинамики. Получены оценки погрешности и результаты устойчивости для этого метода. В главе 5 рассматривается дизайн управления и наблюдения для динамических систем, зависящих от параметров.Мы решаем эту проблему, используя локальные параметрические модели пониженного порядка, которые можно использовать в Интернете. Данные, полученные при моделировании системы в различных конфигурациях (параметры, граничные условия), используются для извлечения разреженной основы для представления динамики (посредством разложения по динамическому режиму). Впоследствии разрабатывается новый алгоритм классификации на основе сжатого зондирования, который включает извлеченную динамическую информацию в основу зондирования. Мы показываем, что эта расширенная основа классификации делает метод более устойчивым к шуму и приводит к более точной идентификации правильного параметра.Численные примеры включают приложение Навье-Стокса, а также приложение потока Буссинеска.

Бибтекс

@phdthesis {kramer15thesisMOR,
title = {Модель и обработка данных для управления, идентификации и сжатого восприятия},
author = {Boris Kramer},
year = {2015},
school = {Virginia Tech},
url = { http: // hdl.handle.net/10919/75179}
}

Решение систем линейных уравнений с помощью Python Numpy

Библиотека Numpy может использоваться для выполнения множества математических / научных операций, таких как матричное скрещивание и скалярное произведение, поиск значений синуса и косинуса, преобразование Фурье и манипуляции с формой и т. Д. Numpy — это сокращенное обозначение «Числовой Python».

В этой статье вы увидите, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Python Numpy.

Что такое система линейных уравнений?

Википедия определяет систему линейных уравнений как:

В математике система линейных уравнений (или линейная система) — это набор двух или более линейных уравнений, включающих один и тот же набор переменных.

Конечная цель решения системы линейных уравнений — найти значения неизвестных переменных. Вот пример системы линейных уравнений с двумя неизвестными переменными, x и y :

Уравнение 1:

  4x + 3y = 20
-5x + 9y = 26
  

Чтобы решить указанную выше систему линейных уравнений, нам нужно найти значения переменных x и y .Есть несколько способов решить такую ​​систему, например, исключение переменных, правило Крамера, метод сокращения строк и матричное решение. В этой статье мы рассмотрим матричное решение.

В матричном решении решаемая система линейных уравнений представлена ​​в виде матрицы AX = B . Например, мы можем представить Уравнение 1 в виде матрицы следующим образом:

  A = [[4 3]
     [-5 9]]

X = [[x]
     [y]]

B = [[20]
     [26]]
  

Чтобы найти значение переменных x и y в уравнении , нам нужно найти значения в матрице x .Для этого мы можем взять скалярное произведение обратной матрицы A и матрицы B , как показано ниже:

  X = инверсный (A) .B
  

Если вы не знакомы с тем, как найти обратную матрицу, взгляните на эту ссылку, чтобы понять, как вручную найти обратную матрицу. Чтобы понять матричное скалярное произведение, ознакомьтесь с этой статьей.

Решение системы линейных уравнений с помощью Numpy

Из предыдущего раздела мы знаем, что для решения системы линейных уравнений нам необходимо выполнить две операции: инверсию матрицы и скалярное произведение матрицы.Библиотека Numpy от Python поддерживает обе операции. Если вы еще не установили библиотеку Numpy, вы можете сделать это с помощью следующей команды pip :

  $ pip install numpy
  

Давайте теперь посмотрим, как решить систему линейных уравнений с помощью библиотеки Numpy.

Использование методов inv () и dot ()

Сначала мы найдем обратную матрицу A , которую мы определили в предыдущем разделе.

Давайте сначала создадим матрицу A на Python.Для создания матрицы можно использовать метод массива модуля Numpy. Матрицу можно рассматривать как список списков, где каждый список представляет собой строку.

В следующем скрипте мы создаем список с именем m_list , который дополнительно содержит два списка: [4,3] и [-5,9] . Эти списки представляют собой две строки в матрице A . Чтобы создать матрицу A с помощью Numpy, m_list передается методу массива , как показано ниже:

  импортировать numpy как np

m_list = [[4, 3], [-5, 9]]
А = np.массив (m_list)
  

Чтобы найти обратную матрицу, матрица передается методу linalg.inv () модуля Numpy:

  inv_A = np.linalg.inv (A)

печать (inv_A)
  

Следующий шаг — найти скалярное произведение между обратной матрицей A и матрицей B . Важно отметить, что скалярное произведение матриц возможно только между матрицами , если внутренние размеры матриц равны i.е. количество столбцов левой матрицы должно соответствовать количеству строк в правой матрице.

Чтобы найти скалярное произведение с помощью библиотеки Numpy, используется функция linalg.dot () . Следующий сценарий находит скалярное произведение между обратной матрицей A и матрицей B , которая является решением уравнения .

  B = np.array ([20, 26])
X = np.linalg.inv (A) .dot (B)

печать (X)
  

Выход:

Ознакомьтесь с нашим практическим практическим руководством по изучению Git с передовыми практиками, общепринятыми стандартами и включенной шпаргалкой.Прекратите поиск в Google команд Git и фактически выучите !

  [2. 4.]
  

  4x + 3y + 2z = 25
-2x + 2y + 3z = -10
3x -5y + 2z = -4
  

  A = np.массив ([[4, 3, 2], [-2, 2, 3], [3, -5, 2]])
B = np.array ([25, -10, -4])
X = np.linalg.inv (A) .dot (B)

печать (X)
  

  [5. 3. -2.]
  

  A = np.array ([[4, 3, 2], [-2, 2, 3], [3, -5, 2]])
B = np.массив ([25, -10, -4])
X2 = np.linalg.solve (A, B)

печать (X2)
  

  [5. 3. -2.]
  

  20x + 10y = 350
17x + 22y = 500
  

  A = np.array ([[20, 10], [17, 22]])
B = np.array ([350, 500])
X = np.linalg.solve (A, B)

печать (X)
  

  [10. 15.]