Автор: alexxlab

правило, примеры, правило сравнения положительного числа с отрицательным

Рассмотрим в теории принцип сравнения чисел с различными знаками: сформулируем правило сравнения положительных и отрицательных чисел, затем подкрепим теоретическую часть разбором практических примеров.

Правило сравнения положительного и отрицательного числа

Любое положительное число больше отрицательного, а любое отрицательное число меньше любого положительного.

Как видим, правило простое и достаточно очевидное. Применимо оно как к целым числам, так и к рациональным, и действительным.

Примеры сравнения положительного и отрицательного числа

Сначала рассмотрим теорию на примере сравнения целых чисел.

Необходимо сравнить числа -64 и 15.

Решение

Заданные числа имеют различные знаки. Опираясь на правило сравнения чисел с разными знаками, можем сделать вывод, что -64 < 15.

Ответ: -64 < 15.

Теперь приведем пример сравнения рациональных чисел с различными знаками.

Заданы два числа: 4914 и -87,2. Какое из них является меньшим?

Решение

Правило сравнения чисел с разными знаками гласит, что любое отрицательное число меньше любого положительного, следовательно, в данном случае отрицательная десятичная дробь -87,2 меньше, чем положительное смешанное число  4914.

Ответ: меньшим из заданных чисел является число -87,2.

Аналогично производится сравнение двух действительных чисел с разными знаками

Необходимо выяснить, какое из заданных чисел больше, а какое меньше: -8 и 5.

Решение

Число -8 является отрицательным, а число  5 – положительным, следовательно:-8 < 5.

Ответ: бОльшим является число  5, меньшим является число -8.

Также уточним, что числа, заданные для сравнения, могут быть представлены в виде некоторых числовых выражений. В таких случаях не сразу очевидно, какой знак будет присвоен этим числам, поэтому перед сравнением необходимо вычислить их значения.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Навигация по статьям

Предыдущая статья

Сравнение рациональных чисел: правила, примеры

Следующая статья

Сравнение отрицательных чисел

• Арифметические операции над действительными числами
• Взаимно обратные числа
• Вычитание десятичных дробей
• Вычитание натуральных чисел
• Вычитание натуральных чисел
• Все темы по математике

• Дипломные работы
• Курсовые работы
• Рефераты
• Контрольные работы
• Отчет по практике
• Все предметы

Узнать подробнее

Смотреть все работы по высшей математике

Сравнение чисел. Равенства и неравенства

Автор: Команда Тетрики

2023-02-16

3 565

Сравнивать группы предметов мы начинаем в детстве. Например, 2 мандарина больше, чем 1 мандарин. Сравнить два числа — это значит определить, какое из них больше другого, меньше другого или равно другому.

Записывается это с помощью знаков:

1. “ > ” — больше;
2. “ < ” — меньше;
3. “ = ” — равно.

Выражение 5 > 4 читается так: «пять больше четырёх» или «число “пять”  больше, чем число “четыре”».  Это называется неравенством. А выражение 5 = 5 — равенство.

1. Сравнение чисел с разным количеством цифр.

Из чисел, имеющих разное количество цифр — больше то, в котором больше цифр. Двузначное число больше однозначного, но меньше трёхзначного числа.

Например:

1. 9 < 10
2. 10 < 100
3. 999  > 10

2. Сравнение чисел с одинаковым количеством цифр.

Многозначные числа с одинаковым количеством цифр сравнивают так:

1. Сначала сравнивают первые цифры. 21 > 12, т.к. первая цифра 2 в первом числе больше, чем первая цифра 1 во втором числе.
2. Если первые цифры одинаковые, сравнивают вторые: 20 < 21, т.к. вторая цифра 0 меньше, чем вторая цифра 1.
3. Если вторые цифры одинаковы, сравнивают третьи: 235 > 234, т.к. 5 больше, чем 4.

Например: 8 352 124 > 7 352 124, т. к. первая цифра 8 больше, чем первая цифра 7, а количество цифр в числе одинаковое.

Сравнивают не только числа, но и выражения. Чтобы сравнить два выражения, в большинстве случаев нужно сначала найти их значения.

1. Чтобы сравнить выражения 15 — 6 и 16 — 8 сначала находим их значения: 15 — 6 = 9; 16 — 8 = 8.
2. Число «9» больше, чем число «8», 9 > 8, значит, выражение «15 — 6» больше, чем «16 — 8».
3. Записываем это так: 15 — 6 > 16 — 8; 9 > 8.

Хотите без проблем сравнивать числа и не путать «больше», «меньше» или «равно»? Приходите на занятия к нашим репетиторам, они научат всем хитростям : )

Влюбляем в обучение на уроках в онлайн-школе Тетрика

Оставьте заявку и получите бесплатный вводный урок

Как вам статья?

41

20

30

Читайте также

rel_exp — правила сравнения для типов сравнения

SAP NetWeaver AS ABAP, выпуск 751, © Copyright 2017 SAP AG. Все права защищены.

ABAP — Документация по ключевым словам → ABAP – Справочник → Логика программы → Выражения и функции для условий → log_exp — Логические выражения → rel_exp – Выражения сравнения → rel_exp – Правила сравнения → rel_exp — Сравнение элементарных типов данных →

rel_exp — Правила сравнения для типов сравнения

Когда сравниваются операнды с элементарными типами данных, сравнение использует тип сравнения, определяемый рассматриваемыми операндами, как для элементарные объекты данных и расчетные выражения. Тип сравнения может быть одним из предопределенные типы ABAP. При сравнении несовместимых операндов операнды, не имеющие типа сравнения, преобразуются в этот тип.

• Тип числового сравнения

• Символьное сравнение, тип

• Тип байтового сравнения

• Тип даты/времени как тип сравнения

Тип числового сравнения

Если тип сравнения является одним из числовых типов данных, сравниваются числовые значения.

Примечания

• Ошибки округления, зависящие от платформы, могут возникать с типом данных f, что означает, что часто не имеет смысла сравнивать числа с плавающей запятой, чтобы увидеть, совпадают ли они.

• Шкала и точность не имеет значения при сравнении десятичных чисел с плавающей запятой.

Пример

Сравнение текстовой строки с целым числом выполняется с числовым типом сравнения i. Если текстовую строку нельзя преобразовать с помощью i, это означает, что быть неизлечимым исключением в сравнении. Поэтому конвертируемость предварительно проверяется с помощью оператора преобразования CONV.

ДАННЫЕ char ТИП строка.
cl_demo_input=>add_field( ИЗМЕНЯЕМОЕ поле = char ).
Номер ДАННЫХ ТИП i.
cl_demo_input=>запрос(   ИЗМЕНЯЕМОЕ поле = число).

турецких лир.
    ДАННЫЕ(проверка) = CONV i(символ).
  CATCH cx_sy_conversion_error.
cl_demo_output=>display(`Попробуйте еще раз!`).
    ВОЗВРАТ.
КОНЕЦ.

cl_demo_output=>display(
  COND #( WHEN char > num THEN `CHAR больше NUM`
КОГДА char = число, ТО `CHAR равно NUM`
ELSE `CHAR меньше NUM` )).

Символьный тип сравнения

Если тип сравнения является одним из символьных типов данных, содержимое сравнивается слева направо. На основе внутреннего двоичного представления в используется кодовая страница, первый отличающийся символ слева определяет, какой операнд больше.

Примечания

• Для операндов типов c и string содержимое не сравнивается на основе локаль текущего текстовая среда. Оператор CONVERT TEXT может использоваться для указания порядка относительно локали.

• Если операнды типа n содержат допустимую строку цифр, пропорции представленных чисел определены правильно.

Пример

Пример показывает, является ли двоичное отображение заглавных букв больше, таким же или меньшим, чем двоичное отображение строчных букв для отдельных символов. Для отображения символов Unicode UCS-2 используется SAP, заглавные буквы меньше, чем строчные буквы. Числа и специальные символы не чувствительны к регистру, и результат сравнения на равенство истинен.

ДАННЫЕ char TYPE c LENGTH 1.
cl_demo_input=>request( ИЗМЕНЕНИЕ поля = char ).

cl_demo_output=>дисплей(
COND #( WHEN to_upper( char ) > to_lower( char )
               THEN `Верхний регистр больше нижнего`
КОГДА to_upper(char) = to_lower(char)
THEN `Верхний регистр равен нижнему регистру`
ELSE `Верхний регистр ниже нижнего` ) ).

Тип байтового сравнения

Если тип сравнения является одним из байтовых данных типов содержимое сравнивается слева направо. Основываясь на значениях байтов, первый отличающийся байт слева определяет, какой из операндов больше.

Пример

Тип сравнения байтового типа может быть получен путем сравнения операндов байтового типа. Здесь недопустимые значения сравниваются с шестнадцатеричными нулями перед вводом.

ДАННЫЕ hex1 ТИП x ДЛИНА 1.
cl_demo_input=>add_field( ИЗМЕНЯЮЩЕЕСЯ поле = hex1 ).
ДАННЫЕ hex2 ТИП x ДЛИНА 1.
cl_demo_input=>запрос (ИЗМЕНЯЕМОЕ поле = hex2).

cl_demo_output=>display(
  COND #( WHEN hex1 > hex2
THEN `HEX1 больше, чем HEX2`
КОГДА hex1 = hex2
               THEN `HEX1 равно HEX2`
ИНАЧЕ `HEX1 меньше, чем HEX2` )).

Тип даты/времени как тип сравнения

Если тип сравнения является одним из типов даты/времени, содержимое сравнивается слева направо. На основе внутреннего двоичного представления в используется кодовая страница, первый отличающийся символ слева определяет, какой операнд больше.

Примечание

Для операндов типов d и t, содержащих допустимую дату или допустимое время, более поздняя дата или время всегда больше более ранней.

Пример

Сравнение даты, полученной путем добавления числового значения текущей даты к исходной дате. Более поздняя дата всегда больше предыдущей.

ДАННЫЕ(дата) = sy-datlo.
cl_demo_input=>add_field( ИЗМЕНЕНИЕ поля = дата ).
ДАННЫЕ (дни) = CONV int2 ( 0 ).
cl_demo_input=>запрос (ИЗМЕНЯЕМОЕ поле = дни).

ДАННЫЕ(новая_дата) = CONV d(дата + дни).

cl_demo_output=>показать(
  COND #( WHEN new_date > date
               THEN `NEW_DATE больше DATE`
КОГДА new_date = date
               THEN `NEW_DATE equals DATE`
ИНАЧЕ `NEW_DATE меньше, чем DATE` )).

Операторы сравнения (Transact-SQL) — SQL Server

Редактировать

Твиттер LinkedIn Фейсбук Электронная почта

• Статья
• 28.02.2023
• 2 минуты на чтение

Применяется к: SQL Server База данных SQL Azure Azure SQL Управляемый экземпляр

Операторы сравнения проверяют, совпадают ли два выражения. Операторы сравнения можно использовать во всех выражениях, кроме выражений типа 9.0154 text , ntext или image типы данных. В следующей таблице перечислены операторы сравнения Transact-SQL.

Логический тип данных

Результат оператора сравнения имеет тип данных Boolean . Имеет три значения: TRUE, FALSE и UNKNOWN. Выражения, возвращающие тип данных Boolean , называются логическими выражениями.

В отличие от других типов данных SQL Server, тип данных Boolean не может быть указан в качестве типа данных столбца или переменной таблицы и не может быть возвращен в результирующем наборе.

Если для параметра SET ANSI_NULLS установлено значение ON, оператор, содержащий одно или два выражения NULL, возвращает UNKNOWN. Когда SET ANSI_NULLS выключен, применяются те же правила, за исключением операторов «равно» (=) и «не равно» (<>). Когда SET ANSI_NULLS выключен, эти операторы рассматривают NULL как известное значение, эквивалентное любому другому NULL, и возвращают только TRUE или FALSE (никогда UNKNOWN).

Выражения с логическими типами данных используются в предложении WHERE для фильтрации строк, соответствующих условиям поиска, и в операторах языка управления потоком, таких как IF и WHILE, например:

 -- Использует AdventureWorks 
ОБЪЯВИТЬ @MyProduct INT;
УСТАНОВИТЬ @MyProduct = 750;
ЕСЛИ (@MyProduct <> 0)
 ВЫБЕРИТЕ ID продукта, имя, номер продукта
 ОТ Производство.

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не \(12\) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. {o}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

\(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

Это уже теперь должно быть совсем ясно:

Бонус 2: Вебинары о треугольниках, чтобы набить руку в решении задач

А в этих видео из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике вы можете потренироваться, решая задачи вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком.

Это не просто вебинары, «бла-бла-бла» о теории математики. Это разбор задач в режиме реального времени. 

Вы точно научитесь решать любые задачи на эти темы, если их прослушаете.

Хотите получить максимум от этих вебинаров? Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.  

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных. 

Но в этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

На этом уроке мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в утверждении из прошлого урока — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Итак, задача 16 профильного ЕГЭ. Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ.

Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

высота, медиана, углы и др.

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel. ru Математика Геометрия Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

• Определение равностороннего треугольника
• Свойства равностороннего треугольника
  • Свойство 1
  • Свойство 2
  • Свойство 3
  • Свойство 4
  • Свойство 5
  • Свойство 6
• Пример задачи

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

• CD перпендикулярна AB => ∠ADC = ∠BDC = 90°
• AD = DB
• ∠ACD = ∠DCB = 30°

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

• R – радиус описанной окружности;
• r – радиус вписанной окружности;
• R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Равносторонний треугольник — определение, свойства, пример, факт

Определение равностороннего треугольника

В геометрии равносторонний треугольник — это треугольник, все три стороны которого имеют одинаковую длину. Стороны равностороннего треугольника равны, что означает, что все стороны имеют одинаковую длину. Все внутренние углы равны (60 градусов).

Термин «равносторонний» состоит из слов «экви», что означает «равный», и «латеральный», что означает «сторона». Итак, треугольник с равными сторонами называется равносторонним треугольником.

Родственные игры

История равносторонних треугольников

Следы треугольников можно найти во всем мире, особенно в строительстве. Их любили древние египтяне. Лица знаменитых египетских пирамид треугольные. Пирамиды Гизы – самые известные пирамиды, построенные египтянами во втором веке до нашей эры. Египтяне думали, что треугольная форма пирамиды символизирует местопребывание их бога Солнца Ра на земле.

Связанные рабочие листы

Равносторонние треугольники, используемые в реальной жизни

• Дорожные знаки, которые мы видим на дороге, имеют форму равносторонних треугольников. В следующий раз, когда вы отправитесь кататься на машине, обратите внимание, что все три стороны вывески кажутся одинаковой длины.

• Стойки, используемые для установки бильярдного стола с шарами, представляют собой равносторонние треугольники. Всего в них помещается 15 шаров, образуя идеальный равносторонний треугольник.

• Начос, обычная закуска, также имеют треугольную форму. Некоторые из них действительно равносторонние.

Что НЕ является равносторонним треугольником?

• Поверхность дорожного конуса не является равносторонним треугольником, потому что все три стороны не равны. Дорожный конус имеет удлиненные стороны с меньшим основанием.
• Паруса на парусной лодке не являются равносторонними треугольниками, так как стороны не равны по длине. Две стороны длиннее, чем оставшаяся сторона.

 Свойства равносторонних треугольников

• Все стороны имеют одинаковую длину «а»
• Все внутренние углы равны 60 градусам.
• Равносторонний треугольник симметричен, а это означает, что если вы сложите его, чтобы соединить его вершины, он сложится так, что две половины будут полностью перекрывать друг друга.

Периметр и площадь равностороннего треугольника

• Вы можете рассчитать периметр (длину всей границы) равностороннего треугольника, сложив длины всех трех сторон. В равностороннем треугольнике со стороной «а» длины сторон равны. Таким образом, периметр равностороннего треугольника = a + a + a = 3.a 92$; где а — сторона равностороннего треугольника.

Забавные факты о равностороннем треугольнике

• Грани пирамид Гизы в Египте — один из старейших и крупнейших в мире примеров равносторонних треугольников. Они были построены в 26 веке до н.э. и являются совершенно равносторонними.
• Равносторонний треугольник — это особый равнобедренный треугольник, у которого все три стороны равны.

Решенные примеры 

Q1. Чему будет равен периметр равностороннего треугольника, если предположить, что все его стороны имеют длину 30 дюймов?

Решение :

Вы знаете, что периметр равностороннего треугольника в 3 раза больше длины стороны. В вопросе указано, что длина стороны = 30 дюймов.

Следовательно, периметр равностороннего треугольника будет 3 × 30 = 90 дюймов.

Q2. Чему будут равны периметр и полупериметр равностороннего треугольника, сторона которого равна 10 единицам?

Решение :

Вы знаете, что периметр равностороннего треугольника в 3 раза больше длины стороны, а полупериметр равен половине периметра. 9{2}$ = $100\sqrt{3}$ квадратных дюймов

Часто задаваемые вопросы

Что мы подразумеваем под равносторонним?

Термин «равносторонний» состоит из слов «экви», что означает «равный», и «латеральный», что означает «сторона». Итак, если фигура имеет все стороны одинаковой длины, она называется равносторонней.

Каковы свойства равностороннего треугольника?

Три свойства равностороннего треугольника:

• Все три стороны равны.
• Все три угла равны.
• Фигура имеет три оси симметрии.

Как узнать, является ли треугольник равносторонним?

Вы можете узнать, что треугольник равносторонний, измерив его стороны. Если они одинаковой длины, то треугольник равносторонний.

Может ли прямоугольный треугольник быть равносторонним?

Равносторонний треугольник никогда не может быть прямоугольным, так как в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°, тогда как в равностороннем треугольнике все углы равны 60°

Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?

Равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного треугольника, у которого равны не две, а все три стороны и углы.

Равносторонний треугольник – формула, свойства, определение, примеры

В геометрии треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним треугольником. Если мы разберем слово «равносторонний», здесь «экви» означает эквивалент, а «боковой» — стороны. Равносторонний треугольник также называют правильным многоугольником, у которого три равные стороны. В этой статье мы узнаем о равностороннем треугольнике, свойствах равностороннего треугольника и формулах равностороннего треугольника.

1.	Что такое равносторонний треугольник
2.	Свойства равностороннего треугольника
3.	Формулы равностороннего треугольника
4.	Часто задаваемые вопросы о равностороннем треугольнике

Что такое равносторонний треугольник?

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны и углы также равны. Значение каждого угла равностороннего треугольника составляет 60 градусов, поэтому он также известен как равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник считается правильным многоугольником или правильным треугольником, так как углы равны и стороны также равны.

Треугольники делятся на три разных типа в зависимости от их сторон. Это равнобедренный треугольник, разносторонний треугольник и равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник отличается от равнобедренного и разностороннего треугольника.

• В разностороннем треугольнике все стороны треугольника не равны и углы тоже не равны.
• В равнобедренном треугольнике две стороны равны и противоположные углы равных сторон равны.
• В равностороннем треугольнике все стороны равны и углы тоже равны.

Посмотрите на данный рисунок

На данном рисунке стороны треугольника ABC равны, т.е.
AB=BC=CA = единицы.

Кроме того, ∠A, ∠B и ∠C = 60°
Следовательно, по определению равностороннего треугольника треугольник АВС является равносторонним треугольником.

Свойства равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник обладает некоторыми свойствами, которые определяют его как равносторонний треугольник. Следуйте приведенным ниже свойствам для идентификации равностороннего треугольника.

• Стороны равностороннего треугольника равны по размерам.
У равностороннего треугольника
• углов равны 60 градусам.
• правильный многоугольник, потому что у него три стороны.
• перпендикуляр, проведенный из любой вершины к противоположной стороне равностороннего треугольника, делит сторону пополам на равные длины. Он также делит пополам угол вершины на равные половины, т.е. по 30 градусов каждая от того места, где проведен перпендикуляр.
• Ортоцентр и центроид находятся в одной точке.
• медиана, биссектриса угла и высота равностороннего треугольника для всех сторон одинаковы.
• площадь равностороннего треугольника = √3a ² / 4, здесь a = сторона равностороннего треугольника
• периметр равностороннего треугольника = 3а, здесь а = сторона равностороннего треугольника
• Сумма всех углов равностороннего треугольника равна 180 градусам.

Формулы равностороннего треугольника

Формулы для нахождения площади равностороннего треугольника и периметра равностороннего треугольника приведены ниже.

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника — это пространство, покрываемое треугольником в двумерной плоскости. Вот формула для нахождения площади равностороннего треугольника:
. Площадь равностороннего треугольника = √3a ² /4, где a — сторона равностороннего треугольника.

Периметр равностороннего треугольника

Сумма всех сторон равностороннего треугольника равна периметру равностороннего треугольника или умножению стороны на три, поскольку в равностороннем треугольнике все стороны равны.
Периметр равностороннего треугольника = 3a, где a — сторона

Также обратите внимание,

• Полупериметр равностороннего треугольника = 3a/2
• Высота равностороннего треугольника = √3a/ 2

☛Похожие статьи о равностороннем треугольнике

Ознакомьтесь с этими интересными статьями, чтобы узнать больше о равностороннем треугольнике и связанных с ним темах.

• Площадь равностороннего треугольника
• Формулы равностороннего треугольника
• Периметр равностороннего треугольника

 

Примеры равностороннего треугольника

1. Пример 1: Вычислите площадь равностороннего треугольника со стороной 20 дюймов.
   Решение: Площадь равностороннего треугольника = √3a ² / 4, где a — сторона
   Дано, а = 20 дюймов
   Следовательно, площадь = √3×20×20/4
   Площадь равностороннего треугольника = 100√3 квадратных дюйма

2. Пример 2: Каков периметр равностороннего треугольника со сторонами 40 дюймов. Также найдите высоту равностороннего треугольника
   Решение: Периметр равностороннего треугольника = 3а, где а — сторона
   Учитывая a = 40 дюймов
   Периметр равностороннего треугольника = 3 × 40 = 120 дюймов 90 107 Высота равностороннего треугольника = √3a/ 2 = √3 × 40 / 2 = 20 √3

3. Пример 3: Каковы периметр и полупериметр равностороннего треугольника со стороной, равной 12 единицам.

   Решение:

   Периметр равностороннего треугольника = 3а, а полупериметр равностороннего треугольника = 3а/2, где а — сторона. Дано а = 12 единиц. Следовательно, периметр равностороннего треугольника = 3 × 12 = 36 единиц, а полупериметр равностороннего треугольника = 36/2 = 18 единиц.

перейти к слайдуперейти к слайду

Хотите создать прочную основу для изучения математики?

Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними. Испытайте Cuemath и приступайте к работе.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по равностороннему треугольнику

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о равностороннем треугольнике

Что такое равносторонний треугольник в геометрии?

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны и углы также равны. Значение каждого угла равностороннего треугольника составляет 60 градусов, поэтому он также известен как равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник считается правильным многоугольником или правильным треугольником, так как углы равны и стороны также равны.

Является ли равносторонний треугольник правильным многоугольником Почему?

Равносторонний треугольник считается правильным многоугольником или правильным треугольником, так как его углы и стороны равны.

Какова сумма всех углов равностороннего треугольника?

Сумма всех углов равностороннего треугольника равна 180 градусам. Поскольку все углы равны 60 градусам, сумма равна 60°+ 60°+ 60° =180 градусов

Какие формулы равностороннего треугольника в геометрии?

В геометрии все фигуры, как двухмерные, так и трехмерные, имеют определенные специальные формулы, которые используются для вычисления площади, высоты, периметра и полупериметра. Точно так же равносторонний треугольник имеет приведенные ниже формулы:

• Площадь равностороннего треугольника, A = (√3/4)a ²
• Периметр равностороннего треугольника, P = 3a
• Полупериметр равностороннего треугольника = 3a/2
• Высота равностороннего треугольника, h = (√3a/2)

Как найти площадь равностороннего треугольника?

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле площади равностороннего треугольника.

Примеры решения типовых задач

1. Найдите область определения функции:

а)

б) .

Решение:

а) Область определения функции удовлетворяет условию , поэтому . Отсюда, решая методом интервалов, имеем:

Ответ: D(у) = [0 ; 3]  [4 ; +).

б) Область определения функции отвечает условию: , поэтому ; ; .

Ответ: D(у) =[-2;-4/3].

2. Найдите область изменения функции f(x)=ln (x-3)(2-x).

Решение:

D(f(x))=(2;3), так как только при этих значениях аргумента существует ln (x-3)(2-x).

Таким образом, для нахождения области значений функции f(x) нужно знать область значений функции при 2<x<3. При указанных значениях аргумента функция достигает наибольшего значения при .

Отсюда, очевидно, что .

Найдем . Значит, .

Следовательно, .

Ответ: .

3. Исследуйте функции на четность:

а) ;

б) .

Решение:

а) D(f)=R — область определения функции симметрична относительно начала координат и так как

, то данная функция является нечетной.

б) .

Область определения функции несимметрична относительно начала координат, следовательно данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Определите нули и промежутки знакопостоянства функции:

.

Решение:

.

Найдем нули функции, т. е. точки, в которых значение функции равно 0:

Отсюда x=1 или x=3.

Нули функции разбивают область определения функции на промежутки знакопостоянства. С помощью метода интервалов определяем знак функции на каждом промежутке:

Ответ: функция положительна при отрицательна при нули функции х=1 и х=3.

4. Выделите промежутки, на которых существуют обратные функции для функции и найдите их.

Решение:

По свойствам квадратичной функции данная функция убывает на промежутке и возрастает на . Поэтому на каждом из этих промежутков существует обратная функция для функции. .

Найдем их:

, отсюда .

Тогда при получаем , или .

Уступая традиции, переобозначим переменные и получим функцию , которая является обратной для данной функции при . Аналогично, функция обратная для данной функции при .

Практические задания

для развития и контроля владения компетенциями

Задания, решаемые в аудитории

1. Найдите область определения функции:

а) ; б) .

2. Найдите область изменения функции

а) ; б) ; в) .

3. Исследуйте функции на четность:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Определите нули и промежутки знакопостоянства функции:

а) ; б) ; в) .

5. Выделите промежутки, на которых существуют обратные функции для функции и найдите их

а) ; б) .

Задания для самостоятельной работы дома

1. Найдите области определения функций:

а) ; б) в) .

2. Найдите области значения функций:

а) ; б) .

3. Исследуйте данные функции на четность:

а) ; б) ; в) .

4. Определите промежутки знакопостоянства функций:

а) ; б) .

5. Найдите функции обратные функциям:

а) ; б) .

Лабораторное занятие №2

Тема занятия «Предел функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы»

Цель занятия: Введение понятия предел функции, формирование навыков вычисления пределов.

Организационная форма занятия: практикум-тренинг.

Компетенции, формируемые на занятии:

• способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1).

Формирование у будущих специалистов этой компетенции на занятии предполагает обучение студентов

— анализировать ситуации и делать выводы;

— владеть основными методиками решения учебно-исследовательских задач;

— вести поиск альтернативных средств и способов решения;

— абстрагировать содержание и выделять существенное;

— планировать самостоятельную работу.

Ошибка

Перейти к основному содержанию

Вся размещенная на ресурсе информационная продукция предназначена для детей, достигших возраста шестнадцати лет (16+)

Извините, не удалось найти запрашиваемый Вами файл

Подробнее об этой ошибке

Перейти на… Перейти на…Новостной форумКомплексные числа (с приложениями к задачам электротехники)Лекционный материал по теме «Комплексные числа»Разбор типовых задач задач по теме «Комплексные числа»Примеры решения задач по теме «Комплексные числа»КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАКомплексные числа. Основы линейной алгебры. Системы линейных уравненийТеория функций комплексного переменного. Операционное исчислениеПрезентация по теме «Комплексные числа»Дополнительный материал к темеОсновы линейной алгебры с приложениями в других разделах математикиЛекционный материал по теме «Матрицы. Определители»Лекционный материал по теме «Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Применение СЛАУ в экономике»Лекционный материал по теме «Линейные операторы»Примеры решения по теме «Системы линейных алгебраических уравнений»ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАКомплексные числа. Основы линейной алгебры. Системы линейных уравненийЛинейная алгебра для экономистовМатрицы. ОпределителиВекторная алгебра.Аналитическая геометрияЛекционный материал по теме «Векторная алгебра. Линейные операции над векторами»Лекционный материал по теме «Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов»Примеры решения задач по теме «Векторная алгебра. Линейные операции над векторами»Примеры решения задач по теме «Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов»ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРАВекторная алгебра и аналитическая геометрияПрезентация по теме «Векторная алгебра»Векторная алгебра. Аналитическая геометрияТеоретический материал по теме «Метод координат на плоскости и в пространстве»Лекционный материал по теме «Прямая на плоскости»Лекционный материал по теме «Кривые второго порядка»Лекционный материал по теме «Прямая в пространстве»Лекционный материал по теме «Плоскость в пространстве»Лекционный материал по теме «Поверхности второго порядка»Примеры решения задач по теме «Прямая на плоскости»Примеры решения задач по теме «Кривые второго порядка»Примеры решения задач по темам «Прямая и плоскость в пространстве»АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯВекторная алгебра и аналитическая геометрияСправочный материал «Прямая на плоскости»Справочный материал «Кривые второго порядка»Справочный материал «Прямая и плоскость в пространстве»Линейная алгебра для экономистовПрезентация по теме «Прямая на плоскости»Презентация по теме «Уравнения плоскости и прямой в пространстве»▶ Виртуальный тренажер «Прямая на плоскости» 👨‍🎓Введение в анализНачала анализаЛекционный материал по теме «Множества, функции, основные характеристики функций. Основные элементарные функции»Лекционный материал по теме «Предел функции, основные теоремы о пределах.Замечательные пределы. Бесконечно малые функции»Лекционный материал по теме «Непрерывность функции»Примеры решения задач по теме «Предел функции. Раскрытие математических неопределенностей»Примеры решения задач по теме «Непрерывность функции»ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗУпражнения для самостоятельного решения Тест «Введение в анализ»Презентация по теме «Введение в анализ»1. Понятие функцииПрименение функций в экономической теории и практикеПрименение пределов в экономических расчетахПриложение понятия непрерывности функций в экономике▶ Виртуальная справочная «Тригонометрические функции» 👨‍🎓Дифференциальное исчисление функций одной переменнойПриложения дифференциального исчисления функции одной переменнойЛекционный материал по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»Лекционный материал по теме «Основные теоремы дифференциального исчисления. Правила Лопиталя»Лекционный материал по теме «Формулы Тейлора и Маклорена»Лекционный материал по теме «Приложения дифференциального исчисления»Примеры решения задач по теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙТест «Основные правила и формулы дифференцирования»Тест «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»Основы дифференцирования. Часть 1Основы дифференцирования. Часть 2Основы дифференцирования. Часть 3Приложения производной Исследование функций, Примеры решения задачПрименение производных при решении экономических задачИнтегральное исчисление функции одной переменнойЛекционный материал по теме «Неопределенный интеграл»Лекционный материал по теме «Определенный интеграл»Практическое занятие 1. Непосредственное интегрирование (неопределённый интеграл)Практическое занятие 2. Интегрирование заменой переменной (неопределённый интеграл)Практическое занятие 3. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный многочлен (неопределённый интеграл)Практическое занятие 4. Интегрирование рациональных дробей (неопределенный интеграл)Практическое занятие 5. Определенный интегралПримеры решения задач по теме «Неопределенный интеграл»Примеры решения задач по теме «Определенный интеграл»ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙТест «Таблица основных неопределенных интегралов»Тест «Интегрирование функций одной переменной»1. Неопределенный интеграл. Основы интегрирования2. Интегрирование иррациональных выражений 3. Интегрирование тригонометрических выражений 4. Определенный интегралДифференциальное исчисление функций нескольких переменныхЛекционный материал по теме «Функции нескольких переменных»Примеры решения задач по теме «Функции нескольких переменных»ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХТест «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»1. Функции нескольких переменныхПрименение функций нескольких переменных в экономикеОбыкновенные дифференциальные уравненияОбыкновенные дифференциальные уравнения и их приложенияДифференциальные уравнения первого порядкаДифференциальные уравнения высших порядковСистемы дифференциальных уравнений и устойчивость их решенийЛекционный материал по теме «Дифференциальные уравнения 1-го порядка»Лекционный материал по теме «Дифференциальные уравнения высших порядков»Примеры решения задач по теме «Дифференциальные уравнения»ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯТест «Обыкновенные дифференциальные уравнения»1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка2. Дифференциальные уравнения высших порядковСпециальные разделы высшей математикиСпециальные разделы высшей математики: практикум Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поляПоверхностные интегралы. Векторный анализЛекционный материал по теме «Двойные интегралы»Примеры решения задач по теме «Двойные интегралы»КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ2. Двойные интегралыРядыЛекционный материал по теме «Числовые ряды»Лекционный материал по теме «Функциональные ряды»Примеры решения задач по теме «Ряды»1. Числовые ряды2. Функциональные ряды3. Разложение функций в степенные рядыТеория функций комплексного переменного. Операционное исчисление.Основы теории функций комплексного переменногоОперационное исчисление.Теория функций комплексного переменного. Операционное исчислениеТеория вероятностей Теория вероятностей (случайные события)Вероятность, случайные процессы, математическая статистикаТеория вероятностей. Случайные процессы: практикумЛекционный материал по теме «Основные подходы к определению вероятности»Лекционный материал по теме «Алгебра событий. Основные теоремы о вероятности»Лекционный материал по теме «Дискретные случайные величины»Лекционный материал по теме «Непрерывные случайные величины»Лекционный материал по теме «Числовые характеристики случайных величин»Лекционный материал по теме «Моменты и другие характеристики распределений»Лекционный материал по теме «Нормальное распределение»Практическое занятие 1. КомбинаторикаПрактическое занятие 2. Действия над событиями. Вероятность событияПрактическое занятие 3. Теоремы умножения и сложения вероятностей событийПрактическое занятие 4. Формула полной вероятности Практическое занятие 5. Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы ЛапласаПрактическое занятие 6. Дискретные случайные величины. Числовые характеристикиПрактическое занятие 7. Непрерывные случайные величины. Классические законы распределения НСВПримеры решения задач по теме «Комбинаторика»Примеры решения задач по теме «Классическое определение вероятности»Примеры решения задач по теме «Теоремы сложения и умножения»Примеры решения задач по теме «Формула полной вероятности. Формулы Байеса»Примеры решения задач по теме «Схема независимых испытаний Бернулли»Примеры решения задач по теме «Дискретные случайные величины»Примеры решения задач по теме «Основные числовые характеристики дискретных случайных величин»Примеры решения задач по теме «Непрерывные случайные величины»Примеры решения задач по теме «Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин»Примеры решения задач по теме «Классические законы распределения дискретных случайных величин»Примеры решения задач по теме «Классические законы распределения непрерывных случайных величин»Таблица значений функции ЛапласаТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙТест по разделу «Случайные события»Тест по теме «Числовые характеристики случайных величин»Тест по теме «Дискретные случайные величины»Тест по теме «Непрерывные случайные величины»Основные подходы к определению вероятностиАлгебра событий. Основные теоремы о вероятностиТеория вероятностей (Лыткина Е.М.,Чихачев А.С., 2013)Математическая статистикаОсновы математической статистикиМатематическая статистика: практикумПримеры решения задач по математической статистикиМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАТест по разделу «Математическая статистика». Тема «Статистическое распределение. Точечные и интервальные оценки параметров распределения»Тест по разделу «Математическая статистика». Тема «Статистические гипотезы. Корреляционный и регрессионный анализ»Вероятность, случайные процессы, математическая статистикаСтатистический метод и основы его примененияВероятностно-статистические методы на примере задач исследования работы железнодорожного транспорта Марковские процессы и СМО. Учебное пособиеЛекционный материал по теме «Марковский процесс с дискретным временем»Лекционный материал по теме «Марковский процесс с непрерывным временем»Лекционный материал по теме «Системы массового обслуживания»Примеры решения задач по теме «Марковские процессы»СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫЛабораторные работы Вероятность, случайные процессы, математическая статистикаТеория вероятностей. Случайные процессы. ПрактикумЛекция «Марковские процессы»Цепи МарковаСистемы массового обслуживания (СМО)СМОВыбор группы*Тест «Таблица основных неопределенных интегралов»*Тест «Интегрирование функций одной переменной»*Тест «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»*Тест «Обыкновенные дифференциальные уравнения»*Тест по разделу «Случайные события»*Тест по теме «Дискретные случайные величины»*Тест по теме «Непрерывные случайные величины»*Тест по теме «Числовые характеристики случайных величин»*Тест «Введение в анализ»*Тест «Основные правила и формулы дифференцирования»*Тест «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»*Экзаменационный тест «Таблица основных неопределенных интегралов»*Экзаменационный тест «Интегрирование функций одной переменной»*Экзаменационный тест «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»*Экзаменационный тест «Обыкновенные дифференциальные уравнения»Контрольная работа. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменныхКонтрольная работа. Неопределенный интеграл (методы интегрирования)Контрольная работа. Неопределенный интеграл (интегрирование рациональных дробей)Контрольная работа. Определенный интегралКонтрольная работа. Обыкновенные дифференциальные уравненияКонтрольная работа 1. Теория вероятностей (случайные события)Контрольная работа 2. Теория вероятностей (характеристики дискретной случайной величины)Контрольная работа 3. Теория вероятностей (характеристики непрерывной случайной величины)Контрольная работа 4. Теория вероятностей (классические законы распределения дискретной случайной величины)Контрольная работа 5. Теория вероятностей (классические законы распределения непрерывной случайной величины)Экзамен Математика (2 семестр). СОД.1,2,3-19-1 (И,З)ЭКЗАМЕН. Математика (3 семестр)_СОД.1,2,3-19 (з)

Масштаб решения – понимание

Большинство проектов в тот или иной момент неизбежно сталкиваются с трудностями, если масштаб не определен должным образом. Правильное примечание для начала проекта — иметь под рукой четкий объем проекта и решения/продукта. Для бизнес-аналитика очень важно четко понимать и четко определять объем решения еще до того, как он перейдет к этапу выявления требований. В этой статье основное внимание уделяется ключевым аспектам понимания и определения объема решения в традиционных методологиях.

1.1 Объем проекта и объем решения

Объем проекта обычно отображает «Объем работ» для конкретного проекта. Объем проекта относится к работе, которая должна быть выполнена для предоставления продукта, услуги или результата с указанными свойствами и функциями. Он создается руководителем проекта и руководствуется целями проекта.

«Область решения» полностью связана с « Что » включено в решение (функциональные и нефункциональные функции, другие характеристики и т. д.) и не фокусируется на « Как » решение доставлено. Это относится к набору возможностей, которые должно предоставлять решение, чтобы удовлетворить потребности бизнеса. Бизнес-аналитик является создателем и владельцем области решения.

Часто рекомендуется определить объем решения до определения объема проекта, так как это дает менеджеру проекта больше ясности с точки зрения сложности, связанных с ним рисков, вероятности успеха и создает основу для оценки стоимости и сроков проекта.

1.2 Понимание потребностей бизнеса и необходимых возможностей

Это первый шаг для определения масштаба решения высокого уровня. На этом этапе объем решения определяется на основе бизнес-потребностей и бизнес-требований высокого уровня. Эта информация может быть получена через формальный запрос предложений, неформальное обсуждение с клиентом, формулировку проблемы или как часть рекомендаций/результатов консультационных мероприятий. Задача бизнес-аналитика состоит в том, чтобы создать четко определенный объем решения на основе этой минимальной доступной информации. Однако ключом к решению этой проблемы является четкое понимание потребностей бизнеса, возможностей и концептуализация решения, которое может удовлетворить их на основе предоставленной информации. На этом этапе важно задать правильный вопрос. БА должен проявлять инициативу, чтобы задавать правильные вопросы и проверять понимание с заинтересованными сторонами, такими как МСП домена, МСП внедрения, менеджер проекта, владельцы бизнеса и спонсор.

В официальном процессе запроса предложений обычно есть этап, на котором поставщики могут отправить вопросник для дальнейшего уточнения объема и требований. Поскольку время и информация для определения области ограничены, следует проявлять особую осторожность при структурировании вопросов. Слишком большое количество открытых вопросов может привести к дальнейшим сомнениям и путанице, а слишком большое количество закрытых вопросов может лишить вас дополнительной информации. Правильное сочетание вопросов должно быть разумно сформулировано для решения основных областей.

Следует отметить, что предположения, ограничения и подход к решению также являются входными данными для определения объема решения и одинаково важны для подтверждения заинтересованными сторонами. Цель должна состоять в том, чтобы создать водонепроницаемую область с использованием материалов, собранных из вышеуказанных входных данных. Любая трещина или дыра в содержании может привести к расползанию объема, что может в значительной степени повлиять на общую стоимость проекта и сроки.

После выявления и анализа требований общий объем решения превращается в подробный объем и спецификации требований, а размытая граница объема становится более отчетливой и четкой.

2. Определение объема решения

Бизнес-аналитик должен смоделировать и определить объем таким образом, чтобы предоставить достаточно деталей для удовлетворения бизнес-потребностей и возможностей. Это поможет заинтересованным сторонам визуализировать решение и понять, как решение обеспечит требуемые возможности. Это также становится руководством для выявления требований, когда БА фактически работает над сбором подробных или низкоуровневых требований.

Представьте, что БА входит в большое тускло освещенное здание в полночь с факелом, чтобы получить информацию о дверях, окнах, мебели, настенных коврах и даже гайках и болтах. Ему также нужно выйти из здания до восхода солнца. Не зная, на какие этажи и в какие комнаты входить, БА может заблудиться, раздумывая, куда направить факел и что захватить. Это немного пугает, но именно настолько трудным может стать упражнение по извлечению информации, если объем решения определен без особой ясности и деталей.

Объем решения обычно определяется в заявлениях о содержании и в модели объема. Заявления о содержании описывают границы области применения и указывают, что входит в состав результатов решения. Описание области действия должно быть написано очень просто и лаконично, чтобы избежать двусмысленности. Модель решения может быть контекстом или диаграммой потока данных, которая изображает интерфейсы, границы и ключевые процессы в решении. Настоятельно рекомендуется использовать оба параметра (объявления области действия и модель) для определения и отображения области действия решения. Это дает два разных взгляда на объем и помогает заинтересованным сторонам связать их с потребностями и целями бизнеса и лучше понять весь объем.

2.1 Область применения

• In-Scope: Эти утверждения определяют, какие компоненты, возможности, интерфейсы, организационные единицы и процессы включены в решение. Если решение реализуется поэтапно или в несколько итераций, заявления In-Scope должны быть описаны в отношении каждой фазы или итерации.

• Out-Of-Scope: Некоторые бизнес-аналитики не решаются определять элементы Out-Of-Scope, поскольку это может быть что угодно на свете и может не иметь значения. Иногда это может раздражать и заинтересованных лиц. Однако очень важно, чтобы эти операторы были определены вместе с операторами In-Scope, чтобы кристаллизовать область действия. Эти элементы, выходящие за рамки, можно определить, визуализируя более широкую картину и удаляя элементы, которые так или иначе связаны с решением, но не охватываются областью действия. Это также могут быть потенциальные требования, которые могут стать частью объема в будущем. Это придаст большей прочности и заметности границе области действия и сведет к минимуму риск расползания области действия.

Если представить объем решения в виде коробки, то элементы, входящие в область действия, окажутся внутри коробки, а элементы, не входящие в область действия, окажутся за ее пределами. Сравнительно проще идентифицировать подразделения организации, основные возможности, интерфейсы внутри и вне коробки. Однако чаще всего встречаются серые элементы (пограничные), которые сложно идентифицировать как элементы в рамках или вне области и, что более важно, их влияние на решение в целом. Эти элементы могут быть связаны с определенными возможностями или функциями, которые мало видны при определении области действия. Рекомендуется задавать эти элементы с правильными вопросами к заинтересованным сторонам или искать предположения, которые могут оправдать их существование в качестве элементов, входящих или выходящих за рамки.

Помимо элементов, входящих и выходящих за рамки, ВА должен также четко указать следующие элементы как часть объема решения.

• Допущения и ограничения, которые принимаются во внимание при определении области

• Деловые или технические зависимости, связанные с компонентами решения или его реализацией

• Риски, связанные с объемом решения

Внутренний риск, выявленный во время определения содержания решения, должен быть немедленно доведен до сведения руководителя проекта. В конечном итоге это может стать риском проекта, и должна быть принята соответствующая стратегия для снижения риска.

Структура решения, включая основные драйверы, средства реализации, компоненты и факторы, представлена ​​ниже.

2.2 Модель области действия

Модели области действия предоставляют визуальную модель для изображения области действия решения. Это помогает создать единое представление высокого уровня о границах области действия и ее связях с внешними объектами. Моделирование области может быть выполнено с использованием контекстной диаграммы или диаграммы потоков данных (DFD).

Рекомендуется иметь диаграмму с одной областью (контекстную диаграмму или диаграмму потока данных уровня 0), однако при необходимости контекстную диаграмму можно поддерживать или расширять до нескольких DFD. БА должен принять решение о правильном уровне и подробностях объема решения в соответствии со сценарием, основанным на ожиданиях заинтересованных сторон.

Модель масштаба также может быть представлена ​​в терминах модели вариантов использования или пользовательских историй.

2.3 Контрольный список для проверки объема решения

• Отвечает ли объем решения конкретным потребностям и задачам бизнеса?

• Сопоставлены ли возможности решения в области действия / согласованы с бизнес-целями / требованиями высокого уровня / постановкой проблемы?

• Определяет ли он элементы In-Scope и Out-Of-Scope?

• Учитывает ли он предположения, ограничения, зависимости и риски?

• Достаточно ли деталей, чтобы заинтересованные стороны могли понять и подтвердить область применения?

• Четко ли определен объем решения? Есть ли какая-либо двусмысленность в заявлениях области видимости?

ВА должен получить разрешение от спонсора/заказчика после проверки и утверждения. Это обеспечит структурированный подход к управлению областью действия в случае возникновения каких-либо проблем или конфликтов на этапах реализации решения.

Изменения неизбежны! Объем решения должен меняться, если меняются бизнес-потребности и цели. Заинтересованные стороны также могут добавлять или изменять возможности/требования решения в любой момент времени в жизненном цикле реализации решения. Для бизнес-аналитика очень важно управлять областью таким образом, чтобы это оказывало минимальное влияние на стоимость, график, качество решения и общее взаимодействие с клиентом.

Изменения объема можно разделить на два типа.

• Изменение бизнес-потребности — Изменение бизнес-потребности может оказать огромное влияние на объем решения. BA необходимо создать новую область или изменить существующую область, чтобы включить изменение. Целесообразно пройти полный жизненный цикл для переопределения области (Понимание — Определение — Проверка — Утверждение) для таких сценариев. Это может снова изменить объем проекта, общую стоимость и сроки.

• Изменение возможностей/функций — Если бизнес-потребности и цели остаются неизменными, а новые возможности/функции добавляются или существующие модифицируются, бизнес-аналитику необходимо оценить, соответствуют ли эти изменения бизнес-требованиям или нет. Соответственно, BA может идентифицировать изменения как элементы In-Special или Out-Of-Scope. В случае конфликта бизнес-аналитику необходимо способствовать соглашению между заинтересованными сторонами, когда либо бизнес-требования и объем будут изменены, либо изменения не будут выходить за рамки решения.

Изменением содержания необходимо управлять в рамках процесса управления изменениями или управления изменениями, определенного в Уставе проекта. Для бизнес-аналитика также важно понимать, какую ценность приносит изменение для решения и для заинтересованных сторон. Следует также уделить внимание выявлению альтернатив, которые могут обеспечить изменение с минимальным влиянием на область применения.

4. Заключение

Определение объема решения требует конструктивного и коллективного подхода. БА должен привлекать заинтересованные стороны для понимания и проверки контекста и объема решения. Это требует много фасилитации и аналитических навыков. Кроме того, выбор правильных методов и инструментов становится важным для выявления и определения масштаба. Некоторыми из методов определения области действия могут быть функциональная декомпозиция, анализ интерфейса, моделирование области действия и пользовательские истории.
BA должен носить несколько шляп, чтобы подвергнуть сомнению и обосновать каждый аспект области. Это не спешка и требует достаточно времени и размышлений, чтобы провести правильную границу объема.

4.1 Рекомендации

• Управление ожиданиями. Управление ожиданиями заинтересованных сторон наряду с масштабом является правильной стратегией для достижения успеха.

• Будьте проактивны. Упреждающее выявление изменений и общение с соответствующими заинтересованными сторонами может помочь в управлении проблемами и конфликтами, связанными с областью решения.

• Получить одобрение. Каждое изменение области действия должно быть подтверждено заинтересованными сторонами и одобрено спонсором.

• Избегайте расползания области действия — БА всегда должен быть осторожен при работе с изменениями. Любое изменение должно подвергаться сомнению, оспариваться и оцениваться в правильном контексте. На этапе выявления и анализа требований бизнес-аналитик должен уделить особое внимание обеспечению полного охвата области действия с помощью спецификаций требований и моделей. Глубокое знание клиентской среды, бизнес-моделей и новых тенденций также помогает BA предвидеть будущие изменения и выстраивать правильную стратегию.

• Документируйте и сообщайте об изменениях. Надлежащая запись, отслеживание, отслеживание и передача информации об изменениях области являются обязательными для предотвращения проблем и конфликтов.

Автор: Суман Дас, CBAP

Суман Дас, CBAP, имеет более чем 12-летний опыт работы в области бизнес-анализа в сфере путешествий, транспорта и гостиничного бизнеса. В качестве менеджера по консалтингу в InterGlobe Technologies он занимается разработкой бизнес-решений и услуг, а также наставничеством для бизнес-аналитиков в рамках Академии бакалавриата.

Объем решения и объем проекта

Многие менеджеры проектов и бизнес-аналитики, кажется, с трудом понимают разницу между объемом проекта и объемом продукта. Эти два абзаца помогают прояснить разницу.

Объем проекта: Объем проекта включает всю работу, которая должна быть выполнена для создания продукта или предоставления услуги или результата. Объем проекта — это все, что касается проекта; он определяет работу, необходимую для создания и развертывания продукта. Менеджер проекта готовит описание содержания проекта.

Объем решения:  Продукт или объем решения — это характеристики, функции или функции продукта или услуги, которые необходимо создать. Объем решения — это решение, которое необходимо реализовать: как оно будет выглядеть, как оно будет функционировать, другие характеристики и т. д. Бизнес-аналитик готовит объем продукта или решения.

Цель области решения — представить рекомендуемое решение достаточно подробно, чтобы заинтересованные стороны могли понять, какие новые бизнес-возможности предоставит ИТ-решение для бизнеса. Правильно написанный объем решения создаст общее видение. Для корпоративных проектов описание содержания часто составляется с учетом воздействия на людей, процессы и технологии. Масштаб решения часто подтверждается анализом пробелов в возможностях.

Создание общего видения бизнес-решения на данном этапе проекта поможет процессу выявления требований оставаться сфокусированным, значительно сократить масштабы, сократить сроки, быстрее высвобождая ресурсы, и повысить удовлетворенность заинтересованных сторон. Четко определенный объем решения значительно увеличивает вероятность успеха проекта.

Однако, согласно недавнему исследованию, отсутствие ясности в сфере бизнес-функций является проблемой номер один для бизнес-аналитиков в проектах. Роль бизнес-аналитика состоит в том, чтобы определить границы бизнес-решения, чтобы убедиться, что определение объема решения соответствует бизнес-потребностям. Неправильное определение объема решения может привести ко многим проблемам.

Возникает эффект шара для боулинга, когда область действия не определена четко. Объем решения используется для определения спецификаций требований. Если объем решения четко не определен, не существует или непонятен, то перевод потребностей клиента приведет к расплывчатым требованиям, которые могут быть неправильно поняты. Поэтому последующая проектная документация может быть плохо определена и задокументирована, и окончательное решение не будет отвечать потребностям заказчика. БА должен работать в тесном сотрудничестве с менеджером проекта, чтобы гарантировать, что и проект, и объем решения были тщательно определены и согласованы друг с другом.

Теперь все должны искренне согласиться с тем, что наличие четко определенного объема решения является стратегически важным для успеха. Заявления о масштабах необходимы независимо от того, разрабатывает ли команда индивидуальное решение или внедряет приобретенное программное обеспечение. Однако существует очень мало статей или других ресурсов, в которых содержится подробное руководство по составлению заявлений о содержании. Давайте посмотрим, как определить операторы области действия. Слишком часто бизнес-процессы и содержание продукта определяются на очень высоком уровне. Например, я видел, что многие заявления о содержании гласят что-то вроде: «Внедрите ‘Модуль закупок SAP’». Как из этого утверждения можно определить, какие бизнес-операции и функции входят в область действия или не входят в нее?

Стратегическая цель описания содержания — определить фокус!!! Без фокуса все требования, выявляющие лучшие практики, будут напрасными. Заявления о содержании должны иметь следующие характеристики.

1. Будьте ясны и лаконичны
2. Содержит краткое описание, поясняющее цели бизнеса
3. Быть в приоритете
4. Поддержка бизнес-цели
5. Сосредоточьтесь на решении, а не на работе, которая должна быть выполнена, что определено в описании содержания проекта

Объем решения – Процесс
Объем	Описание	Приоритет
Обработка заказов на поставку	Наш текущий процесс заказа на поставку имеет много проблем. Цель состоит в том, чтобы изменить процесс для использования модуля закупок Peoplesoft.	Высокий
Процесс получения	В настоящее время мы используем ручные процедуры для проверки товаров, полученных от поставщиков на складе. Цель состоит в том, чтобы обеспечить склад компьютерами, чтобы работники склада могли сверять полученные товары с теми, что были заказаны.	Высокий

Объем решения – Люди
Объем	Описание	Приоритет
Отдел закупок	Отдел закупок должен быть обучен новому процессу и системе Peoplesoft, которая его поддерживает.	Высокий
Склад	У сотрудников склада никогда раньше не было компьютеров. Их нужно будет обучить новому процессу, основам компьютерной грамотности и работе с системой PeopleSoft.	Высокий
Поставщики	Нам придется работать с нашими поставщиками, чтобы внедрить новый процесс. Они должны будут предоставить нам каталожную информацию и работать с нами над тестированием.	Высокий

Объем решения – Технология
Объем	Описание	Приоритет
Модуль закупок PeopleSoft	У нас есть модуль закупок PeopleSoft, но мы не установили его при первоначальной установке. Цель состоит в том, чтобы использовать это существующее программное обеспечение и модифицировать текущие процессы для работы с новым программным обеспечением. Это включает в себя всю работу по установке и настройке базовой функциональности программного обеспечения Peoplesoft.	Высокий
Обработка заказов на поставку	Обработка заказов на покупку позволяет нам выдавать заказы на покупку товаров у предпочтительных поставщиков.	Высокий
Прием	Процесс получения позволяет нам получить товары, которые мы заказали, и проверить, что ничего не повреждено и что заказ выполнен.	Высокий
Пункт Техническое обслуживание	Процесс обслуживания товара позволяет создавать и редактировать товары, которые мы заказываем и получаем.	Средний
Обслуживание каталога товаров поставщика	Каталоги предметов — это группы предметов, которые мы можем купить у продавца. Каталоги товаров позволяют нам связать наши внутренние номера со схемами нумерации поставщиков.	Средний
Техническое обслуживание поставщика	Этот процесс позволяет нам создавать и редактировать информацию о поставщике, такую ​​как номер поставщика, адресную информацию, номера телефонов и т. д.	Средний
Рабочий процесс	Рабочий процесс состоит из определения различных бизнес-правил для управления процессом покупки.	Низкий

Обратите внимание, что решение включает процессы, людей и технологии. Предварительное определение содержания, подобное этому, позволит заинтересованным сторонам достичь общего видения и сосредоточиться на истинном объеме во время выявления требований.

Заинтересованные стороны должны иметь возможность просмотреть и прокомментировать объем решения. Спонсор проекта должен их одобрить. После утверждения спонсором проекта описания содержания используются для выявления требований. Заинтересованных сторон спрашивают, каковы их потребности в отношении конкретного заявления о предмете. Это поможет упорядочить требования и поможет предотвратить или уменьшить неудовлетворительные требования, выходящие за рамки.

Многие бизнес-аналитики также любят определять, что не входит в область применения. Это может быть важно при определенных обстоятельствах и должно быть сделано, если это обеспечивает больше внимания заинтересованным сторонам и команде проекта. Для приведенных выше примеров может быть полезно перечислить элементы в списке ниже как исключенные из области действия.

• Обработка карточек закупок
• Снабжение
• Анализ поставщиков
• Аналитика закупок

Передовой практикой для любой реализации является наличие определенного процесса управления изменениями области действия. К сожалению, наличие процесса управления изменением содержания без четко определенного описания содержания продукта, скорее всего, приведет к неудаче. Как можно определить расползание масштаба, если никто не понимает масштаба? По моему опыту, большая часть расползания масштаба начинается с дискуссий вне стандартных совещаний по проекту, когда неясные ожидания приводят к потере внимания к призу.

2 синус в кубе х. Самые необходимые тригонометрические формулы

Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α + β 2 и α — β 2 . Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α — β 2 sin α — sin β = 2 sin α — β 2 cos α + β 2

Формулы суммы и разности для косинусов

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α — β 2 cos α — cos β = — 2 sin α + β 2 cos α — β 2 , cos α — cos β = 2 sin α + β 2 · β — α 2

Данные формулы справедливы для любых углов α и β . Углы α + β 2 и α — β 2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α — β) = sin α · cos β — cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

α = α + β 2 + α — β 2 = α 2 + β 2 + α 2 — β 2 β = α + β 2 — α — β 2 = α 2 + β 2 — α 2 + β 2

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

sin α + sin β = sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2

Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму — формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)

sin α + β 2 + α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 + sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу

sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 + sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α — β 2

Действия по выводу остальных формул аналогичны.

Вывод формулы разности синусов

sin α — sin β = sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 sin α + β 2 + α — β 2 — sin α + β 2 — α — β 2 = sin α + β 2 cos α — β 2 + cos α + β 2 sin α — β 2 — sin α + β 2 cos α — β 2 — cos α + β 2 sin α — β 2 = = 2 sin α — β 2 cos α + β 2

Вывод формулы суммы косинусов

cos α + cos β = cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 + cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 + cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α — β 2

Вывод формулы разности косинусов

cos α — cos β = cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 cos α + β 2 + α — β 2 — cos α + β 2 — α — β 2 = cos α + β 2 cos α — β 2 — sin α + β 2 sin α — β 2 — cos α + β 2 cos α — β 2 + sin α + β 2 sin α — β 2 = = — 2 sin α + β 2 sin α — β 2

Примеры решения практических задач

Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть α = π 2 , β = π 6 . Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

α = π 2 , β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 — π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 · 3 2 · 3 2 = 3 2

Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α = 165 ° , β = 75 ° . Вычислим значение разности синусов этих углов.

Пример 2. Применение формулы разности синусов

α = 165 ° , β = 75 ° sin α — sin β = sin 165 ° — sin 75 ° sin 165 — sin 75 = 2 · sin 165 ° — 75 ° 2 cos 165 ° + 75 ° 2 = = 2 · sin 45 ° · cos 120 ° = 2 · 2 2 · — 1 2 = 2 2

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом — задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения

Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла

Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени

Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус

Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

Универсальная тригонометрическая подстановка

Обзор основных формул тригонометрии завершаем формулами, выражающими тригонометрические функции через тангенс половинного угла. Такая замена получила название универсальной тригонометрической подстановки . Ее удобство заключается в том, что все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла рационально без корней.

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004. — 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла »), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций »).

Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:

Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:

Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны на cos 2 α (для получения тангенса) или на sin 2 α (для котангенса).

Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.

Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол α ∈ (π /2; π ), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).

Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.

Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π /2). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим: α ∈ (180°; 270°).

Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = −0,5.

Задача. Найдите tg α , если известно следующее:

Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем по углу α . Известно, что α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим α ∈ (270°; 360°).

Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = −3.

Задача. Найдите cos α , если известно следующее:

Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Знак определяем по углу. Имеем: α ∈ (3π /2; 2π ). Переведем углы из градусной меры в радианную: α ∈ (270°; 360°) — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, cos α = 0,6.

Задача. Найдите sin α , если известно следующее:

Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

Отсюда получаем, что sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол α ∈ (0; π /2). В градусной мере это записывается так: α ∈ (0°; 90°) — I координатная четверть.

Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому sin α = 0,2.

При выполнении тригонометрических преобразований следуйте следующим советам:

1. Не пытайтесь сразу придумать схему решения примера от начала до конца.
2. Не пытайтесь преобразовывать сразу весь пример. Продвигайтесь вперёд маленькими шагами.
3. Помните, что кроме тригонометрических формул в тригонометрии можно по-прежнему применять все справедливые алгебраические преобразования (вынесение за скобку, сокращение дробей, формулы сокращённого умножения и так далее).
4. Верьте, что всё будет хорошо.

Основные тригонометрические формулы

Большинство формул в тригонометрии часто применяется как справа налево, так и слева направо, поэтому учить эти формулы нужно так хорошо, чтобы Вы легко смогли применить некоторую формулу в обоих направлениях. Запишем для начала определения тригонометрических функций. Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла. Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Дополнительные тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы сложения. Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение. Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму. Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени.

Формулы половинного угла.

Тригонометрические формулы приведения

Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями. Формулы приведения можно сформулировать в виде следующего правила:

• Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
• Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется;
• При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

Для решения некоторого тригонометрического уравнения его нужно свести к одному из простейших тригонометрических уравнений, которые будут рассмотрены ниже. Для этого:

• Можно применять тригонометрические формулы приведенные выше. При этом не нужно пытаться преобразовать сразу весь пример, а нужно двигаться вперед маленькими шагами.
• Нужно не забывать о возможности преобразовать некоторое выражение и с помощью алгебраических методов, т.е. например, вынести что-нибудь за скобку или, наоборот, раскрыть скобки, сократить дробь, применить формулу сокращенного умножения , привести дроби к общему знаменателю и так далее.
• При решении тригонометрических уравнений можно применять метод группировки . При этом нужно помнить, что для того чтобы произведение нескольких множителей было равно нолю, достаточно чтобы любой из них был равен нолю, а остальные существовали .
• Применяя метод замены переменной , как обычно, уравнение после введения замены должно стать проще и не содержать первоначальной переменной. Также нужно не забыть выполнить обратную замену.
• Помните, что однородные уравнения часто встречаются и в тригонометрии.
• Раскрывая модули или решая иррациональные уравнения с тригонометрическими функциями нужно помнить и учитывать все тонкости решения соответствующих уравнений с обычными функциями.
• Помните про ОДЗ (в тригонометрических уравнениях ограничения на ОДЗ в основном сводятся к тому, что делить на ноль нельзя, но не забываем и о других ограничениях, особенно о положительности выражений в рациональных степенях и под корнями четных степеней). Также помните, что значения синуса и косинуса могут лежать только в пределах от минус единицы до плюс единицы включительно.

Главное, если не знаете, что делать, делайте хоть что-нибудь, при этом главное правильно использовать тригонометрические формулы. Если то, что Вы при этом получаете становиться все лучше и лучше, значит продолжайте решение, а если становиться хуже, значит вернитесь к началу и попробуйте применить другие формулы, так поступайте пока не наткнетесь на правильный ход решения.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов , позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Тригонометрические формулы произведения на сумму | Brilliant Math & Science Wiki

Праншу Габа, Мэй Ли, Апратим Гош, и

способствовал

Содержимое

• Формулы
• Доказательство
• Приложения

Полный список тригонометрических формул произведения на сумму выглядит следующим образом:

\[\begin{выравнивание} \cos A \cos B & = \frac{1}{2} \big(\cos (A — B) + \cos(A + B) \big) \\ \sin A \cos B &= \frac{1}{2} \big(\sin (A — B) + \sin(A + B) \big) \\ \cos A \sin B &= \frac{1}{2} \big(\sin (A + B) — \sin(A — B) \big)\\ \sin A \sin B &= \frac{1}{2} \big(\cos (A — B) — \cos(A + B) \big). \конец{выравнивание}\]

Формулы произведения на сумму можно получить, заметив, что формулы суммы и разности для синуса и косинуса выглядят очень похожими, за исключением противоположных знаков в середине. Затем, комбинируя выражения, мы можем отменить термины.

У нас есть

\[ \begin{выравнивание} \cos(A + B) + \cos(A-B) &= (\cos A \cos B — \sin A \sin B) + (\cos A \cos B + \sin A \sin B)\\ &= 2 \cos A \cos B \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \big( \cos(A + B) + \cos(A-B) \big) &= \cos A \cos B. \end{выравнивание} \]

Правая часть представляет собой произведение косинусных членов, а левая часть представляет собой сумму косинусных членов. \(_\квадрат\)

Используя тождества \(\cos(a+b)\) и \(\cos(a-b)\), мы имеем

\[ \begin{выравнивание} \frac{1}{2} \big(\cos(a-b) — \cos(a+b)\big) &= \frac{1}{2} \big((\cos a \cos b + \sin a \sin b) — (\cos a \cos b — \sin a \sin b)\big) \\ &= \frac{1}{2} (2 \sin a \sin b) = \sin a \sin b. \end{выравнивание} \]

Следовательно, \( \sin a \sin b=\frac{1}{2} \big(\cos(a-b) — \cos(a+b)\big).\ _\square\) 9\круг)\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right).\ _\square \конец{выравнивание}\]

Выразите \( \sin(x) \sin(2x) \cos(3x)\) как сумму основных тригонометрических функций (решение не должно включать произведения тригонометрических функций).

---

Формулы произведения на сумму могут быть полезны при решении задач интегрирования, связанных с произведением тригонометрических отношений.

Интегрировать \( \int \! \sin 3x \cos 4x \, \mathrm{d}x.\)

---

Сначала эта задача может показаться сложной, но после использования тригонометрической формулы произведения на сумму этот интеграл очень быстро принимает стандартный вид.

Используя первую формулу, указанную выше, интеграл эквивалентен

\[\begin{align}
\phantom{=} \int \frac{1}{2} \big( \sin (3x — 4x) + \sin(3x + 4x) \big) \, \mathrm{ д} х & = \int \frac{1}{2} \big( \sin (-x) + \sin(7x) \big) \, \mathrm{d}x\\ & = \frac{1}{2}\left(\cos x — \frac{\cos 7x}{7}\right)+C, \конец{выравнивание}\]

, где \(С\) — постоянная интегрирования. \(_\квадрат\)

Цитировать как: Тригонометрические формулы произведения на сумму. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/

Полный список тригонометрических формул и тождеств

Тригонометрия — это изучение треугольников и связей между длинами треугольников и углами в математике.

Тригонометрия и связанные с ней уравнения имеют множество применений. Триангуляция, например, используется в географии для расчета расстояния между ориентирами; в астрономии для определения расстояния до соседних звезд; и в спутниковых навигационных системах.

Тригонометрические формулы представляют собой набор формул, использующих тригонометрические тождества для решения задач, связанных со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Для заданных углов эти формулы тригонометрии включают тригонометрические функции, такие как синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. В следующих разделах подробно объясняются пифагорейские тождества, тождества произведения, тождества кофункций (сдвига углов), тождества суммы и разности, тождества двойного угла, тождества половинного угла и т. д.

Когда мы впервые знакомимся с тригонометрическими формулами, мы рассматриваем только прямоугольные треугольники. Прямоугольный треугольник имеет три стороны: гипотенузу, противоположную сторону (перпендикуляр) и прилежащую сторону (основание). Самая длинная сторона известна как гипотенуза, противоположная сторона перпендикулярна, а смежная сторона находится там, где лежат и гипотенуза, и противоположная сторона.

Вот список формул тригонометрии.

• Основные тригонометрические формулы
• Обратные тригонометрические формулы 
• Тригонометрические тождества 
• Взаимные тождества 
• Периодические идентификаторы 
• Совместно-функциональные личности 
• Идентичности суммы и разности 
• Двухугольные удостоверения 
• Трёхугольные удостоверения 
• Полуугольные удостоверения 
• Идентификаторы продуктов 
• Сумма идентификаторов продуктов

В тригонометрии существует шесть соотношений, которые используются для нахождения элементов. Их называют тригонометрическими функциями. Синус, косинус, секанс, косеканс, тангенс и котангенс — шесть тригонометрических функций.

Тригонометрические функции и тождества получены с использованием прямоугольного треугольника в качестве эталона: = \frac{Смежная сторона}{Гипотенуза}\)

\(tan \theta = \frac{Противоположная сторона}{Смежная сторона}\)

\(sec \theta = \frac{Гипотенуза}{Смежная сторона}\)

\(cosec \theta = \frac{Гипотенуза}{Противоположная сторона}\)

\(cot \theta = \frac{Смежная сторона}{Противоположная сторона}\)

Тригонометрические соотношения инвертируются использование формул обратной тригонометрии для получения обратных тригонометрических функций, таких как 9{-1}x\)

Тригонометрические тождества — это равенства, включающие тригонометрические функции, которые остаются верными для всех переменных в уравнении.

Существует несколько тригонометрических тождеств, относящихся к длине стороны и углу треугольника. Эти тождества остаются верными для прямоугольного треугольника.

\(cosec \theta = \frac{1}{sin \theta }\)

Мы предоставили студентам список всех формул тригонометрии. Эти формулы полезны для решения задач, основанных главным образом на тригонометрии. В дополнение к ним, тригонометрические тождества помогают вам разрабатывать тригонометрические формулы.

Арктангенс числа a. Функция y = arctg x, её свойства и график. Как найти арктангенс числа

12+

5 месяцев назад

Математика от Баканчиковой294 подписчика

Тригонометрия 8-11 класс. Что такое арктангенс числа? Как найти арктангенс любого числа? Как построить график функции y = arctg x? Какие свойства есть у функции y = arctg x? Сегодня мы ответим на эти вопросы. Если Вы не видели наши предыдущие уроки по теме: «Функция y=arcsin x, её график и свойства», «Функция y=arccos x, её график и свойства» и «Обратная функция, её свойства и график», то обязательно посмотрите их, тогда этот урок будет Вам очень понятен. Мы покажем Вам, как получается график функции y = arctg x, и почему область значений функции y = arctg x ограничена интервалом (-π/2; π/2). Дадим Вам определение арктангенса числа а. Отметим две характерные ошибки, которые допускают ученики при вычислении арктангенса. На примере 5 упражнений покажем Вам нюансы вычисления арктангенса числа. Подробный план урока и ссылки на предыдущие уроки Вы можете найти в описании под видео. 00:00 Начало видео. 00:29 Что нужно вспомнить? 01:04 График функции y = arctg x. 07:05 Что такое арктангенс числа а? 08:29 Как найти арктангенс любого числа? 11:10 Характерные ошибки при вычислении арктангенса. 12:23 На следующем уроке … Если Вы впервые на нашем канале или не смотрели наши предыдущие уроки, то рекомендуем Вам посмотреть следующие видео: Арккосинус числа a. Функция y = arccos x, её свойства и график. Выражения с арккосинусом. Тригонометрия 8-11 класс. https://rutube.ru/video/c930c1e9f935651acbca82b8c4b2a9bd/ Арксинус числа a. Функция y = arcsin x, её свойства и график. Выражения с арксинусом. Тригонометрия 8-11 класс. https://rutube.ru/video/4b7fb1027f7b7a7b2c85c89c3fecec26/ Единицы измерения углов. Часть 2. Радиан. Тригонометрия 8-11 класс. https://rutube.ru/video/3a3a7b21273aaaff03296fdc700df9b5/ Обратная функция, её свойства и график. Как найти функции обратные данным и построить график. Алгебра 8-11 класс. https://youtu.be/Gr53TGYtBO8 Функция y = sin x, её график и свойства. Тригонометрия 8-11 класс. https://rutube.ru/video/a0f98530ee52e1303236e975c6a826f8/ Функция y = cos x, её график и свойства. Тригонометрия 8-11 класс. https://rutube.ru/video/79a7a2ce60eefcab7aea2ee136a00bb2/ Функция y = tg x, её график и свойства. Тригонометрия 8-11 класс. https://rutube.ru/video/054662ce7a2196ad6a2d199f1e895585/ Функция y = sin x, график функции и способы задания функции. Тригонометрия 8-11 класс. https://rutube.ru/video/f067b3cda83df006306963e40f30b5ab/ Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса на единичной окружности. Шпаргалка по тригонометрии. Алгебра 10 класс. https://rutube.ru/video/4a839b2f5c0a7656b8b41b6e5e67ddc4/ Определение тангенса и котангенса на единичной окружности. Алгебра 10 класс. https://rutube.ru/video/f2494d81bfa2dcc2e9562060c1f5690f/ Графический способ задания функции. График функции. Определение. https://youtu.be/9v-Geo6pOoo Все уроки по теме «Функция и её свойства» можно найти в плейлисте: https://rutube. ru/plst/57182 #обратныетригонометрическиефункции #арктангенсчисла #графикарктангенса #графикarctg #областьопределенияarctg #областьзначенийarctg #найтиarctg #вычислитьarctg #определениеарктангенса #значениевыраженияarctg #арктангенсэто #алгебратригонометрическиефункции #тригонометрическиефункцииалгебра10 #МатематикаОтБаканчиковой тригонометрия, алгебра тригонометрические функции, тригонометрические функции алгебра 10, обратные тригонометрические функции, арктангенс числа, график арктангенса, график arctg, область определения arctg, область значений arctg, найти arctg, вычислить arctg, определение арктангенса, значение выражения arctg, арктангенс это

арктан(х) | функция арктангенса

Главная›Математика›Тригонометрия› Arctan

Arctan(x), tan ^-1 (x), функция арктангенса.

• Определение арктангенса
• График арктангенса
• Правила Арктана
• Стол Arctan
• Арктан калькулятор

Определение арктангенса

Арктангенс x определяется как функция арктангенса x, когда x действительно (x∈ℝ).

Когда тангенс y равен x:

tan y = x

Тогда арктангенс x равен функции арктангенса x, что равно y:

arctan x = tan ^-1 x = y

Пример

arctan 1 = tan ^{-1 1} = π/4 рад = 45°

График арктангенса

Правила Arctan

Стол Arctan

x	арктан(х) (рад)	арктан(х) (°)
-∞	-π/2	-90°
-3	-1,2490	-71,565°
-2	-1. 1071	-63,435°
-√3	-π/3	-60°
-1	-π/4	-45°
-1/√3	-π/6	-30°
-0,5	-0,4636	-26,565°
0	0	0°
0,5	0,4636	26,565°
1/√3	№/6	30°
1	№/4	45°
√3	№/3	60°
2	1.1071	63,435°
3	1.2490	71,565°
∞	№/2	90°

См. также

• Касательная функция
• Функция арккосинуса
• Функция арксинуса
• Арктан 0
• Арктан из 1
• Арктан 2
• Арктан бесконечности
• Производное арктана
• Интеграл арктангенса
• Синус арктангенса
• Косинус арктангенса
• График Arctan
• Арктан калькулятор
• Перевод градусов в радианы

Напишите, как улучшить эту страницу

ТРИГОНОМЕТРИЯ

• Функция Arccos
• Функция арксинуса
• Функция Arctan
• Функция косинуса
• Синусоидальная функция
• Касательная функция

RAPID TABLES

• Рекомендовать сайт
• Отправить отзыв
• О

Мэтуэй | Популярные проблемы

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктический(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	соз(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32	Преобразование градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	соз(45)
34	Упростить
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктический(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. Полная вероятность формула: Полная вероятность и формула Байеса, формула полной вероятности, примеры alexxlab / 09.06.202328.04.2023 / Разное 01Математика — Теория вероятностей — Формула полной вероятности и рекурсия Пусть событие \(\displaystyle A\) – сумма выпавших очков  превысила число \(\displaystyle 3\) ровно за два броска. Начнём строить граф возможных исходов, учитывая результаты первого броска кости. Обозначим зелёным цветом исходы, для которых наступление события \(\displaystyle A\) возможно, красным – невозможно. Получаем: Введем события: \(\displaystyle B_{1}\) – при первом броске выпало \(\displaystyle 1{\small , }\) \(\displaystyle B_{2}\) – при первом броске выпало \(\displaystyle 2{\small , }\) \(\displaystyle B_{3}\) – при первом броске выпало \(\displaystyle 3\) очка. Тогда вероятность наступления каждого из событий \(\displaystyle B_{1}{ \small ,}\,B_2\) и \(\displaystyle B_{3}\) равна \(\displaystyle P(B_{1})=P(B_{2})=P(B_{3})=\frac{1}{6}{\small . }\) Обозначим на рисунке эти вероятности: Продолжим строить граф возможных исходов. Будем его достраивать по результатам второго броска кости.   Опять обозначим зелёным цветом исходы, для которых событие \(\displaystyle A\) наступает, красным – не наступает. Получаем: Найдем условную вероятность \(\displaystyle P_{B_{1}}(A)\) – вероятность наступления события \(\displaystyle A\) при условии, что событие \(\displaystyle B_{1}\)  произошло. \(\displaystyle B_{1}\) – это выпадение в первом броске \(\displaystyle 1\) очка. Значит, для наступления \(\displaystyle A\) во втором броске должно выпасть \(\displaystyle 3\),  \(\displaystyle 4\),  \(\displaystyle 5\) или \(\displaystyle 6{\small . }\) Тогда \(\displaystyle P_{B_{1}}(A)=\frac{4}{6}{\small . }\) Аналогично, \(\displaystyle P_{B_{2}}(A)=\frac{5}{6}\) и \(\displaystyle P_{B_{3}}(A)=\frac{6}{6}{\small . }\) Подсчитаем вероятность одновременного наступления событий \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B_1{\small . }\) На рисунке это выглядит как подсчет вероятности для первой ветки графа: Тогда \(\displaystyle P(\)в первом броске выпало \(\displaystyle 1\) очко и сумма больше \(\displaystyle 3)=P(B_{1}) \cdot P_{B_{1}}(A)=\frac{1}{6}\cdot\frac{4}{6}=\frac{4}{36}{\small . }\) Аналогично получаем: \(\displaystyle P(\)в первом броске выпало \(\displaystyle 2\) очка и сумма больше \(\displaystyle 3)=P(B_{2}) \cdot P_{B_{2}}(A)=\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{36}{\small . }\) \(\displaystyle P(\)в первом броске выпало \(\displaystyle 3\) очка и сумма больше \(\displaystyle 3)=P(B_{3}) \cdot P_{B_{3}}(A)=\frac{1}{6}\cdot\frac{6}{6}=\frac{6}{36}{\small . }\) Осталось найти полную вероятность наступления события \(\displaystyle А{\small . }\) Для этого необходимо просуммировать вероятности, полученные для каждой ветки нашего графа. Тогда  \(\displaystyle P(A)=\frac{4}{36}+\frac{5}{36}+\frac{6}{36}=\frac{15}{36}\approx0{,}42{\small . }\)   Ответ: \(\displaystyle 0{,}42{\small .}\) Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры решения задач  Образовательные онлайн сервисы: теория и практика Главная Примеры Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра Теория вероятностей и математическая статистика Математическое программирование Методы оптимизации Математика в экономике Экономическая статистика Видео-уроки Математический анализ Векторная алгебра и Аналитическая геометрия Линейная алгебра Теория вероятностей и математическая статистика Математическое программирование. Методы оптимизации Готовые работы Математический анализ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра Теория вероятностей и математическая статистика Математическое программирование Методы оптимизации Математика в экономике Экономическая статистика Другое Контакты Полезные материалы: Учебники Справочники Онлайн калькуляторы Помощь в решении Онлайн занятия в Zoom Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула полной вероятности , где B1, B2 ,…, Bn  — полная группа попарно несовместных событий. Формула Байеса , где B1, B2, …, Bn — полная группа событий. Задача 1. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А,В,С. На долю фирмы А приходится 50 % общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, фирмой В – 5% и С – 6%. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь будет бракованной. Решение. Производится испытание – извлекается одна деталь. Событие А – появилась бракованная деталь. Гипотеза Н1 – деталь фирмы А. Гипотеза Н2 – деталь фирмы В. Гипотеза Н3 – деталь фирмы С. Тогда, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность равна: Задача 2. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90 % пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1 % неправильно заполненных накладных. Остальные 10 % пачек были признаны неудовлетворительными, так как содержали 5 % неверно оформленных накладных. Взятая наугад из пачки накладная оказалась оформленной неверно. Учитывая это, какова вероятность того, что вся пачка накладных будет признана несоответствующей стандарту? Решение. Испытание – проверяется пачка накладных. Событие А – взятая наугад накладная оказалась неверной.  Гипотеза Н1 – пачка не соответствует стандарту. Гипотеза Н2 – пачка соответствует стандарту. Необходимо узнать вероятность гипотезы Н1 при условии, что событие А произошло. Согласно формуле Бейеса имеем: Задача 3. Имеется три урны с различным составом шаров в каждой. В первой - 5 белых и 5 черных, во второй - 3 белых и 3 черных, в третьей - 2 белых и 4 черных. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Определить вероятность того, что он был вынут из третьей урны. Решение: Введем обозначения для рассматриваемых событий. Пусть А — извлечен белый шар. — выбрана первая урна. — выбрана вторая урна. — выбрана третья урна. — вероятность извлечения белого шара из первой урны. — вероятность извлечения белого шара из второй урны. — вероятность извлечения белого шара из третьей урны. Определим вероятности, соответствующие этим событиям . Так как все урны одинаковы, то . ,   ,   . Тогда, используя формулу полной вероятности, получим: . Пересчитаем вероятность третьей гипотезы с условием, что произошло рассматриваемое событие, используя формулу Байеса.  Задать вопрос Заказать помощь Отзывы +7-911-7987704 vk.com/id286009794 Написать в Whatsapp Написать в Viber @matem96 Skype: matem96.ru  Теорема о полной вероятности Вероятность — это понятие, используемое в математике, особенно в статистике, для предсказания вероятности возникновения события. Вероятность дает представление о том, произойдет событие или нет, и если прогнозируется, что событие произойдет, насколько мы можем полагаться на его возникновение. Вероятность события — безразмерная величина. Это может быть любое числовое значение в диапазоне от нуля до единицы. Если вероятность события равна 1, то событие обязательно произойдет и, следовательно, называется достоверным событием или определенным событием. Если вероятность события равна «0», событие вообще не произойдет и, следовательно, называется невозможным событием. Теорема о полной вероятности — это теорема, которая связывает условную вероятность с предельной вероятностью. Теорема об общей вероятности: Рассмотрим два события A и B, как показано на диаграмме Венна, показанной на рисунке 1. Предположим, что эти два события связаны с одним и тем же пространством выборки, представленным как «S». Все пространство выборки можно разделить на следующие части, обозначающие подмножества пространства выборки «S»: (A ⋂ B’), (A’ ⋂ B’), (A ⋂ B) и (A’ ⋂ B). Эти подмножества являются взаимно непересекающимися множествами, потому что они не пересекаются попарно. Для любых парных комбинаций четырех наборов они остаются непересекающимися. Однако вероятность возникновения любого из этих событий зависит от возникновения других событий в пространстве выборки. В тех случаях, когда вероятность события зависит от вероятности других событий в том же пространстве выборки, для определения вероятности события используется теорема о полной вероятности. 9{n}\] P(Ai).P(E | Ai) Доказательство теоремы о полной вероятности: (Изображение будет загружено в ближайшее время) Рассмотрим примерное пространство, показанное на рисунке выше, такое, что C1, C2, C3 ………… Cn — это разбиения выборочного пространства ‘S’ такие, что Cp ⋂ Cq = ∅ (нулевое множество). т. е. разбиения не пересекаются, когда p ≠ q, где p и q = 1, 2, 3, 4…. н. Также верно, что P (Cm) ≠ 0, т. е. ни одно событие в пространстве выборки не имеет ненулевой вероятности. Пространство выборки можно представить в виде: S = C1 U C2 U C3 U ………… U Cn → (1) Для любого события «A» в выборочном пространстве S событие «A» может быть обозначено как: A = A ⋂ S Подставляя (1) в приведенное выше уравнение, оно дает A = A ⋂ (C1 U C2 U C3 U ………… U Cn) A = (A ⋂ C1) U (A ⋂ C2) U (A ⋂ C3) U ……… U (A ⋂ Cn) It ясно, что A ⋂ Cp и A ⋂ Cq являются подмножествами Cp и Cq соответственно. Следовательно, верно, что A ⋂ Cp и A ⋂ Cq также не пересекаются при p ≠ q. Итак, вероятность события «А» можно рассчитать как: P(A) = P [(A ⋂ C1) U (A ⋂ C2) U (A ⋂ C3) U ……… U (A ⋂ Cn)] P(A) = P (A ⋂ C1) + P (A ⋂ C2) + P (A ⋂ C3) + ……… + P (A ⋂ Cn) → (3) Однако правило умножения вероятности утверждает, что P (A ⋂ Cp) = Р (Ср). P (A | Cp)  → (4)  Подставляя (3) в (4), получаем P (A) =  P (C1) . Р (А | С1) + Р (С2) . Р (А | С2) + Р (С3) . Р(А|С3)+…. + P (Cn) . P (A | Cn) Приведенное выше уравнение может быть кратко записано как: 9{n}\] P(Ci).P(A | Ci) Теорема полной вероятности Примеры:  1. У Шэрон есть три мешка по 100 шариков в каждом. В первом мешке 25 синих и 75 красных шариков, во втором мешке 40 синих и 60 красных шариков, а в третьем мешке 55 синих и 45 красных шариков. Из одного из мешков случайным образом выбирается шарик. Какова вероятность того, что это красный шарик? (Подсказка: рассмотрите это как пример теоремы о полной вероятности) Решение: Пусть «A» представляет событие выбора красного шарика, а Ci представляет событие выбора мешка. Из приведенных данных мы можем сделать следующий вывод. Вероятность выбора красного шарика из мешка 1 равна P (A | C1) = 75 / 100 = 0,75 Вероятность выбора красного шарика из мешка 2 равна P (A | C2) = 60 / 100 = 0,6 Вероятность выбора красного шарика из мешка 3 равна P (A | C3) = 45 / 100 = 0,45 Вероятность выбора одного из трех мешков остается прежней. P (Ci) = ⅓  Формула, представляющая доказательство теоремы о полной вероятности  9{3}\] P(Ci).P(A | Ci) P(A) = P(C1).P(A | C1) + P(C2).P(A | C2) + P(C3 ).P(A | C3) P(A) = ⅓(0,75) + ⅓(0,6) + ⅓(0,45) = 0,25 + 0,2 + 0,15 = 0,6 Следовательно, вероятность выбора красного шара на случайное из одного из трех мешков равно 0,6 Забавные факты об общей вероятности Доказательство теоремы: В теории вероятностей условная вероятность рассчитывается, когда наступление одного события возможно только тогда, когда другое событие уже произошло. Предельная вероятность рассчитывается, когда события в выборочном пространстве независимы друг от друга. События не зависят друг от друга в случае предельной вероятности. Доказательство теоремы о полной вероятности устанавливает связь между условной вероятностью и предельной вероятностью и определяет вероятность события как сумму вероятностей других событий в пространстве выборки. Дерево решений — это простой и легкий способ взглянуть на проблемы с помощью полной стратегии закона вероятности. Дерево решений последовательно показывает все возможные события. С помощью дерева решений можно быстро определить отношения между событиями и рассчитать условные вероятности. Чтобы понять, как можно использовать дерево решений для расчета полного потенциала, рассмотрим следующий пример: Рассматриваемый человек — фондовый аналитик из ABC Corp. Он обнаружил, что компания планировала запустить новый проект, который может повлиять на цену акций компании. Определите следующие вероятности: Вероятность начала нового проекта составляет 60%. Когда компания запускает проект, вероятность того, что ее акции вырастут, составляет 75%. Если компания не начинает проект, то вероятность того, что ее акции вырастут, составляет 30%. Тогда шансы на то, что вторая карта станет королем или нет, будут представлены законом полных вероятностей, например: P (E) = P (A) P (E | A) + P (B) P (E | B) Там, P (E) вероятность того, что вторая карта будет королем, P (A) вероятность того, что первая карта будет королем, P (E | A) — вероятность того, что вторая карта — король, при условии, что первая карта — король, P (B) — вероятность того, что первая карта не король, | B) вероятность того, что вторая карта будет королем, а первая выпущенная карта не будет королем. Объяснение теоремы полной вероятности на следующих примерах: Врач обращается к пациенту за лечением, пользуется разными видами транспорта, и его шансы прибыть вовремя равны уменьшению его или ее шансы прибыть вовремя из разных видов транспорта. Учащийся должен представлять школу на внешнем конкурсе. Шансы выбрать ученика на конкурсе такие же, как и сократить шансы выбрать этого ученика в разных классах школы. Шансы найти некачественный манго уменьшаются. Основой теоремы Байеса является теорема о полной вероятности, которая помогает учащимся вывести обратную вероятность того, что событие происходит из частей выборки S. Расчет наступления события из-за разделение определенного пространства выполняется с помощью теоремы о полной вероятности , а обратная вероятность от конкретного раздела выборочного пространства S из-за данной вероятности события может быть установлена ​​с помощью Теорема Байеса. Следовательно, это завершается выводом теоремы о полной вероятности. Вероятностные концепции Повторное чтение 2023 Учебный план Программа CFA Уровень I Количественные методы Концепции вероятностей Загрузить полную версию (PDF) Доступно для участников Введение Инвестиционные решения принимаются в условиях риска. Инструменты, которые позволяют нам принимать решения с последовательностью и логикой в ​​этой обстановке, основаны на концепциях вероятности. В этом чтении представлены основные инструменты вероятности, необходимые для формулирования и решения многих реальных проблем, связанных с риском. Эти инструменты применяются к целому ряду вопросов, таких как прогнозирование эффективности инвестиционного менеджера, прогнозирование финансовых переменных и установление цен на облигации, чтобы они справедливо компенсировали держателям облигаций риск дефолта. Наш фокус практичен. Мы исследуем концепции, наиболее важные для инвестиционных исследований и практики. Среди них независимость, поскольку она связана с предсказуемостью доходов и финансовых переменных; ожидания, поскольку аналитики постоянно смотрят в будущее в своих анализах и решениях; и изменчивость, дисперсия или дисперсия вокруг ожиданий как концепция риска, важная в инвестициях. Читатель приобретет определенные навыки и компетенции в использовании этих вероятностных концепций для понимания рисков и отдачи от инвестиций. Результаты обучения Участник должен уметь: определить случайную величину, результат и событие; определить два определяющих свойства вероятности, включая взаимоисключающие и исчерпывающие события, а также сравнить и сопоставить эмпирические, субъективные и априорные вероятности; описывают вероятность события с точки зрения шансов за и против события; вычислять и интерпретировать условные вероятности; демонстрируют применение правил умножения и сложения для вероятности; сравнивать и противопоставлять зависимые и независимые события; вычислить и интерпретировать безусловную вероятность, используя правило полной вероятности; рассчитать и интерпретировать ожидаемое значение, дисперсию и стандартное отклонение случайных величин; объяснить использование условного ожидания в инвестиционных приложениях; интерпретировать дерево вероятностей и продемонстрировать его применение к инвестиционным задачам; рассчитать и интерпретировать ожидаемое значение, дисперсию, стандартное отклонение, ковариации и корреляции доходности портфеля; рассчитать и интерпретировать ковариации доходности портфеля, используя совместную функцию вероятности; рассчитать и интерпретировать обновленную вероятность, используя формулу Байеса; определить наиболее подходящий метод для решения конкретной задачи подсчета и проанализировать задачи подсчета с использованием концепций факториала, комбинации и перестановки.   Резюме В этом чтении мы обсудили основные понятия и инструменты вероятности. Мы применили вероятность, ожидаемую стоимость и дисперсию к ряду инвестиционных проблемы. Случайная величина — это величина, результат которой неизвестен. Вероятность — это число от 0 до 1, описывающее вероятность того, что указанное событие произойдет. Событие — это заданный набор исходов случайной величины. Взаимоисключающие события могут происходить только по одному за раз. Исчерпывающие события охватывают или содержать все возможные исходы. Двумя определяющими свойствами вероятности являются, во-первых, то, что 0 ≤ P ( E ) ≤ 1 (где P ( E ) обозначает вероятность события E ), и, во-вторых, что сумма вероятностей любого набора взаимоисключающих а исчерпывающие события равны 1, Вероятность, оцениваемая по данным как относительная частота появления, является эмпирическим вероятность. Вероятность, основанная на личном или субъективном суждении, является субъективным вероятность. Вероятность, полученная на основе логического анализа, является априорной вероятностью. Вероятность события E , P ( E ), может быть выражена как шансы для E = P ( E )/ [1 — P ( E )] или шансы против E = [1 — P ( E )]/ P ( E )]/ P ( E ). Непоследовательные вероятности создают возможности для получения прибыли, согласно Голландская книжная теорема. Вероятность события , а не , обусловленная другим событием, является безусловной вероятностью. Безусловная вероятность события A обозначается P ( A ). Безусловные вероятности также называются маргинальными вероятностями. Вероятность события, данного (обусловленного) другим событием, является условной вероятностью. Вероятность события A для данного события B обозначается как P ( A | B ) и P ( A  |  B 9 0244 ) =  P ( AB )/ P ( B ), P ( B ) ≠ 0, Вероятность появления A и B равна совместной вероятности A и B , обозначенной P ( AB ). Правило умножения вероятностей: P ( AB ) = P ( A | B ) P ( B ). Вероятность появления A или B , или обоих, обозначается P ( A или B ). Правило сложения для вероятностей: P ( A или B ) = P ( A ) + P ( B ) − 902 43 Р ( АБ ). Когда события независимы, возникновение одного события не влияет на вероятность наступления другого события. В противном случае события зависимы. Правило умножения независимых событий гласит, что если A и B являются независимыми событиями, то P ( AB ) = P ( A ) P ( В ). Правило обобщается аналогичным образом на более чем два события. Согласно правилу полной вероятности, если S 1 , С 2 , …, С n являются взаимоисключающими и исчерпывающими сценариями или событиями, тогда P ( A ) = P ( A | S 1 ) Р ( С 1 ) + Р ( А | С 2 ) Р ( С 2 ) + … + P ( A | S n ) P ( S n ). Ожидаемое значение случайной величины представляет собой взвешенное с вероятностью среднее возможного результаты случайной величины. Для случайной величины X ожидаемое значение X обозначается как E ( X ). Правило полной вероятности для ожидаемого значения утверждает, что E ( X ) = E ( X | S 1 ) Р ( С 1 ) + Е ( Х | С 2 ) Р ( С 2 ) + … + E ( X | S n ) P ( S n ), где 9 0243 С 1 , С 2 , …, S n являются взаимоисключающими и исчерпывающими сценариями или событиями. Дисперсия случайной величины представляет собой ожидаемое значение (взвешенное по вероятности среднее) квадратов отклонений от ожидаемого значения случайной величины E ( X ): σ 2 ( X ) = E {[ X − E ( X )] 9 0573 2 }, где σ 2 ( X ) обозначает дисперсию X . Дисперсия — это мера дисперсии относительно среднего значения. Увеличение дисперсии указывает увеличение дисперсии. Дисперсия измеряется в квадратах исходной переменной. Стандартное отклонение — это положительный квадратный корень из дисперсии. Меры стандартного отклонения дисперсия (как и дисперсия), но измеряется в тех же единицах, что и переменная. Ковариация — это мера совместного движения между случайными величинами. Ковариация между двумя случайными величинами R i и R j в прямом смысле представляет собой ожидаемое значение векторного произведения отклонений двух случайных величин из их соответствующих средних значений: Cov( R i , R j ) = E {[ R i − E ( R i )][ R j − E ( R j 9043 6 )]}. Ковариация случайной величины сама с собой есть ее собственная дисперсия. Историческая или выборочная ковариация между двумя случайными величинами R i и R j на основе выборки прошлых данных размером n представляет собой среднее значение произведения отклонений наблюдений на двух случайных переменных из их выборочных средних: Cov(Ri,Rj)=∑i=1n(Ri,t−R¯i)(Rj,t−R¯j)/(n−1) Корреляция — это число от -1 до +1, которое измеряет совместное движение (линейную связь) между двумя случайными величинами: , R j )/[σ( R i ) σ( R j )]. Если две переменные имеют очень сильную линейную зависимость, то абсолютное значение их корреляция будет близка к 1. Если две переменные имеют слабую линейную связь, то абсолютное значение их корреляции будет близко к 0, Если коэффициент корреляции положительный, две переменные напрямую связаны; если коэффициент корреляции отрицательный, две переменные обратно пропорциональны. Чтобы рассчитать дисперсию доходности портфеля из n активов, необходимы исходные данные: n ожидаемая доходность отдельных активов, n дисперсии доходности отдельных активов и n ( n − 1)/2 различных ковариаций. Портфельная дисперсия доходности равна σ2(Rp)=∑i=1n∑j=1nwiwjCov(Ri,Rj). Расчет ковариации в перспективном смысле требует спецификации совместной функции вероятности, которая дает вероятность совместных событий значений двух случайных величин. Когда две случайные величины независимы, совместная функция вероятности представляет собой произведение отдельных вероятностных функций случайных величин. Формула Байеса — это метод обновления вероятностей на основе новой информации. Формула Байеса выражается следующим образом: Обновленная вероятность события с учетом новой информации = [(Вероятность новой информации с учетом события)/(Безусловная вероятность новой информации)] × Предыдущая вероятность события. Правило умножения гласит, например, что если первый шаг в процесс может быть выполнен 10 способами, второй шаг, учитывая первый, может быть выполнен 5 способами, а третий шаг, учитывая первые два, можно выполнить 7 способами, то шаги можно выполнить (10)(5)(7) = 350 способами. Количество способов назначить каждому элементу группы размером от n до n слотов равно n ! = n ( n — 1) ( n — 2)( n — 3) … 1. (По соглашению, 0! = 1.) Количество способов, которыми n объектов могут быть помечены k различными метками, с n 1 первого типа, n 2 второго типа и так далее, с н 1 + п 2 + … + n k = n , определяется как n !/( n 1 ! п 2 ! … н к !). Как определить знак синуса и косинуса на окружности: Тригонометрические функции на единичной окружности. Синус и косинус — урок. Алгебра, 10 класс. alexxlab / 09.06.202321.04.2023 / Разное Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Синус, косинус и тангенс углов α и –α Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла   План урока Введение понятий синуса, косинуса угла Частные случаи тригонометрических уравнений. Введение понятий тангенса, котангенса угла Таблица некоторых значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса угла Решение задач на нахождение синуса, косинуса, тангенса угла, вычисление значений тригонометрических выражений, решение тригонометрических уравнений Цели урока Знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла, их некоторые табличные значения, решения частных случаев тригонометрических уравнений Уметь вычислять значения выражений, содержащих синус, косинус, тангенс или котангенс угла, решать тригонометрические уравнения типа sinx=0, sinx=±1, cosx=0, cosx=±1 Разминка 1. Найдите координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол: π2, 5π, -2700, 5400, -π2+2πk, k∈Z. 2. Определите четверть, в которой расположена точка, полученная путем поворота точки (1; 0) на угол: 2π3, -4π3,-6270.   Что такое синус, косинус и тангенс угла вы уже знаете из курса геометрии, углы рассматривались от 00  до 1800. Введем определение синуса и косинуса для произвольного угла. Рис. 1 Синусом угла  α  называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (Рис. 1). Обозначается sinα.   Косинусом угла  α  называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (Рис. 1). Обозначается cosα. Например, при повороте точки (1; 0) на угол π получается точка (–1; 0). Так как синус это ордината, а косинус — абсцисса, то sinπ=0, cosπ=-1. Пример 1 Найти sin-π2 и cos-π2. Решение   Так как при повороте на угол -π2 точка (1; 0) попадает в точку (0; –1), то sin-π2=-1,  cos-π2=0.   Ответ: sin-π2=-1,  cos-π2=0. Радианную меру угла α можно рассматривать как действительное число, значит  sinα и cosα являются числовыми выражениями. В уравнении sinx=a, где a∈R, x считается неизвестным.  Рис. 2 Решим уравнение cosx=0. Найдем все углы, косинус которых 0. У двух точек единичной окружности (0; 1)и (0; –1) абсциссы равны нулю (Рис. 2). Они получаются из точки (1; 0) путем поворота вокруг начала координат на углы π2,3π2,5π2,7π2и т. д., и на углы -π2,-3π2,-5π2,-7π2 и т. д.    Тогда cosx=0 при x=π2+πk, k∈Z.     (1) Аналогично, при помощи единичной окружности можно решить уравнения sinx=0, sinx=±1, cosx=±1.  Их называют  частными случаями тригонометрических уравнений .   Приведем их решения.   sinx=0, x=πk, k∈Z.      (2) sinx=1, x=π2+2πk, k∈Z.     (3) sinx=-1, x=-π2+2πk, k∈Z.     (4) cosx=1, x=2πk, k∈Z.     (5) cosx=-1, x=π+2πk, k∈Z.      (6)   sinα и cosα определены для любого угла, а их значения  находятся  в  промежутке [–1; 1]. Тангенсом угла  α называется отношение синуса угла α к его косинусу. Обозначается tg α. tg α=sinαcosα.   Котангенсом угла  α называется отношение косинуса угла α к его синусу. Обозначается ctg α. ctg α=cosαsinα.   Тангенс угла определен тогда, когда cosα≠0, т. е. α≠π2+πk, k∈Z. Котангенс угла определен когда sinα≠0, α≠πk, k∈Z. Таблица некоторых значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса   Пример 2 Найти  все  углы  из  промежутка  [-2π; 2π],  на  которые  нужно  повернуть  точку А(1; 0), чтобы получить точку Aα, если:   а)sinα=32;                                  б)cosα=-12. Решение   а) По определению синус угла это ордината точки. Ординату, равную 32, имеют две точки единичной окружности – В и С (Рис. 3). Точка С получена путем поворота точки А на угол α1=π3 или на угол α2=-2π+π3=-5π3. Точка В получена из А поворотом на α3=π-π3=2π3 или на угол α4=-π-π3=-4π3. Рис. 3 б) Абсциссу, равную -12, имеют точки В и Е единичной окружности. С углами поворота точки А для получения точки В мы разобрались в предыдущем пункте. Точка Е получена из А поворотом на α5=π+π3=4π3 или на угол α6=-π+π3=-2π3.   Ответ: а) π3,-5π3, 2π3,-4π3;                б) 2π3,-4π3, 4π3,-2π3. Пример 3 Найти sinα, cosα, tgα, если:   а) α=-7π;        б) α=5π2;       в) α=19800. Решение   а) Представим α в виде α=2πκ+β, k∈Z, β<2π, или, другими словами, выделим в α полные обороты окружности: α=-6π-π.  Значит, точка, полученная из точки A(1; 0) поворотом на угол -7π совпадает с точкой, полученной поворотом на -π, координаты которой (–1; 0). Тогда sinα=0, cosα=-1, tgα=sinαcosα=0.   б) α=5π2=2π+π2. Точка, полученная из начальной точки поворотом на 5π2 совпадает с точкой, полученной поворотом на π2. Она имеет координаты (0; 1). Значит, sinα=1, cosα=0, tgα не существует.   в) α=19800=5×3600+1800. Тогда sinα=0, cosα=-1, tgα=0.   Ответ:    а) sinα=0, cosα=-1, tgα=0; б) sinα=1, cosα=0, tgα не существуют; в) sinα=0, cosα=-1, tgα=0. Пример 4 Вычислить:   а) sinπ3+cos-3π2; б) cos-π+tgπ4. Решение           а) Воспользуемся таблицей некоторых значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. sinπ3+cos-3π2=32+0=32.   б) cos-π+tgπ4=-1+1=0.   Ответ: а) 32;               б) 0. Пример 5 Решить уравнение:   а) 4cosx=-4; б) sin3x=1; в) cos2x+π3=1. Решение   а) 4cosx=-4. Разделим обе части уравнения на 4:  cosx=-1. Согласно уравнению (6) x=π+2πk, k∈Z.   б) sin3x=1. Воспользуемся уравнением (3):  3x=π2+2πk, k∈Z.  Выразим x из этого уравнения: x=π6+2πk3, k∈Z.   в) cos2x+π3=1. По уравнению (5) имеем: 2x+π3=2πk, κ∈Z, 2x=-π3+2πk, k∈Z, x=-π6+πk, k∈Z.   Ответ: а) π+2πk, k∈Z;               б) π6+2πk3, k∈Z;               в) -π6+πk, k∈Z. Упражнение 1 Найти все углы из промежутка [-2π; 2π], на которые нужно повернуть точку  А(1; 0), чтобы получить точку Аа, если:   а)sinα=-22;                           б)cosα=32.   Упражнение 2 Найти sinα, cosα, tgα, если:   а) α=5π;                            б) α=9π2;                            в) α=-12600. Упражнение 3 Вычислить:   а)cosπ6-sin-π2; б)sin-2π+cosπ4. Упражнение 4 Решить уравнение:   а) 5sinx-5=0; б) cos4x=1; в) cos5x+π6=0. Контрольные вопросы   1. Какая область допустимых значений переменной в выражении tg x? 2. Какая область допустимых значений переменной в выражении ctg x? 3. Как можно найти котангенс угла, если известен тангенс этого угла? Ответы Упражнение 1   а) -π4;-3π4;5π4;7π4;                            б)π6;-π6;11π6;-11π6.     Упражнение 2   а)sinα=0, cosα=-1, tg α=0; б)sinα=1, cosα=0, tg α не существует; в)sinα=0, cosα=-1, tg α=0.     Упражнение 3   а)32+1;                             б)22.     Упражнение 4   а)π2+2πk, k∈Z;                             б)πk2, k∈Z;                             в)π15+πk5, k∈Z. Знаки синуса, косинуса и тангенса угла Вспомним, что синусом угла  называется ордината точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол . Косинусом угла  называется абсцисса точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол . Тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к его косинусу. Котангенсом угла  называется отношение косинуса угла  к его синусу. Также напомним, что оси координат делят плоскость на четыре четверти. А сейчас давайте выясним, какие знаки имеют синус и косинус в зависимости от того, в какой четверти единичной окружности располагается точка. Пусть на координатной плоскости изображена единичная окружность с центром в начале координат. Точка  совершает поворот против часовой стрелки на угол  и оказывается в точке , которая расположена в первой четверти. Для точек, расположенных в первой четверти, абсцисса и ордината положительны, а значит,  и  будут иметь положительные значения. То есть  и , если . Пусть точка  совершает поворот против часовой стрелки и оказывается в точке , которая расположена во второй четверти. Для точек, которые расположены во второй четверти, абсциссы отрицательны, а ординаты положительны, а значит,  будет принимать отрицательные значения, а  – положительные значения. То есть  и  при . Теперь пусть точка  совершает поворот против часовой стрелки и оказывается в точке , которая расположена в третьей четверти. Для точек, которые расположены в третьей четверти, абсциссы и ординаты отрицательны, а значит,  и  будут принимать отрицательные значения. То есть  и , если . И пусть точка  совершает поворот против часовой стрелки и оказывается в точке , которая расположена в четвёртой четверти. У точек, которые расположены в четвёртой четверти, абсциссы положительны, а ординаты отрицательны, а значит,  будет принимать положительные значения, а  – отрицательные значения. То есть  и  при . При этом важно помнить, что при повороте точки против часовой стрелки на угол, больший , а также при повороте точки по часовой стрелке на любой угол, знаки синуса и косинуса определяются тем, в какой четверти окажется точка. Давайте определим знаки синуса и косинуса углов: , , , . Итак, . Тогда углу  соответствует точка единичной окружности, расположенная в третьей четверти. Мы с вами выяснили, что в третьей четверти синус и косинус принимают отрицательные значения. Поэтому  и . . А значит, углу в  соответствует точка единичной окружности, расположенная во второй четверти. Мы выяснили, что во второй четверти синус принимает положительные значения, а косинус – отрицательные. Следовательно, , а . Углу  соответствует точка единичной окружности, расположенная в четвёртой четверти. В четвёртой четверти синус принимает отрицательные значения, а косинус – положительные. Следовательно, , . И последний угол – угол . Запишем , . Тогда можем сказать, что повороту точки с координатами  на угол д соответствует точка, расположенная в первой четверти. Поэтому  и . Давайте выясним, какие знаки имеет тангенс. Мы знаем, что . Если  и  имеют одинаковые знаки, то . Если же  и  имеют разные знаки, то . Итак, в первой четверти синус и косинус принимают положительные значения, то есть имеют одинаковые знаки, а значит, тангенс в первой четверти также принимает положительные значения. Во второй четверти синус принимает положительные значения, а косинус – отрицательные, то есть они имеют разные знаки, а значит, тангенс принимает отрицательные значения во второй четверти. В третьей четверти синус и косинус принимают отрицательные значения, то есть имеют одинаковые знаки. Следовательно, тангенс в третьей четверти принимает положительные значения. В четвёртой четверти синус принимает отрицательные значения, а косинус – положительные, они имеют разные знаки. Следовательно, в четвёртой четверти тангенс принимает отрицательные значения. А какие знаки имеет котангенс? . А значит, если  и  имеют одинаковые знаки, то . Если  и  имеют разные знаки, то . Следовательно, значения котангенса имеют те же знаки, что и значения тангенса. Давайте определим знаки тангенса и котангенса углов:  и . . Тогда углу  соответствует точка единичной окружности, расположенная во второй четверти. Мы с вами выяснили, что во второй четверти тангенс и котангенс принимают отрицательные значения. Поэтому  и . . А значит, углу, равному единице, соответствует точка единичной окружности, расположенная в первой четверти. В первой четверти тангенс и котангенс принимают положительные значения. Следовательно,  и . А сейчас давайте выполним несколько заданий. Задание первое. Определите знак числа , если  равняется: , . Решение. Второе задание. Определите знак числа , если  равняется: , . Решение. И ещё одно задание. Определите знак числа , если  равняется: , . Решение. Синус, косинус и тангенс в четырех квадрантах Синус, косинус и тангенс Три основные функции в тригонометрии — это синус, косинус и тангенс. Их легко вычислить: Разделить длину одной стороны прямоугольного треугольника на другую сторону … но надо знать с каких сторон! Для угла θ функции вычисляются следующим образом: Синусоидальная функция: sin( θ ) = Противоположность / Гипотенуза Функция косинуса: cos( θ ) = Смежный / Гипотенуза Функция касания: tan( θ ) = Противоположный / Смежный Пример: чему равен синус 35°? Используя этот треугольник (длина только до одного десятичного знака): sin(35°) = противоположность / гипотенуза = 2,8/4,9 = 0,57. .. Декартовы координаты Используя декартовы координаты, мы отмечаем точку на графике , как далеко вдоль и , как далеко вверх по : Точка (12,5) находится на 12 ед. вдоль и на 5 ед. вверх.   Четыре квадранта Когда мы включаем отрицательных значений , оси x и y делят пространство на 4 части: Квадранты I, II, III и IV (Нумерация против часовой стрелки) В квадранте I и x, и y положительны, в квадранте II x отрицательное (y все еще положительное), в квадранте III и x, и y отрицательны, а в квадранте IV x снова положительный, а y отрицательный. Вот так: Квадрант X (по горизонтали) Y (вертикальный) Пример я Положительный Положительный (3,2) II Отрицательный Положительный  (−5,4) III Отрицательный Отрицательный (-2,-1) IV Положительный Отрицательный  (4,−3) Пример: Точка «C» (−2,−1) находится на 2 единицы вперед в отрицательном направлении и на 1 единицу вниз (т. е. в отрицательном направлении). И x, и y отрицательны, поэтому эта точка находится в «Квадранте III» Контрольный угол Углы могут быть больше 90º Но мы можем вернуть их ниже 90º, используя ось X в качестве точки отсчета. Думайте, что «ссылка» означает «ссылка x» Самый простой способ — сделать набросок! Пример: 160º Начните с положительной оси x и поверните на 160º Затем найдите угол к ближайшей части оси x, в данном случае 20º Исходный угол для 160º равен 20º Здесь мы видим четыре примера с опорным углом 30º: Вместо эскиза можно использовать следующие правила: Квадрант Контрольный угол я θ II 180º − θ III θ − 180º IV 360º − θ Синус, косинус и тангенс в Четыре квадранта Теперь давайте посмотрим на детали прямоугольного треугольника с углом 30° в каждом из 4 квадрантов. В квадранте I все в норме, а синус, косинус и тангенс положительны: Пример: синус, косинус и тангенс угла 30° Синус sin(30°) = 1/2 = 0,5· Косинус cos(30°) = 1,732 / 2 = 0,866 Касательная тангенс (30°) = 1 / 1,732 = 0,577   Но в квадранте II направление x отрицательно , а косинус и тангенс становятся отрицательными: Пример: синус, косинус и тангенс 150° Синус sin(150°) = 1/2 = 0,5 Косинус cos(150°) = −1,732 / 2 = −0,866 Касательная тангенс (150°) = 1 / −1,732 = −0,577   В квадранте III синус и косинус отрицательны: Пример: синус, косинус и тангенс 210° Синус sin(210°) = −1 / 2 = −0,5 Косинус cos(210°) = −1,732 / 2 = −0,866 Касательная тангенс (210°) = −1 / −1,732 = 0,577 Примечание. Тангенс равен положительному числу , потому что деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное значение.   В квадранте IV синус и тангенс отрицательны: Пример: синус, косинус и тангенс 330° Синус sin(330°) = −1 / 2 = −0,5 Косинус cos(330°) = 1,732 / 2 = 0,866 Касательная тангенс (330°) = −1 / 1,732 = −0,577 Выкройка есть! Посмотрите, когда синус, косинус и тангенс положительны … Все три из них положительные в квадранте I Синус положительный только в Квадранте II Только тангенс положителен в квадранте III Косинус положителен только в Квадранте IV Это можно показать еще проще: На этом графике также отображается «ASTC». Некоторым людям нравится запоминать четыре буквы ASTC по одной из следующих: Все учащиеся сдают химию Все учащиеся сдают математический анализ Все глупые коты Том Все станции к центральному A dd S сахар T o C офис Может быть, вы могли бы придумать свой собственный. Или просто помните ASTC. Инверсия Sin, Cos и Tan Что такое арксинус 0,5? sin -1 (0,5) = ? Другими словами, когда на графике ниже у равно 0,5, чему равен угол? Существует много углов где y=0,5 Проблема в следующем: калькулятор выдаст вам только одно из этих значений … … но всегда есть два значения между 0º и 360º (и бесконечно много дальше): Первое значение Второе значение Синус θ 180º − θ Косинус θ 360º − θ Касательная θ θ + 180º Теперь мы можем решить уравнения для под любым углом! Пример: Решаем sin θ = 0,5 Получаем первое решение из калькулятора = sin -1 (0,5) = 30º (это в квадранте I) Следующее решение 180° − 30° = 150° (квадрант II) Пример: вычислить cos θ = −0,85 Получаем первое решение из калькулятора = cos -1 (−0,85) = 148,2º (квадрант II) Другое решение: 360º − 148,2º = 211,8º (квадрант III) Возможно, нам потребуется изменить угол между 0º и 360º, прибавив или вычитая 360º Пример. Решите тангенс θ = −1,3 Получаем первое решение из калькулятора = tan -1 (−1,3) = −52,4º Это меньше 0º, поэтому мы прибавляем 360º: −52,4º + 360º = 307,6º (квадрант IV) Другое решение: −52,4º + 180º  = 127,6º (квадрант II)   3914, 3915, 3916, 3917, 3918, 3919, 3920, 3921, 3922, 3923 Упражнение: Прогулка по пустыне 2 Видео-урок: Тригонометрические отношения на единичной окружности Стенограмма видео В этом видео мы научимся использовать тот факт, что квадрант, в котором лежит угол, определяет знак его тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса для решения уравнений. Начнем с размышлений о том, что мы знаем об углах на координатной плоскости. На координатной плоскости центр является источником. Для стандартных углов, измеренных в координатная плоскость, положительная ось 𝑥 будет начальной стороной, начальной точкой нашего измерения. Эта положительная 𝑥-ось и начало представляет ноль градусов. К тому времени, когда мы доберемся до положительного 𝑦-ось, мы пошли на 90 градусов. Отрицательная ось 𝑥 будет равна 180 градусов. Отрицательная 𝑦-ось будет 270 градусов. И весь обратный путь для полный оборот 360 градусов. В радианах это будет ноль, 𝜋 больше двух, 𝜋, три 𝜋 больше двух, а затем два 𝜋. Луч, обозначающий, где мы остановка измерения нашего угла называется конечной стороной. И угол и стандартное положение будет располагаться между начальной и конечной сторонами. Но мы хотим специально рассмотрим углы, лежащие на единичной окружности. Единичный круг имеет центр в начало координат и имеет радиус в одну единицу. Для некоторой координаты 𝑥, 𝑦 в первом квадранте длины 𝑥 и 𝑦 становятся катетами прямоугольного треугольника. А поскольку мы знаем, что радиус этого круга один, гипотенуза этого прямоугольного треугольника будет один. Если мы обозначим здесь длины сторон 𝑥 и 𝑦, мы можем взять теорему Пифагора, которая говорит нам 𝑎 в квадрате плюс 𝑏 в квадрате равно 𝑐 в квадрате, в единичном круге 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 в квадрате равно один. Можно также сказать, что уравнение единичного круга должно быть 𝑥 в квадрате плюс 𝑦 в квадрате равно единице. Но то, что мы хотим сделать сейчас, это рассмотрим немного тригонометрии в отношении синуса единичной окружности, косинуса и касательная. Мы знаем синус угла представляет длину противоположной стороны по гипотенузе, косинус угла 𝜃 представляет длину прилегающей стороны по гипотенузе, а касательная Отношение угла — это отношение длины противоположной стороны к прилежащей стороне длина. Для нашего угла 𝜃 внутри блока круг, длина противоположной стороны всегда будет 𝑦-значением, это вертикаль нога. Грех 𝜃 тогда 𝑦 над одним так как в единичной окружности гипотенуза всегда равна единице. грех 𝜃, следовательно, равен 𝑦 в единичном круге. Аналогично, соседняя сторона будет быть горизонтальной ногой, 𝑥-значением. А значит в единичном круге, cos 𝜃 будет равен 𝑥. А это значит, что загар угол 𝜃 будет равен 𝑦 над 𝑥. Прежде чем мы рассмотрим несколько примеров, есть еще одна вещь, которую нам нужно рассмотреть. А это синус углов квадранты. Если мы сохраним наш единичный круг, и мы посмотрите на наши 𝑥, 𝑦 в первом квадранте, в первом квадранте все 𝑥-значения положительный и все 𝑦-значения положительны. Это означает, что грех 𝜃 будет положительна, так как 𝑦 положительна, то cos 𝜃 будет положительным, так как 𝑥 положительный, а поскольку 𝑥 и 𝑦 оба положительны, тангенс 𝜃 также будет положительный. Это означает, что в первом квадранте все триггерные отношения положительны. Но когда мы движемся ко второму квадранту и создадим прямой угол из точки отрицательный 𝑥, 𝑦, мы имеем дело с отрицательным 𝑥-значения и положительные 𝑦-значения. 𝑦-значение положительно в второй квадрант, делая значение синуса положительным. Но 𝑥-значение отрицательное. А это означает, что во втором квадранте косинус будет отрицательным. С положительным значением и отрицательное значение, тогда тангенс становится отрицательным. Итак, мы можем обобщить и сказать в во втором квадранте синус положительный, а косинус и тангенс отрицательные. Переход к третьему квадранту, в третий квадрант, значение 𝑥 и значение 𝑦 будут отрицательными. Это означает, что синус будет отрицательный, косинус будет отрицательным. Однако с касательной отрицательное 𝑦 над отрицательным 𝑥 будет положительным. Итак, в третьем квадранте синус и косинус отрицательный, а тангенс положительный. И, наконец, в четвертом квадранте 𝑥-значения будут положительными, а 𝑦-значения будут отрицательными. Это дает нам отрицательный синус значение, положительное значение косинуса и отрицательное значение тангенса. Один из способов запомнить эти синусоидальных значений с помощью диаграммы CAST, которая выглядит следующим образом. Диаграмма CAST показывает, какие значение триггера будет положительным в каком квадранте. В первом квадранте все положительный. Во втором квадранте синус равен положительный. В третьем квадранте тангенс равен положительный. А в четвертом квадранте косинус равен положительный. Теперь мы готовы рассмотреть некоторые Примеры. Найти грех 𝜃, если 𝜃 находится в стандартное положение и его крайняя сторона проходит через точку три пятых, отрицательные четыре пятых. Возможно, здесь будет полезно нарисовать координатную плоскость. На этой координатной плоскости мы хотите построить точку три пятых, минус четыре пятых, которая здесь. Если мы знаем, что терминал сторона нашего угла проходит через эту точку и что наш угол находится в стандарте положение, то начальной стороной будет луч, который начинается в начале координат и проходит через положительную 𝑥-ось. Это означает, что мы интересует пространство от начальной стороны до конечной стороны. Однако для расчета этого мы образуем прямой угол с осью 𝑥. Когда мы это делаем, мы получаем прямоугольный треугольник. И мы будем использовать созданный угол с осью 𝑥 для решения. Мы можем решить это, используя тригонометрия прямоугольного треугольника, где у нас есть прямоугольный треугольник с длинами сторон три пятых и четыре пятых. Мы помним, что грех 𝜃 будет быть противоположным относительно гипотенузы. Однако в настоящее время мы не знать гипотенузу. Мы не знаем расстояния от начало координат до точки три пятых, минус четыре пятых. Мы можем использовать пифагорейскую теорема, чтобы найти то, что означает три пятых в квадрате плюс четыре пятых в квадрате равно 𝑐 в квадрате. Девять двадцать пятых плюс шестнадцать двадцать пятых равно 𝑐 в квадрате. 25 больше 25 равно единице. И если 𝑐 в квадрате равно единице, тогда 𝑐 должно быть равно единице. Теперь, когда мы знаем гипотенузу равен единице, мы можем сказать кое-что еще об этом угле в нашей координате самолет. И в этом наша точка падает на единичную окружность. Единичный круг имеет свой центр в начале координат и имеет радиус, равный единице. Мы ищем грех 𝜃. Это равносильно обратному гипотенуза. Также в единичном круге грех 𝜃 равна его 𝑦-координате. 𝑦-координата для этого точка минус четыре пятых. Итак, мы говорим, что грех 𝜃 равно отрицательным четырем пятым. И если бы мы хотели это проверить, мы могли вспомнить, основываясь на нашей диаграмме CAST, что для углов, падающих в в четвертом квадранте косинус положителен, но синус и тангенс будут отрицательное, что подтверждает, что грех нашего угла 𝜃 равен отрицательному четыре пятых. Рассмотрим другой пример. Предположим, 𝑃 — точка на единичный круг, соответствующий углу четыре 𝜋 больше трех. Есть ли еще один момент на единичный круг, представляющий угол в интервале от нуля до двух 𝜋, который имеет одинаковое значение тангенса? Если да, укажите угол. Во-первых, мы могли бы сделать набросок координатной плоскости, а затем добавьте единичный круг, который представляет собой круг с центром в начале координат и радиусом единицы. Оттуда мы также можем захотеть чтобы пометить нашу координатную плоскость радианами, начинающимися с нуля, 𝜋 более двух, 𝜋, три 𝜋 больше двух и два 𝜋. Потому что у нас есть интервал от нуля до двух 𝜋, мы знаем, что нас интересует только один полный оборот. Наша точка 𝑃 находится на единице окружности и соответствует углу четыре 𝜋 над тремя. Это означает, что наша первая задача состоит в том, чтобы узнайте, где приземлится угол четыре 𝜋 больше трех. Я знаю, что 𝜋 больше трех больше, чем 𝜋, но, вероятно, стоит сравнить, чтобы узнать, если четыре 𝜋 больше три больше или меньше трех 𝜋 больше двух. Если дать этим дробям общие знаменатели, четыре 𝜋 больше двух становится восемью 𝜋 больше шести и трех 𝜋 больше двух становится девятью 𝜋 больше шести. Так как восемь 𝜋 больше шести меньше чем девять 𝜋 больше шести, мы можем сказать, что четыре 𝜋 больше трех меньше трех 𝜋 больше двух. А это значит, что точка 𝑃 мы попадем в наш третий квадрант, и четыре 𝜋 больше трех будут такими угол. Так как мы знаем, что наш угол попадает в третий квадрант, мы можем использовать диаграмму CAST, которая покажет нам что тангенс угла в третьей четверти будет положительным. Чтобы мы нашли другого точка внутри единичного круга, имеющая такое же значение касательной, мы будем искать для другого места, где значение тангенса может быть положительным. И это будет в первую квадрант. В первом квадранте все триггеры значения будут положительными. Но для того, чтобы мы нашли какое значение этого угла будет в первом квадранте, нам нужно разбить наш угол четыре 𝜋 над тремя на более мелкие части. Можно сказать, что четыре 𝜋 более три равно 𝜋 плюс 𝜋 на три, расстояние от нуля до 𝜋, а затем дополнительный 𝜋 сверх трех. Создан прямоугольный треугольник внутри единичного круга четыре 𝜋 больше трех в третьем квадранте будет выглядеть так этот. И в первом квадранте, была бы некоторая точка, в которой мы имели бы дело с углом 𝜋 более трех. В первом квадранте это будет иметь 𝑥, 𝑦 координаты. А в третьем квадранте это будет иметь отрицательные 𝑥, отрицательные 𝑦 координаты. И мы знаем, что в единице круг, тангенс 𝜃 будет равен 𝑦 над 𝑥. И мы бы сказали, что загар из четырех третей 𝜋 равно отрицательному 𝑦 над отрицательным 𝑥 и тангенсом 𝜋 больше трех равно 𝑦 больше 𝑥. Но мы упрощаем отрицательное 𝑦 над отрицательным 𝑥 просто 𝑦 𝑥. Итак, мы показали, что да, в этом интервале есть другой угол с таким же значением тангенса. И это угол 𝜋 закончился три. В нашем следующем примере мы рассмотрим применение единичного круга. Рассмотрим ветряную мельницу с лезвия длиной один метр. Положение вершины 𝑃 данная лопасть задается координатами 𝑎, 𝑏, которые зависят от угла 𝜃 как показано. Выразите 𝑎 и 𝑏 как функции меры угла 𝜃 в радианах. Если угол 𝜃 в определенный момент времени составляет пять третей 𝜋, какой она будет после того, как лезвие пройдет половину вращение? Поскольку длина лезвия составляют один метр, и на нашей диаграмме это представляет собой радиус ветряная мельница, мы можем использовать наши знания об единичном круге, чтобы решить эту задачу. проблема. Расстояние от центра г. ветряная мельница в точку 𝑃 будет одной. И нам говорят, что суть 𝑃 находится по адресу 𝑎, 𝑏. Итак, мы можем создать право треугольник с осью 𝑥 и говорят, что длины его сторон равны 𝑎 и 𝑏, соответственно. Мы используем расстояние от конечной стороной к оси 𝑥, чтобы вычислить угол 𝜃. Мы знаем, что в блоке окружности, мы можем представить угол как отношение синуса и косинуса. Для нашего угла 𝜃 наоборот длина стороны будет 𝑏, а ее гипотенуза равна одному метру, поэтому у нас есть грех 𝜃 равно 𝑏 больше единицы. И мы можем представить 𝑏 как грех из 𝜃. Точно так же, если мы посмотрим на косинус, мы получаем длину стороны 𝑎 больше единицы, что означает, что мы можем сказать, что расстояние 𝑎 должно быть равно cos угла 𝜃. И без дополнительной информации, это все, что мы можем сделать с этими двумя функциями. Мы можем сказать, что 𝑏 равно греху 𝜃 и 𝑎 равно потому что 𝜃. Во второй части наших вопросов говорится если угол 𝜃 в определенный момент времени пять 𝜋 больше трех, то каким он будет после того, как лезвие совершило пол-оборота? Во-первых, мы уже нам сказали, что мы работаем в радианах, поэтому может быть полезно обозначить наша координатная плоскость. Начиная с оси 𝑥, ноль радиан, затем 𝜋 более двух радиан, 𝜋 радиан, три 𝜋 более двух радиан и полный оборот, что составляет два 𝜋 радиана. В такой системе полный очередь — два 𝜋. И, следовательно, пол-оборота будет равно 𝜋 радианам. Если мы начнем с угла 𝜃 пять 𝜋 на три радиана, и мы добавляем половину оборота, мы добавляем 𝜋 к этому угол. И так же, как добавление любого дроби, нам нужен общий знаменатель. Мы можем написать 𝜋 как три 𝜋 более трех. Онлайн калькулятор дробей с решением со степенями со скобками: Калькулятор пропорций alexxlab / 09.06.202327.03.2023 / Разное 19-divided-by-28 — Googlesuche Дополнительная информация Если вы введете 19, деленное на 28, в калькулятор, вы получите: · 0,6786. Ответ на 19, разделенный на 28, также можно записать в виде смешанной дроби … Что такое 19, разделенное на 28 с использованием длинного деления? — Визуальные фракции visualfractions.com › Длинное деление Используя калькулятор, если вы введете 19, деленное на 28, вы получите 0,6786. · Вы также можете представить 19/28 в виде смешанной дроби: 0 19/28 … Чему равно 19, деленное на 28? С остатком, в виде десятичного числа и т. д. Divisionby.org › Делим на 28 Что такое частное и остаток от деления 19 на 28? … Частное (целочисленное деление) 19/28 равно 0; остаток («остаток») равен 19. 19 — … Сколько 19 разделить на 28? — Valeur valeur.com › Calculator › What-is-19-Divided-By-28 Вместо того, чтобы говорить, что 19 разделить на 28 равно 0,679, вы можете просто использовать символ деления, который представляет собой косую черту, как мы сделали выше. Калькулятор деления в длинное число www.calculator.net › math Бесплатный калькулятор, определяющий частное и остаток в задаче на деление в длинное число. Он также предоставляет этапы расчета, а также результат в обоих … Сколько 19 разделить на 28/10? — Thinkster Math hellothinkster.com › math-questions › what-is-19-di… В этой задаче мы разделим целое число 19 на дробь 28/10. … Посмотрите, сможете ли вы или ваш ребенок решить математические задачи на 20 делений – ответьте … Калькулятор деления на длинное деление с десятичными дробями www.calculatorsoup.com › Математика Введите положительные или отрицательные десятичные числа для делителя и делимое и вычислить частный ответ. Как сделать длинное деление с десятичными дробями. Если число, которое вы … 28 разделить на 19 — Умножение www.free-hosting.biz › деление › 28-разделенное-19 Математические ответы на дробь 28 разделить на 19 можно вычислить следующим образом. 24 умножить на 58: 58 умножить на 24 столбиком alexxlab / 09.06.202329.04.2023 / Разное «58, 59, 55….» Спросили у бобруйчан, сколько будет: 7 умножить на 8 7 октября отмечается Всемирный день таблицы умножения. Различные образовательные мероприятия, которые проводятся в этот день, должны подстегнуть вспомнить таблицу умножения. Корреспонденты «ВБ» решили не отставать, и задали бобруйчанам три вопроса. Сколько будет: 7*8, 8*4 и 6*7? Читайте и смотрите, что из этого получилось. Но общий вывод такой – не зря есть такой праздник! Валентина. Валентина, учится в колледже: Девушка от присутствия журналистов и самой съемки разволновалась, поэтому все получилось не так гладко, как могло быть. Но мы все прекрасно понимаем. – Скажите, сколько будет 7 на 8? – Хороший вопрос. 54? 63? 56. – 8 на 4? – 24…32. На вопрос: сколько будет 6 на 7 (девушка к этому моменту уже справилась с волнением), ответила правильно с первой попытки. Сергей. Сергей, работает на «Красном пищевике»: Хочется обратить внимание руководства предприятия на их работника и возможно, предложить ему более высокую должность. А почему? А потому что мужчина несмотря на то, что сразу нас предупредил о том, что ему некогда и он спешит, на все три вопроса ответил правильно даже не задумываясь. И абсолютно оправдано стал нашим фаворитом. Артур. Артур, учащийся колледжа: Артур сразу предупредил нас, что с таблицей умножения у него трудности. Но на один из вопросов, сколько будет 8 на 4, молодой человек ответил сразу. С остальными двумя, да, возникли трудности. – Сколько будет 7 на 8? – Вроде, 52, где-то так… 58, 59? 55? Дарья. Дарья, учится в школе: Сразу сказала, что не знает таблицу умножения, но мама девочки отметила, что дочка все знает, просто стесняется. И мама оказалась права. Немного обдумав вопросы, Даша на все ответила правильно. Девочка была рада, мы тоже (думаем, что и учитель математики Дашин тоже порадуется). Василий. Василий, рабочий: Василий сразу предупредил, что идет после работы, и ему будет непросто отвечать на такие вопросы. Но 8 на 4 у него не вызвал затруднений, а над остальными пришлось подумать. Но в результате зря волновался: все решил правильно! Екатерина, сотрудница «РитуалГранит»: У Екатерины ответ на вопрос «сколько будет шестью семь» не вызвал затруднений, над остальными пришлось подумать. Но уже после всех трех вопросов девушка призналась, что растерялась. (Мы знаем, что такое бывает!) – Сколько будет 7 на 8? – 48… 56! – 8 на 4? – 24 (Подсказка пришла неожиданно, проходящая мимо женщина, даже не повернувшись, сказала: «32»). – Кошмар, ой, как стыдно! – зарделась Екатерина. Виталий, военный: Виталий быстро и правильно ответил на два вопроса, а вот «шестью семь» заставил его задуматься, но в результате ответ был дан верный. – Блин, забыл таблицу умножения! – засмеялся мужчина. СветланаПетровна, работает на предприятии «Универсал Бобруйск»: Светлана Петровна сразу сказала, что давно забыла таблицу умножения, но долговременная память ее не подвела. Женщина только не с первой попытки вспомнила, сколько будет 8 на 4. А на все остальные вопросы ответила сразу. Диана, продавец: Несмотря на опасения: «Ой, сейчас опозорюсь…», Диана сходу дала правильные ответы на все вопросы по таблице умножения. Так что, теперь вы знаете точно, где вам правильно дадут сдачу. Это интересно Впервые в школьную программу таблица умножения была введена в Англии в конце эпохи Средневековья. Таблица включала умножения до 12. И сегодня в британских школах эта особенность остается традицией, связано это с единицами английской системой мер длины (1 фут = 12 дюймов) и денежного обращения (существовавшей до 1971 г. : 1 фунт стерлингов = 20 шиллингам, 1 шиллинг = 12 пенсам). А в Индии таблица умножения включает числа до 20. Урок 5. Опорное число при умножении чисел до 100 Наиболее популярной методикой умножения больших чисел в уме является прием использования, так называемого, опорного числа. В прошлом уроке, когда показывался способ умножения чисел до 20, по сути мы использовали опорное число 10. Также стоит отметить, что подробнее вы можете ознакомиться с методикой использования опорного числа в книге «Считайте в уме как компьютер» Билла Хэндли. Общие правила использования опорного числа Опорное число полезно при перемножении чисел, находящихся близко и при возведении в квадрат. Как можно использовать метод опорного числа вы уже поняли из прошлого урока, теперь давайте обобщим все сказанное. Опорное число при умножении – это число, к которому близко находятся оба множителя и на которое удобно умножать. При умножении чисел до 100 опорными числами удобно использовать все числа кратные 10, а особенно 10, 20, 50 и 100. Методика использования опорного числа зависит от того, являются ли множители больше или меньше опорного числа. Тут возможны три случая. Покажем, все 3 методики на примерах. Оба числа меньше опорного (под опорным) Допустим, мы хотим умножить 48 на 47. Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа. Чтобы умножить 48 на 47, используя опорное число 50, нужно: 47*48 Из 47 вычесть столько, сколько не хватает 48 до 50, то есть 2. Получается 45 (или из 48 вычесть 3 – это всегда одно и то же) Дальше 45 умножаем на 50 = 2250 Затем прибавляем 2*3 к этому результату и вуа ля – 2 256! Схематично в уме удобно представлять приведенную ниже табличку. 50 (опорное число) 48 * 47 (48-3)*50 = 45*50 = 2 250 (или (47-2)*50  = 45*50 вспомните, что умножение на 5 – это тоже самое что деление на 2)   2 * 3 +6 Ответ:       2 250 + 6 = 2 256 Опорное число пишем слева от произведения. Если числа меньше опорного, то разница между ними и опорным пишется ниже этих чисел. Справа от 48*47 пишем расчет с опорным числом, справа от остатков 2 и 3 пишем их произведение. Если использовать упрощенную схему, то решение выглядит так: 47*48=45*50 + 6= 2 256 Посмотрим другие примеры: Умножить 18*19 20 (опорное число) 18 * 19 (18-1)*20 = 340     2 * 1 +2 Ответ:       342 Короткая запись: 18*19 = 20*17+2 = 342 Умножить 8*7 10 (опорное число) 8 * 7 (8-3)*10 = 50     2 * 3 +6 Ответ:       56 Короткая запись: 8*7 = 10*5+6 = 56 Умножить 98*95 100 (опорное число) 98 * 95 (95-2)*100 = 9300     2 * 5 +10 Ответ:       9310 Короткая запись: 98*95 = 100*93 + 10 = 9 310 Умножить 98*71 100 (опорное число) 98 * 71 (71-2)*100 = 6900     2 * 29 +58 Ответ:       6958 Короткая запись: 98*71 = 100*69 + 58 = 6 958 Оба числа больше опорного (над опорным) Допустим, мы хотим умножить 54 на 53. Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа. Но в отличие от предыдущих примеров, эти числа больше опорного. По сути, модель их умножения не меняется, но теперь нужно не вычитать остатки, а прибавлять. К 54 прибавить столько, на сколько 53 превышает 50, то есть 3. Получается 57 (или к 53 прибавить 4 – это всегда одно и то же) Дальше 57 умножаем на 50 = 2 850 (умножение на 50 – схоже с делением на 2) Затем прибавляем 4*3 к этому результату. Ответ: 2862   4 * 3 +12 50 (опорное число) 54 * 53 (54+3)*50 = 2 850 или (53+4)*50  = 57*50 (вспомните, что умножение на 5 – это тоже самое что деление на 2) Ответ:       2 862 Короткое решение выглядит так: 50*57+12 = 2 862 Для наглядности еще ниже приведены примеры: Умножить 23*27   3 * 7 +21 20 (опорное число) 23 * 27 (23+7)*20 = 600   Ответ:       621 Короткая запись: Короткая запись: 23*27 = 20*30 + 21 = 621 Умножить 51*63   1 * 13 +13 50 (опорное число) 51 * 63 (63+1)*50 = 3 200   Ответ:       3 213 Короткая запись: Короткая запись: 51*63 = 64*50 + 13 = 3 213 Одно число под опорным, а другое над Третий случай использования опорного числа – когда одно число больше опорного, а другое меньше. Такие примеры решаются не сложнее, чем предыдущие. Умножить 45*52 Произведение 45*52 считается так: Из 52 вычитаем 5 или к 45 прибавляем 2. В любом обоих случая получается: 47 Дальше 47 умножаем на 50 = 2 350 (умножение на 50 – схоже с делением на 2) Затем вычитаем (а не прибавляем, как раньше!) 2*5. Ответ: 2 340       2   50 (опорное число) 45 * 52 (45+2)*50 = 2 350     5     -10 Ответ:       2 340 Короткая запись: 45*52 = 47*50-10 = 2 340 Также поступаем с подобными примерами: Умножить 91*103       3   100 (опорное число) 91 * 103 (91+3)*100 = 9400     9     -27 Ответ:       9 373 Только одно число близко к опорному, а другое нет Как вы уже видели из примеров, опорным числом удобно пользоваться, если даже только одно число близко к опорному. Желательно, чтобы разница этого числа с опорным составляла не более 2-x или 3-х или была равна числу, на которое удобно умножать (например, 5, 10, 25 – см. второй урок) Умножить 48*73       23   50 (опорное число) 48 * 73 (73-2)*50 = 3 550     2     -46 Ответ:       3 504 Короткое решение: 48*73 = 71*50 – 23*2 = 3 504 Умножить 23*69   3   49 147 20 (опорное число) 23 * 69 (3+69)*20 = 1440   Ответ:       1 587 Короткая запись: Короткое решение: 23*69 = 72*20 + 147 = 1 587 — чуть сложнее Умножить 98*41 100 (опорное число) 98 * 41 (41-2)*100 = 3900     2 * 59 +118 Ответ:       4018 Короткая запись: Короткая запись: 98*41 = 100*39 + 118 = 4 018 Таким образом, с помощью использования одного опорного числа можно умножать большую комбинацию двузначных чисел. Если у вас получается хорошо умножать на 30, 40, 60, 70 или 80 – тогда, вы сможете с помощью этой методики умножать любые числа (до 100 и даже больше). Использование нескольких опорных чисел Методика двух опорных чисел заключается в том, что мы сначала делим 88 на 4 и получаем 22, производим умножение 23 на 22 и произведение умножаем снова 4. То есть, мы сначала делим произведение на 4, а потом умножаем на 4. Получается: 23*22 = 250*2+6= 506, а 506*4 = 2024 – это и есть ответ! Для визуализации можно использовать уже привычную схему. Произведение23*88 считается так: Записываем удобное опорное число «20» и рядом приписываем множитель 4, с помощью которого можно выразить 80 через 20. Дальше делаем, как и раньше, пишем, на сколько 23 превышает 20 (3), а 88 превышает 80 (8). Выше тройки пишем произведение 3 на 4 (то есть 3 на множитель опорного). К 88 прибавляем произведение 3 на 4 и умножаем на опорное (20), получается 100*20 = 2000 Прибавляем к 2000 произведением 3-х и 8-и. Результат: 2024   3*4=12         3 * 8 +24 20*4 (опорное число) 23 * 88 (88+12)*20 = 2 000   Ответ:       2 024 Короткая запись: 23*88 = (88+3*4)*20 + 24 = 2024 Теперь давайте попробуем умножить 23*88, используя опорное число 100 для 88 и 25 для 23. В этом случае главным опорным числом является 100. А 25 можно записать, как 100:4=25 100:4 (опорное число) 23 * 88 (23-3)*100 = 2 000     2   12 +24       12:4=3   Ответ:       2 024 Короткая запись: 23*88 = (23-12:4)*100 + 24 = 2024 Как видим, ответ получается один и тот же. Способ с использованием двух опорных чисел несколько сложнее, и требует дополнительных действий. Во-первых, вы должны понять, какие 2 опорных числа вам удобно использовать. Во-вторых, нужно совершить дополнительное действие, для поиска числа, которое нужно умножать на опорное. Эту методику применяйте лучше тогда, когда вы уже достаточно хорошо усвоили умножение с одним опорным числом. Тренировка Если вы хотите прокачать свои умения по теме данного урока, можете использовать следующую игру. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что числа каждый раз разные. Перед тем как начать игру, рекомендуем зарегистрироваться, чтобы результат был сохранен в вашей истории, и вы смогли бы видеть собственный прогресс. Cтатистика На весь экран Евгений Буянов ← 4 Частные методики6 Умножение до 100 → Как вычислить 2/3 умножить на 58/24 (Что такое 2/3 x 58/24?) Вы ищете, как умножить 2/3 на 58/24? В этом очень простом руководстве мы точно научим вас, что такое 2/3, умноженное на 58/24, и пошагово проведем вас через процесс умножения двух дробей. Напомню, что число над дробной чертой называется числителем, а число под дробной чертой называется знаменателем. Хотите быстро выучить или освежить в памяти умножение на множители, просмотрите это быстрое и информативное видео, разработанное visualfractions.com! Другие обучающие и разъясняющие видео по математике и числам, включая дроби, расчет процентов, преобразования и многое другое, посетите visualfractions.com Youtube канал. Чтобы умножить две дроби, все, что нам нужно сделать, это перемножить числители и знаменатели вместе, а затем упростить дробь, если мы можем. Поставим рядом 2/3 и 58/24, чтобы их было лучше видно: 2 / 3 Икс 58 / 24 Следующим шагом является умножение числителей в верхней строке и знаменателей в нижней строке: 2 x 58 / 3 x 24 Отсюда мы можем выполнить умножение, чтобы получить результирующую дробь: 2 х 58 / 3 х 24 «=» 116 / 72 Готово! Теперь вы точно знаете, как вычислить 2/3 x 58/24. Надеюсь, вы поняли этот процесс и можете использовать те же методы для сложения других дробей. Полный ответ приведен ниже (упрощенный до самой низкой формы): 1 18/11 Примечание: поскольку в этом примере числитель больше знаменателя, мы упростили его до смешанной дроби. Вот небольшой расчет бонуса, чтобы вы могли легко определить десятичный формат дроби, которую мы рассчитали. Все, что вам нужно сделать, это разделить числитель на знаменатель, и вы можете преобразовать любую дробь в десятичную: 116 / 72 «=» 1.6111 Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте инструмент ниже, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку! Как вычислить 2/3 умножить на 58/24< /а> «Как рассчитать 2/3 умножить на 58/24». VisualFractions.com . По состоянию на 29 апреля 2023 г. http://visualfractions.com/calculator/multiply-fractions/what-is-2-3-times-58-24/. «Как рассчитать 2/3 умножить на 58/24». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/multiply-fractions/what-is-2-3-times-58-24/. По состоянию на 29 апреля 2023 г. Как вычислить 2/3 умножить на 58/24. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/multiply-fractions/what-is-2-3-times-58-24/. Предустановленный список примеров умножения дробей Ниже приведены ссылки на некоторые предустановленные вычисления, которые обычно ищут: Что такое 1/2, умноженное на 1/2? Сколько будет 1/2 умножить на 1/3? Сколько будет 1/2 умножить на 1/4? Сколько будет 1/2 умножить на 1/5? Сколько будет 1/2 умножить на 1/6? Сколько будет 1/2 умножить на 1/7? Сколько будет 1/2 умножить на 2/3? Сколько будет 1/2 умножить на 2/4? Сколько будет 1/2 умножить на 2/5? Сколько будет 1/2 умножить на 2/6? Сколько будет 1/2 умножить на 2/7? Сколько будет 1/2 умножить на 3/4? Сколько будет 1/2 умножить на 3/5? Сколько будет 1/2 умножить на 3/6? Сколько будет 1/2 умножить на 3/7? Сколько будет 1/2 умножить на 4/5? Сколько будет 1/2 умножить на 4/6? Сколько будет 1/2 умножить на 4/7? Сколько будет 1/2 умножить на 5/6? Сколько будет 1/2 умножить на 5/7? Сколько будет 1/2 умножить на 6/7? Сколько будет 1/3 умножить на 1/2? Сколько будет 1/3 умножить на 1/3? Сколько будет 1/3 умножить на 1/4? Сколько будет 1/3 умножить на 1/5? Сколько будет 1/3 умножить на 1/6? Сколько будет 1/3 умножить на 1/7? Сколько будет 1/3 умножить на 2/3? Сколько будет 1/3 умножить на 2/4? Сколько будет 1/3 умножить на 2/5? Сколько будет 1/3 умножить на 2/6? Сколько будет 1/3 умножить на 2/7? Сколько будет 1/3 умножить на 3/4? Сколько будет 1/3 умножить на 3/5? Сколько будет 1/3 умножить на 3/6? Сколько будет 1/3 умножить на 3/7? Сколько будет 1/3 умножить на 4/5? Сколько будет 1/3 умножить на 4/6? Сколько будет 1/3 умножить на 4/7? Сколько будет 1/3 умножить на 5/6? Сколько будет 1/3 умножить на 5/7? Сколько будет 1/3 умножить на 6/7? Сколько будет 1/4 умножить на 1/2? Сколько будет 1/4 умножить на 1/3? Сколько будет 1/4 умножить на 1/4? Сколько будет 1/4 умножить на 1/5? Сколько будет 1/4 умножить на 1/6? Сколько будет 1/4 умножить на 1/7? Сколько будет 1/4 умножить на 2/3? Сколько будет 1/4 умножить на 2/4? Сколько будет 1/4 умножить на 2/5? Сколько будет 1/4 умножить на 2/6? Сколько будет 1/4 умножить на 2/7? Сколько будет 1/4 умножить на 3/4? Сколько будет 1/4 умножить на 3/5? Сколько будет 1/4 умножить на 3/6? Сколько будет 1/4 умножить на 3/7? Сколько будет 1/4 умножить на 4/5? Сколько будет 1/4 умножить на 4/6? Сколько будет 1/4 умножить на 4/7? Сколько будет 1/4 умножить на 5/6? Сколько будет 1/4 умножить на 5/7? Сколько будет 1/4 умножить на 6/7? Сколько будет 1/5 умножить на 1/2? Сколько будет 1/5 умножить на 1/3? Сколько будет 1/5 умножить на 1/4? Сколько будет 1/5 умножить на 1/5? Сколько будет 1/5 умножить на 1/6? Сколько будет 1/5 умножить на 1/7? Сколько будет 1/5 умножить на 2/3? Сколько будет 1/5 умножить на 2/4? Сколько будет 1/5 умножить на 2/5? Сколько будет 1/5 умножить на 2/6? Сколько будет 1/5 умножить на 2/7? Сколько будет 1/5 умножить на 3/4? Сколько будет 1/5 умножить на 3/5? Сколько будет 1/5 умножить на 3/6? Сколько будет 1/5 умножить на 3/7? Сколько будет 1/5 умножить на 4/5? Сколько будет 1/5 умножить на 4/6? Сколько будет 1/5 умножить на 4/7? Сколько будет 1/5 умножить на 5/6? Сколько будет 1/5 умножить на 5/7? Сколько будет 1/5 умножить на 6/7? Сколько будет 1/6 умножить на 1/2? Сколько будет 1/6 умножить на 1/3? Сколько будет 1/6 умножить на 1/4? Сколько будет 1/6 умножить на 1/5? Сколько будет 1/6 умножить на 1/6? Сколько будет 1/6 умножить на 1/7? Сколько будет 1/6 умножить на 2/3? Сколько будет 1/6 умножить на 2/4? Сколько будет 1/6 умножить на 2/5? Сколько будет 1/6 умножить на 2/6? Сколько будет 1/6 умножить на 2/7? Сколько будет 1/6 умножить на 3/4? Сколько будет 1/6 умножить на 3/5? Сколько будет 1/6 умножить на 3/6? Сколько будет 1/6 умножить на 3/7? Сколько будет 1/6 умножить на 4/5? Сколько будет 1/6 умножить на 4/6? Сколько будет 1/6 умножить на 4/7? Сколько будет 1/6 умножить на 5/6? Сколько будет 1/6 умножить на 5/7? Сколько будет 1/6 умножить на 6/7? Сколько будет 1/7 умножить на 1/2? Сколько будет 1/7 умножить на 1/3? Сколько будет 1/7 умножить на 1/4? Сколько будет 1/7 умножить на 1/5? Сколько будет 1/7 умножить на 1/6? Сколько будет 1/7 умножить на 1/7? Сколько будет 1/7 умножить на 2/3? Сколько будет 1/7 умножить на 2/4? Сколько будет 1/7 умножить на 2/5? Сколько будет 1/7 умножить на 2/6? Сколько будет 1/7 умножить на 2/7? Сколько будет 1/7 умножить на 3/4? Сколько будет 1/7 умножить на 3/5? Сколько будет 1/7 умножить на 3/6? Сколько будет 1/7 умножить на 3/7? Сколько будет 1/7 умножить на 4/5? Сколько будет 1/7 умножить на 4/6? Сколько будет 1/7 умножить на 4/7? Сколько будет 1/7 умножить на 5/6? Сколько будет 1/7 умножить на 5/7? Сколько будет 1/7 умножить на 6/7? Сколько будет 2/3 умножить на 1/2? Сколько будет 2/3 умножить на 1/3? Сколько будет 2/3 умножить на 1/4? Сколько будет 2/3 умножить на 1/5? Сколько будет 2/3 умножить на 1/6? Сколько будет 2/3 умножить на 1/7? Сколько будет 2/3 умножить на 2/3? Сколько будет 2/3 умножить на 2/4? Сколько будет 2/3 умножить на 2/5? Сколько будет 2/3 умножить на 2/6? Сколько будет 2/3 умножить на 2/7? Сколько будет 2/3 умножить на 3/4? Сколько будет 2/3 умножить на 3/5? Сколько будет 2/3 умножить на 3/6? Сколько будет 2/3 умножить на 3/7? Сколько будет 2/3 умножить на 4/5? Сколько будет 2/3 умножить на 4/6? Сколько будет 2/3 умножить на 4/7? Сколько будет 2/3 умножить на 5/6? Сколько будет 2/3 умножить на 5/7? Сколько будет 2/3 умножить на 6/7? Сколько будет 2/4 умножить на 1/2? Сколько будет 2/4 умножить на 1/3? Сколько будет 2/4 умножить на 1/4? Сколько будет 2/4 умножить на 1/5? Сколько будет 2/4 умножить на 1/6? Сколько будет 2/4 умножить на 1/7? Сколько будет 2/4 умножить на 2/3? Сколько будет 2/4 умножить на 2/4? Сколько будет 2/4 умножить на 2/5? Сколько будет 2/4 умножить на 2/6? Сколько будет 2/4 умножить на 2/7? Сколько будет 2/4 умножить на 3/4? Сколько будет 2/4 умножить на 3/5? Сколько будет 2/4 умножить на 3/6? Сколько будет 2/4 умножить на 3/7? Сколько будет 2/4 умножить на 4/5? Сколько будет 2/4 умножить на 4/6? Сколько будет 2/4 умножить на 4/7? Сколько будет 2/4 умножить на 5/6? Сколько будет 2/4 умножить на 5/7? Сколько будет 2/4 умножить на 6/7? Сколько будет 2/5 умножить на 1/2? Сколько будет 2/5 умножить на 1/3? Сколько будет 2/5 умножить на 1/4? Сколько будет 2/5 умножить на 1/5? Сколько будет 2/5 умножить на 1/6? Сколько будет 2/5 умножить на 1/7? Сколько будет 2/5 умножить на 2/3? Сколько будет 2/5 умножить на 2/4? Сколько будет 2/5 умножить на 2/5? Сколько будет 2/5 умножить на 2/6? Сколько будет 2/5 умножить на 2/7? Сколько будет 2/5 умножить на 3/4? Сколько будет 2/5 умножить на 3/5? Сколько будет 2/5 умножить на 3/6? Сколько будет 2/5 умножить на 3/7? Сколько будет 2/5 умножить на 4/5? Сколько будет 2/5 умножить на 4/6? Сколько будет 2/5 умножить на 4/7? Сколько будет 2/5 умножить на 5/6? Сколько будет 2/5 умножить на 5/7? Сколько будет 2/5 умножить на 6/7? Сколько будет 2/6 умножить на 1/2? Сколько будет 2/6 умножить на 1/3? Сколько будет 2/6 умножить на 1/4? Сколько будет 2/6 умножить на 1/5? Сколько будет 2/6 умножить на 1/6? Сколько будет 2/6 умножить на 1/7? Сколько будет 2/6 умножить на 2/3? Сколько будет 2/6 умножить на 2/4? Сколько будет 2/6 умножить на 2/5? Сколько будет 2/6 умножить на 2/6? Сколько будет 2/6 умножить на 2/7? Сколько будет 2/6 умножить на 3/4? Сколько будет 2/6 умножить на 3/5? Сколько будет 2/6 умножить на 3/6? Сколько будет 2/6 умножить на 3/7? Сколько будет 2/6 умножить на 4/5? Сколько будет 2/6 умножить на 4/6? Сколько будет 2/6 умножить на 4/7? Сколько будет 2/6 умножить на 5/6? Сколько будет 2/6 умножить на 5/7? Сколько будет 2/6 умножить на 6/7? Сколько будет 2/7 умножить на 1/2? Сколько будет 2/7 умножить на 1/3? Сколько будет 2/7 умножить на 1/4? Сколько будет 2/7 умножить на 1/5? Сколько будет 2/7 умножить на 1/6? Сколько будет 2/7 умножить на 1/7? Сколько будет 2/7 умножить на 2/3? Сколько будет 2/7 умножить на 2/4? Сколько будет 2/7 умножить на 2/5? Сколько будет 2/7 умножить на 2/6? Сколько будет 2/7 умножить на 2/7? Сколько будет 2/7 умножить на 3/4? Сколько будет 2/7 умножить на 3/5? Сколько будет 2/7 умножить на 3/6? Сколько будет 2/7 умножить на 3/7? Сколько будет 2/7 умножить на 4/5? Сколько будет 2/7 умножить на 4/6? Сколько будет 2/7 умножить на 4/7? Сколько будет 2/7 умножить на 5/6? Сколько будет 2/7 умножить на 5/7? Сколько будет 2/7 умножить на 6/7? Сколько будет 3/4 умножить на 1/2? Сколько будет 3/4 умножить на 1/3? Сколько будет 3/4 умножить на 1/4? Сколько будет 3/4 умножить на 1/5? Сколько будет 3/4 умножить на 1/6? Сколько будет 3/4 умножить на 1/7? Сколько будет 3/4 умножить на 2/3? Сколько будет 3/4 умножить на 2/4? Сколько будет 3/4 умножить на 2/5? Сколько будет 3/4 умножить на 2/6? Сколько будет 3/4 умножить на 2/7? Сколько будет 3/4 умножить на 3/4? Сколько будет 3/4 умножить на 3/5? Сколько будет 3/4 умножить на 3/6? Сколько будет 3/4 умножить на 3/7? Сколько будет 3/4 умножить на 4/5? Сколько будет 3/4 умножить на 4/6? Сколько будет 3/4 умножить на 4/7? Сколько будет 3/4 умножить на 5/6? Сколько будет 3/4 умножить на 5/7? Сколько будет 3/4 умножить на 6/7? Сколько будет 3/5 умножить на 1/2? Сколько будет 3/5 умножить на 1/3? Сколько будет 3/5 умножить на 1/4? Сколько будет 3/5 умножить на 1/5? Сколько будет 3/5 умножить на 1/6? Сколько будет 3/5 умножить на 1/7? Сколько будет 3/5 умножить на 2/3? Сколько будет 3/5 умножить на 2/4? Сколько будет 3/5 умножить на 2/5? Сколько будет 3/5 умножить на 2/6? Сколько будет 3/5 умножить на 2/7? Сколько будет 3/5 умножить на 3/4? Сколько будет 3/5 умножить на 3/5? Сколько будет 3/5 умножить на 3/6? Сколько будет 3/5 умножить на 3/7? Сколько будет 3/5 умножить на 4/5? Сколько будет 3/5 умножить на 4/6? Сколько будет 3/5 умножить на 4/7? Сколько будет 3/5 умножить на 5/6? Сколько будет 3/5 умножить на 5/7? Сколько будет 3/5 умножить на 6/7? Сколько будет 3/6 умножить на 1/2? Сколько будет 3/6 умножить на 1/3? Сколько будет 3/6 умножить на 1/4? Сколько будет 3/6 умножить на 1/5? Сколько будет 3/6 умножить на 1/6? Сколько будет 3/6 умножить на 1/7? Сколько будет 3/6 умножить на 2/3? Сколько будет 3/6 умножить на 2/4? Сколько будет 3/6 умножить на 2/5? Сколько будет 3/6 умножить на 2/6? Сколько будет 3/6 умножить на 2/7? Сколько будет 3/6 умножить на 3/4? Сколько будет 3/6 умножить на 3/5? Сколько будет 3/6 умножить на 3/6? Сколько будет 3/6 умножить на 3/7? Сколько будет 3/6 умножить на 4/5? Сколько будет 3/6 умножить на 4/6? Сколько будет 3/6 умножить на 4/7? Сколько будет 3/6 умножить на 5/6? Сколько будет 3/6 умножить на 5/7? Сколько будет 3/6 умножить на 6/7? Сколько будет 3/7 умножить на 1/2? Сколько будет 3/7 умножить на 1/3? Сколько будет 3/7 умножить на 1/4? Сколько будет 3/7 умножить на 1/5? Сколько будет 3/7 умножить на 1/6? Сколько будет 3/7 умножить на 1/7? Сколько будет 3/7 умножить на 2/3? Сколько будет 3/7 умножить на 2/4? Сколько будет 3/7 умножить на 2/5? Сколько будет 3/7 умножить на 2/6? Сколько будет 3/7 умножить на 2/7? Сколько будет 3/7 умножить на 3/4? Сколько будет 3/7 умножить на 3/5? Сколько будет 3/7 умножить на 3/6? Сколько будет 3/7 умножить на 3/7? Сколько будет 3/7 умножить на 4/5? Сколько будет 3/7 умножить на 4/6? Сколько будет 3/7 умножить на 4/7? Сколько будет 3/7 умножить на 5/6? Сколько будет 3/7 умножить на 5/7? Сколько будет 3/7 умножить на 6/7? Сколько будет 4/5 умножить на 1/2? Сколько будет 4/5 умножить на 1/3? Сколько будет 4/5 умножить на 1/4? Сколько будет 4/5 умножить на 1/5? Сколько будет 4/5 умножить на 1/6? Сколько будет 4/5 умножить на 1/7? Сколько будет 4/5 умножить на 2/3? Сколько будет 4/5 умножить на 2/4? Сколько будет 4/5 умножить на 2/5? Сколько будет 4/5 умножить на 2/6? Сколько будет 4/5 умножить на 2/7? Сколько будет 4/5 умножить на 3/4? Сколько будет 4/5 умножить на 3/5? Сколько будет 4/5 умножить на 3/6? Сколько будет 4/5 умножить на 3/7? Сколько будет 4/5 умножить на 4/5? Сколько будет 4/5 умножить на 4/6? Сколько будет 4/5 умножить на 4/7? Сколько будет 4/5 умножить на 5/6? Сколько будет 4/5 умножить на 5/7? Сколько будет 4/5 умножить на 6/7? Сколько будет 4/6 умножить на 1/2? Сколько будет 4/6 умножить на 1/3? Сколько будет 4/6 умножить на 1/4? Сколько будет 4/6 умножить на 1/5? Сколько будет 4/6 умножить на 1/6? Сколько будет 4/6 умножить на 1/7? Сколько будет 4/6 умножить на 2/3? Сколько будет 4/6 умножить на 2/4? Сколько будет 4/6 умножить на 2/5? Сколько будет 4/6 умножить на 2/6? Сколько будет 4/6 умножить на 2/7? Сколько будет 4/6 умножить на 3/4? Сколько будет 4/6 умножить на 3/5? Сколько будет 4/6 умножить на 3/6? Сколько будет 4/6 умножить на 3/7? Сколько будет 4/6 умножить на 4/5? Сколько будет 4/6 умножить на 4/6? Сколько будет 4/6 умножить на 4/7? Сколько будет 4/6 умножить на 5/6? Сколько будет 4/6 умножить на 5/7? Сколько будет 4/6 умножить на 6/7? Сколько будет 4/7 умножить на 1/2? Сколько будет 4/7 умножить на 1/3? Сколько будет 4/7 умножить на 1/4? Сколько будет 4/7 умножить на 1/5? Сколько будет 4/7 умножить на 1/6? Сколько будет 4/7 умножить на 1/7? Сколько будет 4/7 умножить на 2/3? Сколько будет 4/7 умножить на 2/4? Сколько будет 4/7 умножить на 2/5? Сколько будет 4/7 умножить на 2/6? Сколько будет 4/7 умножить на 2/7? Сколько будет 4/7 умножить на 3/4? Сколько будет 4/7 умножить на 3/5? Сколько будет 4/7 умножить на 3/6? Сколько будет 4/7 умножить на 3/7? Сколько будет 4/7 умножить на 4/5? Сколько будет 4/7 умножить на 4/6? Сколько будет 4/7 умножить на 4/7? Сколько будет 4/7 умножить на 5/6? Сколько будет 4/7 умножить на 5/7? Сколько будет 4/7 умножить на 6/7? Сколько будет 5/6 умножить на 1/2? Сколько будет 5/6 умножить на 1/3? Сколько будет 5/6 умножить на 1/4? Сколько будет 5/6 умножить на 1/5? Сколько будет 5/6 умножить на 1/6? Сколько будет 5/6 умножить на 1/7? Сколько будет 5/6 умножить на 2/3? Сколько будет 5/6 умножить на 2/4? Сколько будет 5/6 умножить на 2/5? Сколько будет 5/6 умножить на 2/6? Сколько будет 5/6 умножить на 2/7? Сколько будет 5/6 умножить на 3/4? Сколько будет 5/6 умножить на 3/5? Сколько будет 5/6 умножить на 3/6? Сколько будет 5/6 умножить на 3/7? Сколько будет 5/6 умножить на 4/5? Сколько будет 5/6 умножить на 4/6? Сколько будет 5/6 умножить на 4/7? Сколько будет 5/6 умножить на 5/6? Сколько будет 5/6 умножить на 5/7? Сколько будет 5/6 умножить на 6/7? Сколько будет 5/7 умножить на 1/2? Сколько будет 5/7 умножить на 1/3? Сколько будет 5/7 умножить на 1/4? Сколько будет 5/7 умножить на 1/5? Сколько будет 5/7 умножить на 1/6? Сколько будет 5/7 умножить на 1/7? Сколько будет 5/7 умножить на 2/3? Сколько будет 5/7 умножить на 2/4? Сколько будет 5/7 умножить на 2/5? Сколько будет 5/7 умножить на 2/6? Сколько будет 5/7 умножить на 2/7? Сколько будет 5/7 умножить на 3/4? Сколько будет 5/7 умножить на 3/5? Сколько будет 5/7 умножить на 3/6? Сколько будет 5/7 умножить на 3/7? Сколько будет 5/7 умножить на 4/5? Сколько будет 5/7 умножить на 4/6? Сколько будет 5/7 умножить на 4/7? Сколько будет 5/7 умножить на 5/6? Сколько будет 5/7 умножить на 5/7? Сколько будет 5/7 умножить на 6/7? Сколько будет 6/7 умножить на 1/2? Сколько будет 6/7 умножить на 1/3? Сколько будет 6/7 умножить на 1/4? Сколько будет 6/7 умножить на 1/5? Сколько будет 6/7 умножить на 1/6? Сколько будет 6/7 умножить на 1/7? Сколько будет 6/7 умножить на 2/3? Сколько будет 6/7 умножить на 2/4? Сколько будет 6/7 умножить на 2/5? Сколько будет 6/7 умножить на 2/6? Сколько будет 6/7 умножить на 2/7? Сколько будет 6/7 умножить на 3/4? Сколько будет 6/7 умножить на 3/5? Сколько будет 6/7 умножить на 3/6? Сколько будет 6/7 умножить на 3/7? Сколько будет 6/7 умножить на 4/5? Сколько будет 6/7 умножить на 4/6? Сколько будет 6/7 умножить на 4/7? Сколько будет 6/7 умножить на 5/6? Сколько будет 6/7 умножить на 5/7? Сколько будет 6/7 умножить на 6/7? Калькулятор дробей Этот калькулятор дробей выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражения с дробями в сочетании с целыми, десятичными и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Калькулятор помогает найти значение из операций с несколькими дробями. Решайте задачи с двумя, тремя и более дробями и числами в одном выражении. Правила выражений с дробями: Дроби — для деления числителя на знаменатель используйте косую черту, т.е. для пятисотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, оставьте пробел между целой и дробной частями. Смешанные числа (смешанные числа или дроби) сохраняют один пробел между целым числом и дробью и используют косую черту для ввода дробей, например, 1 2/3 . Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 . Поскольку косая черта одновременно является знаком дробной части и деления, используйте двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, т. е. 1/2 : 1/3 . Decimals (десятичные числа) вводятся с десятичной точкой . и они автоматически преобразуются в дроби — т. е. 1,45 . Математические символы Символ Название символа Символ Значение Пример + плюс сложение 1/2 + 1/3 — минус вычитание 90 954 1 1/2 — 2/3 * звездочка умножение 2/3 * 3/4 ​​ × знак умножения умножение 2/3 × 5/6 : знак деления деление 91/2 • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7 • деление целых чисел и дробей: 5 ÷ 1/2 • сложные дроби: 5/8 : 2 2/3 • десятичная дробь: 0,625 • Преобразование дроби в десятичную: 1/4 • Преобразование дроби в процент: 1/8 % • сравнение дробей: 1/4 2/3 • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​ • квадратный корень дроби: sqrt(1/16) • сокращение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22 • выражение со скобками: 1/3 * (1/2 — 3 3/8) • составная дробь: 3/4 от 5/7 • кратные дроби: 2/3 от 3/5 • разделить, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2/3 Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций: PEMDAS — Скобки, Экспоненты, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание. BEDMAS — скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание BODMAS — Скобки, Порядок, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание. GEMDAS — символы группировки — скобки (){}, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание. MDAS — Умножение и деление имеют тот же приоритет, что и сложение и вычитание. Правило MDAS является частью порядка операций правила PEMDAS. Будь осторожен; всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием . Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны оцениваться слева направо. Коричневый или черный У Макса 13 пар носков. Отсюда шесть пар синих, три пары коричневых, две черных и две белых. Какая часть носков Макса коричневого или черного цвета? Десятичная дробь Запишите дробь 3/22 в виде десятичной дроби. А класс IV.А В классе 15 девочек и 30 мальчиков. Какая часть класса представляет мальчиков? Младенцы Двое взрослых, двое детей и четверо младенцев в автобусе. Какую часть населения составляют младенцы? Корзина с фруктами Если в корзине семь яблок и пять апельсинов, какая часть апельсинов в корзине с фруктами? Петрушка Бабушка Милка посадила 12 рядов овощей. 1/6 рядов — морковь. Остальное петрушка. Сколько рядов засажено петрушкой? Зденек Зденек набрал 15 литров воды из 100-литровой бочки с водой. Напишите долю того, какую часть воды Зденека он собрал. Наименьшие члены 2 Мы можем записать выражение 4/12 в его наименьшем члене как 1/3. Чему равно 3/15 в наименьшем члене? Вычислите выражение Вычислите значение выражения z/3 — 2 z/9 + 1/6, для z = 2 Сократите 9 Сократите дробь 16/24 до меньших членов. Ферма 6 На ферме 20 животных. Есть четыре курицы. Статистика тесты с ответами: Тесты с ответами по статистике – пройти тест онлайн бесплатно alexxlab / 09.06.202308.05.2023 / Разное Тесты с ответами по статистике – пройти тест онлайн бесплатно Авторам 8-800-333-85-44 Оформить заявку Вход Справочник Онлайн-калькуляторы Тесты с ответами Выполним любые типы работ Дипломные работы Курсовые работы Рефераты Контрольные работы Отчет по практике Эссе Узнай бесплатно стоимость работы Экономика Экономика Экономика Экономика Экономика Экономика Экономика Экономика Экономика Контрольная работа от 1 дня / от 100 руб Курсовая работа от 5 дней / от 1800 руб Дипломная работа от 7 дней / от 7950 руб Реферат от 1 дня / от 700 руб Онлайн-помощь от 1 дня / от 300 руб Оставляй заявку — и мы пройдем все тесты за тебя! Статистика Тесты с ответами Тема 1-2 Для быстрого поиска по странице нажмите Ctrl+F и в появившемся окошке напечатайте слово запроса (или первые буквы) Тема 1 Предмет, метод и задачи статистики Статистика – это… вид научно-практической деятельности, направленной только на обработку информации вид научно-практической деятельности, направленной только на получение информации, характеризующей количественные закономерности жизни общества +вид научно-практической деятельности, направленной на получение, обработку, анализ и хранение информации, характеризующей количественные закономерности жизни общества во всём ее многообразии в неразрывной связи с её качественным содержанием Статистика – это вид научно-практической деятельности, направленной на получение, обработку, анализ и хранение информации, характеризующей количественные закономерности жизни общества во всём ее многообразии в неразрывной связи с её… количественным содержанием +качественным содержанием объемом формой существования Статистическая совокупность бывает: первичной и вторичной однородной и комбинированной структурной и аналитической +однородной и разнородной Что является особенностью статистического исследования? в нем изучаются только неварьирующие признаки в нем изучаются как варьирующие, так и неварьирующие признаки +в нем изучаются только варьирующие признаки в нем изучаются не только варьирующие признаки Заполните пропуски: Статистическая совокупность – это множество единиц изучаемого явления, объединенных качественной (1), определенной (2), (3) состояний отдельных единиц и наличием (4). 1 однородностью 2 целостностью 3 взаимозависимостью 4 вариации ___________  состоит в изучении размеров и количественных соотношений массовых общественных явлений в конкретных условиях места и времени, а так же числовое выражение проявляющихся в них закономерностей. +предмет статистики закономерность статистики суть статистики объект статистики Статистической называется закономерность,.. выявленная на основе случайного наблюдения за объектами +выявленная на основе массового наблюдения, то есть проявляющаяся лишь в большой массе явлений через преодоление свойственной её единичным элементам случайности выявленная на основе единичного наблюдения и проявляющаяся лишь в большой массе явлений через преодоление несвойственной её элементам случайности На какие группы делятся признаки по характеру отображения свойств единиц изучаемой совокупности? имеющие непосредственное качественное выражение не имеющие непосредственного стоимостного выражения имеющие непосредственное стоимостное выражение не имеющие непосредственного качественного выражения +не имеющие непосредственного количественного выражения +имеющие непосредственное количественное выражение Понятие, которое отражает наиболее общие и существенные свойства, признаки, связи и отношения предметов и явлений объективного мира — это… разряд статистика определение вариант +категория Заполните пропуски: Статистическое наблюдение – это (1) статистики, который заключается в сборе первичного статистического (2), в научно организованной регистрации всех существенных (3), относящихся к рассматриваемому (4). 1 метод 2 материала 3 фактов 4 объекту Тема 2. Статистическое наблюдение. Источники статистической информации Что представляет собой «наблюдение основного массива» наблюдение за величинами «среднего» размера или напишите нам прямо сейчас Написать в WhatsApp наблюдение малозначительных величин наблюдение за важнейшей единицей совокупности наблюдение основной единицы совокупности +наблюдение за совокупностью за исключением малозначительных величин Что предполагает наблюдение основного массива? включение в состав совокупности малозначимых единиц исключение из состава совокупности малозначимых единиц и исследование исключенной части включение в состав совокупности малозначимых единиц и исследование всей совокупности исключение из состава совокупности значимых единиц и исследование оставшейся части +исключение из состава совокупности малозначимых единиц и исследование основной ее части Какую цель преследует «монографическое наблюдение» изучение минимально-возможной единицы совокупности +изучение важнейшей для исследователя единицы совокупности изучение минимально допустимой единицы совокупности изучение наибольшей единицы совокупности изучение минимальной единицы совокупности Каким образом проводится «выборочное наблюдение» заданным отбором единиц совокупности в необходимом количестве при ошибке репрезентативности +случайным отбором нескольких единиц совокупности в необходимом количестве при допустимой ошибке выборки случайным отбором нескольких единиц совокупности случайным отбором нескольких единиц совокупности в необходимом количестве заданным отбором нескольких единиц совокупности в необходимом количестве при допустимой ошибке выборки Как расшифровывается понятие «место статистического наблюдения» адрес представителя статистического органа, проводящего сбор статистических данных место обработки статистических данных +место сбора статистических данных адрес статистического органа адрес местного органа власти, на территории которого проводится статистическое наблюдение Как организуется «почтовый способ» проведения наблюдения необходимые сведения тайно собираются непосредственно лицами-регистраторами необходимые сведения запрашиваются и передаются через «почтовый ящик» необходимые сведения по распоряжению руководящих органов собираются непосредственно лицами-регистраторами необходимые сведения запрашиваются и передаются непосредственно из рук в руки +необходимые сведения запрашиваются и передаются при помощи соответствующих органов связи Что представляет собой понятие «объект наблюдения» совокупность единиц наблюдения, имеющая наименьший удельный вес в генеральной совокупности +определенная совокупность единиц наблюдения, выбранная согласно поставленной цели, для исследования определенная генеральная совокупность определенная совокупность единиц наблюдения совокупность единиц наблюдения, имеющая наибольший удельный вес в совокупности Как организуется «экспедиционный способ наблюдения» лица-регистраторы собирают по почте заполненные регистрируемыми лицами формуляры наблюдений лица-регистраторы на месте проведения наблюдения собирают заполненные регистрируемыми лицами формуляры наблюдений лица-регистраторы собирают в статистических органах заполненные регистрируемыми лицами формуляры наблюдений регистрируемые лица самостоятельно заполняют формуляр и отправляют его в статистические органы +лица-регистраторы на месте проведения наблюдения сами получают необходимые сведения и заполняют формуляр наблюдений Что такое «критический момент» при проведении статистического наблюдения? определенное число статистических единиц наблюдения +определенная дата, на которую регистрируются все сведения календарные сроки проведения наблюдения любое число статистических единиц наблюдения срок статистического наблюдения Кумулята – это __________ изображение статистического ряда накопленных данных полученной информации комбинированное первичное структурное +графическое схематичное или напишите нам прямо сейчас Написать в WhatsApp Статистические практические тесты Все статистические ресурсы 20 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept Наши совершенно бесплатные практические тесты по статистике — идеальный способ освежить свои навыки. Брать один из наших многочисленных практических тестов по статистике для прогона часто задаваемых вопросов. Ты получите невероятно подробные результаты подсчета очков в конце пробного теста по статистике, чтобы помочь вам определить свои сильные и слабые стороны. Выберите один из наших практических тестов по статистике прямо сейчас и начать! Практические тесты по концепции статистика-анализ-дисперсии Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить статистическое стандартное отклонение Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить статистика-базовая-логическая-статистика Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить статистика-популяции-и-выборки Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить статистика-корреляция Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить Среднее время работы : 43 секунды статистические коэффициенты Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить Среднее затраченное время : 18 секунд статистика описательная статистика Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить статистика нормального распределения Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить Среднее затраченное время : 34 с статистика-перекос-распределения Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить статистика-ошибка Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить Среднее затраченное время : 2 минуты 38 секунд статистика-тип-i Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить статистика-тип-ii Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить статистика-вероятность Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить Среднее затраченное время : 5 минут статистика комбинаций и перестановок Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить Среднее затраченное время : 12 секунд статистика составных событий Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить статистика-простые-события Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить Среднее затраченное время : 20 секунд статистика-случайные-переменные Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить Среднее затраченное время : 50 секунд непрерывная статистика Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить дискретная статистика Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить Все статистические ресурсы 20 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept Практические тесты статистика_1 Начинать Делиться Мои студенты или ученики Встроить Среднее затраченное время : 12 минут Тест по базовой статистике 8. Базовая статистика и анализ данных режим, средневзвешенное значение, данные и тип данных, источники данных, меры дисперсии/изменения, стандартное отклонение, дисперсия, диапазон и т. д. Давайте начнем викторину по базовой статистике MCQ. 1. Среднее геометрическое ряда из 4 предметов равно 10,2. Продукт всех предметов должен быть: 10000 10824.3216 1061.20 10004 2. Среднее число населения $ \ mu $ называется ________. 3. Какие из них представляют собой качественные данные  Рост учащегося  Приятие или неприязнь (500) человек к продукту  Доход государственного служащего в городе  Урожай с пшеничного участка 4. Выдача нового удостоверения личности является примером  Перепись  Регистрация  Выборка  Обследование 5. В статистической таблице заголовки строк называются _______ Коробчатая головка Заглушка Корпус  Заголовок 6. Сумма отклонений от среднего всегда равна: 7. Статистические данные собираются ___________  Случайно  Систематически Просто  Ни один из этих 8. В классификации данные располагаются в соответствии с ___________.  Проценты  Различия  Сходства  Соотношения 9. Жизнь телевизионного кинескопа 10. Студенты разделились на разные группы в зависимости от их интеллекта и пол будут генерировать  Качественные данные  Количественные данные Непрерывные данные Постоянные значения 11. Раздел статистики, связанный с процедурой и методологией получения достоверного заключения, называется  Описательная статистика  Выводная статистика  Выборочная статистика  Дедуктивная статистика 12. Статистическая Таблицы состоят как минимум из ____________  Три части  Четыре части  Пять частей  Две части 14. Перепись населения проводится через Выборочное обследование  Бухгалтерия  Расследования  Полная нумерация 15. Веса учащихся в колледже/школе равны 17. Что из следующего описывает среднюю часть группы чисел? 18. Что из следующего делит группу данных на четыре подгруппы? 19. Данные должны быть упорядочены перед вычислением  Среднее значение  Медиана  Мода  Среднее геометрическое 20. Если среднее арифметическое равно 82 и медиана равно 78, тогда соответствующее значение режима будет  50  60  70  65 21. Самое центральное значение массива данных называется _______.  Мода  Медиана  Среднее  Среднее геометрическое  Среднее  Медиана  Средняя точка 23. Режим 2 , 9 и 7:  2  9  6 Режим не существует 24. Положительный квадратный корень из дисперсии распределения известен как _______. « Предыдущая 1 … 331 332 333 334 335 … 3 230 Следующая »