alexxlab — Страница 332 — Таловская средняя школа

Кратность 9 правило: Признак делимости на 9: примеры, доказательство

alexxlab / 09.06.202325.04.2023 / Разное

Признак делимости на 9: примеры, доказательство

В данной статье будет дана формулировка признака делимости на 9 с его доказательством. Заключительным этапом будет приведение примера делимости на 9 с разным значением переменной.

Признак делимости на 9, примеры

Рассмотрим сам признак делимости на 9: когда сумма цифр целого числа делится на 9, тогда само число также делится на 9; когда сумма цифр не делится на 9, тогда очевидно, что и число не будет делиться на 9.

Для того, чтобы использовать данный признак делимости, необходимо разбираться в сложении натуральных чисел. Известно, что из простых натуральных чисел существует только число 9, которое способно поделиться на 9 без остатка, то есть подходит под выше написанное определение.

Пример 1

Определить, какие из приведенных чисел 621, −32 112, 222, −331 поделятся на 9 без остатка.

Решение

Для решения задания необходимо перейти к вычислению сумм каждого из предложенных чисел. Получаем, что 6+2+1=9, 3+2+1+1+2=9, 2+2+2=8 и 3+3+1=7. Видно, что только 9 поделится на 9, а 8 и 7 нет. Отсюда имеем, что 621 и -32112 поделятся на 9 а 222 и -331 не поделятся.

Ответ: 621 и −32 112.

Бывают случаи, когда сумма цифр является трехзначным числом. Когда имеем число 945, то сумма его цифр – это 18, а сумма цифр 999888777666555 равняется 105. Тогда для установления делимости на 9 нужно применять правило несколько раз.

Пример 2

Определить, делится ли число 876 505 998 872 на 9.

Решение

Необходимо воспользоваться признаком делимости на 9. Переходим к вычислению суммы цифр заданного числа. Тогда получим, что 8+7+6+5+0+5+9+9+8+8+7+2=74. Чтобы определить, будет ли делиться 74 на 9,нужно найти сумму цифр. Тогда получаем, что 7+4=11, а 1+1=2. Отсюда следует, что 2 не поделится на 9. То есть число 74 на 9 не делится.

Ответ: не делится.

Чтобы проверить, будет делиться число на 9 или нет, нужно произвести деление на 9. Применение признака делимости на 9 и непосредственное деление на 9 занимает практически одно и то же время.

Доказательство признака делимости на 9

Чтобы доказать признак делимости на 9, нужно использовать дополнительные результаты.

Когда разложим по рядам любое натуральное число а, правила умножения натурального числа на 10, 100, 1000 позволяет представить все при помощи записи a=an·10n+an−1·10n−1+…+a2·102+a1·10+a0, где an, an−1, …, a0являются цифрами, записанных слева направо. Имеем, что 10=9+1, 100=99+1=11·9+1, 1 000=999+1=111·9+1, …, тогда число а можно представить в виде a=an·11…1·9+1+…+a2·11·9+1+a1·(1·9+1)+a0.

Нужно преобразовать выражения до вида a=9·11…1·an+…+11·a2+1·a1+an+…+a2+a1+a0.

Отсюда получаем, что сумма an+…+a2+a1+a0 является суммой всех цифр, входящих в состав числа а. Чтобы запись была краткой, запишем a=9·11…1·an+…+11·a2+1·a1+A. Данное преобразование числа а применяется при доказательстве признака делимости на 9.

Используем 2 свойства делимости:

для возможности деления а на b нужно производить деление модуля а на модуль b;
при возможности деления на число b всего выражения a=s+t очевидно, что и все выражение поделится на b.

Рассмотрим само доказательство признака делимости на 9 вместе с необходимыми и достаточными условиями.

Теорема 1

Для того, чтобы целое число а делилось на 9 без остатка, необходимо и достаточно, что и сумма цифр числа а делилась на 9.

Доказательство 1

При а=0 теорема очевидна. Если а отлично от нуля, а его модуль – это натуральное число, тогда представим его в виде суммы вида a=9·11…1·an+…+11·a2+1·a1+A, что и было представлено задолго до написания теоремы. Выражение 9·11…1·an+…+11·a2+1·a1 имеет множитель 9, а сумма скобок – это натуральное число при любых an, an−1, …, a1. Видно, что свойство делимости подходит для выражения. Необходимо доказать, что сумма всех цифр (A) делится на 9, тогда и само число разделится на 9.

Если A делится на 9, тогда по равенству a=9·11…1·an+…+11·a2+1·a1+A и по второму указанному перед теоремой свойству имеем, что и модуль а будет делиться на 9. Получим, что и само число а будет делиться на 9. Достаточное свойство доказано.

Доказательство необходимого свойства включает в себя деление на 9 числа а при делении суммы всех цифр числа а.

Когда а будет делиться на 9, тогда и модуль числа разделится на 9. Это возможно благодаря первому свойству делимости. Из a=9·11…1·an+…+11·a2+1·a1+A и второго свойства видно, что A поделится на 9 без остатка. Необходимое свойство доказано.

Другие случаи делимости на 9

Рассмотрим примеры решения примеров с доказательством делимости на 9, когда имеется буквенное выражение.

Пример 3

Будет ли выражение 10n−1 делиться на 9 при натуральном n?

Решение

Видим, что . То есть сумма цифр числа равняется 9n, а 9n делится на 9 без остатка. Значит, что выражение соответствует признаку делимости при любом значении n.

Ответ: делится.

Имеются случаи, когда делимость на 9 нельзя определить при помощи деления на 9. Тогда выражение представляется в виде произведения нескольких множителей, где один из них делится на 9. Рассмотрим два таких способа. Решим примеры с помощью бинома Ньютона.

Пример 4

Определить, делится ли выражение 4n+6n-1 на 9 при любом значении n.

Решение

Представляем 4 в виде 3+1, используем формулу бинома Ньютона и получим:

4n+6n-1=3+1n+6n-1==Cn0·3n+Cn1·3n-1·1+…+Cnn-2·32·1n-1+Cnn-1·3·n-1+Cnn·1n++6n-1==3n+Cn1·3n-1+…+Cnn-2·32+n·3+1+6n-1==3n+Cn1·3n-1+…+Cnn-2·32+9n

Когда n=1, получаем, что 4n+6n-1=41+6·1-1=9. Очевидно, что 9 делится на 9. Когда значение n больше 1, тогда видно, что сумма 3n+Cn1·3n-1+…+Cnn-2·32+9n может быть упрощена при помощи выноса 9 за скобки. Получим выражение вида 9·3n-2+Cn1·3n-3+…+Cnn-2·30+n. Очевидно, что произведение поделится на 9, а значение выражения в скобке удовлетворяет условию n>1 и является натуральным числом. Отсюда имеем, что 4n+6n-1 делится на 9 при любых натуральных значениях n.

Ответ: делится.

Если исходное выражение c n переменной в виде многочлена, тогда используется такой способ. При доказательстве n=9·m, n=9·m+1, …, n=9·m+8, где m является целым числом, а исходное выражение делится на 9, тогда очевидно, что делимость будет доказана при любом значении n.

Пример 5

Доказать, что n6-8n4+16n2 будет делиться на 9 при любом значении n.

Решение

Чтобы удобней было вычислять, нужно выражение n6-8n4+16n2 разложить на множители. тогда получим, что

n6-8n4+16n2=n2·(n4-8n2+16)=n2·(n2-4)2==n2·(n-2)2·(n+2)2

Пусть m будет целым числом. Отсюда имеем, что n=9·m даст выражение вида n2·(n-2)2·(n+2)2=(9m)2·(9m-2)2·(9m+2)2. Так как имеется множитель 9, то очевидно, что выражение поделится на 9.

Если выражение вида n=9·m+1, то получим, что

n2·(n-2)2·(n+2)2=(9m+1)2·(9m-1)2·(9m+3)2==9m+12·9m-12·9·3m+12

Данное произведение поделится на 9, так как есть множитель 9. Таким же образом проверяется выражение вида n2·(n-2)2·(n+2)2 при n=9·m+2, n=9·m+3, …, n=9·m+8

Отсюда видно, что делимость на 9 доказана, значит, выражение делится на 9 при любом значении n.

Рассмотрим пример при помощи метода математической индукции.

Пример 6

Доказать, что выражение 4n+6n-1 делится на 9 при любом значении n.

Решение

Чтобы доказать делимость на 9, необходимо использовать формулу математической индукции.

Когда n=1, то выражение 4n+6n-1 равняется 9, значит и делится на 9. Если предположить, что n=k, тогда выражение запишется так 4k+6k-1. Оно тоже делится на 9.

По предыдущему шагу понятно, что 4n+6n-1 будет делиться на число 9 при n=k+1.

Получаем, что

4k-1+6·(k+1)-1==4·4k+6k+5==4·(4k+6k-1)-18k+9==4·(4k+6k-1)-9·(2k-1)

Тогда из разности вида 4·4k+6k-1 видно, что она делится на 9. Предыдущий шаг показал, что 4k+6k-1 делится на 9 также, как и 9·(2k-1). Отсюда получаем, что вся разность поделится на 9. Можно говорить о том, что выражение 4n+6n-1 при n=k+1 будет делиться на 9.

Данное задание было решено при помощи метода математической индукции. Получили в результате, что заданное выражение поделится на 9 при любом целом значении n.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ чисел, кратность чисел с примерами

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Основные признаки делимости

Приведем основные признаки делимости чисел:

Признак делимости числа на «2»
Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
Признак делимости числа на «3»
Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
Признак делимости числа на «4»
Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
Признак делимости числа на «5»
Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
Признак делимости числа на «6»
Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
Признак делимости числа на «8»
Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.
Признак делимости числа на «9»
Число делится нацело на 9, если сумма его цифр делится на 9
Пример: Число 2916 кратно 9, поскольку сумма цифр равна 18 и она делится на 9. А число 831 не делится на 9 нацело, поскольку сумма цифр числа равна 12 и она не делится на 9.
Признак делимости числа на «10»
Число делится нацело на 10, если оно заканчивается на 0
Пример: Число 39590 делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается на 0. А число 5964 не делится на 10 нацело, поскольку оно заканчивается не на 0.
Признак делимости числа на «11»
Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна сумме цифр, стоящих на четных местах или суммы должны отличаться на 11
Пример: Число 3762 делится нацело на 11, поскольку 3 + 6 = 7 + 2 = 9. А число 2374 на 11 не делится, поскольку 2 + 7 = 9, а 3 + 4 = 7.
Признак делимости числа на «25»
Число делится нацело на 25, если оно заканчивается на 00, 25, 50 или 75
Пример: Число 4950 кратно 25, поскольку оно заканчивается на 50. А 4935 не делится на 25, поскольку заканчивается на 35.

Признаки делимости на составное число

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители, признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа — это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.

{3}[/латекс].

Обратите внимание на рисунок ниже, что поведение функции на каждом из отрезков x отличается.

Поведение графика на пересечении x можно определить, изучив кратность нуля.

Точка пересечения x [латекс]х=-3[/латекс] является решением уравнения [латекс]\влево(х+3\вправо)=0[/латекс]. Граф проходит непосредственно через точку пересечения x в точке [latex]x=-3[/latex]. Фактор является линейным (имеет степень 1), поэтому поведение вблизи точки пересечения похоже на поведение линии; он проходит прямо через перехват. Мы называем это одиночным нулем, потому что ноль соответствует одному фактору функции. 9{2}=\left(x — 2\right)\left(x — 2\right)[/latex]

Множитель повторяется, то есть множитель [латекс]\left(x — 2\right) [/latex] появляется дважды. { 3}[/латекс]. Мы называем это тройным нулем или нулем с кратностью 3,9.0011

Для нулей с четной кратностью графики касаются или касаются оси x при этих значениях x. Для нулей с нечетной кратностью графики пересекают или пересекают ось x при этих значениях x. См. приведенные ниже графики для примеров графиков полиномиальных функций с кратностью 1, 2 и 3. но для каждой увеличивающейся четной степени график будет казаться более плоским по мере приближения и выхода из 9{p}[/latex], поведение вблизи точки пересечения x h определяется степенью p . Мы говорим, что [latex]x=h[/latex] является нулем кратности p .

График полиномиальной функции будет касаться оси x нулями с четными кратностями. График будет пересекать ось x по нулям с нечетной кратностью.

Сумма кратностей является степенью полиномиальной функции.

Как: Имея график полиномиальной функции степени [latex]n[/latex], определите нули и их кратности.

Если график пересекает ось x и кажется почти линейным на пересечении, это один ноль.
Если график касается оси x и отскакивает от оси, это нуль с четной кратностью.
Если график пересекает ось x в нуле, это ноль с нечетной кратностью.
Сумма кратностей равна степени п .

Пример: определение нулей и их кратностей

Используйте график функции степени 6 для определения нулей функции и их возможных кратностей.

Показать раствор

Попробуйте

Используйте график функции степени 5, чтобы определить нули функции и их кратности.

Показать раствор

Определение конечного поведения

Как мы уже узнали, поведение графа 9{n — 1}+…+{a}_{1}x+{a}_{0}[/latex]

в конечном счете либо возрастет, либо упадет, как x безгранично возрастает, и будет либо расти, либо падать, как x неограниченно уменьшается. {п}[/латекс], является четной степенной функцией, поскольку x увеличивается или уменьшается без ограничений, [латекс]f\left(x\right)[/латекс] увеличивается без ограничений. Когда ведущий член представляет собой нечетную степенную функцию, поскольку x убывает неограниченно, [латекс]f\left(x\right)[/латекс] также неограниченно уменьшается; поскольку x увеличивается без ограничений, [латекс]f\left(x\right)[/latex] также увеличивается без ограничений. Если ведущий член отрицательный, он изменит направление конечного поведения. В таблице ниже представлены все четыре случая.

Четная степень	Нечетная степень

Попробуйте

Внесите свой вклад!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Полиномиальные графики: нули и их кратности

End Behavior»Flexing»»Bumps»Graphing

Purplemath

Вещественные (то есть некомплексные) нули многочлена соответствуют x -пересечений графика этого многочлена. Таким образом, мы можем найти информацию о количестве действительных нулей полинома, глядя на график, и, наоборот, мы можем сказать, сколько раз график будет касаться или пересекать ось x , глядя на нули полинома. полиномиальный (или в факторизованной форме полинома).

Ноль имеет «кратность», которая относится к числу раз, которое связанный с ним множитель встречается в многочлене. Например, квадратичный ( x + 3)( x — 2) имеет нули x = -3 и x = 2, каждый из которых встречается один раз. Многочлен одиннадцатой степени ( x + 3) ⁴ ( x — 2) ⁷ имеет те же нули, что и квадратный, но в этом случае решение x = -3 имеет кратность 4 потому что множитель ( x + 3) встречается четыре раза (то есть множитель возводится в четвертую степень), а решение x = 2 имеет кратность 7, поскольку множитель ( x − 2) встречается семь раз.

Содержимое продолжается ниже

MathHelp.

com

Нули функции (и, да, «нули» — правильный способ написания множественного числа от «ноль») — это решения линейных множителей, которые они мне дали. . Решение каждого фактора дает мне:

x + 5 = 0 ⇒ x = -5

x + 2 = 0 ⇒ x = -2

x = -2

x = х = 1

х − 5 = 0 ⇒ x = 5

Кратность каждого нуля — это количество раз, когда встречается соответствующий ему множитель. Другими словами, множественности — это мощности. (Для множителя x — 5 понятная мощность равна 1.) Тогда мой ответ:

x = -5 с кратностью 3
x = -2 с кратностью 4
x = 1 с кратностью кратность 2
x = 5 с кратностью 1

Смысл кратностей в графическом представлении состоит в том, что любые множители, встречающиеся четное число раз (то есть любые нули, встречающиеся дважды, четыре раза, шесть раз и т. д. ) являются квадратами, поэтому они не меняют знак. Квадраты всегда положительны. Это означает, что x -пересечение, соответствующее нулю четной кратности, не может пересекать ось x , потому что ноль не может заставить график изменить знак с положительного (выше оси x ) на отрицательный (ниже оси x ) или наоборот.

Практический результат заключается в том, что нуль четной кратности заставляет график едва касаться оси x , а затем поворачивает его обратно в исходное положение. Вы можете увидеть это на следующих графиках:

у = ( х + 6)( х — 7)

х = -6 раз
х = 7 раз

у = ( 9 х ) 01 х х − 7) ²

x = -6 один раз
x = 7 дважды

y = ( x + 6) 7 9 0 9 0 9 199 2 7)

х = −6 дважды
x = 7 один раз

y = ( x + 6) ² ( x − 7) ²

x = -6 дважды
x = 7 дважды

= 7, но кратность нуля определяет, пересечет ли график ось x в этом нуле или вместо этого повернется в обратном направлении. Если ноль имел кратность 1, график пересекал ось x в нуле; если ноль был кратности 2, граф просто «поцеловал» x -ось, прежде чем вернуться туда, откуда пришла.

Любой ноль, соответствующий множитель которого встречается парами (то есть два раза, или четыре раза, или шесть раз и т. д.), «отскочит» от оси x и вернется в исходное положение. Любой нуль, соответствующий множитель которого встречается нечетное количество раз (то есть один раз, или три раза, или пять раз и т. д.), пересечет ось x . Полиномиальные нули с четной и нечетной кратностью будут всегда вести себя таким образом.

На графике видно, что нули находятся при x = −15, x = -10, x = -5, x = 0, x 9010, = 9 = 15, так как график касается или пересекает ось x в этих точках. (По крайней мере, я предполагаю, что график пересекается именно в этих точках, поскольку упражнение не дает мне точных значений. Когда я делаю предположения по картинке, мне приходится делать определенные предположения.)

Поскольку график просто касается x = -10 и x = 10, то эти нули должны встречаться четное количество раз. Остальные нули должны встречаться нечетное количество раз. Нули нечетной кратности могут встречаться только один раз, а могут встречаться три, пять и более раз каждый; по графику не скажешь. (По крайней мере, нет способа отличить от — мы узнаем об этом подробнее на следующей странице.) И нули четной кратности могут встречаться четыре, шесть или более раз каждый; Я не могу сказать, глядя.

Но если я суммирую минимальную кратность каждого, я должен получить степень, потому что в противном случае эта задача потребует больше информации, чем я могу дать. У меня есть четыре нуля нечетной кратности (при x = -15, x = -5, x = 0 и x = 15) и два нуля четной кратности (при x = -10 и x = 10).

Разложение по векторам: Разложение вектора по векторам

alexxlab / 09.06.202327.04.2023 / Разное

Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Тема 5: Метод координат

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

Если векторы a⃗ и b⃗ коллинеарны и a⃗≠0⃗, то существует такое число k, что b⃗=ka⃗.

Пусть a⃗ и b⃗ – два данных вектора. Если вектор p представлен в виде p⃗=xa⃗+yb⃗, где x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор p⃗ разложен по векторам a⃗ и b⃗. Числа x и y называются коэффициентами разложения.

Теорема

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Напомню, что для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число.

Отложим от начала координат O единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) i⃗ и j⃗ так, чтобы направление вектора i⃗совпало с напралением оси Ox, а направление вектора j⃗ – с направлением оси Oy. Векторы i⃗ и j⃗ назовем координатными векторами.

Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор p⃗ можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде p⃗=xi⃗+yj⃗, причем коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p⃗ по координатным векторамназываются координатными векторамиp⃗ в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: p⃗{x;y}.

Так как нулевой вектор можно представить в виде 0⃗=0. i⃗+0^.j⃗, то его координаты равны нулю: 0⃗{0;0}. Если векторы a⃗=x1i⃗+y1j⃗ и b⃗=x₂i⃗+y₂j⃗ равны, то x₁ = x₂ и y₁ = y₃. Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Докажем это утверждение для двух векторов. Рассмотрим векторы a{x1;y1} и b{x2;y2}. Так как a⃗=x1i⃗+y1j⃗ и b ⃗=x2i⃗ +y2j⃗ ,то, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим:

a⃗+b⃗=x₁i⃗+y₁j⃗+x₂i⃗+y₂j⃗=(x₁+x₂)i⃗+(y₁+y₂)j⃗ .

Следовательно, что координаты вектора a⃗+b⃗ равны {x1+x2;y1+y2}.

Аналогично доказывается следующее утверждение:
Каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Иными словами, если a⃗{x₁;y₁} и b⃗{x₂;y₂} – данные векторы, то вектор a⃗–b⃗ имеет координаты {x1-x2;y1-y2}.
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

В самом деле, пусть вектор a⃗ имеет координаты {x;y}. Найдем координаты вектора ka⃗, гдеk – произвольное число. Так как a⃗=xi⃗+yj⃗, то kxi⃗+kyj⃗. Отсюда следует, что координаты вектора ka⃗ равны {kx;ky}.

Рассмотренные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

Найти координаты вектора a⃗+b⃗,если a⃗{3;2},b⃗{2;5}

Чтобы найти координаты вектора суммы, надо сложить соответствующие координаты данных векторов, получим:

a⃗+b⃗ имеет координаты {3 + 2; 2 + 5}, то есть {5; 7}

Найти координаты вектора 2a⃗, если a⃗{3;2}

Значит, вектор 2a⃗ имеет координаты {2 ⋅ 3; 2 ⋅ 2}, то есть {6;4}

Итак, сегодня мы узнали, что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, ввели понятие координат вектора и рассмотрели правила, позволяющие находить координаты суммы, разности векторов, и произведения вектора на число. А в следующий раз мы найдем связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Вы узнаете в этой статье что значит разложить вектор по двум неколлинеарным векторам.

Представление вектора \vec{c} в виде \vec{c}=x \vec{a}+y \vec{b}, где векторы \vec{a} и \vec{b} являются неколлинеарными векторами, называется разложением вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема (о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам)

Теорема. Любой вектор с можно единственным образом представить в виде \vec{c}=x \vec{a}+y \vec{b}, где \vec{a} и \vec{b} — неколлинеарные векторы, х и у — числа.

Коллинеарные вектора \vec{m} и \vec{n} — это такие вектора, где один из векторов параллелен другому и связан с ним соотношением
\vec{m}=k\vec{n}

Доказательство:

Пусть даны векторы \vec{c}=\overrightarrow{AB}, \vec{a} и \vec{b}. Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам \vec{a} и \vec{b}, и обозначим точку C их пересечения. Тогда \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}.

К теореме о разложении вектора по двум коллинеарным векторам

Так как векторы \vec{a} и \overrightarrow{AC} коллинеарные, то существует такое число х, что \overrightarrow{AC} =х\vec{a}. Векторы \vec{b} и \overrightarrow{CB} тоже коллинеарные, следовательно, существует такое число у, что \overrightarrow{CB} =y\vec{b}.

Таким образом, \vec{c}=x \vec{a}+y \vec{b}.

Докажем единственность такого представления вектора с способом от противного. Допустим, что имеется другое разложение вектора, например, такое:

\vec{c}=n \vec{a}+m \vec{b}, тогда два разложения вектора \vec{c} можно приравнять:
n \vec{a}+m \vec{b}=x \vec{a}+y \vec{b} (если равны левые части равенств, то равны и правые).

Перенесем все в левую часть равенства:

n \vec{a}+m \vec{b}-x \vec{a}-y \vec{b}=0
(n-x)\vec{a}+(m-y) \vec{b}=0
\displaystyle \vec{a}=\frac{y-m}{n-x} \vec{b}

То есть векторы \vec{a} и \vec{b} получаются коллинеарными. А у нас условие — векторы \vec{a} и \vec{b} — неколлинеарные вектора.

Таким образом, возможно только единственно возможное представление вектора \vec{c} в виде \vec{c}=x \vec{a}+y \vec{b}, где векторы \vec{a} и \vec{b} являются неколлинеарными векторами.

Теорема доказана.

Если вектор \vec{c} коллинеарен какому-либо из векторов \vec{a} и \vec{b}, то либо число x, либо число y равно нулю.

Базис векторов и разложение вектора по базису

В декартовой системе координат Oxy вектор с координатами (x, y) можно разложить по единичным векторам \vec{e_1}(1;0) и \vec{e_2}(0;1).

Тогда, например, вектор \vec{c}(3; -1) можно представить в виде разложения:

\vec{c}=x \vec{e_1}+y \vec{e_2}=3 \vec{e_1}-1 \vec{e_2}

Действительно:

\begin{cases} 3=3 \cdot 1+(-1)\cdot 0, \\ — 1=3 \cdot 0+(-1)\cdot 1. \end{cases}

Система векторов, по которым можно разложить вектор с коэффициентами разложения равными его координатам, называется базисом вектора. Вектора базиса всегда не коллинеарные. Координаты вектора будут верны только в отношении данного базиса.

Однако, это не отменяет тот факт, что вектор можно разложить и по другим векторам, то есть по новому базису. Тогда говорят о переходе к новому базису векторов.

Обычно в декартовой системе координат базисные векторы на плоскости обозначают так: \vec{i}(1;0) и \vec{j}(0;1).

В пространственной декартовой системе координат базис векторов будет: \vec{i}(1; 0; 0), \vec{j}(0;1; 0), \vec{k}(0;0;1)

В то же время на любых векторах можно построить свою систему отсчета, тогда данные вектора будут считаться базисом этой системы и в этой системе можно найти координаты любого вектора. То есть любой вектор можно разложить по базису, конечно, если при этом базисные вектора не являются коллинеарными.

Примеры разложения вектора

Пример 1. Разложить вектор \vec{c}(0; 1) по двум векторам \vec{a}(3; 6) и \vec{b}(4; 9).

Решение:

Для разложения вектора \vec{c} запишем:

\vec{c}=x \vec{a}+y \vec{b}

Нам нужно найти коэффициенты разложения x и y, для этого разложим каждую координату вектора \vec{c}:

Для абсциссы: 0=x \cdot 3+y \cdot 4
Для ординаты: 1=x \cdot 6+y \cdot 9

Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными, которую решаем:

\begin{cases} 3x+4y=0, \\ 6x+9y=1. \end{cases}

Решая, получаем: \displaystyle x=\frac{-4}{3} и y=1
И разложение вектора \vec{c} будет иметь вид: \displaystyle \vec{c}=-\frac{4}{3} \vec{a}+\vec{b}

Пример 2. Найти координаты вектора \vec{a} в базисе, если известно разложение вектора по базису \vec{e_1} и \vec{e_2}:

\vec{a}=7 \vec{e_1}+5 \vec{e_2}

Решение: Координаты вектора в базисе векторов \vec{e_1} и \vec{e_2} будут равны коэффициентам разложения, то есть \vec{a}(7; 5)

Ответ: \vec{a}(7; 5)

Пример 3. Разложить вектор \vec{b}(1; 2) по базису \vec{e_1}(2; 3) и \vec{e_2}(2; 5).

Решение:

Запишем разложение вектора по базису:

\vec{b}=b_1 \vec{e_1}+b_2 \vec{e_2}

Получим систему уравнений:

\begin{cases} 1=2b_1+4b_2, \\ 2=2b_1+5b_2. \end{cases}

От второго уравнения системы отнимем первое, получим:

\begin{cases} 1=b_2, \\ 2=2b_1+5b_2. \end{cases}

Тогда:

\begin{cases} b_2=1, \\ b_1=-1,5. \end{cases}

И разложение вектора будет иметь вид: \vec{b}=-1,5 \vec{e_1}+\vec{e_2}

Векторная декомпозиция | Brilliant Math & Science Wiki

Каждый вектор можно рассматривать как сумму двух или более других векторов.

Рассмотрим три вектора на рисунке выше. Поскольку $ \overrightarrow{AC} $ состоит из $ \overrightarrow{AB}$ и $ \overrightarrow{BC} ,$, устанавливается следующее выражение:

\[ \overrightarrow{AC} = \ overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} . \]

Векторное разложение — это общий процесс разбиения одного вектора на два или более векторов, которые в сумме составляют исходный вектор. Векторы компонентов , на которые разлагается исходный вектор, выбираются на основе конкретных деталей рассматриваемой проблемы.

Учитывая точки $O=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1), $ и $ D=(3,4,5) ,$ каково значение $a+b+c,$, где $ a, b, $ и $ c $ удовлетворяют следующему уравнению:
\[ \overrightarrow{OD} = a\cdot\overrightarrow{OA}+b\cdot\overrightarrow{OB}+c\cdot\overrightarrow{OC}? \]
У нас есть
\[ \begin{массив} &\overrightarrow {OD} = (3,4,5), &\overrightarrow {OA} = (1,0,0), &\overrightarrow {OB} = (0,1, 0), &\overrightarrow {OC} = (0,0,1).\end{массив} \]
Затем
\[ \begin{выравнивание} \overrightarrow{OD} &= a\cdot\overrightarrow{OA}+b\cdot\overrightarrow{OB}+c\cdot\overrightarrow{OC} \\ (3,4,5) &= а(1,0,0) + б(0,1,0) + с(0,0,1) \\ &= (а,0,0) + (0,b,0) + (0,0,с) \\ &= (а,б,в) \\\\ \Стрелка вправо a &= 3, b = 4, c = 5. \end{выравнивание} \]
Следовательно, $a+b+c = 3+4+5 = 12.$ $_\квадрат $
Обратите внимание, что $\overrightarrow{OD}$ был разложен на три вектора, параллельных трем координатным осям. Также обратите внимание, что векторы $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},$ и $\overrightarrow{OC}$ являются единичными векторами координатного пространства.

Если $\vec{a} = (1,1,0), \vec{b} = (1,0,1)$ и $\vec{c} = (0,1,1),\ ) как можно \( \vec{d} = (5,6,7) $ выразить с помощью $ \vec{a}, \vec{b}$ и $ \vec{c}? $
Пусть $ \vec{d}= x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c} .$ Тогда мы имеем
\[ \begin{выравнивание} \vec{d} &= x \vec{a} + y \vec{b} + z\vec{c} \\ (5,6,7) &= х(1,1,0) + у(1,0,1) + z(0,1,1) \\ &= (х+у, х+z, у+z), \end{выравнивание} \]
что подразумевает
\[ \begin{выравнивание} х+у &= 5 \\ х+г &= 6 \\ у+г &= 7 \\\\ \Стрелка вправо x=2, y&=3, z=4. \end{выравнивание} \]
Следовательно,
\[ \vec{d} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} + 4 \vec{c}. \ _\square\]

Если векторы $\vec{a} = (3,-2,-4)$ и $\vec{b} = (x+1,8,2y)$ параллельны, каково значение $х+у?$
Так как $ \vec{a}$ и $ \vec{b} $ параллельны, некоторое действительное число $m$, которое удовлетворяет $ \vec{b} = m \vec{a} $ существует. Таким образом,
\[ \begin{выравнивание} \vec{b} &= m\vec{a} \\ (x+1, 8, 2y) &= m(3,-2,-4) \\ &= (3м, -2м, -4м), \end{выравнивание} \]
что подразумевает
\[ \begin{выравнивание} х+1 &= 3м\\ 8&=-2м\\ 2г&= -4м \\\\ \Стрелка вправо m&= -4, x=-13, y=8. \end{выравнивание} \]
Следовательно, $ x+y = -13+8=-5. \ _ \квадрат $

Координаты точек $A,B,$ и $C$ равны $(1,3), (4,1),$ и $(7,5),$ соответственно. Если $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}, $, каковы координаты точки $P?$
Пусть вектор положения точки $P$ равен $\overrightarrow{OP}=(x,y). $ Тогда мы имеем
\[ \begin{выравнивание} \overrightarrow{PA} &= (1-x,3-y) \\ \overrightarrow{PB} &= (4-x,1-y) \\ \overrightarrow{PC} &= (7-x, 5-y). \end{выравнивание} \]
Так как нам дано $ \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0} ,$, мы имеем
\[ \begin{выравнивание} \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} &= \overrightarrow{0} \\ (1-x,3-y)+ (4-x,1-y)+(7-x, 5-y) &= (0,0) \\ (12-3x, 9-3y) &= (0,0) \\\\ \Стрелка вправо x&= 4, y= 3. \end{выравнивание} \]
Таким образом, координаты точки $P$ равны $ P=(4,3). $ $_\квадрат$

Если векторы $ \vec{a} = (1,-2)$ и $ \vec{b} = (4,-5)$ удовлетворяют $ \vec{a}=\vec{x} + \vec{y}$ и $\vec{b}= \vec{x} -2\vec{y},$ что такое $\vec{x}-\vec{y}?$
У нас есть
\[ \begin{выравнивание} \vec{x} + \vec{y} &= \vec{a} \\ \vec{x} -2\vec{y} &= \vec{b} \\ \стрелка вправо \vec{x} &= \frac{1}{3} \big(2 \vec{a} + \vec{b} \big), \\ \vec{y} &= \frac{1}{3} \big( \vec{a} — \vec{b}\big). \end{выравнивание} \]
Следовательно, $ \vec{x} — \vec{y} $ равно
\[ \begin{выравнивание} \vec{x} — \vec{y} &= \frac{1}{3} \big(2 \vec{a} + \vec{b}\big) — \frac{1}{3} \big ( \vec{a} — \vec{b}\big) \\ &= \frac{1}{3} \big( \vec{a}+2\vec{b} \big) \\ &= \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} \\ &= \left( \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right) + \left( \frac{8}{3}, -\frac{10}{3}\right ) \\ &= (3, -4).\ _\квадрат \конец{выравнивание} \]

Одно обычно полезное разложение — с компонентами, которые лежат параллельно каждой из осей координат.

На рисунке выше показано разложение вектора в трехмерном пространстве. Обратите внимание, что красный вектор можно разложить на три зеленых вектора, которые параллельны трем осям координат. Таким образом, $ \overrightarrow{OD} $ состоит из трех векторов $ \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} $ и $ \overrightarrow{OC}.$ Поэтому соответствует следующее выражение:

\[ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} . \]

Можно определить единичные векторы, указывающие на каждую из положительных осей координат, следующим образом:

\[ \begin{align} \hat{x} &= (1, 0, 0) \\ \шляпа{у} &= (0, 1, 0) \\ \шляпа{г} &= (0, 0, 1). \end{align} \]

Отсюда следует, что для любого вектора $ \vec{V} = (v_x, v_y, v_z) $ выполняется

\[ \vec{V} = v_x \hat{ x} + v_y \шляпа{y} + v_z \шляпа{z}. \]

Таким образом, часто встречаются векторы, записанные в терминах единичных векторов $ \hat{x} $, $ \hat{y} $ и $ \hat{z} $. Альтернативная запись использует $ \hat{i} = \hat{x} $ , $ \hat{j} = \hat{y} $ и $\hat{k} = \hat{z} $.

Например, вектор $ (-1, 2, 3) $ может быть выражен как $ -\hat{x} + 2 \hat{y} + 3 \hat{z} $.

Обратите внимание, что единичные векторы координат ортонормированы. То есть, $ \hat{x} \cdot \hat{x} = \hat{y} \cdot \hat{y} = \hat{z} \cdot \hat{z} = 1 $ и $\шляпа{x} \cdot \шляпа{y} = \шляпа{y} \cdot \шляпа{z} = \шляпа{x} \cdot \шляпа{z} = 0 $.

Когда два вектора $ \vec{V}= (v_x, v_y, v_z)$ и $ \vec{W} = (w_x, w_y, w_z) $ добавляются,

\[ \vec{V }+\vec{W} = (v_x \шляпа{x} + v_y \шляпа{y} + v_z \шляпа{z}) + (w_x \шляпа{x} + w_y \шляпа{y} + w_z \шляпа{ z}) = (v_x + w_x) \hat{x} + (v_y + w_y) \hat{y} + (v_z + w_z) \hat{z}, \]

, что то же самое, что и $ ( v_x + w_x, v_y + w_y, v_z + w_z)$. Точно так же, если взять скалярное произведение $ \vec{V} \cdot \vec{W} $, получится

\[ \begin{align} \vec{V} \cdot \vec{W} &= (v_x \hat{x} + v_y \hat{y} + v_z \hat{z}) \cdot (w_x \hat{x} + w_y \hat{ у} + w_z \шляпа{г}) \\ &= v_x w_x \шляпа{x} \cdot \шляпа{x} + v_y w_y \шляпа{y} \cdot \шляпа{y} + v_z w_z \шляпа{z} \cdot \шляпа{z} \\ &= v_x w_x + v_y w_y + v_z w_z, \end{выравнивание} \]

как и ожидалось.

Разложение вектора на компоненты

Главная > Математика > Предварительное исчисление > Разложение вектора на компоненты

Во многих приложениях необходимо разложить вектор на сумму двух перпендикулярных компонент вектора. Это верно для многих физических приложений, связанных с силой, работой и другими векторными величинами. Перпендикулярные векторы имеют скалярное произведение нуля и называются ортогональными векторами .

На рис. 1 показаны векторы u и v с вектором u , разложенным на ортогональные компоненты w ₁ и w ₂ .

Вектор u теперь можно записать как u = w ₁ + w ₂ , где w ₁ параллелен вектору v , а w ₁ перпендикулярен/ортогон al to w ₂ . Компонента вектора w ₁ также называется проекцией вектора u на вектор v , proj _v u .

Проект _v u можно рассчитать следующим образом:

ПРОЕКЦИЯ U НА V:

Пусть u и v — ненулевые векторы:

projv u=[u· vv2]v

Как только компонент вектора proj _v u найден, поскольку u = w ₁ + w ₂ , компонент вектора w ₂ может быть найден путем вычитания w ₁ от до .

w ₂ = u — w ₁

Рассмотрим несколько примеров.

Для работы этих примеров требуется использование различных векторных правил. Если вы не знакомы с правилом, перейдите в соответствующую тему для ознакомления.

Пример 1: Пусть u=〈-2,2〉 и v=〈3,5〉. Запишите вектор u как сумму двух ортогональных векторов, один из которых является проекцией u на v.

Шаг 1: Найдите проект _v u .

projvu=[u·v∥v∥2]v=w1

projvu=[u·v∥v∥2]v

projvu=[(−2·3)+(2·5)32+522]〈3,5〉

projvu=[−6+10342]〈3,5〉

projvu=[434]〈3,5〉=[217]〈3,5〉

projvu=〈617,1017〉

Шаг 2: Найдите ортогональный компонент.

ш ₂ = и — ш ₁

w2=〈−2,2〉−〈617,1017〉

w2=〈(−2−617), (2−1017)〉

w2=〈−4017,2417〉

Шаг 3: Запишите вектор как сумму двух ортогональных векторов.

и = ш ₁ + ш ₂

ты = ш ₁ + ш ₂

и=〈617,1017〉+〈−4017,2417〉

Пример 2. Для заданных векторов u=〈1,3〉 и v=〈-4,5〉 запишите u как сумму двух ортогональных векторов, один из которых является проекцией u на v.

Шаг 1: Найдите проект _v u .

projvu=[u·v∥v∥2]v=w1

projvu=[u·v∥v∥2]v

projvu=[(1·−4)+(3·5)(−4)2+522]〈−4,5〉

projvu=[−4+15412]〈−4,5〉

projvu=[1141]〈−4,5〉

projvu=〈−4441,5541〉

Шаг 2: Найдите ортогональный компонент.

ш ₂ = и — ш ₁

w2=〈1,3〉−〈−4441,5541〉

w2=〈(1+4441), (3−5541)〉

w2=〈8541,6841〉

Шаг 3: Запишите вектор как сумму двух ортогональных векторов.

Косинус 120 градусов таблица: Косинус 120 | Треугольники

alexxlab / 09.06.202305.04.2023 / Разное

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

А синуса график волна за волной…(с) Всякие задачки на…

А синуса график волна за волной…(с)

Всякие задачки на сообразительность — это прекрасно. Но хорошо можно понять и школьника, которому они совершенно не интересны — поскольку весьма далеки от реальности и непонятно, зачем вообще нужны. Если это спорт такой — так ведь есть множество всяческих видов спорта, гораздо более азартных.

У школьной математики в Израиле (а, наверное, и во многих других странах, я просто не знаком с ситуацией) есть одна очень неприятная проблема. Математика изучается очень многими в отрыве от её истории и её применения. Именно потому, что изучение естественных наук необязательно, а, значит, учитель и не может на них ссылаться в процессе объяснения материала. Разумеется, и ученик вполне вправе рассуждать о математике, как о некоторых хитрых абстракциях. Навыдумывали мол, а мне учить. То, что математические понятия не выдуманы в башнях мудрецами от скуки и безделья, а возникли для описания реальных природных процессов, далеко не всегда удаётся понять в школе.

«Если бы я был директором» — никогда бы не излагал многие разделы математики в отрыве от их применения. Например, в физике, как минимум.

Классический пример такой оторванности от практики — тригонометрические функции. На 3 единицы изучают их, как отношения сторон в прямоугольном треугольнике. И всё. А потом откуда-то возникают «незаконные» синусы и косинусы тупых углов, поскольку теоремы синусов и теорема косинусов работают и для тупоугольных треугольников.

Всё началось с подобия и теоремы Фалеса. Из неё следует, что удобным способом описания угла может быть описание его в виде, например, отношения катета и гипотенузы прямоугольного треугольника с таким углом. Поскольку прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны , их стороны пропорциональны и отношения соответствующих сторон (при заданном угле) не зависят от длин сторон треугольников.

sin(A) = a/c ; cos(A) = b/c ; tan(A) = a/b при этом ( 90 >А>0 ) градусов

Потом появились таблицы значений синуса, косинуса и тангенса в зависимости от размера угла. Самые простенькие таблицы можно составить самостоятельно — используя транспортир и линейку, измеряя углы и стороны нарисованного прямоугольного треугльника. Более точные — требуют вычислений, о которых пока говорить рано.

А при появлении компьютера эти вычисления были переданы ему. Осталось только набрать значение угла, найти кнопку и нажать её.

А зачем это всё людям потребовалось в своё время? А вот представим, что мы осаждаем древнюю крепость на равнине. надо изготовить осадные лестницы, а для этого надо знать высоту крепостной стены. Близко к ней нас не подпустят и верёвкой измерить никак не получится. Но таблица тангенсов углов может помочь. Сначала расположимся на достаточном удалении от крепости, чтобы лучники врага не подстрелили. Измерим угол, под которым видна верхняя часть стены. Затем разведчик подползёт по направлению к крепости поближе, измеряя при этом расстояние, которое он проползёт. И вновь измерит угол, под которыи видна стена. Понятно, что расстояний до стены (x и y) мы не знаем.

1/tan(A)= x/h 1/tan(B)= y/h 1/tan(A) — 1/tan(B) = (x-y)/h

h = (tan(A) * tan(B))*( x-y) / ( tan(B) — tan(A))

где h — высота крепостной стены, ( x-y) — расстояние, которое прополз разведчик.

Всё это, разумеется, будет измерено в полевых условиях не очень точно, но тут главное — не сделать лестницу слишком короткой. Однако и слишком длинной её делать нельзя — она может не выдержать собственного веса, не говоря уже о тех, кто будет по ней лезть.

Конечно, это один, и не самый важный. пример того, как люди могли использовать тригонометрические функции. Таких примеров тьма — и в строительстве, и в геодезии, и в астрономии. Самые точные и подробные таблицы были у астрономов.

«Незаконные» синусы и косинусы.

Наберём на калькуляторе 150 градусов. Нажмём кнопку «sin» . Результат = 0.5

Откуда он взялся?

Рассмотрим теорему синусов. Если выводить её через равенство выражений для площади треугольника, то можно записать

AB*AC*sin(A) = AB*BC*sin(B)=BC*AC*sin(C), откуда, разделив каждую из частей равенста на AB*AC*BC и получим выражение для теоремы синусов. Но в данном случае нам интересно, а что же делать, если один из углов — тупой?

Чтоб теорема осталось справедливой, и чтоб выражение для площади треугольника осталось справедливым, надо доопределить понятие синуса угла. Например, в выражении удвоенной площади треугольника AB*AC*sin(A) выражение AВ*sin(A) — это высота, опущенная на AС. Если положить, что и в тупоугольном треугольнике это тоже должна быть высота, только опущенная уже на продолжение АС, то выражение для площади треугольника и теорема синусов станут справедливыми для любого треугольника вообще. Определим поэтому синус тупого угла равным синусу острого угла, смежного с ним. sin(A)=sin(180 — A)

Поэтому синус 150 градусов = синусу 30 градусов и равен 0.5.

Аналогичные рассуждения при выводе теоремы косинусов, которая должна быть справедлива и для тупоугольного треугольника, приводят к доопределению косинуса тупого угла как отрицательного косинуса угла, смежного с ним.

cos(A)= -cos(180 — A) ; cos(120) =-cos(60) =-0.5

Обобщённое понятие угла.

Пока речь шла только о треугольниках. ничего большего и не требовалось. Но человек продолжал изобретать различного рода механизмы. В том числе и связанные с вращением. И тут понятия угла в пределах 0-180 градусов оказалось явно недостаточно. Но не было никаких проблем расширить понятия синуса и косинуса для любого угла и при этом сохранить все свойства этих понятий, выведенные для треугольников.

Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат Х-У

Если углом называть угол между осью Х и единичным радиусом, отсчитывая его против часовой стрелки от положительного направления оси Х, то в пределах 0-180 градусов для синуса угла можно принять проекцию единичного вектора на ось У, а для косинуса — проекцию на ось Х. Это совпадёт с предыдущими определениями синуса и косинуса. данными для треугольников. А вот дальше — это уже расширение определения. Зачем оно нужно?

Прежде, чем ответить на такой вопрос, рассмотрим, как будет выглядеть график функции (зависимости) синуса от угла. Кстати, при равномерном вращении радиус-вектора угол поворота будет пропорционален времени, поэтому очень часто, рассматривая различного рода физические процессы, связанные с равномерным вращением, используют не угол поворота. а время.

Разумеется, совершив полный оборот, радиус-вектор вернётся в исходную точку, и дальше всё повторится. Поэтому функция периодическая, с периодом 360 градусов.

Как оказалось, такая функция идеально подходит не только для описания вращательного движения механизмов, придуманных человеком, но и для огромного количества особых природных процессов, называемых колебательными процессами.

Самый простой классический пример такого процесса — колебание груза на пружинке. К сожалению, чтобы объяснить, почему это так, необходимо иметь некоторое представление о физике и механике. Например, о том, что в широких пределах изменения её длины, пружинка действует на груз с силой, пропорциональной отклонению от положения равновесия, что в свою очередь, определяется упругими свойствами металла в определённых пределах нагрузки.

И поэтому второй закон Ньютона запишется для груза на пружинке, как

-КX(t) = m * X«(t) где к — коэффициент упругости пружины, X(t) — смещение груза от положения равновесия, а X«(t) — ускорение груза (вторая производная от смешения по времени).

Из дальнейшего изучения функции sin(t) и её производных выяснится, что её вторая производная = -sin(t), т.е. она идеально подходит (после подбора соответствующих констант) в качестве решения приведенного дифференциального уравнения.

Кроме того, изучая на физике поведение вращающейся в магнитном поле проводящей ток рамки, можно обнаружить, что возникающий ток в рамке будет синусоидально зависеть от угла поворота рамки. А это означает, что турбины генерируют переменный ток, также описываемый синусоидой. Выходит, что вся электротехника использует в описании тригонометрические функции.
И волны на море удивительным образом похожи на синусоиду. Да-да — волновые процессы (не только на море, но и вообще)тоже описываются тригонометрическими функциями.

Так что появление тригонометрических функций не было капризом сумасшедших математиков. Эти функции были спрятаны в природе. Математики их просто обнаружили.

Tags: тригонометрия

Значение cos 120 в градусах и радианах с решенными примерами 3}\right)\) или cos (2,0943951).

Это тригонометрическое отношение, которое символизирует функцию во втором квадранте. Так как значение косинуса отрицательно во втором квадранте, то cos 120 будет иметь отрицательное значение. Тригонометрическая функция – это функция, которая связывает углы прямоугольного треугольника с отношением его сторон. В тригонометрии мы имеем дело с 6 тригонометрическими функциями, а именно синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс и т. д.
Что такое значение Cos 120?
Значение cos 120 градусов равно -0,5 или -1/2, а значение cos 120 в радианах равно $\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$ или cos (2,0943951 ). Всякий раз, когда значение любого угла должно быть указано в радианах, нам нужно умножить его на $\frac{\pi}{180}$.
Используя ту же процедуру, мы можем записать cos 120 как $\cos \\left(120\times \frac{\pi }{180}\right)$. Это равно $\cos\left(\frac{2\pi }{3}\right)$.
Итак, мы можем написать, что $\cos \ \left(\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$
Когда дело доходит до выражения значения cos 120 в различных формах, мы можем записать его как:
Cos 120 в десятичных дробях = -0,5
Cos 120 в дробях = -1/2
Cos 120 в радианах = $ \cos\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ или cos (2,0943951).
Мы видели, что значение cos 120 отрицательно. Это потому, что мы знаем, что 120 градусов лежат между 90 и 180 градусами, которые находятся во втором квадранте.
Значение косинуса отрицательно во втором квадранте, таким образом, значение косинуса 120 = -0,5
Также отметим, что функция косинуса является четной функцией, а это значит, что cos 120 градусов = cos (-120) градусов.
Как найти значение Cos 120 градусов?
Мы можем найти значение cos 120 градусов двумя способами:
значение Cos 120 градусов с помощью единичного круга
значение Cos 120 градусов с помощью тригонометрических тождеств
Единичный круг
Чтобы найти значение Cos 120 градусов, используя единичный круг, мы должны:
Поверните букву «r» против часовой стрелки так, чтобы она образовала угол 120 градусов с положительной осью x.
Значение cos 120 берется из координаты x точки пересечения r с единичным кругом, то есть (-0,5, 0,866).
Таким образом, значение cos 120 градусов = -0,5
Как найти значение Cos 120 градусов с помощью тригонометрических тождеств
Cos 120 градусов можно представить с помощью тригонометрических функций. Некоторые из распространенных представлений упомянуты ниже: 92120-1}}{{cosec}120}\)
$\cos 120=\frac{1}{\sec 120}$
Поскольку cos 120 лежит во втором квадранте, значение cos 120 градусы всегда будут отрицательными.
Некоторые из общих тригонометрических тождеств, которые представляют cos 120 градусов: \cos 300\)
$\sin (90+120)=\sin 210$
$\sin (90-120)=\sin (-30)$
Таблица тригонометрических значений
Angles (In Degrees) 0 30 45 60 90 120 150 180 210 270 300 330 360
Angles (In Radians) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π 7π/ 6 3π/2 5π/3 11π/6 2π
SIN 0 1/2 1/√2 A /2 0 -1/2 -1 -√3/2 -1/2 0
cos 1 √3/2 1/√ 2 1/2 0 -1/2 -√3/2 -1 -√3/2 0 1/2 √3/2 1
TAN 0 1/√3 1 √3 ac — 0 √1/3 ∞ -√3 -1/√3 0
cot ∞ √3 1 1/√3 0 -1/√3 -√3 ∞ √3 0 -1/√3 -A -1 -2/√3 -2 ∞
sec 1 2/√3 √2 2 ∞ -2 -2/√ 3 -1 -2/√3 ∞ 2 -2/√3 1
Периодичность функции косинуса
В тригонометрии функция косинуса является периодической функцией. Это означает, что функция повторяется через фиксированный интервал в обоих направлениях. Любая функция косинуса может быть графически представлена следующим образом:
При внимательном рассмотрении графика можно заметить, что график и функция повторяются после интервала от 0 до $2\pi$. Когда нам нужно определить период любого графика, мы принимаем во внимание интервал значений x функции, где цикл графика повторяется в любом направлении.
Таким образом, мы можем заключить, что для общей функции косинуса периодичность равна $2\pi$.
Решенные Примеры значения Cos 120
Пример 1: Найдите значение $\frac{2\cos 120}{3\sin \left(-30\right)}$.
Ответ 1: Нам нужно найти значение:
$\frac{2\cos 120}{3\sin \left(-30\right)}$
Мы знаем, что $\ cos 120=\sin \left(90-120\right)$
Следовательно, $\cos 120=\sin \left(-30\right)$ 92120=0,25\)
Мы надеемся, что приведенная выше статья поможет вам понять и подготовиться к экзамену. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы получать больше обновлений по связанным с математикой темам и другим подобным предметам. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний по нескольким экзаменам.
Часто задаваемые вопросы о значении cos 120
В.1 Как найти значение cos 120?
Ans.1 Значение cos 120 может быть найдено с использованием двух методов: единичного круга и тригонометрических тождеств.
Q.2 Каковы sin и cos 120 градусов?
Ответ 2 Значение sin 120 равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, а значение cos 120 равно -1/2.
В.3. Чему равен косинус числа 120 в радианах?
Ответ 3 Значение косинуса 120 в радианах записывается как cos $\frac{2\pi }{3}$.
Q.4 Что такое значение cos 120?
Ответ 4 Значение cos 120 градусов равно -0,5 или -1/2, а значение cos 120 в радианах равно $\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right )$ или cos (2. 092120-1}}{{cosec}120}\)
$\cos 120=\frac{1}{\sec 120}$
Скачать публикацию в формате PDF
Мэтуэй | Популярные задачи
92
1 Найдите точное значение грех(30)
2 Найдите точное значение грех(45)
3 Найдите точное значение грех(30 градусов)
4 Найдите точное значение грех(60 градусов)
5 Найдите точное значение загар (30 градусов)
6 Найдите точное значение угловой синус(-1)
7 Найдите точное значение грех(пи/6)
8 Найдите точное значение cos(pi/4)
9 Найдите точное значение грех(45 градусов)
10 Найдите точное значение грех(пи/3)
11 Найдите точное значение арктан(-1)
12 Найдите точное значение cos(45 градусов)
13 Найдите точное значение cos(30 градусов)
14 Найдите точное значение желтовато-коричневый(60)
15 Найдите точное значение csc(45 градусов)
16 Найдите точное значение загар (60 градусов)
17 Найдите точное значение сек(30 градусов)
18 Найдите точное значение cos(60 градусов)
19 Найдите точное значение соз(150)
20 Найдите точное значение грех(60)
21 Найдите точное значение cos(pi/2)
22 Найдите точное значение загар (45 градусов)
23 Найдите точное значение arctan(- квадратный корень из 3)
24 Найдите точное значение csc(60 градусов)
25 Найдите точное значение сек (45 градусов)
26 Найдите точное значение csc(30 градусов)
27 Найдите точное значение грех(0)
28 Найдите точное значение грех(120)
29 Найдите точное значение соз(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы пи/3
31 Найдите точное значение желтовато-коричневый(30)
35 Преобразовать из радианов в градусы пи/6
36 Найдите точное значение детская кроватка(30 градусов)
37 Найдите точное значение арккос(-1)
38 Найдите точное значение арктан(0)
39 Найдите точное значение детская кроватка(60 градусов)
40 Преобразование градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2 шт.
Оставить комментарий on Косинус 120 градусов таблица: Косинус 120 | Треугольники/
Модуль нуля равен: Модуль нуля — Математика для школьников
alexxlab / 09.06.202309.05.2023 / Разное
§ Модуль числа. Свойства модуля
Обозначим на координатной прямой две точки, которые соответствуют числам «−4» и 2.
Точка «A», соответствующая числу «−4», находится на расстоянии 4 единичных отрезков от точки 0 (начала отсчёта), то есть длина отрезка «OA» равна 4 единицам.
Число 4 (длина отрезка «OA») называют модулем числа «−4».
Обозначают модуль числа так: |−4| = 4
Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус четыре равен четырём».
Точка «B», соответствующая числу «+2», находится на расстоянии двух единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка «OB» равна двум единицам.
Число 2 называют модулем числа «+2» и записывают: |+2| = 2 или |2| = 2.
Если взять некоторое число «a» и изобразить его точкой «A» на координатной прямой, то расстояние от точки «A» до начала отсчёта (другими словами длина отрезка «OA») и будет называться модулем числа «a».
|a| = OA
Запомните!
Модулем рационального числа называют расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Так как расстояние (длина отрезка) может выражаться только положительным числом или нулём, можно сказать, что модуль числа не может быть отрицательным.
Запишем свойства модуля с помощью буквенных выражений, рассмотрев все возможные случаи.
Модуль положительного числа равен самому числу.
|a| = a, если a > 0
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
|−a| = a, если a < 0
Модуль нуля равен нулю.
|0| = 0, если a = 0
Противоположные числа имеют равные модули.
|−a| = |a| = a
Примеры модулей рациональных чисел:
|−4,8| = 4,8
|5| = 5
|0| = 0
|− | =

Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Отправить
18 января 2016 в 17:47
Евгения Плотникова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Модуль координаты точки равен 1)2;2)4;3)3.Вопрос.Какую координату может иметь точка.
0 СпасибоОтветить
19 сентября 2016 в 10:45
Ответ для Евгения Плотникова
Евгений Колосов Профиль Благодарили: 7
Сообщений: 228
Знак моддуля, означает, что под ним может скрываться как отрицательное, так и положительное значение. Следовательно:
1) 2;2
-2;2
-2;-2
2;-2
2) 4;0
-4;0
0;4
0;-4
3) 3;0
-3;0
0;3
0;-3
подробнее здесь.
0 СпасибоОтветить
17 января 2016 в 18:05
Заира Надырова Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
а) Что можно сказать о числе х, если известно, что модуль х=х?
б)модуль х=?х
0 СпасибоОтветить
21 января 2016 в 16:18
Ответ для Заира Надырова
Сергей Фадеев Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 6
то что х=х больше х
0 СпасибоОтветить
Что делает модуль
Интернет-сервисы › 1С › Что такое модуль в 1С
Фактически модуль делает всё, что находится внутри него положительным. Поэтому чтобы правильно его раскрыть, необходимо сначала выяснить знак выражения внутри него: — если подмодульное выражение положительно, модуль просто убирается. При этом само выражение не меняется.
Что делает модуль в математике

Для чего нужен модуль

Что означает модуль в примере

Когда модуль раскрывается

Чему равен модуль числа 32

Чему равен модуль числа 6

Что такое модуль в школе

Чем модуль отличается от урока

Что значит сдавать модуль

Чему равен модуль числа 9

Чему равен модуль числа 15

Чему равен модуль числа 8

Что делать если перед модулем стоит минус

Можно ли раскрыть модуль

Кто создал модуль

Чему равен модуль 0

Чему равен модуль числа

Чему равен модуль числа 2 и 3

Что такое модуль в системе

Как выделяется модуль

Что такое модуль устройства

Какие условия у модуля

В каком классе изучается модуль

Чему равен модуль 13

Как избавиться от знака модуля

Можно ли сократить модуль

Как снять модуль

Чем отличается модуль от обычного числа

Как раскрыть модуль в примере

Что делает модуль в математике
Модуль числа в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу. Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Для чего нужен модуль
Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат. Так, модулем числа 5 будет 5. Модуль числа -5 также равен 5. Потому что расстояние не может быть отрицательным!
Что означает модуль в примере
Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.
Когда модуль раскрывается
Как можно раскрыть модуль? Можно раскрыть его в зависимости от знаков подмодульного выражения: если подмодульное выражение отрицательное, то модуль раскрывается с минусом, если положительное, то с плюсом.
Чему равен модуль числа 32
Среди данных нам чисел положительными являются числа 32 и 100, поэтому их модули равны 32 и 100 соответственно.
Чему равен модуль числа 6
То есть получаем: |6| = — 6; Значит, модуль числа |6| равен 6 и — 6.
Что такое модуль в школе
Что такое модульное обучение
Модульная или блочная система обучения — это кардинально иной подход, при котором в блоке или модуле изучается 2–3 взаимосвязанных предмета. Считается, что это позволяет изучить программу более полно.
Чем модуль отличается от урока
Чем модуль отличается от урока? Главное отличие урока от модуля в том, что урок длится 40-45 минут, а модуль 3-12 часов. Модуль — гораздо более длительный фрагмент контента, времени и в принципе содержания образования. Система заданий на уроке линейна, и по ней работает весь класс.
Что значит сдавать модуль
Модуль — это мини-экзамен, который проводится каждую четверть. Ежегодно студенты сдают по четыре модуля, нервничают и переживают
Чему равен модуль числа 9
Географическое обозначение модуль числа-это расстояние от нуля до данного числа. Модулем числа 9 является 9. Из этого вытекает правило модулем положительного числа является само число.
Чему равен модуль числа 15
Числа, имеющие модуль 15 — это числа -15 и 15, так как |-15| = 15 и |15| = 15.
Чему равен модуль числа 8
Модуль числа — это абсолютная величина данного числа. Модуль числа всегда выражается только положительным числом. То есть, что бы получить модель числа, необходимо просто откинуть знак стоящий перед числом. Модулем числа 8 является |8|.
Что делать если перед модулем стоит минус
Если перед модулем стоит знак плюс, то при раскрытии модуля все знаки сохраняются. А при знаке минус все знаки, бывшие внутри модуля, при раскрытии нужно поменять на противоположные.
Можно ли раскрыть модуль
Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.
Кто создал модуль
Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом.
Чему равен модуль 0
Модуль нуля равен нулю.
Чему равен модуль числа
Модулем числа называют расстояние на числовой прямой от начала отсчета, т. е от «0», до искомого числа. Именно по этой причине, модуль (в голове держи расстояние) всегда > 0.
Чему равен модуль числа 2 и 3
Не может быть модуль записан отрицательным числом, поэтому чтобы записать модуль числа -2,3 нам нужно это число умножить на -1 и тогда мы получим число 2,3.
Что такое модуль в системе
Под модулем в общем случае понимают функционально законченный элемент системы, выполненный в соответствии с принятыми межмодульными интерфейсами. По своему определению модуль предполагает возможность без труда заменить его на другой при наличии заданных интерфейсов.
Как выделяется модуль
Модуль числа выделяется слева и справа двумя вертикальными чертами. Например, модуль числа -10 будет равен 10: |-10| = 10, но модуль числа 10 равен тоже 10: |10| = 10.
Что такое модуль устройства
Модуль — устройство предназначенное для визуального отображения информации с реагирующей на прикосновения поверхностью.
Какие условия у модуля
Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. В записи положительного числа и так нет никакого знака, поэтому модуль положительного числа равен ему самому. Например, Модуль нуля равен нулю. А модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному (без знака!).
В каком классе изучается модуль
С понятием модуля обучающиеся знакомятся в 6 классе. Модуль числа используется при формулировке правил действий над числами.
Чему равен модуль 13
Модулем (абсолютной величиной) положительного числа является само это число, модулем отрицательного числа — противоположное ему число, модулем числа 0 — само число 0. Модуль числа а обозначают | а |. Таким образом, Например, | -13 | = 13; | 4 | = 4; | 0 | = 0.
Как избавиться от знака модуля
Для того, чтобы избавиться от знака модуля, необходимо придерживаться основного правила действия с модулями: 1) |a| = a, если a >= 0, и 2) |a|= -а, если a < 0. Тогда: А) |√5 — 2| = √5 — 2, так как √5 > 2, так как √5 = 2,236.
Можно ли сократить модуль
Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки.
Как снять модуль
Подмодульное выражение положительно, знак модуля можно просто снять:
Модуль всегда равен положительному числу.

Если под знаком модуля положительное число, то знак модуля просто снимается.

Если под знаком модуля отрицательное число, то у него меняется знак на противоположный, и оно становится положительным.

Чем отличается модуль от обычного числа
Определение модуля числа
Модулем положительного числа называется само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему число, модуль нуля — нуль. Противоположными называются числа, которые отличается только знаком. Если число положительное, то противоположное ему отрицательное число и наоборот.
Как раскрыть модуль в примере
Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.
интуиция — Как мне объяснить ученикам, что $0 \bmod n$ равно $0$?
спросил 11 лет, 2 месяца назад
Изменено 3 года, 3 месяца назад
Просмотрено 67 тысяч раз
$\begingroup$
Я преподаю начальный курс программирования на Visual Basic (для не-CS). Я сказал своим студентам, что оператор мода в основном дает остаток от деления. Итак, увидев $0 \bmod 10$, некоторые студенты (очевидно) решили, что » $10$ переходят в $0$ ноль раз, и остается $10$. »
Как лучше всего объяснить это студентам (не изучающим математику и не изучающим информатику)?
Я бы предпочел возразить » 10$ превращаются в 0$ ноль раз, а 10$ остаются »
интуиция
модульная арифметика
образование
$\endgroup$
5
$\begingroup$
$10$ переходят в $0$ ноль раз, и остается $0$.
Вернитесь к тому, как вы учили его в третьем или четвертом классе: $$ \begin{массив}{ccccccc} & & 0 \\\\ 10 & ) & 0 \\ & & 0 \\ \hline & & 0 \конец{массив} $$ Остаток $0$.
$\endgroup$
11
$\begingroup$
Если вам нужно интуитивное объяснение, скажите им, что остаток не должен быть больше размера чашки (делителя), которым вы набираете воду из емкости (делителя), потому что, если бы в емкости было больше воды, чем размер чашки, вы всегда могли бы возьмите еще одну полную чашку.
Я также думаю, что было бы неплохо показать им уравнение алгоритма деления: $$a = bq + r$$ чем подставить переменные $$0 = 10 q + г$$ и покажите им, что допустима только замена $q$ и $r$ на $0$ и $0$, потому что $0$ и $10$ приведут к ложному равенству $0 = 10$.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
На самом деле это проще объяснить, чем большинство пытается сделать. Пример:
4mod2 = 2 находится внутри 4 два раза, а остальное равно 0 Итак, если вы сделаете «if(4%2 == 0)», это будет правдой. в случае «if(i%2 == 0)» это также будет верно для i=0. Почему это так? Потому что остаток по модулю не зависит от знаменателя. если у вас есть 0 в качестве числителя, остальное никогда не будет больше, чем сам числитель. Неважно, насколько велик ваш знаменатель. например x%y => значение никогда не будет больше x. Это просто невозможно. Каждый раз, когда y больше x, остальные автоматически становятся равными 0. 0%0+n = 0 1%1+n = 0 2%2+n = 0 х%х+n = 0
Скажите, если у вас нет пиццы и вы хотите раздать пиццы 10 ученикам, сколько пицц останется? Точно, ноль. Ваши ученики рассуждали, что 10 учеников хотят съесть 0 пицц, но осталось 10 пицц. Так что на самом деле вы должны показать им, что осталось 10 студентов с пустыми желудками, но до сих пор нет пиццы на столе. (студенты всегда голодны, это сработает)
$\endgroup$
$\begingroup$
Если вы обучаете будущих программистов, в какой-то момент вам нужно будет упомянуть теорему о делении. Хотя ответ Харди, безусловно, лучше всего подходит для конкретного вопроса, который вы задали, вашим ученикам также потребуется некоторое руководство, когда речь идет об отрицательных числах.
Например, что вы ожидаете от -22 Mod 3 или 7 Mod -2 ? Поначалу результаты могут показаться загадочными, но они явные следствия отношения к целочисленному делению, которое, как мне кажется, всегда округляется до 0 в Visual Basic.
Другие языки могут обрабатывать округление иначе, но уравнение a = b * (a div b) + (a mod b) кажется универсальным.
$\endgroup$
$\begingroup$
Нет никакой проблемы $0$ равно $0\times10+0$, что означает, что остаток евклидова деления равен нулю. Вы можете сделать это для каждого положительного целого числа.
$\endgroup$
$\begingroup$
Мне тоже сложно составить формулировку вопроса. Но если бы кто-то попросил меня объяснить им $0 \mod 10 \equiv 0$, я мог бы сказать одну из следующих трех вещей.
Все конгруэнтно самому себе. То есть, если бы я сказал $x \mod 10 \equiv x$, это верно для всех $x$. Но, возможно, это не вдохновлено.
$10$ делится на $0-0$. Это стандартное (по крайней мере, то, которое я считаю стандартным) определение мода, поэтому $0 \equiv 0$.
По алгоритму деления мы видим, что $0 = 0 \cdot 10 + 0$, так что (читая два внешних числа) $0 \equiv 0$.
$\endgroup$
$\begingroup$
Мне помогло, я изучаю программирование.
0%2 = 0 (0/2 = 0, остаток 0)
1%2 = 1 (1/2 = 0, остаток 1)
2%2 = 0 (2/2 = 1 остаток 0)
4%2 = 0 (4/2 = 2, остаток 0)
5%2 = 1 (5/2 = 2 остаток 1)
$\endgroup$
$\begingroup$
Остаток от деления при $k>0$ должен быть равен некоторому числу от $0$ до $k-1$. Теорема об остатке от деления должна обрабатывать все остальное.
$\endgroup$
$\begingroup$
Подумай об этом так.
x mod n, где n > 0 и x > 0.
Например, x = 49 и n = 10. Поскольку нас нет, осталось 9.
Однако откуда у x может что-то остаться, если не с чего было начинать.
I.E x = 0.
0 mod n == 0, так как сначала не на что было делить, поэтому не может быть остатка.
$\endgroup$
$\begingroup$
Вы сказали интуиция?
Операция по модулю находит остаток после деления одного числа на другое.
A mod B
Но когда дело доходит до интуиции и понимания логики за кулисами, операция по модулю — это расстояние от НУЛЯ при движении в направлении A в диапазоне B.
Расстояние, выделенное оранжевым цветом:
$\endgroup$
c++ — Не удается модифицировать ноль?
спросил 11 лет, 8 месяцев назад
Изменено 2 года, 1 месяц назад
Просмотрено 72к раз
Почему X % 0 является недопустимым выражением?
Я всегда думал, что X % 0 должно равняться X. Поскольку вы не можете делить на ноль, не должен ли ответ, естественно, быть остатком, X (все, что осталось)?
С++
по модулю
деление на ноль
7
Стандарт C++ (2003) говорит в §5.6/4,
[…] Если второй операнд / или % равен нулю, поведение undefined ; […]
То есть следующие выражения вызывают неопределенное поведение (UB):
X / 0; //УБ Х % 0; //УБ
Обратите также внимание, что -5 % 2 НЕ равно -(5 % 2) (как, кажется, предполагает Петар в своем комментарии к своему ответу). Это определяется реализацией. В спецификации указано (§5.6/4),
.
[…] Если оба операнда неотрицательны, то и остаток неотрицательный; , если нет, знак остатка определяется реализацией .
6
Этот ответ не для математика. Этот ответ пытается дать мотивацию (за счет математической точности).
Математики: См. здесь.
Программисты: Помните, что деление на 0 равно undefined . Поэтому mod , который опирается на деление, тоже не определено .
Представляет деление на положительные X и D ; состоит из целой части и дробной части:
(X / D) = целое число + дробная часть = пол (X / D) + (X % D) / D
Переставляя, получается:
(X % D) = D * (X / D) - D * этаж(X / D)
Подстановка 0 вместо D :
(X % 0) = 0 * (X / 0) - 0 * этаж (X / 0)
С момента деления на 0 равно undefined :
(X % 0) = 0 * не определено - 0 * пол (не определено) = не определено - не определено = не определено
2
X % D по определению число 0 <= R < D , такое, что существует Q так, что
X = D*Q + R
Итак, если D = 0 , такого числа не может существовать (поскольку 0 <= R < 0 )
4
Я думаю, потому что, чтобы получить остаток от X % 0 , вам нужно сначала вычислить X / 0 , что дает бесконечность, а попытка вычислить остаток от бесконечности на самом деле невозможна.
Однако лучшим решением в соответствии с вашими мыслями было бы сделать что-то вроде этого
REMAIN = Y ? Х % Г : Х
Другой способ, который может быть концептуально простым для понимания проблемы:
На данный момент игнорируя проблему знака аргумента, a % b можно легко переписать как a - ((a / b) * b) . Выражение a / b не определено, если b равно нулю, поэтому в этом случае общее выражение должно быть таким же.
В конце концов, модуль является операцией деления, поэтому, если a / b не определено, вполне разумно ожидать, что a % b будет таким же.
X % Y дает результат в виде целого числа [ 0, Y ) Диапазон . X % 0 должен был бы дать результат больше или равный нулю и меньше нуля.
2
вы можете избежать случая «деления на 0» (A%B) для его типа float identity mod(a,b) for float(B)=b=0. 0 , который не определен или определен по-разному между любыми двумя реализациями , чтобы избежать логических ошибок (жестких сбоев) в пользу арифметических ошибок...
путем вычисления mod([a*b],[b])==b*(a-floor(a))
INSTREAD OF
вычисление mod([a],[b])
где [a*b]==ваша ось x, с течением времени [b] == максимум кривой качания (который никогда не будет достигнут) == первая производная функции качания
https://www.shadertoy.com/view/MslfW8
Я полагаю, потому что для получения остаток от X % 0, вам нужно сначала вычислить X / 0, что дает бесконечность, и попытка вычислить остаток от бесконечности на самом деле невозможна.
Однако лучшим решением в соответствии с вашим мышлением было бы сделать что-то вроде этого,
ответ = Y ? Х % Г : Х
Кроме того, в документах C++ написано, что X % 0 или X / 0 приводит к неопределенному значению.
Как компьютеры делят:
Начните с делимого и вычитайте делитель, пока результат не станет меньше делителя.
Оставить комментарий on Модуль нуля равен: Модуль нуля — Математика для школьников/
Уравнения логарифм: Логарифмические уравнения и неравенства — Умскул Учебник
alexxlab / 09.06.202325.03.2023 / Разное
6. Логарифмические уравнения
М. Борна
Решение экспоненциальных уравнений с использованием логарифмов
Население мира
Не пропустите приложение о населении мира ниже.
Перейти к населению мира.
Законы логарифмирования, с которыми мы познакомились ранее, особенно полезны для решения уравнения, в которых есть показатели.
Пример 1
Решите уравнение 3 ^x = 12,7.
Ответ 9х= лог\ 12,7`
Теперь, используя 3-е правило журнала
log _b ( x ⁿ ) = n log _b x ,
имеем:
`x\ log\ 3 = log\ 12,7`
Теперь разделите обе части на `log\ 3`:
`x= (log\ 12,7)/(log\ 3)«= 2,3135`
Правильно? Проверяя исходный вопрос, мы имеем: «3 ^ 2,3135 = 12,7». Проверяет нормально. Кроме того, наш ответ находится между «2» и «3», как мы оценивали ранее. 9(t+2` и и ^{2 т} соответственно. В какое время население одинаковое?
Ответить
Эта задача требует от нас решения уравнения:
5 ^{t +2} = e ^{2 t}
Нам нужно использовать журнал _e из-за базы e на Правая сторона.
лн (5 ^{т +2} ) = лн ( е ^{2 т} )
( t + 2) ln 5 = 2 t ln e
Теперь, ln e = 1, и нам нужно собрать t членов вместе:
т пер 5 + 2 пер 5 = 2 т
t (ln 5 − 2) = −2 ln 5
Так
`t=(-2\ ln\ 5)/(ln\ 5-2)=8. 241649476`
9(1″/»3)+1)`
`=1,577217345`
Всегда проверяйте свои ответы на калькуляторе!
(3) Найти x :
`log_2 x + log_2 7 = log_2 21`
Ответить
Сначала мы объединяем 2 логарифма слева в один логарифм.
`log_2\ 7x=log_2\ 21`
`7x=21`
`х=3`
Чтобы получить вторую строку, мы на самом деле возводим «2» в степень левой части и «2» в степени правой части. На самом деле мы не «отменяем» журналы, но это эффект (только если они имеют одинаковую базу).
(4) Найти x :
`3\ ln\ 2+ln(x-1)=ln\ 24`
Ответить
Напомним, что `3\ln\2` означает `3\log_e\2`.
`3 ln\ 2+ln(x-1)=ln\ 24`
`ln\ 8+ln(x-1)=ln\ 24`
`ln\ 8(x-1)=ln \ 24`
Берем » e в обе стороны»:
`8(x-1)=24`
`x-1=3`
`x=4`
(5) [ Вопрос читателя. ]
У меня есть следующая формула: 92 — 2`.
Мы видим, что есть 2 корня (2 места, где график пересекает ось `x`).
На графике две ветви, потому что мы возвели в квадрат член `(x+2)`, что означает, что он будет иметь значение `> 0`, поэтому мы можем без проблем взять его `ln` (за исключением точки `x =-2,` конечно, так как он там не определен).
Теперь давайте посмотрим на график `y = ln (x+2) — 1`, основываясь на конечном выражении:
24-2-4-6-82-2xyОткрыть изображение на новой странице
График `y = ln (x+2) — 1`. 92` как `2ln (x+2)`, на самом деле это не одна и та же функция.
Приложение
— Рост населения мира
Население Земли растет на примерно «1,3%» в год. Население в начале В 2000 году было чуть больше 6 миллиардов. Через сколько еще лет население удвоится до «12» миллиардов?
Ответить
Нам нужно выражение для населения в момент времени t .
Через год численность населения будет на «1,3%» выше, чем в 2000 г. (1,3% = 0,013) 9т`
Используя третий логарифмический закон, мы имеем:
`log\ 2 = t\ log\ 1,013`
Итак,
`t=(log\ 2)/(log\ 1,013)=53,66`
Таким образом, потребуется всего около 54 лет, чтобы удвоить население мира, если оно продолжит расти нынешними темпами.
Когда население мира составляет 12 миллиардов, чистая численность человек в мире будет расти со скоростью около 5 в секунду , если темп роста еще 1,3%. В настоящее время появляется около 2,6 новых людей в секунду. Однако ожидается, что темпы роста значительно снизятся. примерно до 0,5% в течение 50 лет.
В 2001 году население Индии превысило один миллиард , что сделало ее второй страной после Китая, достигшей этого страшного рубежа.
Население мира
Текущее население мира составляет примерно:
Загружается…
Интерактивный апплет — Население мира
Перейдите к интерактивному разделу «Население мира», в котором можно сравнить текущий, прошлый и будущий прирост населения.
Предсказание населения мира
На следующем графике показана одна из оценок роста населения мира в 21 веке. Мы видим, что к 2100 году население составит 11 миллиардов! Подумайте о качестве воды, загрязнении воздуха, глобальном потеплении, социальных сплоченность и нехватка пищи. Несомненно, это один из самых важных графиков во всей математике.
Но я отвлекся.
Мы, конечно, говорим на американском английском, здесь. Британский миллиард имеет 12 нулей (Ну, даже у них есть недавно принял 9(т-2000)`, где
6,1 млрд населения в 2000 г.;
скорость роста представлена как «1+6/100 = 1,006»; и
`t` — время из 2000 года.
См. «живую» оценку населения мира на следующей странице.
Логарифмические уравнения | Superprof
Знакомство с логарифмами
Прежде чем перейти к логарифмическим уравнениям, давайте посмотрим, что такое логарифмы. Логарифмы на самом деле являются еще одним способом записи экспоненциальных функций. Вы знаете, что в экспоненциальных функциях независимой переменной является показатель степени или степень. Показательная функция значит, возведенная в степень, равна . В логарифмической форме это записывается так, что означает, что логарифм 16 по основанию 4 равен 2.
Помните, что основание логарифма не может быть равно 0. Поскольку любое число, возведенное в степень 0, равно 1, то при преобразовании в логарифмическую форму оно будет записано как . Когда вы используете калькулятор для вычисления, ответ равен нулю. Логарифмы 0 и отрицательных чисел не существуют.
Лучшие репетиторы по математике
Поехали
Логарифмические уравнения
Вы уже знакомы с тем фактом, что целью уравнений является нахождение значений неизвестных переменных. В уравнении может быть одна или несколько переменных. В зависимости от формы уравнения делятся на линейные, показательные, квадратичные и логарифмические. В этой статье мы обсудим, как решать логарифмические уравнения, используя правила логарифмирования.
Существует два вида логарифмических уравнений. Один тип — это когда логарифм находится только на одной стороне уравнения. Эти типы уравнений просты и могут быть решены путем преобразования их в экспоненциальную форму. Знаете ли вы, как логарифмические и показательные уравнения связаны друг с другом? Что ж, ответ прост. Оба уравнения являются обратными друг другу. Но интересен тот факт, что основы обеих функций одинаковы.
Например, рассмотрим следующее логарифмическое уравнение:
Преобразуйте приведенное выше уравнение в экспоненциальную форму следующим образом:
Вы можете видеть, что основание логарифмической функции и основание соответствующей экспоненциальной функции также равно .
Второй тип уравнений имеет логарифм в обеих частях уравнений. Например, рассмотрим следующий пример:
Поскольку приведенное выше логарифмическое уравнение имеет один логарифм и одинаковое основание в обеих частях уравнения. Итак, логарифмические функции сократятся и результирующее уравнение будет выглядеть так:
Помните, что если логарифмических функций на одной стороне больше, чем на других, то даже если они содержат одинаковое основание, отменить логарифмические функции нельзя. Вместо этого вам нужно применить логарифмические правила, чтобы упростить сторону, содержащую более одной логарифмической функции, а затем отменить логарифмическую функцию с обеих сторон, учитывая, что они имеют одинаковые основания. Эти понятия будут прояснены, когда мы рассмотрим пару примеров в этой статье.
Найдите рядом со мной хорошего репетитора по математике.
Логарифмические правила
Как и правила экспоненты, существуют некоторые логарифмические правила, которые используются при решении логарифмических уравнений. В следующей таблице приведены некоторые логарифмические правила.
Logarithm Rules Mathematical Notation
Logarithm product rule
Logarithm quotient rule
Logarithm power rule
Logarithm base switch rule
Logarithm root rule
Logarithm change of base rule

Example 1
Solve the logarithmic equation
Solution
В приведенном выше примере есть три функции журнала. Чтобы решить логарифмические уравнения, у нас должно быть 2, поэтому мы будем использовать правило логарифмического произведения в левой части уравнения, чтобы сделать его одинарным логарифмом. Помните, что мы предполагаем, что логарифмическая функция без основания является десятичным логарифмом с основанием 10.
В приведенном выше примере ни одна из сторон уравнения не имеет оснований, поэтому мы предположили, что логарифмы в обеих частях имеют одно и то же основание 10.
уравнение и решить для полученного уравнения:
Установите уравнение на 0, взяв 1 в правой части уравнения:
Теперь мы факторизуем приведенное выше алгебраическое выражение сначала расширив его, а затем найдя общие множители из таких пар:
Либо или
Если то . Если , то .
Как видите, мы получили одно положительное и одно отрицательное число в качестве решения. Мы исключим отрицательное число из решения, потому что, когда мы подставим это отрицательное значение в исходное уравнение, мы в конечном итоге возьмем логарифм отрицательного числа.
Следовательно, единственное решение, которое мы здесь рассматриваем, это .
Проверка
Давайте проверим наше решение, подставив это значение в уравнение.
Согласно правилу логарифмического произведения можно записать как . Согласно правилу логарифмического отношения можно записать как .
Нам нужно преобразовать выражение в левой части уравнения в одну логарифмическую функцию.
Отмените логарифмические функции с обеих сторон уравнения, чтобы получить следующее алгебраическое выражение:
Таким образом, подтверждено, что это решение логарифмического уравнения. Пример 2 , поэтому мы сократим логарифмические функции и запишем выражение алгебраически следующим образом:
Установите уравнение равным 0, поднеся члены справа к левой части уравнения.
Найдите множители приведенного выше выражения, сначала расширив его, а затем соединив его, чтобы найти общие множители:
Либо или . Отсюда или .
Поскольку одно решение положительное, а другое отрицательное, мы будем рассматривать только положительное решение уравнения, которое равно .

Проверка
Подставив исходное уравнение, мы получим логарифмирование отрицательного числа, что невозможно, поэтому мы исключим его из решения.
Введите в исходное уравнение, чтобы проверить свой ответ.
Применив здесь правило отношения, мы получим следующую логарифмическую функцию:0003
Следовательно, доказано, что это решение логарифмического уравнения.
До сих пор мы решали уравнения, в которых каждое число в обеих частях уравнения было логарифмировано. Теперь мы решим другой тип уравнений, которые не имеют логарифма с каждым числом.

Пример 3
Решите уравнение
Решение
Возьмем логарифмические выражения в левой части уравнения:
Мы применим здесь правило логарифмического отношения и запишем выражения в левой части в виде одинарного логарифма следующим образом:
Преобразуем приведенную выше логарифмическую функцию в экспоненциальную форму:
3 90 Зададим уравнение равным 0 путем переноса выражений из правой части в левую часть уравнения:
Умножьте приведенное выше выражение на множители, разложив его:
Либо или . Отсюда или .
Нам нужно проверить, являются ли и решениями логарифмического уравнения или нет.

Проверка
Мы проведем проверку вышеуказанной задачи иначе, чем другие, потому что уравнение также имеет константу с одной стороны с логарифмическими функциями с одинаковыми основаниями с обеих сторон уравнения.
Проверим наше решение, подставив и в исходное уравнение.
Итак, подставляя решение, мы получаем отрицательные числа в логарифмах, так что это не может быть решением.
Итак, когда мы подставляем 3 в приведенное выше уравнение, мы получаем все положительные числа в логарифмах, так что это решение уравнения.

Пример 4
Решить логарифмическое уравнение
Решение
Перенести логарифмическую функцию из правой части уравнения в левую:
Примените правило логарифмического произведения к левой части уравнения:
Поскольку мы можем предположить, что логарифмическая функция без основания является обычной логарифмической функцией с основанием 10, поэтому мы напишем выше функция в экспоненциальной форме, например:
Приравняйте уравнение к 0, взяв в левой части уравнения:
Разложите приведенное выше выражение на множители:
Либо либо .
Оставить комментарий on Уравнения логарифм: Логарифмические уравнения и неравенства — Умскул Учебник/
Матрицы примеры умножение: примеры, алгоритм умножения на вектор, число, свойства произведения
alexxlab / 09.06.202313.03.2023 / Разное
примеры, алгоритм умножения на вектор, число, свойства произведения
Произведение двух матриц
Определение 1
Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
C⏟m×n=A⏟m×p×B⏟p×n
Пример 1
Даны матрицы:
A=a(ij) размеров m×n;
B=b(ij) размеров p×n
Матрицу C, элементы cij которой вычисляются по следующей формуле:
cij=ai1×b1j+ai2×b2j+…+aip×bpj, i=1,…m, j=1,…m
Пример 2
Вычислим произведения АВ=ВА:
А=121012, В=100111
Решение, используя правило умножения матриц:
А⏟2×3×В⏟3×2=121012×100111=1×1+2×0+1×11×0+2×1+1×10×1+1×0+2×10×0+1×1+2×1==2323⏟2×2
В⏟3×2×А⏟2×3=100111×121012=1×1+0×01×2+0×11×1+0×20×1+1×00×2+1×10×1+1×21×1+1×01×2+1×11×1+1×2=121012133⏟3×3
Произведение АВ и ВА найдены, но являются матрицами разных размеров: АВ не равна ВА.
Свойства умножения матриц
Свойства умножения матриц:
(АВ)С = А(ВС) — ассоциативность умножения матриц;
А(В+С) = АВ + АС — дистрибутивность умножения;
(А+В)С = АС + ВС — дистрибутивность умножения;
λ(АВ)=(λА)В
Пример 1
Проверяем свойство №1: (АВ)С = А(ВС):
(А×В)×А=1234×5678×1002=19224350×1002=194443100,
А(В×С)=1234×56781002=1234×512716=194443100.
Пример 2
Проверяем свойство №2: А(В+С) = АВ + АС:
А×(В+С)=1234×5678+1002=1234×66710=20264658,
АВ+АС=1234×5678+1234×1002=19224350+1438=20264658.
Произведение трех матриц
Произведение трех матриц АВС вычисляют 2-мя способами:
найти АВ и умножить на С: (АВ)С;
либо найти сначала ВС, а затем умножить А(ВС).
Пример 3
Перемножить матрицы 2-мя способами:
4375×-289338-126×7321
Алгоритм действий:
найти произведение 2-х матриц;
затем снова найти произведение 2-х матриц.
1). АВ=4375×-289338-126=4(-28)+3×384×93+3(-126)7(-28)+5×387×93+5(-126)=2-6-621
2). АВС=(АВ)С=2-6-6217321=2×7-6×22×3-6×1-6×7+21×2-6×3+21×1=2003.
Используем формулу АВС=(АВ)С:
1). ВС=-289338-1267321=-28×7+93×2-28×3+93×138×7-126×238×3-126×1=-10914-12
2). АВС=(АВ)С=7321-10914-12=4(-10)+3×144×9+3(-12)7(-10)+5×147×9+5(-12)=2003
Ответ: 4375-289338-1267321=2003
Умножение матрицы на число
Определение 2
Произведение матрицы А на число k — это матрица В=Аk того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
bi,j=k×ai,j
Свойства умножения матрицы на число:
1×А=А
0×А=нулевая матрица
k(A+B)=kA+kB
(k+n)A=kA+nA
(k×n)×A=k(n×A)
Пример 4
Найдем произведение матрицы А=4290 на 5.
Решение:
5А=542905×45×25×95×0=2010450
Умножение матрицы на вектор
Определение 3
Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:
если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:
АВ=а11а12⋯а1nа21а22⋯а2n⋯⋯⋯⋯аm1аm2⋯аmnb1b2⋯b1n=a11×b1+a12×b2+⋯+a1n×bna21×b1+a22×b2+⋯+a2n×bn⋯⋯⋯⋯am1×b1+am2×b2+⋯+amn×bn=c1c2⋯c1m
если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:
АВ=аа⋯аbb⋯b=a1×b1a1×b2⋯a1×bna2×b1a2×b2⋯a2×bn⋯⋯⋯⋯an×b1an×b2⋯an×bn=c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋯⋯⋯⋯cn1cn2⋯cnn
Пример 5
Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В:
АВ=240-213-10112-1=2×1+4×2+0×(-1)-2×1+1×2+3×(-1)-1×1+0×2+1×(-1)=2+8+0-2+2-3-1+0-1=10-3-2
Пример 6
Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В:
А=320-1, В=-1102
Решение:
АВ=3201×-1102=3×(-1)3×13×03×22×(-1)2×12×02×20×(-1)0×10×00×21×(-1)1×11×01×2=-3306-22040000-1102
Ответ: АВ=-3306-22040000-1102
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Умножение матриц » ProcMem.Ru Линейная Алгебра
Воскресенье, 5 июля 2009 г.
Рубрика: Алгебра матриц
Просмотров: 45408
Подписаться на комментарии по RSS
Определение. Произведением строки длины n на столбец высоты n называется скаляр, вычисляемый по правилу:
.
Замечание. Из определения следует, что для умножения строки на столбец необходимо, чтобы длина строки была равна высоте столбца. В противном случае произведение строки на столбец не определено.
Пример.
Определение. Произведением матрицы размера на матрицу размера называют матрицу размера , где элемент является результатом произведения – й строки матрицы А на – й столбец матрицы В для всех значений индексов , , т.е.
или
.
Обозначение: .
Другими словами, чтобы умножить две матрицы, нужно каждую строку первой матрицы умножить на каждый столбец второй матрицы. Умножая первую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы мы получим все элементы первой строки матрицы произведения, затем делаем то же самое для второй строки первой матрицы и т. д.
Замечание. Из определения следует, что умножение матриц возможно только тогда, когда ширина первой матрицы (т.е. число ее столбцов) равна высоте второй (т.е. числу ее строк)
Пример.
.
Определение. Квадратную матрицу – го порядка называют единичной матрицей n-го порядка и обозначают буквой Е, если для любой квадратной матрицы А – го порядка справедливо равенство: .
Множество всех квадратных матриц n-го порядка будем обозначать через .
Теорема. Множество содержит единичную матрицу n-го порядка, которой является матрица
.
Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.
Теорема. Единичная матрица Е является единственной в множестве .
Доказательство. Пусть еще одна единичная матрица. Тогда, по определению, . Положим , тогда . Далее, по определению, . Положим здесь . Получаем равенство, отсюда имеем , ч.т.д.
Заметим, что точно также доказывается единственность нейтрального элемента (при условии его существования) в любой алгебраической структуре.
Теорема доказана.
Из теоремы следует, что никакая другая матрица, кроме матрицы не является единичной.
Теорема. (Свойства умножения матриц.)
Умножение матриц подчиняется следующим законам:
9) ассоциативность:
;
10) существование единичной матрицы:
: ;
дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:
11) дистрибутивность умножения относительно сложения матриц:
и
12) умножение матриц связано с умножением матрицы на число естественным законом: и верно равенство:
.
Замечание. Для квадратных матриц одного порядка выполняются все 12 свойств. Это говорит о том, что множество всех квадратных матриц одного и того же порядка образует алгебру матриц над полем К.
Замечание. Умножение матриц не обладает свойством коммутативности. Для доказательства достаточно привести один контрпример.
Пусть , . Тогда , .
Аналогичный пример можно привести для квадратных матриц любого порядка.
Последнее равенство говорит о том, что квадратные матрицы имеют делители нуля.
Следствие. Множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем K является некоммутативным кольцом с единицей и с делителями нуля.
Доказательство. На множестве всех квадратных матриц n-го порядка над полем K определены две операции: сложение матриц и их умножение, которые подчиняются законам 1) – 4) и 9) – 11), откуда и следует, по определению, что является кольцом с единицей (см. лекцию 1, п.14 и п.15). Пример, приведенный перед формулировкой данного следствия, показывает, что кольцо имеет делители нуля.
Следствие доказано.
Определение. Натуральной степенью квадратной матрицы А называется матрица .
Нулевую степень квадратной матрицы А – го порядка по определению полагают равной единичной матрице того же порядка: .
Умножение матриц
Марко Табога, доктор философии
Эта лекция знакомит с умножением матриц, одним из основных алгебраических операции, которые можно выполнять на матрицы.
Table of contents
Dot product
Matrix product
Motivation
Properties of matrix multiplication
Other properties
Transpose of a product
Solved exercises
Exercise 1
Exercise 2
Exercise 3
Dot product
Прежде чем определить умножение матриц, нам нужно ввести понятие точечного произведение двух векторов.
Определение Позволять быть вектор строки и а вектор-столбец. Обозначим их записи через и по , соответственно. Затем их скалярный продукт это
Обратите внимание, что в приведенном выше определении порядок произведения имеет значение, т. е. не то же самое, что , потому что первый вектор () должен быть вектором-строкой, а второй () должен быть вектор-столбцом. Кроме того, скалярный продукт определен, только если и иметь одинаковое количество записей ().
Пример Позволять быть вектор определен мимо а вектор определен по их скалярное произведение
Произведение матрицы
Теперь мы готовы определить матричное произведение.
Определение Позволять быть матрица и а матрица. Затем их продукт это матрица, чья -й запись равна скалярному произведению между -й ряд и -й столбец , для и .
Другими словами, -й запись
Обратите внимание, что порядок продукта имеет значение, т. не то же самое, что . Кроме того, количество столбцов должно быть равно количеству строк (в этом случае говорят, что две матрицы созвучны для умножения ).
Следующая диаграмма суммирует измерения, связанные с матрицей умножение:
Пример Определите матрица и в матрица Они созвучны для умножения потому что количество столбцов равно количеству строк . Размер матрицы является . Продукт это здесь, например, -й запись был получен из скалярного произведения второй строки с первой колонкой :
Мотивация
Почему умножение матриц определяется таким образом? Есть много возможных ответов на этот вопрос, но самый простой из них связан с необходимостью получение простого матричного представления для систем линейных уравнений. следующий пример показывает, как это сделать.
Пример Рассмотрим следующую систему двух уравнений в двух неизвестные: это можно представить в матричной форме как где матрица коэффициентов это вектор неизвестных остров вектор констант это ты можно легко проверить, что два способа записи системы уравнений эквивалентно, выполняя матрицу умножение
Другая причина, по которой умножение матриц определяется так, как показано выше. заключается в том, что он позволяет нам легко иметь дело с системами ввода-вывода, в которых выходы могут быть получены из фиксированных комбинаций входов.
Пример Фабрика может производить два товара, обозначаемых и , используя различные комбинации двух входов, и . В частности, единицы и единица необходимы для производства единицы , и единица и единицы необходимы для производства единицы . Эта информация может быть обобщена вводом-выводом матрицагде две строки соответствуют двум выходам, а два столбца соответствуют два входа. Каждая единица расходы долларов, а каждая единица расходы доллар. Эту информацию можно обобщить вектором ценыВ Чтобы найти затраты на производство двух выпусков, достаточно выполнить следующая матрица умножение Итак, оба выпуска имеют себестоимость производства долларов.
Свойства умножения матриц
Как мы уже говорили, в отличие от умножения действительных чисел, матрица умножение не обладает свойством коммутативности, т. е. не то же самое, что . Однако некоторые свойства, которыми обладает умножение действительных чисел, также пользуется умножением матриц.
Предложение (распределительное свойство) Умножение матриц является дистрибутивным по отношению к сложению матриц, т. е. для любые матрицы , и таким образом, что приведенные выше умножения и сложения имеют осмысленное определение.
Доказательство
Начнем с продуктПусть и быть матрицы и ан матрица. Обозначим общий -й элемент матрицы к , и общий -й элемент продукта между и к . По определениям сложения матриц и умножение матриц, мы имеем это где: по шагам и мы использовали определение умножения матриц; в ногу мы использовали определение сложения матриц. Это справедливо для любого -й элемент матрицы. Таким образом, у нас есть что
Почти идентичным аргументом можно доказать что
Предложение (ассоциативное свойство) Умножение матриц ассоциативно, т. для любые матрицы , и таким образом, что приведенные выше умножения содержательно определены.
Доказательство
Предположим имеет измерение , имеет измерение , и имеет измерение . Ассоциативность сохраняется, потому что общий -й элемент матрицы это здесь мы использовали определение продукта между и (шаг ), между и (шаг ), между и (шаг ), между и (шаг ).
Другое имущество
Другие свойства матричных произведений перечислены здесь.
Транспонирование продукта
Предложение Позволять быть матрица и а матрица. Позволять и быть их транспонированием. Тогда
Доказательство
-й запись является скалярным произведением -й ряд и -й столбец :К определение транспонирования матрицы, последняя равна -й запись : -й вход является скалярным произведением -й ряд и -й столбец : С в -й ряд равно -й столбец , и -й столбец равно -й ряд , мы естьТаким образом, для любой и . Следовательно,
Решенные упражнения
Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.
Упражнение 1
Определите матрица и а матрицаВычислить продукт .
Решение
Размеры, связанные с этим умножение сводится к следующему диаграмма: Таким образом, это матрица такая, что для каждого и , в -й элемент равно скалярному произведению между -й ряд и -й ряд :
Упражнение 2
Учитывая матрицы и определено выше, вычислить произведение .
Решение
Матрицы и не созвучны для умножения потому что количество столбцов не равно количеству строк . Следовательно, умножение не может быть выполнено.
Упражнение 3
Определите столбец вектори а ряд векторвычислить продукт .
Решение
Размеры, задействованные в этом умножение сводится к следующему диаграмма: Таким образом, это матрица. {n} a_{ik}b_{kj}$, где $i=1,…m, j=1,…p$
Вы говорите, что знаете, как перемножать матрицы, поэтому взгляните на один конкретный элемент в произведении $C=AB$, а именно на элемент в позиции $(i,j)$, т.е. в $i$-й строке и $j$-й столбец.
Чтобы получить этот элемент, нужно:
сначала умножить на все элементы $i$-й строки матрицы $A$ попарно на все элементы $j$-го столбца матрица $B$;
, а затем добавить этих $n$ товаров.
Вы должны повторить эту процедуру для каждого элемента $C$, но давайте пока увеличим этот конкретный (но произвольный) элемент в позиции $(i,j)$:
$$\begin{pmatrix} a_{11} &\ldots &a_{1n}\\ \vdots& \ddots &\vdots\\ \color{blue}{\mathbf{a_{i1}}} &\color{blue}{\rightarrow} &\color{blue}{\mathbf{a_{in}}}\\ \vdots& \ddots &\vdots\\ a_{m1} &\ldots &a_{mn} \end{pматрица} \cdot \begin{pmatrix} b_{11}&\ldots &\color{red}{\mathbf{b_{1j}}} &\ldots &b_{1p}\\ \vdots& \ddots &\color{red}{\downarrow} & \ddots &\vdots\\ b_{n1}&\ldots &\color{red}{\mathbf{b_{nj}}}&\ldots &b_{np} \end{pматрица} «=» \begin{pmatrix} c_{11}&\ldots& c_{1j} &\ldots &c_{1p}\\ \vdots& \ddots & & &\vdots\\ c_{i1}& & \color{purple}{\mathbf{c_{ij}}} & &c_{ip}\\ \vdots& & & \ddots &\vdots\\ c_{m1} &\ldots& c_{mj} &\ldots &c_{mp} \end{pmatrix}$$ с элементом $\color{purple}{\mathbf{c_{ij}}}$, равным: $$\mathbf{\color{purple}{c_{ij}} = \color{blue}{a_{i1}} \color{red}{b_{1j}} + \color{blue}{a_{i2} } \color{red}{b_{2j}} + \cdots + \color{blue}{a_{in}} \color{red}{b_{nj}}}$$ Теперь обратите внимание, что в приведенной выше сумме левый внешний индекс всегда равен $i$ ($i$-я строка в $A$), а правый внешний индекс всегда равен $j$ ($j$-й столбец в $B$).
Оставить комментарий on Матрицы примеры умножение: примеры, алгоритм умножения на вектор, число, свойства произведения/
Математика формулы производные: Таблица производных и правила дифференцирования
alexxlab / 09.06.202319.03.2023 / Разное
Производная функции. Формулы и правила дифференцирования .
Тема урока : Производная функции. Формулы и правила дифференцирования .

Конспект урока
Производные — это такие функции, которые получаются из заданных функций путем вычисления предела разностного отношения. Разностным отношением называется отношение разности значения функции к разности значений переменной.
После закрепления знаний по таблице производной, приступаем к изучению теорем дифференцирования.
Теорема 1. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем:
Теорема 2. Производная произведения двух функций равна:
Теорема 3. Производная частного двух функций равна:
Приложение 1
Ранее мы рассматривали производные отдельных функций. Здесь мы рассмотрим правила дифференцирования, то есть правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного отдельных функций. Мы выведем соответствующие формулы, обоснуем их и решим типовые примеры.
Производная суммы
Дано: ; .
Существует ; .
Доказать, что существует производная от суммы заданных функций и она вычисляется по следующему правилу:
Доказательство
Пусть задана функция , требуется найти .
По стандартному алгоритму требуется найти отношение :
При получаем:
Что и требовалось доказать.Так, производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.Аналогично производная разности функций равна разности производных:
Пример
1. .
2. Найти значение производной функции в точке :
;
Производная произведения
Дано: ; .
Существует ; .
Доказать, что существует производная от произведения и вычисляется она по правилу:
Доказательство .Нужно использовать разностное отношение по стандартному алгоритму нахождения производной. Это разностное отношение можно проиллюстрировать. Пусть есть прямоугольник со сторонами ; . Пусть первая сторона получает приращение , вторая, соответственно, . Приращение может быть любого знака. Получили новый прямоугольник, см. рис. 1.
Рис. 1. Разностное соотношениеПлощадь любого прямоугольника (старого, нового, их разности) мы можем посчитать.Составим разностное соотношение. Пусть , ищем :
При :
А первое слагаемое стремится к нулю, так как стремится к нулю.
Так, производная произведения функций:
Что и требовалось доказать.Рассмотрим важное следствие. Пусть , константа. Согласно правилу:
Так, постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Производная степенной функции
Производная степенной функции:
Рассмотрим частные случаи:
;
Найдем эту производную по правилу произведения:
С другой стороны:
И так далее. Поэтому угадывается формула:
– мы принимаем ее без доказательства.
Производная частного
Дано: ; .
Существуют ; .
При этом , а значит, существует дробь .
Доказать, что существует производная частного и вычисляется по формуле:
Доказательство
Представим .
Тогда по формуле производной произведения:
С другой стороны:
Из этих двух выражений получаем уравнение:
Умножим все уравнение на :
Что и требовалось доказать.
Решение примеров
Пример
.
.

Домашнее задание: Итоговые тесты по теме «Производная функции»
1. Найдите производную функции y_(х) = x⁴+ 3x³ + 4.
1) 4x³ + 9x²+ 4
2) 4x³ + 9x²+ 4x
3) 4x² + 3x²+ 4
4) 4x³ + 9x²
2. Производная функции F(x) = cos(4x) равна:
1) -4sin(4x)
2) 4cos(- 4x)
3) 4xsin(4x)
4) 4xcos(- 4x)

3. Найдите значение производной функции при х=1
1) 0,5
2) -1
3) -0,5
4) 1
4. Вычислите значение производной функции в точке .
1)
16
2)
64
3)
– 16
4)
– 64

5. Найдите производную функции .

1)
3)
2)
4)
_{6. Найдите производную функции}
1)
3)
2)
4)

Просмотр содержимого документа
«Тема урока : Производная функции. Формулы и правила дифференцирования .»
Тема урока : Производная функции. Формулы и правила дифференцирования .
Конспект урока
Производные — это такие функции, которые получаются из заданных функций путем вычисления предела разностного отношения. Разностным отношением называется отношение разности значения функции к разности значений переменной.
После закрепления знаний по таблице производной, приступаем к изучению теорем дифференцирования.
Теорема 1. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем:
Теорема 2. Производная произведения двух функций равна:
Теорема 3. Производная частного двух функций равна:
Приложение 1
Ранее мы рассматривали производные отдельных функций. Здесь мы рассмотрим правила дифференцирования, то есть правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного отдельных функций. Мы выведем соответствующие формулы, обоснуем их и решим типовые примеры.
Производная суммы
Дано: ; .
Существует ; .
Доказать, что существует производная от суммы заданных функций и она вычисляется по следующему правилу:
Доказательство
Пусть задана функция , требуется найти .
По стандартному алгоритму требуется найти отношение :
При получаем:
Что и требовалось доказать.Так, производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.Аналогично производная разности функций равна разности производных:
Пример
1. .
2. Найти значение производной функции в точке :
;
Производная произведения
Дано: ; .
Существует ; .
Доказать, что существует производная от произведения и вычисляется она по правилу:
Доказательство .Нужно использовать разностное отношение по стандартному алгоритму нахождения производной. Это разностное отношение можно проиллюстрировать. Пусть есть прямоугольник со сторонами ; . Пусть первая сторона получает приращение , вторая, соответственно, . Приращение может быть любого знака. Получили новый прямоугольник, см. рис. 1.
Рис. 1. Разностное соотношениеПлощадь любого прямоугольника (старого, нового, их разности) мы можем посчитать.Составим разностное соотношение. Пусть , ищем :
При :
А первое слагаемое стремится к нулю, так как стремится к нулю.
Так, производная произведения функций:
Что и требовалось доказать.Рассмотрим важное следствие. Пусть , константа. Согласно правилу:
Так, постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Производная степенной функции
Производная степенной функции:
Рассмотрим частные случаи:
;
Найдем эту производную по правилу произведения:
С другой стороны:
И так далее. Поэтому угадывается формула:
– мы принимаем ее без доказательства.
Производная частного
Дано: ; .
Существуют ; .
При этом , а значит, существует дробь .
Доказать, что существует производная частного и вычисляется по формуле:
Доказательство
Представим .
Тогда по формуле производной произведения:
С другой стороны:
Из этих двух выражений получаем уравнение:
Умножим все уравнение на :
Что и требовалось доказать.
Решение примеров
Пример
.
.
Домашнее задание: Итоговые тесты по теме «Производная функции»
1. Найдите производную функции y_(х) = x⁴+ 3x³ + 4.
1) 4x³ + 9x²+ 4
2) 4x³ + 9x²+ 4x
3) 4x² + 3x²+ 4
4) 4x³ + 9x²
2. Производная функции F(x) = cos(4x) равна:
1) -4sin(4x)
2) 4cos(- 4x)
3) 4xsin(4x)
4) 4xcos(- 4x)
3. Найдите значение производной функции
при х=1
1) 0,5
2) -1
3) -0,5
4) 1
4. Вычислите значение производной функции в точке .
1)
16
2)
64
3)
– 16
4)
– 64
5. Найдите производную функции .
1)
3)
2)
4)
_{6. Найдите производную функции}
1)
3)
2)
4)
Полная таблица производных: формулы, правила
Понятие производной
Производная — функция, являющаяся результатом применения той или иной операции дифференцирования к исходной функции. {2} x}\]
Используя данный вид формулы, можно решать задачи данной категории производных значений.
Математические формулы для применения производных, класс 12
Математические формулы
Эта страница подготовлена экспертом факультета физики Уоллахом, мы тщательно отобрали все важные формулы и уравнения главы «Применение производных» и загрузили PDF-файл таблицы формул для 12-го класса по математике, глава «Применение производных ».
Учащиеся и абитуриенты могут бесплатно загрузить в формате pdf лист формул главы «Применение производных» в 12-м классе, который состоит из всех важных формул главы «Применение производных», очень полезной для быстрого пересмотра и полезной для сохранения всех важных формул в течение длительного времени. Физика Wallah подготовила Решения NCERT для справочного использования. Попробуйте решить вопросы из упражнений с помощью Решений NCERT для класса 12 по математике , подготовленных физикой Wallah.
Производная определяется как скорость изменения одной величины по отношению к другой. Скорость изменения функции определяется как dy/dx = f(x) = y’ в терминах функции. Производное понятие используется в малом и большом масштабе. Понятие производной, которое используется во многих смыслах, таких как изменение температуры или скорость изменения формы и размера объекта в зависимости от условий и т. д.
Функции возрастания и убывания
Пусть функция f, непрерывная на [a,b] и дифференцируемая на отрезке (a,b), тогда
f возрастает в [a,b], если f'(x)>0 для каждого x в (a,b)
f убывает в [a,b], если f'(x)<0 для каждого x в (a,b)
f — постоянная функция в [a,b], если f'(x) = 0 для каждого x в (a,b)
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Q1. Что такое формула производной?
Ответ. Производные являются основным инструментом исчисления. Производная функции действительной переменной измеряет чувствительность к изменению величины, которая определяется другой величиной. Производная формула задается как f ₁ ( x ) = Lim△ x → 0 f ( x + △ x ) — f ( x ) △ x .
Q2. Каковы приложения производных?
Ответ. Применение производных в математике
Нахождение скорости изменения величины.
Нахождение значения приближения.
Нахождение уравнения касательной и нормали к кривой.
Нахождение максимума и минимума и точки перегиба.
Определение возрастающих и убывающих функций
Q3. Что такое производная математика класс 12?
Ответ. Скорость изменения y относительно другого x называется производной или дифференциальным коэффициентом y относительно x.
Q4. Какова формула предела?
Ответ. Рассмотрим y = f (x) как функцию от x. Если в точке х = а f(x) принимает неопределенный вид, то можно рассматривать значения функции, ближайшей к а. Если эти значения склоняются к конкретному уникальному числу, как стремится x, то это уникальное число называется пределом f (x) для x = a.
В5. Как решить вывод?
Ответ. Ниже приведены шаги, указанные ниже:
Разделите обе части уравнения px ² + qx + r = 0 на p.
Перенесите величину c/a в правую часть уравнения.
Дополните квадрат, добавив b ² / 4a ² к обеим частям уравнения.
Фактор левой стороны и объединить правую сторону.
Загрузить лист формул в формате Pdf Class 12 Math для главы 6 Применение производных
3: Производные — Математика LibreTexts
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
2489
Гилберт Странг и Эдвин «Джед» Герман
OpenStax
Вычисление скорости и изменения скорости — важное применение исчисления, но оно гораздо более распространено. Исчисление важно во всех областях математики, науки и техники, а также для анализа в бизнесе и здравоохранении. В этой главе мы исследуем один из основных инструментов исчисления — производную — и покажем удобные способы вычисления производной. В этой главе мы применяем эти правила к различным функциям, чтобы затем исследовать применение этих методов.
3.0: Prelude to Derivatives
Вычисление скорости и изменения скорости — важное применение исчисления, но оно гораздо более распространено. Исчисление важно во всех областях математики, науки и техники, а также для анализа в бизнесе и здравоохранении. В этой главе мы исследуем один из основных инструментов исчисления — производную — и покажем удобные способы вычисления производной. В этой главе мы применяем эти правила к различным функциям, чтобы затем изучить их применение.0118
3.1: Определение производной
Наклон касательной к кривой измеряет мгновенную скорость изменения кривой. Мы можем вычислить его, найдя предел разностного отношения или разностного отношения с приращением h. Производная функции f(x) при значении a находится с использованием любого из определений наклона касательной. Скорость – это скорость изменения положения. Таким образом, скорость v(t) в момент времени t является производной положения s(t) в момент времени t.
3.1E: Упражнения к разделу 3.1
3.2: Производная как функция
Производной функции f(x) является функция, значение которой f′(x) в точке x . График производной функции f(x) связан с графиком f(x). Где (f(x) имеет касательную с положительным наклоном, f′(x)>0. Где (x) имеет касательную с отрицательным наклоном, f′(x)<0. Где f(x) имеет горизонтальную касательной, f′(x)=0. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
3.2E: Упражнения к разделу 3.2
3. 3: Правила дифференцирования
Производная постоянной функции равна нулю. Производная степенной функции — это функция, в которой степень x становится коэффициентом при члене, а степень x в производной уменьшается на 1. Производная константы c, умноженная на функцию f, равна константе умножить на производную. Производная суммы функции f и функции g равна сумме производной функции f и производной функции g.
3.3E: Упражнения к разделу 3.3
3.4: Производные как скорость изменения изменения функции. Эти приложения включают ускорение и скорость в физике, темпы роста населения в биологии и предельные функции в экономике.
3.4E: Упражнения к разделу 3.4
3.5: Производные тригонометрических функций
Мы можем найти производные sin x и cos x, используя определение производной и предельные формулы, найденные ранее. {n−1}g′(x)\).
3.6E: Упражнения к разделу 3.6
3.7: Производные обратных функций
Теорема об обратной функции позволяет вычислять предельные производные обратных функций без использования предельных производных обратных функций. Мы можем использовать теорему об обратной функции для разработки формул дифференцирования для обратных тригонометрических функций.
3.7E: Упражнения для раздела 3.7
3.8: Неявное дифференцирование
Мы используем неявное дифференцирование для нахождения производных неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями). Используя неявное дифференцирование, мы можем найти уравнение касательной к графику кривой.
3.8E: упражнения к разделу 3.8
3. 9: производные экспоненциальных и логарифмических функций
Как мы обсуждали во Введении в функции и графики, экспоненциальные функции играют важную роль в моделировании роста населения и распада радиоактивных материалов. Логарифмические функции могут помочь изменить масштаб больших величин и особенно полезны для перезаписи сложных выражений.
3.9E: упражнения для раздела 3.9
3.10: Глава 3 Обзорные упражнения
Thumbnail: Derivative (CC ;7
Thumbnail: Derivative (CC;
Эта страница под названием 3: Деривативы распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Странгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактирован для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Глава
Автор
ОпенСтакс
Лицензия
CC BY-NC-SA
Версия лицензии
4,0
Программа ООР или издатель
ОпенСтакс
Показать страницу TOC
нет
Метки
автор @ Эдвин «Джед» Герман
автор@Гилберт Странг
источник@https://openstax.
Оставить комментарий on Математика формулы производные: Таблица производных и правила дифференцирования/
Стьюдента таблицы: Таблица значений критерия Стьюдента (t-критерия)
alexxlab / 09.06.202303.06.2023 / Разное
Таблица значений критерия Стьюдента (t-критерия)
Skip to content
15.06.2019 Artman Таблицы
p — доверительной вероятности и f — числа степеней свободы
(коэффициент стьюдента находим по таблице)
f p
0.80 0.90 0.95 0.98 0.99 0.995 0.998 0.999
1 3.0770 6.3130 12.7060 31.820 63.656 127.656 318. 306 636.619
2 1.8850 2.9200 4.3020 6.964 9.924 14.089 22.327 31.599
3 1.6377 2.35340 3.182 4.540 5.840 7.458 10.214 12.924
4 1.5332 2.13180 2.776 3.746 4.604 5.597 7.173 8.610
5 1. 4759 2.01500 2.570 3.649 4.0321 4.773 5.893 6.863
6 1.4390 1.943 2.4460 3.1420 3.7070 4.316 5.2070 5.958
7 1.4149 1.8946 2.3646 2.998 3.4995 4.2293 4.785 5.4079
8 1.3968 1.8596 2.3060 2. 8965 3.3554 3.832 4.5008 5.0413
9 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 3.6897 4.2968 4.780
10 1.3720 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 3.5814 4.1437 4.5869
11 1.363 1.795 2.201 2.718 3.105 3.496 4. 024 4.437
12 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0845 3.4284 3.929 4.178
13 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.1123 3.3725 3.852 4.220
14 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.976 3.3257 3.787 4.140
15 1. 3406 1.7530 2.1314 2.6025 2.9467 3.2860 3.732 4.072
16 1.3360 1.7450 2.1190 2.5830 2.9200 3.2520 3.6860 4.0150
17 1.3334 1.7396 2.1098 2.5668 2.8982 3.2224 3.6458 3.965
18 1.3304 1.7341 2.1009 2. 5514 2.8784 3.1966 3.6105 3.9216
19 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 3.1737 3.5794 3.8834
20 1.3253 1.7247 2.08600 2.5280 2.8453 3.1534 3.5518 3.8495
21 1.3230 1.7200 2.2.079 2.5170 2.8310 3.1350 3. 5270 3.8190
22 1.3212 1.7117 2.0739 2.5083 2.8188 3.1188 3.5050 3.7921
23 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.1040 3.4850 3.7676
24 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 3.0905 3.4668 3.7454
25 1. 3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.0782 3.4502 3.7251
26 1.315 1.705 2.059 2.478 2.778 3.0660 3.4360 3.7060
27 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.0565 3.4210 3.6896
28 1.3125 1.7011 2.0484 2. 4671 2.7633 3.0469 3.4082 3.6739
29 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 3.0360 3.3962 3.8494
30 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 3.0298 3.3852 3.6460
32 1.3080 1.6930 2.0360 2.4480 2.7380 3.0140 3. 3650 3.6210
34 1.3070 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 3.9520 3.3479 3.6007
36 1.3050 1.6883 2.0281 2.4345 2.7195 9.490 3.3326 3.5821
38 1.3042 1.6860 2.0244 2.4286 2.7116 3.9808 3.3190 3.5657
40 1. 303 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 3.9712 3.3069 3.5510
42 1.320 1.682 2.018 2.418 2.6980 2.6930 3.2960 3.5370
44 1.301 1.6802 2.0154 2.4141 2.6923 3.9555 3.2861 3.5258
46 1.300 1.6767 2.0129 2. 4102 2.6870 3.9488 3.2771 3.5150
48 1.299 1.6772 2.0106 2.4056 2.6822 3.9426 3.2689 3.5051
50 1.298 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 3.9370 3.2614 3.4060
55 1.2997 1.673 2.0040 2.3960 2.6680 2.9240 3. 2560 3.4760
60 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 3.9146 3.2317 3.4602
65 1.2947 1.6686 1.997 2.3851 2.6536 3.9060 3.2204 3.4466
70 1.2938 1.6689 1.9944 2.3808 2.6479 3.8987 3.2108 3.4350
80 1. 2820 1.6640 1.9900 2.3730 2.6380 2.8870 3.1950 3.4160
90 1.2910 1.6620 1.9867 2.3885 2.6316 2.8779 3.1833 3.4019
100 1.2901 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 2.8707 3.1737 3.3905
120 1.2888 1.6577 1.9719 2. 3578 2.6174 2.8598 3.1595 3.3735
150 1.2872 1.6551 1.9759 2.3515 2.6090 2.8482 3.1455 3.3566
200 1.2858 1.6525 1.9719 2.3451 2.6006 2.8385 3.1315 3.3398
250 1.2849 1.6510 1.9695 2.3414 2.5966 2.8222 3. 1232 3.3299
300 1.2844 1.6499 1.9679 2.3388 2.5923 2.8279 3.1176 3.3233
400 1.2837 1.6487 1.9659 2.3357 2.5882 2.8227 3.1107 3.3150
500 1.2830 1.6470 1.9640 2.3330 2.7850 2.8190 3.1060 3.3100
30611
Методы статистики
t-критерий Стьюдента – общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.
Уильям Госсет
1. История разработки t-критерия
Данный критерий был разработан Уильямом Сили Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны, статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).
2. Для чего используется t-критерий Стьюдента?
t-критерий Стьюдента используется для определения статистической значимости различий средних величин. Может применяться как в случаях сравнения независимых выборок (например, группы больных сахарным диабетом и группы здоровых), так и при сравнении связанных совокупностей (например, средняя частота пульса у одних и тех же пациентов до и после приема антиаритмического препарата). В последнем случае рассчитывается парный t-критерий Стьюдента
3. В каких случаях можно использовать t-критерий Стьюдента?
Для применения t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. Также имеет значение равенство дисперсий (распределения) сравниваемых групп (гомоскедастичность). При неравных дисперсиях применяется t-критерий в модификации Уэлча (Welch’s t).
При отсутствии нормального распределения сравниваемых выборок вместо t-критерия Стьюдента используются аналогичные методы непараметрической статистики, среди которых наиболее известными является U-критерий Манна — Уитни.
4. Как рассчитать t-критерий Стьюдента?
Для сравнения средних величин t-критерий Стьюдента рассчитывается по следующей формуле:
где М₁ — средняя арифметическая первой сравниваемой совокупности (группы), М₂ — средняя арифметическая второй сравниваемой совокупности (группы), m₁ — средняя ошибка первой средней арифметической, m₂ — средняя ошибка второй средней арифметической.
5. Как интерпретировать значение t-критерия Стьюдента?
Полученное значение t-критерия Стьюдента необходимо правильно интерпретировать. Для этого нам необходимо знать количество исследуемых в каждой группе (n₁ и n₂). Находим число степеней свободы f по следующей формуле:
f = (n₁ + n₂) — 2
После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например, p=0,05) и при данном числе степеней свободы f по таблице (см. ниже).
Сравниваем критическое и рассчитанное значения критерия:
Если рассчитанное значение t-критерия Стьюдента равно или больше критического, найденного по таблице, делаем вывод о статистической значимости различий между сравниваемыми величинами.
Если значение рассчитанного t-критерия Стьюдента меньше табличного, значит различия сравниваемых величин статистически не значимы.
6. Пример расчета t-критерия Стьюдента
Для изучения эффективности нового препарата железа были выбраны две группы пациентов с анемией. В первой группе пациенты в течение двух недель получали новый препарат, а во второй группе — получали плацебо. После этого было проведено измерение уровня гемоглобина в периферической крови. В первой группе средний уровень гемоглобина составил 115,4±1,2 г/л, а во второй — 103,7±2,3 г/л (данные представлены в формате M±m), сравниваемые совокупности имеют нормальное распределение. При этом численность первой группы составила 34, а второй — 40 пациентов. Необходимо сделать вывод о статистической значимости полученных различий и эффективности нового препарата железа.
Решение: Для оценки значимости различий используем t-критерий Стьюдента, рассчитываемый как разность средних значений, поделенная на сумму квадратов ошибок:
После выполнения расчетов, значение t-критерия оказалось равным 4,51. Находим число степеней свободы как (34 + 40) — 2 = 72. Сравниваем полученное значение t-критерия Стьюдента 4,51 с критическим при р=0,05 значением, указанным в таблице: 1,993. Так как рассчитанное значение критерия больше критического, делаем вывод о том, что наблюдаемые различия статистически значимы (уровень значимости р<0,05).
Показать таблицу критических значений t-критерия Стьюдента
Таблицы активности Ruckus | Продукты
Создание адаптируемых учебных пространств
Таблицы активности Ruckus позволяют пользователям быстро переходить от интерактивной к целенаправленной работе. С легкостью расставляйте и переставляйте столы, чтобы участвовать в совместных или традиционных макетах учебного пространства. Выбирайте из десяти динамических форм — клевер, D-образная форма, ромб, подкова, почка, воздушный змей, прямоугольник, круг, звездочка, квадрат — различных размеров и высот.
Просмотреть все изображения
Особенности
Таблицы активности Ruckus обеспечивают гибкость настройки и мобильность, что позволяет использовать различные стили преподавания и обучения.
Доступно множество размеров десяти динамических форм: клевер, D-образная форма, ромб, почка, воздушный змей, подкова, прямоугольник, круг, квадрат, звездочка.
Пол с регулируемой высотой (12–19 дюймов) доступен для восьми форм рабочих столов; все столы также доступны с регулируемой высотой сидя (20-33 дюйма), регулируемой высотой сидя-стойки (29-42 дюйма) и фиксированной высотой (29»).
Варианты основания включают подпятники, ролики или одновременно подпятники и ролики.
Доступны десятки цветов рамы, цвета ламината, цвета кромки.
Конструкция
Столешницы толщиной 1-¼ дюйма со склеенной кромкой 74P и поверхностью из ламината высокого давления (столы Kite и Diamond также предлагаются со столешницей ¾ дюйма с кромкой 73P).
Рамы имеют наружный диаметр 1-¾ дюйма. Стальная труба 14-го калибра с блестящим никель-хромовым или порошковым покрытием.
Столы с регулируемой высотой регулируются с шагом в 1 дюйм.
Направляющие и ролики одинаковой высоты можно менять в полевых условиях, сохраняя высоту поверхности.
Посмотреть брошюру и техническую документацию
Особенности продукта
Многочисленные формы и размеры столешниц
Столы для занятий Ruckus доступны в 10 динамических формах: клевер, D-образная форма, ромб, подкова, почка, воздушный змей, прямоугольник, круг, звездочка и квадрат, которые предлагаются в различных размерах.
Динамические высоты и основания
Выберите один из четырех вариантов высоты стола: фиксированная высота 29 дюймов, регулируемая высота пола (12–19 дюймов), регулируемая высота сидя (20–33 дюйма) или регулируемая высота сидя-стоя (29–42 дюйма). «). Базовые варианты включают скольжения, ролики или как ролики, так и скольжения. Взаимозаменяемые ролики и опоры одинаковой высоты можно быстро заменить в полевых условиях, сохраняя при этом первоначальную высоту поверхности.
Стили прочных кромок
Закругленные или квадратные углы доступны с кромкой 73P и 74P, которая обеспечивает влагостойкость и защиту от несанкционированного доступа. Обе кромки предлагаются в широком диапазоне стандартных цветов.
Цена по прейскуранту начинается с
^$ 684 – ^$ 1,497
Время выполнения заказа
6* Недель
*Если количество заказа превышает 200 единиц, свяжитесь со службой поддержки для уточнения времени выполнения заказа.
Запросить цену
Чтобы запросить цену на этот продукт, заполните форму ниже, и представитель KI свяжется с вами в ближайшее время.
Аналогичные продукты
Стойки Ruckus для ног Рабочие столы Ruckus Опорные столы Столы для пируэтов
Дополнительные продукты
Стул Рукус Белые доски Ruckus Рикошетный табурет Имаджиназиум Блипс
Рабочие столы Ruckus | Продукты | KI
Адаптируемый. Мобильный. Прочный.
Рабочие столы Ruckus подходят для различных конфигураций учебных помещений и отвечают строгим требованиям рабочих мест, медиацентров, научных лабораторий и обычных классов.
Просмотреть все изображения
Особенности
Съемные рабочие поверхности без инструментов облегчают перемещение через узкие дверные проемы
Размеры столов для различных планировок помещений: 30 x 54 дюйма, 48 x 54 дюйма и 60 x 54 дюйма (при высоте 36 дюймов)
Материалы рабочей поверхности: ламинат, деревянный брусок или фенольная смола
Варианты хранения: отделение для хранения вещей или вместительная сумка с запирающимися дверцами или без них
Дополнительные модули питания, крючки для сумок и съемные полки
Конструкция
Испытано на статическую нагрузку до 2000 фунтов
Основание представляет собой прочную стальную конструкцию, окрашенную порошковой краской – основания и дверцы могут быть окрашены в разные цвета
Стойки основания и рамы имеют сварные стальные усиливающие элементы 18 калибра для повышенной прочности
Запирающиеся 3-дюймовые ролики промышленного класса обеспечивают мобильность и надежность
Модули питания
имеют 120 В переменного тока и беспроводную зарядку USB-A, USB-C и/или Qi
Посмотреть брошюру и техническую документацию
Особенности продукта
Варианты прочной поверхности
Три различных рабочих поверхности способствуют активному обучению: деревянный брусок, ламинат или фенольная смола.
Встроенное хранилище
Хранение в базе позволяет хранить учебные материалы под рукой и поддерживать порядок в учебных помещениях. Ящики и ящики для хранения вещей доступны с запирающимися дверцами или без них. Блоки с дверьми предлагаются с опциональными контрастными цветами.
Легко вставляется в дверные проемы
Съемные рабочие поверхности без инструментов и двухкомпонентные основания облегчают перемещение.
Цена по прейскуранту начинается с
^$ 1,686 – ^$ 5,494
Срок поставки
6* недель
*Для рабочих столов Ruckus с цифровыми замками или разделочными блоками срок поставки составляет 7 недель. Для рабочих столов Ruckus со столешницами из фенольной смолы время выполнения заказа составляет 8 недель.
Запросить цену
Чтобы запросить цену на этот продукт, заполните форму ниже, и представитель KI свяжется с вами в ближайшее время.
Оставить комментарий on Стьюдента таблицы: Таблица значений критерия Стьюдента (t-критерия)/
Значения тангенса таблица: Таблица тангенсов. Тангенсы углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенсов углов, tg
alexxlab / 09.06.202325.04.2023 / Разное
Таблица тангенсов.
Таблица тангенсов — это записанные в таблицу посчитанные значения тангенсов углов от 0° до 360°. Используя таблицу тангенсов Вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение тангенса от нужного Вам угла достаточно найти его в таблице.
Вычислить тангенс угла
tg(°) = 0
Таблица тангенсов в радианах
α 0 π6 π4 π3 π2 π 3π2 2π
tg α 0 √33 1 √3 ∞ 0 ∞ 0
Таблица тангенсов углов от 0° до 180°
tg(0°) = 0
tg(1°) = 0.01746
tg(2°) = 0.03492
tg(3°) = 0.05241
tg(4°) = 0.06993
tg(5°) = 0.08749
tg(6°) = 0.1051
tg(7°) = 0.12278
tg(8°) = 0.14054
tg(9°) = 0.15838
tg(10°) = 0.17633
tg(11°) = 0.19438
tg(12°) = 0. 21256
tg(13°) = 0.23087
tg(14°) = 0.24933
tg(15°) = 0.26795
tg(16°) = 0.28675
tg(17°) = 0.30573
tg(18°) = 0.32492
tg(19°) = 0.34433
tg(20°) = 0.36397
tg(21°) = 0.38386
tg(22°) = 0.40403
tg(23°) = 0.42447
tg(24°) = 0.44523
tg(25°) = 0.46631
tg(26°) = 0.48773
tg(27°) = 0.50953
tg(28°) = 0.53171
tg(29°) = 0.55431
tg(30°) = 0.57735
tg(31°) = 0.60086
tg(32°) = 0.62487
tg(33°) = 0.64941
tg(34°) = 0.67451
tg(35°) = 0.70021
tg(36°) = 0.72654
tg(37°) = 0.75355
tg(38°) = 0.78129
tg(39°) = 0.80978
tg(40°) = 0.8391
tg(41°) = 0.86929
tg(42°) = 0.9004
tg(43°) = 0.93252
tg(44°) = 0.96569
tg(45°) = 1
tg(46°) = 1.03553
tg(47°) = 1.07237
tg(48°) = 1.11061
tg(49°) = 1.15037
tg(50°) = 1.19175
tg(51°) = 1.2349
tg(52°) = 1.27994
tg(53°) = 1.32704
tg(54°) = 1.37638
tg(55°) = 1.42815
tg(56°) = 1.48256
tg(57°) = 1.53986
tg(58°) = 1. 60033
tg(59°) = 1.66428
tg(60°) = 1.73205
tg(61°) = 1.80405
tg(62°) = 1.88073
tg(63°) = 1.96261
tg(64°) = 2.0503
tg(65°) = 2.14451
tg(66°) = 2.24604
tg(67°) = 2.35585
tg(68°) = 2.47509
tg(69°) = 2.60509
tg(70°) = 2.74748
tg(71°) = 2.90421
tg(72°) = 3.07768
tg(73°) = 3.27085
tg(74°) = 3.48741
tg(75°) = 3.73205
tg(76°) = 4.01078
tg(77°) = 4.33148
tg(78°) = 4.70463
tg(79°) = 5.14455
tg(80°) = 5.67128
tg(81°) = 6.31375
tg(82°) = 7.11537
tg(83°) = 8.14435
tg(84°) = 9.51436
tg(85°) = 11.43005
tg(86°) = 14.30067
tg(87°) = 19.08114
tg(88°) = 28.63625
tg(89°) = 57.28996
tg(90°) = ∞
tg(91°) = -57.28996
tg(92°) = -28.63625
tg(93°) = -19.08114
tg(94°) = -14.30067
tg(95°) = -11.43005
tg(96°) = -9.51436
tg(97°) = -8.14435
tg(98°) = -7.11537
tg(99°) = -6.31375
tg(100°) = -5.67128
tg(101°) = -5.14455
tg(102°) = -4.70463
tg(103°) = -4. 33148
tg(104°) = -4.01078
tg(105°) = -3.73205
tg(106°) = -3.48741
tg(107°) = -3.27085
tg(108°) = -3.07768
tg(109°) = -2.90421
tg(110°) = -2.74748
tg(111°) = -2.60509
tg(112°) = -2.47509
tg(113°) = -2.35585
tg(114°) = -2.24604
tg(115°) = -2.14451
tg(116°) = -2.0503
tg(117°) = -1.96261
tg(118°) = -1.88073
tg(119°) = -1.80405
tg(120°) = -1.73205
tg(121°) = -1.66428
tg(122°) = -1.60033
tg(123°) = -1.53986
tg(124°) = -1.48256
tg(125°) = -1.42815
tg(126°) = -1.37638
tg(127°) = -1.32704
tg(128°) = -1.27994
tg(129°) = -1.2349
tg(130°) = -1.19175
tg(131°) = -1.15037
tg(132°) = -1.11061
tg(133°) = -1.07237
tg(134°) = -1.03553
tg(135°) = -1
tg(136°) = -0.96569
tg(137°) = -0.93252
tg(138°) = -0.9004
tg(139°) = -0.86929
tg(140°) = -0.8391
tg(141°) = -0.80978
tg(142°) = -0.78129
tg(143°) = -0.75355
tg(144°) = -0.72654
tg(145°) = -0. 70021
tg(146°) = -0.67451
tg(147°) = -0.64941
tg(148°) = -0.62487
tg(149°) = -0.60086
tg(150°) = -0.57735
tg(151°) = -0.55431
tg(152°) = -0.53171
tg(153°) = -0.50953
tg(154°) = -0.48773
tg(155°) = -0.46631
tg(156°) = -0.44523
tg(157°) = -0.42447
tg(158°) = -0.40403
tg(159°) = -0.38386
tg(160°) = -0.36397
tg(161°) = -0.34433
tg(162°) = -0.32492
tg(163°) = -0.30573
tg(164°) = -0.28675
tg(165°) = -0.26795
tg(166°) = -0.24933
tg(167°) = -0.23087
tg(168°) = -0.21256
tg(169°) = -0.19438
tg(170°) = -0.17633
tg(171°) = -0.15838
tg(172°) = -0.14054
tg(173°) = -0.12278
tg(174°) = -0.1051
tg(175°) = -0.08749
tg(176°) = -0.06993
tg(177°) = -0.05241
tg(178°) = -0.03492
tg(179°) = -0.01746
tg(180°) = 0
Таблица тангенсов углов от 181° до 360°
tg(181°) = 0.01746
tg(182°) = 0.03492
tg(183°) = 0. 05241
tg(184°) = 0.06993
tg(185°) = 0.08749
tg(186°) = 0.1051
tg(187°) = 0.12278
tg(188°) = 0.14054
tg(189°) = 0.15838
tg(190°) = 0.17633
tg(191°) = 0.19438
tg(192°) = 0.21256
tg(193°) = 0.23087
tg(194°) = 0.24933
tg(195°) = 0.26795
tg(196°) = 0.28675
tg(197°) = 0.30573
tg(198°) = 0.32492
tg(199°) = 0.34433
tg(200°) = 0.36397
tg(201°) = 0.38386
tg(202°) = 0.40403
tg(203°) = 0.42447
tg(204°) = 0.44523
tg(205°) = 0.46631
tg(206°) = 0.48773
tg(207°) = 0.50953
tg(208°) = 0.53171
tg(209°) = 0.55431
tg(210°) = 0.57735
tg(211°) = 0.60086
tg(212°) = 0.62487
tg(213°) = 0.64941
tg(214°) = 0.67451
tg(215°) = 0.70021
tg(216°) = 0.72654
tg(217°) = 0.75355
tg(218°) = 0.78129
tg(219°) = 0.80978
tg(220°) = 0.8391
tg(221°) = 0.86929
tg(222°) = 0.9004
tg(223°) = 0.93252
tg(224°) = 0.96569
tg(225°) = 1
tg(226°) = 1.03553
tg(227°) = 1. 07237
tg(228°) = 1.11061
tg(229°) = 1.15037
tg(230°) = 1.19175
tg(231°) = 1.2349
tg(232°) = 1.27994
tg(233°) = 1.32704
tg(234°) = 1.37638
tg(235°) = 1.42815
tg(236°) = 1.48256
tg(237°) = 1.53986
tg(238°) = 1.60033
tg(239°) = 1.66428
tg(240°) = 1.73205
tg(241°) = 1.80405
tg(242°) = 1.88073
tg(243°) = 1.96261
tg(244°) = 2.0503
tg(245°) = 2.14451
tg(246°) = 2.24604
tg(247°) = 2.35585
tg(248°) = 2.47509
tg(249°) = 2.60509
tg(250°) = 2.74748
tg(251°) = 2.90421
tg(252°) = 3.07768
tg(253°) = 3.27085
tg(254°) = 3.48741
tg(255°) = 3.73205
tg(256°) = 4.01078
tg(257°) = 4.33148
tg(258°) = 4.70463
tg(259°) = 5.14455
tg(260°) = 5.67128
tg(261°) = 6.31375
tg(262°) = 7.11537
tg(263°) = 8.14435
tg(264°) = 9.51436
tg(265°) = 11.43005
tg(266°) = 14.30067
tg(267°) = 19.08114
tg(268°) = 28.63625
tg(269°) = 57.28996
tg(270°) = ∞
tg(271°) = -57. 28996
tg(272°) = -28.63625
tg(273°) = -19.08114
tg(274°) = -14.30067
tg(275°) = -11.43005
tg(276°) = -9.51436
tg(277°) = -8.14435
tg(278°) = -7.11537
tg(279°) = -6.31375
tg(280°) = -5.67128
tg(281°) = -5.14455
tg(282°) = -4.70463
tg(283°) = -4.33148
tg(284°) = -4.01078
tg(285°) = -3.73205
tg(286°) = -3.48741
tg(287°) = -3.27085
tg(288°) = -3.07768
tg(289°) = -2.90421
tg(290°) = -2.74748
tg(291°) = -2.60509
tg(292°) = -2.47509
tg(293°) = -2.35585
tg(294°) = -2.24604
tg(295°) = -2.14451
tg(296°) = -2.0503
tg(297°) = -1.96261
tg(298°) = -1.88073
tg(299°) = -1.80405
tg(300°) = -1.73205
tg(301°) = -1.66428
tg(302°) = -1.60033
tg(303°) = -1.53986
tg(304°) = -1.48256
tg(305°) = -1.42815
tg(306°) = -1.37638
tg(307°) = -1.32704
tg(308°) = -1.27994
tg(309°) = -1.2349
tg(310°) = -1.19175
tg(311°) = -1.15037
tg(312°) = -1.11061
tg(313°) = -1. 07237
tg(314°) = -1.03553
tg(315°) = -1
tg(316°) = -0.96569
tg(317°) = -0.93252
tg(318°) = -0.9004
tg(319°) = -0.86929
tg(320°) = -0.8391
tg(321°) = -0.80978
tg(322°) = -0.78129
tg(323°) = -0.75355
tg(324°) = -0.72654
tg(325°) = -0.70021
tg(326°) = -0.67451
tg(327°) = -0.64941
tg(328°) = -0.62487
tg(329°) = -0.60086
tg(330°) = -0.57735
tg(331°) = -0.55431
tg(332°) = -0.53171
tg(333°) = -0.50953
tg(334°) = -0.48773
tg(335°) = -0.46631
tg(336°) = -0.44523
tg(337°) = -0.42447
tg(338°) = -0.40403
tg(339°) = -0.38386
tg(340°) = -0.36397
tg(341°) = -0.34433
tg(342°) = -0.32492
tg(343°) = -0.30573
tg(344°) = -0.28675
tg(345°) = -0.26795
tg(346°) = -0.24933
tg(347°) = -0.23087
tg(348°) = -0.21256
tg(349°) = -0.19438
tg(350°) = -0.17633
tg(351°) = -0.15838
tg(352°) = -0.14054
tg(353°) = -0.12278
tg(354°) = -0.1051
tg(355°) = -0.08749
tg(356°) = -0. 06993
tg(357°) = -0.05241
tg(358°) = -0.03492
tg(359°) = -0.01746
tg(360°) = 0
Таблицы значений тригонометрических функций Таблицу синусов Таблица косинусов Таблица котангенсов Сводная таблица тригонометрических функций
Тригонометрические формулы
Все таблицы и формулы
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Таблица Брадиса — ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОТ АРГУМЕНТА В РАДИАНАХ
Тригонометрически функции от аргумента в радианах (Таблица Брадиса 12)
Таблица брадиса 12 не содержит тех готовых поправок, какие даны почти во всех других таблицах брадиса, а потому, чтобы получить значение тригонометрической функции для промежуточного значения аргумента, надо полностью провести операцию линейного интерполирования, о которой говорится ниже. Особой осторожности требует интерполирование значений тангенса: необходимо предварительно выяснить, законна ли на данном участке таблицы операция линейного интерполирования, т. е. имеется ли на этом участке достаточно равномерное изменение функции; если не имеется, то значения функции надо округлить, чтобы их изменение стало почти равномерным. Так, при изменении х от 1,30 до 1,12 табличные разности равны 2,0143 — 1,9648 — 0,0495 и 2,0660 — 2,0143 = 0,0517, линейная интерполяция недопустима, но становится допустимой, если предварительно округлить табличные значения до тысячных, так как 2,014 — 1,965 = 0,049 и 2,066 — 2,014 = 0,052, соседние табличные разности отличаются одна от другой меньше чем на 4 единицы разряда последней цифры.

X sin х cos x tg x X sin x cos x tg x X sin x cos x tg x
0,00 0,0000 1,0000 0,0000 0,40 0,3894 0,9211 0,4228 0,80 0,7174 0,6967 1,0296
0,01 0100 1,0000 0100 0,41 3986 9171 4346 0,81 7243 6895 0505
0,02 0200 0,9998 0200 0,42 4078 9131 4466 0,82 7311 6822 0717
0,03 0300 9996 0300 0,43 4169 9090 4586 0,83 7379 6749 0934
0,04 0400 9992 0400 0,44 4259 9048 4708 0,84 7446 6675 1156
0,05 0500 9988 0500 0,45 4350 9004 4831 0,85 7513 6600 1383
0,06 0600 9982 0601 0,46 4439 8961 4954 0,86 7578 6524 1616
0,07 0699 9976 0701 0,47 4529 8916 5080 0,87 7643 6448 1853
0,08 0799 9968 0802 0,48 4618 8870 5206 0,88 7707 6372 2097
0,09 0899 9960 0902 0,49 4706 8823 5334 0,89 7771 6294 2346
0,10 0,0998 0,9950 0,1003 0,50 0,4794 0,8776 0,5463 0,90 0,7833 0,6216 1,2602
0,11 1098 9940 1105 0,51 4882 8727 5594 0,91 7895 6137 2864
0,12 1197 9928 1206 0,52 4969 8678 5726 0,92 7956 6058 3133
0,13 1296 9916 1307 0,53 5055 8628 5859 0,93 8016 5978 3409
0,14 1395 9902 1409 0,54 5141 8577 5994 0,94 8076 5898 3692
0,15 1494 9888 1511 o. sa 5227 8525 6131 0,95 8134 5817 3984
0,16 1593 9872 1614 0,56 5312 8473 6269 0,96 8192 5735 4284
0,17 1692 9856 1717 0,57 5396 8419 6410 0,97 8249 5653 4592
0,18 1790 9838 1820 0,58 5480 8365 6552 0,98 8305 5570 4910
0,19 1889 9820 1923 0,59 5564 8309 6696 0,99 8360 5487 5237
0,20 0,1987 0,9801 0,2027 0,60 0,5646 0,8253 0,6841 1,00 0,8415 0,5403 1,5574
0,21 2085 9780 2131 0,61 5729 8196 6989 1,01 8468 5319 5922
0,22 2182 9759 2236 0,62 5810 8139 7139 1,02 8521 5234 6281
0,23 2280 9737 2341 0,63 5891 8080 7291 1,03 8573 5148 6652
0,24 2377 9713 2447 0,64 5972 8021 7445 1,04 8624 5062 7036
0,25 2474 9689 2553 0,65 6052 7961 7602 1,05 8674 4976 7433
0,26 2571 9664 2660 0,66 6131 7900 7761 1,06 8724 4889 7844
0,27 2667 9638 2768 0,67 6210
7838 7923 1,07 8772 4801 8270
0,28 2764 9611 2875 0,68 6288 7776 8087 1,08 8820 4713 8712
0,29 2860 9582 2984 0,69 6365 7712 8253 1,09 8866 4625 9171
0,30 0,2955 0,9553 0,3093 0,70 0,6442 0,7648 0,8423 1,10 0,8912 0,4536 1,9648
0,31 3051 9523 3203 0,71 6518 7584 8595 1,11 8957 4447 2,0143
0,32 3146 9492 3314 0,72 6594 7518 8771 1,12 9001 4357 0660
0,33 3240 9460 3425 0,73 6669 7452 8949 1,13 9044 4267 1198
0,34 3335 9428 3537 0,74 6743 7385 9131 1,14 9086 4176 1759
0,35 3429 9394 3650 0,75 6816 7317 9316 1,15 9128 4085 2345
0,36 3523 9359 3764 0,76 6889 7248 9505 1,16 9168 3993 2958
0,37 3616 9323 3879 0,77 6961 7179 9697 1,17 9208 3902 3600
0,38 3709 9287 3994 0,78 7033 7109 0,9883 1,18 9246 3809 4273
0,39 3802 9249 4111 0,79 7104 7038 1,0092 1,19 9284 3717 4979
X sin х cos x tg x X sin x cos x tg x X sin x cos x tg x
X sin х cos x tg x X sin x cos x tg x X sin x cos x tg x
1,20 0,9320 0,3624 2,572 1,60 0,9996 — 0,0292 — 34,233 2,00 0,9093 — 0,4161 — 2,1850
1,21 9356 3530 650 1,61 9992 0392 — 25,495 2,01 9051 4252 1285
1,22 9391 3436 733 1,62 9988 0492 — 20,307 2,02 9008 4342 0744
1,23 9425 3342 820 1,63 9982 0592 — 16,871 2,03 8964 4432 0224
1,24 9458 3248 912 1,64 9976 0691 — 14,427 2. 04 8919 4522 — 1,9725
1.25 9490 3153 3,010 1,65 9969 0791 — 12,599 2,05 8874 4611 9246
1,26 9521 3058 113 1,66 9960 0891 — 11,181 2.06 8827 4699 8784
1,27 9551 2963 224 1,67 9951 0990 — 10,047 2,07 8780 4787 8340
1,28 9580 2867 341 1,68 9940 1090 — 9,1208 2,08 8731 4875 7911
1,29 9608 2771 467 1,69 9929 1189 — 8,3492 2,09 8682 4962 7498
1,30 0,9636 0,2675 3,602 1,70 0,9917 — 0,1288 — 7,6966 2,10 0,8632 — 0,5048 — 1,7098
1,31 9662 2579 747 1,71 9903 1388 — 7,1373 2,11 8581 5135 6713
1,32 9687 2482 903 1,72 9889 I486 — 6,6524 2,12 8529 5220 6340
1,33 9711 2385 4,072 1,73 9874 1585 — 6,2281 2,13 8477 5305 5979
1,34 9735 2288 256 1,74 9857 1684 — 5,8535 2,14 8423 5390 5629
1,35 9757 2190 455 1,75 9840 1782 — 5,5204 2,15 8369 5474 5290
1,36 9779 2092 673 1,76 9822 1881 — 5,2221 2,16 8314 5557 4961
1,37 9799 1994 913 1. 77 9802 1979 — 4,9534 2,17 8258 5640 4642
1,38 9819 1896 5,177 1,78 9782 2077 — 4,7101 2,18 8201 5722 4332
1,39 9837 1798 471 1,79 9761 2175 — 4,4887 2,19 8143 5804 4031
1,40 0,9854 0,1700 5,798 1,80 0,9738 — 0,2272 — 4,2863 2,20 0,8085 — 0,5885 — 1,3738
1,41 9871 1601 6,165 1,81 9715 2369 — 4,1005 2,21 8026 5966 3453
1,42 9887 1502 6,581 1,82 9691 2466 — 3,9294 2,22 7966 6046 3176
1,43 9901 1403 7,055 1,83 9666 2563 — 3,7712 2,23 7905 6125 2906
1,44 9915 1304 7,602 1,84 9640 2660 — 3,6245 2,24 7843 6204 2643
1,45 9927 1205 8,238 1,85 9613 2756 — 3,4881 2,25 7781 6282 2386
1,46 9939 1106 8,989 1,86 9585 2852 — 3,3608 2,26 7717 6359 2136
1,47 9949 1006 9,887 1,87 9556 2948 — 3,2419 2,27 7654 6436 1892
1,48 9959 0907 10,983 1,88 9526 3043 — 3,1304 2,28 7589 6512 1653
1,49 9967 0807 12,350 1,89 9. 495 3138 — 3,0257 2,29 7523 6588 1420
1,50 0,9975 0,0707 14,10 1,90 0,9463 — 0,3233 — 2,9271 2,30 0,7457 — 0,6663 — 1,1192
1,51 9982 0608 16,43 1,91 9430 3327 8341 2,31 7390 6737 0969
1,52 9987 0508 19,67 1,92 9396 3421 7463 2,32 7322 6811 0751
1,53 9992 0408 24,50 1,93 9362 3515 6632 2,33 7254 6883 0638
1,54 9995 0308 32,46 1,94 9326 3609 5843 2,34 7185 6956 0329
1,55 9998 0208 48,08 1,95 9290 3702 5095 2,35 7115 7027 0125
1,56 9999 0108 92,62 1,96 9252 3795 4383 2,36 7044 7098 — 0,9924
1,57 1,0000 0008 1256 1,97 9214 3887 3705 2,37 6973 7168 9728
1,58 1,0000 — 0,0092 — 108,6 1,98 9174 3979 3058 2,38 6901 7237 9535
1,59 0,9998 — 0,0192 — 52,07 1,99 9134 4070 2441 2,39 6828 7306 9346
X sin х cos x tg x X sin X cos x tg x X sin x cos x tg x
_______________
Источник информации: Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для средней школы. / В.М. Брадис . — 57-е изд., — М.: Просвещение, 1990.
Таблица касательных | Кубенс
Таблица тангенсов записывается в таблицу расчетных значений тангенсов углов от 0° до 360°. С помощью таблицы тангенсов можно производить расчеты, даже если под рукой не окажется научного калькулятора. Чтобы узнать значение тангенса искомого угла, достаточно найти его в таблице.
Используя таблицу тангенсов, можно произвести расчет, даже если под рукой не окажется научного калькулятора.
Чтобы найти значение тангенса угла достаточно воспользоваться этой таблицей.
Таблица тангенсов в радианах
α 0 №/6 №/4 №/3 π/2 № 3π/2 2π
тг α
Таблица тангенсов вместе с таблицей косинусов и таблицей синусов изучается в начале тригонометрии. Без понимания таблицы тангенсов будет очень сложно изучать тригонометрию и применять тригонометрические формулы.
Тригонометрические функции имеют большое практическое значение в геометрии. По сути это только показатели отношения различных сторон прямоугольного треугольника друг к другу, они могут помочь в решении большинства задач, результат которых сводится к решениям прямоугольных треугольников.
Одна из основных тригонометрических функций тангенс. Поэтому в этой таблице тангенсов вы сможете найти любое значение тангенса.
Таблица тангенсов углов от 0° до 180°
Таблица тангенсов углов от 0° до 180°
tg ) = -1,96261
tg(118°) = -1,88073
tg(119°) = -1,80405
tg(120°) = -1,73205 tg ) = -1,37638
tg(127°) = -1,32704
tg(128°) = -1,27994
tg(129°) = -1,2349
tg(130°) = -1,19175
tg(131°) = -1,15037
tg(132°) = -1,11061
tg(133°) = -1,07237
tg(134°) = -1,03553
tg(135°) = -1 tg 136°) = -0,96569
tg(137°) = -0,93252
tg(138°) = -0,9004
tg(139°) = -0,86929
tg(140°) = -0,8391
tg(141°) = — 0,80978
tg(142°) = -0,78129
tg(143°) = -0,75355
tg(144°) = -0,72654
tg(145°) = -0,70021
tg(146°) = -0,607485 °) = -0,64941
tg(148°) = -0,62487
tg(149°) = -0,60086
tg(150°) = -0,57735
tg(151°) = -0,55431
tg(152°) = -0,53171
tg(153°) = -0,50953
tg(154°) = -0,48773
tg(155°) = -0,46631 tg ) = -0,44523
tg(157°) = -0,42447
tg(158°) = -0,40403
tg(159°) = -0,38386
tg(160°) = -0,36397
tg(161°)4 = -0,
tg(162°) = -0,32492
tg(163°) = -0,30573
tg(164°) = -0,28675
tg(165°) = -0,26795
tg(166°) = -0,24933
tg(16784 tg) = -0,23087
tg(168°) = -0,21256
tg(169°) = -0,19438
tg(170°) = -0,17633
tg(171°) = -0,15838
tg(172°) = -0,14054
tg(173°) = -0,12278
tg(174°) = -0,1051
tg(175°) = -0,087496 tg° ) = -0,06993
tg(177°) = -0,05241
tg(178°) = -0,03492
tg(179°) = -0,01746
tg(180°) = 0
tg(0°) = 0 4 9070 tg(1) г (2°) = 0,03492
tg(3°) = 0,05241
tg(4°) = 0,06993
tg(5°) = 0,08749
tg(6°) = 0,1051
tg(7°) = 0,12274 tg(9008) °) = 0,14054
tg(9°) = 0,15838
tg(10°) = 0,17633
tg(11°) = 0,19438
tg(12°) = 0,21256
tg(13°) = 0,23087
tg(14°) г (15°) = 0,26795
tg(16°) = 0,28675
tg(17°) = 0,30573
tg(18°) = 0,32492
tg(19°) = 0,34433
tg(20°) = 1 4 0,3083 °) = 0,38386
tg(22°) = 0,40403
tg(23°) = 0,42447
tg(24°) = 0,44523
tg(25°) = 0,46631
tg(26°) = 0,4087747° = 0,50953
tg(28°) = 0,53171
tg(29°) = 0,55431
tg(30°) = 0,57735
tg(31°) = 0,60086
tg(32°) = 0,62487
tg(33°) = 0,64941
tg(34°) = 0,67451
tg(3,5084) тг (36°) = 0,72654
tg(37°) = 0,75355
tg(38°) = 0,78129
tg(39°) = 0,80978
tg(40°) = 0,8391
tg(41°) = 0,90692 °) = 0,9004
tg(43°) = 0,93252
tg(44°) = 0,96569
tg(45°) = 1
tg(46°) = 1,03553
tg(47°)4 = 1,09 tg(47°)24 °) = 1,11061
tg(49°) = 1,15037
tg(50°) = 1,19175
tg(51°) = 1,2349
tg(52°) = 1,27994
tg(53°) = 1,32704
tg(54°) = 1,37638
tg(55°) = 1,428915 5(1,0084)02 084 tg(57°) = 1,53986
tg(58°) = 1,60033
tg(59°) = 1,66428
tg(60°) = 1,73205 tg(61°) = 1,80405
tg(62°) = 1,88073
tg(63°) = 1,96261
tg(64°) = 2,0503
tg(65°) = 2,14451
tg(62084) 4)4 тг (67°) = 2,35585
tg(68°) = 2,47509
tg(69°) = 2,60509
tg(70°) = 2,74748
tg(71°) = 2,

tg(72°) = 3,07768
tg(73°) = 3,27085
tg(74°) = 3,48741
tg(75°) = 3,73205
tg(76°) = 1°) tg(76°) = 4,01073 8

tg(78°) = 4,70463
tg(79°) = 5,14455
tg(80°) = 5,67128
tg(81°) = 6,31375
tg(82°) = 7,11537
tg(81°)4 = 8,11537
tg(81°)4 = 8,11537
tg(81°)4 84°) = 9,51436
tg(85°) = 11,43005
tg(86°) = 14,30067
tg(87°) = 19,08114
tg(88°) = 28,63625
tg(89°) 9 11 тг(90 °) = ∞
tg(91°) = -57,28996
tg(92°) = -28,63625
tg(93°) = -19,08114
tg(94°) = -14,30067
tg(95°) = -11,43005
tg(96°) = -9,51436
° tg ) = -8,14435
tg(98°) = -7,11537
tg(99°) = -6,31375
tg(100°) = -5,67128
tg(101°) = -5,14455
tg(102°) = -4,70486 tg(103°) = -4,33148
tg(104°) = -4,01078
tg(105°) = -3,73205
tg(106°) = -3,48741
tg(107°) = -3,27085
tg(10084 tg) = -3,07768
тг(109°) = -2,

тг(110°) = -2,74748
тг(111°) = -2,60509
tg(112°) = -2,47509
tg(113°) = -2,35585
tg(114°) = -2,24604
tg(115°) = -2,14451
tg(116°) = -2,0503
tg(121°) = -1,66428
tg(122°) = -1,60033
tg(123°) = -1,53986
tg(124°) = -1,48256
tg(125°) = -1,42815
ТАНГАНТА 0 (нулевая касательная)
равна (равна нулю)
1 ТАНГЕНТ (коричневая единица)
Равное
Тангентная 3 (три тангенса)
. 0 тангенс (тангенс 90 градусов)
(до бесконечности)
тангенс 30 (тангенс 30 градусов)
равен
тангенс 45 (тангенс 45 градусов)
равен
тангенс 6 (тангенс 60 градусов)
равно
Таблица тангенсов углов от 181° до 360°
tg ) = -0,55431
tg(332°) = -0,53171
tg(333°) = -0,50953
tg(334°) = -0,48773
tg(335°) = -0,46631
tg(336°) = -0,944852 = -0,944852 tg(337°) = -0,42447
tg(338°) = -0,40403
tg(339°) = -0,38386
tg(340°) = -0,36397
tg(341°) = -0,34433
tg(34284 tg) = -0,32492
tg(343°) = -0,30573
tg(344°) = -0,28675
tg(345°) = -0,26795
tg(346°) = -0,24933
tg(347°) = -0,23087
tg(348°) = -0,21256
tg(349°) = -0,19438
tg(350°) = -0,17634 tg °) = -0,15838
tg(352°) = -0,14054
tg(353°) = -0,12278
tg(354°) = -0,1051
tg(355°) = -0,08749
tg(356°9) = -0,0,0,0,0084 tg(356°9)
tg(357°) = -0,05241
tg(358°) = -0,03492
tg(359°) = -0,01746
tg(360°) = 0
tg(181°) = 0,01746
tg(182°) 89 4) 0,034 0,034 = 0,05241
tg(184°) = 0,06993
tg(185°) = 0,08749
tg(186°) = 0,1051
tg(187°) = 0,12278
tg(188°) = 0,14054
tg(189°) = 0,15838
tg(190°) = 0,17633
tg(191°) = 0,1

tg
тг (193°) = 0,23087
tg(194°) = 0,24933
tg(195°) = 0,26795
tg(196°) = 0,28675
tg(197°) = 0,30573
tg(1982)08 (199 °) = 0,34433
tg(200°) = 0,36397
tg(201°) = 0,38386
tg(202°) = 0,40403
tg(203°) = 0,42447
tg(204°) 2 5 0 4 4 2 3 0 4 4 °) = 0,46631
tg(206°) = 0,48773
tg(207°) = 0,50953
tg(208°) = 0,53171
tg(209°) = 0,55431
tg(210°) = 0,57735
tg(211°) = 0,60086
tg(212°) = 0,624843 4g 900 941
tg(214°) = 0,67451
tg(215°) = 0,70021
tg(216°) = 0,72654
tg(217°) = 0,75355
tg(218°) = 0,78129° 0 0
tg(21,984 tg(21,84) тг( 220°) = 0,8391
tg(221°) = 0,86929
tg(222°) = 0,9004
tg(223°) = 0,93252
tg(224°) = 0,96569
900)02 5 tg(2 12 5 tg(220°) 4 тг( 226°) = 1,03553
tg(227°) = 1,07237
tg(228°) = 1,11061
tg(229°) = 1,15037
tg(230°) = 1,19175
tg(231°) = 1,2349
tg(232°) = 1,27994 7 2(
) 0084 тг (234°) = 1,37638
tg(235°) = 1,42815
tg(236°) = 1,48256
tg(237°) = 1,53986
tg(238°) = 1,60033
tg28 8,6604 (240 °) = 1,73205 tg(241°) = 1,80405
tg(242°) = 1,88073
tg(243°) = 1,96261
tg(244°) = 2,0503
tg(245°) = 2,14451
tg
тг (247°) = 2,35585·
tg(248°) = 2,47509
tg(249°) = 2,60509
tg(250°) = 2,74748
tg(251°) = 2,

tg(252°) = 3,07768
tg
тг (254°) = 3,48741
tg(255°) = 3,73205
tg(256°) = 4,01078
tg(257°) = 4,33148
tg(258°) = 4,70463
tg(2594)08 5 tg(2594)04 (260 °) = 5,67128
tg(261°) = 6,31375
tg(262°) = 7,11537
tg(263°) = 8,14435
tg(264°) = 9,51436
tg(26 tg)30 0 4 9 4 0 2 0 4 9 4 0 6°) = 14,30067
тг(267°) = 19,08114
tg(268°) = 28,63625
tg(269°) = 57,28996
tg(270°) = ∞
tg(271°) = -57,28996
tg(272°) = -253 806,6 °) = -19,08114
tg(274°) = -14,30067
tg(275°) = -11,43005
tg(276°) = -9,51436
tg(277°) = -8,14435
tg(271°)1 = -7,9084 tg(271°)15 = -7,9084 tg(271°)15 = -7,9084 tg(271°)1 (279°) = -6,31375
tg(280°) = -5,67128
tg(281°) = -5,14455
tg(282°) = -4,70463
tg(283°) = -4,33148
tg(284°) = -4,01078
tg(285°) = -3,73205
tg(286°) = -3,48741
tg(287°) = -3,27085
tg(288°) = -3,07768
tg(289°) = -2,

tg(290°) = -2,74748
tg(291°) = -2,60509
t° ) = -2,47509
tg(293°) = -2,35585
tg(294°) = -2,24604
tg(295°) = -2,14451
tg(296°) = -2,0503
tg(297°)2 = -1,9086 tg(298°) = -1,88073
tg(299°) = -1,80405
tg(300°) = -1,73205
tg(301°) = -1,66428
tg(302°) = -1,60033
tg(303°) = -1,53986
tg(304°) = -1,48256
tg(305°) = -1,42815
tg(306°) = -1,37638
tg(307°) = -1,32704
tg(308°) = -1,27994
tg(309°) = -1,2349
tg(310°) = -1,19175 4 tg° ) = -1,15037
tg(312°) = -1,11061
tg(313°) = -1,07237
tg(314°) = -1,03553
tg(315°) = -1
tg(-316°) 0,96569
tg(317°) = -0,93252
tg(318°) = -0,9004
tg(319°) = -0,86929
tg(320°) = -0,8391
tg(321°) = -0,808432 tg(321°) = -0,808432 t °) = -0,78129
tg(323°) = -0,75355
tg(324°) = -0,72654
tg(325°) = -0,70021
tg(326°) = -0,67451
tg(327°) = -0,64941
tg(328°) = -0,62487
tg(329°) = -0,60086
tg(330°) = -0,57735
Помимо таблицы тангенсов , на нашем сайте вы можете просмотреть таблицу косинусов, таблицу котангенсов, таблицу синусов.
Таблицы тригонометрических функций
Калькуляторы и таблицы используются для определения значений тригонометрических функций. Большинство научных калькуляторов имеют функциональные кнопки для нахождения синуса, косинуса и тангенса углов. Величина угла вводится в градусах или радианах, в зависимости от настройки калькулятора. Здесь будет использоваться градусная мера, если специально не указано иное. При решении задач с использованием тригонометрических функций либо известен угол и необходимо найти значение тригонометрической функции, либо известно значение тригонометрической функции и необходимо найти угол. Эти два процесса обратны друг другу. Обратные обозначения используются для выражения угла через значение тригонометрической функции. Выражение sin θ = 0,4295 можно записать как θ = Sin ⁻¹ 0,4295 или θ = Arcsin0,4295, и оба эти уравнения читаются как «тета равно Arcsin 0,4295». Иногда используется выражение «обратный синус 0,4295». Некоторые калькуляторы имеют кнопку с пометкой «дуга», которая нажимается перед функциональной клавишей, чтобы выразить функции «дуги». Дуговые функции используются для нахождения меры угла, если известно значение тригонометрической функции. Если таблицы используются вместо калькулятора, одна и та же таблица используется для любого процесса. Примечание. Использование калькуляторов или таблиц дает только приблизительные ответы. Тем не менее, вместо приблизительного знака (≈ или ≅) иногда используется знак равенства (=).
Пример 1: Чему равен синус 48°?

Пример 2: Косинус какого угла равен 0,3912?

Хотя калькулятор может легко найти тригонометрические функции дробной меры угла, это может быть неверно, если для поиска значений необходимо использовать таблицу. Таблицы не могут перечислить всех углов. Поэтому для нахождения значений между значениями, перечисленными в таблице, необходимо использовать аппроксимацию. Этот метод известен как линейная интерполяция . Сделано предположение, что различия в значениях функций прямо пропорциональны различиям мер углов на малых интервалах . На самом деле это не так, но дает лучший ответ, чем простое использование ближайшего значения в таблице. Этот метод иллюстрируется следующими примерами.
Пример 3 : Используя линейную интерполяцию, найдите тангенс 28,43°, учитывая, что тангенс 28,40° = 0,5407 и тангенс 28,50° = 0,5430.
Установите пропорцию, используя переменную x .

Поскольку x — это разница между тангенсом 28,40° и тангенсом 28,43°,
Пример 4: Найдите первый квадрант угла α, где cos α ≈ 0,2622, учитывая, что cos 74° ≈ 0,275 и стоимость 75° ≈ 0,2588.
Установите пропорцию, используя переменную x .
Следовательно, α ≈ 74,0° + 0,8° ≈ 74,8°
Существует интересный метод аппроксимации для нахождения синуса и тангенса углов, меньших 0,4 радиана (приблизительно 23°). Синус и тангенс углов менее 0,4 радиана примерно равны угловой мере. Например, в радианах sin0,15 ≈ 0,149.
Оставить комментарий on Значения тангенса таблица: Таблица тангенсов. Тангенсы углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенсов углов, tg/
Видео уроки высшая математика для чайников: Матанализ начинающих. Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений. Предел функции в точке
alexxlab / 09.06.202320.03.2023 / Разное
где смотреть образовательное видео — Учёба.ру
В этом обзоре:
ted.com

univertv.ru

interneturok.ru

oyc.yale.edu

khanacademy.org

ocw.mit.edu

lektorium.tv

youtube EDU

Научно-популярно обо всём на свете
о чём наука, политика, культура, искусство, дизайн, инновационные технологии
Ted.com — это, прежде всего, некоммерческий фонд. С 1984 фонд организует конференции, смысл которых в распространении наиболее интересных инновационных идей. Избранные лекции выкладываются на сайте. Начав смотреть одну лекцию, переключаешься на другую, — оторваться практически невозможно. Видео доступно не только на сайте, его можно скачивать, просматривать через приложения для Android или iOS. К многим роликам есть русские субтитры.
Две лекции из десятки самых популярных на ted.com
Агрегатор лекций и образовательных фильмов
о чём гуманитарные, естественные, социальные науки
На сайте опубликованы образовательные фильмы, а также лекции в российских и зарубежных вузах, взятые из различных источников и снятые в студии UniverTV. Темы довольно стандартные, в рамках школьной и вузовской программы (география, биология, история, философия и многое другое) плюс научно-популярные фильмы. В подборке уже более 3600 роликов. В разделе «Страницы учреждений» можно посмотреть ролики, выложенные некоторыми вузами.

Астрономия. Исследование черной дыры в центре Млечного Пути
Видеолекции по школьной программе
о чём точные, естественные и гуманитарные науки
Сайт адресован школьникам, поэтому все выложенные видео так или иначе касаются школьной программы. Удобно, что видеолекции отсортированы по классам обучения. Наиболее полно представлены алгебра, химия, физика, биология; роликов по гуманитарным наукам не так много, но коллекция постоянно пополняется. Зато на сайте есть видеоуроки по подготовке к ЕГЭ и ГИА за 2011 и 2012 годы с подробным разбором всех заданий

Н. И.Басовская «Столетняя война 1337-1453 гг. Леопард против лилии»
Идеально систематизированный материал
о чём литература, история, психология, экономика, физика, химия, биология и т.д.
На сайте выкладываются полные курсы прочитанных в Йельском университете лекций. Лекции читают на английском, субтитров нет. Тем полезнее дополнения к видео, которые можно также найти на сайте: домашние задания, тексты самих лекций, аудиоматериалы и даже экзаменационные тесты — для тех, кто хочет пощекотать нервы и попробовать себя в роли студента Йеля. Видео доступно и на официальном канале Йеля на Youtube.

Неутомительные микролекции для детей и школьников
о чём точные, естественные, гуманитарные науки
Виртуальная академия была придумана Салманом Ханом, выпускником Гарварда и Массачусетского технологического института. Начиналось с того, что он занимался по телефону математикой с двоюродной сестрой, потом стал помогать другим родственникам и вывешивал поясняющие ролики на Youtube. Популярность роликов побудила Хана открыть свой ресурс с микролекциями по основным общеобразовательным дисциплинам. Сейчас в коллекции более 3600 видеоуроков. На Youtube работает канал академии на русском языке.

Урок про деление
Один из пионеров онлайн-образования
о чём гуманитарные науки, IT, естествознание и т.д.
На сайте Массачусетского технологического института публикуются видеозаписи и конспекты лекций, уже опубликовано более 2000 курсов по различным дисциплинам. Это один из первых проектов в сфере веб-образования, который на своем примере доказал, что видеоролики с лекциями вузовских преподавателей интересуют не только студентов этих вузов, но и широкий круг тех, кто занят самообразованием. Темы курсов самые разные: архитектура, математика, биология, литература, искусство, иностранные языки. Русских субтитров к роликам, к сожалению, нет.
David Thorburn «The Film Experience»
Классика академических лекций
о чём теоретическая математика, computer science и др
Федеральная интернет-библиотека видеолекций лучших российских вузов делает акцент на академическом образовании. Команда «Лекториум.тв» сама записывает лекции в вузах, среди партнеров сайта — МГУ, СПбГУ, Европейский университет в Санкт-Петербурге, ЛЭТИ, Высшая школа экономики. Плюсы: звук записывается на профессиональную аппаратуру, поэтому лектора всегда хорошо слышно; контент весьма серьезный, например, на сайте опубликованы около 1000 лекций по математике и IT. Узнавать о новых видеолекциях удобно в твиттере @lektorium.
Илья Тетерин «Базы данных»
Обучающие ролики со всех стран
о чём точные, естественные, гуманитарные науки
Канал Education на Youtube — это большой образовательный портал, объединяющий обучающие видеоролики лучших преподавателей, сайтов, специализирующихся на онлайн-обучении, лекции ведущих университетов Европы и мира. Сейчас выложено более 700 000 роликов. Приятно отметить, что несколько лет назад к онлайн-вещанию присоединились российские вузы. В рамках канала МГИМО и МГУ выкладывают лекции своих преподавателей и приглашенных лекторов. Есть отдельный канал для дошкольников и школьников.

А.Ч.Козаржевский «Мастерство публичной речи»
Физика и химия на СО (список видео для «чайников»)
Как всегда на ловца и зверь бежит. Ох, и насмеялась я, пока искала иллюстрацию). Под катом сам список и еще картинки))

Выберите понравившиеся курсы, преподавателей, соберите семью перед экраном, а потом проведите семейную дискуссию после просмотра урока. Заранее договоритесь останавливать видео, если кто-то что-то не допонял, чтобы просмотреть еще раз. Делайте такие сеансы регулярными, отведите для видеоурока каждого предмета определенный день и время. Всегда держите при себе блокнот для записей вопросов и пометок, фиксируйте, что заинтересовало каждого ребенка, а где интерес отсутствует.. Это поможет корректировать дальнейшую программу изучения предмета.
1. https://www.youtube.com/watch?v=Fj5sUmiWlQ0&t=1647s&list=PLrClnb5IctMtlF0AcLVPuPdrm8mC6X2Ar&index=1 цикл лекций «Физика для чайников» ведет Борис Бояршинов, доцент, кандидат физико-математических наук.
2.1. https://www.youtube.com/playlist?list=PL1Us50cZo25m2FDcpykgjCCZQ3SFAsG3y и еще
2.2. https://www.youtube. com/user/pvictor54/videos более 500 видеоуроков по темам и решение задач по физике от Павла Виктора — преподавателя физики в Ришельевском лицее (г.Одесса)
3. https://www.youtube.com/user/MathTutor777 видеоканал «Видеоуроки математики» — алгебра, геометрия, высшая математика, подробные разборы типовых задач, подготовка к ЕГЭ.
4. https://www.youtube.com/user/EduLibNet видеоканал «Учебное видео» со множеством видеоуроков физики, химии, математики, биохимии, алгебре, геометрии, цикл Занимательная физика, видеокурс по русскому языку по системе Шаталова, видеокурсы по информатике, компьютерным программам, видеоопыты по органической и неорганической химии, физике, решение типовых задач и проч.
5. https://www.youtube.com/channel/UCZsfwDwbuvvrWpjkhxy8U_w видеоканал «Химия с нуля»
6. https://vk.com/youtube.com/channel/UCU1VDozkhXubMD291P8tyPg видеоканал «Учимся решать задачи по физике с нуля»
7. https://www.youtube.com/playlist?list=PLXpDftCpBTVPKoBHyfAFK9otmyrq9wh5t цикл лекций «Химия для чайников» ведет доцент, кандидат физико-математических наук Борис Бояршинов.
8.1. https://www.youtube.com/watch?v=96V1r8QeJvo Простой способ перехода от одних величин к другим в физике и математике.
8.2. https://www.youtube.com/channel/UCLDpIKDTFBSwIYtAG0Wpibg видеоканал Валерия Волкова — подготовка к ОГЭ и ЕГЭ по математике, решение задач.
9. https://www.youtube.com/watch?v=xzjCwvbua2Q&list=PLxGo9dxQkqWDDRsRI4ILhju4zHCkFO18L Цикл видеоуроков по логарифмам.
Серия передач студии Роскосмоса:
10.1. https://www.youtube.com/watch?v=eXdYdENkSFM&t=1s Урок из космоса. Физика невесомости. Передача от Роскосмоса.
10.2. https://www.youtube.com/watch?v=czPGX2h-oLk Эксперименты на орбите.
10.3. https://www.youtube.com/watch?v=uNKuPAM5PBA урок из космоса. Механика.
10.4. https://www.youtube.com/watch?v=wQyQo86h5yk&t=1370s Урок из космоса. Наш дом- Земля. Эксперименты на орбите.
(С)пасибо за подборку ЦСО.

Math Books-Dummies
Algebra
Основная математика
Calculus
Common Core
Геометрия
Pre-Algebra
Pre-Calculus
. 2
стр. 3
стр. 4
стр. 5
Результаты фильтра
46 результатов
Алгебра 13
Алгебра (13)
Basic Math 4
Basic Math (4)
Calculus 7
Calculus (7)
Common Core 2
Common Core (2)
Geometry 5
Geometry (5)
Math 1
Математика (1)
Преальгебра 2
Преальгебра (2)
Преялкулус 3
Преялкулус (3)
Статистика 7
(7)
TRIGONOMONTRICE 2
(7)
2)
46 результатов
Статистика
Статистика All-in-One For Dummies
Опубликовано 24. 10.2022
Лучший способ узнать статистику. Приложение Statistics All-in-One For Dummies содержит уроки, примеры и практические задачи, которые помогут вам пройти курс статистики. Развивайте уверенность и понимание статистики с помощью простых для понимания (даже забавных) объяснений ключевых понятий. Кроме того, вы получите доступ к онлайн-викторинам по главам и другим ресурсам, которые сделают вас мастером статистики. Эта книга научит вас интерпретировать графики, определять вероятность, анализировать данные и многому другому. Написанный опытным автором и серьезным специалистом по статистике, «Статистика AIO для чайников» объясняет все в терминах, понятных каждому. Получите представление об основных понятиях статистики, необходимых в каждом курсе статистики. Проясните процесс интерпретации графиков, понимания опросов и анализа данных. Овладейте корреляцией, регрессией и другими инструментами анализа данных. или класс колледжаСтатистика «Все в одном для чайников» следует учебной программе вводных курсов статистики колледжа (включая статистику AP!), поэтому вы можете узнать все, что вам нужно знать, чтобы получить нужную оценку — путь для чайников.
Изучить книгу Купить на Amazon
Алгебра
Алгебра II All-in-One для чайников
Опубликовано 30 августа 2022 г. -Используйте справочник. Алгебра II может оказаться крепким орешком при первом знакомстве с ней. Но с правильными инструментами… ну, она по-прежнему крутая, но управлять ею становится чертовски легче. В Algebra II All-in-One For Dummies вы найдете свой собственный пошаговый план решения даже самых сложных задач Algebra II, от коник и систем уравнений до экспоненциальных и логарифмических функций. В книге вы узнаете все тонкости преобразования и оценки функций, потренируете свой мозг с комплексными и мнимыми числами и примените формулы из статистики и теории вероятностей. Вы также найдете: Доступные и практические уроки и практические занятия для студентов второго курса старшей школы или университета, изучающих алгебру. Тесты в конце главы, которые помогут вам учиться и запоминать! – ключевые алгебраические понятия, такие как квадратные уравнения, методы построения графиков и матрицы. Годовой доступ к дополнительным викторинам по главам онлайн, где вы можете отслеживать свои успехи и получать отзывы в режиме реального времени! Ваш личный набор математических инструментов для некоторых из самых полезных и фундаментальных математических задач, которые вы будете изучать в школе, это Algebra II All-in-One For Dummies сочетает в себе практические приемы, методы и стратегии из различных источников в одном, может не пропустите ссылку. Вы получите необходимые идеи, формулы и практику в одной книге (с дополнительными тестами онлайн!), которая идеально подходит как для студентов, так и для тех, кто учится на протяжении всей жизни!
Изучить книгу Купить на Amazon
Алгебра
Алгебра II: 1001 практические задачи для чайников (+ бесплатная онлайн-практика) II: 1001 практические задачи для чайников дает вам 1001 возможность попрактиковаться в решении задач по всем основным темам алгебры II — в книге и онлайн! Получите дополнительную помощь по сложным темам, закрепите то, что вы уже узнали, и получите подробные пошаговые инструкции для каждой проблемы с этой полезной книгой.
Эти практические задачи и подробные пояснения к ответам заставят ваши продвинутые алгебраические соки течь, независимо от вашего уровня навыков. Благодаря Dummies у вас есть ресурс, который поможет вам применить ключевые концепции на практике. Решайте практические задачи по всем темам алгебры II, рассматриваемым в классе. Проходите подробные решения для каждой задачи, чтобы улучшить свое понимание. Доступ к практическим вопросам онлайн для обучения в любом месте и в любое время. «Алгебра II: 1001 практическая задача для чайников» — отличный ресурс для учащихся, а также родителей и преподавателей, которые хотят дополнить занятия в классе. Алгебра II: 1001 практическая задача для чайников (9781119883562) ранее был опубликован как 1001 практическая задача по алгебре II для чайников (9781118446621). Хотя эта версия имеет новую обложку и дизайн для чайников, содержание такое же, как и в предыдущем выпуске, и его не следует рассматривать как новый или обновленный продукт.
Изучить книгу Купить на Amazon
Основы математики
Основы математики и предварительная алгебра
Опубликовано 01. 06.2022
Практика делает совершенным — овладейте математическими навыками с помощью чайников Основы математики и предварительной алгебры: 1001 практическая задача для чайников дает вам 1001 возможность попрактиковаться в решении задач по всем основным темам математики для средних классов и начальной алгебры — в книге и онлайн! Получите дополнительную практику в сложных темах, закрепите то, что вы уже узнали, и получите подробные пошаговые инструкции для каждой проблемы с этой полезной книгой. Эти практические задачи и подробные объяснения ответов улучшат ваши математические способности, независимо от того, какой у вас сейчас уровень навыков. Благодаря Dummies у вас есть ресурс, который поможет вам применить ключевые концепции на практике. Решайте практические задачи по всем темам среднего и предалгебраического уровня, охватываемым в классе. Шагайте по подробным решениям, чтобы улучшить свое понимание. Доступ к практическим вопросам онлайн для изучения в любом месте и в любое время. представленный в книге «Основы математики и предварительной алгебры: 1001 практические задачи для чайников» — это отличный ресурс для учащихся, а также родителей и преподавателей, которые хотят дополнить занятия в классе. Базовая математика и предварительная алгебра: 1001 практическая задача для чайников (9781119883500) ранее был опубликован как 1001 основная задача по математике и предварительной алгебре для чайников (9781118446560). Хотя эта версия имеет новую обложку и дизайн для чайников, содержание такое же, как и в предыдущем выпуске, и его не следует рассматривать как новый или обновленный продукт.
Изучить книгу Купить на Amazon
Предварительное исчисление
Предварительное исчисление: 1001 практические задачи для чайников (+ бесплатная онлайн-практика) Предварительное исчисление: 1001 практическая задача для чайников дает вам 1001 возможность попрактиковаться в решении задач по всем основным темам в Предварительном исчислении — в книге и в Интернете! Получите дополнительную помощь по сложным темам, закрепите то, что вы уже узнали, и получите подробные пошаговые инструкции для каждой проблемы с этой полезной книгой.
Эти практические задачи и подробные пояснения к ответам превратят вас в машину для решения задач перед вычислением, независимо от вашего уровня навыков. Благодаря Dummies у вас есть ресурс, который поможет вам применить ключевые концепции на практике. Решите практические задачи по всем темам Pre-Calculus, изучаемым в школьных классах Прочитайте подробные объяснения ответов, чтобы лучше понять себя Получите практические вопросы в Интернете, чтобы учиться в любом месте и в любое время Улучшите свою оценку и улучшите свою учебную игру с практикой, практикой, практикойМатериал представленный в книге «Предварительное исчисление: 1001 практическое задание для чайников», является отличным ресурсом для учащихся, а также для родителей и преподавателей, которые хотят дополнить инструкции по предварительному исчислению. Предварительное исчисление: 1001 практическая задача для чайников (9781119883623) ранее публиковался как «1001 практическая задача перед исчислением для чайников» (9781118853320). Хотя эта версия имеет новую обложку и дизайн для чайников, содержание такое же, как и в предыдущем выпуске, и его не следует рассматривать как новый или обновленный продукт.
Исследуйте книгу Купить на Amazon
Исчисление
Исчисление: 1001 Практические задачи для чайников (+ бесплатная онлайн-практика)
Опубликовано 01.06.2022
Практикуйте свой путь к более высокому уровню в исчислении! Вычисление — это практический навык. Вы должны использовать его или потерять его. И лучший способ получить практику, необходимую для развития ваших математических способностей, — это «Исчисление: 1001 практическая задача для чайников». Эта книга, идеально дополняющая «Исчисление для чайников» и вашего класса, предлагает читателям сложные практические задачи с пошаговыми и подробными объяснениями ответов и повествовательными пошаговыми инструкциями. Вы получите бесплатный доступ ко всем 1001 практическим задачам в Интернете, чтобы вы могли создавать свои собственные учебные наборы для более целенаправленного обучения. Читатели также найдут: Полезное дополнение к курсу и ресурс для учащихся старших классов и колледжей, изучающих исчисление I. Бесплатный годичный доступ ко всем практическим задачам онлайн для изучения и практики на ходу. Отличный подготовительный ресурс для более быстрого обучения. занятия в колледже Исчисление: 1001 практические задачи для чайников (+ бесплатная онлайн-практика) — это важный ресурс для старшеклассников и студентов колледжей, которым нужна дополнительная практика и дополнительная помощь по этому сложному математическому предмету. Исчисление: 1001 практическая задача для чайников (9781119883654) ранее публиковался как «1001 задача по математическому анализу для чайников» (9781118496718). Хотя эта версия имеет новую обложку и дизайн для чайников, содержание такое же, как и в предыдущем выпуске, и его не следует рассматривать как новый или обновленный продукт.
Исследуйте книгу Купить на Amazon
Геометрия
Геометрия: 1001 Практические задачи для чайников (+ бесплатная онлайн-практика)
Опубликовано 24 мая 2022 г. «1001 практическая задача для чайников» дает вам 1001 возможность попрактиковаться в решении задач по всем основным темам геометрии — в книге и онлайн! Получите дополнительную помощь по сложным темам, закрепите то, что вы уже узнали, и получите подробные пошаговые инструкции для каждой проблемы с этой полезной книгой. Эти практические задачи и подробные объяснения ответов помогут вам освоить геометрию со всех сторон, независимо от вашего уровня навыков. Благодаря Dummies у вас есть ресурс, который поможет вам применить ключевые концепции на практике. Решите практические задачи по всем темам геометрии, охваченным классом. Пройдите подробные решения для каждой задачи, чтобы улучшить свое понимание. Доступ к практическим вопросам онлайн для изучения в любом месте и в любое время. Улучшайте свою оценку и улучшайте свою учебную игру с практикой, практикой, практикой. «1001 практические задачи для чайников» — отличный ресурс для учащихся, а также для родителей и преподавателей, желающих помочь в обучении геометрии. Геометрия: 1001 практическая задача для чайников (9781119883685) ранее был опубликован как 1001 практическая задача по геометрии для чайников (9781118853269). Хотя эта версия имеет новую обложку и дизайн для чайников, содержание такое же, как и в предыдущем выпуске, и его не следует рассматривать как новый или обновленный продукт.
Исследовать книгу Купить на Amazon
Статистика
Статистика: 1001 Практические задачи для чайников (+ бесплатная онлайн-практика) «Задачи для чайников» дает вам 1001 возможность попрактиковаться в решении задач по всем основным темам, изучаемым на занятиях по статистике — в книге и онлайн! Получите дополнительную помощь по сложным темам, закрепите то, что вы уже узнали, и получите подробные пошаговые инструкции для каждой проблемы с этой полезной книгой.
Эти практические задачи и подробные объяснения ответов помогут вам получить ценные практические знания в области статистики, независимо от уровня ваших навыков. Благодаря Dummies у вас есть ресурс, который поможет вам применить ключевые концепции статистики на практике. Решайте практические задачи по всем темам статистики, изучаемым в школьных классах Прочитайте подробные объяснения ответов, чтобы улучшить свое понимание Получите практические вопросы в Интернете, чтобы учиться в любом месте и в любое время Улучшите свою оценку и улучшите свою учебную игру с практикой, практикой, практикой «Статистика: 1001 практические задачи для чайников» — отличный ресурс для учащихся, а также родителей и преподавателей, которые хотят дополнить инструкции по статистике. Статистика: 1001 практическая задача для чайников (9781119883593) ранее публиковался как 1001 практическая задача по статистике для чайников (9781118776049). Хотя эта версия имеет новую обложку и дизайн для чайников, содержание такое же, как и в предыдущем выпуске, и его не следует рассматривать как новый или обновленный продукт.
Исследуйте книгу Купить на Amazon
Алгебра
Алгебра I: 1001 Практические задачи для чайников (+ бесплатная онлайн-практика)
Опубликовано 24 мая 2022 г. Практика задач для чайников дает вам 1001 возможность попрактиковаться в решении задач по всем основным темам алгебры I — в книге и в Интернете! Получите дополнительную помощь по сложным темам, закрепите то, что вы уже узнали, и получите подробные пошаговые инструкции для каждой проблемы с этой полезной книгой. Эти практические задачи и подробные объяснения ответов помогут вам решить x в кратчайшие сроки, независимо от вашего уровня навыков. Благодаря Dummies у вас есть ресурс для применения ключевых концепций на практике. Решайте практические задачи по всем темам алгебры I, рассматриваемым в классе. Проходите подробные решения для каждой задачи, чтобы улучшить свое понимание. Доступ к практическим вопросам онлайн для изучения в любом месте и в любое время. «Алгебра I: 1001 практические задачи для чайников» — отличный ресурс для учащихся, а также родителей и преподавателей, которые хотят дополнить занятия в классе. Алгебра I: 1001 практическая задача для чайников (9781119883470) ранее публиковался как «1001 задача по алгебре I для чайников» (9781118446713). Хотя эта версия имеет новую обложку и дизайн для чайников, содержание такое же, как и в предыдущем выпуске, и его не следует рассматривать как новый или обновленный продукт.
Исследовать книгу Купить на Amazon
Pre-Algebra
Базовая математика и Pre-Algebra All-in-One для чайников (+ викторины по главам онлайн)
Опубликовано 05-10-2022
Абсолютно все, что вам нужно для подготовки по алгебре Боишься квадратных корней? Сомневаетесь в степенях десяти? Ты не один. Многие школьники и взрослые не интересуются математикой. Но, с правильным руководством, вы также можете сделать основы математики «щелчком» для вас! В базовой математике и предварительной алгебре «все в одном для чайников» вы найдете все, что вам нужно, чтобы добиться успеха на следующем уроке математики и решить основные математические задачи в реальном мире. Если вы пытаетесь освоить предварительную алгебру перед переходом в следующий класс или хотите освоиться в повседневной математике, например, в расчетах чаевых или подсчете чековой книжки, эта книга проведет вас через каждый шаг — на простом английском языке. и с четкими пояснениями, чтобы помочь вам построить прочную основу в математике. Вы также получите: Практические тесты в конце каждой главы, чтобы проверить свое понимание и понимание Дополнительный онлайн-викторина для каждой главы с вариантами ответов, представленными в формате множественного выбора Тонну объяснений, примеров и практических задач, которые подготовят вас к освоить более сложные алгебраические понятия. От различных категорий чисел до математических операций, дробей, процентов, корней и степеней, а также краткое введение в алгебраические выражения и уравнения. Basic Math & Pre-Algebra All-in-One For Dummies — незаменимый помощник для любой, кто хочет разобраться в фундаментальных математических концепциях, которые являются строительными блоками для алгебры и не только.
Исследуйте книгу Купить на Amazon
BetterExplained — Уроки математики, которые кликают
Учись правильно,
Не заучивай
Наслаждайтесь четкими, интуитивными уроками о воображаемом числа, показатели, и более.
450 тысяч читателей в месяц
Подпишитесь на информационный бюллетень, и мы обратимся А? к Ага!
Математика, лучшее объяснение
Бестселлер Amazon, посвященный основам математики.
Нажмите, чтобы купить электронную книгу
Курс исчисления
Основы исчисления в минут.
Нажмите, чтобы читать онлайн бесплатно
Последние статьи
Как выучить триггерные производные
3 августа 2022 г.
Интуитивное руководство по гиперболическим функциям
26 апреля 2021 г.
Интуитивное руководство по свертке
23 ноября 2020 г.
Интеграл Sin(x): Геометрическая интуиция
19 ноября 2019 г.
Теорема Пифагора как охват области
19 июня 2019 г.
Интуиция для квадратичной формулы
1 мая 2019 г.
Почему лучше объяснить по-другому?
Большинство уроков предлагают низкоуровневые детали в линейной, казалось бы, логической последовательности. В «Лучшем объяснении» основное внимание уделяется общей картине — Ага! момент — а потом конкретика. Вот разница:
Я знаю, какой подход поддерживает мое любопытство и энтузиазм. Стратегия обучения – это метод ADEPT:
Обучение — это не запоминание фактов для прохождения теста. Речь идет о раскрытии радости открытия, когда идея наконец обретает смысл. Если этот подход находит отклик у вас, добро пожаловать на борт.

О Калиде Азаде
Я любил математику, пока плохо преподаваемый класс чуть не уничтожил эту страсть. В последнюю минуту Ага! Этот момент показал мне, что математика может иметь смысл и даже доставлять удовольствие, когда представлена:
Дружелюбное, любопытное отношение
Сочетание интуитивного и технического понимания
Сосредоточьтесь на прочном озарении
Я делюсь пояснениями, которые помогли, надеюсь, они помогут и вам. Я в восторге от того, что «Лучшее объяснение» теперь ежегодно выпускается миллионами и появляется в блогах New York Times и Scientific American. Подробнее…
Популярные статьи
Интуитивное обучение
Метод ADEPT
Обучение начинается с аналогии.
Зачем учить математику?
Словарь для размышлений
Математическая интуиция
Начните с кота, а не с его ДНК
Лук и стрелы Интуиция
Во-первых, хорошо пострелять.
Карандаш, затем чернила
Не скрывайте процесс
Аналогии
Полезно, даже если «неправильно»
Мультфильмы
Упростите идеи до карикатуры
Интуиция не обязательна
Рецепт вечного знания.
Арифметика и числа
Умственные математические ярлыки
Несколько запоминающихся конверсий
Сумма от 1 до 100
Переставить, чтобы упростить
Визуальная арифметика
Каждая операция — это трансформация
Чувство масштаба
Приведите большие числа к повседневным терминам
Проблема с ограждением
Подсчет промежутков или точек?
Системы счисления
Когда одометр тикает
Повседневные логарифмы
Подсчет цифр
Модульная арифметика
Вариации на часах
Алгебра и счет
Комбинации
Умножьте возможности, разделите избыточность
Простые числа
Атомы внутри чисел
Знак равенства
Установить, проверить или определить?
Уравнения факторинга
Сломать вигвам
Параметрические уравнения
Извлеките истинную причину
Типы графиков
Карта (расстояние имеет значение) или не карта
Квадратные числа
Используйте геометрию, алгебру, исчисление
Навигация по сетке
Преобразуйте решения в буквы и переставьте
Комбинации и умножение
Выбор умножается.
Соотношения
Насколько сильно, как часто?
Квадратичная формула
Переставить квадрат
Полиномиальная интуиция
Десятичные числа, взаимодействия, функция ДНК
Геометрия
Теорема Пифагора
Как меняется каждая форма
Расстояние Пифагора
Сравнивайте любые количества
Подобие
Шаг назад. Меньшая форма, те же соотношения.
Пифагорейский масштаб
Работа из единичного треугольника
Предварительное исчисление и тригонометрия
радиан
Углы с точки зрения движителя
В поисках Пи
Окружите это существо
Синусоидальные волны
Естественное влияние, найденное в кругах, пружинах
Номер e
Идеально ровный рост
Натуральное бревно
Время, необходимое для роста
Воображаемые числа
Числа могут вращаться
Комплексные числа
Арифметика идет 2d
Комплексное умножение
Масштабировать и вращать
Экспоненты
Увеличивайте количество в расширении-о-троне
Думайте с экспонентами
Логи — причины, экспоненты — следствия
Тригонометрия
Визуализируйте купол, стену и потолок
Закон синусов
Каждый угол имеет равную перспективу.
Закон косинусов
Следите за взаимодействующими частями.
Триггерные личности
Нарисуйте круги сами.
Гиперболический триггер
Мини-экспоненты и логарифмы
Статистика
Статистика
Увидеть следы, угадать животное
Средние значения
«Типичный» зависит от отношения
Парадокс дня рождения
23 человека, много возможностей
Теорема Байеса
Дополнительная информация? Отрегулируйте шансы.
Короткая теорема Байеса
Скорректируйте ложные срабатывания
Монти Холл
Оригинальная дверь против лучшей из двух других
Курс вычислений
Руководство по расчетам
Изучите основы, быстро.
Урок 1
1-минутное резюме
Урок 2
Рентгеновское зрение
Урок 3
3D интуиция
Урок 4
Интегралы, производные
Урок 5
Компьютерная нотация
Урок 6
Улучшенная алгебра
Урок 7
Линейные изменения
Урок 8
Квадратные изменения
Урок 9
Бесконечность
Урок 10
Производные
Урок 11
Основная теорема исчисления
Урок 12
Правила: сложение, умножение, инвертирование
Урок 13
Шаблоны в правилах
Урок 14
Правила: Полномочия, Разделение
Урок 15
Формулы Архимеда
Резюме исчисления
Большие инсайты. Все вместе сейчас.
Исчисление (статьи)
1-минутное исчисление
Анализ шаблонов с помощью рентгеновского и покадрового зрения
0,999… = 1?
Какая у вас система счисления?
Пределы
Угадай, что произошло, когда ты моргнул
Пределы / Бесконечно малые
Сделать модель идеальной
Интеграция
Пошаговое умножение
Производное введение
Измерения зависят от прибора
Производные II
Представьте себе связанные машины
Производные III
Частное, показатели, журналы
Исчисление Банковский счет
Повышает доход от сдачи, изменяя баланс
Интеграл sin
Вау: изменение по горизонтали
Серия Тейлор
ДНК функции
Векторное исчисление
Циркуляция и завивка
Полный твист, твист в точку
Градиент
Разогрейте пончик, быстро
Детали градиента
Следуйте за лучшим компромиссом
Флюс
Количество бананов, пересекающих поверхность
Дивергенция
Поток на единицу объема
Скалярный продукт
Повышение скорости Марио Карт
Перекрестное произведение
Все неровные части
Инженерия / Университетская математика
Линейная алгебра
Математика с мини-таблицами
Формула Эйлера
Воображаемые показатели образуют круги
Преобразование Фурье
Шаблоны имеют круглые ингредиенты
свертка
Причудливое программируемое умножение
Инструменты программирования
Контроль версий
Отслеживание файлов с течением времени
Распределенная система контроля версий
Обходить изменения
Git Insights
№1: Есть плацдарм
Отладка ГБД
Краткое руководство
Веб-разработка
Более быстрый Javascript
Уменьшить, сжать, переместить в конец
Кэширование HTTP
Не перезагружать до истечения срока действия
Gzip-сжатие
Заархивируйте файлы перед отправкой
Запуск Ruby on Rails
Преодолеть подводные камни
Понимание MVC
Толстые модели, тонкий контроллер, тонкий вид
Справочник по JavaScript
резюме на 1 странице
Загрузить XML/JSON
Относитесь к сценарию как к данным
XSRF-атаки
Злоумышленник подделывает законный запрос
Отладка с помощью Firefox
Использовать Firebug
Создание букмарклетов
Быстрый фрагмент javascript
Низкоуровневое программирование
GUID
Вы никогда не иссякнете.
Оставить комментарий on Видео уроки высшая математика для чайников: Матанализ начинающих. Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений. Предел функции в точке/
« Предыдущая 1 … 330 331 332 333 334 … 3 230 Следующая »
Пагинация записей
Предыдущая 1 … 328 329 330 331 332 333 334 335 336 … 3 230 Следующая
Найти:
Рубрики
Геометрия
Математика
Физика
Химия
Школьная жизнь
Разное
© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»
Карта сайта