Автор: alexxlab

Экстремумы функции.

Точка х₀называетсяточкой максимума(минимума) функцииf(х), если в некоторой окрестности точки х₀выполняется неравенствоf(х) ≤f(х₀) (f(х) ≥f(х₀)).

Значение функции в этой точке называется соответственно максимумомилиминимумомфункции. Максимум и минимум функции объединяются общим названиемэкстремумафункции.

Экстремум функции в этом смысле часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что это понятие связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х₀. На одном и том же промежутке функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, которые не обязательно совпадают сглобальным максимумомилиминимумом(т.е. наибольшим или наименьшим значением функции на всем промежутке).

Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Для дифференцируемых функций это условие вытекает из теоремы Ферма. Кроме того, оно предусматривает и случай, когда функция имеет экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими(илистационарнымидля дифференцируемой функции). Эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая (необходимость условия). Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума, т.е. сформулированное условие не является достаточным.

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через некоторую точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума функции, а если с минуса на плюс, — то точка минимума.

Доказательство этого условия вытекает из достаточного условия монотонности (при изменении знака производной происходит переход либо от возрастания функции к убыванию, либо от убывания к возрастанию).

Второе достаточное условие экстремума. Если первая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то это точка минимума функции; а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

Доказательство этого условия также основано на достаточном условии монотонности. В самом деле, если вторая производная положительна, то первая производная является возрастающей функцией. Поскольку в рассматриваемой точке она равна нулю, следовательно, при переходе через нее она меняет знак с минуса на плюс, что возвращает нас к первому достаточному условию локального минимума. Аналогично если вторая производная отрицательна, то первая убывает и меняет знак с плюса на минус, что является достаточным условием локального максимума.

Исследование функции на экстремумв соответствии со сформулированными теоремами включает следующие этапы:

1. Найти первую производную функции f`(x).

2. Проверить выполнение необходимого условия экстремума, т. е. найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.

3. Проверить выполнение достаточного условия экстремума, т.е. либо исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки, либо найти вторую производную f«(x) и определить ее знак в каждой критической точке. Сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Нахождение глобального максимума и минимума функциина некотором промежутке также имеет большое прикладное значение. Решение этой задачи на отрезке основано на теореме Вейерштрасса, в соответствии с которой непрерывная функция принимает на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка. Поэтому решение включает следующие этапы:

1. Найти производную функции f`(x).

2. Найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

критические точки максимума и минимума

Функции, вовсе необязательно знать о наличии первой и второй производной и понимать их физический смысл. Для начала нужно уяснить следующее:

• экстремумы функции максимизируют или, наоборот, минимизируют значение функции в сколь угодно малой окрестности;
• в точке экстремума не должно быть разрыва функции.

А теперь то же самое, только простым языком. Посмотрите на кончик стержня шариковой ручки. Если ручку расположить вертикально, пишущим концом вверх, то самая середина шарика будет экстремумом — наивысшей точкой. В этом случае говорят о максимуме. Теперь, если повернуть ручку пишущим концом вниз, то на середке шарика уже будет минимум функции. С помощью рисунка, приведенного здесь же, можно представить перечисленные манипуляции для канцелярского карандаша. Итак, экстремумы функции — это всегда критические точки: ее максимумы или минимумы. Прилегающий участок графика может быть сколь угодно острым или плавным, но он должен существовать с обеих сторон, только в этом случае точка является экстремумом. Если график присутствует лишь с одной стороны, точка эта экстремумом являться не будет даже в том случае, если с одной ее стороны условия экстремума выполняются. Теперь изучим экстремумы функции с научной точки зрения. Дабы точка могла считаться экстремумом, необходимо и достаточно, чтобы:

• первая производная равнялась нулю или не существовала в точке;
• первая производная меняла свой знак в этой точке.

Условие трактуется несколько иначе с точки зрения производных более высокого порядка: для функции, дифференцируемой в точке, достаточно, чтобы существовала производная нечетного порядка, неравная нулю, при том, что все производные более низшего порядка должны существовать и быть равными нулю. Это максимально простое толкование теорем из учебников Но для самых обычных людей стоит пояснить этот момент примером. За основу берется обыкновенная парабола. Сразу оговоримся, в нулевой точке у нее имеется минимум. Совсем немного математики:

• первая производная (X 2) | = 2X, для нулевой точки 2Х = 0;
• вторая производная (2Х) | = 2, для нулевой точки 2 = 2.

Таким нехитрым образом проиллюстрированы условия, определяющие экстремумы функции и для производных первого порядка, и для производных высшего порядка. Можно к этому добавить, что вторая производная как раз является той самой производной нечетного порядка, неравной нулю, о которой говорилось чуть выше. Когда речь заходит про экстремумы функции двух переменных, то условия должны выполняться для обоих аргументов. Когда происходит обобщение, то в ход идут частные производные. То есть необходимо для наличия экстремума в точке, чтобы обе производные первого порядка равнялись нулю, либо хотя бы одна из них не существовала. Для достаточности наличия экстремума исследуется выражение, представляющее собой разность произведения производных второго порядка и квадрата смешанной производной второго порядка функции. Если это выражение больше нуля, значит, экстремум имеет место быть, а если присутствует равенство нулю, то вопрос остается открытым, и нужно проводить дополнительные исследования.

Это довольно-таки занятный раздел математики, с которым сталкиваются абсолютно все ученики выпускных классов и студенты. Тем не менее далеко не каждому нравится матан. Некоторые не могут понять даже элементарных вещей наподобие, казалось бы, стандартного исследования функции. Данная статья призвана исправить подобную оплошность. Хотите поподробнее узнать об анализе функции? Желаете узнать, что такое точки экстремума и как их найти? Тогда данная статья для вас.

Исследование графика функции

Для начала стоит понять, зачем вообще необходимо анализировать график. Существуют простые функции, начертить которые не составит труда. Ярким примером подобной функции может служить парабола. Начертить ее график не составит труда. Все что необходимо, так это с помощью простого преобразования найти числа, при которых функция принимает значение 0. И в принципе это все что знать для того, чтобы начертить график параболы.

Но что делать, если функция, график которой нам нужно начертить, намного сложнее? Поскольку свойства сложных функций довольно-таки неочевидны, необходимо проводить целый анализ. Только после этого можно изобразить функцию графически. Как же это сделать? Ответ на этот вопрос вы сможете найти в данной статье.

План анализа функции

Первое, что необходимо сделать, так это провести поверхностное исследование функции, в ходе которого мы найдем область определения. Итак, начнем по порядку. Область определения — это совокупность тех значений, которыми функция задается. Проще говоря, это те числа, которые можно использовать в функции вместо х. Для того чтобы определить область определения, необходимо просто взглянуть на запись. К примеру, очевидно, что у функции у (х) = х 3 + х 2 — х + 43 область определения — множество действительных чисел. Ну а с функцией наподобие (х 2 — 2х)/х все немного иначе. Поскольку число в знаменателе не должно равняться 0, то областью определения данной функции будут все действительные числа, помимо нуля.

Далее необходимо найти так называемые нули функции. Это те значения аргумента, при которых вся функция принимает значения ноль. Для этого необходимо приравнять функцию к нулю, подробно ее рассмотреть и совершить некоторые преобразования. Возьмём уже знакомую нам функцию у(х) = (х 2 — 2х)/х. Из школьного курса мы знаем, что дробь равна 0 тогда, когда числитель равен нулю. Поэтому знаменатель мы отбрасываем и начинаем работать с числителем, приравнивая его к нулю. Получаем х 2 — 2х = 0 и выносим х за скобочки. Отсюда х (х — 2) = 0. В итоге получаем, что наша функция равна нулю тогда, когда х равняется 0 или же 2.

Во время исследования графика функции многие сталкиваются с проблемой в виде точек экстремума. И это странно. Ведь экстремумы — это довольно-таки простая тема. Не верите? Убедитесь сами, прочитав данную часть статьи, в которой мы поговорим о точках минимума и максимума.

Для начала стоит разобраться в том, что собой представляет экстремум. Экстремум — это предельное значений, которое достигает функция на графике. Отсюда получается, что существует два крайних значения — максимум и минимум. Для наглядности можно посмотреть на картинку, что расположена выше. На исследованной области точка -1 является максимумом функции у (х) = х 5 — 5х, а точка 1, соответственно, минимумом.

Также не стоит путать между собой понятия. Точки экстремума функции — это те аргументы, при которых заданная функция приобретает крайние значения. В свою очередь, экстремумом называют значение минимумов и максимумов функции. К примеру, вновь рассмотрим рисунок выше. -1 и 1 — это точки экстремума функции, а 4 и -4 — это сами экстремумы.

Нахождение точек экстремума

Но как все-таки найти точки экстремума функции? Все довольно-таки просто. Первое, что необходимо сделать — найти производную уравнения. Допустим, мы получили задание: «Найдите точки экстремума функции y (x), x — аргумент. Для наглядности возьмем функцию у (х) = х 3 + 2х 2 + х + 54. Проведем дифференцирование и получим следующее уравнение: 3х 2 + 4х + 1. В итоге мы получили стандартное квадратное уравнение. Все, что необходимо сделать дальше — приравнять его к нулю и найти корни. Поскольку дискриминант больше нуля (D = 16 — 12 = 4), данное уравнение определяется двумя корнями. Находим их и получаем два значения: 1/3 и -1. Это и будут точки экстремума функции. Однако как все-таки определить, кто есть кто? Какая точка является максимумом, а какая минимумом? Для этого нужно взять соседнюю точку и узнать ее значение. К примеру, возьмем число -2, которое находится слева по координатной прямой от -1. Подставляем это значение в наше уравнение у(-2) = 12 — 8 + 1 = 5. В итоге мы получили положительное число. Это значит, что на промежутке от 1/3 до -1 функция возрастает. Это, в свою очередь, обозначает, что на промежутках от минус бесконечности до 1/3 и от -1 до плюс бесконечности функция убывает. Таким образом, можно сделать вывод, что число 1/3 — точка минимума функции на исследованном промежутке, а -1 — точка максимума.

Также стоит отметить, что на ЕГЭ требуют не просто найти точки экстремума, Но и провести с ними какую-то операцию (прибавить, умножить и т. д.). Именно по этой причине стоит обратить особое внимание на условия задачи. Ведь из-за невнимательности можно потерять баллы.

Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Начнем с области определения:

Продифференцируем исходную функцию:

x=1 , то есть, это точка возможного экстремума. Находим вторую производную функции и вычисляем ее значение при x = 1 :

Следовательно, по второму достаточному условию экстремума, x=1 — точка максимума. Тогда — максимум функции.

Графическая иллюстрация.

Ответ:

Третье достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n -ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1 -ого порядка в самой точке . Пусть и .

Пример.

Найти точки экстремума функции .

Решение.

Исходная функция является целой рациональной, ее областью определения является все множество действительных чисел.

Продифференцируем функцию:

Производная обращается в ноль при , следовательно, это точки возможного экстремума. Воспользуемся третьим достаточным условием экстремума.

Находим вторую производную и вычисляем ее значение в точках возможного экстремума (промежуточные вычисления опустим):

Следовательно, — точка максимума (для третьего достаточного признака экстремума имеем n=1 и ).

Для выяснения характера точек находим третью производную и вычисляем ее значение в этих точках:

Следовательно, — точка перегиба функции (n=2 и ).

Осталось разобраться с точкой . Находим четвертую производную и вычисляем ее значение в этой точке:

Следовательно, — точка минимума функции.

Графическая иллюстрация.

Ответ:

Точка максимума, — точка минимума функции.

10. Экстремумы функции Определение экстремума

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 f(x 2)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f » (x)  0

(f » (x)  0).

Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f(x), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f(x), то либо f » (x о) = 0, либо f (x о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x о — критическая точка. Если f » (x) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f » (x) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f » (x о) = 0, >0 (x о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 — 15x 2 + 36x — 14.

Решение. Так как f » (x) = 6x 2 — 30x +36 = 6(x -2)(x — 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

Пояснение.

На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:

x max = 3, x max = 8.

В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции , а значения функции в этих точках – ее экстремумами .

Критические и стационарные точки функции:

Необходимое условие экстремума:

Достаточное условие экстремума:

На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x ) на монотонность и экстремумы:

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна — то минимум.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной : нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы .

Функция y(x) = 3×2 + 2x — 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка — это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум . Чтобы его найти , подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) — 50 = 3*1/9 — 2/3 — 50 = 1/3 — 2/3 — 50 = -1/3 — 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума ; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума ; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак — «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак — «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка — в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее — при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна — то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный — то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Калькулятор с косинусами и синусами в Саратове: 570-товаров: бесплатная доставка, скидка-48% [перейти]

Партнерская программаПомощь

Саратов

Каталог

Каталог Товаров

Одежда и обувь

Одежда и обувь

Стройматериалы

Стройматериалы

Здоровье и красота

Здоровье и красота

Текстиль и кожа

Текстиль и кожа

Детские товары

Детские товары

Продукты и напитки

Продукты и напитки

Электротехника

Электротехника

Дом и сад

Дом и сад

Сельское хозяйство

Сельское хозяйство

Промышленность

Промышленность

Вода, газ и тепло

Вода, газ и тепло

Все категории

ВходИзбранное

Калькулятор с косинусами и синусами

Калькулятор 12 разрядов настольный малый DS-7212/7212C, калькулятор для вычислений, калькулятор для ЕГЭ, калькулятор для школы, калькулятор для работы

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Калькулятор инженерный двухстрочный Тип: калькулятор, Назначение: научный, Конструкция: карманный

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Рюкзак Синус и косинус Тип: рюкзак, Пол: женский, мужской, Число лямок: 2

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Бесплатный фрагмент — Тригонометрия: эти синусы, косинусы…

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Кружка Синус косинус (с полной запечаткой) Тип: кружка, Объем: 330 мл, Материал: керамика, металл

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Детская Футболка Синус и косинус (3D) Застежка: кнопки

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Стенд «Тригонометрические функции. Синус, косинус, тангенс и котангенс» Цена Гибкий стенд с пластиковым профилем

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Инструмент для синус-лифтинга Simion #3, ручка N6

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

26 000

COSinus

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Инвертор KV-M300U.24, 24В/220В, модифицированный синус, 300W Тип: инвертор, Форма выходного

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Стенд «Тригонометрические функции. Синус, косинус, тангенс и котангенс» ПВХ с алюминиевым профилем

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Цветные носки JNRB Мужские Носки Синус—косинус Тип: носки, Бренд: JNRB, Состав: хлопок

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Электронная Книга / Тригонометрия: эти синусы, косинусы. .. Тип: книга, Пол: для девочек, для

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Стенд «Тригонометрические функции. Синус, косинус, тангенс и котангенс» ПВХ с пластиковым профилем

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Стенд «Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса» Цена Гибкий стенд с пластиковым профилем

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Стенд «Тригонометрические функции. Синус, косинус, тангенс и котангенс» ДВП с алюминиевым профилем

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Стенд «Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса» ПВХ с алюминиевым профилем Тип: стенд

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Стенд «Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса» ДВП с алюминиевым профилем Тип: стенд

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Ирина Тузакова «Тригонометрия: эти синусы, косинусы» Издательство: Издательские решения

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Стенд «Тригонометрические функции. Синус, косинус, тангенс и котангенс» ДВП с пластиковым профилем

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Косинус цветн аним парик, 80CM длин кудряв присла Бренд: Без бренда

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Стенд «Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса» ПВХ с пластиковым профилем Тип: стенд

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Стенд «Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса» ДВП с пластиковым профилем Тип: стенд

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Косинус цветн аним парик, 80CM длин кудряв присла Бренд: Без бренда

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Парные кольца для влюбленных 2 штуки комплект колец 16 бижутерия для любимых размер 19, 21 Пол:

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Кюрета для синус-лифтинга 30-022

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Тригонометрия: эти синусы, косинусы. .. Ridero Пол: для девочек, для мальчиков, унисекс

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

Детская Футболка Синус косинус (3D) Застежка: кнопки, Принт: геометрический

ПОДРОБНЕЕЕще цены и похожие товары

2 страница из 18

Создаем продвинутый калькулятор на Python с Tkinter / Хабр

Здравствуйте! В этой публикации я хочу рассказать Вам, как сделать продвинутый калькулятор на Python 3 с Tkinter.

Итак, импортируем модули, которые нам понадобятся для нашей программы.
Библиотека tkinter нам необходима для создания окна, грубо говоря.
Модуль math нам нужен для математических операций.

from tkinter import *
from tkinter import messagebox
from tkinter import ttk
import math
import sys

Следующими двумя строками мы создаем окно и даем ему имя.

root = Tk() 
root.title("Calculator")

Создаем список с именами будущих кнопок калькулятора. Я выбрал все самые интересные функции, чтобы продемонстрировать, как их реализовать.

bttn_list = [
"7", "8", "9", "+", "*", 
"4", "5", "6", "-", "/",
"1", "2", "3",  "=", "xⁿ",
"0", ".", "±",  "C",
"Exit", "π", "sin", "cos",
"(", ")","n!","√2", ]

Следующим отрезком кода мы создаем кнопки для нашего калькулятора.

r = 1
c = 0
for i in bttn_list:
    rel = ""
    cmd=lambda x=i: calc(x)
    ttk.Button(root, text=i, command = cmd, width = 10).grid(row=r, column = c)
    c += 1
    if c > 4:
        c = 0
        r += 1

В каждом калькуляторе есть, так называемое поле ввода, в которое пользователь вводит нужные данные для программы. Это могут быть цифры, функции и математические операции. Их можно вводить, как с клавиатуры, так и при нажатии на кнопку в калькуляторе.

Пример 1. Я нажимаю на кнопку «2» в калькуляторе и в этом поле ввода, отображается цифра 2.

В Python Tkinter поле ввода называется Entry, а, например, в Java Script — input.

calc_entry = Entry(root, width = 33)
calc_entry.grid(row=0, column=0, columnspan=5)

Мы подошли к основной задаче калькулятора — его функциям и логике.
До этого момента нами было создан внешний вид программы. Если бы Вы попробовали запустить ее и нажать на кнопку, Вам бы выскочила ошибка, ведь у нас вовсе нет функций калькулятора.
Приступим, пропишем нашему калькулятору логику и способность считать.

#логика калькулятора
def calc(key):
    global memory
    if key == "=":
#исключение написания слов
        str1 = "-+0123456789.*/)(" 
        if calc_entry.get()[0] not in str1:
            calc_entry.insert(END, "First symbol is not number!")
            messagebox.showerror("Error!", "You did not enter the number!")
#исчисления
        try:
            result = eval(calc_entry.get())
            calc_entry.insert(END, "=" + str(result))
        except:
            calc_entry.insert(END, "Error!")
            messagebox. showerror("Error!", "Check the correctness of data")

str1 = «-+0123456789.*/)(«
Этой кода мы разрешаем пользователю вводить только символы -+0123456789.*/)(, а остальные исключаем, запрещаем вводить.

В этом блоке кода мы используем функцию eval — это, если можно так сказать, компилятор внутри компилятора. Она будет считать в нашей программе.

По сути, мы обрабатываем функцию, что сработает при нажатии на кнопку «=».

Создаем функцию очищения поля ввода. Она будет срабатывать при нажатии на кнопку «C».

#очищение поля ввода
    elif key == "C":
        calc_entry.delete(0, END)

Создаем функцию изменения минуса на плюс.
Пример 2. Мы ввели в окно Entry 5, при нажатии на кнопку «±», калькулятор выведет -5.
И наоборот, мы ввели -5, нажали на кнопку «±» и получили ответ от программы 5.

    elif key == "±":
        if "=" in calc_entry. get():
            calc_entry.delete(0, END)
        try:
            if calc_entry.get()[0] == "-":
                calc_entry.delete(0)
            else:
                calc_entry.insert(0, "-")
        except IndexError:
            pass

Следующая функция — число pi. При нажатии на кнопку «П» программа выведет нам 3.14159265359, то есть число Pi. Вот тут нам и пригодилась библиотека math.

elif key == "π":
        calc_entry.insert(END, math.pi)

Функция выхода из программы. При нажатии на кнопку «Exit» окно Tkinter будет уничтожено и процесс остановлен. В этой функции нам нужна была библиотека sys.

elif key == "Exit":
        root.after(1,root.destroy)
        sys.exit

Функция возведения в степень. Нужно ввести число, которое нужно возвести в степень. Далее программа выводит **. В Python этот символ означает возведение в степень 2**6 (возведение 2 в степень 6). Мы используем для счета в программе eval, а значит можно выполнить это так же, как и в Питоне. Ну и в конце мы вводим необходимую степень.
Пример 3. Нам нужно 3 возвести в 5 степень. Вводим число 3, нажимаем на кнопку «xⁿ» (3**…) и вводим необходимую степень, — 5 (3**5). Нажимаем на кнопку «=» и получаем ответ 243.

elif key == "xⁿ":
        calc_entry.insert(END, "**")

Опишу сразу две функции, так, как они идентичны.
Функция sin x и cos x.

Все просто, при нажатии на клавишу sin или же cos мы получаем синус или косинус по данному числу.

elif key == "sin":
        calc_entry.insert(END, "=" + str(math.sin(int(calc_entry.get()))))
    elif key == "cos":
        calc_entry.insert(END, "=" + str(math.cos(int(calc_entry.get()))))

Следующие две функции — скобки ) и (.
При нажатии на кнопку «)» мы получаем ), аналогично поступаем со второй функцией.

elif key == "(":
        calc_entry. insert(END, "(")
    elif key == ")":
        calc_entry.insert(END, ")")

Функция получения факториала из данного числа.

elif key == "n!":
        calc_entry.insert(END, "=" + str(math.factorial(int(calc_entry.get()))))

Функция извлечения корня квадратного их данного числа.

elif key == "√2":
        calc_entry.insert(END, "=" + str(math.sqrt(int(calc_entry.get()))))

Функция, которая отвечает за очищение поля ввода при нажатии на кнопку «=».

else:
        if "=" in calc_entry.get():
            calc_entry.delete(0, END)
        calc_entry.insert(END, key)

И последняя строка нашего кода — это «закрытие» окна tkinter.

root.mainloop()

Большое спасибо за прочтение данной публикации. Надеюсь она Вам была полезна.

Калькулятор греха — MathCracker.

com

Инструкции: Используйте этот калькулятор греха для вычисления любой операции, включающей грех. Если это числовое выражение с синусом, калькулятор упростит это, и если это функция греха, он отобразит ее на графике. Пожалуйста, введите выражение греха, с которым вы хотите работать.

Об этом калькуляторе грехов

Этот калькулятор sin сделает для вас две следующие вещи: вы можете указать числовое выражение, например sin(pi/4), и в этом случае калькулятор упростит его и при необходимости даст приблизительное числовое значение. Кроме того, если вы предоставляете функцию греха, например sin(3x+1), калькулятор отобразит это на графике.

Затем процесс прост: после того, как вы ввели выражение sin , которое хотите рассчитать, вы просто нажимаете кнопку «Рассчитать», которая находится под формой, чтобы получить шаги. решения.

Синус, наряду с косинусом, являются двумя краеугольными камнями тригонометрии. Вы увидите синус и косинус вокруг например, при решении треугольников, а также в таких областях, как физика.

Как пользоваться калькулятором грехов?

Основная идея калькулятора греха заключается в вычислении введенных вами выражений греха. Вот некоторые известные углы, обычно кратные или доли \(\pi\), которые являются простыми, целые или дробные результаты при вычислении их греха, поэтому рекомендуется использовать калькулятор выражения греха, чтобы помочь вам в этом.

Нелегко запомнить все расчеты греха для ВСЕХ заметных углов, и в итоге вы будете работать с треугольником, пытаясь получить ответ вручную, и калькулятором пригодится, чтобы дважды проверить, что вы получаете вручную.

Кроме того, вместо этого вы можете ввести в калькулятор функцию sin, например, sin(pi x), и вместо оценки нескольких точек этот калькулятор выдаст вам соответствующую graph

Каковы шаги для использования калькулятора грехов?

• Шаг 1: Определите выражение sin, которое вы хотите вычислить
• Шаг 2: Введите выражение в соответствующее поле. Вам не нужно предварительно упрощать, калькулятор сделает это за вас
• Шаг 3: Калькулятор проверит, можно ли вычислить выражение, и в этом случае оно уменьшится до простейших выражений
• Шаг 4: Если sin все еще присутствует в выражении, потому что его нельзя упростить дальше, например, sin(3/4), калькулятор выдаст вам приблизительное числовое значение. значение
• Шаг 5: Если вместо этого предоставляется функция sin, будет предоставлен график

Мы не можем не подчеркнуть важность правильного вычисления операций с синусоидами, так как они будут встречаться буквально везде.

формула sin и cos

Синус и косинус — две очень близкие родственницы, если не сестры. Между ними существует тесная связь, выражаемая следующей формулой: 92(х) = 1 \]

Почему грех так важен?

Синусы важны, потому что наряду с косинусами находятся в центре и ядре построения круга. И тогда круги таят в себе много других построений, как треугольники и так далее.

Следовательно, синус и косинус переплетаются в каждой геометрической конструкции.

Пример: калькулятор Sin

Вычислите следующее выражение sin: \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\)

Решение: Следующее тригонометрическое выражение рассчитано:

\[\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\]

Изучив данное тригонометрическое выражение, мы можем найти один заметный угол, который равен \(\sin\left(\frac{\pi{}}{3}\right)\).

▹ Для угла \(\frac{\pi{}}{3}\) графически получаем:

Приведенное тригонометрическое выражение можно упростить следующим образом:

\( \displaystyle \sin\left(\ frac{\pi{}}{3}\right)\)

Вычисляя тригонометрическое выражение при заметном угле \(\displaystyle\frac{\pi{}}{3}\) получаем, что: \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi{}}{3}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{3}\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{3}\)

Вывод: Мы заключаем, что \(\displaystyle \sin\left( \ frac {\ pi} {3} \ right) = \ frac {1} {2} \ sqrt {3} \ приблизительно 0,866 \).

Пример: Больше вычислений синуса

Вычислите следующее: \( \sin\left(\frac{5}{4}\right) \)

Решение: Для расчета было предоставлено следующее тригонометрическое выражение:

\[ \sin\left(\frac{5}{4}\right)\]

, но данное тригонометрическое выражение не может быть далее упрощено.

Вывод: Переданная функция не может быть упрощена, и мы получаем, что примерно \(\displaystyle \sin\left(\frac{5}{4}\right) \примерно 0,949\).

Пример: функция Sin

Вычислить \( \sin(3x + 1) \).

Решение: Нам нужно работать со следующей тригонометрической функцией

\[f(x) = \sin\left(3x+1\right)\]

На основе переданного аргумента тригонометрической функции частота и период вычисляются следующим образом:

\[ \begin{array}{ccl} \text{Точка} & = & \displaystyle\frac{2\pi}{3} \\\\ \\\\ & \ приблизительно & 2.0944 \end{массив}\]

, а также

\[ \begin{array}{ccl} \text{Частота} & = & \displaystyle\frac{3}{2\pi} \\\\ \\\\ & \ приблизительно & 0,4775 \end{массив}\]

На основе предоставленной тригонометрической функции \(f(x) = \sin\left(3x+1\right)\) мы получаем, что:

» Амплитуда в этом случае равна \(A = 1\) .

» Фазовый сдвиг равен \(\displaystyle\frac{-1}{3} = -0,3333\).

» Вертикальный сдвиг равен \( 0\).

Суммируя, для заданной тригонометрической функции найдено следующее:

• Период = \(2,0944\)
• Частота = \(0,4775\)
• Амплитуда = \(1\)
• Фазовый сдвиг = \(-0,3333\)
• Сдвиг по вертикали = \(\displaystyle 0\)

Ниже приведен соответствующий график

Дополнительные тригонометрические калькуляторы

Тригонометрия объединяет все эти понятия, включая круги и треугольники, а также грех и Потому что они лежат в основе этого.

Работа с тригонометрическими выражениями — еще один важный навык, который вам очень важно приобрести.

Вопросы о кратных и дольных углах

• Справляйтесь с математическими задачами

  Математика может быть сложной, но с небольшой практикой каждый может ее освоить.

• Получите помощь от опытных профессоров

  Решение математических уравнений может быть сложной задачей, но это также отличный способ улучшить свои навыки решения задач.

• Получите лучший ответ на домашнее задание

  Математика — увлекательный предмет, который может помочь нам раскрыть тайны Вселенной. Приложив немного усилий, любой может научиться решать математические задачи.

• Решение словесных вопросов

  Обратитесь к нашим опытным преподавателям за помощью в учебе.

JEE: Тригонометрия L7

Также можно найти тригонометрические отношения отрицательных углов, кратных и дольных углам или составным углам. Ближайшие разделы

Быстрое профессиональное обучение

Мы предлагаем быстрые профессиональные услуги репетитора, чтобы помочь улучшить ваши оценки.

Своевременная доставка

Ищете кого-то, кто поможет с домашним заданием? Мы можем оказать квалифицированную помощь в написании домашних заданий по любому предмету.

Решите математические вопросы

Если вам нужен ваш заказ быстро, мы можем доставить его вам в рекордно короткие сроки.

Круглосуточный специалист в прямом эфире

Домашнее задание является необходимой частью школы, которая помогает учащимся повторять и практиковать то, что они узнали в классе.

Решить сейчас

Что говорят о нас клиенты

Основной и расширенный JEE

Ответы за 3 секунды

Решить математическую задачу

Решить математические задачи

Решить математические задачи

Объяснить математические уравнения

Решить математические задачи

Множественные и субмножественные углы

Давайте рассмотрим тригонометрию JEE Mains 2022: составной угол, множественные и субмножественные углы IIT JEE Maths (Trigonometry JEE 2022) (Тригонометрия

Решить математические уравнения

Ответы за 3 секунды — отличный ресурс для быстрого , надежные ответы на все ваши вопросы.

Таблица менделеева — Электронный учебник K-tree

Электронный учебник

Периодический закон, открытый Д. И. Менделеевым был выражен в таблице. Периодическая таблица химических элементов, или таблица менделеева.

1

H

1.008

2

He

4.003

3

Li

6.938

4

Be

9.012

5

B

10.806

6

C

12.01

7

N

14.006

8

O

15.999

9

F

18.998

10

Ne

20.18

11

Na

22.99

12

Mg

24.304

13

Al

26.982

14

Si

28.084

15

P

30.974

16

S

32.059

17

Cl

35.446

18

Ar

39.948

19

K

39.098

20

Ca

40.078

21

Sc

44.956

22

Ti

47.867

23

V

50.942

24

Cr

51. 996

25

Mn

54.938

26

Fe

55.845

27

Co

58.933

28

Ni

58.693

29

Cu

63.546

30

Zn

65.38

31

Ga

69.723

32

Ge

72.63

33

As

74.922

34

Se

78.971

35

Br

79.901

36

Kr

83.798

37

Rb

85.468

38

Sr

87.62

39

Y

88.906

40

Zr

91.224

41

Nb

92.906

42

Mo

95.95

44

Ru

101.07

45

Rh

102.906

46

Pd

106.42

47

Ag

107.868

48

Cd

112.414

49

In

114.818

50

Sn

118.71

51

Sb

121.76

52

Te

127.6

53

I

126.904

54

Xe

131.293

55

Cs

132.905

56

Ba

137.327

57

La

138.905

72

Hf

178. 49

73

Ta

180.948

74

W

183.84

75

Re

186.207

76

Os

190.23

77

Ir

192.217

78

Pt

195.084

79

Au

196.967

80

Hg

200.592

81

Tl

204.382

82

Pb

207.2

83

Bi

208.98

58

Ce

140.116

59

Pr

140.908

60

Nd

144.242

62

Sm

150.36

63

Eu

151.964

64

Gd

157.25

65

Tb

158.925

66

Dy

162.5

67

Ho

164.93

68

Er

167.259

69

Tm

168.934

70

Yb

173.045

71

Lu

174.967

90

Th

232.038

91

Pa

231.036

92

U

238.029

В таблице менделеева колонки называются группами, строки называются периодами. Элементы в группах как правило имеют одинаковые электронные конфигурации внешних оболочек, например, благородные газы — последняя группа, имеют законченную электронную конфигурацию.

Как заполняется электронная конфигурация элементов подробно описано в статье

Скачать таблицу менделеева в хорошем качестве

© 2015-2022 — K-Tree.ru • Электронный учебник
По любым вопросам Вы можете связаться по почте [email protected]

Копия материалов, размещённых на данном сайте, допускается только по письменному разрешению владельцев сайта.

14. Степень окисления химических элементов. Окислитель и восстановитель. Окислительно-восстановительные реакции.

Степень окисления химических элементов. Окислитель и восстановитель. Окислительно-восстановительные реакции.

Теоретические сведения

Степень окисления — вспомогательная условная величина для записи процессов окисления, восстановления и окислительно-восстановительных реакций.  

Она указывает на состояние окисления отдельного атома молекулы и представляет собой лишь удобный метод учёта переноса электронов: она не является истинным зарядом атома в молекуле.

Степень окисления соответствует числу электронов, которое следует присоединить к положительному иону, чтобы восстановить его до нейтрального атома, или отнять от отрицательного иона, чтобы окислить его до нейтрального атома:

Al³⁺ + 3ē  → Al

S²⁻ − 2ē → S 

Степень окисления указывается сверху над символом элемента. В отличие от указания заряда иона, при указании степени окисления первым ставится знак, а потом численное значение, а не наоборот.

Степень окисления (в отличие от валентности) может иметь нулевое, отрицательное и положительное значения, которые обычно ставятся над символом элемента сверху.

Окислители и восстановители

Окислитель – это вещество, которое содержит элемент в максимальной степени окисления. В окислительно – восстановительной  реакции окислитель принимает электроны, при этом степень окисления понижается. Процесс принятия электронов называется процессом восстановления.

А⁰ + nē →   А^n-

элемент (вещество) А — окислитель

процесс восстановления

Типичные окислители: H₂SO₄, HNO₃, KMnO₄, K₂CrO₄, K₂Cr₂O₇, O₂, F₂, O₃, Cl₂, CrO₃

Восстановитель – это вещество, которое содержит элемент в минимальной степени окисления. В окислительно-восстановительной реакции восстановитель отдает электроны, при этом степень окисления повышается. Процесс отдачи электронов называется процессом окисления.

А⁰ — nē →   Аⁿ⁺

восстановитель

процесс окисления

Типичные восстановители: Ме, h3S, C (кокс), Si, CO.

Окислительно-восстановительные реакции

Окислительно-восстановительные реакции — это встречно-параллельные химические реакции, протекающие с изменением степеней окисления атомов, входящих в состав реагирующих веществ (или ионов веществ).

В окислительно-восстановительных реакциях электроны от одних атомов, молекул или ионов переходят к другим. Процесс отдачи электронов — окисление. При окислении степень окисления повышается.

Процесс присоединения электронов — восстановление. При восстановлении степень окисления понижается.

Атомы или ионы, которые в данной реакции присоединяют электроны являются окислителями, а которые отдают электроны — восстановителями.

Степень и ее свойства. Определение степени

Основная цель

Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.

Тема “ Степень и её свойства ” включает три вопроса:

• Определение степени с натуральным показателем.
• Умножение и деление степеней.
• Возведение в степень произведения и степени.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение степени с натуральным показателем, большим 1. Приведите пример.
2. Сформулируйте определение степени с показателем 1. Приведите пример.
3. Каков порядок выполнения действий при вычислении значения выражения, содержащего степени?
4. Сформулируйте основное свойство степени. Приведите пример.
5. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
6. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Приведите пример.
7. Сформулируйте правило возведения в степень произведения. Приведите пример. Докажите тождество (ab)ⁿ = aⁿ•^{bn .}
8. Сформулируйте правило возведения степени в степень. Приведите пример. Докажите тождество ( а^m )ⁿ = а^{m n} .

Определение степени.

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Степень с основанием а и показателем n записывается так: аⁿ . Читается “ а в степени n ”; “ n- я степень числа а ”.

По определению степени:

а¹ = а

а² = а•а

а³ = а•а•а

а⁴ = а• а•а•а

. . . . . . . . . . . .

аⁿ =

Нахождение значения степени называют возведением в степень.

1. Примеры возведения в степень:

3³ = 3• 3• 3 = 27

0⁴ = 0• 0• 0• 0 = 0

( -5 )³ = ( -5 ) • ( -5 ) • ( -5 ) = -125

7¹ = 7

2. Представьте в виде квадрата числа: 25 ; 0,09 ;

25 = 5² ; 0,09 = ( 0,3 )² ; .

3. Представьте в виде куба числа:

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3³ ; 0,001 = ( 0,1 )³ ; 8 = 2³ .

4. Найти значения выражений:

а) 3• 10³ = 3• 10• 10• 10 = 3• 1000 = 3000

б) -2⁴ + ( -3 )² = 7
2⁴ = 16
( -3 )² = 9
-16 + 9 = 7

Вариант 1

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,3• 0,3• 0,3

б)

в) b• b• b• b• b• b• b

г) ( -х ) • ( -х ) • ( -х ) • ( -х )

д) ( ab ) • ( ab ) • ( ab )

2. Представьте в виде квадрата числа:

16 ; 0,25 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

125 ; 0,027 ; .

4. Найти значения выражений :

а) 7² + 4³

б) 6² + 5³

в) -1⁴ + ( -2 )³

г) -4³ + ( -3 )²

д) 100 — 5• 2⁴

Умножение степеней.

Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:

a^maⁿ = a^{m + n} .

Доказательство:

Правило: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

a^maⁿa^k = a^{m + n}a^k = a^{( m + n ) + k} = a^{m + n + k}

1. Представить в виде степени:

а) х⁵• х⁴ = х^{5 + 4} = х⁹

б) y• y⁶ = y¹ • y⁶ = y^{1 + 6} = y⁷

в) b² • b⁵ • b⁴ = b^{2 + 5 + 4} = b¹¹

г) 3⁴ • 9 = 3⁴•^{32 = 36}

д) 0,01• 0,1³ = 0,1² • 0,1³ = 0,1⁵

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2³ • 2 = 2⁴ = 16

б) 3² • 3⁵ = 3⁷ = 2187

Вариант 1

1. Представить в виде степени:

а) х³ •х⁴ е) х² •х³ •х⁴

б) а⁶ •а² ж) 3³•9

в) у⁴ •у з) 7⁴•49

г) а• а⁸ и) 16• 2⁷

д) 2³•2⁴ к) 0,3³•0,09

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2²•2³ в) 8• 2⁵

б) 3⁴•3² г) 27• 243

Деление степеней.

Для любого числа а0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:

a^m : aⁿ = a^{m — n}

Доказательство:

a^{m — n} aⁿ = a^{( m — n ) + n} = a^{m — n + n} = a^m

по определению частного:

a^m : aⁿ = a^{m — n} .

Правило: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице:

а⁰ = 1

т. к. аⁿ : aⁿ = 1 при а0 .

1. Представьте в виде степени частное:

а) х⁴:х² = х^{4 — 2} = х²

б) у⁸:у³ = у^{8 — 3} = у⁵

в) а⁷:а = а⁷:а¹ = а^{7 — 1} = а⁶

г) с⁵:с⁰ = с⁵:1 = с⁵

2. Найдите значения выражений:

а) 5⁷:5⁵ = 5² = 25

б) 10²⁰:10¹⁷ = 10³ = 1000

в)

г)

д)

Вариант 1

1. Представьте в виде степени частное:

а) х⁵ : х²

б) у⁹ : у⁴

в) b¹⁰ : b

г) с¹⁰ : с⁴

д) а⁷ : а⁰

2. Найдите значения выражений:

а) 3⁶ : 3²

б) 7¹⁵ : 7¹³

в)

г)

д)

Возведение в степень произведения.

Для любых а и b и произвольного натурального числа n:

( ab )ⁿ = aⁿ•bⁿ

Доказательство:

По определению степени

( ab )ⁿ =

Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:

=

Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.

Например:

( a• b• c )ⁿ = aⁿ •bⁿ •cⁿ ;

( a• b• c• d )ⁿ = aⁿ •bⁿ •cⁿ •dⁿ .

Правило: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.

1. Возвести в степень:

а) ( a• b )⁴ = a⁴ •b⁴

б) (2• х• у )³ =2³•х³ •у³ = 8• х³ •у³

в) ( 3• а )⁴ = 3⁴•а⁴ = 81• а⁴

г) ( -5• у )³ = (-5)³ •у³ = -125• у³

д) (-0,2• х• у )² = (-0,2)² •х² •у² = 0,04• х² •у²

е) (-3• a• b• c )⁴ = (-3)⁴ •a⁴ •b⁴ •c⁴ = 81• a⁴ •b⁴ •c⁴

2. Найти значение выражения:

а) (2• 10)⁴ = 2⁴•10⁴ = 16• 1000 = 16000

б) (3• 5• 20)²= 3²•100²= 9• 10000= 90000

в) 2⁴•5⁴ = (2• 5)⁴ = 10⁴ = 10000

г) 0,25¹¹•4¹¹ = (0,25• 4)¹¹ = 1¹¹ = 1

д)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

а) ( a• b )⁹

б) ( 2• а• с )⁴

в) ( 5• а )³

г) ( -3• у )⁴

д) ( -0,1• х• у )³

е)

2. Найти значение выражения:

а) (3• 10)³

б) (5• 7• 20)²

в) 5³•2³

г)

д)

Возведение в степень степени.

Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:

( а^m )ⁿ = а^{m n}

Доказательство:

По определению степени

( а^m )ⁿ =

Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

1. Возвести в степень:

( а³ )² = а⁶ ( х⁵ )⁴ = х²⁰

( у⁵ )² = у¹⁰ ( b³ )³ = b⁹

2. Упростите выражения:

а) а³ •( а²)⁵ = а³ •а¹⁰ = а¹³

б) ( b³ )² •b⁷ = b⁶ •b⁷ = b¹³

в) ( х³ )² •( х² )⁴ = х⁶ •х⁸ = х¹⁴

г) ( у• у⁷ )³ = ( у⁸ )³ = у²⁴

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Вариант 1

1. Возвести в степень:

а) ( а⁴ )²      б) ( х⁴ )⁵

в) ( у³ )²      г) ( b⁴ )⁴

2. Упростите выражения:

а) а⁴ •( а³)²

б) ( b⁴ )³ •b⁵⁺

в) ( х² )⁴ •( х⁴ )³

г) ( у• у⁹ )²

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Приложение

Определение степени.

Вариант 2

1ю Запишите произведение в виде степени:

а) 0,4• 0,4• 0,4

б)

в) а• а• а• а• а• а• а• а

г) ( -у ) • ( -у ) • ( -у ) • ( -у )

д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс )

2. Представьте в виде квадрата числа:

25 ; 0,16 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

64 ; 0,125 ; .

4. Найти значения выражений:

а) 5² + 3³

б) 4³ — 7²

в) -1³ + ( -2 )⁴

г) -6² + ( -3 )²

д) 4• 5² – 100

Вариант 3

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,5• 0,5• 0,5

б)

в) с• с• с• с• с• с• с• с• с

г) ( -х ) • ( -х ) • ( -х ) • ( -х )

д) ( ab ) • ( ab ) • ( ab )

2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; .

3. Представьте в виде куба числа:

1000 ; 0,008 ; .

4. Найти значения выражений :

а) 3⁴ + 7²

б) 6³ — 9²

в) -1⁵ + ( -3 )²

г) -5³ + ( -4 )²

д) 5• 4² — 100

Вариант 4

1. Запишите произведение в виде степени:

а) 0,7• 0,7• 0,7

б)

в) х• х• х• х• х• х

г) ( -а ) • ( -а ) • ( -а )

д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс ) • ( bc )

2. Представьте в виде квадрата числа:

81 ; 0,64 ;.

3. Представьте в виде куба числа:

216 ; 0,064 ; .

4. Найти значения выражений :

а) 6² + 4³

б) 5³ — 8²

в) -1⁴ + ( -3 )³

г) -3⁴ + ( -5 )²

д) 100 — 3• 2⁵

Умножение степеней.

Вариант 2

1. Представить в виде степени:

а) х⁴ •x⁵      е) х³ •х⁴ •х⁵

б) а⁷ •а³      ж) 2³•4

в) у⁵ •у      з) 4³•16

г) а• а⁷      и) 4• 2⁵

д) 2²•2⁵      к) 0,2^3• 0,04

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 3²•3³    в) 16• 2³

б) 2⁴•2⁵    г) 9• 81

Вариант 3

1. Представить в виде степени:

а) а³•а⁵    е) у² •у⁴ •у⁶

б) х⁴•х⁷    ж) 3⁵•9

в) b⁶•b    з) 5³•25

г) у• у⁸    и) 49• 7⁴

д) 2³•2⁶    к) 0,3⁴•0,27

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 3³•3⁴    в) 27• 3⁴

б) 2⁴•2⁶    г) 16• 64

Вариант 4

1. Представить в виде степени:

а) а⁶•а²    е) х⁴ •х• х⁶

б) х⁷•х⁸    ж) 3⁴•27

в) у⁶•у    з) 4³•16

г) х• х¹⁰    и) 36• 6³

д) 2⁴•2⁵    к) 0,2²•0,008

2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:

а) 2⁶•2³    в) 64• 2⁴

б) 3⁵•3²    г) 81• 27

Деление степеней.

Вариант 2

1. Представьте в виде степени частное:

а) х⁶ : х³

б) у¹⁰ : у⁵

в) b⁹ : b

г) с¹² : с⁷

д) а⁹ : а⁰

2. Найдите значения выражений:

а) 2⁷ : 2⁴

б) 6¹⁰ : 6⁸

в)

г)

д)

Вариант 3

1. Представьте в виде степени частное:

а) у⁷ : у⁴

б) а¹¹ : а⁷

в) с¹⁰ : с

г) b¹⁷ : b¹⁵

д) х⁸ : х⁰

2. Найдите значения выражений:

а) 3⁸ : 3⁵

б) 4¹⁰ : 4⁷

в)

г)

д)

Вариант 4

1. Представьте в виде степени частное:

а) х⁸ : х³

б) b¹² : b⁵

в) у⁹ : у

г) с¹⁹ : с¹⁴

д) а¹⁰ : а⁰

2. Найдите значения выражений:

а) 5¹⁰ : 5⁸

б) 6¹⁷ : 6¹²

в)

г)

д)

Возведение в степень произведения.

Вариант 2

1. Возвести в степень:

а) ( х• у )⁷

б) (3• а• b )⁴

в) (2• а )⁵

г) (-4• у )³

д) (-0,3• a• b )²

е) ( -2• x• y• z )³

2. Найти значение выражения:

а) (2• 10)³

б) (7• 4• 25)²

в) 4³•5³

г) 4⁹•0,25⁹

д)

Вариант 3

1. Возвести в степень:

а) ( a• b )⁸

б) (2• х• у )⁵

в) (3• х )⁴

г) (-4• с )⁴

д) (-0,2• х• у )²

е)

2. Найти значение выражения:

а) (5• 10)³

б) (9• 4• 25)²

в) 2³•3³

г)

д) 0,5⁴•4⁴

Вариант 4

1. Возвести в степень:

а) ( х• у )⁹

б) (3• а• b )⁵

в) (2• у )⁶

г) (-6• b )³

д) (-0,1• a• b )²

е) ( -5• x• y• z )⁴

2. Найти значение выражения:

а) (3• 10)⁴

б) (8• 5• 20)²

в) 5²•4²

г) 0,2⁷•5⁷

д)

Возведение в степень степени.

Вариант 2

1. Возвести в степень:

а) ( а⁵ )²

б) ( х³ )⁵

в) ( у⁴ )²

г) ( b⁶ )⁶

2. Упростите выражения:

а) а⁴ •( а³)⁵

б) ( b² )³ •b⁸

в) ( х³ )⁴ •( х² )⁵

г) ( у• у¹⁰ )³

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Вариант 3

1. Возвести в степень:

а) ( а⁷ )²

б) ( х⁶ )⁵

в) ( у¹⁰ )²

г) ( b⁷ )⁷

2. Упростите выражения:

а) а⁵ •( а²)³

б) ( b³ )⁴ •b⁷

в) ( х⁵ )² •( х³ )⁴

г) ( у• у¹¹ )²

3. Найдите значение выражений:

а)

б)

Вариант 4

1. Возвести в степень:

а) ( а⁶ )²

б) ( х⁷ )⁵

в) ( у⁸ )²

г) ( b⁵ )⁵

2. Упростите выражения:

а) а⁶ •( а⁴)²

б) ( b⁵ )² •b⁶

в) ( х² )⁵ •( х⁴ )³

г) ( у⁶ •у )³

3. {200} $

Степень свойств степени | Кубенс

Метки:

• математика
• 5 класс
• 7 класс
• градусов
• дробь

Глава:

Глава: Числа и выражения

Версии на других языках:

• Великобритания
• RU
• ПТ
• ЕС
• DE
• Ж
• JA
• ПРИВЕТ
• БН
• дополненная реальность

Поделись с друзьями:

Справочник

• Числа и выражения
  • Делимость целых чисел, правила делимости
  • Простые и составные числа Простые множители
  • Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
  • Проценты, процент от числа
  • Вещественные числа, числовые наборы
  • Пропорции и отношения, прямая и обратная пропорциональность
  • Номер модуля и свойства модуля
  • Арифметика и геометрия
  • Алгебраические выражения один член и многочлен
  • Формулы сокращенного умножения
  • Полиномиальный. Деление многочлена на многочлен
  • Формула Виета и корни многочлена
  • Степень свойств степени
  • Корень n-й степени, свойства корней n-й степени
  • Логарифм числа, свойства логарифмов
  • Последовательность чисел, метод математической индукции
  • Арифметическая прогрессия Сумма арифметической прогрессии
  • Геометрическая прогрессия, сумма геометрической прогрессии
• Уравнения и неравенства
  • Уравнения с одной переменной, диапазон допустимых значений уравнения
  • Неравенства с одной переменной DHS
  • Диаграмма решения уравнений, замена переменных
  • Решение неравенств, интервальные методы
  • Системы уравнений, решающие системы линейных уравнений
  • Системы неравенств, решение систем линейных неравенств
  • Линейные уравнения и неравенства
  • Квадратное уравнение, теорема Виета
  • Квадратные неравенства
  • Дробные уравнения, как развести дробное уравнение
  • Дробное неравенство, как развести дробное неравенство
  • Уравнения и неравенства с модулями, геометрический смысл модуля
  • Иррациональные уравнения
  • Иррациональные неравенства
  • Экспоненциальные уравнения
  • Экспоненциальные неравенства
  • Показниковско-экспоненциальные уравнения
  • Логарифмические уравнения
  • Логарифмическое неравенство
  • Система линейных уравнений
• Функции и графики
  • Функция, объем и разнообразие значений функции
  • Область определения функции
  • График функции
  • Четные функции, нечетные функции
  • Свойства функций
  • Возрастающие функции, убывающие функции
  • Непрерывность функции
  • Периодичность функции
  • Функция реверса
  • Асимптоты графика функции
  • Элементарные преобразования графика функции
  • Линейная функция, график линейной функции
  • Дробно-линейная функция
  • Квадратичная функция, график квадратичных функций
  • Функция корня, график корня функции
  • Функция мощности
  • График экспоненциальной функции экспоненциальные функции
  • Логарифмическая функция, график логарифмической функции
• Алгебра и начальный анализ
  • Предел функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Вычисление предела функции
  • Производная функции найти производную функции
  • Таблица производных
  • Применение производной к изучению функции
  • Дифференциал функции, нахождение дифференциала
  • Вторая производная, точка перегиба
  • Изучение функций, построение графиков функций
  • Интеграл и интеграл
  • Определенный интеграл
  • Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла
• Тригонометрия
  • Тригонометрия. Измерение углов
• Комбинаторика
  • Перестановки
• Дробные числа
  • Дроби, виды дробей
  • Десятичные
  • Деление десятичных дробей Умножение десятичных дробей
  • Приведение дробей, построение дробей к общему знаменателю
  • Умножение дробей
  • Сложение и вычитание дробей
  • Разделение дробей
  • Преобразование неправильных дробей в смешанное число
  • Преобразовать смешанное число в неправильную дробь
  • Преобразование десятичных дробей в дроби
  • Среднее арифметическое
• Преподавание по скайпу
  • Математика по скайпу с репетитором
  • 5 советов программистам для успешного прохождения собеседования
  • Что такое ГДЗ и для чего он нужен?
  • База «Основной сборник» — лучшие рефераты и сочинения для школьников
  • Курсы QA\QC, тестирование львов
  • Рабочие тетради для дошкольников Федиенко: учимся легко и весело
  • Почему стоит выбрать Академию QA Logos?

Таблицы и формулы

• Таблица умножения, таблица квадратов, таблица кубов, таблица градусов
  • Таблица умножения
  • Таблица квадратов
  • Настольные кубики
  • Таблица степеней
  • Таблица факторных
  • Номера столов
  • Таблица делений
• Таблица значений тригонометрических функций
  • Таблица Брадиса косинусов, закона синусов, тангенсов, котангенсов
  • Таблица косинусов
  • Таблица синусов
  • Таблица касательных
  • Таблица котангенсов
• Таблица производных функций
  • Таблица производных элементарных функций, производная функции
• Формулы сокращенного умножения
  • Формулы сокращенного умножения

Использование куки-файлов

Компания Cubens использует куки-файлы, чтобы обеспечить максимальное удобство пользования нашим веб-сайтом. Если вы продолжите, мы предполагаем, что вы даете согласие на получение всех файлов cookie на всех веб-сайтах Cubens. Вы можете получить больше информации здесь.

Полезные обновления

В Ваш почтовый ящик

Чтобы подписаться, введите ниже свой адрес электронной почты

Как решать пределы? Гайд для чайников — KILLE на DTF

Итак, ты ученик первого курса технического вуза, а единственное, что ты можешь сказать, глядя на эту хуйню, — это «ебись оно конем»? Тогда этот гайд для тебя.

9988 просмотров

Урок математики. Учительница говорит:

— Сегодня мы будем брать интегралы.

Вовочка спрашивает:

— А как это в жизни пригодится?

— Ты ебало-то завали.

Рассмотрим простейший пример:

Не знаешь, как буковки могут складываться с циферками? Тогда у меня есть для тебя решение — эвтаназия, а данный обучающий гайд тебе вряд ли поможет.

Все очень просто. Видишь как икс стремится к трем? То-то же. Просто подставь в дробь значение икс равное трем. В числителе получается 10, а в знаменателе 5. Делим и получаем ответ 2. Понял в чем дело? Просто подставляем в предел вместо икса то, к чему стремится этот самый икс. И все.

Но такое на контрольной тебе никогда не дадут. Рассмотрим пример посложнее.

Хочешь поделить своих хейтеров на бесконечность?

Подставляем бесконечность вместо икса и включаем мозг: логично предположить, что бесконечность это очень много, а когда мы делим небольшое число на очень большое, то получаем очень маленький ответ. А когда мы делим любое число на бесконечно большое, то получаем 0. Запомнил? Молодец, даже у Эйнштейна это только с третьего раза получилось.

Ну а что, если икс стремится к нулю? На ноль делить же нельзя? Это правда, только мы подставляем не 0, а число бесконечно стремящееся к нулю. Логика подсказывает, что в таком случае в ответе получится бесконечность. Понял? Если нет, спроси свою маму или бабушку.

А теперь глядь сюды:

Пиздец, правда? И с такой хуйней твоей учительнице по математике приходиться встречаться каждый день. Это поэтому она такая злая ходит.

Что у нас тут получается? Бесконечность в числителе и бесконечность в знаменателе? Неопределенность какая-то. Именно с неопределенностями разных типов тебе придется сразится на контрольной. В данном случае у нас неопределенность вида ВОСЬМЕРКА НА БОКУ РАЗДЕЛИТЬ НА ВОСЬМЕРКУ НА БОКУ. Решить данную блевоту можно вынеся старшую степень за скобки. Ну мы же не такие, правда? Лови лайфхак: когда у нас Х стремится к бесконечности и в пределе отношение многочлена на многочлен, то ответом является отношение коэффициентов при старших степенях. То есть нам нужно взять циферку перед икс в кубе из числителя и разделить его на циферку перед икс в кубе в знаменателе. Ответ получается в уме — 1/2. Да, ты можешь выкрикнуть ответ с места еще до того, как пример будет дописан на доске. Учителя такое очень любят, рекомендую.

Подобную хуету можно применить для поебени посложнее:

Получив такое на контрольной не торопись умирать от инфаркта вперемешку с инсультом. Тут все очень просто.

Решается абсолютно аналогично. Видишь хрень под корнем? Мысленно убери х+1 и извлеки корень. Выходит, что старшая степень 2. У нас получается так, что в числителе старшая степень и под корнем прячется и вне корня тоже есть. В общем, мне лень дальше писать, ответ 4/3. Кто не понял, тот лох.

Если старшие степени не совпадают, то ответом будет либо ноль либо бесконечность (зависит от вашего настроения).

Заикнувшимся про правило Лопиталя напомню, что за него на контрольной могут и выебать.

Теперь посмотрим на неопределенность иного типа:

Подставляем значение икса в предел и получаем неопределенность вида 0/0. Хуйня какая-то. Но только до тех пор, пока ты не догадаешься разложить числитель на множители. Находим корни в уме за пять лет (отсылка на предыдущий пост, охуеть!) и раскладываем поеботу по следующей формуле: (циферка ПЕРЕД ИКСОМ В квадрате)×(ИКС МИНУС первый корень)×(ИКС МИНУС второй корень). Эту формулу знает даже Невский.

Корни получились 5/2 и -1.

Понял, да? Я внес циферку перед иском в квадрате внутрь первой скобки.

Теперь просто подставляем -1 и получаем ответ -7.

Если из бесконечности вычесть бесконечность, то может получиться твой IQ.

Внимательно глядим на новое спецзадание. Тут нас ждет неопределенность нового типа — бесконечность минус бесконечность. Домножем этот понос на такой же понос, только со знаком плюс вместо минуса. Ну раз мы домножили выражение на что-то, то на это самое что-то нужно и разделить, чтобы выражение не изменилось. В числителе применим формулу из продвинутого курса высшей математики:

В Хогвартсе такое не проходят.

Получилось вот что:

Как ты видишь, в числителе из произведении поноса на понос получился умеренный такой поносик небольших размеров. Операцию, что мы проделали называют умножением на сопряженное. 

А дальше вспоминай пример номер 3 (это там, где мне было лень все расписывать и я выдал сразу ответ) и действуй аналогично. Ответ (2) находится в уме настолько быстро, что как-то неловко об этом писать.

Закрепим материал заданием, которым пытают Гитлера в аду:

Научившись решать такое, ты станешь самым популярным в школе.

Видишь классическую неопределенность вида 0/0? Значит нужно разложить на множители. Должно получиться что-то вроде (х-1)*(………) и в числителе и в знаменателе. Далее х-1 сократится и все будет хорошо. Есть один секретный способ, но я тебе его не покажу, поэтому будет раскладывать на множители делением в столбик. Ахтунг! Далее идет шок контент. Я предупредил.

Содержание скрыто

Показать

Ты что-нибудь понял? Я нет.

В общем, в процессе деления столбиком ты увидишь, что в ответе вырисовывается ряд из степеней от большей к нулю. В конце у нас остается остаток в самом низу рисунка. Это полный квадрат выражения х-1. То есть при делении его на х-1 мы получим х-1. В знаменателе будет тоже самое, только ряд степеней начнется с 49. На множитель (х-1) мы сократили и числитель и знаменатель в предыдущем абзаце, если кто забыл. Теперь подставляем х=1 и получаем 98/48 или 49/24.

Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы получить на контрольной твердую 2, а учительница если и будет тебя бить, то не сильно.

Напоследок дам универсальный способ. Если ты не можешь найти ответ, то он находится

Содержание скрыто

Показать

в конце учебника.

Россияне смогут решать консульские вопросы вне посольства в Таллине

https://ria.ru/20230126/voprosy-1847710887.html

Россияне смогут решать консульские вопросы вне посольства в Таллине

Россияне смогут решать консульские вопросы вне посольства в Таллине — РИА Новости, 26.01.2023

Россияне смогут решать консульские вопросы вне посольства в Таллине

Эстония разрешит гражданам РФ получать консульскую помощь за пределами российского посольства в Таллине, поскольку ранее было закрыто генконсульство РФ в Нарве. .. РИА Новости, 26.01.2023

2023-01-26T19:57

2023-01-26T19:57

2023-01-26T19:57

в мире

россия

эстония

таллин

урмас рейнсалу

/html/head/meta[@name=’og:title’]/@content

/html/head/meta[@name=’og:description’]/@content

https://cdnn21.img.ria.ru/images/156110/92/1561109234_38:0:1000:541_1920x0_80_0_0_a132974dcfb0e279564ef99087ede353.jpg

ХЕЛЬСИНКИ, 26 янв — РИА Новости. Эстония разрешит гражданам РФ получать консульскую помощь за пределами российского посольства в Таллине, поскольку ранее было закрыто генконсульство РФ в Нарве и сокращен состав дипмиссии в Таллине, сообщила в четверг пресс-служба эстонского МИД. Как сообщил ранее портал государственного телерадиовещания ERR, власти Нарвы готовы предоставить помещение в городской библиотеке для организации консульских приемов посольством РФ. В такой услуге нуждается большое число граждан России, проживающих как в Нарве, так и в других городах уезда Ида-Вирумаа на границе с Россией. Таким образом мэрия хочет помочь людям, которые в силу возраста или слабого здоровья, не могут посетить посольство России в Таллине для оформления документов. «Эстония закрыла Генеральное консульство России в Нарве в связи с событиями на Украине. Страны имеют право выполнять консульские задачи в Эстонии за пределами Таллина, организуя разовые консульские миссии. Под разовой консульской миссией в Эстонии понимается такая консульская деятельность, которая осуществляется за пределами посольства не чаще одного раза в месяц, два дня подряд», — цитирует пресс-служба главу МИД Урмаса Рейнсалу. Министр также отметил, что МИД передаст пояснительную записку в посольство России в Таллине и проконтролирует ее выполнение. Ранее МИД России распространил заявление о понижении уровня дипломатических отношений с Эстонией. В нем отмечается, что Эстонией предпринят новый недружественный шаг по радикальному сокращению численного состава российского посольства в Таллине, подтверждающий линию на развал отношений между странами. В качестве ответной меры российская сторона приняла решение о понижении уровня диппредставителя в обеих странах до временного поверенного в делах. Эстонский посол Маргус Лайдре должен покинуть РФ 7 февраля. В свою очередь глава МИД Эстонии Урмас Рейнсалу сообщал, что посол России Владимир Липаев должен будет покинуть Эстонию 7 февраля одновременно с выездом из России посла Эстонии.

https://ria.ru/20230124/estoniya-1846993160.html

https://ria.ru/20230124/estoniya-1846990113.html

https://ria.ru/20230125/estoniya-1847410139.html

россия

эстония

таллин

РИА Новости

1