Автор: alexxlab

6 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 34

Отношения, пропорции, проценты

144. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются цифры:
а) 1, 3, 9 без повторения; б) 1, 3, 9 с повторением;
в) 2, 4, 6 без повторения; г) 2, 4, 6 с повторением.

а) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, то есть имеется 3 • 2 = 6 возможных вариантов записи двузначного числа: 13, 19, 31, 39, 91, 93;

б) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить также одну из трёх цифр, то есть имеется 3 • 3 = 9 возможных вариантов записи двузначного числа: 11, 13, 19, 31, 33, 39, 91, 93, 99;

в) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, то есть имеется 3 • 2 = 6 возможных вариантов записи двузначного числа: 24, 26, 42, 46, 62, 64;
г) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить также одну из трёх цифр, то есть имеется 3 • 3 = 9 возможных вариантов записи двузначного числа: 22, 24, 26, 42, 44, 46, 62, 64, 66.

145. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются цифры 0, 1, 5: а) без повторения; б) с повторением.

а) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, кроме нуля (то есть любую из двух цифр), на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, то есть имеется 2 • 2 = 4 возможных вариантов записи двузначного числа: 10, 15, 50, 51;

б) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, кроме нуля (то есть любую из двух цифр), на второе место можно поставить также одну из трёх цифр, то есть имеется 2 • 3 = 6 возможных вариантов записи двузначного числа: 10, 11, 15, 50, 51, 55.

146. Сколько двузначных чисел можно записать цифрами 9, 8, 7: а) с повторением цифр; б) без повторения цифр?

а) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить также одну из трёх цифр, то есть имеется 3 • 3 = 9 возможных вариантов записи двузначного числа: 77, 78, 79, 87, 88, 89, 97, 98, 99.

б) На первое место можно поставить любую из трёх цифр, на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, то есть имеется 3 • 2 = 6 возможных вариантов записи двузначного числа: 78, 79, 87, 89, 97, 98.

147. Сколько двузначных чисел можно записать цифрами 0, 2, 4, 6: а) с повторением цифр; б) без повторения цифр?

а) На первое место можно поставить любую из четырёх цифр, кроме нуля (то есть любую из трёх цифр), на второе место можно поставить также одну из четырёх цифр, то есть имеется 3 • 4 = 12 возможных вариантов записи двузначного числа: 20, 22, 24, 26, 40, 42, 44, 46, 60, 62, 64, 66;

б) На первое место можно поставить любую из четырёх цифр, кроме нуля (то есть любую из трёх цифр), на второе место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, то есть имеется 3 • 3 = 9 возможных вариантов записи двузначного числа: 20, 24, 26, 40, 42, 46, 60, 62, 64.

148. Четыре подружки купили 4 билета в кино. Сколькими различными способами они могут занять свои места в зрительном зале?

Первая девочка может сесть на одно из четырёх мест, вторая девочка может выбрать себе одно из трёх оставшихся мест, третья девочка может выбрать себе одно из двух оставшихся мест, четвертая девочка может выбрать себе одно оставшееся место, то есть 4 • 3 • 2 • 1 = 24 способа занять места.

149. Сколько двузначных; трёхзначных; четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 без повторения?

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить только одну из четырёх оставшихся цифр, то есть имеется 5 • 4 = 20 возможных вариантов записи двузначного числа.

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить только одну из четырёх оставшихся цифр, на третье место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, то есть имеется 5 • 4 • 3 = 60 возможных вариантов записи трёхзначного числа.

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить только одну из четырёх оставшихся цифр, на третье место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, на четвёртое место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, то есть имеется 5 • 4 • 3 • 2 = 120 возможных вариантов записи четырёхзначного числа.

150. Сколько двузначных; трёхзначных; четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 с повторением?

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить также любую из пяти цифр, то есть имеется 5 • 5 = 25 возможных вариантов записи двузначного числа.

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе и третье место можно поставить также любую из пяти цифр, то есть имеется 5 • 5 • 5 = 125 возможных вариантов записи трёхзначного числа.

На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе, третье и четвёртое место можно поставить также любую из пяти цифр, то есть имеется 5 • 5 • 5 • 5 = 625 возможных вариантов записи четырёхзначного числа.

151. а) Все четырёхзначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 4312?
б) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 54 312?
в) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, выписывают в порядке возрастания. Сколько чисел в этом списке? Каким по счету в этом списке будет число 54 231?

а) На первое место можно поставить любую из четырёх цифр, на второе место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, на третье место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, на четвёртое место можно поставить только одну последнюю оставшеюся цифру, то есть имеется 4 • 3 • 2 • 1 = 24 возможных вариантов записи четырёхзначного числа. Число 4321 является наибольшим, а значит имеет 24 порядковый номер. Число 4312 идёт перед ним, следовательно, оно имеет 23 порядковый номер.

б) На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить только одну из четырёх оставшихся цифр, на третье место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, на четвёртое место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, на пятое место можно поставить только одну последнюю оставшеюся цифру, то есть имеется 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 возможных вариантов записи пятизначного числа. Число 54 321 является наибольшим, а значит имеет 120 порядковый номер. Число 54 312 идёт перед ним, следовательно, оно имеет 119 порядковый номер.

в) На первое место можно поставить любую из пяти цифр, на второе место можно поставить только одну из четырёх оставшихся цифр, на третье место можно поставить только одну из трёх оставшихся цифр, на четвёртое место можно поставить только одну из двух оставшихся цифр, на пятое место можно поставить только одну последнюю оставшеюся цифру, то есть имеется 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 возможных вариантов записи пятизначного числа.  Число 54 321 является наибольшим, а значит имеет 120 порядковый номер. Число 54 312 идёт перед ним, следовательно, оно имеет 119 порядковый номер. А затем идёт число 54 231 под 118 порядковым номером.

Ответы по математике. 6 класс. Учебник. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.

Математика. 6 класс

Таблица разрядов и классов чисел в математике

Научим называть и записывать многозначные числа без ошибок

Начать учиться

Хорошо, когда все на своих местах: кастрюли в шкафу, зубная щетка — в ванной. У цифр при записи чисел тоже есть свое место. В этой статье раскроем тему разрядов и классов.

Числа и цифры

Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.

Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

• Единица (1) — самое маленькое число, а самого большого числа не существует.
• Ноль (0) означает, что предмета нет. Ноль не является натуральным числом.

От количества цифр в числе зависит его название.

Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.

Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.

Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.

Таблица классов:

Названия классов многозначных чисел справа налево:

• первый — класс единиц,
• второй — класс тысяч,
• третий — класс миллионов,
• четвертый — класс миллиардов,
• пятый — класс триллионов,
• шестой — класс квадриллионов,
• седьмой — класс квинтиллионов,
• восьмой — класс секстиллионов.

Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:

• 125 911 723 296.

А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

• 125 миллиардов 911 миллионов 723 тысячи 296.

Когда читаем класс единиц, добавлять слово «единиц» в конце не нужно.

Разряды чисел

От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:

• 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу.

Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.

Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Разрядные единицы обозначают так:

• Единицы — единицами первого разряда (или простыми единицами) и пишут на первом месте справа.
• Десятки — единицами второго разряда и записывают в числе на втором месте справа.
• Сотни — единицами третьего разряда и записывают на третьем месте справа.
• Единицы тысяч — единицами четвертого разряда и записывают на четвертом месте справа.
• Десятки тысяч — единицами пятого разряда и записывают на пятом месте справа.
• Сотни тысяч — единицами шестого разряда и записывают в числе на шестом месте справа и так далее.

Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.

Потренируемся

Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:

1. 55 единиц второго класса и 100 единиц первого класса;


2. 110 единиц второго класса и 5 единиц первого класса;


3. 7 единиц второго класса и 13 единиц первого класса.

Ответ:

1. 55 100;


2. 110 005;


3. 7 013.

Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:

• 10 единиц равны 1 десятку;
• 10 десятков равны 1 сотне;
• 10 сотен равны 1 тысяче;
• 10 тысяч равны 1 десятку тысяч;
• 10 десятков тысяч равны 1 сотне тысяч;
• 10 сотен тысяч равны 1 миллиону.

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.

Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?

Как рассуждаем:

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит, в числе есть две сотни.

Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.

Значит, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.

Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

• 11 627 — одиннадцать тысяч шестьсот двадцать семь.
• 31 502 — тридцать одна тысяча пятьсот два.

Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

Многочлен стандартного вида

К следующей статье

148.4K

Теорема синусов

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Определим уровень и подберём курс

3. Расскажем, как 
   проходят занятия

Математическая задача: двузначное число 7410 — практическая математическая задача, комбинаторика

Сколько двузначных чисел можно записать, используя число 0,2,6? Мы также можем повторять цифры в числе.

Правильный ответ:

Нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

. Спасибо!

Советы по использованию связанных онлайн-калькуляторов

Хотите подсчитать количество комбинаций?

Чтобы решить эту математическую задачу со словами, вам необходимо знать следующие знания: 9

Синус 30 градусов, sin 30

Автор Admin На чтение 4 мин Просмотров 10 Опубликовано 03.02.2010

Синус 30 градусов равняется одной второй или ноль целых пять десятых.

sin 30° = 1/2 или sin 30° = 0,5

В радианной мере измерения углов синусу 30 градусов соответствует синус π/6:

sin 30° = sin π/6

Как это ни странно, но справедливо и обратное равенство, которое утверждает, что синус π/6 (синус пи на 6) равняется синусу 30 градусов:

sin π/6 .sin 30°

Равняется синус пи / 6 так же одной второй или ноль целых пять десятых.

sin π/6 = 1/2 или sin π/6 = 0,5

Это было для блондинок. Для брюнеток и лысых академиков математических наук можно записать всё это в общем виде, пусть распутывают:

sin 30° = sinπ/6 = 1/2 = 0,5

Для полного счастья здесь явно не хватает картинки синуса 30 градусов. А вот и она:

Надеюсь, первую часть задачи я решил и мне удалось объяснить блондинкам, чему равен синус тридцати градусов. Теперь нужно решить вторую половину задачи, с которой не в состоянии справиться даже вся академия математических наук, вместе взятая. Нужно в Интернете найти блондинок, которые ищут синус 30 градусов. Попробую вооружиться логикой блондинок и перечислю ниже поисковые запросы, которые блондинки могут вводить в поисковые системы при поиске ответа на вопрос: чему равен синус 30 градусов? И так, поисковые запросы, разбавленные моими комментариями, дабы поисковые системы не отлучили мое творение от блондинок.

Синус — это математики сверяют свои знания с Интернетом.
Синус, косинус — появилось начальство математиков, чтобы проверить, как математики сверили свои знания.
Синус угла — это очкастые ботаники, будущие Билы Гейтсы, чешут свои умные репы и пытаются вспомнить школьный курс математики.
Синус градусов — шустрые школьники мимоходом забрасывают свой вопрос, что бы побыстрее разделаться с этой бякой и продолжить игру.
Таблица синусов, тангенсов — добросовестные школьники и добропорядочные брюнетки соскребли все свои познания в тригонометрии и пытаются сверить их с Интернетом.
Значение синуса — математики, после долгих блужданий по сайтам с блондинками, наконец-то поняли, как лучше сформулировать поисковый запрос.
Значения косинусов и синусов — математики вдруг вспомнили, что не синусом единым живет тригонометрия.
Синус чему равен? — а вот и первые признаки присутствия блондинок в Интернете с их подкупающей непосредственностью общения, даже с компьютером.
Синусы и косинусы углов. Таблица значений синусов. Синус угла равен — это мамы пытаются проверить, как их чада сделали уроки.
Как найти синус? — это уже типичный вопрос растерянной блондинки.
Синус острого угла. Синус и косинус 30 — мамы с трудом, но уже начинают понимать, что требуется найти в задаче.
Синус числа — бедные мамы, они даже не подозревают, что углы можно измерять радианами.
Синус альфа — мамы вспомнили, какой буквой когда-то в школе они сами обозначали углы.
Калькулятор синусов — на помощь беспомощным мамам приходят умные папы.
Как найти синус угла? — умные папы нашли калькулятор синуса, теперь нужно узнать, как же этой штукой пользоваться.
Геометрия синус, косинус. Скачать таблицу синусов. Значения синусов углов — это чада оторвались от своих виртуальных игр и пытаются доказать умным папам, что папы не правильно нажимают на кнопочки калькулятора, потому что синус угла не может равняться трем банкам пива. Вычисления синуса — математики-теоретики пытаются слямзить результаты работы математиков-прикладников.
Вычислить синус — это математики-прикладники тырят результаты работы своих коллег.
Синус бесконечности — это уже физики пытаются проверить расчеты математиков.
Нахождение синуса — блондинки пытаются узнать, где живут синусы.
Тригонометрический синус — все с удивлением обнаружили, что синусы бывают не только в математике.

Сколько синус 30 — ноль целых пять десятых.
Скольки равен sin 30 — стольки же, ноль пять.
Сколько будет синус 30? — вопрос, конечно, интересный…
ышт 30 — можно и так, только лучше переключаться на английский язык.
Таблица sin альфа 30градусов — здесь не совсем таблица, но и сину, с и 30 градусов точно есть.
Числа из которых синусы натуральные — математики, блондинка задала вопрос. Есть варианты ответов? Честь мундира поставлена на кон.

Кто может объяснить, почему синус 30 градусов равен 1/2? — ну, вундеркинды, блондинка задала вопрос. Кто осмелится ответить?
синус какого угла равен одной второй? — Синус тридцати градусов. Это если просто. Если по математической науке — тогда нужно добавлять периодичность этой тригонометрической функции.

Mathway | Популярные задачи

Мэтуэй | Популярные задачи

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктан(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. )/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	тан(пи/2)
45	Найти точное значение	грех(300)
46	Найти точное значение	соз(30)
47	Найти точное значение	соз(60)
48	Найти точное значение	соз(0)
49	Найти точное значение	соз(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	сек(60 градусов)
53	Найти точное значение	грех(300 градусов)
54	Преобразование градусов в радианы	135
55	Преобразование градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/3
58	Преобразование градусов в радианы	89 градусов
59	Преобразование градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	грех(135 градусов)
61	Найти точное значение	грех(150)
62	Найти точное значение	грех(240 градусов)
63	Найти точное значение	детская кроватка(45 градусов)
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5 дюймов)/4
65	Найти точное значение	грех(225)
66	Найти точное значение	грех(240)
67	Найти точное значение	cos(150 градусов)
68	Найти точное значение	желтовато-коричневый(45)
69	Оценить	грех(30 градусов)
70	Найти точное значение	сек(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	КСК(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74	Найти точное значение	загар((5pi)/3)
75	Найти точное значение	желтовато-коричневый(0)
76	Оценить	грех(60 градусов)
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3 пи)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	угловой синус(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	КСК(45)
83	Упростить	арктан(квадратный корень из 3)
84	Найти точное значение	грех(135)
85	Найти точное значение	грех(105)
86	Найти точное значение	грех(150 градусов)
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	загар((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	пи/4
90	Найти точное значение	грех(пи/2)
91	Найти точное значение	сек(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	угловой синус(0)
95	Найти точное значение	грех(120 градусов)
96	Найти точное значение	желтовато-коричневый ((7pi)/6)
97	Найти точное значение	соз(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100	Преобразование градусов в радианы	88 градусов

Мэтуэй | Популярные задачи

1	Найти точное значение	грех(30)
2	Найти точное значение	грех(45)
3	Найти точное значение	грех(30 градусов)
4	Найти точное значение	грех(60 градусов)
5	Найти точное значение	загар (30 градусов)
6	Найти точное значение	угловой синус(-1)
7	Найти точное значение	грех(пи/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	грех(45 градусов)
10	Найти точное значение	грех(пи/3)
11	Найти точное значение	арктан(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 градусов)
13	Найти точное значение	cos(30 градусов)
14	Найти точное значение	желтовато-коричневый(60)
15	Найти точное значение	csc(45 градусов)
16	Найти точное значение	загар (60 градусов)
17	Найти точное значение	сек(30 градусов)
18	Найти точное значение	cos(60 градусов)
19	Найти точное значение	соз(150)
20	Найти точное значение	грех(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	загар (45 градусов)
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень из 3)
24	Найти точное значение	csc(60 градусов)
25	Найти точное значение	сек(45 градусов)
26	Найти точное значение	csc(30 градусов)
27	Найти точное значение	грех(0)
28	Найти точное значение	грех(120)
29	Найти точное значение	соз(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	пи/3
31	Найти точное значение	желтовато-коричневый(30)
32	Преобразование градусов в радианы 92
35	Преобразовать из радианов в градусы	пи/6
36	Найти точное значение	детская кроватка(30 градусов)
37	Найти точное значение	арккос(-1)
38	Найти точное значение	арктан(0)
39	Найти точное значение	детская кроватка(60 градусов)
40	Преобразование градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2 шт. Разделить на множители: Онлайн калькулятор. Разложение числа на множители alexxlab / 15.07.202325.04.2023 / Разное Разложение чисел на простые множители: способы и примеры разложения Данная статья дает ответы на вопрос о разложении числа на простыне множители. Рассмотрим общее представление о разложении с примерами. Разберем каноническую форму разложения и его алгоритм. Будут рассмотрены все альтернативные способы при помощи использования признаков делимости и таблицы умножения. Что значит разложить число на простые множители? Разберем понятие простые множители. Известно, что каждый простой множитель – это простое число. В произведении вида 2·7·7·23 имеем, что у нас 4 простых множителя в виде 2,7,7,23. Разложение на множители предполагает его представление в виде произведений простых. Если нужно произвести разложение числа 30, тогда получим 2,3,5. Запись примет вид 30=2·3·5. Не исключено, что множители могут повторяться. Такое число как 144 имеет 144=2·2·2·2·3·3. Не все числа предрасположены к разложению. Числа, которые больше 1 и являются целыми можно разложить на множители. Простые числа при разложении делятся только на 1 и на самого себя, поэтому невозможно представить эти числа в виде произведения. При z, относящемуся к целым числам, представляется  в виде произведения а и b, где z делится на а и на b. Составные числа раскладывают на простые множители при помощи основной теоремы арифметики. Если число больше 1, то его разложение на множители p1, p2, …, pnпринимает вид a=p1, p2, …, pn. Разложение предполагается в единственном варианте. Каноническое разложение числа на простые множители При разложении множители могут повторяться. Их запись выполняется компактно при помощи степени. Если при разложении числа а имеем множитель p1, который встречается s1 раз и так далее pn – sn раз. Таким образом разложение примет вид a=p1s1·a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Эта запись имеет название канонического разложения числа на простые множители. При разложении числа 609840 получим, что 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11,его канонический вид будет 609 840=24·32·5·7·112. При помощи канонического разложения можно найти все делители числа и их количество. Алгоритм разложения числа на простые множители Чтобы правильно разложить на множители необходимо иметь представление о простых и составных числах. Смысл заключается в том, чтобы получить последовательное количество делителей вида p1, p2, …,pnчисел a, a1, a2, …, an-1, это дает возможность получить a=p1·a1, где a1=a:p1, a=p1·a1=p1·p2·a2, где a2=a1:p2, …, a=p1·p2·…·pn·an, где an=an-1:pn. При получении an=1, то равенство a=p1·p2·…·pn  получим искомое разложение числа а на простые множители. Заметим, что p1≤p2≤p3≤…≤pn. Для нахождения наименьших общих делителей необходимо использовать таблицу простых чисел. Это выполняется на примере нахождения наименьшего простого делителя числа z. При взятии простых чисел 2,3,5,11 и так далее, причем на них делим число z. Так как z не является простым числом, следует учитывать, что наименьшим простым делителем не будет больше z.   Видно, что не существуют делителей z, тогда понятно, что z является простым числом. Пример 1 Рассмотрим на примере числа 87.  При его делении на 2 имеем, что 87:2=43  с остатком равным 1. Отсюда следует, что 2 делителем не может являться, деление должно производиться нацело. При делении на 3 получим, что 87:3=29. Отсюда вывод – 3 является наименьшим простым делителем числа 87. При разложении на простые множители необходимо пользоваться таблицей простых чисел, где a.  При разложении 95 следует использовать около 10 простых чисел, а при 846653 около 1000. Рассмотрим алгоритм разложения на простые множители: нахождение наименьшего множителя при делителе p1 числа a по формуле a1=a:p1, когда a1=1, тогда а является простым числом и включено в разложение на множители, когда не равняется 1, тогда a=p1·a1и следуем к пункту, находящемуся ниже; нахождение простого делителя p2 числа a1при помощи последовательного перебора простых чисел, используя a2=a1:p2, когда a2=1, тогда разложение примет вид a=p1·p2, когда a2=1, тогда a=p1·p2·a2, причем производим переход к следующему шагу; перебор простых чисел и нахождение простого делителя p3 числа a2по формуле a3=a2:p3, когда a3=1, тогда получим, что a=p1·p2·p3, когда не равняется 1, тогда a=p1·p2·p3·a3и производим переход к следующему шагу; производится нахождение простого делителя pn числа an-1при помощи перебора простых чисел с pn-1, а также an=an-1:pn, где an=1, шаг является завершающим, в итоге получаем, что a=p1·p2·…·pn. Результат алгоритма записывается в виде таблицы с разложенными множителями с вертикальной чертой последовательно в столбик. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже. Полученный алгоритм можно применять при помощи разложения чисел на простые множители. Примеры разложения на простые множители Во время разложения на простые множители следует придерживаться основного алгоритма. Пример 2 Произвести разложение числа 78 на простые множители. Решение Для того, чтобы найти наименьший простой делитель, необходимо перебрать все простые числа, имеющиеся в 78. То есть 78:2=39. Деление без остатка, значит это первый простой делитель, который обозначим как p1. Получаем, что a1=a:p1=78:2=39. Пришли к равенству вида a=p1·a1, где 78=2·39. Тогда a1=39, то есть следует перейти к следующему шагу. Остановимся на нахождении простого делителя p2 числа a1=39. Следует перебрать простые числа, то есть 39:2=19 (ост. 1). Так как деление с остатком, что 2 не является делителем. При выборе числа 3 получаем, что 39:3=13. Значит, что p2=3 является наименьшим простым делителем 39 по a2=a1:p2=39:3=13. Получим равенство вида a=p1·p2·a2 в виде 78=2·3·13. Имеем, что a2=13 не равно 1, тогда следует переходит дальше. Наименьший простой делитель числа a2=13 ищется при помощи перебора чисел, начиная с 3. Получим, что 13:3=4 (ост. 1). Отсюда видно, что 13 не делится на 5,7,11, потому как 13:5=2 (ост. 3), 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2). Видно, что 13 является простым числом. По формуле выглядит так: a3=a2:p3=13:13=1. Получили, что a3=1, что означает завершение алгоритма. Теперь множители записываются в виде 78=2·3·13(a=p1·p2·p3). Ответ: 78=2·3·13. Пример 3 Разложить число 83 006 на простые множители. Решение Первый шаг предусматривает разложение на простые множители p1=2 и a1=a:p1=83 006:2=41 503, где 83 006=2·41 503. Второй шаг предполагает, что 2, 3 и 5 не простые делители для числа a1=41 503, а 7 простой делитель, потому как 41 503:7=5 929. Получаем, что p2=7, a2=a1:p2=41 503:7=5 929. Очевидно, что 83 006=2·7·5 929. Нахождение наименьшего простого делителя p4 к числу a3=847 равняется 7. Видно, что a4=a3:p4=847:7=121, поэтому 83 006=2·7·7·7·121. Для нахождения простого делителя числа a4=121 используем число 11, то есть p5=11. Тогда получим выражение вида a5=a4:p5=121:11=11, и 83 006=2·7·7·7·11·11. Для числа a5=11 число p6=11является наименьшим простым делителем. Отсюда a6=a5:p6=11:11=1. Тогда a6=1. Это указывает на завершение алгоритма. Множители запишутся в виде 83 006=2·7·7·7·11·11. Каноническая запись ответа примет вид 83 006=2·73·112. Ответ: 83 006=2·7·7·7·11·11=2·73·112. Пример 4 Произвести разложение числа 897 924 289 на множители. Решение Для нахождения первого простого множителя произвести перебор простых чисел, начиная с 2. Конец перебора приходится на число 937. Тогда p1=937, a1=a:p1=897 924 289:937=958 297 и 897 924 289=937·958 297. Второй шаг алгоритма заключается в переборе  меньших простых чисел. То есть начинаем с числа 937.  Число 967 можно считать простым, потому как оно является простым делителем числа a1=958 297. Отсюда получаем, что p2=967, то a2=a1:p1=958 297:967=991 и 897 924 289=937·967·991. Третий шаг говорит о том, что 991 является простым числом, так как не имеет ни одного простого делителя, который не превосходит 991. Примерное значение подкоренного выражения имеет вид 991<402. Иначе запишем как 991<402. Отсюда видно, что p3=991 и a3=a2:p3=991:991=1. Получим, что разложение числа 897 924 289 на простые множители получается как  897 924 289=937·967·991. Ответ: 897 924 289=937·967·991. Использование признаков делимости для разложения на простые множители Чтобы разложить число на простые множители, нужно придерживаться алгоритма. Когда имеются небольшие числа, то допускается использование таблицы умножения и признаков делимости. Это рассмотрим на примерах. Пример 5 Если необходимо произвести разложение на множители 10, то по таблице видно: 2·5=10. Получившиеся числа 2 и 5 являются простыми, поэтому они являются простыми множителями для числа 10. Пример 6 Если необходимо произвести разложение числа 48, то  по таблице видно: 48=6·8. Но 6 и 8 – это не простые множители, так как их можно еще разложить как 6=2·3 и 8=2·4. Тогда полное разложение отсюда получается как 48=6·8=2·3·2·4. Каноническая запись примет вид 48=24·3. Пример 7 При разложении числа 3400 можно пользоваться признаками делимости. В данном случае актуальны признаки делимости на 10 и на 100. Отсюда получаем, что 3 400=34·100, где 100 можно разделить на 10, то есть записать в виде 100=10·10, а значит, что 3 400=34·10·10. Основываясь на признаке делимости получаем, что 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5. Все множители простые. Каноническое разложение принимает вид 3 400=23·52·17. 2

Коэффициент деления — Изучайте и решайте вопросы

• Математика

• Фактор деления

Введение

• Дата последнего обновления: 20 апреля

010 Всего просмотров: 46.8k

•

Просмотров сегодня : 1.16k

Любое целое число, которое делит одно число на другое число поровну, считается множителем. Например, в задаче на деление \[10 \div 5 = 2\],10 имеет множители 1, 2, 5 и 10. Все эти множители можно разделить на равные группы, например две группы по пять, две группы из двух человек и одна группа из десяти человек, что соответствует двум группам из пяти человек, двум группам из двух человек, одной группе из десяти человек и одной группе из десяти человек соответственно.

Коэффициент деления

Числа, на которые можно точно разделить число, называются множителями. Следовательно, после деления не остается остатка. Числа, которые вы перемножаете, чтобы получить другое число, называются факторами. Таким образом, множитель является делителем другого числа.

Делитель и множитель

Любое число, на которое делится другое число, называется делителем. Однако множитель — это делитель, который полностью делит целое число и не оставляет остатка. Следовательно, любой делитель числа является также и его делителем. Но не все множители являются делителями; делителями числа являются все его делители. На предыдущем рисунке компоненты числа 20 — это 4 и 5. Однако деление 20 на 3 не дает точного деления числа.

Как разделить коэффициенты?

Какие множители числа 18 (метод деления)?

Шаги для нахождения множителей числа 18:

ШАГ 1: Используя законы деления, мы определяем наименьший точный простой делитель числа (множитель). Здесь число 18 четное. Его можно разделить на 2. Следовательно, 2 делит 18 без остатка. Таким образом, наименьший простой делитель числа 18 равен 2.

ШАГ 2: Нужно разделить полученное число (18) на его наименьший простой делитель, равный 9.

ШАГ 3: Затем мы определяем простые множители производного частного. Повторяйте шаги 1 и 2, пока частное не станет простым числом. Здесь частное равно 9, поэтому \[9 = 3 \times 3\].

Здесь мы останавливаем операцию, потому что 3 — это частное. Следовательно, \[18 = 2 \times 3 \times 3\]. Таким образом, множители числа 18 равны 1,2, 3, 6, 9,18.

Пары для множителей числа 18

Решенные примеры

Пример 1. Перечислите множители числа 18 и соответствующие им пары множителей в примере 1.

Ответ:

\[\begin{array}{l}1 \times 18 = 18\\2 \times 9 = 18\\3 \times 6 = 18\end{array}\]

Следовательно, множители числа 18 равны 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Пары множителей числа 18 равны (1,18), (2,9) и (3,6)

Пример 2: Найти общие делители чисел 25 и 24.

Ответ: Делители числа 25 следующие: 1, 5 и 25.

Делители числа 24 следующие: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , и 24.

Таким образом, общий делитель 25 и 24 равен 1,

Пример 3: Найдите делители числа 72.

Ответ: 72 представлено как произведение следующих дополнительных чисел:

\[\begin{array}{l}1 \times 72 = 72\\2 \times 36 = 72\\3 \times 24 = 72\\4 \times 18 = 72\\6 \times 12 = 72\\8 \times 9 = 72\\9 \times 8 = 72\end{массив}\]

Поскольку умножение в данный момент повторяется, его необходимо остановить.

Заключение

Множители и множители с использованием фактов деления, например, используются при работе с деньгами, сортировке предметов по коробкам, поиске закономерностей в числах, решении отношений, расширении или сокращении дробей. В математике множитель — это целое число, которое делит другое число на себя без остатка. Мы часто сталкиваемся с множителями и множителями.

Недавно обновленные страницы

Числа на английском языке — произношение, чтение и примеры

Числа от 1 до 10 для печати — изучение с примерами для детей

Расширенная форма десятичных знаков и система разрядов — определение, примеры и использование Половинки? — Изучите определение и примеры

Nonagon: изучите определение, типы, свойства и формулы

Unit Cubes: изучите определение, факты и примеры

Числа на английском языке — произношение, чтение и примеры

Числа от 1 до 10, которые можно распечатать, — обучение на примерах для детей

Расширенная форма десятичных знаков и разрядная система — определение, примеры и использование

Что такое половинки? — Изучите определение и примеры

Nonagon: изучите определение, типы, свойства и формулы

Единицы измерения кубов: изучите определение, факты и примеры

Актуальные темы

Фактор – Элементарная математика

Фактор и множитель кратны иногда путают между собой. Факторы 15 включают 3 и 5; числа, кратные 15, включают 30, 45, 60 (и более). Подробнее см. ниже и в нескольких местах.

Значение

Factor может использоваться как глагол или существительное.

• Глагол: Разложить число на множители означает выразить его как произведение (других) целых чисел, называемых его множителями. Например, мы можем разложить 12 как 3 × 4, или как 2 × 6, или как 2 × 2 × 3. Таким образом, 2, 3, 4 и 6 — все это делители 12.
• Существительное: Множитель числа — назовем это число N — это число, которое можно умножить на что-то, чтобы получить N как произведение. Другими словами: делители числа — это его делители; то есть они могут разделить это число, не оставляя остатка.

Итак, например, 3 — это делитель 12, потому что 3 — счетное число, и его можно умножить на 4, чтобы получить 12. Опять же, 3 — это делитель 12, потому что 3 делит 12 без остатка. Делителями 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12, потому что каждый из них делит 12 без остатка (или, альтернативно, каждый из них является счетным числом, которое можно умножить на другое счетное число, чтобы получить 12).

Некоторые тонкости

• Факторы числа включают число, само себя и 1. Но это довольно тривиальные множители, и поэтому, когда мы говорим о разложении числа на множители, мы обычно не включаем факторизации, которые включают 1 или сам номер.
• В контексте чисел термины множитель (а также кратность и делимость) используются только в связи с целыми числами. Так, например, хотя 12 можно выразить в виде произведения с помощью дробей — например, 8 × 1 или 24 × — это не факторизация 12.
• Простые числа имеют два множителя, само себя и 1, но это тривиальные множители, которые есть у каждого числа. Поскольку они не могут быть факторизованы каким-либо другим способом, мы говорим, что они не могут быть факторизованы. Например, 7 «нельзя разложить на множители» (даже несмотря на то, что оно имеет два множителя 1 и 7 или может быть выражено как произведение нецелых чисел различными способами).
• Составные числа (подсчет чисел, которые не являются ни простыми, ни единицами) часто можно разложить на множители (выразить как произведение целых чисел) более чем одним способом. Например, 12 можно разложить как 3 × 4, или как 2 × 6, или как 2 × 2 × 3. Однако не все составные числа можно разложить более чем одним способом. Например, 25 можно разложить только как 5 × 5.
• Порядок, в котором числа перечислены в факторизации, не имеет значения: 3 × 4 и 4 × 3 — это одна и та же факторизация 12.

Дополнительные сведения о математике

Простой множитель числа — это просто множитель этого числа, который также является простым. Итак, число 12 имеет шесть делителей — 1, 2, 3, 4, 6 и 12, — но только два из них (2 и 3) простые, поэтому оно имеет только два простых делителя.

Разложение числа на простые множители — это факторизация — способ представления этого числа в виде произведения — состоящая только из простых чисел. Таким образом, число 12 может быть выражено в виде произведения многими способами — 1 × 2 × 2 × 3, или 3 × 4, 2 × 2 × 3 или 2 × 6, — но только один из них состоит исключительно из простых чисел: 2 × 2 × 3. (Число 1 не является простым.

«Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей»

Тема урока:

 « Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей»

Подготовила: Н.И. Натальченко

г.  Лиман

Донецкая область

Тема: « Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей»

Зашифрованное название темы. Каждой букве соответствует ее порядковый номер в алфавите

(19,3,16,11,19,20,3,1     21,4,13,16,3   16,2,18,1,9,16,3,1,15,15,29,23   17,18,10   17,6,18,6,19,6,25,6,15,10,10   5,3,21,23   17,1,18,1,13,13,6,13,30,15,29,23   17,18,33,14,29,23   19,612,21,27,6,11)

Цель: 

закрепить и обобщить знания учащихся о свойствах углов образованных при пересечении параллельных прямых и секущей

Задачи:

Обучающие:

повторить понятие, свойство смежных и вертикальных углов, параллельных прямых; отработать навыки нахождения накрест лежащих, односторонних и соответственных углов;

Развивающие:

активизировать познавательную деятельность учащихся; развивать логическое мышление, умения анализировать, сравнивать, обобщать, выделять главное, делать выводы; развивать быстроту реакции, развивать память; развивать умения и навыки применять математические знания к решению практических задач;

Воспитательные:

воспитывать у учащихся интерес к познанию геометрии; воспитывать аккуратность построений геометрических рисунков; культуру речи и культуру общения; воспитывать самостоятельность, волю и настойчивость, уверенность в своих силах, стремление к достижению результата.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, умений, навыков.

Оборудование:

Компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация в программе Power Point, индивидуальный раздаточный материал для учащихся (карточки с заданиями) и для работы в парах.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Эпиграфом нашего сегодняшнего урока хотелось бы взять такое четверостишье:

Да, путь познания не гладок!

Но знаем мы со школьных лет

Загадок больше чем отгадок

И поискам предела нет!

На сегодняшнем уроке, мы с вами должны вспомнить ранее пройденный материал и продолжить решать задания на нахождение углов при параллельных прямых.

 II. Проверка домашнего задания

Домашнее задание проверяем устно. Из ответов полученных при решении домашних заданий с помощью алфавита ищем зашифрованное слово.

1.Какой угол образует с углом ∟11 внутренние накрестлежащие углы? (14) 

2. Какой угол соответственный углу ∟12?(16)

3. Какой угол вертикален углу ∟16? (13)

4. ∟14 =… (16)

5. Угол ∟4 и ∟? — называются внутренние односторонние углы. (5)

6. (∟15 — ∟8)*8 =…(24)

7. ∟2+∟10=…(29)

14,16,13,16,5,24,29 слово – МОЛОДЦЫ

III. Актуализация опорных знаний

ПАЗЛЫ  

Глядя на рисунок, заполните таблицу.

Физкульт. Минутка

Знают угол все, все, все на этой планете.

Кто не знает, показать можем людям этим.

Раз- прямой,    (присели)

Два- тупой,      (наклон влево, вправо)

Третий – острый, вот такой.   (наклон вперед до колен)

А четвертый угол класс!

Мы покажем вам сейчас.      ( стали на пальчики подняв руки вверх)

Это угол 60ͦ, все выходит у ребят.

Вот такие вот углы на уроке нам нужны.

Подровнялись, тихо сели.

Все на доску посмотрели.

IV. Закрепление знаний, умений, навыков

Решение задач

1. По данным рисунка  найдите угол x

V. Самостоятельная работа.

Карточка №1 (низкий, средний уровни)

Дано:

аІІв, с – секущая

∟2 = 138 ͦ

Найти : ∟6 — ?

Карточка №2   (низкий, средний уровни)

Дано:

аІІв, с – секущая

∟5 = 40 ͦ

Найти : ∟3, ∟4  —  ?

Карточка №3   (достаточный уровень)

Дано:

аІІв, с – секущая

∟2>∟1 в 2 раза

Найти : ∟6 — ?

Карточка №4   (достаточный уровень)

Дано:

аІІв, с – секущая

∟4+∟5 =68 ͦ

Найти : ∟5,∟6 — ?

Карточка №5   (достаточный уровень)

Дано:

аІІв, с – секущая

∟3>∟5в 4 раза

Найти : ∟2 , ∟5- ?

VІ. Домашнее задание Повторить п.4-8 решить задание на листочках.

Начальный уровень

1. Разница двух с восьми углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 54° . Найдите каждый из восьми углов.

Средний уровень

2. Секущая пересекает две данные прямые; при этом образовались внутренние односторонние углы, разность которых равен 108°, а отношение — 4 : 1. Докажите, что данные прямые параллельны.

Достаточный уровень

3. Отрезки AB и CD есть параллельными и ровными. Докажите, что Δ ABC = Δ DCB, если отрезки AD и BC пересекаются

Высокий уровень

4. Через точки A и B, что лежат на сторонах тупого угла AOB, проведены прямые, параллельные сторонам данного угла и пересекающиеся в точке C. Найдите угол AOB, если прямые AC и BC пересекаются под углом 40°.

VІІ. Итог урока

Я предлагаю  поиграть в игру «Верю – не верю» и проверить хорошо ли вы усвоили, какими свойствами наделены углы

1. Параллельные прямые на плоскости – это прямые, которые не пересекаются.

2. Если мне надо доказать, что прямые параллельны – я вспоминаю свойства углов образованных при пересечении параллельных прямых и секущей.

3. Через точку, которая не належит прямой, можно провести множество параллельних ей прямых.

4.Если в результате пересечения параллельных прямых с секущей образовались два угла по  80º. Могут ли  они быть:

 соответственными;

 внутренними односторонними;

мне нужно доказать, что две прямые параллельны – я вспоминаю признаки параллельности прямых.

5. Если один  из соответственных углов  острый, то другой тупой.

 6. Если один из внутренних односторонних углов  острый, то другой тупой.

7. Если сумма внутренних  накрестлежащих углов140º, то один из них 70º.

VІІІ. Рефлексия

У вас на партах лежат наборы смайликов. Какой из них подходит вашему настроению тот и бросьте при выходе из класса в почтовый ящик на двери.

Углы при пересечении двух прямых третьей прямой (секущей). Виды углов урок 5. Геометрия 7 класс

12+

6 месяцев назад

Математика от Баканчиковой300 подписчиков

Геометрия 7 класс. Сколько углов получается при пересечении 2-х прямых третьей (секущей)? Как называются эти углы, как их запомнить находить на разных рисунках? Сегодня на 5 уроке про виды углов мы ответим на эти вопросы. А чтобы Вы лучше и быстрее запомнили новый материал, сначала мы поясним Вам, что такое секущая, и как она расположена. Затем напомним Вам об углах, которые получаются при пересечении двух прямых или углов «в паре»: вертикальных и смежных. Подробно мы остановимся на 5 видах углов: внутренние односторонние, внешние односторонние, внутренние накрест лежащие, внешние накрест лежащие и соответственные. Объясним, почему они так называются, и дадим подсказки, как их находить. Подробный план урока и ссылки на предыдущие уроки Вы можете найти в описании под видео. 00:00 Начало видео. 00:32 Что такое секущая? 02:31 Сколько углов получается при пересечении 2-х прямых третьей? 03:29 Вспомним углы, получающиеся при пересечении 2-х прямых. 04:27 Внутренние односторонние углы. 05:59 Внешние односторонние углы. 06:53 Внутренние накрест лежащие углы. 07:52 Внешние накрест лежащие углы. 08:45 Соответственные углы. Если Вы впервые на нашем канале или не смотрели наши предыдущие уроки по геометрии, то рекомендуем Вам посмотреть следующие видео: Геометрия 7 класс. Основные понятия и фигуры геометрии. Их компоненты. https://rutube.ru/video/321ccc54b501c6dbc235d9b52b266abb/ Геометрия 7 класс. Взаимное расположение прямых на плоскости. Перпендикулярные прямые. Примеры построения перпендикулярных прямых. https://rutube.ru/video/c46955ce83ccef0dee45f4c72fc2583e/ Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника. Свойство углов при основании равнобедренного треугольника. Геометрия 7 класс. https://rutube.ru/video/2a2b7dfc5b44830f209dc9cc4e28d2f7/ Геометрия 7 класс. Треугольники. Признаки равенства треугольников. Урок 3. https://rutube.ru/video/0339e0588490b1b5ca732547aac3ec06/ Геометрия 7 класс. Треугольники. Медиана и биссектриса треугольника. Определение и свойства. Решение задач на свойства медианы и биссектрисы. Урок 5. https://rutube.ru/video/3c88c497ce7a312249ea9e2b770fb8b1/ Геометрия 7 класс. Треугольники. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высот. Примеры построения. Урок 6. https://rutube.ru/video/575bead43e6717ec773788d15e7380c1/ Геометрия 7 класс. Вертикальные углы. Определение. Доказательство теоремы о свойстве вертикальных углов. Виды углов урок 3. https://rutube.ru/video/10ca7111475a4f1a6dbe6b67fd71588c/ Геометрия 7 класс. Смежные углы. Определение. Свойства. Примеры задач на свойство смежных углов. Виды углов урок 2. https://rutube.ru/video/f12d3379fb0751e037c1f1bede88805f/ Что такое обратная и прямая теоремы. Примеры обратных и прямых теорем. Геометрия 7 класс. https://rutube.ru/video/f72250e5edd8eeed8948bd0664a23692/ Доказательство теорем методом «от противного». Параллельность прямых на плоскости. Геометрия 7 класс. https://rutube.ru/video/d4f7b6c064dd143c73b738ebe92373dd/ #Геометрия7класс #углыприпересечениидвухпараллельныхпрямых #углыприпересечениидвухпрямыхтретьей #углыприпересечениидвухпрямыхсекущей #углыприпересечениидвухпараллельныхпрямыхсекущей #углыприпересечениидвухпараллельныхпрямыхтретьей #соответственныеуглыприпересечениидвухпрямых #найдитеуглыобразованныеприпересечениидвухпрямых #углыобразованныеприпересечениидвухпрямыхсекущей #накрестлежащиеодносторонниеисоответственныеуглы #внутренниеодносторонниеуглы #внешниеодносторонниеуглы #внутренниенакрестлежащиеуглы #внешниенакрестлежащиеуглы #соответственныеуглы #секущаянакрестлежащиеуглы #односторонниеуглыприпараллельных #односторонниеуглырисунок #соответственныеуглыприпересечениипрямых #соответственныеуглырисунок #накрестлежащиеуглырисунок #МатематикаОтБаканчиковой Геометрия 7 класс, углы при пересечении двух параллельных прямых, углы при пересечении двух прямых третьей, углы при пересечении двух прямых секущей, углы при пересечении двух параллельных прямых третьей, соответственные углы при пересечении двух прямых, углы образованные при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие односторонние и соответственные углы, внутренние односторонние углы, внешние односторонние углы, внутренние накрест лежащие углы, внешние накрест лежащие углы, соответственные углы, секущая накрест лежащие углы, односторонние углы при параллельных, односторонние углы рисунок, соответственные углы при пересечении прямых, соответственные углы рисунок, накрест лежащие углы рисунок

Пересекающиеся линии и углы — SAT Mathematics

Все ресурсы SAT по математике

137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept

SAT Mathematics Help » Треугольники, линии и углы » Пересекающиеся линии и углы

На приведенном выше рисунке линия a параллельна линии b , а линия d параллельна линии e . Сколько стоит и , в градусах?

Возможные ответы:

25

10

15

30

Правильный ответ:

15

Пояснение:

Пересекающиеся и параллельные линии встречаются во множестве различных геометрических фигур: параллелограммах, трапециях, квадратах и ​​т. д. Всякий раз, когда вы видите их в вопросе, вы должны правильно использовать основные свойства дополнительных и вертикальных углов. В этой задаче самый быстрый способ найти y — понять, что 5x в левом нижнем углу является дополнительным к 2x + 5 в правом нижнем углу (из-за пересечения двух параллельных прямых). Следовательно, 5x + 2x + 5 = 180 и x = 25. Получив эту информацию, вы можете использовать тот факт, что сумма внутренних углов треугольника равна 180, и увидеть, что x + 5x + 2y = 180. Подставляя вместо x 25, вы видите, что 25+125+2y = 180 и 2y = 30. Правильный ответ 15.

Сообщить об ошибке

На рисунке выше . Что из следующего должно быть правдой?

I. 

II. Две горизонтальные линии параллельны.

III.

Возможные ответы:

Только I и II

Только II и III

I, II и III

Только I и III

Правильный ответ:

Только I и II

Объяснение:

Здесь SAT дает вам пару прямых с секущей, но не говорит вам, что прямые параллельны — он просит вас это доказать. Вам это говорят. Поскольку угол  и угол  являются вертикальными углами, а углы и  являются вертикальными углами, вы знаете, что  и . Это означает, что вы можете написать уравнение как:

, или

Если это означает и это. Прямая линия содержит 180 градусов, так что вы это знаете . И так как , вы можете заключить, что  также. Отсюда вы можете реконструировать то же самое уравнение, которое вы решили с первым набором углов. Если и  и  являются вертикальными углами, а и  являются вертикальными углами, вы можете заключить, что . Оттуда вы можете настроить уравнение . Утверждение I верно.

Чтобы горизонтальные линии были параллельны, необходимо знать, что либо альтернативные внешние углы, либо альтернативные внутренние углы равны. Поскольку вы это уже доказали, вы знаете и это. Поскольку у вас есть пара альтернативных внешних углов, две прямые должны быть параллельны. Утверждение II также верно.

Утверждение III, однако, не обязательно верно. Если  тогда все углы были бы равны 90. Однако без этого знания вы не можете прийти к каким-либо выводам о взаимосвязи между  и . Утверждение III не обязательно верно, поэтому правильным ответом будет только I и II.

Сообщить об ошибке

Две пересекающиеся прямые образуют углы, указанные выше. Если мера угла x в три раза больше угла y, то какова мера угла z?

Возможные ответы:

60

45

120

135

Правильный ответ:

135 9 0005

Объяснение:

Поскольку линии x и y в сумме дают 180 градусов, у вас есть два уравнения для работы:

x + y = 180

x = 3y

Это означает, что вы можете заменить 3y на x в порядке найти у:

3у + у = 180

4у = 180

у = 45

А так как z также в сумме с y дает 180, то z должно быть 180 — 45 = 135 градусов.

Сообщить об ошибке

Если на рисунке выше прямые g и k параллельны, а угол h равен 121 градусу, каково значение p?

Возможные ответы:

59

71

49

61

Правильный ответ:

59

Объяснение:

Если h равно 121, то угол непосредственно под h должен быть равен 59, так как это дополнительный угол, образованный диагональной линией. Поскольку g и k параллельны, этот угол в 59 градусов должен точно соответствовать p, поскольку они являются альтернативными внутренними углами.

Сообщить об ошибке

На приведенном выше рисунке прямые AD и BE пересекаются в точке C. Чему равен угол ACE?

Возможные ответы:

145

115

125

135

Правильный ответ: 90 005

125

Объяснение:

Два правила углов очень важны для этого вопроса:

1) Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180. Здесь, поскольку у вас есть угол 90 градусов (CED) и угол 35 градусов (EDC) в нижнем треугольнике, тогда можно заключить, что угол ECD должен быть равен 55.

2) Дополнительные углы, смежные углы при пересечении двух прямых, должны в сумме давать 180 градусов. Если вы знаете, что ECD равно 55, то ACE как дополнительный угол должен образовывать остальные 125 градусов, чтобы сумма этих двух углов составила 180. Следовательно, правильный ответ — 125.

Сообщить об ошибке

Что такое a + b + c + d?

Возможные ответы:

110

130

120

150

Правильный ответ: 90 005

150

Объяснение:

В этой задаче важно понимать, что вы имеете дело с двумя пересекающимися треугольниками, которые образуют внешние дополнительные углы вдоль прямой линии внизу. Чтобы убедиться в этом, рассмотрите приведенную ниже диаграмму, для которой добавлены углы x и y:

Угол y является внешним дополнительным углом к ​​треугольнику рядом с ним, поэтому y = a + c. Почему? Помните, что y является дополнительным к углу рядом с ним (x + 30), а (a + c) является дополнительным к тому же самому углу (сумма внутренних углов треугольника = 180). Следовательно, y и (a + c) идентичны. . Всякий раз, когда у вас есть прямая линия, проведенная из треугольника, вы должны понимать, что внешний дополнительный угол равен сумме двух противоположных углов.

Используя ту же логику, вы можете увидеть, что x = b + d в другом пересекающемся треугольнике. Поскольку проблема заключается в том, чтобы задать a + b + c + d, вы должны признать, что этот вопрос на самом деле такой же, как и вопрос о том, что такое x + y. Почему? Вы можете заменить x на b + d и y на a + c в основе вопроса. Так как x + y = 180 — 30 на прямой внизу, правильный ответ 150.

Обратите внимание, что еще один способ решить эту задачу состоит в том, чтобы увидеть два больших тупоугольных треугольника: один с углами a, c и (x+30), а другой с углами b, d и (y+30). Если вы сделаете это, у вас будет:

a+c+x+30=180, поэтому a+c+x=150

b+d+y+30=180, поэтому b+d+y= 150

И вы знаете, что x+y+30=180, потому что x, 30 и y — это все углы, которые составляют прямую линию в 180 градусов, проходящую через нижнюю часть рисунка. Итак, х+у=150.

Затем можно суммировать уравнения треугольника:

a+c+x+b+d+y=150+150=300

А затем подставьте x+y = 150, и у вас останется a+b+c+d=150.

Сообщить об ошибке

На изображении выше . Каково значение

Возможные ответы:

70

60

80

50

Правильный ответ:

60

Пояснение:

Эта задача основана на двух важных правилах геометрии:

1) Сумма всех внутренних углов треугольника равна 180. Здесь вы знаете, что в верхнем треугольнике углы равны 30 и 80, а это означает, что угол при точка пересечения линий должна быть равна 70, так как 30+80=110, а сумма последнего угла должна равняться 180.

2) Вертикальные углы — углы, противоположные друг другу при пересечении двух прямых — равны. Поскольку вы определили, что угол в основании треугольника наверху равен 70°, это также означает, что верхний, непомеченный угол нижнего треугольника равен 70°. Это позволяет добавить 70+50+ в качестве трех углов в нижний треугольник, а так как их сумма должна равняться 180, это означает, что .

Сообщить об ошибке

ПРИМЕЧАНИЕ. Рисунок выполнен не в масштабе.

Какое значение  на рисунке выше?

Возможные ответы:

115

135

150

125

Правильный ответ: 90 005

135

Объяснение:

В этой задаче сильно используются два правила:

1) Сумма углов треугольника равна 180.

2) Дополнительные углы — смежные углы, образующиеся при пересечении одной прямой другой — должны в сумме давать 180.

Здесь вы можете сначала использовать угол в 140 градусов, чтобы указать, что его соседний сосед — его дополнительный партнер — должен быть равен 40. Это дает вам два из трех углов в самом верхнем треугольнике: 20 и 40. Вы можете использовать чтобы определить, что третий угол должен быть равен 120.

Отсюда вы должны увидеть, что угол в 120 градусов является вертикальным углом, а это означает, что его противоположность также будет равна 120. И это дает вам второй угол в нижний правый треугольник. Знание того, что у вас есть углы 15 и 120, означает, что третий угол этого треугольника должен быть равен 45. А поскольку этот угол является дополнительным к углу x, тогда x должен быть равен 135.

Сообщить об ошибке

На рисунке выше линии  и  параллельны. Какова ценность ?

Возможные ответы:

95

125

105

115

Правильный ответ: 900 05

125

Объяснение:

Эта задача сильно зависит от двух важных правил для прямых и углов:

1) Сумма трех внутренних углов треугольника всегда равна 180.

2) Дополнительные углы — углы рядом друг с другом, образованные двумя пересекающимися линиями — также должны в сумме давать 180. нижний правый угол маленького треугольника вверху, вы можете закрыть этот треугольник. Для углов 40° и 85° это означает, что нижний левый угол должен быть равен 55°.

Отсюда вы можете использовать тот факт, что параллельные линии приведут к конгруэнтным углам. Поскольку прямые и параллельны, угол рядом с  будет равен 55 градусам, а это означает, что  будет равен 125.

Сообщить об ошибке

На диаграмме выше линии  и  все пересекаются в точке A. Если и , каково значение ?

Возможные ответы:

20

50

30

40

Правильный ответ:

30

Объяснение:

Эта задача проверяет два важных правила. Во-первых, угловая мера прямой линии равна 180. Здесь, если вы проследите за линией, вы увидите, что ее угол разбит на три сегмента:  и пустой угол между ними. Сумма этих трех углов должна равняться 180, поэтому, если вы уже знаете, что  и , тогда неотмеченный угол между ними должен быть равен так что .

Далее, знайте, что когда линии пересекаются, образуя углы в определенной точке, противоположные (вертикальные) углы конгруэнтны. Угол измерения  прямо противоположен углу, который вы только что рассчитали в градусах, поэтому  должен быть таким же.

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по математике SAT

137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Угол между двумя линиями — Infinity Learn

Угол, образованный двумя линиями Полезно понимать взаимосвязь между двумя линиями. Это будет угол наклона между двумя линиями. Есть два угла, образованных двумя пересекающимися прямыми: острый угол и тупой угол. При пересечении двух прямых образуются два набора углов. Пересечение образует два острых и два тупых угла. Абсолютные значения образующихся углов определяются наклонами пересекающихся линий. Мы учитываем острый угол между двумя линиями при вычислении угла между ними. Мы могли бы использовать угол, образованный двумя линиями, для вычисления угла, образованного двумя сторонами замкнутого многоугольника.

Также стоит отметить, что угол, образованный пересечением двух прямых, не может быть рассчитан, если одна из прямых параллельна оси y, потому что наклон линии, параллельной оси y, не определен.

Зарегистрируйтесь, чтобы получить индивидуальный план обучения, который поможет вам улучшить свои результаты!

Класс
—Класс 6Класс 7Класс 8Класс 9Класс 10Класс 11Класс 12

Целевой экзамен
JEENEETCBSE

+91

Проверка OTP-кода (обязательно)

Я согласен с условиями и политикой конфиденциальности.

Формула угла между двумя прямыми

Если θ — угол, образованный двумя пересекающимися линиями, определяемыми y ₁ = m ₁ x ₁ +c _{1 9042 1 и у 2 = м 2 x 2 +c 2, угол будет:}

tanθ = ±(m ₂ -m ₁ ) / (1+m _{1 904 21 м 2 )}

Угол между двумя прямыми Вывод

Линии L ₁ и линия L ₂ пересекаются в точке на рисунке выше.

Теперь измерение уклона выглядит следующим образом:

tan a ₁ = m ₁ и tan a ₂ = m ₂

Тогда, исходя из рисунка, мы можем если θ = a ₂ -a ₁

Итак, tan θ = tan (a ₂ -a ₁ ) = (tan a ₂ – tan a ₁ ) / (1- загар ₁ tan a ₂ )

При подстановке значений tan a ₁ и tan a ₂ как m ₁ и m ₂ соответственно имеем ,

tanθ= (м ₂ – m ₁ ) / (1+m ₁ m ₂ )

Следует отметить, что в этом уравнении значение тангенса θ будет положительным, если θ острое, и отрицательным, если θ тупым.

Угол между двумя линиями Координатная геометрия

Если в аналитической геометрии действительно заданы координаты трех точек A, B и C, то угол между линиями AB и BC можно вычислить следующим образом:

Наклон линии с конечными точками (x ₁ , y ₁ ) и (x ₂ , y ₂ ) определяется уравнением:

9000 4 Всякий раз, когда известен наклон каждой линии из уравнения угол между двумя линиями можно рассчитать, вычислив наклон каждой линии, а затем используя его в формуле для определения угла между двумя линиями.

СУНЦ УрФУ

Расписание

Электронный журнал

Поступающим

Олимпиады, турниры, конкурсы

Планы работы

Подготовительные курсы

Новости:

07.05.2023

Учимся и побеждаем!

Лицеисты заняли I и II места в Школе практического программирования.

06.05.2023

Поэзии чарующие звуки…

В СУНЦ стартует регистрация на поэтический вечер, который пройдёт 15 мая в 15:30 в актовом зале.

05.05.2023

Заключительный этап. Успех!

Наши лицеисты достойно выступили на заключительном этапе Всероссийской олимпиады школьников.

04.05.2023

Успехи на международном форуме в Кыргызстане

Лицеисты привезли из солнечного Кыргызстана золотую и бронзовую медали международного форума «Мы — интеллектуалы XXI века!».

04.05.2023

Зарядись «Энергией будущего»!

Лицеисты СУНЦ с успехом выступили на всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ и проектов.

25.04.2023

Время зарабатывать!

Соцэки СУНЦ совершенствуют свои практические навыки.

Больше новостей

Видеогалерея:

Мужчины СУНЦ о 8 Марта (2023)

Концерт к 8 Марта (2023)

Поздравление с Днем защитника Отечества (2023)

Больше видео

О нас:

Специализированный учебно-научный центр (СУНЦ) — структурное подразделение ФГАОУ ВО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина», созданное в 1990 году как нетиповое структурное подразделение вуза, осуществляющее углубленное дифференцированное обучение по программам основного общего и среднего общего образования. Всего в России 10 СУНЦев. До мая 2011 года СУНЦ работал в составе Уральского государственного университета имени А. М. Горького (УрГУ).

В настоящее время СУНЦ имеет в своем составе 8 кафедр, укомплектованных профессорско-преподавательским составом УрФУ и учителями. Обучение производится по авторским  программам, разработанным в соответствии с федеральными государственными образовательными стандартами; в составе СУНЦ — 8–11 классы различных профилей.

Иногородние обучающиеся проживают в уютном общежитии.

Прием производится в 8, 9, 10 и 11 классы. Работают подготовительные курсы.

Подробнее о правилах приема в СУНЦ можно узнать в отделе конкурсного отбора
по телефону +7 343 367-82-22 и в разделе нашего сайта «Поступающим».

Как нас найти:

Данилы Зверева ул., 30, Екатеринбург. N56°52´4˝ E60°39´16˝

Проезд:

• автобусами № 48, 52, 81 до остановки «Фирма Авангард»;
• автобусами № 28, 58 до остановки «Данилы Зверева», далее 7 минут пешком по улице Данилы Зверева;
• троллейбусом № 18 до остановки «Данилы Зверева», далее 14 минут пешком по улицам Сулимова, Данилы Зверева;
• троллейбусами № 4 до остановки «Сулимова», № 19, 32 до остановки «Боровая», далее 15 минут пешком по улицам Боровая, Вилонова, Данилы Зверева.

Справочник по высшей математике

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Изд-во «Наука». М. 1977 г. Справочник включает весь материал, входящий в программу основного курса математики высших учебных заведений. Детальная рубрикация и подробный предметный указатель позволяют быстро получать необходимую информацию. Книга окажет неоценимую помощь студентам, инженерам и научным работникам. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9. Взаимное расположение двух линий § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30. 2+bx+c § 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 69. Нахождение центра центральной линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x § 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95. Координаты точки § 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 106. Скалярные произведения основных векторов § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей § 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134. Точка пересечения трех плоскостей § 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 141. Условие, при котором два уравнения первой степени представляют прямую § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168. Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат § 169. Уравнения линии § 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190. Два уравнения с двумя неизвестными § 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 213. Основные теоремы о пределах § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216. Эквивалентные бесконечно малые величины § 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238. Производная сложной функции § 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259. Выражение высших производных через дифференциалы § 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279. Второе достаточное условие максимума и минимума § 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301. Интегрирование по частям § 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321. Дифференциал интеграла § 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342. Кривизна § 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364. О знаке кривизны § 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390. Интегрирование рядов § 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413. Ортогональность системы функций cos nx, sin nx § 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435. Касательная плоскость и нормаль к поверхности § 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456. Вычисление двойного интеграла (общий случай) § 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480. Изоклины § 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью § 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия

6. Оценка двойного интеграла снизу и сверху: если , то где s

(О среднем значении для двойного интеграла).

Если f(x;y) — непрерывна на замкнутой области D, то существует — некая «средняя» точка области:

Доказательство Если f(x;y) непрерывна на D, то существуют наименьшее m и наибольшее М значения функции f(x;y), т.е.   по свойству 6 имеем: то есть число I/S находится между m и М.

Но непрерывная функция f(x;y) принимает все промежуточные от m до М значения существует точка : ,и теорема 2.2 доказана.

******************

3.

Замена переменных в двойном интеграле.

Теорема.

Пусть двойной интеграл преобразуется от прямоугольных декартовых координат (x,y) к криволинейным u и v, связанными с прямоугольными соотношением

x=φ(u,v)

y=ψ(u,v)

где φ(u,v) и ψ(u,v) – функции устанавливающие взаимно однозначное соответствие между областью D плоскости Oxy и областью G плоскости Ouv, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в области G, причем определитель преобразования (определитель Якоби)

в области G, тогда имеет место следующее соотношение

— формула замены переменных в двойном интеграле.

4.Вычисление двойного интеграла в Декартовой системе координат.

1.Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для правильной области

Теорема

 Пусть область D — правильная в отношении оси Ох (рис. 2.6.) Тогда в этом случае область D может быть задана одной системой неравенств:

Если существует двойной интеграл (это возможно, например, если f(x;y) непрерывна на D), то его можно вычислить через повторный кратный интеграл так: При этом внутренний интеграл по у находится при постоянном х.

Данное представление (2. 11) получается из определения двойного интеграла при специальном способе разбиения области D на n «мелких» частей (линиями, параллельными либо Ох, либо Оу — прямоугольной «шахматной» сеткой. А затем выполняется суммирование «объёмов» ΔV_i сначала по оси Оу, а затем по оси Ох).

2. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для неправильной области

  Если область D является неправильной в отношении обеих осей, то ее разбивают на конечное число правильных областей.

********************

5.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Пусть на плоскости Оху одновременно введена и полярная система координат Orφ (рис. 2.9):

 Оp — полярная ось, которая совпадает с осью Ох; φ — полярный угол; r — полярный радиус точки М.

Тогда, как известно:

 Для полярной системы координатная сетка представляет собой пересечение окружностей увеличивающихся радиусов r с лучами, выходящими из точки О под возрастающими углами φ к полярной оси (рис. 2.10).

 Рассмотрим элементарный участок полярной сетки (рис. 2.11).

Тогда его площадь ΔS можно найти как разность площадей S₁ и S₂ полярных секторов радиусов r+Δr и r с раствором угла Δφ:

При Δr 0, Δφ 0 получаем ΔS≈ r·Δr·Δφ.

Таким образом, при замене переменных по формуле (2.12) дифференциал площади в полярной системе координат преобразуется так:

(Напомним, что в декартовой системе координат Оху прямоугольная сетка дает dS=dx·dy.)

Замечание.

Формулу (2.13) можно получить и по-другому, используя Якобиан J — «коэффициент искажения» площади при переходе к другой системе координат. А именно

 что совпадает с (2.13).

 

Теорема

Если область D — является правильной в полярной системе координат Оrφ, то двойной интеграл в этих координатах вычисляется так:

2\справа. = \ гидроразрыв {4} {6} = \ гидроразрыв {2} {3}. \конец{выравнивание*} Как и должно быть, этот повторный интеграл дает тот же ответ.

Пример 2

Прямоугольные области просты, потому что пределы ($a \le x \le b$ и $c \le y \le d$) фиксированы, то есть диапазоны $x$ и $y$ не зависят друг от друга. Для регионов другой формы диапазон одной переменной будет зависеть от другой. Вот пример где мы интегрируем по области, определяемой $0 \le x \le 2$ и $0 \ле у \ле х/2$. Тот факт, что диапазон $y$ зависит от $x$, означает, что эта область не является прямоугольником. На самом деле область представляет собой треугольник, изображенный ниже. 92$ как в примере 1, вычислить $\iint_\dlr f\,dA$ где $\dlr$ — указанный выше треугольник.

Решение : Треугольник немного сложнее прямоугольника, потому что пределы одной переменной будут зависеть от другой переменной. Для треугольника, заданного $0 \le x \le 2$ и $0 \le y \le x/2$, пределы $y$ зависят от $x$. Для данного значение $x$, $y$ находится в диапазоне от 0 до $x/2$, как показано выше вертикальная пунктирная линия от $(x,0)$ до $(x,x/2)$. 2\вправо. = \frac{32}{5 \cdot 24} = \frac{4}{15}. \конец{выравнивание*}

Пример 2′

Теперь вычислите интеграл по тому же треугольнику $\dlr$, но сделайте $y$ — внешняя переменная интегрирования.

Решение : Теперь нам нужно указать постоянные пределы для $y$. Как показано ниже, общий диапазон $y$ внутри треугольника находится между от $0$ до $1$. Тогда для заданного значения $y$ $x$ принимает вид значения между $2y$ и $2$ (как показано горизонтальной пунктирной линией между $(2y,y)$ и $(2,y)$). Следовательно, мы можем описать треугольник как $0 \le y \le 1$ и $2y \le x \le 2$.

Вас смущает, что пределы $x$ составляют $2y \le x \le 2$, а чем $0 \le x \le 2$ (что было бы более близко к приведенному выше Пример 2)? Если мы допустим $x$ в диапазоне от $0$ до $2y$, то треугольник будет верхний левый треугольник на картинке выше. Мы хотим вычислить интеграл по области $\dlr$, которая является нижним правым треугольник, заштрихованный красным. В этом треугольнике $y \lt x/2$ (как использовано выше в Пример 2), что означает, что для этого примера мы должны использовать $x > 2y$. 91\\ &= 2 \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{5} -(0-0)\right)\\ &= 2 \cdot \frac{2}{15} \goodbreak = \frac{4}{15}. \конец{выравнивание*} К счастью, это согласуется с ответом, полученным в примере 2.

Другие примеры

Чтобы перейти от примера 2 к примеру 2′, мы «изменили порядок интеграция». Ты можешь видеть более примеры изменения порядка интегрирования в double интегралы. Вы также можете увидеть больше примеров двойных интегралов из частных случаев интерпретации двойных интегралов как площади и двойных интегралов как объема.

Исчисление III. Двойные интегралы по общим областям

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление III / Несколько интегралов / Двойные интегралы по общим областям

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 15.3: Двойные интегралы по общим областям

В предыдущем разделе мы рассмотрели двойные интегралы по прямоугольным областям. Проблема в том, что большинство областей не прямоугольные, поэтому теперь нам нужно взглянуть на следующий двойной интеграл,

. \[\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\]

где \(D\) — любой регион.

Есть два типа регионов, на которые нам нужно обратить внимание. Вот набросок обоих.

Мы будем часто использовать обозначение построителя набора для описания этих регионов. Вот определение региона в случае 1

. \[D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|a \le x \le b,\,\,{g_1}\left( x \right) \le y \le {g_2 }\влево( х \вправо)} \вправо\}\]

, а вот определение региона в случае 2.

\[D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|{h_1}\left( y \right) \le x \le {h_2}\left( y \right),\,c \le y \le d} \right\}\]

Это обозначение на самом деле просто причудливый способ сказать, что мы собираемся использовать все точки \(\left( {x,y} \right)\), в которых обе координаты удовлетворяют двум заданным неравенствам. 9{{{h_{\,2}}\left( y \right)}}{{f\left( {x,y} \right)\,dx}}\,dy}}\]

Вот некоторые свойства двойного интеграла, которые мы должны рассмотреть, прежде чем приступать к некоторым примерам. Обратите внимание, что все три из этих свойств на самом деле являются просто расширениями свойств одиночных интегралов, которые были распространены на двойные интегралы.

Свойства

1. \(\displaystyle \iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right) + g\left( {x,y} \right)\,dA}} = \iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}} + \iint\limits_{D}{{g\left( {x,y} \right)\, дА}}\)
2. \(\displaystyle \iint\limits_{D}{{cf\left( {x,y} \right)\,dA}} = c\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y } \right)\,dA}}\), где \(c\) — любая константа.
3. Если область \(D\) можно разделить на две отдельные области \({D_1}\) и \({D_2}\), то интеграл можно записать в виде \[\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}} = \iint\limits_{{{D_1}}}{{f\left( {x,y } \right)\,dA}} + \iint\limits_{{{D_2}}}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\] 92} — 40y\,dA}}\), \(D\) — треугольник с вершинами \(\left( {0,3} \right)\), \(\left( {1,1} \right )\) и \(\left( {5,3} \right)\). Показать решение

   В этот раз мы получили еще меньше информации о регионе. Давайте начнем с наброска треугольника.

   Поскольку у нас есть две точки на каждом ребре, легко получить уравнения для каждого ребра, поэтому мы оставляем вам проверку уравнений.

   Есть два способа описать этот регион. Если мы используем функции \(x\), как показано на изображении, нам придется разбить область на две разные части, поскольку нижняя функция отличается в зависимости от значения \(x\). В этом случае регион будет задан как \(D = {D_1} \cup {D_2}\), где

   \[\begin{align*}{D_1} & = \left\{ {\left( {x,y} \right)|0 \le x \le 1,\,\,\, — 2x + 3 \le y \le 3} \right\}\\ {D_2} & = \left\{ {\left( {x,y} \right)|1 \le x \le 5,\,\,\,\frac{ 1}{2}x + \frac{1}{2} \le y \le 3} \right\}\end{align*}\]

   Обратите внимание, что \( \cup \) — это символ «объединения», который просто означает, что \(D\) — это область, которую мы получаем, объединяя две области. Если мы сделаем это, нам нужно будет сделать два отдельных интеграла, по одному для каждой из областей.

   Чтобы избежать этого, мы могли бы изменить ситуацию и решить два уравнения для \(x\), чтобы получить

   \[\begin{align*}y & = — 2x + 3\hspace{0. 5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = — \frac{1}{2}y + \frac{3}{2} \\ y & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = 2y — 1\end{align*}\]

   Если мы сделаем это, то заметим, что одна и та же функция всегда справа и одна и та же функция всегда слева, поэтому область равна 9.0003

   \[D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|\,\, — \frac{1}{2}y + \frac{3}{2} \le x \le 2y — 1,\,\,\,1 \le y \le 3} \right\}\]

   Запись области в этой форме означает выполнение одного интеграла вместо двух интегралов, которые нам пришлось бы делать в противном случае.

   Любой способ должен дать один и тот же ответ, поэтому мы можем получить пример в примечаниях к разделению области, давайте сделаем оба интеграла.

   Решение 1 95\\ & = — \frac{{935}}{3}\end{align*}\]

   Было много работы. Обратите внимание, однако, что после того, как мы сделали первую замену, мы не умножили все. Два квадратичных члена можно легко интегрировать с помощью базовой замены Calc I, поэтому мы не удосужились их перемножить. Мы будем делать это при случае, чтобы сделать некоторые из этих интегралов немного проще.

   Решение 2
   Это решение потребует гораздо меньше работы, так как мы будем вычислять только один интеграл. 93\\ & = — \frac{{935}}{3}\end{align*}\]

   Итак, цифры были немного беспорядочнее, но в остальном для того же результата требовалось гораздо меньше работы. Также обратите внимание, что мы снова не вырезали два термина в кубе, так как с ними легче работать, используя замену Calc I.

   Как показала нам последняя часть предыдущего примера, мы можем интегрировать эти интегралы в любом порядке ( т.е. \(x\) с последующим \(y\) или \(y\) с последующим \(x\) ), хотя часто один заказ будет проще другого. На самом деле будут времена, когда будет невозможно выполнить интеграл даже в одном порядке, в то время как можно будет выполнить интеграл в другом порядке.

   Также не забывайте о заменах в исчислении I. Студенты часто просто спешат и умножают все после выполнения интегральной оценки и в конечном итоге пропускают действительно простую замену исчисления I, которая позволяет избежать хлопот с умножением всего. Подстановки в исчислении I не всегда обнаруживаются, но когда они появляются, они почти всегда упрощают работу для остальной части задачи.

   Давайте посмотрим на пару примеров таких интегралов.

   Пример 2 Оцените следующие интегралы, сначала поменяв порядок интегрирования на обратный. 92}\) перед экспонентой, чтобы выполнить интегрирование \(y\). Мы будем надеяться, что если мы обратим порядок интегрирования, мы получим интеграл, который мы можем сделать.

   Теперь, когда мы говорим, что собираемся изменить порядок интегрирования, это означает, что мы хотим сначала интегрировать по \(x\), а затем по \(y\). Обратите также внимание, что мы не можем просто поменять местами интегралы, сохранив исходные пределы, и покончить с этим. Это не решит нашу первоначальную проблему, и для интегрирования по \(x\) мы не можем иметь \(x\) в пределах интегралов. Даже если мы проигнорировали это, ответ не был бы постоянным, как это должно быть. 92}\) на нижней границе и \(y = 9\) на верхней границе, лежащей между \(x = 0\) и \(x = 3\). Вот набросок этого региона.

   Поскольку мы хотим интегрировать по \(x\), сначала нам нужно определить пределы \(x\) (вероятно, в терминах \(y\)) и затем получить пределы по \(y\ ) х. Вот они для этого региона.

   \[\begin{array}{c}0 \le x \le \sqrt y \\ 0 \le y \le 9\end{array}\] 94} + 1} \,dx}}\,dy}}\) Показать решение

   Как и в случае с первым интегралом, мы не можем сделать этот интеграл, сначала проинтегрировав по \(x\), поэтому будем надеяться, что, изменив порядок интегрирования на обратный, мы получим то, что сможем проинтегрировать. Вот пределы для переменных, которые мы получаем из этого интеграла.

   \[\begin{массив}{c}\sqrt[3]{y} \le x \le 2\\ 0 \le y \le 8\end{массив}\]

   а вот набросок этого региона. 9{\frac{3}{2}}} — 1} \right)\end{align*}\]

   Последняя тема этого раздела — две геометрические интерпретации двойного интеграла. Первая интерпретация является расширением идеи, которую мы использовали для развития идеи двойного интеграла в первом разделе этой главы. Мы сделали это, взглянув на объем тела, которое было ниже поверхности функции \(z = f\left({x,y} \right)\) и над прямоугольником \(R\) в \( ху\)-плоскость. Эту идею можно распространить на более общие регионы. 92}\).

   Показать решение

   Вот график поверхности, и мы попытались показать область в плоскости \(xy\) под поверхностью.

   Вот набросок области в плоскости \(xy\) сам по себе.

   Приравняв два ограничивающих уравнения, мы увидим, что они пересекаются в точках \(x = 2\) и \(x = — 2\). 2}\end{массив}\] 92 = \frac{{12800}}{3}\end{align*}\]

   Пример 4. Найдите объем тела, заключенного в плоскости \(4x + 2y + z = 10\), \(y = 3x\), \(z = 0\), \(x = 0\).

   Показать решение

   Этот пример немного отличается от предыдущего. Здесь область \(D\) явно не указана, поэтому нам нужно ее найти. Во-первых, обратите внимание, что последние две плоскости на самом деле говорят нам, что мы не пройдем дальше плоскости \(xy\) и плоскости \(yz\), когда доберемся до них.

   Первая плоскость, \(4x + 2y + z = 10\), является верхней частью объема, поэтому мы действительно ищем нижний объем,

   \[г = 10 — 4х — 2у\]

   и выше область \(D\) в плоскости \(xy\). Вторая плоскость \(y = 3x\) (да, это плоскость) дает одну из сторон объема, как показано ниже.

   Область \(D\) будет областью в \(xy\)-плоскости ( т. е. \(z = 0\)), которая ограничена \(y = 3x\), \(x = 0\), и линия, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость. Мы можем определить, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость, подставив в нее \(z = 0\).

   \[0 + 4x + 2y = 10\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}2x + y = 5\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}y = — 2x + 5\]

   Итак, вот набросок региона \(D\).

   Область \(D\) — это место, где это тело будет располагаться на плоскости \(xy\), и вот неравенства, определяющие область.

   \[\begin{array}{c}0 \le x \le 1\\ 3x \le y \le — 2x + 5\end{массив}\] 91 = \frac{{25}}{3}\end{align*}\]

   Обратите внимание, что в более общем случае

   \[V = \iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\]

   дает чистый объем между графиком \(z = f\left( {x,y} \right)\) и областью \(D\) в \(xy\)-плоскости.

Шинный калькулятор онлайн — визуальный калькулятор шин.

Шинный калькулятор

Визуальный шинный калькулятор

Когда изнашиваются заводские шины или просто хочется поставить другие колеса, то возникает вопрос: а какие размеры шин подойдут моей машине? Дело в том, что каждый автомобиль рассчитан под определенный диаметр колес и ширину протектора. Обычно, данная информация содержится на оборотной стороне крышки бензобака или в документах по эксплуатации. Если отклониться от этих типоразмеров больше чем на 2-3 процента, то расход бензина вырастет, спидометр начнет врать, а в случае большой разницы вождение может стать просто опасным.

Но как подобрать шины правильного размера, если на профиле написаны какие-то непонятные цифры? Не измерять же их линейкой, ей богу. Именно для этих целей и создан данный шинный калькулятор. Он позволяет определить разницу между шинами в сантиметрах, дюймах и процентах. В частности, с помощью шинного калькулятора вы можете рассчитать и сравнить диаметр шины, ширину протектора, высоту профиля и окружность. Дополнительно, калькулятор определяет потенциальные различия в показателях скорости на спидометре, изменения клиренса и разницу в количестве оборотов на один километр (или милю).

Калькулятор отображает визуальную разницу в диаметре, профиле, клиренсе и ширине шины. В правой части генерируется динамический рисунок колес, с пунктирной схемой и параметрами. В верхней части находится визуальное представление старой шины (оригинального типоразмера), а в нижней части отрисовывается ваша потенциальная новая шина. Рисунок отображается в двух проекциях: боковой и фронтальной. И ту и другую можно скачать на компьютер в формате png. Для этого нажмите на картинку правой кнопкой и выберите «Сохранить как…».

Как пользоваться онлайн калькулятором шин?

Пользоваться виртуальным шинным калькулятором очень просто. В левом верхнем углу приложения находятся выпадающие поля. В верхнем ряду вам необходимо выбрать типоразмер вашей оригинальной заводской шины (или просто тех шин, которые стоят на вашей машине в данный момент). Эти показатели вы можете просто посмотреть на профиле шины (боковой поверхности). Первое поле — это ширина шины в милиметрах. Второе поле — это отношение высоты профиля к ширине шины в процентах. Третье поле — это диаметр диска в дюймах.

Во втором ряду вам необходимо указать типоразмер новых шин, т.е. тех шины, которые вы собираетесь купить или уже купили. После этого нажмите на зеленую кнопку «Рассчитать». Шинный калькулятор моментально вычислит различия между шинами и отобразит их в таблице. А именно: диаметр, ширина, длина окружности и высота профиля шины, количество оборотов на километр и изменения клиренса. В первых двух колонках таблицы будут отбражаться параметры старых и новых шин, а в третьей колонке номинальная и процентная разница между ними. В самом низу таблицы будет отображаться наша рекомендация. Если разница в диаметрах превышает 3%, то мы крайне не рекомендуем ставить такие шины, поскольку это может быть опасно.

В самом низу, вы можете видеть два спидометра, которые показывают различия между отображаемой и реальной скоростью в случае смены шин. Вы можете вводить другие значения в левый спидометр с помощью стрелочек или прямо с клавиатуры. Изменения моментально будут отображаться на правом. По умолчанию, рассчитывается разница при скорости 60 километров в час.

Если вам требуется вычислить в дюймах, то просто нажмите на надпись «Дюймы» в переключателе, который находится под зеленой кнопкой.

Кредитный калькулятор

Срок

Дата получения

Ставка

Тип платежей

Расширенные настройки

Переносить дату, если платеж приходится на выходной

Начислять проценты в соответствии переносами платежей

Последний платеж не может превышать аннуитет

Кредитные каникулы первые

Название комиссии

Сумма %

%

Периодичность

Сумма

c Дата

по

Платить в день выплаты очередного ежемесячного платежа

Пересчет графика платежей Пересчет графика

Рассчитать оптимальный план погашения кредита по выделенному бюджету

Досрочное погашение кредита возможно только в день очередного платежа

Пересчет графика платежей Пересчет графика

Ниже формируется бюджет, из которого будут оплачены все расходы, связанные с погашением кредита. Подробнее…

Периодичность

Сумма

c Дата

по

Учитывать инфляцию

Выплата процентов и погашение задолженности

Месячный платеж от срока

Переплата от срока

Месячный платеж от суммы кредиты

Переплата от суммы кредита

Месячный платеж от ставки

Переплата от ставки

Простой калькулятор — Бесплатный онлайн калькулятор

Это наш самый простой калькулятор — большой, простой в использовании онлайн и бесплатный!
Проверьте простой калькулятор!
Этот простой онлайн-калькулятор отлично подойдет для молодых пользователей, которым не нужны дополнительные функции.

Наш простой калькулятор — идеальный инструмент для тех, кто хочет быстро и легко выполнять основные арифметические вычисления. Благодаря большому и удобному интерфейсу этот калькулятор прост и интуитивно понятен, что делает его идеальным для пользователей всех возрастов и уровней опыта.

Самое лучшее в нашем простом калькуляторе? Его можно использовать онлайн совершенно бесплатно, поэтому вы можете выполнять расчеты в любое время и в любом месте без необходимости в дополнительном программном или аппаратном обеспечении. Независимо от того, являетесь ли вы студентом, изучающим математику, или профессионалом в области, требующей базовых вычислений, наш Простой калькулятор — это ценный ресурс, который может помочь вам сделать вашу работу проще и эффективнее.

Этот калькулятор имеет только основные математические функции…

Нужны дополнительные функции?

Научный калькулятор

Наш научный калькулятор может выполнять сложные математические вычисления и функции.

Научный калькулятор

Математический калькулятор

Наш математический калькулятор имеет более продвинутые функции, такие как память и журналирование.

Математический калькулятор

Наш простой онлайн-калькулятор с его базовыми функциями идеально подходит для выполнения быстрых и простых расчетов без необходимости использования сложных функций или дополнительных функций. Он идеально подходит для пользователей, которые хотят выполнять основные арифметические операции без каких-либо сложностей и отвлекающих факторов. Кроме того, он доступен в Интернете и совершенно бесплатен в использовании, что делает его привлекательным вариантом для тех, кто не хочет вкладывать средства в дорогостоящее оборудование или программное обеспечение. В то время как более продвинутые калькуляторы могут предлагать дополнительные функции, наш простой онлайн-калькулятор — отличный выбор для тех, кто ищет быстрый и простой способ выполнения основных вычислений.

Вопрос:

Какой результат умножения 10 на 5 с помощью простого калькулятора выше?

Ответ:

Результат умножения 10 на 5 равен 50. А теперь попробуйте сделать это без использования калькулятора!

Легко конвертируйте единицы измерения, валюты и многое другое с помощью нашего обширного набора простых в использовании калькуляторов конвертации! Вот лишь некоторые из них, не забудьте проверить все остальные, которые мы можем предложить!

Наши инструменты для преобразования веса точны, просты в использовании и предлагают широкий выбор единиц измерения.

Преобразование веса

Получите точное и простое преобразование длины с помощью наших удобных и полных калькуляторов преобразования длины.

Преобразование длины

Наши калькуляторы преобразования температуры точны, просты в использовании и охватывают различные единицы измерения температуры.

Преобразование температуры

Рекомендуемые инструменты:

Это одни из самых популярных калькуляторов и инструментов на сайте!

Дартс Калькулятор

Наш Дартс Калькулятор помогает игрокам быстро и точно подсчитывать очки и кассы, делая игру более приятной и конкурентоспособной!

Калькулятор дартс

Калькулятор ИМТ

Наш калькулятор ИМТ быстро рассчитывает индекс массы тела, чтобы помочь пользователям понять свой вес и принять обоснованные решения о здоровье.

Калькулятор ИМТ

Онлайн-счеты

Онлайн-счеты — это виртуальная версия традиционного инструмента для подсчета, разработанная, чтобы помочь детям освоить и отработать основные математические навыки.

Online Abacus

Научный калькулятор

Наш научный калькулятор — это мощный инструмент, выполняющий сложные математические вычисления и функции.

Научный калькулятор

Научный калькулятор — Научный онлайн-калькулятор

Наш ВЕЛИКОЛЕПНЫЙ Научный Калькулятор — бесплатный, понятный и полноэкранный онлайн-калькулятор!
Расширенные функции, такие как тригонометрия, логарифмы и многое другое — используйте онлайн бесплатно!

Наш научный онлайн-калькулятор является важным инструментом для студентов, ученых, инженеров и всех, кому необходимо выполнять сложные математические функции.

Обладая полным набором функций, включая тригонометрические, логарифмические и экспоненциальные функции, а также возможностью работы с комплексными числами, наш калькулятор справится даже с самыми сложными вычислениями.

Благодаря удобному интерфейсу и четкому дисплею наш калькулятор прост в использовании и понятен даже тем, кто не знаком с высшей математикой.

Наш научный онлайн-калькулятор доступен бесплатно и не требует дополнительного программного или аппаратного обеспечения. Попробуйте сегодня и посмотрите, как это может упростить ваши математические расчеты!

Чему равен синус 45 градусов?

Ответ:

1. Установите калькулятор в режим «градусы», так как мы работаем с градусами.
2. Введите «45» на калькуляторе. (Это 45 градусов)
3. Нажмите кнопку «sine» (sin), чтобы вычислить синус 45 градусов.
4. Ответ приблизительно равен 0,707.

Итак, ответ на вопрос: Синус 45 градусов примерно равен 0,707 .

Легко конвертируйте единицы измерения, валюты и многое другое с помощью нашего обширного набора простых в использовании калькуляторов конвертации! Вот лишь некоторые из них, не забудьте проверить все остальные, которые мы можем предложить!

Наши инструменты преобразования веса точны, просты в использовании и предлагают широкий выбор единиц измерения.

Преобразование веса

Получите точное и простое преобразование длины с помощью наших удобных и полных калькуляторов преобразования длины.

Инъекция, сюръекция, биекция : Чулан (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Millerrussia	Инъекция, сюръекция, биекция 07.02.2014, 22:48
07/02/14 3	Есть три функции : 1. ; 2.; 3.. Являются ли эти функции инъективными, сюръективными, биективными? Вроде разобрался: 1 — нет инъекции или сюръекции (, не существует такого , чтобы ) 2 — не инъективна, сюръекция ( , область значений функции совпадает с множеством значений функции) 3 — инъективна, не сюръективна (, не существует такого , чтобы ) Является ли это решение правильным?

ewert	Re: Инъекция, сюръекция, биекция 07.02.2014, 23:02
Заслуженный участник 11/05/08 32160	Millerrussia в сообщении #823951 писал(а): Является ли это решение правильным? Оно б стало б правильным, коли б Вы удосужились формулы согласно правилам форума оформлять. А так — снесуть.

Millerrussia	Re: Инъекция, сюръекция, биекция 07.02.2014, 23:33
07/02/14 3	ewert в сообщении #823954 писал(а): Millerrussia в сообщении #823951 писал(а): Является ли это решение правильным? Оно б стало б правильным, коли б Вы удосужились формулы согласно правилам форума оформлять. А так — снесуть. Сейчас все по правилам?

provincialka	Re: Инъекция, сюръекция, биекция 07.02.2014, 23:38
Заслуженный участник 18/01/13 12041 Казань	Лучше так: Millerrussia в сообщении #823951 писал(а): 1. ; 2.; 3.. Наведите курсор на формулу и посмотрите, как пишется. Что касается задачи: что считается областью определения и областью значений функции?

Millerrussia	Re: Инъекция, сюръекция, биекция 07.02.2014, 23:47
07/02/14 3	provincialka в сообщении #823967 писал(а): Лучше так: Millerrussia в сообщении #823951 писал(а): 1. ; 2.; 3.. Наведите курсор на формулу и посмотрите, как пишется. Что касается задачи: что считается областью определения и областью значений функции? Каких-либо комментариев не дано, так что, наверно, все действительные числа.

ewert	Re: Инъекция, сюръекция, биекция 08.02.2014, 00:10
Заслуженный участник 11/05/08 32160	Millerrussia в сообщении #823965 писал(а): Сейчас все по правилам? Да. — Сб фев 08, 2014 01:11:17 — Millerrussia в сообщении #823973 писал(а): , наверно, все действительные числа. Не только наверно(е), но даже и подразумевается.

bot	Re: Инъекция, сюръекция, биекция 08.02.2014, 06:12
Заслуженный участник 21/12/05 5839 Новосибирск	Millerrussia в сообщении #823951 писал(а): Есть три функции Функций нет — не указано откуда и куда они действует. От этого многое зависит — ответ на любой из трёх вопросов может быть положительным или отрицательным.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 7 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

1.

10.2 Функции и отображения

Понятие функции является одним из основных в математике. В математическом анализе под функцией чаще всего понимается «числовая» функция, отображающая одно числовое множество в другое. Здесь мы будем рассматривать, прежде всего, функцию, отображающую одно конечное множество объектов в другое конечное множество.

Определение. Пусть А и В конечные множества.

Функцией называется функциональное соответствие.

Если функция  устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ.

Обозначается : АВ.

Таким образом, функция – специальный тип отношения из А в В.

Каждому элементу а из области определения функция  ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается (а) = b.

Элемент а – аргумент функции, элемент b – значение функции на а.

Отображением А в В называется всюду определённая функция : АВ.

Образом отображения А в В называется множество (А) всех значений (а), которое оно принимает при всевозможных аА. Образ  является подмножеством множества В.

Отображением А на В называется всюду определённое и при этом сюръективное функциональное соответствие

: АВ.

К специальным отображениям часто относятся понятия оператора и функционала.

Оператор – отображение одного множества на другое, каждое из которых наделено некоторой структурой.

Функционал – отображение произвольного множества Х в множество комплексных или действительных чисел.

Отображением типа АА часто называют преобразованием множества А.

Функции  и g равны, если:

Таким образом, функции могут быть строго одинаковыми только тогда, когда их области определения и значений совпадают (A₁=A, и B₁=B) .

Если f_A =A, то функция называется тотальной, а если – частичной.

Таблица 1.

Соответствие	Обязательное свойство
	функцио- нальное	всюду определённое	сюръек- тивное
Функция	+	–	–
Отображение А в В	+	+	–
Отображение А на В	+	+	+

Функция называется функцией n аргументов или n—местной функцией. В этом случае принято считать, что функция имеет n аргументов: , где .

Пусть дано соответствие . Тогда соответствие называется обратным к G (обозначается G ^-1), если Н таково, что (b, a)H тогда и только тогда, когда

(а, b)G.

Если соответствие, обратное к функции : АВ, является функциональным, то оно называется функцией, обратной

к  (обозначается f^-1).

Для функции : АВ обратная функция существует только тогда, когда  является взаимно однозначным соответствием между своими областями определения и значений.

Пусть : АВ.

1, Функция  называется инъективной, или инъекцией, если из в А следует, что в В, т. е., если и . Иными словами, инъекция переводит различные элементы области А в различные элементы области В. Её часто называют взаимно однозначным отображением А в В.

По другому: функция : АВ называется инъективной, или инъекцией, если каждый элемент bB имеет хотя бы один прообраз аА либо вообще не имеет прообраза. Можно видеть, что условие для любого bB или |A||B| определяет инъекцию.

Пример 1. Пусть A={1, 2, 3}; . Функция : АВ инъективна, если .

2. Функция называется сюръективной, или сюръекцией, если её образ совпадает со всей областью В, т. е. для каждого bB существует хотя бы один элемент аА такой, что (а)=b. Сюръекции часто обозначаются так и называется отображением А на (все) В.

Т. е. .

Иначе: функция : АВ называется сюръективной или сюръекцией, если любой элемент bB есть образ по крайней мере одного аА. Условие для любого bB или |x||y| характеризует сюръекцию.

Пример 2. Пусть A={1, 2, 3,4}; . Функция : АВ сюръективна, если . Та же функция Ψ:{1, 2, 3} с условием

(1)= (3)=y₁ ; (2)= (4)=y₃ не является сюръективной.

2. Функция называется биективной, или биекцией, если она является одновременно инъекцией и сюръекцией. Иными словами, биективное отображение взаимно однозначно и является отображением на ( ).

Для биективной функции для любого bB или |x|=|y|.

Пример 3: Пусть A={1, 2, 3}; .

Функция : АВ биективна, если

Биективная функция определяет взаимно однозначноесоответствие между множествами А и В.

Схематически различные виды отношений изображены на рис.8.

Р ис.8.

Если между множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие, то А называется эквивалентным множеству В. Установление взаимно однозначного соответствия между множествами играет важную роль. Так, определение числа элементов конечного множества Х, т. е. установление равенства |x|=n при некотором n, фактически сводится к отыскиванию некоторого взаимно однозначного соответствия между множествами Х и N={1, 2, 3, …, n}. Множества, равномощные N, называются счётными.

Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т. е. эквивалентные множества являются равномощными.

Пример 4. Биекцией между множеством натуральных чисел N={0, 1, 2, …} и множеством целых чисел

Z{0, ±1, ±2, …} является функция : NZ, для которой

Таким образом, обратная функция существует для биекции

П ример 5. На рис.9 графически показаны функции :

f_i:[0, 1][0, 1], i{1, 2, 3, 4}.

Функция f₁ сюръективна, но не инъективна;

Функция f₂ инъективна, но не сюръективна;

Функция f₃ биективна, а функция f₄ не инъективна и не сюръективна

Пример 2. Рассмотрим три функции

f_i:: RR, i=1, 2, 3:

1. функция f₁(x)= e^x инъективна, но не сюръективна;

2. функция f₂(x)= xsinx сюръективна, но не инъективна;

3. функция f₃(x)= 2x-1 биективна.

Пример 6. Среди функций из Z в Z отображение биективно; отображение инъективно, но не сюръективно, а отображение не инъективно и не сюръективно (почему?).

Биекция, инъекция и сюръекция | Brilliant Math & Science Wiki

Патрик Корн, Анант Джаядев, Кристофер Уильямс, и

способствовал

Содержимое

• Определение функции
• инъективный
• Сюръективный
• Биективный

Функция \(f \colon X\to Y\) — это правило, по которому каждому элементу \( x\in X,\) соответствует элемент \( f(x) \in Y.\) Элемент \ (f(x)\) иногда называют образом \(x,\), а подмножество \(Y\), состоящее из образов элементов из \(X\), называют образом \(f. \) то есть

\[\text{image}(f) = \{ y \in Y : y = f(x) \text{ для некоторого } x \in X\}.\]

Пусть \(f \colon X \to Y\) — функция. Тогда \(f\) является инъективным , если различные элементы \(X\) отображаются в различные элементы \(Y.\)

То есть, если \(x_1\) и \(x_2\) находятся в \(X\) так, что \(x_1 \ne x_2\), то \(f(x_1) \ne f(x_2)\).

Это равносильно тому, что если \(f(x_1) = f(x_2)\), то \(x_1 = x_2\).

Синоним слова «инъективный» — «один к одному».

Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \( f(n) = 2n\), является инъективной: если \( 2x_1=2x_2,\) обе части делятся на \ ( 2 \) дает \(x_1=x_2.\)

Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \( f(n) = \big\lfloor \frac n2 \big\rfloor\), не является инъективной; например, \(f(2) = f(3) = 1\), но \( 2 \ne 3.\)

Функция \( f\colon \{ \text{Немецкие футболисты, одетые для финала ЧМ-2014}\} \to {\mathbb N} \), определяемая выражением \(f(A) = \text{номер футболки } А\) инъективен; никаким двум игрокам не разрешалось носить один и тот же номер.

Существование инъективной функции дает информацию об относительных размерах ее области определения и диапазона:

Если \( X \) и \( Y \) конечные множества и \( f\colon X\to Y \) инъективны, то \( |X| \le |Y|.\)

\[х\] \[г\] \[г\] Ничего из вышеперечисленного

9{-1} (1). \)

Пусть \(f \colon X\to Y\) будет функцией. Тогда \(f\) является сюръективным , если каждый элемент \(Y\) является образом хотя бы одного элемента \(X.\). То есть \( \text{image}(f) = Y. \)

Символически,

\[\для всех y \in Y, \существует x \in X \text{ такое, что } f(x) = y.\]

Синоним слова «сюръективный» — «на».

Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \(f(n) = 2n\), не является сюръективной: не существует целого числа \(n\) такого, что \( f(n)=3,\), так как \( 2n=3\) не имеет решений в \( \mathbb Z. \) Таким образом, \( 3\) не находится в образе \( f.\)

Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \( f(n) = \big\lfloor \frac n2 \big\rfloor\), является сюръективной. Для любого целого числа \( m,\) обратите внимание, что \( f(2m) = \big\lfloor \frac{2m}2 \big\rfloor = m,\), поэтому \( m \) находится в образе \( f.\) Таким образом, образ \(f\) равен \(\mathbb Z.\)

Функция \(f \colon \{\text{сенаторов США}\} \to \{\text{штаты США}\}\), определяемая выражением \(f(A) = \text{состояние, которое} A \ text{представляет}\) сюръективен; в каждом штате есть хотя бы один сенатор.

Существование сюръективной функции дает информацию об относительных размерах ее области определения и диапазона:

Если \(X\) и \(Y\) конечные множества и \(f\colon X\to Y\) сюръективно, то \( |X| \ge |Y|.\)

Пусть \( E = \{1, 2, 3, 4\} \) и \(F = \{1, 2\}.\) Тогда каково число онто-функций из \( E \) в \( F?\)

Функция биективна для двух множеств, если каждому элементу одного множества соответствует только один элемент второго множества, а каждому элементу второго множества соответствует только один элемент первого множества. Это означает, что все элементы спарены и спарены один раз.

Пусть \(f \colon X \to Y \) будет функцией. Тогда \(f\) биективно , если оно инъективно и сюръективно; то есть каждый элемент \( y \in Y\) является образом ровно одного элемента \( x \in X.\)

Функция \( f \ двоеточие {\ mathbb R} \to {\ mathbb R} \), определяемая выражением \( f (x) = 2x \), является биекцией.

Функция \( f \colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z} \), определяемая выражением \( f(n) = \begin{cases} n+1 &\text{if } n \text{, нечетное} \\ n-1&\text{если } n \text{ четное}\end{cases}\) является биекцией. 9\text{th} \text{ месяц}\) является биекцией.

Обратите внимание, что приведенные выше обсуждения подразумевают следующий факт (примеры см. Вики биективных функций):

Если \(X\) и \(Y\) конечные множества и \(f\двоеточие X\к Y\) взаимно однозначно, то \( |X| = |Y|.\)

Следующая альтернативная характеристика биекций часто полезна в доказательствах:

Предположим, что \( X \) непусто. Тогда \( f \colon X \to Y \) является биекцией тогда и только тогда, когда существует функция \( g\colon Y \to X \) такая, что \( g \circ f \) является тождеством на \( X \) и \( f\circ g\) является тождеством на \( Y;\), то есть \(g\big(f(x)\big)=x\) и \( f\big(g (y)\big)=y \) для всех \(x\in X, y \in Y.\). Когда это происходит, функция \( g \) называется 92.\) Почему бы и нет?\(\большой)\)

Процитировать как: Биекция, инъекция и сюръекция. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/bijection-injection-and-surjection/

Инъективный, Сюръективный и Биективный

«Инъективный, Сюръективный и Биективный» говорит нам о том, как ведет себя функция.

Функция — это способ сопоставления элементов набора «A» — набора «B»:

 

Давайте посмотрим на это более внимательно:

A Общая функция указывает от каждого члена «A» к члену «B».

Это никогда не имеет одного «А», указывающего на несколько «В», поэтому один ко многим не подходит в функции (так что-то вроде «f (x) = 7 или 9″ не допускается)

Но более одного «А» может указывать на один и тот же «В» ( «многие к одному» допустимо )

Инъективный означает, что у нас не будет двух или более «А», указывающих на одну и ту же «В».

Таким образом, «многие к одному» НЕ подходит для (что подходит для общей функции).

Так как это тоже функция один-ко-многим не подходит

Но у нас может быть «В» без соответствующего «А»

Инъективный также называется » Один-к-одному »

Surjective означает, что у каждого «B» есть по крайней мере одно , соответствующее «A» (возможно, более одного).

Не будет пропущена буква «В».

Bijective означает одновременно и Injective, и Surjective.

Думайте об этом как об «идеальном сочетании» между наборами: у каждого есть партнер, и никто не остается в стороне.

Таким образом, существует идеальное » однозначное соответствие » между членами наборов.

(но не путайте это с термином «один к одному», используемым для обозначения инъективного).

Биективные функции имеют обратную !

Если каждое «А» идет к уникальному «Б», и каждому «Б» соответствует «А», то мы можем двигаться вперед и назад, не сбиваясь с пути.

Дополнительные сведения см. в разделе Обратные функции.

На графике

Итак, давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, что происходит.

Когда A и B являются подмножествами действительных чисел, мы можем изобразить взаимосвязь.

Пусть у нас есть A по оси x и B по оси y, и посмотрите на наш первый пример:

Это не функция , потому что у нас есть A со многими Б . Это все равно, что сказать f(x) = 2 или 4

. Это не проходит «Тест вертикальной линии» и, следовательно, не является функцией. Но это все еще действительные отношения, так что не сердитесь на это.

Теперь общая функция может быть такой:

A Общая функция

МОЖЕТ (возможно) иметь B со многими A . Например, синус, косинус и т.д. Совершенно допустимые функции.

Но Инъективная функция » является более строгим и выглядит так:

«Инъективный» (один к одному)

На самом деле мы можем провести «Тест горизонтальной линии»:

Исследование функции с помощью производной

Ниже приведена таблица с формулами для нахождения производных основных функций. Применяя эти формулы, можно найти производную почти любой функции. x\)

Правила дифференцирования

С полной уверенностью можем сказать, что вам  встречались сложные функции. Даже намного сложнее, чем те, которые приведены в таблицах. Там и сумма, и произведение, и формула в формуле. Одним словом: ужас! Как брать производную, если перед функцией стоит коэффициент, или в функцию включено несколько разных выражений? На этот случай существуют правила дифференцирования. 

Кто всегда протянет руку помощи в определении производной? В сложных функциях невозможно пользоваться только формулами для нахождения производной. Если функция — усложнена коэффициентом,  — представлена в виде суммы, произведения или частного  — или является сложной функцией,  то для выбора правильной производной необходимо воспользоваться правилами дифференцирования. Они играют роль супергероев от мира производных. Рассмотрим их внимательнее. 2}\) 5. Производная сложной функции.  Сложная функция — это функция, внутри которой есть другая функция.  Что такое сложная функция и зачем тут матрешка? Давайте представим матрешку: в одну большую куклу складывается куколка поменьше, а в нее еще меньше и так далее. Точно так же и с функцией: “внутри” одной функции может лежать другая функция.  Например, у нас есть две функции: \(\sqrt{x}\) и cos(x). А теперь попробуем поместить корень в функцию с косинусом, и получим \(cos(\sqrt{x})\). Это и будет сложная функция. Чтобы найти производную сложной функции, необходимо найти производную “внутренней” функции и умножить ее на производную “внешней” функции.  (f(g(x))’ = g'(x) * f'(g(x)) Найдем производную уже рассмотренной функции \(f(x) = cos(\sqrt{x})\).  \(f'(x) = (cos(\sqrt{x}))’ = (\sqrt{x})’ * (cos(\sqrt{x}))’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} * (-sin(\sqrt{x})) = -\frac{sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\) Исследование функции с помощью производной  В задании нам может быть дана только функция без ее графика. Что делать в таком случае, если нам нужно найти, например, отрезки возрастания, точки экстремума, наибольшее или наименьшее значение функции? Не во всех случаях получится построить график, да и это займет достаточно большое количество времени, которое и без того ограничено на экзамене.  В этом случае мы можем проанализировать поведение функции с помощью производной.  Исследуем функцию f(x) = (x — 4)2(x + 11) + 4.  Cначала возьмем производную от этой функции:  f'(x) = ((x — 4)2(x + 11))‘ + 4′ = ((x — 4)2(x + 11))’ = ((x — 4)2)'(x + 11) + (x — 4)2(x + 11)’ f'(x) = 2(x — 4)(x + 11) + (x — 4)2 * 1 = (x — 4)(2(x + 11) + (x — 4)) = (x — 4)(3x + 18) Любое исследование функции с помощью производной начинается именно с дифференцирования функции.  Теперь рассмотрим алгоритм нахождения точек минимума и максимума: 1 шаг. Нужно найти производную функции. 2 шаг. Найденную производную необходимо приравнять к 0 и решить полученное уравнение.  3 шаг. Расставить корни полученного уравнения на числовой прямой.  4 шаг. Определяем знаки производной на промежутках. Для этого необходимо подставить любое значение с выбранного промежутка в производную функции.  5 шаг. Определить, какие точки будут точками минимума (в них знак меняется с минуса на плюс), а какие — точками максимума (знак меняется с плюса на минус).  Найдем точки минимума и максимума в нашей функции. Поскольку производную мы уже взяли, можно сразу перейти ко второму шагу:  (x — 4)(3x + 18) = 0 x = 4, x = -6. Полученные значения х расставляем на числовой прямой:  Теперь определим знаки на промежутках слева направо. 1. Возьмем точку -10 и подставим ее в производную функции:  (-10 — 4)(3 * (-10) + 18) = (-14) * (-12) = 168. Производная на этом промежутке будет положительной.  2. Возьмем точку 0 и подставим ее в производную функции:  (0 — 4)(3 * 0 + 18) = (-4) * 18 = -72. Производная на этом промежутке будет отрицательной.  3. Возьмем точку 5 и подставим ее в производную функции:  (5 — 4)(3 * 5 + 18) = 33. Производная на этом промежутке будет положительной.  Расставим полученные знаки на прямой:  Остался последний пятый шаг. В точке -6 производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка максимума. В точке 4 производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка минимума.  Важно! Если в задании встречается формулировка “Найдите точку минимума (максимума) функции”, то необходимо пользоваться именно этим алгоритмом.  Но это не все выводы, которые уже можно сделать о функции. Вспомним, что функция возрастает, когда производная положительна, а убывает, когда производная отрицательна. Поскольку мы уже определили знаки производной, то смело можем сделать вывод, что на промежутках до -6 и после 4 функция будет возрастать, а на промежутке от -6 до 4 — убывать.  Однако могут встретиться задания, в которых необходимо найти наибольшее или наименьшее значение функции на определенном интервале.  Для выполнения таких заданий существует следующий алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Шаг 1. Найти производную функции.  Шаг 2. Найти точки минимума и максимума функции. Шаг 3. Определить, какие из точек минимума и максимума принадлежат заданному интервалу.  Шаг 4. Найти значение функции в отобранных в предыдущем шаге точках, а также в точках, которые являются границами заданного интервала. Для этого необходимо подставить точки в функцию (не в производную от функции). Для примера найдем наибольшее значение функции f(x) = (x — 4)2(x + 11) + 4 на отрезке [-10; 0].   Первые два шага мы уже выполнили, когда рассматривали алгоритм нахождения точек минимума и максимума. Из них отрезку [-10; 0] принадлежит х = -6 — точка максимума.  Теперь определим значение функции в трех точках:  f(-10) = (-10 — 4)2(-10 + 11) + 4 = 196 + 4 = 200 f(-6) = (-6 — 4)2(-6 + 11) + 4 = 500 + 4 = 504 f(0) = (0 — 4)2(0 + 11) + 4 = 176 + 4 = 180 Наибольшее из полученных значений — это 504. Это и будет ответ.  Как никогда не ошибаться при решении задач с производными? Может возникнуть вопрос, почему важно проверять значение функции и на границах отрезка? В заданиях ЕГЭ очень часто встречаются случаи, когда нужно найти наибольшее значение, и в интервале лежит точка максимума, или когда нужно найти наименьшее значение функции и в интервале лежит точка минимума. Логично будет проверить только экстремумы, поскольку в них, скорее всего, достигается наибольшее или наименьшее значение.   Однако стоит вспомнить, что мы не видим график функции и не можем с точностью определить, что в экстремуме достигается нужное нам значение. С помощью экстремумов мы можем описать поведение функции: где она возрастает, а где убывает. Но можно столкнуться с графиком, на котором граничная точка будет лежать выше или ниже точки экстремума. Тогда наибольшее или наименьшее значение будет достигаться именно в ней. Пример на картинке (красными линиями обозначены границы отрезка).  Подведем итог. Как можно исследовать функцию с помощью производной? С помощью производной можно с точностью сказать, на каких участках функция будет возрастать и убывать, сколько точек максимума и минимума у нее есть, какое наибольшее или наименьшее значение принимает функция на заданном участке.  Фактчек Для нахождения производной необходимо пользоваться специальными формулами для производной. С их помощью можно найти производную любой из основных функций. Если функция усложнена коэффициентом, является сложной или представлена в виде суммы, произведения или частного, то необходимо пользоваться правилами дифференцирования. Они помогут правильно найти производную. Сложная функция — это функция, внутри которой есть другая функция.  С помощью производной можно исследовать функцию, а именно найти точки минимума и максимума, определить, на каких участках функция возрастает и убывает, найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.  Проверь себя Задание 1. Чему будет равна производная f(x) = 3? 3; 1; 0; Производную этой функции невозможно найти. Задание 2.  Чему будет равна производная f(x) = 5x2? 10x; 10x2; 5x2; 2x. {2}(x)}\) Ответы: 1. — 3 2. — 1 3. — 2 4. — 2 5. — 1 Исследование функции с помощью производной: условия, график, примеры Содержание: Как применить производную к исследованию функции Применение производной Полная схема исследования функций Условия Экстремумы и монотонность Выпуклость и точки перегиба График Примеры решения задач Содержание Как применить производную к исследованию функции Применение производной Полная схема исследования функций Условия Экстремумы и монотонность Выпуклость и точки перегиба График Примеры решения задач Как применить производную к исследованию функции Производная функции — это скорость, с которой функция изменяется в зависимости от входной переменной. 2 — 9x + 10, то f»(x) = 6x — 6\). Приравнивание \(f»(x)\) к нулю дает x=1, что является точкой перегиба кривой. Применение производной Основные способы использования производной при изучении функций: Нахождение наклона касательных линий позволяет нам изучить локальное поведение функции. Нахождение критических точек: Критические точки функции — это точки, в которых производная равна нулю или не определена. Эти точки важны для определения местоположения экстремумов и точек перегиба функции. Определение интервалов возрастания и убывания позволяет изучить глобальное поведение функции. Определение вогнутости и точек перегиба определяет расположение точек перегиба и набросать форму графика функции. Нахождение максимального и минимального значений, которые находятся в критических точках или в конечных точках области. Мы можем использовать производную, чтобы определить, является ли критическая точка локальным максимумом или минимумом. Полная схема исследования функций Область функции — это множество всех возможных входных значений (также называемых независимой переменной), для которых функция определена. Другими словами, это множество всех значений x, для которых функция дает допустимый результат. Область функции может быть задана явно или неявно, в зависимости от характера функции. Например, рассмотрим функцию \(f(x) = 1/x\). Знаменатель функции не может быть нулевым, поэтому областью функции являются все действительные числа, кроме x = 0, то есть D = {x ∈ R | x ≠ 0}. Другой пример — функция \(g(x) = √(x — 2)\). Радиканда (x — 2) должна быть неотрицательной, поэтому областью функции являются все действительные числа, большие или равные 2, т.е. D = {x ∈ R | x ≥ 2}. Иногда область действия функции неявно определяется контекстом, в котором она используется. Например, в задаче о расстоянии, пройденном автомобилем за время, область функции неявно определяется как множество всех неотрицательных действительных чисел (поскольку время не может быть отрицательным). 3 и f(x) = sin(x)\) . Периодическая: Функция \( f(x)\) обладает периодической симметрией, если она удовлетворяет свойству \(f(x + T) = f(x)\) для некоторой фиксированной постоянной T и всех x в ее области. Геометрически это означает, что график функции повторяется через каждые T единиц. Примерами периодических функций являются \(f(x) = sin(x) и f(x) = cos(x).\) Пересечения — это точки, в которых график пересекает ось x или y. Они полезны при анализе поведения функции и поиске важных особенностей ее графика. Х-пересечение — это точка, в которой график функции пересекает ось х, что означает, что значение функции в этой точке равно нулю. Чтобы найти х-пересечения функции, мы задаем функцию равной нулю и решаем для значений х. Эти значения представляют собой точки, в которых график пересекает ось х. Y-пересечение — это точка, в которой график функции пересекает ось y, а значит, значение функции в этой точке — это y-координата точки. Чтобы найти y-пересечение функции, мы задаем x равным нулю и оцениваем функцию при этом значении. Полученное значение представляет собой точку пересечения графика с осью y. Асимптоты — это линии, к которым приближается график функции, но никогда не касается их. Они могут быть вертикальными, горизонтальными или косыми (наклонными). Вот некоторые распространенные типы асимптот: Вертикальные возникают, когда функция приближается к вертикальной линии (x = a), но никогда не касается ее. Они могут возникать для рациональных функций, когда знаменатель равен нулю при x = a. Горизонтальные возникают, когда функция приближается к горизонтальной линии (y = b) при приближении x к бесконечности или отрицательной бесконечности. Они могут возникать для рациональных функций, когда степень числителя меньше или равна степени знаменателя. Косые (наклонные) возникают, когда функция приближается к наклонной прямой (y = mx + b) при приближении x к бесконечности или отрицательной бесконечности. Они могут возникать для рациональных функций, когда степень числителя на единицу больше степени знаменателя. Условия Экстремумы и монотонность Экстремумы — это максимальные и минимальные значения, которых достигает функция в своей области. Они могут возникать либо в критических точках, либо в конечных точках области. 1. Проверка на первую производную предполагает нахождение критических точек функции, то есть точек, в которых производная равна нулю или не определена. Затем анализируем знак производной по обе стороны от каждой критической точки, чтобы определить, является ли она локальным максимумом, локальным минимумом или ни тем, ни другим. Если в критической точке знак производной меняется с положительного на отрицательный, то это локальный максимум. Если знак меняется с отрицательного на положительный, то это локальный минимум. Если знак не меняется, то это ни максимум, ни минимум. 2. Проверка второй производной предполагает нахождение критических точек функции, а затем анализ вогнутости функции в каждой критической точке с помощью второй производной. Если вторая производная положительна, то критическая точка является локальным минимумом. Если вторая производная отрицательна, то критическая точка является локальным максимумом. Если вторая производная равна нулю, то тест не дает результатов, и нужно использовать другой метод, например, тест на первую производную. Монотонность относится к поведению функции в отношении ее возрастания или убывания на интервале. Считается, что функция монотонно возрастает, если ее значения увеличиваются по мере увеличения независимой переменной (обычно обозначаемой x) на этом интервале. Аналогично, функция монотонно убывает на интервале, если ее значения уменьшаются с увеличением x на этом интервале. Функция, которая не является ни возрастающей, ни убывающей на интервале, называется немонотонной на этом интервале. Монотонность функции можно определить, анализируя ее производную. Если производная функции положительна на интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на интервале, то функция монотонно убывает на этом интервале. Если производная равна нулю на интервале, то функция может иметь максимум или минимум в этой точке, но это не указывает на монотонность. Важно отметить, что монотонность функции зависит от рассматриваемого интервала. Функция может быть монотонно возрастающей на одном интервале и монотонно убывающей на другом. Выпуклость и точки перегиба Выпуклость относится к форме графика функции. Считается, что функция выпуклая, если ее график выгнут или изогнут вверх, а функция вогнутая, если ее график выгнут внутрь или изогнут вниз. Термин «выпуклость» происходит от того, что график выпуклой функции похож на выпуклую линзу. Точка перегиба — это точка на графике функции, в которой изменяется вогнутость. Это точка, в которой график меняется с вогнутого вверх (раскрывается вверх) на вогнутый вниз (раскрывается вниз), или наоборот. График Построение графика \(f(x) = x2\) имеет производную \(f(x) = 2x\). Она является функцией общего наклона. Она дает наклон любой линии, касательной к графику f. Например, если нам нужен наклон касательной линии в точке (-2,4), мы оцениваем производную по координате x этой точки и получаем f(-2) = -4. На рисунке слева показано несколько касательных линий, каждая из которых обозначена своим наклоном. При каждом x график f имеет наклон 1, поэтому при каждом x высота графика \(f’\) также 1. При каждом x график f имеет наклон -1/2, поэтому при каждом x высота графика \(f’ \) также -1/2. Когда кривая \(y = f» (x)\) выше x — ось, вторая производная положительна, поэтому f вогнута вверх. Аналогично, когда кривая \(y = f» (x)\) ниже x — ось, вторая производная отрицательна, поэтому f вогнута вниз. Примеры решения задач Задача 1 Нахождение монотонности функции по графику ее производной. График производной \(f’\)функции fпоказан на рисунке. На каких интервалах f возрастает или убывает? Ответ: В этом вопросе нам дана кривая \(y = f’ (x)\) и попросили найти интервалы, на которых \(f (x)\) увеличивается. Обычно мы смотрим на график и ищем те части графика, где наклон положительный, чтобы увидеть, где функция возрастает, и где наклон отрицательный, чтобы увидеть, где функция убывает. Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно запомнить: наклон функции \(f (x)\) задается \(f’ (x)\). Это означает, что мы также можем увидеть эту информацию на графике \(y = f’ (x)\). Производная \(f’ (x)\) будет положительным, когда кривая находится выше отметки x и будет отрицательным, когда кривая находится ниже оси x. Когда x ∈] 1,5 [, что мы имеем \(f′(x) >0\),поэтому наклон \(f (x)\) положительный. Это означает, что для этих значений x наша функция f должна быть возрастающей. Аналогично, когда x ∈] 0,1 [ или x ∈] 5,6 [, мы видим, что \(f′ (x) <0\)f′, поэтому наклон \(f (x)\) отрицательный для этих значений x, что означает, что f уменьшается на этих интервалах. Таким образом, мы смогли показать, что f увеличивается на интервале ] 1,5 [ и уменьшается на интервалах ]0,1[ и ]5,6 [. Стоит отметить, что \(f′ (1) = 0 и f′ (5)=0\) . Поскольку эти значения x являются конечными точками возрастающих или убывающих интервалов, мы технически можем включить эти значения в наш ответ. На самом деле, в некоторой литературе конечные точки с нулевой производной всегда включаются в интервалы, где функция возрастает или убывает. Включать или не включать конечные точки с нулевой производной в интервалы возрастания или убывания — это личное предпочтение. Кроме того, поскольку наша функция не дифференцируема, когда \(x ≤0 и x ≥6\). Мы можем просто предположить, что и для этих значений она не увеличивается и не уменьшается. Задача 2 Нахождение x-координат точек перегиба функции по графику ее второй производной. Используйте заданный график функции f′′ для нахождения x-координат точек перегиба из f. Ответ: Мы хотим найти точки перегиба функции \(f (x)\). Это точки, где \(f (x)\) непрерывна и изменяет вогнутость, либо с вогнутой вверх на вогнутую вниз, либо наоборот. Мы знаем, что все точки перегиба возникают, когда \(f′′ (x) = 0\) или когда вторая производная не существует. Итак, из нашей диаграммы видно, что это может произойти только тогда, когда x = 1, x = 4 или x = 7. Однако мы только показали, что наша кривая может иметь точки перегиба при этих значениях x. Нам все еще нужно проверить, действительно ли это точки перегиба. Для этого нужно проверить, изменяет ли кривая вогнутость при этих значениях x. Кривая вогнута вверх, если ее вторая производная положительна, и вогнута вниз, если ее вторая производная отрицательна. Нам дан график кривой \(y = f′′ (x)\), поэтому можем определить, когда она положительна или отрицательна, посмотрев, где кривая находится выше или ниже точки оси x. Теперь видно, что когда x = 1, кривая y = f (x) изменится с вогнутой вниз на вогнутую вверх. Аналогично, когда x = 7, кривая y = f (x) изменится с вогнутой вверх на вогнутую вниз. Таким образом, обе эти точки являются точками перегиба для нашей кривой. Однако мы видим, что вогнутость не меняется с положительной на отрицательную или наоборот в точке x = 4, поэтому это не точка перегиба. Таким образом, существует две точки перегиба для кривой y = f (x), один, когда x = 1 и другой, когда x =7. Задача 3 Нахождение вогнутости функции по графику ее производной. График первой производной f’ функции f показан на рисунке. На каких интервалах f вогнута вверх или вогнута вниз? Ответ: Мы хотим определить интервалы, в которых кривая y = f(x) является вогнутой вверх и вогнутой вниз; однако вместо графика этой функции нам дается график ее производной. Поэтому, чтобы ответить на этот вопрос, придется начать с того, чтобы вспомнить связь между производной функции и ее вогнутостью. Во-первых, кривая вогнута вверх, если ее вторая производная положительна, и вогнута вниз, если ее вторая производная отрицательна. Это означает, что нужно определить знак второй производной по графику первой производной. Для этого нужно помнить, что если мы продифференцируем первую производную, то получим вторую производную — \(f» (x)\) — это наклон кривой \(y = f’ (x)\). Поэтому, когда наклон \(y = f’ (x)\) положительный, кривая \(y = f(x)\) вогнута вверх, и когда наклон \(y = f’ (x)\) отрицательнsq, кривая \(y = f(x)\) вогнута вниз. Мы можем отметить интервалы, где наклон положительный и отрицательный, на предоставленном нам графике. Мы видим, что f вогнута вверх на ]0,1[, ]2,3[, и ]5,7[ и вогнуты вниз на ]1,2[, ]3,5[, и ] 7,9[/ Математическая сцена — Функции 2 — Урок 4 Математическая сцена — Функции 2 — Урок 4 — Исследование функций с помощью производных 2009  Расмус Эф    и Джанн Сак Урок 4 Исследование функций с помощью производных Производная функции является мерой градиент графика, поэтому мы можем сделать следующие выводы: Функция возрастает, если производная положительный (+) и убывает, если производная отрицательна (). Это означает, что когда производная меняет знак от положительного к отрицательному или от отрицательного к положительному должен быть поворотный момент или вершина на графе. Это так называемые максимальные и минимальные точки. Они есть не обязательно наибольшие или наименьшие общие значения функции. Глядя на таблицу знаков производной показывает нам, где находятся эти стационарные точки. Помните, непрерывная функция не может изменяться между отрицательными и положительными значениями, не переходя через ноль, поэтому мы ищите стационарные точки, выясняя, когда производная равна 0, Пример 1 Найдите производную f(x) = x 2 , составьте таблицу знаков и используйте ее, чтобы нарисовать график функции f(x).    Если f(x) = x 2 тогда f(x) = 2x. Стационарные точки возникают, когда f(x) = 2x = 0 , то есть когда x = 0. Ниже приведена таблица, показывающая знак f (x) .   Y = х 2 Производная равна 0 когда х = 0 а градиент меняется с на +, так что это точка минимума.   Пример 2 Найдите производную f(x) = x 3 3x 2 + 4, составьте таблицу знаков производной и используйте это, чтобы найти стационарные точки. Сравните свои результаты с графиком, показанным на ваш графический калькулятор.    Если f(x) = x 3 3x 2 + 4, затем f(x) = 3x 2 6x. Найти производную 0.     3x 2 6х = 0    3x(x 2) = 0 Это уравнение имеет решения х = 0 и х = 2 и в этих точках производная меняет знак. Находим знак f(x) = 3x 2 6x. Мы могли бы составить таблицу без факторизации во-первых, просто выбирая значения x между нулями и находя знак производная.    ж(1) = 3(1) 2 6(1) = 3 + 6 = 9    (+)    ж(1) = 31 2 61 = 3 ()    ж(3) = 33 2 63 = 9 (+) Это дает более простую таблицу выше, но показывает ту же информацию. Из таблицы мы можем сделать вывод, что у нас есть максимум, когда x = 0. Градиент равен 0, поэтому график горизонтальный, а градиент изменяется от + (подъем) до (снижение). Производная также равна нулю, когда x = 2. и градиент меняется с на +, так что здесь у нас есть минимум. Мы можем найти максимальное и минимальное значения функции, помещая эти значения x в Формула исходной функции.    ж(0) = 0 3 30 2 + 4 = 4 Функция имеет максимум стоимость в точке (0, 4) .    f(2) = 2 3 32 2 + 4 = 8 12 + 4 = 0 Функция имеет минимум значение в точке (2, 0). Графический калькулятор показывает следующий график.   Иногда производная от функция равна нулю без изменения знака производной по ходу через нулевую точку. В таких случаях нет никакой стационарной точки, но то, что называется точкой перегиба. Пример 3 Рассмотрим функцию f(x) = x 3 . Производная f(x) = 3x 2 и равен нулю, когда x = 0, Ниже приведена таблица знаки производной. Точка (0, 0) — это точка сгибания. График возрастает до x = 0, горизонтален по x = 0 и затем продолжает увеличиваться после 0,   Расчеты с использованием производная имеет множество практических применений, в частности, для нахождения максимальных и минимальные значения. Следующие два примера демонстрируют это. Пример 4 Мы хотим сделать картон коробку из квадратного картона со стороной 1 м. Для этого сгибаем углы, как показано на схеме. Сколько нам нужно вырезать из углы в порядке чтобы коробка имела вид как можно больший объем?   Назовите это x , что означает длину каждой стороны коробки будет в 2 раза короче карты, то есть в 1 2 раза. высота ящика тоже будет х, а объем V можно записать так:    V = высотадлинаширина        = х(1 2х)(1 2х)        = x(1 4x + 4x 2 )        = x 4x 2 + 4x 3 Различие этого и нахождение, когда производная равна 0, дает нам:    V = 1 8x + 12x 2 = 0 Это квадратное уравнение можно решить с помощью калькулятора или квадратной формулы. Очевидно, что мы не может быть х = , как если бы мы отрезали метр не было бы коробка осталась. Таким образом, это должно дать минимальное значение объема. Максимальный объем будет когда х = .    V() = (1 2)(1 2) = м 3 Максимальный объем коробка будет м 3 когда мы режем м с каждого угла.   Пример 5 Прямоугольник рисуется как показано на схеме. Одна сторона образована линией y = 3 и одним углом, P, лежит на графике f(x) = x 2 . Найдите координаты точки P, чтобы прямоугольник имел максимально возможная площадь. Стороны прямоугольника х и  3 года или 3 x 2 так как точка P лежит на графике f(x) = x 2 . Следовательно, площадь равна    A = длина в ширину       = x(3 x 2 ) = 3x 3 Различие этого и поиск, где производная равна нулю, дает:    А = 3 3x 2 = 0      3 = 3x 2      х = 1 Прямоугольник находится в положительный квадрант, поэтому мы не можем иметь x = 1. Максимальная площадь достигается, когда x = 1 поэтому мы можем подставить это значение в формулу площади.    А = 3x 3 = 3 1 = 2 Попрактикуйтесь в этих методах, затем попробуйте Тест 4 по функциям 2.   Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.                 Калькулятор производных — MathCracker. com Инструкции: Используйте этот калькулятор производной, чтобы найти производную функции, которую вы предоставляете, показывая все этапы процесса. Пожалуйста, введите функцию, для которой вы хотите вычислить производную, в поле ниже. Калькулятор производных 93). Обратите внимание, что его можно назвать калькулятором первой производной, так же как и калькулятором производной. Первая производная и производные представляют одно и то же, а «первая» часть обычно опускается. Предоставленная функция может быть полностью упрощена или нет, это не имеет значения, так как калькулятор сначала упростит функцию, если необходимо перед вычислением его производной. После того, как действительная функция была предоставлена, вам просто нужно нажать «Рассчитать», подождать несколько секунд, и вам будут представлены все этапы расчета. Дифференциация является основным инструментом, используемым в исчислении (наряду с интегрированием), и это важная операция, которая широко используется в более сложной математике. Некоторые очень распространенные приложения включают расчет касательной, максимумы и минимумы и многое другое. Как вычислить производную функции? Процесс вычисления производной функции называется дифференцированием и заключается в определении мгновенной скорости изменения точки в точке каждой точке области определения функции. Какова мгновенная скорость изменения функции? Итак, начнем с определения скорости изменения: Рассмотрим функцию \(f\), и предположим, что у нас есть две точки, \(x_0\) и \(x_1\). В точке \(x_0\) функция равна \(f(x_0)\), а в точке \(x_1\) функция принимает значение \(f(x_1)\) Тогда изменение f определяется как \(\Delta y = f(x_1) — f(x_0)\) (что также называется изменением y). Кроме того, изменение x определяется как \(\Дельта х = х_1 — х_0)\). Проще говоря, \(\Delta x\) — это изменение x, тогда как \(\Delta y\) — это изменение значения функции из-за изменения x. Графически: Производная формула Таким образом, если \(\Delta x\) представляет собой изменение x, а \(\Delta y\) представляет собой изменение значения функции из-за изменения в x, соответствующий скорость изменить это: \[\text{Скорость изменения} = \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} \] Тогда какой будет мгновенная скорость изменения? Это соответствует анализу того, что произойдет, если \(\Delta x\) станет очень маленьким. Можно было бы ожидать, что \(\Delta y\) тоже станет маленьким, но что произойдет со скоростью между \(\Delta y\) и \(\Delta x\)? Итак, в этом контексте мгновенная скорость изменения определяется как \[\text{Мгновенная скорость изменения} = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \] Итак, с точки зрения непрофессионала, мы устанавливаем \(x_0\) фиксированным и вычисляем скорость изменения для значений \(x_1\), которые все ближе и ближе к \(x_0\). Используя эту идею мгновенного скорости изменения, мы можем дать следующую формулу для производной в точке \(x_0\). \[f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) — f (x_0)}{x_1 — x_0} \] Если указанный выше предел выходит за пределы, мы говорим, что функция f дифференцируема в точке \(x_0\). Также будем говорить, что функция дифференцируема на множестве A, если функция дифференцируема в каждой точке множества. Этапы использования формулы производной Шаг 1: Четко определите функцию f, которую вы хотите дифференцировать Шаг 2: Убедитесь, что вы максимально упростили f, иначе поиск требуемого предела может оказаться излишне сложным Шаг 3: Решите, будете ли вы работать с общей точкой x0 или вы задаете конкретную числовую точку для x0 Шаг 4: На основе определения функции используйте формулу \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) — f(x_0)}{x_1 — х_0}\). Это, подставьте значения x0 и x1 в f и посмотрите, как формула выглядит алгебраически Шаг 5: Упростите как можно больше, ПРЕЖДЕ ЧЕМ использовать лимит Шаг 6: Иногда проще установить x1 = x0 + h, а затем вычислить предел, когда h сходится к 0 Обратите внимание, что шаг 6 — это шаг 6, который некоторым нравится по умолчанию. Действительно, альтернативная производная формула, которая может показаться более простой для упрощения: \[f'(x_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) — f(x_0)}{h} \] , это формула, которую вы можете найти в своем учебнике, вместо другой. Правила производных Казалось бы, вычисление производной по формуле — это чертовски много работы. И действительно, это мог бы быть трудоемкий процесс, если бы мы решили проработать каждый процесс дифференцирования по формуле производной. К счастью, есть ряд функций (а именно полиномы, тригонометрические функции) для которых мы точно знаем, каковы их производные. Кроме того, у нас есть правила дифференцирования, которые позволяют нам найти производную функции, которая является составной функцией и/или комбинацией элементарных функций (для которых мы знаем их производную), в терминах элементарных производных. Каковы шаги для вычисления производной? Шаг 1: Определите функцию f, которую вы хотите выделить. Упростите, насколько это возможно, ПЕРЕД вычислением производной Шаг 2: Определите, требуется ли вам использовать производную формулу или нет Шаг 3: Если необходимо использовать производную формулу, используйте \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x_1 \to x_0}\frac{f(x_1) — f(x_0)}{x_1 — x_0 } \), или ты можно использовать \(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h) — f(x_0)}{h} \), если кажется, что проще приблизиться к Шаг 4: Если вам не требуется использовать формулу производной, вы можете использовать основные правила дифференцирования: Линейность, Правило продукта, правило частного и Цепное правило, которое поможет вам свести расчет производной к использованию основных известных производных Часто функция, для которой вы пытаетесь найти производную, не является простой функцией, а является базовой комбинацией нескольких простых функций. Например, функция \[f(x) = x + \cos(x) + \sin(x)\] сама по себе не является элементарной функцией, а является составной функцией трех элементарных функций, \(x\), \(\sin x\) и \(\cos x\). Применение производных Кто-то может подумать: «Ну, производные предполагают пределы, и это сверхтеоретически, поэтому у них не должно быть слишком много применений», но вы совершенно ошибаетесь. Магия производных в том, что они, по сути, связаны со скоростью изменения функций, которые могут представлять различные типы процессов. 92\справа)\) Таким образом, мы получаем следующий график для функции на интервале \([-5, 5]\): Пример: Калькулятор производных Найдите производную от \( f(x) = \displaystyle \ дробь{4}{х}\). Везде ли он четко определен? График это. Решение. Функция, для которой требуется производная, имеет вид \(\displaystyle f(x)=\frac{4}{x}\). Дальнейшее упрощение не требуется, поэтому мы можем перейти непосредственно к вычислению его производной: 92}\) Графически: Подробнее о производных и функциях Этот калькулятор производных с шагами окажется для вас очень полезным, так как он проведет вычисление производной любой заданной функции, показывая все шаги процесса, применяя соответствующие производные правила и сообщая вам, когда они применяются и почему. Перевод в pdf из doc в: Конвертировать DOC (WORD) в PDF онлайн — Convertio alexxlab / 15.07.202330.04.2023 / Разное Конвертировать PDF в DOC онлайн, бесплатно преобразовать .PDF в .DOC Конвертер файлов  /  Документы  /  Конвертировать в PDF  /  DOC конвертер  /  PDF to DOC Выберите файл для преобразования Перетащите файлы сюда. Максимальный размер файла 100 МБ или зарегистрируйтесь Вы можете перевести pdf документ в doc и во множество других форматов с помощью бесплатного онлайн конвертера. Как сконвертировать doc в pdf? Шаг 1 Загрузите pdf-файл Выберите файл, который вы хотите конвертировать с компьютера, Google Диска, Dropbox или перетащите его на страницу. Шаг 2 Выберите «в doc» Выберите doc или любой другой формат, в который вы хотите конвертировать файл (более 200 поддерживаемых форматов) Шаг 3 Скачайте ваш doc файл Подождите пока ваш файл сконвертируется и нажмите скачать doc-файл Бесплатное онлайн преобразование pdf в doc Быстро и легко Просто перетащите ваши файлы в формате pdf на страницу, чтобы конвертировать в doc или вы можете преобразовать его в более чем 250 различных форматов файлов без регистрации, указывая электронную почту или водяной знак. Не беспокойтесь о безопасности Мы удаляем загруженные файлы pdf мгновенно и преобразованные doc файлы через 24 часа. Все файлы передаются с использованием продвинутого шифрования SSL. Все в облаке Вам не нужно устанавливать какое-либо программное обеспечение. Все преобразования pdf в doc происходят в облаке и не используют какие-либо ресурсы вашего компьютера. Portable Document Format Microsoft Word Document pdf конвертер pdf в bmppdf в djvupdf в emfpdf в faxpdf в gifpdf в icopdf в jpegpdf в palmpdf в pcxpdf в pespdf в pgmpdf в pictpdf в pngpdf в ppmpdf в psdpdf в svgpdf в tgapdf в tiffpdf в htmlpdf в docpdf в docxpdf в xlspdf в xlsxpdf в pptxpdf в odtpdf в xmlpdf в wpspdf в dotpdf в rtfpdf в txtpdf в lrfpdf в fb2pdf в odspdf в csvpdf в odppdf в odgpdf в ppspdf в potpdf в dxfpdf в epspdf в wmfpdf в ppsxpdf в pptpdf в dotxpdf в pdbpdf в jpgpdf в epubpdf в mobipdf в azw3pdf в snbpdf в rarpdf в zippdf в 7zpdf в aipdf в mp3pdf в mp4pdf в xpspdf в oxpspdf в tifpdf в dstpdf в keypdf в numberspdf в ddspdf в azwpdf в dwgpdf в prcpdf в webppdf в pspdf в msgpdf в pltpdf в videopdf в midipdf в allpdf в isopdf в psppdf в figpdf в jntpdf в exppdf в calpdf в taxpdf в indpdf в epfpdf в cncpdf в vsdpdf в dwfpdf в latexpdf в jpepdf в rbpdf в rgbpdf в jpspdf в mappdf в jbg Конвертировать в doc bmp в docdjvu в docgif в docjpeg в docpng в docpsd в docsvg в doctiff в dochtml в docpdf в docdocx в docxls в docxlsx в docpptx в docodt в docott в docsxw в docstw в docdocm в docxml в docwps в docdot в dochwp в docrtf в doctxt в docwpd в docdotm в docpages в doclrf в docsdw в doccsv в docodp в docpps в doceps в docppsx в docppt в docdotx в docpdb в docjpg в docepub в docmobi в docrar в docmp3 в docmp4 в docxps в docoxps в docnumbers в docprc в docwebp в docpub в docheic в docps в docmsg в docone в docjnt в docasd в docmac в docsam в docabw в docpef в doc PDF в DOCX – Конвертировать PDF в DOCX онлайн ЗАГРУЗИТЬ Перетащите файлы сюда. Когда речь заходит о форматах документов, широко используются два: PDF и DOC. У обоих есть плюсы и минусы, и в определенных ситуациях, несомненно, один из них может быть лучше другого. Что такое PDF? PDF, или Portable Document Format, — это популярный формат файлов, поскольку он позволяет обмениваться документами независимо от программного обеспечения, аппаратного обеспечения или операционной системы конечного пользователя. Проще говоря, PDF не зависит от устройства и ОС. Именно поэтому PDF часто используется при отправке документа в электронном виде, поскольку он сохраняет исходное форматирование документа, включая ссылки, изображения, шрифты и стили. Это гарантирует, что документ будет отображаться так, как вы хотите, независимо от устройства, на котором он открыт. Типичными случаями использования PDF являются электронные книги, брошюры, юридические документы, а также документы, которые вы хотите распечатать или отобразить, сохранив при этом определенный стиль и формат. Помимо перечисленных функций, PDF-файлы также имеют возможность защиты паролем, что очень важно в случаях, когда вы хотите добавить дополнительный уровень безопасности для предотвращения изменений в исходном документе. Кроме того, формат PDF намеренно сложен для редактирования, если вы не используете специализированное программное обеспечение. Плюсы и минусы PDF Плюсы: PDF-файлы являются кроссплатформенными, то есть их можно просматривать на любом устройстве или операционной системе. PDF-файлы сохраняют форматирование исходного документа. PDF-файлы могут быть защищены паролем для безопасности. Благодаря вышеперечисленному, они могут быть хорошим вариантом для обмена документами, которые необходимо распечатать на бумаге. Минусы: PDF-документы могут быть сложны для редактирования. Документы PDF, созданные в портретной ориентации и с форматом листа A4, могут быть сложны для просмотра на небольших экранах. PDF-файлы не предназначены для совместной работы в режиме реального времени. PDF-файлы обычно больше по размеру, чем формат DOC, поскольку им необходимо хранить много данных для правильного просмотра. Что такое DOCX? Файл DOCX — это файл документа Microsoft Word Open XML Format. Файлы DOCX используются в Microsoft Word 2007 и более поздних версиях. Они представляют собой формат файла документа на основе XML, который разработан для простоты чтения и записи, поэтому их можно легко открыть в Microsoft Word и других текстовых процессорах, таких как OpenOffice и LibreOffice. Более того, документы DOCX можно открывать и использовать в Google Docs и Office 365, что облегчает совместную работу в режиме реального времени с другими членами команды или клиентами. Плюсы и минусы формата файлов DOCX Плюсы: Файлы DOCX можно легко редактировать. Файлы DOCX меньше по размеру, чем PDF. Файлы DOCX обеспечивают совместную работу в режиме реального времени. Минусы: Старые файлы DOC могут быть прочитаны только программой Microsoft Word или другим совместимым текстовым редактором. Нет гарантии сохранения форматирования при обмене документами DOCX. Это особенно заметно при использовании шрифтов, которые не установлены на компьютерах других пользователей. Когда следует использовать DOCX вместо PDF Когда вам нужно легко редактировать документ. Когда вам нужно сотрудничать с членами команды или клиентами над документом, особенно если это происходит в режиме реального времени. Когда нужно сохранить копию документа, не занимающую много места, локально или в облаке. Как конвертировать PDF в DOCX? К счастью, конвертировать PDF в DOCX очень просто. Независимо от того, нужно ли вам конвертировать один документ или несколько, pdf2docx.com позволяет сделать это без труда. Просто нажмите кнопку “ЗАГРУЗИТЬ” и найдите PDF-файл(ы), который вы хотите конвертировать. Вы можете конвертировать до 20 файлов за один сеанс. Google Translator PDF (большой до 1 ГБ) ⭐️ DocTranslator Войдите с помощью Google Используйте свою учетную запись Google для входа в DocTranslator Больше не нужно запоминать пароли. Вход быстрый, простой и безопасно. Продолжить Вы когда-нибудь были в ситуации, когда вам нужно было перевести один или несколько файлов PDF, но не было времени, денег или энергии, чтобы сделать это вручную? Итак, у нас есть для вас решение. Мы DocTranslator и предоставляем услуги перевода высокого качества по доступной цене. С помощью нашего сервиса вы можете перевести любой файл PDF на другой язык всего за несколько минут и по доступной цене всего в 1 доллар за страницу! Мы принимаем большие файлы размером до 1 Гб и объемом до 5000 страниц. Все наши переводы основаны на алгоритмах машинного обучения, что позволяет нам предоставлять быстрые результаты с высоким качеством. Так чего же ты ждешь? Попробуйте DocTranslator сегодня! Как перевести весь PDF-файл? Не тратьте время и деньги на переводческие услуги, которые не оправдывают ваших ожиданий. С DocTranslator вы получите мгновенные результаты и высококачественный перевод на основе искусственного интеллекта. Всего за 1 доллар за страницу! Мы принимаем большие файлы размером до 1 Гб и объемом до 5000 страниц. Этого достаточно, чтобы автоматически перевести ваш годовой отчет со всеми его графиками, изображениями и текстами! Лучшая часть? Вам даже не нужно выходить из окна браузера! Как перевести файл PDF с помощью Google? Хотите перевести свои PDF-файлы на понятный язык? Смотрите не дальше Гугл переводчик ! Вот как это сделать:   Шаг 1 : Перейдите на сайт Google Translate в браузере. Шаг 2 : Нажмите кнопку «Документы» и выберите тип файла PDF. Шаг 3 : Выберите PDF-файл, который хотите перевести, и нажмите «Открыть». Шаг 4 : Выберите целевой язык, на который вы хотите перевести PDF-файл. Допустим, вы хотите это на испанском языке — выберите испанский язык в качестве языка. Шаг 5 : Подождите, пока Google Translate сработает, и БУМ! Ваш PDF-файл теперь на испанском языке. Шаг 6 : Хотите сохранить переведенный PDF-файл? Просто нажмите кнопку «Скачать», и все готово! Зачем тратить часы на перевод PDF-файла, если можно позволить Google Translate сделать всю тяжелую работу? Итак, попробуйте сегодня и поразите всех своими языковыми навыками! Требуется шага Создайте бесплатную учетную запись по адресу: Document Translator Перейдите на вкладку «Переводы» и выполните 4 простых шага. Шаг 1. Выберите файл Шаг 2. Выберите исходный язык Шаг 3. Выберите целевой язык Шаг 4. Загрузите 9004 0 Начинается перевод, и статус меняется на «Обработка». Подождите немного и появится страница загрузки. Нажмите кнопку « Download » и сохраните переведенный файл. Может ли Google перевести отсканированный файл PDF? Нет, Google Translate не может напрямую перевести отсканированный PDF-файл. Отсканированные PDF-файлы по сути являются изображениями и не содержат редактируемого текста, поэтому их нельзя перевести с помощью Google Translate. Чтобы перевести отсканированный PDF-файл, вам необходимо использовать программное обеспечение для оптического распознавания символов (OCR), чтобы преобразовать отсканированное изображение в редактируемый текст. Получив редактируемый текст, вы можете скопировать и вставить его в Google Translate для перевода. Но не волнуйтесь! Мы вас прикрыли. DocTranslator.com — это инструмент для перевода на основе искусственного интеллекта, который может переводить любой отсканированный PDF-файл с сохранением исходного макета и форматирования. Благодаря нашей передовой технологии OCR вы можете легко переводить отсканированные PDF-файлы на любой язык, не теряя при этом исходный внешний вид документа. Просто загрузите отсканированный PDF-файл на DocTranslator.com , выберите целевой язык и позвольте нашему ИИ сделать все остальное. Больше не нужно копировать и вставлять текст, не нужно больше беспокоиться о проблемах с форматированием — только переведенный PDF-файл, который выглядит и воспринимается так же, как оригинал. Попробуйте DocTranslator.com сегодня и испытайте всю мощь перевода с помощью искусственного интеллекта! Переводчик документов Хотите попробовать? Зарегистрируйте бесплатную учетную запись и начните переводить свои документы уже сегодня! Перевод файлов PDF на любой язык Перевод файлов PDF на любой язык | Маленькийpdf Начните бесплатную пробную версию Получите доступ к функциям Pro и выполняйте свою работу быстрее. «; перерыв; case «emailVerification»: e. innerHTML = « Подтвердите свой адрес электронной почты Возможности Smallpdf ограничены без подтвержденного адреса электронной почты «; перерыв; случай «ie11Offboard»: e.innerHTML = » Прекращение поддержки IE11 Мы прекратили поддержку Internet Explorer. Используйте другой браузер. «; перерыв; случай «alipayNotSupported»: e.innerHTML = » Alipay больше не поддерживает Обновите способ оплаты, чтобы продолжить использование Smallpdf Pro «; перерыв; } } } Главная Преобразование и сжатие Сжатие PDF Конвертер PDF Сканер PDF Разделить и объединить Разделить PDF Объединить PDF Просмотр и редактирование Редактирование PDF PDF Reader Количество страниц Удалить Страницы PDF Повернуть PDF Конвертировать из PDF PDF в Word PDF в Excel PDF в PPT PDF в JPG Конвертировать к PDF Word в PDF Excel в PDF PPT в PDF JPG в PDF Подпись и безопасность eSign PDF Разблокировка PDF Защита PDF Поиск документов Преобразование и сжатие Сжатие PDF PDF Преобразователь Сканер PDF Разделить и объединить Разделить PDF Объединить PDF 90 157 Просмотр и редактирование Редактирование PDF Читатель PDF Нумерация страниц Удалить страницы PDF Повернуть PDF Преобразовать из PDF 9015 0 PDF в Word PDF в Excel PDF в PPT PDF в JPG Преобразование в PDF Word в PDF Excel в PDF PPT в PDF JPG в PDF Sign & Security eSign PDF 9015 0 Разблокировать PDF Защитить PDF Сжать Преобразовать Объединить Редактировать Подписать Войти 9 0003 «; перерыв; } } } Практические руководства 000Z»> 16 декабря 2021 г. by Hung Nguyen Вы также можете прочитать эту статью на немецком, испанском, французском, индонезийском, итальянском и португальском языках. Узнайте, как мгновенно перевести любой PDF-файл с любого языка на другой онлайн бесплатно. У вас есть PDF-файл, который вы хотите перевести на свой местный язык? Будь то копия электронной книги, документ от иностранного клиента или тайный друг по переписке, узнайте, как перевести PDF-файлы на ваш родной язык. Вы, наверное, знаете о Google Translate, но знаете ли вы, что он также принимает файлы? Выполните следующие действия, чтобы перевести PDF-файлы. Google Translate PDF Files бесплатно Получите доступ к инструменту «Перевести документ». Выберите язык для перевода с и на. Если вы не уверены, вы можете установить язык ввода на «Определить язык». Нажмите «Выбрать файл», а затем синюю кнопку «Перевести». Пусть Google творит чудеса. Появится всплывающее окно с переведенным PDF-файлом. Переведите PDF с помощью Google. Начало работы Как сохранить это в формате PDF?   Google переводит PDF-файлы, но не предлагает возможность снова сохранить переведенную версию в формате PDF. К счастью, вы можете использовать функцию печати в PDF, которая работает в большинстве браузеров. Все, что вам нужно сделать, это: Откройте окно печати в браузере, обычно в разделе «Файл». Выберите «Сохранить как PDF». Сохраните PDF-файл в выбранную папку на вашем компьютере. Если вы хотите точно знать, как распечатать страницу результатов в формате PDF во всех популярных веб-браузерах, вы можете ознакомиться с нашим руководством «Как сохранить веб-страницу в формате PDF». Что еще можно сделать с этим PDF-файлом?   Вот когда в игру вступает Smallpdf. У нас есть более 20 полезных инструментов для работы с PDF-файлами, все бесплатно, в том числе: Конвертер — преобразуйте ваши переведенные PDF-файлы в другие форматы Protect — зашифруйте свои PDF-файлы с помощью пароля Редактировать — комментировать или добавлять изображения, формы и рисунки в переведенный файл Удалить страницы — удалите лишние страницы, которые вам не нужны, из PDF-файлов Сжать — уменьшить размер файлов PDF eSign — электронная подпись ваших (переведенных) контрактов в формате PDF Reader — чтобы сделать чтение PDF-файлов максимально удобным Удивительно, насколько доступным и мощным стал Google переводчик, и насколько мир стал меньше, когда вы можете переводить PDF-файлы прямо с экрана вашего компьютера за доли секунды. « Предыдущая 1 … 88 89 90 91 92 … 3 226 Следующая »