Автор: alexxlab

Базовые алгоритмы нахождения кратчайших путей во взвешенных графах / Хабр

Наверняка многим из гейм-девелоперов (или просто людям, увлекающимися програмировагнием) будет интересно услышать эти четыре важнейших алгоритма, решающих задачи о кратчайших путях.

Сформулируем определения и задачу.
Графом будем называть несколько точек (вершин), некоторые пары которых соединены отрезками (рёбрами). Граф связный, если от каждой вершины можно дойти до любой другой по этим отрезкам. Циклом назовём какой-то путь по рёбрам графа, начинающегося и заканчивающегося в одной и той же вершине. И ещё граф называется взвешенным, если каждому ребру соответствует какое-то число (вес). Не может быть двух рёбер, соединяющих одни и те же вершины.
Каждый из алгоритмов будет решать какую-то задачу о кратчайших путях на взвешенном связном. Кратчайший путь из одной вершины в другую — это такой путь по рёбрам, что сумма весов рёбер, по которым мы прошли будет минимальна. 3 операций.
Псевдокод:

прочитать g // g[0 ... n - 1][0 ... n - 1] - массив, в котором хранятся веса рёбер, g[i][j] = 2000000000, если ребра между i и j нет
d = g
for i = 1 ... n + 1
     for j = 0 ... n - 1
          for k = 0 ... n - 1
              if d[j][k] > d[j][i - 1] + d[i - 1][k]
                  d[j][k] = d[j][i - 1] + d[i - 1][k]
вывести d

Алгоритм Форда-Беллмана

Находит расстояние от одной вершины (дадим ей номер 0) до всех остальных за количество операций порядка n * m. Аналогично предыдущему алгоритму, веса могут быть отрицательными, но у нас не может быть циклов с отрицательной суммой весов рёбер.
Заведём массив d[0… n — 1], в котором на i-ой итерации будем хранить ответ на исходную задачу с ограничением на то, что в путь должно входить строго меньше i рёбер. Если таких путей до вершины j нет, то d[j] = 2000000000 (это должна быть какая-то недостижимая константа, «бесконечность»). В самом начале d заполнен 2000000000. Чтобы обновлять на i-ой итерации массив, надо просто пройти по каждому ребру и попробовать улучшить расстояние до вершин, которые оно соединяет. Кратчайшие пути не содержат циклов, так как все циклы неотрицательны, и мы можем убрать цикл из путя, при этом длина пути не ухудшится (хочется также отметить, что именно так можно найти отрицательные циклы в графе: надо сделать ещё одну итерацию и посмотреть, не улучшилось ли расстояние до какой-нибудь вершины). Поэтому длина кратчайшего пути не больше n — 1, значит, после n-ой итерации d будет ответом на задачу.
n итераций по m итераций, итого порядка n * m операций.
Псевдокод:

прочитать e // e[0 ... m - 1] - массив, в котором хранятся рёбра и их веса (first, second - вершины, соединяемые ребром, value - вес ребра)
for i = 0 ... n - 1
    d[i] = 2000000000
d[0] = 0
for i = 1 ... n
    for j = 0 ... m - 1
        if d[e[j].second] > d[e[j].first] + e[j].value
            d[e[j]. 2. Все веса неотрицательны.

На каждой итерации какие-то вершины будут помечены, а какие-то нет. Заведём два массива: mark[0… n — 1] — True, если вершина помечена, False иначе, d[0… n — 1] — для каждой вершины будет храниться длина кратчайшего пути, проходящего только по помеченным вершинам в качестве «пересадочных». Также поддерживается инвариант того, что для помеченных вершин длина, указанная в d, и есть ответ. Сначала помечена только вершина 0, а g[i] равно x, если 0 и i соединяет ребро весом x, равно 2000000000, если их не соединяет ребро, и равно 0, если i = 0.

На каждой итерации мы находим вершину, с наименьшим значением в d среди непомеченных, пусть это вершина v. Тогда значение d[v] является ответом для v. Докажем. Пусть, кратчайший путь до v из 0 проходит не только по помеченным вершинам в качестве «пересадочных», и при этом он короче d[v]. Возьмём первую встретившуюся непомеченную вершину на этом пути, назовём её u. Длина пройденной части пути (от 0 до u) — d[u]. 2, то есть эта вариация алгоритма Дейкстры не всегда быстрее классической, а только при маленьких m.

Что нам нужно в алгоритме Дейкстры? Нам нужно уметь находить по значению d минимальную вершину и уметь обновлять значение d в какой-то вершине. В классической реализации мы пользуемся простым массивом, находить минимальную по d вершину мы можем за порядка n операций, а обновлять — за 1 операцию. Воспользуемся двоичной кучей (во многих объектно-ориентированных языках она встроена). Куча поддерживает операции: добавить в кучу элемент (за порядка log(n) операций), найти минимальный элемент (за 1 операцию), удалить минимальный элемент (за порядка log(n) операций), где n — количество элементов в куче.

Создадим массив d[0… n — 1] (его значение то же самое, что и раньше) и кучу q. В куче будем хранить пары из номера вершины v и d[v] (сравниваться пары должны по d[v]). Также в куче могут быть фиктивные элементы. Так происходит, потому что значение d[v] обновляется, но мы не можем изменить его в куче.  Поэтому в куче могут быть несколько элементов с одинаковым номером вершины, но с разным значением d (но всего вершин в куче будет не более m, я гарантирую это). Когда мы берём минимальное значение в куче, надо проверить, является ли этот элемент фиктивным. Для этого достаточно сравнить значение d в куче и реальное его значение. А ещё для записи графа вместо двоичного массива используем массив списков.

m раз добавляем элемент в кучу, получаем порядка m * log(n) операций.

Псевдокод:
прочитать g // g[0 ... n - 1] - массив списков, в i-ом списке хранятся пары: first - вершина, соединённая с i-ой вершиной ребром, second - вес этого ребра
d[0] = 0
for i = 0 ... n - 1
    d[i] = 2000000000
for i in g[0] // python style
    d[i.first] = i.second
    q.add(pair(i.second, i.first))
for i = 1 ... n - 1
    v = -1
    while (v = -1) or (d[v] != val)
        v = q.top.second
        val = q.top.first
    q.removeTop
    mark[v] = true
    for i in g[v]
        if d[i.first] > d[v] + i. second
            d[i.first] = d[v] + i.second
            q.add(pair(d[i.first], i.first))
вывести d
Алгоритм Дейкстры - поиск кратчайшего пути в графе
Алгоритм Дейкстры — это метод, который находит кратчайший путь от одной вершины графа к другой. Граф — структура из точек-вершин, соединенных ребрами-отрезками. Его можно представить как схему дорог или как компьютерную сеть. Ребра — это связи, по ним можно двигаться от одной вершины к другой.
Графы используют для моделирования реальных объектов, а алгоритмы поиска пути — при их изучении, а также решении практических задач. Алгоритм Дейкстры работает для графов, у которых нет ребер с отрицательным весом, т.е. таких, при прохождении через которые длина пути как бы уменьшается.
В отличие от похожих методов, алгоритм Дейкстры ищет оптимальный маршрут от одной заданной вершины ко всем остальным. Попутно он высчитывает длину пути — суммарный вес ребер, по которым проходит при этом маршруте.
Кто пользуется алгоритмом Дейкстры
Математики и другие ученые, которые пользуются графами как абстрактными единицами. Задача поиска маршрута в науке может быть и чисто фундаментальной, и прикладной.
Дата-сайентисты. В этой области много математики, в том числе активно используется теория графов.
Сетевые инженеры, так как алгоритм Дейкстры лежит в основе работы нескольких протоколов маршрутизации. Сама по себе компьютерная сеть представляет собой граф, поэтому специалисты по сетям должны знать, что это такое.
Зачем нужен алгоритм Дейкстры
Основная задача — поиск кратчайшего пути по схеме, где множество точек соединено между собой отрезками. В виде такой схемы можно представить многие объекты реального мира, поэтому практических примеров использования алгоритма много:
автоматическое построение маршрута на онлайн-карте;
поиск системой бронирования наиболее быстрых или дешевых билетов, в том числе с возможными пересадками;
моделирование движения робота, который перемещается по местности;
разработка поведения неигровых персонажей, создание игрового ИИ в геймдеве;
автоматическая обработка транспортных потоков;
маршрутизация движения данных в компьютерной сети;
расчет движения тока по электрическим цепям.
Как работает алгоритм
Алгоритм Дейкстры пошаговый. Сначала выбирается точка, от которой будут отсчитываться пути. Затем алгоритм поочередно ищет самые короткие маршруты из исходной точки в другие. Вершины, где он уже побывал, отмечает посещенными. Алгоритм использует посещенные вершины, когда рассчитывает пути для непосещенных.
Это может звучать сложно, поэтому мы хотим показать вам, как это выглядит на примере. Возьмем такой граф: цифрами в кружках обозначены вершины, а числа возле ребер — это вес путей между ними.
Инициализация. Пусть вершиной, из которой мы будем считать маршруты, будет 0. Расстояние до самой себя у этой вершины логично равно нулю. Остальные мы пока не знаем, поэтому отметим символом бесконечности.
Расстояние от 0 до 0 помечаем равным нулю, а саму вершину — посещенной.
Первый шаг алгоритма. Мы выбираем еще не посещенную вершину с самой маленькой меткой относительно исходной — то есть такую, которая находится ближе всех. На первом шаге это одна из соседних вершин — та, которая соединена с исходной самым «маленьким» ребром.
Для графа, который мы рассматриваем, это точка 2. Мы выбираем ее, «переходим» в нее и смотрим уже на ее соседей.
Дальнейшие шаги алгоритма. Для выбранной точки нужно осмотреть соседей и записать длину пути до них с учетом пройденного пути. А потом выбрать ближнюю точку. Но есть нюанс: нужно учитывать точки, которые мы уже использовали в прошлый раз. Если они дают более «выгодный» путь, лучше воспользоваться ими.
Например, на выбранном графе есть точка 1. В нее можно перейти из точки 2, где мы находимся. Но этот путь будет длиннее, чем при переходе напрямую из точки 0, а ведь она для нас исходная. Поэтому «короткий путь» для точки 1 — это маршрут 0–1. Отмечаем вершину посещенной.
Шаги повторяются, пока на графе есть непосещенные точки. Если вершину не посетили, она не участвует в расчетах. Если после ее «открытия» появился новый, более короткий путь к какой-либо точке, то минимальное расстояние для нее перезаписывается.
Конец алгоритма. Когда непосещенные вершины заканчиваются, алгоритм прекращает работу. Результат его действия — список кратчайших маршрутов до каждой точки из исходной. Для каждого маршрута указана его длина.
Мы говорим «длина», но это условно. Например, при поиске билетов в роли веса ребра может выступать их цена, а при организации электрической цепи — расход электроэнергии.
Теория графов — обширная отрасль дискретной математики. Ее используют во множестве сфер, от химии до разработки. В профильных университетах теорию графов изучают на курсе дискретной математики. Также получить базу знаний и решать практические задачи под контролем наставника можно на курсах SkillFactory.
 Кратчайший путь | Математика для гуманитарных наук
 Результаты обучения
 Определение вершин, ребер и петель графа
 Определить степень вершины
 Определить и нарисовать как путь, так и цепь через граф
 Определить, подключен граф или нет
 Найдите кратчайший путь через граф с помощью алгоритма Дейкстры
 Когда вы посещаете веб-сайт, такой как Google Maps, или используете свой смартфон, чтобы узнать дорогу от дома до дома вашей тети в Пасадене, вы обычно ищете кратчайший путь между двумя точками. Эти компьютерные приложения используют представления карт улиц в виде графиков с расчетным временем в пути в качестве весовых коэффициентов.
 Хотя часто можно найти кратчайший путь на небольшом графе методом угадывания и проверки, наша цель в этой главе — разработать методы для систематического решения сложных задач, следуя  алгоритмам  . Алгоритм — это пошаговая процедура решения проблемы. Алгоритм Дейкстры (произносится как дайк-стра) найдет кратчайший путь между двумя вершинами.
  
 Алгоритм Дейкстры
 1.     Отметьте конечную вершину нулевым расстоянием. Назовите эту вершину текущей.
 2.     Найти все вершины, ведущие к текущей вершине. Вычислите их расстояния до конца. Поскольку мы уже знаем, на каком расстоянии от конца находится текущая вершина, потребуется просто добавить самое последнее ребро. Не записывайте это расстояние, если оно больше, чем ранее записанное расстояние.
 3.     Отметить текущую вершину как посещенную. Мы больше никогда не будем смотреть на эту вершину.
 4.     Отметьте вершину с наименьшим расстоянием как текущую и повторите действия, начиная с шага 2.
  
 ПРИМЕР
 Предположим, вам нужно проехать из Такомы, штат Вашингтон (вершина T), в Якима, штат Вашингтон (вершина Y). Глядя на карту, кажется, что ехать через Оберн (A), а затем через Маунт-Рейнир (MR) может быть кратчайшим, но это не совсем ясно, поскольку эта дорога, вероятно, медленнее, чем ехать по главному шоссе через Норт-Бенд (NB). Ниже показан график времени в пути в минутах. Также показан альтернативный маршрут через Итонвилль (E) и Паквуд (P).
 Шаг 1: Отметьте конечную вершину нулевым расстоянием. Расстояния будут записаны в [скобках] после имени вершины
 Шаг 2: Для каждой вершины, ведущей к Y, мы вычисляем расстояние до конца. Например, NB — это расстояние 104 от конца, а MR — 96 от конца. Помните, что расстояния в данном случае относятся к времени в пути в минутах.
 Шаг 3 и 4: Мы отмечаем Y как посещенную и отмечаем вершину с наименьшим записанным расстоянием как текущую. В этот момент P будет обозначаться текущим. Вернемся к шагу 2.
 Шаг 2 (#2): Для каждой вершины, ведущей в P (и не ведущей в посещенную вершину), мы находим расстояние от конца. Так как Е равно 96 минут от P, и мы уже подсчитали, что P составляет 76 минут от Y, мы можем вычислить, что E составляет 96+76 = 172 минуты от Y. и обозначим вершину с наименьшим зарегистрированным расстоянием как текущую: MR. Вернемся к шагу 2.
 Шаг 2 (#3): Для каждой вершины, ведущей в MR (и не ведущей в посещенную вершину), мы находим расстояние до конца. Единственная рассматриваемая вершина — это A, так как мы уже посетили Y и P. Добавление расстояния MR 96 к длине от A до MR дает расстояние 96+79 = 175 минут от A до Y.
 Шаги 3 и 4 (#3): Мы помечаем MR как посещенную и обозначаем вершину с наименьшим зарегистрированным расстоянием как текущую: NB. Вернемся к шагу 2.
 Шаг 2 (№4):  Для каждой вершины, ведущей к NB, мы находим расстояние до конца. Мы знаем, что кратчайшее расстояние от NB до Y равно 104, а расстояние от A до NB равно 36, поэтому расстояние от A до Y через NB равно 104+36 = 140. Так как это расстояние короче рассчитанного ранее расстояния от Y до А через MR, заменяем.
 Шаги 3 и 4 (#4): Мы помечаем NB как посещенный и обозначаем A как текущий, так как теперь он имеет кратчайшее расстояние.
 Шаг 2 (#5): T — единственная непосещаемая вершина, ведущая к A, поэтому мы вычисляем расстояние от T до Y через A: 20+140 = 160 минут.
 Шаг 3 и 4 (#5): Мы помечаем A как посещенный, а E — как текущий.
  
 Шаг 2 (#6): Единственная непосещаемая вершина, ведущая к E, — это T. Вычисляя расстояние от T до Y через E, мы вычисляем 172+57 = 229минут. Поскольку это больше, чем существующее отмеченное время, мы не заменяем его.
  
 Шаг 3 (#6): Мы отмечаем E как посещенный. Поскольку все вершины были посещены, мы закончили.
 Отсюда мы знаем, что кратчайший путь от Такомы до Якимы займет 160 минут. Отслеживая, какая последовательность ребер дала 160 минут, мы видим, что кратчайший путь — это T-A-NB-Y.
 Алгоритм Дейкстры является  оптимальным алгоритмом  , а это означает, что он всегда выдает фактический кратчайший путь, а не просто довольно короткий путь, если он существует. Этот алгоритм тоже  эффективен  , что означает, что его можно реализовать за разумное время. Алгоритм Дейкстры требует около V2 вычислений, где V — количество вершин в графе[1]. Граф со 100 вершинами потребует около 10 000 вычислений. В то время как это было бы много, чтобы сделать вручную, это не так уж много для компьютера. Именно благодаря этой эффективности GPS-устройство вашего автомобиля может вычислить направление движения всего за несколько секунд.
 [1] Его можно ускорить за счет различных оптимизаций реализации.
 Напротив,  неэффективный  алгоритм может попытаться перечислить все возможные пути, а затем вычислить длину каждого пути. Попытка перечислить все возможные пути может легко потребовать 1025 вычислений для вычисления кратчайшего пути всего с 25 вершинами; это 1 с 25 нулями после нее! Для сравнения, самый быстрый компьютер в мире все равно потратил бы более 1000 лет на анализ всех этих путей.
  
 ПРИМЕР
 Транспортной компании необходимо направить посылку из Вашингтона, округ Колумбия, в Сан-Диего, Калифорния. Чтобы свести к минимуму затраты, посылка сначала будет отправлена ​​в их центр обработки в Балтиморе, штат Мэриленд, а затем отправлена ​​​​в рамках массовых поставок между их различными центрами обработки и в конечном итоге окажется в их центре обработки в Бейкерсфилде, Калифорния. Оттуда он будет доставлен на небольшом грузовике в Сан-Диего.
 Время в пути в часах между их центрами обработки показано в таблице ниже. К каждому времени в пути было добавлено три часа для обработки. Найдите кратчайший путь из Балтимора в Бейкерсфилд.
 Балтимор
 Денвер
 Даллас
 Чикаго
 Атланта
 Бейкерсфилд
 Балтимор
 *
 15
 14
 Денвер
 *
 18
 24
 19
 Даллас
 *
 18
 15
 25
 Чикаго
 15
 18
 18
 *
 14
 Атланта
 14
 24
 15
 14
 *
 Бейкерсфилд
 19
 25
 *
 Хотя мы могли бы нарисовать график, мы также можем работать непосредственно с таблицей.
 Шаг 1: Конечная вершина Бейкерсфилд помечается как текущая.
 Шаг 2: Все города, связанные с Бейкерсфилдом, в данном случае Денвер и Даллас, рассчитываются по расстоянию; мы отметим эти расстояния в заголовках столбцов.
 Шаг 3 и 4: Отметьте Бейкерсфилд как посещенный. Здесь мы делаем это, затеняя соответствующую строку и столбец таблицы. Мы помечаем Денвер как текущий, выделенный жирным шрифтом, так как это вершина с кратчайшим расстоянием.
 Балтимор
  
  Денвер 
 [19]
 Даллас
 [25]
 Чикаго
 Атланта
 Бейкерсфилд
 [0]
 Балтимор
 *
 15
 14
  Денвер 
 *
 18
 24
 19
 Даллас
 *
 18
 15
 25
 Чикаго
 15
 18
 18
 *
 14
 Атланта
 14
 24
 15
 14
 *
 Бейкерсфилд
 19
 25
 *
 Шаг 2 (#2): Для городов, связанных с Денвером, рассчитайте расстояние до конца. Например, Чикаго находится в 18 часах от Денвера, а Денвер — в 19 часах от конца, расстояние от Чикаго до конца составляет 18+19 = 37 (от Чикаго до Денвера до Бейкерсфилда). Атланта находится в 24 часах от Денвера, поэтому расстояние до конца равно 24+19 = 43 (от Атланты до Денвера до Бейкерсфилда).
 Шаг 3 и 4 (#2): Мы отмечаем Денвер как посещенный и помечаем Даллас как текущий.
 Балтимор
  
 Денвер
 [19]
  Даллас 
 [25]
 Чикаго
 [37]
 Атланта
 [43]
 Бейкерсфилд
 [0]
 Балтимор
 *
 15
 14
 Денвер
 *
 18
 24
 19
  Даллас 
 *
 18
 15
 25
 Чикаго
 15
 18
 18
 *
 14
 Атланта
 14
 24
 15
 14
 *
 Бейкерсфилд
 19
 25
 *
 Шаг 2 (#3): Для городов, связанных с Далласом, рассчитайте расстояние до конца. Для Чикаго расстояние от Чикаго до Далласа равно 18, а от Далласа до конца — 25, поэтому расстояние от Чикаго до конца через Даллас будет 18 + 25 = 43. Поскольку это больше, чем отмеченное в настоящее время расстояние для Чикаго, мы не заменяем его. Для Атланты мы вычисляем 15+25 = 40. Так как это меньше, чем текущее отмеченное расстояние для Атланты, мы заменяем существующее расстояние.
 Шаг 3 и 4 (#3): Мы отмечаем Даллас как посещенный, а Чикаго как текущий.
 Балтимор
  
 Денвер
 [19]
 Даллас
 [25]
  Чикаго 
 [37]
 Атланта
 [40]
 Бейкерсфилд
 [0]
 Балтимор
 *
 15
 14
 Денвер
 *
 18
 24
 19
 Даллас
 *
 18
 15
 25
  Чикаго 
 15
 18
 18
 *
 14
 Атланта
 14
 24
 15
 14
 *
 Бейкерсфилд
 19
 25
 *
 Шаг 2 (#4): Балтимор и Атланта — единственные непосещаемые города, связанные с Чикаго. Для Балтимора мы вычисляем 15+37 = 52 и отмечаем это расстояние. Для Атланты мы вычисляем 14+37 = 51. Поскольку это больше, чем существующее расстояние 40 для Атланты, мы не заменяем это расстояние.
 Шаг 3 и 4 (#4): Отметьте Чикаго как посещенный, а Атланту как текущий.
 Балтимор
 [52]
 Денвер
 [19]
 Даллас
 [25]
 Чикаго
 [37]
  Атланта 
 [40]
 Бейкерсфилд
 [0]
 Балтимор
 *
 15
 14
 Денвер
 *
 18
 24
 19
 Даллас
 *
 18
 15
 25
 Чикаго
 15
 18
 18
 *
 14
  Атланта 
 14
 24
 15
 14
 *
 Бейкерсфилд
 19
 25
 *
 Шаг 2 (#5): Расстояние от Атланты до Балтимора равно 14. Прибавив это к расстоянию, уже рассчитанному для Атланты, мы получим общее расстояние 14+40 = 54 часа от Балтимора до Бейкерсфилда через Атланту. Так как это больше рассчитываемого в настоящее время расстояния, мы не заменяем расстояние для Балтимора.
 Шаг 3 и 4 (#5): Мы отмечаем Атланту как посещенную. Все города были посещены, и мы закончили.
 Самый короткий маршрут из Балтимора в Бейкерсфилд займет 52 часа и пройдет через Чикаго и Денвер.
  
 Попробуйте
 Найдите кратчайший путь между вершинами A и G на приведенном ниже графике.
 В следующем видео обобщены темы, затронутые на этой странице.
 
 Введение в графики | Типы графиков
 Введение
 «В графиках есть магия. Профиль кривой мгновенно раскрывает всю ситуацию — историю жизни эпохи процветания. Кривая информирует ум, пробуждает воображение, убеждает».
 – Генри Д. Хаббард
 Визуализация — это мощный способ упростить и интерпретировать лежащие в основе шаблоны данных. Первое, что я делаю, когда работаю над новым набором данных, — это исследую его с помощью визуализации. И этот подход хорошо сработал для меня. К сожалению, я не вижу, чтобы многие люди так активно использовали визуализацию. Вот почему я подумал, что поделюсь с миром частью своего «секретного соуса»!
 Использование графиков является одним из таких методов визуализации. Это невероятно полезно и помогает компаниям принимать более обоснованные решения на основе данных. Но чтобы детально понять концепции графов, мы должны сначала понять их основу — теорию графов.
 В этой статье мы будем изучать концепции графов и теории графов. Мы также рассмотрим основы и основные свойства графов, а также различные типы графов.
 Затем мы будем работать над конкретным примером, чтобы решить часто встречающуюся проблему в авиационной отрасли, применяя концепции теории графов с использованием Python.
 Начнем!
  
 Содержание
 Знакомство с графиками
 Почему графики?
 Происхождение теории графов: семь мостов Кенигсберга
 Основы графиков
 Основные свойства и терминология, относящиеся к графикам
 Типы графиков
 Продолжение задачи о семи мостах Кенигсберга
 Знакомство с деревьями
 Обход графа
 Реализация концепций теории графов для решения задачи авиакомпаний
  
 Введение в графики 907:10
 Рассмотрим график, показанный ниже:
 Это хорошая визуализация продаж определенного товара в магазине. Но это не график, это график. Теперь вам может быть интересно, почему это диаграмма, а не график, верно?
 Диаграмма представляет собой график функции. Позвольте мне объяснить это, расширив приведенный выше пример.
 Из общего количества единиц определенного товара 15,1% продается в магазине А, 15,4% — в магазине Б и так далее. Мы можем представить это с помощью таблицы:
 Каждому магазину соответствует его вклад (в %) в общий объем продаж. На приведенной выше диаграмме мы сопоставили магазин A с вкладом 15,1%, магазин B с 15,4% и т. д. и т. д. Наконец, мы визуализировали это с помощью круговой диаграммы. Но тогда в чем разница между этой диаграммой и графиком?
 Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрите изображение, показанное ниже:
 Точки на изображении выше представляют персонажей Игры престолов, а линии, соединяющие эти точки, представляют собой связь между ними. У Джона Сноу есть связи с несколькими персонажами, и то же самое касается Тириона, Серсеи, Джейми и т. д.
 А вот так выглядит график. Одна точка может иметь соединения с несколькими точками или даже с одной точкой. Обычно граф представляет собой комбинацию вершин (узлов) и ребер. В представленном выше GOT-визуале все символы являются вершинами, а соединения между ними — ребрами.
 Теперь у нас есть представление о том, что такое графы, но зачем нам вообще нужны графы? Мы рассмотрим этот актуальный вопрос в следующем разделе.
  
 Почему графики? 907:10
 Предположим, вы заказали такси Uber. Одна из самых важных вещей, которая имеет решающее значение для функционирования Uber, — это его способность эффективно подбирать водителей с пассажирами. Учтите, что есть 6 возможных аттракционов, с которыми вы можете совпасть. Итак, как Uber выделяет вам поездку? Мы можем использовать графики, чтобы визуализировать процесс распределения поездок:
 Как вы понимаете, существует 6 возможных аттракционов (Поездка 1, Поездка 2, …. Поездка 6), с которыми может сочетаться всадник. Представление этого в виде графика упрощает визуализацию и, наконец, достижение нашей цели, то есть сопоставление ближайшей поездки к пользователю. Числа на приведенном выше графике представляют собой расстояние (в километрах) между гонщиком и его/ее соответствующей поездкой. Мы (и, конечно же, Uber) можем ясно представить, что Ride 3 — ближайший вариант.
  Примечание. Для простоты я использовал только показатель расстояния, чтобы решить, какая поездка будет назначена гонщику. В то время как в реальном сценарии существует несколько показателей, по которым определяется распределение поездки, например, , например, , рейтинг гонщика и водителя, трафик между разными маршрутами, время, в течение которого гонщик простаивает, и т. д. 
 Точно так же агрегаторы онлайн-доставки еды, такие как Zomato, могут выбрать водителя, который заберет наши заказы из соответствующего ресторана и доставит их нам. Это один из многих вариантов использования графов, с помощью которого мы можем решить множество задач. Графики упрощают визуализацию и делают ее более интерпретируемой.
 Чтобы понять концепцию графов в деталях, мы должны сначала понять теорию графов.
  
 Происхождение теории графов: семь мостов Кенигсберга
 Сначала мы обсудим истоки теории графов, чтобы получить интуитивное представление о графах. За его происхождением стоит интересная история, и я стремлюсь сделать его еще более интригующим, используя сюжеты и визуализации.
 Все началось с семи мостов Кенигсберга. Задача (или просто головоломка) с мостами Кенигсберга заключалась в том, чтобы пройти через весь город, перейдя все семь мостов только один раз. Давайте сначала визуализируем его, чтобы иметь четкое представление о проблеме:
 Попробуйте и посмотрите, сможете ли вы пройтись по городу с этим ограничением. Вы должны помнить о двух вещах, пытаясь решить вышеупомянутую проблему (или я должен сказать загадку?):
 Вы не можете перейти ни один мост
 Каждый мост нельзя пересекать более одного раза
 Вы можете пробовать любое количество комбинаций, но взломать ее по-прежнему невозможно. Невозможно пройти через город, пройдя каждый мост только один раз. Леонард Эйлер углубился в эту загадку, чтобы понять, почему это такая невыполнимая задача. Давайте проанализируем, как он это сделал:
 На изображении выше есть четыре разных места: два острова (B и D), две части материка (A и C) и всего семь мостов. Давайте сначала посмотрим на каждую землю отдельно и попробуем найти закономерности (если они вообще существуют):
 Один из выводов из приведенного выше изображения заключается в том, что каждая земля связана с нечетным количеством мостов. Если вы хотите пересечь каждый мост только один раз, то вы можете войти и покинуть землю, только если она соединена с четным числом мостов. Другими словами, мы можем обобщить, что если есть четное количество мостов, то можно покинуть землю, а с нечетным - нельзя.
 Давайте попробуем добавить еще один мост к текущей проблеме и посмотрим, сможет ли он решить эту проблему:
 Теперь у нас есть 2 земли, соединенные четным числом мостов, и 2 земли, соединенные нечетным числом мостов. Нарисуем новый маршрут после добавления нового моста:
 Добавление одного моста решило проблему! Вам может быть интересно, сыграло ли количество мостов значительную роль в решении этой проблемы? Должно ли оно быть ровным все время? Ну, это не всегда так.  Эйлер объяснил, что наряду с количеством мостов имеет значение и количество участков земли с нечетным числом соединенных между собой мостов.  Эйлер преобразовал эту задачу от земли и мостов к графам, где он представил землю как вершины, а мосты как ребра:
 Здесь визуализация проста и кристально ясна. Прежде чем мы двинемся дальше и углубимся в эту проблему, давайте сначала разберемся с основами и основными свойствами графа.
  
 Основы графов
 Есть много ключевых моментов и ключевых слов, которые мы должны иметь в виду, когда имеем дело с графиками. В этом разделе мы подробно обсудим все эти ключевые слова.
  Вершина  : это точка, где сходятся несколько линий. Он также известен как узел   .  
  Вершина обычно обозначается алфавитом, как показано выше.
  Край  : Это линия, соединяющая две вершины. 
  Граф  : Как обсуждалось в предыдущем разделе, граф представляет собой комбинацию вершин (узлов) и ребер. G = (V, E), где V представляет набор всех вершин, а E представляет набор всех ребер графа. 
  Степень вершины  : Степень вершины – это количество соединенных с ней ребер. В приведенном ниже примере степень вершины A, deg(A) = 3, степень вершины B, deg(B) = 2. 
  Параллельное ребро  : Если две вершины соединены более чем одним ребром, то эти ребра называются параллельными ребрами. 
  Multi Graph  : Это графы с параллельными ребрами: 
  
 Вот некоторые основные принципы, которые вы должны помнить при работе с графиками. Теперь о понимании основных свойств графа.
  
 Основные свойства и терминология, относящиеся к графам
 До сих пор мы видели, как выглядит граф и его различные компоненты. Теперь мы сосредоточимся на некоторых основных свойствах и терминах, связанных с графом. Мы будем использовать приведенный ниже график (обозначенный как G) и понимать каждую терминологию, используя одно и то же:
 Найдите минутку и подумайте о возможных решениях следующих вопросов:
 Как далеко вершина от других вершин графа?
 Каково максимальное расстояние между вершиной и всеми остальными вершинами?
 Существует ли вершина, ближайшая ко всем остальным вершинам? Если да, то каково это кратчайшее расстояние?
 Что является центральной точкой графика?
 Я попытаюсь ответить на все эти вопросы, используя базовую терминологию графов:
  Расстояние между двумя вершинами : это количество ребер на кратчайшем пути между двумя вершинами. Попробуем вычислить расстояние между вершинами A и D: 
 Возможные пути между A и D: 
 AB -> BC -> CD 
 AD 
 AB -> BD 
 Из этих трех путей AD является кратчайшим, имеющим только один край. Следовательно, расстояние между A и D равно 1. 
 Точно так же мы можем вычислить расстояние между каждой парой вершин. Итак, это ответило на наш первый вопрос об определении расстояния между любой парой вершин.
  Эксцентриситет вершины  : Максимальное расстояние между вершиной и всеми другими вершинами. Чтобы вычислить эксцентриситет любой вершины, мы должны знать расстояние между этой вершиной и всеми другими вершинами. Вычислим эксцентриситет для вершины A. Итак, расстояния равны: 
 Расстояние между A и B – 1 
 Расстояние между A и C – 2 
 Расстояние между A и D – 1 
 Максимум всех этих расстояний – эксцентриситет вершины . 
 Эксцентриситет A, e(A) = 2 
: Когда эксцентриситет вершины высок, это означает, что есть вершины, которые находятся далеко от этой вершины. Это отвечает на наш второй вопрос, где мы стремились вычислить максимальное расстояние между вершиной и всеми другими вершинами.
  Радиус связного графа  : Минимальный эксцентриситет всех вершин графа называется радиусом этого графа. Сначала мы должны вычислить эксцентриситет для каждой вершины. Попробуйте рассчитать эксцентриситет самостоятельно, и если у вас возникнут трудности с вычислениями, не стесняйтесь спрашивать в разделе комментариев. Эксцентриситет для всех вершин: 
 e(A) = 2 
 e(B) = 1 
 e(C) = 2 
 e(D) = 1 
 Минимальное значение эксцентриситета для всех вершин равно радиусу этого графа. В нашем случае минимальный эксцентриситет равен 1, и, следовательно, радиус графика равен: 
 r(G) = 1 
 Он говорит нам о расстоянии вершины, которая является ближайшей ко всем остальным вершинам.
  Диаметр связного графа  : Радиус графа — это минимальное значение эксцентриситета для всех вершин, аналогично, Диаметр графа — это максимальное значение эксцентриситета для всех вершин. В нашем случае Диаметр графика равен: 
 d(G) = 2
  Центральная   точка графика  : Вершина, эксцентриситет которой равен радиусу графика, называется центральной точкой графика. Граф также может иметь более одной центральной точки. В нашем случае радиус графа равен 1, а вершины с эксцентриситетом, равным 1, — это B и D. Следовательно, «B» и «D» — центральные точки графа G. 
 Это отвечает на наш последний вопрос об определении центральной точки. графика. Рассмотрим пример графа связности аэропорта. Таким образом, аэропорт, который соединен с большинством других аэропортов, может считаться центральным аэропортом.
 Вот некоторые из терминов, связанных с графиками. Далее мы обсудим различные типы графиков.
  
 Типы графиков
 Существуют различные типы графиков. В этом разделе мы обсудим некоторые из наиболее часто используемых.
  Нулевой граф:  Это графы, которые не содержат ребер. 
 
 Нет связи между вершинами.
  Неориентированный граф:  Это графы, которые имеют ребра, но эти ребра не имеют определенного направления. 
  Направленный граф  : Когда ребра графа имеют определенное направление, они называются ориентированными графами. 
 
 Рассмотрим пример соединений Facebook и Twitter. Когда вы добавляете кого-то в свой список друзей на Facebook, вы также будете добавлены в его список друзей. Это двусторонняя связь, и этот граф соединений будет ненаправленным. Принимая во внимание, что если вы подписаны на человека в Твиттере, этот человек может не подписаться на вас в ответ. Это ориентированный граф.
  Связный граф  : Когда нет недостижимой вершины, т. е. существует путь между каждой парой вершин, такие графы называются связными графами. 
  Несвязный граф  : это те графы, которые имеют недостижимую вершину (вершины), т. Е. Между каждой парой вершин не существует пути. 
 Если граф связен, то всегда существует путь от каждой вершины ко всем остальным вершинам этого графа. А если граф несвязный, то всегда найдется хотя бы одна вершина, не имеющая связи со всеми остальными вершинами графа. Это может помочь авиакомпаниям решить, все ли аэропорты подключены или нет. Они могут визуализировать стыковки, и, если есть какой-либо несвязанный аэропорт, могут быть введены новые рейсы, чтобы улучшить существующую ситуацию.
  Обычный граф  : Когда все вершины в графе имеют одинаковую степень, такие графы называются k-регулярными графами (где k — степень любой вершины). Рассмотрим два графика, показанные ниже: 
 Для графа-1 степень каждой вершины равна 2, следовательно, граф-1 является обычным графом. Граф-2 не является регулярным графом, так как степень каждой вершины неодинакова (для A и D степень равна 3, а для B и D — 2).
 Теперь, когда у нас есть представление о различных типах графов, их компонентах и ​​некоторых основных терминах, связанных с графами, давайте вернемся к проблеме, которую мы пытались решить, то есть к семи мостам Кенигсберга. Мы еще более подробно рассмотрим, как Леонард Эйлер подошел к своим рассуждениям и объяснил их.
  
 Продолжение задачи о семи мостах Кенигсберга
 Ранее мы видели, что Эйлер преобразовал эту задачу с помощью графов:
 Здесь A, B, C и D обозначают землю, а соединяющие их линии — мосты. Мы можем вычислить степень каждой вершины.
 град(В) = 5
 град(А) = град(С) = град(D) = 3
 Эйлер показал, что возможность обхода графа (города) по каждому ребру (мосту) только один раз строго зависит от степени вершин (земли). И такой путь, который содержит каждое ребро графа только один раз, называется путем Эйлера.
 Можете ли вы вычислить путь Эйлера для нашей задачи? Давай попробуем!
 Вот как можно решить классическую задачу «Семь мостов Кенигсберга» с помощью графов и пути Эйлера. И это в основном происхождение теории графов. Спасибо Леонарду Эйлеру!
  
 Деревья — один из самых мощных и эффективных способов представления графа. В этом разделе мы узнаем, что такое бинарные деревья поиска, как они работают и как они делают визуализацию более интерпретируемой. Но прежде чем все это, найдите минутку, чтобы понять, что на самом деле представляют собой деревья в этом контексте.
 Деревья — это графы, не содержащие ни одного цикла:
 В приведенном выше примере первый граф не имеет цикла (он же дерево), а второй граф имеет цикл (A-B-E-C-A, следовательно, это не дерево).
 Элементы дерева называются узлами. (A, B, C, D и E) — это узлы в приведенном выше дереве. Первый узел (или самый верхний узел) дерева известен как корневой узел, а последний узел (узел C, D и E в приведенном выше примере) известен как конечный узел. Все остальные узлы известны как дочерние узлы (узел B в нашем случае).
 Пришло время перейти к одной из самых важных тем теории графов, а именно к обходу графа.
  
 Обход графа
 Предположим, мы хотим определить положение определенного узла в графе. Какое возможное решение для идентификации узлов графа? Как начать? Что должно быть отправной точкой? Как только мы узнаем начальную точку, как двигаться дальше? Я постараюсь ответить на все эти вопросы в этом разделе, объясняя концепции обхода графа.
 Обход графа означает посещение каждой вершины и ребра графа ровно один раз в строго определенном порядке. Поскольку цель обхода состоит в том, чтобы посетить каждую вершину только один раз, мы отслеживаем пройденные вершины, чтобы не покрывать одну и ту же вершину дважды. Существуют различные методы обхода графа, и мы обсудим некоторые из известных методов:
  Поиск в ширину 
 Мы начинаем с исходного узла (корневого узла) и проходим по графу по слоям. Шаги для поиска в ширину:
 Сначала переместитесь по горизонтали и посетите все узлы текущего слоя.
 Перейдите на следующий слой и повторите шаги, сделанные выше.
 Позвольте мне объяснить это визуализацией:
 Итак, при поиске в ширину мы начинаем с исходного узла (в нашем случае A) и двигаемся вниз к первому слою, т. е. к слою 1. Мы покрываем все узлы этого слоя, перемещаясь по горизонтали (B -> C). Затем переходим к следующему слою, т.е. Layer 2 и повторяем тот же шаг (движемся от D -> E -> F). Мы продолжаем этот шаг, пока все слои и вершины не будут покрыты.
 Ключевое преимущество такого подхода в том, что мы всегда найдем кратчайший путь к цели. Это подходит для небольших графов и деревьев, но для более сложных и больших графов его производительность очень низкая, а также требуется много памяти. Мы рассмотрим другой подход обхода, который занимает меньше места в памяти по сравнению с BFS.
  Поиск в глубину 
 Давайте сначала рассмотрим шаги, связанные с этим подходом:
 Сначала мы выбираем исходный узел и сохраняем все его соседние узлы.
 Затем мы выбираем узел из сохраненных узлов и сохраняем все его соседние узлы.
 Этот процесс повторяется до тех пор, пока ни один узел не станет доступным.
 Последовательность поиска в глубину для приведенного выше примера будет следующей:
 А -> В -> Г -> Е -> С -> F
 После того, как путь был полностью исследован, его можно удалить из памяти, поэтому DFS нужно сохранить только корневой узел, все дочерние элементы корневого узла и его текущее местоположение. Следовательно, он преодолевает проблему памяти BFS.
  
  Двоичное дерево поиска 
 В этом подходе все узлы дерева располагаются в отсортированном порядке. Давайте посмотрим на пример двоичного дерева поиска:
.
 Как упоминалось ранее, все узлы в приведенном выше дереве упорядочены на основе условия. Предположим, мы хотим получить доступ к узлу со значением 45. Если бы мы следовали BFS или DFS, нам потребовалось бы много вычислительного времени, чтобы добраться до него. Теперь давайте посмотрим, как двоичное дерево поиска поможет нам добраться до нужного узла, используя наименьшее количество шагов. Шагов для достижения узла со значением 45 с помощью двоичного дерева поиска:
 Начинаем с корневого узла, т.е. 50.
 Теперь 45 меньше 50 (45 < 50), поэтому мы движемся влево от корневого узла.
 Затем мы сравниваем значения. Как оказалось, 45 больше 40 (45 > 40), поэтому мы двигаемся вправо от этого узла.
 Здесь мы находимся в узле со значением 45.
 Этот подход очень быстрый и требует очень меньше памяти. Были рассмотрены большинство концепций теории графов. Далее мы попытаемся реализовать эти концепции для решения реальной проблемы с помощью Python.
  
 Реализация теории графов на Python для решения задачи авиакомпании
 И, наконец, мы приступаем к работе с данными в Python! В этом наборе данных у нас есть записи о более чем 7 миллионах рейсов из США. Были предоставлены следующие переменные:
 Пункт отправления и назначения
 Запланированное время прибытия и отправления
 Фактическое время прибытия и отправления
 Дата поездки
 Расстояние между источником и получателем
 Общее эфирное время рейса
 Это гигантский набор данных, и я взял из него только образец для этой статьи. Идея состоит в том, чтобы дать вам понимание концепций, используя этот образец набора данных, и затем вы можете применить их ко всему набору данных.   Загрузите набор данных, который мы будем использовать для тематического исследования, отсюда   . Сначала мы импортируем обычные библиотеки и считываем набор данных, который предоставляется в формате .csv:
.
 импортировать панд как pd
импортировать numpy как np
данные = pd.read_csv('data.csv') 
 Давайте посмотрим на первые несколько строк набора данных, используя  функцию head() :
 data.head() 
 Здесь  CRSDepTime  ,  CRSArrTime  ,  DepTime  и  ArrTime  представляют запланированное время отправления, запланированное время прибытия, фактическое время отправления и фактическое время прибытия соответственно.  Пункт отправления  и  пункт назначения  являются пунктом отправления и пунктом назначения путешествия.
 Часто может быть несколько путей из одного аэропорта в другой, и цель состоит в том, чтобы найти кратчайший путь между всеми аэропортами. Есть два способа определить путь как кратчайший:
 По расстоянию
 По эфиру
 Мы можем решать такие задачи, используя концепции теории графов, которые мы уже изучили. Можете ли вы вспомнить, что нам нужно сделать, чтобы построить график?
 Ответ заключается в определении вершин и ребер! Мы можем преобразовать задачу в граф, представив все аэропорты в виде вершин, а маршрут между ними — в виде ребер. Мы будем использовать  NetworkX  для создания и визуализации графиков.   NetworkX  — это пакет Python для создания, управления и изучения структуры, динамики и функций сложных сетей.  Вы можете обратиться к документации NetworkX здесь.
 После установки NetworkX мы создадим ребра и вершины для нашего графа, используя набор данных:
 импортировать networkx как nx
df = nx.from_pandas_edgelist(data, source='Origin', target='Dest', edge_attr=True) 
 Он автоматически сохранит вершины и ребра. Взгляните на ребра и вершины графа, который мы создали:
 df.nodes() 
 дф.края() 
 Давайте построим и визуализируем график, используя функции  matplotlib  и  draw_networkx()  networkx.
 импортировать matplotlib.pyplot как plt
% matplotlib встроенный

plt.figure(figsize=(12,8))
nx.draw_networkx(df, with_labels=Истина) 
 Вышеупомянутая удивительная визуализация представляет различные маршруты полета. Предположим, пассажир хочет выбрать кратчайший маршрут от  AMA  до  PBI . Теория графов снова приходит на помощь!
 Попробуем рассчитать кратчайший путь, исходя из эфирного времени между аэропортами AMA и PBI. Мы будем использовать алгоритм кратчайшего пути  Дейкстры . Этот алгоритм находит кратчайший путь от исходной вершины ко всем вершинам данного графа. Позвольте мне дать вам краткий обзор шагов, которым следует этот алгоритм:
 Создает набор sptSet (набор деревьев кратчайших путей), который отслеживает вершины, включенные в дерево кратчайших путей, т. е. минимальное расстояние от исходной вершины вычисляется и завершается. Изначально это множество пусто.
 Присвоить значение расстояния всем вершинам входного графа. Мы присваиваем значение 0 исходной вершине и значение INFINITE всем остальным вершинам.
 Пока sptSet не включает все вершины, мы выполняем следующие подэтапы:
 Выберите вершину, не входящую в sptSet и ближайшую к исходной вершине
 Включить эту вершину в sptSet
 Обновить расстояния до всех соседних вершин
 Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять этот алгоритм:
 Здесь исходной вершиной является A. Числа обозначают расстояние между вершинами. Изначально sptSet пуст, поэтому мы назначим расстояния для всех вершин. Дистанции:
 {0, INF, INF, INF, INF, INF}, где INF представляет БЕСКОНЕЧНОЕ.
 Теперь мы выберем вершину с минимальным расстоянием, т. е. A, и она будет включена в sptSet. Итак, новый sptSet — это {A}. Следующим шагом является выбор вершины, которая не входит в sptSet и находится ближе всего к исходной вершине. В нашем случае это B со значением расстояния 2. Так что это будет добавлено в sptSet.
 sptSet = {A,B}
 Теперь обновим расстояния вершин, прилегающих к вершине B:
  
 Значение расстояния вершины F становится равным 6. Мы снова выберем вершину с минимальным значением расстояния, которая еще не включена в SPT (C со значением расстояния 4).
 sptSet = {A,B,C}
 Мы будем следовать аналогичным шагам, пока все вершины не будут включены в sptSet. Давайте реализуем этот алгоритм и попробуем вычислить кратчайшее расстояние между аэропортами. Для этого мы воспользуемся функцией  dijkstra_path()  networkx:
 shortest_path_distance = nx.dijkstra_path(df, source='AMA', target='PBI', weight='Distance')
Shortest_path_distance 
 Это кратчайший путь между двумя аэропортами, исходя из расстояния между ними. Мы также можем рассчитать кратчайший путь на основе эфирного времени, просто изменив гиперпараметр  weight='AirTime'  :
.
 shortest_path_airtime = nx.dijkstra_path(df, source='AMA', target='PBI', weight='AirTime')
Shortest_path_airtime 
 Это кратчайший путь, основанный на эфирном времени. Интуитивно понятный и простой для понимания, это все о теории графов!
  
 Конечные примечания
 Это лишь одно из многих приложений теории графов. Мы можем применить его практически к любой проблеме и получить решения и визуализации. Некоторые из приложений теории графов, о которых я могу думать, это:
 Поиск наилучшего маршрута доставки почты
 Представление сетей связи. Например, ссылочную структуру веб-сайта можно представить с помощью ориентированных графов.
 Определение социального поведения человека по графу его социальных связей
 Планирование поездок, как обсуждалось в тематическом исследовании авиакомпаний
 Вот некоторые из приложений.

Дифференциальные уравнения Бернулли в примерах решений

Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида

,

где m ≠ 0 и m ≠ 1.

Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию y в степени, отличной от нуля и единицы.

В случае, если m = 0, уравнение является линейным, а в случае, если m = 1, уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.

1. Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
2. Методом Бернулли.

Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.

Уравнение делим на :

,

.

Обозначим . Тогда , откуда . Переходя к новой переменной, получим уравнение

,

которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.

Решение методом Бернулли.

Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение

.

Из слагаемых, содержащих функцию u в первой степени, вынесем её за скобки:

.

Приравняв выражение в скобках нулю, то есть

,

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции v.

Функцию u следует находить из дифференциального уравнения

,

которое также является уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.

1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на y³:

.

Введём обозначение , тогда , и приходим к уравнению

или

.

Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v, z‘ = u‘v + uv‘:

,

.

Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:

Полученную функцию v подставим в уравнение:

Тогда

2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций y = u ⋅ v. Подставив его и y‘ = u‘v + uv‘ в данное дифференциальное уравнение, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:

И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение, в котором m = −1. Применив подстановку y = u ⋅ v, получим

Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:

Полученную функцию v подставим в уравнение и определим функцию u:

Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:

.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v. Получаем

Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставляем v в данное уравнение и решаем полученное уравнение:

или

Разделим переменные:

и проинтегрируем обе части уравнения:

Далее используем подстановку

:

.

Введём обозначения:

Продолжаем:

Таким образом, получаем функцию u:

.

и решение данного дифференциального уравнения:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

при условии .

Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую — нелинейные:

.

Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку y = u ⋅ v, y‘ = u‘v + uv‘:

Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставим функцию v в данное уравнение и решим полученное дифференциальное уравнение:

Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:

.

Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:

Решаем:

Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию u:

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:

.

Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:

Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:

.

И напоследок — пример с альтернативным обозначением производных — через дробь.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли

.

Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом — переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³, получим

.

Введём новую функцию . Тогда

.

Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:

.

Найдём его общий интеграл:

,

.

Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаем

или

.

Приравниваем нулю выражение в скобках:

Для определения функции u получаем уравнение

.

Разделяем переменные:

Интегрируем по частям:

Таким образом, общий интеграл данного уравнения

или

.

К началу страницы

Пройти тест по теме Дифференциальные уравнения

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Поделиться с друзьями

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли

Все кто ищет готовые ответы на линейные дифференциальные уравнения пришли по правильному адресу. У нас Вы сможете не только получить быстрый ответ, но и научиться методике решения уравнений. Будет ли сложной схема Бернулли для линейных уравнений зависит от Вашего уровня подготовки. Разберите внимательно приведенные ответы и сделайте выводы, что и как Вам нужно углубленно изучить.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядканазывается уравнение вида y’+p(x)*y=g(x), где p(x) и g(x) – непрерывные на определенном промежутке функции.

1. Решение линейного дифференциального уравнения необходимо представить в виде произведения двух неизвестных функций y=u*v от аргумента u=u(x),v=v(x). Одну из этих функций можно выбрать произвольно, а вторая определяется из дифференциального уравнения.
2. По правилу производная произведения равна y=u*v,то y’=u’v+uv’.
3. Подставим запись функции y=u*v и производной y’=u’v+uv’ в уравнение y’+p(x)*y=g(x) и получим u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x). Сгруппируем второй и третий слагаемые, вынеся общий множитель (u) за скобки и придем к диф. уравнению u’v+u(v’+p(x)*v)=g(x).
4. Сперва определяем частное решение v=v(x), для этого решаем диф. уравнения v’+p(x)*v=0 и за произвольную постоянную интегрирования берем ноль (С=0). Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
5. Далее подставим найденную функцию v=v(x) в исходное диф. уравнение u’v+uv’+p(x)*u*v= g(x), которое при этом упростится до вида u’v+u*0=g(x), то есть к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными u’v(х)=g(x) относительно u(x). Из этого уравнения находим u=u(x)+С.
6. Имея u=u(x) и v=v(x) находим общее решение ДУ через произведение y=u*v=( u(x)+С)* v(x).
7. Если задана задача Коши то с дополнительной условия на решение y(x₀)=y₀ определяем сталую С.

Пример 1. Найти решение задачи Коши
Решение:Имеем неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Запишем его в правильном виде, для этого перенесем в правую сторону функцию

Далее по схеме Бернулли делаем замену переменных y=u*v, y’=u’v+uv’, где u=u(x) і v=v(x).
Учитывая что множители в левой части уровне
и y²=u²v²
получим следующее уравнение

Согласно алгоритму Бернулли уравнение разделим на 2, для этого дужку слева (выделена черным) приравняем к нулю

Сводим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными

и решаем интегрированием

В результате получили экспоненту с отрицательным показателем синуса. При этом исходное дифференциальное уравнение достаточно упростится для поиска второй неизвестной пока функции

Перенесем экспоненту с отрицательным показателем в правую сторону

и сведем к ДУ с разделенными переменными

Интегрированием уравнения в дифференциалах

находим решение дифференциального уравнения

Как описано в начале, общее решение дифференциального уравнения равно произведению функций

Но это еще не конечная ответ к задаче. Найдем частичное решение дифференциального уравнения (задача Коши), для этого определим постоянную с начального условия на функцию

Сталая равна нулю, это позволяет упростить формулу решения диф. уравнения, хотя мало кто из Вас увидит эту подсказку

Мы нашли частичный решение дифференциального уравнения и он равен экспоненте в степени «икс» y=e^x.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение та задачу Коши
Решение:Задано неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, которое перепишем в виде

Выполняем замену переменных в уравнении
, где «у» и «в» принимают функциональные зависимости
Находим выражения которые фигурируют в записи

и подставляем в исходное дифференциальное уравнение

Далее схема вычислений заключается в разделении переменных. По алгоритму Бернулли выражение, содержащее «v» приравняем к нулю

Записываем уравнение в дифференциалах

Видим что имеем уравнение с разделяющимися переменным, поетому целесообразно разделить переменные

Проинтегрировав обе части

получим логарифм и синус.

Далее экспонируем обе части и таким образом находим одну из неизвестных функций

Исходное дифференциальное уравнение при этом упростится к виду

Экспоненту в отрицательном показателе переносим вправо от знака равенства

Далее распишем уравнения через дифференциалы (/2)

и сведем к уравнению с разделенными переменными

Интеграл в правой части выглядит тяжелым для высчисления, но если внести дужку под дифференциал, то получим показатель экспоненты

Окончательно после интегрирования получим

Общий интеграл дифференциального уравнения записываем через произведение функций

Чтобы найти частичное решение дифференциального уравнения (задачи Коши) используем начальное условие

Из него определим постоянную и подставим в уравнение частного решения дифференциального уравнения

На этом и построен алгоритм Бернулли вычислений дифференциальных уравнений такого типа. Используйте алгоритм решения уравнения Бернулли ко всем подобным дифференциальным уравнениям.

• Назад
• Вперёд

Калькулятор уравнения Бернулли

Если вы интересуетесь механикой жидкости, вам обязательно пригодится этот калькулятор уравнения Бернулли. Это инструмент, который позволяет вам сравнивать две точки вдоль линии тока и определять их высоту, скорость потока и давление.

Дополнительно можно использовать калькулятор Бернулли для определения расхода анализируемой жидкости. Таким образом, вы можете выбрать правильный диаметр трубы, чтобы обеспечить постоянный поток.

Пожалуйста, продолжайте читать, чтобы узнать больше об уравнении Бернулли, или взгляните на наш калькулятор плавучести!

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли описывает стационарное течение несжимаемой жидкости. Это означает, что жидкость не меняет своих свойств (например, плотности) с течением времени. Согласно принципу Бернулли, полное давление такой жидкости (как статическое, так и динамическое) остается постоянным вдоль линии тока независимо от изменений окружающей среды.

где:

• ppp – давление в выбранной точке. Чтобы узнать больше о давлении, посетите наш раздел преобразования давления.
• ρ\rhoρ – Плотность жидкости (постоянная во времени). Узнайте больше о плотности в нашем калькуляторе плотности.
• vvv – скорость потока в данной точке;
• ччч – высота выбранной точки; и
• ggg — Ускорение свободного падения (на Земле обычно принимается равным 9,80665 м/с²). 92\! +\! \rho h_2 gp1​+21​ρv12​+ρh2​g=p2​+21​ρv22​+ρh3​g

  Это означает, что если вы знаете пять из следующих значений: p1p_1p1​, v1v_1v1​, h2h_1h2​, p2p_2p2 ​, v2v_2v2​ и h3h_2h3​, вы можете легко рассчитать шестую с помощью нашего калькулятора.

  Если вы хотите выполнить эти расчеты вручную, просто выполните следующие действия:

  1. Выберите плотность жидкости. Можно принять ρ=1000 кг/м³\rho = 1000\ \text{кг/м}³ρ=1000 кг/м³.

  2. Определить свойства жидкости в начальной точке. Предположим, что жидкость находится под давлением 1000 Па , на высоте 3 метра и течет при 2 метра в секунду .

  3. Выберите два из трех свойств жидкости во второй точке. Можно сказать, что давление увеличилось до 1200 Па без изменения высоты.

  4. Запишите все переменные:

     p1=1000 Pap_1 = 1000\ \text{Па}p1​=1000 Па 92 &= 3,6\\[0,5эм] v_2 &= 1,897\ \text{м/с} \end{align*}1000+20006v22​v2​=1200+500×v22​=2.4+v22​=3.6=1.897 м/с​

     7. Вы нашли новую скорость потока жидкости. Оно равно 1,897 м/с .

     8. Также можно рассчитать изменение давления:

     Δp=p2−p1=1200−1000=200 Па\размер сноски \qquad \начать{выравнивать*} \Дельта p &= p_2 — p_1\\ &= 1200 — 1000 = 200\ \text{Па} \end{align*}Δp​=p2​−p1​=1200−1000=200 Па​

     Расход

     Вы также можете использовать калькулятор уравнения Бернулли, чтобы определить объемный и массовый расход вашей жидкости . Расход показывает, сколько кубических метров (в случае объемного расхода) или сколько килограммов (в случае массового расхода) проходит через одну точку на линии тока в течение одного часа.

     Чтобы рассчитать скорость потока, вам нужно знать площадь поперечного сечения , через которое протекает жидкость. Поскольку вы обычно используете трубы, все, что вам нужно знать, это диаметр такой трубы. Затем можно рассчитать объемный расход по следующей формуле: 92v_2π(d/2)2v1​=π(d/2)2v2​

     Чтобы рассчитать массовый расход ммм, просто умножьте объемный расход на плотность жидкости:

     m=qρ\small m = q\rhom=qρ

     Массовый расход является одной из основных характеристик, указываемых для вентиляторов, турбин и т. д.

     Несжимаемые и сжимаемые жидкости

     Как упоминалось ранее, этот калькулятор уравнения Бернулли можно использовать только для анализа течение несжимаемой жидкости . В реальных приложениях уравнение Бернулли используется для проектирования систем водяных насосов, в которых необходимо контролировать изменение давления на всасывании насоса, чтобы избежать кавитации.

     То, что вы знаете как сжимаемый газ, может стать несжимаемой жидкостью при более низких температурах . Это означает, что жидкость имеет постоянную плотность и не может быть сжата под давлением. Тем не менее, можно разработать аналогичное уравнение для сжимаемых жидкостей. В таком случае влияние изменения высоты не учитывается. Однако в этом случае расход зависит от дополнительной величины – удельной теплоемкости жидкости. Чтобы проверить применение уравнения Бернулли к потоку несжимаемой жидкости, воспользуйтесь нашим калькулятором силы Магнуса. 93}\]

     Итак, как отмечалось выше, это линейное дифференциальное уравнение, которое мы знаем, как решать. Мы подробно остановимся на этом, а затем оставим детали остальных примеров в этом разделе для вас. Если вам нужно освежить в памяти решение линейных дифференциальных уравнений, вернитесь к этому разделу для быстрый обзор.

     Вот решение этого дифференциального уравнения.

     \[v’ — \frac{4}{x}v = — {x^3}\hspace{0,25 дюйма}\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\mu \left( x \ справа) = {{\bf{e}}^{\int{{ — \,\,\frac{4}{x}\,dx}}}} = {{\bf{e}}^{ — 4 \,\,\ln \влево| х \справа|}} = {х^{ — 4}}\] \[\begin{align*}\int{{{{\left({{x^{ — 4}}v} \right)}^\prime}\,dx}} & = \int{{ — {x ^{ — 1}}\,dx}}\\ {x^{ — 4}}v & = — \ln \left| х \ справа | + c\hspace{0. 4}\ln x\end{align*}\]

     Обратите внимание, что мы опустили столбцы абсолютного значения для \(x\) в логарифме из-за предположения, что \(x > 0\).

     Теперь нам нужно определить постоянную интегрирования. Это можно сделать одним из двух способов. Мы можем преобразовать приведенное выше решение в решение в терминах \(y\), а затем использовать исходное начальное условие, или мы можем преобразовать начальное условие в начальное условие в терминах \(v\) и использовать его. Поскольку в конце концов нам все равно придется преобразовать решение в \(y\), и это не добавит столько работы, мы сделаем это таким образом. 94}\left( {1 + 16\ln \frac{x}{2}} \right)}}\]

     Обратите внимание, что мы немного упростили решение. Это поможет найти интервал действия.

     Однако, прежде чем найти интервал достоверности, мы упомянули выше, что можем преобразовать исходное начальное условие в начальное условие для \(v\). Кратко поговорим о том, как это сделать.

Страница не найдена « Региональный центр развития образования

Методическая разработка урока по математики на тему «Решение системы линейных уравнений методом Крамера» — Информио

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Данная методическая разработка предназначена для проведения учебного занятия по дисциплине «Математика» на тему «Решение систем линейных уравнений методом Крамера» для студентов первого курса по программе учебной дисциплины, разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта для специальностей среднего профессионального образования.

В результате изучения темы студент должен:

знать:

• решение систем линейных уравнений методом Крамера;
• применение знаний при решении систем линейных уравнений.

уметь:  

• решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера
• решать системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

При разработке данного урока в зависимости от специфики подготовки студентов можно внести дополнения и изменения в содержание, последовательность изучения материала урока и распределение времени.

Наблюдается связь истории с математикой, при изучении материала использована задача прикладного характера для будущей практической деятельности, что прививает интерес к предмету. Данная методическая разработка содержит: учебно-методическую карту, ход, где сформулированы цели занятия и последовательность проведения урока, указан список литературы.

При проведении занятия, использованы учебные пособия, технические и наглядные средства обучения

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА

Дисциплина: Математика

Тема занятия: Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Вид занятия (тип урока): Комбинированный

Цели урока:

Дидактическая:

• повторить пройденный материал;
• углубить знания студентов по теме «Решение систем линейных уравнений»;

3) изучить решение систем линейных уравнений c помощью метода Крамера;         

4) научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.

Развивающая:

способствовать развитию:

• логического мышления;
• памяти;
• умению сравнивать, обобщать, анализировать;
• интереса к избранной специальности.

Воспитательная:

стремиться воспитывать:

• чувства ответственности, исполнительности, аккуратности;
• чувство гордости за избранную профессию;
• положительное отношение к знаниям, учениям;
• интерес к математике

Межпредметные связи:

Обеспечивающие: история, русский язык, информатика

Обеспечиваемые: специальные предметы

Обеспечение занятия:

1. Наглядные пособия: Приложение (Презентация к уроку), меловые иллюстрации
2. Раздаточный материал: карточки.
3. Технические средства обучения: калькуляторы, компьютеры, интерактивная доска

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент

Здравствуйте, студенты. Тема урока: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера». Ученый-математик Колмогоров А.Н. говорил: «Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления», поэтому математика связана с будущей специальностью. В результате изучения темы научимся решать задачи прикладного характера для профессиональной деятельности.

2. Постановка целей занятия

Цели урока: повторить пройденный материал; углубить знания по теме «Решение систем линейных уравнений»; изучить решение систем линейных уравнений с помощью метода Крамера; научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.

3. Проверка домашнего задания

4. Проверка знаний

Экспресс — опрос

1. Какое уравнение называется линейным?
2. Напишите систему m линейных уравнений с n переменными.
3. Назовите коэффициенты при переменных.
4. Какие числа называются свободными членами?
5. Что является решением системы?
6. Какие методы решения систем линейных уравнений знаете?

Ответы: Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

5. Изучение нового материала

В школьном курсе рассматриваются способ подстановки и способ сложения. В курсе высшей математике решают методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы. Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера

5.1 Знакомство с биографией Крамера

При изучении новой темы «Решение систем линейных уравнений методом Крамера» важное место занимает связь истории с математикой, что прививает интерес к предмету. Познакомимся с биографией Габриэля Крамера.

Сведения из истории

Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.

Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача.

Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.

В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне и других. Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.

В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.

В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего мира.

Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции

5.2 Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Теорема Крамера.

Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной свободными членами:

6. Закрепление.

6.1 Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера

2)  Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза.   Какова величина прибыли каждого из отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?

Решение. Пусть x и y – прибыли первого и второго отделений в минувшем году.

Тогда условие задачи можно записать в виде системы:

Решив систему, получим x = 4, y = 8.                                                

Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения — 4 млн усл. ед., второго — 8 усл.ед.: 

б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед.,

второго 1,4. 8 = 11,2 млн усл. ед.

При решении системы уравнений могут встретиться три случая:

1) система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия:

2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия:

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

3) система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия:

Система называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

6.2 Решение системы трех линейных уравнений с тремя двумя неизвестными методом Крамера

Ответ: (1; 0; -1) .

Решение. Находим определители системы:

Ответ: (1; 0; -1) .

7. Домашнее задание (слайд № 23)

Решите системы:

8. Подведение итогов

Подведем итоги урока. По результатам работы на уроке выставляются оценки, с последующей демонстрацией успеваемости в виде диаграммы на интерактивной доске.

Урок окончен. Спасибо за внимание. До свидания.

Литература:

Основная

1. Григорьев В.П.Дубинский Ю.А Элементы высшей математики. Москва, 2014
2. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика. Москва, 2008

Дополнительная

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математики. Москва, 2013

Интернет-ресурсы: www. en.edu.ru

ХОД УРОКА

Презентация «Решение системы линейных уравнений методом Крамера»

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными | Колледж Алгебра |

Решение систем с помощью правила Крамера

Вычисление определителя матрицы 2×2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезно в математике, поскольку имеет множество применений, например, для вычисления площади, объема и других величин. Здесь мы будем использовать определители, чтобы определить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы , чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимой матрицы и определителя. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Общее примечание. Найдите определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы

2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2

матрицы, заданной

A=[abcd]A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{массив}\right]A=[ac​bd​]

определяется как

Рисунок 1

Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, в том числе

det(A)\mathrm{det}\left(A\right)det(A)

и заменив скобки в матрице прямыми,

∣A∣|A|∣A∣

.

Пример 1. Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найдите определитель данной матрицы.

A=[52−63]A=\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{array}\right]A=[5−6​23​]

Решение

det(A)=∣52−63∣=5(3)−(−6)(2)=27\begin{массив}{l}\mathrm{det}\left(A\right)=|\ begin{массив}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{массив}|\qquad \\ =5\left(3\right)-\left(-6\right)\left(2\right)\ qquad \\ =27\qquad \end{массив}det(A)=∣5−6​23​∣=5(3)−(−6)(2)=27​

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Этот метод, известный как Правило Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий Курба. алгебры. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

a1x+b1y=c1(1)a2x+b2y=c2(2)\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1} \left(1\right)\\ {a}_{2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\left(2\right)\end{массив}a1​x+b1 ​y=c1​(1)a2​x+b2​y=c2​(2)​

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Скажем, мы хотим найти

xxx

. Если уравнение (2) умножается на коэффициент, противоположный

yyy

в уравнении (1), уравнение (1) умножается на коэффициент

yyy

в уравнении (2), и мы добавим два уравнения, переменная

yyy

будет исключена.

b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1Умножить R_1 на b_2−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2Умножить R_2 на −b_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1 c_2\begin{matrix} b\text{\textunderscore}{ 2}a\text{\textunderscore}{1}x+b\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}y=b\text{\textunderscore}{2}c\text{ \textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }b\text{\textunderscore}{2} \\-b\text{\textunderscore}{1 }a\text{\textunderscore}{2}xb\text{\textunderscore}{1}b\text{\textunderscore}{2}y=-b\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-b\text{\textunderscore}{2} \\ \text{——— —————} \\ b\text{\textunderscore}{2}a\text{\textunderscore}{1}xb\text{\textunderscore}{1}a\text {\ textunderscore} {2} x = -b \ text {\ textunderscore} {2} c \ text {\ textunderscore} {1} -b \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2 }\end{матрица}b_2a_1x+b_2b_1y=b_2c_1−b_1a_2x−b_1b_2y=−b_1c_2———————-b_2a_1x−b_1a_2x=−b_2c_1−b_1c_2​Умножить R_1 на b_2Умножить R_2 на −b_2

Теперь найдите

xxx

.

b2a1x−b1a2x=b2c1−b1c2x(b2a1−b1a2)=b2c1−b1c2 x=b2c1−b1c2b2a1−b1a2=[c1b1c2b2][a1b1a2b2]\begin{array}{l}{b}_{2}{a} _{1}x-{b}_{1}{a}_{2}x={b}_{2}{c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2 }\qquad \\ x\left({b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}\right)={b}_{2}{ c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2}\qquad \\ \text{ }x=\frac{{b}_{2}{c}_{1}-{ b}_{1}{c}_{2}}{{b}_{2}{a}_{1}-{b}_{1}{a}_{2}}=\frac{\ слева[\begin{массив}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end{массив}\right] }{\left[\begin{array}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{array} \right]}\qquad \end{массив}b2​a1​x−b1​a2​x=b2​c1​-b1​c2​x(b2​a1​-b1​a2​)=b2​c1​− b1​c2​ x=b2​a1​−b1​a2​b2​c1​−b1​c2​=[a1​a2​​b1​b2​][c1​c2​​b1​b2​]

Точно так же, чтобы решить для

yyy

, мы исключим

xxx

.

a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1Умножить R_1 на a_2−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2Умножить R_2 на −a_1————————a_2b_1y−a_1b_2y=a_2c_1−a_1c _2\begin{matrix} a\text{\textunderscore}{2 } а \ текст {\ textunderscore} {1} х + а \ текст {\ textunderscore} {2} б \ текст {\ textunderscore} {1} у = а \ текст {\ textunderscore} {2} с \ текст {\ textunderscore}{1} \qquad& \text{Multiply}R\text{\textunderscore}{1}\text{ by }a\text{\textunderscore}{2} \\-a\text{\textunderscore}{1} a \ text {\ textunderscore} {2} x-a \ text {\ textunderscore} {1} b \ text {\ textunderscore} {2} y = -a \ text {\ textunderscore} {1} c \ text {\ textunderscore} {2} \qquad& \text{Умножить}R\text{\textunderscore}{2}\text{ на }-a\text{\textunderscore}{1} \\ \text{——— ————-} \\ a\text{\textunderscore}{2}b\text{\textunderscore}{1}ya\text{\textunderscore}{1}b\text{ \textunderscore}{2}y=a\text{\textunderscore}{2}c\text{\textunderscore}{1}-a\text{\textunderscore}{1}c\text{\textunderscore}{2}\ end{matrix}a_2a_1x+a_2b_1y=a_2c_1−a_1a_2x−a_1b_2y=−a_1c_2————————a_2b_1y−a_1b_2y=a_2c_1−a_1c_2​Умножить R_1 на a_2Умножить R_2 на −a_1

Решение для

yyy

дает

−a2b1=∣a1c1a2c2∣∣a1b1a2b2∣\begin{массив }{l}{a}_{2}{b}_{1}y-{a}_{1}{b}_{2}y={a}_{2}{c}_{1} -{a}_{1}{c}_{2}\qquad \\ y\left({a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1}{b}_{ 2}\right)={a}_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}\qquad \\ \text{ }y=\frac{{a }_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}}{{a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1 }{b}_{2}}=\frac{{a}_{1}{c}_{2}-{a}_{2}{c}_{1}}{{a}_{1 }{b}_{2}-{a}_{2}{b}_{1}}=\frac{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{ 1}\\ {a}_{2}& {c}_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1 }\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|}\qquad \end{массив}a2​b1​y-a1​b2​y=a2​c1​-a1 ​c2​y(a2​b1​−a1​b2​)=a2​c1​−a1​c2​ y=a2​b1​−a1​b2​a2​c1​−a1​c2​​=a1​b2 ​−a2​b1​a1​c2​−a2​c1​=∣a1​a2​​b1​b2​​∣∣a1​a2​​c1​c2​​∣​​

Обратите внимание, что знаменатель для

xxx

и

yyy

является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для нахождения

xxx

и

yyy

, но правило Крамера также вводит новое обозначение: постоянный столбец и вычисление детерминанты. Тогда мы можем выразить

xxx

и

yyy

как частное двух определителей.

Общее примечание: правило Крамера для систем 2×2

Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}\\ {a}_{ 2}x+{b}_{2}y={c}_{2}\end{массив}a1​x+b1​y=c1​a2​x+b2​y=c2​​

Решение с использованием правила Крамера задается как

x=DxD=∣c1b1c2b2∣∣a1b1a2b2∣,D≠0; y=DyD=∣a1c1a2c2∣∣a1b1a2b2∣,D≠0x=\frac{{D}_{x}}{D}=\frac{|\begin{array}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& { b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}|},D\ne 0;\text{ }\text{ }y=\frac{{ D}_{y}}{D}=\frac{|\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{2}& {c }_{2}\end{массив}|}{|\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b} _{2}\end{массив}|},D\ne 0x=DDx​=∣a1​a2​​b1​b2​​∣∣c1​c2​​b1​b2​​∣​,D= 0; y=DDy​​=∣a1​a2​​b1​b2​​∣∣a1​a2​​c1​c2​​∣​,D=0

.

Если мы ищем

xxx

, столбец

xxx

заменяется столбцом констант. Если мы вычисляем

гггг

, столбец

гггг

заменяется столбцом констант.

Пример 2. Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующую систему

2 × 22\text{ }\times \text{ }22 × 2

, используя правило Крамера.

12x+3y=15 2x−3y=13\begin{массив}{c}12x+3y=15\\ \text{ }2x — 3y=13\end{массив}12x+3y=15 2x−3y=13​

Решение

Найдите

xxx

.

x=DxD=∣15313−3∣∣1232−3∣=−45−39−36−6=−84−42=2x=\frac{{D}_{x}}{D}=\frac {|\begin{массив}{rr}\qquad 15& \qquad 3\\ \qquad 13& \qquad -3\end{массив}|}{|\begin{массив}{rr}\qquad 12& \qquad 3\\ \qquad 2& \qquad -3\end{массив}|}=\frac{-45 — 39}{-36 — 6}=\frac{-84}{-42}=2x=DDx​=∣122​ 3−3​∣∣1513​3−3​∣​=−36−6−45−39​=−42−84​=2

Решите для

гггг

.

y=DyD=∣1215213∣∣1232−3∣=156−30−36−6=−12642=−3y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{|\begin {array}{rr}\qquad 12& \qquad 15\\ \qquad 2& \qquad 13\end{array}|}{|\begin{array}{rr}\qquad 12& \qquad 3\\ \qquad 2& \qquad -3\end{массив}|}=\frac{156 — 30}{-36 — 6}=-\frac{126}{42}=-3y=DDy​​=∣122​3−3​∣∣ 122​1513​∣​=−36−6156−30​=−42126​=−3

Решение:

(2,−3)\left(2,-3\right)(2,−3)

.

Попробуйте 1

Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений 2 × 2.

 x+2y=−11−2x+y=−13\begin{array}{l}\text{ }x+2y=-11\qquad \\ -2x+y=-13\qquad \end{array } x+2y=−11−2x+y=−13​

Решение

Лицензии и атрибуты

Контент с лицензией CC, конкретное авторство

• Precalculus. Автор: : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface. Лицензия : CC BY: Атрибуция

Предыдущая

Следующая

Системы трех уравнений: решение с использованием матриц и правила Крамера

Определяющий

Есть и другой способ решения систем уравнений с тремя переменными. Он включает в себя величину, называемую определителем.

Каждая матрица размером 90 247 м 90 248 × 90 247 м 90 248 имеет уникальный определитель. Определитель единый номер. Чтобы найти определитель 2×2 матрица , умножьте числа по диагонали вниз и вычтите произведение числа на восходящей диагонали:

detA = a ₁ b ₂ — a ₂ б ₁ .
Например,

Чтобы найти определитель матрицы 3×3, скопируйте первые два столбцы матрицы справа от исходной матрицы. Следующий, умножьте числа на трех нисходящих диагоналях и добавьте эти продукты вместе. Умножьте числа на восходящих диагоналях, и добавить эти продуктов вместе. Затем вычтите сумму из произведения восходящих диагоналей из суммы произведений диагоналей вниз (отнять второе число от первого число):

Пример : Найдите определитель:

Решение :

Шаг 1

Этап 2

Этап 3

Этап 4

10 — 80 = -70. detA = — 70.

Правило Крамера

Вспомните общую матрицу 3×4, используемую для решения систем из трех уравнения:

Эта матрица будет использоваться для решения систем по правилу Крамера. Мы разделите его на четыре отдельные матрицы 3×3:

D — матрица коэффициентов 3×3, а D _x , D 90 261 y и D _z являются результатом замены столбца констант одним из столбцы коэффициентов в Д .

Правило Крамера гласит:

х =
у =
z =

Таким образом, для решения системы трех уравнений с тремя переменными с использованием Правило Крамера,

1. Оформите систему в следующем виде:
   

   a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z 902 48 = д ₁
   a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z = d ₂
   a ₃ x + b ₃ y + c ₃ z = d ₃
   90 370

2. Создать D , D _x , D _y и D _z .
3. Найдите detD , detD _x , detD _y и detD _z .

Отображения. Инъективные и сюръективные отображения

Если указан закон, сопоставляющий каждому элементу множества А единственный элемент множества В, то говорят, что имеется однозначное отображение АВ.

Отображение АВ называется инъективным, если разные элементы множестваA переходят в разные элементы множества B: если а в, то .

Отображение АВ называется сюръективным, если каждый элемент множества В имеет свой прообраз в множестве А.

Если отображение одновременно инъективное и сюръективное, то оно называется биективным.

1. Пусть f: RR задано формулой f(x) = x²-1 (рис.3). Определить, является ли отображение f инъективным, сюръективным, биективным.

Область определения функции – R, область значений функции – [-1;+).

1. f – отображение. Если (х,у)  f и (х,z)  f , то y = z, так как (x,y)f, т.е. y = x²-1, (x,z)f, т.е. z = x²-1.

2. Найдутся х₁, х₂R, такие что х₁ х₂, но: f(x₁) = f(x₂), например, пусть х₁ = 1, х₂ = -1, тогда f(x₁) = 0 и f(x₂) = 0, т.е. х₁ х₂, а f(x₁) = f(x₂). Таким образом, это неинъективное отображение.

3. Так как область значений функции [1;+ ) не совпадает сR, то отображение несюръективно.

2. Пусть f: RR задано формулой f(x) = x⁴. Является ли отображение инъективным, сюръективным?

1. Поскольку х₁=2R, х₂ = -2R, f(2) = f(-2) = 16, т.е. х₁ х₂, а f(x₁) = f(x₂), то отображение неинъективно.

2. Для любого xR не существует f(х), такого что f(х) = -16, так как х⁴-16, поэтому отображение несюръективно.

3. Пусть отображение f: [0;+)[0;+) задано формулойf(x)=x². Является ли оно инъективным, сюръективным?

1. Для любых х₁, х₂[0;+), х₁х₂, f(x₁)=x₁², f(x₂)=x₂², но f(x₁) f(x₂), т.е для каждого х существует единственное f(x), следовательно, f(х) — инъективное отображение.

2. Для каждого значения f(x)[0;+) найдётся х[0;+), поэтомуf(х) — сюръективное отображение.

из 1. и 2. следует, что отображение биективно.

Всякое подмножество Г декартова произведения АхА называется отношением на множестве А.

Отношение Г называют рефлексивным, если aГа для всех aA.

Отношение Г называют симметричным, если аГbbГа.

Отношение Г называют транзитивным, если аГb, bГааГс.

Если отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.

1. Проверить, является ли D отношением эквивалентности на R, если D={(x;y)| sin x = sin y}.

1. D – рефлексивно, так как для любого R ()D, т.е. для любого xR имеем sin x = sin x.

2. D – симметрично, так как для любой пары (,)D имеем ()D, т.е. для любых R из (x,y)D следует, что sin x = sin y, тогда и sin y = sin x, следовательно, (y,x)D.

3. D – транзитивно, так как для любых а,b,cR из того что ()D и ()D следует, что ()D, т. е. если (x,y)D, то sinx=siny, если (y,z)D, то sin y = sin z, тогда sin x=sin z, следовательно, (x,z) D.

Из 1., 2., 3. следует, что D – отношение эквивалентности на R (где R – множество действительных чисел).

2. Упражнение. Выяснить, является ли отношением эквивалентности, если ху = {(x,y)| x = 3y}.

Mathway | Популярные задачи

Различия между инъективной функцией и сюръективной функцией

В математике функции широко используются для определения и описания определенных отношений между множествами и другими математическими объектами. Кроме того, функции можно использовать для наложения математических структур на множества.

Если никакие два компонента домена не указывают на одно и то же значение в совместном домене, функция является инъективной. Функция сюръективна, если каждый элемент в области определения указывает по крайней мере на один элемент в области определения. Если функция обладает как инъективными, так и сюръективными свойствами.

Инъекция A→B сопоставляет A с B, позволяя вам найти копию A внутри B. Сюръекция A→B сопоставляет A с B в том смысле, что изображение охватывает всю ширину B. Sur” – это латинское фраза, означающая «выше» или «выше», например, «избыток» или «обзор».

Инъективные и сюръективные функции

Инъективные функции

Инъективная функция или функция взаимно однозначного соответствия — это функция, которая отображает различные элементы одной области в различные элементы другой области.

Таким образом, рассмотрим f как функцию, область определения которой установлена ​​в A. Если для всех x и y в A функция называется инъективной.

Предположим, что f(x) = f(y), а затем продемонстрируем, что x = y.

Предположим, что x не равно y, и продемонстрируем, что f(x) не равно f. (Икс).

Субъективные функции

Сюръективная функция (также сюръективная или онто-функция) в математике — это функция f, которая отображает элемент x в каждый элемент y; то есть для любого y существует такой x, что f(x) = y. Другими словами, каждый элемент кодового домена функции является образом хотя бы одного элемента домена функции.

Если каждый элемент кодового домена отображается хотя бы в один элемент домена, кодовый домен является сюръективным или на. Другими словами, каждый элемент кодомена имеет непустой прообраз. Функция сюръективна, если ее образ совпадает с кодовым доменом.

Если диапазон f равен кодовой области f, функция f : A → B сюръективна, или on.RB в каждой функции с диапазоном R и кодовой областью B. Чтобы продемонстрировать, что данная функция сюръективна, мы должны установить, что Б Р; поэтому R = B будет истинным.

Различия инъективных и сюръективных функций

Заключение

В этой статье мы делаем вывод, что Injective также известен как «Один-к-одному». Сюръективный означает, что для каждого «В» есть по крайней мере одно «А», которое ему соответствует, если не больше. У нас не будет двух или более «А», указывающих на одно и то же «В», потому что это инъективно. Сюръективность означает, что для каждого «В» есть по крайней мере одно соответствие «А». (может быть больше одного). Неформально инъекция имеет не более одного входа, отображаемого на каждый выход, сюръекция имеет полный возможный диапазон на выходе, а биекция имеет оба критерия истинны.

Урок 7: Инъективное, Сюръективное, Биективное

Прежде чем мы запаниковаем из-за «страшности» трех слов, которыми назван этот урок, давайте вспомним, что терминологии нечего бояться — все, что она означает, это то, что у нас есть что-то новое учить! Как вы увидите к концу этого урока, эти три слова на самом деле совсем не страшны. У математиков есть забавный способ приписывать очень причудливые слова не очень глубоким идеям, и это один из таких примеров. Поэтому давайте продолжим и просто узнаем, что означают эти слова.

На предыдущем уроке мы узнали о функциях между наборами, что дало нам механизм связи элементов одного набора с элементами другого набора (хотя этот «другой» набор может быть самим набором: например, если , то функция f из A в A такая, что является совершенно хорошей функцией, как и функция g из A в A такая, что Мы помним, что функция является невероятно общим объектом: все, что нужно, это два множества и отношение между ними такой, что в одном из двух наборов есть каждый его элемент связан с ровно одним элементом в другом наборе.

И все. Других требований к функциям не было. В частности, если (напомним, что это читается как «если f — функция из множества A в множество B»), то f может быть таким, что оно отправляет каждый элемент в A в один и тот же элемент в B. Также не было Нет никаких требований к тому, сколько элементов в B должно быть «вызвано» функцией. Функция — это просто правило, которое присваивает каждому элементу A ровно один элемент B, а любое другое свойство, которым обладает функция, — это просто бонус.

Однако универсальность функций имеет свою цену. Цена заключается в том, что очень трудно что-то доказать об общей функции просто потому, что ее общность означает, что у нас очень мало структуры для работы. Таким образом, мы хотим сосредоточиться на определенных видах функций. То есть мы хотим ограничиться рассмотрением функций, обладающих определенными свойствами, чтобы мы могли использовать эти новые свойства для доказательства. На самом деле это очень общий шаблон в математике: мы определяем какой-то очень общий объект (множество, функцию или что-то еще), а затем медленно начинаем «добавлять структуру» к нему, чтобы мы могли что-то доказать. Под «добавлением структуры» я просто подразумеваю, что мы наделяем объект определенными дополнительными свойствами, так что, хотя он и теряет часть своей общности, он приобретает определенную структуру, которая позволяет нам задавать более интересные вопросы о нем.

Итак, какой тип «специальных функций» мы хотим здесь рассмотреть? Давайте рассмотрим, что такое функция, и спросим, ​​какими «наиболее очевидными» свойствами мы хотели бы обладать у некоторых функций. В оставшейся части этого урока пусть («пусть f будет функцией от множества A до множества B). Во-первых, вспомним, что f может отправить два разных элемента из A в один и тот же элемент из B. Например, если и , то функция, определяемая как , является совершенно хорошей функцией, несмотря на то, что и кошка, и собака отправляются к сыру. Предположим, однако, что f — функция, которая не не обладает этим свойством ни для каких элементов в A. А именно, предположим, что f не переводит никакие два различных элемента в A в один и тот же элемент B. Тогда мы назвали бы эту функцию инъективной . Давайте посмотрим пример.

Пусть A — набор мальчиков, B — набор девочек, и пусть f — функция «школьного танца». А именно, пусть f будет функцией, которая назначает мальчиков из A танцевать с девочками из B. Если бы f была просто какой-то старой функцией, то мог бы быть случай, когда все мальчики танцуют с одной и той же девочкой (конечно, неприятный опыт). ), или может быть так, что пять мальчиков танцуют с одной девочкой, а остальные мальчики танцуют с какой-то другой девочкой (все равно довольно неудобно). Но предположим, что каждому мальчику было назначено разных  девушек, чтобы ни одна девушка не танцевала более чем с одним мальчиком. Тогда эта функция была бы инъективной.

В этом примере становится очевидным одно важное качество инъективных функций, которое важно для нас при строгом определении инъективной функции. Предположим, вы сказали мне, что функция, которая связывает мальчиков с девочками, является инъективной, и предположим, что вы также сказали мне, что «мальчик 1» танцевал с «девочкой 17» и что «мальчик 56» также танцевал с «девочкой 17». Тогда я бы немедленно  знаю, что мальчик 1 и мальчик 56 на самом деле являются одним и тем же человеком (один и тот же элемент множества), потому что я знаю, что никакие два разных мальчика не танцуют с одной и той же девушкой (потому что вы сказали мне, что функция инъективна). Таким образом, инъективная функция — это такая функция, что если a — элемент в A, а b — элемент в A, и (f отправляет их к одному и тому же элементу в B), то a=b! Поэтому давайте сделаем это определение:

Определение 7. 1  Пусть будет функция из множества A в множество B. Тогда f равно инъективный  если для любых элементов a и b в A следует, что . //

Говоря менее формально, это определение говорит нам, что функция  определена как инъективная  Если каждый раз, когда два элемента в A передаются одному и тому же элементу в B, они должны фактически быть одними и теми же элементами в A для Начать с!

Давайте теперь еще раз вспомним школьный танец. Даже если функция инъективна, не обязательно у каждой девушки есть мальчик, с которым можно танцевать. А именно, девочек может быть больше, чем мальчиков. В этом случае, даже если только одному мальчику будет поручено танцевать с любой данной девушкой, все равно останутся девочки. Ситуация, конечно, хуже, если нескольким мальчикам разрешается танцевать с одной и той же девушкой (т. е. если функция не инъективна). Но предположим, что — это  достаточное количество мальчиков, чтобы у каждой девочки был партнер по танцам. Это все еще не обязательно означает, что у каждой девочки будет партнер по танцу, потому что мы могли бы, например, назначить всем мальчикам танцевать с одной и той же девочкой (оставив всех остальных без партнеров). Если, однако, мы распределили мальчиков таким образом, что каждая девочка имела партнера по танцу (возможно, более одного), то функция называется сюръективной .

Обратите внимание, что сюръективность ничего не говорит о сколько  мальчиков танцует с определенной девочкой, а только то, что с каждой девочкой хотя бы  один мальчик танцует с ней. Если бы было 10 мальчиков (обозначенных «мальчик 1», «мальчик 2» и т. д.) и 4 девочки (обозначенных аналогичным образом), то мы могли бы поручить мальчикам 1–7 танцевать с девочкой 1, а затем мальчику 8 танцевать. с девочкой 2, мальчиком 9 с девочкой 3 и мальчиком 10 с девочкой 4. Тогда у каждой девушки есть партнер, несмотря на то, что их у них очень разное количество. Теперь у нас достаточно, чтобы дать следующее определение:

Определение 7. 2 Пусть . Тогда f называется сюръективным , если для каждого элемента b в B существует некоторый элемент a в A такой, что . //

Проще говоря, это просто означает, что мы определяем функцию как сюръективную, если для каждого элемента в ее кодовом домене (помните «кодовой домен» из предыдущего урока?) мы можем найти какой-то элемент в его домене, который будет отправлен к этому. Может случиться так, что в ее области есть несколько различных элементов, которые мы могли бы найти, но пока мы всегда можем найти один, мы называем функцию сюръективной.

Мы заканчиваем этот урок определением, которое мы в конечном итоге изучим намного больше на следующем уроке. Учитывая то, что мы определили до сих пор, на самом деле это очень очевидное определение.

Определение 7.3 Пусть . Тогда f называется биективным , если оно одновременно инъективное и сюръективное. //

Обратите внимание, что это определение имеет смысл. Другими словами, мы видели, что у нас могут быть функции, которые являются инъективными и не сюръективными (если девочек больше, чем мальчиков), и у нас могут быть функции, которые являются сюръективными, но не инъективными (если мальчиков больше, чем девочек, то мы должны были отправить более одного мальчика хотя бы к одной из девочек). Таким образом, мы дополнительно ограничиваемся рассмотрением биективных функций. То есть класс биективных функций «меньше» класса инъективных функций, а также он меньше класса сюръективных. Более того, класс инъективных функций и класс сюръективных функций меньше, чем класс всех общих функций. Таким образом, мы потеряли некоторую общность, говоря, скажем, об инъективных функциях, но получили возможность описывать более подробную структуру внутри этих функций. Это окажется очень плодотворным в следующих уроках (по мере того, как мы продвигаемся к пониманию того, что существует более одного типа бесконечности).

Упражнения:

1) Определите два ваших любимых множества (числа, предметы домашнего обихода, дети и т.

Тесты по географии с правильными ответами пройти онлайн бесплатно

Тесты по географии с правильными ответами

Географический тест составить нелегко, но при этом занимательно. Какие темы затронуть в этот раз. Что будет интересно. Такой вопрос постоянно возникает. География это целый комплекс наук. Именно по тому, что поле деятельности огромно, вопросы теста по географии с ответами такие увлекательные и порой сложные. Когда мы подбираем варианты ответов, то не всегда стараемся облегчить ваш выбор. Иногда пытаемся запутать) Так что не расслабляйтесь. По названию теста по географии вы можете определить, насколько вам интересна та или иная тематика. В нашем разделе есть тесты на определение столицы страны. Судя по комментариям, они пользуются большой популярностью у наших посетителей. И это понятно. Множество людей любят путешествовать и стараются это делать. К всеобщему сожалению последние 1,5 года пандемии лишили этой радости. Но мы победим ее, и будем осваивать новые страны и континенты. Ну а пока есть вариант изучать теорию по географическим тестам. Кому стоит ответить на вопросы теста по географии:

• Любителям новых географических открытий;
• Путешественникам;
• Тем, кто интересуется процессами изменения Земли;
• Хочет больше узнать о жизни животных и растениях;
• Любит воду, любую — в реках, морях и океанах;
• Смотрит в небо и спрашивает себя, а что там выше;
• Тем, кто хочет проверить свои знания и поделится ими с друзьями;
• Тому, кто имеет 5-10 свободных минут;
• Кому скучно и желает отвлечься от рутины домашних дел или скучной офисной работы.

Вы подходите под какую-либо категорию? Признайтесь, «Да». Тогда потратьте несколько минут. Выберете приглянувшийся по заголовку тест по географии и ответьте на вопросы. Как вы думаете, тесты по географии это пустая трата времени? Вопрос как к этому действию относиться. Для вас важен только результат. Хорошо, просто проверьте свои знания. Если отнестись к этому как к развлечению, то с каким результатом пришли к финишу не имеет значение. Вы познакомились с новыми фактами, о которых не знали ранее. Пополнили багаж знаний. И это здорово. Пишите в комментариях, какие темы получили отклик. Прочитав ваше мнение, легче подобрать интересные факты. На какое количество вопросов в тесте по географии комфортно отвечать? Блиц-тест или объемный? Пишите. Для нас это действительно важно. Желаем вам интересных тестов по географии и 100%-результатов!

Тесты по географии: Помощь в сдаче экзаменов по географии

Рассматривается: тест по географии, подготовка к экзаменам по географии, пробные экзамены по географии, стратегии тестов по географии Тесты по географии могут быть сложной задачей для многих студентов, но при правильной подготовке и стратегиях вы сможете успешно сдать эти экзамены. В этом руководстве содержится все, что вам нужно знать о сдаче экзаменов по географии, от понимания формата экзамена до советов о том, как эффективно учиться. Вы также узнаете о различных типах доступных тестов по географии и о том, как использовать пробные экзамены и практические тесты в рамках подготовки к экзамену. С этим руководством у вас будут все инструменты, необходимые для успешной сдачи экзамена по географии.

Что такое тесты по географии и почему вы должны относиться к ним серьезно?

Рассматривается: географические тесты, географические тесты онлайн, элементы викторины по географии, типы географических вопросов) Тесты по географии — отличный способ проверить свои знания об окружающем мире. Прохождение тестов по географии может помочь вам понять различные типы вопросов по географии и элементы, из которых состоит викторина по географии. Серьезно отнесясь к этим тестам, вы сможете лучше познакомиться с миром и его различными особенностями, тем самым улучшив свое понимание глобальных проблем и тенденций. Кроме того, онлайн-тесты по географии могут дать возможность попрактиковаться и отточить свои навыки в этой области.

Как подготовиться к экзамену по географии с помощью эффективных стратегий подготовки

Рассматривается: советы по сдаче экзаменов по географии, методы изучения географии на экзаменах, методы подготовки к экзаменам, ) Сдача экзамена по географии может оказаться непростой задачей, особенно если вы не знаете, как правильно к нему подготовиться. Чтобы помочь вам сдать экзамен по географии, эта статья содержит полезные советы и методы эффективной подготовки. В нем будут обсуждаться лучшие способы изучения географии на экзаменах, как использовать доступные ресурсы и другие полезные стратегии, которые помогут вам с честью сдать экзамен по географии.

Каковы общие типы вопросов, задаваемых в тесте по географии?

Рассматривается: вопросы анализа карты, вопросы анализа диаграмм, вопросы анализа населения или вопросы анализа атласа) Тесты по географии часто используются для определения знаний учащегося о мире и его физических особенностях. Эти тесты обычно включают вопросы, связанные с анализом карт, анализом диаграмм, анализом населения и анализом атласа. Каждый тип вопросов требует от учащегося демонстрации своего понимания физических особенностей мира и того, как они взаимодействуют друг с другом. Имея возможность эффективно отвечать на эти типы вопросов, учащиеся могут продемонстрировать глубокое понимание географии.

Поиск полезных онлайн-ресурсов для успешной сдачи экзамена по географии

Рассматривается: география ресурсов проекта, лучшие онлайн-ресурсы для ЕГЭ по географии) Подготовка к экзамену по географии может быть сложной задачей, но с правильными онлайн-ресурсами вы можете быть уверены, что у вас есть вся информация и знания, необходимые для успеха. В этой статье мы рассмотрим некоторые из лучших доступных онлайн-ресурсов, которые помогут вам подготовиться к экзамену по географии. Мы обсудим типы доступных ресурсов и то, как они могут помочь вам подготовиться к экзамену. Кроме того, мы дадим советы о том, как использовать эти ресурсы, чтобы убедиться, что вы хорошо подготовлены, когда придет время сдавать экзамен.

Онлайн тесты без регистрации. Более 1000 на разные темы с ответами на каждый день!

Интересные онлайн тесты на каждый день. Разные темы совершенно бесплатно без всяких регистраций. На каждом тесте есть варианты ответов с картинками и пояснением. Пройди тест и узнай свой уровень знаний! Мы создали онлайн площадку для вас с лучшими занимательными тестами, чтобы вы могли проводить свободное время с пользой.

Последние Популярные

Тест на проверку смекалки: «Народное мышление» — попробуйте справиться с вопросами, где поможет только нестандартное мышление

4 Мая, 16:51

Хотим сразу предупредить, что ответы не были придуманы нами. Люди на улице действительно так отвечали на эти вопросы. Мы лишь собрали вместе самые популярные варианты и предлагаем тебе их отгадать. Удачи!

Разные тесты

#люди #логика #вопросы

Насколько хорошо вы можете концентрироваться? Тест проверка и тренировка мозга

2 Мая, 14:52

Люди делятся на три типа: аудиалы (слух), кинестетики (прикосновения) и визуалы (зрение). Конечно, строгого разделения нет, но один тип восприятия всегда преобладает. Если вы отлично запоминаете лица незнакомых людей, несмотря на то, что забываете их имена — этот тест для вас. Давайте проверим вашу зрительную память и способность концентрироваться.

Разные тесты

#память #мышление #восприятие

Тест на проверку дедукции: «Советские головоломки» — проверим насколько развита Ваша логика

27 Апреля, 13:59

Во время вступительного экзамена советский профессор мог иногда задать нестандартный вопрос. А именно, попросить абитуриента решить логическую задачку. И если будущий студент отвечал правильно, ему добавляли балл. А вы решите головоломки, которые были популярны в СССР? Мы собрали десять самых интересных задачек разной сложности из советских сборников. Включайте своё логическое мышление и пробуйте свои силы прямо сейчас!

Разные тесты

#СССР #логика

Вы можете называть себя культурно-образованным если пройдете этот тест: «Мировые шедевры живописи»

26 Апреля, 14:20

Количество художников на нашей планете примерно равняется 1,5 %, а это около 105 миллионов человек. В одном только Нью-Йорке насчитывается 300 тысяч мастеров кисти. Даже если вы не являетесь почитателем этого вида искусства и частым посетителем выставок, вы просто обязаны знать эти мировые шедевры живописи и их авторов. Проверьте, насколько вы эрудированны в этой области и попробуйте набрать максимальный балл.

Тесты по искусству

#живопись #картины #художники

Практические тесты Tests.com

25 ключевых преимуществ			Прочее Ко
1. Авторы элитных экзаменов		ДА. Наши практические экзамены и другие материалы были написаны экспертами в своей области с большим опытом, образованием и общими полномочиями (см. верхний правый столбец этой страницы), поэтому качество нашего контента не имеет себе равных. Если вы сравниваете наш пробный экзамен с экзаменом другой компании, знаете ли вы, кто написал их материал?	?
2. Мгновенное использование в любом месте		ДА. Получи это сейчас! Онлайн-обучение с мгновенным доступом по вашему расписанию. Онлайн + Мобильные + Карточки для печати + Аудио	?
3. Неограниченный доступ		ДА. Неограниченный доступ 24/7. Учитесь, когда вам это нужно. Нет повторяющихся платежей.	?
4. Удовлетворенность клиентов		ДА. Наш коэффициент возврата составляет всего около 3% по сравнению со средним показателем в электронной коммерции около 8%. Пример: «Спасибо за ваш продукт. Я им пользовался совсем немного и прошел тест с первого раза!!!» — Брэд Неудивительно, что у нас есть рейтинг A BBB.	?
5. Поддержка и обслуживание		ДА. Наши авторы практических экзаменов, рецензенты, редакторы и служба технической поддержки реагируют на ваши потребности и стараются помочь вам сдать экзамен с первого раза. Отзыв: «Я рекомендовал и буду продолжать рекомендовать вашу службу тестирования людям… Я ценю ваше усердие и тот факт, что вы достаточно заботились о том, чтобы связаться со мной снова… Ваше обслуживание клиентов и преданность своим клиентам — это то, что, очевидно, обеспечило вам успех. .» — Надежда	?
6. Бесплатные обновления вопросов		ДА. Когда мы добавляем новые вопросы, вы получаете их бесплатно!	?
	7.	ДА. При желании смоделируйте условия экзамена. TestSIM™ прост и гибок в использовании. Подробнее…	НЕТ
	8.	ДА. С TestNOTES ™ у вас есть возможность печатать заметки для любого вопроса для мгновенного подкрепления и последующего просмотра.	НЕТ
	9.	ДА. Наша система онлайн-обучения Focus Flash Cards™ позволяет настроить обучение по времени, разделам и т. д. Создавайте/делитесь своими собственными тоже. Не входит в наш экзамен по почтовой практике.	НЕТ
10. Опция режима обучения		ДА. У вас есть возможность протестировать с мгновенными подсказками для неправильных ответов и объяснениями правильных ответов.	?
11. Что нужно для подготовки		ДА. Выберите весь тест или практику по разделам. В отличие от продуктов по подписке, наш материал охватывает то, что вам нужно знать, без дублирования.	?
12. Легко читаемые вопросы		ДА. Формат вашего онлайн-аккаунта отображает один вопрос за раз. См. Пример.	?
13. Гибкое тестирование		ДА. Установите количество вопросов и лимит времени в соответствии с вашими потребностями ИЛИ смоделируйте реальный экзамен. Выберите Последовательный или Случайный порядок вопросов. См. Пример.	?
14. Мгновенный подсчет очков		ДА. Онлайн-формат автоматически оценивает ваш тест по мере его прохождения и по завершении.	?
15. Отчетность/Статистика		ДА. Просматривайте свои результаты и отслеживайте прогресс в режиме реального времени с помощью легко читаемых таблиц и графиков. См. Пример.	?
16. Обзор тестов/экзаменов		ДА. Отличный справочник для того, кто, что, почему, где и как фактического экзамена.	?
17. Советы по тестированию		ДА. Конкретные советы по действиям, чтобы улучшить свой результат.	?
18. Версия для печати		ДА	?
19. Компьютер/планшет/телефон		ДА. Гарантия работы с вашим устройством или возврат денег.	?
20. Звук включен		ДА. Наша система онлайн-обучения Focus FlashCards поддерживает аудио, поэтому вы можете гулять по пляжу и слушать свои карточки, продвигая их по своему усмотрению или устанавливая их на автовоспроизведение.	?
21. Университетские испытания		ДА. Наша система настолько хороша, что колледжи и университеты используют ее для подготовки своих выпускников к сертификационным экзаменам.	?
22. Подтвержденные результаты		ДА. С 2009 года test.com помог миллионам людей подготовиться к тестам.	?
23. Будущее онлайн-тестирование		ДА. Tests.com имеет 300 категорий тестов и продолжает расти. Получите одну тестовую систему для прохождения тестов с неограниченным доступом.	?
24. 100% гарантия прохождения		ДА. Сдать экзамен — гарантия или ваши деньги обратно. Кроме того, если вы не удовлетворены по какой-либо причине, сообщите нам об этом, и вы получите полный возврат средств. В любом случае, вы ничем не рискуете. Нажмите здесь, чтобы узнать подробности.	?
25. Лучшая общая покупка		ДА. В целом, только test.com предлагает эти 25 ключевых преимуществ и гарантирует ваши результаты.	НЕТ

Бесплатные практические тесты и обзоры подготовительных курсов

Почему мы лучшие

---

Создано экспертами

Контент

Все наши практические тесты были разработаны экспертами в соответствующих областях.

Наша команда имеет более чем 100-летний опыт работы в сфере образования.

Реалистичные практические тесты

и ответы

Наши бесплатные практические тесты помогут вам подготовиться к экзамену, задавая реалистичные вопросы, которые могут появиться на вашем реальном экзамене.

Используйте наши подробные объяснения ответов, чтобы учиться на своих ошибках.

Покрытие более 100 тестов

Мы предлагаем практические тесты, учебные материалы и обзоры подготовительных курсов для более чем 100 различных тестов.

Если будет тест, мы его проверим.

Беспристрастная подготовка

Обзоры курсов

Наша команда экспертов проводит эти подготовительные курсы для вас и дает честный и непредвзятый обзор того, что мы находим.

Наши обзоры подготовительных курсов постоянно обновляются, чтобы отражать новую информацию на рынке.

Довольные учащиеся

Пройдены практические тесты

Ответы на

практических вопросов

студентов помогли выбрать лучший подготовительный курс

Популярные практические тесты

Просмотреть все

Мы предлагаем материалы для подготовки более чем к 100 различным тестам. Мы специализируемся на бесплатных пробных тестах.

Наши бесплатные ресурсы для подготовки к экзаменам охватывают широкий спектр экзаменов, позволяя вам сдавать практические тесты для поступления в колледжи, поступления в аспирантуру, карьеры, интеллекта и личности, финансов, ухода за больными, обучения вождению и многого другого.

Практический тест стиля ACT

Практический тест CNA

Практический тест GED

Практический тест GMAT

Практический тест GRE

Практический тест HESI

IQ-тест

Практический тест LSAT

Практический тест MCAT

Практический тест SAT

Практический тест TEAS

Практический тест Wonderlic

Популярные обзоры подготовительных курсов

Просмотреть все

Наша преданная команда экспертов гордится тем, что предоставляет нашим пользователям лучшие обзоры подготовительных курсов. Мы считаем, что студенты имеют право на самую последнюю информацию при покупке подготовительного курса.

Учащиеся должны иметь возможность легко сравнивать различные варианты подготовительных курсов, доступные им. Наши обзоры подготовительных курсов постоянно обновляются и корректируются, чтобы отражать наиболее точную информацию.

Лучшие курсы подготовки к ACT

Лучшие курсы по обзору CPA

Лучшие курсы подготовки к DAT

Лучшие курсы подготовки к GMAT

Лучшие курсы подготовки к GRE

Лучшие подготовительные курсы HESI

Лучшие курсы подготовки к LSAT

Лучшие курсы подготовки к MCAT

Лучшие курсы подготовки к SAT

Лучшие курсы подготовки к TEAS

Образование, честность и доступность Guide Us

В Test-Guide мы сочетаем образование, честность и доступность. Мы достигаем этого:

• Создание абсолютно бесплатного контента. Мы не взимаем плату с пользователей ни за что. Мы хотим сделать образование максимально доступным для всех.
• Разработка практических тестов с экспертами в соответствующих областях. Вы можете быть спокойны, зная, что наши практические вопросы были разработаны экспертом.
• Рекомендация подготовительных курсов и продуктов на основе углубленных исследований. Наша команда проходит эти подготовительные курсы, чтобы предоставить полезную информацию, которая поможет вам принять обоснованное решение. 903:50
• Отслеживание изменений в экзаменах в образовательном пространстве и обновление нашего контента, чтобы наши пользователи получали самую актуальную информацию.

Последний

Что такое экзамен NCLEX?

Если вы пытаетесь стать дипломированной медсестрой, вам нужно сдать NCLEX-RN (Национальный совет…

ASVAB Практический тест на понимание механики

Наш практический тест ASVAB на понимание механики поможет вам лучше подготовиться к экзамену. …

Практический тест ASVAB по сборке предметов

Прохождение нашего практического теста ASVAB по сборке предметов поможет вам лучше подготовиться к экзамену. Некоторые…

В тренде

• Тест на гражданство США

  Тест на гражданство США

  Готовитесь к тесту на гражданство США? Используйте наш практический тест на гражданство ниже, чтобы потренироваться для…

• Практический тест ServSafe

  Практический тест ServSafe

  Подготовьтесь к экзамену с помощью наших практических тестов ServSafe. Программа обучения ServSafe по безопасности пищевых продуктов…

• Бесплатный практический экзамен по недвижимости

  Бесплатный практический экзамен по недвижимости

  Используйте бесплатный практический экзамен по недвижимости, чтобы подготовиться к экзамену на лицензию в сфере недвижимости — оценка…

Исследование по категориям

Allied Health

Карьера

Поступление в колледж

Рекомендуемые подготовительные курсы

Драйверы Эд

Образование

Английский язык

Финансы

Правительство и военные

Поступление в аспирантуру 9 0318

Эквивалент средней школы

Интеллект и личность

Сестринское дело

Все тесты

О Test-Guide

Test-Guide.

Решить уравнение со степенями онлайн калькулятор. Решение показательных уравнений по математике

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Степенные или показательные уравнения называют уравнения, в которых переменные находятся в степенях, а основанием является число. Например:

Решение показательного уравнения сводится к 2 довольно простым действиям:

1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания неодинаковые, ищем варианты для решения данного примера.

2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Допустим, дано показательное уравнение следующего вида:

Начинать решение данного уравнения стоит с анализа основания. Основаниея разные — 2 и 4, а для решения нам нужно, чтобы были одинаковые, поэтому преобразуем 4 по такой формуле -\[ (a^n)^m = a^{nm}:\]

Прибавляем к исходному уравнению:

Вынесем за скобки \

Выразим \

Поскольку степени одинаковые, отбрасываем их:

Ответ: \

Где можно решить показательное уравнение онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравненийматричным способом (см. пример решения подобных задач).

Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.

где А, В, С — задаваемые матрицы, Х — искомая матрица. Матричные уравнения вида (1), (2) и (3) решаются через обратную матрицу A -1 . Если задано выражение A·X — B = C , то необходимо, сначала сложить матрицы C + B , и находить решение для выражения A·X = D , где D = C + B (). Если задано выражение A*X = B 2 , то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат . Рекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами .

Пример №1 . Задание . Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Обратная матрица A -1:
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1

Ответ:

Пример №2 . Задание. Решить матричное уравнение
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.

Пример №3 . Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T:
Обратная матрица A -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1

Ответ: >

Удобный и простой онлайн калькулятор дробей с подробным решением может:

• Складывать, вычитать, умножать и делить дроби онлайн,
• Получать готовое решение дробей картинкой и удобно его переносить.



Результат решения дробей будет тут…

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Знак дроби «/» + — * :
_cтереть Очистить
У нашего онлайн калькулятора дробей быстрый ввод . Чтобы получить решение дробей, к примеру , просто напишите 1/2+2/7 в калькулятор и нажмите кнопку «Решать дроби «. Калькулятор напишет вам подробное решение дробей и выдаст удобную для копирования картинку .

Знаки используемые для записи в калькуляторе

Набирать пример для решения вы можете как, с клавиатуры, так и используя кнопки.

Возможности онлайн калькулятора дробей

Калькулятор дробей может выполнить операции только с 2-мя простыми дробями. Они могут быть как правильными(числитель меньше знаменателя), так и неправильными(числитель больше знаменателя). Числа в числителе и знаменатели не могут быть отрицательными и больше 999.
Наш онлайн калькулятор решает дроби и приводит ответ к правильному виду — сокращает дробь и выделяет целую часть, если потребуется.

Если вам нужно решить отрицательные дроби, просто воспользуйтесь свойствами минуса. При перемножении и делении отрицательных дробей минус на минус дает плюс. То есть произведение и делении отрицательных дробей, равно произведению и делению таких же положительных. Если одна дробь при перемножении или делении отрицательная, то просто уберите минус, а потом добавьте его к ответу. При сложении отрицательных дробей, результат будет таким же как если бы вы складывали такие же положительные дроби. Если вы прибавляете одну отрицательную дробь, то это тоже самое, что вычесть такую же положительную.
При вычитании отрицательных дробей, результат будет таким же, как если бы поменяли их местами и сделали положительными. То есть минус на минус в данном случае дает плюс, а от перестановки слагаемых сумма не меняется. Этими же правилами мы пользуемся при вычитании дробей одна из которых отрицательная.

Для решения смешанных дробей (дробей, в которых выделена целая часть) просто загоните целую часть в дробь. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте к числителю.

Если вам нужно решить онлайн 3 и более дроби, то решать их следует по очереди. Сначала посчитайте первые 2 дроби, потом с полученным ответом прорешайте следующую дробь и так далее. Выполняйте операции по очереди по 2 дроби, и в итоге вы получите верный ответ.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Показательные уравнения, формулы и примеры

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Простейшие показательные уравнения

В зависимости от знака такое уравнение имеет различное количество корней:

1. если , то уравнение (1) решений не имеет, то есть

      

2. если , то

      

Уравнения вида

1. Если .
2. Если .

Уравнения вида

Уравнения такого типа равносильны уравнению

Уравнения вида

1. Если , то обе части такого уравнения равны для любых .
2. Если , то уравнение эквивалентно уравнению .
3. В случае, если , то уравнение эквивалентно системе

Решение показательных уравнений сведением к общему основанию

Если левая и правая части заданного показательного уравнения содержат только произведения, частные, корни или степени, то рациональнее при помощи основных формул для степеней привести обе части равенства к одному основанию, то есть к уравнению вида (2).

Решение показательных уравнений вынесением общего множителя

Если показательное уравнение содержит выражение вида , причем показатели степени отличаются только свободным коэффициентом, то для решения необходимо вынести за скобки наименьшую степень .

Приведение показательных уравнений к квадратным

К показательным уравнениям, которые можно привести к квадратным, относятся следующие уравнения.

где — некоторые числа, .

В этом случае выполняется замена

где — некоторые ненулевые числа, причем , — произвольное действительное число. Для сведения к квадратному обе части уравнения необходимо умножить на :

Далее заменой получаем квадратное уравнение

Однородные показательные уравнения

Делением обеих его частей на (или ), сводим уравнение к показательному вида :

Схема решения таких уравнений следующая:

1) Делим обе части уравнения или на , или на , в результате получаем:

или

;

2) заменой последнее уравнение сводится к квадратному:

Урок 10. Нахождение области определения и области значения функции с помощью графика

Если функция задана графически, то для нахождения области определения её график надо спроектировать на ось  Ох. А если график функции спроектировать на ось  Оу, получим область изменения (значения) функции.

Нахождение области значений функции по её графику.

Постройте график функции. Во многих случаях проще найти область значений функции, построив её график.

Областью значений многих квадратичных функций является

(–∞, 0]  или  [0, ∞),

так как вершина параболы, направленной вправо или влево, лежит на оси  Х. В этом случае область значений включает все положительные значения  у, если парабола возрастает, или все отрицательные значения  у, если парабола убывает.

Вершины графиков некоторых функций лежат выше или ниже оси  Х. в этом случае область значений определяется координатой  у  вершины параболы.

ПРИМЕР:

Если координата  у  вершины параболы равна  –4, а парабола возрастает, то область значений равна

[–4, ∞).

Построив график функции, вы увидите на нём точку, в которой функция имеет минимальное значение. Если наглядного минимума нет, он не существует, а график функции уходит в бесконечность.

Построив график функции, вы увидите на нём точку, в которой функция имеет максимальное значение. Если наглядного максимума нет, он не существует, а график функции уходит в бесконечность.

Самый простой способ построить график функции – это воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением. Если нет графического калькулятора, постройте приблизительный график, подставив в функцию несколько значений  х  и, вычислив соответствующие значения  у, нанесите найденные точки на координатную плоскость, чтобы получить общее представление о форме графика.

ПРИМЕР:

Найдите область определения и область значения функции по графику.

РЕШЕНИЕ:

Из графика видно, что функция стремится в бесконечность и  вправо и влево вдоль оси  х, не пересекая её (на графике белая точка), а также пересекает ось  у  в точке  у = 9 (на графике тёмная точка),  значит область определения будет

(–∞, –∞).

Область значения очевидна:

(0, 9].

Ноль не входит в область значений, а девять входит.

алгоритм нахождения области значения функции

Что такое функции, области определения и значений функции

Определение 1

Функция — вид зависимости, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент другого множества.

В общем виде функцию в алгебре обозначают как y=f(x). Переменную x называют независимой переменной или аргументом функции, переменную y — зависимой переменной или значением функции.

Основными характеристиками функции являются:

• область определения;
• область значений.

Определение 2

Область определения — множество значений, которые может принимать аргумент функции, то есть переменная x. Область определения иногда называют областью допустимых значений. Обозначение области допустимых значений функции f: D (f).

Также область определения можно трактовать как проекцию графика функции на ось абсцисс.

Определение 3

Областью значений называется множество всех значений функции (переменной y), полученных при переборе всех значений переменной x из области определения. Принято следующее обозначение области значений: E (f).

В графическом изображении область значений — проекция графика функции на ось ординат.

Нахождение области значений осуществляется одним из следующих способов:

• графически;
• аналитически (по уравнению).

Способы нахождения области значений некоторых функций по графику

Чаще всего графический способ используют для функций с достаточно простой зависимостью. В этом случае построение графика не вызывает трудностей.

Приведем алгоритм нахождения области значений функции по графику:

1. Ищем область определения функции. Например, у показательной функции или параболы аргумент может принимать любое значение из множества действительных чисел R, то есть E(f)=R. Если выражение f(x) является дробным, область определения находится из условия неравенства нулю знаменателя. Если выражение f(x) находится под квадратным корнем, область определения можно узнать из неравенства f(x)≥0.
2. Строим график функции по точкам.
3. По графику функции находим ее минимум. Значение y_{min} будет являться нижней границей области значений. В том случае, когда минимум невозможно определить визуально, то есть функция не имеет минимума, границей будет -∞.
4. Аналогично определяем максимум y_{max} и, соответственно, верхнюю границу области значений. Если максимум не определяется, границей области значения является +∞.
5. Записываем область значений функции, при этом необходимо учесть точки разрыва, если они есть. Точки разрыва возникают, например, при исключении из области определения таких значений аргументов, при которых знаменатель обращается в ноль. Область значений записывают в виде числового промежутка. Границы, входящие в область, заключают в квадратные скобки, не входящие — в круглые. Если область значений включает в себя несколько числовых промежутков, их объединяют знаком «U», например: (-∞; 4]U[6; +∞).

Как найти область значений функции по уравнению

Нахождение области значений функции по заданному уравнению также сводится к вычислению экстремумов.

Рассмотрим два случая:

1. Нахождение области значений функции, непрерывной на некотором заданном отрезке.
2. Нахождение области значений функции, непрерывной на некотором интервале. Сюда же отнесем случаи, когда функция не существует в какой-либо точке. Например, точка нуля знаменателя, в которой функция не существует, а область определения терпит разрыв.

Алгоритм поиска области значений для первого случая:

1. Находим производную функции.
2. Приравниваем производную к нулю, находим корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует — критические точки.
3. Отмечаем корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определяем знаки производной на каждом получившемся промежутке.
4. Находим минимумы и максимумы функции. Если в некоторой точке x1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка x1 — максимум, если с «-» на «+» — минимум.
5. Подставляя значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), находим минимальное и максимальное значения функции. В том случае, если имеются точки, в которых производная не существует, значение функции вычисляем через пределы по формулам: limx→x1-0f(x)   и limx→x1+0f(x).
6. Записываем область значений функции.

Для второго случая:

1. Находим производную, приравниваем ее к нулю и определяем знаки производной на каждом промежутке.
2. Определяем значение функции в каждой из точек. Для определения значения функции в граничных точках, а также в точках разрыва или точках, в которых производная не существует, вычисляем пределы функции аналогично указанным в пункте 5 для первого случая.
3. Определяем и записываем область значений.

Примеры решений

Рассмотрим несколько примеров на нахождение области значений функции и приведем их решения.

Задача 1

Найти область значений функции y=x по графику.

Решение:

Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня всегда положительно, то есть x≥0, и область определения D(f(x))=[0; +∞). Теперь построим график функции.

Из графика видно, что минимальное значение переменная y принимает при x=0. Максимальное значение не определяется, при этом видно, что при возрастании x значении y также растет. Получили, что ymin=0, а область значений E(f(x))=[0; +∞).

Ответ: E(f(x))=[0; +∞).

Задача 2

Найти область значений функции y=4xx2+2 на отрезке [-2; 2].

Решение:

Найдем область определения функции. Функция представляет собой дробь, однако, ее знаменатель не будет равен нулю при любых значениях x. Действительно, квадрат любого числа есть положительное число, получили в знаменателе сумму положительных чисел. Тогда D=R, где R — множество действительных чисел.

Найдем производную функции: y'(x)=4xx2+2’=4(2-x2)(x2+2)2.

Приравняем числитель производной к нулю и найдем корни получившегося уравнения: 8-4×2=0;x1=-2иx2=2.

Отметим корни на координатной оси и, поочередно подставляя значения x=-4,-2,2,4, определим знаки производной на каждом промежутке.

Из рисунка видно, что функция имеет один минимум и максимум. Вычислим значения ymin и ymax:

ymin=y(-2)=4·(-2)(-2)2+2=-2;

ymax=y(2)=4·(2)(2)2+2=2.

Экстремумы функции входят в заданный интервал и не являются точками разрыва области определения функции, то есть минимальные и максимальные значения должны быть включены в область значений.

Ответ:E(f(x))=[-2;2].

Задача 3

Найти область значений функции y=5x+1 на области действительных чисел.

Решение:

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равным нулю, значит, D(f(x))=(-∞; -1)U(-1;+∞).

Найдем производную: y'(x)=-5(x+1)2.

Получили, что производная не равна нулю при любых x. При x=-1 знаменатель производной обращается в ноль, то есть в данной точке производная не существует.

Отметим точку x=-1 и рассмотрим два промежутка: (-∞;-1) и (-1;+∞).

Определим знаки производной на каждом промежутке.

 

Из рисунка видно, что функция убывает на обоих интервалах и не имеет максимума или минимума.

Теперь определим значение функции в точке x=-1, для чего вычислим пределы функции при x→-1-0 и x→-1+0.

limx→(-1-0)5x+1=5-1-0+1=5-0=-∞;

limx→(-1+0)5x+1=5-1+0+1=5+0=+∞.

Итак, точка x=-1 — это точка разрыва второго рода.

Значение функции на границах заданного интервала -∞ и +∞ также вычисляется с помощью пределов:

limx→-∞5x+1=5-∞+1=0;

limx→+∞5x+1=5+∞+1=0.

Данная функция является гиперболой с асимптотами x=-1 и y=0.

Область значений E(f(x))=(-∞; 0)U(0;+∞).

Ответ: E(f(x))=(-∞; 0)U(0;+∞).

Домен и диапазон — из графика

Функции в математике можно сравнить с работой автомата по продаже газированных напитков. Когда вы вкладываете определенную сумму денег, вы можете выбрать разные типы газированных напитков. Точно так же для функций мы вводим разные числа и в результате получаем новые числа. Домен и диапазон являются основными аспектами функций.

• Вы можете использовать четвертаки и однодолларовые купюры, чтобы купить содовую. Машина не даст вам никакого вкуса газировки, если вы введете пенни. Следовательно, домен представляет входные данные, которые мы можем здесь иметь, то есть монеты в четвертаке и однодолларовые купюры.
• Сколько бы вы ни заплатили, вы не получите чизбургер из автомата с газировкой. Таким образом, диапазон — это возможные выходы, которые мы можем здесь получить, то есть вкус газированных напитков в машине.

Давайте научимся находить область определения и область значений функции, а также отображать их.

1.	Что такое домен и диапазон?
2.	Домен и диапазон функции
3.	Домен функции
4.	Диапазон функции
5.	Как рассчитать домен и диапазон?
6.	Домен и диапазон экспоненциальных функций
7.	Область и диапазон тригонометрических функций
8.	Домен и диапазон функции абсолютного значения
9.	Домен и диапазон функции квадратного корня
10.	Домен и диапазон из графика
11.	Часто задаваемые вопросы о домене и диапазоне

Что такое домен и диапазон?

Домен и диапазон отношения представляют собой наборы всех координат x и всех координат y упорядоченных пар соответственно. Например, если соотношение R = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 3)}, то:

• Домен = набор всех x-координат = {1, 2, 3, 4}
• Диапазон = набор всех координат y = {2, 3}

Мы можем визуализировать это здесь:

Концепция домена и диапазона дополнительно реализована и для функций.

Домен и диапазон функции

Домен и диапазон функции являются компонентами функции. Домен — это набор всех входных значений функции, а диапазон — это возможный результат, заданный функцией. Домен → Функция → Диапазон. Если существует функция f: A → B такая, что каждый элемент множества A отображается в элементы множества B, то A является доменом, а B — со-областью. Образ элемента ‘a’ при отношении R задается как ‘b’, где (a,b) ∈ R. Областью значений функции является множество изображений. Область определения и область значений функции обозначаются в общем случае следующим образом: область определения (f) = {x ∈ R : условие} и область значений (f) = {f (x) : x ∈ область значений (f)}

Область определения и область значений этой функции f(x) = 2x задаются как область определения D = {x ∈ N}, область значений R = {y ∈ N: y = 2x}

Домен функции

Домен функции относится ко «всем значениям», которые могут быть введены в функцию без получения неопределенных значений. т. е. предметная область в математике — это набор всех возможных входных данных для функции. Рассмотрим приведенный выше блок как функцию f(x) = 2x ^{. При вводе значений x = {1,2,3,4,…} область определения представляет собой просто набор натуральных чисел. Но в общем случае (если область определения не указана как натуральные числа), f (x) = 2x определено для всех действительных значений x, и, следовательно, его областью определения является множество всех действительных чисел, которое обозначается (-∞, ∞) . Вот общие формулы, используемые для нахождения области определения различных типов функций. Здесь R — множество всех действительных чисел.}

Правила нахождения области определения функции

1. Область определения любой полиномиальной (линейной, квадратичной, кубической и т. д.) функции равна ℝ (все действительные числа).
2. Область определения функции квадратного корня √x равна x ≥ 0.
3. Область определения экспоненциальной функции ℝ.
4. Область определения логарифмической функции x>0.
5. Чтобы найти область определения рациональной функции y = f(x), установите знаменатель ≠ 0.

Как найти домен функции?

Чтобы найти область определения функции, мы просто применяем одно из вышеупомянутых правил определения области определения в зависимости от типа функции. Вот несколько примеров:

Пример 1: Чтобы найти область определения функции f(x) = √(x + 3), мы применяем упомянутое выше правило 2. Тогда получаем: x + 2 ≥ 0. Решая это неравенство, получаем x ≥ -2. Таким образом, область определения функции f(x) равна [-2, ∞).

Пример 2: Чтобы вычислить область определения функции g(x) = (2x + 1) / (x — 2), мы применяем упомянутое выше правило 5. Тогда мы получаем x — 2 ≠ 0. Решая это, мы получаем x ≠ 2. Таким образом, его областью определения является множество всех действительных чисел, кроме 2, которое в интервальной записи может быть записано как (-∞, 2) ∪ (2, ∞ ).

Диапазон функции

Диапазон функции — это набор всех ее выходов. Пример. Рассмотрим функцию f: A → B, где f(x) = 2x и каждое из A и B = {множество натуральных чисел}. Здесь мы говорим, что А — домен, а В — содомен. Затем выход этой функции становится диапазоном. Диапазон = {множество четных натуральных чисел}. Элементы домена называются прообразами, а отображаемые элементы содомена называются изображениями. Здесь областью значений функции f является множество всех изображений элементов области (или) множество всех выходов функции.

Правила нахождения диапазона функции

Лучший способ определить диапазон функции — построить ее график и посмотреть на значение y, которое охватывает график. Но вот общие правила, используемые для поиска диапазона некоторых популярных функций. Обратите внимание, что здесь ℝ представляет собой набор всех действительных чисел.

1. Диапазон линейной функции ℝ.
2. Диапазон квадратичной функции y = a(x — h) ² + k равен:
   y ≥ k, если a > 0 и
   y ≤ k, если a < 0
3. Диапазон функции извлечения квадратного корня: y ≥ 0.
4. Диапазон экспоненциальной функции: y > 0.
5. Диапазон логарифмической функции ℝ.
6. Чтобы найти диапазон рациональной функции y = f(x), решите ее относительно x и установите знаменатель ≠ 0.

Как найти диапазон функции?

Если функция присутствует в одной из функций, упомянутых в приведенных выше правилах, мы можем сразу же применить правила и найти ее диапазон. В противном случае мы можем построить график и посмотреть на значения y, которые покрывает график, чтобы вычислить диапазон. Вот несколько примеров:

Пример 1: Чтобы вычислить диапазон функции f(x) = 2 (x — 3) ² — 5, примените упомянутое выше правило 1. Тогда его диапазон равен y ≥ -5 (или) [-5, ∞).

Пример 2: Чтобы найти область значений функции g(x) = ln (2x — 3) + 4, мы применяем правило 4. Тогда мы получаем, что область значений представляет собой множество всех действительных чисел (ℝ) .

Как рассчитать домен и диапазон?

Предположим, X = {1, 2, 3, 4, 5} и Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Рассмотрим функцию f: X → Y, где R = {(x,y) : y = x+1}.

• Домен = входные значения. Таким образом, Домен = X = {1, 2, 3, 4, 5}
• Диапазон = выходные значения функции = {1 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 5 + 1} = {2, 3, 4, 5, 6}

Обратите внимание, что Y здесь кодовый домен, а НЕ диапазон.

Давайте разберемся в предметной области и диапазоне некоторых специальных функций, принимая во внимание различные типы функций.

Домен и диапазон экспоненциальных функций

Функция у = ^x , a ≥ 0 определяется для всех действительных чисел. Следовательно, областью определения экспоненциальной функции является вся вещественная прямая. Экспоненциальная функция всегда дает положительное значение. Таким образом, диапазон экспоненциальной функции имеет вид y= a ^x is {y ∈ ℝ: y > 0}. Следовательно, домен = ℝ, диапазон = (0, ∞)

Пример: Посмотрите на график этой функции f: 2 ^x

Обратите внимание, что значение функции ближе к 0, когда x стремится к ∞ но она никогда не достигнет значения 0. Область определения и диапазон экспоненциальных функций задаются следующим образом:

• Домен: Домен функции — множество ℝ.
• Диапазон: Экспоненциальная функция всегда приводит к положительным действительным значениям.

Область и диапазон тригонометрических функций

Посмотрите на график функций синуса и косинуса. Обратите внимание, что значение функций колеблется между -1 и 1 и определено для всех действительных чисел.

Таким образом, для каждой из функций синуса и косинуса:

• Домен: Областью определения функций является множество ℝ (или) (-∞, + ∞).
• Диапазон: Диапазон функций [-1, 1]

Область определения и диапазон всех тригонометрических функций показаны ниже:

Тригонометрические функции	Домен	Диапазон
sin θ	(-∞, + ∞)	[-1, +1]
потому что θ	(-∞ +∞)	[-1, +1]
тан θ	ℝ — (2n + 1)π/2	(-∞, +∞)
кроватка θ	ℝ — №	(-∞, +∞)
сек θ	ℝ — (2n + 1)π/2	(-∞, -1] U [+1, +∞)
косек θ	ℝ — №	(-∞, -1] U [+1, +∞)

Домен и диапазон функции абсолютного значения

Функция y = |ax + b| определено для всех действительных чисел. Итак, область определения функции абсолютного значения — это множество всех действительных чисел. Абсолютное значение числа всегда дает неотрицательное значение. Таким образом, диапазон функции абсолютного значения вида y= |ax+b| есть {y ∈ ℝ | у ≥ 0}. Область определения и диапазон функции абсолютного значения задаются следующим образом

• Домен = ℝ
• Диапазон = [0, ∞)

Пример: Найдите область определения и область значений функции f(x) = |6 — x|.

• Домен: Домен функции — множество ℝ.
• Диапазон: Диапазон: [0, ∞)

Домен и диапазон функции квадратного корня

Функция квадратного корня имеет вид f(x) = √(ax+b). Мы знаем, что квадратный корень из отрицательного числа не определен. Таким образом, функция y= √(ax+b) определена только тогда, когда ax + b ≥ 0. Когда мы решим это для x, мы получим x ≥ -b/a.

Итак, область определения функции извлечения квадратного корня — это множество всех действительных чисел, больших или равных -b/a. Мы знаем, что квадратный корень всегда дает неотрицательное значение. Таким образом, областью действия функции квадратного корня является множество всех неотрицательных действительных чисел. Следовательно, область определения и область значений функции квадратного корня задаются следующим образом: Область определения = [-b/a, ∞), Область значений = [0, ∞)

Пример. Вычислите область определения и область значений функции h(x) = 2- √(-3x+2).

Домен: Функция извлечения квадратного корня определяется только тогда, когда значение внутри нее является неотрицательным числом. Итак, для домена

-3x+2 ≥ 0

-3x ≥ -2

x ≤ 2/3

Диапазон: Мы уже знаем, что функция квадратного корня всегда дает неотрицательное значение.

√(-3x+2) ≥ 0

Умножение -1 с обеих сторон

-√(-3x+2) ≤ 0

Добавление 2 с обеих сторон

2-√(-3x+2) ≤ 2

y≤ 2

Таким образом, область определения h(x) = (-∞, 2/3] и область значений h(x) = (-∞, 2].

Домен и диапазон из графика

Очень легко найти домен и диапазон графа. Набор значений x, покрываемых графиком, дает домен, а набор значений y, покрываемых графиком, дает диапазон. Но обратите внимание на следующие вещи, записывая домен и диапазон на графике.

• Посмотрите, проходит ли график тест вертикальной линии. В противном случае это не функция, и мы обычно не определяем область и диапазон для таких кривых.
• Если на графике есть какая-то дыра, то ее координаты не должны быть в домене и диапазоне.
• Если есть вертикальная асимптота, то соответствующего значения x не должно быть в области.
• Если есть горизонтальная асимптота, то соответствующее значение x не должно быть в диапазоне.
• Если граф разбит на части, то мы получаем несколько наборов/интервалов в домене и диапазоне и объединяем все такие наборы/интервалы символом «объединения» (∪).
• Если на конце кривой есть стрелка, то это означает, что кривая должна бесконечно продолжаться в этом конкретном направлении.

Пример 1:

Вот пример графика, и мы найдем домен и диапазон графика.

На приведенном выше графике:

• Все значения x от -∞ до ∞ покрываются графиком (из-за стрелок две кривые продолжаются бесконечно в заданных направлениях). Следовательно, область определения = (-∞, ∞).
• Все значения y, большие или равные или равные 0, покрываются графиком (см., что нет части кривой, которая находится ниже оси y). Следовательно, диапазон = [0, ∞).

Пример 2: Используя тот же процесс, упомянутый выше, домен графика ниже [-5, ∞), а его диапазон от графика равен (-∞, 5].

Диапазон:

• Область определения и диапазон функции — это набор всех возможных входов и выходов функции соответственно.0006
• Чтобы найти область определения функции f(x), подумайте, для каких значений x она определена.
• Чтобы вычислить диапазон функции f(x), подумайте, какие значения y она будет давать. Самый простой способ найти область значений функции — построить ее график.

☛ Связанные темы:

• Графические функции
• Кубические функции
• Обратные тригонометрические функции

Часто задаваемые вопросы о домене и диапазоне

Что такое домен и диапазон функции?

Домен и диапазон функции представляют собой набор всех входных и выходных данных, которые функция может дать соответственно. т. е. для любой функции y = f(x):

• областью определения является множество всех значений x, для которых f(x) определено.
• диапазон — это набор всех значений y, которые производит функция f(x).

Как записать домен и диапазон?

Мы пишем домен и диапазон функции как набор всех входов, которые функция может принимать, и выходов функций соответственно. Поскольку это не что иное, как наборы, мы можем записать их либо в форме обжарщика, либо в нотации построителя наборов. Домен и диапазон в обозначении интервала включают в себя открытые и квадратные скобки.

Как найти домен и диапазон графа?

Домен из графика — это набор всех значений x, которые охватывает график, а диапазон графика — это набор всех значений y, которые он охватывает.

Что такое область определения и диапазон постоянной функции?

Пусть постоянная функция равна f(x) = k. Область определения постоянной функции задается ℝ, то есть набором действительных чисел. Диапазон постоянной функции задается одноэлементным набором {k}. Домен и диапазон постоянной функции задаются как домен = ℝ и диапазон = {k}, который является одноэлементным набором.

Что такое определение предметной области в математике?

Область математики обычно определяется для отношений/функций. Область определения функции — это множество всех значений, которые можно в нее ввести. Например, для функции f(x) = √x в нее можно вводить только неотрицательные значения. Таким образом, его областью определения является множество всех неотрицательных действительных чисел.

Как найти область определения рациональной функции?

Чтобы найти область определения рациональной функции, мы просто устанавливаем знаменатель не равным нулю. Например, чтобы найти область определения f(x) = 2/(x-3), мы устанавливаем x-3 ≠ 0, решая это, мы получаем x≠3. Таким образом, областью определения является множество всех рациональных чисел, кроме 3. В интервальной записи это можно записать как (-∞, 3) U (3, ∞).

Каковы правила определения области определения функции?

Вот несколько общих правил, используемых для нахождения области определения различных типов функций:

• f(x) = многочлен, областью определения является множество всех действительных чисел.
• f(x) = 1/x, домен, если множество всех действительных чисел, кроме x≠0.
• f(x) = √x, домен, если множество всех действительных чисел, таких что x ≥ 0.
• f(x) = ln x, областью определения является множество всех действительных чисел, для которых x > 0.

Как найти домен и диапазон функций?

Чтобы найти область определения функции y = f(x), нам нужно найти множество всех возможных значений x, которые не делают функцию неопределенной. Общие примеры включают деление на 0, извлечение квадратного корня из отрицательных чисел и т. д. Чтобы вычислить диапазон функции, представьте, какие значения y выдает функция. Когда воображение невозможно, нарисуйте график функции и посмотрите на значения y, которые покрывает график.

Как найти диапазон рациональной функции?

Чтобы найти диапазон рациональной функции, мы просто решаем уравнение относительно x и устанавливаем знаменатель не равным нулю. Например, чтобы найти диапазон y=2/(x-3), сначала решите его для x. Тогда мы получаем x-3 = 2/y и отсюда x = (2/y) + 3. Тогда его диапазон равен y≠0 (или) в интервальной записи, (-∞, 0) U (0, ∞ ).

Как найти область определения и область значений уравнения?

Чтобы найти область определения и область значений уравнения y = f(x), определите значения независимой переменной x, для которой определена функция. Чтобы вычислить диапазон функции, мы просто выражаем уравнение как x = g (y), а затем находим область определения g (y).

Как рассчитать домен и диапазон по графику функции?

Набор всех координат x всех точек кривой дает домен, а набор всех координат y всех точек кривой дает диапазон. Каждый из домена и диапазона может быть записан как набор или интервал.

В чем разница между доменом и диапазоном функции?

Домен и Диапазон функции являются компонентами функции. Область определения функции — это набор всех возможных входных данных для функции, тогда как диапазон функции — это набор всех выходных данных, которые может дать функция.

Что такое домен и диапазон отношения?

Домен и диапазон отношения находятся следующим образом. Пусть R — отношение непустого множества A к непустому множеству B. Область определения и диапазон отношения — это множество первых элементов и вторых элементов соответственно в упорядоченных парах в отношении R, называемое доменом.

Что такое домен и диапазон составных функций?

Пусть составная функция равна h(x) = (f ∘ g)(x). Область определения и диапазон значений h определяются следующим образом. Область определения h либо совпадает с областью определения f, либо лежит в пределах области определения f. Диапазон h должен лежать в диапазоне g. Пусть f(x) = x ² и g(x) = x+ 3. Мы знаем, что g: X → Y и f: Y → Z. Затем туман: X → Z. f(g(x)) = (x+3) ² . Таким образом, домен и диапазон: domain= {Все элементы множества X}, range= {все элементы множества Z}

Что такое домен и диапазон квадратичной функции?

Область определения и область значений квадратичной функции y = a(x — h) ² + k определяют характер параболы: направлена ​​она вверх или вниз.

• y ≥ k, если функция имеет минимальное значение, т. е. когда a > 0 (парабола раскрывается)
• y ≤ k, если функция имеет максимальное значение, то есть когда a < 0 (парабола раскрывается вниз)

Как найти диапазон графика?

Ось Y отвечает за диапазон. Таким образом, чтобы найти диапазон графика, посмотрите на значения y, охватываемые графиком. Самые высокие и самые низкие значения графиков полезны при записи диапазона графика.

Поиск домена и диапазона по графикам | Колледж Алгебра |

Домен и диапазон

Другим способом определения области и диапазона функций является использование графиков. Поскольку домен относится к набору возможных входных значений, домен графика состоит из всех входных значений, показанных на оси 90 563 x 90 564. Диапазон представляет собой набор возможных выходных значений, которые показаны на оси и . Имейте в виду, что если график выходит за пределы видимой части графика, домен и диапазон могут быть больше, чем видимые значения. См. рис. 6.

Рисунок 6

Мы можем заметить, что граф простирается по горизонтали от

−5-5−5

вправо без границ, поэтому домен равен

[−5,∞)\left[-5,\ infty \right)[−5,∞)

. Вертикальный экстент графика — это все значения диапазона

555

и ниже, поэтому диапазон равен

(−∞,5]\left(\mathrm{-\infty },5\right](−∞,5 ]

. Обратите внимание, что домен и диапазон всегда записываются от меньших значений к большим или слева направо для домена и от нижней части графика к верхней части графика для диапазона.

Пример 6. Поиск домена и диапазона на графике

Найдите область определения и область значений функции

fff

, график которой показан на рис. 7.

рис. домен

fff

 составляет

(−3,1]\left(-3,1\right](−3,1]

.

Рисунок 8

Протяженность графика по вертикали от 0 до –4, поэтому диапазон равен

[−4,0)\влево[-4,0\вправо)[−4,0)

.

Пример 7. Определение области и диапазона по графику добычи нефти

Найдите область определения и диапазон функции

fff

, график которой показан на рисунке 9.

Рисунок 9. (кредит: модификация работы Управления энергетической информации США) горизонтальная ось — это «годы», которые мы представляем с помощью переменной

ttt

для времени. Выходное количество — «тысячи баррелей нефти в день», которое мы представляем с помощью переменной

bbb

для баррелей. Граф может продолжаться влево и вправо за пределами того, что просматривается, но на основе видимой части графа мы можем определить домен как

1973≤t≤20081973\le t\le 20081973≤t≤t≤2008

и диапазон приблизительно равен

180≤b≤2010180\le b\le 2010180≤b≤2010

.

В интервальных обозначениях домен равен [1973, 2008], а диапазон равен примерно [180, 2010]. Для домена и диапазона мы аппроксимируем наименьшее и наибольшее значения, поскольку они не попадают точно на линии сетки.

Попробуйте 6

Учитывая график на рисунке 10, определите домен и диапазон, используя обозначение интервала.

Рисунок 10

Решение

Вопросы и ответы

Могут ли домен и диапазон функции совпадать?

Да. Например, область определения и диапазон функции кубического корня — это множество всех действительных чисел.

Лицензии и атрибуции

Контент с лицензией CC, совместно используемый ранее

• Precalculus. Автор : Джей Абрамсон и др. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://openstax.

20 программ и сервисов для создания диаграмм и графиков

Сложным отчётам и презентациям просто необходим качественный визуал, который поможет передать информацию доступно и понятно. 

Одна картинка может заменить несколько страниц текста. Поэтому инфографика так популярна. Кроме того, создать её может каждый — с помощью специального софта: в этой статье мы собрали самые популярные программы, с помощью которых можно быстро сделать диаграммы, графики и схемы под любые задачи.

Содержание

1. 1. Diagrams.net
2. 2. Creately
3. 3. Mindmeister
4. 4. Canva
5. 5. Crello
6. 6. Gliffy.com
7. 7. Microsoft Visio
8. 8. SmartDraw.com
9. 9. Grapholite.com
10. 10. OmniGraffle
11. 11. Textografo.com
12. 12. Lucidchart.com
13. 13. Dia
14. 14. yEd Graph Editor
15. 15. Pencil Project
16. 16. LibreOffice Draw
17. 17. Diagram Designer
18. 18. PlantUML
19. 19. AceIT Grapher
20. 20. Advanced Grapher

1.

Diagrams.net

Бесплатный онлайн-инструмент, с помощью которого можно сделать диаграммы, блок-схемы, графики, различные фигуры и объединять их во взаимосвязанные сложные проекты. 

Чтобы начать работу с сервисом, нужно зайти на сайт, выбрать место для хранения создаваемых проектов — и можно приступать к построению диаграммы. В сервисе есть несколько готовых макетов. Их настройки доступны в верхней части главного экрана.

Плюсы: 

• бесплатное использование;
• сохранение диаграмм в трёх форматах — JPEG, PNG, SVG;
• функция совместного редактирования;
• интеграция с Google Drive.

Минусы:

• мало готовых макетов.

2. Creately

Многофункциональный онлайн-конструктор, который доступен для совместной сетевой работы. Веб-ресурс предлагает готовые шаблоны с организационными диаграммами под конкретный вид бизнеса — маркетинг, медицина, продажи и т. д. Все ключевые функции можно легко найти, а стиль фигуры, её цвет, содержимое, тип шаблона меняются парой кликов.  

Есть бесплатная и платная версии инструмента. В бесплатной версии доступны все базовые функции, но в одной папке можно создавать не более 3 файлов.

Плюсы: 

• есть русский язык;
• большое количество готовых шаблонов;
• простой интерфейс;
• доступен совместный режим работы над проектом;
• 4 формата для сохранения файлов.

Минусы:

• ограничение функций в бесплатной версии.

3. Mindmeister

Отличный онлайн-инструмент для майндмэппинга (технологии составления интеллектуальных карт). В Mindmeister можно работать не только с картами, но также с презентациями и организационными диаграммами. В библиотеке доступны готовые шаблоны, в которые остаётся только внести информацию. 

Благодаря режиму совместной работы разные сотрудники могут добавлять в одну диаграмму (на карту, в презентацию) элементы или наоборот — отменять изменения. 

В бесплатной версии можно сделать не более 3 графических объектов, платный тариф количество проектов не ограничивает.  

Плюсы: 

• интеграция с онлайн-ресурсом MeisterTask;
• возможность встраивать инструмент на сайт;
• доступен совместный сетевой режим;
• функция создания презентаций;
• возможность загружать свои картинки и фоны для диаграмм.

Минусы:

• ограничение некоторых функций в бесплатной версии;
• готовые шаблоны только на английской языке.

4. Canva

Многофункциональный редактор для создания графики. В нем можно выбрать готовые макеты, которые привлекают внимание и обходят баннерную слепоту. 

Для построения диаграмм доступно более двадцати групп шаблонов: гистограммы, линейные, кольцевые, круговые, организационные диаграммы, диаграмма Венна и другие. В шаблоне можно изменить цвета, текст, анимации.

В бесплатной версии приложения доступны все встроенные шаблоны, сотни фотографий для добавления в макет, совместный режим работы, 5 ГБ памяти в облачном хранилище. 

Плюсы: 

• понятный интерфейс;
• автоматическое сохранение изменений;
• доступен совместный режим;
• шаблоны сохраняются как индивидуальный готовый макет;
• есть мобильное приложение;
• большое количество функций в бесплатном тарифе.

Минусы:

• для работы требуется устройство с большим объёмом оперативной памяти и качественным Интернет-соединением.

5. Crello

Онлайн-инструмент, который подходит для регулярной работы с графическими данными. Для создания диаграммы можно использовать готовые шаблоны, отредактировать их под собственный стиль и цели. В диаграмму можно добавлять изображения, разнообразные фигуры, наклейки и другие объекты из готовой библиотеки медиафайлов. 

После создания диаграммы её можно подогнать под нужные размеры, выгрузить сразу в социальные сети или скачать на компьютер.

Есть бесплатная и платная версии ресурса. В платной версии доступны такие популярные функции, как автоматическое удаление фона и режим совместной сетевой работы.

Плюсы: 

• более 50 миллионов готовых медифайлов для редактирования проекта;
• доступен совместный режим;
• выгрузка файлов сразу в социальные сети;
• загрузка собственных визуальных элементов и шрифтов.

Минусы:

• ограниченные возможности при использовании офлайн-версии.

6. Gliffy.com

Gliffy подойдет для создания рабочих диаграмм, детализации последовательности действий команды, формирования блок-схем.

В редакторе есть возможность работать как с готовыми дизайнами, так и начать проект с нуля. У ресурса простое управление, которое разделено на две панели: боковая, которая используется для работы со вставкой и перемещением фигур, и верхняя, в которой размещены инструменты редактирования.

Можно использовать ресурс в рамках ограниченной бесплатной версии или оформить платную подписку.

Плюсы: 

• несколько форматов для экспорта проектов — PDF, JPEG, PNG, SVG;
• доступен совместный режим;
• большая библиотека медиафайлов и элементов;
• авторские готовые шаблоны и дизайны;
• интеграция с Google Drive.

Минусы:

• для работы необходимо интернет.

7. Microsoft Visio

Этот инструмент входит в пакет офисных программ Microsoft Office 365. Поэтому доступен экспорт сведений из других инструментов Microsoft Office.

В библиотеке есть большое количество фигур и шаблонов для построения блок-схем, графиков, организационных диаграмм, планов этажей, технических проектов и других объектов. Доступна работа в офлайн-режиме. После подключения к интернету все изменения синхронизируются с аккаунтом пользователя.

Visio полностью платный: есть два плана, стоимость которых зависит от набора функций. 

Плюсы: 

• есть возможность подключения к базам данных;
• экспорт информации из других программ Microsoft Office;
• много готовых дизайнов и шаблонов для работы;
• доступен офлайн-режим.

Минусы: 

• не хватает чата технической поддержки.

8. SmartDraw.com

Онлайн-инструмент подходит как для личных, так и для коммерческих задач. В библиотеке доступно более 70 различных типов диаграмм. 

В программе доступен интеллектуальный механизм форматирования. То есть если пользователь удаляет блоки или графические элементы, ресурс сам рассчитывает как эргономичнее расположить оставшиеся части схемы.

Доступна интеграция с другими облачными сервисами: например, можно экспортировать файлы из Microsoft Visio или совместно работать с файлами платформы через Atlassian.

Приложение платное, но для теста доступен семидневный бесплатный период.

Плюсы:

• интеллектуальный механизм форматирования;
• интеграция с другими ресурсами;
• 70 типов диаграмм;
• журнал внесенных изменений.

Минусы:

• нет бесплатного тарифа;
• только на английском языке.

9. Grapholite.com

Универсальный редактор, который работает как на ПК, так и на мобильных устройствах. В библиотеке доступно большое количество объектов, стилей, фигур.

Инструмент предоставляет уникальную функцию — черновой эскиз. С её помощью можно сделать диаграмму или интеллектуальную карту, которая выглядит как сделанная “от руки”. Также есть интеллектуальные алгоритмы соединений фигур, которые автоматически устанавливают кратчайшие связи между элементами.

Программа платная, доступно три тарифа. А для использования инструмента на планшете нужна отдельная подписка.

Плюсы:

• адаптация инструмента для планшетов;
• интеллектуальные алгоритмы соединений фигур;
• функция “черновой эскиз”;
• сохранение проекта в трех форматах — PNG, JPG, PDF и SVG.

Минусы:

• нет бесплатных тарифов и тестового периода.

10. OmniGraffle

Инструмент, который разработала компания Apple. В программе можно делать диаграммы, генеалогические древа, ментальные карты, графики, схемы и другое. Готовый проект можно экспортировать в 17 форматов.

В программе есть уникальная функция математического объединения нескольких форм в один объект. В результате получается сгруппированная информативная схема.

Плюсы: 

• 17 форматов для сохранения готового проекта;
• рисование нескольких версий диаграмм на разных холстах;
• большое количество готовых дизайнов и видов графики;
• математическое объединение нескольких форм в один объект.

Минусы:

• работает только на iOS.

11. Textografo.com

Инструмент, у которого есть функция автоматического объединения данных в готовую схему. Как это работает: пользователь вводит в поисковое окно хэштег нужной диаграммы, и шаблон превращается в графический проект с текстом и цифрами. В него можно добавить анимацию и визуальные эффекты. 

Проекты сохраняются в облачном сервисе. Можно поделиться ссылкой с другими людьми для совместной работы.

Сервис платный. Есть 2 тарифа — основной и премиум, которые стоят 5 и 19 долларов соответственно. 

Плюсы: 

• функция автоматического сбора диаграммы;
• доступен совместный режим;
• интеграция с облачным сервисом;
• возможность добавить анимацию.

Минусы:

• нет бесплатного тарифа.

12. Lucidchart.com

Инструмент заточен под совместную сетевую работу. Можно создать умную схему, диаграмму или график и открыть коллегам доступ для редактирования по ссылке.

Сервис Lucidchart можно совместить с виртуальной доской Lucidspark, на которой демонстрируются все проекты компании и их взаимосвязь друг с другом. Также программа может интегрироваться с Google Workspace, Microsoft, Atlassian, Slack и другими платформами.

Доступна бесплатная версия с 25 МБ хранилища и возможностью создать до 5 графических проектов. Если нужно больше функций, можно выбрать один из 3 платных тарифов. Стоимость платной версии начинается от 7,95 долларов ежемесячно.

Плюсы: 

• простой интерфейс;
• интеграция с крупными платформами;
• доступен совместный режим;
• сохранение проектов в форматах PDF, JPG, PNG;
• интеграция с виртуальной доской Lucidspark;
• бесплатный тариф.

Минусы: 

• иногда возникают сложности с импортом изображений.

13. Dia

Бесплатный редактор диаграмм, который позволяет рисовать несколько типов графических объектов. Интерфейс программы на английском, но он интуитивно понятный. Есть возможность экспортировать многостраничные диаграммы.

Использовать программу можно на операционных системах Windows, Mac и Linux.

Плюсы: 

• экспорт многостраничных диаграмм;
• работа на Windows, Mac и Linux;
• интуитивно простой интерфейс;
• одновременная работа по рисованию нескольких диаграммам.

Минусы:

• англоязычная версия.

14. yEd Graph Editor

Бесплатный редактор диаграмм, который позволяет как создавать проекты вручную, так и импортировать их из других источников. Работать с приложением помогают аннотации и всплывающие подсказки на элементах. 

Готовые проекты можно экспортировать в виде растровой или векторной графики в форматах PNG, JPG, SVG, PDF и SWF.   Программа доступна на Windows, Unix/Linux и Mac.

Плюсы:

• работа на Windows, Unix/Linux и Mac;
• всплывающие подсказки;
• экспорт готовых проектов в нескольких форматах;
• большая библиотека элементов и изображений.

Минусы:

• сложный пользовательский интерфейс.

15. Pencil Project

Инструмент можно установить как самостоятельную программу или как дополнение к Firefox 3. Во втором случае, чтобы открыть рабочее окно, нужно перейти в панель инструментов браузера и нажать на “Эскиз карандаша”.

С помощью веб-ресурса можно создавать базовую графику с фигурами, аннотациями, элементами веб-страниц, виджетами. Готовый проект можно экспортировать в виде изображения PNG, веб-страницы, файла OpenOffice, PDF или в виде файла DOC.

Плюсы:

• быстрая установка;
• доступна браузерная версия;
• несколько форматов сохранения;
• понятный интерфейс.

Минусы:

• мало функций для профессионального использования.

16. LibreOffice Draw

Бесплатный многофункциональный редактор для построения схем, диаграмм, технических планов и других объектов. В библиотеке доступно множество элементов, которые можно группировать друг с другом, изменять их стиль, добавлять 3D-эффект.

Экспортировать готовые изображения можно в форматах PDF, EMF, EPS, JPEG, PNG, SVG, TIFF. Использовать программу можно на ведущих операционных системах Windows, Mac и Linux.

Плюсы: 

• большая библиотека изображений и элементов для рисования;
• работа на Windows, Mac и Linux;
• несколько форматов сохранения;
• низкие технические требования.

Минусы:

• устаревший пользовательский интерфейс.

17. Diagram Designer

Бесплатный инструмент с большим количеством функций. С помощью программы можно сделать UML диаграммы, иллюстрации, блок-схемы и слайд-шоу. Также в программе есть калькулятор, с помощью которого можно решать разнообразные уравнения за несколько секунд.

Форматировать текст внутри графических элементов можно только через текстовый редактор с использованием кода — это не всегда удобно.

Плюсы:

• бесплатная программа;
• доступны все базовые функции;
• встроенный калькулятор;
• можно сделать UML диаграммы, иллюстрации, блок-схемы и слайд-шоу.

Минусы:

• устаревший интерфейс;
• сложный процесс форматирования.

18. PlantUML

Для работы с этим бесплатным инструментом необходимо владеть языком программирования: все объекты и схемы пишутся через код. То есть программа подходит не всем.

При использовании кода можно автоматически генерировать диаграммы и базы данных. Также за счёт открытого кода можно создать уникальные графики, а не использовать готовые шаблоны, которые могут встречаться на разных ресурсах. 

Плюсы:

• позволяет делать уникальные проекты;
• есть возможность автоматически генерировать диаграммы и базы данных;
• можно создать диаграмму в любом текстовом редакторе.

Минусы:

• нужны навыки программирования;
• не подходит для сложных и больших диаграмм.

19. AceIT Grapher

Бесплатный инструмент для построения сложной двухмерной и трёхмерной графики. Программа работает на основе математических функций — они позволяют сделать точные диаграммы.  Кроме того, к математическим функциям можно привязывать дополнительные графики. В реальности это помогает создать информативную графику, объединяющую череду математических функций.

В AceIT Grapher нельзя сохранять проекты в совместимых с другими программами форматах. Но инструмент позволяет выводить полученный документ сразу в печать.

Плюсы:

• возможность создавать графики как в двухмерной, так и трёхмерной реальности;
• автоматизированное исследование математических функций;
• простой интерфейс;
• рисование дополнительных графиков. 

Минусы:

• нет русского языка;
• нельзя сохранять проекты в популярных форматах.

20. Advanced Grapher

Бесплатная программа с простым интерфейсом, которая позволяет работать с производными и первообразными функциями. Как и в AceIT Grapher можно строить двухмерные и трёхмерные графики, а параметры и стиль оформления можно изменить с помощью окна «Свойства графика». 

Для работы нужно скачать программу на сайте разработчика и установить. 

Плюсы:

• возможность создавать как двухмерные, так и трёхмерные графики;
• работа с производными и первообразными функциями;
• бесплатная версия;
• есть русский язык.

Минусы:

• можно создавать только графики.

Программы для создания диаграмм и схем в презентации

Когда нужно визуализировать большой объем цифровой информации, помогут диаграммы и схемы. Оформить их так, чтобы любая аудитория вас поняла, помогут ресурсы ниже.

• Ресурс, подготовленный одной из самых надежных команд в сфере подготовки презентаций в мире. На сайте 4000 схем с выгрузкой прямо в PowerPoint. Удобный выбор нужной визуализации: тип схемы — 2D/3D (правильный ответ 2D) число элементов цвет. Бесплатно через регистрацию.
  

• Продвинутый софт для построения диаграмм в виде расширения для PowerPoint. Think-cell визуализирует и структурирует информацию — содержание презентации или описание процесса. Бесплатный пробный период 30 дней.

• Софт интегрируется с PowerPoint и Excel для создания продвинутых графиков и диаграмм. Подойдет для визуализации большого объёма данных. Работает на PC и на Mac. Бесплатно пробовать можно 30 дней. Платная версия стоит $ 300 в год.

• Облачный софт для рисования диаграмм, который предлагает интеграцию с приложениями Google, Google Drive и JIRA. Совместим с MS Visio. Выгрузка диаграмм возможна во всех удобных форматах: от MS Word до PNG. Можно пользоваться бесплатной версией с ограничением в 100 доступных шаблонов, а можно купить премиум подписку за $ 9,95 в месяц и получить неограниченный доступ ко всей базе данных.

• Программа для создания диаграмм и схем, которая интегрируется с Excel, Outlook, Google Docs и Dropbox. SmartDraw работает в облаке на любых устройствах. Встроены умное форматирование и более 70 шаблонов для диаграмм. Онлайн версия программы стоит $ 9,95 в месяц при оплате годовой подписки. Есть пробный период 7 дней. Программа для Windows стоит $ 297. Платите один раз — пользуетесь всю жизнь.

• Продукт семейства ConceptDraw, профессиональный софт для создания диаграмм и рисования схем. Встроенная технология «Live Object» позволяет делать изображение динамичным и интерактивным.
  Позиционирует себя как аналог MS Visio. Цены начинаются от $ 199. Число пользователей не ограничено. Пробовать бесплатно можно 21 день.

• Ресурс для рисования схем, графиков, диаграмм и майндкарт. Можете выбрать из 30 шаблонов или нарисовать график с нуля. Шаблоны для удобства распределены по разделам: рисование, брэйнсторминг, графики для компаний и организация пространства. Профессиональная версия даёт возможность работать со слоями, экспортировать графики в SVG и создавать схемы с помощью клавиатуры. Стандартная версия стоит $ 149,99, профессиональная — $ 249,99. Работает на Mac и iOS.

• Ресурс для быстрого создания инфографики. Выберите существующий шаблон или создайте свой с нуля: фигуры, картинки, шрифты, географические карты, иконки и поля для текста в помощь. Бесплатно можно выбирать из 60 картинок и 10 шрифтов. $ 4 в месяц снимают ограничения: 600 000 картинок, более 50 шрифтов и постоянно обновляющиеся шаблоны для инфографики. Есть специальные тарифы для студентов и учителей.

• Ресурс для создания графиков и диаграмм. Предоставляет неограниченные возможности для схематического изображения данных: рисуйте сами или используйте шаблоны. Меняйте стиль, цвета графиков, добавляйте к ним комментарии и отправляйте по почте. Диаграммы и географические карты можно анимировать.

  Есть базовый бесплатный тариф с ограниченным функционалом, в котором можно создавать до 10 графиков за месяц. Профессиональная версия за $ 19 в месяц даёт возможность создавать до 100 диаграмм в месяц, версия «Business» за $ 67 — 1000.
  

• Программа для создания интерактивного контента: инфографики, презентаций, каталогов и даже майндкарт. Их элементы будут двигаться и перемещаться с помощью анимации. Цель, которая достигается с помощью «оживления» презентации — привлечение внимания аудитории. И главное: софт бесплатный.

• Ресурс для создания инфографики, в котором удобно работать с графиками и диаграммами для визуализации статистики и анимировать данные. На изображение можно добавлять собственные картинки, графики и логотипы. В бесплатной версии 5 шаблонов, за премиум-темплэйты для индивидуального использования придётся заплатить $ 19 в месяц. Версия для бизнеса с брендированными элементами стоит $ 49 в месяц.
  

• Онлайн-сервис для создания инфографики, презентаций, постеров и документов. Открывает доступ к анимированным диаграммам, графикам, иконкам, интерактивным географическим картам и сотням вариантов оформления текста. Можно легко добавлять фото, видео, менять стили и шрифты, есть интеграция с Google таблицами и другими сервисами.

  В бесплатной версии только 8 шаблонов, можно скачать в jpg и png. Чтобы снять ограничения, можно купить подписку PRO за $ 24,17 в месяц. С ней можно создавать неограниченное количество схем, выбирать цвета и шрифты, экспортировать данные в разных форматах. Есть отдельный план для командной работы PRO TEAM за $ 82,50. Он открывает доступ к совместному редактированию. Специальные предложения действуют для образовательных и некоммерческих организаций.
  

★ — рекомендованный ресурс esprezo.

Написать комментарий

Посмотрите другие подборки ресурсов для презентаций и выступлений

Подбираем фон.

8 ресурсов с коллекциями текстур и паттернов для презентации.

Онлайн-дизайн векторной графики, Редактор SVG, Рисование YouiDraw

Рисование YouiDraw Создавайте потрясающий векторный графический дизайн с помощью YouiDraw онлайн. Это похоже на Adobe Illustrator или CorelDraw, но работает на холсте html5 с Google Диском. Таким образом, нет необходимости загружать программное обеспечение, и вы можете получить доступ к своей работе в любое время и в любом месте. Внезапно ваш творческий потенциал высвобождается! Независимо от того, начинаете ли вы или уже являетесь опытным дизайнером, онлайн-инструмент Drawing — это мощное решение для векторного графического дизайна в Интернете. С онлайн-графическим дизайном в различных средах у вас есть все, что вам нужно, чтобы выразить свой стиль и творчество.

Начни рисовать бесплатно

Доступно в Интернет-магазине Chrome

Образцы

Характеристики

Quick Styles

Библиотека стилей в правом нижнем углу интерфейса рисования YouiDraw. У вас есть сотни различных стилей, включая градиент, простые и художественные стили.

Designs Templates

Шаблоны векторной графики улучшат вашу работу и помогут добиться высокой эффективности. Вы можете открыть шаблон и отредактировать его, а затем экспортировать на локальный диск или сохранить на Google Диске.

Инструменты для рисования от руки

Инструменты «Перо» позволяют добавлять точку для рисования специальной формы по вашему желанию. Вы также можете получить доступ к инструментам выбора, перемещения, поворота, масштабирования, наклона, карандаша, кисти, ластика, редактирования, прямой линии, кривой дуги и текста.

Vector Shapes lib

Множество различных форм и основных значков, которые вы можете использовать для быстрого создания своей работы. Мы предоставляем иконки для Интернета, стрелок, социальных сетей, спорта, игр, знаков, дизайна, символов, транспорта и т. д.

Векторные графические эффекты

Установите непрозрачность и установите эффекты «Тень», «Внутренняя тень», «Внешнее свечение», «Внутреннее свечение», «Отражение», «Размытие» и «Свет». Все эффекты могут применяться к векторной графике.

Векторные световые эффекты

Световой эффект — это специальный фильтр для векторной графики SVG. Вы можете найти настройки освещения на последней вкладке эффектов фильтра, вы можете установить 3 разных источника света на свои элементы, чтобы получить более удивительный художественный эффект.

Инструменты для фигур

Добавьте прямоугольник, прямоугольник со скругленными углами, эллипс, круг, выпуклость, вогнутость и шестеренки. Вы можете настроить форму в настройках свойств после того, как нарисуете ее. Например, изменить количество форм сбоку и внутри.

Инструменты для комбинирования фигур

Функция комбинирования, позволяющая преобразовать несколько фигур в одну специальную форму, вы можете объединять, вычитать, пересекать, исключать, разделять фигуры.

Редактирование SVG

Если у вас уже есть файл SVG, и вам нужно отредактировать его, добавить стиль и эффекты, объединить с другими фигурами, вы можете импортировать SVG в чертеж YouiDraw.

Html5 Workspace

Это рабочее пространство, основанное на html5, отображает ваши векторные фигуры, текст и другие элементы визуально так же, как они будут отображаться в браузере.

с облачным диском

Он может открыть существующий файл (только файлы чертежей YouiDraw) с Google Диска, Dropbox или сохранить ваш проект на облачном диске при подключении к ним.

Экспорт в SVG

Вы можете экспортировать в SVG, векторный формат PDF или формат png, jpg. Размер по умолчанию — это размер вашего проекта, но вы можете использовать параметр масштабирования, чтобы изменить его на любой желаемый размер.

Начни рисовать бесплатно

Доступно в Интернет-магазине Chrome

Блог YouiDraw, Новые функции, Исправлены ошибки, Новости.

Опубликовано 25 ноября 2022 г. 25 ноября 2022 г. by youidraw

Образовательная инфографика — отличный способ учиться и запоминать информацию. Они делают сложные идеи простыми для понимания, поэтому они так популярны. Как вы думаете, вы не можете использовать их в классе? Подумайте еще раз! В этой статье мы представим некоторые идеи инфографики для образовательных целей и примеры инфографики для учащихся. Введение — Образовательная инфографика […]

Опубликовано 4 ноября 2022 г. 4 ноября 2022 г. by youidraw

Не ищите дальше, если вы ищете вдохновение для своего следующего канала YouTube. Вот несколько эстетических идей баннеров YouTube, которые помогут вам начать создавать оригинальные и уникальные дизайны. 1. Эстетические идеи баннеров YouTube Первое, что вам нужно сделать, это выбрать плоский дизайн. Плоские дизайны модны и помогут […]

Опубликовано 6 мая 2022 г. 6 мая 2022 г. by youidraw

Вы ищете идеи дизайна инфографики, которые могут вас вдохновить? Я уверен, вы слышали о росте инфографики. Основанные на данных визуальные представления информации, эти графики быстро становятся эффективным способом для предприятий и организаций делиться своими знаниями с общественностью. Идеи дизайна инфографики из этого списка 10 лучших вдохновят […]

Опубликовано 31 мая 2015 г. 31 мая 2015 г. от youidraw

Теперь вы можете подписаться на сервис YouiDraw по электронной почте! Мы получили несколько предложений от наших пользователей, некоторые люди не хотят получать доступ к своей учетной записи Google, Dropbox или другой, когда они просто хотят попробовать или использовать ее впервые. Поэтому мы предоставляем 2 варианта: зарегистрируйтесь только со своим адресом электронной почты и сохраните как […]

.

Опубликовано 5 января 2015 г. 5 января 2015 г. by youidraw

240 самых популярных шрифтов Google были добавлены в веб-приложения YouiDraw со всеми стилями. Если вы хотите сделать художественный текст, эта функция поможет вам больше.

Опубликовано 28 декабря 2014 г. 28 декабря 2014 г. by youidraw

С Новым годом! Это команда YouiDraw, мы выпустили новый веб-сайт, на котором лучше представить наш сервис, предоставить клиентам поддержку, помощь и улучшить опыт использования веб-приложений YouiDraw. Проверьте список ниже, чтобы найти некоторые функции, которые мы добавили, и ошибки, которые мы исправили. 19.12.2014 1. Получите лучшее онлайн-руководство пользователя на новом сайте: https://site.youidraw.com/ […]

Опубликовано 23 сентября 2014 г. 23 сентября 2014 г. by youidraw

Информация о награде: Pioneers.io еще раз благодарит вас за вашу заявку на участие в программах стартапов Pioneers и за всю работу, которую вы в нее вложили. В этом году мы получили более 1000 стартап-заявок из 58 стран мира, поэтому процесс отбора был очень жестким. Во-первых, […]

Опубликовано 16 сентября 2014 г. 16 сентября 2014 г. by youidraw

Добавлены новые функции: 1. Блокировка, видимая кнопка в дереве элементов и списке элементов. 2. В контекстное меню добавлены функции копирования и вставки. 3. В меню «Файл» добавлена ​​функция «Вставить изображение». 4. Импортируйте текстовый путь с локальными шрифтами с помощью кнопки «текстовый путь» на панели инструментов. 5. Добавлена ​​функция переворота на вкладке свойств. 6. Оптимизированы некоторые детали. Исправлены ошибки:  1. Исправлено […]

Опубликовано 16 сентября 2014 г. 16 сентября 2014 г. от youidraw

Новое диалоговое окно для обмена проектами:   Почему мы предлагаем нашим пользователям делиться своими проектами, потому что мы верим, что помогаем друг другу, а не себе.

Корни кубического комплексного уравнения

Математический портал.

3.$

Ответ: $i.$

 

 Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Ответ: $x=1/3; y=1/4.$

 

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

           $(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

Ответ: $z_1=1; z_2=i.$

 

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

           $(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$

Решение уравнений с комплексными решениями ies

Рабочая тетрадь по алгебре II для чайников

Узнать больше Купить книгу на Amazon

В алгебре вы часто сталкиваетесь с уравнениями, не имеющими реальных решений, или с уравнениями, у которых есть потенциал для гораздо большего количества реальных решений, чем есть на самом деле. Например, уравнение x ² + 1 = 0 не имеет действительных решений. Если вы запишете это как x ² = –1 и попытаетесь извлечь квадратный корень из каждой стороны, у вас возникнут проблемы.

Пока у вас нет мнимых чисел, вы не можете написать, что решение этого уравнения равно x = +/– i . Уравнение имеет два комплексных решения.

Пример уравнения без достаточного количества действительных решений: x ⁴ – 81 = 0. Факторы этого уравнения в ( x ² – 9)( x ² + 9) = 0. Двумя действительными решениями этого уравнения являются 3 и –3. Два комплексных решения: 3 i и –3 i .

Чтобы найти сложные решения уравнения, вы используете факторинг, свойство квадратного корня для решения квадратного уравнения и формулу квадратного уравнения.

Примеры вопросов

1. Найдите все действительные и комплексные корни уравнения x ³ – 2 х ² + 25 х – 50 = 0,

   x = 2, 5 i , -5 i . Сначала разложите уравнение на множители, чтобы получить x ² ( x – 2) + 25 ( x – 2) = ( x – 2)( x ²⁾ + 25) = 0 Используя свойство умножения нуля, вы определяете, что x – 2 = 0 и x = 2. Вы также получаете x ² + 25 = 0 и x . ² = –25. Возьмите квадратный корень из каждой стороны и

   Упростите радикал, используя эквивалентность для i , и комплексные решения равны

   Действительный корень равен 2, а мнимые корни равны 5 i и –5 i .

2. Найдите все корни, действительные и мнимые, уравнения

   х = 0,4 + 0,6 и , 0,4 – 0,6 и . Квадратное число не учитывается, поэтому вы используете квадратичную формулу:

   Комплексными являются только два решения: 0,4 + 0,6 i и 0,4 – 0,6 i .

Практические вопросы

1. Найдите все корни, действительные и мнимые, x ² + 9 = 0.

2. Найдите все корни, действительные и мнимые, x ² + 4 x + 7 = 0,

3. Найдите все корни, действительные и мнимые, из 5 x ² + 6 x + 3 = 0.

4. Найдите все корни, действительные и мнимые, числа x ⁴ + 12 x ² – 64 = 0,

Ниже приведены ответы на практические вопросы:

1. Ответ: x = 3 i , -3 i .

   Добавьте -9 к каждой стороне, чтобы получить х ² = –9. Извлеките квадратный корень из каждой стороны. Затем упростите выражение, используя i для отрицательного числа под радикалом:

2. Ответ

   Используйте квадратичную формулу, чтобы найти x . Упростите выражение, используя i для отрицания под корнем:

3. Ответ

   Используйте квадратичную формулу, чтобы найти x . Упростите выражение, используя i для минуса под корнем:

4. Ответ: x = 2, –2, 4 i , –4 i .

   Фактор левой стороны: ( x ² + 16)( x ² – 4) = ( x ² + 16)( x 90 019 – 2)( х + 2 ) = 0. Получите два действительных корня, установив x – 2 и x + 2 равными 0. Когда x ² + 16 = 0, вы обнаружите, что х ² = –16. Взяв квадратный корень из каждой стороны и используя i вместо -1 под корнем, вы получите два мнимых корня.

Об этой статье

Эта статья взята из книги:

• Рабочая тетрадь по алгебре II для чайников,

Об авторе книги:

Мэри Джейн Стерлинг преподавала математику в средней и старшей школе, прежде чем начать свою карьеру в качестве преподаватель Университета Брэдли, где она преподавала более 35 лет.

Эту статью можно найти в категории:

• Алгебра,

Решить уравнение с комплексными числами

Задавать вопрос

спросил 7 лет, 8 месяцев назад

Изменено 7 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Вопрос состоит в том, чтобы решить следующее уравнение для комплексных чисел

$$z-i = iz +5$$

Я попытался добавить i к обеим частям, что дает $$z = iz +5 + i$$ Я также попытался объединить все термины в LHS, чтобы получить $$z — i — iz — 5 = 0$$

Можете ли вы помочь с решением этого уравнения?

• комплексные числа

$\endgroup$

$\begingroup$

$$z- iz=5 +i$$ $$z=\frac{5+i}{1-i}$$ $$z=\frac{5+i}{1-i}\frac{1+i}{1+i}$$ $$z=2+3i$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Тот факт, что это уравнение в комплексных числах, не должен вызывать у вас проблем.

Числительные в немецком языке. Zahlwörter. Мобильное приложение по немецкому языку | SpeakASAP®

Знание и умение ориентироваться в числах – штука крайне полезная и важная в иностранном языке.

Мы с вами познакомимся с самыми основными количественными числительными, благодаря которым вы сможете говорить о своем возрасте, спрашивать цены в магазинах, воспринимать на слух информацию на вокзалах и так далее.

После того как вы выучили глагол sein, вы можете говорить о возрасте:

Ich bin sechsundzwanzig (26) Jahre alt. – Мне 26 лет. (дословно: «Я есть 26 лет старый»)
Er ist vierzig(40) Jahre alt. – Ему 40 лет.
Du bist zwanzig(20) Jahre alt. – Тебе 20 лет.

Числительные в немецком языке – особый разговор. Мало того, что числа от 21 до 99 пишутся и читаются наоборот, так еще числа после 101 пишутся слитно и получаются просто огромными по длине.

500 – fünfhundert – пятьсот
4000 – viertausend – четыре тысячи
341 – dreihunderteinundvierzig
40.000 – vierzigtausend
400.000 – vierhunderttausend
1.000.000 – eine Million
3.300.400 – drei Millionen dreihunderttausendvierhundert

Если нужно назвать четырехзначное число, то сначала называется количество тысяч, затем количество сотен, а затем уже двухзначное число – десятки и единицы.

Например:

1571 = eintausendfünfhunderteinundsiebzig

Если разбить слово на образующие, то получим:

eintausend + fünfhundert + ein + und + siebzig
(одна тысяча) (пятьсот) (один) (и) (семьдесят)

Числительные отвечают на один из W-вопросов, так называемых W-Fragen.

Указание количества – Wie viel? Wie viele?

Wie viel? – сколько для неисчисляемых
Wie viele? – сколько для исчисляемых

Wie viele Kinder haben Sie? – Сколько у Вас детей?
Ich habe drei Kinder, davon zwei Söhne und eine Tochter. – У меня трое детей, из них двое сыновей и одна дочь.

Wie viel kosten die Tickets? – Сколько стоят билеты?
Sie kosten 54 Euro und 25 Cent. – Они стоят 54 евро и 25 центов.

Wie viele Blumensträuße hast du gekauft? – Сколько букетов цветов ты купил?
3 Sträuße mit je 11 Rosen. – 3 букета по 11 роз.

Указание времени – Wann? Um wie viel Uhr?

Wann hast du Geburtstag? – Когда у тебя день рождения?
Am Mittwoch, dem 23.05. – В среду, 23.05.

Um wie viel Uhr fängt die Stunde an? – В котором часу начинается урок?
Um 8 Uhr kommt der Lehrer und die Stunde beginnt. – В 8 часов приходит учитель, и урок начинается.

Wie lange wartet ihr hier schon? – Как долго вы здесь ждете?
Nur 10 Minuten, wir haben noch Zeit. – Только 10 минут, у нас еще есть время.

Различают:

Количественные числительные. Kardinalzahlen

eins, zwei, drei, zehn, (ein) hundert, fünftausend, eine Million, zehn Milliarden, …

Порядковые числительные. Ordinalzahlen

1., 2., 3., 4., … /erste, zweite, dritte, vierte, …

Дробные числительные. Bruchzahlen

ein halb, eineinhalb, ein Drittel, drei Fünftel, sieben Zehntel, …

Числительные, которые указывают на действие умножения (дважды, трижды и т.д.). Multiplikationswörter

einfach, zweifach, doppelt, dreifach, fünffach, dreißigfach, tausendfach, zigfach, …

Количественные числительные

Цифра 1 (произносится: eins)

Склоняется как неопределенный артикль, если в предложении заменяет существительное.

Haben Sie Kulis? – У Вас есть ручки?

Без указания на существительное: Ja, einen. – Да, одна.
С указанием на существительное: Ja, einen blauen Kuli und einen roten Kuli. – Да, одна синяя ручка и одна красная ручка.

Ich habe nur ein Auto und nicht drei (Autos)! – У меня одна машина, а не три!

Если eins используется в предложении вместе с определенным артиклем, то в этом случае eins склоняется как имя прилагательное.

Warum hören Sie das eine und nicht das andere Lied? – Почему Вы слушаете одну, а не другую песню?

Du musst aufpassen, was der eine sagt und was der andere tut. – Ты должен обращать внимание на то, что один говорит и что другой делает.

Цифры 2 и 3 склоняются только в падеже датив и генитив. Все остальные количественные числительные не склоняются.

Beno und Anke sind glückluiche Eltern zweier Zwillinge. – Бено и Анке счастливые родители двух близнецов.
Ich gehe ins Kino mit dreien besten Freunden. – Я иду в кино с тремя лучшими друзьями.

Числительные, которые выступают в роли существительных.

die Million, fünf Millionen
die Milliarde, acht Milliarden
die Billion, drei Billionen

Порядковые числительные

Порядковые числительные пишутся цифрами, после них всегда стоит точка («. «). Но могут писаться и буквами: erste, zweite, dritte, neunte, dreizehnte, …

Порядковые числительные от 2 до 19 образуются с помощью -t:

acht-, zehnt-, vierzehnt-, fünfzehnt-, … + их окончания склоняются как у прилагательных.

Порядковые числительные от 20 образуются с помощью -st:

zwanzigst-, sechsundvierzigst-, neunundsiebzigst-… + их окончания склоняются как у прилагательных.

Обозначение порядка начинается со слов der /die /das erste и заканчивается словами der /die /das letzte.

Die erste Sehenswürdigkeit in Deutschland war für Tim das Brandenburger Tor.
Der letzte Brief von dir bekam ich am Dienstag.

Существует всего несколько исключений в образовании порядковых числительных:

1. = der erste
3. = der dritte
7. = der siebte
8. = der achte
16. = der sechzehnte
17. = der siebzehnte

Для порядковых числительных действует правила склонения прилагательных.

In der neunten Ausgabe dieser Zeitschrift finden Sie einen Bericht über die Weltreise von Michael Braun. – В девятом выпуске этого журнала Вы найдете сообщение о кругосветном путешествии Михаэля Брауна.
2012 feiert man das zweihundertste Jubiläum der Märchen von Gebrüdern Grimm. – В 2012 году празднуется двухсотлетний юбилей сказок братьев Гримм.

Порядковые числительные могут быть в предложении существительными.

Er kam als Zweiter zum Ziel. – Он пришел вторым (как второй) к финишу.
Der Erste in der Klasse war Klaus, er war auch der Klassensprecher. – Первым в классе был Клаус, он также был старостой.

Обозначение дат.

Der wie vielte ist morgen? – Morgen ist Sonntag, der 10.09.2011 /zehnte September zweitausendelf.
Den wie vielten hatten wir gestern? – Gestern hatten wir den 5.01. /den fünften Januar (после глагола haben слова стоят в падеже аккузатив)

Использование числительных в обозначении массы, длины, %, долей и так далее

70% / siebzig Prozent

Die Preisen stiegen um 70%. – Цены выросли на 70%.

30,12% / dreißig Komma eins zwei Prozent

30,12% der Summe ist schon ausgegeben. – 30,12% суммы уже потрачено.

0,3‰ / null Komma drei Promille

Der Busfahrer hatte 0,3‰ Alkohol im Blut. – Водитель автобуса имел 0,3‰ алкоголя в крови.

¼ / ein Viertel

¼ der Stunde dauert 15 Minuten. – ¼ часа длится 15 минут.

½ / ein halb

Wir haben eine halbe Torte gegessen. – Мы съели половину торта.

¾ / drei Viertel

Etwa ¾ der Touristen verbringen ihre Zeit am Strand. – Примерно ¾ туристов проводят свое время на пляже.

1½ kg / eineinhalb = anderthalb Kilogramm

Für diesen riesigen Kuchen brauchen wir 1½ kg Äpfel. – Для этого огромного пирога нам понадобится 1½ кг яблок.

1 Pfd. / ein Pfund

1 Pfd. Mehl nimmt sie, um einen Pflaumenkuchen zu backen. – 1 фунт муки берет она, чтоб испечь сливовый пирог.

100 ml / einhundert Milliliter

Du musst noch 100 ml Milch hinzufügen. – Ты должен добавить еще 100 мл молока.

200 km/h / zweihundert Stundenkilometer

Der neue Wagen von BMW kann schneller als 200 km/h fahren. – Новая машина BMW может ехать быстрее 200 км/ч.

19 m² / neunzehn Quadratmeter

Die Wohnfläche dieser Wohnung beträgt 19 m². – Жилая площадь этой квартиры составляет 19 м².

50 l³ / fünfzig Kubikliter

Sie haben zu Hause ein Aquarium für 50 l³ Wasser. – Дома у них аквариум на 50 л³ воды.

30°C / dreißig Grad Celsius

Anfang der Woche liegen die Tagestemperaturen im ganzen Land bei 30°C. – В начале недели дневные температуры по всей стране будут около 30°C.

-15°C / minus fünfzehn Grad / fünfzehn Grad unter Null

Die kälteste Temperatur in unserer Stadt war -15°C. – Самая холодная температура в нашем городе была -15°C.

am 23.07.1978 / am dreiundzwanzigsten siebten neunzehnhundertachtundsiebzig

Dieser junge Schriftsteller ist am 3.11.1989 geboren. – Этот молодой писатель родился 3.11.1989.

Степени поражения легких: КТ1, КТ2, КТ3, КТ4

Компьютерная томография (КТ) легких считается «золотым стандартом» диагностики воспаления легких, в частности пневмонии, ассоциированной с COVID-19. На томограммах — множественных сканах дыхательного органа в трех плоскостях — визуализируются нефункциональные участки уплотнения или инфильтрации легочной ткани.

Когда говорят о поражении легких при пневмонии, то имеют в виду, что альвеолы — маленькие пузырькообразные полости легких, которые отвечают за хранение воздуха и газообмен, заполняются жидкостью, слизью, фиброзной тканью и «выходят из строя».

На ранних стадиях пневмония может протекать практически бессимптомно или вызывать незначительный дискомфорт: кашель, затрудненное дыхание, повышение температуры. Однако она быстро переходит в более тяжелую форму и человек начинает ощущать нехватку воздуха, спазм в груди, вызванный отеком легких, или острый респираторный дистресс-синдром — обширный воспалительный процесс, который дает осложнение на сердце и в некоторых случаях приводит к летальному исходу.

В этой связи очень важно вовремя распознать пневмонию и начать лечение. КТ легких — единственный метод диагностики, который позволяет выявить очаги инфильтрации и оценить степень их выраженности, даже если поражено менее 5% легких.

После компьютерной томографии легких, особенно при наличии подозрений на вирусную пневмонию, пациентов в первую очередь интересуют результаты и расшифровка обследований. В этой статье мы расскажем о том, что означает КТ1, КТ2, КТ3, КТ4 в заключении, и на что следует обратить внимание, если пневмония все-таки была обнаружена.

Что означает КТ1, КТ2, КТ3, КТ4 при вирусной пневмонии COVID-19?

Чтобы врачи могли объективно оценивать объем поражения легких, взвешивать риски и реагировать на вызовы, был принят единый стандарт классификации вирусных пневмоний по степени тяжести, где:

КТ-0 — отсутствие признаков вирусной пневмонии;

КТ-1 — легкая форма пневмонии с участками «матового стекла», выраженность патологических изменений менее 25%;

КТ-2 — умеренная пневмония, поражено 25-50% легких;

КТ-3 — среднетяжелая пневмония, поражено 50-75% легких;

КТ-4 — тяжелая форма пневмонии, поражено >75% легких.

Процент деструкции легочной ткани определяется по томограммам. Врач-рентгенолог оценивает по пятибалльной шкале каждую из пяти долей легких.* Если признаки пневмонии не выявлены, то значение соответствует 0; 1 балл свидетельствует о поражении легких 5%, и так далее.

* Согласно «Временным методическим рекомендациям» Министерства Здравоохранения РФ от октября 2020 г., принятая и описанная выше балльная система оценки легочных сегментов и долей упразднена. Объективность оценки поддерживается программным обеспечением и медицинской экспертизой.

Иными словами, сокращение КТ1, КТ2, КТ3 или КТ4, которое врач-рентгенолог пишет в заключении, указывает на объемы нефункциональной легочной ткани в совокупности с другими признаками, характерными для той или иной стадии. Это эмпирическая визуальная шкала, принятая рентгенологами.

Данную шкалу визуальной оценки легких по результатам компьютерной томографии (или МСКТ) разработали только во время пандемии новой коронавирусной инфекции. Ее ввели специалисты из Центра диагностики и телемедицины США, изучив КТ-исследования 13 003 человек, которые составили основную выборку.

Примечательно, что скорость перехода пневмонии к следующей, более осложненной степени зависит не только от возраста пациента (чем старше, тем быстрее), но и от текущей стадии заболевания. А именно, если вирусная пневмония SARS-CoV-2 у пациента была выявлена еще на первой стадии (КТ1), то предотвратить переход к следующей (КТ2) будет легче как минимум потому, что сравнительно малому числу вирионов требуется больше времени, чтобы распространиться по легким и спровоцировать более обширный воспалительный процесс. В то время как переход от КТ3 к КТ4 происходит очень быстро, и тогда жизнь пациента находится под угрозой. Анализируя уже упомянутую группу пациентов, ученые из США пришли к выводу, что при переходе в следующую группу, риск летального исхода при коронавирусе увеличивался примерно на 38%.

Процент вовлечения паренхимы (собственно поражения) легких в заключениях обычно указан приблизительно, поэтому диапазон значений может быть довольно широким, однако это не главный показатель. При определении степени тяжести воспаления легких учитываются и другие признаки воспаления легких:

1) Наличие «матовых стекол» на сканах КТ, их локализация, консолидация. «Матовые стекла» — это светлые участки легких на томограммах, которые свидетельствуют об очагах инфильтрации. Плотная ткань не пропускает рентгеновские лучи. «Матовые стекла» — основной признак поражения легких на КТ. Их распространенность и консолидация соответствует тяжелым стадиям пневмонии КТ3 и КТ4.

2) Утолщение междолькового пространства легких или «симптом булыжной мостовой» — ткань легких на сканах КТ имеет внешнее визуальное сходство с брусчаткой. Соответствует тяжелой стадии пневмонии КТ4.

3) Симптом «обратного гало» или «ободка́» — на томограммах выглядит как светлые кольца. Это участки уплотнения вокруг очага инфекции. Считается признаком организующейся пневмонии.

4) Ретикулярные изменения — тонкие линии патологически измененного легочного интерстиция, формирующие сеть.

Если в заключении указана «полисегментарная пневмония», это значит, что признаки воспалительного процесса обнаружены в обоих легких, в нескольких сегментах.

Поражение легких КТ1

На сканах КТ легких обнаружены «матовые стекла» — менее трех. Диаметр очага инфильтрации не превышает 3 см, иные патологические изменения легких не обнаружены. У пациента может быть высокая температура, затрудненное дыхание, кашель, иногда явные симптомы отсутствуют. Лечиться от внебольничной пневмонии КТ1 можно в амбулаторных условиях и дома после консультации врача.

Поражение легких КТ2

КТ2 означает, что обнаружено более трех участков воспаления легких по типу «матового стекла» диаметром не более 5 см. Также как и в случае с КТ1, это внебольничная пневмония, при которой не нужна госпитализация. Пациент лечится дома, соблюдая рекомендации врача. КТ легких поможет ответить на вопрос — имеется ли активный воспалительный процесс и тенденция к консолидации «матовых стекол». Если лечение не помогает, и становится хуже, рекомендовано сделать повторное КТ легких, чтобы оценить динамику и скорректировать лечение. Поскольку у пациента с умеренной пневмонией КТ2 может быть поражено до 50% легких, после основного лечения необходима реабилитация.

Поражение легких КТ3

Обнаружены множественные участки «матового стекла» с тенденцией к консолидации. Это основной признак, но возможны и другие: ретикулярные изменения, «дерево в почках» или центрилобулярные очаги. При пневмонии КТ3 поражено более 50% легких, нужна срочная госпитализация и интенсивная терапия. Множественные инфекционные очаги и подавленные защитные силы организма способствуют тому, что переход от КТ3 к КТ4 происходит быстрее и легче, чем от КТ1 к КТ2.

Поражение легких КТ4

Критическая стадия поражения легких, когда более 75% легких не участвует в газообмене. На томограммах визуализируется как диффузное поражение лёгочной ткани с ретикулярными изменениями и симптомом «булыжной мостовой», гидроторакс. Пациент может нуждаться в реанимации с искусственной вентиляцией легких (ИВЛ).

Сколько будет 20 в 18-й степени?

Итак, вы хотите знать, сколько будет 20 в 18-й степени, не так ли? В этой статье мы объясним, как именно выполнить математическую операцию под названием «возведение в степень 20 в степени 18». Это может показаться фантастическим, но мы объясним это без жаргона! Давай сделаем это.

Что такое возведение в степень?

Давайте сначала зафиксируем наши термины, а затем посмотрим, как вычислить, сколько будет 20 в 18-й степени.

Когда мы говорим об возведении в степень, все, что мы на самом деле имеем в виду, это то, что мы умножаем число, которое мы называем 9) для обозначения показателя степени. Знак вставки полезен в ситуациях, когда вы не хотите или не нуждаетесь в использовании надстрочного индекса.

Итак, мы упомянули, что возведение в степень означает умножение базового числа само на себя для получения показателя степени число раз. Давайте посмотрим на это более наглядно:

20 в 18-й степени = 20 x … x 20 (18 раз)

Итак, каков ответ?

Теперь, когда мы объяснили теорию, лежащую в основе этого, давайте поработаем с числами и выясним, чему равно 20 в 18-й степени:

20 в степени 18 = 20 ¹⁸ = 262 144 000 000 000 000 000 000

Почему мы вообще используем возведение в степень 20 ¹⁸ ? Что ж, нам намного проще писать умножения и выполнять математические операции как с большими, так и с маленькими числами, когда вы работаете с числами с большим количеством конечных нулей или большим количеством десятичных знаков.

Надеюсь, эта статья помогла вам понять, как и почему мы используем возведение в степень, и дала вам ответ, который вы изначально искали. Теперь, когда вы знаете, что такое 20 в 18-й степени, вы можете продолжить свой веселый путь.

Не стесняйтесь поделиться этой статьей с другом, если вы считаете, что она поможет ему, или перейдите вниз, чтобы найти еще несколько примеров.

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!

• Сколько будет 20 в 18-й степени?

• «Сколько будет 20 в 18-й степени?». VisualFractions.com . По состоянию на 27 апреля 2023 г. http://visualfractions.com/calculator/exponent/what-is-20-to-the-18th-power/.

• «Сколько будет 20 в 18-й степени?». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/exponent/what-is-20-to-the-18th-power/. По состоянию на 27 апреля 2023 г.

• Сколько будет 20 в 18-й степени?. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/exponent/what-is-20-to-the-18th-power/.

Калькулятор возведения в степень

Хотите найти решение еще одной задачи? Введите число и мощность ниже и нажмите «Рассчитать».

Вычисление возведения в степень

Случайный список примеров возведения в степень

Если вы добрались до этого места, вам должно быть ДЕЙСТВИТЕЛЬНО нравится возведение в степень! Вот несколько случайных вычислений:

Сколько будет 24 в 47-й степени?

Сколько будет 21 в 10-й степени?

Сколько будет 71 в 94-й степени?

Сколько будет 72 в 59-й степени?

Сколько будет 24 в 73-й степени?

Сколько будет 34 в 80-й степени?

Сколько будет 69 в 71-й степени?

Сколько будет 14 в 80-й степени?

Сколько будет 18 в 80-й степени?

Сколько будет 34 в 47-й степени?

Сколько будет 27 в 77-й степени?

Сколько будет 14 в 5-й степени?

Сколько будет 73 в 43-й степени?

Сколько будет 14 в 6-й степени?

Сколько будет 55 в 16-й степени?

Сколько будет 99 в 65-й степени?

Сколько будет 45 в 48-й степени?

Сколько будет 80 в 5-й степени?

Сколько будет 90 в 16-й степени?

Сколько будет 86 в 66-й степени?

Сколько будет 87 в 90-й степени?

Сколько будет 84 в 48-й степени?

Сколько будет 70 в 46-й степени?

Сколько будет 33 в 45-й степени?

Сколько будет 41 в 7-й степени?

Сколько будет 35 в 8-й степени?

Сколько будет 100 в 34-й степени?

Сколько будет 100 в 79-й степени?

Сколько будет 4 в 21-й степени?

Сколько будет 58 в 61-й степени?

Сколько будет 33 в 63-й степени?

Сколько будет 86 в 50-й степени?

Сколько будет 98 в 42-й степени?

Сколько будет 53 в 52-й степени?

Сколько будет 25 в 93-й степени?

Сколько будет 20 в 63-й степени?

Сколько будет 74 в 8-й степени?

Сколько будет 88 в 27-й степени?

Сколько будет 26 в 5-й степени?

Сколько будет 74 в 54-й степени?

Сколько будет 43 в 91 степени?

Сколько будет 15 в 45-й степени?

Сколько будет 88 в 34-й степени?

Сколько будет 69 в 10-й степени?

Сколько будет 14 в 26-й степени?

Сколько будет 47 в 65-й степени?

Сколько будет 100 в 30-й степени?

Сколько будет 55 в 9-й степени?

Сколько будет 6 в 71-й степени?

Сколько будет 44 в 15-й степени?

Сколько будет 59 в 15-й степени?

Сколько будет 64 в 55-й степени?

Сколько будет 71 в 76-й степени?

Сколько будет 57 в 76-й степени?

Сколько будет 76 в 90-й степени?

Сколько будет 39 в 85-й степени?

Сколько будет 79 в 13-й степени?

Сколько будет 97 в 55-й степени?

Сколько будет 92 в 72-й степени?

Сколько будет 72 в 37-й степени?

Сколько будет 99 в 62-й степени?

Сколько будет 66 в 59-й степени?

Сколько будет 93 в 30-й степени?

Сколько будет 67 в 18-й степени?

Сколько будет 99 в 82-й степени?

Сколько будет 6 в 23-й степени?

Сколько будет 93 в 35-й степени?

Сколько будет 15 в 28-й степени?

Сколько будет 30 в 78-й степени?

Сколько будет 88 в 44-й степени?

Сколько будет 35 в 98-й степени?

Сколько будет 18 в 48-й степени?

Сколько будет 98 в 9-й степени?

Сколько будет 62 в 69-й степени?

Сколько будет 67 в 9сила?

Сколько будет 22 в 50-й степени?

Сколько будет 69 в 9-й степени?

Сколько будет 71 в 4-й степени?

Сколько будет 39 в 80-й степени?

Сколько будет 23 в 14-й степени?

Сколько будет 54 в 25-й степени?

Сколько будет 58 в 71-й степени?

Сколько будет 56 в 77-й степени?

Сколько будет 12 в 30-й степени?

Сколько будет 34 в 11-й степени?

Сколько будет 23 в 39-й степени?

Сколько 23 к 29сила?

Сколько будет 51 в 42-й степени?

Сколько будет 3 в 16-й степени?

Сколько будет 68 в 67-й степени?

Сколько будет 48 в 35-й степени?

Сколько будет 21 в 78-й степени?

Сколько будет 49 в 60-й степени?

Сколько будет 23 в 85-й степени?

Сколько будет 47 в 72-й степени?

Сколько будет 91 в 17-й степени?

Сколько будет 3 в 30-й степени?

Сколько будет 86 в 10-й степени?

Сколько будет 85 в 12-й степени?

Сколько будет 3 в 60-й степени?

Сколько будет 83 в 32-й степени?

20 Мощность Таблица

---

Вы ищете больше числовых диаграмм, используйте этот калькулятор

• Power Table Generator
• Калькулятор мощности

Преобразование экспоненты в число
Установите флажок, чтобы преобразовать экспоненциальный результат в число. Число Поднятый силой Равно

от 1 до 10

1. 20 ¹ = 20
2. 20 ² = 400
3. 2 0 ³ = 8000
4. 20 ⁴ = 160000
5. 20 ⁵ = 3200000
6. 20 ⁶ = 64000000
7. 20 ⁷ = 1280000000
8. 20 ⁸ = 25600000000
9. 20 ⁹ = 512000000000
10. 20 ¹⁰ = 10240000000000

от 11 до 20

1. 20 ¹¹ = 204800000000000
2. 20 ¹² = 4096000000000000
3. 20 ¹³ = 81920000000000000
4. 20 ¹⁴ = 1638400000000000000
5. 20 ¹⁵ = 3276800000000 0000000
6. 20 ¹⁶ = 655360000000000000000
7. 20 ¹⁷ = 1,31072e+22
8. 20 ¹⁸ = 2,62144e+23
9. 20 ¹⁹ = 5,24288e+2 4
10. 20 ²⁰ = 1,048576e+26

от 21 до 30

1. 20 ²¹ = 2,097152e+27
2. 20 ²² = 4,19 4304e+28
3. 20 ²³ = 8,388608e+29
4. 20 ²⁴ = 1,6777216 e+31
5. 20 ²⁵ = 3,3554431999999996e+32
6. 20 ²⁶ = 6,710886399999999e+33
9001 9 20 ²⁷ = 1,3421772799999998e+35
7. 20 ²⁸ = 2,68435456e+36
8. 20 ²⁹ = 5,36870912e+37
9. 20 ³⁰ = 1,0737418239999999e+39

от 31 до 40

1. 20 ^{31 9 0021 = 2,1474836479999997e+40}
2. 20 ³² = 4,2949672959999995e+41
3. 20 ³³ = 8,5899345 92 e+42
4. 20 ³⁴ = 1,7179869184e+44
5. 20 ³⁵ = 3,4359738368e+45
6. 20 ³⁶ = 6,871947673599999e+46
7. 20 ³⁷ = 1,3743895347199998e+48
8. 20 ³⁸ = 2,74877
399994e+49
9. 20 ³⁹ = 5,497558138879999e+50
10. 20 ⁴⁰ = 1,0995116277759998e+52

от 41 до 50

1. 20 ⁴¹ = 2,19

   555519996e+53

2. 20 ⁴² = 4,3980465111039995e+54
3. 20 ⁴³ = 8,796093022207999e+55
4. 20 ⁴⁴ = 1,7592186044415998e+57
5. 20 ⁴⁵ = 3,5184372088832e+58
6. 20 ⁴⁶ = 7,0368744177664e+59
7. 20 ⁴⁷ = 1,40737488355328e+61
8. 20 ⁴⁸ = 2,8 1474976710656e+62
9. 20 ⁴⁹ = 5,6294995342131204e+63
10. 20 ⁵⁰ = 1,125899^{2624e +65}

51 до 60

1. 20 ⁵¹ = 2,251799813685248e+66
2. 20 ^{5 2} = 4,503599627370496e+67
3. 20 ⁵³ = 9,007199254740992e+68
4. 20 ⁵⁴ = 1,8014398509481985e+70
5. 20 ⁵⁵ = 3,6028797018963973e+71
6. 20 ⁵⁶ = 7,20575 9403792794e+72
7. 20 ⁵⁷ = 1,4411518807585588e+74
8. 20 ⁵⁸ = 2,8823037615171177e+75
9. 20 ⁵⁹ = 5,7646075230342354e+76
10. 20 ⁶⁰ = 1,1529215046068471e+78

9 0306

от 61 до 70

20 ⁶¹ = 2,305843009213694e+79

20 ⁶² = 4,6116860184273886e+80

20 ⁶³ = 9,223372036854778e+81

20 ⁶⁴ = 1,844674 4073709555e+83

20 ⁶⁵ = 3,689348814741911e+84

20 ⁶⁶ = 7,378697629483822e+85

20 ⁶⁷ = 1,4757395258967643e+87

20 ⁶⁸ = 2,95147935285e+88

2 0 ⁶⁹ = 5,

8103587057e+89

20 ⁷⁰ = 1,1805916207174114e+91

от 71 до 80

1. 20 ⁷¹ = 2,3611832414348227e+92
2. 20 ⁷² = 4,7223664828 69646e+93
3. 20 ⁷³ = 9,444732965739292e+94
4. 20 ⁷⁴ = 1,8889465931478582e+96
5. 20 ⁷⁵ = 3,777893186295717e+97
6. 20 ⁷⁶ = 7,555786372591433e+98
7. 20 ⁷⁷ = 1,5111572745182866e+100
8. 20 ⁷⁸ = 3,02231454
9. 736e+101
10. 20 ⁷⁹ = 6,0446273147e+102
11. 20 ⁸⁰ = 1,2089258196146293e+104

от 81 до 90

1. 20 ⁸¹ = 2,4178516392292587e+105
2. 20 ⁸² = 4,835703278458517e+106
9 0019 20 ⁸³ = 9,671406556917035e+107
3. 20 ⁸⁴ = 1,934281311383407e+109
4. 20 ^{85 9 0021 = 3,868562622766815e+110}
5. 20 ⁸⁶ = 7,737125245533629e+111
6. 20 ⁸⁷ = 1,547425049106726E+113
7. 20 ⁸⁸ = 3,094850098213452E+114
8. 20 ⁸⁹ = 6.