Рубрика: Математике

Полином | это… Что такое Полином?

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной — функции вида

где c_i фиксированные коэффициенты, а x — переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций.

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (смотри аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Определение

Многочлен (или полином) от n переменных — есть конечная формальная сумма вида

,

где I = (i₁,i₂,…,i_n) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), c_I — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца R (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом R без делителей нуля) которое обозначается

R[x₁,x₂,…,x_n].

Связанные определения

• Многочлен вида называется одночленом или мономом
  • Одночлен, соответствующий мультииндексу называется свободным членом.
  • В случае, когда многочлен имеет всего два ненулевых члена, его называют двучленом или биномом,
  • В случае, когда многочлен имеет всего три ненулевых члена, его называют трёхчленом.
• Полной степенью (ненулевого) одночлена называется целое число | I | = i₁ + i₂ + . .. + i_n.
  • Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов, тождественный нуль не имеет степени
• Множество мультииндексов I для которых коэффициенты c_I ненулевые называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка многогранником Ньютона.

Делимость

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым. Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен λ, то p или q делится на λ. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x⁴ + 2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n > 2 существуют многочлен от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен определяет полиномиальную функцию

.

Чаще всего рассматривают случай A = R.

В случае если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов) то функция полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены и из определяют тождественно равные функции .

Свойства

• Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
• Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
• Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, т. е. любой его идеал может быть порожден одним элементом.
  • Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.

Вариации и обобщения

• Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
• Квазимногочлен
• Тригонометрический многочлен

См. также

• Бином
• Корень многочлена
• Неприводимый многочлен
• Однородный многочлен
• Ортогональные многочлены
• Многогранник Ньютона
• Многочлен Лагранжа
• Многочлен Тейлора
• Многочлен Гильберта
• Многочлен Эрхарта
• Многочлен Чебышёва
• Многочлен Эрмита
• Симметрический многочлен
• Базис Гребнера
• Сплайн
• Характеристический многочлен
• Теорема Гаусса — Лукаса
• Упорядочивание одночленов

Ссылки

Полиномы | Математика, которая мне нравится

1. Теорема о делении с остатком

Теорема (о делении с остатком). Для данных полиномов существуют и единственны полиномы и такие, что

где .

Пример 1. Известно, что остаток от деления полинома на равен , от деления на равен . Найдите остаток от деления на .

Решение. Пусть

Тогда , . Отсюда , .

Пример 2. Определить, будет ли полином делиться на .

Решение. Пусть . Тогда, как и в предыдущей задаче, . Теперь продифференцируем равенство по :

и . Отсюда следует делимость. — корень кратности .

2. Теорема Виета

Теорема Виета. Пусть корни многочлена

равны . Тогда

Пример 3. Известно, что уравнение

имеет вещественных корня, сумма которых равна . Найти .

Решение. По теореме Виета . Осталось проверить, при каком уравнение имеет вещественных корня. .

3. Суммы Ньютона

Пусть , . Обозначим его корни. И полином .

Определение. Выражение

называется —ой суммой Ньютона полинома .

Найдем выражение через коэффициенты . Для этого рассмотрим дробь

Разложим теперь каждую дробь по степеням :

и подставим в первое равенство:

Домножим обе части этого равенства на , получим

тождество

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в этом тождестве, получаем равенства:

Разрешая их последовательно, получаем рекурсивные формулы Ньютона для :

Пример 4. Доказать, что

где — суммы Ньютона полинома .

Решение. Запишем выражения для

Рассмотрим эти равенства как систему линейных уравнений относительно и выразим по формулам Крамера:

Далее, учитывая, что знаменатель равен единице, переставляем столбцы в числителе и приходим к нужному нам равенству.

Пример 5. Вычислить сумму

где — корни полинома .

Ответ. .

Решение.

так как полином не имеет кратных корней: его дискриминант . Отсюда ответ.

4. Теорема Лагранжа

Рассмотрим полином

Теорема. Пусть числа все различны. Для полинома справедливы следующие равенства Эйлера — Лагранжа:

Доказательство. Построим интерполяционный полином по следующей таблице:

С одной стороны, ответ известен заранее: . С другой стороны, формула интерполяционного полинома Лагранжа дает его же в виде суммы:

В этом тождестве степени полиномов слева и справа должны быть одинаковыми.

Если , то старший коэффициент правого полинома должен обратиться в нуль. Если же , то должны совпасть старшие коэффициенты обоих полиномов.

5. Результант и дискриминант

Для полиномов

() составим квадратную матрицу порядка :

элементы выше и , и ниже и все равны нулю.

Определение. Выражение

называется результантом полиномов и (в форме Сильвестра).

Теорема. Для полиномов и

Теорема. Для того чтобы и имели общий корень, необходимо и достаточно выполнение условия .

Для того чтобы полином имел кратный корень необходимо и достаточно, чтобы он имел общий корень со своей производной . Для этого необходимо и достаточно, чтобы .

Соответствующий определитель

будет делиться на (общий множитель элементов первого столбца).

Определение. Выражение называется дискриминантом полинома и обозначается :

Упражнение. Докажите, что

Здесь — корни .

Теорема. Полином имеет кратный корень тогда и только тогда, когда .

Пример 6. Охарактеризовать число вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами по знаку дискриминанта для полинома третьей степени, для полинома четвертой степени и в общем случае.

Решение. В общем случае, если дискриминант положителен, то число пар комплексно-сопряженных корней четное, если дискриминант отрицателен, — то нечетное.

Для полинома третьей степени, если , то все корни вещественны, если , то два корня комплексно-сопряженные.

Для полинома четвертой степени при или все корни вещественные, или все корни комплексные. При имеется два вещественных корня и одна пара сопряженных комплексных.

Задачи

1. Найдите многочлен четвертой степени со старшим коэффициентом единицей, у которого число является корнем кратности , а остаток от деления на равен .

2. Многочлен с целыми коэффициентами представлен в виде

где — различные целые числа, а — некоторый многочлен. Может ли многочлен иметь целые корни?

3. и — различные вещественные числа. Найдите остаток от деления полинома на .

4. — полином с целыми коэффициентами. Для некоторого натурального ни одно из чисел не делится на . Докажите, что полином не имеет целых корней.

5. Корни полинома — . Найдите кубическое уравнение, корнями которого являются .

6. Доказать, что если четыре различных точки кривой

лежат на одной прямой, то среднее арифметическое их абсцисс есть константа. Найдите эту константу.

7. Пусть . Пусть уравнение имеет различные вещественные корни. Докажите, что эти корни являются также корнями уравнения . Найдите квадратное уравнение для двух других корней этого уравнения. Решите

8. Найдите полином с вещественными коэффициентами, , такой, что суммы квадратов коэффициентов и одинаковы для всех .

9. Вещественный полином такой, что для любого полинома . Найти все такие полиномы .

10. Пусть — корни степени из . Найти .

11. Пусть — многочлен -й степени, а — его производная. Составим разности между каждым из корней уравнения и каждым из корней уравнения .

Вычислите сумму величин, обратных полученным разностям.

12. Доказать, что если для некоторого натурального

то полином

имеет корень между и .

13. Доказать, что многочлены и не имеют общих комплексных корней.

14. Пусть — суммы Ньютона полинома

Найти полином такой, что его суммы Ньютона равны .

Подробнее о полиномах (и не только) см. на сайте: http://pmpu.ru/vf4/

Что такое многочлены? Определение и примеры

Многочлены — это алгебраические выражения, содержащие неопределенные и постоянные числа. Вы можете думать о многочленах как о диалекте математики. Они используются для выражения чисел почти во всех областях математики и считаются очень важными в некоторых разделах математики, таких как исчисление. Например, 2x + 9 и x ² + 3x + 11 являются полиномами. Вы могли заметить, что ни один из этих примеров не содержит знака «=». Взгляните на эту статью, чтобы лучше понять полиномы.

Что такое многочлен?

Многочлен — это тип выражения. Выражение — это математическая инструкция без знака равенства (=). Давайте разберемся в значении и примерах многочленов, как объяснено ниже.

Полином Определение

Полином — это тип алгебраического выражения, в котором показатели степени всех переменных должны быть целыми числами. Показатели переменных в любом многочлене должны быть неотрицательными целыми числами. Многочлен состоит из констант и переменных, но мы не можем выполнять операции деления на переменную в многочленах.

Примеры полиномов

Давайте разберемся в этом на примере: 3x ² + 5. В данном полиноме есть определенные термины, которые нам необходимо понять. Здесь x известен как переменная. 3, которое умножается на х ² имеет специальное имя. Обозначим его термином «коэффициент». 5 называется константой. Степень переменной x равна 2.

Ниже приведены несколько выражений, которые не являются примерами полинома.

Не многочлен	Причина
2x -2	Здесь показатель степени переменной ‘x’ равен -2.
1/(у + 2)	Это не пример полинома, так как операция деления в полиноме не может быть выполнена переменной.
√(2x)	Показатель степени не может быть дробью (здесь 1/2) для многочлена.

На следующем рисунке показаны все члены многочлена.

Стандартная форма многочленов

Стандартная форма полинома относится к записи полинома в убывающей степени переменной.

Пример: Выразите многочлен 5 + 2x + x ² в стандартной форме.

Чтобы представить приведенный выше многочлен в стандартной форме, мы сначала проверим степень многочлена.

• В данном многочлене степень равна 2. Запишите член, содержащий степень многочлена.
• Теперь мы проверим, есть ли член с показателем степени переменной меньше 2, т. е. 1, и запишем его дальше.
• Наконец, запишите член с показателем степени переменной как 0, который является постоянным членом.

Следовательно, 5 + 2x + x ² в стандартной форме можно записать как x ² + 2x + 5.

Всегда помните, что в стандартной форме многочлена члены записываются в порядке убывания мощность переменной, здесь x.

Члены многочлена

Члены многочленов определяются как части выражения, разделенные операторами «+» или «-«. Например, полиномиальное выражение 2x ³ — 4x ² + 7x — 4 состоит из четырех членов.

Подобные термины и различные термины

Подобные термины в многочленах — это те термины, которые имеют одну и ту же переменную и одинаковую мощность. Термины, которые имеют разные переменные и/или разные степени, известны как непохожие термины. Следовательно, если многочлен имеет две переменные, то все одинаковые степени любой ОДНОЙ переменной будут известны как одинаковые члены. Давайте разберемся в этих двух с помощью примеров, приведенных ниже.

Например , 2x и 3x похожи на термины. Принимая во внимание, что 3 года ⁴ и 2x ³ — разные термины.

Степень многочлена

Наибольший или наибольший показатель степени переменной в многочлене называется степенью многочлена. Степень используется для определения максимального количества решений полиномиального уравнения (используя правило знаков Декарта).

Пример 1: Многочлен 3x ⁴ + 7 имеет степень, равную четырем.

Степень многочлена с более чем одной переменной равна сумме показателей степени входящих в него переменных.

Пример 2: Найдите степень многочлена 3xy.

В приведенном выше полиноме степень каждой переменной x и y равна 1. Чтобы вычислить степень полинома с более чем одной переменной, сложите степени всех переменных в члене. Таким образом, мы получим степень данного многочлена (3xy) как 2.

Аналогично, мы можем найти степень многочлена 2x ² y ⁴ + 7x ² y путем нахождения степени каждого члена. Наивысшая степень будет степенью многочлена. Для данного примера степень многочлена равна 6.

Типы многочленов

Многочлены можно классифицировать по их степени и мощности. Основываясь на количестве членов, есть в основном три типа многочленов, которые перечислены ниже:

• Мономы
• Биномы
• Трехчлены

Одночлен — это тип многочлена с одним членом. Например, x, -5xy и 6y ² . Бином — это тип полинома, который имеет два члена. Например, x + 5, y ² + 5 и 3x ³ — 7. В то время как Trinomial — это тип полинома, который имеет три члена. Например, 3x ³ + 8x — 5, x + y + z и 3x + y — 5. Однако в зависимости от степени полинома полиномы можно разделить на 4 основных типа:

• Нулевой многочлен
• Постоянный многочлен
• Линейный многочлен
• Квадратичный многочлен
• Кубический многочлен

Постоянный многочлен определяется как многочлен, степень которого равна нулю. Любой постоянный многочлен с коэффициентами, равными нулю, определяется как нулевой многочлен . Например, 3, 5 или 8. Многочлены со степенью 1 называются линейными многочленами . Например, x + y — 4. Многочлены со степенью 2 называются квадратичными многочленами . Например, 2p ² — 7. Многочлены со степенью 3 называются кубическими многочленами . Например, 6м ³ — мн + н ² — 4.

Свойства многочленов

Полиномиальное выражение содержит члены, связанные операторами сложения или вычитания. Существуют различные свойства и теоремы о многочленах, основанные на типе многочлена и выполняемой операции. Некоторые из них приведены ниже,

Теорема 1: Если A и B — два заданных полинома, то

• deg⁡(A ± B) ≤ max(deg⁡ A, deg ⁡B), с равенством, если deg⁡ A ≠ deg ⁡B
• град⁡(А⋅В) = град⁡ А + град⁡ В

Теорема 2: Для заданных многочленов A и B ≠ 0 существуют уникальные многочлены Q (частное) и R (вычет) такие, что

A = BQ + R и deg R < deg B

Теорема 3 ( Теорема Безу): Многочлен P(x) делится на бином x − a тогда и только тогда, когда P(a) = 0. Это также известно как факторная теорема.

Теорема 4: Если многочлен P делится на многочлен Q, то каждый нуль Q является также нулем P.

Теорема 5: Многочлен P(x) степени n > 0 имеет единственный представление вида P(x) = k(x — x ₁ )(x — x ₂ )…(x — x _n ), где k ≠ 0 и x ₁ ,…, x _n — комплексные числа, не обязательно различные.

Следовательно, P(x) имеет не более чем deg ⁡P = n различных нулей.

Теорема 6: Многочлен n-й степени имеет ровно n комплексных/вещественных корней вместе с их кратностями.

Теорема 7: Если многочлен P делится на два взаимно простых многочлена Q и R, то он делится на Q⋅R.

Теорема 8: Если ß является комплексным нулем вещественного многочлена P(x), то таковым является \(\overline{ß}\) (комплексно-сопряженное ß).

Теорема 9: Вещественный многочлен P(x) имеет единственную факторизацию (с точностью до порядка) вида

P(x) = (x — r ₁ ). ..(x — r _k )(x ² — p ₁ x + q ₁ )…(x ² — p _l x + q _l ),

где r _i и p _j , q _j — действительные числа с p _i ^{2 .}

Теорема 10 (Теорема об остатках): Остаток при делении многочлена f(x) на (x — a) равен f(a).

Операции над многочленами

Основные алгебраические операции можно выполнять над полиномами разных типов. Эти четыре основные операции над многочленами могут быть представлены как

• Сложение многочленов
• Вычитание многочленов
• Умножение многочленов
• Деление многочленов

Сложение многочленов

Сложение многочленов — одна из основных операций, которые мы используем для увеличения или уменьшения значения многочленов. Независимо от того, хотите ли вы сложить числа или полиномы, основные правила остаются прежними. Единственное отличие состоит в том, что при добавлении вы выравниваете соответствующие значения мест и выполняете операцию. Однако, когда речь идет о сложении многочленов, нужно соединить одинаковые члены в пары, а затем сложить их. В противном случае все правила сложения чисел переходят в многочлены. Посмотрите на приведенное здесь изображение, чтобы понять, как сложить любые два многочлена.

Вычитание многочленов

Как обсуждалось выше, правила вычитания многочленов очень похожи на вычитание двух чисел. Чтобы вычесть многочлен из другого, мы просто добавляем добавку, обратную многочлену, который вычитается, к другому многочлену. Еще один простой способ вычитания многочленов — просто изменить знаки всех членов вычитаемого многочлена, а затем добавить полученные члены к другому многочлену, как показано ниже. Нам просто нужно выровнять заданные полиномы на основе одинаковых членов.

Умножение многочленов

Операция умножения многочленов следует общим свойствам, таким как коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность и т. д. Применяя эти свойства, используя правила экспонент, мы можем решать задачу умножения многочленов. Чтобы умножить на многочлены, мы просто умножаем каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена, а затем складываем все результаты. Вот пример умножения многочленов.

Например, (2x + 3y)(4x — 5y) = 2x(4x — 5y) + 3y(4x — 5y) = 8x ² — 10xy + 12xy — 15y ²

⇒ 3x 4

+ 2xy — 15y

Деление многочленов

Деление многочленов — это арифметическая операция, при которой мы делим данный многочлен на другой многочлен, который обычно имеет меньшую степень по сравнению со степенью делимого. Есть два метода деления многочленов.

• Длинное деление многочленов
• Синтетическое подразделение

Чтобы узнать больше о каждом типе разделения, нажмите на соответствующую ссылку.

Факторизация многочленов

Факторизация полиномов — это процесс, посредством которого мы разлагаем полиномиальное выражение в форму произведения его неприводимых множителей, так что коэффициенты множителей находятся в той же области, что и основной многочлен. Существуют различные методы, которым можно следовать для факторизации многочленов, заданных как

• Метод общих множителей
• Метод группировки
• Факторинг по условиям разделения
• Факторинг с использованием алгебраических тождеств

В зависимости от сложности данного полиномиального выражения мы можем следовать любому из приведенных выше методов.

Полиномиальные уравнения

Полиномиальное уравнение представляет собой уравнение, состоящее из переменных, показателей и коэффициентов, операций и знака равенства. Общая форма полиномиального уравнения такова: P(x) = a _n x ⁿ + . . + рх + с. Некоторые примеры полиномиальных уравнений: x ² + 3x + 2 = 0, x ³ + x + 1 = 0, x + 7 = 0 и т. д.

Полиномиальные функции

Общие выражения, содержащие переменные различной степени , коэффициенты, положительные показатели и константы известны как полиномиальные функции. Другими словами, полиномиальная функция — это функция, определение которой является многочленом. Вот несколько примеров полиномиальных функций,

• f(x) = x ² + 4
• г(х) = -2х ³ + х — 7
• h(x) = 5x ⁴ + x ³ + 2x ²

Решение многочленов

Решение многочлена означает нахождение корней или нулей многочленов. Мы можем применять различные методы для решения многочлена в зависимости от типа многочлена, будь то линейный многочлен, квадратичный многочлен и так далее. Давайте сначала разберемся, что подразумевается под нулем многочлена.

Нули многочленов

Корни или нули многочлена — это действительные значения переменной, при которых значение многочлена стало бы равным нулю. Итак, если мы скажем, что любые два действительных числа, ‘α’ и ‘ß’, являются нулями многочлена p(x), тогда p(α) = 0 и p(ß) = 0. Например, для многочлена p( x) = x ² — 2x + 1, заметим, что p(1) = (1) ² — 2(1) + 1 = 0. Следовательно, 1 является нулем или корнем данного многочлена. Это также означает, что (x — 1) является множителем p(x).

Теперь, чтобы найти ноль или корень любого многочлена, то есть решить любой многочлен, мы можем применить различные методы,

• Факторизация
• Графический метод
• Метод проб и ошибок

Важные примечания по полиномам:

• Члены полинома могут быть разделены только знаком «+» или «-».
• Чтобы любое выражение стало полиномом, степень переменной должна быть целым числом.
• Сложение и вычитание полинома возможно только между одинаковыми членами.
• Все числа во Вселенной называются постоянными полиномами.

☛ Статьи по теме:

• Полиномы от одной переменной
• Линейные уравнения
• Калькулятор полиномиального решения

Решенные примеры полиномов

1. Пример 1: Мистер Старк хочет посадить несколько кустов роз по краям своего сада треугольной формы. Если стороны сада заданы полиномами (4x — 2) фута, (5x + 3) фута и (x + 9) фута, каков периметр сада?

   Решение:

   Периметр сада = (4x — 2) + (5x + 3) + (x + 9) = 4x + 5x + x — 2 + 3 + 9 = 10x + 10

   Ответ: ∴ Периметр равен (10x + 10) футам.

2. Пример 2: Доход мистера Смита составляет $ (2x ² — 4y ² + 3xy — 5), а его расходы составляют $ (-2y ² + 5x ² + 9). Используйте концепцию вычитания многочленов, чтобы найти его сбережения.

   Решение:

   Все мы знаем, что Сбережения = Доходы — Расходы. Теперь, применяя то же самое здесь, мы получим:

   Сбережения = 2x ² — 4y ² + 3xy — 5 — (9 — 2y ² + 5x ² ) = 2x ² — 4y ² + 3xy — 5 + 2y ² — 5x ² — 9 = -3x ² — 2y ² + 3xy — 14

   Ответ: Отсюда, его сбережения быть $(-3x ² — 2y ² + 3xy — 14).

3. Пример 3: Сложите следующие многочлены: (2x ² + 16x — 7) + (x ³ + x ² — 9x + 1).

   Решение:

   Чтобы сложить многочлены, мы должны составить подобные термы.

   (2x ² + 16x — 7) + (x ³ + x ² — 9x + 1) = x ³ + (2 + 1)x ² + (16 — 9)x — 7 + 1 = x ³ + 3x ² + 7x — 6

   Ответ: x ³ + 3x ² + 7x — 6

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по полиномам

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о многочленах

Что означает многочлен?

Многочлен — это алгебраическое выражение, члены которого разделены операторами «+» и «-», в котором показатели степени переменных всегда являются неотрицательными целыми числами. Например, x ² + x + 5, y ² + 1 и 3x ³ — 7x + 2 — это какие-то многочлены.

Что такое коэффициенты многочлена?

Коэффициенты полинома кратны переменной или переменной с показателями степени. Возьмем полином 3х ³ — 2х + 7, коэффициент при х ³ равен 3, а коэффициент при х равен -2.

Что такое мономы, биномы и трехчлены?

Одночлен — это тип многочлена с одним членом. Например, x, -5xy и 6y ² . В то время как биномиал будет иметь два термина. Например, х + 5, у ² + 5 и 3x ³ — 7. В то время как трехчлен — это тип многочлена, который имеет три члена. Например, 3x ³ + 8x — 5, x + y + z и 3x + y — 5.

Является ли 8 полиномом?

8 — многочлен. Поскольку степень этого многочлена равна нулю, это пример постоянного многочлена.

Что такое константа в многочлене?

Число, не кратное ни одной из переменных полинома, называется константой. Например, в многочлене 4x ⁴ + 3x ² — 5, -5 — константа. Многочлен может содержать константу, а может и не содержать ее.

Что такое полиномиальное уравнение?

Полиномиальное уравнение — это когда два разных многочлена объединяются вместе с помощью знака равенства. В этом случае выражение становится полиномиальным уравнением.

Почему полиномы важны?

Многочлены образуют большую группу алгебраических выражений. Любое выражение, в котором в качестве степеней переменных используются только целые числа, называется полиномом. Поскольку они охватывают такой огромный кусок всех алгебраических выражений, они, как правило, имеют широкий спектр приложений.

Что такое правило знаков многочленов Декарта?

Правило знаков Декарта используется для определения количества положительных/отрицательных действительных нулей многочлена f(x). Количество положительных действительных нулей f(x) в стандартной форме — это количество изменений знака в нем, а количество отрицательных действительных нулей f(x) — это количество изменений знака в f(-x).

Как умножать и делить многочлены?

При умножении многочленов следует помнить о трех законах: распределительном законе, ассоциативном законе и коммутативном законе. Для деления наиболее распространенным методом, используемым для деления одного многочлена на другой, является метод деления в длину.

Где найти калькулятор полиномов?

Мы можем найти полиномиальный калькулятор, нажав здесь. Мы можем использовать это, чтобы складывать/вычитать/умножать/разделять многочлены.

Является ли ноль полиномом?

Число 0 — это специальный многочлен, называемый нулевым многочленом. Это постоянный многочлен.

Brilliant Math & Science Wiki

Энди Хейс, Мехул Арора, Хобарт Пао, и

способствовал

Содержимое

• Идентификация полиномов
• Компоненты многочленов
• Степени многочленов
• Арифметика многочленов
• Факторные полиномы
• Полиномиальные функции
• Теоремы об остатках и факторах
• Тождества Ньютона

Многочлен — это особый тип математического выражения.

Некоторые из приведенных выше выражений являются полиномами (выделены синим цветом), а некоторые нет (красным цветом). Многочлены можно определить, отметив, какие выражения содержат только операций сложения, вычитания, умножения и неотрицательных целых показателей степени. Неполиномиальными выражениями будут выражения, содержащие другие операции.

Объясните, почему неполиномиальные выражения не являются полиномами.

---

Мы можем обобщить причины, как показано в следующей таблице:

Non-Polynomial ExpressionReason это не многочлен2x+x1/2Полиномы не могут содержать переменные показатели степени.Они также не могут содержать нецелые показатели степени.xy+2yВ общем случае многочлены могут содержать дроби. 2+2x−3Многочлены не могут иметь отрицательные показатели степени переменных. 2-1) & \text{Полиномы не могут содержать неполиномиальные функции}\\ &\text{включая тригонометрические функции, такие как косинус.} \\ \hline \end{array}Неполиномиальное выражение2x+x1/2yx​+2y6x−2+2x−3cos(x2−1)​Почему это не полином.Многочлены не могут содержать переменные показатели степени. Они также не могут содержать нецелые показатели степени.В общем , многочлены могут содержать дроби. Однако они не могут содержать переменные в знаменателе. Многочлены не могут иметь отрицательные показатели степени переменных. Многочлены не могут содержать неполиномиальные функции, включая тригонометрические функции, такие как косинус.​​

Полиномы — это хорошо изученные математические объекты, поэтому математикам удобно иметь возможность выражать математические процессы в виде полиномов. Неполиномиальные выражения, как правило, представляют больше проблем при решении математических задач. В математическом анализе есть понятие, называемое приближением ряда Тейлора, целью которого является аппроксимация неполиномиального выражения в виде полиномиального выражения. Это сделано из-за многих удобных свойств многочленов.

Словарь многочленов поначалу может показаться немного пугающим. Однако эти «сложно звучащие» слова часто используются для обозначения простых идей.

«Стандартные блоки» полиномов называются мономами.

Одночлен — это полиномиальное выражение, которое содержит переменные и коэффициент и не содержит сложения или вычитания.

Мономы часто называют терминами , если они являются частью большего многочлена. 92\text{,}-\frac{2}{3}x\text{ и }\frac{3}{4} \\ \hline \end{array}Выражение многочленаx+33×2−2x+5−72a3b2−3b2+2a−121×2−32x+43​​Termsx и 33×2, -2x, 5-72a3b2, -3b2, 2a и — 121 x 2, -32 x и 43 90 005

Обратите внимание, что каждый член может быть положительным или отрицательным, и этот знак зависит от того, был ли член добавлен в многочлен или вычтен из многочлена. Каждое слагаемое также имеет коэффициент.

Коэффициент термина является постоянным коэффициентом этого термина. 92 и 2 \\ \hline -\frac{2}{3}x & -\frac{2}{3} \\ \hline -7 и -7\\ \hline \end{array}Termx3x2−2x2a3b2−32​x−7​Coefficient13−22−32​−7​​

Обратите внимание, что значение коэффициента «по умолчанию» равно 111. Если термин не содержит переменных, то коэффициент является самим термином.

Многочлены часто классифицируют по степени .

Степень монома представляет собой сумму показателей каждой переменной в мономе.

9{\color{#D61F06}{1}}−32​x1 равно 1\color{#D61F06}11. Степень 34\frac{3}{4}43​ равна 0\color{#D61F06}00. Степень полинома является наибольшей из этих степеней, которая равна 2\color{#3D99F6}22. □_\квадрат□​

Многочлены классифицируются таким образом, потому что они демонстрируют различное математическое поведение и свойства в зависимости от степени. Степень полинома также влияет на стратегию решения задач для решения уравнений, содержащих этот полином.

Термины «постоянная», «линейная», «квадратичная» и «кубическая» широко распространены в математике; они используются не только в полиномах. Однако значение каждого из этих слов всегда связано со степенью некоторого полинома.

Многочлены представляют числа, поэтому любые математические операции могут выполняться над многочленами точно так же, как они выполняются над числами. Когда полиномы складываются, вычитаются или умножаются, результатом является другой полином. При делении многочленов результатом является рациональное выражение. 92-3x+8)(2×2-3x+8) и (x-3)(x-3)(x-3). Используйте полиномиальное деление, чтобы записать частное этих полиномов в виде суммы полинома и рационального выражения.

Полное деление выглядит следующим образом:

Таким образом, полученное частное равно 2x+3+17x−3,2x+3+\frac{17}{x-3},2x+3+x−317​. □_\квадрат□​

Основная статья: Факторные полиномы

Разложение многочленов на множители — это процесс перезаписи многочлена как эквивалентного произведения многочленов. {n-1}+\cdots+a_1x+a_0. p(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​. 92y+2xy-6x+9q(x,y)=3x2y+2xy−6x+9 — полиномиальная функция.

Основная статья: Теорема об остатках
,

,

Теорема об остатках

Когда многочлен p(x)p(x)p(x) делится на (x−a)(x-a)(x−a), остаток равен p(a)p(a)p(a).

Пусть p(x)p(x)p(x) — полиномиальная функция. Когда p(x)p(x)p(x) делится на (x−a)(x−a)(x−a), результатом будет сумма полиномиальной функции и рационального выражения: p(x)x-a=q(x)+rx-a,\dfrac{p(x)}{x-a}=q(x)+\dfrac{r}{x-a},x-ap(x)​ =q(x)+x−ar​, где q(x)q(x)q(x) представляет результирующий частный многочлен, а rrr представляет результирующий остаток. Умножение обеих частей этого уравнения на (x−a)(xa)(x−a) дает p(x)=(x−a)q(x)+r.p(x)=(x-a)q(x)+r.p(x)=(x−a)q(x)+r. Подставив x=ax=ax=a, мы получим p(a)=(a−a)q(x)+r.p(a)=(a-a)q(x)+r.p(a)=(a−a) д(х)+г. 9{2}+4x-1p(x)=x3-3×2+4x-1 такое, что p(a)=p(b)=p(c)=0p(a)=p(b)=p(c)= 0p(a)=p(b)=p(c)=0 и a≠b≠ca \ne b \ne ca​=b​=c.

Вычислительные примеры на все действия с десятичными дробями

Урок-зачет по теме «Десятичные дроби».

Учебник: Математика. 5 класс: Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд.

Каждый билет содержит один теоретический вопрос и 4 практических задания. Ответ на первый вопрос ученик может записать в тетрадь и по готовности подходит к учителю и отвечает. Когда ученик рассказал правило, учитель отмечает это столбце для ответов. Остальные задания обучающийся выполняет также в тетради, а в билете, в столбце для ответов заносит только ответ. По окончанию работы сдает тетрадь с билетом на проверку. Учитель проверяет правильность выполнения, исправляет ошибки. Билет с ответами оставляет себе. Тетрадь возвращает ученику для работы над ошибками (если необходимо). Задания подобраны так, что каждый пятиклассник должен показать свои умения сравнивать, округлять, складывать, вычитать, умножать, делить десятичные дроби.

Achievethecore.org :: Дроби

Многочисленные исследования говорят нам о том, что гибкость и точность работы с дробями являются одними из наиболее важных элементов успеха учащихся в математике. Одна из самых важных задач учителей начальных классов средних классов состоит в том, чтобы помочь всем детям опираться на свое понимание целых чисел и концептуализировать дроби как часть системы счисления, чтобы полностью рассуждать, вычислять и применять понимание дробей.

На этой странице есть что-то для всех — классного руководителя, тренера, руководителя и директора, — которым нужны большие ресурсы и поддержка для их собственного изучения дробей, а также для преподавания и изучения дробей с учениками. . Используйте меню навигации, чтобы найти исследования и обоснования, примеры задач на дроби для использования со студентами и профессиональные учебные ресурсы для создания сообщества и обучения с коллегами.

Почему дроби?

Преподавание и изучение концепций дроби часто бывает довольно сложным. Многие учителя сами не были обучены критическим математическим понятиям, лежащим в основе дробей, когда они были студентами. (Помните приемы?) Даже во время своей профессиональной подготовки многие учителя не имели возможности заниматься глубоким обучением, посвященным исключительно дробям. Хотя понимание и овладение дробями имеет решающее значение для математических навыков, эти концепции и навыки не всегда являются приоритетными при подготовке учителей или профессиональном развитии.

Кроме того, мир вокруг нас бомбардирует наших учеников изображениями и словами о фракциях, которые работают против наших усилий. Вы когда-нибудь слышали, как кто-то говорит, разделяя угощение: «Я хочу большую половину!»? Однако по определению половинки равны. Представьте, насколько сбивает с толку этот язык для учащихся, которые начинают понимать дроби. Они видят рисунки фруктовых пирогов и пирогов с пиццей, и их просят несколько раз заштриховать части этих пирогов. Помогает ли это им понять, что дробь сама по себе является числом, или укрепляет ошибочное убеждение, что дробь — это всего лишь часть числа, всего лишь числовой кусочек целого пирога?

Многие учащиеся борются с дробями, но цветные учащиеся, учащиеся из бедных семей и изучающие английский язык с меньшей вероятностью будут иметь доступ к эффективным методам обучения, соответствующей индивидуальной поддержке или методам обучения и материалам, отражающим их идентичность. Чтобы реализовать изучение дробей более справедливо, мы должны учитывать студентов, поддерживающих , культурно значимое содержание и практику и согласованные учебные материалы . Это означает, что преподаватели должны иметь глубокие знания о фракционном содержании и обучать таким образом, чтобы ценить все учащиеся, их происхождение, языки, культуры, точки зрения, знания и навыки. В этом сборнике вы найдете эти важные элементы обучения дробям.

Поддержка социального, эмоционального и академического развития в области математики . Ясно, что внимание должно быть направлено не только на понимание дробей и академическое развитие учащихся, но и на их социальные и эмоциональные потребности. В этом документе вы найдете более подробное описание того, как это сделать, включая примеры действий для поддержки студенческого агентства, личности и принадлежности.

Карта когерентности . Карта когерентности оказалась невероятно полезной при разработке опыта обучения этой фракции. Вот короткое видео, созданное Washington Core Advocates, в котором карта согласованности рассматривается как инструмент.

Карта когерентности Дробная активность . Используйте это задание, чтобы просмотреть стандарты для разных классов. В рамках каждого стандарта потратьте некоторое время на чтение основного стандарта, выдержек из документа «Прогресс», относящихся к этому стандарту, и задач, подпадающих под этот стандарт. Учтите: Какова связь между стандартами и последующими последствиями понимания учащимися значения дроби на основе единичного мышления?

Фракция Руководство для преподавателей . Преподавание фракционного содержания в отдельных классах и школах может сильно различаться. Если ваши ученики спотыкаются при работе с дробями, возможно, им не хватает некоторых основных концепций дробей. Это руководство предназначено для того, чтобы помочь вам определить некоторые традиционные практики, которые могут мешать обучению учащихся, и предложить альтернативные подходы.

Дроби как числа

Если задать вопрос: « Являются ли дроби числами, и как узнать? » вы можете быть удивлены ответами и обоснованиями, которые вы получите. Неправильные представления, которые вы найдете в этих ответах, указывают на то, что усложняет как понимание, так и преподавание дробей. В следующих коллекциях заданий для каждого класса вы найдете ресурсы, которые помогут вам мыслить уверенно (и точно) в ответах.

Да, дробь — это число, потому что ее можно поставить в числовой строке.

По мере того, как разворачивается история фракций, важно оставаться на связи с прогрессом, изложенным в самих стандартах, копать глубже и позволять исследованиям и осмыслению. Доля единиц играет решающую роль в этом обучении и занимает видное место в каждой коллекции на уровне класса. Коллекции на уровне классов намеренно выделяют числовую линию над моделями стержней и круговыми моделями, чтобы подчеркнуть дроби по сравнению с предшествующей работой с целыми числами, и не включают все стандарты NF или полностью учитывают аспект строгости в одном классе.

Задания для 3 класса

Это вводное задание является одним из семи примеров из этой коллекции для классов. Он служит связующим звеном между предыдущей работой учащихся с целыми числами и введением 3-го класса в дроби как числа. Он обеспечивает отправную точку для работы с дробями, которая пытается пробудить любопытство учащихся к ответу на вопрос: «Зачем нам вообще нужны числа, отличные от целых чисел?»

В 3 классе основное внимание уделяется дробям как числам и , расширяя представление учащихся о числовой прямой, чтобы включить дроби, а также целые числа .

Задания на части для 3 класса . В этом ресурсе используются примеры задач, чтобы выделить основные идеи дробями для 3-го класса. Здесь представлены образцы работ учащихся (иногда в письменной форме, а иногда в виде видео), дополнительные ресурсы для учебной поддержки и вопросы для продвижения идентичности учащихся, свободы действий и принадлежности к ним как к учащимся и деятели математики.

Задания для 4 класса

Это вводное задание показывает рост по сравнению с работой 3-го класса, где учащиеся сравнивают дроби с , как числители , или , как знаменатели , с работой 4-го класса, где учащиеся сравнивают дроби с , в отличие от числителей , и , в отличие от . знаменатели. Это один из девяти примеров, которые вы найдете в коллекции для классов.

В 4 классе основное внимание уделяется тому, чтобы учащиеся применяли свои знания о дробях к сравнению дробей и сложению и вычитанию дробей . Кроме того, домен поднимает его на ступеньку выше, поскольку учащихся знакомят с десятичными дробями и рассуждают об их размере по сравнению с долями десятых и сотых.

Задания на части для 4 класса . В этом ресурсе используются примеры задач, чтобы выделить основные идеи дробями для 4 класса. Здесь представлены образцы работ учащихся (иногда в письменной форме, иногда в виде видео), дополнительные ресурсы для учебной поддержки и вопросы, призванные повысить самобытность учащихся, свободу действий и принадлежность к ним как к учащимся и деятели математики.

Задания для 5 класса

Это вступительное задание служит связующим звеном между навыками учащихся 4-го класса по составлению эквивалентных дробей и сложению дробей со знаменателями , например , и ожиданием 5-го класса по сложению дробей и дробей более единицы с в отличие от знаменателей. Далее приводится описание этой задачи вместе с семью дополнительными примерами, чтобы подчеркнуть содержание оценки.

В 5 классе основное внимание уделяется учащимся расширить свои навыки работы с целыми числами — сложения, вычитания, умножения и деления — до дробей .

Дробные задачи 5 класса . В этом ресурсе используются примеры задач, чтобы дробно выделить основные идеи для 5-го класса. Здесь представлены образцы работ учащихся (иногда в письменном виде, а иногда в виде видео), дополнительные ресурсы для учебной поддержки и вопросы для продвижения идентичности учащихся, их свободы действий и принадлежности к учащимся и ученикам. деятели математики.

Задания для 6 класса и выше

В то время как предмет «Числа и операции — дроби» охватывает 3–5 классы, изучение дробей и их применения выходит далеко за рамки начальных классов.

Это задание предназначено для того, чтобы учащиеся использовали свое понимание дробей как чисел, полученных в 3-5 классах, и расширили их известную систему счисления, включив в нее рациональные числа.

6 класс и выше Дробные задания . В этом ресурсе используются примеры задач, чтобы выделить большие идеи дробями для 6-го класса и старшей школы. Есть образцы студенческих работ в письменной и / или видеоформе, дополнительные ресурсы для учебной поддержки и вопросы для продвижения студенческой идентичности, свободы действий и принадлежности к учащимся и тем, кто занимается математикой.

Дела для 6 класса . По мере того, как учащиеся проходят начальные и средние классы, важно знакомить их с содержанием на уровне класса таким образом, чтобы подтверждать знания, которыми они уже владеют. Ресурсы Do Now предназначены для использования в начале урока, чтобы познакомить учащихся с содержанием 6-го класса «Отношения и пропорциональное мышление». Ресурсы объединяют страницу работы ученика с руководством для учителя, которое содержит учебные вопросы и языковую поддержку, а также аннотированные работы учеников.

Тренеры и руководители инструкторов

Тренеры и руководители инструкторов выполняют важную работу по поддержке учителей и учащихся, занимающихся содержанием фракций. Приведенные ниже ресурсы предназначены для обеспечения высококачественного профессионального обучения и коучинга.

Вопрос к изображению Дробная активность . Используйте это профессиональное учебное задание, чтобы изучить и обсудить возможные изображения и визуальные эффекты, с которыми вы и ваши ученики можете столкнуться в учебных единицах. Помогают ли учащимся изображения фрагментов, которые им показывают, или мешают их пониманию?

5frac — Математические укладчики

ТЭКС

5.1 Стандарты математических процессов. Студент использует математические процессы, чтобы приобрести и продемонстрировать математическое понимание. Студент должен:

• A. Применять математику к проблемам, возникающим в повседневной жизни, обществе и на рабочем месте;

• B. Использовать модель решения проблем, которая включает анализ имеющейся информации, формулирование плана или стратегии, определение решения, обоснование решения и оценку процесса решения проблемы и обоснованности решения;

• C. Выбрать инструменты, в том числе реальные объекты, манипуляции, бумагу и карандаш, а также соответствующие технологии, а также методы, в том числе математические расчеты в уме, оценку и чувство числа, для решения задач;

• D. Излагать математические идеи, рассуждения и их последствия, используя различные представления, включая символы, диаграммы, графики и соответствующий язык;

• E. Создавать и использовать представления для организации, записи и передачи математических идей;

• F. Анализировать математические отношения для связи и передачи математических идей;

• G. Отображать, объяснять и обосновывать математические идеи и аргументы, используя точный математический язык в письменной или устной речи.

5.3 Количество и операции. Учащийся применяет стандарты математического процесса для разработки и использования стратегий и методов вычисления положительных рациональных чисел для эффективного и точного решения задач. Ожидается, что учащийся:

• H. Представлять и решать сложение и вычитание дробей с неравными знаменателями, относящимися к одному и тому же целому, используя предметы и графические модели и свойства операций; Стандарт поддержки.

• I. Представлять и решать умножение целого числа на дробь, относящуюся к одному и тому же целому, с использованием предметов и графических моделей, включая модели площадей; Стандарт поддержки.

• K. Свободно складывать и вычитать положительные рациональные числа; Стандарт готовности.

• L. Разделить целые числа на дроби и дроби на целые числа.

Common Core

Число и операции — дроби:
Используйте эквивалентные дроби в качестве стратегии для сложения и вычитания дробей.

• 5.NF.A.1 Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями (включая смешанные числа) путем замены данных дробей эквивалентными дробями таким образом, чтобы получить эквивалентную сумму или разность дробей с одинаковыми знаменателями. Например, 2/3 + 5/4 = 8/12 + 15/12 = 23/12. (В общем, a/b + c/d = (ad + bc)/bd.)

• 5.NF.A.2 Решите текстовые задачи на сложение и вычитание дробей, относящихся к одному и тому же целому, включая случаи в отличие от знаменателей, например, с использованием визуальных моделей дробей или уравнений для представления проблемы. Используйте эталонные дроби и числовой смысл дробей для мысленной оценки и оценки обоснованности ответов. Например, распознайте неверный результат 2/5 + 1/2 = 3/7, заметив, что 3/7 < 1/2 .

Применить и расширить прежнее понимание умножения и деления.

• 5.NF.B.3 Интерпретировать дробь как деление числителя на знаменатель ( a / b  =  a  ÷  b ). Решайте текстовые задачи на деление целых чисел, чтобы получить ответы в виде дробей или смешанных чисел, например, используя визуальные модели дробей или уравнения для представления задачи. Например, интерпретируйте 3/4 как результат деления 3 на 4, заметив, что 3/4, умноженное на 4, равно 3, и что, когда 3 целого делятся поровну между 4 людьми, каждый человек получает долю размером 3/4. Если 9 человек хотят разделить 50-фунтовый мешок риса поровну по весу, сколько фунтов риса должен получить каждый? Между какими двумя целыми числами лежит ваш ответ?

• 5. NF.B.4 Применение и расширение предыдущего понимания умножения для умножения дроби или целого числа на дробь.

  • 5.NF.B.4.A Интерпретировать произведение ( a / b ) × q  как a  частей разделения q 909 0 03, равных 03 на части; эквивалентно, в результате последовательности операций  a  ×  q  ÷  b . Например, используйте модель визуальной дроби, чтобы показать (2/3) × 4 = 8/3, и создайте контекст истории для этого уравнения. Сделайте то же самое с (2/3) × (4/5) = 8/15. (В общем случае (a/b) × (c/d) = (ac)/(bd).

• 5.NF.B.5 Интерпретировать умножение как масштабирование (изменение размера) на:

• использование моделей визуальных фракций или уравнений для представления проблемы.

• 5.NF.B.7 Применить и расширить прежнее понимание деления, чтобы разделить дробные единицы на целые числа и целые числа на дробные единицы.

Расчёт вероятности получения положительной отметки при решении тестовых заданий по математике

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кокорев Е.Э. 1

1МБОУ «Плотавская СОШ»

Левшина О.Н. 1

1МБОУ «Плотавская СОШ»

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Расчёт вероятности получения положительной отметки

при решении тестовых заданий по математике

Высшее назначение математики…состоит в том,

чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает

Н. Винер

Введение

Однажды при подготовке к контрольной работе учитель математики задала на дом пять задач по геометрии. Четыре я решил, пятая же не получилась. Я понадеялся, что учитель спросит кого-либо другого, а если и меня, то попадется одна из четырех решенных мной задач. Но учитель вызвала именно меня и спросила как раз пятую задачу. Случайность! И на этот раз не очень-то приятная! Кажется, как можно «предвидеть» наступление случайного события? Ведь оно может произойти, а может и не сбыться!

При решении самостоятельной или контрольной работы в тестовой форме, особенно по математике, информатике, физике большинство моих одноклассников надеются, что за работу можно будет получить хорошую оценку, выбирая правильные варианты ответов интуитивно, без теоретических знаний. Поэтому я решил оценить, насколько данный метод обеспечит положительную оценку, и как результаты моего исследования по теории вероятностей можно будет практически применить при тестировании.

 Актуальность

Тестирование в образовании – современный подход к оценке знаний учащихся. Тестовая форма контроля на сегодняшний день является самой востребованной: она используется на ГИА и ЕГЭ. А потому, чем раньше мы начнем приобщаться к такой форме проверки знаний, тем лучше будем подготовлены к итоговой аттестации и различного рода испытаниям в тестовой форме.

Гипотеза:

Вероятность угадать верные ответы при тестировании очень мала, а значит практически невозможно получить положительную оценку без подготовки.

Цель:

Определить вероятность получения положительной отметки при написании тестов по математике путем угадывания правильного ответа.

Для реализации цели были поставлены следующие задачи:

1) собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;

2) провести статистический эксперимент;

3) проанализировать результаты тестовых работ с применением теории вероятности.

Объект исследования: теория вероятности.

Предмет исследования: тесты по математике.

Методы исследования: анализ, синтез, сбор информации, анкетирование работа с литературой, эксперимент.

Практическая значимость данной работы состоит в том, что она нацелена помочь обучающимся осознать важность учения, так как согласно проведенному исследованию получить положительную отметку за тестовую работу путем угадывания мало вероятна.

Теоретическая часть

Глава 1. Теория вероятностей

История возникновения.

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий случайность. Теория вероятностей используется в таких разделах математики как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания. Она находит применение в физике, в анализе азартных игр, в страховании и в расчете пенсионных схем. На теории вероятностей основана разработка, применение и анализ вероятностных алгоритмов [1].

Как наука, теория вероятностей зародилась в середине XVII века с появлением азартных игр, таких как карты и кости, когда начали применять в них количественные подсчеты и прогнозирование шансов на успех. А зарождение теории вероятностей началось с того, что придворный французского короля, шевалье (кавалер) де Мерэ (1607-1648г. г. ), сам азартный игрок, обратился к французскому физику, математику и философу Блезу Паскалю (1623-1662г. г.) с вопросами к задаче об очках. (см. главы «Формулировки и основные понятия», «Примеры и решения практических задач на вероятность»). Паскаль обратился к математику Пьеру Ферма (1601-1665г. г.) и переписывался с ним по поводу этих задач. Они вдвоем установили некоторые основные положения теории вероятностей, в частности пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей.

Другим толчком для развития теории вероятностей послужило страховое дело, а именно с конца XVII века на научной основе стало производиться страхование от несчастных случаев и стихийных бедствий. В XVI-XVII веках во всех странах Западной Европы получило распространение страхование судов и страхование от пожаров. В XVII веке были созданы многочисленные страховые компании и лотереи в Италии, Фландрии, Нидерландах. Затем методы теории вероятностей стали широко применять в демографии, например, при ведении статистики рождения и смерти.

Первооткрывателями теории вероятностей считаются французские ученые Б. Паскаль и П. Ферма и голландский ученый Х. Гюйгенс (1629-1695г. г.). Стала зарождаться новая наука, вырисовываться ее специфика и методология: определения, теоремы, методы. Также теория вероятностей связана с именами известных математиков: швейцарца Якоба Бернулли (1654-1705г.г.), француза П. С. Лапласа, англичанина А. Муавра (1667-1754г. г. ) и др. Вклад в развитие теории вероятностей внесли русские и советские ученые П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М Ляпунов и многие другие [2].

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей [3].

Основные понятия теории вероятностей

Основными понятиями в теории вероятностей являются испытание, событие и вероятность.

Испытание — это эксперимент, проводимый над объектом в комплексе определенных условий.

Событие — это случай или факт, который произошел или не произошел в результате испытания.

Вероятность — это численная мера степени объективной возможности наступления события.

Вероятностью события А называется отношение числа случаев наступления этого события к общему числу случаев:

, P(A) – вероятность события A, m – число случаев наступления события А, n – общее число случаев, m , 0. Данное определение принято называть классическим определением вероятности. Оно применяется, когда теоретически удается выявить все равновозможные исходы испытания и определить благоприятствующие исследуемому испытанию исходы.

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.

Событие U называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие U обязательно произойдет. Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1,2,3,4,5,6 при одном бросании игральной кости. 

Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Событие V называют невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие V не произойдет. 

Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

Но встречаются случаи, когда без практики определить число благоприятных исходов невозможно. В таких случаях используется статистическое определение вероятности.

Статистическая вероятность (частота, относительная частота) –это отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний. Определяется следующей формулой для события: P(A) = , где n – общее число фактически проведенных испытаний, m – число появлений событий. Другими словами, статистическая вероятность – это вероятность события, рассчитанная опытным путем.

Формула Бернулли — это формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли [4].

Теория вероятности в жизни

Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? [2]

Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Невозможно представить без теории вероятности жизнь брокеров на мировых рынках. Предсказывание денежного курса на денежных опционах дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.

Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны – все это можно выразить в процентах.

Таким образом, теорию вероятностей нельзя не применять в нашей жизни. Она имеет разные области применения такие как: биологические и химические процессы, история, экономика, кораблестроение и машиностроение, медицина и большинство различной деятельности человека. Люди применяют её как сознательно, так и подсознательно, что проявляется в обычных повседневных фразах и действиях. Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей. Теория вероятностей – это одна из составляющих частей успеха. Если стремиться учитывать законы вероятностей и, в том случае, если вероятность неблагоприятная, предпринимать соответствующие контрдействия, то можно упростить себе жизнь в разы и сэкономить своё время, которое так ценно для каждого из нас [5].

Вероятностно–статистические методы играют важную роль в практической деятельности — это контроль качества продукции, техническая диагностика оборудования, технология производства, обеспечения надежности оборудования, организация массового обслуживания, военное дело (стрельба, бомбометание, тактика, теория боеприпасов), получение достоверных результатов измерений, астрономические наблюдения и многое другое.

Глава 2. Практическая часть

2.1 Исследование

Сейчас обучение в любом классе начинается с входного тестирования, сопровождается текущим контролем с помощью заданий в тестовой форме и заканчивается объективным тестированием учебных достижений.

Кроме того, тесты позволяют наладить самоконтроль — самую полезную для обучения и гуманную форму контроля знаний, а также организовать рейтинг — эффективное средство повышения учебной мотивации.

Мы провели социологический опрос среди учащихся 7-9 классов. В связи малой накаляемостью учащихся в классах нашей школы (5-6 учащихся – средняя накаляемость класса), в анкетировании принимали участие 15 человек. Учащимся предложили ответить на вопросы:

можно ли сдать тест, экзамен без подготовки методом угадывания?

можно ли угадать, например, 6 заданий из 10, таким образом, решив тестовое задание по математике без подготовки?

По первому вопросу из 15 респондентов 9 человек (60%) ответили «да», 6 человек ( 40%) ответили «нет», т. е. считают, что таким способом сдать экзамен или решить тест нельзя.

По второму вопросу результаты такие: 80% учащихся 7 класса считают, что можно угадать 6 заданий из 10, 8кл. — 60%, 9кл. — 33%.

Вывод: чем старше класс, тем меньше веры в случай. (Приложение 1)

2.2 Теоретический расчет успешного решения тестового задания

Определить вероятность угадывания верного ответа можно по формуле Бернулли.

Пусть событие А – это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании теста. Вероятность события А определена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (т.е. правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4).

Тогда p=1/4, а q=1-p=3/4.

Вероятность получения положительной оценки:

Р₁₀(7)= С₁₀ ⁵ р⁵ q^10-5 , где

= = 2 3 7 = 252

Р₁₀(5)=252 = 0,0583991 0,058

То есть, вероятность благополучного исхода очень низкая, примерно 5,8%

Вывод: мало шансов решить тест или сдать экзамен на положительную оценку без подготовки. Из 10000 человек только 5- 6 могут получить положительную оценку.

2.3 Эксперимент: расчет вероятности получения положительной отметки по алгебре

Для подтверждения гипотезы исследования в 7-9 классах мы воспользовались материалами сайта «Контроль знаний» [6]. Учащимся предложили решить тесты по алгебре по следующим темам¹:

Тест по алгебре 7 класс: Степень и её свойства (10 вопросов)²

Тест по алгебре 8 класс: «Решение неравенств с одной переменной» (10 вопросов)³.

Алгебра 9: Квадратный трехчлен(10 вопросов)⁴.

В каждом тесте 10 заданий с выбором ответа по алгебре. Один ответ из четырех верный. Чтобы получить положительную оценку необходимо правильно угадать 6 ответов (60%).

Результаты эксперимента показывают, что угадал 6 ответов только один ученик (Приложение 2).

Произведем расчеты по формуле.

Пусть событие А– это правильно выбранный ответ из четырех предложенных в одном задании. Вероятность события Аопределена как отношение числа случаев, благоприятствующих этому событию (то есть правильно угаданный ответ, а таких случаев 1), к числу всех случаев (таких случаев 4). Тогда p = P(A)=1/4.

Вероятность противоположного события q = P(Ā)=1- p = 3/4.

Вероятность получения положительной отметки вычислим по формуле Бернулли, где n = 10, m = 6.

Вероятность получения положительной оценки:

Р₁₀(6)= С₁₀ ⁶ р⁴ q^10-6 , где

= = 10 3 7= 210

Р₁₀(6) = 210 = 0,016222 0,02

Таким образом, максимальное количество правильно угаданных ответов

равно 4, что не позволяет ученику получить положительную отметку за тест по алгебре. Это же подтверждают теоретические вычисления – вероятность угадывания правильных ответов – достаточно мала, в данном случае только 0,02.. Процент правильно угаданных ответов — 13,3% (Приложение 2).

2.4 Эксперимент: расчет вероятности получения положительной отметки по геометрии

При повторном эксперименте учащимся предложили решить тесты по геометрии по следующим темам:

Геометрия 7 класс. Свойства параллельных прямых⁵.

Геометрия 8. Признаки подобия треугольников⁶

Геометрия 9. Треугольники⁷

В каждом тесте 12 заданий с выбором ответа по геометрии. Один ответ из четырех верный. Чтобы получить положительную оценку необходимо правильно угадать не менее 50% от всего теста, т.е. угадать не менее 6 ответов.

Вероятность получения положительной отметки вычислим по формуле Бернулли, где n = 12, m = 6.

Вероятность получения положительной оценки:

Р₁₂(6)= С₁₂ ⁶ р⁶ q^12-6 , где

= = 11 3 = 924

Р₁₂(6) = 924 = 0,0401494 0,04. Вероятность угадывания правильных ответов выше, чем в первом эксперименте. Процент правильно угаданных ответов 17% (Приложение 3).

Вывод: данные теории вероятностей и результаты эксперимента показывают, что способом угадывания правильного ответа в тестовом задании по алгебре и геометрии получить положительную отметку почти невозможно.

Заключение

В результате проделанной работы, были достигнуты поставленные задачи:

была изучена научная литература по теме «Теория вероятностей» — это огромный раздел науки математики;

в ходе работы был проведен эксперимент, позволяющий определить вероятность успешного выполнения тестов по математике обучающимися 7-9 классов путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.

При проведении эксперимента наибольший процент правильно угаданных ответов был получен при написании тестовой работы по геометрии. Это, возможно, связано с тем, что обучающиеся использовали те знания, которые они получили на уроках и в повседневной жизни. Им было легче сориентироваться при выборе ответа, на уровне подсознания.

Таким образом, ранее выдвинутая гипотеза нашла свое подтверждение в проведенном исследовании. Полученные данные позволяют сделать вывод, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит учащимся успешно писать тестовые контрольные работы, хорошо подготовиться к участию в ГИА и успешно решить судьбоносную проблему при переходе на более высокий уровень обучения в ВУЗ.

С результатами данного исследования можно ознакомить будущих выпускников во время проведения классных часов, внеклассных мероприятий, с целью пропаганды подготовки их к экзаменам.

Вывод

Результаты практических экспериментов и их теоретическое обоснование подтверждают правильность выдвинутой гипотезы.

Литература

Савельева Р. Ю. Основы теории вероятностей и математической статистики [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://открытыйурок.рф/статьи/526665/ (дата обращения – 24.01.2018)

Гатауллина Л. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2012/01/07/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni (дата обращения — 6.02.2018)

Кибзун А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами [Текст]: учебное пособие/А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов, А. Н. Сиротин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 224 с.

Теория вероятностей и основные понятия теории [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://bookmaker-ratings.ru/wiki/teoriya-veroyatnostej-i-osnovny-e-ponyatiya-teorii/ (дата обращения 24.01.2018) 

Вишня Ю. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://allowwonder. com/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni/ (дата обращения – 6.02.2018)

http://контрользнаний.рф/geometriya-7-test-za-ii-chetvert/

Приложение 1

Анкетирование

Можно ли сдать тест, экзамен без подготовки методом угадывания?

Рис. 1. Результаты анкетирования респондентов

Можно ли угадать, например, 6 заданий из 10, таким образом, решив тестовое задание по математике без подготовки?

Приложение 2

Результаты статистического эксперимента: выбор учащимися 7-9 классов правильного ответа в тесте по алгебре

Выбор правильных ответов по алгебре

Приложение 3.

Результаты статистического эксперимента: выбор учащимися 7-9 классов правильного ответа в тесте по геометрии

Выбор правильных ответов по геометрии

1 http://контроль-знаний. рф/

2 http://контроль-знаний.рф/stepen-i-eyo-svoystva/

3 http://контроль-знаний.рф/reshenie-neravenstv-s-odnoy-peremen/

4 http://контроль-знаний.рф/kvadratnyy-trekhchlen/

5 http://контроль-знаний.рф/svoystva-parallelnykh-pryamykh/

6 http://контроль-знаний.рф/priznaki-podobiya-treugolnikov/

7 https://testedu.ru/test/matematika/9-klass/treugolniki.html

Просмотров работы: 1087

Что такое теория вероятностей?

1. Что такое теория вероятностей?
2. Как рассчитать вероятность?
3. Формула вероятности: примеры

 

Теория вероятности – объемный и достаточно сложный раздел математики. Во время работы нам часто приходится сталкиваться с необходимостью определять эффективность и прогнозировать результаты, скажем для построения маркетинговых стратегий и других заданий. В статье изложена суть и основные формулы вероятности, которые помогут сориентироваться в этой математической отрасли и применять ее на практике.  

 

Что такое теория вероятностей?

Итогом проведенных исследований относительно влияния случайности и неопределенности на социальные, поведенческие и физические явления стал раздел математики, посвященный теории вероятностей. В количественном эквиваленте вероятность определяется числом от 0 до 1, где 0 означает окончательную невозможность события, а 1 – стопроцентную достоверность того, что событие произойдет. Чем больше это число будет приближаться к 1, тем большая вероятность наступления определенных событий. Вероятность также измеряется шкалой от 0 до 100%.

 

Простым примером вероятности является жеребьевка: выпадения орла или решки одинаковые по степени вероятности, поскольку других исходов такого подбрасывания монеты не предусмотрено. На практике теория вероятностей используется для моделирования ситуаций, когда в одинаковых условиях вследствие одних и тех самых действий имеем разные результаты.

 

Результат подбрасывания монеты является случайным. Случайные события нельзя полностью спрогнозировать, однако все они имеют длительные закономерности, которые мы можем описать и количественно оценить с помощью вероятности. 

 

Рассмотрим три основные теории. 

 

Одинаково вероятные результаты

Нет никаких причин утверждать, что вероятность одного результата события имеет преимущество перед другими результатами. Представьте сосуд с одинаковыми шариками, которые тщательно перемешали. Игроку предлагают достать один из шариков, при этом вероятность выбора каждого из шариков будет одинаковой. Если заданная ситуация имеет количество результатов, равное n, то вероятность каждого результата составляет 100%. 

 

Теория частоты

Согласно с этой теорией, вероятность – это предел относительной частоты, с которой событие происходит в повторяющихся условиях. Утверждение «вероятность того, что А произойдет, равна р%» в этом случае означает следующее: если вы повторяете эксперимент снова и снова, независимо и в приблизительно одинаковых условиях, процент времени, когда А произойдет, приближается к р. Относительная частота рассчитывается исключительно после проведения опытов на основании фактически полученных данных. 

 

Если ряд экспериментов проводится в неизменных условиях, то относительная частота обретает устойчивость, то есть варьируется в пределах незначительных отличий. Так, профессиональный лучник сделал 100 выстрелов и из них попал в мишень 90 раз. Его вероятность попадания в цель при определенных условиях составляет 0,9. Если за свою карьеру он сделал 10511 выстрелов, из которых попал в цель 9846 раз, относительная частота равна 9846/10511=0,9367. Этот показатель и будет учитываться для прогнозирования результата лучника в будущих соревнованиях. 

 

Субъективная теория

Такой тип вероятности применяется в процессе принятия решений с целью в дальнейшем прогнозировать поведение человека. Он не имеет статистической характеристики. В таком случае вероятностью является ступень проверки определенного утверждения. Например, целесообразность инвестирования средств в разные рисковые проекты, участие в лотерее, планирование запасов лекарств в медицинских заведениях и т.д. Субъективная вероятность определяется с помощью соответствующих местных экспертиз. 

 Читайте также: Как написать CV для поступления за границу?

Как рассчитать вероятность?

Если вам нужно применить теорию вероятностей на практике, можете воспользоваться следующим алгоритмом расчетов:

1. Определите одно событие с одним результатом. Сначала необходимо определиться с вероятностью, которую вы хотите рассчитать. Например, вам нужно узнать вероятность того, что в бросании кубика выпадет двойка. 

2. Узнайте общее количество сценариев, которые могут наступить. Во время первого шага вы определили событие. Если обратиться к примеру с бросанием игрального кубика, то общее количество сценариев равно шести, поскольку на кубике шесть чисел. Таким образом, выпадение двойки может иметь шесть разных сценариев.

3. Поделите количество событий на количество возможных сценариев. Выпадение двойки во время первого бросания кубика – это одно событие. Выходит, что вероятность выпадения двойки составляет 1/6, а вероятность того, что двойка не выпадет, равна 5/6. В результате получаем 1/5 или 20% – шанс выпадения двойки во время первого броска. 

А как рассчитать вероятность с несколькими случайными событиями? Ваши шаги следующие:

1. Определите каждое из событий, с которыми вы будете работать. Скажем, вам нужно найти вероятность выпадения четверки на каждом из двух разных кубиков.

2. Рассчитайте вероятность для каждого события отдельно. Она составит 1/6. Это позволит определить также вероятность одновременного выпадения четверки на двух кубиках.

3. Перемножьте все вероятности. В нашем примере с кубиком 1/6×1/6 = 1/36 – шансы, что четверка выпадет на двух кубиках одновременно. 

Рассмотрим это наглядно с помощью схемы:

Если вам сложно разобраться с теорией вероятности самостоятельно, всегда можно обратиться к репетитору. Профессиональный педагог покажет, как эта теория работает для решения реальных жизненных и профессиональных заданий. Вы сможете не только открыть для себя этот полезный раздел математики, но и применить его в работе и практических ситуациях. Найти преподавателя поможет сервис BUKI, где быстро и результативно можно подобрать педагога под ваши потребности. 

 Читайте также: Свойства и формулы логарифмов

Формула вероятности: примеры

Классическая иллюстрация вероятности выглядит так:

при условии, что . 

 

Пример 1

Эту формулу применяем в теореме сложения вероятностей. Например: в ящике находится 50 карточек, из них 15 имеют рисунки, а 8 – написанные на них слова. Остальные 27 без каких-либо изображений. После перемешивания с ящика вслепую достают карточку. Какая вероятность того, что вынутая карточка будет иметь изображение? 

Р(С) = Р(А) + Р(В) = 15/50 + 8/50 = 23/50, или 0,46.

 

Пример 2 – задачи на противоположные события.

Есть два игральных кубика, которые бросают один раз. Нужно рассчитать вероятность того, что хотя бы один раз выпадет цифра 6. 

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ), где А – это возможность такого выпадения на первом кубике, В – возможность выпадения на втором кубике. 

1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36. 

 

Пример 3

Есть ящик с 6 желтыми и 4 зелеными кубиками. Необходимо определить вероятность доставания желтого кубика с другого раза при условии, что первым достали зеленый кубик. Имеем дело с условной вероятностью. Сначала определим: Дальше по формуле:

Получаем:

 

Пример 4

Обратимся к теории умножения вероятностей. Имеем числа от 1 до 13. Известно, что выбранное из этой последовательности число парное. Необходимо найти вероятность того, что это число будет кратно 3.

Формула вероятности будет иметь такой вид:

 

 Пример 5

В магазине реализуется продукция трех фирм, и доля каждой составляет: 1-й фирмы – 50%, 2-й фирмы – 30%, 3-й фирмы – 20%. Для продукции каждой из фирм брак составляет: для 1-й фирмы – 2%, для 2-й фирмы – 3%, 3-й фирмы – 5%. Какая вероятность того, что наугад приобретенная в магазине единица продукции имеет хорошее качество?

Далее, исходя из формулы полной вероятности

имеем: P(A) = 5,0 ⋅ 98,0 + 3,0 ⋅ 97,0 + 2,0 ⋅ 95,0 = 0, 971.

Читайте также: Геометрическая прогрессия: объяснение и формулы

Понимание математической вероятности — определение, формула и как ее найти

В этой статье

1. Что такое Вероятность?

2. Как измеряется вероятность?

3. Как записывать вероятности

4. Основные термины, которые вы должны знать

5. Формула вероятности

6. Как рассчитать вероятность с помощью формулы вероятности

7. Теоремы о вероятности

8. Типы вероятности

9. Решения проблем с упражнениями

Что такое вероятность?

Вероятность – это изучение вероятности. Какова вероятность того, что завтра будет дождь? Каковы шансы, что вам выпадет карманная пара в игре в покер? Какова вероятность зарабатывать на жизнь концертирующим пианистом? На все эти вопросы может помочь ответить вероятность.

Как измеряется вероятность?

Мы измеряем вероятность по шкале от 0 до 1, где 0 и 1 представляют уверенность.

Вероятность 0 указывает на то, что событие определенно не произойдет, а вероятность 1 указывает на то, что событие обязательно произойдет.

Однако мало что в жизни происходит с уверенностью. Большинство событий и утверждений о мире связаны с некоторой степенью неопределенности или случайности. Вероятность неопределенных событий находится где-то между 0 и 1. Чем ближе вероятность к 0, тем меньше вероятность того, что это произойдет. Чем ближе вероятность к 1, тем больше вероятность того, что это произойдет.

Как записывать вероятности

Вот три вещи, которые нужно знать о выражении вероятностей:

1. Десятичные числа, проценты или дроби

Мы можем выражать вероятности, используя десятичные дроби, проценты или дроби.

Вы можете легко преобразовать вероятность из десятичной дроби в дробную, поместив десятичную дробь над ее разрядным значением (0,2 = 210=⅕\frac{2}{10} = ⅕102​=⅕ или 0,02 = 2100=150)\frac{2 {100} = \frac{1}{50})1002​=501​).

Вы можете преобразовать вероятность из десятичной дроби в проценты, умножив десятичную дробь на 100 (0,2 x 100 = 20%).

Примеры

2. Шанс

Вы можете использовать слово «шанс» как синоним слова «вероятность».

Примеры

Вероятность дождя завтра 40% = Вероятность дождя завтра 40%.

3. Шансы

Вы не можете использовать слово «шансы» как синоним слова «вероятность».

Шансы и вероятность — связанные понятия, но они разные. Мы рассчитываем шансы, взяв отношение двух вероятностей: вероятности того, что событие произойдет, и вероятности того, что оно не произойдет. Осторожно, не путайте вероятности с шансами.

Примеры

Основные термины, которые вы должны знать

Ниже приведены некоторые основные термины, которые вы должны знать, прежде чем работать с вероятностями.

1. Случайный эксперимент

Случайный эксперимент — это процесс, который вы можете повторять снова и снова, и вы не можете с уверенностью предсказать результат. Каждое повторение эксперимента должно происходить в одних и тех же условиях и иметь идентичный набор возможных результатов. Когда вы повторно запускаете случайный эксперимент, каждое повторение называется испытанием.

Пример

Бросание игральной кости или подбрасывание монеты — хорошие примеры случайных экспериментов. Бросание игральной кости — это процесс, который вы можете повторять снова и снова, как и подбрасывание монеты. Каждый раз, когда вы бросаете кубик, есть шесть возможных результатов, и результаты неопределенны — вы можете бросить 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Каждый раз, когда вы подбрасываете монету, есть два возможных результата, и результаты неопределенны — вы можете перевернуть орел или решку.

2. Итоги

Исходы – это результаты случайного эксперимента. Результаты являются взаимоисключающими, то есть вы можете наблюдать только один результат за раз.

Пример

Есть шесть возможных исходов, когда вы бросаете кубик: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Эти исходы взаимоисключающие, потому что вы не можете выбросить 1 одновременно с 6. При каждом броске вы наблюдать только один из шести исходов.

3. Пространство для образцов

Выборочное пространство — это множество всех возможных результатов. Обычно мы обозначаем выборочное пространство, используя обозначение множества (т. е. фигурные скобки {}) или диаграмму Венна.

Пример

Пространство выборки при броске одной кости равно {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Точно так же пример пространства при штрафном броске: {сделал, промахнулся}.

4. Благоприятные исходы

Благоприятные исходы — это исходы в выборочном пространстве, для которых вы вместе хотите рассчитать вероятность.

Пример

Если вы хотите рассчитать вероятность выпадения 2 при бросании игральной кости, есть только один благоприятный исход — 2. Если вы хотите рассчитать вероятность выпадения четного числа, есть три благоприятных исхода: 2, 4 и 6. Если вы хотите рассчитать вероятность выпадения числа меньше 6, есть пять благоприятных исходов: 1, 2, 3, 4 и 5.

5. Событие

Событие — это подмножество выборочного пространства, которому можно присвоить вероятность. Как и в случае с выборочными пространствами, мы часто обозначаем события, используя систему обозначений (например, фигурные скобки {}) или диаграмму Венна.

Примеры

В эксперименте, где вы бросаете кубик, «выпадение 5» — это событие, «выпадение четного числа» — это событие, «выпадение нечетного числа» — это событие и так далее.

При вытягивании карты из колоды игральных карт событием является:

Формула вероятности

В математике вероятности, которые проще всего рассчитать, связаны с экспериментами, в которых имеется ряд различных и равновероятных исходов.

В таких случаях вычислить вероятность событий несложно! Вы просто подсчитываете количество благоприятных исходов и делите его на общее количество возможных исходов.

Формула вероятности для равновероятных исходов

Вероятность события = количество благоприятных исходовОбщее количество возможных исходов\frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}}Общее количество возможных исходовКоличество благоприятных исходов​

Как оказалось, многие вероятностные ситуации предполагают равновероятные исходы, поэтому эта формула невероятно полезна для расчета вероятностей.

Как рассчитать вероятность с помощью формулы вероятности

Подбрасывание монеты, бросание игральных костей и вытягивание карт являются примерами случайных экспериментов, в которых возможные результаты равновероятны. Это означает, что мы можем применить формулу вероятности.

Ниже приведены несколько примеров и практических задач того, как можно применить уравнение вероятности к подбрасыванию монеты, бросанию игральной кости и извлечению карт из колоды.

Подбрасывание монеты

При подбрасывании монеты возможны два равновероятных исхода, поэтому пространство выборки (множество всех возможных исходов) равно:

Используя формулу вероятности, мы можем найти вероятность события «выпадение решки». Количество благоприятных исходов, связанных с этим событием, равно 1, а общее количество возможных исходов равно 2.

P(T) = Вероятность того, что монета выпадет решкой = Количество благоприятных исходовОбщее количество возможных исходов\frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}}Общее число возможных исходовКоличество благоприятных исходов = ½ или 0,5

То же самое касается определения вероятности выпадения орла.

P(H) = Вероятность того, что монета выпадет орлом = Количество благоприятных исходовОбщее количество возможных исходов\frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}}Общее число возможных исходовЧисло из Благоприятные исходы​ = ½ или 0,5

Используя формулу вероятности, посмотрите, сможете ли вы найти вероятность выпадения орла или решки при подбрасывании монеты. Прокрутите эту статью до конца, чтобы увидеть правильный ответ.

Игра в кости

При бросании игральной кости существует шесть равновероятных исходов, поэтому выборочное пространство равно:

Используя формулу вероятности, найдем вероятность выпадения числа меньше 3. числа на кубике, которые меньше 3, равны 1 и 2, поэтому вероятность выпадения числа меньше 3 равна вероятности выпадения 1 или 2.

P(1 или 2) = Вероятность выпадения числа меньше 3 = Количество благоприятных исходовОбщее количество возможных исходов=26\frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}} = \frac{2}{6}Общее Количество Возможных ИсходовКоличество Благоприятных Исходов​=62​ = или 0,3333

Используя формулу вероятности, посмотрите, сможете ли вы найти вероятность выпадения нечетного числа. Прокрутите эту статью до конца, чтобы увидеть правильный ответ

. Игральные карты

Теперь давайте подумаем о вытягивании одной карты из колоды игральных карт. Вы с равной вероятностью вытянете любую карту из колоды; все возможные исходы равновероятны. В колоде 52 карты, так что в ячейке образца есть 52 возможных исхода.

Выпадение двойки червей

Какова вероятность выпадения двойки червей при данном пространстве выборки? Так как во всей колоде только одна двойка червей, количество благоприятных исходов равно 1.

Как мы уже определили, общее количество возможных исходов равно 52.

P(2♥) =Количество благоприятных исходовОбщее количество возможных исходов=152\frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{ Общее количество возможных исходов}} = \frac{1}{52}Общее число возможных исходовКоличество благоприятных исходов=521​ = 0,019

Вытягивание 2 любой масти

Как насчет вероятности выпадения двойки независимо от подходить? В данном случае в колоде четыре двойки, значит, благоприятных исходов 4.

P(2) = Количество благоприятных исходовОбщее количество возможных исходов=452\frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее число возможных исходов}} = \frac{4}{52}Всего Количество возможных исходовКоличество благоприятных исходов=524=0,019

Вытягивание алмаза

Какова вероятность выпадения алмаза? Если вы посчитаете бриллианты в ячейке образца, вы увидите, что в колоде есть 13 карт, которые являются бриллиантами.

P(♦) = количество благоприятных исходов. Общее количество возможных исходов = 1352 \ frac {\ text {Количество благоприятных исходов}} {\ text {Общее число возможных исходов}} = \ frac {13} {52} Итого Количество возможных исходовКоличество благоприятных исходов=5213​= ¼ = 0,25

Вытягивание бубна или пики

Какова вероятность вытягивания бубна или пики? В колоде 13 бубнов и 13 пик. Таким образом, всего у этого события есть 26 благоприятных исходов.

P(♦ или ♠ ) = Количество благоприятных исходовОбщее количество возможных исходов=2652\frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}} = \frac{26}{52 } Общее количество возможных исходовКоличество благоприятных исходов=5226​= ½ = 0,5

Практические задачи

Чтобы проверить себя, посмотрите, сможете ли вы найти следующие вероятности, и прокрутите эту статью до конца, чтобы убедиться, что вы правы.

• Какова вероятность вытянуть черную карту?

• Какова вероятность того, что выпадет лицевая карта (валет, дама или король)?

• Какова вероятность того, что выпадет пика, черва или бубна?

Теоремы о вероятности

Вы сможете применять формулу вероятности с большей легкостью и к более широкому кругу задач, если изучите следующие теоремы.

Правило сложения

Формула правила сложения:

P(A или B)=P(A) + P(B) — P(A и B)\text{P(A или B)} = \text{P(A) + P(B) — P (A и B)}P(A или B)=P(A) + P(B) — P(A и B)

Правило сложения гласит, что вероятность события A или события B равна вероятности события A плюс вероятность события B минус вероятность пересечения событий A и B.

Один из способов описать взаимосвязь между событиями — использовать термин «пересечение», один из четырех распространенных примеров операций над множествами.

Пересечение A и B состоит из исходов, которые входят как в Событие A, так и в Событие B. Пересечение двух событий обозначается словом «и» или символом ⋂.

Простой способ продемонстрировать правило сложения — вернуться к нашей колоде карт.

Колода карт Пример

Напомним, что пространство выборки:

Воспользуемся правилом сложения, чтобы найти вероятность того, что выпадет двойка или ромб. Правило сложения гласит:

P(2 или ♦)=P(2) + P(♦)−P(2 и ♦)\text{P(2 или} ♦) = \text{P(2) + P }(♦) — \text{P(2 и} ♦)P(2 или ♦)=P(2) + P(♦)−P(2 и ♦)

Мы уже нашли P(2) и P( ♦) выше. P(2) равнялось 4/52, а P(♦) равнялось 1352\frac{13}{52}5213​. Чтобы применить правило сложения, все, что нам нужно сделать, это найти пересечение двух событий P(2⋂♦).

Если вы посмотрите на выборочное пространство, вы увидите, что есть один результат, который является одновременно 2 и ромбом (двойка бубнов), поэтому P(2⋂♦)=152\frac{1}{52 }521​. Теперь, когда у нас есть P(2), P(♦) и пересечение P(2⋂♦), мы можем подставить каждую вероятность в формулу правила сложения.

P(2 или ♦)=452+1352−152=1652=0,308\text{P(2 или }♦) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} — \frac{ 1}{52} = \frac{16}{52} = 0,308P(2 или ♦)=524​+5213​−521​=5216​=0,308

Зачем нам нужно вычитать пересечение при использовании сложения правило?

Что ж, если мы вернемся к нашему уравнению вероятности, общее правило все еще применимо. Чтобы найти вероятность выпадения 2 или a♦, нам нужно подсчитать все благоприятные исходы (исходы, которые являются 2 или ♦) и разделить их на общее количество исходов.

Проблема в том, что если мы посчитаем все двойки (в колоде четыре двойки) и все ♦ (в колоде тринадцать бубнов), и если мы сложим эти два числа вместе (4+13 ), мы дважды считаем 2 бубна! Вычитание пересечения гарантирует, что мы не будем учитывать дважды ни один из благоприятных исходов.

Вы могли заметить, что выше мы уже рассчитывали подобные вероятности без использования правила сложения. Мы рассчитали вероятность выпадения 1 или 2, P(1 или 2), и мы рассчитали вероятность выпадения бубна или пики, P(♦ или ♠). В обоих этих случаях пересечение двух событий было равно нулю.

При броске кубика нет результатов, связанных с выпадением 1 и 2. Точно так же невозможно вытянуть карту из колоды, которая одновременно является бубном и пикой. Поскольку перекресток пуст, нам не нужно было беспокоиться о двойном учете результатов.

P(1 или 2)=P(1) + (P(2) + P(1 и 2) = P(1) + P(2)+0\text{P(1 или }2) = \ text{P(1) + (P(2) + P(1 и 2)} = \text{P(1) + P(2)} + 0P(1 или 2)=P(1) + (P( 2) + P(1 и 2)=P(1) + P(2)+0

Практические задачи

Посмотрите, сможете ли вы использовать правило сложения для расчета следующих вероятностей. Прокрутите вниз до конца этой статьи, чтобы убедиться, что вы правы.

Какова вероятность того, что из колоды вытащат короля или красную карту? Подсказка: вы ищете P (король или красное).

Какова вероятность вытянуть красную карту или пику?

Правило дополнения

Дополнением к событию А является то, что А не происходит. cAc.

Правило дополнения гласит, что вероятность события A и вероятность его дополнительного события A’ будут в сумме равны 1.

P(A) + P(A’)=1\text{P(A) + P(A’)} = 1P(A) + P(A’)=1

Мы можем проверить это с помощью нашего кубика. . Вероятность выпадения двойки плюс вероятность того, что двойка не выпадет, равна:

P(2) + P(2′) = P(2) + P(1, 3, 4, 5, 6) = 16+56\frac{1}{6} + \frac{5}{6}61 ​+65​ = 1

Интуитивно это должно иметь смысл. Дополнение события содержит все исходы, которых нет в исходном событии. Следовательно, вероятность P(A) + P(A’) на самом деле является вероятностью выбора результата из всего пространства выборки. Это вероятность выпадения любого из шести чисел на кубике. Шанс сделать это равен 1 или уверенности.

Условное правило

Условное правило можно применять, когда вы хотите найти вероятность того, что какое-то событие произойдет при условии (или при условии, что) другое событие также произошло. Обозначение условной вероятности — P(A|B). Это вероятность того, что событие А произойдет при условии, что произошло В.

Условное правило гласит, что P(A|B) равно вероятности пересечения A и B, деленной на вероятность B.

P(A|B) = P(A и B)P(B)\text{P(A|B) = }\frac{P(\text{A и B)}}{P(B)} P(A|B) = P(B)P(A и B)​

Аналогично, если мы ищем вероятность B при заданном A, условное правило будет выглядеть так. Обратите внимание, что числитель тот же, но знаменатель уравнения равен P(A) вместо P(B).

P(B|A) = P(A и B)P(A)\text{P(B|A) =}\frac{P(\text{A и B)}}{P(A)} P(B|A) = P(A)P(A и B)​

Пример карт

Вернемся к нашим картам. Какова вероятность того, что выпадет туз, если вы вытянули трефу? Это P(Туз|♣).

P(Туз|♣)=P(Туз и ♣)P(♣)=1521352=113=0,077\text{P(Туз|♣)}=\frac{\text{P(Туз и ♣)}} {\ text {P (♣)}} = \ frac {\ frac {1} {52}} {\ frac {13} {52}} = \ frac {1} {13} = 0,077 P(Ace|♣)=P(♣)P(Ace и ♣)​=5213​521​=131​=0,077

Туз и ♣” имеет только один благоприятный исход (туз треф, A♣). Следовательно, вероятность пересечения P(Туз и ♣) равна 152\frac{1}{52}521​. Вероятность P(♣) = 1352\frac{13}{52}5213​, а условная вероятность P(Ace|♣) равна 152\frac{1}{52}521​, деленное на 1352\frac{13} {52}5213​ или 113\frac{1}{13}131​.

Другой способ думать об этом таков. Если вы знаете, что вытянули трефу, пространство выборки, по сути, сократилось с 52 карт до 13. Вы знаете, что не выбрали ни одну из других мастей. Теперь у вас есть тринадцать возможных карт вместо первоначальных 52. Из этих тринадцати карт есть только один благоприятный исход — туз. Следовательно, P(Ace|♣) равно 113\frac{1}{13}131​.

Используйте условное правило, чтобы узнать, сможете ли вы найти вероятность вытягивания трефы при условии, что вы вытянули туз, P(♣|Туз). Осторожный! Это не то же самое, что P(Ace|♣). Прокрутите вниз до конца этой статьи, чтобы проверить свой ответ.

Правило умножения

Правило умножения — это перестановка условного правила. Правило гласит, что вероятность пересечения A и B, P(A и B), равна условной вероятности A при заданном B, P(A|B), умноженной на вероятность B, P(B) . Это просто перестановка условного правила для P(A|B).

P(A и B)=P(A|B) x P(B)\text{P(A и B)} = \text{P(A|B) x P(B)}P(A и B)=P(A|B) x P(B)

Поскольку P(B|A) = P(A и B)P(A)\text{P(B|A) = }\frac{P( \text{A и B)}}{P(A)}P(B|A) = P(A)P(A и B)​, мы также можем записать правило умножения в виде:

P(A и B)=P(B|A) x P(A)\text{P(A и B)} = \text{P(B|A) x P(A)}P(A и B)=P(B|A) x P(A)

Вы также можете ознакомиться с более подробной информацией о многих из этих основных правил ниже.

Типы вероятности

Последнее, что вам нужно знать, чтобы получить общее представление о вероятности, это то, что существуют разные подходы к изучению вероятностей. Когда мы применяли формулу вероятности, мы фактически использовали теоретическую или классическую вероятность. Однако бывают случаи, когда пространство выборки или вероятность результатов неизвестны. Если это так, мы можем подойти к вероятности несколько иначе.

Теоретическая вероятность

Теоретическая (или классическая) вероятность имеет дело с экспериментами с несколькими возможными исходами, которые все равновероятны. Теоретическая вероятность может быть применена к широкому кругу задач. Тем не менее, ее нельзя использовать в качестве общей теории вероятностей, потому что ее нельзя применять в случаях, когда у нас нет достаточной информации о пространстве выборки и вероятности результатов. Его нельзя использовать в тех случаях, когда вероятность наступления всех исходов не одинакова.

Частотная интерпретация вероятности

Частотная (или эмпирическая) интерпретация вероятности использует фактические испытания и наблюдения для оценки вероятностей. В экспериментальной вероятности человек начинает без предварительных убеждений о вероятности результатов. Скорее, чтобы оценить вероятности, они повторяют эксперименты снова и снова, присваивая вероятности событиям на основе относительной частоты, с которой они наблюдают определенные результаты.

В качестве упрощенного примера предположим, что человек выполняет сто штрафных бросков, и он делает 75. В этом случае частотник оценит, что вероятность того, что этот человек сделает штрафной бросок, составляет 75/100 или 0,75. Чем больше испытаний проводится, тем точнее считаются оценки.

Байесовская интерпретация вероятности

Байесовские (или субъективные) интерпретации вероятности включают индивидуальные представления о вероятности. С байесовской точки зрения вероятность — это разумное ожидание человека относительно вероятности события.

Это может показаться совершенно ненаучным подходом к вероятности. По сути, это говорит о том, что вероятности — это то, чем люди верят в них. Однако байесовцы утверждают, что субъективные представления о вероятности можно подвергнуть проверке и что, если люди строят свои убеждения рационально, субъективная вероятность соответствует основным правилам вероятности и может обновляться по мере появления новой информации и свидетельств о событиях.

Решения задач упражнения

Подбрасывание монеты

Вероятность выпадения орла или решки при подбрасывании монеты:

= P(H или T)=Количество благоприятных исходовОбщее количество возможных исходов=22\text{P(H или T)} = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов }}= \frac{2}{2}P(H или T)=общее количество возможных исходовКоличество благоприятных исходов=22​ = 1

Бросание игральной кости

Вероятность выпадения нечетного числа:

= P(НЕЧЕТНОЕ)=Количество благоприятных исходовОбщее количество возможных исходов=36\text{P(НЕЧЕТНОЕ)} = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}}= \ frac{3}{6}P(ODD)=Общее Количество Возможных ИсходовКоличество Благоприятных Исходов = 63​= 0,5

Вытягивание карты

Задача 1

Вероятность вытянуть черную карту:

= P(черный)=Количество благоприятных исходовОбщее количество возможных исходов=2652\text{P(черный)}= \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}} = \ frac{26}{52}P(Black)=Общее Количество Возможных ИсходовКоличество Благоприятных Исходов = 5226​ = 0,5

Задача 2

Вероятность вытянуть лицевую карту (валет, дама или король):

= P(лицевая карта)=количество благоприятных исходовОбщее количество возможных исходов=1252\text{P(лицевая карта)}= \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество возможных исходов}} = \frac{12}{52}P(Face Card)=Общее Количество Возможных ИсходовКоличество Благоприятных Исходов = 5212​ = 0,231

Задача 3

Вероятность выпадения пики, червы или бубна:

= P(♠ или ♥ или ♦)=Количество Благоприятных ИсходовОбщее Количество Возможных Исходов=3952\text{P(♠ или ♥ или ♦)}= \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее количество возможных исходов}} = \frac{39}{52}P(♠ или ♥ или ♦) = Общее количество возможных исходовКоличество благоприятных исходов=5239​ = ¾ =0,75

Применение правила сложения к взятию карты

Задача 1

Вероятность вытягивания короля или красной карты:

=P(Король или Красная)=\text{P(Король или Красная)} =P(Король или Красный)

=P(Король)+P(Красный)−P(Король⋂Красный)=\text{P(Король)} + \text{P(Красный)} — \text{P(Король} ⋂ \ text{Красный)} =P(Король)+P(Красный)−P(Король⋂Красный)

=452+2652−252=\frac{4}{52} + \frac{26}{52} — \frac{2}{52} =524​+5226​−522​

=2852=\ frac{28}{52}=5228​

= 0,538

Задача 2

Вероятность вытянуть красную карту или пику:

=P(Красный или ♠)=\text{P(Красный или }♠) =P(Красный или ♠)

=P(Красный) + P(♠)−P(Красный⋂♠)= \text{P( Красный) + P}(♠) — \text{P(Красный} ⋂ ♠) =P(Красный) + P(♠)−P(Красный⋂♠)

=2652+1352−0= \frac{26} {52} + \frac{13}{52} — 0 =5226​+5213​−0

=3952= \frac{39}{52}=5239​

Обратите внимание, что вероятность пересечения P(Red ⋂ ♠) здесь равна 0. Это потому, что нет красных карточек, которые также являются ♠s. Невозможно нарисовать красную лопату!

Применение условного правила к извлечению карты

P(Туз|♣)=P(Туз и ♣)P(♣)=152452=14=0,25\text{P(Туз|♣)}=\frac{\text{P(Туз и ♣)}} {\ text {P (♣)}} = \ frac {\ frac {1} {52}} {\ frac {4} {52}} = \ frac {1} {4} = 0,25P (туз | ♣) =P(♣)P(Туз и ♣)​=524​521​=41​=0,25

Outlier (от соучредителя MasterClass) собрал лучших в мире преподавателей, дизайнеров игр и кинематографистов для создания будущего онлайн-колледжа.

Ознакомьтесь с этими связанными курсами:

Введение в статистику

Изучите курс

Введение в статистику

Как данные описывают наш мир.

Обзор курса

Введение в микроэкономику

Знакомство с курсом

Введение в микроэкономику

Почему маленькие решения имеют большое значение.

Изучить курс

Введение в макроэкономику

Изучить курс

Введение в макроэкономику

Как деньги движут нашим миром.

Изучить курс

Введение в психологию

Изучить курс

Введение в психологию

Наука о разуме.

Обзорный курс

3.2: Комбинирование вероятностей с «И» и «Или»

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Макси Иниго, Дженнифер Джеймсон, Кэтрин Козак, Майя Ланзетта и Ким Сониро Community College 9
9000 Community College

Многие вероятности в реальной жизни предполагают более одного исхода. Если мы возьмем одну карту из колоды, мы можем захотеть узнать вероятность того, что она либо красная, либо валет. Если мы посмотрим на группу студентов, мы можем захотеть узнать вероятность того, что у одного из них каштановые волосы и голубые глаза. Когда мы объединяем два исхода, чтобы сделать одно событие, мы связываем исходы словом «и» или словом «или». Очень важно по вероятности обратить внимание на слова «и» и «или», если они встречаются в задаче. Слово «и» ограничивает поле возможных исходов только теми исходами, которые одновременно удовлетворяют более чем одному событию. Слово «или» расширяет поле возможных исходов до тех, которые удовлетворяют одному или нескольким событиям.

Пример \(\PageIndex{1}\): подсчет учащихся

Предположим, учитель хочет узнать вероятность того, что один ученик в его классе из 30 учеников изучает либо искусство, либо английский язык. Она просит класс поднять руки, если они берут искусство, и насчитала 13 рук. Затем она просит класс поднять руки, если они изучают английский язык и насчитали 21 руку. Затем учитель вычисляет

\[P(\text{искусство или английский}) = \dfrac{13+21}{30} = \dfrac{33}{30} \nonumber \]

Учитель знает, что это неправильно, потому что вероятности должны быть между нулем и единицей включительно. Подумав об этом, она вспоминает, что девять студентов изучают и искусство, и английский язык. Эти ученики поднимали руки каждый раз, когда она считала, поэтому учитель считал их дважды. Когда мы вычисляем вероятности, мы должны быть осторожны, чтобы учитывать каждый результат только один раз.

Взаимоисключающие события

Эксперимент состоит в извлечении одной карты из хорошо перетасованной колоды из 52 карт. Рассмотреть события E : карта красная, F : карта пятерка и G : карта пиковая. Карта может быть и красной, и пятеркой одновременно, но карта не может быть и красной, и пиковой одновременно. Было бы легко случайно дважды по ошибке сосчитать красную пятерку. Дважды пересчитать красную пику невозможно.

Определение: Взаимоисключающие

Два события являются взаимоисключающими , если у них нет общих исходов.

Пример \(\PageIndex{2}\): Взаимоисключающее использование игральных костей

Подбрасываются две игральные кости, и записываются разные события. Пусть события E , F и G будут следующими:

• E = {сумма равна пяти} = {(1, 4), (2, 3), (3, 2) , (4, 1)}
• F = {оба числа четные} = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), ( 6, 2), (6, 4), (6, 6)}
• G = {оба числа меньше пяти} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2) , (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4,1), (4, 2), ( 4, 3), (4,4)}

1. Являются ли события E и F взаимоисключающими?

Да. E и F исключают друг друга, потому что у них нет общих результатов. Невозможно сложить два четных числа, чтобы получить в сумме пять.

2. Являются ли события E и G взаимоисключающими?

№ E и G не исключают друг друга, поскольку имеют некоторые общие результаты. Все пары (1, 4), (2, 3), (3, 2) и (4, 1) имеют суммы 5, и оба числа меньше пяти.

3. Являются ли события F и G взаимоисключающими?

№ F и G не исключают друг друга, поскольку имеют некоторые общие результаты. Все пары (2, 2), (2, 4), (4, 2) и (4, 4) содержат два четных числа, меньших пяти.

Правило сложения для вероятностей «ИЛИ»

Правило сложения для вероятностей используется, когда события связаны словом «или». Помните нашего учителя в примере \(\PageIndex{1}\) в начале раздела? Она хотела узнать вероятность того, что ее ученики изучают искусство или английский язык. Ее проблема заключалась в том, что некоторых учеников она считала дважды. Ей нужно было прибавить количество студентов, изучающих искусство, к количеству студентов, изучающих английский язык, а затем вычесть количество студентов, которое она подсчитала дважды. Разделив результат на общее количество учеников, она найдет искомую вероятность. Расчет следующий:

\[ \begin{align*} P(\text{art or English}) &= \dfrac{\# \text{ с изображением + } \# \text{ с использованием английского — } \# \text{ с обоими }}{\text{общее количество учащихся}} \\[4pt] &= \dfrac{13+21-9}{30} \\[4pt] &= \dfrac{25}{30} \приблизительно {0,833 } \end{align*} \nonumber \]

Вероятность того, что студент изучает искусство или английский язык, составляет 0,833 или 83,3%.

Когда мы вычисляем вероятность составных событий, связанных словом «или», мы должны быть осторожны, чтобы не посчитать одно и то же дважды. Если нам нужна вероятность вытянуть красную карточку или пятерку, мы не можем считать красные пятерки дважды. Если нам нужна вероятность того, что человек светловолосый или голубоглазый, мы не можем посчитать голубоглазых блондинов дважды. Правило сложения для вероятностей прибавляет количество светловолосых людей к количеству голубоглазых, а затем вычитает количество людей, которое мы подсчитали дважды.

Правило сложения для вероятностей «ИЛИ»

Если A и B являются любыми событиями, то

\[P(A\, \text{or}\, B) = P(A) + P(B ) – Р(А\,\текст{и}\,В). \nonumber \]

Если A и B являются взаимоисключающими событиями, то \(P(A \,\text{and}\, B) = 0\), поэтому тогда

\[P(A \ , \text{или}\, В) = Р(А) + Р(В). \nonumber \]

Пример \(\PageIndex{3}\): Дополнительное правило для взятия карт

Одна карта вытягивается из хорошо перетасованной колоды из 52 карт. Найти вероятность того, что карта трефовая или фигурная.

Решение

Есть 13 трефовых карт, 12 лицевых карт (J, Q, K каждой масти) и 3 лицевых карты треф.

\[ \begin{align*} P(\text{трефа или лицевая карта}) &= P(\text{клуб}) + P(\text{лицевая карта}) — P(\text{трефа и лицо карта}) \\[4pt] &= \dfrac{13}{52} + \dfrac{12}{52} — \dfrac{3}{52} \\[4pt] &= \dfrac{22}{52 } = \dfrac{11}{26} \ приблизительно {0,423} \end{align*} \nonumber \]

Вероятность того, что карта является трефовой или лицевой, составляет приблизительно 0,423 или 42,3%.

Пример \(\PageIndex{4}\): правило сложения для подбрасывания монеты и броска игральной кости

Эксперимент состоит из подбрасывания монеты и последующего броска игральной кости. Найдите вероятность того, что монета выпадет решкой вверх или число равно пяти.

Решение

Пусть H представляет решку вверх, а T представляет решку вверх. Пример пространства для этого эксперимента S = {h2, h3, h4, h5, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}.

• Монета может выпасть решкой вверх шестью способами: {h2, h3, h4, h5, H5, H6}.
• Кубик может выпасть на пятерке двумя способами: {H5, T5}.
• Существует один способ выпадения монеты орлом вверх и выпадения кубика на пятерке {H5}.

\[ \begin{align*} P(\text{головы или пять}) &= P(\text{головы}) + P(\text{пять}) — P(\text{обе головы и пять} ) \\[4pt] &= \dfrac{6}{12} + \dfrac{2}{12} — \dfrac{1}{12} \\[4pt] &= \dfrac{7}{12} = \примерно {0,583} \end{align*} \nonumber \]

Вероятность того, что монета выпадет решкой вверх или выпадет пять, составляет примерно 0,583 или 58,3%.

Пример \(\PageIndex{5}\): Дополнительное правило для оценки удовлетворенности покупателей автомобилей

Было опрошено 250 человек, недавно купивших автомобиль, и результаты сведены в следующую таблицу.

Найдите вероятность того, что человек купил новую машину или остался ею не доволен.

Решение

\[\begin{align*} P(\text{новая машина или не устраивает}) &= P(\text{новая машина}) + P(\text{не устраивает}) — P(\ text{новая машина и не устраивает}) \\[4pt] &= \dfrac{120}{250} + \dfrac{75}{250} — \dfrac{28}{250} = \dfrac{167}{250 } \приблизительно 0,668 \end{align*} \nonumber \]

Вероятность того, что человек купил новую машину или осталась недовольна, составляет примерно 0,668 или 66,8%.

Независимые события

Иногда нам нужно рассчитать вероятности составных событий, связанных словом «и». У нас есть два метода на выбор: независимые события или условные вероятности (раздел 3.3). Многократный подбрасывание монеты или бросание игральной кости — это независимые события. Каждый раз, когда вы подбрасываете правильную монету, вероятность выпадения решки равна ½. Неважно, что произошло в последний раз, когда вы подбрасывали монету. Это похоже на игру в кости. Если в прошлый раз вы выбросили двойную шестерку, это не меняет вероятности того, что в этот раз выпадет двойная шестерка. Вытягивание двух карт без замены не является самостоятельным событием. Когда вы берете первую карту и откладываете ее в сторону, вероятность второй карты теперь составляет 51 карту, а не 52 карты.

Определение: Независимые события

Два события являются независимыми событиями , если возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения другого события.

Правило умножения для вероятностей «И»: независимые события

Если события A и B являются независимыми событиями, то \( P(\text{A и B}) = P(A) \cdot P(B )\).

Пример \(\PageIndex{6}\): независимые события для подбрасывания монет

Предположим, что справедливая монета подбрасывается четыре раза. Какова вероятность того, что все четыре броска выпадут орлом вверх?

Решение

Подбрасывание монеты является независимым событием. Информация о том, что в первом испытании была подброшена голова, не меняет вероятность того, что выпадет решка во втором испытании.

\(P(\text{четыре решки подряд}) = P(\text{1-я решка и 2-я решка и 3-я решка и 4-я решка})\)

\( = P(\text{1-я решка}) ) \cdot P(\text{2-й орел}) \cdot P(\text{3-й орел}) \cdot P(\text{4-й орел})\)

\( = \dfrac{1}{2} \ cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}\)

\( = \dfrac{1}{16}\)

Вероятность того, что все четыре броска выпадут орлом вверх, равна \(\dfrac{1}{16}\).

Пример \(\PageIndex{7}\): Независимые события для вытягивания шариков

В мешке пять красных и четыре белых шарика. Из мешка достают шарик, записывают его цвет и возвращают в мешок. Затем вытягивается второй шарик. Какова вероятность того, что первый шарик красный, а второй белый?

Так как первый шарик кладут обратно в мешок до того, как вытащите второй шарик, это независимые события.

\[\begin{align*} P(\text{1-й красный и 2-й белый}) &= P(\text{1-й красный}) \cdot P(\text{2-й белый}) \\[4pt] & = \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{20}{81}\end{align*} \nonumber \]

Вероятность того, что первый шарик красный, а второй второй шарик белый — это \(\dfrac{20}{81}\).

Пример \(\PageIndex{8}\): Независимые события для неисправных будильников

У Эбби утром важная встреча. На всякий случай она ставит три будильника на батарейках. Если вероятность неисправности каждого будильника равна 0,03, какова вероятность того, что все три будильника выйдут из строя одновременно? 9{-5} \end{align*} \nonumber \]

Вероятность отказа всех трех часов составляет приблизительно 0,000027 или 0,0027%. Маловероятно, что все три будильника выйдут из строя.

Правило по крайней мере один раз для независимых событий

Много раз нам нужно вычислить вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз во многих испытаниях. Расчет может стать довольно сложным, если имеется более пары испытаний. Использование дополнения для вычисления вероятности может значительно упростить задачу. Следующий пример поможет вам понять формулу.

Пример \(\PageIndex{9}\): Хотя бы один раз Правило

Вероятность того, что ребенок забудет домашнее задание в данный день, равна 0,15. {n}\) 9{8}\)

\( = 1 — (0,152) = 0,848\)

Вероятность увидеть сокола хотя бы один раз из восьми заходов на озеро составляет примерно 0,848 или 84,8%.

Пример \(\PageIndex{11}\): Правило хотя бы один раз для угадывания в тестах с множественным выбором

Тест с множественным выбором состоит из шести вопросов. Каждый вопрос имеет четыре варианта ответа, только один из которых правильный. Студент угадывает все шесть вопросов. Какова вероятность того, что он даст хотя бы один правильный ответ? 9{6} \\[4pt] &= 1 — (0,178) = 0,822 \end{align*} \nonumber \]

Вероятность того, что он даст хотя бы один правильный ответ, составляет 0,822 или 82,2%.

Вероятности «И» из двусторонних таблиц

Вероятности «И» обычно вычисляются одним из двух методов. Если вы знаете, что события независимы, вы можете использовать правило \(P(A \text{and} B) = P(A) \cdot P(B)\). Если события не являются независимыми, вы можете использовать условные вероятности в разделе 3. 3. Существует исключение, когда у нас есть данные, приведенные в двусторонней таблице. Мы можем вычислить вероятности «и», не зная, независимы ли события или нет.

Пример \(\PageIndex{12}\): вероятность «И» из двусторонней таблицы

Продолжение примера \(\PageIndex{5}\):

Двести пятьдесят человек, недавно купивших автомобиль, опрошены, и результаты сведены в следующую таблицу.

Человек выбирается случайным образом. Найдите вероятность того, что человек:

1. купил новую машину и остался доволен.

\[\begin{align*} P(\text{новая машина и довольные}) &= \dfrac{\text{номер новой машины и довольные}}{\text{количество людей}} \\[4pt ] &= \dfrac{92}{250} = 0,368 = 36,8 \% \end{align*} \nonumber \]

2. купил подержанную машину и остался недоволен.

\[\begin{align*} P(\text{подержанный и неудовлетворенный автомобиль}) &= \dfrac{\text{количество подержанных и неудовлетворенных}}{\text{количество человек}} \\[ 4pt] &= \dfrac{47}{250} = 0,188 = 18,8 \% \end{align*} \nonumber \]

---

Эта страница под заголовком 3.2: Объединение вероятностей с «И» и «Или» распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Макси Иниго, Дженнифер Джеймсон, Кэтрин Козак, Майей Ланцетта, & Kim Sonier через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

«Дроби». Математика 4 класс — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

«Дроби».
Математика
4 класс
Ц ЕЛИ :
закрепить знание понятий «дроби»правильные и неправильные; смешанные
числа;
повторить свойства сложения и
вычитания дробей
формирование умений решать
составные задачи на нахождение третьей
части;
развивать речь, внимание, память;
навыки устных и письменных вычислений,
самоанализа.
ДЕВИЗ УРОКА.
«
Начнешь в учении
с малого,
постигнешь и
большее».
А КТУАЛИЗАЦИЯ
ЗНАНИЙ .
1 7 5 2 16 7 13 4 9
6 9 6 9 9 6
6 9
Тема: «Дроби»
Т ЕМА «Д РОБИ »
План.
1. Виды дробей.
2. Сложение и вычитание
дробей.
3. Решение задач.
Д РОБИ .
1 числитель
знаменатель
6
Сколько частей
взяли.
На сколько
частей
разделили.
К ЛАССИФИКАЦИЯ ДРОБЕЙ .
правильные
неправильные
1
5
2
4
7
9
16
7
6
6
9
6
9
9
9
6
Числитель
меньше
знаменателя
Числитель
больше
знаменателя
К ЛАССИФИКАЦИЯ
ДРОБЕЙ
Дроби
со знаменателем 6
со знаменателем 9
*
РАБОТА
ПО ВАРИАНТАМ .
Вариант1: расположить дроби со
знаменателем 6 в порядке возрастания;
Вариант2: расположить дроби со
знаменателем 9 в порядке убывания.
Проверка:
1в. 1; 4;
6
6
5; 7
6
6
2в. 16;
9
9;
7; 2
9
9
9
Д РОБИ .
правильные
неправильные
смешанные
Уровень А – составить выражение с дробями на сложение
и вычитание по схеме:
а
n
в
n
а
n
в
n
Уровень В – составить выражение в несколько действий с
дробями по схеме
а
n
в
n
с
n
а
n
Уровень С – составить уравнение с дробями.
а х в
n
n
а х в
n
n
в
n
с
n
с
n
При сложении дробей с одинаковыми
знаменателями, числители
складываются, а знаменатели остаются
без изменения.
При вычитании дробей с одинаковыми
знаменателями, из числителя первой
дроби вычесть числитель второй дроби,
знаменатель остается без изменения.
С ЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
ДРОБЕЙ .
а + в = а+в
n n
n
а–в =а-в
n n
n
Р ЕШЕНИЕ
ЗАДАЧ .
Длина трех рек России Волги,
Дуная и Днепра составляет 8100км.
Длина реки Волги составляет -4\9всей
длины, длина Дуная составляет 1\3
всей длины. Какова длина Днепра?
1 СПОСОБ :
План решения задачи:
1) : х
2) : х
3) — :
Проверка
1) 8100: 9х4
2) 8100:3 х1
3)8100- 3600 -2700
2
СПОСОБ :
8100 – (8100:9х4 + 8100:3х1)= 1800(км)
Вывод: При решении задачи на
нахождение третьей части, нужно из целого
вычесть первую часть, а потом – вторую. Или
из целого вычесть сумму двух частей.
.
Г ЕНИЙ СОСТОИТ ИЗ
1% ВДОХНОВЕНИЯ И 99% ПОТЕНИЯ .
Словарная работа:
Гений – высшая творческая
способность. (Человек,
обладающий такой
способностью).
Вдохновение – творческий
подъем, прилив творческих сил.
И ТОГ
УРОКА .
— Назовите тему урока.
-Что мы повторили?
— Что понравилось ? Что нового для себя открыли?
Д\З : по выбору:
1)тренажер
2) по учебнику
3) Составить и решить задачу с дробями

English     Русский Правила

Конспект урока по Математике «Деление и дроби» 4 класс

Тема: «Деление и дроби»

Урок объяснения нового материала: «открытие нового знания»

Математика, 4 класс, автор Л. Г. Петерсон

УМК «Перспектива».

Цели урока: показать,что черту дроби можно понимать как знак деления;

сформировать умение записывать результат деления двух

натуральных чисел в виде дроби, дробь – в виде частного;

закрепить умения решать текстовые задачи.

Формироуемые УУД: предметные: записывать дробь в виде частного двух натуральных чисел, решать текстовые задачи;метапредметные:определять и формулиолвать цель урока,понимать учебную задачу урока, отвечать на итоговые вопросы и оценивать свои достижения,работать в парах, отличать новое от уже известного, добывать новые знания;находить ответы на вопросы, используя учебник;личнистные:использовать полученные знания в повседневной жизни.

Ход урока.

I.Организационный момент.

— Здравствуйте. Поздоровайтесь пожалуйста с нашими гостями, которые сегодня присутствуют на нашем уроке

— Садитесь, посмотрите все ли готово к уроку математики

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в индивидуальной

деятельности.

Устный счет

(индивидуальные задания)

Карточка1 65:13 ×10 : 2

29+60 +9×15

(43+27):(9+5)+16

96-90:3×2

Карточка 2 95-40+5-7

51:17×30:3

9× (37-30)-(92-72)

70+(81:3-21) ×29

Работа на планшетах:

1)От ленты отрезали ¾, что составило 90 см.Чему равна длина всей ленты?

2)Сколько дней в 3/7 недели?

3)На ветке сидели 12 воробьёв, ¾ из них улетели.Сколько птиц улетело?

4) Начерти прямоугольный треугольник со сторонами 3см и 4 см. Найди S?

Как называются его стороны?

III.Самоопределение к деятельности

— Решите задачу.

Между 3 ребятами поделили поровну 6 яблок.сколько конфет получит каждый? Запишите.

— А как 2 яблока поделить поровну между 3 ребятами? Сколько конфет получит каждый?

(Трое реьят делят у доски яблоки, а уч-ся работают с двумя прлосками бумаги)

IV. Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности.

— Почему возникло затруднение? (принимаются все версии ответов), (число 2 не делится нацело на 3)

Давайте сформулируем цель деятельности. (Цель: найти новый способ записи результата деления натуральных чисел. Узнать, как можно разделить меньшее число на большее и как это записать? )

V. Построение проекта выхода из затруднения и фиксация нового знания в системе деятельности с дробями.

Организация учебного процесса — работа в парах.

Работа на интерактивной доске с комментированием: чем является делимое в дроби., чем является делитель, во что превратили знак деления, что обозначает черта в дроби?

Помещает опорный конспект на доску.

VI.Физкультминутка «Весёлая переменка» для глаз:

VΙI. Закрепление изученного материала

1.Чтение правила по учебнику, стр. 1;

2.Нахождение значения выражении стр. 2 №5.№6, уч-ся работают в паре. Взаимопроверка и проверка учителем

— Как бы вы теперь сформулировали тему нашего урока?

— Деление и дроби.

Вывод — (проговаривается учащимися правило как повторение и обобщение).

VΙΙI. Самостоятельная работа с целью определения уровня усвоения учащимися учебного материала.

Выполнение задания № 7( проверка учителем)

Выставление оценок «4» и «5», остальным учащимся даются устные рекомендации

ІX. Включение в систему знаний и повторение.

Решение задачи №10 стр.3.

Анализ задачи.

— Что известно в задаче?

— В бочонке осталось 2 % мёда, что составляет 4кг. Остальную часть мёда

Винни – Пух съел.

— Что надо узнать?

— Нужно узнать, сколько килограммов мёда съел Винни – Пух.

— Сможем ли мы ответить на вопрос задачи?

— Нет, мы не знаем массу всего мёда в бочонке.

— Как найти массу всего мёда в бочонке?

— Чтобы узнать массу всего мёда, нужно воспользоваться знанием правила нахождения числа по его части, выраженной дробью. 2% — это , поэтому нужно 4 разделить на 2 и умножить на 100, получится 200кг. Это весь мёд.

— Как же найти массу той части мёда, которую съел Винни – Пух?

— Мёд, который съел Винни – Пух – это часть, чтобы найти часть, нужно из целого вычесть известную часть, то есть из200 вычесть 4, получится196кг.

1. 4:2×100=200(кг) – всего мёда;

2. 200 — 4 =196(кг)

Ответ: 196 килограммов мёда съел Винни – Пух.

X. Рефлексия.

Заполнение детьми таблицы, заготовленной для этапа рефлексии

как раздаточный материал. Заслушивание ответов детей

XI. Подведение итогов урока

— Найти новый способ для записи результата деления натуральных чисел.

— В чём заключается новый способ?

— Это дробь, в записи которой числителем является делимое, а знаменателем

делитель.

— Вы довольны сегодня своей работой ? (…)

— Кого вам хотелось бы особенно поблагодарить? (…)

— Молодцы!

XІI. Домашнее задание.

— Составьте и решите задачу про ослика Иа-Иа, решением которой будет являться выражение 4:7.

-Решить №13а), №14 (по желанию)

Рабочие листы для дробей

Половины, трети и четверти

Откройте дверь к пониманию дробей для младших школьников до 3-го класса с помощью наших листов для половин, третей и четвертей! Удобные для детей иллюстрации, увлекательные упражнения и практические занятия позволяют детям впитывать все, что касается половинок, третей и четвертей.

Визуальные модели дробей

Помогите учащимся 3-х и 4-х классов понять дроби как равные части целого, используя фигуры, реальные объекты, кусочки пиццы и множество визуальных моделей дробей! Они определяют правильные дроби, единичные дроби, смешанные числа и многое другое.

Определение дробей

Хотите, чтобы ребенок научился определять дроби в один миг? Приложите все усилия, чтобы найти числители и знаменатели, заполнить таблицу, составив дроби, и многое другое с помощью этих динамических рабочих листов в формате PDF.

Типы дробей

Какой дробью является 1/4? Да, это единичная дробь. Определите правильную дробь, неправильную дробь, смешанное число, единичную дробь, например дроби, в отличие от дробей, как профессионал, с этими печатными листами дробей.

Упрощение дроби

Сократите правильную дробь, неправильную дробь и смешанные числа до наименьшего члена.

Преобразование неправильных дробей в смешанные числа

Что легче интерпретировать, 1 1/4 или 5/4? Некоторым учащимся может быть сложнее работать со смешанными числами, чем с неправильными дробями, для других неправильные дроби могут показаться более легкими. Подготовьтесь к преобразованию между ними с помощью этих рабочих листов в формате PDF!

Эквивалентная дробь

Интерактивные рабочие листы, в которых используются полосы дробей, круговая модель, визуальная графика и многое другое.

Дроби на числовой прямой

Эти рабочие листы с дробями на числовой прямой помогают детям визуально понимать дроби.

Сложение дробей

Сложение одинаковых, непохожих, правильных, неправильных и смешанных дробей. Включены специальные дроби, такие как единица и обратная дробь.

Вычитание дробей

Бесплатные рабочие листы по вычитанию включают в себя все типы дробей, построенные с различными уровнями навыков.

Умножение дробей

Распознавание умножения дробей на целые числа с использованием повторного сложения, массивов, моделей числовых рядов, равных групп и моделей площадей; выполнять умножение двух и трех дробей, умножение дробей на смешанные числа и т. д.; решить ряд задач на умножение дробей.

Деление дробей

Подключитесь к нашим печатным листам деления дробей и попрактикуйтесь в делении дробей на целые числа, дроби на дроби, смешанного числа на дроби и т. д.!

Проблемы со словами на дроби

Узнайте, как дроби применяются и используются в реальной жизни, выполняя эти задачи со словами.

Сравнение дробей

Изучите наши листы сравнения дробей, чтобы без труда сравнить две дроби с одинаковыми и разными знаменателями. Благодаря большому количеству моделей и упражнений, эти PDF-файлы являются отличным учебным пособием для детей.

Сравнение смешанных чисел

Что больше, 1 2/5 или 2 5/6? Сравните такие смешанные числа мгновенно и безошибочно с помощью наших рабочих таблиц сравнения смешанных чисел!

Упорядочивание дробей

Расположите дроби в возрастающем или убывающем порядке.

Округление дробей

Округление дробей до ближайшего целого числа или до ближайшей половины. Числовые строки также включены.

Оценка дробей

Оценить сумму, разность, произведение и частное с дробями.

Рабочие листы «Преобразование дробей в десятичные числа»

Поддержите знания ребенка, связанные с преобразованием дробей в десятичные числа, включив множество увлекательных упражнений и стремительно повышая их силу!

Преобразование между дробями, десятичными знаками и процентами Рабочие листы

Помогите учащимся сделать большой прорыв в выполнении преобразования между процентами, десятичными знаками и дробями. Обширный набор упражнений направлен на улучшение при проверке их понимания темы.

Словесные задачи на дроби Онлайн-игры для 4-х классов

Дроби представляют собой уникальную область математики для детей, поэтому они могут усердно работать, чтобы понять ее концепции. Если они не чувствуют себя комфортно в процессе практики и обучения, возможно, их фундамент в предмете может быть не таким сильным, как должен.

Онлайн-обучение — это структурное изменение того, как дети обычно чему-то учатся. Благодаря своим преимуществам интерактивный процесс изучения дробей может заставить детей чувствовать себя вовлеченными и вдохновить их на понимание словесных задач, связанных с дробями, с относительной легкостью. С лучшими онлайн-играми для детей 4-го класса на SplashLearn ваши дети ни за что не захотят пропустить отработку задач на дробные слова.

Простым примером задачи на дробь может быть ситуация, в которой детям предлагается сложить или вычесть часть целого числа. На базовом уровне это может включать в себя нахождение общего количества предметов, когда определенная часть предметов собирается вместе из двух мест.

Вот несколько интересных игр, которые познакомят ваших детей с концепцией дробей и задачами со словами и помогут им с комфортом прогрессировать в этой области.

В этой игре основное внимание уделяется сложению двух или более дробей. Учащимся предлагается проблемная ситуация с дробными числами. То же самое указано в формате словесной задачи и требует, чтобы они решили ее, чтобы получить правильный ответ. Игра не только фокусируется на основах сложения и дробей, но и побуждает детей понимать текстовые задачи.

Учащиеся, столкнувшиеся с проблемами при вычитании дробей, смогут преодолеть свой страх с помощью адекватной практики концепции в формате словесной задачи. Эта веселая и увлекательная игра представляет собой словесную задачу, которая помогает детям понять, как разобраться в задаче и прийти к правильному ответу.

Эта игра предназначена для того, чтобы помочь детям разобраться в дробях. Им представлены тщательно сформулированные задачи, которые способствуют здоровой практике использования дробей для получения ясности в концепции.

Природа дробей такова, что дети часто путаются при решении математических задач.

Карточки по математике 1 класс. Сложение и вычитание в пределах 10.

Главная / Начальные классы / Математика

Скачать

33.88 КБ, 1242717.docx Автор: Безденежных Марина Николаевна, 26 Окт 2015

Карточки по математике 1 класс. Сложение и вычитание в пределах 10.

Автор: Безденежных Марина Николаевна

Похожие материалы

Тип	Название материала	Автор	Опубликован
документ	Карточки по математике 1 класс. Сложение и вычитание в пределах 10.	Безденежных Марина Николаевна	26 Окт 2015
документ	План-конспект урока по математике 1 класс по теме: «Сложение и вычитание в пределах 10»	Булавина Ирина Анатольевна	31 Окт 2015
документ	Урок по математике в 1 классе. Сложение и вычитание в пределах 10.Тема: «Счёт в пределах 10. Закрепление»	Мурзина Елена Николаевна	30 Мар 2015
документ	Карточки по математике «Сложение и вычитание в пределах 10»	Комлева Татьяна Викторовна	8 Апр 2015
документ	Открытый урок по математике 1 класс. Тема: «Сложение и вычитание в пределах 10.Закрепление»	Гасанова Эльнара Алиевна	30 Мар 2015
документ	Конспект урока по математике. 1 класс. Сложение и вычитание в пределах 10.	Шмакова Наталья Владимировна	31 Мар 2015
документ	Тренажер по математике «Сложение и вычитание в пределах 10» 1 класс	Гаранина Елена Александровна	9 Апр 2015
документ	Методическая разработка конспекта урока по математике 1 класс Тема: «Закрепление изученного материала. Табличное сложение и вычитание в пределах 10»	Предаль Светлана Павловна	17 Сен 2015
документ	Открытый урок по математике в 1 классе по теме «Сложение и вычитание в пределах 10» (Закрепление)	Абырина Елена Владимировна	22 Авг 2015
документ	Карточки «Сложение и вычитание в пределах 10»	Комирняя Ирина Леонидовна	19 Мар 2016
документ	Конспект урока по математике в 1 классе Тема: Сложение и вычитание чисел в пределах 10.	Яковлева Любовь Валерьевна	30 Мар 2015
документ	Сложение и вычитание в пределах 10 Конспект открытого урока по математике в 1 классе.	Долгополова Юлия Владимировна	31 Мар 2015
документ	Конспект открытого урока по математике в 1 классе. Тема: «Сложение и вычитание в пределах 10»	Гусельникова Валентина Ильинична	16 Ноя 2015
документ	Урок-путешествие по математике в 1 классе «Сложение и вычитание в пределах 10»	Матвеева Вера Васильевна	15 Дек 2015
документ	Открытый урок по математике в 1 классе. Тема урока: «Сложение и вычитание в пределах 10» (урок закрепления знаний).	Поршина Ольга Ивановна	19 Мар 2016
презентация, документ	Открытый урок по математике в 1 классе по теме : Сложение и вычитание чисел в пределах 100.	Петунина Ольга Сергеевна	10 Ноя 2015
документ	Урок математики 1 класс по теме «Закрепление изученного. Решение текстовых задач, примеров на сложение и вычитание в пределах 10, сравнение чисел в пределах 10»	Чкалова Ольга Александровна	4 Апр 2015
документ	Урок математики 1 класс по теме «Сложение и вычитание в пределах 10»	Юркова Елена Леонидовна	30 Мар 2015
документ	Урок математики 1 класс по теме «Сложение и вычитание чисел в пределах 10»	Скурляева Зинаида Владимировна	30 Мар 2015
разное	Разработка урока+презентация по теме «Сложение и вычитание в пределах 10 (обобщение знаний)»1 класс	Дружбина Светлана Викторовна	28 Мая 2015
документ	Урок математики «Закрепление по теме: «Сложение и вычитание чисел в пределах 10. » 1 класс	Парфёнова Евгения Михайловна	23 Авг 2015
презентация	Тренажёр по математике «Листопад» 1 класс по теме: » Сложение и вычитание в пределах 5″.	Пронюшкина Светлана Николаевна	5 Ноя 2015
презентация	Урок по математике 1 класс УМК Планета знаний по теме: Сложение и вычитание в пределах 20	Маслова Светлана Ивановна	19 Фев 2016
документ	Конспект урока по математике «Сложение и вычитание в пределах 20» 1 класс	Скворцова Ольга Владимировна	26 Окт 2015
презентация	Конспект урока по математике 1 класс на тему:«Сложение и вычитание в пределах десяти»	Плотникова Елена Андреевна	30 Янв 2016
документ	Конспект открытого урока по математике в 1 классе по теме «Сложение и вычитание в пределах 10. Закрепление» с использованием компьютерных технологий	Карачевская Ольга Алексеевна	31 Мар 2015
документ	Урок-сказка по математике на тему «Сложение и вычитание в пределах 10 в случаях вида (+-) 1, 2, 3. Решение задач»	Алмазова Наталья Николаевна	29 Окт 2015
документ	1 класс. Примеры на сложение вычитание в пределах 10.	Гавлик Наталья	31 Мар 2015
документ	Технологическая карта по математике по теме: «Сложение и вычитание чисел в пределах 10».	Морозова Галина Михайловна	8 Фев 2016
таблица	Тест на сложение и вычитание в пределах 10	Афанасьева Мария Георгиевна	1 Мар 2016
презентация	Презентация» Сложение и вычитание в пределах 10″ 1 класс	Филиппова Светлана Михайловна	1 Окт 2015
документ	Индивидуальная карточка по математике «Примеры с окошками, сложение и вычитание в пределах 10»	Тихонова Ольга Ивановна	30 Мар 2015
презентация	Презентация по математике «Сложение и вычитание в пределах 10»	Удельнова Людмила Николаевна	30 Мар 2015
документ	Урок математике по теме:»Сложение и вычитание в пределах 10″	Данильченко Ольга Николаевна	31 Мар 2015
документ	Тест по математике «Сложение и вычитание в пределах 10»	Пантелеева Татьяна Ивановна	4 Апр 2015
презентация	Тест по математике на тему: «Сложение и вычитание чисел в пределах 10»	Шарапова Екатерина Владимировна	19 Ноя 2015
презентация, документ	Открытый урок по математике «Сложение и вычитание в пределах 10. Закрепление»	Серикова Ольга Николаевна	7 Дек 2015
разное	Тренажёр по математике «Сложение и вычитание в пределах 10»	Тихонова Людмила Владимировна	6 Дек 2015
презентация	Урок математики 1 класс «Сложение и вычитание чисел в пределах 10».	Смолина Светлана Юрьевна	30 Мар 2015
документ	Урок математики 1 класс «Сложение и вычитание в пределах 10»	Глебова Галина Алексеевна	16 Ноя 2015

Карточки по математике.

Главная / Начальные классы / Математика

Скачать

2.19 МБ, 1242713.docx Автор: Безденежных Марина Николаевна, 26 Окт 2015

Карточки по математике. 1 класс. Сложение и вычитание с переходом через разряд.

Автор: Безденежных Марина Николаевна

Похожие материалы

Тип	Название материала	Автор	Опубликован
документ	Карточки по математике. 1 класс. Сложение и вычитание с переходом через разряд.	Безденежных Марина Николаевна	26 Окт 2015
презентация, документ	Урок математики в 1 классе по теме «Сложение и вычитание чисел в пределах двадцати с переходом через разряд»	Тиунова Оксана Анатольевна	19 Дек 2015
документ	Тест по математике на тему «Сложение и вычитание двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд» 2 класс	Рубцова Наталья Михайловна	30 Мар 2015
документ	Интегрированный урок по математике и окружающему миру » Фруктландия» (по темам «Сложение и вычитание в пределах 20 с переходом через разряд » и » Знакомьтесь : фрукты!»)	Чубиркина Ирина Александровна	31 Мар 2015
документ	Сложение и вычитание двузначных чисел с переходом через разряд	Киреева Фаина Зиелевна	19 Окт 2015
документ	календарно-тематическое планирование 8 вид 5 класс 4)Совершенствовать умения решать примеры на сложение и вычитание в пределах тысячи с переходом через разряд.	Боровик Людмила Александровна	1 Апр 2015
документ	«Сложение и вычитание в пределах 1 000 с переходом через разряд в единицах.»	Жуйкова Валентина Владимировна	20 Ноя 2015
презентация	«Сложение и вычитание в пределах 20 с переходом через разряд» математика 2 класс Диск	Налётова Раиза Ивановна	20 Мар 2015
документ	«Сложение и вычитание в пределах 20 с переходом через разряд» математика 2 класс	Налётова Раиза Ивановна	20 Мар 2015
разное	Урок математики. 2 класс. Тема. Сложение и вычитание двузначных чисел с переходом через разряд.	Миронова Елена Александровна	30 Мар 2015
презентация	Тренажер «Сложение и вычитание с переходом через разряд» 2 класс	Назарова Марина Александровна	6 Дек 2015
презентация	Сложение и вычитание чисел в пределах 1000 с переходом через разряд	Маринова Галина Павловна	1 Апр 2015
презентация, документ	Конспект урока по теме: «Сложение и вычитание двузначных чисел с переходом через разряд. »	Насилевская Светлана Павловна	31 Мар 2015
	» Табличное сложение и вычитание с переходом через десяток» 1 класс	Евгения Цыкунова	8 Дек 2016
документ	План-конспект открытого урока по математике в 1 классе по теме: «Сложение и вычитание с переходом через десяток»	Каменко Людмила Николаевна	30 Мар 2015
документ	Конспект урока по математике «Сложение двузначного числа и однозначного с переходом через разряд».	Ефимова Светлана Евгеньевна	15 Окт 2015
документ	Урок математики «Класс Тема урока: «Закрепление пройденного. Повторение изученного». Учащиеся с ОВЗ (8 вид) «Сложение и вычитание однозначных чисел с переходом через разряд.»	Гонебная Валентина Александровна	30 Мар 2015
документ	конспект урока математики «Сложение и вычитание в пределах 1000 с переходом через разряд» 5 класс специальной(коррекционной) школы VIII вида	Михеева Татьяна Владимировна	21 Мар 2015
презентация	урок математики «Сложение и вычитание в пределах 1000 с переходом через разряд» 5 класс специальной(коррекционной) школы VIII вида	Михеева Татьяна Владимировна	21 Апр 2015
документ	Открытый урок на тему: Решение примеров и задач на сложение и вычитание с переходом через разряд.	Каламова Лиля Рафкатовна	20 Мар 2015
документ	Методическая разработка урока математики «Сложение и вычитание чисел с переходом через разряд»	Шишкалова Светлана Ивановна	20 Мар 2015
документ	математики в 8 классе «Сложение и вычитание чисел в пределах 100 с переходом через разряд»	Козлева Татьяна Валентиновна	21 Мар 2015
документ	Сложение и вычитание в пределах1000 с переходом через разряд	Ахмаева Тамара Алексеевна	20 Мар 2015
документ	ПЛАН открытого урока математики в 6 классе. ТЕМА: Сложение и вычитание с переходом через разряд в пределах 10 000.	Югина Альбина Михайловна	20 Мар 2015
документ	Тема урока: Сложение и вычитание чисел в пределах 1000 с переходом через разряд	Фролова Любовь Викторовна	20 Мар 2015
документ	УРОК математики в 3 классе .Тема: Сложение и вычитание чисел в пределах 20 с переходом через разряд. Прибавление чисел 2,3,4.	Зайцева Н.А.	30 Мар 2015
документ	Сложение и вычитание в пределах 20 с переходом через разряд	Объедкова Наталья Петровна	30 Мар 2015
разное	Урок «Сложение и вычитание чисел в пределах 1000 с переходом через разряд»	Кашина Людмила Александровна	7 Апр 2015
документ	Урок математики. Тема Сложение и вычитание чисел с переходом через разряд в пределах 20.	Мотрева Нина Анатольевна	5 Апр 2015
документ	Конспект урока математики в 5 классе «Сложение и вычитание в пределах 1000 с переходом через разряд»	Красюкова Елена Николаевна	2 Мар 2016
документ	Открытый урок по математике 2 класс по теме: Сложение и вычитание в пределах 20 без перехода через разряд.	Тотмина Елена Михайловна	19 Фев 2016
документ	Проект урока по математике по теме: «Вычитание двузначных чисел с переходом через разряд» 2 класс УМК » Планета знаний».	Тараканова Ольга Сергеевна	2 Апр 2016
презентация, документ	Урок математики 1 класс Тема«Сложение чисел с переходом через разряд (через десяток)»	Страфун Валентина Юрьевна	30 Мар 2015
документ	Конспект открытого урока по математике по теме: » Сложение чисел с переходом через разряд»( с использованием ИКТ)	Жильченко Людмила Владимировна	31 Мар 2015
презентация	Презентация по математике по теме «Сложение и вычитание чисел в пределах 20 с переходом через десяток»	Папанова Светлана Юрьевна	6 Июл 2015
документ	Вычитание двухзначных чисел с переходом через разряд — 2 класс	Назарова Ольга Владимировна	21 Авг 2015
документ	Урок по математике для 2 класса: «сложение двухзначных чисел с переходом через разряд»	Назарова (Ефимцева) Светлана Владимировна	14 Ноя 2015
разное	Сложение двузначных и однозначных чисел с переходом через разряд	Масолыко Светлана Викторовна	8 Дек 2015
документ	Математика: конспект урока «Сложение однозначных чисел с переходом через разряд. 1-й класс»	Курганова Ольга Викторовна	30 Мар 2015
презентация, документ	Урок математики 1 класс. Сложение однозначных чисел с переходом через разряд.	Абашидзе Наталья Евгеньевна	30 Мар 2015

Common Core: Математика для 1-го класса.

Хотите просмотреть Common Core: Математика для 1-го класса, но пока не хотите сдавать весь тест? Varsity Tutors предоставили вам тысячи различные карточки Common Core: Математика для 1-го класса! Наши карточки Common Core: математика для 1-го класса позволяют вам практиковаться с минимальным количеством вопросов. как тебе нравится. Приступайте к учебе прямо сейчас с нашими многочисленными карточками Common Core: 1st Grade Math.

Общая математика: карточки для 1 класса 1542 Карточки

Карточки по геометрии 68 Flashcards

Рассуждения с фигурами и их атрибутами карточки 68 Flashcards

Карточки для составления трехмерных фигур 10 карточек

Карточки для составления двухмерных фигур 10 карточек

Определяющие и неопределяющие атрибуты: CCSS. MATH.CONTENT.1.G.A.1 Карточки 24 карточки

Использование прямоугольников и кружков для отображения половинок и четвертей: CCSS.MATH.CONTENT.1.G.A.3 Карточки 24 карточки

Карточки с измерениями и данными 144 Карточки

Измерение длины косвенным путем и повторением единиц длины карточки 24 Flashcards

Упорядочивание и сравнение объектов по длине: CCSS.MATH.CONTENT.1.MD.A.1 Flashcards 24 Карточки

Представление и интерпретация карточек с данными 48 Flashcards

Организация, представление и интерпретация данных: CCSS.MATH.CONTENT.1.MD.C.4 Flashcards 48 карточек

Рассказывание и запись карточек времени 72 карточки

Расскажи и запиши время с точностью до часа и получаса: CCSS.MATH.CONTENT.1.MD.B.3 Карточки 72 Карточки

Числа и операции с основанием десять карточек 372 Flashcards

Расширение карточек с последовательностью счета 24 Flashcards

Считай, читай и записывай числа 1-120: CCSS. MATH.CONTENT.1.NBT.A.1 Flashcards 24 карточки

Значение места и свойства операций сложения и вычитания карточек 108 Flashcards

Добавление двузначного числа к однозначному числу, двузначному числу и кратному 10: CCSS.MATH.CONTENT.1.NBT.C.4 Flashcards 12 карточек

Сложение и вычитание 10 из двузначных чисел: CCSS.MATH.CONTENT.1.NBT.C.5 Карточки 48 Flashcards

Вычитание кратных 10 из кратных 10: CCSS.MATH.CONTENT.1.NBT.C.6 Flashcards 48 карточек

Понимание карточек с позиционным значением 240 Flashcards

11–19 состоят из десяти и одного, двух, трех, четырех, пяти, шести, семи, восьми или девяти единиц: CCSS.MATH.CONTENT.1.NBT.B.2.B Flashcards 12 карточек

Сравнение двузначных чисел: CCSS.MATH.CONTENT.1.NBT.B.3 Карточки 108 Flashcards

Числа 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 См. Один, Два, Три, Четыре, Пять, Шесть, Семь, Восемь или Девять Десятки: CCSS. MATH.CONTENT. 1.NBT.B.2.C Карточки 12 карточек

Понять, что двузначное число представляет десятки и единицы: CCSS.MATH.CONTENT.1.NBT.B.2: Flashcards 108 Flashcards

Операции и алгебраическое мышление карточки 958 карточек

Сложение и вычитание в пределах 20 карточек 530 Flashcards

Сложение и вычитание в пределах 20: CCSS.MATH.CONTENT.1.OA.C.6 Flashcards 388 Flashcards

Сложение в пределах 20 карточек для решения словесных задач 24 карточки

Знание того, как и когда вычитать карточки 25 карточек

Связь счета со сложением и вычитанием: CCSS.MATH.CONTENT.1.OA.C.5 Карточки 24 карточки

Вычитание в пределах 20 для решения словесных задач карточки 33 карточки

карточки «Понимание ассоциативных свойств» 6 Карточки

Понимание коммутативного свойства карточки 30 карточек

Представление и решение задач на сложение и вычитание с карточками 25 карточек

Словесные задачи: сложение трех целых чисел, сумма которых не превышает 20: CCSS. MATH.CONTENT.1.OA.A.2 Карточки 24 карточки

Вычитание в пределах 20 карточек 31 Карточки

Понимание и применение свойств операций и отношений между карточками сложения и вычитания 72 карточки

Использование свойств операций сложения и вычитания: CCSS.MATH.CONTENT.1.OA.B.3 Flashcards 12 карточек

Использование неизвестного сложения для вычитания: CCSS.MATH.CONTENT.1.OA.B.4 Карточки 60 Flashcards

Работа с уравнениями сложения и вычитания карточки 300 карточек

Найдите пропущенное число в уравнениях сложения и вычитания: CCSS.MATH.CONTENT.1.OA.D.8 228 карточек

Понимать знак равенства, определять, верны ли уравнения или нет: CCSS.MATH.CONTENT.1.OA.D.7 Flashcards 72 Flashcards

На протяжении многих лет у учеников первого класса были разные стандарты, которые регулировали то, что они изучали в первый год обучения в школе полного дня. Для некоторых воспоминания о первом классе включали узнавание различных слов, обучение чтению и изучение основ математики. Однако за последние несколько лет федеральное правительство внедрило новые стандарты, называемые Common Core, которые определяют уровень, который должен достичь каждый первоклассник к концу года. Во многих классах эти стандарты изменили математические концепции, которые молодежь изучает в первом классе.

Для многих семей Common Core вызывает разочарование. Однако это не обязательно должно быть так для вас и вашего первоклассника. Если вы ищете Учебное пособие, которое поможет вашему первокласснику с его или ее математикой Common Core для первого класса, вы можете взглянуть на Учебные инструменты Varsity Tutors, в частности на карточки для Common Core 1st Grade Math.

В Интернете есть тысячи бесплатных карточек для изучения математики Common Core для 1-го класса; каждая из этих карточек сосредоточена на математических концепциях, которые охватывают информацию, которую должен знать первоклассник, чтобы добиться успеха в изучении математики.

Для вашего первоклассника имеется более 1000 дидактических карточек, посвященных таким темам, как рассуждение фигур с их атрибутами; разрядное значение и свойства сложения и вычитания; и уравнения для сложения и вычитания. Ожидается, что со стандартами Common Core учащиеся смогут объяснить, что делает фигуру определенной формой, например, что делает треугольник треугольником; карточки помогут вашему ребенку научиться распознавать различные формы, от прямоугольников до шестиугольников, от трапеций до пятиугольников. Другое подмножество карточек посвящено измерениям и данным. На уровне первого класса это включает в себя такие предметы, как классификация и упорядочивание объектов по размеру, чтение диаграмм и графиков, даже определение времени по изображениям часов. У вас и вашего ребенка также будут карточки для повторения, которые помогут им понять сложение и вычитание, а также решить эти типы уравнений.

Эти онлайн-карточки позволяют вам и вашему ребенку не торопиться, повторяя различные концепции. Если вы не уверены, что ваш ребенок полностью понимает темы, охватываемые этими карточками, вы всегда можете вернуться к карточкам, на которые вы уже ответили вместе. Нет штрафа за пропуск набора онлайн-карточек, и вы можете вернуться к карточкам, которые содержат проблемы, над которыми вы уже работали. На каждой карточке вы найдете вопрос с несколькими вариантами ответов, на который можно дать до трех ответов. Как только ваш ребенок выберет ответ, вы узнаете, правильный это ответ или неправильный. Эти карточки не только определяют правильный ответ, но и объясняют, как его получить.

Если вы заинтересованы в других учебных пособиях, которые помогут вашему ребенку в освоении Common Core 1-го класса по математике, средства обучения Varsity Tutors также включают полноценные практические тесты, которые помогут вам увидеть, где вашему ребенку может понадобиться дополнительная помощь, более чем на 100 более коротких Практические тесты, посвященные конкретным математическим темам, интерактивная учебная программа под названием «Учись по концепции» и серия «Вопросы дня», в которой предлагается случайный вопрос о концепциях Common Core 1st Grade Math.

Вы можете настроить учетную запись в средствах обучения Varsity Tutors, что позволит вам отслеживать прогресс вашего ребенка или даже создавать свои собственные персонализированные карточки, если вы не найдете концепции, которые ищете. в существующих бесплатных карточках онлайн.

Общие базовые стандарты штата © Copyright 2010. Центр передового опыта Национальной ассоциации губернаторов и Совет руководителей школ штата. Все права защищены.

Наглядный почерк и рабочие тетради по математике для быстрого улучшения оценок в возрасте от 4 до 12 лет

Революционная система визуального рукописного ввода от Channie помогла тысячам детей добиться успеха в письме, математике и скорописи, даже там, где другие методы не дали результатов. Отмеченные наградами блоки Channie с цветовой кодировкой помогают быстро и легко писать.

Подпишитесь, чтобы получить скидку 10%

0 K

Студенты

Обрели уверенность и лучшие оценки!

0 +

Учебные материалы

Используются родителями, учителями и учениками во всем мире!

1 +

Удивительные отзывы

Родители, учителя и школа!

Наша награда «Голубая лента»!

Самая эффективная система обучения

Учебные материалы Channie помогли ТЫСЯЧАМ детей обрести УВЕРЕННОСТЬ дома и в школе!

ПОДПИСАТЬСЯ, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ 10% СКИДКУ

ПРАЗДНИЧНЫЕ must have!

• 3 Pack-Bubble Fidget Poppers Fidget Toy, Kids Silicone Sensory Popper Toy Push Pop It Toys for Children, Unicorn, Butterfly, Owl, 3 Pack

  $9. 95 8,46 $

  Добавить в корзину

Это отлично подходит для изучения скорописи! Это очень четко показывает, где находится основной этаж, чердак и подвал. Рад, что нашел это. Иногда мелочи решают все!

Янсан Кейт, США

Отличный продукт. Даже детям нравится, как это помогает им писать лучше!

Carri Fores

Этот блокнот идеально подходит для тренировки рукописного письма. Моей дочери это нравится, и это действительно помогло ей с письмами.

Danyell G — Homeschooler

Из-за того, что у моего ребенка проблемы со зрением, все ее слова сливались вместе, поэтому между словами НЕ было пробелов. Это позволяет ей видеть линии и то, куда должны идти ее буквы. Нам пока нравится этот продукт.

Николь П. — Родитель

Я учусь дома у своего 6-летнего внука, и все разлинованные бумаги были ему малы… он любит писать крупно. Эта бумага позволяет ему писать крупнее и следовать линиям, чтобы его почерк становился разборчивым.

Бабушка

Очень нравится! Мне нравятся коробки, чтобы у учеников было достаточно места, чтобы написать ответы. Мне также нравится иметь одну/две книги, в которых последовательно развиваются навыки сложения и вычитания двух- и трехзначных чисел без перегруппировки и с перегруппировкой. Отличный «must have» для любого учителя первого или второго класса.

Джеки Райтенбах

Страницы хорошего качества и очень полезны для учащихся с проблемами мелкой моторики.

Дора Барнс

Это отличный инструмент, который поможет детям начать и/или попрактиковаться в рисовании. Мы широко используем его для наших детей, а также заставляем их писать предложения на листах.

George Alumootil

Отличное упражнение для детей, с этой книгой очень легко учиться.

Хайро Матос

Это отлично подходит для моих мальчиков. Мы учились дома, и попытка заставить их писать математические задачи в столбцах была проблемой. Это сильно помогает!

Сара С

ПОДПИСАТЬСЯ, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ 10% СКИДКУ

Зачем использовать визуальные ресурсы Channie?

Наглядные учебные материалы Channie делают преподавание и обучение легким и увлекательным для учителей, родителей и, самое главное, для детей!

Учителя и родители сообщают о быстром и устойчивом улучшении почерка и понимания математики у детей.

4 причины, по которым блоки с визуальной цветовой кодировкой Channie настолько эффективны:

1 — Блоки обеспечивают одинаковый размер букв
2 – Двойные вертикальные линии обеспечивают правильный интервал
3 – Средние зеленые блоки помогают с размещением строчных букв и написанием прямыми линиями
4 – Дети могут самостоятельно исправлять написанное вне линий

ДО И ПОСЛЕ

вау! смотрите, что НОВОГО!

• Стартовый набор My Pre-K Alphabet & Number

  41,95 $ 35,66 $ Добавить в корзину

• НОВИНКА! Pre-K Activity Book-игры, цвета, написание букв, счет, лабиринты и многое другое!

  9,95 $ 8,46 $ Добавить в корзину

• НОВИНКА! Одна страница в день Рабочая тетрадь 2 уровня

  13,65 $ 11,60 $ Добавить в корзину

• НОВИНКА! Визуальные двухзначные сложения и вычитания Математические флеш-карты с сухим стиранием

  15,75 $ 13,39 $ В корзину

• Распродажа!

  Яйцо динозавра Игрушка-головоломка Трицератопс, Сборка STEM, Разобранная игрушка-конструктор динозавров

  $12. 95 $11.01 Add to cart

• My First Pencil- 2 Pack-Colorful Design White-Easy To Hold-With Sharpener

  $14.75 $12.54 Add to cart

• My Handwriting Adventures — Рабочая тетрадь визуального почерка

  13,95 $ 11,86 $ Добавить в корзину

• Конструктор предложений Сухое стирание Головоломка-3-в-1-Учиться, строить, отслеживать

  $23.00 $19.55 Add to cart

• Word Builder Dry Erase Puzzle-3-in-1- Learn, Build, Write

  $23.00 $19.55 Add to cart

• MY FIRST ALPHABET ЖЕСТКАЯ БЕЛАЯ ДОСКА PREK-K

  15,75 $ 13,39 $ В корзину

• Распродажа!

  ВОЛШЕБНЫЙ коврик для воды — без беспорядка, многоразовый, учись и рисуй!

  24,99 $ 21,24 $ Добавить в корзину

Учиться и писать алфавит и цифры быстро и легко с помощью приложения Channie’s Visual Alphabet. 4,99 долл. США

Доступно в Apple APP Store для пользователей IPAD. Используйте дома, в дороге или в классе, чтобы улучшить и научить правильному формированию букв и цифр. Ваш ребенок сможет выбирать, каким цветом рисовать, используя стили или палец.

Загрузите на IPAD прямо сейчас! 4,99 долл. США

Чем мы занимаемся

01. Купить сейчас

Наши простыни доступны в различных забавных цветах, что делает обучение простым, веселым и приятным. Воспользуйтесь скидкой при регистрации в нашем членстве.

КУПИТЬ СЕЙЧАС

02. О нас

Создано матерью, которая своими глазами увидела, как проблемы с почерком могут повлиять на ребенка. Она создала интерактивные рабочие тетради, и так родилась книга Чанни!

О НАС

03. Наши рабочие тетради

Наглядные рабочие тетради Channie для детей от 3 до 10 лет обязательно научат и улучшат навыки письма вашего ребенка. Чем младше вы научите своего ребенка работать с нашими рабочими тетрадями, тем большего успеха он добьется.

КУПИТЬ

04. Начните прямо сейчас!

Аккуратное письмо начинается прямо сейчас! Channie’s легко научить и быстро освоить!

КУПИТЬ СЕЙЧАС

Чем мы занимаемся

01. Купить сейчас

Наши простыни доступны в различных забавных цветах, что делает обучение простым, веселым и приятным. Воспользуйтесь скидкой при регистрации в нашем членстве.

КУПИТЬ СЕЙЧАС

01. Купить сейчас

Наши листы доступны в различных забавных цветах, что делает обучение простым, веселым и приятным. Воспользуйтесь скидкой при регистрации в нашем членстве.

КУПИТЬ СЕЙЧАС

02. О нас

Создано матерью, которая своими глазами увидела, как проблемы с почерком могут повлиять на ребенка. Она создала интерактивные рабочие тетради, и так родилась книга Чанни!

О НАС

02. О нас

Создан матерью, которая своими глазами увидела, как проблемы с почерком могут повлиять на ребенка. Она создала интерактивные рабочие тетради, и так родилась книга Чанни!

О НАС

03. Наши рабочие тетради

Наглядные рабочие тетради Channie для детей от 3 до 10 лет обязательно научат и улучшат навыки письма вашего ребенка. Чем младше вы научите своего ребенка работать с нашими рабочими тетрадями, тем большего успеха он добьется.

КУПИТЬ СЕЙЧАС

03. Наши рабочие тетради

Наглядные рабочие тетради Channie для детей от 3 до 10 лет обязательно научат и улучшат навыки письма вашего ребенка. Чем младше вы научите своего ребенка работать с нашими рабочими тетрадями, тем большего успеха он добьется.

КУПИТЬ

04. Начните прямо сейчас!

Аккуратное письмо начинается прямо сейчас! Channie’s легко научить и быстро освоить!

КУПИТЬ

04.

Задачи по алгебре для 9 класса

МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ

Тесты и тренажеры по классам

Детский сад     1 класс     2 класс     3 класс     4 класс

Задачи и примеры по темам:

Округление     Сравнение     Сложение     Вычитание     Сложение и вычитание     Умножение     Деление     Умножение и деление     Нумерация     Уравнения     Дроби     Общие темы    

Уроки и презентации по классам:

1 класс   2 класс   3 класс   4 класс   5 класс   6 класс   7 класс   8 класс   9 класс   10 класс   11 класс 

Задачи и примеры по классам:

Детский сад     1 класс     2 класс     3 класс     4 класс     5 класс     6 класс     9 класс     10 класс

Контрольные работы:

1 класс: Входная   Моро М.И.    Петерсон Л.Г.   Итоговая
2 класс: Входная   Моро М.И.    Петерсон Л.Г.   Итоговая
3 класс: Входная   Моро М.И.    Петерсон Л.Г.   Итоговая
4 класс: Входная   Моро М. И.    Итоговая

Самостоятельные работы:

1 класс: Петерсон Л.Г.   Моро М.И.    2 класс: Моро М.И.    3 класс: Моро М.И.    4 класс: Моро М.И.    5 класс: Виленкина Н.Я.    6 класс: Виленкина Н.Я.    7 класс: Мордковича А.Г.   Атанасяна Л.С.  

Домашние задания:

1 класс: Моро М.И.   2 класс: Моро М.И.   3 класс: Моро М.И.   4 класс: Моро М.И.   5 класс: Виленкина Н.Я.   6 класс: Виленкина Н.Я.   7 класс: Мордковича А.Г.  

Дата публикации: 12 апреля 2017.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Самостоятельные работы по алгебре 9 класса к учебнику Мордковича А.Г.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 9 класса
Интерактивное пособие «Правила и упражнения по алгебре» для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса «Алгебра за 10 минут»

	Задачи на тему: «Неравенства c одной переменной. m$, числовые последовательности«
	Задачи на тему: «Арифметические и геометрические прогрессии«
	Задачи на тему: «Комбинаторика, статистика, вероятностные задачи«

Математика, задачи повышенной сложности для 9 класса

В пособии представлены нестандартные математические задачи с подсказками
и ответами по темам: «Натуральные числа», «Уравнения и системы уравнений», «Текстовые задачи», «Неравенства», «Последовательности и прогрессии», «Функции и графики», «Геометрические задачи», «Задачи с параметром».
Учащиеся найдут разнообразный и полезный материал для подготовки к итоговой аттестации, познакомятся с наиболее важными идеями и методами решения задач повышенной сложности, а учитель может использовать наборы задач при подготовке школьников к ГИА, олимпиадам и конкурсам.
Адресовано учителям образовательных учреждений, приступившим к выполнению ФГОС ООО, репетиторам по математике; полезно учащимся.

Подробное описание

ОТ АВТОРА

Замечательно сказал основоположник русской науки Михаил Ломоносов: «Математику уже затем учить следует, что она ум
в порядок приводит». Решить сложную, оригинальную, нестандартную задачу – огромнейшее интеллектуальное наслаждение для любого человека. Оригинальные находки, нестандартные подходы, изобретательные выходы из трудных положений являются мощнейшим катализатором интеллектуального развития растущего человека. Радость от достижений в интеллектуальной области – одна из величайших радостей человеческого духа. Через толщу веков, как огненный факел первооткрывателей, к нам пробился звонкий девиз ищущих, эмоциональный порыв победителей, гордый человеческий возглас: «Эврика! Я нашёл!». Его гордо и радостно произнес Архимед в минуту высочайшего
интеллектуального напряжения, в минуту великого открытия,
в минуту славной победы человека над незнанием.

Математика даёт уникальнейшую возможность воспитывать смекалку, сообразительность, находчивость, настойчивость, оригинальность решения, она будит мысли и призывает к точности и обоснованности рассуждений. Запомнились замечательные слова о молодом математике Эваристе Галуа: «Он читал страницу за страницей, и пред ним простое и прекрасное, как греческий храм, вставало здание геометрии. Вскоре всё окружающее: звуки, запахи, товарищи – исчезло. Здание росло у него на глазах. Читая быстро, он поймал себя на мысли, что угадывает, знает заранее, что будет дальше. Многие теоремы он предвидел и только просматривал чертежи в подтверждение своих мыслей»*.

В изумительной книге Розы Петер «Игра с бесконечностью» есть такие проникновенные строки: «Я люблю математику
не только потому, что она находит применение в технике, но так-же и потому, что она прекрасна, потому, что человек, если хотите, вложил в неё любовь к игре, и потому, что математика
в состоянии справиться даже с самой увлекательной игрой – сделать возможным «ухватить бесконечность». Математика даёт нам чёткие сведения о бесконечности, о вещах, которые трудно даже вообразить. И в то же время она поразительно человечна
и меньше всего похожа на пресловутое «дважды два – четыре»: математика несёт на себе печать никогда не кончающейся человеческой деятельности».

Работа с оригинальной, необычной, интересной задачей – важнейшая особенность в деятельности учителя математики.

Мне на всю жизнь запомнились мудрые слова академика
А. И. Маркушевича: «Мы только тогда выполним свой долг перед молодым поколением, когда сумеем на своих уроках донести до ребят то безграничное мужество, любовь к людям
и жертвенность, которые скрываются за скупыми строчками научных законов, формул и теорем».

Пособие условно можно разделить на 2 части. В первой части рассматриваются задачи, которые собраны по темам: «Натуральные числа», «Ума палата», «Уравнения и системы уравнений», «Текстовые задачи», «Неравенства», «Последовательности и прогрессии», «Функции и графики», «Геометрические задачи», «Задачи с параметром». Во второй части предложены ответы, указания и решения.

Учащиеся найдут для себя богатый и разнообразный материал для подготовки к итоговой аттестации, познакомятся с наиболее важными идеями и методами, заложенными в решении нестандартных задачах, а учитель может использовать наборы задач в своей работе: при подготовке к ГИА, олимпиадам и конкурсам. Важно при этом, чтобы эта работа велась регулярно, продуманно, систематически, заинтересованно и увлечённо.

* Инфельд Л. Эварист Галуа. М.: Молодая гвардия, 1965.

Содержание

От автора    3

§ 1. Ума палата    5

§ 2. Натуральные числа    9

§ 3. Уравнения и системы уравнений    13

§ 4. Текстовые задачи    19

§ 5. Неравенства    26

§ 6. Последовательности и  прогрессии    29

§ 7. Функции и графики    33

§ 8. Геометрические задачи    35

§ 9. Задачи с параметрами    44

§ 10. Почти просто    50

Указания, решения, ответы    59

§ 1. Ума палата    59

§ 2. Натуральные числа    71

§ 3. Уравнения и системы уравнений    82

§ 4. Текстовые задачи    115

§ 5. Неравенства    133

§ 6. Последовательности и  прогрессии    147

§ 7. Функции и графики    162

§ 8. Геометрические задачи    176

§ 9. Задачи с параметрами    226

§ 10. Почти просто    262

Литература    288

Тест по математике для 9 класса с ответами

Задача 1 :

Что больше ³√3 или ⁵√4

Решение:

Чтобы сравнить приведенные выше подкоренные члены, имеющие разные индексы, мы должны изменить их с одинаковыми индексами.

Наименьшее общее кратное (3 и 5) равно 15.

Теперь мы можем сравнить значения внутри подкоренного знака и решить, какое из них больше, а какое меньше.

³√3 > ⁵√4

Задача 2 :

Упрощение √64 + √2500

Решение:

√64 = √ (2 %2om2om2=2 2) = 8

√2500 = √ (5heatry5 %5=5. 2=2) = 50

= 8 + 50

= 58

√64 + √2500 = 58

Проблема 3:

√3 + √2 и √3 — √2 называются ____________ SURDS.

Решение:

√3 + √2 и √3 — √2 называются сопряженными поверхностями.

Задача 4 :

Два множества называются __________________ множествами, если они имеют одинаковое количество элементов.

Решение:

Если два набора имеют одинаковое количество элементов, они будут известны как равные наборы.

Задача 5 :

Найдите угол сектора, радиус которого 21 см, а длина дуги 66 см.

Решение:

Радиус = 21 см, длина дуги = 66 см

(θ/360)2πr = 66 180

Итак, искомый угол равен 180.

Задача 6 :

Отношение площади квадранта круга к площади полукруга равно.

Решение:

В полукруге должны быть две равные части, а квадрант равен одной четверти круга. Но в полукруге это половина круга.

Итак, искомое отношение равно 1 : 2.

Задача 7 :

Найдите площадь заштрихованной части, если радиус окружности OA равен 7 см и AB = DC = 7 см.

Решение:

OA = OB = OC = OD = 7 см (радиусы)

AB = CD = 7 см

OAB — равносторонний треугольник.

Площадь равностороннего треугольника  =  (√3/4)⋅a ² 

 =  (√3/4)⋅7 ² 

Площадь круга  =  7 πr ²  9 ⋅7 ² 

Площадь заштрихованной области  =  (22/7)⋅7 ²   —  (√3/4)⋅7 ² 

 = (2 7 ^{6 90 [ 3/4)]}

= 49 (3,14 -0,433)

= 49 (2,707)

= 132,64 см ²

Задача 8:

Уравнения

3x -4y = 6, -6x+8y = -12

имеет ______________ № решения.

Solution :

a ₁   =  3, a ₂   =  -6

b ₁   =  -4, a ₂   =  8

c ₁   =  -6, c ₂   =  12

а ₁ /a ₂  =  b ₁ /b ₂   =  c ₁ /c ₂

-3/6  =  -4/8  =  -6/12 ==> 0 -10

Итак, линейные уравнения совпадают и имеют бесконечно много решений.

Задача 9 :

Точка совпадения высот треугольника называется ___________.

Решение:

Точка совпадения высот треугольника называется ортоцентром.

Задача 10 :

Сумма любых смежных углов параллелограмма равна ________  

Решение :

Сумма любых смежных углов параллелограмма равна 180 градусам.

Помимо материалов, указанных выше, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Пожалуйста, отправьте свой отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

©Все права защищены. onlinemath5all.com

Рабочие листы по математике для 9-го класса: БЕСПЛАТНО и для печати

Ищете бесплатные печатные рабочие листы по математике для 9-го класса и задания, которые помогут вашему ученику подготовиться к курсу математики для 9-го класса? Если да, то не смотрите дальше!

Хотите проверить знания учащегося 9-го класса по математическим понятиям и оценить его готовность к экзамену? Если это так, то не смотрите дальше. Вот обширная коллекция БЕСПЛАТНЫХ печатных листов по математике для 9-го класса, которые помогут учащимся 9-го класса.Подготовка и практика по математике в м классе.

Загрузите наши бесплатные рабочие листы по математике для 9-го класса.

Надеюсь, вам понравится!

ВАЖНО: УСЛОВИЯ АВТОРСКОГО ПРАВА: Рабочие листы нельзя загружать в Интернет в любой форме, включая классные/личные веб-сайты или сетевые диски. Вы можете скачать рабочие листы и распечатать столько, сколько вам нужно. У вас есть разрешение на распространение печатных копий среди ваших учеников, учителей, наставников и друзей.

У вас НЕТ разрешения на отправку этих листов кому бы то ни было (по электронной почте, текстовым сообщениям или другим способом). Они ДОЛЖНЫ загрузить рабочие листы самостоятельно. Вы можете отправить адрес этой страницы своим ученикам, репетиторам, друзьям и т.д.

Похожие темы

• Рабочие листы по математике для 5 класса
• Рабочие листы по математике для 6 класса
• Рабочие листы по математике для 7 класса
• Рабочие листы по математике для 8 класса

Абсолютно лучшая книга

Понятия математики для 9-го класса

Основы

• Преобразование фраз в алгебраическое утверждение
• Порядок действий
• Properties of Numbers
• The Distributive Property
• Scientific Notation

Expressions and Equations

• Simplifying Variable Expressions
• One–Step Equations
• Multi–Step Equations
• Finding Midpoint
• Finding Distance of Two Points
• Уравнения абсолютного значения

Линейные функции

• Определение наклона
• График линий с помощью линейного уравнения
• Написание линейных уравнений
• Построение графика линейных неравенств
• Наклон и скорость изменения
• Нахождение наклона точки пересечения по осям x и y
• Запись уравнения на основе графика
• Форма наклона – точка пересечения
• Уравнения горизонтальных и вертикальных линий
• Уравнения параллельных или перпендикулярных линий
• Графики уравнений с абсолютными значениями

Разложение на множители

• Наибольший общий множитель
• Least Common Multiple
• GCF of Monomials
• Factoring Quadratics
• Factoring by Grouping

Inequalities and System of Equations

• One–Step Inequalities
• Two–Step Linear Inequalities
• Advanced Linear Inequalities
• Solve Compound Неравенства
• Решение абсолютных неравенств
• Системы уравнений
• Системы уравнений Словесные задачи

Monomials Operations

• Add and Subtract Monomials
• Multiply and Divide Monomials

Quadratic

• Quadratic Equation
• Graphing Quadratic Functions
• Quadratic Equations
• Solve a Quadratic Equation by Factoring
• Quadratic Formula and Transformations of Quadratic Функции
• Квадратичная формула и дискриминант

Операции с полиномами

• Упрощение полиномов
• Adding and Subtracting Polynomials
• Multiplying a Polynomial and a Monomial
• Multiply Two Polynomials
• Multiply Two Binomials
• Operations with Polynomials
• Factor Polynomials
• Factoring Special Case Polynomials

Radical Expressions

• Simplifying Radical Expressions
• Умножение радикальных выражений
• Упрощение радикальных выражений, включающих дроби
• Добавление и вычитание радикальных выражений
• Домен и диапазон радикальных функций
• Решение радикальных уравнений

Рациональные выражения

• Упрощающие выражения
• Добавление и подсчета Распрессии
• Добавление и подсчета и подразделение. Уравнения и сложные дроби

Статистика и вероятности

• Вероятностные задачи
• Factorials
• Combinations and Permutations

Statistics and Probabilities

• Probability Problems
• Combinations and Permutations

9th Grade Math Practice Questions

Real Numbers and Integers

Proportions and Ratios

Проценты

Алгебраические выражения

Уравнения и неравенства

Линейные функции

Многочлены

Экспоненты и радикалы

Статистика

Геометрия

Твердые фигуры

Ищете лучший ресурс, который поможет вам добиться успеха на тесте Алгебра I?

Реза

Реза — опытный преподаватель математики и эксперт по подготовке к экзаменам, который занимается воспитанием многих учеников с 2008 года.

Урок математики «Площадь плоской фигуры»

Цели:

• Подготовить детей к введению понятия «площадь»; познакомить с мерами площади; Обеспечить усвоение детьми способа нахождения площади прямоугольника.
• Способствовать формированию ключевых компетенций: познавательной, информационной, коммуникативной, развивающей.

Задачи урока:

• Образовательные:
  • вывести правило вычисления площади прямоугольника;
  • актуализировать знания о признаках и свойствах геометрических фигур;
  • способствовать совершенствованию вычислительных навыков.
• Развивающие:
  • способствовать развитию основных операций мышления (сравнение, обобщение, умение делать выводы на основе полученной информации).
  • развитие умения анализировать и находить пути решения поднимаемой проблемы.
  • формирование основных компонентов УУД (умение ставить учебную задачу, обобщать, делать выводы)
• Воспитательные:
  • формировать навыки самоанализа.

Планируемые результаты

• Личностные УУД:
  • способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
• Метапредметные:
  • Регулятивные УУД
    • уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;
    • проговаривать последовательность действий на уроке;
    • уметь высказывать своё предположение на основе работы с материалом учебника;
    • уметь работать по коллективно составленному плану;
    • оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки;
    • вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей.
  • Коммуникативные УУД
    • уметь оформлять свои мысли в устной форме;
    • слушать и понимать речь других;
    • учиться работать в группе, формулировать собственное мнение и позицию.
  • Познавательные УУД
    • уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя;
    • добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.
• Предметные:
  • уметь использовать в речи термины «длина», «ширина», «площадь».
  • уметь вычислять площадь прямоугольника.
  • знать основные понятия длина, ширина, площадь

Оборудование. Карта «Страна Геометрия», нелинованные листы, ножницы, геометрический материал, таблица «Меры площади», «Справочное пособие для начальных классов» (авт. Т.В. Шклярова, Л.И. Каржукова).

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Повторение изученного материала

Учитель. Перед вами вновь страна Геометрия. Сегодня на уроке мы побываем у жителей некоторых замков этой страны. Хотите узнать, чем занимаются жители замка «Повторяйка» сегодня?
У. У них сейчас геометрическая разминка. Подумаем вместе с ними над вопросами, которые предлагает им царица Геометрия.
Перед вами круг, в нем проведены линии. Все они называются по-разному. Как?

Д. Хорда, диаметр, радиус.
У. Как назвать все эти линии одним словом?
Д. Отрезки.
У. Как называются геометрические фигуры на следующем рисунке?

Д. Квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция.
У. Чем являются стороны этих фигур?
Д. Отрезками.
У. Что мы называем отрезком?
Д. Часть прямой, ограниченная с двух сторон.
У. Как определить длину отрезка?
Д. Измерить с помощью линейки.
У. Можно ли измерить длину прямой? Луча?
Д. Нельзя.
У. Длину какой линии можно измерить на этом рисунке?

Д. Длину ломаной.
У. Какие вы знаете единицы меры длины?
Д. Миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр.

III. Подготовка к изучению нового материала

У. Узнаем, чем занимаются жители второго замка – «Узнавайка». Само название замка говорит о том, что они узнают что-то новое. Давайте поработаем с ними по их программе.
Возьмите половинки листов нелинованной бумаги. Какая это фигура?
Д. Прямоугольник.
У. Имеет ли он ось симметрии?
Д. Да.
У. Проведем ось симметрии путем перегиба.
Дети складывают лист пополам.
– Еще одну – лист складывается еще раз. Сколько получилось частей?

Д. Четыре.
У. Одну вырежем. Проведем карандашом диагональ. Сколько получили треугольников?

Д. Два.
У. Разрежем фигуру по диагонали.
Дети выполняют задание.
– Сравним треугольники. Что можно о них сказать?
Д. Треугольники равны.
У. Как вы это определили?
Д. Мы положили фигуры друг на друга, они совместились. Значит, они одинаковы.
У. Сложите из них всевозможные фигуры.
Дети выкладывают фигуры у себя на партах. Затем все образцы фигур выставляются на магнитной доске.

– Разделите все эти фигуры на группы по признакам: симметричности, по количеству сторон и углов.
Д. Симметричны фигуры 2, 3, 4. Фигуры 1, 4, 5, 6 – четырехугольники, 2, 3 – треугольники.
У. Найдите общее свойство всех фигур. Дайте им общее название.
Д. Это многоугольники, все они сложены из двух равных треугольников.
У. Посмотрите, дети, все эти фигуры выстроились, как артисты на площади. А как вы понимаете значение слова «площадь».
Д. Большое, открытое, ровное пространство.
У. Понятие «площадь» есть и в математике, с ним мы сегодня и познакомимся.

IV. Физкультминутка

V. Работа над новым материалом

У. Откройте справочники на с. 82 и прочитайте определение площади.
– Что же такое площадь в математике?
Д. Площадь – это внутренняя часть какой-нибудь геометрической фигуры.
У. Когда сравнивают фигуры, говорят: фигуры равной площади; площадь одной фигуры больше площади другой фигуры.
Перед вами всевозможные геометрические фигуры. Попробуйте сравнить их площади.
На доске – фигуры разного цвета и размера. Дети на глаз сравнивают и пытаются определить, площадь каких фигур больше или меньше.
– У вас у каждого на столе в коробочках геометрические фигуры. Сравните площадь синего квадрата с площадью красного квадрата и прямоугольника.
Дети выполняют практическую работу, сравнивают, доказывают.
– Перед вами наша помощница – доска. Как вы думаете, площадь какой ее части больше, меньше?
Д. Левое и правое «крыло» – одинаковой площади. Центральная часть по площади больше каждого «крыла».
У. Определите на глаз, во сколько раз площадь квадратной доски меньше площади прямоугольной доски?
Д. Если мы закроем «крылья», они займут такую же площадь, как и прямоугольная доска. Значит, площадь «крыла» в 2 раза меньше центральной части.
У. Попробуйте теперь сравнить площади этих фигур.

На доске:

Д. Площади этих фигур одинаковы, равны.
У. Как вы это определили?
Д. Посчитали количество клеточек. Их оказалось равное количество.
У. А теперь сравните площади этих прямоугольников с площадью квадрата.

На доску прикрепляется третья фигура:

– Я размышляю так: в прямоугольниках поместилось по 10 клеток, значит, их площади одинаковы. В квадрате 4 клетки, значит, он меньше любого из этих прямоугольников. Правильно я рассуждаю?
Д. Нет.
У. Почему вы со мной не согласны?
Д. Квадратики, на которые разделены фигуры, разного размера, поэтому мы не можем так рассуждать.
У. Для того чтобы сравнить две или несколько геометрических фигур, надо измерить их площадь. Как это сделать?
Д. Сначала надо сосчитать, какое количество одинаковых мер площади находится внутри каждой из этих фигур.
У. А что такое «мера площади»?
Д. Не знаем.
У. Мы в начале урока повторили меры длины. Мерами же площади являются квадратные сантиметр, метр, дециметр, километр.
Квадратным сантиметром называется квадрат со стороной один сантиметр. Это 4 клеточки нашей тетради.
Учитель показывает мерку квадратного сантиметра.
– Начертите в тетрадях квадратный сантиметр.
Дети выполняют задание.
– Как вы думаете, какую площадь имеет самый маленький квадрат?
Д. Квадратный миллиметр.
У. Правильно. Посмотрите на него.
Учитель передает по рядам лист миллиметровой бумаги, на которой отмечен квадратик со стороной 1 мм.
– Наша магнитная доска имеет форму квадрата. Какую она имеет площадь, если сторона ее равна 1 м?
Д. Квадратный метр.
У. Это тоже мера площади. А какую же меру площади надо выбрать, чтобы измерить площадь города, поля?
Д. Один квадратный километр.
У. Правильно. Все это единицы площади. Какая из них самая маленькая?
Д. Квадратный миллиметр.
У. Какая самая большая?
Д. Квадратный километр.
У. Молодцы! Теперь посмотрите, как эти единицы в математике принято обозначать.
На доске:

– Прочитаем их названия.
Дети называют все единицы площади.

VI. Закрепление нового материала

У. Наконец мы добрались до последнего замка. Жители этого замка занимаются черчением. Попробуем с ними начертить геометрические фигуры.
Начертите при помощи линейки и карандаша квадрат, площадь которого равна 1 кв. см.
Дети выполняют задание.
– Начертите прямоугольник со сторонами 3 см и 6 см.
Дети выполняют задание.
– Начертите квадрат со стороной 4 см.
Дети выполняют задание.
– Как вы считаете, площадь какой фигуры больше?
Д. Прямоугольника.
У. Как это проверить?
Д. Надо посчитать, сколько в каждой фигуре квадратных сантиметров.
У. Разлинуйте прямоугольник и квадрат на квадратные сантиметры и вычислите их площади.
Дети выполняют задание.
У. Что у вас получилось?
Д. В прямоугольнике – 18 квадратных сантиметров, а в квадрате – 16. Значит, площадь прямоугольника больше.

VII. Итог урока

У. Что такое «площадь фигуры»?
Д. Внутренняя часть фигуры.
У. С какими мерами площади вы познакомились?
Д. Квадратные миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр.
У. Что такое один квадратный метр?
Д. Это квадрат со стороной 1 м.
У. Что такое один квадратный сантиметр?
Д. Это квадрат со стороной 1 см.
У. Подумайте, для чего нужно определять площади различных фигур?
Д. Чтобы правильно вести строительство, сажать растения, делать ремонт.
У. Жители страны Геометрии остались  вами очень довольны. Молодцы! Спасибо за работу. Урок окончен.

Понятие площади

Площадь можно рассматривать как величину, по отношению к которой могут быть установлены критерии сравнения, то есть признаки равенства или неравенства. Главными свойствами площади являются:

1. Независимость ее величины от положения фигуры в пространстве.
2. Фигура, состоящая из нескольких фигур, имеет площадь, равную сумме площадей этих фигур.

Такой подход к понятию о площади и ее свойствах применим в начальной школе, тем более что он опирается на аналогичные свойства отрезков, уже изученные детьми, и найдет свое продолжение при изучении объемов. Частный случай измерения отрезков, когда одно из сравниваемых значений величины принимается за единицу, получит свое развитие и при измерении площади, а затем и объема. Надо, однако, иметь в виду известные трудности при переходе от измерения длины к измерению площади.

Трудности эти обусловлены усложнением наглядных пособий, введением косвенного приема измерения, а также тем, что здесь вводятся качественно новые величины, хотя названия мер сходны с названиями линейных мер. Поспешный переход к выводу правил для вычисления площадей и объемов нередко приводит к тому, что ученики смешивают понятия длины, площади, объема. Соблюдая последовательность этапов, опираясь на значительный опыт по непосредственному измерению площадей (объемов), можно перейти к выводу правил и добиться сознательного их применения.

При изучении площадей дети знакомятся: а) с понятием о площади как о величине; б) с квадратными мерами; в) производят непосредственное и косвенное измерение площадей; г) выводят правила для вычисления площади; д) решают практические задачи, в том числе такие, которые связаны с мерами земельных площадей. Сравнение площадей при помощи наложения (например, тетради на стол) создает понятие о площади как о величине (критерий больше, меньше, равно, то есть равенства или неравенства).

Попутно повторяется сравнение длин-отрезков при помощи наложения и измерения; особо подчеркивается, что для измерения длины служат единицы длины и что результат измерения выражается в линейных единицах.

На следующем этапе надо подвести учеников к мысли, что сравнение площадей при помощи наложения не всегда возможно. По заданию учителя ученики заготовляют по 3 равновеликих прямоугольника, например со сторонами 6 см и 8 см; 16 см и 3 см; 12 см и 4 см. Попытка сравнить их площади при помощи наложения приводит к полезной «дискуссии», в результате которой делается вывод, что наложение не дает ответа на поставленный вопрос. Вслед за этим проводится такая же работа с такими же фигурами, но разбитыми на квадратные сантиметры. Еще лучше, если ученики сами выполнят разбивку прямоугольников на квадратные сантиметры. Дети, пересчитав количество квадратов, приходят к выводу, что эти фигуры имеют одинаковую площадь (равновелики).

Итак, чтобы сравнить (узнать) площадь прямоугольников, надо их разбить на равные квадраты и подсчитать их количество. По аналогии с тем, как вводилось понятие о необходимости иметь стандартные единицы для измерения длины, устанавливается, что для измерения площадей берут не произвольные квадраты, а квадратные метры, дециметры, сантиметры.

В классе вывешиваются образцы этих мер, а ученики самостоятельно изготовляют модели их. Выполняется ряд упражнений по непосредственному измерению площадей сначала путем наложения квадратных единиц, а затем расчерчиванием на равные квадраты (по 1 кв. см, а на доске по 1 кв. дм). Это задание выполняют на нелинованной бумаге.

Таким приемом вырабатывается понятие о площади и единицах измерения площади. Эти работы весьма полезны. Затраченное на них время вполне окупается, так как ученики получают конкретные представления о качественно новых единицах измерения. Вместе с тем дети на собственном опыте убеждаются, насколько труден и утомителен такой способ измерения площади.

Что такое площадь в математике?

Автор:

Малкольм МакКинзи

11 января 2023 г.

Проверено

Пол Маццола , круг или эллипс, занимает плоскость. Площадь фигуры всегда измеряется в квадратных единицах.

Как только вы узнаете, как квадратные единицы соотносятся с площадью, вы сможете найти площадь практически любой двумерной фигуры.

Как найти площадь фигуры

Плоские фигуры имеют два измерения:

1. Ширина

2. Длина

Квадрат, например, имеет ширину, равную его длине такой же. Эллипс также имеет ширину и длину.

Мы можем легко увидеть, как квадрат можно разделить на маленькие квадратные единицы, как на координатной плоскости. Вы не можете легко увидеть, как эллипс может быть составлен из маленьких квадратов, но это возможно.

Поскольку он имеет ширину и длину, он покрывает пространство, и это пространство, даже с изогнутыми сторонами эллипса, может быть разделено на квадратные единицы:

Подсчет квадратных единиц в квадрат легко:  один, два, три и т.  д. .

Но как посчитать все квадраты эллипса? Как определить, какая часть квадрата находится под верхней кривой? Как насчет кривых на левом и правом концах?

К счастью, у математиков есть быстрый способ сложить все квадратные единицы, не считая их. 9{2}mi2

Находите ли вы площадь четырехугольника, такого как трапеция и ромб, или любой другой замкнутой фигуры, площадь всегда будет возведена в квадрат.

Формула площади

Формула площади, которую вы используете, зависит от того, для какой фигуры вы пытаетесь найти площадь.

Площадь квадратов и прямоугольников

Чтобы найти площадь простых фигур, таких как квадрат или площадь прямоугольника, вам нужна только ширина w и длина l  (или база,  b ). Площадь равна длине, умноженной на ширину:

Площадь всегда возводится в квадрат. Вы всегда будете выражать площадь в квадратных единицах, полученных из линейных единиц.

Вот прямоугольник 90 метров в ширину и 120 метров в длину (самый большой размер футбольного поля ФИФА). Чему равна площадь этого прямоугольника?

Поскольку футбольное поле измеряется в погонных метрах, его площадь равна квадратным метрам. Площадь прямоугольника  10 800 метров   в квадрате .

Формула площади квадрата на самом деле даже проще, чем запись длина × ширина , потому что все стороны равны:

Вот квадрат со сторонами 15 дюймов в длину, такой же размер, как основания на бейсбольном мяче MLB поле. Вычисление площади для этого квадрата выглядит следующим образом:

Площадь других фигур

Все остальные многоугольники нелегко разделить на квадратные единицы. Взгляните на параллелограмм.

Две стороны пересекают многие квадратные единицы. Конечно, параллелограмм — это просто опрокинутый прямоугольник.

Итак, математически, если бы мы могли отрезать один конец и присоединить его к другому, мы бы получили площадь в квадратных единицах. Мы можем сделать именно это, поскольку площадь параллелограмма с основанием b и шириной или высотой h находится по следующей формуле:

Это та же формула, что и для квадрата. или прямоугольник!

Если разделить параллелограмм по диагонали, что получится? Два треугольника. Это означает, что площадь любого треугольника равна половине площади параллелограмма с такой же длиной основания и высотой. Помните, что параллелограмм использует ту же формулу, что и прямоугольник.

Площадь треугольника  тогда равна половине основания, b , умноженной на высоту, h :

Вот парус из прямоугольного треугольника 45-футовый парусник Morgan с базой 201420\frac{1}{4}2041​ футов и высотой 441244\frac{1}{2}4421​ футов. Какова его площадь?

Для удобства умножения можно изменить дроби на десятичные:

Площадь треугольного паруса приблизительно равна 450,6 квадратных футов .

Как насчет домашней пластины бейсбольного поля Главной лиги бейсбола? Мы можем рассчитать площадь плиты дома пятиугольника , рассматривая его как две формы:

1. Прямоугольник 17 дюймов × 8,5 дюймов

   3 9{2}216,5 дюймов2

   Пример площади пятиугольника — домашняя плита

   Найдите площадь круга

   Некоторые двумерные фигуры даже не являются многоугольниками, например наш эллипс или окружность. Площадь круга  с радиусом ( r ) находится по следующей формуле:

   Если у вас есть круг с радиусом 4 см , вы можете легко вычислить площадь круга по формуле вверху:

   Площадь круга составляет приблизительно 50,24 квадратных сантиметра.

   Найти площадь эллипса

   Площадь эллипса находится с использованием двух его осей: большая ось (длина от центра), обычно обозначаемая как аа, и малая ось (ширина от центра), обычно обозначаемая как bb, с помощью этой формулы:

   Площадь круга и эллипса

   Независимо от того, имеете ли вы дело с правильным многоугольником или неправильной плоской фигурой, вы можете найти площадь!

   запрос ссылки — определение области

   $\begingroup$

   Я ищу привлекательное, но строгое определение площади; скажем, в евклидовой плоскости. Наверное, короткого определения нет. Можно сделать его еще длиннее, но можно ли его собрать из полезных деталей нескучным способом? Скажем так, что не все студенты будут спать на лекции?

   Комментарии.

   • Настоящая проблема заключается в том, чтобы доказать существование, уникальность несложна.

   • Использование интеграла не кажется хорошей идеей.

   • Есть подход, когда вы пишете формулу площади, а затем доказываете ее свойства. Мне это не нравится, так как оно перемещает вас к дискретной геометрии, которая совершенно не имеет значения, а идеи, используемые где-либо еще, почти бесполезны (поэтому нет причин изучать этот материал). [См., например, «Геометрия: метрический подход с моделями» Миллмана и Паркера.]

   • Метод с мерной сеткой (разрезание всего на квадратики и подсчет) выглядит намного лучше. Этот метод можно рассматривать как введение в интеграл. Есть только одно техническое утверждение, которое необходимо доказать: если вы повернете квадрат, его площадь не изменится. Единственная проблема в том, что нельзя обобщать, говоря, что абсолютная плоскость или сфера… 92\cdot N_\varepsilon$ для скажем полигонов. (Можно обменять лимит на ультралимит — так все работает гладко, но я не хочу продавать душу только за деф области…)

   • запрос-справка
   • mg.metric-геометрия
   • евклидова геометрия
   • плоскостная геометрия
   • определения

   $\endgroup$

   15

   $\begingroup$

   Существует интуитивный подход к площади, основанный на том факте, что многоугольники $P, P’$ имеют одинаковую площадь тогда и только тогда, когда они равноразложимы (то есть один можно разрезать на части и собрать из другого) .

   Первые три страницы этой заметки описывают «мотивированный» подход к определению площади полигонов. А именно, $K(\text{Poly})$ определяется как свободная абелева группа, порожденная плоскими многоугольниками $P$, при соблюдении следующих двух соотношений:

   1. $[P]=[P’]$, если $ P$ конгруэнтно $P’$
   2. $[P]=[P_1]+[P_2]$, если $P$ можно разрезать на многоугольники $P_1$ и $P_2$.

   Простое упражнение (набросок приведен в примечании, на которое я ссылаюсь) показывает, что $[P]=[P’]$ тогда и только тогда, когда $P$ и $P’$ имеют одинаковую площадь, поэтому $K(Poly)\ simeq \mathbb{R}$. Но еще лучше, можно определить площадь многоугольника $P$ как его класс $[P]$ в $K(\text{Poly})$.

   Действительно, для многих разумных классов подмножеств плоскости можно расширить это определение, чтобы присвоить такому множеству класс в $K(\text{Poly})$. Например, пусть последовательность классов $[P_i]$ в $K(\text{Poly})$ сходится к $[P]$, если существует представитель $[A]-[B]$ для $[P- P_i]$, где и $A$, и $B$ содержатся в $[0, \epsilon_i]\times [0, \epsilon_i]$, где $\epsilon_i\to 0$.

   Предположим, что $X$ — подмножество плоскости, так что существует последовательность многоугольников $P_i$, такая что симметрическая разность $(X\cup P_i)-(X\cap P_i)$ содержится в многоугольнике $ Q_i$. Предположим далее, что $[Q_i]=[Q’_i]$ и $Q’_i\subset [0, \epsilon_i]\times [0,\epsilon_i]$, где $\epsilon_i\to 0$. n, n>2$. Действительно, Ден показал, что существует много многогранников с одинаковым объемом, которые не являются равноразложимыми.

   $\endgroup$

   10

   $\begingroup$

   Если вас устраивают площади многоугольников, вы можете определить их а-ля K-теория.

   Пусть $\mathcal A$ — свободная абелева группа, порожденная многоугольниками на плоскости по модулю соотношений, идентифицирующих пары конгруэнтных многоугольников, и такая, что $P=P_1+P_2$, если $P_1$ и $P_2$ являются результатом разрезая многоугольник $P$ линией на две части.

   Можно показать, что $\mathcal A\cong\mathbb R$ как группа и что каноническое отображение $\mathrm{Polygons}\to\mathcal A$, переводящее многоугольник в его класс, является площадью.

   $\endgroup$

   3

   $\begingroup$

   Для студентов, наверное, самое элементарное, что нужно сделать, это ограничиться областями на плоскости, которые можно триангулировать конечным числом треугольников (с прямыми сторонами). Принимая площадь треугольника как известную, вы затем определяете площадь области, складывая площади треугольников в конечной триангуляции. Единственное, что вы должны проверить, это то, что это четко определено. Для этого я сначала доказал бы, что любые две конечные триангуляции области на плоскости имеют общее подразделение (если вы достаточно сообразительны, то это можно сделать очень быстро, уж точно на 3-5 страницах), а затем доказал бы что ваше понятие площади инвариантно относительно подразделений.

   Самое приятное в этом то, что все основные свойства, которые вам нужны (например, правильное поведение областей при линейных картах и ​​переводах), получаются бесплатно из аналогичных свойств треугольников, что легко.

   $\endgroup$

   7

   $\begingroup$

   Я не знаю, сколько областей вы хотите доказать, и насколько развита предыстория аудитории, но вот определение площади ограниченной плоской области. 91$-функцию, то $D_1\cup D_2$ измерима и

   $$\eA(D_1\cup D_2)=\eA(D_1)+\eA(D_2). $$

   $\endgroup$

   3

   $\begingroup$

   Честно говоря, я не уверен, что эта конструкция соответствует критерию нескучности, но она довольно короткая (обещаю вам, что все это займет меньше 40 страниц 😉 ) и работает во всех измерениях. Это связано с ответом Энди Путмана и последующими комментариями. Возможно, мне следовало продолжать комментировать, но места просто не хватило. 9n$ ), рассматривая счетные объединения замкнутых прямоугольников, ребра всех которых параллельны заданной системе декартовых координат (назовем их допустимыми). Объединение должно быть чистым, в том смысле, что прямоугольники аккуратно перекрываются, образуя, скажем, прямоугольник. Поскольку любое непустое пересечение двух допустимых прямоугольников снова является приемлемым прямоугольником, любое счетное объединение допустимых прямоугольников, очевидно, допускает чистую подпрямоугольность. Тот же самый аргумент работает также довольно хорошо для описания общего подпрямоугольника двух других, имеющих одно и то же изображение.

   Сначала определите площадь для конечных объединений, начав с присвоения обычного значения площади одного прямоугольника (данного как аксиома) и расширив функционал площади, используя обычную аддитивность для квази-непересекающихся (пересекающихся не более чем по общему ребру) ) объединение допустимых прямоугольников (дано как аксиома). В этом случае вы получаете все обычные свойства области.

   Теперь ограниченному счетному и чистому объединению $\bigcup_{n\in\mathbb{N}}R_n$ допустимых прямоугольников можно задать площадь в виде ряда $\sum_{n\in\mathbb{N}}\mathtt {Area}(R_n)$ (всегда сходится). Как указывалось выше, найти общий подпрямоугольник довольно просто, и предел не зависит от выбранного подпрямоугольника (коммутативно суммируемого ряда).

   Поскольку любое открытое множество прямоугольно (в том смысле, что оно распадается на счетное чистое объединение приемлемых прямоугольников), мы можем измерить любое открытое множество.

эпохальное доказательство из сферы компьютерной науки, которое вызвало эффект домино в физике и математике / Хабр

Учёные-информатики вышли на новые рубежи в деле проверки решений задач вычислительными методами. При этом они нашли ответы на важнейшие открытые вопросы квантовой механики и чистой математики.

В 1935 году Альберт Эйнштейн, работая с Борисом Подольским и Натаном Розеном, исследовал возможность, открытую новыми законами квантовой физики: две частицы могут находиться в запутанном состоянии, когда их взаимосвязь не нарушают даже огромные расстояния.

В следующем году Алан Тьюринг сформулировал первую общую теорию вычислений, и доказал, что существуют задачи, которые никогда не смогут быть решены компьютерами. 

Эти две идеи произвели революцию в тех областях наук, к которым они относятся. Кроме того, казалось, что они не имеют никакого отношения друг к другу. Но теперь доказательство MIP* = RE их скомбинировало, что привело к решению множества задач в сфере информатики, физики и математики.

Квантовые компьютеры производят вычисления, оперируя запутанными квантовыми битами (кубитами), а не классическими нулями и единицами. Новое доказательство указывает на то, что такие компьютеры, теоретически, могут быть использованы для проверки решений огромного количества задач. Связь между квантовой запутанностью и традиционными вычислениями стала для многих исследователей большой неожиданностью.

Мигель Наваскес (Miguel Navascués) занимается квантовой физикой в Институте квантовой оптики и квантовой информации в Вене. «Это было полным сюрпризом», — сказал он, комментируя доказательство.

Соавторы доказательства поставили перед собой цель определить границы подхода по проверке решений вычислительных задач. Этот подход включает в себя квантовую запутанность. Обнаружив эти границы, исследователи пришли к решению двух других задач, что явилось едва ли не побочным результатом их работы. Речь идёт о гипотезе Цирельсона в физике, касающейся математического моделирования квантовой запутанности, и связанной задачи в чистой математике — проблемы Конна в теории алгебр фон Неймана (проблемы вложения Конна).

В итоге же результаты применения доказательства вызвали в математике и физике нечто вроде эффекта домино.

«Все идеи относятся к одному и тому же периоду. Приятно видеть то, что они снова сошлись столь эффектным образом», — говорит Генри Юэнь (Henry Yuen) из Университета Торонто – один из соавторов доказательства. Помимо него в этой работе участвовали Чжэнфэн Джи (Zhengfeng Ji) из Технологического университета Сиднея, Джон Райт (John Wright) из Техасского университета в Остине, Ананд Натараджан (Anand Natarajan) и Томас Видик (Thomas Vidick) из Калифорнийского технологического института. Все пять учёных работают в сфере компьютерных наук.

Неразрешимые задачи

Тьюринг, ещё до появления компьютеров, заложил фундамент, на котором строятся размышления о вычислениях. И он, в то же время, показал, что существует определённая задача, которую, что доказуемо, компьютеры решить не могут. Это — так называемая проблема останова.

Обычно компьютерные программы получают что-то на вход и генерируют выходные данные. Но иногда они застревают в бесконечных циклах, а значит — никогда не останавливаются. Когда такое происходит, есть лишь один выход из сложившейся ситуации. По словам Генри Юэня, нужно вручную остановить программу. Нужно просто поставить точку в её работе.

Тьюринг доказал, что не существует универсального алгоритма, способного выяснить, будет ли программа когда-нибудь остановлена. Для того чтобы это узнать, надо запустить программу.

Генри Юэнь, Томас Видик, Чжэнфэн Джи, Ананд Натараджан, Джон Райт

«Вы прождали миллион лет, а программа не остановилась. Может, нужно просто подождать 2 миллиона лет? Нет способа сказать это заранее», — говорит Уильям Слофстра (William Slofstra), математик из Университета Уотерлу.

Тьюринг, с технической точки зрения, доказал, что задача останова неразрешима. Даже самый мощный компьютер, который можно себе представить, не способен с ней справиться.

После Тьюринга учёные-информатики начали классифицировать другие задачи по их сложности. Для решения более сложных задач требуется больше вычислительной мощности — больше процессорного времени и памяти. Это — исследование вычислительной сложности алгоритмов.

В итоге любая задача ставит перед исследователями два больших вопроса: «Насколько тяжело её решить? Какова сложность проверки того, что полученное решение является правильным?».

Проверка решения с помощью допроса

Если задачи сравнительно просты — их решения можно проверять самостоятельно. Но когда задачи становятся сложнее, даже проверка результатов их решения может оказаться невероятно сложным делом. Несмотря на это, в 1985 году учёные-компьютерщики решили, что можно сформировать уверенность в правильности ответа даже в том случае, если невозможно самостоятельно это подтвердить.

Метод проверки следует логике полицейского допроса.

Если подозреваемый рассказывает тщательно продуманную историю, то следователь, вероятно, не сможет просто взять и найти подтверждение каждой её детали. Но, задавая правильные вопросы, можно либо подловить подозреваемого на лжи, либо подтвердить правдивость его рассказа.

С точки зрения информатики, две стороны допроса представлены двумя компьютерами. Первый — это мощная вычислительная система, которая предлагает решение задачи. Его называют доказывателем. Второй — это уже не такое мощное устройство, которое задаёт доказывателю вопросы для определения того, правильным ли является предложенный им ответ. Этот компьютер называют верификатором.

Рассмотрим простой пример. Предположим, некто (верификатор) страдает цветовой слепотой. Кто-то другой (доказыватель) утверждает, что два шарика окрашены в разные цвета и ничем больше друг от друга не отличаются. Верификатор не может сам проверить это утверждение. Но, умно построив допрос, он, всё же, может узнать, так ли это на самом деле.

Для этого можно спрятать шарики за спиной и перемешать их. А потом — спросить доказывателя о том, в какой руке находится какой шарик. Если они и правда разные — доказыватель должен всегда отвечать на подобный вопрос правильно. А если же они имеют один и тот же цвет, то есть — выглядят совершенно одинаково, половина ответов доказывателя окажется неправильной.

Томас Видик говорит, что если гораздо больше половины ответов доказывателя оказываются правильным, то можно быть весьма сильно уверенным в том, что шарики имеют разные цвета.

Задавая доказывателю вопросы, можно проверить решения более широкого класса задач, чем можно проверить самостоятельно.

В 1988 году учёные-информатики рассмотрели ситуацию, в которой имеются два доказывателя, предлагающих решения для одной и той же задачи. В конце концов, если есть два подозреваемых, которых можно допросить, это упростит раскрытие преступления, или — проверку решения, так как их можно заставить играть друг против друга.

По словам Томаса Видика, это даёт верификатору больше влияния. Он проводит допрос, задаёт связанные вопросы, выполняет перекрёстную проверку ответов. Если подозреваемые говорят правду — их ответы должны соответствовать друг другу большую часть времени. Если же они лгут — их ответы чаще будут расходиться.

Аналогично, исследователи показали, что допрашивая два доказывателя раздельно, задавая им вопросы о найденных ими решениях, можно быстро верифицировать решения даже более обширного класса задач, чем в том случае, когда работают с одним доказывателем.

Исследования вычислительной сложности алгоритмов могут показаться чисто теоретическими, но они очень тесно связаны с реальным миром. Ресурсы, которые нужны компьютерам для решения задач и проверки решения — время и память — это физические ресурсы. По этой причине новые открытия в физике могут изменить подход к исследованиям вычислительной сложности.

Ананд Натараджан говорит, что если отойти от классической физической базы вычислений и выбрать что-то совсем другое, вроде квантовых механизмов, то в результате мы получим и новую теорию вычислительной сложности.

Новое доказательство — это конечный результат столкновения учёных-компьютерщиков 21 века с одной из самых странных идей физики прошлого века — с идеей квантовой запутанности.

Проблема Конна

Когда две частицы запутаны, они, на самом деле, не влияют друг на друга. Между их действиями нет причинно-следственной связи. Эйнштейн и его соавторы проработали эту идею в статье 1935 года. Впоследствии физики и математики попытались прийти к математическому способу описания того, что, на самом деле, означает квантовая запутанность.

Однако эти усилия привели к неоднозначным результатам. Учёные пришли к двум разным математическим моделям запутанности. При этом не было ясно то, являются ли эти модели эквивалентными друг другу.

Наличие такого вот потенциального диссонанса, кружным путём, привело к появлению важной проблемы в сфере чистой математики. Это — проблема Конна в теории алгебр фон Неймана. В конце концов, это сыграло роль некоей «зацепки», которой пять учёных-компьютерщиков воспользовались при выводе своего доказательства.

Первый способ моделирования квантовой запутанности заключался в восприятии частиц как объектов, пространственно изолированных друг от друга. Предположим, одна из таких частиц находится на Земле, а другая — на Марсе. Расстояние между ними — это то, что исключает причинную связь между ними (они каузально разделены). Это — то, что называется моделью тензорного произведения.

Но в некоторых ситуациях каузальное разделение сущностей не вполне очевидно. В результате математики пришли ко второму, более общему способу описания каузальной независимости.

Когда порядок, в котором выполняют две операции, не влияет на результат, операцию называют коммутативной: 3×2 — это то же самое, что 2×3. В этой второй модели частицы запутаны в том случае, когда их свойства коррелируют, но порядок, в котором производят измерения, значения не имеет. Можно произвести измерения над частицей A для того, чтобы спрогнозировать импульс частицы B, и наоборот. В любом случае результат будет одним и тем же. Это называют моделью запутанности коммутирующего оператора.

В обоих описаниях запутанности используются массивы чисел, называемые матрицами. Матрицы состоят из строк и столбцов. Модель тензорного произведения использует матрицы с конечным числом строк и столбцов. Модель коммутирующего оператора использует более общие объекты, которые функционируют как матрицы с бесконечным количеством строк и столбцов.

Со временем математики начали исследовать эти матрицы как объекты, представляющие самостоятельный интерес, никак не связанные с физическим миром. В русле этой работы математик Ален Конн (Alain Connes) высказал в 1976 году предположение, в соответствии с которым должна существовать возможность аппроксимировать множество матриц бесконечной размерности с помощью матриц конечной размерности. Это — одно из следствий проблемы Конна в теории алгебр фон Неймана.

В следующем десятилетии физик Борис Цирельсон сформулировал новую версию этой проблемы, которая вновь вернула её в область физики. Цирельсон предположил, что модели тензорного произведения и коммутирующего оператора примерно эквивалентны друг другу. Это утверждение имеет смысл, так как обе эти модели, теоретически, представляют собой два разных способа описания одного и того же физического явления. Последующая работа показала, что из-за связи между матрицами и физическими моделями, использующими их, задачи Конна и Цирельсона косвенно связаны: если решить одну, то будет решена и другая.

Но решение обеих этих задач пришло из совершенно неожиданного места.

Физика игр

В 1960-е годы физик Джон Белл придумал тест для определения того, является ли квантовая запутанность реальным физическим явлением, а не теоретическим понятием. В тесте использовалось нечто вроде игры, результаты которой позволяли узнать о том, действуют ли в ходе игры некие механизмы, не относящиеся к обычной физике.

Позже специалисты по информатике поняли, что этот тест, касающийся квантовой запутанности, может быть использован и как инструмент для верификации решений очень сложных задач.

Но, прежде чем двигаться дальше, давайте поговорим об игре. Представим, что есть два игрока: Алиса и Боб, а также — игровое поле размером 3×3. Ведущий назначает Алисе строку и предлагает ей ввести в каждую ячейку 0 или 1, причём так, чтобы их сумма дала бы нечётное число. Боб получает столбец, который надо заполнить нулями и единицами так, чтобы их сумма дала бы чётное число. Они выиграют в том случае, если поместят одно и то же число в то место, где строка и столбец пересекаются. Общаться им при этом нельзя.

В обычных обстоятельствах лучшее, на что они будут способны — это выигрывать в 89% случаев. Но если учесть фактор квантовой запутанности, то их шансы улучшаются.

Представим, что у Алисы и Боба имеются запутанные квантовые частицы. Они выполняют измерения своих частиц и используют результаты измерений для указания на то, что писать в каждой из ячеек — 0 или 1. Из-за того, что частицы запутаны, результаты измерений будут коррелировать друг с другом. А это означает и то, что и действия игроков будут взаимосвязаны. В результате окажется, что они смогут побеждать в игре всегда.

Если в той ячейке, где строка и столбец пересекаются, будут разные цифры — игра проиграна. Если одинаковые — выиграна

Итак, если оказывается, что два игрока удивительно удачно играют в эту игру, то можно сделать вывод о том, что они используют нечто, отличающееся от того, что способна дать классическая физика. Подобные «Белловские» эксперименты в наши дни называют «нелокальными» играми, имея в виду разделение игроков. Физики, на самом деле, проводят подобные игры в лабораториях.

Генри Юэнь говорит, что за прошедшие годы учёные провели эксперименты, доказавшие реальность этих пугающих явлений.

Как и при анализе любой игры, тут может понадобиться узнать о том, как часто игроки могут выиграть в нелокальной игре, учитывая то, что они играют так хорошо, как только могут. Например, в случае с пасьянсом, можно вычислить частоту возможных выигрышей того, кто играет идеально.

Но в 2016 году Уильям Слофстра доказал, что не существует общего алгоритма для вычисления точной максимальной вероятности выигрыша для всех нелокальных игр. В результате исследователи задались вопросом: можно ли хотя бы приблизительно подсчитать максимальный процент выигрышей?

Учёные-компьютерщики пришли к ответу, используя две вышеописанные модели квантовой запутанности. Алгоритм, который использует модель тензорного произведения, задаёт минимальное значение при приближённом вычислении максимальной вероятности выигрыша для всех нелокальных игр. Другой алгоритм, в котором используется модель коммутирующего оператора, задаёт максимальное значение.

Ответ, выдаваемый реализациями этих алгоритмов, тем точнее, чем дольше выполняется программа. Если гипотеза Цирельсона верна, и эти две модели эквивалентны, тогда нижняя и верхняя оценки должны приближаться к друг другу, превращаясь в единственное значение, представляющее приблизительную максимальную вероятность выигрыша.

Но если гипотеза Цирельсона не верна, и две модели не эквивалентны, то, по словам Генри Юэня, верхняя и нижняя оценка всегда будут разделены. И не будет способа рассчитать даже приблизительный процент выигрышей для нелокальных игр.

Пять исследователей в своей новой работе воспользовались рассуждениями о том, сходятся ли верхняя и нижняя оценки, и о том, истинна или ложна гипотеза Цирельсона. Сделали они это ради поиска ответа на вопрос о том, в каких ситуациях можно верифицировать решения вычислительных задач.

Запутанная помощь

В начале двухтысячных учёные-информатики начали задаваться вопросом о том, как изменится диапазон задач, решения которых можно верифицировать, если «допрашивать» два доказывателя, которые обладают запутанными частицами.

Большинство учёных полагало, что запутанность вредит верификации. В конце концов, двум «подозреваемым» будет легче согласовать ложные показания в том случае, если у них будет какой-то способ координировать ответы.

Но в течение следующих нескольких лет стало понятно, что истинным является противоположное утверждение: «допрашивая» доказыватели, у которых имеются запутанные частицы, можно верифицировать гораздо более обширный класс задач, чем при работе с доказывателями, у которых таких частиц нет.

Томас Видик говорит, что запутанность — это способ создания корреляций, которые, как кажется, могут помочь доказывателям лгать. Но, на самом деле, это явление можно использовать в своих интересах.

Для того чтобы понять то, как этим пользоваться, сначала нужно разобраться с почти сверхъестественным масштабом задач, решения которых можно верифицировать благодаря этой интерактивной процедуре.

Представьте себе граф — набор точек (вершин), соединённых линиями (гранями). Нужно узнать о том, удастся ли, используя три цвета, закрасить вершины так, чтобы в графе не было бы двух вершин, соединённых гранью и при этом окрашенных в один цвет. Если это возможно, то такой граф является «трёхцветным».

Если дать паре доказывателей очень большой граф, и они сообщат, что он является «трёхцветным», то можно задаться вопросом о том, есть ли способ верифицировать их ответ.

В случае с очень большими графами было бы невозможно проверить ответ напрямую. Вместо этого можно спросить у каждого из доказывателей о том, какой цвет имеет одна из двух соединённых вершин. Если каждый из них сообщит о разных цветах, и они будут давать подобные ответы каждый раз, когда их об этом спрашивают, у нас сформируется уверенность в том, что граф, и правда, является «трёхцветным».

Но даже эта стратегия допроса не сработает на огромных графах, в которых больше граней и вершин, чем атомов во вселенной. Даже постановка конкретного вопроса («Сообщи мне цвет вершины XYZ») становится неподъёмной проблемой для того, кто пытается проверить решение задачи. Объём данных, необходимый для того, чтобы просто задать имя конкретной вершины, больше, чем верификатор может хранить в доступной ему памяти.

Но квантовая запутанность делает возможной схему работы, при применении которой доказыватели сами формулируют вопросы.

«Верификатору не нужно ставить вопросы. Верификатор заставляет доказыватели самостоятельно формулировать эти вопросы и отвечать на них», — говорит Джон Райт.

Верификатору нужно, чтобы доказыватели сообщали бы о цветах соединённых вершин. Если вершины не соединены, тогда ответы на вопросы ничего не сообщат о том, является ли граф «трёхцветным» или нет. Другими словами, верификатору нужно, чтобы доказыватели задавали бы связанные вопросы. Один из доказывателей задаёт вопрос о вершине ABC, а второй — о вершине XYZ. Предполагается, что две вершины соединены, несмотря на то, что ни один из доказывателей не знает о том, о какой именно вершине «думает» другой. (Это похоже на то, как Алиса и Боб надеются записать одно и то же число в одну и ту же ячейку, несмотря на то, что ни один из них не знает о том, с какой строкой или с каким столбцом таблицы работает другой. )

Если два доказывателя полностью самостоятельно формулировали бы подобные вопросы, тогда не было бы механизма, позволяющего заставить их выбирать соединённые (коррелирующие) вершины, делая это так, чтобы позволить верификатору проверять их ответы. Но подобная корреляция — это именно то, чего позволяет достичь квантовая запутанность.

Томас Видик говорит, что они собираются использовать запутанность для передачи практически всех дел доказывателям. Учёные заставляют доказыватели самостоятельно выбирать вопросы.

В конце выполнения этой процедуры каждый из доказывателей сообщает цвет вершины. Верификатор проверяет — разные это цвета или нет. Если граф действительно является «трёхцветным» — доказыватели никогда не должны сообщать об одном и том же цвете.

По словам Генри Юэня, если граф является «трёхцветным», то доказыватели смогут убедить исследователя в том, что это действительно так.

Как оказалась, эта процедура верификации представляет собой ещё один пример нелокальной игры. Доказыватели «выигрывают» в том случае, если убеждают исследователя в том, что их решение является верным.

В 2012 году Томас Видик и Цуёси Ито (Tsuyoshi Ito) доказали, что можно играть во множество разнообразных нелокальных игр с использованием запутанных доказывателей для проверки решений. Это относится, как минимум, к тому же числу задач, которые можно проверить, опрашивая два классических компьютера. Таким образом, использование запутанных доказывателей не вредит верификации. В прошлом году Ананд Натараджан и Джон Райт доказали, что взаимодействие с запутанными доказывателями, на самом деле, расширяет класс задач, решения которых могут быть верифицированы.

Но учёные-компьютерщики не знали о полном спектре задач, решения которых могут быть проверены с использованием этого подхода. Сейчас же они об этом знают.

Эффект домино

В своей новой работе пять учёных доказали, что «допрос» запутанных доказывателей делает возможной верификацию решений нерешаемых задач, включая решение задачи останова.

Генри Юэнь говорит, что модели такого типа имеют невообразимые верифицирующие возможности.

Но задача останова нерешаема. И этот факт стал той движущей силой, которая привела к получению итогового доказательства.

Представьте, что вы передали программу паре запутанных доказывателей. Вы задали им вопрос о том, остановится ли когда-нибудь эта программа. Вы готовы верифицировать их ответы посредством некоей нелокальной игры. Доказыватели генерируют вопросы и «выигрывают» на основании скоординированности их ответов.

Если программа на самом деле остановится, то у доказывателей должна быть возможность выиграть в игре в 100% случаев. Это похоже на пример с графом — если он и правда «трёхцветный», то запутанные доказыватели никогда не должны сообщать об одном и том же цвете для связанных вершин. Если программа никогда не остановится, доказыватели должны выигрывать лишь по случайности — в 50% случаев.

Это значит, что если некто попросит вас определить приблизительную максимальную вероятность выигрыша для конкретной нелокальной игры, то вам сначала придётся решить задачу останова. Но решить эту задачу невозможно. Это означает, что нахождение приблизительного максимального уровня вероятности выигрыша для нелокальных игр так же, как и для задачи останова, невозможно.

А это, в свою очередь, значит, что гипотеза Цирельсона ложна: две модели квантовой запутанности не эквивалентны. Если бы они были эквивалентны, то можно было бы свести нижнюю и верхнюю оценку к одному и тому же значению и вычислить приблизительную максимальную вероятность выигрыша.

Давид Перес-Гарсиа (David Pérez-García) из Мадридского университета Комплутенсе говорит, что не может существовать такого алгоритма, в результате две [модели] должны быть разными.

Новая работа доказывает то, что класс задач, решения которых можно верифицировать с помощью запутанных квантовых доказывателей, класс, называемый MIP*, в точности равен классу задач, которые не сложнее задачи останова — классу RE. В заголовке работы имеется сжатое указание на это: «MIP* = RE».

В ходе вывода доказательства того, что два класса сложности равны, учёные доказали ложность гипотезы Цирельсона, что, благодаря ранее проведённой работе, означает то, что гипотеза Конна также ложна.

Исследователи, работающие в соответствующих областях, были ошеломлены тем, что решения столь масштабных задач были получены благодаря доказательству из сферы компьютерной науки, которое, как кажется, не связано с математикой и с физикой.

Мигель Наваскес говорит, что если бы увидел статью с заголовком MIP* = RE, то не подумал бы о том, что у неё есть что-то общее с его работой. Он был соавтором более ранней работы, связывающей гипотезы Цирельсона и Конна. Для него это стало полным сюрпризом.

Квантовые физики и математики только начинают осваивать новое доказательство. До этого математиков интересовал вопрос о том, могут ли они аппроксимировать матрицы бесконечной размерности, используя вместо них большие матрицы конечной размерности. Теперь, благодаря тому, что доказана ложность гипотезы Конна, они знают о том, что сделать этого нельзя.

«Их результаты указывают на то, что это невозможно», — сказал Уильям Слофстра.

Учёные из сферы компьютерной науки не стремились к анализу гипотезы Конна. И они, в результате, находятся не в самом лучшем положении для объяснения возможных последствий решения этой задачи.

«Лично я — не математик. Я не очень хорошо понимают исходную формулировку гипотезы Конна», — говорит Ананд Натараджан.

Он с соавторами ожидает, что математики переведут новые результаты на свой язык. В публикации, где сообщается о доказательстве, Томас Видик пишет: «Я не сомневаюсь в том, что в итоге теория сложности вычислений не понадобится для получения чисто математических результатов».

Тем не менее, когда другие исследователи знакомятся с доказательством, путь исследования, благодаря которому удалось на него выйти, подходит к концу. Более трёх десятилетий учёные-компьютерщики просто пытались узнать, как далеко их может завести интерактивная верификация решений задач. Теперь перед ними лежит ответ, в форме длинной статьи с простым заголовком и с отголосками идей Тьюринга.

«Есть множество работ, авторы которых лишь задаются вопросом о том, каковы возможности процедуры верификации, использующей два запутанных квантовых доказывателя. Теперь мы знаем о том, какой мощью обладает эта процедура. Эта история подошла к концу», — говорит Ананд Натараджан.

Уважаемые читатели! Что значит доказательство MIP* = RE для той сферы, в которой работаете вы?

Регулярные выражения в Python: теория и практика

Рассмотрим регулярные выражения в Python, начиная синтаксисом и заканчивая примерами использования.

Примечание Вы читаете улучшенную версию некогда выпущенной нами статьи.

1. Основы регулярных выражений
2. Регулярные выражения в Python
3. Задачи

Основы регулярных выражений

Регулярками называются шаблоны, которые используются для поиска соответствующего фрагмента текста и сопоставления символов.

Грубо говоря, у нас есть input-поле, в которое должен вводиться email-адрес. Но пока мы не зададим проверку валидности введённого email-адреса, в этой строке может оказаться совершенно любой набор символов, а нам это не нужно.

Чтобы выявить ошибку при вводе некорректного адреса электронной почты, можно использовать следующее регулярное выражение:

r'^[a-zA-Z0-9_. 0-9];
\w — заменяет любую цифру, букву, а также знак нижнего подчёркивания;
\W — любой символ кроме латиницы, цифр или нижнего подчёркивания;
\s — соответствует любому пробельному символу;
\S — описывает любой непробельный символ.
Для чего используются регулярные выражения
для определения нужного формата, например телефонного номера или email-адреса;
для разбивки строк на подстроки;
для поиска, замены и извлечения символов;
для быстрого выполнения нетривиальных операций.
Синтаксис  таких выражений в основном стандартизирован, так что вам следует понять их лишь раз, чтобы использовать в любом языке программирования.
Примечание Не стоит забывать, что регулярные выражения не всегда оптимальны, и для простых операций часто достаточно встроенных в Python функций.
Хотите узнать больше? Обратите внимание на статью о регулярках для новичков. 
Регулярные выражения в Python
В Python для работы с регулярками есть модуль re. Его нужно просто импортировать:
import re
А вот наиболее популярные методы, которые предоставляет модуль:
re.match()
re.search()
re.findall()
re.split()
re.sub()
re.compile()
Рассмотрим каждый из них подробнее.
re.match(pattern, string)
Этот метод ищет по заданному шаблону в начале строки. Например, если мы вызовем метод match() на строке «AV Analytics AV» с шаблоном «AV», то он завершится успешно. Но если мы будем искать «Analytics», то результат будет отрицательный:
import re
result = re.match(r'AV', 'AV Analytics Vidhya AV')
print result

Результат:
<_sre.SRE_Match object at 0x0000000009BE4370>
Искомая подстрока найдена. Чтобы вывести её содержимое, применим метод group() (мы используем «r» перед строкой шаблона, чтобы показать, что это «сырая» строка в Python):
result = re. match(r'AV', 'AV Analytics Vidhya AV')
print result.group(0)

Результат:
AV
Теперь попробуем найти «Analytics» в данной строке. Поскольку строка начинается на «AV», метод вернет None:
result = re.match(r'Analytics', 'AV Analytics Vidhya AV')
print result

Результат:
None
Также есть методы start() и end() для того, чтобы узнать начальную и конечную позицию найденной строки.
result = re.match(r'AV', 'AV Analytics Vidhya AV')
print result.start()
print result.end()

Результат:
0
2
Эти методы иногда очень полезны для работы со строками.
re.search(pattern, string)
Метод похож на match(), но ищет не только в начале строки. В отличие от предыдущего, search() вернёт объект, если мы попытаемся найти «Analytics»:
result = re.search(r'Analytics', 'AV Analytics Vidhya AV')
print result.group(0)

Результат:
Analytics
Метод search() ищет по всей строке, но возвращает только первое найденное совпадение.
re.findall(pattern, string)
Возвращает список всех найденных совпадений. У метода findall() нет ограничений на поиск в начале или конце строки. Если мы будем искать «AV» в нашей строке, он вернет все вхождения «AV». Для поиска рекомендуется использовать именно findall(), так как он может работать и как re.search(), и как re.match().
result = re.findall(r'AV', 'AV Analytics Vidhya AV')
print result

Результат:
['AV', 'AV']
re.split(pattern, string, [maxsplit=0])
Этот метод разделяет строку по заданному шаблону.
result = re.split(r'y', 'Analytics')
print result

Результат:
['Anal', 'tics']
В примере мы разделили слово «Analytics» по букве «y». Метод split() принимает также аргумент maxsplit со значением по умолчанию, равным 0. В данном случае он разделит строку столько раз, сколько возможно, но если указать этот аргумент, то разделение будет произведено не более указанного количества раз. Давайте посмотрим на примеры Python RegEx:
result = re.split(r'i', 'Analytics Vidhya')
print result

Результат:
['Analyt', 'cs V', 'dhya'] # все возможные участки.
result = re.split(r'i', 'Analytics Vidhya',maxsplit=1)
print result

Результат:
['Analyt', 'cs Vidhya']
Мы установили параметр maxsplit равным 1, и в результате строка была разделена на две части вместо трех.
re.sub(pattern, repl, string)
Ищет шаблон в строке и заменяет его на указанную подстроку. Если шаблон не найден, строка остается неизменной.
result = re.sub(r'India', 'the World', 'AV is largest Analytics community of India')
print result

Результат:
'AV is largest Analytics community of the World'
re.compile(pattern, repl, string)
Мы можем собрать регулярное выражение в отдельный объект, который может быть использован для поиска. Это также избавляет от переписывания одного и того же выражения.
pattern = re.compile('AV')
result = pattern.findall('AV Analytics Vidhya AV')
print result
result2 = pattern.findall('AV is largest analytics community of India')
print result2

Результат:
['AV', 'AV']
['AV']
До сих пор мы рассматривали поиск определенной последовательности символов. Но что, если у нас нет определенного шаблона, и нам надо вернуть набор символов из строки, отвечающий определенным правилам? Такая задача часто стоит при извлечении информации из строк. Это можно сделать, написав выражение с использованием специальных символов. Вот наиболее часто используемые из них:
Оператор
Описание
.
Один любой символ, кроме новой строки \n.
?
0 или 1 вхождение шаблона слева
+
1 и более вхождений шаблона слева
*
0 и более вхождений шаблона слева
\w
Любая цифра или буква (\W — все, кроме буквы или цифры)
\d
Любая цифра [0-9] (\D — все, кроме цифры)
\s
Любой пробельный символ (\S — любой непробельный символ)
\b
Граница слова
[. и $
Начало и конец строки соответственно
{n,m}
От n до m вхождений ({,m} — от 0 до m)
a|b
Соответствует a или b
()
Группирует выражение и возвращает найденный текст
\t, \n, \r
Символ табуляции, новой строки и возврата каретки соответственно
Больше информации по специальным символам можно найти в документации для регулярных выражений в Python 3.
Перейдём к практическому применению Python регулярных выражений и рассмотрим примеры.
Задачи
Вернуть первое слово из строки
Сначала попробуем вытащить каждый символ (используя .)
result = re.findall(r'.', 'AV is largest Analytics community of India')
print result

Результат:
['A', 'V', ' ', 'i', 's', ' ', 'l', 'a', 'r', 'g', 'e', 's', 't', ' ', 'A', 'n', 'a', 'l', 'y', 't', 'i', 'c', 's', ' ', 'c', 'o', 'm', 'm', 'u', 'n', 'i', 't', 'y', ' ', 'o', 'f', ' ', 'I', 'n', 'd', 'i', 'a']
Для того, чтобы в конечный результат не попал пробел, используем вместо .  \w.
result = re.findall(r'\w', 'AV is largest Analytics community of India')
print result

Результат:
['A', 'V', 'i', 's', 'l', 'a', 'r', 'g', 'e', 's', 't', 'A', 'n', 'a', 'l', 'y', 't', 'i', 'c', 's', 'c', 'o', 'm', 'm', 'u', 'n', 'i', 't', 'y', 'o', 'f', 'I', 'n', 'd', 'i', 'a']
Теперь попробуем достать каждое слово (используя * или +)
result = re.findall(r'\w*', 'AV is largest Analytics community of India')
print result

Результат:
['AV', '', 'is', '', 'largest', '', 'Analytics', '', 'community', '', 'of', '', 'India', '']
И снова в результат попали пробелы, так как * означает «ноль или более символов». Для того, чтобы их убрать, используем +:
result = re.findall(r'\w+', 'AV is largest Analytics community of India')
print result
Результат:
['AV', 'is', 'largest', 'Analytics', 'community', 'of', 'India']
Теперь вытащим первое слово, используя ^:
result = re. , то мы получим последнее слово, а не первое:
result = re.findall(r'\w+$', 'AV is largest Analytics community of India')
print result

Результат:
[‘India’]
Вернуть первые два символа каждого слова
Вариант 1: используя \w, вытащить два последовательных символа, кроме пробельных, из каждого слова:
result = re.findall(r'\w\w', 'AV is largest Analytics community of India')
print result

Результат:
['AV', 'is', 'la', 'rg', 'es', 'An', 'al', 'yt', 'ic', 'co', 'mm', 'un', 'it', 'of', 'In', 'di']
Вариант 2: вытащить два последовательных символа, используя символ границы слова (\b):
result = re.findall(r'\b\w.', 'AV is largest Analytics community of India')
print result

Результат:
['AV', 'is', 'la', 'An', 'co', 'of', 'In']
Вернуть домены из списка email-адресов
Сначала вернём все символы после «@»:
result = re.findall(r'@\w+', 'abc. [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]')
print result

Результат:
['@gmail', '@test', '@analyticsvidhya', '@rest']
Как видим, части «.com», «.in» и т. д. не попали в результат. Изменим наш код:
result = re.findall(r'@\w+.\w+', '[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]')
print result

Результат:
['@gmail.com', '@test.in', '@analyticsvidhya.com', '@rest.biz']
Второй вариант — вытащить только домен верхнего уровня, используя группировку — ( ):
result = re.findall(r'@\w+.(\w+)', '[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]')
print result

Результат:
['com', 'in', 'com', 'biz']
Извлечь дату из строки
Используем \d для извлечения цифр.
result = re.findall(r'\d{2}-\d{2}-\d{4}', 'Amit 34-3456 12-05-2007, XYZ 56-4532 11-11-2011, ABC 67-8945 12-01-2009')
print result

Результат:
['12-05-2007', '11-11-2011', '12-01-2009']
Для извлечения только года нам опять помогут скобки:
result = re. findall(r'\d{2}-\d{2}-(\d{4})', 'Amit 34-3456 12-05-2007, XYZ 56-4532 11-11-2011, ABC 67-8945 12-01-2009')
print result

Результат:
['2007', '2011', '2009']
Извлечь слова, начинающиеся на гласную
Для начала вернем все слова:
result = re.findall(r'\w+', 'AV is largest Analytics community of India')
print result

Результат:
['AV', 'is', 'largest', 'Analytics', 'community', 'of', 'India']
А теперь — только те, которые начинаются на определенные буквы (используя []):
result = re.findall(r'[aeiouAEIOU]\w+', 'AV is largest Analytics community of India')
print result

Результат:
['AV', 'is', 'argest', 'Analytics', 'ommunity', 'of', 'India']
Выше мы видим обрезанные слова «argest» и «ommunity». Для того, чтобы убрать их, используем \b для обозначения границы слова:
result = re.findall(r'\b[aeiouAEIOU]\w+', 'AV is largest Analytics community of India')
print result

Результат:
['AV', 'is', 'Analytics', 'of', 'India']
Также мы можем использовать ^ внутри квадратных скобок для инвертирования группы:
result = re. aeiouAEIOU ]\w+', 'AV is largest Analytics community of India')
print result

Результат:
['largest', 'community']
Проверить формат телефонного номера
Номер должен быть длиной 10 знаков и начинаться с 8 или 9. Есть список телефонных номеров, и нужно проверить их, используя регулярки в Python:
li = ['9999999999', '999999-999', '99999x9999']

for val in li:
    if re.match(r'[8-9]{1}[0-9]{9}', val) and len(val) == 10:
        print 'yes'
    else:
        print 'no'

Результат:
yes
no
no
Разбить строку по нескольким разделителям
Возможное решение:
line = 'asdf fjdk;afed,fjek,asdf,foo' # String has multiple delimiters (";",","," ").
result = re.split(r'[;,\s]', line)
print result

Результат:
['asdf', 'fjdk', 'afed', 'fjek', 'asdf', 'foo']
Также мы можем использовать метод re.sub() для замены всех разделителей пробелами:
line = 'asdf fjdk;afed,fjek,asdf,foo'
result = re. sub(r'[;,\s]',' ', line)
print result

Результат:
asdf fjdk afed fjek asdf foo
Извлечь информацию из html-файла
Допустим, нужно извлечь информацию из html-файла, заключенную между <td> и </td>, кроме первого столбца с номером. Также будем считать, что html-код содержится в строке.
Пример содержимого html-файла:
1NoahEmma2LiamOlivia3MasonSophia4JacobIsabella5WilliamAva6EthanMia7MichaelEmily
С помощью регулярных выражений в Python это можно решить так (если поместить содержимое файла в переменную test_str):
result = re.findall(r'\d([A-Z][A-Za-z]+)([A-Z][A-Za-z]+)', test_str)
print result

Результат:
[('Noah', 'Emma'), ('Liam', 'Olivia'), ('Mason', 'Sophia'), ('Jacob', 'Isabella'), ('William', 'Ava'), ('Ethan', 'Mia'), ('Michael', 'Emily')]
Адаптированный перевод «Beginners Tutorial for Regular Expressions in Python»
 Понимание мира с помощью математики
 Совокупность знаний и практики, известных как математика, основана на вкладе мыслителей на протяжении веков и со всего мира. Это дает нам возможность понять закономерности, количественно оценить отношения и предсказать будущее. Математика помогает нам понять мир — и мы используем мир, чтобы понять математику.
 Мир взаимосвязан. Повседневная математика показывает эти связи и возможности. Чем раньше молодые учащиеся смогут применить эти навыки на практике, тем больше вероятность того, что мы останемся инновационным обществом и экономикой.
 Алгебра может объяснить, как быстро загрязняется вода и сколько людей в странах третьего мира, пьющих эту воду, могут заболеть ежегодно. Изучение геометрии может объяснить науку, стоящую за архитектурой во всем мире. Статистика и вероятность позволяют оценить число погибших в результате землетрясений, конфликтов и других бедствий по всему миру. Он также может предсказать прибыль, распространение идей и то, как могут восстановиться популяции ранее находящихся под угрозой исчезновения животных. Математика — мощный инструмент глобального понимания и коммуникации. Используя его, студенты могут осмысливать мир и решать сложные и реальные проблемы. Переосмысление математики в глобальном контексте предлагает учащимся изменить типичное содержание, что делает саму математику более применимой и значимой для учащихся.
 Чтобы учащиеся могли функционировать в глобальном контексте, математический контент должен помочь им овладеть глобальными знаниями, то есть пониманием различных точек зрения и мировых условий, признанием того, что проблемы взаимосвязаны по всему миру, а также общением и действиями надлежащим образом. В математике это означает переосмысление типичного содержания нетипичными способами и демонстрация учащимся того, как мир состоит из ситуаций, событий и явлений, которые можно разобрать с помощью правильных математических инструментов.
 Любые глобальные контексты, используемые в математике, должны способствовать пониманию математики, а также мира. Для этого учителя должны сосредоточиться на преподавании качественного, надежного, строгого и подходящего математического материала и использовать глобальные примеры, которые работают. Например, учащиеся не найдут смысла решать задачи со словами в Европе, используя километры вместо миль, когда инструменты уже легко преобразуют числа. Это не способствует сложному пониманию мира.
 Математика часто изучается как чистая наука, но обычно применяется в других дисциплинах, выходящих далеко за рамки физики и техники. Например, изучение экспоненциального роста и распада (скорости, с которой вещи растут и умирают) в контексте роста населения, распространения болезней или загрязнения воды имеет смысл. Это не только дает учащимся реальный контекст, в котором можно использовать математику, но и помогает им понять глобальные явления — они могут услышать о болезни, распространяющейся в Индии, но не могут установить связь, не понимая, как быстро может распространяться что-то вроде холеры. в плотном населении. На самом деле, добавление изучения роста и угасания к алгебре более низкого уровня — чаще всего оно встречается в алгебре II — может дать большему количеству студентов возможность изучать ее в глобальном контексте, чем если бы это было зарезервировано для математики более высокого уровня, которую не все учащиеся берут. .
 Подобным образом изучение статистики и вероятностей является ключом к пониманию многих событий в мире и обычно предназначено для учащихся с более высоким уровнем математики, если оно вообще изучается в старшей школе. Но многие мировые события и явления непредсказуемы и могут быть описаны только с помощью статистических моделей, поэтому глобальная математическая программа должна включать статистику. Вероятность и статистика могут использоваться для оценки числа погибших в результате стихийных бедствий, таких как землетрясения и цунами; объем помощи, которая может понадобиться для ликвидации последствий; и количество людей, которые будут перемещены.
 Понимание мира также означает признание вклада других культур. В алгебре учащиеся могут извлечь пользу из изучения систем счисления, которые уходят корнями в другие культуры, таких как майяская и вавилонская системы, система с основанием 20 и система с основанием 60 соответственно. Они дали нам элементы, которые все еще работают в современных математических системах, такие как 360 градусов по кругу и деление часа на 60-минутные интервалы, и включение этого типа контента может помочь развить понимание вклада других культур. к нашему пониманию математики.
 Однако важно включать только те примеры, которые имеют отношение к математике и помогают учащимся понять мир. Например, в геометрии исламские мозаики — фигуры, расположенные в виде художественного узора, — могут использоваться в качестве контекста для развития, изучения, обучения и закрепления важных геометрических представлений о симметрии и преобразованиях. Учащиеся могут изучить различные типы многоугольников, которые можно использовать для тесселяции плоскости (покрытия пространства без каких-либо отверстий или перекрытий), и даже то, как исламские художники подошли к своему искусству. Здесь содержание и контекст способствуют пониманию другого.
 Если учащимся будет предоставлено правильное содержание и контекст для глобальной учебной программы по математике, они смогут установить глобальные связи с помощью математики и создать математическую модель, отражающую сложность и взаимосвязь глобальных ситуаций и событий. Они смогут применять математические стратегии для решения задач, а также разрабатывать и объяснять использование данной математической концепции в глобальном смысле. И они смогут использовать правильные математические инструменты в правильных ситуациях, объяснить, почему выбранная ими математическая модель актуальна. Что еще более важно, учащиеся смогут использовать данные, чтобы делать обоснованные выводы, а также использовать математические знания и навыки, чтобы оказывать влияние на реальную жизнь.
 К моменту окончания средней школы учащийся должен быть в состоянии использовать математические инструменты и процедуры для изучения проблем и возможностей в мире, а также использовать математические модели для принятия и обоснования выводов и действий.
 Приведенные здесь примеры — это всего лишь примеры того, как это можно сделать, и их можно использовать для организации содержательных бесед с учителями математики. Это не отдельные учебные курсы, а перекрывающиеся и взаимосвязанные элементы, которые школы должны решить использовать способами, отвечающими их индивидуальным потребностям.
 В основе любого обсуждения глобальной учебной программы с помощью математики важно учитывать, как математика помогает учащимся понять мир, что в опыте учащихся позволяет им использовать математику, чтобы внести свой вклад в мировое сообщество, и какое математическое содержание нужно учащимся для решения сложных задач в сложном мире. Затем задача состоит в том, чтобы найти подлинные, актуальные и значимые примеры глобального или культурного контекста, которые улучшают, углубляют и иллюстрируют понимание математики.
 Мировая эра потребует этих навыков от своих граждан — система образования должна предоставить учащимся необходимые средства для их овладения.
 В школах международных исследований Азиатского общества ожидается, что все выпускники средних школ продемонстрируют мастерство в математике. Учащиеся работают над навыками и проектами на протяжении всего среднего образования. По окончании учебы учащиеся получают портфолио работ, которое включает доказательства: 
  
  Global Connections 
 Использование математики для моделирования ситуаций или событий в мире;
 Объяснение того, как сложность и взаимосвязанность ситуаций или событий в мире отражаются в модели;
 Данные, генерируемые моделью для принятия и защиты решения; и
 Решение или вывод, подкрепленный математикой в ​​контексте глобального сообщества.
  Решение проблем 
 Применение соответствующих стратегий для решения проблем;
 Использование соответствующих математических инструментов, процедур и представлений для решения задачи;
 Обзор и доказательство правильного и разумного математического решения с учетом контекста.
  Общение 
 Разработка, объяснение и обоснование математических аргументов, включая используемые концепции и процедуры;
 Последовательная и четкая коммуникация с использованием правильного математического языка и визуальных представлений;
 Выражение математических идей с использованием математических символов и условностей.
  
 Дебаты вокруг новой системы математики в Калифорнии
  Вкратце 
 Стремясь помочь большему количеству учащихся преуспеть в естественных науках, технологиях, инженерии и математике, Калифорния работает над изменением методов преподавания математики в школах. Но предложенная новая структура вызвала широкую критику.
  Lea este artículo en    español   . 
 Когда Ребекка Паризо согласилась присоединиться к группе преподавателей, которым в конце 2019 года была поручена работа над новой математической структурой Калифорнии, она сказала, что ожидала разногласий.
 Но она не ожидала, что ее работа окажется в центре внимания всей страны.
 «Мы трансформировали математическое образование, а перемены тяжелы и пугают», — сказал Паризо, учитель математики в округе начальной школы Уэнеме. «Особенно, если вы не понимаете, почему это изменение должно произойти. Но я не ожидал, что все зайдет так далеко».
 Каждые восемь лет группа педагогов собирается вместе, чтобы обновить структуру учебного плана штата по математике. Это конкретное обновление привлекло дополнительное внимание и вызвало споры из-за предполагаемых изменений, которые оно вносит в то, как продвигаются «одаренные» ученики, а также потому, что оно отодвигает алгебру 1 обратно в 9-й класс, снижает упор на исчисление и применяет принципы социальной справедливости к урокам математики.
 Их цель, по словам разработчиков системы, состоит в том, чтобы сохранить строгость, а также помочь устранить пробелы в успеваемости в Калифорнии для чернокожих, латиноамериканцев и учащихся с низким доходом, которые остаются одними из самых больших в стране.
 В основе разногласий лежит широкое согласие по крайней мере по одному вопросу: 
 Методы преподавания математики в государственных школах Калифорнии не работают. По национальным стандартизированным тестам Калифорния находится в нижнем квартиле среди всех штатов и территорий США по результатам 8-го класса по математике.
 Тем не менее, несмотря на весь этот шум и ярость, предлагаемая структура объемом около 800 страниц представляет собой не более чем набор предложений. Его дизайнеры пересматривают его сейчас и будут подвергать общественному рассмотрению еще 60 дней. Как только он будет одобрен в июле, округа могут принять столько рамок, сколько захотят, а также могут полностью игнорировать их без каких-либо штрафных санкций.
 «Вы не обязаны использовать фреймворк», — сказала Дайан Уилсон, член группы разработчиков фреймворка, специалист по программам в Elk Grove Unified. «Есть опасения, что это будет реализовано неравномерно».
 «Сейчас большие проблемы с преподаванием математики. То, как все устроено, не дает всем возможности изучать математику на самом высоком уровне».
  rebecca pariso, учитель математики, школьный округ Hueneme Elementary School District 
 Представители школьного округа Cupertino Union School District, например, в мае разослали семьям письмо, в котором говорилось, что, несмотря на государственные рамки, он не планирует «вносить изменения в нашу математику». курсы в обозримом будущем».
 Паризо хотела стать голосом своих учеников среди команды из 20 человек. В ее школьном округе в округе Вентура с 7500 учениками 42% учащихся изучают английский язык, а 84% имеют право на бесплатный обед или обед по сниженной цене. Она сказала, что таких учеников, как она, уже давно увольняют из-за отсутствия математических навыков из-за языковых барьеров или факторов вне класса, таких как отсутствие жилья или продовольственной безопасности. В результате, по ее словам, в штате, где расположены гигантские технологические компании, ее ученики отчуждены от карьеры в науке, математике, технике и технологиях.
 — Сейчас большие проблемы с преподаванием математики, — сказал Паризо. «То, как все устроено, не дает всем возможности изучать математику на самом высоком уровне».
 Сохраняющийся разрыв в успеваемости
 Мэрайя Роуз, третьекурсница прикладной математики в Калифорнийском университете в Беркли, сказала, что до этого семестра у нее не было ни одного темнокожего одноклассника ни на одном из математических занятий.
 «Сейчас в моем классе есть еще один чернокожий ученик, и это просто безумие для меня», — сказала Роуз. «Число чернокожих и коричневых в математике так мало».
 Роуз, наполовину черная, наполовину латиноамериканка, сказала, что в этом нет ничего нового. Она сказала, что была единственной чернокожей ученицей на уроках математики в старшей школе. А ее успехи в математике делают ее исключением в системе государственных школ Калифорнии, где чернокожие и латиноамериканские учащиеся получают более низкие баллы по стандартным тестам.
 Но вопрос о том, как закрыть этот разрыв, открыл еще один разрыв между экспертами в области математического образования и академическими математиками.
 В июле сотни профессоров математики и естественных наук подписали открытое письмо с призывом к государству заменить предложенную структуру. Академические математики говорят, что их вклад ценен, потому что они не только прошли весь математический конвейер, но и знают, к чему приводит элементарная математика.
 Блок-схема, созданная Ребеккой Парисон, которую она считает универсальной, помогает учителям в процессе выполнения домашних заданий по математике. «Я заметил, что домашнее задание иногда дают ученикам, мало задумываясь о его эффективности», — сказал Пэрисон. Пэрисон считает, что если учителя будут использовать эту таблицу, обучение будет равноправным и целенаправленным. 12 ноября 2021 г. Фото Джули Леопо для CalMatters
 Светлана Житомирская, профессор математики Калифорнийского университета в Ирвине, сказала, что авторам комитета следовало проконсультироваться с большим количеством экспертов в области STEM, которые лучше знакомы с необходимостью повышения квалификации и подготовки студентов. после старшей школы.
 «В этом процессе определенно должны были участвовать преподаватели STEM из ведущих университетов Центральной Азии, обладающие непосредственным знанием того, что необходимо для успеха в качестве специальностей STEM», — написала она по электронной почте. «Абсурдно, что этого не было сделано».
 Некоторые специалисты в области образования говорят, что эта структура больше всего навредит исторически маргинализированным учащимся, поскольку в нее будет включено слишком много тем, связанных с социальной справедливостью, которые отвлекают от математики.
 «Способ добиться социальной справедливости в математике — это учить детей математике», — сказал Том Лавлесс, эксперт по математическому образованию на пенсии, работавший в Brookings Institution, национальном аналитическом центре. «Дело не в том, чтобы приукрасить математику социальной справедливостью».
 Джо Боулер — главный автор концепции и профессор математического образования в Стэнфордском университете. Она и другие сторонники этой концепции говорят, что профессора университетов, которые работают со старшими и более мотивированными студентами, выбравшими математические курсы более высокого уровня, могут не обладать знаниями, необходимыми для создания учебной программы K-12, особенно для исторически маргинализированных групп студентов.
 «Мы понимаем образование, а у них нет опыта изучения образования», — сказал Боулер. «Математики сидят наверху и говорят, что это то, что происходит в школах».
 Бен Форд, профессор математики в Университете штата Сонома и один из авторов концепции, сказал, что он также с оптимизмом смотрит на то, что, особенно в университетах штата Калифорния, которые отдают предпочтение обучению, а не исследованиям, разрыв между математиками и преподавателями математики сужается.
 «В наши дни математическое сообщество очень заботится о расширении участия, — сказал он. «Я думаю, что мы становимся все более изощренными в том, как наши методы способствуют исключению».
 Противоречие между «одаренными» учащимися-математиками
 Ключевым камнем преткновения в процессе утверждения была рекомендация структуры о том, чтобы учителя воздерживались от навешивания ярлыков на учащихся как «одаренных от природы» в математике. Это привело к обвинениям родителей и педагогов в том, что это сдерживает «одаренных» учеников.
 «Сдерживая отличников, они заставляют их достигать большего?» сказал Эйвери Ванг, родитель ученика Palo Alto Unified. «Это точно такая же философия, которая продвигается в рамках математики».
 Боулер сказал, что пересмотренный проект будет содержать больше предложений для более быстрого продвижения учащихся по математике на основе достижений.
 Структура также требует более подробных и практических инструкций, будь то использование более инклюзивных местоимений или словесных задач, связанных с реальными проблемами, такими как жилье и изменение климата.
 Для критиков это звучит опасно, как упрощение математики.
 «Они меняют математику, чтобы сделать ее ценной», — сказал Майкл Малион, родитель объединенного школьного округа Пьемонт-Сити, который работает частным репетитором. «Частью математики является изучение вещей, которые не являются подлинными для жизни».
 Малионе и другие родители говорят, что структура оказывает медвежью услугу исторически маргинализированным группам учащихся, предлагая им упрощенную версию математики, которая не может подготовить их к трудностям карьеры в области науки, техники, инженерии или математики.
 «Математика будет сложной для тех учеников, которые не получают от нее столько удовольствия», — сказал Малион. «Но это цена, которую вы платите за то, чтобы дать им возможность изучать STEM».
 Нажимая "Подписаться", вы соглашаетесь с Условиями.
 Успех! Спасибо что подписались.
 Пожалуйста, введите действительный адрес электронной почты
 Обработка…
 «Они меняют математику, чтобы сделать ее математической оценкой. Частью математики является изучение вещей, которые не являются подлинными для жизни».
  Майкл Малион, родитель и частный репетитор по математике, Объединенный школьный округ города Пьемонт 
 Сторонники предложенной схемы утверждают, что критики слишком зациклены на защите учащихся, которые уже хорошо успевают по математике. В Калифорнии эти студенты, как правило, белые, выходцы из Восточной Азии или выходцы из более богатых семей.
 «Люди, выступающие за традиционные методы, видят цель обучения математике в том, чтобы найти блестящих и помочь другим просто прожить жизнь», — сказал Форд. «Мы думаем о людях, по которым скучаем. Это мотивация для многих из нас, работающих над фреймворком».
 Роуз, студентка факультета математики Калифорнийского университета в Беркли, сказала, что испытывает смешанные чувства. Она согласна с рекомендацией структуры отложить более продвинутые уроки математики и избегать маркировки учащихся на основе их математических способностей в более раннем возрасте. Но она не уверена, была бы она там, где она есть, если бы ее не перевели в математический класс более высокого уровня в 6-м классе.
 «Это изменило правила игры», — сказала она. «Не знаю, стал бы я заниматься математикой, если бы не продвинулся так рано».
 Сочетание математики и открытого опроса
 Система не запрещает школьным округам ускорять обучение учащихся средней школы. Тем не менее, он рекомендует, чтобы все учащиеся средней школы проходили одну и ту же последовательность «интегрированных» математических занятий, в которых сочетаются понятия из арифметики, алгебры и других предметов с целью развития основы и уровня комфорта при работе с числами.
 Кроме того, структура рекомендует школам отложить предложение учащимся Алгебры 1 до 9-го класса или позже, когда, по ее словам, больше учеников, вероятно, смогут усвоить материал.
 «Когда дети борются, они сразу же говорят: «У меня нет математических способностей», — сказал Боулер. «Это меняет то, как работает мозг».
 Отсрочка Алгебры 1 до 9-го класса, однако, потребует сжатия других математических предметов средней школы, таких как Геометрия, Алгебра 2 и Предварительное исчисление, чтобы учащиеся могли достичь уровня AP Исчисление к 12-му классу. В San Francisco Unified, которая внедрила этот путь в 2014 году, учащиеся прошли годичный курс, который сочетал в себе алгебру 2 и предварительное исчисление.
 Житомирская сказала, что ожидание первого курса алгебры в старших классах приведет к ускоренным подготовительным курсам по математике, которые будут слишком сложны для большинства учащихся.
 «Когда дети борются, они сразу же говорят: «У меня нет математических способностей». Это меняет работу мозга».
  Джо Боулер, профессор Стэнфордского университета 
 Норм Матлофф, профессор компьютерных наук Калифорнийского университета в Дэвисе и критик фреймворка, сказал, что сжатые уроки математики «опасны», потому что они неизбежно пропускают части учебной программы. Он сказал, что лучше брать такие предметы, как геометрия и алгебра, в один и тот же год в виде двух отдельных годичных занятий.
 Для Боалер и ее соавторов объединение традиционно отдельных математических классов идет рука об руку с открытыми исследованиями. Например, вместо того, чтобы задавать повторяющиеся наборы задач, учителя будут использовать совместные проекты, такие как расчет прожиточного минимума в студенческих сообществах. Открытые задания, подобные этому, не обязательно имеют единственный правильный ответ в конце книги.
 — Математика может быть очень скучной для детей, — сказал Боулер. «Это просто ответы на эти короткие вопросы, которые не имеют никакого смысла».
 Некоторые эксперты в области образования и профессора математики говорят, что упор, сделанный фреймворком на открытые задания, просто приводит в замешательство, особенно для борющихся за труд и исторически маргинализированных учащихся.
 Лавлесс сказал, что обучение с помощью открытых задач может заставить студентов чувствовать себя потерянными. Он предлагает учителям использовать уроки в виде лекций, чтобы знакомить учащихся с понятиями.
 — Это давний философский спор, — сказал он. «Отделы математического образования, как правило, очень прогрессивны в своей точке зрения».
 исчисление исчисление
 Фреймворк также создает новый курс по науке о данных в старшей школе в качестве альтернативы исчислению. Авторы говорят, что этот курс приведет к тому, что студенческий состав станет более разнообразным и будет заниматься наукой, технологиями, инженерией или математикой. Но некоторые эксперты говорят, что математика жизненно необходима для подготовки студентов к карьере в STEM.
 «Если вы хотите работать в области науки о данных, которую в ближайшие пару лет не заменит компьютер, вам нужно пройти курс математического анализа», — сказала Житомирская, профессор математики Калифорнийского университета в Ирвине. «Они хотят, чтобы курс по науке о данных был полностью тупым».
 Государственные данные показывают, что не только относительно небольшое число учащихся изучают математический анализ в средней школе, но и количество учащихся, зачисленных в наиболее продвинутые классы по математическому анализу — уже всего 3,7% в учебном году, начавшемся в 2014 г. , — сократилось за четыре года до всего лишь 3,4%.
 Авторы фреймворка возражают, что изучение математики в старшей школе не должно быть обязательным для поступления в область STEM в колледже и за его пределами, особенно потому, что математика может быть препятствием для поступления для чернокожих и латиноамериканцев.
 «Производные и интегралы не важны для поступления в колледж. Кредит колледжа и экзамен AP важнее», — сказал Форд. «Многие из нас на уровне колледжа предпочли бы, чтобы студенты приходили к нам более подготовленными к изучению исчисления 1».
 На самом деле системы Калифорнийского университета и штата Калифорния предприняли шаги, чтобы уменьшить акцент на математическом анализе в качестве требования для поступления.
 Роуз, студентка Калифорнийского университета в Беркли, сказала, что не могла оценить красоту исчисления, пока не поступила в колледж. На самом деле, она сказала, что ее одноклассники, которые поступили в колледж, не сдав AP Calculus, иногда получали более высокие баллы, чем она, на своих университетских курсах математического анализа.
 — Математический анализ известен тем, что помогает поступить в колледж, но математический анализ — это гораздо больше, — сказала Роуз.
 Это «пробудившаяся» математика?
 Другие критики критикуют новую структуру как «пробужденную математику», которая «дематематизирует математику» уроками социальной справедливости и левой идеологией.
 Открытое письмо, подписанное более чем тысячей экспертов STEM, осудило структуру за то, что она предложила учителям подчеркивать «вклад, который исторически маргинализированные люди внесли в математику», «принимать подход, ориентированный на справедливость, на любом уровне обучения» и использовать инклюзивный гендер. местоимения.
 Редакционная статья Wall Street Journal, которая помогла вызвать национальный интерес к программе обучения математике в Калифорнии, и консервативные издания, такие как National Review, возражали против случайного цитирования в рамках структуры «Пути к справедливому преподаванию математики», руководства, целью которого является показать учителям математики, как они могут использовать свой класс для борьбы с превосходством белых. В руководстве утверждается, что современная математическая педагогика в США различными способами укрепляет превосходство белых; его критики говорят, что числа есть числа, так как же может быть расизм в математике?
 Вскоре после этого авторы удалили ссылки на руководство.
 Учительница Ребекка Парисон в своем кабинете в округе начальной школы Уэнеме в Окснарде. Фото Джули Леопо для CalMatters
 Матлофф, профессор Калифорнийского университета в Дэвисе, сказал, что у него нет проблем с инклюзивным языком, но что «вокизм» не должен идти за счет математики. «У меня проблема, когда люди делают одержимость расой», — сказал он. «Они упускают из виду проблему обучения детей математике».
 Критики также подвергли критике рекомендуемые задания, которые пытаются применить математические концепции к темам социальных наук.
 Но Брайан Линдаманн, один из авторов концепции, сказал, что различия между двумя областями часто «искусственны».
 «Например, что-то вроде понимания того, как работает стоимость жизни — это и математика, и социальная справедливость», — сказал он. «Интерсекциональность многих из этих дисциплин — это то, что движет обществом в целом. Почему бы учителю экономики и учителю математики не вести урок вместе?»
 И в то время как некоторые критики закатывают глаза при мысли, например, об использовании «они» и «их» в качестве местоимения единственного числа без указания рода, преподаватели, такие как Паризо, говорят, что нечувствительный язык может быть серьезным препятствием для обучения.
 Она отметила, что более ранний вариант схемы включал примеры уроков по подсчету пищевых отходов в школьной столовой, но многие из ее учеников сочли бы это упражнение отчужденным, потому что у них дома нет продовольственной безопасности.
 Более крупные структурные математические задачи
 В течение восьми месяцев рамочный комитет собирался несколько раз, сначала лично, а затем виртуально, как только пандемия COVID-19 охватила Калифорнию. Паризо описывает встречи как «интенсивное» сотрудничество между учителями математики, администраторами школьных округов и экспертами по математическому образованию.
 Она и комитет дали свои окончательные рекомендации по математической структуре штата группе писателей во время серии встреч, завершившихся в декабре 2020 года. Эти авторы, пять профессоров со всего штата, написали 800-страничный проект, который вызвал похвалу и критика.
 После многочасовых публичных выступлений Совет по образованию штата Калифорния отложил процесс утверждения на два месяца.
 Каким бы ни было влияние новой системы, государственные школы Калифорнии по-прежнему сталкиваются с системными проблемами.
 Арис Биглер, учитель математики из Лос-Анджелеса, который помог разработать структуру, сказал, что маленькие классы имеют ключевое значение: «Если ребенку неудобно умножать шесть на четыре, я могу как бы закрепить его, не стыдя его».
 Но из-за постоянной нехватки учителей преподавание менее привлекательно для выпускников колледжей со степенью STEM.
 «У меня есть ученики, которые очень увлечены преподаванием и очень хотели бы преподавать в старших классах», — сказала Житомирская. «Но они предпочли бы более высокооплачиваемую работу STEM».
 Несмотря на это — и признавая, что не все округа будут полностью выполнять все рекомендации новой системы — Паризо сказал, что это шаг в правильном направлении.
 «Раньше я ценила и придавала большое значение студентам, которые набрали 100 %, — сказала она. «Но после размышлений и изучения инструментов Джо Боулер я понял, что мне нужно уделить время, чтобы отпраздновать успехи учащихся. Я больше не говорю о стопроцентных. Я говорю: «Вау, посмотри, как далеко ты продвинулся».
  Мы хотим услышать от вас 
 Хотите оставить комментарий гостя или реакцию на статью, которую мы написали? Вы можете найти наши правила подачи здесь. Пожалуйста, свяжитесь с CalMatters с любыми комментариями: [email protected]
 История, которую вы только что прочитали, была профинансирована такими же людьми, как вы.
 CalMatters — это некоммерческий отдел новостей, и ваши не облагаемые налогом пожертвования помогают нам продолжать предоставлять вам и каждому жителю Калифорнии важную беспристрастную информацию.

19 игр по математике. Учебное пособие

Электронная библиотека

Воспитывая детей, нынешние родители воспитывают будущую историю нашей страны, а значит и историю мира.

— А.С. Макаренко