Рубрика: Разное

III.3. Дифференцирование функции одной переменной

Глава III. Введение в математический анализ и основы дифференциального исчисления функции одной переменной‎ > ‎

9

Основные правила дифференцирования. Сумма.

      Выведем несколько правил вычисления производных, В этом пункте значения функций u и v и их производных в точке х₀ обозначаются для краткости так: u(х₀) = u, v(х₀) = v, u'(х₀) = u’, v'(х₀)=v`. Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u+v)’ = u’ + v’.

      Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.       1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: Δ(u+v) = u (х₀+Δx)+ v(х₀+Δx) – (u(х₀)+v(х₀)) = (u(х₀+Δx)-u(х₀)) + (v(х₀+Δx)-v(х₀)) = Δu + Δv       2)

      3) Функции u и v дифференцируемы в точке х₀, т. е. при Δх→0

      Тогда

при Δх→0 (см. правило 3, а) предельного перехода), т. е. (u+v)’ = u’+v’

Основные правила дифференцирования. Произведение.

      Если функции и и v дифференцируемы в точке х₀, то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(uv)’ = u’v+uv’.

      1) Найдем сначала приращение произведения:

Δ(uv) = u(х₀+Δx)v(х₀+Δx)-u(х₀)v(х₀)=(u(х₀)+ Δu)(v(х₀)+ Δv)-u(х₀)v(х₀) =

=u(х₀)v(х₀)+ Δuv(х₀)+u(х₀) Δv+ΔuΔv-u(х₀)v(х₀)= Δuv(х₀)+u(х₀) Δv+ΔuΔv

      2)

      3) В силу дифференцируемости функций u и v в точке х₀ при Δx→0 имеем

      Поэтому

т. е. (uv)’ = u’v+uv’, что и требовалось доказать.       Следствие. Если функция u дифференцируема в х₀, а С — постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и

(Сu)’ = Сu’.

      Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.       Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из пункта о производной, фактом С’ = 0:

(Сu)’ = Сu’ + С’u = Cu’ + 0⋅u = Cu’.

Пример.

Продифференцировать функцию .

Решение.

В данном примере . Применяем правило производной произведения:

Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:

Основные правила дифференцирования. Частное

Если функции u и v дифференцируемы в точке x₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в x₀ и

Выведем сначала формулу

1) найдем приращение функции 1/v:

2) Отсюда

3) При Δx→0 имеем Δv/Δx→v’ (в силу дифференцируемости v в точке x₀), Δv→0 (по доказанной лемме). Поэтому

Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произведения функций, находим производную частного:

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1. Применим правило дифференцирования дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

Производная сложной функции.

Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке y₀=f(x₀)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х₀, причем

h’(x₀) = g’(f(x₀))•f’(x₀) (1)

Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что

при Δx→0. Введем обозначения:

Δy = f(x₀+Δx)-f(x₀)= Δf

Тогда Δh = h(х₀ + Δх) — h(x₀) = g(f(x₀ +Δx)) — g(f(x₀)) = g(y₀ + Δy) — g(y₀) = Δg. Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x₀. Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х₀. Тогда

при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x₀) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y₀) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.

Пример.НА ВСЯКИЙ СЛУЧАЙ !! ! ! !!! http://www.mathelp.spb.ru/book1/proizvodnaya.htm

Производная обратной функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке   определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к  , а ее производная вычисляется по формуле .

Примеры.

Найти производную обратной тригонометрической функции y = arcsinx.  Обратная функция  x = siny и , по формуле для обратной функции .

Найдем  функции  y = arctgx. Обратная функция  x = tgy, 

Производная суммы, производная разности.

Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных 

Пример.

Найти производную функции 

Решение.

Упростим вид исходной функции 

Используем правило производной суммы (разности): 

В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

Осталось воспользоваться таблицей производных:

Производная e в степени x и показательной функции. Удивительная особенность производной e в степени х

Содержание

1. Производные простых функций
2. Что такое предел
3. Виды логарифмов
4. Как находить производные сложных логарифмических функций?
5. Общая формула производной логарифма
6. Случай отрицательных значений y
7. Внутренняя и внешняя функции
8. Понятие производной сложной функции
9. Правила нахождения производных
10. Некоторые свойства и практические примеры
11. Сложные производные
12. Синтаксис описания формул
13. Производная натурального логарифма
14. Прикладное использование производной
15. Таблица производных
16. Некоторые интересные факты о числе е
17. Что такое логарифмическое дифференцирование?
18. Производная экспоненты

Производные простых функций

1. Производная от числа равна нулю
с´ = 0
Пример:
5´ = 0

Пояснение:
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях – скорость его изменения всегда равна нулю.
2. Производная переменной равна единице
x´ = 1

Пояснение:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.
3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.

Откуда следует, что
(cx + b)’ = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение:
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x < 0 оно равно (-1), а когда x > 0 – единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных – наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.
5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
( x^c )’= cx^c-1, при условии, что x^c и сx^c-1,определены а с ≠ 0
Пример:
(x² )’ = 2x
(x³)’ = 3x²
Для запоминания формулы:
Снесите степень переменной “вниз” как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x² – двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x³ – тройку “спускаем вниз”, уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x² . Немного “не научно”, но очень просто запомнить.
6. Производная дроби 1/х
(1/х)’ = – 1 / x²
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)’ = (x^-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x^-1 )’ = -1x^-2 = – 1 / х²
7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
( 1 / x^c )’ = – c / x^c+1
Пример:
( 1 / x² )’ = – 2 / x³
8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)
( √x )’ = 1 / ( 2√x ) или 1/2 х^-1/2
Пример:
( √x )’ = ( х^1/2 )’ значит можно применить формулу из правила 5
( х^1/2 )’ = 1/2 х^-1/2 = 1 / (2√х)
9. Производная переменной под корнем произвольной степени
( ⁿ√x )’ = 1 / ( n ⁿ√x^n-1 )
.

Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть.

Что такое предел

Вначале разберемся с понятием предела. Рассмотрим какое-нибудь математическое выражение, например, i = 1/n. Можно увидеть, что при увеличении «n «, значение «i «будет уменьшаться, а при стремлении «n» к бесконечности (которая обозначается значком ∞), «i» будет стремиться к предельному значению (называемого чаще просто пределом), равному нулю. Выражение предела (обозначаемого как lim) для рассматриваемого случая можно записать в виде lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Существуют различные пределы для различных выражений. Одним из таких пределов, вошедших в советские и российские учебники как второй замечательный предел, является выражение lim n →∞ (1+1/ n) ⁿ . Уже в Средневековье было установлено, что пределом этого выражения является число е.

К первому же замечательному пределу относят выражение lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Как найти производную e^x – в этом видео.

Виды логарифмов

Прежде, чем перейти к формулам производных, напомним, что для некоторых логарифмов предусмотрены отдельные названия:

1. Десятичный логарифм (lg x)

lg x = log₁₀x

Т.е. это логарифм числа x основанию 10.

2. Натуральный логарифм (ln x)

ln x = log_e x

Т.е. это логарифм числа x по основанию e (экспонента).

Как находить производные сложных логарифмических функций?

Что можно сказать о производной логарифмической функции y = lnx на основании таблицы производных? Можно сказать, что она существует и выражается формулой

(1)

Однако в большинстве задач математического анализа, с которыми придётся столкнуться в дальнейшем, присутствует сложная логарифмическая функция. Она вычисляется несколько иначе.

В случае сложной логарифмической функции y = lnu, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (1) примет вид

(2)

Пользуясь формулой (2), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть

В результате применения свойств логарифмов:

Так как – постоянный множитель, то – постоянный множитель, то

или

(3)

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Применяя правило дифференцирования дроби (частного), а затем формулу (3), получим

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Используя свойства логарифмов, данную функцию можно записать проще:

Это сложная логарифмическая функция. Применяя правило о том, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, а затем формулу (2) при

получаем

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Общая формула производной логарифма

Производная логарифма x по основанию a равняется числу 1, разделенному на произведение натурального логарифма a и числа x.

Случай отрицательных значений y

Теперь рассмотрим случай, когда переменная может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае возьмем логарифм от модуля и найдем его производную:
.
Отсюда
(3) .
То есть, в общем случае, нужно найти производную от логарифма модуля функции .

Сравнивая (2) и (3) мы имеем:
.
То есть формальный результат вычисления логарифмической производной не зависит от того, взяли мы по модулю или нет. Поэтому, при вычислении логарифмической производной, мы можем не беспокоится о том, какой знак имеет функция .

Прояснить такую ситуацию можно с помощью комплексных чисел. Пусть, при некоторых значениях x, отрицательна: . Если мы рассматриваем только действительные числа, то функция не определена. Однако, если ввести в рассмотрение комплексные числа, то получим следующее:
.
То есть функции и отличаются на комплексную постоянную :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю, то
.

Внутренняя и внешняя функции

Зачем же нам нужно разбираться во вложенности функций? Что нам это дает? Дело в том, что без такого анализа мы не сможем надежно находить производные разобранных выше функций.

И для того, чтобы двигаться дальше, нам будут нужны еще два понятия: внутренняя и внешняя функции. Это очень простая вещь, более того, на самом деле мы их уже разобрали выше: если вспомнить нашу аналогию в самом начале, то внутренняя функция – это «пакет», а внешняя – это «коробка». Т.е. то, во что икс «заворачивают» сначала – это внутренняя функция, а то, во что «заворачивают» внутреннюю – уже внешняя. 3+2x+1) – внутренняя, а – внешняя.

Выполни последнюю практику анализа сложных функций, и перейдем, наконец, к тому, ради чего всё затевалось – будем находить производные сложных функций:

Заполни пропуски в таблице:

Понятие производной сложной функции

Пусть y – сложная функция x, т.е. y = f(u), u = g(x), или

Если g(x) и f(u) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g(x), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле

Типичная ошибка при решении задач на производные – машинальное перенесение правил дифференцирования простых функций на сложные функции. Будем учиться избегать этой ошибки.

Посмотрите на формулу 9 в таблице производных. Исходная функция является функцией от функции, причём аргумент x является аргументом лишь второй функции, а вторая функция является аргументом первой функции, или, согласно более строгому определению – промежуточным аргументом по независимой переменной x.

А теперь посмотрите на картинку ниже, которая иллюстрирует решение задач на сложные производные по аналогии с простым примером из кулинарии – приготовлении запечёных яблок, фаршированных ягодами.

Итак, “яблоко” – это функция, аргументом которой является промежуточный аргумент, а промежуточный аргумент по независимой переменной x, в свою очередь, является “фаршем” (ягодами). Представим себе, что решая задачи на производные сложной функции, сначала помещаем яблоко с фаршем в особую (физико-математическую) духовку и устанавливаем режим 1. При таком режиме духовка воздействует только на “яблоко”, поскольку нужно, допустим, больше пропечь яблоко, а фарш из ягод оставить более сочным, то есть обрабатывать в другом режиме. Итак, в при режиме 1 обрабатывается яблоко, а фарш остаётся незатронутым, или, ближе к нашим задачам, находим производную функции лишь от промежуточного аргумента, то есть, “яблока”. Затем в духовке устанавливается режим 2, который воздействует только на фарш, иначе говоря, записываем производную функции, являющейся промежуточным аргументом по независимой переменной x. И, в конце концов, записываем произведение производной “яблока” и производной “фарша”. Можно подавать!

Пример 1.Найти производную функции

Сначала определим, где здесь “яблоко”, то есть функция по промежуточному аргументу u, а где “фарш”, то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x. Определяем: возведение в степень – это функция по промежуточному аргументу, то есть “яблоко”, а выражение в скобках (разность двух тригонометрических функций) – это промежуточный аргумент, то есть “фарш”.

Тогда

Далее по таблице производных (производная суммы или разности, производные синуса и косинуса) находим:

Требуемая в условии задачи производная (готовое “фаршированое яблоко”):

Нахождение производной сложной логарифмической функции имеет свои особенности, поэтому у нас есть и урок “Производная логарифмической функции”.

Пример 2.Найти производную функции

Неправильное решение:вычислять натуральный логарифм каждого слагаемого в скобках и искать сумму производных:

Правильное решение:опять определяем, где “яблоко”, а где “фарш”. Здесь натуральный логарифм от выражения в скобках – это “яблоко”, то есть функция по промежуточному аргументу u, а выражение в скобках – “фарш”, то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x.

Тогда (применяя формулу 14 из таблицы производных)

Во многих реальных задачах выражение с логарифмом бывает несколько сложнее, поэтому и есть урок “Производная логарифмической функции”.

Пример 3.Найти производную функции

Неправильное решение:

Правильное решение.В очередной раз определяем, где “яблоко”, а где “фарш”. Здесь косинус от выражения в скобках (формула 7 в таблице производных)- это “яблоко”, оно готовится в режиме 1, воздействующем только на него, а выражение в скобках (производная степени – номер 3 в таблице производных) – это “фарш”, он готовится при режиме 2, воздействующей только на него. И как всегда соединяем две производные знаком произведения. Результат:

Производная сложной логарифмической функции – частое задание на контрольных работах, поэтому настоятельно рекомендуем посетить урок “Производная логарифмической функции”.

Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Но в практических заданиях нередко требуется найти производную сложной функции, где промежуточный аргумент или сам является сложной функцией или содержит такую функцию. Что делать в таких случаях? Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования. Когда найдена производная промежуточного аргумента, она просто подставляется в нужное место формулы. Ниже – два примера, как это делается.

Кроме того, полезно знать следующее. Если сложная функция может быть представлена в виде цепочки из трёх функций

,

то её производную следует находить как произведение производных каждой из этих функций:

.

Для решения многих ваших домашних заданий может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Пример 4.Найти производную функции

Применяем правило дифференцирования сложной функции, не забывая, что в полученном произведении производных промежуточный аргумент по независимой переменной x не меняется:

Готовим второй сомножитель произведения и применяем правило дифференцирования суммы:

Второе слагаемое – корень, поэтому

Таким образом получили, что промежуточный аргумент, являющийся суммой, в качестве одного из слагаемых содержит сложную функцию: возведение в степень – сложная функция, а то, что возводится в степень – промежуточный аргумент по независимой переменной x.

Поэтому вновь применим правило дифференцирования сложной функции:

Степень первого сомножителя преобразуем в корень, а дифференцируя второй сомножитель, не забываем, что производная константы равна нулю:

Теперь можем найти производную промежуточного аргумента, нужного для вычисления требуемой в условии задачи производной сложной функции y:

Тогда

Пример 5.Найти производную функции

Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

Получили сумму производных двух сложных функций. Находим первую из них:

Здесь возведение синуса в степень – сложная функция, а сам синус – промежуточный аргумент по независимой переменной x. Поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, попутно вынося множитель за скобки:

Теперь находим второе слагаемое из образующих производную функции y:

Здесь возведение косинуса в степень – сложная функция f[g(x)], а сам косинус – промежуточный аргумент по независимой переменной x. Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Результат – требуемая производная:

Правила нахождения производных

Пример 1. Найти производную функции y=cos4x.
Решение.
Внешней функцией здесь служит степенная функция: cos(x) возводится в четвертую степень. Дифференцируя эту степенную функцию по промежуточному аргументу cos(x), получим
(cos4x)′cos x = 4cos4-1x = 4cos3x
но промежуточный аргумент cos(x) – функция независимой переменной хcos(x) по независимой переменной х . Таким образом, получим
y′x = (cos4x)′cos x·(cosx)′x = 4·cos3x·(-sin x) = -4·cos3x·sin x
При дифференцировании функций нет необходимости в таких подробных записях. Результат следует писать сразу, представляя последовательно в уме промежуточные аргументы.

Пример 2. Найти производную функции
.

.
В некоторых случаях, если, например, нужно найти производную функции y = (u(x))v(x), или функции, заданной в виде произведения большого числа сомножителей, используется так называемый способ логарифмического дифференцирования.

Пример 3. Найти производную функции
.
Решение.
Применим метод логарифмического дифференцирования. Рассмотрим функцию

Учитывая, что , будем иметь

Но , откуда
, откуда
.

Пример 4. Найти производную функции y=xex
Решение.
.

Некоторые свойства и практические примеры

1. Приведем правило для нахождения производной обратной функции.

Пусть дана функция

y=f(x)y=f(x)

y=f(x), в которой переменная x является аргументом. Полагая теперь аргументом переменную y, получим функцию в виде

x=g(y)x=g(y)

x=g(y). 2+2x}

f′(x)=(ln(x2+2x))′=(x2+2x)′⋅x2+2×1​=x2+2x2x+2​

Найти производную функции

f(x)=sin(ln2x)

Решение

Полагаем

ln2x=v

Тогда:

f′(x)=(sinv)v′​⋅v′=cosv⋅(ln2x)′=cos(ln2x)⋅(2x)′⋅2×1​=xcos(ln2x)​

Сложные производные

После предварительной артподготовки будут менее страшны примеры, с 3-4-5 вложениями функций. Возможно, следующие два примера покажутся некоторым сложными, но если их понять (кто-то и помучается), то почти всё остальное в дифференциальном исчислении будет казаться детской шуткой.

Пример 2

Найти производную функции

Как уже отмечалось, при нахождении производной сложной функции, прежде всего, необходимо правильно РАЗОБРАТЬСЯ во вложениях. В тех случаях, когда есть сомнения, напоминаю полезный приём: берем подопытное значение «икс», например, и пробуем (мысленно или на черновике) подставить данное значение в «страшное выражение».

1) Сначала нам нужно вычислить выражение , значит, сумма , значит, сумма – самое глубокое вложение.

2) Затем необходимо вычислить логарифм:

3) Далее косинус:

4) Потом косинус возвести в куб:

5) На пятом шагу разность:

6) И, наконец, самая внешняя функция – это квадратный корень:

Формула дифференцирования сложной функции применятся в обратном порядке, от самой внешней функции, до самой внутренней. Решаем:

Вроде без ошибок….

(1) Берем производную от квадратного корня.

(2) Берем производную от разности, используя правило

(3) Производная тройки равна нулю. Во втором слагаемом берем производную от степени (куба).

(4) Берем производную от косинуса.

(5) Берем производную от логарифма.

(6) И, наконец, берем производную от самого глубокого вложения .

Может показаться слишком трудно, но это еще не самый зверский пример. Возьмите, например, сборник Кузнецова и вы оцените всю прелесть и простоту разобранной производной. Я заметил, что похожую штуку любят давать на экзамене, чтобы проверить, понимает студент, как находить производную сложной функции, или не понимает.

Следующий пример для самостоятельного решения.

Пример 3

Найти производную функции

Подсказка: Сначала применяем правила линейности и правило дифференцирования произведения

Полное решение и ответ в конце урока.

Настало время перейти к чему-нибудь более компактному и симпатичному.
Не редка ситуация, когда в примере дано произведение не двух, а трёх функций. Как найти производную от произведения трёх множителей?

Пример 4

Найти производную функции

Сначала смотрим, а нельзя ли произведение трех функций превратить в произведение двух функций? Например, если бы у нас в произведении было два многочлена, то можно было бы раскрыть скобки. Но в рассматриваемом примере все функции разные: степень, экспонента и логарифм.

В таких случаях необходимо последовательно применить правило дифференцирования произведения два раза

Фокус состоит в том, что за «у» мы обозначим произведение двух функций: , а за «вэ» – логарифм: , а за «вэ» – логарифм: . Почему так можно сделать? А разве – это не произведение двух множителей и правило не работает?! Ничего сложного нет:

Теперь осталось второй раз применить правило к скобке к скобке :

Можно еще поизвращаться и вынести что-нибудь за скобки, но в данном случае ответ лучше оставить именно в таком виде – легче будет проверять.

Готово.

Рассмотренный пример можно решить вторым способом:

Оба способа решения абсолютно равноценны.

Пример 5

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения, в образце он решен первым способом.

Рассмотрим аналогичные примеры с дробями.

Пример 6

Найти производную функции

Здесь можно пойти несколькими путями:

или так:

или так:

Но решение запишется более компактно, если в первую очередь использовать правило дифференцирования частного , приняв за , приняв за весь числитель:

В принципе, пример решён, и если его оставить в таком виде, то это не будет ошибкой. Но при наличии времени всегда желательно проверить на черновике, а нельзя ли ответ упростить? Приведём выражение числителя к общему знаменателю и избавимся от трёхэтажности дроби:

Минус дополнительных упрощений состоит в том, что есть риск допустить ошибку уже не при нахождении производной, а при банальных школьных преобразованиях. С другой стороны, преподаватели нередко бракуют задание и просят «довести до ума» производную.

Более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти производную функции

Продолжаем осваивать приёмы нахождения производной, и сейчас мы рассмотрим типовой случай, когда для дифференцирования предложен «страшный» логарифм

Пример 8

Найти производную функции

Тут можно пойти длинным путём, используя правило дифференцирования сложной функции:

Но первый же шаг сразу повергает в уныние – предстоит взять неприятную производную от дробной степени , а потом ещё и от дроби , а потом ещё и от дроби .

Поэтому перед тем как брать производную от «навороченного» логарифма, его предварительно упрощают, используя известные школьные свойства:

! Если под рукой есть тетрадь с практикой, перепишите эти формулы прямо туда. Если тетради нет, перерисуйте их на листочек, поскольку оставшиеся примеры урока буду вращаться вокруг этих формул.

Само решение можно оформить примерно так:

Преобразуем функцию:

Находим производную:

Предварительное преобразование самой функции значительно упростило решение. Таким образом, когда для дифференцирования предложен подобный логарифм, то его всегда целесообразно «развалить».

А сейчас пара несложных примеров для самостоятельного решения:

Пример 9

Найти производную функции

Пример 10

Найти производную функции

Все преобразования и ответы в конце урока. — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

Производная натурального логарифма

Производная от натурального логарифма числа x равняется единице, разделенной на x.

Данная формула получена следующим образом:

Сокращение ln e в данном случае возможно благодаря свойству логарифма:

Производная натурального логарифма сложной функции u = u (x):

Прикладное использование производной

Вычисление производной первого и второго порядка используется во многих прикладных задачах. Рассмотрим наиболее распространенные из них.

1. Нахождение экстремумов функции одной переменной осуществляют приравниванием к нулю производной: f'(x)=0. Этот этап является основным для построения графика функции методом дифференциального исчисления.
2. Значение производной в точке x₀ позволяет находить уравнение касательной к графику функции.
3. Отношение производных позволяет вычислять пределы по правилу Лопиталя.
4. В математической статистике плотность распределения f(x) определяют как производную от функции распределения F(x).
5. При отыскании частного решения линейного дифференциального уравнения требуется вычислять производную в точке.
6. В методе Ньютона с помощью производной отделяют корни нелинейных уравнений.

Таблица производных

Производная степенной функции:

Производная показательной функции:

Производная экспонециальной функции:

Производная логарифмической функции:

Производные тригонометрических функций:
,
,
,

Производные обратных тригонометрических функций:
,
,
,

Производные гиперболических функций:

Некоторые интересные факты о числе е

С этим числом связаны фамилии таких ученых, как Непер, Отред, Гюйгенс, Бернулли, Лейбниц, Ньютон, Эйлер, и другие. Последний собственно и ввел обозначение е для этого числа, а также нашел первые 18 знаков, используя для расчета открытый им ряд е = 1 + 1/1! + 2/2! + 3/3! …

Число e встречается в самых неожиданных местах. Например, оно входит в уравнение цепной линии, которое описывает провис каната под действием собственного веса, когда его концы закреплены на опорах.

Что такое логарифмическое дифференцирование?

Если функция дана в виде

,

то перед тем, как находить её производную, часто бывает выгодно прологарифмировать эту функцию.

Это прежде всего случаи, когда требуется найти производную произведения или частного функций, а также степенной функции, когда основание и степень – функции.

На основании свойств сложных функций доказано, что производная функции, вид которой приведён выше, может быть найдена по формуле

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Логарифмируем обе части равенства и находим:

Решение. Окончательно находим производную данной функции:

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Логарифмируем обе части равенства:

Дифференцируем:

Выражаем и находим производную данной функции:

Производная экспоненты

Экспонентой называется показательная функция, в качестве основания которой находится число е. Она обычно отображается в виде F (x) = e^x, где показатель степени x является переменной величиной. Данная функция обладает полной дифференцируемостью во всем диапазоне вещественных чисел. С ростом x она постоянно возрастает и всегда больше нуля. Обратная к ней функция — логарифм.

Известный математик Тейлор сумел разложить эту функцию в ряд, названный его именем e^x = 1 + x/1! + x ² /2! + x ³ /3! + … в диапазоне x от — ∞ до + ∞.

Закон, базирующийся на этой функции, называется экспоненциальным. Он описывает:

• возрастание сложных банковских процентов;
• увеличение популяции животных и населения планеты;
• время окоченения трупа и многое другое.

Повторим еще раз замечательное свойство данной зависимости — значение ее производной в любой точке всегда равно значению функции в этой точке, то есть (e^x)’ = e^x .

Приведем производные для наиболее общих случаев экспоненты:

• (e^ax)’ = a ∙ e^ax
• (e^{f (x)})’ = f'(x) ∙ e^{f (x)}.

Используя данные зависимости, несложно найти производные для других частных видов этой функции.

Источники

• https://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course17/lesson251/
• https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/udivitelnaya-osobennost-proizvodnoj-e-v-stepeni-h
• https://MicroExcel.ru/proizvodnye-logarifmov/
• https://function-x.ru/proizvodnaya_logarifmicheskoi_funkcii. html
• https://1cov-edu.ru/mat_analiz/proizvodnaya/nayti/logarifmicheskaya/
• http://cos-cos.ru/math/254/
• https://function-x.ru/derivative2.html
• https://math.semestr.ru/math/diff.php
• https://studwork.org/spravochnik/matematika/proizvodnye/proizvodnaya-naturalnogo-logarifma
• http://www.mathprofi.ru/slozhnye_proizvodnye_logarifmicheskaja_proizvodnaja.html
• https://planetcalc.ru/675/?thanks=1
• https://planetcalc.ru/675/

SavePearlHarbor

Опубликовано 16.09.2022 автором admin

Разработка софта это не только про код. Разработка софта это во многом про Toolchain(ы). Прежде чем начать исполняться исходники проходят гигантский путь и с каждым годом выходят все более и более массивные системы сборки. Современные технологии разработки софта настолько многостадийные, что понять их не просто.

Toolchain это как длинный конвейер. Есть действия, которые следуют одни за другими. После чего получается результат (артефакты). Большинство IDE(IAR, KEIL, MsVisualStudio и пр.) скрывают весь этот конвейер преобразования файлов. И программисты, которые привыкли торчать в IDE(шках) часто даже не догадываются, что в программировании существует что-то кроме *.h и *.с файликов. В этом плане IDE оказывают своим покупателям медвежью услугу, так как программисты привыкшие работать только в IDE имеют тенденцию становиться очень слабыми разработчиками.

По-настоящему разобраться как варятся артефакты сложно. Как же это сделать?

Надо прибегнуть к народной

Читать далее →

Опубликовано 16.09.2022 автором admin

Давние читатели “crawl” могут вспомнить, что у меня никогда не хватало терпения для идеи “Искусственный Интеллект просто хочет жить”. Я растоптал её ещё в своём самом первом романе —

“Эксперты-свидетели защиты, включая умный гель онлайн из Ратгерского университета, показали, что в культурах нейронов отсутствуют примитивные структуры среднего мозга, необходимые для того, чтобы испытывать боль и страх или стремиться к самосохранению. Защита же утверждала, что концепция “права” предназначена для защиты отдельных лиц от необоснованных страданий. Поскольку умные гели лишены возможности морального или физического страдания, то у них нет права на защиту, независимо от уровня их самосознания. Защита красноречиво резюмировала это рассуждение во время заключительного выступления: “Сами гели не заботятся о своей жизни и смерти. Почему тогда мы должны?” Приговор ещё находится на стадии обжалования.“

— который должен был служить противовесом для

Читать далее →

Опубликовано 16. 09.2022 автором admin

Краткое описание проекта

В данном проекте перед нами стояла задача – с помощью чат-бота разгрузить КЦ, а также оперативно и качественно отвечать на вопросы студентов и школьников группы образовательных организаций.

В группе состоят 9 образовательных учреждений, у каждого из которых есть свой сайт с виджетом и бот в Telegram. Конечные каналы общения подключены к омниканальной платформе Helpdeskeddy.

В качестве платформы для low-code создания бота и настройки интеграции с Helpdeskeddy была выбрана чат-бот платформа chatme.ai.

Интеграция с Helpdeskeddy

На платформе chatme.ai нет встроенного коннектора к Helpdeskeddy. Поэтому интеграция к Helpdeskeddy реализована внутри бота через HTTP-запросы, а на стороне Helpdeskeddy настроены правила отправки вебхуков. Интеграционные возможности конструктора платформы позволили быстро реализовать подобную интеграцию и в отсутствие встроенного коннектора. 

Создание бота

На старте нам был предоставлен набор интентов и

Читать далее →

Опубликовано 16. 09.2022 автором admin

Компания Honeywell решила свернуть свой существующий бизнес и операции в России и Беларуси. Для многих нефтегазовых предприятий России это стало неприятным событием. Дело в том, что на опасных производственных объектах для обучения персонала обязаны использоваться компьютерные имитационные тренажеры и да, большинство компьютерных имитационных тренажеров в нефтегазовой промышленности создавалось именно на базе программного обеспечения Honeywell Unisim. Спустя некоторое время начался процесс остановки таких программных и программно-аппаратных комплексов, т.к. необходима актуальная лицензия на Unisim, а продлить ее невозможно.

На рынке РФ, к сожалению, практически отсутствуют компании, ведущие разработку аналогичных тренажеров для нефтегазовых объектов, не используя UniSim. Причина достаточна проста, сейчас на рынке нет

Читать далее →

Опубликовано 16. 09.2022 автором admin

Продолжаю дорабатывать небольшой скрипт на языке PowerShell для работы в программах-оболочках «Windows PowerShell» версии 5.1 и «PowerShell» версии 7 (я работаю в операционной системе «Windows 10»). Скрипт разбирает заданный файл с кодом на языке HTML с помощью методов библиотеки «HTML Agility Pack» и выводит в консоль HTML-дерево HTML-страницы из файла. При выводе в консоль HTML-дерева внимание пользователя с помощью цвета фокусирую на значениях атрибутов «class» HTML-элементов. Далее выполняю анализ названий БЭМ-сущностей на соответствие методологии БЭМ («Блок, Элемент, Модификатор»). Скрипт может быть полезен при изучении методологии БЭМ, схем именования в БЭМ и так далее.

Про визуализацию HTML-дерева я писал в статье «PowerShell: обход и визуализация HTML-дерева из файла». Про методологию БЭМ и соглашениях по именованию, использующихся в рамках этой методологии, я писал в статье «PowerShell: классическая схема именования в БЭМ и регулярные выражения».

В данной статье

Читать далее →

Формулы и правила дифференцирования в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Формулы дифференцирования

Выгодно иметь такие правила, которые позволяли бы находить производные проще, с минимальной затратой времени. Действительно, такие правила имеются, причем они выводятся из основного правила дифференцирования.

Пусть С — постоянная величина; тогда равенство

у = С

можно рассматривать как выражение функции, не меняющей своего значения с изменением аргумента. В справедливости этого можно убедиться, представив это равенство графически, т. е. в виде прямой линии АВ, параллельной оси Ох (рис. 85).

Действительно, с изменением абсциссы точек этой прямой ординаты их остаются постоянными.

Для нахождения производной функции у = С применим основное правило дифференцирования:

т. е. производная постоянной равна нулю.

Не следует производную постоянной смешивать с пределом постоянной, который, как известно, равен самой постоянной.

Применяя основное правило дифференцирования, получим:

т. е. производная функции у = х равна единице, или: производная независимой переменной равна единице.

Возьмем функцию

где — функции от х и имеющие производные по х. Если аргументу х дать приращение то и функции и, v и w получат приращения, соответственно равные , и , а потому у также получит приращение . По основному правилу находим:

Слагаемые правой части последнего равенства являются производными функций . Указанное равенство можно переписать:

или

т. e. производная алгебраической суммы конечного числа функций равна алгебраической сумме производных каждой из них.

Пусть дана функция

где и и v — функции от х имеющие производные по x. Дадим аргументу х приращение тогда согласно основному правилу будем иметь:

Но и и v не зависят от , а потому их нужно считать постоянными *)

*) Это можно иллюстрировать на рис. 86. Здесь

при ; согласно следствию 1 теоремы IV можем написать:

Приращение же функции и меняется с изменением , поэтому согласно теореме IV имеем:

Таким образом,

Но

Далее, так как и дифференцируема, то она непрерывна, следовательно.

Если то не меняется.

Поэтому

Итак,

т. е. производная произведения двух функций равна сумме произведений первой функции на производную второй и второй функции на производную первой.

Возьмем функцию

где

причем функция и имеет производную по х. Применяя правило (IV), получим:

т. е. производная произведения постоянной на функцию равна произведению постоянной на производную функции.

Возьмем сначала функцию

Представив ее в виде произведения и применяя правило (IV), получим:

Найдем производную новой функции:

Заменив ее произведением и опять применяя то же правило (IV), найдем:

Поступив точно так же с функцией

найдем:

Если продолжать дифференцирование функций и т. д. этим способом, то получим результаты, подчиняющиеся одной и той же формуле:

Таким образом, производная степени , где т— целое положительное число, равна произведению показателя степени на основание х в степени, на единицу меньшей чем данная.

Однако выведенное правило справедливо для любого показателя т, что мы и докажем.

Производная функции . Представив функцию в виде степени с дробным показателем и применяя правило (VI), получим:

Таким образом,

т. е. производная функции равна единице, деленной на удвоенную функцию.

Производная функции .

Заменив на и дифференцируя по правилу (VI), получим:

т. е. производная дроби равна отрицательной дроби, равной единице, деленной на квадрат знаменателя.

Возьмем функцию

где и и v — функции от х, имеющие производные по x, причем при значении х, при котором находится производная. Применим основное правило дифференцирования.

4-й шаг: применяя теоремы V, III, II и следствие 1 теоремы IV , находим:

Здесь, как и при выводе формулы (IV), нужно считать и и v не зависящими от , а .

Итак,

т. е. производная частного равна дроби, знаменатель которой есть квадрат делителя, л числитель есть разность между произведением делителя на производную делимого и произведением делимого на производную делителя.

Рассмотрим несколько примеров на применение выведенных правил.

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

По правилу (III) имеем:

Применяя к первым трем слагаемым правило (V), а к последнему— правило (I), получим:

Согласно правилам (VI) и (II) будем иметь:

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

По правилу (IV) имеем:

По правилу (III):

По правилам (V), (II). (I) и (VI):

Этот пример можно решить иначе: сначала перемножить выражения в скобках, а затем продифференцировать полученную сумму:

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

Преобразуем данную функцию следующим образом:

Применяя правила (V) и (VI), будем иметь:

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

Представим данную функцию в следующем виде:

Применяя правила (III) и (V), получим:

По правилам (VIII), (VII) и (VI) имеем:

По правилам (VIII), (VII) и (VI) имеем:

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

По правилу (IX) имеем:

Дифференцируя сумму по правилу (III), получим:

Наконец, по правилам (VI), (II), (I) и (V) найдем:

Можно иначе продифференцировать данную функцию, разделив в правой части данного уравнения почленно числитель на знаменатель, получим:

или

отсюда

Пусть нам даны две функции:

и

Если в (1) заменить и его выражением из (2), то получим:

Из уравнений (1) и (2) видно, что у есть функция от и, но и в свою очередь функция от х\ таким образом, функция у зависит от функции

Функцию (3) называют функцией от функции или слоэюной функцией.

Всякую сложную функцию можно представить в виде нескольких простых. Разберем примеры.

Пример:

Представить функцию

в виде двух простых.

Решение:

Положим

тогда

Мы получили две функции и и у более простого вида, чем данная.

Пример:

То же для функции

Решение:

Положим

тогда

Возьмем функцию

причем

Пусть функция (2) имеет производную при данном х; тогда при и , Пусть также и функция (1) имеет производную при значении и, соответствующем тому же значению х. Напишем тождество

Применяя к правой части тождества (3) теорему о пределе произведения, получим:

Но, как известно,

Поэтому равенство (4) можно переписать:

Формула (5) служит для дифференцирования сложной функции, составленной из двух простых.

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

Представим данную функцию в виде следующих двух:

Найдем сначала (т. е. производную функции у по аргументу и), а затем и (т. е. производную функции и по аргументу х):

Искомая производная будет:

или, заменяя и его значением,

Как видно из формулы (5), производная сложной функции выражается произведением производных простых функций и, конечно, перестановка сомножителей не изменит результата. Однако удобней находить эти сомножители в одной определенно выбранной последовательности, которую полезно запомнить как правило. Так, например, для разобранного случая степенной функции это правило можно высказать следующим образом:

для дифференцирования сложной степенной функции*) нужно взять производную сначала от степени по основанию (принимая основание за аргумент), а потом от выражения, стоящего в основании, по независимой переменной и результаты перемножить.

*) Под сложной степенной функцией будем разуметь степень, основание которой есть функция от х.

Если — сложная степенная функция, то ее производная согласно этому правилу запишется так:

Пусть, например, требуется найти производную функции

Положив

и, применяя правило (6), будем иметь:

В дальнейшем для каждого особого случая будут даваться аналогичные правила, устанавливающие свою последовательность дифференцирования.

Разберем еще пример. Пусть требуется найти производную функции

Разбив ее на две простые функции, получим:

отсюда

Следовательно,

И здесь можно установить последовательность в нахождении производной, которая выразится следующим правилом: для дифференцирования сложной функции нужно сначала взять производную от этой функции по подкоренному выражению и (считая и аргументом), а потом от подкоренного выражения по независимой переменной и результаты перемножить; таким образом, считая и функцией от x получаем:

Так, например, производная функции

но вышеуказанному правилу найдется так:

Если дан корень другой степени, то его нужно предварительно преобразовать в степень с дробным показателем и применить правило для дифференцирования сложной степенной функции. Например,

По общему правилу дифференцирования находим:

1-й шаг:

2-й шаг:

Преобразуя разность синусов, будем иметь:

3-й шаг:

После деления числителя и знаменателя дроби на 2 получим:

4-й шаг:

Но

поэтому

Следовательно

2.

По формуле приведения можно написать:

отсюда

Для дифференцирования сложной функции представим ее в виде двух простых:

Согласно формуле (5) имеем:

Следовательно,

3.

Заменив tg x отношением и применяя правило дифференцирования частного, получим:

Итак, имеем:

4.

Как и в случае 3, имеем:

Таким образом,

В п. 2 настоящей лекции мы дифференцировали сложную функцию , пользуясь формулой (5) .

Однако эту операцию можно произвести и по следующему правилу:

для дифференцирования сложной тригонометрической функции *) нужно сначала взять производную от тригонометрической функции по выражению, стоящему под ее знаком (принимая его за аргумент), а потом от этого выражения по независимой переменной и результаты перемножить;

*) Под сложной тригонометрической функцией будем понимать тригонометрическую функцию сложного аргумента.

поэтому, считая и функцией от х, получаем:

Пользуясь правилом (1), процесс дифференцирования функции sin можно записать таким образом:

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

Согласно правилу (2) настоящей лекции найдем:

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

Переписав функцию в виде найдем по правилу (6)

Но сложная тригонометрическая функция, а потому согласно правилу (1) настоящей лекции имеем:

Следовательно,

Процесс дифференцирования данной функции можно записать следующим образом:

Пусть дана функция

Для ее дифференцирования применим общее правило.

или

Положим

отсюда

Подставив значения и в равенство (1), получим:

или, после потенцирования

Из равенства (2) следует, что, если

4-й шаг. Принимая во внимание условие (3), напишем:

Множитель не зависит от n поэтому его можно считать постоянным при ; следовательно,

В подробных курсах анализа доказывается теорема: предел логарифма переменной величины равен логарифму предела этой же переменной величины; поэтому

Но, согласно,

Равенство (4) будет иметь вид

Следовательно,

т. е. производная натурального логарифма равна единице, деленной на аргумент.

Если дан десятичный логарифм, то его нужно предварительно выразить через натуральный. Мы знаем, что

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

или

т. е. производная десятинного логарифма равна произведению производной натурального логарифма на постоянный множитель 0,4343.

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

Данная функция сложная; положим

тогда

Отсюда согласно формуле (5) имеем:

Производную сложной логарифмической функции *) можно найти и по следующему правилу:

для дифференцирования сложной логарифмической функции нужно сначала взять производную от логарифма по выражению, стоящему под знаком логарифма (принимая его за аргумент), а потом от выражения, стоящего под знаком логарифма, по независимой переменной и результаты перемножить;

*) То-есть логарифмической функции сложного аргумента.

поэтому, считая и функцией х получаем:

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

Согласно правилу (5) найдем:

Но cos ( 1—х) — сложная тригонометрическая функция; применяя к ней правило (2) , получим:

или

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

Преобразуем сначала данную функцию, применив правила логарифмирования корня и дроби:

Продифференцировав полученную функцию [ln х по правилу (XIV), а ln (1 + x) по правилу (5)], найдем:

Мы вывели формулу

для m целого положительного. Докажем теперь справедливость этой формулы для любого показателя. Положим, что в равенстве

m имеет любое постоянное значение; логарифмируя это равенство по основанию е, получим:

Приняв во внимание, что ln у — сложная функция ( ln у зависит от у, а у зависит от x), дифференцируем обе части равенства (1) по х:

отсюда

Следовательно,

Дана показательная функция

Прологарифмировав равенство (1) по основанию е, получим:

Дифференцируем это равенство по х, считая )ln у сложной функцией:

отсюда

Следовательно,

т. е. производная показательной функции равна произведению самой функции на натуральный логарифм основания.

Если дана показательная функция

где е — основание натурального логарифма, то производная ее найдется по формуле (XVI):

или

т. е. производная показательной функции равна самой функции.

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

Заменив данную сложную функцию двумя простыми, получим:

Согласно формуле (5) имеем:

Данную функцию можно дифференцировать и по следующему правилу:

для дифференцирования сложной показательной функции *) нужно сначала взять производную от показательной функции по выражению, стоящему в показателе (считая его аргументом), а потом от выражения, стоящего в показателе, по независимой переменной и результаты перемножить;

*) То-есть показательной функции сложного аргумента.

поэтому, считая и функцией от х, получаем:

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

По правилу (3) настоящей лекции

Но согласно правилу (3)

Следовательно,

1.

В силу определения арксинуса получаем:

Здесь sin у представляет сложную функцию (sin y зависит от у, а у зависит от х; дифференцируя обе части этого равенства по х, напишем):

или

откуда

Приняв во внимание, что

*) Здесь радикал берется с плюсом, так как значения arcsin х заключены между и , а в этом промежутке cos у имеет положительные значения.

а также равенство (1), получим:

или

2.

Согласно определению арккосинуса имеем:

Дифференцируя обе части этого равенства по x, считая cos у сложной функцией, найдем:

или

отсюда

Но

**) И здесь радикал берется с плюсом, так как значения arccos х заключены между 0 и ; в этом же промежутке sin у имеет положительные значения.

поэтому

или

*) Здесь радикал берется с плюсом, так как значения arcsin х

К . TZ

заключены между — у и +у,ав этом промежутке cos у имеет

положительные значения.
**) И здесь радикал берется с плюсом, так как значения arccos х заключены между 0 и я; в этом же промежутке sin у имеет положительные значения.

3.

Согласно определению арктангенса имеем:

Дифференцируя обе части этого равенства по х, как и в предыдущих случаях, получим:

или

отсюда

Но

Приняв во внимание равенство (2), получим:

Следовательно,

4.

Для данной функции имеем:

После дифференцирования этого равенства получим:

или

отсюда

Но

Следовательно,

т. е.

Пример:

Продифференцировать функцию

Решение:

Заменим данную сложную функцию двумя простыми:

Согласно формуле (5) имеем:

Для дифференцирования этой функции можно воспользоваться и следующим правилом:

для дифференцирования сложной обратной тригонометрической функции*) нужно сначала взять производную от обратной тригонометрической функции по выражению, стоящему под ее знаком (принимая его за аргумент), а потом от этого же выражения по независимой переменной и результаты перемножить;

*) То-есть обратной тригонометрической функции сложного аргумента.

таким образом, считая и функцией от х, получаем:

Пример:

Продифференцировать функцию .

Решение:

Данная функция — обратная тригонометрическая и притом сложная; применяя вышеуказанное правило для производной аrсsin u, найдем:

Но тоже сложная функция; согласно правилу (7) имеем:

Следовательно,

Пусть неявная функция у задана уравнением

Найдем производную у’, полагая, что она существует. Для этого дифференцируем обе части уравнения (1), применяя правило для производной алгебраической суммы, получим:

Так как ху — произведение переменных величин, то:

Таким образом, равенство (2) примет вид

или

Решая последнее уравнение относительно у’, найдем

Для дифференцирования данной функции можно было бы сначала выразить у через х, а потом уже найти производную от явной функции. В самом деле, из уравнения (1) имеем:

откуда

По внешнему виду этот результат отличается от найденного ранее, но если мы в равенстве (3) подставим значение у, то получим:

Таким образом, результаты дифференцирования в обоих случаях оказались одинаковыми. Однако переход от неявной к явной функции можно делать только в простейших случаях. Встречаются неявные функции, которые обратить в явные очень трудно и даже невозможно. Например, функцию у, заданную уравнением

ху + х = sin у, явно выразить нельзя. Поэтому приходится дифференцировать такие функции как неявные.

Разберем другой пример. Пусть требуется найти производную неявной функции у, заданной уравнением

Применяя правило дифференцирования алгебраической суммы, имеем:

Но сложная функция ( зависит от у, а у зависит от х). По правилу дифференцирования сложной степенной функции имеем:

Следовательно, равенство (4) примет вид

или

откуда

Пусть функция у = f(x) имеет производную у’ = f'(x). Производная от f'(x) по x , если она существует, называется второй производной или производной второго порядка.

Вторую производную функции у = f(x) принято обозначать так:

Пример:

Найти вторую производную функции

Решение:

Пусть тело движется прямолинейно по закону

Мы установили, что скорость v движения тела в данный момент t определяется как производная пути по времени, т. е.

Если тело движется неравномерно, то скорость v с течением времени изменяется и за промежуток времени ät получает приращение . В этом случае величина отношения показывающая изменение скорости в единицу времени, называется средним ускорением в промежутке времени от t до t + .

Положим, что , тогда среднее ускорение

стремится к величине, которая называется ускорением в данный момент времени t. Обозначив это ускорение через j, будем иметь:

Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Пример:

Точка движется прямолинейно по закону

Найти скорость и ускорение точки в момент t = 5.

Решение:

Для определения скорости нужно найти первую производную данной функции при t = 5. Таким образом:

и

Ускорение j равно второй производной функции при t = 5, т. е.

Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения t, значит, движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением.

Дополнение к формулам дифференцирования

Смотрите также:

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Производная частного двух функций (производная дроби).

Заметим, что $ \ (10x \ + \ 6y) \ + \ (6x \ + \ 10y)·\frac{dy}{dx} \ = \ 0 \ \ $ можно рассматривать как линейное уравнение с $ \ \frac{dy}{dx} \ $ как «неизвестное». Итак, если вам даны координаты точки на эллипсе, вы можете вставить их в уравнение и найти $\\frac{dy}{dx}\$ напрямую. (На самом деле вам нужно написать выражение $ \ \frac{-10x-6y}{6x+10y} \ $, только если домашнее задание или экзаменационная задача требуют этого.) Если вам 9 лет0007, учитывая наклон касательной линии и запрашивая точки, в которых происходит этот наклон, вы можете вставить это значение для $ \ \frac{dy}{dx} \ $ в то же уравнение, чтобы получить уравнение для линии, которая пересекает эллипс в этих точках. 2 \ \ = \ \ \frac{40}{16 } \ \ = \ \ \frac{10}{4} $$ $$ \Rightarrow \ \ x \ \ = \ \ \pm\frac{\sqrt{10}}{2} \ \ , \ \ y \ \ = \ \ -\frac{6}{10}· \left(\pm\frac{\sqrt{10}}{2} \right) \ \ = \ \ \mp\frac{3\sqrt{10}} {10} \ \ . $$

[Обратите внимание, что точки касания по горизонтали и вертикали расположены симметрично относительно линии $ \ y \ = \ -x \ \ ; \ $ это потому, что большая ось эллипса лежит на этой линии.

Также, как и следовало ожидать, соотношения $ \ \frac{dy}{dx} \ = \ -\frac{10x+6y}{6x+10y} \ \ $ и $ \ \frac{dx}{dy } \ = \ -\frac{6x+10y}{10x+6y} \ \ $ обратны друг другу.

Чтобы вернуться к предыдущей точке, вертикальные точки касания «делят» эллипс на две части, которые являются кривыми неявной функции $ \ x \ \ . $ Мы можем получить их, применив квадратичную формулу к уравнению эллипса: 92} \ \ . $

Дробное дифференцирование – обзор

РегистрацияВход

Подробно обсуждается концепция дробного дифференцирования и интегрирования, предложенная Капуто и Фабрицио.

Из: Дробные операторы с постоянным и переменным порядком с приложением к геогидрологии, 2018 г.

Абдон Атангана, Седа Игрет Араз, в новой числовой схеме с многочленом Ньютона, 2021 г.

Abstract

Дробное дифференцирование и интегрирование с обобщенным ядром Миттаг-Леффлера были предложены в 2016 году и привлекли внимание многих исследователей из всех научных областей. Было признано, что эти дифференциальные и интегральные операторы обладают многими свойствами, наблюдаемыми в задачах реального мира, например, перекрестным поведением. Обыкновенные дифференциальные уравнения с этими производными очень сложны для аналитического решения, поэтому численные схемы являются адекватными инструментами для решения этих уравнений. Были предложены некоторые числовые схемы с некоторыми преимуществами и недостатками. В этой главе мы используем двухшаговый многочлен Ньютона для получения численной схемы, которая будет использоваться также для решения дифференциальных и интегральных уравнений с дробными производными Атанганы-Балеану.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780323854481000135

Abdon Atangana, в приложении к операторам Geo с постоянными и дробными порядками -Гидрология, 2018

Реферат

В этой главе представлены различные виды дробного дифференцирования и интегрирования. Он начинается с краткого генезиса концепции дробного исчисления, затем представляет концепцию дробного дифференцирования со степенным ядром, известным как производные Римана-Лиувилля и Капуто с дробным порядком, и их свойства. Таким образом, понятие локальной производной дробного порядка представлено с его различными свойствами. Подробно обсуждается концепция дробного дифференцирования и интегрирования, введенная Капуто и Фабрицио. Дробные дифференциальные операторы с ядром Миттаг-Леффлера, введенные Атанганой и Балеану, анализируются вместе с их соответствующими свойствами. Наконец, представлены физическая интерпретация, ограничения и преимущества концепции дробного дифференцирования и интегрирования.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128096703000059

Abdon Atangana, в приложении к операторам Geo с постоянными и дробными порядками -Hydrology, 2018

8.4 Ограничение дробной производной для модели загрязнения подземных вод

Хотя концепции дробной дифференциации и интегрирования кажутся лучшими математическими инструментами для описания движения потока подземных вод внутри геологической формации, называемой водоносным горизонтом, обратите внимание, что эта концепция имеет свои ограничения. Сообщим, что полевые и численные эксперименты по транспорту растворенных веществ через неоднородные пористые и трещинные водоносные горизонты показывают, что движение шлейфов загрязняющих веществ может не иметь постоянного масштабирования; тем не менее, вместо этого переходные диффузионные состояния, то есть, демонстрируют сложную диффузию, такую ​​как супердиффузия, субдиффузия и фиковская диффузия, которые происходят в нескольких транспортных масштабах. Поэтому эти переходы, вероятно, связаны с физическими свойствами геологических образований, например с изменчивостью неоднородности среды. В геологической формации, через которую происходит движение или перенос растворенного вещества, многие возможные механизмы могут быть причиной возникновения, а точнее, перехода между состояниями диффузии. Начнем с так называемой нормальной диффузии, обычно происходящей в определенных пространственно-временных масштабах, которая может переходить или, возможно, переходить из любой другой нефиковской диффузии, связанной со свойствами геологических формаций и трассеров. Дробное броуновское движение предполагается для частиц-примесей в однородных геологических формациях по шкале Дарси или также на больших расстояниях, намного превышающих максимальный масштаб корреляции неоднородности в стационарной геологической формации, что обусловлено теорией центрального предела. Ограничение здесь состоит в том, что для нестационарной геологической формации, тем не менее, приблизительный Фикиан может быть не получен, поскольку характеристики периода ожидания частиц изменяются с масштабом перемещения, как это было изучено в [188, 189]. ] и такая динамическая система называется аномальной диффузией. Другая проблема заключается в супердиффузии, которую можно рассматривать как зависящую от пространства, когда скорость масштабирования может влиять на свойства местного водоносного горизонта, при этом наиболее обычным условием для быстрого переноса является предпочтительный путь потока, к которому может получить доступ загрязняющее вещество. В этом случае можно было бы ожидать, что скорость масштабирования или сила смещения будут либо увеличиваться, то есть, когда поток становится более специфичным на пути растворенного вещества, загрязняющих частиц, либо также уменьшаться, когда низкопроницаемые отложения окружают и разделяют поток, в зависимости, конечно на положение плюма в основной породе и геометрию водоносного горизонта. Последней проблемой является так называемая субдиффузия из-за массообмена, происходящего между зонами или слоями осадконакопления с высокой и низкой проницаемостью, который может зависеть как от времени, так и от пространства. Многие из этих моделей могут описать аналогичный переход от нефиковской к фиковской из-за захвата растворенной частицы загрязняющего вещества в зонах с низкой скоростью. Заметим, что сверхдиффузия, вызванная быстрым движением, и субдиффузия, вызванная массообменом, могли бы происходить одновременно, если бы сосуществовали предпочтительные пути течения и зоны застоя. В этом случае физическая математическая модель должна быть способна точно воспроизвести характеристику не только для каждой супердиффузии или субдиффузии, но и для того и другого, что может быть очень сложно обрабатывать с дробными производными постоянного порядка.

Просмотреть книгу Глава покупки

Читать полная глава

URL: https://www.sciendirect.com/science/article/pii/b9780128096703000084

в математике в науке и инженерном. Линейность

Подобно дифференцированию целого порядка, дробное дифференцирование является линейной операцией:

(2. 176)Dp(λf(t)+µg(t))=λDpf(t)+µDpg(t),

где D ^p обозначает любую мутацию дробного дифференцирования, рассматриваемую в этой книге.

Линейность дробного дифференцирования непосредственно следует из соответствующего определения. Например, для дробных производных Грюнвальда–Летникова, определяемых формулой (2.43), имеем:

0Dtp(λf(t)+μg(t))=lim  h→0nh=t−ah−p∑r=0n(−1)r(pr)(λf(t−rh)+μg(t−rh )) = ΛLim H → 0NH = T -AH -P∑R = 0N (−1) r (pr) f (t -rh)+мклм H → 0nh = t -a -p∑r = 0n (−1) r (pr) g (t -rh) = λAdtpf (t)+µAdtpg (t).

Аналогично, для дробных производных Римана–Лиувилля 9-го порядка0007 p ( k −1 ≤ p < k ), определяемое формулой (2.103), имеем

0Dtp(λf(t)+µg(t))=1Γ(k−p)dkdtk∫at(t−τ)k−p−1(λf(τ)+µg(τ))dτ=λΓ(k −p)dkdtk∫at(t−τ)k−p−1f(τ)dτ+µΓ(k−p)dkdtk∫at(t−τ)k−p−1g(τ)dτ=λaDtpf(t)+ μaDtpg(t).

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www. sciencedirect.com/science/article/pii/S00765300216

-Гидрология, 2018

7.5.2 Единственность решения

Однако нам нужно показать, что решение единственно. Пусть h и h2 — два возможных решения нашей начальной краевой задачи. Затем, используя уравнение (7.66) будем иметь

(7.68)h(r,t)−h′(r,t)=2(1−α)(2−α)M(α)[K(r,t,h )−K(k,t,h′)]+2α(2−α)M(α)∫0t[K(k,t,h)−K(k,t,h′)]ds.

Применяя норму к обеим сторонам, имеем

‖h(r,t)−h′(r,t)‖=‖2(1−α)(2−α)M(α)[K(r ,t,h)−K(r,t,h′)]+2α(2−α)M(α)∫0t[K(r,t,h)−K(r,t,h′)]ds ‖⩽2(1−α)(2−α)M(α)‖K(r,t,h)−K(r,t,h′)‖+2α(2−α)M(α)∫0t ‖K(r,t,h)−K(r,t,h′)‖dс использованием условия Липшица оператора kernelundefinedK⩽2(1−α)L(2−α)M(α)‖h−h′ ‖+2αL(2−α)M(α)∫0t‖h−h′‖ds

Тогда имеем

(7.69)‖h(r,t)−h′(r,t)‖⩽(2(1−α)L(2−α)M(α)+2αL(2−α )M(α))‖h(r,t)−h′(r,t)‖.

Отсюда следует, что ′(r,t)‖⩽0.

Если предположить, что

(1−2(1−α)L(2−α)M(α)+2αL(2−α)M(α))≠0,

, то

‖h(r ,t)−h′(r,t)‖=0.

Отсюда следует, что

h(r,t)=h′(r,t).

Делаем вывод, что решение единственное.

Здесь мы представляем численное решение уравнения. (7.62). Для этого представление первого приближения локальной производной и производных Капуто–Фабрицио показано вместе со вторым приближением.

(7.71)∂S∂x=12[(si+1n+1−si−1n+1)−(si+1n−si−1n)2(Δx)]

(7.72)∫0t∂s∂ zexp⁡(−α1−α(t−z))dz=12∑k=0n(sik+1−sik)di,n,k1

(7.73)di,n,k1=exp⁡(−kα1−α (n−j+1))−exp⁡(−kα1−α(n−j)).

Кроме того,

(7,74)∫0t∂s∂zexp⁡(−α1−α(t−z))dz=12∑k=0n(sik+1−sik)di,n,k2

(7,75 )di,n,k2=exp⁡(−kD(n−j+1))−exp⁡(−kD(n−j)).

Тогда со вторым приближением для локальной производной имеем следующее si−1n)2(∆x)2.

Таким образом, составляя уравнения. (7.76), (7.74), (7.72) и (7.71) в уравнение. (7.62) дает:

(7.77)T((si+1n+1−2sin+1+si−1n+1)+(si+1n−2sin+si−1n)2(∆x)2+1ri(12 [(si+1n+1−si−1n+1)−(si+1n−si−1n)2(∆x)]))=S(12∑k=0n(sik+1−sik)di,n, k1)+DSy(12∑k=0n(sik+1−sik)di,n,k2)

Переставляя, получаем следующее:

(7. 78)(−T(∆x)2−Sdi,n,n12 −DSydi,n,n22)sin+1

(7,79)=(T(∆x)2−Sdi,n,n12−DSydi,n,n22)sin−−1ri(12[(si+1n+1−si −1n+1)−(si+1n−si−1n)2(∆x)])+S(12∑k=0n(βik)di,n,k1)+DSy(12∑k=0n−1(βik )di,n,k2)βik=sik+1−sik.

Приведенную выше рекурсивную формулу можно использовать для численного решения уравнения подземных вод для безнапорного водоносного горизонта с дробной производной Капуто–Фабрицио.

Подземные воды, протекающие в безнапорном водоносном горизонте с дробной производной Атангана-Балеану

В этом разделе поток подземных вод в безнапорном водоносном горизонте рассматривается с использованием вновь установленной дробной дифференциации, основанной на нелокальном и несингулярном ядре. Эта модификация мотивирована тем, что не все природные явления могут быть смоделированы с использованием концепции степенного закона, которая является основным предположением при использовании Капуто и производной Римана–Лиувилля с дробным порядком. Поэтому в этом разделе ядро, основанное на степени x−α, будет заменено обобщенной функцией Миттаг–Леффлера. Важно отметить, что данные, полученные в непосредственной близости от скважины, из которой осуществляется отбор воды для оценки параметров водоносного горизонта, более надежны, чем данные, полученные вдали от скважины. Однако модель, основанная на Капуто и Римане-Лиувилле, имеет сингулярное ядро ​​в начале координат, поэтому она может быть не в состоянии точно воспроизвести наблюдаемые факты. С другой стороны, производная Атанганы-Балеану с дробным порядком имеет в качестве ядра функцию Миттаг-Леффлера, которая имеет хорошее представление в окрестности начала координат, поэтому она может дать четкую и точную информацию о наблюдаемых фактах в окрестности скважины. Здесь пересмотренное уравнение потока подземных вод в пределах безнапорного водоносного горизонта может быть представлено следующим образом:

(7.80)T(∂2s∂r2+∂sr∂r)=S(Dtα0ABC(s))+DSy∫0t∂s∂zexp⁡(−D(t−z))dz,

, где производная по времени заменяется производной Атанганы-Балеану в смысле Капуто. Анализ будет состоять из представления сначала о существовании единственного решения с использованием некоторой теоремы о неподвижной точке, а затем с последующим выводом приближенного решения с использованием некоторого рекурсивного метода. Начнем с существования единственного решения. Отметим, что уравнение (7.80) эквивалентно

(7.81)αAB(α)Γ(α)∫0t(t−y)1−α(T(∂2s∂r2+∂sr∂r)−DSy∫0t∂s∂zexp⁡ (−D(t−z))dz)dy

(7.82)+1−αAB(α)(T(∂2s∂r2∂sr∂r)−DSy∫0t∂s∂zexp⁡(−D(t−z))dz)=Ss(r,t )−Ss(r,0).

Для простоты рассмотрим следующее отображение ))дз.

Просмотр книги Глава Чита

Читать полная глава

URL: https://www.sciendirect.com/science/article/pii/b9780128096703000072

в математике в науке и инженерном. коэффициенты

Для реализации метода дробных разностей вычисления дробных производных необходимо вычислить коэффициенты

(7.22)wk(α)=(−1)k(αk),undefinedk=0,1,2,….

, где α — порядок дробного дифференцирования.

Одним из возможных подходов является использование рекуррентных соотношений

(7.23)w0(α)=1;undefinedwk(α)=(1−α+1k)wk−1(α),undefinedk=1,2,3,…

Этот подход подходит для фиксированного значения α. Это позволяет создать массив коэффициентов, которые можно использовать для дробного дифференцирования различных функций и других подобных повторяющихся операций.

Однако в некоторых задачах (например, при идентификации системы) необходимо найти наиболее подходящее значение α; это означает, что рассматриваются различные значения α, и для каждого конкретного значения α коэффициенты wk(α) необходимо вычислять отдельно. В таком случае рекуррентные соотношения (7.23) не очень подходят. Вместо этого можно использовать метод быстрого преобразования Фурье [105].

Коэффициенты wk(α) можно рассматривать как коэффициенты степенного ряда для функции (1 − z ) ^α :

(7.24)(1−z)α=∑k=0∞(−1)k(αk)zk=∑k=0∞wk(α)zk.

Замена z=e−iφ имеем

(7.25)(1−e−iφ)α=∑k=0∞wk(α)e−ikφ,

и коэффициенты wk(α) выражаются через преобразование Фурье:

(7.26)wk(α)=12πi∫02πfα(φ)eikφdφ, undefinedfα(φ)=(1−e−iφ)α.

Технически коэффициенты wk(α) можно вычислить с помощью любой реализации быстрого преобразования Фурье. Так как в этом случае мы всегда получаем лишь конечное число коэффициентов wk(α) метод быстрого преобразования Фурье всегда следует сочетать с принципом «короткой памяти» (см. раздел 7.3).

Просмотр книги Глава Чита

Читать полная глава

URL: https://www.sciencerect.com/science/article/pii/s00765300265

в математике в науке и технике, 1999 3 9 3

. Теорема единственности как метод решения

В некоторых случаях. Теорему 3.4 можно использовать непосредственно как метод решения дифференциальных уравнений дробного порядка. Мы проиллюстрируем это ниже на двух примерах.

Пример 3.1

Рассмотрим начальную задачу в терминах последовательных дробных производных (обозначения те же, что и в теореме 3.4):

(3.33)0Dtσny(t)=λy(t)

(3.34)[0Dtσk−1y(t)]t=0=bk,       k=1,….,n.

В этом случае мы имеем f ( t, y ) = λ y . В соответствии с доказательством теоремы 3.4 возьмем

(3.35)y0(t)=∑i=1nbitσi−1Γ(σi),

(3.36)ym(t)=y0(t)+λΓ(σi)∫0t(t−τ)σn−1ym− 1 (τ) dτ = y0 (t)+λ0dt — σnym — 1 (t), m = 1,2,3,….

Используя (3.35) и (3.36) и применяя формулу дробного дифференцирования степенной функции (2.117), получаем:

y1(t)=y0(t)+λ 0Dt−σn{∑i=1nbitσi−1Γ(σi)}=y0(t)+λ∑i=1nbitσn+σi−1Γ(σn+σi),y2( t)=y0(t)+λ 0Dt−σny1(t)=y0(t)+λ 0Dt−σn{y0(t)+λ∑i=1nbitσn+σi−1Γ(σn+σi)}=y0(t )+λ∑i=1nbitσn+σi−1Γ(σn+σi)+λ2∑i=1nbit2σn+σi−1Γ(2σn+σi)=∑i=1nbi∑k=02λktkσn+σi−1Γ(kσn+σi),

и по индукции можно показать, что

(3.37)ym(t)=∑i=1nbi∑k=0mλktkσn+σi−1Γ(kσn+σi),       m=1,2,3,….

Принимая предел (3.37) в виде м → ∞, получаем решение задачи (3.33) (3.34):

(3.38)y(t)=∑i=1nbi∑k=0∞λktkσn+σi−1Γ(kσn+σi)=∑i=1nbitσi−1Eσn,σi(λtσn),

, где E _{α ,β} ( z ) — функция Миттаг-Леффлера (см. раздел 1.2). В данном конкретном примере решение (3.38) также может быть получено методом преобразования Лапласа.

Если n = 1 и α ₁ = 1, то начальная задача (3.33)–(3.34) принимает вид

(3.39)y′(t)=λy(t),        y(0)=b1,

и с учетом соотношения (1.57) формула (3.38) дает классическое решение задачи ( 3.39):

y(t)=b1E1,1(λt)=eλt.

Пример 3.2

[4] Рассмотрим следующую начальную задачу в терминах дробных производных Римана–Лиувилля:

(3.40)0Dtαy(t)=tαy(t),        [0Dtα−1y(t)]t=0=b,

где 0 < α < 1.

В данном случае f ( т, у ) = т ^α у . В соответствии с доказательством теоремы 3.4 возьмем

(3.41)y0(t)=btα−1Γ(α),

(3.42)ym(t)=btα−1Γ(α)+1Γ(α)∫0t(t−τ)α−1ταym−1 (τ)dτm=1,2,3….

Используя (3.35) и (3.36) и применяя формулу дробного дифференцирования степенной функции (2. 117), по индукции можно показать, что

ym(t)=btα−1Γ(α)+b∑k=1mΓ(2α)Γ(4α)….Γ(2kα)Γ(α)Γ(3α)….Γ(2kα+α)tα( 2k+1)−1,m=1,2,3….

и принятие предела м → ∞ дает решение:

(3.43)y(t)=btα−1Γ(α)+b∑k=1∞Πj=1kΓ(2jα)Πj=1kΓ(2jα+α)tα(2k+1)−1.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S00765300228

-Гидрология, 2018

12.2 Моделирование с помощью переменных Капуто Порядок

Доказано, что концепция переменного порядка с дифференциацией является очень мощным математическим инструментом для моделирования анонимных диффузионных процессов благодаря их способности включать в математическую модель эффект неоднородности геологической формации, по которой перемещается загрязнение. Для очень сложной системы было показано, что использование концепции дробного дифференцирования с постоянным дробным порядком нельзя применять только при однородной неоднородности. Следовательно, если неоднородность почвы неравномерна, придется использовать очень сложный математический оператор для воспроизведения наблюдаемых фактов в математической формулировке. Таким образом, в этом разделе мы будем заниматься обобщением модели адвективной дисперсии с использованием концепции дифференциальных операторов переменного порядка. Оператор, используемый в этом разделе, имеет смысл Капуто, а также мы будем рассматривать одномерную модель, состоящую из достаточно протяженной неоднородной изотропной пористой среды со стационарным однородным потоком, включающим скорость фильтрации В . Комплексное соединение вводится, начиная с одного конца модели, на этапе времени t0, что означает, что входная концентрация изменяется как экспоненциальная функция времени. Значение этого химического поглощения в любой момент процесса t и на расстоянии х от границы инжекции, допускающей разложение и адсорбцию, можно получить из математического решения следующей системы уравнений [142] (подробнее об этой модели см. в [142]). Рассмотрим

(12.1)D∂2C∂x2−v∂C∂x−λRC=R∂C∂t+f(x,t),

при начальных и граничных условиях:

(12.2)C(x ,0)=0,undefinedC(0,t)=c0exp⁡(−αt),undefinedCx(∞,t)=0.

Для данного уравнения параметр D – коэффициент дисперсии, V – скорость миграции загрязнения в пределах геологической формации, R – замедление, обусловленное свойствами матричной почвы, λ приходится на константу радиоактивного распада, c0 считается начальным входом концентрации, α — положительная константа, и, наконец, f(x,t) — любой источник и сток в системе. С другой стороны, для модели движения загрязнений подземных вод пренебрегается f(x,t), так как предполагается, что в исследуемой системе отсутствует стоковая функция. Следовательно, в этом разделе также пренебрегается функцией стока. Имея в виду, что неоднородность геологической формации может быть включена в математическую формулировку с использованием концепции дифференциации переменного порядка, в этом разделе классическая дифференциация адвективной модели будет заменена дифференциацией переменного порядка в смысле Капуто. И измененное уравнение дается следующим образом:

(12.3)f(x,t)+D∂2C∂x2−v∂C∂x−λRC=RD0α(t,x)C,

при начальных и граничных условиях:

(12.4)C (x,0)=0,не определеноC(0,t)=c0exp⁡(−γt),не определеноCx(∞,t)=0.

В этом уравнении также α(t,x) является непрерывной функцией в (0,1), которую можно измерить по фактам полевых наблюдений. В этой новой модели или модифицированной модели аналитическое решение было введено только в [187]; также здесь представлено существование точного решения.0003

Read full chapter

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128096703000126

In Mathematics in Science and Engineering, 1999

10.8 Fractional Multipoles

Recently N. Энгета [60] предложил определение мультиполей дробного порядка плотности электрического заряда. Понятие мультиполей дробного порядка служит интерполяцией между случаями точечных мультиполей целого порядка, таких как точечные монополи, точечные диполи, точечные квадруполи и т. д. Подход, предложенный Н. Энгетой, основан на дифференцирование дельта-функции Дирака (см. формулу (2.160)) и позволяет сформулировать распределения электрических источников, потенциалы которых получают дробным дифференцированием или интегрированием потенциалов точечных мультиполей целого порядка.

Поскольку термины монополь, диполь, квадруполь, и т. д. связаны со степенью двойки (а именно, 2 ⁰ , 2 ¹ , 2 ² и т. д.), мультиполи дробного порядка называется 2 ^α -полюса.

В трехмерном случае Н. Энгета обнаружил, что потенциальная функция точечного мультиполя с полюсом 2 ^α вдоль оси z , 0 < α < 1, может быть выражена через уравнение Римана-Лиувилля дробная производная с нижним выводом т = -∞:

(10.92)Φ2α,z(x,y,z)=qlα4π∈ −∞Dtα(1×2+y2+z2),

, где q – так называемый электрический монопольный момент, а ∈ – известный физический постоянная (диэлектрическая проницаемость однородного изотропного пространства).

Постоянная, которая принимается в виде л ^α, , где л имеет размерность длины, вводится для получения традиционной размерности результирующей объемной плотности заряда как Кулон/м ³ .

Оценка дробной производной (10.92) дает [60] где P _α ( z ) — функция Лежандра первого рода нецелой степени α [63].

Очевидно, что электростатический потенциал действует на монополь,

Φ1(x,y,z)=q4π∈1×2+y2+z2,

и для диполя

Φ2(x,y,z)=q4π∈cosθx2+y2+z2,  cosθ=zx2+y2+z2,

являются частными случаями функции Φ2α,z(x,y,z) при α = 0 и α = 1.

В этом примере применения дробного исчисления интересно, что рассматривается статический объект, а дробная производная с нижней конечной t = −∞ применяется по отношению к пространственной переменной.

В другой статье [61] Н. Энгета приводит примеры структур, содержащих клинья и конусы, потенциалы которых можно описать как электростатические потенциалы наборов распределений заряда, которые ведут себя как мультиполи дробного порядка. Порядки соответствующих мультиполей дробного порядка зависят от угла клина (в двумерном случае) и от угла конуса (в трехмерном случае). Контуры соответствующих потенциалов аналогичны графикам концентрации напряжений в задачах механики разрушения при наличии особенностей границы. В обоих случаях известное локальное поведение решения вблизи особых точек границы может быть эффективно использовано в процессе численного решения.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S00765300290

L. Zheng, X. Zhang, in Modeling and Analysis of Modern Fluiding Проблемы, 2017

7.6.1 Основное уравнение

Определяющие уравнения несжимаемого обобщенного Олдройда-Б: μ(1+θDβDtβ)A1,

, где T denotes the Cauchy stress tensor, − p I is the indeterminate spherical stress, S is the extra-stress tensor, A ₁  =  L  +  L ^T is первый тензор Ривлина–Эриксена с градиентом скорости L  =  град V , μ динамическая вязкость жидкости, λ и θ – времена релаксации и торможения, α 7

08 и

(7. 163)DαSDtα=DtαS+(V·∇)S−1β-SLT, 7,163

DtβA1+(V·∇)A1−LA1-A1LT,

, в котором Dtα и Dtβ — операторы дробного дифференцирования порядка α и β на основе определения Римана–Лиувилля, определяется как (Miller and Ross, 1993; Samko и др., 1993):

(7,165)Dtp[f(t)]=1Γ(1−p)ddt∫0tf(τ)(t−τ)pdτ,0≤p≤1.

Γ(·) обозначает гамма-функцию. Эта модель сводится к обычной модели Олдройда-Б, когда α  =  β  = 1.

Далее мы определим поле скоростей и дополнительное напряжение вида: y,z,t),0,0),S=S(y,z,t),

где u ( y , z , t ) скорость в x -координатное направление.

Подставляя уравнение (7.166) в (7.162) и с учетом начального условия S ( Y , Z , 0) = 0 (жидкость находится в состоянии покоя до момента T = 0), мы получаем S _YY = S _YY = S _yz  =  S _zz  = 0 (Havlin and Ben-Avraham, 2002; Tan and Masuoka, 2005a) и соответствующие уравнения в частных производных: (1+θDtβ)∂yu(y,z,t),

(7. 168)(1+λDtα)τ2=µ(1+θDtβ)∂zu(y,z,t),

, в котором τ ₁ = S _XY и τ ₂ = S _xz — касательные.

Баланс линейного количества движения в отсутствие объемных сил сводится к (Havlin and Ben-Avraham, 2002): yp=∂zp=0,

, где ρ — постоянная плотность жидкости, а ∂ p /∂ x — градиент давления вдоль x — ось. Исключая τ ₁ и τ ₂ между уравнениями. (7.167) и (7.168) и предполагая наличие постоянного градиента давления в направлении потока, находим определяющее уравнение в виде:

(7.171)(1+λDtα)∂u(y,z,t)∂t =ν(1+θDtβ)(∂2∂y2+∂2∂z2)u(y,z,t)−1ρ(1+λDtα)∂p∂x,

, в котором ν  =  μ / ρ – кинематическая вязкость жидкости.

Посмотреть главуКнига покупок

Читать главу 9 полностью0003

URL: https://www. sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128117538000074

Частичные дроби

Способ «разбиения» дробей, содержащих многочлены.

Что такое частичные дроби?

Мы можем сделать это напрямую:

Вот так:

2 х-2 + 3 х+1 = 2(х+1) + 3(х−2) (х-2)(х + 1)

Который можно упростить с помощью Rational Expressions до:

= 2x+2 + 3x−6 x ² +x−2x−2

= 5x−4 x ² −x−2

… но как нам двигаться в обратном направлении?

Вот что мы собираемся открыть:

Как найти «части», из которых состоит одна дробь
(« частичных дробей »).

Зачем они нам?

Во-первых… зачем они нам?

Потому что каждая неполная дробь на проще .

Это может помочь решить более сложную дробь. Например, это очень полезно в интегральном исчислении.

Разложение на неполные дроби

Итак, позвольте мне показать вам, как это сделать.

Метод называется «Разложение на частичные дроби» и выглядит следующим образом:

Шаг 1: Фактор дна

Шаг 2: Напишите по одной частичной дроби для каждого из этих множителей

Шаг 3: Умножьте на низ, чтобы у нас больше не было дробей

Теперь найдите константы 907 ₁ и A ₂

Замена корней или «нулей» (x−2)(x+1) может помочь:

И у нас есть ответ: 3

3

Это было просто! … почти слишком просто …

… потому что может быть намного сложнее !

Теперь подробно рассмотрим каждый шаг.

Правильные рациональные выражения

Во-первых, это работает только для правильных рациональных выражений, где степень верхней на меньше нижней на .

Степень является наибольшим показателем степени , который имеет переменная.

Если ваше выражение неверно, сначала выполните полиномиальное деление в длину.

Разложение нижнего многочлена на множители

Факторирование нижнего многочлена зависит от вас. См. Факторинг в алгебре.

Но не разлагайте их на комплексные числа… вам может понадобиться остановить некоторые множители на квадратичных (называемых неприводимыми квадратичными числами, потому что любое дальнейшее разложение на множители приводит к комплексным числам):

Пример: (x

² −4)( x ² +4)

• x ² −4 можно разложить на (x−2)(x+2)
• Но х ² +4 делит на комплексные числа, так что не делайте этого

 

Таким образом, лучшее, что мы можем сделать, это:

(x−2)(x+2)(x ² +4)

 

Таким образом, множители могут быть комбинацией

• 5 множителей.
• неприводимые квадратичные множители

Если у вас есть квадратичный множитель, вам необходимо включить эту частичную дробь:

B ₁ x + C ₁ (Ваш квадрат)

Факторы с показателями степени

Иногда вы можете получить множитель с показателем степени, например (x−2) ³ …

Вам нужна частичная дробь для каждого показателя степени из 1 вверх.

Like this:

Example:

1 (x−2) ³

Has partial fractions

A ₁ x−2 + A ₂ (х−2) ² + А ₃ (x — 2) ³

То же самое может также произойти с квадратиками:

Пример:

1 (x ² +2x +3) ²

. :

B ₁ x +C ₁ x ² +2x +3 + B ₂ x +C ₂ (X ^{2 9010 +2 +2 +2 9015 +2 9015 +2 9010 +2 9010 +2 9010 +2 (x 903 2}

 

Иногда использование корней не решает проблему

Даже после использования корней (нулей) основания вы можете получить неизвестные константы.

Итак, следующее, что нужно сделать, это:

Собрать все степени х вместе, а затем решить это как систему линейных уравнений.

 

Боже мой! Это много, чтобы справиться! Итак, пример, который поможет вам понять:

Большой пример, объединяющий все это

Вот хороший большой пример для вас!

x ² +15 (x+3) ² (x ² +3)

• Поскольку (x+3) ² имеет показатель степени 2, требуется два члена (A ₁ и A ₂ ).
• And (x ² +3) является квадратичным, поэтому потребуется Bx + C:

x ² +15 (x +3) ² (x ² +3) = A ₁ x +3 + A x +3 + A0315 2 (x +3) ² + BX +C x ² +3

Теперь умножьте по (x +3) ² (x ² +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3. ) :

x ² +15 = (x+3)(x ² +3)A ₁ + (x ² +3)A ₂ + (x+3) 2 (Bx + C)

На x = −3 стоит ноль (поскольку x+3=0), поэтому попробуем:

(−3) ² +15 = 0 + ( (−3) ² +3) A ₂ + 0

и упростите его до:

24 = 12A ₂

SO ₂ = 2

Дайте нам заменить A ₂ 2:

. Дайте нам заменить A ₂ 2:

.

x ² +15 = (x+3)(x ² +3)A ₁ + 2x ² +6 + (x+3) ² (Bx + C)

Теперь разверните всего:

x ² +15 = (x ³ +3x+3x ² +9)A ₁ + 2x ² +6 + (x ^{3 9)0105 +6x 2 +9x)B + (x 2 +6x+9)C}

Суммировать степени x вместе:

x ² +15 = x ³ (A _{6 +B 1 )+x ² (3A 1 +6B+C+2)+x(3A 1 +9B+6C)+(9A 1 +6+9C)}

Разделить степени и записать как Системы линейных уравнений:

x 3 :		0	=	А 1 +Б
х 2 :		1	=	3А 1 +6В+С+2
х:		0	=	3А 1 +9В+6С
Константы:		15	=	9А 1 +6+9С

Упростите и организуйте аккуратно:

0	=	А 1	+	Б
−1	=	3А 1	+	6Б	+	С
0	=	3А 1	+	9Б	+	6С
1	=	А 1			+	С

Теперь решите.

Вы можете выбрать свой способ решения этого… Решил для начала вычесть 4-е уравнение из 2-го:

0	=	А 1	+	Б
−2	=	2А 1	+	6Б
0	=	3А 1	+	9Б	+	6С
1	=	А 1			+	С

Затем вычесть 2 раза 1-е уравнение из 2-го:

0	=	А 1	+	Б
−2	=			4Б
0	=	3А 1	+	9Б	+	6С
1	=	А 1			+	С

Теперь я знаю, что B = −(1/2) .

Мы куда-то движемся!

И из 1-го уравнения я могу вычислить, что A ₁ = +(1/2) .

И из 4-го уравнения я могу вычислить, что C = +(1/2) .

Окончательный результат:

A 1 =1/2

А 2 =2

Б=-(1/2)

С=1/2

 

Теперь мы можем записать наши дроби:

х ² +15 (х+3) ² (х ² +3) знак равно 1 2(х+3) + 2 (х+3) ² + −x + 1 2(х ² +3)

Фу! Много работы. Но это может быть сделано.

(Примечание: на это у меня ушло почти
час , потому что Пришлось исправлять
2 глупые ошибки на этом пути!)

Резюме

• Начните с Правильных Рациональных выражений (если нет, сначала выполните деление)
• Разложите нижнюю часть на:
  • линейные коэффициенты
  • или «неприводимые» квадратичные множители
• Запишите частичную дробь для каждого множителя (и каждого показателя степени каждого)
• Умножить все уравнение на нижнюю часть
• Решите для коэффициентов по
  • подставляя нули снизу
  • составить систему линейных уравнений (в каждой степени) и решить
• Запиши свой ответ!

 

Воздействие на миомиР с помощью богатой токотриенолом фракции для стимулирования дифференцировки миобластов | Гены и питание

• Исследования
• Открытый доступ
• Опубликовано: 29 ноября 2018 г.

• Азраул Мумтазах Разак ¹ ,
• Шай Циан Хор ¹ ,
• Файзул Джаафар ¹ ,
• Норвахида Абдул Карим ¹ и
• …
• Сюзана Макпол ORCID: orcid.org/0000-0002-5239-6196 ¹  

Гены и питание том 13 , номер статьи: 31 (2018) Процитировать эту статью

• 1886 доступов

• 6 цитирований

• 1 Альтметрика

• Сведения о показателях

Abstract

Background

Некоторые специфичные для мышц микроРНК (myomiR) по-разному экспрессируются во время клеточного старения. Однако роль пищевых соединений в миомиР остается неясной. Это исследование было направлено на выяснение модулирующей роли богатой токотриенолом фракции (TRF) на myomiRs и миогенные гены во время дифференцировки миобластов человека. Миобласты молодых и стареющих скелетных мышц человека (HSMM) обрабатывали 50 мкг/мл TRF в течение 24 часов до и после индуцирования дифференцировки.

Результаты

Индекс слияния и площадь поверхности мышечной трубки были выше ( p  < 0,05) на 3-й и 5-й дни, чем на 1-й день дифференцировки. Старение снижает скорость дифференцировки, о чем свидетельствует снижение как индекса слияния, так и площади поверхности мышечных трубок в стареющих клетках ( p  < 0,05). Лечение TRF значительно увеличивало дифференцировку молодых и стареющих миобластов на 1, 3 и 5 дни. В стареющих миобластах TRF увеличивал экспрессию miR-206 и miR-486 и сниженная экспрессия PTEN и PAX7 . Однако экспрессия IGF1R повышалась во время ранней дифференцировки и снижалась при поздней дифференцировке при обработке TRF. В молодых миобластах TRF способствует дифференцировке путем модулирования экспрессии miR-206 , что приводит к снижению экспрессии PAX7 и усилению IGF1R .

Вывод

TRF потенциально может способствовать дифференцировке миобластов путем модулирования экспрессии myomiR, которые регулируют экспрессию миогенных генов.

История вопроса

Сателлитные клетки, расположенные между базальной пластинкой и сарколеммой, действуют как жизненно важные компоненты ткани скелетных мышц, поскольку обладают способностью к регенерации. Эти сателлитные клетки находятся в состоянии митотического покоя и останавливаются в фазе G ₀ . Эти клетки экспрессируют ограниченное количество генов и белков [1]. В ответ на стресс, такой как повреждение мышц или физиологические изменения, сателлитные клетки активируются и подвергаются миогенезу, который включает ряд процессов [2]. Эти клетки мигрируют к поврежденному участку и удаляются из G9.0315 0 для повторного входа в клеточный цикл. Затем клетки подвергаются пролиферации, дифференцировке и впоследствии сливаются с соседним мышечным волокном, образуя новое мышечное волокно [3]. В этом пролиферирующем состоянии сателлитные клетки известны как миобласты. С возрастом регенеративная способность скелетных мышц постепенно снижается, что приводит к снижению мышечной массы и силы [4]. Это способствует мышечной слабости, вызванной возрастом или травмой, что приводит к дряхлости у пожилых людей, что является одной из основных проблем со здоровьем.

Миогенная программа контролируется различными семействами факторов транскрипции, такими как семейство парных генов box, состоящее из PAX3 и PAX7, и семейство миогенных регуляторов, включающее MYOD1, MYOG, Myf5 и Myf6 [1, 3]. Транскрипционный фактор PAX7 необходим для биогенеза мышечных сателлитных клеток и спецификации линии миогенных предшественников [5]. Функционируя выше семейства MYOD, PAX7 экспрессируется в пролиферирующих миобластах, но быстро подавляется во время дифференцировки. У мышей потеря экспрессии PAX7 приводила к дифференцировке сателлитных клеток в фибробласты вместо миобластов [6]. Большинство активированных сателлитных клеток пролиферируют, подавляют PAX7 и способствуют переходу MYOD к дифференцировке. Различные факторы роста и гормоны, такие как инсулиноподобный фактор роста (IGF) [7], миостатин и фоллистатин [8], факторы, ингибирующие лейкемию [9], факторы роста гепатоцитов и нейрональная синтаза оксида азота участвуют в мышечной гипертрофии [10]. Все эти модуляторы активируют несколько путей, которые модулируют экспрессию миогенных факторов транскрипции.

МикроРНК (миРНК) привлекли огромное внимание и открывают новые возможности для понимания механизма регуляции развития скелетных мышц. miRNAs представляют собой эволюционно консервативные малые РНК, которые были идентифицированы как посттранскрипционные регуляторы для подавления экспрессии генов-мишеней. Подавление экспрессии генов опосредуется связыванием микроРНК с 3′-нетранслируемой областью (UTR) мРНК-мишени [11]. Было обнаружено, что микроРНК участвуют в регуляции различных путей, которые способствуют модулированию нескольких заболеваний, поскольку одна микроРНК может нацеливаться на несколько мРНК. miRNAs экспрессируются в специфических тканях, и те miRNAs, которые специфически экспрессируются в поперечно-полосатых мышцах, известны как myomiRs [12]. Было идентифицировано несколько миомиР, в том числе miR-1 , miR-133a , miR-133b , miR-206 , miR-486 и miR-499 [11]. Каждый myomiR имеет свою собственную специфическую или перекрывающуюся мРНК-мишень, которая способствует пролиферации и дифференцировке миобластов и по-разному экспрессируется во время миогенеза. Во время дифференцировки миобластов повышается экспрессия миР-133b , миР-206 и миР-486 , что приводит к подавлению PAX7 мРНК, которая способствует миогенной дифференцировке [5]. Таким образом, микроРНК играют незаменимую роль в регуляции дифференцировки скелетных мышц.

Выяснение участия миомиР во время дифференцировки сателлитных клеток человека дает текущую информацию о возможных взаимодействиях между факторами транскрипции, миомиР и их мРНК-мишенями, особенно при модулировании пищевыми соединениями. Мы предложили витамин Е в качестве многообещающего агента для модуляции экспрессии миомиР. Витамин Е состоит из α-, β-, γ- и δ-токоферола и α-, β-, γ- и δ-токотриенола, которые являются мощными жирорастворимыми антиоксидантами. Было обнаружено, что добавки витамина Е предотвращают повреждение мышц [13]. Однако молекулярный механизм воздействия витамина Е на здоровье мышц остается неясным. Помимо изомера токоферола, смесь токотриенолов, в частности известная как богатая токотриенолом фракция (TRF), которая менее изучена, показывает лучший эффект по сравнению с одиночным изомером токоферола [14]. TRF обычно извлекают из пальмового масла и состоят из α-токоферола и α-, β-, γ- и δ-токотриенола. Сообщается, что он защищает от окислительного повреждения и подавляет выработку активных форм кислорода (АФК) [15]. Предыдущее исследование показало, что TRF предотвращает репликативное старение клеток миобластов и способствует миогенной дифференцировке, при которой его активность выше, чем у изомера токоферола [16]. Интересно, что другое исследование показало, что TRF предотвращает репликативное старение фибробластов, ингибируя экспрессию miR-34a и увеличение экспрессии CDK4 [17]. Поскольку известно, что TRF модулирует экспрессию микроРНК, это исследование было направлено на выяснение его модулирующей роли в миомиР и миогенных генах во время дифференцировки миобластов человека.

Материалы и методы

Клеточная культура и серийное пассирование

Система клеток Clonetics® Skeletal Muscle Myoblast Cell System, содержащая нормальные человеческие миобласты скелетных мышц (HSMM; каталожный номер CC-2580, партия 0000257384), полученные из четырехглавой мышцы 17 труп женщины в возрасте 1 года, приобретенный в компании Lonza, США. Клетки поддерживали в ростовой среде, среде для роста скелетных мышц-2 (среда SkGM™-2), которая состояла из базальной среды SkBM™-2. Набор SkGM™-2 SingleQuots™ [номер по каталогу. CC-3244, содержащий человеческий эпидермальный фактор роста (hEGF), дексаметазон, L-глутамин, эмбриональную бычью сыворотку (FBS) и гентамицин/амфотерицин B (GA)]. Популяции клеток обрабатывали трипсином, когда они достигали 70-80% слияния. Для пассирования культуральную среду нагревали до 37 °С и высевали клетки при плотности 5000–7500 клеток/см 9 .0104 2 и инкубировали при 37 °C во влажной атмосфере, содержащей 5% диоксида углерода (CO ₂ ). При каждом пассаже число делений рассчитывали как log(N/n)/log 2, где N представляет собой количество клеток во время пассажа, а n представляет собой количество первоначально высеянных клеток. Клетки были разделены на 2 группы: молодые клетки с удвоением популяции 14 (MPD 14) и стареющие клетки с удвоением популяции 21 (MPD 21) [18].

Индукция дифференцировки

Среду для дифференцировки готовили путем добавления 2% лошадиной сыворотки к среде DMEM-F12. Для индуцирования дифференцировки обе группы клеток высевали при плотности 20 000 клеток/см 9 . 0104 2 в 24-луночных полистироловых планшетах для культивирования клеток (Thermo Fisher™ Nunc™, Waltham, США) и инкубировали в течение ночи в питательной среде в инкубаторе для культивирования клеток (37 °C, 5% CO ₂ ). На следующее утро среду для роста заменили средой для дифференцировки, а в группах, получавших TRF, как молодые, так и стареющие клетки обрабатывали группами TRF в дозе 50 мкг/мл) [18]. Затем культуры инкубировали в течение 5 дней.

Определение миогенной чистоты

Миогенную чистоту культур контролировали путем определения экспрессии десмина, белка цитоскелета, который экспрессируется только в миогенных клетках, но не в фибробластах. Количество десмин-позитивных клеток, представленное в процентах от общего числа ядер, определяли как миогенную чистоту культуры клеток, и подсчитывали не менее 500 клеток. Иммуноцитохимию проводили с использованием антител, специфичных к десмину, в разведении 1:50 (клон D33; DAKO, Дания). Клетки промывали × 1 фосфатно-солевым буфером (PBS) и фиксировали 100% этанолом в течение 10 мин. Фиксирующий агент удаляли путем трехкратной промывки × 1 PBS в течение 5 мин. Сайты неспецифического связывания блокировали 1% FBS, разведенным в PBS, в течение 30 мин. Затем клетки инкубировали с первичными антителами против десмина. Специфическое связывание антител определяли с помощью Alexa Fluor 488 (Invitrogen, США), непосредственно связанного со вторичным антителом в разведении 1:500. Ядра выявляли флуоресцентно методом Hoechst (Sigma, США) в разведении 0,0001% с / с . Все изображения были оцифрованы с помощью программного обеспечения ImageJ.

Количественное определение площади поверхности миотрубочек и миоядер

Оценивали положительные флуоресцентные области пяти случайно выбранных полей из трех отдельных экспериментов. Для каждой обработки использовали среднюю площадь необработанной группы для расчета процентного увеличения или уменьшения площади мышечных трубочек.

Количественное определение индекса слияния

Для расчета индекса слияния подсчитывали количество ядер, включенных в мышечные трубки (> 2 ядер), и определяли отношение этого числа к общему количеству ядер.

Подготовка и обработка TRF

В этом исследовании использовали Gold Tri E 70 (Sime Darby Bioganic Sdn. Bhd., Малайзия). Этот Gold Tri E 70 состоит из 25% α-токоферола и 75% токотриенола. Кроме того, ВЭЖХ-анализ Gold Tri E 70 показал, что он состоит из 173,6 мг/г α-токоферола, 193,4 мг/г α-токотриенола, 26,2 мг/г β-токотриенола, 227,7 мг/г γ-токотриенола и 98,2 мг/мг δ-токотриенол. Исходный раствор TRF готовили в темноте путем растворения 1 г Gold Tri E 70 (Sime Darby Bioganic Sdn. Bhd., Малайзия) в 1 мл 100% этанола (1:1) и хранили при - 20 °C в течение более 1 месяца. TRF активировали путем инкубации 45 мкл исходного раствора TRF (1 г/1 мл) с 60 мкл FBS в течение ночи при 37 °C. Чтобы приготовить TRF в концентрации 50 мкг/мл, 9К активированному TRF добавляли 0 мкл DMEM с 10% FBS и 105 мкл 100% этанола, после чего добавляли 600 мкл смеси, содержащей FBS и 100% этанол (1:1). Раствор TRF (50 мкг/мл) готовили с использованием культуральной среды. Миобласты обрабатывали 50 мкг/мл TRF в течение 24 ч, а необработанные миобласты инкубировали со средой SKGM-2 (Lonza, США) для анализа пролиферации и со средой DMEM-F12 (Lonza, США) для анализа дифференцировки. Серия титрований доз, проведенная в предыдущем исследовании, показала, что обработка 50 мкг/мл TRF в течение 24 часов приводит к наибольшему проценту жизнеспособных молодых и стареющих миобластов [16]. Кроме того, клетки миобластов, используемые в настоящем исследовании, аналогичны клеткам в нашем предыдущем исследовании [16]. Среду как для необработанных, так и для TRF-клеток меняли одновременно, и обе группы клеток собирали в один и тот же день.

Дизайн праймеров

Прямые праймеры для микроРНК были разработаны в соответствии с последовательностями микроРНК, перечисленными в базе данных miRBase (http://www.mirbase.org). Для miR-486 для синтеза прямого праймера была выбрана форма miR-486-5p . В таблице 1 показаны последовательности прямых праймеров для проверенных микроРНК. Праймеры для человека GAPDH , PAX7 , IGF1R и PTEN были разработаны из перечисленных баз данных NIH GenBank с использованием программного обеспечения Primer 3 и обработаны последовательностями в базе данных GenBank для подтверждения специфичности. Эффективность и специфичность каждого набора праймеров подтверждали оценкой профиля плавления. Последовательности праймеров для количественного анализа экспрессии генов показаны в таблице 2.

Таблица 1 Последовательности праймеров проверенных микроРНК

Полная таблица

Таблица 2 Последовательности праймеров для количественного анализа экспрессии генов

Полная таблица

Экстракция РНК Центр молекулярных исследований, Цинциннати, США) в соответствии с инструкциями производителя. К каждому экстрагированному образцу добавляли полиакриловый носитель (Molecular Research Center, Cincinnati, USA) для осаждения суммарной РНК. Осадок экстрагированной РНК промывали 75% этанолом и сушили перед растворением в дистиллированной воде без РНКазы. Аликвоты тотальной РНК хранили при температуре - 80 °C сразу после экстракции. Выход и чистоту выделенной суммарной РНК определяли нанокапельном спектрофотометре (Thermo Scientific, США).

qRT-PCR в реальном времени

Для количественного анализа микроРНК сначала выполняли обратную транскрипцию (ОТ) с 10 нг общей РНК с использованием набора Taqman microRNA Reverse Transcription Kit (Applied Biosystems, США) в соответствии с инструкциями производителя. Затем проводили реакции ПЦР для количественного определения уровней экспрессии миомиР (миР-206, миР-133b и миР-486) ​​с использованием Taqman Universal PCR Master Mix No AmpErase UNG (Applied Biosystems, США) в соответствии с инструкциями производителя и анализа микроРНК Taqman. набор (Applied Biosystems, США) использовали для выявления интересующих миомиР. ПЦР-амплификацию проводили на приборе iQ5 Multicolor Real-Time PCR iCycler (Bio-Rad, США) при 9{\ mathrm {Ct} \ \ mathrm {value} \ \ mathrm {of} \ \ mathrm {RNU} 6 \ mathrm {B} — \ mathrm {Ct} \ \ mathrm {value} \ \ mathrm {of} \ \ mathrm{miRNA}} $$

Экспрессию генов PAX7 , IGF1R и PTEN анализировали с использованием набора KAPA SYBR Fast One Step qRT-PCR kit (KAPA Biosystems, США) и iQ5 Multicolor Real-Time PCR iCycler ( Био-Рад, США). Каждая смесь qRT-PCR содержала 11,7 мкл воды, свободной от нуклеаз, 10 мкл мастер-микса KAPA SYBR Fast, 0,3 мкл фермента RT, 1 мкл 100 мкМ прямого праймера, 1 мкл 100 мкМ обратного праймера и 1 мкл общей РНК (50–100 нг). Реакции проводили на iQ5 Multicolor Real-Time PCR iCycler (Bio-Rad, США) при 42°C в течение 5 мин и 9{\ mathrm {Ct} \ \ mathrm {value} \ \ mathrm {of} \ \ mathrm {GAPDH} — \ mathrm {Ct} \ \ mathrm {value} \ \ mathrm {of} \ \ mathrm {} \ \ mathrm{gene}\ \mathrm{of}\ \mathrm{interest}} $$

Определение профиля клеточного цикла

Необработанные контрольные и обработанные TRF миобласты субкультивировали в 10 см ² чашках для тканевых культур. После 24 часов инкубации клетки собирали и готовили для анализа клеточного цикла с использованием набора реагентов ДНК CycleTEST PLUS (Becton Dickinson, США) в соответствии с инструкциями производителя. Состояние клеточного цикла анализировали на проточном цитометре FACS Calibur (Becton Dickinson, США) с использованием иодида пропидия (PI) в качестве специфического флуоресцентного красителя. Для каждого образца измеряли интенсивность флуоресценции PI 15000 клеток.

Статистический анализ

Данные представлены в виде среднего ± SD. Эксперименты проводили не менее трех раз, данные анализировали с помощью критерия Стьюдента t и однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA). Значимость была принята на уровне 90 691 p 90 692  < 0,05.

Результаты

Влияние TRF на морфологию и миогенную чистоту миобластов скелетных мышц

Молодые миобласты (PD 14) имели нормальную веретенообразную форму с круглыми ядрами (рис. 1a, b, c), в то время как стареющие миобласты были крупнее и уплощеннее и состоял из выступающих промежуточных филаментов (рис. 1г, д). Стареющие миобласты проявляли различные морфологические особенности при обработке TRF. Большинство клеток имели веретенообразную форму (рис. 1f), что напоминало молодые миобласты, обработанные TRF (рис. 1c). Миогенность миобластов составила более 90% в обеих группах лечения (таблица 3). Сравнение между различными группами лечения показало, что миогенность была одинаковой во всех группах лечения.

Рис. 1

Морфология молодых и стареющих миобластов для контрольных и обработанных TRF клеток. Наблюдение проводили в условиях фазово-контрастной ( а , d ) и флуоресцентной микроскопии ( b , с , е , f ) (увеличение × 40). Клетки миобластов окрашивали антителом против десмина (зеленый), а ядра окрашивали Hoechst (синий). Контрольные стареющие миобласты казались более крупными и плоскими с наличием более заметных промежуточных филаментов (9).0746 d , e ) по сравнению с контрольными молодыми миобластами ( a , b ). Некоторые стареющие миобласты, обработанные TRF ( f ), оставались веретенообразными, что напоминало молодой контроль, в то время как некоторые демонстрировали более плоскую и крупную морфологию. В молодых миобластах, обработанных TRF ( c ) морфологических изменений не наблюдалось

Таблица 3. Миогенная чистота миобластов в культуре

Полноразмерная таблица

0049

Индекс слияния (рис.  2) и площадь поверхности мышечной трубки (рис. 3) были больше на 3-й и 5-й дни, чем на 1-й день дифференцировки. Старение вызывает значительное снижение скорости дифференцировки стареющих миобластов на 3-й и 5-й дни по сравнению с молодыми миобластами (контроль) ( p  < 0,05), что наблюдается по уменьшению индекса слияния и площади поверхности миотрубочек. Лечение TRF значительно увеличивало скорость дифференцировки с увеличением индекса слияния и площади поверхности миотрубочек на 1, 3 и 5 день как в молодых, так и в стареющих миобластах (9).0691 р  < 0,05).

Рис. 2

Влияние TRF на дифференцировку миобластов. Индекс слияния измеряли как индекс дифференцировки. ^A обозначает P <0,05 по сравнению с молодым контролем, ^B P <0,05 по сравнению с контролем старения, ^C P <0,05 по сравнению с молодым обработкой, ^D 1. 1-й день того же лечения и ^e p  < 0,05 по сравнению с 3-м днем ​​того же лечения. Данные представлены как среднее ± SD, n = 3

Изображение полного размера

Рис. 3

Влияние TRF на дифференцировку миобластов, измеренное по площади поверхности миотуба. ^A обозначает P <0,05 по сравнению с молодым контролем, ^B P <0,05 по сравнению с контролем старения, ^C P <0,05 по сравнению с молодым обработкой, ^D 1. 1-й день того же лечения и ^e p  < 0,05 по сравнению с 3-м днем ​​того же лечения. Данные представлены как среднее ± SD, n = 3

Изображение полного размера

Обработка TRF модулирует экспрессию myomiR

Изменения экспрессии микроРНК наблюдались во всех группах миобластов. Экспрессия miR-133b была значительно снижена в стареющих миобластах во время фазы пролиферации (рис. 4a). Однако наблюдалось значительное увеличение экспрессии miR-133b в молодых миобластах при обработке TRF ( p  < 0,05). Во время фазы дифференцировки miR-133b 9Экспрессия 0692 была снижена в стареющих миобластах ( p  < 0,05). Не наблюдалось значительных изменений в экспрессии miR-133b , когда молодые и стареющие миобласты обрабатывали TRF во время дифференцировки по сравнению с контрольной группой (рис. 4b).

Рис. 4

Влияние TRF на экспрессию микроРНК при пролиферации и дифференцировке молодых и стареющих миобластов. Экспрессия miR-133b ( a , b ), miR-206 ( c , d ) и miR-486 ( e , f ) в молодых контрольных миобластах, TRF-обработанных молодых миобластах, стареющих контрольных миобластах. ^a Обозначает p  < 0,05 по сравнению с молодым контролем, ^b p  < 0,05 по сравнению со стареющим контролем и ^c p  0,5 по сравнению с молодым Foбластом, обработанным моими TRобластами  0,5 по сравнению с молодыми Данные представлены в виде относительного значения экспрессии (REV), нормализованного до Экспрессия RNU6B (среднее  ± SD, n = 3)

Полноразмерное изображение

Экспрессия miR-206 была значительно снижена в стареющих миобластах во время фазы пролиферации (рис. 4c). После обработки TRF экспрессия miR-20 6 значительно увеличилась в молодых миобластах ( p  < 0,05). Во время фазы дифференцировки экспрессия miR-206 в стареющих миобластах значительно снизилась ( p  < 0,05). Однако при лечении TRF экспрессия miR-206 значительно увеличивалась в молодых миобластах с 1-го по 3-й день фазы дифференцировки и увеличивалась только в 1-й день фазы дифференцировки в стареющих миобластах (рис. 4d).

Экспрессия miR-486 была значительно снижена в стареющих миобластах во время фаз пролиферации и дифференцировки (рис. 4e, f). Однако при обработке TRF наблюдалось значительное увеличение экспрессии miR-486 в стареющих миобластах в фазе пролиферации и на 1-й и 5-й дни в фазе дифференцировки (9).0691 р  < 0,05).

Обработка TRF модулирует экспрессию генов-мишеней и вышестоящих регуляторов миомиР

Стареющие миобласты показали значительное снижение экспрессии PAX7 во время фазы пролиферации ( p  < 0,05) (рис. 5a). После обработки TRF экспрессия PAX7 значительно увеличивалась в молодых миобластах во время пролиферации. Во время фазы дифференцировки наблюдалось значительное снижение экспрессии PAX7 в стареющих миобластах (9).0691 р  < 0,05). Обработка TRF во время фазы дифференцировки вызывала значительное снижение экспрессии PAX7 в молодых миобластах на 3 и 5 день и на 1 и 5 день в стареющих миобластах (рис. 5b).

Рис. 5

Влияние TRF на экспрессию нижестоящих генов. Экспрессия PAX7 ( A , B ), PTEN ( C , D ) и IGF1 R ( E , FRISED My , , ). миобласты, стареющие контрольные миобласты и стареющие миобласты, обработанные TRF. ^a Обозначает p  < 0,05 по сравнению с молодым контролем, ^b p  < 0,05 по сравнению со стареющим контролем и ^c p  < 0,05 обработанных миобластов по сравнению с молодыми. Данные представлены в виде относительного значения экспрессии (REV), нормализованного к экспрессии GAPDH (среднее значение ± SD, n = 3)0691 p  < 0,05) (рис. 5в, г). Обработка TRF вызывала значительное снижение экспрессии PTEN в молодых и стареющих миобластах во время фазы пролиферации. Во время фазы дифференцировки обработка TRF снижала экспрессию PTEN в стареющих миобластах в 1-й день дифференцировки (рис. 5d).

Стареющие миобласты демонстрируют значительно сниженную экспрессию IGF1R во время фазы пролиферации и на 3-й день фазы дифференцировки ( p  < 0,05) (рис. 5д, е). Обработка TRF вызывала значительное увеличение экспрессии IGF1R в молодых и стареющих миобластах во время фазы пролиферации. Во время фазы дифференцировки обработка TRF вызывала значительное увеличение экспрессии IGF1R в стареющих миобластах на 1-й день, которая снижалась на 5-й день (рис. 5f).

Влияние TRF на профиль клеточного цикла

Анализ профиля клеточного цикла в день 0 показал, что популяция миобластов в G ₀ /G ₁ была значительно выше, а в фазе S популяция стареющих клеток была значительно ниже, чем в молодых клетках ( p  < 0,05) (рис. 6). Лечение TRF вызвало значительное снижение доли стареющих миобластов в фазе G ₀ /G ₁ и значительное увеличение доли молодых и стареющих миобластов в фазе S ( p  < 0,05) (рис. . 6д).

Рис. 6

Профиль клеточного цикла молодых и стареющих миобластов в день 0 дифференцировки. Проточная цитометрия анализ прогрессии клеточного цикла молодых контрольных миобластов ( a ), молодых миобластов, обработанных TRF ( b ), стареющих контрольных миобластов ( c ) и стареющих миобластов, обработанных TRF ( d ). Количественный анализ развития клеточного цикла молодых и стареющих миобластов ( и ). ^a Обозначает p  < 0,05 по сравнению с молодым контролем. ^b p  < 0,05 по сравнению со стареющим контролем и ^c p  < 0,05 по сравнению с молодой обработанной группой. Данные выражены в виде среднего ± SD ( n  = 6)

Полноразмерное изображение

На 1-й день дифференцировки процент миобластов в фазе G ₀ /G ₁ был значительно выше в стареющих клетках, чем что в молодых клетках ( p  < 0,05), тогда как процент клеток в S и G ₂ /M фазы было значительно снижено в обеих группах миобластов (рис. 7). Сравнение профиля клеточного цикла между 0-м и 1-м днями дифференцировки показало достоверную разницу в процентном содержании клеток в фазах G ₀ /G ₁ , S и G ₂ /M в обеих группах ( пк).  < 0,05).

Рис. 7

Профиль клеточного цикла молодых и стареющих миобластов в 1-й день дифференцировки. Проточная цитометрия анализ прогрессии клеточного цикла молодых контрольных миобластов ( a ), обработанные TRF молодые миобласты ( b ), стареющие контрольные миобласты ( c ) и стареющие миобласты, обработанные TRF ( d ). Количественный анализ развития клеточного цикла молодых и стареющих миобластов ( и ). ^a Обозначает p  < 0,05 по сравнению с молодым контролем и ^d p  < 0,05 по сравнению с тем же лечением в 0-й день дифференцировки. Данные выражены как среднее ± SD ( n  = 6)

Увеличенное изображение

Обсуждение

Целостность клеточной структуры миобластов, а также формирование миотрубок поддерживают цитоскелет, клеточная мембрана и внеклеточный матрикс (ВКМ) [21]. Молодые миобласты морфологически представляют собой веретенообразные и удлиненные структуры. Напротив, стареющие миобласты проявляют морфологические изменения с уплощенной структурой и большей цитоплазмой. После индукции дифференцировки миобласты сливаются вместе, образуя многоядерную мышечную трубку. Молодые миобласты образуют миотубы с крупными разветвлениями, тогда как стареющие миобласты образуют более мелкие миотубы [16]. По мере старения клеток уровень активных форм кислорода (АФК) пропорционально увеличивается. Кроме того, уровень антиоксидантов обратно пропорционален уровню АФК на протяжении всего процесса старения. Накопление АФК в клетках вызывает окислительный стресс, который вызывает окислительное повреждение макромолекул, таких как ДНК, РНК, белки и липиды [22]. Следовательно, некоторые пути и клеточный метаболизм изменяются, что приводит к изменениям в цитоскелете, клеточной мембране и ВКМ [23], что приводит к фенотипическим изменениям в стареющих миобластах, как наблюдается в настоящем исследовании. Следовательно, предполагается, что введение антиоксидантов в измененную систему уменьшит окислительный стресс, тем самым задержав старение миобластов.

Витамин Е, особенно TRF, играет ключевую роль в удалении пероксильных радикалов и предотвращает перекисное окисление макромолекул, тем самым улучшая окислительный статус клеток [24]. Витамин Е состоит из двух изомеров: токоферола и токотриенола. Сообщается, что токотриенол обладает лучшей антиоксидантной активностью и эффективно снижает окислительный стресс в липофильной среде [25]. В этом исследовании лечение TRF улучшило морфологическую структуру стареющих миобластов и показало черты, сходные с молодыми миобластами. Предыдущее исследование показало, что обработка TRF стареющих фибробластных клеток изменяет морфологическую структуру с образованием молодых фибробластов [26]. Точно так же в предыдущем исследовании Khor et al. сообщалось, что стареющие миобласты, обработанные TRF, по-видимому, имеют сходные морфологические особенности с молодыми миобластными клетками [16]. Это наблюдение может быть связано с модуляцией экспрессии белка, который участвует в поддержании клеточной структуры. Матриксная металлопротеиназа (ММР), ответственная за деградацию проколлагена, высоко экспрессируется в стареющих клетках. Этот белок изменяет поддержание клеточной структуры в стареющих клетках [27]. Однако TRF увеличивает экспрессию проколлагена в стареющих фибробластных клетках [28], тем самым улучшая морфологическую структуру стареющих клеток, как это наблюдалось в этом исследовании.

Гомеостаз между пролиферацией и дифференцировкой клеток миобластов во время миогенеза жестко регулируется для предотвращения неконтролируемой пролиферации [29]. В настоящем исследовании процент популяции стареющих клеток миобластов был выше в фазе G ₀ /G ₁ и ниже в фазе S, чем у молодых клеток, во время пролиферации. Аналогичный результат наблюдался и в дифференцированных стареющих миобластах. Интересно, что обработка TRF как пролиферирующих молодых, так и стареющих клеток миобластов усиливала прогрессирование клеточного цикла, поскольку клеточная популяция в G ₀ /G ₁ и S фазы уменьшены и увеличены соответственно. Однако во время индукции дифференцировки TRF способствует прерыванию клеточного цикла в молодых клетках миобластов. Как и у других соматических клеток, способность клеток миобластов к пролиферации ограничивается репликативным старением из-за прогрессирующей потери длины теломер [30]. Чтобы предотвратить прогрессирование опухоли, контрольные точки клеточного цикла действуют как барьеры для предотвращения репликации поврежденной ДНК, в результате чего клетки останавливаются на уровне G9.0315 0 /G ₁ фаза [29].

Все контрольные точки клеточного цикла регулируются несколькими циклин-зависимыми киназами (CDK) и циклиновыми белками. В зависимости от раздражителей или клеточной среды, таких как реакция на повреждение ДНК (укорочение теломер), ингибиторы CDK, такие как p16 или p21, экспрессируются для ингибирования образования комплекса CDK/циклин, тем самым останавливая прогрессирование клеточного цикла на уровне G ₀ /G _{. 1} фаза [31]. Предыдущие исследования показали, что обработка стареющими фибробластными клетками TRF повышает экспрессию теломеразы и увеличивает удлинение теломер [26]. Кроме того, обработка стареющих клеток γ-токотриенолом подавляет p16, циклин D1 и гипофосфорилированный Rb, все из которых участвуют в остановке клеточного цикла [32]. Таким образом, постулируется, что TRF модулирует экспрессию теломеразы, увеличивает экспрессию белков, участвующих в клеточном цикле, для предотвращения остановки клеточного цикла и способствует пролиферации миобластов. Лечение TRF увеличивало процент клеток миобластов в G9.0315 0 /G ₁ Фаза 1-го дня индукции дифференцировки, указывающая на стимуляцию остановки клеточного цикла и ингибирование клеточной пролиферации для возникновения дифференцировки. Это может быть связано с TRF, который зависит от клеточной среды или стимулов. Предыдущие исследования показали, что γ- и δ-токотриенолы стимулируют дифференцировку остеобластов, которые, в свою очередь, усиливают формирование кости [33]. Кроме того, предыдущее исследование показало, что комбинированная активность TRF намного лучше способствует дифференцировке миобластов, чем однократное лечение α-токотриенолом [16]. Однако полное понимание механизма TRF в стимулировании пролиферации и дифференцировки миобластов остается неуловимым.

На молекулярном уровне регуляция пролиферации и дифференцировки клеток миобластов в процессе миогенеза связана с несколькими генами и миомиР (миР) [11]. Во время обновления клеток покоящиеся сателлитные клетки усиливают экспрессию PAX7 и подавляют экспрессию его целевых генов миогенного регуляторного фактора (MRF), MYOD1, и MYOG. Экспрессия PAX7 способствует повторному включению покоящихся сателлитных клеток в ход клеточного цикла и усиливает пролиферацию миобластов [6]. В настоящем исследовании выражение 9Ген 0691 PAX7 был увеличен в дифференцированных миобластах, и эта повышенная экспрессия оставалась постоянной после нескольких дней индукции дифференцировки. Однако обработка TRF увеличивала экспрессию гена PAX7 во время пролиферации и снижала его экспрессию во время дифференцировки. Сообщалось, что повышенная экспрессия PAX7 с последующим подавлением ингибиторов миогенеза Id2 и Id3 повышает экспрессию MYOD1 и MYOG [34]. MYOD1 непосредственно вовлечен в активацию экспрессии p21, циклина D3 и Rb, которые имеют решающее значение для необратимого выхода клеток миобластов из G 9 в клеточном цикле.0315 0 /G ₁ в фазе дифференцировки и терминальной фазе дифференцировки [35].

Экспрессия PAX7 регулируется миР-206 и миР-486. По мере увеличения экспрессии MYOD1 этот транскрипционный фактор, который имеет сайт связывания в промоторных областях miR-206 и miR-486 , облегчает экспрессию этих двух myomiR [5]. Интересно, что обработка TRF повышала экспрессию miR-206 во время пролиферации, и эта экспрессия дополнительно повышалась во время дифференцировки. Еще один миомиР, miR-486 повышалась при обработке TRF в пролиферирующих и дифференцированных миобластах. Напротив, обработка TRF не повышала экспрессию miR-486 во время дифференцировки. Предыдущие исследования показали, что супрессия гена PAX7 с помощью miR-206 и miR-486 усиливала приверженность клеток миобластов к дифференцировке [5]. Однако сверхэкспрессия PAX7 способствует неконтролируемой пролиферации [36]. Следовательно, в настоящем исследовании TRF может играть роль в поддержании пролиферации и дифференцировки миобластов, модулируя экспрессию гена PAX7 , miR-206 и miR-486 , не нарушая гомеостаза миогенеза.

Различные модуляторы, которые регулируют активность сателлитных клеток и используют различные сигнальные пути, включая путь IGF1R/P13K, контролируют миогенез. Этот путь опосредует функции IGF, поскольку и IGF-1, и IGF-2 связываются с IGF1R. IGF1R был подавлен на поздней стадии дифференцировки из-за присутствия ответного элемента (MRE) miR-133 , расположенного в 3’UTR [9]., 37]. Это могло бы объяснить прямое влияние miR-133 на IGF1R как на негативный регулятор PI3K/Akt. miR-133 подавляет фосфорилирование Akt посредством ингибирования белка IGF1R, который отвечает за метаболизм глюкозы, пролиферацию клеток и апоптоз [37, 38]. Снижение фосфорилирования Akt наблюдалось во время дифференцировки миобластов C2C12. miR-133 важен для регулирования и балансировки активности IGF в мышечных клетках. Было обнаружено, что IGF1R не регулируется при рабдомиосаркоме (RMS), где его экспрессия постоянно увеличивалась, и, следовательно, предполагается, что он является первоначальным фактором, ответственным за онкогенную трансформацию мышечных клеток [39].]. Длительная и последовательная экспрессия IGF1R приводила к усилению пролиферации и предотвращению фазы дифференцировки [37].

Активация Akt также активирует mTOR и ингибирует GSK3B, негативный регулятор синтеза белка и роста мышц. PTEN представляет собой фосфатазу PI3K, которая деактивирует Akt, ингибируя рост и выживание мышечных клеток [40]. Снижение экспрессии PTEN стимулирует путь PI3K/Akt для продвижения и экспрессии миогенных факторов транскрипции, таких как MYOD1, MYOG и Myf5, во время пролиферации и дифференцировки миобластов. В предыдущем исследовании сообщалось о снижении экспрессии miR-486 при мышечной дистрофии Дюшенна [41] и старении [42]. miR-486 действует как медиатор для MYOD1 и регулирует путь PI3K/Akt. miR-486 транскрибируется с интрона гена Ank1 , состоящего из 39а экзона, кодирующего специфичный для мышц белок Ank1, который соединяет саркомер с саркоплазматическим ретикулумом [43]. Экспрессия транскрипта гена Ank1 контролируется промоторным сайтом, содержащим два консервативных Е-бокса, взаимодействующих с MYOD [43]. Увеличение экспрессии miR-486 TRF показывает, что TRF обладает способностью задерживать фенотип старения и саркопению во время старения.

В настоящем исследовании также было показано, что лечение TRF увеличивает экспрессию myomiR в молодых и стареющих миобластах как в фазах пролиферации, так и в фазах дифференцировки. Таким образом, TRF может прямо или косвенно играть роль в биогенезе миомиР, который включает несколько процессов [11]. Первоначально myomiR транскрибируется в ядре как первичный транскрипт или pri-myomiR со структурой ствол-петля. Здесь процесс транскрипции модулируется различными транскрипционными факторами. Затем pri-myomiR подвергается процессингу с образованием pre-myomiR путем удаления обеих концевых цепей. Позже в цитоплазме петля pre-myomiR отщепляется и раскручивается геликазой с образованием одноцепочечной зрелой myomiR. В эти процессы модификации вовлечены различные белки, и они могут быть одной из прямых или косвенных мишеней TRF. На транскрипционном уровне miR-206 регулируется транскрипционным фактором FOXO3a [11]. Предыдущее исследование показало, что лечение TRF увеличивает экспрессию гена FOXO3a [44]. В другом открытии также сообщалось, что γ- и δ-токотриенол увеличивали экспрессию гена FOXO3a [45]. Следовательно, предполагается, что TRF модулирует биогенез myomiR посредством регуляции его фактора транскрипции.

Поскольку наблюдалось снижение экспрессии myomiRs в стареющих миобластах, мы предложили другой механизм TRF-опосредованной регуляции myomiRs, который может быть связан с его эффектом удаления радикалов. Фермент RNase III, Dicer, отвечает за отщепление петли от pre-miRNA (главный шаг в процессе биогенеза) с образованием двухцепочечных зрелых miRNAs [11]. Этот фермент ингибируется различными стрессорными факторами, в том числе АФК, которые накапливаются при старении [46]. Другое открытие показало, что экспрессия Dicer снижалась с повышенным уровнем окислительного стресса и повреждения ДНК. Поскольку TRF эффективно снижает уровни ROS, особенно в стареющих клетках, предполагается, что TRF модулирует myomiRs путем снижения окислительного стресса, что, в свою очередь, повышает активность и экспрессию Dicer. Следовательно, TRF может быть вовлечен в биогенез myomiRs посредством модуляции экспрессии Dicer. Следовательно, чтобы проверить специфичность ответа TRF на экспрессию Dicer, необходимы дальнейшие исследования с использованием других антиоксидантов или путем ингибирования функции miRNA анти-miR олигонуклеотидами.

TRF в природе существует в виде смеси различных форм витамина Е; все формы токотриенолов присутствуют в TRF в высокой концентрации. Однако каждая клетка по-своему предпочитает различные формы витамина Е. Предыдущее исследование показало, что концентрация α- и δ-токотриенола была самой высокой в ​​миобластах [18], тогда как γ- и δ-токотриенола были наиболее распространенными формами. в фибробластах [47]. Как описано ранее, обработка TRF продемонстрировала лучший эффект, чем обработка одним изомером. Следовательно, предпочтительное и избирательное поглощение формы витамина Е клеткой представляет собой наилучший синергетический эффект между формами витамина Е и пригодностью, которая зависит от клеточной среды. На рисунке 8 суммировано модулирующее влияние TRF на экспрессию myomiR и миогенных регуляторных факторов. Наши результаты показали, что TRF является потенциальным агентом дифференцировки мышц, который модулирует экспрессию myomiRs и его генов-мишеней, участвующих в дифференцировке миобластов во время миогенеза.

Рис. 8

Модулирующие эффекты TRF на экспрессию миомиР и миогенных регуляторных факторов

Изображение в натуральную величину экспрессию myomiRs, в частности, miR-133b , miR-206 и miR-486 , тем самым модифицируя экспрессию их генов-мишеней, которые участвуют в миогенезе, чтобы способствовать дифференцировке мышц в молодых и стареющих миобластах.

Ссылки

1. Инь Х, Прайс Ф, Рудницкий М.А. Сателлитные клетки и ниша мышечных стволовых клеток. Physiol Rev. 2013; 93 (1): 23–67.

   КАС Статья Google ученый

2. Сакияма К., Абэ С., Тамацу Ю., Идэ Ю. Влияние растягивающих усилий на белки мышечного сокращения миобластов скелетных мышц. Биомед Рез. 2005;26(2):61–8.

   КАС Статья Google ученый

3. Дюмон Н.А., Ван Ю.С., Рудницкий М.А. Внутренние и внешние механизмы регуляции функции сателлитных клеток. Разработка. 2015;142(9):1572–81.

   КАС Статья Google ученый

4. Соуза-Виктор П., Муньос-Кановес П. Регенеративное снижение стволовых клеток при саркопении. Мол Асп Мед. 2016;50:109–17.

   КАС Статья Google ученый

5. «>

   Dey BK, Gagan J, Dutta A. miR-206 и-486 индуцируют дифференцировку миобластов путем подавления Pax7. Мол Селл Биол. 2011;31(1):203–14.

   КАС Статья Google ученый

6. Zammit PS, Relaix F, Nagata Y, Ruiz AP, Collins CA, Partridge TA, et al. Pax7 и миогенная прогрессия в сателлитных клетках скелетных мышц. Дж. Клеточные науки. 2006; 119(9):1824–32.

   КАС Статья Google ученый

7. Yamaguchi A, Sakuma K, Fujikawa T, Morita I. Экспрессия специфических IGFBP связана с маркерами пролиферации и дифференциации в регенерирующей подошвенной мышце крысы. J Physiol Sci. 2013;63(1):71–7.

   КАС Статья Google ученый

8. Баузер М., Херберг С., Арунлейт П., Ши Х., Фулзеле С., Хилл В.Д. и др. Влияние системы активин А-миостатин-фоллистатин на старение костных и мышечных клеток-предшественников. Опыт Геронтол. 2013;48(2):290–7.

   КАС Статья Google ученый

9. Spangenburg EE, Booth FW. Множественные сигнальные пути опосредуют индуцированную LIF пролиферацию сателлитных клеток скелетных мышц. Am J Physiol Cell Physiol. 2002; 283(1):C204–C11.

   КАС Статья Google ученый

10. Возняк А.С., Андерсон Дж.Е. Зависимость от оксида азота активации и покоя сателлитных стволовых клеток в нормальных волокнах скелетных мышц. Дев Дин. 2007;236(1):240–50.

    КАС Статья Google ученый

11. Horak M, Novak J, Bienertova-Vasku J. Мышечно-специфические микроРНК в развитии скелетных мышц. Дев биол. 2016;410(1):1–13.

    КАС Статья Google ученый

12. Маккарти Дж.Дж. Сеть MyomiR в пластичности скелетных мышц. Exerc Sport Sci Rev. 2011;39(3):150.

    Артикул Google ученый

13. Сантос С.А., Сильва Э.Т., Карис А.В., Лира Ф.С., Туфик С., Дос Сантос Р.В. Добавка витамина Е подавляет повреждение мышц и воспаление после умеренных физических упражнений в условиях гипоксии. Диета J Hum Nutr. 2016;29(4):516–22.

    КАС Статья Google ученый

14. Али С.Ф., Вудман О.Л. Богатый токотриенолом экстракт пальмового масла более эффективен, чем чистые токотриенолы, в улучшении эндотелий-зависимой релаксации при окислительном стрессе. Оксидативный Мед Селл Лонгев. 2015;2015:10.

    Артикул Google ученый

15. Будин С.Б., Хан К.Дж., Джаюсман П.А., Тайб И.С., Газали А.Р., Мохамед Дж. Антиоксидантная активность богатой токотриенолом фракции предотвращает вызванное фенитротионом повреждение почек у крыс. J Токсикол Патол. 2013;26(2):111–8.

    Артикул Google ученый

16. Khor SC, Razak AM, Wan Ngah WZ, Mohd Yusof YA, Abdul Karim N, Makpol S. Богатая токотриенолом фракция превосходит токоферол в продвижении миогенной дифференцировки в предотвращении репликативного старения миобластов. ПЛОС Один. 2016;11(2):e0149265.

    Артикул Google ученый

17. Gwee Sian Khee S, Mohd Yusof YA, Makpol S. Экспрессия связанных со старением микроРНК и генов-мишеней при клеточном старении и модуляция богатой токотриенолом фракцией. Оксидативный Мед Селл Лонгев. 2014;2014:12.

    Артикул Google ученый

18. Khor SC, Ngah W, Zurinah W, Yusof M, Anum Y, Abdul Karim N, et al. Обогащенная токотриенолом фракция улучшает механизмы антиоксидантной защиты и улучшает окислительный стресс, связанный с репликативным старением, в миобластах человека. Оксидативный Мед Селл Лонгев. 2017;2017:17.

19. Щесны Б., Олах Г., Уокер Д.К., Вольпи Э., Расмуссен Б.Б., Сабо С. и др. Дефицит восстановления митохондриального генома делает пролиферирующие миобласты чувствительными к окислительному повреждению. ПЛОС Один. 2013;8(9):e75201.

    КАС Статья Google ученый

20. Моккегиани Э., Костарелли Л., Джаккони Р., Малавольта М., Бассо А., Пьяченца Ф. и др. Взаимодействие витамина Е с генами при старении и воспалительных возрастных заболеваниях: значение для лечения. Систематический обзор. Aging Res Rev. 2014; 14:81–101.

    КАС Статья Google ученый

21. Адамс JC, Watt FM. Регуляция развития и дифференцировки внеклеточным матриксом. Разработка. 1993;117(4):1183–98.

    КАС пабмед Google ученый

22. «>

    Davalli P, Mitic T, Caporali A, Lauriola A, D’Arca D. ROS, клеточное старение и новые молекулярные механизмы старения и возрастных заболеваний. Оксидативный Мед Селл Лонгев. 2016;2016:18.

23. Huang X, Chen L, Liu W, Qiao Q, Wu K, Wen J и др. Участие окислительного стресса и нарушения цитоскелета в индуцированном микроцистином апоптозе в клетках CIK. Аква токсикол. 2015; 165:41–50.

    КАС Статья Google ученый

24. Ники Е. Роль витамина Е в качестве жирорастворимого поглотителя пероксильных радикалов: данные in vitro и in vivo. Свободный Радик Биол Мед. 2014;66:3–12.

    КАС Статья Google ученый

25. Виола В., Пиллоли Ф., Пиродди М., Пьерпаоли Э., Орландо Ф., Провинсиали М. и др. Почему токотриенолы работают лучше: взгляд на противораковый механизм витамина Е in vitro. Genes Nutr. 2012;7(1):29.

    КАС Статья Google ученый

26. Макпол С., Дюрани Л.В., Чуа К.Х., Юсоф М., Анум Ю., Нгах В. и др. Обогащенная токотриенолом фракция предотвращает остановку клеточного цикла и удлиняет длину теломер в стареющих диплоидных фибробластах человека. Биомед Рез Инт. 2011;2011(11):506171.

    Google ученый

27. Хияма А., Сакаи Д., Рисбуд М.В., Танака М., Араи Ф., Абэ К. и др. Усиление старения клеток межпозвонкового диска за счет экспрессии матриксной металлопротеиназы, индуцированной передачей сигналов WNT/β-катенина. Ревмирующий артрит. 2010;62(10):3036–47.

    КАС Статья Google ученый

28. Макпол С., Джам Ф.А., Хор С.С., Исмаил З., Юсоф М., Анум Ю. и др. Сравнительное влияние биодинов, богатой токотриенолом фракции и токоферола на усиление синтеза коллагена и ингибирование деградации коллагена в модели преждевременного старения диплоидных фибробластов человека, вызванного стрессом. Оксидативный Мед Селл Лонгев. 2013;2013:8.

29. Уолш К., Перлман Х. Выход из клеточного цикла при миогенной дифференцировке. Curr Opin Genet Dev. 1997;7(5):597–602.

    КАС Статья Google ученый

30. Zhu CH, Mouly V, Cooper RN, Mamchaoui K, Bigot A, Shay JW, et al. Клеточное старение в миобластах человека преодолевается человеческой теломеразной обратной транскриптазой и циклинзависимой киназой 4: последствия старения мышц и терапевтические стратегии при мышечных дистрофиях. Стареющая клетка. 2007;6(4):515–23.

    КАС Статья Google ученый

31. Harley CB, Futcher AB, Greider CW. Теломеры укорачиваются при старении фибробластов человека. Природа. 1990;345(6274):458.

    КАС Статья Google ученый

32. Zainuddin A, Chua K-H, Tan J-K, Jaafar F, Makpol S. γ-Токотриенол предотвращает остановку клеточного цикла в старых клетках фибробластов человека через путь p16INK4a. J Physiol Biochem. 2017;73(1):59–65.

    КАС Статья Google ученый

33. Чин К.Ю., Има-Нирвана С. Влияние добавок токотриенола, полученного из аннато, на остеопороз, вызванный дефицитом тестостерона у крыс. Clin Interv Старение. 2014;9:1247.

    Артикул Google ученый

34. Кумар Д., Шадрах Д.Л., Вейджерс А.Дж., Лассар А.Б. Id3 является прямой мишенью транскрипции Pax7 в покоящихся сателлитных клетках. Мол Биол Селл. 2009 г.;20(14):3170–7.

    КАС Статья Google ученый

35. Cenciarelli C, De Santa F, Puri PL, Mattei E, Ricci L, Bucci F, et al. Критическая роль, которую играет циклин D3 в опосредованной MyoD остановке клеточного цикла во время дифференцировки миобластов. Мол Селл Биол. 1999;19(7):5203–17.

    КАС Статья Google ученый

36. Риуцци Ф., Сорчи Г., Сагедду Р., Сидони А., Аладжио Р., Нинфо В. и др. Дефицит передачи сигналов RAGE в клетках рабдомиосаркомы вызывает активацию PAX7 и неконтролируемую пролиферацию. Дж. Клеточные науки. 2014;127(8):1699–711.

    КАС Статья Google ученый

37. Хуан М.Б., Сюй Х., Се С.Дж., Чжоу Х., Цюй Л.Х. Рецептор инсулиноподобного фактора роста-1 регулируется микроРНК-133 во время скелетного миогенеза. ПЛОС Один. 2011;6(12):e29173.

    КАС Статья Google ученый

38. Скьяффино С., Маммукари С. Регуляция роста скелетных мышц с помощью пути IGF1-Akt/PKB: выводы из генетических моделей. Скелетная мышца. 2011;1(1):4.

    КАС Статья Google ученый

39. «>

    Вернер Х., Маор С. Ген рецептора инсулиноподобного фактора роста-I: нижестоящая мишень для онкогенного и противоопухолевого супрессорного действия. Тенденции Эндокринол Метаб. 2006;17(6):236–42.

    КАС Статья Google ученый

40. Crackower MA, Oudit GY, Kozieradzki I, Sarao R, Sun H, Sasaki T, et al. Регуляция сократимости миокарда и размера клеток с помощью различных сигнальных путей PI3K-PTEN. Клетка. 2002; 110(6):737–49..

    КАС Статья Google ученый

41. Александр М.С., Касар Дж.К., Мотохаши Н., Виейра Н.М., Айзенберг И., Маршалл Дж.Л. и др. Зависимая от микроРНК-486 модуляция сигнальных путей DOCK3/PTEN/AKT улучшает симптомы, связанные с мышечной дистрофией. Джей Клин Инвест. 2014;124(6):2651–67.

    КАС Статья Google ученый

42. Lai CY, Wu YT, Yu SL, Yu YH, Lee SY, Liu CM, et al. Модулированная экспрессия микроРНК периферической крови человека от младенчества до взрослой жизни и ее роль в старении. Стареющая клетка. 2014;13(4):679–89.

    КАС Статья Google ученый

43. Смолл Э.М., О’Рурк Дж.Р., Мореси В., Сазерленд Л.Б., МакЭналли Дж., Джерард Р.Д. и др. Регуляция передачи сигналов PI3-киназы/Akt с помощью обогащенной мышцами микроРНК-486. Proc Natl Acad Sci. 2010;107(9):4218–23.

    КАС Статья Google ученый

44. Durani L, Jaafar F, Tan J, Tajul Arifin K, Mohd Yusof Y, Wan Ngah W. Нацеливание на гены инсулин-ассоциированного сигнального пути, повреждение ДНК, пути пролиферации и дифференцировки клеток с помощью богатой токотриенолом фракции в предотвращении клеточное старение диплоидных фибробластов человека. Клин Тер. 2015;166:e365–e73.

    КАС пабмед Google ученый

45. «>

    Шин-Канг С., Рамзауэр В.П., Лайтнер Дж., Чакраборти К., Стоун В., Кэмпбелл С. и др. Токотриенолы ингибируют активацию AKT и ERK и подавляют пролиферацию раковых клеток поджелудочной железы, подавляя путь ErbB2. Свободный Радик Биол Мед. 2011;51(6):1164–74.

    КАС Статья Google ученый

46. Смит-Викос Т., Слэк Ф.Дж. МикроРНК и их роль в старении. Дж. Клеточные науки. 2012;125(1):7–17.

    КАС Статья Google ученый

47. Джаафар Ф., Абдулла А., Макпол С. Клеточное поглощение и биодоступность богатой токотриенолом фракции в ингибированных SIRT1 диплоидных фибробластах человека. Научный доклад 2018; 8 (1): 10471.

    Артикул Google ученый

Ссылки на скачивание

Благодарности

Данное исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства высшего образования в рамках Схемы грантов для фундаментальных исследований FRGS/2/2014/SKK01/UKM/01/1 и гранта Университета Кебангсаан Малайзии UKM-FF -2014-301. Авторы хотели бы выразить благодарность всем исследователям и сотрудникам кафедры биохимии медицинского факультета Малайзийского медицинского центра Университета Кебангсаан.

Информация об авторе

Авторы и организации

1. Кафедра биохимии, медицинский факультет, уровень 17, доклинический корпус Малайзийского медицинского центра Университета Кебангсаан (UKMMC), Джалан Яакоб Латиф, Бандар Тун Разак, Черас, 56000, Куала-Лумпур , Малайзия

   Azraul Mumtazah Razak, Shy Cian Khor, Faizul Jaafar, Norwahidah Abdul Karim и Suzana Makpol

Авторы

1. Azraul Mumtazah Razak

   Посмотреть публикацию автора0003

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

2. Shy Cian Khor

   Просмотр публикаций автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

3. Faizul Jaafar

   Просмотр публикаций автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

4. Norwahidah Abdul Karim

   Посмотреть публикации автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

5. Suzana Makpol

   Просмотр публикаций автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

Вклады

AMR провела эксперименты, проанализировала данные и подготовила рукопись. SCK и FJ проанализировали данные и составили рукопись. SM и NAK разработали исследование, интерпретировали данные и отредактировали рукопись. Все авторы читали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Автор, ответственный за переписку

Переписка с Сюзанна Макпол.

Заявление об этике

Конкурирующие интересы

Авторы заявляют, что у них нет конкурирующих интересов.

Примечание издателя

Springer Nature остается нейтральной в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и ​​институциональной принадлежности.

Права и разрешения

Открытый доступ Эта статья распространяется в соответствии с условиями международной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая разрешает неограниченное использование, распространение, и воспроизведение на любом носителе, при условии, что вы укажете автора(ов) оригинала и источник, предоставите ссылку на лицензию Creative Commons и укажете, были ли внесены изменения. Отказ Creative Commons от права на общественное достояние (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/) применяется к данным, представленным в этой статье, если не указано иное.

Перепечатки и разрешения

Об этой статье

Анализ внеклеточной объемной доли миокарда для дифференциации обратимого и необратимого повреждения миокарда и прогнозирования неблагоприятного ремоделирования левого желудочка после инфаркта миокарда с подъемом сегмента ST

Сохранить цитату в файл

Формат: Резюме (текст)PubMedPMIDAbstract (текст)CSV

Добавить в коллекции

• Создать новую коллекцию
• Добавить в существующую коллекцию

Назовите свою коллекцию:

Имя должно содержать менее 100 символов

Выберите коллекцию:

Не удалось загрузить вашу коллекцию из-за ошибки
Повторите попытку

Добавить в мою библиографию

• Моя библиография

Не удалось загрузить делегатов из-за ошибки
Повторите попытку

Ваш сохраненный поиск

Название сохраненного поиска:

Условия поиска:

Тестовые условия поиска

Эл. адрес: (изменить)

Который день? Первое воскресеньеПервый понедельникПервый вторникПервая средаПервый четвергПервая пятницаПервая субботаПервый деньПервый будний день

Который день? воскресеньепонедельниквторниксредачетвергпятницасуббота

Формат отчета: SummarySummary (text)AbstractAbstract (text)PubMed

Отправить максимум: 1 шт. 5 шт. 10 шт. 20 шт. 50 шт. 100 шт. 200 шт.

Отправить, даже если нет новых результатов

Необязательный текст в электронном письме:

Создайте файл для внешнего программного обеспечения для управления цитированием

Полнотекстовые ссылки

Спрингер

Полнотекстовые ссылки

. 2021 Январь; 31 (1): 504-514.

doi: 10.1007/s00330-020-07117-9. Epub 2020 12 августа.

Бин-Хуа Чен  ^{# 1} , Донг-Аолей Ан  ^{# 1} , Цзе Хэ ² , Чун-Вэнь Ву ¹ , Тин Юэ ¹ , Руй Ву ¹ , Руо-Ян Ши ¹ , Халид Этир ³ , Бобби Джозеф ³ , Джиани Ху ³ , Цзянь-Ронг Сюй ⁴ , Лянь-Мин Ву ⁵ , Июн Пу ⁶

Принадлежности

• ¹ Отделение рентгенологии, больница Ренджи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика.
• ² Отделение кардиологии, больница Рэндзи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика.
• ³ Кафедра радиологии, Государственный университет Уэйна, Детройт, Мичиган, 48201, США.
• ⁴ Отделение рентгенологии, больница Ренджи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].
• ⁵ Кафедра радиологии, Больница Ренджи, Медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 PuJian Road, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].
• ⁶ Отделение кардиологии, больница Ренджи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь Роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].

^# Внесли поровну.

• PMID: 32785772
• DOI: 10.1007/s00330-020-07117-9

Бин-Хуа Чен и др. Евро Радиол. 2021 янв.

. 2021 Январь; 31 (1): 504-514.

дои: 10.1007/s00330-020-07117-9. Epub 2020 12 августа.

Авторы

Бин-Хуа Чен  ^{# 1} , Донг-Аолей Ан  ^{# 1} , Цзе Хэ ² , Чун-Вэнь Ву ¹ , Тин Юэ ¹ , Руй Ву ¹ , Руо-Ян Ши ¹ , Халид Этир ³ , Бобби Джозеф ³ , Джиани Ху ³ , Цзянь-Ронг Сюй ⁴ , Лянь-Мин Ву ⁵ , Июн Пу ⁶

Принадлежности

• ¹ Кафедра радиологии, Больница Ренджи, Медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 PuJian Road, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика.
• ² Отделение кардиологии, больница Рэндзи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика.
• ³ Кафедра радиологии, Государственный университет Уэйна, Детройт, Мичиган, 48201, США.
• ⁴ Отделение рентгенологии, больница Ренджи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].
• ⁵ Кафедра радиологии, Больница Ренджи, Медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 PuJian Road, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].
• ⁶ Отделение кардиологии, больница Рэндзи, медицинский факультет Шанхайского университета Цзяо Тонг, № 160 Пуцзянь-роуд, Шанхай, 200127, Китайская Народная Республика. [email protected].

^# Внесли поровну.

• PMID: 32785772
• DOI: 10.1007/s00330-020-07117-9

Абстрактный

Цели: Наше исследование было направлено на изучение прогностической ценности радиометрической ТА (анализ текстуры) при количественном картировании фракции ECV (внеклеточный объем) для дифференциации обратимого и необратимого повреждения миокарда и прогнозирования неблагоприятного ремоделирования левого желудочка у пациентов с реперфузированным ИМпST (инфаркт миокарда с подъемом сегмента ST). ).

Методы: Это обсервационное проспективное когортное исследование выявило 70 пациентов (62 ± 9 лет, 62 мужчины [85,70%)] с ИМпST по поводу ТА, которым последовательно выполняли нативное и контрастное Т1-картирование. Особенности текстуры были извлечены из каждого набора карт ECV на основе анализа ROI (области интереса).

Полученные результаты: После выбора признаков текстуры и уменьшения размеров пять выбранных признаков текстуры оказались статистически значимыми для дифференциации степени повреждения миокарда. Анализ кривой ROC (рабочей характеристики приемника) для дифференциации инфаркта, подлежащего восстановлению, и миокарда, подлежащего спасению, продемонстрировал значительно более высокую AUC (площадь под кривой) (0,9).1 [95% ДИ, 0,86–0,96], p < 0,0001) для горизонтальной фракции, чем для других характеристик текстуры (p < 0,05). LVAR (неблагоприятное ремоделирование левого желудочка) можно было предсказать по этим выбранным признакам. Различия в качественных и количественных исходных параметрах и горизонтальных фракциях были достоверными между пациентами с LVAR и без него. LGE (позднее усиление гадолинием) и характеристики горизонтальной фракции инфарктного миокарда при остром ИМпST были единственными двумя параметрами, выбранными для формирования оптимальной общей многофакторной модели для LVAR через 6 месяцев.

Выводы: Рентгенологический анализ ECV может отличить обратимое от необратимого повреждения миокарда после ИМпST. LGE, а также радиомика TA (анализ текстуры) ECV может предоставить альтернативу для прогнозирования LVAR и функционального восстановления.

Ключевые моменты: • Количественная оценка ECV позволила отличить инфарктный миокард от неинфарктного миокарда. • Рентгенологический анализ ECV может отличить обратимое повреждение миокарда от необратимого. • Анализ Radiomics TA показывает многообещающее сходство с результатами LGE, которые могут помочь в прогнозировании пациентов с инфарктом миокарда.

Ключевые слова: Внеклеточный матрикс; магнитно-резонансная томография; Инфаркт миокарда; Ремоделирование желудочков.

Похожие статьи

• Объемная доля внеклеточного объема миокарда позволяет дифференцировать обратимое и необратимое повреждение миокарда и прогнозировать неблагоприятное ремоделирование левого желудочка при инфаркте миокарда с подъемом сегмента ST.

  Chen BH, An DA, He J, Xu JR, Wu LM, Pu J. Чен Б.Х. и др. J Magn Reson Imaging. 2020 авг; 52 (2): 476-487. doi: 10.1002/jmri.27047. Epub 2020 14 января. J Magn Reson Imaging. 2020. PMID: 31943526

• CMR Native T1 Mapping позволяет дифференцировать обратимое и необратимое повреждение миокарда при инфаркте миокарда с подъемом сегмента ST: исследование OxAMI (Оксфордский острый инфаркт миокарда).

  Лю Д., Борлотти А., Вилиани Д., Йерош-Херольд М., Алхалил М., Де Мария Г.Л., Фарни Г., Докинз С., Виджесурендра Р., Фрэнсис Дж., Феррейра В., Печник С., Робсон М.Д., Баннинг А., Чоудхури Р., Нойбауэр С., Чэннон К., Харбанда Р., Далл’Армеллина Э. Лю Д. и др. Циркулярная кардиоваскулярная визуализация. 2017 авг;10(8):e005986. doi: 10.1161/ОБЪЕМНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ.116.005986. Циркулярная кардиоваскулярная визуализация. 2017. PMID: 28798137 Бесплатная статья ЧВК.

• Оценка внеклеточного объема миокарда с помощью CMR позволяет прогнозировать функциональное восстановление после острого инфаркта миокарда.

  Кидамби А., Мотвани М., Уддин А., Рипли Д.П., МакДиармид А.К., Свобода П.П., Бродбент Д.А., Муса Т.А., Эрхайем Б., Лидер Дж., Круазиль П., Кларисс П., Гринвуд Д.П., Плейн С. Кидамби А. и др. JACC Cardiovasc Imaging. 2017 сен; 10 (9): 989-999. doi: 10.1016/j.jcmg.2016.06.015. Epub 2016 19 октября. JACC Cardiovasc Imaging. 2017. PMID: 27771398 Бесплатная статья ЧВК.

• Повышенная оксигенация связана с воспалением миокарда и неблагоприятным регионарным ремоделированием после острого инфаркта миокарда с подъемом сегмента ST.

  Ши К., Ма М., Ян М.С., Ся К.С., Пэн В.Л., Хе И., Ли З. Л., Го Ю.К., Ян З.Г. Ши К. и др. Евро Радиол. 2021 Декабрь; 31 (12): 8956-8966. doi: 10.1007/s00330-021-08032-3. Epub 2021 18 мая. Евро Радиол. 2021. PMID: 34003352

• T ₁ — Картирование и оценка внеклеточного объема у детей с мышечной дистрофией Дюшенна и у здоровых лиц контрольной группы при 3T.

  Мафоро Н.Г., Маграт П., Мулен К., Шао Дж., Ким Г.Х., Проспер А., Ренелла П., Ву Х.Х., Халнон Н., Эннис Д.Б. Мафоро Н.Г. и соавт. J Cardiovasc Magn Reson. 2020 10 декабря; 22 (1): 85. дои: 10.1186/с12968-020-00687-з. J Cardiovasc Magn Reson. 2020. PMID: 33302967 Бесплатная статья ЧВК.

Посмотреть все похожие статьи

Цитируется

• [Искусственный интеллект и радиомика: значение в МРТ сердца].

  Рау А., Сощинский М., Тарон Дж., Рюйл П., Шлетт К.Л., Бамберг Ф., Краусс Т. Рау А и др. Радиология (Хайдельб). 2022 г., 25 августа. doi: 10.1007/s00117-022-01060-0. Онлайн перед печатью. Радиология (Хайдельб). 2022. PMID: 36006439Обзор. Немецкий.

• Прогнозирование функции миокарда после коронарного шунтирования с использованием радиомикроскопических функций МРТ и алгоритмов машинного обучения.

  Ариан Ф., Амини М., Мостафаи С., Резаи Калантари К., Хаддади Аввал А., Шахбази З., Касани К., Битарафан Раджаби А., Чаттерджи С., Овейси М., Шири И., Заиди Х. Ариан Ф. и др. J цифровое изображение. 2022 г., 22 августа. doi: 10.1007/s10278-022-00681-0. Онлайн перед печатью. J цифровое изображение. 2022. PMID: 35995896

• Качество научных данных и отчетность по радиомике в исследованиях магнитно-резонансной томографии сердца: систематический обзор.

  Чанг С., Хань К., Су Ю.Дж., Чой Б.В. Чанг С. и др. Евро Радиол. 2022 июль; 32 (7): 4361-4373. doi: 10.1007/s00330-022-08587-9. Epub 2022 1 марта. Евро Радиол. 2022. PMID: 35230519

• Магнитно-резонансный анализ текстуры при инфаркте миокарда.

  Пэн Ф., Чжэн Т., Тан С., Лю Ц., Сунь З., Фэн З., Чжао Х., Гун Л. Пэн Ф. и др. Front Cardiovasc Med. 2021 28 окт;8:724271. doi: 10.3389/fcvm.2021.724271. Электронная коллекция 2021. Front Cardiovasc Med. 2021. PMID: 34778395 Бесплатная статья ЧВК. Обзор.

использованная литература

1. 1. Mehta RH, Harjai KJ, Cox D et al (2003)Клинические и ангиографические корреляты и результаты субоптимального коронарного кровотока у пациентов с острым инфарктом миокарда, подвергающихся первичному чрескожному коронарному вмешательству. Дж. Колл Кардиол 42: 1739–1746 — DOI
2. 1. Rodriguez-Palomares JF, Gavara J, Ferreira-Gonzalez I et al (2019)Прогностическое значение исходного ремоделирования левого желудочка у пациентов с реперфузионным ИМпST. JACC Cardiovasc Imaging. https://doi.org/10.1016/j.jcmg.2019.02.025
3. 1. Кэррик Д., Хейг С., Раухаламми С. и др. (2015)Патофизиология ремоделирования ЛЖ у выживших после ИМпST: воспаление, отдаленный миокард и прогноз. JACC Cardiovasc Imaging 8: 779–789 — DOI
4. 1. Пфеффер М. А., Браунвальд Э. (1990)Ремоделирование желудочков после инфаркта миокарда. Экспериментальные наблюдения и клинические последствия. Тираж 81: 1161–1172. — DOI
5. 1. Bulluck H, Rosmini S, Abdel-Gadir A et al (2016)Остаточное миокардиальное железо после внутримиокардиального кровоизлияния во время фазы выздоровления реперфузированного инфаркта миокарда с подъемом сегмента ST и неблагоприятного ремоделирования левого желудочка. Circ Cardiovasc Imaging 9: 1–10 — DOI

термины MeSH

вещества

Грантовая поддержка

• 81873886 / Национальный фонд естественных наук Китая
• 81873887 / Национальный фонд естественных наук Китая
• 2017YQ031 / Муниципальная комиссия Шанхая по здравоохранению и планированию семьи, отличная программа для молодых талантов
• SHDC12018X21 / Шанхайский центр развития больницы Шэнькан, проект клинических исследований и развития
• YG2017QN44 / Проект медицинского кросса Шанхайского университета Цзяо Тонг

• 19DZ2203800 / Шанхайский план действий по инновациям в области науки и техники, стандартный технологический проект
• 2019–1904 Шанхайский университет Цзяо Тонг, медицинский факультет, проект «Двойная сотня выдающихся людей»

Полнотекстовые ссылки

Спрингер

Укажите

Формат: ААД АПА МДА НЛМ

Отправить по телефону

Разложение на неполные дроби: повторяющиеся и неприводимые факторы

Вернуться к Указатель уроков  | Делайте уроки в заказе | Подходит для печати страница Неполная дробь Разложение: как обращаться с повторяющимися и неприводимыми факторами (стр. 2 из 3) Разделы: Общие методики, Как справляться с повторяющимися и неустранимыми факторами, Примеры Иногда встречается множитель в знаменателе больше одного. Например, в дроби 13 / 24 , знаменатель 24 факторы как 2223. Фактор 2 происходит три раза. Чтобы получить 13 / 24 , может быть 1 / 2 или 1 / 4  или а 1 / 8 который был включен в оригинальное дополнение. Вы не можете сказать, глядя по конечному результату. Таким же образом, если рациональное выражение имеет повторяющийся множитель в знаменателе, вы не можете сказать, просто взглянув, какие знаменатели могли быть включены в первоначальное дополнение. Вы должны учитывать каждую возможность. Найдите неполную дробь разложение следующего выражения: Фактор x 1 встречается в знаменателе три раза. Я учту это, составив дроби, содержащие возрастающие степени этого множителя в знаменателе, вот так: Теперь умножаю на общее знаменатель, чтобы получить: Я мог бы использовать систему уравнений, чтобы решить для A , B , С и Д , но другой метод казался более легким. Два числа обнуления x = 1 и х = 0: так х = 1: 1 + 1 = 0 + 0 + С + 0, значит С = 2 х = 0: 1 = 0 + 0 + 0  Д , поэтому D = 1 Но что мне теперь делать? у меня есть два других переменные, а именно A  и Б , для которых мне нужны значения. Но так как у меня есть значения для C  и Д , Я могу выбрать любые два других значения x , подключите их и получите систему уравнений, которую я могу решить для A  и Б . Конкретные значения x Я выбираю неважные, поэтому выберу поменьше: х = 2: Авторские права Элизабет Стапель 2006-2011 Все права защищены (2) 2  + 1 = А (2)(2 1) 2  + В (2)(2 1) + (2)(2) + (1)(2  1) 3 4 + 1 = 2 А + 2 Б + 4  1 5 = 2 А + 2 В + 3 1 = А + В х = 1: (1) 2 + 1 = А (1)(1) 1) 2 + В (1)(1 1) + (2)(1) + (1)(1 1) 3 1 + 1 = 4 А + 2 Б 2 + 8 2 = 4 А + 2 В + 6 2 А В = 2 Я все еще не могу решить систему уравнений, но используя более простой метод решения для C  и Д , Теперь у меня есть более простая система для решения. Складывая два уравнения, я получаю 3 А = 3, так А = 1. Тогда B = 0 (так что этот член в разложении «исчезает»), а полное разложение это: В приведенном выше примере один из коэффициентов оказался нулевым. Это случается не часто (на уроках алгебры, в любом случае), но не удивляйтесь, если вы получите ноль или даже дроби для некоторые из ваших коэффициентов. Учебники обычно придерживаются довольно близко к красивым аккуратным целым числам, но не всегда. Не думайте, что дробь или ноль — неправильный ответ. Например: …раскладывается как: Примечание. Вы также можете обрабатывать дроби вот так: Если знаменатель вашего рационального выражения имеет нефакторизуемый квадратичный, то у вас есть для учета возможного «размера» числителя. Если знаменатель содержит множитель второй степени, то числитель может не быть просто числом; она может быть первой степени. Таким образом, вы будете иметь дело с квадратичный множитель в знаменателе путем включения линейного выражения в числитель. Найдите неполную дробь разложение следующего: Факторизируя знаменатель, я получаю x ( x 2 + 3). Я не могу факторизовать квадратное бит, поэтому моя расширенная форма будет выглядеть так: Обратите внимание, что числитель для » x 2 + 3″ дробь является линейным многочленом, не просто постоянный срок. Умножение на общий знаменатель, Я получаю: Единственный ноль в исходном знаменателе х = 0, так: Затем А = 1. Так как у меня нет другого полезного x — значения для работы, я думаю, что возьму одно значение, которое я решил ибо приравняем оставшиеся коэффициенты и посмотрим, что мне это даст: (Нет единственного «правильного» пути решить значения коэффициентов. Используйте любой метод, который «чувствует» право на данное упражнение.) Тогда разложение: << Предыдущая Топ  |  1 | 2 | 3   | Возвращаться к индексу  Далее >> Процитировать эту статью как: Стапель, Элизабет. «Разложение на неполные дроби: как обращаться с повторяющимися и Неустранимые факторы.»      Purplemath . Нок 4 15: НОК (15 и 4) =??? помогите пожалуйста!)) alexxlab / 22.01.197117.09.2022 / Разное 2 41 норвежская крона (NOK) в евро (EUR) на сегодня Стоимость 41 норвежской кроны в евро на сегодня составляет 4,06 € по данным ЦБ РФ, по сравнению со вчерашним днём курс валюты уменьшился на -0,34% (на -0,0003 €). Курс норвежской кроны по отношению к евро на графике, таблица динамики стоимости в процентах за день, неделю, месяц и год. Конвертер валют Норвежская крона NOK Норвегия Евро EUR Евросоюз С помощью конвертера валют вы можете перевести 41 норвежскую крону в евро и узнать сколько сейчас стоит сорок одна крона в евро. Также, вы можете произвести обратный расчёт и узнать текущую стоимость 41 евро в кронах. 39 NOK в EUR 40 NOK в EUR 41 NOK в EUR 42 NOK в EUR 43 NOK в EUR 3,86 € 3,96 € 4,06 € 4,16 € 4,25 € График изменений курса 41 норвежской кроны к евро Выберите период для построения графика: Курс норвежской кроны к евро на графике позволяет отслеживать изменения за различные периоды и делать выводы о возможных прогнозах курса одной валюты по соотношению к другой. Динамика стоимости 41 кроны в евро Сравните стоимость 41 норвежской кроны в евро в прошлом с текущей ценой на данный момент. Изменения за неделю (7 дней) Дата День недели 41 NOK в EUR Изменения Изменения % 9 сентября 2022 г. пятница 41 NOK = 4,07 EUR -0,01 EUR -0,30% 10 сентября 2022 г. суббота 41 NOK = 4,07 EUR -0,0003 EUR -0,01% 11 сентября 2022 г. воскресенье 41 NOK = 4,12 EUR +0,05 EUR +1,31% 12 сентября 2022 г. понедельник 41 NOK = 4,11 EUR -0,01 EUR -0,23% 13 сентября 2022 г. вторник 41 NOK = 4,07 EUR -0,05 EUR -1,16% 14 сентября 2022 г. среда 41 NOK = 4,07 EUR +0,0043 EUR +0,11% 15 сентября 2022 г. четверг 41 NOK = 4,06 EUR -0,01 EUR -0,34% Стоимость 41 крона (NOK) в евро за неделю (7 дней) уменьшилась на -0,01 € (ноль евро один евроцент). Изменения за месяц (30 дней) Дата День недели 41 NOK в EUR Изменения Изменения % 16 августа 2022 г. вторник 41 NOK = 4,17 EUR +0,01 EUR +0,35% 15 сентября 2022 г. четверг 41 NOK = 4,06 EUR -0,11 EUR -2,76% Стоимость 41 крона (NOK) в евро за месяц (30 дней) уменьшилась на -0,11 € (ноль евро одиннадцать евроцентов). Изменения за год (365 дней) Дата День недели 41 NOK в EUR Изменения Изменения % 15 сентября 2021 г. среда 41 NOK = 4,05 EUR +0,03 EUR +0,82% 15 сентября 2022 г. четверг 41 NOK = 4,06 EUR +0,01 EUR +0,18% Стоимость 41 крона (NOK) в евро за год (365 дней) увеличилась на +0,01 € (ноль евро один евроцент). Кросс-курс 41 NOK к другим валютам RUB Российский рубль Россия 242,07 RUB Изменение за неделю -8,89 ₽ -3,67% USD Доллар США США 4,06 USD Изменение за неделю -0,07 $ -1,70% BTC Биткоин Криптовалюта 0,0002 BTC Изменение за неделю +0,000009 BTC +4,22% CNY Китайский юань КНР 28,37 CNY Изменение за неделю -0,22 ¥ -0,79% Повар (4 уровень квалификации) 77.039.02.31 г Уфа, пр-кт Октября, д 67 Показать на карте Открыть 77. 039.02.75 Уфа, ул Российская, д 100/3 Показать на карте Открыть 77.039.05.32 г Хасавюрт, Махачкалинское шоссе, д 1А Показать на карте Открыть 77.039.14.83 г Якутск, ул Строда, д 7 Показать на карте Открыть 77.039.23.36 г Сочи, ул Чайковского, д 43 Показать на карте Открыть 77.039.24.01 г Красноярск, пр-кт Металлургов, д 4 Показать на карте Открыть 77.039.24.67 г Красноярск, ул Курчатова, д 15 Показать на карте Открыть 77.039.27.57 г Хабаровск, ул Московская, д 6 Показать на карте Открыть 77. 039.27.69 г Николаевск-на-Амуре, ул Попова, д 24 Показать на карте Открыть 77.039.27.70 р-н Имени Лазо рп Хор, Менделеева, 13 Показать на карте Открыть 77.039.27.72 г Комсомольск-на-Амуре, ул Пионерская, д 73 Показать на карте Открыть 77.039.27.73 г Советская Гавань, ул Чкалова, д 12 Показать на карте Открыть 77.039.30.37 г Астрахань, ул Куликова, д 46А Показать на карте Открыть 77.039.30.74 г Астрахань, ул Куликова, д 42 Показать на карте Открыть 77. 039.31.51 г Белгород, ул Привольная, д 2 Показать на карте Открыть 77.039.42.16 г Кемерово, ул Радищева, д 7 Показать на карте Открыть 77.039.44.50 г Кострома, ул Долматова, д 25А Показать на карте Открыть 77.039.44.52 г Кострома, Кинешемское шоссе, д 45/51 Показать на карте Открыть 77.039.44.82 г Шарья, ул Имени 50-летия Советской Власти, д 7 Показать на карте Открыть 77.039.45.04 г Курган, ул Некрасова, д 10 Показать на карте Открыть 77.039.54. 09 г Татарск, ул Ленина, д 91А Показать на карте Открыть 77.039.54.10 г Новосибирск, ул Зорге, д 2 Показать на карте Открыть 77.039.54.39 г Новосибирск, ул Богдана Хмельницкого, д 67 Показать на карте Открыть 77.039.54.62 г Новосибирск, ул Геодезическая, д 15 Показать на карте Открыть 77.039.61.27 г Таганрог, ул Свободы, д 34 Показать на карте Открыть 77.039.61.28 г Ростов-на-Дону, пер Островского, д 153 Показать на карте Открыть 77.039.61.29 г Ростов-на-Дону, ул Чебанова, д 10 Показать на карте Открыть 77. 039.61.30 г Ростов-на-Дону, пр-кт Шолохова, д 128 Показать на карте Открыть 77.039.61.80 г Новочеркасск, ул Атаманская, д 40 Показать на карте Открыть 77.039.61.81 г Новошахтинск, ул Школьная, д 7 Показать на карте Открыть 77.039.61.84 ст Мятикинская, ул. Ленина, д. 13 Показать на карте Открыть 77.039.63.07 г Новокуйбышевск, ул Успенского, д 2 Показать на карте Открыть 77.039.63.55 г Самара, ул Молодогвардейская, д 72 Показать на карте Открыть 77. 039.65.45 г Южно-Сахалинск, ул Комсомольская, д 212 Показать на карте Открыть 77.039.66.06 г Екатеринбург, ул Мамина-Сибиряка, д 16 Показать на карте Открыть 77.039.66.11 г Екатеринбург, пр-кт Ленина, д 2 Показать на карте Открыть 77.039.66.12 г Екатеринбург, ул Большакова, д 65 Показать на карте Открыть 77.039.66.22 г Каменск-Уральский, ул Олега Кошевого, д 21 Показать на карте Открыть 77.039.66.25 г Нижний Тагил, пр-кт Ленина, д 2А Показать на карте Открыть 77. 039.66.38 г Березовский, ул Мира, д 5 Показать на карте Открыть 77.039.66.68 г Талица, ул Кузнецова, д 73 Показать на карте Открыть 77.039.68.02 г Тамбов, ул Мичуринская, д 110 Показать на карте Открыть 77.039.70.40 г Колпашево, ул Победы, д 12 Показать на карте Открыть 77.039.70.60 Село Мельниково, Улица Чапаева, д. 60 Показать на карте Открыть 77.039.70.64 г Томск, ул Ивана Черных, д 97 Показать на карте Открыть 77.039.70.66 г Асино, ул им. Гончарова, д 46 Показать на карте Открыть 77.039.72.03 г Тюмень, ул Киевская, д 63 Показать на карте Открыть 77.039.73.15 г Ульяновск, ул Кузнецова, д 18 Показать на карте Открыть 77.039.73.61 рп. Кузоватово, ул. Октябрьская, д 30 Показать на карте Открыть 77.039.73.63 г Димитровград, ул Прониной, зд 19 Показать на карте Открыть 77.039.77.01 г Москва, Мурманский проезд, д 10 Показать на карте Открыть 77.039.77.02 г Москва, Шипиловский проезд, д 37 к 1 Показать на карте Открыть 77. 039.91.33 г Симферополь, ул Севастопольская, д 54 к 1 Показать на карте Открыть 77.039.91.34 г Ялта, ул 16 апреля 1944 года, д 19 Показать на карте Открыть 77.039.91.53 г Евпатория, ул им.Крупской, д 7 Показать на карте Открыть 77.039.91.54 г Симферополь, ул Дыбенко, д 14 Показать на карте Открыть 77.039.91.76 г Белогорск, ул Луначарского, зд 48а Показать на карте Открыть 77.039.91.77 г Феодосия, ул Карла Маркса, д 48 Показать на карте Открыть 77. 039.91.78 Советский район, с. Пруды, ул. Керченская, д.18 Показать на карте Открыть 77.039.91.79 г Саки, ул Заводская, д 52 Показать на карте Открыть 77.039.92.65 г Севастополь, пр-кт Октябрьской революции, д 89 Показать на карте Открыть 77.054.14.06 п. Жатай, ул. Строда, д.7 Показать на карте Открыть 77.054.15.01 г Владикавказ, ул Астана Кесаева, д 12А Показать на карте Открыть 77.054.77.01 г Москва, ул Татарская Б., д 9 Показать на карте Открыть 77. 054.77.03 г Москва, ул Отрадная, д 2Б Показать на карте Открыть Курс валют Норвежская крона/Российский рубль (NOK RUB) — Investing.com Обзор NOK/RUB Пред. закр. 5,8776 Спрос 5,9113 Дн. диапазон 5,8344-5,9118 Открытие 5,8776 Предл. 5,9113 52 недель 5,0983-17,4095 Изменение за год -30,32% Каков ваш прогноз по инструменту NOK/RUB? В данный момент рынок закрыт. Голосование будет доступно во время торговых часов. Тип 5 мин 15 мин 1 час 1 день 1 месяц Скол. средние Активно покупать Активно покупать Покупать Активно продавать Активно продавать Тех. индикаторы Активно покупать Активно покупать Активно покупать Активно продавать Активно продавать Резюме Активно покупать Активно покупать Активно покупать Активно продавать Активно продавать Модель Временной период Надежность Х свечей назад Время Завершенные модели Three Black Crows 1M 4 Май ’22 Three Outside Up 1M 8 Янв. ’22 Engulfing Bullish 1M 9 Дек. ’21 Doji Star Bearish 30 12 16.09.2022 17:30 Doji Star Bullish 1H 13 16.09.2022 10:00 Котировки NOK/RUB Биржа Цена Спрос Предл. Объем Изм. % Валюта Время Форекс в реальном времени 5,9113 5,9113 5,9113 0 +0,57% RUB 16/09 Москва 11,9318 11,9318 11,9318 0 0,00% RUB 16/09 Центральные банки Банк Норвегии() Текущая ставка 0,00% Председатель Øystein Olsen Центральный банк Российской Федерации(CBR) Текущая ставка 7,50% Председатель Набиуллина Эльвира Карта валют Норвежская крона Азия NOK/JPY JPY/NOK NOK/INR INR/NOK NOK/CNY CNY/NOK NOK/IDR NOK/KRW NOK/LKR NOK/MYR NOK/HKD HKD/NOK NOK/NPR NOK/PHP PHP/NOK NOK/PKR NOK/SGD SGD/NOK NOK/THB THB/NOK NOK/TWD TWD/NOK Южная Америка NOK/ARS ARS/NOK NOK/BRL BRL/NOK NOK/CLP NOK/VES VES/NOK Северная Америка NOK/CAD CAD/NOK NOK/MXN MXN/NOK NOK/USD USD/NOK Европа NOK/DKK DKK/NOK NOK/SEK SEK/NOK NOK/CHF CHF/NOK NOK/CZK NOK/EUR EUR/NOK NOK/GBP GBP/NOK NOK/HUF NOK/ISK NOK/PLN PLN/NOK NOK/RON NOK/RUB RUB/NOK NOK/TRY TRY/NOK Тихий океан NOK/AUD AUD/NOK NOK/NZD NZD/NOK Африка NOK/EGP NOK/KES NOK/MAD NOK/NAD NOK/XAF NOK/XOF NOK/ZAR ZAR/NOK Ближний Восток NOK/AED AED/NOK NOK/BHD NOK/ILS ILS/NOK NOK/JOD NOK/LBP NOK/OMR NOK/QAR NOK/SAR SAR/NOK Карибы NOK/BBD NOK/JMD NOK/XCD Центральная Америка NOK/PAB Camping Le Balze, Volterra — Обновлены цены на 2023 год. Посмотреть цены и забронировать Последнее бронирование От 25,45 £/29,00 €/43,22 A$/29,05 $/38,53 CA$/28,03 CHF/303,14 SEK/215,67 DKK/295,98 NOK/4 054 ISK/4 169,94 ARS/26 792 CLP/112,63 PEN/48,49 NZ$/510,54 ZAR/136,92 PLN/152,56 R$/711,16 CZK/3 403 RSD/11 736,78 HUF/1 757,33 ₽/202,86 CN¥ (за 1 ночь, 2 взрослых) Может, указать подробности и посмотреть точную цену? Общая информация Семейный кемпинг в потрясающе живописных холмах Тосканы Пять минут до Вольтерры и винодельческого региона Кьянти Бассейн, бар-кафетерий и небольшой магазинчик в кемпинге Приезжайте отдыхать в Le Balze — семейный кемпинг в пяти минутах езды от центра города Вольтерра в тосканской провинции Пиза. Это тихое место, куда не забредают толпы туристов, осаждающие Пизанскую башню, галерею Уффици во Флоренции или город Сан-Джиминьяно, включенный в список Всемирного наследия ЮНЕСКО… Однако до всех этих достопримечательностей можно добраться за час-полтора, если вы захотите добавить культурных впечатлений в свой отпуск (что, безусловно, стоит сделать). Прикоснуться к истории и культуре можно и поближе к кемпингу: достаточно съездить в Вольтерру, где есть не только музеи, но и целый археологический парк, акрополь, средневековый квартал, дворец и кафедральный собор. Не любите города? Тогда лучше поездить по природе, а заодно посетить пару виноградников: их тут несколько десятков в пределах часа езды. Неудивительно — в конце концов, это регион Кьянти… Достаточно надегустировались? Возвращайтесь в кемпинг, чтобы поесть, ведь после вина у вас наверняка разыграется аппетит. Можете перекусить (и выпить еще бокал-другой) на террасе бара-кафе или купить свежий хлеб и другие необходимые продукты в небольшой лавке. А если на следующий день вы будете не в состоянии куда-то выходить и захотите провести день в кемпинге, то пара часов под тосканских солнцем в шезлонге у бассейна должны исцелить любую головную боль и слабость после забега по винодельням. Открыто с 26.03.2022 по 30.09.2022 Тип объекта Оценка совета по туризму   Персонал говорит на этих языках: &check; Английский &check; Итальянский Внимание Автомобили/мотоциклы запрещено оставлять возле участка/единицы размещения. Весь автотранспорт должен быть припаркован в специально отведенном месте. Лиц младше 18 лет должен сопровождать кто-то из родителей или законный опекун. Открытый (уличный) бассейн работает с 15/06 по 15/09 (при благоприятных погодных условиях). Дисконтные карты и подарочные ваучеры не применяются к бронированиям через Pitchup. com. Продуктовый магазин работает с 07/05 по 13/10. Ваша собака должна быть татуирована клеймом или чипирована. The bar is open between 07/05 and 13/10. Проверить наличие мест в Camping Le Balze… Заезд: Отъезд: (2 ночи) Группа: Изменить поиск… Участок для палатки Участок для автофургона Участок для автодома или дома на колесах Хижина, охотничий домик, домик-капсула или избушка Аренда фургона Типи, юрта, вигвам, купол, круглая палатка Взрослые 0123456789101112131415161718192021222324252627282930 Дети Возраст детей Бронируете группой? — Макс. количество человек: 2 x На участке можно разместить одну единицу категории Палатка. Размер участка : Макс 3,0m ширина x 2,0m глубина (9,8ft ширина x 6,6ft глубина) Площадь: 6,0m² (64,6ft²) Тип поверхности: с травой и гравийным покрытием — Макс. количество человек: 6 x На участке можно разместить одну единицу категории Палатка или Палатка-автоприцеп. Размер участка : без ограничений Тип поверхности: с травой и гравийным покрытием — Макс. количество человек: 6 x На участке можно разместить одну единицу категории Дом на колесах или Автодом. Размер участка : без ограничений Тип поверхности: с травой и гравийным покрытием — Макс. количество человек: 6 x На участке можно разместить одну единицу категории Автофургон. Размер участка : без ограничений Тип поверхности: с травой и гравийным покрытием Отзывы 7,5 Общая оценка на основании 25 отзывов   84% порекомендовали бы это место друзьям. 76% приехали бы сюда снова.   Distribution requires 3 reviews or more. 10 20% 9 0% 8 48% 7 0% 6 20% 5 0% 4 12% 3 0% 2 0% 1 0% Больше оценок Место Соотношение цены и качества Условия проживания Удобства/виды активности Обслуживание Подходит для детей Чистота Wifi Показать отзывы от: Все авторы обзоровСемьи с маленькими детьмиСемьи с детьми постаршеЗрелые парыМолодые парыПутешественники-мужчиныПутешественники-женщиныГруппы в основном из мужчинГруппы в основном из женщин Сортировка по: Месяц (по убыванию давности)Общая оценка (по возрастанию)Общая оценка (по убыванию)Самые полезные сверху Где останавливались: Все типы размещенияУчастки для палатокУчастки для автофургоновУчастки для автодомовХижины, охотничьи домики, домики-капсулы или избушкиАренда фургоновАренда палатки Оригинальный язык отзыва: Все языкиАнглийский (США)Английский (Австралия)Французский (Бельгия)Португальский (Бразилия)Английский (Канада)КаталанскийЧешскийДатскийНидерландскийАнглийскийФранцузскийФранцузский (Канада)НемецкийГреческийВенгерскийАнглийский (Ирландия)ИтальянскийАнглийский (Новая Зеландия)НорвежскийПольскийРусскийУпрощенный китайскийАнглийский (ЮАР)ИспанскийШведский Показывать только отзывы о вариантах, забронированных на Pitchup. com Показаны отзывы только за последние 30 мес. Сбросить фильтры Ниже находятся отзывы на других языках. Ankommen-Genießen!16.09.2022 Alexandra B.Подтверждено В целом 10 Место Соотношение цены и качества Условия проживания Удобства/виды активности Обслуживание Подходит для детей (Нет оценки) Чистота Wifi Zeer slechte faciliteiten, wel vriendelijk personeel en goede plaats. 30.07.2022 АнонимныйПодтверждено В целом 4 Место Соотношение цены и качества Условия проживания Удобства/виды активности Обслуживание Подходит для детей Чистота Wifi This was our second time at Camping Le Balze. The …25.07.2022 Bódis R.Подтверждено В целом 10 Место Соотношение цены и качества Условия проживания Удобства/виды активности Обслуживание Подходит для детей Чистота Wifi Location and swimming pool13.07.2022 АнонимныйПодтверждено В целом 4 Место Соотношение цены и качества Условия проживания (Нет оценки) Удобства/виды активности Обслуживание Подходит для детей (Нет оценки) Чистота Wifi Non ci torneremo perché è più simile ad un area sosta che ad un campin15. 06.2022 cristina n.Подтверждено В целом 4 Место Соотношение цены и качества Условия проживания Удобства/виды активности Обслуживание Подходит для детей Чистота Wifi (Нет оценки) Struttura molto buona con servizi puliti e personale molto gentile09.06.2022 АнонимныйПодтверждено В целом 8 Место Соотношение цены и качества Условия проживания Удобства/виды активности Обслуживание Подходит для детей Чистота Wifi (Нет оценки) Freundliches Personal, Super Pool, und alles war sauber07. 06.2022 АнонимныйПодтверждено В целом 8 Место Соотношение цены и качества Условия проживания Удобства/виды активности Обслуживание Подходит для детей (Нет оценки) Чистота Wifi Nice campsite if you don’t need electric07.06.2022 Nicola B. Подтверждено В целом 6 Место Соотношение цены и качества Условия проживания Удобства/виды активности Обслуживание Подходит для детей (Нет оценки) Чистота Wifi (Нет оценки) Ben situat a prop de Vetralla.10.06.2022 АнонимныйПодтверждено В целом 8 Место Соотношение цены и качества Условия проживания Удобства/виды активности Обслуживание Подходит для детей Чистота Wifi (Нет оценки) Sehr schöne und ruhige Lage. Das Zentrum von Volterra ist …25.05.2022 Sandra C.Подтверждено В целом 8 Место Соотношение цены и качества Условия проживания Удобства/виды активности Обслуживание Подходит для детей (Нет оценки) Чистота Wifi Характеристики Развлечения в кемпинге Бар или клуб Бассейн на улице Велопрокат Вечерняя развлекательная программа Водный спорт Детский клуб Еда на вынос Игровая комната Игровая площадка Крытый бассейн Ресторан/кафе при объекте Рыбалка ТВ-зал Теннис Фитнес-центр Удобства на месте Composting toilet Dog park Portaloo Pub toilets WiFi Бесплатный WiFi Доступ в Интернет Есть ванна Есть душ Место для мытья посуды Охлаждение пакетами со льдом Парковка возле участка/единицы размещения Прачечная Продуктовый магазин Сушильная комната Телефон общего пользования Трансфер от остановки общественного транспорта Туалет Туалет для родителей с детьми Удобства для инвалидов Можно группой Подходит для групп одного пола Подходит для мотоциклистов Подходит для семейного отдыха Подходит для собраний Подходит для студенческих компаний Правила Гриль предоставляется Коммерческий транспорт разрешен Можно жечь костры Можно использовать гриль Можно с собаками Можно с собаками круглый год Темы Бюджет / пеший туризм Живописный вид Удобства Electric car charging point(s) Возобновляемый источник энергии Газовые баллоны в наличии Места для зарядки устройств Переработка мусора Утилизация химреагентов Места поблизости Dog walk nearby Бар рядом Магазин рядом Остановка общественного транспорта рядом Тип Средний (26-50 участков) Развлечения поблизости Велопрокат рядом Верховая езда рядом Гольф рядом Крытый бассейн рядом Маунтинбайк рядом Открытый бассейн рядом Парк развлечений/тематический парк рядом Ресторан рядом Автодома и автофургоны Подключение водоснабжения для автодомов Подключение канализации для автодомов Пункт обслуживания автодомов Место [[ campsite. name ]] Этот объект сейчас не принимает бронирования через Pitchup.com. Бронировать сейчас Изменить поиск Проверить наличие мест [[ place.name ]] Внимание: все расстояния на этой странице рассчитаны напрямик — пожалуйста, воспользуйтесь кнопкой «Как добраться» выше, чтобы уточнить фактическое расстояние в зависимости от вашего способа передвижения. Правила Возможное время заезда/отъезда Размещение в собственных палатках и автодомах Заезд:  любое время –  19:00 Отъезд до:  10:00 Camping Le Balze — правила отмены Возврат остатка: без штрафа Плохая погода, поздний заезд или ранний отъезд не являются причинами для возврата денег или применения скидки. Если вам нужно отменить или изменить бронирование, пожалуйста, сообщите об этом как можно раньше, чтобы ваше место могли занять другие. Возможно, вас заинтересует возможность страхования на случай отмены, а также страхования собственности и страхования от несчастных случаев на время вашего путешествия. Обратите внимание, что сумма залога выплачивается сервису Pitchup.com и не подлежит возврату. Оплата Невозвратный залог в размере 15% подлежит оплате прямо сейчас. Остаток уплачивается непосредственно Camping Le Balze при заезде. Налог Местный городской налог в размере 1,00 € (60,60 ₽) с человека за ночь для минимального возраста 12 до 3 ночей не включен в стоимость и подлежит уплате при заезде. Какие способы оплаты принимаются на объекте Maestro MasterCard Visa Наличные Условия и положения 850e2af437f2.css»> Сколько нужно заплатить вперед? При бронировании нужно внести переводной залог в размере 15%. Остаток уплачивается при заезде. Читать дальше Есть ли бассейн в Camping Le Balze? Да Смотреть все характеристики Можно ли приезжать в Camping Le Balze с собаками? Да Смотреть все характеристики Что интересного рядом с Camping Le Balze? В первую очередь стоит посетить Вольтерру, до которой всего пять минут езды: история этого знаменитого (и очень красивого) города на вершине горы уходит корнями в VII век до нашей эры, и это … Читать дальше Когда оформляется заезд/выезд из Camping Le Balze? Размещение в собственных палатках и автодомах Заезд:  любое время –  19:00 Отъезд до:  10:00 Читать дальше Сколько стоит проживание в Camping Le Balze? От 1 733,34 ₽ (за 1 ночь, 2 взрослых) — цена может отличаться в зависимости от дат проживания и количества гостей. Смотреть цены и наличие мест Министерство здравоохранения Российской Федерации Ваше уведомление успешно отправлено. Спасибо за ваш отзыв! Расширенный поиск Вид документаВыберите из спискаФедеральный законРаспоряжение Правительства РФАналитический обзорДокладЗаконВедомственный приказИнформацияПисьмоСтандартРекомендацииКлинические рекомендацииМониторингСовместный приказПротоколПроектПостановлениеПостановление Правительства Российской ФедерацииФормаМетодические указанияОтчетСправкаПереченьСтатистические материалыИнформация Порядок оказания медицинской помощипереченьРаспоряжениеПостановление Правительства РФПорядок оказания медицинской ПриказМетодическое письмоПостановление УказПланПрограммаМПЗЗрекомендацияПриказ ПриказприказПлан мероприятийинформацияУказ Президента Российской ФедерацииПравительственная телеграммаКомментарийИнформационное письмо МатериалыИнформационно-методическое письмоРаспоряжение ПамяткаСтатистикаИнформационное письмоМетодологическое письмоПроект приказаПорядок оказания медицинской помощи Международный актПроект федерального законаИнструкцияТелеграмма Принявший органВыберите из спискаФедеральный законМинистерство здравоохрания Российской ФедерацииМинистерство здравоохрания Российской Федерации Министерство здравоохранения Российской Федерацииот Министерство здравоохранения Российской ФедерацииМинистерство здравоохранения Российской ФедерациФедеральный Фонд обязательного медицинского страхованияМинистерство здравоохранения Российской ФедерацииМинистерство здравоохранения Российской Федерации548Министерство здравоохранения Российской Федарации Министерство финансов Российской ФедерацииПрезидент РФМинистерство здравоохранения Министерство здравоохранения Российской Федерации Правительственная комиссия по координации деятельности открытого правительстваПрезидент Российской ФедерацииМинистерства труда и социальной защиты РФМинистерствоздравоохранения Российской Федерации Минздрав РоссииМинистерства здравоохранения Российской ФедерацииМинздрав России Правительствj Российской ФедерацииМинистерство здравоохранения Российской Министерство здравоохранения и социального развития Российской ФедерацииМинздравсоцразвитияПравительство РФМЧС РФ Минздрав РоссииМинистерствj здравоохранения Российской Федерации Правительство Российской ФедерацииУказ ПрезидентаМинистерство здравоохранения Российской Федеррации Министерства здравоохранения Российской Федерации Министерство здравоохранения Российской Федерации Министерства здравоохранения Российской ФедерацииМинистерсто здравоохранения Российской Федерации Номер документа Область поискаВыберите из спискаВсе данныеТолько заголовки Опубликован в категорииВыберите из спискаОбщественный совет при Минздраве России приказпорядки оказания медицинской помощипорядок оказания медицинской помощи приказДепартамент организации экстренной медицинской помощи и экспертной деятельностианкеты независимая оценка качестваМКБ Х стандарты приказДепартамент инфраструктурного развития и государственно-частного партнерстваДепартамент инновационной политики и наукипорядки оказания медицинской помощи приказдонорство органов и трансплантацияДепартамент анализа, прогноза и инновационного развития здравоохраненияДепартамент лекарственного обеспечения и регулирования обращения медицинских изделийнезависимая оценка качестванезависимая оценка качества приказтиповые отраслевые нормы времени врач приказкодекс этики и служебного поведения приказприказ независимая оценка качестваприказ стандарты МКБ Хпорядок оказания медицинской помощиОбщественный совет при Минздраве Россиимедицинские кадры и образованиемеждународное сотрудничествоинформатизация здравоохраненияобращение лекарственных средствМКБ X стандарты приказПротиводействие коррупции приказспортивная медицинадокладприказ порядок Минздрав РоссииматериалыФедеральный Фонд обязательного медицинского страхованияправительственная телеграммаотчетспециализированная медицинская помощьстандартраспоряжениепроектписьмоМинздрав РоссииПравительство РФметодические указанияурологияпротоколтелеграммасправкаотраслевое соглашениеторакальная хирургияревматологияинформацияПрезидент РФДепартамент международного сотрудничества и связей с общественностьюстатистикаДепартамент информационных технологий и связиплатная медицинская помощьтребованияправиларазъясненияпландемографическая политикапамятканаркотические средствапособиеобразованиегинекологияДТПстрахованиефедеральное агентствоинформационное письмоплан-графикмедицинские изделия20112014постановлениепрограммаФинансово-экономический департаментперечень лекарствконкурсбеременностьположениеорфанные заболеванияприказдиспансеризациясовет по этикепорядокуказвнештатаные специалистыЕГИСЗмедицинские информационные системыструктурапервая медицинская помощьмедицина катастрофтуберкулезслужба кровифедеральные целевые программы приказбланкзаконМинздрав России приказбесплатная медицинская помощьслужба медицины катастрофгосударственные закупкипроверкаАдминистративный регламентстанднартыстандартыбюджетзащита населения и территорий от чрезвычайных ситуацийВИЧДепартамент управления делами и кадроввакцинациястандарыстандатысандартыМКБпркиазстандартныепрказстанартыобеспечение лекарственными средствамиприказыМКБ Хконтрольная деятельностьМКБ Xстадартынезависимая оценка качества приказыприказ Противодействие коррупциигосударственная службаПротиводействие коррупцииДепартамент государственного регулирования обращения лекарственных средствцентры здоровьямедицинская помощь детямвысокотехнологичная медицинская помощьпрофилактикаонкологияборьба с курениемДепартамент охраны здоровья и санитарно-эпидемиологического благополучия человекарегионыДепартамент медицинской помощи детям и службы родовспоможенияВероника СкворцоваМинистрскорая медицинская помощьДепартамент медицинского образования и кадровой политикиколлегияДепартамент организации медицинской помощи и санаторно-курортного деламедицинская помощьрекомендациивниманию регионовДепартамент учетной политики и контроляобщественный совет про НОКпереченьсовет общественных организаций по защите прав пациентов при Минздраве России Принят позже, чем … Принят раньше, чем … Порядок сортировкиПо убыванию даты (сначала новые)По возрастанию даты (сначала старые)По релевантности 30 мая 2022 Приказ Министерства здравоохранения РФ от 10. 07.2015 № 434н «Об утверждении Методических рекомендаций по расчету финансовых затрат на оказание медицинской помощи по каждому протоколу клинической апробации методов профилактики, диагностики, лечения и реабилитации» Приказ 434н Минздрав России 2015-07-10 30 мая 2022 Приказ Минздрава России от 28 апреля 2022 г. № 294 «Об утверждении состава совета по этике» Приказ 294 Минздрав России 2022-04-28 13 апреля 2022 Федеральный закон о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации МПЗЗ №64-ФЗ Федеральный закон 2022-03-26 13 апреля 2022 Указ Президента Российской Федерации МПЗЗ №474 Указ Президента 2020-07-21 13 апреля 2022 Приказ Минздрава России МПЗЗ №698н Минздрав России 2021-07-01 13 апреля 2022 Постановление Правительство РФ МПЗЗ № 2299 Правительство Российской Федерации 2020-12-28 13 апреля 2022 Постановление Правительства РФ МПЗЗ №505 Правительство Российской Федерации 2022-03-29 13 апреля 2022 Приказ Минстроя России МПЗЗ №63пр Минздрав России 2022-02-01 07 апреля 2022 Памятка для работодателей в случаях, связанных с размещением вакансий Памятка Минздрав России 2022-04-05 04 апреля 2022 План адаптации к изменениям климата 31 марта 2022 Перечень редких (орфанных) заболеваний Перечень Минздрав России 2022-03-31 27 декабря 2021 Приказ МЗ от 25 октября 2021 г. N 1008 О внесении изменений в некоторые приказы Министерства здравоохранения Российской Федерации об утверждении ОФС и ФС Приказ 1008 Министерство здравоохранения Российской Федерации 2021-10-25 18 ноября 2021 Перечень редких (орфанных) заболеваний Перечень Минздрав России 2021-11-18 10 ноября 2021 Постановление Правительства Российской Федерации от 12.10.2021 № 1730 «Об утверждении Правил предоставления иных межбюджетных трансфертов из федерального бюджета бюджетами субъектов Российской Федерации, признанных территориями, «свободными от COVID-19» Постановление Правительства Российской Федерации 1730 2021-10-12 27 сентября 2021 Перечень редких (орфанных) заболеваний Перечень Минздрав России 2021-09-27 21 сентября 2021 Методические рекомендации для руководителей медицинских организаций первичного звена здравоохранения МПЗЗ 2021-09-21 13 сентября 2021 Инструкция по оказанию первой помощи с применением Аптечки для оказания первой помощи работникам Инструкция Минздрав России 2021-09-13 13 сентября 2021 Инструкция по оказанию первой помощи с применением укладки для оказания первой помощи пострадавшим на железнодорожном транспорте Инструкция Минздрав России 2021-09-13 13 сентября 2021 Инструкция по оказанию первой помощи с применением укладки для оказания первой помощи пострадавшим в ДТП сотрудниками ГИБДД Инструкция Минздрав России 2021-09-13 13 сентября 2021 Инструкция по оказанию первой помощи с применением укладки для оказания первой помощи в сельских поселениях Инструкция Минздрав России 2021-09-13 Всего документов: 4145. Northrop Grumman Corporation (NOC) CFO David Keffer Presents at JPMorgan Industrials Conference (Transcript) Transcripts Industrial Mar. 15, 2022 4:32 PM ETNorthrop Grumman Corporation (NOC) SA Transcripts 130.6 K Подписчики Корпорация Northrop Grumman (NYSE:NOC) Конференция JPMorgan Industrials 15 марта 2022 г. 14:10 по восточному времени Участники компании Сет Сейфман — JPMorgan Участники телефонной конференции Тодд Эрнст – IR Дэвид Кеффер – финансовый директор Сет Сейфман Хорошо. Добрый день. Добро пожаловать обратно на трек аэрокосмической обороны на конференции JPMorgan Industrials 2022. Я Сет Сейфман, аналитик по акциям аэрокосмической обороны США, и мы очень благодарны за то, что сегодня днем ​​с нами будет руководство Northrop Grumman, а также Дэйв Кеффер, финансовый директор, и Тодд Эрнст, который занимается IR и казначейством, и приветствует ребят. Спасибо за то, что вы здесь. Я думаю, что Тодд начнет это, а затем мы пойдем к Дейву и поможем нам подготовить сцену с тем, что происходит в компании, а затем мы погрузимся в некоторые вопросы и ответы. Тодд Эрнст Отлично. Спасибо, Сет. Добрый день всем. Сегодня мы собираемся сделать несколько прогнозных заявлений, и эти заявления связаны с рисками и неопределенностями, и информацию об этих рисках и неопределенностях можно найти в наших документах SEC. На этом я передам его Дэйву. Дэвид Кеффер Отлично. Спасибо, Тодд. Сет упомянул, что я Дэйв Кеффер, финансовый директор компании. Несколько вступительных комментариев просто для того, чтобы закрепить общее понимание бизнеса и текущей рыночной ситуации, а затем я передам их вам, Сет, для дальнейших вопросов. 2021 год был действительно успешным для компании, и мы были рады обеспечить 3% органического роста в этом году. Мы увеличили операционную маржу сегмента на 40 базисных пунктов, даже несмотря на растущую базу затрат на развитие благодаря новым крупным программам, которые мы получили в последние годы. Так что мы гордимся этим. Отличные показатели прибылей и убытков. Мы также генерировали сильные денежные потоки в сочетании с доходами от продажи нашего бизнеса в области ИТ-услуг. Этот сильный денежный поток позволил нам вернуть нашим акционерам 4,7 млрд долларов США в течение 2021 года, в том числе около 3,7 млрд долларов США в виде деятельности по обратному выкупу акций, что свидетельствует о нашей неизменной приверженности возврату денежных средств акционерам по средней цене около 344 долларов США. Поэтому мы считаем, что в процессе мы создали сильную экономическую ценность. Мы начинаем 2022 год с сильной опорой. Мы по-прежнему прогнозируем органический рост от 2% до 3% в нашем прогнозе на 2022 год, а также стабильную и по-прежнему сильную операционную маржу сегмента, соответствующую прошлогоднему уровню в 11,7–11,9% в этом году, а также продолжающиеся высокие доходы и генерирование свободных денежных средств. И теперь мы предоставили прогноз свободного денежного потока на три года с двузначным среднегодовым темпом роста свободных денежных средств с 22 по 24 год. Как вы можете себе представить, все это основано на все более сильной бюджетной среде, как внутри страны, так и за рубежом, и мы поговорим об этом подробнее, я уверен, в течение этих 40 минут. В самом ближайшем будущем большое внимание было уделено некоторым временным препятствиям, связанным с цепочками поставок и сбоями в работе, связанными с COVID. Мы с оптимизмом смотрим на то, что в этом году эти встречные ветры ослабнут по мере продвижения года в дополнение к новому бюджету, который был принят этой весной на 22 финансовый год, положивший конец продолжающейся резолюции. Эти временные встречные ветры, я думаю, будут все более и более управляемыми в течение года. В этом квартале мы даже видели, что встречные ветры Omicron, связанные с производительностью и невыходами на работу, немного ослабли, поскольку квартал развивался, как и следовало ожидать, учитывая более широкую среду COVID. Мы ожидаем аналогичного ослабления некоторых проблем в цепочках поставок, с которыми наша отрасль сталкивалась в прошлом году, и в 2022 году. Итак, то, что мы сказали нашим инвесторам ожидать в этом году, отличается от прошлого года, когда мы росли быстрее в годовом исчислении в первой половине года, чем во второй, мы ожидаем, что этот год будет годом, когда наш органический рост в годовом исчислении улучшается в течение года. Таким образом, первый квартал может выглядеть скорее как 24% от прогнозного диапазона за весь год, улучшающегося до 25% и 26%, как вы можете себе представить, в течение года. И этот тип траектории роста в течение года согласуется как с более широкой средой спроса, так и с текущим взглядом на среду предложения. Когда мы говорим о более широкой среде спроса, очевидно, что краткосрочное внимание сосредоточено на событиях, происходящих в Украине, и международной напряженности, которая продолжается в процессе. Конечно, мы хотели бы сосредоточить обсуждение на среднесрочной и долгосрочной среде, среде угроз и вытекающих из этого бюджетных тенденциях, которые мы ожидаем в результате, когда у нас есть мнение, что среда оборонного бюджета сильна и становится сильнее. Даже в последние несколько месяцев мы наблюдаем усиление поддержки, а затем окончательное принятие сводного законопроекта на 2022 год на уровне более 740 миллиардов долларов для министерства обороны, первоначальный запрос президента составлял 715 миллиардов долларов. Так существенно выше этого уровня И затем первоначальная дискуссия, разговоры о перспективах бюджета на оборону на 2023 год также сильны, так что мы слышим, как люди по обе стороны прохода поддерживают идею реального роста бюджета на оборону в 2023 году помимо воздействия инфляции. на кафедре. Поэтому я думаю, что все это подкрепляется средой угроз, которая продолжает оставаться движущей силой долгосрочной среды спроса для нашего бизнеса, независимо от изменений в администрации и руководстве Конгресса и так далее. Что касается приоритетов в рамках бюджета, мы по-прежнему видим, что почти равноправная среда угроз является основной средой следующего десятилетия и далее, что передовые технологии, связанные со стратегическим сдерживанием, и ядерная триада, работающие в — Разрешительная среда, подобная той, которую создали бы Китай, Россия и другие близкие к ним угрозы, — вот что направляет наше оборонное ведомство в плане принятия инвестиционных решений и типов программ, которым они будут уделять приоритетное внимание в течение следующего десятилетия. Мы считаем, что в Northrop Grumman очень хорошо понимают эти приоритеты. Мы поддерживаем в первую очередь две ветви ядерной триады, и мы также поддерживаем третью. У нас большой космический бизнес. Это была наша быстро-самая быстрорастущая часть нашего бизнеса, которая по-прежнему видит широкие возможности для роста в 2022 году и далее. В нашем бизнесе миссионерских систем, как и в будущем, я хотел бы отметить виды работ, которые они выполняют в области сетей и связи, кибернетических и других сенсорных миссий, я думаю, они находятся на переднем крае и очень соответствуют программам. приоритет в правительстве в эти дни. Таким образом, в целом мы видим здоровую среду и очень хорошо согласованный портфель для продолжения работы в этой среде роста. На этом я передам его вам, если возникнут вопросы. Сессия вопросов и ответов Q — Сет Сейфман Отлично, отлично. Это было, это было прекрасное описание ситуации, оно касалось всего, но на самом деле не предвосхищало мои вопросы. Я благодарен за это. Но вы затронули ряд тем, которые мы рассмотрим, и, возможно, я начну с пары вопросов, а затем мы выйдем к аудитории. Я думаю, что раньше, может быть, мы перейдем к прогнозу бюджета и текущим событиям. вы говорили о влиянии COVID и проблем с цепочками поставок на компанию, и я думаю, что за последние два квартала мы, вероятно, больше всего видели F-35, и поэтому, можете ли вы рассказать о влиянии, которое COVID оказал на это? программы, и как обстоят дела с точки зрения восстановления темпов производства, которые вы, ребята, ожидаете, без каких-либо сюрпризов? Дэвид Кеффер Конечно. Таким образом, программа F-35 для нас является нашей крупнейшей программой высокопроизводительного производства. Это фиксированная цена с большим содержанием труда Northrop Grumman. И в результате возникает ряд проблем в среде, где есть проблемы с производительностью и прогулами, такие как COVID создал для нас и многих других компаний. Мы столкнулись с ними в форме изменений EAC во второй половине 2021 года. Как вы упомянули, они были вызваны в основном в четвертом квартале изменением производительности, которое мы сочли необходимым для сглаживания производственного потока программы. . А затем достичь ускорения этого темпа за пару интервалов в течение 2022 года в лучших условиях труда, с меньшим количеством прогулов и большей производительностью. Это тот тип среды, который мы сейчас наблюдаем в течение последнего месяца или более, поскольку показатели заболеваемости Omicron снизились, уровни производительности улучшились, и существует возможность действительно вернуться на эту прочную основу в таких программах, как F-35. Итак, есть другие программы, в которых мы можем говорить о других элементах цепочки поставок, но для F-35 основной упор в этой программе на то, чтобы вернуть его на правильную основу в последние месяцы, был сделан на нашем труде. И это то, в чем мы уверены в более управляемой среде COVID. Сет Сейфман Хорошо. И затем, когда мы думаем о том, что находится за пределами F-35, и о том, труд или материалы, и что-то вроде чипов, и конкретно здесь мы думаем о системах миссий, как дела там продвигались, и я думаю, может быть, вы упомянули тот факт, что эти встречные ветры отступят, когда мы двигаться через год. Итак, в какой степени мы должны думать о том, что они все еще присутствуют, скажем, в первом тайме? Дэвид Кеффер Конечно. Эти более широкие экономические последствия, особенно для нашей цепочки поставок, которые, возможно, возникли в результате воздействия COVID, но больше не привязаны строго к показателям заболеваемости COVID, не исчезнут в любой момент. Я думаю, что им потребовалось больше времени, чтобы прибыть, и им потребуется немного больше времени, чтобы угаснуть. И именно поэтому мы видим, что год идет именно так. И я думаю, что некоторые из наших коллег по отрасли тоже. Мы видели очаги проблем на стороне цепочки поставок, такие области, как полупроводники, логистика и доставка, были очагами особых проблем. Некоторые товарные области также были проблемой, но я отдаю должное нашей команде. Мы проделали большую работу по смягчению этих последствий в максимально возможной степени, управляя их влиянием на наши программы, сроки и этапы доставки и, следовательно, на успех миссии наших клиентов. В эти дни мы внимательно следим за инфляцией. Наш бизнес и наш рынок имеют лучшую способность оградить себя от инфляционного давления, чем некоторые другие рынки, но это, безусловно, то, на чем мы должны продолжать фокусироваться, смягчать и управлять каждый день посредством работы по контракту, путем переговоров с нашими поставщиками, поддержания фиксированных ценовые соглашения с нашими поставщиками, когда у нас есть соглашения о фиксированных ценах с нашими клиентами, переоценка этих программ на ежегодной основе, где это возможно, и другие договорные средства. Таким образом, эта среда продолжает развиваться, но мы надеемся, что она будет улучшаться в течение 2022 года9.0009 Сет Сейфман Хорошо. Это интересное замечание по поводу инфляции. Я предполагаю, что мыслительный процесс обычно заключается в том, что защита в некоторой степени защищена, потому что через нее проходит много затрат, и это правда, но есть своего рода… могут быть различия во времени, могут быть многолетние соглашения, и поэтому я догадываюсь, в какой степени Приходилось ли вам находить пыль в книге пьес, с которой, возможно, люди не были знакомы в течение очень долгого времени с точки зрения принятия этих мер и обеспечения защиты полей. Дэвид Кеффер Это замечательно, очень важно, потому что мы не были в такой инфляционной среде уже много лет. Таким образом, с точки зрения приоритетов переговоров с нашими клиентами и поставщиками, она отличается от среды, в которой мы находились в последние годы. И это не значит, что условия переговоров в последние годы стали более простыми и прямолинейными. Это просто добавляет другую проблему, чем те, с которыми мы имели дело в других средах. Таким образом, мы быстро стряхнули пыль и очень усердно относимся к этой пьесе в последние кварталы. И ситуация варьируется от контракта к контракту, от материала к материалу или от поставщика к поставщику, но во всех случаях мы пытаемся управлять нашими рисками, уменьшая наши риски, насколько это возможно. Конечно, по вашему мнению, это более простое упражнение для бизнеса с затратами, чем для бизнеса с фиксированной ценой. Большая часть нашего портфеля контрактов с фиксированной ценой переоценивается ежегодно. Для тех и других программ, цены на которые пересматриваются реже, мы работаем над тем, чтобы в контрактах были предусмотрены такие вещи, как корректировка цен, если инфляция достигает определенного уровня, или повторное открытие при определенных условиях. Таким образом, в нашей отрасли имеются инструменты для снижения рисков, связанных с инфляцией, и мы делаем для этого все возможное. Сет Сейфман Хорошо. Если мы, я думаю, если мы обратимся к бюджету, Конгресс наконец согласовал пакет ассигнований на 22 финансовый год на прошлой неделе. Есть ли что-то, что вы могли бы выделить для Northrop Grumman в плане того, что все пошло не так, как вы могли ожидать? Дэвид Кеффер Принятый бюджет? Омнибус, который был принят в марте, я думаю, соответствовал тому, на что мы и другие представители отрасли надеялись и считали вероятным, и отвечал интересам правительства, но было приятно видеть, что он был принят своевременно без дополнительного прохождения CR. что продлило это дальше до конца первой четверти или позже. Если говорить конкретно, то теперь у нас есть оборонный бюджет на 2022 год, который составляет более 740 миллиардов долларов с дополнительными суммами в виде дополнений, связанных с поддержкой Украины. Также доступно некоторое дополнительное финансирование COVID. С точки зрения конкретных областей поддержки, наиболее важных для Northrop Grumman. мы действительно видели плюсы для некоторых из наших ключевых программ. Таким образом, в программу Triton было добавлено два дополнительных самолета. В программе F-18 мы также являемся ключевым поставщиком дополнительных самолетов. Мы увидели мощную поддержку каждой из составляющих ядерной триады, которые имеют решающее значение для нашего бизнеса. Космический портфель в Northrop Grumman также получил очень хорошую поддержку, программы в портфеле систем миссии, такие как Sabre и Gator, снова получили значительную поддержку в окончательном утвержденном бюджете. Программа IBCS, в рамках которой мы получили конкурсную награду за производство в декабре, также хорошо поддержана в бюджете. Итак, я думаю, что если вы сложите все это, вы увидите сильную поддержку типов работ, которые мы выполняем для наших клиентов, передовые возможности, инновационную высокотехнологичную инженерную работу в поддержку угроз следующего поколения. И это очень хорошо согласуется с набором приоритетов, который мы описали ранее. И тот, который, как мы думаем, пользуется большей откровенной поддержкой, чем когда-либо внутри страны и за рубежом, Сет Сейфман Когда мы думаем о, я думаю, направлении пересмотра бюджета, как мы думаем о 2023 году, сейчас, вероятно, вверх, и мы думаем о том, что была ориентация на равных конкурентов и особенно на Китай, и компания довольно хорошо с этим согласуется, но в той степени, в которой есть дополнительные доллары, теперь в Европе есть другая угроза, которая выглядит немного по-другому. Делает ли это появление этой угрозы, или, я думаю, всегда существует, но тот факт, что она более выражена сейчас, повышает вероятность того, что некоторые из устаревших программ, которые могли быть встречными ветрами в аэронавтике, для например, что, может быть, это вино в конечном итоге будет немного лучше поддерживаться на какое-то время? Дэвид Кеффер Я думаю, что время покажет на этом фронте, и еще рано быть слишком конкретным с ожиданиями. В целом, мы считаем, что тенденции, которые существовали в течение последнего года или более и которые, как мы ожидали, сохранятся в течение следующих нескольких лет, сохранятся, и что будут компромиссы, которые необходимо найти. сделанный. Несмотря на то, что может существовать сильная и укрепляющаяся бюджетная среда, по-прежнему необходимо искать компромиссы с точки зрения унаследованных программ, которые менее актуальны в театре будущего, чем они были в театре прошлого. И есть небольшие части нашего портфолио, которые попадают в эту категорию. Опять же, мы чувствуем себя очень хорошо в соответствии с областями роста, которые заменят их, и я думаю, что было бы наивно полагать, что прилив поднимет все лодки, движущиеся вперед, но, скорее, некоторые из этих компромиссных решений необходимо будет продолжать принимать. . Окончательное время может быть еще в разработке, но мы все равно сосредоточены на этих возможностях следующего поколения, Сет Сейфман Я думаю, что с точки зрения этих возможностей следующего поколения, многие из них находятся в космосе. Я был на конференции в округе Колумбия на прошлой неделе с несколькими начальниками служб и секретарями, и большое внимание было уделено космосу. Я думаю, что основным драйвером роста космического бизнеса Northrop за последний год или около того была программа GBSD, и это то, на что мы все можем смотреть сами по себе, но остальная часть портфеля также довольно неплохо росла. Не всегда так просто анализировать эту часть портфеля, потому что многие из них ограничены, но можете ли вы рассказать о возможностях, которые будут стимулировать, отложив в сторону GBSD, возможности, которые будут стимулировать рост пространства в 2023 г. , 2024, 2025? Что, каковы — есть ли какие-то возможности или программы, которые выделяются? Дэвид Кеффер Конечно. Я не могу пролить свет ни на возможности, ни на программы, потому что считаю, что и то и другое важно в этом отношении. Рост, который мы обеспечиваем в нашем космическом бизнесе, и рост, который мы прогнозируем в будущем в нашем космическом бизнесе, имеют гораздо более широкую основу, чем GBSD, и даже гораздо более широкую основу, чем GBSD и ограниченный портфель, о котором вы также упомянули. С точки зрения программы, работа в качестве перехватчика следующего поколения — это важнейшая программа противоракетной обороны, в которой мы сейчас являемся одним из двух кандидатов на важный этап в течение следующих нескольких лет, это важнейшая долгосрочная программа для нашего заказчика. набор и хороший элемент нашего двигателя роста в эти дни. На гражданской стороне космоса миссии Артемиды являются для нас источником роста. Контракт SLS, который мы получили в 2021 году на стороне ракеты-носителя, а также программа Halo, в рамках которой мы разрабатываем среду обитания и логистический аванпост для гражданской части космоса, я думаю, являются хорошими примерами роста программы, которую мы в этой части космического рынка, часть того, что мы делаем в сфере национальной безопасности, мы не можем обсуждать, но есть и другие примеры роста, и я указываю на два, о которых было объявлено только в этом квартале. Один по имени Темный; DARC, который занимается наземными станциями и поддерживает космические силы, другой, названный первым траншейным транспортным уровнем SDA, добавил Northrop Grumman в качестве нового лауреата, который не был лауреатом на. .. или подрядчиком на нулевой стороне траншеи. Это хорошая возможность роста для компании, чтобы служить важной миссии для агентства космического развития в будущем. Итак, все это хорошие примеры в неограниченной области. С точки зрения возможностей, мы очень твердо уверены в нашей способности обслуживать широкий спектр рынков в космосе, от самых ограниченных работ до гражданской работы и даже отдельных коммерческих работ, которые также являются вспомогательными для правительственного космоса. И это в возможностях, включая слежение за ракетами, которые, как вы можете себе представить, в эпоху сосредоточения внимания на гиперзвуке являются критически важными возможностями для правительства. Наша программа HBTSS является примером одного из важных уровней этого многоуровневого подхода. ISR продолжает оставаться ключевой возможностью и для правительства. И затем, конечно, мы не уделяли много внимания GBSD, но это многомиллиардная программа в год, которая является ключевой частью ядерной триады и поэтому чрезвычайно хорошо поддерживается, когда мы думаем о бюджетной среде и общей политической обстановке. в эти дни в своей критически важной миссии сдерживания, поддержка которой, я думаю, очевидна в эти дни. Сет Сейфман Да, нет, согласен. Когда мы смотрим на инвестиции, сделанные в космос, которые, я думаю, мы можем увидеть в раскрытом количестве капиталовложений или в год. Большая часть этого была для GBSD или есть способ вернуться к разбивке конверта, это в первую очередь GBSD или это было по всему портфелю? Дэвид Кеффер Это намного шире, чем GBSD, но, безусловно, включает GBSD. Рост нашего космического бизнеса уже несколько лет измеряется двузначными числами, и когда у вас есть бизнес, растущий так быстро, который, по прогнозам, в 2022 году станет крупнейшим сегментом нашего бизнеса с оборотом в 10 с лишним миллиардов долларов, очевидно, что будет некоторое облегчение. , дополнительные инвестиции в новые инструменты, которые сопровождают такой рост, чтобы убедиться, что мы хорошо капитализированы, поскольку мы стремимся продолжать расти и предоставлять эти возможности для наших клиентов. Таким образом, GBSD был, возможно, самой крупной отдельной частью, но далеко не единственной частью большого и растущего портфеля, который имеет определенные требования к капиталу в процессе. Сет Сейфман Хорошо. Я думаю, что пространство, безусловно, является одним из непреходящих требований. Когда мы думаем о краткосрочной перспективе, мы обычно не думаем о том, что у Northrop есть компания с очень коротким циклом, но когда мы думаем о дополнительных срочных требованиях, возможно, связанных с конфликтом в Украине, есть ли места, где компания там есть экспозиция? Дэвид Кеффер Я бы охарактеризовал это так: мы готовы поддерживать наших американских и международных клиентов, в данном случае Европу, с определенными возможностями, расходными материалами и боеприпасами и т. д. в той степени, в которой эти требования должны быть выполнены. встретились в эти дни в свете конфликта. Но, по вашему мнению, это небольшой процент портфолио Northrop Grumman. И поэтому мы бы не назвали это перспективной возможностью роста для компании в ближайшем будущем. Я думаю, что более эффективны среднесрочные и долгосрочные возможности, которые существуют в условиях растущего оборонного бюджета как в США, так и, как вы указываете, в Европе. Германия и другие страны очень четко заявили о своих намерениях вкладывать больше средств в свой оборонный потенциал. Мы считаем, что это будет включать в себя возможности для нас определить и продолжить нашу поддержку ряда стран ЕС. Великобритания была нашим важным клиентом на протяжении многих лет, и на международном уровне важно не забывать о важнейших миссиях Японии и Южной Кореи, Австралии и других стран за пределами Европы в течение следующего десятилетия. Сет Сейфман Хорошо. Может быть, я просто остановлюсь на короткую секунду здесь. Посмотрите, есть ли вопросы из зала. Хорошо, мы продолжим. Может быть, возвращаясь назад, мы говорили о космосе, а космос — это область, в которой мы видели много новых инвестиций, некоторые из них в средней военной части, некоторые нет, новые компании выходят на публику чаще, чем я могу. помните, в мое время освещать пространство было довольно увлекательно, но где вы видите больше всего возможностей для партнерства с этими нетрадиционными поставщиками со стартапами, это своего рода доступ к этим местам, где происходят новые инвестиции в важную часть вашего бизнеса. стратегия, будь то в космосе или где-либо еще в коммуникациях компании? Дэвид Кеффер Да, это так. Мы прекрасно относимся к нашему собственному положению в космосе, но мы тщательно осознаем, что новые участники с новыми технологиями и новыми идеями могут также предложить инновационные технологии и инновационные решения для наших клиентов. И поэтому сотрудничество с ними, поиск возможностей для миноритарных инвестиций для стратегического партнерства также должно быть частью нашей космической стратегии. И когда мы думаем о том, где существуют подходящие возможности для этих типов нетрадиционных партнерских отношений, инвестиций и командных отношений, это прежде всего те части космического рынка, которые. .. которые пересекаются с коммерческими рынками. Таким образом, определенные элементы разросшегося рынка Leo, определенные небольшие спутниковые возможности, определенные элементы рынка связи, безусловно, запускают услуги. Это области, в которых новые участники играют сегодня определенные роли, и мы считаем, что сочетание возможностей Northrop Grumman и существующих программ клиентского доступа может иметь смысл с точки зрения совместной работы и даже в некоторых случаях с точки зрения стратегических инвестиций. Итак, на сегодняшний день мы разобрались с некоторыми из них. Мы будем продолжать делать это в будущем, такие компании, как SpaceX и Blue Origin, были для нас отличными партнерами. В другое время есть конкуренты, и поэтому мы будем продолжать использовать подходящие возможности для работы с такими компаниями, а также с гораздо меньшим, более новым входом с возможностями нишевого года в будущем. Сет Сейфман Хорошо. Думаю, немного вернемся к финансам. Вы, ребята, дали долгосрочную или, я думаю, многолетнюю перспективу или денежный поток на последнем отчете о прибылях и убытках в январе. После этого мы увидели бюджет на 22 финансовый год, который появился выше — мы знали, что он может появиться на этом уровне, но его не было в сумке. Кажется вероятным, что финансовый 23 год будет выше того, о чем многие из нас думали в то время. Что это такое, а потом это бизнес с длинным циклом, где все требует времени, чтобы сдвинуться с мертвой точки. Итак, с более высокими, чем ожидалось, бюджетами в 22 и 23 годах, каковы последствия того, что вы уже рассказали нам о движении денежных средств в 2024 году, создает ли это возможность быть в верхнем диапазоне или немного выше этого диапазона? Дэвид Кеффер Это отличный вопрос, который нам сегодня задавали несколько раз. Я думаю, лучший способ охарактеризовать его так: мы действительно хорошо относимся к темпам роста, подразумеваемым нашим свободным периодом с 22 до 24 лет. руководство по денежным потокам на севере 10%. У нас есть базовый сценарий, который мы предполагаем, который намного шире, чем просто одно предположение о росте бюджета или одно предположение о росте компании или предположение о норме прибыли. У нас есть, как мы говорили в нашем отчете о прибылях и убытках, предположения об улучшении оборотного капитала, которые определяют часть роста этого свободного денежного потока, особенно в 2024 году, когда мы видим определенные возможности для поэтапных и поощрительных выплат. У нас также есть возможность, основанная на нашем текущем прогнозе увеличения свободного денежного потока за счет снижения капитальных затрат в 2024 году, учитывая текущий набор программных требований и потребностей, которые мы ожидаем в течение следующих нескольких лет. Вы упомянули GBSD, одну из немногих программ, которые, как мы ожидаем, сейчас находятся на пиковом уровне инвестиций. И за последние год или два мы ожидаем снижения объемов капитальных затрат к тому времени, когда мы достигнем 2024 года. Так что это полный набор предположений, которые входят в эту математику для 24 года. Прогноз свободного денежного потока. Я бы не стал указывать ни на одно изменение, будь то среда спроса или рост бюджета и т. д., чтобы резко изменить наше мышление. Со временем мы будем информировать вас о каждом из этих элементов прогноза свободных денежных потоков, но, безусловно, мы уверены в долгосрочном влиянии этих бюджетов на бизнес. Сет Сейфман Хорошо. Хорошо. Превосходно. Один из вопросов, на который я хотел ответить, не таков, я не думаю, что я когда-либо задавал его раньше, но он касается ESG, и я думаю, что Northrop занимает более видное место в этой области, чем некоторые другие, говоря об ESG. за последние годы. Вы являетесь крупным оборонным подрядчиком, так что же ESG означает для оборонного подрядчика и как компания может гарантировать, что растущее внимание к ESG не помешает максимально широкому кругу инвесторов владеть ценными бумагами, ценными бумагами Northrop, Дэвид Кеффер Возможно, мы говорили об ESG чаще, чем о других, потому что считаем, что это правильное направление для компании. Мы считаем, что наши инвесторы также должны сосредоточиться на этом, и мы гордимся нашим послужным списком по каждому из основных принципов ESG. За последние годы мы добились резкого сокращения нашего углеродного следа и выбросов. Мы гордимся раскрытием информации, которую мы предоставляем, и которую мы продолжаем улучшать каждый год в отношении наших экологических целей в среднесрочной и долгосрочной перспективе. Они были ключевым элементом в центре внимания компании задолго до того, как ESG стала фикцией среди наших инвесторов. То же самое относится и к социальной стороне, и инициативы DE&I [ph] были частью нашей… основы нашей культуры на протяжении многих лет, и мы гордимся нашим послужным списком улучшения процентной доли нашего населения, нашего лидерства. населения, которые являются цветными женщинами, и где мы планируем продолжать достигать новых и более важных целей вокруг DE&I каждый год. Мы считаем правильным поступать независимо от общей перспективы ESG инвестора. Это особенно хорошо согласуется с этой точкой зрения. С точки зрения оборонного бизнеса, мы гордимся своей работой и миссиями, которые мы поддерживаем для правительства США и наших союзников. В последние недели и месяцы мы, возможно, видели большую поддержку, чем когда-либо, для миссий, которые мы поддерживаем. Мы внимательно относимся к типу выполняемой нами работы. И мы сократили элементы портфеля за последние пару лет, такие как наша работа по биометрии, работа, связанная с кассетными боеприпасами, чтобы убедиться, что у нас лучший послужной список, чем когда-либо, с точки зрения нашего оборонного портфеля, но на фундаментальном уровне. , мы оборонная компания. Мы гордимся тем, что являемся одним из них, и мы гордимся миссией, которую мы поддерживаем от имени наших клиентов. Сет Сейфман Да. И мне любопытно, какие отзывы вы получили от американских инвесторов на тему ESG, если честно, это не упоминается в куче моих разговоров с инвесторами, но, может быть, если кто-то говорит со мной, они они уже определились, что думают об ESG. Дэвид Кеффер Мы получаем очень положительные отзывы от наших инвесторов о наших инициативах ESG. Мы получаем много отзывов о качестве раскрытия информации, которое мы предоставляем, о том, что мы включаем ESG в нашу структуру поощрений. У нас есть значимые нефинансовые показатели, включенные в наши ежегодные показатели поощрения, и они, опять же, являются частью того, как мы стимулируем и стимулируем поведение в компании. И то, как мы отчитываемся перед внешними организациями, позволяет нам получать хорошие отзывы обо всем этом, в том числе о работе, которую мы проделали в рамках нашего портфолио. Таким образом, мы думаем об этом как о отличительной черте, но, безусловно, все это основано на ощущении того, что правильно делать бизнес правильным образом. Сет Сейфман Правильно. Есть ли, я не знаю, слишком ли рано говорить, но есть мысль, что недавние события могут вызвать изменение в том, как рынок видит эту тему, и особенно в Европе, где, я думаю, было много акций, ориентированных на оборону. было трудно инвестировать в них. Дэвид Кеффер Еще рано. Я согласен составить полное представление об этом, но, безусловно, мы видим некоторые признаки того, что инвесторы, которые в прошлом ограничивали количество акций, связанных с обороной, в которые они могут инвестировать, по крайней мере, переосмысливают эту позицию, если еще не меняют ее формально. . Мы с оптимизмом смотрим на то, что акцент, который в наши дни делается на национальную безопасность и оборону, и важность типов миссий, которые мы поддерживаем как для внутренних, так и для международных клиентов, будут признаны лучше, чем когда-либо, в этой среде. И чтобы инвесторы, которые особенно сосредоточены на ESG, независимо от того, базируются ли они в Европе, США или других частях Северной Америки, могли понять, что, возможно, можно взглянуть на это свежим взглядом на любые исключения прошлого . Конечно, я думаю, что есть веские основания для оптимизма по этому поводу. И ряд инвесторов уже начали делать шаги вперед и ослаблять некоторые из этих прошлых ограничений. Сет Сейфман Хорошо. Я остановлюсь на мгновение здесь, просто посмотрите, есть ли какие-либо вопросы в аудитории. Хорошо. Может быть, если мы вернемся к портфолио, так что беспилотные средства, беспилотные воздушные средства также будут в центре будущего — будущих оборонных усилий страны. И это область, в которой Northrop исторически играла важную роль. Но также там, где не всегда было так много новых программ, где возможности компании на высоком уровне не всегда были в моде с точки зрения того, для чего нужны клиенты. Что вы думаете об автономном бизнесе в аэронавтике, и есть ли возможности для этого бизнеса начать расти по сравнению с одним — расти снова, как только глобальный ястреб перезагрузится, и эти возможности больше на высоком уровне на низком уровне или оба? Дэвид Кеффер Отличный вопрос. Автономная часть рынка развивается быстрее, чем за последние несколько лет. Безусловно, авиационный бизнес — это наш бизнес с самым длинным циклом. Таким образом, изменения темпов роста в этом бизнесе не происходят в одночасье. Но, безусловно, в этой среде мы видим возможности для долгосрочного роста нашего портфеля беспилотных летательных аппаратов. Секретарь ВВС Фрэнк Кендалл недавно четко заявил о приоритетности продвижения нескольких конкретных программ, которые предоставят возможности следующего поколения в беспилотной части флота, которые служат сопровождением истребителей и бомбардировщиков, которые есть или могут быть быть укомплектованным. И поэтому это сопровождение, я думаю, может принимать форму спектра возможностей от высокого до низкого уровня, основываясь на том, что сказал отдел. Возможности более высокого уровня будут больше соответствовать нашему историческому основному портфелю, вплоть до среднего и нижнего уровня возможностей, которые могут по-прежнему быть кандидатами для нашего участия, будь то в качестве основного или через наш бизнес систем миссии. предстоит определить немногие перспективы и специфику этих программ. И, конечно же, мы будем внимательно следить за требованиями правительства. Но мы по-прежнему видим светлое будущее для возможностей на рынке беспилотных и автономных систем, и мы чувствуем, что наше наследие и наше положение на нем таковы, что у нас есть хорошая возможность стать ключевым участником. Сет Сейфман Хорошо. Отлично. Размышляя о размещении капитала, об акциях, я думаю, вы упоминали ранее, что средняя цена выкупа в прошлом году составляла 3,44, 3,44 и, таким образом, сейчас примерно на 100 долларов выше. Но изменится ли это в целом, как вы думаете об использовании денежных средств для выкупа теперь, когда цена акций выше, Дэвид Кеффер Доходы акционеров и выкуп акций являются ключевым элементом нашей стратегии использования денежных средств, и мы мы не будем пытаться рассчитать рынок таким образом, чтобы у нас всегда были пиковые уровни активности по покупке акций в периоды, когда цена акций подавлена. Конечно, это входит в число факторов, которые мы учитываем, но это основной элемент нашей стратегии по предоставлению дискреционных денежных средств обратно нашим инвесторам. В этом году мы пообещали акционерам получить 1,5 миллиарда или более доходов в форме покупки акций в дополнение к нашей конкурентоспособной программе дивидендов, и это остается нашим обязательством. Мы по-прежнему считаем, что это ключевой элемент нашей стратегии, нашей стратегии размещения капитала и финансовой стратегии в целом, и в таком бизнесе, как наш, который продолжает генерировать значительные объемы денежных средств, у нас есть возможность направлять капитал нашим акционерам, а также продолжать инвестировать в бизнес и управлять нашим балансом в будущем. Сет Сейфман Круто. Хорошо, он прибил это. Я думаю, что часы были на нуле. Это хорошее, хорошее время. Но да, Дэйв, Тодд, большое спасибо за то, что вы здесь. Мы действительно это ценим. Дэвид Кеффер Спасибо, что пригласили нас, Сет. Комментарий Рекомендуется для вас Чтобы этого не произошло в будущем, включите Javascript и файлы cookie в своем браузере. Часто ли это происходит с вами? Пожалуйста, сообщите об этом на нашем форуме обратной связи. Если у вас включен блокировщик рекламы, вам может быть заблокировано продолжение. Пожалуйста, отключите блокировщик рекламы и обновите страницу. Показана ли ПЭТ/КТ ⁶⁸Ga-DOTA-NOC пациентам с клиническими, биохимическими или рентгенологическими подозрениями на нейроэндокринную опухоль? . 2012 авг; 39 (8): 1278-83. doi: 10.1007/s00259-012-2146-4. Epub 2012 15 мая. Валентина Амброзини 1 , Давиде Кампана, Кристина Нанни, Сильвия Камбиоли, Паола Томассетти, Доменико Рубелло, Стефано Фанти принадлежность 1 Ядерная медицина, Университетская клиника С. Орсола-Мальпиги, Болонья, Италия. [email protected] PMID: 22584487 DOI: 10.1007/s00259-012-2146-4 Валентина Амброзини и др. Eur J Nucl Med Mol Imaging. 2012 авг. . 2012 авг; 39 (8): 1278-83. doi: 10.1007/s00259-012-2146-4. Epub 2012 15 мая. Авторы Валентина Амброзини 1 , Давиде Кампана, Кристина Нанни, Сильвия Камбиоли, Паола Томассетти, Доменико Рубелло, Стефано Фанти принадлежность 1 Ядерная медицина, Университетская клиника С. Орсола-Мальпиги, Болонья, Италия. [email protected] PMID: 22584487 DOI: 10.1007/s00259-012-2146-4 Абстрактный Цель: В последние годы позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ)/КТ с (68)Ga-DOTA-пептидами все чаще используется для исследования пациентов с нейроэндокринными опухолями (НЭО). Однако проведение специализированных обследований в соответствующем конкурсе является обязательным как по медицинским, так и по экономическим причинам. Цель исследования — оценить потенциальную полезность (68)Ga-DOTA-NOC ПЭТ/КТ у пациентов с подозрением на НЭО. Методы: Среди пациентов, прошедших ПЭТ/КТ (68)Ga-DOTA-NOC в нашем центре, мы рассмотрели пациентов, обследованных с подозрением на НЭО, на основании наличия либо клинических признаков/симптомов, либо изображений, либо повышенных биохимических маркеров, либо комбинации этих состояний. Результаты ПЭТ/КТ сравнивали с клиническими и визуализирующими данными в течение как минимум 1 года или с патологией. Полученные результаты: Всего был включен 131 случай с подозрением на НЭО. Наиболее частым состоянием, подозрительным на НЭО, было увеличение маркеров крови (66), за которым следовали неубедительные результаты при обычной визуализации (ДИ, 41), клинические признаки/симптомы (10), сомнительная (18) F-фтордезоксиглюкоза (ФДГ) ПЭТ. (7) или сцинтиграфия соматостатиновых рецепторов (SRS, 4), или их комбинация (3). Результаты ПЭТ/КТ были истинно положительными в 17 случаях, истинно отрицательными в 112 и ложноотрицательными в 2 (общая чувствительность 89).0,5 %, специфичность 100 %). Интересно, что повышенные маркеры крови и клинические признаки/симптомы были связаны с самой низкой частотой истинно положительных результатов (1/66 и 1/10 соответственно), в то время как результаты КИ были подтверждены в одной трети случаев (13/41). В целом частота НЭО в исследуемой популяции составила 14,5 % (19/131). Вывод: Наши данные подтверждают хорошую точность (98 %) ПЭТ/КТ (68)Ga-DOTA-NOC при обнаружении поражений NET. Однако наши результаты также показывают, что (68) Ga-DOTA-NOC ПЭТ / КТ не может быть рекомендована рутинно пациентам с подозрением на НЭО на основании простого обнаружения повышенных маркеров крови или клинических симптомов. Положительный КИ сам по себе или в сочетании с клиническими/биохимическими данными, напротив, связан с более высокой вероятностью истинно положительных результатов. Похожие статьи Роль 68Ga-DOTA-NOC ПЭТ/КТ в оценке нейроэндокринных опухолей: реальный опыт двух крупных центров нейроэндокринных опухолей. Хайдар М., Шамседдин А., Панайотидис Э., Джрейге М., Мукерджи Д. , Асси Р., Абусаид Р., Ибрагим Т., Хаддад М.М., Винджамури С. Хайдар М. и др. Nucl Med Commun. 2017 фев; 38 (2): 170-177. doi: 10.1097/MNM.00000000000000623. Nucl Med Commun. 2017. PMID: 278 Двойная функциональная визуализация гастроэнтеропанкреатических нейроэндокринных опухолей с использованием ПЭТ-КТ с 68Ga-DOTA-NOC и ПЭТ-КТ с 18F-FDG: конкурентные или дополнительные? Насва Н., Шарма П., Гупта С.К., Карунанити С., Редди Р.М., Патнеча М., Лата С., Кумар Р., Малхотра А., Бал С. Насва Н. и др. Клин Нукл Мед. 2014 янв;39(1):e27-34. doi: 10.1097/RLU.0b013e31827a216b. Клин Нукл Мед. 2014. PMID: 24217539 Оценка необычных нейроэндокринных опухолей с помощью ПЭТ с 68Ga-DOTA-NOC. Фанти С., Амброзини В. , Томассетти П., Кастеллуччи П., Монтини Г., Аллегри В., Грассетто Г., Рубелло Д., Нанни К., Франки Р. Фанти С. и др. Биомед Фармаколог. 2008 декабрь; 62 (10): 667-71. doi: 10.1016/j.biopha.2008.01.010. Epub 2008 3 марта. Биомед Фармаколог. 2008. PMID: 18358680 Ga-68 DOTA-пептиды и F-18 FDG ПЭТ/КТ у пациентов с нейроэндокринной опухолью: обзор. Евангелиста Л., Равелли И., Биньотто А., Чеккин Д., Зуккетта П. Евангелиста Л. и др. Клин Имиджинг. 2020 ноябрь;67:113-116. doi: 10.1016/j.clinimag.2020.05.035. Epub 2020 9 июня. Клин Имиджинг. 2020. PMID: 32559681 Обзор. ⁶⁸Га-меченые пептиды для диагностики гастроэнтеропанкреатической НЭО. Амброзини В., Кампана Д., Томассетти П., Фанти С. Амброзини В. и др. Eur J Nucl Med Mol Imaging. 2012 Февраль; 39 Приложение 1: S52-60. doi: 10.1007/s00259-011-1989-4. Eur J Nucl Med Mol Imaging. 2012. PMID: 22388622 Обзор. Посмотреть все похожие статьи Цитируется ПЭТ / КТ-визуализация соматостатиновых рецепторов для обнаружения и определения стадии панкреатической сети: систематический обзор и метаанализ. Bauckneht M, Albano D, Annunziata S, Santo G, Guglielmo P, Frantellizzi V, Branca A, Ferrari C, Vento A, Mirabile A, Nappi AG, Evangelista L, Alongi P, Laudicella R. Bauckneht M, et al. Диагностика (Базель). 2020 16 августа; 10 (8): 598. doi: 10.3390/diagnostics10080598. Диагностика (Базель). 2020. PMID: 32824388 Бесплатная статья ЧВК. Обзор. Ядерная визуализация нейроэндокринных опухолей. Поллард Дж., Макнили П., Менда Ю. Поллард Дж. и соавт. Surg Oncol Clin N Am. 2020 апр; 29(2):209-221. doi: 10.1016/j.soc.2019.11.007. Surg Oncol Clin N Am. 2020. PMID: 32151356 Бесплатная статья ЧВК. Обзор. Долгосрочное наблюдение за пациентом с первичной пресакральной нейроэндокринной опухолью: клинический случай с обзором литературы. Ким М.Р., Шим Х.К. Ким М.Р. и др. Представитель Am J, 2019 г.31 декабря; 20:1969-1975. doi: 10.12659/AJCR.9. Представитель Am J, 2019 г. PMID: 31889046 Бесплатная статья ЧВК. Обзор. Полезность 68 Ga-DOTATATE позитронно-эмиссионной томографии/компьютерной томографии в диагностике, лечении, последующем наблюдении и прогнозировании нейроэндокринных опухолей. Тирош А., Кебебеу Э. Тирош А. и др. Онкол будущего. 2018 Январь; 14 (2): 111-122. дои: 10.2217/фон-2017-0393. Epub 2017, 26 октября. Онкол будущего. 2018. PMID: 2 93 Бесплатная статья ЧВК. Обзор. Визуализация нейроэндокринных опухолей: обновление для клинициста. Максвелл Дж. Э., Хоу Дж. Р. Максвелл Дж. Э. и соавт. Int J Endocr Oncol. 2015;2(2):159-168. doi: 10.2217/ije.14.40. Int J Endocr Oncol. 2015. PMID: 26257863 Бесплатная статья ЧВК. Просмотреть все статьи «Цитируется по» использованная литература Опухоль биол. 2011 Февраль;32(1):13-22 — пабмед Дж. Клин Онкол. 2008 июнь 20; 26 (18): 3063-72 — пабмед Мол Визуализация Биол. 2003 янв-февраль;5(1):42-8 — пабмед Дж Нукл Мед. 2010 Май; 51 (5): 669-73 — пабмед Простата. 1997 1 января; 30 (1): 1-6 — пабмед термины MeSH вещества Мероприятий, Поездок и Пакетов | Открытый центр Нантахала Фильтр по фильтрам Показано 48 поездок Даты поездки Расстояние Почтовый индекс или город/штат Радиус Любой500 миль100 миль50 миль10 миль Пункт назначения Галапагосские острова Белиз Южная Америка Эквадор Чили Аргентина Перу Северная Каролина Маршалл, Северная Каролина Брайсон-Сити, Северная Каролина Канада британская Колумбия Грузия Розуэлл, Джорджия Атланта, Джорджия Клейтон, Джорджия Скандинавия Исландия Норвегия Центральная Америка Теннесси Гатлинбург/Пиджен-Фордж, Теннесси Бентон, Теннесси Африка Река Замбези Пакет Пошаговая Легкая-Умеренная От реки до хребта: пакет «Рафтинг и зиплайн» Брайсон-Сити, Северная Каролина от 147 $ 5 (95 отзывов / 6 вопросов и ответов) Объедините два наших самых популярных приключения и сэкономьте с нашим пакетом River to Ridge! Пролетите более двух миль по канатной дороге в небе над Смоки-Маунтин в рамках тура NOC Mountaintop Zip Line Tour! В сочетании с рафтингом с гидом вы получите день приключений, который вы никогда не забудете! 10+ лет март-октябрь 100-250 фунтов 6-7 часов Пакет С направляющей Легкая Сплав по реке Нантахала: полный гид в Северной Каролине Брайсон-Сити, Северная Каролина от $57 5 (594 отзыва / 25 вопросов и ответов) Классический семейный рафтинг по знаменитой горной реке. Это популярное путешествие идеально подходит для семей и гребцов любого уровня подготовки. 7+ лет Март-октябрь Минимум 60 фунтов 3 часа Управляемый Умеренно-сложный Сплав по реке Чаттуга: Раздел IV (с обедом) Клейтон, Джорджия от $130 5 (166 отзывов / 7 вопросов и ответов) Примите участие в одном из самых знаковых рафтинг-туров на юго-востоке по дикой и живописной реке Чаттуга. Природная красота и захватывающие пороги делают это «делом № 1, которое должен сделать каждый южанин». 12+ лет март-октябрь 5-6 часов Пакет Пошаговый Легкий-средний Приключенческий билет Нантахала Брайсон-Сити, Северная Каролина из $79 Доступен День памяти и День труда! Пропуск Nantahala Adventure Pass — это бесспорно лучшее предложение для дня, наполненного множеством приключений и веселья. Объедините рафтинг с гидом или аренду с тремя другими мероприятиями, чтобы сэкономить более 50 долларов на человека! 6+ лет День памяти — День труда 60-250 фунтов 5-8 часов Направляемый Умеренный Мидл-Окои Высокое приключение Бентон, Теннесси из $85 The Middle Ocoee High Adventure — это новый и захватывающий способ испытать «самое популярное речное путешествие в Америке». с пятью милями захватывающих порогов и бурной воды. Эта экскурсия на полдня с гидом идеально подходит для тех, кто ищет приключений в Теннесси. 13+ лет июнь-сентябрь 4+ часа Направляемый Умеренный Сплав по реке Окои: Средний Окои Бентон, Теннесси от 45 $ 5 (152 отзыва / 9 вопросов и ответов) Мидл-Окои — «самое популярное речное путешествие в Америке» с пятью милями захватывающих порогов и бурной воды. Эта экскурсия на полдня с гидом идеально подходит для тех, кто ищет приключений в Теннесси. 12+ лет апрель-октябрь 3-3,5 часа Направляемый Умеренный Катание на горных велосипедах с гидом в Цали Брайсон-Сити, Северная Каролина из $95 Испытайте веселые тропы и живописные виды во время экскурсии на горном велосипеде по Цали! Всего в нескольких минутах езды от нашего главного кампуса гости получат первоклассное оборудование, инструкции и рекомендации, а также закуски на тропе! 10+ лет апрель-октябрь 3-4 часа Пошаговый Легкий-средний Флинт-Ридж Катание на горных велосипедах с гидом Брайсон-Сити, Северная Каролина от $70 Прокатитесь по местным тропам с опытным проводником NOC! Насладитесь веселыми тропами и живописными видами во время экскурсии на горном велосипеде с гидом по Флинт-Ридж, расположенной прямо на территории нашего главного кампуса! 10+ лет апрель-октябрь 3-4 часа Направляемый Умеренный Тур по канатной дороге на вершине горы Брайсон-Сити, Северная Каролина из $110 5 (160 отзывов / 6 вопросов и ответов) Летите по небу Смоки-Маунтин в рамках тура NOC Mountaintop Zip Line Tour! Эта поездка с почти двумя милями зиплайнов от верхушки дерева до верхушки дерева считается лучшим опытом в горах Северной Каролины. 10+ лет март-ноябрь 100-250 фунтов 3-3,5 часа С направляющей Легкий Сплав по реке Пиджен: Нижнее ущелье Голубей Гатлинбург/Пиджен-Фордж, Теннесси от $39 5 (71 отзыв / 4 вопроса и ответа) 2023 Даты уже скоро! Рафтинг по реке Пиджен является изюминкой семейного отдыха в Смокис. Прыгучие волны и пологие пороги делают эту поездку идеальной для семей с маленькими детьми от 3 лет или тех, кто ищет расслабляющий живописный опыт. 3+ лет 3,5 часа Пошаговый Легкий-средний French Broad Rafting: Deluxe на полдня (с обедом) Маршалл, Северная Каролина от 67 $ 4. 9 (41 отзыв / 0 вопросов и ответов) Эта поездка на полдня предлагает семейный рафтинг на Французской Броуд с веселыми порогами, живописным видом на горы в лесу Фасга и обедом на берегу реки. Одно из лучших занятий в Эшвилле, Северная Каролина. 8+ лет март-октябрь 3-5 часов Направляемый Умеренный Сплав по реке Голуби: Верхнее Голубиное ущелье Гатлинбург/Пиджен-Фордж, Теннесси от $45 5 (242 отзыва / 11 вопросов и ответов) 2023 Даты уже скоро! Испытайте захватывающий рафтинг с потрясающими пейзажами Смоки-Маунтинс, который идеально подходит для семей и гостей, желающих отключиться на открытом воздухе. Это приключение обеспечивает безостановочное действие за несколько коротких часов, что делает его удобным и незабываемым. 8+ лет Май-сентябрь Мин. 70 фунтов Продолжительность 2,5 часа Пакет Самоуправляемый Легкий-средний Nantahala Adventure Pass с арендой плота или утки в Северной Каролине Брайсон-Сити, Северная Каролина от $79 4.9 (15 отзывов / 2 вопроса и ответа) Доступен от Дня памяти до Дня труда Совместите несколько занятий, чтобы провести незабываемый день приключений! Проведите свой собственный плот или надувной каяк по реке Нантахала, прыгайте, карабкайтесь и балансируйте в парке приключений Zip Line и приключенческих сетях Tree Top, а также катайтесь на горных велосипедах по местным тропам по одной отличной цене! 7+ лет 60-250 фунтов 5-8 часов Самоуправляемый Легкий Трубопровод реки Чаттахучи – Розуэлл Розуэлл, Джорджия от $30 Стреляйте в «Хуч» во время поездки на тюбинге недалеко от Атланты в Розуэлле. Поплавайте по реке Чаттахучи с семьей и друзьями, наслаждаясь ее потрясающими пейзажами и прохладными нежными течениями. 8+ лет апрель-сентябрь 2-4 часа Самоуправляемый Легкий Трубопровод реки Чаттахучи – Метро Атланта, Джорджия от $30 Стрельба по «Хучу» — одно из лучших занятий за пределами Атланты! Поплавайте по реке Чаттахучи с семьей и друзьями, наслаждаясь ее потрясающими пейзажами и прохладными нежными течениями. 8+ лет Апрель-сентябрь Полдня Самоуправляемый Легкий Аренда гребной доски Chattahoochee River Stand Up Paddleboard (SUP) — Розуэлл Розуэлл, Джорджия от $30 Катайтесь на серфинге с помощью доски для серфинга (SUP), взятой напрокат в NOC. Доска для гребли отлично подходит для опытных гребцов или для новичков, ищущих дополнительных испытаний, и предлагает уникальный взгляд на классическое путешествие по реке Атланта. 11+ лет Апрель-октябрь Многократная продолжительность поездки Самоуправляемый Легкий Аренда каяков на реке Чаттахучи – Розуэлл Розуэлл, Джорджия от $30 5 (1 отзыв / 2 вопроса и ответа) Исследуйте красоту и безмятежность реки Чаттахучи, взяв напрокат каяк. NOC предлагает сидеть на верхних байдарках в одиночном или тандемном исполнении, чтобы вы могли наслаждаться с другом. 5+ лет Апрель-сентябрь Многократная продолжительность поездки С направляющей Легкая Прогулки на байдарках с гидом на рассвете и закате на реке Чаттахучи Розуэлл, Джорджия от 60 $ Уникальный способ насладиться красотой реки Чаттахучи Выберите сидячий каяк или доску для серфинга с веслом и наслаждайтесь групповым катанием на веслах, пока солнце встает или садится над речным пейзажем. 18+ лет апрель-сентябрь 2-3 часа Самоуправляемый Легкий Аренда плотов по реке Чаттахучи – Розуэлл Розуэлл, Джорджия из $140 Катайтесь на лодке Hooch с семьей и друзьями, взяв напрокат плот от NOC. Отлично подходит для групп и детей от 5 лет, чтобы плавать или грести, наслаждаясь живописным видом на реку Чаттахучи. 5+ лет Самоуправляемый Легкий Аренда каноэ по реке Чаттахучи – Розуэлл Розуэлл, Джорджия от 60 $ Исследуйте реку Чаттахучи на каноэ. NOC предлагает поездки туда и обратно или поездки на каноэ, отправляющиеся из парка Азалия в Розуэлле. 5+ лет Апрель-сентябрь Многократная продолжительность поездки С направляющей Легкая Тур на велосипедах и птицах с природным центром Чаттахучи Розуэлл, Джорджия из $50 Специальное программирование с ограниченными датами! Наслаждайтесь специальным туром с Природным центром Чаттахучи и НОК. Гости будут кататься на велосипеде по парку Азалия, пока натуралист указывает на местных птиц, флору и фауну. Этот тур также включает в себя остановку в Центре природы для демонстрации живых птиц. Возраст и вес варьируются Апрель-октябрь Апрель-сентябрь 3,5 часа Самоуправляемый Легкий Прокат велосипедов на реке Чаттахучи – Розуэлл Розуэлл, Джорджия из $25 Езда на велосипеде по реке Чаттахучи — отличный способ насладиться прекрасным речным коридором через парки Дон Уайт и Азалия. NOC предлагает современные велосипеды и электровелосипеды напрокат, идеально подходящие для семей, маленьких детей и пожилых людей в любое время года. Возраст и вес Варьируются Апрель-сентябрь Продолжительность 2-3 часа Самоуправляемый Легкий Аренда каяков на реке Чаттахучи – метро Атланта, Джорджия от $40 4 (1 отзыв / 0 вопросов и ответов) Прогуляйтесь по реке Чаттахучи на байдарке. Аренда байдарок с сидячими местами NOC позволяет гребцам создать свой собственный речной опыт, тренируясь или расслабляясь. 5+ лет Апрель-сентябрь Полдня Управляемый Умеренно-сложный Рафтинг по реке Окои: комбо на целый день (с обедом) Бентон, Теннесси от $110 5 (67 отзывов / 0 вопросов и ответов) Эта поездка с гидом на целый день сочетает в себе насыщенные событиями Верхний и Нижний Окои и обед на берегу реки. Испытайте захватывающие пороги олимпийского калибра через горы в Теннесси. 13+ лет Май-сентябрь 5,5 часов Пошаговый Легкий-средний Парк приключений Zip Line Брайсон-Сити, Северная Каролина от $50 4.9 (29 отзывов / 3 вопроса и ответа) Отлично подходит для детей и семей! Соревнуйтесь с друзьями на двойных зиплайнах длиной 550 футов, когда вы входите в этот воздушный парк испытаний с более чем 16 захватывающими препятствиями. Экспертные воздушные гиды NOC дают советы, когда вы исследуете два уровня парка на высоте до 40 футов над уровнем земли! 6+ лет Март-октябрь 60-250 фунтов 2 часа Самоуправляемый Легкий Аренда плотов по реке Чаттахучи – Метро Атланта, Джорджия от 40 $ 5 (12 отзывов / 3 вопроса и ответа) Катайтесь на лодке Hooch с семьей и друзьями, взяв напрокат плот от NOC. Отлично подходит для групп и детей от 5 лет, чтобы плавать или грести, наслаждаясь живописным видом на реку Чаттахучи. 5+ лет Апрель-сентябрь Полдня Управляемый Легкий Pedal and Pour: велосипедный тур и пивоварня с From The Earth Brewing Company Розуэлл, Джорджия из $55 Наслаждайтесь живописной поездкой на велосипеде с гидом по парку Азалия с остановкой в ​​From the Earth Brewing для эксклюзивного тура и дегустации. 21+ лет апрель-октябрь 2-4 часа Двухдневный детский и подростковый лагерь для катания на горных велосипедах Розуэлл, Джорджия из $325 Двухдневный лагерь для детей и подростков от 12 до 15 лет! Этот многодневный лагерь для катания на горных велосипедах — отличная возможность для детей и подростков отправиться в путь, освоить новые навыки, завести новых друзей и повеселиться! 12-15 лет июнь-август 2 дня Четырехдневный лагерь River Explorer для детей и подростков, река Чаттахучи Атланта, Джорджия из $325 Четырехдневный лагерь для детей от 12 до 15 лет всех уровней подготовки Дети и подростки всех уровней подготовки имеют возможность попробовать себя в различных видах спорта на реке Чаттахучи! Отдыхающие будут веселиться и заводить новых друзей, изучая новые навыки. 12-15 лет июнь-июль 4 дня Двухдневный детский и подростковый лагерь River Explorer — река Чаттахучи Розуэлл, Джорджия из $160 Двухдневный лагерь для детей от 12 до 15 лет всех уровней подготовки Дети и подростки всех уровней подготовки имеют возможность попробовать себя в различных видах спорта на реке Чаттахучи! Отдыхающие весело проведут время, заведут новых друзей и освоят новые навыки! 12-15 лет июнь-июль 2 дня Курс каякинга для подростков – река Чаттахучи Атланта, Джорджия из 450 $ Двухдневный курс, предназначенный для молодежи в возрасте от 13 до 17 лет с любым уровнем подготовки. Подростки всех уровней подготовки имеют возможность практиковаться, учиться и улучшать свои навыки гребли на байдарках под руководством инструкторов Школы гребли NOC! 13-17 лет июнь-июль 2 дня Пошаговый Легкий-средний Введение в курс каякинга Whitewater Брайсон-Сити, Северная Каролина от $150 5 (1 отзыв / 0 вопросов и ответов) Отличный курс начального уровня для начинающих гребцов. Этот однодневный курс посвящен основам бурной воды для новых и начинающих гребцов. Этот курс подходит для всей семьи и подходит для детей от 8 лет. Он включает в себя новейшее снаряжение, высококачественные инструкции, транспорт и обед. 8+ лет Весь день Пошаговый Легкий-средний Река Чаттахучи — введение в курс каякинга Уайтуотер Атланта, Джорджия от 140 $ 5 (1 отзыв / 0 вопросов и ответов) Отличный курс для начинающих по гребле на бурной воде! Поднимите свои навыки гребли на новый уровень с помощью курса «Введение в каякинг». Высококвалифицированные инструкторы NOC научат новичков базовым навыкам гребли и маневрирования, которые идеально подходят для индивидуальных, семейных или групповых занятий. 13+ лет Май-август Весь день Самоуправляемый Легкий Сети для приключений на верхушках деревьев Брайсон-Сити, Северная Каролина от $8 5 (1 отзыв / 1 вопрос/ответ) В настоящее время сети работают в определенное время, уточняйте наличие по телефону. Дети в возрасте от трех лет теперь могут исследовать небо в NOC! На этой полностью покрытой сеткой воздушной площадке участники перемещаются по туннелям, горкам и даже управляют этой игровой площадкой в ​​​​корабельной тематике за штурвалом массивного штурвала корабля. Это идеальное место для игр, пока взрослые наслаждаются отдыхом на берегу реки с едой и напитками из Big Wesser. 3+ года апрель-октябрь 2 часа или полный день Умеренный Курс командообразования Брайсон-Сити, Северная Каролина из $35 Этот курс испытаний на земле отлично подходит для развития командной работы, общения и единства в вашей группе! Команды будут перемещаться по огромной «паутине», качающимся бревнам, элементам баланса и многому другому, поскольку они полагаются на товарищей по команде, чтобы помочь им в общении по стратегии. 11+ лет март-октябрь 2,5 часа Направляемый Умеренный Сплав по реке Нантахала: путешествие на утках с гидом Брайсон-Сити, Северная Каролина от 69 $ 4. 9 (23 отзыва / 1 вопрос/ответ) Отправляйтесь в свое приключение на надувной байдарке вместе с профессионально подготовленным гидом NOC. Отлично подходит для изучения новых методов работы с бурной водой и изучения реки Нантахала. 9+ лет март-октябрь 3 часа Направляемый Умеренный Рафтинг по реке Чаттуга: часть III (с обедом) Клейтон, Джорджия от $115 5 (100 отзывов / 7 вопросов и ответов) Рейтинг «Что должен сделать каждый южанин № 1», испытайте семейный рафтинг по дикой и живописной реке Чаттуга. 8+ лет март-октябрь 5-6 часов Самоуправляемый Умеренный Аренда плотов и уток по реке Нантахала в Северной Каролине Брайсон-Сити, Северная Каролина от $32 4. 9 (138 отзывов / 2 вопроса и ответа) Прогуляйтесь по живописной реке Нантахала в своем собственном темпе, взяв напрокат плот или утку. Идеально подходит для опытных гребцов и групп любого размера. 7+ лет Март-октябрь Мин. 60 фунтов Бревна 2-3 часа Самоуправляемый Умеренный Прокат горных велосипедов в Флинт-Ридж Брайсон-Сити, Северная Каролина из $40 Возьмите напрокат лучший в отрасли специализированный велосипед в центре активного отдыха Нантахала и отправляйтесь в путь по ущелью Нантахала! От местной тропы Флинт-Ридж до известной тропы Цали, расположенной чуть дальше по дороге, гиды NOC всегда готовы помочь вам спланировать экскурсию. Апрель-октябрь Рост: 4 фута 11–6 футов 5 дюймов Весь день Направляемый Умеренный Тур на зиплайне на вершине Лунной горы Брайсон-Сити, Северная Каролина от 165 $ 5 (1 отзыв / 1 вопрос/ответ) Экскурсия на зиплайне на вершине горы Лунный свет в Центре под открытым небом Нантахала — это захватывающее приключение для тех, кто ищет приключения, вызывающие выброс адреналина. Парите под ночным небом под руководством полной луны, наслаждаясь видами и звуками ночной жизни в притихших горах Голубого хребта. 10+ лет Май-сентябрь 100-250 фунтов 3,5 часа Самоуправляемый Легкий-средний Аренда надувных каяков / уток на реке Чаттахучи — метро Атланта, Джорджия от $45 5 (6 отзывов / 1 вопрос/ответ) Прогуляйтесь по живописной реке Чаттахучи, взяв напрокат надувной каяк. Утки идеально подходят для любого уровня навыков, чтобы исследовать их с семьей и друзьями. 5+ лет Апрель-сентябрь Полдня Самоуправляемый Легкий-средний Аренда досок для серфинга на реке Чаттахучи (SUP) – метро Атланта, Джорджия из $50 Катайтесь на гребле с помощью доски для серфинга, арендованной у NOC. Этот спуск по реке SUP лучше всего подходит для более опытных гребцов, так как он требует баланса и точной гребли. 11+ лет Апрель-сентябрь Полдня Направляемый Умеренный Сплав по французской широкой реке: полный день (с обедом) Маршалл, Северная Каролина от 95 $ 5 (48 отзывов / 5 вопросов и ответов) Это путешествие на целый день предлагает семейный рафтинг на Французской Броуд с веселыми порогами, живописным видом на горы в лесу Фасги и обедом на берегу реки. Одно из лучших занятий в Эшвилле, Северная Каролина. 8+ лет март-октябрь 5-8 часов Пошаговый Легкий-средний Сплав по французской широкой реке: полдня Маршалл, Северная Каролина от $55 5 (74 отзыва / 3 вопроса и ответа) Семейный рафтинг по реке Френч-Брод предлагает веселые стремительные пороги и живописный вид на горы национального леса Фасги. Одно из лучших занятий в Эшвилле, Северная Каролина. 8+ лет март-октябрь 3-4 часа Направляемый Умеренный Дымчатые горные приключения Гатлинбург/Пиджен-Фордж, Теннесси из $88 Исследуйте Смоки-Маунтинс в штате Теннесси, совершив пешеходную экскурсию с гидом и совершив рафтинг недалеко от Пиджен-Фордж и Гатлинбурга. 8+ лет Май-сентябрь Минимум 70 фунтов 5 часов Направляемый Умеренный Походы с гидом Брайсон-Сити, Северная Каролина Откройте для себя естественную флору и фауну ущелья Нантахала в этом коротком, но познавательном походе! Нюхайте, открывайте и даже пробуйте традиционные травы — идентифицируйте растения и обсуждайте методы «Не оставлять следов». 6+ лет март-октябрь С направляющей Легкая Экскурсия по озеру Фонтана с гидом Брайсон-Сити, Северная Каролина из $50 Исследуйте скрытую природу на озере Фонтана с одним из гидов NOC, который покажет вам путь! Управляйте собственной лодкой под руководством опытного гида NOC, чтобы вы чувствовали себя комфортно на протяжении всей поездки. 4+ года Сентябрь-октябрь 3 часа Men’s Basketball vs NOC-Enid, 03.01.2022 — Box Score Перейти к основному содержанию Общественный колледж округа Неошо Посмотреть PDF Общественный колледж округа Неошо (95, ) против Колледжа Северной Оклахомы, Энид (94, ) Коробка Оценка Детали игры Дата 03. 01.22 Время 19:30 Зона Неошо ВИД История матчей против Колледж Северной Оклахомы-Энид Колледж Северной Оклахомы, Энид 94 Колледж Северной Оклахомы, Энид 94 ## Игрок ГС МИН ФГ 3PT футов ОРБ-ДРБ РЭБ ПФ А ДО ЧЕР СТЛ ПТС 0 0 Счетчик Джлинн * 1 10-25 3-6 8-8 2-2 ​​ 4 2 9 5 0 1 31 35 35 Джамарион Батлер * 1 7-15 0-2 2-3 0-3 3 1 2 1 0 0 16 12 12 Квентин Харви * 1 4-9 1-2 2-4 2-4 6 5 0 1 3 0 11 5 5 Крис Уайзман * 1 2-3 0-0 1-4 1-6 7 5 2 0 3 0 5 33 33 Кейшон Спотвуд * 1 0-2 0-1 0-0 1-2 3 1 1 0 0 1 0 2 2 Джейден Робинсон 1 3-4 0-0 2-4 2-3 5 4 0 2 0 0 8 15 15 Донован Скотт 1 3-6 1-3 1-1 0-3 3 3 6 2 0 0 8 20 20 Рауль Нуньес 1 3-8 0-5 0-0 0-1 1 1 3 1 2 0 6 1 1 Алекс Рейфорд 1 2-6 1-5 0-0 1-0 1 0 0 0 0 0 5 4 4 Матус Скубен 1 1-4 0-2 2-4 1-0 1 0 1 1 0 0 4 ТМ Команда ТМ 0 0-0 0-0 0-0 0-0 0 0 0 0 0 0 0 Итого — 10 35-82 6-26 18-28 10-24 34 22 24 13 8 2 94 Сводка команды ФГ 3PT футов Итого 35-82 6-26 18-28 42,7 % 23,1 % 64,3 % Общественный колледж округа Неошо 95 Общественный колледж округа Неошо 95 ## Игрок ГС МИН ФГ 3PT футов ОРБ-ДРБ РЭБ ПФ А ДО ЧЕР СТЛ ПТС 3 3 Мика Джонс * 1 6-18 4-10 12-13 2-3 5 0 5 4 0 0 28 4 4 Заакир Сойер * 1 11-19 0-1 0-2 1-5 6 0 2 2 0 0 22 1 1 Джерри Каррауэй * 1 5-15 4-8 5-6 2-5 7 0 2 3 0 3 19 0 0 Эзрах Вайгафа * 1 2-6 0-1 3-6 3-4 7 0 4 1 0 1 7 13 13 Аюэль Аюэль * 1 1-3 1-1 1-4 1-2 3 0 1 0 0 1 4 12 12 Майкл Одинго 1 2-5 2-4 0-0 0-4 4 0 1 0 0 0 6 23 23 Давонте Йейтс 1 2-3 0-1 0-1 2-3 5 0 2 2 1 0 4 14 14 Макье Логгинс 1 1-4 1-3 0-0 0-1 1 0 0 1 0 0 3 5 5 Джаарон Харриот 1 1-1 0-0 0-0 1-3 4 0 0 0 0 0 2 ТМ Команда ТМ 0 0-0 0-0 0-0 0-0 0 0 0 0 0 0 0 Итого — 9 31-74 12-29 21-32 12-30 42 0 17 13 1 5 95 Сводка команды ФГ 3PT футов Итого 31-74 12-29 21-32 41,9 % 41,4 % 65,6 % Анализ игры Баллы за обороты Команда Всего Колледж Северной Оклахомы, Энид Общественный колледж округа Неошо г. Очки 2-го шанса Команда Всего Колледж Северной Оклахомы, Энид г. Общественный колледж округа Неошо Наконечники Команда Всего Колледж Северной Оклахомы, Энид Общественный колледж округа Неошо Свинец получен Команда Всего Колледж Северной Оклахомы, Энид г. Общественный колледж округа Неошо Точки в краске Команда Всего Колледж Северной Оклахомы, Энид Общественный колледж округа Неошо Точки быстрого останова Команда Всего Колледж Северной Оклахомы, Энид г. Общественный колледж округа Неошо Счет равен Команда Всего Колледж Северной Оклахомы, Энид Общественный колледж округа Неошо Нижний колонтитул © 2022 Общественный колледж округа Неошо Липучка Результаты 有 温泉 有 馬グランド ホテル ・ 公式 サイト 【最低 価格 保証 ｜ 旅館 旅館 有 馬 有 馬グランド ホテル 公式 サイト 【最低 保証】 ｜ 旅館 旅館 旅館 旅館 空室検索 《9・10月限定》クーポン利用でお得！ 1 予約につき5,000円お得な 宿泊プランをご用意しました。 【1日10室限定】 詳細はこちら 兵庫県民割でお得な日帰りプラン(最大45%OFF) 県民割の条件を満たしている方は お一人様5,000円引きいたします。 【お日にち限定】 詳細はこちら あんしん巣ごもりプラン 夕食、朝食共にお部屋でごゆっくりとお召し上がりいただけます。 詳細はこちら 名門と名泉を満喫するゴルフ旅 ここでしか体験のできないプレミアムなゴルフ旅プラン 詳細はこちら カスタム会席 100 種類のメニューからつくるあなただけの会席料理 詳細はこちら 【エステ・アロマ】CAZE SPA・公式HPシーズン特別割引 日曜～木曜日限定で人気のアロマボディをお得にご利用いただけます。 詳細はこちら .

通常価格 17 600 йен → 特別価格 16 500 йен（税込）

90 分

通常価格 25 300 йен → 特別価格 22 500 йен（税込）

ご予約はお電話から

ТЕЛ：078-904-0181（ホテル代表）
電話受付0：014：014）

【DOG UP VILLA】3 周年記念イベントについてのプレスリリース

詳細はこちら

バラ風呂

毎週水曜日はバラ風呂。「女性浴場 沙の湯」ホワイトイオン露天風呂にてご用意いす0た0た0た0た0た0た

詳細はこちら

毎週水曜日はバラ風呂

「女性浴場沙の湯」ホワイトイオン露天風呂にてご用意いたします。 超音波 の な 泡 が 作る やわらか な 乳白 色 の 湯 に な バラ の 芳香 、 大量 の で この 上 リラックス を 体感 て いただけ ます。。。。

設定日	毎週水曜日 ※都合により日程を変更する場合がございます
ご利用時間	12:00 — 22:30

• ベストレート（最低価格）保証  
  当サイトからのご予約が最もお得です

唯一 無二 有馬 で 、 、

かけがえ の 一 日 を。

六甲 雄大 な 自然 囲ま れ 、
四季 折々 の 表情 を ことができる 有 馬。。。。 泉 泉 表情 を を を に に に に に選ば れる
温泉 効能 豊か で 、 、
かつて 太閤 秀吉 も
湯治 に 訪れ た さ れ て い ます。
また 摂津 ・ 播磨 但 馬 ・ ・ 淡路
また 摂津 ・ ・ 但 馬 丹波 ・ 淡路
2106 から なる
兵庫 国 の 中心 に に
位置 その 地 は 、 、
各地 から の 味覚 が 集まる
食 宝庫 でもあり ます。
そこ すべて が 無二 場所 場所 ます ます ます。。。。。。。。。 ます ます ます ます ます ます ます ます ます 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 場所 ここ ここ ここ ここ ここ ここ ここに しかない と と
最幸 おもてなし で 、 、
すべて お 客 様 の すべて の 一 日 を 、
かけがえ ない 一 へ と 誘い ます

別墅 銀泉 露天 風 呂付き 貴賓 室 室

別墅 柔の 間 和 洋室

中央館 庭側 和 洋室

北館 和 室

中央館 風 ツイン

.

客室 まで 、
お 様 の 多様 な ご 要望 に に
お応え さまざま な な
タイプ お 部屋 を
ご し て ます。

兵庫 五国 の を 、 、

お 好き な スタイル で

兵庫 五国 の 恵み

兵庫 の 恵み

兵庫 の 恵み

摂津 播磨 ・ 但 馬 ・ 丹波 ・
淡路 なる 兵庫 県。
その 中心 位置 する 有馬 、 、
食 宝庫。
なひとときに花を添えます。

展望 大 雲海 雲海 ​​

ゆらり 紗 の 湯

ゆらり の 湯

アクアテラス

プライベートスパ

金泉 と 銀泉 が

体 と を を
解きほぐす

太閤 秀吉 をはじめ 、
多く 偉人 たち を
癒やし て き た 温泉。
療養 効果 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 優れ 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「「 「療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 療養 効果泉」を、
四季折々の表情を見せる
六甲の自然とともに
ご堪能いただけます。

有 馬 随一 会議場 が が

新しい 旅 の を 開く 開く

森羅

森羅

多様 会議 ・ 宴

最大 〇〇 名 規模 の の
大型 をはじめ 、 、
大小さまざま な
会議 ・ 宴会場 を 完備。
セミナー 学会 に 各 イベント ︙ ︙ ︙。

コミュニケーションの
スタイルがあります。

ガーデン プール

ロビー ルシェッロ ルシェッロ

ガーデン プール

ドッグ ・ アップ ・ ヴィラ

バーベキュー 会場

他にはない体験が

かけがえのない思い出に

お子様に人気のプールから
大人 楽しめる 楽しめる
バーベキューテラス 、 、
愛犬 の 新しい 旅 を 提案 する する する する する 、 、 充実 し た 施設 数 々 々。。。。。 、 な な が が が が が が が が が が が が が が が が が が が が が が が が一日をかけがえのない
一日へと誘います。

人生を、

ともにするホテル

人生は、一期一会。
一生に一度の記念日も、
いつもと変わらない一日も。
毎日がかけがえのない一日であると、
私たちは考えます。
この世に生をうけたときから、
人生を終えるときまで。
一期一会の日々に、ずっと寄り添い続ける。
そして、人生を振り返ったときに、
いい思い出とともにいつもある。
みなさまにとってそんなホテル であれる 、 、
私たち 今日 今日 も 最幸 の おもてなし で
お迎え ます。

有 馬グランド ホテル 想い

大阪 ・ 京都 駅 から は 高速 バス で 40 分。。
三宮 は は 30 分 程度 お越し い ただけ ます。
また 伊丹 空港 や 神戸 空港 も も で で で で で で で で で で で で で で で で で タクシー 旅行 ご快適です。

【夕朝食｜お部屋食確約】旬菜会席｜黒毛和牛と旬の味覚をご堪能

ご予約はこちら

【巣ごもり プラン】 夕朝 お 部屋 食 で 更に グレード！ 特選 お造り と 神戸 牛陶板 焼き の 会 席

ご予約はこちら

【あんしん巣ごもりプラン】露天風呂付き夕朝お部屋食｜厳選懐石　≪クラブフロア≫ 90

ご予約はこちら

. 0009

ご予約はこちら

ＫＡＩＳＥＫＩ｜石窯で絶妙な火入れの牛フィレ肉をメインに【ダイニング時分時】

ご予約はこちら

ダイニング時分時｜音や香りも愉めるライブ感溢れる本格串揚げコース

ご予約はこちら

ベストレート （最低）） 保証

有 ホテル の ご 予約 は 、 当 当 公式 ページ から ご 予約 が お得 は。。 当 当 公式 ページ から ご 予約 一番 お得 です。。。 当 当 ホーム ページ から ご 予約 一番 です。。。。。。。。。 当 公式 ページ から ご 予約 一番 お得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 する する する する する する する する する する する する する する する する する する する する する する する する 宿泊 宿泊 宿泊 は は は は申込み 時点 他社 インターネット サイト より も お得 な 料金 である こと を し ます。。

有 馬グランド 公式 サイト へ ご 予約 ください。
ご 予約 24 時間 以内 に 同一 ホテル タイプ 宿泊 予約 後 後 時間 以内 、 、日程で
より 料金 が みつかっ た 場合 、 当館 予約 係 まで 申し出 ください。。
お 申し出 内容 を 確認 、 承認 さ た 場合 、 宿泊 料金 を を
お 様 お知らせ 最低 価格 で を を を で で で で で で で で で で で でこと を 保証 いたし。。

ベストレート 保証 条件

ベストレート を 保証 する に あたり 、 下記 の 条件 満たす 必要 が ます。。 に に に 、 下記 の を 満たす 必要 ござい ます。。。 に に あたり 下記 の 条件 満たす 必要 が ます。。。 に に に あたり 下記 の 条件 満たす 必要 が ます。。。。 に に に 、 下記 の を 満たす 必要 ござい ます。。。。 に に に 、 下記 の を 満たす 必要 ござい ます。。

1. 有 ホテル サイト の 予約 こと こと こと こと こと こと こと こと こと こと こと こと こと こと こと こと
2. 同一ホテル
3. 同一宿泊日（到着日・出発日）
4. 同一宿泊プラン
5. 同一宿泊人数（お子様は除く）
6. 同一お部屋タイプ
7. 同一精算方法
8. 同一サービス、販売条件、キャンセル条件

ベストレート 対象 外 外

ベストレート 保証 に あたり 、 下記 の は 比較 対象 から 除外 せ て いただき。
予めご了承願います。

1. 法人契約料金など、一般には公示されていない料金 9004
2. 特定の会員組織を対象とした料金
3. 宿泊以外の施設利用や交通機関、食事などを伴うパッケージ料金
4. ポイントや金券等の付与された特典を割引とみなした料金
5. 旅行業者による販売（手配旅行等）など販売金額をホテルが関与できない料金
6. クーポン券、バウチャー、クレジットカードなどによる前払いを条件とした料金

お問い合わせはこちら

有馬グランドホテル・予約係（9:00～21:00）
078-900

Noc Noc — Бар в Лоуэр-Хейт

• «Отличный выбор кислого пива, интригующая атмосфера, дружелюбный босс. «(10 советов)

  «Это место действительно похоже на выставку Тима Бёртона.»(3 подсказки)

  «Все самое лучшее бельгийское пиво!»(2 подсказки)

  «Битлджус — дизайнер интерьера этого места.»(3 подсказки)

86 Tips and reviews

Filter:

• beer
• sake
• casual
• tim burton
• happy hour
• beetlejuice
• good for a late night
• wine
• cider
• cozy
• lagunitas
• authentic
• music
• interior design
• restrooms
• beets
• fridge
• blueberries
• liquor
• (15 more)

• Great odd bar to check out if вы ищете что-то другое.

• Довольно странный интерьер Алисы и Страны Чудес. Супер фанк и хорошее бельгийское пиво.

• Правда, это место похоже на выставку Тима Бёртона. Очень темный с корявым декором. Музыка была на удивление классной. Они сыграли какой-то микс из SoundCloud. Выбор блюд для пива и много посадочных мест.

• Самый старый бар в Нижнем Хайте. Даже люди, посещающие его годами, всегда находят что-то новое. Счастливый час по будням и после полуночи по выходным — это, безусловно, час ведьм здесь. Читать далее

• Довольно большой выбор бутылочного пива, погрузитесь в сумасшедшую атмосферу и наслаждайтесь.

• Бар, который выглядит как внутренняя часть потерпевшего крушение инопланетного космического корабля с большим списком крафтового пива. Я продан!

• Фантастический выбор пива! закажите бельгийские на разлив или в холодильнике — мой любимый бар в городе.

• Один из моих любимых пивных баров в городе. Странная атмосфера. Если бы Тим Бертон спроектировал бар, это был бы он.

• Играете в назначенного водителя или ищете вкусный безалкогольный напиток? Имбирное пиво восхитительно. Попытайся! М-м-м.

• Большой выбор пива, феноменальный дизайн интерьера. Отличное место для отдыха в Хейт-Эшбери!

• Не отвлекайтесь только на краны — большой выбор бутылок

• Большой выбор кислого пива, интригующая атмосфера, дружелюбный босс. Специальное предложение в Сан-Франциско!

• Было веселое, эксцентрично оформленное место. Холодная атмосфера, хорошее пиво и выбор вин.

• Наполовину сидр, наполовину пиво — идеальное сочетание

• Если бы доктор Сьюз и Трент Резнор вместе занялись барным бизнесом, они бы придумали вот что. Декор описывается как постапокалиптический индастриал. Зайти выпить после работы. Подробнее

• Счастливый час — это здорово. Декор как нигде — ищите бомбу, свисающую с потолка!

• Посетите единственное место в Хейте, которое работает до 22:00. Пообщайтесь с нео-хиппи и другими наследниками эстетики Хейт-Эшбери. Читать дальше

• Хороший выбор более необычного пива на разлив, интересная мебель и декор и удивительно хорошая туалетная бумага.

• Темный и вычурный, отлично подходит для задушевных бесед. Шикарный выбор пива.

• Лучший бар на планете — лучший владелец, лучшее пиво — много бельгийцев — рай

• Очень хороший выбор кислого пива люблю это место.

• Пиво, мужик! Отличное место для дайвинга, и здесь меньше людей, чем в Торонадо.

• Хорошее место для свидания, если вы действительно хотите послушать друг друга.

• Эклектичный бар с большим выбором пива. Подходит для собак!!

• Холодильный бар. Как панк-рок Флинтстоуны.

• Один из самых эклектичных/интересных баров для дайвинга.

• Японец впервые увидел этот бар во сне. Мои друзья уверяют меня, что это правда

• Пиво, вино, сакэ и черный свет. Иди заведи новых друзей.

• Абсолютно эклектичное местечко. Здесь можно только пить. Триповый хаус, даунтемп и т. д. музыка, играющая, когда я там, просто создает мне настроение. Это как зайти в пещеру, где Читать далее

• Отличное место для отдыха с друзьями

• Местная жемчужина, о которой часто забывают. Вы никогда не забудете это место.

• В бутылке есть 1 или 2 пива без глютена. Отличная атмосфера. Подробнее

• отличный выбор пива и жутко красивый интерьер

• Брюхо зверя из Burning Man. Такой фанковый и веселый.

• Старые места для прогулок, когда я жил в Хейте. Сядь на пол и выпей саке.

• Люблю это место за вечернее саке и пиво

• Осторожно: это место недавно было переполнено автобусными йиппи с полуострова!

• Лиз — лучший бармен всех времен. гонщик 5 FTW. Я видел собаку, которая пила пиво с пола прошлой ночью.

• Лазертаг Тима Бертона; это лучшее описание декора.

• Пиво и сидр без глютена.

Приведение матрицы к треугольному виду

Ниже два калькулятора для приведения матриц к треугольному, или ступенчатому, виду. Первый использует для этого метод Гаусса, второй — метод Барейса. Описание методов и немного теории — под калькуляторами.

Приведение матрицы к треугольному виду (метод Гаусса)

3 2 3 4 4 4 3 2 1 4 4 3 2 3 1 1

Матрица

Точность вычисления

Знаков после запятой: 4

Треугольная матрица (метод Гаусса)

Треугольная матрица (метод Гаусса с выбором максимума в столбце)

Треугольная матрица (метод Гаусса с выбором максимума по всей матрице)

Приведение матрицы к треугольному виду (метод Барейса)

3 2 3 4 4 4 3 2 1 4 4 3 2 3 1 1

Матрица

Точность вычисления

Знаков после запятой: 4

Треугольная матрица (метод Барейса)

Треугольная матрица (метод Барейса с выбором максимума в столбце)

Треугольная матрица (метод Барейса с выбором максимума по всей матрице)

Итак, для начала определимся с понятием треугольной, или ступенчатой матрицы:
Матрица имеет ступенчатый вид, если:

1. Все нулевые строки матрицы стоят последними
2. Первый ненулевой элемент строки всегда находится строго правее первого ненулевого элемента предыдущей строки
3. Все элементы столбца под первым ненулевым элементом строки равны нулю (это впрочем следует из первых двух пунктов)

Пример ступенчатой матрицы:
1 0 2 5
0 3 0 0
0 0 0 4

Понятие треугольной матрицы более узкое, оно используется только для квадратных матриц (хотя я думаю, что это не строго), и формулируется проще: треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Строго говоря, это даже определение верхнетреугольной матрицы, но мы будем использовать его. Понятно, что такая верхнетреугольная матрица является также и ступенчатой.

Пример треугольной (верхнетреугольной) матрицы:
1 0 2 5
0 3 1 3
0 0 4 2
0 0 0 3
Кстати, определитель треугольной матрицы вычисляется простым перемножением ее диагональных элементов.

Чем же так интересны ступенчатые (и треугольные) матрицы, что к ним надо приводить все остальные? — спросите вы.
У них есть замечательной свойство, а именно, любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.

Что же такое элементарные преобразования? — спросите вы.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы
2. умножение любой строки (столбца) на призвольное, отличное от нуля, число
3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.

И что? — спросите вы.
А то, что элементарные преобразования матрицы сохраняют эквивалентность матриц. А если вспомнить, что системы линейных алгебраический уравнений (СЛАУ) записывают как раз в матричной форме, то это означает, что элементарные преобразования матрицы не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

Приведя матрицу системы линейных уравнений AX=B к треугольной форме A’X = B’, то есть, с соответствующими преобразованиями столбца B, можно найти решение этой системы так называемым «обратным ходом».

Чтобы было понятно, используем треугольную матрицу выше и перепишем систему уравнений в более привычной форме (столбец B я придумал сам):




Понятно, что сначала мы найдем , потом, подставив его в предыдущее уравнение, найдем и так далее — двигаясь от последнего уравнения к первому. Это и есть обратный ход.

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют методом Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Также его еще называют Гауссовым исключением, так как это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к эквивалентной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Теперь про сам метод.
Собственно, как можно занулить переменную во втором уравнении? Вычтя из него первое, домноженное на коэффициент
Поясним на примере:


Зануляем во втором уравнении:



Во втором уравнении больше не содержится

Обобщенно алгоритм метода Гаусса можно представить следующим образом:

где N — число строк,
— i-тая строка,
— элемент, находящийся в i-той строке, j-том столбце

И все бы ничего, да и метод отличный, но. Дело все в делении на , присутствующем в формуле. Во-первых, если диагональный элемент будет равен нулю, то метод работать не будет. Во-вторых, в процессе вычисления будет накапливаться погрешность, и чем дальше, тем больше. Результат будет отличаться от точного.

Для уменьшения погрешности используют модификации метода Гаусса, которые основаны на том, что погрешность тем меньше, чем больше знаменатель дроби. Эти модификации — метод Гаусса с выбором максимума в столбце и метод Гаусса с выбором максимума по всей матрице. Как следует из названия, перед каждым шагом исключения переменной по столбцу (всей матрице) ищется элемент с максимальным значением и проводится перестановка строк (строк и столбцов), таким образом, чтобы он оказался на месте .

Но есть еще более радикальная модификация метода Гаусса, которая называется методом Барейса (Bareiss).
Как можно избавиться от деления? Например, умножив перед вычитанием строку на . Тогда вычитать надо будет строку , домноженную только на , без всякого деления.
.
Уже хорошо, но возникает проблема с ростом значений элементов матрицы в ходе вычисления.

Барейс предложил делить выражение выше на и показал, что если исходные элементы матрицы — целые числа, то результатом вычисления такого выражения тоже будет целое число. При этом принимается, что для нулевой строки .

Кстати, то, что в случае целочисленных элементов исходной матрицы алгоритм Барейса приводит к треугольной матрице с целочисленными элементами, то есть без накопления погрешности вычислений — довольно важное свойство с точки зрения машинной арифметики.

Алгоритм Барейса можно представить следующим образом:

Алгоритм, аналогично методу Гаусса, также можно улучшить поиском максимума по столбцу(всей матрице) и перестановкой соответствующих строк (строк и столбцов).

 Барейсс линейная алгебра Математика матрица метод Барейса метод Гаусса треугольная матрица

Определитель матрицы.