Рубрика: Разное

Подробный разбор симплекс-метода / Хабр

Пролог

Недавно появилась необходимость создать с нуля программу, реализующую алгоритм симплекс-метода. Но в ходе решения я столкнулся с проблемой: в интернете не так уж много ресурсов, на которых можно посмотреть подробный теоретический разбор алгоритма (его обоснование: почему мы делаем те или иные шаги) и советы по практической реализации — непосредственно, алгоритм. Тогда я дал себе обещание — как только завершу задачу, напишу свой пост на эту тему. Об этом, собственно, и поговорим.

Замечание. Пост будет написан достаточно формальным языком, но будет снабжен комментариями, которые должны внести некоторую ясность. Такой формат позволит сохранить научный подход и при этом, возможно, поможет некоторым в изучении данного вопроса.

§1. Постановка задачи линейного программирования

Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения экстремальных задач на множествах n- мерного пространства, задаваемых системами линейными уравнений и неравенств.

Общая задача линейного программирования (далее – ЛП) имеет вид:

§2. Каноническая форма задачи ЛП

Каноническая форма задачи ЛП:

Замечание: Любая задача ЛП сводится к канонической.

Алгоритм перехода от произвольной задачи ЛП к канонической форме:

1. Неравенства с отрицательными умножаем на (-1).
2. Если неравенство вида (≤), то к левой части добавляем – добавочную переменную, и получаем равенство.
3. Если неравенство вида (≥), то из левой части вычитаем , и получаем равенство.
4. Делаем замену переменных:

• Если , то
• Если — любой, то , где

Будем нумеровать по номеру неравенства, в которое мы его добавили.

Замечание: ≥0.

§3. Угловые точки. Базисные/свободные переменные. Базисные решения

Точка называется угловой точкой, если представление возможно только при .

Иными словами, невозможно найти две точки в области, интервал проходящий через которые содержит (т.е. – не внутренняя точка).

Графический способ решения задачи ЛП показывает, что нахождение оптимального решения ассоциируется с угловой точкой. Это является основной концепцией при разработке симплекс-метода.

Определение: Пусть есть система m уравнений и n неизвестных (m < n). Разделим переменные на два множества: (n-m) переменные положим равными нулю, а остальные m переменных определяются решением системы исходных уравнений. Если это решение единственно, то тогда ненулевые m переменных называют базисными; нулевые (n-m) переменных – свободными (небазисными), а соответствующие результирующие значения переменных называют базисным решением.

§4. Симплекс-метод

Симплекс-метод позволяет эффективно найти оптимальное решение, избегая простой перебор всех возможных угловых точек. Основной принцип метода: вычисления начинаются с какого-то «стартового» базисного решения, а затем ведется поиск решений, «улучшающих» значение целевой функции. Это возможно только в том случае, если возрастание какой-то переменной приведет к увеличению значения функционала.

Необходимые условия для применения симплекс-метода:

1. Задача должна иметь каноническую форму.
2. У задачи должен быть явно выделенный базис.

Явно выделенным базисом будем называть вектора вида:, т.е. только одна координата вектора ненулевая и равна 1.

Замечание: Базисный вектор имеет размерность (m*1), где m – количество уравнений в системе ограничений.

Для удобства вычислений и наглядности обычно пользуются симплекс-таблицами:

• В первой строке указывают «наименование» всех переменных.
• В первом столбце указывают номера базисных переменных, а в последней ячейке – букву Z (это строка функционала).
• В «середине таблицы» указывают коэффициенты матрицы ограничений — aij.
• Последний столбец – вектор правых частей соответствующих уравнений системы ограничений.
• Крайняя правая ячейка – значение целевой функции. На первой итерации ее полагают равной 0.

Базис – переменные, коэффициенты в матрице ограничений при которых образуют базисные вектора.

Замечание: Если ограничения в исходной задаче представлены неравенствами вида ≤, то при приведении задачи к канонической форме, введенные дополнительные переменные образуют начальное базисное решение.

Замечание: Коэффициенты в строке функционала берутся со знаком “-”.

Алгоритм симплекс-метода:

1. Выбираем переменную, которую будем вводить в базис. Это делается в соответствии с указанным ранее принципом: мы должны выбрать переменную, возрастание которой приведет к росту функционала. Выбор происходит по следующему правилу:

• Если задача на минимум – выбираем максимальный положительный элемент в последней строке.
• Если задача на максимум – выбираем минимальный отрицательный.

Такой выбор, действительно, соответствует упомянутому выше принципу: если задача на минимум, то чем большее число вычитаем – тем быстрее убывает функционал; для максимума наоборот – чем большее число добавляем, тем быстрее функционал растет.

Замечание: Хотя мы и берем минимальное отрицательное число в задаче на максимум, этот коэффициент показывает направление роста функционала, т.к. строка функционала в симплекс-таблице взята со знаком “-”. Аналогичная ситуация с минимизацией.

Определение: Столбец симплекс-таблицы, отвечающий выбранному коэффициенту, называется ведущим столбцом.

2. Выбираем переменную, которую будем вводить в базис. Для этого нужно определить, какая из базисных переменных быстрее всего обратится в нуль при росте новой базисной переменной. Алгебраически это делается так:

• Вектор правых частей почленно делится на ведущий столбец
• Среди полученных значений выбирают минимальное положительное (отрицательные и нулевые ответы не рассматривают)

Такая строка называется ведущей строкой и отвечает переменной, которую нужно вывести из базиса.

Замечание: Фактически, мы выражаем старые базисные переменные из каждого уравнения системы ограничений через остальные переменные и смотрим, в каком уравнении возрастание новой базисной переменной быстрее всего даст 0. Попадание в такую ситуацию означает, что мы «наткнулись» на новую вершину. Именно поэтому нулевые и отрицательные элементы не рассматриваются, т.к. получение такого результата означает, что выбор такой новой базисной переменной будет уводить нас из области, вне которой решений не существует.

3. Ищем элемент, стоящий на пересечении ведущих строки и столбца.

Определение: Такой элемент называется ведущим элементом.

4. Вместо исключаемой переменной в первом столбце (с названиями базисных переменных) записываем название переменной, которую мы вводим в базис.

5. Далее начинается процесс вычисления нового базисного решения. Он происходит с помощью метода Жордана-Гаусса.

• Новая Ведущая строка = Старая ведущая строка / Ведущий элемент
• Новая строка = Новая строка – Коэффициент строки в ведущем столбце * Новая Ведущая строка

Преобразование такого вида направлено на введение выбранной переменной в базис, т. е. представление ведущего столбца в виде базисного вектора.

6. После этого проверяем условие оптимальности. Если полученное решение неоптимально – повторяем весь процесс снова.

§5. Интерпретация результата работы симплекс-метода

1. Оптимальность

Условие оптимальности полученного решения:

• Если задача на максимум – в строке функционала нет отрицательных коэффициентов (т.е. при любом изменении переменных значение итогового функционала расти не будет).
• Если задача на минимум – в строке функционала нет положительных коэффициентов (т.е. при любом изменении переменных значение итогового функционала уменьшаться не будет).

2. Неограниченность функционала

Однако, стоит отметить, что заданный функционал может не и достигать максимума/минимума в заданной области. Алгебраический признак этого можно сформулировать следующим образом:

При выборе ведущей строки (исключаемой переменной) результат почленного деления вектора правых частей на ведущий столбец содержит только нулевые и отрицательные значения.

Фактически, это значит, что какой бы рост мы не задавали новой базисной переменной, мы никогда не найдем новую вершину. А значит, наша функция не ограничена на множестве допустимых решений.

3. Альтернативные решения

При нахождении оптимального решения возможен еще один вариант – есть альтернативные решения (другая угловая точка, дающая то же самое значение функционала).

Алгебраический признак существования альтернативы:

После достижения оптимального решения имеются нулевые коэффициенты при свободных переменных в строке функционала.

Это значит, что при росте соответствующей переменной с нулевым коэффициентом значение функционала не изменится и новое базисное решение будет также давать оптимум функционала.

Эпилог

Данная статья направлена на более глубокое понимание теоретической части. В замечаниях и пояснениях здесь можно получить ответы на вопросы, которые обычно опускают при изучении этого метода и принимают априори. Однако, надо понимать, что многие методы численной оптимизации основаны на симплекс-методе (например, метод Гомори, М-Метод) и без фундаментального понимания вряд ли получится сильно продвинуться в дальнейшем изучении и применении всех алгоритмов этого класса.

Чуть позже напишу статью о практической реализации симплекс-метода, а также несколько статей о Методе искусственных переменных (М-Метод), Методе Гомори и Методе ветвей и границ.

Спасибо за внимание!

P.S.

Если уже сейчас Вы мучаетесь с реализацией симплекс-метода, советую почитать книгу А. Таха Введение в исследование операций — там все неплохо разобрано и в теории, и на примерах; а также посмотрите примеры решения задач matburo.ru — это поможет с реализацией в коде.

Симплекс метод — процесс решения проблем

Цель этой минилекции – познакомить вас с практическим применением симплекс-метода решения проблем, предложенного Басадуром. После ее прочтения станут понятны основы этого мощного творческого метода решения проблем.

Что собой представляет симплекс метод

Вне всякого сомнения, проблемы бывают разного характера и масштаба. Но важно только то, что они могут быть разрешены. Однако прежде чем предпринять действия для решения проблемы, важно сначала осознать ее. Тем не менее, наиболее значимые шаги в процессе решения проблем часто упускаются из виду. Это означает, что оптимальный выход из ситуации не удается найти или сама проблема определена неверно. Симплекс метод – это метод преодоления трудностей, который учитывает такие ошибки и предотвращает их. Эту модель разработал американский гуру в сфере творчества Марино (Мин) Сидни Басадур, который представил свой метод в книге «Сила инноваций». Он также является изобретателем запатентованной системы мышления Simplexity. Симплекс-метод решения проблем, разработанный Басадуром, включает несколько шагов, пройдя которые группа людей получает возможность найти креативные решения. С помощью Simplex-метода легче определить задачу, а затем предложить и реализовывать способы ее преодоления.

Алгоритм симплекс метода по Басадуру: три фазы

Басадур разделил разработанный им симплекс-метод решения задач на три фазы, которые включают восемь шагов.

Фаза 1: Постановка проблемы

Эта первая фаза связана с первыми тремя шагами симплекс-процесса решения задач: поиск проблемы, выяснение деталей и формирование четкой задачи. Только после этого задача может быть сформулирована правильно. Когда станет ясно, в чем заключена проблема, появится возможность отследить ее истоки в организационной структуре.

Фаза 2: Процесс поиска решений

После фокусировки на описании проблемы симплекс-метод переходит ко второй фазе, заключающейся в поиске возможных решений. Выполняются следующие шаги: поиск идей, способных привести к устранению проблемы, выбор и оценка этих идей. На этом этапе предлагается как можно больше творческих идей, которые могут помочь разрешить сложившуюся ситуацию.

Фаза 3: Реализация решения

Когда преодоление проблемы близко, следует третья и последняя фаза. Она содержит три заключительных шага симплекс-процесса Басадура, а именно: планирование всех необходимых действий, обеспечение поддержки с вовлечением в решение проблемы всех сотрудников и последний шаг – принятие требуемых мер и их реализация. В этой фазе важно, чтобы решение было тщательно проработано. Его внедрение должно осуществляться профессионально. Кроме того, при реализации решения нужно позаботиться о пространстве для маневра, чтобы в случае необходимости можно было корректировать свои действия.

Симплекс-метод решения проблем: восемь шагов

Шаг 1: Поиск проблемы

На этом этапе лучше всего не пытаться сразу же найти выход из ситуации. Для начала необходимо прояснить суть проблемы и ее симптомы. Причина выяснится позже. В ходе этого шага, к примеру, потребуется определить желания и потребности не только клиентов и поставщиков, но и сотрудников. В отличие от многих других методов решения проблем в симплекс-процессе Басадура на первом этапе проблема еще не известна. Для ускорения шага 1 могут быть заданы вспомогательные вопросы, например такие:

• Какие полезные рекомендации могут предложить клиенты?
• Как отреагируют клиенты на попытку расширить взаимодействие?
• Что не так в обслуживании клиентов на текущий момент?

Шаг 2: Выяснение деталей

Этот этап включает в себя сбор информации, касающейся текущей ситуации и, возможно, самой проблемы. На первом этапе были выяснены симптомы проблемы, и на основе этого понадобится собрать имеющиеся факты. Что организации уже известно о рассматриваемой проблеме? Собранные сведения должны быть проанализированы и оценены. Наиболее значимые данные будут играть важную роль на следующих этапах. Опять же, могут быть полезны дополнительные вопросы, такие как:

• Какие претензии предъявлялись за последний год?
• Как клиенты относятся к проблеме?
• Предпринимались ли какие-либо действия?
• Существуют ли предложения по улучшению ситуации?

Шаг 3: Определение проблемы

Область проблем выяснена, поэтому теперь можно определить конкретную проблему. Важно объяснить проблему не слишком пространно, но и не слишком ограниченно. Ответы на ряд вопросов «почему?» помогают понять ситуацию в целом. Отдельные детали помогают описать проблему. Как это работает, можно понять на следующем примере:

Вопрос: «Почему мы хотим улучшить обслуживание наших клиентов?»

Ответ: «Потому что клиентов в настоящее время отсылают туда-обратно в различные контактные центры. Им нужен постоянный человек для контактов, который будет в курсе происходящего».

Определено, что проблема касается работы отдела обслуживания клиентов, который по большей части не связывает клиента с нужным человеком.

Шаг 4: Поиск решения

В рамках симплекс-процесса этот шаг связан с широким кругом идей, которые могли бы способствовать решению проблемы. Структурные подразделения и отдельные сотрудники играют в этом важную роль. Неплохой идеей будет создание проектной группы, которая бы разрабатывала креативные решения. Такой групповой поиск идей по принципу «мозгового штурма» не подразумевает критики идей друг друга. Это препятствовало бы творческому процессу. На этом этапе должны быть разработаны возможные варианты решения проблемы.

Шаг 5: Выбор и оценка

Пришло время рассмотреть предложенные идеи более подробно. Цель этапа состоит в том, чтобы решить, какая идея лучше всего подходит для решения задачи. Лучше всего начать с создания критериев оценки, позволяющих провести объективный анализ. Идея, наиболее соответствующая этим критериям, обычно является самым лучшим решением проблемы. На этом этапе вспомогательные вопросы также могут ускорить процесс. В частности, лучше уточнить:

• Какое влияние окажет выбранное решение?
• Понадобятся ли какие-либо расходы в связи с выбранным решением?
• Сколько времени и усилий потребуется для реализации задачи?

Шаг 6: Планирование

Теперь, когда выбор сделан, пришло время для составления плана действий. Проще говоря, понадобится четко распределить действия и обязанности, предоставив возможность каждому трудиться над выполнением задачи. Обычно решение незначительных проблем не требует большого количества действий. В случае более серьезных проблем лучшим выбором будет официальное участие в управлении проектом.

Шаг 7: Обеспечение взаимодействия

Хотя это может показаться излишним, но важно учитывать вовлеченность сотрудников на протяжении всего процесса. Только при условии согласия с решением они будут стремиться к успешному завершению задачи. Решение проблем часто связано с нововведениями. Сотрудникам нередко трудно изменить привычный стиль работы. Вот почему они должны осознавать негативные последствия проблемы и ценность внедряемых изменений.

Шаг 8: Принятие мер

План действий может быть реализован только в том случае, если будет обеспечена достаточная поддержка. Этот шаг заслуживает такого же внимания, как и другие. В конце концов, если план не будет реализован, проблема не будет решена. Будет полезным по ходу дела оценивать результаты и проверять, насколько значительно уменьшилась решаемая проблема.

Симплекс-метод решения проблем: цикличность метода

Симплекс-процесс, предложенный Басадуром для преодоления проблем – простая, но мощная модель решения задач. Однако этот процесс не является линейным, он имеет циклический характер. Это означает наличие возможностей для постоянного совершенствования. Вот почему решение задач с помощью симплекс-метода Басадура часто сравнивают с циклом Деминга (PDCA): планирование, действие, проверка, корректировка. После завершения финального этапа следует вернуться к первому шагу для дальнейшей корректировки решения проблемы.

Симплекс метод решения проблем — презентация в PowerPoint

Если вы бизнес-тренер и планируете использовать эту мини-лекцию в своих тренингах, то:

1. Рекомендуем прочитать статью о том как сделать свою мини-лекцию живой и интересной.
2. Скачайте презентацию в формате PowerPoint для визуальной поддержки вашей мини-лекции.

Премиальный контент

Ссылка на скачивание этой презентации и другой премиальный контент доступны подписчикам платных тарифов. Оформите платную подписку на сайте “Технология тренинга” и получите полный доступ к 13 готовым тренингам, 256 слайдам, 112 минилекциям, 619 упражнениям, 41 видео и т.д. Это совсем не дорого.

Нет аккаунта? Зарегистрируйтесь   Есть аккаунт? Войдите  

Алгоритм и пример симплекс-метода (ММЭ). Пример решения симплекс-методом

Пример 5.1. Решить следующую задачу линейного программирования симплекс-методом:

Решение:

I итерация:

1 этап: формирование исходной симплекс-таблицы.

Исходная задача линейного программирования задана в стандартной форме. Приведем ее к каноническому виду путем введения в каждое из ограничений-неравенств дополнительной неотрицательной переменной, т. е.

В полученной системе уравнений примем в качестве разрешенных (базисных) переменные х3, х4, х5, х6, тогда свободными переменными будут х1,х2. Выразим базисные переменные через свободные:

Приведем целевую функцию к следующему виду:

На основе полученной задачи сформируем исходную симплекс-таблицу:

Таблица 5.3

Исходная симплекс-таблица

2 этап: определение базисного решения.

Согласно определению базисного решения свободные переменные равны нулю, а значения базисных переменных – соответствующим значениям свободных чисел, т.е.:

.

3 этап: проверка совместности системы ограничений ЗЛП.

На данной итерации (в таблице 5.3) признак несовместности системы ограничений (признак 1) не выявлен (т.е. нет строки с отрицательным свободным числом (кроме строки целевой функции), в которой не было бы хотя бы одного отрицательного элемента (т.е. отрицательного коэффициента при свободной переменной)).

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

На данной итерации (в таблице 5.3) признак неограниченности целевой функции (признак 2) не выявлен (т.е. нет колонки с отрицательным элементом в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел), в которой не было бы хотя бы одного положительного элемента).

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Так как найденное базисное решение не содержит отрицательных компонент, то оно является допустимым.

6 этап: проверка оптимальности.

Найденное базисное решение не является оптимальным, так как согласно признаку оптимальности (признак 4) в строке целевой функции не должно быть отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, согласно алгоритму симплекс-метода переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Так как найденное базисное решение допустимое, то поиск разрешающей колонки будем производить по следующей схеме: определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.3, таких колонок две: колонка «х1» и колонка «х2». Из таких колонок выбирается та, которая содержит наименьший элемент в строке целевой функции. Она и будет разрешающей. Колонка «х2» содержит наименьший элемент (–3) в сравнении с колонкой «х1». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Для определения разрешающей строки находим положительные оценочные отношения свободных чисел к элементам разрешающей колонки, строка, которой соответствует наименьшее положительное оценочное отношение, принимается в качестве разрешенной.

Таблица 5.4

Исходная симплекс-таблица

В таблице 5.4 наименьшее положительное оценочное отношение соответствует строке «х5», следовательно, она будет разрешающей.

Элемент, расположенный на пересечение разрешающей колонки и разрешающей строки, принимается в качестве разрешающего. В нашем примере – это элемент , который расположен на пересечении строки «х5» и колонки «х2».

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Разрешающий элемент показывает одну базисную и одну свободную переменные, которые необходимо поменять местами в симплекс-таблице, для перехода к новому «улучшенному» базисному решению. В данном случае это переменные х5 и х2, в новой симплекс-таблице (таблице 5.5) их меняем местами.

9.1. Преобразование разрешающего элемента.

Разрешающий элемент таблицы 5.4 преобразовывается следующим образом:

Полученный результат вписываем в аналогичную клетку таблицы 5.5.

9.2. Преобразование разрешающей строки.

Элементы разрешающей строки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей строки приведены в таблице 5.5.

9.3. Преобразование разрешающей колонки.

Элементы разрешающей колонки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, а результат берется с обратным знаком. Полученные результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей колонки приведены в таблице 5.5.

9.4. Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы.

Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы (т.е. элементов не расположенных в разрешающей строке и разрешающей колонке) осуществляется по правилу «прямоугольника».

К примеру, рассмотрим преобразование элемента, расположенного на пересечении строки «х3» и колонки «», условно обозначим его «х3». В таблице 5.4 мысленно вычерчиваем прямоугольник, одна вершина которого располагается в клетке, значение которой преобразуем (т.е. в клетке «х3»), а другая (диагональная вершина) – в клетке с разрешающим элементом. Две другие вершины (второй диагонали) определяются однозначно. Тогда преобразованное значение клетки «х3» будет равно прежнему значению данной клетки минус дробь, в знаменателе которой разрешающий элемент (из таблицы 5. 4), а в числителе произведение двух других неиспользованных вершин, т.е.:

«х3»: .

Аналогично преобразуются значения других клеток:

«х3 х1»: ;

«х4»: ;

«х4 х1»: ;

«х6»: ;

«х6 х1»: ;

«»: ;

«х1»: .

В результате данных преобразований получили новую симплекс- таблицу (таблица 5.5).

II итерация:

1 этап: составление симплекс-таблицы.

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.5

Симплекс-таблица II итерации

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.5):

.

Как видно, при данном базисном решении значение целевой функции =15, что больше чем при предыдущем базисном решении.

3 этап: проверка совместности системы ограничений.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.5 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.5 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5. 5) содержится отрицательный элемент: –2 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.5, такой колонкой является только одна колонка: «х1». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.6, минимальным является отношение, соответствующее строке «х3». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

Таблица 5.6

Симплекс-таблица II итерации

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.6) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.7.

III итерация

1 этап: построение новой симплекс-таблицы.

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.7

Симплекс-таблица III итерации

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение (таблица 5.7):

.

3 этап: проверка совместности системы ограничений.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.7 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.7 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 не оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.7) содержится отрицательный элемент: –3 (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Найденное базисное решение допустимое, определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.7, такой колонкой является только одна колонка: «х5». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Согласно полученным значениям положительных оценочных отношений в таблице 5.8, минимальным является отношение, соответствующее строке «х4». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

Таблица 5.8

Симплекс-таблица III итерации

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Преобразования симплекс-таблицы (таблицы 5.8) выполняются аналогично, как и в предыдущей итерации. Результаты преобразований элементов симплекс-таблицы приведены в таблице 5.9.

IV итерация

1 этап: построение новой симплекс-таблицы.

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.9

Симплекс-таблица IV итерации

2 этап: определение базисного решения.

В результате проведенных симплекс-преобразований получили новое базисное решение, согласно таблице 5.9 решение следующее:

.

3 этап: проверка совместности системы ограничений.

Не совместность системы ограничений в соответствии с признаком 1 в таблице 5.9 не выявлена.

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

Неограниченность целевой функции в соответствии с признаком 2 в таблице 5.9 не выявлена.

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 3 допустимое, так как не содержит отрицательных компонент.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.9) нет отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

7 этап: проверка альтернативности решения.

Найденное решение является единственным, так как в строке целевой функции (таблица 5.9) нет нулевых элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

Ответ: оптимальное значение целевой функции рассматриваемой задачи =24, которое достигается при .

Пример 5.2. Решить вышеприведенную задачу линейного программирования при условии, что целевая функция минимизируется:

Решение:

I итерация:

1 этап: формирование исходной симплекс-таблицы.

Исходная задача линейного программирования задана в стандартной форме. Приведем ее к каноническому виду путем введения в каждое из ограничений-неравенств дополнительной неотрицательной переменной, т. е.

В полученной системе уравнений примем в качестве разрешенных (базисных) переменные х3, х4, х5, х6, тогда свободными переменными будут х1,х2. Выразим базисные переменные через свободные:

Приведем целевую функцию к следующему виду:

На основе полученной задачи сформируем исходную симплекс-таблицу:

Таблица 5.10

Исходная симплекс-таблица

2 этап: определение базисного решения.

Согласно определению базисного решения свободные переменные равны нулю, а значения базисных переменных – соответствующим значениям свободных чисел, т.е.:

.

3 этап: проверка совместности системы ограничений ЗЛП.

На данной итерации (в таблице 5.10) признак несовместности системы ограничений (признак 1) не выявлен (т.е. нет строки с отрицательным свободным числом (кроме строки целевой функции), в которой не было бы хотя бы одного отрицательного элемента (т.е. отрицательного коэффициента при свободной переменной)).

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

На данной итерации (в таблице 5.10) признак неограниченности целевой функции (признак 2) не выявлен (т.е. нет колонки с положительным элементом в строке целевой функции (колонка свободных чисел не рассматривается), в которой не было бы хотя бы одного положительного элемента).

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Так как найденное базисное решение не содержит отрицательных компонент, то оно является допустимым.

6 этап: проверка оптимальности найденного базисного решения.

Найденное базисное решение в соответствии с признаком 4 оптимальное, так как в строке целевой функции симплекс-таблицы (таблица 5.10) нет положительных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

7 этап: проверка альтернативности решения.

Найденное решение является единственным, так как в строке целевой функции (таблица 5.10) нет нулевых элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается).

Ответ: оптимальное значение целевой функции рассматриваемой задачи =0, которое достигается при .

Пример 5.3. Решить следующую задачу линейного программирования симплекс-методом:

Решение:

I итерация

1 этап: составление исходной симплекс-таблицы.

Задача линейного программирования задана в каноническом виде. Составим расширенную матрицу и выделим с помощью метода Жордана-Гаусса базисные переменные. Примем в качестве базисных – переменные х1 и х2.

Умножим (поэлементно) первую строку на –3 и сложим со второй:

.

Умножим вторую строку на :

.

Сложим вторую с первой строкой:

.

В результате система ограничений примет следующий вид:

Выразим базисные переменные через свободные:

Выразим целевую функцию также через свободные переменные, для этого подставим полученные значения базисных переменных в целевую функцию:

.

Запишем целевую функцию в следующем виде:

.

Составим исходную симплекс-таблицу:

Таблица 5.11

Исходная симплекс-таблица

2 этап: определение базисного решения.

Согласно определению базисного решения свободные переменные равны нулю, а значения базисных переменных – соответствующим значениям свободных чисел, т.е.:

.

Найденное базисное решение является вырожденным, т.к. имеется базисная переменная х2, равная нулю.

3 этап: проверка совместности системы ограничений ЗЛП.

Так как в таблице 5.11 имеется строка с отрицательным свободным числом (–1), в которой нет ни одного отрицательного элемента (т.е. отрицательного коэффициента при свободной переменной), то согласно признаку несовместности (признак 1) система ограничений данной задачи не совместна (строка целевой функции при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, рассматриваемая задача линейного программирования не имеет решения.

Ответ: рассматриваемая задача линейного программирования не имеет решения в силу несовместности ее системы ограничений.

МЕТОД — Энциклопедия по экономике

Упорядоченный перебор интересующих нас допустимых планов, нахождение допустимых планов требуют огромной вычислительной работы, которая осуществляется на ЭВМ. Симплекс-метод, согласно которому ЭВМ осуществляет упорядоченный перебор и находит оптимальное решение, является наиболее распространенным экономико-математическим методом.  [c.414]

Наиболее распространенным методом решения важных практических задач планирования и управления является линейное программирование. С помощью симплекс-метода решаются задачи планирования производственной программы предприятия, объединения, способствующие получению максимального эффекта при ограниченных материальных и трудовых ресурсах. Распределительный метод линейного программирования позволяет выбрать оптимальные варианты планов транспортных перевозок решать задачи по оптимизации планов загрузки оборудования и др.  [c.78]

Рассмотрим некоторые особенности этого метода. В качестве-основы может быть выбран алгоритм симплекс-метода (например, мультипликативный), в котором на каждой итерации в явном виде вычисляется вектор симплексных множителей по формуле  [c.99]

Вычислительная схема реализации расчетов по модели (2)— (9) на основе мультипликативного алгоритма симплекс. — метода показана на рисунке.  [c.100]

Симплекс-метод представляет собой технику решения задач с ограничивающими факторами при помощи компьютера (соответствующие расчеты можно сделать и вручную, но это очень трудоемко, даже при относительно несложных задачах). Будучи ограниченным только аппаратными или программными возможностями (т.е. особенностями прикладной программы или объемом памяти компьютера), симплекс-метод позволяет решать задачи с огромным количеством товаров/услуг и ограни-  [c.370]

Симплекс-метод — это техника решения многопродуктовых задач в условиях ограничений, чаще реализуемая с помощью компьютера.  [c.378]

Для решения симплекс-методом (на компьютере) технический консультант спортклуба сформулировал задачу о размещении кресел  [c.389]

Наконец, рассмотрим многокритериальные симплекс-методы,, основанные на использовании симплекс-таблицы линейного программирования. Эти методы очень близки к методам параметрического программирования и состоят в переходе из некоторой исходной точки (скажем, точки А см. рис. 6.9) в соседнюю эффективную точку. При этом, в отличие от методов взвешивания, понятие весов не используется. Многокритериальные симплекс-методы имеют те же самые достоинства и1 недостатки, что и параметрические методы.  [c.311]

Стандартные программные пакеты для персональных компьютеров реализуют в этом случае симплекс-метод, который представляет собой итеративный пошаговый процесс. Он начинается с выбора одного возможного решения с последующим замещением его, если результат может быть улучшен. Этот перебор продолжается до тех пор, пока дальнейшее улучшение невозможно. Таким образом будет получено оптимальное решение.  [c.280]

Нахождение оптимального решения. В случае, когда в целевой функции только две переменные и количество ограничений небольшое, для нахождения оптимального решения можно использовать графический метод и метод проб и ошибок. В более сложных случаях, которые возникают на практике, необходимы специальные пакеты программного обеспечения, например симплекс-метод.  [c.382]

Следует отметить, что метод проб и ошибок, а также графический метод полезны в случае двух или, возможно, трех переменных. Для решения проблемы линейного программирования со многими переменными эти методы непрактичны. Стандартные программные пакеты для персональных компьютеров реализуют в этом случае симплекс-метод, который представляет собой итеративный пошаговый процесс. Он начинается выбором одного возможного решения с последующим замещением его, если результат можно улучшить. Этот перебор продолжается до тех пор, пока дальнейшее улучшение перестает быть возможным.  [c.385]

Весьма типичной задачей, решаемой с помощью линейного программирования, является транспортная задача. Ее смысл заключается в минимизации грузооборота при доставке товаров широкого потребления от производителя к потребителю, с оптовых складов и баз в розничные торговые предприятия. Она решается симплекс-методом или распределительным методом.  [c.163]

Задачи с помощью линейного программирования решаются двумя способами симплекс-методом и распределительном методом.  [c.41]

Симплекс-метод см. Баканов М. И., Шеремет А. Д. Теория экономического анализа. — М. Финансы и статистика, 1998.-С. 162- 171. Приведенный в учебнике пример также может служить материалом для практических занятий.  [c.42]

Известно, что в случае двух переменных решение задачи математического программирования можно провести не только аналитически (например, используя симплекс-метод), но и графически. В нашем примере интерес представляет только целочисленное решение.  [c.221]

Линейное программирование — математический метод, предназначенный для выявления оптимального решения из большого числа возможных вариантов решения задачи, у которой условия позволяют запись в виде линейных соотношений. Линейное программирование применяется для решения задач типа распределение ресурсов, формирование комбинации кормов, составление портфеля инвестиций, выбор производственной программы. Для постановки задачи линейного программирования необходимо ввести переменные (определяемые) величины, выразить через эти переменные ограничивающие условия и целевую функцию. Для решения задач линейного программирования используют симплекс-метод или графический метод (при наличии двух переменных в решаемой задаче).  [c.122]

Симплекс-метод (аналитическое решение задач линейного программирования) — это алгоритм формального пересчета вариантов решения задачи с последовательным движением к оптимальному решению. Каждый шаг алгоритма расчетов улучшает предыдущее решение.  [c.122]

Рассмотрим алгоритм симплекс-метода на основе числового примера — оптимизационной задачи, включающей пять неизвестных и три ограничивающих условия.  [c.122]

Решение. В результате решения задачи симплекс-методом найдем оптимальное решение х = 1 х = 7, 5 1 =29,5, где верхний индекс переменных — номер задачи.  [c.127]

Результаты решения симплекс-методом задачи 2 х = 1,2 j f = 7 L2 = 29,4 задачи 3 х = 0,75 xf = 8 L3 = 29,25.  [c.128]

Решение задачи ЛП осуществляется модифицированным симплекс-методом с мультипликативным представлением обратной матрицы и двусторонними границами для переменных и ограничений.  [c.179]

С учетом возможностей современных ППП, использующих модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матрицы, отнесение очередного вектора к классу векторов, обеспечивающих совместность или несовместность, требует проведения всего нескольких итераций после модификации обобщенной матрицы  [c.207]

Раскрыв любую книгу по управлению финансами, изданную в России, или переведенный с английского учебник по корпоративным финансам, едва ли не с первых страниц натыкаешься на обилие сложных формул, интегралов и производных, а также на множество терминов, таких как финансовый рычаг, модель Дюпона и т. п. Изыски финансовой механики безусловно важны и полезны. Но все симплекс-методы и оптимизационные модели ни на шаг не приближают нас к составлению бюджетов компании. Например, к пониманию того, чем бюджет отличается от сметы.  [c.37]

Имеется три источника AI, А2, А3 располагающие соответствующими мощностями и четыре потребителей Btj B2, В3 и В4 (мвт). При известных стоимостях передачи единицы мощности С, t от i источника к j потребителю ( без учёта потерь мощности ) найти оптимальный Уед распределения электрической мощности от источников к потребителям, при котором затраты на передачу минимальны и определить оптимальную конфигурацию электрической сети. Решение задачи осуществить можно симплекс методом, либо распределительным методом либо методом потенциалов.  [c.10]

Блок 6 — машинное решение модели. Для решения данной экономико-математической модели может быть использован алгоритм, разработанный сотрудниками ЦЭМИ АН СССР, который предусматривает решение с помощью мультипликативного симплекс-метода. В результате машинного решения должна быть получена распечатка ленты, описание которой дано а разделе Выходная информация . . . . . . ….  [c.157]

Данная задача решается с применением симплекс-метода, описание которого приводится ниже.  [c.179]

Оптимизация компаундирования значительно повышает рентабельность продукции при полном использовании запасов компонентов. Но для получения таких результатов необходимо обеспечить быстроту расчетов, что возможно только при применении ЭЦВМ. Решение простейшего варианта задачи о смешении симплекс-методом вручную продолжается около 15 дней, тогда как решение более сложной задачи на ЭЦВМ при наличии готовой  [c.135]

Рассмотренный метод оптимизации производственной программы. НПЗ в постановке (2)—(9)-реализован на ЭВМ М-22 . Ниже приводится общая схема вычисления по данному методу. Условия (4)—(8) формируются в виде отдельного. информационного массива. Он используется только при решении вспомогательной задачи (12). Основой предлагаемой вычислительной схемы является алгоритм мультипликативного симплекс-метода, к которому стыкуются алгоритмы решения вспомогательной задачи и усреднения. Для решения вспомогательнбй задачи может использоваться основная программа. Однако в связи/с ее небольшими размерами был разработан и реализован на ЭВМ более экономный прямой алгоритм симплекс метода с верхними ограничениями на переменные. Следует отметить, что предлагаемый подход может реализован и другой вычислительной схемой, отличной от приводимой ниже. Ее отличие состоит в том, что алгоритм решения вспомогательной задачи.подключается только после получения оптимального решения, основной задачи. Практическая проверка обеих вычислительных схем не показала существенного преимущества ни одной из них.  [c.100]

На /-и итерации процедуры исходной информацией шага а) является положительный вектор весов X = Х15. .., Я ]. Задача (3.9) решается с помощью симплекс-метода ее решение, обозначаемое х1, используется для построения вспомогательной информации, которая состоит в расчете значений вектора критериев в соседних с х вершинах многогранного множества (3.7). При этом рассматриваются только те вершины, которые принадлежат эффективному множеству решений. Пусть на Z-й итерации таких вершин [c.307]

AB D, содержащий все выпуклые комбинации этих точек (он заштрихован на рис. 6.9), содержит и неэффективные точки. Среди методов построения эффективных вершин можно выделить два основных направления. Это методы взвешивания и многокритериальные симплекс-методы.  [c.310]

Становление современного математического аппарата оптимальных экономических решений началось в 40-е годы, благодаря первым работам Н. Винера, Р. Беллмана, С. Джонсона, Л. Канторовича. Задача линейного программирования впервые математически сформулирована Л. В. Канторовичем в 1939 г. на примере задачи раскроя материалов для Ленинградского фанерного треста. В 1947 г. Дж. Данциг предложил универсальный алгоритм решения задач линейного программирования, названный им симплекс-методом. В 1941 г. Хичкок и независимо от него в 1947 г. Купсман формулируют транспортную задачу, в 1945 г. Стиглер — задачу о диете. В 1952 г. было проведено первое успешное решение задачи линейного программирования на ЭВМ Sea в Национальном бюро стандартов США.  [c.102]

М301. Мультипликативный симплекс-метод решения общей задачи линейного программирования  [c.35]

Симплексный метод, библиотека scipy и нелинейное программирование в линейном программировании на Python

Симплексный метод, scipy библиотека и нелинейное программирование для решения задач

• Основное определение симплекс-метода
• Принцип метода Big M для решения линейного программирования
• решение Excel
• Python вызывает optimize package и scipy для решения линейного программирования
• Программирование на Python для реализации симплексного метода
• Сравнение
• Нелинейное программирование

Основное определение симплекс-метода:
В общих задачах линейного программирования, когда количество переменных в системе линейных уравнений больше, чем количество уравнений, будет неопределенное количество решений, и симплекс-метод является общим метод решения задач линейного программирования. Конкретные шаги заключаются в том, чтобы найти один за другим симплекс из системы линейных уравнений, и каждый симплекс может получить набор решений, а затем оценить, увеличивает ли решение или уменьшает значение целевой функции, и решить, какой симплекс выбрать в форма следующего шага. Через итерацию оптимизации, пока целевая функция не достигнет максимального или минимального значения. Другими словами, симплекс-метод придерживается основной идеи «гарантировать, что каждая итерация лучше предыдущей»: сначала найдите базовое возможное решение, определите его и посмотрите, является ли оно оптимальным решением; если нет, следовать Преобразовать определенное правило в другое улучшенное и лучшее базовое выполнимое решение, а затем определить; если это все еще не так, преобразовать снова и повторить. Поскольку количество основных возможных решений ограничено, оптимальное решение задачи может быть получено после конечного числа преобразований. Если проблема не имеет оптимального решения, этот метод также можно использовать для оценки.

Принцип метода Big M для решения линейного программирования:
Метод Big M сначала преобразует задачу линейного программирования в стандартную форму. Если система уравнений ограничений содержит единичную матрицу I, то был получен начальный допустимый базис. В противном случае добавьте тысячи неотрицательных искусственных переменных в левую часть системы уравнений ограничений, чтобы вектор-столбец коэффициентов, соответствующий искусственной переменной, и вектор-столбец коэффициентов других переменных образовали единичную матрицу. Используя единичную матрицу в качестве начального базиса, можно получить начальное базовое допустимое решение. Чтобы получить начальное базовое возможное решение исходной проблемы, искусственная переменная должна быть заменена из базовой переменной на неосновную переменную посредством итеративного процесса как можно скорее. По этой причине отрицательный коэффициент -M с большим абсолютным значением может быть присвоен искусственной переменной в целевой функции. Таким образом, пока в базовых переменных есть искусственные переменные, целевая функция не может быть максимизирована. Последующие вычисления такие же, как и для решения с симплексной таблицей, и M нужно только рассматривать как большое положительное число. Если искусственные переменные включены в базовые переменные симплексной оптимальной таблицы, это означает, что не существует допустимого решения исходной задачи. В противном случае оставшаяся часть оптимального решения, исключая искусственные переменные, является начальным основным допустимым решением исходной задачи.

тема:

Используйте пакет для решения:



Excel использует метод Big M для решения линейного программирования:

# Импорт пакета
from scipy import optimize
import numpy as np
#OK c, A_ub, B_ub
c = np.array([50,100])
A_ub = np.array([[1,1],[2,1],[0,1]])
B_ub = np.array([300,400,250])
#Решать
res =optimize.linprog(-c,A_ub,B_ub)
print(res)

результат:

import numpy as np
def pivot(d,bn):
    l = list(d[0][:-2])
    jnum = l. index(max(l)) # Номер перевода
    m = []
    for i in range(bn):
        if d[i][jnum] == 0:
            m.append(0.)
        else:
            m.append(d[i][-1]/d[i][jnum])
    inum = m.index(min([x for x in m[1:] if x!=0]))  # Перенести нижний индекс
    s[inum-1] = jnum
    r = d[inum][jnum]
    d[inum] /= r
    for i in [x for x in range(bn) if x !=inum]:
        r = d[i][jnum]
        d[i] -= r * d[inum]        
def solve(d,bn):
    flag = True
    while flag:
        if max(list(d[0][:-1])) <= 0: # Пока все коэффициенты не будут меньше или равны 0
            flag = False
        else:
            pivot(d,bn)            
def printSol(d,cn):
    for i in range(cn - 1):
        if i in s:
            print("x"+str(i)+"=%.2f" % d[s.index(i)+1][-1])
        else:
            print("x"+str(i)+"=0.00")
    print("objective is %.2f"%(-d[0][-1]))
d = np.loadtxt("./data.txt", dtype=np.float)
(bn,cn) = d.shape
s = list(range(cn-bn,cn-1)) # Базовый список переменных
solve(d,bn)
printSol(d,cn)

данные данные:

Результаты:

Сравнивая два результата с точки зрения ценности, два метода в основном одинаковы с небольшой ошибкой, но результат симплексного метода более точен как целочисленное значение.

# coding=utf-8
from scipy.optimize import minimize
import numpy as np
 
# demo 2
#Calculate (2 + x1) / (1 + x2) - минимальное значение 3 * x1 + 4 * x3 x1, x2, x3 в диапазоне от 0,1 до 0,9
def fun(args):
    a,b,c,d=args
    v=lambda x: (a+x[0])/(b+x[1]) -c*x[0]+d*x[2]
    return v
def con(args):
    # Ограничения делятся на eq и ineq
    #eq означает, что результат функции равен 0; ineq означает, что выражение больше или равно 0  
    x1min, x1max, x2min, x2max,x3min,x3max = args
    cons = ({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0] - x1min},\
              {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[0] + x1max},\
             {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1] - x2min},\
                {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[1] + x2max},\
            {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[2] - x3min},\
             {'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[2] + x3max})
    return cons
 
if __name__ == "__main__":
    # Определить постоянное значение
    args = (2,1,3,4)  #a,b,c,d
    # Установить диапазон параметров / ограничения
    args1 = (0. 1,0.9,0.1, 0.9,0.1,0.9)  #x1min, x1max, x2min, x2max
    cons = con(args1)
    # Установить первоначальное предположение  
    x0 = np.asarray((0.5,0.5,0.5))
    
    res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP',constraints=cons)
    print(res.fun)
    print(res.success)
    print(res.x)

результат:

Симплекс-метод. Алгоритм симплекс-метода. Особенности табличного симплекс-метода. Понятия модифицированного симплекс-метода и двойственного симплекс-метода

Информатика и выч. техника \ Информатика

Страницы работы

16 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Фрагмент текста работы

Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие и заданные набором равенств и неравенств.

3.1. Описание

Задача линейного программирования состоит в том, что необходимо максимизировать или минимизировать некоторый линейный функционал на многомерном пространстве при заданных линейных ограничениях.

Каждое из линейных неравенств на переменные ограничивает полупространство в соответствующем линейном пространстве. В результате все неравенства ограничивают некоторый многогранник (возможно, бесконечный), называемый также полиэдральным конусом. 

Уравнение W(x) = c, где W(x) – максимизируемый (или минимизируемый) линейный функционал, порождает гиперплоскость L(c). Зависимость от c порождает семейство параллельных гиперплоскостей. При этом экстремальная задача приобретает следующую формулировку: требуется найти такое наибольшее c, что гиперплоскость L(c) пересекает многогранник хотя бы в одной точке. Заметим, что пересечение оптимальной гиперплоскости и многогранника будет содержать хотя бы одну вершину, причем их будет более одной, если пересечение содержит ребро или k-мерную грань. Поэтому максимум функционала можно искать в вершинах многогранника. Принцип симплекс-метода состоит в том, что выбирается одна из вершин многогранника, после чего начинается движение по его рёбрам от вершины к вершине в сторону увеличения значения функционала. Когда переход по ребру из текущей вершины в другую вершину с более высоким значением функционала невозможен, считается, что оптимальное значение c найдено.

Сущность симплекс-метода состоит в том, что если число неизвестных больше числа уравнений, то данная система неопределенная с бесчисленным множеством решений. Для решения системы все неизвестные произвольно подразделяются на базисные и свободные. Число базисных переменных определяется числом линейно-независимых уравнений. Остальные неизвестные свободные. Им придаются произвольные значения и затем подставляются в систему. Любому набору свободных неизвестных можно придать бесчисленное множество произвольных значений, которые дадут бесчисленное множество решений. Если все свободные неизвестные приравнять к нулю, то решение будет состоять из значений базисных неизвестных. Такое решение называется базисным.

В теории линейного программирования существует теорема, которая утверждает, что среди базисных решений системы можно найти оптимальное, а в некоторых случаях – несколько оптимальных решений, причем все они обеспечат экстремум целевой функции. Таким образом, если найти какой-то базисный план и затем улучшить его, то получится оптимальное решение. На этом принципе построен симплекс-метод. 

Последовательность вычислений симплекс-методом можно разделить на две основные фазы:

1.  нахождение исходной вершины множества допустимых решений;

2.  последовательный переход от вершины к вершине, ведущий к оптимизации значения целевой функции.

В некоторых случаях исходное решение очевидно или его определение не требует сложных вычислений, – например, когда все ограничения представлены неравенствами вида «меньше или равно» (тогда нулевой вектор совершенно точно есть допустимое решение, хотя, скорее всего, далеко не оптимальное). В таких задачах первую фазу симплекс-метода можно вообще не проводить. Симплекс-метод соответственно делится на однофазный и

двухфазный.

3.2. Алгоритм симплекс-метода

Усиленная постановка задачи

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

Теперь поставим эту задачу в эквивалентной усиленной форме. Необходимо максимизировать Z, где:

Здесь x – переменные из исходного линейного функционала; x_s – новые переменные, дополняющие старые таким образом, что неравенство переходит в равенство; c – коэффициенты исходного линейного функционала; Z – переменная, которую необходимо максимизировать. Полупространства  и  в пересечении образуют многогранник, представляющий множество допустимых решений. Разница между числом переменных и уравнений даёт число степеней свободы. Проще говоря, если рассматривать вершину многогранника, это есть число рёбер, по которым можно продолжать движение.

Тогда можно присвоить такому числу переменных значение 0 и назвать

Похожие материалы

Информация о работе

Скачать файл

4.2: Максимизация Симплекс-методом

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

• Рупиндер Секон и Роберта Блум
• Колледж Де Анза

Цели обучения

В этом разделе вы научитесь решать задачи максимизации линейного программирования с использованием симплекс-метода:

1. Определить и настроить линейную программу в стандартной форме максимизации
2. Преобразование ограничений неравенства в уравнения с использованием резервных переменных
3. Настройте начальную симплексную таблицу, используя целевую функцию и уравнения резерва
4. Найдите оптимальную симплексную таблицу, выполнив операции поворота.
5. Определите оптимальное решение по оптимальной симплексной таблице.

В предыдущей главе мы использовали геометрический метод для решения задач линейного программирования, но геометрический подход не работает для задач с более чем двумя переменными. В реальных жизненных ситуациях задачи линейного программирования состоят буквально из тысяч переменных и решаются компьютерами. Мы можем решить эти проблемы алгебраически, но это будет не очень эффективно. Предположим, нам дали задачу, скажем, с 5 переменными и 10 ограничениями. Выбрав все комбинации из пяти уравнений с пятью неизвестными, мы могли бы найти все угловые точки, проверить их на допустимость и найти решение, если оно существует. Но беда в том, что даже для задачи с таким небольшим количеством переменных мы получим более 250 угловых точек, и проверка каждой точки будет очень утомительна. Поэтому нам нужен метод, который имеет систематический алгоритм и может быть запрограммирован для компьютера. Метод должен быть достаточно эффективным, чтобы нам не пришлось оценивать целевую функцию в каждой угловой точке. У нас есть именно такой метод, и он называется симплексный метод .

Симплекс-метод был разработан во время Второй мировой войны доктором Джорджем Данцигом. Его модели линейного программирования помогли союзным войскам решить проблемы с транспортом и планированием. В 1979 году советский ученый Леонид Хачян разработал метод, названный алгоритмом эллипсоида, который должен был стать революционным, но, как оказалось, ничем не лучше симплексного метода. В 1984 году Нарендра Кармаркар, научный сотрудник AT&T Bell Laboratories, разработал алгоритм Кармаркара, который, как было доказано, в четыре раза быстрее, чем симплекс-метод для определенных задач. Но симплекс-метод по-прежнему работает лучше всего для большинства задач.

В симплексном методе используется очень эффективный подход. Он не вычисляет значение целевой функции в каждой точке; вместо этого он начинается с угловой точки области выполнимости, где все основные переменные равны нулю, а затем систематически перемещается от угловой точки к угловой точке, улучшая значение целевой функции на каждом этапе. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение.

Чтобы изучить симплекс-метод, мы попробуем довольно нетрадиционный подход. Сначала мы перечисляем алгоритм, а затем работаем над проблемой. Мы обосновываем обоснование каждого шага в процессе. Тщательное обоснование выходит за рамки данного курса.

Начнем с примера, который мы решили в предыдущей главе графическим методом. Это даст нам некоторое представление о симплекс-методе и в то же время даст нам возможность сравнить несколько допустимых решений, которые мы получили ранее с помощью графического метода. Но сначала приведем алгоритм симплекс-метода.

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД

1. Поставьте задачу. То есть запишите целевую функцию и ограничения неравенства.
2. Преобразуйте неравенства в уравнения. Это делается путем добавления одной резервной переменной для каждого неравенства.
3. Построить начальную симплексную таблицу. Запишите целевую функцию в нижней строке.
4. Самая отрицательная запись в нижней строке идентифицирует сводной столбец.
5. Вычислите частные. Наименьшее частное определяет строку. Элемент на пересечении столбца, определенного на шаге 4, и строки, определенной на этом шаге, идентифицируется как опорный элемент. Частные вычисляются путем деления крайнего правого столбца на столбец, указанный в шаге 4. Частное, являющееся нулем, отрицательным числом или имеющим ноль в знаменателе, игнорируется.
6. Выполните поворот, чтобы обнулить все остальные записи в этом столбце. Это делается так же, как и с методом Гаусса-Джордана.
7. Когда в нижней строке больше нет отрицательных значений, мы закончили; в противном случае начинаем снова с шага 4.
8. Прочитайте свои ответы. Получить переменные, используя столбцы с 1 и 0. Все остальные переменные равны нулю. Максимальное значение, которое вы ищете, отображается в правом нижнем углу.

Теперь мы используем симплекс-метод для решения примера 3. 1.1, решенного геометрически в разделе 3.1.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Ники работает на двух работах с частичной занятостью: работа I и работа II. Она никогда не хочет работать больше, чем в общей сложности 12 часов в неделю. Она определила, что на каждый час работы на Работе I ей нужно 2 часа времени на подготовку, а на каждый час работы на Работе II ей нужен один час времени на подготовку, и она не может тратить на подготовку более 16 часов. Если она зарабатывает 40 долларов в час на работе I и 30 долларов в час на работе II, сколько часов в неделю она должна работать на каждой работе, чтобы максимизировать свой доход?

Решение

При решении этой задачи будем следовать алгоритму, указанному выше.

ШАГ 1. Поставьте задачу. Запишите целевую функцию и ограничения.

Поскольку симплекс-метод используется для задач, состоящих из многих переменных, нецелесообразно использовать переменные \(x\), \(y\), \(z\) и т. д. Мы используем символы \(x_1\ ), \(x_2\), \(x_3\) и так далее.

Let

• \(x_1\) = количество часов в неделю, которое Ники будет работать на работе I и 9.0010
• \(x_2\) = количество часов в неделю, которое Ники будет работать на задании II.

Принято выбирать переменную, которая должна быть максимизирована как \(Z\).

Задача формулируется так же, как и в предыдущей главе.

\[\begin{array}{ll}
\textbf { Развернуть} & \mathrm{Z}=40 \mathrm{x}_{1}+30 \mathrm{x}_{2} \\
\ textbf { При условии: } & \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2} \leq 12 \\
& 2 \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_ {2} \leq 16 \\
& \mathrm{x}_{1} \geq 0 ; \mathrm{x}_{2} \geq 0
\end{array}\nonumber \]

ШАГ 2. Преобразовать неравенства в уравнения. Это делается путем добавления одной резервной переменной для каждого неравенства.

Например, чтобы преобразовать неравенство \(x_1 + x_2 ≤ 12\) в уравнение, мы добавляем неотрицательную переменную \(y_1\), и мы получаем

\[x_1 + x_2 + y_1 = 12 \nonumber \]

Здесь переменная \(y_1\) восполняет пробел и представляет величину, на которую \(x_1 + x_2\) меньше 12. В этой задаче, если Ники работает менее 12 часов, скажем, 10 , тогда \(y_1\) равно 2. Позже, когда мы прочитаем окончательное решение из симплексной таблицы, значения резервных переменных будут определять неиспользованные суммы.

Перепишем целевую функцию \(Z = 40x_1 + 30x_2\) в виде \(- 40x_1 — 30x_2 + Z = 0\).

После добавления резервных переменных наша задача выглядит следующим образом:

\[\begin{array}{ll}
\text { Целевая функция } & — 40x_1 — 30x_2 + Z = 0 \\
\text { С учетом ограничений: } &x_1+x_2+y_1=12\
&2x_1+x_2+y_2=16\
&x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
\end{array} \nonumber \]

ШАГ 3. Построить исходную симплексную таблицу . Каждое ограничение неравенства отображается в отдельной строке. (Ограничения неотрицательности заставляют , а не появляться в виде строк в симплексной таблице.) Запишите целевую функцию в нижней строке.

Теперь, когда неравенства преобразованы в уравнения, мы можем представить задачу в виде расширенной матрицы, называемой исходной симплексной таблицей, следующим образом.

Здесь вертикальная линия отделяет левую часть уравнений от правой. Горизонтальная линия отделяет ограничения от целевой функции. Правая часть уравнения представлена ​​столбцом C.

Читатель должен заметить, что последние четыре столбца этой матрицы выглядят как окончательная матрица для решения системы уравнений. Если мы произвольно выберем \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 0\), мы получим

\[\left[\begin{array}{ccccc}
y_{1} & y_{2} & Z & | &С\
1&0&0 & | & 12 \
0 & 1 & 0 & | & 16 \\
0 & 0 & 1 & | & 0
\end{массив}\right]\nonumber \]

, что читается как

\[y_1 = 12 \quad y_2 = 16 \quad Z = 0 \nonumber \]

Решение, полученное путем произвольного присвоения значений некоторым переменным и последующего решения для оставшихся переменных, называется базовым решением , связанным с таблицей . Таким образом, приведенное выше решение является основным решением, связанным с исходной симплексной таблицей. Мы можем пометить базовую переменную решения справа от последнего столбца, как показано в таблице ниже.

ШАГ 4. Самая отрицательная запись в нижней строке идентифицирует сводной столбец.

Самая отрицательная запись в нижней строке -40; поэтому столбец 1 идентифицируется.

Вопрос Почему мы выбираем самую отрицательную запись в нижней строке?

Ответ Самая отрицательная запись в нижней строке представляет наибольший коэффициент в целевой функции — коэффициент, ввод которого увеличит значение целевой функции быстрее всего.

Симплекс-метод начинается с угловой точки, где все основные переменные, переменные с такими символами, как \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) и т. д., равны нулю. Затем он перемещается от угловой точки к соседней угловой точке, всегда увеличивая значение целевой функции. В случае целевой функции \(Z = 40x_1+ 30x_2\) имеет смысл увеличить значение \(x_1\), а не \(x_2\). Переменная \(x_1\) представляет количество часов в неделю, которые Ники работает на работе I. Поскольку работа I оплачивается 40 долларов в час, в отличие от работы II, на которой платят всего 30 долларов, переменная \(x_1\) увеличит целевую функцию на $40 за единицу увеличения переменной \(x_1\).

ШАГ 5. Вычислите частные. Наименьшее частное определяет строку. Элемент на пересечении столбца, определенного на шаге 4, и строки, определенной на этом шаге, идентифицируется как опорный элемент.

Следуя алгоритму, для вычисления частного делим записи в крайнем правом столбце на записи в столбце 1, исключая запись в нижней строке.

Наименьшее из двух частных, 12 и 8, равно 8. Следовательно, идентифицируется строка 2. Пересечение столбца 1 и строки 2 является записью 2, которая выделена. Это наш опорный элемент.

Вопрос Почему мы находим частное и почему наименьшее частное определяет строку?

Ответ Когда мы выбираем самую отрицательную запись в нижней строке, мы пытаемся увеличить значение целевой функции, вводя переменную \(x_1\). Но мы не можем выбрать любое значение для \(x_1\). Можем ли мы позволить \(x_1 = 100\)? Точно нет! Это потому, что Ники никогда не хочет работать более 12 часов на обеих работах вместе взятых: \(x_1 + x_2 ≤ 12\). Можем ли мы позволить \(x_1 = 12\)? Опять же, ответ отрицательный, потому что время подготовки к работе I в два раза превышает время, затрачиваемое на работу. Поскольку Ники никогда не хочет тратить на подготовку более 16 часов, максимальное время, которое она может работать, составляет 16 ÷ 2 = 8.9.0034

Теперь вы видите цель вычисления частных; использование частных для определения опорного элемента гарантирует, что мы не нарушаем ограничения.

Вопрос Почему мы идентифицируем поворотный элемент?

Ответ Как мы упоминали ранее, симплекс-метод начинается с угловой точки, а затем переходит к следующей угловой точке, всегда улучшая значение целевой функции. Значение целевой функции улучшается за счет изменения количества единиц переменных. Мы можем добавить количество единиц одной переменной, отбросив единицы другой. Поворот позволяет нам сделать именно это.

Переменная, единицы которой добавляются, называется входной переменной , , а переменная, единицы которой заменяются, называется исходящей переменной . Входной переменной в приведенной выше таблице является \(x_1\), и она определяется самой отрицательной записью в нижней строке. Уходящая переменная \(y_2\) была идентифицирована наименьшим из всех частных.

ШАГ 6. Выполните поворот, чтобы обнулить все остальные записи в этом столбце.

В главе 2 мы использовали поворот, чтобы получить эшелонированную форму строк расширенной матрицы. Поворот — это процесс получения 1 в местоположении поворотного элемента, а затем обнуления всех остальных записей в этом столбце. Итак, теперь наша задача состоит в том, чтобы сделать наш опорный элемент равным 1, разделив всю вторую строку на 2. Далее следует результат.

Чтобы получить ноль в записи первой над опорным элементом, умножаем вторую строку на -1 и прибавляем к строке 1. Получаем

Чтобы получить ноль в элементе ниже стержня, умножаем вторую строку на 40 и прибавляем к последней строке.

Теперь мы определяем основное решение, связанное с этой таблицей. Произвольно выбирая \(x_2 = 0\) и \(y_2 = 0\), мы получаем \(x_1 = 8\), \(y_1 = 4\) и \(z = 320\). Если мы напишем расширенную матрицу, левая часть которой представляет собой матрицу со столбцами, в которых одна единица, а все остальные элементы равны нулю, мы получим следующую матрицу, утверждающую то же самое.

\[\left[\begin{array}{ccccc}
\mathrm{x}_{1} & \mathrm{y}_1 & \mathrm{Z} & | & \mathrm{C} \\
0 & 1 & 0 & | & 4 \
1 & 0 & 0 & | & 8 \
0 & 0 & 1 & | & 320
\end{array}\right] \nonumber \]

Мы можем переформулировать решение, связанное с этой матрицей, как \(x_1 = 8\), \(x_2 = 0\), \(y_1 = 4\) , \(y_2 = 0\) и \(z = 320\). На этом этапе игры написано, что если Ники проработает 8 часов на работе I и ни одного часа на работе II, ее прибыль Z составит 320 долларов. Напомним из примера 3.1.1 в разделе 3.1, что (8, 0) была одной из наших угловых точек. Здесь \(y_1 = 4\) и \(y_2 = 0\) означают, что у нее останется 4 часа рабочего времени и никакого времени на подготовку.

ШАГ 7. Когда в нижней строке больше нет отрицательных значений, мы закончили; в противном случае мы начинаем снова с шага 4.

Поскольку в нижней строке все еще есть отрицательная запись, -10, нам нужно снова начать с шага 4. На этот раз мы не будем повторять детали каждого шага. , вместо этого мы укажем столбец и строку, которые дают нам опорный элемент, и выделим опорный элемент. Результат следующий.

Делаем опорный элемент 1, умножая строку 1 на 2, и получаем

Теперь, чтобы все остальные записи в этом столбце были равны нулю, мы сначала умножаем строку 1 на -1/2 и прибавляем к строке 2, а затем умножаем строку 1 на 10 и прибавляем к нижней строке.

У нас больше нет отрицательных записей в нижней строке, поэтому мы закончили.

Вопрос Почему мы закончили, если в нижней строке нет отрицательных значений?

Ответ Ответ лежит в нижней строке. Нижняя строка соответствует уравнению:

\[\begin{array}{l}
0 x_{1}+0 x_{2}+20 y_{1}+10 y_{2}+Z=400 \quad \text { or } \\
z=400-20 y 1-10 y 2
\end{array}\nonumber \]

Поскольку все переменные неотрицательны, максимальное значение \(Z\) может быть равно 400, и это произойдет только когда \(y_1\) и \(y_2\) равны нулю.

ШАГ 8. Прочитайте ваши ответы.

Теперь мы читаем наши ответы, то есть мы определяем базовое решение, связанное с окончательной симплексной таблицей. Опять же, мы смотрим на столбцы, в которых есть 1, а все остальные записи — нули. Поскольку столбцы с метками \(y_1\) и \(y_2\) не являются такими столбцами, мы произвольно выбираем \(y_1 = 0\) и \(y_2 = 0\), и мы получаем

\[\left[\begin{array}{ccccc}
\mathrm{x}_{1} & \mathrm{x}_{2} & \mathrm{Z} & | & \mathrm{C} \\
0 & 1 & 0 & | & 8 \\
1 & 0 & 0 & | & 4 \
0 & 0 & 1 & | & 400
\end{массив}\right] \nonumber \]

Матрица читается как \(x_1 = 4\), \(x_2= 8\) и \(z = 400\).

Окончательное решение гласит, что если Ники будет работать 4 часа на работе I и 8 часов на работе II, она максимизирует свой доход до 400 долларов. Поскольку обе переменные slack равны нулю, значит, она израсходовала бы все рабочее время, а также время на подготовку, и ничего не останется.

Эта страница под названием 4. 2: Максимизация с помощью симплексного метода распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Рупиндером Секоном и Робертой Блум с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами LibreTexts. Платформа; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Рупиндер Сехон и Роберта Блум

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. симплексный алгоритм
   2. источник@https://www. deanza.edu/faculty/bloomroberta/math21/afm3files.html.html

Линейное программирование: пример симплексного метода

• HOME
• ИЗБРАННОЕ
•  КОНТАКТ
• КРЕДИТЫ

• Дом
• PHPСимплекс
  • Помощь PHPSimple
• Исследование операций
  • История
  • Реальные случаи
• Теория
  • Проблемы моделирования
  • Симплексный метод
  • Двухфазный симплексный метод
  • Графический метод
• Примеры
  • Проблемы моделирования
    • Диетическая проблема
    • Проблема перевозки войск
    • Проблема перевозки грузов
    • Проблема фруктовых деревьев
    • Задача распределения персонала
    • Задача минимальной дороги
    • Проблема с местоположением
    • Проблема фондовой биржи
  • Симплексный метод
  • Графический метод
• Джордж Б. Данциг
  • Биография
  • Интервью
• Язык
  • Испанский
  • Английский
  • Французский
  • Португальский

Пример (часть 1): Симплекс-метод

Решите Симплекс-методом следующую задачу:

Рассмотрим следующие шаги:

1. Произведите замену переменных и нормализуйте знак независимых членов.

   Внесено изменение в наименование переменной, устанавливающее следующие соответствия:

   • x становится X1
   • г становится X2

   Поскольку независимые условия всех ограничений положительны, никаких дальнейших действий не требуется. В противном случае было бы умножение на «-1» в обеих частях неравенства (заметим, что эта операция также влияет на тип ограничения).

2. Нормализация ограничений.

   Неравенства становятся уравнениями путем добавления запаса , избытка и искусственные переменные в виде следующей таблицы:

   Тип неравенства	Появляющаяся переменная
   ≥	— избыток + искусственный
   =	+ искусственный
   ≤	+ провисание

   В этом случае в каждое из ограничений типа ≤ вводится резервная переменная (X3, X4 и X5), для преобразования их в равенства, в результате чего получается система линейных уравнений:

   2·Х1 + Х2 + Х3 = 18

   2·Х1 + 3·Х2 + Х4 = 42

   3·Х1 + Х2 + Х5 = 24

3. Сопоставьте целевую функцию с нулем.

   Z — 3·X1 — 2·X2 — 0·X3 — 0·X4 — 0·X5 = 0

4. Напишите исходную таблицу симплекс-метода.

   Исходная таблица симплекс-метода состоит из всех коэффициентов переменных решения исходной задачи и резерва, избыточных и искусственных переменных, добавленных на втором этапе (в столбцах, с P0 в качестве постоянного члена и Pi в качестве коэффициентов остальных переменных Xi) и ограничения (в строках). Столбец Cb содержит коэффициенты переменных, которые находятся в базе.

   Первая строка состоит из коэффициентов целевой функции, а последняя строка содержит значение целевой функции и приведенных затрат Zj — Cj.

   Последняя строка вычисляется следующим образом: Zj = Σ(Cbi·Pj) для i = 1..m, где если j = 0, то P0 = bi и C0 = 0, иначе Pj = aij. Хотя это первая таблица симплекс-метода и все Cb нулевые, поэтому расчет можно упростить, и к этому моменту Zj = -Cj.

   Таблица I . 1-я итерация
   			3	2	0	0	0
   Основание	Кб	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
   Р3	0	18	2	1	1	0	0
   Р4	0	42	2	3	0	1	0
   Р5	0	24	3	1	0	0	1
   З		0	-3	-2	0	0	0

   
   
5. Состояние остановки.

   Если целью является максимизация, когда в последней строке (строке индикатора) нет отрицательного значения между дисконтированными затратами (столбцы P1 ниже), достигается условие остановки.

   В этом случае алгоритм достигает конца, так как возможности улучшения нет. Значение Z (столбец P0) является оптимальным решением задачи.

   Другой возможный сценарий: все значения отрицательные или нулевые в столбце входных переменных базы. Это указывает на то, что проблема не ограничена и решение всегда будет улучшаться.

   В противном случае последовательно выполняются следующие шаги.

6. Выбор входных и выходных базовых переменных.

   Сначала определяется входная базовая переменная. Для этого выбирается столбец, значение которого в строке Z меньше всех отрицательных значений. В этом примере это будет переменная X1 (P1) с коэффициентом -3.

   Если есть два или более одинаковых коэффициента, удовлетворяющих вышеуказанному условию (случай равенства), то выбрать базовую переменную.

   Столбец входной базовой переменной называется сводным столбцом (выделен зеленым цветом).

   После получения входной базовой переменной определяется выходная базовая переменная. Решение основано на простом вычислении: разделить каждый независимый член (столбец P0) между соответствующим значением в сводном столбце, если оба значения строго положительны (больше нуля). Выбирается строка, результатом которой является минимальный балл.

   Если какое-либо значение меньше или равно нулю, это частное не будет выполнено. Если все значения опорного столбца удовлетворяют этому условию, то будет достигнуто условие остановки и задача имеет неограниченное решение (см. теорию симплекс-метода).

   В этом примере: 18/2 [=9], 42/2 [=21] и 24/3 [=8]

   Член сводного столбца, который привел к меньшему положительному частному в предыдущем делении, указывает строку резервной переменной, выходящую из базы. В данном примере это X5 (P5) с коэффициентом 3. Этот ряд называется поворотный ряд (зеленый).

   Если два или более частных удовлетворяют условию выбора (случай равенства), выбирается другая базовая переменная (где это возможно).

   Пересечение опорного столбца и сводной строки отмечает значение сводки , в этом примере 3.

7. Обновление таблицы.

   Новые коэффициенты таблицы рассчитываются следующим образом:

   • В сводной строке каждое новое значение рассчитывается как:

     Новое значение = Предыдущее значение / Сводка

   • В остальных строках каждое новое значение рассчитывается как:

     Новое значение = Предыдущее значение — (Предыдущее значение в сводном столбце * Новое значение в сводной строке)

   Таким образом, стержень нормализуется (его значение становится равным 1), а другие значения стержневого столбца отменяются (аналогично методу Гаусса-Жордана).

   Расчеты для строки P4 показаны ниже:

   Предыдущий ряд P4	42	2	3	0	1	0
   	—	—	—	—	—	—
   Предыдущее значение в сводном столбце	2	2	2	2	2	2
   	х	х	х	х	х	х
   Новое значение в сводной строке	8	1	1/3	0	0	1/3
   	=	=	=	=	=	=
   Новый ряд P4	26	0	7/3	0	1	-2/3

   Таблица, соответствующая этой второй итерации:

   Таблица II . 2-я итерация
   			3	2	0	0	0
   Основание	Кб	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
   Р3	0	2	0	1/3	1	0	-2/3
   Р4	0	26	0	7/3	0	1	-2/3
   Р1	3	8	1	1/3	0	0	1/3
   З		24	0	-1	0	0	1

8. При проверке наблюдается условие остановки, которое не выполняется, так как в последней строке одно отрицательное значение -1. Итак, снова повторите шаги 6 и 7.
   • 6.1. Входной базовой переменной является X2 (P2), так как это переменная, соответствующая столбцу, где коэффициент равен -1.
   • 6.2. Чтобы вычислить выходную базовую переменную, постоянные члены столбца P0) делятся на члены нового сводного столбца: 2 / 1/3 [= 6], 26 / 7/3 [= 78/7] и 8 / 1/ 3 [=24]. Поскольку меньшее положительное частное равно 6, выходная базовая переменная равна X3 (P3).
   • 6.3. Новый стержень равен 1/3.
   • 7. Обновление значений таблицы снова получается:

     Таблица III. 3-я итерация
     			3	2	0	0	0
     Основание	Кб	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
     Р2	2	6	0	1	3	0	-2
     Р4	0	12	0	0	-7	1	4
     Р1	3	6	1	0	-1	0	1
     З		30	0	0	3	0	-1

9. Повторная проверка условия остановки показывает, что опорная строка имеет одно отрицательное значение, -1. Это означает, что оптимальное решение еще не достигнуто, и мы должны продолжить итерацию (шаги 6 и 7):
   • 6.1. Входной базовой переменной является X5 (P5), так как это переменная, соответствующая столбцу, где коэффициент равен -1.
   • 6.2. Чтобы вычислить выходную базовую переменную, постоянные члены (P0) делятся на члены нового сводного столбца: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3] и 6/1 [= 6]. В этой итерации выходная базовая переменная равна X4 (P4).
   • 6.3. Новый стержень 4.
   • 7. Обновление значений таблицы снова получается:

     Таблица IV. 4-я итерация
     			3	2	0	0	0
     Основание	Кб	Р0	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5
     Р2	2	12	0	1	-1/2	1/2	0
     Р5	0	3	0	0	-7/4	1/4	1
     Р1	3	3	1	0	3/4	-1/4	0
     З		33	0	0	5/4	1/4	0

10. Конец алгоритма.

    Отмечено, что в последней строке все коэффициенты положительные, значит, условие остановки выполнено.

    Оптимальное решение задается значением Z в столбце постоянных условий (столбец P0), в примере: 33. В том же столбце показана точка, в которой оно достигает, наблюдая за соответствующими строками входных переменных решения. : X1 = 3 и X2 = 12.

    Отмена изменения имени дает x = 3 и y = 12.

Решите с помощью PHPSimplex.

Copyright © 2006-2022 PHPSimplex. Все права защищены.

X

PHPSimple
Версия 0.81

Copyright © 2006-2022. Все права защищены.

Разработчик:
Даниэль Искьердо Гранха
Хуан Хосе Руис Руис

английский перевод:
Лучано Мигель Тобариа

Французский перевод:
Эстер Руте Руис

перевод на португальский:
Розан Бухес

Линейное программирование: симплекс-метод

Задача линейного программирования

Вот первая проблема, с которой мы столкнулись.

Начальная система

Исходная система находится путем преобразования ограничений ≤ в ограничения = путем добавления резервной переменной.

Это тот же шаг, который мы предприняли в табличном методе.

Начальная таблица

Таблицы — это причудливые имена для матриц. Теперь мы преобразуем систему линейных уравнений в матрицы. Однако здесь есть еще одна хитрость… мы перемещаем все переменные в левую часть, поэтому целевая функция становится равной -40×9.1343 1 — 30x ₂ + P = 0. Мы также помещаем целевую функцию последней в таблицу и помещаем над ней линию увеличения, чтобы отделить ее от ограничений.

Базовые и небазовые переменные

В каждой строке таблицы будет базовая переменная, а целевая функция всегда будет базовой в нижней строке.

Каждая переменная соответствует столбцу в таблице. Если столбец очищен и содержит только один ненулевой элемент, то эта переменная является базовой переменной. Если столбец не очищен и содержит более одного ненулевого элемента, эта переменная не является базовой и значение этой переменной равно нулю.

Значения всех неосновных переменных (столбцы, содержащие более одного числа) равны нулю. В этой таблице это будет x ₁ и x ₂ .

Значения основных переменных находятся путем считывания решения из матрицы, полученной путем удаления неосновных столбцов.

Подытожим, что у нас есть.

Связывание таблицы с таблицей

Давайте вспомним результаты, которые мы получили от табличного метода.

Если вы сравните значения, полученные при чтении таблицы, вы увидите, что мы находимся в точке A , где x ₁ = 0 и x ₂ = 0.

Идентификация основных переменных для каждой строки

Каждая строка таблицы будет иметь одну базовую переменную для этой строки. Какая это переменная, можно довольно легко определить, не удаляя столбцы, соответствующие неосновным переменным.

Для столбцов, которые очищены и содержат только одну ненулевую запись, вы перемещаетесь вниз по столбцу, пока не найдете ненулевую запись. Каждый столбец будет иметь ненулевой элемент в другой строке. Переменная в этом столбце будет базовой переменной для строки с ненулевым элементом.

Это немного сбивает с толку, так что, возможно, это поможет.

• Столбец s ₁ очищен, кроме первой строки. Поэтому s ₁ является базовой переменной в первой строке.
• Столбец s ₂ очищен, за исключением второй строки. Поэтому s ₂ является базовой переменной во второй строке.
• Столбец s ₃ очищен, за исключением третьей строки. Поэтому s ₃ является базовой переменной в третьей строке.
• Столбец P очищен, за исключением нижней строки. Следовательно, P — основная переменная в нижней строке.

Симплексный метод

Мы видели, что находимся на пересечении линий x ₁ = 0 и x ₂ = 0. Это начало координат, а две неосновные переменные: x ₁ и x ₂ . Чтобы обойти допустимую область, нам нужно сойти с одной из линий x ₁ = 0 или x ₂ = 0 на одну из линий s ₁ = 0, s ₂ = 0 или s ₃ = 0. Вопрос в том, в каком направлении двигаться?

Выбор сводной колонки

Подумайте о целевой функции P = 40x ₁ + 30x ₂ . На каждую единицу, которую мы двигаем в направлении x ₁ , мы получаем 40 в целевой функции. На каждую единицу, которую мы двигаем в направлении x ₂ , мы получаем 30 в целевой функции. Думайте об этом как о каждом шаге, который вы делаете вправо (x ₁ ), вы получаете 40 долларов, и за каждый сделанный вами шаг (направление x ₂ ) вы получаете 30 долларов.

Что бы вы предпочли? Надеюсь, ваш ответ — зарабатывать 40 долларов за каждый шаг, который вы делаете. Если это не так, вы не очень хорошо поймете симплекс-метод.

Теперь подумайте о том, как эти 40 представлены в целевой функции таблицы. Когда мы поместили целевую функцию в таблицу, мы переместили переменные решения и их коэффициенты в левую часть и сделали их отрицательными. Следовательно, самое отрицательное число в нижней строке соответствует самому положительному коэффициенту целевой функции и указывает направление, в котором мы должны двигаться.

Сводной столбец — это столбец с самым отрицательным числом в нижней строке. Если в нижней строке нет минусов, остановитесь, все готово.

Положительное значение в нижней строке таблицы будет соответствовать отрицательному коэффициенту целевой функции, что означает, что движение в этом направлении фактически уменьшит значение цели. Это не то, что мы хотим сделать, если нам нужно максимальное значение, поэтому мы останавливаемся, когда в нижней строке целевой функции больше нет отрицательных значений.

Мы уходим от линии, соответствующей неосновной переменной в сводном столбце. Это означает, что переменная выходит из набора базовых переменных и становится небазовой.

Поместите стрелку под опорную колонку.

Выбор сводного ряда

Теперь, когда мы выбрали направление, нам нужно определить, как далеко мы должны двигаться в этом направлении. Помните, что мы сейчас находимся в точке A и движемся в направлении x ₁ или вправо. Это означает, что мы можем перейти к пунктам E (16,0), F (9,0) или G (8,0).

• Точка E находится в точке (16,0) и является пересечением прямых x ₂ = 0 и s ₁ = 0. x ₁ станет основной, а s ₁ станет неосновной . Значение x ₁ изменится с x ₁ = 0 на x ₁ = 16, если мы перейдем к точке E .
• Точка F находится в (9,0) и является пересечением линий x ₂ = 0 и s ₂ = 0. x ₁ станет основным, а s ₂ станет неосновным. Значение x ₁ изменится с x ₁ = 0 на x ₁ = 9, если мы перейдем к точке F .
• Точка G находится в (8,0) и является пересечением прямых x ₂ = 0 и s ₃ = 0. x ₁ станет основной, а s ₃ станет неосновной. Значение x ₁ изменится с x ₁ = 0 до x ₁ = 8, если мы перейдем к точке G .

Давайте посмотрим, как мы можем узнать эту информацию из таблицы. Помните, мы пытаемся сделать это вообще без использования графа.

Сформируйте отношения между неотрицательными записями в правой части и положительными записями в сводном столбце для каждого из проблемных ограничений. Не найти соотношение для целевой функции. Не находите отношение, если элемент в сводном столбце отрицателен или равен нулю, но найдите отношение, если правая часть равна нулю.

Не могли бы вы посмотреть на эти коэффициенты? 16, 9 и 8. И еще лучше, 16 связано со строкой, где s ₁ является базовой, 9 связана со строкой, где s ₂ является базовой, а 8 связана со строкой, где s ₃ является основным.

Это означает, что мы можем сказать, насколько изменится x ₁ , взглянув на соотношение. Мы также можем сказать, к какой строке мы будем двигаться, взглянув на переменную, которая является базовой для этой строки.

Какую строку выбрать? Ваша первая мысль может заключаться в том, что, поскольку мы получаем 40 долларов за каждую перемещаемую единицу, мы должны переместить как можно больше единиц. Если мы переместим 8 единиц, мы получим 40 × 8 = 320 долларов, если мы переместим 9 единиц, мы получим 40 × 9 = 360 долларов, а если мы переместим 16 единиц, мы получим 40 × 16 = 640 долларов. Есть одна очень большая проблема с однако такая цепочка рассуждений. Если мы переместимся больше, чем на 8, мы покинем достижимую область. Следовательно, мы должны переместиться на наименьшее возможное расстояние, чтобы остаться в допустимой области.

Сводная строка — это строка с наименьшим неотрицательным отношением. Если не удается найти неотрицательных отношений, останавливайтесь, задача не имеет решения.

Если одно из соотношений равно 0, это считается неотрицательным значением. Используй это.

Поместите стрелку рядом с наименьшим соотношением, чтобы указать основную строку.

Переменная, являющаяся базовой для сводной строки, будет исключена из набора базовых. Ее заменит переменная из сводного столбца, входящая в набор базовых переменных.

Пересечение опорной строки и опорного столбца называется опорным элементом. Обведите это.

вещей, которые мы можем сказать перед разворотом

Нам известно следующее.

• Целевая функция увеличивается на 40 на каждую единицу, которую мы перемещаем в x ₁ направление и мы движемся на 8 единиц. Это означает, что целевая функция увеличится на 40×8 = 320. Поскольку сейчас она равна 0, она станет равной 320.
• Переменная x ₁ заменит s ₃ в качестве базовой переменной в третьей строке. Остальные строки сохранят свои основные переменные.
• Опорный столбец будет очищен, за исключением опорного элемента, который станет 1.
• Опорная строка не изменится, кроме как путем деления, чтобы сделать опорный элемент равным 1. В этом случае мы разделим все на 3.
• Увеличение x ₁ будет 8.
• Графически мы будем в точке G , где x ₂ и s ₃ — неосновные.
• Столбцы s ₁ , s ₂ и P останутся очищенными, а их основные строки останутся прежними.

Поворот!

Используйте операции со строками, чтобы очистить сводной столбец. То есть, когда вы закончите, единственной записью в сводном столбце будет элемент в 3-й строке, где был опорный элемент.

Интерпретация новой таблицы

На этот раз x ₂ и s ₃ столбцы не очищаются, поэтому они неосновные и их значение равно 0. x ₁ является основным в третьей строке и его значение равно 8. s ₁ является основным в первой строке и его значение равно 8. s ₂ является основным во второй строке и его значение равно 1.

Сравните это с таблицей, которую мы имели раньше, и вы увидите, что мы действительно находимся в точке G .

Повторение процесса

Пока в нижней строке есть отрицательные значения, значение целевой функции можно увеличить, переместив ее в новую точку.

Если вы посмотрите на целевую функцию, вы заметите, что есть только одно отрицательное значение, -10/3 в столбце x ₂ . Это означает, что, двигаясь вверх (в x ₂ направление), мы можем увеличить значение целевой функции. Мы будем двигаться от линии x ₂ = 0, что означает, что мы будем двигаться вдоль линии s ₃ = 0. Где бы мы ни оказались, x ₂ займет место этой базовой переменной. Если бы мы двигались в направлении s ₃ , это движение навредило бы нам.

Как далеко мы можем двигаться?

• Мы можем перейти к точке J , которая равна (6,3), так что увеличение x ₂ будет 3. Эта точка находится на пересечении прямых s ₃ = 0 и s ₁ = 0, поэтому s ₁ станет неосновным и будет заменено на x ₂ как основное.
• Мы могли бы перейти к точке I , которая находится в точке (5,6), поэтому увеличение x ₂ будет равно 6. Эта точка находится на пересечении прямых s ₃ = 0 и s ₂ = 0, поэтому s ₂ станет неосновным и будет заменено на x ₂ в качестве основного.
• Мы могли бы перейти к точке D , которая находится в точке (0,12), так что увеличение x ₂ будет 12. Эта точка находится на пересечении линий s ₃ = 0 и x ₁ = 0, поэтому x ₁ станет неосновным и будет заменен на x ₂ в качестве основного.

Обратите внимание, что когда мы формируем отношения между неотрицательными элементами в правой части и положительными элементами в основной строке, мы получаем 6 при переходе к s ₁ = 0 (точка I ), 3 при переходе к s ₂ = 0 (точка J ) и 12 при переходе к x ₁ = 0 (точка D ). Мы снова выбираем наименьшее отношение, чтобы оставаться в допустимой области.

Вещи, которые мы можем сказать перед поворотом

Нам известно следующее.

• Целевая функция увеличивается на 10/3 на каждую единицу, которую мы перемещаем в направлении x ₂ , и мы перемещаемся на 3 единицы. Это означает, что целевая функция увеличится на (10/3)×3 = 10. Поскольку сейчас 320, она станет 330.
• Переменная x ₂ заменит s ₂ в качестве базовой переменной во второй строке. Остальные строки сохранят свои основные переменные.
• Опорный столбец будет очищен, за исключением опорного элемента, который станет 1.
• Опорная строка не изменится, кроме как путем умножения, чтобы сделать опорный элемент равным 1. В этом случае мы умножим все на 3.
• Увеличение x ₂ будет 3.
• Графически мы будем в точке J , где s ₂ и s ₃ неосновные.
• Столбцы s ₁ , x ₁ и P останутся очищенными, а их основные строки останутся прежними.

Шарнир

Хорошо, теперь мы развернёмся и найдём остальную информацию.

Интерпретация новой таблицы

На этот раз столбцы s ₂ и s ₃ не очищаются, поэтому они неосновные и их значение равно 0. x ₁ является основным в третьей строке и его значение равно 6. s ₁ является основным в первой строке и его значение равно 4. x ₂ является основным во второй строке и его значение равно 3.

Сравните это с таблицей, которую мы имели ранее, и вы увидите, что мы действительно находимся в точке J .

Готово!

Поскольку в нижней строке нет отрицательных значений, перемещение в другую точку понизит значение целевой функции, а не повысит его. Поскольку мы пытаемся максимизировать значение целевой функции, это было бы контрпродуктивно. Мы останавливаемся, мы закончили.

Решение

Максимальное значение P равно 330, когда x ₁ = 6 и x ₂ = 3. Значения резервных переменных: s ₁ = 4, s ₂ = 0 и s ₃ = 0,

Оптимизация: симплексный метод максимизации. | Свапнил Бандгар | Analytics Vidhya

Симплекс-метод — это подход к ручному решению моделей линейного программирования с использованием резервных переменных, таблиц и сводных переменных в качестве средства поиска оптимального решения задачи оптимизации. Линейная программа — это метод достижения наилучшего результата при максимальном или минимальном уравнении с линейными ограничениями. Большинство линейных программ можно решить с помощью онлайн-решателя, такого как MatLab, но симплекс-метод — это метод решения линейных программ вручную. Для решения модели линейного программирования с помощью симплекс-метода необходимо выполнить следующие шаги:

● Стандартная форма

● Введение резервных переменных

● Создание таблицы

● Переменные сводки

● Создание новой таблицы

● Проверка оптимальности методов в вышеуказанные шаги и следует примеру модели линейного программирования, показанной ниже, на протяжении всего документа, чтобы найти оптимальное решение.

Максимизировать:

Чтобы определить Максимум, мы должны выполнить следующие шаги.

Шаги:

1. Преобразование всех основных уравнений неравенства путем добавления резервных переменных. Также создайте целевую функцию, равную нулю, переместив все значения в одну сторону.
   Уравнения после добавления резервной переменной (u,v,w)
   Где u,v,w≥0

2. Симплексная таблица используется для выполнения строковых операций в модели линейного программирования, а также для проверки решения на оптимальность . Таблица состоит из коэффициента, соответствующего переменным линейного ограничения, и коэффициента целевой функции. В таблице ниже выделенная полужирным шрифтом верхняя строка таблицы указывает, что представляет каждый столбец. Следующие две строки представляют коэффициенты переменных линейного ограничения из модели линейного программирования, а последняя строка представляет коэффициенты переменных целевой функции.

Теперь создайте симплексную таблицу, создав коэффициенты всех уравнений субъекта и добавив уравнение объекта внизу.

3. Чтобы рассчитать коэффициент, мы можем выбрать минимальное значение из последней строки и выполнить следующие шаги.

Как идентифицировать столбец Pivot:

В приведенной выше таблице -6 — это наименьшее отрицательное число в последней строке. Это укажет, что столбец z будет содержать сводную переменную, которая выделена желтым цветом.

Как идентифицировать сводную строку:

Сводная переменная используется в операциях со строками, чтобы определить, какая переменная станет значением единицы, и является ключевым фактором при преобразовании значения единицы. Опорную переменную можно определить, посмотрев на нижнюю строку таблицы и индикатор. Предполагая, что решение не является оптимальным, выберите наименьшее отрицательное значение в нижней строке. Одно из значений, лежащих в столбце этого значения, будет опорной переменной. Чтобы найти индикатор, разделите бета-значения линейных ограничений на соответствующие им значения из столбца, содержащего возможную сводную переменную. Пересечение строки с наименьшим неотрицательным показателем и наименьшим отрицательным значением в нижней строке станет опорной переменной.

Разделите сводной столбец на константу в соответствующей строке и определите значения.

Решение отношения дает нам значение (900/1 = 900) для первого ограничения, значение (350/1 = 350) для второго ограничения и значение третьего ограничения (400 /1 = 400) . Поскольку 350 является наименьшим неотрицательным отношением, опорное значение будет во второй строке, выделенной зеленым цветом, а пересечение опорной строки и столбца будет опорным элементом со значением 1, выделенным красным цветом.

Теперь, когда опорная переменная определена, мы можем работать над дальнейшим решением, чтобы оптимизировать ее.

4. Чтобы оптимизировать сводную переменную, ее необходимо преобразовать в единичное значение (значение 1). Так как здесь опорный элемент уже равен 1, нам не нужно делать его единичным значением.

5. После того, как значение единицы было определено, поработайте над формулой, которая сделает другие значения в столбце, содержащем значение единицы, равными нулю. Это связано с тем, что переменная резерва и другое значение переменной могут быть идентифицированы, и решение оптимизируется.

Формулы: R1=R1-R2 , R3=R3-R2 и R4=R4+6R2

Применение приведенных выше формул к нашей симплексной таблице приведет к приведенной ниже таблице.

Получено оптимальное решение, поскольку все значения в нижней строке больше или равны нулю.

Здесь основными переменными являются u, z, w и p.
Неосновными переменными являются x, v и y.

Отсюда мы можем получить значения переменных, как показано ниже:

x=0, y=0, v=0, u=550, w = 50, p = 2100, z = 350.

Теперь, чтобы проверить уравнение,

Максимальное оптимальное значение равно 2100 и находится при (0,0, 350) целевой функции.

Симплекс-метод — это метод определения оптимального значения линейной программы вручную. Метод дает оптимальное решение, удовлетворяющее заданным ограничениям, и дает максимальное значение дзета. Чтобы использовать симплекс-метод, данная модель линейного программирования должна иметь стандартную форму, в которую затем могут быть введены резервные переменные. Используя табличные и сводные переменные, можно найти оптимальное решение.

Базовые переменные — это переменные, которые неотрицательны с точки зрения оптимального решения.

Ограничения представляют собой ряд равенств и неравенств, являющихся набором критериев, которым необходимо удовлетворять при поиске оптимального решения.

Неравенство — это выражение, которое не имеет однозначного решения и отличается символами «больше» или «меньше» вместо традиционного знака равенства.

Линейная программа — это модель, используемая для достижения наилучшего результата при максимальном или минимальном уравнении с линейными ограничениями.

Неосновные переменные — это переменные, равные нулю с точки зрения оптимального решения.

Оптимальное решение модели линейного программирования максимизации — это значения, присвоенные переменным в целевой функции, чтобы получить наибольшее значение дзета. Оптимальное решение существовало бы в угловых точках графика всей модели.

Сводная переменная используется в операциях со строками для определения того, какая переменная станет значением единицы, и является ключевым фактором при преобразовании значения единицы.

Симплекс-метод — это подход к ручному решению моделей линейного программирования с использованием резервных переменных, таблиц и сводных переменных в качестве средства поиска оптимального решения задачи оптимизации.

Симплексная таблица используется для выполнения строковых операций в модели линейного программирования, а также для проверки оптимальности.

Переменные Slack — это дополнительные переменные, которые вводятся в линейные ограничения линейной программы для преобразования их из ограничений неравенства в ограничения равенства.

Стандартная форма является базовым форматом для всех линейных программ перед поиском оптимального решения.

Ссылка: Либретексты, Книга: Блитцер, Математическое мышление | Пирсон.

Симплексный алгоритм — табличный метод

Симплексный метод - Брайан Вейтч

решить систему неравенств

Описание

Спасибо за проверку моего приложения Row Reduction. Ознакомьтесь с симплексным методом на приложение хранить сейчас!

Посмотрите демонстрационное видео от того, как использовать это приложение.

Особенности:

- Решает стандартное максимальное, стандартное минимальное и нестандартное

- Позволяет вам самостоятельно работать с этим методом

- Предлагает подсказки по запросу

- Отменить операцию, если вы допустили ошибку

Нужно решить задачу линейного программирования? Закончили использовать симплекс-метод, но вы не получающий правильный ответ? Один из основных недостатков симплекс-метода заключается в том, что вы должны отслеживать а страница, полная утомительных вычислений И выберите правильные операции со строками. Когда вы впервые узнаете это технику трудно сделать и то, и другое правильно.

Симплекс-метод включает в себя использование последовательности «Если/Тогда», которая приводит вас к начальному Симплексному методу. Стол. Это приложение проведет вас через настройку и создаст исходную таблицу. Оттуда вы можете либо использовать метод самостоятельно или он поможет вам с помощью подсказок. Выберите операцию, и приложение создать новую таблицу для вас. Вы можете сосредоточиться исключительно на практике и экспериментировании.

Что делать, если вы делаете всю эту рукописную работу и все еще не можете получить ответ?

Вы также можете приобрести обновление Instant Solution. Введите систему уравнений и нажмите РЕШЕНИЕ. Он сгенерирует все правильные операции со строками и таблицы и отобразит их все в однажды. Теперь вы можете продолжить и попытаться найти свою ошибку.

Счастливого обучения

Симплексный метод

Подборка скриншотов

Навыки и умения

Что я выучил...

Мое второе приложение!

Приложение симплексного метода было продолжением приложения Row Приложение «Уменьшение». Структура и поток были идентичными, поэтому я смог повторно использовать большую часть сокращения строк. код. я написал это app таким образом, чтобы я мог повторно использовать большую часть кода. Вот чему я научился... писать код в таком случае чтобы его можно было использовать в других проектах.

Что было сложно

Разница между приложением Row Reduction и Приложение «Симплексный метод» писал код для подсказок. Симплекс-метод достаточно сложно объяснить, и даже сложнее кодировать. Я узнал, что составление подробной блок-схемы метода помогло мне создать классы, методы и т.д. В основном Я узнал, что вы действительно должны планировать заранее.

Что я мог бы сделать лучше

Теперь, когда я узнал больше, я хотел бы вернуться и переделать это приложение. Я хочу очистить классы, работающие с симплексным алгоритмом. Опция мгновенного решения распечатывает каждый шаг алгоритма. Мне пришлось создавать подпредставления программно. И я уверен, что смогу это сделать очиститель и более эффективным.

Политика конфиденциальности

В основном... я не собираю данные

Файлы cookie

Файлы cookie — это файлы с небольшим объемом данных, которые обычно используются как анонимные уникальные идентификаторы. Они отправляются в ваш браузер с веб-сайтов, которые вы посещаете, и хранятся во внутренней памяти вашего устройства.

Эта Служба не использует эти файлы cookie в явном виде. Однако приложение может использовать сторонние код и библиотеки, которые используют файлы cookie для сбора информации и улучшения своих услуг. У вас есть возможность либо принять, либо отказаться от этих файлов cookie и узнать, когда файл cookie отправляются на ваше устройство. Если вы решите отказаться от наших файлов cookie, вы не сможете использовать некоторые части этой Услуги.

Поставщики услуг

Я могу нанимать сторонние компании и частных лиц по следующим причинам:

Для облегчения нашего Сервиса; Для предоставления Сервиса от нашего имени; Для оказания услуг, связанных с Сервисом; или же Чтобы помочь нам проанализировать, как используется наш Сервис. Я хочу сообщить пользователям этого Сервиса, что эти третьи лица имеют доступ к вашим Персональные данные. Причина в том, чтобы выполнять возложенные на них задачи от нашего имени. Однако они обязаны не разглашать и не использовать информацию для каких-либо других целей.

Безопасность

Я ценю ваше доверие в предоставлении нам вашей личной информации, поэтому мы стремимся использовать коммерчески приемлемые средства защиты. Но помните, что ни один метод передача через Интернет или метод электронного хранения на 100% безопасен и надежным, и я не могу гарантировать его абсолютную безопасность.

Ссылки на другие сайты

Эта служба может содержать ссылки на другие сайты. Если вы нажмете на стороннюю ссылку, вы быть направлены на этот сайт. Обратите внимание, что эти внешние сайты не управляются мной. Поэтому я настоятельно рекомендую вам ознакомиться с Политикой конфиденциальности этих веб-сайтов. У меня нет контролировать и не нести ответственности за содержание, политику конфиденциальности или практику любых сторонних сайтов или сервисов.

Конфиденциальность детей

Эти Услуги не предназначены для лиц моложе 13 лет. Я не собираю намеренно личную информацию от детей младше 13 лет. В случае, если я узнаю, что ребенок младше 13 лет предоставил мне личную информацию, я немедленно удаляю ее из наши серверы. Если вы являетесь родителем или опекуном и знаете, что у вашего ребенка предоставил нам личную информацию, пожалуйста, свяжитесь со мной, чтобы я мог сделать необходимые действия.

Изменения в настоящей Политике конфиденциальности

Я могу время от времени обновлять нашу Политику конфиденциальности. Таким образом, вам рекомендуется просмотреть эту страницу периодически на любые изменения. Я сообщу вам о любых изменениях, опубликовав новую Политику конфиденциальности. Политика на этой странице. Эти изменения вступают в силу сразу после их публикации на этом сайте. страница.

Свяжитесь с нами

Если у вас есть какие-либо вопросы или предложения относительно моей Политики конфиденциальности, не стесняйтесь обращаться к нам мне на jankyapps@gmail.

Площадь четырехугольника

Главная

 → 

Геометрия

 → 

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Таблица с формулами площади четырехугольника (в конце страницы)

— Вычисления   (показано)   (скрыто)

— примечания   (показано)   (скрыто)

1

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

. .. подготовка …

d₁ — диагональ

d₂ — диагональ

α° — угол между диагоналями

2

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

… подготовка …

a — сторона

b — сторона

c — сторона

d — сторона

α° — угол между сторонами

β° — угол между сторонами

3

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

. .. подготовка …

a — сторона

b — сторона

c — сторона

d — сторона

4

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

… подготовка …

a — сторона

b — сторона

c — сторона

d — сторона

r — радиус вписанной окружности

5

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

… подготовка …

a — сторона

b — сторона

c — сторона

d — сторона

α° — угол между сторонами

β° — угол между сторонами

Примечание:

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Таблица с формулами площади четырехугольника

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

• площадь квадрата
• площадь трапеции
• площадь параллелограмма
• площадь прямоугольника
• площадь ромба

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км², м², см², мм² и т.д.

Как найти площадь прямоугольника – 9 формул с лайфхаками и примерами

Самый простой способ – перемножить две стороны. Но иногда эти две стороны неизвестны.

Умножьте его ширину на высоту. Это самый простой способ найти площадь прямоугольника. Например, если ширина прямоугольника равна 4 см, а высота – 2 см, то площадь будет равна 4*2 = 8 см.

По диагонали и стороне

Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:

1. Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя.
2. Найти квадрат известной стороны.
3. Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны.
4. Найти квадратный корень получившейся разности.
5. Умножить его на известную сторону.

Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.

1. Квадрат стороны = 3*3 = 9 см.
2. Квадрат диагонали = 5*5 = 25 см.
3. Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см.
4. Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см.
5. Умножаю корень разности на известную сторону: 16*9 = 144 см.

Ответ: 144 см.

Обратите внимание

Диагональ в прямоугольнике – это гипотенуза, потому что она всегда находится напротив угла в 90 градусов. Найти диагональ можно по формуле нахождения гипотенузы, например, поделив катет угла A на синус угла A.

По стороне и диаметру описанной окружности

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.

Действия:

1. Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр.
2. Найдите квадрат известной стороны.
3. Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны.
4. Найдите квадратный корень разности.
5. Умножьте квадратный корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.

1. Квадрат диаметра: 10*10 = 100 см.
2. Квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
3. Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см.
4. Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 6*6 = 36).
5. Умножаю сторону на корень из разности: 8*6 = 48 см.

Ответ: 48 см.

Лайфхак

Диаметр описанной окружности всегда равен диагонали прямоугольника. Смотрите:

А найти диагональ можно по формуле гипотенузы прямоугольного треугольника.

Диаметр равен двум радиусам, потому что радиус – это половина диаметра.

По радиусу описанной окружности и стороне

Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.

Другой способ:

1. Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус).
2. Умножить квадрат радиуса на 4.
3. Найти квадрат известной стороны.
4. Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье).
5. Найти квадратный корень разности.
6. Умножить корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.

1. Квадрат радиуса: 5*5=25 см.
2. Четыре квадрата радиуса: 4*25 = 100 см.
3. Квадрат стороны: 6*6 = 36 см.
4. Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см.
5. Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см.
6. Умножаю корень на сторону: 8*6 = 48 см.

Ответ: 48 см.

Помните

Радиус = половине диаметра.

Радиус = половине гипотенузы прямоугольного треугольника, вокруг которого описана окружность. Потому что эта гипотенуза = диагонали прямоугольника = диаметру.

По стороне и периметру – 1 способ

Периметр – это сумма всех сторон прямоугольника. P=a+b+a+b. Другая формула периметра: P=2(a+b).

Если известен периметр и одна сторона, надо найти вторую сторону и перемножить их.

Пример. Периметр прямоугольника равен 14 см, а одна из  сторон равна 3 см. Найдите площадь.

1. Нахожу вторую сторону прямоугольника:
   1. P=2(a+b).
   2. P=2a+2b.
   3. 14= 2*3+2b.
   4. 14 = 6+2b.
   5. 2b = 14-6 = 8.
   6. b = 8/2.
   7. b = 4.
2. Нахожу площадь по основной формуле. S = 3*4 = 12 см.

Ответ: 12 см.

По стороне и периметру – 2 способ

Действия такие:

1. Умножьте периметр на сторону.
2. Найдите квадрат стороны.
3. Умножьте квадрат стороны на 2.
4. Отнимите от произведения периметра и стороны два квадрата стороны (от первого отнимите третье).
5. Поделите на 2.

Пример. Сторона прямоугольника равна 8, а периметр равен 28. Найдите площадь.

1. Умножаю периметр на сторону: 8*28 = 224 см.
2. Нахожу квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
3. Умножаю квадрат стороны на два: 64*2 = 84 см.
4. Отнимаю из первого третье: 224-84 = 140 см.
5. Делю разность на два: 140/2 = 70 см.

Ответ: 70 см.

По диагонали и углу между диагоналями

Диагонали прямоугольника всегда равны.

Действия:

1. Найти квадрат диагонали (умножить диагональ на саму себя).
2. Найти половину этого квадрата – умножить его на 0,5.
3. Найти синус угла между диагоналями.
4. Умножить половину квадрата диагонали на синус угла между диагоналями.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

1. Квадрат диагонали: 10*10 = 100 см.
2. Половина этого квадрата: 0,5*100 = 50 см.
3. Синус угла между диагоналями: sin 30 градусов = 0,5.
4. Перемножаю половину квадрата и синус угла, чтобы найти площадь: 50*0,5 = 25 см.

Ответ: 25 см.

Вот еще вам таблица основных значений из тригонометрии. Там как раз отмечено, что синус 30 градусов всегда равен 0,5 (1/2).

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – первый способ

Радиус описанной окружности равен половине ее диаметра, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Надо найти диаметр и посчитать площадь по формуле выше.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов.

1. Находим длину диагонали: 6*2 =12 см.
2. Квадрат диагонали равен 144 см.
3. Половина квадрата: 72 см.
4. Синус 30 градусов равен 0,5.
5. Умножаем половину квадрата на синус: 72*0,5 = 36 см.

Ответ: 36 см.

По радиусу описанной окружности и углу между диагоналями – второй способ

Действия:

1. Найти квадрат радиуса (умножить радиус на радиус).
2. Умножить квадрат радиуса на два.
3. Найти синус угла между диагоналями.
4. Умножить синус угла на два радиуса в квадрате.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 6, а угол между диагоналями – 30 градусов.

1. Квадрат радиуса: 6*6 = 36.
2. Два радиуса в квадрате: 36*2 = 72.
3. Синус 30 градусов равен 0,5.
4. Произведение синуса и двух радиусов в квадрате: 72*0,5 = 36 см.

Ответ: 36 см.

Покритикуйте статью и стиль подачи материала в комментариях, я внесу правки. Это моя вторая статья по математике, я хочу, чтобы они все были образцовыми.

ЕЖЕНЕДЕЛЬНАЯ РАССЫЛКА

Получайте самые интересные статьи по почте и подписывайтесь на наши социальные сети

Ваш браузер устарел рекомендуем обновить его до последней версии
или использовать другой более современный.

порядок ее нахождения, свойства фигуры и пример решения

Геометрия

12.11.21

14 мин.

В геометрии при решении задач иногда требуется найти площадь прямоугольника через диагонали. Формула и ее применение позволяют вычислить эту величину. Однако с самого начала фигуру требуется идентифицировать, руководствуясь определенными признаками. Кроме того, полезно будет знать основные свойства и соотношения для расчета других параметров (периметра, сторон и т. д.).

Оглавление:

• Общие сведения
• Информация о фигуре
• Соотношения для вычислений
• Пример задания

В геометрии при решении задач иногда требуется найти площадь прямоугольника через диагонали. Формула и ее применение позволяют вычислить эту величину. Однако с самого начала фигуру требуется идентифицировать, руководствуясь определенными признаками. Кроме того, полезно будет знать основные свойства и соотношения для расчета других параметров (периметра, сторон и т. д.).

Общие сведения

В геометрии, как и во всех дисциплинах с физико-математическим уклоном, существует взаимосвязь между параметрами. Например, базовая формула площади прямоугольника зависит от длин его противоположных сторон. Впервые ее используют в пятом классе для решения простейших задач.

Однако на начальном уровне дается название фигуры, т. е. прямоугольник или квадрат. В старших классах встречаются задачи на идентификацию последних. На основании исследования принадлежности четырехугольника к определенному виду требуется вычислить некоторые его параметры. Если фигура определена неверно, расчеты будут выполнены некорректно.

Навык решения задач по геометрии необходим не только на вступительных экзаменах, тестировании и зачетах, но и для выполнения ремонта. Например, для комнаты прямоугольной формы нужно купить плитку и обои. Для этого необходимо вычислить площадь и правильно идентифицировать форму основания, т. е. пола или стены.

Однако перед рассмотрением признаков, свойств и формул, которые нужны для нахождения параметров фигуры, следует ознакомиться с теорией, дающей общее представление о прямоугольнике.

Четырехугольник, состоящий из равных и параллельных между собой противоположных сторон, которые образуют прямые углы, называется прямоугольником. Обозначается он четырьмя литерами — именами вершин. Например, UVWX. Специалисты рекомендуют соблюдать очередность в алфавитном порядке, поскольку в высших учебных заведениях преподавательский состав это требует от студентов.

Многие учащиеся делают ошибку, используя в качестве идентификации фигуры определение. Для примера следует рассмотреть квадрат и прямоугольник. У первого противолежащие стороны параллельны и будут равняться одному значению, а углы, образованные ими, равны 90 градусов. Признаки фигур позволяют точно классифицировать вид четырехугольника, а затем применить к нему соответствующие соотношения.

Признаки прямоугольника

Признак или идентификация — набор критериев, на основании которых четырехугольник можно отнести к определенному типу. Первоначальное определение было сформулировано на основании теоремы из евклидовой геометрии, которая гласит, что если у искомого четырехугольника 3 угла прямые, то он прямоугольник. Доказать утверждение довольно просто:

1. Обозначить прямоугольник — UVWX. У него ∠U=∠V=∠W=90.
2. На основании утверждения о сумме внутренних углов найти ∠Х: ∠Х = 360-90-90-90=90.
3. Утверждение доказано.

Однако математики вывели 3 признака, которые помогут отличить прямоугольник от квадрата. К ним относятся:

1. Смежные стороны не равны между собой.
2. Диагонали при пересечении не образуют прямые углы.
3. В прямоугольник невозможно вписать окружность, поскольку он не является правильным четырехугольником.

Первый признак строится из определения самой фигуры. Доказывается это очень просто. Следует начертить прямоугольник и обозначить его UVWX. Он состоит из следующих сторон: первая пара противоположных — UV=WX и вторая — VW=UX. Пусть UV и VX равны между собой. В этом случае будет выполняться такое равенство: UV=WX=VW=UX, т. е. фигура является правильной, поскольку у нее все стороны равны одному значению. Следовательно, она квадрат. Признак доказан.

Диагонали в квадрате и прямоугольнике равны между собой. В этом случае для вычисления такого параметра, как площадь, можно брать любую диагональ (UW и VX). Основное отличие свойства пересечения последних — в квадрате они образуют прямой угол.

Если рассмотреть последний признак, нужно учесть, что окружность можно вписать только в правильные фигуры, т. е. их стороны должны быть эквивалентны между собой. Так можно легко идентифицировать прямоугольник. Однако требуется рассмотреть его основные свойства, которые могут быть полезными при решении задач по геометрии.

Основные свойства

Прямоугольник обладает такими же свойствами, что и квадрат. Однако есть некоторые отличия, состоящие из доказанных математиками утверждений и соотношений. Например, возможно найти площадь прямоугольника, зная диагонали. К свойствам можно отнести:

1. Вершины фигуры — основания прямых внутренних углов, сумма которых составляет 360 градусов.
2. Равенство и параллельность взаимно противоположных сторон.
3. Центр симметрии и окружности — точка пересечения диагоналей, которая делит их пополам. Кроме того, через нее можно провести среднюю линию.
4. Подобие и равенство всех треугольников, которые образуются в результате пересечения его диагоналей.

5. Вычисление диагонали (UW=q) через известные смежные стороны (UV=u и VW=v). q ² = u ² + v ².

6. Диагональ — диаметр описанной окружности, D = q.
7. Если диагонали пересекаются, образуются большие прямоугольные и малые равнобедренные треугольники.
8. Медиана и высота, которые проведены из любой вершины, равны половине q.
9. Диагональ не является биссектрисой.

Этих свойств недостаточно при решении задач. В этом случае могут пригодиться формулы.

Соотношения для вычислений

В геометрии для удобства решения задач и описания формул применяются сокращенные записи. Пусть прямоугольник обозначается литерами UVWX. Его стороны — UV=u и VW=v, а диагонали — q. Все углы при вершинах эквивалентны 90 градусам. Если рассматривать градусные меры ∠, образованных пересечением двух диагоналей q, острый — w, а тупой — z. Кроме того, вокруг фигуры можно описать окружность с радиусом (R) и диаметром (D).

Начинающие математики часто путают ∠w и ∠z, подставляя в формулу площади через диагональ, размерность не того ∠. У прямоугольника существуют следующие параметры, являющиеся дополнительными: площадь (обозначается литерой «S» и является его размерностью) и периметр «P» (алгебраическая сумма длин 4 сторон).

Нахождение размерности и периметра

Базовое соотношение, по которому возможно вычислить периметр, имеет следующий вид: P=2u+2v. (0.5)=54,64 (м).

Задача любого типа должна решаться с минимальных количеством формул и вычислений. Алгоритм ее решения должен быть оптимален.

Таким образом, нахождение площади прямоугольника через диагональ позволяет существенно сократить объемы вычислений и время, потраченное на решение этой задачи.

Площадь прямоугольника формула 4. Как посчитать площадь прямоугольника: практические советы

Площадь прямоугольника, как не будет дерзко звучать, но это важное понятие. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с ним. Узнать размер полей, огородов, рассчитать количество краски, необходимой для побелки потолка, сколько понадобится обоев для оклейки ко

мнаты и другое.

Геометрическая фигура

Для начала поговорим о прямоугольнике. Это фигура на плоскости, которая имеет четыре прямых угла, а ее противоположные стороны равны. Стороны его привыкли называть длиной и шириной. Измеряют их в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т. д. Теперь ответим на вопрос: «Как найти площадь прямоугольника?» Для этого необходимо длину умножить на ширину.

Площадь=длина*ширина

Но еще одна оговорка: длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах измерения, то есть метр и метр, а не метр и сантиметр. Записывается площадь латинской буквой S. Для удобства обозначим длину латинской буквой b, а ширину латинской буквой a, как показано на рисунке. Отсюда мы делаем вывод, что единицей измерения площади является мм 2 , см 2 , м 2 и т. д.

Рассмотрим на конкретном примере, как найти площадь прямоугольника. Длина b=10 ед. Ширина a=6 ед. Решение: S=a*b, S=10 ед.*6 ед., S=60 ед 2 . Задача. Как узнать площадь прямоугольника, если длина в 2 раза больше ширины и составляет 18 м? Решение: если b=18 м, тогда а=b/2, a=9 м. Как найти площадь прямоугольника, если известны обе стороны? Правильно, подставить в формулу. S=a*b, S=18*9, S=162 м 2 . Ответ: 162 м 2 . Задача. Сколько необходимо купить рулонов обоев для комнаты, если ее размеры составляют: длина 5,5 м ширина 3,5, а высота 3 м? Размеры рулона обоев: длина 10 м, ширина 50 см. Решение: сделаем рисунок комнаты.

Площади противоположных сторон равны. Вычислим площадь стены с размерами 5,5 м и 3 м. S стены 1 =5,5*3,

S стены 1 =16,5 м 2 . Следовательно, противоположная стена имеет площадь равную 16,5 м 2 . Найдем площади следующих двух стен. Стороны их, соответственно, равны 3,5 м и 3 м. S стены 2 =3,5*3, S стены 2 =10,5 м 2 . Значит, и противоположная сторона равна 10,5 м 2 . Сложим все результаты. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 м 2 . Как вычислить площадь прямоугольника, если стороны выражены в разных единицах измерения. Ранее мы вычисляли площади в м 2 , то и в этом случае будем использовать метры. Тогда ширина рулона обоев будет равна 0,5 м. S рулона =10*0,5, S рулона =5 м 2 . Теперь узнаем, сколько рулонов необходимо для оклейки комнаты. 54:5=10,8 (рулонов). Так как они измеряются целыми числами, то нужно купить 11 рулонов обоев. Ответ: 11 рулонов обоев. Задача. Как вычислить площадь прямоугольника, если известно, что ширина на 3 см короче длины, а сумма сторон прямоугольника составляет 14 см? Решение: пусть длина х см, тогда ширина (х-3) см. х+(х-3)+х+(х-3)=14, 4х-6=14, 4х=20, х=5 см — длина прямоугольника, 5-3=2 см — ширина прямоугольника, S=5*2, S=10 см 2 Ответ: 10 см 2 .

Резюме

Рассмотрев примеры, надеюсь, стало понятно, как найти площадь прямоугольника. Напомню, что единицы измерения длины и ширины должны совпадать, иначе получится неправильный результат, чтобы не допустить ошибок, читайте задание внимательно. Иногда сторона может быть выражена через другую сторону, не стоит бояться. Обратитесь к нашим решенным задачам, вполне возможно, они могут помочь. Но хоть раз в жизни мы сталкиваемся с нахождением площади прямоугольника.

Инструкция

Например, вам , что длина одной из сторон (а) равна 7 см, а периметр прямоугольника (P) равен 20 см. Так как периметр любой фигуры равен сумме длин ее сторон, а у прямоугольника противоположные стороны равны, то его периметр а будет выглядеть следующим образом: P = 2 x (a + b), или P = 2a + 2b. Из этой формулы следует, что найти длину второй стороны (b) можно с помощью несложной операции: b = (P – 2a) : 2. Так, в нашем случае сторона b будет равна (20 – 2 х 7) : 2 = 3 см.

Теперь, зная длины обеих смежных сторон (a и b), вы сможете подставить их в формулу площади S = ab. В данном случае прямоугольника будет равна 7х3 = 21. Обратите на то, что единицами измерения будут уже не , а сантиметры квадратные, так как длин двух сторон единицы их измерения (сантиметры) вы тоже умножали друг на друга.

Источники:

• как находится периметр прямоугольника

Плоская фигура, состоящая из четырех сторон и четырех прямых углов. Из всех фигур площадь прямоугольника приходится вычислять чаще других. Это и площадь квартиры, и площадь садового участка, и площадь поверхности стола или полки. Например, чтобы просто оклеить комнату обоями, вычисляют площадь ее прямоугольных стен.

Инструкция

Кстати, из прямоугольника можно легко вычислить площадь . Достаточно достроить прямоугольный до прямоугольника так, чтобы гипотенуза стала диагональю прямоугольника . Тогда будет очевидно, что площадь такого прямоугольника равна произведению катетов треугольника, а площадь самого треугольника, соответственно, равна половине произведения катетов.

Видео по теме

Частный случай параллелограмма — прямоугольник – известен только в геометрии Евклида. У прямоугольника равны все углы, и каждый из них по отдельности составляет 90 градусов. Исходя из частных свойств прямоугольника , а также из свойств параллелограмма о параллельности противолежащих сторон можно найти стороны фигуры по заданным диагоналям и углу от их пересечения. Вычисление сторон прямоугольника основывается на дополнительных построениях и применении свойств получаемых фигур.

Инструкция

Буквой А отметьте точку пересечения диагоналей. Рассмотрите образованный построениями EFА. Согласно свойству прямоугольника его диагонали равны и пополам точкой пересечения А. Вычислите значения FА и EА. Так как треугольник EFА равнобедренным и его стороны EА и FА равны между собой и соответственно равны половине диагонали EG.

Далее вычислите первую EF прямоугольника . Данная сторона является третьей неизвестной стороной рассматриваемого треугольника EFА. Согласно теореме косинусов по соответствующей формуле найдите сторону EF. Для этого подставьте в формулу косинусов полученные ранее значения сторон FА EА и косинус известного угла между ними α. Вычислите и запишите полученное значение EF.

Найдите вторую сторону прямоугольника FG. Для этого рассмотрите другой треугольник EFG. Он является прямоугольным, где известны гипотенуза EG и катет EF. Согласно теореме Пифагора найдите второй катет FG по соответствующей формуле.

Относится к простейшим плоским геометрическим фигурам и является одним из частных случаев параллелограмма. Отличительная черта такого параллелограмма — прямые углы во всех четырех вершинах. Ограниченную сторонами прямоугольника площадь можно вычислить несколькими способами, используя размеры его сторон, диагонали и углы между ними, радиус вписанной окружности и т. д.

Инструкция

Если известна величина угла (α), который составляет диагональ прямоугольника с одной из его сторон, а также длина (С) этой диагонали, то для вычисления площади можно задействовать определения тригонометрических в прямоугольном . Прямоугольный треугольник здесь образуют две стороны четырехугольника и его диагональ. Из определения косинуса вытекает, что длина одной из сторон будет равна произведению длины диагонали на угла, величина известна. Из определения синуса можно вывести формулу длины другой стороны — она равна произведению длины диагонали на синус все того же угла. Подставьте эти тождества в формулу из предыдущего шага, и получится, что для нахождения площади надо перемножить синус и косинус известного угла, а также длины диагонали прямоугольника : S=sin(α)*cos(α)*С².

Если кроме длины диагонали (С) прямоугольника известна величина угла (β), который образуют диагонали, то для вычисления площади фигуры можно тоже задействовать одну из тригонометрических функций — синус. Возведите в квадрат длину диагонали и умножьте полученный результат на половину синуса известного угла: S=С²*sin(β)/2.

Если известен (r) вписанной в прямоугольник окружности, то для вычисления площади возведите эту величину во вторую степень и увеличьте результат в четыре раза: S=4*r². Четырехугольник, в который можно , будет являться квадратом, а длина его стороны равна диаметру вписанной окружности, то есть удвоенному радиусу. Формула получена подстановкой длин сторон, выраженных через радиус в тождество из первого шага.

Если известны длины (P) и одной из сторон (A) прямоугольника , то для нахождения площади внутри этого периметра вычислите половину произведения длины стороны на разницу между длиной периметра и двумя длинами этой стороны: S=A*(P-2*A)/2.

Видео по теме

С задачей найти периметр или площадь многоугольника сталкиваются не только ученики на уроках геометрии. Порой ее случается решать и взрослому человеку. Приходилось ли вам рассчитывать необходимое количество обоев для комнаты? Или, может быть, вы измеряли протяженность дачного участка, чтобы огородить его забором? Так знания основ геометрии иногда незаменимы для осуществления важных проектов.

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
   Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
   
2. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
   
3. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
   Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
   
где S — площадь треугольника,
— длины сторон треугольника,
— высота треугольника,
— угол между сторонами и,
— радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

Формулы площади квадрата

1. Формула площади квадрата по длине стороны
   Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
2. Формула площади квадрата по длине диагонали
   Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
   

   S =	1	2
   	2

где S — Площадь квадрата,
— длина стороны квадрата,
— длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

где S — Площадь прямоугольника,
— длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
   Площадь параллелограмма
2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
   Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

   a · b · sin α

где S — Площадь параллелограмма,
— длины сторон параллелограмма,
— длина высоты параллелограмма,
— угол между сторонами параллелограмма.

Формулы площади ромба

1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
   Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
   Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
   Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
где S — Площадь ромба,
— длина стороны ромба,
— длина высоты ромба,
— угол между сторонами ромба,
1 , 2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

1. Формула Герона для трапеции

   Где S — Площадь трапеции,
   — длины основ трапеции,
   — длины боковых сторон трапеции,
   

Начиная с 5 класса, ученики начинают знакомиться с понятием площадей разных фигур. 2$.

Диагонали разделяет прямоугольник на 4 фигуры – 4 треугольника. При этом треугольники попарно равны. Если провести диагональ в прямоугольнике, то она разделяет фигуру на два равных прямоугольных треугольника. Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 214.

Полезный калькулятор для школьников и взрослых позволяет быстро вычислить площадь прямоугольника по двум его сторонам. Подобный расчет мы часто производим не только в рамках школьного курса геометрии, но и в повседневной жизни. Например, если нужно посчитать площадь комнаты при ремонте квартиры, для расчета необходимого количества материалов.

Удобная навигация по статье:

Прямоугольником принято называть геометрическую плоскую фигуру, которая имеет параллельно расположенные противоположные стороны при углах в 90 градусов. В качестве длины этой геометрической фигуры выступает величина, которая имеет большую сторону. При этом, за ширину принимается величина меньшей стороны. Для правильного вычисления площади прямоугольника Вам необходимо знать определённые параметры, которыми обладает данная фигура. В их числе:

• диагональ;
• ширина;
• так называемый угол наклона к одной из сторон диагонали;
• длина.

Таким образом, произвести расчёт площади прямоугольника можно различными способами. Всё зависит от количества информации о фигуре, а именно, какие величины нам точно известны.

Как вычислить площадь прямоугольника, имея линейные параметры его сторон?

Давайте в качестве обозначения длины прямоугольника будем использовать букву «а», для его ширины – букву «b», а площадь геометрической фигуры обозначим буквой «S». Согласно этому, наша формула будет выглядеть следующим образом: S = a x b.

Зная линейные параметры прямоугольника, можно легко определить его периметр последующей формуле: P = 2(a + b), где в качестве обозначения периметра мы используем букву «P».

Как можно вычислить площадь прямоугольника, зная величину одну из его сторон и диагональ?

Как нам известно, диагональ делит любой прямоугольник на два так называемых прямоугольных треугольника. Давайте присвоим диагонали индекс «с», а длину стороны обозначим буквой «а». Теперь необходимо произвести следующий порядок действий:

1. для начала необходимо найти длину неизвестной стороны. Для этого мы используем формулу Пифагора: b = V c2 – a2.
2. После этого, нам следует определить площадь нашей основной геометрической фигуры (прямоугольника) как площадь треугольника, умноженную на два: Sтр = ½ (а х в).
3. Согласно вышеописанной схеме расчёта площадь прямоугольника в данном случае будет равна: S = 2 x Sтр = а х в.

В том случае, если нам известны периметр прямоугольника, а также длина одной из его сторон, то площадь этой геометрической фигуры можно вычислить, определив длину второй стороны (b = (P – 2xa), по такой формуле: S = a x b.

Если же нам известны размер диагонали прямоугольника, а также угол между стороной и самой диагональю, то площадь можно вычислить при помощи следующих тригонометрических функций: Sтр = ½ х с2 х sinФ х cosФ.

При этом, общая площадь в данном случае будет составлять S = 2 x Sтр.

Площадь прямоугольника. Видео-урок.

Площадь ромба по 2 диагоналям. Площадь ромба

Несмотря на то, что математика – царица наук, а арифметика – царица математики, самую большую сложность в изучении у школьников вызывает геометрия. Планиметрия – раздел геометрии, который изучает плоские фигуры. Одной из таких фигур является ромб. Большинство задач по решению четырехугольников сводятся к нахождению их площадей. Систематизируем известные формулы и различные способы расчета площади ромба.

Ромб – это параллелограмм, все четыре стороны которого равны. Напомним, что у параллелограмма есть четыре угла и четыре попарно параллельные равные стороны. Как любой четырехугольник, ромб имеет ряд свойств, которые сводятся к следующим: при пересечении диагонали образуют угол, равный 90 градусов (AC ⊥ BD), точка пересечения делит каждую на два равных отрезка. Диагонали ромба также являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.). Отсюда следует, что они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Сумма длин диагоналей, возведенных во вторую степень, равна длине стороны во второй степени, умноженной на 4, т.е. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Существует множество методов, используемых в планиметрии для расчета площади ромба, применение которых зависит от исходных данных. Если известны длина стороны и любой угол, можно воспользоваться следующей формулой: площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла. Из курса тригонометрии известно, что sin (π – α) = sin α, а значит, в расчетах можно использовать синус любого угла – как острого, так и тупого. Частным случаем является ромб, у которого все углы прямые. Это квадрат. Известно, что синус прямого угларавен единице, поэтому площадь квадрата равна длине его стороны, возведенной во вторую степень.

Если величина сторон неизвестна, воспользуемся длиной диагоналей. В этом случае площадь ромба равна половине произведения большой и малой диагоналей.

При известной длине диагоналей и величине любого угла площадь ромба определяется двумя способами. Первый: площадь – это половина квадрата большей диагонали, умноженная на тангенс половины градусной меры острого угла, т.е. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), где D – большая диагональ, α – острый угол. Если вам известен размер меньшей диагонали, воспользуемся формулой 1/2*d 2 *tg(β/2), где d – меньшая диагональ, β – тупой угол. Напомним, что мера острого угла меньше 90 градусов (меры прямого угла), а тупой угол соответственно – больше 90 0 .

Площадь ромба можно отыскать, используя длину стороны (напомним, все стороны у ромба равны) и высоты. Высота – это перпендикуляр, опущенный на противоположную углу сторону или на ее продолжение. Чтобы основание высоты располагалось внутри ромба, ее следует опускать из тупого угла.

Иногда в задаче требуется отыскать площадь ромба, исходя из данных, относящихся к вписанной окружности. В этом случае необходимо знать ее радиус. Существуют две формулы, которыми можно воспользоваться для расчета. Итак, чтобы ответить на поставленный вопрос, можно удвоить произведение стороны ромба и радиуса вписанной окружности. Другими словами, необходимо умножить диаметр вписанной окружности на сторону ромба. Если в условии задачи представлена величина угла, то площадь находится через частное между квадратом радиуса, умноженном на четыре, и синусом угла.

Как видите, существует множество способов для нахождения площади ромба. Конечно, чтобы запомнить каждый из них, потребуется терпение, внимательность и, конечно же, время. Но в дальнейшем вы сможете легко выбрать метод, подходящий для вашей задачи, и убедитесь, что геометрия – это несложно.

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
   Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
   
2. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
   
3. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
   Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
   
где S — площадь треугольника,
— длины сторон треугольника,
— высота треугольника,
— угол между сторонами и,
— радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

Формулы площади квадрата

1. Формула площади квадрата по длине стороны
   Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
2. Формула площади квадрата по длине диагонали
   Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
   

   S =	1	2
   	2

где S — Площадь квадрата,
— длина стороны квадрата,
— длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

где S — Площадь прямоугольника,
— длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
   Площадь параллелограмма
2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
   Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

   a · b · sin α

где S — Площадь параллелограмма,
— длины сторон параллелограмма,
— длина высоты параллелограмма,
— угол между сторонами параллелограмма.

Формулы площади ромба

1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
   Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
   Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
   Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
где S — Площадь ромба,
— длина стороны ромба,
— длина высоты ромба,
— угол между сторонами ромба,
1 , 2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

1. Формула Герона для трапеции

   Где S — Площадь трапеции,
   — длины основ трапеции,
   — длины боковых сторон трапеции,
   

– это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб с прямыми углами называется квадратом и считается частным случаем ромба. Найти площадь ромба можно различными способами, используя все его элементы – стороны, диагонали, высоту. Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту.

Пример расчета площади ромба по этой формуле очень прост. Необходимо только подставить данные и высчитать площадь.

Площадь ромба через диагонали

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

Формула площади ромба через диагонали представляет собой произведение его диагоналей, разделенное на 2.

Рассмотрим пример расчета площади ромба через диагонали. Пусть дан ромб с диагоналями
d1 =5 см и d2 =4. Найдем площадь.

Формула площади ромба через стороны подразумевает и применение других элементов. Если в ромб вписана окружность, то площадь фигуры можно просчитать по сторонам и ее радиусу:

Пример расчета площади ромба через стороны также весьма прост. Требуется только просчитать радиус вписанной окружности. Его можно вывести из теоремы Пифагора и по формуле .

Площади ромба через сторону и угол

Формула площади ромба через сторону и угол используется очень часто.

Рассмотрим пример расчета площади ромба через сторону и угол.

Задача: Дан ромб, диагонали которого равны d1 =4 см,d2 =6 см. Острый угол равен α = 30°. Найдите площадь фигуры через сторону и угол.
Для начала найдем сторону ромба. Используем для этого теорему Пифагора. Мы знаем, что в точке пересечения диагонали делятся пополам и образуют прямой угол. Следовательно:
Подставим значения:
Теперь мы знаем сторону и угол. Найдем площадь:

– это параллелограмм , у которого все стороны равны, то для него действуют все те же формулы, как и для параллелограмма, включая формулу нахождения площади через произведение высоты и стороны .

Площадь ромба можно найти, также зная его диагонали . Диагонали делят ромб на четыре абсолютно одинаковых прямоугольных треугольника . Если мы их рассортируем, так чтобы получить прямоугольник , то его длина и ширина будут равны одной целой диагонали и половине второй диагонали. Поэтому площадь ромба находится умножением диагоналей ромба, сокращенных на два (как площади получившегося прямоугольника).

Если в распоряжении только угол и сторона , то можно вооружиться диагональю в качестве помощника и начертить ее напротив известного угла. Тогда она разделит ромб на два конгруэнтных треугольника, площади которых в сумме дадут нам площадь ромба. Площадь каждого из треугольников будет равна половине произведения квадрата стороны на синус известного угла, как площадь равнобедренного треугольника . Поскольку таких треугольников два, то коэффициенты сокращаются, оставив только сторону во второй степени и синус:

Если внутри ромба вписать окружность , то его радиус будет относиться к стороне под углом 90° , что значит, что удвоенный радиус будет равен высоте ромба . Подставив вместо высоты h=2r в предыдущую формулу, получим площадь S=ha=2ra

Если же вместе с радиусом вписанной окружности, дана не сторона, а угол, то следует сначала найти сторону, проведя высоту таким образом, чтобы получить прямоугольный треугольник с заданным углом. Тогда сторона a может быть найдена из тригонометрических отношений по формуле . Подставляя это выражение в ту же стандартную формулу площади ромба, выходит

Ромб — это частный случай параллелограмма. Он представляет собой плоскую четырехугольную фигуру, в которой все стороны равны. Данное свойство определяет то, что у ромбов параллельны противоположные стороны и равны противолежащие углы. Диагонали ромба пресекаются под прямым углом, точке их пересечения приходится на середину каждой диагонали, а углы из который они выходят делятся пополам. То есть они диагонали ромба являются биссектрисами углов. Исходя из приведенных определений и перечисленных свойств ромбов их площадь может быть определена различными способами.

1. Если известны обе диагонали ромба AC и BD, то площадь ромба может быть определена как половина произведения диагоналей.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

где AC, BD — длина диагоналей ромба.

Чтобы понять почему это так, можно мысленно вписать в ромб прямоугольник таким образом, чтобы стороны последнего были перпендикулярны диагоналям ромба. Становится очевидным, что площадь ромба будет равна половине площади вписанного данным образом в ромб прямоугольника, длина и ширина которого будут соответствовать величине диагоналей ромба.

2. По аналогии с параллелепипедом площадь ромба может быть на найдена как произведение его стороны, на высоту перпендикуляра с опущенного к данной стороне с противолежащей стороны.

S = а ∙ h

где а — сторона ромба;
h — высота перпендикуляра, опущенного на данную сторону.

3. Площадь ромба также равна квадрату его стороны, умноженному на синус угла α .

S = a 2 ∙ sinα

где, a — сторона ромба;
α — угол между сторонами.

4. Также площадь ромба может быть найдена через его сторону и радиус вписанной в него окружности.

S = 2 ∙ a ∙ r

где, a — сторона ромба;
r — радиус вписанной в ромб окружности.

Интересные факты
Слово ромб произошло от древнегреческого rombus, что в переводе означает «бубен». В те времена бубны действительно имели ромбовидную форму, а не круглую, как мы привыкли видеть их в настоящее время. С тех же времен произошло и название карточной масти «бубны». Очень широко ромбы различных видов используются в геральдике.

Найти площадь квадрата по диагонали

Квадрат — это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны. У квадрата две диагонали, соединяющие несмежные вершины фигуры. Расчет площади квадрата по диагонали онлайн-калькулятором производится по формуле S=12*d2, где d — диагональ квадрата

Чтобы найти площадь квадрата по диагонали онлайн, понадобится несколько простых действий:

• указать размер диагонали и единицы измерения;
• выбрать, в каких единицах необходимо рассчитать площадь;
• получить ответ после нажатия на кнопку «Найти».

Нахождение площади квадрата по диагонали

Чтобы найти площадь квадрата по диагонали с помощью онлайн-калькулятора, нужно:

1. Задать диагональ квадрата. Для наглядности возьмем квадрат со стороной 8 см и введем это значение в пустое поле калькулятора:
   
   Отметим, что при вводе некорректного значения калькулятор выдает предупреждение. Например, вот что будет, если ввести в поле для диагонали отрицательное значение:
   
2. Выберем размерности величин. Онлайн калькулятор позволяет работать с миллиметрами, сантиметрами и метрами, а также осуществляет конвертацию этих величин.
   
3. Теперь нажмем «Найти» и получим решение с ответом:
   

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

• Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры
• Вычисление площади фигуры в полярных координатах

Ответ:

Решение

Ответ:

• list» :key=»`error-${eIdx}`» v-html=»e»/>

Похожие калькуляторы:

• Площадь треугольника (по 3 сторонам)
• Площадь треугольника (по 2 сторонам и углу)
• Площадь треугольника (по стороне и высоте)
• Площадь прямоугольного треугольника
• Площадь равнобедренного треугольника
• Площадь равностороннего треугольника
• Площадь квадрата (по стороне квадрата)
• Площадь прямоугольника
• Площадь треугольника (по 3 сторонам и радиусу описанной окружности)
• Площадь треугольника (по 3 сторонам и радиусу вписанной окружности)
• Площадь треугольника (по полупериметру и радиусу вписанной окружности)
• Площадь треугольника (по двум сторонам и одному углу)
• Площадь треугольника (по одной стороне и двум углам)
• Площадь треугольника (по радиусу описанной окружности и двум углам)
• Площадь круга (по радиусу)
• Площадь круга (по диаметру)
• Площадь круга (по длине окружности)
• Площадь ромба (по сторонам и углу между ними)
• Площадь ромба (по стороне и высоте)
• Площадь ромба (по диагоналям)
• Площадь параллелограмма (по сторонам и углу между ними)
• Площадь параллелограмма (по стороне и высоте)
• Площадь параллелограмма (по диагоналям и углу между ними)
• Площадь трапеции (по основаниям и высоте)
• Площадь трапеции (по средней линии и высоте)
• Площадь трапеции (по диагоналям и углу между ними)
• Площадь эллипса
• Площадь поверхности куба
• Площадь поверхности параллелепипеда
• Площадь поверхности сферы
• Площадь поверхности цилиндра
• Площадь поверхности конуса

Вычисление площади квадрата по диагонали онлайн

При отсутствии данных о длине стороны квадрата можно найти площадь фигуры другим способом. В данном случае можно не прибегать к услугам программных средств и все действия произвести самостоятельно. Но если величина диагонали содержит несколько знаков, то при возведении ее в квадрат есть вероятность допустить ошибку.

Рассчитать площадь квадрата по диагонали онлайн понадобится:

• школьникам, которые выполняют домашнее задание по геометрии;
• родителям для быстрого контроля;
• учителям, проверяющим работы класса;
• студентам, которым важен точный ответ, на который опираются дальнейшие вычисления.

Сервис выдает последовательное решение задачи с точным ответом. С помощью сайта Zaochnik можно осуществлять подготовку к занятиям без привлечения репетиторов, траты средств и лишнего времени.

Понравился калькулятор? Поделись с друзьями!

Площадь квадрата по диагонали

Площадь любой геометрической фигуры – это пространство, занимаемое двумерным объектом. Квадрат представляет собой двумерную геометрическую фигуру, которая определяется сторонами, которые равны по длине и перпендикулярны друг другу (угол между двумя сторонами составляет 90 градусов). Площадь квадрата — это количество квадратных единиц, необходимых для полного заполнения квадрата. Существуют разные способы вычисления площади квадрата.

Один из обычных и стандартных способов вычисления площади квадрата — это использование его диагоналей или сторон. Поскольку все стороны квадрата одинаковы, мы можем напрямую найти квадрат его стороны. Следовательно, площадь квадрата равна произведению любой из двух его сторон.

Но иногда длина стороны не указана, и мы знаем только длину диагонали квадрата. Зная прямоугольные треугольники, мы можем найти площадь квадрата по диагонали.

Что такое диагональ квадрата?

Диагональ — это линия, идущая от одного угла фигуры к противоположному углу и проходящая через центр фигуры. Диагонали квадрата всегда равны друг другу. В многоугольнике диагонали можно определить как линию, соединяющую две его несмежные вершины.

Связь между диагональю и стороной квадрата

Квадрат можно разделить на два прямоугольных треугольника, где диагональ квадрата равна длине гипотенузы треугольника. Теорема Пифагора, применимая к прямоугольным треугольникам, показывает связь между гипотенузой и сторонами прямоугольного треугольника.

Таким образом, он также представляет отношение между диагональю квадрата (гипотенузой треугольника) и его сторонами.

(Изображение скоро будет загружено) 9{2}}\]

= \[a\sqrt{2}\]

= сторона \[\sqrt{2}\]

Формула площади квадрата по диагонали

По длине диагонали , площадь квадрата можно рассчитать как:

Площадь квадрата = ½ × d ² единицы ²

Здесь «d» — длина любой из диагоналей. Также помните, что в квадрате диагонали равны.

Вычисление площади квадрата по диагонали

Мы знаем формулу нахождения площади квадрата по диагоналям. Теперь мы выведем эту формулу, используя следующие два метода.

1. Использование теоремы Пифагора

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

На данном рисунке диагональ единиц длины «d» делит квадрат стороны «a» единиц на два прямоугольных треугольника. Теперь, применяя теорему Pythagoras в любом правом треугольнике,

(гипотенуза) ² = (основа) ² + (перпендикуляр) ²

здесь,

Perpendicular = A

= A

= A

=

=

=

Гипотенуза = d

SO,

A ² + A ² = D ²

2A ² = D ²

или, A ² = D ² /2

Таким образом, площадь квадрата с использованием диагоналей = ½ × d ² квадратных единиц.

2. Используя отношение между стороной и диагональю

Для квадрата со стороной «a» и диагональю «d», мы знаем, что

Площадь квадрата = сторона x сторона = a ²

Теперь, как мы получили выше,

Диагональ квадрата = сторона x √2 = a√2

Тогда, сторона квадрата, a = 1 /√2 x диагональ = d/√2

Таким образом, площадь квадрата = a ²

Площадь = (d/√2) ²

Площадь = d ² /2

3 Площадь = 90½ x d ²

Площадь = ½ x (диагональ) ²

Таким образом, площадь квадрата с использованием диагоналей = ½ × d ² квадратных шт.

Решенные примеры

Пример 1. Найдите стороны и площадь квадрата, если диагональ равна 6 см.

Решение: Возьмем квадрат со стороной x. Если квадрат разделить на два прямоугольных треугольника, то гипотенуза каждого треугольника равна диагонали квадрата. Как известно, диагональ равна 6 см.

Согласно теореме Пифагора,

x ² + x ² = 6 ²  

Чтобы найти площадь квадрата, когда дана диагональ, мы можем использовать любой из следующих методов:

1. Метод 1 

 Площадь квадрата = сторона x сторона =3\[\sqrt{2 }\]  x 3\[\sqrt{2}\]

 = 9 x 2 = 18 см ²

2. Метод 2

Площадь квадрата = ½ x d ² =  ½ x 6 x 6 

=  ½ x 36 = 18 см ²

Решение: Мы знаем, что все стороны квадрата равны по длине. Мы также знаем, что каждая вершина образует угол 90°. Теперь давайте разделим квадрат на два прямоугольных треугольника со сторонами, равными 4 см. Используя теорему Пифагора в одном из треугольников найдем третью сторону треугольника, являющуюся диагональю квадрата.

Пусть гипотенуза/диагональ равна ‘c’ см.

Следовательно, (гипотенуза) ² = (основание) ² + (перпендикулярный) ²

C ² = 4 ² + 4 ²

= C ² + 160023 2

= C ² + = 16024 = 16024 = 160023 2

= C ² + 4 ²

= C ² + 4 ²

= C ² + 4 ²

= C ² + 4 ²

= C ² + 16 

c = \[\sqrt{32}\] см

c = 4\[\sqrt{2}\]см

Длина диагонали 4\[\sqrt{2}\]см

Диагональ прямоугольника.

Автор Доминик Черня, кандидат наук

Отзыв от Bogna Szyk

Последнее обновление: 11 марта 2022 г.

• Как найти диагональ прямоугольника?
• Какова диагональ прямоугольника?

Наш калькулятор диагонали прямоугольника — это обширный инструмент, который быстро находит диагональ и другие параметры прямоугольника. Вы столкнулись с конкретной проблемой прямоугольника, и вы не знаете , как найти диагональ прямоугольника ? Попробуйте ввести пару параметров в поля рядом с текстом или продолжайте читать, чтобы узнать возможные 9 параметров.0269 диагональ прямоугольника формулы .

Типичный прямоугольник показан на рисунке ниже. Мы отметили пять основных величин, описывающих конкретный прямоугольник. Вы можете использовать их для получения формулы диагонали прямоугольника. Это:

• l — длина ,
• ширина ,
• α — угол между диагоналями ,
• r — радиус описанной окружности ,
• д — диагональ ,

и два других параметра, которые не показаны на картинке:

• A — площадь ,
• П — периметр .

Термин прямоугольник происходит от латинского rectangulus , который представляет собой комбинацию двух слов: rectus (правый, правильный) и angulus (угол). Это название происходит от того факта, что прямоугольник представляет собой четырехугольник с четырьмя прямыми углами (4 * 90° = 360°). Его противоположные стороны параллельны и имеют одинаковую длину, а две его диагонали пересекаются посередине и также имеют одинаковую длину.

Квадрат — это частный случай прямоугольника. Его определение состоит в том, что у него все четыре стороны одинаковой длины, или, альтернативно, угол между двумя диагоналями прямой. Попробуйте наши калькуляторы, посвященные квадратам. Они могут быстро оценить периметр, площадь и диагональ любого квадрата, который вам нужен, только по длине его стороны.

Центр прямоугольника равноудален от его вершин, поэтому на нем всегда можно описать окружность . С другой стороны, вы можете вписать окружность в прямоугольник, только если это квадрат .

Как найти диагональ прямоугольника?

Чтобы найти диагональ прямоугольника по формуле, вы можете разделить прямоугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, т. е. треугольники с одним углом 90°. Каждый треугольник будет иметь стороны длиной l и w и гипотенузой длины d . Вы можете использовать теорему Пифагора для оценки диагонали прямоугольника, которая может быть выражена следующей формулой:

d² = l² + w² ,

и теперь вы должны знать, как найти диагональ прямоугольника по явной формуле — просто извлеките квадратный корень:

d = √(l² + w²) .

Наш калькулятор диагонали прямоугольника позволяет использовать практически любые единицы измерения. Воспользуйтесь нашим конвертером длины или конвертером площади, чтобы узнать, как переключаться между различными единицами измерения (СИ и имперскими).

Какова диагональ прямоугольника?

Иногда вы не можете указать все две стороны прямоугольника. Как найти диагональ прямоугольника в этом случае? Ответ дает наш калькулятор диагонали прямоугольника. Сначала запишем три основных уравнения для площади, периметра и радиуса описанной окружности:

1. Площадь прямоугольника: A = w * l ,
2. Периметр прямоугольника P = 2 * w + 2 * l ,
3. Радиус окружности прямоугольника r = d/2 .

С помощью приведенных выше уравнений мы теперь можем вывести различные формулы диагонали прямоугольника , которые используются калькулятором этой диагонали прямоугольника:

1. Учитывая длину и ширину : д = √(l² + w²) ,
2. Дано длина/ширина и площадь : d = √(A²/l² + l²) или d = √(A²/w² + w²) ,
3. Дано длина/ширина и периметр : d = √(2l² - P*l + P²/4)) или d = √(2w² - P*w + P²/4) ,
4. Даны длина/ширина и угол : d = w / sin(α/2) или d = l / cos(α/2) ,
5. Учитывая площадь и периметр : d = √(P² - 2*A) ,
6. Учитывая площадь и угол : d = √(2 * A / sin(α)) ,
7. Учитывая периметр и угол : d = P / (2*sin(α/2) + 2*cos(α/2)) ,
8. Дан радиус описанной окружности : d = 2 * r .

Примечание: Угол α между диагоналями лежит перед длиной , как и на первом рисунке. Также помните, что калькулятор диагонали прямоугольника предполагает, что длина больше ширины!

Знаете ли вы, что существует особый прямоугольник, называемый золотым прямоугольником? Если нет, то воспользуйтесь нашим калькулятором золотых прямоугольников и узнайте, как построить золотые прямоугольники!

Доминик Черня, кандидат наук

Длинная сторона (l)

Короткая сторона (w)

Площадь (A)

Периметр (P)

Угол между диагоналями окружности (06)

Диагональ

Диагональ (d)

Посмотрите 21 похожий калькулятор 2d геометрии 📏

ПлощадьПлощадь прямоугольникаПлощадь полумесяца… Еще 18

Диагональ квадрата — формула, свойства, примеры

LearnPracticeDownload

Диагональ квадрата представляет собой отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины. Квадрат имеет две диагонали, которые равны по длине и делят друг друга пополам под прямым углом. Формула диагонали квадрата используется для вычисления длины диагонали квадрата, когда известна длина его стороны.

Что такое диагональ квадрата?

Квадрат имеет две диагонали, каждая из которых образована соединением противоположных вершин квадрата. Обратите внимание на следующий квадрат, чтобы соотнести свойства диагоналей, приведенные ниже.

• Диагонали квадрата равны по длине.
• Они перпендикулярны друг другу.
• Они делят квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Что такое Диагональ формулы квадрата?

Диагональ формулы квадрата равна d = a√2; где «d» — диагональ, а «а» — сторона квадрата. Формула диагонали квадрата выводится по теореме Пифагора. Диагональ делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Обе диагонали равны и делят друг друга пополам под прямым углом. Давайте разберемся, как вывести формулу для нахождения диагонали квадрата.

Вывод диагонали квадрата по формуле

В квадрате длина обеих диагоналей одинакова. Длина диагонали «d» квадрата со стороной «а» вычисляется по теореме Пифагора. Обратите внимание на следующий квадрат, чтобы увидеть, что длина диагонали обозначена буквой «d», а длина стороны обозначена буквой «a».

Диагональ квадрата Формула

Рассмотрим треугольник ADC в квадрате. Мы знаем, что все углы квадрата равны 9.0 °, поэтому, используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу, которая в данном случае равна «d».

D ² = A ² + A ²

D = √ (A ² + A ² )

D = √ (2A ² )

D = √ (2A ² )

9

D = √ (2A ² ) 9000 3

D = √ (2A ² )

D = √ (2A ² )

D = √ (2A ² )

D = √ (2A ² ) √a ²

= √2a

Следовательно, диагональ квадрата равна: d = a√2

☛ Похожие статьи

• Диагонали прямоугольника 9006
• Диагональ куба Формула
• Диагональ формулы параллелограмма
• Диагональ многоугольника Формула
• Диагональ ромба

Примеры использования диагональной формулы квадрата

1. Пример 1: Найдите длину диагонали квадрата со стороной 14 единиц.

   Решение:

   Длина стороны квадрата: а = 14 единиц.

   Используя формулу вычисления диагонали квадрата, длина диагонали d равна:

   d = a√2

   d = 14√2 или 19,8 единицы

   Ответ: Длина каждой диагонали данного квадрата равна 19,8 единицы.

2. Пример 2: Длина диагонали квадрата составляет 3√2 единицы. Найдите длину стороны квадрата.

   Решение:

   Дано, что диагональ квадрата = 3√2 единицы.

   Предположим, что длина стороны квадрата равна «а».

   Согласно формуле диагонали квадрата, длина диагонали d равна:

   d = a √2

   3√2 = a √2

   a = 3

   Ответ: Длина стороны данного квадрата = 3 единицы.

3. Пример 3: Найдите длину диагонали квадрата, если его площадь 36 квадратных единиц.

   Решение:

   Площадь квадрата = 36 квадратных единиц

   Мы знаем, что площадь квадрата = a ² = 36

   Следовательно, a = 6 единиц

   Мы знаем, что диагональ формула квадрата: d = a√2

   Следовательно, длина диагонали = a√2 = 6√2 = 8,49 ед.

   Ответ: Длина диагонали квадрата = 8,49 ед.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Запишитесь на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по диагонали квадрата

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о диагонали квадратной формулы

Что такое диагональ квадрата в математике?

Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий две несмежные вершины. Квадрат имеет две диагонали, которые равны по длине и делят друг друга пополам под прямым углом. Свойства диагоналей квадрата следующие:

• Они равны по длине.
• Они перпендикулярны друг другу.
• Они делят квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Какова формула диагонали квадрата?

Квадрат имеет две диагонали одинаковой длины, которые можно рассчитать по формуле d = a√2, где а — сторона квадрата.

Как рассчитать диагональ квадрата по формуле диагонали?

Чтобы вычислить длину диагонали квадрата, мы используем следующие шаги:

• Шаг 1: Проверьте длину стороны квадрата, a.
• Шаг 2: Подставьте значение «а» в формулу диагонали квадрата, d = a√2.
• Шаг 3: Запишите полученное значение в соответствующей единице измерения.

Как получить диагональ квадратной формулы?

Диагональ квадратной формулы можно вывести с помощью теоремы Пифагора.

• Шаг 1: Проведите диагонали квадрата.
• Шаг 2: Образуются два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из треугольников.
• Шаг 3: Две стороны прямоугольного треугольника будут одинаковыми, так как все стороны квадрата равны.
• Шаг 4: Примените теорему Пифагора и вычислите длину гипотенузы треугольника, являющегося диагональю квадрата.

Таким образом, диагональ d = √(a ² + a ² ) = (√2)a = a√2; где «а» — сторона квадрата.

Что такое «а» в диагонали квадратной формулы?

Так как квадрат имеет четыре равные стороны, поэтому в формуле диагонали квадрата «а» представляет сторону квадрата. Таким образом, диагональ квадратной формулы задается как d = a√2.

Диагональ квадрата равна его стороне?

Нет, диагональ квадрата не равна его стороне. Поскольку все углы квадрата равны 90°, диагональ квадрата становится гипотенузой треугольников, образуемых в квадрате.

Как найти диагональ квадрата, зная площадь?

Если известна площадь квадрата, можно вычислить длину стороны квадрата. Затем значение длины стороны можно использовать для нахождения диагонали квадрата с помощью формулы d = a√2. Например, если площадь квадрата составляет 81 кв. Сначала найдем длину его стороны, так как мы знаем, что площадь квадрата = a ² . Следовательно, сторона «а» = √81 = 9 единиц. Теперь мы будем использовать это значение в формуле d = a√2, d = 9√2 = 12,72 единицы.

Как найти диагональ квадрата, если дана сторона?

Диагональ квадрата можно вычислить, если известна сторона. Диагональ квадратной формулы = a√2; где «а» — длина стороны. Данную длину стороны подставляют в эту формулу, чтобы получить длину диагонали. Например, если длина стороны квадрата равна 10 см, мы подставим в формулу значение d = a√2. Это означает, что длина диагонали (d) = a√2 = 10√2 = 14,14 см.

Как найти диагональ квадрата с периметром?

Диагональ квадрата можно вычислить, если известен периметр квадрата. Давайте разберемся в этом на примере. Например, если периметр квадрата равен 32 единицам, найдем диагональ, выполнив следующие шаги:

• Шаг 1: Мы знаем, что формула для нахождения периметра квадрата = 4 × длина стороны. После подстановки заданного значения периметра можно вычислить длину стороны квадрата. Здесь это будет Периметр квадрата = 4 × длина стороны. Это будет 32 = 4 × длина стороны. Следовательно, длина стороны будет равна 8 единицам.
• Шаг 2: Зная длину стороны, можно вычислить диагональ квадрата по формуле Диагональ квадрата = a√2; где «а» — длина стороны. Теперь мы можем подставить это значение в формулу Диагональ квадрата = a√2 = 8 × √2 = 11,313 единиц.

Рабочие листы по математике и визуальный учебный план

Как найти длину диагонали прямоугольника

Все ресурсы по базовой геометрии

9 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

← Предыдущая 1 2 3 4 Следующая →

Справка по базовой геометрии » Плоская геометрия » Четырехугольники » Прямоугольники » Как найти длину диагонали прямоугольника

Длина прямоугольника 12 дюймов, а ширина 5 дюймов. Чему равна диагональ прямоугольника?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти диагональ, воспользуемся теоремой Пифагора:

где = гипотенуза

или

Сообщить об ошибке

Одна сторона прямоугольника 7 дюймов, а другая 9 дюймов. Сколько сантиметров длина диагонали прямоугольника?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вы можете найти диагональ прямоугольника, если у вас есть ширина и высота. Диагональ равна квадратному корню из квадрата ширины плюс квадрат высоты.

Сообщить об ошибке

Найдите длину диагонали.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Прямоугольник можно разрезать на два равных прямоугольных треугольника, гипотенуза которых является диагональю прямоугольника.

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу:

, где a и b — катеты, а c — гипотенуза

Сообщить об ошибке

Стандартная школьная баскетбольная площадка имеет длину 84 фута и ширину 50 футов. Во время тренировки тренер К. заставляет Кайри бежать из одного правого угла на одном конце площадки в левый угол на другом конце площадки. С точностью до фута, сколько пробежал Кирие?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Картинка очень помогает решить эту задачу, поэтому мы начнем с прямоугольной баскетбольной площадки.

Заметим, что расстояние, пройденное Кирие (обозначено красным), является диагональю нашего прямоугольника, который мы назовем . Нам также не следует, что эта диагональ делит наш прямоугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. Поэтому мы можем найти длину нашей диагонали, сосредоточившись на одном из этих треугольников и определив гипотенузу. Это можно сделать с помощью теоремы Пифагора, которая дает нам:

Извлечение квадратного корня дает нам

Округление до ближайшего фута дает ответ 98.

Сообщить об ошибке

Прямоугольник имеет высоту . Какова длина его диагонали, округленная до десятых?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

1. Используйте теорему Пифагора с  и .

Сообщить об ошибке

Стороны прямоугольника ABCD равны 4 дюймам и 13 дюймам. 

Какова длина диагонали прямоугольника ABCD?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника со сторонами, равными сторонам прямоугольника, и с гипотенузой, являющейся диагональю. Все, что вам нужно сделать, это использовать теорему Пифагора:

 где a и b — стороны прямоугольника, а c — длина диагонали.

Сообщить об ошибке

Найдите длину диагонали прямоугольника, имеющего длину  и ширину .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Диагональ прямоугольника также является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются длина и ширина прямоугольника.

Затем мы можем использовать теорему Пифгора, чтобы найти диагональ.

Для заданного прямоугольника

Сообщить об ошибке

Найдите длину диагонали прямоугольника, имеющего длину  и ширину  .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Диагональ прямоугольника также является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются длина и ширина прямоугольника.

Затем мы можем использовать теорему Пифгора, чтобы найти диагональ.

Для заданного прямоугольника

Сообщить об ошибке

Найдите длину диагонали прямоугольника, имеющего длину  и ширину  .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Диагональ прямоугольника также является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются длина и ширина прямоугольника.

Затем мы можем использовать теорему Пифгора, чтобы найти диагональ.

Для заданного прямоугольника

Сообщить об ошибке

Найдите длину диагонали прямоугольника, имеющего длину  и ширину  .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Диагональ прямоугольника также является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются длина и ширина прямоугольника.

Затем мы можем использовать теорему Пифгора, чтобы найти диагональ.

Для заданного прямоугольника

Сообщить об ошибке

← Предыдущий 1 2 3 4 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по базовой геометрии

9 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Изучите концепцию

Площадь прямоугольника размером 24 x 16 и геометрические свойства, такие как симметрия, периметр прямоугольника, диагонали

Что такое диагональ? — Определение, факты и примеры

Диагонали в геометрии

Многоугольник определяется как плоская или плоская двумерная замкнутая форма, ограниченная прямыми сторонами. Диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины (или углы) многоугольника. Другими словами, диагональ — это отрезок, соединяющий две несмежные вершины многоугольника. Он соединяет вершины многоугольника, исключая ребра фигуры. На следующих фигурах нарисованы диагонали:

История диагонали

Слово «диагональ» происходит от древнегреческого слова diagonios , что означает «от угла к углу». И Евклид, и Страбон использовали его для описания линии, соединяющей две вершины прямоугольного параллелепипеда или ромба; позже он стал известен на латыни как diagonus (наклонная линия).

Диагонали многоугольника

Формула диагонали

Диагонали для многоугольников всех форм и размеров могут быть изготовлены и для любой формы; есть формула для определения количества диагоналей.

Количество диагоналей в многоугольнике с n вершинами = $\frac{n(n-3)}{2}$

Итак, по этой формуле мы можем легко вычислить количество диагоналей в многоугольнике.

В данной таблице показано количество диагоналей в различных многоугольниках:

Диагонали объемных фигур

Как и у многоугольников, у объемных фигур также есть диагонали. В зависимости от количества ребер количество и свойства диагоналей различаются для разных тел. На следующих телах проведены диагонали:

Длина диагонали

Длина диагоналей любой формы зависит от размеров их сторон.

Длина диагонали квадрата

Длину диагонали квадрата можно определить по теореме Пифагора. Диагональ квадрата делит его на два прямоугольных треугольника. Применяя теорему Пифагора, мы можем найти длину диагонали (d) квадрата со стороной (a) как a$\sqrt{2}$.

Длина диагонали квадрата с каждой стороной a единиц = a$\sqrt{2}$ единиц 9{2}}$, где d — диагональ, l — длина, а b — ширина прямоугольника.

Решенные примеры

1. Каково общее количество диагоналей в многоугольнике с 12 сторонами?

Решение:

Количество диагоналей в многоугольнике с n вершинами = $\frac{n(n-3)}{2}$

Следовательно, количество диагоналей в многоугольнике с 12 сторонами = $\frac{12(12-3)}{2}$ = 54

2. Какова длина диагонали квадрата со стороной 6 см?

Решение:

Сторона, A = 6 см

Длина диагонала = a $ \ times \ sqrt {2} $

= 6 $ \ times \ sqrt {2} $ 9000 39666 = 6 $ \ times \ sqrt {2} $

66 = 6 $ \ times \ sqrt {2} $

66 = 6 $ \ times \ sqrt {2} $

66 = 6 $ \ sqrt {2} $

6 = 6 $ \ times \ sqrt {2} $

6 = 6 $ \ times \ sqrt {2} $

6 = 6 $ \ sqrt $\sqrt{2}$ см

3. Рахул прогуливается по прямоугольному парку длиной 20 и шириной 15 метров. Определить диагональ прямоугольного парка.

Решение:

Длина прямоугольного парка = 20 м, Ширина прямоугольного парка = 15 м 9{2}}$

                                           = $\sqrt{400 + 225}$

                                      = $\sqrt{625}$

                                           = 25 m

Practice Problems

5

6

8

9

Правильный ответ: 9
Количество диагоналей в шестиугольнике (6 вершин) = $\frac{6(6-3)}{2}$ = 9

$\sqrt{10}$ см

2$\sqrt{ 10}$ см

10 см

20 см 9{2}}$ = $\sqrt{4+36}$ = $\sqrt{40}$ = $2\sqrt{10}$ см

6 см

24 см

3$\sqrt{2}$ см

24$\sqrt{2}$ см

Правильный ответ: 24 см
Диагональ квадрата со стороной a равна a$\sqrt{2}$ . Поскольку a$\sqrt{2}$ = 6$\sqrt{2}$, a должно быть 6 см.
Следовательно, периметр квадрата должен быть 4 × 6 см или 24 см.

Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

Здравствуйте!

Я, Людмила Анатольевна Фирмаль, бывший преподаватель математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института со стажем работы более 17 лет. На данный момент занимаюсь онлайн обучением и помощью по любыми предметам. У меня своя команда грамотных, сильных бывших преподавателей ВУЗов. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно: она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.

Срок выполнения разный: возможно онлайн (сразу пишите и сразу помогаю), а если у Вас что-то сложное – то от двух до пяти дней.

Для качественного оформления работы обязательно нужны методические указания и, желательно, лекции. Также я провожу онлайн-занятия и занятия в аудитории для студентов, чтобы дать им более качественные знания.

Моё видео:

---

---

Вам нужно написать сообщение в Telegram . После этого я оценю Ваш заказ и укажу срок выполнения. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за заказ, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл заказа в личные сообщения.

Сколько может стоить заказ?

Стоимость заказа зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения заказа?

Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить заказ?

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Какие гарантии и вы исправляете ошибки?

В течение 1 года с момента получения Вами заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.

---

Качественно сфотографируйте задание, или если у вас файлы, то прикрепите методички, лекции, примеры решения, и в сообщении напишите дополнительные пояснения, для того, чтобы я сразу поняла, что требуется и не уточняла у вас. Присланное качественное задание моментально изучается и оценивается.

Теперь напишите мне в Telegram или почту и прикрепите задания, методички и лекции с примерами решения, и укажите сроки выполнения. Я и моя команда изучим внимательно задание и сообщим цену.

Если цена Вас устроит, то я вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования. 80% заказов сдаются раньше срока.

После выполнения отправлю Вам заказ в чат, если у Вас будут вопросы по заказу – подробно объясню. Гарантия 1 год. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.

---

Можете смело обращаться к нам, мы вас не подведем. Ошибки бывают у всех, мы готовы дорабатывать бесплатно и в сжатые сроки, а если у вас появятся вопросы, готовы на них ответить.

В заключение хочу сказать: если Вы выберете меня для помощи на учебно-образовательном пути, у вас останутся только приятные впечатления от работы и от полученного результата!

Жду ваших заказов!

С уважением

Пользовательское соглашение

Политика конфиденциальности

Степень окисления n в nh5cl. Задания ЕГЭ химия: Электроотрицательность

Электроотрицательность. Степень окисления и валентность химических элементов.

Реакции окислительно-восстановительные.

1) Установите соответствие между схемой изменения степени окисления элемента и уравнением реакции, в которой это изменение происходит.

3) Установите соответствие между уравнением окислительно-восстановительной реакции и свойством азота, которое он проявляет в этой реакции.

4) Установите соответствие между формулой вещества и степенью окисления хлора в нем.

6) Установите соответствие между свойствами азота и уравнением окислительно-восстановительной реакции, в которой он проявляет в эти свойства.

7) Установите соответствие между формулой вещества и степенью окисления азота в нем.

ФОРМУЛА ВЕЩЕСТВА А) NaNO 2

СТЕПЕНЬ ОКИСЛЕНИЯ АЗОТА 1) +5 2) +3 3) –3, +5 4) 0, +2 5) –3, +3 6) +4, +2

8) Установите соответствие между схемой реакции и изменением степени окисления окислителя в ней.

10. Установите соответствие между формулой соли и степенью окисления хрома в ней.

12. Установите соответствие между схемой реакции и формулой восстановителя в ней

14. Установите соответствие между формулой вещества и степенью окисления азота в нем.

16. Установите соответствие между формулой соли и степенью окисления хрома в ней.

18. Установите соответствие между схемой реакции и формулой восстановителя в ней

19. Установите соответствие между схемой реакции и изменением степени окисления восстановителя.

СХЕМА РЕАКЦИИ А) Cl 2 + P → PCl 5 Б) HCl+ KMnO 4 → Cl 2 + MnCl 2 + KCl + H 2 O В) HClO + H 2 O 2 → O 2 + H 2 O + HCl Г) Cl 2 + KOH → KCl + KClO 3 + H 2 O	ИЗМЕНЕНИЕ СО ВОССТАНОВИТЕЛЯ
	1) Cl 0 → Cl -1 2) Cl -1 →Cl 0 3) Cl 0 → Cl +1	5) Cl 0 → Cl +5 6) Mn +7 → Mn +2

20. Установите соответствие между схемой реакции и изменением степени окисления окислителя.

СХЕМА РЕАКЦИИ А) Na 2 SO 3 + I 2 +NaOH → Na 2 SO 4 + NaI + H 2 O Б) I 2 + H 2 S → S + HI В) SO 2 + NaIO 3 + H 2 O → H 2 SO 4 + NaI Г) H 2 S + SO 2 → S + H 2 O	ИЗМЕНЕНИЕ СО ОКИСЛИТЕЛЯ
	1) S -2 → S 0 3) S +4 → S +6	5) I +5 → I -1

21. Установите соответствие между схемой реакции и изменением степени окисления восстановителя.

23. Установите соответствие между формулой вещества и степенью окисления хрома в нем.

25. Установите соответствие между схемой реакции и изменением степени окисления восстановителя.

27. Установите соответствие между схемой реакции и изменением степени окисления окислителя.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Хлорид аммония (нашатырь) в обычных условиях представляет собой белые кристаллы (рис. 1).

Летуч, термически мало устойчив (температура плавления — 400 o С при давлении). Брутто-формула — NH 4 Cl. Молярная масса хлорида аммония равна 53,49 г/моль.

Рис. 1. Хлорид аммония. Внешний вид.

Хорошо растворяется в воде (гидролизуется по катиону). Кристаллогидратов не образует. Разлагается концентрированной серной кислотой и щелочами.

Nh5Cl, степени окисления элементов в нем

Чтобы определить степени окисления элементов, входящих в состав хлорида аммония, сначала необходимо разобраться с тем, для каких элементов эта величина точно известна.

Степень окисления кислотного остатка определяется числом атомов водорода, входящих в состав образующей его кислоты, указанных со знаком минус. Хлорид-ион — это кислотный остаток хлороводородной (соляной) кислоты, формула которой HCl. В её составе имеется один атом водорода, следовательно, степень окисления хлора в хлорид ионе равна (-1).

Ион-аммония является производным аммиака (NH 3), представляющим собой гидрид. А, как известно, степень окисления водорода в гидридах всегда равна (+1). Для нахождения степени окисления азота примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности:

x + 4× (+1) + (-1) = 0;

x + 4 — 1 = 0;

Значит степень окисления азота в хлориде аммония равна (-3):

N -3 H +1 4 Cl -1 .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Определите степени окисления азота в следующих соединениях: а) NH 3 ; б) Li 3 N; в) NO 2 .

Ответ

а) Аммиак представляет собой гидрид азота, а, как известно, в данных соединениях водород проявляет степень окисления (+1). Для нахождения степени окисления азота примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности: x + 3× (+1) = 0; Степень окисления азота в аммиаке равна (-3): N -3 H 3 . б) Литий проявляет постоянную степень окисления, совпадающую с номером группы в Периодической системе Д.И. Менделеева, в которой он расположен, т.е. равна (+1) (литий — металл). Для нахождения степени окисления азота примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности: 3× (+1) + х = 0; Степень окисления азота в нитриде лития равна (-3): Li 3 N -3 . в)Степень окисления кислорода в составе оксидов всегда равна (-2). Для нахождения степени окисления азота примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности: x + 2×(-2) = 0; Степень окисления азота в диоксиде азота равна (+4): N +4 O 2 .

ПРИМЕР 2

Задание

Определите степени окисления азота в следующих соединениях: а) N 2 ; б) HNO 3 ; в) Ba(NO 2) 2 .

Ответ

а)В соединениях с неполярными связями степень окисления элементов равна нулю. Это означает, что степень окисления азота в его двухатомной молекуле равна нулю: N 0 2 . б) Степени окисления водорода и кислорода в составе неорганических кислот всегда равны (+1) и (-2) соответственно. Для нахождения степени окисления азота примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности: (+1) + х + 3×(-2) = 0; 1 + х — 6 = 0; Степень окисления азота в азотной кислоте равна (+5): HN +5 O 3 . в)Барий проявляет постоянную степень окисления, совпадающую с номером группы в Периодической системе Д.И. Менделеева, в которой он расположен, т.е. равна (+2) (барий — металл). Степень окисления кислорода в составе неорганических кислот и их остатков всегда равна (-2). Для нахождения степени окисления азота примем её значение за «х» и определим его при помощи уравнения электронейтральности: (+2) + 2×х + 4×(-2) = 0; 2 + 2х — 8 = 0; Степень окисления азота в нитрите бария равна (+3):Ba(N +3 O 2) 2 .

Обязательный минимум знаний

Степень окисления

Закономерности изменения электроотрицательности в периодах и группах Периодической системы рассматривались в § 36.

Правила для расчёта степени окисления (с. о.) химических элементов:

1. Наименее электроотрицательным является химический элемент
   1. железо
   2. магний
   3. кальций

   Следует обратить внимание на словосочетание «наименее электроотрицательный», т. е. элемент с наибольшими металлическими свойствами. Этот аргумент позволит исключить из возможных ответов азот, как неметалл, и остановиться на кальции, как наиболее активном из предложенных в задании металлов. Ответ: 4.

2. Наиболее полярна химическая связь в одной из молекул
   1. ССl 4
   2. СВr 4

   Знание закономерностей изменения электроотрицательности в периодах и группах Периодической системы Д. И. Менделеева позволяет исключить из списка четырёхвалентных соединений углерода метан СН 4 , а из оставшихся галогенидов остановиться на CF 4 , как на соединении углерода с наиболее электроотрицательным из всех химических элементов — фтором. Ответ: 2.

3. В молекулах хлороводорода и хлора химическая связь соответственно
   1. ионная и ковалентная полярная
   2. ионная и ковалентная неполярная
   3. ковалентная полярная и ковалентная неполярная
   4. водородная и ковалентная неполярная

   Ключевым словом для быстрого и верного выполнения этого задания является слово «соответственно». В предложенных вариантах только один из ответов начинается со слов «ковалентная полярная», т. е. связи, характерной для хлороводорода. Ответ: 3.

4. Степень окисления марганца в соединении, формула которого К 2 МnO 4 , равна

   Знание правил расчёта степеней окисления элементов по формуле позволит выбрать верный ответ. Ответ: 3.

5. Наименьшую степень окисления имеет сера в соли
   1. сульфат калия
   2. сульфит калия
   3. сульфид калия
   4. гидросульфат калия

   Очевидно, быстрому выполнению этого задания будет способствовать перевод названий солей в формулы. Так как сера — элемент VIA группы, то её наименьшая степень окисления равна -2. Этому значению соответствует соединение с формулой K 2 S — сульфид калия. Ответ: 3.

6. Степень окисления +5 атом хлора имеет в ионе
   1. С1O — 4
   2. С1O —
   3. С1O — 3
   4. С1O — 2

   При выполнении этого задания следует обратить внимание на то, что в условии даны не электронейтральные соединения, а ионы хлора с единичным отрицательным зарядом («-»). Поскольку сумма степеней окисления атомов в ионе равна заряду иона, суммарный отрицательный заряд атомов кислорода в искомом ионе должен иметь значение -6 (+5 — 6 = -1). Ответ: 3.

7. Степень окисления -3 азот имеет в каждом из двух соединений
   1. NF 3 И NH 3
   2. NH 4 Cl и N 2 O 3
   3. NH 4 Cl и NH 3
   4. HNO 2 и NF 3

   Для определения верного ответа необходимо мысленно разделить варианты ответов на левый и правый подстолбики. Затем выбрать тот, в котором соединения имеют более простой состав, — в нашем случае это правый подстолбик бинарных соединений. Анализ позволит исключить ответы 2 и 4, так как в оксиде и фториде у азота положительная степень окисления, как у менее электроотрицательного элемента. Этот аргумент позволяет исключить и ответ 1, так как в нём первое вещество — всё тот же фторид азота. Ответ: 3.

8. К веществам молекулярного строения не относятся
   1. углекислый газ
   2. метан
   3. хлороводород
   4. карбонат кальция

   Следует обратить внимание на отрицательное суждение, заложенное в условии задания. Так как газообразные при обычных условиях вещества имеют в твёрдом состоянии молекулярную кристаллическую решётку, то условию задания не отвечают варианты 1-3. Отнесение карбоната кальция к солям ещё раз подтвердит верный ответ. Ответ: 4.

9. Верны ли следующие суждения о свойствах веществ и их строении?

   А. Мокрое бельё высыхает на морозе потому, что вещества молекулярного строения способны к сублимации (возгонке).

   Б. Мокрое бельё высыхает на морозе потому, что молекулы воды имеют низкую молекулярную массу.

   1. верно только А
   2. верно только Б
   3. верны оба суждения
   4. оба суждения не верны

   Знание физических свойств веществ молекулярного строения позволяет решить, что причиной высыхания мокрого белья на морозе является способность льда к сублимации, а не дипольное строение молекул воды. Ответ: 1.

10. Молекулярное строение имеет каждое из веществ, формулы которых приведены в ряду
    1. СO 2 , HNO 3 , СаО
    2. Na 2 S, Br 2 , NO 2
    3. H 2 SO 4 , Сu, O 3
    4. SO 2 , I 2 , НСl

    Так как предложенные варианты содержат по три вещества, логично мысленно разделить эти варианты на три вертикальных подстолбика. Анализ каждого из них, начиная с веществ более простого состава (средний подстолбик), позволит исключить ответ 3, так как в нём содержится металл медь, имеющий металлическую кристаллическую решётку. Аналогичный анализ правого подстолбика позволит исключить ответ 1, так как он содержит оксид щёлочноземельного металла (ионная решётка). Из двух оставшихся вариантов необходимо исключить вариант 2, так как он содержит соль щелочного металла — сульфид натрия (ионная решётка). Ответ: 4.

Задания для самостоятельной работы

1. Степень окисления +5 азот проявляет в соединении, формула которого
   1. N 2 O 5
   2. N 2 O 4
   3. N 2 O
2. Степень окисления хрома в соединении, формула которого (NH 4) 2 Cr 2 O 7 , равна
3. Степень окисления азота уменьшается в ряду веществ, формулы которых
   1. NH 3 , NO 2 , KNO 3
   2. N 2 O 4 , KNO 2 , NH 4 Cl
   3. N 2 , N 2 O,NH 3
   4. HNO 3 , HNO 2 , NO 2
4. Степень окисления хлора увеличивается в ряду веществ, формулы которых
   1. НСlO, НСlO 4 , КСlO 3
   2. Сl 2 , С1 2 O 7 , КСlO 3
   3. Са(С1O) 2 , КСlO 3 , НСlO 4
   4. КСl, КСlO 3 , КСlO
5. Наиболее полярна химическая связь в молекуле
   1. аммиака
   2. сероводорода
   3. бромоводорода
   4. фтороводорода
6. Вещество с ковалентной неполярной связью
   1. белый фосфор
   2. фосфид алюминия
   3. хлорид фосфора (V)
   4. фосфат кальция
7. Формулы веществ только с ионной связью записаны в ряду
   1. хлорид натрия, хлорид фосфора (V), фосфат натрия
   2. оксид натрия, гидроксид натрия, пероксид натрия
   3. сероуглерод, карбид кальция, оксид кальция
   4. фторид кальция, оксид кальция, хлорид кальция
8. Атомную кристаллическую решётку имеет
   1. оксид натрия
   2. оксид кальция
   3. оксид серы (IV)
   4. оксид алюминия
9. Соединение с ионной кристаллической решёткой образуется при взаимодействии хлора с
   1. фосфором
   2. барием
   3. водородом
   4. серой
10. Верны ли следующие суждения о хлориде аммония?

    А. Хлорид аммония — вещество ионного строения, образованное за счёт ковалентной полярной и ионной связей.

    Б. Хлорид аммония — вещество ионного строения, а потому твёрдое, тугоплавкое и нелетучее.

    1. верно только А
    2. верно только Б
    3. верны оба суждения
    4. оба суждения неверны

Поделиться с друзьями:

Интерактивный тест по химии Степень окисления. (9 -11 класс) доклад, проект

• Главная
• Разное
• Образование
• Спорт
• Естествознание
• Природоведение
• Религиоведение
• Французский язык
• Черчение
• Английский язык
• Астрономия
• Алгебра
• Биология
• География
• Геометрия
• Детские презентации
• Информатика
• История
• Литература
• Математика
• Музыка
• МХК
• Немецкий язык
• ОБЖ
• Обществознание
• Окружающий мир
• Педагогика
• Русский язык
• Технология
• Физика
• Философия
• Химия
• Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
• Экология
• Экономика

Презентация на тему Интерактивный тест по химии Степень окисления. (9 -11 класс), предмет презентации: Химия. Этот материал в формате pptx (PowerPoint) содержит 23 слайдов, для просмотра воспользуйтесь проигрывателем. Презентацию на заданную тему можно скачать внизу страницы, поделившись ссылкой в социальных сетях! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам презентаций и могут быть удалены по их требованию.

Слайд 1Текст слайда:

Степень окисления.

Тест по химии

Готовимся к ЕГЭ.

---

Слайд 2Текст слайда:

Аннотация

Ресурс по химии адресован учащихся 9,11-классов для организации самостоятельной работы в период подготовки к итоговой аттестации, а также для текущей проверки знаний учащихся в форме тестирования.
Ресурс содержит 20 вопросов на выбор одного правильного ответа из нескольких по теме: «Степень окисления». Если дан правильный ответ, то кнопка выбора ответа окрашивается в зелёный цвет. Если ответ неправильный, то кнопка выбора ответа окрашивается в красный цвет. При каждом ответе появляется соответствующая анимация.

---

Слайд 3Текст слайда:

Cl2 O7, HClO4, KClO4

Cl2, PCl5, HCl

HCl, NaCl, Cl2

HCl, HClO, HClO4

В каком ряду степень окисления хлора не изменяется?

Вопрос 1.

---

Слайд 4Текст слайда:

HNO3, NaNO3, NaNO2

Nh4, NO, NO2

NO2, HNO2, HNO3

Mg3N2, Nh4, Nh5Cl

В каком ряду степень окисления азота не изменяется?

Вопрос 2.

---

Слайд 5Текст слайда:

Ca3(PO4)2, P, P2O5

HPO3, h4PO4, Na3PO4

P, PCl3, h4PO3

Ph4, h4PO3, h4PO4

В каком ряду степень окисления фосфора не изменяется?

Вопрос 3.

---

Слайд 6Текст слайда:

Cl2, KClO3, KClO4

Cl2, PCl5, HCl

Cl2O7, HClO, HClO4

HCl, KCl, AgCl

В каком ряду степень окисления хлора увеличивается?

Вопрос 4.

---

Слайд 7Текст слайда:

h3S, Na2S, S

SO2, SO3, h3SO4

h3SO4, SO2, S

h3S, h3SO3, h3SO4

В каком ряду степень окисления серы уменьшается?

Вопрос 5.

---

Слайд 8Текст слайда:

Nh4, N2, Mg3N2

HNO3, NO2, NO

Nh4, NO, NO2

NO2, HNO2, HNO3

В каком ряду степень окисления азота уменьшается?

Вопрос 6.

---

Слайд 9Текст слайда:

Ca3(PO4)2, P, P2O5

P2O5,h4PO4,Ca3(PO4)2

PCl5, PCl3, h4PO3

Рh4, h4PO3, h4PO4

В каком ряду степень окисления фосфора увеличивается?

Вопрос 7.

---

Слайд 10Текст слайда:

PCl3, PCl5

Ca3(PO4)2, P4O10

Ca3P2, Ca3(PO4)2

Р4O6, Ph4

Одну и ту же степень окисления фосфор имеет в каждом из двух соединений?

Вопрос 8.

---

Слайд 11Текст слайда:

Na2S

SO3

h3SO4

CaSO3

В каком соединении атом серы имеет минимальную возможную степень окисления?

Вопрос 9.

---

Слайд 12Текст слайда:

Mn2(SO4)3

MnS

MnO2

KMnO4

В каком соединении атом марганца имеет максимальную возможную степень окисления?

Вопрос 10.

---

Слайд 13Текст слайда:

Cu(NO3)2

NO

N2O

Li3N

В каком соединении атом азота имеет минимальную возможную степень окисления?

Вопрос 11.

---

Слайд 14Текст слайда:

KClO4

KClO3

AlCl3

Cl2O

В каком соединении атом хлора имеет минимальную возможную степень окисления?

Вопрос 12.

---

Слайд 15Текст слайда:

Nh4

LiH

HCl

h3

В каком соединении атом водорода имеет отрицательную степень окисления?

Вопрос 13.

---

Слайд 16Текст слайда:

CF4

CO2

Ch5

C60

В каком веществе элемент углерод имеет отрицательную степень окисления?

Вопрос 14.

---

Слайд 17Текст слайда:

железо

натрий

хлор

фтор

Какой элемент может проявлять в соединениях как положительную, так и отрицательную степень окисления?

Вопрос 15.

---

Слайд 18Текст слайда:

магний

азот

кислород

фтор

Какой элемент может проявлять в соединениях только положительную степень окисления?

Вопрос 16.

---

Слайд 19Текст слайда:

Fe2(SO4)3 K2SO4 CaSO4

h3S Na2S MnS

Na2SO3 BaSO3 SO2

h3S SO2 SO3

Укажите схему превращений, в которой степень окисления серы изменяется:

Вопрос 17.

---

Слайд 20Текст слайда:

Li3N Nh4 NO

N2O5 HNO3 Ba(NO3)2

HNO3 Ba(NO3)2 NO2

Nh4 NO NO2

Укажите схему превращений, в которой степень окисления азота не изменяется:

Вопрос 18.

---

Слайд 21Текст слайда:

+4, 0

+5, 0

+4, -3

+5, -3

Определите высшую и низшую степень окисления азота в соединениях.

Вопрос 19.

---

Слайд 22Текст слайда:

+6, 0

0, -2

+6, -2

+2, -2

Определите высшую и низшую степень окисления кислорода в соединениях.

Вопрос 20.

---

Слайд 23Текст слайда:

Список использованных ресурсов:

А.А. Дроздов, В.В. Еремин «Пособие для подготовки к ЕГЭ по химии». — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.
http://smayli. ru/data/smiles/emocii-2154.gif
http://smayli.ru/data/smiles/emocii-2198.gif
http://smayli.ru/data/smiles/emocii-2035.gif
http://www.smayli.ru/data/smiles/emocii-1634.gif

---

Скачать презентацию

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

---

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Степень окисления

Дидактический материал Тренировочные тесты ЕГЭ по химии Электроотрицательность. Степень окисления и валентность химических элементов. 1. Электроотрицательность  атома – это 1) отрицательный заряд атома в молекуле 2) способность атома переходить в возбужденное состояние 3) способность атома, участвующего в химической связи, смещать к себе электронную пару, участвующую в образовании химической связи 4) потенциал ионизации атома   2. Элементы расположены в порядке возрастания электроотрицательности в ряду 1) O, H, Br, Te 2) C, I, B, P 3) Sn, Se, Br, F 4) H, Br, C, B   3. Степень окисления атома – это 1) условный заряд, вычисленный из предположения, что все полярные ковалентные связи являются ионными 2) число отданных в ходе химической реакции электронов 3) отрицательный заряд, сосредоточенный на какой-либо части молекулы 4) заряд иона в нерастворимом веществе   4. Степень окисления элемента в простом веществе равна 1) нулю 2) числу электронов во внешнем электронном слое 3) числу неспаренных электронов 4) номеру группы 5. Высшую степень окисления марганец проявляет в соединении 1) КМnО4           2) МnО2              3) К2MnО4         4) MnSO4   6. Наибольшую степень окисления марганец проявляет в соединении 1) МпС12             2) МnО               3) К2МnО4          4) МnСO3 7. Наибольшую степень окисления марганец имеет в соединении 1) MnSO4    2) МnО2              3) К2МnО4           4) Мn2Оз   8. Степень окисления  — 3 фосфор проявляет в соединении 1) РН3         2) Р2Оз                3) NaH2PO4         4) Н3РО4   9. Наименьшую степень окисления сера проявляет в соединении 1) Na2S                  2) Na2SO3            3) Na2SO4           4) SO3   10. Степень окисления  — 3 фосфор проявляет в соединении 1) РН3                 2) Р2Оз                3) NaH2PO4       4) НзРО4   11. Наибольшую степень окисления сера проявляет в соединении I )  Na2S              2) Na2SO3           3) Na2SO4           4) SO2   12. Одинаковую степень окисления азот проявляет в веществах, указанных в РЯДУ: 1) N2O5, HNO3, NaNO3 2) NО2,  HNO3, KNO3 3) NO, NO2, N2O3 4) HNO3,HNO2,NO2 13. В порядке увеличения электроотрицательности элементы расположены в ряду: 1) O-N-C-B 2) Si-Ge-Sn-Pb 3) Li-Na-K-Rb 4) Sb-P-S-Cl   14. Степень окисления азота увеличивается в ряду веществ: 1) NH3,NO,HNO3 2) NO,NO2,NH3 3) NH3,HNO3,NO2 4) KNO3, KNO2, NO2   15.  Электроотрицательность химических элементов увеличивается в ряду: 1) Be,Mg,Ca 2) F,Cl,Br 3) P,S,C1 4) Cl.S.P   16. В порядке возрастания относительной электроотрицательности элементы расположены в ряду: 1) Na, Mg,Al                         2) N,P,As           3) O,N,C             4) Cl, Br, I   17. Из перечисленных элементов наиболее электроотрицательным является 1) азот                2) кислород       3) хлор            4) фтор   18. Степень окисления хлора в Са(С1О)2 равна 1)+1                    2) +3                    3) +5                    4) +7   19. Степень окисления хлора в Ва(СlOз)2 равна 1) + 1                     2) + 3                     3) +5                     4) + 7   20. Минимальную степень окисления хлор проявляет в соединении 1) NH4Cl              2) Сl2                    3)  Ca(OCl)2          4} NaCIO   21. Степень окисления   + 3 азот проявляет в каждом из двух соединений: 1)   HNO2 и NH3 2)   NH4C1 и N203 3)   NaNO2 и NF3 4)   HNO3 и N2   22. В каком соединении степень окисления серы равна +4? 1) H2SO4                2) FeS                    3) H2SO3                4)  SO3   23. Наиболее электроотрицательным элементом является 1)  кремний 2)  свинец 3)  олово 4)  углерод   24. Азот проявляет степень окисления +3 в каждом соединении, указанном в ряду: 1)   N203, HNO2, NH3 2)   NH4C1, N20, NF3 3)   HNO2,N2H4,N2 4)   NaNO2, NF3, N2O3   25. Наиболее электроотрицательным элементом является I) кремний             2) азот                   3)  фосфор              4) селен   26. В порядке возрастания электроотрицательности элементы расположены в ряду 1) H-Se-S-O-F 2) F-O-C1-S-H 3) H-CI-S-O-F 4) H-S-C1-F-O   27. Хлор проявляет положительную степень окисления в соединении с 1)  серой 2)  водородом 3)   кислородом 4)  железом   28. Степень окисления + 3 азот проявляет в соединении 1) NН4С1                2) NaNO3               3) N2O4                  4) KNO2   29. Степень окисления  + 3 хром имеет в соединении 1) СrО                   2) Сr2О3                 3) СrО3                  4) Н2СrО4   30. Степень окисления азота в сульфате аммония равна 1) — 3                     2) — 1                     3)  + 1                     4) + 3   Ответы: 1-3, 2-3, 3-1, 4-1, 5-1, 6-3, 7-3, 8-1, 9-1, 10-1, 11-3, 12-1, 13-4, 14-1, 15-3, 16-1, 17-4, 18-1, 19-3, 20-1, 21-3, 22-3, 23-4, 24-4, 25-2, 26-1, 27-3, 28-4, 29-2, 30-1

Контрольная работа по теме «Многообразие химических реакций»

Контрольная работа № 1.

по теме «Многообразие химических реакций».

Вариант 1

Часть 1

I. Тест.

1. К электролитам относится:

а) АgCl  б) BaCl2 в) BaО г) О2

2. В каком из соединений степень окисления азота +3

а) NaNO2  б) NaNO3 в) N2О г) N2О5

3. При диссоциации Na2SO4 образуются ионы:

а) Na+ и SO42-  б) 2Na+ и SO42- в) 2Na+ и 4SO2-  г) Na+ и 4SO-

4. Скорость реакции, уравнение которой N2+3H2=2NH3, увеличится при

а) увеличении концентрации аммиака

б) понижение температуры

в) уменьшении концентрации аммиака

г) увеличении концентрации водорода

5. Равновесие реакции сместится в сторону прямой реакции СО(г)+Н2О(г) ↔ CO2(г)+Н2(г)+Q

а) при повышении температуры

б) при понижении температуры

в) при увеличении концентрации СО2

г) при увеличении давления.

6. Выберите все верные высказывания относительно реакции

CaCO3 (тв ) ↔ CaO(тв ) + CO2 (г ) -157 кДж

а) реакция разложения б) реакция соединения в) эндотермическая

г) экзотермическая д) окислительно-восстановительная ж) обратимая

7. Признаками реакции между сульфатом натрия и хлоридом бария является:

а) выделение газа; б) образование белого осадка; в) образование желтого осадка;

в) воды

8.Составьте уравнения разложения на ионы для данных веществ. Для многоосновной кислоты составьте уравнение полной и ступенчатой диссоциации:

а) HNO3→_______________________ г) h3SO4→____________________(полная)

б)K3PO4→_______________________ ____________________________(1 ступень)

в) Ba(OH)2→_____________________ ___________________________(2 ступень)

9.Допишите число электронов, принимающих участие в данных процессах. Укажите, какие из процессов являются окислением, а какие восстановлением.

Схема	Процесс (окисление или восстановление)
h30______________→2H+
Mn+7____________→Mn+2
N-3______________→N+5
Ca+2____________→Ca0

Часть 2.

10.Установите соответствие между схемой окислительно-восстанови​тель​ной ре​ак​ции и ве​ществом-окис​ли​те​лем в ней.

11. Закончите уравнения реакций. Составьте для них полные и сокращенные ионные уравнения:

а) HNO3+Ba(OH)2→ б) NaOH+FeCl3→ в) Na2CO3+HCl→

Часть 3

12.Используя метод электронного баланса, составьте уравнение ре​ак​ции::

P+HNO3+h3O→h4PO4+NO

Опре​де​ли​те окис​ли​тель и вос​ста​но​ви​тель.

13. Составить уравнение в молекулярной форме, которое бы соответствовало следующему уравнению в ионной форме:

H++OH-→h3O

14. В ре­зуль­та­те реакции, тер­мо­хи­ми­че­ское урав­не­ние которой

 

 

выделилось 968 кДж теплоты. Вы­чис­ли­те массу об­ра­зо­вав­шей­ся при этом воды. Ответ ука­жи­те в грам­мах с точ­но­стью до целых.

 

Контрольная работа № 1.

по теме «Многообразие химических реакций».

Вариант 2

I. Тест

1. К неэлектролитам относится

а) h3O  б) HNO3 в) AgNO3  г) CaCl2

2. В каком из соединений степень окисления хлора +5

а) HCl  б) HClO4 в) Cl2O7  г) NaClO3

3. При диссоциации К2SO4 образуются ионы:

а) К+ и SO42-  б) 2К+ и SO42- в) 2К+ и 4SO2-  г) К+ и 4SO-

4. Скорость реакции, уравнение которой Zn+H2SO4=H2+ZnSO4 понизится при:

а) увеличении концентрации серной кислоты

б) нагревании

в) увеличении концентрации водорода

г) уменьшении концентрации сульфата цинка

5. Равновесие реакции сместится в сторону обратной реакции 2Н2(г)+О2(г)↔2Н2О(г)+Q

а) при понижении температуры

б) при повышении температуры

в) при уменьшении давления

г) при увеличении концентрации Н2

6.  Выберите все верные высказывания относительно реакции

S(тв ) + O2 (г ) ↔ SO2(г) + 297 кДж

а) реакция разложения б) реакция замещения в) эндотермическая

г) экзотермическая д) окислительно-восстановительная ж) обратимая

7. Признаками реакции между хлоридом натрия и нитратом серебра является:

а) выделение газа; б) образование белого осадка; в) образование желтого осадка;

в) воды

8.Составьте уравнения разложения на ионы для данных веществ. Для многоосновной кислоты составьте уравнение полной и ступенчатой диссоциации:

а) KNO3→_______________________ г) h3CO3→______________(полная)

б)Al2(SO4)3→____________________ _____________________________(1 ступень)

в) Ca(OH)2→_____________________ ___________________________(2 ступень)

9.Допишите число электронов, принимающих участие в данных процессах. Укажите, какие из процессов являются окислением, а какие восстановлением.

Схема	Процесс(окисление или восстановление)
S+6_____________→S-2
O20____________→2O-2
N-3_____________→N+2
Pb0____________→Pb+2

Часть 2.

10.Установите соответствие между схемой окислительно-восстанови​тель​ной ре​ак​ции и ве​ще​ством-вос​ста​но​ви​те​лем в ней.

11.Закончите уравнения реакций. Составьте для них полные и сокращенные ионные уравнения:

а) K2CO3+BaCl2 → б) KOH+ Mg(NO3)2→ в) BaCO3+HCl→

Часть 3.

12. Используя метод электронного баланса, составьте уравнение ре​ак​ции::

KNO2+KJ +h3SO4→J2+NO+K2SO4+h3O

Опре​де​ли​те окис​ли​тель и вос​ста​но​ви​тель.

13. Составить уравнение в молекулярной форме, которое бы соответствовало следующему уравнению в ионной форме:

Са+2 +СО32- = СаСО3

14. В результате реакции, термохимическое уравнение которой

 

 

выделилось 1452 кДж теплоты. Вычислите массу образовавшейся при этом воды (в граммах). Запишите число с точностью до целых.

Правильные ответы:

	1	2	3	4	5	6	7
В-1	б	а	б	в, г	б	а, в	б
В-2	а	г	б	в	б, в	г, д	б

 

В-1

8. а) HNO3→H++NO3- г) h3SO4→2H+ + SO4 2-

б)K3PO4→ 3K++PO43- h3SO4 →H+ + HSO4 – (1 ступень)

в) Ba(OH)2→Ba2++2OH- HSO4 – → H+ + SO4 2-_(2 ступень)

9..

Схема	Процесс (окисление или восстановление)
h30-2ē→2H+	окисление
Mn+7+5ē_→Mn+2	восстановление
N-3-8ē→N+5	окисление
Ca+2+2ē→Ca0	восстановление

10. А)2; Б)1; В)5

12. 3P+5HNO3+2h3O=3h4PO4+5NO

14. Ответ:72г.

В-2

8. а) KNO3→ K+ + NO3- г) h3CO3→2H+ + CO3 2- (полная)

б)Al2(SO4)3→2Al3+ +3SO42- h3CO3 →H+ + HCO3 – _(1 ступень)

в) Ca(OH)2→ Ca2+ +2OH- HCO3 – → H+ + CO3 2-_( (2 ступень)

9.

Схема	Процесс(окисление или восстановление)
S+6+8ē→S-2	восстановление
O20+4ē→2O-2	восстановление
N-3-5ē→N+2	окисление
Pb0-2ē→Pb+2	окисление

10. А)2; Б)3; В)5

12. 2KNO2 +2 KI +2h3SO4=I2+2NO+2K2SO4+2h3O

14. Ответ:108г.

Критерии оценивания

Всего 30 баллов

За задания части 1

1-7 – 7 баллов (1 балл за каждое правильно выполненное задание )

8 – 4 балла ( 1 балла за каждое правильное написание диссоциацию веществ)

9— 4 балла ( 1 балл за каждое правильное написание схемы реакции и определение процесса)

За задания части 2

10 – 3 балла(за каждое правильное соответствие 1 б)

11. – 3 балла (за каждое правильно написанное уравнение 1 б )

За задания части 3

12. – 3 балла (за правильное написание баланса, определение процесса окисления и восстановления, расставление коэффициентов)

13. – 3 балла (1 балл за правильное написанное уравнение, 2 балла за ионное уравнение)

14. – 3 балла – за правильное решение задачи

— отметка «5» выставляется обучающемуся, если 24-30 баллов;

— отметка «4» выставляется обучающемуся, если 18-23 баллов;

— отметка «3» выставляется обучающемуся, если 13-17 баллов;

— отметка «2» выставляется обучающемуся, если менее 13 баллов.

Получение и использование азотистой кислоты | Азотная(iii) кислота

Азотистая кислота может быть получена в лаборатории в несколько этапов. Азотистую кислоту нельзя хранить в бутылках как азотную кислоту, потому что азотистая кислота легко разлагается на азотную кислоту, оксид азота (NO) и воду. Твердый нитрат натрия и холодная разбавленная соляная кислота (HCl) хочу приготовить азотную кислоту. Азотистая кислота — слабая одноосновная кислота.

В этом уроке мы узнаем, как приготовить азотистую кислоту и для чего она нужна.

---

Азотистая кислота | азотная(iii) кислота | HNO

₂ этапы подготовки

В качестве основного метода приготовления мы используем твердый NaNO ₃ . В этом методе есть три этапа для получения HNO ₂ . Обычно мы готовим азотистую кислоту, когда она нам нужна. В противном случае мы не храним его в лабораториях, потому что он легко разлагается.

Нагревание нитрата натрия как первая стадия получения азотистой кислоты

Твердый нитрат натрия (NaNO ₃ ) нагревают до разложения до твердого нитрита натрия (NaNO ₂ ) и кислород (O ₂ ) газ. Эта реакция является окислительно-восстановительная реакция (окислительно-восстановительная реакция), так как при протекании реакции изменяются степени окисления атомов азота и кислорода.

Растворение нитрита натрия в воде для приготовления водного раствора нитрита натрия

Твердый нитрит натрия растворяют в воде для приготовления водного раствора нитрита натрия . На этом этапе реакции не происходит. Только происходит растворение.

Холодная разбавленная HCl и NaNO

₂ реакция

Добавьте холодную разбавленную HCl в водный раствор нитрита натрия. Дает разбавленную азотистую кислоту и раствор NaCl.

Почему к водному раствору

NaNO ₂ добавляют разбавленную HCl?

ПРИМЕЧАНИЕ

Если разбавленной HCl добавить к твердого NaNO ₂ , NO ₂ образуется коричневый газ. Тогда нет возможности подготовиться. азотная кислота кроме того.

Почему

холодная разбавленная HCl добавляется к водному раствору NaNO ₂

Азотистая кислота стабильна в холодном состоянии. При высокой температуре раствора образующаяся азотистая кислота разлагается на азотную кислоту (HNO ₃ ), окись азота (NO) и воду. Поэтому мы должны использовать холодную HCl при получении азотистой кислоты.

Реакция трехокиси азота и воды | N

₂ O ₃ + H ₂ O

Триоксид азота реагирует с водой с образованием азотистой кислоты. Он показывает N ₂ О ₃ имеет слабые кислотные характеристики из-за образования слабой кислоты. В этой реакции N ₂ O ₃ реагирует с водой, защищая степени окисления атомов.

Хранение раствора в холодном состоянии важно для защиты образующейся HNO ₂ кислоты и предотвращения разложения.

Степень окисления азота в азотистой кислоте

Нарисовав структуру Льюиса HNO ₂ , мы можем увидеть степень окисления, если азот равен +3.

Из уравнения

Принять степень окисления азота за x. Степень окисления атома кислорода и водорода равна -2 и +1.

• +1 + x + (-2)*2 = 0
• x = 0

Применение азотистой кислоты

Азотистая кислота используется во многих областях органической химии для производства очень многих химических веществ. Теперь мы узнаем, каковы эти области применения азотистой кислоты.

Для получения спиртов

Азотистая кислота реагирует с первичными алифатическими аминами для получения первичного спирта . Но помните, что для этой реакции NaNO ₂ и разбавленная HCl используются для получения кислоты HNO ₂ .

Для приготовления N-нитрозамина

N-нитрозамина представляет собой масло желтого цвета. Когда соединение вторичного амина обрабатывают азотистой кислотой, в качестве продукта получают N-нитрозамин.

Получение хлорида бензолдиазония

Хлорид бензолдиазония используется для изготовления пигментов. При обработке анилина NaNO ₂ и разбавить HCl ниже 5 ⁰ C , в качестве продукта получают хлорид бензолдиазония.

Вопросы

Задайте свой вопрос по химии и найдите ответы бесплатно

Как определить водный раствор NaNO

₂ и HNO ₂ ?

Вопрос

Классный руководитель посоветовал вам и вашему другу приготовить раствор азотистой кислоты из твердого нитрата натрия для провести больше экспериментов. Но вы не можете прийти на подготовительный день и ваш друг сказал, что сделает подготовку один. Придя на следующий день в лабораторию, вы должны провести дальнейшие эксперименты с приготовленным раствором азотной кислоты. Когда на следующий день вы пошли в лабораторию, вы видите, что ваш друг сделал некоторые приготовления, но он забыл пометить два решения. Итак, вы хотите знать, в каком растворе содержится приготовленная азотная кислота. Как отличить азотистую кислоту от водной? раствор нитрита натрия. Дайте пояснения.

Ответ

При получении азотистой кислоты из твердого нитрата натрия в водном растворе присутствует NaCl при перегонке или других метод химического разделения не используется для удаления NaCl.

Добавлять нитрат серебра к растворам NaNO

₂ и HNO ₂ Белый осадок AgCl образуется в растворе, в то время как в водном растворе NaNO ₂ изменений нет.

pH растворов NaNO

₂ и HNO ₂

HNO ₂ является слабой кислотой, а NaNO ₂ имеет слабоосновные характеристики. Таким образом, значение pH раствора HNO ₂ равно меньше, чем раствор NaNO ₂ .

NaNO

₂ кислота или основание?

NaNO ₂ имеет слабые основные характеристики. NaNO ₂ полностью диссоциирует в воде на ион натрия и NO ₂ ^— ионы. Ион натрия стабилен в воде и не участвует в гидролизе воды.

Стабилен или нестабилен нитрит-ион в воде?

Ион нитрита не является стабильной водой и принимает протон от молекулы воды и образует азотистую кислоту и ион гидроксила. За счет образования гидроксильного иона водный раствор становится щелочным.

Согласно приведенным выше объяснениям, водный раствор NaNO ₂ является основным раствором.

Почему мы должны готовить азотную кислоту в лаборатории, когда это требуется?

Азотистая кислота является нестабильной кислотой. Поэтому хранить его долгое время невозможно, потому что он легко разлагается.

Что такое азотная (iii) кислота

Азотная (iii) кислота представляет собой оксокислоту азота. Эта кислота является слабой кислотой. В скобках указана степень окисления атома азота (iii). Так называют неорганические кислоты по номенклатуре ИЮПАК.

Одноосновная кислота

Когда кислота имеет только один атом водорода для реакции с основанием, мы говорим, что это одноосновная кислота.

Можно ли сделать азотную кислоту из азотистой кислоты?

Да, можно. Нагрейте раствор азотистой кислоты. Из-за нестабильности азотистая кислота разлагается на азотную кислоту, NO и воду.

Какова степень окисления азота в hno2

Мы можем найти степень окисления азота по алгебраическому уравнению. В большинстве случаев степень окисления кислорода равна -2, а водорода +1. За х примем степень окисления азота.

HNO ₂ представляет собой нейтральную молекулу. Таким образом, сумма степеней окисления каждого элемента должна быть ноль .

• +1 + x + (-2)*2 = 0
• x = +3

Итак, степень окисления азота в HNO ₃ это +3.

какова степень окисления азота в nano2?

Мы можем использовать алгебраическое уравнение, чтобы найти степень окисления азота в NaNO ₂ . Щелочные металлы всегда имеют только +1 степень окисления. Таким образом, степень окисления натрия равна +1. В большинстве случаев кислород находится в степени окисления -2. Тогда неизвестная степень окисления азота равна х.

+1 + x + (x)*2 = 0

x = +3

Похожие темы

Диоксид серы подготовка и реакции Оствальдский процесс — HNO ₃ Производство Характеристики газообразного азота и подготовка Подготовка и характеристики газообразного аммиака Оксиды азота HNO ₃ и HNO ₂ Кислоты Какой оксид азота является нейтральным, NO или NO ₂

Нитрит натрия – обзор

ScienceDirect

RegisterSign in

эффективный ингибитор окисления липидов и антимикробное средство.

Из: Окисление липидов (второе издание), 2012 г.

PlusAdd to Mendeley

М. Абдоллахи, М. Р. Хаксар, в Энциклопедии токсикологии (третье издание), 2014 г. по названию и применению похож на нитрат натрия. Оба являются консервантами, используемыми в переработанном мясе, таком как салями, хот-доги и бекон. Нитрит натрия был синтезирован с помощью нескольких химических реакций, включающих восстановление нитрата натрия. Промышленное производство нитрита натрия осуществляется в основном путем абсорбции оксидов азота водным раствором карбоната натрия или гидроксида натрия. За прошедшие годы нитрит натрия вызвал некоторые опасения по поводу его безопасности в пищевых продуктах, но он по-прежнему используется, и есть признаки того, что он действительно может быть полезен для здоровья. Нитрит натрия был разработан в 1960-е годы. В 1977 году Министерство сельского хозяйства США (USDA) рассматривало вопрос о ее запрете, но окончательное решение Министерства сельского хозяйства США о добавке вышло в 1984 году, разрешив ее использование. Исследования, проведенные в 1990-х годах, показали некоторые побочные эффекты нитрита натрия, например, способность вызывать у детей лейкемию и рак мозга. В конце 1990-х годов Национальная программа по токсичности (NTP) начала обзор нитрита натрия и предложила включить нитрит натрия в список токсикантов для развития и репродуктивной системы, но в отчете NTP от 2000 года было предложено, чтобы нитрит натрия не был токсичным веществом, и он был удален из список токсикантов развития и репродуктивной системы. В настоящее время считается, что он может помочь при пересадке органов и проблемах с сосудами ног, а также предотвращает сердечные приступы и серповидно-клеточную анемию.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать всю главу

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780123864543012069

Wood 1982

2-экзо-карбометокси-6-экзо-метилбицикло[3.3.0]окт-3-ен-7-экзо-илацетат (

47 )

Метод А

Нитрит натрия (4 г) добавляли небольшими порциями в течение 1,5 ч к амиду ( 46 ) (560 мг) в уксусной кислоте (2,5 мл) и уксусном ангидриде (12 мл) при 0° и смесь выдерживали при 0–3° в течение 16 ч. К осажденному твердому веществу добавляли холодный насыщенный водный раствор ацетата натрия (20 мл) и смесь перемешивали на бане со льдом в течение 0,5 часа, а затем при комнатной температуре в течение 2 часов. Смесь экстрагировали дихлорметаном (5 х 20 мл), экстракты упаривали. Остаток растворяли в метаноле и добавляли избыток эфирного диазометана. Через 0,5 ч при комнатной температуре избыток диазометана разлагали уксусной кислотой, смесь промывали водой, сушили (Na ₂ SO ₄ ), и выпарили. Растворимую в четыреххлористом углероде часть остатка очищали методом ТСХ (SiO ₂ , эфир, R _f 0,6) с последующей перегонкой (температура бани (130–140°, 0,07 мм) с получением сложного эфира ( 47 ) (410 мг, 69%) (Найдено: C 65,44; H 7,85. C ₁₃ H ₁₈ O ₄ требуется: C 65,5; H 7,6%), v _max (пленка) 1740s см ^{− 1} δ (CCl ₄ ) 0,96 (3 Н, д, J 7 Гц, Ме), 1,38–2,24 (7 Н, м, с синглетом 1,96), 2,95, 3,08 (каждый 1 Н, м, аллильный Н), 3,60 (3H, с, ОМе), 5,03 (1H, кв, J 8 и 4 Гц, AcOC H ), 5,52 и 5,75 (каждый 1H, м, CH=CH).

Метод В

Хлорсульфонилизоцианат (500 мг, 3,5 ммоль) добавляли по каплям к силану ( 43 ) (715 мг, 2,8 ммоль) в четыреххлористом углероде (1,2 мл) при 0°. После выдерживания при 0° в течение 10 мин и затем при комнатной температуре в течение 2,5 ч растворитель выпаривали. Остаток перемешивали при 0° с уксусной кислотой (3 мл) в уксусном ангидриде (15 мл) и порциями добавляли нитрит натрия (4,5 г) в течение 1 часа. Смесь выдерживали в атмосфере азота при 0–3° в течение 16 ч и отделяли осадок. К осадку добавляли ацетат натрия (10 г) в воде (25 мл) при 0°; смесь перемешивали при 0° в течение 2 ч, затем при комнатной температуре в течение 3 ч, затем экстрагировали дихлорметаном (5 х 25 мл), остаток обрабатывали диазометаном и очищали, как указано выше, с получением сложного эфира ( 47 ) (410 мг, 61%).

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect. com/science/article/pii/B9780080292380500099

P.W.G. СМИТ, А.Р. TATCHELL, в Fundamental Aliphatic Chemistry, 1965

4 Реакция с азотистой кислотой

Добавление нитрита натрия к щелочному раствору первичного или вторичного нитроалкана с последующим подкислением дает азотную кислоту и псевдонитрол соответственно.

Алкилнитроловые кислоты представляют собой кристаллические твердые вещества, дающие красные растворы при растворении в щелочи. Псевдонитролы распознаются по темно-синему раствору, полученному экстракцией хлороформом. Поскольку третичные нитроалканы не вступают в реакцию, приведенная выше реакция использовалась в качестве диагностического теста для первичных, вторичных и третичных нитроалканов. Исторический интерес этой реакции состоит в том, что первичные, вторичные и третичные спирты первоначально классифицировались путем превращения сначала в алкилгалогенид, а затем с помощью нитрита серебра в соответствующий нитроалкан.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780080107462500168

PG JEFFERY, D. HUTCHISON Chemical Method of Edition, D. HUTCHISON. ), 1981

Реактивы:

Периодат калия.

Нитрит натрия.

Раствор азотной кислоты, кипятят 1 литр 0,2 н. азотной кислоты с примерно 0,1 г перйодата калия, охлаждают и хранят в цельностеклянной промывной бутыли.

Стандартный маточный раствор марганца, точно взвесьте 0,155 г чистого марганца в небольшой химический стакан, растворите в 50 мл 0,5 N серной кислоты, перенесите в мерную колбу на 1 л и доведите до нужного объема водой. Этот раствор содержит 200 мкг MnO на мл.

Стандартный рабочий раствор марганца, перенесите 25 мл исходного раствора в мерную колбу вместимостью 100 мл и доведите до нужного объема водой. Этот раствор содержит 50 мкг MnO на мл и должен использоваться для калибровки 1-сантиметровых кювет спектрофотометра. Если будут использоваться 4-см ячейки, рабочий раствор можно приготовить, разбавив 5 мл маточного раствора до 100 мл, давая 10 мкг на мл.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780080238067500336

D.L.H. WILLIAMS, в Nitrosation Reactions and the Chemistry of Nitric Oxide, 2004

Нитрозилкарбоксилаты (ацилнитриты) RCOONO

Обычно считается, что когда нитрит натрия растворяется в карбоновой кислоте, образуется равновесная концентрация нитрозилкарбоксилата. , который действует как нитрозирующий агент [119]. Многие реакции нитрозирования были проведены препаративно с использованием, например, нитрит натрия, растворенный в уксусной или муравьиной кислотах, уравнение (77). Впоследствии из ацетата серебра и нитрозилхлорида был синтезирован нитрозилацетат

(77)HNO2+h4O++RCOO-⇄RCOONO+2h3O

(78)Ch4COOAg+ClNO=Ch4COONO+AgCl

(ацетилнитрит) [120]. , уравнение (78) при температурах жидкого азота. Это бледно-коричневая жидкость при комнатной температуре, зеленая жидкость при -78°C и зеленое твердое вещество при -19°C.6°С. Он быстро гидролизуется в воде, но достаточно стабилен в растворителях, таких как пиридин или уксусная кислота, чтобы действовать как эффективный нитрозирующий агент. Он превращает 1-октанол в нитритовый эфир пиридина, уравнение (79) и дает такое же распределение продуктов дезаминирования из 1-октиламина, как и при использовании реагента нитрит натрия/уксусная кислота, уравнение. (80).

(79)Ch4(Ch3)6Ch3OH+Ch4COONO→Ch4(Ch3)6Ch3ONO

(80)

Кинетические результаты реакции в присутствии карбоксилатных буферов часто показывают путь, который протекает через нитрозилкарбоксилат. Стедман [121] показал, что реакция между азотистой кислотой и азотистоводородной кислотой в ацетатных буферах протекает по двум путям с участием как нитрозилацетата, так и триоксида диазота в качестве нитрозирующих частиц. Позже [122] более детальная кинетическая работа по нитрозированию N-метиланилина и пиперазина в сходных условиях выявила пути через CH ₃ COONO, N ₂ O ₃ и H ₂ NO2+/NO ⁺ . По сравнению с другими субстратами оказывается, что CH ₃ COONO может реагировать на пределе диффузии, что обеспечивает константу равновесия для образования нитрозилацетата, уравнение. (77), который можно оценить как ~1,4 × 10 90 144 -8 90 145 M 90 144 -1 90 145 . Такое малое значение не позволило бы обнаружить нитрозилацетат в этих растворах ни одним спектроскопическим методом.

Было показано, что нитрит натрия в трифторуксусной кислоте эффективен при нитрозировании водонерастворимых амидов [123]. Тот же самый реагент был успешно использован для диазотирования (и последующей реакции с ионом азида) сильно дезактивированных производных анилина, таких как перфторанилин и 2,6-дифторанилин, уравнение (81). Точно так же нитрит натрия в безводной пропионовой

(81)

кислота образует 2-нитрозопродукты из фенолов региоселективно [124], возможно, посредством образования нитрозилпропионата in situ.

Просмотреть главуКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780444517210500025

Betty J. Locey, 20000 Betty J. Locey, в энциклопедии

Хроническая токсичность (или воздействие)

Животные

В одном исследовании крысы получали нитрит натрия в дозе 100 мг кг ^-1 в питьевой воде ежедневно в течение всей жизни на протяжении трех поколений, и не наблюдалось никаких признаков хронической токсичности, канцерогенности или тератогенности.

Человек

Длительное воздействие нитритов и нитратов в достаточно высоких концентрациях может вызвать увеличение образования мочи почками (диурез), увеличение отложений крахмала и кровотечение из селезенки.

Нитриты обычно не классифицируются как канцерогены для человека. При определенных условиях нитриты могут соединяться с аминами в организме с образованием нитрозаминов. Существует ряд различных нитрозаминов; многие из них регулируются как человеческие канцерогены. Некоторые химические вещества, такие как витамин С (аскорбиновая кислота), могут ограничивать превращение нитритов в нитрозамины. Министерство сельского хозяйства США (USDA) требует добавления аскорбиновой кислоты или эриторбиновой кислоты в бекон, чтобы снизить риск образования нитрозаминов.

Просмотр книги Глава покупки

Читать полную главу

URL: https://www.sciendirect.com/science/article/pii/b0123694000006864

Yang-heon Song, в комплект Heteroccricl 202920595050595929299595959595959595959595969296969695959595959695969296959692969596959595959596969695959596959696969695969596959695969596959695969596969

12.15.2.4 Пиридазиновое центральное кольцо

Обработка аминопиррола 257 нитритом натрия с последующей циклизацией полученного диазосоединения 258 при обработке 25% серной кислотой с получением пирроло[3,4- c ]тиено[2,3- e ]пиридазин 259 (схема 18). ¹⁰⁸

схема 18 5 H -тиазоло[5,4- c ][1,2,4]триазоло[1,2- a ]пиридазин-7,9(8 H ,10a H )-дион 262 с количественным выходом (уравнение 73). ¹⁰⁹

(73)

Бис([1,2,4]триазоло)[3,4- a :4′3′- c ]фталазин 264 – антибактериальный агент, синтезированный окислительная циклизация бис(2-бензилиденгидразинил)нафталина 263 диацетатом иодбензола (уравнение 74). ¹¹⁰

(74)

Дегидратационная циклизация ацилгидразида 265 в пиридине с обратным холодильником дала 3,9-диметилизоксазоло[4,5- d ][1,2,4]триазоло[4 — d ]пиридазин 266 (ур. 75). ¹¹¹

(75)

View chapterPurchase book

Read full chapter

URL: https://www. sciencedirect.com/science/article/pii/B9780124095472148991

K. Hemming, in Comprehensive Heterocyclic Chemistry III, 2008

10.20.11 Дальнейшие разработки

Недавняя работа продемонстрировала, что опосредованная нитритом натрия циклизация ряда гликозидов гидразиноурацила дает ряд гликозидов токсофлавина вместе с их 4-оксидными аналогами, где последние могут восстанавливаться до первого гипосульфитом. Метод циклизации описан в разделе 10.20.9..2.3(i) в уравнениях (22)–(24). Образующиеся таким образом гликозиды токсофлавина являются потенциальными пролекарствами для направленной антителами ферментативной терапии опухолей <2007CAR1254>. Ряд токсофлавиноподобных соединений (азаптеридинов) был идентифицирован как ингибиторы РНК-зависимой РНК-полимеразы гепатита С, что представляет определенный интерес, учитывая, что использование токсофлавинов, как обсуждалось в разделе 10.20.10.3, было ограничено их токсичностью. 2007MI1>. Чувство кворума ацил-гомосерин-лактона (см. Раздел 10.20.10.3) и его значение в биосинтезе фитотоксина токсофлавина были изучены дополнительно, что дало дополнительную информацию о производстве и роли токсофлавина в больном рисе <2007MI4950>. Фервенулин, 2-метилфервенулин-3-он и их 4-N-оксиды были подвергнуты подробному изучению с помощью рентгеновской дифракции, ¹ Н ЯМР и ¹³ С ЯМР спектроскопии, при этом те же исследователи провели углубленное исследование. изучение их химической активности к окислению, хлорированию, алкилированию и нуклеофильной атаке <2006KFZ49>. Более поздние работы установили исход реакции тех же трех видов с индолами <2007KFZ49>.

Просмотр главыКнига покупок

Прочитать главу полностью

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780080449920009202

Ричард Н. Батлер, Всесторонняя химия гетероциклов II, 1996 3,7 0005 5-диазоний и 5-диазотетразолы

Диазотирование 5-аминотетразола нитритом натрия и водным раствором HCl дает хлорид тетразол-5-диазония ( 199 ), который взрывоопасен в твердом состоянии или если он кристаллизуется из раствора, но хранится в растворе является важным синтетическим промежуточным продуктом в химии тетразолов 〈75CRV241〉. Его можно легко восстановить до гидразина или N ₂ можно заменить галогеном, OH или H 〈77AHC(21)323, 84CHEC-I(5)791, 84CHEC-I(5)822〉. Удаление протона дает диазоформу, которая использовалась для контролируемого образования атомарного углерода 〈74JA7830〉. Теоретические исследования ряда диазоазолов позволяют предположить, что 5-диазотетразол должен легко входить в переходное состояние циклоприсоединения с электронно-богатыми алкенами 〈90JCS(P2)1943〉. Соль диазония ( 199 ) соединяется с малонодинитрилом в основных условиях с образованием производного 3-азидо-1,2,4-триазина ( 201 ). Эта реакция формально включает последовательность раскрытия тетразольного кольца, прототропных таутомеризаций и внутримолекулярного нуклеофильного присоединения к исходному диазопродукту, представленному как ( 200 ) на схеме 32 для иллюстрации процесса, хотя этот конкретный вид не обязательно должен быть промежуточным продуктом 〈84KGS557〉. Также сообщалось о гидрате 5-[(диазометил)-азо]тетразола, HN ₄ C-NN-CHN ₂ H ₂ O, который восстанавливается до 5-гидразинотетразола и до тетразол-5-илдиазометанола. , ХН ₄ C-NN-CH ₂ ОН 〈92KGS1351〉. В более ранней литературе было показано, что замещенные по кольцу 5-аминотетразолы претерпевают окислительную димеризацию до азотетразолов и диазотирование до 5-нитрозаминотетразолов или 1,3-бистетразол-5-илтриазенов, в зависимости от условий диазотирования 〈75CRV241, 84CHEC-I(5 )791〉.

Схема 32.

Просмотр главыКнига покупок65185000952

Тадао Сугимото, в монодисперсных частицах (второе издание), 2019 г.

Радикальная полимеризация, инициируемая поверхностно-связанными группами как 2-нафталинтиол,

фенил-диазогруппа образуется на поверхности кремнезема, которые разлагаются при нагревании при повышенных температурах, таких как 60°C, с образованием фенильных радикалов, химически связанных с поверхностью кремнезема, и несвязанных тиорадикалов, оба из которых способны инициировать свободнорадикальную полимеризацию виниловых мономеров. ¹⁹⁷ Схема 3 представляет такие реакции. С помощью этой радикальной полимеризации к поверхностям кремнезема прививают различные полимеры; например, полистирол (в толуоле или в массе), поли(метилметакрилат) (в толуоле или в массе), полиакриламид (в воде), полиакрилонитрил (в ДМФА), полиакриловая кислота (в воде). ) и поли(4-винилпиридин) (в этаноле или в массе). Фенилдиазогруппы, связанные с диоксидом кремния, также использовались для реакций сочетания с одноцепочечными DNA , и ожидалось, что продукт будет полезен для реакций гибридизации ДНК. ¹⁹⁰

Схема 3.

Радикальную привитую полимеризацию акриламида с поверхности ультрадисперсного кремнезема проводили в окислительно-восстановительной системе, состоящей из ионов церия и восстановителей, таких как спиртовые гидроксильные, амино- и меркаптогруппы, сопряженные с гидроксилом группы на поверхности кремнезема. ²⁰¹ В результате гидрофильный диоксид кремния с привитым полиакриламидом был синтезирован. Эти восстанавливающие группы, связанные с поверхностью диоксида кремния, были введены реакциями поверхностных силанольных групп с 3-глицидоксипропилтриметоксисиланом (ГПС), 3-аминопропилтриэтоксисиланом (АПС) и 3-меркаптопропилтриметоксисиланом (МПС) соответственно. Аналогичным образом была получена сажа с привитым полиакриламидом . ²⁰² Схема 4 представляет такие реакции.

Схема 4.

Посмотреть главуКнига покупок

Читать всю главу

URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B97804446274

089

Термодинамическое моделирование процессов окисления Ag2Se под действием NaNO2

Заголовки статей

Характеристика гамма-облученной смеси ПП/ПЭНП
стр. 90

Экспериментальное исследование скорости распространения пламени в золе рисовой шелухи в неподвижных слоях
стр.96

Сжатие агрегатов двумерных монодисперсных материалов для оценки распространения дефектов
стр.101

Интерактивная сила двумерной деформации сжатия методом дискретных элементов (DEM)
стр.106

Термодинамическое моделирование процессов окисления Ag ₂ Se NaNO ₂
стр.111

Сушка промышленных керамических кирпичей: экспериментальное исследование в печи
стр. 116

Оценка корреляции Нуссельта для численного прогноза мощности промерзания на трубчатых валах треугольного расположения
стр.121

Математическое моделирование процесса высокоэнергетического шарового измельчения (HEBM)
стр.126

In Situ Оптический анализ структурных изменений в полимолочной кислоте (ПМК) в процессе растворения газа
стр.131

Главная Форум дефектов и диффузии Форум дефектов и диффузии Vol. 353 Термодинамическое моделирование окисления…

Предварительный просмотр статьи

Abstract:

Проведено термодинамическое моделирование процессов окисления селенида серебра такими реагентами, как NaNO ₂ , NaNO ₃ и NaOH при их термообработке. Оценена энергия Гиббса реакций окисления селенида серебра. Показано, что в качестве реагента-окислителя селенида серебра рационально использовать смесь нитрита натрия и гидроксида натрия. Окисление селенида серебра при термообработке совместно с нитритом натрия и гидроксидом натрия сопровождается образованием растворимых соединений типа Na ₂ SeO ₃ и Na ₂ SeO ₄ , серебро проходит в металлическом состоянии. Оценены коэффициенты разделения, характеризующие эффективность окисления и уровень перехода селена в растворимые соединения. С использованием полученных данных предложен метод разделения материалов, содержащих селениды, путем их спекания с натрийсодержащими реагентами. Метод основан на переводе селена в водорастворимые соединения с последующим выщелачиванием, при этом драгоценные металлы находятся в элементарном состоянии. Полученные продукты пригодны для производства селена и драгоценных металлов по традиционным технологиям.

Доступ через ваше учреждение

* — Автор, ответственный за переписку

использованная литература

[1] Кудрявцев А. А. Химия и технология селена и теллура. Москва, Металлургическая, 1968. 340 с.

[2] М.А. Ласточкина, С.А. Мастюгин, Т.В. Вергизова, Т.Н. Грейвер, В.В. Ашихин. Влияние условий автоклавного окислительного выщелачивания медеэлектролитных шламов на их поведение при флотации / Цветные металлы, 2012. № 8, с.50-56.

[3] Грейвер Т.Н. Некоторые особенности образования шламов при электролитическом рафинировании меди и никеля/цветных металлов. 1965. № 1. С. 28-33.

[4] Букетов Е. А., Малышев В.П. Удаление селена и теллура из медного электролитного шлама. Алма-Ата: Наука. 1969. 206.

[5] Грейвер Т.Н., Зайцева И.Г., Косовер В.М. Селен и теллур. Новая технология производства и переработки. Москва: Металлургия. 1977. 296 с.

[6] Патент РФ № 2451759/ М.А. Ласточкина, Т.Н. Грейвер, Т.В. Вергизова, С.А. Мастюгин, В.В. Ашихин, С.А. Краюхин, А.Т. Крестьянинов. Способ переработки свинцового шлама электролитной меди (варианты). Опубл. 27. 05. (2012).

[7] Патент РФ № 2458159. Способ получения металлического серебра из халькогенида серебра. Громов О.Г., Локшин Е.П., Савельев Ю.А., Мастюгин С.А. по 20.03.(2011).

Цитируется

ОКИСЛЕНИЕ ПЛУТОНИЯ (III) НИТРИТОМ НАТРИЯ (Технический отчет)

ОКИСЛЕНИЕ ПЛУТОНИЯ (III) НИТРИТОМ НАТРИЯ (Технический отчет) | ОСТИ.GOV

перейти к основному содержанию

• Полная запись
• Другие родственные исследования

Приведена константа скорости реакции окисления Pu(III) нитритом в растворе HNO/sub 3/, содержащем сульфанат железа. Было обнаружено, что скорость реакции можно измерить с помощью спектрофотометрии. Данные показывают, что реакция является реакцией псевдопервого порядка в интересующей области концентрации HNO/sub 3/ и нитрита. Константа скорости реакции, выраженная как реакция первого порядка по Pu, была найдена для нескольких значений концентрации HNO/sub 3/ и нитрита. Дана зависимость HNC/sub 3/константы скорости реакции. Окисление сульфамата железа — раствор Pu(III) Pu(III) протекает последовательно через ионы сульфамата, железа и Pu(III). С окислением как ионов железа, так и ионов Pu(III) связан автокаталитический механизм, что исключает возможность простые расчеты констант на основе концентрации нитрита.Дана эмпирическая связь между константой скорости реакции и концентрацией (добавленного) нитрита.(авт.)

Авторов:

Брюнстад, А

Дата публикации:

17. 07.1957

Исследовательская организация:

General Electric Co. Hanford Atomic Products Operation, Ричленд, Вашингтон

Идентификатор ОСТИ:

4345806

Номер(а) отчета:

HW-51655

Номер АНБ:

НСА-12-003620

Номер контракта Министерства энергетики:  

W-31-109-ENG-52

Тип ресурса:

Технический отчет

Отношение ресурсов:

Другая информация: Децл. 12 ноября 1957 г. Ориг. Дата поступления: 31 декабря 1958 г.

Страна публикации:

США

Язык:

Английский

Тема:

ХИМИЯ; КАТАЛИЗ; ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ; СОЕДИНЕНИЯ ЖЕЛЕЗА; АЗОТНАЯ КИСЛОТА; НИТРИТЫ; ОКИСЛЕНИЕ; ФОТОМЕТРИЯ; ПЛУТОНИЙ; КИНЕТИКА РЕАКЦИИ; СОЕДИНЕНИЯ НАТРИЯ; РЕШЕНИЯ; СПЕКТРОСКОПИЯ; СУЛЬФАМИНОВАЯ КИСЛОТА; СУЛЬФОКИСЛОТЫ; СОЕДИНЕНИЯ СЕРЫ; СКОРОСТЬ

---

Форматы цитирования

• MLA
• АПА
• Чикаго
• БибТекс

Брунстад, А. ОКИСЛЕНИЕ ПЛУТОНИЯ (III) НИТРИТОМ НАТРИЯ . США: Н. П., 1957. Веб. дои: 10.2172/4345806.

Копировать в буфер обмена

Брюнстад, А. ОКИСЛЕНИЕ ПЛУТОНИЯ (III) НИТРИТОМ НАТРИЯ . Соединенные Штаты. https://doi.org/10.2172/4345806

Копировать в буфер обмена

Бранстад, А. 1957. «ОКИСЛЕНИЕ ПЛУТОНИЯ (III) НИТРИТОМ НАТРИЯ». Соединенные Штаты. https://doi.org/10.2172/4345806. https://www.osti.gov/servlets/purl/4345806.

Копировать в буфер обмена

@статья{osti_4345806,
title = {ОКИСЛЕНИЕ ПЛУТОНИЯ (III) НИТРИТОМ НАТРИЯ},
автор = {Брунстад, А},
abstractNote = {Дана константа скорости реакции окисления Pu(III) нитритом в растворе HNO/sub 3/, содержащем сульфанат железа. Было обнаружено, что скорость реакции можно измерить с помощью спектрофотометрии. Данные показывают, что реакция является реакцией псевдопервого порядка в интересующей области концентрации HNO/sub 3/ и нитрита. Константа скорости реакции, выраженная как реакция первого порядка по Pu, была найдена для нескольких значений концентрации HNO/sub 3/ и нитрита. Дана зависимость HNC/sub 3/константы скорости реакции. Окисление сульфамата железа - раствор Pu(III) Pu(III) протекает последовательно через ионы сульфамата, железа и Pu(III). С окислением как ионов железа, так и ионов Pu(III) связан автокаталитический механизм, что исключает возможность простые расчеты констант на основе концентрации нитрита.Дана эмпирическая связь между константой скорости реакции и концентрацией (добавленного) нитрита.(авт.)},
дои = {10.2172/4345806},
URL-адрес = {https://www.osti.gov/biblio/4345806}, журнал = {},
номер =,
объем = ,
место = {США},
год = {1957},
месяц = ​​{7}
}

Копировать в буфер обмена

---

Посмотреть технический отчет (5,46 МБ)

https://doi. org/10.2172/4345806

---

Экспорт метаданных

Сохранить в моей библиотеке

Вы должны войти в систему или создать учетную запись, чтобы сохранять документы в своей библиотеке.

Аналогичных записей в сборниках OSTI.GOV:

• Аналогичные записи

кислородная кислота | химическое соединение | Британика

оксикислота

См. все средства массовой информации

Связанные темы:

сульфоновая кислота серная кислота фосфорная кислота азотная кислота пероксикислота

Просмотреть весь соответствующий контент →

Резюме

Прочтите краткий обзор этой темы

оксикислота , любая кислородсодержащая кислота. Большинство ковалентных оксидов неметаллов реагируют с водой с образованием кислых оксидов; то есть они реагируют с водой с образованием оксикислот, которые дают ионы гидроксония (H ₃ O ⁺ ) в растворе. Есть некоторые исключения, такие как окись углерода, CO, закись азота, N ₂ O, и окись азота, NO.

Сила оксикислоты определяется степенью ее диссоциации в воде (т. е. ее способностью образовывать H ^{+ 9ионов 0145). В общем, относительную силу оксикислот можно предсказать на основе электроотрицательности и степени окисления центрального атома неметалла. Сила кислоты увеличивается по мере увеличения электроотрицательности центрального атома. Например, поскольку электроотрицательность хлора (Cl) выше, чем у серы (S), которая, в свою очередь, выше, чем у фосфора (P), можно предположить, что хлорная кислота HClO ₄ является более сильной кислота, чем серная кислота, H ₂ SO ₄ , которая должна быть более сильной кислотой, чем фосфорная кислота, H ₃ PO ₄ . Для данного центрального атома неметалла сила кислоты увеличивается по мере увеличения степени окисления центрального атома. Например, азотная кислота HNO ₃ , в которой атом азота (N) имеет степень окисления +5, является более сильной кислотой, чем азотистая кислота HNO ₂ , где степень окисления азота равна +3. Таким же образом серная кислота H ₂ SO ₄ с серой в степени окисления +6 является более сильной кислотой, чем сернистая кислота, H ₂ SO ₃ , где существует степень окисления серы +4.}

Соль оксикислоты представляет собой соединение, образующееся при взаимодействии кислоты с основанием: кислота + основание → соль + вода. Этот тип реакции называется нейтрализацией, потому что раствор становится нейтральным.

Оксикислоты азота

Азотная кислота, HNO ₃ , была известна алхимикам 8-го века как «aqua fortis» (сильная вода). Он образуется в результате реакции как пятиокиси азота (N ₂ O ₅ ) и диоксид азота (NO ₂ ) с водой. Небольшие количества азотной кислоты обнаруживаются в атмосфере после гроз, а ее соли, называемые нитратами, широко распространены в природе. Огромные залежи нитрата натрия, NaNO ₃ , также известного как чилийская селитра, находятся в пустынной области недалеко от границы Чили и Перу. Эти отложения могут иметь ширину 3 км (2 мили), длину 300 км (200 миль) и толщину до 2 метров (7 футов). Нитрат калия, KNO ₃ , иногда называемая бенгальской селитрой, встречается в Индии и других странах Восточной Азии. Азотную кислоту можно получить в лаборатории путем нагревания азотнокислой соли, такой как упомянутые выше, с концентрированной серной кислотой; Например, NaNO ₃ + H ₂ SO ₄ + тепло → NaHSO ₄ + HNO ₃ . Поскольку HNO ₃ кипит при 86 °C (187 °F), а H ₂ SO ₄ кипит при 338 °C (640 °F), NaNO ₃ и NaHSO ₄ – нелетучие соли, азотная кислота легко удаляется перегонкой.

Викторина «Британника»

Наука: правда или вымысел?

Вас увлекает физика? Устали от геологии? С помощью этих вопросов отделите научный факт от вымысла.

В промышленных масштабах азотная кислота производится по процессу Оствальда. Этот процесс включает окисление аммиака NH ₃ до оксида азота NO и дальнейшее окисление NO до диоксида азота NO _{2 9.0012, а затем превращение NO 2 в азотную кислоту (HNO 3 ). Это поточный процесс, при котором смесь аммиака и избыточного воздуха нагревается до 600–700 °C (от 1100 до 1300 °F) и проходит через платино-родиевый катализатор. (Катализатор увеличивает скорость реакции, не расходуясь при этом сам.) Когда происходит окисление до NO, эта газообразная смесь буквально горит пламенем. Добавляется дополнительный воздух для окисления NO до NO 2 . № 2 , избыток кислорода и нереакционноспособный азот из воздуха пропускают через распыляемую воду, где образуются HNO 3 и NO в виде диспропорционирования NO 2 . Газообразный NO рециркулирует в процессе с большим количеством воздуха, а жидкая HNO 3 отбирается и концентрируется. Около 7 миллиардов кг (16 миллиардов фунтов) HNO 3 ежегодно производится в Соединенных Штатах в промышленных масштабах, причем основная часть производится по процессу Оствальда.}

В чистом виде азотная кислота представляет собой бесцветную жидкость, которая кипит при 86 ° C (187 ° F) и замерзает при -42 ° C (-44 ° F). Под воздействием света или тепла он разлагается с образованием кислорода, воды и смеси оксидов азота (в основном NO ₂ ). 4HNO ₃ + свет (или тепло) → 4ΝΟ ₂ + 2H ₂ O + O ₂ Следовательно, азотная кислота часто имеет желтый или коричневый цвет из-за NO ₂ , который образуется при ее разложении. Азотная кислота стабильна в водном растворе, и 68-процентные растворы кислоты (т. е. 68 граммов HNO ₃ на 100 граммов раствора) продаются как концентрированная HNO ₃ . Это одновременно сильный окислитель и сильная кислота. Неметаллические элементы, такие как углерод (C), йод (I), фосфор (P) и сера (S), окисляются концентрированной HNO ₃ до их оксидов или оксикислот с образованием NO ₂ ; Например, S + 6HNO ₃ → H ₂ SO ₄ + 6NO ₂ + 2H ₂ O. Кроме того, многие соединения окисляются HNO ₃ . Соляная кислота, водный раствор HCl, легко окисляется концентрированной HNO ₃ до хлора Cl ₂ и диоксида хлора ClO ₂ . Царская водка («царская вода»), смесь одной части концентрированной HNO ₃ и три части концентрированной HCl, энергично реагирует с металлами. Использование этой смеси алхимиками для растворения золота задокументировано еще в 13 веке.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Действие азотной кислоты на металл обычно приводит к восстановлению кислоты (т. е. к уменьшению степени окисления азота). Продукты реакции определяют по концентрации HNO ₃ , задействованный металл (т. е. его реакционная способность) и температура. В большинстве случаев образуется смесь оксидов азота, нитратов и других продуктов восстановления. Относительно нереакционноспособные металлы, такие как медь (Cu), серебро (Ag) и свинец (Pb), восстанавливают концентрированную HNO ₃ прежде всего до NO ₂ . Реакция разбавленной HNO ₃ с медью дает NO, тогда как более активные металлы, такие как цинк (Zn) и железо (Fe), реагируют с разбавленной HNO ₃ с образованием N ₂ O. При использовании чрезвычайно разбавленной HNO ₃ может образовываться либо газообразный азот (N ₂ ), либо ион аммония (NH ₄ ⁺ ). Азотная кислота реагирует с белками, например, с белками кожи человека, с образованием желтого вещества, называемого ксантопротеином.

Нитраты, представляющие собой соли азотной кислоты, образуются при взаимодействии металлов или их оксидов, гидроксидов или карбонатов с азотной кислотой. Большинство нитратов растворимы в воде, и азотная кислота в основном используется для получения растворимых нитратов металлов. Все нитраты разлагаются при нагревании и могут происходить со взрывом. Например, когда нитрат калия (KNO ₃ ) нагревается, образуется нитрит (соединение, содержащее NO ₂ ⁻ ) и выделяется газообразный кислород. 2КНО ₃ + нагрев → 2КНО ₂ + О ₂ При нагревании нитратов тяжелых металлов образуется оксид металла, как, например, в 2Cu(NO ₃ ) ₂ + тепло → 2CuO + 4NO ₂ + O ₂ . Нитрат аммония (NH ₄ ) ₂ NO ₃ производит закись азота N ₂ O и особенно опасен для нагревания или детонации.

Азотная кислота широко используется в лаборатории и в химической промышленности как сильная кислота и как окислитель. Кислота широко используется в производстве взрывчатых веществ, красителей, пластмасс и лекарств. Нитраты ценны как удобрения. Порох представляет собой смесь нитрата калия, серы и древесного угля. Аммонал, взрывчатое вещество, представляет собой смесь аммиачной селитры и алюминиевой пудры.

Реакции солей диазония: Зандмейера и родственные реакции

Соли диазония из аминов и реакции солей диазония

Сегодня поговорим о наборе реакций ароматических аминов, которые по-разному классифицируются как «амины» и «ароматические соединения», в зависимости от учебника.

Он включает преобразование ароматической аминогруппы (NH ₂ ) в очень хорошую уходящую группу (N ₂ ), которую затем можно заменить различными нуклеофилами. Однако N ₂ представляет собой , такую ​​как , хорошую уходящую группу, так что метод хорошо работает только для ароматических аминов; алкильные («алифатические») амины склонны терять N ₂   слишком быстро , что делает метод в этом случае гораздо менее полезным.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Образование солей диазония из ароматических аминов
2. Реакции диазония Соли: Сэндмейер и другие реакции
3. Механизм: формирование диазония.
4. (Дополнительно) Ссылки и дополнительная литература

---

1. Образование солей диазония из ароматических аминов

Вот процесс. Обработка ароматического амина азотистой кислотой ( или нитритом натрия, который превращается в азотистую кислоту в присутствии кислоты ) в присутствии сильной кислоты, такой как HCl, приводит к потере H ₂ O и образованию новая тройная связь N-N. Полученный вид называется «ионом диазония»:

(Как это работает? Мы рассмотрим механизм внизу поста) 903:30 .

2. Реакции солей диазония: обзор

Так почему же это важно?

Это важно, потому что полученные соли диазония могут быть преобразованы во всевозможные полезные функциональные группы. Вместо того, чтобы описывать все словами, сначала давайте просто покажем 7 примеров на диаграмме:

Любой процесс, в котором используется один исходный материал, который может быть преобразован в семь различных потенциальных продуктов, можно с полным основанием назвать «универсальным».

Эти реакции можно условно разделить на две категории: реакции Зандмейера и все остальное.

Реакции Сандмейера

Одним из способов преобразования солей диазония является их обработка различными соединениями меди. Они известны как реакции Зандмейера в честь Трауготта Зандмейера, который впервые открыл реакцию в 1884 году (с ацетилидом меди!).

Три ключевых примера:

• CuCl превращает соли арилдиазония в арилхлориды
• CuBr превращает соли арилдиазония в арилбромиды
• CuCN превращает соли арилдиазония в арилцианиды (нитрилы).

Механизм, о котором вы можете прочитать в другом месте, вероятно, происходит через арильный радикал, который окисляется до арильного катиона, а затем атакуется нуклеофилом.

Другие реакции

Медь не требуется для замещения, если присутствует достаточно сильный нуклеофил или если смесь достаточно нагрета:

• Арилиодиды также могут быть получены из солей арилдиазония путем обработки йодидом калия (KI).
• Гидроксильные группы (ОН) могут быть установлены на соли арилдиазония путем нагревания с водой и кислотой. (ранее мы видели один пример в работе Джона Робертса по аринам, которую мы рассмотрели здесь.)
• Арил фториды  можно установить с помощью двухэтапного процесса. Первый включает замену противоиона (X ^– ) на арилдиазониевую соль ионом тетрафторбората ( BF ₄ ^– ) путем обработки диазониевой соли HBF ₄ . Тогда при нагревании фтор может действовать как нуклеофил, вытесняя N ₂ и выделяя в качестве побочного продукта BF ₃ .
• Соль диазония также может быть восстановлена ​​ до C– H путем обработки соли арилдиазония гипофосфористой кислотой (H ₃ PO ₂ ).

Не так уж и плохо из одной функциональной группы!

3. Механизм: образование ионов диазония

1. образование ионов нитрозония из HNO ₂

Теперь давайте рассмотрим, как работают некоторые из этих реакций.

Во-первых, давайте пройдем через образование соли диазония, процесс, называемый «диазотированием».

Первым ключевым реагентом для этого процесса является либо нитрит натрия (NaNO ₂ ), либо азотистая кислота (HNO ₂ ). Преимущество нитрита натрия состоит в том, что с ним легко обращаться, в то время как HNO ₂  — несколько нестабильная жидкость.

Вторым ключевым реагентом является сильная минеральная кислота, такая как HCl; если используется NaNO ₂ , HCl превращает его в HNO ₂ .

Основной целью HCl является дальнейшее преобразование HNO ₂ в мощный электрофил NO ⁺ , «ион нитрозония», который является ключевым электрофилом в реакции, в результате которой образуется соль диазония.

Ион нитрозония образуется в результате протонирования ОН и последующей потери воды:

2. Образование иона диазония

Следующим этапом является образование иона диазония в результате реакции между амином и ионом нитрозония, для которой также требуется кислота.

Как это работает?

Первая стадия – образование новой связи N–N, которое происходит в результате атаки иона нитрозония ароматическим амином (, стадия 1 ). За этим следуют два переноса протона от азота к кислороду (, шаги 2 и 3, ), сопровождающиеся реорганизацией каркаса пи-связей [с образованием N-N (pi), разрывом N-O (pi)]. Заключительный этап – образование тройной связи азот-азот, сопровождающееся вытеснением воды ( Шаг 4 ).

Будучи довольно нестабильными (и потенциально взрывоопасными), соли диазония обычно не выделяют (относительно безопасно обращаться с тетрафторборатными солями в виде твердых веществ, но это все). После образования их обычно сразу же обрабатывают соответствующим реагентом по пути к желаемому продукту.

4. Бонусная реакция: Диазосочетание

Стоит упомянуть еще одну последнюю реакцию солей диазония. Удивительно много красителей в нашем повседневном опыте являются производными диазобензол , основная структура которого представляет собой две молекулы бензола, соединенные двойной связью азот-азот. См., например, эту статью об азокрасителях . Желтый, красный и оранжевый — обычные цвета азокрасителей.

Азокрасители получают в результате реакции богатого электронами ароматического компонента с солью диазония. Только богатые электронами ароматические соединения являются достаточно хорошими нуклеофилами, чтобы атаковать соли диазония.

---

Проверьте себя!

---

(Дополнительно) Ссылки и дополнительная литература

1. Ueber die Ersetzung der Amidgruppe durch Хлор в ароматических веществах
   Bergot. 1884 17 (2), 1633-1635
   Он пытался синтезировать фенилацетилен, соединив хлорид бензолдиазония и ацетилид меди, и вместо этого получил хлорбензол.
2. Ueber die Ersetzung der Amid-gruppe durch Chlor, Brom und Cyan в ароматических веществах
   Traugott Sandmeyer
   Ber. 1884 17 (2), 2650-2653
   DOI: 10.1002/cber.188401702202
   Зандмейер обобщает реакцию, включив в нее синтез бромбензола и CuCN и CuCN.
3. Реакция Сандмейера.
   Герберт Х. Ходжсон
   Химические обзоры 1947, 40 (2), 251-277
   DOI : 10.1021/cr60126a003
   Это старый обзор, полезный, если вы хотите найти некоторые оригинальные ссылки на эту химию.
4. Über flavortische Fluorverbindungen, I.: Ein neues Verfahren zu ihrer Darstellung
   Günther Balz, Günther Schiemann
   Ber. 1927 , 60 (5), 1186-1190
   DOI : 10.1002/cber.19270600539
   . который первым описал реакцию.
5. The Mechanism of the Sandmeyer and Meerwein Reactions
   Jay K. Kochi
   Journal of the American Chemical Society 1957, 79 (11), 2942-2948
   DOI : 10.1021/ja01568a066
   Kochi был выдающимся физико-химиком-органиком в 20 ^-м -м веке. В этой статье он исследует механизм реакции Зандмейера, предоставляя дополнительные доказательства того, что она протекает через промежуточный арильный радикал.
6. Radical reactions of arenediazonium ions: An easy entry into the chemistry of the aryl radical
   Carlo Galli
   Chemical Reviews 1988, 88 (5), 765-792
   DOI : 10.1021/cr00087a004
   This обзор охватывает результаты различных исследований механизма реакции Зандмейера и родственных реакций — предполагается, что они проходят через промежуточные соединения арильных радикалов.
7. Исследование двухстадийности реакции Зандмейера
   Карло Галли
   Хим. Soc., Perkin Trans. 2 , 1981 , 1459-1461
   DOI : 10.1039/P29810001459
   Роль солей Cu в реакции Зандмейера заключается в передаче электрона промежуточному арильному катиону с образованием арильного радикала. Если это так, то другие соли и соединения металлов (например, ферроцен) должны быть способны восстанавливать соли диазония, и это рассматривается здесь.
8. Дезаминирование фосфорноватистой кислотой солей диазония в оксиде дейтерия
   Эллиот Р. Александр и Роберт Э. Бердж младший
   Журнал Американского химического общества 1950, 72 (7), 3100-3103
   DOI : 10.1021/ja01163A082 DOI : 10.1021/ja01163A082 . соли с H ₃ PO ₃ могут показаться бесполезной реакцией, в этой статье показано очень полезное применение – если вы сделаете это в D ₂ O, вы сможете получить ipso -дейтерирование!
9. Простое получение фенолов из ионов диазония путем образования и окисления арильных радикалов солями меди
   Теодор Коэн, Альберт Г. Дитц-младший, и Джейн Р. Мизер
   Журнал органической химии 1977, 42 (12), 2053-2058
   DOI : 10.1021/1043A00 39313A00 3
   A. Во введении к этой статье говорится, что превращение ионов арилдиазония в фенолы просто на бумаге, но не обязательно на практике. Для подавления побочных реакций, таких как азосочетание, требуется высокая кислотность. Использование солей Cu для этой реакции также обеспечивает более чистые реакции, более высокие выходы и упрощенную обработку.
10. Mechanism of formation of aryl fluorides from arenediazonium fluoborates
    Gardner Swain and Randall J. Rogers
    Journal of the American Chemical Society 1975, 97 (4), 799-800
    DOI : 10.1021 /ja00837a019
    Элегантное кинетическое исследование для определения механизма реакции Бальца-Шимана. Из-за нечувствительности распределения продукта к избытку BF ₃ предполагается, что фторбензол образуется путем прямого захвата из BF ₄ ^– интермедиатом Ar ⁺ , образующимся при дедиазонировании.