Рубрика: Разное

Характерная примета в задачах из области комбинаторики – вопрос в них обычно можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов: «Сколькими способами…».

Первые задачи такого типа встречались уже, например, в древней и средневековой Индии.

«О друг, назови число различных ожерелий, которые можно получить из бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов» (Махавира, IX в.). Условие этой задачи, возможно, не очень понятно; судя по решению, здесь речь идет об ожерельях, которые бы отличались не по количеству или расположению камней одного и того же типа, а по наличию тех или иных камней – например, ожерелье из бриллиантов, из бриллиантов и кораллов, из бриллиантов, изумрудов и жемчугов и т.  д.

«Повар готовит различные блюда с шестью вкусовыми оттенками: острым, горьким, вяжущим, кислым, соленым, сладким. Друг, скажи, каково число всех разновидностей» (Шридхара, IX–X вв.).

Классическими понятиями комбинаторики являются перестановки, размещения и сочетания.

Перестановкой называется какой-либо способ упорядочения данного множества. Чтобы найти число всех перестановок множества из n предметов (это число обозначается P_n, от французского permutation – перестановка) – например, число способов, которыми можно расставить n томов на книжной полке, – обычно рассуждают таким образом. Первым можно поставить любой из n предметов, вторым – любой из (n – 1) оставшихся предметов, третьим любой из (n – 2) оставшихся предметов и т. д. В результате число перестановок будет равно произведению n множителей n (n – 1) (n – 2) … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1.

Упорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется размещением из n по m. С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, нетрудно найти, что число размещений из n по m (оно обозначается , от французского arrangement – размещение) равно произведению m множителей

Наконец, неупорядоченная совокупность m предметов, выбираемых из исходных n предметов, называется сочетанием из n по m. Число сочетаний обозначается , от французского combinaison – сочетание. Поскольку одному и тому же сочетанию соответствует P_m размещений (получаемых с помощью различных перестановок одного и того же набора m элементов), число сочетаний из n по m меньше числа размещений из n по m в P_m раз:

Впервые понятия перестановки, размещения и сочетания в их взаимосвязи появились в написанной на древенееврейском языке арифметике (1321 г. ) жившего в Провансе (Юго-Восточная Франция) Льва Герсонида, или Леви бен Гершона, однако его труд не был известен большинству последующих европейских математиков. В основном элементы комбинаторики были открыты и упорядочены математиками XVII и начала XVIII вв.

Например, термин permutation – перестановка – появился в учебнике «Теория и практика арифметика» (1656 г.) у работавшего в Лувене и Антверпене (ныне Бельгия) преподавателя математики Андре Таке, учебники которого получили большое распространение в XVII–XVIII вв. Понятие размещений и равенство вновь появились только у Я. Бернулли, давшего наиболее полное изложение комбинаторики во второй части «Искусства предположений», изданного в 1713 г. спустя четыре года после смерти автора и ставшего фундаментальной работой по теории вероятностей.

А вот история сочетаний, как мы сейчас убедимся, более давняя: а именно, числа сочетаний – оказывается, ни что иное, как давно знакомые нам биномиальные коэффициенты, которые мы (вслед за Эйлером) обозначали

Дело тут вот в чем: число – это коэффициент при a^n – mb^m в разложении выражения (a + b)ⁿ. Когда бином (a + b) возводится в n-ую степень, т. е. перемножаются n выражений (a + b), множитель b^m получается из m выражений (a + b), а a^n – m – из оставшихся (n – m) таких же выражений. Коэффициент равен числу, указывающему, сколько раз произведение a^n – mb^m появляется в этом разложении, т. е. сколько раз можно выбрать m из n множителей. Слово combinaison – сочетание – употреблял уже Б. Паскаль, который, как уже было указано, уделил большое внимание свойствам биномиальных сочетаний, образующих треугольник Паскаля.

Соответственно, на числа сочетаний переносятся все уже известные свойства биномиальных коэффициентов, в частности, свойство

Это свойство можно доказать новым способом, исходя из комбинаторного смысла чисел . Сумма – это совокупное число, которым можно выбрать последовательно из n имеющихся элементов: ноль элементов (это можно сделать только одним способом), один элемент (это, разумеется, можно сделать n способами), два элемента и т.  д., наконец, n элементов (снова одним способом). Каково же это суммарное число? Обратимся к способу решения вышеприведенной задачи об ожерельях! В данном сочетании первый элемент либо присутствует, либо нет – две возможности. Независимо от первого, второй либо присутствует, либо нет – значит, для присутствия или отсутствия первого и второго четыре возможности. Независимо от первого и второго, третий может присутствовать, может не присутствовать – итого 8 возможностей и т. д. Всего получается 2ⁿ всевозможных сочетаний, где каждый элемент может присутствовать, а может и отсутствовать, вплоть до одновременного отсутствия всех n элементов (единственный возможный вариант сочетания из n по 0): правда, индийская задача как раз этот – единственный – случай и исключала: ожерелье вовсе без камней – вообще не ожерелье.

Также по-новому, исходя из комбинаторного определения сочетаний, можно доказать и свойство , гарантирующее, вместе с очевидными равенствами , что числа сочетаний можно найти с помощью треугольника Паскаля. Попробуйте!

Т. н. мультипликативное представление биномиальных коэффициентов

впервые (после Леви бен Гершона) установил парижский преподаватель математики П. Эригон (1634 г.), но широкую известность оно получило благодаря работе Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике», опубликованной в 1665 г. после смерти автора. Пожалуй, проще всего этот результат доказывается с помощью равенства . Впрочем, мы сейчас обычно записываем «мультипликативное представление» несколько иначе, с помощью знака факториала. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Факториалом 0 считается 1. Термин «факториал» впервые предложил французский математик Л. Ф. А. Арбогаст (1800 г.). Факториал числа n обозначается n! Это обозначение ввел в 1808 г. немецкий математик К. Крамп. Итак, n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n, 0! = 1. В этих обозначениях

P_n = n!,

Что касается самого слова «комбинаторика», то оно восходит к «Рассуждению о комбинаторном искусстве» двадцатилетнего Лейбница (1666 г.), которое положило начало этому разделу математики как самостоятельной науке. «Рассуждение» Лейбница содержало ряд теорем о сочетаниях и перестановках, но, кроме того, автор провозглашал весьма широкую применимость новой науки к таким разнообразным предметам, как замки, органы, силлогизмы, смешение цветов, стихосложение, логика, геометрия, военное искусство, грамматика, юриспруденция, медицина и богословие. В дальнейшем Лейбниц продолжил вынашивать грандиозный замысел комбинаторики, полагая, что, как обычная математика занимается большим и малым, единым и многим, целым и частью, так комбинаторика должна заниматься одинаковым и различным, похожим и непохожим, абсолютным и относительным местоположением. Лейбниц предвидел приложения комбинаторики к кодированию и декодированию, к играм, статистике, теории наблюдений. Следует отметить, что, хотя ныне мы понимаем комбинаторику более узко, тем не менее, предвидения Лейбница относительно развития математических теорий, относящихся к указанным предметам, ныне вовсе не выглядят такими беспочвенными, какими казались в его время.

Образовательная:

• 
  познакомить с понятием «комбинаторика»;
  
• 
  познакомить с правилами комбинаторики;
  
• 
  обеспечить в ходе урока усвоение понятия размещений, перестановок и сочетаний;
  
• 
  сформировать умения решать комбинаторные задачи.
  

• 
  воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений;
  
• 
  воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
  

• 
  развитие логического мышления посредством решения комбинаторных задач, сообразительности;
  
• 
  развитие математической речи, внимания.
  

Обучающийся должен:

знать:

• 
  определения трех важнейших понятий комбинаторики:
  

• 
  размещения из n элементов по m;
  
• 
  сочетания из n элементов по m;
  
• 
  перестановки из n элементов;
  

• 
  основные комбинаторные формулы
  

• 
  отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;
  

• 
  применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.
  

Методы обучения: 

• 
  словесно-информационный (рассказ),
  
• 
  словесно-репродуктивный(опрос),
  
• 
  практически-репродуктивный( выполнение заданий),
  
• 
  наглядно-иллюстративный .
  

Структура урока

1. 
   Организационный момент
   
2. 
   Мотивация учебной деятельности
   
3. 
   Сообщение темы и цели урока.
   
4. 
   Объяснение нового материала.
   
5. 
   Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.
   
6. 
   Домашнее задание
   
7. 
   Подведение итогов
   
8. 
   Список литературы
   

Ход урока

1. 
   Организационный момент
   

2. 
   Мотивация учебной деятельности
   

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, — погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

— Как вы думаете сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно? (учащиеся предлагают свои варианты)

— В конце урока вы узнаете кто дал правильный ответ.

3. Сообщение темы и цели урока.

Тема сегодняшнего урока «Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания». Сегодня на уроке вам предстоит рассмотреть общие правила комбинаторики, ознакомится с основными понятиями комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки), научиться решать простейшие комбинаторные задачи.

4.Объяснение нового материала.

Одним из важнейших понятий современной математики является понятие множества. Говорят о множестве учащихся в группе, о множестве букв в алфавите, о множестве изделий в упаковке и т.д.

Понятие множества относится к первоначальным, простейшим, понятиям и формально через другие более простые понятия не определяется. Оно воспринимается конкретно, посредством знакомства с различными примерами множества. Множество характеризуется объединением некоторых однородных объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются элементами множества.

Множество будем записывать, располагая его элементы в фигурных скобка {a, b, c, … , e, f}.

Во множестве порядок элементов роли не играет, так {a, b} = {b, a}.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множествоми обозначается символом ø.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В

Множество {a, b} является подмножеством множества {a, b, c, … , e, f}.

Задача: Перечислите возможные варианты подмножества множества {3, 4, 5, 7, 9}.

При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Например — парфюмерные наборы, конфеты, инструменты, спортивные команды. Задачи которые рассматривают такие соединения и находится число различных соединений, называют комбинаторными.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами». Комбинаторика возникла и развивалась одновременно с теорией вероятностей. И первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр.

Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин «комбинаторика» был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, — всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторика является важным разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества.

При большом числе возможных последствий испытания способы прямого перебора возможных вариантов малоэффективны. На помощь приходят комбинаторные методы, в основе которых лежат два следующих правила называемых соответственно правилами умножения и сложения.

ПРАВИЛО СУММИРОВАНИЯ

Если два взаимоисключающие действия могут быть выполнены в соответствии   и   способами, тогда какое-то одно из этих действий можно выполнить   способами.

Пример №1

Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23 автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В?

Решение. Проезд из А в В на поезде, самолете или автобусе являются событиями, которые не могут выполняться одновременно одним человеком (взаимоисключающими), поэтому общее количество маршрутов можно вычислить суммированием способов передвижения

N=12+13+23=38

Пример № 2

В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Конечно, n способами.

Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать?

Решение. Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k различными способами, всего N = m + k способами.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Пусть две выполняемые одно за другим действия могут быть осуществлены в соответствии   и   способами. Тогда обе они могут быть выполнены   способами.

Пример № 3

 В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места?

Решение. Первое место займет одна из 8 команд, второе — одна из 7, третье — одна из 6, так как каждая из них не может претендовать одновременно на два призовых места. Поэтому таких способов будет ровно

N=8 7 6 =336

Пример № 4

Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

Решение. Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, что m = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел 

N = m ·k = 9·10 =90.

Пример № 5

В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

Решение.  По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет N =182 + 30 = 212.

Типы соединений

Множества элементов называются соединениями.

Различают три типа соединений:

• 
  перестановки из n элементов;
  
• 
  размещения из n элементов по m;
  
• 
  сочетания из n элементов по m (m n).
  

На практике часто возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, число мест равно количеству людей, на которых мы должны разместить их. Такая ситуация встречается часто – рассадить n человек на n мест, или приписать каждому человеку номер. Первый человек может выбрать любое из n мест, второй человек выбирает из (n — 1) оставшихся мест, третий человек может выбрать из уже (n — 2) мест, …, предпоследний человек выбирает из 2 мест, последний человек получает последнее место. Мы получаем произведение всех целых чисел от n до 1.

В общем виде произведение всех целых чисел от 1 до n включительно обозначают 

n! = 1·2·3…(n – 2) · (n – 1) · n.

Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой его элементов.

Определение: Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов.

Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой элемент находится на первом месте, какой – на втором, какой- на третьем, …, какой – на n-м месте.

Перестановки можно образовывать из элементов любого конечного множества. Число перестановок из n элементов обозначают Р_n. Возьмем одноэлементное множество {a}. Ясно, что один элемент можно упорядочить единственным образом, следовательно, Р₁ = 1.

Перестановки– это такие соединения по n элементам из данных элементов, которые отличаются одно от другого порядком элементов.

Возьмем двух элементное множество {a, b}. В нем можно установить два порядка: {a, b} или {b, a}. Следовательно, число перестановок из двух элементов Р₂ = 2.

Три буквы во множестве {a, b, c} можно расположить, по порядку шестью способами: {a, b, c}{a, c, b}{b, a, c}{b, c, a}{c, b, a}{c, a, b}.

Следовательно, общее число способов упорядочения трех элементов множества

Р₃ = 3 · Р₂ = 3 · 2 · 1 = 6.

Р_n = n · (n — 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

Определение: Пусть n — натуральное число. Через n! (читается «эн факториал») обозначается число, равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n:

n! = 1 · 2 · 3 · . .. · n.

В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1.

Пример № 6

Найдем значения следующих выражений:
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6

Пример № 7

Чему равно а)Р₅ ; б) Р_3.

Решение. 

Р_n =  n! =n · (n — 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

Р₅=5! = 5 · 4 · 3 · 2 ·1 = 120

Р₃=3! = 1 · 2 · 3 = 6

Пример № 8

Упростите

а) 7! · 8 = 8!

б) 12! · 13 ·14 = 14!

в) κ! · (κ + 1) = (κ + 1)!

Пример № 9

Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?

Решение. 

n =8

Р₈=8! = 8·7·6·5 · 4 · 3 · 2 ·1 =40320

Размещения.

Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Определение. Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное множество из m элементов, состоящее из элементов n элементного множества.

Число размещений из m элементов по n обозначают  (от французского «arrangement» — «размещение») и вычисляют по формуле:

Пример № 9

Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?

Решение. 

Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество (урока) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре, то есть A₉⁴:

Пример № 10

Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать старосту и помощника старосты?

Решение.  

Имеем 24-элементное множество, элементы которого ученики класса. При выборах старосты и помощника старосты мы будем выбирать 2-элементное подмножество (ученика) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре(m=24, n=2), то есть A₂₄²:

Сочетания.

Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Определение. Сочетанием без повторений из n элементов по m -называется любое m элементное подмножество n -элементного множества

Число сочетаний из n элементов по m обозначают   (от французского «combination» — «сочетание») и вычисляют по формуле:

Пример № 11

Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать два дежурных ?

Решение.  

n =24, m=2

5.Формирование умений и навыков в решении комбинаторных задач.

При решении комбинаторных задач и выборе типа соединений важно ответить на следующие вопросы:

• 
  Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?
  
• 
  Все ли элементы входят в соединение?
  

Определить к какому типу относится соединений относится задача.

1. 
   Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
   

• 
  Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)
  
• 
  Все ли элементы входят в соединение? (да)
  

2. 
   В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
   

• 
  Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)
  
• 
  Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)
  

• 
  Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)
  
• 
  Все ли элементы входят в соединение? (нет)
  

Решить задачи:

1. 
   У нас имеется 5 книг. Известно, что у нас всего одна полка, и на ней вмещается лишь 3 книги. Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
   

• 
  Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)
  
• 
  Все ли элементы входят в соединение? (нет)
  

n =5, m=3

2. 
   Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?
   

• 
  Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (нет)
  
• 
  Все ли элементы входят в соединение? (на этот вопрос ответ не нужен)
  

n =5, m=3

3. 
   Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?
   

Решение.

• 
  Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)
  
• 
  Все ли элементы входят в соединение? (нет)
  

n =8, m=3

4. 
   Вернемся к решению задачи о музыкальном квартете
   

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, — погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

Сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно?

Решение. 

• 
  Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? ( да)
  
• 
  Все ли элементы входят в соединение? (да)
  

Р_n =  n! =n · (n — 1) · (n – 2) · … · 2 · 1

n =4

Р₄ =  4! = 4 · 3 · 2 ·1=24
Работа в группе
В результате решения заданий учащиеся ответят на вопрос: кто является автором высказывания «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле»? (русский математик, физик, механик, кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов).

Задания для групп
Первая группа

№ задания	Задания	Ответ	Буква
	Сколькими способами можно установить дежурство по одному человек в день среди семи учащихся класса в течении семи дней?
	-2168
	В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

№ задания	Задания	Ответ	Буква
	Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать
	(подсказка 0!=1)

№ задания	Задания	Буква	Ответы
	=	Й
		Н	120
	=	И	56
	Сколькими способами можно установить дежурство по одному человек в день среди семи учащихся класса в течении семи дней?	К	Перестановки
	-2168=	О	132
	В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?	Л	Размещение

№ задания	Задания	Буква	Ответы
		Р	5040
		Ы	9
	Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать	Л	Размещение
	=	О	132
	= (подсказка 0!=1)	В	720

6. Домашнее задание

Выучить конспект и формулы.

С. 143 № 7,8,9

С. 145 №1,4

С. 145 №5

7. Подведение итогов урока

• 
  Какие типы соединений вы знаете?
  
• 
  В чем отличие перестановок и размещений?
  
• 
  В чем отличие размещений и сочетаний?
  

9. 
   Список литературы
   

Рейтинг пользователей

за неделю

• за неделю
• один месяц
• три месяца

Помогай другим

Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю

См. подробности

Основные понятия комбинаторики в теории вероятностей

Элементами называются объекты, из которых составлены соединения.
Различают следующие три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.
Перестановками из n элементов называют соединения, содержащие все n элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов.

Число перестановок из n элементов находится по формуле

Pn=n!
где n! (читается “эн-факториал”) – произведение натуральных чисел от 1 до n включительно, т. е.
n! = 1*2*3*...*n
Например, P6=6!=1*2*3*4*5*6=120

Размещениями из n элементами по k в каждом (n > k) называются такие соединения, в каждое из которых входит k элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.
Число размещений из n элементов по k находят по формуле
Ank = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)
или, пользуясь факториалами,


Например,

Сочетаниями из n элементов по k (n > k) называют соединения, в каждое из которых входит k элементов, взятых из данных n элементов и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом.
Число сочетаний из n элементов по k находят по формуле

или, пользуясь факториалами,


Для упрощения вычислений при полезно использовать следующее свойство сочетаний:

Например,
Задача. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, м, р, т, ю. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной и расположенных “в одну линию” карточках можно будет прочесть слово “юрта”.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 4 карточки из 5, т. е. равно — числу размещений из 5 элементов по 4. Благоприятствует появлению слова “юрта” лишь один исход.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих появлению события, к числу всех элементарных исходов
Задача. Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком равна 0,8, а вторым стрелком 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка поразят мишень.
Решение. События А (первый стрелок поразил мишень) и В (второй стрелок поразил мишень) независимые. Искомая вероятность того, что оба стрелка поразят мишень по теореме умножения вероятностей независимых событий равна:
P(AB)=P(A)*P(B)=0. 8*0.9=0.72
Задача. Для некоторой местности среднее число ясных дней в июле равно 25. Найти вероятность того, что первые два дня июля будут ясными.
Решение. Вероятность того, что первого июля будет ясный день (событие A), равна
Вероятность того, что второго июля будет ясный день (событие B), при условии, что первого июля также был ясный день, т. е. условная вероятность события В, равна


Искомая вероятность того, что первые два дня июля будут ясными, по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна
Задача. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,9. Найти вероятность того, что относительная частота отклонится от вероятности появления события (по абсолютной величине) не более чем на 0,03.
Решение. Обозначим искомую вероятность через Р. Воспользуемся формулой

По условию: n=100, e =0,03, p=0,9, q=1-р=1-0,9=0,1. Следовательно,
По таблице найдем Ф(1)=0,3413. Искомая вероятность
P ≈ 2*0.3413 = 0.6826
При решении задач на повторные независимые испытания, в которых вероятности появления события различны, удобно пользоваться производящей функцией вероятностей (через P_n(k) обозначена вероятность того, что в n испытаниях событие появится ровно k раз).
Пусть вероятность появления события в первом испытании равна p1, во втором – p2, … , в n-м – pn.

Производящей функцией вероятностей P_n(k) называют функцию, определяемую равенством:
φn(z) = (p1z+q1)(p2z+q2)...(pnz+qn)
Пусть производят ряд испытаний, причем вероятность появления события в первом испытании равна p1, во втором – p2 и т. д. Тогда вероятность P_n(k) того, что при n испытаниях события появятся ровно k раз, равна коэффициенту z^k при разложении производящей функции по степеням z. Например, если n=2, то
φ2(z) = (p1z+q1)(p2z+q2) = p1p2z2+(p1q2+p2q1)z+q1q2
Здесь коэффициент p₁p₂ при z² равен вероятности P₂(2) того, что в двух испытаниях событие появится ровно два раза; коэффициент p₁q₂+p₂q₁ при z равен вероятности P₂(1) того, что событие появится ровно один раз; свободный член q1q2 равен вероятности P₂(0) того, что событие не появится ни одного раза.

Задача. Устройство состоит из двух независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы (за время t) первого элемента p1=0,8, а второго p2=0,9. Найти вероятности того, что за время t будут работать безотказно: а) 2 элемента, б) 1 элемент, в) ни один из элементов.
Решение. Так как вероятности безотказной работы элементов равны соответственно 0,8 и 0,9, то вероятности того, что элементы откажут равны: q1=1- 0,8=0,2; q2=1- 0,9=0,1.
Составим производящую функцию:
φ2(z) = (0.8z+0.2)(0.9z+0.1) = 0.72z2+0.26z+0.02
Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту z² при P₂(2)=0.72.
Вероятность того, что 1 элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при z: P₂(1)=0.26
Вероятность того, что ни один из элементов не будет работать безотказно, равна свободному члену: P₂(0)=0.02
Контроль: 0,72+0,26+0,02=1.

Одним из основных понятий современных теорий массового обслуживания и надежности является понятие простейшего (пуассоновского) потока.
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примеры потоков: поступление вызовов на АТС, поступление вызовов на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие кораблей в порт, последовательность отказов элементов устройства.
Простейшим называют поток, обладающий свойствами стационарности, отсутствием последействия и ординарности.
Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий за время длительностью t не зависит от начала отсчета промежутка времени, а зависит лишь от его длительности. Например, вероятности появления пяти событий на промежутках времени (1; 4), (6; 9), (8; 11) одинаковой длительности t = 3 ед. времени равны между собой.
Свойство отсутствия последействия характеризуется тем; что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, сколько событий появилось до начала рассматриваемого промежутка.
Свойство ординарности характеризуется тем, что вероятность появления двух и более событий пренебрежимо мала, сравнительно с вероятностью появления одного события.
Интенсивностью потока l называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Доказано, что если известна постоянная интенсивность потока l , то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой
.

Задача. Среднее число заявок, поступающих на АТС в 1 мин равно двум. Найти вероятности того, что за 4 мин поступит а) три вызова, б) менее трёх вызовов, в) не менее трёх вызовов.
Решение 1: По условию λ=3, t= 4, k=3. По формуле Пуассона после подстановки получим
.
Решение 2: Найдём вероятность того, что за 4 мин поступит менее трёх вызовов, т. е. ни одного вызова, или один вызов, или два вызова. Поскольку эти события не совместны, применима теорема сложения:
P₄(k<3) = P₄(0)+P₄(1)+P₄(2) ≈ 0.01
Решение 3: Найдём вероятность того, что за 4 мин поступило не менее трёх вызовов: так как события “поступило менее трёх вызовов” и “поступило не менее трёх вызовов” — противоположные, то сумма вероятностей этих событий равна единице:
P4(k<3) + P4(k≥3) = 1
Отсюда: P₄(k≥3) = 1-0. 01 = 0.99

Перейти к онлайн решению своей задачи

Задание:
10.1. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется черным.
10.2. В каждой из двух урн содержится 8 черных и 2 белых шара. Из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в первую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из первой урны, окажется черным.
10.3. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7; для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков поразит цель; б) только два стрелка поразят цель; в) все три стрелка поразят цель.
10.4. Из трёх орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один снаряд попадёт в цель; б) только два снаряда попадут в цель; в) все три снаряда попадут в цель.
10.5. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете.
10.6. Две команды по 20 спортсменов производят жеребьёвку для присвоения номеров участникам соревнований. Два брата входят в состав различных команд. Найти вероятность того, что братья будут участвовать в соревнованиях под одним и тем же номером 18.
10.7. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени каждым из стрелков равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка поразят мишень; б) оба стрелка промахнутся; в) только один стрелок поразит мишень; г) хотя бы один из стрелков поразит мишень.
10.8. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,99. Найти вероятность четырёх попаданий при пяти выстрелах.
10. 9. Из аэровокзала отправились 2 автобуса-экспресса к трапам самолётов. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса в аэропорт равна 0,95. Найти вероятность того, что: а) оба автобуса придут вовремя; б) оба автобуса опоздают; в) только один автобус прибудет вовремя; г) хотя бы один автобус прибудет вовремя.
10.10 Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,1; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,2. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщица.
11.1. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно четырём. Найти вероятность того, что за 2 мин поступит: а) 6 вызовов; б) менее шести вызовов; в) не менее шести вызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший.
11.2. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) 5 вызовов; б) менее пяти вызовов; в) более пяти вызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший.
11.3. Среднее число кораблей, заходящих в порт за 1 ч, равно трём. Найти вероятность того, что за 4 ч в порт зайдут: а) 6 кораблей; б) менее шести кораблей; в) не менее шести кораблей. Предполагается, что поток кораблей – простейший.
11.4. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 ч, равно четырём. Найти вероятность того, что за 3 ч поступит: а) 6 заявок; б) менее шести заявок; в) не менее шести заявок.
11.5. Среднее число самолётов, прибывающих в аэропорт за 1 мин, равно трём. Найти вероятность того, что за 2 мин прибудут: а) 4 самолёта; б) менее четырёх самолётов; в) не менее четырёх самолётов.
11.6. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие наступит 60 раз в 100 испытаниях.
11.7. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие появится не менее 20 и не более 30 раз.
11.8. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что событие наступит 12 раз в 100 испытаниях.
11.9. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,95 можно было ожидать отклонение относительной частоты появления события от его вероятности не более, чем на 0,04.
11.10. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Произведено 400 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более, чем на 0,09.

Разница между перестановкой и комбинацией (с примером и сравнительной таблицей)

В математике вы, возможно, неоднократно слышали понятия перестановки и комбинации, но представляли ли вы когда-нибудь, что это два разных понятия? Принципиальным отличием перестановки от комбинации является порядок предметов, в перестановке порядок предметов очень важен, т. е. расположение должно быть в оговоренном порядке количества предметов, взятых только по частям или все сразу.

В отличие от этого, в случае комбинации порядок вообще не имеет значения. Не только в математике, но и в практической жизни мы регулярно пользуемся этими двумя понятиями. Хотя мы никогда этого не замечаем. Итак, внимательно прочитайте статью, чтобы узнать, чем отличаются эти два понятия.

Содержание: перестановка и комбинация

1. Сравнительная таблица
2. Определение
3. Ключевые отличия
4. Пример
5. Вывод

Сравнительная таблица

Основание для сравнения	Перестановка	Комбинация
Значение	Перестановка относится к различным способам расположения набора объектов в последовательном порядке.	Комбинация относится к нескольким способам выбора элементов из большого набора объектов, порядок которых не имеет значения.
Заказ	Актуальный	Неактуально
Обозначает	Расположение	Выбор
Что это?	Заказные элементы	Незаказные наборы
Ответы	Сколько различных композиций можно создать из заданного набора объектов?	Сколько различных групп можно выбрать из большей группы объектов?
Производное	Множественная перестановка из одной комбинации.	Одна комбинация из одной перестановки.




Определение перестановки

Мы определяем перестановку как различные способы расположения некоторых или всех элементов множества в определенном порядке. Он подразумевает все возможные упорядочивания или перестановки данного набора в различимом порядке.

Например, Все возможные перестановки, созданные с помощью букв x, y, z –

• Если взять все три одновременно, это xyz, xzy, yxz, yzx, zxy, zyx.
• Взяв по два за раз, xy, xz, yx, yz, zx, zy.

Общее количество возможных перестановок n вещей, взятых по r за раз, можно рассчитать как:

Определение комбинации

Комбинация определяется как различные способы выбора группы путем взятия некоторых или всех элементы множества без следующего порядка.

Например, Все возможные комбинации, выбранные с буквой m, n, o –

• Если нужно выбрать три буквы из трех, то единственная комбинация – mno
• Если нужно выбрать две буквы из трех, то возможны комбинации мн, нет, ом.

Общее количество возможных комбинаций из n вещей, взятых по r за один раз, может быть рассчитано как:

Основные различия между перестановкой и комбинацией

Различия между перестановкой и комбинацией четко прочерчены на следующих основаниях:

1. Термин перестановка относится к нескольким способам расположения набора объектов в последовательном порядке. Комбинация подразумевает несколько способов выбора элементов из большого пула объектов, порядок которых не имеет значения.
2. Основным отличительным признаком между этими двумя математическими понятиями является порядок, размещение и положение, т. е. в перестановочных характеристиках, упомянутых выше, имеет значение, что не имеет значения в случае комбинации.
3. Перестановка обозначает несколько способов расположения предметов, людей, цифр, алфавитов, цветов и т. д. С другой стороны, комбинация указывает на различные способы выбора пунктов меню, еды, одежды, предметов и т. д.
4. Перестановка — это не что иное, как упорядоченная комбинация, в то время как Комбинация подразумевает неупорядоченные наборы или пары значений в рамках определенных критериев.
5. Из одной комбинации можно получить множество перестановок. И наоборот, из одной перестановки можно получить только одну комбинацию.
6. Ответы на перестановки Сколько различных композиций можно создать из заданного набора объектов? В отличие от комбинации, которая объясняет, сколько различных групп можно выбрать из большей группы объектов?

Пример

Предположим, имеется ситуация, когда необходимо узнать общее количество возможных выборок двух из трех объектов A, B, C. В этом вопросе, прежде всего, необходимо понять, вопрос связан с перестановкой или комбинацией, и единственный способ узнать это — проверить, важен ли порядок или нет.

Если порядок значим, то вопрос связан с перестановкой, и возможные выборки будут такими: AB, BA, BC, CB, AC, CA. Где AB отличается от BA, BC отличается от CB, а AC отличается от CA.

Если порядок не имеет значения, то вопрос связан с комбинацией, и возможные образцы будут AB, BC и CA.


Заключение

Из приведенного выше обсуждения становится ясно, что перестановка и комбинация — это разные термины, которые используются в математике, статистике, исследованиях и в нашей повседневной жизни. В отношении этих двух концепций следует помнить, что для данного набора объектов перестановка всегда будет выше, чем ее комбинация.

Знайте о разнице между перестановкой и комбинацией

Перестановка и комбинация являются важными частями подсчета. Подсчет чисел с помощью чистой логики сам по себе является большой задачей. Без подсчета мы не можем решить вероятностные задачи. Вот почему мы изучаем перестановки и комбинации непосредственно перед вероятностью.

 

Здесь мы увидим, как различать перестановку и комбинацию, в чем разница между комбинацией и перестановкой и разница между перестановкой и комбинацией на различных примерах.

 

Что такое перестановка?

Перестановка — это процесс выбора, в котором порядок имеет значение. Перестановку можно просто определить как количество способов упорядочить несколько или все элементы в определенном порядке. Это все о термине Перестановка.

 

Пример. Перестановки букв в небольшом наборе {a, b, c}: набор или группа n. Обычно это записывается в \[nP_k\].

 

Формула:

\[nP_{k} = \frac{n!}{(n — k)!} = \frac{n(n−1)(n−2)\ldots(n−n +1)}{(n-k)(n-k−1)(n-k−2)\ldots(n-k−n-k+1)} \]

 

Существует два типа перестановок:

1. Перестановки с повторением

При выборе r чего-либо (числа или любого элемента), имеющего n различных типов, перестановки будут следующими:

\[n \times n \times \ldots\] (r times)

(другими словами, нет возможностей для первого процесса выбора, ТОГДА нет возможностей для второго процесса выбора и т. д., и каждый раз умножается.) 9{r}\]

, где n — количество элементов для выбора (т. е. набор или сток элементов), и мы выбираем r из них, повторение разрешено, и порядок имеет значение.

2. Перестановки без повторения

Без повторения наш выбор каждый раз уменьшается.

 

Давайте возьмем самый простой и широко используемый пример:                   

Сколько различных четырехкарточных комбинаций можно составить из колоды карт?

 

В этой задаче порядок не имеет значения, так как не имеет значения, в каком порядке мы выбираем карты. Мы начинаем с четырех строк, чтобы представить нашу комбинацию из 4 карт.

 

Предполагая, что все 52 карты доступны для первого розыгрыша, поместите «52» в первый пробел. Когда вы выбираете карту, это означает, что одна карта уже выбрана, поэтому в следующем розыгрыше выбора будет на одну карту меньше. Таким образом, во втором бланке будет доступен 51 вариант. Кроме того, в следующем розыгрыше в колоде будет на две карты меньше, так что теперь есть 50 вариантов и так далее. Формула написана:

\[P\binom{n}{r} = nP_{r} = \frac{n!}{(n — k)!} \]

По формуле получаем

\[P\binom{ 52}{4} = 52P_{4} = \frac{52!}{48!} \]

, где n — количество вещей, из которых можно выбирать (т. е. набор или сток элементов), и мы выбираем r из их, никаких повторений и порядок имеет значение.

 

Что такое комбинация?

Комбинация — это способ выбора элементов из большой коллекции, при котором (несходные перестановки) порядок выбора не имеет значения. Мы можем сказать, что в меньших случаях мы сможем подсчитать количество комбинаций. Комбинация относится к комбинации n вещей, взятых k за раз без повторений. Комбинация — это выбор r вещей из набора n вещей без замены и порядок не имеет значения.

 

\[C\binom{n}{r} = nC_{r} =\frac{nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n — k)!} \]

Давайте возьмем пример и поймем это,

 

У нас есть три цифры (1,2,3), и мы хотим сделать трехзначное число, Таким образом, следующие числа, которые будут возможны, это 123, 132, 213, 231, 312, 321..

 

Комбинации дают нам простой способ вычислить, сколькими способами «1 2 3» можно расположить в определенном порядке, и мы это уже видели. Ответ:

 

3! = 3 \[\times\] 2 \[\times\] 1 = 6

 

Итак, мы перепечатываем формулу нашей Перестановки, чтобы сократить ее количество способов, которыми объекты могут располагаться по порядку (поскольку нас не интересует их закажи еще).

 

Разница между перестановкой и комбинацией с примерами

Получить разницу между перестановкой и комбинацией не слишком легко и не слишком сложно. Мы рассмотрим несколько примеров, чтобы понять разницу между ними.

Перестановки

• Расположение людей, цифр, чисел, алфавитов, букв и цветов и т. д.

• Выбор капитана команды или вратаря и конкретного из группы.

• Выбор двух любимых цветов по порядку из каталога цветов.

• Выбор победителей первого, второго и третьего призов.

 

Комбинации

• Выбор меню, еды, одежды, тематики, команды и т. д.

• Выбор трех членов команды из группы.

• Выбор двух цветов из каталога цветов.

• Только три победителя.

 

Как отличить перестановку от комбинации

Перестановки и комбинации относятся к различным способам выбора объектов из набора, как правило, без замены, для формирования подмножеств (или мы можем сказать количество подмножеств). за комплект). Этот выбор подмножеств называется перестановкой, когда порядок выбора является фактором, и комбинацией, когда порядок не является фактором. (Проще говоря, выбор подмножеств — это перестановка, а не дробный порядок выбора называется комбинацией).

 

Сходства между перестановкой и комбинацией

С точки зрения математических понятий «перестановка» и «комбинация» связаны друг с другом. Комбинация — это подсчет выборок, которые мы делаем из n объектов. Принимая во внимание, что перестановка подсчитывает количество аранжировок из n объектов.

Мы должны помнить, что Комбинации делают акцент не на порядке, расположении или размещении, а на выборе.

Как учащиеся могут повторять перестановки и комбинации в Веданту?

Vedantu — это надежная онлайн-платформа для обучения студентов, которую могут использовать все студенты абсолютно бесплатно. В нем есть соответствующий материал о перестановках и комбинациях для изучения, если кто-то узнает о разнице между перестановками и комбинациями.

На этой странице описаны основы каждого из них, а затем описаны сходства и различия. Все расписано доходчиво и простым языком. Объяснено, как происходит подбор музыки, еды, одежды и других предметов быта.


Перестановки и комбинации — довольно интересная тема, к которой нужно подходить стратегически.

Где учащиеся узнают о разнице между перестановками и комбинациями в Интернете?

Студенты могут найти то же самое на Vedantu. Эта страница очень информативна с точки зрения объяснения перестановок и комбинаций. Эта глава имеет решающее значение в математике, и если учащиеся усвоят основы этой темы, они будут хорошо подготовлены к таким темам, как вероятность и статистика позже. Студентам просто нужно войти на портал Vedantu, чтобы получить к ним доступ.

комбинаторика — Разница между перестановкой и комбинацией?

спросил 10 лет, 2 месяца назад

Изменено 6 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 75 тысяч раз

$\begingroup$

Перестановка: $$P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

Комбинация: $$C(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!r!}$$

Очевидно, вы используете комбинацию, когда порядок не имеет значения . Большой. Я вижу, как комбинация даст вам все возможные комбинации. Однако я не вижу , что именно тогда делает перестановка .

• комбинаторика
• перестановки

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Если вы видите, как работают комбинации, значит, вы почти у цели. Скажем, я хочу выбрать 3 буквы из ABCDE. Есть $C(5,3)$ способы сделать это. Но если порядок имеет значение, то некоторые вещи, которые я считал одинаковыми, теперь изменились. Выбор $ABC$ теперь генерирует $ABC,ACB,BAC,BCA,CBA,CAB$ как различных вариантов, которых раньше не было. Сколько существует различных вариантов? Ну, это количество способов, которыми я могу переставить выбранные буквы $r$, то есть $r!$. Итак, если перестановки имеют значение:

$$P(n,r)=r!\cdot C(n,r)=\frac{r!n!}{(n-r)!r!}=\frac{n!}{(n-r)! }$$

Перестановки — это количество различных упорядоченных вариантов выбора $r$ элементов из набора $n$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Я просто хочу продемонстрировать на рисунке разницу между перестановкой и комбинацией. Надеюсь, полезно для вас.

$\endgroup$

$\begingroup$ 9{th}$ один.

Перемножив все вместе, вы получите ряд возможностей: $$ n(n-1)\cdots (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!} $$

$\endgroup$

$\begingroup$

Существует некоторая путаница между этими двумя терминами.

Слово «перестановка» обычно относится к одному из трех вещей в зависимости от контекста. Это может означать порядок (расположение) множества, как в комбинаторике. Или это может относиться к расположению подмножества заданного размера, как и в комбинаторике. Или это может относиться к ОПЕРАЦИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ в пространстве такие операции, как в теории групп, что совсем другое дело.

«Комбинация» относится только к составу (электорату) подмножества без понятия порядка.

Термин «комбинации» относится к количеству подмножеств заданного размера, содержащих различные составляющие.

Комбинаторные значения обоих этих терминов остаются действительными применительно к наборам с повторяющимися элементами. Перестановка (расстановка или перестановка) может применяться к набору или подмножеству, содержащему дубликаты. Но «комбинация» обычно предполагает отдельные элементы в подмножестве, хотя исходный набор может содержать дубликаты. Конечно, если это указано, комбинация также может содержать дубликаты. Наличие дубликатов влияет на комбинаторные формулы для всех из них.

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Комбинаторика — Разница между формулами перестановки и комбинации для повторения и не

Комбинации

Формула $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n — k)!}$$ — количество способов выбрать подмножество из $k$ объектов из набора $n$ объектов, то есть количество способов сделать неупорядоченный выбор $k$ объектов из набора $n$ объектов.

Пример. Сколькими способами можно выбрать комитет из пяти человек из группы из двенадцати человек?

Решение. Поскольку порядок, в котором выбираются члены комитета, не имеет значения, количество таких комитетов равно количеству подмножеств по пять человек, которые могут быть выбраны из группы из двенадцати человек, т.е. $$\binom{12}{5}$$

Примечание. Формула $$\binom{n}{k}$$ также подсчитывает количество способов, которыми $k$ неразличимых объектов можно поместить в $n$ различных ящиков, если мы ограничены размещением одного объекта в каждом ящике. В этом случае мы выбираем подмножество из $k$ ящиков, которые будут заполнены объектом. 9k$ подсчитывает количество способов разместить $k$ различных объектов в $n$ различных ящиках, если каждый ящик может содержать не менее $k$ объектов, поскольку у нас есть выбор из $n$ ящиков для каждого из $k$ объектов.

Перестановки

Формула $$P(n, k) = \frac{n!}{(n — k)!}$$ представляет количество способов сформировать последовательность из $k$ различных объектов из набора из $n$ объектов, то есть сделать выборку $k$ объектов из набора из $n$ объектов, когда порядок имеет значение.

Пример. Сколькими способами можно выбрать президента, секретаря и казначея французского клуба с двенадцатью членами, если каждый из них занимает не более одной должности?

Раствор. Поскольку выбор Андреа в качестве президента, Брюса в качестве секретаря и Клары в качестве казначея отличается от выбора Андреа в качестве президента, Клары в качестве секретаря и Брюса в качестве казначея, порядок выбора имеет значение. Следовательно, президента можно выбрать двенадцатью способами, секретаря — одиннадцатью способами, а казначея — десятью способами. Таким образом, офисы могут быть заполнены $$12 \cdot 11 \cdot 10 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9!} = \frac{12!}{9!} = \frac{12!}{(12 — 3)!} = P(12, 3)$$ способы.

Примечание. Формула $P(n, k)$ также подсчитывает количество инъективных (однозначных) функций $$f: \{1, 2, 3, \ldots, k\} \to \{1, 2, 3, \ldots, n\}$$

Примечание. Еще одна интерпретация состоит в том, что $P(n, k)$ – это число способов распределения $k$ различных объектов по $n$ различным ящикам, если в каждый ящик можно положить только один предмет, поскольку важно, какой предмет помещен в какая коробка.

Комбинации с повторением

Формула $$\binom{k + n — 1}{n — 1} = \binom{k + n — 1}{k}$$ подсчитывает количество способов, которыми можно выбрать $k$ объектов из $n$ типов объектов, когда разрешено повторение.

Пример. Сколькими способами можно выбрать двенадцать шоколадок из шести сортов шоколада?

Раствор. Пусть $x_i$ — количество выбранных конфет типа $i$. затем $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 12$$ которое представляет собой уравнение с целыми неотрицательными числами.

Частное решение уравнения соответствует размещению пяти знаков сложения в ряд из двенадцати единиц. Например, $$1 1 1 + + 1 1 1 1 1 + 1 + 1 1 + 1$$ соответствует решению $x_1 = 3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 5$, $x_4 = 1$, $x_5 = 2$, $x_6 = 1$. Число таких решений равно $$\бином{12 + 6 — 1}{6 — 1} = \бином{17}{5}$$ так как мы должны выбрать, какие пять из семнадцати позиций, необходимых для двенадцати единиц и пяти знаков сложения, будут заполнены знаками сложения.

Примечание. Формула $$\binom{n + k — 1}{k — 1}$$ также подсчитывает количество способов поместить $k$ неразличимых предметов в $n$ различных ящиков, если каждый ящик может содержать не менее $k$ предметов.

Пример. Сколькими способами можно раздать двенадцать неразличимых карандашей шести детям?

Раствор. Пусть $x_i$ — количество карандашей, подаренных $i$-му ребенку. затем $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 12$$ Поскольку мы не обязаны давать карандаш каждому ребенку, это уравнение с целыми неотрицательными числами. Выше мы показали, что это уравнение имеет $$\бином{12 + 6 — 1}{6 — 1} = \бином{17}{5}$$ решения.

Примечание. Количество способов разместить $k$ неразличимых предметов в $n$ различных ящиках, если в каждый ящик помещен хотя бы один предмет, равно $$\binom{n — 1}{k — 1}$$

Пример. Сколькими способами можно раздать двенадцать неразличимых карандашей пятерым детям, если каждый ребенок получит хотя бы один карандаш?

Раствор. Пусть $x_i$ — количество карандашей, подаренных $i$-му ребенку. затем $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 12$$ Это уравнение с целыми положительными числами, поскольку каждый ребенок получает хотя бы один карандаш. Частное решение уравнения соответствует размещению пяти знаков сложения в одиннадцати промежутках между последовательными в ряду из двенадцати единиц. $$1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1 \квадрат 1$$ Например, $$1 1 + 1 1 1 + 1 + 1 1 1 + 1 + 1$$ соответствует решению $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 1$, $x_4 = 3$, $x_5 = 1$, $x_6 = 1$. Количество таких решений — это количество способов, которыми мы можем разместить знак сложения в пяти из одиннадцати пробелов между последовательными знаками в ряду из двенадцати единиц, т. е. $$\binom{12 — 1} {6 — 1} = \binom{11} {5}$$

GRE Math: в чем разница между комбинацией и перестановкой?

Крис Леле, , 10 августа 2016 г. , ОБНОВЛЕНО 20 апреля 2019 г., анализ данных GRE, GRE Math

Знаете ли вы разницу между перестановкой и комбинацией? Нет? Ты не одинок. Когда дело доходит до анализа данных GRE, комбинации и перестановки становятся бичом многих студентов. Тем не менее, за прошедшие годы я заметил, что проблема не столько в том, что они оба, сколько в том, какой из них использовать для конкретной проблемы: вопрос о комбинации или перестановке. Другими словами, учащимся нетрудно определить, является ли вопрос проблемой комбинаций/перестановок. Трудность заключается в том, чтобы точно знать, что это — комбинации или перестановки?

Комбинации и перестановки

Один из способов думать об этом состоит в том, чтобы думать о перестановках как о количестве аранжировок или порядков внутри фиксированной группы. Например, если у меня есть пять учеников, и я хочу выяснить, сколькими способами они могут сесть на пять стульев, я воспользуюсь формулой перестановок. Во-первых, номер в группе фиксированный. Во-вторых, я ищу, сколькими способами я могу «рассадить» учеников на пять стульев.

Комбинации , с другой стороны, полезны при выяснении того, сколько групп я могу сформировать из большего числа людей. Например, если я тренер по баскетболу и хочу узнать, сколько различных команд я могу сформировать на основе группы людей, я хочу использовать комбинации.

Чтобы убедиться, что вы понимаете это важное различие, вот три разных сценария. Ваша задача состоит не в том, чтобы решить вопрос, а в том, чтобы определить, используете ли вы комбинации или формулу перестановок для их решения.

Комбинация против перестановки: решать вам

1. У Джоан дома есть пять панно, которые она хочет раскрасить. У нее есть пять разноцветных красок, и она собирается раскрасить каждую панель в свой цвет. Сколькими способами она может раскрасить пять панелей?

2. Сколько уникальных комбинаций слова МАГУШ можно составить, перепутав буквы?

3. Семь астронавтов пытаются попасть в команду из трех человек для космического полета. Сколько разных летных групп можно сформировать?

 

Разница между комбинацией и перестановкой: ответы

1. Перестановки

Она хочет расставить цвета. Количество панелей фиксировано. Если бы она выбирала пять панелей из 8, скажем, тогда нам нужно было бы использовать комбинации.

2. Перестановки

Хорошо, это был небольшой трюк, так как я использовал слово «комбинации». Но это слово я использовал в разговорной речи, а не математически. В этом случае количество букв фиксировано. Мы просто их переставляем.

3. Комбинации

Мы выбираем группу из большей группы. Один из способов представить это так: когда вы используете слово «выбирать» в контексте выбора из группы, вы имеете дело с комбинациями. И «выбрать», и «комбинации» начинаются с буквы «С». Из этого правила есть исключение, о котором я расскажу в следующем разделе.

Разница между перестановкой и комбинацией: суть

Большая идея: если вы формируете группу из большей группы и размещение внутри меньшей группы важно, то вы хотите использовать перестановки.

Представьте, что группа из 12 спринтеров борется за золотую медаль. Во время церемонии награждения будут вручены золотая, серебряная и бронзовая медали. Сколькими способами можно раздать эти три медали?

Помните, что порядок перестановок является ключевым. Несмотря на то, что первые три места для спринтеров образуют подгруппу, большое значение имеет порядок внутри этой подгруппы, и это разница между золотой, серебряной и бронзовой медалью. Простой способ решить этот вопрос математически — представить, что черточки внизу — это подиум, на котором будет стоять каждый спринтер (хотя черточки находятся на одном уровне):

____ ____ ____
золото серебро бронза

Чтобы узнать количество различных расстановок, спросите себя, сколько спортсменов может стоять на пьедестале почета? Всего у нас 12 спортсменов. А как насчет подиума с серебряной медалью? Теперь у нас на одного спортсмена меньше, так как один уже на пьедестале почета. Таким образом, у нас всего 11 очков за серебряную медаль. Наконец, это оставляет нам 10 спортсменов для бронзовой медали.

Математика выглядит так:

12 х 11 х 10 = 1320

Вы могли заметить, что это основной принцип счета. Идея в том, что когда мы ищем общее количество результатов, мы перемножаем числа — или, в данном случае, числа, которые стоят над каждым тире — вместе. Например, если у меня есть шесть пар шорт и четыре пары футболок, и мне интересно, сколько различных комбинаций шорт и футболок я могу надеть, я хочу умножить каждую, а не умножить их:

___4_______ х _____6______ = 24
# рубашек # шорт

Я не хочу добавлять их, что дало бы мне 10, неправильный ответ, в данном случае.

Причина, по которой я упоминаю фундаментальный принцип подсчета, заключается в том, что некоторые вопросы на самом деле будут сочетать комбинации с фундаментальным принципом подсчета (хотя вы, вероятно, будете чаще использовать фундаментальный принцип подсчета с вопросами о перестановках). Чтобы дать вам представление о том, как комбинации могут проявляться вместе с фундаментальным принципом подсчета, попробуйте ответить на следующий вопрос:

В классе миссис Пирсон 4 мальчика и 5 девочек. Она должна выбрать 2 мальчиков и 2 девочек для работы в своей аттестационной комиссии. Если одна девочка и один мальчик уйдут до того, как она сможет сделать выбор, то сколько уникальных комитетов может получиться в результате приведенной выше информации?
(А) 9
(Б) 12
(В) 18
(Г) 22
(Д) 120

Первым шагом в решении этой проблемы является определение того, имеем ли мы дело с комбинациями или перестановками. Поскольку я «выбираю» из большей группы, в данном случае из двух отдельных групп, я хочу использовать комбинации. Помните: после того, как мы выбрали 2 мальчиков или 3 девочек, позиция в комитете не имеет значения. То есть либо вы в комитете, либо вне комитета (золотых медалистов здесь нет!)

Следующее, на что следует обратить внимание в этой задаче, это то, что из первоначальных 9 учеников, 2 уволенных, один мальчик и одна девочка. Итак, у нас осталось 3 мальчика и 4 девочки. Мы хотим выбрать по два. Поэтому мы должны установить одну комбинацию для мальчиков и одну для девочек.

Для мальчиков у нас 3C2, а для девочек 4C2. Это дает нам: 3C2 = 3 и 4C2 = 6
. Последним шагом является то, что после того, как мы выяснили приведенные выше комбинации, мы должны использовать фундаментальный принцип подсчета и умножить общее количество возможностей в комитете, а не складывать их: 3 х 6 = 18, ответ (С).
Многие ученики застревают на этом шаге и недоумевают, почему я не добавляю их. Это хороший вопрос, так что я хочу, чтобы вы представили, что у вас есть 3 рубашки и 3 штана. Сколько разных комбинаций рубашка-брюки вы можете надеть? Ну и к каждой рубашке есть 3 варианта штанов. Поэтому умножаем и получаем 9.

Мой совет — попробовать еще 5 или 6 задач на комбинации/перестановки, чтобы вы могли освоиться. Немного попрактиковавшись, вы сможете справиться с большинством проблем, которые ставит перед вами GRE. Даже если вы пропустили какой-то вопрос — вероятно, потому, что он очень сложный — основ в этом посте должно быть достаточно, чтобы помочь вам понять объяснение этого вопроса, чтобы вы могли правильно задать аналогичный вопрос в будущем.

 

Примечание редактора. Этот пост был первоначально опубликован в мае 2011 г. и был обновлен для обеспечения свежести, точности и полноты.

Автор

• Крис Леле

  Крис Леле — главный менеджер учебной программы (и помощник по словарному запасу) в Magoosh. Крис окончил Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе со степенью бакалавра психологии и имеет 20-летний опыт работы в индустрии подготовки к экзаменам. Его цитируют как предметного эксперта во многих публикациях, включая US News, GMAC и Business Потому что. За время работы в Magoosh Крис научил бесчисленное количество студентов уверенно сдавать экзамены GRE, GMAT, SAT, ACT, MCAT (CARS) и LSAT. Некоторые из его учеников даже получили почти идеальные оценки. Вы можете найти Криса на YouTube, LinkedIn, Twitter и Facebook!

  Просмотреть все сообщения

← Предыдущий

Следующий →

Разница между перестановками и комбинациями

Вероятность связана со шансом или возможностью того, что событие может произойти или не произойти, если существует «n» возможностей. Проще говоря, вероятность говорит нам о проценте наступления события. Вероятность может быть выражена числом от 0 до 1 или в процентах.

Событие

Событие означает результат эксперимента. Например, когда мы бросаем кубик (бросание кубика — это эксперимент), на верхней грани игрального кубика может выпасть любое число из 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Появление любого из этих цифры на кубике — это событие. Как указано выше, вероятность находится в пределах от 0 до 1. Событие, которое обязательно произойдет, имеет вероятность 1 (100%), а событие, которое вообще не может произойти, называется невозможным событием, и его вероятность равна 0,9.0005

Пространство выборки  

Пространство выборки — это набор всех возможных результатов эксперимента. В приведенном выше примере с бросанием игральной кости набор всех возможных исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) представляет собой выборочное пространство.

Другой пример — подбрасывание двух монет или подбрасывание одной монеты два раза. Здесь выборочное пространство равно (HH, HT, TH, TT). Необходимо четко понимать, что сумма вероятностей всех отдельных событий в пространстве выборки всегда равна 1.

Формула вероятности  

Самая основная формула для расчета вероятности:  

P = количество благоприятных исходов события / общее количество исходов в эксперименте.

Например, при подбрасывании двух монет мы видим, что общее количество исходов равно 4, из которых орёл выпадает 2 раза (HT, TH). Таким образом, вероятность выпадения одной решки равна P(выпадение одной решки) = 2/4 = 1/2.

Перестановки 

Перестановка – это понятие, означающее расположение заданного набора элементов в определенном порядке. Здесь важна последовательность расположения. Простой способ понять перестановку: если у нас есть какие-то объекты и мы хотим их упорядочить (неважно, какой объект вы выберете первым или последним), то сколькими способами вы можете их упорядочить. Возьмем пример,

Если взять три английских алфавита – p, q и r и мы хотим расположить их, то их можно расположить так (p, q, r), (p, r, q), (q, p, r ), (q, r, p), (r, p, q) и  (r, q, p). Возможны только эти шесть вариантов. Теперь расположение слов здесь называется Перестановкой, т.е. возможны только эти шесть перестановок.

Формула для нахождения количества перестановок

Если даны «n» элементов, из которых мы хотим упорядочить «r» элементов, то количество возможных перестановок или перестановок определяется как,  

ⁿ _r P  = n! / (н – р)!

Посмотрите на несколько примеров в конце этой статьи.

Комбинация

Комбинация – это понятие, связанное с выбором некоторых элементов из заданного набора элементов. Здесь порядок, в котором выбираются элементы, не важен. Теперь мы рассмотрим концепцию комбинирования дальше. Понятие комбинирования подразумевает выделение некоторых объектов из данных объектов. Комбинация не связана с расположением выбранных объектов.

Например, выбор 11 игроков из большого количества игроков для команды по крикету подпадает под комбинацию (вот и все, только выбор), но какой игрок будет бить первым, кто вторым и так далее, такое расположение игроков попадает под перестановку.

Формула для нахождения количества комбинаций

Если у нас есть «n» элементов, из которых мы хотим выбрать «r» элементов, то количество возможных комбинаций определяется как  

ⁿ _г С = п! / г!(п – г)!

В чем разница между комбинациями и перестановками?

Определения перестановки и комбинации приведены выше и подробно описаны. Теперь давайте посмотрим на разницу между ними:

Перестановки	Комбинации
	Комбинация означает общее количество способов, которыми мы можем выбрать некоторые элементы из заданного набора элементов.
Порядок размещения элементов очень важен.	Порядок выбора элементов не важен.
Например, при подбрасывании трех монет HHT отличается от HTH.	Комбинация HHT аналогична HTH. Порядок не имеет значения.
Перестановка может производиться с повторением или без повторения элементов.	Комбинация не связана с повторением или без повторения элементов.

Примеры задач

Вопрос 1: Сколькими способами можно расположить буквы слова СТАТЬЯ, беря по 4 буквы за раз, без повторений, чтобы образовать слова со смыслом или без?

Решение:  

Здесь из 7 букв слова СТАТЬЯ мы должны составить из любых 4 букв разные слова.

Итак, n = 7 и r = 4.  

Используя формулу перестановки ⁿ _r P = n! / (н – р)!

⁴ ₇ П = 7! / (7 – 4)!

= 7!/3!

= (7 × 6 × 5 × 4 × 3!) / 3! = 7 × 6 × 5 × 4 = 840

Таким образом, существует 840 различных способов, которыми мы можем расположить 4 буквы из 7 букв слова ARTICLE, чтобы получились разные слова.

Вопрос 2: Сколько шестизначных пин-кодов можно составить из цифр от 0 до 9, если каждый пин-код начинается с 48 и ни одна цифра не повторяется?

Решение:

Здесь расставьте 6 цифр от 0 до 9, но первые две цифры пин-кода уже определены (4 и 8).

Итак, теперь нам нужно расположить только 4 цифры из оставшихся 8 цифр (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9).

Итак, n = 8 и r = 4,  

⁸ ₄ Р = 8! / (8 – 4)!

= 8! / 4!

= (8 × 7 × 6 × 5 × 4!) / 4!

= 8 × 7 × 6 × 5

= 1680

Таким образом, можно сформировать 1680 различных перестановок, в которых могут быть сформированы 6-значные пин-коды.

Вопрос 3: Из 10 студентов выбрать 4 для поездки. Сколькими способами можно сделать выбор?

Решение:

В этом вопросе выберите 4 учеников из заданных 10. Таким образом, здесь будет использована комбинация, чтобы найти ответ.

n = 10 и r = 4,  

¹⁰ ₄ С = 10! / 4!(10 – 4)!

= 10! / 4!6!

= (10 × 9 × 8 × 7 × 6!) / (4 × 3 × 2 × 1 × 6!)

= (10 × 9 × 8 × 7)/(4 × 3 × 2 × 1)

= 210

Таким образом, существует 210 различных способов выбрать 4 учеников из 10.

Вопрос 4: В мешке находятся 3 красных, 5 черных , и 4 синих шара. Сколькими способами можно вынуть три шара так, чтобы вынуть все цвета?

Решение:

Возьмите по три шара каждого цвета. Порядок извлечения шаров не имеет значения. Так что используйте комбинацию, чтобы найти ответ.

Равносильности алгебры логики: Равносильные формулы алгебры высказываний / Алгебра логики [Г.И. Просветов, Е.А. Фоминых, Ф.Г. Кораблёв] / 3dstroyproekt.ru

alexxlab / 12.02.197117.09.2022 / Разное

Равносильные формулы алгебры высказываний / Алгебра логики [Г.И. Просветов, Е.А. Фоминых, Ф.Г. Кораблёв] / 3dstroyproekt.ru

Две формулы алгебры высказываний $A$ и $B$ называются равносильными или эквивалентными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.

Равносильность формул будем обозначать знаком $\equiv$, а запись $A\equiv B$ означает, что формулы $A$ и $B$ равносильны.

Например, равносильны формулы:

$\overline { \overline { X } } \equiv X$,

$X\vee X\equiv X$,

Тождественно истинная формула

Формула $A$ называется тождественно истинной { или тавтологией } , если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных.

Например, тожественно истинны формулы $X\vee \overline { X } $, $X\rightarrow (Y\rightarrow X)$

Тождественно ложная формула

Формула $A$ называется тождественно ложной { или противоречием } , если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее высказываний.

Например, тождественно ложна формула $X\wedge \overline { X } $

Выполнимая формула

Формула $A$ называется выполнимой, если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее высказываний.

Например, выполнима формула $X\vee \overline { X } $

Ясно, что отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Группы равносильностей

Между понятиями равносильности и операцией $\leftrightarrow$ существует следующая связь: если формулы $A$ и $B$ равносильны, то формула $A\leftrightarrow B$ — тавтология, и обратно, если формула $A\leftrightarrow B$ — тавтология, то формулы $A$ и $B$ равносильны.

Важнейшие равносильности алгебры высказываний можно разбить на следующие группы.

Равносильности алгебры Буля

Закон двойного отрицания: $\overline { \overline { X } } \equiv X$

Коммутативность: $X\wedge Y\equiv Y\wedge X$; $X\vee Y\equiv Y\vee X$

Ассоциативность: $X\wedge (Y\wedge Z)\equiv (X\wedge Y)\wedge Z$; $X\vee (Y\vee Z)\equiv (X\vee Y)\vee Z$

Дистрибутивность $\wedge$ относительно $\vee$: $X\wedge (Y\vee Z)\equiv (X\wedge Y)\vee (X\wedge Z)$; $(X\vee Y)\wedge Z\equiv (X\wedge Z)\vee (Y\wedge Z)$

Дистрибутивность $\vee $ относительно $\wedge $: $X\vee (Y\wedge Z)\equiv (X\vee Y)\wedge (X\vee Z)$; $(X\wedge Y)\vee Z\equiv (X\vee Z)\wedge (Y\vee Z)$

Законы де Моргана: $\overline { X\wedge Y } \equiv \overline { X } \vee \overline { Y } $; $\overline { X\vee Y } \equiv \overline { X } \wedge \overline { Y } $

Законы поглощения: $X\wedge (Y\vee X)\equiv X$; $X\vee (Y\wedge X)\equiv X$

Законы идемпотентности: $X\wedge X\equiv X$; $X\vee X\equiv X$

Свойства констант: $X\wedge 1\equiv X$; $X\vee 1\equiv 1$; $X\wedge 0\equiv 0$; $X\vee 0\equiv X$

Закон противоречия: $X\wedge \overline { X } \equiv 0$

Закон исключения третьего: $X\vee \overline { X } \equiv 1$

Равносильности, выражающие одни логические операции через другие

$X\leftrightarrow Y\equiv (X\rightarrow Y)\wedge (Y\rightarrow X)$

$X\leftrightarrow Y\equiv (\overline { X } \vee Y)\wedge (\overline { Y } \vee X)$

$X\leftrightarrow Y\equiv (X\wedge Y)\wedge (\overline { Y } \wedge \overline { X } )$

$X\rightarrow Y\equiv \overline { X } \vee Y$

$X\wedge Y\equiv \overline { \overline { X } \vee \overline { Y } } $

$X\vee Y\equiv \overline { \overline { X } \wedge \overline { Y } } $

$X | Y\equiv \overline { X\cdot Y } $

$X \downarrow Y\equiv \overline { X\vee Y } $

$X \rightarrow Y\equiv \overline { X } \vee Y$

$X \bigoplus Y\equiv (X \cdot \bar { Y } )\vee (\bar { X } \cdot Y)$

$X \sim Y\equiv \overline { X \bigoplus Y } \equiv (XY)\vee (\bar { X } \bar { Y } )$

Далее:

Вычисление двойного интеграла

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл

Теорема об аналоге СДНФ в Pk

Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай

СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице

Класс M. Теорема о замкнутости класса M

Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Логические операции над высказываниями

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Равносильные формулы алгебры высказываний

Несобственные интегралы от неограниченной функции

Полином Жегалкина. Пример.

Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Определение криволинейного интеграла второго рода

Огравление $\Rightarrow $

04 сентября 2016, 13:38    проектирование км, кмд, кж Алгебра логики [Г. И. Просветов, Е.А. Фоминых, Ф.Г. Кораблёв] 0    21960 0

1. Основные равносильности.

законы идемпотентности.

— закон противоречия

— закон исключенного третьего

— закон снятия двойного отрицания

законы поглощения

2. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

1. 4..

2. . 5..

3. . 6..

Здесь 3, 4, 5, 6 – законы Моргана.

Ясно, что равносильности 5 и 6 получаются из равносильностей 3 и 4, соответственно, если от обеих частей последних взять отрицания и воспользоваться законом снятия двойного отрицания.

Таким образом, в доказательстве нуждаются первые четыре равносильности. Докажем одну из них : первую .

Так как при одинаковых логических значениях x и y истинными являются формулы , то истинной будет и конъюнкция. Следовательно, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.

Пусть теперь x и y имеют различные логические значения. Тогда будут ложными эквивалентность и одна из двух импликацийили. Но при этом будет ложной и конъюнкция.

Таким образом, и в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые логические значения.

Аналогично доказываются равносильности 2 и 4.

Из равносительностей этой группы следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.

Дальнейшее исключение логических операций невозможно. Так, если мы будем использовать только конъюнкцию, то уже такая формула как отрицание не может быть выражена с помощью операции конъюнкции.

Однако существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из пяти логических операций, которыми мы пользуемся. Такой операцией является, например, операция “Штрих Шеффера”. Эта операция обозначается символом  и определяется следующей таблицей истинности:

x	y	xy
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1




3. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

1. — коммутативность конъюнкции.

2. — коммутативность дизъюнкции.

3. — ассоциативность конъюнкции.

4. — ассоциативность дизъюнкции.

5. — дистрибутивность конъюнкции относительно

дизъюнкции.

6. — дистрибутивность дизъюнкции относительно

конъюнкции.

4. Дополнительные законы.

1. Закон склеивания (расщепления).

, ;

, .

2. Законы поглощения.

; .

3. Закон Блейка- Порецкого.

.

4. Закон свертки логического выражения (СЛВ).

.

5. Закон двойственности.

Определение.

Формулы А и А^*называются двойственными, если формула А^*получается из формулы А путем замены в ней каждой операции на двойственную.

Имеет место следующий закон двойственности: если формулы А и В равносильны, то равносильны и им двойственные формулы, т. е. А^*В^*.

Равносильные преобразования формул.

Используя равносильности, приведенные в §4, можно часть формулы или всю формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными. (Аналог тождественным преобразованиям в арифметике, алгебре и тригонометрии).

Равносильные преобразования используются для доказательства равносильностей, для приведения формул к заданному виду, для упрощения формул.

Формула А считается проще равносильной ей формулы В, если она содержит меньше букв, меньше логических операций. При этом обычно операции эквивалентность и импликация заменяются операциями дизъюнкция и конъюнкция, а отрицание относят к элементарным высказываниям.

Для удобства использования и ссылок при проведении равносильных преобразований перечень наиболее часто употребляемых равносильностей (законов логических операций над высказываниями) можно свести в единую таблицу (см. следующий лист), в которой рассмотренные выше равносильности даны в сквозной нумерации.

При проведении равносильных преобразований каждый шаг основывается на использовании того или иного закона. Номер соответствующей формулы (из общей таблицы) мы будем указывать над знаком равносильности, предшествующим очередному шагу.

Рассмотрим ряд примеров равносильных преобразований.

Пример 1. Доказать равносильность .

6-10.

Нормальные формы функций.

При решении ряда задач, связанных с использованием формул алгебры высказываний, важную роль играют формулы, построенные особым образом из высказывательных переменных с помощью только операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания и называемые ДИЗЪЮНКТИВНЫМИ и КОНЪЮНКТИВНЫМИ НОРМАЛЬНЫМИ ФОРМАМИ (ДНФ и КНФ).

8.1 Элементарные дизъюнкции и конъюнкции.

Пусть задана система высказывательных переменных

(x₁,x₂,…,x_n). (1)

Элементарной дизъюнкцией высказывательных переменных из системы (1) называется дизъюнкция некоторых высказывательных переменных этой системы или их отрицаний.

ЭЛЕМЕНТАРНОЙ КОНЪЮНКЦИЕЙ называется конъюнкция некоторых высказывательных переменных этой системы или их отрицаний.

Если в элементарную дизъюнкцию (конъюнкцию) входит каждое высказывательное переменное из системы (1) (с отрицанием или без него) и притом только один раз, то она называется ПОЛНОЙ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ДИЗЪЮНКЦИЕЙ (КОНЪЮНКЦИЕЙ).

Из “n” высказывательных переменных можно образовать 2ⁿ всевозможных неэквивалентных полных элементарных дизъюнкций и столько же полных элементарных конъюнкций. Каждая полная элементарная дизъюнкция  только для одного варианта значений высказывательных переменных системы (1) принимает значение, равное нулю, а именно – когда каждое высказывательное переменное x_i, не находящееся в  под знаком отрицания, равно нулю, а каждое отрицательное – единице.

Систему значений высказывательных переменных, для которой данная полная элементарная дизъюнкция принимает значение, равное нулю, назовем нулем этой полной элементарной дизъюнкции.

Так, нулями элементарных дизъюнкций (2) являются: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1).

Если обратиться к полным элементарным конъюнкциям, то можно обнаружить, что каждая из них только один раз принимает значение, равное единице – когда неотрицаемое переменное равно единице, а отрицаемое – нулю. Такую систему значений высказывательных переменных назовем ЕДИНИЦЕЙ соответствующей ПОЛНОЙ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ КОНЪЮНКЦИИ.

3. Равносильные формулы алгебры логики

Формула Хназываетсятождественно истинной (или тавтологией),если она превращается в истинное высказывание, то есть принимает значение 1, при всех наборах значений входящих в нее переменных. Тавтологии представляют собой схемы построения истинных высказываний, независимо от содержания и истинности составляющих элементарных высказываний.

Формула Хназываетсятождественно ложной,если она принимает значение 0 при всех наборах значений входящих в нее переменных.

Две формулы алгебры логики XиYназываютсярав­носильными, если при любых значениях входящих в них высказывательных переменных логические значения высказываний, получающихся из формулXиY, совпадают. Для указания равносильности формул использу­ют обозначение.

Существует тесная связь между понятием равно­сильности формул и понятием тавтологии.

Признак равносильности формул.Две формулыXиYалгебры высказываний равносильны тогда и только тогда, когда формулаявляется тавто­логией, и обратно, если формула– тавтология, то формулыXиYравносильны.

Отношение равносильности между формулами алгебры высказываний:

а) рефлексивно: ;

б) симметрично: если , то ;

в) транзитивно: если и, то.

3.2 Примеры равносильных формул.Равносильности формул алгебры логики часто называютзаконами логики.

Вот наиболее важные из них:

1. –закон тождества.

2. –закон противоречия.

3. –закон исключенного третьего.

4. –закон двойного отрицания.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. ; – законы идемпотентности.

10. ; – законы поглощения.

11. ; – законы склеивания.

12. законы коммутативности (переместительности):

–коммутативность конъюнкции;

–коммутативность дизъюнкции.

13. законы ассоциативности (сочетательности):

–ассоциативность конъюнкции;

–ассоциативность дизъюнкции.

14. законы дистрибутивности (распределительности):

–дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

–дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

15. ; – законы де Моргана.

Доказать эти равносильности можно, например, с помощью таблиц истинности.

Пример.

Докажем равносильность – закон де Моргана. При любых комбинациях значений, от которых зависят формулыXиY, эти формулы принимают некоторые логические значения. Всего будет четыре способа распределения логических значенийXиY. Надо показать, что в каждом из этих случаев значения левой и правой части равносильностисовпадают.

X	Y
0	0		1	1	0	1	1
0	1		1	0	0	1	1
1	0		0	1	0	1	1
1	1		0	0	1	0	0

Логические значения в последних двух столбцах совпадают, следовательно, закон де Моргана справедлив.

Имеют место равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

Импликация выражается через:

16. –дизъюнкцию и отрицание;

17. –конъюнкцию и отрицание.

Эквиваленциявыражается через:

18. –конъюнкцию и импликацию;

19. –конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание;

20. –конъюнкцию и отрицание.

Из этих равносильностей следует вывод, что любую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, которая будет содержать только две логические операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание. Дальнейшее исключение логических операций невозможно.

Существует логическая операция, через которую можно выразить любую из пяти логических операций, которыми мы пользуемся: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Эта операция называется «штрих Шеффера», обозначается символом и определяется таблицей истинности

X	Y
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

Согласно таблице, имеем: ;.

Тема 2 Формулы алгебры логики

2.1 Равносильные формулы алгебры логики

2.2 Законы алгебры логики

Как и в элементарной математике из «элементарных» булевых функций с помощью логических операций можно строить формулы. В настоящем разделе изучаются формулы алгебры логики.

2.1 Равносильные формулы алгебры логики. Приведем определение формулы алгебры логики.

1) каждая «элементарная» булева функция – формула;

2) если некоторое выражение N есть формула, то тоже формула;

3) если некоторые выражения M и N есть формулы, то выражения , , , тоже формулы;

4) других формул, кроме построенных по п. п.1), 2), 3), нет.

Формулы алгебры логики мы будет обозначать большими N, M, … Например, следующие выражения являются формулами алгебры логики:

, .

С целью упрощения формул, условимся, что операция конъюнкции «сильнее» операции дизъюнкции, импликации и эквивалентности, т. е. если нет скобок, то вначале выполняется операция конъюнкции.

Формула алгебры логики определяет некоторую булеву функцию, значение которой совпадает со значениями данной формулы для всех наборов значений переменных.

Две формулы N и M называются Равносильными, если они определяют одну и ту же булеву функцию (запись N=M будет означать, что формулы N и M равносильны).

Пример 1. Формулы и равносильны, т. е. .

Действительно, построим таблицы истинности для данных формул.

0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Из таблицы видно, что формулы и определяют одну и ту же булеву функцию и, следовательно, являются равносильными.

Очевидно, что отношение равносильности формул алгебры логики является:

1. рефлексивным, т. е. N=N для любой формулы N;

2. симметричным, т. е. если N=M, то M=N для любых формул N и M;

3. транзитивным, т. е. если N=M и M=J, то N=J для любых формул N, M,J.

Таким образом, отношение равносильности является отношением эквивалентности.

Если какую-нибудь формулу N1, являющуюся частью формулы N заменить формулой N2, равносильной N1, то полученная формула окажется равносильной N. Это свойство лежит в основе преобразования формул с целью их упрощения или приведения к определенной форме.

При преобразовании формул алгебры логики используются свойства логических операций, которые будут рассмотрены ниже.

2.2 Законы алгебры логики. Приведем перечень важнейших равносильностей (законов) алгебры логики. Эти равносильности выражают свойства логических операций.

1. — закон тождества;

2. — закон противоречия;

3. — закон исключительного третьего;

4. — закон двойного отрицания;

5. , — законы идемпотентности;

6. , — законы коммутативности;

7. , — законы дистрибутивности;

8. , — законы ассоциативности;

9. , — законы де Моргана;

10. ,

11. ,

12. , — законы поглощения;

13. , — законы склеивания.

Перечисленные законы алгебры логики доказываются с помощью таблицы истинности. В качестве примера докажем справедливость закона .

0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Из таблицы видно, что формулы и определяют одну и ту же булеву функцию. Следовательно, они равносильны.

Логические операции – конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность, вообще говоря, не являются независимыми друг от друга. В самом деле,

,

,

Первые две равносильности легко доказываются с помощью таблиц истинности. Две последние равносильности докажем с помощью законов де Моргана и двойного отрицания:

; .

Итак, справедливы следующие утверждения:

1) импликацию и эквивалентность можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание;

2) конъюнкцию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание;

3) дизъюнкцию можно выразить через конъюнкцию и отрицание;

4) все операции посредством равносильных выражений можно заменить двумя: конъюнкцией и отрицанием или дизъюнкцией и отрицанием.

Естественно возникает следующий вопрос. Для чего вводить пять логических операций, когда можно обойтись двумя? Использование лишь двух операций существенным образом усложнило бы запись, что привело бы к громоздким формулам. Однако в некоторых приложениях математической логики удобно ограничиться двумя операциями. Аналогичная ситуация имеет место в арифметике. Всякое натуральное число можно записать с помощью цифр 0 и 1. Однако записи чисел и выкладки в двоичной системе громоздки. К этой системе прибегают лишь в некоторых случаях.

Множество булевых функций, рассматриваемое вместе с операциями отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, называют Булевой алгеброй. Законы 1-13 являются Основными законами булевой алгебры.

Обратим внимание на характер соответствий между равносильностями, объединенными в пару под номерами (5-13). В этих соответствиях проявляется так называемый закон двойственности.

Назовем формулу алгебры логики Двойственной к формуле , если =.

Будем говорить, что операция конъюнкции двойственна операции дизъюнкции и наоборот.

Как показано в пункте 2.2, всякая формула алгебры логики может быть приведена равносильными преобразованиями к формуле, содержащей только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Поэтому, учитывая законы де Моргана и двойного отрицания, две формулы алгебры логики N и M, содержащие только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, будут двойственными, если одна получается из другой заменой каждой операции на двойственную и 1 заменяется на 0, а 0 на 1.

Например, формула двойственная к формуле , а формула двойственная к формуле .

Теперь сформулируем закон двойственности.

Теорема 2. Если формулы алгебры логики N и M равносильны, то и двойственные им формулы N* и M* равносильны.

Докажем данный закон. Пусть N(X1,X2,…,XN) = M(X1,X2,…,XN). Согласно определению двойственной формулы

и .

Так как N(X1,X2,…,XN) и M(X1,X2,…,XN) принимают одинаковые значения при любых значениях переменных X1,X2,…,XN, то

=.

Отсюда следует, что

.

Так как формулы и равносильны соответственно формулам и , то они равносильны между собой.

Принцип двойственности позволяет сократить усилие на вывод равносильностей.

Пример 2. Из равносильности вытекает равносильность . Из равносильности вытекает равносильность .




< Предыдущая		Следующая >

Классификация формул алгебры логики. Законы логики.

Классификация формул алгебры логики. Законы логики.

.

Определение. Две формулы алгебры логики A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний (переменных).

Обозначение. A≡B.

Пример.

.

Определение. Формула A называется тождественно истинной (тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных (напр. , ).

Определение. Формула A называется тождественно ложной (противоречием), если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных (напр., ).

Утверждение. Отношение равносильности рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Связь между понятиями равносильности и эквивалентности: если формулы A и B равносильны, то формула A↔B тавтология, и обратно, если формула A↔B тавтология, то формулы A и B равносильны.

Равносильности алгебры логики можно разбить на 3 группы:

1.     Основные равносильности.

·         – законы идемпотентности;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·         – закон противоречия;

·         – закон исключенного третьего;

·         – закон снятия двойного отрицания;

·         – законы поглощения.

2.     Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        ;

·        .

Замечание. Из равносильностей группы 2 следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание, или дизъюнкцию и отрицание. Дальнейшее исключение операций невозможно. Например, если использовать только конъюнкцию, то уже такая простая формула, как  не может быть выражена с помощью операции конъюнкции.

Существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из 5 логических операций:

1)     Связка Шеффера – дизъюнкция отрицаний.

Обозначение. x|y≡ («x не совместно с y»).

Логические значения связки Шеффера описываются следующей таблицей истинности:

x	y	x|y
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

Имеют место следующие равносильности: а) ; б) .

2)     Стрелка Пирса – конъюнкция отрицаний.

Обозначение.  x↓y≡ («ни x, ни y»).

Логические значения стрелки Пирса описываются следующей таблицей истинности:

x	y	x↓y
1	1	0
1	0	0
0	1	0
0	0	1

 

3.     Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:

·         – коммутативность конъюнкции;

·         – коммутативность дизъюнкции;

·         – ассоциативность конъюнкции;

·         – ассоциативность дизъюнкции;

·         – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

·         – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

Замечание. Равносильности группы 3 показывают, что над формулами алгебры логики можно проводить те же преобразования, что и в алгебре чисел.

2

«Алгебра логики». Использование мобильных приложений на уроке информатики

Дисциплина: Информатика.

Цели урока:

Образовательные:

• закрепить знания учащихся по теме «Алгебра логики: основные законы алгебры логики»;
• дать учащимся представление о подходах к пониманию алгебры высказываний;

Воспитательные:

• воспитание самостоятельности, коммуникабельности, формирование понимания значения логики в современном информационном мире;
• сочетание индивидуальной и коллективной работы;
• ответственность за выполнение домашнего задания;

Развивающие:

• развитие познавательного интереса учащихся;
• памяти; внимания; развитие способности применять усвоенные теоретические знания в практической работе;
• развить логическое мышление;
• сформировать практические умения решать логические задачи.

Тип урока: Комбинированный урок.

Межпредметные связи: математика.

Оборудование урока: ПК, мультимедийное оборудование, презентация к уроку на тему «Алгебра логики: таблицы истинности и основные законы алгебры логики», раздаточный материал – карточки с заданиями, электронные таблицы Microsoft Excel, мобильное приложение «Сканер» и «Logic Calculator».

Ход урока

I. Теоретический этап

Доброе утро, ребята! На прошлых уроках мы изучили тему «Алгебра логики», на которых познакомились с определениями логика и логическое высказывание и основными логическими операциями, которые задаются таблицами истинности. А также узнали, что в алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Давайте вспомним и повторим материал прошлых уроков? (Повторение пройдённого материала по предыдущей теме проводится в виде кроссворда, вопросы которого зашифрованы в QR-кодах и распечатаны на карточках (Приложение 1, Приложение 2, Приложение 3), для расшифровки, которых необходимо воспользоваться смартфоном с установленным приложением «Сканер QR-кодов». Кроссворд также выведен на экран (Слайд 2)).

1. Проведение интерактивной беседы

Интерактивная беседа сопровождается презентацией, содержащей теоретическое описание и иллюстративное отображение изучаемой темы, каждый элемент которых является обобщением или подтверждением некоторого этапа обсуждения, отдельных элементов выполнения решения, обучающихся под руководством преподавателя.

2. Постановка цели и задач урока

Скажите, пожалуйста, для чего нужна логика? Связана ли алгебра логики с появлением первого персонального компьютера? (Студенты должны ответить)

Поначалу алгебра логики не имела никакого практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор). Хотя это не единственная сфера применения данной науки.

Во-первых, для получения представления об устройстве компьютера необходимо познакомиться с основными логическими элементами, лежащими в основе его построения. Теперь мы можем сформулировать цель нашего урока: (Для понимания принципа работы таких элементов нужно изучить основные начальные понятия алгебры логики).

Во-вторых, важной составляющей алгоритмов являются логические условия. Вычисление и построение, которых осуществляется в соответствии с законами алгебры логики.

В-третьих, человек с древних времен стремился познать законы правильного мышления, т. е. логические законы. Законы развития есть у природы, общества, любой сложной системы и, конечно же, у самого мышления. Существует даже мнение, что всякое движение нашей мысли, постигающей истину, добро и красоту, опирается на логические законы. Познание истины – одна из важнейших потребностей человека. Каждый человек и человечество в целом стремятся к истине, добру и красоте. Все люди нуждаются в истинном знании, получении новой информации о мире, в котором они живут. Для чего? Для того, чтобы жить, что в данном случае означает ориентироваться в быстро меняющейся обстановке, принимать правильные решения и на их основе совершать правильные действия.

Таким образом, сегодня на уроке мы вспомним понятия основных логических операций и закрепим эти понятия на основе построения таблиц истинности по логическим выражениям с использованием компьютера и мобильного приложения.

3. Объяснение теоретического материала

В кроссворде мы с вами встретили два имени знаменитых математиков и логиков, которые внесли большой вклад в развитие математической логики. Сейчас я расскажу о них подробнее.

(Слайд 4) Джордж Буль (англ. George Boole; 2 ноября 1815 – 8 декабря 1864) – английский математик и логик. Профессор математики Королевского колледжа Корка с 1849 года. Один из основателей математической логики.

Джордж Буль родился и вырос в семье небогатого ремесленника Джона Буля, увлечённого наукой. Отец, интересуясь математикой и логикой, дал первые уроки своему сыну, но тот не сумел рано обнаружить свои выдающиеся таланты в точных науках, и его первым увлечением стали классические авторы.

Лишь к семнадцати годам Буль дошёл до высшей математики, продвигаясь медленно из-за отсутствия действенной помощи.

С шестнадцати лет Буль начал работать помощником учителя в частной школе в Донкастере и, так или иначе, продолжал преподавание на разных должностях в течение всей жизни. Он был женат (с 1855 г.) на Мэри Эверест (з. Эверест-Буль), племяннице знаменитого географа Джорджа Эвереста, также занимавшейся наукой и преподаванием, а после смерти мужа много сил уделившей популяризации его вклада в логику.

Четыре их дочери снискали известность как учёные (геометр Алисия, химик Люси), или члены учёных семей (Мэри, жена математика и писателя Ч.Г.Хинтона, и Маргарет, мать математика Дж. И. Тейлора), а пятая – Этель Лилиан Войнич – прославилась как писатель.

Буль умер на пятидесятом году жизни от воспаления лёгких.

Огастес (Август) де Мо́рган (англ. Augustus de Morgan, 27 июня 1806 – 8 марта 1871) – шотландский математик и логик, профессор математики в Университетском колледже Лондона. Первый президент (1866) Лондонского математического общества.

Основные труды: по математической логике и теории рядов; к своим идеям в алгебре логики Огастес де Мо́рган пришёл независимо от Дж. Буля. В 1847 изложил элементы логики высказываний и логики классов, дал первую развитую систему алгебры отношений. С его именем связаны известные теоретико-множественные соотношения (законы де Моргана).

Законы де Мо́ргана (законы общей инверсии для логического сложения и для логического умножения) – логические правила, связывающие пары логических операций при помощи логического отрицания. И звучат так:

(Слайд 5-6) Общая инверсия двух логических слагаемых равносильна логическому умножению инвертированных переменных:

(A ˅ B) = A &B

Общая инверсия двух логических сомножителей равносильна логическому сложению инвертированных переменных:

(A & B) = A ˅B

Диаграммы Венна, описывающие законы де Моргана представлены на рисунках 1 и 2:

II. Практический этап

Практическое задание №1

В электронных таблицах доказать справедливость первого (A ˅ B) = A &B и второго (A & B) = A ˅ B законов де Моргана (Слайд 7), используя таблицы истинности (рис.3).

Рис.3

Далее студентам необходимо воспользоваться мобильным приложением Logic Calculator и доказать справедливость первого (A ˅ B) = A &B и второго (A & B) = A ˅ B законов де Моргана, используя приложение Logic Calculator.

1. (A ˅ B) = A &B

2. (A & B) = A ˅ B

Практическое задание №2

В мобильном приложении Logic Calculator построить таблицу истинности логического выражения: (A ˅ B) & (A ˅ B). Ответ записать в тетради.

Практическое задание №3

В мобильном приложении Logic Calculator построить таблицу истинности логического выражения: A & (B ˅ B &C). Ответ записать в тетради.

III. Заключительный этап

1. Сообщение о достижении целей урока.
2. Оценка работы обучающихся, комментарии.
3. Выдача домашнего задания. (Доказать с использованием приложения Logic Calculator равносильность выражений (A ˅ B ˅ C) & (A ˅ B ˅ C) и (B &A & C)

2.5: Логические эквивалентности — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

23239

• Harris Kwong
• Государственный университет Нью-Йорка во Фредонии через OpenSUNY

Тавтология и противоречие

Определение

Тавтология — это предложение, которое всегда истинно, независимо от значений истинности содержащихся в нем пропозициональных переменных.

Определение

Предложение, которое всегда ложно, называется противоречием .

 Предложение, которое не является ни тавтологией, ни противоречием, называется случайностью . Термин случайность не так широко используется, как термины тавтология и противоречие.

Пример \(\PageIndex{1}\label{eg:logiceq-01}\)

Из следующей таблицы истинности \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline p & \overline{p} & p \vee \overline{p} & p \wedge \overline{p} \\ \hline \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{F} \\ \hline \end{array}\] получаем, что \(p\vee\overline{p}\ ) — тавтология, а \(p\wedge\overline{p}\) — противоречие.

На словах \(p\vee\overline{p}\) говорит, что либо утверждение \(p\), либо утверждение \(\overline{p}\) истинно (то есть \( р\) неверно). Это утверждение всегда верно.

Составное утверждение \(p\wedge\overline{p}\) утверждает, что \(p\) истинно, и в то же время \(\overline{p}\) также истинно (что означает \( р\) неверно). Это явно невозможно. Следовательно, \(p\wedge \overline{p}\) должно быть ложным.

 

Пример \(\PageIndex{2}\label{eg:logiceq-02}\)

Показать, что \((p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\overline{q} \Rightarrow \overline{p} )\) — тавтология.

Ответить

Мы можем использовать таблицу истинности для проверки утверждения. \[\begin{array}{|*{7}{c|}} \hline p & q & p\Rightarrow q & \overline{q} & \overline{p} & \overline{q}\Rightarrow\overline {p} & (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\overline{q} \Rightarrow \overline{p}) \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text {T} &  \text{T} & \text{F} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{ F} & \text{F} & \text{T} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T } & \text{T} \\ \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \end{array}\] Обратите внимание, как мы работаем над каждым компонентом составного оператора отдельно, прежде чем объединить их для получения окончательного ответа.

Пример \(\PageIndex{3}\label{eg:logiceq-03}\)

Показать, что аргумент

«Если \(p\) и \(q\), то \(r\). Следовательно, если не \(r\), то не \(p\) или не \(q\)».

действителен. Другими словами, покажите, что логика, использованная в аргументе, верна.

Ответить

Символически аргумент выглядит так: \[[(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q})]. \label{eqn:tautology}\] Мы хотим показать, что это тавтология. Это легко проверить с помощью таблицы истинности. Мы также можем доказать, что это составное утверждение всегда истинно, показав, что оно никогда не может быть ложным.

Предположим, напротив, что ([уравнение: тавтология]) ложно для некоторых вариантов выбора \(p\), \(q\) и \(r\). Тогда \[(p \wedge q) \Rightarrow r \quad \mbox{должно быть true}, \qquad\mbox{and}\qquad \overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q }) \quad \mbox{должно быть ложным}. \] Чтобы второе следствие было ложным, нам нужно, чтобы \[\overline{r} \quad\mbox{было истинным}, \qquad\mbox{and}\qquad \overline{p} \vee \overline{q} \quad\mbox{to be false}.\] Они, в свою очередь, подразумевают, что \(r\) ложно, и оба \(\overline{p}\) и \ (\overline{q}\) ложны; следовательно, и \(p\), и \(q\) верны. Это сделало бы \((p \wedge q) \Rightarrow r\) ложным, что противоречит предположению, что это правда. Таким образом, ([eqn:tautology]) не может быть ложным, это должна быть тавтология.

практическое упражнение \(\PageIndex{1}\label{he:logiceq-01}\)

Используйте таблицу истинности, чтобы показать, что \[[(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\ overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q})]\] является тавтологией.

 

Ответ

Нам нужно восемь комбинаций значений истинности в \(p\), \(q\) и \(r\). Мы перечисляем значения истинности в соответствии со следующим соглашением. В первом столбце для значений истинности \(p\) заполните верхнюю половину T, а нижнюю половину F. В следующем столбце для значений истинности \(q\) повторите тот же шаблон отдельно, с верхней половиной и нижней половиной. Таким образом, мы разделяем верхнюю половину второго столбца на две половины, заполняем верхнюю половину T, а нижнюю половину F. Аналогичным образом разделяем нижнюю половину второго столбца на две половины, заполняем верхнюю половину T, а нижнюю половина с F. Повторите тот же шаблон с третьим столбцом для значений истинности \(r\), и так далее, если у нас есть больше пропозициональных переменных.

Заполните следующую таблицу: \[\begin{array}{|*{11}{c|}} \hline p & q & r & p\wedge q & (p\wedge q)\Rightarrow r & \overline{ r} & \overline{p} & \overline{q} & \overline{p}\vee\overline{q} & \overline{r} \Rightarrow (\overline{p}\vee\overline{q}) & [(p \клин q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\overline{r}\Rightarrow(\overline{p} \vee \overline{q})] \\ \hline \text{T} & \text{T } & \text{T} &&&&&&&& \\ \text{T} & \text{T} & \text{F} &&&&&&&&& \\ \text{T} & \text{F} & \text{T} &&&&&&&& \\ \text{T} & \text{F} & \text{F} &&&&&&&& \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} &&&&&&&& & \\ \text{F} & \text{T } & \text{F} &&&&&&&& \\ \text{F} & \text{F} & \text{T} &&&&&&&&& \\ \text{F} & \text{F} & \text{F} &&&&&&&& \\ \hline \end{array}\] Вопрос: Если в предложении четыре пропозициональных переменных, сколько строк в таблице истинности?

 

Биусловность и эквивалентность

Примечание

Две логические формулы \(p\) и \(q\) логически эквивалентны , обозначены \(p\equiv 90,\) 2. 2) тогда и только тогда, когда \(p \Leftrightarrow q\) является тавтологией.

Мы , а не , говоря, что \(p\) равно \(q\). Поскольку \(p\) и \(q\) представляют два разных оператора, они не могут быть одинаковыми. Мы говорим о том, что они всегда дают одно и то же значение истинности, независимо от значений истинности лежащих в их основе пропозициональных переменных. Вот почему мы пишем \(p\equiv q\) вместо \(p=q\).

Пример \(\PageIndex{4}\label{eg:logiceq-04}\)

Мы узнали, что \[p\Leftrightarrow q \equiv (p\Rightarrow q) \wedge (q\Rightarrow p), \] именно поэтому мы называем \(p\Leftrightarrow q\) биусловным оператором.

Пример \(\PageIndex{5}\label{eg:logiceq-05}\)

 

Используйте таблицы истинности для проверки следующих эквивалентных утверждений.

• \(p \Rightarrow q \equiv \overline{p} \vee q\). [эквив1]
• \(p \клин (q \vee r) \equiv (p \клин q) \vee (p \клин r)\). [экв2]

Ответить

Таблицы истинности для (а) и (б) изображены ниже. \[\begin{array}{|*{5}{c|}} \hline p & q & p\Rightarrow q & \overline{p} & \overline{p}\vee q \\ \hline \text{ T} & \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{F} & \text{F } & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \text{F} & \text{F } & \text{T} & \text{T} & \text{T} \\ \hline \end{массив}\] \[% \arraygap{1.25} \begin{массив}{|*{8}{ c|}} \hline p & q & r & q\vee r & p\клин (q\vee r) & p\клин q & q\клин r & (p\клин q)\vee(p\клин r ) \\ \hline \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{T}\phantom{(q\vee{})} & \text{T } & \text{T} & \text{T} \\ \text{T} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T}\phantom{(q\ vee{})} & \text{T} & \text{F} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{T} & \text{T} & \ text{T}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{T} & \text{T} \\ \text{T} & \text{F} & \text{ F} & \text{F} & \text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{T} & \text{T} & \text{F}\phantom{(q\v ee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{T} & \text{F} & \text{T} & \ text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{F} & \text{ T} & \text{T} & \text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \\ \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{T} & \text{F}\phantom{(q\vee{})} & \text{F} & \text{F} & \text {F} \\ \hline \end{array}\] Пример ([equiv1]) является важным результатом. Он говорит, что \(p \Rightarrow q\) истинно, когда происходит одно из следующих двух событий: (i) когда \(p\) ложно, (ii) в противном случае (когда \(p\) истинно) \(q \) должно быть правдой.

Практическое упражнение \(\PageIndex{2}\label{he:logiceq-02}\)

Используйте таблицы истинности для установления этих логических эквивалентностей.

1. \(p \Стрелка вправо q \equiv \overline{q} \Стрелка вправо \overline{p}\)
2. \(p \vee p \equiv p\)
3. \(p \клин q \equiv \overline{\overline{p} \vee \overline{q}}\)
4. \(p \Стрелка влево q \equiv (p \Стрелка вправо q) \клин (q \Стрелка вправо p)\)

 

Ответить

Мы накрыли стол для (а), а остальное предоставим вам.

\[\begin{array}[t]{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & p\Стрелка вправо q & \overline{q} & \overline{p} & \ overline{q}\Rightarrow\overline{p} \\ \hline \text{T} & \text{T} &&&& \\ \text{T} & \text{F} &&&& \\ \text{F} & \ текст{T} &&&& \\ \text{F} & \text{F} &&&& \\ \hline \end{массив}\]

практическое упражнение \(\PageIndex{3}\label{he:logiceq-03}\)

 

Логическая связка исключающее ИЛИ, обозначаемая \(p\veebar q\), означает либо \(p\ ) или \(q\), но не оба вместе. Следовательно, \[p\veebar q \equiv (p\vee q) \wedge \overline{(p\wedge q)} \equiv (p\wedge\overline{q}) \vee (\overline{p}\wedge q).\] Постройте таблицу истинности для проверки этого утверждения

 

Свойства

Свойства логической эквивалентности. Обозначим через \(T\) и \(F\) тавтологию и противоречие соответственно. Имеются следующие свойства для любых пропозициональных переменных \(p\), \(q\) и \(r\).

1. Коммутативные свойства : \(\begin{array}[t]{l} p \vee q \equiv q \vee p, \\ p \wedge q \equiv q \wedge p. \end{array} \)

2. Ассоциативные свойства : \(\begin{array}[t]{l} (p \vee q) \vee r \equiv p \vee (q \vee r), \\ (p \wedge q) \клин г \эквив п \клин (q \клин г).\end{массив}\)

3. Распределительные законы : \(\begin{array}[t]{l} p \vee (q \wee r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r), \\ p \клин (q \vee r) \equiv (p \клин q) \vee (p \клин r). \end{массив}\)

4. Законы идемпотента : \(\begin{array}[t]{l} p \vee p \equiv p, \\ p \wedge p \equiv p. \end{array}\)

5. Законы Де Моргана : \(\begin{array}[t]{l} \overline{p\vee q} \equiv \overline{p}\wedge\overline{q}, \\ \overline{ p\клин q} \equiv \overline{p}\vee \overline{q}.\end{массив}\)

6. Законы исключенного третьего , или обратные законы : \(\begin{array}[t]{l} p \vee \overline{p} \equiv T, \\ p \wedge \overline{p} \equiv F. \ конец{массив}\)

7. Законы тождества : \(\begin{array}[t]{l} p \vee F \equiv p, \\ p \wedge T \equiv p. \end{array}\)

8. Законы доминирования : \(\begin{array}[t]{l} p \vee T \equiv T, \\ p \wedge F \equiv F. \end{array}\)

9. Эквивалентность импликации и ее контрапозиции: \(p \Rightarrow q \equiv \overline{q} \Rightarrow \overline{p}\).

10. Запись импликации в виде дизъюнкции: \(p \Rightarrow q \equiv \overline{p} \vee q\).

11. Отрицание импликации: \(\overline{p \Rightarrow q} \equiv p \wedge \overline{q} \)

Убедитесь, что вы поняли и запомнили последние три эквивалентности, потому что мы будем часто использовать их в оставшейся части курса.

Запоминать названия всех этих свойств может быть непросто; однако все они должны иметь для вас смысл. Важное название — законы Де Моргана. Объясним их словами и сравним с аналогичными операциями над действительными числами:

1. Коммутативные свойства : Короче, говорят, что «порядок операции не имеет значения». Неважно, какое из двух логических утверждений стоит первым, результат конъюнкции и дизъюнкции всегда дает одно и то же истинностное значение. Сравните это со сложением действительных чисел: \(x+y=y+x\). Вычитание не является коммутативным, потому что не всегда верно, что \(x-y=y-x\). Это объясняет, почему мы должны убедиться, что операция коммутативна.

2. Ассоциативные свойства : Грубо говоря, эти свойства также говорят о том, что «порядок выполнения не имеет значения». Однако между ними и коммутативными свойствами есть ключевое различие.

   • Коммутативные свойства применяются к операциям над двумя логическими операторами , но ассоциативные свойства включают три логических оператора . Поскольку \(\wedge\) и \(\vee\) равны двоичных операций, мы можем работать только с парой операторов одновременно. Учитывая три утверждения \(p\), \(q\) и \(r\), расположенные в указанном порядке, над какой парой утверждений мы должны работать в первую очередь? Ответ таков: это не имеет значения. Именно порядок группировки (отсюда термин ассоциативный) не имеет значения в ассоциативных свойствах.

   • Важным следствием свойства ассоциативности является то, что, поскольку не имеет значения, над какой парой утверждений мы должны выполнить операцию первой, мы можем убрать круглые скобки и записать, например, \[p\vee q\vee r\] не беспокоясь о какой-либо путанице.

   • Не все операции ассоциативны. Вычитание не ассоциативно. Имея три числа 5, 7 и 4 в таком порядке, как мы должны выполнить два вычитания? Какую интерпретацию мы должны использовать: \[(5-7)-4, \qquad\mbox{или}\qquad 5-(7-4)?\] Поскольку они приводят к разным результатам, мы должны быть осторожны, где разместить скобки.

3. Распределительные законы : Когда мы смешиваем два различных операций над тремя логическими операторами, один из них должен сначала работать с парой операторов, формируя «внутреннюю» операцию. Затем следует «внешняя» операция для завершения составного оператора. Распределительные законы говорят, что мы можем распределить «внешнюю» операцию по внутренней.

4. Законы идемпотента : Когда операция применяется к паре идентичных логических операторов, результатом является один и тот же логический оператор. 2=x\), где \(x\) — действительное число. Это верно только тогда, когда \(x=0\) или \(x=1\). Но логические эквивалентности \(p\vee p\equiv p\) и \(p\wedge p\equiv p\) верны для всех \(p\).

5. Законы Де Моргана : Когда мы отрицаем дизъюнктуру (соответственно конъюнкцию), мы должны отрицать два логических утверждения и менять операцию дизъюнкции на конъюнкцию (соответственно конъюнкцию дизъюнкции).

6. Законы исключенного третьего , или обратные законы : Любое утверждение либо истинно, либо ложно, поэтому \(p\vee\overline{p}\) всегда истинно. Точно так же утверждение не может быть одновременно истинным и ложным, поэтому \(p\wedge\overline{p}\) всегда ложно.

7. Законы тождества : Сравните их с уравнением \(x\cdot1=x\): значение \(x\) не меняется после умножения на 1. Мы называем число 1 мультипликативным тождеством. Для логических операций идентичность дизъюнкции — F, а идентичность конъюнкции — T.

8. Законы доминирования : Сравните их с уравнением \(x\cdot0=0\) для действительных чисел: результат всегда равен 0, независимо от значения \(x\). «Ноль» для дизъюнкции — это Т, а «ноль» для конъюнкции — это F.

Пример \(\PageIndex{6}\label{eg:logiceq-07}\)

Что такое отрицание \(2\leq x\leq 3\)? Дайте логическое объяснение, а также графическое объяснение.

Ответить

Неравенство \(2\leq x\leq 3\) означает \[(x\geq 2) \клин (x\leq 3).\] Его отрицание, согласно законам Де Моргана, равно \[(x<2 ) \vee (x>3).\] Неравенство \(2\leq x\leq 3\) дает замкнутый интервал. Его отрицание дает два открытых интервала. Их графическое представление на прямой с действительными числами изображено ниже.

(130,60)(-20,-45) (-20,0)(1,0)130 (30,0)(30,0)2 (20,-25)(20,20)\(2 \) (50,-25)(20,20)\(3\) ( 0,-50)(90,20)\((x\geq 2)\клин(x\leq 3)\) (30, 0)(1,0)30 ​​

(130,60)(-20,-45) (-20,0)(1,0)130 (30,0)(30,0)2 (20,-25)(20,20)\(2 \) (50,-25)(20,20)\(3\) ( 0,-50)(90,20)\((x<2)\vee(x>3)\) (-20, 0 )(1,0)48 ( 62, 0)(1,0)48

Обратите внимание на две конечные точки 2 и 3. Они меняются от включения к исключению, когда мы принимаем отрицание.

практическое упражнение \(\PageIndex{4}\label{he:logiceq-04}\)

Поскольку \(0\leq x\leq 1\) означает «\(x\geq 0\) и \(x\leq 1\)», его отрицание должно быть «\(x<0\) или \( х>1\)». Объясните, почему неуместно и даже неправильно писать «\(0>x>1\)».

практическое упражнение \(\PageIndex{5}\label{he:logiceq-05}\)

Развернуть \((p\vee q) \wedge (r\vee s)\).

Пример \(\PageIndex{7}\label{eg:logiceq-09}\)

 

Мы использовали таблицу истинности, чтобы убедиться, что \[[(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [ \overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline{q})]\] является тавтологией. Мы можем использовать свойства логической эквивалентности, чтобы показать, что это составное утверждение логически эквивалентно \(T\). Такому типу доказательства обычно труднее следовать, поэтому рекомендуется давать пояснения на каждом этапе. Вот полное доказательство: \[% \arraygap{1. 2} \begin{array}{lcl@{\quad}l} [(p \wedge q) \Rightarrow r] \Rightarrow [\overline{r} \Rightarrow ( \overline{p} \vee \overline{q})] &\equiv& \overline{(p \wedge q) \Rightarrow r} \vee [\overline{r} \Rightarrow (\overline{p} \vee \overline {q})] & \mbox{(импликация как дизъюнкция)} \\ &\equiv& \overline{(p \wedge q) \Rightarrow r} \vee [\overline{\overline{p} \vee \overline{q }} \Rightarrow r] & \mbox{(импликация как дизъюнкция)} \\ &\equiv& \overline{(p \wedge q) \Rightarrow r} \vee [(p \wedge q) \Rightarrow r] & \mbox {(Закон Де Моргана)} \\ &\equiv& T & \mbox{(обратный закон)} \end{массив}\] Это именно то, что мы назвали методом слева направо для доказательства тождества (в данном случае , логическая эквивалентность).

Пример \(\PageIndex{8}\label{eg:logiceq-10}\)

Напишите \(\overline{p \Rightarrow q}\) как союз.

 

Ответ

Важно помнить, что \[\overline{p\Rightarrow q} \not\equiv q\Rightarrow p,\] и \[\overline{p\Rightarrow q} \not\equiv \overline{p}\Rightarrow \overline{q}\] либо. Вместо этого, поскольку \(p\Rightarrow q \equiv \overline{p}\vee q\), из закона Де Моргана следует, что \[\overline{p \Rightarrow q} \equiv \overline{\overline{p} \ vee q} \equiv p \wedge \overline{q}.\] В качестве альтернативы мы можем рассуждать следующим образом. Интерпретируйте \(\overline{p \Rightarrow q}\) как утверждение \(p \Rightarrow q\) ложно. Это требует, чтобы \(p\) было истинным, а \(q\) — ложным, что преобразуется в \(p \wedge \overline{q}\). Таким образом, \(\overline{p\Rightarrow q} \equiv p\wedge \overline{q}\).

 

Резюме и обзор

• Два логических утверждения логически эквивалентны, если они всегда дают одно и то же значение истинности.
• Следовательно, \(p\equiv q\) равносильно утверждению, что \(p\Leftrightarrow q\) является тавтологией.
• Помимо дистрибутивного закона и закона Де Моргана, помните также и эти две эквивалентности; они очень полезны при работе с последствиями. \[p \Rightarrow q \equiv \overline{q} \Rightarrow \overline{p} \qquad\mbox{and}\qquad p \Rightarrow q \equiv \overline{p} \vee q. \]

Упражнения \(\PageIndex{}\)    

Упражнение \(\PageIndex{1}\label{ex:logiceq-01}\)

Используйте таблицу истинности для проверки закона Де Моргана \(\overline{p \vee q} \equiv \overline{p}\wedge\overline{q}\).

Ответить

\(\begin{array}[t]{ {|c | c | c | c | c | c |}} \hline p & q & p\vee q & \overline{p\vee q} & \overline {p} & \overline{q} & \overline{p}\wedge\overline{q} \\ \hline T & T & T & F & F & F & F \\ T & F & T & F & F & T & F \\ F & T & T & F & T & F & F \\ F & F & F & T & T & T & T \\ \hline \end{array}\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\label{ex:logiceq-02}\)

Используйте таблицы истинности для проверки двух ассоциативных свойств.

Упражнение \(\PageIndex{3}\label{ex:logiceq-03}\)

Постройте таблицу истинности для каждой приведенной ниже формулы. Какие из них являются тавтологиями?

1. \((\overline{p} \vee q)\Стрелка вправо p\)
2. \((p\Стрелка вправо q) \vee (p\Стрелка вправо \overline{q})\)
3. \((p\Стрелка вправо q) \Стрелка вправо r\)

Ответить

Только (b) является тавтологией, как указано в таблицах истинности ниже.

(a) \(\begin{array}[t]{|*{5}{c|}} \hline p & q & \overline{p} & \overline{p}\vee q & (\overline{ p}\vee q)\Rightarrow p \\ \hline T & T & F &  T & \qquad\;T \\ T & F & F & F & \qquad\;T \\ F & T & T & T & \qquad\;F \\ F & F & T & T & \qquad\;F \\ \hline \end{массив}\)

(b) \(\begin{array}[t]{|*{6}{c|}} \hline p & q & p\Rightarrow q & \overline{q} & p\Rightarrow\overline{q} & (p\Rightarrow q)\vee(p\Rightarrow\overline{q}) \\ \hline T &T &T & F & F & F &T \\ T &F &F & T & T &T \\ F &T &T & F & T &T \\ F &F &T & T & T &T \\ \hline \end{массив}\)

(c) \(\begin{array}[t]{|*{5}{c|}} \hline p & q & r & p\Rightarrow q & (p\Rightarrow q)\Rightarrow r \\ \ hline T &T &T & T & \qquad\quad T \\ T & T & F & T & \qquad\quad F \\ T &F &T & F & \qquad\quad T \\ T &F &F & F & F & \qquad \quad T \\ F &T &T & T & \qquad\quad T \\ F &T &F & T & \qquad\quad F \\ F &F &T & T & \qquad\quad T \\ F &F &F & T & \qquad\quad F \\ \hline \end{массив}\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\label{ex:logiceq-04}\)

Используйте таблицы истинности для проверки этих логических эквивалентностей.

1. \((p\клин q)\стрелка влево p \equiv p\стрелка вправо q\)
2. \((p\клин q)\Rightarrow r \equiv p\Rightarrow(\overline{q}\vee r)\)
3. \((p\Rightarrow\overline{q}) \wedge (p\Rightarrow\overline{r}) \equiv \overline{p\wedge(q\vee r)}\)

 

Упражнение \(\PageIndex{5}\label{ex:logiceq-05}\)

Использовать только свойства логических эквивалентностей для проверки (b) и (c) в задаче 4.

Ответ

Пробы показаны ниже без пояснений. Обязательно заполните их.

(b) \( \begin{array}[t]{lcl@{\quad(\hskip1.5in)}} (p\wedge q)\Rightarrow r &\equiv& \overline{p\wedge q}\vee r \\ &\equiv& (\overline{p}\vee\overline{q})\vee r \\ &\equiv& \overline{p}\vee(\overline{q}\vee r) \\ &\equiv& p\Rightarrow(\overline{q}\vee r) \end{массив}\)

(c) \( \begin{array}[t]{lcl@{\quad(\hskip1.5in)}} (p\Rightarrow\overline{q}) \wedge (p\Rightarrow\overline{r}) &\equiv& (\overline{p}\vee\overline{q}) \wedge (\overline{p}\vee\overline{r}) \\ &\equiv& \overline{p}\vee(\overline{q }\wedge\overline{r}) \\ &\equiv& \overline{p}\vee\overline{q\vee r} \\ &\equiv& \overline{p\wedge(q\vee r)} \end{ массив}\)

Упражнение \(\PageIndex{6}\label{ex:logiceq-06}\)

 

Определить, являются ли формулы \(u\) и \(v\) логически эквивалентными (можно использовать таблицы истинности или свойства логических эквивалентностей).

\(u:\;(p\Rightarrow q)\клин (p\Rightarrow\overline{q})\)

\(v:\;\overline{p}\)

\(u:\;p\стрелка вправо q\)

\(v:\;q\стрелка вправо\)

\(u:\;p\Стрелка влево q\)

\(v:\;q\стрелка влево p\)

\(u:\;(p\Стрелка вправо q)\Стрелка вправо r\)

\(v:\;p\Стрелка вправо(q\Стрелка вправо r)\)

Упражнение \(\PageIndex{7}\label{ex:logiceq-07}\)

Найдите обратное, обратное и противоположное этих следствий.

1. Если треугольник \(ABC\) равнобедренный и содержит угол 45 градусов, то \(ABC\) прямоугольный.
2. Если четырехугольник \(ABCD\) является квадратом, то он одновременно и прямоугольник, и ромб.
3. Если четырехугольник \(ABCD\) имеет две стороны одинаковой длины, то это либо прямоугольник, либо ромб.

Ответить

(а)

Конверс:	Если треугольник \(ABC\) прямоугольный, то \(ABC\) равнобедренный
	и содержит угол 45 градусов.
Обратное:	Если треугольник \(ABC\) не равнобедренный или не содержит угла
	с углом 45 градусов, то \(ABC\) не является прямоугольным треугольником.
Противоположный:	Если треугольник \(ABC\) не прямоугольный, то \(ABC\) не равнобедренный
	или не содержит угол 45 градусов.

(б)

Конверс:	Если четырехугольник \(ABCD\) является и прямоугольником, и ромбом,
	, то \(ABCD\) — квадрат.
Обратное:	Если четырехугольник \(ABCD\) не является квадратом,
	то это не прямоугольник и не ромб.
Противоположный:	Если четырехугольник \(ABCD\) не прямоугольник и не ромб,
	, то \(ABCD\) не является квадратом.

(с)

Конверс:	Если четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольником или ромбом,
	, то \(ABCD\) имеет две стороны одинаковой длины.
Обратное:	Если четырехугольник \(ABCD\) не имеет двух сторон одинаковой длины,
	, то это не прямоугольник и не ромб.
Противоположный: 92>0 \Стрелка вправо x>0\). Если \(PQRS\) — квадрат, то \(PQRS\) — параллелограмм. Если \(n>1\) простое, то \(n+1\) составное. Если \(x\) и \(y\) такие целые числа, что \(xy\geq1\), то либо \(x\geq1\), либо \(y\geq1\). Упражнение \(\PageIndex{9}\label{ex:logiceq-09}\) Определите, верны или нет следующие формулы: \(\overline{p\Leftrightarrow q} \equiv \overline {p} \Leftrightarrow \overline{q}\) \((p\Rightarrow q) \wedge (p\Rightarrow\overline{q}) \equiv \overline{p}\) \(p\Стрелка вправо q \equiv q\Стрелка вправо p\) Ответить (а) неверно (б) верно (в) неверно Упражнение \(\PageIndex{10}\label{ex:logiceq-10}\) Определите, верны или нет следующие формулы: \((p\Rightarrow q)\Rightarrow r \equiv p \Стрелка вправо (q\Стрелка вправо r)\) 92\не>0\), затем \(х\не>0\). Ответить Только (б). Упражнение \(\PageIndex{12}\label{ex:logiceq-12}\) Определите, являются ли следующие формулы тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим: \((p\Rightarrow q) \wedge \ линия {p}\) \((p\Rightarrow\overline{q}) \клин (p\клин q)\) \((p\Стрелка вправо\над чертой{q}) \клин q\) Упражнение \(\PageIndex{13}\label{ex:logiceq-13}\) Упростите следующие формулы: \(p\wedge(p\wedge q)\) \(\overline{\overline{p}\vee q}\) \(\overline{p\Rightarrow\overline{q}}\) Ответить (a) \(p\клин q\) (b) \(p\клин \overline{q}\) (c) \(p\клин q\) Упражнение \(\PageIndex{14}\label{ex:logiceq-14}\) Упростите следующие формулы: \((p\Rightarrow\overline{q}) \wedge (\overline{q}\Rightarrow p)\) \(\перечеркнутый {p\клин \перечеркнутый{q}}\) \(p\клин(\overline{p}\vee q)\)   Упражнение \(\PageIndex{15}\) T означает тавтологию, а F означает противоречие. Правда или ложь? а. \(F\стрелка вправо\над чертой{q}\) б. \(п\вее Т\) с. \(F \клин p \) d. \(\overline{T}\vee F\) Ответ (а) верно (б) верно (в) неверно (г) неверно   Упражнение \(\PageIndex{16}\) T означает тавтологию, а F означает противоречие. Упростить до эквивалентного выражения, состоящего из одной буквы ( T , F , p или ~ p ) а. \(\overline{T} \vee F \equiv \) b. \(T \клин p \эквив\) c. \(F \клин\оверлайн{р} \эквив\) d. \(F \vee \overline{p}\equiv\) e. \((F \vee T) \vee F\equiv\) f. \((F \vee T) \клин T\equiv\) Эта страница под названием 2.5: Logical Equivalences распространяется в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA, автором, ремиксом и/или куратором этой страницы является Харрис Квонг (OpenSUNY) . Наверх Была ли эта статья полезной? Тип изделия Раздел или Страница Автор Харрис Квонг Лицензия CC BY-NC-SA Показать страницу TOC да Теги На этой странице нет тегов. Логические эквиваленты Что означает совпадение двух логических утверждений? В этом разделе мы познакомимся с идеей логической эквивалентности и рассмотрим два метода, чтобы показать эквивалентность двух утверждений. Подраздел Определение 2.1.1. Тавтологии и противоречия. Выражение, включающее логические переменные, истинное для всех значений, называется тавтологией . Выражение с логическими переменными, которое является ложным для всех значений, называется противоречием . Утверждения, не являющиеся тавтологиями или противоречиями, называются случайностями . Большинство операторов являются непредвиденными. Именно тавтологии и противоречия являются особыми, которые мы будем выделять до конца семестра. Определение 2.1.2. Логическая эквивалентность. Мы говорим, что два предложения \(p\) и \(q\) логически эквивалентны , если \(p \leftrightarrow q\) является тавтологией. Мы обозначаем это через \(p \equiv q\text{.}\) Первый способ показать, что два утверждения \(p \и q\) эквивалентны, состоит в том, чтобы построить таблицу истинности, чтобы найти значения истинности \(p ​​\leftrightarrow q\text{. }\) Поскольку \(p \leftrightarrow q\) истинно, если \(p \и q\) имеют одинаковые значения истинности, в этом курсе мы будем часто строить таблицы истинности для двух утверждений, а затем отмечать, являются ли их столбцы истинными. одинаковые или разные. Пример 2.1.3. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны, используя таблицу истинности. \(\displaystyle (\neg p \to (q \wedge \neg q)) \equiv p\) \(\displaystyle p \vee (p \wedge q) \equiv p \) \(\displaystyle p \vee (q \wee r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)\) \(\displaystyle \neg(p \to q) \equiv p \wedge \neg q\) \(\displaystyle p \to q \equiv \neg p \vee q\) Мы используем \(p \to q \equiv \neg p \vee q\) достаточно часто, чтобы это имело название. Мы назовем это следствием . Видео/Ответ. Раствор. Вот решение для \((\neg p \to (q \wedge \neg q)) \equiv p\text{:}\) Таблица 2.1.4. Отображение \(( \neg p \to (q \wedge \neg q))\leftrightarrow p\) является тавтологией T Т Ф Ф Т Т Т Ф Ф Ф Т Т Ф Т Т Ф Ф Т Ф Ф Т Ф Ф Т Следующая таблица представляет собой набор основных тавтологий, которые мы будем использовать до конца курса. В следующем за ними примере мы покажем, как мы можем использовать эти существующие тавтологии (которые мы будем называть законами), чтобы делать выводы о более сложных утверждениях. Вам нужно их запомнить? Абсолютно! Список 2.1.5. Фундаментальные логические эквивалентности . Пусть \(p, q\) и \(r\) — логические предложения. Коммутативные законы \(p \lor q\equiv q\lor p\) \(p \land q\equiv q \land p\) Ассоциативные законы \((p \lor q) \lor r \equiv p \lor (q \lor r)\) \((p \land q) \land r\equiv p \land (q \land r)\ ) Распределительные законы \(p \land (q \lor r) \equiv (p \land q ) \lor (p \land r)\) \(p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q ) \land (p \lor r)\) Законы о личности \(p \lor F\экв p\) \(p \land T \equiv p\) Законы отрицания \(p\land \neg p\equiv F\) \(p\lor \neg p\equiv T\) Законы идемпотента \(p \lor p \equiv p\) \(p\land p \equiv p\) Законы господства \(p \land F \equiv F\) \(p \lor T \equiv T\) Законы о поглощении \(p \land (p\lor q)\equiv p\) \(p \lor (p \land q) \equiv p\) Законы ДеМоргана \(\neg (p \lor q) \equiv (\neg p) \land (\neg q)\) \(\neg (p \land q) \equiv (\neg p) \lor (\ отрицательный q)\) Закон двойного отрицания \(\displaystyle \neg (\neg p)\equiv p\) Значение \(\displaystyle p \to q \equiv \neg p \lor q\) Вы заметите, что те законы, которые имеют две разные формы, выглядят очень похоже, только с разными операциями и заменой местами истинности и ложности. Это не только означает, что вам на самом деле нужно запомнить вдвое меньше, для этого есть четкая причина, которую мы рассмотрим, когда будем обсуждать булевы алгебры в Discrete 2! Пример 2.1.6. Используйте логические законы из списка 2.1.5, чтобы показать, что следующие эквивалентны. \(\displaystyle p \wedge q \equiv \neg(p \to \neg q)\) \(\displaystyle (p \to r) \vee (q \to r) \equiv (p \wedge q) \to r\) \(\displaystyle q \to p \equiv \neg p \to \neg q\) \(\displaystyle (\neg p \to (q \wedge \neg q)) \equiv p\) Видео/Ответ. Это ваш первый опыт работы с логическим доказательством! Это не будет последним. Большая часть этого класса посвящена тому, чтобы научиться понимать и аргументировать строго. Упражнения Упражнения 1. Определите, являются ли следующие два утверждения логически эквивалентными: \(\neg(p \to q)\) и \(p \wedge \neg q\text{. }\) Объясните, откуда вы знаете, что вы правы. Раствор. Составьте для каждого таблицу истинности и сравните. Высказывания логически эквивалентны. 2. Являются ли утверждения \(p \to (q\vee r)\) и \((p \to q) \vee (p \to r)\) логически эквивалентными? Раствор. Давайте начнем с левой стороны и будем двигаться вправо, чтобы выяснить это. \begin{выравнивание*} p \to (q \lor r) \amp\equiv \neg p \lor (q \lor r) \amp \text{импликация} \\ \amp\equiv \neg p \lor q \lor r \amp \text{ассоциативный, убрать скобки}\\ \amp\equiv \neg p \lor \neg p \lor q \lor r \amp \text{idempotent}\\ \amp\equiv \neg p \lor q \lor \neg p \lor r \amp \text{communitive}\\ \amp\equiv (\neg p \lor q) \lor (\neg p \lor r) \amp \text{associative}\\ \amp\equiv (p \to q) \lor (p \to r) \amp \text{импликация} \end{выравнивание*} , что мы и хотели показать. 3. Используйте таблицу истинности, чтобы показать, что \((p \to q) \land (p \to r)\) и \(p \to (q \land r)\) логически эквивалентны. Раствор. Вот альтернативное решение, использующее предыдущие эквивалентности (не таблица истинности): \begin{align*} (p \to q) \land (p \to r) & \equiv (\neg p \lor q) \land (\neg p \lor r) \\ &\equiv \neg p \lor (q \land r)\\ &\equiv p \to (q \land r) \end{выравнивание*} 4. Упростите следующие операторы (чтобы отрицание появлялось только непосредственно перед переменными). \(\neg(p \to \neg q)\text{.}\) \((\neg p \vee \neg q) \to \neg (\neg q \wedge r)\text{.}\) \(\neg((p \to \neg q) \vee \neg (r \wedge \neg r))\text{.}\) Видео/Ответ. \(p \клин q\text{.}\) \((\neg p \vee \neg r) \to (q \vee \neg r)\) или, заменив импликацию сначала дизъюнктией: \((p \wedge q) \vee (q \vee \нег г)\текст{.}\) \((p \клин q) \клин (r \клин \neg r)\text{. }\) Это обязательно ложно, поэтому также эквивалентно \(p \клин \neg p\text{. }\) Либо Сэм не мужчина, а Крис не женщина, либо Крис женщина. 5. Используйте законы ДеМоргана и любые другие известные вам факты логической эквивалентности, чтобы упростить следующие утверждения. Покажи все свои шаги. В ваших окончательных утверждениях отрицания должны появляться только непосредственно рядом с переменными предложения или предикатами (\(p\text{,}\) \(q\text{,}\) и т. д.), а не двойными отрицаниями. Было бы неплохо использовать только союзы, дизъюнкции и отрицания. \(\neg((\neg p \wedge q) \vee \neg(r \vee \neg s))\text{.}\) \(\neg((\neg p \to \neg q) \wedge (\neg q \to k))\) (осторожнее с последствиями). \(\displaystyle (p\land q) \to (p \lor q)\) Раствор. \begin{выравнивание*} \neg((\neg p \wedge q) \vee \neg(r \vee \neg s)) \amp\equiv \neg(\neg p \wedge q) \land \neg \neg(r \vee \neg с) \\ \amp\equiv \neg(\neg p \wedge q) \land (r \vee \neg s)\\ \amp\equiv (\neg\neg p \lor \neg q) \land (r \lor \neg s)\\ \amp\equiv (p \lor \neg q) \land (r \lor \neg s) \end{выравнивание*} \begin{выравнивание*} \neg((\neg p \to \neg q) \wedge (\neg q \to k)) \amp \equiv \neg((\neg \neg p \lor \neg q) \wedge (\neg \neg д \лор к))\\ \amp\equiv \neg((p \lor \neg q) \wedge (q \lor k))\\ \amp \equiv \neg(p \lor \neg q) \lor \neg (q \lor k)\\ \amp \equiv (\neg p \land \neg \neg q) \lor (\neg q \land \neg k)\\ \amp \equiv (\neg p \land q) \lor (\neg q \land \neg k) \end{выравнивание*} \begin{выравнивание*} (p\land q) \to (p \lor q) \amp\equiv \neg (p\land q) \lor (p \lor q) \\ \amp \equiv (\neg p \lor \neg q) \lor (p \lor q)\\ \amp \equiv \neg p \lor \neg q \lor p \lor q\\ \amp \equiv \neg p \lor p \lor \neg q \lor q\\ \amp \equiv (\neg p \lor p) \lor ( \neg q \lor q )\\ \амп\экв (Т) \лор (Т)\\ \ампер\экв Т \end{выравнивание*} . .. это тавтология! Подраздел Форум Сообщения об этом разделе таблиц истинности, тавтологии и логические эквивалентности таблицы истинности, тавтологии и логические эквивалентности Математики обычно используют двузначное число . логика : Каждое утверждение либо Истинно , либо Ложь . Это называется Закон исключенного среднего . Утверждение в сентенциальной логике строится из простых утверждений с использованием логические связки , , , и . Правда или ложь утверждения, построенного с помощью этих связок, зависит от истинности или ложность его составляющих. Например, составной оператор строится с использованием логических связок , и . Правда или ложность зависит от истины или ложность P, Q и R. Таблица истинности показывает, как правда или ложь составного утверждения зависит от истинности или ложности простого утверждения, из которых он построен. Итак, мы начнем с рассмотрения таблицы истинности для пяти логических связок. Вот таблица отрицания: Эту таблицу легко понять. Если P равно true , его отрицание ложно . Если P равно false , то true . должно быть true , когда оба P и Q true и false иначе: является истинным , если либо P является истинным , либо Q является верно (или оба — помните, что мы используем «или» во включающем смысле). всего ложь , если оба P и Q ложно . Вот таблица логических следствий: Чтобы понять, почему эта таблица именно такая, рассмотрим следующее. пример: «Если ты получишь пятерку, я дам тебе доллар». Утверждение будет верным , если я сдержу свое обещание и ложь если нет. Предположим, что верно , что вы получаете пятерку, а это 9. 0037 правда что я даю вам доллар. Поскольку я сдержал свое обещание, верно . Это соответствует первой строке таблицы. Предположим, что верно , что вы получили пятерку, но ложно что я даю вам доллар. Поскольку я не сдержал своего обещания, подразумевается false . Это соответствует второму строку в таблице. Что, если это ложь, что вы получили пятерку? Независимо от того, дам ли я вам долларов, я не нарушил своего обещания. Таким образом, вывод не может быть ложно, поэтому (поскольку это двузначная логика) оно должно быть истинным. Этот объясняет последние две строки таблицы. означает, что P и Q равны эквивалент . Таким образом, двойная импликация верна , если P и Q оба истинны или если P и Q оба ложны ; в противном случае двойная импликация ложна. Вы должны помнить — или уметь составлять — таблицы истинности для логических связок. Вы будете использовать эти таблицы для построения таблицы для более сложных предложений. Легче продемонстрировать что делать, чем описать это словами, так вы увидите порядок выработано на примерах. Примечание. (а) Когда вы строите правду таблице, вы должны рассмотреть все возможные назначения True (T) и False (F) для операторов компонентов. Например, предположим, составные операторы — это P, Q и R. Каждый из этих операторов может быть либо правда, либо ложь, так что есть возможности. Когда вы перечисляете возможности, вы должны присвоить значения истинности к операторам компонентов систематическим образом, чтобы избежать дублирования или упущение. Самый простой подход — использовать лексикографический порядок . Таким образом, для составного оператора с три компонента P, Q и R, я бы перечислил возможности этого путь: (б) Существуют различные способы составления таблиц истинности. Вы можете, для например, запишите значения истинности «под» логическим связки составного высказывания, постепенно дорастающие до столбец для «основной» связки. Я буду записывать вещи длинным путем, создавая столбцы для каждого «кусочек» составного высказывания и постепенно наращивая к составному утверждению. Любой стиль хорош, пока вы показываете достаточно работы, чтобы оправдать ваши результаты. Пример. Построить таблицу истинности для формула . Во-первых, я перечисляю все альтернативы для P и Q. Затем в третьем столбце я перечисляю значения на основе значений P. Я использую таблицу истинности для отрицание: когда P истинно, ложно, а когда P ложно, правда. В четвертом столбце я перечисляю значения для . Проверьте сами, что это только ложь («F»), если P истинно («T»), а Q ложно («Ф»). В пятом столбце приведены значения моего составного выражения. Это «и» из (третий столбец) и (четвертый столбец). «И» верно только в том случае, если обе части «и» верны; в противном случае оно ложно. Поэтому я смотрю на третья и четвертая колонки; если оба верны («T»), я ставлю T в пятой колонке, иначе ставлю F. тавтология есть формула, которая «всегда истинно» — то есть истинно для всякого присвоения истины значения его простых компонентов. Вы можете рассматривать тавтологию как правило логики . Противоположностью тавтологии является число . противоречие , формула, которая «всегда ложна». В Другими словами, противоречие ложно для любого присвоения истины значения его простых компонентов. Пример. Покажите, что это тавтология. Я строю таблицу истинности и показываю, что формула всегда верна. Последний столбец содержит только Т. Следовательно, формула представляет собой тавтология. Пример. Построить таблицу истинности для . Вы можете видеть, что построение таблиц истинности для утверждений с большим количеством связок или большого количества простых утверждений довольно утомительно и подвержен ошибкам. Хотя могут быть некоторые приложения этого (например, для цифровые схемы), в какой-то момент лучше всего было бы написать программа для построения таблиц истинности (и это наверняка было сделано). Суть здесь в том, чтобы понять, как значение истинности сложного утверждение зависит от истинностных значений его простых утверждений и его логические связи. В большинстве работ математики обычно не операторы использования, которые очень сложны с логической точки зрения. Посмотреть. Пример. (a) Предположим, что P ложно и истинно. Скажите, является ли Q истинным, ложным или его истинной стоимость не может быть определена. б) Предположим, что это неверно. Рассказывать является ли Q истинным, ложным или его истинностное значение не может быть определено. а) Поскольку истинно, то либо Р истинно, либо истинно. Поскольку P ложно, оно должно быть истинным. Следовательно, Q должно быть ложным. (b) Утверждение «если-то» ложно, когда часть «если» истина, а часть «тогда» ложна. Поскольку ложно, верно. Утверждение «и» истинно только когда обе части верны. В частности, должно быть истинным, поэтому Q ложно. Пример. Предположим » » правда. » » неверно. «У Кельвина Баттербола фиолетовые носки» — это правда. Определить истинность утверждения Для простоты пусть П = «». Q = «». R = «У Кэлвина Баттербола фиолетовые носки». Я хочу определить истинное значение . Поскольку мне были даны конкретные значения истинности для P, Q, и R, я составил таблицу истинности с одной строкой, используя данные значения для P, Q и R: Следовательно, утверждение верно . Пример. Определить истинное значение утверждение Утверждение » » неверно. Вы не можете сказать действительно ли утверждение «Икабод Ксеркс ест шоколад кексы» истинны или ложны — но это не имеет значения. Если «если» часть утверждения «если-то» ложна, то утверждение «если-то» истинно. (Проверьте правду таблица для тех, кто не уверен в этом!) Так что данное утверждение должно быть истинным. Два утверждения X и Y логически равны . эквивалент , если это тавтология. Другой способ сказать это: Для каждого присвоения значений истинности простым операторы , составляющие X и Y, операторы X и Y имеют одинаковые значения истинности. С практической точки зрения вы можете заменить оператор в доказательство любым логически эквивалентным утверждением. Чтобы проверить, являются ли X и Y логически эквивалентными, вы можете настроить таблица истинности, чтобы проверить, является ли тавтологией — что есть ли «все Т в столбце». Однако проще настроить таблицу, содержащую X и Y, а затем проверьте, совпадают ли столбцы для X и для Y. Пример. Покажите, что и логически эквивалентны. Поскольку столбцы для и идентичны, два оператора логически эквивалент. Эта тавтология называется Условное Разъединение . Вы можете использовать эту эквивалентность для замены условно дизъюнкцией. Существует бесконечное количество тавтологий и логических эквивалентностей; Я перечислил несколько ниже; более обширный список приведен в конце эта секция. Когда тавтология имеет форму бикондиционала, два утверждения которые составляют бикондиционал, логически эквивалентны. Следовательно, вы можно заменить одну сторону другой без изменения логического значение. Вам часто придется отрицать математическое утверждение. К посмотрим, как это сделать, мы начнем с того, что покажем, как отрицать символические заявления. Пример. Запишите отрицание следующие операторы, упрощая так, чтобы только простые операторы отрицается. (а) (б) (a) Я отрицаю данное утверждение, затем упрощаю, используя логические эквивалентности. Я дал имена логических эквивалентностей на правильно, чтобы вы могли видеть, какие из них я использовал. (б) Я показал это и есть логически эквивалентны в предыдущем примере. В следующих примерах мы будем отрицать утверждения, написанные словами. Это более типично для того, что вам нужно делать в математике. идея состоит в том, чтобы преобразовать слово-выражение в символическое высказывание, затем используйте логические эквивалентности, как в предыдущем примере. Пример. Используйте закон Де Моргана, чтобы написать отрицание следующего утверждения, упрощая так, что отрицаются только простые операторы: «Кэлвина нет дома или Бонзо в кино». Пусть С будет утверждением «Кальвин дома», а В будет заявление «Бонзо в движении». Данное утверждение является . Я должен отрицать утверждение, затем упростите: Результат: «Кальвин дома, а Бонзо нет на кино». Пример. Используйте закон Де Моргана, чтобы написать отрицание следующего утверждения, упрощая так, что отрицаются только простые операторы: «Если Фиби покупает пиццу, то Кэлвин покупает попкорн». Пусть P будет утверждением «Фиби покупает пиццу», а C будет заявление «Кэлвин покупает попкорн». Данное утверждение является . Чтобы упростить отрицание, я буду использовать тавтологию Условная дизъюнкция , которая гласит: То есть я могу заменить на (или наоборот). Вот вам и отрицание и упрощение: Результат: «Фиби покупает пиццу, а Кэлвин не покупает». попкорн». Далее мы применим нашу работу с таблицами истинности и отрицающими утверждениями к задачи на построение обратной, обратной и противопоставляется утверждению «если-то». Пример. Замените следующий оператор на его противоположность: «Если x и y рациональны, то рационально». По контрапозитивной эквивалентности это утверждение совпадает с «Если не рационально, то это не так что и х, и у рациональны». Этот ответ правильный в его нынешнем виде, но мы можем выразить его в немного лучший способ, который удаляет некоторые явные отрицания. Большинству людей позитивное утверждение легче понять, чем отрицательное утверждение. По определению, действительное число равно 9.0037 иррациональный если это не рационально. Поэтому я мог бы заменить часть «если» противопоставляется слову «иррационально». Часть противопоставления «тогда» есть отрицание утверждение «и». Вы могли бы переформулировать это так: «Это не случае, когда и x рационально, и y рационально». (Слово «оба» гарантируют, что отрицание применяется ко всему утверждение «и», а не только «х рационально». ) По закону Де Моргана это эквивалентно следующему: «x не является рациональным или y нерационально». В качестве альтернативы я мог бы сказать: «x есть иррационально или у иррационально». Собрав все вместе, я мог бы выразить противоположное как: «Если иррационально, то либо х иррационально или у иррационально». (Как обычно, я добавил слово «либо», чтобы было понятно, что часть «тогда» — это целое выражение «или».) Пример. Покажите, что обратное и обратные условные логически эквивалентны. Пусть условно. Обратное есть. Обратное. Я мог бы показать, что обратное и обратное эквивалентны построение таблицы истинности для . Вместо этого я буду использовать некоторые известные тавтологии. Начните с: Помните, что я могу заменить утверждение логическим эквивалент. Например, на последнем шаге я заменил на Q, потому что два утверждения эквивалентны Двойное отрицание. Пример. Предположим, что x — действительное число. Рассмотреть возможность заявление «Если , то ». Постройте обратное, обратное и контрапозитивное. Определите истинность или ложность четырех утверждений — исходное утверждение, обратное, обратное и контрапозитивное — используя свои знания по алгебре. Обратное: «Если , то». Обратное: «Если , то». Противоположное: «Если , то». Исходное утверждение неверно: , но . Поскольку исходное утверждение эквивалентно контрапозитив, то контрапозитив также должен быть ложным. Обратное верно. Обратное логически эквивалентно обратное, значит верно и обратное. \новая страница \centerline{\bigssbold Список тавтологий} Контактная информация Домашняя страница Брюса Икенаги Copyright 2019 Брюс Икенага 1.1 Логические операции Математика обычно включает в себя объединение истинных (или гипотетически истинных) утверждения различными способами для получения (или доказательства) новых истинных утверждений. Начнем с разъяснения некоторых из этих фундаментальных идей. Под предложением мы подразумеваем утверждение, имеющее определенное истинностное значение , истина (T) или ложь (F) — например, «В 1492 году Колумб плыл по синему океану». (T) «Наполеон выиграл битву при Ватерлоо». (Ф) В более общем смысле под формулой мы подразумеваем утверждение, возможно, с некоторыми переменными, которое либо истинно, либо false всякий раз, когда мы присваиваем определенные значения каждой из переменных. Мы будем использовать заглавные буквы для обозначения формул. Если правда а формула зависит от значений, скажем, $x$, $y$ и $z$, мы будем использовать обозначение типа $P(x,y,z)$ для обозначения формулы. 92+y = 12$», то $P(2,8)$ и $P(3,3)$ верно, а $P(1,4)$ и $P(0,6)$ ложны. Если $Q(x,y,z)$ равно «$x+y Является ли предложение истинным или ложным, обычно зависит от того, что мы говорят о том, что одно и то же предложение может быть истинным или ложным в зависимости от по контексту; например, формула $x|y$ означает, что `$x$ делит $у$’. То есть $x|y$, если существует некоторый $z$ такой, что $y=x\cdot z$. В настоящее время, правда ли, что $3|2$? Это зависит: если мы говорим о целых числах, ответ — нет; если мы говорим о рациональных числах, то ответ да, потому что $2=3\cdot(2/3)$. (Конечно, если $x\not=0$ и $y$ любые рациональных чисел, затем $x|y$, так что это не очень полезное понятие. При обычном использовании внешний вид формулы «$x|y$» подразумевает , что $x$ и $y$ являются целыми числами.) Вселенная дискурса для конкретной области математики представляет собой набор, который содержит все, что представляет интерес для этой темы. Когда мы изучение математических формул типа «$x$ делит $y$» на переменные предполагается, что они принимают значения в любом дискурсивном универсуме подходит для конкретного предмета. Вселенная дискурса обычно ясно из обсуждения, но иногда нам нужно будет идентифицируйте его явно для ясности. Вселенная дискурса обычно обозначается $U$. Сложные предложения и формулы составляются из более простых, используя небольшое количество логических операций . Просто горстка этих операций позволит нам сказать все, что мы должны сказать в математика. Если $P$ — это формула, то «не $P$» — это другая формула. формула, которую мы символически запишем как $\lnot P$. Конечно, $\lне P$ ложно, если $P$ истинно, и наоборот, например, «6 не является простым числом» или «Неверно, что 6 премьер» или «$\lnot(\hbox{6 простое число})$» (T) «Рональд Рейган не был президентом». (Ф) Предположим, что $P$ и $Q$ — формулы. затем «$P$ и $Q$» — это формула, записанная символически как $P\land Q$, называемое соединением из $P$ и $Q$. Чтобы $P\land Q$ были истинными как $P$, так и $Q$ должно быть истинным, иначе оно ложно, например, «5 долларов = 6 долларов и 7 долларов = 8 долларов». (F) «Сиэтл находится в Вашингтоне, а Бойсе — в Айдахо». (T) «Толстой был русским, а Диккенс был Французский.» (Ф) Если $P$ и $Q$ являются формулами, то формула «$P$ или $Q$» записывается символически как $P\lor Q$, называемая дизъюнкция $P$ и $Q$. это важно отметить, что это включительно или, то есть, «либо или оба». Таким образом, если $P$, $Q$ или оба $P$ и $Q$ истинны, то же самое и с $P\lor Q$. Единственный случай, когда $P\lor Q$ может быть ложным, состоит в том, что оба $P$ и $Q$ ложны, например, «Вашингтон в Канаде или Лондон в Англии». (T) «$5 «Ленин был испанцем или Ганди был итальянцем». (Ф) Если $P$ и $Q$ — формулы, то «если $P$, то $Q$» или «$P$ означает, что $Q$» написано $P\подразумевает Q$, используя условный символ , $\подразумевает$. Не очевидно (по крайней мере, для большинства людей), под чем обстоятельства $P\имеет Q$ должно быть правдой. Отчасти это потому, что «if… then» используется в обычном английском языке более чем одним способом, однако нам нужно исправить правило, которое позволит нам точно знать, когда $P\ подразумевает Q$ верно. Конечно, если $P$ истинно, а $Q$ ложно, $P$ не может подразумевают $Q$, поэтому $P\implis Q$ в этом случае ложно. Чтобы помочь нам с в других случаях рассмотрим следующее утверждение: «Если $x$ меньше 2, то $x$ меньше 4». Это утверждение должно быть верным независимо от значения $x$. (при условии, что вселенная дискурса является чем-то знакомым, например целые числа). Если $x$ равно 1, оно оценивается как $\rm T\имплицитно T$, если $x$ равно 3, оно становится $\rm F\implis T$, а если $x$ равно 5, становится $\rm F\ подразумевает F$. Таким образом, оказывается, что $P\implis Q$ истинно, если только $P$ истинно, а $Q$ ложно. Это правило, которое мы принимаем. Наконец, бикондиционал , написанный $\Leftrightarrow$, соответствует фраза «если и только если» или «если» коротко. Таким образом, $P \Leftrightarrow Q$ истинно, когда и $P$, и $Q$ имеют одинаковое истинностное значение, иначе оно ложно. Пример 1.1.2 Предположим, что $P(x,y)$ равно «$x+y=2$» и $Q(x,y)$ равно «$xy>1$». Тогда, когда $x=1$ и $y=1$, $\lnot P(x,y)$, $P(x,y)\land Q(x,y)$, $P(x,y)\lor Q(x,y)$, $P(x,y)\имеет Q(x,y)$ и $P(x,y)\Leftrightarrow Q(x,y)$ имеют значения истинности F, F, T, F, F соответственно, а когда $x=2$ и $y=3$ имеют истинностные значения Т, Ф, Т, Т, Ф соответственно. $\квадрат$ Используя операции $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\implies$, $\Leftrightarrow$, мы можем построить составных выражений, таких как $$ (P\land (\lnot Q))\ подразумевает ((\lnot R)\lor ((\lnot P)\land Q)). $$ Как показывает этот пример, иногда необходимо включать много круглых скобок, чтобы группировать термины в формуле ясно. Как и в алгебре, где умножение имеет приоритет перед сложением, мы можем убрать некоторые скобки согласование определенного порядка, в котором логически операции выполняются. Мы будет применять операции в этом порядке, начиная с от первого к последнему: $\lnot$, $\land$, $\lor$, $\implies$ и $\Leftrightarrow$. Так $$A\подразумевает B\или C\land\lnot D $$ сокращение от $$A\подразумевает (B\или (C\land (\lnot D))). $$ Как и в алгебре, часто разумно включать несколько дополнительных скобок, чтобы убедиться, что предполагаемый смысл понятен. Большая часть информации, которую мы обсудили, может быть резюмирована в таблицы истинности . Например, таблица истинности для $\lnot P$: $P$ $\lnot P$ Т Ж Ф Т В этой таблице две строки, потому что есть только две возможности для истинное значение $P$. Другие логические операции используют две переменные, поэтому им требуется 4 строки в их таблицах истинности. $P$ $Q$ $P\land Q$ $P \lor Q$ $P\Rightarrow Q$ $P\Leftrightarrow Q$ Т Т Т Т Т Т Ж Т Ж Т Т Ж Т Ж Ж Т Ж Ж Ф Ф Ф Ф 9п$ строки в таблице, потому что есть много разных способов назначить T и F для $n$ простых формул в составном выражении. Таблица истинности для $(P\land Q)\lor \lnot R$ такова: $P$ $Q$ $R$ $P \land Q$ $\lnot R$ $(P \land Q)\lor\lnot R$ Т Т Т Т Ф Т Ж Т Т Ж Ж Ж Т Ж Т Ж Ж Ж Ж Ж Т Ж Ж Ж Т Т Ж Т Т Т Ж Т Ж Ж Т Т Т Ф Ф Ф Т Т Ж Ж Ж Ж Т Т Обратите внимание, как включение промежуточных шагов облегчает работу с таблицей. посчитай и прочитай. Тавтология — это логическое выражение, которое всегда оценивается как T, то есть последний столбец его таблицы истинности состоит только из Т. Иногда говорят, что тавтология равна 9.1693 действительный ; хотя «действительный» используется в других контекстах как ну, это не должно вызывать путаницы. Например, $(P\land Q)\lor P\Leftrightarrow P$ является тавтологией, поскольку ее таблица истинности такова: $P$ $Q$ $P\land Q$ $(P\land Q)\lor P$ $(P\land Q)\lor P\Leftrightarrow P$ Т Т Т Т Т Ж Т Ф Ф Т Т Ж Ж Т Т Ж Ж Ж Ж Т Мы перечисляем несколько важных тавтологий в следующей теореме. Теорема 1.1.3. Справедливы следующие утверждения. а) $P\стрелка влево \lnot\lnot P$ б) $P\lor Q\Leftrightarrow Q\lor P$ c) $P\land Q\Стрелка влево Q\land P$ d) $(P\land Q)\land R\Стрелка влево P\land(Q\land R)$ e) $(P\lor Q)\lor R\Стрелка влево P\lor(Q\lor R)$ f) $P\land (Q\lor R)\Leftrightarrow (P\land Q)\lor (P\land R)$ g) $P\lor (Q\land R)\Стрелка влево (P\lor Q)\land (P\lor R)$ h) $(P\подразумевает Q)\Стрелка влево (\lnot P\lor Q)$ i) $P\имеет (P\или Q)$ j) $P\land Q\имплицит Q$ k) $(P\стрелка влево Q)\стрелка влево ((P\подразумевает Q)\land (Q\подразумевает P))$ l) $(P\подразумевается Q)\стрелка влево (\lnot Q\подразумевается \lnot P)$ Доказательство. Доказательства оставлены в качестве упражнений. $\qed$ Заметим, что (b) и (c) — коммутативные законы, (d) и (e) — ассоциативные законы и (е) и (ж) говорят, что $\land$ и $\lor$ распределяются друг над другом. Это говорит о том, что существует форма алгебры для логических выражений, аналогичная алгебре для числовых выражений. Этот предмет называется Булева алгебра и имеет множество применений. особенно в информатике. Если две формулы всегда принимают одно и то же истинностное значение независимо от того, элементы из вселенной дискурса, которые мы заменяем различными переменных, то мы говорим, что они эквивалентны . Стоимость эквивалента формулы в том, что они говорят одно и то же. Это всегда правильный шаг в доказательстве заменить некоторую формулу эквивалентной. Кроме того, многие тавтологии содержат важные идеи для построения доказательств. За например, (k) говорит, что если вы хотите показать, что $P\Leftrightarrow Q$, это можно (и часто целесообразно) разбить доказательство на два части, одна из которых доказывает импликацию $P\implis Q$, а вторая доказывая обратное , $Q\имеет P$. При чтении теоремы 1.1.3 у вас может возникнуть заметил, что $\land$ и $\lor$ обладают многими схожими свойствами. Они называются «двойственными» понятиями — для любого свойства один, есть почти идентичное свойство, которому удовлетворяет другой, экземпляры двух операций поменялись местами. Это часто означает, что когда мы доказываем результат, включающий одно понятие, мы получаем соответствующий результат для своего двойственного без дополнительной работы. Джордж Буль. Буль (1815–1864) имел только обычное школьное образование, хотя и выучил Греческий и латынь самостоятельно. Он начал свою карьеру в качестве элементарного школьным учителем, но решил, что ему нужно больше узнать о математики, поэтому он начал изучать математику, а также языки, необходимые ему для чтения современной литературы на математика. В 1847 году он опубликовал короткую книгу «Математический анализ». Анализ логики , который, можно справедливо сказать, лег в основу исследования. математической логики. Ключевой вклад работы заключался в переопределить «математику» так, чтобы она означала не просто «изучение чисел и величина», но изучение символов и манипулирование ими в соответствии с к определенным правилам. Важность этого уровня абстракции для будущее математики трудно переоценить. Вероятно, на Благодаря этой работе он перешел на должность в Куинс-колледж в Корке. В «Исследовании законов мысли» , опубликованном в 1854 г., Буль установил настоящую формальную логику, развивая то, что сегодня называется Булева алгебра или иногда алгебра множеств . Он использовал символы для сложение и умножение как операторы, но в совершенно абстрактном смысл. Сегодня эти символы все еще иногда используются в булевых выражениях. алгебре, хотя символы `$\land$’ и `$\lor$’, и `$\cap$’ и `$\cup$’ также используются. Буль применил алгебраическую манипуляцию к процесс рассуждения. Вот простой пример типа манипуляцию, которую он проделал: уравнение $xy=x$ (которое сегодня можно было бы записать $x\land y = x$ или $x\cap y = x$) означает, что «все вещи, удовлетворяющие $x$ удовлетворяет $y$’, или, говоря нашим языком, $x\имеет y$. Если также $yz=y$ (что есть $y\implis z$), то подстановка $y=yz$ в $xy=x$ дает $x(yz)=x$ или $(xy)z=x$. Заменив $xy$ на $x$, получим $xz=x$, или $x\подразумевает z$. Этот простой пример логического рассуждения используется более и далее по математике. 92+bD+c=0$, обработка $D$ как номер , предоставляет информацию о решениях для дифференциальное уравнение. Информация здесь взята из A History of Mathematics, by Карл Б. Бойер, Нью-Йорк: John Wiley and Sons, 1968. Подробнее информацию см. Лекции о десяти британских математиках , автор Александр Макфарлейн, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1916. Пример 1.1.1 Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений: а) $(P\land Q)\или \lnot P$ б) $P\имеет (Q\land P)$ c) $(P\land Q)\Стрелка влево (P\lor \lnot R)$ d) $\lnot P\подразумевает \lnot(Q\lor R)$ Пример 1.1.2 Проверьте тавтологии в теореме 1.1.3. Пример 1.1.3 Предположим, что $P(x,y)$ — это формула «$x+y=4$», а $Q(x,y)$ — это формула «$x $P(x,y)\land Q(x,y)$,    $\lnot P(x,y)\lor Q(x,y)$, $P(x,y)\подразумевает \lnot Q(x,y)$,    $\lnot(P(x,y)\Leftrightarrow Q(x,y))$, , используя значения: а) $x=1, y=3$ c) $x=1, y=2$ б) $x=3, y=1$ d) 95 $x=2, y=1$ Пример 1. 1.4 а) Найти таблицы истинности для $$ P\land (\lnot Q)\land R, \quad\quad (\lnot P)\land Q\land (\lnot R) $$ b) Используйте их, чтобы найти таблицу истинности для $$ (P\land (\lnot Q)\land R)\lor ((\lnot P)\land Q\land (\lnot R)) $$ c) Используйте метод, предложенный частями (a) и (b) найти формулу со следующей таблицей истинности. 9n$ T и F — это последний столбец таблицы истинности для некоторой формулы из $n$ букв. Пример 1.1.5 Если $P_1, P_2,\ldots, P_n$ — это список из $n$ формул, максимальное количество составных формул, использующих этот список, может быть построено, никакие два из которых не эквивалентны? Эквивалентность и значение ADS Рассмотрим два предложения, порожденные \(p\) и \(q\text{:}\) \(\neg (p \land q)\) и \(\neg p \lor \neg q\text{. } \) На первый взгляд, это разные предложения. По форме они разные, но смысл у них один. Один из способов увидеть это — заменить \(p\) и \(q\text{;}\) фактическими предложениями, такими как \(p\text{:}\) Я был в Торонто; и \(q\text{:}\) я был в Чикаго. Затем \(\neg (p \land q)\) переводится как «Я не был ни в Торонто, ни в Чикаго», а \(\neg p \lor \neg q\) — как «Я не был в Торонто или я не был в Чикаго». Определите истинностные значения этих предложений. Естественно, для одних они будут истинными, а для других ложными. Важно то, что независимо от того, какие значения истинности они имеют, \(\neg (p \land q)\) и \(\neg p \lor \neg q\) будут иметь одно и то же значение истинности. Самый простой способ убедиться в этом — изучить таблицы истинности этих утверждений. Таблица 3.3.1. Таблицы истинности для \(\neg (p \land q)\) и \(\neg p \lor \neg q\) $P$ $Q$ $R$ ??? Т Т Т Т Ж Т Т Ж Т Ж Т Ж Ж Ж Т \(p\) \(к\) \(\neg (p\land q)\) \(\отр р\лор \отр д \) 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 Во всех четырех случаях \(\neg (p \land q)\) и \(\neg p \lor \neg q\) имеют одинаковое значение истинности. Кроме того, когда к ним применяется оператор биусловия, результатом во всех случаях является значение true. Такое предложение называется тавтологией. Подраздел 3.3.1 Тавтологии и противоречия Определение 3.3.2. Тавтология. Выражение с логическими переменными, верное во всех случаях, является тавтологией. Число 1 используется для обозначения тавтологии. Пример 3.3.3. Некоторые тавтологии. Все нижеследующее является тавтологией, потому что их таблицы истинности состоят из столбца единиц. \((\neg (p \land q))\leftrightarrow ( \neg p \lor \neg q)\text{.}\) \(\displaystyle p \lor \neg p\) \(\displaystyle (p \land q)\to p\) \(\displaystyle q\to (p\lor q)\) \(\displaystyle (p \lor q)\leftrightarrow (q \lor p)\) Определение 3.3.4. Противоречие. Выражение с логическими переменными, ложное во всех случаях, называется противоречием. Число 0 используется для обозначения противоречия. Пример 3.3.5. Некоторые противоречия. \(p \land \neg p\) и \((p\lor q)\land (\neg p) \land (\neg q)\) являются противоречиями. Подраздел 3.3.2 Эквивалентность Определение 3.3.6. Эквивалентность. Пусть \(S\) будет набором предложений, и пусть \(r\) и \(s\) будут предложениями, порожденными \(S\text{.}\) \(r\) и \(s\) эквивалентны тогда и только тогда, когда \(r\leftrightarrow s\) является тавтологией. Эквивалентность \(r\) и \(s\) обозначается \(r \iff s\text{.}\) Эквивалентность для логики, как равенство для алгебры. Точно так же, как существует множество способов записи алгебраического выражения, одно и то же логическое значение может быть выражено многими различными способами. Пример 3.3.7. Некоторые эквиваленты. Ниже приведены все эквиваленты: \((p \land q)\lor (\neg p \land q)\iff q\text{.}\) \(\displaystyle p \to q \iff\neg q \rightarrow \neg p\) \(p \lor q \iff q \lor p\text{. }\) Все тавтологии эквивалентны друг другу. Пример 3.3.8. Эквивалентность \(1\). \(p\lor \neg p\iff 1\text{.}\) Все противоречия эквивалентны друг другу. Пример 3.3.9. Эквивалентность \(0\). \(p\land \neg p\iff 0\text{.}\) Подраздел 3.3.3 Значение Рассмотрим два предложения: Таблица 3.3.10. \(x\text{:}\) Деньги за дверью А; и \(y\text{:}\) Деньги находятся за дверью A или дверью B. Представьте, что вам сказали, что за одной из двух дверей, отмеченных A и B, находится крупная сумма денег, и что одно из двух утверждений \(x\) и \(y\) истинно, а другое ложно. Какую дверь вы бы выбрали? Все, что вам нужно понять, это то, что если \(x\) истинно, то \(y\) также будет истинно. Поскольку мы знаем, что это не может быть так, \(y\) должно быть истинным предложением, а деньги находятся за дверью B. Это пример ситуации, в которой истинность одного предложения приводит к истинности другого. Конечно, \(y\) может быть истинным, когда \(x\) ложным; но \(х\) не может быть истинным, когда \(у\) ложным. В этом случае мы говорим, что \(x\) подразумевает \(y\text{.}\) Рассмотрим таблицу истинности \(p \to q\text{,}\) Таблица 3.1.7. Если из \(p\) следует \(q\text{,}\), то третий случай можно исключить, поскольку именно он делает условное суждение ложным. Определение 3.3.11. Значение. Пусть \(S\) будет набором предложений, и пусть \(r\) и \(s\) будут предложениями, порожденными \(S\text{.}\). Мы говорим, что \(r\) влечет \( s\), если \(r \to s\) — тавтология. Мы пишем \(r \Rightarrow s\), чтобы указать на это следствие. Пример 3.3.12. Разделительное дополнение. Часто используемая импликация, называемая «дизъюнктивным сложением», имеет вид \(p \Rightarrow (p \lor q)\text{,}\), что подтверждается таблицей истинности Таблица 3.3.13. Таблица 3.3.13. Таблица истинности, чтобы убедиться, что \(p \Rightarrow (p \lor q)\) \(р\) \(к\) \(р\лор д\) \(п\к п\лор д\) 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Если мы позволим \(p\) представлять «Деньги за дверью A», а \(q\) представлять «Деньги за дверью B», \(p \Rightarrow (p \lor q)\) является формализованной версией рассуждений, использованных в примере 3. 3.12. Обычное название этой импликации — дизъюнктивное сложение. В следующем разделе мы рассмотрим некоторые из наиболее часто используемых импликаций и эквивалентностей. Когда мы определяли, что мы подразумеваем под предложением, порожденным набором, мы не включали условные и биусловные операторы. Это произошло из-за двух эквивалентностей \(p \to q \Leftrightarrow \neg p \lor q\) и \(p \leftrightarrow q \Leftrightarrow (p \land q) \lor (\neg p \land \neg q) \text{.}\) Таким образом, любое предложение, включающее условные или биусловные операторы, может быть записано эквивалентным образом с использованием только конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Мы могли бы даже обойтись без дизъюнкции, поскольку \(p \lor q\) эквивалентно предложению, в котором используются только конъюнкция и отрицание. Подраздел 3.3.4 Универсальная операция Мы завершаем этот раздел последней логической операцией, обводкой Шеффера, которая обладает тем интересным свойством, что из нее могут быть созданы все остальные логические операции. Вы можете изучить эту операцию в упражнении 3.3.5.8 . Определение 3.3.14. Инсульт Шеффера. Удар Шеффера — это логический оператор, определяемый следующей таблицей истинности: Таблица 3.3.15. Таблица истинности для инсульта Шеффера \(р\) \(к\) \(п \середина кв\) 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Упражнения 3.3.5 Упражнения 1. Даны следующие предложения, порожденные \(p\text{,}\) \(q\text{,}\) и \(r\text{,}\), которые эквивалентны друг другу? \(\displaystyle (p \land r) \lor q\) \(\displaystyle p\lor (r\lor q)\) \(\displaystyle r \land p\) \(\displaystyle \neg r \lor p\) \(\displaystyle (p\lor q)\land (r\lor q)\) \(\displaystyle г\п\) \(\displaystyle r \lor \neg p\) \(\displaystyle p\to r\) Ответ. \(a\Стрелка влево e, d\Стрелка влево f, g\Стрелка влево h\) 2. Построить таблицу истинности для \(x= (p \land \neg q) \lor (r \land p)\text{.}\) Приведите пример, отличный от самого \(x\), предложения, порожденного \(p\text{,}\) \(q\text{,}\) и \(r\), которое эквивалентно \( х\текст{.}\) Приведите пример предложения, отличного от \(x\), из которого следует \(x\text{.}\) Приведите пример предложения, отличного от \(x\), которое следует из \(x\text{.}\) 3. Является ли импликация эквивалентной своей обратной? Проверьте свой ответ с помощью таблицы истинности. Раствор. Нет. В символической форме вопрос звучит так: Is \((p\to q)\Leftrightarrow (q\to p)\text{?}\) \(\begin{array}{ccccc} p & q & p\to q & q\to p & (p\to q)\leftrightarrow (q\to p) \\ \hline 0 и 0 и 1 и 1 и 1\\ 0 и 1 и 1 и 0 и 0\\ 1 и 0 и 0 и 1 и 0 \\ 1 и 1 и 1 и 1 и 1 \\ \конец{массив}\) Эта таблица показывает, что импликация не всегда эквивалентна своей обратной. 4\) возможных предложений. 6. Найдите предложение, эквивалентное \(p \lor q\) и использующее только союз и отрицание. 7. Объясните, почему противоречие влечет за собой любое суждение, а любое суждение влечет за собой тавтологию. Ответ. \(0\to p\) и \(p\to 1\) являются тавтологиями. 8. Значение хода Шеффера состоит в том, что это «универсальная» операция, из которой можно построить все остальные логические операции. Докажите, что \(p | q\) эквивалентно \(\neg (p \land q)\text{.}\) Докажите, что \(\neg p \Leftrightarrow p | p\text{.}\) Построить \(\land\), используя только обводку Шеффера. Построить \(\lor\), используя только обводку Шеффера. 9. Эквивалентны ли обратное и обратное условного суждения? Проверьте свой ответ с помощью таблицы истинности. Раствор. Да. В символической форме вопрос заключается в том, является ли условное суждение \(p \to q\text{,}\) \((q\to p)\Leftrightarrow (\neg p\to \neg q)\text {?}\) \(\begin{массив}{ccccc} p & q & q\to p & \neg p\to \neg q & (q \to p)\leftrightarrow (\neg p\to \neg q) \\ \hline 0 и 0 и 1 и 1 и 1\\ 0 и 1 и 0 и 0 и 1\\ 1 и 0 и 1 и 1 и 1 \\ 1 и 1 и 1 и 1 и 1 \\ \end{array}\) Эта таблица показывает, что обратное всегда эквивалентно обратному. Раздел 1.1 Раздел 1.1 Логические формы и эквиваленты Логическая форма и логическая Эквивалентность | Определения | Сложный Заявления | Таблицы истинности Логическая эквивалентность | Законы Де Моргана | Таблица логических эквивалентов Логический Форма и логическая эквивалентность Содержание инструкции не совпадает с логической формой. Например, рассмотрим 2 следующих утверждения: Если Салли проснется поздно или опоздает на автобус, она опоздает на работу. Поэтому, если Салли приходит на работу вовремя, она не проснулся поздно и не опоздал на автобус. Если x действительное число такое, что x < -2 или x > 2, то x 2 > 4. Следовательно, если x 2 < 4, то х > -2 и х < 2. Логический анализ не помогает определить ценность аргумента. Вместо это помогает проанализировать форму аргумента, чтобы определить, верна ли вывод следует из истинности предыдущих утверждений. В то время как содержание двух приведенных выше утверждений различно, их логическая форма похожий. Пусть p обозначает утверждения «Салли просыпается поздно». и «x — действительное число, такое что x < -2». Пусть q будет обозначать утверждения «Салли опаздывает на автобус». и «x — действительное число, такое что x > -2». Пусть r обозначают утверждения «Салли опаздывает на работу». и «х 2 > 4». Тогда общая форма для обоих приведенных выше аргументов: Практические упражнения ОПРЕДЕЛЕНИЕ   Аргумент: последовательность утверждений, направленных на демонстрацию истины высказывания или утверждения.   Выписка: предложение, которое либо истинно, либо ложно, но не оба. Его еще называют предложением.   Отрицание: если p — это операторная переменная, отрицание p — это «не p «, обозначаемое ~ p . Если р верно, то ~ p ложно.   Соединение:   , если p и q являются переменными оператора, соединение p и q равно « p и q «, обозначен pq . Конъюнкция истинна только тогда, когда истинны обе переменные. Если 1 или обе переменные ложные, pq является ложным.   Отключение: , если p и q являются переменными оператора, дизъюнкция p и q есть « p или q «, обозначен pq . Дизъюнкция истинна, если истинны одна или обе переменные. pq ложно, только если обе переменные ложны.   Тавтология: Форма заявления, которая всегда верна. Правда делает не полагаться на значения отдельных утверждений, заменяемых переменные оператора, а на логическую структуру самого оператора. (т. е. вы получите пятерку в этом классе или нет).   Противоречие:   Форма заявления, которая всегда ложна. Как тавтология, ложность заключается не в отдельных переменных высказываниях, а в логическая структура самого высказывания. (т. е. я всегда лгу). Составные операторы использовать символы (логический И), (логическое ИЛИ), и ~ (НЕ) для построения сложных логических утверждений из более простых. Пусть p = «Жарко» и пусть q = «Солнечно»  Тогда утверждение «Не жарко, но солнечно». можно написать символически как:      ~ р д       Практические упражнения Однако утверждения должны иметь четко определенные значения истинности — они должны быть либо истинными, либо ложными. Истинность утверждения может быть выражена на Таблица правды . А таблица истинности для данного утверждения отображает результирующие значения истинности для различных комбинации значений истинности для переменных. Истина о соединении утверждение может быть логически выведено с использованием известных значений истинности для различных части высказывания.    Таблица истинности для ~п   Таблица истинности для  pq   Таблица истинности для  pq   р ~р р q шт. р q шт. Т Ф Т Т Т Т Т Т Ф Т Т Ф Ф Т Ф Т       Ф Т Ф Ф Т Т       Ф Ф Ф Факс Ф Ф Практические упражнения Логическая эквивалентность: Две инструкции логически эквивалентны тогда и только тогда, когда их результирующие формы логически эквивалентны, когда идентичны переменные операторов используются для представления операторов компонентов. Две формы операторов логически эквивалентны тогда и только тогда, когда их результирующие таблицы истинности идентичны для каждого варианта переменных утверждения.      р          q       pq      qp   Т Т Т Т Т Ф Ф Ф Ф Т Ф Ф Ф Ф Ф Ф шт. и qp имеют одинаковые значения истинности, поэтому они равны логически эквивалентен. Другие логически эквивалентные операторы включают: (стр. д) ~(р q) р xor д эксклюзивный или р ~(~п) Двойное отрицание   Чтобы проверить логическую эквивалентность двух операторов, создайте таблицу истинности, которая включает каждую переменную для оценки, а затем проверить чтобы увидеть, эквивалентны ли результирующие значения истинности двух утверждений. Законы Де Моргана Отрицание союза (логическое И) двух операторов логически эквивалентна дизъюнкции (логическому ИЛИ) каждого оператора отрицание. Это звучит как полный рот, но это означает, что «не (A и B) « логически эквивалентно » не А или не В» .   Аналогично, отрицание дизъюнкции двух утверждений логически эквивалентна конъюнкции отрицания каждого утверждения. Помещать просто, «не (А или Б)» логически эквивалентно «не А и не Б» . Символически это можно записать как .     ~(pq) ~ р ~q      . . . а также . . .   ~(пк) ~ р ~q     Эти два оператора логически эквивалентны (нажмите здесь для определения), и это можно проверить с помощью таблицы истинности. Таблица логических Эквиваленты: Следующая таблица может помочь сократить составные операторы до более простые формы. Учитывая переменные оператора p, q, и r , тавтология t и противоречие c, следующие правил логики: Коммутативный р qq стр р д д стр Ассоциативный (стр. р) рп (q р) (стр. р) рп (q р) Распределительный р (q г) (р р) (р р) р (q г) (р р) (р г) Личность р тп р кп Отрицание р ~ пт ~шт. Двойное отрицание ~(~р)р       Идемпотент р стр стр стр Законы Де Моргана ~(pq)~p ~q ~(pq)~p ~q Универсальный переплет р тт р копия Поглощение р (р д)р р (р к)р Отрицания t и c ~тк ~ карат   Логические эквивалентности можно использовать для упрощения форм выписок, для подтверждения или опровергнуть эквивалентность, чтобы создать эффективный и логически правильный компьютер программ или для помощи в разработке цифровых логических схем. Булево выражение: Урок 12. преобразование логических выражений — Информатика — 10 класс alexxlab / 10.02.197117.09.2022 / Разное БУЛЕВО ВЫРАЖЕНИЕ — Визуальный словарь           О проекте | Помощь              Энциклопедия gif»> Компьютеры Финансы Психология Право Философия    Культура Медицина Педагогика Физика Спорт Спорт   А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я   Ба Бб Бв Бг Бд Бе Бж Бз Би Бй Бк Бл Бм Бн Бо Бп Бр Бс Бт Бу Бф Бх Бц Бч Бш Бщ Бъ Бы Бь Бэ Бю Бя   БУЛЕВО ВЫРАЖЕНИЕ (Boolean expression). To же, что логическое выражение               Текст словарных статей Дрот В.Л., Новиков Ф.А. «Толковый словарь современной компьютерной лексики» Copyright © 2004-2022 ЛАНИ, СПИИРАН Copyright © 2004-2022 VisualWorld.ru Дизайн — Z-Vector           Троичное конструктное кодирование булевых выражений Брусенцов Н.  П., Владимирова Ю. С. Булева алгебра – первооснова, или начало, всякой науки, исследующей взаимосвязи, будь то логика, математика, информатика или, скажем, структурная лингвистика. Ввиду же фундаментальности наук этого рода не будет преувеличением усмотреть в ней и начало науки вообще – способности рассуждать, умозаключать, доказывать. Компьютерная информатика также «произрастает» из булевой алгебры, что наиболее очевидно. Однако дальнейшее развитие способности компьютера, становление «искусственного интеллекта», оставляет желать лучшего. Впрочем, при нынешнем засилии формализма и естественный человеческий интеллект оказывается под угрозой – поневоле превращаемся в роботов. Пора бы придать компьютерной информатике здравый диалектический характер. В этой статье речь пойдет об усовершенствованной конструктной реализации булевой алгебры в диалоговой системе структурированного программирования ДССП [1-3]. Конструктами в ДССП называются нестандартные, определяемые (конструируемые) пользователем типы данных, введением которых достигается высокоуровневая специализация этой системы в заданном классе приложений. Комплекс программ, обеспечивающий возможность декларирования конструктных переменных и реализующий базисный набор операций конструкта, называется, поддерживающим этот конструкт конструктивом [4]. Специализация и развитие ДССП в нужном направлении осуществляется дозагрузкой соответствующих конструктивов. Конструкты типа «булево выражение» предоставляют возможность оперирования переменными, принимающими в качестве значений n-арные выражения булевой алгебры, и функционально полный набор базисных операций, позволяющих в сочетании с штатными средствами конструирования программ в ДССП эффективно реализовать логико-алгебраические процедуры [5]. Функционально конструкт определяется форматом принимаемых переменными значений и набором интерпретирующих эти значения базисных операций. Формат характеризуется структурой, информационной емкостью и способами доступа. Например, формат «вектор битов» с параметром n – длина вектора предоставляет доступ к отдельным битам по их номерам, а также к вектору в целом. Вектор битов надлежащим выбором базисных операций можно интерпретировать как двоичное число без знака, либо со знаком, как целое, либо дробное и т. п. Но тот же вектор битов можно интерпретировать как n-арную элементарную конъюнкцию (либо дизъюнкцию), приняв в качестве базисных операций побитные инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию. Принцип отображения булевых выражений конструктами в простейших случаях заключается во взаимно однозначном сопоставлении входящих в выражение букв-переменных (следуя Аристотелю, будем называть их терминами) последовательно пронумерованным компонентам-битам в формате конструкта. Другими словами, каждая переменная представлена в формате конструкта собственным битом. Значение же, принимаемое битом, указывает статус его переменной в отображаемом выражении. Например, элементарная конъюнкция xyz‘u отображается вектором 1101 при условии, что неинвертированному термину сопоставлена цифра 1, а инвертированному – цифра 0. Заметим, что всевозможные 2nn-арные элементарные конъюнкции пронумерованы значениями отображающего n-битного вектора, интерпретируемыми как двоичные натуральные числа. В приведенном примере номера последовательно убывают от 1111 для xyzu до 0000 для x‘y‘z‘u‘. Эта нумерация использована в конструкте, отображающем булевы выражения в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ). Его формат – 2n-компонентный вектор битов, пронумерованных n-битными числами от 11…1 до 00…0, и таким образом однозначно сопоставленных n-арным элементарным конъюнкциям. Биты, соответствующие входящим в отображаемое СДНФ-выражение конъюнкциям, принимают значение 1, а все прочие – значение 0. Например, при n = 2 отображающий вектор состоит из 4-х битов, пронумерованных числами 11, 10, 01, 00, которым соответствуют элементарные конъюнкции xy, xy‘, x‘y, x‘y‘, так что выражение xy v x‘y отобразится в 1010, а выражение xy‘ v x‘y v x‘y‘ отобразится в 0111. Конструкт описанного типа, названный двоичной ДК-шкалой, позволяет эффективно компьютеризовать алгебру n-арных СДНФ-выражений. Очевидно, что операции конъюнкции и дизъюнкции над такими выражениями сводятся к побитным конъюнкциям и дизъюнкциям ДК-шкал, а операция отрицания-дополнения СДНФ-выражения – к побитной инверсии его ДК-шкалы. Существенное достоинство ДК-шкалы – ее экономность: произвольная n-арная булева функция кодируется 2n битами. Выражения в совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ-выражения) аналогично отображаются n-арной двоичной КД-шкалой. Вернее, 2n-битный вектор допускает ДК-интерпретацию и КД-интерпретацию: ДК – это дизъюнкция элементарных конъюнкций (СДНФ), а КД – конъюнкция элементарных дизъюнкций (СКНФ). Наряду с ДК- и КД-шкалами не лишены смысла и менее экономные конструкты на основе формата цепь элементарных конъюнкций либо дизъюнкций. Цепь – это совокупность n-арных векторов, допускающая добавление, удаление, а также перестановку отдельных ее членов. В отличие от шкалы, где членам СНФ-выражения сопоставлены позиции битов-компонент отображающего вектора, так что номера позиций кодируют соответствующие члены, в цепи коды членов СНФ-выражения содержатся непосредственно и могут располагаться в любой последовательности, в частности, упорядочиваться по тому или иному критерию, что способствует дальнейшему развитию конструктной алгебры. Шкалы и цепи, основанные на отображении элементарных конъюнкций и дизъюнкций векторами битов (двоичные конструкты), позволяют компьютеризовать алгебру совершенных нормальных форм, СДНФ- и СКНФ-выражений. В системе с двоичными конструктами эффективно реализуются процедуры синтеза и преобразования СНФ-выражений, такие как тождественное преобразование выражения в двойственную форму, инвертирование, получение дополнения, получение дуала (выражения, двойственного данному), получение единого выражения из нескольких заданных по предписанным взаимосвязям, выявление и доказательство отношений, в которых состоят сопоставляемые выражения, решение булевых уравнений [5, 6]. Компьютеризация булевой алгебры в полном объеме достигнута применением конструктов, в основу которых положен вектор трехзначных элементов (тритов). Конструкты этого рода естественно называть троичными. О том, что в троичном коде успешно преодолевается несовершенство двоичного кодирования, убедительно свидетельствует троичный симметричный код чисел, в котором три значения трита интерпретируются как 1, 0, -1 т. е. к двоичным 1 и 0 добавлена отрицательная единица. Не имеющих удовлетворительного решения в двоичном коде проблем представления чисел со знаком и округления чисел в симметричном троичном коде просто нет. Точно так же компенсируется неполноценность отображения вектором битов элементарных конъюнкции и дизъюнкции, оказывающаяся причиной того, что двоичные конструкты отображают булевы выражения только в совершенных нормальных формах. Используемые в них для представления элементарных конъюнкций и дизъюнкций n-битные векторы способны кодировать только индивидные конъюнкции и предполные дизъюнкции, но не могут отобразить элементарную конъюнкцию или дизъюнкцию, в которой некоторые термины умалчиваются («элиминированы» по Булю-Порецкому), т. е. в которой статус терминов трехзначен: неинвертированное вхождение, вхождение под знаком инверсии, невхождение. Сопоставив этим состояниям значения трита 1, -1, 0, которые далее ради удобства будем обозначать +, -, 0, получаем отображение n-тритным вектором не только индивидных конъюнкций и предполных дизъюнкций, но и элементарных n-арных конъюнкций и дизъюнкций произвольного вида. Так, конъюнкциям xyz‘u, xz‘u, yz‘, z‘ будут соответствовать значения 4-тритного конструкта-вектора К-типа: ++-+, +0-+, 0+-0, 00-0, а дизъюнкциям x‘ v y‘ v z v u‘, x‘ v z v u‘, y‘ v z, z – значения 4-тритного конструкта-вектора Д-типа: —+-, -0+-, 0-+0, 00+0. Построенные на n-тритных векторах ДК- и КД-цепи при должным образом пересмотренных наборах интерпретирующих базисных процедур способны отображать теперь не только СНФ-выражения, но и произвольное булево выражение в нормальной форме с фиксированным порядком размещения терминов в элементарных конъюнкциях и дизъюнкциях. Например, выражение xy v x‘y, отобразимое 2-арной двоичной ДК-цепью 11 01, троичной 2-арной цепью отобразимо как в СДНФ ++ -+, так и в минимальной ДНФ 0+, а выражение xy‘ v x‘y v x‘y‘ (двоичная ДК-цепь 10 01 00) троичной ДК-цепью отображается в четырех вариантах: +- -+ —, +- -0, 0- -+, -0 0-, -0 0-, т. е. в СДНФ, в двух тупиковых и в минимальной ДНФ. Угадывается «алгебраическая полнота» троичного отображения, и в булевой алгебре она действительно имеет место: посредством троичных конструктов удается перепоручить компьютеру практически все, что может делать в булевой алгебре человек и даже то, чего еще не может (например, минимизации произвольного булева выражения [7]). Описанное усовершенствование компьютерной реализации булевой алгебры представляет собой один из результатов конструктного подхода к информатике. Результат фундаментальный, поскольку касается основы и вместе с тем открывает пути совершенствования последующих ступеней – алгебраизации силлогистики, модальной и диалектической логики [8], упорядочения теории вероятностей и нечетких множеств [9, 10]. Литература Брусенцов Н. П., Златкус Т. В., Руднев И. А. ДССП-диалоговая система структурированного программирования // Программное оснащение микрокомпьютеров. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. С. 11-40. Брусенцов Н. П. Микрокомпьютеры. – М.: «Наука», 1985. С. 141-170. Развиваемый адаптивный язык РАЯ диалоговой системы программирования ДССП / Н. П. Брусенцов, В. Б. Захаров, И. А. Руднев, С. А. Сидоров, Н. А. Чанышев. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 80 с. Концептуальная характеристика РИИИС-процессора / Н. П. Брусенцов, С. П. Маслов, Х. Рамиль Альварес, С. А. Сидоров // Интегрированная система обучения, конструирования программ и разработки дидактических материалов. – М.: Изд-во ф-та ВМиК МГУ, 1996 г. С. 16-43. Владимирова Ю. С. Конструктная реализация булевой алгебры // Интегрированная система обучения, конструирования программ и разработки дидактических материалов. – М.: Изд-во ф-та ВМиК МГУ, 1996 г. С. 44-69. Брусенцов Н. П., Владимирова Ю. С. Решение булевых уравнений // Методы математического моделирования. – М.: Диалог-МГУ, 1998. С. 59-68. Solution of Boolean Equations. // Computational mathematics and modeling, Vol. 9 , № 4, 1998, pp. 287-295. Брусенцов Н. П., Владимирова Ю. С. Троичный минимизатор булевых выражений // Программные системы и инструменты. Тематический сборник № 2. – М.: Факультет ВМиК МГУ, 2001. С. 205-207. Брусенцов Н. П. Трехзначная диалектическая логика // Программные системы и инструменты. Тематический сборник № 2. – М.: Факультет ВМиК МГУ, 2001. С. 36-44. Брусенцов Н. П., Деркач А. Ю. Логическая модель теории вероятностей и нечетких множеств Заде // Цифровая обработка информации и управление в чрезвычайных ситуациях. Материалы Второй международной конференции (28-30 ноября 2000 г., Минск.) – Минск: Институт технической кибернетики НАН Беларуси, 2000. Том 1, с. 41-44. Брусенцов Н. П., Деркач А. Ю. Трехзначная логика, нечеткие множества и теория вероятностей // Программные системы и инструменты. Тематический сборник № 2. – М.: Факультет ВМиК МГУ, 2001. С. 88-91. Заметки о трехзначной логике Доложено на Ломоносовских чтениях 2002 г. на факультете ВМиК МГУ. Опубликовано в: Программные системы и инструменты: Тематический сборник № 3 // Под ред. Л. Н. Королева.- М. Издательский отдел ВМиК МГУ, 2002, с. 6-10. Основные законы и правила булевой алгебры логики Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒   2.1Булево выражение   Для логических схем, представляющих собой соединение нескольких логических элементов, в левой части таблицы истинности перечисляются все возможныекомбинации входных сигналов, а в правой части – соответствующие значения на выходе логической схемы. Очевидно, что левые части таблицы будут одинаковыми для всех функций двух переменных, для всех функций трёх переменных и т. д.Традиционно комбинации сигналов в нихрасполагают в порядке возрастания соответствующих двоичных кодов. На рисунке 3.7 приведен пример логической схемы и таблица истинности, полностью описывающая ее работу.     Рисунок 3. 7 – Логическая схема и соответствующая ей таблица истинности   Вероятность ошибки уменьшается, если не решать задачу «в лоб», а проанализировать её работу с точки зрения уже известных нам правил логического сложения, умножения и инверсии. Очевидно, что в рассматриваемой схеме осуществляется логическое сложение нескольких логических произведений. Можно записать логическое выражение, соответствующее данной схеме:   .                             (3.1) Булево выражение в виде суммы произведений называется дизъюнктивно нормальной формой (ДНФ). Булево выражение в виде произведения сумм называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ). По правилу логического сложения выражение (3.1) имеет на выходе логическую 1 ( f =1) только в том случае, если равно 1 хотя бы одно из четырех произведений, входящих в сумму. По правилу логического умножения каждое произведение будет равно 1 только в том случае, когда все входящие в произведение переменные равны 1. Рассмотрим все эти возможности отдельно и по порядку. * Произведение  будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и , и . При этом от значений остальных входных переменных –  и  – значение данного произведения не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках, соответствующих полным произведениям , в которых , а переменные  и  перечисляются во всех четырех возможных комбинациях: =0101, 0111, 1101 и 1111. * Произведение  будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и  (т. е. ), и , и . От значения не вошедшей в данное произведение переменной  произведение  не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках таблицы истинности, соответствующих полным произведениям , в которых  и одновременно , а переменная  перечисляется во всех двух возможных комбинациях: =0011 и 0111. * Произведение  будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и  (т. е. ), и , и . От значения не вошедшей в данное произведение переменной  произведение  не зависит. Поэтому логические 1 будут в строках таблицы истинности, соответствующих полным произведениям , в которых  и одновременно , а переменная  перечисляется во всех двух возможных комбинациях: =0101 и 0111. * Произведение  будет равно 1 только тогда, когда будет выполняться условие: и  (т. е. ),  (т. е. ), и  и . Поэтому логическая 1, соответствующая данному полному произведению всех переменных, будет только в той строке таблицы истинности, где =0011. Анализ всех этих возможностей показывает, что они могут совпадать для нескольких произведений. Например, комбинация входных переменных 0011 встречается в произведениях  и . А сочетание 0111 встречается даже в трех произведениях: и в , и в , и в . Это говорит о том, что для данного логического выражения есть возможности минимизации.   2.2 Основные законы и правила алгебры логики   Основные тождества булевой алгебры, используемые для преобразования формул функций, получили название законов и правил. После определения операций алгебры эти тождества являются следствиями этих определений и могут быть доказаны. Основными законами и правилами булевой алгебры являются: Законы коммутативности (переместительные) для дизъюнкции и конъюнкции .     Законы ассоциативности (сочетательные) для дизъюнкции и конъюнкции .     Первый и второй законы дистрибутивности (распределительные) .     Законы идемпотентности (повторения) для дизъюнкции и конъюнкции .     Законы отрицания (инверсии) .     Законы двойственности  или «правило де Моргана» .     Правило свертки .     Правила поглощения .     Правила полного склеивания .     Правило неполного склеивания .     Правило Порецкого .     Правила операций с константами                                   Доказательство большинства законов и правил алгебры логики очевидны.     Например,   ⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒ Читайте также:  Техника нижней прямой подачи мяча Комплекс физических упражнений для развития мышц плечевого пояса Стандарт Порядок надевания противочумного костюма Общеразвивающие упражнения без предметов  Последнее изменение этой страницы: 2021-03-09; просмотров: 180; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 176.9.44.166 (0.009 с.) Логические выражения и операторы. Урок 6 курса «Python. Введение в программирование» Логические выражения и логический тип данных Часто в реальной жизни мы соглашаемся с каким-либо утверждением или отрицаем его. Например, если вам скажут, что сумма чисел 3 и 5 больше 7, вы согласитесь, скажете: «Да, это правда». Если же кто-то будет утверждать, что сумма трех и пяти меньше семи, то вы расцените такое утверждение как ложное. Подобные фразы предполагают только два возможных ответа – либо «да», когда выражение оценивается как правда, истина, либо «нет», когда утверждение оценивается как ошибочное, ложное. В программировании и математике если результатом вычисления выражения может быть лишь истина или ложь, то такое выражение называется логическим. Например, выражение 4 > 5 является логическим, так как его результатом является либо правда, либо ложь. Выражение 4 + 5 не является логическим, так как результатом его выполнения является число. На позапрошлом уроке мы познакомились с тремя типами данных – целыми и вещественными числами, а также строками. Сегодня введем четвертый – логический тип данных (тип bool). Его также называют булевым. У этого типа всего два возможных значения: True (правда) и False (ложь). >>> a = True >>> type(a) <class 'bool'> >>> b = False >>> type(b) <class 'bool'> Здесь переменной a было присвоено значение True, после чего с помощью встроенной в Python функции type() проверен ее тип. Интерпретатор сообщил, что это переменная класса bool. Понятия «класс» и «тип данных» в данном случае одно и то же. Переменная b также связана с булевым значением. В программировании False обычно приравнивают к нулю, а True – к единице. Чтобы в этом убедиться, можно преобразовать булево значение к целочисленному типу: >>> int(True) 1 >>> int(False) 0 Возможно и обратное. Можно преобразовать какое-либо значение к булевому типу: >>> bool(3.4) True >>> bool(-150) True >>> bool(0) False >>> bool(' ') True >>> bool('') False И здесь работает правило: всё, что не 0 и не пустота, является правдой. Логические операторы Говоря на естественном языке (например, русском) мы обозначаем сравнения словами «равно», «больше», «меньше». В языках программирования используются специальные знаки, подобные тем, которые используются в математике: > (больше), < (меньше), >= (больше или равно), <= (меньше или равно), == (равно), != (не равно). Не путайте операцию присваивания значения переменной, обозначаемую в языке Python одиночным знаком «равно», и операцию сравнения (два знака «равно»). Присваивание и сравнение – разные операции. >>> a = 10 >>> b = 5 >>> a + b > 14 True >>> a < 14 - b False >>> a <= b + 5 True >>> a != b True >>> a == b False >>> c = a == b >>> a, b, c (10, 5, False) В данном примере выражение c = a == b состоит из двух подвыражений. Сначала происходит сравнение (==) переменных a и b. После этого результат логической операции присваивается переменной c. Выражение a, b, c просто выводит значения переменных на экран. Сложные логические выражения Логические выражения типа kByte >= 1023 являются простыми, так как в них выполняется только одна логическая операция. Однако, на практике нередко возникает необходимость в более сложных выражениях. Может понадобиться получить ответа «Да» или «Нет» в зависимости от результата выполнения двух простых выражений. Например, «на улице идет снег или дождь», «переменная news больше 12 и меньше 20″. В таких случаях используются специальные операторы, объединяющие два и более простых логических выражения. Широко используются два оператора – так называемые логические И (and) и ИЛИ (or). Чтобы получить True при использовании оператора and, необходимо, чтобы результаты обоих простых выражений, которые связывает данный оператор, были истинными. Если хотя бы в одном случае результатом будет False, то и все сложное выражение будет ложным. Чтобы получить True при использовании оператора or, необходимо, чтобы результат хотя бы одного простого выражения, входящего в состав сложного, был истинным. В случае оператора or сложное выражение становится ложным лишь тогда, когда ложны оба составляющие его простые выражения. Допустим, переменной x было присвоено значение 8 (x = 8), переменной y присвоили 13 (y = 13). Логическое выражение y < 15 and x > 8 будет выполняться следующим образом. Сначала выполнится выражение y < 15. Его результатом будет True. Затем выполнится выражение x > 8. Его результатом будет False. Далее выражение сведется к True and False, что вернет False. >>> x = 8 >>> y = 13 >>> y < 15 and x > 8 False Если бы мы записали выражение так: x > 8 and y < 15, то оно также вернуло бы False. Однако сравнение y < 15 не выполнялось бы интерпретатором, так как его незачем выполнять. Ведь первое простое логическое выражение (x > 8) уже вернуло ложь, которая, в случае оператора and, превращает все выражение в ложь. В случае с оператором or второе простое выражение проверяется, если первое вернуло ложь, и не проверяется, если уже первое вернуло истину. Так как для истинности всего выражения достаточно единственного True, неважно по какую сторону от or оно стоит. >>> y < 15 or x > 8 True В языке Python есть еще унарный логический оператор not, то есть отрицание. Он превращает правду в ложь, а ложь в правду. Унарный он потому, что применяется к одному выражению, стоящему после него, а не справа и слева от него как в случае бинарных and и or. >>> not y < 15 False Здесь у < 15 возвращает True. Отрицая это, мы получаем False. >>> a = 5 >>> b = 0 >>> not a False >>> not b True Число 5 трактуется как истина, отрицание истины дает ложь. Ноль приравнивается к False. Отрицание False дает True. Практическая работа Присвойте двум переменным любые числовые значения. Используя переменные из п. 1, с помощью оператора and составьте два сложных логических выражения, одно из которых дает истину, другое – ложь. Аналогично выполните п. 2, но уже с оператором or. Попробуйте использовать в логических выражениях переменные строкового типа. Объясните результат. Напишите программу, которая запрашивала бы у пользователя два числа и выводила бы True или False в зависимости от того, больше первое число второго или нет. Примеры решения и дополнительные уроки в android-приложении и pdf-версии курса Таблица истинности онлайн Назначение сервиса. ⊕ Исключающее ИЛИ, сумма по модулю 2 (XOR) @ → Импликация (ЕСЛИ-ТО) % ← Обратная импликация = ≡ (~, ↔) Эквивалентность (РАВНО) Логическое выражение: Вывод промежуточных таблиц для таблицы истинности Построение СКНФ Построение СДНФ Построение полинома Жегалкина Построение карты Вейча-Карно Минимизация булевой функции методом Квайна Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис. Для булевой функции, заданной вектором значений (например, 00111011) используйте ввод данных через таблицу. Правила ввода логической функции Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак +. y). Максимальное количество переменных равно 10. Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики — алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: «НЕ» (отрицание), «И» (конъюнкция), «ИЛИ» (дизъюнкция). Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики. Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2n её значения, где n – число выходных переменных. Если определены не все значения, функция называется частично определённой. Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики. Для представления функции алгебры логики используется следующие способы: словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление. описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности. описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ: а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу: 1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1. 2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией. 3) полученное произведение логически суммируется. Fднф= X1*Х2*Х3 ∨ Х1x2Х3 ∨ Х1Х2x3 ∨ Х1Х2Х3 ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде. б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм. КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму: 1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0 2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией. 3) логически перемножаются полученные суммы. Fскнф=(X1 V X2 V X3) ∧ (X1 V X2 V X3) ∧ (X1 V X2 V X3) ∧ (X1 V X2 V X3) КНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг. По алгебраической форме можно построить схему логического устройства, используя логические элементы. Рисунок1- Схема логического устройства Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2N строк, так как существует 2N различных комбинаций возможных значений аргументов. Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия) Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным; если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным. Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения: не А, Ā, not A, ¬А, !A Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности: A не А 0 1 1 0 Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот. Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение) Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений. Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B. Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности: A B А или B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны. Операция И — логическое умножение (конъюнкция) Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения. Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B. Результат операции И определяется следующей таблицей истинности: A B А и B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях. Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация) Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия. Применяемые обозначения: если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В. Таблица истинности: A B А → B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно. Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность) Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В. Таблица истинности: A B А↔B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны. Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция) Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В. Таблица истинности: A B А⊕B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны. Приоритет логических операций Действия в скобках Инверсия Конъюнкция ( & ) Дизъюнкция ( V ), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2 Импликация ( → ) Эквивалентность ( ↔ ) Совершенная дизъюнктивная нормальная форма Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами: Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x1,x2,…xn). Все логические слагаемые формулы различны. Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды. СДНФ можно получить или с помощью таблиц истинности или с помощью равносильных преобразований. Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки. Совершенная конъюнктивная нормальная форма Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам: Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x1,x2,…xn). Все элементарные дизъюнкции различны. Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз. Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание. 1.1. Логические выражения и логические операции Исследования в алгебре логики тесно связаны с изучением высказываний (хотя высказывание — предмет изучения формальной логики).  Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности (Аристотель). Простым высказыванием называют повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить, истинно оно или ложно. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Примеры высказываний: Москва – столица России. Число 27 является простым. Волга впадает в Каспийское море. Высказывания 1 и 3 являются истинными. Высказывание 2 – ложным , потому что число 27 составное 27=3*3*3. Следующие предложения высказываниями не являются: Давай пойдем гулять. 2*x>8. a*x2+b*x+c=0. Который час? Итак, отличительным признаком высказывания является свойство быть истинным или ложным, последние четыре предложения этим свойством не обладают. С помощью высказываний устанавливаются свойства, взаимосвязи между объектами. Высказывание истинно, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно. Примеры высказываний: Сегодня светит солнце. Трава растет. Каждое из этих высказываний характеризует свойства или состояние конкретного объекта (в пермом предложении — погоды, во втором — окружающего мира). Каждое из этих высказываний несет значение «истина» или «ложь». В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно — 0. Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные — логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С. Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание «Число 1 +22 = 4294 967297 — простое», принадлежащее Ферма (1601-1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер (1707-1783) не доказал, что оно ложно. В целом, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равна 180°» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным. В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные, большими буквами латинского алфавита. Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности логических переменных:  Истина И True T 1 Ложь Л False F 0 Сложные (составные) высказывания представляют собой набор простых высказываний (по крайней мере двух) связанных логическими операциями. С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением). Логическое выражение — это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками). Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.  Введем перечисленные логические операции. Конъюнкция — логическое умножение (от латинского conjunctio — союз, связь): в естественном языке соответствует союзу «И»; в алгебре высказываний обозначение «&»; в языках программирования обозначение «And». Конъюнкция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым (или исходным) высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И»сложное высказывание также считается ложным. В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате умножения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно двум множествам.  Таблица истинности Диаграмма Эйлера-Венна A B  А&В  1  1 1  1  0 0   0  1 0   0  0 0  Итак, если два высказывания соединены союзом «И», то полученное сложное высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.   Дизъюнкция — логическое сложение (от латинского disjunctio — разобщение, различие): в естественном языке соответствует союзу «ИЛИ»; в алгебре высказываний обозначение «V» или «+»; в языках программирования обозначение «Or». Дизъюнкция — это логическая операция, которая каждым двум простым (или исходным) высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно. В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств, т.е. множеству получившемуся в результате сложения множеств А и В соответствует множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо множеству А, либо множеству В.   Таблица истинности Диаграмма Эйлера-Венна A B  A + B   1  1 1  1  0  1  0  1  1  0  0  0 Итак, если два высказывания соединены союзом «ИЛИ», то полученное сложное высказывание истинно когда истинно хотя бы одно из составляющих высказываний. Рассмотренные выше операции были двуместными (бинарными), т.е. выполнялись над двумя операндами (высказываниями). В алгебре логики определена и широко используется и одноместная (унарная) операция отрицание. Инверсия — отрицание (от латинского disjunctio — разобщение, различие): в естественном языке соответствует словам «неверно, что…» и частице «не»; в алгебре высказываний обозначение «¬» или «-»; в языках программирования обозначение «Not». Отрицание — логическая операция, которая с помощью связки «не» каждому исходному высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается. В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества, т. е. множеству получившемуся в результате отрицания множества А соответствует множество, дополняющее его до универсального множества.  Таблица истинности Диаграмма Эйлера-Венна A ¬ А  0  1  1  0 Итак, если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным.   Логическое следование (импликация): Высказывание, составленное из двух высказываний при помощи связки «если . .., то …», называется логическим следованием, импликацией (импликация от латинского implico — тесно связываю).  A B  A=>B  1  1 1  1  0  0  0  1  1  0  0  1 A => B  «Из А следует В» Итак, новое высказывание, полученное с помощью импликации, является ложным тогда и только тогда, когда условие (посылка А) — истинно, а следствие (заключение В) — ложно и истинно во всех остальных случаях.   Пример. Дано сложное высказывание: «Если выглянет солнце, то станет тепло». Требуется записать его в виде логической формулы. Обозначим через А простое высказывание «выглянет солнце», а через В — «станет тепло». Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A -> B.   Эквивалентность (логическое тождество): Высказывание, составленное из двух высказываний при помощи связки «тогда и только тогда, когда», называется эквивалентностью (эквивалентность — логическое тождество, равнозначность, взаимная обусловленность. )  A B  А<=>В  1  1 1  1  0  0  0  1  0  0  0  1 A <=> B  «А равносильно В» Итак, новое высказывание, полученное с использованием эквивалентности, является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.   В алгебре логики логические связки и соответствующие им логические операции имеют специальные названия и обозначаются следующим образом: Логическая связка Название логической операции Обозначения не Отрицание, инверсия Ø, ù и, а, но Конъюнкция, логическое умножение &, • , Ù или Дизъюнкция, логическое сложение V, + если …, то Импликация, следование Þ,® тогда и только тогда, когда эквивалентность, эквиваленция, равнозначность Û, ~, º, « Примеры записи сложных высказываний с помощью обозначения логических связок: «Быть иль не быть — вот в чем вопрос. » (В. Шекспир) А V ¬ A <=> В «Если хочешь быть красивым, поступи в гусары.» (К. Прутков) А => В Что такое булевская логика и как она используется в программировании Булева логика является ключевой концепцией любого языка программирования, независимо от того, создаете ли вы видеоигру на C++, разрабатываете следующее лучшее приложение на Swift, выполняете поиск в реляционных базах данных на SQL, или работа с большими данными в Python. В этой статье мы расскажем, что такое логическая логика, как она работает и как создавать собственные логические выражения. Что такое булева логика? Булева логика — это тип алгебры, в котором результаты рассчитываются либо как ИСТИНА, либо как ЛОЖЬ (известные как значения истинности или переменные истинности). Вместо использования арифметических операторов, таких как сложение, вычитание и умножение, логическая логика использует три основных логических оператора: И, ИЛИ и НЕ. ИСТИНА и ЛОЖЬ: их может быть только два За булевой логикой стоят два очень простых слова: ИСТИНА и ЛОЖЬ. Обратите внимание, что логическое значение TRUE или FALSE очень отличается от ввода строк «True» и «False» в ваш код. На самом деле языки программирования помещают эти два логических значения в свой собственный тип объекта, отдельный от целых чисел, строк и чисел с плавающей запятой. Но в то время как числовые или строковые значения в программировании могут быть практически бесконечными, есть только два возможных логических значения: ИСТИНА и ЛОЖЬ. Как это работает? Булева логика рассматривает сообщаемую связь между вещами и определяет, сохраняется ли эта связь. Например, возьмем уравнение: 2 + 2 = 4 Здесь у нас есть две части, 2 + 2 и 4, и мы сообщаем, что эти две части равны друг другу. Это правильно? Да, так что логический результат этого будет ИСТИНА. В этом примере комбинация двух частей 2 + 2 и 4 вместе с отношением (= равно) называется логическим выражением. Давайте посмотрим на другое логическое выражение: 10 – 4 = 5 Здесь мы сообщаем, что 4, вычитаемое из 10, равно 5. Верно? Конечно, нет, и именно поэтому это логическое выражение вернет значение FALSE. Boolean Expression Result 2 + 2 = 5 FALSE 5 – 1 = 4 TRUE 4 * 5 > 10 TRUE 40 / 10 < 1 FALSE Building Boolean expressions Keep in Имейте в виду, что булевская логика работает только тогда, когда выражение может быть ИСТИНА или ЛОЖЬ. Например, выражение 3 + 8 не является логическим выражением, потому что оно не сравнивается и не связано с чем-то другим. Но выражение 3 + 8 = 10 является логическим выражением, потому что теперь мы можем оценить каждую сторону и посмотреть, является ли отношение между ними ИСТИННЫМ или ЛОЖНЫМ (в данном случае ЛОЖНЫМ). Мы можем строить логические выражения со всеми видами данных, включая переменные. Например, предположим, что мы присвоили эти значения переменным x и y где-то в нашем коде: x равно 7 y равно 3 Теперь мы можем построить логические выражения, используя наши переменные: Логическое выражение Результат x + y < 11 4 ЛОЖЬ0003 x * y = 21 TRUE x / y > 10 FALSE x + (2 * y) = 13 TRUE Логические выражения также могут определять, идентичны ли две строки. Просто помните, что большинство языков программирования чувствительны к регистру. Boolean Expression Результат «I Love Codecademy» = «I Love Codecademy» True «I True « I Love ». «Я люблю Codecademy» = «Я ЛЮБЛЮ Codecademy» FALSE Существует множество других способов построения булевых выражений, в зависимости от языка программирования. Например, вы можете использовать логическое выражение, чтобы определить, содержится ли число в списке в Python или текстовая строка находится в таблице базы данных SQL. Булевы операторы Теперь, когда вы понимаете основы булевых выражений, давайте рассмотрим еще один ключевой аспект булевой логики: булевы операторы. Есть три основных логических оператора: И, ИЛИ и НЕ. Чтобы лучше понять, как работают логические операторы, давайте на мгновение представим, что мы находимся в магазине мороженого. Скажем, мы собираемся приготовить мороженое из двух шариков с разными вкусами. Но я немного привередлив в еде, поэтому могу не принимать каждую комбинацию пломбира, которую получаю. Мы можем использовать логические выражения и логические операторы, чтобы выяснить, буду ли я есть мороженое или нет. AND Логический оператор AND используется для подтверждения истинности двух или более логических выражений. Например, в моем мороженом я хочу, чтобы первый вкус был шоколадным, а второй — ванильным. Мы могли бы превратить это в логическое выражение с оператором И, которое выглядит примерно так: Аромат_1 = Шоколад И Аромат_2 = Ваниль Это означает, что первый аромат должен быть шоколадным, а второй аромат должен быть ванильным. В противном случае я не буду есть мороженое. Мы могли бы организовать эту ситуацию в таблицу таких возможностей, как это: Flavor_1 Flavor_2 ETH SUNDAE? Chocolate Vanilla Yes Chocolate Strawberry No Mango Vanilla No Mango Strawberry No Tables like this are used in Boolean logic all the time. Их называют таблицами истинности, и мы можем составить одну из них для нашего примера с мороженым. Если что-то соответствует моим придирчивым условиям вкуса мороженого, то это ПРАВДА. Если нет, то это ЛОЖЬ. Вот как выглядела бы приведенная выше таблица в виде таблицы истинности: Flavor_1 Flavor_2 Result TRUE TRUE TRUE TRUE ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИСТИНА 6 3 ЛОЖЬ 60041 ЛОЖЬ ЛОЖЬ ЛОЖЬ ИЛИ 9 Например, если бы я хотел, чтобы первым ароматом была клубника, а вторым ароматом был манго, то логическое выражение было бы таким: Аромат_1 = Клубника ИЛИ Аромат_2 = Манго Мы могли бы организовать возможности как: Аромат_1 Аромат_2 Ешьте мороженое? Strawberry Mango Yes Strawberry Cherry Yes Cherry Mango Да Vanilla Raspberry No And the truth table would look like this: Flavor_1 Flavor_2 Результат ИСТИНА ИСТИНА ИСТИНА 33UE 0036 FALSE TRUE FALSE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE Note что оператор ИЛИ возвращает ИСТИНА, если одно из двух логических выражений истинно, а также когда оба выражения истинны. По этой причине этот оператор ИЛИ также известен как включающий оператор ИЛИ. В качестве альтернативы есть также оператор XOR (исключающее или), который возвращает ИСТИНА только тогда, когда одно из двух выражений истинно. NOT Логический оператор NOT отличается от AND и OR тем, что принимает только один аргумент. Он проверяет, является ли значение FALSE или нет. Иными словами, он меняет значения TRUE на FALSE, а значения FALSE на TRUE. Например, я ненавижу ромовый изюм и абсолютно не буду есть ничего с ромовым изюмом. Как это может выглядеть в виде таблицы? Вкус Ешь мороженое? Chocolate Yes Rum Raisin No The truth table looks like this: Flavor Результат False True True FALSE FALSE 0082 You can combine Boolean expressions to express my sundae preference when Rum Raisin is involved like so: NOT (Flavor_1 = Rum Raisin OR Flavor_2 = Rum Raisin) Flavor_1 Flavor_2 Ешьте мороженое? Шоколад Малина Да Peach Rum Raisin No Rum Raisin Mint No Rum Raisin Rum Raisin No Предложение ИЛИ в круглых скобках вернет TRUE для всего, что содержит ромовый изюм. Применение к нему НЕ изменит значение выражения ИЛИ с ИСТИНА на ЛОЖЬ и наоборот. Подобно операторам в арифметике, логические операторы имеют порядок старшинства: сначала обращаются к элементам в круглых скобках, затем к оператору НЕ, И и, наконец, к ИЛИ. Наша новая таблица истинности выглядит так: Flavor_1 Flavor_2 Result FALSE FALSE TRUE FALSE ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ ЛОЖЬ3 30041 True True False Применение своей логики Boolean Итак, что следующее после изучения базовых знаний логика Boolean?? Булева логика имеет решающее значение для создания кода, который помогает вашей программе быстро принимать решения относительно данных и входных данных, поэтому попробуйте применить свои логические знания в онлайн-курсе программирования. И если вы не уверены, какой курс выбрать следующим, взгляните на наши карьерные пути разработчиков. Мы поможем вам сосредоточиться на лучших навыках, необходимых для достижения желаемой должности. Курсы и учебные пособия по основам кода | Codecademy Хотите научиться программировать, но не знаете, с чего начать? Наша область Code Foundations предоставляет обзор основных приложений программирования и учит важным концепциям, которые вы найдете в каждом языке программирования. Этот контент подготовит вас к тому, чтобы наметить курс на более техническое обучение… Codecademy {{#сравнить сложность «==» «Новичок»}} Подходит для начинающих {{еще}} {{~#сравнить сложность «==» «Продвинутая»~}}{{/compare}} {{сложность}} {{/сравнивать}} {{урокКоличество}} Уроки Логические выражения — Visual Basic Обратная связь Редактировать Твиттер LinkedIn Фейсбук Эл. адрес Статья 15.09.2021 3 минуты на чтение Логическое выражение — это выражение, результатом которого является значение логического типа данных: True или False . Булевы выражения могут принимать несколько форм. Самым простым является прямое сравнение значения логической переменной с литералом Boolean , как показано в следующем примере. Если новыйКлиент = Истина Тогда ' Вставьте код для выполнения, если newCustomer = True. Еще ' Вставьте код для выполнения, если newCustomer = False. Конец, если Два значения оператора = Обратите внимание, что оператор присваивания newCustomer = True выглядит так же, как выражение в предыдущем примере, но выполняет другую функцию и используется по-другому. В предыдущем примере выражение newCustomer = True представляет логическое значение, а знак = интерпретируется как оператор сравнения. В автономном операторе знак = интерпретируется как оператор присваивания и присваивает значение справа переменной слева. Следующий пример иллюстрирует это. Если новыйКлиент = Истина Тогда новыйКлиент = Ложь Конец, если Для получения дополнительной информации см. Сравнение значений и заявления. Операторы сравнения Операторы сравнения, такие как = , < , > , <> , <= и >= , производят сравнение выражений в левой части логических выражений оператор к выражению в правой части оператора и оценивая результат как Верно или Ложно . Следующий пример иллюстрирует это. 42 < 81 Поскольку 42 меньше 81, логическое выражение в предыдущем примере оценивается как True . Дополнительные сведения об этом типе выражений см. в разделе Сравнение значений. Операторы сравнения в сочетании с логическими операторами Выражения сравнения можно комбинировать с использованием логических операторов для получения более сложных логических выражений. В следующем примере демонстрируется использование операторов сравнения в сочетании с логическим оператором. x > y And x < 1000 В предыдущем примере значение общего выражения зависит от значений выражений с каждой стороны оператора And . Если оба выражения равны True , то общее выражение оценивается как True . Если какое-либо из выражений равно False , то все выражение оценивается как False . Операторы короткого замыкания Логические операторы AndAlso и OrElse проявляют поведение, известное как короткое замыкание . Оператор короткого замыкания сначала оценивает левый операнд. Если левый операнд определяет значение всего выражения, то выполнение программы продолжается без вычисления правого выражения. Следующий пример иллюстрирует это. Если 45 < 12 И также testFunction(3) = 81 Тогда 'Добавить код для продолжения выполнения. Конец, если В предыдущем примере оператор оценивает левое выражение, 45 < 12 . Поскольку левое выражение оценивается как False , все логическое выражение должно оцениваться как False . Таким образом, выполнение программы пропускает выполнение кода в блоке If без оценки правильного выражения, testFunction(3) . В этом примере не вызывается testFunction() , поскольку левое выражение искажает все выражение. Аналогично, если левое выражение в логическом выражении с использованием OrElse оценивается как True , выполнение переходит к следующей строке кода без оценки правильного выражения, поскольку левое выражение уже проверило все выражение. Сравнение с операторами без короткого замыкания Напротив, обе стороны логического оператора оцениваются, когда используются логические операторы И и Или . Следующий пример иллюстрирует это. Если 45 < 12 И testFunction(3) = 81 Тогда 'Добавить код для продолжения выполнения. Конец, если В предыдущем примере вызывается testFunction() , хотя левое выражение оценивается как False . Выражения в скобках Скобки можно использовать для управления порядком вычисления логических выражений. Выражения, заключенные в круглые скобки, вычисляются первыми. Для нескольких уровней вложенности приоритет отдается наиболее глубоко вложенным выражениям. Внутри круглых скобок оценка выполняется в соответствии с правилами приоритета операторов. Дополнительные сведения см. в разделе Приоритет операторов в Visual Basic. См. также Логические и побитовые операторы в Visual Basic Сравнение значений Заявления Операторы сравнения Эффективная комбинация операторов Приоритет оператора в Visual Basic Логический тип данных Обратная связь Отправить и просмотреть отзыв для Этот продукт Эта страница Просмотреть все отзывы о странице логических выражений логических выражений Логический тип данных — bool В C++ тип данных bool используется для представления логических данных. Каждая константа или переменная bool содержит один из два значения: true или false . true и false — это две константы C++. true имеет значение 1 . false имеет значение 0 . Если проверочное выражение не имеет тип bool , оно автоматически приводится к типу bool , когда оно оценивается. Ненулевое значение приводится к true , а нулевое значение приводится к false . Логические выражения Логическое выражение может быть простым логическим значением или более сложное выражение, включающее один или несколько реляционных и логических операторов. Реляционные операторы принимают два операнда и проверяют связь между ними. их. В следующей таблице показаны реляционные операторы и соответствующие символы C++. Реляционные операторы Символ С++ Описание == равно != не равно > больше < меньше >= больше или равно <= меньше или равно Например, логическое выражение номер 1 оценивается как true , если значение, хранящееся в number1 , меньше, чем значение, хранящееся в number2 , и оценивается как ложь иначе. Когда оператор отношения применяется между переменными типа char , утверждение с точки зрения того, где два операнда попадают в сопоставление последовательность определенного набора символов. Например, символ1 <символ2 оценивается как true , если значение, хранящееся в character1 , приходит перед символом, хранящимся в символ2 в последовательности сопоставления машины, на которой вычисляется выражение. Вы можете думать о последовательность сопоставления в алфавитном порядке, чтобы помочь вам понять ее. Набор символов ASCII широко используется в качестве последовательности сопоставления. Простое логическое выражение является либо логической переменной, либо логическим константа или выражение, включающее операторы отношения, которое оценивает либо истина или ложь . Эти простые логические выражения могут быть объединены с использованием логических операций , определенных над логическими значениями. Там три логических оператора: И, ИЛИ и НЕ . Вот таблица показывая, как они используются в C++. Логические операторы Символ С++ Описание && и Логический оператор: А — это бинарный оператор, помещаемый между двумя булевыми выражениями. Если операнд еще не является логическим выражением, он будет приведен к истинному или ложному. Если оба операнда истинны, то и результат истинен. В противном случае результат будет ложным. || Логический оператор или : или — это бинарный оператор, помещаемый между двумя булевыми выражениями. Если операнд еще не является логическим выражением, он будет приведен к истинному или ложному. Если один или оба операнда истинны, результат истинен. В противном случае, если оба операнта ложны, результат будет ложным. ! Логический оператор , а не . Не инвертирует значение своего операнда Это унарный оператор, стоящий перед операндом. Если операнд еще не является логическим выражением, он будет приведен к истинному или ложному. Если операнд истинен, результат ложен. Если операнд ложный, результат истинный. Приоритет операторов Если реляционные операторы и логические операторы объединены в одном выражение в C++, логический оператор NOT ! имеет наивысший приоритет, реляционные операторы имеют следующий наивысший приоритет, а логические операторы И && и ИЛИ || имеют самые низкие. Выражения в скобках всегда оцениваются первыми . В следующей таблице приведены приоритеты всех операторов C++. мы видели до сих пор. Наивысший приоритет | ( ) | | ++х --х | | ! Унарный + Унарный - | | * / % | | + - | | << >> | | < <= > >= | | == != | | && | | || | | = | | х++ х-- | В Самый низкий приоритет Операторы в одной строке таблицы имеют одинаковый приоритет. Если выражение содержит несколько операторов с одинаковым приоритетом, большинство группы операторов слева направо. Некоторые операторы имеют различный приоритет на основе того, где переменные находятся по отношению к ним, для них x представляет переменную.     © Департамент компьютерных наук Университета Регины. Правила логических выражений — Документация по базе данных векторов Milvus Обзор Выражение-предикат выводит логическое значение. Milvus проводит скалярную фильтрацию путем поиска с помощью предикатов. Выражение предиката при оценке возвращает либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ. См. Справочник по Python SDK API для получения инструкций по использованию предикатных выражений. Правила грамматики EBNF описывают правила булевых выражений: Expr = LogicalExpr | НОЛЬ LogicalExpr = LogicalExpr BinaryLogicalOp LogicalExpr | UnaryLogicalOp LogicalExpr | "("ЛогическоеВыражение")" | Одновыражение; BinaryLogicalOp = "&&" | "и" | "||" | "или же"; UnaryLogicalOp = "не"; Одновыражение = ТерминВыражение | СравнитьВыражение; TermExpr = IDENTIFIER "in" ConstantArray; Константа = ЦЕЛОЕ ЧИСЛО | ПЛАВАТЬ КонстантаВыражение = Константа | ConstantExpr BinaryArithOp | UnaryArithOp КонстантаВыражение; ConstantArray = "[" ConstantExpr { "," ConstantExpr } "]"; UnaryArithOp = "+" | "-" BinaryArithOp = "+" | "-" | "*" | "/" | "%" | "**"; CompareExpr = IDENTIFIER CmpOp IDENTIFIER | ИДЕНТИФИКАТОР CmpOp ConstantExpr | ИДЕНТИФИКАТОР CmpOp ConstantExpr | ConstantExpr CmpOpRestricted IDENTIFIER CmpOpRestricted ConstantExpr; CmpOpRestricted = "<" | "<="; CmpOp = ">" | ">=" | "<" | "<=" | "=="| знак равно MatchOp = "нравится" | "КАК"; В следующей таблице приведено описание каждого символа, упомянутого в приведенных выше правилах логических выражений. Обозначение Описание = Определение. , Конкатенация. ; Прекращение. | Чередование. {...} Повторение. (...) Группировка. НОЛЬ Пусто. Выражение может быть пустой строкой. ЦЕЛОЕ ЧИСЛО Целые числа, такие как 1, 2, 3. ПЛАВАЮЩИЙ Числа с плавающей запятой, такие как 1.0, 2.0. КОНСТ Целые числа или числа с плавающей запятой. ИДЕНТИФИКАТОР Идентификатор. В Milvus ИДЕНТИФИКАТОР представляет имя поля. Логическая операция LogicalOp — это логический оператор, поддерживающий объединение более одной реляционной операции в одном сравнении. Возвращаемое значение LogicalOp либо TRUE (1), либо FALSE (0). Существует два типа LogicalOps, включая BinaryLogicalOps и UnaryLogicalOps. UnaryLogicalOp UnaryLogicalOp относится к унарному логическому оператору «не». Двоичная логическая операция Двоичные логические операторы, выполняющие действия над двумя операндами. В сложном выражении с двумя или более операндами порядок вычисления зависит от правил приоритета. Арифметическая операция ArithmeticOp, а именно арифметический оператор, выполняет математические операции, такие как сложение и вычитание над операндами. UnaryArithOp UnaryArithOp — это арифметический оператор, выполняющий операцию над одним операндом. Отрицательный UnaryArithOp изменяет положительное выражение на отрицательное или наоборот. Бинарарифоп BinaryArithOp, а именно бинарный оператор, выполняет операции над двумя операндами. В сложном выражении с двумя или более операндами порядок вычисления зависит от правил приоритета. CmpOp CmpOp — это оператор отношения, который выполняет действия над двумя операндами. CmpOpRestricted CmpOpRestricted ограничено значениями «Меньше чем» и «Равно». КонстантЭкспр ConstantExpr может быть константой или BinaryArithOp для двух ConstExpr или UnaryArithOp для одного ConstantExpr. Он определяется рекурсивно. Массив констант ConstantArray заключен в квадратные скобки, а ConstantExpr может повторяться в квадратных скобках. ConstArray должен включать хотя бы один ConstantExpr. ТерминВыражение TermExpr используется для проверки наличия значения IDENTIFIER в массиве констант. TermExpr представлен "in". СравнитьВыражение CompareExpr, а именно выражение сравнения, может быть реляционной операцией над двумя IDENTIFIER, или реляционной операцией над одним IDENTIFIER и одним ConstantExpr, или тернарной операцией над двумя ConstantExprs и одним IDENTIFIER. Одновыражение SingleExpr, а именно одиночное выражение, может быть либо TermExpr, либо CompareExpr. Логическое выражение LogicalExpr может быть BinaryLogicalOp для двух LogicalExpr, или UnaryLogicalOp для одного LogicalExpr, или LogicalExpr, сгруппированным в круглых скобках, или SingleExpr. LogicalExpr определяется рекурсивно. Выражение Expr, аббревиатура, означающая выражение, может быть LogicalExpr или NIL. МатчОп MatchOp, а именно оператор сопоставления, сравнивает строку со строковой константой или константой префикса строки. Операторы Логические операторы: Логические операторы выполняют сравнение двух выражений. Символ Операция Пример Описание 'и' && и выражение1 && выражение2 Истинно, если оба выражения expr1 и expr2 верны. 'или' || или выражение1 || выражение2 Истинно, если либо expr1, либо expr2 истинны. Двоичные арифметические операторы: Двоичные арифметические операторы содержат два операнда и могут выполнять основные арифметические операции и возвращать соответствующий результат. Символ Операция Пример Описание + Дополнение а + б Добавьте два операнда. - Вычитание а-б Вычесть второй операнд из первого операнда. * Умножение а*б Умножить два операнда. / Подразделение а/б Разделить первый операнд на второй операнд. ** Мощность а ** б Возвести первый операнд в степень второго операнда. % Модуль а % б Разделить первый операнд на второй и получить оставшуюся часть. Операторы отношения: Операторы отношения используют символы для проверки равенства, неравенства или относительного порядка между двумя выражениями. Символ Операция Пример Описание < Менее а < б Истинно, если a меньше b. > Больше а > б Истинно, если a больше b. == Равно а == б Истинно, если a равно b. != Не равно а != б Истинно, если a не равно b. <= Меньше или равно а <= б Истинно, если a меньше или равно b. >= Больше или равно а >= б Истинно, если a больше или равно b. Приоритет и ассоциативность операторов В следующей таблице перечислены приоритеты и ассоциативность операторов. Операторы перечислены сверху вниз в порядке убывания приоритета. Приоритет Оператор Описание Ассоциативность 1 + - UnaryArithOp Слева направо 2 не UnaryLogicOp Справа налево 3 ** Двоичный АрифОп Слева направо 4 * / % Двоичный АрифОп Слева направо 5 + - Двоичный АрифОп Слева направо 6 < <= > >= CmpOp Слева направо 7 == != CmpOp Слева направо 8 как НРАВИТСЯ MatchOp Слева направо 9 && и BinaryLogicOp Слева направо 10 || или BinaryLogicOp Слева направо Выражения обычно оцениваются слева направо. Сложные выражения оцениваются по одному. Порядок, в котором вычисляются выражения, определяется приоритетом используемых операторов. Если выражение содержит два или более операторов с одинаковым приоритетом, оператор слева вычисляется первым. Например, 10/2 * 5 будет вычислено как (10/2), а результат умножен на 5. Когда операция с более низким приоритетом должна быть обработана первой, она должна быть заключена в круглые скобки. Например, 30 / 2 + 8. Обычно это вычисляется как 30, деленное на 2, а затем к результату добавляется 8. Если вы хотите разделить на 2 + 8, это должно быть записано как 30 / (2 + 8). Скобки могут быть вложены в выражения. Сначала оцениваются самые внутренние выражения в скобках. Использование Примеры использования всех доступных логических выражений в Milvus перечислены ниже ( int64 представляет скалярное поле, содержащее данные типа INT64, float представляет скалярное поле, содержащее данные типа с плавающей запятой, и VARCHAR представляет скалярное поле, содержащее данные типа VARCHAR): CmpOp "int64 > 0" "0 < int64 < 400" "500 <= int64 < 1000" VARCHAR > "str1" BinaryLogicalOp и скобки "(int64 > 0 && int64 < 400) или (int64 > 500 && int64 < 1000)" TermExpr и UnaryLogicOp Milvus поддерживает удаление только сущностей с четко указанными первичными ключами, что может быть достигнуто просто с помощью терм-выражения в . "int64 не в [1, 2, 3]" VARCHAR отсутствует в ["str1", "str2"] TermExpr, BinaryLogicalOp и CmpOp (в разных полях) "int64 в [1, 2, 3] и float != 2" BinaryLogicalOp и CmpOp "int64 == 0 || int64 == 1 || int64 == 2" CmpOp и UnaryArithOp или BinaryArithOp "200+300 < int64 <= 500+500" MatchOp (совпадение префикса) VARCHAR как "префикс%" Что дальше Теперь, когда вы знаете, как работают наборы битов в Milvus, вы также можете: Узнать, как проводить гибридный поиск. Узнайте, как использовать строки для фильтрации результатов поиска. Полезна ли эта страница? Writing Logical Expressions Writing Logical Expressions Writing Logical Expressions In this section: Relational Expressions Boolean Expressions Evaluating Logical Expressions A logical expression determines whether a particular condition правда. Существует два вида логических выражений: реляционные и логические. Сущности, которые вы хотите сравнить, определяют тип выражения. Реляционное выражение возвращает ИСТИНА или ЛОЖЬ на основе сравнения двух отдельных значений (либо переменных, либо констант). Логическое выражение возвращает TRUE или FALSE в зависимости от результатов двух или более реляционных выражений. Вы можете использовать логическое выражение для присвоения значения числовой переменной. Если выражение истинно, переменная получает значение 1. Если выражение ложно, переменная получает значение 0. К началу страницы x Выражения отношения Выражение отношения возвращает ИСТИНА или ЛОЖЬ на основе сравнения двух отдельных значений (либо переменных, либо констант). В следующем синтаксисе перечислены операторы, которые можно использовать в реляционном выражении: character_expression char_operator character_constant numeric_expression numeric_operator numeric_constant где: char_operator Может быть любым из следующих: EQ, NE, OMITS, CONTAINS. numeric_operator Может быть любым из следующих: EQ, NE, LE, LT, GE, GT. К началу страницы x Логические выражения Как: Использование логических выражений Логические выражения возвращают значение true (1) или false (0) в зависимости от результата двух или более выражений отношения. Логические выражения часто используются в условных выражениях, которые описаны в разделе Написание условных выражений. Вы также можете присвоить результат логического выражения числовой или символьной переменной, которая будет равна 1 (если выражение истинно) или 0 (если ложно). Они строятся с использованием переменных и констант, связанных операторами. К началу страницы x Синтаксис: использование логических выражений Синтаксис логического выражения: (реляционное_выражение) {И|ИЛИ} (реляционное_выражение) НЕ (логическое_выражение) Логические выражения сами по себе могут использоваться в качестве строительных блоков для более сложных выражений. Используйте И или ИЛИ, чтобы соединить выражения и заключить каждое выражение в круглые скобки. К началу страницы x Оценка логических выражений Ссылка: Логические операторы 7 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000 2 9000. , 1 или 0. ИСТИНА и 1 эквивалентны, как и ЛОЖЬ и 0. Числовая переменная может иметь значения 1 или 0. Буквенно-цифровые константы со встроенными пробелами, используемые в выражении, должны быть заключены в одинарные кавычки. Пример: IF NAME EQ 'JOHN DOE' ИЛИ нельзя использовать между константами в выражении отношения. Например, следующее выражение недопустимо: IF COUNTRY EQ 'США' ИЛИ ​​'БРАЗИЛИЯ' ИЛИ ​​'ГЕРМАНИЯ' Вместо этого оно должно быть закодировано как последовательность относительных выражений: IF (COUNTRY EQ 'США') ИЛИ (СТРАНА EQ 'БРАЗИЛИЯ') ИЛИ (СТРАНА EQ 'ГЕРМАНИЯ') К началу страницы x Справочник: Логические операторы В следующем списке показаны логические операторы, которые можно использовать в выражении: Описание Оператор Равенство Эквалайзер Неравенство СВ Менее LT Больше ГТ Меньше или равно ЛЭ Больше или равно ГЭ Содержит указанную строку символов СОДЕРЖИТ Пропускает указанную строку символов ПРОПУСКАЕТ Отрицание НЕ Соединение И Разъединение ИЛИ Логические операторы оцениваются после числовых операторов слева направо в следующем порядке приоритета: Заказ Операторы 1 EQ NE LE LT GE GT НЕ СОДЕРЖИТ ПРОПУСК 2 И 3 или Webfocus Boolean Elements , будь то создание уравнений. объединить логические условия. Обозначение Булевы (логические) уравнения выражаются аналогично математическим уравнениям. Однако переменные в логических выражениях имеют только два возможных значения: истина или ложь . Для уравнения, использующего логическое выражение, эквивалентные стороны знака равенства, = , будут только истинными или ложными . В следующем списке показаны основные элементы записи логических выражений. ~A : инверсия ( NOT ) A , когда A равно верно , ~A равно ложно 2 A + B : значение А ИЛИ Б A · B : значение A И B A ⊕ B : значение исключающего ИЛИ ( XOR ) A с B Q : эквивалентное значение результата (ВЫХОД) логического выражения Результирующее значение Q из логического выражения выглядит следующим образом: Q = A + B Уравнение, показывающее логически эквивалентные выражения (где обе части имеют одинаковое результирующее значение), может выглядеть следующим образом: ~(A + B) = ~A · ~B Логические операторы Все Логические выражения являются результатом комбинации условий и операторов. Эти операторы объединяют отдельные условия вместе и вычисляют одно условие true или false . Ниже приведены основные логические операторы. Их использование как в булевой алгебре, так и в коде показано вместе с их таблицей истинности. Идентичность Идентичность означает, что значение результата совпадает с самим условием. Q = A пусть A = ложь let Q = A Пример - Мигание пикселей при нажатии let A = false навсегда (функция () { A = input.buttonA.isPressed() если) { свет.setAll (0xff0000) } еще { свет.очистить() } пауза(500) }) Таблица истинности A А Ф Ф Т Т НЕ (Отрицание) Оператор НЕ называется отрицанием или обратным. Он принимает одно логическое значение и делает его противоположным: true переходит в false и false переходит в true . Q = ~A пусть A = ложь let Q = !(A) Пример - Мигание пикселей при ненажатии пусть А = ложь навсегда (функция () { A = input.buttonA.isPressed() если)) { свет.setAll (0xff0000) } еще { свет.очистить() } пауза(500) }) Таблица истинности A ~А Ф Т Т Ф ИЛИ (Дизъюнкция) Оператор ИЛИ дает true , когда одно или несколько условий равны верно . Q = A + B пусть A = ложь пусть B = ложь пусть Q = А || B Пример — Мигание при любом нажатии пусть A = false пусть B = ложь навсегда (функция () { A = input.buttonA.isPressed() B = input.buttonB.isPressed() если (А || В) { свет.setAll (0xff0000) } еще { свет.очистить() } пауза(500) }) Таблица истинности A Б А + В Ф Ф Ф Т Ф Т Ф Т Т Т Т Т И (соединение) Оператор И требует, чтобы все условия были истинными , чтобы результат был истинным . Q = A · B пусть A = ложь пусть B = ложь пусть Q = A && B Пример — мигание только при двойном нажатии пусть A = false пусть B = ложь навсегда (функция () { A = input.buttonA.isPressed() B = input.buttonB.isPressed() если (А && В) { свет.setAll (0xff0000) } еще { свет.очистить() } пауза(500) }) Таблица истинности A Б А · В Ф Ф Ф Т Ф Ф Ф Т Ф Т Т Т Исключающее ИЛИ (исключающее ИЛИ) Исключающее ИЛИ (исключающее ИЛИ) означает, что выполняется только одно или другое условие. Оба условия не могут быть истинными одновременно. XOR распространен в булевой алгебре, но не имеет оператора в JavaScript. Производная что это такое для чайников: Производная — что это такое? Определение, значение, перевод alexxlab / 09.02.197117.09.2022 / Разное Производная, введение и определение в 10 классе по алгебре Дата публикации: 09 апреля 2017. Что будем изучать: 1. Введение в понятие производной. 2. Чуть-чуть истории. 3. Определение производной. 4. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной. 5. Алгоритм нахождения производной функции. 6. Дифференцирование функции. 7. Примеры. Введение в понятие производной Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как: а) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет. б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет. в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии. г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной. Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной. Чуть-чуть истории Термин производная ввел великий математик – Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной которые мы рассмотрим позже. Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно. Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная. Определение производной Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале, содержащим внутри себя некоторую точку x0. Приращение аргумента Δx – не выходит из нашего интервала. Найдем приращение Δy и составим отношение Δy/Δx, если существует предел этого отношения при Δx стремящимся к нулю, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке x0 и обозначают f’(x0). Попробуем объяснить, что такое производная не математическим языком: На математическом языке: производная — предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. На обычном языке: производная – скорость изменения функции в точке x0. Давайте посмотрим на графики трех функций: Ребята, как вы думаете, какая из кривых растет быстрее? Ответ, кажется, очевиден всем 1 кривая растет быстрее остальных. Мы смотрим, насколько круто идет вверх график функции. Другими словами — насколько быстро меняется ордината при изменении х. Одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее. Производная на графике функции. Геометрический смысл производной Теперь давайте посмотрим, как же найти производную с помощью графиков функции: Посмотрим на наш график функции: Проведём в точке c абсциссой x0 касательную к графику функции. Касательная и график нашей функции соприкасаются в точке А. Нам надо оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной. Определение. Производная функции в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке. f’ (x0)=tg(α) Угол наклона касательной выбирается как угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс. И так производная нашей функции равна: И так производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона касательной, это геометрический смысл производной. Алгоритм нахождения производной функции Алгоритм нахождения производной функции y=f(x). а) Зафиксировать значение x, найти f(x). б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx). в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x). г) Составить соотношение: Δy/Δx д) Вычислить — это и есть производная нашей функции. Дифференцирование функции Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x). Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда просто напросто нельзя провести касательную. И так запишем выше сказанное как определение: Определение. Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке. Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. 3$. О производных / Хабр Когда-то в школе я не понимал производных. Не подумайте, что я был совсем уж дураком — я знал определение, умел их брать (в рамках простеньких школьных примеров) и оценки по математике имел неплохие. Но вот смысл этого понятия от меня ускользал. Я понимал насколько важен график некоторой функции — по нему легком можно увидеть зависимость функции от аргумента. Глянул в какую-нибудь точку — и сразу ясно положение дел в данном конкретном месте. А что мне с производной? Ну, знаю я «предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует» — и что? В общем, не понимал я это дело. И не любил. И только значительно позже, уже в ВУЗе, когда оказалось, что ни одна мало-мальски важная задача по физике, электротехнике, системам автоматического управления, мат.анализу и многим другим предметам без производных не решается — я понял, какая это важная вещь — знание не только текущего положения дел, но и динамики их изменения. Казалось бы, и что статья с таким началом может делать в этом блоге? А вот что. Представьте себе двух людей. Пусть их будут звать Коля и Петя. Коля и Петя — одного возраста, пола, с одинаковым образованием и работают в одной и той же фирме, на должностях одного уровня и получают одинаковую зарплату. Какие на основании данной вводной можно сделать выводы? Можно ли сказать, что их жизнь складывается одинаково? Можно ли утверждать, что они одинаково довольны в финансовом и личном плане? Можно ли сказать, что их карьеры строятся схожим образом? Конечно же, нифига подобного! Дело в том что Коля — всегда был очень умён, трудолюбив и раньше, до наблюдаемого нами момента, его карьера шла очень хорошо. Он был начальником начальника Пети и зарабатывал раз в 25 больше. Но потом в его жизни что-то поменялось — может жена ушла, может в секту попал, а может пить начал. Или всё вместе. Блеск в глазах пропал, после двух сорванных проектов в должности его понизили и на горизонте замаячил злорадный силуэт увольнения. А вот Петя — гением никогда не был. Он был обычным неглупым трудягой, который честно работал. Без героических свершений и позорных провалов. Его карьера медленно и плавно двигалась в гору и кресло начальника отдела уже, в принципе, было готово принять в себя его попу. Вот это и есть важность понимания динамики процесса. Глянем для закрепления материала на еще одну ситуацию. У нас есть Маша, Даша и Наташа. Они, как и их друзья Коля и Петя, полностью идентичны в своём текущем состоянии (возраст, работа, зарплата, семейное положение ну и т.д.). Более того, мы даже кое-что знаем об их прошлом. Никто из них никогда не забирался выше текущего места в жизни, никаких форс-мажоров у них не было, и у нас есть еще одна важная вещь — информация о некотором моменте в прошлом (скажем, год назад). И согласно этой информации — опять таки, все объективные параметры этих девушек были равны. Вернёмся к нашим вопросам. Как на счёт оценки положения дел у этих дам? Можно ли говорить об одном уровне карьерного роста, амбициях, достижениях и о том, где каждая из них будет через 5 лет? И, конечно же, опять — нифига подобного! Глянем вот на этот график: Даша — стабильный середнячок. Она растет в меру своих сил, этих сил на все хватает и будет хватать. Наташа — пока еще справляется, но уже без былого энтузиазма. Большего, чем сейчас, ей не хочется и не светит. Это почти её предел. Маша — сильная и амбициозная личность. Текущая точка — просто досадное недоразумение, первая ступенька в лестнице её карьеры. Ну просто времени еще было мало и выше забраться пока не удалось. Но обязательно удастся и на это будут брошены все силы. К чему это я? 1. Частенько в разговорах между давно не встречавшимися или только познакомившимися людьми проскакивают фразы в духе: А где работаешь? А кем? Сколько получаешь? и т.д. Люди получают ответы на эти вопросы и судят по ним о собеседнике. А ведь это всего лишь «положение дел в данной точке», которое, как мы уже выяснили, информации несёт мало. Не судите поспешно. 2. Иногда человек смотрит сам на себя со стороны и приходит к выводу, что, мол «я ничтожество, нищий и убогий, а еще дурак и бездарь» или наоборот «я всего добился, я крут, бел и пушист». В первом случае люди зря ставят на себе крест и лезут в петлю, хотя вполне еще можно выбраться, во втором — слишком рано расслабляются и почивают на лаврах, хотя из-за какого-нибудь угла легко может подкрасться кризис, капец и конец света. 3. Посмотрите на графики сверху. Где Ваш? А Вы уверены? А почему? А Вы по нему двигаетесь? А на Вашей должности и в Вашей компании вообще по нему можно двигаться? Что Вас останавливает? Хотите ли Вы через 5 лет быть в той же точке? А на том же графике? Каков знак Вашей производной? определение, как найти, примеры решений. Правила вычисления производных Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную? Геометрический и физический смысл производной Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной: Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Иначе это можно записать так: Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке. Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения. Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени: Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел: Правило первое: выносим константу Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте . Пример. Вычислим производную: Правило второе: производная суммы функций Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций. Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример. Найти производную функции: Правило третье: производная произведения функций Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: Пример: найти производную функции: Решение: Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной. В вышеуказанном примере мы встречаем выражение: В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной. Правило четвертое: производная частного двух функций Формула для определения производной от частного двух функций: Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных. С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных. Приложение Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты — веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление — есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров. На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования. Примеры. Найти производные функций. 1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем: y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1. 2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3. y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2. Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1. Применяем правило IV , формулы 5 и 1 . В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат. Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней. Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных. Решим шестой пример и выведем еще одну формулу. Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим. Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу: Учим новые формулы! Примеры. 1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое —4,01 . Решение. Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 = 2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801. Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801. Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801. 2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f «(х 0) = 1 . Решение. Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f «(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1. Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° . 3. Вывести формулу производной функции y=x n . Дифференцирование — это действие нахождения производной функции. При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)» = nx n-1 . Вот эти формулы. Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки: 1. Производная постоянной величины равна нулю. 2. Икс штрих равен единице. 3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной. 4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше. 5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня. 6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате. 7. Производная синуса равна косинусу. 8. Производная косинуса равна минус синусу. 9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса. 10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса. Учим правила дифференцирования . 1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых. 2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго. 3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой «у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате». 4. Частный случай формулы 3. Учим вместе! Страница 1 из 1 1 Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции. Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной. Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию. Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др. Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g» означает, что мы будем находить производную функции g. Таблица производных Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных. (sin x)»=cos x (cos x)»= –sin x (x n)»=n x n-1 (e x)»=e x (ln x)»=1/x (a x)»=a x ln a (log a x)»=1/x ln a (tg x)»=1/cos 2 x (ctg x)»= – 1/sin 2 x (arcsin x)»= 1/√(1-x 2) (arccos x)»= — 1/√(1-x 2) (arctg x)»= 1/(1+x 2) (arcctg x)»= — 1/(1+x 2) Пример 1. Найдите производную функции y=500. Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1). Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 . Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3). (x 100)»=100 x 99 Пример 3. Найдите производную функции y=5 x Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4. Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x Производную логарифма найдем по формуле 7. (log 4 x)»=1/x ln 4 Правила дифференцирования Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С — константа. 1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8 Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных. (6*x 8)» = 6*(x 8)»=6*8*x 7 =48* x 7 2. Производная суммы равна сумме производных (f + g)»=f» + g» Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)»=100 x 99 и (sin x)»=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных: (x 100 +sin x)»= 100 x 99 +cos x 3. Производная разности равна разности производных (f – g)»=f» – g» Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)»= – sin x. (x 100 – cos x)»= 100 x 99 + sin x Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 . В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого: (e x)»=e x , (tg x)»=1/cos 2 x, (x 2)»=2 x. Тогда производная исходной функции равна: (e x +tg x– x 2)»= e x +1/cos 2 x –2 x 4. Производная произведения (f * g)»=f» * g + f * g» Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)»=–sin x и (e x)»=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй. (cos x* e x)»= e x cos x – e x *sin x 5. Производная частного (f / g)»= f» * g – f * g»/ g 2 Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)»=50 x 49 и (sin x)»= cos x. Подставив в формулу производной частного получим: (x 50 /sin x)»= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x Производная сложной функции Сложная функция — это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило: (u (v))»=u»(v)*v» Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) — сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v — внутренней. Например: y=sin (x 3) — сложная функция. Тогда y=sin(t) — внешняя функция t=x 3 — внутренняя. Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции. (sin t)»=cos (t) — производная внешней функции (где t=x 3) (x 3)»=3x 2 — производная внутренней функции Тогда (sin (x 3))»= cos (x 3)* 3x 2 — производная сложной функции. Операция отыскания производной называется дифференцированием. В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм. Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров. Пример 1. Найти производную функции Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е. Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную: Пример 2. Найти производную функции Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной: Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас. Таблица производных простых функций 1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто 2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса». Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго 3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни. 4. Производная переменной в степени -1 5. Производная квадратного корня 6. Производная синуса 7. Производная косинуса 8. Производная тангенса 9. Производная котангенса 10. Производная арксинуса 11. Производная арккосинуса 12. Производная арктангенса 13. Производная арккотангенса 14. Производная натурального логарифма 15. Производная логарифмической функции 16. Производная экспоненты 17. Производная показательной функции Правила дифференцирования 1. Производная суммы или разности 2. Производная произведения 2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель 3. Производная частного 4. Производная сложной функции Правило 1. Если функции дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции причём т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е. Правило 2. Если функции дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение причём т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой. Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной : Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные. Например, для трёх множителей: Правило 3. Если функции дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Где что искать на других страницах При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » . Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает. А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10). Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций. По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями . Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «. Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций». Пошаговые примеры — как найти производную Пример 3. Найти производную функции Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой: Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных: Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции: Пример 4. Найти производную функции Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем: Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус: Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» . Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» . Пример 5. Найти производную функции Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем: Пример 6. Найти производную функции Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем: Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на . определение, как найти, примеры решений Производная — главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x Производной функции в точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю. Наиболее употребительны следующие обозначения производной : Пример 1. Пользуясь определением производной , найти производную функции Решение. Из определения производной вытекает следующая схема её вычисления. Дадим аргументу приращение (дельта) и найдём приращение функции: Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента: Вычислим предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть требуемую в условии задачи производную: Физический смысл производной К понятию производной привело изучение Галилео Галилеем закона свободного падения тел, а в более широком смысле — задачи о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения точки. Пусть камешек поднят и затем из состояния покоя отпущен. Путь s , проходимый за время t , является функцией времени, то есть. s = s (t ). Если задан закон движения точки, то можно определить среднюю скорость за любой промежуток времени. Пусть в момент времени камешек находился в положении A , а в момент — в положении B . За промежуток времени (от t до ) точка прошла путь . Поэтому средняя скорость движения за этот промежуток времени, которую обзначим через , составляет . Однако движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постоянно возрастает. И средней скорости уже недостаточно для характеристики быстроты движения на различных участках пути. Такая характеристика тем точнее, чем меньше промежуток времени . Поэтому вводится следующее понятие: мгновенной скоростью прямолинейного движения (или скоростью в данный момент времени t ) называется предел средней скорости при : (при условии, что этот предел существует и конечен). Так выясняется, что мгновенная скорость есть предел отношения приращения функции s (t ) к приращению аргумента t при Это и есть производная, которая в общем виде записывается так:. . Решение обозначенной задачи представляет собой физический смысл производной . Итак, производной функции y=f (x ) в точке x называется предел (если он существует и конечен) приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю. Пример 2. Найти производную функции Решение. Из определения производной вытекает следующая схема для её вычисления. Шаг 1. Дадим аргументу приращение и найдём Шаг 2. Найдём приращение функции: Шаг 3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента: Шаг 4. Вычислим предел этого отношения при , то есть производную: Геометрический смысл производной Пусть функция определена на интервале и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента , а точка Р – значению . Проведём через точки М и Р прямую и назовём её секущей . Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, что этот угол зависит от . Если существует проходящую через точку , называют предельным положением секущей МР при (или при ). Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МР при , или, что то же при . Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел , причём предел равен углу наклона касательной к оси . Теперь дадим точное определение касательной. Касательной к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент , т.е. прямая, уравнение которой Из этого определения следует, что производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x . В этом состоит геометрический смысл производной. На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования. Примеры. Найти производные функций. 1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем: y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1. 2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3. y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2. Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1. Применяем правило IV , формулы 5 и 1 . В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат. Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней. Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных. Решим шестой пример и выведем еще одну формулу. Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим. Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу: Учим новые формулы! Примеры. 1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое —4,01 . Решение. Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) — f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 = 2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801. Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801. Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801. 2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f «(х 0) = 1 . Решение. Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f «(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1. Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° . 3. Вывести формулу производной функции y=x n . Дифференцирование — это действие нахождения производной функции. При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)» = nx n-1 . Вот эти формулы. Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки: 1. Производная постоянной величины равна нулю. 2. Икс штрих равен единице. 3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной. 4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше. 5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня. 6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате. 7. Производная синуса равна косинусу. 8. Производная косинуса равна минус синусу. 9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса. 10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса. Учим правила дифференцирования . 1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых. 2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго. 3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой «у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате». 4. Частный случай формулы 3. Учим вместе! Страница 1 из 1 1 Когда человек сделал первые самостоятельные шаги в изучении математического анализа и начинает задавать неудобные вопросы, то уже не так-то просто отделаться фразой, что «дифференциальное исчисление найдено в капусте». Поэтому настало время набраться решимости и раскрыть тайну появления на светтаблицы производных и правил дифференцирования . Начало положено в статьео смысле производной , которую я настоятельно рекомендую к изучению, поскольку там мы как раз рассмотрели понятие производной и начали щёлкать задачи по теме. Этот же урок носит ярко выраженную практическую направленность, более того, рассматриваемые ниже примеры, в принципе, можно освоить и чисто формально (например, когда нет времени/желания вникать в суть производной). Также крайне желательно (однако опять не обязательно) уметь находить производные «обычным» методом – хотя бы на уровне двух базовых занятий: Как найти производную?и Производная сложной функции. Но без чего-чего сейчас точно не обойтись, так это безпределов функций . Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел и уметь решать их, как минимум, на среднем уровне. А всё потому, чтопроизводная функции в точке определяется формулой: Напоминаю обозначения и термины: называютприращением аргумента ; – приращением функции; – это ЕДИНЫЕ символы («дельту» нельзя «отрывать» от «икса» или «игрека»). Очевидно, что является «динамической» переменной,– константой и результат вычисления предела– числом(иногда – «плюс» либо «минус» бесконечностью) . В качестве точки можно рассмотреть ЛЮБОЕ значение, принадлежащееобласти определения функции, в котором существует производная. Примечание : оговорка «в котором существует производная» –в общем случае существенна ! Так, например, точкахоть и входит в область определения функции, но производной там не существует. Поэтому формула не применима в точке, и укороченная формулировка без оговорки будет некорректна. Аналогичные факты справедливы и для других функций с «обрывами» графика, в частности, для арксинуса и арккосинуса. Таким образом, после замены , получаем вторую рабочую формулу: Обратите внимание на коварное обстоятельство, которое может запутать чайника: в данном пределе «икс», будучи сам независимой переменной, исполняет роль статиста, а «динамику» задаёт опять же приращение . Результатом вычисления предела является производная функция. Исходя из вышесказанного, сформулируем условия двух типовых задач: – Найти производную в точке , используя определение производной. – Найти производную функцию , используя определение производной. Эта версия, по моим наблюдениям, встречается заметно чаще и ей будет уделено основное внимание. Принципиальное отличие заданий состоит в том, что в первом случае требуется найти число (как вариант, бесконечность) , а во втором – функцию . Кроме того, производной может и вовсе не существовать. Как ? Составить отношение и вычислить предел. Откуда появилась таблица производных и правила дифференцирования? Благодаря единственному пределу Кажется волшебством, но в действительности – ловкость рук и никакого мошенничества. На уроке Что такое производная? я начал рассматривать конкретные примеры, где с помощью определения нашёл производные линейной и квадратичной функции. В целях познавательной разминки продолжим тревожитьтаблицу производных , оттачивая алгоритм и технические приёмы решения: По сути, требуется доказать частный случай производной степенной функции, который обычно фигурирует в таблице: . Решение технически оформляется двумя способами. Начнём с первого, уже знакомого подхода: лесенка начинается с дощечки, а производная функция – с производной в точке. Рассмотрим некоторую (конкретную) точку, принадлежащуюобласти определения функции, в которой существует производная. Зададим в данной точке приращение (разумеется, не выходящее за рамки о/о -я) и составим соответствующее приращение функции: Вычислим предел: Неопределённость 0:0 устраняется стандартным приёмом, рассмотренным ещё в первом веке до нашей эры. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение : Техника решения такого предела подробно рассмотрена на вводном уроке о пределах функций . Поскольку в качестве можно выбрать ЛЮБУЮ точкуинтервала То, осуществив замену, получаем: В который раз порадуемся логарифмам: Найти производную функции , пользуясь определением производной Решение : рассмотрим другой подход к раскрутке той же задачи. Он точно такой же, но более рационален с точки зрения оформления. Идея состоит в том, чтобы в начале решения избавиться от подстрочного индекса и вместо буквы использовать букву. Рассмотрим произвольную точку, принадлежащуюобласти определения функции(интервалу), и зададим в ней приращение. А вот здесь, кстати, как и в большинстве случаев, можно обойтись без всяких оговорок, поскольку логарифмическая функция дифференцируема в любой точке области определения. Тогда соответствующее приращение функции: Найдём производную: Простота оформления уравновешивается путаницей, которая может возникнуть у начинающих (да и не только). Ведь мы привыкли, что в пределе изменяется буква «икс»! Но тут всё по-другому: – античная статуя, а– живой посетитель, бодро шагающий по коридору музея. То есть «икс» – это «как бы константа». Устранение неопределённости закомментирую пошагово: (1) Используем свойство логарифма . (2) В скобках почленно делим числитель на знаменатель. (3) В знаменателе искусственно домножаем и делим на «икс» чтобы воспользоваться замечательным пределом , при этом в качествебесконечно малой величины выступает. Ответ : по определению производной: Или сокращённо: Предлагаю самостоятельно сконструировать ещё две табличные формулы: Найти производную по определению В данном случае составленное приращение сразу же удобно привести к общему знаменателю. Примерный образец оформления задания в конце урока (первый способ). Найти производную по определению А тут всё необходимо свести к замечательному пределу . Решение оформлено вторым способом. Аналогично выводится ряд других табличных производных . Полный список можно найти в школьном учебнике, или, например, 1- м томе Фихтенгольца. Не вижу особого смысла переписывать из книг и доказательства правил дифференцирования – они тоже порождены формулой . Переходим к реально встречающимся заданиям: Пример 5 Найти производную функции , используя определение производной Решение : используем первый стиль оформления. Рассмотрим некоторую точку, принадлежащую, и зададим в ней приращение аргумента. Тогда соответствующее приращение функции: Возможно, некоторые читатели ещё не до конца поняли принцип, по которому нужно составлять приращение . Берём точку(число) и находим в ней значение функции:, то есть в функцию вместо «икса» следует подставить. Теперь берём Составленное приращение функции бывает выгодно сразу же упростить . Зачем? Облегчить и укоротить решение дальнейшего предела. Используем формулы , раскрываем скобки и сокращаем всё, что можно сократить: Индейка выпотрошена, с жаркое никаких проблем: В итоге: Поскольку в качестве можно выбрать любое действительное число, то проведём заменуи получим. Ответ :по определению. В целях проверки найдём производную с помощью правил дифференцирования и таблицы: Всегда полезно и приятно знать правильный ответ заранее, поэтому лучше мысленно либо на черновике продифференцировать предложенную функцию «быстрым» способом в самом начале решения. Найти производную функции по определению производной Это пример для самостоятельного решения. Результат лежит на поверхности: Вернёмся к стилю №2: Пример 7 Давайте немедленно узнаем, что должно получиться. По правилу дифференцирования сложной функции : Решение : рассмотрим произвольную точку, принадлежащую, зададим в ней приращение аргументаи составим приращение Найдём производную: (1) Используем тригонометрическую формулу (2) Под синусом раскрываем скобки, под косинусом приводим подобные слагаемые. (3) Под синусом сокращаем слагаемые, под косинусом почленно делим числитель на знаменатель. (4) В силу нечётности синуса выносим «минус». Под косинусом указываем, что слагаемое . (5) В знаменателе проводим искусственное домножение, чтобы использовать первый замечательный предел . Таким образом, неопределённость устранена, причёсываем результат. Ответ :по определению Как видите, основная трудность рассматриваемой задачи упирается в сложность самого предела + небольшое своеобразие упаковки. На практике встречаются и тот и другой способ оформления, поэтому я максимально подробно расписываю оба подхода. Они равноценны, но всё-таки, по моему субъективному впечатлению, чайникам целесообразнее придерживаться 1-го варианта с «икс нулевым». Пользуясь определением, найти производную функции Это задание для самостоятельного решения. Образец оформлен в том же духе, что предыдущий пример. Разберём более редкую версию задачи: Найти производную функции в точке, пользуясь определением производной. Во-первых, что должно получиться в сухом остатке? Число Вычислим ответ стандартным способом: Решение : с точки зрения наглядности это задание значительно проще, так как в формулевместо рассматривается конкретное значение. Зададим в точке приращениеи составим соответствующее приращение функции: Вычислим производную в точке: Используем весьма редкую формулу разности тангенсов и в который раз сведём решение кпервому замечательному пределу: Ответ :по определению производной в точке. Задачу не так трудно решить и «в общем виде» – достаточно заменить наили простов зависимости от способа оформления. В этом случае, понятно, получится не число, а производная функция. Пример 10 Используя определение, найти производную функциив точке Это пример для самостоятельного решения. Заключительная бонус-задача предназначена, прежде всего, для студентов с углубленным изучением математического анализа, но и всем остальным тоже не помешает: Будет ли дифференцируема функция в точке? Решение : очевидно, что кусочно-заданная функциянепрерывна в точке, но будет ли она там дифференцируема? Алгоритм решения, причём не только для кусочных функций, таков: 1) Находим левостороннюю производнуюв данной точке: . 2) Находим правостороннюю производнуюв данной точке: . 3) Если односторонние производныеконечны и совпадают: , то функциядифференцируема в точкеи геометрически здесь существует общая касательная (см. теоретическую часть урока Определение и смысл производной ). Если получены два разных значения: (одно из которых может оказаться и бесконечным) , то функция не дифференцируема в точке. Если же обе односторонние производные равны бесконечности (пусть даже разных знаков), то функция не дифференцируема в точке , но там существует бесконечная производная и общая вертикальная касательная к графику(см. Пример 5 урока Уравнение нормали ) . Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных . Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности, бесконечно малые величины . Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела , которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций . Заодно освоите/вспомните их решение. Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производные , в том числе производные сложных функций . Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования , даже не осознавая сущности своих действий. К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснять нахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всё-таки не решил поставить его раньше. Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным. Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом. Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики. Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку): На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке. Какие особенности у данного графика? На интервалах функция возрастает , то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону). Также обратим внимание на особые точки. В точке мы достигаем максимума , то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим (высоким). В точке же достигается минимум , и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое (низкое). Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервале график взмывает вверх гораздо более круто , чем на интервале . Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария? Скорость изменения функции Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс») , которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути: 1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то . Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции. Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции. Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно. 2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма. 3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным : метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке. Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения . Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты: – Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов. – Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала. – Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина. Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым . По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию , которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути? Что такое производная? Определение производной. Геометрический смысл производной и дифференциала Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе). Естественно, и в самом определении производной в точке заменим на : К чему мы пришли? А пришли мы к тому, что для функции по закону ставится в соответствие другая функция , которая называется производной функцией (или просто производной) . Производная характеризует скорость изменения функции . Каким образом? Мысль идёт красной нитью с самого начала статьи. Рассмотрим некоторую точку области определения функции . Пусть функция дифференцируема в данной точке. Тогда: 1) Если , то функция возрастает в точке . И, очевидно, существует интервал (пусть даже очень малый), содержащий точку , на котором функция растёт, и её график идёт «снизу вверх». 2) Если , то функция убывает в точке . И существует интервал, содержащий точку , на котором функция убывает (график идёт «сверху вниз»). 3) Если , то бесконечно близко около точки функция сохраняет свою скорость постоянной. Так бывает, как отмечалось, у функции-константы и в критических точках функции , в частности в точках минимума и максимума . Немного семантики. Что в широком смысле обозначает глагол «дифференцировать»? Дифференцировать – это значит выделить какой-либо признак. Дифференцируя функцию , мы «выделяем» скорость её изменения в виде производной функции . А что, кстати, понимается под словом «производная»? Функция произошла от функции . Термины весьма удачно истолковывает механический смысл производной : Рассмотрим закон изменения координаты тела , зависящий от времени , и функцию скорости движения данного тела . Функция характеризует скорость изменения координаты тела, поэтому является первой производной функции по времени: . Если бы в природе не существовало понятия «движение тела», то не существовало бы и производного понятия «скорость тела». Ускорение тела – это скорость изменения скорости, поэтому: . Если бы в природе не существовало исходных понятий «движение тела» и «скорость движения тела», то не существовало бы и производного понятия «ускорение тела». Вычисление производной часто встречается в заданиях ЕГЭ. Данная страница содержит список формул для нахождения производных. Правила дифференцирования (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x). (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x). (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x). Производная сложной функции. Если y=F(u), а u=u(x), то функция y=f(x)=F(u(x)) называется сложной функцией от x. Равна y′(x)=Fu′⋅ ux′. Производная неявной функции. Функция y=f(x) называется неявной функцией, заданной соотношением F(x,y)=0, если F(x,f(x))≡0. Производная обратной функции. Если g(f(x))=x, то функция g(x) называется обратной функцией для функции y=f(x). Производная параметрически заданной функции. Пусть x и y заданы как функции от переменной t: x=x(t), y=y(t). Говорят, что y=y(x) параметрически заданная функция на промежутке x∈ (a;b), если на этом промежутке уравнение x=x(t) можно выразить в виде t=t(x) и определить функцию y=y(t(x))=y(x). Производная степенно-показательной функции. Находится путем логарифмирования по основанию натурального логарифма. Советуем сохранить ссылку, так как эта таблица может понадобиться еще много раз. определение, как найти, примеры решений Определение производной от функции есть обратная операция интегрированию функции. Для элементарных функций вычислить производную не составляет труда, достаточно воспользоваться таблицей производных. Если же нам необходимо найти производную от сложной функции, то дифференцирование будет уже намного сложнее, потребует большей внимательности и времени. При этом очень легко допустить описку или незначительную ошибку, которая приведет к окончательному неверному ответу. Поэтому всегда важно иметь возможность проверить своё решение. Это вы можете сделать с помощью данного онлайн-калькулятора, который позволяет находить производные от любых функций онлайн с подробным решением бесплатно, без регистрации на сайте. Нахождение производной функции (дифференцирование) это отношение приращения функции к приращению аргумента (численно производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции). Если необходимо вычислить производную от функции в конкретной точке, то нужно в полученном ответе вместо аргумента x подставить его численное значение и рассчитать выражение. При решении производной онлайн вам необходимо ввести функцию в соответсвующее поле: при этом аргументом должна быть переменная x , поскольку дифференцирование идёт именно по нему. Для вычисления второй производной нужно продифференцировать полученный ответ. Калькулятор вычисляет производные всех элементарных функций, приводя подробное решение. Переменная дифференцирования определяется автоматически. Производная функции — одно из важнейших понятий в математическом анализе. К появлению производной привели такие задачи, как, например, вычисление мгновенной скорости точки в момент времени , если известен путь в зависимоти от времени , задача о нахождении касательной к функции в точке. Чаще всего производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует. Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда производной функции в точке называется предел, если он существует Как вычислить производную функции? Для того, чтобы научиться дифференцировать функции, нужно выучить и понять правила дифференцирования и научиться пользоваться таблицей производных . Правила дифференцирования Пусть и — произвольные дифференцируемые функции от вещественной переменной, — некоторая вещественная постоянная. Тогда — правило дифференцирования произведения функций — правило дифференцирования частного функций 0″> — дифференцирование функции с переменным показателем степени — правило дифференцирования сложной функции — правило дифференцирования степенной функции Производная функции онлайн Наш калькулятор быстро и точно вычислит производную любой функции онлайн. Программа не допустит ошибки при вычислениях производной и поможет избежать долгих и нудных расчётов. Онлайн калькулятор будет полезен и в том случае, когда есть необходимость проверить на правильность своё решение, и если оно неверно, быстро найти ошибку. Операция отыскания производной называется дифференцированием. В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм. Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров. Пример 1. Найти производную функции Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е. Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную: Пример 2. Найти производную функции Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной: Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас. Таблица производных простых функций 1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200…), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто 2. Производная независимой переменной. Чаще всего «икса». Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго 3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни. 4. Производная переменной в степени -1 5. Производная квадратного корня 6. Производная синуса 7. Производная косинуса 8. Производная тангенса 9. Производная котангенса 10. Производная арксинуса 11. Производная арккосинуса 12. Производная арктангенса 13. Производная арккотангенса 14. Производная натурального логарифма 15. Производная логарифмической функции 16. Производная экспоненты 17. Производная показательной функции Правила дифференцирования 1. Производная суммы или разности 2. Производная произведения 2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель 3. Производная частного 4. Производная сложной функции Правило 1. Если функции дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции причём т. е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е. Правило 2. Если функции дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение причём т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой. Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной : Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные. Например, для трёх множителей: Правило 3. Если функции дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём т. е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Где что искать на других страницах При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » . Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает. А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10). Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций. По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями . Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «. Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций». Пошаговые примеры — как найти производную Пример 3. Найти производную функции Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой: Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль. Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную «икса». Получаем следующие значения производных: Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции: А проверить решение задачи на производную можно на . Пример 4. Найти производную функции Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем: Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус: Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» . Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» . Пример 5. Найти производную функции Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем: Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн . Пример 6. Найти производную функции Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем: Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на . Вычисление производной — одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках: Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций Приведенные формулы используйте как справочные значения. Они помогут в решении дифференциальных уравнений и задач. На картинке, в таблице производных простых функций, приведена «шпаргалка» основных случаев нахождения производной в понятном для применения виде, рядом с ним даны пояснения для каждого случая. Производные простых функций 1. Производная от числа равна нулю с´ = 0 Пример: 5´ = 0 Пояснение : Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях — скорость его изменения всегда равна нулю. 2. Производная переменной равна единице x´ = 1 Пояснение : При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента. 3. Производная переменной и множителя равна этому множителю сx´ = с Пример: (3x)´ = 3 (2x)´ = 2 Пояснение : В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х ) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с . Откуда следует, что (cx + b)» = c то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k). 4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю |x|» = x / |x| при условии, что х ≠ 0 Пояснение : Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение. 5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу (x c)»= cx c-1 , при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0 Пример: (x 2)» = 2x (x 3)» = 3x 2 Для запоминания формулы : Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить. 6. Производная дроби 1/х (1/х)» = — 1 / x 2 Пример: Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень (1/x)» = (x -1)» , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных (x -1)» = -1x -2 = — 1 / х 2 7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе (1 / x c)» = — c / x c+1 Пример: (1 / x 2)» = — 2 / x 3 8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем) (√x)» = 1 / (2√x) или 1/2 х -1/2 Пример: (√x)» = (х 1/2)» значит можно применить формулу из правила 5 (х 1/2)» = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х) 9. Производная переменной под корнем произвольной степени (n √x)» = 1 / (n n √x n-1) Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную? Геометрический и физический смысл производной Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной: Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Иначе это можно записать так: Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке. Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения. Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени: Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел: Правило первое: выносим константу Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте . Пример. Вычислим производную: Правило второе: производная суммы функций Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций. Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример. Найти производную функции: Правило третье: производная произведения функций Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: Пример: найти производную функции: Решение: Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной. В вышеуказанном примере мы встречаем выражение: В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной. Правило четвертое: производная частного двух функций Формула для определения производной от частного двух функций: Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных. С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных. определение, как найти, примеры решений Приложение Решение производной на сайт для закрепления пройденного материала студентами и школьниками. Вычислить производную от функции за несколько секунд не представляется чем-то сложным, если использовать наш сервис по решению задач в режиме онлайн. Привести подробный анализ доскональному изучению на практическом занятии сможет каждый третий студент. Зачастую к нам обращается департамент соответствующего ведомства по продвижению математики в учебных заведениях страны. Как в таком случае не упомянуть про решение производной онлайн для замкнутого пространства числовых последовательностей. Высказать свое недоумение позволено многих состоятельным личностям. Но между делом математики не сидят на месте и много работают. Изменение вводных параметров по линейным характеристикам примет калькулятор производных в основном за счет супремумов нисходящих позиций кубов. Итог неизбежен как поверхность. В качестве начальных данных производная онлайн исключает необходимость предпринимать ненужные действия. За исключением вымышленных домашних работ. Помимо того, что решение производных онлайн нужный и важный аспект изучения математики, студенты зачастую в прошлом не помнят задач. Студент, как ленивое существо, это понимает. Но студенты — веселые люди! Либо делать по правилам, либо производная функции в наклонной плоскости может придать ускорение материальной точке. Куда-то направим вектор нисходящего пространственного луча. В нужном ответе найти производную кажется абстрактным теоретическим направлением из-за неустойчивости математической системы. Задумаем отношение чисел как последовательность неиспользуемых вариантов. Канал связи пополнился пятой линий по вектору убывания из точки замкнутого раздвоения куба. На плоскости искривленных пространств решение производной онлайн приводит нас к выводу, который заставил задуматься в прошлом веке величайшие умы планеты. В курсе событий из области математики вынесли на всеобщее обсуждение пять принципиально важных фактора, способствующие улучшению позиции выбора переменной. Вот и закон для точек гласит, что производная онлайн подробно вычисляется не в каждом случае, исключением может быть только лояльно прогрессирующий момент. Прогноз вывел нас на новый виток развития. Нужен результат. В линию прошедшего под поверхность математического наклона калькулятор производных режима находятся в области пересечения произведений на множестве изгиба. Осталось проанализировать дифференцирование функции в её независимой точке около эпсилон-окрестности. В этом можно убедиться каждому на практике. В итоге будет что решать на следующем этапе программирования. Студенту производная онлайн нужна как всегда независимо от практикуемых воображаемых исследований. Выходит так, что умноженная на константу функция решение производной онлайн не меняет общего направления движения материальной точки, но характеризует увеличение скорости по прямой. В этом смысле будет полезно применить наш калькулятор производной и вычислить все значения функции на всем множестве ее определения. Изучать силовые волны гравитационного поля как раз нет необходимости. Ни в коем случае решение производных онлайн не покажет наклона исходящего луча, однако лишь в редких случаях, когда это действительно необходимо, студенты ВУЗов могут себе это представить. Исследуем принципала. Значение наименьшего ротора прогнозируемо. Применить к результату смотрящих направо линий, по которым описывается шар, но онлайн калькулятор производных это есть основа для фигур особой прочности и нелинейной зависимости. Отчет по проекту математики готов. Личные характеристики разность наименьших чисел и производная функции по оси ординат выведет на высоту вогнутость той же функции. Есть направление — есть вывод. Легче выдвинуть теорию на практике. Есть предложение у студентов по срокам начала исследования. Нужен преподавателя ответ. Снова, как и к предыдущему положению, математическая система не регулируема на основании действия, которое поможет найти производную.Как и нижний полулинейный вариант производная онлайн подробно укажет на выявленность решения по вырожденному условному закону. Как раз выдвинута идея по расчету формул. Линейное дифференцирование функции отклоняет истинность решения на простое выкладывание неуместных положительных вариаций. Важность знаков сравнения будет расценена как сплошной разрыв функции по оси. В том заключается важность самого осознанного вывода, по мнению студента, при котором производная онлайн есть нечто иное, чем лояльный пример мат анализа. Радиус искривленного круга в пространстве Евклидовом напротив дал калькулятор производных естественному представлению обмена решительных задач на устойчивость. Лучший метод найден. Было проще ставить задание на уровень вверх. Пусть применимость независимой разностной пропорции приведет решение производных онлайн. Крутится решение вокруг оси абсцисс, описывая фигуру круга. Выход есть, и он основан на теоретически подкрепленных студентами ВУЗов исследованиях, по которым учится каждый, и даже в те моменты времени существует производная функции. Нашли прогрессу дорогу и студенты подтвердили. Мы можем позволить себе найти производную, не выходя за рамки неестественного подхода в преобразовании математической системы. Левый знак пропорциональности растет с геометрической последовательностью как математическое представление онлайн калькулятора производных за счет неизвестного обстоятельства линейных множителей на бесконечной оси ординат. Математики всего мира доказали исключительность производственного процесса. Есть наименьший квадрат внутри круга по описанию теории. Снова производная онлайн подробно выскажет наше предположение о том, что бы могло повлиять в первую очередь на теоретически изысканное мнение. Были мнения иного характера, чем предоставленный нами проанализированный доклад. Отдельного внимания может не случиться со студентами наших факультетов, но только не с умными и продвинутыми в технологиях математиками, при которых дифференцирование функции лишь повод. Механический смысл производной очень прост. Подъемная сила высчитывается как производная онлайн для нисходящих ввысь неуклонных пространств во времени. Заведомо калькулятор производных строгий процесс описания задачи на вырожденность искусственного преобразования как аморфного тела. Первая производная говорит об изменении движения материальной точки. Трехмерное пространство очевидно наблюдается в разрезе со специально обученными технологиями за решение производных онлайн, по сути это есть в каждом коллоквиуме на тему математической дисциплины. Вторая производная характеризует изменение скорости материальной точки и определяет ускорение. Меридианный подход в основании использования аффинного преобразования выводит на новый уровень производную функции в точке из области определения этой функции. Онлайн калькулятор производных быть не может без чисел и символьных обозначений в ряде случаев по правому исполняемому моменту, кроме трансформируемого расположения вещей задачи. Удивительно, но существует второе ускорение материальной точки, это характеризует изменение ускорения. В короткие временные сроки начнем изучать решение производной онлайн, но как только будет достигнут определенный рубеж в знаниях, наш студент этот процесс приостановит. Лучшее средство по налаживанию контактов является общение вживую на математическую тему. Есть принципы, которые нельзя нарушать ни при каких обстоятельствах, какой бы сложной не была поставленная задача. Полезно найти производную онлайн вовремя и без ошибок. Приведет это к новому положению математического выражения. Система устойчива. Физический смысл производной не так популярен, как механический. Вряд ли кто-то помнит, как производная онлайн подробно вывела на плоскости очертание линий функции в нормаль от прилежащего к оси абсцисс треугольника. Большую роль в исследованиях прошлого века заслуживает человек. Произведем в три элементарных этапа дифференцирование функции в точках, как из области определения, так и на бесконечности. Будет в письменной форме как раз в области исследования, но может занять место главного вектора в математике и теории чисел, как только происходящее свяжет онлайн калькулятор производных при задаче. Была бы причина, а повод составить уравнение будет. Очень важно иметь в виду все входные параметры. Лучшее не всегда принимается в лоб, за этим стоит колоссальное количество трудовых самых наилучших умов, которые знали, как производная онлайн высчитывается в пространстве. С тех пор выпуклость считается свойством непрерывной функции. Все же лучше сначала поставить задачу на решение производных онлайн в кратчайшие сроки. Таким образом, решение будет полным. Кроме невыполненных норм это не считается достаточным. Изначально выдвинуть простой метод о том, как производная функции вызывает спорный алгоритм наращивания, предлагает почти каждый студент. По направлению восходящего луча. В этом есть смысл как в общем положении. Ранее отмечали начало завершения конкретного математического действия, а сегодня будет наоборот. Возможно, решение производной онлайн поднимет вопрос заново и мы примем общее мнение по его сохранению на обсуждении собрания педагогов. Надеемся на понимание со всех сторон участниц собрания. Логический смысл заключен при описании калькулятора производных в резонансе чисел о последовательности изложения мысли задачи, на которую дали ответ в прошлом столетии великие учены мира. Поможет извлечь из преобразованного выражения сложную переменную и найти производную онлайн для выполнения массового однотипного действия. Истина в разы лучше догадок. Наименьшее значение в тренде. Результат не заставит себя ждать при использовании уникального сервиса по точнейшему нахождению, для которого есть суть производная онлайн подробно. Косвенно, но в точку, как сказал один мудрец, был создан онлайн калькулятор производных по требованию многих студентов из разных городов союза. Если разница есть, то зачем решать дважды. Заданный вектор лежит по одну сторону с нормалью. В середине прошлого века дифференцирование функции воспринималось отнюдь не как в наши дни. Благодаря развитию в прогрессе, появилась математика онлайн. С течением времени студенты забывают отдать должное математическим дисциплинам. Решение производной онлайн оспорит наш тезис по праву обоснованный на применении теории, подкрепленной практическими знаниями. Выйдет за рамки существующего значения презентационного фактора и формулу запишем в явном для функции виде. Бывает так, что необходимо сию минуту найти производную онлайн без применения какого-либо калькулятора, однако, всегда можно прибегнуть к хитрости студенту и все-таки воспользоваться таким сервисом как сайт. Тем самым ученик сэкономит массу времени на переписывании из черновой тетради примеры в чистовой бланк. Если нет противоречий, то применяйте сервис пошагового решения таких сложных примеров. Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную? Геометрический и физический смысл производной Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной: Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Иначе это можно записать так: Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке. Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения. Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени: Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел: Правило первое: выносим константу Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте . Пример. Вычислим производную: Правило второе: производная суммы функций Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций. Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример. Найти производную функции: Правило третье: производная произведения функций Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: Пример: найти производную функции: Решение: Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной. В вышеуказанном примере мы встречаем выражение: В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной. Правило четвертое: производная частного двух функций Формула для определения производной от частного двух функций: Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных. С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных. При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при : Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю. Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения . Производная степенной функции. Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число. Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, … Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента: Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона: Следовательно, Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя. Производная показательной функции. Вывод формулы производной приведем на основе определения: Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма. Выполним подстановку в исходный предел: Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции: Производная логарифмической функции. Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем: Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела. Производные тригонометрических функций. Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел. По определению производной для функции синуса имеем . Воспользуемся формулой разности синусов: Осталось обратиться к первому замечательному пределу: Таким образом, производная функции sin x есть cos x . Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса. Следовательно, производная функции cos x есть –sin x . Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби). Производные гиперболических функций. Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Производная обратной функции. Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, — это производная функции f(x) по x . Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции. Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи . Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим . Давайте проверим справедливость этих формул. Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x — аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции. Из таблицы производных видим, что и . Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам: Дата: 20.11.2014 Таблица производных. Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств. Это знакомство позволит: Понимать суть несложных заданий с производной; Успешно решать эти самые несложные задания; Подготовиться к более серьёзным урокам по производной. Сначала — приятный сюрприз.) Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний! Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует. Приступим к знакомству?) Термины и обозначения. В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках. Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная. Дифференцирование — действие над функцией. Производная — результат этого действия. Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления. Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т. п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания. Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y» или f»(x) или S»(t) и так далее. Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли…) Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)» , (x 3 )» , (sinx)» и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем. Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного. Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита: 1. Таблица производных (формулы дифференцирования). 3. Производная сложной функции. Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных. Таблица производных. В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п. Дифференцирование функций «с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.) Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная. Функция y Производная функции y y» 1 C (постоянная величина) C» = 0 2 x x» = 1 3 x n (n — любое число) (x n)» = nx n-1 x 2 (n = 2) (x 2)» = 2x 4 sin x (sin x)» = cosx cos x (cos x)» = — sin x tg x ctg x 5 arcsin x arccos x arctg x arcctg x 4 a x e x 5 log a x ln x (a = e ) Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции — одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!) Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице — вроде и нету… Рассмотрим несколько примеров: 1. Найти производную функции y = x 3 Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат: (x 3) » = 3·x 3-1 = 3x 2 Вот и все дела. Ответ: y» = 3x 2 2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0. Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию… Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню — это уже новая функция. По табличке находим синус и соответствующую производную: y» = (sin x)» = cosx Подставляем ноль в производную: y»(0) = cos 0 = 1 Это и будет ответ. 3. Продифференцировать функцию: Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет. Напомню, что продифференцировать функцию — это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает… Но если увидеть, что наша функция — это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается! Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла: Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это — табличная функция. Сразу получаем: Ответ: y» = — sin x . Пример для продвинутых выпускников и студентов: 4. Найти производную функции: Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями… То вполне можно упростить эту функцию. Вот так: А икс в степени одна десятая — это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем: Вот и всё. Это будет ответ. Надеюсь, что с первым китом дифференцирования — таблицей производных — всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования. Деривативы для детей и начинающих: #1 Простое объяснение Новостная статья CBS о Риши Вамдатте: «11-летний вундеркинд, который предлагает бесплатные финансовые консультации тысячам онлайн» Фейсбук Твиттер LinkedIn Что такое производные? Investing 101: Easy Peasy Finance для детей и начинающих Посмотреть это видео на YouTube Введение в деривативы для детей и подростков В этом видео просто и лаконично объясняется концепция деривативов для детей и начинающих. Его могут использовать дети и подростки, чтобы узнать о деривативах, или использовать его в качестве денежного и личного финансового ресурса родителями и учителями в рамках курса финансовой грамотности или учебной программы K-12. Подходит для учащихся от классов: Киндбарт Начальная школа Средняя школа Средняя школа Охватываемые темы: . Каковы производные различные виды дериваверов ARIVATIONS мировой пример Почему они используются Как работает торговля деривативами Стоит ли инвестировать в деривативы Что такое деривативы? Производные инструменты — это сложные финансовые инструменты, которые имеют стоимость только потому, что они связаны с чем-то еще, называемым базовым активом. Другими словами, производные получают свою стоимость из базового инструмента, которым могут быть акции, облигации, валюта, процентные ставки, товары и т. д. Сами по себе производные не имеют стоимости. Цена дериватива определяется и зависит от цены базового актива. Существуют ли разные виды производных? Да, наиболее распространенными деривативами являются фьючерсы, форварды, свопы и опционы. На высоком уровне фьючерсы, форварды и свопы являются обязательными для держателя контракта, что означает, что стороны, заключающие соглашение, должны выполнить свои обязательства. Опционы, как следует из названия, дают держателю опциона право, но не обязательство купить или продать базовый инструмент. Мы подробно рассказываем о каждом производном инструменте в отдельных видеороликах. [Это партнерская ссылка: без каких-либо дополнительных затрат для вас, мы будем получать комиссию, если вы нажмете и совершите покупку] Хмм… Это сложно! Можете ли вы объяснить это на примере? Допустим, Бен, фермер, выращивающий кукурузу, обеспокоен тем, что цена на кукурузу упадет к тому времени, когда его урожай будет готов к уборке, и хочет зафиксировать цену продажи по текущей рыночной цене. С другой стороны, Сэм, производитель попкорна, считает, что цены на кукурузу вырастут через несколько месяцев, и хочет заблокировать свои покупка цена по текущей рыночной цене. В этом случае Бен и Сэм заключают форвардный контракт, который представляет собой соглашение между Беном о продаже, а Сэмом о покупке фиксированного количества кукурузы в будущем, скажем, через 3 месяца, по сегодняшней цене. Таким образом, они оба хеджировали свой риск, основываясь на своей оценке будущей цены на кукурузу. Для чего используются производные? Производные инструменты были в первую очередь созданы для хеджирования рисков, как мы обсуждали в примере. Однако деривативы представляют собой инструменты с высокой долей заемных средств, по которым стороны могут торговать, внося вперед лишь небольшой процент от стоимости сделки, называемый маржой. Это делает их инвестициями с высоким риском и высокой прибылью, и поэтому они используются любителями риска для спекуляций. Как работает торговля деривативами? И как я могу инвестировать в деривативы? Некоторые деривативы торгуются на биржах, как и акции. Их можно покупать и продавать через ваш обычный брокерский счет, если вы зарегистрировались для инвестиций в деривативы. Но большинство деривативов торгуются напрямую между двумя сторонами, обычно финансовыми учреждениями, такими как банки, с условиями контракта, взаимно согласованными между двумя сторонами. Они называются внебиржевыми или внебиржевыми производными. Стоит ли инвестировать в производные инструменты? Производные инструменты обеспечивают кредитное плечо, что оказывает усиленное влияние на ваши доходы: как прибыль, так и убытки могут быть огромными. Для успешного инвестирования необходимо глубокое понимание инструментов, рынков и сопутствующих рисков. Таким образом, деривативы лучше оставить опытным инвесторам, и их следует избегать новым или неопытным инвесторам. Заключение Что вы думаете о деривативах? Вы инвестировали в любой? Пожалуйста, дайте нам знать через ваши комментарии ниже! Загрузить расшифровку: идеально подходит для использования учителями в своих планах уроков для обучения детей и подростков Подкаст: Что такое производные типов, рекомендации, плюсы и минусы Что такое производная? Термин производный относится к типу финансового контракта, стоимость которого зависит от базового актива, группы активов или эталона. Производный инструмент устанавливается между двумя или более сторонами, которые могут торговать на бирже или внебиржевом рынке (OTC). Эти контракты могут использоваться для торговли любым количеством активов и несут свои риски. Цены на деривативы зависят от колебаний базового актива. Эти финансовые ценные бумаги обычно используются для доступа к определенным рынкам и могут продаваться для хеджирования рисков. Производные могут использоваться либо для снижения риска (хеджирование), либо для принятия на себя риска с ожиданием соразмерного вознаграждения (спекуляция). Производные могут переместить риск (и сопутствующие вознаграждения) от людей, не склонных к риску, к тем, кто ищет риск. Ключевые выводы Производные инструменты — это финансовые контракты, заключенные между двумя или более сторонами, стоимость которых определяется базовым активом, группой активов или эталоном. Производным инструментом можно торговать на бирже или внебиржевом рынке. Цены на производные финансовые инструменты зависят от колебаний базового актива. Производные инструменты обычно являются инструментами с использованием заемных средств, что увеличивает их потенциальные риски и выгоды. Обычные производные инструменты включают фьючерсные контракты, форварды, опционы и свопы. Производные: Мой любимый финансовый термин Понимание деривативов Производный инструмент — это сложный тип финансового обеспечения, устанавливаемого между двумя или более сторонами. Трейдеры используют деривативы для доступа к определенным рынкам и торговли различными активами. Как правило, деривативы считаются формой продвинутого инвестирования. Наиболее распространенными базовыми активами для деривативов являются акции, облигации, товары, валюта, процентные ставки и рыночные индексы. Стоимость контракта зависит от изменения цены базового актива. Производные можно использовать для хеджирования позиции, спекуляций на направленном движении базового актива или предоставления кредитного плеча вложениям. Эти активы обычно торгуются на биржах или OTC и покупаются через брокерские конторы. Чикагская товарная биржа (CME) — одна из крупнейших в мире бирж деривативов. Важно помнить, что когда компании хеджируют, они не спекулируют на цене товара. Вместо этого хеджирование — это просто способ для каждой стороны управлять риском. Каждая сторона имеет свою прибыль или маржу, встроенную в цену, и хеджирование помогает защитить эту прибыль от уничтожения рыночными движениями цены товара. Внебиржевые деривативы, как правило, имеют большую вероятность риска контрагента, что представляет собой опасность дефолта одной из сторон, участвующих в сделке. Эти контракты торгуются между двумя частными сторонами и не регулируются. Чтобы хеджировать этот риск, инвестор может приобрести валютный производный инструмент, чтобы зафиксировать определенный обменный курс. Производные инструменты, которые можно использовать для хеджирования такого рода рисков, включают валютные фьючерсы и валютные свопы. Биржевые деривативы стандартизированы и регулируются более жестко, чем внебиржевые. Особые указания Первоначально деривативы использовались для обеспечения сбалансированного обменного курса товаров, торгуемых на международном рынке. Международные трейдеры нуждались в системе для учета различной стоимости национальных валют. Предположим, у европейского инвестора есть инвестиционные счета, деноминированные в евро (EUR). Допустим, они покупают акции американской компании через американскую биржу, используя доллары США (USD). Это означает, что они теперь подвержены риску обменного курса, удерживая эти акции. Риск обменного курса – это угроза роста стоимости евро по отношению к доллару США. Если это произойдет, любая прибыль, полученная инвестором при продаже акций, станет менее ценной при конвертации в евро. Спекулянт, который ожидает повышения курса евро по отношению к доллару, может получить прибыль, используя производный инструмент, стоимость которого растет вместе с евро. При использовании деривативов для спекуляций на движении цены базового актива инвестору не нужно иметь холдинг или портфель в отношении базового актива. Многие производные инструменты используют заемные средства, что означает, что требуется небольшая сумма капитала, чтобы иметь долю в большой сумме стоимости базового актива. Типы производных финансовых инструментов Деривативы сегодня основаны на широком спектре транзакций и имеют гораздо больше применений. Существуют даже производные, основанные на данных о погоде, таких как количество осадков или количество солнечных дней в регионе. Существует множество различных типов деривативов, которые можно использовать для управления рисками, спекуляций и увеличения позиции. Рынок деривативов продолжает расти, предлагая продукты, отвечающие практически любым потребностям и допустимым рискам. Существует два класса производных продуктов: «замок» и «опцион». Продукты блокировки (например, фьючерсы, форварды или свопы) связывают соответствующие стороны с самого начала согласованными условиями в течение всего срока действия контракта. С другой стороны, опционные продукты (например, опционы на акции) предлагают держателю право, но не обязательство, купить или продать базовый актив или ценную бумагу по определенной цене в день истечения срока действия опциона или до него. Наиболее распространенными типами деривативов являются фьючерсы, форварды, свопы и опционы. Фьючерсы Фьючерсный контракт или просто фьючерс — это соглашение между двумя сторонами о покупке и поставке актива по согласованной цене в будущем. Фьючерсы — это стандартизированные контракты, которые торгуются на бирже. Трейдеры используют фьючерсные контракты, чтобы хеджировать свои риски или спекулировать на цене базового актива. Участвующие стороны обязаны выполнить обязательство по покупке или продаже базового актива. Например, предположим, что 6 ноября 2021 года компания А покупает фьючерсный контракт на нефть по цене 62,22 доллара за баррель, срок действия которого истекает 19 декабря., 2021. Компания делает это, потому что ей нужна нефть в декабре, и она обеспокоена тем, что цена вырастет до того, как компании нужно будет покупать. Покупка фьючерсного контракта на нефть хеджирует риск компании, поскольку продавец обязан поставить нефть компании А по цене 62,22 доллара за баррель по истечении срока действия контракта. Предположим, что цены на нефть вырастут до 80 долларов за баррель к 19 декабря 2021 года. Компания А может принять поставку нефти от продавца фьючерсного контракта, но если ей больше не нужна нефть, она также может продать контракт до истечения срока действия и сохранить прибыль. В этом примере и покупатель фьючерса, и продавец хеджируют свои риски. Компания А нуждалась в нефти в будущем и хотела компенсировать риск того, что цена может вырасти в декабре, с помощью длинной позиции по фьючерсному контракту на нефть. Продавцом может быть нефтяная компания, обеспокоенная падением цен на нефть, которая хочет устранить этот риск, продавая фьючерсные контракты или открывая короткие позиции по фьючерсным контрактам с фиксированной ценой, которую она получит в декабре. Также возможно, что одна или обе стороны являются спекулянтами с противоположным мнением о направлении декабрьской нефти. В этом случае можно получить выгоду от контракта, а можно и нет. Возьмем, к примеру, фьючерсный контракт на нефть West Texas Intermediate (WTI), который торгуется на CME и представляет собой 1000 баррелей нефти. Если бы цена на нефть выросла с 62,22 до 80 долларов за баррель, трейдер с длинной позицией — покупатель — по фьючерсному контракту получил бы прибыль в размере 17 780 долларов [(80 долларов — 62,22 доллара) x 1000 = 17 780 долларов]. Трейдер с короткой позицией — продавец — в контракте получит убыток в размере 17 780 долларов. Расчеты фьючерсами наличными Не все фьючерсные контракты рассчитываются по истечении срока действия путем поставки базового актива. Если обе стороны фьючерсного контракта являются спекулянтами или трейдерами, маловероятно, что кто-либо из них захочет договориться о поставке большого количества баррелей сырой нефти. Спекулянты могут прекратить свои обязательства по покупке или поставке базового товара, закрыв (раскрутив) свой контракт до истечения срока действия с помощью компенсационного контракта. Многие деривативы на самом деле рассчитываются наличными, а это означает, что прибыль или убыток в сделке — это просто бухгалтерский денежный поток на брокерский счет трейдера. Фьючерсные контракты с расчетами наличными включают многие фьючерсы на процентные ставки, фьючерсы на фондовые индексы и более необычные инструменты, такие как фьючерсы на волатильность или погодные фьючерсы. Форварды Форвардные контракты, или форварды, аналогичны фьючерсам, но ими не торгуют на бирже. Эти контракты торгуются только на внебиржевом рынке. При создании форвардного контракта покупатель и продавец могут настроить условия, размер и процесс расчетов. Как внебиржевые продукты, форвардные контракты несут большую степень контрагентского риска для обеих сторон. Риск контрагента — это тип кредитного риска, заключающийся в том, что стороны могут быть не в состоянии выполнить обязательства, изложенные в договоре. Если одна из сторон становится неплатежеспособной, другая сторона может не иметь права регресса и может потерять ценность своей позиции. После создания стороны форвардного контракта могут компенсировать свои позиции с другими контрагентами, что может увеличить потенциал контрагентских рисков по мере того, как все больше трейдеров будут участвовать в одном и том же контракте. Обмен Свопы — еще один распространенный тип деривативов, часто используемый для обмена одного вида денежного потока на другой. Например, трейдер может использовать процентный своп, чтобы переключиться с кредита с плавающей процентной ставкой на кредит с фиксированной процентной ставкой или наоборот. Представьте, что компания XYZ занимает 1 000 000 долларов и выплачивает по кредиту переменную процентную ставку, которая в настоящее время составляет 6%. XYZ может быть обеспокоен ростом процентных ставок, которые увеличат стоимость этого кредита, или столкнуться с кредитором, который не хочет предоставлять больше кредита, в то время как компания имеет этот риск переменной ставки. Предположим, что XYZ создает своп с компанией QRS, которая готова обменять платежи, причитающиеся по кредиту с переменной процентной ставкой, на платежи, причитающиеся по кредиту с фиксированной процентной ставкой в ​​размере 7%. Это означает, что XYZ выплатит QRS 7% от основной суммы в размере 1 000 000 долларов, а QRS выплатит XYZ 6% от той же основной суммы. В начале свопа XYZ просто заплатит QRS разницу в 1 процентный пункт между двумя ставками свопа. Если процентные ставки упадут так, что переменная ставка по первоначальному кредиту теперь составит 5%, компания XYZ должна будет выплатить компании QRS разницу в 2 процентных пункта по кредиту. Если процентные ставки вырастут до 8%, то QRS придется выплатить XYZ разницу в 1 процентный пункт между двумя ставками свопа. Независимо от того, как изменятся процентные ставки, своп достиг первоначальной цели XYZ по превращению кредита с плавающей процентной ставкой в ​​кредит с фиксированной процентной ставкой. Свопы также могут быть созданы для обмена валютным риском или риском дефолта по кредиту или денежным потокам от другой коммерческой деятельности. Свопы, связанные с денежными потоками и потенциальными дефолтами по ипотечным облигациям, являются чрезвычайно популярным видом дериватива. На самом деле, они были слишком популярны в прошлом. Именно контрагентский риск подобных свопов в конечном итоге привел к кредитному кризису 2008 года. Опции Опционный контракт похож на фьючерсный контракт тем, что это соглашение между двумя сторонами о покупке или продаже актива в заранее определенную дату в будущем по определенной цене. Ключевое различие между опционами и фьючерсами заключается в том, что покупатель опциона не обязан выполнять свое соглашение о покупке или продаже. Это только возможность, а не обязательство, как фьючерсы. Как и в случае с фьючерсами, опционы могут использоваться для хеджирования или спекуляций на цене базового актива. Что касается времени вашего права на покупку или продажу, это зависит от «стиля» опциона. Американский опцион позволяет держателям реализовать права опциона в любое время до и включая день истечения срока действия. Европейский опцион может быть исполнен только в день экспирации. У большинства акций и биржевых фондов есть опционы в американском стиле, а у индексов акций, включая S&P 500, — опционы в европейском стиле. Представьте, что инвестор владеет 100 акциями по цене 50 долларов за акцию. Они считают, что стоимость акций в будущем будет расти. Однако этот инвестор обеспокоен потенциальными рисками и решает застраховать свою позицию с помощью опциона. Инвестор может купить опцион пут, который дает ему право продать 100 акций базового актива по цене 50 долларов за акцию (так называемая цена исполнения) до определенного дня в будущем, известного как дата истечения срока действия. Предположим, что к моменту истечения срока действия акции падают в цене до 40 долларов за акцию, и покупатель пут-опциона решает реализовать свой опцион и продать акции по первоначальной цене исполнения 50 долларов за акцию. Если покупка опциона пут стоила инвестору 200 долларов, то он потерял только стоимость опциона, потому что цена исполнения была равна цене акции, когда они первоначально купили опцион пут. Подобная стратегия называется защитным путом, потому что она хеджирует риск падения акций. В качестве альтернативы предположим, что инвестор не владеет акциями, которые в настоящее время стоят 50 долларов за акцию. Они считают, что его стоимость вырастет в течение следующего месяца. Этот инвестор может купить опцион колл, который дает ему право купить акцию за 50 долларов до или после истечения срока действия. Предположим, что этот колл-опцион стоил 200 долларов, а акции выросли до 60 долларов до истечения срока действия. Покупатель теперь может воспользоваться своим опционом и купить акцию стоимостью 60 долларов за акцию по цене исполнения 50 долларов за первоначальную прибыль в размере 10 долларов за акцию. Опцион колл представляет собой 100 акций, поэтому реальная прибыль составляет 1000 долларов за вычетом стоимости опциона — премии — и любых брокерских комиссий. В обоих примерах продавцы обязаны выполнять свою часть договора, если покупатели решат исполнить договор . Однако, если цена акции выше цены исполнения по истечении срока действия, пут будет бесполезен, и продавец (продавец опциона) получает право удерживать премию по истечении срока действия опциона. Если цена акции ниже страйк-цены на момент экспирации, колл будет бесполезен, и продавец колла удержит премию. Мелисса Линг {Авторское право} Investopedia, 2019. Преимущества и недостатки производных инструментов Преимущества Как показывают приведенные выше примеры, деривативы могут быть полезным инструментом как для бизнеса, так и для инвесторов. Они позволяют сделать следующее: Фиксация цен Защита от неблагоприятных колебаний ставок Снижение рисков Эти плюсы часто могут быть получены за ограниченную стоимость. Производные также часто можно приобрести с маржей, что означает, что трейдеры используют заемные средства для их покупки. Это делает их еще менее дорогими. Недостатки Производные трудно оценить, потому что они основаны на цене другого актива. Риски для внебиржевых деривативов включают риски контрагента, которые трудно предсказать или оценить. Большинство производных также чувствительны к следующему: Изменения времени до экспирации Стоимость владения базовым активом Процентные ставки Эти переменные затрудняют точное сопоставление стоимости производного инструмента с базовым активом. Поскольку дериватив не имеет внутренней стоимости (его стоимость зависит только от базового актива), он уязвим для рыночных настроений и рыночного риска. Факторы спроса и предложения могут вызывать рост и падение цены дериватива и его ликвидности независимо от того, что происходит с ценой базового актива. Наконец, деривативы обычно являются инструментами с использованием заемных средств, а использование заемных средств работает в обоих направлениях. Хотя это может увеличить норму прибыли, это также ускоряет рост убытков. Плюсы Фиксация цен Хеджирование риска Можно использовать Диверсифицировать портфель Минусы Трудно оценить При условии невыполнения обязательств контрагентом (если внебиржевой) Сложный для понимания Чувствительные к факторам спроса и предложения Что такое производные? Производные ценные бумаги – это ценные бумаги, стоимость которых зависит от базового актива или получена от него. Например, фьючерсный контракт на нефть — это тип производного инструмента, стоимость которого основана на рыночной цене нефти. В последние десятилетия деривативы становятся все более популярными: общая стоимость находящихся в обращении деривативов оценивалась в 610 триллионов долларов США по состоянию на 30 июня 2021 года. Каковы некоторые примеры деривативов? Типичными примерами деривативов являются фьючерсные контракты, опционные контракты и дефолтные свопы. Помимо этого, существует огромное количество деривативных контрактов, адаптированных для удовлетворения потребностей различных контрагентов. На самом деле, поскольку многие деривативы торгуются на внебиржевом рынке (OTC), их в принципе можно бесконечно настраивать. Каковы основные преимущества и риски деривативов? Производные инструменты могут быть очень удобным способом достижения финансовых целей. Например, компания, которая хочет застраховаться от рисков, связанных с сырьевыми товарами, может сделать это, покупая или продавая производные энергетические инструменты, такие как фьючерсы на сырую нефть. Точно так же компания может хеджировать свой валютный риск, покупая валютные форвардные контракты. Производные инструменты также могут помочь инвесторам использовать свои позиции, например, покупая акции через опционы на акции, а не акции. К основным недостаткам деривативов относятся контрагентский риск, неотъемлемые риски использования заемных средств и тот факт, что сложная сеть деривативных контрактов может привести к системным рискам. Ускоренный курс по деривативам для чайников Обзор постов, представляющих бесплатный вводный курс для начинающих с простыми примерами для ознакомления с базовыми ванильными деривативами, а также различиями между форвардами, фьючерсами и опционами. Более подробный ускоренный курс по корпоративным финансам для создания основ, необходимых для прохождения этого курса, см. в дорожной карте Руководства по обучению корпоративным финансам. В нашем Ускоренном курсе по деривативам мы начинаем с профилей производных выплат и синтетического конструирования продуктов, после чего следует ряд простых оценочных опросов, ценообразование деривативов и справочник по уравнениям. За ускоренным курсом следует промежуточный курс, в котором рассматриваются варианты продукта и основные концепции ценообразования. Цель здесь состоит в том, чтобы просто представить производные понятия небольшими кусочками. Мастер-класс: Интенсивный курс опционов и производных: Первая сессия: Терминология Мастер-класс: Ускоренный курс опционов и производных инструментов: Сессия вторая: форварды, фьючерсы и опционы Мастер-класс: Ускоренный курс опционов и деривативов: Сессия третья: Профили выплат – Форварды Мастер-класс: Ускоренный курс по опционам и производным инструментам: Сессия четвертая: Профили выплат – опционы, коллы и путы Мастер-класс: Ускоренный курс опционов и деривативов: Сессия пятая: Синтетика Мастер-класс : Ускоренный курс деривативов: что вы пропустили на синтетической форвардной диаграмме выше Ускоренный курс по деривативам — обучающие семинары и стенограммы Понимание процесса продажи деривативов: введение в функцию банковского казначейства  Продажа производных продуктов клиентам казначейства Ценообразование производных финансовых инструментов Материалы для чтения и обучения Ценообразование опционов с использованием биномиальных деревьев в Excel Опционное ценообразование — создание симуляторов Монте-Карло в Excel  Оценка опционов с использованием моделирования Монте-Карло – Обзор модели Ценообразование опционов — ценовая лестница опционов с использованием симуляторов Монте-Карло в Excel  Построение поверхностей подразумеваемой и локальной волатильности в Excel Поверхности волатильности, подразумеваемая волатильность, улыбки и перекосы Поверхность волатильности, опционы без денег и лотерейные билеты. Разница между подразумеваемой и локальной волатильностью – поверхности волатильности Создание набора данных поверхности волатильности с использованием подразумеваемой волатильности Поверхности подразумеваемой и локальной волатильности в Excel – заключительные шаги Расчет форвардной подразумеваемой волатильности в Excel Ускоренный курс по деривативам – Понимание греков Ни одно введение в деривативы не будет полным без обзора греков и хеджирования Delta. В первых двух постах представлен краткий обзор опционных греков. В последнем посте описывается пошаговый процесс построения модели хеджирования Delta в Excel с использованием моделирования Монте-Карло. Понимание опционных греков – краткое справочное руководство по Delta, Gamma, Vega, Theta и Rho Понимание вариантов греков — второй взгляд на дельту и гамму Опционы колл-опционы на дельта-хеджирование — создание симулятора Монте-Карло в Excel Понимание греков – моделирование дельта-хеджирования расширено для опционов пут Греческие опционы и дельта-хеджирование – Расчет и моделирование денежного PnL Греческий опцион и дельта-хеджирование – PnL, подразумеваемая волатильность и Rho Under Option Греки – Представляем Gamma Рассечение теты и временных премий для колл-опционов Подразумеваемая волатильность и хеджирование прибылей и убытков. Картирование распределения прибылей и убытков Ускоренный курс деривативов – хеджирование Греки высшего порядка Дельта-хеджирование полезно при хеджировании доли опциона от небольших приращений цены базового актива. Однако для больших скачков цены базового актива в наш портфель хеджирования необходимо включить греки более высокого порядка, такие как Gamma и Vega. В первом посте показано, как будет выглядеть распределение прибылей и убытков, если мы учтем гамму в нашей модели дельта-хеджирования. В то время как во втором посте представлена ​​серия уроков, в которых обсуждаются причины, по которым Гамма-хеджирование отличается от дельта-хеджирования (т. е. почему оно не включает покупку или продажу базового актива), и представлена ​​модель в EXCEL, использующая функциональность Решателя для хеджирования одной опционной позиции как а также портфолио опционов. Гамма-коррекция, дельта-хеджирование прибылей и убытков и частота ребалансировки Хеджирование греков высшего порядка — хеджирование гаммы и веги с использованием Microsoft EXCEL Ускоренный курс деривативов — Другие варианты второго порядка и волатильности. Греки Мы рассмотрим некоторые связанные показатели и их использование: Расчет гаммы тени — подход Талеба для варианта второго порядка, греческий. Вега, Волга и Ванна. Вариант волатильности греков. Понимание альфа или гамма ренты Дополнительные материалы для чтения Если вы хотите узнать больше об этой теме, мы также рекомендуем второй, более продвинутый курс по производным продуктам, который углубляется в эту тему. Также см. обзор деривативов с фиксированным доходом, MTM и моделей оценки для обзора процентных свопов, ограничений и уровней. В курсе по производным инструментам с фиксированным доходом, MTM и моделям оценки также рассматриваются основы построения простой модели оценки. Кроме того, после завершения Обзор деривативов с фиксированным доходом , вы также должны ознакомиться с двумя пошаговыми примерами ценообразования. В первом случае рассматривается процесс построения прогнозируемой кривой форвардной процентной ставки с использованием метода начальной загрузки. Во втором случае рассматривается процесс переоценки по рыночной стоимости для процентного свопа в рамках первоначальной структуры срока, а также пересмотренной и обновленной структуры срока процентной ставки 6 месяцев спустя. Между двумя случаями мы строим 5-ступенчатую 5-летнюю кривую, а затем расширяем ее для хеджирования 10-ступенчатой ​​полугодовой ссуды с плавающей процентной ставкой с процентным свопом. а. Начальная начальная кривая нулевой и форвардной процентных ставок в Excel b. Ценообразование, MTM, оценка процентных свопов с использованием форвардных кривых в Excel Ценообразование экзотических опционов с использованием таблицы Excel моделирования Монте-Карло Что такое деривативы для чайников? [Решено] (2022) производная, в математике скорость изменения функции по отношению к переменной . Производные лежат в основе решения математических и дифференциальных уравнений…. читать дальше › Производные инструменты для начинающих — Основное введение — YouTube. .. подробнее › Определение производного простого объяснения — YouTube… продолжить чтение › Производные инструменты — это сложные финансовые инструменты, которые имеют стоимость только потому, что они связаны с чем-то другим, называемым базовым активом . Другими словами, деривативы получают свою стоимость от базового инструмента, которым могут быть акции, облигации, валюта, процентные ставки, товары и т. д…. см. подробности › Общие примеры деривативов включают фьючерсные контракты, опционные контракты и дефолтные свопы . Помимо этого, существует огромное количество производных контрактов, адаптированных для удовлетворения потребностей различных контрагентов…. продолжить чтение › Производные можно использовать для оценки функций, для создания бесконечных рядов . Их можно использовать для описания того, насколько изменяется функция — увеличивается или уменьшается функция и насколько. Они также имеют множество применений в физике. Производные используются в правиле Лопиталя для оценки пределов…. подробнее › Basic Derivative Rules — Ярлык с использованием степенного правила — YouTube… подробнее › Производная сообщает нам наклон функции в любой точке. Есть правила, которым мы можем следовать, чтобы найти множество производных. … Производные правила. Общие функции Функция Производная Различие Правило F — G F ‘ — G’ Правило продукта FG F G ‘ + F’ G QUTING Правила QUTING FR ‘ + F’ G FR ‘ + F’ G Fr ‘ + F’ G Fr ‘ + F’ G . 2 Правило взаимности 1/f −f’/f 2 24 строки … прочитайте больше › Производные финансовые инструменты могут быть трудны для понимания широкой публикой отчасти потому, что они включают незнакомые термины . Например, у многих инструментов есть контрагенты, которые выступают на другой стороне сделки. В структуре дериватива может быть цена исполнения…. подробнее › Определение производной — понятие Определение производной — это наклон линии , которая касается кривой в определенной точке . Предел мгновенной скорости изменения функции при уменьшении времени между измерениями до нуля является альтернативным определением производной…. читать дальше › Применение деривативов в реальной жизни Для расчета прибыли и убытков в бизнесе с использованием графиков . Чтобы проверить изменение температуры. Для определения скорости или пройденного расстояния, таких как мили в час, километры в час и т. д. Производные используются для получения многих уравнений в физике…. подробнее › Использование формулы (определение первой производной) — YouTube… подробнее › Хитрости с производными (о которых, вероятно, вам не расскажут учителя) — YouTube… подробнее › Более сложные задачи на производные — Пример 1 — YouTube… подробнее › Информация о статье Автор: Rueben Jacobs Последнее обновление: 28.09.2022 Просмотров: 6768 Рейтинг: 4,7 / 5 (77 проголосовали) 7 10 отзывов считают эту страницу полезной 84% читателей Информация о авторе Имя: Rueben Jacobs День рождения: 1999-03-14 Адрес: 951 Caterina Walk, Schambergerside, CA 67667-0896 Телефон: +688186846329 Job. , Кабаре, Пои, Азартные игры, Скалолазание, Резьба по дереву, Компьютерное программирование Введение: Меня зовут Рубен Джейкобс, я общительный, красивый, добрый, удобный, гламурный, открытый, великолепный человек, который любит писать и хочет поделиться с вами своими знаниями и пониманием. Ускоренный курс по производным Ретт Аллен Наука 14 апреля 2015 г. 18:09 Что такое производная и зачем она нужна в физике? Вот очень краткое введение в производные, чтобы вы могли пройти свой первый курс физики. Быстрый набросок, показывающий изменение функции. Это основа производной. Быстрый набросок, показывающий изменение функции. Это основа производной. Вы находитесь на вводном курсе физики. В требованиях к курсу сказано, что вы должны быть на Calculus 101 (вероятно, он так не называется), чтобы записаться на Physics 101. Почему? Есть две математические вещи, которые вам, вероятно, нужно знать, чтобы выжить на курсе физики. Вам нужно понимать производные и интегрирование (а также векторы, но это обычно также рассматривается в физике). Но что, если ваш курс математики не охватывает производные к тому моменту, когда они понадобятся вам в физике? Вот для этого я здесь. Это ваш ускоренный курс по деривативам (об интеграции я напишу позже). Производные: все об изменении Предположим, у вас есть некоторая функция (она не обязательно должна быть x против y , это может быть что угодно). Что, если я хочу знать, как эта функция изменяется при изменении переменной? Это то, что говорит вам производная. Позвольте мне начать с нескольких примеров. Автомобиль движется, и его положение в направлении x можно описать следующей функцией. Если я построю эту функцию, она будет выглядеть так (я добавляю две точки, чтобы мы могли посмотреть на изменение положения). Как эта функция меняется со временем? Если я возьму две точки ( t 1 и t 2 ), я могу вычислить изменение x , деленное на изменение t . Да, это будет наклон функции. Это дает мне среднюю скорость изменения позиции в течение временного интервала от t 1 до t 2 . В физике мы также назвали бы это средней скоростью x . В этом случае не имеет значения, какие две точки я выберу на графике. Я всегда получаю уклон 2,5 м/с (да, уклон и производные имеют единицы измерения). Я мог бы построить горизонтальную скорость, и это выглядело бы так. Хорошо, это было довольно просто и не так интересно. Как насчет другого примера? Предположим, у меня есть эта функция для положения объекта в направлении x? Вот график этой функции вместе с некоторыми точками на кривой. В этом случае средняя скорость (наклон) при переходе от точки 2 к 3 отличается от среднего наклона при переходе от точек 4 к 5. Как же построить график зависимости скорости от времени? С каким временем мы свяжем среднюю скорость? Вероятно, единственно справедливым было бы взять две временные точки и найти наклон, а затем связать наклон со средним значением этих двух моментов. На самом деле, это прекрасно работает с вышеуказанной функцией. Когда вы это сделаете, вы получите следующий график зависимости наклона (скорости) от времени. Этот трюк со «средним временем» не всегда работает. Однако я могу заставить его почти работать, если использую очень маленькие временные интервалы. В этом случае не имеет значения, какое время (начало, конец, середина) связано со временем. Таким образом, крошечные временные интервалы хороши. Самые популярные Что если вы используете нулевой интервал времени? Ну, ты не можешь этого сделать. Однако вы можете сделать что-то близкое к нулевому интервалу секунд. Вы можете найти значение средней скорости в пределе, когда Δt стремится к нулю секунд. Это и есть то, что мы называем производной. Мы можем записать это как: Да, математики не так определяют производную, но я согласен с этим. Это показывает важный момент, что производная — это просто способ выразить изменение функции. Пример: Функция синуса Вы ведь знаете функцию синуса? Помнишь, ты встретил его на той вечеринке в прошлом году? Хорошо, поскольку вы уже знаете друг друга, предположим, что масса колеблется взад и вперед со следующей функцией положения. Теперь позвольте мне построить это вместе с некоторыми точками. Здесь вы можете видеть, что, просто выбрав некоторую точку (равномерно расположенную) на функции, я мог найти наклон между этими точками. Однако есть несколько случаев, когда эта скорость изменения для этих точек не является хорошим представлением наклона этой функции. Да, мы можем сделать это лучше, расположив точки намного ближе друг к другу. Если я использую временной интервал 0,01 секунды, я получаю следующее для скорости как функции времени. Да, это похоже на функцию косинуса, и НЕТ, я не просто нарисовал функцию косинуса. На самом деле, вот точная программа, которую я использовал для создания этой программы. Если вы не все там понимаете, не волнуйтесь. Важная часть просто проходит по точкам и вычисляет наклон («для i в диапазоне… часть»). Если вы хотите, вы можете изменить количество точек, используемых для расчета наклона — это было бы весело. Если бы я хотел, я мог бы построить следующую функцию. Я бы получил ТОЧНО такой же сюжет, как и выше. Итак, вы можете видеть две вещи. Во-первых, производная — это просто скорость изменения функции за очень маленькие промежутки времени. Во-вторых, эта производная обычно может быть записана как другая реальная математическая функция. В общем случае мы записываем производную как: Здесь Δs заменены на d , чтобы показать, что мы смотрим на предел, когда Δt стремится к нулю. Вот и все. Но как взять производную? Ммм. .. разве я не сделал это выше? О, вы думаете, что использование компьютера — это жульничество? Хорошо, я могу это понять. Но на самом деле это не обман. Численная программа получает производную, используя конечные (но очень маленькие) интервалы времени. В реальной жизни мы всегда имеем дело с этим, а наука имеет дело с реальным миром. Но как получить математическую функцию без использования компьютера? Я не буду вдаваться в подробности — для этого и существуют ваши уроки математики. Все, что меня волнует (как тренера по физике), это то, что вы понимаете, что такое производная и как ее найти. Итак, вот некоторые «правила». Самые популярные Правило произведения. У вас никогда не будет простой функции. Как правило, это две меньшие функции, умноженные (например, 9).0063 a*t — даже если a является константой). Предположим, у меня есть функция g и f (обе функции t ). Теперь у меня есть функция положения ( x(t) ), такая что: Я могу найти производную этой функции, найдя производную g(t) и f(t) в следующем способ. Я буду использовать это в коротком примере. Силовое правило. Если у вас есть многочлен, найти производную довольно просто. Предположим, у меня есть такая функция: Где n — просто константа. В этом случае производная этой функции будет: Триггерные функции. Помните, я не вывожу их. Я просто говорю вам «ответ» — вот производные от двух наиболее распространенных триггерных функций. Я сжульничал — пропустил небольшой шаг выше. Извиняюсь. Чтобы по-настоящему понять тригонометрические производные, вам также понадобится цепное правило. Цепная линейка. Что делать, если у вас есть функция функции (составная функция)? Вот пример. В этом случае я могу взять производную от x как: Это может быть немного сложнее объяснить — будем надеяться, что вы скоро расскажете об этом в своем курсе математики. Зачем нужны производные в физике? Помните, что производная на самом деле просто скорость изменения. Мы обычно думаем о скорости изменения в физике как о производной по времени. Это приводит к некоторым знакомым величинам: Но мы используем не только производные по времени. Если вы знаете потенциальную энергию как функцию положения, вы можете найти силу, которая идет вместе с этим потенциалом, с пространственной производной. Если бы вы знали функцию потенциальной энергии пружины, вы могли бы использовать ее, чтобы найти силу, действующую на пружину (в направлении x). На самом деле это не лучший пример, так как вы обычно определяете силу пружины как функцию и используете ее для получения функции потенциальной энергии пружины, но в любом случае это все еще пример. Все эти примеры из первого семестра физики (механика и прочее). Надеюсь, что ко второму семестру вводной физики вы увидите множество производных на уроках математики. Поверьте мне, есть еще много случаев, когда вам придется использовать производные во втором семестре физики. Последнее предупреждение. Помните, это был всего лишь «ускоренный курс» по деривативам. Это не должно использоваться в качестве замены фактического курса математики по исчислению. Ретт Аллейн — адъюнкт-профессор физики Университета Юго-Восточной Луизианы. Он любит преподавать и говорить о физике. Иногда он разбирает вещи и не может собрать их обратно. Темы, исчисление, математика, числовые расчеты Еще из WIRED Построение интуиции для производной – BetterExplained Как бы вы хотели, чтобы вам объяснили производную? Вот мое мнение. Псс! Производная — это сердце исчисления, скрытое внутри этого определения: Но что это значит? Допустим, я дал вам волшебную газету, в которой перечислены ежедневные изменения на фондовом рынке в течение следующих нескольких лет (+1% в понедельник, -2% во вторник…). Что ты можешь сделать? Ну, вы применяете изменения одно за другим, рассчитываете будущие цены и покупаете дешево / продаете дорого, чтобы построить свою империю. Вы даже можете перестать использовать обезьян, которые случайным образом выбирают акции для своего портфеля. Как и эта волшебная газета, производная — это хрустальный шар, который точно объясняет, как изменится узор. Зная это, вы можете строить планы на прошлое/настоящее/будущее, находить минимумы/максимумы и, следовательно, принимать более правильные решения. Это довольно интересно, больше, чем типичное описание «производная есть наклон функции». Давайте отойдем от грубого уравнения. Уравнения существуют для передачи идей: понимайте идею, а не грамматику. Производные создают идеальную модель изменений из несовершенного предположения. Этот результат пришел к нам за тысячи лет размышлений, от Архимеда до Ньютона. Давайте посмотрим на аналогии, стоящие за этим. Мы все живем в сверкающем континууме Бесконечность — постоянный источник парадоксов («головных болей»): Линия состоит из точек? Конечно. Значит, на линии бесконечное количество точек? Ага. Как пересечь комнату, если есть бесконечное количество точек для посещения? (Ну и дела, спасибо, Зенон). И все же мы движемся. Моя интуиция состоит в том, чтобы бороться с бесконечностью с бесконечностью. Конечно, между 0 и 1 есть бесконечные точки. Но я перемещаю две бесконечности точек в секунду (каким-то образом!) и преодолеваю разрыв за полсекунды. Расстояние имеет бесконечные точки, движение возможно, поэтому движение выражается в «бесконечности точек в секунду». Вместо того, чтобы думать о различиях («Как далеко до следующей точки?»), мы можем сравнивать скорости («Как быстро вы движетесь по этому континууму?»). Странно, но 10/5 можно представить как «Мне нужно пройти 10 «бесконечностей» за 5 отрезков времени. Для этого я прохожу 2 «бесконечности» за каждую единицу времени». Аналогия: см. деление как скорость движения через континуум точек Что после нуля? Еще одна головоломка: какое число идет после нуля? 0,01? . 0001? Хрм. Все, что вы можете назвать, я могу назвать меньше (я просто уменьшу ваше число вдвое… ня!). Несмотря на то, что мы не можем вычислить число после нуля, оно должно быть там, верно? Подобно демонам прошлого, это «число, которое нельзя записать, чтобы не быть пораженным». Вызвать пробел до следующего числа $dx$. Я точно не знаю, насколько он велик, но он есть! Аналогия: dx — это «скачок» к следующему числу в континууме. Измерения зависят от прибора Производная предсказывает изменение. Хорошо, а как мы измеряем скорость (изменение расстояния)? Офицер : Вы знаете, как быстро вы ехали? Водитель: Понятия не имею. Офицер: 95 миль в час. Водитель: Но я не был за рулем в течение часа! Нам явно не нужен «полный час», чтобы измерить вашу скорость. Мы можем провести измерение до и после (скажем, более 1 секунды) и получить вашу мгновенную скорость. Если вы продвинулись на 140 футов за одну секунду, вы идете примерно на 95 миль в час. Просто, верно? Не совсем так. Представьте себе видеокамеру, направленную на Кларка Кента (альтер-эго Супермена). Камера записывает 24 кадра в секунду (40 мс на фото), и Кларк кажется неподвижным. Каждую секунду он не двигается, и его скорость равна 0 миль в час. Опять неправильно! Между каждой фотографией, в течение этих 40 мс, Кларк превращается в Супермена, раскрывает преступления и возвращается в свое кресло, чтобы сделать красивую фотографию. Мы измерили 0 миль в час, но он действительно двигается — он движется слишком быстро для наших приборов! Аналогия: Подобно камере, наблюдающей за Суперменом, скорость, которую мы измеряем, зависит от инструмента! Запуск беговой дорожки Мы приближаемся к жевательному, слегка острому центру производной. Нам нужны измерения до и после, чтобы обнаружить изменения, но наши измерения могут быть ошибочными. Представьте голого Санту на беговой дорожке (давай, я подожду). Мы собираемся измерить его частоту сердечных сокращений в ходе стресс-теста: мы прикрепим десятки тяжелых холодных электродов и заставим его бегать. Санта пыхтит, пыхтит, и его пульс подскакивает до 190 ударов в минуту. Должно быть, это его «стрессовый» сердечный ритм, верно? Нет. Видишь ли, само присутствие суровых ученых и холодных электродов участило его сердцебиение! Мы, , измерили со скоростью 190 ударов в минуту, но кто знает, что бы мы увидели, если бы не электроды! Конечно, если бы не электроды, у нас не было бы измерения. Что делать? Ну, посмотрите на систему: измерение = фактическое количество + эффект измерения Ах. После множества исследований мы можем обнаружить: «О, каждый электрод добавляет 10 ударов в минуту к частоте сердечных сокращений». Делаем замер (несовершенная оценка 190) и убираем эффект электродов («идеальная оценка»). Аналогия: Уберите «электродный эффект» после измерения Кстати, «электродный эффект» проявляется везде. Научные исследования имеют эффект Хоторна, когда люди меняют свое поведение , потому что их изучают . Боже, кажется, что все, кого мы тщательно изучаем, придерживаются своей диеты! Понимание производной Вооружившись этим пониманием, мы можем увидеть, как меняются модели производной: Начните с некоторой системы для изучения, $f(x)$: дх$) Получить разницу до и после: $f(x + dx) — f(x)$ Мы точно не знаем, насколько мал $dx$, и нам все равно: получите скорость движения через континуум: $[f(x + dx) — f(x)] / dx$ Эта скорость хоть и мала, но имеет некоторую ошибку (наши камеры слишком медленные!). Предскажите, что произойдет, если измерение будет идеальным, если $dx$ не будет. Волшебство на последнем этапе: как снять электроды? У нас есть два подхода: Ограничения: что происходит, когда $dx$ сжимается до нуля, за пределами любой погрешности? Бесконечно малые числа: что, если $dx$ — крошечное число, неразличимое в нашей системе счисления? Оба способа формализовать понятие «Как нам выбросить $dx$, когда он не нужен?». Моя любимая мозоль: Пределы — это современный формализм, во времена Ньютона их не существовало. Они помогают заставить $dx$ исчезнуть «чисто». Но учить их перед производной — все равно, что показывать руль без машины! Это инструмент, помогающий производной работе, а не то, что нужно изучать в вакууме. 92 = 5$). Из чего состоит «5»? Измеренная скорость = фактическая скорость + ошибка $5 = 2x + dx$ 5 долларов = 2(2) + 1 долларов Конечно, мы измерили «5 единиц, перемещаемых в секунду», потому что мы перешли от 4 к 9 за один интервал. Но наши инструменты обманывают нас! 4 единицы скорости пришли от реального изменения, а 1 единица — из-за дрянных инструментов (1.0 — это большой скачок, не так ли?). Если мы ограничимся целыми числами, 5 будет идеальной мерой скорости от 4 до 9. Нет «ошибки» в предположении, что $dx = 1$, потому что это истинный интервал между соседними точками. 92 = 0,41$ Помните, 0,41 — это то, что мы изменили в интервале 0,1. Наша скорость на единицу равна 0,41/0,1 = 4,1. И снова имеем: Измеренная скорость = Фактическая скорость + Ошибка 4,1$ = 2x + dx $ Интересно. При $dx=0,1$ измеренная и фактическая скорости близки (от 4,1 до 4, погрешность 2,5%). Когда $dx=1$, ставки сильно отличаются (от 5 до 4, ошибка 25%). Следуя схеме, мы видим, что выбрасывание электродов (пусть $dx=0$) показывает истинную скорость $2x$. 92$ изменений, нашел «несовершенное» измерение $2x + dx$ и вывел «идеальную» модель изменения как $2x$. Производная как «непрерывное деление» Я считаю интеграл лучшим умножением, когда вы можете применить изменяющуюся величину к другой. Производная — это «лучшее деление», где вы получаете скорость в континууме в каждый момент времени. Что-то вроде 10/5 = 2 говорит: «у вас постоянная скорость 2 в континууме». Когда ваша скорость меняется по ходу движения, вам нужно описать свою скорость в каждый момент времени. Это производная. 92$, при $x=22$ мы меняем на 44 (конкретная скорость изменения). «Производная равна $dx$» может относиться к крошечному гипотетическому переходу на следующую позицию. Технически $dx$ является «дифференциалом», но термины путаются. Иногда люди говорят «производная от $x$» и имеют в виду $dx$. Подсказка: наши модели могут быть несовершенными Мы нашли «идеальную» модель, проведя измерения и улучшив ее. Иногда этого недостаточно — мы предсказываем, что произошло бы , если бы $dx$ не было, но мы добавили $dx$, чтобы получить наше первоначальное предположение! Некоторые функции с плохим поведением не поддаются предсказанию: есть разница между удалением $dx$ с пределом и тем, что на самом деле происходит в этот момент. Они называются «разрывными» функциями, которые, по сути, «не могут быть смоделированы с ограничениями». Как вы можете догадаться, производная не работает с ними, потому что мы не можем на самом деле предсказать их поведение. Прерывистые функции на практике встречаются редко и часто существуют как «Попался!» контрольные вопросы («О, ты пытался взять производную от разрывной функции, у тебя не получилось»). Осознайте теоретическую ограниченность производных, а затем осознайте их практическое использование для измерения любых природных явлений. Почти каждая функция, которую вы увидите (синус, косинус, e, многочлены и т. д.), является непрерывной. Попался: интеграции на самом деле не существует Связь между производными, интегралами и антипроизводными имеет нюансы (и изначально я ошибся). Вот метафора. Начните с тарелки, ваша задача изучить: Дифференциация — это разбивание тарелки на осколки. Существует определенная процедура: взять разницу, найти скорость изменения, а затем предположить, что $dx$ здесь нет. Интеграция взвешивает осколки: ваша первоначальная функция была «вот такой» большой. Есть процедура, накопительное сложение, но она вам не говорит 92$. 2$ не одно и то же? Да, но это не очевидно: это теорема Пифагора!»). Спасибо Джошуа Цукеру. за помощь разобраться со мной Чтение математики Математика — это язык, и я хочу «читать» исчисление (а не «декламировать» исчисление, т.е. как мы можем декламировать средневековые немецкие гимны). Мне нужно сообщение позади определений. Мой самый большой ага! осознавал временную роль $dx$: он производит измерение и удаляется, чтобы создать совершенную модель. Пределы/бесконечно малые числа — это формализм, мы не можем зацикливаться на них. Ньютон, казалось, обходился без них. Вооружившись этими аналогиями, становятся интересными другие математические вопросы: Как измерить различные размеры бесконечности? (В каком-то смысле все они «бесконечны», в других смыслах диапазон (0,1) меньше, чем (0,2)) Каковы реальные правила того, как заставить $dx$ «уйти»? (Как на самом деле работают бесконечно малые и пределы?) Как мы описываем числа, не записывая их? «Следующее число после 0» — это начало анализа (которому я хочу научиться). Окружность определение: Что такое окружность: определение, свойства, формулы alexxlab / 08.02.197117.09.2022 / Разное Окружность. Основные теоремы \[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\] Определения Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.   Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.   Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.   Теорема Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.   Доказательство Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:   Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).   Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:   1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.   2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.   Следствия 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.   2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.   3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.   \[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\] Определения Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:   1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).   2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).   3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).   Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.   2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.   Следствие Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.   Доказательство Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):   Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).   Следствие Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\).   \[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\] Теорема об угле между секущими Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.   Доказательство Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:   Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} — \buildrel\smile\over{CA})\). \circ — \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).   Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.   И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.   Доказательство 1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).   \(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).   2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).   Теорема Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен. Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.   Доказательство 1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).   Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).   2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).   Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\).   \[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\] Теорема о произведении отрезков хорд Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.   Доказательство Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\). Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\). 2\).   Следствие Произведение секущей, проведённой из точки \(O\), на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\):   Что такое единичная окружность в тригонометрии: определение, связь, понятие Определение Единичная окружность — это окружность с радиусом, равным единице, и центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Уравнения для задания единичной окружности: x2+y2=1 Понятие единичной окружности непосредственно связано с тригонометрией. Угол поворота можно рассматривать, как движение по окружности. При этом величина угла поворота не зависит от радиуса окружности, что делает использование единичной окружности при математических описаниях очень удобным. Через координаты точек на единичной окружности дается определение основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обосновываются их свойства и выводятся основные формулы тригонометрии.                                       С использованием уравнения единичной окружности и определения синуса и косинуса может быть записано основное тригонометрическое тождество: sin2x+cos2x=1. Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р. Автор: Ирина Мальцевская Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта Навигация по статьям Предыдущая статья Тригонометрия Следующая статья Основные тригонометрические формулы Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа Градусы и радианы Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса Основные тригонометрические тождества Все темы по математике Курсовые работы Рефераты Контрольные работы Отчет по практике Эссе Узнать подробнее ПЛАСТИНЧАТЫЙ ТЕПЛООБМЕННИК В Компас А Бумага теплообменник кожухотрубчатый Вид работы: Чертёж Выполнена: 27 июня 2022 г. Стоимость: 2 400 руб Заказать такую же работу Математические модели инфодемии Заказать такую же работу Нужно рассчитать теплообменник Вид работы: Контрольная работа Выполнена: 28 апреля 2022 г. Стоимость: 3 600 руб Заказать такую же работу Задания прикреплены Вид работы: Контрольная работа Выполнена: 21 января 2022 г. Стоимость: 1 400 руб Заказать такую же работу Особенности исторической застройки Красноярска от появления острога до конца века Вид работы: Реферат Выполнена: 27 декабря 2021 г. Стоимость: 1 000 руб Заказать такую же работу по Строительным материалам Вид работы: Решение задач Выполнена: 30 ноября 2021 г. Стоимость: 1 100 руб Заказать такую же работу Смотреть все работы по чертежам в компас Что такое центр окружности определение. Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики Разбираемся в том что такое окружность и круг. Формула площади круга и длины окружности. Мы каждый день встречаем множество предметов, по форме которые образовывают круг или напротив окружность. Иногда возникает вопрос, что такое окружность и чем она отличается от круга. Конечно же, мы все проходили уроки геометрии, но иногда не помешает освежить знания весьма простыми объяснениями. Что такое длина окружности и площадь круга: определение Итак, окружность является замкнутой кривой линией, которая ограничивает или же напротив, образует круг. Обязательное условие окружности — у нее есть центр и все точки равноудалены от него. Проще говоря, окружность это гимнастический обруч (или как его часто называют хула-хуп) на плоской поверхности. Длина окружности это общая длина той самой кривой, которая образует окружность. Как известно вне зависимости от размеров окружности соотношение ее диаметра и длины равно числу π = 3,141592653589793238462643. Из этого следует, что π=L/D, где L — длина окружности, а D — диаметр окружности. Если Вам известен диаметр, то длину можно найти по простой формуле: L= π* D В случае если известен радиус: L=2 πR Мы разобрались, что такое окружность и можем перейти к определению круга. Круг — это геометрическая фигура, которая окружена окружностью. Или же, круг это фигура, рубеж которой состоит из большого количества точек равноудаленных от центра фигуры. Вся площадь, которая находится внутри окружности, включая ее центр, называется кругом. Стоит заметить, что у окружности и круга, который находится в ней значения радиуса и диаметра одинаковые. А диаметр в свою очередь в два раза больше чем радиус. Круг имеет площадь на плоскости, которую можно узнать при помощи простой формулы: Где S — площадь круга, а R — радиус данного круга. Чем круг отличается от окружности: объяснение Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом: Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности; Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью; Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр; У круга и окружности единый центр; В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг; У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности. Круг и окружность: примеры, фото Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность. Формула длины окружности и площади круга: сравнение Формула длины окружности L=2 πR Формула площади круга S= πR² Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе. Площадь круга по длине окружности: формула S=π(L/2π)=L²/4π, где S — площадь круга, L — длина окружности. Видео: Что такое круг, окружность и радиус И круг — геометрические фигуры, взаимосвязанные между собой. есть граничная ломаная линия (кривая) круга , Определение. Окружность — замкнутая кривая, каждая точка которой равноудалена от точки, называемой центром окружности. Для построения окружности выбирается произвольная точка О, принятая за центр окружности, и с помощью циркуля проводится замкнутая линия. Если точку О центра окружности соединить с произвольными точками на окружности, то все полученные отрезки будут между собой равны, и называются такие отрезки радиусами, сокращенно обозначаются латинской маленькой или большой буквой «эр» (r или R ). Радиусов в окружности можно провести столько же, сколько точек имеет длина окружности. Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр, называется диаметром. Диаметр состоит из двух радиусов , лежащих на одной прямой. Диаметр обозначается латинской маленькой или большой буквой «дэ» (d или D ). Правило. Диаметр окружности равен двум ее радиусам . d = 2r D = 2R Длина окружности вычисляется по формуле и зависит от радиуса (диаметра) окружности. В формуле присутствует число ¶, которое показывает во сколько раз длина окружности больше, чем ее диаметр. Число ¶ имеет бесконечное число знаков после запятой. Для вычислений принято ¶ = 3,14. Длина окружности обозначается латинской большой буквой «цэ» (C ). Длина окружности пропорциональна ее диаметру. Формулы для расчета длины окружности по ее радиусу и диаметру: C = ¶d C = 2¶r Примеры Дано: d = 100 см. Длина окружности: C = 3,14 * 100 см = 314 см Дано: d = 25 мм. Длина окружности: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм Секущая окружности и дуга окружности Всякая секущая (прямая линия) пересекает окружность в двух точках и делит ее на две дуги. Величина дуги окружности зависит от расстояния между центром и секущей и измеряется по замкнутой кривой от первой точки пересечения секущей с окружностью до второй. Дуги окружности делятся секущей на большую и малую, если секущая не совпадает с диаметром, и на две равные дуги, если секущая проходит по диаметру окружности. Если секущая проходит через центр окружности, то ее отрезок, расположенный между точками пересечения с окружностью, есть диаметр окружности, или самая большая хорда окружности. Чем дальше секущая расположена от центра окружности, тем меньше градусная мера меньшей дуги окружности и больше — большей дуги окружности, а отрезок секущей, называемый хордой , уменьшается по мере удаления секущей от центра окружности. Определение. Кругом называется часть плоскости, лежащая внутри окружности. Центр, радиус, диаметр окружности являются одновременно центром, радиусом и диаметром соответствующего круга. Так как круг — это часть плоскости, то одним из его параметров является площадь. Правило. Площадь круга (S ) равна произведению квадрата радиуса (r 2 ) на число ¶. Примеры Дано: r = 100 см Площадь круга: S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2 Дано: d = 50 мм Площадь круга: S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2 Если в круге провести два радиуса к разным точкам окружности, то образуется две части круга, которые называется секторами . Если в круге провести хорду, то часть плоскости между дугой и хордой называется сегментом окружности . Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка (O) называется центром окружности . Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению). Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра. Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром. Длина единичной полуокружности обозначается через π . Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º . Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом . Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора . Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими . Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными . Взаимное расположение прямой и окружности Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности . Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек . Центральные и вписанные углы Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой. Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Основные формулы Длина окружности: C = 2∙π∙R Длина дуги окружности: R = С/(2∙π) = D/2 Диаметр: D = C/π = 2∙R Длина дуги окружности: l = (π∙R) / 180∙α , где α — градусная мера длины дуги окружности) Площадь круга: S = π∙R 2 Площадь кругового сектора: S = ((π∙R 2) / 360)∙α Уравнение окружности В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид: (x — x о) 2 + (y — y о) 2 = r 2 Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид: x 2 + y 2 = r 2 Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина. Окружность: определение и основные средства описания Окружность — это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О. Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R. Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, — это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2. Свойства хорд Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней — радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS. Длина окружности: общее понятие и основные формулы Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа «π», отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру. Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L — это длина окружности, D — диаметр, R — радиус. Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π. Что такое окружность: основные постулаты не иметь общих точек; иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной; иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей. 2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности. 3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей. 4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя. 5. Что такое окружность с точки зрения симметрии? одинаковая кривизна линии в любой из точек; относительно точки О; зеркальная симметрия относительно диаметра. 6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°. 7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади. Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника. Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является Основные утверждения об окружности и четырехугольниках Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне. Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности. {\circ}} Используя радианную меру: CD = \alpha R Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам. В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой. AN\cdot NB = CN \cdot ND Касательная к окружности Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью. Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей . Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности. Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке. AC = CB Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть. {\circ} \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием. Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов. \angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right) Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла. \angle M = \angle CBD — \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC — \cup AlB \right) Вписанная окружность Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника. В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр. Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник. Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле: S = pr , p — полупериметр многоугольника, r — радиус вписанной окружности. Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен: r = \frac{S}{p} Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны. AB + DC = AD + BC В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности. Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: r = \frac{S}{p} , где p = \frac{a + b + c}{2} Описанная окружность Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника . {\circ} Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника. Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам: R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C} R = \frac{abc}{4 S} a , b , c — длины сторон треугольника, S — площадь треугольника. Теорема Птолемея Под конец, рассмотрим теорему Птолемея. Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника. AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD Что такое окружность? : Геометрия Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное Правила форума В этом разделе нельзя создавать новые темы. Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)». Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения. Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения. Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему. AlgolHater   Что такое окружность? 22.03.2008, 14:21  17/02/08 7 Всем привет. Тут на лекции дали такое определение: Цитата: Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости При этом лектор уделил внимание этой части определения: «от некоторой фиксированной точки этой плоскости». Сказал, что некоторые авторы это почему-то забывают писать. И начертил нечто вроде конуса (нечто, потому что образующие, вершина и внутренняя область окружности на плоскости к самой окружности, естественно, не относятся). Спорить с ним там было несколько неудобно, в особенности глядя на его уверенность. Но я не понял, что он хотел этим доказать. Что полученная фигура, постоенная относительно фиксированной точки, находящаяся вне плоскости получемой фигуры не является окружностью? Или дело в том, что назвать фиксированной точку можно только в случае однозначного её местонахождения, что невозможно сделать без введения единичного отрезка для указания расстояния на котором находится эта точка от данной плоскости? Так есть ли разница относительно какой фиксированной точки строить эту окружность? Я не согласен с лектором. А вы?                        enko   Re: Что такое окружность? 22.03.2008, 14:39  19/08/07 113 Краснодар AlgolHater писал(а): Так есть ли разница относительно какой фиксированной точки строить эту окружность? Я не согласен с лектором. А вы? Действительно и в вашем случае получится окружность, но что будет если равное расстояние R больше либо равно расстоянию от точки до плоскости.                        Профессор Снэйп   Re: Что такое окружность? 22.03.2008, 15:21  Заморожен 18/12/07 8774 Новосибирск AlgolHater писал(а): Тут на лекции дали такое определение: Цитата: Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости При этом лектор уделил внимание этой части определения: «от некоторой фиксированной точки этой плоскости». Без этой оговорки получится, что и одна точка, и пустое множество точек являются окружностями.                        Бабай    22.03.2008, 17:18  29/12/05 228 Цитата: Без этой оговорки получится, что и одна точка, и пустое множество точек являются окружностями. А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса? С пустым множеством я бы был осторожен. Как там вообще вводить метрику собираемся? Я думаю что оговорка здесь не особо нужна. Лектор может этим хотел только подчеркнуть, что определяя окружность, мы не обязятельно находимся на двумерном подпространстве. Но какой толк в этом? Определите, что такое n-мерный шар, и отсекайте от него гиперплоскостями шары измерением меньше! Тогда и отпадёт надобность в фиксировании точек.                        незваный гость    22.03.2008, 22:18  Заслуженный участник 17/10/05 3709 Бабай писал(а): А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса? Вопрос, удобно ли такое определение? Например, можно опустить требование «большее 1» в определении простого числа, но что нам это даст? Принадлежность же центра плоскости столь же важна, сколь и положительность радиуса. Мы можем не оговаривать, что радиус положительный, но радости с этого мало.                        Бабай    22.03.2008, 23:31  29/12/05 228 Цитата: Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на равном положительном расстоянии от некоторой фиксированной точки этой плоскости В первой строке определения говорится, что окружность сама по себе уже двумерная фигура. 2. Вся плоскость — это объединение непересекающихся окружностей — орбит точек плоскости, включая орбиту начала отсчёта -окружность нулевого радиуса. Так вот, если точку не принимать за окружность, то смысла в этом действии было бы мало. Ну хотя эта ситуация, конечно, довольно специфическая. Ну скажем так — окружность эквивалентна точке, потому что строение евклидова пространства позволяет стянуть окружность в точку.                        Gordmit    23.03.2008, 01:33  Заслуженный участник 19/06/05 486 МГУ Бабай писал(а): А что можно иметь против определения точки как окружности нулевого радиуса? Получится порочный круг: точка и окружность будут определяться друг через друга. С одной стороны, точка — это окружность нулевого радиуса, а с другой стороны окружность — это множество точек , равноудаленных от данной фиксированной точки …                        AlgolHater    23.03.2008, 01:45  17/02/08 7 Цитата: но что будет если равное расстояние R больше либо равно расстоянию от точки до плоскости Не понял. Равно (и меньше) быть просто не может — у прямоугольного треугольника гипотенуза (расстояние от фиксированной точки до какой-либо из точек, образующих окружность) всегда больше катетов (т.е. и больше перпендикуляра, опущенного из фиксированной точки на данную плоскость). Ну а если больше — то всё хорошо. UPD. Хм…Имеете ввиду просто перпендикуляр, опущенный на плоскость к точке, которая будет по определнию и называться окружностью?                        Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию     Страница 1 из 1  [ Сообщений: 8 ]  Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы Кто сейчас на конференции Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения Найти: Определение по окружности. Что такое окружность как геометрическая фигура: основные свойства и характеристики Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка (O) называется центром окружности . Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению). Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра. Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром. Длина единичной полуокружности обозначается через π . Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º . Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом . Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора . Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими . Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными . Взаимное расположение прямой и окружности Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности . Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек . Центральные и вписанные углы Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой. Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Основные формулы Длина окружности: C = 2∙π∙R Длина дуги окружности: R = С/(2∙π) = D/2 Диаметр: D = C/π = 2∙R Длина дуги окружности: l = (π∙R) / 180∙α , где α — градусная мера длины дуги окружности) Площадь круга: S = π∙R 2 Площадь кругового сектора: S = ((π∙R 2) / 360)∙α Уравнение окружности В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид: (x — x о) 2 + (y — y о) 2 = r 2 Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид: x 2 + y 2 = r 2 Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. {\circ}} Используя радианную меру: CD = \alpha R Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам. В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой. AN\cdot NB = CN \cdot ND Касательная к окружности Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью. Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей . Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности. Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке. AC = CB Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть. {\circ} \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием. Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов. \angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right) Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла. \angle M = \angle CBD — \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC — \cup AlB \right) Вписанная окружность Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника. В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр. Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник. Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле: S = pr , p — полупериметр многоугольника, r — радиус вписанной окружности. Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен: r = \frac{S}{p} Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны. AB + DC = AD + BC В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности. Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: r = \frac{S}{p} , где p = \frac{a + b + c}{2} Описанная окружность Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника . {\circ} Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника. Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам: R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C} R = \frac{abc}{4 S} a , b , c — длины сторон треугольника, S — площадь треугольника. Теорема Птолемея Под конец, рассмотрим теорему Птолемея. Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника. AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD Разбираемся в том что такое окружность и круг. Формула площади круга и длины окружности. Мы каждый день встречаем множество предметов, по форме которые образовывают круг или напротив окружность. Иногда возникает вопрос, что такое окружность и чем она отличается от круга. Конечно же, мы все проходили уроки геометрии, но иногда не помешает освежить знания весьма простыми объяснениями. Что такое длина окружности и площадь круга: определение Итак, окружность является замкнутой кривой линией, которая ограничивает или же напротив, образует круг. Обязательное условие окружности — у нее есть центр и все точки равноудалены от него. Проще говоря, окружность это гимнастический обруч (или как его часто называют хула-хуп) на плоской поверхности. Длина окружности это общая длина той самой кривой, которая образует окружность. Как известно вне зависимости от размеров окружности соотношение ее диаметра и длины равно числу π = 3,141592653589793238462643. Из этого следует, что π=L/D, где L — длина окружности, а D — диаметр окружности. Если Вам известен диаметр, то длину можно найти по простой формуле: L= π* D В случае если известен радиус: L=2 πR Мы разобрались, что такое окружность и можем перейти к определению круга. Круг — это геометрическая фигура, которая окружена окружностью. Или же, круг это фигура, рубеж которой состоит из большого количества точек равноудаленных от центра фигуры. Вся площадь, которая находится внутри окружности, включая ее центр, называется кругом. Стоит заметить, что у окружности и круга, который находится в ней значения радиуса и диаметра одинаковые. А диаметр в свою очередь в два раза больше чем радиус. Круг имеет площадь на плоскости, которую можно узнать при помощи простой формулы: Где S — площадь круга, а R — радиус данного круга. Чем круг отличается от окружности: объяснение Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом: Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности; Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью; Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр; У круга и окружности единый центр; В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг; У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности. Круг и окружность: примеры, фото Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность. Формула длины окружности и площади круга: сравнение Формула длины окружности L=2 πR Формула площади круга S= πR² Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе. Площадь круга по длине окружности: формула S=π(L/2π)=L²/4π, где S — площадь круга, L — длина окружности. Видео: Что такое круг, окружность и радиус Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина. Окружность: определение и основные средства описания Окружность — это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О. Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R. Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, — это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2. Свойства хорд Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней — радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS. Длина окружности: общее понятие и основные формулы Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа «π», отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру. Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L — это длина окружности, D — диаметр, R — радиус. Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π. Что такое окружность: основные постулаты не иметь общих точек; иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной; иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей. 2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности. 3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей. 4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя. 5. Что такое окружность с точки зрения симметрии? одинаковая кривизна линии в любой из точек; относительно точки О; зеркальная симметрия относительно диаметра. 6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°. 7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади. Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника. Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является Основные утверждения об окружности и четырехугольниках Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне. Окружность и её элементы. Знакомство с понятиями. 2-й класс УМК: «Начальная школа XXI века». Цели урока: Образовательная: создать условия для формирования представления об окружности и круге, как о геометрических фигурах и познакомить с их элементами, развивать практическое умение – пользоваться циркулем. Развивающая: создать условия для развития творческой деятельности, речи и мыслительных операций: обобщение, анализ, сравнение. Воспитательные: создать условия для воспитания трудолюбия, самостоятельности, активности, способности к познанию. Оборудование: геометрические фигуры (квадрат, куб, шар, круг), модель круга (на каждого ученика), учебник для 2 класса В. Н. Рудницкой  «Математика» 1 часть, рабочая тетрадь, циркуль, линейка, картинка с изображением Карандаша (человечка), альбомные листы с изображением окружностей, карточки. Ход урока I. Организация класса «Долгожданный дан звонок, Начинается урок. Тут затеи и задачи, Игры, шутки, всё для вас! Пожелаю всем удачи — За работу, в добрый час!» II. Актуализация знаний Игра. На столе разложены различные геометрические фигуры (накрыты платком). — Найдите на ощупь: квадрат, куб, шар, круг. — Чем отличаются? (учитель держит в руках и показывает шар и круг). III. Сообщение темы урока — Сегодня на уроке, мы с вами отправимся в удивительную страну геометрию, где познакомимся с новой геометрической фигурой и её элементами. IV. Работа по теме урока 1. Знакомство с понятием «окружность». — Найдите на столе у каждого из вас круг. Возьмите его в руки. Обведите пальчиком границу круга так же как я. — Может быть, кто-нибудь из вас знает, как называется граница круга? (выслушав ответы детей, учитель вывешивает карточку на доску). — Прочитайте слово: по слогам, с ударением. Закройте глаза, представьте это слово и ещё раз проговорите его по слогам. — Какие буквы в этом слове похожи на окружность? («О»). А что вы можете рассказать об этих буквах? (Это безударные гласные, которые нужно запомнить.) — А теперь возьмите круг, положите его на страницу тетради и обведите шаблон по его границе. — Уберите шаблон. Посмотрите, у вас получилась окружность. Но для того, что бы построить окружность, не обязательно каждый раз пользоваться шаблоном. 2. Построение окружности с помощью циркуля. а) — Для построения окружности существует специальный инструмент. — Послушайте загадку: «Сговорились две ноги Делать дуги и круги».  Это …… (циркуль). Учитель вывешивает карточку на доску и показывает инструмент. — Обратите внимание на гласную, которая пишется после буквы «Ц». Кто может объяснить? — Какое слово спряталось в слове «циркуль»? («цирк»). — Слово «цирк» в переводе с латинского языка означает «круг». — Как вы думаете, почему значение слова связано с кругом? Вспомните, как выглядит арена. (Она круглая,  как-будто её построили с помощью циркуля). б) — У циркуля есть 2 ножки: одна — с остриём, другая — с грифелем. С циркулем нужно работать очень осторожно. Назовите правила пользования циркулем (нельзя подносить к лицу и глазам, нельзя передавать циркуль соседу иглой вперёд, нельзя им играть, циркуль должен находиться в специальном футляре). — А теперь посмотрите, как работают с этим инструментом (показ учителя): «Разведу ножки  на небольшое расстояние: ножку с остриём ставлю на бумагу, а ножка с грифелем касается бумаги. Аккуратно поворачиваем циркуль вокруг своей оси, при этом сохраняя расстояние между ножками, и получаем окружность. Если расстояние изменится — окружность не получится». в) — Начертите окружность в тетрадях так же как я. (самостоятельная работа детей, помощь учителя), но сначала повторим порядок работы. г) Обобщение: — Что вы начертили? (окружность). Как вы думаете, почему её так назвали? — Окружность — линия, которая идёт по границе круга. — Посмотрите на свои фигуры. Чем круг отличается от окружности? (показать). — Круг — это окружность вместе с внутренней областью, ограниченной этой окружностью; его можно погладить. Погладьте. Окружность — это только граница круга (проведите пальчиком по линии), внутри пустая. Круг и окружность как брат и сестра. Они всегда вместе! Нарисовали окружность — возник круг, вырезали круг — ножницы обозначили окружность. Физминутка. — А теперь отдохнём, встаньте!- Начертите окружность: левой рукой в воздухе; правой ногой на полу; на спине у соседа; носом на потолке. —  Садитесь! Продолжаем работать дальше! 3. Работа по учебнику. — Откройте учебник на странице 88, найдите №6. Рассмотрите: как изображаются на плоскости круг и окружность. Сравните. В чём сходство и различие? — А  какие предметы в учебнике на странице 87 в №1 являются окружностью? (Обруч, огненное кольцо, оправа от очков). Назовите предметы, которые имеют форму круга. (Стекло от очков, леденец, солнышко). Приведите свои примеры. — Ребята, к нам на урок пришёл гость — весёлый Карандаш и принёс с собой замечательную песенку про круг и окружность (вывешивается картинка с изображением Карандаша). — Послушайте её (учитель поёт): «У круга есть одна подруга Знакома всем её наружность. Она идёт по краю круга И называется ….. » (окружность). 4. Элементы окружности — Дома вы можете сочинить свою песенку про круг и окружность. — А сейчас Карандашик просит вас помочь ему выполнить некоторые задания: а) — Как и любая фигура, окружность тоже имеет свой центр. Помогите найти её Карандашу. — Как вы думаете, где она будет находиться? (Найдите у себя прокол от острой ножки циркуля — это и есть центр окружности). — Отметьте его точкой и обозначьте латинской буквой «O». б)  — На странице 87 учебника, на чертеже найдите центр окружности. — А какой ещё элемент окружности вы видите на чертеже? Прочитайте! — Карандашик просит вас помочь ему построить радиус окружности. — Как же это сделать? в) — Отметим на окружности точку в любом месте. Я здесь, а вы можете поставить точку в другом месте (показать), но обязательно на окружности и обозначим её латинской буквой «А». (Учитель и дети работают одновременно). — Соедините точку «А» с центром окружности (по линейке, цветным карандашом). — Какая получилась фигура? (отрезок ОА). — Отрезок ОА и есть радиус. — Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на окружности. — А можно ещё провести радиус? Кто сможет, попробуйте? (2 ученика у доски). — Как можно узнать длину радиуса? (с помощью линейки и циркуля). — Как вы думаете, радиусы, которые мы построили  будут одинаковыми или разными? Докажите! (измерьте с помощью линейки или циркуля). г) — А ведь знаете, в математике есть ещё одно определение окружности. — Представьте себе, что вы бы отметили множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии  от центра, и когда их соединили между собой, то, что получилось тогда? (окружность). — Вот вы и сами дали второе определение окружности: окружность — это множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. 5. Рефлексия — А теперь подведём итог урока, то есть выясним: какие же открытия вы совершили сегодня для себя на уроке? (высказываются дети). — Ребята, а полученные знания вам в жизни пригодятся? Где? — Итак, что такое окружность? (2 определения: Окружность — это граница круга, замкнутая кривая линия. Окружность — это множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра окружности). — Как называется этот элемент окружности? (учитель показывает на центр окружности) — Как называется расстояние от центра окружности до любой точки, лежащей на окружности? (радиус) 6. Творческое задание – Вы сегодня отлично поработали на уроке, узнали много нового. Молодцы! А теперь Карандашик предлагает вам немного отдохнуть и выполнить творческое задание. а)  – Посмотрите, что изображено у каждого из вас на альбомном листе? (окружность) — Проявив свою фантазию, дорисуйте окружности так, чтобы получились разные предметы. А для этого вам пригодятся знания, полученные на уроках «Окружающего мира» и «Технологии». — А может быть, кто-нибудь из вас захочет использовать в своей работе не окружность, а круг. — Что же тогда нужно сделать? Как превратить окружность в круг? (закрасить). — Итак, приступаем к работе. А интересные работы вы  продемонстрируете нашему Карандашику в конце урока. (Включить музыку). б) Просмотр интересных работ детей и учителя (эмблема олимпийского флага – на основе окружности и дорожный знак «Движение пешеходов запрещено» — на основе круга). 7. Домашнее задание Дома потренироваться в построении окружности с помощью циркуля и нахождении её элементов: центра и радиуса (всем учащимся обязательно). Сочинить песенку или стихотворение про круг и окружность (по желанию учащихся). Окружность Определение и значение | Dictionary.com Верхние определения Синонимы Викторина Связанный контент Примеры British Scientific Cultural Это показывает уровень класса, основанный на сложности слова. [ ser-kuhm-fer-uhns ] / sərˈkʌm fər əns / Сохранить это слово! См. синонимы к слову окружность на Thesaurus.com Показывает уровень обучения в зависимости от сложности слова. сущ. внешняя граница, особенно круглой области; периметр: длина окружности. длина такой границы: окружность в одну милю. область внутри ограничивающей линии: обширная окружность его разума. ДРУГИЕ СЛОВА ДЛЯ окружности 1 периферия, контур. См. синонимы к слову окружность на Thesaurus.com ТЕСТ Сыграем ли мы «ДОЛЖЕН» ПРОТИВ. «ДОЛЖЕН» ВЫЗОВ? Следует ли вам пройти этот тест на «должен» или «должен»? Это должно оказаться быстрым вызовом! Вопрос 1 из 6 Какая форма используется для указания обязательства или обязанности кого-либо? Начало окружности 1350–1400; Среднеанглийское <позднелатинское окружность, эквивалентное окружности- + fer- (основа от ferre для переноски) + -entia-ence СЛОВА, КОТОРЫЕ МОГУТ СПУТАТЬСЯ С окружностью окружность , диаметр, радиус, касательная Слова рядом с окружностью обрезание, обрезание, обрезание, околостолбцовый, обрезание, окружность, окружность, окружность волокнистого хряща, окружность пластинки, окружность, циркумфикс Dictionary. com Unabridged Основано на словаре Random House Unabridged Dictionary, © Random House, Inc., 2022 Слова, относящиеся к окружности обхват, амбит, граница, граница, границы, контур, компас, границы, оконечность, бахрома, пределы, губа, край, контур , периферия, ободок, грань Как использовать окружность в предложении Эта шапка будет расти вместе с вашими детьми, подходит для размера окружности от 7 до 12 дюймов. Лучшие зимние шапки: удобные шапки, которые согреют вас|Carsen Joenk|20 января 2021 г.|Popular-Science Вместо этого, помимо измерения окружности талии, ваш лечащий врач отметит клинические маркеры, указывающие на висцеральные ожирение, говорит Джей. Некоторые тренеры рекламируют ВИИТ как лучший способ сжечь жир на животе. Вот что говорит наука.|Пэм Мур|15 декабря 2020 г.|Washington Post Прицельная дальность — это расстояние, на котором вы можете надежно поместить выстрел в пределах круга, который соответствует размеру жизненно важных органов животного — примерно окружности бумажной тарелки для оленя или лося. Руководство по охоте для начинающих|Ян Форман|30 октября 2020 г.|Outside Online Каждый ремешок поставляется с двумя разными длинами для более длинной стороны, чтобы соответствовать запястьям с окружностью от 5 до 8 дюймов. Аксессуары для умных часов, которые можно подарить вашим высокотехнологичным друзьям и родным|Команда PopSci Commerce|1 октября 2020 г.|Popular-Science Для пейзажных снимков установите камеру в экранный режим, чтобы вас не ослеплял видоискатель, и снимайте прямо на солнце и вокруг него. 11 замечательных микроприключений, которые вы можете совершить прямо сейчас|Редакция|1 октября 2020 г.|Внешний Интернет Остальное, что выходит за пределы окружности мяса, быстро тает на поверхности плоской поверхности. Настоящий чизбургерный рай|Джейн и Майкл Стерн|22 июня 2014 г.|DAILY BEAST Пи официально определяется как отношение длины окружности к ее диаметру. 17 фактов, чтобы разгадать тайну числа Пи|Эбби Хэглейдж|14 марта 2013 г.|DAILY BEAST Трасса составляет около полутора миль в окружности, а «прямая» – около пяти фарлонгов в длину. Бирмингемский словарь Шоуэлла | Томас Т. Харман и Уолтер Шоуэлл Их ветви описывают круг более восьмидесяти футов в окружности, но они больше не приносят плодов. Кругосветное путешествие женщины|Ида Пфайффер Высота скалы достигает двухсот пятидесяти футов, а ее окружность составляет около мили. Британские автомагистрали и переулки от автомобиля|Томас Д. Мерфи Его окружность не очень велика, но почти одинакова на всем протяжении, что придает ему вид башни. Кругосветное путешествие женщины|Ида Пфайффер По окружности ствола расположены зубья шестерни, и эти зубья входят в зацепление с соответствующими зубьями на оси центра. The Wonder Book of Knowledge|Various British Dictionary definitions for circumference circumference / (səˈkʌmfərəns) / noun the boundary of a specific area or geometric figure, esp of a circle длина замкнутой геометрической кривой, особенно окружности. Длина окружности равна диаметру, умноженному на π Производные формы окружности окружность (səˌkʌmfəˈrɛnʃəl), прилагательное окружность, наречие Происхождение слова для окружности C14: от старофранцузского circonference, от латинского окружность — носить, от окружности + ferre — медведь Английский словарь Коллинза — полное и полное цифровое издание 2012 г. © William Collins Sons & Co. Ltd., 1979, 1986 © HarperCollins Publishers 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012 Научные определения окружности окружность [ sər-kŭm′fər-əns ] 0020 Граничная линия круга. Граничная линия фигуры, области или объекта. Длина такой границы. Длина окружности вычисляется путем умножения диаметра на число Пи. Научный словарь American Heritage® Авторские права © 2011. Опубликовано издательством Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Все права защищены. Культурные определения окружности окружность [ (suhr-kum-fuhr-uhns) ] Мера расстояния по окружности. Новый словарь культурной грамотности, третье издание Авторское право © 2005 г., издательство Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Опубликовано издательством Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company. Все права защищены. Определение в кембриджском словаре английского языка Примеры окружности Окружность Исследователи обнаружили, что бедро окружность и рост были тесно связаны с жировыми отложениями. Из ВРЕМЕНИ Работа по внутренним линиям похожа на работу по радиусам внутри круга; работа по внешним линиям похожа на работу по окружности круга . От внешней политики Однако многие из этих деревьев снабжены металлическими идентификационными бирками и дендрометрами — металлическими полосами, используемыми для измерения окружности деревьев . Из NPR Уравнение для окружности круга 2pr. Из NPR В настоящее время его длина составляет 41,42 фута в окружность , 8,06 фута в диаметре и 10,83 фута в высоту и содержит более 8 000 000 футов шпагата. Из Атлантики Теоретически, если вы пройдете все окружностей вселенной, вы окажетесь именно там, где начали. От Business Insider Затем эта газовая смесь взрывается, при этом взрыв вращается по окружности со сверхзвуковой скоростью. От Арс Техника Как отношение между 90 213 окружностью 90 214 и диаметром круга, число Пи печально известно своей непознаваемостью. От Хаффингтон Пост Окружность шеи 9По его словам, 0214 может дать более точное представление о составе жира в организме. От CNN Окружность его туловища составляет 18 футов. С NJ.com Окружность , размер большого пальца его отца, свидетельствовала о тяжелом остром недоедании. Из Лос-Анджелес Таймс Это более 5 миль в поперечнике, для окружность 17 миль. Из проводного Итак, вот расчет — имейте в виду, что длина окружности составляла 30 локтей, а диаметр — 10. От Хаффингтон Пост Обратите внимание, что отношение между окружностью и диаметром равно 3. От Гизмодо Альтернативным способом было бы построить примерно круглые балки, чтобы сформировать окружность купола. Из National Geographic Эти примеры взяты из корпусов и из источников в Интернете. Любые мнения в примерах не отражают мнение редакторов Кембриджского словаря, издательства Кембриджского университета или его лицензиаров. Перевод окружности на китайский (традиционный) 圓周, 周長, 周線… Подробнее на китайском (упрощенном) 圆周, 周长, 周线… Подробнее на испанском языке circunferencia, circunferencia [женский род]… Узнать больше на португальском circunferência, circunferência [женский род]… Увидеть больше на других языках на японском языке на турецком на французском в каталонском языке на арабском языке в чешском на датском на индонезийском в Thai In Vietnamese в Thai In Vietnamese в Thai In Vietnamese . 0021 на малайском на немецком на норвежском на корейском на украинском на итальянском на русском 円周… Узнать больше daire çevresi, çember, çevresel uzunluk… Подробнее circonférence [женский], circonférence… Увидеть больше окружность… Узнать больше مُحيط الدائرة… Узнать больше обвод… Подробнее омкредс… Подробнее keliling, lingkaran… Увидеть больше เส้นรอบวง… Узнать больше чу ви… Узнать больше obwód… Увидеть больше лилитан… Узнать больше der Umfang… Увидеть больше омкреты [мужского рода], омкреты, периферийные… Узнать больше 원주… Узнать больше коло… Подробнее circonferenza… Подробнее окружность… Увидеть больше Нужен переводчик? Получите быстрый бесплатный перевод! Как произносится окружность ?   Обзор обрезанный обрезание обрезание круговорот окружность круговой циркумфлекс многословие многословный Проверьте свой словарный запас с помощью наших веселых викторин по картинкам {{randomImageQuizHook. copyright1}} {{randomImageQuizHook.copyright2}} Авторы изображений Попробуйте пройти викторину сейчас Слово дня оптимистичный надежда или вера в то, что в будущем произойдут хорошие вещи Об этом Блог Нестандартное мышление: говорим о творчестве. 14 сентября 2022 г. Подробнее Новые слова тихий уход 12 сентября 2022 г. Другие новые слова Окружность — Формула, Примеры | Окружность круга Окружность круга — это периметр круга. Это общая длина границы круга. Длина окружности есть произведение постоянной π на диаметр окружности. Человеку, идущему по круглому парку или окаймленному круглому столу, требуется эта метрика окружности круга. Длина окружности является линейной величиной, и ее единицы измерения такие же, как единицы длины. Окружность — это круглая замкнутая фигура , все ее граничные точки равноудалены от фиксированной точки, называемой центром. Двумя важными показателями круга являются площадь круга и длина окружности. Здесь мы будем стремиться к пониманию формулы и вычислению длины окружности. 1. Что такое длина окружности? 2. Длина окружности Формула 3. Как найти длину окружности? 4. Окружность к диаметру 5. Часто задаваемые вопросы Длина окружности? Что такое длина окружности? Окружность окружности – это ее граница или длина полной дуги окружности. Давайте разберемся с этой концепцией на примере. Рассмотрим круговой парк, показанный ниже. Если мальчик начинает бежать из точки «А» и достигает той же точки, пройдя один полный круг по парку, он преодолевает расстояние. Это расстояние или граница называется окружностью парка, который имеет форму круга. Окружность — это длина границы. Окружность круга Определение Окружность круга относится к размеру его границы. Если мы откроем круг и измерим границу точно так же, как измеряем прямую линию, мы получим длину окружности в единицах длины, таких как сантиметры, метры или километры. Теперь давайте узнаем об элементах, из которых состоит окружность. Это три самых важных элемента круга. Центр: Центром окружности называется точка, находящаяся на фиксированном расстоянии от любой другой точки окружности. Диаметр: Диаметр — это расстояние по окружности через центр, это линия, которая пересекает окружность с обоих концов и должна проходить через центр. Радиус: Радиус круга — это расстояние от центра круга до любой точки на окружности круга. Длина окружности Формула Формула длины окружности выражается с использованием радиуса окружности r и значения числа пи. Это выражается как: Длина окружности по формуле = 2πr. При использовании этой формулы окружности, если у нас нет значения радиуса, мы можем найти его, используя диаметр. То есть, если диаметр известен, его можно разделить на 2, чтобы получить значение радиуса, потому что диаметр круга = 2 × радиус. Другой способ рассчитать длину окружности — использовать формулу: длина окружности = π × диаметр. Если нам нужно вычислить радиус или диаметр, когда дана длина окружности, мы используем формулу: Радиус = Длина окружности/2π Как найти длину окружности? Хотя длина окружности равна длине ее границы, ее нельзя вычислить с помощью линейки (шкалы), как это обычно делают для других многоугольников. Это потому, что круг — это изогнутая фигура. Следовательно, чтобы вычислить длину окружности, мы применяем формулу, которая использует радиус или диаметр круга и значение Пи (π). Пи — это специальная математическая константа, значение которой приблизительно равно 3,14159 или π = 22/7. Значение π = 22/7 используется в различных формулах. Это отношение длины окружности к диаметру, где C = πD. Рассмотрим практическую иллюстрацию, чтобы понять, как вычислить длину окружности с помощью формулы длины окружности. Пример: Если радиус окружности равен 25 единицам, найдите длину окружности. (Возьмем π = 3,14) Решение: Дано, радиус = 25 единиц Напишем формулу окружности, а затем подставим в нее значение r (радиуса). Формула длины окружности = 2πr С = 2 × π × 25 С = 2 × 3,14 × 25 = 157 единиц Следовательно, длина окружности равна 157 единицам. Окружность к диаметру Отношение длины окружности к диаметру круга используется для определения стандартного определения числа Пи (π). Если вы знаете диаметр ‘d’ круга, то вы можете легко найти длину окружности C, используя соотношение: C = πd. Итак, если окружность C поставить в отношении к диаметру d, мы получим ответ π. Важные примечания относительно длины окружности π(Pi) — математическая константа, представляющая собой отношение длины окружности к ее диаметру. Оно приближается к π = 22/7 или 3,14 . Если радиус круга увеличивается дальше и касается границы круга, он становится диаметром круга. Следовательно, Диаметр = 2 × Радиус Окружность — это расстояние по окружности или длина окружности. Мы можем найти длину окружности, используя радиус или диаметр. Формула длины окружности = π× Диаметр; Окружность = 2πr. ☛ Статьи по теме Окружность Земли Окружность кругов Рабочие листы Калькулятор отношения диаметра к окружности Калькулятор окружности   Длина окружности Примеры Пример 1: Если радиус круга равен 28 см, найдите длину окружности. Решение: Дано, Радиус круга = 28 см. Чтобы найти длину окружности, воспользуемся формулой длины окружности: 2πr = 2×22/7×28 = 176 см. Следовательно, длина окружности равна 176 см. Пример 2: Окружность колеса 440 см. Найдите его радиус и диаметр. Решение: Учитывая, Окружность колеса = 440 см Формула длины окружности = 2πr Подставим известные значения, чтобы сначала найти радиус. 440 = 2πr 440 = 2 × (22/7) × г радиус = 70 см Диаметр = 2 × радиус Диаметр = 2 × 70 Следовательно, радиус равен 70 см, а диаметр 140 см. Пример 3: Периметр прямоугольного провода равен 264 м. Та же проволока сгибается в форме круга. Найдите радиус окружности, образованной по формуле длины окружности. Решение: Мы знаем, что периметр прямоугольника = Общая длина используемой проволоки = Длина окружности образовавшегося круга. Следовательно, длина окружности образовавшегося круга = 264 м Формула длины окружности = 2πr Длина окружности = 264 Подставим известные значения, чтобы найти радиус. 264 = 2πr 264 = 2 × (22/7) × г Следовательно, радиус окружности равен 42 м. перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами. Забронировать бесплатный пробный урок Практические вопросы по окружности круга   перейти к слайдуперейти к слайду Часто задаваемые вопросы об окружности окружности Что такое длина окружности в геометрии? Окружность окружности является мерой границы или длины полной дуги окружности. Длина окружности равна произведению π (пи) на диаметр окружности. Длина окружности — это линейная величина, имеющая одинаковые единицы длины. Как найти длину окружности? Длина окружности рассчитывается с помощью формулы длины окружности, для которой требуется значение радиуса окружности и значение π (пи). Окружность круга = 2πr, где «r» — радиус круга, а π (пи) — специальная математическая константа со значением, приблизительно равным 3,14159 или π = 22/7. Как найти диаметр по длине окружности? Если нам нужно рассчитать диаметр, когда дана длина окружности, мы используем формулу: Длина окружности = π × диаметр или Диаметр = длина окружности/π Как найти длину окружности по площади? Длину окружности можно рассчитать, если известна площадь круга. По формуле площади круга можно вычислить радиус. Зная радиус, можно вычислить длину окружности. Площадь круга = πr 2 , \(радиус = \sqrt{\frac{A}{\pi}}\), и C = 2πr = 2\(\pi\sqrt{\frac{A}{\pi }}\). Какова единица длины окружности? Окружность круга представляет собой одномерную линейную величину, а единица длины окружности выражается в метрах, дюймах, сантиметрах, футах и ​​т. д. Длина окружности связана с другими линейными величинами, такими как радиус и диаметр окружности. Что такое периметр круга? Периметр круга равен длине окружности. Это общая длина внешней границы круга. Периметр или длина окружности — это произведение константы «пи» и диаметра окружности. Он выражается в линейных единицах, таких как м, дюйм, см, фут. Каково число Пи? Пи — постоянная величина, используемая для измерения площади и длины окружности круга или других круглых фигур. Символом числа пи является π, а его числовое значение равно 22/7 или 3,14. Кроме того, эти числовые значения используются в зависимости от контекста уравнения. В чем разница между диаметром и длиной окружности? Диаметр окружности — это самая длинная хорда, проходящая через центр окружности. Длина окружности – это длина внешней границы окружности. И диаметр, и длина окружности являются длинами и выражаются в линейных единицах. Длина окружности равна произведению диаметра на константу π (пи). Как найти длину окружности по диаметру? Длину окружности можно рассчитать, если диаметр известен, поскольку соотношение между длиной окружности и диаметром окружности выражается как Длина окружности = π × Диаметр или диаметр = Длина окружности/π. Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы Circles Worksheet ОКРУЖНОСТЬ Синонимы: 21 Синонимов и антонимов к ОКРУЖНОСТЬ См. определение окружность на Dictionary.com 3 существительное0214 edge, perimeter synonyms for circumference girth ambit border boundary bounds circuit compass confines extremity fringe limits край край контур периферия край край антонимы к слову окружность НАИБОЛЕЕ ВАЖНЫЕ центр внутри интерьер середина Тезаурус 21-го века Roget, третье издание Copyright © 2013 by the Philip Lief Group. ПОПРОБУЙТЕ ИСПОЛЬЗОВАТЬ окружность Посмотрите, как выглядит ваше предложение с разными синонимами. Символы: 0/140 ВИКТОРИНА Расслабьтесь в шезлонге и примите участие в викторине «Слово дня»! НАЧАТЬ ВИКТОРИНУ Как использовать окружность в предложении Эта шапка будет расти вместе с вашими детьми, подходит для размера окружности от 7 до 12 дюймов. ЛУЧШИЕ ЗИМНИЕ ШАПКИ: УДОБНЫЕ ШАПКИ, КОТОРЫЕ СОХРАНЯЮТ ВАМ ТЕПЛОКАРСЕН ДЖОЕНК 20 ЯНВАРЯ 2021 г.POPULAR-SCIENCE Вместо этого, помимо измерения окружности талии, ваш лечащий врач отметит клинические маркеры, указывающие на висцеральное ожирение, говорит Джей. НЕКОТОРЫЕ ТРЕНЕРЫ РЕКОМЕНДУЮТ ТРЕНИРОВКИ КАК ЛУЧШИЙ СПОСОБ СЖИГАТЬ ЖИР НА ЖИВОТЕ. ВОТ ЧТО ГОВОРИТ НАУКА. ПЭМ МУРЕД 15 ДЕКАБРЯ 2020 г.0021 Прицельная дальность — это расстояние, на котором вы можете надежно поместить выстрел в пределах круга, который соответствует размеру жизненно важных органов животного — примерно окружности бумажной тарелки для оленя или лося. РУКОВОДСТВО ПО ОХОТНИЧЕСТВУ ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ 30 ОКТЯБРЯ 2020 Г. ВНЕШНИЙ ОНЛАЙН Каждый ремешок имеет две длины: более длинная сторона подходит для запястий с окружностью от 5 до 8 дюймов. АКСЕССУАРЫ ДЛЯ СМАРТ-ЧАСОВ, ЧТОБЫ ПОДАРИТЬ ДРУЗЬЯМ И БЛИЗКИМ КОМАНДУ POPSCI COMMERCE 1 ОКТЯБРЯ 2020 г.POPULAR-SCIENCE Для пейзажной съемки установите камеру в экранный режим, чтобы вас не ослеплял видоискатель, и снимайте прямо на солнце и вокруг него. 11 БОЛЬШИХ МИКРОПРИКЛЮЧЕНИЙ, КОТОРЫЕ ВЫ МОЖЕТЕ СОВЕРШИТЬ СЕЙЧАСРЕДАКТОРЫ 1 ОКТЯБРЯ 2020 Г. ВНЕ ОНЛАЙН Трасса составляет около полутора миль в окружности, а «прямая» — около пяти фарлонгов в длину. СЛОВАРЬ ШОУЭЛА БИРМИНГЕМТОМАСА Т. ХАРМАНА И УОЛТЕРА ШОУЭЛЛА Их ветви описывают круг более восьмидесяти футов в окружности, но они больше не приносят плодов. ЖЕНСКОЕ ПУТЕШЕСТВИЕ ВОКРУГ СВЕТА Скала возвышается на двести пятьдесят футов, а ее окружность составляет около мили. БРИТАНСКИЕ ШОССЕ И ДОРОГИ ОТ МОТОРА КАРТОМАС Д. МЕРФИ Его окружность не очень велика, но почти одинакова на всем протяжении, что придает ему вид башни. ЖЕНСКОЕ ПУТЕШЕСТВИЕ ВОКРУГ СВЕТА PFEIFFER По окружности ствола расположены зубья шестерни, и эти зубья входят в зацепление с соответствующими зубьями на оправке центра. Wonder Book of Knowledgevarious Слова, связанные с окружностью Связанный Граница Груницы Кон. предел линия выступ край периметр периферия обод selvage skirt trim trimming verge abuttals ambits barriers beginnings borderlands borderlines borders brinks circumferences circumscriptions compasses границы края концы окружение границы extremities frames fringes frontiers hems horizons limits line of demarcations lines marches margins marks meres metes outlines outposts столбы периметры периферии границы прогоны радиусы rims sides skirts terminals terminations termini verges abuttals ambit barrier beginning border borderland borderline bounds brink окружность окружность компас границы край конец environs extent extremity frame fringe frontier hem horizon limits line line of demarcation march margin mark mere mete контур аванпост бледный периметр периферия участок огород radius rim side skirt terminal termination terminus verge border brink circumference fringe hem lip margin perimeter периферия обод юбка край амфитеатр венчик band belt bowl bracelet circlet circuit circumference circus cirque coil colure compass cordon corona crown cycle disc диск эклиптика корпус экватор полный оборот глобус гало hoop horizon lap meridian orbit parallel of latitude perimeter periphery record revolution ring ringlet round sphere stadium tire поворот колесо венок зодиак окружность площадь границы Circle Circleling Циркуляция Округа Округа . линия орбита прогулка периметр периферия дальность region round route tour tract turn turning twirl way wheel whirl wind winding zone Roget’s 21st Century Thesaurus, Третье издание Copyright © 2013, Philip Lief Group. Окружность – определение и значение Определение Связать Список Обсудить См. Услышать и Любовь Определения из Словаря английского языка American Heritage®, 5-е издание. сущ. Линия границы круга. сущ. Граница области или объекта. сущ. Длина такой линии. существительное Поле или область вокруг чего-либо. из словаря века. сущ. Линия, ограничивающая круг; в более широком смысле, ограничивающая линия любой правильной плоской криволинейной фигуры; периферия: как окружность круга или эллипса. Окружность сферы равна окружности большого круга сферы. сущ. Следовательно, любая ограничивающая линия: например, окружность города. сущ. Пространство, заключенное в круг; что-нибудь круглое по форме. сущ. Ходить; многословие. Для включения в круглое или сферическое пространство. из версии GNU Collaborative International Dictionary of English. сущ. Линия, огибающая или охватывающая круглую фигуру; периферия. сущ. Круг; что-нибудь круглое. сущ. Внешняя поверхность сферы или любого круглого тела. переходный глагол устарело Включить в круглое пространство; связать. из Викисловаря, Creative Commons Attribution/Share-Alike License. сущ. геометрия Линия, ограничивающая круг или другую двумерную фигуру существительное геометрия Длина такой линии сущ. устаревшее Поверхность круглого или сферического объекта глагол устаревший, переходный Включать в круглое пространство; связать. из WordNet 3.0 Copyright 2006 Принстонского университета. Все права защищены. сущ. линия границы, охватывающая территорию или объект сущ. длина замкнутой кривой окружности существительное размер чего-либо, определяемый расстоянием вокруг него Этимологии из Словаря английского языка American Heritage®, 4-е издание [среднеанглийский, из старофранцузского circonference , от латинского окружность , от окружность , окружность- , причастие настоящего времени окружность , носить с собой: окружность- , окружность- + ферре носить, ; см. bher- в индоевропейских корнях.] из Викисловаря, Creative Commons Attribution/Share-Alike License Из латыни окружность , окружность вокруг ; Ферре переноска Поддержка Помогите поддержать Wordnik (и сделайте эту страницу свободной от рекламы), приняв слово окружность. Примеры Из этого рассуждения непосредственно следует, что для наших сферических существ длина окружности окружности сначала увеличивается с радиусом до тех пор, пока не будет достигнута «окружность вселенной», и что с этого момента она постепенно уменьшается до нуля при еще более возрастающих значениях. радиуса. Глава 31. Возможность «конечной» и в то же время «неограниченной» Вселенной Это означает, что окружность составляет около 1000 метров, поэтому v равно 1000 метров в минуту, что дает симулированную гравитацию примерно в 1/6 от земной — такую ​​же, как на Луне (хотя люди внутри движутся так, как если бы гравитация была земной). -обычный). 01.08.08: Стартовая площадка, день 2 Из него получаются трубочки с 44 петлями по окружности или прямые детали шириной до 44 петель, и требуется пряжа среднего веса — как раз для трубчатого шарфа, но немного узковата для вязания шапок. Архив 2009-01-01 Из него получаются трубочки с 44 петлями по окружности или прямые детали шириной до 44 петель, и требуется пряжа среднего веса — как раз для трубчатого шарфа, но немного узковата для вязания шапок. Ура новым игрушкам! К сожалению, это означает, что мои джинсы довольно неудобно носить, потому что ремень 9Окружность 1569 теперь как минимум на две дырки меньше пояса джинсов. Чизбургер Готический » Бургер Лайт 5 марта Лорд-Хау представляет собой кольцо земли примерно в сто пятьдесят миль по окружности , шириной в несколько сотен ярдов в самом широком месте и местами возвышающееся на десять футов над уровнем моря. МАУКИ Пол Родригес был мексиканским носильщиком, у которого в верхней и боковой части головы был рог 14 см в обхватом и разделен на три вала, которые он скрыл под колпаком. Человеческие рога Атолл Хикуэру лежал низко над водой, круг толченого кораллового песка шириной в сто ярдов, двадцатью милями по окружности и от трех до пяти футов над уровнем прилива. ДОМ МАПУИ Парк Окружность г. составляет примерно 40 километров (км), простираясь от моста в Ургупе, а затем ведя на север на 6 км по реке Дамса. Национальный парк Гёреме и скальные памятники Капподокии, Турция Большой адронный коллайдер составляет 27 км по окружности и ускоряет протоны до 99,99999% скорости света (возможно, я не получил правильное число девяток, извините, если это испортит ваши расчеты, если вы пытаетесь это дома) . Боинг Боинг Окружность талии как показатель жизненно важных функций в клинической практике: Консенсус рабочей группы IAS и ICCR по висцеральному ожирению риск смерти, это измерение обычно не проводится в клинической практике. В этом Консенсусе предлагается, чтобы измерения окружности талии предоставили практикующим врачам важную возможность улучшить лечение и здоровье пациентов. Мы утверждаем, что одного только ИМТ недостаточно для правильной оценки или управления кардиометаболическим риском, связанным с повышенным ожирением у взрослых, и предоставляем тщательный обзор доказательств, который позволит практикующим врачам и профессиональным сообществам регулярно включать окружность талии в оценку и ведение пациентов. с избыточным весом или ожирением. Мы рекомендуем, чтобы уменьшение окружности талии было критически важной целью лечения для снижения неблагоприятных рисков для здоровья как мужчин, так и женщин. Кроме того, мы описываем доказательства того, что клинически значимое уменьшение окружности талии может быть достигнуто с помощью рутинных упражнений средней интенсивности и/или диетических вмешательств. Мы выявляем пробелы в знаниях, включая уточнение пороговых значений окружности талии для данной категории ИМТ, чтобы оптимизировать стратификацию риска ожирения по возрасту, полу и этнической принадлежности. Мы рекомендуем, чтобы медицинские работники были обучены правильно выполнять это простое измерение и рассматривать его как важный «признак жизнедеятельности» в клинической практике. Введение Распространенность избыточной массы тела и ожирения среди взрослых, определяемая с помощью ИМТ, увеличилась во всем мире с 1980-х годов, и ни в одной стране не было продемонстрировано успешного снижения за 33 года зарегистрированных данных 1 . Ожирение является серьезной проблемой общественного здравоохранения во всем мире 2 , и использование одних только измерений ИМТ оказалось недостаточным для помощи клиницистам в оценке и управлении рисками для здоровья, связанными с ожирением, у их пациентов. Например, хотя у многих людей с избыточным весом или ожирением в течение жизни разовьются кардиометаболические осложнения, такие как сахарный диабет 2 типа (СД2) и сердечно-сосудистые заболевания (ССЗ), значительное меньшинство останется свободным от этих хронических заболеваний. описывается как метаболически здоровое ожирение (MHO). Распространенность MHO среди взрослых сильно различается между исследованиями из-за различий в возрасте, этнической принадлежности и факторов окружающей среды, а также отсутствия универсального определения метаболического здоровья и универсальной системы классификации ожирения 3 . Кроме того, исследования с длительным периодом наблюдения в целом показали, что MHO часто является временным или переходным состоянием для большинства людей с ожирением. Например, в исследовании с 20-летним наблюдением примерно половина взрослых с MHO (определяемой в этом исследовании как имеющая менее двух кардиометаболических параметров, выходящих за пределы здоровых диапазонов) стали метаболически нездоровыми к концу исследования. Кроме того, участники исследования с MHO имели повышенный риск сердечно-сосудистых событий после длительного наблюдения 4 . Точно так же исследование, в котором рассматривался весь спектр возможных определений MHO, показало, что риск сердечно-сосудистых событий, связанных с фенотипом MHO, увеличивался при более длительном периоде наблюдения. Кроме того, аналогичные оценки риска сердечно-сосудистых заболеваний наблюдались, когда MHO определялся критериями, отличными от отсутствия метаболического синдрома 5 . Несмотря на то, что ограничения ИМТ как индекса ожирения были известны на протяжении десятилетий, несколько руководств по ожирению во всем мире по-прежнему твердо рекомендуют, чтобы ИМТ сам по себе был мерой, характеризующей заболеваемость, связанную с ожирением, и риск смерти 9. 0779 6,7,8,9 . Неспособность ИМТ полностью отразить кардиометаболический риск частично связана с тем фактом, что ИМТ сам по себе является недостаточным биомаркером абдоминального ожирения. Окружность талии — это простой метод оценки абдоминального ожирения, который легко стандартизировать и применять в клинической практике. Окружность талии тесно связана со смертностью от всех причин 10,11 и смертностью от сердечно-сосудистых заболеваний 12,13 с поправкой на ИМТ или без нее 10,14 . Однако в полной мере связь окружности талии с заболеваемостью и смертностью реализуется только после поправки на ИМТ 9.0779 10,15,16 . Таким образом, окружность талии позволяет дополнительно уточнить неблагоприятный риск для здоровья, характеризуемый ИМТ, и это измерение должно быть включено при стратификации риска для здоровья, связанного с ожирением. Действительно, сопротивление рутинному включению измерения окружности талии в клиническую практику не только игнорирует доказательства его полезности, но и не позволяет использовать возможности для консультирования пациентов относительно фенотипа ожирения с более высоким риском. Кроме того, измерение как ИМТ, так и окружности талии предоставит уникальные возможности для отслеживания полезности лечения и эффективности вмешательств, предназначенных для лечения ожирения и связанных с ним нарушений обмена веществ. В 2017 году Рабочая группа по висцеральному ожирению Международного общества атеросклероза (IAS) и Международного председателя по кардиометаболическим рискам (ICCR) собралась в Праге, Чешская Республика, для обсуждения важности абдоминального ожирения как фактора риска преждевременного атеросклероза и сердечно-сосудистых заболеваний в взрослые (дополнительная информация). Группа согласилась работать над разработкой согласованных документов, которые отражали бы позицию двух организаций. В этом Консенсусе мы обобщаем доказательства того, что одного ИМТ недостаточно для правильной оценки, оценки или управления кардиометаболическим риском, связанным с повышенным ожирением, и рекомендуем использовать окружность талии в качестве рутинного измерения в клинической практике наряду с ИМТ для классификации ожирения. Методология Настоящее Заявление о консенсусе разработано для обеспечения консенсуса IAS и Рабочей группы ICCR (дополнительная информация) об окружности талии как антропометрическом показателе, улучшающем ведение пациентов. Заявление о консенсусе было разработано следующим образом. Первая встреча лицом к лицу состоялась 24 апреля 2017 года для рассмотрения высококачественных доказательств, доступных и известных экспертам в данной области. После обсуждения и обсуждения экспертами контекста и качества доказательств была назначена группа исполнительных авторов (Р.Р., И.Дж.Н., Дж.-П.Д., Дж.С. и Ю.М.), которой было поручено написать первый вариант. Впоследствии проект был разослан всем авторам для критического пересмотра интеллектуального содержания, имеющего отношение к опыту каждого автора. Высококачественная опубликованная литература, которая стала доступна после первой личной встречи (до июня 2019 г.).) был определен всеми авторами и рассмотрен исполнительной группой для включения в рукопись. Первый автор координировал окончательную подготовку и подачу Заявления о консенсусе после того, как группа достигла консенсуса и утвердила его содержание. Историческая перспектива Важность распределения жира в организме как фактора риска ряда заболеваний (например, сердечно-сосудистых заболеваний, гипертонии, инсульта и СД2) и смертности признавалась на протяжении нескольких десятилетий. В 1956 году Жан Ваг первым показал важность распределения жира в связи с различными заболеваниями, описав то, что он назвал «андроидным» и «гиноидным» типами ожирения 9.0779 17 . Эти классификации были позже интерпретированы Ahmed Kissebah и его коллегами как накопление жира в верхней и нижней части тела, что отражается высоким или низким соотношением окружности талии и бедер (WHR), соответственно 18 . Фенотипы накопления жира в верхней и нижней частях тела были основаны на морфологии тела, оцененной с помощью внешних антропометрических показателей, таких как кожные складки и окружности. Популярность WHR возросла, когда эпидемиологи в США и Швеции показали, что WHR отдельно или в сочетании с ИМТ был связан с повышенным риском смерти, сердечно-сосудистых заболеваний и СД2 19,20,21,22 , данные, которые впоследствии были подтверждены во многих исследованиях. Однако более поздние данные показали, что, по сравнению с WHR, только окружность талии была более тесно связана с абсолютным количеством внутрибрюшного или висцерального жира, жирового депо, которое представляет наибольший риск для здоровья 23,24 . Кроме того, когда такое отношение, как WHR, используется для отслеживания изменений в региональных жировых отложениях, полезность отношения ограничена, когда значения как числителя, так и знаменателя изменяются в ответ на лечение. Следовательно, комбинация WHR и ИМТ для оценки риска ожирения была заменена едиными пороговыми значениями только для окружности талии 9.0779 25 . NIH был первым, кто использовал пороговые значения окружности талии (≥88 см у женщин и ≥102 см у мужчин), предложенные Michael Lean и его коллегами, в сочетании с классификацией общего ожирения по ИМТ 25 . Хотя использование этих конкретных значений окружности талии для выявления белых взрослых с абдоминальным ожирением остается краеугольным камнем руководящих принципов по ожирению во всем мире, мы представляем доказательства, чтобы оспорить поддерживающее обоснование и предоставить доказательства в поддержку альтернативных значений окружности талии, которые следует использовать вместе с ИМТ. В качестве альтернативы измерениям окружности талии, WHR или соотношению окружностей талии и бедер Маргарет Эшвелл и другие предложили соотношение талии и высоты в качестве меры абдоминального ожирения 26,27 . По сравнению с предыдущими измерениями соотношение талии и роста показывает аналогичную, а иногда и несколько более сильную связь с риском сердечно-сосудистых заболеваний или СД2 28,29 . Объяснение того, почему добавление роста увеличивает прогнозирование риска заболевания, может заключаться в том, что низкий рост связан с повышенным риском сердечно-сосудистых заболеваний 9. 0779 30 . У растущих детей и подростков соотношение роста и талии может быть более полезным для классификации абдоминального ожирения, чем только окружность талии. Однако у взрослых людей отношение талии к высоте менее полезно, поскольку рост обычно фиксирован, и значение может быть изменено только путем изменения окружности талии. Более того, рост лишь незначительно связан с окружностью талии 31 . Для оценки эффективности изменений образа жизни у взрослых можно было бы предпочесть окружность талии как простой инструмент. Другие альтернативы окружности талии включают индекс конусности 9.0779 32 и индекс абдоминального ожирения 33 , но они, в лучшем случае, являются лишь немного лучшими предикторами риска заболевания, чем одна только окружность талии. Распространенность абдоминального ожирения Несмотря на сильную связь между окружностью талии и ИМТ на популяционном уровне, новые данные свидетельствуют о том, что в разных популяциях окружность талии может увеличиваться сверх того, что ожидается в соответствии с ИМТ. Другими словами, фенотип ожирения может со временем измениться на тот, который отражает увеличение абдоминального ожирения 9.0779 34 . Например, Ян Янссен и его коллеги изучили изменения окружности талии для заданного ИМТ за 30-летний период в канадской выборке 35 . Примечательно, что для заданного ИМТ канадцы имели большую окружность талии в 2007 году по сравнению с 1981 годом. В частности, исследователи наблюдали, что окружность талии была больше на 1,1 см у мужчин и на 4,9 см у женщин при ИМТ 25 кг/м 2 . в период с 1981 по 2007 год. Аналогичным образом Сандра Альбрехт и ее коллеги исследовали вековые изменения окружности талии в США (19).88–2007), Англии (1992–2008), Китае (1993–2011) и Мексике (1999–2012) 36 и сообщили о статистически значимом увеличении значений окружности талии по сравнению с ИМТ во всех изученных странах и в большинстве подгрупп. Эти наблюдения согласуются с наблюдениями Томми Виссера и его коллег, которые провели обширный обзор и пришли к выводу, что большинство данных свидетельствует о тенденции, при которой относительное увеличение окружности талии было больше, чем относительное увеличение ИМТ 37 . Это наблюдение, по-видимому, не зависит от возраста, пола и этнической принадлежности, поскольку в нескольких группах не удалось продемонстрировать общую тенденцию к увеличению окружности талии за пределы ожидаемого ИМТ (рис. 1). Неспособность ИМТ обнаружить такое увеличение абдоминального ожирения подтверждает ограниченность одного ИМТ для определения фенотипа ожирения, который несет наибольший риск для здоровья. Рис. 1. Распространенность абдоминального ожирения и ожирения, измеренная в различных исследованиях. Изменения распространенности абдоминального ожирения (измеряется с помощью окружности талии) и общего ожирения (измеряется с помощью ИМТ), измеренные в различных исследованиях за период времени, указанный на оси x . Общее ожирение определяли как ИМТ ≥30 кг/м 2 . Абдоминальное ожирение определяли как окружность талии ≥88 см и ≥102 см у женщин и мужчин соответственно. Однако Си и соавт. определяли общее ожирение как ИМТ ≥28 кг/м 2 и абдоминальное ожирение как окружность талии ≥80 см и ≥85 см для китайских женщин и мужчин, соответственно 113 . Кроме того, Барзин и соавт. определили общее ожирение как ИМТ ≥30 кг/м 2 и абдоминальное ожирение как окружность талии ≥91 см и ≥89 см для иранских женщин и мужчин, соответственно 114 . Приведенные годы (например, 1999–2011 гг.) указывают на годы, в которые были собраны данные. Ф, женщина; М, муж. Данные взяты из ссылок 37 113 114 115 116 117 118 119 120 121 . Изображение в натуральную величину Выводы и рекомендации — распространенность абдоминального ожирения Хотя распространенность ожирения, измеряемая по ИМТ, в некоторых странах, возможно, стабилизировалась, распространенность абдоминального ожирения, измеряемая по окружности талии, в целом увеличивается. Отсутствие включения окружности талии в глобальный эпиднадзор за ожирением может неадекватно характеризовать риск для здоровья, связанный с глобальной распространенностью ожирения, поскольку представляется, что распространенность абдоминального ожирения увеличивается. Текущие тенденции распространенности ожирения, основанные только на ИМТ, следует интерпретировать с осторожностью. Мы рекомендуем уделить серьезное внимание включению окружности талии в исследования по наблюдению за ожирением. Выявление фенотипа ожирения высокого риска Окружность талии, ИМТ и показатели здоровья — категориальный анализ Неудивительно, что окружность талии и ИМТ сами по себе положительно связаны с заболеваемостью 15 и смертностью 13 независимо от возраста, пола и этнической принадлежности, учитывая сильную связь между этими антропометрическими переменными в когортах. Однако также хорошо известно, что для любого заданного ИМТ вариации окружности талии значительны, и в любой данной категории ИМТ взрослые с более высокими значениями окружности талии подвергаются повышенному неблагоприятному риску для здоровья по сравнению с людьми с более низкой окружностью талии. 38,39,40 . Это наблюдение хорошо иллюстрируется Джеймсом Серханом и его коллегами, которые объединили данные 11 проспективных когортных исследований с участием 650 386 белых взрослых из США, Австралии и Швеции в возрасте 20–83 лет 11 . В этом исследовании авторы отметили, что окружность талии была положительно связана со смертностью в каждой исследованной категории ИМТ, от 20 кг/м 2 до 50 кг/м 2 . Этот вывод согласуется с выводами Эллен де Холландер и ее коллег, которые провели метаанализ с участием более 58 000 преимущественно белых пожилых людей со всего мира и сообщили, что смертность с поправкой на возраст и курение была значительно выше у людей с повышенным окружность талии в пределах нормального веса, избыточного веса и ожирения согласно ИМТ 41 . Способность окружности талии увеличивать неблагоприятный риск для здоровья, наблюдаемый в данной категории ИМТ, обеспечивает основу для современной системы классификации, используемой для характеристики риска для здоровья, связанного с ожирением 8,42 . Окружность талии, ИМТ и последствия для здоровья — непрерывный анализ Несмотря на наблюдение, что связь между окружностью талии и неблагоприятным риском для здоровья варьируется в зависимости от категории ИМТ 11 , современные системы классификации риска ожирения рекомендуют использовать одни и те же пороговые значения окружности талии для все категории ИМТ 42 . Мы предполагаем, что важная информация об ИМТ и окружности талии теряется, когда они преобразуются из непрерывных в широкие категориальные переменные, и что эта потеря информации влияет на то, как ИМТ и окружность талии предсказывают заболеваемость и смертность. В частности, когда ИМТ и окружность талии рассматриваются как категориальные переменные в одной и той же модели прогнозирования риска, они обе положительно связаны с заболеваемостью и смертностью 38 . Однако, когда ИМТ и окружность талии рассматриваются как непрерывные переменные в одной и той же модели прогнозирования риска, прогнозирование риска по окружности талии улучшается, тогда как связь между ИМТ и неблагоприятным риском для здоровья ослабевает 10,43 . Полная сила связи между окружностью талии и заболеваемостью и/или смертностью не полностью осознается до корректировки ИМТ 11,12,41 . Доказательства в поддержку корректировки окружности талии для ИМТ получены от Janne Bigaard и его коллег, которые сообщают, что существует тесная связь между окружностью талии и смертностью от всех причин после корректировки для ИМТ 43 . Например, окружность талии на 10% больше соответствовала 1,48 (95% ДИ 1,36–1,61) раза выше смертности во всем диапазоне окружности талии как у мужчин, так и у женщин после поправки на ИМТ. Это наблюдение было подтверждено Тобиасом Пишоном и его коллегами, которые заметили, что самый высокий квинтиль окружности талии (≥102,7 см у мужчин и ≥89,0 см у женщин) был связан с повышенным риском смерти от всех причин на 1,33 (95% ДИ 1,24). –1,44) до корректировки ИМТ, с повышенным риском смерти 2,05 (95% ДИ 1,80–2,33) после корректировки ИМТ 10 . В соответствии с наблюдениями, основанными на бессимптомных взрослых, Таис Коутиньо и его коллеги сообщают об аналогичных наблюдениях для когорты из 14 284 взрослых с ССЗ, за которыми наблюдали в течение 2,3 года (5 696 смертей). Когорта была разделена на терцили как по окружности талии, так и по ИМТ. По сравнению с самым низким терцилем окружности талии, для самого высокого терциля окружности талии после поправки на возраст, пол, курение, сахарный диабет, гипертонию и ИМТ (ОР 1,29) наблюдалась значительная связь с риском смерти., 95% ДИ 1,20–1,39). Напротив, после поправки на возраст, пол, курение, сахарный диабет, артериальную гипертензию и окружность талии увеличение терцилей ИМТ было обратно связано с риском смерти (ОР 0,64, 95% ДИ 0,59–0,69) 44 . Результаты этого систематического обзора 44 частично подтверждены Diewertje Sluik и его коллегами, которые изучили взаимосвязь между окружностью талии, ИМТ и выживаемостью у 5435 человек с СД2 в течение 4,6 лет наблюдения (межквартильный диапазон 2,0–9)..8 лет) 45 . В этом проспективном когортном исследовании когорта была разделена на квинтили как по ИМТ, так и по окружности талии. После поправки на продолжительность СД2, лечение инсулином, распространенный инфаркт миокарда, инсульт, рак, статус курения, продолжительность курения, уровень образования, физическую активность, потребление алкоголя и ИМТ, ОР риска смерти, связанный с наивысшим терцилем, составил 2,11 (95%). ДИ 1,23–3,61) по сравнению с самым низким квинтилем окружности талии. Напротив, по сравнению с самым низким квинтилем ИМТ (с поправкой на те же переменные, с заменой ИМТ окружностью талии) ОР риска смерти для самого высокого квинтиля ИМТ составил 0,33 (9).5% ДИ 0,19–0,60). Таким образом, когда связь между окружностью талии и ИМТ с заболеваемостью и смертностью рассматривается в непрерывных моделях, для данной окружности талии чем выше ИМТ, тем ниже неблагоприятный риск для здоровья. Почему связь между окружностью талии и неблагоприятным риском для здоровья увеличивается после поправки на ИМТ, не установлено. Возможно, оздоровительный эффект более высокого ИМТ при данном обхвате талии объясняется повышенным накоплением подкожно-жировой клетчатки в нижней части тела 46 . Например, в исследовании более 2000 пожилых участников исследования «Здоровье, старение и состав тела» Марике Снайдер и ее коллеги были одними из первых, кто сообщил, что масса жировой ткани бедра отрицательно связана с непереносимостью глюкозы и дислипидемией после учета абдоминального жира. тканевая масса 47 . Это наблюдение было подтверждено Софи Иствуд и ее коллегами, которые сообщили, что у взрослых жителей Южной Азии защитное действие общей подкожной жировой ткани на СД2 и HbA 9Уровни 1829 1c появляются только после учета накопления висцеральной жировой ткани (VAT) 48 . Причинный механизм, объясняющий ослабление заболеваемости и смертности, связанный с повышенным ожирением нижней части тела при данном уровне абдоминального ожирения, не установлен. Мы предполагаем, что повышенная способность накапливать избыточное потребление энергии в ягодично-бедренных подкожных адипоцитах может защищать от избыточного отложения липидов в НДС и эктопических депо, таких как печень, сердце и скелетные мышцы (рис. 2). Таким образом, для данной окружности талии больший ИМТ может представлять собой фенотип с повышением уровня подкожной жировой ткани в нижней части тела. В качестве альтернативы, у взрослых с повышенным ИМТ для данной окружности талии может быть снижена сумма НДС. Избыточное накопление липидов в НДС и эктопических депо связано с повышенным кардиометаболическим риском 47,48,49 . При этом НДС является установленным маркером заболеваемости 50,51 и смертности 24,52 . Эти результаты обеспечивают правдоподобный механизм, с помощью которого более низкие значения ИМТ или окружности бедер при заданной окружности талии могут увеличить неблагоприятный риск для здоровья. Рис. 2: Обзор потенциальной роли функциональной и дисфункциональной жировой ткани в повышении кардиометаболического риска. Способность подкожной жировой ткани (ПЖТ) увеличиваться за счет гиперплазии (образования новых жировых клеток) позволяет безопасно накапливать избыточную энергию из рациона в правильно расширяющемся подкожном «метаболическом приемнике». Когда этот процесс становится насыщенным или в ситуациях, когда жировая ткань имеет ограниченную способность к увеличению, происходит выброс избыточной энергии, которая должна храниться в висцеральной жировой ткани, а также в обычно худых органах, таких как скелетные мышцы, печень. , поджелудочная железа и сердце, процесс, описанный как эктопическое отложение жира. Висцеральное ожирение связано с гиперлиполитическим состоянием, устойчивым к действию инсулина, наряду с измененной секрецией адипокинов, включая воспалительные цитокины, тогда как набор метаболических дисфункций специфически связан с увеличением скелетных мышц, печени, поджелудочной железы, эпикарда, перикарда и интрамиокарда. толстый. СЖК, свободная жирная кислота. Полноразмерное изображение Это мнение подкрепляется Дженнифер Кук и ее коллегами, которые сообщили, что ИМТ является независимым и положительным коррелятом НДС у взрослых до поправки на окружность талии; однако ИМТ отрицательно связан с массой НДС после поправки на окружность талии 53 . В этом исследовании также сообщалось, что после поправки на окружность талии ИМТ был положительно связан с массой подкожной жировой ткани нижней части тела и массой скелетных мышц. Эти наблюдения подтверждают предполагаемый механизм, описанный выше, и, следовательно, отрицательную связь, обычно наблюдаемую между ИМТ и заболеваемостью и смертностью после поправки на окружность талии, можно объяснить уменьшением отложения подкожной жировой ткани и мышечной массы в нижней части тела, повышенным накоплением висцеральное ожирение или и то, и другое. Таким образом, комбинация ИМТ и окружности талии может идентифицировать фенотип ожирения с самым высоким риском гораздо лучше, чем каждый из показателей по отдельности. Хотя рекомендации по лечению ожирения, разработанные несколькими профессиональными обществами, признают важность измерения окружности талии, в контексте стратификации риска будущей сердечно-метаболической заболеваемости и смертности эти рекомендации ограничивают рекомендацию измерять окружность талии только взрослыми, определяемыми по ИМТ как имеющие избыточный вес или ожирение. На основании наблюдений, описанных в этом разделе, окружность талии может быть столь же важной, если не более информативной, у лиц с более низким ИМТ, у которых повышенная окружность талии с большей вероятностью указывает на висцеральное ожирение и повышенный кардиометаболический риск. Это наблюдение особенно верно для пожилых людей 54 . Выводы и рекомендации — выявление фенотипа ожирения высокого риска В категориальном анализе окружность талии связана с результатами для здоровья во всех категориях ИМТ, независимо от пола и возраста. Когда ИМТ и окружность талии рассматриваются как непрерывные переменные в одной и той же модели прогнозирования риска, окружность талии остается положительным предиктором риска смерти, но ИМТ не связан или отрицательно связан с этим риском. Сила связи между окружностью талии и заболеваемостью и/или смертностью не полностью осознается до тех пор, пока не будет сделана поправка на ИМТ. Улучшенная способность окружности талии прогнозировать последствия для здоровья по сравнению с ИМТ может быть, по крайней мере, частично объяснена способностью окружности талии идентифицировать взрослых с увеличенной массой НДС. Мы рекомендуем, чтобы измерения окружности талии и ИМТ стали стандартной частью клинических визитов (то есть общепринятым «жизненным показателем»). Важность в клинических условиях Для практикующих врачей решение о включении новой меры в клиническую практику в значительной степени обусловлено двумя важными, но очень разными вопросами. Первый фокусируется на том, улучшают ли мера или биомаркер прогнозирование риска конкретного заболевания в конкретной популяции. Например, улучшает ли добавление нового фактора риска прогностическую эффективность установленного алгоритма прогнозирования риска, такого как объединенные когортные уравнения (PCE) или Framingham Risk Score (FRS) у взрослых с риском сердечно-сосудистых заболеваний? Второй вопрос касается того, приведет ли улучшение нового маркера риска к соответствующему снижению риска, например, сердечно-сосудистых событий. Во многих ситуациях, даже если биомаркер не способствует прогнозированию риска, он все же может служить отличной мишенью для снижения риска. Здесь мы рассматриваем важность окружности талии в клинических условиях, отвечая на эти два вопроса. Прогнозирование риска Оценка полезности любого биомаркера, такого как окружность талии, для прогнозирования риска требует глубокого понимания эпидемиологического контекста, в котором оценивается оценка риска. Кроме того, необходимо выполнить несколько статистических контрольных показателей, чтобы биомаркер улучшил прогнозирование риска по сравнению с традиционными мерами. Эти критерии особенно важны для окружности талии, поскольку существуют установленные половые и этнические различия в пороговых уровнях окружности талии 55,56 . В 2009 г. Американская кардиологическая ассоциация опубликовала научное заявление о необходимых критериях оценки новых маркеров риска сердечно-сосудистых заболеваний 57 , за которым последовали рекомендации по оценке сердечно-сосудистого риска у бессимптомных взрослых в 2010 г. (ссылка 58 ). Новые биомаркеры должны как минимум иметь независимую статистическую связь с риском для здоровья после учета установленных маркеров риска в контексте многофакторной эпидемиологической модели. Однако одной этой характеристики недостаточно, так как многие новые биомаркеры соответствуют этому минимальному стандарту, но не улучшают прогнозирование риска значимо по сравнению с традиционными маркерами. Поэтому были разработаны более строгие контрольные показатели для оценки полезности биомаркеров, которые включают калибровку, дискриминацию 58 и чистое улучшение реклассификации 59 . Поэтому для критической оценки окружности талии как нового биомаркера для использования в алгоритмах прогнозирования риска необходимо применять эти строгие критерии. Многочисленные исследования демонстрируют статистическую связь между окружностью талии и смертностью и заболеваемостью в эпидемиологических когортах. Например, систематический обзор и мета-регрессионный анализ 18 исследований, включающих >680 000 участников из Европы с периодом наблюдения до 24 лет, показали, что окружность талии была связана с увеличением смертности от всех причин выше значений 9.5 см для мужчин и 80 см для женщин 60 . Примечательно, что увеличение окружности талии выше этих пороговых значений было связано с повышенным относительным риском смерти от всех причин даже среди лиц с нормальным ИМТ (20,0–24,9 кг/м 2 ) 60 . В США проспективное наблюдение в течение 9 лет за 14 699 чернокожими, белыми и представителями смешанной этнической принадлежности в исследовании «Риск атеросклероза в сообществах» показало, что окружность талии была связана с повышенным риском ишемической болезни сердца (553 события; RR 1,37, 9).5% ДИ 1,21–1,56), но не со смертью от всех причин 61 . Несмотря на наличие надежной статистической связи со смертностью от всех причин независимо от ИМТ, нет убедительных доказательств того, что добавление окружности талии к стандартным моделям риска сердечно-сосудистых заболеваний (таким как FRS 62 или PCE 63 ) улучшает прогнозирование риска использование более строгих статистических критериев. Например, исследование, оценивающее полезность PCE для определенных ВОЗ классов ожирения 42 в пяти больших эпидемиологических когортах, состоящих примерно из 25 000 человек, оценили, будет ли улучшена дискриминация риска PCE за счет включения специфических для ожирения показателей ИМТ и окружности талии 64 . Исследователи обнаружили, что, хотя каждый показатель был индивидуально связан (ИМТ: ОР 1,04, 95% ДИ 1,02–1,07; окружность талии: ОР 1,11, 95% ДИ 1,09–1,13 на 1 SD увеличение) с повышенным риском атеросклеротических сердечно-сосудистых заболеваний, значительного улучшения не наблюдалось. произошло в c-статистике при добавлении либо ИМТ, либо окружности талии к другим переменным PCE 64 . Аналогичным образом, объединенный анализ четырех французских популяционных исследований, включающих более 20 000 участников, оценивал полезность дополнительных факторов риска при добавлении к FRS для 10-летнего прогноза риска ишемической болезни сердца 65 . Исследователи обнаружили, что ИМТ ( P  = 0,03), но не окружность талии ( P  = 0,42) оставался связанным с риском ишемической болезни сердца при добавлении к FRS, но добавление любого фактора не улучшало различение модели 65 . Только на основании этих наблюдений можно сделать вывод, что измерение окружности талии в клинических условиях не поддерживается, поскольку прогнозирование риска не улучшается. Однако Нэнси Кук и другие продемонстрировали, насколько сложно добавление любого биомаркера существенно улучшить прогностическую эффективность 59,66,67,68 . Действительно, Майкл Пенчина и его коллеги подсчитали, что немодифицируемые факторы риска, такие как возраст, пол и этническая принадлежность, охватывают 63–80% прогностической эффективности моделей сердечно-сосудистого риска, и что добавление систолического артериального давления, уровней не-ЛПВП в плазме холестерина, сахарного диабета или курение в модели с другими факторами риска увеличивает прогностическую эффективность, измеренную с-статистикой, всего на 0,004–0,013 (ссылка 9).0779 69 ). Кроме того, любое добавочное значение окружности талии к алгоритмам прогнозирования риска может быть подавлено более непосредственными, нижестоящими причинными факторами риска, такими как повышенное кровяное давление и аномальные концентрации глюкозы в плазме. Другими словами, окружность талии может не улучшать прогностические показатели, поскольку, независимо от ИМТ, окружность талии является основным фактором изменений последующих кардиометаболических факторов риска. Подробное обсуждение достоинств различных подходов (например, c-статистики, чистого индекса реклассификации и индекса дискриминации) для определения полезности новых биомаркеров для улучшения прогнозирования риска выходит за рамки этой статьи, и читателю предлагается ознакомиться с недавними исследованиями. критика, чтобы получить представление об этом важном вопросе 66,69 . Снижение риска Вопрос о том, улучшает ли добавление измерения окружности талии прогностическую эффективность установленных алгоритмов оценки риска, является клинически значимым вопросом, на который еще предстоит ответить; однако влияние таргетной окружности талии на заболеваемость и смертность является совершенно другим вопросом, имеющим равную или большую клиническую значимость. В литературе существует несколько примеров, когда маркер риска может улучшить прогнозирование риска, но клиническая модификация маркера не влияет на снижение риска. Например, низкий уровень холестерина ЛПВП является центральным фактором риска, связанным с риском ишемической болезни сердца в алгоритмах множественного прогнозирования риска, однако повышение уровня холестерина ЛПВП в плазме фармакологически не улучшает исходы ССЗ 70 . И наоборот, фактор риска может существенно не улучшить статистическое прогнозирование риска, но может быть важной поддающейся изменению целью для снижения риска. Действительно, мы утверждаем, что при любом значении ИМТ окружность талии является основным фактором ухудшения маркеров или факторов кардиометаболического риска и, следовательно, уменьшение окружности талии является важным шагом на пути к снижению риска кардиометаболических заболеваний. Как мы описали ранее, окружность талии хорошо зарекомендовала себя как независимый предиктор заболеваемости и смертности, и полная сила окружности талии реализуется после учета ИМТ. Мы предполагаем, что связь между окружностью талии и тяжелыми клиническими конечными точками в значительной степени объясняется связью между изменениями окружности талии и соответствующими кардиометаболическими факторами риска. Например, данные рандомизированных контролируемых исследований (РКИ) неизменно показывают, что, независимо от пола и возраста, уменьшение окружности талии, вызванное образом жизни, связано с улучшением кардиометаболических факторов риска с соответствующей потерей веса или без нее 71,72,73,74,75,76 . Эти наблюдения остаются неизменными независимо от того, вызвано ли уменьшение окружности талии ограничением энергии (то есть ограничением калорийности) 73,75,77 или увеличением расхода энергии (то есть физическими упражнениями) 71,73,74, 75 . Ранее мы утверждали, что связующим звеном между изменением окружности талии и кардиометаболическим риском является висцеральное ожирение, которое является сильным маркером кардиометаболического риска 24 . В совокупности эти наблюдения подчеркивают критическую роль уменьшения окружности талии за счет изменения образа жизни в последующем снижении заболеваемости и смертности (рис. 3). Рис. 3: Окружность талии является модифицируемым фактором риска, который может указывать на кардиометаболический риск, заболеваемость и смертность. Иллюстрация важной роли уменьшения окружности талии в увязке улучшения образа жизни с последующим снижением риска заболеваемости и смертности. Преимущества, связанные с уменьшением окружности талии, могут наблюдаться с изменением ИМТ или без него. Полноразмерное изображение Таким образом, вопрос о том, влияет ли окружность талии на прогностическую эффективность моделей сердечно-сосудистого риска, еще предстоит выяснить. Тем не менее, в настоящее время четко установлено, что окружность талии является ключевым фактором изменения уровней кардиометаболических факторов риска и маркеров. Следовательно, уменьшение окружности талии является важным шагом в снижении кардиометаболического риска, поскольку оно предлагает прагматичную и простую цель для управления рисками для пациентов. Выводы и рекомендации — окружность талии и прогнозирование рисков Комбинация ИМТ и окружности талии лучше определяет фенотип ожирения с высоким риском, чем любой из показателей по отдельности. Мы рекомендуем измерять окружность талии в клинической практике, поскольку она является ключевым фактором риска; например, у многих пациентов изменены факторы риска сердечно-сосудистых заболеваний из-за абдоминального ожирения. Окружность талии является критическим фактором, который можно использовать для измерения снижения риска сердечно-сосудистых заболеваний после принятия здорового образа жизни. Высокочувствительный жизненно важный показатель Данные нескольких обзоров и метаанализов подтверждают, что, независимо от возраста и пола, снижение потребления энергии с помощью диеты или увеличение расхода энергии с помощью физических упражнений связано со значительным уменьшением окружности талии. 78,79,80,81,82,83,84,85,86,87 . Для исследований, в которых отрицательный энергетический баланс вызывается только диетой, данные РКИ показывают, что окружность талии уменьшается независимо от состава диеты и продолжительности лечения 88 . Неясно, существует ли зависимость «доза-реакция» между отрицательным энергетическим балансом, вызванным диетой, и окружностью талии. Хотя интуитивно можно предположить, что увеличение количества упражнений будет положительно связано с соответствующим уменьшением окружности талии, на сегодняшний день это мнение не подтверждается данными РКИ 71,74,89,90,91 . Например, Роберт Росс и его коллеги провели крупное РКИ, в котором участники ( n  = 300) были распределены либо в контрольную группу, либо в группу вмешательства с различными уровнями упражнений: низкий, определяемый как 180 ккал за тренировку для женщин и 300 ккал за тренировку для женщин. сеанс для мужчин; и высокий, определяемый как 360 ккал за сеанс для женщин и 600 ккал за сеанс для мужчин 74 . Удвоение расхода энергии, вызванное упражнениями, не привело к разнице в уменьшении окружности талии между группами упражнений. Тем не менее, все группы вмешательства значительно уменьшили окружность талии (~ 5  см) по сравнению с контрольной группой (9).1475 P  < 0,001) 74 . Эти результаты согласуются с выводами Кристофера Слентца и его коллег, которые не сообщили об отсутствии различий в окружности талии или снижении НДС между низким уровнем (14 ккал/кг массы тела в неделю, n  = 46) и высоким уровнем (23 ккал/кг массы тела в неделю). /кг массы тела в неделю, n  = 42) группы упражнений 90,91 . Кроме того, Тимоти Черч и его коллеги провели РКИ, в ходе которого участникам были назначены различные уровни физических упражнений (низкие, 4 ккал/кг массы тела в неделю, н  = 155; умеренная, 8 ккал/кг массы тела в неделю, n  = 104; или высокая, 12 ккал/кг массы тела в неделю, n  = 103), которая соответствовала интенсивности (50% пикового потребления кислорода (VO 2 пик)) 71 . Значительное уменьшение окружности талии наблюдалось во всех группах упражнений по сравнению с контрольной группой без упражнений, без различий между различными предписанными уровнями 71 . В нескольких РКИ изучалось влияние интенсивности упражнений на окружность талии 74,90,91,92 . Небольшое исследование, проведенное Брайаном Ирвингом и его коллегами, показало, что группа упражнений высокой интенсивности (выше лактатного порога 3 дня в неделю и ниже лактатного порога 2 дня в неделю) ( n  = 9) значительно уменьшила окружность талии по сравнению с группа низкой интенсивности (ниже лактатного порога 5 дней в неделю) ( n  = 11) 92 . Однако существенных различий в снижении НДС с помощью однослойной КТ между группами высокой и низкой интенсивности не наблюдалось. Большое РКИ, проведенное Сленцем и его коллегами, показало, что увеличение интенсивности упражнений от умеренной (40–55% VO 9 до1829 2 пик, n  = 40) до интенсивной (65–80% VO 2 пик, n  = 42) интенсивность не была связана с различиями в уменьшении окружности талии 90,91 . Однако исследователи не фиксировали уровень упражнений между группами интенсивности, что могло бы объяснить их наблюдения. Росс и его коллеги контролировали расход энергии между умеренной интенсивностью (50% VO 2 пик, n  = 76) и высокой интенсивностью (75% VO 2 пик, n  = 76) группы упражнений 74 . Их наблюдения согласуются с наблюдениями Сленца и его коллег, согласно которым различия в интенсивности упражнений не влияли на уменьшение окружности талии. Эти результаты согласуются с метаанализом, проведенным в 2017 году, в котором не наблюдалось различий в уменьшении окружности талии между высокоинтенсивными интервальными тренировками и упражнениями средней интенсивности 93 . Таким образом, имеющиеся данные свидетельствуют о том, что увеличение интенсивности упражнений не связано с дальнейшим уменьшением окружности талии. Масса НДС обычно не измеряется в клинических условиях, поэтому интересно, связано ли уменьшение окружности талии с соответствующим снижением НДС. Хотя данные систематических обзоров и метаанализов демонстрируют связь между уменьшением окружности талии и НДС 79,82,84,85,94 , общая дисперсия является скромной (~40%) 75,95,96 . Следует отметить, что, насколько нам известно, каждое исследование, в котором сообщалось об уменьшении окружности талии, также сообщало о соответствующем снижении НДС. Таким образом, хотя разумно предположить, что уменьшение окружности талии связано с уменьшением массы НДС, точная оценка индивидуального уменьшения НДС по окружности талии невозможна. Тем не менее, соответствующее снижение НДС с окружностью талии дозозависимым образом подчеркивает важность рутинного измерения окружности талии в клинической практике. Особый интерес для практиков представляет то, что в нескольких обзорах наблюдалось значительное снижение НДС в ответ на физические упражнения без потери веса 9.0779 80,85 . Выводы и рекомендации — изменения окружности талии в ответ на лечение Упражнения и/или диета в соответствии с рекомендациями руководства связаны со значительным уменьшением окружности талии, независимо от возраста, пола или этнической принадлежности. Имеющиеся данные РКИ свидетельствуют о том, что упражнения связаны со значительным уменьшением окружности талии, независимо от количества или интенсивности упражнений. Уменьшение окружности талии, вызванное физическими упражнениями или диетой, наблюдается с потерей веса или без нее. Мы рекомендуем практикующим врачам регулярно измерять окружность талии, так как это дает им простой антропометрический показатель для определения эффективности стратегий, основанных на образе жизни, направленных на снижение абдоминального ожирения. Измерение окружности талии Появление окружности талии в качестве надежного независимого маркера заболеваемости и смертности поразительно, учитывая отсутствие единого мнения относительно оптимального протокола измерения окружности талии. Более того, протоколы окружности талии, рекомендованные ведущими органами здравоохранения, не имеют научного обоснования. В 2008 году группа экспертов провела систематический обзор 120 исследований, чтобы определить, влияет ли протокол измерения на взаимосвязь между окружностью талии, заболеваемостью и смертностью, и обнаружила аналогичные закономерности связи между результатами и всеми протоколами измерения окружности талии в зависимости от размера выборки, пола, возраст и национальность 97 . После тщательного изучения различных протоколов, описанных в литературе, комиссия рекомендовала использовать протокол измерения окружности талии, описанный в рекомендациях ВОЗ 98 (средняя точка между нижней границей грудной клетки и гребнем подвздошной кости) и в рекомендациях NIH 99. (верхняя граница гребня подвздошной кости), вероятно, являются более надежными и выполнимыми измерениями как для практикующего врача, так и для широкой публики. Этот вывод был сделан, поскольку оба протокола измерения окружности талии используют костные ориентиры для определения правильного места измерения окружности талии. Группа экспертов признала, что могут существовать различия в измерениях абсолютной окружности талии из-за различий в протоколах между методами ВОЗ и NIH. Однако в нескольких исследованиях сравнивались меры в местах, рекомендованных ВОЗ и NIH. Jack Wang и его коллеги не сообщили об отсутствии различий между протоколами гребня подвздошной кости и средней точки у мужчин и об абсолютной разнице в 1,8 см у женщин 100 . Эти наблюдения были подтверждены Кейтлин Мейсон и Питером Кацмарзиком, которые сообщили об отсутствии различий между протоколами гребня подвздошной кости (NIH) и средней точки (ВОЗ) для мужчин и абсолютной разнице в ~ 2 см для женщин 101 . Что еще более важно, Мейсон и Кацмарзик сообщили, что оценки распространенности абдоминального ожирения (здесь определяется как окружность талии> 88 см для женщин и> 102 см для мужчин), выявленные с использованием протоколов гребня подвздошной кости и средней точки, составили около 32% для обоих протоколов у мужчин и 47% и 41% для протоколов гребня подвздошной кости и средней точки, соответственно, у женщин 101 . Следовательно, хотя принятие стандартного подхода к измерению окружности талии повысило бы полезность измерений окружности талии для стратификации риска, связанного с ожирением, оценки распространенности абдоминального ожирения в преимущественно белом населении с использованием протоколов гребня подвздошной кости или средней точки, по-видимому, не имеют существенного значения. другой. Следует отметить, что наблюдение о том, что протоколы NIH и ВОЗ существенно не отличаются, не согласуется с выводами, сделанными Yumi Matsushita и его коллегами, которые отобрали 940 взрослых японцев и сообщили, что средняя разница между протоколами гребня подвздошной кости и средней точки для мужчин составила ~2 см, тогда как у женщин разница составляла ~9 см (refs 102,103 ). Тем не менее, измерения окружности талии, оцененные в двух местах, имели одинаковую способность скрининга метаболического синдрома, как это определено Национальной образовательной программой по холестерину, в когорте из 1140 взрослых японцев 102 . В нескольких исследованиях оценивалась взаимосвязь между окружностью талии, измеренной самостоятельно и техническим специалистом 104,105,106,107,108 . Инструкции по самостоятельному измерению окружности талии часто предоставляются в точечной форме посредством простых опросов 108 . Наблюдается хорошее совпадение между окружностью талии, измеренной самостоятельно, и окружностью талии, измеренной техническим специалистом, с сильными коэффициентами корреляции в диапазоне от 0,8 до 0,9 как для мужчин, так и для женщин. Тем не менее, как мужчины, так и женщины, как правило, недооценивают окружность своей талии по сравнению со значениями, измеренными техническим специалистом, с разницей в пределах от 1 до 3 см. Кроме того, высокий ИМТ и большая исходная окружность талии связаны с большей степенью занижения данных 9.0779 105 107 . В целом эти наблюдения обнадеживают и предполагают, что самостоятельные измерения окружности талии могут быть получены простым способом и хорошо согласуются со значениями, измеренными техническим специалистом. Видеоинструкции с подробными иллюстрациями пошаговых процедур как технического, так и самостоятельного измерения окружности талии можно найти в свободном доступе на сайте myhealthywaist (http://www.myhealthywaist.org/evaluating-cmr/ клинические инструменты/обхват-талии-измерение-руководства/index.html). Выводы и рекомендации — измерение окружности талии В настоящее время не существует единого мнения об оптимальном протоколе измерения окружности талии, и для любого из протоколов измерения окружности талии, рекомендованных ведущими органами здравоохранения, представлено мало научного обоснования. Протокол измерения окружности талии не оказывает существенного влияния на взаимосвязь между окружностью талии, смертностью от всех причин и смертностью от ССЗ, ССЗ и СД2. Абсолютные различия в окружности талии, полученные по двум наиболее часто используемым протоколам, по гребню подвздошной кости (NIH) и по средней точке между последним ребром и гребнем подвздошной кости (WHO), как правило, невелики для взрослых мужчин, но гораздо больше для женщин. Классификация абдоминального ожирения может различаться в зависимости от протокола измерения окружности талии. Мы рекомендуем измерять окружность талии на уровне гребня подвздошной кости или посередине между последним ребром и гребнем подвздошной кости. Протокол, выбранный для измерения окружности талии, следует использовать последовательно. Самостоятельные измерения окружности талии можно получить простым способом, и они хорошо согласуются со значениями, измеренными техническим специалистом. Пороговые значения для оценки риска Текущие рекомендации по выявлению ожирения указывают на то, что неблагоприятный риск для здоровья увеличивается при переходе от категорий нормального веса к категориям ИМТ с ожирением. Более того, в каждой категории ИМТ люди с высокими значениями окружности талии подвергаются повышенному риску неблагоприятных последствий для здоровья по сравнению с людьми с нормальными значениями окружности талии 109 . Например, единый порог окружности талии для белых взрослых (мужчины >102 см; женщины >88 см) в настоящее время используется для обозначения высокой окружности талии, независимо от категории ИМТ. Следует отметить, что эти специфические для пола пороги были первоначально разработаны с использованием данных поперечного сечения взрослых белых, среди которых окружность талии 102 см у мужчин и 88 см у женщин соответствовала ИМТ 30,0 кг/м 9 .0779 2 , что является порогом ИМТ для ожирения 109 . Таким образом, эти пороговые значения окружности талии были разработаны для использования вместо ИМТ в качестве альтернативного способа выявления ожирения и, следовательно, не были разработаны на основе взаимосвязи между окружностью талии и неблагоприятным риском для здоровья. Чтобы устранить это ограничение, Кристофер Ардерн и его коллеги разработали и перекрестно подтвердили пороговые значения окружности талии в рамках категорий ИМТ в отношении предполагаемого риска сердечно-сосудистых заболеваний в будущем (с использованием FRS) 110 . Полезность полученных значений сравнивалась с пороговыми значениями окружности талии (для женщин > 88 см; для мужчин > 102 см), рекомендованными ведущими органами здравоохранения. Результаты их исследования показали, что текущие рекомендации, использующие единый порог окружности талии для всех категорий ИМТ, недостаточны для выявления лиц с повышенным риском для здоровья. У обоих полов использование пороговых значений окружности талии для конкретных категорий ИМТ улучшило выявление лиц с высоким риском будущих коронарных событий, что побудило авторов предложить значения окружности талии для конкретных категорий ИМТ (таблица 1). В 2009, Harpreet Bajaj и его коллеги сравнили прогностическую эффективность значений окружности талии Ардерна (таблица 1) с традиционными значениями окружности талии (мужчины> 102 см; женщины> 88 см) для смертности от всех причин в большой когорте из 5453 преимущественно белых взрослых. с высоким кардиометаболическим риском 111 . Как для мужчин, так и для женщин значения окружности талии по Ардерну значительно улучшили прогноз смертности по сравнению с традиционными значениями. Эти наблюдения являются многообещающими и подтверждают, по крайней мере, для белых взрослых, клиническую полезность пороговых значений окружности талии для конкретных категорий ИМТ, приведенных в таблице 1. Таблица 1 Пороговые значения окружности талии Полноразмерная таблица Следует отметить, что пороговые значения окружности талии для афроамериканцев и белых мужчин и женщин были разработаны для афроамериканцев и белых мужчин и женщин 112 . Как и в предыдущем исследовании, пороговые значения оптимальной окружности талии увеличились по категориям ИМТ в обеих этнических группах и были выше у мужчин, чем у женщин. Однако не было выявлено различий в окружности талии между этническими группами каждого пола .112 . Pischon и его коллеги исследовали связь между ИМТ, окружностью талии и риском смерти среди 359 387 взрослых из девяти стран в когорте Европейского проспективного исследования рака и питания 10 . В этом исследовании авторы подтвердили, что при заданном ИМТ у мужчин и женщин риск смерти увеличивался на 17% у мужчин и на 13% у женщин на каждые 5 см увеличения окружности талии. Хотя значения окружности талии, которые оптимизировали прогнозирование риска смерти для любого заданного значения ИМТ, не сообщались, полученные данные подтверждают мнение о том, что пороговые значения окружности талии увеличиваются по категориям ИМТ и что комбинация окружности талии и ИМТ обеспечивает более точное прогнозирование риска для здоровья. чем любое антропометрическое измерение в отдельности. Были разработаны значения окружности талии для этнической принадлежности, оптимизированные для выявления взрослых с повышенным риском сердечно-сосудистых заболеваний (таблица 2). За некоторыми исключениями, значения, представленные в таблице 2, были получены с использованием данных поперечного сечения и не учитывались в связи с ИМТ. Диапазон значений окружности талии высокого риска как для взрослых мужчин (80–98 см), так и для женщин (80–96 см) значительно варьируется в зависимости от этнической принадлежности, что подтверждает необходимость определения значений окружности талии для этнической принадлежности. Проспективные исследования с использованием репрезентативных групп населения необходимы для точного установления пороговых значений окружности талии для конкретных этнических групп и категорий ИМТ, которые отличают взрослых с повышенным риском для здоровья. Таблица 2 Пороговые значения для этнической принадлежности Полноразмерная таблица Как отмечалось выше, значения окружности талии для этнической принадлежности в Таблице 2 были оптимизированы для выявления взрослых с повышенным риском сердечно-сосудистых заболеваний. Значения окружности талии в Японии, однако, были оптимизированы для идентификации мужчин и женщин со значениями НДС >100  см 3 на уровне пупка 112 , измеренными с помощью КТ. Основанием для использования НДС в качестве результата было то, что было обнаружено, что кардиометаболический риск существенно возрастает при этом уровне НДС для взрослых японских мужчин и женщин 9.0779 56 . Соответственно, японские пороговые значения окружности талии были установлены на уровне 85 см у мужчин и 90 см у женщин, что соответствовало порогу НДС в 100 см 3 (ref. 112 ). Выводы и рекомендации — значения окружности талии для оценки риска для здоровья Исходя из имеющихся данных, мы подвергаем сомнению обоснование текущих рекомендаций, рекомендующих использовать единый порог окружности талии для белых взрослых (мужчины> 102 см; женщины> 88 см) для обозначения высокой окружности талии, независимо от категории ИМТ. Мы рекомендуем провести проспективные исследования с использованием репрезентативных групп населения, чтобы удовлетворить потребность в пороговых значениях окружности талии для конкретных категорий ИМТ для разных этнических групп (например, те, которые предложены в таблице 1 для белых взрослых). Однако эта рекомендация не умаляет важности измерения окружности талии для отслеживания изменений с течением времени и, следовательно, полезности стратегий, направленных на снижение абдоминального ожирения и связанного с ним риска для здоровья. Выводы Основная рекомендация настоящего Консенсуса заключается в том, что в клинической практике следует регулярно измерять окружность талии, поскольку это может предоставить дополнительную информацию для руководства ведением пациентов. Действительно, десятилетия исследований предоставили недвусмысленные доказательства того, что окружность талии предоставляет как независимую, так и дополнительную информацию к ИМТ для прогнозирования заболеваемости и смертности. На основании этих наблюдений отказ от измерения окружности талии в рутинной клинической практике не обеспечивает оптимального подхода к стратификации пациентов в соответствии с риском. Измерение окружности талии в клинических условиях важно и возможно. Самостоятельное измерение окружности талии легко получить и хорошо согласуется с окружностью талии, измеренной техническим специалистом. Многочисленные эпидемиологические исследования и РКИ в настоящее время продемонстрировали, что уменьшение окружности талии может быть достигнуто с помощью рутинных упражнений средней интенсивности и/или изменения диеты. Пробелы в наших знаниях все еще остаются, и уточнение пороговых значений окружности талии для данной категории ИМТ для разных возрастов, пола и этнической принадлежности потребует дальнейшего изучения. Чтобы удовлетворить эту потребность, мы рекомендуем проводить проспективные исследования в соответствующих популяциях. Несмотря на эти пробелы в наших знаниях, представленные здесь убедительные данные свидетельствуют о том, что измерение окружности талии улучшает ведение пациентов и что его исключение из рутинной клинической практики для большинства пациентов более недопустимо. Соответственно, включение измерения окружности талии в рутинную практику дает практикующим врачам важную возможность улучшить уход за пациентами и их здоровье. Медицинские работники должны быть обучены правильному выполнению этого простого измерения и должны рассматривать его как важный жизненно важный показатель для оценки и идентификации, как важную цель лечения в клинической практике. Ссылки Ng, M. et al. Глобальная, региональная и национальная распространенность избыточного веса и ожирения среди детей и взрослых в 1980–2013 гг.: систематический анализ для исследования глобального бремени болезней, 2013 г. Lancet 384 , 766–781 (2014). ПабМед ПабМед Центральный Google ученый Афшин А., Форузанфар М. Х., Рейтсма М. Б. и Сур П. Влияние избыточного веса и ожирения на здоровье в 195 стран за 25 лет. Н. англ. Дж. Мед. 377 , 13–27 (2017). ПабМед Google ученый Phillips, C.M. Метаболически здоровое ожирение на протяжении всей жизни: эпидемиология, детерминанты и последствия. Энн. Н. Я. акад. науч. 1391 , 85–100 (2017). ПабМед Google ученый Белл, Дж. А. и др. Естественное течение здорового ожирения старше 20 лет. г. Дж. Ам. Сб. Кардиол. 65 , 101–102 (2015). ПабМед Google ученый Экель, Н., Мейдтнер, К., Калле-Ульманн, Т., Стефан, Н. и Шульце, М. Б. Метаболически здоровое ожирение и сердечно-сосудистые события: систематический обзор и метаанализ. евро. Дж. Прев. Кардиол. 23 , 956–966 (2016). ПабМед Google ученый «> Brauer, P. et al. Рекомендации по предотвращению увеличения веса и использованию поведенческих и фармакологических вмешательств для лечения избыточного веса и ожирения у взрослых в учреждениях первичной медико-санитарной помощи. CMAJ 187 , 184–195 (2015). ПабМед ПабМед Центральный Google ученый Garvey, W. T. et al. Американская ассоциация клинических эндокринологов и Американский колледж эндокринологов, комплексные клинические рекомендации по оказанию медицинской помощи пациентам с ожирением. Эндокр. Практика. 22 (Приложение 3), 1–203 (2016). ПабМед Google ученый Jensen, M.D. et al. Руководство AHA/ACC/TOS 2013 г. по лечению избыточного веса и ожирения у взрослых: отчет рабочей группы Американского колледжа кардиологов/Американской кардиологической ассоциации по практическим рекомендациям и Обществу по борьбе с ожирением. Тираж 129 , S102–S138 (2014). ПабМед Google ученый Цигос, К. и др. Ведение ожирения у взрослых: Европейские рекомендации по клинической практике. Обес. Факты 1 , 106–116 (2008). ПабМед ПабМед Центральный Google ученый Pischon, T., Boeing, H., Hoffmann, K. & Bergmann, M. Общее и абдоминальное ожирение и риск смерти в Европе. Н. англ. Дж. Мед. 359 , 2105–2120 (2008 г.). КАС пабмед Google ученый Черхан, Дж. Р. и др. Объединенный анализ окружности талии и смертности у 650 000 взрослых. Майо Клин. проц. 89 , 335–345 (2014). ПабМед ПабМед Центральный Google ученый «> Zhang, C., Rexrode, K.M., van Dam, R.M., Li, T.Y. & Hu, F.B. Абдоминальное ожирение и риск смертности от всех причин, сердечно-сосудистых заболеваний и рака: шестнадцать лет наблюдения за женщинами в США . Тираж 117 , 1658–1667 (2008 г.). ПабМед Google ученый Song, X. et al. Сравнение различных показателей суррогатного ожирения как предикторов смертности от сердечно-сосудистых заболеваний в четырех европейских популяциях. евро. Дж. Клин. Нутр. 67 , 1298–1302 (2013). КАС пабмед Google ученый Seidell, JC. Окружность талии и соотношение талии и бедер в связи со смертностью от всех причин, раком и апноэ во сне. евро. Дж. Клин. Нутр. 64 , 35–41 (2010). КАС пабмед Google ученый «> Snijder, M.B. et al. Ассоциации окружности бедер и бедер независимо от окружности талии с заболеваемостью диабетом 2 типа: исследование Хорна. утра. Дж. Клин. Нутр. 77 , 1192–1197 (2003). КАС пабмед Google ученый Jacobs, E. J. et al. Окружность талии и смертность от всех причин в большой когорте в США. Арх. Стажер Мед. 170 , 1293–1301 (2010). ПабМед Google ученый Vague, J. Степень мужской дифференциации ожирения: фактор, определяющий предрасположенность к диабету, атеросклерозу, подагре и мочекаменной болезни. утра. Дж. Клин. Нутр. 4 , 20–34 (1956). КАС пабмед Google ученый Kissebah, A.H. et al. Связь распределения жира в организме с метаболическими осложнениями ожирения. Дж. Клин. Эндокринол. Метаб. 54 , 254–260 (1982). КАС пабмед Google ученый Кроткевски М., Бьорнторп П., Сьостром Л. и Смит У. Влияние ожирения на обмен веществ у мужчин и женщин: важность регионального распределения жировой ткани. Дж. Клин. Инвестировать. 72 , 1150–1162 (1983). КАС пабмед ПабМед Центральный Google ученый Hartz, A.J., Rupley, D.C. Jr., Kalkhoff, R.D. & Rimm, A.A. Связь ожирения с диабетом: влияние уровня ожирения и распределения жира в организме. Пред. Мед. 12 , 351–357 (1983). КАС пабмед Google ученый Ларссон Б. и др. Распределение абдоминальной жировой ткани, ожирение и риск сердечно-сосудистых заболеваний и смерти: 13-летнее наблюдение за участниками исследования мужчин 1913 года рождения. Br. Мед. J. (Clin. Res. Ed.) 288 , 1401–1404 (1984). Google ученый Ohlson, L. O. et al. Влияние распределения жира в организме на заболеваемость сахарным диабетом: 13,5-летнее наблюдение за участниками исследования мужчин 19 лет рождения13. Диабет 34 , 1055–1058 (1985). КАС пабмед Google ученый Снайдер, М. Б., ван Дам, Р. М., Виссер, М. и Зайделл, Дж. К. Какие аспекты жировых отложений особенно опасны и как мы их измеряем? Междунар. Дж. Эпидемиол. 35 , 83–92 (2006). КАС пабмед Google ученый Neeland, I. J. et al. Висцеральный и эктопический жир, атеросклероз и кардиометаболические заболевания: заявление с изложением позиции. Ланцет Диабет Эндокринол. 7 , 715–725 (2019). ПабМед Google ученый Lean, M.E., Han, T.S. & Morrison, C.E. Окружность талии как показатель, указывающий на необходимость контроля веса. BMJ 311 , 158–161 (1995). КАС пабмед ПабМед Центральный Google ученый Hsieh, S.D. & Yoshinaga, H. Отношение талии к росту как простой и полезный предиктор факторов риска ишемической болезни сердца у женщин. Интерн. Мед. 34 , 1147–1152 (1995). КАС пабмед Google ученый Ashwell, M., Lejeune, S. & McPherson, K. Отношение окружности талии к росту может быть лучшим индикатором необходимости контроля веса. BMJ 312 , 377 (1996). КАС пабмед ПабМед Центральный Google ученый «> Browning, L.M., Hsieh, S.D. & Ashwell, M. Систематический обзор отношения талии к росту как скринингового инструмента для прогнозирования сердечно-сосудистых заболеваний и диабета: 0,5 может быть подходящим глобальным граничным значением. Нутр. Рез. 23 , 247–269 (2010). ПабМед Google ученый Эшвелл, М., Ганн, П. и Гибсон, С. Соотношение талии и роста является лучшим скрининговым инструментом, чем окружность талии и ИМТ для взрослых кардиометаболических факторов риска: систематический обзор и метаанализ. Обес. 13 , 275–286 (2012). КАС пабмед Google ученый Пааянен, Т. А., Оксала, Н. К., Куукасярви, П. и Кархунен, П. Дж. Низкий рост связан с ишемической болезнью сердца: систематический обзор литературы и метаанализ. евро. Heart J. 31 , 1802–1809 (2010). ПабМед Google ученый Хан, Т. С. и др. Влияние роста и возраста на окружность талии как показатель ожирения у взрослых. Междунар. Дж. Обес. Относ. Метаб. Беспорядок. 21 , 83–89 (1997). КАС пабмед Google ученый Вальдес Р., Зайделл Дж. К., Ан Ю. И. и Вайс К. М. Новый индекс абдоминального ожирения как показатель риска сердечно-сосудистых заболеваний. Межпопуляционное исследование. Междунар. Дж. Обес. Относ. Метаб. Беспорядок. 17 , 77–82 (1993). КАС пабмед Google ученый Amankwah, N. et al. Индекс абдоминального ожирения в качестве альтернативного измерения центрального ожирения при физикальном обследовании. Открыто. Нутр. J. 12 , 21–29 (2018). Google ученый «> Walls, H.L. et al. Тенденции ИМТ взрослых городских жителей Австралии, 1980–2000 гг. Общественный. Нутр Здоровья. 13 , 631–638 (2010). ПабМед Google ученый Янссен И., Шилдс М., Крейг С.Л. и Тремблей М.С. Изменения фенотипа ожирения у канадских детей и взрослых, 1981–2007–2009 гг. Ожирение 20 , 916–919 (2012). ПабМед Google ученый Альбрехт, С. С., Гордон-Ларсен, П., Стерн, Д. и Попкин, Б. М. Растет ли окружность талии на индекс массы тела по-разному в Соединенных Штатах, Англии, Китае и Мексике? евро. Дж. Клин. Нутр. 69 , 1306–1312 (2015). КАС пабмед ПабМед Центральный Google ученый Висшер, Т. Л., Хайтманн, Б. Л., Риссанен, А., Лахти-Коски, М. и Лисснер, Л. Прорыв в эпидемии ожирения? Объясняется предвзятостью или неправильной интерпретацией данных? Междунар. Дж. Обес. 39 , 189–198 (2015). КАС Google ученый Rexrode, K.M. et al. Абдоминальное ожирение и ишемическая болезнь сердца у женщин. JAMA 280 , 1843–1848 (1998). КАС пабмед Google ученый Despres, J. P. Избыток висцеральной жировой ткани/эктопический жир недостающее звено в парадоксе ожирения? Дж. Ам. Сб. Кардиол. 57 , 1887–1889 (2011). ПабМед Google ученый Zhang, X. et al. Абдоминальное ожирение и смертность китайских женщин. Арх. Стажер Мед. 167 , 886–892 (2007). ПабМед Google ученый «> de Hollander, E.L. et al. Связь между окружностью талии и риском смертности с учетом индекса массы тела у людей в возрасте от 65 до 74 лет: метаанализ 29 когорт с участием более 58 000 пожилых людей. Междунар. Дж. Эпидемиол. 41 , 805–817 (2012). ПабМед ПабМед Центральный Google ученый Всемирная организация здравоохранения. Ожирение: предотвращение глобальной эпидемии и борьба с ней: отчет о консультации ВОЗ (Серия технических отчетов Всемирной организации здравоохранения, 894) (ВОЗ, 2000 г.). Bigaard, J. et al. Окружность талии, ИМТ, курение и смертность среди мужчин и женщин среднего возраста. Обес. Рез. 11 , 895–903 (2003). ПабМед Google ученый Коутиньо, Т. и др. Центральное ожирение и выживаемость у пациентов с ишемической болезнью сердца: систематический обзор литературы и совместный анализ данных отдельных субъектов. Дж. Ам. Сб. Кардиол. 57 , 1877–1886 (2011). ПабМед Google ученый Слуик, Д. и др. Взаимосвязь между общим и абдоминальным ожирением и смертностью у лиц с сахарным диабетом. утра. Дж. Эпидемиол. 174 , 22–34 (2011). ПабМед Google ученый Despres, J.P. & Lemieux, I. Абдоминальное ожирение и метаболический синдром. Природа 444 , 881–887 (2006). КАС пабмед Google ученый Snijder, M.B. et al. Низкий уровень подкожного жира на бедрах является фактором риска неблагоприятного уровня глюкозы и липидов, независимо от большого количества абдоминального жира. Азбука здоровья. Диабетология 48 , 301–308 (2005). КАС пабмед Google ученый «> Иствуд, С. В. и др. Жир на бедрах и мышцы вносят свой вклад в избыточный кардиометаболический риск у выходцев из Южной Азии, независимо от висцеральной жировой ткани. Ожирение 22 , 2071–2079 (2014). ПабМед Google ученый Льюис, Г. Ф., Карпентье, А., Адели, К. и Джакка, А. Нарушение накопления и мобилизации жира в патогенезе резистентности к инсулину и диабета 2 типа. Эндокр. 23 , 201–229 (2002). КАС пабмед Google ученый Despres, J.P. et al. Инсулинорезистентный дислипидемический синдром: вклад висцерального ожирения и терапевтические последствия. Междунар. Дж. Обес. Относ. Метаб. Беспорядок. 19 (Прил. 1), S76–S86 (1995). ПабМед Google ученый Nguyen-Duy, T.B., Nichaman, M. Z., Church, T.S., Blair, S.N. & Ross, R. Висцеральный жир и печеночный жир являются независимыми предикторами метаболических факторов риска у мужчин. утра. Дж. Физиол. Эндокринол. Метаб. 284 , E1065–E1071 (2003 г.). КАС пабмед Google ученый Кук, Дж. Л. и др. Висцеральный жир является независимым предиктором смертности от всех причин у мужчин. Ожирение 14 , 336–341 (2006). ПабМед Google ученый Кук, Дж. Л., Янишевски, П. М. и Росс, Р. Индекс массы тела и окружность бедер и бедер отрицательно связаны с висцеральной жировой тканью после контроля окружности талии. утра. Дж. Клин. Нутр. 85 , 1540–1544 (2007). КАС пабмед Google ученый Янссен И., Кацмарзик П. Т. и Росс Р. Индекс массы тела обратно пропорционален смертности пожилых людей после поправки на окружность талии. Дж. Ам. Гериатр. соц. 53 , 2112–2118 (2005). ПабМед Google ученый Альберти К.Г., Зиммет П. и Шоу Дж. Метаболический синдром: новое всемирное определение. Ланцет 366 , 1059–1062 (2005). ПабМед Google ученый Зиммет П., Мальяно Д., Мацузава Ю., Альберти Г. и Шоу Дж. Метаболический синдром: глобальная проблема общественного здравоохранения и новое определение. Дж. Атеросклера. тромб. 12 , 295–300 (2005). КАС пабмед Google ученый Hlatky, M.A. et al. Критерии оценки новых маркеров сердечно-сосудистого риска: научное заявление Американской кардиологической ассоциации. Тираж 119 , 2408–2416 (2009). ПабМед ПабМед Центральный Google ученый Гренландия, П. и др. Руководство ACCF/AHA 2010 г. по оценке сердечно-сосудистого риска у бессимптомных взрослых: краткое изложение: отчет целевой группы Фонда Американского колледжа кардиологов/Американской кардиологической ассоциации по практическим рекомендациям. Тираж 122 , 2748–2764 (2010). ПабМед Google ученый Пенчина, М.Дж., Д.Агостино, Р.Б., Пенчина, К.М., Янссенс, А.С. и Гренландия, П. Интерпретация возрастающей ценности маркеров, добавленных в модели прогнозирования риска. утра. Дж. Эпидемиол. 176 , 473–481 (2012). ПабМед ПабМед Центральный Google ученый Кармиенке, С. и др. Параметры общего и абдоминального ожирения и их сочетание по отношению к смертности: систематический обзор и мета-регрессионный анализ. евро. Дж. Клин. Нутр. 67 , 573–585 (2013). КАС пабмед Google ученый Hong, Y. et al. Метаболический синдром, его основные кластеры, ишемическая болезнь сердца и смертность от всех причин: результаты проспективного анализа риска атеросклероза в популяционном исследовании. Дж. Междунар. Мед. 262 , 113–122 (2007). КАС пабмед Google ученый Wilson, P.W. et al. Прогнозирование ишемической болезни сердца с использованием категорий факторов риска. Тираж 97 , 1837–1847 (1998). КАС пабмед Google ученый Goff, D.C. Jr., Lloyd-Jones, DM, Bennett, G. & Coady, S. Руководство ACC/AHA 2013 г. по оценке сердечно-сосудистого риска: отчет Американского колледжа кардиологов/Американской кардиологической ассоциации силу на практических рекомендациях. Тираж 129 , S49–S73 (2014). ПабМед Google ученый Khera, R. et al. Точность объединенного когортного уравнения для оценки событий риска атеросклеротических сердечно-сосудистых заболеваний по классам ожирения: объединенная оценка пяти продольных когортных исследований. Дж. Ам. Сб. Кардиол . https://doi.org/10.1016/S0735-1097(18)32279-4 (2018 г.). Артикул пабмед ПабМед Центральный Google ученый Empana, J.P. et al. Прогнозирование риска ИБС во Франции: объединенный анализ исследований D.E.S.I.R., трех городов, PRIME и SU.VI.MAX. евро. Дж. Кардиовасц. Пред. Реабилит. 18 , 175–185 (2011). КАС пабмед Google ученый Кук, Н. Р. Методы оценки новых биомаркеров: новая парадигма. Междунар. Дж. Клин. Практика. 64 , 1723–1727 (2010). КАС пабмед ПабМед Центральный Google ученый Кук, Н. Р. Использование и неправильное использование кривой рабочих характеристик приемника при прогнозировании рисков. Тираж 115 , 928–935 (2007). ПабМед Google ученый Пенчина, М. Дж., Д. Агостино, Р. Б., старший Д. Агостино, Р. Б. младший, и Васан, Р. С. Оценка дополнительной прогностической способности нового маркера: от площади под кривой ROC до реклассификации и далее. г. Стат. Мед. 27 , 157–172 (2008). ПабМед Google ученый Pencina, M.J. et al. Количественная оценка основных факторов риска ишемической болезни сердца. Тираж 139 , 1603–1611 (2018). Центральный пабмед Google ученый Lincoff, A.M. et al. Эвацетрапиб и сердечно-сосудистые исходы при сосудистых заболеваниях высокого риска. г. Н. англ. Дж. Мед. 376 , 1933–1942 (2017). ПабМед Google ученый Черч, Т. С., Эрнест, С. П., Скиннер, Дж. С. и Блэр, С. Н. Влияние различных доз физической активности на кардиореспираторную выносливость у малоподвижных женщин, женщин с избыточным весом или ожирением в постменопаузе с повышенным кровяным давлением: рандомизированное контролируемое исследование. JAMA 297 , 2081–2091 (2007 г.). КАС пабмед Google ученый О’Донован Г. и др. Изменения кардиореспираторной выносливости и факторов риска ишемической болезни сердца после 24 недель упражнений средней или высокой интенсивности с равными энергозатратами. J. Appl. Физиол. 98 , 1619–1625 (2005). ПабМед Google ученый Росс, Р. и др. Снижение ожирения и связанных с ним сопутствующих заболеваний после снижения веса, вызванного диетой или физическими упражнениями, у мужчин: рандомизированное контролируемое исследование. г. н.э. Стажер Мед. 133 , 92–103 (2000). КАС пабмед Google ученый Росс Р., Хадсон Р., Стотц П. Дж. и Лам М. Влияние количества и интенсивности упражнений на абдоминальное ожирение и толерантность к глюкозе у взрослых с ожирением: рандомизированное исследование. Энн. Стажер Мед. 162 , 325–334 (2015). ПабМед Google ученый Росс, Р. и др. Вызванное физическими упражнениями снижение ожирения и резистентности к инсулину у женщин: рандомизированное контролируемое исследование. Обес. Рез. 12 , 789–798 (2004). ПабМед Google ученый Шорт, К. Р. и др. Влияние аэробных упражнений на возрастные изменения чувствительности к инсулину и окислительной способности мышц. Диабет 52 , 1888–1896 (2003). КАС пабмед Google ученый Weiss, E. P. et al. Улучшение толерантности к глюкозе и действие инсулина, вызванное увеличением расхода энергии или снижением потребления энергии: рандомизированное контролируемое исследование. утра. Дж. Клин. Нутр. 84 , 1033–1042 (2006). КАС пабмед ПабМед Центральный Google ученый Частон, Т. Б. и Диксон, Дж. Б. Факторы, связанные с процентным изменением висцерального жира по сравнению с подкожным абдоминальным жиром во время похудения: результаты систематического обзора. Междунар. Дж. Обес. 32 , 619–628 (2008). КАС Google ученый Хаммонд, Б. П., Бреннан, А. М. и Росс, Р. в Состав тела: здоровье и работоспособность в упражнениях и спорте (под редакцией Лукаски, Х.К.) 109–128 (CRC Press, Taylor and Francis Group, 2017) . Кей С.Дж. и Фиатарон Сингх М.А. Влияние физической активности на абдоминальный жир: систематический обзор литературы. Обес. 7 , 183–200 (2006). КАС пабмед Google ученый Merlotti, C., Ceriani, V., Morabito, A. & Pontiroli, A.E. Потеря подкожного жира больше, чем потеря висцерального жира с помощью диеты и упражнений, препаратов, способствующих снижению веса, и бариатрической хирургии: критический обзор и метаданные -анализ. Междунар. Дж. Обес. 41 , 672–682 (2017). КАС Google ученый Окавара К., Танака С., Миячи М., Исикава-Таката К. и Табата И. Зависимость доза-реакция между аэробными упражнениями и уменьшением висцерального жира: систематический обзор клинических испытаний. Междунар. Дж. Обес. 31 , 1786–1797 (2007). КАС Google ученый O’Neill, T., Shalev-Goldman, E. & Ross, R. в Лечебная физкультура у взрослых с ожирением (изд. Hansen, D.) 43-72 (Nova Science Publishers, 2013) . Сабаг А. и др. Упражнения и эктопический жир при диабете 2 типа: систематический обзор и метаанализ. Диабет Метаб. 43 , 195–210 (2017). КАС пабмед Google ученый Verheggen, R. J. et al. Систематический обзор и метаанализ эффектов физических упражнений по сравнению с гипокалорийной диетой: различные эффекты на массу тела и висцеральную жировую ткань. Обес. Откр. 17 , 664–690 (2016). КАС пабмед Google ученый Сантос, Ф.Л., Эстевес, С.С., да Кошта Перейра, А., Янси, У.С. младший и Нуньес, Дж.П. Систематический обзор и метаанализ клинических испытаний влияния низкоуглеводной диеты на сердечно-сосудистые факторы риска. Обес. 13 , 1048–1066 (2012). КАС пабмед Google ученый Гепнер Ю. и др. Влияние различных вмешательств на образ жизни на мобилизацию запасов жира: рандомизированное контролируемое исследование ЦЕНТРАЛЬНОЙ магнитно-резонансной томографии. Тираж 137 , 1143–1157 (2018). ПабМед Google ученый Sacks, F. M. et al. Сравнение диет для похудения с различным составом жиров, белков и углеводов. Н. англ. Дж. Мед. 360 , 859–873 (2009). КАС пабмед ПабМед Центральный Google ученый Keating, S.E. et al. Влияние тренировочной дозы аэробных упражнений на жир в печени и висцеральное ожирение. Дж. Гепатол. 63 , 174–182 (2015). ПабМед Google ученый Slentz, C.A. et al. Влияние количества упражнений на массу тела, состав тела и показатели центрального ожирения. STRRIDE: рандомизированное контролируемое исследование. г. арх. Стажер Мед. 164 , 31–39 (2004). ПабМед Google ученый Slentz, C.A. et al. Отсутствие активности, физические упражнения и висцеральный жир. STRRIDE: рандомизированное контролируемое исследование интенсивности и количества упражнений. J. Appl. Физиол. 99 , 1613–1618 (2005). ПабМед Google ученый Ирвинг, Б.А. и др. Влияние интенсивности тренировок на абдоминальный висцеральный жир и состав тела. Мед. науч. Спортивное упражнение. 40 , 1863–1872 (2008 г.). ПабМед ПабМед Центральный Google ученый Wewege, M., van den Berg, R., Ward, R.E. & Keech, A. Влияние высокоинтенсивных интервальных тренировок по сравнению с непрерывными тренировками средней интенсивности на состав тела у взрослых с избыточным весом и ожирением: систематический анализ обзор и метаанализ. Обес. 18 , 635–646 (2017). КАС пабмед Google ученый Vissers, D. et al. Влияние физических упражнений на висцеральную жировую ткань у взрослых с избыточным весом: систематический обзор и метаанализ. PLoS One 8 , e56415 (2013 г.). КАС пабмед ПабМед Центральный Google ученый Янишевски П. М. и Росс Р. Физическая активность в лечении ожирения: помимо снижения массы тела. Заяв. Физиол. Нутр. Метаб. 32 , 512–522 (2007). ПабМед Google ученый Кук Дж. Л., Ли С., Хеймсфилд С. Б. и Росс Р. Окружность талии и распределение жировой ткани на животе: влияние возраста и пола. утра. Дж. Клин. Нутр. 81 , 1330–1334 (2005). КАС пабмед Google ученый Росс, Р. и др. Зависит ли взаимосвязь между окружностью талии, заболеваемостью и смертностью от протокола измерения окружности талии? Обес. 9 , 312–325 (2008). КАС пабмед Google ученый «> Всемирная организация здравоохранения. Физический статус: использование и интерпретация антропометрии: отчет Комитета экспертов ВОЗ (ВОЗ, 1995). Образовательная инициатива NHLBI по борьбе с ожирением. Практическое руководство по выявлению, оценке и лечению избыточного веса и ожирения у взрослых (NIH, 2000). Wang, J. et al. Сравнение окружностей талии, измеренных в 4 местах. утра. Дж. Клин. Нутр. 77 , 379–384 (2003). ПабМед Google ученый Mason, C. & Katzmarzyk, P.T. Изменчивость измерений окружности талии в зависимости от места анатомического измерения. Ожирение 17 , 1789–1795 (2009). ПабМед Google ученый Мацусита Ю., Томита К., Йокояма Т. и Мизоуэ Т. Оптимальное место измерения окружности талии для оценки метаболического синдрома. Diabetes Care 32 , e70 (2009). ПабМед Google ученый Мацусита Ю., Томита К., Йокояма Т. и Мизоуэ Т. Взаимосвязь между окружностью талии в четырех местах и ​​метаболическими факторами риска. Ожирение 18 , 2374–2378 (2010). ПабМед Google ученый Пендергаст, К. и др. Влияние разницы в окружности талии на стоимость медицинского обслуживания среди субъектов с избыточным весом и ожирением: когорта PROCEED. Value Health 13 , 402–410 (2010 г.). ПабМед Google ученый Spencer, E. A., Roddam, A. W. & Key, T. J. Точность измерений талии и бедер по самооценке в 4492 участника EPIC-Oxford. Нутр общественного здравоохранения. 7 , 723–727 (2004). ПабМед Google ученый «> Робертс, К.А., Уайлдер, Л.Б., Джексон, Р.Т., Мой, Т.Ф. и Беккер, Д.М. Точность самостоятельного измерения окружности талии и бедер у мужчин и женщин. Дж. Ам. Диета. доц. 97 , 534–536 (1997). КАС пабмед Google ученый Bigaard, J., Spanggaard, I., Thomsen, B.L., Overvad, K. & Tjonneland, A. Окружность талии, измеренная самостоятельно и техническим специалистом, различается у мужчин и женщин среднего возраста. Дж. Нутр. 135 , 2263–2270 (2005). КАС пабмед Google ученый Wolf, A. M. et al. ПРОДОЛЖЕНИЕ: предполагаемая когорта ожирения экономической оценки и детерминанты: исходное состояние здоровья и использование здравоохранения в выборке США. Диабет Ожирение. Метаб. 10 , 1248–1260 (2008). КАС пабмед Google ученый «> Janssen, I., Katzmarzyk, P. T. & Ross, R. Индекс массы тела, окружность талии и риск для здоровья: доказательства в поддержку текущих рекомендаций Национального института здравоохранения. Арх. Стажер Мед. 162 , 2074–2079 (2002). ПабМед Google ученый Ардерн, С. И., Янссен, И., Росс, Р. и Кацмарзик, П. Т. Разработка пороговых значений окружности талии, связанных со здоровьем, в рамках категорий ИМТ. Обес. Рез. 12 , 1094–1103 (2004). ПабМед Google ученый Баджадж, Х. С., Бреннан, Д. М., Хугверф, Б. Дж., Доши, К. Б. и Кашьяп, С. Р. Клиническая полезность окружности талии для прогнозирования смертности от всех причин в профилактической кардиологической клинике: исследование базы данных PreCIS. Ожирение 17 , 1615–1620 (2009). ПабМед Google ученый «> Staiano, A.E., Bouchard, C. & Katzmarzyk, P.T. Пороговые значения окружности талии для определения повышенного кардиометаболического риска у белых и афроамериканцев. Обес. Факты 6 , 317–324 (2013). ПабМед ПабМед Центральный Google ученый Си, Б. и др. Многовековые тенденции распространенности общего и абдоминального ожирения среди взрослых китайцев, 1993–2009 гг. Обес. 13 , 287–296 (2012). КАС пабмед Google ученый Барзин М. и др. Тенденции роста ожирения и абдоминального ожирения за 10 лет наблюдения среди взрослых жителей Тегерана: Тегеранское исследование липидов и глюкозы (TLGS). Нутр общественного здравоохранения. 18 , 2981–2989 (2015). ПабМед Google ученый «> Лахти-Коски М., Харальд К., Маннисто С., Лаатикайнен Т. и Йоусилахти П. Пятнадцатилетние изменения индекса массы тела и окружности талии у взрослых финнов. евро. Дж. Кардиовасц. Пред. Реабилит. 14 , 398–404 (2007). ПабМед Google ученый Liese, A.D., Doring, A., Hense, H.W. & Keil, U. Пятилетние изменения окружности талии, индекса массы тела и ожирения в Аугсбурге, Германия. евро. Дж. Нутр. 40 , 282–288 (2001). КАС пабмед Google ученый Czernichow, S. et al. Тенденции распространенности ожирения среди работающих взрослых в центрально-западной Франции: популяционное исследование, 1995–2005 гг. Пред. Мед. 48 , 262–266 (2009). ПабМед Google ученый Ford, E. S., Maynard, L. M. & Li, C. Тенденции средней окружности талии и абдоминального ожирения среди взрослых в США, 19 лет99–2012. JAMA 312 , 1151–1153 (2014). ПабМед ПабМед Центральный Google ученый Огден, К.Л., Кэрролл, М.Д., Кит, Б.К. и Флегал, К.М. Распространенность детского и взрослого ожирения в США, 2011–2012 гг. JAMA 311 , 806–814 (2014). КАС пабмед ПабМед Центральный Google ученый Gearon, E., Tanamas, S.K., Stevenson, C., Loh, V.H.Y. & Peeters, A. Изменения окружности талии независимо от веса: значение для мониторинга ожирения на уровне населения. Пред. Мед. 111 , 378–383 (2018). ПабМед Google ученый Окосун И.С. и др. Абдоминальное ожирение у взрослых в США: распространенность и тенденции, 1960–2000 гг. Пред. Мед. 39 , 197–206 (2004). ПабМед Google ученый Экзаменационный комитет по критериям «ожирения» в Японии и Японское общество изучения ожирения. Новые критерии «болезни ожирения» в Японии. Обр. J. 66 , 987–992 (2002). Google ученый Аль-Одат, А.З., Ахмад, М.Н. и Хаддад, Ф.Х. Ссылки на антропометрические показатели центрального ожирения и метаболического синдрома у иорданских мужчин и женщин. Диабет Метаб. Синдр. 6 , 15–21 (2012). ПабМед Google ученый Уайлдман, Р. П., Гу, Д., Рейнольдс, К., Дуан, X. и Хе, Дж. Соответствующие предельные значения индекса массы тела и окружности талии для классификации избыточного веса и центрального ожирения среди взрослых китайцев. утра. Дж. Клин. Нутр. 80 , 1129–1136 (2004). КАС пабмед Google ученый Юн, Ю. С. и О, С. В. Оптимальные пороговые значения окружности талии для диагностики абдоминального ожирения у взрослых корейцев. Эндокринол. Метаб. 29 , 418–426 (2014). Google ученый Bouguerra, R. et al. Пороговые значения окружности талии для выявления абдоминального ожирения среди взрослого населения Туниса. Диабет Ожирение. Метаб. 9 , 859–868 (2007). КАС пабмед Google ученый Делавари А., Форузанфар М. Х., Алихани С., Шарифиан А. и Келишади Р. Первое общенациональное исследование распространенности метаболического синдрома и оптимальных пороговых значений окружности талии на Ближнем Востоке: национальное обследование факторов риска неинфекционных заболеваний Ирана. Diabetes Care 32 , 1092–1097 (2009). ПабМед ПабМед Центральный Google ученый Мисра, А. и др. Точки отсечения окружности талии и уровни действий для азиатских индейцев для выявления абдоминального ожирения. Междунар. Дж. Обес. 30 , 106–111 (2006). КАС Google ученый Скачать ссылки Благодарности Авторы признательны за финансовую поддержку IAS и ICCR, независимой академической организации, базирующейся в Университете Лаваля, Квебек, Канада, которые отвечали за координацию подготовки нашего отчета. Ни IAS, ни ICCR не предоставили финансирования или гонораров членам группы авторов для подготовки этой статьи. Научный руководитель ICCR (J.-PD) финансируется за счет гранта Фонда (ссылочный номер финансирования FDN-167278) Канадского института исследований в области здравоохранения. Информация об авторе Авторы и организации Школа кинезиологии и медицинских исследований, Медицинский факультет, кафедра эндокринологии и метаболизма, Королевский университет, Кингстон, Онтарио, Канада Robert Ross 80 Департамент внутренних болезней , Отделение кардиологии, Юго-западный медицинский центр Техасского университета, Даллас, Техас, США Ян Дж. Ниланд и Бенуа Арсено Кафедра сердечно-сосудистой медицины и общественной медицины, Высшая школа медицины Осакского университета, Осака, Япония Shizuya Yamashita Факультет медицинских наук Университета Бен-Гуриона в Негеве, Беэр-Шева, Израиль Iris Shai Департамент медицинских наук и Институт медицинских исследований EMGO, Университет VU Амстердам, Амстердам, Нидерланды Jaap Seidell Кафедра фармакологических и биомолекулярных наук, Universita’ degli Studi di Milano, Милан, Италия Paolo Magni Научный институт исследований, госпитализации и здравоохранения (IRCCS) MultiMedica, Сесто-Сан-Джованни, Италия Paolo Magni Липидная клиника Кардиологический институт (InCor), Университет Сан-Паулу, Больница медицинской школы, Сан-Паулу , Бразилия Рауль Д. Сантос Госпиталь Израэлита Альберта Эйнштейна, Сан-Паулу, Бразилия Рауль Д. Сантос Кафедра кинезиологии, медицинский факультет, Университет Лаваля, Квебек 9, Канада0021 Бенуа Арсено и Жан-Пьер Депре Отделение клинического питания и обмена веществ, Клиника Лас Кондес, Сантьяго, Чили Ада Куэвас Отделение питания и эпидемии, Harvart Temidology. Школа общественного здравоохранения Чана, Бостон, Массачусетс, США Frank B. Hu Факультет диетологии, Университет Суррея, Гилфорд, Великобритания Брюс А. Гриффин Факультет медицины – DIMED, Университет Падуи, Падуя, Италия Alberto Zambon Школа медицинских наук, Университет Нового Южного Уэльса, Австралия, Сидней, Новый Южный Уэльс, Австралия Филип Бартер Fondation Cœur Etères, Lille, France Jean-Charles Fruch Fruch Fruch 120 2 Jean-Charles Fruch Fruch 120 2 . Отделение эндокринологии, метаболизма и диабета и отделение кардиологии, Медицинский факультет Колорадского университета Аншутца, Аврора, Колорадо, США Robert H. Eckel Department of Endocrinology and Metabolism, Sumitomo Hospital, Osaka, Japan Yuji Matsuzawa Department of Medicine, Faculty of Medicine, Université Laval, Québec, QC, Canada Jean-Pierre Després Authors Robert Ross Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Ian J. Neeland Посмотреть публикации автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Shizuya Yamashita Посмотреть публикации автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Iris Shai Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Jaap Seidell Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Академия Paolo Magni Посмотреть публикации автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Raul D. Santos Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Benoit Arsenault Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Ada Cuevas Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Frank B. Hu Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Bruce A. Griffin Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Альберто Замбон Посмотреть публикации автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Philip Barter Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Jean-Charles Fruchart Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Robert H. Eckel Посмотреть публикации автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Yuji Matsuzawa Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Jean-Pierre Després Просмотр публикаций автора Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar Contributions R.R., I.J.N. и Ж.-П.Д. Подобрал данные для статьи. Р.Р., И.Дж.Н., С.Ю., И.С., Дж.С., Ф.Б.Х., Ю.М. и Ж.-П.Д. внес существенный вклад в обсуждение содержания. Р.Р., И.Дж.Н. и Ж.-П.Д. написал статью. Р.Р., И.Дж.Н., И.С., Дж.С., П.М., Р.Д.С., Б.А., А.С., Ф.Б.Х., Б.А.Г., А.З., П.Б., Дж.-К.Ф., Р.Х.Е., Ю.М. и Ж.-П.Д. рассмотрел и / или отредактировал рукопись перед отправкой. Автор, ответственный за переписку Переписка с Роберт Росс. Декларации этики Конкурирующие интересы I. J.N. сообщает о получении вознаграждения за консультации и работу в консультативном совете от Boehringer Ingelheim/Lilly Alliance и AMRA Medical, а также исследовательского гранта от Novo Nordisk. Ф.Б.Х. сообщает о получении гонорара от Metagenics и Standard Process и исследовательского гранта от Калифорнийской комиссии по орехам. Р.Д.С. сообщает о получении консультаций и спикеров от Amgen, Astra Zeneca, Akcea, Biolab, Esperion, Kowa, Merck, MSD, Novo Nordisk, Sanofi Regeneron, Akcea, Kowa и Esperion. С.Ю. сообщает о грантах и ​​личных вознаграждениях от Kowa Company, Ltd., Otsuka Pharmaceutical Co., Ltd., Shionogi & Co., Ltd., Bayer Yakuhin, Ltd., MSD K.K., Takeda Pharmaceutical Company, Ltd., Sanwa Kagaku Kenkyusho Co., Ltd., Astellas Pharma Inc., Daiichi-Sankyo Company, Ltd., Astra Zeneka K.K. и Какен Фармасьютикал Ко., Лтд.; гранты от Kyowa Medex Co., Ltd., Nippon Boehringer Ingelheim Co., Ltd., Национального института биомедицинских инноваций, Hayashibara Co., Ltd., Teijin Pharma Limited, Kissei and Mochida Pharmaceutical Company, Ltd. ; и персональные сборы от Ono Pharmaceutical Company, Ltd., Skylight Biotec, Inc., Pfizer, Astellas Amgen, Sanofi и Aegerion. С.Ю. также имеет патенты, выданные Fujirebio и Kyowa Medex Co., Ltd. R.H.E. сообщает о своей роли научного консультанта PROMINENT (Kowa Company Ltd.) и членстве в консультативных комитетах Novo Nordisk и Sanofi/Regeneron. Остальные авторы заявляют об отсутствии конкурирующих интересов. Дополнительная информация Информация о рецензировании Nature Reviews Endocrinology благодарит Р. Келишади и других анонимных рецензентов за их вклад в рецензирование этой работы. Примечание издателя Springer Nature остается нейтральной в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и ​​институциональной принадлежности. Ссылки по теме Рекомендации по измерению окружности талии: http://www.myhealthywaist.org/evaluating-cmr/clinical-tools/waist-circumference-measurement-guidelines/index. html Дополнительная информация Дополнительная информация Глоссарий Калибровка Способность правильно предсказать долю участников в данной группе, которые испытают событие. Дискриминация Вероятность того, что диагностический тест или инструмент прогнозирования риска различают более высокий и более низкий риск. Чистое улучшение реклассификации Относительное увеличение предсказанных вероятностей для людей, которые участвуют в событиях, и уменьшение для людей, которые этого не делают. С-статистика Мера согласия для бинарных результатов в модели логистической регрессии. ВО 2 пик Наивысшее значение VO 2 (т. е. потребление кислорода), полученное во время добавочного или другого высокоинтенсивного нагрузочного теста. Лактатный порог Интенсивность упражнений, при которой концентрация лактата и/или молочной кислоты в крови начинает экспоненциально возрастать. Подвздошный гребень Верхняя граница крыла подвздошной кости. Права и разрешения Открытый доступ Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 International License. Изображения или другие сторонние материалы в этой статье включены в лицензию Creative Commons на статью, если иное не указано в кредитной строке; если материал не включен в лицензию Creative Commons, пользователям необходимо будет получить разрешение от держателя лицензии на воспроизведение материала. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons. Какой это век vi в цифрах: VI век это какой век в цифрах alexxlab / 07.02.197117.09.2022 / Разное VI век | это… Что такое VI век? Толкование VI век 1-е тысячелетие IV век — V век — VI век — VII век — VIII век 490-е 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500-е 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510-е 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520-е 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530-е 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540-е 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550-е 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560-е 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570-е 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580-е 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590-е 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600-е 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 Хронологическая таблица Шестой (VI) век длился с 501 по 600 годы по григорианскому календарю. События 525 — Дионисий Малый ввёл летоисчисление от рождества Христова. 532 — восстание Ника, крупнейший бунт в истории Константинополя и Византии. 552 — образование Тюркского каганата. 568 — начало вторжения лангобардов в Италию. Середина VI века — временное объединение владений франков при Хлотаре I. Середина VI века — вторжение аваров в степи Западного Прикаспия и далее — в Северное Причерноморье. Середина VI века — образование союза племён тюркской группы. Образование Тюркского каганата. VI век — образование герцогства Бавария. VI век — образование первого католического аббатства (бенедиктинского) в Монтекассино (Италия). VI век — царь Кашмира Праварасена. VI век — образование государства Алоа (юг современного Судана). VI век — образование государства Срок-Кхмер (Ченла). VI век — заселение островов Центральной Полинезии. VI—VII века — заселение Соломоновых островов, островов Фиджи и Тонга и Новой Каледонии. VI век — византийские источники заговорили о славянах, самой активной силе от Иллирии до Нижнего Дуная. Славяне доходят до побережья Балтийского и Северного моря, попадают в Северную Италию, в предгорья Альп и верховья Рейна. Река Эльба становится славянской почти на всем её течении. VI—VII век — славяне расселились из Среднего Подунавья, Прикарпатья и Среднего Приднепровья на территории Прибалтики, Балкан, Средиземноморья, достигли Испании и Северной Африки.[источник не указан 189 дней] Конец VI — начало VII веков — склавины расселились в балканских провинциях Византийской империи.[источник не указан 188 дней] VI—IX век — племена иллирийцев ассимилированы славянами.[источник не указан 193 дня] Персоналии Король Артур — легендарный вождь бриттов, центральный герой британского эпоса и многочисленных рыцарских романов. Бенедикт Нурсийский — родоначальник монашеского движения. Григорий I — папа римский. Григорий Турский — франкский историк. Иордан — готский историк. Прокопий Кесарийский — византийский историк. Юстиниан I — выдающийся византийский император. См. также [+] VI век Это незавершённый список века. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив его. Wikimedia Foundation. 2010. Нужен реферат? 511 год 507 год Полезное Как научиться определять века Как определять век Какой сейчас год по-старославянски По какому календарю мы живем При определении порядкового номера века могут возникнуть две сложности. Первая – обозначать век принято римскими цифрами, но далеко не все умеют их правильно читать. Разобраться с римскими цифрами поможет следующая табличка соответствия знаков в римской записи числа арабским цмфрам: Дальше все просто: складываем все десятки (Х) и пятерки (V), прибавляем единички, расположенные в конце записи числа, отнимаем единички расположенные в другом месте. XIX – десяток две и одна единичка не в конце записи, т.е. 10 + 10 – 1 = 19 – обозначение девятнадцатого века; ХIV – десятка одна, пятерка одна и одна единичка не в конце записи, т.е. 10 + 5 – 1 = 14 – обозначение четырнадцатого века; XVII – десятка одна, пятерка одна и две единички в конце записи, т.е. 10 + 5 + 1 + 1 = 17 – обозначение семнадцатого века. Второй момент, который надо помнить при определении века, что в арабской записи числа последние две цифры номер года, а предыдущие – номер века, но номер столетия на единицу больше обозначающего числа. 1932 – номер века обозначают цифры 19, следовательно, век двадцатый; 345 – номер века 3, следовательно, век четвертый. Многие люди затрудняются ответить на вопрос: «Как определить век по году, в котором произошло то или иное событие?» В общем-то, тут нет ничего сложного. Сейчас вы сами это увидите. Наша эра Для событий, произошедших во временном отрезке нашей эры (т.е. все, что было от наших дней до периода чуть более двух тысяч лет назад), век вычисляется следующим образом: у значения года отбрасываются две последние цифры, и к результату прибавляется единица. Допустим, нам нужно узнать, в каком веке началась Великая Отечественная война. Это произошло в 1941 г. Отбрасываем две последние цифры (41) и к оставшимся цифрам (19) прибавляем единицу. Получается число 20. Т.е. Великая Отечественная война началась в ХХ веке. Другой пример – Вещий Олег умер в 912 г. Какой век это был? Отбрасываем цифры 12, к девятке прибавляем один и понимаем, что киевский князь умер в десятом веке. Тут нужно внести одно уточнение. Век – это промежуток длиной в сто лет. Если последние две цифры года – 01, то это первый год начала века. Если 00 – последний год столетия. Таким образом, в нашем правиле есть исключение. Если последние две цифры года – нули, то единицу мы не прибавляем. Как определить такой век по году? Например, Пий VII стал Папой Римским в 1800 году. В каком веке это произошло? Отбрасываем последние две цифры даты, но держим в уме, что это нули, и ничего не прибавляем. Получаем 18. Пий VII стал Папой Римским в XVIII веке. И уже в следующем году наступил век XIX. Мы разобрались с определением того, какой век какой год включает в себя, относительно нашей эры. А если речь идет о событиях, произошедших раньше? До нашей эры Тут все несколько сложнее. От 1 года до 100 года до н.э – это первый век до н.э. От 101 до 200 – второй, и так далее. Таким образом, чтобы определить век по году до рождества Христова, надо отбросить последние две цифры года и прибавить единицу. И точно так же, при последних цифрах в два нуля – ничего не прибавляем. Пример: Карфаген разрушен в 146 году до н. э. Как определить век по году в этом случае? Отбрасываем последние две цифры (46) и прибавляем единицу. Получаем второй век до н.э. И не забудем про наше исключение: катапульты изобрели в 400 году до н.э. Отбрасываем две последние цифры, держим в уме, что это нули, и ничего не прибавляем. Получается, что катапульты были изобретены в 4 веке до нашей эры. Все просто! Тысячелетие Раз уж мы разобрались, как определить век по году, давайте попробуем заодно научиться определять тысячелетие. Тут тоже нет ничего сложного. Только отбрасывать придется не две, а три последние цифры даты, а прибавлять по-прежнему 1. Пример: Александр Второй отменил крепостное право в 1861 году. В каком тысячелетии он это сделал? Отбрасываем три последние цифры (861) и к оставшейся единице прибавим еще одну. Ответ: второе тысячелетие. Исключения тут тоже есть. Если последние три цифры – нули, то единица не прибавляется. Национальная валюта «сомони» была введена в Таджикистане в 2000 году. То есть это произошло во втором тысячелетии. Именно поэтому те, кто в 2000 году праздновал наступление третьего тысячелетия и 21-го века, заблуждались – эти события произошли лишь в следующем году. Если вы поняли всю эту несложную арифметику, то теперь точно знаете, как определить век по году или даже узнать номер тысячелетия. Обложка урока взята с источника. План урока: Единицы измерения времени Проблемный вопрос: Почему для изучения истории необходимо знать хронологию событий? Много различных явлений произошло с настоящего времени: революций, завоеваний, бунтов, открытий. Каждое из этих событий происходило в свой период истории. Что помогает людям не запутаться во всем многообразии временных событий? В глубокой древности людям необходимо было определять временные промежутки, без них наши предки не могли понять в какое время нужно сеять сельскохозяйственные культуры и впоследствии собирать урожай. Таким образом, благодаря древним земледельцам появился счет времени по годам. Это было вынужденной мерой для людей, так как их жизнь зависела во многом от земледелия, без которого снижался качественный уровень жизни. В дальнейшем стали применяться определенные единицы измерения времени, которыми пользуются до сих пор: час, день, сутки, неделя, месяц, год и т.д. Издревле люди пытались определить время, используя различные приборы для его определения: солнечные, песочные,водяные и огненные часы, они были не точными, и их было неудобно использовать.Вначале основной единицей измерения времени считались сутки, первобытные люди замечали только смену дня и ночи, такое наблюдение помогало общине успешно добывать пищу и вести свой быт. Образование первых цивилизаций наметило появление первых календарей (от лат. – «календариум») – долговая книжка. Это слово берет свое происхождения от Древнего Рима, там должникам, дабы не сбиться в своих расходах, приходилось записывать какой процент они должны платить в первыйдень «календы»(месяца). Календарь представляет собой систему счета больших интервалов времени, он помогает людям планировать различные дела, знать какое сегодня число, месяц. Древние люди активно наблюдали за небесными светилами и природными явлениями, от них зависела их жизнь. В современном мире существует три вида календаря: солнечный, лунный, лунно-солнечный. Мы пользуемся солнечным календарем, где год составляет 365 дней в году (366 в високосном году). Самыми известными считаются: Юлианскийи Григорианский (новый стиль). Последний календарь применяется многими современными государствами, в году здесь насчитывается 365 дней (366 дней в високосном году).Лунный календарь насчитывает 354 дня в году (355 дней в високосном году), в основе его лежит период полного оборота Луны вокруг Земли, по нему живут буддисты и мусульмане. Тем, кто живет по лунно-солнечному календарю, приходится компенсировать разницу в 10-11 дней в году междусолнечным и лунным календарем, а именно вводить 13 месяц, а год делать високосным. Для лучшего понимания происхождения крупных событий или явлений используют большие единицы измерения времени: десятилетие, век, тысячелетие.1 век состоит из 100 лет, а уже в тысячелетие входит 10 веков. Летоисчисление в Древности. Как ведется счет лет в истории в современное время В нынешнее время люди не могут обойтись без единиц времени, человечеству необходимо знать в каком периоде они сейчас живут, сколько примерно лет назад проходили те или иные события. Без понимания временного пространства люди не могли достичь какого-либо прогресса. Для ориентации во времени была придумана хронология (с греч.– «время», «учение») – наука, устанавливающая очередность исторических событий. Как люди в далеком прошлом располагали какие-либофакты по хронологии? Издревле в каждом государстве было свое летоисчисление, в Древнем Египте было принято считать за точку отсчета год правления фараона, когда тот умирал и начинал править другой фараон, то именно с его даты правления и начинался отсчет времени. Счет лет в истории в Древнем Риме начинался с 753 г. – дата основания древнего города. Мусульмане датировали начальный год таким событием как Хиджра – переселение пророка Мухаммеда и мусульман из Мекки в Медину. В Израиле именноот сотворения мира велся отсчет времени. В древности на Руси историческое летоисчисление претерпевало значительные изменения, до Крещения Руси люди вели счет времени по 4 сезонам. После христианизации Руси в 988 г. летоисчисление было принято по «византийскому образцу» – от сотворения мира, а началом года у древних славян считалось 1 марта. И только в 1700 г. указом известного императора Петра I летоисчисление начиналось с Рождества Христова, а Новый год отмечался с 1 января. Как ведется счет лет в истории сейчас? В современном летоисчислении, по-другому христианским, дата рождения Иисуса Христа по праву считается нулевым годом. Для большинства людей этот человек считался Спасителем, Сыном Божьим, перенесшим многочисленные страдания во имя спасения человечества. Поэтому год его рождения для христиан был настолько важным событием, что они решили с него отсчитывать время. До этой даты происходили иные явления и происшествия, поэтому период до Рождества Христова стали называть до нашей эры (до н.э.), а период от Рождества Христова – наша эра (н.э.) Историческая лента времени С целью наглядного рассмотрения временных промежутков применяют хронологическую ленту времени. Как нарисовать ленту времени? Ее представляют в виде прямой, на ней обозначаются различные события, подкрепленные датами: год, век, период, эра. Все события на данной линии изображают по хронологии – слева направо. Отрезки времени, изображаемые на ленте времени, представляют 5 крупных периодов, происходивших в прошлом человечества. Самым длительным из них считается Первобытный мир, в эпоху которого люди пытались только осознать временное пространство. Необходимо правильно обозначать даты: начиная с 0 года, даты идут в строгой последовательности – от более раннего события к более позднему. До Рождества Иисуса Христа время идет в противоположную сторону.Например, следующим годом к границе нашей эры будет I век, за ним II век, потом III в. и т.д. Таким образом, историческая лента времени необходима историкам, чтобы знать, когда случилоськакое-либо событие, ведь без этих знаний историю как науку невозможно себе представить. Исторические задачи Чтобы узнать,как пользоваться лентой времени, необходимо разобрать несколько исторических задач. Для начала необходимо нарисовать линию времени, затем отметить на ней необходимые временные промежутки. 1) Сколько лет тому назад произошло Крещение Руси? Решение: необходимо отметить 988 г. на ленте времени, затем текущий год. Обе даты относятся к нашей эре, чтобы узнать сколько лет прошло от 988 г. до 2018 г., необходимо из второго числа вычесть первое: 2018-988 = 1030. 2) Город Санкт-Петербург былз аложен в 1703 г., а город Рим – в 753 г. до н.э. Какой город был основан раньше? На сколько лет? Решение: события на исторической линии отмечаются последовательно, начиная слева. Поэтому все даты, расположенные правее от выбранной точки, случались позже и наоборот. Соответственно 753 г. до н.э. был раньше, чем 1703 г. н.э. Год основания Рима относится к периоду до нашей эры, а дата основания Санкт-Петербурга – к периоду нашей эры. Оба события находятся в различных периодах, поэтому эти два числа нужно прибавить друг к другу: 1703+753=2456. 3) Определите век: А. 1875 г. н.э.; Б. 1700 г. н.э.; В. 56 г. до н.э. Решение: для определения века, необходимо посмотреть на 2 последние цифры данного числа. А. 18 75 г. – здесь 2 последние цифры не являются нулями, поэтому к оставшемуся числу – 18, мы прибавляем 1: 18+1= 19. Получается в 1875 г. прошло 18 веков и 75 лет, поэтому идет XIX в. Во втором примере Б. две последние цифры являются нулями – 17 00 г., соответственно здесь не нужно к оставшимся цифрам прибавлять 1, в 1700 г. прошло 17 веков, а первый год нового века еще не наступил, следовательно, идет XVII в. В примере В. мы должны вспомнить, что 1 век составляет 100 лет, поэтому 56 г. относится к I веку, ведь он еще идет. Ответ: А. 1875 г. – XIX в; Б. 1700 г. – XVII в.; В. 56 г. – I в. 4) В 1240 году произошла Невская битва. В каком веке будет отмечаться 1000-летие этого события? Решение: 1240+1000 = 2240. Ответ: 1000-летие Невской битвы будет праздноваться в XXIII в. Решение исторических задачпомогают лучше ориентироваться во времени, здесь происходит объединение двух великих наук: математики и истории. Благодаря первой науке мы имеем более точное представление об исторической хронологии, а без ее понимания невозможно понять историческую науку. Подведем итог: Почему для изучения истории необходимо знать хронологию событий? Историческая наука состоит из определенных фактов, событий и явлений, которые обозначаются на линии времени по хронологии (от более раннего события к более позднему). Расположение дат в такой последовательности позволяет людям лучше понять историю, наглядно представить, что собой представляет данная наука. Если не знать когда происходили те или иные явления, невозможно ориентироваться ни в прошлом, ни в настоящем, ни в будущем времени. КОГДА НАСТУПИТ XXI ВЕК? | Наука и жизнь Если ориентироваться на указ Петра I, новый век должен начаться в 2000 году. Сосуд с изображением календарных знаков. XVIII век до н. э. Альмашфюзите. Венгрия. Наука и жизнь // Иллюстрации Расшифровка рисунка на сосуде из Альмашфюзите со знаками 12 месяцев и четырех солнечных фаз. Славянские сосуды-календари. IV век. Cосуд для новогодних гаданий. Лепесовка (Украина). Поверх волнистой линии изображены символы 12 месяцев. Славянские сосуды-календари. IV век. Кувшин из Ромашкова (Киевщина) Славянские сосуды-календари. IV век. Сводная схема календарей, изображенных на двух этих сосудах Рисунок, выбитый на старинном каменном календаре римлян. Около 100—150 лет назад у нас в Сибири еще были в ходу такие самодельные календари из дерева. В 1918 году в нашей стране был введен западноевропейский (григорианский) календарь. Вот как он выглядел. После дня 31 января шел день 14 февраля. 1918 год укоротился на 13 дней. На карте пунктиром показана условная линия перемены дат. Северорусская вышивка XII—XIII веков. Такие вышитые на полотенцах календари с обозначением православных и языческих праздников вывешивали в Макет медали о введении в России с 1700 года нового летосчисления. (В надписях на медали буквы “БМ” означают “божией милостью”, “И СЕ НОВОЕ” подразумевает новое летосчисление.) ‹ › Открыть в полном размере А сколько на самом деле до начала нового века и нового тысячелетия? Будет ли 2000 год високосным? Сколько календарных дней в XXI веке придется вычесть, чтобы перевести дату на старый стиль? Все ближе и ближе конец ХХ века. В печати, по радио, по телевидению громко, напористо звучат прогнозы: каким будет ХХI век — начало третьего тысячелетия от Р. Х. И уже вовсю идет подготовка к торжественной встрече знаменательной даты. Какая-то американская компания купила в Тихом океане остров и собирается там заснять начало века: первые лучи, первый восход Солнца зарождающегося 2000 года. На Великой Китайской стене установлены часы, которые отсчитывают секунды до начала 2000 года. Каждый день радиостанция “Эхо Москвы” торжественно возвещает о количестве дней, оставшихся до начала 2000 года. Дата круглая, даже очень круглая! Все это, вероятно, хорошо и интересно, только непонятно, почему начало круглой даты ассоциируется с началом нового века? И ведь очень многие думают, что ХХI век наступает 1-го января 2000 года. Между тем это глубоко укоренившееся убеждение абсолютно неверно. Начало нового тысячелетия от Р. Х. (по григорианскому календарю, принятому сейчас в большинстве стран мира, в том числе и в нашей стране) приходится на 24.00 часа 31 декабря 2000 года или 00.00 часов 1 января 2001 года. Попробуем убедить в этом читателя. Век — сто лет. Счет, естественно, начинается с 1-го года (нулевого года никогда не бывает). Завершается любой век, когда прошло полных сто лет. Следовательно, сотый год — это последний год уходящего века. 101-й год — начало следующего века. 1-е января 1901 года стало началом нашего ХХ века, а его последним днем будет 31 декабря 2000 года. И, наконец, с 1-го января 2001 года вступают в свои права ХХI век и новое — третье тысячелетие от Р. Х. На все эти доводы иногда можно услышать такое возражение. Когда человеку исполняется, например, 30 или 40 лет — “круглая” дата, — то он переходит из “двадцатилетних” в “тридцатилетние” или из “тридцатилетних” в группу “сорокалетних” и т. д. Таким образом, это — юбилей, это рубеж. Так почему же встреча 2000 года — не рубеж, не переход на новое столетие? Возражение может показаться вполне логичным. Но вместе с тем именно этот пример наглядно показывает, в чем таится причина распространенной путаницы. А она в том, что возраст человека начинает расти от нуля. Когда нам исполняется 30, 40, 70 лет — это означает, что очередной десяток лет уже прожит, и наступил следующий. А календари, как мы уже говорили, начинаются не от нуля, а с единицы (как вообще счет всех предметов). Следовательно, если прошло 99 календарных лет, то век еще не закончен, потому что век — это 100 полных лет. Так и только так ведется летосчисление, которое необходимо любому государству, любому обществу. Работа промышленности, транспорта, торговля, финансовые дела и многие другие отрасли жизни нуждаются в мерах времени, в точности, в порядке. Хаос и ералаш, неопределенность в этих вопросах недопустимы. История календарей началась давно. В их разработку внесли свой вклад многие народы. Измеряя время, человечество выделило три наиболее важных понятия: эра, год, век. Из них год и эра — это основные, а век — производное. В основу современного календаря положен год (точнее, тропический год), то есть промежуток времени между двумя последовательными прохождениями центра Солнца через точку весеннего равноденствия. Точно определить продолжительность тропического года было очень важно, и задача эта оказалась непростой. Ее решали многие выдающиеся ученые мира. Было определено, что продолжительность тропического года — величина не постоянная. Очень медленно, но она изменяется. В нашу эпоху, например, уменьшается за столетие на 0,54 секунды. И сейчас составляет 365 дней, 5 ч 48 мин 45,9747 сек. Нелегко было определить, сколько времени продолжается год. Но когда все точно подсчитали, то столкнулись с еще большими, можно сказать, с неразрешимыми трудностями. Если бы в году оказалось целое число суток, все равно сколько, то составить простой и удобный календарь легко. Пусть даже были бы половинки, четвертинки, восьмушки суток. Их тоже можно сложить в целые сутки. А тут 5 ч 48 мин 46,9747 сек. Из таких “добавок” никак не составишь целые сутки. Получается, что год и сутки несоизмеримы. Остаток при делении — бесконечная дробь. Поэтому разработать простые и удобные системы счета дней в месяце и в году оказалось совсем не простым делом. И хотя от древних времен до наших дней было составлено множество различных календарей (древнеегипетский, китайский, вавилонский, вьетнамский, мусульманский, еврейский, римский, греческий), ни один из них нельзя назвать достаточно точным, удобным, надежным. Високосного, то есть состоящего из 366 суток, года в природе не бывает. Его придумали, исходя из того, что “остаток” от 365 дней тропического года — 5 ч 48 мин и секунды — очень близок к 1/4 суток. За четыре года набираются целые сутки — добавочный день в високосном году. Судя по многим источникам, первым до этого додумался египетский грек Созиген. В календарь високосный год впервые был введен римским императором Юлием Цезарем с 1 января 45 года до Р. Х. Этот календарь стали называть юлианским. Он прочно вошел в жизнь в начале нашей эры и действовал на протяжении многих веков. По этому календарю жили не только Римская империя и Византия (откуда он в Х веке с принятием христианства пришел на Русь), но и все страны Европы, Америка, многие государства Африки и Азии. В IV веке понадобилось внести ряд изменений в юлианский календарь. Укреплялось христианство, и церковь считала необходимым отрегулировать даты религиозных праздников. Было установлено твердое соответствие (для IV века) солнечного юлианского календаря лунному иудейскому. Так, чтобы христианская пасха в IV веке никогда не могла совпасть с иудейской. В VI веке римский монах Дионисий Малый задумал ввести новую христианскую эру, начало которой идет от Рождества Христова, а не от сотворения мира, как в иудейской эре, или от каких-либо других событий, как в разных языческих эрах. Дионисий обосновал дату от Рождества Христова. По его расчетам она пала на 754-й год от основания Рима или на 30-й год правления императора Августа. Эра от Рождества Христова прочно утвердилась в Западной Европе только в VIII веке. На Руси, как и в Византии, еще долго, несколько веков, продолжали считать годы от сотворения мира. А между тем в результате неточного определения продолжительности юлианского года — 365 суток и 6 часов, тогда как в действительности год на 11 мин и 14 сек короче — к концу XVI века (после поправок, внесенных в календарь в IV веке) набежала разница в 10 суток. Поэтому весеннее равноденствие, которое в 325 году приходилось на 21 марта, наступало уже 11 марта. Кроме того, праздник христианской Пасхи стал приближаться к еврейской Пасхе. Они могли сойтись, что по церковным канонам совершенно недопустимо. Католическая церковь пригласила астрономов, и те более точно измерили продолжительность тропического года, разработали изменения, которые необходимо внести в календарь. По указу папы Григория XIII с 1582 года в католических странах стали вводить календарь, который получил название — григорианский. Счет дней передвинули на 10 суток вперед. День после четверга 4 октября 1582 года предписывалось считать пятницей, но не 5, а 15 октября. Весеннее равноденствие снова возвратилось на 21 марта. Чтобы в дальнейшем избежать подобных ошибок, было решено каждые 400 лет выбрасывать из числа високосных 3 дня. Чтобы за 400 лет было не 100 високосных, а 97. Для этого надо не считать високосными те столетние годы (годы с двумя нулями на конце), в которых число сотен (две первые цифры) не делится без остатка на 4. Таким образом, годы 1700, 1800, 1900 не были високосными. Год 2000 — будет високосным, а 2100 — нет. Длина года по григорианскому календарю хоть немного, на 26 сек, но все же длиннее истинного. Это приведет к ошибке в одни сутки лишь за 3280 лет. Новое летосчисление уже в 80-х годах XVI века было введено в Италии, Испании, Португалии, Польше, во Франции, в Люксембурге, в католических кантонах Швейцарии. Гораздо труднее его принимали протестанты и православные. Пользование разными календарями, особенно в странах, тесно общающихся, вызывало массу неудобств, а порой и просто курьезных случаев. Так, например, Англия приняла григорианский календарь только в 1752 году. Когда мы читаем, что в Испании в 1616 году 23 апреля умер Сервантес, а в Англии 23 апреля 1616 года умер Шекспир, можно подумать, что два величайших писателя мира скончались в один и тот же день. На самом же деле разница была в 10 дней. Шекспир умер в протестантской Англии, которая в эти годы еще жила по юлианскому календарю (по старому стилю), а Сервантес — в католической Испании, где уже был введен григорианский календарь (новый стиль). Календарные реформы в России шли своим чередом, и нередко с большим опозданием по сравнению со странами Западной Европы. В Х веке с принятием христианства в Древнюю Русь пришло летосчисление, применявшееся римлянами и византийцами: юлианский календарь, римские названия месяцев, семидневная неделя. Счет годов велся от сотворения мира, которое, по церковным понятиям, произошло за 5508 лет до Рождества Христова. Год начинался с 1 марта. В конце XV века начало года было перенесено на 1 сентября. Указом от 15 декабря 7208 года Петр I ввел в России христианское летосчисление. День, следующий после 31 декабря 7208 года от сотворения мира, предписывалось считать началом нового года — 1 января 1700 года от Рождества Христова. Издавая этот указ, Петр не побоялся круглой даты — 1700, которую в то время многие в Европе ожидали со страхом. С ней в очередной раз после 1000 и 1100 годов от Р. Х., после 7000 года от сотворения мира и других “круглых” дат, с трепетом ожидали конца света и Суда Божия над всеми живыми и умершими. Но эти смертельно пугавшие людей годы приходили и уходили, а человеческий мир оставался таким же, каким был. Петр приказал россиянам торжественно, весело встречать 1 января 1700 года, “поздравлять с новым годом и новым веком”. Вот тут он допустил ошибку и ввел народ в заблуждение, что новый век будто бы начинается с двух новых цифр и двух нулей. Эта ошибка, видно, крепко вошла в сознание многих русских. Итак, Россия перешла на христианское летосчисление, но оставался юлианский календарь, старый стиль. А между тем большинство стран Европы уже более ста лет жили по григорианскому календарю. Разница между старым и новым стилями составляет: для XVIII века — 11 суток, для XIX — 12, для ХХ и XXI (в XXI веке — из-за того, что 2000 год считается високосным) — 13, в XXII веке она увеличится до 14 суток. В России григорианский календарь принят в 1918 году первым советским правительством, не связанным с церковью. Была введена поправка в 13 суток: после 31 января 1918 года сразу наступило 14 февраля. С середины ХХ века григорианским календарем пользуются практически все страны мира. Vll какой это век — Oh Italia Как писать века римскими цифрами? Как правильно написать века с 1 по 21 римскими цифрами? Века с 1 по 21 римскими цифрами По традиции все века обозначаются с помощью римских цифр. Для их записи будем использовать заглавные буквы латинского алфавита: Натуральные числа пишутся путём повторения данных цифр; сначала пишется старший разряд, а затем младший. Когда большая цифра стоит перед меньшей, нужно сложить обе цифры. Например, 6 — это VI (5+1). Когда меньшая цифра стоит перед большей, нужно отнять меньшую цифру из большей (например,4 — это IV, 9 — это IX и т.д.). Одну и ту же цифру не принято писать 4 раза подряд (например, IIII или VIIII — это неправильная запись). Исходя из этих правил запишем все века: А вот наглядная информация в виде таблицы: Так уж исторически сложилось, что века в истории обозначают римскими цифрами. Не знаю откуда это пошло, но так удобнее. Видишь XIX и понимаешь, что речь идет о девятнадцатом веке. Если нужно отметить век до нашей эры, то используем то же обозначение века плюс «до н.э.», например «в V веке до н.э.» Те кто знаком с римскими цифрами легко могут назвать любой век, не только до XXI го. Первый будет I, второй — II, третий III и т.д. (l,ll,lll,lV,V,Vl,Vl­ l,Vlll,lХ,Х,Хl,Xll,Xl­ ll,XlV,ХV,XVl,XVll,XV­ lll,lIX,ХХ,ХХl) Только одна известная кинокомпания не хочет быть как все, но у американцев все не как у людей Некоторые часто пользуются аббревиатурой ХХХ, но это уже совсем другая история. Для написания римских цифр используются прописные (заглавные) буквы латинского алфавита, которые соответствуют определенной цифре: I — единица, V — пять, X — десять, L — пятьдесят, С — сто, M — тысяча. (этих символов вполне хватит для написания не только веков, но и годов в нашей эре) Века новой эры (после рождества Христова) будут выглядеть так: В римских цифрах у нас в основном участвует такие символы как палочка, галочка и крестик. Эти символы у нас присутствуют в английской клавиатуре. Что нужно сделать если вы вдруг не собственноручно пишите, а хотите напечатать римскими цифрами дату в тексте, если же записи от руки, то всё просто, используйте эти три символа, просто добавляя к каждому нужное количество палочек. Так как отчёт с единички, начинается с такого значка как «I» и добавляется к нему по мере увеличения чисел. Десятичные числа начинаются со знака крестик, это русская «Х» заглавная или английский «икс» как вам удобнее запоминать. Ну и в десятичных цифрах участвует такая галочка как «V» английская. Она обозначает цифру пять. Это нужно если у вас цифры больше пяти, например шесть, семь, то добавляет уже к галочки Палочку «I», по английски читается как «ай». Ну и десятичные, например 16, добавляете крестик «X» это обозначает десяток, если двадцать то два крестика, тридцать — уже три. И само число например 38, пишите тогда: три крестика, галочку, это будет уже тридцать пять, и три палочки, чтобы получилось число 38. А теперь покажу на примере двадцати чисел, ну а дальше вы уже сами всё поймёте, и сможете написать любую дату римскими цифрами. Итак поехали: XI — 11 (одиннадцать) XII — 12 (двенадцать) XIII — 13 (тринадцать) XIV — 14 (четырнадцать) XV — 15 (пятнадцать) XVI — 16 (шестнадцать) XVII — 17 (семнадцать) XVIII — 18 (восемнадцать) XIX — 19 (девятнадцать) XX — 20 (двадцать) XXI — 21 (двадцать один) XXII — 22 (двадцать два) XXIII — 23 (двадцать три) Ну и так далее. Думаю вы уловили схему. Единственный нюанс, это четвёрка и девятка. Пишется такой символ, что идёт за ней, и уже впереди ставиться палочка. То есть четвёрка это галочка+палочка впереди. «IV», ну и девятка соответственно это десять, значит крестик, и перед ним палочка «IX». Вот и вся хитрость. Далее в таблице я приведу более сложную конфигурацию чисел уже с сотовыми числами и тысячными. Как правильно написать века римскими цифрами, периода с 1 по 21 век ? Век (арабскими цифрами) Век (римскими цифрами) 4 век (до 19 столетия) раньше обозначали, вот так — IIII 8 век, сейчас в цивилизованном мире принято писать как VIII, но в ранние периоды в некоторых старых рукописях, можно встретить такое обозначение IIX. Например число 9 должно быть таким IX (но иногда записывали такими римскими цифрами VIIII) Как распечатать таблицу? Левой кнопкой на мишке выделите полностью всё таблицу, на выделенном фоне нажмите правую кнопку мишки и в появившемся меню перейдете в пункт «Печать». 1 век или столетие = 100 лет; XXI век — Временной отрезок, который согласно официально принятому у нас Григорианскому календарю начинается 1 января 2001 года и закончится 31 декабря 2100 года; XX век — Последний век второго тысячелетия, начался 1 января 1901 и завершился практически совсем не давно, а именно 31 декабря 2000; XIX век — длился с 1801 по 1900 г. XVIII век — с 1701 по 1800 г. XVII век — с 1601 по 1700 г. XVI век — с 1501 по 1600 г. (*** Стоит упомянуть, в 1582 году состоялся переход с юлианского календаря (старого стиля) на григорианский (новый стиль), формально разница между ними в пару дней, что для исчисления целых столетий весьма ничтожно, конечно если вы не питаетесь рассчитать сколько же дней, минут или секунд в разных столетиях, а посему данным фактором формально пока можно пренебречь. ) XV век — с 1401 по 1500 г. XIV век — с 1301 по 1400 г. XIII век — с 1201 по 1300 г. XII век — с 1101 по 1200 г. XI век — с 1001 по 1100 г. X век — с 901 по 1000 г. IX век — с 801 по 900 г. VIII век — с 701 по 800 г. VII век — с 601 по 700 г. VI век — с 501 по 600 г. V век — с 401 по 500 г. IV век — с 301 по 400 г. III век — с 201 по 300 год II век — длился с 101 по 200 год. I век нашей эры, согласно юлианскому календарю начался 1 января 1 года и закончился 31 декабря 100 года. … VLL — steht für: Verbindlichkeiten aus Lieferungen und Leistungen, Gliederungsposition in der Bilanz im Rechnungswesen Visible Light Link, über die VLL Schnittstelle können die programmierbaren Steine der Lego Produktreihe angesteuert werden Siehe auch … Deutsch Wikipedia VLL — Virtual Law Library (Governmental » US Government) Virtual Law Library (Community » Law) **** Virtual Leased Line (Computing » Networking) **** Virtual Leased Line (Computing » Telecom) * Virtual Language Lab (Academic & Science » Universities) * … Abbreviations dictionary VLL — Valladol >Acronyms vll. — vielleicht EN perhaps, maybe … Abkürzungen und Akronyme in der deutschsprachigen Presse Gebrauchtwagen VLL — Valladol >Acronyms von A bis Z VLL — voto libens laetus … Abbreviations in Latin Inscriptions VLL — abbr. VVehicular Laser Locator … Dictionary of abbreviations VLL Teplice-Lázeňský Dům Judita — (Теплице,Чехия) Категория отеля: 3 звездочный отель Адрес: Svatopluk … Каталог отелей VLL Františkovy Lázně — Lázeňský dům Kijev — (Франтишковы Лазне,Чехия) Категория отеля: 3 звездочный отель Адре … Каталог отелей VLL-Schnittstelle — PC Spybot Verbindungskabel Über die Visible Light Link Schnittstelle können die programmierbaren Steine der Lego Mindstorms Produktreihe, dies sind RCX, Scout und Micro Scout, sowie die Spybotics angesteuert werden. Durch ein… … Deutsch Wikipedia Любопытно Соотношение веков, годов, столетий и тысячелетий до н. э. 0 Kapcha # 16 мая 2019 в 15:54 круто Ответить 0 Небесный Ветер # 18 августа 2019 в 11:44 Это бред. Никогда не было такого. Все счисление идет с 0. Создания нашего мира, А воплощение Бога в Иисусе было не более 500 лет назад. Ответить 0 Frackosek # 27 марта 2020 в 11:43 Дурочек, почитай Википедию и неси чушь верун полоумный Ответить 0 Некто # 13 мая 2020 в 16:18 Печально, когда у тебя источник знаний — Википедия, а не серьезная научная литература. Чем ты, афей, лучше «веруна полоумного»? Вы оба стоите друг друга… Ответить 0 Артём # 15 августа 2020 в 19:45 Не все знают историю хорошо и не у всех память есть запоминать вот и лезут в википедию. Ответить 0 Алекс # 31 октября 2021 в 18:22 серьезная литература это какая ???????????????? Ответить 0 Xxx # 21 апреля 2020 в 13:06 Soglasna c vami. Ответить 0 Рин # 18 мая 2020 в 10:55 Историю учи. Грамотей Ответить 0 Атеист # 22 мая 2020 в 18:12 Ой дурачоооок которому ьога в голову вбили Ответить 0 Дд # 11 декабря 2021 в 10:35 Вера тут ни при чем. Это особый случай Ответить 0 ! # 22 февраля 2022 в 10:32 А кода тогда рим создали? Ответить 0 Алексей Лило г. Одесса # 5 сентября 2022 в 10:58 Никогда не слышал про нулевой год (между эрами). Не стал бы ругать «Википедию», как это делают ниже. Заглянем в нее: Нулевой год и «нулевой год до н. э.» отсутствует в григорианском и юлианском календарях[1][2]. Это связано с отсутствием понятия математического нуля у европейцев в VI веке, на момент введения отсчёта лет от новой эры. В принятом в исторической науке счёте лет за 1 годом до н. э. следует 1 год н. э. Кроме того отсутствие нулевого года естественно объясняется использованием порядковых числительных для счёта, порядковый счёт всегда ведётся с первого номера (до первого года было ноль лет, то есть не было ни одного года, сразу после первого — ровно один). https://ru.wikipedia.org/wiki/0_%D0%B3%D0%BE%D0%B4 Ответить 0 Mary # 11 апреля 2020 в 14:46 Всё правильно, очень крутой сайт! Ответить 0 Егор # 7 мая 2021 в 03:36 Кстати наверно 51 Век будет Написан XL Ответить 0 Влад # 13 мая 2021 в 19:49 Жаль в таблице нет столбца с где показывалось сколько лет назад. Допустим второе тысячалетие до нашей эры = 4 тысячи лет назад. Ответить 0 Дима # 23 мая 2022 в 08:44 Не кто не хера не знает вот это я точно понял Ответить 0 Динозавр # 15 июня 2022 в 05:42 А где мой календарь?? Ответить 0 Владимир # 22 июня 2022 в 18:19 В 3400г до н. р. Был опиум от всех болезней Ответить 1165 год какой век в римских цифрах. Как читать римские цифры Несмотря на тотальное доминирование в наше время арабских цифр и десятичной системы счёта, использование римских цифр также можно встретить довольно часто. Они используются в исторических и военных дисциплинах, музыке, математике и других областях, где сложившиеся традиции и требования к оформлению материалов инспирируют применение римской числовой системы, в основном от 1 до 20. Потому для многих пользователей может возникнуть необходимость набрать какую-либо цифру в римском выражении, что может вызвать у некоторых людей определённые затруднения. В данном материале я постараюсь помочь таким пользователям и расскажу, как набрать римские цифры от 1 до 20, а также опишу особенности набора данных цифр в текстовом редакторе MS Word. Как известно, римская числовая система берёт своё начало ещё в древнем Риме, продолжая активно применяться на протяжении Средних Веков. Примерно с 14 столетия римские числа постепенно заменяются более удобными арабскими числами, использование которых стало превалирующим в наши дни. При этом римские цифры до сих пор активно используются в некоторых областях, довольно успешно сопротивляясь их переводу на арабские аналоги. Числа в римской системе представлены комбинацией 7 заглавных букв латинского алфавита. Это следующие буквы: Буква «I» — соотносится с цифрой 1; Буква «V» — соотносится с цифрой 5; Буква «X» — соотносится с цифрой 10; Буква «L» — соотносится с цифрой 50; Буква «C» — соотносится с цифрой 100; Буква «D» — соотносится с цифрой 500; Буква «M» — соотносится с цифрой 1000. С помощью вышеуказанных семи латинских букв записываются практически все числа в римской числовой системе. Сами символы записываются слева направо, обычно начиная с самой крупной цифры, и до самой мелкой. При этом также существуют два основных принципа: Как написать римские цифры на клавиатуре Соответственно, для написания римских цифр на клавиатуре будет достаточно использовать символы латинского алфавита, расположенные на стандартной компьютерной клавиатуре. Римские цифры от 1 до 20 выглядят следующим образом: Арабские Римские Как поставить римские цифры в Ворде Написать римские цифры в от одного до двадцати и не только можно двумя основными способами: Используя стандартную английскую раскладку клавиатуры, где представлены латинские буквы. Переключаемся на данную раскладку, жмём на «Caps Lock» слева для активации режима заглавных букв. Затем буквами набираем нужное нам число; Используя формульный набор. Размещаем курсор в месте, где необходимо разметить римскую цифру, и жмём на комбинацию клавиш Ctrl+F9 . Появятся две характерные скобки, выделенные серым цветом. Между этими скобками вводим сочетание символов: =X\* Roman Где вместо «X» должна стоять требуемая нами цифра, которую нужно представить в римской форме (пусть будет 55). То есть, сейчас данная комбинация с выбранной нами цифрой 55 должна выглядеть как: Затем нажимаем на F9, и получаем требуемое число римскими цифрами (в данном случае, это LV). Заключение Римские цифры от 1 до 20 можно записать, используя всего семь клавиш английской раскладки клавиатуры вашего ПК. При этом в текстовом редакторе MS Word также имеется возможность использовать формульный набор римских цифр, хотя, как по мне, вполне достаточно традиционного, буквенного способа, который используется повсеместно. Вконтакте Исторически так сложилось, что в России века пишутся римскими цифрами, правда в последнее время всё чаще можно встретить использование арабских цифр для обозначения века. Происходит это из-за банальной неграмотности и незнания, как правильно писать тот или иной век римскими цифрами, также люди всё чаще задаются вопросами, какой это век XIX в цифрах? XIX это какой век Чтобы не просто ответить на поставленный вопрос XIX это какой век, а избавиться от подобных вопросов в будущем, нужно понять, как же читаются римские цифры. На самом деле ничего сложного здесь нет. Итак, римские цифры обозначаются следующим образом: I – 1 II – 2 III – 3 IV – 4 V – 5 VI – 6 VII – 7 VIII – 8 IX – 9 X – 10 Получается, что лишь 5 римских цифр имеют индивидуальное начертание, остальные получаются при помощи подставления I. Если I стоит перед основной цифрой – это означает минус 1, если после, то плюс 1. Обладая этими знаниями, можно легко ответить на вопрос — XIX это какой век? XIX какой это век И всё же, XIX какой это век? Читая эти нехитрые цифры многие разбивают их на 3 значения – X, I, X и получают какой-то весьма странный век – 10 – 1 – 10, т. е. 10 тысяч 110 век. Безусловно это не верная раскладка. Цифра XIX состоит из 2 компонентов – X и IX и расшифровывается очень просто – 1 и 9, т. е. получается 19. Таким образом, ответом на вопрос, XIX какой это век, будет 19 век. Как же будут выглядеть остальные века написанные римскими цифрами? XI – 11 XII – 12 XIII- 13 XIV – 14 XV – 15 XVI – 16 XVII – 17 XVIII – 18 XIX – 19 XX – 20 Век, в котором мы живём сейчас обозначается как XXI . Какой это век xix Многие задаются вопросом, почему же в России века стали обозначать римскими цифрами, ведь всем известно, что в том же английском языке века обозначаются привычными арабскими цифрами, которые всем известны и понятны, так зачем же усложнять себе жизнь? На самом деле всё довольно просто, дело в том, что римские цифры используются далеко не исключительно в России и не только в обозначении века. Считается, что римские цифры более торжественные и значимые чем банальные арабские, известные всем. Таким образом, римские цифры веками используются для обозначения особо значимых событий или чтобы придать некую торжественность, выделить. Убедится в том, что далеко не только век обозначается римскими цифрами довольно просто, достаточно лишь посмотреть на книжное издание сочинений в нескольких томах, где тома, наверняка, пронумерованы римскими цифрами. Во всех странах монарших особ нумеровали римскими цифрами: Пётр I, Елизавета II, Людовик XIV и т. д. В некоторых странах римскими цифрами обозначаются даже года, что гораздо сложнее, чем выучить какой это век XIX, ведь когда добавляются сотни и тысячи, римские цифры также увеличиваются на несколько цифр – L, C, V и M . Годы, обозначенные римскими цифрами, в отличие от веков, выглядят действительно устрашающе, так 1984 записывается как MCMLXXXIV . Также римскими цифрами обозначаются все Олимпийские игры. Таким образом в 2014 году XXI века в Сочи прошли XXII Зимние Олимпийские игры. Таким образом, можно сказать, что не зная какой это век XIX, человек лишает себя возможности свободно читать о различных событиях, происходящих в мире. Скорее всего, в скором времени века в России всё же будут обозначаться традиционными арабскими цифрами и вопросы типа какой это век XIX исчезнут сами собой, ведь девятнадцатый век будет записываться понятным для всех образом – 19 век. И всё же, знать хотя бы первую сотню римских цифр для грамотного человека просто необходимо, ведь далеко не только века обозначаются ими. В современном мире арабские цифры считаются общепризнанным стандартом исчисления. Десятичная система знаков используется для подсчетов и нумерации во всех развитых странах мира. При этом от римских цифр, которые использовались в непозиционной системе счисления древних римлян, полностью не отказались. Часто можно видеть, что с их помощью нумеруются разделы в книгах, отмечаются века в исторической литературе, указывается группа крови и многие другие параметры, для которых обозначение римскими цифрами стало стандартным. При работе за компьютером с браузером, текстовыми редакторами и другими приложениями может понадобиться ввести некоторые значения римскими цифрами. Отдельный цифровой блок с ними отсутствует на стандартном устройстве ввода, но есть сразу несколько способов, как написать римские цифры на клавиатуре быстро. Римские цифры на клавиатуре в любом приложении Лишь малая часть разработчиков приложений предусматривают удобные способы ввода в своих продуктах римских цифр при помощи клавиатуры. Большая часть программ не имеет специальной функциональности для работы с непозиционной системой счисления, что требует проявления смекалки от пользователя для ввода римских цифр в них. Можно выделить два удобных способа, как ввести римские цифры с клавиатуры в любой программе. Замена римских цифр английскими буквами На любом компьютере по умолчанию одним из доступных языков является английский. На него можно быстро переключиться за счет комбинации клавиш Alt+Shift или Windows+Пробел (в Windows 10). Английский алфавит полностью закрывает потребность в отдельной цифровой клавиатуре для ввода римских цифр, поскольку все их аналоги могут быть набраны с его помощью заглавными буквами. Следующие буквы английского алфавита заменяют римские цифры: 1 – I; 5 – V; 10 – X; 50 – L; 100 – C; 500 – D; 1000 – M. Еще в школе обучают, каким образом необходимо использовать римские цифры, чтобы вводить различные цифры. Принцип простой: до нужного числа добираются римские цифры максимально большие подходящие в данной ситуации. Например: Чтобы ввести число 33, потребуется использовать 10+10+10+1+1+1. Соответственно, в римской вариации число 33 будет записано следующим образом: XXXIII. Также имеются некоторые особые правила ввода римских цифр, позволяющие укоротить написание больших чисел. Использование ASCII-кодов для ввода римских цифр В операционной системе Windows поддерживаются ASCII-коды, предназначенные для ввода различных символов. Они могут использоваться, в том числе, для ввода римских цифр. ASCII – это американская таблица кодирования, в которой приведены самые популярные печатные и непечатные символы в виде цифровых комбинаций. Чтобы использовать символы из данной таблицы на стандартной клавиатуре для ввода римских цифр, необходимо применить цифровой блок NUM – расположенный в правой части клавиатуры. Активируйте работу дополнительного цифрового блока при помощи кнопки Num Lock. После этого зажмите левый ALT на клавиатуре и вводит комбинации римских цифр на правом цифровом блоке. После ввода каждого символа, нужно отпустить ALT, чтобы символ отобразился в поле для ввода. Далее вновь ALT требуется зажать и можно вводить следующий символ. Следующие комбинации дополнительного цифрового блока идентичны римским цифрам: ALT+73 – I; ALT+86 – V; ALT+88 – X; ALT+76 – L; ALT+67 – C; ALT+68 – D; ALT+77 – M. Способ ввода римских цифр с использованием ASCII-кодов нельзя назвать удобным, но он может применяться, например, когда по тем или иным причинам отключена английская раскладка на клавиатуре. Как напечатать римские цифры в Word Компания Microsoft при разработке офисного пакета и приложения Word учла, что пользователям, которые работают с текстами, может потребоваться ввести римские цифры. Поскольку делать это с помощью английской раскладки или ASCII-кодов не особо удобно, корпорация Microsoft ввела в Word поддержку специальной команды, автоматически переводящей арабские цифры в римские. 21-й XXI 20-й XX 19-й XIX 18-й XVIII 17-й XVII 16-й XVI 15-й XV 14-й XIV 13-й XIII 12-й XII 11-й XI 10-й X 9-й IX 8-й VIII 7-й VII 6-й VI 5-й V 4-й IV 3-й III 2-й II 1-й I Римские цифры, придуманные более 2500 лет тому назад, использовались европейцами на протяжении двух тысячелетий, затем были вытеснены арабскими цифрами. Это произошло потому, что римские цифры записать достаточно сложно, да и любые арифметические действия в римской системе выполнять гораздо сложнее, чем в арабской системе исчисления. Не смотря на то, что сегодня римская система не часто используется, это вовсе не значит, что она стала неактуальна. В большинстве случаев века римскими цифрами обозначают, а вот годы или точные даты принято писать арабскими цифрами. Римскими цифры также используются при написании порядковых номеров монархов, энциклопедических томов, валентности различных химических элементов. На циферблатах ручных часов также часто используются цифры римской системы исчисления. Римские цифры представляют собой определенные знаки, с помощью которых записывают десятичные разряды и их половины. Используют для этого всего семь заглавных букв латинского алфавита. Числу 1 соответствует римская цифра I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. При обозначении натуральных чисел эти цифры повторяются. Так 2 можно написать, используя два раза I, то есть 2 – II, 3 — три буквы I, то есть 3 – III. Если меньшая цифра стоит перед большей, то используется принцип вычитания (меньшая цифра вычитается из большей). Так, цифра 4 изображается как IV (то есть 5-1). В случае, когда большая цифра стоит впереди меньшей, их складывают, например 6 записывается в римской системе, как VI (то есть 5+1). Если Вы привыкли записывать числа арабскими цифрами, то могут возникнуть некоторые затруднения в том случае, когда нужно записать века римскими цифрами, какое-либо число или дату. Перевести любое число из арабской системы в римскую систему исчисления и наоборот можно очень легко и очень быстро, воспользовавшись удобным конвертером на нашем сайте. На клавиатуре компьютера достаточно перейти на английский язык, чтобы без труда записать любое число римскими цифрами. По всей видимости, древние римляне отдавали предпочтение прямым линиям, поэтому все их цифры прямые и строгие. Однако, римские цифры представляют собой ни что иное, как упрощенное изображение пальцев человеческой руки. Цифры с одного до четырех напоминают вытянутые пальцы, цифру пять можно сравнить с раскрытой ладонью, где большой палец оттопырен. А цифра десять напоминает две скрещенные руки. В европейских странах при счете принято разгибать пальцы, а вот в России, наоборот, загибать. Конвертер римских цифр — онлайн-переводчик чисел/даты/года Поиск инструмента Найдите инструмент в dCode по ключевым словам: Просмотрите полный список инструментов dCode Преобразование римских цифр Инструмент для преобразования из/в римские цифры (I, V, X, L, C, D и M), позволяющий писать целые числа и использовались в Античном Риме и делать преобразования. Результаты Преобразование римских цифр — dCode Метки: Система счисления, История Поделиться dCode и многое другое dCode бесплатен, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день! Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode ! Преобразователь римских цифр в индийско-арабский (английский) Числа римскими цифрами (II,IV,XIII,…) MCMXCVIII Показать подробную таблицу каждого числа См. также: Век года Писатель римских цифр Числа (1,23,456…) писать римскими цифрами 2022 09 17 Показать подробную таблицу каждого числа См. также: Вавилонские цифры — Цифры майя — Египетские цифры Ответы на вопросы (FAQ) Что такое римские цифры? (Определение) Римские цифры — это название, данное системе счисления, использовавшейся в древнеримские времена, при чтении слева направо используются 7 букв, значения которых складываются или вычитаются в зависимости от их положения. Какие буквы писать римскими цифрами? В римской нумерации используется 7 букв, соответствующих 7 цифрам. Roman digits chart from 1 to 1000: I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 Д 500 М 1000 Более нескольких тысяч букв для обозначения этих чисел не существует. However, some archaic scripts (more rare) used 4 other symbols Ɔ 500 ↀ 1000 ↁ 5000 ↂ 10000 Как читать/писать римскими цифрами? Римская цифра использует два правила: — (1) Любая буква $ L_2 $, расположенная справа от другой буквы $ L_1 $, добавляется, если $ L_2 \leq L_1 $ Пример: VI = 5 + 1 = 6 XX = 10 + 10 = 20 — (2) Любая единичная буква $L_1 = \rm{I}$, стоящая непосредственно слева от другой буквы $L_2 \neq \rm{I}$, вычитается. Пример: IV = 5 — 1 = 4 IX = 10 — 1 = 9 Правило (2) иногда распространяется на: Любую букву $ L_1 $, расположенную непосредственно слева от другой буквы $ L_2 > L_1$ вычитается. Пример: XC = 100 — 10 = 90 Следовательно, теоретически любой символ (буква) повторяется максимум 3 раза подряд. Example: 1 20 50053 MMXVIIIin roman numerals 1970 in roman numerals MCMLXX 1971 in roman numerals MCMLXXI 1972 in roman numerals MCMLXXII 1973 in roman цифры MCMLXXIII 1974 in roman numerals MCMLXXIV 1975 in roman numerals MCMLXXV 1976 in roman numerals MCMLXXVI 1977 in roman numerals MCMLXXVII 1978 в римские цифры MCMLXXVIII 1979 в римские цифры 9017 9MLXX53 0054 1980 in roman numerals MCMLXXX 1981 in roman numerals MCMLXXXI 1982 in roman numerals MCMLXXXII 1983 in roman numerals MCMLXXXIII 1984 в римскими цифрами MCMLXXXIV 1985 в римскими цифрами MCMLXXXV 2 286 in roman numerals MCMLXXXVI 1987 in roman numerals MCMLXXXVII 1988 in roman numerals MCMLXXXVIII 1989 in roman numerals MCMLXXXIX 1990 in римские цифры MCMXC 1991 в римские цифры MCMXCI 1992 в 9 римские цифры0044 MCMXCII 1993 in roman numerals MCMXCIII 1994 in roman numerals MCMXCIV 1995 in roman numerals MCMXCV 1996 in roman numerals MCMXCVI 1997 в римские цифры MCMXCVII 1998 в римские цифры 9017 900VIII 0172 1999 in roman numerals MCMXCIX 2000 in roman numerals MM 2001 in roman numerals MMI 2002 in roman numerals MMII 2003 в римскими цифрами MMIII 2004 в римскими цифрами MMIV 2005 в 90 9043 римскими цифрами0053 MMV 2006 in roman numerals MMVI 2007 in roman numerals MMVII 2008 in roman numerals MMVIII 2009 in roman numerals MMIX 2010 в Римские цифры MMX 2011 в Римские цифры MMXI 2012 В Roman Numers 2012. 0044 MMXII 2013 in roman numerals MMXIII 2014 in roman numerals MMXIV 2015 in roman numerals MMXV 2016 in roman numerals MMXVI 2017 в римскими цифрами MMXVII 2018 в римскими цифрами MMXIX 2020 in roman numerals MMXX 2021 in roman numerals MMXXI 2022 in roman numerals MMXXII 2023 in Римские цифры MMXXIII 2024 В Римские цифры MMXXIV 2025 в Roman Numerals MMX.0054 Как работает конвертер из/в римские цифры? Программа автоматически определяет, является ли число арабскими цифрами или римскими цифрами и производит преобразование/перевод. Римская нумерация не позволяет записывать большие числа, после 9999 программа будет отображать количество тысяч отдельно. Это письмо не стандартизировано, но остается понятным. Программа очень либеральна и допускает неправильно построенные римские числа, не соответствующие правилу (2). Пример: IVX переводится как 6 Как написать ноль (0) римскими цифрами? Римляне ноль не использовали, для них это была не цифра, а состояние пустоты, поэтому они его не писали (отсутствие числа указывает на ноль). dCode пишет либо ?? или 0 . Как написать четыре (4) римскими цифрами? Четыре пишется IV , однако это ПО указывает, что IIII = 4, необычно, IIII является допустимым вариантом IV . Его можно найти сегодня (обычно в часах или часах). Как написать дату римскими цифрами? Не существует определенного способа написания даты (или даты рождения), кроме написания числа дня, месяца и года отдельно. Пример: 12/06/2008 = XII/VI/MMVIII В dCode есть инструмент для написания даты на латинице. В некоторых европейских странах века иногда пишут римскими цифрами . Какое самое большое число записано римскими цифрами? Числа выше 10000 были немыслимы, без какого-либо инструмента расчета они были бесполезны. Если вы хотите записать значение в сотни тысяч, можно представить себе запись сотен М в начале числа. Пример: 9999 = MMMMMMMMMCMXCIX (немного смешно) Как записать отрицательные числа римскими цифрами? Негативное написание не распознано, возможно, его не было. Понятие положительных или отрицательных чисел связано с понятием нуля (которое не было известно римлянам). Однако сегодня добавление — может помочь понять. Пример: -XXV = -25 Как записать десятичное число римскими цифрами? Использование десятичных чисел очень мало описано в книгах по истории, однако вполне вероятно, что они использовали дроби, включая двенадцатеричную систему валюты (с основанием 12), которая позволяла делиться на 2, 3, 4, 6 и 12 без знаков после запятой. Когда были изобретены римские цифры? Римские цифры родились вместе с Античным Римом, то есть начиная с 7 века до н.э. Например, они использовались с латынью. Как писать римские цифры с помощью Unicode? Римские цифры были добавлены в стандарт Unicode, они кодируют одним символом каждое число от 1 до 12 (используется в часах) и 8 других чисел: Символ Unicode Значение Unicode character Value Unicode character Value Ⅰ 1 Ⅱ 2 Ⅲ 3 Ⅳ 4 Ⅴ 5 Ⅵ 6 Ⅶ 7 Ⅷ 8 Ⅸ 9 Ⅹ 10 Ⅺ 11 Ⅻ 12 Ⅼ 50 Ⅽ 100 Ɔ 500 Ⅾ 500 ↀ 1000 Ⅿ 1000 ↁ 5000 ↂ 10000 Когда использовать римские цифры? Римские цифры изучаются в начальной школе, но используются редко, за исключением математики или истории. Использование сегодня ограничено часами, датами, но также и татуировками, многие татуировки используют Римские цифры . Исходный код dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Преобразование римских цифр». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Преобразование римских цифр», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или алгоритма «Римские цифры». Функции преобразования» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, script или доступ к API для «Преобразования римских цифр» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android! Напоминание: dCode можно использовать бесплатно. Cite dCode Копирование и вставка страницы «Преобразование римских цифр» или любых его результатов разрешено, если вы цитируете dCode! Цитировать как источник (библиографию): Преобразование римских цифр на dCode.fr [онлайн-сайт], получено 17 сентября 2022 г., https://www.dcode.fr/roman-numerals Сводка Преобразователь римских цифр в индийско-арабский (английский) Устройство записи римских цифр Что такое римские цифры? (Определение) Какие буквы писать римскими цифрами? Как читать/писать римскими цифрами? Как работает конвертер из/в римские цифры? Как записать ноль (0) римскими цифрами? Как написать четыре (4) римскими цифрами? Как написать дату римскими цифрами? Какое самое большое число записано римскими цифрами? Как записать отрицательные числа римскими цифрами? Как записать десятичное число римскими цифрами? Когда были изобретены римские цифры? Как писать римскими цифрами с помощью Unicode? Когда использовать римские цифры? Similar pages Egyptian Numerals Mayan Numerals Babylonian Numerals Century of a Year Shadoks Numeral System Words in Numbers Number in Letters DCODE’S TOOLS LIST Поддержка PayPal Patreon Подробнее Форум/Помощь Ключевые слова Romar, Numeral, Convert, Anthique, Comten, Arabic, Rome, Number, Number. ▲ Римские цифры — история и использование Римские цифры — история и использование Римские цифры используются до сих пор и их можно найти во многих местах . Они до сих пор используются почти во всех случаях для даты авторского права на фильмы, телевизионные программы и видео — например, MCMLXXXVI на 1986. Вы можете увидеть пример текущей даты авторского права, написанной таким образом, в Интернете по адресу сайт БиБиСи, на данный момент конечно ММВ. Они также используются для отображения часов на некоторых аналоговых часах. Но здесь четверка почти всегда изображается как IIII, а не как IV. Исключением являются одни из самых известных часов в мире — обычно называемый Биг-Беном в Часовой башне Вестминстерского дворца, где Британские здания парламента расположены. Цифры написаны строчными буквами готическим шрифтом, а цифра 4 изображена как iv. См. также «Часы четверок». обсуждение того, почему используется IIII, и другие примеры IV на циферблатах. Компания Intel, производитель компьютерных микросхем, назвала новую версию своего процессора Pentium выпустила в мае 1997 года Pentium II. Следующей версией был Pentium III. Но в 2000 году Intel представила свой последний чип как Pentium 4. Возможно В Intel считали, что Pentium IV слишком сложен для людей. Их можно использовать для предварительных страниц книги до начала нумерации основных страниц. Здесь цифры обычно используют строчные буквы, поэтому страницы i, iv, xi и так далее. Спортивные мероприятия часто нумеруются римскими цифрами. Олимпийские игры в Афинах в 2004 году 28-я игра в наше время называлась Игры XXVIII Олимпиада, что свидетельствует о том, что это 28-я игра современной эпохи с момента первой в 1896 году. Зимние игры 2006 года в Турине, Италия, будут XX Зимними играми; они начались в 1924 г. и проходили в том же году, что и Летние игры до 1992 г. Пекин будет XXIX Олимпиада 2008 года и Игры 2012 года, выигранные Лондоном, станут ХХХ Олимпиадой. Если считать Олимпийские игры, то те, которые были отменены во время войны в 1916, 1940 и 1944 включены. В США чемпионат по американскому футболу называется Суперкубок. В 2005 году 39-й чемпионат был Super Bowl XXXIX, а событие 2006 года будет Super Bowl XL. Монархи обычно нумеруются латинскими буквами — например, король Англии Эдуард VII, Людовик XIV Франции. Папы также нумеруются римскими цифрами. Папой Римским был Иоанн Павел II, а нынешним Папой Римским является Бенедикт XVI. Эта форма также иногда встречается при наименовании старших сыновей в американских семьях, где последующие поколения носят одно и то же имя. В первый раз сына называют Младшим или Младшим. В следующих поколениях Используются римские цифры. 22 июля 2005 г. Columbus Dispatch сообщил о смерти 80-летнего старый ветеран войны Джозеф М. Клиффорд-младший в возрасте 80 лет. Его сын Джозеф М. Клиффорд III из Феникса, штат Аризона, пережил его. Их можно найти в нумерации параграфов в сложных документах, чтобы уточнить, какие разделы являются основными, а какие подразделами, т.е. II.3.iv.(5). И они используются по тем же причинам, чтобы показать номер тома периодических изданий, например, том VI № 5. The New York Times до сих пор делает это на своей первой полосе — например, VOL. CXLVII..№ 51,305. Иногда Первую и Вторую мировые войны называют Первой и Второй мировыми войнами или даже Первой и Второй мировыми войнами. Римские цифры можно увидеть на общественных зданиях, памятниках и надгробиях, иногда когда надпись на латинице, но часто просто для того, чтобы придать дате определенную серьезность. На надгробиях, а также в дате смерти могут быть использованы римские цифры для возраста умершего. До 18 века они широко использовались для даты публикации на печатных книгах. С тех пор они до сих пор иногда встречаются на титульном листе, обычно в специально отпечатанных или роскошных изданиях. Вплоть до восемнадцатого века римские цифры использовались в Европе для ведения бухгалтерского учета, хотя Индо-арабские цифры, которые мы используем сегодня, были известны в Европе и широко использовались в Европе примерно с 1000 года нашей эры. Говорят, что на это есть две причины. Сложение и вычитание очень просто с римскими цифрами. Индо-арабские цифры легче ошибиться или подделать — 0 может выглядеть очень похоже на 6, 8 или 9 или превратиться в единицу одним штрихом. Хотя простая арифметика может быть проще с римскими цифрами, умножение и деление, дроби и более сложная математика сложны и отсутствие нуля является особым недостатком. Так постепенно индо-арабские цифры вытеснили в обиходе римские. Использование римских цифр Версия 2.21, 25 сентября 2005 г.   Все материалы на этих страницах принадлежат Полу Льюису 1997-2005 Таблица римских цифр | Таблица римских цифр в числа Римские цифры преобразуются в числа: Но если римские цифры были буквами, то как римляне могли считать до того, как научились писать? ПОДРОБНЕЕ Таблица римских цифр помогает нам преобразовать римские цифры в числа (см. таблицу римских цифр ниже. Но будьте осторожны (!!!), если римские цифры записывались буквами и если письменность была лишь более поздним развитием римского общества, как могла ранние римляне считали и записывали числа? Известные нам символы римских чисел не были самыми ранними формами, которые они использовали: более старые формы вообще не были связаны с алфавитом и постепенно видоизменялись. Формы L, D, M чисел 50, 500, 1000 относятся только к I веку до нашей эры! т.е. >700 лет позже, чем самое раннее основание Рима Ромулом. Самые ранние формы номеров D&M датируются надписью 89 г. до н.э. (CIL IV 590). Самая ранняя буква «L», эквивалентная числу «50», встречается в надписи (CIL I 594) от 44 г. до н.э. в законе, написанном под руководством Марка Антония (и Юлия Цезаря) на бронзовых досках, найденных в Испании. Неудивительно, что это связано с римской торговлей и ведением финансовых счетов. » Quot cuique negotii publice in columnia de decurionum sententia datum erit, is cui negotium datum erit eius rei rationem decurionibus reddito referto que in diebus CL proximis quibus it negotius confecerit quibusve it poterloere deit fibusve it poterloere deit мало». Приблизительно переводится как: «Если декурионы предоставят какому-либо лицу право на публичную торговлю в колонии, такое лицо будет вести и предоставлять заслуживающие доверия счета декурионам в течение 150 дней после завершения дела» Номер Римские цифры Примечания к таблице 1 я Как 1 палец. Обратите внимание, что нет числа «0»! 0 был арабским изобретением, появившимся намного позже. 2 II два пальца 3 III три пальца 4 IV Иногда отображается как IIII, но «неверно». Обратите внимание, что 1 палец перед 1 рукой обозначает «-1». т.е. «на один палец меньше руки». Вы не получите IIV, хотя! 5 В Как открытая ладонь 6 VI 1 рука + 1 палец 7 VII   8 VIII   9 IX На 1 палец меньше двух полных рук: 10-1=9 10 х Две буквы V, расположенные спиной к спине, образуют букву «Х». Пальцы на две руки. 50 л   100 С «С» означает «сто». Так же, как C вхождение составляет сто лет. Буква C может использоваться так же, как «I», «X» или «M»: II=2; ХХ=20; СС=200; ММ=2000 500 Д Просто, если вы понимаете, почему: Круглые скобки, которые выглядят как заглавная буква «С» вокруг буквы Я имею в виду «умножить на 1000», что делает ее похожей на букву «М». Скобка только с одной стороны умножает I только на половину от 1000″, то есть на 500. Обратите внимание, как буква I и половина скобки выглядят как буква D! 1000 М Просто, если вы понимаете, почему: Скобки вокруг я имею в виду «умножить на 1000», что делает его похожим на букву «М»: . Обратите внимание, что рассматриваемые скобки были очень изогнутыми, больше похожими на букву «С». >4000 Разное Существуют различные способы обозначения больших чисел. К ним относятся черта над числом для умножения на 1000, скобки для обозначения умножения на 10 или просто цифры перед большими символами для обозначения простого умножения малого на большое VM=5000   Стоит привести несколько примеров, чтобы понять, как могли использоваться эти символы.   1) Число 99 будет записано как IC: 1 без 100 равно 99! 2) Год 1999 был бы записан как MDCCCCIC. т.е. 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 99 (см., например, 1) Внимательный читатель любезно указал на более сжатую версию 1999 года: MCMXCIX. Спасибо, Грег! 3) 2005 год был бы записан как ММВ. т.е. 1000 + 1000 + 5 4) 498 будет CCCCLXXXXVIII (четыре 100 + 50 + четыре десятки + 5 и три I) 5) 499 будет ID 6) 6000 будет MMMMMM или VIM или VI или (D)M и различные другие варианты. Таблица древнеримских цифр и преобразование римских цифр в числа — это гораздо больше, чем просто современная таблица преобразования: она дает представление о том, как римские письменные символы развивались с течением времени в соответствии с потребностями общества. Таблица римских цифр дает представление о римском менталитете и вместе с абаком была важной опорой римской римской экономики и торговли.   СВЯЗАННЫЕ СТРАНИЦЫ РАЗНОЕ ИНФОРМАЦИЯ ДРЕВНИЙ РИМ УКАЗАТЕЛЬ КАТЕГОРИЙ ДРЕВНЕГО РИМА Конвертер дат с римскими цифрами Содержание: Конвертер дат с римскими цифрами Таблица римских цифр Таблица римских цифр лет Полезен ли этот инструмент?  Да Нет Возможно   Как мы можем его улучшить? Минимальное количество символов 10 Римские цифры Конвертер дат Римские цифры — это древнеримская система счисления, которая оставалась распространенной в позднем средневековье как обычный способ записи чисел по всей Европе. Комбинации букв латинского алфавита представляют числа в этой системе. Для современного использования используются семь символов с фиксированным целочисленным значением: Спустя долгое время после распада Римской империи использование римских цифр продолжалось. Римские цифры начали заменяться более удобными арабскими цифрами в большинстве контекстов в 14 веке. Однако этот процесс был прогрессивным, и в некоторых второстепенных приложениях использование римских цифр продолжается и по сей день. В настоящее время многие люди также используют этот инструмент, чтобы найти дату рождения римскими цифрами. Дата римскими цифрами Одно место, которое вы часто видите для даты в римских цифрах, находится на циферблате часов. Например, в Биг-Бене и на других исторических часах Британской империи часы с 1 по 12 написаны римскими цифрами, разработанными в 1852 году: I 4 II III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII

 

Здесь следует отметить один интересный факт: IV и IX можно читать как «один до пяти» (4) и «один до десяти» (9). ). Однако 4 традиционно пишется как IIII на большинстве циферблатов с римскими цифрами.

Другое распространенное использование включает номера годов для памятников и зданий, а также даты авторских прав на титульных экранах фильмов и телепередач. MCM, что означает «1000», и на 100 меньше, чем другая 1000, означает 1900, поэтому 1912 записывается как MCMXII. ММ указывает 2000 год для этого века. Итак, MMXIX — это текущий год.

---

Если вы хотите сделать это по «правилам»

Каждое правило понятно само по себе, опираясь на предыдущее. Любые технические термины при первом использовании объясняются. Хотя каждое правило должно быть достаточно кратким, оно не должно сводиться к непонятности. Чтобы сделать их ясными, некоторые правила требуют примечания или двух.

Римские цифры — это неформальное соглашение для обозначения чисел, основанное на классическом использовании Римской империи. Это условное обозначение выражается следующими правилами:

1. Счет в латинском языке преимущественно десятичный (сотни, десятки и единицы). В римских цифрах это отражает каждую степень десяти, отмеченную отдельно, слева направо, как и в случае со стандартными «арабскими» цифрами. Каждая степень имеет свое обозначение, поэтому:

1. Символы обозначают единицы

I (= 1) и V (= 5)

2. Символы экспрессируют TENS

x (10) и L (= 50).

C (=100) и D (=500)

2. Для каждой степени несколько основных символов (I, X, C) строятся как сумма, и поэтому:

1. I=1, II=2, III=3
2. X=10, XX=20, XXX=30
3. C=100, CC=200, CCC=300

Это дополнение к основному счету называется аддитивной записью.

3. Для каждой степени числа десять есть промежуточный символ, представляющий 5 базовых символов подсчета.

 

1. V=5
2. L=50
3. D=500

Такие числа называются пятеричными.

4. Для каждой степени пятеричное число, которому предшествует основное число, представляет 4 (5-1) основных символа.

1. IV=4
2. XL=40
3. CD=400

Это пример «вычитательной записи». Единственным «регулярным» исключением из этого правила является то, что обычно на циферблате 4 (IV) обозначается как «IIII».

 

5. Подсчет основных чисел следует за пятеричным числом, чтобы можно было представить остальные значения этой степени.

1. VI=6, VII=7, VIII=8
2. LX=60, LXX=70, LXXX=80
3. DC=600, DCC=700, DCCC=800

6. Для каждой мощности базовый символ для следующего повышения мощности, которому предшествует базовый символ, представляет 9 (10-1) базовых символов.

1. IX=9
2. XC=90
3. CM=900

«M» используется в качестве базового символа тысяч для целей этого правила, но M(=1000) является особым случаем- например, для 5000 не существует стандартизированного пятерного числа. Не существует классического прецедента современного использования «М» в качестве аддитивного символа в (скажем) MMXVIII, тогда как римские цифры для чисел больше 3,999 (MMMCMXCIX), в настоящее время не используются или не применяются на практике.

 

7. С точки зрения этих правил никакая комбинация избыточных символов с обычным числом, описанная в любом из предыдущих правил, не является «правильной», хотя в некоторых случаях может быть надпись. аддитивное число (VV = X = 10), вычитающее число (IIX = VIII = 8), пятизначные числительные, которые были двусмысленными или сокращались (IXI = X = 10). три избыточных повторения любого символа, так что такое обозначение является правильным только в исключительном случае циферблатов.0024

---

Не понимаете правил?

Несомненно, правила римских цифр сложны для понимания. Более того, когда вы спешите перевести дату в римские цифры, вы не можете пройтись по каждому правилу и преобразовать ее самостоятельно. Поэтому мы разработали конвертер дат с римскими цифрами, чтобы конвертировать даты легко и быстро.

Вы можете выбрать формат даты, например, ДД.ММ.ГГГГ или ММ.ДД.ГГГ

Аналогичным образом, вы также можете выбрать разделитель, например, маркер ( ^. ), тире (-), точка (.), пробел ( ), подчеркивание (_), косая черта (/).

Как только вы выберете дату для конвертации, наш преобразователь даты в римские цифры мгновенно преобразует дату в римскую. Конвертер дат с римскими цифрами — удобный инструмент для преобразования десятичных дат в числовые. Калькулятор римских цифр отлично работает как конвертер дат в римские цифры для каждого года и каждой даты.

---

Интересные римские цифры Даты

Даты, написанные римскими цифрами, или год, например, 2018, цифрами — это мода на опечатки среди пользователей социальных сетей. Даты римскими цифрами пишут уже много лет. Дата римскими цифрами для больших чисел в настоящее время используется в основном в виде числа года, как в этих исторических примерах:

• 1776 (M+DCC+LXX+VI) = MDCCLXXVI (дата, указанная в книге, хранящейся у Статуи Свободы).
• 1954 (M+CM+L+IV) = MCMLIV (как в трейлере к фильму Последний раз, когда я видел Париж ).
• 2014 (MM+X+IV) = MMXIV (год проведения XXII (22-х) Олимпийских зимних игр (в Сочи).
• Текущий год (2019 цифрами)  MMXIX .

Наибольшее число, которое может быть представлено в этих обозначениях, равно 3,999 ( MMMCMXCIX ).

 

---

Roman numerals table

Roman numeral	Decimal number
I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

---

Roman numerals Years table

0053 2005

Year	Roman numeral
1000	M
1100	MC
1200	MCC
1300	MCCC
1400	MCD
1500	MD
MD
1600	MDC
1700	MDCC
1800	MDCCC
1900	MCM
1990	MCMXC
1991	MCMXCI
1992	MCMXCII
1993	MCMXCIII
1994	MCMXCIV
1995	MCMXCV
1996	MCMXCVI
1997	MCMXCVII
1998	MCMXCVIII
1999	MCMXCIX
2000	MM
2001	MMI
2002	MMII
2003	MMIII
2004	MMIV 9	MMV
2006	MMVI
2007	MMVII
2008	MMVIII
2009	MMIX
2010	MMX
2011	MMXI
2012	MMXII
2013	MMXIII
2014	Mmxiv
2014	MMXIV0054
2015	MMXV
2016	MMXVI
2017	MMXVII
2018	MMXVIII
2019	MMXIX
2020	MMXX
2021	MMXXI
2022	MMXXII
2023		MMXX4	25		25	0053 2024	MMXXIV
2025	MMXXV

Roman Numerals I, V, X, C, D, D, M -3 -й класс Math

7666666666666666.

Числа типа I, VI и IX называются римскими цифрами (или римскими цифрами ).

👉 Эти числа придумали древние римляне почти 3000 лет назад!

г. Вы все еще увидите римские цифры, используемые сегодня. 🤗

В этом уроке давайте научимся читать и писать римские числа. 🤗

Римские цифры 1 — 10

Вот как считать от 1 до 3 римскими цифрами:

I = 1

II = 2

III = 3

Легко, верно?

Можете ли вы угадать, что такое 4? Вы можете подумать, что это 4 I, но на самом деле это:

IV = 4

Что это за символ V ? 🤔

Римскими цифрами, V — это символ 5.  

V = 5

Римскими цифрами нельзя писать более 3 одинаковых символов подряд.

Поэтому после III идет IV.

Как вы думаете, что идет после V? 🤔

Добавляем еще одну I.

VI = 6

Мы можем добавить еще одну I , чтобы получить 7.

VII = 7

В римских цифрах нормально иметь 3 любых символа подряд, но не более. Итак, после 7 идет:

VIII = 8

Что теперь делать? Мы не можем добавить еще одну I. Поэтому нам нужно использовать новый больший символ:

X = 10

Чтобы получить 9, мы отнимем 1 от 10:

IX = 9

Помните: , когда мы пишем I перед более крупный символ, такой как V или X, мы отнимаем от этого числа.

Молодец, научился считать от I до X римскими цифрами!

Чтобы сосчитать до 10, нужно использовать 3 символа, составляющих римские цифры: I, V, X.

Теперь давайте изучим остальные 4 символа: L, C, D, и M.

.

mramp Все римские цифры состоят из семи символов.

You just learned I, V, and X. Here are the 4 bigger symbols:

L = 50

C = 100

Tip: a c entury это 100 лет. Он начинается с c.

D = 500

M = 1000

TINIT: A M Illennium ! Начинается с м.

СОВЕТ!

😎 Вы можете использовать это предложение , чтобы помочь вам запомнить порядок:

Правила для римских цифр

✅ Все римские цифры представляют собой комбинации0955 из основных 7 символов.

Эти комбинации соответствуют четырем важным правилам:

Правилу 1:

Например,

VI = 5 + 1 =