Мы все пользуемся римскими цифрами – отмечаем ими номера веков или месяцев года. Римские цифры находятся на часовых циферблатах, в том числе на курантах Спасской башни. Мы их используем, но знаем про них не так много.
Как устроены римские цифры
Римская система счета в ее современном варианте состоит из следующих базовых знаков:
I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000
Чтобы запомнить цифры, непривычные для нас, пользующихся арабской системой, существует несколько специальных мнемонических фраз на русском и английском языках: Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх Mы Dаем Cоветы Lишь Xорошо Vоспитанным Iндивидуумам I Value Xylophones Like Cows Dig Milk
Система расположения этих цифр друг относительно друга такова: числа до трех включительно образуются при помощи сложения единиц (II, III), — четырехкратное повторение любой цифры запрещено. Чтобы образовать числа больше трех, складываются или вычитаются большая и меньшая цифры, для вычета меньшая цифра ставится перед большей, для прибавления — после, (4 = IV), та же логика действует и с другими цифрами (90 = XC). Порядок расположения тысяч, сотен, десятков и единиц тот же, что и привычный нам.
Важно, что любая цифра не должна повторять больше трех раз, таким образом, самое длинное число до тысячи – 888 = DCCCLXXXVIII (500+100+100+100+50+10+10+10+5+1+1+1).
Альтернативные варианты
Запрет на четвертое использование одной и той же цифры подряд стал появляться только в XIX веке. Поэтому в старинных текстах можно увидеть варианты IIII и VIIII вместо IV и IX, и даже IIIII или XXXXXX вместо V и LX. Остатки этого написания можно увидеть на часах, где четыре часто отмечается именно с помощью четырех единиц. В старых книгах также нередки случаи двойных вычитаний – XIIX или IIXX вместо стандартных в наши дни XVIII.
Также в Средневековье появилась новая римская цифра – ноль, который обозначался буквой N (от латинского nulla, ноль). Большие числа отмечались специальными знаками: 1000 — ↀ (или C|Ɔ),5000 – ↁ(или |Ɔ),10000 – ↂ (или CC|ƆƆ). Миллионы получаются при двойном подчеркивании стандартных цифр. Дроби римскими цифрами тоже писали: с помощью значков отмечались унции – 1/12, половина отмечалась символом S, а все, что больше 6/12 – прибавлением: S = 10\12. Еще один вариант – S::.
Происхождение
На данный момент не существует единой теории происхождения римских цифр. Одна из самых популярных гипотез гласит, что этрусско-римские цифры произошли от системы счета, которая использует вместо цифры штрихи-зарубки.
Таким образом, цифра «I» — это не латинская или более древняя буква «и», а насечка, напоминающая форму этой буквы. Каждую пятую насечку обозначали скосом – V, а десятую перечеркивали – Х. Число 10 выглядело в этом счете следующим образом: IIIIΛIIIIX.
Именно благодаря такой записи цифр подряд мы обязаны особой системе сложения римских цифр: со временем запись числа 8 (IIIIΛIII) могла сократиться до ΛIII, что убедительно демонстрирует, каким образом римская система счета получила свою специфику. Постепенно зарубки превратились в графические символы I, V и X, и приобрели самостоятельность. Позже они стали идентифицироваться с римскими буквами – так как были на них внешне похожи.
Альтернативная теория принадлежит Альфреду Куперу, который предположил рассмотреть римскую систему счета с точки зрения физиологии. Купер считает, что I, II, III, IIII – это графическое представление количества пальцев правой руки, выкидываемых торговцем при назывании цены. V – это отставленный большой палец, образующий вместе с ладонью подобную букве V фигуру.
Именно поэтому римские цифры суммируют не только единицы, но и складывают их с пятерками – VI, VII и т.п. – это откинутый большой палец и другие выставленные пальцы руки. Число 10 выражали с помощью перекрещивания рук или пальцев, отсюда пошел символ X. Еще один вариант – цифру V попросту удвоили, получив X. Большие числа передавали с помощью левой ладони, которая считала десятки. Так постепенно знаки древнего пальцевого счета стали пиктограммами, которые затем начали отождествлять с буквами латинского алфавита.
Современное применение
Сегодня в России римские цифры нужны, в первую очередь, для записи номера века или тысячелетия. Римские цифры удобно ставить рядом с арабскими – если написать век римскими цифрами, а затем год – арабскими, то в глазах не будет рябить от обилия одинаковых знаков. Римские цифры имеют некоторый оттенок архаичности. С их помощью также традиционно обозначают порядковый номер монарха (Петр I), номер тома многотомного издания, иногда – главы книги. Также римские цифры используются в циферблатах часов под старину. Важные числа, такие, как год олимпиады или номер научного закона, могут также фиксироваться при помощи римских цифр: II мировая, V постулат Евклида.
В разных странах римские цифры употребляются немножко по-разному: в СССР было принято указывать с помощью них месяц года (1.XI.65). На западе римскими цифрами часто пишут номер года в титрах фильмов или на фасадах зданий.
В части Европы, в особенности в Литве, нередко можно встретить обозначение римскими цифрами дней недели (I – понедельник и так далее). В Голландии римскими цифрами иногда обозначают этажи. А в Италии ими отмечают 100-метровые отрезки пути, отмечая, в то же время, арабскими цифрами каждый километр.
В России при письме рукой принято подчеркивать римские числа снизу и сверху одновременно. Однако часто в других странах подчеркивание сверху значило увеличение регистра числа в 1000 раз (или 10000 раз при двойном подчеркивании).
Существует распространенное заблуждение о том, что современные западные размеры одежды имеют некую связь с римскими цифрами. На самом деле обозначения XXL, S, M, L и т.п. не имеют никакой связи с ними: это аббревиатуры английских слов eXtra (очень), Small (маленький), Large (большой).
Римские цифры часто вызывают у нас затруднение. А ведь именно их принято использовать при нумерации столетий и книжных глав, при обозначений размеров одежды и ступеней в музыке. Римские цифры есть в нашей жизни. Так что рано отказываться от них. Проще узнать, понять и выучить. Тем более, что это несложно. Итак, для обозначения цифр в латинском языке приняты комбинации следующих 7 знаков: I(1), V (5), X (10), L (50), C(100), D(500), M (1000). Почему для обозначения цифр 5, 50, 100, 500 и 1000 были выбраны латинские буквы? Оказывается, это не латинские буквы, а совсем иные знаки. Дело в том, что основой для латинского алфавита, (а он, кстати, существует в нескольких вариантах — 23, 24 и 25 буквы) послужил западногреческий алфавит.
Таким образом, к западногреческому алфавиту восходят три знака L, C, и M. Здесь они обозначали придыхательные звуки, которых не было в латинском языке. Когда оформлялся латинский алфавит, именно они оказались лишними. И их приспособили для обозначения чисел в латинской графике. Позднее они по написанию совпали с латинскими буквами. Так, знак С (100) стал похож на первую букву латинского слова centum (сто), а М — (1000) — на первую букву слова mille (тысяча). Что же касается знака D (500), то он представлял собой половину знака Ф (1000), а потом уже стал похож на латинскую букву. Знак V (5) являлся всего-навсего верхней половиной знака Х (10). В связи с этим, кстати, популярная теория о том, что название церковной должности Папы Римского (Vicarius Filii Dei) при замене букв римскими цифрами в сумме дает “дьяволово число”, кажется забавной.
Итак, как же разобраться в латинских числах? Если знак, обозначающий меньшее число, стоит справа от знака, обозначающего большее число, то меньшее прибавляют к большему; если слева — то вычитают: VI — 6, т.е. 5+1 IV — 4, т.е. 5-1 LX — 60, т.е. 50+10 XL — 40, т.е. 50-10 CX — 110, т.е.100+10 XC — 90, т.е. 100-10 MDCCCXII — 1812, т.е. 1000+500+100+100+100+10+1+1.
Возможно различное обозначение одного и того же числа. Так, число 80 можно представить как LXXX (50+10+10+10) и как XXC(100-20). Основные римские цифры выглядят так: I(1) — unus (унус) II(2) — duo (дуо) III(3) — tres (трэс) IV(4) — quattuor (кваттуор) V(5) — quinque (квинквэ) VI(6) — sex (сэкс) VII (7) — septem (сэптэм) VIII (8) — octo (окто) IX (9) — novem (новэм) X (10) — decem (дэцем) и т.д.
XX (20) — viginti (вигинти) XXI (21) — unus et viginti или viginti unus XXII (22) — duo et viginti или viginti duo и т.д. XXVIII (28) — duodetriginta (дуодэтригинта) XXIX (29) — undetriginta (ундэтригинта) XXX (30) — triginta (тригинта) XL (40) — quadraginta (квадрагинта) L (50) — quinquaginta (квинквагинта) LX (60) — sexaginta (сэксагинта) LXX (70) — septuaginta (сэптуагинта) LXXX (80) — octoginta (октогинтна) XC (90) — nonaginta (нонагинта) C (100) — centum (центум) CC (200) — ducenti (дуценти) CCC (300) — trecenti (трэценти) CD (400) — quadrigenti (квадригэнти) D (500) — quingenti (квингэнти) DC (600) — sexcenti (сэксценти) DCC (700) — septigenti (сэптигэнти) DCCC(800) — octingenti (октигенти) CM (DCCCC) (900) — nongenti (нонгэнти) M (1000) — mille (милле) MM (2000) — duo milia (дуо милиа) V (5000) — quinque milia (квинквэ милиа) X (10000) — decem milia (дэцем милиа) XX (20000) — viginti milia (вигинти милиа) C (1000000) — centum milia (центум милиа) XI (1000000) — decies centena milia (дэциэс центэна милиа)»
Елена Долотова.
21-й
XXI
20-й
XX
19-й
XIX
18-й
XVIII
17-й
XVII
16-й
XVI
15-й
XV
14-й
XIV
13-й
XIII
12-й
XII
11-й
XI
10-й
X
9-й
IX
8-й
VIII
7-й
VII
6-й
VI
5-й
V
4-й
IV
3-й
III
2-й
II
1-й
I
Римские цифры, придуманные более 2500 лет тому назад, использовались европейцами на протяжении двух тысячелетий, затем были вытеснены арабскими цифрами. Это произошло потому, что римские цифры записать достаточно сложно, да и любые арифметические действия в римской системе выполнять гораздо сложнее, чем в арабской системе исчисления. Не смотря на то, что сегодня римская система не часто используется, это вовсе не значит, что она стала неактуальна. В большинстве случаев века римскими цифрами обозначают, а вот годы или точные даты принято писать арабскими цифрами.
Римскими цифры также используются при написании порядковых номеров монархов, энциклопедических томов, валентности различных химических элементов. На циферблатах ручных часов также часто используются цифры римской системы исчисления.
Римские цифры представляют собой определенные знаки, с помощью которых записывают десятичные разряды и их половины. Используют для этого всего семь заглавных букв латинского алфавита. Числу 1 соответствует римская цифра I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. При обозначении натуральных чисел эти цифры повторяются. Так 2 можно написать, используя два раза I, то есть 2 – II, 3 — три буквы I, то есть 3 – III. Если меньшая цифра стоит перед большей, то используется принцип вычитания (меньшая цифра вычитается из большей).
Так, цифра 4 изображается как IV (то есть 5-1).
В случае, когда большая цифра стоит впереди меньшей, их складывают, например 6 записывается в римской системе, как VI (то есть 5+1).
Если Вы привыкли записывать числа арабскими цифрами, то могут возникнуть некоторые затруднения в том случае, когда нужно записать века римскими цифрами, какое-либо число или дату. Перевести любое число из арабской системы в римскую систему исчисления и наоборот можно очень легко и очень быстро, воспользовавшись удобным конвертером на нашем сайте.
На клавиатуре компьютера достаточно перейти на английский язык, чтобы без труда записать любое число римскими цифрами.
По всей видимости, древние римляне отдавали предпочтение прямым линиям, поэтому все их цифры прямые и строгие. Однако, римские цифры представляют собой ни что иное, как упрощенное изображение пальцев человеческой руки. Цифры с одного до четырех напоминают вытянутые пальцы, цифру пять можно сравнить с раскрытой ладонью, где большой палец оттопырен. А цифра десять напоминает две скрещенные руки. В европейских странах при счете принято разгибать пальцы, а вот в России, наоборот, загибать.
Несмотря на тотальное доминирование в наше время арабских цифр и десятичной системы счёта, использование римских цифр также можно встретить довольно часто. Они используются в исторических и военных дисциплинах, музыке, математике и других областях, где сложившиеся традиции и требования к оформлению материалов инспирируют применение римской числовой системы, в основном от 1 до 20. Потому для многих пользователей может возникнуть необходимость набрать какую-либо цифру в римском выражении, что может вызвать у некоторых людей определённые затруднения. В данном материале я постараюсь помочь таким пользователям и расскажу, как набрать римские цифры от 1 до 20, а также опишу особенности набора данных цифр в текстовом редакторе MS Word.
Как известно, римская числовая система берёт своё начало ещё в древнем Риме, продолжая активно применяться на протяжении Средних Веков. Примерно с 14 столетия римские числа постепенно заменяются более удобными арабскими числами, использование которых стало превалирующим в наши дни. При этом римские цифры до сих пор активно используются в некоторых областях, довольно успешно сопротивляясь их переводу на арабские аналоги.
Числа в римской системе представлены комбинацией 7 заглавных букв латинского алфавита. Это следующие буквы:
Буква «I» — соотносится с цифрой 1;
Буква «V» — соотносится с цифрой 5;
Буква «X» — соотносится с цифрой 10;
Буква «L» — соотносится с цифрой 50;
Буква «C» — соотносится с цифрой 100;
Буква «D» — соотносится с цифрой 500;
Буква «M» — соотносится с цифрой 1000.
С помощью вышеуказанных семи латинских букв записываются практически все числа в римской числовой системе. Сами символы записываются слева направо, обычно начиная с самой крупной цифры, и до самой мелкой.
При этом также существуют два основных принципа:
Как написать римские цифры на клавиатуре
Соответственно, для написания римских цифр на клавиатуре будет достаточно использовать символы латинского алфавита, расположенные на стандартной компьютерной клавиатуре. Римские цифры от 1 до 20 выглядят следующим образом:
Арабские Римские
Как поставить римские цифры в Ворде
Написать римские цифры в от одного до двадцати и не только можно двумя основными способами:
Используя стандартную английскую раскладку клавиатуры, где представлены латинские буквы. Переключаемся на данную раскладку, жмём на «Caps Lock» слева для активации режима заглавных букв. Затем буквами набираем нужное нам число;
Используя формульный набор. Размещаем курсор в месте, где необходимо разметить римскую цифру, и жмём на комбинацию клавиш Ctrl+F9
. Появятся две характерные скобки, выделенные серым цветом.
Между этими скобками
вводим сочетание символов:
X\* Roman
Где вместо «X» должна стоять требуемая нами цифра, которую нужно представить в римской форме (пусть будет 55). То есть, сейчас данная комбинация с выбранной нами цифрой 55 должна выглядеть как:
Затем нажимаем на F9, и получаем требуемое число римскими цифрами (в данном случае, это LV).
Заключение
Римские цифры от 1 до 20 можно записать, используя всего семь клавиш английской раскладки клавиатуры вашего ПК. При этом в текстовом редакторе MS Word также имеется возможность использовать формульный набор римских цифр, хотя, как по мне, вполне достаточно традиционного, буквенного способа, который используется повсеместно.
Вконтакте
Как читать римские цифры?
Римские цифры мы используем не часто. И вроде бы все знают, что у нас традиционно римскими цифрами обозначают века, а годы и точные даты — арабскими цифрами. Вот на днях пришлось объяснять арабским:-)) и китайским студентам, что такое, например, XCIV или CCLXXVIII:-)). Много интересного для себя узнала, когда материал искала. Делюсь:-)) Может, кому-нибудь еще понадобится:-))
Римские цифры
Римские цифры — это особые знаки, используемые для записи десятичных разрядов и их половин. Для обозначения чисел применяется 7 букв латинского алфавита:
Римская цифра Число
I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000
Натуральные числа записываются при помощи повторения этих 7 римских цифр.
Мнемоническое правило для запоминания буквенных обозначений римских цифр в порядке убывания (автор правила — А.Касперович):
M ы D аем C оветы L ишь X орошо V оспитанным I ндивидам
Правила записи чисел римскими цифрами:
Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), — если меньшая цифра стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания).
Второе правило применяется для того, чтобы избежать четырёхкратного повторения одной и той же цифры. Так, римские цифры I, Х, С ставятся соответственно перед Х, С, М для обозначения 9, 90, 900 или перед V, L, D для обозначения 4, 40, 400.
Следует отметить, что выполнение даже арифметических действий над многозначными числами в этой записи весьма неудобно. Вероятно, сложность вычислений в римской системе нумерации, основанной на использовании латинских букв, стала одной из веских причин замены ее на более удобную в этом плане десятичную систему цифр.
Римская система нумерации, господствовавшая в Европе в течение двух тысяч лет, в настоящее время находит весьма ограниченное применение. Римские цифры используются для обозначения веков (XII век), месяцев при указании даты на монументах (21.V.1987), времени на циферблатах часов, порядковых числительных, производных небольших порядков.
Дополнительная информация:
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
Пример : число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.
Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.
Часы марки Tissot с традиционным написанием «IIII»
Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:
999. Тысяча (M), вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX 95. Сто (C), вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV 1950: Тысяча (M), вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML
Такой способ широко применяется западными кинокомпаниями при написании года выпуска фильма в титрах.
Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV», главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII».
Другая версия.
Для записи целых чисел в римской нумерации используются семь основных чисел:
I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000
При этом некоторые из цифр (I, X, C, M) могут повторяться, но не более трех раз, таким образом с их помощью можно записать любое целое число не более 3999 (MMMCMXCIX). При записи чисел в римской системе счисления меньшая цифра может стоять справа от большей; в этом случае она прибавляется к ней. Например, число 283 по-римски записывается так:
т. е. 200+50+30+3=283. Здесь цифра, изображающая сотню, повторена два раза, а цифры, изображающие соответственно десяток и единицу, повторены по три раза.
Меньшая цифра может быть записана и слева от большей, тогда ее следует вычесть из большей. В этом случае повторения меньшей цифры не допускаются. Запишем по-римски число 94:
XCIV=100-10+5-1=94.
Это так называемое «правило вычитания»: оно появилось в эпоху поздней античности (до этого римляне писали число 4 как IIII, а число 40 — как XXXX). Существует шесть вариантов использования «правила вычитания»:
IV = 4 IX = 9 XL = 40 XC = 90 CD = 400 CM = 900
Необходимо отметить, что другие способы «вычитания» не допустимы; так, число 99 должно быть записано как XCIX, но не как IC. Однако, в наши дни в некоторых случаях используется и упрощенная запись римских чисел: например, в программе Microsoft Excel при преобразовании арабских цифр в римские при помощи функции «РИМСКОЕ()» можно использовать несколько видов представления чисел, от классического до сильно упрощенного (так, число 499 может быть записано как CDXCIX, LDVLIV, XDIX, VDIV или ID).
Отсюда понятно, что во избежание 4-х кратного повторения максимально возможное число здесь — 3999, т.е. MMMIM
С помощью римских цифр можно записывать и большие числа. Для этого над теми цифрами, которые обозначают тысячи, ставится черта, а над цифрами, которые обозначают миллионы, — двойная черта. Например, число 123123 будет выглядеть так: _____ CXXIIICXXIII
А миллион как Ī , но только не с одной, а с двумя чертами во главе.
Примеры записи чисел римскими и арабскими цифрами
Римские цифры Арабские цифры
I 1 unus II 2 duo III 3 tres IV 4 quattuor V 5 quinque VI 6 sex VII 7 septem VIII 8 octo IX 9 novem X 10 decem XI 11 undecim XII 12 duodecim XIII 13 tredecim XIV 14 quattuordecim XV 15 quindecim XVI 16 sedecim XVII 17 septendecim XVIII 18 duodeviginti XIX 19 undeviginti XX 20 viginti XXI 21 unus et viginti XXX 30 triginta XL 40 quadraginta L 50 quinquaginta LX 60 sexaginta LXX 70 septuaginta LXXX 80 octoginta XC 90 nonaginta C 100 centum CC 200 ducenti CCC 300 trecenti CD 400 quadringenti D 500 quingenti DC 600 sescenti DCC 700 septingenti DCCC 800 octingenti CM 900 nongenti M 1000 mille MM 2000 duo milia MMM 3000 MMMIM(наибольшее число) 3999
Перевод %d1%80%d0%b8%d0%bc%d1%81%d0%ba%d0%b0%d1%8f%20%d1%86%d0%b8%d1%84%d1%80%d0%b0 на румынский
Я знала, как высоко Бог ценит человека и его тело, но даже это не останавливало меня. Дженнифер, 20 лет
Ştiam că Dumnezeu preţuieşte mult corpul omenesc, dar nici chiar asta nu m-a oprit să-mi fac rău singură.“ — Jennifer, 20 de ani.
jw2019
Спорим на 20 баксов, что ты не сможешь провести целый день одна.
Pun pariu cu tine pe 20 de dolari că nu poţi să-ţi petreci întreaga zi singură.
OpenSubtitles2018.v3
Когда мы помогаем другим, мы и сами в какой-то мере испытываем счастье и удовлетворение, и наше собственное бремя становится легче (Деяния 20:35).
Când ne dăruim altora, reuşim să-i ajutăm şi, în plus, ne bucurăm de o măsură de fericire şi de satisfacţie care ne face poverile mai uşor de suportat. — Faptele 20:35.
jw2019
Речь и обсуждение со слушателями, основанные на «Сторожевой башне» от 15 июля 2003 года, с. 20.
Cuvântare şi discuţie cu auditoriul pe baza revistei Turnul de veghe din 15 iulie 2003, pagina 20.
jw2019
Ну, в то время, мы говорим о 80-х, в то время это было модно.
Ei bine, la timp, suntem vorbesc anii’80, la momentul, care a fost la modă.
OpenSubtitles2018.v3
В 1999 году был назван величайшим североамериканским спортсменом 20-го века по версии ESPN, был вторым после Бейба Рута (англ. Babe Ruth) в списке спортсменов века по версии Ассошиэйтед Пресс.
În 1999, el a fost numit cel mai mare atlet nord-american a secolului 20 de ESPN, și a fost al doilea după Babe Ruth pe lista Associated Press de sportivi ai secolului.
WikiMatrix
Он уехал 20 минут назад.
A plecat acum 20 de minute.
OpenSubtitles2018.v3
20 Я приведу их в землю, о которой клялся их предкам+, в землю, где течёт молоко и мёд+, и они будут есть+ досыта, разжиреют+ и повернутся к другим богам+.
+ 20 Căci îi voi duce pe pământul despre care le-am jurat strămoșilor lor,+ pământ unde curge lapte și miere,+ și vor mânca,+ se vor sătura, se vor îngrășa,+ se vor întoarce spre alți dumnezei+ și le vor sluji, mă vor disprețui și vor încălca legământul meu.
jw2019
Я был женат 20 лет.
Am fost căsătorit 20 de ani.
OpenSubtitles2018.v3
20 Оставлена родителями, но любима Богом
20 Abandonată de părinţi, dar iubită de Dumnezeu
jw2019
Когда в 80-х годах люди якудзы увидели, как легко брать ссуды и «делать» деньги, они создали компании и занялись операциями с недвижимым имуществом и куплей-продажей акций.
Văzând cât de uşor a fost să împrumute şi să câştige bani pe parcursul anilor ’80, grupările yakuza au format societăţi şi s-au lansat în speculaţii care vizau proprietăţi imobiliare şi acţiuni.
jw2019
20 Даже преследование или заключение в тюрьму не может закрыть уста преданных Свидетелей Иеговы.
20 Nici chiar persecuţia sau închisoarea nu poate să închidă gura Martorilor lui Iehova care au devoţiune.
jw2019
Ты был в отключке минут 20.
Ai fost leşinat vreo 20 de minute.
OpenSubtitles2018.v3
Есть ещё кое- что в начале 20— го века, что усложняло вещи ещё сильнее.
Mai există totuși altceva la începutul secolului al XX- lea care a făcut lucrurile și mai complicate.
QED
б) Чему мы учимся из слов, записанных в Деяниях 4:18—20 и Деяниях 5:29?
b) Ce învăţăm din Faptele 4:18–20 şi din Faptele 5:29?
jw2019
«К одинадцати Апостолам» был причислен Матфий, чтобы служить с ними (Деяния 1:20, 24—26).
Matia a fost numit să slujească „împreună cu cei unsprezece apostoli“. — Fapte 1:20, 24–26.
jw2019
Да что ты понимаешь, в 80-ых это движение было пределом мечтаний любого мужика.
Hei, mişcarea asta mă scotea din minţi în anii’80.
OpenSubtitles2018.v3
Роберт Коэмс, доцент Торонтского университета, обобщает их взгляды: «Рак легких — через 20 лет.
Robert Coambs, asistent universitar la Universitatea din Toronto, a rezumat atitudinea lor astfel: „Cancerul pulmonar îl faci peste 20 de ani.
jw2019
Большинство местных органов при планировании развития на следующие 5, 10, 15, 20 лет начинают с предпосылки, что можно ожидать больше энергии, больше автомобилей, больше домов, больше рабочих мест, больше роста и т.д.
Majoritatea autorităților locale, atunci când fac planuri pe următorii 5, 10, 15, 20 de ani presupun că va exista mai multă energie, mai multe mașini, locuințe, slujbe, o creștere mai mare, ș.a.m.d.
ted2019
Именно это приводит к счастью, как было сказано царем Соломоном: «Кто надеется на Господа, тот блажен [счастлив, НМ]» (Притчи 16:20).
Acest lucru contribuie la fericire, aşa cum a arătat regele Solomon: „Cel ce se încrede în Iehova, fericit va fi“. — Proverbele 16:20, SS.
jw2019
20 Тогда Ио́в встал, разорвал+ на себе верхнюю одежду, остриг свою голову+, упал на землю+, поклонился+ 21 и сказал:
20 Atunci Iov s-a ridicat, și-a sfâșiat+ mantia, și-a tăiat părul+ capului și, căzând la pământ,+ s-a plecat+ 21 și a zis:
jw2019
Будьте щедрыми и заботьтесь о благополучии других (Деяния 20:35).
Fii generos şi depune eforturi pentru a-i face pe alţii fericiţi. — Faptele 20:35.
jw2019
Два важнейших события 20 века:
Două dintre cele mai importante evenimente ale secolului 20:
OpenSubtitles2018.v3
Последние 20 лет — я.
Pentru ultimii 20 de ani, mă.
OpenSubtitles2018.v3
Это забавно, когда тебе 20 лет.
E ciudat cât de naiv poţi să fii la 20 de ani.
OpenSubtitles2018.v3
Tattoo • Как составить дату рождения из римских цифр
Одна из популярных направлений в мире татуировок – дата рождения, написанная римскими цифрами. Надпись бросается в глаза и человеку не знакомому с основами написания римских чисел, будет не очень понятна. Таким образом дата шифруется и становиться доступна для восприятия только тем, кто знаком с элементарными числовыми выражениями латинского языка.
Итак, все по порядку:
Дата рождения составляется в 3 этапа.
1 этап – день рождения.
2 этап – месяц рождения.
3 этап – год рождения.
Все этапы строго следуют друг за другом и разделяются между собой точками. В качестве примера возьмем дату рожденного 28 августа 1999 года.
В обычном формате эта дата будет выглядеть так: 28.08.1999. Месяц август сменился на свой порядковый номер периода года, а именно на 08. Можно так же записать как 28.8.1999, разницы никакой. Римскими цифрами дата поменяет свой вид на: XXVIII.VIII.MCMXCIX.
1 этап. Выбор дня.
Максимальное количество дней в месяце — 31. Поэтому проще выбрать из таблицы свой день, чем заниматься вычислениями правильного написания числа:
1 – I
11 – XI
21 – XXI
31 — XXXI
2 – II
12 – XII
22 – XXII
3 – III
13 – XIII
23 – XXIII
4 – IV
14 – XIV
24 – XXIV
5 – V
15 – XV
25 – XXV
6 – VI
16 – XVI
26 – XXVI
7 – VII
17 – XVII
27 – XXVII
8 – VIII
18 – XVIII
28 – XXVIII
9 – IX
19 – XIX
29 – XXIX
10 – X
20 – XX
30 – XXX
2 этап. Выбор месяца.
В году 12 месяцев и все они имеют свой порядковый номер.
01 (январь) – I
04 (апрель) – IV
07 (июль) – VII
10 (октябрь) – X
02 (февраль) – II
05 (май) – V
08 (август) – VII
11 (ноябрь) – X
03 (март) – III
06 (июнь) – VI
09 (сентябрь) – IX
12 (декабрь) – XII
3 этап. Выбор года.
Самый сложный этап, так как имеет множество вариантов написания.
1 вариант – сокращенный. Число состоит из двух последних цифр года рождения. Например, число 99 или римскими XCIX, будет обозначать 1999 год, а 18 – сокращение от 2018 года (XVIII). Единственный год не поддающийся сокращению – 2000 год, его римская версия всегда будет MM, как в сокращенном, так и в полном варианте.
1 – I
21 – XXI
41 – XLI
61 – LXI
81 – LXXXI
2 – II
22 – XXII
42 – XLII
62 – LXII
82 – LXXXII
3 – III
23 – XXIII
42 – XLIII
63 – LXIII
83 – LXXXIII
4 – IV
24 – XXIV
44 – XLIV
64 – LXIV
84 – LXXXIV
5 – V
25 – XXV
45 – XLV
65 – LXV
85 – LXXXV
6 – VI
26 – XXVI
46 – XLVI
66 – LXVI
86 – LXXXVI
7 – VII
27 – XXVII
47 – XLVII
67 – LXVII
87 – LXXXVII
8 – VII
28 – XXVIII
48 – XLVIII
68 – LXVIII
88 – LXXXVIII
9 – IX
29 – XXIX
49 – XLIX
69 – LXIX
89 – LXXXIX
10 – X
30 – XXX
50 – L
70 — LXX
90 – XC
11 – XI
31 – XXXI
51 – LI
71 – LXXI
91 – XCI
12 – XII
32 – XXXII
52 – LII
72 – LXXII
92 – XCII
13 – XIII
33 – XXXIII
53 – LIII
73 – LXXIII
93 – XCIII
14 – XIV
34 – XXXIV
54 – LIV
74 – LXXIV
94 – XCIV
15 – XV
35 – XXXV
55 – LV
75 – LXXV
95 – XCV
16 – XVI
36 – XXXVI
56 – LVI
76 – LXXVI
96 – XCVI
17 – XVII
37 – XXXVII
57 – LVII
77 – LXXVII
97 – XCVII
18 – XVIII
38 – XXXVIII
58 – LVIII
78 – LXXVII
98 – XCVIII
19 – XIX
39 – XXXIX
59 – LIX
79 – LXXIX
99 — XCIX
20 – XX
40 – XL
60 – LX
80 – LXXX
2 вариант – полный год. Год состоит из 4 цифр.
А). 20 век — период с 1900 по 1999 года. Перед римской цифрой из третей таблицы ставиться MCM. Пример MCMXXX – 1930.
Б). 21 век — период 2001 по настоящее время. Ставиться MM. Пример MMXVIII – 2018.
Составляем дату
Теперь из данных полученных выбором из трех таблиц, можно составить свою дату рождения в двух вариантах:
1 вариант: 28.08.99 — XXVIII.VIII.XCIX.
2 вариант: 28.08.1999 — XXVIII.VIII.MCMXCIX.
Как поставить римские цифры в Ворде
При создании определенных документов, таких как рефераты, научные доклады, курсовые и дипломные работы, рано или поздно можно столкнуться с необходимостью написания римских цифр и чисел, и чаще всего она будет не единичной. К счастью, популярнейший текстовый редактор Microsoft Word позволяет это сделать без особых усилий.
Написание римских цифр в Ворде
Римские цифры и числа по своей сути мало чем отличаются от любых других символов, которые время от времени требуется вводить в Word. Следовательно, для их написания в текстовом документе можно и нужно использовать те же решения, что и в аналогичных случаях. Но есть и более очевидный вариант, с которого мы и начнем.
Способ 1: Латинские буквы
Для написания римских цифр используются семь букв латинского алфавита, которые записываются в определенной последовательности, продиктованной правилами. Вот их обозначения:
I (1)
V (5)
X (10)
L (50)
C (100)
D (500)
M (1000)
Правила написания римских чисел мы рассматривать не будем, озвучим лишь очевидный факт – в Microsoft Word это можно сделать с помощью латиницы, то есть, например, большими (прописными) буквами в английской или немецкой раскладке.
Переключитесь на соответствующую языковую раскладку, нажав «ALT+SHIFT» или «CTRL+SHIFT», в зависимости от установленных в системе настроек. Включите на клавиатуре режим «CAPSLOCK», чтобы писать прописными буквами.
Читайте также: Смена языковой раскладки в Windows
Запишите нужную цифру, число или числа, используя для этого буквы «латинского» алфавита.
В результате вы получите римские цифры. В примере ниже мы таким образом записи 21 и 2019.
При желании можно изменить шрифт, в котором они записаны, его размер, цвет и ряд других параметров. О том, как все это делается, мы писали в отдельной статье.
Подробнее: Форматирование текста в Ворде
Способ 2: Вставка символов
Если вы не хотите записывать римские цифры латинскими буквами, можно представить их в виде символов, которые имеются во встроенной библиотеке Microsoft Word. Для этого:
Указав место для будущей записи в документе, перейдите во вкладку «Вставка».
Разверните выпадающее меню кнопки «Символы», которая располагается в одноименном блоке, и выберите пункт «Другие символы».
В открывшемся диалоговом окне выберите из выпадающего списка «Набор:» опцию «Числовые символы».
Примечание: Символы, обозначающие римские цифры и числа, доступны не для всех шрифтов, поэтому если вы не увидите их в наборе «Числовые символы», закройте окно вставки, измените шрифт и снова повторите действия из шагов №1-2 данной части статьи.
Выделите нужную римскую цифру (или число) и нажмите по кнопке «Вставить».
Повторите аналогичное действие (выделить – вставить) для всех остальных символов, которые требуется записать (окно «Символ» можно сдвигать в сторону для того, чтобы выделять на странице документа место для записи следующего знака). Сделав это, можно закрыть окно вставки.
Плюс этого метода, в сравнении с предыдущим, заключается в том, что римские цифры и числа, состоящие из более чем одного символа (например, 2, 3, 4, 6 и др.) можно вставить за раз. Минус же кроется в самом подходе – необходимости открытия окна «Символ» и поиска соответствующих знаков. К счастью, его можно несколько упростить.
Читайте также: Вставка символов и специальных знаков в Ворде
Способ 3: Преобразование кода в символ
В процессе выполнения предыдущего способа вы могли заметить, что каждый символ, представленный во встроенном наборе Microsoft Word, имеет свое кодовое обозначение. Зная его, а также комбинацию горячих клавиш, которая выполняет преобразование кода в символ, можно записать римские цифры без обращения к меню их вставки. Обозначения следующие:
2160 – I (1)
2161 – II (2)
2162 – III (3)
2163 – IV (4)
2164 – V (5)
2165 – VI (6)
2166 – VII (7)
2167 – VIII (8)
2168 – IX (9)
2169 – X (10)
216A – XI (11)
216B – XII (12)
216C – L (50)
216D – C (100)
216E – D (500)
216F – M (1000)
Первым в колонке (перед тире) указан код символа, вторым (после тире) – соответствующая ему римская цифра или число, третьим (в скобках) – арабское обозначение.
Примечание: Как и в предыдущем способе, для добавления символов римских цифр необходимо использовать шрифт, который их поддерживает.
Введите код, соответствующий римской цифре или числу, которое требуется записать.
Не делая отступа, то есть не нажимая «пробел», зажмите клавиши «ALT+X» и отпустите их.
Кодовое обозначение будет преобразовано в соответствующий ему символ.
Важно: Коды, содержащие буквы латинского алфавита, нужно вводить в английской раскладке.
Для записи чисел, состоящих более чем из одной римской цифры (числа), путем преобразования в них кода, обязательно нужно делать отступы (пробелы) между уже преобразованным кодом и идущим за ним. После записи и преобразования их можно и нужно удалить.
Примечание: Если записанное римское число подчеркивается как ошибка (красная волнистая линия), воспользуйтесь контекстным меню для пропуска его проверки или добавления в словарь.
Читайте также: Проверка правописания в Microsoft Word
Если запомнить эти 16 кодовых обозначений (а это не так сложно, ведь эти числа/символы идут подряд, по возрастающей и/или алфавиту), можно значительно быстрее писать римские цифры и числа в Ворде.
Способ 4: Преобразование арабских цифр в римские
Рассмотренные выше методы написания римских цифр нельзя назвать удобными. Во-первых, каждый символ, а точнее даже каждый элемент одной цифры (например, три единицы, с помощью которых записывается тройка) нужно вводить с клавиатуры отдельно или же обращаться к специальном разделу программы. Во-вторых, все они подразумевают знания правил написания. Избежать этих сложностей можно с помощью функции преобразования привычных нам арабских цифр и чисел в римские. Делается это следующим образом:
В том месте, где планируете писать цифры, установите указатель курсора и нажмите на клавиатуре клавиши «CTRL+F9».
В появившихся фигурных скобках запишите формулу следующего вида:
=N\*Roman
где N – это арабские цифры, которые нужно представить в виде римских.
Указав желаемое значение, нажмите на клавиатуре «F9» — это преобразует формулу в римские цифры, соответствующие тем, которые вы указали внутри скобок. Чтобы снять с записи выделение, просто кликните по пустому месту в документе.
Так, в нашем примере арабские 2019 были преобразованы в римские MMXIX.
Этот метод явно можно назвать наиболее простым и удобным из всех, представленных в данной статье. Все что от вас требуется – запомнить простой синтаксис формулы и горячие клавиши, которые используются для создания ее основы и последующего преобразования. Таким образом вы сможете записать абсолютно любые римские цифры и числа, в любом количестве и не беспокоясь об их соответствии аналогичным арабским значениям.
Дополнительно: Назначение комбинаций клавиш и автозамена
Последний из рассмотренных нами способов написания римских цифр вполне можно назвать самым удобным, но можно самостоятельно создать ему не менее, а то и более достойную альтернативу. Как именно? Достаточно объединить между собой второй и третий способы этой статьи – обратиться к меню вставки символов и назначить для каждого нужного нам свои горячие клавиши.
Перейдите во вкладку «Вставка» и откройте окно «Символ», выбрав пункт «Другие символы» в меню одноименной кнопки.
Выберите набор «Числовые символы» и затем выделите в появившемся перечне римскую цифру «I» и нажмите на кнопку «Сочетание клавиш».
В строке «Новое сочетание клавиш» введите желаемую комбинацию, нажимая эти клавиши на клавиатуре,
после чего кликните по кнопке «Назначить».
Совет: Используйте только те комбинации клавиш, которые не задействованы для вызова какой-либо функции или выполнения какого-то действия в системе и непосредственно Microsoft Word. Например, для римской I можно назначить «CTRL+SHIFT+1». Правда, программой это будет воспринято как «CTRL+!», что отчасти логично
Аналогичные действия проделайте с остальными символами, обозначающими римские цифры и числа. Если для этого вы использовали комбинацию, аналогичную нашей, то с диапазоном от I до IX (1-9) проблем возникнуть не должно.
Для X можно назначить нечто вроде «CTRL+SHIFT++», потому что «CTRL+SHIFT+0» не «принимается» программой, а вот для чисел больше 10 придется придумать нечто более сложное, например, «CTRL+SHIFT+0+1» или что-то менее логичное.
Для 50 – «CTRL+SHIFT+F», для 100 – «CTRL+SHIFT+H». Это лишь возможные примеры, вы же назначайте то, что считаете более удобным для использования и легким для запоминания.
Назначив для каждого символа, обозначающего римскую цифру или число, свои горячие клавиши, закройте диалоговое окно «Символ». Запомните, а лучше запишите эти комбинации, чтобы в дальнейшем их использовать для быстрого и удобного ввода.
Читайте также: Горячие клавиши для упрощения работы в Ворде
Если назначение и последующее использование горячих клавиш вам кажется не самым простым и удобным решением, вместо этого можно назначить автоматическую замену символов на римские цифры и числа.
Повторите действия из шагов №1-2, описанных выше, только вместо кнопки «Сочетание клавиш» нажмите «Автозамена».
В открывшемся окне настройки установите маркер напротив пункта «Обычный текст».
В поле «заменить:» введите то, что вы планируете в дальнейшем заменять на римскую цифру, в поле «на:» — собственно римскую цифру. Например, можно сделать так: обозначение «R1» назначить для «I», «R2» для «II», и так далее.
Указав желаемые параметры автоматической замены, нажмите по кнопке «Добавить».
Аналогичное проделайте со всеми остальными обозначениями, которые вы хотели бы заменять на римские цифры и числа. Сделав это, нажмите «ОК» для закрытия окна «Автозамена».
Теперь каждый раз, когда вы будете вводить значение, которое записали в поле «заменить», и нажимать пробел,
вместо него появится римская цифра или число, указанное вами в поле «на».
Читайте также: Функция «Автозамена» в Microsoft Word
Важно: Назначать параметры автозамены стоит весьма осторожно – если вы задействуете для этого какой-то часто используемый набор символов, который требуется записывать в его привычном виде, без замены (например, условный R2D2), нормально вводить его не получится – отступ после или ввод любого другого символа (например, запятая или кавычки) заменит его на назначенное вами обозначения. Для отмены этого постоянно придется нажимать «CTRL+Z».
Читайте также: Отмена последнего действия в Майкрософт Ворд
Как назначение горячих клавиш, так и настройка функции автозамены символов позволяет упростить и ускорить процесс работы в Ворде. Несложно догадаться, что аналогичным образом можно «оптимизировать» ввод не только римских цифр и чисел, но и любых других часто используемых знаков и символов.
Заключение
Мы рассмотрели несколько вариантов того, как в Microsoft Word можно записывать римские цифры и числа, от наиболее очевидного, до парочки самых простых и удобных. Какой из них выбрать, решать только вам.
Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы. Опишите, что у вас не получилось.
Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.
Помогла ли вам эта статья?
ДА НЕТ
Римские цифры от 1 до 100
Римские цифры актуальны и по сей день, несмотря на то, что в повседневной жизни их применение усложнило бы жизнь для большинства профессий, если бы их использовали вместо уже привычных арабских. Большие цифры выглядят довольно устрашающими, например, число 3 999 на римский лад будет MMMCMXCIX. Это число является последним, которое можно записать таким образом. Поэтому чаще всего применяют римские цифры по шкале от одного до сто. О них и будет идти речь в этой статье.
Немного истории
Римские цифры использовали в древнем Риме в непозиционной системе счисления. В раннем периоде римляне записывали и большие цифры. В то время максимальным числом являлось 399 999. Цифры записывались в следующей последовательности: сначала записывались сотни тысяч, затем десятки тысяч, тысячи, сотни, десятки и единицы.
Часто для того, чтобы выделить в тексте числа, их записывали с чертой сверху. Иногда записывались числа с чертой и сверху, и снизу. Такая запись применялась в русском рукописном тексте. В типографии римские цифры записывались без черт из-за возникновения технических сложностей.
Иногда авторы применяли черту сверху над римским числом для увеличения его значения в тысячу раз. Например, римская цифра 5 с чертой наверху — V̅, обозначала 5 000.
Это интересно: римские цифры от 1 до 10.
Формирование римских цифр – счёт от 1 до 100
До 19 века число 4 на римский манер записывалось как IIII. Затем число изменили, и оно обрело новый, упрощенный вид — IV (5 — 1). Меньшие цифры могут стоять перед большими. В этом случае они отнимаются от большего. И наоборот, если единицы стоят после десятков, то они суммируются, например, VI (5 + 1) — это цифра 6. При этом вычесть можно только цифру, обозначающую один или степени десятки. Уменьшаемые могут быть только ближайшие к вычитаемому в числовом ряду две цифры.Нельзя повторять меньшие цифры в числе.
Из этого следует только 6 примеров правила вычитания:
CM (1 000 — 100) — 900;
CD (500 — 100) — 400;
XC (100 — 10) — 90;
IX (10 — 1) — 9;
IV (5 — 1) — 4.
Например, число 94 римскими цифрами будет XCIV, то есть: 100 — 10 + 5 — 1. Стоить заметить, что другие методы вычитания применять ранее было недопустимо. Запись арабской цифры 99 должно выглядеть так: XCIX, а не IC. Но в наши дни в популярном текстовом редакторе Microsoft Word и Microsoft Excel применяются упрощенные числа. Здесь допустимо использоваться конструкцию IC, а также другие — VC (95), вместо XCV и так далее.
Некоторые фирмы по производству часов до сих пор используют запись четверки как IIII. Скорее всего делают они это скорее по эстетическим соображениям. Есть несколько версий о том, почему такая форма более приемлема.
По одной из версий запись IV является в имени бога дневного света и неба Юпитера первой буквой — IVPITER.
Арабские цифры:
Римские цифры:
1
I
2
II
3
III
4
IV
5
V
6
VI
7
VII
8
VIII
9
IX
10
X
11
XI
12
XII
13
XIII
14
XIV
15
XV
16
XVI
17
XVII
18
XVIII
19
XIX
20
XX
21
XXI
22
XXII
23
XXIII
24
XXIV
25
XXV
26
XXVI
27
XXVII
28
XXVIII
29
XXIX
30
XXX
31
XXXI
32
XXXII
33
XXXIII
34
XXXIV
35
XXXV
36
XXXVI
37
XXXVII
38
XXXVIII
39
XXXIX
40
XL
41
XLI
42
XLII
43
XLIII
44
XLIV
45
XLV
46
XLVI
47
XLVII
48
XLVIII
49
XLIX
50
L
51
LI
52
LII
53
LIII
54
LIV
55
LV
56
LVI
57
LVII
58
LVIII
59
LIX
60
LX
61
LXI
62
LXII
63
LXIII
64
LXIV
65
LXV
66
LXVI
67
LXVII
68
LXVIII
69
LXIX
70
LXX
71
LXXI
72
LXXII
73
LXXIII
74
LXXIV
75
LXXV
76
LXXVI
77
LXXVII
78
LXXVIII
79
LXXIX
80
LXXX
81
LXXXI
82
LXXXII
83
LXXXIII
84
LXXXIV
85
LXXXV
86
LXXXVI
87
LXXXVII
88
LXXXVIII
89
LXXXIX
90
XC
91
XCI
92
XCII
93
XCIII
94
XCIV
95
XCV
96
XCVI
97
XCVII
98
XCVIII
99
XCIX
100
C
101
CI
Сервисы по преобразованию арабских цифр в римские
Пользователям достаточно сложно запомнить все римские цифры от 1 до 100 и более. Тем более принципы их образования. Этого делать и не нужно. Есть специальные конвертеры, которые помогут вам преобразовать любые арабские цифры в римские и обратно. Одним из таких сервисов является calc.ru. Здесь вы сможете перевести арабские, римские или индийские цифры в разной последовательности. Переводить можно только целые числа.
Итак:
Перейдите на страницу https://www.calc.ru/rimskiye-indiyskiye-arabskiye-tsifri.html.
В поле «Перевести целое число» введите число, которое нужно перевести.
Выберите одну из числовых систем мышью.
Нажмите кнопку ниже «Перевести».
Под формой ввода находятся примеры записи веков римским цифрами.
Еще один удобный сервис для перевода любого арабского числа в римское. Здесь есть 2 поля ввода. Он находится по адресу http://infofaq.ru/perevod-v-rimskie-chisla.html.
Пользоваться им также достаточно просто:
под описанием истории появления римских цифр, найдите форму;
в первой строке можно вводить арабские цифры, в поле ниже отображается результат;
и наоборот, если ввести в нижнее поле римскую цифру, вы получите результат в верхней строке.
Читайте также: арабские цифры от 1 до 10.
Применение в наши дни
Чаще всего римские цифры сегодня применяются для записи тысячелетия или веков. Их используют для придания роману или другому тексту оттенок архаичности. Часто такие цифры используются в исторических книгах и учебниках. Применяются цифры и в написаниях исторических имен для обозначения порядкового номера, к примеру, Петр l, Рамсес ll.
Киноиндустрия США часто употребляет римские цифры для обозначения части фильмов и телесериалов. Некоторые европейские страны записывают так дни недели. А в Голландии железнодорожные промежутки пути имеют обозначения каждого сотого метра римскими цифрами. Есть заблуждение, что западные швейные фирмы используют римские цифры для обозначения размеров — L, M, S, XL, но это не так. На самом деле это сокращения от английских слов: Large (большой), eXtra (весьма, очень), Small (маленький). Чаще всего в странах СНГ применяются римские цифры от 1 до 100.
roman numerals gold ring Рекламный
Главная
>
Рекламный
>
2874
Цена со скидкой:
1,60 $-2,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,80 $
/ шт.
Цена со скидкой:
0,50 $-0,90 $
/ шт.
Цена со скидкой:
3,25 $-4,11 $
/ шт.
Цена со скидкой:
0,50 $-0,58 $
/ шт.
Цена со скидкой:
3,60 $-3,90 $
/ компл.
Цена со скидкой:
0,80 $-0,95 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,00 $-1,20 $
/ шт.
Цена со скидкой:
0,80 $-6,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
3,50 $-9,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
0,75 $-1,05 $
/ шт.
Цена со скидкой:
5,08 $-5,81 $
/ шт.
Цена со скидкой:
2,80 $-3,80 $
/ шт.
Цена со скидкой:
5,20 $-5,99 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,20 $-1,45 $
/ шт.
Цена со скидкой:
0,60 $-1,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
2,00 $-4,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,64 $-2,25 $
/ компл.
Цена со скидкой:
3,35 $-4,35 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,70 $-2,10 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,50 $-1,69 $
/ шт.
Цена со скидкой:
3,00 $-3,69 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,25 $-3,50 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,00 $-3,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,00 $-4,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,40 $-5,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
2,93 $-3,76 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,70 $-1,96 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,97 $-2,17 $
/ шт.
Цена со скидкой:
2,05 $-2,30 $
/ пара
Цена со скидкой:
5,99 $-15,99 $
/ шт.
Цена со скидкой:
0,79 $-0,98 $
/ шт.
Цена со скидкой:
0,49 $-0,89 $
/ шт.
Цена со скидкой:
2,70 $-3,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,17 $-2,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,50 $-7,25 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,65 $-2,55 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,24 $-1,35 $
/ шт.
Цена со скидкой:
2,20 $-2,50 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,50 $-3,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
0,90 $-1,60 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,90 $-3,00 $
/ шт.
Цена со скидкой:
2,10 $-2,65 $
/ шт.
Цена со скидкой:
0,68 $-0,85 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,50 $-2,80 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,40 $-2,20 $
/ шт.
Цена со скидкой:
2,00 $-2,70 $
/ шт.
Цена со скидкой:
1,60 $-1,76 $
/ шт.
Вас также заинтересуют:
Функция РИМСКОЕ — Служба поддержки Office
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование римского языка
в Microsoft Excel.
Описание
Преобразует арабское число в римское в текстовом формате.
Синтаксис
РИМСКОЕ(число;[форма])
Аргументы функции РИМСКОЕ описаны ниже.
Число Обязательный. Преобразуемое арабское число.
Формы Необязательный. Число, определяющий тип римских цифр. Римские числимые стили меняются от классического до упрощенного, что становится более кратким по мере увеличения значения формы. См. пример, следующий: ROMAN(499,0) ниже.
Форма
Тип
0 или опущен
Классический
1
Более краткий. См. пример ниже.
2
Более краткий. См. пример ниже.
3
Более краткий. См. пример ниже.
4
Упрощенный
ИСТИНА
Классический
ЛОЖЬ
Упрощенный
Замечания
Если число отрицательное, #VALUE! возвращается значение ошибки.
Если число больше 3999, #VALUE! возвращается значение ошибки.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Формула
Описание (результат)
Результат
=РИМСКОЕ(499;0)
Классическая форма записи римскими цифрами числа 499 (CDXCIX)
CDXCIX
=РИМСКОЕ(499;1)
Более наглядный вариант написания числа 499 (LDVLIV)
LDVLIV
=РИМСКОЕ(499;2)
Более наглядный вариант написания числа 499 (XDIX)
XDIX
=РИМСКОЕ(499;3)
Более наглядный вариант написания числа 499 (VDIV)
VDIV
=РИМСКОЕ(499;4)
Упрощенный вариант написания числа 499 (ID)
ID
2019 римскими цифрами — Как написать 2019 римскими цифрами?
2019 римскими цифрами — MMXIX. Чтобы преобразовать 2019 в римские цифры, мы напишем 2019 в развернутой форме, т.е. 2019 = 1000 + 1000 + 10 + (10-1), после чего заменив преобразованные числа их соответствующими римскими цифрами, мы получим 2019 = M + M + X + (X — I) = MMXIX. В этой статье мы объясним, как правильно преобразовать 2019 римскими цифрами.
2019 = 2000 + 10 + 9
Римские цифры = MM + X + IX
2019 римскими цифрами = MMXIX
Как написать 2019 римскими цифрами?
Римские цифры на 2019 год можно получить с помощью метода, приведенного ниже: В этом методе мы разбиваем 2019 на наименее расширяемую форму, пишем соответствующие римские буквы и складываем / вычитаем их, т.е.е. 2019 = 1000 + 1000 + 10 + (10-1) = M + M + X + (X — I) = MMXIX. Таким образом, значение 2019 года римскими цифрами равно MMXIX.
☛ Также проверьте: Калькулятор римских цифр
Основные правила интерпретации римских цифр
Когда большая буква предшествует меньшей, буквы добавляются. Например: MI, M> I, поэтому MI = M + I = 1000 + 1 = 1001.
Когда меньшая буква предшествует большой букве, буквы вычитаются.Например: XL, X
Когда буква повторяется несколько раз, они добавляются. Например: XX = X + X = 10 + 10 = 20
.
Одна и та же буква не может использоваться более трех раз подряд.
Римские цифры в числах, относящихся к 2019 году
Римские цифры могут показаться отличными от цифр, но они похожи. Например, римскими цифрами 2019 соответствует MMXIX.Римские цифры для чисел, относящихся к 2019 году, приведены ниже:
.
MMX = 2000 + 10 = 2010
MMXI = 2000 + 10 + 1 = 2011
MMXII = 2000 + 10 + 2 = 2012
MMXIII = 2000 + 10 + 3 = 2013
MMXIV = 2000 + 10 + 4 = 2014
MMXV = 2000 + 10 + 5 = 2015
MMXVI = 2000 + 10 + 6 = 2016
MMXVII = 2000 + 10 + 7 = 2017
MMXVIII = 2000 + 10 + 8 = 2018
MMXIX = 2000 + 10 + 9 = 2019
Часто задаваемые вопросы о 2019 году римскими цифрами
Что означает 2019 римскими цифрами?
Чтобы написать 2019 римскими цифрами, сначала представим 2019 в развернутой форме.2019 = 1000 + 1000 + 10 + (10-1) = M + M + X + (X — I) = MMXIX. Следовательно, 2019 римскими числами обозначается как MMXIX.
Что нужно добавить к 707, чтобы получить 2019 год? Напишите ответ римскими цифрами.
Римскими цифрами
2019 обозначается MMXIX, а 707 — DCCVII. 2019 — 707 = 1312. Следовательно, 1312 нужно добавить к 707, чтобы получить 2019. Теперь, чтобы преобразовать 1312 в римские числа, мы выразим его в развернутой форме, то есть 1312 = 1000 + 100 + 100 + 100 + 10. + 1 + 1 = M + C + C + C + X + I + I = MCCCXII.
Почему 2019 римскими цифрами пишется как MMXIX?
Мы знаем, что римскими цифрами мы пишем 9 как IX, 10 как X и 1000 как M. Следовательно, 2019 римскими цифрами записывается как 2019 = 2000 + 10 + 9 = MM + X + IX = MMXIX.
Какое значение имеет (7 — 27) + 2019 римскими числами?
Решение (7 — 27) + 2019 = -20 + 2019 = 1999. Чтобы выразить (7 — 27) + 2019 римскими цифрами, запишем ответ, то есть 1999 в развернутом виде. 1999 = 1000 + (1000-100) + (100-10) + (10-1) = M + (M — C) + (C — X) + (X — I) = MCMXCIX
Какое значение 2019 года в римских цифрах?
Чтобы преобразовать 2019 в римские цифры, преобразование включает разбиение чисел на разряды (единицы, десятки, сотни, тысячи).
тысяч = 2000 =
млн.
Десятки = 10 = X
Единицы = 9 = IX
Число = 2000 + 10 + 9 = MM + X + IX = MMXIX
Римские цифры: 2019 = MMXIX
Текущая дата и время римскими цифрами
2021-08-02
12:50:56
MMXXI-VIII-II
XII: L: LVI
Вот текущая дата и время, написанные римскими цифрами.Поскольку в римской системе счисления нет нуля, час, минута и секунда в метках времени иногда становятся пустыми.
О римских цифрах
Римские цифры происходят, как следует из названия, из Древней Римской империи. В отличие от нашей системы координат с основанием 10, римская система основана на сложении (а иногда и вычитании) семи различных значений. Эти символы используются для обозначения этих значений:
Например, чтобы выразить число 737 римскими цифрами, вы пишете DCCXXXVII, то есть 500 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1.Однако для чисел 4 и 9 вместо сложения используется вычитание, и меньшее число записывается перед большим числом: например, 14 записывается как XIV, то есть 10 + 5 — 1, а 199 выражается как CXCIX, т.е. 100 + 100 — 10 + 10 — 1. Можно утверждать, что 199 было бы легче записать как CIC, но согласно наиболее распространенному По определению, вы можете вычесть только число, которое на порядок меньше, чем числа, из которых вы вычитаете, а это означает, что IC для 99 неверно.
Римские цифры часто используются в пронумерованных списках, на зданиях, чтобы указать год, когда они были построены, и в именах регентов, таких как Людовик XVI из Франции.
Не стесняйтесь ссылаться на этот сайт, если найдете его полезным. Также можно напрямую ссылаться на определенные числа, такие как roman-numerals.info/XXXVII или roman-numerals.info/37. Вы также можете ссылаться на интервалы, например, roman-numerals.info/1-100 или римские цифры.info / 1980-2020, чтобы увидеть числа в формате списка.
Римские цифры (I, V, X, L, C, D, M) образуют систему счисления, которая использовалась в Древнем Риме, где буквы обозначают числа. Они использовались в Европе до позднего средневековья. Это контрастирует с арабскими цифрами, которые являются современной системой счисления, используемой во всем мире (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).Наш вышеупомянутый инструмент позволяет конвертировать арабские цифры в римские.
Римские цифры и их арабские аналоги можно найти в таблице ниже:
Традиционная римская система счисления использовалась только для чисел до 3999, которые представлены как MMMCMXCIX. Теоретически вы можете добавить больше «M» в начало, что добавляет 1000 для каждого «M», но более простой способ — добавить римские цифры с чертами. Верхняя черта над римской цифрой означает, что вы умножаете ее на 1000, поэтому V̅ составляет 5 * 1000 = 5000.
Когда используются римские цифры?
Римские цифры обычно не используются в наши дни, но есть некоторые ограниченные сценарии, в которых вы можете столкнуться с ними. Вы можете использовать наш генератор римских цифр для этих различных случаев использования. Обычно римские цифры используются в приглашениях, циферблатах часов и в названии ежегодного Суперкубка. Они также использовались в королевских титулах, чтобы обозначить, какой король или королева.
Роялти: Исторически римские цифры использовались в королевских именах.Например, Елизавета II или королева Елизавета Вторая. То же самое и с папами.
Приглашения на свадьбу: Иногда люди делают приглашения на свадьбу более стильными, записывая числа и время римскими цифрами.
Разделы книги: Иногда главы в книгах обозначаются римскими цифрами.
На часах: Вы можете купить специализированные часы, которые показывают часы дня римскими цифрами.
Классическая музыка: В некоторых произведениях классической музыки номера движений указаны римскими цифрами.
Суперкубок: Годовой номер Суперкубка всегда обозначается римскими цифрами. Например, Суперкубок LIV состоится в 2020 году и станет 54-м Суперкубком.
2019 римскими цифрами
2020 >>
Римские цифры: 2019 = MMXIX
Преобразование римских цифр
Арабские цифры
2
0
1
9
0
1
M
С
Х
Я
2
ММ
CC
ХХ
II
3
МММ
CCC
XXX
III
4
CD
XL
IV
5
D
л
В
6
DC
LX
VI
7
DCC
LXX
VII
8
DCCC
LXXX
VIII
9
CM
XC
IX
2019 римскими цифрами — первое число в системе римских цифр, появившейся в Древнем Риме.Римские цифры — это другой язык, и важно, чтобы вы понимали язык и систему счисления, начиная с 2019 года, используя римские цифры. Каждое число в системе римских цифр представляет собой определенную визуальную ценность, которая представлена буквой, начинающейся с 2019 года в римских цифрах. Однако важно понимать значение каждого числа и то, как оно представлено римскими цифрами, например, 2019.
Римские цифры Введение
Чтобы понять, что такое 2019 римскими цифрами, важно, чтобы учащийся выполнил исследование.Подробное понимание и что такое 2019 римскими цифрами доступно на сайте и может быть просмотрено кем угодно и в любое время. Будь то ученик / родитель / учитель, вам необходимо понимать важность каждого числа и то, как оно представлено римскими цифрами, например, 2019. 2019 год представлен римскими цифрами MMXIX, что является основным значением этой системы нумерации. Итак, вы можете увидеть здесь представление 2019 римскими цифрами и то, как оно написано. Детям необходимо подготовиться к регулярной практике работы с этим рабочим листом и понять, что такое 2019 римскими цифрами.
Преобразователь римских цифр
Преобразователь римских цифр
Преобразователь римских цифр
Введено неверное римское или арабское число.
О преобразователе римских цифр
Конвертер римских цифр используется для преобразования римских цифр в индусско-арабские и наоборот.
Римские цифры
Римские цифры произошли от системы счисления Древнего Рима.Например, римскими цифрами 2021 будет MMXXI, а римскими цифрами 2020 — MMXX.
Первые десять римских цифр — это I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX и X.
PWA (Progressive Web App) Tools (17) Financial Calcuators (121) Health and Fitness (31) Math (161) Randomness (17) Sports (8) Text Tools (30) Time and Date (27) Webmaster Tools (10) Hash and Checksum (8) Miscellaneous (108)
Squarespace zoom integration
Squarespace zoom integration
For about £10 to £30 per month, Squarespace plans offer access to hosting, around the clock customer support, website metrics, mobile optimisation, SSL security, unlimited storage and bandwidth …
Чтобы использовать интеграцию, вы должны зарегистрировать платную учетную запись Zoom. Платные аккаунты позволяют проводить встречи более 45 минут. После создания обеих учетных записей включите интеграцию в Acuity. Только главный администратор Acuity или субпользователь с доступом уровня администратора к одной учетной записи Acuity может настроить интеграцию Zoom.
Выполните интеграцию с помощью любого из многих известных решений для корзины покупок, в которых предварительно интегрирован Payflow. Предложите клиентам множество способов оплаты.Принимайте все основные дебетовые и кредитные карты, поддерживаемые их процессором, включая Visa, Mastercard ®, American Express, Discover, JCB и Diners Club. Payflow Gateway также поддерживает карты покупок L2 / L3 …
VIP-день ~ 5 часов интенсивных, ориентированных на ваши цели и желаемые результаты с устойчивыми и действенными шагами, месяц поддержки по электронной почте и заключительный звонок по интеграции через 2 недели. 1/2 VIP-дня ~ 2 1/2 часа интенсивных занятий с теми же намерениями и целями, что и полный VIP-день
Имея бизнес-аккаунт, вы можете предоставить спонсорам больше возможностей и сохранить свою кнопку для будущего использования, если вы вошли в систему ваш счет PayPal.
Zoom Video Webinars предоставляет возможность монетизировать ваши вебинары за счет нашей интеграции с PayPal, Eventbrite и CVent. Сделайте свой бренд в центре внимания. Настройте и маркируйте свои электронные письма и регистрационные формы, чтобы обеспечить максимальную видимость среди точек соприкосновения посетителей. Узнайте больше об управлении впечатлениями посетителей с помощью
Используйте Wistia, чтобы создать свой бренд с помощью контента. Ищете ли вы первоклассный хостинг для видео и подкастов, подробную аналитику, интеграцию автоматизации маркетинга или интерактивные видео и аудио инструменты, Wistia поможет вам.
Какой вариант интеграции с веб-сайтом мне подходит? Обновлено Ester M Вот как это сделать: Краткий обзор встроенных опций оформления заказа. Если вы соответствуете требованиям, eblink {используйте наши новые встроенные …
Gauntlet grey
25 февраля 2019 г. · Новый формат AR, поддерживаемый устройствами iOS 12 — USDZ — изменит будущее онлайн-покупок. Узнайте, как встраивать и отображать файлы AR для вашего веб-сайта электронной коммерции, интернет-магазина Shopify, страницы Wix, интернет-магазина WordPress или Squarespace с помощью Vectary. Устройства Apple на iOS 12 смогут видеть их, когда вы делаете покупки в Интернете.Airtable — это платформа с низким кодом для создания приложений для совместной работы. Настройте свой рабочий процесс, сотрудничайте и добивайтесь амбициозных результатов. Начни бесплатно.
Римские цифры используются в названиях соединений, которые содержат катионы с
17 сентября 2019 г. · (Подробнее об этом через минуту.) Acuity великолепна, потому что интеграция с Zoom и GCal означает, что после записи на прием Acuity автоматически создает комнату Zoom, в которой мы можем встретиться, а затем добавляет встречу и ссылку на комнату Zoom в наши календари.
Есть вопросы? Свяжитесь с нами по электронной почте или позвоните в наш офис по телефону 1 (888) 670-4887.
23 июля 2020 г. · Интеграция Zoom с Nubimed позволит пользователям связать видеозвонок с любой встречей. Как установить Zoom? Чтобы связать свою учетную запись Zoom с учетной записью Nubimed, вы должны перейти на начальную страницу своей учетной записи Nubimed, и вы увидите вариант подключения к Zoom. Выполните следующие действия: 1- Щелкните, чтобы «Связать с увеличением» Red Hat Enterprise Linux 7 — это ведущая в мире корпоративная платформа Linux, созданная для удовлетворения потребностей toda…
Как редко встречаются карие глаза
13 мая 2020 г. · Чтобы использовать интеграцию, необходимо зарегистрировать платную учетную запись Zoom. Платные аккаунты позволяют проводить встречи более 45 минут. После создания обеих учетных записей включите интеграцию в Acuity. Только главный администратор Acuity или субпользователь с доступом уровня администратора к одной учетной записи Acuity может настроить интеграцию Zoom.
Хостинг подкастов аналогичен хостингу веб-сайтов. Когда вам нужен веб-сайт, вы используете такие службы, как Wix, Squarespace или WordPress, для размещения файлов вашего веб-сайта.Вы загрузите свои аудиофайлы в службу хостинга (например, Transistor). Здесь вы сможете редактировать детали шоу, добавлять обложки, создавать эпизоды и создавать RSS-канал для своего подкаста.
WooCommerce также удобен для разработчиков. WooCommerce, созданный с помощью REST API, масштабируется и может интегрироваться практически с любой службой. Создайте сложный магазин с нуля, расширьте магазин для клиента или просто добавьте один продукт на сайт WordPress — ваш магазин, как вам нравится. 13 мая 2020 г. · Чтобы использовать интеграцию, необходимо зарегистрировать платную учетную запись Zoom.Платные аккаунты позволяют проводить встречи более 45 минут. После создания обеих учетных записей включите интеграцию в Acuity. Только главный администратор Acuity или субпользователь с доступом уровня администратора к одной учетной записи Acuity может настроить интеграцию Zoom.
Snapchat tweak repo
iHomefinder предлагает два типа учетных записей для интеграции IDX с веб-сайтами — один вариант предназначен для веб-сайтов WordPress и включает плагин WordPress под названием Optima Express. Другой вариант — для веб-сайтов, не относящихся к WordPress, таких как Wix, Squarespace и пользовательских веб-сайтов.Этот вариант называется Optima IDX.
Красивые веб-сайты WORDPRESS / SQUARESPACE / HTML и CSS / JS Ознакомьтесь с нашим … Link Zoom. Sires Eyewear … Интеграция баз данных, техническая поддержка, веб-разработка.
Green Chameleon продолжает удивлять, на этот раз интерактивным One Pager на основе WebGL для нового стартапа «Sonic Blocks». К вашему сведению: WebGL (библиотека веб-графики) — это API-интерфейс JavaScript для рендеринга интерактивной компьютерной 3D-графики и 2D-графики в любом совместимом веб-браузере без использования подключаемых модулей.Самый популярный на сегодня код купона WIX: скидка 10% на премиум-план Wix. Получите 15 кодов купонов и купонов WIX на январь 2021 года.
Продукты Keystone rv
Календарно легко интегрируется со сторонними календарями, CRM, службами веб-конференций, платежными системами и более чем 1000 другими приложениями.
Magic Zoom решает проблему отображения красивых больших изображений на веб-сайтах Squarespace, увеличивая изображение при наведении курсора. Это приятный опыт и настоящий ВАУ-фактор для посетителей, которые могут увидеть ваши изображения в гораздо более высоком качестве.Это масштабирование изображений JavaScript, которое работает с jQuery или без него, поэтому отлично подойдет для любого веб-сайта.
1 апреля 2020 г. · Единственное предостережение: если вы отправите путь UNC (например, \\ 192.1.1.112 \ file-sharing-folder), Zoom также преобразует путь в действенную ссылку. .Если кто-нибудь … Помимо бесшовной интеграции с нашими внутренними календарями, он отлично работает с нашим поставщиком виртуальных встреч Zoom. Нам нравятся личные встречи, однако Zoom обеспечивает дополнительную продуктивность и простоту использования возможностей по мере их появления.
Схема вязания щенка крючком
Мы также интегрируемся с Zoom, поэтому, если у вас есть какие-либо видео-консультации, вы можете указать информацию о вашей встрече прямо в электронном письме для них, когда они сделают заказ, все готово к работе! Вот пример того, как это может выглядеть на вашем сайте:
Настройка комнаты с веб-портала позволяет вам установить имя комнаты, интеграцию календаря, местоположение, пароль комнаты и другие дополнительные настройки комнаты. Инструкции. Войдите на веб-портал Zoom с учетными данными пользователя Zoom, который имеет право Zoom Rooms.Щелкните Управление помещениями> Масштабирование комнат. Щелкните Добавить комнату. Откроется страница «Добавить комнату масштабирования».
Вы когда-нибудь задумывались, как увеличить изображение при наведении курсора в Squarespace? В этом обучающем видео мы рассмотрим основы создания эффекта масштабирования изображения с помощью CSS, когда вы … 26 августа 2020 г. · Shopify не включает функция масштабирования, но такое приложение, как Magic Zoom Plus, может предоставить эту функцию. Когда дело доходит до обработки платежей, Squarespace предоставляет ограниченную поддержку платежных шлюзов. Однако Shopify прямо из коробки поддерживает несколько способов оплаты, таких как Paypal, Amazon Pay, Apple Pay, Google Pay и даже криптовалюту.
Linux под ключ debian
Интеграция со Slack. Принимайте и отвечайте на разговоры по внутренней связи в Slack. Узнать больше. Расти. Чат, адресная электронная почта и самообслуживание. Попробуй бесплатно. от 99 $ / мес.
Благодаря зонам для участников клиенты Squarespace получают все преимущества единого места назначения для управления своим веб-сайтом, электронной почтой, членством и инструментами электронной коммерции, а также имеют возможность развивать свой бизнес по мере того, как Squarespace расширяется за счет новых функций. Теперь продавцы смогут: Создавать полностью настраиваемые группы, которые работают для их конкретных бизнес-потребностей.
Я почти согласился с тем, что мне придется либо вводить их вручную, либо переделывать свой веб-сайт.Служба поддержки QBO нашла для меня Business Integration, и они здорово помогли мне импортировать продажи из Squarespace в QBO с минимальными усилиями. Они очень меня поддержали и откликнулись, помогая мне это настроить. Какая интеграция с веб-сайтом мне подходит? Обновлено Ester M Вот как это сделать: Краткий обзор встроенных опций оформления заказа. Если вы соответствуете требованиям, eblink {используйте наши новые встроенные …
Igpu opencore
Попробуйте Sumo бесплатно сегодня. Получите проверенные стратегии продаж и маркетинга на своем веб-сайте менее чем за минуту.
22 февраля 2019 г. · Если у вас включена интеграция Zoom, то при добавлении нового действия в рабочий процесс вы увидите параметр «Добавить контакт в веб-семинар Zoom». См .: Введите идентификатор вебинара в поле и нажмите «Сохранить». Все, кто участвует в этом рабочем процессе, будут добавлены на ваш веб-семинар. Это встроенная интеграция HubSpot с Zoom.
18 августа 2013 г. · Я только начинаю пользоваться новым календарем Outlook.com. Раньше я мог встраивать календарь, когда это был Live.com, но теперь с этим новым календарем я могу использовать только ссылки.
S3_client upload_file timeout
Адаптер фары для плуга Fisher
Кошки сфинксы на продажу Craigslist Texas
Walgreens Pharmacy tech pay NC
Firewall Window Design Principles 9002
Window Storm Surface Laptop 3 расположение микрофона
Giant tcr advanced pro 1 диск 2020 обзор
Подставка для запястья мыши Razer
Ffxiv baldesion arsenal discord crystal
Как установить часы на духовке Hotpoint
Winols 4 скачать
Fpse apk (эмулятор ps2 для android) скачать бесплатно
Бультерьер спасает северный техас
Сколько прямоугольников в сетке 3×3
Электроны и структура атомов рабочий лист ответы
дюйм задержать opencv c ++ ubuntu 14.04
Объяснение аэродинамики мема коровы
Дисперсия распределения z-баллов всегда равна
Процесс найма Con edison
Идеи настенных часов
Bose acoustimass 15-контактный кабель
Msi silent option загрузить
Как поставить римские или арабские цифры Word 2019
Ежедневное использование Microsoft Word 2019 — одно из действий, которые многие из нас выполняют для создания профессиональных документов благодаря различным интегрированным функциям и функциям в этом приложении, и естественно, что много раз мы хотим установить номера страниц или стили номеров и форматы внутри структуры документа, например, в его оглавлении, субтитрах и т. д.
Благодаря редактированию текста и программам, предназначенным для этого как Word, мы можем создавать текстовые документы с различными форматами и стилями, создавая оригинальные и сложные документы. Работа с текстом позволяет нам менять шрифт на происхождение символов и таким образом смешивать языки. Примером этого является преобразование чисел в другие форматы, известные как римские цифры или арабский стиль. Таким образом, мы будем создавать разные и дифференцированные форматы, которые мы можем использовать в какое-то время. Для достижения этого одной из лучших доступных альтернатив является использование арабских и римских цифр для этого дизайна, и сегодня TechnoWikis объяснит, как вставить этот тип чисел в Word 2019.
Мы также оставляем вас под видеоуроком с шагами и формами, которые вы должны иметь, чтобы иметь возможность легко вводить числа на римском или арабском языке в Word 2019.
Чтобы не отставать, не забудьте подписаться на наш канал YouTube! ПОДПИСАТЬСЯ
1. Вставить римские цифры в Microsoft Word 2019
Шаг 1
Для этого процесса мы перейдем в меню «Вставка», а в группе «Верхний и нижний колонтитулы» нажмем на параметр «Номер страницы» и в В отображаемом списке выбираем Формат номера страницы:
Шаг 2
После этого в поле «Формат номера» выбираем интегрированную схему римских цифр:
Шаг 3
Кроме того, в Нумерации страниц В разделе Start in мы определяем, с какого номера должна инициализироваться нумерация страниц.Мы нажимаем «Принять», после чего переходим к опции «Номер страницы» и определяем расположение римской цифры:
Шаг 4
После выбора позиции мы увидим там номер:
Шаг 5
Чтобы убедиться, что нумерация продолжается, мы можем использовать клавиши Ctrl + Enter, и мы увидим, что римская нумерация продолжается. Настолько просто, что мы можем использовать римские цифры в Word 2019.
+ E Ctrl + E
2. Вставьте арабские цифры в Microsoft Word 2019
Шаг 1
Арабские цифры — это традиционные числа, которые мы используем (1, 2, 3, 4. и т. Д.), И по умолчанию это значение в Microsoft Word 2019, поэтому, если вы хотите чтобы вставить номера этого типа, просто перейдите в меню «Вставка», «Верхний колонтитул» и «Нижний колонтитул», затем перейдите к параметру «Номер страницы / верх страницы» и выберите расположение номера:
Шаг 2
При выборе места мы будем см. установленный арабский номер:
Шаг 3
По мере того, как мы вставляем новые страницы, мы увидим, что число растет:
Шаг 4
Теперь еще один вариант определения арабского числа в Word 2019 — это Группа верхнего и нижнего колонтитула, а затем выберите «Формат номера страницы» в параметре «Номер страницы».Во всплывающем окне мы выбираем арабские числа в поле «Формат числа»:
Шаг 5
Внизу мы можем определить, с какого числа начинать или хотим ли мы, чтобы он начинался с предыдущего раздела и после при этом мы нажимаем ОК, чтобы сохранить изменения.
3. Объединение римских и арабских цифр в Word 2019
Другой вариант, который у нас есть для полного документа, — объединить оба варианта (римский и арабский), для этого мы создадим следующую структуру:
Первая страница без нумерации (оглавление, указатель и т. Д.).
Страницы с 2 по 4 римскими цифрами.
Начиная со страницы 5 арабскими цифрами.
Step 1
Чтобы лучше понять процесс, мы перейдем в меню View и там выберем опцию Multiple pages:
Step 2
Это позволяет нам просматривать разные страницы одновременно:
Step 3
В этом случае мы вставим нумерацию в Word 2019 из нижнего колонтитула, но не из верхнего колонтитула.Для этого мы перейдем в меню «Вставка» и в группе «Верхний и нижний колонтитулы» нажмем «Нижний колонтитул», чтобы выбрать желаемый дизайн:
Шаг 4
При этом по умолчанию арабские цифры будут применены ко всему документ:
Шаг 5
Теперь пришло время отредактировать эти значения, для этого мы помещаем курсор на последнее слово первого листа и переходим в меню «Макет» и в группе «Параметры страницы» мы нажмите на опцию «Переходы» и выберите «Следующая страница»:
Шаг 6
При этом содержание страницы 2 перемещается на третью страницу:
Шаг 7
В этом случае мы помещаем курсор на вторую страницу и используем клавишу Delete, чтобы текст снова оказался в исходной позиции:
Step 8
Мы проверяем правильность применения раздела двойным щелчком по нижнему колонтитулу и там мы см. легенду Нижний колонтитул раздела 1, 2 и т. д.Следует отметить, что только первая страница имеет легенду Раздел 1, на других страницах будет указано Раздел 2.
Нулевой факториал — это математическое выражение для количества способов упорядочить набор данных без значений, равный единице.В общем, факториал числа является кратким способом записи выражения умножения, в котором число умножается на каждое число меньше его, но больше нуля. 4! Например, = 24 — это то же самое, что и запись 4 x 3 x 2 x 1 = 24, где каждый использует восклицательный знак справа от факторного числа (четыре), чтобы выразить то же уравнение.
Из этих примеров довольно ясно, как рассчитать факториал любого целого числа, большего или равного единице, но почему значение факториала равно нулю, несмотря на математическое правило, согласно которому все, умноженное на ноль, равно нулю?
Определение факториала утверждает, что 0! = 1. Это обычно смущает людей в первый раз, когда они видят это уравнение, но мы увидим в примерах ниже, почему это имеет смысл, если вы посмотрите на определение, перестановки и формулы для нулевого факториала.
Определение нулевого факториала
Первая причина того, почему нулевой факториал равен единице, заключается в том, что именно так оно и должно быть в определении, что является математически правильным, если не несколько неудовлетворительным объяснением. Тем не менее, следует помнить, что определение факториала — это произведение всех целых чисел, равных или меньших по значению на исходное число — другими словами, это факториал — это число возможных комбинаций с числами, меньшими или равными этому числу.,
Поскольку ноль не имеет меньших чисел, но все еще сам по себе является числом, существует еще одна возможная комбинация того, как этот набор данных может быть организован: он не может. Это по-прежнему считается одним из способов его организации, поэтому по определению нулевой факториал равен единице, равно как 1! равен единице, потому что существует только одно возможное расположение этого набора данных.
Для лучшего понимания того, как это имеет смысл математически, важно отметить, что факториалы, подобные этим, используются для определения возможных порядков информации в последовательности, также известной как перестановки, которые могут быть полезны для понимания того, что, хотя в пустой или нулевой набор, есть еще один способ, которым этот набор организован.
Перестановки и Факториалы
Перестановка — это особый, уникальный порядок элементов в наборе. Например, существует шесть перестановок множества {1, 2, 3}, которое содержит три элемента, поскольку мы можем записать эти элементы следующими шестью способами:
1, 2, 3
1, 3, 2
2, 3, 1
2, 1, 3
3, 2, 1
3, 1, 2
Мы также можем констатировать этот факт с помощью уравнения 3! = 6, который является факториальным представлением полного набора перестановок. Аналогичным образом, есть 4! = 24 перестановки набора из четырех элементов и 5! = 120 перестановок набора из пяти элементов. Таким образом, альтернативный способ думать о факториале состоит в том, чтобы N быть натуральным числом и сказать, что N ! число перестановок для набора с N элементы.
При таком подходе к факториалу давайте рассмотрим еще пару примеров. Набор из двух элементов имеет две перестановки: {a, b} можно расположить как a, b или как b, a. Это соответствует 2! = 2. Множество с одним элементом имеет одну перестановку, поскольку элемент 1 в наборе {1} можно упорядочить только одним способом.
Это подводит нас к нулю факториала. Множество с нулевыми элементами называется пустым множеством. Чтобы найти значение нулевого факториала, мы спрашиваем: «Сколько способов мы можем заказать набор без элементов?». Здесь нам нужно немного расширить мышление. Несмотря на то, что нет ничего, чтобы навести порядок, есть один способ сделать это. Таким образом, мы имеем это 0! = 1
Формулы и другие проверки
Еще одна причина для определения 0! = 1 имеет отношение к формулам, которые мы используем для перестановок и комбинаций. Это не объясняет, почему нулевой факториал равен единице, но показывает, почему установка 0! = 1 хорошая идея.
Комбинация — это группировка элементов набора без учета порядка. Например, рассмотрим набор {1, 2, 3}, в котором есть одна комбинация, состоящая из всех трех элементов. Независимо от того, в каком порядке мы расположим эти элементы, мы получим одну и ту же комбинацию.
Мы используем формулу для комбинаций, при этом комбинация из трех элементов берется по три одновременно, и мы видим, что 1 = С (3, 3) = 3! / (3! 0!) И если рассматривать 0! как неизвестное количество и решить алгебраически, мы видим, что 3! 0! = 3! и так 0! = 1
Есть и другие причины, почему определение 0! = 1 правильно, но причины, приведенные выше, являются наиболее простыми. Общая идея в математике заключается в том, что когда создаются новые идеи и определения, они остаются совместимыми с другой математикой, и это именно то, что мы видим в определении нулевого факториала, равного единице.
Сколько нулей в конце факториала 100?
Факториал одной сотни записывается как 100! Это произведение всех натуральных чисел до ста включительно. Иногда запись факториала имеет такой вид:
100 х 99 х 98 х 97 х … х 4 х 3 х 2 х 1
Для ответа на вопрос задачи вам не обязательно находить результат умножения. От вас ждут, чтобы вы лишь определили число нулей в конце произведения, не зная, каким именно оно будет. Для решения этой задачи потребуется сформулировать несколько правил. Одно из них вы уже знаете. Взгляните на следующее выражение.
387 000 х 12 900 = 5 027 131 727
Вам не кажется, что здесь есть что-то забавное? Ведь при перемножении двух круглых чисел, то есть тех, которые оканчиваются на нули, невозможно получить некруглое число. Это нарушило бы закон сохранения конечных нулей (закон, который я только что вывел, но, тем не менее, он является верным). Произведение всегда унаследует нулевые окончания своих составляющих. Вот несколько верных примеров этого:
10 х 10 = 100 7 х 20 = 140 30 х 400 = 12 000
Из сомножителей факториала 100 десять заканчиваются на ноль: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 100 (заканчивается на два 0). Это дает уже как минимум одиннадцать конечных нулей, которые 100! обязательно унаследует. Предупреждение: следование только этому правилу иногда побуждает некоторых кандидатов в своем ответе заявить, что в конце факториала 100 стоят одиннадцать нулей. Такой ответ является неверным. Иногда можно умножить два числа, не заканчивающихся на ноль, и получить произведение, имеющее в конце один или несколько нулей. Вот несколько примеров этого рода:
2 х 5 = 10 5 х 8 = 40 6 х 15 = 90 8 х 125 = 1000
Все, кроме последней пары, входят в сотню составляющих факториала 100. Поэтому ваша работа не закончилась. Теперь мы подходим к закону «сосисок и булочек». Представьте себе ситуацию, когда на пикник одни люди приносят сосиски (в упаковках по десять штук), другие — булочки (упакованные по восемь штук), а некоторые — и то, и другое. Есть единственный способ, позволяющий определить, сколько хотдогов из этих продуктов можно приготовить. Сосчитайте сосиски, сосчитайте булочки и выберите меньшее число из двух.
Тот же самый закон следует использовать и отвечая на наш вопрос. Для этого надо заменить «сосиски» и «булочки» на «сомножители на 2» и «сомножители на 5».
В каждом из приведенных выше уравнений число, которое делится на 2, умножается на число, которое делится на 5. Сомножители на 2 и на 5 при их перемножении «совместно» дают идеальную десятку, что добавляет еще один ноль к общему произведению. Посмотрите на последний пример, где в конце, можно сказать, из воздуха возникает три нуля.
8 х 125 = (2 х 2 х 2) х (5 х 5 х 5) = (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) = 10 х 10 х 10 = 1000
Поэтому надо составить пары из двоек и пятерок. Возьмем, к примеру, число, равное 692 978 456 718 000 000.
Оно оканчивается на шесть нулей. Это означает, что его можно записать следующим образом:
692 978 456 718 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10 х 10,
или так:
692 978 456 718 х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5).
Первая часть, 692 978 456 718, не делится на 10. В ином случае она бы оканчивалась на ноль, и можно было бы эту часть уменьшить еще в 10 раз. К тому же здесь есть шесть сомножителей, равных 10 (или 2 х 5), что соответствует шести нулям в конце числа 692 978 456 718 000 000. Ну как, убедительно?
Это дает нам надежную систему для определения количества нулей в конце любого большого числа. Выделите сомножители 2 и 5. Составьте из них пары и перемножьте их: (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х … Число пар из двоек и пятерок равно количеству нулей в конце. Закройте глаза на все, что осталось слева.
В целом слева у вас останется двойка или пятерка, для которых не нашлось пары. Обычно это двойки. Более того, когда вы имеете дело с факториалом, это всегда двойки. (В факториалах имеется больше четных множителей, чем множителей, которые делятся на 5.) Поэтому узким местом является число пятерок. Из этого следует, что вопрос можно сформулировать по-другому: сколько раз 100! можно разделить без остатка на 5?
Эту арифметическую операцию можно легко проделать даже в голове. В диапазоне от 1 до 100 есть 20 чисел, которые делятся на пятерку: 5, 10, 15, …, 95, 100. Обратите внимание, что 25 дает 2 множителя, равные 5 (25 = 5 х 5), и к тому же в этой группе есть еще три числа, в состав которых входит 25: 50, 75 и 100. В совокупности это добавляет еще четыре пятерки, а всего их 24. 24 множителя на пять дают 24 пары с равным числом двоек, в результате чего получается 24 множителя на 10 (оставляя слева еще множество двоек, для которых не оказалось пары). Таким образом, в конце 100! будет 24 нуля.
Если вам любопытно узнать точный ответ, то значение факториала 100 равно:
Разбор по книге «Действительно ли Вы достаточно умны, чтобы работать в Google?»
Почему нулевой фактор равен единице?
Автор Тимохин Александр На чтение 4 мин. Просмотров 349 Опубликовано
Нулевой факториал — это математическое выражение для количества способов упорядочить набор данных без значений в нем, равный единице. В общем, факториал числа — это сокращенный способ записать выражение умножения, в котором число умножается на каждое число, меньшее его, но большее нуля. 4! = 24, например, то же самое, что и запись 4 x 3 x 2 x 1 = 24, но для выражения того же уравнения справа от факториала (четыре) используется восклицательный знак.
Из этих примеров довольно ясно, как вычислить факториал любого целого числа, большего или равного единице, но почему значение факториала равно нулю, несмотря на математическое правило, что все умножается нулем равно нулю?
Определение факториала утверждает, что 0! = 1. Это обычно сбивает людей с толку в первый раз, когда они видят это уравнение, но мы увидим в приведенных ниже примерах, почему это имеет смысл, когда вы посмотрите на определение, перестановки и формулы для нулевого факториала.
Содержание
Определение нулевого факториала
Перестановки и факториалы
Формулы и другие проверки
Определение нулевого факториала
Первая причина, по которой нулевой факториал равен единице, заключается в том, что это то, что по определению должно быть, что является математически правильным объяснением (хотя и несколько неудовлетворительным). Тем не менее, нужно помнить, что определение факториала — это произведение всех целых чисел, равных или меньших по значению исходному числу, другими словами, факториал — это количество возможных комбинаций с числами, меньшими или равными этому числу.
Поскольку ноль не имеет меньших чисел, но все же сам по себе является числом, существует только одна возможная комбинация того, как этот набор данных может быть организован : оно не может. Это по-прежнему считается способом упорядочения, поэтому по определению нулевой факториал равен единице, как и 1! равно единице, потому что существует только одно возможное расположение этого набора данных.
Для лучшего понимания того, как это имеет математический смысл, важно отметить что факториалы, подобные этим, используются для определения возможных порядков информации в последовательности, также известных как перестановки, которые могут быть полезны для понимания того, что даже если в пустом или нулевом наборе нет значений, все же существует один способ упорядочения набора .
Перестановки и факториалы
Перестановка — это особый уникальный порядок элементов в наборе. Например, существует шесть перестановок набора {1, 2, 3}, который содержит три элемента, поскольку мы можем записать эти элементы следующими шестью способами:
1, 2, 3
1, 3, 2
2, 3, 1
2, 1, 3
3, 2, 1
3, 1, 2
Мы также можем констатировать этот факт с помощью уравнения 3! = 6, что является факториальным представлением полного набора перестановок. Аналогично есть 4! = 24 перестановки набора из четырех элементов и 5! = 120 перестановок набора из пяти элементов. Таким образом, альтернативный способ подумать о факториале — позволить n быть натуральным числом и сказать, что n ! — это количество перестановок для набора с n элементами.
Рассматривая факториал таким образом, давайте посмотрим еще пара примеров. Набор из двух элементов имеет две перестановки: {a, b} могут быть расположены как a, b или как b, a. Это соответствует 2! = 2. Набор с одним элементом имеет единственную перестановку, так как элемент 1 в наборе {1} может быть упорядочен только одним способом.
Это приводит нас к нулевому факториалу. Набор с нулевыми элементами называется пустым набором. Чтобы найти значение нулевого факториала, мы спрашиваем: «Сколько способов мы можем упорядочить набор без элементов?» Здесь нам нужно немного расширить наше мышление. Несмотря на то, что навести порядок нечего, есть один способ сделать это. Таким образом, мы имеем 0! = 1.
Формулы и другие проверки
Еще одна причина для определения 0! = 1 имеет отношение к формулам, которые мы используем для перестановок и комбинаций. Это не объясняет, почему нулевой факториал равен единице, но показывает, почему установка 0! = 1 — хорошая идея.
Комбинация — это группировка элементов набора без учета порядка. Например, рассмотрим набор {1, 2, 3}, в котором есть одна комбинация, состоящая из всех трех элементов. Независимо от того, как мы расположим эти элементы, мы получим одну и ту же комбинацию.
Мы используем формулу для комбинаций с комбинацией из трех элементов, взятых по три за один раз и увидим, что 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), и если мы обработаем 0! как неизвестную величину и решаем алгебраически, мы видим, что 3! 0! = 3! и так 0! = 1.
Есть и другие причины, по которым определение 0! = 1 правильно, но причины, указанные выше, наиболее очевидны. Общая идея математики состоит в том, что при построении новых идей и определений они остаются согласованными с другой математикой, и это именно то, что мы видим в определении нулевого факториала, равного единице.
Факториал | это… Что такое Факториал?
Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:
Например:
По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:
Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).
Содержание
1 Свойства
1.1 Рекуррентная формула
1.2 Комбинаторная интерпретация
1.3 Связь с гамма-функцией
1.4 Формула Стирлинга
1.5 Разложение на простые числа
1. 6 Другие свойства
2 Обобщения
2.1 Двойной факториал
2.2 Кратный факториал
2.3 Убывающий факториал
2.4 Возрастающий факториал
2.5 Праймориал или примориал
2.6 Суперфакториалы
2.7 Субфакториал
3 Ссылки
4 См. также
5 Примечания
Свойства
Рекуррентная формула
Комбинаторная интерпретация
В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:
Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.
Связь с гамма-функцией
Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:
Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.
Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при
Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.
Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как
Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению
Формула Стирлинга
Основная статья: Формула Стирлинга
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:
см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).
Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
При этом можно утверждать, что
Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что
100! ≈ 9,33×10157;
1000! ≈ 4,02×102567;
10 000! ≈ 2,85×1035 659.
Разложение на простые числа
Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени
Таким образом,
где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.
Другие свойства
Для натурального числа n
Обобщения
Двойной факториал
Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,
Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен
(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).
В общем
Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:
Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:
Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть
где для и
Субфакториал
Основная статья: Субфакториал
Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.
Ссылки
Онлайн Калькулятор Факториалов
См. также
Факторион
Примечания
↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
↑ wolframalpha.com.
Вычисление факториала числа онлайн | BBF.RU
Факториал натурального числа n — это произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n. Факториалы естественным образом возникают во многих областях математики, а «родиной» факториала считается комбинаторика.
Основная информация
Сначала заметим, что математически факториал записывается при помощи восклицательного знака. Такая запись выглядит как n!, а читается как эн-факториал. Математический смысл факториала состоит в произведении последовательных натуральных чисел от 1 до n:
n! = 1 × 2 × 3 … (n − 2) × (n − 1) × n,
где n — заданное количество натуральных чисел.
Первые значения n! выглядят так:
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
Факториал очень быстро растущая функция, если 5! эквивалентно 120, то 15! составляет уже 1 307 674 368 000, а 50! имеет в своем составе 64 нуля. Факториал возник в комбинаторике при расчете количества перестановок множества из n-ного количества элементов. К примеру, для трехэлементного множества Z = {A, B, C} существует 3! = 6 вариантов перестановок:
ABC;
ACB;
BAC;
BCA;
CAB;
CBA.
Теоретико-множественное обоснование смысла факториала позволило доказать парадоксальное на первый взгляд утверждение, что 0! = 1. Ноль-факториал, по сути, представляет собой 0 × 1, а каждый пятиклассник знает, что при умножении на ноль в результате также будет ноль. Пустое же множество, не содержащее элементов, может быть упорядоченно одним единственным способом, поэтому факториал нуля равен единице. В целом факториал находит широкое применение в теории чисел, теории вероятностей, функциональном анализе, комбинаторике, а также при разложении функций в ряд Тейлора.
Вычисление n!
Вычисление факториала для натуральных чисел меньше 10 не представляет особой сложности, однако молниеносный рост функции делает крайне затруднительным вычисление факториалов по мере роста чисел. В компьютерных вычислениях основной сложностью становится отображение и хранение результата расчета функции n!. Прямое умножение натуральных чисел для вычисления факториала для n > 20 не используется.
Формула Стирлинга
Формула Стирлинга позволяет вычислить приблизительное значение факториала любого числа n, оперируя при этом только числом n и постоянными коэффициентами. Данная формула позволяет избежать огромных промежуточных вычислений. Для точного вычисления значения формула Стирлинга содержит 7 слагаемых, однако в большинстве случаев эти слагаемые опускаются, а факториал рассчитывается приближенно:
n! ≈ sqrt(2pi × n ) × (n/e)n,
где e — экспонента.
Наш калькулятор рассчитывает факториал именно по формуле Стирлинга, поэтому для небольших чисел значение факториала будет выглядеть необычно. Например, 2! ≈ 1,919, а 3! ≈ 5,836. Не пугайтесь такого представления результата, просто округлите число до ближайшего целого в большую сторону и вы получите правильный ответ. Для больших чисел результат будет представлен в виде мантиссы и порядка. Например, 100! ≈ 9,325e+157. Это означает, что 100! ≈ 9,325 × 10157.
Другие виды факториалов
Помимо стандартного n! для ряда натуральных чисел существуют также экзотические виды факториала, которые рассчитываются для четных/нечетных или простых чисел. Последний называется праймориал и рассчитывается для последовательности простых чисел меньших или равных заданному. К примеру, праймориал первых 7 простых чисел представляет собой:
p7 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 = 510 510
Кроме того, существует суперфакториал, который представляет собой произведение первых n факториалов. Например, суперфакториал 5 равен:
Очевидно, что последовательность суперфакториалов является самой быстрорастущей.
Наша программа использует формулу Стирлинга для вычисления сколь угодно больших факториалов. Для небольших чисел не забывайте округлять результат до целого в большую сторону, так как факториал — это всегда целое число.
Рассмотрим пример из комбинаторики
Лотерея
Всем известны различные лотереи, где игрокам требуется угадать комбинацию 6 чисел из 52 возможных. Правила могут отличаться, иногда требуется угадать 5 чисел из 60 или 6 из 90. Пусть вы купили билет классической лотереи «Спортлото» и для выигрыша вам требуется угадать комбинацию 6 чисел из 49 возможных. Какова вероятность выиграть главный приз? К нам на помощь приходит комбинаторика и факториалы. Общее количество возможных комбинаций для данного примера рассчитывается по формуле:
Общее количество 6 из 49 = 49! / (6! × 43!)
Воспользуемся калькулятором и по отдельности вычислим значения факториалов:
Общее количество 6 из 49 = 6,072e+62 / 720 × 6,030e+52 = 13 985 627.
Это означает, существует приблизительно 14 миллионов шестиэлементных комбинаций, образованных из 49 чисел. Следовательно, вероятность выигрыша в «Спортлото» составляет 1 к 14 миллионам.
Заключение
Факториалы естественным образом возникают в комбинаторике, теории чисел и теории вероятностей. Используйте нашу программу для подсчета приблизительных значений факториалов сколько угодно больших чисел.
Привет, сегодня поговорим про факториал, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое
факториал, суперфакториал, гиперфакториал, примориал , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика..
факториал числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральныхчисел от 1 до n включительно:
Например:
.
По договоренности: . Также это равенство выполняется естественным образом:
Факториал определен только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:
Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растет быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).
В математике существует около десятка различных факториалов, рассмотрим их
1. Факториал
пример 5! = 1*2*3*4*5
Возникает естественным образом в комбинаторике — науке, в которой изучаются задачи, связанные с выбором и расположением различных элементов чаще всего конечных множеств.
2. Двойной факториал
пример 7!! = 7*5*3*1
общий случай n!!= если n четное , то = n(n-2) * … * 4 * 2 или
если n — не четное , то = n(n-2) * … * 3 * 1
Этот факториал имеет просто громадное количество приложений в комбинаторике и достоин отдельного материала. Впервые он использовался при выводе замечательного произведения Уоллиса, связывающего натуральные числа и число π:
3. Субфакториал
Этот представитель семейства в отличие от обычного факториала, который определяет количество перестановок, определяет количество беспорядков.
4. Праймориал
Определяется как произведение простых чисел, меньших или равных данному.
5.
суперфакториал Слоуна
Название дано создателем уникальной в своем роде Онлайн Энциклопедии Целочисленных Последовательностей (OEIS). Определяется как произведение факториалов чисел, меньших или равных заданному.
6. Суперфакториал Пиковера
Запись показателя степени слева сверху от числа определяет особенную математическую операцию — тетрацию
удивительно быстрорастущая функция. Для числа 3 — это уже вот такая невообразимая башня:
Степени «схлопываются» справа-налево
7.
Экспоненциальный факториал
По сравнению с предыдущим представителем растет «медленно» . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Например, для выражения выше — это 262144. Конечно, для числа 6 в результате уже нулей.
8.
гиперфакториал
Растет еще медленнее, чем предшествующие два. Только лишь на 14 шаге число нулей приближается к гуголу.
9. Фиббоначиал
Равняется произведению первых n чисел Фибоначчи.
10. Другие факториалы
Кроме вышеописанных существуют еще возрастающие и убывающие факториалы, но они являются частным случаем факториала обычного.
А также факториал дробного числа.
Факториал дробного числа — факториал вычисляемый от аргумента —
Вычисляется по формуле:
где [x] — целая часть чиcла x, {x} — дробная часть числа x.
Например, для x=11,2 будем иметь log(11,2!) = log(11!) + 0,2*log(12)
Вычисляемое таким способом значение факториала дробного числа является приближенным. Для точных расчетов необходимо использовать гамма-функцию.
Факториалы нецелых (дробных) чисел появляются при статистическом описании нейросетевых преобразователей биометрия/код ключа доступа биномиальным законом распределения зависмимых биометрических данных.
История факториала
Факториалы использовались для подсчета перестановок, по крайней мере, еще в 12 веке индийскими учеными. В 1677 году Фабиан Стедман описал факториалы применительно к смене звонков (сигналов вызова) , музыкальному искусству, включающему звон многих настроенных колоколов. После описания рекурсивного подхода Стедман дает утверждение факториала (используя язык оригинала):
Теперь природа этих методов такова, что изменения на одном числе охватывают [включают] изменения на всех меньших числах … настолько, что полный Пил(звон) изменений на одном числе, по-видимому, формируется путем объединения завершенных Пилсов(серии звонков) на всех меньшие числа в одно целое тело.
Обозначения п ! был введен французским математиком Кристианом Крампом в 1808 году.
Свойства факториала
Рекуррентная формула
Комбинаторная интерпретация
В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:
Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, так как пустое множество упорядочено единственным способом.
Связь с гамма-функцией
Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:
Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.
Путем аналитического продолжения ее также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключаяособые точки при .
Пи-функция, определенная для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.
Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как
.
Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению
Формула Стирлинга
Формула Стирлинга
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:
см. O-большое .
Во многих случаях для приближенного значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
При этом можно утверждать, что
Формула Стирлинга позволяет получить приближенные значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что
Разложение на простые числа
Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени
Таким образом,
где произведение берется по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.
Связь с производной от степенной функции
Для целого неотрицательного числа n:
Например:
Другие свойства
Для натурального числа n:
Обобщения
Двойной факториал
Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же четность, что и n.
Для четного n:
Для нечетного n:
Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.
Для четного n:
Для нечетного n:
Выведение формул
Осуществив замену для четного n и для нечетного n соответственно, где — целое неотрицательное число, получим:
для четного числа:
для нечетного числа:
По договоренности: . Также это равенство выполняется естественным образом:
Двойной факториал, также как и обычный факториал, определен только для целых неотрицательных чисел.
Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырех равен
(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).
В общем
Последовательность суперфакториалов чисел начинается так: 1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, … .
Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых nсуперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел начинается так:
Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть
где для и
Субфакториал
Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.
Субфакториал числа n (обозначение: !n) определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок порядка n без неподвижных точек. Название субфакториал происходит из аналогии с факториалом, определяющим общее количество перестановок.
В частности, !n есть число способов положить n писем в n конвертов (по одному в каждый), чтобы ни одно не попало в соответствующий конверт (так называемая Задача о письмах).
«Примеры реализации функции факториал»
Факторион — натуральное число, которое равно сумме факториалов своих цифр.
Список факторионов
Примечания
↑ последовательность A000142 в OEIS
↑ Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS(знаменатели)
↑ последовательность A006882 в OEIS
↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
↑ последовательность A002110 в OEIS
↑ последовательность A000178 в OEIS
↑ последовательность A055462 в OEIS
Напиши свое отношение про факториал. Это меня вдохновит писать для тебя всё больше и больше интересного. Спасибо Надеюсь, что теперь ты понял что такое факториал, суперфакториал, гиперфакториал, примориал
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Дискретная математика. Теория множеств . Теория графов . Комбинаторика.
Определение нулевого факториала
Вещи определяются такими, какие они есть, по уважительным причинам. Сейчас это кажется совершенно очевидным, но когда я узнал об этом на первом курсе колледжа, это открыло мне глаза. Наш профессор Майк Старберд попросил нас вернуться домой и подумать о том, как определить сходимость ряда. Не то, как определяется , а то, как следует определять . Мы должны были не искать определение, а думать о том, каким оно должно быть. На следующий день мы предложили свои определения. В хорошей сократовской манере Starbird показала нам недостатки каждого из них и привела нас к стандартному определению.
Это упражнение дало мне уверенность в том, что математические определения были созданы простыми смертными, такими как я. Это также положило начало моей привычке внимательно изучать определения, чтобы понять, чем они мотивированы.
Часто возникает вопрос, почему нулевой факториал равен 1. Педантичный ответ: «Потому что так определено». Сам по себе этот ответ не очень полезен, но он приводит к более тонкому вопросу: почему 0! определяется как 1?
Ответ на пересмотренный вопрос заключается в том, что многие формулы упрощаются, если мы определяем 0! быть 1. Если бы мы определили 0! чтобы быть равным 0, например, бесчисленные формулы должны были бы добавлять дисквалификаторы, такие как «кроме случаев, когда n равно нулю».
Например, биномиальные коэффициенты определяются как
C ( n , k ) = n ! / k !( n – k )!.
Биномиальный коэффициент C ( n , k ) говорит нам, сколькими способами можно взять набор из n предметов и выбрать k из них. Например, число способов сдачи пяти карт из колоды 52 равно 9.0013 С (52, 5) = 52! / 5! 47! = 2 598 960.
Сколькими способами можно раздать руку из 52 карт из колоды из 52 карт? Очевидно одно: колода — это рука. Но наша формула говорит, что ответ
C (52, 52) = 52! / 52! 0!,
и формула верна только если 0! = 1. Если 0! были определены как что-то еще, мы должны были бы сказать: «Количество способов раздать руку из k карт из колоды из n карт равно C ( n , k ), , кроме , когда k = 0 или k = n , и в этом случае ответ равен 1». (Подробности см. в [1] ниже.)
Приведенный выше пример, конечно, не единственный, где удобно определить 0! быть 1. Бесчисленные теоремы было бы более неудобно формулировать, если бы 0! определялись как-то иначе.
Иногда люди обращаются к гамма-функции для обоснования того, что 0! должно быть определено равным 1. Гамма-функция расширяет факториал до действительных чисел, а значение гамма-функции связано с 0! равно 1. (Подробно, п ! = Γ( n +1) для положительных целых чисел n и Γ(1) = 1.) Это обнадеживает, но поднимает другой вопрос: почему гамма-функция должна быть авторитетной?
Действительно, существует множество способов расширения факториала до нецелочисленных значений, и исторически было предложено множество способов . Однако гамма-функция победила, а ее конкуренты канули в лету. Так почему же оно победило? По аналогии с приведенным выше обсуждением мы могли бы сказать, что гамма-функция победила, потому что просто с этим определением работает больше формул, чем с другими. То есть можно очень часто заменить п ! с Γ( n + 1) в формуле, истинной для положительных целых значений n , и получить новую формулу, действительную для действительных или даже комплексных значений n .
Есть еще одна причина, по которой победила гамма, и это теорема Бора–Моллерупа. В нем говорится, что если вы ищете функцию f ( x ), определенную для x > 0, которая удовлетворяет f (1) = 1 и f ( x +1) = x f ( x ), то гамма-функция является единственным логарифмически выпуклым решением. Почему мы должны искать логарифмически выпуклые функции? Поскольку факториал логарифмически выпукл, это естественное свойство, требуемое от его расширения.
Обновление : Иногда я слышу, как кто-то говорит, что гамма-функция (со сдвигом ее аргумента на 1) является единственной аналитической функцией, которая расширяет факториал до комплексной плоскости, но это не так. Например, если вы добавите sin(πx) к гамма-функции, вы получите еще одну аналитическую функцию, которая принимает те же значения, что и гамма, для положительных целых аргументов.
Почему пустые продукты 1?
Почему натуральные логарифмы натуральные?
Еще одна причина, по которой натуральные логарифмы являются натуральными
* * *
[1] Теоремы о биномиальных коэффициентах должны накладывать некоторые ограничения на аргументы. Полную информацию см. в этих примечаниях. Но в случае раздачи карт единственными необходимыми ограничениями являются естественных : мы предполагаем, что количество карт в колоде и количество, которое мы хотим получить в руке, являются неотрицательными целыми числами, и что мы не пытаемся возьмите больше карт для руки, чем есть в колоде. Определение 0! поскольку 1 избавляет нас от необходимости делать любые неестественные уточнения типа «если только вы не раздаете всю колоду».
Факториал нуля: почему он равен единице?
Поделиться на
Хотите «обмануть» в исчислении? Ознакомьтесь с нашим справочником «Практическое исчисление с мошенничеством» , в котором вы найдете сотни простых ответов в удобной электронной книге.
Функция факториала >
Если вам интересно, почему нулевой факториал равен 1, вы не одиноки. Это одна из величайших головоломок математики, которая кажется совершенно неинтуитивной. Есть несколько разных способов показать, что 0! = 1 должно быть верно:
С определением,
С формулой комбинаций (из статистики),
С ограничениями (исчисление).
причина почему 0! = 1 равно , потому что так определено.
«…ноль факториал равен 1, 0! = 1 [и] 1! = 1. Однако нельзя аналогичным образом заключить, что 0 = 1, потому что один результат получен соглашением , а другой результат является математическим фактом . Как и во всех соглашениях, при арифметических операциях с нулями необходимо соблюдать определенные протоколы и правила.0004 » [1]
Если у вас возникли проблемы с обдумыванием этого утверждения, вы не одиноки. На протяжении тысячелетий математики спорили о том, существует ли вообще нуль (даже без факториала )! [2] В римской системе счисления не было нулей, и только после введения десятичной системы в 13 веке «ноль» действительно стал вещью. Тем не менее, работа с «0» приводит к множеству проблем, включая неинтуитивную идею о том, что 0! = 1,
Примечание : Вы можете прочитать «Что такое факториал?» первый.
Мы хотим показать, что есть только один способ выбора нулевых элементов (что нулевой факториал равен единице) с помощью формулы комбинаций из статистики:
n C r = n! / ((п – р)! г!)
Где:
n = количество предметов.
r = Сколько предметов берется за раз.
Давайте начнем с трех элементов и двигаемся назад, чтобы посмотреть, есть ли логическая закономерность.
Допустим, у вас на полке было три романа, и вы хотели выбрать сразу три. Сколькими разными способами вы могли бы захватить все три сразу? По логике можно сказать, что есть только один способ схватить все три. Но это можно показать с помощью формулы комбинаций. У нас есть n = 3 и r = 3, поэтому:
3 C 3 = 3! / ((3 – 3)! 3!) = 1.
Это ожидаемый ответ. Теперь попробуем две книги:
3 C 3 = 2! / (2 – 2)! 2! = 1.
Вы видите закономерность? Пока вы берете все предметы одновременно (нам все равно, в каком порядке они расположены), она всегда будет равна 1. Вы можете ввести 99 999 или 1 миллион, и вы все равно получите: 1
Теперь мы установили логику, внимательно рассмотрим один пример:
= 2! / (2 – 2)! 2!
= 2 / (0)!*2
Мы знаем, что это уравнение должно равняться двум. Единственный способ сделать это, если 0! = 1. В противном случае у вас было бы деление на ноль, которое не определено.
Что произойдет, если мы последуем нашей первоначальной интуиции и решим, что 0! = 0? Это означает, что количество способов выбрать 3 книги из набора из трех книг было бы неопределенным:
= 3! / (3 – 3)! 3!
= 6 / (0)*3 = не определено.
Следующее объяснение [3] довольно легко понять с помощью некоторых основных понятий исчисления.
Давайте определим факториал для элементов, равных или превышающих единицу (на мгновение мы проигнорируем 0!). Определение : Факториал n определяется как n ! = ( n )( n – 1)…(3) (2) (1) для всех n ≥ 1.
Нижняя граница для [1] должна быть равна 1, потому что 1 n = (1) (1) (1) … → 1 ≤ n .
Мы можем определить верхнюю границу таким же образом: n! ≤ (n) (n) (n) … = n n .
Складывая (2) и (3), получаем: 1 ≤ n! ≤ п п .
Верхняя граница в (4) верна для n > 0, поэтому возьмем предел при n → 0 + : Этот предел неопределен, поскольку 0 n = 0 для любого n > 0 и n 0 = 1 для любого n ≠ 0,
Из (5) мы можем сказать, что
Используя Правило Лопиталя , мы имеем предел n ln n (при n→ 0 + )
= 0. Мы можем сделать вывод, что:
Если мы допустим предел n! в (7) равно нулю, получаем: 1 ≤ 0! ≤ 1, откуда следует, что 0! = 1,
Ссылки
[1] Ноль в четырех измерениях: культурная, историческая, математическая и психологическая перспективы. [2] Сейфе, К. (2000). Зеро: Биография опасной идеи. Книги пингвинов. [3] Махмуд, М. и Махмуд, И. (2015). Простая демонстрация нулевого факториала равна единице. Международный журнал математического образования 47(6):1-2
УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК: Стефани Глен . «Нулевой факториал: почему он равен единице?» От CalculusHowTo.com : Исчисление для всех нас! https://www.calculushowto.com/zero-factorial-why-does-it-equal-one/
————————————————— ————————-
Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на ваши вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!
ИсчислениеHowTo.com
← Обратное дифференцирование
Интеграл TI 89: пошаговые примеры →
Почему факториал нуля равен единице?
по
Факториал ничего — это числовое выражение для множества способов упорядочить данный stage_set без значений в нем, что равно единице. Как правило, факториал phone_number — это сокращенный способ написания формулировки генерации, в которой число умножается на каждую проблему меньше его, но больше нуля. 4! = 24, например, является лаппом, как запись 4 десять 3 адам 2 десять 1 = 24, но для выражения уравнения лаппа в правом поле факториала (четыре) используется маркер экфонезис.
Из этих примеров достаточно ясно, как вычислить факториал любого неповрежденного числа, большего или равного единице, но почему приз ничего факториала равен единице, несмотря на числовое соглашение, согласно которому любое произведение, умноженное на ничто, адекватно нулю?
Определение факториала гласит, что 0! = 1. Это обычно сбивает людей с толку в начале clock_time, когда они видят это уравнение, но мы увидим в примерах ниже, почему это имеет здравый смысл, когда вы выражаете определение, перестановки и формулы для ничего факториала.
Содержание
Определение нулевого факториала
Рациональность first_base, почему ни один факториал не равен единице, заключается в том, что определение говорит, что это должно быть так, что является математически правильным объяснением (хотя и немного разочаровывающим). Тем не менее, следует помнить, что определение факториала — это совокупность всех целых чисел, соответствующих или меньших по отношению к главному числу — в первых словах факториал — это подсчет возможных комбинаций с числами, меньшими или равными этому числу.
Поскольку ноль не имеет чисел, меньших его, но сам по себе является числом, существует только одна потенциальная комбинация того, как можно упорядочить это искривленное данное: он не может. Эта винокурня считается средством ее организации, так как по определению нулевой факториал адекватен единице, равен 1! является равным одному, потому что существует только одно потенциальное согласие этого набора данных.
Для лучшего понимания того, как это выглядит математически, важно отметить, что факториалы, подобные этим, используются для определения потенциальных порядков данных в последовательности, помимо известных как перестановки, которые могут быть утилитарными по симпатии в тот вечер, хотя в них нет значений. свободный или нулевой набор, есть спокойное одно направление, которое устроено закаливание.
Перестановки и факториалы
Подстановка — это конкретное, единственное упорядочение элементов в наборе. Например, существует шесть перестановок комбинации {1, 2, 3}, которая содержит три элемента, поскольку мы можем записать эти элементы шестью способами:
1, 2, 3
1, 3, 2
2, 3, 1
2, 1, 3
3, 2, 1
3, 1, 2
Мы могли бы помимо state_of_matter обосновать этот факт через равенство 3! = 6, что является факториальным театральным представлением полнолуния, определяющим перестановки. Точно так же их 4! = 24 перестановки спецификации с четырьмя элементами и 5! = 120 перестановок исправления с пятью элементами. Таким образом, суррогатная комната для размышлений о факториале — это позволить азоту быть реалистичным действием и сказать, что n! это phone_number перестановок для расположения с северными элементами.
При таком способе мышления о факториале давайте приведем еще примеры. Растение с двумя элементами имеет две перестановки: {а, Ь} можно расположить как а, бацилла или как Ь, а. Это соответствует 2! = 2. Желе с одним компонентом имеет индивидуальную перестановку, так как компонент 1 в наборе {1} может быть заказан только одним способом.
Это приводит нас к нулевому факториалу. Сик с нулевыми элементами называется эвакуационным множеством. Чтобы найти меру нулевого факториала, мы спрашиваем: «Сколькими способами мы можем упорядочить место без элементов?» здесь нам нужно немного расширить наше мышление. вечер, хоть и нечего приводить в порядок, есть одно средство сделать это. ладана у нас 0! = 1.
Формулы и ранние валидации
Еще одна причина для определения 0! = 1 имеет отношение к формулам, которые мы используем для перестановок и комбинаций. Это не объясняет, почему нулевой факториал равен единице, но показывает, почему установка 0! = 1 — товарная идея.
Комбинация — это группа элементов рига без соблюдения порядка. Например, рассмотрим set_up {1, 2, 3}, в котором есть одна комбинация, состоящая из всех трех элементов. Нет темы, как мы расположим эти элементы, в итоге мы получим одинаковое сочетание.
Мы используем рецепт комбинаций с комбинацией трех элементов, взятых по три в четвертом_измерении, и видим, что 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), а если рассматривать 0! как незнакомую меру и решить алгебраически, мы видим, что 3! 0! = 3! и поэтому 0! = 1.
Есть ранние причины, по которым определение 0! = 1 правильно, но причины, приведенные выше, самые простые. Общий смысл математики заключается в том, что когда создаются свежие идеи и определения, они остаются воспроизводимыми с другой математикой, и это именно то, что мы видим в определении нулевого факториала, адекватного единице.
Факториал — определение, расчет | Факториал сотен и 0
Факториал целого числа n определяется как произведение этого числа на каждое целое число, меньшее или равное n, до 1. Например, факториал числа 4 равен 4 × 3 × 2 × 1, что равно 24. Оно представляется с помощью символа ‘!’ Итак, 24 — это значение 4!. В 1677 году британский автор Фабиан Стедман определил факториал как эквивалент звонка сдачи. Перезвон был частью музыкального представления, когда музыканты звонили в несколько настроенных колокольчиков. И было это в 1808 году, когда математик из Франции Кристиан Крамп придумал символ факториала: n!. Изучение факториалов лежит в основе нескольких тем математики, таких как теория чисел, алгебра, геометрия, вероятность, статистика, теория графов, дискретная математика и т. д.
Думаете о том, как вычислить факториал числа? Давай учить.
1.
Что такое факториал?
2.
n Факториальная формула
3.
0 Факториал
4.
Факториал сотен
5.
Факториал отрицательных чисел
6.
Использование Факториала
7.
Расчет факториала
8.
Часто задаваемые вопросы о Факториале
Что такое факториал?
Факториал целого числа — это функция, которая умножает число на каждое натуральное число под ним. Символически факториал можно представить с помощью символа «!». Таким образом, «n факториал» является произведением первых n натуральных чисел и представляется как n!
Итак, н! или «n факториал» означает:
n! = 1 · 2 · 3 · … · n = Произведение первых n натуральных чисел = n(n-1)(n-2)…………………….(3)(2)(1)
Например, 4 факториал, то есть 5! можно записать как: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Обратите внимание на числа и их значения факториалов, указанные в следующей таблице. Чтобы найти факториал числа, умножьте это число на значение факториала предыдущего числа. Например, чтобы узнать значение 6! умножьте 120 (факториал 5) на 6 и получите 720. За 7! умножьте 720 (значение факториала 6) на 7, получите 5040. т. е. n! = п × (п — 1)!
нет
н! (n-факториал)
н! = п × (п — 1)!
Результат
1
1
1
1
2
2 × 1
= 2 × 1!
= 2
3
3 × 2 × 1
= 3 × 2!
= 6
4
4 × 3 × 2 × 1
= 4 × 3!
= 24
5
5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 5 × 4!
= 120
n Факториальная формула
Формула для n-факториала: n! = п × (п — 1)!
н! = п × (п — 1)!
Это означает, что факториал любого числа равен данному числу, умноженному на факториал предыдущего числа. Итак, 8! = 8 × 7!. ….. И 9! = 9 × 8!…… Факториал 10 будет 10! = 10 × 9!….. Вот так, если у нас есть (n+1) факториал, то его можно записать как (n+1)! = (n+1) × n! . Давайте посмотрим на некоторые примеры.
5 Факториал
Значение 5 факториала равно 5×4×3×2×1, что равно 120. Мы также можем вычислить его, используя формулу факториала. 5! = 5 × 4! = 5 × 24 = 120,
10 Факториал
10 факториал есть не что иное, как 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 628 800.
0 Факториал
Нулевой факториал интересен, и его значение равно 1, т.е. 0! = 1 . Да, значение факториала 0 НЕ 0, а 1.
Перейдем к основной формуле факториала n! = п × (п — 1)! Как найти 3! То, что вы делаете, это 4! / 4. Аналогично, 2! это 3! / 3 и так далее. Теперь давайте посмотрим на образец:
Таким образом, мы можем доказать, что 0 факториал равен 1.
Альтернативный способ доказательства 0! = 1
В перестановках мы изучили бы, что n! есть количество способов упорядочить «n» разных вещей между собой. Если мы посмотрим на факториал таким образом, 1! = 1, так как возможна только 1 аранжировка с 1 вещью. Точно так же 0! = 1,
Факториал сотен
100 факториал = 100 × 99 × 98 × …. × 3 × 2 × 1 = 9,332621544 E+157. Этот продукт слишком велик для расчета вручную, поэтому используется калькулятор. Вот некоторые факты о факториале сотни:
И с этого момента все целочисленные факториалы не определены. Таким образом, отрицательные целочисленные факториалы не определены.
Использование Факториала
Одной из областей, где факториалы обычно используются, являются перестановки и комбинации.
Перестановка — это упорядоченное расположение результатов, которое можно рассчитать по формуле: n P r = n! / (н — р)!
Комбинация — это группировка исходов, порядок которых не имеет значения. Его можно рассчитать по формуле: n C r = n! / [(н — р)! р!]
В обеих этих формулах «n» — это общее количество доступных вещей, а «r» — это количество вещей, которые нужно выбрать. Поясним это на следующих примерах.
Пример 1: В группе из 10 человек разыгрываются призы 200, 100 и 50 долларов. Сколькими способами можно распределить призы?
Решение:
Это перестановка, потому что здесь имеет значение порядок распределения призов. Его можно рассчитать как 10 P 3 способов.
Пример 2: Три приза по 50 долларов должны быть распределены в группе из 10 человек. Сколькими способами можно распределить призы?
Решение:
Это комбинация, потому что здесь порядок распределения призов не имеет значения (поскольку все призы имеют одинаковую ценность). Его можно рассчитать, используя 10 C 3 .
Ответ: Следовательно, значение выражения 10!/(4! × 6!) равно 210.
Пример 2: Найдите значение 5! (6 — 3)!.
Решение:
5! (6−3)! = 5! × 3!
Теперь мы вычислим эти факториалы.
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1)(3 × 2 × 1)
= 120 × 6
= 720
Ответ: Следовательно, значение 5! (6 — 3)! 720.
Пример 3: Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 7 и 8, в каждом из которых не повторяется ни одна цифра?
Решение:
Данные 5 цифр (1, 2, 5, 7 и 8) нужно переставить между собой, чтобы получить все возможные 5-значные числа.
Количество способов сделать это можно с помощью факториала.
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Ответ: Следовательно, искомое количество пятизначных чисел равно 120.
Пример 4: Сколькими способами восемь человек могут выстроиться слева направо для группового фото?
Решение:
Количество способов, которыми 8 человек могут выстроиться в очередь, равно количеству способов, которыми они могут расположиться между собой, и это не что иное, как факториал 8.
8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40 320
Ответ: Следовательно, восемь человек могут выстроиться в очередь 40 320 способами.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Хотите создать прочную основу в математике?
Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними. Испытайте Cuemath и приступайте к работе.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по факториалу
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о Факториале
Где мы используем факториалы?
Факториал — это функция, которая используется для нахождения количества возможных способов, которыми можно расположить выбранное количество объектов между собой. Эта концепция факториала используется для поиска перестановок и комбинаций чисел и событий.
Что означает факториал числа?
Факториал в математике — это одна из операций (обозначается символом «!»), а факториал числа — это произведение числа на все положительные целые числа, меньшие этого числа. Например 8! (читается как факториал 8) = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320.
Что такое факториал n+1?
Факториал n+1 можно вычислить как (n+1)! = (n+1)n!.
Что такое символ факториала?
Для обозначения факториала используется символ ‘ ! ‘. Например «9factorial» записывается как 9!.
Что такое факториал 100?
Факториал 100 записывается как 100! и его значение равно 100 · 99 · 98 · … · 2 · 1 = 9,332621544 E+157.
Что такое факториал числа 10?
10! можно вычислить как 10 = 10 × 9! = 10 × 362 880 = 3 628 800. число означает умножение числа на каждое положительное целое число, меньшее этого. Итак, n!= n × (n-1) × (n-2) × (n-3) × ….. × 3 × 2 × 1.
Каково применение факториалов?
Факториалы используются для нахождения числа образов, решения задач перестановки и комбинации, определения вероятности событий и т. д.
Что такое факториальная запись?
Факторная запись представляет собой запись произведения последовательных целых чисел в виде факториала. Итак, 3 × 2 × 1 = 3! (3 факториала), 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! (6 факториал) и так далее.
✉️ Почему 0! = 1 (ноль факториал равен единице)? – 🥇 Приложение Scalar Scientific Calculator, графики и сценарии
Недавно я думал о различных обоснованиях определения 0! (факториал нуля), что равно
$$0!=1$$
Предполагаемое значение 1 может показаться вполне очевидным, если вы рассмотрите рекурсивную формулу. Однако «математически» меня это не удовлетворило. Вот почему я решил написать эти несколько предложений. Я приведу мотивации для менее продвинутых, но будут и мотивации для чуть более инсайдеров.
⭐️Факториал в скалярном калькуляторе
⭐️ Факториал и повторение
Для целых n > 0 факториал определяется следующим образом:
Вывод: Факториал n считает количество перестановок множества, состоящего из n элементов.
⭐️ k-перестановки n, иногда называемые частичными перестановками или вариациями
k-перестановки n — это различные упорядоченные расположения k-элементного подмножества n-множества. Количество таких k-перестановок n равно 9n=n!$$
$$n! = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!}$$
Следующее понимание того, почему 0!=1 является правильным определением, исходит из того, что для любого n > 0 мы должны есть
$$0! \ раз н! = n!$$
⭐️ Функция как отображение множеств
Функция
$$f:A\to B$$
Функция f : A → B, где для каждого a ∈ A существует f(a) = b ∈ B, определяет связь между элементами a и b. Можно сказать, что элементы a ∈ A и b ∈ B находятся в отношении «f» тогда и только тогда, когда f(a) = b.
⭐️ Функция как подмножество декартова произведения
Функция представляет собой бинарное отношение, то есть функция может быть выражена подмножеством декартова произведения.
$$(a,b)\in f \subseteq A\times B \iff f(a)=b$$
⭐️ Инъективная функция
Инъективная функция — это функция, которая сохраняет различимость: она никогда не отображает различные элементы своего домена к тому же элементу своего кодового домена. Вскоре
$$x\neq y \Rightarrow f(x) \neq f(y)$$
⭐️ Сюръективная функция
Функция f сюръективна (или онто), если для каждого элемента b в кодовой области существует по крайней мере один элемент a в области такой, что f(a)=b . Не требуется, чтобы x был уникальным.
Биективная функция, или однозначное соответствие, — это функция, в которой каждый элемент одного множества сопряжен ровно с одним элементом другого множества, а каждый элемент другого множества соединен с ровно один элемент первого множества. Непарных элементов нет.
С математической точки зрения, биективная функция является как инъективным, так и сюръективным отображением множества A в множество B.
⭐️ Биективная функция против перестановки n-элементный набор {1, 2, …, n}, тогда перестановка будет функцией
$$p:\{1, 2, …, n\}\to\{1, 2, …, n\}$ $
удовлетворяющих условию биективной функции.
Задавая вопрос о количестве перестановок, мы можем также спросить о количестве различных биекций данного множества в себя.
⭐️ Пустая функция
Пустая функция — это любая функция, областью определения которой является пустое множество.
$$f:\emptyset\to B$$
Пустая функция «chart» является пустым множеством, поскольку декартово произведение домена и кодомена пусто.
$$\emptyset\times B = \emptyset$$
Пустая функция сохраняет отчетливость (инъективна), так как в области определения (пустом множестве) нет двух различных элементов, для которых значение функции равно .
⭐️ Частный случай пустой функции
Давайте проанализируем функцию, которая отображает пустое в пустое множество
$$f:\emptyset\to\emptyset$$
Такая функция является биекцией, поскольку она является инъективной функцией (как показано выше), и в домене кода нет элемента (домен кода — это пустой набор), который не был бы связан с элементами в домене.
Обратите внимание, что существует ровно одна такая биекция, которая является результатом того, что функция является подмножеством декартова произведения домена и кодомена. В данном случае это только один из возможных наборов.
$$f:\emptyset\to\emptyset$$
$$\emptyset\times\emptyset = \emptyset$$
Пустое множество имеет ровно одно подмножество, которое является пустым множеством – таким образом, такая биекция однозначно определено.
⭐️ 0! = 1 vs Пустая функция
Выше я писал, что количество перестановок n-элементного множества равно количеству различных биективных функций из этого множества в себя.
Далее – перестановка 0-элементного множества соответствует биекции из пустого множества в пустое множество/ 9{t}dt$$
После
$$\Gamma(n+1)=n!$$
$$0! = \Gamma(1) = 1$$
⭐️ Скалярная поддержка функции Gamma
Функции в скалярном калькуляторе, поддерживающие специальную функцию Gamma
Gamma(x) – специальная функция Gamma Γ(s)
sgnGamma(x) – Специальная функция Signum Gamma, Γ(s)
logGamma(x) – Специальная функция Log Gamma, lnΓ(s)
diGamma(x) – Функция Digamma как логарифмическая производная специальной функции Gamma, ψ(x)
GammaL(s,x) – Нижняя неполная специальная функция гаммы, γ(s,x)
GammaU(s,x) – Верхняя неполная специальная функция гаммы, Γ(s,x) (s,x) , GammaRegL(s,x) – Нижняя регуляризованная специальная функция P-гаммы, P(s,x)
GammaQ(s,x), GammaRegU(s,x) – Верхняя регуляризованная специальная функция Q-гаммы функция, Q(s,x)
Гамма-функция
Гамма-функция в сравнении с факториальной диаграммой
⭐️ Число e и отношение факториала 9\infty\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3! }+\ldots$$
Сходимость последовательности
Это увлекательно, так как показывает еще более сильную связь факториала с e
Цифра 0 уже давно ставит в тупик людей, изучающих математические понятия. Ноль это число? Как мы это используем? Хотя все мы на каком-то уровне знаем, что ноль означает ничего или ничего, это не всегда помогает нам включить его в математические задачи. Ниже мы рассмотрим несколько основных функций нуля и способы решения уравнений, содержащих ноль, с использованием этих функций.
Что такое число 0?
Является ли ноль числом? Ноль или 0 — это число , а цифра, используемая для представления числа 0 , широко используется в математике и может использоваться как самостоятельное число или как заполнитель в уравнениях.
История
Число 0 использовалось для обозначения идеи «ничто» со времен древнего шумерского общества, которое использовало его для обозначения отсутствия числа при записи чисел и уравнений.
Овальная форма , известная нам сегодня как 0, появилась в арабском языке в конце 700-х годов . Зеро не появлялся в европейском обществе до конца 12 века.
Современное использование
Ноль обычно используется в языке для выражения концепции отсутствия, а в математике используется как целое число. Число 0 в сегодняшней математике может быть сложным; зачем что-то вычислять, когда на самом деле там ничего нет? Но ноль можно использовать в различных математических задачах, и важно знать, что делать с нулем, когда вы его видите.
Операции с 0
Хотя этот список функций с использованием нуля не охватывает все математические функции , эти основные арифметические инструкции с использованием нуля помогут вам решать задачи на тестах и, возможно, даже в реальном мире.
Сложение
Тождество Закон сложения гласит, что любое число, добавленное к 0, равно самому себе .
Таким образом, вы можете добавить любое число и получить ту же сумму. Таким образом, вы можете добавить 0 к 1, 107 и 1 000 000 и все равно получить то же число, с которого вы начали.
Вычитание
Как и при сложении, если вычесть 0 из любого числа, вы получите ту же сумму. Например, 12-0 = 12.
Если вы вычитаете, вам может понадобиться заимствование для решения проблемы. Заимствование — это метод, используемый для вычитания чисел, состоящих более чем из одной цифры.
Вот пример заимствования (разберусь как форматировать):
1572-125 = х
В этой задаче из 2 нельзя вычесть 5. Значит, надо заимствовать из 7.
70 это 7 десятков. Итак, вы можете убрать десятку, и 7 станет 2; затем 2 становится 12. Теперь вам нужно вычесть 5 из 12.
12-5 равно 7.
6-2 равно 4.
5-1 равно 4.
1-0 (пустое место) равно 1.
Следовательно, ответ равен 1447.
Итак, если 0 — это ничто, как мы можем заимствовать его в задаче на вычитание? Ключ заключается в том, чтобы заимствовать из следующей цифры слева. Вы можете идти так далеко влево, как вам нужно.
Итак, если бы вы сделали 306-98 вы должны сначала позаимствовать из 3, чтобы сделать 0 равным 10. Затем вы можете позаимствовать из 10, чтобы сделать 6 равным 16. Таким образом, ваша задача будет выглядеть так: 16-8=8.
9-9=0.
2-0=2.
Таким образом, ваш ответ 208.
Не стесняйтесь заниматься математикой с помощью , добавив в свою жизнь котят
Умножение
Умножение на 0 на самом деле является одной из самых простых функций. , ответ всегда 0.
12 × 0 = 0
255 × 0 = 0
1679 × 0=0
И знаете что? 123596395539 x 0 = 0
Деление
Число 0, деленное на любое число, равно нулю. Подумайте об этом так: деление означает деление или разделение вещей поровну, верно ? Если у вас есть коробка с 8 кексами и за вашим столом 4 человека, вы разделите 8 на 4 и обнаружите, что каждый получает по два кекса. Но если у вас за столом 4 человека и в коробке 0 кексов, вам фактически нечего делить. Каждый получает 0 кексов.
К сожалению, деление числа на ноль не столь очевидно логично. Любое число, деленное на ноль, считается неопределенным; если вы поместите его в свой калькулятор прямо сейчас, вы, вероятно, получите сообщение об ошибке.
При делении вы всегда можете перепроверить свой ответ, умножив частное (ответ на задачу о делении) на делимое . В нашей задаче о кексах это 2 x 4. Число должно равняться нашему первоначальному делителю, 8.
Однако это помогает нам понять, почему мы не можем разделить число на 0. Поскольку мы знаем из наших правил умножения, что все, что умножается на 0, равно 0, изложенная выше концепция не работает, если 0 является делимым, потому что ответ всегда будет 0, даже если это не исходный делитель.
Если по какой-то причине вы встретили 0 как делимое в задаче, вы можете выразить его как 1, даже если ответ технически не определен .
Возведение в степень
Как и в делении, 0 в экспоненте считается неопределенным. Однако, когда вы решаете задачи и сталкиваетесь с чем-то, что равно 0 в степени другого числа или числу в степени 0, помните о правиле степени 0
Правило степени 0 гласит, что любое основание с показателем степени 0 или 0 равно 1. Итак, x¹ = 1,
Между тем, 0 в любой степени равно 0. Таким образом, 0² = 0.
Факториал нуля
Факториал — это математическое выражение, выражаемое как ! равно числу, полученному путем умножения всех чисел между 1 и заданным целым числом.
Итак, 2! означает, что мы умножаем все числа от 1 до 2. Это означает, что 2! = 2×1 = 2 и, следовательно, 2! = 24
6! означает, что мы умножаем все числа от 1 до 6. Итак, 6! = 1×2×3×4×5×6 = 720 и, следовательно, 6! = 720
Нулевой факториал, часто записывается как 0! Определяется как равный 1. По сути, поскольку факториал представляет собой выражение произведения всех целых чисел между заданными числами и 1, это единственный технически правильный ответ для 0! потому что единственное число между 0 и 1 — это 1.
Использовать число ноль может быть сложно, но есть несколько правил, которые помогут вам правильно выполнять математические операции, когда речь идет о нуле. Обязательно придерживайтесь этих правил и помните, что ноль вам не враг. Если вы знаете, как работать с числом ноль, использовать его будет проще простого.
Что дальше?
Очарованы числом ноль? Узнайте, сколько нулей в миллиарде и сколько нулей в гуголе и гуголплексе.
Нужна дополнительная помощь по математике? Узнайте, как преобразовывать десятичные дроби в дроби, складывать и вычитать дроби, а также все о составных и рациональных числах. И не забудьте нашу удобную таблицу умножения.
Нужна дополнительная помощь по этой теме? Проверьте Tutorbase!
Наша проверенная база данных репетиторов включает ряд опытных преподавателей, которые могут помочь вам отшлифовать эссе по английскому языку или объяснить, как производные работают в исчислении.
Пользуясь правилами сложения векторов упростите выражение мс
Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.
Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.
Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.
Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.
Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.
Сложение двух векторов
Исходные данные: векторы a → и b → . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки undefined отложить вектор A B → , равный вектору а → ; из полученной точки undefined – вектор В С → , равный вектору b → . Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.
Геометрически сложение векторов выглядит так:
– для неколлинеарных векторов:
– для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:
Сложение нескольких векторов
Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.
Исходные данные: векторы a → , b → , c → , d → . Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a → ; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b → ; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B , а полученный отрезок (вектор) A B → – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .
Геометрически оно выглядит следующим образом:
Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a → и b → есть сумма векторов a → и – b → .
Умножение вектора на число
Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k , необходимо учитывать следующие правила: – если k > 1 , то это число приведет к растяжению вектора в k раз; – если 0 k 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1 k раз; – если k 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил; – если k = 1 , то вектор остается прежним; – если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.
Исходные данные: 1) вектор a → и число k = 2 ; 2) вектор b → и число k = – 1 3 .
Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:
Свойства операций над векторами
Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.
Исходные данные: векторы a → , b → , c → и произвольные действительные числа λ и μ .
Свойство коммутативности: a ⇀ + b → = b → + a → .
Свойство ассоциативности: ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) .
Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 → ⃗). Это очевидное свойство: a → + 0 → = a →
Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1 · a → = a → . Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
Любой ненулевой вектор a → имеет противоположный вектор – a → и верным является равенство: a → + ( – a → ) = 0 → . Указанное свойство – очевидное.
Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a → = λ · ( µ · a → ) . Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a → = λ · a → + µ · a → .
Второе распределительное свойство: λ · ( a → + b → ) = λ · a → + λ · b → . Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.
Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.
Задача: упростить выражение a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) Решение – используя второе распределительное свойство, получим: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → – 2 · b → – 2 · ( 3 · a → ) – задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a → – 2 · b → – 2 · ( 3 · a → ) = a → – 2 · b → – ( 2 · 3 ) · a → = a → – 2 · b → – 6 · a → – используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые: a → – 2 · b → – 6 · a → = a → – 6 · a → – 2 · b → – затем по первому распределительному свойству получаем: a → – 6 · a → – 2 · b → = ( 1 – 6 ) · a → – 2 · b → = – 5 · a → – 2 · b → Краткая запись решения будет выглядеть так: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = a → – 2 · b → – 2 · 3 · a → = 5 · a → – 2 · b → Ответ: a → – 2 · ( b → + 3 · a → ) = – 5 · a → – 2 · b →
Reshak.ru – сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте – сделанный для людей. Все решебники выполнены качественно, с приятной навигацией. Вы сможете скачать гдз, решебник английского, улучшить ваши школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.
Главная задача сайта: помогать школьникам в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал гдз совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Если твой вопрос не раскрыт полностью, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти другие ответы по предмету Геометрия.
Векторное и смешанное произведение векторов.
Векторное произведение векторов.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $e_1, e_2, e_3$ называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от $e_1$ к $e_2$ и от $e_2$ к $e_3$ кажутся происходящими против часовой стрелки. В противном случае тройка $(e_1, e_2, e_3)$ называется левой.
Векторным произведением вектора $a_1$ на вектор $a_2$ называется вектор, обозначаемый символом $[a_1, a_2]$ (или $a_1\times a_2$) определяемый следующими тремя условиями:
1) длина вектора $[a_1, a_2]$ равна площади параллелограмма построенного на векторах $a_1$ и $a_2$ т.е. $|[a_1, a_2]|=|a_1||a_2|\sin(\widehat{a_1, a_2})$
2) вектор $[a_1, a_2]$ перпендикулярен плоскости векторов $a_1$ и $a_2;$
Из определения векторного произведения следует, что $(\widehat{a_1,a_2})=\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow [a_1, a_2]=0.$
Алгебраические свойства векторного произведения.
1) $[a_1, a_2]=-[a_2, a_1];$
2) $[\lambda a_1,a_2]=\lambda[a_1, a_2];$
3) $[a_1+a_2, b]=[a_1, b]+[a_2, b].$
Если $a_1(X_1, Y_1, Z_1) $ и $a_2(X_2, Y_2, Z_2) -$ векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение векторного произведения $[a_1, a_2]$ в том же базисе имеет вид $$[a_1, a_2]=(Y_1Z_2-Z_1Y_2)i-(X_1Z_2-Z_1X_2)j+(X_1Y_2-Y_1X_2)k,$$ или, в символической записи (с использованием понятия определителя 3-го порядка) $$[a_1, a_2]=\begin{vmatrix}i& j& k\\X_1& Y_1&Z_1\\X_2&Y_2&Z_2\end{vmatrix}.$$
Задачи для самостоятельного решения. 1.Упростить выражение — Мегаобучалка
1.Упростить выражение
2. Найти углы треугольника с вершинами , , .
3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах `a=(2;1;0) и `b=(0;-2;1).
4. При каком значении m векторы и перпендикулярны?
5. Найти , если , , .
6. Даны точки , , . Найти
7. Найти длину вектора , если , , .
8. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
9. Даны векторы , , .
Найти вектор , если известно, что , и .
10. Найти проекцию вектора на вектор , если , , .
Ответы: 1. 2. 2. .3.90°. 4. 3. 5. 336. 6.6. 7. .
8. . 9. (3;-1;2) . 10. .
2.7. Векторное произведение векторов и его свойства
Три некомпланарных вектора , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.
правая тройка
левая тройка тройка
Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:
1) перпендикулярен векторам и , то есть , ;
2) имеет длину , где ;
3) векторы , и образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается , то есть
Из условия (2) следует, что длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах:
. (49)
Из определения векторного произведения вытекают следующие соотношения между ортами , и : , , .
Свойства векторного произведения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) тогда и только тогда, когда , или , или ;
5) .
Из определения и свойств второго произведения следует: , , , .
Можно использовать таблицу векторного произведения векторов , и
Пусть заданы два вектора и . Тогда векторное произведение этих векторов может быть найдено с помощью определителя третьего порядка
. (50)
Пример 15. Упростить выражение .
Решение. Используя свойства векторного произведения, получим
Пример 16. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах.
Решение. Найдем векторное произведение векторов и с помощью формулы (50):
Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то Пример 17. Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах , если ,
Решение. Найдем векторное произведение данных векторов:
Площадь параллелограмма по формуле (49) равна , тогда получим .
Пример 18. Даны два вектора и . Вектор , . Найти .
Решение. Так как вектор и , тогда . Координаты вектора , вектора . Найдем вектор , пользуясь формулой (50)
Таким образом вектор .
Найдем модуль вектора
Пример 19. Найти , если известно, что , .
Решение. Координаты вектора , вектора . По формуле (48) найдем скалярное произведение векторов и
Найдем векторное произведение , используя формулу (50)
. Тогда искомое выражение .
что это? Операции над векторами
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.
Тот факт, что вектор — это направленный отрезок, будет проще понять, остановившись
на различиях между скалярными и векторными величинами.
В приведенной ниже таблице «Не векторы» — это скалярные величины или просто скаляры,
а «Векторы» — векторные величины.
Не векторы
Векторы
Масса
Сила тяжести
Длина
Путь
Время
Ускорение
Плотность
Давление
Температура
Скорость
Объем
Площадь
Модуль вектора
Не векторы (скаляры) не имеют направления, а векторы имеют направление.
Вектор обязательно идёт от некоторой точки A по прямой к некоторой точке
B. Числовое значение вектора — длина, а физическое и геометрическое — направление. Из этого и выводится первое, самое простое определение вектора. Итак, вектор —
это направленный отрезок, идущий от точки A к точке B. Обозначается он так:
.
А чтобы приступить к различным операциям с векторами, нам нужно познакомиться
с ещё одним определением вектора.
Вектор — это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной
точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z). Говоря совсем
просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях,
чтобы добраться до точки.
Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает
вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку,
проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении,
указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец,
окажетесь в конечной точке.
Все остальные термины — это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для
различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим
более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.
Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве,
скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.
Геометрический вектор представлен
в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало
и конец.
Если A — начало вектора, а B — его конец, то вектор обозначается
символом или одной строчной буквой . На рисунке
конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)
Длиной (или модулем) геометрического вектора
называется длина порождающего его отрезка
Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений)
путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.
В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением.
Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку
пространства. В этом случае вектор называется свободным. В курсе высшей математики
векторы изучаются в разделе аналитической геометрии, где рассматриваются свободные векторы. Итак, если свободный вектор —
это вектор, начало которого может быть в любой точке пространства, то все векторы одинакового направления
и длины считаются равными.
Прежде чем Вы узнаете всё об операциях над векторами, настройтесь на решение
несложной задачи. Есть вектор Вашей предприимчивости и вектор Ваших инновационных способностей. Вектор
предприимчивости ведёт Вас к Цели 1, а вектор инновационных способностей — к Цели 2. Правила игры
таковы, что Вы не можете двигаться сразу по направлениям двух этих векторов и достигнуть сразу двух целей.
Векторы взаимодействуют, или, если говорить математическим языком, над векторами производится некоторая
операция. Результатом этой операции становится вектор «Результат», который приводит Вас к Цели 3.
А теперь скажите: результатом какой операции над векторами «Предприимчивость» и
«Инновационные способности» является вектор «Результат»? Если не можете сказать сразу, не унывайте.
По мере изучения этого урока Вы сможете ответить на этот вопрос.
Умножение вектора на число
Сложение и вычитание векторов
Слагаемые называются составляющими вектора , а
сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.
Пример 1. Упростить выражение:
.
Решение:
,
то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности,
также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед
вычислением произведений векторов.
Пример 2. Векторы и
служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а).
Выразить через и
векторы , ,
и ,
являющиеся сторонами этого параллелограмма.
Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам.
Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости
от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат —
требуемые в условии задачи векторы:
Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах «Предприимчивость»
и «Инновационные способности» в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится
операция сложения.
Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения
Как найти длину суммы векторов?
Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как
предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача
вроде следующей:
Даны длины векторов
и длина суммы этих векторов .
Найти длину разности этих векторов .
Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в
уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов«.
А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе
онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)».
А где произведения векторов?
Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».
Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус
угла между вектором и осью:
Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание
перпендикуляра ,
опущенного из этой точки на прямую (плоскость).
Пусть —
произвольный вектор (Рис. 5), а и —
проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим
через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.
Составляющей векторана оси l
называется такой вектор , лежащий на этой оси,
начало которого совпадает с проекцией начала, а конец — с проекцией конца вектора .
Проекцией вектора на ось l
называется число
,
равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление
составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.
Основные свойства проекций вектора на ось:
1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.
3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.
4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус
угла между вектором и осью:
Пример 5. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l,
если , а углы —
.
Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше.
Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:
Находим окончательную проекцию суммы векторов:
.
Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось
в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.
В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.
С произвольной точкой М пространства свяжем вектор
,
называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:
Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).
Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через
Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz
Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:
(2)
Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.
После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме
(3)
Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.
Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением
.
Пусть даны векторы .
Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением
,
то есть, координаты векторов пропорциональны.
Пример 6. Даны векторы .
Коллинеарны ли эти векторы?
Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:
.
Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.
Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора
равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах
и выражается равенством
(4)
Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.
Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке
а конец – в точке
(рис.8).
Тогда
Из равенства
следует, что
Отсюда
или в координатной форме
(5)
Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид
(6)
Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые
вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно
α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам
,
,
.
Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким
образом, орт вектора
или
.
Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть
,
получаем следующее равенство для направляющих косинусов:
.
Пример 7. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).
Решение. Длина вектора равна
Пример 8. Даны точки:
Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.
Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:
Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник
является равнобедренным.
Пример 9. Найти длину вектора
и его направляющие косинусы, если .
Решение. Координаты вектора даны:
.
Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:
.
Находим направляющие косинусы:
Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:
или
или
Укажем действия над этими векторами.
1.Сложение:
или, что то же
(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).
2.Вычитание:
или, что то же
,
(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).
3.Умножение вектора на число:
или, что то же
,
(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).
Пример 11. Даны два вектора, заданные координатами:
.
Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: .
Решение:
.
Решить задачи на координаты векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным
обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства
и рассматривать последовательности n действительных чисел как «точки» некоторого абстрактного
«n-мерного пространства», а сами числа — как «координаты» этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.
n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде
,
где
-
i – й элемент (или i – я координата) вектора x.
Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:
Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,
—
n – мерный вектор.
Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:
0 = (0; 0; …; 0).
Введём операции над n-мерными векторами.
Произведением вектора
на действительное число называется вектор
(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).
Зная вектор
можно получить противоположный вектор
Суммой векторов
и
называется вектор
,
(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).
Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж
,
где
—
продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .
Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:
Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:
При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:
Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.
Свойство 1.
Свойство 2.
Свойство 3.
Свойство 4.
Свойство 5.
Свойство 6.
Поделиться с друзьями
Весь блок «Аналитическая геометрия»
Векторы
Плоскость
Прямая на плоскости
Упростите выражение bc1 ac ab – 4apple – взгляд на Apple глазами Гика
Вопрос по геометрии:
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ проведена медиана СС1 упростите выражение (ВЕКТОРА): а) BC1 – AC + AB б) |BC1 – AC + AB|
Ответы и объяснения 1
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат – это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи – смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Ответ или решение 1
1) Приведем дроби делимого к общему знаменателю abc. Дополнительный множитель для дроби 1/а равен bc. Дополнительный множитель для дроби 1/b равен ас. Дополнительный множитель для дроби 1/с равен ab.
bc/abc + ac/abc + ab/abc = (bc + ac + ab)/abc.
2) Приведем дроби делителя к общему знаменателю abc. Дополнительный множитель для дроби 1/ab равен с. Дополнительный множитель для дроби 1/bc равен а. Дополнительный множитель для дроби 1/ас равен b.
c/abc + a/abc + b/abc = (c + a + b)/abc.
3) Выполним деление. Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю.
В равнобедренном треугольнике abc с основанием ab проведена медиана cc1 А)упростите выражения векторов BC1-AC+AB Б)найдите |BC1-AC+AB|,если AC=5см,AB=6см
Оцените статью: Поделитесь с друзьями!
Образовательный портал EduContest.Net — библиотека учебно-методических материалов
Карточка 1. Вектор – это ______________________ отрезок. Векторы обозначают так _______ или так _______. Если два вектора a и b коллинеарны, то они могут быть направлены в одну сторону, либо в противоположные. В первом случае векторы a и b называют _______________________, и записывают так _______, а во втором случае векторы a и b называют ________________________ и записывают так _______. Несколько векторов можно сложить, пользуясь правилом ______________. При этом начало следующего вектора должно совпадать с ______________ предыдущего вектора. Произведением ненулевого вектора a на число k называется такой вектор b, длина которого равна ___________. Упростите выражение: AC+ HK+CH. ______________________________________________________________________ Найдите среднюю линию трапеции, если основания трапеции равны 8 см и 12 см. ___________________________________ Карточка 2. В А С М К N На рисунке изображены векторы ______, ______, ______. Точки ___, ___, ___ начала данных векторов; точки ___, ___, ___ их концы. Векторы называют равными, если они _________________ и их длины ________________. Назовите законы сложения для векторов: a+b= b+a ________________ закон; a+b+с = a+(b+ c) ____________________ закон. Произведение любого вектора на число нуль есть _______________ вектор. Упростите выражение: AM-KM-AP+KP. ________________________________________________ Средняя линия трапеции равна 15 см, а большее основание 17 см. Найдите меньшее основание _______________________________________________________________. Карточка 3. Любая точка плоскости является вектором. В этом случае вектор называется __________________. От любой точки М можно отложить вектор, __________________ данному вектору a, и притом только _________. Вектор, противоположный вектору a, обозначается _____. Для любого числа k и любого вектора a векторы a и ka _________________________. Упростите выражение: AB+ CM+BC. _____________________________________________________ Длина вектора a равна 5,5 см. Найдите длину вектора -3a. ________________________ Карточка 4. Длина вектора (или модуль вектора) – это ___________________________, изображающего вектор. Длина вектора АВ обозначается ________. . ез вектор икулярны равна 15 см, а большее основание 17 см. Найдите меньшее основание _________________________.ямых.Правило треугольника можно сформулировать следующим образом: если A, B, C – произвольные точки, то AB+ BC=_________. Разностью векторов a и b называют такой вектор, который в сумме с вектором _____, даёт вектор _____. Векторы b и 3b _________________________, векторы b и -12b ____________________________. Упростите выражение, если возможно: AM- NM-AP. _____________________________________________ АB=3, BC=4. Найдите длину вектора AC, если векторы AB и BC взаимно перпендикулярны. __________________________________________________________ Карточка 5. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на ___________ прямой, или на ________________________ прямых. Правило параллелограмма заключается в следующем, если два вектора выходят из одной точки, то вектор суммы – это есть ___________________ параллелограмма, построенного на ___________ векторах. Для любых векторов a и b справедливо равенство a- b=a+________. Средняя линия трапеции – это ___________________, соединяющий _________________ боковых сторон. Упростите выражение, если возможно: AM- HM-AK. ___________________________________________ Выразите векторы a, 3a, 13a через вектор n=2a. ___________________________________________________________________________
Приложенные файлы
vektory Размер файла: 18 kB Загрузок: 4
Векторы
Всем здравствуйте! Сегодня разбираемся с векторами: научимся складывать вектора, определять их координаты, длины, выражать один вектор через другие, и пользоваться координатным методом на плоскости для решения задач. Начнем с умения выражать один вектор через другие.
Чтобы выразить нужный вектор через другие, нужно сначала найти любой путь от начала нужного нам вектора к концу, потом записать «кусочки» этого пути в виде векторов, и, наконец, выразить эти векторы через требуемые.
Задача 1.Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, причем . Выразите векторы и через векторы и .
Найдем путь от точки А к точке М: для этого из точки А идем к В, а затем из В – к М. Часть работы сделана: путь мы нашли. Теперь представляем отрезки этого пути векторами: . Так как – это дано, то полдела сделано, осталось выразить вектор . Так как ABCD – параллелограмм, и BC=AD, то . А вектор – часть . Какая часть? Так как соотношение , то, значит, отрезок BC разделили на 4 части: 3x+1x, и тогда вектор – это три части из четырех, то есть . Теперь объединяем весь путь от А к М: .
Теперь так же поступим с вектором : пройдем от точки М к D: . Вектор . А что такое вектор CD? По длине он равен вектору и параллелен ему, но вектор направлен вверх, а вектор – вниз. То есть данные вектора коллинеарны, и получить один из другого можно умножением на (-1): , тогда . Теперь записываем весь путь: .
Задача 2. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, а М – точка на стороне АD, такая, что . Выразите через векторы , следующие векторы: .
Рассмотрим рисунок. Так как AC – диагональ параллелограмма, то понятно, что, по правилу параллелограмма сложения векторов вектор является суммой векторов и : , ну а – его половина, поэтому .
Выразим вектор : по длине он равен вектору , но направлен противоположно, поэтому получим его, умножив вектор на (-1): . Тогда , или , и аналогично
Теперь нам нужно получить вектор , значит, нужно пройти от точки D к точке O любым маршрутом, я выбрала тот, что выделен зеленым. Тогда . , а вектор мы уже нашли ранее. Получим:
Векторы и получим из чисто арифметических соображений: ;
Получим векторы . Так как отношение , то получается, что отрезок разделили на три части, и длина равна длине одной из этих трех частей: .
Чтобы получить вектор , пройдем от точки М к С: . , , получаем:
Чтобы получить вектор , пройдем от точки B к М: . , , получаем:
Остался последний: вектор . От точки О к точке М можно пройти зеленым или красным маршрутом, тогда или , в обоих случаях результат будет одним и тем же, выбираем красный маршрут:
Задача 3. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка так, что . Выразите вектор через и .
, тогда
Задача 4. Пусть – медианы треугольника ABC, О – произвольная точка. Докажите, что .
, , .
Теперь сложим все три выражения:
, или, вынося за скобки дробь ,
Но , так как, обходя такой маршрут, мы возвращаемся в точку старта. Поэтому
, ч.т.д.
Задача 5. Точки А и С – середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, а точки B и D – середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно равенство: .
.
.
.
.
.
.
Таким образом, раз правые части равны, равны и левые: .
Задача 6. Даны четырехугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырехугольник, если .
Так как , а , то , следовательно, эти два вектора лежат на параллельных прямых и равны по длине, следовательно, если соединить концы таких отрезков – то получим еще пару равных отрезков, лежащих на параллельных прямых, откуда следует, что MNPQ – параллелограмм.
Задача 7. Найдите координаты вектора , если а) , ; б), ; в), ; г) , .
Когда мы складываем два вектора по правилу ломаной, то к концу первого мы пристраиваем второй. То есть от исходной координаты по оси х первого вектора мы откладываем координату по оси х второго, или, что то же самое, складываем координаты двух исходных векторов, чтобы получить координату х искомого вектора суммы. Так же поступаем и с координатой у. Тогда: а) , ; б) ; ; в) ; ; г) ; .
Задача 8. Найдите длины векторов: , , , , , .
Длина вектора – расстояние между точками его начала и конца. Координаты вектора – это координаты его конца, если его начало совпадает с началом координат. Таким образом, можно представить себе прямоугольный треугольник (так как система координат – прямоугольная), один из катетов которого – координата вектора по оси х, а второй – координата по оси у, тогда длина вектора – гипотенуза такого треугольника, а гипотенузу можно найти по теореме Пифагора:
Задача 9. Найдите , если расстояние между точками а), равно 2; б) расстояние между точками , равно 7.
a) Как вы, может быть, помните, расстояние между двумя точками выражается формулой:
. Запишем:
б) . Тогда:
Дискриминант. Определяем четверть дискриминанта, так как второй коэффициент – четный:
Корни:
Ответ: а)
б) либо
Задача 10. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек а) и ; б) от точек ,
Искомая точка лежит на оси у, поэтому координата х у нее – нулевая:
а) Запишем расстояние от точки А до точки N: ,
.
Запишем расстояние от точки B до точки N:
Приравниваем расстояния:
Таким образом, искомая точка –
б) Запишем расстояние от точки С до точки N: ,
.
Запишем расстояние от точки D до точки N:
Приравниваем расстояния:
Таким образом, искомая точка –
Задача 11. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником и найдите его площадь, если , , , .
Найдем координаты векторов сторон такого четырехугольника. Тогда координаты вектора AB будут: , , .
Найдем координаты вектора DC: , , .
Таким образом, получили для обеих противоположных сторон четырехугольника один и тот же вектор. А это значит, что они противоположны и равны. Теперь докажем, что сторона АВ перпендикулярна стороне ВС. Найдем координаты вектора ВС: , , .Условие перпендикулярности векторов на плоскости имеет вид: , проверим, выполняется ли оно: – да, условие выполняется. Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны – а это означает, что и две другие его стороны будут также равны и параллельны, а значит, он – параллелограмм, после чего доказали, что смежные стороны нашего четырехугольника перпендикулярны – значит, он прямоугольник. Тогда найдем его площадь: . Найдем длины векторов и .
Расстояние между двумя точками выражается формулой:
,
Таким образом, четырехугольник не только является прямоугольником, но и квадратом, и его площадь равна 17.
Задача 12. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80. Найдите две другие медианы этого треугольника.
Так как треугольник равнобедренный, то медиана, проведенная к основанию, является и его высотой. Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов. Один из концов искомой медианы – вершина треугольника, одна из точек его основания, а второй конец – середина противолежащей стороны. То есть, чтобы решить задачу, нам надо определить координаты вершин такого треугольника. Координаты вершин треугольника будут: , , , а координату середины стороны ВС определим так: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: ,
Длина искомой медианы:
Ответ: .
Задача 13. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух других сторон.
Введем систему координат так, чтобы ось х совпала бы с основанием треугольника, а ось у – с высотой, проведенной к основанию. В такой системе координат мы можем узнать длину любого вектора по координатам его концов. Координаты вершин треугольника будут: , , .
Нам нужна медиана, проведенная к меньшей стороне. Рассмотрев треугольники АВО и ОВС можем заключить, что гипотенуза первого больше, чем гипотенуза второго даже без расчета, поэтому меньшая из оставшихся сторон – ВС. Точка М – середина ВС, а координату середины стороны ВС теперь можно легко определить: для этого берем полусумму координат по х, и полусумму по у точек концов отрезка: , . Таким образом, нас интересует длина отрезка AM, координаты концов которого и .
Расстояние между двумя точками выражается формулой:
Тогда
Ответ: .
Задача 14. Дан прямоугольник АВСD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство:
В треугольнике АМТ АМ – гипотенуза. Тогда
В треугольнике CМK CМ – гипотенуза. Тогда
Рассмотрим треугольник BMS:
А гипотенуза треугольника DMT:
Сложим квадраты:
Видим, что правые части равенств равны, значит, равны и левые: , ч.т.д.
Как упростить векторное выражение?
Вот способ делать все, что вы просили автоматически, независимо от версии Mathematica . Подход основан на специальном символе для идентификации, когда мы имеем дело с вектором: вместо использования таких вещей, как x , y и т. Д. Для векторов, теперь принято, что векторы записываются как vec [x] , vec [y] и т. Д.
Для этой цели можно также определить оболочку OverVector [x] , поскольку она отображается как $ \ vec {x} $.Но в этом посте я хочу сделать его простым, и стрелки не будут легко отображаться в исходном коде ниже.
Для продукта Dot я определил поведение vec таким образом, что оно оценивается как новая функция scalarProduct , единственное алгебраическое свойство которой состоит в том, что это Orderless , как вы и ожидали для скалярного произведения векторов.Конечно, это верно только для евклидовых скалярных произведений, поэтому здесь это предположение подразумевается. Для получения дополнительной информации о том, как работает это определение, найдите TagSetDelayed .
Кроме того, scalarProduct получает настраиваемый формат отображения, определяя, что он должен снова отображаться, как если бы это был скалярный продукт, когда он появляется в функции низкоуровневого форматирования MakeBoxes .
Для свойства распределения перекрестного произведения я даю vec дополнительное свойство: когда оно появляется в Cross вместе с выражением head Plus , сумма увеличивается.Здесь определения TagSetDelayed выполняются для обоих заказов и содержат HoldPattern , чтобы предотвратить слишком раннюю оценку Plus в определении.
Теперь вы можете вернуться со многими другими пожеланиями: например, как насчет мультипликативных скаляров в скалярном произведении или перекрестном произведении и как насчет матриц. Тем не менее, это обширное поле, которое открывает банку червей, поэтому я бы сказал, просто реализуйте минимум функций, которые вы можете избежать символически, а затем переходите к конкретной рабочей основе, чтобы вы могли вместо этого писать векторы в виде списков.
Другой подход — определить новый символ для пользовательского скалярного произведения. Это сделано в этом вопросе.
Использование OverVector
Как упоминалось выше, вы можете заменить vec на Overvector везде в приведенном выше исходном коде, чтобы получить лучший форматированный результат. Предполагая, что вы это сделали (я не буду повторять определения с этим изменением), вот несколько примеров:
Чтобы ввести эти векторные выражения, обратитесь к палитре Помощника по основам математики.Перекрестное произведение можно ввести как Esc cross Esc .
Еще вы просили использовать антисимметрию перекрестного произведения в упрощениях. На самом деле это уже сделано, если вы вызываете FullSimplify :
symbolic — Можно ли упростить выражение в векторной форме, которое включает кросс-произведение и скалярное произведение?
Мне часто нужно упростить выражения, включающие перекрестное произведение и скалярное произведение, например:
f = точка [Крест [Крест [p1 - p, e1], Крест [p2 - p, e2]]], Крест [p3 - p, e3]]
, где все символы в правой части являются трехмерными векторами, но ссылаться на их компоненты нежелательно, потому что довольно сложно найти полезную информацию из результатов.Это упрощение очень часто требуется в таких областях, как кинематика и динамика, и я считаю, что многие люди сталкивались с этой проблемой, но мой поиск не дал очень релевантных результатов.
Есть ли способ справиться с таким упрощением? Возможное решение, которое, я думаю, может сработать, состоит в том, что мы можем определить некоторые настраиваемые операторы или функции для представления кросс-произведения и скалярного произведения, а затем определить набор правил для этих операторов (или для Simplify commend), чтобы отразить возможные упрощения. такие как расширение смешанного продукта и т. д.Но я новичок в Mathematica и не знаю, как это сделать, и не знаю, лучший ли это способ.
Может кто-нибудь помочь? Любой ответ с благодарностью! Спасибо!
Продолжение 1
Благодаря маршу я нашел команду $ предположений = {p1 [Element] Vectors [3, Reals]} , которая превращает задачу в тензорную. Я пробовал эту команду для всех векторов, и функция f показывает правильное выражение, но после этого Expand , Simplification , Collect , похоже, не работают, только TensorExpand и TensorReduce Для этих тензоров работает .Выражение кажется сложным, поскольку Simplify сейчас работать не будет. Пока я не нашел способа справиться с этим.
Тем не менее, я думаю, что может помочь способ определения настраиваемых операторов (или функций) или правил (в Simplify ), которые могут определять такие операции, как смешанное произведение или двойное перекрестное произведение. Есть ли у кого-нибудь опыт работы с подобными вещами? Спасибо!
Продолжение 2
Спасибо за все ответы! Было бы здорово, если бы некоторые из вас могли помочь мне реализовать небольшой фрагмент кода для реализации некоторых из приведенных ниже отношений, а я буду следовать вашей стратегии, чтобы закончить остальную часть кода.
В основном я думаю, что есть две ключевые операции, которые имеют значение:
смешанное произведение, точка [крест [a, b], c] = точка [крест [b, c], a] = точка [крест [c, a], b]
двойное перекрестное произведение: Крест [Крест [a, b], c] = Точка [a, c] b - Точка [b, c] a
Кроме того, есть несколько основных отношений, в том числе:
Крест [a, b] = -Крест [b, a]
Точка [a, b] = Точка [b, a]
Крест [(a + b), c] = Крест [a, c] + Крест [b, c]
Точка [(a + b), c] = точка [a, c] + точка [b, c]
И критерии состоят в том, что одночленов должно быть как можно меньше, и каждый одночлен должен быть простым, точно так же, как то, что я получу после серии Expand , Collect и Simplify .Я перечисляю эти отношения, которые, как мне кажется, должны использоваться в качестве правил для команды Simplify ?
Еще раз спасибо за любую помощь!
Закрытие прикладной математики — Закрытие прикладной математики
Кафедра прикладной математики закрыта с 1 июля 2021 г. .
Программы и факультет прикладной математики (за исключением инженерной математики) переведены на кафедру математики.Программы и факультет, специализирующийся на теоретической физике и научных вычислениях, переместились на факультет физики и астрономии. Запросы по инженерной математике следует направлять в Департамент физики и астрономии.
Веб-сайт математического факультета
Веб-сайт физико-астрономического факультета
Контактная информация администрации
Мы предлагаем следующие замены студентам, которые начинают свой 3-й или 4-й год обучения по основному модулю прикладной математики [Описание в формате PDF для печати здесь]
Вместо:
0.5 курсов AM 4613A / B, 4617A / B
0,5 Курсы из AM 4815A / B, AM 4817A / B
Заменим:
1.0 Курсы AM 3615A (математическая биология), Phys 3151A (ранее AM 3151A, классическая механика), Math 3152 A (комбинаторная математика), Math 3157 B (теория игр), AM 4615 A (компьютерная алгебра), математика 4958 B (Специальные темы в прикладной математике, эволюционная динамика, требуется AM 3815A и SS 2857A), Phys 3926F (компьютерное моделирование в физике, 2 -й год -й год Преподаватель может отказаться от предварительных требований по физике; только для студентов, имеющих * не * взят AM 3911F / G).
Обратите внимание, что вы уже не можете учитывать замененный курс как часть других требований вашего модуля. Вы должны это проверить.
Возможны другие замены; Перечисленные выше курсы были выбраны потому, что студенты AM часто имеют соответствующие предварительные условия.
Мы предлагаем следующие замены студентам, которые начинают свой 3-й или 4-й год обучения со специализацией с отличием по прикладной математике [Версия для печати PDF Описание здесь] :
Вместо:
0.5 курсов AM 4613A / B, 4617A / B
1.0 дополнительный курс от AM 3151A / B, AM 3615A / B, AM 3611F / G, AM 4613A / B, AM 4615A / B, AM 4617A / B, FM 3613A / B, FM 3817A / B
Заменим:
1.5 Курсы AM 3615A (математическая биология), Phys 3151A (ранее AM 3151A, классическая механика), Math 3152 A (комбинаторная математика), Math 3157 B (теория игр), AM 4615 A (компьютерная алгебра), математика 4958 B (Специальные темы в прикладной математике, эволюционная динамика, требуется AM 3815A и SS 2857A), Phys 3926F (Компьютерное моделирование в физике, 2 -й год -й год Преподаватель может отказаться от предварительных требований к физике; только для студентов, имеющих * не * взято AM 3911F / G), SS 3859A / B (регрессионный анализ), AM 4264B (введение в нейронные сети; не предлагается в 21-22, но актуально здесь, если вы его приняли), FM 3613A / B, FM 3817А / Б.
Обратите внимание, что вы уже не можете учитывать замененный курс как часть других требований вашего модуля. Вы должны проверить это
Возможны другие замены; Перечисленные выше курсы были выбраны потому, что студенты AM часто имеют соответствующие предварительные условия.
Если ваш модуль не указан выше, вы можете найти соответствующую информацию здесь
ЕСЛИ ВЫ ХОТИТЕ ПРЕДЛОЖИТЬ ЗАМЕНУ КУРСОВ, И ВЫ НАЧИТАЕТЕ ЛИБО НА 3 ИЛИ 4 ГОД ОБУЧЕНИЯ В ПРИКЛАДНОМ МОДУЛЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ, ТО ПОДАЙТЕ ВАШЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ ЧЕРЕЗ ДОСТУПНУЮ ЗДЕСЬ ВЕБФОРМУ.
Упрощение выражений — хитрости и примеры
Умение упрощать выражения — самый важный шаг в понимании и овладении алгеброй. Упрощение выражений — удобный математический навык, потому что он позволяет нам преобразовывать сложные или неудобные выражения в более простые и компактные формы. Но перед этим мы должны знать, что такое алгебраическое выражение.
Алгебраическое выражение — это математическая фраза, в которой переменные и константы объединяются с помощью рабочих символов (+, -, × & ÷). Например, 10x + 63 и 5x — 3 являются примерами алгебраических выражений.
В этой статье мы узнаем несколько уловок на , как упростить любое алгебраическое выражение.
Как упростить выражения?
Упрощение алгебраического выражения можно определить как процесс записи выражения в наиболее эффективной и компактной форме без изменения значения исходного выражения.
Процесс влечет за собой сбор одинаковых терминов, что подразумевает добавление или вычитание терминов в выражении.
Напомним некоторые важные термины, используемые при упрощении выражения:
Переменная — это буква, значение которой неизвестно в алгебраическом выражении.
Коэффициент — это числовое значение, используемое вместе с переменной.
Константа — это член, имеющий определенное значение.
Подобные термины — это переменные с одинаковой буквой и мощностью.Подобные термины могут иногда содержать разные коэффициенты. Например, 6x 2 и 5x 2 похожи на термы, потому что у них есть переменная с аналогичным показателем степени. Точно так же термины 7yx и 5xz отличаются, потому что каждый член имеет разные переменные.
Чтобы упростить любое алгебраическое выражение, следующие основные правила и шаги:
Удалите любой символ группировки, такой как скобки и круглые скобки, умножая множители.
Используйте правило экспоненты, чтобы удалить группировку, если термины содержат экспоненты.
Объедините одинаковые члены путем сложения или вычитания
Объедините константы
Пример 1
Simplify 3 x 2 + 5 x Решение 2
с оба члена в выражении имеют одинаковые показатели степени, мы их объединяем;
3 x 2 + 5 x 2 = (3 + 5) x 2 = 8 x 2
Пример 2
Упростите выражение : 2 + 2x [2 (3x + 2) +2)]
Решение
Сначала вычислите любые термины в скобках, умножив их;
= 2 + 2x [6x + 4 +2] = 2 + 2x [6x + 6]
Теперь удалите круглые скобки, умножив любое число вне его;
2 + 2x [6x + 6] = 2 + 12x 2 + 12x
Это выражение можно упростить, разделив каждый член на 2 как;
12x 2 /2 + 12x / 2 + 2/2 = 6 x 2 + 6x + 1
Пример 3
Simplify 3 x + 2 ( x — 4)
Решение
В этом случае невозможно объединить термины, если они все еще заключены в круглые скобки или какой-либо знак группировки.Поэтому удалите скобку, умножив любой множитель вне группы на все члены внутри нее.
Следовательно, 3 x + 2 ( x — 4) = 3 x + 2 x — 8
= 5 x — 8
Когда знак минус стоит перед группой , это обычно влияет на все операторы в круглых скобках. Это означает, что знак минус перед группой изменит операцию сложения на вычитание и наоборот.
Пример 4
Упростить 3 x — (2 — x )
Решение
3 x — (2 — x ) = 3 x + (- 1) [2 + (- x )]
= 3 x + (–1) (2) + (–1) (- x )
= 3 x — 2 + x
= 4 x — 2
Однако, если перед группировкой стоит только знак «плюс», скобки просто стираются.
Например, , чтобы упростить 3 x + (2 — x ), скобки удаляются, как показано ниже:
3x + (2 — x) = 3x + 2 — x
Пример 5
Упростить 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 — 3x
Решение
15x — 5 + x (x) + 8 — 3x
15x — 5 + x 2 + 8 — 3x.
Теперь объедините одинаковые термины, добавляя и вычитая их;
Предыдущее меньше на | Главная страница | Следующий урок
Как упростить векторное выражение?
Если у вас Mathematica Version 9, вы можете использовать Vectors и TensorReduce :
Предполагая [(x | y) \ [Element] Vectors [n], TensorReduce [Dot [x, y] - Dot [y, x]]]
(* 0 *)
TensorReduce [Dot [x, y] - Dot [y, x], Допущения -> (x | y) \ [Element] Vectors [n]]
(* 0 *)
TensorReduce [Cross [x + y, z], Допущения -> (x | y | z) \ [Element] Vectors [n]]
(* x \ [крест] z + y \ [крест] z *)
Распространить [Cross [x + y, z]] (* это должно работать во всех предыдущих версиях *)
(* x \ [крест] z + y \ [крест] z *)
Вот способ делать все, что вы просили автоматически, независимо от версии Mathematica .Подход основан на специальном символе для идентификации, когда мы имеем дело с вектором: вместо использования таких вещей, как x , y и т. Д. Для векторов, теперь принято, что векторы записываются как vec [x] , vec [y] и т. Д.
Для этой цели можно также определить оболочку OverVector [x] , поскольку она отображается как $ \ vec {x} $. Но в этом посте я хочу сделать его простым, и стрелки не будут легко отображаться в исходном коде ниже.
Для продукта Dot я определил поведение vec таким образом, что оно оценивается как новая функция scalarProduct , единственное алгебраическое свойство которой состоит в том, что это Orderless , как вы и ожидали для скалярного произведения векторов.Конечно, это верно только для евклидовых скалярных произведений, поэтому здесь это предположение подразумевается. Для получения дополнительной информации о том, как работает это определение, найдите TagSetDelayed .
Кроме того, scalarProduct получает настраиваемый формат отображения, определяя, что он должен снова отображаться, как если бы это был скалярный продукт, когда он появляется в функции низкоуровневого форматирования MakeBoxes .
Для свойства распределения перекрестного произведения я даю vec дополнительное свойство: когда оно появляется в Cross вместе с выражением head Plus , сумма увеличивается.Здесь определения TagSetDelayed выполняются для обоих заказов и содержат HoldPattern , чтобы предотвратить слишком раннюю оценку Plus в определении.
Теперь вы можете вернуться со многими другими пожеланиями: например, как насчет мультипликативных скаляров в скалярном произведении или перекрестном произведении и как насчет матриц. Тем не менее, это обширное поле, которое открывает банку червей, поэтому я бы сказал, просто реализуйте минимум функций, которые вы можете избежать символически, а затем переходите к конкретной рабочей основе, чтобы вы могли вместо этого писать векторы в виде списков.
Другой подход — определить новый символ для пользовательского скалярного произведения. Это сделано в этом вопросе.
Использование OverVector
Как упоминалось выше, вы можете заменить vec на Overvector везде в приведенном выше исходном коде, чтобы получить лучший форматированный результат. Предполагая, что вы это сделали (я не буду повторять определения с этим изменением), вот несколько примеров:
Чтобы ввести эти векторные выражения, обратитесь к палитре Помощника по основам математики.Перекрестное произведение можно ввести как Esc cross Esc .
Еще вы просили использовать антисимметрию перекрестного произведения в упрощениях. На самом деле это уже сделано, если вы вызываете FullSimplify :
python — как упростить симпозиумные векторы?
Я делаю некоторые символьные векторные вычисления, используя sympy , но я не могу упростить аргументы векторного класса должным образом.Рассмотрим этот код:
из sympy.physics.mechanics import ReferenceFrame, dot, cross
из символов импорта sympy, sin, cos, упрощать
альфа, тета, l = символы ('альфа тета l')
def Родригес (v, k, угол):
return cos (угол) * v + крест (k, v) * sin (угол) + k * точка (k, v) * (1- cos (угол))
N = опорный кадр ('N')
P0 = -l * N.y
P2 = Родригес (
Родригес (P0, -N.z, альфа),
Родригес (N.x, -N.z, альфа),
тета)
, который возвращает:
, пытаясь упростить (P2) , я получаю сообщение об ошибке:
AttributeError: объект «функция» не имеет атрибута «x»
, что, как мне кажется, связано с тем, что для simpleify требуется объект выражения sympy .пробуя dir (P2) , есть метод simpleify , который возвращает:
<связанный метод Vector.simplify of - l * sin (alpha) * cos (theta) * Nx - l * cos (alpha) * cos (theta) * Ny + (-l * sin (alpha) ** 2 - l * cos (альфа) ** 2) * sin (тета) * Nz>
, я понятия не имею, что это такое! пробуя P2.args , я получаю:
[(Матрица ([
[-l * sin (альфа) * cos (тета)],
[-l * cos (альфа) * cos (тета)],
[(-l * sin (альфа) ** 2 - l * cos (альфа) ** 2) * sin (тета)]]), N)]
, который является одномерным списком двухмерного кортежа с вложенной 3×1 матрицей sympy ! Я не знаю, чей выбор заключался в том, чтобы сделать векторный класс таким непонятным, но теперь я могу упростить последний элемент с помощью simpleify (P2.args [0] [0] [2]) и измените функцию на:
деф Родригес (v, k, угол):
tmpVec = cos (угол) * v + крест (k, v) * sin (угол) + k * точка (k, v) * (1- cos (угол))
tmpFrame = tmpVec.args [0] [1]
return simpleify (tmpVec.args [0] [0] [0]) * tmpFrame.x + simpleify (tmpVec.args [0] [0] [1]) * tmpFrame.y + simpleify (tmpVec.args [0] [ 0] [2]) * tmpFrame.z
, что мне кажется очень плохим решением.
Мне было интересно, не могли бы вы помочь мне узнать, есть ли более питонический способ сделать это.Например, заставьте sympy упростить все выражения по умолчанию. А может я неправильно использую метод vector.simplify ? Заранее благодарим за вашу поддержку.
П.С. Формула вращения Родригеса
упрощающих выражений | нет
Алгебраические выражения иногда могут выглядеть беспорядочно, поскольку они содержат не только числа, но и буквенные символы.Давайте подробнее рассмотрим, как мы можем упростить эти выражения.
Чтобы упростить алгебраическое выражение, мы должны собрать одинаковые термины. Когда алгебраическое выражение упрощается, эквивалентное выражение оказывается проще исходного. Обычно это означает, что упрощенное выражение меньше исходного. Существует много различных видов алгебраических выражений, поэтому стандартной процедуры для их упрощения не существует. Вот список шагов, которые нужно выполнить.
Подготовьте алгебраическое выражение для упрощения (например, путем раскрытия).
Определите и сгруппируйте похожие термины.
Объедините похожие термины.
Пример: Упростим выражение 5x + 3y -9z -8x + 6y.
Решение:
Выражение не нужно подготавливать, поэтому сначала определите и сгруппируйте похожие термины:
Сначала подготовьте выражение для упрощения (расширения): 20a — 16b — 42a- 14b
Затем определите и сгруппируйте похожие термины: (20a — 42a) + (-16b — 14b)
Наконец, объедините похожие термины: -22a — 20b
Важно понимать, что не все алгебраические выражения можно упростить. Например, выражение 56a — 8b + 7c -5 не может быть далее упрощено, поскольку в выражении нет похожих членов.
Давайте закончим еще одним примером выражения, которое содержит произведения и частные простых множителей, включающих степени с одинаковым основанием.Их можно легко упростить, добавляя и вычитая индексы степеней (используя законы экспоненты).
Пример: Упростим выражение 24w 4 x 5 z ÷ 2wyz 2
Решение:
Выражение не нужно подготавливать, поэтому объедините похожие термины: 12w 3 x 5 / yz
Пример — комбинирование рациональных выражений:
Как избежать распространенных математических ошибок при упрощении:
Приведенная таблица кроме степени двойки показывает максимальные числа, которые может хранить компьютер для заданного числа бит. Причем как для целых так и чисел со знаком.
Исторически сложилось, что компьютеры используют двоичную систему счисления, а, соответственно, и хранения данных. Таким образом, любое число можно представить как последовательность нулей и единиц (бит информации). Существует несколько способов представления чисел в виде двоичной последовательности.
Рассмотрим наиболее простой из них — это целое положительное число. Тогда чем больше число нам нужно записать, тем более длинная последовательность бит нам необходима.
Ниже представлена таблица степеней числа 2. Она даст нам представление необходимого числа бит, которое нам необходимо для хранения чисел.
См. также: Таблица степеней других натуральных чисел.
Как пользоваться
таблицей степеней числа два?
Первый столбец — это степень двойки, который одновременно, обозначает число бит, которое представляет число.
Второй столбец — значение двойки в соответствующей степени (n).
Пример нахождения степени числа 2. Находим в первом столбце число 7. Смотрим по строке вправо и находим значение два в седьмой степени (27) — это 128
Третий столбец — максимальное число, которое можно представить с помощью заданного числа бит (в первом столбце).
Пример определения максимального целого числа без знака. Если использовать данные из предыдущего примера, мы знаем, что 27 = 128. Это верно, если мы хотим понять, какое количество чисел, можно представить с помощью семи бит. Но, поскольку первое число — это ноль, то максимальное число, которое можно представить с помощью семи бит 128 — 1 = 127 . Это и есть значение третьего столбца.
Степень двойки (n)
Значение степени двойки
2n
Максимальное число без знака,
записанное с помощью n бит
Максимальное число со знаком,
записанное с помощью n бит
0
1
-
-
1
2
1
-
2
4
3
1
3
8
7
3
4
16
15
7
5
32
31
15
6
64
63
31
7
128
127
63
8
256
255
127
9
512
511
255
10
1 024
1 023
511
11
2 048
2 047
1023
12
40 96
4 095
2047
13
8 192
8 191
4095
14
16 384
16 383
8191
15
32 768
32 767
16383
16
65 536
65 535
32767
17
131 072
131 071
65 535
18
262 144
262 143
131 071
19
524 288
524 287
262 143
20
1 048 576
1 048 575
524 287
21
2 097 152
2 097 151
1 048 575
22
4 194 304
4 194 303
2 097 151
23
8 388 608
8 388 607
4 194 303
24
16 777 216
16 777 215
8 388 607
25
33 554 432
33 554 431
16 777 215
26
67 108 864
67 108 863
33 554 431
27
134 217 728
134 217 727
67 108 863
28
268 435 456
268 435 455
134 217 727
29
536 870 912
536 870 911
268 435 455
30
1 073 741 824
1 073 741 823
536 870 911
31
2 147 483 648
2 147 483 647
1 073 741 823
32
4 294 967 296
4 294 967 295
2 147 483 647
Необходимо принять во внимание, что не все числа в компьютере представлены таким образом. Существуют и другие способы представления данных. Например, если мы хотим записывать не только положительные, но и отрицательные числа, то нам потребуется еще один бит для хранения значения «плюс/минус». Таким образом, количество бит, предназначенных для хранения чисел у нас уменьшилось на один. Какое максимальное число может быть записано в виде целого числа со знаком можно посмотреть в четвертом столбце.
Для этого же самого примера ( 27 ) семью битами можно записать максимум число +63, поскольку один бит занят знаком «плюс». Но мы можем хранить и число «-63», что было бы невозможно, если бы все биты были бы зарезервированы под хранение числа.
Примеры использования таблицы степеней числа два
Например, нам необходимо узнать, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 256. Во втором столбце находим число 256 и считываем, что 256 это два в степени восемь.
Аналогично, 2 в 11 степени равно 2048.
2 в 13 степени равно 8,192.
2 в 15 степени равно 32,768
2 в 17 степени равно 131,072
См. также: Таблица степеней других натуральных чисел.
0
Хранение и кодирование информации |
Описание курса
| Использование электронных таблиц Excel
Названия больших чисел и количество нулей в них
Существует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числа состоят из цифр. Число 52 состоит из двух цифр: 5 и 2. Числа с 1 впереди и последующими нулями имеют названия. Всем известны: 10 — десять, 100 — сто, 1000 — тысяча, 1 000 000 — миллион. Так как большие числа с большим числом нулей записывать неудобно, используют сокращения в виде степеней: запись 1011 означает число с 11-ю нулями, запись 1052 означает число с 52-мя нулями и т.д. Приведем названия чисел с десятками и сотнями нулей.
Еще некоторые примеры интересных названий: 10100 — гугол, googol (100 нулей) 1010100 — гуголплекс, googolplex (десять в степени гугол) 10140 — асанкхейя, asankhyeya или сто квинквадрагинтиллионов 10303 — центиллион, centillion 103003 — миллиллион, millillion 103000003 — милли-миллиллион, milli-millillion
Самого большого числа в мире не существует, так как любое большое число всегда можно увеличить, умножить, возвести в степень, и получится другое большее число. Бесконечность не является числом.
Из известных самых больших чисел, имеющих название (математическое доказательство) можно выделить: число TREE(3), число SCG(13), число Лоудера, число Мозера, число Скьюза, число Райо, число Грэма, инфитеиплеон.
Таблица больших чисел с указанием количества нулей и названиями на русском и английском.
Число нулей
Краткая запись
Название
Название на английском
3
103
тысяча
thousand
6
106
миллион
million
9
109
миллиард (биллион)
billion
12
1012
триллион
trillion
15
1015
квадриллион
quadrillion
18
1018
квинтиллион
quintillion
21
1021
секстиллион
sextillion
24
1024
септиллион
septillion
27
1027
октиллион
octillion
30
1030
нониллион
nonillion
33
1033
дециллион
decillion
36
1036
ундециллион
undecillion
39
1039
дуодециллион
duodecillion
42
1042
тредециллион
tredecillion
45
1045
кватуордециллион
quattuordecillion
48
1048
квиндециллион
quindecillion
51
1051
сексдециллион
sexdecillion
54
1054
септендециллион
septendecillion
57
1057
октодециллион
octodecillion
60
1060
новемдециллион
novemdecillion
63
1063
вигинтиллион
vigintillion
66
1066
унвигинтиллион
unvigintillion
69
1069
дуовигинтиллион
duovigintillion
72
1072
тревигинтиллион
trevigintillion
75
1075
кватуорвигинтиллион
quattuorvigintillion
78
1078
квинвигинтиллион
quinvigintillion
81
1081
сексвигинтиллион
sexvigintillion
84
1084
септенвигинтиллион
septenvigintillion
87
1087
октовигинтиллион
octovigintillion
90
1090
новемвигинтиллион
novemvigintillion
93
1093
тригинтиллион
trigintillion
96
1096
унтригинтиллион
untrigintillion
99
1099
дуотригинтиллион
duotrigintillion
102
10102
третригинтиллион
trestrigintillion
105
10105
кватортригинтиллион
quattuortrigintillion
108
10108
квинтригинтиллион
quintrigintillion
111
10111
секстригинтиллион
sextrigintillion
114
10114
септентригинтиллион
septentrigintillion
117
10117
октотригинтиллион
octotrigintillion
120
10120
новемтригинтиллион
novemtrigintillion
123
10123
квадрагинтиллион
quadragintillion
126
10126
унквадрагинтиллион
unquadragintillion
129
10129
дуоквадрагинтиллион
duoquadragintillion
132
10132
треквадрагинтиллион
trequadragintillion
135
10135
кваторквадрагинтиллион
quattuorquadragintillion
138
10138
квинквадрагинтиллион
quinquadragintillion
141
10141
сексквадрагинтиллион
sexquadragintillion
144
10144
септенквадрагинтиллион
septenquadragintillion
147
10147
октоквадрагинтиллион
octoquadragintillion
150
10150
новемквадрагинтиллион
novemquadragintillion
153
10153
квинквагинтиллион
quinquagintillion
156
10156
унквинкагинтиллион
unquinquagintillion
159
10159
дуоквинкагинтиллион
duoquinquagintillion
162
10162
треквинкагинтиллион
trequinquagintillion
165
10165
кваторквинкагинтиллион
quattuorquinquagintillion
168
10168
квинквинкагинтиллион
quinquinquagintillion
171
10171
сексквинкагинтиллион
sexquinquagintillion
174
10174
септенквинкагинтиллион
septenquinquagintillion
177
10177
октоквинкагинтиллион
octoquinquagintillion
180
10180
новемквинкагинтиллион
novemquinquagintillion
183
10183
сексагинтиллион
sexagintillion
186
10186
унсексагинтиллион
unsexagintillion
189
10189
дуосексагинтиллион
duosexagintillion
192
10192
тресексагинтиллион
tresexagintillion
195
10195
кваторсексагинтиллион
quattuorsexagintillion
198
10198
квинсексагинтиллион
quinsexagintillion
201
10201
секссексагинтиллион
sexsexagintillion
204
10204
септенсексагинтиллион
septensexagintillion
207
10207
октосексагинтиллион
octosexagintillion
210
10210
новемсексагинтиллион
novemsexagintillion
213
10213
септагинтиллион
septuagintillion
216
10216
унсептагинтиллион
unseptuagintillion
219
10219
дуосептагинтиллион
duoseptuagintillion
222
10222
тресептагинтиллион
treseptuagintillion
225
10225
кваторсептагинтиллион
quattuorseptuagintillion
228
10228
квинсептагинтиллион
quinseptuagintillion
231
10231
секссептагинтиллион
sexseptuagintillion
234
10234
септенсептагинтиллион
septenseptuagintillion
237
10237
октосептагинтиллион
octoseptuagintillion
240
10240
новемсептагинтиллион
novemseptuagintillion
243
10243
октогинтиллион
octogintillion
246
10246
уноктогинтиллион
unoctogintillion
249
10249
дуооктогинтиллион
duooctogintillion
252
10252
треоктогинтиллион
treoctogintillion
255
10255
кватороктогинтиллион
quattuoroctogintillion
258
10258
квиноктогинтиллион
quinoctogintillion
261
10261
сексоктогинтиллион
sexoctogintillion
264
10264
септоктогинтиллион
septoctogintillion
267
10267
октооктогинтиллион
octooctogintillion
270
10270
новемоктогинтиллион
novemoctogintillion
273
10273
нонагинтиллион
nonagintillion
276
10276
уннонагинтиллион
unnonagintillion
279
10279
дуононагинтиллион
duononagintillion
282
10282
тренонагинтиллион
trenonagintillion
285
10285
кваторнонагинтиллион
quattuornonagintillion
288
10288
квиннонагинтиллион
quinnonagintillion
291
10291
секснонагинтиллион
sexnonagintillion
294
10294
септеннонагинтиллион
septennonagintillion
297
10297
октононагинтиллион
octononagintillion
300
10300
новемнонагинтиллион
novemnonagintillion
303
10303
центиллион
centillion
Возведение в степень в Python – способы, типы степеней, отбратные операции
Содержание:развернуть
Когда я был студентом, мой преподаватель по методам программирования любил повторять: «В математике все идеи простые». Чаще всего, фраза звучала в момент объяснения новой сложной темы, а потому вызывала определённые внутренние противоречия.
С возведением в степень всё не так — это действительно простая операция.
История
Возведение в степень — частный случай умножения, поэтому данную операцию изначально не рассматривали, как самостоятельную. Но уже в работах Диофанта Александрийского степени отведено особое место. В частности «Отец Алгебры» применял понятия кубов и квадратов числа.
Возведение в степень определяется как результат n-кратного умножения числа самого на себя.
Эта операция была известна ещё в древнем Вавилоне, однако современный её вид устоялся лишь в XVII веке.
Как умножение позволяет сократить количество символов сложения:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 * 6
Так и степень сокращает запись умножения:
6 — это основание;
2 — показатель степени (это число говорит о том, сколько раз число в основании должно быть умножено само на себя). или «галочка». Этот символ популярен и вне программирования.
Определение
В Python возведение в степень записывается при помощи двойной «звёздочки» — «**»
a = 2 ** 4
print(a)
> 16
Вторая форма записи — встроенная функция pow():
# первый аргумент — основание, а второй — показатель
b = pow(2, 4)
print(b)
> 16
Обратные операции
Извлечение корня
У возведения в степень две обратные операции. Первая — извлечение корня. Подробнее о корнях в Python вы можете почитать в нашей статье. Отметим лишь, что корень в питоне вычисляется с помощью той же функции pow():
# корень четвёртой степени из 16
root = pow(16, (1/4))
print(root)
> 2.0
Для извлечения квадратного корня справедливы оба вышеуказанных способа, но существует и третий, специализированный. Для его применения требуется импортировать модуль math:
import math
# квадратный корень из 100
sqr_root = math.sqrt(100)
print(sqr_root)
> 10.0
Логарифмирование
Логарифмирование — вторая обратная операция.
Логарифмом числа «b» по основанию «a» зовётся такой показатель степени, в который следует возвести «a», чтобы получить «b».
Здесь x — логарифм. Пример из математики — найдем значение выражения:
Легче всего эта запись читается в формате вопроса: «В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 16?». Очевидно, в 4-ю. Следовательно,
В питоне операция нахождения логарифма также заложена в функционал модуля math:
import math
# отыщем логарифм 100 по основанию 10
# 100 — основание логарифма, а 10 — аргумент
log = math.log(100, 10)
print(log)
> 2.0
Степень
Целочисленная
В целочисленную степень можно возводить положительные и отрицательные int и float числа:
Результат не определён, когда 0 возводят в отрицательную степень:
print(0 ** -4)
> ZeroDivisionError: 0.0 cannot be raised to a negative power
Ошибка деления на ноль возникает из-за следующего свойства степени:
Рациональная
Возведение числа в рациональную степень напрямую связано с извлечением корня из этого числа отношением:
Если рациональный показатель отрицательный, а основание равно нулю, то Питон все ещё будет выдавать ошибку:
print(0 ** -(5/4))
> ZeroDivisionError: 0. 0 cannot be raised to a negative power
В случае, когда основание меньше нуля, числитель показателя нечётный, а знаменатель, напротив, чётный, результат получается комплексным. Но это свойство рациональных степеней учитывается только в функции pow():
В начале автор объявил, что возведение в степень — штука несложная. Так вот, для вещественных степеней это уже не совсем так. Идеи, заложенные в эту операцию, хоть и просты, но их много, и каждая из них достойна собственной статьи. Описать вкратце разложение в ряд Тейлора и численное интегрирование не получится. Это будет не справедливо, как по отношению к вам, так и к математике. Поэтому, выделим главное:
Python умеет возводить в вещественную степень даже вещественные числа (пусть и псевдо)
Сделать такое инструментами математики ой как непросто:
# возведём число Пи в степень e
print(pow(math.pi, math.e))
> 22.45915771836104
Ноль в степени ноль
Дискуссии по поводу значения 0 в степени 0 продолжаются уже больше двух веков. Обычно значение нуля в нулевой степени принято считать неопределённым, но символическое соглашение о том, что «0 в степени 0 равно 1» помогает в записи формул и алгоритмов. Ровно поэтому так сделано и в Python:
print(pow(0, 0))
> 1
print(0 ** 0)
> 1
Статья 12. Размер ежемесячной страховой выплаты \ КонсультантПлюс
Главная
Документы
Статья 12. Размер ежемесячной страховой выплаты
Подготовлена редакция документа с изменениями, не вступившими в силу
Федеральный закон от 24. 07.1998 N 125-ФЗ
(ред. от 25.02.2022)
«Об обязательном социальном страховании от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний»
Статья 12. Размер ежемесячной страховой выплаты
1. Размер ежемесячной страховой выплаты определяется как доля среднего месячного заработка застрахованного, исчисленная в соответствии со степенью утраты им профессиональной трудоспособности.
(в ред. Федерального закона от 07.07.2003 N 118-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
2. При расчете размера утраченного застрахованным в результате наступления страхового случая заработка учитываются выплаты и иные вознаграждения, начисленные в пользу физических лиц по гражданско-правовому договору, предметом которого являются выполнение работ и (или) оказание услуг, договору авторского заказа, в соответствии с которыми заказчик обязан уплачивать страховщику страховые взносы.
(в ред. Федерального закона от 29.12.2015 N 394-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
Все виды заработка учитываются в суммах, начисленных до удержания налогов, уплаты сборов и других обязательных платежей.
В местностях, где установлены районные коэффициенты, процентные надбавки к заработной плате, размер ежемесячной страховой выплаты определяется с учетом этих коэффициентов и надбавок.
При исчислении среднемесячного заработка застрахованного, направленного страхователем для работы за пределы территории Российской Федерации, учитываются как суммы заработка по основному месту работы, так и суммы заработка, начисленные в иностранной валюте (если на них начислялись страховые взносы), которые пересчитываются в рубли по курсу Центрального банка Российской Федерации, установленному на день назначения ежемесячной страховой выплаты.
(в ред. Федерального закона от 08.12.2010 N 348-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
3. Среднемесячный заработок застрахованного исчисляется путем деления общей суммы его заработка (с учетом премий, начисленных в расчетном периоде) за 12 месяцев повлекшей повреждение здоровья работы, предшествовавших месяцу, в котором с ним произошел несчастный случай на производстве, установлен диагноз профессионального заболевания или (по выбору застрахованного) установлена утрата (снижение) его профессиональной трудоспособности, на 12. При расчете среднемесячного заработка застрахованного месяцы, не полностью им проработанные, а также месяцы, за которые отсутствуют сведения о заработке застрахованного, заменяются предшествующими месяцами, полностью проработанными на работе, повлекшей повреждение здоровья, и за которые имеются сведения о заработке, либо исключаются в случае невозможности их замены. Замена не полностью проработанных застрахованным месяцев не производится в случае, если в этот период за ним сохранялся в соответствии с законодательством Российской Федерации средний заработок, на который начисляются страховые взносы в соответствии со статьей 20.1 настоящего Федерального закона.
(в ред. Федеральных законов от 07.07.2003 N 118-ФЗ, от 29.12.2015 N 394-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
Если повлекшая повреждение здоровья работа продолжалась менее 12 месяцев или 12 месяцев, но сведения о заработке за один или несколько месяцев отсутствуют, среднемесячный заработок застрахованного исчисляется путем деления общей суммы его заработка за фактически проработанное им число месяцев, за которые имеются сведения о заработке и которые предшествовали месяцу, в котором с ним произошел несчастный случай на производстве, установлен диагноз профессионального заболевания или (по выбору застрахованного) установлена утрата (снижение) его профессиональной трудоспособности, на число фактически проработанных месяцев. В случае, если период работы, повлекшей повреждение здоровья, составил менее одного полного календарного месяца, ежемесячная страховая выплата исчисляется исходя из условного месячного заработка, определяемого путем деления суммы заработка за проработанное время на количество проработанных дней и умножения полученного результата на количество рабочих дней в месяце, исчисленное в среднем за год.
(в ред. Федерального закона от 29.12.2015 N 394-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
По желанию застрахованного при наступлении страхового случая по причине получения им профессионального заболевания средний месячный заработок может быть подсчитан за последние 12 месяцев работы, предшествовавших прекращению работы, повлекшей такое заболевание.
4. Ежемесячные страховые выплаты застрахованному, не достигшему на момент назначения обеспечения по страхованию возраста 18 лет, исчисляются из его среднего заработка, но не менее установленной в соответствии с законом величины прожиточного минимума трудоспособного населения в целом по Российской Федерации.
(п. 4 в ред. Федерального закона от 07.07.2003 N 118-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
5. Если страховой случай наступил после окончания срока действия трудового договора, а также гражданско-правового договора, предметом которого являлись выполнение работ и (или) оказание услуг, договора авторского заказа и в соответствии с указанными договорами предусматривалась уплата страховых взносов страховщику, ежемесячная страховая выплата исчисляется из заработка застрахованного до окончания срока действия указанного договора.
(п. 5 в ред. Федерального закона от 29.12.2015 N 394-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
6. Если в заработке застрахованного до наступления страхового случая произошли устойчивые изменения, улучшающие его имущественное положение (повышена заработная плата по занимаемой должности, он переведен на более высокооплачиваемую работу, поступил на работу после окончания учебного учреждения по очной форме обучения и в других случаях, когда доказана устойчивость изменения или возможности изменения оплаты труда застрахованного), при подсчете его среднего месячного заработка учитывается только заработок, который он получил или должен был получить после соответствующего изменения.
7. Если застрахованный (страхователь) не имеет возможности представить справку (справки) о заработке, из которого должна быть исчислена ежемесячная страховая выплата, ежемесячная страховая выплата рассчитывается из тарифной ставки (должностного оклада), установленной в отрасли (подотрасли) для данной профессии и сходных условий труда ко времени обращения за страховыми выплатами, или (по выбору застрахованного) величины прожиточного минимума трудоспособного населения в целом по Российской Федерации, установленной в соответствии с федеральным законом на день обращения за назначением обеспечения по страхованию. При этом, если застрахованный на момент наступления страхового случая работал на условиях неполного рабочего времени (неполного рабочего дня (смены) или неполной рабочей недели), размер ежемесячной страховой выплаты подлежит уменьшению пропорционально продолжительности рабочего времени застрахованного.
КонсультантПлюс: примечание.
С 01.01.2023 абз. 2 п. 7 ст. 12 излагается в новой редакции (ФЗ от 14. 07.2022 N 237-ФЗ). См. будущую редакцию.
В указанном случае территориальный орган страховщика по заявлению застрахованного направляет запрос в территориальный орган Пенсионного фонда Российской Федерации о представлении сведений о заработной плате, иных выплатах и вознаграждениях застрахованного у соответствующего страхователя за календарный год, предшествующий году, в котором с ним произошел несчастный случай на производстве, установлен диагноз профессионального заболевания или (по выбору застрахованного) установлена утрата (снижение) его профессиональной трудоспособности, или по желанию застрахованного при наступлении страхового случая по причине получения им профессионального заболевания — за последний календарный год работы, повлекшей такое заболевание. Форма заявления застрахованного, форма и порядок направления запроса, форма, порядок и сроки представления территориальным органом Пенсионного фонда Российской Федерации запрашиваемых сведений устанавливаются федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере социального страхования. При наличии указанных сведений ежемесячная страховая выплата исчисляется исходя из этих сведений.
В случае, если после назначения ежемесячной страховой выплаты, исчисленной в порядке, предусмотренном абзацами первым и вторым настоящего пункта, застрахованный (страхователь) представит в территориальный орган страховщика справку (справки) о заработке застрахованного, из которого должна была первоначально исчисляться ежемесячная страховая выплата, назначенная ежемесячная страховая выплата подлежит перерасчету с месяца, следующего за месяцем, в котором была представлена соответствующая справка (справки). При этом размер пересчитанной ежемесячной страховой выплаты не может быть меньше ранее установленного размера.
(п. 7 в ред. Федерального закона от 29.12.2015 N 394-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
8. Лицам, имеющим право на получение страховых выплат в случае смерти застрахованного, размер ежемесячной страховой выплаты исчисляется исходя из его среднего месячного заработка за вычетом долей, приходящихся на него самого и трудоспособных лиц, состоявших на его иждивении, но не имеющих право на получение страховых выплат. Для определения размера ежемесячных страховых выплат каждому лицу, имеющему право на их получение, общий размер указанных выплат делится на число лиц, имеющих право на получение страховых выплат в случае смерти застрахованного.
(в ред. Федеральных законов от 25.10.2001 N 141-ФЗ, от 07.07.2003 N 118-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
9. Ежемесячная страховая выплата в дальнейшем перерасчету не подлежит, за исключением следующих случаев:
изменение степени утраты профессиональной трудоспособности;
изменение круга лиц, имеющих право на получение страховых выплат в случае смерти застрахованного;
уточнение данных о размере фактического заработка застрахованного;
индексация ежемесячной страховой выплаты.
(п. 9 в ред. Федерального закона от 29.12.2015 N 394-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
10. При назначении ежемесячной страховой выплаты суммы заработка, из которого исчисляется размер ежемесячной страховой выплаты, полученные за период до дня проведения индексации размеров ежемесячных страховых выплат в соответствии с пунктом 11 настоящей статьи, увеличиваются с учетом соответствующих коэффициентов, установленных для индексации размера ежемесячной страховой выплаты. При этом коэффициенты, примененные к суммам заработка, к назначенному размеру ежемесячной страховой выплаты не применяются.
(в ред. Федерального закона от 09.12.2010 N 350-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
КонсультантПлюс: примечание.
Ежемесячные страховые выплаты, назначенные начиная с 06.10.2006, подлежат перерасчету с даты их назначения с учетом коэффициентов, установленных абз. 2 — 5 п. 10 ст. 12 данного документа (ФЗ от 19.05.2010 N 90-ФЗ).
В связи с повышением стоимости жизни и изменениями в уровне оплаты труда суммы заработка, из которого исчисляется размер ежемесячной страховой выплаты, увеличиваются с учетом следующих коэффициентов:
(абзац введен Федеральным законом от 19.05.2010 N 90-ФЗ)
за 1971 год и предшествующие периоды — 11,2; за 1972 год — 10,9; за 1973 год — 10,6; за 1974 год — 10,3; за 1975 год — 10,0; за 1976 год — 9,7; за 1977 год — 9,4; за 1978 год — 9,1; за 1979 год — 8,8; за 1980 год — 8,5; за 1981 год — 8,2; за 1982 год — 7,9; за 1983 год — 7,6; за 1984 год — 7,3; за 1985 год — 7,0; за 1986 год — 6,7; за 1987 год — 6,4; за 1988 год — 6,1; за 1989 год — 5,8; за 1990 год — 5,5; за 1991 год — 4,3.
(абзац введен Федеральным законом от 19.05.2010 N 90-ФЗ)
Суммы заработка, из которого исчисляется размер ежемесячной страховой выплаты, дополнительно увеличиваются за период до 1 января 1991 года с учетом коэффициента 6, с 1 января 1991 года по 31 декабря 1991 года — с учетом коэффициента 3.
(абзац введен Федеральным законом от 19.05.2010 N 90-ФЗ)
В связи с повышением стоимости жизни и изменениями в уровне оплаты труда при исчислении размера ежемесячной страховой выплаты суммы заработка, полученные за период с 1 января 1992 года по 31 января 1993 года, увеличиваются с учетом коэффициента 3.
(абзац введен Федеральным законом от 19.05.2010 N 90-ФЗ)
Суммы заработка, из которого исчисляется размер ежемесячной страховой выплаты, полученные за период до 1 мая 2002 года, увеличиваются пропорционально повышению в централизованном порядке в период по 1 мая 2002 года включительно минимального размера оплаты труда.
(абзац введен Федеральным законом от 09. 12.2010 N 350-ФЗ)
11. Размер ежемесячной страховой выплаты подлежит индексации один раз в год с 1 февраля текущего года исходя из индекса роста потребительских цен за предыдущий год. Коэффициент индексации определяется Правительством Российской Федерации.
(п. 11 в ред. Федерального закона от 19.12.2016 N 444-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
КонсультантПлюс: примечание.
Размеры выплат, установленные до 01.01.2018 и превышающие максимальный размер, установленный в соответствии с п. 12 и 13 ст. 12 (в ред. ФЗ от 19.12.2016 N 444-ФЗ), не изменяются.
12. Максимальный размер ежемесячной страховой выплаты не может превышать 72 290,4 рубля.
(в ред. Федерального закона от 19.12.2016 N 444-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
При назначении страховых выплат застрахованному по нескольким страховым случаям ограничение максимальным размером применяется к общей сумме страховой выплаты.
При назначении страховых выплат лицам, имеющим право на их получение в связи со смертью застрахованного, ограничение максимальным размером применяется к общей сумме страховых выплат, назначенных в связи со смертью застрахованного.
(п. 12 введен Федеральным законом от 07.07.2003 N 118-ФЗ)
13. Установленный пунктом 12 настоящей статьи максимальный размер ежемесячной страховой выплаты подлежит индексации один раз в год с 1 февраля текущего года исходя из индекса роста потребительских цен за предыдущий год. Коэффициент индексации определяется Правительством Российской Федерации.
(п. 13 введен Федеральным законом от 19.12.2016 N 444-ФЗ)
Статья 11. Размер единовременной страховой выплаты
Статья 13. Освидетельствование, переосвидетельствование застрахованного учреждением медико-социальной экспертизы
Всего лишь степени двойки
И. Акулич «Квант» №2, 2012
Давайте рассмотрим последовательность чисел, первое из которых равно 1, а каждое последующее вдвое больше: 1, 2, 4, 8, 16, … Используя показатели степени, ее можно записать в эквивалентном виде: 20, 21, 22, 23, 24, . .. Называется она вполне ожидаемо: последовательность степеней двойки. Казалось бы, ничего выдающегося в ней нет — последовательность как последовательность, не лучше и не хуже других. Тем не менее, она обладает весьма примечательными свойствами.
Несомненно, многие читатели встречали ее в классической истории об изобретателе шахмат, который попросил у правителя в награду за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, всё время удваивая число зерен. Понятно, что суммарное их количество равно
S = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + … + 263. (1)
Но так как эта сумма неимоверно велика и во много раз превосходит годовой урожай зерновых по всему миру, вышло, что мудрец ободрал правителя как липку.1
Однако зададимся сейчас другим вопросом: как с наименьшими затратами труда подсчитать величину S? Обладатели калькулятора (или, паче того, компьютера) вполне могут за обозримое время выполнить перемножения, а затем сложить полученные 64 числа, получив ответ: 18 446 744 073 709 551 615. А поскольку объем вычислений немалый, то и вероятность ошибки весьма велика.
Кто похитрей, могут углядеть в этой последовательности геометрическую прогрессию. Не знакомые же с этим понятием (или те, кто попросту забыл стандартную формулу суммы геометрической прогрессии) могут использовать следующие рассуждения. Давайте-ка умножим обе части равенства (1) на 2. Так как при удвоении степени двойки ее показатель увеличивается на 1, то получим
2S = 21 + 22 + 23 + 24 + … + 264. (2)
Теперь из (2) вычтем (1). В левой части, понятное дело, получится 2S – S = S. В правой же части произойдет массовое взаимное уничтожение почти всех степеней двойки — от 21 до 263 включительно, и останется лишь 264 – 20 = 264 – 1. Итак:
S = 264 – 1.
Что ж, выражение заметно упростилось, и теперь, имея калькулятор, позволяющий возводить в степень, можно найти значение этой величины без малейших проблем.
А если и калькулятора нет — как быть? Перемножать в столбик 64 двойки? Еще чего не хватало! Опытный инженер или математик-прикладник, для которого главный фактор — время, сумел бы быстро оценить ответ, т.е. найти его приближенно с приемлемой точностью. Как правило, в быту (да и в большинстве естественных наук) вполне допустима погрешность в 2–3%, а если она не превосходит 1% — то это просто великолепно! Оказывается, подсчитать наши зерна с такой погрешностью можно вообще без калькулятора, и всего за несколько минут. Как? Сейчас увидите.
Итак, надо возможно точней найти произведение 64 двоек (единицу в силу ее ничтожности отбросим сразу). Разобьем их на отдельную группу из 4 двоек и еще на 6 групп по 10 двоек. Произведение двоек в отдельной группе равно 24 = 16. А произведение 10 двоек в каждой из остальных групп равно 210 = 1024 (убедитесь, кто сомневается!). Но 1024 — это около 1000, т.е. 103. Поэтому S должно быть близко к произведению числа 16 на 6 чисел, каждое из которых равно 103, т. е. S ≈ 16·1018 (ибо 18 = 3·6). Правда, погрешность здесь все же великовата: ведь 6 раз при замене 1024 на 1000 мы ошибались в 1,024 раза, а всего мы ошиблись, как легко видеть, в 1,0246 раз. Так что теперь — дополнительно перемножать 1,024 шесть раз само на себя? Нет уж, обойдемся! Известно, что для числа х, которое во много раз меньше 1, с высокой точностью справедлива следующая приближенная формула: (1 + x)n ≈ 1 + xn.
Поэтому 1,0246 = (1 + 0,24)6≈ 1 + 0,24·6 = 1,144. Посему надо найденное нами число 16·1018 умножить на число 1,144, в результате чего получится 18 304 000 000 000 000 000, а это отличается от правильного ответа менее чем на 1%. Чего мы и добивались!
В данном случае нам крупно повезло: одна из степеней двойки (а именно — десятая) оказалась весьма близка к одной из степеней десятки (а именно — третьей). Это позволяет нам быстро оценивать значение любой степени двойки, не обязательно 64-й. Среди степеней других чисел подобное встречается нечасто. Например, 510 отличается от 107 также в 1,024 раза, но… в меньшую сторону.2 Впрочем, это того же поля ягода: поскольку 210·510 = 1010, то во сколько раз 210превосходит 103, во столько же раз 510меньше, чем 107.
Другая интересная особенность рассматриваемой последовательности заключается в том, что любое натуральное число можно построить из различных степеней двойки, причем единственным способом. Например, для номера текущего года имеем
2012 = 22 + 23 + 24 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210.
Доказать эти возможность и единственность не составляет особого труда. Начнем с возможности. Пусть нам надо представить в виде суммы различных степеней двойки некоторое натуральное число N. Сначала запишем его в виде суммы N единиц. Так как единица — это 20, то первоначально N есть сумма одинаковых степеней двойки. Затем начнем объединять их по парам. Сумма двух чисел, равных 20, — это 21, так что в результате получится заведомо меньшее количество слагаемых, равных 21, и, возможно, одно число 20, если ему не нашлось пары. Далее попарно объединяем одинаковые слагаемые 21, получая еще меньшее количество чисел 22 (здесь тоже возможно появление непарной степени двойки 21). Затем снова объединяем равные слагаемые попарно, и так далее. Рано или поздно процесс завершится, ибо количество одинаковых степеней двойки после каждого объединения уменьшается. Когда оно станет равным 1 — дело кончено. Осталось сложить все получившиеся непарные степени двойки — и представление готово.
Что касается доказательства единственности представления, то здесь хорошо подходит метод «от противного». Пусть одно и то же число N удалось представить в виде двух наборов различных степеней двойки, которые не полностью совпадают (т. е. имеются степени двойки, входящие в один набор, но не входящие в другой, и наоборот). Для начала отбросим все совпадающие степени двойки из обоих наборов (если таковые имеются). Получатся два представления одного и того же числа (меньшего или равного N) в виде суммы различных степеней двойки, причем все степени в представлениях различны. В каждом из представлений выделим наибольшую степень. В силу изложенного выше, для двух представлений эти степени различны. То представление, для которого эта степень больше, назовем первым, другое — вторым. Итак, пусть в первом представлении наибольшая степень равна 2m, тогда во втором она, очевидно, не превышает 2m–1. Но поскольку (и мы с этим уже сталкивались выше, подсчитывая зерна на шахматной доске) справедливо равенство
2m = (2m–1 + 2m–2 + . .. + 20) + 1,
то 2mстрого больше суммы всех степеней двойки, не превосходящих 2m–1. По этой причине уже наибольшая степень двойки, входящая в первое представление, наверняка больше суммы всех степеней двойки, входящих во второе представление. Противоречие!
Фактически мы только что обосновали возможность записи чисел в двоичной системе счисления. Как известно, в ней используются лишь две цифры — ноль и единица, и каждое натуральное число записывается в двоичной системе единственным способом (например, упомянутое выше 2012 — как 11 111 011 100). Если пронумеровать разряды (двоичные цифры) справа налево, начиная с нуля, то номера тех разрядов, в которых стоят единицы, как раз и будут показателями степеней двоек, входящих в представление.3
Менее известно следующее свойство множества целых неотрицательных степеней двойки. Давайте некоторым из них произвольным образом присвоим знак «минус», т. е. из положительных сделаем отрицательными. Единственное требование — чтобы в результате и положительных, и отрицательных чисел оказалось бесконечное количество. Например, можно присвоить знак «минус» каждой пятой степени двойки или, допустим, оставить положительными только числа 210, 2100, 21000, и так далее — вариантов здесь сколько угодно.
Как ни удивительно, но любое целое число можно (и притом единственным способом) представить в виде суммы различных слагаемых нашей «положительно-отрицательной» последовательности.4 И доказать это не очень-то сложно (например, индукцией по показателям степеней двоек). Главная идея доказательства — наличие сколь угодно больших по абсолютной величине как положительных, так и отрицательных слагаемых. Попробуйте выполнить доказательство сами.
Интересно понаблюдать за последними цифрами членов последовательности степеней двойки. Так как каждое последующее число последовательности получается удвоением предыдущего, то последняя цифра каждого из них полностью определяется последней цифрой предыдущего числа. А так как различных цифр ограниченное количество, последовательность последних цифр степеней двойки просто обязана быть периодической! Длина периода, естественно, не превышает 10 (поскольку именно столько цифр мы используем), но это сильно завышенное значение. Попробуем оценить его, не выписывая пока саму последовательность. Ясно, что последние цифры всех степеней двойки, начиная с 21, четные. Кроме того, среди них не может быть нуля — потому что число, оканчивающееся нулем, делится на 5, в чем заподозрить степени двойки никак нельзя. А так как четных цифр без нуля имеется всего четыре, то и длина периода не превосходит 4.
Проверка показывает, что так оно и есть, причем периодичность проявляется почти сразу: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … — в полном соответствии с теорией!
Не менее успешно можно оценить и длину периода последней пары цифр последовательности степеней двойки. Так как все степени двойки, начиная с 22, делятся на 4, то и числа, образованные их последними двумя цифрами, делятся на 4. Не более чем двузначных чисел, делящихся на 4, имеется всего 25 (для однозначных чисел предпоследней цифрой считаем ноль), но из них надо выбросить пять чисел, оканчивающихся нулем: 00, 20, 40, 60 и 80. Так что период может содержать не более 25 – 5 = 20 чисел. Проверка показывает, что так и есть, начинается период с числа 22 и содержит пары цифр: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, а затем опять 04 и так далее.
Аналогично можно доказать, что длина периода последних m цифр последовательности степеней двойки не превышает 4·5m–1 (более того — на самом деле она равна 4·5m–1, но доказать это значительно сложнее).
Итак, на последние цифры степеней двойки наложены довольно жесткие ограничения. А как насчет первых цифр? Здесь ситуация практически противоположная. Оказывается, для любого набора цифр (первая из которых — не ноль) найдется степень двойки, начинающаяся с этого набора цифр. И таких степеней двойки бесконечно много! Например, существует бесконечное количество степеней двойки, начинающихся с цифр 2012 или, скажем, 3 333 333 333 333 333 333 333.
А если рассмотреть только одну самую первую цифру различных степеней двойки — какие значения она может принимать? Нетрудно убедиться, что любые — от 1 до 9 включительно (нуля среди них, естественно, нет). Но какие из них встречаются чаще, а какие реже? Как-то сразу не видно причин, по которым одна цифра должна встречаться чаще другой. Однако более глубокие размышления показывают, что как раз равной встречаемости цифр ожидать не приходится. Действительно, если первая цифра какой-либо степени двойки есть 5, 6, 7, 8 или 9, то первая цифра следующей за ней степени двойки будет обязательно единицей! Поэтому должен иметь место «перекос», по крайней мере, в сторону единицы. Следовательно, вряд ли и остальные цифры будут «равнопредставленными».
Практика (а именно — прямой компьютерный расчет для первых нескольких десятков тысяч степеней двойки) подтверждает наши подозрения. Вот какова относительная доля первых цифр степеней двойки с округлением до 4 знаков после запятой:
Как видим, с ростом цифр эта величина убывает (и потому та же единица примерно в 6,5 раз чаще бывает первой цифрой степеней двойки, чем девятка). Как ни покажется странным, но практически такое же соотношение количеств первых цифр будет иметь место почти для любой последовательности степеней — не только двойки, но, скажем, и тройки, пятерки, восьмерки и вообще почти любого числа, в том числе и нецелого (исключение составляют лишь некоторые «особые» числа). Причины этого весьма глубоки и непросты, и для их уяснения надо знать логарифмы. Для тех, кто с ними знаком, приоткроем завесу: оказывается, относительная доля степеней двойки 5, десятичная запись которых начинается с цифры F (для F = 1, 2, …, 9), составляет lg (F + 1) – lg (F), где lg — так называемый десятичный логарифм, равный показателю степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.6
Используя упомянутую выше связь между степенями двойки и пятерки, А. Канель обнаружил интересное явление. Давайте из последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, …) выберем несколько цифр подряд и запишем их в обратном порядке. Оказывается, эти цифры непременно встретятся тоже подряд, начиная с некоторого места, в последовательности первых цифр степеней пятерки.7
Степени двойки также являются своеобразным «генератором» для производства широко известных совершенных чисел, которые равны сумме всех своих делителей, за исключением себя самого. Например, у числа 6 четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Отбросим тот, который равен самому числу 6. Осталось три делителя, сумма которых как раз равна 1 + 2 + 3 = 6. Поэтому 6 — совершенное число.
Для получения совершенного числа возьмем две последовательные степени двойки: 2n–1 и 2n. Уменьшим большую из них на 1, получим 2n – 1. Оказывается, если это — простое число, то, домножив его на предыдущую степень двойки, мы образуем совершенное число 2n–1 (2n – 1). Например, при п = 3 получаем исходные числа 4 и 8. Так как 8 – 1 = 7 — простое число, то 4·7 = 28 — совершенное число.8 Более того — в свое время Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют именно такой вид. Нечетные совершенные числа пока не обнаружены (и мало кто верит в их существование).
Тесную связь имеют степени двойки с так называемыми числами Каталана, последовательность которых имеет вид 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429… Они часто возникают при решении различных комбинаторных задач. Например, сколькими способами можно разбить выпуклый n-угольник на треугольники непересекающимися диагоналями? Всё тот же Эйлер выяснил, что это значение равно (n – 1)-му числу Каталана (обозначим его Kn–1), и он же выяснил, что Kn = Kn–1·(4n – 6)/n. Последовательность чисел Каталана имеет множество любопытных свойств, и одно из них (как раз связанное с темой этой статьи) заключается в том, что порядковые номера всех нечетных чисел Каталана являются степенями двойки!
Степени двойки нередко встречаются в различных задачах, причем не только в условиях, но и в ответах. Возьмем, например, популярную когда-то (да и поныне не забытую) Ханойскую башню. Так называлась игра-головоломка, придуманная в XIX веке французским математиком Э. Люка. Она содержит три стержня, на один из которых надето n дисков с отверстием в середине каждого. Диаметры всех дисков различны, и они расположены в порядке убывания снизу вверх, т. е. самый большой диск — внизу (см. рисунок). Получилась как бы башня из дисков.
Требуется перенести эту башню на другой стержень, соблюдая такие правила: перекладывать диски строго по одному (снимая верхний диск с любого стержня) и всегда класть только меньший диск на больший, но не наоборот. Спрашивается: какое наименьшее число ходов для этого потребуется? (Ходом мы называем снятие диска с одного стержня и надевание его на другой. ) Ответ: оно равно 2n – 1, что легко доказывается по индукции.
Пусть для n дисков потребное наименьшее число ходов равно Xn. Найдем Xn+1. В процессе работы рано или поздно придется снимать самый большой диск со стержня, на который первоначально были надеты все диски. Так как этот диск можно надевать только на пустой стержень (иначе он «придавит» меньший диск, что запрещено), то все верхние n дисков придется предварительно перенести на третий стержень. Для этого потребуется не меньше Xn ходов. Далее переносим наибольший диск на пустой стержень — вот еще один ход. Наконец, чтобы сверху его «притиснуть» меньшими n дисками, опять потребуется не меньше Xn ходов. Итак, Xn+1 ≥ Xn+ 1 + Xn= 2Xn + 1. С другой стороны, описанные выше действия показывают, как можно справиться с задачей именно 2Xn + 1 ходами. Поэтому окончательно Xn+1 =2Xn + 1. Получено рекуррентное соотношение, но для того чтобы его привести к «нормальному» виду, надо еще найти X1. Ну, это проще простого: X1= 1 (меньше просто не бывает!). Не составляет труда, основываясь на этих данных, выяснить, что Xn = 2n – 1.
Вот еще одна интересная задача:
Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел.
Давайте проверим сначала наименьшие числа. Ясно, что число 1 в указанном виде непредставимо. Зато все нечетные, которые больше 1, представить, конечно, можно. В самом деле, любое нечетное число, большее 1, можно записать как 2k + 1 (k — натуральное), что есть сумма двух последовательных натуральных чисел: 2k + 1 = k + (k + 1).
А как обстоят дела с четными числами? Легко убедиться, что числа 2 и 4 нельзя представить в требуемом виде. Может, и для всех четных чисел так? Увы, следующее же четное число опровергает наше предположение: 6 = 1 + 2 + 3. Зато число 8 опять не поддается. Правда, следующие числа вновь уступают натиску: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, а вот 16 — вновь непредставимо.
Что ж, накопленная информация позволяет сделать предварительные выводы. Обратите внимание: не удалось представить в указанном виде только степени двойки. Верно ли это для остальных чисел? Оказывается, да! В самом деле, рассмотрим сумму всех натуральных чисел от m до n включительно. Так как всего их, по условию, не меньше двух, то n > m. Как известно, сумма последовательных членов арифметической прогрессии (а ведь именно с ней мы имеем дело!) равна произведению полусуммы первого и последнего членов на их количество. Полусумма равна (n + m)/2, а количество чисел равно n – m + 1. Поэтому сумма равна (n + m)(n – m + 1)/2. Заметим, что в числителе находятся два сомножителя, каждый из которых строго больше 1, и при этом четность их — различна. Выходит, что сумма всех натуральных чисел от m до n включительно делится на нечетное число, большее 1, и потому не может быть степенью двойки. Так что теперь понятно, почему не удалось представить степени двойки в нужном виде.
Осталось убедиться, что не степени двойки представить можно. Что касается нечетных чисел, то с ними мы уже разобрались выше. Возьмем какое-либо четное число, не являющееся степенью двойки. Пусть наибольшая степень двойки, на которую оно делится, это 2a (a — натуральное). Тогда если число поделить на 2a, получится уже нечетное число, большее 1, которое мы запишем в знакомом виде — как 2k + 1 (k — тоже натуральное). Значит, в целом наше четное число, не являющееся степенью двойки, равно 2a (2k + 1). А теперь рассмотрим два варианта:
2a+1 > 2k + 1. Возьмем сумму 2k + 1 последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно 2a. Легко видеть, что тогда наименьшее из них равно 2a – k, а наибольшее равно 2a + k, причем наименьшее (и, значит, все остальные) — положительное, т. е. действительно натуральное. Ну, а сумма, очевидно, составляет как раз 2a(2k + 1).
2a+1 < 2k + 1. Возьмем сумму 2a+1 последовательных натуральных чисел. Здесь нельзя указать среднее число, ибо количество чисел четное, но указать пару средних чисел можно: пусть это числа k и k + 1. Тогда наименьшее из всех чисел равно k + 1 – 2a (и тоже положительное!), а наибольшее равно k + 2a. Сумма их тоже равна 2a(2k + 1).
Вот и всё. Итак, ответ: непредставимые числа — это степени двойки, и только они.
А вот еще одна задача (впервые ее предложил В. Произволов, но в несколько иной формулировке):
Садовый участок окружен сплошным забором из N досок. Согласно приказу тети Полли Том Сойер белит забор, но по собственной системе: продвигаясь всё время по часовой стрелке, сначала белит произвольную доску, затем пропускает одну доску и белит следующую, затем пропускает две доски и белит следующую, затем пропускает три доски и белит следующую, и так далее, каждый раз пропуская на одну доску больше (при этом некоторые доски могут быть побелены несколько раз — Тома это не смущает).
Том считает, что при такой схеме рано или поздно все доски будут побелены, а тетя Полли уверена, что хотя бы одна доска останется непобеленной, сколько бы Том ни работал. При каких N прав Том, а при каких — тетя Полли?
Описанная система побелки представляется довольно хаотичной, поэтому первоначально может показаться, что для любого (или почти любого) N каждой доске когда-нибудь достанется своя доля известки, т. е., в основном, прав Том. Но первое впечатление обманчиво, потому что на самом деле Том прав только для значений N, являющихся степенями двойки. Для остальных N найдется доска, которая так и останется навеки непобеленной. Доказательство этого факта довольно громоздко (хотя, в принципе, несложно). Предлагаем читателю выполнить его самому.
Вот каковы они — степени двойки. С виду — проще простого, а как копнешь… И затронули мы здесь далеко не все удивительные и загадочные свойства этой последовательности, а лишь те, что бросились в глаза. Ну, а читателю предоставляется право самостоятельно продолжить исследования в этой области. Несомненно, они окажутся плодотворными.
1 Впрочем, действительно ли правитель согласился выплатить требуемое, история умалчивает. Более вероятно, что для мудреца все закончилось длительным тюремным заключением по статье «за наглость». 2 Для любопытных вот еще одно хорошее совпадение: 69 = 10 077 696, в котором относительное расхождение с ближайшей степенью десятки всего около 0,8%, что примерно втрое меньше, чем для 210. 3 Повсеместно используемая десятичная система устроена по такому же принципу. Только вместо степеней двойки используются степени десятки (потому она так и называется), а цифры в записи показывают, в каком количестве очередную степень десятки надо прибавлять. 4 При этом число 0 (ноль) представляется как полное отсутствие слагаемых (т.е., формально говоря, нулевое их количество). 5 И не только двойки, как было отмечено ранее! 6 Жаждущие подробностей могут прочесть статью В. Болтянского «Часто ли степени двойки начинаются с единицы?» («Квант» №5 за 1978 г.), а также статью В. Арнольда «Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира» («Квант» №1 за 1998 г.). 7 См. задачу М1599 из «Задачника «Кванта» («Квант» №6 за 1997 г.). 8 В настоящее время известны 43 совершенных числа, наибольшее из которых равно 230402456(230402457 – 1). Оно содержит свыше 18 миллионов цифр.
Доказательство того, что число в нулевой степени равно единице
You are here: Главная → Статьи → Доказательство нулевой степени
Почему (-3) 0 = 1? Как это доказано?
Как в уроке про минус и ноль
экспоненты, вы можете посмотреть на
следующую последовательность и спросите, что по логике будет дальше:
Вы можете использовать тот же шаблон и для других чисел. Как только ваш ребенок обнаружит, что правило для этой последовательности состоит в том, что на каждом шаге вы делите на -3, тогда следующим логическим шагом будет то, что (-3) 0 = 1.
В видео ниже показана та же идея: обучение нулевому показателю степени, начиная с шаблона. Это обосновывает правило и делает его логичным, а не просто «объявленной» математикой без доказательств. В видео также показана идея доказательства, поясняемая ниже: мы можем умножать степени одного и того же основания и делать из этого вывод, каким должно быть число в нулевой степени.
Другая идея для доказательства состоит в том, чтобы сначала обратить внимание на следующее правило умножения ( n любое
целое число):
n 3 · n 4 = ( n · n · n ) · (н · н · н · н)
= N 7
N 6 · N 2 = ( N · N · N · N · n · n) · ( n · n) = n 8
Вы заметили ярлык? Для любых целых чисел x и y вы можете просто добавить
показатели:
n x · n y = ( n · n · n ·…· т · т · т) · (н ·. ..· н)
= п х + у
Математика логична, и ее правила работают во всех случаях (утверждается, что теоремы применимы «для любого целого числа n » или «для всех целых чисел»). Итак, предположим, что мы не знаем, что такое (-3) 0 . Чем бы ни был (-3) 0 , если он подчиняется приведенному выше правилу, то
(-3) 7 · (-3) 0 = (-3) 7 + 0
Другими словами,
(-3) 7 · (-3) 0 = (-3) 7
(-3) 3 · (-3) 0 = (-3) 3 + 0
Другими словами,
(-3) 3 · (-3) 0 = (-3) 3
(-3) 15 · (-3) 0 = (-3) 15 +
0
Другими словами,
(-3) 15 · (-3) 0 = (-3) 15
…и так далее для всех возможных показателей. На самом деле мы можем написать, что (-3) x · (-3) 0 = (-3) x , где x — любое целое число.
Поскольку мы предполагаем, что еще не знаем, что такое (-3) 0 , давайте заменим его буквой P. Теперь посмотрите на уравнения, которые мы нашли выше. Зная то, что вы знаете о свойствах умножения, каким числом может быть P?
(-3) 7 · P = (-3) 7
(-3) 3 · P = (-3) 3
(-3) 15 · Р = (-3) 15
Другими словами… какое единственное число, при умножении на которое ничего не меняется? 🙂
Вопрос. В чем разница между -1 в нулевой степени и (-1) в
нулевая мощность? Будет ли ответ 1 для обоих?
Пример 1: -1 0 = ____ Пример 2: (-1) 0 = ___
Ответ: Как уже объяснялось, ответ на (-1) 0 равно 1, так как мы возводим число -1 (минус 1) в нулевую степень. Однако в случае -1 0 отрицательный знак не означает отрицательное число, а вместо этого означает , противоположное числу следующего. Итак, мы сначала вычисляем 1 0 , а затем берем обратное значение, что дает -1.
Другой пример: в выражении -(-3) 2 первый отрицательный знак означает, что вы берете противоположное остальной части выражения. Так как (-3) 2 = 9, затем -(-3) 2 = -9.
Вопрос. Почему ноль с нулевым показателем степени выдает ошибку?? Объясните, пожалуйста, почему его нет. Другими словами, что такое 0 0 ?
Ответ: Степень от нуля до нуля часто называют «неопределенной формой», поскольку она может иметь несколько различных значений.
Поскольку x 0 равно 1 для всех чисел x, отличных от 0, было бы логично определить, что 0 0 = 1.
Но мы могли бы также думать о том, что 0 0 имеет значение 0, потому что ноль в любой степени (кроме нулевой степени) равен нулю.
Кроме того, логарифм 0 0 будет равен 0 · бесконечности, что само по себе является неопределенной формой. Так что законы логарифмов с ним не работают.
Из-за этих проблем степень от нуля до нуля обычно считается неопределенной.
Однако, если необходимо определить степень от нуля до нуля, чтобы иметь какое-то значение, 1 является наиболее логичным определением для его значения. Это может быть «удобно», если вам нужен какой-то результат, работающий во всех случаях (например, биномиальная теорема).
См. также Что такое 0 в 0 степени? от доктора математики.
В чем разница между степенью и показателем степени? Вартан
Показатель степени — это маленькое возвышенное число. «Степень» — это все: базовое число, возведенное в некоторый показатель, или значение (ответ), которое вы получите, если вычислите число, возведенное в некоторый показатель. Например, 8 — это степень (от 2), поскольку 2 3 = 8. В этом случае 3 — показатель степени, а 2 3 (все выражение) — степень.
Поделись этим калькулятором и Страница 9б где a — число или десятичное число, такое что абсолютное значение a больше или равно единице и меньше десяти или 1 ≤ | и | < 10. b – степень числа 10, необходимая для того, чтобы научная запись была математически эквивалентна исходному числу.
Перемещайте десятичную точку в вашем номере, пока слева от десятичной точки не останется только одна ненулевая цифра. Полученное десятичное число равно и .
Подсчитайте, на сколько знаков вы передвинули десятичную точку. Это число b .
Если вы переместите десятичную запятую влево b будет положительным. Если вы переместите десятичную дробь вправо b будет отрицательным. Если не нужно было перемещать десятичную дробь b = 0 .
Напишите свой номер научной записи как
9b и читать как « a умножить на 10 в степени b «.
Удалять нули в конце, только если они изначально стояли слева от десятичной точки.
Пример: преобразование 357 096 в экспоненциальную запись
Переместите десятичную дробь на 5 знаков влево, чтобы получить 3,57096
а = 3,57096
Мы переместили десятичную дробь влево, чтобы b было положительным
9-4 = 3,456 x 0,0001 = 0,0003456
Дополнительные ресурсы
См.
Калькулятор научной нотации для сложения, вычитания, умножения и деления чисел в научной нотации или E-нотации.
Для округления значащих цифр используйте
Калькулятор значимых цифр.
Чтобы увидеть, насколько стандартная форма похожа на экспоненциальную запись, посетите
Калькулятор стандартной формы.
90 (ноль в нулевой степени) равно? Почему математики и школьные учителя расходятся во мнениях?
Умница:
Я знаю!
= = = = .
Теперь просто подставляем x=0, и мы видим, что ноль к нулю равен единице!
Умный ученик:
Нет, ты не прав! Вам не разрешено делить на ноль, что вы и сделали на последнем шаге. Вот как это сделать:
= = = =
, что верно, поскольку любое произведение, умноженное на 0, равно 0. Это означает, что
= .
Самый умный ученик :
Это тоже не работает, потому что если тогда
будет
, то ваш третий шаг также включает в себя деление на ноль, что недопустимо! Вместо этого мы можем подумать о функции и посмотреть, что произойдет, когда x>0 станет меньше. Имеем:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Таким образом, поскольку = 1, это означает, что = 1. не доказывает этого. Переменная x, имеющая значение, близкое к нулю, отличается от переменной x, имеющей значение точно равное нулю. Получается, что не определено. не имеет значения.
Учитель исчисления:
Для всех у нас есть
.
Следовательно,
То есть, когда x становится сколь угодно близким к (но остается положительным), остается равным .
С другой стороны, для действительных чисел y, таких что , мы имеем
.
Следовательно,
То есть, когда y становится произвольно близким к , остается на .
Таким образом, мы видим, что функция имеет разрыв в точке . В частности, когда мы приближаемся к (0,0) по линии с x=0, мы получаем
, но когда мы приближаемся к (0,0) по линии с y=0 и x>0, мы получаем
.
Таким образом, значение будет зависеть от направления, в котором мы берем предел. Это означает, что нет никакого способа определить, что сделает функцию непрерывной в точке .
Математик: Ноль в нулевой степени равен единице. Почему? Потому что так сказали математики. Нет, это правда.
Рассмотрим задачу определения функции для натуральных чисел y и x. Существует ряд определений, которые все дают одинаковые результаты. Например, одна идея состоит в том, чтобы использовать для нашего определения:
:=
, где y повторяется x раз. В этом случае, когда x равен единице, y повторяется только один раз, поэтому мы получаем
= .
Однако это определение естественным образом распространяется от целых положительных чисел до целых неотрицательных, так что, когда x равно нулю, y повторяется ноль раз, что дает
=
, что верно для любого y. Следовательно, когда y равно нулю, у нас есть
.
Смотрите, мы только что это доказали! Но это только для одного возможного определения . Что, если мы воспользуемся другим определением? Например, предположим, что мы решили определить как
:= .
На словах это означает, что значение равно тому, что приближается по мере того, как действительное число z становится все меньше и меньше, приближаясь к значению x произвольно близко.
[Пояснение: читатель спросил, как это возможно, что мы можем использовать в нашем определении , которое кажется рекурсивным. Причина, по которой это нормально, заключается в том, что мы работаем здесь только с , и все согласны с тем, что в этом случае равно. По сути, мы используем известные случаи для построения функции, имеющей значение для более сложного случая x=0 и y=0.]
Интересно, что, используя это определение, мы получим
= = =
Следовательно, мы найдем это, а не . Конечно, это определение, которое мы только что использовали, кажется довольно неестественным, но оно согласуется с представлением здравого смысла о том, что означает для всех положительных действительных чисел x и y, и сохраняет непрерывность функции при приближении к x = 0 и y. =0 по определенной линии.
Итак, какое из этих двух определений (если любое из них) верное? Что такое на самом деле ? Что ж, для x>0 и y>0 мы знаем, что мы подразумеваем под . Но когда x=0 и y=0, формула не имеет очевидного смысла. Значение будет зависеть от нашего предпочтительного выбора определения того, что мы подразумеваем под этим утверждением, и нашей интуиции о том, что означает для положительных значений, недостаточно, чтобы сделать вывод, что это означает для нулевых значений.
Но если это так, то как математики могут это утверждать? Ну, просто потому, что это полезно. Некоторые очень важные формулы становятся менее элегантными для записи, если вместо этого мы используем или говорим, что это не определено. Например, рассмотрим биномиальную теорему, которая утверждает, что:
=
где означает биномиальные коэффициенты.
Теперь, установив a=0 с обеих сторон и предположив, что мы получаем
= =
=
=
=
, где я использовал это для k>0, а это . Так получилось, что правая часть имеет магический фактор. Следовательно, если мы не используем, то биномиальная теорема (как написано) не выполняется, когда a = 0, потому что тогда не равно .
Если бы математики использовали или сказали, что это не определено, тогда биномиальная теорема продолжала бы выполняться (в той или иной форме), хотя и не так, как написано выше. Однако в этом случае теорема была бы более сложной, потому что ей пришлось бы обрабатывать частный случай терма, соответствующего k = 0. Мы получаем элегантность и простоту, используя .
Есть еще несколько причин, по которым использование предпочтительнее, но они сводятся к тому, что этот выбор более полезен, чем альтернативные варианты, приводит к более простым теоремам или кажется более «естественным» для математиков. Выбор не «правильный», он просто приятный.
Эта запись была размещена в — Математик, Математика, Философский. Добавьте постоянную ссылку в закладки.
Как набирать символ «В силу» на клавиатуре
В сегодняшней статье вы узнаете, как использовать некоторые сочетания клавиш для ввода любых В силу символа где угодно, например, в Word/Excel/Google Docs, используя Windows или Mac.
Приведенные ниже практические шаги покажут вам все, что вам нужно знать.
Примечание. В этом руководстве я покажу вам, как вводить символ степени двойки (²). Идея та же, что и для остальных экспонентов.
Связанный:
Как печатать отрицательные степени в Word
Лучший способ печатать степени в Word.
Содержание
Краткий справочник по силе символов
Чтобы ввести символ степени двойки на Mac, нажмите Option + сочетание клавиш 00B2 на клавиатуре. Для пользователей Windows просто нажмите клавишу Alt и введите 0178 с помощью цифровой клавиатуры, затем отпустите клавишу Alt.
В основном это идея набирать эти надстрочные символы. Таким образом, если вы хотите легко ввести любой из этих символов на клавиатуре, сначала определите альтернативный код этого конкретного символа и, удерживая клавишу Alt, введите альтернативный код с помощью цифровой клавиатуры. Однако не все альтернативные коды символов можно использовать, нажав клавишу Alt. Я покажу вам в ближайшее время. Просто продолжайте читать.
В таблице ниже показаны все альтернативные коды для в степени от 0 до 10 . Используйте приведенные ниже сочетания клавиш Alt Code, чтобы ввести любую экспоненту на клавиатуре.
Description
Symbol
Alt Code Shortcut
To the Power of 0
⁰
2070, Alt+X
To the Power of 1
¹
Alt+ 0185
В степени 2
²
Alt+0178
к мощности 3
³
ALT+0179
до мощности 4
⁴
2074, ALT+x
98
⁴
2074, ALT+x
98
⁴
. 2075, Alt+x
к мощности 6
⁶
2076, ALT+x
. из 8
⁸
2078, Alt+X
к мощности 9
⁹
2079, ALT+x
до мощности N
ⁿ
207F, ALT+X
ⁿ
207F, ALT+x
ⁿ
207F, alt+x
ⁿ
. Ярлыки кода работают только в Microsoft Word. И чтобы использовать эти сочетания клавиш, сначала введите код в Microsoft Word, выберите его и нажмите Alt+X на клавиатуре. Код будет преобразован в Силу символа.
В приведенном выше кратком руководстве приведены некоторые полезные сочетания клавиш и альтернативные коды для ввода любого надстрочного символа как в Windows, так и в Mac.
Для получения более подробной информации ниже приведены некоторые другие методы, которые вы также можете использовать для вставки этого символа в свою работу, например в документ Word или Excel.
Примечание. В следующих методах я покажу вам, как ввести степень двойки в качестве примера. Однако те же методы можно использовать для ввода или вставки других символов надстрочного индекса.
Как ввести «В силу символа» [текст] на клавиатуре
Microsoft Office предоставляет несколько способов ввода В силу символа или вставка символов, не имеющих специальных клавиш на клавиатуре.
В этом разделе я предоставлю вам различные методы, которые вы можете использовать для ввода или вставки этого и любого другого символа на вашем ПК, например, в MS Office (например, Word, Excel или PowerPoint) для пользователей Mac и Windows. .
Без лишних слов, приступим.
Использование альтернативного кода символа в степени 2 (только для Windows)
В степени 2 (²) Альтернативный код символа равен 0178 .
Несмотря на то, что эти символы не имеют специальных клавиш на клавиатуре, вы все равно можете набирать их на клавиатуре с помощью метода альтернативного кода. Для этого нажмите и удерживайте клавишу Alt, одновременно нажимая альтернативный код «степень двойки» (например, 0178 для ²) с помощью цифровой клавиатуры.
Используйте приведенную выше таблицу комбинаций To the Power of, чтобы ввести любой To the Power of на клавиатуре.
Этот метод работает только в Windows. И ваша клавиатура также должна иметь цифровую клавиатуру.
Ниже приводится разбивка шагов, которые вы можете предпринять, чтобы ввести To the Power of Sign на вашем ПК с Windows:
Поместите указатель вставки туда, где вам нужен текст To the Power of Symbol .
Нажмите и удерживайте одну из клавиш Alt на клавиатуре.
Удерживая нажатой клавишу Alt, нажмите В силу Альтернативный код символа ( 0178 для ² ). Вы должны использовать цифровую клавиатуру для ввода альтернативного кода. Если вы используете ноутбук без цифровой клавиатуры, этот метод может вам не подойти. На некоторых ноутбуках есть скрытая цифровая клавиатура, которую можно включить, нажав Fn+NmLk на клавиатуре.
Отпустите клавишу Alt после ввода кода Alt, чтобы вставить символ в документ.
Вот как вы можете ввести этот символ в Word, используя метод Alt Code.
Использование сочетания клавиш «В силу силы символа» (Mac и Windows)
Для пользователей Mac сочетание клавиш для символа степени двойки : Option + 00B2 . Для пользователей Windows используйте метод альтернативного кода, нажав клавишу [Alt] при вводе альтернативного кода символа, указанного в таблице выше.
Для ввода альтернативного кода необходимо использовать цифровую клавиатуру. Также убедитесь, что клавиша Num Lock включена.
Ниже приведена разбивка ярлыка To the Power of Symbol для Mac:
Прежде всего, поместите указатель вставки туда, где вам нужно ввести символ.
Теперь одновременно нажмите Option + 00B2 на клавиатуре, чтобы вставить символ.
Ниже приведена разбивка ярлыка To the Power of Symbol для Windows:
Поместите указатель вставки в нужное место.
Нажмите и удерживайте клавишу Alt
Удерживая нажатой клавишу Alt, введите 0178 с помощью цифровой клавиатуры, чтобы вставить символ.
Это шаги, которые вы можете использовать для ввода этого знака в Word или Excel.
Копировать и вставить В силу символов
Еще один простой способ добраться до Силы символов на любом ПК — использовать мой любимый метод: скопируйте и вставьте .
Все, что вам нужно сделать, это скопировать символ откуда-нибудь, например, с веб-страницы или карты символов для пользователей Windows, и перейти туда, где вам нужен символ (скажем, в Word или Excel), а затем нажать Ctrl+V, чтобы вставить.
Ниже приведен символ, который можно скопировать и вставить в документ Word. Просто выделите его и нажмите Ctrl+C, чтобы скопировать, переключитесь в Microsoft Word, поместите указатель вставки в нужное место и нажмите Ctrl+V, чтобы вставить.
X ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹
В качестве альтернативы просто нажмите кнопку копирования в начале этого поста.
Для пользователей Windows: выполните следующие инструкции, чтобы скопировать и вставить мощность символа с помощью диалогового окна карты символов.
Нажмите кнопку Start и найдите карту символов. Приложение «Карта символов» появится в результатах поиска, нажмите, чтобы открыть.
Появится диалоговое окно Карта символов. Нажмите, чтобы проверить Расширенный вид Установите флажок, чтобы развернуть диалоговое окно для дополнительных параметров.
В расширенном представлении введите Верхний индекс в поле поиска.
Теперь вы должны увидеть Власть символов в диалоговом окне карты персонажей. Теперь дважды щелкните его, чтобы выбрать. Либо нажмите кнопку Select .
После выбора символа двойным щелчком он должен появиться в поле Символ для копирования: , затем нажмите Копировать , чтобы скопировать символ.
Переключитесь на документ Microsoft Word или Excel, поместите указатель вставки в нужное место и нажмите Ctrl+V для вставки.
Вот как вы можете использовать диалоговое окно «Карта символов» для копирования и вставки любого символа на ПК с Windows.
Использование диалогового окна «Вставка символа»
Диалоговое окно «Вставка символа» представляет собой библиотеку символов, из которой вы можете вставить любой символ в документ Word всего несколькими щелчками мыши.
Выполните следующие действия, чтобы вставить этот символ (²) в Word или Excel с помощью диалогового окна вставки символа.
Откройте документ Word.
Щелкните, чтобы поместить указатель вставки туда, куда вы хотите вставить символ.
Перейдите на вкладку «Вставка».
В категории «Символы» щелкните раскрывающийся список «Символ» и выберите кнопку «Дополнительные символы».
Появится диалоговое окно Символ.
Чтобы легко найти В силу символа, введите 00B2 в поле кода символа в нижней части окна. После ввода этого кода символа появится выбранное значение В силу символа.
Теперь нажмите кнопку «Вставить», чтобы вставить символ в документ.
Закройте диалоговое окно.
Символ будет вставлен точно туда, куда вы поместили указатель вставки.
Это шаги, которые вы можете использовать, чтобы вставить этот символ в Word.
Вывод
Как видите, существует несколько различных методов, которые вы можете использовать для ввода To the Power of Sign в Microsoft Word.
Использование ярлыков для Windows и Mac является самым быстрым вариантом для этой задачи. Ярлыки всегда быстрые.
Большое спасибо за чтение этого блога.
Если у вас есть что сказать или задать вопросы относительно Силы Символ , пишите в комментариях.
Power 12″ T0 Сабвуфер DVC 4 Ом
Сабвуфер T0D412 имитирует характеристики и дизайн наших старших братьев серии Power. Наш 12-дюймовый T0 оснащен двумя звуковыми катушками с сопротивлением 4 Ом, среднеквадратичной мощностью 700 Вт и имеет решетку со встроенным декоративным кольцом.
Подробнее
1 Обзор
Найти дилера
ОбзорТехнологииТехнические характеристикиПоддержкаПроводка WizardBox Advisor Технология, которая увеличивает площадь поверхности конуса до 25%, поэтому он работает как сабвуфер гораздо большего размера. Корзина FlexFit не только выглядит соответствующе, но и обеспечивает чрезвычайную гибкость для экстремальных установок. значок Power Series, проверенный пытками!0010
КРАТКИЙ ОБЗОР ХАРАКТЕРИСТИК
Пылезащитный колпачок из анодированного алюминия
Бумажный конус, армированный кевларовым волокном
Высокотемпературная звуковая катушка с армирующей манжетой Nomex® из фильерной шнуровки
Каркас звуковой катушки из анодированного алюминия
Оптимизированная и согласованная магнитная геометрия и геометрия податливости
Оптимизированный полюсный наконечник и вентиляция крестовины
Свинцовая проволока из износостойкой мишуры с периодической прошивкой
Жесткая корзина из литого под давлением алюминия
Запатентованное изолированное цельнометаллическое входное пружинное клеммное соединение 8 AWG
1 год гарантии
Technologies
Klippel Verified
«> Klippel — это программа сертификации колонок, позволяющая нам поставлять самые лучшие сабвуферы.
Узнать больше
x
Klippel Verified
Klippel — это программа сертификации акустических систем, позволяющая нам поставлять самые лучшие сабвуферы.
CEA-2031
«> Мощность динамиков Rockford Fosgate соответствует отраслевым стандартам CEA-2031.
Узнать больше
x
CEA-2031
Мощность динамиков Rockford Fosgate соответствует отраслевым стандартам CEA-2031.
Прошитые провода из мишуры
Повышенная надежность и производительность за счет снижения усталости и возможного короткого замыкания.
Узнать больше
x
Прошитые провода из мишуры
Повышенная надежность и производительность за счет снижения усталости и возможного короткого замыкания.
Основа звуковой катушки из анодированного алюминия
</li>
</ol>
Solution… Rockford Fosgate subwoofers use aluminum formers or voice coils for their excellent heat dissipation and SPL capabilities unlike many other plastic substitutes.»> В сабвуферах Rockford Fosgate используются каркасы звуковых катушек из анодированного алюминия, обеспечивающие превосходное рассеивание тепла (до …
Узнать больше
x
Формирователи звуковых катушек из анодированного алюминия
«> В сабвуферах Rockford Fosgate используются каркасы звуковых катушек из анодированного алюминия, обеспечивающие превосходное рассеивание тепла (до 100° при полной мощности). В отличие от традиционных пластиковых заменителей, алюминий действует как радиатор, быстро рассеивая накопление тепла на звуковой катушке. Это позволяет сабвуферам оставаться прохладными в условиях высокого звукового давления.
VAST Surround — сабвуферы
Техника вертикального крепления объемного звучания значительно увеличивает эффективную площадь излучающего конуса сабвуфера до 25%.
Узнать больше
x
Объемный звук VAST — сабвуферы
Техника вертикального крепления объемного звучания значительно увеличивает эффективную площадь излучающего конуса сабвуфера до 25%.
Корзина FlexFit для сабвуфера
<div><br></div>»> Рама с прорезью позволяет точно настроить монтажное положение сабвуфера.
Узнать больше
x
Корзина FlexFit для сабвуфера
Рама с прорезью позволяет точно настроить положение установки сабвуфера.
Терминалы SWIFT™
Позволяет быстро конфигурировать звуковые катушки для последовательного или параллельного подключения.
Узнать больше
x
Терминалы SWIFT™
This removable impedance selection jumper also provides fused protection in severe overload conditions.»> Позволяет быстро настроить звуковые катушки для последовательного или параллельного подключения.
2011 Сабвуферы Power T0 DVC — инструкция по эксплуатации
Показать все темы базы знаний
Спросите наших экспертов
Напишите нам по электронной почте
Разрешение на возврат
Обратитесь к авторизованному дилеру Rockford Fosgate, у которого вы приобрели этот продукт. Если вам нужна дополнительная помощь, позвоните по номеру 1-800-669-9899 в службу поддержки клиентов Rockford. Вы должны получить RA# (номер разрешения на возврат), чтобы вернуть любой продукт в Rockford Fosgate. Вы несете ответственность за доставку продукта в Rockford.
Просмотр процесса
Подача претензии по гарантии
Процесс авторизации возврата
Сначала выполните диагностику
Прежде чем запрашивать RA, попытайтесь диагностировать сбой. Многие продукты, которые мы получаем, отправляются обратно без проблем, обычно из-за неправильной установки. Воспользуйтесь нашей базой знаний RFTECH:Knowledge Base для устранения неполадок.
Связаться со службой поддержки
Пожалуйста, позвоните нам в рабочее время по номеру 1-800-669-9899 (вариант № 1) и подготовьте следующую информацию:
Имя и фамилия с полным адресом доставки
Название продукта (T0D415)
Серийный номер (12 или 13 цифр)
Диагностика отказа (нет выхода, нет индикатора питания и т. д.)
Отсканированная копия оригинальной квитанции, отправленная по электронной почте на адрес [email protected]ckfordcorp. com (имя дилера, дата покупки и приобретенный товар должны быть разборчивы)
Кредитная/дебетовая карта (при оплате негарантийных претензий)
Никаких денежных переводов или чеков.
Инструкции по отправке
При отправке продукта на упаковке ДОЛЖНА быть указана следующая информация:
Номер RA Печатается вне коробки (как можно больше)
Копия оригинальной квитанции
Адрес доставки
Отправьте товар (предпочтительно UPS или FedEx) по следующему адресу:
Rockford/AJR International 300 Regency DR Glendale Heights, IL 60139 RA#:____________________________
Мастер подключения
Обратитесь к руководству пользователя вашего усилителя, чтобы узнать минимальное рекомендуемое сопротивление.
Схема подключения №1
Wiring Diagram #2
Wiring Diagram #3
Wiring Diagram #4
Wiring Diagram #5
Wiring Diagram #6
Wiring Diagram #7
Wiring Diagram #8
Wiring Diagram #9
Box Advisor. Моргантаун, Западная Виргиния, США; Квотербек «Канзас Джейхокс» Джалон Дэниелс (6) празднует победу над «Канзас Джейхокс» на стадионе «Маунтинир Филд» на миланском стадионе «Пушкар». Обязательный кредит: Бен Куин-USA TODAY Sports
Добро пожаловать на 2-ю неделю моего поста о силовом рейтинге Большой 12 – это была богатая событиями неделя в Большой 12, и я погрузился во все девять из них здесь:
1. Оклахома (2-0) 33, Кент Стэйт (0 -2) 3
На прошлой неделе: 2 Оклахома вторую неделю подряд справилась с задачей против более слабого соперника. Трансфер UCF Диллон Габриэль снова выглядел крепким, финишировав со счетом 21-28 на 296 ярдов и трех тачдаунов. Марвин Мимс набрал 163 ярда на приеме в игре, и Сунерс прокатились. Будет интересно посмотреть на эту команду, когда она столкнется с настоящим испытанием, которое должно скоро состояться. Их следующая игра выходит на гастроли *проверил заметки*, о. Небраска.
2. Штат Оклахома (2-0) 34, Штат Аризона (1-1) 17
На прошлой неделе: 3 Штат Оклахома следует за своими соперниками в штате после очередной победы над школой на меньшей конференции. Спенсер Сандерс управлял мячом 14 раз за день и выглядел комфортно. Это был легкий старт для «Ковбоев».
3. Штат Айова (2-0) 10, Айова (1-1) 7
На прошлой неделе: 5 Штат Айова наконец преодолел горб в соперничестве с Айовой, начав со счетом 2-0 в первом раз с 2012 года и выиграл свою первую игру против «Соколиных глаз» под руководством тренера Мэтта Кэмпбелла. Поскольку Огайо посетит Эймса в следующую субботу, импульс постепенно начнет катиться к первому матчу «Большой 12» дома против Бэйлора.
4. Штат Канзас (2-0) 40, Миссури 12
На прошлой неделе: 4 Штат Канзас одержал вторую победу подряд, открыв сезон, присоединившись к другим шести командам, чтобы сделать это на конференции. Если бы штат Канзас разгромил респектабельную программу, они бы удержали их впереди штата Айова. Тем не менее, «Уайлдкэтс» играли с одним из четырех бывших отказов Большой 12 (наряду с «Техас А&М», «Небраска» и «Колорадо»), группой, которая в тот день проиграла со счетом 0–4, проиграв «ВВС», «Аппалачи Стэйт» и «Южная Джорджия».
5. Бейлор (1-1) 20, BYU (2-0) 26 (F/2OT)
На прошлой неделе: 5 Бейлор был сбит в конце игры группой спортсменов из Бригама Янга. «Медведи» упустили возможности, PAT, который мог бы иметь значение, и уступили очки Cougars, что абсолютно снизило их шансы на победу. Каждый раз, когда вы позволяете бойцам из УБЯ набирать столько очков, вы понимаете, что вам нужно переоценить свои активы.
6. Техас (1-1) 19, Алабама (2-0) 20
Предыдущая неделя: 6 Техас проиграл свою первую игру в сезоне, уступив победный драйв сопернику за последние 90 секунд. Его фанаты, которые обливали себя напитками на протяжении всей четвертой четверти, наблюдали, как выездная команда реализовала победный удар в части стадиона в форме матки, чтобы закрепить победу. После двух игр «Лонгхорны» приближаются к своему рекорду 5-7 по сравнению с прошлым годом, но это означает всего лишь шесть побед.
7. TCU (2-0) 59, штат Тарлтон (1-1) 17
На прошлой неделе: 7 Я мог бы понизить рейтинг TCU за игру в Тарлтоне, но я этого не сделал. Макс Дагган бросил на 390 ярдов, и каким-то образом ни один бросок не достиг 100 ярдов. Распространение мяча вокруг или ярдов после проблемы с ловлей в Форт-Уэрте? Я позволю тебе решить.
8. Канзас (2-0) 55, Западная Вирджиния (0-2) 42 (ОТ)
На прошлой неделе: 8 Канзас СНОВА поднялся в рейтинге силы на этой неделе, начав 1-0 на втором месте Кампания Большой 12 под руководством главного тренера Лэнса Лейпольда. Это лучший старт, о котором «Джейхокс» могли мечтать в этом году, и у них еще впереди пара грозных матчей с «Хьюстоном» на выезде на следующей неделе, а через неделю — с командой «Дьюк» со счетом 2:0. Если Канзас продолжит побеждать, у меня не будет другого выбора, кроме как поставить их впереди Техаса, поскольку они были последней командой, которая обыграла Лонгхорнов на их собственной территории, пока другая программа не выиграла в Остине в субботу.
3 класс — деление, примеры и задачи на деление чисел и проверка.
Дата публикации: .
Задачи на тему: «Принципы, свойства и проверка результатов деления»
Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой. Скачать: Деление двузначного числа на однозначное (PDF)
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 3 класса Л.Г.Петерсон
М.И.Моро
Т.Е.Демидовой
Деление двухзначного числа на однозначное
1. Реши примеры.
21 : 7 =
27 : 9 =
32 : 4 =
45 : 9 =
49 : 7 =
56 : 8 =
36 : 6 =
64 : 8 =
63 : 3 =
35 : 5 =
42 : 6 =
25 : 5 =
36 : 9 =
27 : 3 =
72 : 8 =
18 : 3 =
36 : 3 =
91 : 7 =
15 : 5 =
10 : 10 =
10 : 2 =
81 : 9 =
9 : 3 =
50 : 10 =
2. Выполни деление и проверь результат умножением.
5. Запиши заданные предложения в виде числовых выражений и реши их.
3.1. К числу 27 прибавь частное чисел 64 и 8. 3.2. К числу 43 прибавь частное чисел 33 и 3. 3.3. Из числа 36 вычти частное чисел 45 и 9. 3.3. Из числа 89 вычти частное чисел 72 и 8.
Решение текстовых задач на деление
1. Необходимо разложить 56 кг пряников в 8 пакетов. Сколько кг поместится в один пакет?
2. Рабочие построили 3 метра стены. Для этого им потребовалось 63 кирпича. Сколько кирпичей необходимо для строительства 1 метра стены?
3. На новый год 3 классу раздали 99 конфет. Сколько конфет досталось каждому ученику, если в классе учится 11 детей?
4. Ваня, Сережа и Маша сорвали с яблони 27 яблок. Можно ли разделить яблоки поровну между ребятами? Сколько яблок будет у каждого? Сколько еще яблок надо сорвать, чтобы у каждого было по 14 яблок?
Урок 43. приём деления для случаев вида 87 : 29, 66 : 22 — Математика — 3 класс
Математика, 3 класс
Урок № 43. Приём деления для случаев вида 87 : 29, 66 : 22
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
1. Как разделить двузначное число на двузначное?
2. Как выполнить деление вида 87 : 29, 66 : 22?
3. Как проверить правильность результата деления?
Глоссарий по теме:
Деление – это обратное действие умножению
Умножение – это сложение одинаковых слагаемых.
Методподбора – это способ деления двузначного числа на двузначное, при котором частное подбираем последовательно и проверяем умножением.
Обязательная и дополнительная литература:
1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017, C-18.
2. Петерсон Л. Г. Математика 3 класс. Часть 2. – М.: Ювента, 2013– 96 C., С-86.
3. Марченко И.С. Справочник школьника по математике: 1 – 4 классы. – М.: Эксмо, 2014. С. 160, (Светлячок) С. 50.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим решение задачи.
Высота дома тридцать два метра, а высота дерева – шестнадцать метров. Во сколько раз дом выше дерева?
Чтобы узнать во сколько раз дом выше, надо тридцать два разделить на шестнадцать. Получится два, в два раза. Выполнить такое деление можно
используя взаимосвязь умножения и деления. Это поможет научиться делить двузначное число на двузначное методом подбора частного.
Рассмотрим пример 48 : 12
Пробуем в частном два и проверяем. Двенадцать умножить на два получится двадцать четыре — не подходит. Пробуем- три. Двенадцать умножить на три равно тридцать шесть, тоже не подходит. Пробуем четыре. Двенадцать умножаем на четыре, получается сорок восемь, подходит. Значит, сорок восемь разделить на двенадцать получится четыре.
48 : 12
12 ∙ 2 = 24 не подходит
12 ∙ 3 = 36 не подходит
12 ∙ 4 = 48 подходит
Значит,
48 : 12 = 4
В случае деления числа шестьдесят шесть на двадцать два, подбираем число, на которое надо умножить двадцать два, чтобы получилось шестьдесят шесть. Это число три.
66 : 22
22 ∙ 3 = 66
66 : 22 = 3, так как 22 ∙ 3 = 66
Умножение нужно использовать для проверки правильности вычислений.
88 : 11 = 8, так как 11 ∙ 8 = 88
Чтобы делать меньше проб при подборе частного, нужно обратить внимание на последнюю цифру в делимом и делителе. В делимом цифра один , в делителе — цифра семь. В таблице умножения на семь находим число двадцать один (ведь один последняя цифра в делимом). Чтобы получить двадцать один, нужно семь умножить на три. Три – пробное число. Выполняем проверку.
81 : 27 = 3
Делимое 81 — последняя цифра 1
Делитель 27 — последняя цифра 7
7 ∙ 3 = 21 Проверка: 27 ∙ 3 = 81
Частное найдено, верно.
Выполним тренировочные задания
Вставьте пропущенные числа:
54 : 27 = ____ , так как 27 ∙ ___ = 54;
Ответ: 54 : 27 = 2 , так как 27∙ 2 = 54.
Зачеркните пример с ошибкой:
38 : 19 = 2
42 : 14 = 2
64 : 16 = 3
Ошибка в примере 42 : 14 = 2 и 64 : 16 = 3
Расшифруйте, расставляя ответы в порядке возрастания, название одного из самых высоких деревьев в мире:
Я 78 : 26
С 99 : 33
В 78 : 13
Й 64 : 16
К 84: 12
О 70 : 14
Е 88 : 11
Ответ:
11 8 7 6 5 4 3
С Е К В О Й Я
примеры на умножение и деление, сложение и вычитание
Ваш ребенок еще только учится в начальной школе, а вы уже задумываетесь о его дальнейшей учебе, развитии и будущем? Это очень похвально. А думали ли вы над тем, что успеваемость ребенка можно улучшить, если заниматься с ним ежедневно по математике всего лишь 15 минут в день дополнительно? И это не выдумки. В материалах этой статьи мы приведем примеры и задачи для школьников начальной школы по математике, а именно, для третьеклассников. (Для удобства решения приведенные ниже задания вы можете распечатать).
Как учить ребенка учиться
Умеет ли ваш ребенок учиться? Уверена, что многих родителей этот вопрос поставил в тупик. А действительно, что значит «уметь учиться»? Когда ваш юный школьник только пошел в школу, после занятий, возможно, он бежал домой и очень хотел сразу же делать уроки. Так бывает, когда дети очень ждут поступления в 1 класс. Но со временем интересы к своевременному выполнению домашнего задания ослабевают и «домашка» становится скучным времяпровождением.
А ведь именно нежелание выполнять домашние задания, готовиться к школьным рефератам, семинарам и викторинам, становится основной причиной того, что ребенок вначале не хочет, а после и не умеет учиться. Пробелы в знаниях могут накапливаться словно снежный ком, снижая успеваемость школьника и убивая в нем желание учиться.
Чтобы школьник учился этой сложной и ответственной науке – учиться – родители должны всячески помогать ему: составить распорядок дня, учить ребенка выполнять домашнее задание наперед, прорешивать или прописывать дополнительные упражнения, чтобы тренировать и руку для письма, и мозг для устного счета. Математике дается детям начального звена сложнее всего, именно поэтому мы и подготовили для школьников 3 класса этот материал.
Примеры по математике на умножение и деление
Еще во втором классе дети выучили таблицу умножения. Если вы сейчас находитесь в полном заблуждении, как выучить с ребенком таблицу умножения, то рекомендуем к ознакомлению следующий материал по ссылке. На протяжении второго класса школьники постепенно осваивали простые примеры и задачи, используя таблицу умножения, а в третьем классе они оттачивают навыки умножения и сложения.
Задание 1
Заменить сложение вычитанием в тех примерах, в которых от замены знака ответ не изменится:
5 + 5 + 5 = 15, если заменить знак «+» на знак «•», то получится 5 • 5 • 5 = 125. 15 не равно 125. Значит, в первом равенстве заменить знак «+» на знак «•» нельзя.
По аналогии решаем стальные равенства и делаем выводы о возможной или невозможной замене знака «+» на знак «•».
Задание 2
Какие выражения нельзя заменить суммой, чтобы ответ не изменился:
Обязательно повторите с ребенком правила умножения и деления числа на единицу и умножения или деления числа на ноль, а также особенности деления ноля на любое число. Часто именно в этих примерах дети делают ошибки, которые влекут за собой дальнейшее неправильное решение примеров, выражений и задач.
Задание 7 (задача)
В оздоровительный лагерь привезли фрукты: 7 ящиков винограда и 5 ящиков персиков. Масса привезенных персиков составляет 40 килограммов. Какая масса винограда, если ящик винограда на 1 килограмм весит больше, чем ящик персиков.
Решение
Найдем, сколько весит один ящик персиков. Известно, что общая масса персиков составляет 40 кг, а всего ящиков – 5.
Первое действие: 40 : 5 = 8 (кг) весит один ящик персиков.
Теперь найдем, сколько весит один ящик винограда, если известно, что он тяжелее на 1 кг, чем ящик персиков.
Второе действие: 8 + 1 = 9 (кг) весит один ящик винограда.
Теперь находим общую массу всего винограда, если известно, что один ящик весит 9 кг, а всего винограда – 7 ящиков.
Третье действие: 9 • 7 = 63 (кг) – общая масса винограда.
Ответ: масса привезенного винограда составляет 63 кг.
Задание 8
Сосна может расти 600 лет, береза – 350 лет. А ива – в 6 раз меньше от сосны. Что может расти дольше береза или ива? И насколько лет?
Решение
Вначале рассчитаем, сколько лет может расти ива, если известно, что она растет в 6 раз меньше, чем сосна.
Первое действие: 600 : 6 = 100 (лет) может расти ива.
Теперь, когда известно, что ива может расти 100 лет, сравним продолжительность «жизни» березы и ивы. Известно, что береза растет 350 лет, а ива – 100. 350 больше чем 100, значит береза может расти дольше ивы. Чтобы рассчитать, на сколько береза может расти дольше ивы, решаем равенство.
Второе действие: 350 — 100 = 250 (лет) – на столько береза может расти дольше ивы
Ответ: береза может расти дольше ивы на 250 лет.
Важно! Если задачу можно решить несколькими способами, обязательно сообщите об этом ребенку. Пусть потренирует логику и начертит все возможные схем решения задачи, т.е. составить схематическое условие. Ведь правильно составленное условие задачи – это 90% успешного решения.
Задание 9
В понедельник гусеница начала ползти вверх по дереву высотой 9 метров. За день она поднялась вверх на 5 метров, а за ночь – опустилась на 2 метра. На какой день гусеница достигнет верхушки дерева?
Решение
Для начала рассчитаем, на сколько метров поднимается гусеница вверх за один день, с учетом того, что ночью на опускается.
Первое действие: 5 — 2 = 3 (м) гусеница проползает за сутки вверх.
Теперь найдем количеств дней, необходимых на преодоление расстояния 9 метров вверх по дереву.
Второе действие: 9 : 3 = 3 (дня) нужно гусенице, чтобы достичь вершины дерева.
Ответ: 3 дня нужно гусенице, чтобы достичь вершины дерева.
Задание 10
В коробке было 18 килограммов печенья. Сначала из нее взяли 13 килограммов печенья, потом досыпали в 4 раза больше, чем оставалось. Сколько килограммов печенья стало в коробке.
Решение
Сначала найдем, сколько килограммов печенья осталось в коробке, после того, как из нее забрали 13 килограммов.
Первое действие: 18 — 13 = 5 (кг) печенья осталось в коробке
Теперь рассчитаем сколько килограммов печенья досыпали в коробку.
Второе действие: 5 • 4 = 20 (кг) досыпали
Сложим тот вес, который оставался в коробке, и тот, который досыпали, чтобы найти, сколько килограммов печения стало в коробке.
Третье действие: 5 + 20 = 25 (кг) стало
Ответ: 25 килограммов печения стало в коробке.
Задание 11
За лето хозяйка вырастила 208 домашних птиц. Кур и уток было 129, а уток и гусей – 115. Сколько кур, уток и гусей вырастила хозяйка за лето?
Решение
Известно, что кур и уток было 129, а всего птиц – 208. Значит, можно найти количество гусей.
Ответ: за лето хозяйка вырастила 79 гусей, 93 кур и 36 уток.
Примеры и задачи по математике на сложение и вычитание
Основной задачей заданий и примеров по математике на сложение и вычитание в третьем классе является популяризация математических знаний и идей, поддержка и развитие математических знаний школьников, стимулирование и мотивация учеников в изучении естественно-математический предметов.
Задание 1
Реши уравнения:
Х – 40 = 60 Х + 4 = 61 Х – 16 = 25 Х + 25 = 84 Х – 45 = 251 Х + 56 = 106 Х + 78 = 301
Задание 2
Расставьте скобки так, чтобы ответом выражения в первом случае было 6, а в втором – 2:
12 : 2 + 2 • 2 =
Подсказка
12 : (2 + 2) • 2 = 6 12 : (2 + 2 • 2) = 2
Важно! Некоторые условия составлены таким образом, чтобы ребенок включал логическое мышление. Прорешивая такие задания он мыслит, делает предположения, размышляет, и находит правильное решение задания.
Задание 3
Перевести в одну систему измерения и решить выражения:
1 м – 5 дм = 1 м – 5 см = 6 м 5 дм – 8 дм = 5 см + 5 см = 15 см + 5 дм = 3 дм – 6 см = 3 дм 5 см – 15 см = 1 дм 2 см – 3 см = 1 м 6 дм – 8 дм =
Задание 4
Из каждого выражения произведения отнять 15 и записать новые выражение и решить их:
В шести одинаковых бочонках 24 литра воды. Сколько литров воды в сети таких же бочонках, на сколько литров больше во втором случае, чем в первом?
Решение
Вначале найдем, сколько воды вмещается в один бочонок.
Первое действие: 24 : 6 = 4 (л) в одном бочонке
Теперь рассчитаем, сколько воды в семи одинаковых бочонках
Второе действие: 4 • 7 = 28 (л) в сети одинаковых бочонках
Найдем ответ на главный вопрос задачи, на сколько литров больше во втором случае, чем в первом.
Третье действие: 28 – 24 = 4 (л) на столько литров больше во втором случае, чем в первом
Ответ: на 4 литра воды больше во втором случае, чем в первом
Задание 7
Отец и сын купили на рынке картошку в 6 одинаковых сетках. Отец принес домой 4 сетки, а сын 2. Всего получилось 18 килограммов картошки. Сколько килограммов принес отец? Сколько килограммов принес сын? На сколько больше килограммов картошки принес отец?
Решение
Рассчитаем, сколько картошки было в одной сетке, если известно, то всего принести 18 килограммов в 6 одинаковых сетках.
Первое действие: 18 : 6 = 3 (кг) в одной сетке.
Теперь узнаем сколько килограммов принес отец и сколько килограммов принес сын.
Второе действие: 3 • 4 = 12 (кг) принес отец
Третье действие: 3 • 2 = 6 (кг) принес сын
Найдем искомую разницу.
Четвертое действие: 12 – 6 = 6 (кг) на столько больше принес отец.
Ответ: Отец принес на 6 килограммов больше картошки, чем сын.
Задание 8
За 5 часов работы двигателя было израсходовано 30 литров бензина. Сколько бензина будет израсходовано за 8 часов работы двигателя. На сколько больше двигатель израсходует бензина за разницу во времени?
Решение
Рассчитаем, сколько бензина расходует двигатель за час своей работы.
Первое действие: 30 : 5 = 6 (л) за один час работы
Рассчитаем, сколько составляет разница во времени?
Второе действие: 8 – 5 = 3 (ч) разница во времени
Теперь можно рассчитать, сколько бензина израсходовано за оставшиеся 3 часа.
Третье действие: 3 • 6 = 18 (л) потрачено за 3 часа.
Ответ: за 3 часа двигатель истратил 18 литров бензина
Второй способ решения
Рассчитаем, сколько бензина расходует двигатель за час своей работы.
Первое действие: 30 : 5 = 6 (л) за один час работы
Рассчитаем, сколько бензина будет израсходовано за 8 часов работы двигателя.
Второе действие: 8 • 6 = 48 (л) израсходовано за 8 часов работы двигателя
Теперь можно рассчитать разницу потраченного топлива.
Третье действие: 48 – 30 = 18 (л) разница потраченного топлива
Ответ: за 3 часа двигатель истратил 18 литров бензина
Важно! Задания на сложение и вычитание не исключают в своем условии или решении возможность других математических действий, например, умножения или деления. Ученик третьего класса уже должен уметь различать в условии требования к сложению и умножению, делению и вычитанию. Именно потому задания по математике для этого класса часто носят смешанный характер.
Задание 9
В двух прудах плавало 56 уток. Когда из первого пруда во второй перелетело 7 уток, то в нем осталось 25. Сколько уток с самого начала плавало во втором пруду?
Решение
Известно, что после того, как из первого пруда улетело 7 уток, в нем осталось 25. Находим количество уток в первом пруду с самого начала.
Первое действие: 7 + 25 = 32 (утки) было в первом пруду.
Теперь можем найти, сколько уток плавало во втором пруду с самого начала.
Второе действие: 56 – 32 = 24 (утки) было во втором пруду.
Ответ: с самого начала во втором пруду было 24 утки.
Задание 10
С первого куста собрали 9 килограммов ягод. Со второго куста собрали на 3 килограммов больше, чем с первого, а с третьего – на 2 килограммов больше, чем со второго. Сколько килограммов ягод собрали с третьего куста? Сколько всего ягод собрали?
Решение
Вначале найдем, сколько килограммов ягод собрали со второго куста.
Первое действие: 9 + 3 = 12 (кг) ягод со второго куста
Теперь определяем, сколько килограммов ягод собрали с третьего куста
Второе действие: 12 + 2 = 14 (кг) год с третьего куста
Когда все составляющие известны, находим ответ на главный вопрос задачи.
Третье действие: 9 + 12 + 14 = 35 (кг) ягод всего
Ответ: всего собрали 35 килограммов ягод.
Вместо заключения
Уделяйте математике достаточно внимания уже с начальной школы. Этот предмет не только тренируем мозг в устном счете, но и умении логически мыслить, развивать смекалку. Постепенно привыкая к выполнению дополнительных и основных заданий, ребенок учится учиться, выполнять требования учителя, грамотно планировать свое время, распределять время для учебы и досуга.
Математические задания для третьеклассников моно составлять самостоятельно по приведенным нами аналогии, это не составит особого труда. Зато ваш ученик сможет больше тренироваться в математике, выполнять задания на каникулах и выходных, а также заниматься дополнительно после школы.
Тесты онлайн по математике для 3 класса
Здесь вы можете пройти онлайн тесты по математике за 3 класс на сложение и вычитание, а также тесты, представленные в виде математических задач. Тесты составлены на основе того, что должен знать и уметь ребенок в 3 классе. Сюда входит:
Числа от 1 до 100.Сложение и вычитание. Сложение и вычитание двузначных чисел с переходом через десяток. Выражения с переменной. Решение уравнений. Решение уравнений. Новый способ решения. Закрепление. Решение уравнений. Обозначение геометрических фигур буквами. Закрепление пройденного материала. Решение задач.
Числа от 1 до 1000.Нумерация. Устная и письменная нумерация. Разряды счетных единиц. Натуральная последовательность трехзначных чисел. Увеличение и уменьшение числа в 10, 100 раз. Замена трехзначного числа суммой разрядных слагаемых. Сравнение трехзначных чисел. Единицы массы: килограмм, грамм.
Числа от 1 до 1000.Сложение и вычитание. Приемы устного сложения и вычитания в пределах 1000. Алгоритмы письменного сложения и вычитания в пределах 1000. Виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, равносторонний.
Математические задачи. Простые задачи на умножение. Задачи на нахождение суммы двух произведений. Составные задачи на деление суммы на число. Задачи на нахождение периметра и сторон геометрических фигур. Задачи на нахождение доли числа. Составные задачи на цену, количество, стоимость. Задачи на кратное сравнение в несколько раз. Задачи на деление по содержанию и на равные части. Задачи на приведение к единице. Составные задачи на разностное и кратное сравнение. И другие…
Дальше вы можете пройти по порядку (или вразброс) тесты по математике за 3 класс. Будьте внимательны!
Тесты
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на прибавление и отнимание десятков для 3 класса. В тесте 20 примеров.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение и вычитание в пределах 100, для 3 класса. В тесте — 80 примеров.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение и вычитание сотен, для 3 класса. В тесте — 20 примеров.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение и вычитание в пределах 1000, для 3 класса. В тесте — 80 примеров.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение разрядных слагаемых в пределах 1000, для 3 класса. В тесте — 20 примеров.
В этом тесте тебе нужно решить все примеры на сложение разрядных слагаемых в пределах 1 000 000, для 3 класса. В тесте — 20 примеров.
В этом тесте тебе нужно решить 20 простых математических задач на умножение для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 20 математических задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 20 математических задач на деление по содержанию и на равные части для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на кратное сравнение в несколько раз для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 20 математических задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз (косвенная форма) для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 20 составных математических задач на нахождение суммы для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на приведение к единице для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 20 математических задач на нахождение разности, уменьшаемого и вычитаемого, для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 20 составных математических задач на разностное и кратное сравнение, для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 20 математических задач на нахождение суммы двух произведений, для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 математических задач на нахождение неизвестного слагаемого, для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 10 составных математических задач на деление суммы на число, для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 20 составных математических задач на цену, количество и стоимость, для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 20 задач на нахождение периметра и сторон геометрических фигур для 3 класса.
В этом тесте тебе нужно решить 20 задач на нахождение доли числа для 3 класса.
На уроках 1 – 5 систематизируются знания учащихся о единицах измерения длины и массы, вводятся новые единицы измерения массы: грамм, центнер, тонна, закрепляются соотношения между единицами измерения длины, массы, умение выражать значения величин в разных единицах измерения. Также повторяются и закрепляются нумерация и действия с многозначными числами, решение текстовых задач, уравнений, примеров на порядок действий, умножение чисел в столбик, измерение отрезков и построение отрезков данной длины, понятие объема прямоугольного параллелепипеда, отрабатываются вычислительные навыки.
На уроке 1 воспроизводится таблица, устанавливающая соотношение между единицами длины, с которой учащиеся уже встречались раньше:
Теперь область применения этой таблицы существенно расширяется. В №1, стр. 95 проговариваются все возможные соотношения между этими единицами. Например, устанавливается, что 1 км = 1000 м = 10 000 дм = 100 000 см = 1 000 000 мм и т. д. При этом надо вспомнить правило: при переходе к меньшим меркам выполняется умножение, а при переходе к большим меркам – деление. Соответствующие коэффициенты перехода (числа, на которые надо умножать или делить при переходе от одной единицы измерения к другой) записаны под дугами.
В № 2–4, стр. 95 учащиеся используют установленные соотношения и аналогию с десятичной системой записи чисел для перевода длин из одних единиц измерения в другие. Решение примеров записывается в тетради в клетку и проговаривается вслух. Способ обоснования может быть различным – на основе установленного правила либо на основе аналогии с десятичной системой записи чисел, например:
а) 7 м = 700 см, так как в 1 метре 100 сантиметров, а 100 · 7 = 700,
или
7 м = 700 см, так как 7 метров – это 7 сотен сантиметров;
б) 16 000 мм = 1600 см, так как в 1 сантиметре 10 миллиметров, а
16 000 : 10 = 1600,
или
16 000 мм = 1600 см, так как в 16 000 содержится 1600 десятков;
в) 12 км 50 м = 12 050 м, так как в 1 километре 1000 метров, значит,
в 12 км – 12 000 м, да еще 50 м, всего получится 12 050 метров,
или
12 км 50 м = 12 050 м, так как 12 км 50 м – это 12 тысяч 50 метров.
Основным способом является первый, так как он универсальный и используется, например, и при преобразовании единиц времени, где соотношения между единицами не являются десятичными. Однако акцент на аналогию системы мер длины и массы с десятичной системой записи чисел не только поможет закрепить знание нумерации, но и покажет связь изучения чисел с практическими задачами. Каждый из учеников может выбрать тот способ обоснования, который ему удобен, а в классе должны звучать оба способа.
Перед выполнением заданий № 5–6, стр. 96 надо повторить с учащимися правило о том, что величины можно сравнивать, складывать и вычитать только тогда, когда они выражены в одних и тех же единицах измерения. Поэтому для сравнения, сложения и вычитания величин в этих заданиях надо их сначала выразить в одинаковых мерках.
На уроке 2 в №1–2, стр. 98 учащиеся решают практические задачи, связанные с построением отрезков и измерением их длин. В №1 они устанавливают, что если точки A, B и C лежат на одной прямой, то длина AC равна сумме длин AB и BC, а если нет, то длина AC меньше суммы длин AB и BС. Другими словами, прямая линия, соединяющая две точки A и C, короче ломаной ABC. В №2 они строят планы земельных участков треугольной и четырехугольной формы и вычисляют их периметры. Таким образом, их внимание еще раз обращается на то, что числа возникли для решения практических задач, поэтому естественно, что соотношения между единицами измерения величин аналогичны принципу нумерации. Эта аналогия еще раз подчеркивается в №3, стр. 98. В заданиях №4–5, стр. 98 рассматриваются более сложные случаи перевода единиц длины.
На уроках 3–4 аналогичным образом рассматриваются единицы массы и соотношения между ними:
Правило перевода единиц и способы перевода остаются прежними, изменяются лишь названия единиц и переводные коэффициенты. Кроме того, рассматриваются виды гирь, которые обычно используются при взвешивании, и способы уравновешивания предметов на чашечных весах.
Хотим отметить, что при выполнении №10, стр. 99 следует обратить внимание на некоторые моменты. К настоящему времени дети уже знают, что одни и те же математические выражения могут описывать разнообразные жизненные ситуации. Так, выражение 2 + 3 может быть суммой игрушек, ручек, тракторов и еще чего угодно, в том числе «шклидулок». И от того, что мы не знаем, что такое «шклидулка», суть вычислений не изменится – мы все равно получим в ответе 5.
В задаче предлагается вымышленная ситуация – о шклидулках и бримазятах. Математическая структура задачи не представляет для учеников труда, но здесь они должны суметь перенести ее на абстрактное для них содержание и провести рассуждения во всей полноте.
– Чтобы ответить на первый вопрос задачи, можно сложить шклидулки, которые нашли бримазище и бримазенок. (Ищем целое.) Для этого сначала из 96 вычтем 64 и узнаем, сколько шклидулок нашел бримазенок. Чтобы узнать, во сколько раз больше шклидулок нашел бримазище, чем бримазенок, надо первое число разделить на второе.
1) 96 – 64 = 32 (ш.) – нашел бримазенок.
2) 96 + 32 = 128 (ш.).
3) 96 : 32 = 3 (раза).
Ответ: вместе они нашли 128 шклидулок, бримазище – в 3 раза больше бримазенка.
При выполнении №12, стр. 103 следует рассуждать так:
Р – 70 Г – 200 С – 40
И – 80 К – 5400 Б – 400
П – 50 О – 4800 Н – 100
СПРИНГБОК. Один из интереснейших видов газелей, обитающий в Южной Африке. Верхняя сторона тела – желто‑коричневая, нижняя сторона – белая, на границе проходит контрастная буровато‑черная полоса. Но самая замечательная особенность спрингбока – обширная продольная кожная складка на спине. Когда животное спокойно, складку не видно. Но, почувствовав опасность, спрингбок начинает подпрыгивать на месте, отталкиваясь одновременно всеми ногами, без видимых усилий, как резиновый мяч.
Прыжки спрингбока колоссальны: до 2 м в высоту. При этом края кожной складки расходятся, и выстилающий ее белый мех начинает ослепительно сверкать. Для всех обитателей саванны прыжки спрингбока служат сигналом опасности.
Спрингбок знаменит своими странствиями. К сожалению, говорить о них приходится лишь в прошедшем времени: они прекратились вместе с резким уменьшением численности спрингбока. Во время последнего крупного переселения спрингбоков в 1896 году животные плотной массой покрывали участок шириной около 25 км, а длина колонны составляла 220 км!
Во второй части учебника закрепляются нумерация, сложение и вычитание многозначных чисел, вводится умножение и деление многозначного числа на однозначное, рассматриваются некоторые преобразования на плоскости (параллельный перенос, симметрия), меры времени и календарь, на основе некоторых логических понятий (высказывание, истинное и ложное высказывание) уточняется понятие уравнения и рассматриваются новые их виды. Учащиеся знакомятся с понятиями переменной и выражения с переменной, учатся находить значения выражений с переменной, строить формулы зависимостей между величинами.
На уроках 6 – 9 у учащихся формируется умение умножать многозначные числа на однозначные и умножать круглые числа в случаях, сводящихся к умножению на однозначное число, учатся решать задачи на нахождение значений величин по их сумме и разности. Ученики повторяют и закрепляют нумерацию, сложение и вычитание многозначных чисел, решение текстовых задач, решение уравнений с комментированием по компонентам действий, сравнение выражений, действия с единицами длины и массы.
Простейшие случаи умножения многозначного числа на однозначное (27 · 5, 140 · 3 и т. д.) и их запись в столбик уже встречались учащимся. На данном этапе обучения они должны распространить известный им способ умножения в столбик на общий случай умножения многозначного числа на однозначное, и отработать его для сложных случаев. Работа ведется, как обычно, деятельностным методом.
На уроке 6 на этапе актуализации знаний с учащимися нужно вспомнить распределительное свойство умножения. Для этого можно рассмотреть с ними различные способы нахождения площади прямоугольников для случаев, когда прямоугольник разбит на 2 части и на 3 части:
По данным рисункам ставятся вопросы:
1) Чем похожи и чем отличаются эти задачи? (В первой задаче прямоугольник разбит на две части, а во второй – на три.)
2) Как называется первое равенство? (Правило умножения суммы на число, или распределительное свойство умножения.)
3) Можно ли распространить это правило на сумму трех слагаемых? (Из второго равенства следует, что да.)
4) Можно ли его распространить на сумму большего числа слагаемых? (Да, ведь прямоугольник можно разбить на большее число частей.)
Чтобы поставить проблему, учащимся можно сначала предложить решить в тетрадях в клетку следующие примеры и выявить в них закономерности:
Ученики могут заметить, что:
1) все примеры – на умножение;
2) первый множитель увеличивается, а второй не изменяется;
3) с увеличением первого множителя произведение увеличивается;
4) если первый множитель увеличивается в 10 раз, то и все произведение
увеличивается в 10 раз.
Затем учитель предлагает, воспользоваться тем же вычислительным приемом и решить пример
При решении примера, вероятно, возникнет затруднение: могут получиться разные ответы, кто‑то из детей не решит его и т. д. Возникшая проблемная ситуация и мотивирует поиск нового способа действий.
В случае, если с последним примером справятся все обучающиеся, можно попросить их обосновать решение. Главное – дети должны заметить, что для решения данного примера используется другой вычислительный прием. Этот признак отличия они должны проговорить вслух: в первых четырех примерах требуется умножить двузначное число на однозначное, а в последнем примере – трехзначное на однозначное.
После этого цель урока может быть сформулирована следующим образом: установить, как умножается любое многозначное число на однозначное. Если последний пример выполнят все ученики, то цель урока мотивируется необходимостью обосновать правомерность используемого приема.
Этап «открытия» нового знания начинается с выбора метода рассуждений. Рассмотренная в начале урока задача о вычислении площадей прямоугольников должна помочь учащимся вспомнить, что алгоритм умножения двузначного числа на однозначное был установлен на основе правила умножения суммы на число (распределительного свойства умножения), и сориентироваться на это свойство.
В № 1, стр. 1 еще раз проговаривается формулировка правила умножения суммы на число и возможность его распространения на любое число слагаемых. Затем в № 2 (а), стр. 1 данное число 576 разбивается на удобные слагаемые 500 + 70 + 6 и на основе этого правила выполняются преобразования:
Очевидно, что такая запись является слишком громоздкой, неудобной, – это учащиеся скажут сразу. Тогда ставится задача найти более короткий способ записи по аналогии с умножением на двузначное число. Если самостоятельно ученики затруднятся это сделать, можно предложить им проанализировать слагаемые суммы по рисунку №2 (б), стр. 1. Дети должны заметить, что при вычислении суммы сначала подсчитывается число единиц, затем число десятков и число сотен (нули при сложении результата не изменяют). И поскольку все эти числа всегда являются двузначными (значения табличных произведений), то удобнее число единиц следующего разряда, которое «запоминается», писать вверху над соответствующим разрядом первого множителя, как при умножении двузначных чисел. Подвести учащихся к этому выводу можно следующей последовательностью вопросов:
1) Как получили слагаемые суммы? (6 единиц умножили на 9, потом 7 десятков умножили на 9, а потом 5 сотен умножили на 9.)
2) Всегда ли во втором слагаемом на конце будет нуль? Почему? (Всегда, так как считаем число десятков.)
3) Всегда ли в третьем слагаемом на конце 2 нуля? Почему? (Всегда, так как считаем число сотен.)
4) Почему во втором столбике нули зачеркнуты? (Они не изменяют значение суммы.)
5) Может ли число единиц, десятков или сотен «заходить» не на один следующий разряд, а на 2 или 3 разряда? (Нет, перемножаем однозначные числа, поэтому в произведении не может быть больше двух знаков.)
6) Сравните запись умножения во втором и третьем столбике – какая из записей удобнее? (В третьем столбике.)
7) Догадайтесь, как она получается из предыдущей? (Сначала умножаем единицы: 6 · 9 = 54, 4 единицы пишем, а 5 десятков запоминаем – записываем над числом десятков первого множителя. Потом умножаем десятки: 7 · 9 = 63, 63 + 5 = 68, 8 десятков пишем, а 6 сотен запоминаем. А потом умножаем сотни: 5 · 9 = 45, 45 + 6 = 51, записываем 51 сотню. – «Открытие».)
Пишу: множитель 9 под разрядом единиц множителя 576.
В завершение учитель спрашивает у детей, изменятся ли рассуждения при умножении на однозначное число четырехзначного, пятизначного, шестизначного и т. д. числа. Как правило, дети легко распространяют полученный вывод на любое многозначное число. Тогда в тетради в клетку надо записать, решить и прокомментировать (с возможной помощью учителя) более сложный случай умножения, например, 5 · 20 156. Внимание детей обращается на порядок множителей и на то, что в данном случае также удобно писать однозначный множитель под разрядом единиц многозначного множителя.
Если у учащихся все же возникнет сомнение в правомерности распространения полученного вывода на случай умножения любого многозначного числа на однозначное, то можно рассмотреть аналогичным образом умножение четырехзначного числа на однозначное или предложить учащимся сделать это дома самостоятельно.
Примеры для этапа первичного закрепления подбираются в зависимости от уровня подготовленности класса. Можно, например, решить с подробным комментированием в громкой речи № 3 (а), стр. 1, а для этапа самоконтроля использовать № 3 (б), стр. 1. После выполнения самостоятельной работы ученики сопоставляют свое решение с образцом, предъявленным учителем, и убеждаются в том, что новый вычислительный прием ими освоен. Напомним, что при изучении нового материала первостепенное значение имеет создание ситуации успеха для каждого ребенка. Возможные ошибки должны здесь же исправляться, а материалы дорабатываться индивидуально, пока остальные учащиеся класса решают задачи на повторение.
На этапе повторения новое знание включается в систему знаний, а также решаются задания, обеспечивающие непрерывность развития содержательно‑методических линий курса. Так, на рассматриваемом уроке умножение многозначного числа на однозначное встречается при решении текстовых задач № 4–5, стр. 2, в уравнении № 6, стр. 2 и при работе с буквенными выражениями в № 7, стр. 2. Далее в задании № 8, стр. 2 повторяется правило порядка действий в выражениях и отрабатываются вычислительные навыки. В № 9, стр. 2 повторяются действия с многозначными числами, в № 10–11, стр. 2 – понятия равенства и пересечения множеств, которые связываются с рисованием геометрических фигур и перебором вариантов, а в № 12, стр. 2 предлагается логическая задача. Учитель на уроке введения нового знания выбирает для оставшихся 5–10 минут урока из этих заданий те, в которых учащиеся его класса испытывают больше затруднений.
Сделать этот выбор более осознанным и обоснованным позволяют «Электронные приложения к учебникам».
С другой стороны, методическим приемом, который позволяет существенно увеличить число решенных в классе примеров без перегрузки детей, является решение задач по выбору учащихся. Так, например, на данном уроке учитель может предложить учащимся на этапе повторения решить по выбору одно из заданий № 5–9, стр. 2. Учащиеся в течение 3–4 минут решают по одному выбранному ими заданию, а затем проговаривают их решение в течение следующих 5 минут. Таким образом, все задания воспроизведены в памяти детей, т. е. цель повторения достигнута. При этом в классе создается атмосфера психологической комфортности, так как каждый ребенок решает задание, которое он выбрал сам, а значит, то, которое ему больше понравилось. Задачи по выбору можно предлагать и для домашней работы.
При подведении итога урока учитель обсуждает с учениками вопросы:
– Что нового узнали? (Научились умножать любое многозначное число на однозначное.)
– Какое математическое свойство для этого использовали? (Распределительное свойство умножения.)
– Кто уже чувствует себя уверенно в решении новых примеров?
– Что повторили? Что больше всего понравилось?
– Кто сегодня нам помогал на уроке?
– Как оцениваете свою работу?
Для домашней работы можно предложить учащимся придумать и решить свой пример на умножение многозначного числа на однозначное, решить задачу № 4, стр. 2 и по желанию – одно из заданий № 10–12, стр. 2. Таким образом, обязательное задание не займет у обучающихся больше 10–15 мин самостоятельной работы. При таком подходе исключена перегрузка детей, каждому из них обеспечивается возможность успешного усвоения необходимого минимума, и в то же время каждому предоставляется возможность обучения на высоком уровне за счет активного включения в деятельность на уроке и решения дополнительных развивающих заданий.
На уроках 7–8 рассматриваются более сложные случаи умножения многозначного числа на однозначное и случаи умножения круглых чисел, сводящиеся к ним. Так, в № 1, стр. 6 учащиеся распространяют на множество многозначных чисел изученное ранее правило: чтобы умножить круглые числа, надо выполнить умножение, не глядя на нули, а потом к полученному произведению приписать столько нулей, сколько в обоих множителях вместе. На основании этого правила при записи умножения круглых чисел в столбик для удобства вычислений нули мысленно отбрасываются и полученное однозначное число записывается в разряде единиц многозначного множителя:
На последующих уроках умножение многозначного числа на однозначное отрабатывается в основном в процессе выполнения проверки примеров на деление.
На уроке 8 рассматривается новый тип задач – задачи на нахождение величин по их сумме и разности. На основе предметных действий с моделями полосками ученики догадываются, что при вычитании из суммы двух чисел их разности получается удвоенное меньшее число, а при сложении суммы и разности – удвоенное большее число. Поэтому решить задачу, например, № 1, стр. 8 можно двумя способами:
Для этапа первичного закрепления предназначены задания № 3–4, стр. 8–9, а для этапа самостоятельной работы с самопроверкой в классе – № 2, стр. 8. Дома можно предложить им придумать и решить свои задачи на нахождение величин по их сумме и разности.
На всех данных и последующих уроках особое внимание уделяется комментированию решения уравнений по компонентам действий (№ 6, стр. 2; № 6, стр. 4; № 6, стр. 9; № 7, стр. 18; № 5, стр. 20; № 4, стр. 25 и т. д.). Это связано с подготовкой детей к изучению темы «Уравнения» на уроке 27 данной части учебника. К этому времени обучающиеся должны не только уметь на автоматизированном уровне верно находить неизвестные компоненты действий, но и комментировать решение по образцу, приведенному на стр. 77 учебника.
На уроках 9 – 12 формируется умение делить многозначные числа на однозначные и делить круглые числа, сводящиеся к делению на однозначное число, умение делать проверку деления умножением, а также повторяются и закрепляются нумерация, сложение и вычитание многозначных чисел, умножение многозначного числа на однозначное, решение текстовых задач. Учащиеся решают уравнения с комментированием по компонентам действий, повторяют понятие периметра треугольника, понятие числового луча, действия с единицами длины и массы, читают и записывают выражения.
При изучении внетабличного деления в пределах 100 учащиеся знакомились с правилом деления суммы на число. Сейчас это правило используется для построения алгоритма деления многозначного числа на однозначное. В итоге обсуждения учащиеся должны выявить и осмыслить основную идею, основной принцип деления многозначных чисел: сначала делится более крупная счетная единица, затем остаток дробится и делится следующая по величине счетная единица и так далее до конца. Новый материал вводится в обучение деятельностным методом.
На уроке 9 на этапе актуализации знаний с учащимися нужно вспомнить взаимосвязь между умножением и делением (a : b = c ⇔ b · c = a, b 0), алгоритм деления с остатком и правило деления суммы на число, распространив его, как и в предыдущем случае, на сумму трех и более слагаемых.
На этапе постановки проблемы детям можно предложить в течение 2–3 минут в тетрадях в клетку самостоятельно решить примеры «по частям», т. е. используя правило деления суммы на число, и выявить в них закономерности:
Учащиеся могут заметить, что:
1) все примеры – на деление;
2) делимое увеличивается, а делитель не изменяется;
3) с увеличением делимого частное увеличивается;
4) если делимое увеличивается в 10 раз, то и частное увеличивается в 10 раз.
При решении последнего примера обычно возникает затруднение, которое мотивирует поиск нового способа действий (если и последний пример выполнят все ученики, можно попросить их найти лишний пример).
Далее учитель подводит учащихся к выявлению существенного для данного урока признака отличия последнего примера от предыдущих: первые четыре примера сводятся к делению двузначного числа на однозначное, а в последнем примере – деление трехзначного числа на однозначное. Этот признак отличия учащиеся должны проговорить вслух.
Таким образом, ставится цель урока – установить, как делится многозначное число на однозначное. (Если затруднений в решении последнего примера у обучающихся не возникнет, слово установить заменяется словом обосновать – ведь подобные примеры в классе ранее не рассматривались.)
На этапе «открытия» нового знания детям вначале предоставляется возможность выбрать метод рассуждений. Задания, рассмотренные в начале урока, должны сориентировать их на выбор правила деления суммы на число, распространенного на случай нескольких слагаемых. Для подбора слагаемых для вычисления частного 536 : 4 можно использовать графическую модель. Учитель рисует ее на доске, а учащиеся – в тетради:
Рассматривая ее, ученики должны догадаться, что для нахождения частного вначале надо разделить сотни (коробки), затем оставшуюся сотню перевести в десятки и делить все имеющиеся десятки (пачки) и, наконец, оставшийся десяток раздробить в единицы (штуки) и делить единицы. В менее подготовленных классах поиск решения целесообразно сопровождать не только графическим моделированием, но и предметным – работой с конкретными коробками, пачками и единицами предметов.
Получившиеся группы обводятся овалами – это «удобные слагаемые»:
Из приведенных рассуждений следует, что каждый получил 1 сотню, 3 десятка и 4 штуки, или 134 штуки предметов. На математическом языке проведенные рассуждения можно записать так:
Эта цепочка преобразований записывается в тетрадь, и еще раз проговаривается полученный вывод: чтобы разделить многозначное число на однозначное, можно делимое разбить на сумму «удобных» слагаемых и делить «по частям», то есть по правилу деления суммы на число.
Применение этого способа действий весьма ограничено, но проведенные рассуждения помогут учащимся в дальнейшем осмыслить общий принцип деления многозначных чисел. Для перехода к делению углом надо показать им неудобство построенного способа действий, предложив, например, найти частное 11 768 : 4.
Понятно, что попытки найти «удобные» слагаемые вряд ли закончатся успехом, и тогда можно попросить детей еще раз вернуться к рисунку:
– Рассмотрите, с каких единиц мы начинали деление – с мелких или с крупных? (С крупных.)
– Конечно, ведь удобнее сначала раздать более крупные счетные единицы – коробки. Но вот у нас 1 коробка осталась, что нам пришлось сделать? (Достать пачки и делить уже пачки.)
– Правильно, нам пришлось раздробить сотни в десятки. А когда и десятки у нас закончились, что мы сделали? (Стали делить единицы.)
– Кто теперь догадается, как можно делить любое многозначное число, не подбирая слагаемые? (Делить сначала самые крупные счетные единицы, затем остаток дробить и делить более мелкие единицы.)
На доске в процессе беседы учитель кратко записывает суть выполняемых преобразований:
1) 5 с. : 4 = 1 с. (ост. 1 с.)
2) 13 д. : 4 = 3 д. (ост. 1 д.)
3) 16 ед. : 4 = 4 ед. Итак, 536 : 4 = 134.
Аналогично записывается решение примера 11 768 : 4, предложенного учителем:
1) 11 т. : 4 = 2 т. (ост. 3 т.)
2) 37 с. : 4 = 9 с. (ост. 1 с.)
3) 16 д. : 4 = 4 д.
4) 8 ед. : 4 = 2 ед. Итак, 11 768 : 4 = 2942.
Таким образом, поставленная проблема решена: найден общий способ деления многозначного числа на однозначное. Он заключается в делении с остатком возможно более крупных счетных единиц и последовательном переходе к делению более мелких счетных единиц. Однако остается проблема записи деления. На вопрос учителя: «Удобная ли запись деления?» – ответ всегда одинаковый: неудобная, громоздкая. Тогда можно предложить учащимся попробовать придумать свою запись, более короткую и удобную. Для этой цели лучше использовать первый пример – 536 : 4.
Только после того как дети предложат свои версии, следует показать им «свернутый» способ записи приведенных рассуждений – уголком, и прокомментировать его:
Проверку деления удобно делать умножением на основании взаимосвязи:
Так, для проверки выполненного деления можно число 2942 умножить на 4.
Учитель обращает внимание учащихся на то, что при комментировании примеров надо вначале указать первое неполное делимое, потом определить число цифр в частном, а затем рассказать, как находятся цифры в каждом разряде частного. При этом надо постоянно помнить о том, что на каждом шаге мы фактически выполняем деление с остатком, и поэтому получаемые остатки должны быть меньше делителя. Проверку решения удобно делать умножением.
Алгоритм письменного деления фиксируется с помощью блок-схемы:
Проблема разрешена.
Для проведения этапа первичного закрепления можно использовать задания № 3–6, стр. 11–12, которые решаются с проговариванием в громкой речи. В № 3 учащиеся находят частное всеми тремя рассмотренными способами. В № 4 внимание детей еще раз фиксируется на том, что остаток от деления всегда должен быть меньше делителя, проговариваются основные этапы деления многозначного числа на однозначное, выделенные в рамке на стр. 11. Примеры № 5–6 записываются в тетради в клетку и решаются по выбору. Здесь возможно комментирование в паре, в группе, создание игровых ситуаций. Достаточно, если каждый ребенок решит 2–3 примера. Параллельно проговаривается способ проверки деления умножением, зависимость между компонентами деления.
Задание № 2, стр. 10 целесообразно использовать на этапе самостоятельной работы с самопроверкой в классе. Оно менее сложное, чем примеры, решенные на предыдущем этапе урока, и содержит наглядную опору, которая поможет обучающимся лучше представить каждый этап деления.
На этапе повторения по выбору можно решить задания № 7 (а), стр. 12 и №9 (а), стр. 12.
При подведении итога урока обсуждаются вопросы:
– Что нового узнали? (Научились делить многозначное число на однозначное, записывать деление «углом».)
– Какой прием используется для устного деления? (Деление «по частям».)
– С каких единиц начинаем письменное деление? (С самых крупных.) А потом? (Делим по очереди более мелкие единицы.)
– Кто сегодня нам хорошо помогал?
– Кто доволен своей работой?
– Что повторили? Что больше всего понравилось?
В домашней работе можно предложить учащимся самостоятельно составить и решить пример на деление трехзначного числа на однозначное, построить его графическую модель и выполнить деление тремя способами по аналогии с тем, как это сделано в учебнике. Кроме того, решить по собственному выбору одно из заданий № 7 (б), 9 (б), стр. 12. В качестве дополнительного задания, которое выполняется по желанию, – одно из заданий №8, 10, стр. 12.
На последующих уроках рассматриваются более сложные случаи деления: делимое содержит большее число цифр (урок 10), в частном получаются нули в середине и на конце (уроки 11–13).
Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.
(А. Франц)
Желаем Вам удачи и творческих успехов!
Мы вместе, значит, у нас все получится!
Примеры по математике для 3 класса
Примеры на сложение и вычитание:
Примеры на сложение и вычитание двузначных чисел
Сумма не превышает 10
Примеры на сложение и вычитание трёхзначных чисел
Сумма не превышает 10
Примеры на сложение и вычитание в пределах 1000
Сложение двузначных чисел с суммой не превышащей 100
Примеры на сложение и вычитание в пределах 10000
Сложение двузначных чисел с суммой не превышащей 1000
Примеры с пропусками значений
Примеры на сложение и вычитание с пропусками двузначных чисел
Сумма не превышает 10
Примеры на сложение и вычитание с пропусками в пределах 1000
Сложение двузначных чисел с суммой не превышащей 1000
Примеры на сложение и вычитание с пропусками в пределах 10000
Сложение двузначных чисел с суммой не превышащей 10000
Сравнения
Сравнения с примерами с двузначными числами
Неравенства или сравнения примеров, где сумма не превышает 10
Сравнения с примерами с трёхзначными числами
Неравенства или сравнения примеров, где сумма не превышает 10
Таблица умножения
Примеры на умножение однозначных чисел
Сумма не превышает 10
Примеры на умножение однозначных и двузначных чисел
Сумма не превышает 10
Примеры на умножение опорных чисел «12», «15», «25», «75», «125»
Сумма не превышает 10
Задачи и примеры по математике за 3 класс: тренажер по математике для 3 класса онлайн
Ваш ребенок уже перешел в третий класс, но не может похвастаться успехами в решении сложных задач? Мы рекомендуем пройти бесплатные тесты по математике за 3 класс, чтобы выявить проблемы и принять меры к их устранению. Уникальная интерактивная платформа Skills4U поможет в сжатые сроки сформировать устойчивые навыки решения примеров в рамках школьной программы.
Входное тестирование по математике за 3 класс доступно для всех и занимает совсем немного времени. Не потребуется ничего писать и выполнять дополнительные задания кроме тех, что выдает интерактивная платформа. Она анализирует ответы, выбирает правильные и генерирует примеры и задачи в соответствии с уровнем подготовки конкретного ученика.
Наши онлайн тесты по математике за 3 класс включают группу заданий на сложение и вычитание в пределах 100 и 1000, изучение единиц измерения, умножение и деление трехзначных чисел и многое другое. Вы можете выбрать конкретную тему, которая тяжело дается вашему ребенку, или пройтись по всей школьной программе. В результате тестирования будет поставлена оценка и выведен общий рейтинг.
Но для получения устойчивых навыков, недостаточно просто пройти тест по математике (3 класс), необходимо закрепить пройденный материал, повторив занятие в течение ближайших дней. После получения результатов тестирования система предоставит рекомендации и напомнит, когда следует вновь решить задачи для 3 класса по математике, тренажер при этом не будет полностью повторять задания, ориентируясь на качество ответов.
Мы предлагаем выбрать один из вариантов доступа, который предоставляет комплексный тренажер по математике за 3 класс. Ваш ребенок может тренироваться самостоятельно или под вашим присмотром в течение 1 месяца, полугода или целого календарного года – в этом случае доступ предоставляется на 12 месяцев. Цены вполне умеренные. Результат вас порадует, а школьника заставит поверить в свои силы.
Используйте интеллектуальный тренажер по математике для 3 класса, чтобы улучшить усвоение школьной программы и повысить успеваемость вашего ребенка. Всего 30-40 минут ежедневно могут принести потрясающий результат. Интерактивная платформа Skills4U позволяет прокачать навыки решения задач и примеров различной сложности благодаря продуманному алгоритму, учитывающему индивидуальные особенности ученика и его уровень подготовки.
Деление на 3 — 3 класс по математике
Научитесь делить на 3
Вы помните, что значит делить? 🤔
Верно!
Раздел означает разбиение большего числа на меньшие равные группы.
На последнем уроке вы узнали, как делить числа на 2.
А теперь давайте научимся делить числа на 3. 😎
Деление на 3
👉 Существует 3 метода разделить число на 3.
1.Разделение по группировке .
2. Деление на повторного вычитания.
3. Деление на умножение.
Вы можете использовать любой из этих методов!
👉 Рассмотрим пример.
9 ÷ 3 =?
Решим это уравнение.
Метод 1: Группировка
Чтобы разделить число на 3 с помощью группировки, всего разделите его на 3 равные группы. Число в каждой группе — это ответ.
Давай попробуем!
✅ Здесь нам нужно разделить число 9 на 3 равные группы.
Итак, какой ответ вы получили?
Очень хорошо! 👍 3.
9 ÷ 3 = 3
Метод 2: Повторное вычитание
Чтобы разделить число на 3 с помощью повторного вычитания, вычтите из него 3 снова и снова , пока не дойдете до 0.Количество раз, которое вы вычитаете, и есть ответ на проблему деления.
Попробуем и этот метод!
9 ÷ 3 =?
✅ Давайте начнем с 9 и снова и снова вычтем 3 .
Сколько раз вы вычитали? 🤓
Очень хорошо! 👍 3 раза.
Итак,
9 ÷ 3 = 3
Отличная работа! 👏
Метод 3. Использование умножения
Если вы видите проблему с делением, например, 9 ÷ 3 = ? , вы можете переписать его как задачу умножения:
3 х ? = 9
Вы можете придумать, сколько умножить на 3 равно 9?
Да! 3 x 3 равно 9.
Другой пример
👉 Давайте попробуем другое уравнение.
27 ÷ 3 =?
Метод 1: Группировка
Сначала давайте найдем ответ, используя , сгруппировав .
Какой ответ вы получили?
Отличная работа! 👍 9 .
27 ÷ 3 = 9
Метод 2: Повторное вычитание
Теперь давайте найдем ответ, используя повторного вычитания .
Какой ответ вы получили на этот раз? 😃
Правильно! 9 снова.
27 ÷ 3 = 9
Отлично!
Метод 3. Использование умножения
Чтобы решить 27 ÷ 3 =?, Просто перепишите как задачу умножения:
3 х? = 27
Вы знаете, какое число, умноженное на 3, равно 27?
Да, 3 x 9 — это 27.
Итак, 27 ÷ 3 = 9! 🎉
Это может быть полезно запомнить!
3 ÷ 1 = 1
6 ÷ 3 = 2
9 ÷ 3 = 3
12 ÷ 3 = 4
15 ÷ 3 = 5
18 ÷ 3 = 6
21 ÷ 3 = 7
24 ÷ 3 = 8
27 ÷ 3 = 9
30 ÷ 3 = 10
Отличная работа! Теперь вы знаете, как разделить на 3!
Что такое дивизия? — Определение, факты и пример
Что такое дивизион?
Разделение — это метод разделения группы вещей на равные части.Это одна из четырех основных операций арифметики, которая дает хороший результат обмена.
Деление — это операция, обратная умножению. Если 3 группы по 4 дают умножение 12; 12 разделенных на 3 равные группы дают по 4 в каждой группе в дивизионе.
Основная цель разделения — увидеть, сколько равных групп или сколько в каждой группе при справедливом распределении.
Например:
Есть 16 шаров и 4 коробки, как положить 16 шаров в четыре коробки одинакового размера?
Итак, 16 разделить на 4 =?
Следовательно, в каждом ящике должно храниться по 4 мяча.
Математическое обозначение деления
Существуют различные знаки, которые могут использоваться для обозначения деления, например, ÷, /.
Например:
Специальные имена для каждого символа в подклассе
Каждая часть, участвующая в уравнении деления, имеет особое имя.
Дивиденд ÷ делитель = частное
Дивиденд : Дивиденд — это число, которое делится в процессе деления.
Делитель : Число, на которое делится дивиденд, называется делителем.
Частное : Частное — это результат, полученный в процессе деления.
18 ÷ 3 = 6
Дивиденды d Коэффициент пропорциональности
Итак, в приведенном выше процессе мы разделили 16 шаров на 4 равные группы;
Дивиденд равен 16, делитель 4 и, следовательно, частное 4.
Введение к остатку
Остаток — это часть дивиденда, оставшаяся после деления. Например, при делении 83 на 2 остается 1.
Значит, 83 ÷ 2 = 41 и r = 1,
Здесь «r» — остаток.
Особенности подразделения
При делении чего-либо на 1 ответом всегда будет исходное число. Это означает, что если делитель равен 1, частное всегда будет равно деленному, например 10 ÷ 1 = 10.
Деление на 0 не определено.
Деление одного и того же дивиденда и делителя всегда равно 1. Например: 4 ÷ 4 = 1.
Интересные факты о подразделении
Наклонная полоса, используемая как знак в процессе разделения, была введена Де Морганом в 1845 году.
Знание математики в третьем классе:
Хотите помочь своему третьекласснику овладеть основами математики? Вот некоторые из навыков, которые ваш ребенок будет изучать в классе.
Сложение, вычитание, умножение и деление
Умножение чисел
Поймите, что означает умножение чисел — например: 5 x 3 можно рассматривать как общее количество объектов в трех группах, каждая из которых состоит из пяти объекты — или общее количество объектов в пяти группах, где каждая группа содержит три объекта. Свяжите понятие сложения с умножением.
Связанные
Таблица умножения
Знать таблицу умножения.К концу третьего класса быстро и точно умножьте однозначное число на любое другое однозначное число.
Совет: играйте в математические игры
Время, проведенное в дороге или ожидании в машине, — прекрасная возможность поиграть с ребенком в математические игры. Умножение — одна из ключевых математических концепций, над которыми она работает в школе, и вы можете помочь ей в практике, задав ей простые задачи умножения, относящиеся к реальной жизни. Попросите ее подсчитать количество дней до мероприятия через три недели с сегодняшнего дня.Или попросите ее подсчитать, сколько недель ей нужно откладывать на карманные расходы, чтобы купить игрушку или игру, которую она хочет.
Умножение и сложение
Используйте знания сложения, чтобы понять, что 4 x 7 — это то же самое, что 4 x 5 + 4 x 2.
Деление чисел
Поймите, что деление чисел можно рассматривать как разделение чисел объектов в равные группы.
Взаимосвязь
Поймите взаимосвязь между умножением и делением.Например, поймите, что если 9 x 3 = 27, то 27 ÷ 9 = 3 и 27 ÷ 3 = 9.
Связанные
Деление с неизвестным
Решите задачи деления с неизвестным — например, решите 27 ÷ 9 =? думая 9 x? = 27.
Значение разряда
Используйте понимание разряда для сложения, вычитания, умножения и деления многозначных чисел.
Решение проблем со словами
Решение проблем со словами, связанных с умножением и делением чисел в пределах 100.
Пример:
Ученики второго и третьего классов собирали старые сотовые телефоны на переработку. Третий класс собрал 10 старых сотовых телефонов. Второй класс набрал это количество дважды (два раза). Сколько сотовых телефонов собрали второклассники?
Ученики второго сорта решили разделить собранные сотовые телефоны поровну между пятью различными благотворительными организациями. Сколько телефонов получит каждая благотворительная организация?
Дроби
Дроби как числа
Дроби понимаются как числа.Используя визуальные модели или числовые линии (пример ниже), поймите, что две дроби эквивалентны (равны), если они имеют одинаковый размер или находятся в одной точке на числовой прямой. Например, 2⁄4 равно 1⁄2.
Дроби единицы
Поймите дроби единицы — дроби с единицей в числителе (верхнее число): 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4 — как одну часть целого, когда это целое делится на равные части.
Совет: выделяйте реальные математические задачи
Продолжайте находить как можно больше возможностей для выделения математических задач из реальной жизни.Если вы дублируете рецепт и вам нужно вычислить размеры, обратитесь за помощью к третьекласснику. Измерительные чашки предоставляют ребенку особенно хорошую возможность познакомиться с концепцией дробей, которую они используют в школе. Если в рецепте требуется полторы чашки чего-то, спросите их, сколько 1⁄2 или 1⁄4 чашек им понадобится, пока они не насытятся.
Совет. Выделите реальные примеры дробей.
Поощряйте ребенка замечать, как в реальной жизни используются дроби, например, меню, в котором гамбургеры описываются как четверть фунта, или спортивные игры, которые делятся на половинки.Попросите их попрактиковаться в дробях, нарисовав фигуру, например круг или квадрат, и попросите ее раскрасить половину или три четверти.
Сравнение дробей
Сравните две дроби с одним и тем же числителем (верхнее число) или одним и тем же знаменателем (нижнее число), подумав об их размере и о том, что означают верхние и нижние числа. Например, поймите, что 3/4 чего-то больше, чем 3/5 того же самого объекта, потому что каждая четвертая больше, чем каждая пятая. Поймите, что 4/6 чего-то больше, чем 3/6 того же самого предмета, потому что в нем четыре шестых.
Целые числа
Помните, что дробь с тем же числителем и знаменателем совпадает с единицей — например, 2⁄2 = 1 (две половины равны одному целому). Запишите целые числа в виде дробей — например, 5⁄ (1) равно пяти.
Текущее время
Чтение часов
Считывание круглых циферблатных часов и цифровых часов для определения времени с точностью до минуты. Решайте задачи со словами, требующие сложения и вычитания интервалов времени в минутах.Например: тренировка по футболу заканчивается в 16:15. Хосе говорит вашему ребенку, что его мать заберет их и отвезет домой через 20 минут. Если они придут вовремя, во сколько приедет ваш ребенок?
Измерения и данные
Масса и объем
Измерьте и оцените массу предметов и объем жидкостей в граммах (г), килограммах (кг) и литрах (л).
Решайте словесные задачи, связанные с массой и объемом.
Пример:
Брайан имеет массу 85 килограммов.Джо на 9 килограммов легче Брайана. Какая масса у Джо?
Кружка имеет объем 540 миллилитров. Чашка имеет объем 230 миллилитров. Каков общий объем кружки и чашки?
Данные на графиках
Представьте и интерпретируйте данные на графических изображениях и гистограммах (например, один квадрат представляет пять домашних животных). Решайте одно- и двухэтапные задачи со словами, используя информацию, представленную в виде гистограмм.
Фигуры
Классификация форм
Используйте сходства и различия в геометрических формах, чтобы классифицировать или классифицировать их — например, распознать, что у всех прямоугольников, квадратов и ромбов четыре стороны, что делает их примерами четырехугольников (четыре -сторонние формы).
Разделение фигур
Разделите фигуры на части равного размера. Соотнесите части с частями целого.
Советы, которые помогут третьекласснику в классе математики, можно найти на нашей странице с советами по математике для третьего класса.
Ресурсы TODAY Parenting Guides были разработаны NBC News Learn с помощью профильных экспертов и соответствуют Общим основным государственным стандартам.
Parent Toolkit Staff
Parent Toolkit — это универсальный ресурс для родителей, созданный NBC News Learn.
Проблемы разделения на
: разные модели и примеры
Сегодня мы рассмотрим задач разделения : Как их распознать? Какие бывают разные модели? Что мы делаем для их решения?
1. Задачи деления: повторение
Это первый тип задачи деления , которую вы собираетесь решать. Например:
Всего в моей гостиной на 6 полках 120 книг. Зная, что на каждой полке одинаковое количество книг, подсчитайте, сколько книг на каждой полке.
Находят:
Общее количество предметов: всего 120 книг .
Количество комплектов: размещено на 6 полках.
Вопрос по количеству вещей, которые есть в каждом наборе: Сколько книг по на каждой полке?
Чтобы решить эту проблему, мы должны подумать: если всего 120 книг, распределенных поровну на 6 полках, чтобы определить, сколько книг находится на каждой полке , мы разделим 120 на 6.
Другой пример проблемы этого типа:
Во время прогулки по лесу мы собрали 80 ягод ежевики, которые полностью использовали для приготовления тортов. Если мы положим 4 ежевики в каждый торт, сколько ежевичных лепешек мы приготовили?
Находят:
Всего объектов: собрано 80 ежевики.
Кол-во наборов: в каждый корж кладем 4 ежевики .
Вопрос о количестве вещей в каждом наборе: Сколько лепешек ежевики мы сделали ?
Мы должны подумать: если мы разложим все ягоды ежевики группами по 4 ягоды по всем тортам, разделив 80 ягод ежевики на 4 ягоды каждого торта, мы получим количество торта.
2. Задачи деления: шкала сравнения
В этом типе задачи деления мы сравниваем сумму с другой, которая больше или меньше.
Из Нью-Йорка автобус до города Луи стоит 12 долларов, что в 3 раза больше, чем стоит поездка до города Марты. Сколько стоит автобус до города Марты?
Находят:
Общее количество объектов: Автобус до города Луи стоит 12 долларов.
Число, выражающее сравнение между второй суммой и первой: в 3 раза больше, чем , чем стоит поездка в город Марты.
Вопрос по второй сумме: Сколько стоит автобус до города Марты?
Чтобы решить эту проблему, мы должны подумать: если поездка в город Луи будет стоить в три раза больше, чем в город Марты, то есть в город Марты, это будет стоить в 3 раза меньше. В результате мы разделим 12 ÷ 3, чтобы получить стоимость города Марты.
3. Задачи деления: шкала формул
В задачах этого типа деления нам даются формулы, например, скорость.Например:
Пол — водитель автобуса. Он сказал мне, что каждая поездка, которую он совершает, составляет 240 миль и что он едет со средней скоростью 60 миль в час. Сколько времени нужно, чтобы завершить его путешествие?
Находят:
Общее расстояние: каждая поездка составляет 240 миль.
Скорость: он движется со средней скоростью 60 миль в час.
Вопрос о времени: Сколько времени нужно, чтобы проделать путь?
Чтобы решить эту проблему, мы должны подумать: если он поддерживает скорость 60 миль в час, это означает, что каждый час, который он проезжает, он преодолевает 60 миль.Также известно, что в общей сложности он преодолевает 240 миль. Следовательно, чтобы узнать время, которое потребуется, мы должны разделить 240 на 60: . Его путешествие длится 4 часа.
4. Задачи деления: комбинация или декартово произведение
В задачах этого типа разделения мы найдем два или более набора вещей или людей. Эти наборы объединяются в возможные пары:
В кафе каждое воскресенье предлагают комплексный завтрак, который позволяет каждому покупателю выбрать комбинацию напитка и блюда из пекарни.Зная, что в этом кафе они предлагают в общей сложности 5 различных напитков, а из различных продуктов из пекарни можно приготовить 40 различных комбинаций завтрака…
Находят:
Количество элементов в первом наборе: всего 5 различных напитков.
Количество возможных комбинаций между двумя наборами: можно сделать 40 различных комбинаций завтрака.
Вопрос, касающийся количества элементов во втором наборе: Из скольких хлебобулочных изделий они могут выбрать?
Чтобы решить эту проблему, мы должны подумать: каждый предмет из пекарни можно комбинировать с каждым из 5 различных напитков.Таким образом, из каждого предмета из пекарни можно приготовить 5 различных комбинаций завтрака. Зная, что всего будет 40 различных комбинаций завтраков, мы можем узнать количество предметов из пекарни, разделив 40 ÷ 5: . Они могут выбирать между 8 предметами из пекарни.
Это были четыре основные модели решения проблем разделения.
И это все на сегодня. Что вы думаете об этом посте? Помогло ли это вам лучше понять проблемы разделения? Если вам понравилось, помните, что вы можете попробовать бесплатную пробную версию Smartick, чтобы узнать больше о математике.
Подробнее:
Команда создания контента. Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования! Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.
Что такое коэффициент? Определение, пример, факты
Частное — это число, полученное путем деления одного числа на другое. Например, если мы разделим число 6 на 3, получится 2, что является частным.Это ответ процесса разделения. Частное может быть целым или десятичным числом. Для точных делений, таких как 10 ÷ 5 = 2, у нас есть целое число в качестве частного, а для таких делений, как 12 ÷ 5 = 2,4, частное является десятичным. В процессе деления с десятичным частным в качестве ответа десятичная часть частного является остатком от деления.
Как правило, знание частного помогает понять размер дивиденда по сравнению с делителем. Формула частного — деление на делитель.Частное может быть больше делителя, но меньше делимого. Позвольте нам изучить и узнать больше о частном и методах его вычисления.
Что такое частное в делении?
Деление — это процесс повторяющегося вычитания. Количество раз вычитания равно частному. Деление обозначается математическим символом (÷), который состоит из короткой горизонтальной линии с точкой над и под линией. Частное — это окончательный ответ этого процесса деления.Давайте рассмотрим пример, чтобы понять частное при делении. В примере показано разделение как метод равномерного группирования объектов в группы. В коробке ниже 16 шаров. Разделим их на 4 равные группы. Мы видим, что в каждой группе размещено по 4 шара. Оператор деления для рисунка ниже может быть записан как 16/4 = 4.
Давайте возьмем другой пример, в котором мы разделим плитку шоколада из 12 частей на 3 равные части. Разделив плитку шоколада, мы получим по 4 штуки в каждой части.Оператор деления для этой плитки шоколада может быть записан как 12 ÷ 4 = 3. Здесь полученные 3 части являются частным.
Нахождение частного с использованием деления
Деление — это одна из четырех основных математических операций, остальные три — это сложение, вычитание и умножение. Проще говоря, разделение можно определить как разделение большой группы на равные меньшие группы. Частное — результат процесса деления. По завершении процесса деления получается частное.Разделение можно представить, рассматривая предметы из нашей повседневной жизни, такие как кусочки пиццы или плитка шоколада. Мы видим, что пиццу можно разделить на 4 части или плитку шоколада, и количество полученных кусочков является частным.
Термины, относящиеся к коэффициенту
Представьте, что у вас есть плитка шоколада из 12 штук. Вы хотите поделиться этим со своим другом. Можно ли разделить планку поровну между ними? Будут ли какие-нибудь остатки? Как видите, мы разделили плитку шоколада на 2 части.И вы, и ваш друг получите по 6 кусочков шоколада. Ты заметил? Ни один кусок шоколада не остается нераспространенным. Следовательно, остатка нет. Мы можем записать оператор деления для приведенного выше примера как 12 ÷ 2 = 6. Здесь каждое из чисел в делении может быть обозначено специальными терминами. Давайте проверим следующие термины, тесно связанные с частным.
Условия
Описания
Значения
Дивиденды
Общее количество частей, которые должны быть разделены.
12
Делитель
Количество равных групп, которые должны быть созданы.
2
Частное
Количество штук в каждой группе.
6
Остаток
Оставшийся кусок, не входящий ни в одну группу.
0
Этот пример также можно математически представить следующим образом:
Знать о коэффициентах
Частное в математике можно определить как результат деления числа на любой делитель.Это количество раз, когда делитель содержится в делимом без отрицательного остатка. На изображении, приведенном ниже, делитель 2 содержится 6 раз в делимом 12. Частное больше или меньше делимого, но всегда меньше делимого.
Метод деления для нахождения частного
Метод деления основан на использовании делителя и делимого для нахождения частного. Частное можно вычислить, разделив дивиденд на делитель.Частное = Дивиденд ÷ Делитель. Это наиболее распространенный метод решения задач по разделению. Разберемся в этом на примерах. Решим 435 ÷ 4. Число 435 можно представить на счетах с его сотой, десятками и единицей соответственно.
Следующие два шага помогут понять процесс деления и найти частное.
Шаг 1: Возьмите первую цифру делимого. Если эта цифра больше или равна делителю, то разделите ее на делитель и напишите ответ сверху.Вычтите результат из цифры и напишите ниже. Здесь первая цифра 4, и она равна делителю. Итак, сверху полосы написано 4 ÷ 4 = 1. Результат 4 × 4 = 1 вычитается из цифры и 0 записывается ниже. Затем опустите вторую цифру или цифру на место десяти рядом с 0.
Шаг 2: Мы видим, что у нас есть 03 как результат шага 1. Повторите тот же шаг проверки, больше или меньше это число, чем делитель. Поскольку 03 меньше 4, мы не можем разделить это число.Следовательно, мы пишем 0 сверху и опускаем цифру на место единицы рядом с 3. Теперь у нас есть 35. Поскольку 35> 4, мы можем разделить это число и написать 35 ÷ 4 = 8 сверху. Вычтите результат 4 × 8 = 32 из 35 и запишите 3. 3 называется остатком , а 108 называется частным .
Проверка разделения Результат: Мы можем легко проверить, правильный или неправильный наш ответ. Поскольку процесс деления является обратным умножению, давайте выясним, как мы можем проверить наш ответ, используя эту информацию.Например, 6/2 = 3, а остаток равен 0. Другими словами, 6 = 2 × 3 + 0. Это можно выразить как Дивиденд = Делитель × Частное + Остаток. Давайте еще раз рассмотрим пример, обсужденный выше, где пример. Здесь дивиденд равен 435, делитель — 4, частное — 108, а остаток — 3. Подставляя значение в формулу, мы получаем 435 = 4 × 108 + 3. Следовательно, наш ответ правильный.
Часто задаваемые вопросы по Quotient
Как найти фактор в делении?
Частное при делении можно найти по формуле Дивиденд ÷ Делитель = Частное.Давайте поймем это на простом примере 12 ÷ 4 = 3. Здесь 12 — делимое, 4 — делитель, а 3 — частное.
Всегда ли частное целое число?
Частное не всегда является целым числом. Частное может быть целым или десятичным числом. Для точного деления, такого как 16 ÷ 2 = 8, частное представляет собой целое число, а для делений с остатком частное представляет собой десятичное число, например, 16 ÷ 5 = 3,2 имеет десятичное число в качестве частного.
Что такое коэффициент по математике?
Результат деления известен в математике как частное.В примере 63/9 = 7. 7 будет частным, так как 7 групп могут быть сформированы с 9 единицами в каждой группе. Частное может быть больше или меньше делимого, но меньше делимого.
В чем разница между частным и остатком?
Количество оставшихся единиц, которые не могут быть частью какой-либо меньшей группы, называется остатком. Частное равно тому, сколько раз делитель входит в делимое. Для идеального деления частное — это целое число, а остаток равен нулю.Как правило, остаток иногда учитывается как частное, и в этом случае частное представляет собой десятичное число.
Как мы можем проверить коэффициент деления?
Деление также известно как обратное умножение. Мы можем проверить наши результаты, используя следующую формулу:
Дивиденд = (делитель x коэффициент) + остаток
Как определить коэффициент через длинное деление?
Чтобы найти частное с помощью метода деления в длину, проверьте, сколько раз делитель входит в состав делимого.Вычтите ответ произведения делителя и частного из дивиденда. Эта разница дает остаток. Все члены, участвующие в процессе деления, могут быть представлены в виде уравнения как Дивиденд = Делитель × Частное + Остаток.
Сколько 14 делится на 7?
Когда 14 делится на 7, частное равно 2. Число 14 — это делимое, а число 7 — делитель, и мы имеем 14 ÷ 7 = 2.
В чем разница между коэффициентом и продуктом?
Частное является результатом процесса деления, а произведение — результатом процесса умножения.Частное меньше делимого и делителя. Продукт больше двух указанных чисел.
Что такое дивизия? Определение, значение, примеры
Деление — это одна из четырех основных математических операций, остальные три — это сложение, вычитание и умножение. Проще говоря, раздел можно определить как разделение большой группы на равные меньшие группы.
Разделение можно представить, рассматривая предметы из нашей повседневной жизни, такие как кусочки пиццы или плитка шоколада.Например, если мы делим пиццу на 4 части, мы делаем деление. Таким образом, 1 ÷ 4 = 0,25. Это означает, что каждый кусок этой пиццы в 0,25 раза больше, чем весь кусок пиццы. Давайте изучим эту концепцию подробнее.
Что такое деление?
Деление — это основная арифметическая операция, при которой числа объединяются и делятся таким образом, чтобы получилось новое число. Это значит, что мы разделим одно число на другое, и получится целое новое — третье число.Деление — это метод равномерного группирования объектов в группы, например размещение учащихся рядами во время сборки.
Раздел Определение
Деление — это процесс повторяющегося вычитания. Он обозначается математическим символом, который состоит из короткой горизонтальной линии с точкой над и под линией.
Обозначение деления
Для выполнения операций, требующих деления, мы используем определенные символы. Есть два основных символа разделения, которые представляют разделение.Это ÷ и /. Например, 4 ÷ 2 = 2 и 4/2 = 2
Особые случаи
Ниже приведены три частных случая деления.
Любое число, деленное на 1 (частное равно деленному), дает ответ такой же, как и делимое. Например: 10 ÷ 1 = 10
Число не может быть разделено на 0, поэтому результат не определен. Пример: 60 ÷ 0 = не определено (но 0 ÷ 60 = 0)
Когда делимое равно делителю, что означает те же числа, но не 0, ответ всегда равен 1.Например: 41 ÷ 41 = 1
Какова общая формула деления?
Общая формула деления требует, чтобы у нас были дивиденд, частное, делитель и остаток. Значение каждого из этих терминов можно понять из изображения, приведенного ниже. Чтобы лучше понять концепцию деления, мы рекомендуем просмотреть страницу метода длинного деления. Общая формула деления: Дивиденд = (Делитель × Частное) + Остаток
.
Термины, относящиеся к разделу
Взгляните на приведенную здесь таблицу, чтобы понять термины, относящиеся к разделению, приведенному в разделе, выполненном здесь ранее через изображение выше.
Условия
Описания
Значения
Дивиденды
Общее количество акций, которые будут разделены
105
Делитель
Количество равных групп, которые должны быть сформированы
8
Частное
Количество акций в каждой группе
13
Остаток
Оставшаяся доля, не входящая ни в одну группу
1
Проверка результата деления
Мы можем легко проверить, правильный наш ответ или нет.Поскольку деление — это обратное умножению, давайте выясним, как мы можем проверить наш ответ, используя эту информацию. Например, 6 ÷ 2 = 3, остаток = 0. Другими словами, 6 = 2 × 3 + 0. Это может быть выражено как Дивиденд = (Делитель × Частное) + Остаток.
Давайте еще раз рассмотрим рассмотренный выше пример, где
дивиденд = 105
делитель = 8
частное = 13
остаток = 1
Подставляя значение в формулу, получаем 105 = (8 × 13) + 1 = 104 + 1 = 105.Следовательно, наш ответ правильный.
Метод длинного деления
Метод длинного деления — это наиболее распространенный метод, используемый для решения задач по делению. В этом процессе делитель записывается за правыми скобками, а делимое — внутри. Частное указывается над чертой сверху над дивидендом. В математике частное можно определить как результат деления числа на любой делитель. Это количество раз, когда делитель содержится в делимом без отрицательного остатка.
Шаг 1: Возьмите первую цифру делимого. Если эта цифра больше или равна делителю.
Шаг 2: Затем разделите полученное значение на делитель и напишите ответ сверху.
Шаг 3: Вычтите результат из цифры и запишите ниже.
Шаг 4: Снова повторите тот же процесс.
Разберемся в процессе деления на примере.Например, мы должны разделить 435 на 4. Значит, нам нужно 435 ÷ 4.
Часто задаваемые вопросы по Дивизиону
Какие два типа деления?
Подразделение разделено на две части: частичных и котельных моделей. Partitive используется при делении числа на известное количество слотов. Например, если мы разделим 4 на 2 слота, мы сможем узнать, сколько предметов будет в каждом слоте. Котировальное деление используется при делении числа на ячейки измеряемой величины.Например, когда мы делим 4 на слоты по 2, мы можем определить, сколько слотов можно создать.
Какие три части деления?
Три основных подмножества или части деления — это дивиденды, частное и делитель.
Как делить, если делитель больше дивиденда?
В этом случае деления мы можем просто добавлять нули к делимому до тех пор, пока не станет целесообразным дальнейшее деление. Кроме того, мы можем разделить частное на те же степени 10 для окончательного ответа, как только мы сделаем деление правильно.
Как разделить дроби?
Делить дроби так же просто, как делить любые другие два числа. Числитель становится делителем, а знаменатель становится делимым. Однако в случае дробей мы можем получить остаток чаще, чем часто.
Как разделить десятичные дроби?
Разделить десятичные дроби так же просто, как разделить любые другие два числа. Все, что вам нужно сделать, это умножить десятичную дробь на десятичную, пока не получится целое число.Затем вы можете выполнить обычный процесс разделения. Получив окончательный ответ, не забудьте разделить его с той же степенью десяти, что и раньше.
Что такое метод длинного деления?
Метод длинного деления — это наиболее распространенный метод, используемый для решения задач по делению. В этом процессе делитель записывается за правыми скобками, а делимое — внутри. Частное указывается над чертой сверху над дивидендом.
Каковы этапы метода длинного деления?
Шаги для деления в столбик:
Шаг 1: Возьмите первую цифру делимого.Если эта цифра больше или равна делителю.
Шаг 2: Затем разделите полученное значение на делитель и напишите ответ сверху.
Шаг 3: Вычтите результат из цифры и запишите ниже.
Шаг 4: Снова повторите тот же процесс.
Почему деление на ноль не определено?
Деление на ноль не определено, потому что нельзя делить любое число на ноль. Это потому, что когда любое число умножается на ноль, ответ — 0.Теперь подумайте об обратном. 1/0 будет иметь бесконечное значение. Мы не можем количественно определить это значение в математике. Следовательно, деление любого числа на ноль не определено.
Как объяснить деление третьекласснику
Освоив сложение и вычитание, ученики третьего класса обычно начинают изучать основы умножения и деления. Эти математические концепции могут быть трудными для понимания, поэтому используйте несколько различных методов, чтобы объяснить деление ученику третьего класса, а не сосредотачиваться только на рабочих листах и упражнениях.
Противоположность умножению
Учащиеся третьего класса обычно имеют базовые представления об умножении, прежде чем они начнут изучать деление. Представление деления как процесса, противоположного умножению, может помочь им легче понять эту концепцию. Начните с рассмотрения сложения и того, что вычитание — это противоположный процесс. Объясните: умножение и деление связаны одинаково. Например, покажите, что 3 + 5 = 8 связано с проблемой 8-3 = 5, потому что это те же числа, только расположенные по-другому.Таким же образом 4×7 = 28 связано с 28/7 = 4.
Деление как задача в словах
Студенты часто сопротивляются задачам со словами, но на самом деле это лучший способ познакомить с абстрактными понятиями, такими как значение символа деления. Обсудите несколько словесных задач, которые могут потребовать разделения. Используйте примеры, которые могут быть понятны третьекласснику. Например, предположим, что семья из двух родителей и двух детей заказывает пиццу из 12 кусочков. Семья из четырех человек должна поровну разделить пиццу между собой, чтобы каждый получил по три ломтика.Эта проблема такая же, как и проблема деления 12/4 = 3.
Практическая практика
Пусть третьеклассник попрактикуется в разделении с объектами, которыми он может манипулировать для решения задач. Попросите учащегося записать каждую практическую задачу как традиционную задачу разделения, чтобы он мог установить связь между процессом и письменной задачей. Раздайте примерно 30 небольших предметов, например, конфет, кубиков или бусин. Проведите учащегося через процесс подсчета количества предметов в начале задачи и их сортировки на определенное количество групп равного размера.Например, в задаче 18/6 ребенку нужно отсчитать 18 предметов. Затем он должен разделить их на шесть групп. Он может сделать это, поместив по одному предмету в каждое из шести разных мест, а затем добавляя по одному в каждую из этих шести групп, пока не закончит свое существование. Он должен подсчитать количество предметов в каждой стопке, чтобы получить ответ на задачу разделения. Покажите, что он также может решить эту задачу, разделив 18 объектов на группы по шесть объектов в каждой и посчитав их количество.
Повторное вычитание
Третьеклассники освоили вычитание с несколькими разрядами, поэтому вы можете научить их, что они всегда могут использовать повторное вычитание для решения задачи деления.При повторном вычитании вы вычитаете меньшее число из большего, пока не получите ноль, а затем подсчитываете, сколько раз вам приходилось вычитать меньшее число. В результате получается ответ на проблему деления большего числа на меньшее. Например, предположим, что ребенку нужно решить задачу 24/8. Учащийся может решить 24-8 = 16, 16-8 = 8 и 8-8 = 0.
Попытка использовать Raspberry Pi 4 в качестве десктопа. Часть 1, Raspbian / Хабр
Привет, Хабр.
С момента появления Raspberry Pi 4 стало значительно больше желающих использовать этот микрокомпьютер в качестве основного ПК. Вычислительная мощность Pi4 стала уже весьма неплохой, да и полноценный Linux «на борту» звучит многообещающе. Меня давно интересовала возможность использования портативного и бесшумного ПК для несложных задач вроде набора этого текста, где «настоящий» десктоп избыточен, а планшет неудобен. Я купил топовую модель Raspberry Pi 4 c 8 Гб памяти — настала пора проверить, как это работает.
Для тех, кому интересно что из этого получилось (спойлер — работает пока далеко не всё), подробности под катом.
Зачем это надо?
Разумеется, мотивация использования Raspberry Pi может быть разной. Кому-то может пригодиться недорогой Linux-десктоп для обучения. У кого-то может вообще нет денег на полноценный ПК. Мне же давно хотелось иметь 100% бесшумный и потребляющий мало электроэнергии компьютер для использования в качестве медиа-центра и «пишущей машинки». Я уже описывал опыт использования Samsung DeX в качестве десктопа, и опыт в целом оказался весьма положительным — для набора текстов и просмотра видео на большом экране мощности моего Galaxy S10 вполне хватает. Но количество софта под Android, способного полноценно работать в десктоп-режиме весьма ограничено, да и не каждый сайт корректно отображается под Android в десктоп-режиме. Например, здесь на Хабре нет всплывающих подсказок у иконок форматирования текста и комментариев, видимо программисты сайта не учитывали что кто-то на Android будет использовать мышь.
Но DeX это все же Android. Другое дело linux — полная свобода в плане установки любых библиотек, компонентов, полноценная консоль, USB, GPIO и работа с «железом». Звучит многообещающе, посмотрим как это работает.
Перед началом напомню, что для полноценного использования Raspberry Pi в качестве десктопа нужно хорошее охлаждение. Т.к. я принципиально не хотел иметь кулер, был куплен вот такой корпус:
Корпус показал себя хорошо в плане отвода тепла, даже при продолжительной нагрузке ни перегрева, ни зависаний не было.
Как известно, недавно вышла версия Ubuntu для Raspberry Pi, и её мы тоже протестируем. Но для начала стало интересно посмотреть старый добрый Raspbian, который знаком любителям DIY уже много лет.
поддержка 2х мониторов, разъемы micro-HDMI (разрешение до 4kp60)
поддержка H.265 (4kp60 decode), h364 (1080p60 decode, 1080p30 encode)
По описанию, все неплохо. Но первый же запуск показал, что работает система весьма небыстро. Решение простое — частоту процессора нужно повысить. По умолчанию ОС работает в «щадящем» режиме, т.к. Raspberry Pi поставляется без радиатора и без кулера, и в противном случае система будет просто повисать. Решение: редактируем файл config.txt командой sudo nano /boot/config.txt и раскомментируем две строчки:
over_voltage=2
arm_freq=1750
После этого все стало заметно приятнее. Web-бенчмарк показал прирост 36 до 48 «условных единиц».
Недостаток, который доставляет неудобства — отсутствие у Raspberry Pi кнопки питания и спящего режима. Если система выключена, включить её можно лишь перетыканием блока питания. Перевести ОС в «спящий режим» тоже нет возможности, никакой системы управления питанием на плате нет. Хотя можно использовать USB-кабель с выключателем — дешево и сердито:
Потребление электричества, кстати, вполне умеренное, при воспроизведении видео через браузер потребляется чуть менее 5 Вт:
Компиляция в 4 ядра командой make -j4 дает примерно такое же электропотребление, а при наборе этого текста в браузере потребляется примерно 3 Вт.
Браузер
С браузером все оказалось не так просто. Во-первых, вместе с Raspbian поставляется браузер Chromium. И Chromium != Chrome. Я не знаю, может ядро у них и одинаковое, но в некоторых новостных сайтах не открывалось видео, а Amazon Prime вообще отказался работать, выдав сообщение о несовместимом браузере. Само окно с фильмами открывается нормально:
А вот при попытке проиграть что-либо выдается сообщение об ошибке:
Попытки подменить User Agent ни к чему не привели, ошибка выдавалась в другом месте. Правка: в интернете нашлось несколько инструкций для установки DRM-компонента «Widevine Content Decryption Module» путем извлечения его из образа Chrome OS. Несколько из опубликованных скриптов не заработали, наконец, рабочая инструкция нашлась на этом сайте.
Youtube открывается нормально, но при воспроизведении звука были слышны щелчки. Вроде такого не должно быть, ведь производители Raspberry Pi 4 обещали поддержку до 4К. Как оказалось, это известная проблема в Linux при воспроизведении звука через HDMI, и решается правкой файла /etc/pulse/default.pa. После чего звук стал нормальный.
Прочие сайты, например Gmail и Google Docs работают, хотя и не быстро.
Редактирование текста здесь на Хабре работает без проблем, а вот вставка картинок в habrastorage через буфер обмена не работает.
Бенчмарк web.basemark.com работал довольно долго, и в результате выдал оценку 64.8 «попугаев»:
Для сравнения, последний Microsoft Surface X выдает в том же тесте 457 — разница практически соответствует разнице цены устройств.
В комментариях был вопрос про скорость WiFi, вот такие результаты показывает SpeedTest:
Смартфон Galaxy S10 показал с тем же WiFi вдвое большую скорость download (64.3 MBps) и такую же (19.6 MBps) скорость upload. Возможно, скорость таки падает из-за металлического корпуса Raspberry Pi, но и 33 МБит/с достаточная величина для реального применения.
Программирование
С программированием все можно сказать, неплохо. Конечно, профессиональный десктоп Raspberry Pi 4 не заменит, но в принципе, практически все языки и библиотеки, от Python до Fortran можно запустить на Raspberry Pi.
Для Python кстати, есть простой но удобный редактор Mu:
Для совсем маленьких доступен Scratch:
В общем, для обучения программированию или просто для обучения и экспериментов с linux Raspberry Pi подходит весьма неплохо. И даже отсутствие диска здесь скорее плюс — даже если система «запорота» полностью, SD-карту можно вытащить и за 5 минут залить образ заново.
Что касается самого Linux, консольных команд, bash и прочего — все работает стандартно и «как положено», никаких сложностей тут нет. Пример отображения загрузки системы в htop при запущенном браузере и нескольких программах:
Загрузка ядер ЦП как можно видеть, невелика, однако воспроизведение видео в браузере повышает её примерно до 70%. Если сделать некое подобие «стресс-теста», открыв несколько вкладок браузера с большими документами, youtube, графический редактор, проводник, то загрузка ЦП упирается в максимум (что неудивительно), но памяти хватает с большим запасом:
Можно предположить, что версия с 8 Гб памяти является избыточной в плане цены, и модели с 4 Гб вполне хватило бы. В завершение, информация о процессоре:
Заключение
Текст этой статьи набран на Raspberry Pi. Пока что впечатления от устройства двойственные. С одной стороны, по сравнению со старыми моделями прирост производительности весьма неплохой, и систему в принципе почти на 100% можно использовать. С другой стороны, пока работает еще не все, хотя можно надеяться что будущие обновления исправят часть проблем. И наконец, было бы странно требовать очень многого от ПК ценой 50$ — по соотношению цена/качество систему можно считать весьма неплохой.
Описание установки Ubuntu на Raspberry Pi 4 доступно во второй части.
Qt на Raspberry Pi 4
Qt на Raspberry Pi 4
Qt часто используется для разработки графических интерфейсов. Qt содержит библиотеки C ++ для создания графических интерфейсов, которые могут быть скомпилированы на различных операционных системах. Поскольку эта компиляция требует больших вычислительных мощностей, при работе с процессорами относительно небольшой мощности рекомендуется выполнять разработку и компиляцию на главном компьютере и только затем загружать готовое приложение на целевой компьютер. Существует множество инструкций по разработке приложения Qt для моделей Raspberry Pi 3 и Pi 4.
К сожалению, я не смог найти ту, которая бы безупречно работала для Raspberry Pi 4 в наших условиях.
Эти инструкции в значительной степени основаны на https://github.com/abhiTronix/raspberry-pi-cross-compilers/blob/master/QT_build_instructions.md и изменены в некоторых местах в зависимости от наших условий.Версия 5.15.2 используется для Qt, и я использую Ubuntu 20.0.4 LTS, который установлен в vmware в качестве хост-компьютера для кросс-компиляции.
Предварительные требования
Системные требования
Хост [ПК/ноутбук]: любая машина x86/x86_64 AMD/Intel Целевой [Raspberry Pi 4]: Raspberry Pi 4
Программные требования
Хост: любая машина Linux (Ubuntu 20.04 LTS Tested) Целевой: Raspberry Pi 4 Linux 32-разрядная операционная система (Raspbian Bullseye Lite была проверена)
Примечание
В фоновом режиме используются инструменты кросс-компиляции Raspberry Pi отabhiTronix.
Прочее
Требования по времени и объему хранилища: каталог для сборки занимает около ~10 ГБ, для сбокри требуется около 2-5 часов (на основе зависимостей и характеристик хост-машины). Сеть: ваша целевая машина (Raspberry Pi) и хост-машина (где выполняется кросс-компиляция) ДОЛЖНЫ иметь доступ к Интернету и ДОЛЖНЫ быть в ОДНОЙ сети.
Подготовка Raspberry Pi 4
Для базовой установки нам нужна операционная система Raspberry Pi OS Lite на Pi 4. Я использовал «2022-04-04-raspios-bullseye-armhf-lite.img.xz».
Загружаемые файлы и инструкции по созданию SD-карты можно найти на странице https://www.raspberrypi.org/downloads/raspbian/.После включения Pi 4 появляется меню конфигурации, в котором можно настроить различные параметры (например, указать имя хоста, IP-адрес, пользователя и т. д.). Для нашей конфигурации потребуется активировать «SSH».
Установка и обновление пакетов программного обеспечения
Добавьте источники разработки в /etc/apt/sources. list с помощью следующей команды:
sudo sed -i -e 's/\#deb-src/deb-src/g' /etc/apt/sources.list
Затем обновите систему с помощью следующих команд:
Заключительный шаг на целевой машине (Raspberry Pi)
Обновление линкера на Raspberry Pi
Введите следующую команду на Raspberry Pi, чтобы обновить устройство, позволяющее компоновщику найти новые двоичные файлы QT:
echo /usr/local/qt5. 15/lib | sudo tee /etc/ld.so.conf.d/qt5.15.conf
sudo ldconfig
Установка Qt Creator
Лучший способ разработки Qt-приложений –использовать Qt Creator. Чтобы установить его, загрузите и запустите установочные файлы с веб-сайта Qt.
Настройте Qt Creator для кросс-компиляции
Ознакомьтесь с блогом Настройка Qt-Creator на Ubuntu 20 Lts для кросс-компиляции для добавления скомпилированных двоичных файлов (папка ~/rpi-qt/qt5.15) в Qt Creator.
Предложения или ошибки
Если у вас есть предложения по улучшению или вы обнаружили некоторые ошибки – не стесняйтесь использовать контактную форму в конце этой страницы и сообщить их нам.
Это — руководство по установке Raspberry Pi OS Lite на Compute Module 4. В качестве рабочего компьютера я использую Ubuntu 20, установленную на виртуальной машине.
Дополнительная информация
Это — руководство по кросс-компиляции Qt 5.15.2 для Raspberry Pi 4 и его установке в Compute Module 4.
Это обновление моего сообщения в блоге Qt на Raspberry Pi 4, с той разницей, что на этот раз я использую Raspberry Pi OS Lite.
Дополнительная информация
Это — руководство по настройке Qt Creator для использования кросс-скомпилированных библиотек Qt для Raspberry Pi 4 и для создания приложений для Raspberry.
Дополнительная информация
В этом руководстве мы расскажем вам как настроить Yocto Project для установки Qt и демо приложения Qt для Raspberry Pi 4, а затем автоматически запустить это демо приложение Qt.
Дополнительная информация
На этой странице мы предоставляем ссылки для скачивания скриптов для автоматической настройки кросс-компиляции на линукс-хосте и Raspberry Pi 4 и описание как их использовать.
Дополнительная информация
В этом блоге я хотел бы представить небольшое приложение Qt-Quick (qml) в качестве примера подключения Modbus через TCP/IP. В примерах Qt я нашел только примеры QWidget для подключений Modbus, и после того, как я недавно создал для этой цели приложение Qt Quick, я хотел бы в качестве примера привести его уменьшенную версию.
Дополнительная информация
Если вы создали приложение Qt или любое другое приложение для Raspberry Pi 4, зачастую есть необходимость, чтобы приложение запускалось сразу после перезапуска Raspberry.
Это часто делается с помощью сценариев запуска, которые можно вводить в разных местах.
Тем не менее, более разумно сделать это через systemd.
Дополнительная информация
Задача состояла в том, чтобы написать приложение Qt Quick (GUI) для загрузки новой прошивки в сенсорный контроллер. Производитель предоставил приложение для загрузки в приложение.exe, которое загружает файл .bin в сенсорный контроллер.
Я хотел использовать Qt-классы «QProcess», с помощью которых можно вызывать и контролировать приложения оболочки. На стороне Linux я уже несколько раз успешно их использовал, но на Windows они сначала не работали.
Дополнительная информация
Сверхпопулярный компьютер Raspberry Pi резко подорожал впервые в истории. Дело идет к его жестокому дефициту
Техника
|
Поделиться
Производитель популярных одноплатных компьютеров Raspberry Pi впервые за время своего существования поднял цены на свою продукцию. 2-гигабайтная модель Raspberry Pi 4 подорожала почти на треть. Зато на виртуальные прилавки вернулась ранее снятая с производства модификация с 1 ГБ оперативной памяти. Некоторые более старые версии одноплатника получили от производителя низкий приоритет – их будут выпускать в меньших объемах. В компании заявляют, что все это вынужденная, но временная мера – глобальный дефицит полупроводников не обошел Raspberry Pi стороной.
RPI 4 подорожал
Raspberry Pi (RPI) Trading, занимающаяся разработкой и реализацией популярных одноплатных компьютеров, подняла цены на часть ассортимента своей продукции. Такое происходит в первые в истории компании. По словам ее главы (CEO) Эбена Аптона (Eben Upton), это временная мера, пойти на которую вынудила глобальная нехватка электронных компонентов.
Несмотря на значительно возросший спрос со стороны клиентов RPI, в 2021 г. компания отгрузит всего около 7 млн единиц продукции – примерно столько же, сколько и по итогам 2020 г., сетует Аптон. Проблемы в цепочках поставок не позволили пополнить запасы достаточным количеством одноплатных компьютеров, в особенности это коснулось Raspberry Pi 4 Zero и 2-гигабайтной версии Raspberry Pi 4. В 2022 г. RPI не ожидает существенного улучшения ситуации. Продукция компании, основанная на 40-нанометровых чипах – то есть большая часть до сих пор производимых изделий за исключением Raspberry Pi 4, Raspberry Pi 400 и Compute Module 4 (28-нанометровый техпроцесс) – будет в жесточайшем дефиците.
Поэтому с 20 октября 2021 г. Raspberry Pi 4 с 2 ГБ оперативной памяти отпускается производителем по $45 за штуку. С конца февраля 2020 г. данную модель можно было приобрести за $35 – именно тогда производитель установил на нее «бессрочную скидку» в $10. Скидка, как тогда заявил Аптон, стала возможной благодаря падению мировых цен на память и была приурочена к восьмилетию организации Raspberry Pi Foundation. Таким образом, теперь цены на 2-гигабайтный RPI 4 вернулись к уровню начала 2020 г.
Одновременно с этим в продажу вернулась 1-гигабайтная модель Raspberry Pi 4 по цене в $35. В марте 2020 г. производство данной модификации одноплатника было свернуто.
Стоимость топовой (с 8 ГБ памяти) и предтоповой (4 ГБ) конфигураций мини-компьютера осталась неизменной – $75 и $55 за штуку соответственно.
Raspberry Pi 4 – это одноплатный компьютер размером с банковскую карту, построенный на базе 64-битного чипа Broadcom BCM2711 (четыре ядра ARM Cortex A72, работающих на частоте 1,5 ГГц). Устройство оснащено аппаратными декодерами HEVC/H.265 (до 60 кадров в секунду при выводе 4K-видео) и h364 (декодирование до 1080p60, кодирование до 1080p30 encode), а также поддержкой графики OpenGL ES 3.0. Обладает двумя портами micro-HDMI и способно выводить 4K-видео на оба одновременно. Что касается сетевых возможностей, следует отметить гигабитный LAN, двухдиапазонный Wi-Fi (2,4 ГГц и 5,0 ГГц), Bluetooth 5.0, BLE.
Изменение приоритетов
По словам Эбена Аптона, ограниченные запасы 40-нанометровых чипов вынуждают компанию отдавать предпочтение определенным моделям одноплатников предыдущего, третьего поколения. Так, повышенный приоритет от производителя получат Compute Module 3 (вычислительный модуль), его улучшенная версия – Compute Module 3+ и Raspberry Pi 3B, пониженный – Raspberry Pi 3B+.
Представителям бизнеса, желающим увеличить парк «неприоритетных» Raspberry Pi 3B+ Аптон советует закупать 1-гигабайтные версии Raspberry Pi 4. По его словам, эти две модели располагают аналогичными чипсетами беспроводной связи, что позволяет снизить расходы на тестирование оборудование и миграцию в целом.
Краткая история Raspberry Pi
Впервые о компьютерах Raspberry Pi стало известно в мае 2011 г., когда сооснователь британской Raspberry Pi Foundation Дэвид Брэбен (David Braben) продемонстрировал первый работоспособный концепт микрокомпьютера. В августе 2011 г. стартовало тестовое производство альфа-версии компьютера Raspberry Pi, а выпуск финальной версии модели Raspberry Pi B начался в феврале 2012 г. Цена на момент релиза составляла $35, а спустя год, в феврале 2013 г., состоялась презентация Raspberry Pi A стоимостью $20.
Отечественные разработчики создадут замену Microsoft System Center
Инновации для промышленности
Сегодня модельный ряд Raspberry Pi включает более десятка различных конфигураций одноплатника. «Облегченные» версии – Zero и Zero W – увидели свет в ноябре 2015 г. и феврале 2017 г. соответственно, а их рекомендуемая стоимость составила всего лишь $5 и $10.
Также в январе 2019 г. был анонсирован вычислительный модуль Raspberry Pi Compute Module 3+ в версиях с 8, 16 и 32 ГБ флеш-памяти и вовсе без нее по цене от $25.
В конце июня 2019 г. был выпущен Raspberry Pi 4. Новинка получила полное обновление основных компонентов, включая процессор, память и интерфейсы, но сохранила старую цену – $35.
В феврале 2019 г. Raspberry Pi Foundation открыла свой первый офлайн-магазин в Кембридже (Великобритания), преследуя цель по привлечению новых клиентов, тех, кто раньше или вовсе ничего не знал об одноплатных микрокомпьютерах, или лишь вскользь слышал о них.
Чем заменить ушедшие Zoom, MS Teams и Cisco Webex?
Импортозамещение ВКС
В октябре 2020 г. была представлена промышленная версия Raspberry Pi 4 – Compute Module 4. Заявлены вычислительная мощь «большого» Raspberry, поддержка беспроводной связи, обновленный, более компактный форм-фактор, масса вариантов конфигурации – по цене от $25.
В январе 2021 г. свет увидела первая микроконтроллерная плата компании – Raspberry Pi Pico, самое дешевое устройство в ассортименте RPI – $4 за штуку.
Бесплатный фотошоп: лучшие программы для обработки фото онлайн
Дмитрий Степанов
Asus Tinker Board vs Raspberry Pi 4 Model B: в чем разница?
57балла
Asus Tinker Board
73балла
Raspberry Pi 4 Model B
1GB2GB
Победитель при сравнении
vs
60 фактов в сравнении
Asus Tinker Board
Raspberry Pi 4 Model B
Почему Asus Tinker Board лучше чем Raspberry Pi 4 Model B?
20% выше скорость центрального процессора? 4 x 1.8GHzvs4 x 1.5GHz
16.01% меньше объем корпуса? 83.59cm³vs99.53cm³
4mm ниже? 54mmvs58mm
1.5mm тоньше? 18mmvs19. 5mm
0.2 более новая версия OpenGL ES? 3.2vs3
Имеет разъем для микрофона?
Есть выходящий порт S/PDIF?
Почему Raspberry Pi 4 Model B лучше чем Asus Tinker Board?
2GB больше оперативной памяти? 4GBvs2GB
Поддерживает 64-разрядную систему?
1 больше HDMI разъемов? 2vs1
2GB больше максимальный объем памяти? 4GBvs2GB
1 более новая версия USB? 3vs2
1 более новая версия Bluetooth? 5vs4
1 больше выходов DisplayPort? 1vs0
Интерфейс 802.11ac WiFi?
Какие сравнения самые популярные?
Orange Pi Plus
vs
Raspberry Pi 4 Model B
Orange Pi RK3399
vs
Raspberry Pi 4 Model B
Orange Pi Zero
vs
Raspberry Pi Zero 2 W
Orange Pi One
vs
Orange Pi One Plus
Orange Pi One
vs
Raspberry Pi 3 Model B Plus
Nvidia Jetson Nano
vs
Raspberry Pi 4 Model B
Orange Pi i96
vs
Orange Pi Zero
Asus Tinker Board
vs
Raspberry Pi 4 Model B
LattePanda Delta 432
vs
Raspberry Pi 4 Model B
Orange Pi One
vs
Orange Pi Zero
Сопоставление цен
Производительность
1. Использует технологию big.LITTLE
✖Asus Tinker Board
✖Raspberry Pi 4 Model B
Используя технологию big.LITTLE, чип может переключаться между двумя наборами процессоров, чтобы обеспечить максимальную производительность и срок службы батареи. Например, во время игр более мощный процессор будет использоваться для повышения производительности, в то время как проверка электронной почты будет использовать менее мощный процессор для продления срока службы аккумулятора.
2.оперативная память
Оперативная память (RAM) — это форма памяти, используемая для хранения рабочих данных и машинного кода, используемого в настоящее время. Это временное виртуальное хранилище с быстрым доступом, которое можно читать и изменять в любом порядке, что обеспечивает быструю обработку данных.
Может поддерживать более быструю память, которая ускоряет производительность системы.
4.имеет слот для карт памяти
✔Asus Tinker Board
✔Raspberry Pi 4 Model B
Устройство имеет стандартный слот для карт памяти (SD, MicroSD и т.п.), так что вы можете либо расширить внутреннюю память с доступными модулями памяти, либо можете легко извлечь с карты памяти данные, такие как фотографии.
5.максимальное количество поддерживаемой внешней памяти
Неизвестно. Помогите нам, предложите стоимость. (Raspberry Pi 4 Model B)
Встроенная память это встроенное пространство для хранения в устройстве системных данных, приложений и пользовательских данных. Благодаря большому объему внутренней памяти вы можете сохранять больше файлов и приложений на вашем устройстве.
Неизвестно. Помогите нам, предложите стоимость. (Raspberry Pi 4 Model B)
Скорость памяти — это один из аспектов, который определяет пропускную способность памяти.
9.Поддерживает 64-разрядную систему
✖Asus Tinker Board
✔Raspberry Pi 4 Model B
32-разрядная операционная система может поддерживать до 4 Гб оперативной памяти. 64-разрядная позволяет более 4 Гб, что повышает производительность. Она также позволяет запускать 64-разрядные приложения.
Подключение
1.USB разъемы
При большем количестве USB разъемов вы имеете возможность подключить большее количество устройств.
2.версия USB
Более новые версии USB работают быстрее и имеют лучшее управление энергопотреблением.
3.Имеет USB Type-C
✖Asus Tinker Board
✖Raspberry Pi 4 Model B
USB Type-C имеет двустороннюю ориентацию коннектора и направление кабеля.
4.имеет HDMI выход
✔Asus Tinker Board
✔Raspberry Pi 4 Model B
Устройства с портами HDMI или мини-HDMI могут транслировать видео и аудио высокой четкости на подключенный дисплей.
5.имеет Wi-Fi
✔Asus Tinker Board
✔Raspberry Pi 4 Model B
Устройство может подключаться к Wi-Fi.
6.версия Bluetooth
Bluetooth — это стандарт беспроводной технологии, который позволяет передавать данные между устройствами, расположенными в непосредственной близости, с использованием коротковолновых сверх высокочастотных радиоволн. Более новые версии обеспечивают более быструю передачу данных.
7.Есть Bluetooth
✔Asus Tinker Board
✔Raspberry Pi 4 Model B
Bluetooth — беспроводная технология, позволяющая с лёгкостью передавать данные между устройствами: смартфонами, планшетниками и компьютерами.
8.выходы мини-DisplayPort
Позволяет подключаться к дисплею с использованием мини- DisplayPort.
9.поддерживает Ethernet
✔Asus Tinker Board
✔Raspberry Pi 4 Model B
Ethernet — пакетная технология передачи данных преимущественно локальных компьютерных сетей.
Датчики
1.Имеет инфракрасный датчик
✖Asus Tinker Board
✖Raspberry Pi 4 Model B
С инфракрасным датчиком, устройство может обнаруживать движение путем измерения инфракрасного (ИК) излучения объектов в его поле зрения.
2.имеет акселерометр
✖Asus Tinker Board
✖Raspberry Pi 4 Model B
Акселерометр — это датчик для измерения линейного ускорения устройства. Обычное он применяется для обнаружения перехода устройства из вертикального в горизонтальное положение.
3.имеет компас
✖Asus Tinker Board
✖Raspberry Pi 4 Model B
Компас используется в играх, картах и навигационном ПО.
4.имеет гироскоп
✖Asus Tinker Board
✖Raspberry Pi 4 Model B
Гироскоп — это датчик, который может быть использован для измерения ориентации устройства, например, путем измерения угловой скорости вращения. Первоначально они были построены с использованием вращающегося ротора для обнаружения изменений в ориентации, таких как кручение или вращение.
Прочее
1.версия HDMI
HDMI 2.0
Неизвестно. Помогите нам, предложите стоимость. (Raspberry Pi 4 Model B)
Новые версии HDMI поддерживают более высокую пропускную способность, что обеспечивает более высокое разрешение и частоту кадров.
Сопоставление цен
Oтменить
Какие одноплатных компьютеров лучше?
Запуск примеров на Raspberry Pi 4 B
Запуск примеров на Raspberry Pi 4 B
Пожалуйста, включите JavaScript в браузере!
Запуск примеров на Raspberry Pi 4 B
Коммутация компьютера и Raspberry Pi 4 B
Чтобы видеть вывод примеров на компьютере, выполните следующие действия:
Соедините пины преобразователя USB-UART на базе FT232 с соответствующими GPIO-пинами Raspberry Pi 4 B (см. рис. ниже).
Схема соединения преобразователя USB-UART и Raspberry Pi 4 B
Соедините USB-порт компьютера и преобразователь USB-UART.
Установите PuTTY или другую аналогичную программу для чтения данных из COM-порта. Настройте параметры следующим образом: bps = 115200, data bits = 8, stop bits = 1, parity = none, flow control = none.
Чтобы компьютер и Raspberry Pi 4 B могли взаимодействовать через сеть Ethernet, выполните следующие действия:
Соедините сетевые карты компьютера и Raspberry Pi 4 B с коммутатором или друг с другом.
Выполните настройку сетевой карты компьютера, чтобы ее IP-адрес был в одной подсети с IP-адресом сетевой карты Raspberry Pi 4 B (параметры сетевой карты Raspberry Pi 4 B задаются в файле dhcpcd.conf, который находится по пути <название примера>/resources/...).
Подготовка загрузочной SD-карты для Raspberry Pi 4 B
Загрузочную SD-карту для Raspberry Pi 4 B можно подготовить автоматически и вручную.
Чтобы подготовить загрузочную SD-карту автоматически, подключите SD-карту к компьютеру и выполните следующие команды:
# Следующая команда создает файл образа загрузочного
Скопируйте загрузчик U-Boot на SD-карту, выполнив следующие команды:
# В следующих командах путь ~/mnt/fat32 используется для примера. Вы
# можете использовать другой путь.
$ mkdir -p ~/mnt/fat32
# В следующей команде [X] – последний буквенный символ в имени блочного
# устройства для раздела на отформатированной SD-карте.
$ sudo mount /dev/sd[X]1 ~/mnt/fat32/
$ sudo cp u-boot.bin ~/mnt/fat32/u-boot.bin
Скопируйте конфигурационный файл для загрузчика U-Boot на SD-карту. Для этого перейдите в директорию /opt/KasperskyOS-Community-Edition-<version>/examples и выполните следующие команды:
$ sudo cp config.txt ~/mnt/fat32/config.txt
$ sync
$ sudo umount ~/mnt/fat32
Запуск примера на Raspberry Pi 4 B
Чтобы запустить пример на Raspberry Pi 4 B, выполните следующие действия:
Перейдите в директорию с примером и соберите пример.
Скопируйте на загрузочную SD-карту образ решения на базе KasperskyOS. Для этого подключите загрузочную SD-карту к компьютеру и выполните следующие команды:
# В следующей команде [X] – последний буквенный символ в имени блочного
# устройства для раздела на загрузочной SD-карте.
# В следующих командах путь ~/mnt/fat32 используется для примера. Вы
Подключите загрузочную SD-карту к Raspberry Pi 4 B.
Подайте питание на Raspberry Pi 4 B и дождитесь, пока запустится пример.
О том, что пример запустился, свидетельствует вывод, отображаемый на компьютере.
В начало
Raspberry Pi 4: обзор, руководство по покупке и использование
Аппаратный вердикт Тома
Начиная всего с 35 долларов за модель с 2 Гб памяти, Raspberry Pi 4 — лучший в мире одноплатный компьютер, незаменимый помощник для технических энтузиастов всех возрастов.
Плюсы
+
Гораздо быстрее предыдущего Raspberry Pis
+
3 порта USB
+
Возможность вывода видео 4K с частотой 60 Гц
+
Поддержка двух мониторов0005
Лучшие на сегодня предложения Raspberry Pi 4
5 отзывов покупателей Amazon (открывается в новой вкладке)
☆☆☆☆☆
(открывается в новой вкладке)
(открывается в новой вкладке)
(5
Нет информации о цене
0 открывается в новой вкладке)
Проверьте Amazon (открывается в новой вкладке)
Raspberry Pi уже давно является золотым стандартом для недорогих одноплатных вычислений, питающих все, от роботов до умных домашних устройств и цифровых киосков. Когда он был запущен в 2019 году, Raspberry Pi 4 вывел Pi на новый уровень благодаря производительности, достаточно хорошей для использования в качестве настольного ПК, а также возможности вывода видео 4K с частотой 60 Гц или питания двух мониторов. Совсем недавно вышла модель Raspberry Pi 4 (8 ГБ) , предлагающая достаточно оперативной памяти для серьезных настольных вычислений, производительности и хостинга баз данных.
Если у вас еще нет Raspberry Pi 4, он обязательно должен быть в вашем наборе технических средств. Начиная всего с 35 долларов за модель на 2 ГБ, Raspberry Pi 4 может служить учебным ПК для детей, медиацентром, веб-сервером, машиной для эмуляции игр или мозгом робота или устройства IoT. Это открывает целый мир возможностей для улучшения вашей жизни и получения удовольствия.
В этом обзоре и руководстве по Raspberry Pi 4 мы поможем вам ответить на ключевые вопросы, необходимые для выбора правильной модели Raspberry Pi 4 и получения максимальной отдачи от нее, если она у вас уже есть.
Стоит ли покупать Raspberry Pi 4?
Raspberry Pi 4 Model B (Изображение предоставлено Tom’s Hardware)
В другом месте мы подробно рассказали, почему каждый технарь должен иметь Raspberry Pi . Но выбор , какой Raspberry Pi купить , остается открытым вопросом, потому что есть причины, по которым вы можете захотеть приобрести другую модель, например Raspberry Pi Zero за 5 долларов. Однако, если вы ищете универсальную Raspberry Pi общего назначения, нет сомнений, что это Raspberry Pi 4, которая носит официальное название модели Raspberry Pi 4 B (нет 4 A, поэтому B лишнее).
Но предположим, что у вас уже есть Raspberry Pi 3 или более ранняя модель, и вы задаетесь вопросом, стоит ли вам также приобрести Raspberry Pi 4. Новая платформа имеет ряд отличительных преимуществ, в том числе скорости, которые в два-четыре раза выше, поддержка для USB 3 и настоящего Gigabit Ethernet, а также двойной видеовыход с разрешением до 4K. Если все, что вы делаете со своим Pi, — это запускаете камеру видеонаблюдения или играете в старые аркадные игры, возможно, вы сможете придерживаться того, что у вас есть, но вам определенно понадобится Pi 4 для будущих проектов.
Чем Raspberry Pi 4 лучше других моделей?
Наиболее важными новыми функциями являются более быстрый процессор, процессор Broadcom с частотой 1,5 ГГц и графический процессор , больше и быстрее ОЗУ , добавление портов USB 3, два порта micro HDMI (вместо одного соединения HDMI ) и поддержка вывода 4K. Более высокая скорость шины , обеспечивающая поддержку USB 3, также позволяет встроенному порту Ethernet поддерживать настоящие гигабитные соединения (125 МБ/с), тогда как у моделей последнего поколения теоретический максимум составлял всего 41 МБ/с. Слот для карты microSD также в два раза быстрее, предлагая теоретическую максимальную скорость 50 МБ/с против 25 МБ/с на 3B+.
Поскольку новому SoC требуется больше энергии, Raspberry Pi 4 B заряжается через USB Type-C вместо микро-USB. Для этого также требуется адаптер питания, который может обеспечить мощность не менее 3 ампер и 5 вольт, хотя вам может сойти с рук 2,5 ампера, если вы не подключаете много периферийных устройств к портам USB. Помимо потребности в питании, разъемы USB Type-C являются двусторонними, что значительно упрощает их подключение для детей (и взрослых). платформа, работающая на новом процессоре Broadcom BCM2711B0. Начиная с первого Pi в 2012 году, все Pi использовали 40-нм SoC, но этот новый чип основан на 28-нм техпроцессе и вместо старой микроархитектуры Cortex-A53 использует Cortex-A72. BCM2711B0 в Raspberry Pi 4 имеет четыре CPU Core и имеет тактовую частоту 1,5 ГГц, что на первый взгляд кажется не намного быстрее, чем четырехъядерный процессор BCM2837B0 с тактовой частотой 1,4 ГГц в Raspberry Pi 3B+.
Тем не менее, Cortex A72 имеет глубину конвейера 15 инструкций по сравнению с 8 в более старой модели, а также обеспечивает неупорядоченное выполнение, поэтому он не ждет, пока выходные данные одного процесса запустятся в другом. Таким образом, даже при той же тактовой частоте (а BCM2711B0 основан на меньшем технологическом узле) процессоры Cortex-A72 будут значительно быстрее и потреблять больше энергии, чем их предки на базе A53.
Например, в тесте Linpack, который измеряет общую вычислительную мощность, Pi 4 полностью превзошел Pi 3 B+ во всех трех тестах. В крайне важном тесте с одинарной точностью (SP) Pi 4 набрал 925 баллов по сравнению с 224 баллами Pi 3 B+, что на 413% больше.
Оперативная память также немного быстрее: от 1 ГБ оперативной памяти DDR2, работающей на Pi 3B+, до 8 ГБ оперативной памяти DDR4 на Pi 4. В дополнение к увеличенной пропускной способности наличие большего объема памяти — это огромная проблема. , особенно для веб-серфинга.
Графический процессор также получил хороший прирост, перейдя от Broadcom VideoCore IV, который работал с тактовой частотой ядра 400 МГц на Pi 3 B, к VideoCore VI, настроенному на 500 МГц. Новая архитектура позволяет выводить изображение на дисплей с разрешением до 4K со скоростью 60 кадров в секунду или поддерживать два монитора с разрешением до 4K 30 Гц.
Какой Raspberry Pi 4 купить?
В настоящее время существует три модели Raspberry Pi 4, которые идентичны, за исключением объема оперативной памяти. За 35 долларов модель начального уровня оснащена 2 ГБ оперативной памяти, чего достаточно для большинства проектов, от роботов до ретро-аркадных автоматов, но если вы используете Raspberry Pi 4 в качестве настольного ПК, вам следует приобрести модель 4 ГБ, которая идет за 55 долларов.
Официальная ОС Raspberry Pi для Raspberry Pi (ранее известная как Raspbian) настолько эффективно использует память, что нам было трудно превысить 4 ГБ, даже когда открыто множество вкладок браузера, воспроизводятся видео и запущено несколько различных приложений. Однако по мере появления новых приложений, использующих это преимущество, модель Raspberry Pi 4 (8 ГБ) за 75 долларов будет иметь больше полезности. Если вы можете позволить себе дополнительные 20 долларов по сравнению с моделью на 4 ГБ, это хорошая идея для будущего.
Должен ли я приобрести чехол для Raspberry Pi 4?
При размерах 3,5 x 2,3 x 0,76 дюйма (88 x 58 x 19,5 мм) и весе 0,1 фунта (46 г) Pi 4 достаточно тонкий, чтобы поместиться в вашем кармане, и достаточно легкий, чтобы носить его с собой куда угодно. Плата достаточно прочная, чтобы, вероятно, выдержать катание в сумке, но если вы много перемещаете ее, мы рекомендуем поместить ее в чехол, в основном для защиты контактов. Тем не менее, я часто использую доску голой на своем столе, и я даже засунул ее в карман рюкзака без каких-либо происшествий.
Если вам нужен чехол, убедитесь, что вы выбрали тот, который предназначен для Raspberry Pi 4 (чехлы для более ранних моделей не подходят). Мы рекомендуем покупать корпус, в котором контакты GPIO остаются доступными.
Какие порты есть на Raspberry Pi 4?
Когда дело доходит до портов, Raspberry Pi 4 предлагает больше, чем просто основы. На правой стороне есть четыре разъема USB Type-A, два из которых — USB 3.0. Там также есть полноразмерный порт Gigabit Ethernet для проводных подключений. Нижний край имеет 3,5-мм аудиоразъем, два порта micro HDMI и порт для зарядки USB Type-C. С левой стороны вы найдете устройство для чтения карт памяти microSD.
На верхней поверхности платы вы увидите ленточные разъемы для последовательного интерфейса камеры (CSI) и последовательного интерфейса дисплея (DSI), которые обеспечивают выделенные соединения с Raspberry Pi 9. 0045 собственная камера и экран (или совместимые аксессуары).
С портом CSI вы можете многое сделать, в том числе использовать камеру Raspberry Pi в качестве веб-камеры ПК или превратить ее в камеру безопасности с оповещением о движении. Конечно, вы также можете подключить камеру к порту USB, и есть несколько более распространенных способов, включая порты micro HDMI, для вывода на экран.
Возможно, самым важным интерфейсом любого Raspberry Pi является набор контактов GPIO. Используя их, вы можете подключаться к источникам света, двигателям, датчикам и огромной экосистеме HAT, которые представляют собой платы расширения, которые крепятся к верхней части Pi. Подробнее см. в разделе GPIO ниже.
Какой тип адаптера питания мне нужен для Raspberry Pi 4?
Чтобы обеспечить ваш Raspberry Pi 4 соком, вам понадобится источник питания, который может обеспечить не менее 3 ампер и 5 вольт по проводу USB Type-C. Официальный блок питания Raspberry Pi 4, который стоит около долларов США — 10–12 (открывается в новой вкладке), делает свое дело, но то же самое можно сказать и о любом зарядном устройстве для телефона или ноутбука, которое соответствует этим минимальным стандартам и имеет выходы на USB-C. Вы также можете отключить Pi 4 от блока питания USB PD, который вы бы использовали для зарядки телефона.
В зависимости от того, сколько энергии может выдать ваш компьютер, возможно, вы сможете отключить питание Raspberry Pi 4 от его порта USB-C, хотя возможно, что вы увидите значок молнии в правом верхнем углу. экрана, что означает, что плата работает на пониженной мощности.
Как и все когда-либо созданные модели Raspberry Pi, Raspberry Pi 4 не имеет выключателя питания. Способ по умолчанию включить Raspberry Pi — просто подключить его. Когда вы будете готовы выключить его, вы закрываете ОС, а затем отключаете кабель. Вы также можете купить выключатели питания, которые будут включать и выключать питание, но не забудьте выключить ОС перед отключением электричества.
Обратите внимание, что все предыдущие версии Raspberry Pi использовали разъемы micro USB для питания и могли работать от 5-вольтового источника питания 2,5 ампера (или часто ниже). Итак, если у вас есть адаптер питания от Raspberry Pi 3, он не будет работать с Raspberry Pi 4.
Какие кабели USB Type-C подходят к Raspberry Pi 4?
(Изображение предоставлено Tom’s Hardware)
Теоретически любой кабель USB Type-C на Type-C должен работать, но модели Raspberry Pi 4, выпущенные до начала 2020 года, имели небольшую ошибку, из-за которой они не могли заряжаться USB-кабели с электронной маркировкой. Кабели USB с маркировкой E обычно обеспечивают высокоскоростную передачу данных через USB 3 со скоростью 10 Гбит/с. С другой стороны, любой кабель USB 2.0 определенно будет работать с Pi 4, как и многие кабели USB 3.1 со скоростью 5 Гбит/с.
Мы протестировали несколько кабелей USB-C на Raspberry Pi 4 и обнаружили, что подавляющее большинство работает, за исключением кабеля для зарядки Apple MacBook и двух кабелей 10 Гбит/с. Учитывая, что вы используете этот провод только для зарядки (порт USB-C принимает только питание), нет причин приобретать тот, который поддерживает высокоскоростную передачу данных. В Raspberry Pi 4, выпущенных в начале 2020 года и позже, эта проблема исправлена.
Какие аксессуары нужны для Raspberry Pi 4?
Как и в случае с любым Raspberry Pi, для работы с Pi 4 вам потребуются как минимум две вещи (помимо самой платы):
Адаптер питания с выходным напряжением не менее 5 В и 3 А через порт USB. -C
Карта microSD объемом не менее 4 ГБ (предпочтительно 32 ГБ) для ОС. После обновления прошивки вы можете отказаться от карты microSD и загрузиться с USB-накопителя, если хотите (см. ниже).
Если все, что у вас есть, это память и питание, вам нужно будет сделать безголовая установка Raspberry Pi , где вы управляете компьютером удаленно через VNC или SSH. В противном случае вам также потребуются:
Кабель micro HDMI-HDMI (или два) для подключения к телевизору или монитору. Вы можете подключиться к двум экранам одновременно.
Экран А. Это может быть телевизор или монитор.
Клавиатура и мышь. Вы можете использовать проводные или беспроводные периферийные устройства. Беспроводная клавиатура, такая как Corsair K83 со встроенной сенсорной панелью, реально экономит место.
Вентиляторы или радиаторы. Хотя это не абсолютные требования, они настоятельно рекомендуются из-за большого количества тепла, которое может генерировать Raspberry Pi 4.
Вам не обязательно нужны, но могут понадобиться следующие аксессуары:
Чехол для защиты Raspberry Pi 4. Мы рекомендуем получить такой, который оставляет вам доступ к контактам GPIO.
Шляпа , например, шляпа Raspberry Pi Sense или шляпа единорога (открывается в новой вкладке), которая обеспечивает дополнительные функциональные возможности.
Настройка Raspberry Pi 4 такая же, как и у более старых моделей. В нашей статье о том, как настроить Raspberry Pi в первый раз , подробно показаны все шаги. Короче говоря, вы вставляете пустую карту microSD в свой ПК или Mac и используете Raspberry Pi Imager , чтобы «записать» на нее образ диска с ОС Raspberry Pi. Затем вы можете вставить карту microSD в Raspberry Pi, включить ее и выполнить процесс установки в ОС Raspberry Pi.
Хранилище на Raspberry Pi 4: как сделать его быстрее
Независимо от того, насколько быстры ваш процессор, оперативная память и графический процессор, если ваше хранилище работает медленно, повседневные задачи, такие как открытие приложений и файлов, будут отставать. Как и все Raspberry Pi, основным устройством хранения данных 4 B является устройство чтения карт памяти microSD, что удобно, но немного ограничено. По данным Pi Foundation, 4B имеет максимальную скорость передачи 50 МБ/с, что вдвое превышает скорость чтения на 3B+. Там нет известного предела емкости.
Наши тесты, проведенные с картой Samsung EVO Plus microSD XC Class 10, показывают менее впечатляющие показатели, чем теоретические максимумы. Pi 4 B показал скорость последовательного чтения/записи 45,7 и 27,7 МБ/с соответственно, в то время как 3 B+ отставал от 22,8 и 17,5 МБ/с соответственно. Имейте в виду, что карта рассчитана на чтение со скоростью 100 МБ/с и запись на 60 МБ/с.
Если у вас есть быстрый USB-накопитель или внешний твердотельный накопитель , вы можете получить гораздо лучшую производительность хранения от Pi 4 B. Pi 4 B — это первый Pi с портами USB 3, которые имеют максимальную теоретическую пропускную способность. 625 Мбит/с. Чтобы узнать, как это работает в реальной жизни, мы прикрепили внешний SSD к Raspberry Pi 4 B . Вы найдете полные результаты в статье, и то, что мы нашли, было впечатляющим.
При использовании твердотельного накопителя Western Digital Blue в корпусе USB to M.2 скорость передачи была в 2–13 раз выше, чем при использовании карты microSD. И приложения определенно открывались намного быстрее с подключенным SSD. К сожалению, обычная флешка часто работала медленнее, чем карта microSD.
Благодаря последнему обновлению прошивки вы теперь можете загружать Raspberry Pi 4 с USB-накопителя или флэш-накопителя 9.0046 . Итак, после того, как вы установили прошивку и поправили файлы на внешний накопитель, вы можете вообще вынуть карту microSD.
Какой тип Wi-Fi и сети есть у Raspberry Pi 4?
Raspberry Pi 4 имеет тот же Wi-Fi 802.11ac, что и его предшественник, но поддерживает Bluetooth 5.0, что является улучшением по сравнению с Bluetooth 4.0 на предыдущих моделях. Что еще более важно, порт Ethernet теперь имеет большую пропускную способность, что позволяет ему обеспечивать полную гигабитную пропускную способность, тогда как предыдущие модели могли достигать только около 330 мегабит.
При тестировании Ethernet-порт PI 4 B достиг скорости 943 Мбит/с, что превосходит другие показатели Raspberry Pi. Фактически, в тесте пропускной способности Pi 4 B получил 943 Мбит/с (близко к максимуму в 1000 Мбит/с). Это почти в пять раз больше, чем у Pi 3B+, скорость которого составляет всего 237 Мбит/с.
Как старый, так и новый Raspberry Pi имеют Wi-Fi 802.11ac, который может работать в диапазонах 2,4 ГГц или 5 ГГц. Поэтому мы не ожидали увидеть здесь большой разницы в производительности. Но пропускная способность 5 ГГц заметно выше у Pi 4, возвращая скорость 114 Мбит/с по сравнению с 9.7 Мбит/с на Pi 3 B+, приличное улучшение на 18%.
Нужен вентилятор? Питание и нагрев на Raspberry Pi 4
С более энергоемким процессором и необходимостью как минимум 5-вольтового адаптера питания на 3 ампера следует ожидать, что Pi 4 будет потреблять больше энергии, чем его предшественники. Pi 4 B потребляет 3,4 Вт, что всего на 17% больше, чем 3 B+. Под нагрузкой это число увеличивается до 7,6 Вт, но это всего на 19% больше, чем у его прямого предшественника. Если вам нужен Pi с самым низким энергопотреблением, к черту производительность, выберите Pi Zero W, который потребляет всего 0,8 Вт в режиме ожидания и 1,6 Вт под нагрузкой.
Когда впервые вышел Raspberry Pi 4, он работал намного горячее, чем сегодня. Благодаря некоторым обновлениям прошивки раскаленный USB-контроллер уже не такой горячий, как при запуске. Тем не менее, если вы выполняете какую-либо серьезную задачу на Pi 4, мы рекомендуем вентилятор или хотя бы радиатор , чтобы избежать дросселирования. Наше любимое решение для вентиляторов — Pimoroni Fan Shim , которое подключается к контактам GPIO.
Контакты GPIO на Raspberry Pi 4: какая распиновка?
Настоящей звездой любого Raspberry Pi является набор из 40 контактов GPIO (общий ввод/вывод). Количество контактов и расположение контактов остаются неизменными по сравнению с предыдущими моделями, начиная с Raspberry Pi 2, поэтому любые HAT (аппаратное обеспечение, прикрепленное сверху), датчики или экраны LED , которые были созданы для подключения к Pi 2 или Pi 3, будут совместимы. с Pi 4.
Тем не менее, Raspberry Pi 4 добавил несколько новых возможностей для некоторых контактов. Для опытных производителей, которые подключают различные периферийные устройства, контакты GPIO теперь поддерживают четыре дополнительных соединения I2C, SPI и UART. Итак, если вашим датчикам или периферийным устройствам требуется какой-либо из этих интерфейсов, теперь у вас их намного больше.
Ниже вы найдете новую распиновку GPIO с дополнительными возможностями Pi 4. Чтобы узнать больше о том, что делает каждый контакт, ознакомьтесь с нашей статьей о распиновке Raspberry Pi 4 GPIO.
Распиновка Raspberry Pi 4 GPIO. (Изображение предоставлено Les Pounder)
Использование Raspberry Pi 4 в качестве ПК: достаточно ли это хорошо?
Одной из целей Raspberry Pi 4 является создание мощного ПК, который каждый может использовать для просмотра веб-страниц, выполнения несложной работы или даже для самых простых игр. Чтобы протестировать этот вариант использования, я потратил несколько часов на повседневную работу с устройством и даже написал часть этого обзора, используя его.
Мне очень понравилась возможность вывода на два монитора, что я делаю каждый день на работе и дома. И, поскольку большая часть моей повседневной работы в эти дни происходит в веб-браузере, у меня не было проблем с написанием, редактированием и исследованием статей с использованием Chromium. Даже с 15 открытыми вкладками переключение между ними было плавным, и мне не удалось полностью использовать 4 ГБ встроенной оперативной памяти. Фактически, даже с почти 60 открытыми вкладками и несколькими запущенными приложениями для программирования и повышения производительности я все еще не приблизился к 4 ГБ.
И хотя я не хотел бы использовать его каждый день, бесплатное программное обеспечение GIMP предоставляет достойный способ редактирования неподвижных изображений. Если бы я хотел работать с электронными таблицами или составлять документы вне Google Docs, LibreOffice более чем отвечал бы всем требованиям.
При открытии приложений и вкладок с карты microSD система казалась вялой по сравнению с современным ПК с твердотельным накопителем. Однако вы можете подключить внешний SSD к Raspberry Pi 4, чтобы решить эту проблему.
Выход 4K, потоковое видео на Raspberry Pi 4
Raspberry Pi 4 имеет два порта micro HDMI, каждый из которых может подключаться к отдельному монитору или телевизору и может работать с разрешением до 4K (3840 x 2160). Если у вас несколько дисплеев 4K (рекомендации см. на нашей странице «Лучшие игровые мониторы 4K»), у вас есть выбор: вы можете запустить каждый экран с несколько низкой частотой обновления 30 Гц или включить режим 4K в меню настроек. что немного повышает напряжение, поэтому вы можете запустить один монитор с разрешением 4K и 60 Гц, а другой — с разрешением до 1080p 60 Гц.
Во время обширного практического тестирования я обнаружил, что хотя 4K при частоте 30 Гц терпимо, такие мелочи, как движение указателя мыши, немного вялые. Если у вас есть экран 4K, вам определенно лучше перейти на режим 60 Гц, но учтите, что добавленное напряжение также может привести к тому, что ваш процессор будет быстрее нагреваться и замедляться, поэтому используйте этот вентилятор.
Просматривая веб-страницы, просматривая неподвижные изображения и просто наслаждаясь дополнительным пространством экрана 4K, это здорово, а потоковое видео в высоком разрешении — это ахиллесова пята Raspberry Pi 4. Поскольку YouTube использует VP9сжатие, для которого Raspberry Pi не оптимизирован, видео могут выглядеть рывками, если вы просматриваете их в полноэкранном режиме (они отлично воспроизводятся в окне). А из-за защиты DRM Netflix и другие платные потоковые сервисы просто не будут работать в Chromium.
Тем не менее, есть отличный обходной путь, который решает проблемы с рывками и DRM. Разработчик по имени Вентц создал специальную версию Chromium, в которой используется код из Chrome OS, что позволяет беспрепятственно запускать потоковые сервисы. Все, что вам нужно сделать, это следуйте инструкциям Венца здесь .
Добавление дополнительной видеопамяти также может помочь при воспроизведении. Чтобы настроить объем видеопамяти, запустите инструмент настройки Raspberry Pi из раздела «Настройки» меню «Пуск». Затем измените память графического процессора на 128 или 256 на вкладке «Производительность».
Воспроизведение видео в формате 1080p в автономном режиме работает хорошо при условии, что ваш экран имеет разрешение 1920 x 1080 или ниже. Загруженный трейлер Avengers: Endgame был совершенно гладким, когда я смотрел его с помощью проигрывателя VLC.
Ретро-игры на Raspberry Pi 4
Эмуляция игр — один из самых популярных вариантов использования любого Raspberry Pi, и Pi 4 следует этому примеру. В течение почти года после запуска самая популярная платформа эмуляции RetroPie официально не поддерживала Raspberry Pi 4. Однако теперь владельцы Pi 4 могут выбирать либо RetroPie, либо Lakka . Мы предпочитаем интерфейс и широкую поддержку RetroPie.
С помощью эмулятора вы можете играть в игры для самых разных классических систем, от оригинальных аркадных игр до Sega Genesis и Nintendo 64 (N64). Благодаря более быстрому процессору Raspberry Pi 4 должен лучше работать для эмуляции более требовательных игр, таких как N64 title 9.0297 Золотой Глаз 007 .
Чтобы установить Retropie, просто загрузите образ диска Raspberry Pi 4 и с помощью Etcher запишите его на карту microSD. Затем загрузитесь и следуйте инструкциям.
Использование Raspberry Pi 4 в качестве веб-сервера: просто и быстро Фактически, в Tom’s Hardware мы используем Raspberry Pi 3 B в качестве сервера в нашей локальной сети, который мы используем для проведения нашего теста батареи для наших
обзоры ноутбуков .
Используя тест Apache Phoronix, Raspberry Pi 4 обработал 3983 запроса в секунду против 2850 для Pi 3 B+. Это улучшение на 40%, что означает, что вы можете создавать более тяжелые веб-страницы или обслуживать больше посетителей одновременно без задержек.
Многие веб-приложения используют серверный язык сценариев PHP, поэтому более быстрая обработка PHP может сильно помочь. В PHPBench, который измеряет производительность PHP, Raspberry Pi 4 B набрал 101 540 баллов, что более чем вдвое превышает показатель Pi 3 B+ (41 351).
Как разогнать Raspberry Pi 4?
(Изображение предоставлено Gareth Halfacree))
Мы объяснили , как разогнать Raspberry Pi 4 и какие результаты вы получите в отдельной статье. Тем не менее, главная черта заключается в том, что вы можете легко разогнать процессор с частотой 1,5 ГГц выше 2 ГГц (в нашем случае до 2147 МГц) и увеличить частоту графического процессора с 500 до 600 МГц, не теряя ни секунды. Просто убедитесь, что у вас есть вентилятор, такой как Pimoroni Fan Shim.
Raspberry Pi 4 — лучший Raspberry Pi, лучший одноплатный компьютер и одно из лучших решений, которые вы можете получить в области технологий. В то время как большинство взрослых пользователей не хотели бы заменять свои ПК одним, Raspberry Pi 4 достаточно мощный, чтобы в крайнем случае использовать настольный компьютер.
Однако самое большое преимущество производительности Raspberry Pi и щедрой помощи оперативной памяти исходит не от людей, которые используют Raspberry Pi 4 вместо ПК x86, а от всех новаторов, которые используют эту мощь для создания новых устройств IoT, серверов и роботов. .
Примечание редактора. Некоторые результаты тестов в этой статье были получены по лицензии автора Gareth Halfacree, который опубликовал свой собственный подробный анализ производительности Raspberry Pi 4 на Medium.
Аврам Пилтч — главный редактор Tom’s Hardware. Когда он не играет с последними гаджетами на работе или не надевает виртуальные шлемы на выставках, вы обнаружите, что он рутирует свой телефон, разбирает свой компьютер или кодирует плагины. Обладая техническими знаниями и страстью к тестированию, Аврам разработал множество реальных тестов, в том числе наш тест аккумулятора ноутбука.
Обзор
Raspberry Pi 4 Model B
Перейти к основному содержанию
Путеводитель Тома поддерживается своей аудиторией. Когда вы покупаете по ссылкам на нашем сайте, мы можем получать партнерскую комиссию. Вот почему вы можете доверять нам.
Raspberry Pi 4 Model B — лучший мини-ПК для создания и экспериментов
Raspberry Pi 4 — это большое обновление по сравнению с предыдущими моделями, с большей вычислительной мощностью, улучшенной поддержкой видео и без компромиссов в цене или возможностях.
Плюсы
+
Значительно более мощные, чем прошлые модели
+
USB 3.0 Ports
+
поддерживает Dual 4K Video Outlow
+
Удобная USB Type-C Power
+
Минусы
—
Не совместим со старыми корпусами Raspberry Pi
—
Возможные проблемы совместимости с некоторыми кабелями питания USB Type-C
—
Совместимость программного обеспечения
Лучшие на сегодня предложения Raspberry Pi 4
5 отзывов покупателей Amazon (открывается в новой вкладке)
☆☆☆☆☆
(открывается в новой вкладке)
(открывается в новой вкладке)
(5
Нет информации о цене
0 открывается в новой вкладке)
Проверьте Amazon (открывается в новой вкладке)
Линейка одноплатных компьютеров Raspberry Pi пользуется огромной популярностью благодаря своей сверхдоступной цене, компактным размерам и удобному дизайну. Последняя версия, Raspberry Pi 4 Model B (55 долларов США при тестировании), является самой мощной на данный момент, она обеспечивает значительное увеличение вычислительной мощности, улучшенный видеовыход и возможность подключения периферийных устройств, сохраняя при этом ту же низкую цену и крошечный размер, что и в прошлых моделях. .
Новый Pi 4 обладает замечательными функциями, такими как порты USB 3.0, питание через USB Type-C и Ethernet, а также видеовыход, который поддерживает два монитора 4K одновременно. Кроме того, вы по-прежнему получаете все уникальные возможности подключения и расширения контактов GPIO Pi, а также совместимость с предыдущими надстройками и аксессуарами. Но все эти изменения сопряжены с некоторыми новыми неудобствами. Из-за настроек, внесенных в Pi 4, программное обеспечение, используемое в старых моделях, несовместимо напрямую, а обновленный выбор портов означает, что старые конструкции корпусов не будут работать с новой моделью.
Однако одна вещь остается верной в отношении последней версии Raspberry Pi. Это по-прежнему лучший мини-ПК для работы, а с улучшениями Pi 4 он зарекомендовал себя как один из лучших компьютеров периода, если вы хотите много сделать с небольшим.
Примечание редактора: (26 марта 2021 г.) С момента нашего первоначального обзора в 2019 году Raspberry Pi 4 Model B продолжал улучшаться, исправлены ошибки и даже появилась новая версия, встроенная в клавиатуру, Raspberry Pi 400 . Наш первоначальный рейтинг и рекомендации остаются неизменными по сравнению с их первоначальной публикацией в октябре 2019 года. Raspberry Pi 4 Model B — первый компьютер Raspberry Pi четвертого поколения. Последняя модель оснащена более мощным четырехъядерным процессором ARM Broadcom BCM2711B0 и видеопроцессором Broadcom VideoCore VI с поддержкой 4K, а также переходом на более быстрые порты USB 3.0 и USB Type-C для питания.
(Изображение предоставлено Tom’s Guide)
Доступен в трех вариантах, которые отличаются только объемом памяти LPDDR4 SDRAM, установленной на плате. Базовая модель поставляется с 1 ГБ памяти и продается по цене 35 долларов, сохраняя ту же низкую цену, что и у Pi. Модель на 2 ГБ удваивает объем памяти по цене 45 долларов, в то время как топовая модель — и модель, которую мы рассмотрели — увеличивает объем ОЗУ до 4 ГБ за 55 долларов.
Но семейство Raspberry Pi намного больше, чем Pi 4. Также доступны предыдущие поколения Pi, в том числе Raspberry Pi 3 B+ , которую мы рассмотрели в 2018 году, и Raspberry Pi 2 Model B , которую мы рассмотрели в 2016 году. -платные системы, которые можно запрограммировать, подключить к сети и использовать для всего, от домашней автоматизации до сложной робототехники.
Также стоит обратить внимание на соглашения об именах, используемые для различения различных версий Raspberry Pi. Число — Pi 4, Pi 3, Pi 2 и т. д. — обозначает, к какому поколению это относится, и будет включать в себя улучшения как вычислительной мощности, так и компоновки платы. Обозначения моделей (A, B и B+) указывают на конкретную конструкцию. Модель B — это стандартная одноплатная система общего назначения, в то время как модель B+ может похвастаться итеративным улучшением возможностей (модели B+ обычно выпускаются между полными сменами поколений). Модель A имеет более компактный дизайн, в котором отсутствует большая часть громоздких портов Ethernet и полноразмерных USB-портов, имеющихся в модели B, и она занимает меньше места, но по-прежнему предлагает тот же процессор и возможности.
А для чего-то еще меньшего и менее дорогого есть Pi Zero (10 долларов) и Pi Zero W (15 долларов). Размер примерно в три раза меньше стандартного Raspberry Pi, он предлагает некоторые (но не все) те же функции и доступен с беспроводной связью и без нее — буква «W» в Pi Zero W указывает, что модель поставляется с Wi-Fi и Bluetooth.
Линейка недорогих компьютеров Raspberry Pi, отчасти известная своим небольшим размером, не больше колоды карт, а Raspberry Pi 4 Model B имеет размеры всего 3,4 x 2,2 x 0,4 дюйма. Это означает, что он имеет тот же размер 3,4 x 2,2, что и более старые модели Raspberry Pi, но на самом деле он тоньше почти на четверть дюйма. И он почти идентичен по весу: 46 граммов (1,62 унции) — всего на грамм тяжелее, чем у предыдущих поколений, таких как Raspberry Pi 3 B+ (45 граммов или 1,58 унции).
(Изображение предоставлено Tom’s Guide)
Фактический дизайн Raspberry Pi довольно уникален, как с точки зрения того, что он может предложить, так и того, чего нет. Небольшой компьютер представляет собой голую печатную плату, без какого-либо корпуса или каких-либо тонкостей, которые вы могли бы получить с традиционным мини-ПК, таких как охлаждающий вентилятор или даже кнопка питания. Pi 4 настолько прост, насколько это возможно.
(Изображение предоставлено Tom’s Guide)
Список портов на Pi 4 также служит кратким изложением нескольких физических функций, предлагаемых на маленьком компьютере, с четырьмя портами USB (два USB 3.0 и два USB 2.0), пара портов micro HDMI 2.0 и разъем питания USB Type-C. 3,5-миллиметровый разъем служит аналоговым аудио/видео портом; и Gigabit Ethernet — с полной пропускной способностью, которая не предлагалась в прошлых моделях Pi — обеспечивает проводную сеть и даже питание благодаря поддержке Power over Ethernet. Для беспроводной сети Pi может похвастаться Wi-Fi 802.11ac и Bluetooth 5.0.
(Изображение предоставлено Tom’s Guide)
Но в дополнение к этим знакомым портам и соединениям, Pi 4 также обеспечивает огромную гибкость. Менее распространенные порты включают в себя как последовательный интерфейс камеры (CSI), последовательный интерфейс дисплея (DSI), так и слот для карты microSD, который позволяет добавлять хранилище в Pi, который поставляется без собственного встроенного хранилища.
(Изображение предоставлено Tom’s Guide)
Но главной особенностью Pi в любой итерации является 40-контактный разъем GPIO. Этот ощетинившийся ряд контактов ввода/вывода обеспечивает прямой доступ для подключения внешних устройств. Для энтузиастов или производителей DIY-технологий Pi 4 — лучшая версия фаворита фанатов.
Аксессуары для Raspberry Pi 4 Model B
В дополнение к Pi 4 мы также приобрели некоторые аксессуары. Некоторые из них просто приятно иметь, например, чехол, в то время как другие необходимы для использования Pi 4 в большинстве ситуаций.
(Изображение предоставлено Tom’s Guide)
Сначала мы приобрели карту памяти SanDisk Ultra на 32 ГБ. Несмотря на то, что многие марки и емкости карт microSD будут работать, вам что-то понадобится, поскольку карта используется для встроенного хранилища и используется для установки операционной системы Pi 4.
Для питания мы получили официальный блок питания Raspberry Pi 4 мощностью 15 Вт. Этот кабель питания продается по цене $ 9,99 и подключается через USB Type-C, но в отличие от многих сторонних зарядных устройств USB-C, которые вы можете попробовать использовать, например, в качестве запасного зарядного устройства для телефона, это гарантированно обеспечит достаточную мощность для позволит вам полностью использовать Pi 4.
А поскольку Pi 4 переключается на разъемы micro HDMI для вывода видео, мы также взяли кабель micro-to-standard HDMI ( 8,99 долларов США ). Хотя это будет работать с любым монитором или дисплеем, подключенным через HDMI (включая телевизоры), кабель также поддерживает видеовыход 4K, предлагаемый новым Pi 4. Хотя эти конкретные кабели не являются единственным вариантом, соединения, используемые на Pi 4 это означает, что вам понадобится какой-то адаптер, если вы хотите использовать какие-либо кабели HDMI, которые у вас уже есть.
Другие основные элементы рабочего стола, такие как проводная мышь, проводная клавиатура и монитор, подключенный через HDMI, также необходимы для использования RasPi 4 в качестве рабочего стола. У нас уже были эти вещи под рукой, но даже старые подержанные модели будут работать нормально.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО: 10 дешевых клавиатур для ПК (менее 20 долларов США) в порядке от лучших к худшим случай. Для этого мы использовали Pimoroni Pibow 4 Ninja, собранный пользователем корпус, состоящий из пяти слоев акрила, изготовленного по индивидуальному заказу. Корпус легко собирается, отлично выглядит и имеет удобные этикетки для портов с лазерной гравировкой. Он также имеет вырез для добавления радиатора или охлаждающего вентилятора, и он оставляет все 40 контактов GPIO и другие порты доступными для всех ваших потребностей.
Настройка Raspberry Pi 4 Model B
Когда вы впервые достаете Raspberry Pi 4 из коробки, это не более чем печатная плата с большим потенциалом, но не с готовыми к работе возможностями обычного ПК. или ноутбук . Операционная система не предустановлена — вам придется сделать это самостоятельно, а любые периферийные устройства, такие как клавиатура, мышь или монитор, необходимо приобретать отдельно.
Но даже при наличии периферийных устройств вам все равно придется самостоятельно устанавливать программное обеспечение. Для начала вам нужно получить карту microSD и загрузить Raspbian Buster, операционную систему, разработанную Raspberry Pi Foundation специально для Pi 4 (хотя она также будет работать с предыдущими моделями). Как последняя версия варианта Linux на тему Raspberry Pi, Raspbian Buster обновлен для работы с новым Pi 4, поддерживая обновленные возможности и функции платы.
Вы можете загрузить Raspbian напрямую из Raspberry Pi Foundation. Загрузите официальный образ операционной системы Buster и скопируйте его на карту microSD. ( Вот инструкции , если необходимо.)
Как только образ Raspbian Buster окажется на карте microSD, вы можете вставить его в слот для карты на Pi 4 и (если все было установлено правильно) включить Pi, который автоматически загрузится в только что установленную ОС.
ЕЩЕ: Лучшие мини-ПК — маленькие компьютеры для работы и игр
Хотя эти инструкции помогут вам приступить к работе, Raspbian Buster — не единственный доступный вариант для запуска вашего Raspberry Pi. Для RasPi бесплатно доступны несколько операционных систем на базе Linux, хотя определить совместимость этих систем с Pi 4 может быть не так просто. совместимая версия. Поскольку разработка и поддержка RetroPie осуществляется на добровольных началах, задержка понятна. Есть пара неофициальных сборок, которые могут работать или не работать на Pi 4, но официальный релиз в конце концов выйдет. (Мы обновим эту часть обзора, как только он выйдет.)
Программное обеспечение Raspberry Pi 4 Model B
Использование Raspbian Buster на Pi 4 дает вам стандартную среду рабочего стола, хотя и базовую, основанную на Linux. В первоначальный установочный пакет включен набор программ, которые предоставляют вам базовые инструменты для просмотра веб-страниц и повышения производительности, а также набор образовательных приложений, которые обучают кодированию и предоставляют инструменты для адаптации Pi к вашим собственным проектам.
Это включает в себя удобные инструменты для повышения производительности, такие как LibreOffice и Chromium, которые предоставляют альтернативу пакету Microsoft Office с открытым исходным кодом, включая текстовый процессор, программу для работы с электронными таблицами, презентации, рисование, менеджер баз данных и редактор уравнений для математики и естественных наук, а также Веб-браузер Chrome.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО: Лучшие наборы роботов — программируемые роботы-игрушки для детей
Raspbian также поставляется с программным обеспечением для обучения, предоставляя вам бесплатные инструменты для изучения языков программирования, таких как Python, Scratch и Java. Есть инструменты для создания игр и игр на Python, еще один называется Sonic Pi, который позволяет создавать музыку, и есть даже версия Minecraft.
Производительность Raspberry Pi 4 Model B
Pi 4 оснащен четырехъядерным процессором Broadcom BCM2711B0 (Cortex A-72) с тактовой частотой 1,5 ГГц и до 4 ГБ LPDDR4 SDRAM в топовой конфигурации — модель, которую мы просмотрено.
Запустив Pi 4, меня поразили две мысли. Во-первых, я был поражен, увидев, что Pi 4 поддерживает вывод 4K при любой частоте кадров. Более ранние модели Pi в основном ограничены разрешением 1080p, поэтому переход на 4K — серьезный скачок.
Во-вторых, меня поразила плавность и отзывчивость Pi 4, особенно по сравнению с Pi 3 B+, который мы рассматривали в прошлом году. Когда я открывал документы и тестовые файлы, все просто работало, и медленная производительность, которую я принял как неизбежную реальность недорогого одноплатного компьютера, такого как Pi 3 B+, в основном исчезла на Pi 4. Это продолжалось, когда я просматривал онлайн с несколькими вкладками. открыто, и я мог просматривать от восьми до 10 открытых вкладок без каких-либо заметных задержек.
(Изображение предоставлено Tom’s Guide)
Я был поражен, увидев, что Pi 4 поддерживает вывод 4K при любой частоте кадров.
Эти первые впечатления подтвердились при тестировании, поскольку результаты Pi 4 были значительно лучше, чем у модели, которую мы рассматривали в прошлом году. Хотя это все еще не демон скорости по сравнению с другими мини-ПК, это определенно первый раз, когда я использовал Pi и рассматривал возможность использования его в качестве рабочего стола после моего первоначального тестирования. То, что такой уровень производительности доступен на таком крошечном недорогом устройстве, серьезно впечатляет.
Все работает быстрее, начиная со времени загрузки. Pi 4 перешел от холодного запуска к рабочему столу всего за 23 секунды. Это огромное улучшение по сравнению со старым Pi 3 B+, который загружался за 36 секунд; более ранняя Pi 2 Model B была еще медленнее — 45 секунд.
Хотя большинство тестов, которые мы используем на мини-ПК на базе Windows, недоступны на Pi на базе Linux, мы смогли сравнить ряд тестов производительности в Интернете.
Для общей производительности мы используем тест производительности браузера JetStream 1.1. В этом тесте Pi 4 набрал 42,65 балла. Для сравнения, Pi 3 B+ набрал всего 16,7 балла в том же тесте. Это огромное улучшение для одноплатных систем. Однако, сравнивая это с более распространенными системами, такими как Azulle Access3 (наш любимый ПК с Windows) или Acer Chromebox CXI3, мы понимаем это улучшение в контексте. Azulle Access3, оснащенный процессором Intel Gemini Lake N4100, набрал 101,21 балла в том же тесте. Acer Chromebox показал себя еще лучше, набрав 168,22 балла благодаря процессору Intel Core i5.
Точно так же улучшена графическая производительность, но только в относительном смысле. Используя WebGL Aquarium — демонстрацию WebGL, которая позволяет вам выбирать определенное количество цифровых рыб — Pi 4 удалось отобразить 50 рыб со скоростью 3 кадра в секунду (fps). По сравнению с Pi 3 B+, который боролся с одной рыбой, это огромное улучшение. Но по сравнению с Acer Chromebox CXI3, который обрабатывал до 10 000 рыб со скоростью 28 кадров в секунду, поддержка графики Pi 4 все еще довольно мизерна.
Однако загрузка веб-сайтов в браузере Chromium на Pi 4 была не намного быстрее, чем на других моделях Raspberry Pi, которые мы видели раньше. Загрузка домашней страницы Tom’s Guide заняла 2 секунды. Более старый Pi 3 B+ сделал то же самое за 11 секунд.
YouTube, с другой стороны, открылся за 11,7 секунды, что на самом деле немного меньше, чем у Pi 3 B+ (10 секунд) и даже у Pi 2 B (тоже 10 секунд).
Как ни странно, открытие легкого сайта, такого как Stack Exchange, который в основном состоит из текста, было ненамного быстрее; это заняло 3 секунды — всего на секунду быстрее, чем у Pi 3 B+ (4 секунды), что, в свою очередь, лишь немного быстрее, чем у Pi 2 B (5 секунд).
БОЛЬШЕ: 15 отличных применений Raspberry Pi
Однако, в отличие от предыдущих версий Pi, новый Pi 4 мог одновременно запускать более одной или двух вкладок. Я даже смог работать в Google Doc, чтобы работать над первым черновиком этого обзора, одновременно изучая спецификации в другом окне и просматривая соответствующее руководство на YouTube в третьем. Такой уровень (по общему признанию, базовый) многозадачности был невозможен на старых моделях.
Еще одна проблема, связанная с Pi 4, которую стоит отметить, заключается в том, что он нагревается намного сильнее, чем его предшественник, Raspberry Pi 3 B+. В то время как Pi 3 B+ нагревался под нагрузкой (до 142 градусов по Фаренгейту), Pi 4 нагревался намного сильнее — до 168 градусов по Фаренгейту в наших тестах. Это тепло заставляет вас оснастить свой Pi чехлом, чтобы избежать ожогов пальцев или даже случайных пожаров. Но это также повлияет на производительность, поскольку система будет снижать производительность при перегреве.
А для оптимальной производительности было бы неплохо оснастить собственный Pi 4 радиаторами для процессора и графического процессора, или, возможно, вентилятором (имеется во многих корпусах Pi 4), или и тем, и другим.
Проекты Raspberry Pi 4 Model B, расширения и комплекты
Благодаря небольшому размеру, сверхнизкой цене и сверхгибкому форм-фактору Pi 4 является самой мощной версией лучшего ПК для сборки на рынке. Но что на самом деле можно с этим сделать?
Будучи членом семейства Raspberry Pi, Pi 4 имеет целую экосистему доступных аксессуаров, а также богатое сообщество энтузиастов и производителей, которые использовали Pi для всевозможных проектов и часто готовы предложить помощь. и отвечайте на вопросы на многочисленных форумах и сообществах, посвященных Pi, в Интернете.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО: Лучшие команды Google Home — то, что может сделать Google Assistant
Эта экосистема включает в себя все виды надстроек для Pi, которые подключаются через множество портов и контактов GPIO. Эти расширения, называемые шляпами, капотами и щитами, в зависимости от конкретного дизайна и подключения надстройки, делают Pi 4 (и другие модели Pi) намного более гибкими, чем ваш обычный ПК. Большинство «шляп», которые работали с предыдущими моделями Raspberry Pi, по-прежнему будут работать на Pi 4, поскольку он использует почти идентичную схему контактов GPIO.
Благодаря небольшому размеру, сверхнизкой цене и сверхгибкому форм-фактору Pi 4 является самой мощной версией лучшего ПК для сборки на рынке.
Эти надстройки варьируются от простых до чрезвычайно технических. Вы можете приобрести платы расширения микрофона , идеально подходящие для создания собственного Amazon Echo или Google Home . Вы можете добавить платы дисплея, чтобы сделать Pi 4 портативным вычислительным устройством — варианты включают многоцветных дисплеев с электронными чернилами (открывается в новой вкладке), сенсорные экраны (открывается в новой вкладке) и другие. Моторные платы и сервоприводы отлично подходят для сборки машин и роботов с дистанционным управлением, крышки динамиков позволяют создавать собственный потоковый музыкальный проигрыватель, и вы даже можете получить пару небольших дисплеев , которые созданы для Вы добавляете анимированные глаза к костюму.
И, если вы хотите что-то немного менее интенсивное, но все же позволяющее вам утолить жажду техники «сделай сам», есть множество наборов, которые позволяют собирать и экспериментировать, все еще держась за руку по мере необходимости. Есть 9Базовые комплекты 0045 (открывается в новой вкладке) для начала работы с Pi 4, которые включают в себя аксессуары Pi 4, такие как кабели, чехол и даже предварительно загруженную карту microSD. В прошлых версиях Pi также предлагались игровые наборы, такие как ретро-консоль DIY (открывается в новой вкладке) в комплекте с игровыми контроллерами или набор для сборки в аркадном стиле (открывается в новой вкладке). ), чтобы помочь вам ощутить настоящую ретро-игру дома. Для Pi 4 пока не так много игровых комплектов, но это, вероятно, изменится, когда игровая поддержка улучшится для новейшего члена семейства RasPi.
Raspberry Pi 4 Model B: Вердикт
Концепция Raspberry Pi уже доказала свою эффективность: миллионы одноплатных компьютеров были проданы и используются во всем, от игр до домашней автоматизации и роботов. Но последний выпуск, Raspberry Pi 4 Model B, поднимает и без того потрясающую концепцию Pi на новую высоту благодаря вычислительной мощности, позволяющей использовать дешевый маленький компьютер в качестве основного рабочего стола, и таким функциям, как видеовыход 4K, которые были немыслимы всего год. или два назад.
Pi 4 не идеален. Он сильно нагревается и все еще имеет ограничения, которые не замедлят даже самый простой флеш-ПК. Даже часть программного обеспечения, доступного для других систем Pi, не полностью адаптирована для Pi 4, например RetroPie. Все это вдобавок к тому факту, что платформа Raspberry Pi требует многого от своих пользователей и имеет довольно крутую кривую обучения. Если вам нужны удобные возможности, возможно, вам лучше подойдет что-то вроде Azulle Access3, который дает вам полноценный ПК с Windows за пару сотен долларов.
Но если вы когда-нибудь хотели сделать свое собственное умное зеркало (или метеостанцию, или интернет-радио, или игровую приставку, или. .. вы поняли идею), нет ничего, что соответствовало бы уникальному сочетанию доступности Pi, поддержка сообщества, дополнительная экосистема и прямая доступность. И Raspberry Pi 4 предлагает все это с лучшими функциями и большей мощностью, чем его предшественники, и все это по той же низкой цене.
Raspberry Pi 4 Model B — лучший компьютер для творчества и творчества.
Брайан Вестовер в настоящее время является ведущим аналитиком по ПК и оборудованию в компании PCMag. Однако до недавнего времени он был старшим редактором Tom’s Guide, где в течение нескольких лет руководил телетрансляцией сайта, просматривая множество наборов и рассказывая обо всем, от 8K до HDR и HDMI 2.1. Он также хорошо применил свои знания в области вычислительной техники, изучив множество ПК и устройств Mac, а также руководил нашим освещением маршрутизаторов и домашних сетей. До прихода в Tom’s Guide он писал для TopTenReviews и PCMag.
Tom’s Guide является частью Future US Inc, международной медиагруппы и ведущего цифрового издателя. Посетите наш корпоративный сайт (откроется в новой вкладке).
Для просмотра этой страницы убедитесь, что в вашем браузере включен JavaScript.
Последняя версия «классического» Raspberry Pi была выпущена в конце прошлого года. Эволюция, а не революция, обе платы Raspberry Pi 3 Model B+ и Model A+ выжали последние биты доступной производительности из платформы, и было ясно, что в следующий раз Фонду придется делать что-то совсем другое.
Мы все ожидали, что это займет какое-то время, поэтому большинство людей на самом деле не ожидали нового и обновленного Raspberry Pi до следующего года. Таким образом, объявление Фонда рано утром могло застать некоторых врасплох.
Поздоровайтесь с Raspberry Pi 4, модель B.
Новый Raspberry Pi 4, модель B. (📷: Аласдер Аллан) Pi 4 — это совсем другой зверь, и, как мы и ожидали, здесь есть некоторые радикальные архитектурные изменения по сравнению с более ранними платами Raspberry Pi.
Кажется довольно очевидным, что команда аппаратного обеспечения в Фонде начала с доски, полной всех жалоб, которые люди постоянно предъявляют к Raspberry Pi, а затем решила исправить каждую из этих жалоб.
Лично я думаю, что они вполне могли бы преуспеть.
Процессор
Инкапсулированный процессор, который использует тот же распределитель тепла для лучшего контроля температуры, что и последняя модель, снаружи может выглядеть так же. Но в то время как Raspberry Pi 3 была построена на процессоре Broadcom BCM2837, четырехъядерном процессоре Arm Cortex-A53 с тактовой частотой 1,4 ГГц, новая плата построена на базе Broadcom BCM2711, 64-разрядного четырехъядерного процессора Arm Cortex-A72 с тактовой частотой 1,5 ГГц. Хотя это может показаться незначительным, между архитектурами ядер этих двух процессоров есть большие различия.
В то время как A53 был разработан как ядро среднего уровня и для эффективности, A72 является высокопроизводительным ядром, поэтому, несмотря на кажущуюся небольшую разницу в тактовой частоте, реальная разница в производительности между ядрами действительно довольно значительна.
«Мы всегда считали себя производителем ПК, и каждое поколение оборудования Raspberry Pi приближало нас к бескомпромиссной платформе. Благодаря ускорению в 2–4 раза по сравнению с предшественником и возможностям увеличения объема памяти до четырех раз Raspberry Pi 4 — это продукт, который, наконец, выводит нас за пределы линейки. Для подавляющего большинства пользователей субъективный опыт использования этого нового продукта — это использование ПК». — Эбен Аптон , основатель Raspberry Pi Foundation
Новый Raspberry Pi 4 работает намного быстрее, чем вы ожидаете, более чем достаточно быстро, чтобы стать достойной заменой настольного компьютера для обычного пользователя.
USB и Ethernet
Однако, вероятно, наиболее заметным отличием от предыдущих моделей является то, что на новой плате отсутствует Microchip LAN7515, который действовал как концентратор USB и контроллер Ethernet для Pi. На его месте находится VLI VL805, который обеспечивает концентратор USB 3.0 через шину PCI Express.
Концентратор VLI VL805-Q6 USB 3.0. (📷: Alasdair Allan)
Использование шины PCI Express, предоставляемой новым BCM2711, означает, что теперь у нас есть не только возможности USB 3.0, но и гигабитный Ethernet, который ранее обеспечивался через шину USB и микросхему LAN7515, которая имела максимальная пропускная способность ограничена примерно 300 Мбит/с — теперь она обеспечивается с помощью Broadcom BCM54213PE на отдельной шине для трафика USB.
Это означает, что новый Raspberry Pi 4 имеет «настоящий» Gigabit Ethernet, а не троттлинг, как мы видели с Raspberry Pi 3, Model B+.
Здесь у нас есть 2 порта USB2 (слева), 2 порта USB3 (посередине) и Gigabit Ethernet (справа). (📷: Аласдер Аллан)
Да. Вы правильно поняли. Новая плата Raspberry Pi имеет «настоящий» Gigabit Ethernet и два порта USB 3. 0, а также еще пару «устаревших» портов USB 2.
Поддержка беспроводной связи
Поддержка беспроводной связи обеспечивается в экранированном модуле с помощью того же чипа Cypress CYW43455, который мы видели на Raspberry Pi 3, модель B+. Предлагает двухдиапазонную беспроводную сеть IEEE 802.11.b/g/n/ac 2,4 ГГц и 5 ГГц, а также Bluetooth 5.0 и Bluetooth LE.
Память
Для полноты картины последний большой кусочек кремния, расположенный справа от корпуса основного процессора, — это LPDDR4 SDRAM для платы, которая представляет собой микросхему Micron в корпусе FBGA, и это вот где проявляется еще одно большое отличие от предыдущих моделей Raspberry Pi.
В отличие от любой предыдущей платы, новая Raspberry Pi 4 доступна в трех разных моделях, каждая из которых предлагает разные варианты памяти. Новая плата может поставляться с 1 ГБ, 2 ГБ или 4 ГБ оперативной памяти.
Предварительная плата, которую я имел для обзора перед выпуском, имела 4 ГБ.
Питание платы
Еще одним большим отличием является разъем питания, разъем micro USB в предыдущих моделях исчез, а вместо него разъем USB-C. Это понятное изменение. Допуски на источник питания для Raspberry Pi 3, модель B+, уже были довольно тонкими, и для новой платы может потребоваться до 3 ампер, это не то, что мог обеспечить предыдущий источник питания micro USB.
Raspberry Pi 4 на холостом ходу с измерительным прибором USB-C, измеряющим ток. (📷: Alasdair Allan)
Плата также может питаться от источника постоянного тока 5 В с использованием разъемов GPIO, и, как и Raspberry Pi 3, модель B+, до нее новая Raspberry Pi 4 также может получать питание через Power over Ethernet (PoE). ) с использованием официальной PoE HAT, которая была выпущена вместе с предыдущей моделью в прошлом году.
Новый официальный блок питания
С переходом с micro USB на USB-C появился новый официальный блок питания. Однако в то время как зарядные устройства USB-C обычно продаются по цене от 10 до 60 долларов, новая официальная поставка мощностью 15 Вт стоит всего 8 долларов, что является своего рода прорывом на рынке. Потому что многие люди, которые никогда даже не слышали о Raspberry Pi, купят его по этой цене. Кроме того, как и оригинальный блок питания micro USB, новый блок питания USB-C был разработан как блок питания, а не зарядное устройство.
Да, это большая разница.
Новый официальный блок питания Raspberry Pi USB-C. (📷: Premier Farnell)
Как и большинство одноплатных компьютеров и микроконтроллеров, Raspberry Pi получает номинальное входное напряжение 5 В. Однако на самом деле напряжение будет несколько колебаться из-за требований, предъявляемых платой, и большинство источников питания USB фактически находятся в диапазоне от +5,1 до +5,2 В. Поэтому, делая грубые расчеты, чтобы получить мощность (в ваттах), я обычно беру напряжение питания USB равным +5,15 В, так как хороший источник обычно пытается поддерживать подаваемое напряжение около этой цифры, несмотря на быстрые колебания тока. рисовать.
Эти колебания спроса — это то, что часто происходит, когда вы используете периферийные устройства с Raspberry Pi, и часто вызывают перебои в работе. не справиться со всем, что хорошо.
«Мы понимаем, что, переходя на USB-C для питания, мы просим людей инвестировать в новый блок питания, и что сейчас даже блоки USB-C среднего качества продаются в розницу по цене более 10 долларов. Мы выводим на рынок два продукта, чтобы решить эту проблему. Первый — это адаптер переменного тока за 8 долларов, который мы тщательно определили, чтобы он хорошо соответствовал нашим потребностям. Второй — прокладка за 1 доллар, которая преобразует USB micro-B в USB-C: люди, которые владеют официальным блоком питания Raspberry Pi 3 или эквивалентным блоком стороннего производителя, и которые не хотят иметь возможность использовать полный 1. 2 Один из наших нисходящих USB-портов может использовать это, чтобы начать работу быстро и дешево». — Эбен Аптон , основатель Raspberry Pi Foundation
Однако не беспокойтесь, если у вас завалялось несколько оригинальных официальных зарядных устройств micro USB. Потому что вы также можете приобрести преобразователь micro USB в USB-C для оригинального зарядного устройства всего за 1 доллар. Я бы не стал использовать его с большинством зарядных устройств micro USB, но оригинальная официальная поставка довольно надежна.
Плата и корпус
Если внимательно посмотреть на плату, есть несколько изменений, вам может потребоваться несколько секунд, чтобы их заметить, возможно, вы еще даже не заметили, но расположение Ethernet и USB порты поменялись местами слева направо. Эти разъемы также немного больше выступают, и в сочетании с другими изменениями это означает, что существующие корпуса не подходят для новой платы.
Официальный чехол для Raspberry Pi 4. (📷: Premier Farnell)
Новый чехол доступен в тех же сочетаниях красного/белого, черного/серого цветов, что и предыдущий официальный чехол, а также новая клавиатура и мышь Raspberry Pi.
Видео
Также изменены порты видео. Исчез полноразмерный разъем HDMI, предлагаемый предыдущими поколениями плат Raspberry Pi. Однако на его месте два порта micro-HDMI, и да, это означает, что новый Raspberry Pi 4 поддерживает два монитора — поддерживает один экран 4K со скоростью 60 кадров в секунду или два экрана 4K со скоростью 30 кадров в секунду.
Raspberry Pi 4 имеет USB-C для питания (слева) и 2 порта micro-HDMI (посередине). (📷: Alasdair Allan)
Наряду с двумя портами micro-HDMI есть 4-контактный стереовыход и разъем для композитного видео. Плата также имеет поддержку графики OpenGL ES 1.1, 2.0 и 3.0 и поддерживает декодирование H.265 (4kp60), декодирование H.264 (1080p60) и кодирование H. 264 (1080p30). Кроме того, впервые драйверы графического процессора, поставляемые с платой, имеют открытый исходный код.
Другие порты
Наряду с большими изменениями некоторые вещи не изменились. Память по-прежнему обеспечивается картой micro SD с разъемом в знакомом месте на нижней стороне платы. В то время как новый Raspberry Pi 4 по-прежнему поддерживает разъем порта дисплея MIPI DSI и разъем камеры MIPI CSI, а также теперь стандартный 40-контактный разъем GPIO.
Порты, разъемы и чипы на Raspberry Pi 4. (📷: Premier Farnell)
Однако есть некоторые изменения для 40-контактного разъема, хотя он по-прежнему обратно совместим, блок заголовка нового Raspberry Pi имеет поддержка дополнительных разъемов 4 × UART, 4 × SPI и 4 × I2C.
Операционная система
Одно большое изменение, которое не сразу бросается в глаза, — это операционная система. Дистрибутив Raspbian от Foundation основан на Debian, а с предстоящим выпуском Debian Buster и поддержкой нового оборудования, обнаруженного в Raspberry Pi 4, в новом выпуске будет проще, Raspberry Pi 4 поставляется с Raspbian Buster. Так что, хотя он все еще работает под управлением Raspbian, произошли значительные изменения, поэтому не ожидайте, что все останется прежним или будет работать из коробки. Неизбежно возникнут некоторые проблемы, когда люди будут исправлять, исправлять и портировать вещи в Buster после сегодняшнего выпуска.
Нагрев и охлаждение
Несмотря на то, что после выпуска оригинальной платы Raspberry Pi 3 в 2017 году мы видели некоторые первые сообщения о проблемах с нагревом, Raspberry Pi всегда была достаточно термически стабильной. Несмотря на то, что было доступно множество радиаторов и вентиляторов, они на самом деле не были нужны, если только вы не собирались запускать плату внутри ограничивающего корпуса, и в нормальных условиях эксплуатации это, вероятно, все еще будет иметь место для Raspberry Pi 4.
Я запускал плату в течение нескольких часов с воспроизведением нескольких видеопотоков 4K, одновременно просматривая веб-страницы или играя в видеоигры, имитирующие «нормальное» использование рабочего стола. Температура процессора поднялась и остановилась на отметке 68°C. Это значительно ниже предела теплового регулирования в 80°C, и, в отличие от предыдущих моделей, Raspberry Pi 4 не имеет добавочного теплового регулирования. Это означает, что для большинства случаев использования охлаждение не потребуется.
Однако в некоторых крайних случаях может потребоваться пассивное или активное охлаждение. Мы видели доказательства этого во время нашего бенчмаркинга.
Небольшой вентилятор поддерживал стабильную температуру процессора во время расширенного тестирования. (📷: Alasdair Allan)
Во время расширенного тестирования с использованием сред машинного обучения TensorFlow и AI2GO мы наблюдали температуры, значительно превышающие порог теплового регулирования, около 84°C. Однако добавления небольшого вентилятора, приводимого в действие от контакта +5 В на разъемах GPIO, было достаточно, чтобы снизить температуру процессора до 45°C и поддерживать ее стабильной на этом этапе во время нашего тестирования.
Еще кое-что…
Наконец, новый Raspberry Pi будет доступен как часть комплекта для настольных ПК.
Новый настольный комплект. (📷: Alasdair Allan)
«Комплект для настольных ПК, который будет продаваться по цене 120 долларов США + налог, задуман как полный бескомпромиссный пакет компонентов, предоставляющий вам все, кроме монитора, что вам нужно для использования Raspberry Pi 4 ГБ в качестве настольный компьютер». — Эбен Аптон , основатель Raspberry Pi Foundation
Настольный комплект включает в себя версию нового Raspberry Pi 4 объемом 4 ГБ, а также официальную клавиатуру, мышь, чехол и новый блок питания USB-C. Также в комплект входит руководство по началу работы, обновленное для новой платы, кабель micro-HDMI и SD-карта с предварительно записанной установкой Raspbian.
В заключении
Новый Raspberry Pi 4, Model B, доступен в трех версиях. Самая дешевая версия имеет тот же 1 ГБ памяти, что и все предыдущие модели, и имеет ту же цену в 35 долларов. Однако также доступна модель с 2 ГБ по цене 45 долларов и модель высокого класса с 4 ГБ ОЗУ по цене 55 долларов. Но других отличий между тремя моделями нет, кроме объема оперативной памяти на плате.
До сих пор конкурентам удавалось конкурировать, в основном слабо, с Raspberry Pi, добавляя дополнительную память, или Gigabit Ethernet, или USB 3. Все это теперь есть у Raspberry Pi, поэтому будет довольно интересно посмотреть, как представлен следующий «убийца Raspberry Pi», тем более что большинство плат, которые я видел, просто даже не пытаются конкурировать по цене.
Магазин Raspberry Pi в Кембридже. (📷: Аласдер Аллан)
Новый Raspberry Pi 4 доступен сегодня; однако, если вместо того, чтобы размещать заказ на него, вы действительно хотите, чтобы он был у вас сегодня, есть одно место, где вы можете это сделать. В магазине Raspberry Pi в Кембридже они есть в наличии.
Так что, если вы находитесь в Кембридже или, по крайней мере, недалеко от Лондона, и думаете, что вам это сойдет с рук, возможно, возьмите выходной и отправляйтесь в Большую аркаду в центре Кембриджа. Возьмите один из первых Raspberry Pi 4 и напишите мне в Твиттере. Потому что мне интересно посмотреть, вызовет ли запуск очередь.
Аласдер Аллан
Ученый, писатель, хакер, производитель и журналист. Строить, ломать и писать. На прокат. Вы можете связаться со мной по адресу 📫 [email protected].
Последние статьи
Подробнее
Статьи по теме
Rockpi4 — Radxa Wiki
Главная
Начало работы
Установка
Оборудование
Руководство по разработке
загрузок
Часто задаваемые вопросы
Англ.0002 português do Brasil
Это документация для ROCK Pi 4, написанная Radxa Team при участии сообщества.
ROCK Pi 4 — это SBC (одноплатный компьютер) на базе Rockchip RK3399 от Radxa. Он может работать под управлением Android или некоторых дистрибутивов Linux.
ROCK Pi 4 оснащен шестиядерным процессором ARM, 64-битным двухканальным LPDDR4 3200 Мбит/с, HDMI до 4K@60, MIPI DSI, MIPI CSI, разъемом 3,5 мм с микрофоном, 802.11ac WIFI, Bluetooth 5.0, портом USB, GbE LAN, 40-контактный цветной разъем расширения, RTC. Кроме того, ROCK Pi 4 поддерживает питание USB PD и QC.
ROCK Pi 4 выпускается в двух моделях: модели A и модели B, каждая модель имеет 1 ГБ, 2 ГБ или 4 ГБ оперативной памяти. Подробные различия моделей A и B см. в спецификациях.
Что нового
08.07.2022: OpenSUSE теперь поддерживает Radxa Zero, руководства по установке из OpenSUSE Wiki.
23.06.2022: ROCK 5B Developer Edition поставляется, оформите заказ на Debug Party
09.01.2022: анонсирована ROCK 5 Model B: настольный одноплатный компьютер уровня ARM64.
25 августа 2021: Выпущены системные образы ROCK 3A Debian/Ubuntu. Проверьте загрузки ROCK 3.
11-07-2021: IOhub стал еще доступнее благодаря оборудованию ROCK PI X
16.06.2021: Выпущен Radxa Zero
15.04.2021: Запущено устройство GPS NTP на базе ROCK PI S.
13.03.2021: Постройте мини-аквариум Serene Screen с помощью ROCK Pi X
11-03-2021: ROCK Pi 4 как идеальный фермер для криптовалютной монеты Chia
Настройка/Быстрый запуск
Начало работы с ROCK Pi 4, включая то, что вам нужно и как его загрузить.
Распиновка
GPIO
Резервное копирование и восстановление SD-карты или модуля eMMC
Как установить SSD с платой расширения M2
Установка
Установка операционной системы на ROCK PI 4, включая карту microSD, модуль eMMC, USB-накопитель и M. 2 NVME SSD,
Установить инструменты прошивки Rockchip
Установить образ на eMMC через порт USB OTG
Установить на карту microSD
Установить на модуль eMMC
Установить на флэш-память SPI
Установить на USB-накопитель (wip)
Установить на твердотельный накопитель M.2 NVME
> Еще…
Обновление от Radxa Apt
Таблица разделов
Разработка
Информация о разработке для Linux и Android, в основном для разработчиков.
Установка USB — Как использовать инструменты ПК для установки образа на ROCK Pi 4.
Serial Console — последовательная консоль на заголовке GPIO
Сборка Debian — сборка и создание образа Debian
Ядро поставщика сборки (Rockchip 4.4) — Ядро поставщика сборки для ROCK Pi 4
Сборка Android (нуга) TV — Сборка Android для ROCK Pi 4
Сборка Yocto — Сборка Yocto для ROCK Pi 4
> Еще. ..
Образы для установки во флэш-память SPI описывают, как записать загрузчик во флэш-память SPI на ROCK Pi 4.
Сборка основного ядра (ядро 5.x)
U-сапог
Сеть USB-устройств
Установить OpenCV
Установить Libmraa
Установить OpenCL
Оборудование
Технические характеристики оборудования ROCK Pi 4, включая WI-FI, дисплей, камеру и т. д.
Сообщение в блоге от команды Radxa, представляющее аппаратный дизайн ROCK Pi
ROCK Pi 4 — Представление оборудования ROCK Pi 4
Дисплей
Модуль камеры
Наложения дерева устройств — используйте другой HAT
> Еще…
ROCK Pi 4 — Представление оборудования ROCK Pi 4
Схема
v1.3 pdf — Скачать схему ROCK Pi 4
3D-чертеж STP — Скачать 3D-модель ROCK Pi 4
2D Bottom dxf, 2D Top dxf — Скачать 2D CAD ROCK Pi 4
v1. 4 CAM pdf — Компоненты для скачивания Положение Справочник по ROCK Pi 4
Версия оборудования — разница между версиями оборудования.
Лист данных
Техническое описание
RK3399 — SoC ROCK Pi 4
RK3399 TRM (Техническое справочное руководство) Часть Часть 2 — Подробная информация о RK3399
RK808 — PMIC
AP6256 — Комбинация wifi/bt
LDR6015 — ИС протокола USB PD
ES8316 — Аудиокодек
Foresee LPDDR4 — чип DRAM
RTL8211E — Ethernet-физ.
GPIO
Модуль eMMC
Устройство чтения карт eMMC USB3
Батарея часов реального времени
Официальный радиатор
3D-чертеж — 3D-модель официального радиатора
Дисплей
Модуль камеры
PoE-модуль
головные уборы
Плата расширения M.2
2D-файл для платы расширения M. 2 — разъем для платы FPC, плата для крепления SSD
Схема платы расширения M.2 — разъем для платы FPC, монтажной платы SSD
SPI флэш-память
Наложения дерева устройств
Соответствие
CE КРАСНЫЙ — ЕС
Работа с Linux
Основы использования Linux для начинающих и дополнительная информация для опытных пользователей.
Рабочий стол Debian
Сервер Ubuntu
Система Linux работает на твердотельном накопителе M.2 NVME
Radxa APT
Докер
Самба
> Еще…
Sgminer — майнер OpenCL GPU
Изображения официальные/третьи лица/сообщества
разгон процессора
Использование камеры MIPI на ROCK Pi 4
Использование официального ЖК-экрана Raspberry Pi
Используйте модуль 4G на ROCK Pi 4
Работа с Android
Основы использования Android для начинающих и дополнительная информация для опытных пользователей.
Планшет Android7 (поддержка официального 7-дюймового дисплея Raspberry Pi)
Android7 ТВ
Планшет Android9
Android9 ТВ
Android9 Работа на твердотельном накопителе M.2 NVME
Android9 Мраа API
Планшет Android10
Android11
Решить, что устройство Google Play не сертифицировано для Play Protect
Часто задаваемые вопросы
Ответы на часто задаваемые технические вопросы
Ответы на продажу ROCK Pi 4
Сообщество
Форум: http://forum.radxa.com
Дискорд: https://rock.sh/go
Группа телеграмм
: https://t.me/rockpi4
Группа WeChat:
Как внести свой вклад в эту вики
Стоит ли покупать Raspberry Pi 4 8 ГБ
Одноплатный компьютер Raspberry Pi дебютировал в 2012 году и с тех пор претерпел множество различных обновлений. В 2019 году Raspberry Pi 4 стал одним из самых значительных аппаратных обновлений. Среди улучшений, внесенных в Raspberry Pi 4-го поколения, был выбор нескольких вариантов оперативной памяти вместо одного. На момент запуска платы Raspberry Pi 4 предлагали 1 ГБ, 2 ГБ или 4 ГБ ОЗУ. Теперь доступен 8 ГБ Pi. Но подходит ли это вам? Узнайте, стоит ли вам покупать модель Raspberry Pi 4 8GB!
Что такое Raspberry Pi 4 8 ГБ? Характеристики и цены
Продаваемый по цене 75 долларов США, Raspberry Pi 4 8 ГБ является самой дорогой, но самой мощной итерацией ультрапопулярного SBC на сегодняшний день. Помимо дополнительной памяти, характеристики не изменились по сравнению с остальной частью пакета Pi 4. В основе Pi лежит четырехъядерный процессор Broadcom BCM2711 Cortex-A7s ARM v8 с 64-битной системой на кристалле (SoC) с тактовой частотой 1,5 ГГц. У него колоссальные 8 ГБ LPDDR4-3200 SDRAM. Что касается подключения, на борту есть Wi-Fi 802.11ac 2,4 ГГц и 5,0 ГГц, Bluetooth 5. 0 BLE (Bluetooth с низким энергопотреблением) и Gigabit Ethernet. Также имеется отличный ввод/вывод (I/O) с четырьмя портами USB, двумя портами USB 3.0 и парой USB 2.0, стандартным 40-контактным разъемом GPIO (ввод-вывод общего назначения), 2-полосным портом дисплея MIPI DSI, и 2-полосный порт камеры MIPI CSI.
Видеовыход
обрабатывается двумя портами micro-HDMI, способными выводить изображение 4K 60 кадров в секунду (FPS). В качестве альтернативы имеется 4-контактный стереоаудио/видео композитный порт. Слот для карты microSD входит в стандартную комплектацию для установки операционной системы (ОС). Pi получает питание от разъема USB-C 5 В постоянного тока. Он способен декодировать H.265 4K и H.264 при 1080p 60 FPS и 30 FPS. Кроме того, есть совместимость с OpenGL ES 3.0.
Слот для карты Micro-SD для загрузки операционной системы и хранения данных
5 В постоянного тока через разъем USB-C (минимум 3 А*)
5 В постоянного тока через разъем GPIO (минимум 3 А*)
Питание через Ethernet (PoE) включено (требуется отдельная шляпа PoE)
Рабочая температура: 0–50 °C окружающей среды
Что может Raspberry Pi 4 8 ГБ?
Поскольку модель Raspberry Pi 4 8 ГБ использует тот же SoC, что и ее варианты с 1 ГБ, 2 ГБ и 4 ГБ, задачи, связанные с процессором, не заметят большой разницы. Но для приложений, интенсивно использующих оперативную память, 8 ГБ оказывается полезным. Однако действительно ли с тем же самым процессором 8 ГБ памяти обеспечат заметный прирост производительности? Ну, это сильно зависит от задачи. Очевидное улучшение происходит при использовании Raspberry Pi в качестве рабочего стола. При запуске Pi 4 продавался как SBC для настольных ПК, поэтому я проверил его, заменив свою рабочую установку на Pi на целую неделю. И я был невероятно доволен результатами, так как крошечная, но мощная доска не давала сбоев ни при просмотре веб-страниц, ни при записи, ни даже при редактировании изображений и аудио. На RasPi возможно небольшое легкое редактирование видео, но модель 4 ГБ или 2 ГБ должна справиться с этим с помощью свопа. У вас просто будет больше накладных расходов на вариант 8 ГБ.
На Raspberry Pi 8 ГБ возможно максимальное использование ОЗУ. Для тех, кто часто выполняет несколько задач одновременно, вы можете открыть более 20 вкладок Chromium или Firefox. Большинство пользователей даже не приблизится к этому, но это возможно. Для использования на рабочем столе или одновременного запуска нескольких приложений 8 ГБ ОЗУ Pi не сводит с ума. Однако один из лучших вариантов использования модели 8 ГБ — это вычислительный кластер. В параллельных вычислениях важна оперативная память. И хотя кластер Raspberry Pi не будет полностью аддитивным, так как четыре платы Pi 4 в кластере не дадут в четыре раза больше чистой производительности, чем один Pi, добавленная память значительно улучшит параллельные вычисления.
Хорошо, а как насчет производительности Raspberry Pi 4 8GB RetroPie? Поскольку эмуляция в значительной степени зависит от процессора и графического процессора, оперативная память вообще не будет учитываться. Таким образом, вы не заметите разницы между моделями на 2 ГБ, 4 ГБ или 8 ГБ. Использование Raspberry Pi, такое как ретро-игры и потребление мультимедиа, не даст большого прироста производительности с дополнительной оперативной памятью. В целом, Pi 4 8 ГБ может выполнять те же функции, что и его братья и сестры с 4 ГБ и 2 ГБ, хотя и с большими накладными расходами.
Поддержка 64-битных ОС — Raspberry Pi OS
Где 8 ГБ ОЗУ пригодятся, так это в операционной системе (ОС), ранее известной как Raspbian, Raspberry Pi OS. Несколько операционных систем Raspberry Pi, включая ОС Raspberry Pi и Ubuntu, предоставляют 64-разрядные операционные системы. Для 32-разрядной ОС существует ограничение на ОЗУ в 4 ГБ, поэтому для использования всех 8 ГБ памяти на Pi. Таким образом, 8 ГБ Raspberry Pi в сочетании с 64-битной операционной системой полностью меняет правила игры для Pi. Вы сможете управлять примерно 30 вкладками браузера, а также несколькими различными программами, такими как редактирование изображений или офисные приложения, с Raspberry Pi 8 ГБ при работе с 64-битной ОС.
Кому стоит купить Raspberry Pi 4 8 ГБ?
Raspberry Pi 8 ГБ — отличный выбор, но не обязательно для всех. Если вы ищете первую Raspberry Pi или дополнительную плату Pi, вам следует выбрать вариант на 8 ГБ. Точно так же опытные пользователи должны обязательно поймать один. Для существующих пользователей Raspberry Pi ответ не такой четкий и сухой.
Существующие владельцы RPi с 2 ГБ или 4 ГБ оперативной памяти должны быть в порядке. Если вы не планируете сильно нагружать свою плату производителя или создавать кластер, вы, скорее всего, никогда не достигнете предела ОЗУ, особенно с подкачкой. Более вероятно, что вы максимально используете процессор, а не память. Однако, если у вас есть Raspberry Pi на 1 ГБ, определенно стоит рассмотреть модель на 8 ГБ. Несмотря на то, что это самый дорогой из всех комплектов — 75 долларов по сравнению с 35 долларами за версию с 2 ГБ и 55 долларами за 8 ГБ, его возможности многозадачности увеличены, особенно в сочетании с 64-разрядной ОС, которая позволяет использовать все восемь гигабайт оперативной памяти. .
Если вы собираетесь выбрать вариант с 8 гигабайтами, я бы посоветовал приобрести комплект Raspberry Pi 8 ГБ. Таким образом, вы получите Raspberry Pi и некоторый ассортимент аксессуаров, таких как корпус, блок питания, карта microSD с установленными NOOB, клавиатура, мышь и радиаторы. Или купите плату и корпус Raspberry Pi 4 отдельно, но в любом случае использование корпуса и официального блока питания — отличный выбор.
Вам следует купить Raspberry Pi 4 8 ГБ, если вы…
Необходимо новейшее и лучшее оборудование
Опытный пользователь
Намерены запустить кластер Raspberry Pi
Ожидайте, что ваш Pi достигнет предела возможностей благодаря многозадачности
Находятся на рынке для нового Pi, будь то первая покупка или дополнительная плата
Вам следует пропустить Raspberry Pi 4 8 ГБ, если вы…
У вас уже есть Pi на 2 ГБ или 4 ГБ, который подходит для ваших целей
Запуск в основном программ, интенсивно использующих ЦП
Стоит ли покупать модель Raspberry Pi 4 8 ГБ? Это лучшая модель Raspberry Pi?
В конечном счете, стоит ли приобретать Raspberry Pi 4 8 ГБ, зависит от нескольких различных факторов. Это определенно самый мощный из доступных Raspberry Pi, и результаты доказывают это. Вы можете открывать более 30 вкладок браузера, запускать несколько разных приложений одновременно и редактировать изображения или видео на Pi 8 ГБ. Обычный пользователь, вероятно, не подойдет к такому уровню стресс-тестирования Pi. Тем не менее, это достойная плата для использования в кластерах, а вариант на 8 ГБ — лучшая модель Raspberry Pi, которую вы можете купить. Он все больше способен совмещать несколько программ, как в случае использования настольного ПК. А с 64-битными ОС, доступными для использования этих полных 8 гигабайт памяти в сочетании с Vulkan, поступающим на Raspberry Pi, RasPi четвертого поколения должен стать только более универсальным, чем он уже есть. Вопрос в том, готовы ли вы выложить деньги и приблизитесь ли вы к тому, чтобы использовать всю эту оперативную память.
Я, например, определенно покупаю Raspberry Pi 4 8GB. Будете ли вы принимать один? Почему или почему нет?
Мо Лонг — редактор, писатель и технический специалист, особенно ценящий Linux, Raspberry Pi и ретро-игры. Пишет в Интернете с 2013 года, у Мо есть подписи на MakeUseOf, TechBeacon, DZone, SmartHomeBeginner, DEV.to, DVD Netflix и Electropages. Вы можете прочитать его статьи о кино и поп-культуре на Cup of Moe, ознакомиться с его техническими обзорами, руководствами и учебными пособиями на Tech Up Your Life и услышать его мысли о фильмах в подкасте Celluloid Fiends. Помимо написания и редактирования, у Мо есть онлайн-курс «Руководство для начинающих по партнерскому ведению блога с нуля». Когда он не играет на клавиатуре, ему нравится бегать, читать, смотреть кино, слушать винил и играть со своей собакой Себастьяном.
Следовать
Оставить отзыв…
Предыдущий
Далее
Статьи по теме
Raspberry Pi 4 Model B
сортировать по наилучшему соответствиюрекомендуемыеновейшиелучшие продажицена
163264
на страницу
только в наличии
`
вернуть $(resultHtml)
}
const searchResultCallback = (попадания, аспекты, количество) => {
debug(«> обратный вызов результатов поиска», совпадения, фасеты, количество)
$(«#search .load-more-results»).toggle(hits.page 0) {
$(«#search.no-results»).hide()
пусть html = «»
for(let hit of hits.hits) {
$(«#search .results»).append(createSearchResultFull(попадание))
}
}еще{
if(searchSearcher.inStockOnly) {$(«#search .no-results .message»).html(«Возможно, у нас есть что-то подходящее, чего нет в наличии. Включить товары, которых нет в наличии.»)}
для (пусть я = 0; я `))
}
$(«#поиск .без результатов»).show()
}
// обновляем списки фильтров
$(«#search .filters»). find(«раздел»).each((i, e) => {
buildFilters($(«#search»), searchSearcher, $(e).data(«type»), аспекты, количество)
})
обновитьрейтинги()
обновитьЦены()
обновитьЗначки()
}
var searchSearcher = новый искатель([], searchResultCallback)
searchSearcher.permanentFilters = true
var searchLanding = window.location.pathname == «/search»
вар предыдущий URL = ноль
вар последний запрос = «»
const queryInput = (запрос) => {
если(!searchLanding) {
if(!lastQuery && запрос) {
debug(«> начать поиск, сохранить текущее состояние URL», document.location.href)
предыдущий URL = document.location.href
$(«#поиск»).show()
$(«#контент»).скрыть()
}
если (последний запрос && !запрос) {
debug(«> завершить поиск, вернуться к предыдущему URL-адресу», previousUrl)
history.replaceState(null, window.title, предыдущийUrl)
$(«#поиск»).скрыть()
$(«#контент»).показать()
}
если (запрос) {
searchSearcher. queryText = запрос
обновитьПоиск()
}
последний запрос = запрос
}еще{
searchSearcher.queryText = запрос
обновитьПоиск()
}
}
$(функция() {
если (window.location.pathname == «/search») {
$(«#поиск»).show()
$(«#контент»).скрыть()
searchSearcher.queryText = urlGet(«q», «»)
$(«#search_input_desktop»).val(searchSearcher.queryText)
$(«#search_input_mobile»).val(searchSearcher.queryText)
$(«#search .filters»).find(«раздел»).each((i, e) => {
searchSearcher.filters[$(e).data(«тип»)] = urlGet($(e).data(«тип»))
})
если(urlGet(«акции»)) {
$(«#поиск .только на складе»).prop(«проверено», правда)
searchSearcher.inStockOnly = истина
}
если (urlGet («сортировать»)) {
$(«#search .sort-by»).val(urlGet(«sort»))
searchSearcher.sort = urlGet(«сортировка»)
}
если(urlGet(«страница»)) {
searchSearcher.preloadPageCount = parseInt(urlGet(«страница»))
}
searchSearcher. pageSize = получить(«searchPageSize», 32)
$(«#search .per-page»).val(get(«searchPageSize», 32))
searchSearcher.doSearch()
}
})
// запустить новый поиск и обновить URL
const updateSearch = (страница = 1) => {
searchSearcher.page = страница
searchSearcher.doSearch()
пусть параметры = []
if(searchSearcher.queryText) {parameters.push(`q=${searchSearcher.queryText}`)}
for(let filter of Object.keys(searchSearcher.filters)) {
если (searchSearcher.filters[фильтр]) {
параметры.push(`${фильтр}=${searchSearcher.filters[фильтр]}`)
}
}
if(searchSearcher.page != 1) {parameters.push(`page=${searchSearcher.page}`)}
if(searchSearcher.sort) {parameters.push(`sort=${searchSearcher.sort}`)}
if(searchSearcher.inStockOnly) {parameters.push(`stock=true`)}
пусть queryString = параметры.длина > 0? «?» + параметры.соединение(«&») : «»
отладка(«> обновить URL», queryString)
history.replaceState(null, window.title, «/search» + queryString)
}
const showOutOfStock = () => {
$(«#поиск . только на складе»).prop(«проверено», ложь)
searchSearcher.inStockOnly = ложь
обновитьПоиск()
}
$(«#search_input_desktop»).on(«input», (e) => { // ввод поиска на рабочем столе
searchSearcher.queryText = $(«#search_input_desktop»).val().trim()
$(«#search_input_mobile»).val(searchSearcher.queryText)
queryInput (searchSearcher.queryText)
})
$(«#search_input_mobile»).on(«input», (e) => { // ввод мобильного поиска
searchSearcher.queryText = $(«#search_input_mobile»).val().trim()
$(«#search_input_desktop»).val(searchSearcher.queryText)
queryInput (searchSearcher.queryText)
})
$(«#search .filters >section ul»).click((e) => { // фильтр кликов
searchSearcher.filters[$(e.target).closest(«раздел»).data(«тип»)] =
$(e.target).hasClass(«активный») ? ноль: $(e.target).data(«значение»)
обновитьПоиск()
})
$(«#search .per-page»).change((e) => { // элементов на странице
set(«searchPageSize», parseInt($(e.target).val()))
обновитьПоиск()
})
$(«#search . sort-by»).change((e) => { // сортировка
searchSearcher.sort = $(e.target).val()
обновитьПоиск()
})
$(«#search .только на складе»).change((e) => { // только на складе
searchSearcher.inStockOnly = $(e.target).prop(«проверено»)
обновитьПоиск()
})
$(«#search .load-more-results»).click(() => { // загрузить больше результатов
updateSearch(searchSearcher.page + 1)
})
от малины Пи
Raspberry Pi 4 имеет до 8 ГБ ОЗУ, более быстрый четырехъядерный процессор, поддержку двух дисплеев с разрешением до 4K, Gigabit Ethernet, USB 3. 0, беспроводную локальную сеть, Bluetooth 5.0 и питание USB-C. Это производительность настольного ПК!
Общий форм-фактор остается прежним, поэтому вы по-прежнему сможете использовать HAT и pHAT, как и раньше, но из-за изменений портов на Raspberry Pi 4 мы разработали совершенно новый корпус Pibow Coupé 4. в трех привлекательных цветовых решениях.
Особенности
64-разрядный четырехъядерный процессор ARM Cortex-A72 с тактовой частотой 1,5 ГГц (ARM v8, BCM2711B0)
2 ГБ, 4 ГБ или 8 ГБ ОЗУ (LPDDR4)
Встроенная беспроводная локальная сеть — двухдиапазонная 802.11 b/g/n/ac
Встроенный Bluetooth 5.0 с низким энергопотреблением (BLE)
Комбинированный 3,5-мм аналоговый аудио- и композитный видеоразъем
Слот для карты Micro-SD
Питание USB-C
Как всегда с новыми моделями Raspberry Pi, вам потребуется последняя версия Raspbian для работы на Raspberry Pi 4. Мы продаем карту NOOBS с предварительно созданным образом на 32 ГБ отдельно, или вы можете получить ее с нашей полностью загруженной Полный стартовый комплект Pimoroni Raspberry Pi 4.
Производительность на уровне рабочего стола
Более быстрый 64-разрядный четырехъядерный процессор с тактовой частотой 1,5 ГГц на базе процессора Cortex A72 SoC Raspberry Pi 4 в сочетании с оперативной памятью LPDDR4 объемом до 8 ГБ обеспечивает производительность, сравнимую с производительностью настольных ПК x86 начального уровня. Вы увидите значительно более высокую скорость загрузки и гораздо более высокую производительность для ресурсоемких задач, таких как эмуляция и использование медиацентра; намного шустрее со всех сторон!
Raspberry Pi 4 переходит на питание USB-C, а это означает, что вам понадобится новый блок питания USB-C, который может подавать 5 В при 3 А. У нас есть несколько различных вариантов: источник питания USB-C, работающий по всему миру, и официальный источник питания Raspberry Pi.
Значительно более быстрый ввод-вывод
Raspberry Pi 4 имеет два порта USB 3.0, обеспечивающие скорость передачи до 10 раз выше, чем USB 2.0, что идеально подходит для подключения быстрых периферийных устройств, таких как твердотельные накопители и флэш-накопители. Есть также два порта USB 2.0 для подключения менее зависящих от скорости периферийных устройств, таких как клавиатуры и мыши.
Разъем Ethernet на Raspberry Pi 4 переходит на настоящую гигабитную скорость для сверхскоростной проводной сети, и, как и в случае с Raspberry Pi 3 B+, также есть возможность Power-over-Ethernet (требуется дополнительная Raspberry Pi PoE HAT).
Поддержка дисплея 4K, два разъема micro-HDMI
Два порта micro-HDMI поддерживают разрешение до 4Kp60, что позволяет использовать Raspberry Pi 4 с гораздо большими дисплеями с четким, четким изображением и высоким разрешением. Используйте аппаратное декодирование H.265 4Kp60 для просмотра фильмов 4K в вашем любимом дистрибутиве медиацентра.
Впервые вы сможете использовать два дисплея HDMI с Raspberry Pi. Это отлично подходит для одновременной работы над множеством разных задач без необходимости работать в крошечных окнах.
Если вам нужен адаптер micro-HDMI для использования существующего кабеля HDMI с Raspberry Pi 4, то мы вам поможем!
Bluetooth 5.0 и беспроводная локальная сеть
Новый набор микросхем поддерживает Bluetooth 5.0 (от 4.2 на Raspberry Pi 3 B+), а также двухдиапазонную беспроводную локальную сеть 802.11 b/g/n/ac, как и Raspberry Pi предыдущего поколения, для быстрой беспроводная сеть с меньшими помехами и лучшим приемом.
Raspberry Pi 4 имеет до 8 ГБ ОЗУ, более быстрый четырехъядерный процессор, поддержку двух дисплеев с разрешением до 4K, Gigabit Ethernet, USB 3.0, беспроводную локальную сеть, Bluetooth 5.0 и питание USB-C. Это производительность настольного ПК!
читать далее…
Из-за ограниченного запаса и высокого уровня скальпинга мы только
разрешить вошедшим в систему клиентам, которые заказывали у нас раньше
купить этот товар.
В тех случаях, когда требуется указать размер диаметра, используют знак в виде окружности с линией « Ø ». Этот символ наносят перед размерным числом.
Примеры использования знака диаметра:
Знаки диаметра на деталях вращения цилиндрической и конической формы
Размеры наносимые при недостатке места на размерной линии
Обозначение размеров при недостатке места для стрелок
Диаметр – это длинна отрезка прямой соединяющей поверхности окружности. Отрезок диаметра, в любом случае проходит только через центр окружности. Обозначают его обычно латинской буквой « D » или знаком « Ø ». Если радиус окружности умножить на два, суммой будет диаметр. Все объемные тела, имеющие сферическую форму, а также те, хотя бы одно из возможных сечений которых представляет собой круг, обозначаются символами диаметра. Слово «диаметр» произошло от греческого слова «diametros» – поперечник.
Пример обозначения четырёх отверстий с указанием диаметра
На технических чертежах диаметры обозначаются символом в виде перечеркнутой окружности « Ø ». Данный знак, ставится перед размерными числами деталей, которые могут быть как цилиндрическими, так и коническими.
В сечение конус представляет собой прямоугольный треугольник, один из катетов которого параллелен или сосен телу вращения. Его параметры имеют следующими обозначениями: « D » – больший диаметр, « d » – меньший диаметр, « L » – длина. На чертеже диаметры конуса обозначаются цифрами, перед которыми ставятся знаки « Ø » а числовое значение длинны без буквенных обозначений.
К наиболее распространенным деталям с цилиндрическими поверхностями, относятся валы различного назначения. Цилиндрические тела, образованные вращением прямоугольника около одной из его сторон обозначаются диаметром. Гладкие валы имеют некоторые конструктивные особенности, и разделяются на разновидности: прямые, ступенчатые односторонние, ступенчатые двусторонние и тяжелые. К примеру, валы асинхронных двигателей, в которых ротор сопрягается с валом методом запрессовки на наибольший его диаметр, а по обеим сторонам имеются ступени под подшипники, вентиляторы, и шкивы. Двусторонние ступенчатые валы можно встретить так же в различных механизмах там, где требуются, какие либо другие конструктивные особенности. Цилиндрические детали, как правило, имеют общую максимальную длину и наружный диаметр. В зависимости от конкретной конфигурации того или иного изделия в её состав могут входить такие элементы как внутренние и наружные канавки, ступени, выточки и др. с различными диаметрами перед значениями которых ставятся знаки « Ø ».
Пример нанесения знака диаметра на сферической поверхности
К деталям с коническими поверхностями относятся инструментальные переходные втулки, у которых наружная и внутренняя поверхность конические. Такие втулки обеспечивают высокую точность центрирования и быстродействие смены инструмента с достаточной жёсткостью при использовании их на станках. Переходные втулки бывают короткие и длинные.
Конические инструментальные детали данного типа называются «конус Морзе» и делятся на номера. Углы, длины и диаметры переходных втулок можно взять из специальных таблиц. В табличных данных используются буквенные обозначения такие как – « d » меньший диаметр, « D » большой диаметр, « L » длина детали. На чертежах диаметры и длины обозначаются цифровыми значениями, причём перед числами диаметра ставится знак « Ø ».
«Конус Морзе» – помимо переходных втулок применяется при изготовлении хвостовиков спиральных свёрл, концевых фрез, приспособлений и оправок. Инструментальные конусы фиксируются за счёт упругой и пластической деформации. Для реализации таких соединений в шпинделях фрезерных и токарных станков, предусмотрены конические отверстия для установки вспомогательного инструмента. Кроме того у токарного станка пиноль задней бабки имеет такое же коническое отверстие.
В технике используются большое количество деталей и их элементов для обозначения, которых используется знак диаметра. Для стандартных размеров диаметров используются параметрический ряд, в который входят стандартные размеры. При разработке технических изделий расчётные диаметры округляются до ближайших их величин. При обозначении на технических чертежах знак диаметра должен сопровождаться обозначением оси штрихпунктирной линией, что указывает на круглое сечение участка детали.
При написании технических текстов или в чертежах часто нужно вставлять знак диаметра. В черчении его еще называют знак окружности. На клавиатуре такого знака не предусмотрено, поэтому возникает проблема. Рассмотрим несколько способов, как вставить символ диаметра.
Обозначение диаметра выглядит так: Ø или ø . Это латинская буква O с диагональным штрихом.
Способ 1: скопировать и вставить
Выделите знак Ø , скопируйте и вставьте в Word, Excel или AutoCAD.
Способ 2: кнопка дополнительные символы
Во всех программах Microsoft на вкладке Вставка есть кнопка дополнительные символы. Нажав на неё можно выбрать и вставить в текст символ диаметра.
Это же окно открывается через верхнюю панель меню «Вставка — Дополнительные символы».
Если символ нужно вставлять часто, для экономии времени настройте на него сочетание клавиш или автозамену. Кнопки для настройки этих опций находятся под списком всех символов.
Способ 3: раскладка Бирмана
Илья Бирман создал раскладку для клавиатуры, которая помогает вставлять часто используемые символы с помощью клавиатуры. Чтобы воспользоваться ей, скачайте и установите ее на компьютер (Windows или Mac). После установки активируйте раскладку в настройках «Панели управления», об этом подробно написано на странице скачивания.
Для вставки знака диаметра нажмите правый Alt + d .
Чтобы не забыть все сочетания клавиш, есть шпаргалка:
Если символ на клавише нарисован снизу, нужно дополнительно нажимать Shift .
Способ 4: сочетание клавиш
Зажмите клавишу Alt и поочередно введите код 0216 . Цифры обязательно вводите на цифровом блоке (справа на клавиатуре), иначе ничего не получится. Поэтому такой способ не подойдет для владельцев некоторых ноутбуков.
Характеристики знака диаметра
Построение чертежей – дело непростое, но без него в современном мире никак. Ведь чтобы изготовить даже самый обычный предмет (крошечный болт или гайку, полку для книг, дизайн нового платья и подобное), изначально нужно провести соответствующие вычисления и нарисовать чертеж будущего изделия. Однако часто составляет его один человек, а занимается изготовлением чего-либо по этой схеме другой.
Чтобы не возникло путаницы в понимании изображенного предмета и его параметров, во всем мире приняты условные обозначения длины, ширины, высоты и других величин, применяемых при проектировании. Каковы они? Давайте узнаем.
Величины
Площадь, длина, ширина, высота и другие обозначения подобного характера являются не только физическими, но и математическими величинами.
Единое их буквенное обозначение (используемое всеми странами) было уставлено в середине ХХ века Международной системой единиц (СИ) и применяется по сей день. Именно по этой причине все подобные параметры обозначаются латинскими, а не кириллическими буквами или арабской вязью. Чтобы не создавать отдельных трудностей, при разработке стандартов конструкторской документации в большинстве современных стран решено было использовать практически те же условные обозначения, что применяются в физике или геометрии.
Любой выпускник школы помнит, что в зависимости от того, двухмерная или трехмерная фигура (изделие) изображена на чертеже, она обладает набором основных параметров. Если присутствуют два измерения – это ширина и длина, если их три – добавляется еще и высота.
Итак, для начала давайте выясним, как правильно длину, ширину, высоту обозначать на чертежах.
Ширина
Как было сказано выше, в математике рассматриваемая величина является одним из трех пространственных измерений любого объекта, при условии что его замеры производятся в поперечном направлении. Так чем знаменита ширина? Обозначение буквой «В» она имеет. Об этом известно во всём мире. Причем, согласно ГОСТу, допустимо применение как заглавной, так и строчной латинских литер. Часто возникает вопрос о том, почему именно такая буква выбрана. Ведь обычно сокращение производится по первой букве латинского, греческого или английского названия величины. При этом ширина на английском будет выглядеть как «width».
Вероятно, здесь дело в том, что данный параметр наиболее широкое применение изначально имел в геометрии. В этой науке, описывая фигуры, часто длину, ширину, высоту обозначают буквами «а», «b», «с». Согласно этой традиции, при выборе литера «В» (или «b») была заимствована системой СИ (хотя для других двух измерений стали применять отличные от геометрических символы).
Большинство полагает, что это было сделано, дабы не путать ширину (обозначение буквой «B»/«b») с весом. Дело в том, что последний иногда именуется как «W» (сокращение от английского названия weight), хотя допустимо использование и других литер («G» и «Р»). Согласно международным нормам системы СИ, измеряется ширина в метрах или кратных (дольных) их единицах. Стоит отметить, что в геометрии иногда также допустимо использовать «w» для обозначения ширины, однако в физике и остальных точных науках такое обозначение, как правило, не применяется.
Длина
Как уже было указано, в математике длина, высота, ширина – это три пространственных измерения. При этом, если ширина является линейным размером в поперечном направлении, то длина – в продольном. Рассматривая ее как величину физики можно понять, что под этим словом подразумевается численная характеристика протяжности линий.
В английском языке этот термин именуется length. Именно из-за этого данная величина обозначается заглавной или строчной начальной литерой этого слова – «L». Как и ширина, длина измеряется в метрах или их кратных (дольных) единицах.
Высота
Наличие этой величины указывает на то, что приходится иметь дело с более сложным – трехмерным пространством. В отличие от длины и ширины, высота численно характеризует размер объекта в вертикальном направлении.
На английском она пишется как «height». Поэтому, согласно международным нормам, ее обозначают латинской литерой «Н»/«h». Помимо высоты, в чертежах иногда эта буква выступает и как глубины обозначение. Высота, ширина и длина – все все эти параметры измеряются в метрах и их кратных и дольных единицах (километры, сантиметры, миллиметры и т. п.).
Радиус и диаметр
Помимо рассмотренных параметров, при составлении чертежей приходится иметь дело и с иными.
Например, при работе с окружностями возникает необходимость в определении их радиуса. Так именуется отрезок, который соединяет две точки. Первая из них является центром. Вторая находится непосредственно на самой окружности. На латыни это слово выглядит как «radius». Отсюда и общепринятое сокращение: строчная или заглавная «R»/«r».
Чертя окружности, помимо радиуса часто приходится сталкиваться с близким к нему явлением – диаметром. Он также является отрезком, соединяющим две точки на окружности. При этом он обязательно проходит через центр.
Численно диаметр равен двум радиусам. По-английски это слово пишется так: «diameter». Отсюда и сокращение – большая или маленькая латинская буква «D»/«d». Часто диаметр на чертежах обозначают при помощи перечеркнутого круга – «Ø».
Хотя это распространенное сокращение, стоит иметь в виду, что ГОСТ предусматривает использование только латинской «D»/«d».
Толщина
Большинство из нас помнят школьные уроки математики. Ещё тогда учителя рассказывали, что, латинской литерой «s» принято обозначать такую величину, как площадь. Однако, согласно общепринятым нормам, на чертежах таким способом записывается совсем другой параметр – толщина.
Почему так? Известно, что в случае с высотой, шириной, длиной, обозначение буквами можно было объяснить их написанием или традицией. Вот только толщина по-английски выглядит как «thickness», а в латинском варианте – «crassities». Также непонятно, почему, в отличие от других величин, толщину можно обозначать только строчной литерой. Обозначение «s» также применяется при описании толщины страниц, стенок, ребер и так далее.
Периметр и площадь
В отличие от всех перечисленных выше величин, слово «периметр» пришло не из латыни или английского, а из греческого языка. Оно образовано от «περιμετρέο» («измерять окружность»). И сегодня этот термин сохранил свое значение (общая длина границ фигуры). Впоследствии слово попало в английский язык («perimeter») и закрепилось в системе СИ в виде сокращения буквой «Р».
Площадь – это величина, показывающая количественную характеристику геометрической фигуры, обладающей двумя измерениями (длиной и шириной). В отличие от всего перечисленного ранее, она измеряется в квадратных метрах (а также в дольных и кратных их единицах). Что касается буквенного обозначения площади, то в разных сферах оно отличается. Например, в математике это знакомая всем с детства латинская литера «S». Почему так – нет информации.
Другие распространенные сокращения
Обозначения высоты, ширины, длины, толщины, радиуса, диаметра являются наиболее употребляемыми при составлении чертежей. Однако есть и другие величины, которые тоже часто присутствуют в них. Например, строчное «t». В физике это означает «температуру», однако согласно ГОСТу Единой системы конструкторской документации, данная литера – это шаг (винтовых пружин, заклепочных соединений и подобного). При этом она не используется, когда речь идет о зубчатых зацеплениях и резьбе.
Заглавная и строчная буква «A»/«a» (согласно все тем же нормам) в чертежах применяется, чтобы обозначать не площадь, а межцентровое и межосевое расстояние. Помимо различных величин, в чертежах часто приходится обозначать углы разного размера. Для этого принято использовать строчные литеры греческого алфавита. Наиболее применяемые – «α», «β», «γ» и «δ». Однако допустимо использовать и другие.
Какой стандарт определяет буквенное обозначение длины, ширины, высоты, площади и других величин?
Как уже было сказано выше, чтобы не было недопонимания при прочтении чертежа, представителями разных народов приняты общие стандарты буквенного обозначения. Иными словами, если вы сомневаетесь в интерпретации того или иного сокращения, загляните в ГОСТы. Таким образом вы узнаете, как правильно обозначается высота, ширины, длина, диаметр, радиус и так далее.
Для Российской Федерации таким нормативным документом является ГОСТ 2.321-84. Он был внедрен еще в марте 1984 г. (во времена СССР), взамен устаревшего ГОСТа 3452—59.
Размеры на чертеже — Тема Нанесение размеров — Уроки черчения — Каталог статей
Как наносят размеры на чертеже.
Чертежи должны содержать размеры, чтобы можно было судить по ним о величине изображенного предмета и его частей. Размеры на чертежах наносят в миллиметрах, но наименование измерений не указывают. Как наносят эти размеры?
1. Вначале проводят выносные линии перпендикулярно тому отрезку, размер которого указывают (рис. 28, а). Затем на расстоянии 6…10 мм от контура детали проводят параллельно ему размерную линию. Размерная линия ограничивается с двух сторон стрелками. Какой должна быть стрелка и в какой последовательности ее вычерчивать, показано на рис. 29. Выносные
линии выходят за концы стрелок размерной линии нa 1…5 мм. Выносные и размерные линии — сплошные тонкие. Над размерной линией, ближе к ее середине, наносят размерное число.
2. Для обозначения диаметра перед размерным числом наносят специальный знак — кружок, перечеркнутый прямой линией (рис. 28, б и 30). Если внутри окружности размерное число не помещается, его выносят за пределы окружности, как показано на рис. 28, в. Аналогично поступают при нанесении размера прямолинейного отрезка.
3. Для обозначения радиуса перед размерным числом всегда пишут латинскую букву R (рис. 28, г). Размерную линию при нанесении радиуса проводят из центра дуги. Она оканчивается стрелкой с одной стороны.
4. Обратите внимание, как нанесено размерное число 30 на рис.28, а. Размерная линия расположена вертикально, поэтому размерное число пишут так, чтобы его можно было читать справа. При наклонных размерных линиях цифры располагают, как показано на рис. 28, б и г.
5. Если на чертеже несколько размерных линий, параллельных друг другу, то вначале наносят меньший размер. Так, на рис. 28, а сначала нанесен размер 10, а затем 30. В этом случае выносные и размерные линии на чертеже не пересекаются. Расстояние между параллельными размерными линиями равно от 6 до 10 мм.
6. Величину углов указывают в градусах с обозначением единицы измерения (значок 0). Размерную линию при этом проводят в виде дуги окружности с центром в вершине угла (рис. 28, д).
7. Если в детали имеется несколько одинаковых элементов, то на чертеже рекомендуется наносить размер лишь одного из них с указанием количества. Например, запись на чертеже «3 отв. 0 10» означает, что в детали имеется три одинаковых отверстия диаметра 10 мм
Применение масштаба в черчении
В практике приходится вычерчивать очень крупные детали, как, например, детали самолета, корабля, автомашины, и очень мелкие: детали часового механизма, некоторых приборов и т.д. Крупные детали не поместятся на чертеже стандартного формата, если не уменьшить их изображение. Мелкие детали, которые порой еле заметны простым глазом, невозможно вычертить в натуральную, т. е. истинную, величину имеющимися чертежными инструментами. Поэтому в черчении изображения
больших деталей уменьшают, а малых увеличивают по сравнению с действительными размерами.
Число, которое показывает, во сколько раз размеры изображения больше или меньше действительных размеров детали, называется масштабом.
Говоря иными словами, масштаб— это отношение линейных размеров изображения к линейным размерам самой детали.
Масштабы, применяемые при выполнении чертежей, стандартизованы. Стандарт разрешает выбирать следующие масштабы:
а) для уменьшения: 1:2; 1:2,5; 1:4; 1:5; 1:10 и др.,
б) для увеличения: 2:1; 2,5:1: 4:1; 5:1; 10:1 и др.
Наиболее желателен масштаб 1:1. В этом случае при выполнении чертежа не нужно пересчитывать размеры детали (рис. 31, в).
Масштабы записывают так: М 1:2, М5:1, М1:1 и т.д. Если масштаб указывают на чертеже в специально назначенной графе Основной надписи, то перед обозначением масштаба букву М не пишут (см. рис. 22, о).
Следует помнить, что, в каким бы масштабе ни выполнялось изображение. размеры на чертеже проставляют действительные, т.е. те, которые имеет деталь в натуре (рис. 31, в и г).
1.4.2. правила нанесения размеров
При указании размера диаметра
применяется знак, который наносится перед размерным числом (рис. 1.66).
Некоторые из вариантов
простановки диаметральных размеров показаны на рис. 1.67.
При нанесении размера радиуса
перед размерным числом помещается прописная латинская буква R (рис. 1.68).
Варианты простановки размеров
радиусов показаны на рис. 1.69.
При большой величине радиуса
центр допускается приближать к дуге, в этом случае размерная линия радиуса показывается
с изломом под углом 90° (см.
рис. 1.69, а).
При проведении нескольких
радиусов из одного центра размерные линии
любых двух радиусов не располагают на одной прямой (рис. 1.69, б).
Размеры радиусов скруглений
наносят, как показано на рис. 1.69, в.
Если радиусы скруглений, сгибов
и т.д. на всем чертеже одинаковы или какой-либо радиус является преобладающим,
то вместо нанесения размеров этих радиусов непосредственно на изображении
рекомендуется в технических требованиях делать запись типа: «Неуказанные
радиусы 8 мм», «Радиусы
скруглений 4мм» и т.п.
Размеры на чертежах не
допускается наносить в виде замкнутой цепи (рис.1.70, а), за исключением
случаев, когда один из размеров указан как справочный, т.е. размер неподлежащий
выполнению по данному чертежу. Такой размер отмечают знаком «*» (рис. 1.70, б).
При расположении элементов
предмета (отверстий, пазов и т.п.) на одной оси, размеры, определяющие их
взаимное расположение, наносят следующими способами (рис. 1.71, 1.72).
Размеры, определяющие положение
симметрично расположенных поверхностей у симметричных изделий, наносят, как
показано на рис. 1.73
Размеры, относящиеся к одному и
тому же конструктивному элементу (отверстию, пазу, выступу и т.п.),
рекомендуется группировать в одном месте, располагая их на том изображении, на
котором геометрическая форма данного элемента показана наиболее полно (рис.
1.74).
Размеры нескольких одинаковых
элементов изделия, как правило, наносят один раз с указанием на полке
линии-выноске количества этих элементов (см. рис. 1.73).
При
нанесении размеров положения элементов, расположенных по окружности изделия
(например, отверстий), указывают диаметр этой окружности (рис.1.75) и угловые
размеры в случаях, показанных на рис. 1.76.
Размерную линию можно обрывать
в случаях, указанных на рис. 1.77.
Размер квадрата наносится, как
показано на рис. 1.78, а или б.
Сфера задается знаками «Æ» или «R» (рис. 1.79). Если сферу трудно
отличить от других поверхностей, то перед размерным числом наносится слово «Сфера» или знак «○» (рис. 1.80).
Размеры небольших конических и
пирамидальных срезов (фасок) на деталях проставляются, как показано на рис.
1.81.
Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network
Из многочисленных построений здесь рассматриваются только те, которые часто встречаются при выполнении чертежей.
Деление отрезка прямой на две и четыре равные части выполняется в следующей последовательности.
Из концов отрезка А В циркулем проводят две дуги окружности радиусом R, несколько большим половины данного отрезка, до взаимного пересечения в точках n и m (рис. 43, а). Точки тип соединяют прямой, которая пересекает отрезок АВ в точке С. Точка С делит отрезок А В на две равные части. Проделав подобное построение для отрезка АС, находим его середину — точку D. Повторив построение для отрезка СВ, разделим отрезок на четыре равные части.
При вычерчивании детали, показанной на рис. 43, б, применяется способ деления отрезка на четыре части.
Деление отрезка прямой на любое число равных частей. Пусть отрезок А В требуется разделить на И равных частей. Для этого из любого конца данного отрезка, например из точки В (рис. 44, проводят под произвольным острым углом вспомогательную прямую линию ВС, на которой от точки В измерительным циркулем откладывают 11 равных отрезков произвольной величины. Крайнюю точку 11 последней отложенной части соединяют с точкой А прямой Затем с помощью линейки и угольника проводят ряд прямых, параллельных прямой которые и разделяют отрезок А В на 11 равных частей.
На рис. 44, б показана деталь, при изготовлении которой необходимо разместить 10 центров отверстий; отверстия равномерно расположены на длине L. В этом случае применяется описанный выше способ деления отрезка прямой на равные части.
ПОСТРОЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ ТРАНСПОРТИРОМ
Транспортир — это прибор для измерения и построения углов. Это полукруг с разбивкой на градусы, соединенный с опорной планкой.
Для измерения угла транспортир прикладывают опорной планкой к одной из сторон данного угла (рис. 45, а) так, чтобы вершина угла (точка А) совпадала с точкой О на транспортире. Величину угла САВ в градусах определяют по шкале транспортира.
Для построения угла заданной величины (в градусах) со стороной А В и вершиной в точке к прикладывают транспортир так, чтобы его центр (точка О) совпал с точкой А прямой АВ, затем у деления шкалы транспортира, соответствующего заданному числу градусов (например, 55°), наносят точку n. Транспортир убирают и проводят через точку n отрезок АС — получают заданный угол САВ (рис. 45, б).
Углы можно строить при помощи угольников с углами 45, 30 и 60° и линейки или рейсшины. На рис. 46 показано, как при различных положениях угольников на рейсшине можно строить углы 60 (120), 30 (150), 45° (135°) и другие при использовании одновременно двух угольников..
ПОСТРОЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ УГЛОВ
Деление угла на две и четыре равные части. Из вершины угла провести произвольным радиусом дугу до пересечения со сторонами угла в точках (рис. 47, а). Из полученных точек проводят две дуги радиусом R, несколько большим половины длины дуги n и к, до взаимного пересечения в точке m. Вершину угла соединяют с точкой т прямой, которая делит угол ВАС пополам. Эта прямая называется биссектрисой угла ВАС. Повторяя это построение с полученными углами В Ат и nАС угол ВАС можно разделить на четыре равные части и т. д.
Деление прямого угла на три равные части. Из вершины А прямого угла (рис. 47, б) произвольным радиусом R описывают дугу окружности до пересечения ее со сторонами прямого угла в точках a и b из которых проводят дуги окружности того же радиуса R до пересечения с дугой ab в точках m и n. Точки m и n соединяют с вершиной угла А прямыми и получают стороны Аm и Аn углов В Аm и nА С,равных 1/3 прямого угла, т. е. 30°. Если каждый из этих углов разделить пополам, то прямой угол будет разделен на шесть равных частей, каждый из углов будет равняться 15°. Прямой угол АВС можно разделить на три равные части угольником с углами 30 и 60° (рис. 48, а). При выполнении чертежей нередко требуется разделить прямой угол на две равные части. Это можно выполнять угольником с углом 45° (рис. 48, б).
Построение угла, равного данному. Пусть задан угол ВАС. Требуется построить такой же угол. Через произвольную точку А1 проводим прямую А1С1. Из точки А описываем дугу произвольным радиусом R, которая пересечет угол ВАС в точках (рис. 49,а). Из точки A1 проводим дугу тем же радиусом и получаем точку m1. Из точки A1 проводим дугу радиусом R1 равным отрезку mn, до пересечения с ранее проведенной дугой радиуса R в точке n1 (рис. 49, б). Точку n1 соединяем с точкой А1 и получаем угол B1A1C1 величина которого равна заданному углу ВАС.
Применение вышеизложенного построения угла по заданному показано на рис. 49, в и г. На рис. 49, в изображена деталь, чертеж которой надо вычертить, а на рис. 49, г показан этот чертеж, при выполнении которого использован способ построения угла по заданному.
СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Способ триангуляции. Построение многоугольников этим способом основано на последовательном построении ряда треугольников, примыкающих сторонами друг к другу. Этот способ будет применяться в дальнейшем при построении разверток поверхностей геометрических тел.
Рассмотрим пример такого построения. На рис. 50, а показана пластина с пятиугольным отверстием. Измеряя длины сторон пятиугольника, можно построить на чертеже контурное очертание многоугольного отверстия.
Треугольники в рассматриваемом многоугольнике можно получить, проведя диагонали 14 (рис. 50, а). Последовательность построения многоугольника на чертеже в данном примере следующая.
На детали произвольно выбираем базовую линию (например, А В), на которую из точек 7 и 2 опускаем перпендикуляр, и получаем точки E и G. На чертеже наносим базовую линию A1B1 на которой откладываем отрезок E1G1 равный отрезку EG. Из точек и G, восставляем перпендикуляры, на которых откладываем взятые с детали отрезки и G1 (рис. 50, б). Получим точки 11и21. Из точек как из центров, циркулем описываем две дуги радиусами, равными отрезками 13 и 23, взятых с детали. Точка пересечения дуг является вершиной 31 искомого треугольника 112131. Таким же способом из точек 71 и 31 описываем две дуги радиусами, равными отрезкам 34 и 14, находим вершину 41. Затем из точек 41 и 11, как из центров, описываем две дуги радиусами, равными отрезкам 45 и 15, определяем последнюю вершину пятиугольника 51(рис. 50, б).
Построение многоугольника методом прямоугольных координат показано на рис. 50, в. В этом случае из вершин многоугольника 12345 (рис. 50, а) опускаем перпендикуляры на линию АВ, получаем точки GDEFG. Расстояние между этими точками откладываем на прямой A1B1(pиc. 50, в). Из полученных точек C1D1E1F1G1восставляем перпендикуляры, на которых откладываем отрезки С5D4, E1, F3, G2. Искомые точки 71, 21, 31, 41, 51на чертеже соединяют и получают чертеж многоугольника.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ДУГИ ОКРУЖНОСТИ
Многие детали машин и приборов имеют контур очертания, состоящий из прямых линий, лекальных кривых и дуг окружностей. При вычерчивании деталей часто приходится определять величину радиусов дуг окружностей контурных очертаний детали и находить положение центров этих дуг. На рис. 51, а показана деталь (кронштейн), левая часть ребра которой выполнена по дуге окружности.
Чтобы найти положение центра и величину радиуса данной дуги, предварительно делают отпечаток дуги на бумаге. При помощи циркуля и линейки можно определить центр и размер радиуса дуги окружности, для этого на отпечатке дуги намечают три произвольно расположенные на ней точки А, В и С (рис. 51, б) и проводят хорды АВ и ВС. При помощи циркуля и линейки проводят перпендикуляры через середины хорд А В и ВС. Точка пересечения перпендикуляров
(точка О) является искомым центром дуги детали, а расстояние от точки О до любой точки дуги будет размером радиуса.
Нанесение размеров. §7. основные правила нанесения размеров на чертежах Черчение перечеркнутый круг
Начавшись во второй половине XVIII века в Англии, индустриальная революция в XIX столетии прокатилась по многим странам Европы и мира. Она характеризовалась бурным развитием техники и промышленного производства. Изготовление продукции перемещалось из мануфактур и мастерских на крупные фабрики и заводы. Однако переход от единичного и мелкосерийного производства к массовому, а также разделение труда потребовали создания разнообразной конструкторской и технологической документации, что обусловило развитие прикладной дисциплины — черчения.
Появление стандартизации
Черчение позволяет создавать графическое изображение объекта, необходимое для его изготовления. Однако для производства одного внешнего вида изделия мало. Чертеж также содержит размеры, масштаб, технические требования, материал и другие характеристики детали. Дальнейшее развитие производства привело к разделению труда, когда комплектующие изготавливаются на разных предприятиях, а потом осуществляется сборка готового изделия. Это потребовало унификации и стандартизации деталей и единого правила исполнения чертежей. Для удобства записи и восприятия технической информации были введены условные обозначения, такие как, например, знак диаметра или толщины, облегчающие запись указываемых характеристик.
Условные обозначения: знак диаметра
Стандартами предусмотрены различные условные обозначения, которые позволяют производить запись геометрических и технологических параметров изображенного объекта: знаки радиуса, толщины, угла, допуска и припуска обработки. К ним же относится и диаметр, которым определяются размеры отверстий и тел вращения. Хорда, соединяющая две точки на окружности (шаре) и проходящая через ее (его) центр, и называется диаметром. Как же он обозначается на чертежах? Знак диаметра представляет собой окружность, перечеркнутую линией, наклоненной под 45 о к вертикали по направлению движения часовой стрелки. В некоторых случаях используется латинская литера D, которая допускается к применению наравне с основным символом.
Знак диаметра в Word
С развитием компьютерных технологий большую часть начали переводить в электронную форму, что облегчает создание, хранение, пересылку и тиражирование чертежей и Для этого применяются специальные программы. Например, для построения чертежей используется AutoCAD, а для текстовых документов — Word, входящий в пакет Microsoft Office. Наряду с платным программным обеспечением, существует и бесплатное: NanoCAD, Open Office.
Соответственно, в эти программы перекочевали и условные обозначения, в том числе и знак диаметра. На стандартной раскладке клавиатуры он отсутствует, поэтому, чтобы вставить его в документ, создаваемый с использованием текстового редактора Word, необходимо пройти следующим путем: «Вставка → Символ → Другие символы → переключаем «Шрифт» на «Symbol» → Æ». Код знака диаметра в «Символ (шестнадцатеричный)» — 00С6. Так как этот элемент присутствует не во всех шрифтах, то его можно заменить на перечеркнутое «о»: «Ø», код — 00D8 в «Юникод (16)».
По
изображениям предмета на чертеже судят о его величине и величине его отдельных
частей. Основанием для этого служат размерные числа, независимо от того, в каком
масштабе и с какой точностью
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13
выполнены изображения. Правила нанесения размеров на чертежах установлены
ГОСТ 2.307-68.
Размеры
на чертеже указывают размерными числами, размерными и выносными линиями.
Размерные числа на чертежах, как правило, указывают в миллиметрах без указания
единиц измерения. В тех случаях, когда необходимо применять другие единицы
измерения длины, их показывают после размерного числа.
Размерные числа наносят над размерной линией, возможно ближе к ее
середине. Зазор между размерным числом и размерной линией должен быть около 1,0
мм. Высоту цифр размерных чисел принимают не менее 3,5 мм (рис.
7).
Размерная линия проводится параллельно отрезку, размер которого над ней
наносится. Ее проводят между выносными линиями, проведенными перпендикулярно
размерным. Допускается размерные линии проводить непосредственно к линиям
видимого контура, осевым и центровым. В отдельных случаях размерная линия может
проводиться не перпендикулярно выносной (рис. 8). Размерные линии ограничивают
стрелки (рис. 9). В отдельных случаях их проводят не полностью, а с обрывом
стрелки с одной стороны (рис. 10). Размер стрелки выбирают от принятой на
чертеже толщины сплошной толстой основной линии. В пределах одного чертежа
величина стрелок должна быть по возможности одинаковой. Не рекомендуется в
качестве размерных линий использовать контурные, осевые, центровые и выносные
линии.
Если
длина размерной линии мала для размещения стрелок, то размерную линию продолжают
за выносные линии, и размеры наносят, как показано на рис. 11.
Выносные
линии проводят от границ измерений, они являются вспомогательными и служат для
размещения между ними размерных линий. Выносные линии следует по возможности
располагать вне контура изображения, перпендикулярно прямолинейному отрезку,
размер которого необходимо указать. Выносные линии должны выходить за концы
стрелок размерных линий на 1…5 мм (рис. 12).
Минимальное расстояние от размерной линии до параллельной ей линии должно
быть 10 мм, а между параллельными размерными линиями — 7 мм.
Угловые
размеры на чертежах проставляются в градусах, минутах и секундах с указанием
единиц измерения. Размер угла наносят над размерной линией, которая проводится в
виде дуги с центром в его вершине. Выносные линии в этом случае проводятся
радиально (рис. 13).
При
различных наклонах размерных линий размерные числа линейных размеров располагают
так, как показано на рис. 14, а, а угловые размеры — как показано на рис. 14, б. Если размерная линия будет находиться в зоне, которая на чертеже
заштрихована, размерные числа наносят на полках линий-выносок (рис.
15).
Если для
написания размерного числа мало места над размерной линией или это место занято
другими элементами изображения и впи-
Рис.
14
Рис.
15
Рис.
16
Рис.
17
сать в
него размерное число невозможно, размерное число наносят по одному из вариантов,
приведенных на рис. 16.
С целью
упрощения ряда изображений, создания удобств для чтения чертежа стандарт
предусматривает применение условных обозначений в виде букв латинского алфавита
и графических знаков, которые ставятся перед размерными числами. На чертежах
применяются
Рис.
18
Рис.
19
Рис.
20
Рис.
21
Рис.
22
Рис.
23
Рис. 24
знаки и
буквы для обозначения диаметра и радиуса, длины дуги и квадрата, уклона и
конусности, сферы, толщины и длины детали.
Перед
размерным числом диаметра наносится знак 0 (рис. 17). Причем между знаком и
числом никаких пропусков не предусмотрено. Для окружностей малого диаметра
размерные линии стрелки и сам размер наносят по одному из вариантов, приведенных
на рис. 18.
Перед
размерным числом радиуса дуги всегда ставится знак в виде прописной латинской
буквы R. Размерную линию в этом случае проводят по направлению к центру
дуги и ограничивают только одной стрелкой, упирающейся в дугу или ее продолжение
(рис. 19). Если величина радиуса на чертеже менее 6 мм, стрелку рекомендуется
распо-
Рис.
25
лагать с
внешней стороны дуги. При необходимости задания положения центра дуги его
отмечают пересечением центровых или выносных линий (рис. 20). В тех случаях,
когда на чертеже изображена дуга большого радиуса, для которой центр можно не
обозначать, размерную линию обрывают, не доводя до центра (рис. 21). Если же в
этом случае центр необходимо отметить, допускается приближать его к дуге (рис.
22). Размерная линия в этом случае показывается с изломом 90°, и оба участка
размерной линии проводятся параллельно. Не следует располагать на одной прямой
размерные линии, выходящие из одного центра и предназначенные для обозначения
размерных дуг. Радиусами рекомендуется обозначать дуги до 180°; дуги, величина
которых составляет более 180°, обозначаются диаметром.
Знак
дуги наносится над размерным числом (рис. 23). Длину дуги задают в линейных
единицах, а размерное число, обозначающее дугу, наносится над размерной линией в
соответствии с обычными требованиями.
Для
простановки размеров квадрата применяют соответствующий знак D, высота которого
равна 7 /10 высоты размерного числа (рис. 24, а). При ином
расположении квадрата наносят размеры его сторон (рис. 24, б). Следует
отметить, что знак квадрата наносят только на том изображении, на котором он
проецируется в линию.
Знак
конусности поверхности наносится на полке линии-выноски, расположенной
параллельно оси конуса или на оси конуса (рис. 25, а). Знак конусности
располагают так, чтобы его острый угол был направлен в сторону вершины конуса.
Величину конусности определяют отношением разности диаметров двух поперечных
сечений конуса к расстоянию между этими сечениями, т. е. k = D — dll, где D — диаметр большого сечения; d — диаметр меньшего
сечения; l — расстояние между сечениями. Конусность указывают в виде
простого дробного числа (рис. 25, б).
Знак
уклона прямой указывают на полке линии-выноски. Уклон i представляет
собой тангенс угла между данной прямой и горизонтальной или вертикальной прямой
(рис. 26, а). Знак уклона располагается
Рис.
26
Рис.
27
Рис.
28
так,
чтобы острый угол его был направлен в сторону уклона прямой (рис. 26, б). Уклон, как и конусность, на чертеже задают простой дробью, в процентах или в
промилях.
Для
обозначения сферы на чертеже применяют знак диаметра или радиуса. В тех случаях,
когда по чертежу сферу трудно отличить от других поверхностей, перед знаком
радиуса или диаметра допускается добавлять слово «Сфера». Надпись на чертеже
выполняется по типу «Сфера диаметр 17» или «Сфера R 10» (рис.
27).
Простые
плоские детали изображаются в виде одной проекции. В этих случаях ее толщину
обозначают строчной буквой s и надпись на чертеже выполняется по типу s2 и располагается на полке линии-выноски (рис. 28, а). Длину предмета
указывают буквой / (рис. 28, б).
Фаски на
чертежах наносят двумя линейными размерами (рис. 29, а) или одним
линейным и одним угловым (рис. 29, б). В том случае, если
Рис. 29
угол
наклона образующей конуса равен 45°, применяют упрощенное обозначение фаски,
когда размерная линия проводится параллельно оси конуса, а надпись выполняется
по типу «2 х 45» (рис. 29, в).
Правила нанесения размеров на чертежах устанавливает ГОСТ 2.307-68 (СТ СЭВ 1976-76, СТ СЭВ 2180-80). Число размеров на чертеже должно быть минимальным, но достаточным для изготовления изделия. Лишние размеры перегружают чертеж. Каждый размер на чертеже указывается один раз. Размеры на чертежах указываются размерными числами и размерными линиями со стрелками на концах. Размеры предпочтительно проставлять вне контура изображения. Для этого с помощью выносных линий размер выносят за пределы изображения. Выносная линия должна выходить за концы стрелок размерной линии на 1…5 мм, на учебных чертежах — на 2…3 мм (рис. 51 ]. Размерная линия проводится параллельно прямолинейному отрезку, размер которого указывается. Выносные и размерные линии располагаются перпендикулярно друг к другу. Допускается проведение выносной линии не под прямым углом к размерной линии, при этом выносные линии, размерная линия и измеряемый отрезок образуют параллелограмм (рис. 52). Если требуется показать расстояние между вершинами скругляемых углов (рис. 53), то-выносные линии проводятся от точек пересечения тонко проведенных сторон скругляемых углов. Размерные и выносные линии выполняют сплошными тонкими линиями. Стрелки размерных линий упираются в выносные линии или в соответствующие контурные, центровые или осевые линии (рис. 54). Форма стрелки и примерное соотношение ее элементов показаны на рис. 55, где s — толщина обводки линии видимого контура, от которой зависит величина элементов стрелки; h-расстояние между створками стрелки; / — длина стрелки. На учебных чертежах длину стрелки следует брать примерно (5,5 … 6) s, что обеспечивает форму стрелки по ГОСТ 2.307-68.
При нанесении размеров нужно стремиться к тому, чтобы все стрелки были одинаковыми. Выполнять их следует остро заточенным карандашом ТМ или М. Нельзя использовать в качестве размерных линий контурные, осевые и центровые линии. Расстояние от первой размерной линии до линии контура изображения должно быть не менее 10 мм, а между параллельными размерными линиями не менее 7 мм (рис. 56). При простановке большого числа размеров необходимо избегать пересечения размерных и выносных линий. Для этого следует соблюдать порядок простановки размеров: сначала размеры мелких элементов чертежа, затем крупных. Завершают простановку размеров габаритные размеры: длина; высота, ширина детали. Нельзя проводить размерную линию так, чтобы концы стрелок упирались в точки пересечения линий контура, осевых или центровых линий. От этих точек нужно провести выносные линии. Если длина размерной линии недостаточна для размещения на ней стрелок, то размерную линию продолжают за выносные или контурные линии и стрелки наносят снаружи- от этих линий обращенными остриями друг к другу (рис. 56). При недостатке места для стрелок на размерных линиях, расположенных цепочкой, их можно заменить точками (рис. 57, а) или засечками (рис. 57, б). Засечки проводятся под углом 45° к размерной линии, длиной 3 мм. Если деталь изображается с разрывом, размерная линия не прерывается (рис. 58). Допускается размерную линию проводить с обрывом при указании размера диаметра окружности, при этом размерная линия обрывается за центром окружности (рис. 59, а). Если на чертеже симметричного предмета элементы изображены только до оси симметрии или с обрывом, то размерные линии, относящиеся к этим элементам, проводят с обрывом и обрыв размерной линии делают дальше оси или линии обрыва (рис. 59, б и в)». При недостатке места для стрелок из-за близко расположенных контурных линий контурные линии можно прерывать (рис. 60). Размерные числа ставят над размерной линией на расстоянии 1…1.5 мм, параллельно ей, и по возможности ближе к середине под углом 75°. На учебных чертежах высота размерных чисел равна 3,5 мм. Размерные чиела не зависят от масштаба, в котором выполнен чертеж, они всегда соответствуют действительным размерам изображенного предмета.
Линейные размеры на чертеже указываются в миллиметрах без указания единицы измерения при размерном числе. Применять простые дроби для размерных чисел не допускается, за исключением размеров в дюймах. Не допускается разрывать линию контура для нанесения размерных чисел и наносить их в местах пересечения размерных, осевых и центровых линий. Если размерные числа попадают на осевые линии (рис. 61, а), центровые (рис. 61, б) или линии штриховки (рис. 61, в), то эти линии прерывают. При нанесении нескольких параллельных размерных линий размерные числа над ними располагают в шахматном порядке (рис. 62). Если размерная линия вертикальная, то размерное число пишут слева от нее (рис. 63).
Размерные числа линейных размеров при различных наклонах размерных линий располагают, как показано на рис. 64. Если размерная линия от вертикального положения отклонилась влево, то размерное число наносят справа от нее, над размерной линией. Если размерная линия отклонилась вправо от вертикального положения, то размерное число наносят над размерной линией слева. Если угол отклонения размерной линии от вертикального положения меньше или равен 30° (заштрихованная зона на рис. 65, а), то размерное число следует располагать над полкой линии-выноски (рис. 65, б). Если для размерного числа недостаточно места, то размер следует наносить, как показано на рис. 66.
Размеры, относящиеся к одному и тому же конструктивному элементу (пазу, углублению, выступу, отверстию и т. п.), следует группировать в одном месте, располагая их на том изображении, где более полно показан этот элемент (рис. 67). Не допускается наносить на чертеже размеры в виде замкнутой цепи. На одном участке этой цепи размер не проставляют, так как он получится в процессе изготовления детали (рис. 68). Исключение составляют строительные чертежи или чертежи, на которых один из размеров дается как справочный. Справочным размером называется размер, не подлежащий выполнению по данному чертежу. Он указывается только для удобства пользования чертежом. Справочные размеры на чертеже отмечают знаком «*» (рис. 69). Следует избегать простановки размеров к невидимому контуру. Нанесение размеров углов. Угловые размеры указывают в градусах, минутах и секундах собозначением единицы измерения, например: 45°; 60°25/30″, и наносят так, как показано на рис. дуги. В заштрихованной на рис. 70 зоне размеры наносить не рекомендуется, но если этого избежать нельзя, то их следует располагать над горизонтально расположенной полкой линии-выноски. Для углов малых размеров при недостатке места размерное число также наносят над полкой линии-выноски (рис. 70, угол 10°). Размерные числа, расположенные над несколькими концентрическими размерными линиями, смещаются в шахматном порядке (рис. 71). Нанесение размеров радиусов показано на рис. 72. Перед размерным числом.ставится прописная буква R. Знак радиуса и размерное число выполняются шрифтом одного размера. Размерная линия проводится через центр или в направлении центра дуги окружности. Стрелка на такой размерной линии выполняется только на конце, упирающемся в линию дуги. Если необходимо на чертеже указать размер, определяющий положение центра дуги окружности, то через этот центр проводят взаимно перпендикулярные центровые или выносные линии. Размерная линия при этом должна проходить через центр дуги окружности (рис. 73). Если же не требуется указывать размеры, определяющие положение центра дуги окружности, то размерную линию радиуса допускается не доводить до центра и смещать ее относительно центра.
При большой величине радиуса, когда центр дуги окружности находится далеко от дуги, допускается приближать центр к дуге на произвольное расстояние, при этом размерную линию проводят с изломом под углом 90° (рис. 74). Если из одного центра проводится несколько размерных линий радиусов дуг, то нужно следить за тем, чтобы две размерные линии не располагались на одной прямой (рис. 75). Если на чертеже радиусы скруглений одинаковы или какой-либо радиус является преобладающим, то рекомендуется эти радиусы на изображениях не проставлять, а на поле чертежа над основной надписью сделать запись типа: «Неуказанные радиусы 3 мм»; «Радиусы скруглений 6 мм» и т.п Нанесение размеров диаметров показано на рис. 76 и 77. Перед размерным числом ставится знак «0». Высота знака равна размеру шрифта размерного числа. Угол наклона штриха знака примерно 60…70°. Диаметр окружности знака берется несколько меньше высоты цифры размерного числа (см. рис. 50, п. 21). Предпочтительнее указывать размеры диаметров на той проекции, где окружность изображается отрезком, как показано на рис. 76. В случае нанесения размера диаметра внутри окружности размерную линию следует проводить под углом 30…45° к центровым линиям, как показано на рис. 77. Допускается проведение размерных линий с обрывом (см. рис. 59, а и рис. 76). Если для написания размерного числа внутри окружности недостаточно места, то размеры наносят, как показано на рис. 78. Если недостаточно места и для стрелок, то размеры окружностей следует наносить, как показано на рис. 79.
Если на чертеже имеется несколько одинаковых отверстий, то их размер указывается один раз, а их число пишется перед размерным числом (рис. 80, а) или под полкой линии-выноски (рис. 80, б). При нанесении раз меров элементов, равномерно расположенных по окружности, вместо угловых размеров, определяющих взаимное расположение элементов (например, отверстий), указывают только их количество (рис. 80, б). При нанесении размера диаметра или радиуса сферы ставится знак «0» или «R» без надписи «Сфера» (рис. 81, а, б). Если сферу трудно отличить от других поверхностей, то допускается перед знаком «0» или «R» писать слово «Сфера» или знак «О», например, «OR6»; «Сфера 020»; «Сфера R40» (рис. 81, в). Если на чертеже изображено меньше половины сферы, то ставят знак радиуса (R), если больше половины — знак диаметра (0). Высота знака сферы равна высоте размерных чисел. Нанесение размеров квадрата показано на рис. 82. Если размер ставят только с одной стороны (рис. 82, б), то перед размерным числом ставят знак «О». Если квадрат изображен на чертеже прямой линией, то размер квадрата также ставится со знаком «□» (рис. 83). Тонкие линии, проведенные по диагонали, обозначают плоскую поверхность, чтобы при чтении чертежа не принять этот элемент за цилиндрический. Размеры, фасок, выполненных под углом 45°, наносят, как показано на рис. 84, где первое число указывает высоту фаски, а второе- угол наклона образующих. Размеры фасок, имеющих угол, отличный от 45°, указывают линейным и угловым размерами (рис. 85) или двумя линейными размерами.
По изображениям предмета на чертеже судят о его величине и величине его отдельных частей. Основанием для этого служат размерные числа, независимо от того, в каком масштабе и с какой точностью выполнены изображения. Правила нанесения размеров на чертежах установлены ГОСТ 2.307-68.
Размеры на чертежах указывают размерными числами, размерными и выносными линиями. Размерные числа на чертежах, как правило, указывают в миллиметрах без указания единиц измерения. В тех случаях, когда необходимо применять другие единицы измерения длины, их показывают после размерного числа.
Размерные числа наносят над размерной линией, возможно ближе к ее середине. Зазор между размерным числом и размерной линией должен быть около 1,0 мм. Высоту цифр размерных чисел принимают не менее 3,5 мм (рис. 7).
Размерная линия проводится параллельно отрезку, размер которого над ней наносится. Ее проводят между выносными линиями, проведенными перпендикулярно размерным. Допускается размерные линии проводить непосредственно к линиям видимого контура, осевым и центровым. В отдельных случаях размерная линия может проводиться не перпендикулярно к выносной (рис. 8).
Размерные линии ограничивают стрелки (рис. 9).
В отдельных случаях их проводят не полностью, а с обрывом стрелки с одной стороны (рис. 10).
Размер стрелки выбирают от принятой на чертеже толщины сплошной толстой основной линии. В пределах одного чертежа величина стрелок должна быть по возможности одинаковой. Не рекомендуется в качестве размерных линий использовать контурные, осевые, центровые и выносные линии.
Если длина размерной линии мала для размещения стрелок, то размерную линию продолжают за выносные линии, и размеры наносят, как показано на рис. 11.
Выносные линии проводят от границ измерений, они являются вспомогательными и служат для размещения между ними размерных линий. Выносные линии следует по возможности располагать вне контура изображения, перпендикулярно прямолинейному отрезку, размер которого необходимо указать. Выносные линии должны выходить за концы стрелок размерных линий на 1-5 мм (рис. 12).
Минимальное расстояние от размерной линии до параллельной ей линии должно быть 10 мм, а между параллельными размерными линиями — 7 мм.
Угловые размеры на чертежах проставляются в градусах, минутах и секундах с указанием единиц измерения. Размер угла наносят над размерной линией, которая проводится в виде дуги с центром в его вершине. Выносные линии в этом случае проводятся радиально (рис. 13).
При различных наклонах размерных линий размерные числа линейных размеров располагают так, как показано на рис. 14, а, а угловые размеры — как показано на рис. 14, б.
Если размерная линия будет находиться в зоне, которая на чертеже заштрихована, размерные числа наносят на полках линий-выносок (рис. 15).
Если для написания размерного числа мало места над размерной линией или это место занято другими элементами изображения и вписать в него размерное число невозможно, размерное число наносят по одному из вариантов, приведенных на рис. 16.
С целью упрощения ряда изображений, создания удобств для чтения чертежа стандарт предусматривает применение условных обозначений в виде букв латинского алфавита и графических знаков, которые ставятся перед размерными числами. На чертежах применяются знаки и буквы для обозначения диаметра и радиуса, длины дуги и квадрата, уклона и конусности, сферы, толщины и длины детали.
Перед размерным числом диаметра наносится знак «Ø» (рис. 17).
Причем между знаком и числом никаких пропусков не предусмотрено. Для окружностей малого диаметра размерные линии стрелки и сам размер наносят по одному из вариантов, приведенных на рис. 18.
Перед размерным числом радиуса дуги всегда ставится знак в виде прописной латинской буквы R. Размерную линию в этом случае проводят по направлению к центру дуги и ограничивают только одной стрелкой, упирающейся в дугу или ее продолжение (рис. 19).
Если величина радиуса на чертеже менее 6 мм, стрелку рекомендуется располагать с внешней стороны дуги. При необходимости задания положения центра дуги его отмечают пересечением центровых или выносных линий (рис. 20).
В тех случаях, когда на чертеже изображена дуга большого радиуса, для которой центр можно не обозначать, размерную линию обрывают, не доводя до центра (рис. 21).
Если же в этом случае центр необходимо отметить, допускается приближать его к дуге (рис. 22).
Размерная линия в этом случае показывается с изломом 90°, и оба участка размерной линии проводятся параллельно. Не следует располагать на одной прямой размерные линии, выходящие из одного центра и предназначенные для обозначения размерных дуг. Радиусами рекомендуется обозначать дуги до 180°; дуги, величина которых составляет более 180°, обозначаются диаметром.
Знак дуги «⌒» наносится над размерным числом (рис. 23). Длину дуги задают в линейных единицах, а размерное число, обозначающее дугу, наносится над размерной линией в соответствии с обычными требованиями.
Для простановки размеров квадрата применяют соответствующий знак «□», высота которого равна 7/10 высоты размерного числа (рис. 24, а). При ином расположении квадрата наносят размеры его сторон (рис. 24, б). Следует отметить, что знак «квадрата» наносят только на том изображении, на котором он проецируется в линию.
Знак конусности поверхности «▷» наносится на полке линии-выноски, расположенной параллельно оси конуса или на оси конуса (рис. 25, а). Знак конусности располагают так, чтобы его острый угол был направлен в сторону вершины конуса. Величину конусности определяют отношением разности диаметров двух поперечных сечений конуса к расстоянию между этими сечениями, т. е. К = (D — d)/l , где D — диаметр большого сечения; d — диаметр меньшего сечения; l — расстояние между сечениями. Конусность указывают в виде простого дробного числа (рис 25, б).
Знак уклона прямой «∠» указывают на полке линии-выноски. Уклон i представляет собой тангенс угла между данной прямой и горизонтальной или вертикальной прямой (рис. 26, а). Знак уклона располагается так, чтобы острый угол его был направлен в сторону уклона прямой (рис. 26, б). Уклон, как и конусность, на чертеже задают простой дробью, в процентах или в промилях.
Для обозначения сферы на чертеже применяют знак «диаметра» или «радиуса». В тех случаях, когда по чертежу сферу трудно отличить от других поверхностей, перед знаком «радиуса» или «диаметра» допускается добавлять слово «Сфера» или знак «Ο». Надпись на чертеже выполняется по типу «Сфера Ø17» или «Ο R10» (рис. 27).
Простые плоские детали изображаются в виде одной проекции. В этих случаях ее толщину обозначают строчной буквой s и надпись на чертеже выполняется по типу «s2» и располагается на полке линии-выноски (рис. 28, а). Длину предмета указывают буквой L (рис. 28, б).
Фаски на чертежах наносят двумя линейными размерами (рис. 29, а) или одним линейным и одним угловым (рис. 29, б), В том случае, если угол наклона образующей конуса равен 45°, применяют упрощенное обозначение фаски, когда размерная линия проводится параллельно оси конуса, а надпись выполняется по типу «2 х 45°» (рис. 29, в).
В главном меню на кнопке «Пуск» — раскрыв его, перейдите в раздел «Все программы», в подраздел «Стандартные», а потом в секцию «Служебные», где и найдете ссылку с этим названием. Другой способ — нажать сочетание клавиш win + r, в открывшемся диалоге запуска программ ввести charmap и нажать клавишу Enter.
Найдите в таблице значок диаметра. Обратите внимание, что схожих по начертанию символов здесь может оказаться несколько — не меньше двух (в зависимости от установленной гарнитуры шрифта). На первой же странице вы можете найти два варианта — выберите наиболее подходящий и щелкните его дважды, а затем скопируйте в буфер обмена, нажав кнопку «Копировать».
Можно обойтись и без таблицы символов, если вы знаете сопоставленный этому знаку код в кодировочной таблице. В Microsoft Office Word можно ввести шестнадцатеричный код, затем нажать сочетание клавиш alt + x и текстовый процессор заменит код соответствующим ему значком. Двум значкам, найденным вами на первой странице в таблице символов, соответствуют шестнадцатеричные коды 00D8 и 00F8.
Используйте мнемонические коды символов для вставки значков диаметра в html-страницы. Например, если вы поместите в код документа последовательность символов ∅ или ∅, то для посетителя страницы результат будет выглядеть так: ∅. Символьный примитив ⊕ или ⊕ выглядит так: ⊕, ⊗ или ⊗ — ⊗, Ø или Ø — Ø, ø или ø — ø.
Окружностью называется геометрическая фигура на плоскости, которая состоит из всех точек этой плоскости находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки. Заданная точка при этом называется центром окружности, а расстояние, на котором точки окружности находятся от её центра – радиусом окружности. Область плоскости ограниченная окружностью называется кругом.Существует несколько методов расчёта диаметра окружности, выбор конкретного зависти от имеющихся первоначальных данных.
Инструкция
В простейшем случае, если окружность радиуса R, то её будет равен D = 2 * R Если радиус окружности не известен, но известна её , то диаметр можно вычислить по формуле длины окружности D = L/П, где L – длина окружности, П – П. Так же диаметр окружности можно рассчитать, зная площадь ею ограниченной D = 2 * v(S/П), где S – площадь круга, П – число П.
В частных случаях радиус окружности можно , если она описана или вписана в треугольник. Если окружность вписана в треугольник, то её радиус находится по формуле R = S/p, где S – площадь треугольника, p = (a + b + c)/2 – полупериметр треугольника.
Для окружности, описанной около треугольника, формула радиуса имеет вид R = (a * b * c)/4 * S, где S – площадь треугольника.
Источники:
диаметр круга расчет
Знак диаметра встречается на чертежах и сопроводительных документах у ним. Он имеется не во всех кодовых таблицах, а на клавиатуре и вовсе отсутствует. Вводить этот знак приходится косвенным способом.
Инструкция
В случае, если обозначается диаметр метрической резьбы, специальный знак не требуется. Используйте вместо него заглавную латинскую букву M.
Для ввода знака диаметра при использовании офисных пакетов OpenOffice.org Writer, Abiword и Microsoft Office Word откройте таблицу символов. Для этого используйте пункт меню под названием «Вставка» — «Специальный символ» или аналогичным. Найдите в таблице знак диаметра, а если это не удается, попробуйте найти его в другом шрифте. После этого нажмите на этот символ, а затем на кнопку ОК, и он будет вставлен.
Чтобы ввести знак диаметра при наборе текста в поле ввода браузера, а также при работе с HTML- в редакторе файлов формата TXT, запустите один из упомянутых выше офисных пакетов, наберите в нем знак диаметра, используя таблицу символов, затем выделите его мышью, скопируйте в буфер обмена, нажав Ctrl+C, перейдите в нужное место редактируемого текста, а затем вставьте знак из буфера, нажав Ctrl+V. Данный прием работает только в случае, если редактируется документ в кодировке Unicode. Учтите, что редактор «Блокнот» эту кодировку может не поддерживать. Воспользуйтесь вместо него программами Geany, Kwrite (в Linux) или Notepad++ (в Windows).
Можно также взять знак диаметра прямо из этого абзаца: ⌀. Выделите его, скопируйте в буфер обмена и вставьте из последнего в документ, как указано выше.
В системах автоматического проектирования (САПР) знак диаметра вставляется автоматически, когда используется функция измерения и простановки размера. Через меню укажите, что этот размер является диаметром. Например, если используется программа «Сударушка», соответствующий пункт меню имеет следующее расположение: «Размеры» — «Диаметр». У линейного размера, если он относится к проекции , знак диаметра в этой программе можно проставить так: «Размеры» — «Изменить размер» — «Текст» — «Тип размера».
При редактировании документа в восьмибитной кириллической кодировке вставка знака диаметра невозможна. Используйте вместо него заглавную русскую букву «Ф».
Окружность — замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от одной точки. Эта точка — центр окружности, а отрезок между точкой на кривой и ее центром называется радиусом окружности.
Свойства документа — Размеры радиуса — 2012
На уровне документа можно задать параметры черчения для размеров радиуса.
Чтобы открыть эту страницу, откройте чертеж, нажмите кнопку
Параметры (панель инструментов Стандартная), выберите Свойства документа, а затем выберите .
Общий чертежный стандарт
Стандарт базового радиального размера
Стандарт базового радиального размера
Выберите стандарт.
ANSI
ISO
DIN
JIS
BSI
ГОСТ
ГБ
Стиль выноски
Стиль выноски
Выберите: стиль.
Толщина выноски
Выберите: толщину или выберите параметр Настроенный пользователем размер и введите значение толщины.
Текст
Шрифт
Нажмите, чтобы изменить шрифт.
Выравнивание текста По горизонтали
Левая
По центру
Справа
Выравнивание текста По вертикали
Сверху
По середине
Снизу
Двойные размеры
Отображение двойных размеров
Выберите, чтобы размеры отображались с использованием двойных единиц.
Отобразить двойные единицы измерения
Выберите, чтобы отобразить единицы измерения для второго набора размеров.
Положение значения размера
Сверху
Снизу
Справа
Слева
Первичная точность
Точность единиц измерения
Выберите для значения число разрядов после запятой.
Точность допуска
Выберите для допуска число разрядов после запятой.
Двойная точность
Точность единиц измерения
Для значения в дополнительных единицах измерения в списке выберите количество знаков после запятой.
Точность допуска
Для значений допуска в дополнительных единицах измерения в списке выберите количество знаков после запятой.
Слой
Слой
Выберите слой.
Сначала требуется создать слои для чертежа, прежде чем их можно будет выбрать для свойств документа.
Чтобы применить данные настройки слоя, в чертежном виде документа требуется выбрать значение По стандарту для параметра Слой (панель инструментов Слой).
Расположение текста
Параметры
Стрелки следуют направлению текста
Выбранные
Не выбран
Отобразить с оттененным указателем
Для стандартов, отличных от ANSI, отображает выноску через центр, а не до окружности.
Если этот параметр выбран, выноска включает указатель центра.
Если этот параметр очищен, стрелка выноски останавливается на окружности.
Допуск
Нажмите, чтобы задать допуск.
Создание диаметральных размеров с использованием осевых линий
При создании элементов вращения в SOLIDWORKS наш эскиз не должен пересекать ось вращения. Поскольку в этом случае мы работаем только с одной стороной центральной линии, размеры до центральной линии являются значением радиуса. Если вы знаете диаметр, это довольно простое вычисление. Однако есть способ создать диаметральный размер, если у вас есть эскиз с центральной линией (в данном случае действующей как ось вращения).
В этом примере мы выберем центральную линию и одну из вертикальных линий в качестве выбранных размеров. Если затем щелкнуть мышью, чтобы разместить размер на ближней стороне центральной линии, это даст нам значение радиуса. Однако, если мы переместим мышь на дальнюю сторону от центральной линии, прежде чем щелкнуть мышью, чтобы разместить размер, он изменится на размер диаметра.
Чтобы пойти еще дальше, если нам нужно создать несколько размеров, их можно создать, не выбирая каждый раз осевую линию.В зависимости от того, какой тип измерения был создан, у нашего указателя будет отображаться буква «R» или «D».
Затем мы выберем другие линии, по которым хотим нанести размер, и создадим эти размеры, такие же, как и первые.
Здесь вы заметите, что нет символа диаметра. Как только вы создадите элемент вращения из этого эскиза, система автоматически добавит символ диаметра. Этот метод двойного измерения не ограничивается только вращением эскизов элементов.
Наконец, если вы создали размеры таким образом и создали размер радиуса вместо диаметра, или наоборот, вы можете изменить способ его отображения. Просто щелкните размер, выберите вкладку «Выноски» в PropertyManager для размера и нажмите кнопку диаметра или радиуса.
Надеюсь, вам понравился этот метод определения размеров. Если у вас есть какие-либо вопросы, обращайтесь к нам в Computer Aided Technology.
Райан Филд Инженер по приложениям Computer Aided Technology, Inc.
Хотите узнать больше о SOLIDWORKS?
CATI предлагает множество вводных и дополнительных учебных курсов, которые доступны как в личном, так и в онлайн-режиме, чтобы соответствовать вашему плотному графику. Запланируйте тренировку сегодня!
Посмотреть все курсы обучения SOLIDWORKS >>
Похожие сообщения
РАЗМЕР ПОЛОВИНЫ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЧАСТИ ДАЕТ ДВОЙНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
Статус APAR
Описание ошибки
Определение половинного размера вращения
часть дает двойную меру
СЦЕНАРИЙ:
1.Откройте CATDrawing Drawing1.CATDrawing.
2. Выберите значок "Размеры" в окне "Размеры".
панель инструментов и создайте половинный размер для диаметра
детали на чертеже.
РЕЗУЛЬТАТ:
Правильно только значение половинного измерения.
для «Диаметр цилиндра». Стоимость половины
размер умножается на 2
для «Расстояние», «Радиус цилиндра» и «Минимум»
Расстояние".
ОЖИДАЕМЫЙ РЕЗУЛЬТАТ:
Значение половинного размера должно быть правильным
для «Расстояние», «Радиус цилиндра» и «Минимум»
Дистанционные »типы.
.
Локальное исправление
Описание проблемы
Вывод проблемы
Временное исправление
Комментарии
.ДИАГНОСТИКА ИНЦИДЕНТОВ
Для размеров, созданных двумя вариантами (т. Е.
размеры расстояния), режим измерения половинного размера
умножает на 2 значение измерения, тогда как
для размеров, созданных 1 выбором (например, диаметр
размеры), режим измерения половинного размера не
изменение значения измерения.
.
ПРАВИЛЬНОЕ ЗАЯВЛЕНИЕ
Половинные размеры предоставляются для адресации
определение размеров симметричных частей, которые могут быть
половина представлена на рисунке. Когда 2 выбора
используются для создания измерения, первый
выделение учитывается как ось симметрии
(если первый выбор является осевым элементом, половина
режим измерения размеров запускается автоматически),
так что значение умножается на 2, чтобы отобразить
полное расстояние край-край, а не половина расстояния
ось-край (как сказано в документации: "
размерность удваивается при их оформлении
из двух вариантов (расстояние, угол, 2D диаметр
цилиндр, радиусный цилиндр), но не для размеров
из одного выбора (угол на конусе, 3D
диаметр цилиндра, диаметр кромки, диаметр
касательная).".
Если создание измерения основано на 2 выборках,
но с представлением в 1 символ требуется, это
можно использовать функцию отсечения размеров.
.
ССЫЛКА НА ДОКУМЕНТАЦИЮ
Интерактивное черчение
Основные задачи
Размеры \ Создание половинных размеров
.
Информация APAR
APAR номер
HD81775
Сообщаемое название компонента
CATIA V5 NT> XP
Зарегистрированный идентификатор компонента
569151000
Зарегистрированный выпуск
518
Статус
ЗАКРЫТО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ЧП
НОПЭ
HIPER
НоHIPER
Особое внимание
NoSpecatt
Дата отправки
28.01.2009
Дата закрытия
28.01.2009
Дата последнего изменения
28.01.2009
APAR настроен на систему от одного или нескольких из следующих:
APAR настроен на одно или несколько из следующих:
Применимые уровни компонентов
[{«Business Unit»: {«code»: «BU053», «label»: «Cloud & Data Platform»}, «Product»: {«code»: «SSVJ2K», «label»: «CATIA V5»} , «Компонент»: «», «Категория ARM»: [], «Платформа»: [{«код»: «PF025», «ярлык»: «Независимость от платформы»}], «Версия»: «518», » Издание «:» «,» Направление деятельности «: {» code «:» «,» label «:» «}}]
Радиальный размер
— Siemens NX
Вы можете создать размеры радиуса или диаметра с помощью команды «Радиальный размер» .
Для создания радиального размера.
Активируйте команду «Радиальный размер».
Выберите объект для радиального размера.
Определите местоположение радиального размера. (Щелкните левой кнопкой мыши по местоположению)
Дважды щелкните СКМ
Примечание 1: Если вы хотите изменить радиус на диаметр, измените «Метод измерения» на « Диаметр .
Методы во вкладке «Измерение»
Предполагаемый
Радиальный
Диаметр
Обозначение отверстия
Примечание 2: Вы можете изменить направление стрелки радиального размера.
Для изменения направления стрелки при создании размера
Запустите команду «Радиальный размер» и выберите объект.
Размер появится на экране и будет перемещаться с курсором мыши.
Щелкните правой кнопкой мыши размер.
Измените «Ориентация стрелки» в начальном меню на «Вход» или «Выход».
Определите местоположение размера и завершите команду
Чтобы изменить направление стрелки после создания размера.
Дважды щелкните размер для редактирования.
Размер можно изменить двумя разными способами.
Щелкните правой кнопкой мыши размер и измените «Ориентация стрелки» в открывшемся списке.
Щелкните левой кнопкой мыши желтый маркер на стрелке. Цвет ручки изменится на синий, и откроется диалоговое окно.
В этом диалоговом окне можно изменить направление стрелки внутрь или наружу. Кроме того, вы можете изменить стиль стрелки из открывающегося списка.
Примечание 3: Вы можете изменить или определить несколько свойств радиального размера, щелкнув точку ручки на тексте размера. Цвет ручки изменится на синий, и откроется окно свойств. (Поле свойств может появляться и исчезать при перемещении размера на экране. Щелкните желтый маркер на тексте размера, чтобы исправить поле свойств.)
Параметры в диалоговом окне:
Типоразмер; меняет размерный тип радиальный или диаметральный.
Допуск; назначает допуск на размер.
Размер осмотра; изменяет размер как контрольный.
Направление текста; отрегулируйте направление и размещение текста.
Горизонтальный текст
Текст, выровненный по размерной линии
Текст над размерной линией
Текст, перпендикулярный размерной линии
Редактировать добавленный текст; открывает диалоговое окно «Добавленный текст» для вставки символов, надстрочного, подстрочного, подчеркивания, надстрочного текста.Кроме того, вы можете изменить формат текста, высоту и т. Д. Внутри этого диалогового окна.
Расположение текста; вы можете вводить текст до, после, выше и ниже измерения.
Справочный размер: определяет размер как справочный.
Создать радиус сгиба: показывает радиус со согнутой размерной линией и удаляет / скрывает линию между размером и центром.
Радиус до центра; показывает / скрывает размерную линию по центру.
Символ: изменяет символ значения.
Настройки текста; открывает диалог настроек текста для дополнительных опций. (символы, пробелы, единицы измерения, десятичный разделитель — запятая или точка, свойства текста и т. д.)
Количество цифр; определяет цифры после нуля. Щелкните стрелку раскрывающегося списка, чтобы выбрать цифры после нуля.
Как использовать круговой шаблон для создания дизайна (серия 101 для рисования) — DRAFTSCAPES
В этой статье мы рассмотрим правильные способы использования шаблона круга.Шаблон круга — важный инструмент ландшафтных архитекторов и дизайнеров для черчения деревьев, кустарников, предметов интерьера, а также для создания красиво закругленных углов или радиусов поворота для планов.
Шаблон круга позволяет нам создавать четко определенные круги или дуги. Как вы, вероятно, заметили из других статей и видео на этом веб-сайте, он очень часто используется при черчении деревьев и кустарников, но его функции выходят далеко за рамки этой цели.
Покупка шаблона «Круг»
Первое, что следует обсудить, — это покупка шаблона круга.Вы часто будете видеть множество различных шаблонов, доступных для покупки в Интернете или в местном магазине товаров для искусства. Я рекомендую всем студентам шаблон круга пикетта 1204i. У него круг диаметром от 1/32 до 2 дюймов, и я обнаружил, что он подходит почти для всех приложений, которые могут понадобиться ландшафтному дизайнеру. Если мне действительно нужен круг или дуга большего размера, я могу легко достать свой чертежный компас в таких редких обстоятельствах.
Теперь вам не нужно покупать именно этот круг
шаблон.Есть множество разных вариантов, но я бы
посоветуйте вам искать что-то с широким диапазоном размеров круга в одном
шаблон. Иногда вы увидите, что в магазинах товаров для рисования или черчения продаются наборы меньших размеров.
круговые направляющие упакованы вместе, причем каждая направляющая имеет только небольшой диапазон
размеры. Я не большой поклонник этих круговых форм. Я нашел это гораздо больше
эффективный и организованный, чтобы просто собрать их все в одном шаблоне.
Вы также хотите убедиться, что шаблон имеет масштабированный
линейка по прямому краю.Это есть у большинства хороших гидов, но только
двойная проверка. Вы можете подумать, что это излишне, когда вы можете просто дотянуться до
вашу шкалу, но я обнаружил, что использую ее чаще, чем когда мне нужно быстро
размещать или измерять элементы в плане.
Еще одна вещь, которую следует избегать, — это специальные шаблоны кругов.
созданы для ландшафтного дизайна — на них часто есть направляющие для символов деревьев,
камни и грунты. Мало того, что символы довольно уродливы, они еще и развиваются.
плохие навыки рисования. Вы легко сможете создать гораздо более интересное и привлекательное
символы для ваших дизайнов, используя базовый шаблон круга и потратив некоторое время
попрактиковаться с ним.
Другие типы шаблонов, похожие на круглые, такие как эллиптические направляющие или квадратные направляющие, полностью зависят от вас. Я не видел в них особого применения, но, возможно, возникают особые ситуации, когда они могут вам понадобиться. В противном случае я бы просто сэкономил ваши деньги.
Рисование деревьев и кустарников
Итак, давайте начнем и посмотрим, как мы можем использовать шаблон в качестве
руководство по созданию базовых символов дерева в определенном масштабе.
Допустим, у нас есть план, и мы создаем путь,
нарисовано ниже:
Путь
Мы нарисовали этот пример в стандартном масштабе 1:20 (масштаб 20), что означает, что мы используем масштаб нашего инженера.Это означает, что каждый 1 дюйм в плане равен 20 дюймам. Если вы еще не просматривали руководство по масштабам для архитекторов и инженеров, вы можете найти его здесь ( ссылка скоро появится ).
У нас есть путь, и мы хотим посадить ряд деревьев.
вдоль него. В вашем конкретном случае это могут быть не деревья, это могут быть кусты,
многолетники, скульптуры или что-либо, что вы размещаете, что имеет определенные
измерение вдоль пути — для этого урока мы выбираем самый простой
вариант, ряд деревьев.
Для нашего дизайна мы высаживаем ряд обычных уличных деревьев,
японская Zelkova ( Zelkova serrata ) .Они обычно растут где угодно от
30-35 футов шириной, и мы разместим их на расстоянии 50 футов по центру.
Итак, если Zelkova достигнет примерно 35 футов в ширину, мы нарисуем
его размер составляет около 70% от зрелого размера, что соответствует ширине 25 футов. Обычно это
Обычно при черчении растительный материал составляет около 70-75% зрелого размера
ваш окончательный план, но это не жесткое правило.( Если растение в конечном итоге выглядит лучше нарисованным в натуральную величину, то непременно
нарисуйте это так. Вы просто не хотите попадать в ситуацию, в которой вы
будучи нечестным в вашем представлении.)
Так как мы собираемся нарисовать дерево шириной 25 футов, это
означает, что он имеет диаметр 25 футов. Если 1 «= 20» и нам нужно дерево длиной 25 футов, мы
понадобится шаблон круга диаметром 1 ¼ ”- так как четверть 20
равно 5. Если вас смущает эта быстрая математика, просто найдите
ваш удобный инженер масштабирует и измеряет его самостоятельно.
Цель наличия круговых направляющих в определенных
диаметры, поэтому вам не нужно делать этот шаг, но вы можете найти его полезным
пока вы не научитесь просто считать это в уме.
После того, как наша круговая направляющая выбрана, мы помещаем ее на
спланируйте и нарисуйте круг — начиная с ПРАВОЙ стороны рисунка и
движется влево. Если ты помнишь
из вводного поста о механике драфта, мы всегда хотим быть
оттягивание плеча от нашего тела.Мы не хотим подталкивать
карандаш, как бильярдный кий.
Поскольку я левша, это означает, что я двигаюсь справа налево. Если
вы правша, вы просто работаете в противоположном направлении. Также вы не хотите перекрывать области
мы только что набрали.
Деревья вдоль тропы
Теперь, поскольку мы будем размещать их на расстоянии 50 футов по центру, мы можем
используйте наш шаблон круга в качестве нашей шкалы. Поскольку круг размером 1 ¼ ”представляет собой
диаметром 25 футов, нам просто нужно спуститься на два круга, прежде чем
отмечая центр нашего следующего круга.
Затем мы используем штриховку для центрирования точки внутри
наш круг, и нарисуйте второе дерево. Продолжаем этот узор, пока не закончим
с деревьями в очереди.
Круговой шаблон в масштабе
На грядках растения обычно не выравниваются таким образом.
упорядоченным образом, поэтому есть гораздо больше гибкости в расположении
круги, но вы можете использовать те же принципы, что и ваш гид. Обычная посадка
образец для ряда древесных кустов будет в шахматном порядке.
Рисунок скругленных углов
Так вот, бывают ситуации, когда у вас есть угловой.
показано на рисунке ниже, и вам нужно создать кромку скругления, или
закругленный угол. Мы хотим закруглить этот угол, чтобы получился правильный поворот.
радиус так, чтобы транспортные средства, идущие с запада на восток в этом направлении, имели достаточно
пространство для безопасного поворота. В нашем примере мы будем использовать стандартный радиус бордюра 20 футов.
Это означает, что рисуемая нами дуга или хорда будет
полученный из круга с радиусом 20 футов.Итак, начнем с простого
вопрос — если мы в масштабе 1:20 и нам нужен круг с радиусом
20 минут, какой размер круга на шаблоне мы должны использовать?
Острый угол
Шаблон для скругления
Ответ будет 2 дюйма, поскольку диаметр 2 дюйма означает радиус 1 дюйм, а 1 дюйм = 20 дюймов. Итак, мы перейдем к кругу с радиусом 2 дюйма и выровняем штриховки шаблона так, чтобы они касались линий, которые мы округляем.
Когда мы довольны размещением, мы чертим линию.Сейчас же
мы можем вернуться и использовать наш ластик, чтобы очистить линии построения
мы нарисовали и теперь имеем красиво закругленный угол.
Скругленный угол
Этот процесс необязательно использовать только для углов улиц, хотя это очень стандартная их функция, но их также можно использовать для округления углов патио, садовых дорожек.
Чтобы увидеть больше дополнительных статей в нашей вводной серии статей по рисованию от руки, обязательно ознакомьтесь с ней (ссылка будет ниже).
Кроме того, не забудьте заглянуть в наш раздел «Ресурсы по дизайну», где есть еще много статей, которые помогут дизайнерам ландшафта и сада.
____________________________________
Важная юридическая информация
Заявление об ограничении ответственности : Этот сайт принадлежит и управляется Draftscapes. Мы
участник программ аффилированного маркетинга, предназначенных для предоставления средств
сайты, чтобы зарабатывать рекламные сборы, ссылаясь на поставщиков-участников. Принадлежности
включая Utrecht Art Supply и Amazon Associates. Draftscapes компенсируется
для направления трафика и бизнеса этим компаниям. Рекомендации для
на продукты или услуги на этом сайте не влияет принадлежность.
Рисование круга — Исторический бой
Следующее геометрическое построение основано на указаниях, данных Джерардом Тибо в главе 1, разделе 3, который в переводе Джона Майкла Грира озаглавлен «Способ выкладывания круга на земле со всеми его принадлежностями».
В этих инструкциях, вместо того, чтобы воспроизводить витиеватую прозу Тибо, я постарался дать простое и прямое описание, сопровождаемое пошаговыми иллюстрациями.
Стоит отметить, что, хотя в ряде различных источников он упоминается как «магический круг» Тибо, сам Тибо никогда не использовал этот термин, называя его вместо этого «таинственным криком» или просто «кругом». На самом деле, он, кажется, не придает кругу особого значения, кроме его полезности как средства описания движения и положения.
Если вы хотите просто перейти к видео, вы можете посмотреть его здесь. Если вы предпочитаете письменные инструкции, см. Ниже.
Итак, без лишних слов, вот инструкция по составлению
Определите радиус и начертите окружность
Радиус должен быть равен длине вашего меча от острия до креста. Тибо описывает это как расстояние от земли до пупка.
Осадка диаметром
Линия должна проходить через центр круга и выходить за пределы окружности примерно на два фута длины.Обозначьте точки пересечения диаметра окружностью «C» и «X», как показано выше.
Установка и эскиз перпендикулярного диаметра
Чтобы установить перпендикулярный диаметр, возьмите набор дуг с центрами в точках C и X соответственно. Каждая из этих дуг будет иметь радиус, равный радиусу Круга (длина одного меча). Отметьте, где каждая из этих дуг пересекает окружность. На каждом из этих перекрестков вы возьмете еще одну дугу того же размера. Отметьте, где эти второстепенные дуги пересекаются друг с другом за пределами окружности слева и справа.Строительная линия, соединяющая два внешних пересечения, обозначает место, где будет построен перпендикулярный диаметр. Перпендикулярный диаметр должен выходить на два фута за окружность на каждом конце.
Обозначьте точки, где перпендикулярный диаметр пересекает окружность, буквой N на каждой стороне диаметра.
Установка и эскиз наклонных диаметров
Подготовьтесь к составлению наклонных диаметров, центрируя набор дуг с центрами вокруг точек C, X, N и N, каждая с радиусом в одну длину меча.Отметьте точки пересечения дуги C с дугой N с каждой стороны и пересечения дуги X и дуги N с каждой стороны.
Постройте наклонные диаметры по прямым линиям, соединяющим верхнее левое пересечение и нижнее правое пересечение, а также по линиям, соединяющим верхнее правое пересечение с нижним левым пересечением. Каждый из наклонных диаметров должен заканчиваться на окружности.
Настройка и проект описанной площади
Мы создадим Описанный квадрат с последним набором дуг.Как обычно, каждая из этих дуг будет иметь радиус в одну длину меча. Они будут сосредоточены вокруг пересечения наклонных диаметров с окружностью. Отметьте, где эти дуги пересекают концы диаметра и наклонного диаметра. Соедините эти пересечения, чтобы сформировать квадрат, окружающий окружность.
Когда вы закончите рисовать обведенный квадрат, пометьте четыре угла «A», «O», «Z» и «O», как указано выше.
Чертеж вписанного квадрата
С этого момента это в основном упражнение по соединению точек.Чтобы нарисовать вписанный квадрат, проведите линии через точки C и N с каждой стороны и через точку X и точку N с каждой стороны. Эти линии должны заканчиваться на Описанной площади. Отметьте точки, где вписанный квадрат пересекает наклонные диаметры, буквами S и G, как показано выше.
Проект внутреннего обеспечения
Внутренние коллатерали проходят через точку C и точку S с каждой стороны диаметра и через точку X и точку G с каждой стороны диаметра, заканчиваясь на описанном квадрате.
Осадка внутренних поперечин
Внутренние поперечины проходят через точку N на одной стороне диаметра и точки S и G на противоположной стороне, заканчиваясь на Описанной площади.
Обозначьте точки, где внутренние коллатерали пересекаются на перпендикулярном диаметре, буквой L. Точки, где внутренние трансверсии пересекаются на диаметре, должны быть помечены буквами R и H. Косые диаметры обозначаются буквами Q и I.
Вытяжка наружных поперечин
Наружные поперечины ниже перпендикулярного диаметра проходят от точки D на каждой стороне диаметра через точку G на противоположной стороне. Обозначьте пересечение этих двух линий буквой E. Точно так же внешние трансверсы над перпендикулярным диаметром проходят от точки W через точку S, а их пересечение помечено буквой V, как показано выше.
Проект внешнего обеспечения
Внешние залоги проходят от точки T через точку G и от точки F через точку S с каждой стороны диаметра, как показано выше.Их пересечения обозначены буквой М.
.
Составление диагоналей квадратов
Остальные линии строятся исключительно в местах за пределами Окружности и внутри Описанной площади. Первая из этих линий — это диагонали квадратов, которые соединяют точки B с B, Y с Y и точки P с K на каждой стороне диаметра.
Вытяжка ступеней
Линии ступней проводятся параллельно диагоналям квадратов и соединяют концы внутренних коллатералей около точек A и Z и концы внутренних трансверсий около точки O с каждой стороны диаметра.
Набросок длины квадратов
Длины квадратов идут параллельно Описанным и вписанным квадратам, продолжаясь от концов Линий стопы до пересечения с Окружностью.
Набросайте широты квадратов
Наконец, Широты Квадратов проходят под прямым углом к ближайшей стороне Описанного Квадрата, начиная с точки, где каждая Длина Квадрата пересекает Окружность, и доходят до ближайшего конца Внешнего Залога или Внешнего Поперечного Квадрата.
Заполненный Круг со всеми его линиями и буквами показан ниже.
Размеры
и типы систем определения размеров
В этой статье мы узнаем о том, какие типы систем измерения размеров и используются в технических чертежах.
Размеры и системы определения размеров
A Размер — это числовое значение, выраженное в соответствующих единицах измерения и используемое для определения размера, положения, ориентации, формы или других геометрических характеристик детали.Другими словами, указание на чертеже размеров объекта и других деталей, необходимых для его конструкции и функционирования, с помощью линий, цифр, символов, примечаний и т. Д., Называется нанесением размеров.
Для создания объекта должны быть известны его форма и размер. Поэтому инженерный чертеж, иллюстрирующий форму, размер и соответствующие детали, наиболее важен для строительства объекта. Размеры даны для обозначения размеров различных характеристик объекта и их местоположения.В основном он используется для определения размера объекта, названия деталей, диаметра отверстия и т. Д.
Читайте также — 10 различных типов линий, используемых в инженерном чертеже
Что вы узнаете из этого поста:
Элементы нанесения размеров
Единицы размеров
Общие характеристики нанесения размеров
Типы систем нанесения размеров
Тип нанесения размеров
1. Элементы нанесения размеров
Включает линию проекции, линию выноски, окончание размерной линии , указание происхождения, символы и сам размер.
Размерная линия: Размерная линия представляет собой непрерывную тонкую линию. он обозначен стрелками, он нарисован параллельно поверхности, длину которой необходимо указать.
Линия проекции или выносная линия: Линия проекции или выносная линия, это тонкая линия. Он нарисован перпендикулярно поверхности, на которую необходимо нанести размер. Линия проекции немного выходит за пределы размерной линии.
Строительная линия: Вспомогательная линия — это тонкая линия, показывающая размерную линию.Строительная линия немного расширяется за точку пересечения.
Стрелки: Стрелки используются для обозначения размерной линии. Обычно острие стрелки должно включать углы не менее 15 °. Стрелка может быть открытой или закрытой, закрытой и заполненной.
Линии выноски или указателя: Это тонкие непрерывные линии, проведенные от размерного рисунка к объекту, к которому он относится. Линия выноски может быть проведена под углом 30 ° или 60 ° к низу размеров.
Размерная фигура: Нарисованные могут быть вертикальными или наклонными, чтобы указать высоту размерной фигуры.
2. Единицы измерения
Единицы измерения — миллиметры. Единица измерения опускается при написании размера рис. и сноска «ВСЕ РАЗМЕРЫ В ММ». написана на видном месте на листе чертежа.
3. Определение размеров общих элементов Определение диаметров
Размеры круглых элементов, таких как цилиндрические детали, такие как валы, трубы, стержни или любые другие круглые формы, всегда указываются с указанием их диаметра.Потому что это легко измерить.
Диаметр обозначается символом ∅. Диаметр круглых объектов может быть указан любым из следующих способов, как показано на рис.
Размерный радиус
Изогнутые, скругленные и круглые фигуры показаны на чертежах дугами или окружностями. Размеры указаны с указанием радиусов.
Измеренный радиус обозначается буквой R. Размерная линия проводится радиально так, чтобы острие стрелки касалось дуги.
Когда центр расположен по линиям проекции, центр должен быть отмечен четкой точкой, а стрелка может быть перевернута.
Когда центр дуги выходит за пределы чертежа, размерная линия радиуса должна быть разорвана или прервана в зависимости от того, расположены ли центры дуги или нет.
Нанесение размеров дуг
При определении длины дуги размерная фигура, обозначенная символом, написанным над размером.
Размер хорды
Это линейное расстояние между любыми двумя точками дуги. Его размеры соответствуют рисунку.
Определение размеров углов
Углы определяются таким же образом, как и линейные размеры.
4. Типы систем определения размеров:
Существует два типа систем определения размеров : , одна — выровненная система, а другая — однонаправленная.
Выровненная система
В этом типе размерных систем размеры помещаются над размерными линиями, которые нарисованы без разрыва и написаны параллельно им.
Чтобы их можно было читать снизу или с любой другой стороны листа чертежа. Размеры помещаются посередине и сверху размерных линий.
Однонаправленная система
В этом типе системы размеров размеры размещаются таким образом, чтобы их можно было считать с нижнего края листа чертежа.Размеры вставляются путем разрыва размерных линий посередине.
Размеры должны быть нарисованы следующим образом.
Используйте только одно размещение размерной системы на одном чертеже. Выровненную и однонаправленную систему нельзя смешивать в одном чертеже.
5. Типы размеров
Различные методы, расположение и указание размеров:
Цепное нанесение размеров
Параллельное нанесение размеров
Комбинированное нанесение размеров
Построение прогрессивных размеров
Нанесение размеров по координатам
Определение размеров на равном расстоянии
Повторяющиеся размеры
Размеры цепи
Определение размеров цепи — это система размеров, которая измеряет от точки к точке.Или это ряд смежных размеров, расположенных в один горизонтальный ряд. Когда используется цепочка размеров, местоположение одного элемента зависит от местоположения предыдущего элемента, от которого он измеряется.
Определение размеров цепочки используется, когда важно, чтобы два элемента располагались на определенном расстоянии друг от друга. Например, для двух фиксированных отверстий с двумя фиксированными штифтами может потребоваться определенное расстояние друг от друга для определения размеров цепи.
Параллельное нанесение размеров
Когда количество размеров измеряется в одном направлении от общей поверхности или линии.Метод указания всех размеров одного и того же элемента называется параллельным нанесением размеров. Размерные линии параллельны друг другу и расположены на одинаковом расстоянии.
Комбинированный размер
В этом методе в одном чертеже используются как цепные, так и параллельные размеры.
Построение размеров с прогрессивной разверткой
Этот метод применяется, когда размер должен быть установлен на основе определенной базы данных. Общие размеры указаны за пределами меньших размеров, этот размер показан общей справочной линией.
Нанесение размеров по координатам
Нанесение размеров по таблице координат можно использовать вместо других стилей нанесения размеров. Это может упростить чтение чертежа, этот метод применяется, когда необходимо измерить количество отверстий разного размера.
Нанесение размеров на равном расстоянии
Указание размеров упрощено за счет произведения количества интервалов и значения размера. Точка называется равноудаленной от набора объектов, если расстояние становится равным этим точкам и все объекты в наборе равны.
Повторяющиеся размеры
Когда определенные элементы или элементы одного и того же размера повторяются на чертеже несколько раз, во избежание повсеместного повторения одного и того же размера может быть указано произведение количества повторяющихся элементов и значение размеров. только у одной такой особенности.
Заключение
Размеры очень важны в инженерной области, и это самый полезный навык в отрасли, который поможет вам без затруднений прочитать любой тип инженерного чертежа.Узнать и понять, как упоминаются измерения, очень легко, если вы сосредоточитесь на обучении.
Скачать статью в формате PDF
Вот и все, спасибо за прочтение. привет, если вам понравилась наша статья о «размерах и типах системы размеров», поделитесь с друзьями. Если есть какие-либо вопросы по этой теме, оставьте комментарий, я отвечу на все до единого.
Подробнее в этом блоге:
Оформить заказ по этой ссылке для Auto CAD работает в Индии:
Различные характеристики и особенности требуют уникальных методов определения размеров.
Диаметр
Радиусы
Хорды, дуги и углы
Закругленные концы и отверстия с прорезями
Закругленные углы
Контуры, состоящие из дуг
Неровные очертания
Сетка
Симметричные контуры
Круглые отверстия
Отверстия с зенковкой
Отверстия с потайной головкой и зенковкой
Отверстия с фаской и потайной головкой на криволинейных поверхностях
Spotfaces
Обрабатывающие центры
Фаски
Ключевые места
Накатка
Детали штанг и НКТ
Винтовая резьба
Требования к текстуре поверхности
Эвольвентные шлицы
Отливки, поковки и формованные детали
Диаметр
Символ диаметра стоит перед всеми значениями диаметра.См. Рис. 1-21 и п. 3.3.7. Если указан диаметр сферического элемента, значению диаметра предшествует символ сферического диаметра. См. Рис. 3-11 и параграф. 3.3.7. Если указаны диаметры ряда концентрических цилиндрических элементов, такие диаметры следует определять в продольном виде, если это возможно.
Радиусы
Каждому значению радиуса предшествует соответствующий символ радиуса. См. Рис. 1-22 и 3-11 и пункт. 3.3.7. На размерной линии радиуса используется одна стрелка на конце дуги.Острие стрелки никогда не используется в центре радиуса. Если расположение центра важно и позволяет пространство, размерная линия проводится от центра радиуса так, чтобы острие стрелки касалось дуги, а размер помещается между острием стрелки и центром. Если пространство ограничено, размерная линия проходит через центр радиуса. Если неудобно размещать наконечник стрелки между центром радиуса и дугой, его можно разместить за пределами дуги с помощью выноски. Если центр радиуса не расположен по размеру, центр не указывается.См. Рис. 1-22.
Центр радиуса
Если размер задается центру радиуса, в центре рисуется маленький крест. Выносные и размерные линии используются для определения центра. См. Рис. 1-23. Если расположение центра не имеет значения, на чертеже должно быть четко показано, что положение дуги контролируется другими элементами с размерами, такими как касательные поверхности. См. Рис. 1-24.
Укороченный радиус
Если центр радиуса находится за пределами чертежа или мешает другому виду, размерная линия радиуса может быть укорочена.См. Рис. 1-25. Эта часть размерной линии, идущей от наконечника стрелки, является радиальной относительно дуги. Если размерная линия радиуса укорочена, а центр расположен по координатным размерам, размерная линия, определяющая центр, также будет укорочена.
Истинный радиус.
На двумерном ортогональном чертеже, где размер радиуса определяется на виде, который не показывает истинную форму радиуса, перед размером радиуса добавляется ИСТИНА. См. Рис. 1-26.Эта практика применима к другим элементам в ракурсе, а также к радиусам. См. Рис. 4-28.
Несколько радиусов.
Если деталь имеет несколько радиусов одного размера, можно использовать примечание вместо измерения каждого радиуса отдельно.
Сферические радиусы.
Если сферическая поверхность имеет размер радиуса, размер радиуса предваряется символом SR. См. Рис. 1-27.
Хорды, дуги и углы
Размеры хорд, дуг и углов должны быть
как показано на рис.1-28.
Закругленные концы и отверстия с прорезями
Размеры элементов с закругленными концами, включая отверстия с пазами, определяются одним из методов, показанных на рис. 1-29. Для полностью закругленных концов радиусы указаны, но без размеров. Для элементов с частично закругленными концами рассчитываются радиусы. См. Рис. 1-30.
Закругленные углы
Если углы скруглены, размеры определяют кромки, а дуги касаются друг друга. См. Рис.1-31.
Контуры, состоящие из дуг
Криволинейный контур, состоящий из двух или более дуг, определяется путем задания радиусов всех дуг и определения необходимых центров с координатными размерами. Остальные радиусы расположены на основе их точек касания. См. Рис. 1-32.
Неровные очертания
Нестандартные очертания могут иметь размеры, как показано на рис. 1-33 и 1-34. Круглые или некруглые контуры могут быть нанесены по прямоугольной координате или смещению.См. Рис. 1-33. Координаты отсчитываются от базовых линий. Если для определения контура требуется множество координат, размеры вертикальных и горизонтальных координат могут быть сведены в таблицу, как на рис. 1-34.
Сетка
Изогнутые части, которые представляют собой узоры, могут быть определены системой сетки с пронумерованными линиями сетки.
Симметричные контуры
Размеры симметричных контуров могут быть нанесены с одной стороны от центральной линии симметрии.Это тот случай, когда из-за размера детали или ограниченного пространства может быть удобно отображена только часть контура. См. Рис. 1-35. Показана половина контура симметричной формы, а симметрия обозначена нанесением символов симметрии детали на центральную линию. См. ASME Y14.2.
Круглые отверстия
Размеры круглых отверстий указаны на рис. 1-36. Если не ясно, проходит ли отверстие, обозначение THRU следует за размером. Если задействовано несколько функций, могут потребоваться дополнительные пояснения.Глубина глухого отверстия — это глубина полного диаметра от внешней поверхности детали. Если глубина не ясна, например, на изогнутой поверхности, глубину следует определять графически. Для получения информации о методах задания глухих отверстий см. Рис. 1-36.
Отверстия с зенковкой
Отверстия с цековками могут быть указаны, как показано на рис. 1-37. Если толщина оставшегося материала имеет значение, размер этой толщины (а не глубины) определяется.Необходимо указать соотношение цековки и отверстия. См. Рис. 7-24 и 7-25. Для отверстий с более чем одной цековкой см. Рис. 1-38. Где применимо, может быть указан радиус скругления.
Отверстия с зенковкой и зенковкой
Для отверстий с фаской указаны диаметр и угол зенковки. Для отверстий с зенковкой указываются диаметр и глубина зенковки. Указать угол наклона контрдрели необязательно.См. Рис. 1-39. Размер глубины — это глубина полного диаметра контрсверла от внешней поверхности детали.
Отверстия с фаской и потайной головкой на криволинейных поверхностях
Если отверстие имеет фаску или зенковку на криволинейной поверхности, диаметр, указанный на чертеже, применяется к меньшему диаметру фаски или зенковки. См. Рис. 1-40.
Spotfaces
Если указан диаметр точечной поверхности, может быть указана либо глубина, либо остаточная толщина материала.Если глубина или остаточная толщина материала не указаны, то поверхность пятна — это минимальная глубина, необходимая для очистки поверхности до указанного диаметра. Где применимо, для поверхности пятна может быть указан радиус скругления. В некоторых случаях, например, со сквозным отверстием, может потребоваться обозначение для обозначения поверхности, на которую будет выполняться точечная обработка. См. Рис. 1-41. Spotface может быть указан только в примечании и не должен отображаться графически.
Обрабатывающие центры
Если обрабатывающие центры должны оставаться на готовой детали, они обозначаются пометкой или размером на чертеже.См. ASME B94.11M.
Фаски
Фаски имеют линейный размер и угол или два линейных размера. См. Рис. С 1-42 по 1-45. Если указаны угол и линейный размер, линейный размер — это расстояние от указанной поверхности детали до начала фаски. См. Рис. 1-42.
Фаски, указанные в примечании
Можно использовать примечание для указания фаски 45 ° на перпендикулярных поверхностях. См. Рис.1-43. Этот метод используется только с фаской под 45 °, так как линейное значение применяется в любом направлении.
Круглые отверстия.
Если край круглого отверстия имеет фаску, то в соответствии с п. 1.8.16.1 соблюдается, за исключением случаев, когда диаметр фаски требует контроля размеров. См. Рис. 1-44. Этот тип управления также может применяться к диаметру фаски на валу.
Неперпендикулярно пересекающиеся поверхности
Два приемлемых метода определения размеров фасок для поверхностей, пересекающихся не под прямым углом, показаны на рис.1-45 ..
Ключевые места
Keyseats имеют размеры по ширине, глубине, расположению и, если требуется, длине. Глубина может быть измерена с противоположной стороны вала или отверстия. См. Рис. 1-46.
Накатка
Накатка указывается по типу, шагу и
диаметр до и после накатки. Где нет контроля
Требуемый диаметр после накатки опускается. Где
только часть элемента требует накатки, расположение
и длина накатки должна быть указана.См. Рис. 1-47.
Накатка для прессовой посадки
Там, где требуется обеспечить прессовую посадку между деталями, накатка указывается в примечании, которое включает тип требуемой накатки, ее шаг, допускаемый диаметр элемента до накатки и минимально допустимый диаметр после накатки. См. Рис. 1-48.
Стандартная накатка
Для получения информации о дюймовой накатке см. ANSI / ASME B94.6.
Детали штанг и НКТ
Штанги и трубы могут иметь размеры в трех направлениях координат и допуски с использованием геометрических допусков или путем указания прямых длин, радиусов изгиба, углов изгиба и углов скручивания для всех частей каждого элемента.Это можно сделать с помощью вспомогательных представлений, таблиц или дополнительных данных.
Винтовая резьба
Методы указания и определения размеров винтовой резьбы описаны в ASME Y14.6.
Текстура поверхности
Символы текстуры поверхности определяют пределы шероховатости, волнистости, толщины и дефектов поверхности. Обработанную поверхность можно сравнить с поверхностью океана в том смысле, что поверхность океана состоит из небольших волн на больших волнах.См. Рис. 4-25. На чертеже, показанном на рис. 4-3, используются символы базовой текстуры поверхности.
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Похожие вопросы
Решено
В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0. 75 . Найдите АС.
Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его … 1,3,5,7,9,11,13,15 нужно взять 3 числа и только сложением получить 30.
Решено
в зоопарке живут крокодилы и страусы. В сумме у них 40 голов и 94 ноги. Сколько там крокодилов и страусов?
Решено
дана арифмитическая прогрессия (аn)в которой a9=-22,2,a23=-41,8 найдите разность прогрессии
Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81%
Пользуйтесь нашим приложением
Уравнения с параметром
Справочный материал
Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением
с переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а – это
значит, для каждого значения а найти значения
х, удовлетворяющие этому уравнению.
Пример 1.ах = 0
Если а = 0, то 0х = 0 х – любое действительное число
Если а 0, то х = х = 0
Пример 2.ах = а
Если а = 0, то 0х = 0 х – любое действительное число
Если а 0, то х = х = 1
Пример 3.
х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2
Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней
нет
Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =
Пример 4.
(а2 – 1) х = 2а2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)
Если а = 1, то 0х = 0 х – любое действительное число
Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет
Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а
соответствует единственное значение х.
Например:
если а = 5, то х = = ;
если а = 0, то х = 3 и т. д.
Дидактический материал
1. ах = х + 3
2. 4 + ах = 3х – 1
3. а = +
4. + 3(х+1)
5. = –
6. =
Ответы:
При а 1 х =;
при а = 1 корней нет.
При а 3 х = ;
при а = 3 корней нет.
При а 1, а -1, а 0 х = ;
при а = 1 х – любое действительное число,
кроме х = 1
при а = -1, а = 0 решений нет.
При а 2, а 0 х = ;
при а = 0, а = 2 решений нет.
При а -3, а -2, а 0, 5 х =
при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет
При а + с 0, с 0 х = ;
при а = —с, с = 0 решений нет.
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
(а – 1)х2 = 2(2а + 1)х + 4а
+ 3 = 0
При а = 1 6х + 7 = 0
х = –
В случае а 1 выделим
те значения параметра, при которых Д
обращается в нуль.
1. При каком значении а уравнение ах2
– (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х2
+ 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
3. При каких значениях а уравнение (а2
– 6а + 8) х2 + (а2 – 4) х + (10
– 3а – а2) = 0 имеет более двух корней?
4. При каких значениях а уравнение 2х2 + х
– а = 0 имеет хотя бы один общий корень с
уравнением 2х2 – 7х + 6 = 0?
5. При каких значениях а уравнения х2 +ах
+ 1 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют хотя бы
один общий корень?
Ответы:
1. При а = — 1/7, а = 0, а = 1
2. При а = 0
3. При а = 2
4. При а = 10
5. При а = — 2
Показательные уравнения с параметром
Пример 1. Найти все значения а,
при которых уравнение
9х – (а + 2)*3х-1/х +2а*3-2/х =
0 (1) имеет ровно два корня.
Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 32/х,
получим равносильное уравнение
32(х+1/х) – (а + 2)*3х+1/х + 2а = 0 (2)
Пусть 3х+1/х = у, тогда уравнение (2)
примет вид у2 – (а + 2)у + 2а = 0,
или
(у – 2)(у – а) = 0, откуда у1 =2, у2
= а.
Если у = 2, т.е. 3х+1/х = 2 то х + 1/х =
log32 , или х2 – хlog32 + 1 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней,
так как его Д = log232 – 4 < 0.
Если у = а, т.е. 3х+1/х = а то х +
1/х = log3а, или х2 – хlog3а
+ 1 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и
только тогда, когда
Д = log232 – 4 > 0, или |log3а| > 2.
Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а
< -2, то 0 < а < 1/9.
Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.
Пример 2. При каких значениях а
уравнение 22х – (а – 3) 2х – 3а = 0
имеет решения?
Для того чтобы заданное уравнение имело
решения, необходимо и достаточно, чтобы
уравнение t2 – (a – 3) t – 3a = 0
имело хотя бы один положительный корень. Найдем
корни по теореме Виета: х1 = -3, х2
= а = >
Пример 1. Найти все значения а,
при которых уравнение
log4x(1 + ах) = 1/2 (1)
имеет единственное решение.
Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению
1 + ах = 2х при х
> 0, х 1/4 (3)
х = у
ау2 –у + 1 = 0 (4)
Если а = 0, то –
2у + 1 = 0
2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4
Не выполняется (2) условие из (3).
Пусть а 0, то ау2
– 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и
только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.
Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный
положительный корень х = 1, удовлетворяющий
условиям (3).
Пусть Д > 0 (а < 1), тогда уравнение (4)
имеет два различных корня. Так как у = х 0, то в случае Д > 0 уравнение (4) имеет
действительные корни разных знаков. Это условие
выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0
и 1/а < 0, т.е. при а < 0.
Пример 2. Найти все значения а,
при которых уравнение
log5(x = 2-a ) – log1/5(a-1-x)
= log259 имеет решение.
Решение. log5(x + 2-a) –log5(f – 1 – x) = log53
(1) х + 2 – а = 3(а
– 1 – х), если
(2) а – 1 > х
Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем
неравенство
2 – а > 1 – а (3)
Чтобы решить неравенство (3), построим графики
функций у = 2 – а и
у = 1 – а.
Рис. 3
Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0;
2), где а0 < 0 и а0 – корень
уравнения 2 – а = 1 – а.
Тогда 2 – а = (1– а)2
а2 – а – 1 = 0
а0 =
Ответ: < a
2
Дидактический материал
Найдите, при каких значениях а уравнение log 3
(9x + 9a3)= x имеет ровно
два корня.
Найдите, при каких значениях а уравнение log 2
(4x – a) = x имеет единственный корень.
При каких значениях а уравнение х – log 3 (2а
– 9х) = 0 не имеет корней.
Ответы:
при а < 1/3 36
при а = -1/4
при а < -1/8
Литература
Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика.
Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1990.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное
изучение курса алгебры и математического
анализа. – М.: Просвещение, 1990
Крамор В.С. Повторяем и систематизируем
школьный курс алгебры и начал анализа. – М.:
Просвещение, 1990.
Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И.
Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала
анализа. Решение экзаменационных задач. – М.:
Дрофа, 1998.
Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические
материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение,
2001.
Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи
по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. –
М.: Просвещение, 1990.
Журналы “Математика в школе”.
Л. С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.:
Экзамен, 2001–2008.
ГДЗ по математике 3 класс учебник Моро, Волкова 1 часть
Тип: ГДЗ, Решебник.
Автор: Моро М. И., Волкова С. И., Бантова М. А.
Год: 2020.
Серия: Школа России (ФГОС).
Издательство: Просвещение.
❤️️Ответ к странице 8. Математика 3 класс учебник 1 часть. Автор: М.И. Моро.
Решебник — страница 8Готовое домашнее задание
Номер 7.
На клумбе расцвели 15 красных астр, розовых на 3 меньше, а белых астр столько, сколько красных и розовых вместе. Сколько белых астр?
Какой из двух отрезков длиннее? Определи на глаз, а затем проверь измерением.
Ответ:
Синий отрезок – 4 см.
Красный отрезок – 4 см.
Отрезки равные друг другу.
Задание внизу страницы
Найди среди записей уравнение и реши его.
Ответ:
x − 6 = 54
x = 54 + 6
x = 60
Проверка
60 − 6 = 54
54 = 54
Уравнение: x − 6 = 54
Задание на полях страницы
Занимательные рамки:
Ответ:
Рейтинг
Выберите другую страницу
1 часть
Учебник Моро
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
2 часть
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
К постижению (не)эффективности преподавания математики
The reasonable man adapts himself to the world: the unreasonable one persists in trying to adapt the world to himself. Therefore all progress depends on the unreasonable man.
George Bernard Shaw1
Сергей Лыткин (hse.ru)
Статья Александра Шеня «О непостижимой (не)эффективности преподавания математики» , год назад опубликованная в ТрВ-Наука2, затрагивала ряд важных проблем в современном математическом образовании. После ее прочтения, однако, оставалось некоторое неудовлетворение: не вполне ясно, кто же виноват в текущем положении дел, и уж совсем непонятно, что делать. Так почему же «математика идет так плохо», и поддается ли это лечению?
Из очевидного: неприятие школьной и вузовской математики есть прямое следствие кричащей бесполезности и архаичности контента. Глядя на варианты ЕГЭ (причем не только по математике), хорошо понимаешь смысл фразы «забудьте всё, чему вас учили в школе». Не связывающие свое будущее с математикой школьники забудут ее на следующий день после сдачи ЕГЭ. И правильно сделают: такая математика во взрослой жизни им не пригодится примерно никогда. Парадокс в том, что многое из того, что спрашивается на ЕГЭ по математике, не пригодится и тем, кто пойдет в IT, естественные науки или даже в математику! 3 Неудивительно, что школьники регулярно задают вопрос «зачем мне учить математику?» и саботируют этот процесс, не получая вразумительного ответа.
Не лучше обстоит дело с высшей математикой в вузах. Сопровождение студента со стороны преподавателя уменьшается по сравнению с тем, что было в школе, материал становится сложнее, а его практическая польза еще менее ясна. Устаревшие программы не обновляются должным образом из-за бюрократии и консерватизма, что приводит к хроническому отставанию от потребностей рынка труда. В итоге выпускники математических специальностей зачастую вынуждены много чему доучиваться или даже переучиваться, чтобы устроиться на работу (в которой математики может оказаться очень мало или даже не быть совсем). Спрашивается, зачем тогда надо было тратить столько времени на всякий «хлам» вроде вычисления пределов или неопределенных интегралов? 4 Тем более, что для этих целей давно уже создан Wolfram 5.
Тут мне могут возразить, например, в таком духе:
«математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит» 6;
нейронные связи, выработанные и натренированные годами изучения математики, в будущем позволят человеку с легкостью освоить что угодно другое;
экзамены тренируют стрессоустойчивость человека и формируют навык продуктивной работы в условиях жестких дедлайнов;
штудирование безумно сложно написанных учебников и прорешивание массы задач не очень понятного назначения готовит к аналогичным трудностям на реальной работе («тяжело в учении — легко в бою»).
Всё это может работать только для очень узкого класса так называемых когнитивных атлетов, отличающихся быстротой усвоения материала и большой работоспособностью. На таком уровне дела в целом обстоят неплохо: есть и сильные школы с прекрасными учителями, проводятся олимпиады и специальные мастер-классы от лучших ученых страны, индустрия и бизнес организуют собственные образовательные мероприятия и программы с целью привлечь к себе в будущем лучшие кадры. Только вот какой процент от общего числа составляют эти когнитивные атлеты? Процентов 5–10, вряд ли больше. И то, если брать в расчет не только самый топ, но и просто сколько-нибудь приличный уровень. А для остальных мы получаем «образование», метко описанное Ричардом Фейнманом 7:
Обучение, даже университетское, приводит студентов к состоянию «самораспространяющейся псевдообразованности», при котором никто ничего толком не понимает, а только может успешно сдавать экзамены.
Такое «образование» по сути является вредительством, поскольку затраченное количество времени, денег и человеко-часов всеми участниками процесса совершенно непропорционально полученному на выходе результату. До определенного возраста человеку кажется, что впереди бесконечность, и поэтому у него практически отсутствуют сожаления о времени, потраченном на всякую ерунду. Этим психологическим фактором и злоупотребляют составители различных программ по математике. По сути школьная (да и вузовская) математика в нынешнем виде — это навязанная услуга со стороны государства, оказываемая в принудительном порядке весьма неэффективным способом и поэтому практически не достигающая целей, которые должно ставить перед собой качественное образование.
В современном быстро меняющемся мире основную ценность представляют не знания сами по себе (для этого есть Google, а на случай блокировки — «Яндекс») и не вычислительные навыки (для этого есть компьютеры). На рынке труда больше всего ценятся специалисты, способные быстро и эффективно решать поставленные задачи. Виртуозное умение решать квадратные уравнения или знание наизусть таблицы простых чисел до миллиона тут совершенно бесполезно. Критически важно же обладать ясным пониманием сущностных основ различных математических концепций и способностью распознать, какие из них целесообразнее всего применять при решении реальных практических задач. Вот этому как раз таки особо и не учат.
Также нельзя исключать, что сингулярность 8 уже близко, и недалек тот день, когда знания будут по требованию непосредственно перетекать в мозг. Пока же можно констатировать, что объемы и потоки информации сегодня настолько возросли, что можно смело похоронить идею единоразового получения всех необходимых знаний и умений в школе и вузе. Чтобы оставаться успешными и востребованными в будущем, нынешним школьникам и студентам придется периодически усваивать всё новые и новые порции информации, в том числе и порции математики. Нет никаких рациональных причин пичкать среднего школьника десять лет подряд ненужной и непонятной ему математикой, кроме бюрократической необходимости хорошо написать контрольную или набрать некоторое число баллов на ЕГЭ/ОГЭ. Гораздо продуктивнее ограничиться самым базовым набором математических понятий, и обязательно добиться того, чтобы ученик реально их осознал и освоил. Тогда, если в будущем возникнет необходимость расширить и углубить познания в математике, у него не должно возникнуть непреодолимых препятствий к этому.
Тут мы вплотную подошли к вопросу о природе математического познания. Объективная сложность изучения математики заключается в том, что она имеет дело исключительно с абстракциями, представления о которых вырабатываются субъектом познания в результате рефлексии после взаимодействия с реальным миром. Есть много разных метафор, характеризующих процесс математического познания. Одна из самых метких трактует изучение математики как движение по спирали познания, поскольку к одному и тому же понятию ученик возвращается неоднократно, каждый раз находясь на более высоком уровне по сравнению с предыдущим обращением 9. Переход на следующий уровень возможен только после решения некоторого числа задач, необходимое количество и скорость выполнения которых сугубо индивидуальны. Именно по этой причине лучшие математические школы вынуждены устраивать жесткий конкурс с целью отбора наиболее сильных когнитивных атлетов, способных взбираться по спирали познания с примерно одинаковой и довольно высокой скоростью.
В начальной школе витки спирали познания довольно короткие и легкие для освоения, ведь с маленькими детьми по-другому и нельзя. С проникновением в глубь математики соответствующие различным понятиям спирали расширяются и частично переплетаются между собой. Достаточно взглянуть на программу школьной математики, чтобы понять ошибочность утверждения «школьный курс математики, в общем-то, довольно прост». Так может казаться с высоты птичьего полета профессора или когнитивного атлета. Десятки математических понятий образуют хитрым образом сцепленные спирали с десятками витков, причем часть этих спиралей еще и торчит наружу в сторону смежных дисциплин. Всё вместе это означает сотни и тысячи элементарных единиц материала.
Фрагмент границы множества Мандельброта в цветном варианте. Илл. Wolfgang Beyer (Ultra Fractal 3)
Неотработанные витки спирали познания ставят под угрозу дальнейшего продвижение ученика. К старшим классам, когда материал усложняется, а лакуны и обрывы у многочисленных спиралей познания достигают критической массы, большинство школьников и их родителей смиряются с неизбежным: надо срочно нанять репетитора, чтобы в спешном порядке залатать дыры и кое-как сдать ЕГЭ. Речи о понимании и познании математики уже не идет.
Тех, кто пережил 10 школьный курс математики, может ожидать еще более серьезное испытание в институте. Методическая проработка пособий по высшей математике традиционно слабее, чем школьных; бытует также мнение, что студенты уже не дети и сами разберутся и всё поймут, раз выбрали математическую специальность. А некоторые чрезмерно увлеченные преподаватели злоупотребляют своим положением и заставляют студентов решать сложные узконаправленные задачи, игнорируя отработку базового материала. Какая уж тут спираль, больше похоже на экспоненту.
Суммируя всё выше сказанное, можно констатировать, что в математическом образовании прежде всего не хватает тщательной методической проработки различных аспектов обучения. Не претендуя на исчерпывающую полноту, перечислим некоторые из них.
Инвентаризация. Все элементы математических программ требуют тщательной ревизии, которая должна внятно и аргументированно ответить на вопросы, чему и как учить. Незачем обучать тому, что вряд ли когда-то пригодится. А если элемент признан достойным внимания, надо предусмотреть различные подходы и методики для его изучения. Также вполне может оказаться, что чего-то важного не хватает.
Адаптивность. Когнитивные возможности у всех разные. Там, где когнитивный атлет быстро проскочит, решив пару задач, ученик средних способностей может застрять надолго. Каждое изучаемое понятие должно быть «разжевано» без существенных потерь в содержании до такого состояния, в котором ученик сможет его переварить. А чтобы когнитивные атлеты тем временем не скучали, для них следует предусмотреть задания более высокого уровня.
Адекватный контроль. Оценки, зачеты и экзамены представляют собой довольно посредственные и разреженные прокси-метрики для выявления реальных знаний учащегося. Требуется выработать набор инструментов и критериев, по которым можно непрерывно и с приемлемым уровнем точности судить о текущем прогрессе ученика. Это позволит быстрее и эффективнее достигать образовательного результата, оперативно внося необходимые коррективы при необходимости.
Интеграция математики в другие области. Физику нужна одна математика, программисту — другая, экономисту — третья. И каждая имеет свои специфические отличия от «чистой математики»! Между тем учебники набиты абстрактными задачами ради задач, а прикладные задачи зачастую выглядят искусственно и откровенно притянутыми за уши. Если математика действительно настолько непостижимо эффективна 11 в естественных науках, так покажите товар лицом! Обеспечение возможности бесшовного перехода в смежные дисциплины повысит мотивацию и послужит дополнительной иллюстрацией практической полезности математики.
История математики. Этот компонент практически игнорируется в математическом образовании, которое в значительной степени сводится к предоставлению обучаемому уже готовых истин. Между тем ко многим их них математики шли веками и даже тысячелетиями. Прослеживание (подчас весьма извилистого) пути развития того или иного понятия интересно не только с познавательной точки зрения; оно помогает лучше осознать, почему математика устроена именно так, а не иначе, а также служит источником для методических находок. Ведь прогресс обычно движется от простого к сложному, следовательно, ранее открытые математические истины, как правило, проще и доступнее для понимания, нежели последующие. А вот преподавание, скажем, математического анализа, построено в противоестественном обратном направлении. Сначала студентов обучают действительным числам и теории пределов (эти понятия устаканились лишь к середине XIX века), а затем переходят к производным и интегралам 12, которые вошли в математику почти на 200 лет раньше благодаря трудам Ньютона и Лейбница. Стоит ли удивляться, что матан традиционно считается самым убойным предметом высшей математики?
Метакогнитивные навыки. Студентов не учат, как надо учиться. Например, в книге «Думай как математик» Барбара Оукли 13, опираясь на исследования о том, как работает наш мозг, дает ряд ценных советов и приводит несколько полезных практик для повышения эффективности изучения математики и других наук. Много ли внимания уделяется этому важному моменту в школах и вузах?
Обучение взрослых. Это направление особо не прорабатывалось в прошлом за ненадобностью. Современный тренд на автоматизацию ручного и рутинного труда приводит к тому, что люди вынуждены всё чаще обращаться к более интеллектуальным сферам деятельности. К примеру, в последние годы особую популярность набрало такое направление, как машинное обучение и data science, а в Интернете появилось множество коммерческих предложений типа «Обучаем с нуля профессии дата-сатаниста». Желающих перекатиться в новомодную область тоже немало, но многих отпугивает имеющаяся там математика 14, которой они не знают. Это в свою очередь привело к появлению некоторого количества курсов а-ля «Изучи математику для ML/DS» 15. Главное тут — не переобучиться 16.
Математика и компьютеры. Среди ортодоксальных математиков встречается весьма пренебрежительное отношение к компьютерам. Дескать, настоящему математику нужны только проверенные веками средства: ручка, бумага и голова. А решение математических задач, полученное с помощью навороченных калькуляторов, является неполноценным.
Вряд ли стоит много говорить о близорукости и ущербности подобного взгляда. Уже упоминавшееся машинное обучение представляет собой яркий пример синтеза передовых компьютерных технологий и весьма сложной математики. Общее число программистов в мире удваивается каждые пять лет 17. IT-сфера давно стала главной областью приложения математики, и, по-видимому, эта тенденция будет только нарастать, а посему должна обязательно учитываться при разработке методических программ по математике. Конечно, не дело вычислять производную от функции xn с помощью компьютера, но и отработка формулы Тейлора путем ручного разложения функций до десятого порядка — чрезмерный фанатизм, эту задачу лучше предоставить компьютеру.
По этому перечню ясно, что методической (и не только) работы тут непочатый край, причем ее ни в коем случае нельзя поручать «методистам» 18 в привычном смысле этого слова. Я ни в коей мере не призываю ни к перекраиванию всех школьных и вузовских программ, ни к написанию новых учебников по математике, памятуя о предостережении Н. И. Лобачевского: «Новая книга начал математики не должна напрасно умножать число существующих, потому что их и без того уже много» 19. Полагаю, что все утвержденные программы и пособия разрабатывались действительно лучшими методистами, и если они (программы и пособия) такие, какие они есть, то это лишь потому, что «других писателей у нас для вас нет» 20. И вряд ли они волшебным образом одномоментно возникнут откуда-либо. К тому же всякая надежда на быстрые изменения в крайне инерционной системе образования выглядит утопично. Государству нынче явно не до образования, оно занято более важными делами, поэтому спасение утопающих — дело рук самих утопающих.
Об одном пути «спасения» имеет смысл сказать отдельно. Бытует ультраконсервативная точка зрения, согласно которой всё зло — от реформ последних тридцати лет, и поэтому надо срочно вернуться в «золотой век» советского образования, год эдак в 1937-й 21. Дескать, лучшие учебники — это те, по которым учились наши дедушки и бабушки, а все дальнейшие реформы образования вели только к его неуклонной деградации. А уж всякие современные электронные прибамбасы надо срочно запретить как средство дебилизации населения. Утверждается, что к имущественному расслоению добавилось интеллектуальное (умные умнеют, глупые глупеют), и всевозможные онлайн-платформы и самоучители предоставляют дешевое и некачественное образование «для бедных». Хорошо научить может только живой учитель, поэтому надо срочно наладить их выпуск, подняв престиж профессии.
Еще недавно можно было бы снисходительно посмеяться над очередным стариковским брюзжанием в стиле «раньше было и солнце ярче, и трава зеленее». Казалось очевидным, что нельзя войти дважды в одну и ту же реку, и новые динамично меняющиеся времена ставят перед образованием совсем иные задачи, которые не решить средствами столетней давности. Но теперь подобный ретроградский охранительский стиль мышления идеально попадает в тренд. Верной дорогой идете, товарищи!
Да, искусственный интеллект в области образования еще не созрел; есть много платформ, сочетающих обучающий и развлекательный математический контент 22, однако в основном они занимаются тем, что развлекают, но не учат. Но современные технологии развиваются стремительно. Лучшие шахматные программы до конца 1970-х годов не могли составить сколько-нибудь серьезной конкуренции гроссмейстеру, однако, в конце XX века компьютер победил чемпиона мира по шахматам. Еще более сложная игра го, считавшаяся неприступной на десятилетия вперед, пала под натиском нейронных сетей 23. В последние годы у искусственного интеллекта появилось множество достижений и в других областях, поэтому есть все основания полагать, что в недалеком будущем цифровой учитель превзойдет белкового. Если не лучших из лучших, но наиболее массовый средний уровень — почти наверняка. Все технологии для этого уже есть, надо лишь соединить их вместе.
Сергей Лыткин, канд.физ.-мат. наук
1 «Благоразумный человек приспосабливается к миру, неблагоразумный — упорно пытается приспособить мир к себе. Поэтому прогресс зависит от неблагоразумных людей» (Бернард Шоу).
3 Я закончил школу до появления ЕГЭ, но содержание математики старших классов тогда не сильно отличалось от теперешнего. И хоть я и стал немного математиком, не могу не признать, что практически весь этот зоопарк уравнений и неравенств, хитрых стереометрических задач и задач с параметром, которые я с успехом нарешивал в 10–11 классах, не имеет применений за пределами школьной математики. Конечно, это помогло мне поступить на мехмат МГУ, а впоследствии проверять олимпиадные работы и заниматься репетиторством школьников. Однако по сути это всего лишь воспроизводство того же самого контента, которым меня питали в школе. Задачи ради задач.
4 Мне неоднократно приходилось слышать весьма нелестные мнения выпускников мехмата МГУ о бессмысленно прожитых там годах. Мол, лучше бы потратили время на изучение чего-нибудь действительно полезного.
5 wolframalpha.com
6 Эти слова приписывают М. В. Ломоносову.
7 Эта цитата из книги В. И. Арнольда «Математическое понимание природы» (mccme.ru/free-books/arnold/VIA-mpp.pdf) перефразирует слова Фейнмана из книги «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» (lib.ru/ANEKDOTY/FEINMAN/feinman.txt_with-big-pictures.html). Необходимо заметить, что сказаны они были о бразильской системе образования, где Фейнман преподавал в послевоенные годы. Вряд ли можно отрицать, впрочем, что данное утверждение в той или иной степени верно относительно любой образовательной системы.
8 Ray Kurzweil. The Singularity is Near (en.wikipedia.org/wiki/The_Singularity_Is_Near).
9 Возможно, эта метафора была вдохновлена одним из законов диалектики Гегеля.
10 Кого еще не «кокнули», если выражаться языком А. М. Райгородского.
11 Как утверждается в классической статье E. Wigner. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960). Русский перевод см ogs-seminar.narod.ru/materials/effectiveness_of_mathematics.pdf.
12 В свое время я был сильно удивлен, обнаружив, что тема первой лекции в MIT по предмету Single Variable Calculus — производная! Как же они ее вычисляют без строго понятия предела? Немного поразмыслив, однако, я пришел к выводу, что ничего страшного в этом нет. Вполне можно сначала позаниматься интегралами и производными без полной математической строгости, а потом вернуться к ним еще раз на следующем уровне после изучения понятия предела. Спираль познания в действии.
13 Oakley B. A Mind For Numbers (barbaraoakley.com/books/a-mind-for-numbers/). По мотивам этой книги запущен один из самых популярных курсов на Coursera (coursera.org/learn/learning-how-to-learn).
14 И это при том, что в подобных онлайн-курсах математику стараются по возможности обойти стороной. Доходит до смешного. В каком-то курсе рассказывалось о бизнес-экономике и предлагалась такая задача. У маленького бизнеса есть постоянные издержки, а каждый новый клиент приносит ему одинаковую дополнительную прибыль. Спрашивается: если число клиентов растет, в какой момент бизнес перестанет быть убыточным и выйдет в ноль? Любому мало-мальски сведущему в математике человеку ясно, что тут идет речь о точке пересечения двух прямых (горизонтальной и наклонной), которую легко можно найти, решив линейное уравнение. Однако авторы курса боялись математики как огня и потому предлагали студенту решить задачу перебором (!) с помощью компьютера.
15 ML = Machine Learning, DS = Data Science.
16 «Переобучение» — специальный термин из машинного обучения, обозначающий типичную ситуацию, когда модель очень плохо работает.
17 Такую оценку дает Роберт Мартин (blog.cleancoder.com/uncle-bob/2014/06/20/MyLawn.html).
18 Людям, которые «не умеют ни делать, ни учить, как делать, а потому им остается лишь учить, как учить».
19 Если их уже было много в XIX веке, то как же тогда охарактеризовать их количество в веке XXI?
20 Эти слова приписывают И. В. Сталину.
21 См., например, Костенко И. П. Не ошибка, а целенаправленное многолетнее разрушение // Математическое образование, 4 (100), 2021, с. 58–62 — matob.ru/files/nomer100–01.pdf
22 Для этого даже придумано новое слово: edutainment, от EDUcation и enterTAINMENT.
23 В 2016 году программа AlphaGo (deepmind.com/research/highlighted-research/alphago) победила чемпиона мира по го Ли Седоля.
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.
См. также:
3-8
9
Оценить
квадратный корень из 12
10
Оценить
квадратный корень из 20
11
Оценить
квадратный корень из 50
94
18
Оценить
квадратный корень из 45
19
Оценить
квадратный корень из 32
20
Оценить
квадратный корень из 18
92
Решение рациональных уравнений — ChiliMath
Рациональное уравнение — это тип уравнения, в котором используется хотя бы одно рациональное выражение, причудливое название дроби . Наилучший подход к решению этого типа уравнения состоит в том, чтобы исключить все знаменатели, используя идею LCD (наименьший общий знаменатель). При этом остаточное уравнение, с которым приходится иметь дело, обычно либо линейное, либо квадратичное.
В этом уроке я хочу пройтись по десяти (10) проработанным примерам разного уровня сложности. Я считаю, что большинство из нас изучает математику, рассматривая множество примеров. Вот так!
Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Было бы неплохо, если бы не было знаменателей? Ну, мы не можем просто стереть их без какого-либо действительного алгебраического шага. Подход заключается в том, чтобы найти наименьший общий знаменатель (также известный как наименьшее общее кратное) и использовать его для умножения обеих частей рационального уравнения. Это приводит к удалению знаменателей, оставляя нам обычные уравнения, которые мы уже знаем, как решать, такие как линейные и квадратные. В этом суть решения рациональных уравнений.
ЖК-дисплей 6x. Я умножу обе части рационального уравнения в 6 раз, чтобы исключить знаменатели. В любом случае, это наша цель – сделать нашу жизнь намного проще.
У вас должно получиться что-то подобное после раздачи LCD.
Я решил оставить переменную x справа. Поэтому удалите -5x слева, добавив обе стороны в 5x.
Упрощение. Теперь очевидно, как решить это одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент 5x.
Ага! Окончательный ответ: x = 2 после проверки исходного рационального уравнения. Это дает истинное утверждение.
Всегда сверяйте свои «решенные ответы» с исходным уравнением, чтобы исключить посторонние решения. Это критический аспект общего подхода при решении таких задач, как рациональные уравнения и радикальные уравнения.
Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Первым шагом в решении рационального уравнения всегда является поиск «серебряной пули», известной как LCD. Итак, для этой проблемы найти ЖК-дисплей просто.
Поехали.
Попробуйте выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и/или членов.
Умножьте числа с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа, переменной и/или термина, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.
ЖК-дисплей с 9-кратным увеличением. Распределите его по обеим частям уравнения, чтобы исключить знаменатели.
Упрощение.
Чтобы оставить переменные в левой части, вычтите обе части на 63. Разделите обе части на коэффициент при x.
Вот оно! Проверьте значение x = — \,39 обратно в основное рациональное уравнение, и оно должно убедить вас, что оно работает.
Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Похоже ЖК уже отдан. У нас есть уникальный и общий член \left( {x — 3} \right) для обоих знаменателей. Число 9 имеет тривиальный знаменатель 1, поэтому я не буду его учитывать. Поэтому LCD должен быть \left( {x — 3} \right).
ЖК-дисплей здесь \left( {x — 3} \right). Используйте его как множитель для обеих частей рационального уравнения.
Я надеюсь, что вы получите это линейное уравнение после некоторых сокращений.
Распределить константу 9в \left( {x — 3} \right).
Объедините константы в левой части уравнения.
Упростить
Переместите все числа вправо, добавив 21 к обеим сторонам.
Упрощение
Не так уж плохо. Снова сделайте привычкой проверять решенный «ответ» из исходного уравнения.
Это должно работать, так что да, x = 2 — это окончательный ответ.
Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и убедитесь, что вы проверили свои ответы на наличие посторонних значений.
Я надеюсь, что теперь вы можете сказать, какой ЖК-дисплей для этой проблемы при осмотре. Если нет, вы будете в порядке. Просто продолжайте повторять несколько примеров, и по мере продвижения они будут иметь больше смысла.
Попробуйте выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и/или членов.
Умножьте числа с наивысшими показателями для каждого уникального простое число, переменная и/или термины, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.
ЖК-дисплей 4\влево({x + 2}\вправо). Умножьте на него каждую часть уравнений.
После тщательного распределения ЖК-дисплея в рациональном уравнении, надеюсь, у вас есть и это линейное уравнение.
Краткое примечание : Если вы когда-либо сталкивались с остатками в знаменателе после умножения, это означает, что у вас неправильный ЖК-дисплей.
Теперь распределите константы в скобках с обеих сторон.
Объедините константы в левой части для упрощения.
На этом этапе примите решение, где хранить переменную.
Сохранение x слева означает, что мы вычтем обе стороны на 4.
Упростить
Сложить обе стороны в 3 раза.
Вот и все. Проверьте свой ответ, чтобы убедиться в его достоверности.
Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Ориентируясь на знаменатели, ЖК-дисплей должен быть 6x. Почему?
Не забудьте умножить «каждую копию» простых чисел или переменных с наивысшими степенями.
ЖК-дисплей с 6-кратным увеличением. Распределите по обеим частям данного рационального уравнения.
Так должно выглядеть после тщательного исключения подобных терминов.
Распределите константу в скобках.
Переменная x может быть объединена в левой части уравнения. 2} + 4x — 5 = \left( {x + 5} \right)\left( {x — 1} \right). Не так уж плохо?
Поиск ЖК-дисплея, как и в предыдущих задачах.
Попробуйте выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и/или членов. В этом случае у нас есть термины в виде биномов.
Умножьте числа с наивысшими показателями для каждой уникальной копии простого числа, переменной и/или термина, чтобы получить требуемый LCD.
Прежде чем я разложу LCD на рациональные уравнения, полностью вынесем знаменатели.
Это помогает позже отменить условия общего пользования.
Умножьте каждую сторону на LCD.
Вау! Удивительно, как быстро был убран «беспорядок» исходной проблемы.
Избавьтесь от скобок по распределительному свойству.
Вы должны решить очень простое уравнение.
Пример 7: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и убедитесь, что вы проверили свои ответы на наличие посторонних значений.
Поскольку знаменатели представляют собой два уникальных бинома, вполне логично, что ЖК-экран — это всего лишь их продукт.
ЖК-дисплей \left( {x + 5} \right)\left( {x — 5} \right). Распределите это в рациональное уравнение.
Получается произведение двух двучленов с обеих сторон уравнения.
Имеет смысл использовать метод FOIL. Это звонит в колокол?
Я расширил обе части уравнения, используя FOIL. До этого момента у вас должна быть аналогичная установка. Теперь объедините одинаковые члены (x) в обеих частях уравнения. 92}.
Задача сводится к регулярному линейному уравнению из квадратного.
Чтобы изолировать переменную x в левой части, необходимо добавить обе части в 6x.
Переместить все константы вправо.
Добавьте обе стороны на 30.
Наконец, разделите обе стороны на 5, и все готово.
Пример 8: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Выглядит немного устрашающе. Но если мы будем придерживаться основ, таких как правильный поиск ЖК-дисплея и тщательное умножение его в уравнении, мы должны понять, что можем довольно легко управлять этим «зверем».
Выражение каждого знаменателя в виде уникальных степеней слагаемых
Умножение каждого уникального слагаемого с наибольшей степенью для получения LCD
Вынесите знаменатели на множители.
Умножьте обе стороны на ЖК-дисплей, полученный выше.
Будьте осторожны с отменой.
У вас должно получиться что-то подобное, если все сделано правильно.
Следующий шаг, распределите константы в скобках.
С каждым шагом становится все проще!
Я бы объединил одинаковые термины с обеих сторон также для дальнейшего упрощения.
Это просто многоступенчатое уравнение с переменными с обеих сторон. Легкий!
Чтобы оставить x слева, вычтите обе стороны на 10x.
Переместите все чистые числа в правую сторону.
Вычтите обе части на 15.
Простое одношаговое уравнение.
Разделите обе части на 5, чтобы получить окончательный ответ. Опять же, не забудьте проверить значение обратно в исходное уравнение для проверки.
Пример 9: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Давайте найдем ЖК-дисплей для этой задачи и используем его, чтобы избавиться от всех знаменателей.
Выразите каждый знаменатель в виде уникальных степеней термов.
Умножьте каждый уникальный член с наивысшей степенью, чтобы определить ЖКД.
Полностью вынесите знаменатели на множители
Распределите найденный выше ЖК в данное рациональное уравнение, чтобы исключить все знаменатели.
Мы свели задачу к очень простому линейному уравнению. Это «магия» использования LCD.
Умножьте константы в скобках.
Объединить похожие термины
Упростить
Сохраните переменную слева, вычитая x с обеих сторон.
Сохраняйте константы справа.
Добавьте обе части по 8, чтобы найти x. Сделанный!
Пример 10: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.
Начните с определения ЖК-дисплея. Выразите каждый знаменатель в виде степени уникальных терминов. Затем перемножьте выражения с самых высоких показателей для каждого уникального термина , чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.
Итак, мы имеем
Полностью вычитаем знаменатели.
Распределите ЖК, найденный выше, в рациональное уравнение, чтобы исключить все знаменатели.
Распределите константу в скобках.
Критический шаг : Здесь мы имеем дело с квадратным уравнением. Поэтому держите все (как переменные, так и константы) на одной стороне, заставляя противоположную сторону равняться нулю. 92} — 5x + 4 = \влево( {x — 1} \вправо)\влево( {x — 4} \вправо). Проверить это можно методом ФОЛЬГИ.
Используйте свойство Zero Product для нахождения x.
Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите каждое простое одношаговое уравнение.
Опять же, всегда сверяйте решенные ответы с исходными уравнениями, чтобы убедиться, что они верны.
Вас также может заинтересовать:
Сложение и вычитание рациональных выражений
Умножение рациональных выражений
Решение рациональных неравенств
Вопросы по алгебре с решениями и пояснениями для 9 класса
Представлены подробные решения и полные пояснения к вопросам по алгебре для 9 класса.
Перепишите следующим образом. (х 2 у) (ху 2 ) = (х 2 х) (у у 2 ) Используйте правила экспоненты. = х 3 у 3
Перепишите выражение следующим образом. (-x 2 y 2 )(xy 2 ) = -(x 2 х)(у 2 у 2 ) Используйте правила экспоненты. = — х 3 у 4
Упростите выражения.
(а б 2 )(а 3 б) / (а 2 б 3 )
(21 х 5 ) / (3 х 4 )
(6 x 4 )(4 года 2 ) / [ (3 x 2 )(16 лет) ]
(4x — 12) / 4
(-5x — 10) / (x + 2)
(х 2 — 4х — 12) / (х 2 — 2 х — 24)
Решение
Сначала используйте правила экспоненты, чтобы упростить числитель. (а б 2 )(а 3 б) / (а 2 б 3 ) = (а 4 б 3 ) / (а 4 2
) Перепишите следующим образом. (а 4 / а 2 ) (б 3 / б 3 ) Используйте правило отношения экспонент для упрощения. = а 2
Перепишите следующим образом. (21 х 5 ) / (3 х 4 ) = (21 / 3) (х 5 / х 4 ) Упростить. = 7 х
(6 x 4 )(4 года 2 ) / [ (3 x 2 )(16 лет) ] Умножьте члены в числителе и знаменателе и упростите. (6 x 4 )(4 года 2 ) / [ (3 x 2 )(16 лет) ] = (24 x 4 y 2 ) / (48 x 2 91) Перепишите следующим образом. = (24/48)(х 4 /х 2 )(у 2 /у) Упростить. = (1 / 2) х 2 г
Коэффициент числитель и знаменатель следующим образом. (х 2 — 4х — 12) / (х 2 — 2х — 24) = [(х — 6)(х + 2)] / [(х — 6)(х + 4)] Упростить. = (x + 2) / (x + 4) , для всех x, не равных 6
Решите для x следующие линейные уравнения.
2х = 6
6х — 8 = 4х + 4
4(х — 2) = 2(х + 3) + 7
0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2,3
— х/5 = 2
(х — 4) / (- 6) = 3
(-3x + 1) / (x — 2) = -3
х / 5 + (х — 1) / 3 = 1/5
Раствор
Разделите обе части уравнения на 2 и упростите. 2x/2 = 6/2 х = 3
Добавьте 8 с обеих сторон и сгруппируйте похожие термины. 6х — 8 + 8 = 4х + 4 + 8 6х = 4х + 12 Добавить — 4 раза в обе стороны и сгруппировать похожие термины. 6х — 4х = 4х + 12 — 4х 2x = 12 Разделите обе части на 2 и упростите. х = 6
Раскройте скобки. 4x — 8 = 2x + 6 + 7 Добавьте 8 к обеим сторонам и сгруппируйте похожие термины. 4x — 8 + 8 = 2x + 6 + 7 + 8 4x = 2x + 21 Добавить — 2 раза в обе стороны и сгруппировать похожие термины. 4x — 2x = 2x + 21 — 2x 2x = 21 Разделите обе части на 2. х = 21/2
Добавьте 1,6 к обеим сторонам и упростите. 0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2,3 0,1 х — 1,6 + 1,6 = 0,2 х + 2,3 + 1,6 0,1 х = 0,2 х + 3,9 Добавить — 0,2 x в обе стороны и упростить. 0,1 х — 0,2 х = 0,2 х + 3,9 — 0,2 х — 0,1 х = 3,9 Разделите обе части на — 0,1 и упростите. х = — 39
Умножьте обе части на — 5 и упростите. — 5(- х / 5) = — 5(2) х = — 10
Умножьте обе части на — 6 и упростите. (-6)(х-4) / (-6) = (-6)3 х — 4 = — 18 Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите. х = — 14
Умножьте обе части на (x — 2) и упростите. (х — 2) (-3х + 1) / (х — 2) = -3 (х — 2) Разверните правый термин. -3x + 1 = -3x + 6 Добавьте 3x к обеим сторонам и упростите. — 3х + 1 + 3х = — 3х + 6 + 3х 1 = 6 Последнее утверждение неверно и уравнение не имеет решений.
Умножьте все члены на LCM 5 и 3, что равно 15. 15(х/5) + 15(х — 1)/3 = 15(1/5) Упростить и расширить. 3х + 15х — 15 = 3 Сгруппируйте похожие термины и решите. 18 х = 3 + 15 18 х = 18 х = 1
Найдите любые действительные решения для следующих квадратных уравнений.
2 х 2 — 8 = 0
х 2 = -5
2x 2 + 5x — 7 = 0
(х — 2) (х + 3) = 0
(х + 7) (х — 1) = 9
х(х — 6) = -9
Раствор
Разделите все члены на 2. 2 x 2 / 2 — 8 / 2 = 0 / 2 и упростить х 2 — 4 = 0 Фактор правой стороны. (х — 2) (х + 2) = 0 Найдите x. х — 2 = 0 или х = 2 х + 2 = 0 или х = -2 Набор решений {-2 , 2}
Данное уравнение
x 2 = -5 не имеет действительного решения, так как квадрат действительных чисел никогда не бывает отрицательным.
Фактор левой стороны следующим образом. 2x 2 + 5x — 7 = 0 Фактор (2x + 7)(x — 1) = 0 Найдите x. 2x + 7 = 0 или x — 1 = 0 x = — 7/2 , x = 1, набор решений: {-7/2 , 1}
Решите для х. (х — 2) (х + 3) = 0 х — 2 = 0 или х + 3 = 0
Набор решений : {-3, 2}
Развернуть левую сторону. х 2 + 6х — 7 = 9 Перепишите приведенное выше уравнение так, чтобы правая часть была равна 0. х 2 + 6х — 16 = 0 Фактор левой стороны. (х + 8) (х — 2) = 0 Найдите x. х + 8 = 0 или х — 2 = 0
Набор решений : {-8 , 2}
Расширьте левую часть и перепишите так, чтобы правая часть была равна нулю. х 2 — 6х + 9 = 0 Фактор с левой стороны. (х — 3) 2 = 0 Найдите x. х — 3 = 0
Набор решений : {3}
Найдите любые действительные решения для следующих уравнений.
х 3 — 1728 = 0
х 3 = — 64
√х = -1
√х = 5
√(х/100) = 4
√(200/х) = 2
Раствор
Перепишите уравнение как. х 3 = 1728 Извлеките кубический корень из каждой стороны. (x 3 ) 1/3 = (1728) 1/3 Упростить. х = (1728) 1/3 = 12
Извлеките кубический корень из каждой стороны. (х 3 ) 1/3 = (- 64) 1/3 Упрощение. х = — 4
Уравнение √x= — 1 не имеет действительного решения, так как квадрат действительного числа больше или равен нулю.
Подровняйте обе стороны. (√x) 2 = 5 2 Упростить. х = 25
Подровняйте обе стороны. (√(x/100)) 2 = 4 2 Упростить. х / 100 = 16 Умножьте обе части на 100 и упростите. х = 1600
Подровняйте обе стороны. (√(200/x)) 2 = 2 2 Упростить. 200 / х = 4 Умножьте обе части на x и упростите. х (200 / х) = 4 х 200 = 4 х Найдите x. х = 50
Вычислите для заданных значений a и b .
a 2 + b 2 , для a = 2 и b = 2 |2а — 3б| , для а = -3 и б = 5
3а 3 — 4б 4 , для a = -1 и b = -2
Раствор
Замените a и b их значениями и оцените. для a = 2 и b = 2 а 2 + б 2 = 2 2 + 2 2 = 8
Установите a = — 3 и b = 5 в заданном выражении и оцените. | 2а — 3б | = | 2(-3) — 3(5) | = | -6 — 15 | = | -21 | = 21
Установите a = — 1 и b = -2 в данном выражении и оцените. 3а 3 — 4б 4 = 3(-1) 3 — 4(-2) 4 = 3(-1) — 4(16) = — 3 — 64 = — 67
Решите следующие неравенства.
х + 3 < 0
х + 1 > -х + 5
2(х — 2) < -(х + 7)
Раствор
Добавьте -3 к обеим частям неравенства и упростите. х + 3 — 3 < 0 - 3
х < -3
Добавьте x к обеим частям неравенства и упростите. х + 1 + х > — х + 5 + х 2x + 1 > 5 Добавьте -1 к обеим частям неравенства и упростите. 2x + 1 — 1 > 5 — 1 2x > 4 Разделите обе части на 2. х > 2
Раскройте скобки и сгруппируйте похожие термины. 2x — 4 < - x - 7
Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите. 2x — 4 + 4 < - x - 7 + 4
2x < - x - 3
Добавьте x с обеих сторон и упростите. 2х + х < - х - 3 + х
3x < - 3
Разделите обе части на 3 и упростите. х < - 1
При каком значении константы k квадратное уравнение x 2 +2x = — 2k имеет два различных действительных решения? Решение Сначала находим данное уравнение, правая часть которого равна нулю. х 2 +2х + 2к = 0 Теперь вычислим дискриминант D квадратного уравнения. D = b 2 — 4 a c = 2 2 — 4 (1)(2k) = 4 — 8 k Чтобы решение имело два различных действительных решения, D должно быть положительным. Следовательно 4 — 8 к > 0 Решите неравенство, чтобы получить к < 1/2
При каком значении константы b линейное уравнение 2 x + b y = 2 имеет наклон, равный 2? Решение Найдите у и определите наклон b у = — 2 х + 2 у = (- 2 / б) х + 2 / б наклон = (- 2 / b) = 2 Решите уравнение (- 2 / b) = 2
для б (- 2 / б) = 2 -2 = 2 б б = — 1
Каков y перехват линии — 4 х + 6 у = — 12 ? Решение Установите x = 0 в уравнении и найдите y. — 4 (0) + 6 у = — 12 6 г = — 12 г = — 2 г перехват: (0 , — 2)
Чему равен x перехват строки — 3 x + y = 3 ? Решение Установите y = 0 в уравнении и найдите x. — 3 х + 0 = 3 х = -1 х перехват: (-1, 0)
Что такое точка пересечения линий х — у = 3 и — 5 х — 2 у = — 22 ? Решение Точка пересечения двух прямых является решением уравнений обеих прямых. Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нам нужно решить систему уравнений x — y = 3 и -5 x — 2 y = -22 одновременно. Уравнение x — y = 3 может быть решено для x, чтобы дать х = 3 + у Замените x на 3 + y в уравнении — 5 x — 2 y = -22 и найдите y -5 (3 + у) — 2 у = — 22 -15 — 5 лет — 2 года = — 22 -7 г = — 22 + 15 -7 у = — 7 г = 1 Замените x на 3 + y в уравнении -5 x — 2 y = — 22 и найдите y х = 3 + у = 3 + 1 = 4 Точка пересечения: (4 , 1)
При каком значении константы k прямая — 4 x + k y = 2 проходит через точку (2,-3) ? Решение Чтобы прямая проходила через точку (2,-3) , упорядоченная пара (2,-3) должна быть решением уравнения прямой. Заменим x на 2 abd y на -3 в уравнении. — 4(2) + к(-3) = 2 Решите для k, чтобы получить к = — 10/3
Каков наклон линии с уравнением y — 4 = 10 ? Решение Запишите данное уравнение в форме пересечения наклона y = m x + b и определите наклон m. г = 14 Это горизонтальная линия, поэтому наклон равен 0.
Каков наклон линии уравнения 2 x = -8 ? Решение Приведенное выше уравнение может быть записано как х = — 4 Это вертикальная линия, поэтому ее наклон не определен.
Найдите точки пересечения x и y линии с уравнением x = — 3 ? Решение Выше показана вертикальная линия с точкой пересечения x, заданная только (-3, 0)
Найдите точки пересечения x и y линии с уравнением 3 y — 6 = 3 ? Решение Данное уравнение можно записать в виде г = 3 Выше показана горизонтальная линия с точкой пересечения y, заданная только (0 , 3)
Каков наклон прямой, параллельной оси x? Решение Линия, параллельная оси x, является горизонтальной линией, и ее наклон равен 0.
Каков наклон прямой, перпендикулярной оси x? Решение Линия, перпендикулярная оси X, является вертикальной линией, и ее наклон не определен.
Математика в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами Математика в средней школе (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами Начальная математика (классы) 4 и 5) с бесплатными вопросами и задачами с ответами Домашняя страница
сообщите об этом объявлении
Q1 Решите i x 2 6 ii x 6 2 iii y 8 5 iv x 4 3 v y 2 8 vi b 25 42 vii p 46 85 viii y 32 65 ix a 89 126.
..
Перейти к
Упражнение 22 (А)
Упражнение 22(Б)
Упражнение 22 (С)
Упражнение 22(Г)
Повторное упражнение
Система счисления (закрепление чувства числа)
Предварительный расчет
Числа в Индии и международной системе (со сравнением)
Место Значение
Натуральные числа и целые числа (включая шаблоны)
Отрицательные числа и целые числа
Номер строки
HCF и LCM
Игра с числами
Наборы
Соотношение
Доля (включая словесные задачи)
Унитарный метод
Фракции
Десятичные дроби
Процент (Процент)
Представление о скорости, расстоянии и времени
Основные понятия (алгебра)
Основные операции (связанные с алгебраическими выражениями)
Замена (включая использование скобок в качестве группирующих символов)
Обрамление алгебраических выражений (включая вычисление)
Простые (линейные) уравнения (включая текстовые задачи)
Основные понятия (геометрия)
Углы (с их типами)
Свойства углов и линий (включая параллельные линии)
Треугольники (включая типы, свойства и конструкцию)
четырехугольник
Полигоны
Круг
Повторное упражнение по симметрии (включая построения по симметрии)
Распознавание твердых тел
Периметр и площадь плоских фигур
Обработка данных (включая пиктограмму и гистограмму)
Среднее и медиана
Главная >
Селина Солюшнс
Класс 6
Математика
>
Глава 22. Простые (линейные) уравнения (включая текстовые задачи)
>
Упражнение 22 (А)
>
Вопрос 1
Вопрос 1 Упражнение 22(А)
Q1) Решите:
(i) x + 2 = 6
(ii) x + 6 = 2
(iii) y + 8 = 5
(iv) x + 4 = — 3
( v) y + 2 = — 8
(vi) b + 2,5 = 4,2
(vii) p + 4,6 = 8,5
(viii) y + 3,2 = — 6,5
(ix) a + 8,9 = — 12,6
(x) x + 2\frac{1}{3} = 5
(xi) z + 2 = 4\frac{1}{5}
(xii) m + 3\frac{1}{ 2}=4\frac{1}{4}
(xiii) x + 2 = 1\frac{1}{4}
(xiv) y + 5\frac{1}{3}= 4
(xv) a + 3\frac{1}{5}=1\frac{1}{2}
Ответ:
Решение 1:
(i) x + 2 = 6
x = 6 — 2
х = 4
(ii) х + 6 = 2
х = 2 — 6
х = -4
(iii) у + 8 = 5
у = 5 — 8
1 9 = -3
(iv) x + 4 = -3
x = -3 -4
x = -7
(v) y + 2 = -8
y = -8 -2
y = -10
(vi) б + 2,5 = 4,2
б = 4,2 — 2,5
b = 1. 7
(vii) p + 4.6 = 8.5
p = 8.5 — 4.6
p = 3.9
(viii) y + 3.2 = -6.5
y = -6.5 -3.2
y = -9,7
(ix) a + 8,9 = -12,6
a = -12,6 -8,9
a = -21,5
(x) x + 2\frac{1}{3} = 5
x + \ frac{7}{3}=5
x = 5-\frac{7}{3}=\frac{15-7}{3}=\frac{8}{3}
x = 2\frac {2}{3}
(xi) z + 2 = 4\frac{1}{5}
z + 2 = \frac{21}{5}
z = \frac{21}{5}-2=\frac{21-10}{5}=\frac{11}{5}
z = 2\frac{1}{5}
( xii) m + 3\frac{1}{2}=4\frac{1}{4}
m + \frac{7}{2}=\frac{17}{4}
m = \frac {17}{4}-\frac{7}{2}=\frac{17-14}{4}=\frac{3}{4}
(xiii) x + 2 = 1\frac{1} {4}
x + 2 = \frac{5}{4}
x = \frac{5}{4}-2=\frac{5-8}{4}=\frac{-3}{ 4}
x = -\frac{3}{4}
(xiv) y + 5\frac{1}{3}= 4
y + \frac{16}{3}=4
y = 4-\frac{16}{3}=\frac{12-16}{3}=\frac{-4}{3}
y = -1\frac{1}{3}
(xv) a + 3\frac{1}{5}=1\frac{1}{2}
a + \frac{16}{ 5}=\frac{3}{2}
a = \frac{3}{2}-\frac{16}{5}=\frac{15-32}{10}=\frac{-17} {10}
Привет и добро пожаловать на обучение в Лидо
сегодня мы посмотрим, как решить
уравнения
у нас есть 1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 уравнений есть мы
собираюсь решить эти 15 уравнений
давайте сделаем это, мы собираемся найти
переменные значения
первый
х плюс
2 равно 6, значит х
равно 6 минус 2
когда плюс 2 приходит на правую сторону
будет минус 2
минус 2 х равно 4
это первый-второй
х плюс 6 равно 2
теперь мы делаем те же шаги, когда дело доходит до
в
правая сторона 2 минус 6
когда мы проверяем здесь, большее число имеет
знак минус знак большее число
как минус
так что однозначный ответ будет минус
ладно там будет вылечить число столько же
Определенный ответ будет минус и
поэтому мы должны оставить это прямо здесь минус
так плюс с к минусу какой плюс
в минус
минус, значит 6 минус 2 будет 4, значит ответ такой
минус 4
ладно тут 4 а тут минус 4 дай мне
иди с третьим
[Музыка]
в третьем вы можете увидеть y
плюс восемь равно
пять лет
плюс восемь равно
пять, когда мы заглянем сюда
у равно пять минус восемь то же самое
мы должны следить за всеми ролями
тогда у равно
минус 3, потому что большее число имеет минус
а число минус так плюс в минус
минус 8 минус 5 будет 3
так что y равно 3 теперь давайте сделаем с
В остальных случаях я закругляюсь
следующий х плюс 4 равно минус
3 вы также можете сделать это самостоятельно
позаботься о четвертом
х плюс 4 равно минус 3
x равно, когда 4 выходят наружу
минус 3
минус 4 x равно минус 7
ладно следующий пятый
у плюс 2 равно минус 8. у равно минус восемь минус два
у равно минус десять
тогда мы идем со следующими случаями шестой
б плюс 2,5 делаем в следующей чистой странице
п плюс 2,5
равно 4,2
v равно четырем точкам два
минус две целых пять десятых, получая LHS два
правая сторона
так что теперь мы можем получить четыре целых два минус
Два целых пять десятых, чтобы сделать это грубее.
четыре балла, два минус
2.5 можно написать
4,2 минус 2,5
сейчас 10 12 будет 12
будет 7 это будет 1 случай 3 этого
значит 17 это 1.7 так и будет
одна точка семь значение b равно одному баллу
мы сделаем со следующим
то есть
р плюс 4,6
равно 8,5
этот седьмой
p равно восьми целых пяти десятых
минус четыре целых шесть ты можешь сделать мы
следует сохранить десятичные дроби
то же место четыре точки шесть
пятнадцать, так что будет
пять плюс четыре девять и будет два
минус вот это семь минус четыре
это три целых девять десятых это ответ
p-значение равно трем точкам девять
Три очка, девять
хорошо, да, тогда мы посмотрим на другой
мы сделали семь дел, нам осталось
с
еще восемь
мы должны проверить защелки и
арки, когда мы берем число из
левый и правый
Давайте сделаем наш h. 2, нам нужно изменить
Знак вот и все
отпусти меня с восьмым
у плюс 3,2 равно минус 6,5
у равно минус 6,5
минус 3,0
так что будет минус в минус плюс мы
знать
шесть-пять три-три-два
это тоже само по себе будет плюсом мы
надо добавить сейчас
семь шесть семь восемь девять девять точек
Семь
минус девять целых семь, поэтому ответ будет
минус девять целых семь
ладно пойду со следующим
о следующий один десять восьмой девятый
девятый плюс 8,9равно минус 12,6
равно минус двенадцать целых шесть десятых
минус восемь целых девять, так что снова мы
должен добавить это
потому что минус девять минусов это плюс
двенадцать целых шесть минус восемь целых
девять должны добавить это
шесть плюс девять выражений — это пятьдесят одно
нести
одиннадцать и два
двадцать одна точка пять, так что финал
Ответ будет минус 20
1,5
хорошо, да, мы сделаем это с другими шестью
вы должны сконцентрироваться при смене
от левого до правого вот и все
теперь мы закончили с десятым
Джордан 10-й справа
х в
2 1 на 3 равно 5
x равно 2 1 на 3 равно 2 на 3 мы можем
напиши как 2 на 3
вы можете сказать 2 на 3 или нет мы можем сказать это
как 2 на 3
2 1 на 3 как 3 2 6 6 плюс 1 7 на три
это семь на три не скажет два на
три это семь на три
в равно пяти хорошо
тогда, когда мы проверим здесь
х равно 15 на семь
Вот что мы сделали: смешанная фракция. от трех до шести х плюс один и семь на
три, так что мы взяли
три, три, умножаем на пять получаем
пятнадцать на 7
так что 15 на 7 будет
2,5
ладно 2.5 тогда следующий одиннадцатый
играть два равно
четыре один на пять
установить равным 4 1 на 5 минус 2
г равно
5 4 20 21 на 5.
минус 2, так что вы можете принять это как
21 минус 10 по
5 это потому, что мы умножили здесь
5 и разделить на 5.
теперь будет то же самое, поэтому знаменатель
принято так
Это 11 на 5
это тоже 2,5
2.5 нормально
тогда мы идем с другими вещами слева
12, что означает 14 15. Осталось
четыре вещи
в смесителе фракции, которые превращаются
в
сначала неправильная дробь, а потом
должен решить это снова так же, как
дроби
теперь мы идем с 12-й
m играет втроем один на два
равно четырем один на четыре
m плюс это будет записано как три к
шесть плюс один семь на два
четыре четыре шестнадцать плюс один семнадцать
два семнадцать на четыре
m равно семнадцати на четыре
минус семь на два
когда мы берем это, это m равно
взяв 4 цельсия, мы умножаем его
числитель на 2 и знаменатель на 2
становится 17 минус
с 7 по четырнадцатый
три на четыре
какова ценность три на четыре вы
можно напрямую узнать это, выполнив
разделение
четыре нуля, мы можем оставить ноль
четыре семь ноль двадцать восемь и два
ушел с нами
снова двадцать четыре пять ноль целых семь
пять три на четыре равно ноль целых семь десятых
пять
теперь иди с 13-м
13-й тоже такой же только вот
вы должны сначала увидеть фракции смесителя
которые преобразуют фракцию смесителя, которая
Это
13-й
13-й один х плюс
2 равно 1 1 на 4. можно сказать
доля смеси как
Правильная дробь четыре из четырех
плюс один пять на четыре
х равно пять на четыре
минус два так и будет
четыре на четыре и разделить на 4
это 5 минус 8
минус 3 на 4, поэтому ответ будет
минус 0,75
тоже самое но тут минусы пришли потому что 5
минус 8 это минус 3
это не плюс 3 ладно
затем вы видите другой, подняв
это
другой случай — четырнадцатый
у плюс фи по одному на три
равно четырем
у плюс 5 3
15 плюс 1 16 на 3
равно 4 y плюс 16 на 3
значение — это то, сколько мы можем узнать,
называется 2, который удаляет этот плюс
равно
4 минус 16 на 3
поэтому мы можем принять это как четверть от 12 минус
16
на 3 минус 4 на 3
ладно ответ минус 4 3 теперь иди
с
Следующий 15-й
у 15-го есть
последний один пятнадцатый один плюс
три один на пять
один на два
а равно двум один два плюс один три
на два
минус у тета пятнадцать плюс один шестнадцать
к пяти
это полностью lcm десять
да тут умножается на пять
это будет умножено на
два хорошо да пять это 15
до 16 до 32
теперь мы можем видеть, что ответ равен 32
минус 15
3 это минус 15 это 7
117 17 на 10 это минус 17 на 10
Окончательный ответ минус 7, я надеюсь, что вы
понять все вопросы
если у вас есть какие-либо вопросы, вы можете задать его
вниз в разделе комментариев и спасибо
тебе за просмотр этого видео
Связанные вопросы
Q2) Решите: (i) x — 3 = 2 (ii) m — 2 = — 5 (iii) b — 5 = 7 (iv) a — 2,5 = — 4 (v) y — = 6 (vi) z — = — 6(. ..
Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:
(888) 888-0446
Все математические ресурсы ACT
14 Диагностические тесты
767 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 5 Следующая →
ACT Math Help »
Алгебра »
Алгебраические дроби »
Как найти переменную в составе дроби
Решить для .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Перекрестное умножение.
Рассылка.
Решите для .
Сообщить об ошибке
Частное дроби равно . Если числитель , каково значение знаменателя?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Шаг 1: Настройте уравнение
Шаг 2: Решение для D
Отчет о ошибке
Решение для:
.
Объяснение:
Решите для x:
Шаг 1: Найдите наименьший общий знаменатель и соответствующим образом сопоставьте дроби:
Решите для :
1
Сообщить об ошибке
Если , то каково значение ?
Possible Answers:
none of these
3/38
9/114
38/3
7/12
Correct answer:
38/3
Объяснение:
перекрестное умножение:
(6)(19) = 9x
114=9x
x = 38/3
Сообщить об ошибке
Найти х.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Перекрестное умножение:
Сообщить об ошибке
Числитель дроби равен сумме знаменателя, умноженного на 4 и 5. Если дробь разделить на 2, то числитель в 3 раза больше знаменателя. Найдите упрощенную версию дроби.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Пусть числитель = N и знаменатель = D.
Согласно первому утверждению
N = (D x 5) + 4.
Согласно второму утверждению N / 2 = 3 * D.
Умножим второе уравнение на –2 и сложим его с первым уравнением:
–N = –6D
+[N = (D x 5) + 4]
=
–6D + (D x 5) + 4 = 0
–1D + 4 = 0
D = 4
Таким образом, N = 24.
Следовательно, N/D = 24/4 = 6.
Сообщить об ошибке
Решите следующее уравнение для заданной переменной :
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы решить это уравнение, мы должны умножить обе части на знаменатель, чтобы избавиться от дроби.
Это дает
Затем, чтобы решить, последний шаг состоит в том, чтобы изолировать переменную, разделив обе части на 12. Таким образом,
.
Сообщить об ошибке
При каком значении уравнение верно?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
При перекрестном умножении уравнения получается
.
Следовательно,
или .
Сообщить об ошибке
Решите следующее уравнение для :
.
Сократите любые дроби в окончательном ответе.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить уравнение с переменной в дроби, примите знаменатель как постоянное значение и умножьте обе части уравнения на знаменатель, чтобы исключить его.
Сообщить об ошибке
Решите для:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти ответ, умножьте правую часть на . Результат есть.
Сообщить об ошибке
← Предыдущая 1 2 3 4 5 Следующая →
Уведомление об авторских правах
Просмотреть ACT Репетиторы по математике
Брюс Сертифицированный преподаватель
, Колорадская инженерно-химическая школа.
Просмотр ACT Репетиторы по математике
Томас Сертифицированный репетитор
Дартмутский колледж, бакалавр искусств, биохимии и молекулярной биологии. Колумбийский университет в городе Нью-Йорк, магистр …
Просмотр ACT Репетиторы по математике
Мозес Сертифицированный репетитор
Университет Невада-Рино, бакалавр наук, биология, общие.
Все математические ресурсы ACT
14 диагностических тестов
767 практических тестов
Вопрос дня
Карточки
Учитесь по концепции
Линейные уравнения с одной переменной, 8 дополнительных вопросов по математике, глава 2
Дополнительные вопросы для 8 класса, математика, глава 2, Линейные уравнения с одной переменной
Линейные уравнения с одной переменной, 8 дополнительных вопросов, очень короткий тип ответа
Вопрос 1. Определите алгебраические линейные уравнения из данных выражений. (а) х 2 + х = 2 (б) 3х + 5 = 11 (в) 5 + 7 = 12 (г) х + у 2 = 3 Решение: (a) x 2 + x = 2 не является линейным уравнением. (b) 3x + 5 = 11 — линейное уравнение. (c) 5 + 7 = 12 не является линейным уравнением, так как не содержит переменной. (d) x + y 2 = 3 не является линейным уравнением.
Вопрос 2. Проверить, верно ли линейное уравнение 3x + 5 = 11 при x = 2. Решение: Учитывая, что 3x + 5 = 11 При x = 2 получаем LHS = 3 × 2 + 5 = 6 + 5 = 11 LHS = RHS = 11 Следовательно, данное уравнение верно для x = 2
Вопрос 3. Составьте линейное уравнение из данного утверждения: «Если прибавить 5 к удвоенному числу, получится 11». Решение: Согласно данному утверждению имеем 2x + 5 = 11 требуемое линейное уравнение.
Вопрос 4. Если x = a, то что из следующего не всегда верно для целого числа k. (Пример NCERT) (a) kx = ak (b) \(\frac { x }{ k }\) = \(\ frac { a }{ k }\) (c) x — k = a — k (d) x + k = a + k Решение: Правильный ответ: (б).
Вопрос 5. Решите следующие линейные уравнения: (a) 4x + 5 = 9 (b) x + \(\frac { 3 }{ 2 }\) = 2x Решение: (a) Имеем 4x + 5 = 9 ⇒ 4x = 9 – 5 (перенос 5 в правую часть) ⇒ 4x = 4 ⇒ x = 1 (перенос 4 в правую часть) (b) Имеем x + \(\frac { 3 }{ 2 }\) = 2x ⇒ \(\frac { 3 }{ 2 }\) = 2x – x ⇒ x = \(\frac { 3 }{ 2 }\)
Вопрос 9. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите углы треугольника. Решение: Пусть углы данного треугольника равны 2x°, 3x° и 4x°. 2x + 3x + 4x = 180 (∵ Сумма углов треугольника равна 180°) ⇒ 9x = 180 ⇒ x = 20 (Перенос 9 в RHS) Углы данных треугольников равны 2 × 20 = 40 ° 3 × 20 = 60° 4 × 20 = 80°
Вопрос 10. Сумма двух чисел равна 11, а их разность равна 5. Найдите числа. Решение: Пусть одно из двух чисел равно x. Другой номер = 11 – х. По условию имеем х – (11 – х) = 5 ⇒ х – 11 + х = 5 (Решаем скобку) ⇒ 2х – 11 = 5 ⇒ 2х = 5 + 11 (Переставляем 11 в RHS) ⇒ 2x = 16 ⇒ x = 8 Следовательно, нужные числа 8 и 11 – 8 = 3.
Вопрос 11. =Если сумма двух последовательных чисел равна 11, найдите числа. Решение: Пусть два последовательных числа будут х и х + 1. В соответствии с условиями мы имеем х + х + 1 = 11 ⇒ 2х + 1 = 11 ⇒ 2х = 11 – 1 (преобразование 1 в RHS) ⇒ 2x = 10 x = 5 Следовательно, нужные числа 5 и 5 + 1 = 6.
Линейные уравнения с одной переменной Класс 8 дополнительных вопросов Тип краткого ответа
Вопрос 12. Ширина a прямоугольный сад равен \(\frac { 2 }{ 3 }\) его длины. Найдите его размеры, если его периметр равен 40 м. Решение: Пусть длина сада равна х м его ширина = \(\frac { 2 }{ 3 }\) × м. Периметр = 2 [длина + ширина]
Вопрос 13. Разница между двумя положительными числами равна 40, а отношение этих целых чисел равно 1 : 3. Найдите целые числа. Решение: Пусть одно целое число равно x. Другое целое число = x – 40 Согласно условиям, мы имеем \(\frac { x-40 }{ x }\) = \(\frac { 1 }{ 3 }\) ⇒ 3(x – 40 ) = х ⇒ 3х – 120 = х ⇒ 3х – х = 120 ⇒ 2x = 120 ⇒ x = 2 Следовательно, целые числа равны 60 и 60 – 40 = 20.
Вопрос 14. Найдите x:
Решение:
а7 Сумма двух
1 Вопрос 14. -значное число, а число, полученное путем перестановки его цифр, равно 121. Найдите число, если его цифра разряда единиц равна 5. Решение: Цифра разряда единиц дана как 5 Пусть x — разряд десятков Образованное число = 5 + 10x Число, полученное путем перестановки цифр = 5 × 10 + x = 50 + x Согласно условиям имеем 5 + 10x + 50 + x = 121 ⇒ 11x + 55 = 121 ⇒ 11x = 121 – 55 (перенос 55 в RHS) ⇒ 11x = 66 ⇒ 37 x = 7 6 91 , разряд десятков = 6 Следовательно, искомое число = 5 + 6 × 10 = 5 + 60 = 65
Класс линейных уравнений с одной переменной 8 дополнительных вопросов Навыки мышления высшего порядка (HOTS)
Вопрос 16. Если длину прямоугольника увеличили на 40 %, а ширину уменьшили на 40 %, на сколько процентов изменится его периметр? Решение: Пусть длина прямоугольника равна х м, а его ширина равна y м Периметр = 2(x + y) Теперь длина прямоугольника равна после увеличения на 40 %
Вопрос 17. Продавец фруктов покупает несколько апельсинов по цене 5 ₹ за апельсин. Он также покупает равное количество бананов по цене 2 фунта стерлингов за банан. Он получает прибыль в размере 20% от апельсинов и прибыль в размере 15% от бананов. В конце концов, он продал все фрукты. Если он получил прибыль 390 руб., найдите количество апельсинов. Решение: Пусть количество купленных им апельсинов равно x, а также количество бананов равно x. Стоимость x апельсинов из расчета 5 ₹ за апельсин = 5 ₹ x Стоимость x бананов из расчета 2 ₹ за банан = 2 x
Вопрос 18. Пароход идет вниз по течению из одной точки в другую за 7 часы. Это же расстояние вверх по течению он преодолевает за 8 часов. Найдите скорость парохода в стоячей воде и расстояние между портами, если скорость течения 2 км/ч. (Образец NCERT) Решение: Пусть скорость парохода в стоячей воде = x км/ч Скорость течения = 2 км/ч Скорость по течению = (x + 2) км/ч Скорость против течения = (x – 2) км/ч Расстояние, пройденное за 7 часов вниз по течению = 7(x + 2) Расстояние, пройденное за 8 часов вверх по течению = 8(x – 2) Согласно условию, 7(x + 2) = 8(x – 2) ⇒ 7x + 14 = 8x – 16 ⇒ x = 30 км/ч Общее расстояние = 7(x + 2) км = 7(30 + 2) км = 7 × 32 км = 224 км.
— возведение в степень. Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec — экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), log__p — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7, root__p — корень степени p, например root3(x) — кубический корень.
Пошаговый алгоритм вычисления одной производной, а также правила вычисления производных можно найти тут Производная функции.
алгоритм и примеры решений. Производная суммы равна сумме производных
Определение производной от функции есть обратная операция интегрированию функции. Для элементарных функций вычислить производную не составляет труда, достаточно воспользоваться таблицей производных. Если же нам необходимо найти производную от сложной функции, то дифференцирование будет уже намного сложнее, потребует большей внимательности и времени. При этом очень легко допустить описку или незначительную ошибку, которая приведет к окончательному неверному ответу. Поэтому всегда важно иметь возможность проверить своё решение. Это вы можете сделать с помощью данного онлайн-калькулятора, который позволяет находить производные от любых функций онлайн с подробным решением бесплатно, без регистрации на сайте. Нахождение производной функции (дифференцирование) это отношение приращения функции к приращению аргумента (численно производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции). Если необходимо вычислить производную от функции в конкретной точке, то нужно в полученном ответе вместо аргумента x подставить его численное значение и рассчитать выражение. При решении производной онлайн вам необходимо ввести функцию в соответсвующее поле: при этом аргументом должна быть переменная x , поскольку дифференцирование идёт именно по нему. Для вычисления второй производной нужно продифференцировать полученный ответ.
Операция отыскания производной называется дифференцированием.
В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной
как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и
точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных
потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше
предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться
таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит
следующий алгоритм.
Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие
простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице
производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах
дифференцирования. Таблица производных и
правила дифференцирования даны после первых двух примеров.
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.
Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу.
Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило,
проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования.
К ним мы и переходим прямо сейчас.
Таблица производных простых функций
Правила дифференцирования
1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции
причём
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.
Правило 2. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение
причём
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей:
Правило 3. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Где что искать на других страницах
При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций » .
Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме
и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она
выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных,
но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.
А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u «v , в котором u — число,
например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё
слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).
Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной
функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.
По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .
Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями,
то есть, когда функция имеет вид вроде , то
следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями «.
Если же перед Вами задача вроде ,
то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».
Пошаговые примеры — как найти производную
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение,
а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель.
Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:
Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим
и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная
которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль.
Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как
производную «икса». Получаем следующие значения производных:
Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем
требуемую условием задачи производную всей функции:
А проверить решение задачи на производную можно на .
Пример 4. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного:
производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и
числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также,
что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:
Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где
сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, ,
то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями» .
Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других
тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде ,
то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций» .
Пример 5. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень
из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По
правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Проверить решение задачи на производную можно на калькуляторе производных онлайн .
Пример 6. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень
из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили
и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .
Дата: 10.05.2015
Правила дифференцирования.
Чтобы найти производную от любой функции, надо освоить всего три понятия:
2. Правила дифференцирования.
3. Производная сложной функции.
Именно в таком порядке. Это намёк.)
Разумеется, неплохо бы ещё иметь представление о производной вообще). О том, что такое производная, и как работать с таблицей производных — доступно рассказано в предыдущем уроке. Здесь же мы займёмся правилами дифференцирования.
Дифференцирование — это операция нахождения производной. Более за этим термином ничего не кроется. Т.е. выражения «найти производную функции» и «продифференцировать функцию» — это одно и то же.
Выражение «правила дифференцирования» относится к нахождению производной от арифметических операций. Такое понимание очень помогает избежать каши в голове.
Сосредоточимся и вспомним все-все-все арифметические операции. Их четыре). Сложение (сумма), вычитание (разность), умножение (произведение) и деление (частное). Вот они, правила дифференцирования:
В табличке приведено пять правил на четыре арифметических действия. Я не обсчитался.) Просто правило 4 — это элементарное следствие из правила 3. Но оно настолько популярно, что имеет смысл записать (и запомнить!) его как самостоятельную формулу.
Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то (совершенно любые!) функции U(x) и V(x).
Рассмотрим несколько примеров. Сначала — самые простые.
Найти производную функции y=sinx — x 2
Здесь мы имеем разность двух элементарных функций. Применяем правило 2. Будем считать, что sinx — это функция U , а x 2 — функция V. Имеем полное право написать:
y» = (sinx — x 2)» = (sinx)»- (x 2)»
Уже лучше, правда?) Осталось найти производные от синуса и квадрата икса. Для этого существует таблица производных. Просто ищем в таблице нужные нам функции (sinx и x 2 ), смотрим, какие у них производные и записываем ответ:
y» = (sinx)» — (x 2)» = cosx — 2x
Вот и все дела. Правило 1 дифференцирования суммы работает точно так же.
А если у нас несколько слагаемых? Ничего страшного.) Разбиваем функцию на слагаемые и ищем производную от каждого слагаемого независимо от остальных. Например:
Найти производную функции y=sinx — x 2 +cosx — x +3
Смело пишем:
y» = (sinx)» — (x 2)» + (cosx)» — (x)» + (3 )»
В конце урока дам советы по облегчению жизни при дифференцировании.)
Практические советы:
1. Перед дифференцированием смотрим, нельзя ли упростить исходную функцию.
2. В замороченных примерах расписываем решение подробно, со всеми скобочками и штрихами.
3. При дифференцировании дробей с постоянным числом в знаменателе, превращаем деление в умножение и пользуемся правилом 4.
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
Частные производные, примеры решений
Теория по частным производным
Пусть функция двух переменных – непрерывна и дифференцируема. Частной производной по называется производная от этой функции по при условии, что – константа. Частной производной по называется производная от этой функции по при условии, что – константа.
Полный дифференциал функции , находится по формуле
Частные производные второго порядка находят дифференцированием производных первого порядка:
При нахождении частных производных, правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной, по которой ведется дифференцирование.
Примеры
ПРИМЕР 4
Задание
Найти все производные второго порядка для функции
Решение
Сначала отыщем все производные первого порядка. При нахождения производной , дифференцируем исходную функцию по ; считается константой. Учитывая свойство линейности производной и формулу для вычисления степенной функции, получим
При нахождения производной , дифференцируем по , а считаем константой, получим:
Теперь перейдем к вычислению производных второго порядка. По определению, вторая производная по равна . Следовательно, от первой производной нужно взять производную по , при этом считаем константой:
Аналогично вычислим частную производную второго порядка по :
Вычислим смешанные производные второго порядка. По определению, смешанная производная равна , то есть от первой производной нужно взять производную по , при этом считаем константой:
Производная , то есть от первой производной берем производную по , а переменную считаем константой:
Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!
Найти производную функции f x 2 x
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.
Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Определение. Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку . Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции (при переходе от точки к точке ) и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают .
Для обозначения производной часто используют символ y’. Отметим, что y’ = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x).
Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция имеет производную в конкретной точке :
2. Дать аргументу приращение , перейти в новую точку , найти
Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).
Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство . Если в этом равенстве устремить к нулю, то и будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.
Еще один пример. Функция непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и
Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
Ряд сходится абсолютно Чем график функции отличается от графика производной
Вычисление пределов онлайн без правила лопиталя
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции. Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс вычисления предела.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка или
Возьмем из X последовательность точек, отличных от х0:
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
Определение. Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х0 (или при х -> x0), если для любой сходящейся к x0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.
Функция f(x) может иметь в точке x0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x0, если для любого числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство
Используя логические символы, это определение можно записать в виде
Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке ».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.
Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке » — определением предела функции по Коши.
В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.
Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x0, если для любой сходящейся к x0 последовательности (1), элементы xn которой больше (меньше) x0, соответствующая последовательность (2) сходится к А.
Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке »:
Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x0, если для любого существует такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство .
Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.
Функция f(х) имеет в точке x0 предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.
Кроме рассмотренных понятий предела функции при x->x0 и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы xn которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.
Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.
Теорема. Пусть функции f(х) и g(х) имеют в точке x0 пределы В и С. Тогда функции f(x)±g(x), f(x) g(x) и (при ) имеют в точке x0 пределы, равные соответственно В±С, ВС и .
Теорема. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть может, самой точки x0, и функции f(х), h(x) имеют в точке x0 предел, равный А, т.е.
Теорема Лопиталя. Если или f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности x0 , и в окрестности x0 ,
Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида и .
Тесты по линейной алгебре с ответами Чертеж по инженерной графике 1 курс
Вычислить пример онлайн с решением
В Интернете столько различных программ, что возникает вопрос: можно ли вычислять примеры для их решения в режиме онлайн. Такие приложение уже существуют. Они самостоятельно ищут ответ на ваши задачи и показывают на экране ответ. Это очень удобно и практично. О них и пойдёт речь далее.
«Математический сканер по фото» — поможет вычислить любой пример
Задание по разным предметам иногда заставляет нас с любой успеваемости зайти в тупик. Пример может сильно отличаться от тех, которые были рассмотрены в школе. Чтобы решить его, придется искать решение в Интернете вручную. Или просить более опытных людей помочь с этим заданием. Есть ещё один вариант выхода с этого положения — воспользоваться онлайн сканером «Математический сканер по фото» на Андроид.
Он устанавливается на мобильный телефон в виде приложения и способен решать ваши задания при помощи фотографии.
Порядок действий для проведения вычислений онлайн:
Работать сканер может в двух режимах: по фотографии и при вводе условий вручную;
Чтобы сфотографировать пример, наведите камеру на условие и нажмите кнопку создания фото;
На следующем экране появится решение этой задачи с несколькими действиями. Чтобы больше узнать о данном примере, просмотрите внимательно все его этапы решения. И попробуйте разобраться самостоятельно.
Если не выходит понять задачу, в меню приложение «Онлайн» сканер можно найти статьи по теме. В нём множество учебного материала на разные темы по математике и другим предметам. Для этой программы не требуется подключение к Интернету. Она может решать любые примеры оффлайн без доступа к базе данным или поисковым системам. В приложение встроен умный калькулятор, который может быть вызван одной кнопкой на панели в меню. Сканер легко справляется с задачами по математике для начинающих и выпускных классов.
Это может быть полезным: решение задач по физике по фото.
Решение задач онлайн через камеру телефона
С каждым учебным годом математика усложняет задачи для учащихся. Становится всё труднее решать примеры быстро и практически не задумываясь. Появляются новые темы, функции, уравнения и прочее. Чтобы со всем этим справиться при вычислении примеров с верным решением, используйте «Камеру Калькулятор» на Андроид.
Это один из лучших способов решать примеры автоматически, применяя лишь камеру мобильного телефона. Пользователю нужно сфотографировать пример, чтобы решить его.
Возможности приложения:
В приложении есть умный и удобный калькулятор для решения любых задач по предмету;
Встроен научный калькулятор со всеми инструментами, которые есть в классической версии;
Отдельно реализован калькулятор уравнений.
Мобильное приложение «Камера Калькулятор» способно справляться с решением интегралов, интеграций, производных, дифференцирования, пределов и многое другое. Для тех пользователей, которым необходимы простые функции, он является таковым. Более сложные инструменты находятся в меню и могут быть запущены при необходимости. Поэтому вычислить любой пример онлайн и получить его подробное решение не составим труда. Программа будет полезна школьникам старших классов, которые сталкиваются со сложными заданиями на самостоятельных работах и контрольных.
Также «Камера Калькулятор» станет незаменимым помощником для студентов разных профессий. Приложение не займёт много памяти в мобильном телефоне и может работать беззвучно.
Читайте также: решение задач по геометрии по фото.
Mathway — онлайн-сервис для вычисления примеров
С вычислением сложных примеров и их вычислением в Интернете поможет онлайн-приложение Mathway. Без надобности устанавливать какие-либо программы на телефон. Откройте в браузере ссылку на сайт Mathway.com.
При нажатии на кнопку с фотоаппаратом на экране появится виртуальная клавиатура со всеми подходящими символами для решения математических уравнений. Если к вашему устройству подключена веб-камера или вы используете сайт с мобильного устройства, то появится возможность сфотографировать условия задачи.
Также его можно записать в пустой строке, которая выше виртуальной клавиатуры приглашает: «Введите задачу». Чтобы выбрать другой предмет в онлайн-сервисе, нажмите на кнопку меню вверху.
Среди них можно выбрать:
Решение задач по элементарной математике;
Тригонометрии;
Статистике,
Алгебре;
Линейной алгебре;
Химии;
Создание графиков;
Основа математического анализа.
В меню онлайн-программы доступны примеры по разным предметам. Чтобы их открыть, нажмите на кнопку с тремя точками вверху. И выберите пункт «Примеры». Появится новый раздел, где вы сможете выбрать примеры по алгебре. Для того, чтобы рассмотреть один из них, выберите его курсором мыши или тапом по экране мобильного. Когда пример будет выбран, его условия и решение развернется на экране. Дополнительно появится возможность открыть каждый шаг в решении. Или показать график из этого примера на экране. Ссылки для этого в конце примера.
«Контрольная работа» — быстрое решение сложных задач онлайн
Быстро и точно примеры может решать сервис «Контрольная работа» www.kontrolnaya-rabota.ru/s. Всё что нужно пользователю — это ввести условие в пустую строку. Сервис удобно использовать на мобильном телефоне через браузер или на компьютере во время выполнения задания. Чтобы получить большой список калькуляторов для разных условий, на главной странице необходимо выбрать кнопку «Начать сейчас».
Из перечня перед вами можно выбрать:
Решение уравнений и упрощённых выражений онлайн с возможностью вводить условия;
Калькулятор для решения неравенств с отображением графиков решения на экране;
Поиск пределов в сервисе — найдите его для любой функции. Применяются решения по Лопиталю;
На сайте есть производные функций, графики. Вы сможете построить свой график в пространстве;
Калькулятор для решения неравенств;
Доступны практически любые действия с неравенствами: умножение, возведение в степень, ранг матрицы, обратные матрицы и другое;
На сайте есть возможность решить со своими условиями комплексные числа, геометрическую интерпретацию.
Кроме этого на сайте ещё множество возможностей, связанных с решением математических задач и условий по другим предметам. Можно найти таблицы интегралов, Брадиса, таблицы производных. Примеры из высшей математики и полезные и интересные калькуляторы. Если у вас возникнут трудности, в нижней части списка с возможностями находится подробная инструкция, как пользоваться тем или иным инструментом. Представлено множество текстов, описывающих не только работу калькуляторов и таблиц, но и с рассмотрением конкретных примеров.
Pocket Teacher — поможет вычислить уравнения по математике
Рассмотрим ещё один интересный онлайн-сервис с решениями для математики. Называется он Pocket Teacher.
Ссылка: https://www.pocketteacher.ru/solve-page. Сайт является большим и всесторонним инструментом, для решения практически любых математических условий заданий. На главной странице пользователю предлагается выбрать один из трёх основных разделов сайта: алгебра, геометрия, высшая математика и текстовая задача. На экране отображается клавиатура с математическими знаками.
Начните вводить символы условия своей задачи;
Возле примера находятся кнопки для управления вводом. Нажмите «Очистить» или «Удалить», если допустили ошибку при вводе;
Чтобы пример решить, нажмите на соответствующую кнопку справа и выберите пункт «Решение».
Каждое решение на время сохраняется на сайте. Его можно вернуть при помощи кнопок на панели. Это приложение можно скачать на мобильный телефон с Android или с IOS. Ссылки расположены на главной странице сайта.
Видео-инструкция
Рассмотренные инструменты помогут вычислить любой сложный пример в режиме онлайн с подробным решением. Посмотрите о дополнительных приложениях в видео.
Вычислить определенный интеграл с подробным решением. Основные методы интегрирования
Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Изучаем понятие « интеграл»
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
« Интеграл»
Кстати!
Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
Константу можно выносить из-под знака интеграла:
Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
При любых точках a , b и с :
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Если определения из учебника слишком сложны и непонятны, прочитайте нашу статью. Мы постараемся максимально просто, “на пальцах” объяснить основные моменты такого раздела математики, как определенные интегралы. Как вычисляется интеграл, читайте в данной инструкции.
С геометрической точки зрения интеграл функции – это площадь фигуры, образуемой графиком данной функции и осью в пределах интегрирования. Запишите интеграл, проанализируйте функцию под интегралом: если подынтегральное выражение возможно упростить (сократить, вынести множитель на знак интеграла, разбить на два простых интеграла), сделайте это.
Откройте таблицу интегралов, чтобы определить, производная какой функции стоит под интегралом. Ответ найден? Выпишете множитель, вынесенный за интеграл (если это имело место), запишите найденную из таблицы функцию, подставьте границы интеграла.
Для вычисления значения интеграла рассчитайте его значение в верхней границе и вычтите его значение в нижней границе. Разница – и есть искомая величина.
Чтобы проверить себя или хотя бы уяснить ход решения задачи на интегралы, удобно пользоваться онлайн-сервисом нахождения интегралов , однако прежде чем приступать к решению, ознакомьтесь с правилами ввода функций . Огромнейшее его преимущество в том, что здесь пошагово расписывается все решение задачи с интегралом.
Конечно, здесь рассмотрены лишь самые простые варианты интегралов – определенные, на самом деле разновидностей интегралов великое множество, изучаются они в курсе высшей математики, математического анализа и дифференциальных уравнений в ВУЗах для студентов технических специальностей.
Онлайн сервис на сайт позволяет находить решение определенного интеграла онлайн . Решение проводится автоматически на сервере и в течении нескольких секунд пользователю выдается результат. Все онлайн сервисы на сайте абсолютно бесплатны, а решение выдается в удобном и понятном виде. Также нашим преимуществом является, что мы предоставляем возможность пользователю ввести границы интегрирования, в том числе и пределы интегрирования: минус и плюс бесконечность. Таким образом, решить определенный интеграл становится просто, быстро и качественно. Важно, что сервер позволяет вычислять определенные интегралы онлайн сложных функций, решение которых на иных онлайн-сервисах часто является невозможным ввиду несовершенства их систем. Мы предоставляем очень простой и интуитивно понятный механизм для ввода функций и возможность выбора переменной интегрирования, для чего вам не приходится переводить заданную в одной переменной функцию в другую, исключая связанные с этим ошибки и опечатки. Также на странице даны ссылки на теоретические статьи и таблицы по решению определенных интегралов. Всё в совокупоности позволит вам вычислять определенный интеграл онлайн очень быстро и при желании найти и разобраться с теорией решения определенных интегралов. На http://сайт вы также можете переходить на другие сервисы: онлайн решение пределов, производных, суммы рядов. Перейти же на вкладку решения неопределенных интегралов онлайн совсем просто — ссылка находится в ряду среди полезных ссылок. Более того, сервис постоянно совершенствуется и развивается, и с каждым днем появляются всё новые и новые возможности и усовершенствования. Решайте определенные интегралы вместе с нами! Все онлайн сервисы доступны даже незарегистрировшимся пользователям и абсолютно бесплатны.
Решая определенный интеграл у нас вы можете проверить своё собственное решение или избавиться от излишних трудоемких вычислений и довериться высокотехнологичной автоматизированной машине. Вычисляемая на сервисе точность удовлетворит практически любые инженерные нормы. Часто для многих табличных определенных интегралов результат выдается в точном выражении (используя общеизвестные константы и неэлементарные функции).
Введите функцию, для которой надо найти интеграл
Калькулятор предоставляет ПОДРОБНОЕ решение определённых интегралов.
Этот калькулятор находит решение определенного интеграла от
функции f(x) с данными верхними и нижними пределами.3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Другие функции: floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа
>> >> >> Методы интегрирования
Определение интеграла, определенного и неопределенного, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов.
Неопределенный интеграл
Пусть u = f(x) и v = g(x) — функции, имеющие непрерывные . Тогда, по произведения,
d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) — vdu.
Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:
∫ udv = uv — ∫ vdu (8.4.)
Эта формула выражает правило интегрирования по частям . Оно приводит интегрирование выражения udv=uv»dx к интегрированию выражения vdu=vu»dx.
Пусть, например, требуется найти ∫xcosx dx. Положим
u = x, dv = cosxdx, так что du=dx, v=sinx. Тогда
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x — ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.
Определенный интеграл
Методы интегрирования , понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке определена функция f(x). Разобьем отрезок [
a,b] на n частей точками a= x 0
Δ
x i =x i — x i-1
. Сумма вида f(ξ i)Δ
x i называется интегральной суммой, а ее предел при λ = maxΔx i → 0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:
F(ξ i)Δx i (8.5).
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке , числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла .
Методы интегрирования имеют следующие свойства:
Последнее свойство называется теоремой о среднем значении .
Пусть f(x) непрерывна на . Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл
∫f(x)dx = F(x) + C
и имеет место формула Ньютона-Лейбница , cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:
F(b) — F(a). (8.6)
Геометрическая интерпретация: представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.
Несобственные интегралы
Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода — это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:
(8.7)
Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+ ∞), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+ ∞). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует или расходится.
Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах
(-∞,b] и (-∞, + ∞):
Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка , кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:
если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:
Примеры вычисления интегралов
Пример 3.30. Вычислить ∫dx/(x+2).
Решение. Обозначим t = x+2, тогда dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| + C .
Решение. Интегрируем по частям. Обозначим u=arctgx, dv=dx. Тогда
du = dx/(x 2 +1), v=x, откуда ∫arctgxdx = xarctgx — ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так как ∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
Пример 3.35 . Вычислить ∫lnxdx.
Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим: u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогда ∫lnxdx = xlnx — ∫x 1/x dx = = xlnx — ∫dx + C= xlnx — x + C.
Пример 3.36 . Вычислить ∫e x sinxdx.
Решение.
Применим формулу интегрирования по частям. Обозначим u = e x , dv = sinxdx, тогда du = e x dx, v =∫sinxdx= — cosx → ∫ e x sinxdx = — e x cosx + ∫ e x cosxdx.
∫e x cosxdx также интегрируем по частям: u = e x , dv = cosxdx,
du=e x dx, v=sinx. Имеем: ∫ e x cosxdx = e x sinx — ∫ e x sinxdx. Получили соотношение
∫e x sinxdx = — e x cosx + e x sinx — ∫ e x sinxdx, откуда 2∫e x sinx
dx = — e x cosx + e x sinx + С.
Пример 3.37. Вычислить J = ∫cos(lnx)dx/x.
Решение.Так как dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяя lnx через t, приходим к табличному интегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.
Пример 3.38 . Вычислить J = .
Решение. Учитывая, что = d(lnx), производим подстановку lnx = t. Тогда J = .
Пример 3.39 . Вычислить J = .
Решение. Имеем: . Поэтому =
Исчисление I — неявное дифференцирование (практические задачи)
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 3-10: Неявная дифференциация
Для задач 1–3 выполните каждое из следующих действий.
Найдите \ (y ‘\), решив уравнение относительно y и производя прямое дифференцирование.3} + 4z} \ right) \) Решение
CALCULUS.ORG
CALCULUS.ORG;
Спонсоры
Ресурсы Calculus.org для студентов, изучающих математику
Ресурсы Calculus.org для преподавателя математического анализа:
Примеры задач на экзамене Вот примеры задач на экзаменах из первого года исчисления в формате tex,
отсортировано по проблемной области. Не стесняйтесь изменять их и использовать для своих
собственные экзамены.
Демонстрации в классе по исчислению Демонстрации по исчислению, которые вы можете использовать в классе, чтобы оживить
читать лекции и предотвращать кивание голов.
ССЫЛКИ НА ДРУГИЕ САЙТЫ ДЛЯ РАСЧЕТОВ:
сайтов с экзаменами по математике.
Учебники и курсы по исчислению:
Онлайн-курсы по математике от Массачусетского технологического института. Проект OpenCourseWare в Массачусетском технологическом институте дает много ценных
ресурсы в сети.Представлены математические и многие другие математические курсы.
Анимированные демонстрации вычислений:
Сайтов с проблемами исчисления.
Aid for Calculus : Примерно 300 примеров задач от Джона А. Тейлора с решениями. Хорошо проиндексировано.
exampleproblems.com : На этом вики-сайте много пользователей, созданных
примеры задач с решениями в области исчисления и других областях.
Доктор математики : Большой список проблем.Также есть что сказать
исчисление и другие темы.
S.O.S. Math — Calculus : Хороший список проблем с решениями.
Через ряды Фурье.
Магазин математики :
Некоторые решенные задачи, java-апплеты для вычислений и обзорный материал.
Hotmath :
Следуйте за кнопкой учеников, чтобы получить список решений странных проблем в
математические тексты Стюарта; Ларсон, Хостетлер, Эдвардс; и Тан
Найдите ошибку :
Дуглас Шоу предлагает вам найти ошибку в некоторых расчетных доказательствах.
WYKAmath :
Интегральные и производные задачи с хорошо объясненными ответами.
Также есть видео, которые могут понравиться поклонникам YouTube.
Сайты с записными книжками и задачами для вычислений на основе Sage, Mathematica, Maple и т. Д.
Исчисление мудреца Тоториал :
Учебник по исчислению, основанный на бесплатной системе компьютерной алгебры Sage с открытым исходным кодом.
Ноутбуки Mathematica :
Большая коллекция записных книжек Mathematica от
математический факультет Государственного университета Райта.В обоих
Форматы Windows и Mac.
Интерактивное обучение исчислению и дифференциальным уравнениям с приложениями :
Коллекция записных книжек по системе Mathematica, объясняющих темы в этих областях, от
математический факультет Университета Индианы в Пенсильвании.
WebCalc: Полностью онлайн-курс по исчислению в Texas A&M. Нужна научная тетрадь,
но доступна бесплатная версия для просмотра.
Исчисление и математика:
Вводный онлайн-курс по исчислению в Университете
Иллинойс в Урбана-Шампейн и Государственный университет Огайо.
Онлайн-тексты:
Calculus Made Easy Классическое приложение по исчислению Сильваниуса П. Томпсона. Опубликовано в 1914 г.
это было очень популярно. Лечение интуитивно понятное. Доступно в электронной библиотеке.
Бесплатные онлайн-учебники Ссылки на бесплатные онлайн-тексты по различным математическим областям, включая математический анализ.
Интернет-учебники по математике из списка Джорджа Кейна,
в Технологическом институте Джорджии.
Учебник по исчислению Гилберта Стрэнга. Полный учебник доступен в формате pdf.
Учебные пособия и объяснения по математическим темам:
Примечания по исчислению онлайн :
Из Университета Британской Колумбии.
Имеет приятные объяснения и некоторые интерактивные функции.
Расчет объема вазы : очень красиво представленный проект, в котором
рассчитан объем реальной вазы.От математического факультета Университета Дьюка.
Karl’s Calculus Tutor : Множество хороших объяснений понятий исчисления.
Mudd Math Fun Facts :
Хорошие объяснения многих математических (и других математических) концепций. Также имеет
разделы геометрии, алгебры, вероятности и др. Организовано по уровням
сложности.
Распространенные ошибки :
Распространенные ошибки в математике бакалавриата, составлено Эриком Шехтером на
Университет Вандербильта.
Графика для математического класса : Коллекция графики и анимации
которые иллюстрируют концепции математического анализа.
Руководство по выживанию : Руководство по выживанию по расчету для одного человека.
AP Исчисление :
Руководство College Board по исчислению AP.
Математические таблицы Дэйва :
Таблицы интегралов, производных и разложения в ряды.
Анимированные примеры Луи А. Талмана из Столичного государственного колледжа Денвера.
Хороший сборник очень информативных анимаций.
Галерея патологий зубного камня доктора Фогеля Коллекция странных функций, иллюстрирующих вопросы непрерывности
и дифференцируемость.
Мировая веб-математика Связанный сборник объяснений по исчислению из Массачусетского технологического института.
Википедия Запись по исчислению в онлайн-энциклопедии.Множество ссылок на специализированные темы.
Учебники и задачи по исчислению Бесплатные интерактивные руководства по темам clauclus, включая теорему о среднем значении,
Рунге Кутта, Ряд Фурье.
Множество ссылок на специализированные темы.
Wyzant имеет коллекцию объяснений по исчислению по избранным темам от предварительного расчета до векторов.
Расчет видео:
IntegralCalc :
имеет множество коротких видео по математической тематике.Принесено вам Кристой Кинг.
Математический центр :
имеет видеолекции по тематике дифференциального и интегрального исчисления.
Just Math Tutorials :
имеет большую коллекцию видеороликов на YouTube по математическим вычислениям и другим математическим темам.
Midnight Tutor :
На этом сайте есть большая коллекция видеороликов, в которых объясняются концепции и решаются проблемы.
Академия Хана :
В академии Хана есть много бесплатных видео с объяснениями вычислений.
Яркая буря :
имеет множество бесплатных видеороликов, предлагающих объяснения по исчислению.
Видео исчисление :
Видео по исчислению 1 и 2 от Селвина Холлиса из Хьюстонского университета.
Коллекции ссылок на сайты по исчислению:
Сайты по векторному и многомерному исчислению:
Калькуляторы для вычисления производных, интегралов и т. Д .:
WolframAlpha.com : Помимо интегралов и производных, он выполняет ограничения, разложение в ряды, векторный анализ, интегральные преобразования и т. Д.Мощный инструмент.
integration.com : онлайн-интегратор. Будьте осторожны, иначе вас заменит калькулятор за 12 долларов. На основе Mathematica.
mathen.com : Онлайн-сервис для
производные, интегралы. Также делает упрощение графиков и формул.
Encalc : бесплатный онлайн-накопитель, который включает
численное интегрирование и многочисленные физические формулы
Графический калькулятор : Отображает сразу несколько уравнений.
Derivative-calculator.net : вычисляет производные и частные производные,
Integral-calculator.net : Рассчитывает первообразные для вас.
Аплеты и программное обеспечение для расчетов:
Математические апплеты для вычислений в SLU :
У Майка Мэя из Университета Сент-Луиса есть набор программ, иллюстрирующих важные
концепции одно- и многомерного исчисления.
Calculusapplets.com :
Обширная коллекция апплетов для интерактивной иллюстрации идей исчисления одной переменной.
MathServ Calculus Toolkit :
Онлайн-набор инструментов для построения графиков, пределов, производных, обратных величин и т. Д.
FADBAD : программа на C ++ для автоматического распознавания. Ты
можете скачать его, если хотите.
Некоторые Java-апплеты :
Коллекция апплетов Java, иллюстрирующих концепции исчисления.
Calculator.org :
Научный калькулятор.
Применения математики:
Исчисление и общество, история и т.д .:
Товаров для коммерческого исчисления:
Справка по математике :
Предлагает программное обеспечение MathXpert, помогающее изучать предварительные вычисления и вычисления.
Связанные темы: Предварительные вычисления, дифференциальные уравнения, линейная алгебра и т. Д .:
Дни рождения : математики, у которых сегодня дни рождения.
пи :
История П.И.
Призов и конкурсов:
Результаты
Национальные соревнования школьников по исчислению
можно найти по адресу: Соревнование по расчету
Награды .Планов на будущие соревнования на данный момент нет.
Этот веб-сайт поддерживают Спонсоры
Calculus.org На главную
Пожалуйста, присылайте свои комментарии, вопросы или предложения по адресу: [email protected].
URL-адрес этой страницы: http://www.calculus.org.
Мистер экзамен
Этот сайт поможет вам решать математические задачи в режиме онлайн с подробными пошаговыми инструкциями.
Уравнения
:
Решает различные уравнения: от простых линейных, квадратных и кубических до сложных, содержащих тригонометрические функции, логарифмы, квадратные и кубические корни. Особое внимание уделяется дифференциальным уравнениям, некоторые выражения в уравнениях также расширены, упрощены. ↓
Дифференциальные уравнения Пошагово
Для однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков, дифференциальных уравнений с разделимыми переменными, с подстановкой и т. Д.с подробным пошаговым решением.
Пошаговые инструкции по регулярным уравнениям
Калькулятор обыкновенных уравнений может решать уравнения со степенями, в том числе квадратные и кубические, некоторые четвертой степени, уравнения с модулем, простые линейные, экспоненциальные, простые тригонометрические и некоторые другие. Любое другое уравнение с ответом. Можно решать задачи численно.
Упрощение выражений
Введите упрощенное выражение, и калькулятор найдет все возможные упрощения алгебраического выражения или комплексного числа.
Системы уравнений Шаг за шагом
Вы получите несколько подробных решений для линейных систем уравнений, в том числе «лобовое» решение с использованием правил Крамера и Гаусса.
Неравенство, шаг за шагом
Помимо аналитического решения неравенства, вы увидите решение неравенства на графике.
Графический калькулятор
:
Отображает различные функции: например, однозначные с использованием синуса, косинуса и других тригонометрических функций, а также трансцендентные функции, такие как квадратный и кубический корень.Но он также отображает многозначные функции: неявные функции, построение поверхностей и линий в трехмерном пространстве, графики параметрических функций. ↓
Пошаговое построение графика функции
Вычислительный инструмент строит график функции в ортогональных координатах, интервал построения может быть указан, на этом графике указываются точки пересечения, если определено несколько функций, а также проверяется соответствующая функция.
Шаги построения кривых
Калькулятор генерирует подробный анализ графика функции: экстремумы функций, горизонтальные и вертикальные асимптоты, наклонные асимптоты, четность и нечетность функции, точки перегиба, точки пересечения графика с X и Ось Y, область определения функции, также строит график функции.
Участок
Введите функцию поверхности или поверхность, заданную уравнением
Производные
:
Находит производные от обеих однозначных функций, включая тригонометрические, линейные, со степенями, с дробями и экспоненциальные функции. Также для многозначных функций: неявные и параметрические функции.
Пошаговая производная
Используя калькулятор производных, вы можете вычислить производную функции с одной переменной с подробным решением, частные производные функции с двумя и тремя переменными, а также производную неявной функции, заданной уравнением.
Серия
и последовательности
:
Разложить на ряды Тейлора и Фурье с построением частичных рядов.Для суммы ряда строится график частичной суммы. Особое внимание уделено ряду Фурье — создан функционал для ввода кусочно заданных функций. ↓
Сумма рядов Пошагово
Дает аналитический и числовой ответ на сумму ряда, а также график скорости сходимости суммы ряда.
Интегралы
:
Принимает интегралы от различных функций, можно увидеть численный и аналитический результат для определенного и несобственного интеграла, а также для неопределенного. Возьмем двойной и тройной интегралы от функций двух и трех переменных соответственно. ↓
Интегральный шаг за шагом
Калькулятор интегралов дает возможность шаг за шагом решать определенные, неопределенные, несобственные интегралы.
Другое
Каноническая форма
Приводит форму уравнения для прямых на плоскости и в пространстве второго порядка и поверхностей второго порядка к каноническому виду.
Комплексные числа, шаг за шагом
Операции выполняются над комплексными числами: деление, умножение и другие упрощения, нахождение комплексно-сопряженного числа, алгебраических, тригонометрических и экспоненциальных форм комплексного числа.
Вы также найдете модуль комплексного числа.
Матрицы
В этом разделе вы можете выполнять как стандартные операции с матрицами, такие как умножение, сложение, определитель, обратное, ранговое, так и экзотические операции с матрицами: комплексное сопряжение, правильные векторы и правильные значения, QR и LU.
Математическая логика
Калькулятор может ставить скобки, упрощать логические выражения, строить таблицу истинности, находить нормальную форму выражения.
Пошаговые ограничения
Калькулятор пределов позволяет находить предел функции в конечной точке или на бесконечности с помощью пошагового решения, а также находить предел с помощью правила Л’Оспиталя.
Калькулятор градусов
Калькулятор градусов помогает выполнять различные преобразования углов.
Кусочно-определенная функция
Введите кусочно и перейдите к нужному калькулятору, например, к одному из: найти интеграл, производную, построение кривой и построение графика и т. Д.
Калькулятор производной на
секунд — онлайн-вычислитель двойной / второй функции
Поиск инструмента
Вторая производная
Инструмент для расчета второй производной f ».Вторая производная — это применение инструмента деривации к (первой) производной функции, двойная деривация той же переменной.
Результаты
Вторая производная — dCode
Тег (и): Функции
Поделиться
dCode и другие
dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день! Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Рекламные объявления
Калькулятор второй производной
Ответы на вопросы (FAQ)
Как рассчитать вторую производную?
Вторая производная (или производная второго порядка) — это применение производной к первой производной функции.2} $. В dCode предпочитайте f », которое является наиболее часто используемым обозначением (и самым быстрым для записи).
Как использовать вторую производную для однообразной таблицы?
Вторая производная используется для определения изменения наклона кривой, представляющей функцию. Для заданного интервала:
— положительная вторая производная означает увеличение наклона (выпуклая функция)
— отрицательная вторая производная означает уменьшение мысли (вогнутая функция)
— нулевая вторая производная означает прямую / прямую кривую
Для данной точки:
— вторая производная , отменяющая с изменением знака, означает точку перегиба, кривизна графического представления изменяется и переворачивается.Это стационарная точка, которая может быть максимумом функции или минимумом функции.
Какие функции не имеют производной второго порядка?
Любая функция, которая не является непрерывной и / или недифференцируемой по крайней мере в одной точке, не имеет второй производной . См. Области определения инструментов функции и производную область функции.
Задайте новый вопрос
Исходный код
dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Вторая производная».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / бесплатно), любой «Второй производный» алгоритм, апплет или фрагмент (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Второй производный» ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести) написана на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.) и без загрузки данных, скрипт , копипаст или доступ к API для «Второй производной» будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.
Нужна помощь?
Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для получения помощи! NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!
Уравнение касательной линии: проблемы и решения — Matheno.com
Эти задачи всегда указывают, что вы найдете касательную или нормальную (= перпендикулярную) линию в определенной точке функции. Назовем эту точку $ (x_0, y_0) $.
Чтобы ответить на эти вопросы, вы почти всегда будете использовать форму линии «точка-уклон». Напомним, что если линия имеет уклон м и содержит точку $ (x_0, y_0) $, то вы можете записать ее уравнение в виде:
Форма линии «точка-уклон»: $$ \ bbox [желтый, 5px] {y — y_0 = m (x — x_0)} $$
В постановке задачи обычно указывается точка $ (x_0, y_0) $, поэтому на самом деле эти проблемы сводятся к определению наклона м линии — о чем мы поговорим ниже.
Вы будете использовать это уравнение снова и снова; запомните это, если вы этого еще не знаете.
(Это просто вариант определения наклона: $ m = \ dfrac {y — y_0} {x — x_0}.) $
I. Касательная линия к кривой
Очень часто в начале Calculus Вам будет предложено найти уравнение для прямой , касательной к кривой в определенной точке. Мы называем эту точку $ (x_0, y_0) $.
Чтобы найти уравнение линии, вам просто нужно помнить, что касательная к кривой имеет наклон, равный производной функции, вычисленной в интересующей точке:
$$ \ bbox [желтый, 5px] {m_ \ text {касательная линия} = f ‘(x_0)} $$
То есть найдите производную функции $ f’ (x) $, а затем оцените ее как $ x = x_0 $.Это значение $ f ‘(x_0), $ равно наклону касательной.
Следовательно, мы можем записать уравнение для касательной в точке $ (x_0, y_0) $ как
\ [\ bbox [10px, border: 2px сплошной синий] { \ begin {align *} y — y_0 & = m_ \ text {касательная} (x — x_0) \\ [8px]
y — y_0 & = f ‘(x_0) (x — x_0) \ end {align *}} \]
Если эти уравнения кажутся вам абстрактными, не волнуйтесь. Мы обещаем, что как только вы решите несколько проблем, процесс обретет смысл.
II.Нормальная линия к кривой
Иногда вместо этого вам будет предложено найти прямую нормальную кривой. Это то же самое, что запросить линию , перпендикулярную кривой.
Вы снова будете использовать форму линии «точка-уклон». Но теперь, чтобы вычислить наклон прямой, вспомним, что наклоны перпендикулярных прямых являются отрицательными величинами, обратными друг другу ($ m_2 = — \ dfrac {1} {m_1} $). Нам нужен наклон линии, которая перпендикулярна кривой в точке и, следовательно, перпендикулярна касательной к кривой в этой точке:
\ [\ bbox [yellow, 5px] { \ begin {align *} m_ \ text {нормальная линия} & = \ frac {-1} {m_ \ text {касательная линия}} \\ [12px]
& = \ frac {-1} {f ‘(x_0)} \ end {align *}} \]
Следовательно, мы можем записать уравнение для нормальной линии в $ (x_0, y_0) $ как
\ [\ bbox [10px, граница: сплошной синий 2px] { \ begin {align *} y — y_0 & = m_ \ text {нормальная линия} (x — x_0) \\ [8px]
y — y_0 & = \ frac {-1} {f ‘(x_0)} (x — x_0) \ end {align *}} \]
Мы рекомендуем , а не , пытаясь запомнить все приведенные выше формулы.Вместо этого запомните форму линии «точка-наклон», а затем используйте то, что вы знаете о производной, сообщающей вам наклон касательной в данной точке. Приведенные ниже проблемы иллюстрируют.
Задача 1 иллюстрирует процесс объединения различных фрагментов информации для нахождения уравнения касательной.
Задача 2 требует, чтобы вы нашли фрагменты информации, прежде чем вы сможете собрать их воедино.
[свернуть]
Производная по первому принципу | Блестящая вики по математике и науке
Рассмотрим функцию f: [a, b] → R, f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}, f: [a, b] → R, где a, b∈R a, b \ in \ mathbb {R} a, b∈R.Как правило, производная определяется только для значений в интервале (a, b) (a, b) (a, b). Пусть c∈ (a, b) c \ in (a, b) c∈ (a, b) — число, при котором должна измеряться скорость изменения.
Сначала рассмотрим интервал (c, c + ϵ), (c, c + \ epsilon), (c, c + ϵ), где ϵ \ epsilon ϵ — число, произвольно близкое к нулю. Пусть 0 <δ <ϵ 0 <\ delta <\ epsilon 0 <δ <ϵ.
Скорость изменения (m) (m) (m) определяется как f (x2) −f (x1) x2 − x1 \ frac {f (x_2) — f (x_1)} {x_2 — x_1} x2 −x1 F (x2) −f (x1).-} \ frac {f (c + h) — f (c)} {h} .m− = h → 0 − lim hf (c + h) −f (c).
Функция fff называется , выводимой из в ccc, если m + = m− m_ + = m_- m + = m−. Равное значение называется производной fff при ccc.
Предел limh → 0f (c + h) −f (c) h \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (c + h) — f (c)} {h} limh → 0 hf (c + h) −f (c), если он существует (в соответствии с приведенными выше условиями), является производной от fff в точке ccc, и метод нахождения производной с помощью такого предела называется производной по первому принципу .
Часто предел также выражается как ddxf (x) = limx → cf (x) −f (c) x − c \ frac {\ text {d}} {\ text {d} x} f (x ) = \ lim_ {x \ to c} \ frac {f (x) — f (c)} {xc} dxd f (x) = limx → c x − cf (x) −f (c).
Производная функции высшего порядка
Калькулятор производных высшего порядка
Калькулятор производных высшего порядка, Онлайн-калькулятор производных высшего порядка с решением и шагами. Подробные пошаговые решения ваших проблем с производными высшего порядка онлайн с помощью нашего калькулятора производных высшего порядка.en. изображение / svg + xml. Связанные сообщения блога Symbolab. Математические решения для старших классов — Калькулятор производных, продукты и коэффициенты.
Калькулятор производных производных высшего порядка и решатель, Калькулятор производных позволяет вычислять производные функций в интерактивном режиме — поскольку при этом Калькулятор производных должен учитывать порядок операций. Калькулятор производных высшего порядка Получите подробные решения своих математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора производных высшего порядка.Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Ознакомьтесь со всеми нашими онлайн-калькуляторами здесь!
Калькулятор производных • With Steps !, бесплатный онлайн-калькулятор производных инструментов позволяет вычислять производные первого и более высокого порядка, предоставляя информацию, необходимую для понимания концепций производных. Когда производная берется n раз, используется обозначение dnf dxn или fn (x). Они называются производными высшего порядка. Обратите внимание, что для производных второго порядка часто используется обозначение f ″ (x).В точке x = a производная определяется как f ′ (a) = limh → 0f (a + h) — f (h) h.
Калькулятор производной
Бесплатный калькулятор производной — дифференцируйте функции со всеми шагами. Введите любую производную функции, чтобы получить решение, шаги и график.
Калькулятор производных позволяет вычислять производные функций онлайн — бесплатно! Наш калькулятор позволяет вам проверить свои решения математических упражнений. Это помогает вам практиковаться, показывая вам полную работу (пошаговая дифференциация).у. Переход к следующей производной более высокого порядка осуществляется по рекуррентной формуле y (n) = (y (n − 1)) ′. В некоторых случаях мы можем вывести общую формулу для производной произвольного n-го порядка без вычисления промежуточных производных. Ниже рассмотрены некоторые примеры.
Производные высшего порядка, Альтернативное обозначение. Существуют также альтернативные обозначения для производных более высокого порядка. Напомним, что для первых производных высшего порядка формулы для производных высшего порядка использовались дробные обозначения. В общем, чтобы найти n-ю производную функции y = f (x), нам нужно найти все производные предыдущих порядков.Но иногда можно получить выражение для n-й производной, которое зависит от n и не содержит предыдущих производных.
Порядок и степень дифференциальных уравнений с примерами, В этом видеоуроке по исчислению дается базовое введение в производные высшего порядка. Продолжительность: 10:51
Опубликовано: 25 февраля 2018 г. В совокупности вторая, третья, четвертая и т. Д. Производные называются производными более высокого порядка. Давайте рассмотрим несколько примеров производных более высокого порядка.Пример 1 Найдите первые четыре производные для каждого из следующих элементов. R (t) = 3t2 + 8t1 2 + et
Что такое производные высшего порядка
Производные высшего порядка, Альтернативная нотация. Существуют также альтернативные обозначения для производных более высокого порядка. Напомним, что для первой использовалась дробная запись. В совокупности вторая, третья, четвертая и т. Д. Производные называются производными более высокого порядка. Давайте рассмотрим несколько примеров производных более высокого порядка.Пример 1 Найдите первые четыре производные для каждого из следующих элементов. R (t) = 3t2 + 8t1 2 + et
Исчисление I — производные высшего порядка, производные высшего порядка явной функции. Пусть функция y = f (x) имеет конечную производную f ′ (x) в определенном интервале (a, b), т. Е. Производная f ′ (x) также является производной высшего порядка Производные высшего порядка явного Функция Пусть функция y = f (x) имеет конечную производную f ′ (x) в определенном интервале (a, b), т.е. производная f ′ (x) также является функцией в этом интервале.
Производные высшего порядка, Производные высшего порядка. Процесс дифференцирования может применяться несколько раз подряд, приводя, в частности, ко второй производной f ″ производных высшего порядка, поскольку производная функции y = f (x) сама по себе является функцией y ′ = f ′ (x) , вы можете взять производную от f ‘(x), которую обычно называют второй производной от f (x) и пишут f «(x) или f 2 (x).
Производные высшего порядка Wikipedia
Производная, В исчислении вторая производная или производная второго порядка функции f является производной. Вторая производная обобщается на более высокие измерения с помощью понятия вторых частных производных.Для функции f: R3 → R они включают. Эти повторяющиеся производные называются производными более высокого порядка. Производная n-го порядка также называется производной n-го порядка. Если x (t) представляет положение объекта в момент времени t, то производные x более высокого порядка имеют особую интерпретацию в физике. Первая производная от x — это скорость объекта.
Вторая производная, Повторное применение дифференцирования приводит к производным более высокого порядка, и тест производной более высокого порядка или общий тест производной может определить, являются ли критические точки функции максимумами, минимумами или точками перегиба для большего разнообразия. функций, чем тест производной второго порядка.
Обобщения производной, Тест производной высшего порядка или общий тест производной может определить, является ли критическая функция В физике четвертая, пятая и шестая производные положения определены как производные вектора положения относительно время — первая, вторая и третья производные — это скорость, ускорение и рывок соответственно.
Высшие производные Khan Academy
Вторые производные (практика), AP.CALC: FUN ‑ 3 (EU), FUN ‑ 3.F (LO), FUN ‑ 3.F.1 (EK), FUN ‑ 3.F.2 (EK). Google Classroom Facebook Twitter. Электронное письмо. Вычисление производных высшего порядка. 2 f} {\ partial y \ partial x} = ∂y∂x∂2f
Обзор вторых производных (статья), Рабочий пример: Вычисление производной с неявным дифференцированием.(Открывает модальное окно) Производные высшего порядка (параметрические и векторнозначные функции). Производные высшего порядка. Учить. Вторые производные (открывает модальное окно) Khan Academy — это некоммерческая организация 501 (c) (3). Сделайте пожертвование или станьте волонтером сегодня! Навигация по сайту.
Определение производной высшего порядка
Определение производных высшего порядка производных высшего порядка Если f (x) является дифференцируемой функцией, то ее производная f ‘(x) также является функцией, поэтому может иметь производную (конечную или нет). ).Эта функция называется второй производной от f (x), потому что она является производной от производной и обозначается f ″.
Производные высшего порядка Поскольку производная функции y = f (x) сама по себе является функцией y ′ = f ′ (x), вы можете взять производную от f ′ (x), которую обычно называют второй производная от f (x) и записывается как f “(x) или f 2 (x).
Теперь, когда мы нашли производные более высокого порядка, нам, вероятно, следует поговорить об интерпретации второй производной.Если положение объекта задается с помощью s (t), мы знаем, что скорость — это первая производная от положения. v (t) = s ′ (t)
Неявное дифференцирование
Неявное дифференцирование (пример пошагового руководства) (видео), Например, x² + y² = 1. Неявная дифференциация помогает нам найти dy / dx даже для таких отношений Продолжительность: 8:02
Размещено: 18 марта 2014 г. Неявная дифференциация помогает нам находить dy / dx даже для таких отношений. Это делается с помощью правила цепочки и просмотра y как неявной функции от x.Например, согласно правилу цепочки, производная y² будет 2y⋅ (dy / dx). Создано Салом Ханом
Неявное дифференцирование, Как сделать неявное дифференцирование · Пример: x2 + y2 = r · Цепное правило с использованием dy dx · По сути, все, что мы делали, — это дифференцировать по y и умножать на dy dx.
Степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.
Свойства степеней:
Произведение степеней с одним и тем же показателем равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований.
Произведение степеней с одним и тем же основанием – это степень с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.
Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней.
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Макарычев Ю. Н. Алгебра: 7 класс. // Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. – М.: Просвещение, 2019. – 256 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
Произведение шести множителей, каждый из которых равен 8, называют шестой степенью числа 8 и обозначают 86, т.е.
8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 = 86.
При этом число 8 называют основанием степени, а число 6 – показателем степени.
А теперь давайте сформулируем общее определение степени числа, опираясь на предыдущий пример:
степенью числа a с натуральным показателем n, бóльшим 1, называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен числу a.
Запись an читается как: а в степени n, или n-ая степень числа a.
А вот следующие записи можно произносить по-разному:
a2– её можно произносить «а в квадрате» или «а во второй степени»;
a3 – её можно произносить «а в кубе» или «а в третьей степени».
Стоит отметить, что особые случаи возникают, если показатель степени равен нулю или единице:
степенью числа а с показателем n = 1 является само это число:
a1 = a;
любое число в нулевой степени равно единице:
a0 = 1;
ноль в любой натуральной степени равен нулю:
0n = 0;
единица в любой степени равна 1:
1n = 1.
Выражение 00 (ноль в нулевой степени) считают неопределенным.
Примеры. Возведём в степени:
(−91)0 = 1
0144 = 0
1236 = 1.
При решении задач, нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.
Рассмотрим несколько примеров.
Возведём в степень
25 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32
2,53 = 2,5 ∙ 2,5 ∙ 2,5 = 15,625
Основание степени может быть любым числом – положительным, отрицательным или нулём. При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа, в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того, чётным или нечётным числом был показатель степени.
Например, (-2)5. Ответ будет отрицательным, так как показатель степени, 5- нечётное число. (-2)5 = (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) ∙ (-2) = -32.
(-5)4. А вот в этом примере ответ будет положительным, так как показатель степени, 4 – чётное число.
Это равенство подтверждает справедливость следующего свойства степеней:
Степень степени числа равна степени того же числа с показателем, равным произведению показателей этих степеней, т.е.
(an)m = an∙m
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Заполните таблицу:
Число
Основание
Показатель степени
1.
255
2.
1113
3.
1356
Для заполнения пропусков вспомним, что такое основание и показатель степени.
Число
Основание
Показатель степени
1.
255
25
5
2.
1113
11
13
3.
1356
135
6
№2. Тип задания: Чему равно произведение 54 ∙ 511 ∙ 42 ∙ 413?
Варианты ответов:
(4 ∙ 5)15
413 ∙ 514
(4 ∙ 5)30
415 ∙ 530
Для решения задания, воспользуемся свойствами степеней: an∙am= an+m и an∙bn= (a ∙ b)n
54 ∙ 511 ∙ 42 ∙ 413 = 515 ∙ 415 = (4 ∙ 5)15.
Верный ответ: (4 ∙ 5)15.
Ожоги. Особенности и степени тяжести. Первая помощь
Уважаемые родители чудесных мальчиков и девочек, а также их бабушки и дедушки! Окружающий мир не только прекрасен и интересен для вашего ребенка, но и таит опасные для него ситуации. Вы всегда рядом и первыми сможете помочь вашему малышу.
Скоро лето – пора отпусков и детских каникул, а это значит, что дети большее время будут проводить дома и на улице, в сельской местности и в походе у костра. Как дерматолог хочу обратить ваше внимание на часто встречающийся вид травмы – ожоги.
Ожоги – один из распространенных видов травм у детей и взрослых.
Разновидности ожогов
Ожоги бывают:
термические,
химические,
электрические,
лучевые.
Термические ожоги составляют более 90% от всех видов – это ожоги пламенем, горячим паром, горячей или горящей жидкостью, кипятком, ожоги от соприкосновения с раскаленными предметами, солнечные ожоги. Особенно опасны ожоги для детей и пожилых людей.
Малыши чаще получают ожоги, опрокидывая на себя кипяток, горячее молоко или суп, прикасаясь к раскаленным предметам (батарея, утюг, электрическая плита, лампочка). Дети постарше, как правило, страдают при неосторожном обращении с огнем дома или на природе.
Cтепени тяжести
В зависимости от глубины поражения кожи различают следующие степени тяжести ожогов.
Ожог 1 степени — это поражением самого поверхностного слоя кожи. Развивается выраженное покраснение кожи, ее отек, в пораженном месте отмечаются боли, чувство жжения. Эти явления стихают в течении 2-х дней, а через неделю наступает полное выздоровление.
При ожоге 2 степени верхний слой кожи полностью погибает и отслаивается, при этом образуются пузыри, заполненные прозрачной жидкостью. Первые пузыри появляются уже через несколько минут после ожога, однако еще в течение 1 суток могут образовываться новые пузыри, а уже существующие — увеличиваться в размерах. Если течение болезни не осложнится инфицированием раны, то заживление наступает через 10-12 дней.
При ожогах 3 степени кожа поражается практически на всю глубину. При этом образуются массивные пузыри с толстой оболочкой, заполненные кровянистым содержимым, напряженные и очень болезненные.
Ожог 4 степени — это полная гибель всех слоев кожи, включая подкожно-жировую клетчатку, а также и нижележащих тканей — мышц, сухожилий, костей.
Каждый повреждающий фактор имеет свои особенности:
Пламя. Площадь ожога относительно большая, по глубине преимущественно 2-я степень. При первичной обработке раны представляет сложность удаление остатков обгоревшей одежды, незамеченные нити ткани могут в последующем служить очагами развития инфекции. Могут поражаться органы зрения, верхние дыхательные пути. Очень опасны ожоги пламенем в закрытых помещениях, так как к повреждению поверхности тела добавляются ожоги дыхательных путей горячим дымом, отравление угарным газом.Горячая жидкость. Площадь ожога небольшая, но относительно глубокая, преимущественно 2—3-й степеней.Пар. Площадь ожога большая, но неглубокая. Очень часто поражаются дыхательные пути.Раскалённые предметы. Площадь ожога всегда ограничена размерами предмета и имеет относительно чёткие границы и значительную глубину.
Как практикующий врач, хочу обратить ваше внимание на то, что, к сожалению, в большинстве случаев ожоги наносят не только физическую травму и косметические дефекты, но и длительную психологическую травму. Поэтому своевременная первая помощь и специализированная врачебная имеют огромное значение.
Что делать при ожоге?
Первое, что надо сделать при оказании помощи пострадавшему — это прекратить воздействие поражающего фактора. Если речь идет про ожог кипятком, то необходимо как можно быстрее снять (срезать) пропитанную горячей жидкостью одежду.
При воздействие пламенем наиболее правильным будет потушить горящую одежду водой, а потом снять. Если достаточного количества воды нет, тушить следует подручными средствами — плотной тканью, песком, землей. При этом не следует закрывать пострадавшего с головой — это может привести к вдыханию продуктов горения с последующим ожогом дыхательных путей и отравлению.
Не следует также сбивать пламя голыми руками, так как при этом спасатель сам может перейти в разряд пострадавших. Если пострадавший находился в закрытом помещении, как можно скорее вынесите его на свежий воздух.
Одежду и обувь с ребенка нужно обязательно снять полностью, так как в большинстве случаев мы не можем достоверно оценить, какие участки тела подверглись воздействию высокой температуры. Нужно помнить, что волосы также могут пострадать и вести себя как тлеющая одежда, концентрируя тепло и обжигать кожу головы, уши и лицо ребенка.
Удалять приставшую к телу одежду не следует, поскольку при этом есть риск дополнительно повредить обожженную поверхность. ОСОБЫЕ ПРЕДОСТОРОЖНОСТИ НАДО СОБЛЮДАТЬ, ЕСЛИ ОДЕЖДА СИНТЕТИЧЕСКАЯ, ТАК КАК ПРИ ГОРЕНИИ ОНА ПЛАВИТСЯ И ПРИЛИПАЕТ К КОЖЕ. Ни в коем случае не пытайтесь счищать прикипевший полимер!
При ожогах следует незамедлительно снять кольца, часы, браслеты, цепочки, бусы, поскольку в дальнейшем будет развиваться отек пораженного участка, и эти предметы могут сдавливать ткани с нарушением кровообращения вплоть до развития омертвления тканей.
Обязательно следует охладить пораженный участок — погружением в холодную воду, снег. Длительность воздействия холода колеблется от 3-5 до 15-20 минут. Слишком долго охлаждать обожженное место не следует, чтобы не вызвать спазм сосудов с последующим нарушением кровообращения в пораженном участке. Эта мера эффективна в течение 2 часов после получения ожога и не только уменьшает боль, но и — глубину поражения. Даже когда действие поражающего фактора прекращено, ожог продолжает развиваться и углубляться за счет того, что поверхностные слои кожи играют роль горячего компресса для нижележащих. Охлаждая поверхность тела, можно прервать этот процесс.
Параллельно охлаждению необходимо адекватное обезболивание. Для этого используют обезболивающие препараты — Парацетамол или Анальгин. На пораженную кожу наложить чистую сухую марлевую повязку и в короткие сроки показать врачу.
В случае глубоких ожогов следует воздерживаться от каких-либо манипуляций. Не надо пытаться самостоятельно очистить рану от приставших обрывков одежды и других загрязнений (данная манипуляция может привести к отслоению больших участков кожи, кровотечению, а впоследствии и к инфицированию ран), не следует самостоятельно вскрывать пузыри. На ожоговую рану следует наложить сухую стерильную повязку (при обширных ожогах завернуть пострадавшего в чистую простыню), после чего обратиться к врачу.
Масляные мази и другие жиросодержащие продукты при ожогах применять категорически нельзя. Такое действие только усугубит тяжесть поражения, а персоналу в больнице придётся удалять масляную плёнку, причиняя дополнительные страдания пострадавшему.
В случае любых ожогов обязательна незамедлительная консультация врача!
Выявление нарушений проводимости при помощи холтеровского мониторирования.
Нарушения проводимости встречаются в практике кардиолога реже, чем нарушения сердечного ритма. Тем не менее, значительная доля синкопальных состояний неясного генеза представлена именно нарушениями проводимости. Если они носят преходящий характер (что бывает довольно часто), выявить их при регистрации стандартной ЭКГ чрезвычайно трудно. В такой ситуации абсолютно показано последовательное использование 24-часового регистратора в течение 3 суток или однократное использование 72-часового регистратора.
Как известно, пациенты с различными нарушениями проводимости могут не предъявлять никаких жалоб в течение длительного времени. В таких ситуациях появление синкопальных состояний зачастую является первым показанием для проведения холтеровского мониторирования ЭКГ.
Во время суточной регистрации ЭКГ можно выявлять те нарушения проводимости, которые возникают только ночью. Разумеется, суточное мониторирование ЭКГ выявляет также связь нарушений проводимости с приемом лекарств, физической нагрузкой и т.д. Преходящие синоатриальные и атриовентрикулярные блокады, преходящие частотозависимые блокады внутрижелудочковой проводимости, изменение степени диагностированной ранее блокады, – вот неполный перечень наиболее частых нарушений проводимости, выявить которые можно лишь при длительном мониторировании ЭКГ.
При покупке программного обеспечения стоит обратить внимание на обязательное наличие в нем трех возможностей:
1. изменение скорости лентопротяжки: такая возможность позволяет более четко выставить границы интервала PQ и расстояния РР;
2. изменение общего вольтажа: эта возможность позволяет увеличить амплитуду зубца Р и, таким образом, более четко его визуализировать в сомнительных случаях;
3. наличие линейки с цветными растягивающимися браншами: при выставлении этих браншей на нужный Вам интервал, на фрагменте автоматически появляется его продолжительность в мсек.
Синоатриальные блокады связаны с замедлением (1 степень) или нарушением (2 и 3 степени) генерации или проведения импульсов синусового узла к миокарду предсердий и, соответственно, атриовентрикулярному узлу. Синоатриальная блокада может быть преходящей или постоянной, возникать при любой частоте сердечных сокращений и сочетаться с другими нарушениями проводимости и сердечного ритма.
Синоатриальную блокаду 1 степени можно заподозрить по фрагментам внезапного замедления ритма с последующим его учащением (трудно дифференцировать с синусовой аритмией) во время холтеровского мониторирования.
При 2 степени СА блокады часть импульсов, возникающих в синусовом узле, не доходит до предсердий. При этом на ЭКГ регистрируется пауза (более 2 секунд) без предсердной активности: в отличие от АВ блокады, во время паузы при СА блокаде отсутствуют зубцы Р.
При блокаде 2 степени I типа (частичная синоаурикулярная блокада с периодами Самойлова-Венкебаха) возникает прогрессирующее укорочение интервалов РР перед длительной паузой – периодика Самойлова-Венкебаха. При этом степень нарушения проведения может характеризоваться отношением числа синусовых импульсов, например, 3:2 и т.д. (в числителе выставляется число синусовых
импульсов, включая ожидаемый и не состоявшийся импульс, в знаменателе — число реально проведенных импульсов). Выявленная пауза при этом не кратна расстоянию РР основного ритма.
При синоатриальной блокаде 2 степени II типа (типа Мобитца) такой периодики не выявляется. Этот вариант блокады диагностируется чаще. Выявленная пауза кратна или равна одному расстоянию РР основного ритма. Часто при таком варианте блокады с проведением 2:1 или при большей степени блокады возникает необходимость дифференцировать фрагменты мониторирования с синусовой брадикардией. Нередко во время одной и той же холтеровской регистрации удается зарегистрировать оба типа СА блокады.
Обратите внимание на возможность Вашего программного обеспечения выводить в каждом из распечатанных фрагментов и продолжительность паузы, и значение ЧСС на фоне этой паузы. Такая разметка делает фрагмент очень наглядным и лишний раз подчеркивает его диагностическую значимость (рис.1).
Рис. 1. Пациентка С., 64 лет, варианты синоатриальной блокады II степени: А — СА блокада 2 степени I типа с периодикой Самойлова-Венкебаха; Б – СА блокада 2 степени II типа с проведением 3:2.
А
Б
О III степени синоатриальной блокады (полная синоатриальная блокада или отказ синусового узла, «sinus arrest») говорят при отсутствии предсердных зубцов и наличии замещающих сокращений из дистальных центров автоматизма – АВ соединения или проводящей системы желудочков (рис. 2).
Нередко во время холтеровского мониторирования можно увидеть фрагменты нарушений проводимости, которые возникают на фоне дыхательной аритмии. В такой ситуации квалифицировать выявленные паузы бывает достаточно сложно. Так, например, у пациента Ж., 45 лет, в ночное время (с 2:00 до 5:00) были зарегистрировали эпизоды нарушения СА проводимости без кратности и четкой периодики Самойлова-Венкебаха, 9 пауз более 4 сек, в том числе 2 эпизода остановки синусового узла.
Рис.2. Пациент Ж., 45 лет: А — эпизоды замедления СА проводимости без четкой кратности и периодики Самойлова-Венкебаха, Б – остановка синусового узла с образованием паузы 4.048 сек.
А
Б
Для начинающих докторов хочется отметить три важных момента:
1. нередко степень и тип блокады могут изменяться в зависимости от времени суток;
2. отсутствие кратности интервала РР и продолжительности пауз может быть обусловлено сопутствующей синусовой аритмией, часто – дыхательной;
3. при квалификации паузы как СА блокады Вы должны быть абсолютно уверены, что данный фрагмент не является артефициальным: пауза дублируется в обоих отведениях. В сомнительных случаях мониторирование придется повторить.
Атриовентрикулярные блокады.
К атриовентрикулярным (АВ) блокадам приводит поражение проводящей системы на 2-м и 3-м уровне – проведение синусового импульса к атриовентрикулярному узлу, а также патология самого атриовентрикулярного узла. При этом возможна как задержка проведения импульса из предсердий через АВ узел, так и полное прекращение его проведения.
Удлинение интервала PQ более 200 мсек у взрослых и более 170 мсек у детей свидетельствует о 1 степени АВ блокады (замедлении АВ проводимости). Случайное выявление этого варианта блокады в ночное время у пациентов, принимающих бета-адреноблокаторы и не предъявляющих никаких жалоб, является одним из наиболее частых благоприятных нарушений проводимости в практической кардиологии и может быть квалифицировано в заключении как «замедление АВ проводимости», если PQ не превышает 300 мсек (рис.3).
Рис. 3. Пациент Р., 57 лет: замедление AВ проводимости выявлялось во время ночного сна (интервал PQ достигал 240 мсек). А – PQ 146 мсек (15:10), Б – PQ 240 мсек (4:33).
А
Б
Гораздо большую опасность несет в себе значимое (более 300 мсек) замедление АВ проводимости, которое уже в обязательном порядке должно быть квалифицировано в заключении как «АВ блокада 1 степени» (рис.4). При регистрации на ЭКГ покоя интервала PQ более 300 мсек пациенту показано суточное мониторирование ЭКГ для решения вопроса о необходимости коррекции терапии. Такое выраженное нарушение проводимости нередко прогрессирует в течение суток.
Рис.4. Пациент Г, 64 лет: АВ блокада 1 степени
«Выпадение» желудочкового комплекса (пауза, кратная длительности интервала RR) с регистрацией неизмененного зубца P (в отличие от синоатриальной блокады) является признаком AВ блокады 2 степени. При нарастающем удлинении интервала PQ перед паузой говорят о I типе частичной AВ блокады 2 степени с периодами Самойлова Венкебаха (I тип Мобитца). При отсутствии подобной периодики – диагностируется II тип AВ блокады 2 степени (II тип Мобитца). Степень проведения удобно указывать при помощи соотношения 5:2, 3:2 и т.д. (первая цифра указывает количество зубцов Р, вторая — количество желудочковых комплексов QRS). Крайне полезным может оказаться использование графиков (или таблиц) распределения пауз по часам. При этом наличие в Вашей программе графиков распределения гораздо удобнее: они нагляднее и позволяют быстро и правильно оценить преобладание пауз по часам (рис. 5).
Рис.5. Пациент Б, 76 лет: АВ блокада 2 степени II типа. А – стереотипный фрагмент блокады с образованием паузы 2.288 сек; Б – график распределения пауз по часам (выражено преобладание в ночное время)
А
Б
Полная атриовентрикулярная блокада (АВ блокада 3 степени, полная поперечная блокада) выявляется как потеря связи между предсердными (зубец Р) и желудочковыми сокращениями (комплекс QRS), при этом предсердный ритм оказывается чаще желудочкового (рис.6). На таких фрагментах можно увидеть наслоение зубцов Р на желудочковые комплексы QRS, поэтому возможность увеличения общего вольтажа (соответственно, и амплитуды зубца Р) оказывается просто необходимой.
Рис.6. АВ блокада 3 степени у пациентки Ж., 69 лет.
Нередко на фоне АВ блокады 3 степени регистрируются замещающие сокращения или ритмы (рис. 7).
Рис.7. Пациент Г, 64 лет: замещающий идиовентрикулярный ритм на фоне АВблокады 3 степени.
Весьма часто у пациентов AВ блокада возникает эпизодически или ее степень изменяется в зависимости от времени суток. Возможно также появление редких эпизодов АВ блокады 2 степени в ночное время (как правило, в ранние утренние часы) при нормальном интервале PQ в течение остального времени мониторирования. Кроме того, при динамическом наблюдении пациента с АВ блокадой нередко можно увидеть прогрессирующее ухудшение АВ проводимости в течение нескольких лет (рис. 8).
Рис.8. Прогрессирующее ухудшение АВ проводимости у пациента Л., 45 лет: А –замедление АВ проводимости впервые выявлено в возрасте 45 лет; Б – АВ блокада2 степени II типа в 46 лет; В и Г – 2 последовательных эпизода АВ блокады 3степени 3:2 и 5:2 с образованием пауз 2.31 и 5.34 сек соответственно.
А
Б
В
Г
Каждый начинающий врач сталкивается с трудностями дифференциального диагноза между AВ блокадой 2 степени II типа и АВ блокадой 3 степени. Только при детальном сопоставлении фрагментов и использования возможности «обзор ЭКГ» можно сделать вывод о наличии полной поперечной блокады на спорном фрагменте.
Блокады ветвей пучка Гиса
Стандартная 12-канальная ЭКГ покоя позволяет четко диагностировать варианты нарушения проведения по системе Гиса. Во время суточного мониторирования ЭКГ имеется возможность выявить преходящие блокады ветвей пучка Гиса, которые регистрируются в ночное время или, наоборот, во время интенсивной физической активности. Зачастую они являются случайной диагностической находкой. Тем не менее, такие нарушения внутрижелудочковой проводимости (например, преходящая полная блокада левой ножки пучка Гиса) могут имитировать пароксизмальные желудочковые нарушения ритма и приводить к гипердиагностике жизненно опасных аритмий (рис.9).
Рис.9. Пациентка К., 72 лет: преходящая полная блокада левой ножки пучка Гиса. А – начало блокады, Б – конец блокады.
А
Б
Как правило, дифференцировать аберрацию проведения по системе Гиса от пароксизмальных желудочковых нарушений ритма несложно: для блокады характерен регулярный правильный ритм, ровные правильные циклы, отсутствие компенсаторной паузы (или удлинения RR-интервала) в конце фрагмента ритма из расширенных комплексов и плавное восстановление нормального синусового ритма. Ни одного из перечисленных признаков нельзя увидеть на рис.10, что позволяет квалифицировать этот фрагмент как желудочковую тахикардию.
В заключении хочется отметить: для четкой диагностики нарушений проводимости нередко однократной холтеровской регистрации бывает недостаточно. При наличии сомнительных изменений, подозрительных на нарушения проводимости (особенно в ночные часы), исследование необходимо повторить с общей продолжительностью мониторирования до 72 часов.
В коленном суставе между бедренной и большеберцовой костью есть мениски – хрящевые прослойки полулунной формы, которые увеличивают стабильность сустава, повышая площадь контакта.
И наружный (латеральный), и внутренний (медиальный) мениск условно делятся на три части: заднюю (задний рог), среднюю (тело) и переднюю (передний рог).
По форме внутренний (медиальный) мениск коленного сустава обычно напоминает букву «С», а наружный (латеральный) — правильную полуокружность. Оба мениска образованы волокнистым хрящом и прикрепляются спереди и сзади к большеберцовой кости. Медиальный мениск, кроме того, прикреплен по наружному краю к капсуле коленного сустава так называемой венечной связкой. Утолщение капсулы в области средней части тела мениска образовано большеберцовой коллатеральной связкой. Прикрепление медиального мениска и к капсуле, и к большеберцовой кости делает его менее подвижным по сравнению с латеральным мениском. Эта меньшая подвижность внутреннего мениска приводит к тому, что его разрывы бывают чаще, чем разрывы наружного мениска.
Латеральный мениск покрывает большую часть верхней латеральной суставной поверхности большеберцовой кости и в отличие от медиального мениска имеет форму почти правильной полуокружности. Вследствие более округлой формы латерального мениска передняя и задняя точки прикрепления его к большеберцовой кости лежат ближе одна к другой. Чуть кнутри от переднего рога латерального мениска находится место прикрепления передней крестообразной связки. Передняя и задняя мениско-бедренные связки, прикрепляющие задний рог латерального мениска к медиальному мыщелку бедренной кости, проходят спереди и сзади от задней крестообразной связки и называются также связкой Хамфри и связкой Врисберга соответственно.
Латеральные мениски, распространяющиеся на суставную поверхность больше, чем в норме, получили название дисковидных; они встречаются, согласно сообщениям, у 3,5—5% людей. Говоря простыми словами дисковидный латеральный мениск означает, что он шире, чем обычный наружный мениск коленного сустава. Среди дисковидных менисков можно выделить так называемые сплошные дисковидные (целиком покрывающие наружный мыщелок большеберцовой кости), полудисковидные и варианты Врисберга. У последних задний рог фиксирован к кости только связкой Врисберга.
По задненаружной поверхности сустава, через щель между капсулой и латеральным мениском, в полость сустава проникает сухожилие подколенной мышцы. Оно прикреплено к мениску тонкими пучками, выполняющими, по-видимому, стабилизирующую функцию. К капсуле сустава латеральный мениск фиксирован гораздо слабее медиального и поэтому легче смещается.
Микроструктура мениска в норме представлена волокнами особого белка – коллагена. Эти волокна ориентированы преимущественно циркулярно, т.е. вдоль мениска. Меньшая часть коллагеновых волокон мениска ориентирована радиально, т.е. от края к центру. Есть еще один вариант волокон – перфорантные. Их меньше всего, они идут «беспорядочно», связывая между собой циркулярные и радиальные волокна.
а – радиальные волокна, б – циркулярные волокна (их больше всего), в – перфорантные, или «беспорядочные» волокна
Радиально волокна ориентированы главным образом у поверхности мениска; перекрещиваясь, они образуют сеть, обеспечивающую, как полагают, устойчивость поверхности мениска к силе сдвига. Циркулярные волокна составляют основную часть сердцевины менисков; такое расположение волокон обеспечивает распределение продольной нагрузки на коленный сустав. В пересчете на сухое вещество мениск состоит примерно на 60—70% из коллагена, на 8—13% — из белков внеклеточного матрикса и на 0,6% — из эластина. Коллаген в основном представлен I типом и в небольшом количестве II, III, V и VI типами.
У новорожденных вся ткань менисков пронизана кровеносными сосудами, но уже к 9-месячному возрасту из внутренней трети менисков сосуды полностью исчезают. У взрослых сосудистая сеть имеется только в самой наружной части мениска (10—30% наружного края) и с взрослением кровоснабжение мениска только ухудшается. Стоит отметить, что с возрастом кровоснабжение мениска ухудшается. С точки зрения кровоснабжения мениск делится на две зоны: красную и белую.
Поперечный срез мениска коленного сустава (на разрезе он имеет треугольную форму). Кровеносные сосуды заходят в толщу мениска снаружи. У детей они пронизывают весь мениск, но с возрастом кровеносных сосудов становится все меньше и у взрослых кровеносные сосуды есть только в 10-30% наружной части мениска, прилегающей к капсуле сустава. Первая зона – граница между капсулой сустава и мениском (красная-красная зона, или R-R). Вторая зона – граница между красной и белой зонами мениска (красная-белая зона или R-W зона). Третья зона – белая-белая (W-W), т.е. там, где нет кровеносных сосудов.
Сравнительно бедна сосудами и та часть латерального мениска, около которой в коленный сустав проникает сухожилие подколенной мышцы. К клеткам внутренних двух третей мениска питательные вещества поступают за счет диффузии и активного транспорта из синовиальной жидкости.
Фотография кровеносных сосудов латерального мениска (в кровоток был введен контрастный препарат). Обратите внимание на отсутствие сосудов в том месте, где проходит сухожилие подколенной мышцы (рыжая стрелка).
Передний и задний рога мениска, как и его периферическая часть, содержат нервные волокна и рецепторы, которые, предположительно, участвуют в проприоцептивной афферентации при движениях в коленном суставе, т.е. сигнализируют нашему мозгу о том, в каком положении находится коленный сустав.
Зачем нужны мениски?
В конце XIX века мениски считались «нефункционирующими остатками» мышц. Однако как только открылась важность функции, выполняемой менисками, их стали активно изучать.
Мениски выполняют разные функции: распределяют нагрузку, амортизируют толчки, уменьшают контактное напряжение, выполняют роль стабилизаторов, ограничивают амплитуду движений, участвуют в проприоцептивной афферентации при движениях в коленном суставе, т.е. сигнализируют нашему мозгу о том, в каком положении находится коленный сустав. Главными среди этих функций считаются первые четыре — распределение нагрузки, амортизация толчков, распределение контактного напряжения и стабилизация.
При сгибании и разгибании ноги в колене на 90 градусов на мениски приходится примерно 85% и 50—70% нагрузки соответственно. После удаления всего медиального мениска площадь соприкосновения суставных поверхностей уменьшается на 50—70%, а напряжение на их стыке возрастает на 100%. Полное удаление латерального мениска уменьшает площадь соприкосновения суставных поверхностей на 40—50% и увеличивает контактное напряжение на 200— 300%. Эти изменения, вызванные менискэктомией (т.е. операцией, при которой мениск удаляется полностью), часто ведут к сужению суставной щели, образованию остеофитов (костных шипов, наростов) и превращению мыщелков бедренной кости из округлых в угловатые, что хорошо видно на рентгенограммах. Менискэктомия отражается и на функции суставных хрящей. Мениски на 50% эластичнее хряща и потому играют роль надежных амортизаторов при толчках. В отсутствие мениска вся нагрузка при ударах без амортизации, падает на хрящ. Наконец, медиальный мениск препятствует смещению большеберцовой кости вперед относительно бедренной кости при повреждении передней крестообразной связки. При сохранной передней крестообразной связке утрата медиального мениска мало сказывается на переднезаднем смещении большеберцовой кости при сгибании и разгибании ноги в колене. Но при повреждении передней крестообразной связки утрата медиального мениска более чем на 50% увеличивает смещение большеберцовой кости вперед при сгибании ноги в колене на 90°. Вообще, внутренние две трети менисков важны для увеличения площади соприкосновения суставных поверхностей и амортизации ударов, а наружная треть — для распределения нагрузки и стабилизации сустава.
Как часто бывают разрыв мениска коленного сустава?
Разрывы менисков встречаются с частотой 60—70 случаев на 100 000 населения в год. У мужчин разрывы менисков возникают в 2,5—4 раза чаще, причем в возрасте от 20 до 30 лет преобладают травматические разрывы, а в возрасте от 40 лет — разрывы вследствие хронических дегенеративных изменений в мениске. Бывает, что разрыв мениска происходит и в 80-90 летнем возрасте. В целом чаще повреждается внутренний (медиальный) мениск коленного сустава.
Фотографии, сделанные при артроскопии коленного сустава: в полость сустава через разрез длиной 1 сантиметр введена видеокамера (артроскоп), которая позволяет осмотреть сустав изнутри и увидеть все повреждения. Слева – нормальный мениск (нет разволокнения, упругий, ровный край, белый цвет), в центре – травматический разрыв мениска (края мениска ровные, мениск не разволокнен). Справа – дегенеративный разрыв мениска (края мениска разволокнены)
В молодом возрасте чаще возникают острые, травматические разрывы менисков. Может произойти изолированный разрыв мениска, однако возможны и сочетанные повреждения внутрисуставных структур, когда повреждается, например, связка и мениск одновременно. Одной из таких сочетанных травм является разрыв передней крестообразной связки, который примерно в каждом третьем случае сопровождается разрывом мениска. При этом приблизительно в четыре раза чаще рвется латеральный мениск, более подвижный, как и вся наружная половина коленного сустава. Медиальный мениск, становящийся ограничителем переднего смещения большеберцовой кости при повреждении передней крестообразной связки, чаще рвется при уже поврежденной ранее передней крестообразной связке. Разрывы менисков сопровождают до 47% переломов мыщелков большеберцовой кости и нередко наблюдаются при переломах диафиза бедренной кости с сопутствующим выпотом в полость сустава.
Симптомы
Травматические разрывы. В молодом возрасте разрывы менисков происходят чаще в результате травмы. Как правило, разрыв происходит при кручении на одной ноге, т.е. при осевой нагрузке в сочетании с ротацией голени. Например, такая травма может произойти при беге, когда одна нога неожиданно встает на неровную поверхность, при приземлении на одну ногу с кручением корпуса, однако разрыв мениска может произойти и при другом механизме травмы.
Обычно сразу после разрыва появляется боль в суставе, колено отекает. Если разрыв мениска затрагивает красную зону, т.е. то место, где в мениске есть кровеносные сосуды, то возникнет гемартроз – скопление крови в суставе. Он проявляется выбуханием, отеком выше надколенника (коленной чашечки).
При разрыве мениска оторвавшаяся и болтающаяся часть мениска начинает мешать движениям в коленном суставе. Небольшие разрывы могут вызвать болезненные щелчки или ощущение затрудненного движения. При больших разрывах возможна блокада сустава вследствие того, что относительно большой размер разорванного и болтающегося фрагмента мениска перемещается к центру сустава и делает некоторые движения невозможными, т.е. сустав «заклинивает». При разрывах заднего рога мениска чаще ограничивается сгибание, при разрывах тела мениска и его переднего рога страдает разгибание в коленном суставе.
Боль при разрыве мениска может быть настолько сильной, что невозможно наступить на ногу, а иногда разрыв мениска проявляет себя только лишь болью при определенных движениях, например, при спуске с лестницы. При этом подъем по лестнице может быть совершенно безболезненным.
Стоит отметить, что блокада коленного сустава может быть вызвана не только разрывом мениска, но и другими причинами, например, разрывом передней крестообразной связк, свободным внутрисуставным телом, в том числе отшнуровавшимся фрагментом хряща при болезни Кёнига, синдромом «плики» коленного сустава, остеохондральными переломами, переломами мыщелков большеберцовой кости и многими другими причинами.
При остром разрыве в сочетании с повреждением передней крестообразной связки припухлость может развиться быстрее и быть более выраженной. Повреждения передней крестообразной связки часто сопровождаются разрывом латерального мениска. Это связано с тем, что при разрыве связки наружная часть большеберцовой кости вывихивается вперед и латеральный мениск ущемляется между бедренной и большеберцовой костями.
Хронические, или дегенеративные, разрывы чаще возникают у людей старше 40 лет; боль и припухлость при этом развиваются исподволь, и не всегда можно обнаружить их резкое усиление. Часто в анамнезе не удается обнаружить указаний на травму либо обнаруживается лишь очень незначительное воздействие, например сгибание ноги, приседание или даже разрыв может появиться просто при вставании с кресла. При этом тоже может возникнуть блокада сустава, однако дегенеративные разрывы чаще дают только боль. Стоит отметить, что при дегенеративном разрыве мениска часто поврежден и соседний хрящ, покрывающий бедренную или чаще большеберцовую кость.
Как и острые разрывы мениска, дегенеративные разрывы могут давать разнообразную выраженность симптомов: иногда от боли совершенно невозможно наступить на ногу или даже чуть-чуть подвигать ею, а иногда боль появляется только при спуске с лестницы, приседании.
Диагноз
Основной признак разрыва мениска – боль в коленном суставе, возникающая или усиливающаяся при определенном движении. Выраженность боли зависит от места, в котором произошел разрыв мениска (тело, задний рог, передний рог мениска), размера разрыва, времени, прошедшего с момента травмы.
Еще раз отметим, что разрыв мениска может произойти и внезапно, без какой-либо травмы. Например, дегенеративный разрыв может произойти ночью, кода человек спит, и проявиться болью утром, при вставании с постели. Часто дегенеративные разрывы происходят и при вставании с низкого кресла.
На интенсивность боли влияет и индивидуальная чувствительность, и наличие сопутствующих заболеваний и травм коленного сустава (артроз коленного сустава, разрывы передней крестообразной связки, разрывы боковых связок коленного сустава, переломы мыщелков и другие состояния, которые сами по себе могут служить причиной болей в коленном суставе).
Итак, боль при разрыве мениска может быть разной: от слабой, появляющейся только изредка, до сильной, делающей движения в коленном суставе невозможными. Иногда от боли даже невозможно наступить на ногу.
Если боль появляется при спуске с лестницы, то скорее всего имеется разрыв заднего рога мениска. Если есть разрыв тела мениска, то боль усиливается при разгибании в коленном суставе.
Если коленный сустав «заклинило», т.е. возникла так называемая блокада сустава, то скорее всего есть разрыв мениска, а блокада обусловлена тем, что оторванная часть мениска как раз и заблокировала движения в суставе. Впрочем, блокада бывает не только при разрыве мениска. Например, сустав может «заклинить» и при разрывах передней крестообразной связки, ущемлении синовиальных складок (синдром «плики»), обострении артроза коленного сустава.
Диагноз разрыва мениска невозможно поставить самостоятельно – нужно обратиться к травматологу-ортопеду. Желательно, чтобы вы обратились к специалисту, непосредственно занимающемуся лечением пациентов с травмами и заболеваниями коленного сустава.
Сначала врач расспросит вас о том, как появилась боль, о возможных причинах ее появления. Затем приступает к осмотру. Врач тщательно осматривает не только коленный сустав, но и всю ногу. Сначала оцениваются амплитуда и болезненность движений в тазобедренном и коленном суставах, так как часть боль в тазобедренном суставе отдает в коленный сустав. Затем врач осматривает бедро на предмет атрофии мышц. Затем осматривают сам коленный сустав: в первую очередь оценивают есть ли выпот в коленном суставе, который может быть синовитом или гемартрозом.
Как правило, выпот, т.е. скопление жидкости в коленном суставе, проявляется видимым отеком над коленной чашечкой (надколенником). Жидкость в коленном суставе может быть кровью, в таком случае говорят о гемартрозе коленного сустава, что в дословном переводе с латыни означает «кровь в суставе». Гемартроз бывает при свежих разрывах менисков.
Если разрыв произошел давно, то в суставе тоже возможен выпот, но это уже не гемартроз, а синовит,т. е. избыточное скопление синовиальной жидкости, которая смазывает сустав и питает хрящ.
Отек правого коленного сустава. Обратите внимание на то, что отек расположен выше надколенника (коленной чашечки), т.е. жидкость скапливается в наднадколенниковой сумке (верхнем завороте коленного сустава). Для сравнения показано левое, нормальное колено
Разрыв мениска часто проявляется невозможностью полностью разогнуть или согнуть ногу в коленном суставе.
Как мы уже отмечали, основной признак разрыва мениска – боль в коленном суставе, возникающая или усиливающаяся при определенном движении. Если врач подозревает разрыв мениска, то он старается как раз спровоцировать эту боль в определенном положении и при определенном движении. Как правило, врач нажимает пальцем в проекции суставной щели коленного сустава, т.е. чуть ниже и сбоку (снаружи и кнутри) от надколенника и сгибает и разгибает ногу в колене. Если при этом возникает боль, то скорее всего есть разрыв мениска. Существуют и другие специальные тесты, позволяющие диагностировать разрыв мениска.
Основные тесты, которые выполняет врач для диагностики разрыва менисков коленного сустава.
Врач должен выполнить не только эти тесты, но и другие, позволяющие заподозрить и диагностировать проблемы с крестообразными связками, надколенником и ряд других ситуаций.
В целом, если врач оценивает коленный сустав по совокупности тестов, а не по какому-либо одному из признаков, то разрыв внутреннего мениска можно диагностировать в 95% случаев, а наружного – в 88% случаев. Эти показатели очень высоки, и на самом деле часто грамотный травматолог может достаточно точно поставить диагноз разрыва мениска без каких-либо дополнительных методов обследования (рентгенография, магнитно-резонансная томография, УЗИ). Однако будет очень неприятно, если пациент попадет в те 5-12% случаев, когда разрыв мениска не диагностируется при том, что он есть, или диагностируется ошибочно, поэтому в нашей практике мы достаточно часто стараемся прибегать к дополнительным методам исследования, которые подтверждают или опровергают предположение врача.
Рентгенография. Рентгенографию коленного сустава можно считать обязательной при любой боли в коленном суставе. Иногда возникает желание выполнить сразу магнитно-резонансную томографию (МРТ), которая «больше покажет, чем рентген». Но это неправильно: в некоторых случаях рентген позволяет проще, быстрее и дешевле установить правильный диагноз. Поэтому не стоит самостоятельно назначать себе исследования, которые могут оказаться пустой тратой времени и денег.
Рентгенографию выполняют в следующих проекциях: 1) в прямой проекции в положении стоя, в том числе при сгибании ног в коленях на 45°(по Розенбергу), 2) в боковой проекции и 3) в осевой проекции. Задние поверхности мыщелков бедренных костей при артрозе коленного сустава обычно изнашиваются раньше, и при сгибании ног на 45° в положении стоя можно увидеть соответствующее сужение суставной щели. В любых других положениях эти изменения будут, скорее всего, незаметны, поэтому другие рентгенографические положения не имеют значения для обследования по поводу боли в коленном суставе. Если у больного с жалобами на боль в коленном суставе рентгенологически выявлено значительное сужение суставной щели, весьма вероятно обширное повреждение мениска и хряща, при котором бесполезна артроскопическая резекция мениска (неполная или парциальная менискэктомия), о которой мы поговорим ниже. Чтобы исключить такую причину боли, как хондромаляция надколенника, необходима рентгенография в специальной осевой проекции (для надколенника). Обзорная рентгенография, никак не облегчающая диагностику разрыва мениска, позволяет тем не менее исключить такие сопутствующие нарушения, как рассекающий остеохондрит (болезнь Кёнига), перелом, наклон или подвывих надколенника и суставные мыши (свободные внутрисуставные тела).
МРТ(магнитно-резонансная томография) существенно повысила точность диагностики разрывов менисков. Ее преимущества — возможность получить изображение мениска в нескольких плоскостях и отсутствие ионизирующего излучения. Кроме того, МРТ позволяет оценить состояние других суставных и околосуставных образований, что особенно важно, когда у врача есть серьезные сомнения в диагнозе, а также если имеются сопутствующие повреждения, затрудняющие выполнение диагностических тестов. К недостаткам МРТ относятся дороговизна и возможность неверной трактовки изменений с вытекающими дополнительными исследованиями. Нормальный мениск при всех импульсных последовательностях дает слабый однородный сигнал. У детей сигнал может быть усилен вследствие более обильного кровоснабжения мениска. Усиление сигнала у пожилых людей может быть признаком дегенерации.
По МРТ выделяют четыре степени изменений мениска (классификация по Stoller). Степень 0 — это нормальный мениск. Степень I — это появление в толще мениска очагового сигнала повышенной интенсивности (не достигающего поверхности мениска). Степень II — появление в толще мениска линейного сигнала повышенной интенсивности (не достигающего поверхности мениска). Степень III — сигнал повышенной интенсивности, достигающий поверхности мениска. Истинным разрывом мениска считаются только изменения III степени.
0 степень (норма), мениск без изменений.
I степень — шаровидное повышение интенсивности сигнала, не связанное с поверхностью мениска.
II степень – линейное повышение интенсивности сигнала, не связанное с поверхностью мениска.
III степень (разрыв) – повышение интенсивности сигнала, соприкасающееся с поверхностью мениска.
Магнитно-резонансная томография. Слева – нормальный неповрежденный мениск (синяя стрелка). Справа – разрыв заднего рога мениска (две синие стрелки)
Точность МРТ в диагностике разрыва мениска составляет примерно 90—95%, особенно если дважды подряд (т.е. на двух соседних срезах) фиксируется сигнал повышенной интенсивности, захватывающий поверхность мениска. Для диагностики разрыва можно ориентироваться и на форму мениска. Обычно на снимках в сагиттальной плоскости мениск имеет форму бабочки. Любая другая форма может быть признаком разрыва. Признаком разрыва служит и симптом «двойная задняя крестообразная связка» (или «третья крестообразная связка»), когда в результате смещения мениск оказывается в межмыщелковой ямке бедренной кости и прилежит к задней крестообразной связке.
Разрыв мениска может обнаружиться при МРТ и в отсутствие у больного жалоб, причем частота таких случаев увеличивается с возрастом. Это говорит о том, как важно при обследовании учитывать все клинические и рентгенологические данные. В ходе недавно проведенного исследования разрывы менисков, не дававшие ни жалоб, ни физикальных признаков (т.е. положительных результатов тестов при обследовании руками врача), были обнаружены при МРТ у 5,6% больных в возрасте от 18 до 39 лет. По данным другого исследования, 13% больных моложе 45 лет и 36% больных старше 45 лет имели признаки разрывов менисков при МРТ в отсутствие жалоб и физикальных признаков.
Какие бывают разрывы менисков коленного сустава?
Разрывы менисков можно классифицировать в зависимости от причины и от характера изменений, обнаруженных при обследовании (МРТ) или в ходе операции (артроскопии коленного сустава).
Как мы уже отмечали, разрывы могут быть травматическими (чрезмерная нагрузка на неизмененный мениск) и дегенеративными (нормальная нагрузка на измененный дегенеративными процессами мениск).
По месту, в котором произошел разрыв, выделяют разрывы заднего рога, тела и переднего рога мениска.
Так как мениск кровоснабжается неравномерно, в нем выделяют три зоны: периферическую (красную) — в области соединения мениска с капсулой, промежуточную (красно-белую) и центральную — белую, или бессосудистую, зону. Чем ближе к внутреннему краю мениска располагается разрыв, тем меньше сосудов проходит вблизи него и тем ниже вероятность его заживления.
По форме разрывы делят на продольные, горизонтальные, косые и радиальные (поперечные). Могут быть и комбинированные по форме разрывы. Кроме того, выделяют и особый вариант формы разрыва мениска: «ручка лейки» («ручка корзины»).
Классификация разрывов менисков по H. Shahriaree: I – продольный разрыв, II – горизонтальный разрыв, III – косой разрыв, IV – радиальный разрыв
Особый вариант формы разрыва мениска: «ручка лейки» («ручка корзины»)
Острые травматические разрывы, возникающие в молодом возрасте, идут вертикально в продольном или косом направлении; комбинированные и дегенеративные разрывы чаще возникают у пожилых людей. Вертикальные продольные разрывы, или разрывы в виде ручки лейки, бывают полные и неполные и обычно начинаются с заднего рога мениска. При длинных разрывах возможна значительная подвижность оторванной части, позволяющая ей смещаться в межмыщелковую ямку бедренной кости и блокировать коленный сустав. Это особенно характерно для разрывов медиального мениска, возможно, вследствие его меньшей подвижности, что увеличивает действующую на мениск силу сдвига. Косые разрывы обычно возникают на границе между средней и задней третью мениска. Чаще это небольшие разрывы, но их свободный край может попадать между суставными поверхностями и вызывать ощущение переката или щелчки. Комбинированные разрывы идут сразу в нескольких плоскостях, часто локализуются в заднем роге или около него и обычно возникают у пожилых людей с дегенеративными изменениями в менисках. Горизонтальные продольные разрывы нередко связаны с кистозным перерождением менисков. Эти разрывы обычно начинаются у внутреннего края мениска и направляются к месту соединения мениска с капсулой. Считается, что они возникают под действием силы сдвига и, когда связаны с кистозным перерождением мениска, образуются во внутреннем медиальном мениске и вызывают локальную припухлость (выбухание) по линии суставной щели.
Как лечить разрыв мениска коленного сустава?
Лечение разрывов менисков бывает консервативное (то есть безоперационное) и хирургическое (менискэктомия, т.е. удаление мениска, которая может быть полной или неполной (частичной)).
Особыми вариантами хирургического лечения разрывов менисков являются шов и трансплантация мениска, но эти методики не всегда возможны и порой дают не очень надежные результаты.
Консервативное (безоперационное) лечение разрывов менисков коленного сустава.Консервативное лечение обычно назначают при небольших разрывах заднего рога мениска или при небольших радиальных разрывах. Эти разрывы могут сопровождаться болью, но не приводят к ущемлению мениска между суставными поверхностями и не вызывают ни щелчков, ни ощущения переката. Такие разрывы обычно возникают в стабильных суставах.
Лечение состоит во временном снижении нагрузок. К сожалению, часто можно встретить ситуацию, когда в нашей стране по поводу разрыва мениска накладывают гипс, полностью исключающий движения в коленном суставе. Если в коленном суставе нет других повреждений (переломов, разрывов связок), а есть только разрыв мениска, то такое лечение в корне неправильно и его можно даже назвать калечащим. Дело в том, что крупные разрывы менисков все равно не срастутся, несмотря на гипс и полное обездвиживание коленного сустава. А мелкие разрывы менисков можно лечить более щадащими способами. Полное обездвиживание коленного сустава тяжелой гипсовой повязкой не только мучительно для человека (ведь невозможно нормально помытся, под гипсом могут возникнуть пролежни), но пагубно действует на сам коленный сустав. Дело в том, что полное обездвиживание может привести к контрактуре сустава, т.е. стойкому ограничению амплиитуды движений за счет того, что недвигающиеся хрящевые поверхности склеиваются, и, к сожалению, движения в колене после такого лечения не всегда удается восстановить. Вдвойне печально, когда лечение гипсовой повязкой применяется в тех случаях, когда разрыв достаточно большой, и после нескольких недель мучений в гипсе все равно приходится делать операцию. Поэтому так важно при травме коленного сустава сразу обратиться к специалисту, который хорошо знаком с лечением разрывов менисков и связок коленного сустава.
Если пациент занимается спортом, то при консервативном лечении нужно исключить ситуации, которые могут дополнительно травмировать сустав. Например, временно прекращают занатия такими видами спорта, где необходимы быстрые рывоки, особенно с поворотами и движения, при которых одна нога остается на месте, — они могут ухудшить состояние.
Кроме того, нужны упражнения, укрепляюшие четырехглавую мышцу бедра и заднюю группу мышц бедра. Дело в тоом, что сильные миышцы дополнительно стабилизируют коленный сустав, что снижает вероятность таких сдвигов бедренной и большеберцовой костей относительно друг друга, которые травмируют мениск.
Нередко консервативное лечение эффективнее у пожилых, так как у них причиной описанных симптомов чаще служит артроз, а не разрыв мениска. Небольшие (менее 10 мм) стабильные продольные разрывы, разрывы верхней или нижней поверхности, не проникающие на всю толщину мениска, а также небольшие (менее 3 мм) поперечные разрывы могут зажить самостоятельно либо вообще никак не проявляются.
В тех случаях, когда разрыв мениска сочетается с разрывом передней крестообразной связки, обычно сначала прибегают к консервативному лечению.
Хирургическое лечение разрывов менисков коленного сустава.Показаниями к артроскопической операции служат значительные размеры разрыва, вызывающие механические симптомы (боль, щелчки, блокады, ограничение движений), сохраняющийся выпот в суставе, а также случаи безуспешного консервативного лечения. Еще раз отметим, что сам факт существования возможности консервативного лечения не означает, что все разрывы менисков сначала следует лечить консервативно, а помто уже, если неудасться, то прибегать к «операции, как к крайней мере». Дело в том, что достаточно часто разрывы менисков имеют такой характер, что их надежнее и эффективнее сразу оперировать, а последовательное лечение («сначала консервативное, а потом, если не поможет, то операция») может значительно осложнить восстановление и ухудшить результаты. Поэтому мы еще раз подчеркнем, что при разрыве мениска, да и вообще при любой травме коленного сустава, важно обратиться к специалисту.
При разрывах менисков трение и блокада, называемые механическими или двигательными симптомами (поскольку они возникают при движении и исчезают или значительно ослабевают в покое), могут быть помехой как в посведневной жизни, так и при занятиях спортом. Если симптомы возникают в повседневной жизни, то врачу без особого труда удасться обнаружить признаки разрыва на осмотре. Как правило обнаруживается выпот в полости сустава (синовит) и болезненность в проекции суставной щели. Возможны также ограничение движений в суставе и боль при провокационных пробах. Наконец, на основании анамнеза, физикального и рентгенологического исследований необходимо исключить другие причины боли в коленном суставе. Если имеются эти симптомы, то это значит, что разрыв мениска значим и нужно рассмотреть вопрос операции.
Важно знать, что при разрывах мениска не нужно долго оттягивать операцию и терпеть боль. Как мы уже отмечали, болтающийся лоскут мениска разрушает соседний хрящ, покрывающий бедренную и большеберцовую кости. Хрящ из гладкого и упругого становится размягченным, рыхлым, а в запущенных случаях болтающийся лоскут разорванного мениска стирает хрящ полностью до кости. Такое повреждение хряща называют хондромаляцией, которая имеет четыре степени: при первой степени хрящ размягчен, при второй — хрящ начинает разволокняться, при третьей — имеется «вмятина» на хряще, а при четвертой степени хрящ полностью отсутствует.
Фотография, сделанная в ходе артроскопии коленного сустава. Этот пациент терпел боль почти год, после чего накоенец обратился за помощью к травматологам. За это время болтающийся лоскут разорванного мениска полностью стер хрящ до кости (хондромаляция четвертой степени)
Удаление мениска, или менискэктомия (артротомическая через большой разрез длинной 5-7 сантиметров), вначале считалась безобидным вмешательством и полное удаление мениска выполнялось очень часто. Однако отдаленные результаты оказались неутешительными. Выздоровление либо заметное улучшение отмечалось у 75% мужчин и менее чем у 50% женщин. Жалобы исчезли менее чем у 50% мужчин и менее чем у 10% женщин. У молодых людей результаты операции были хуже, чем у пожилых. Кроме того, у 75% прооперированных развивался артрит (против 6% в контрольной группе того же возраста). Часто артроз появлялся спустя 15 лет или более после операции. Дегенеративные изменения быстрее развивались после латеральной менискэктомии. Когда, наконец, стала ясна роль менисков, изменилась оперативная техника и были созданы новые инструменты, позволяющие восстанавливать целость менисков или удалять только их часть. С конца 1980-х годов артротомическое полное удаление мениска признано неэффективной и вредной операцией, которой на смену пришла возможность артроскопической операции, позволяющей сохранить неповрежденную часть мениска. К сожалению, в нашей стране ввиду организационных причин артроскпия далеко не везде доступна, поэтому до сих пор встречаются хирурги, предлагающие своим пациентам полностью удалить разорванный мениск.
В наше время мениск не удаляют полностью, поскольку выяснилась его важная роль в коленном суставе, а выполняют частичную (парциальную) менискэктомию. Это означает, что удаляют не весь мениск, а только отрорвавшуюся часть, которая и так перестала выполнять свою функцию. В чем принцип частичной менискэктомии, т.е. частичного удаления мениска? Понять ответ на этот вопрос вам поможет видеоролик и иллюстрация, которые мы приведем ниже.
Принцип частичной менискэктомии (т.е. неполного удаления мениска) состоит не только в том, чтобы удалить отроравашуюся и болтающуюся часть мениска, но и в том, чтобы сделать внутренний край мениска вновь ровным.
Принцип частичного удаления мениска. Показаны различные варианты разрывов мениска. Удаляют часть мениска с его внутренней стороны таким образом, чтобы не только убрать болтающийся лоскут разорванного мениска, но и восстановить ровный внутренний край мениска.
В современном мире операцию частичного удаления разорванного мениска выполняют артроскопически, т. е. через два маленьких прокола. В один из проколов вводят артроскоп, который транслирует изображение к видеокамере. По сути артроскоп представляет собой оптическую систему. По артроскопу внутрь сустава вводится физиологический раствор (вода), который раздувает сустав и позволяет его осмотреть изнутри. Через второй прокол в полость коленного сустава вводятся различные специальные инструменты, которыми удаляют поврежденные части менисков, «реставрируют» хрящ и выполняют прочие манипуляции.
Артроскопия коленного сустава. А — Пациент лежит на операционном столе, нога в специальном держателе. Сзади — сама артроскопическая стойка, которая состоит из источника ксенонового света (по световоду ксеноном освещают сустав), видеообработчика (к которому присоединяют видеокамеру), помпы (нагнетает в сустав воду), монитора, вайпера (устройство для абляции хряща, синовиальной оболочки сустава), шейвера (устройство, которое «бреет»). Б — в коленный сустав через два прокола по одному сантиметру введены артроскоп (слева) и рабочий инструмент (кусачки, справа).В — Внешний вид артроскопических кусачек, зажимов.
Артроскопия коленного сустава
Если в ходе артроскопии будет обнаружено повреждения хряща (хондромаляция), то врач может порекомендовать вам после операции ввести в коленный сустав специальные препараты (Интраджект, Ферматрон, Гиалуром и др). Подробнее о том, какие препараты можно вводить в коленный сустав, а какие нельзя, вы можете узнать на нашем сайте в отдельной статье.
Помимо менискэктомии существуют методики восстановления мениска. К ним относятся шов мениска и трансплантация мениска. Решить, когда целесообразнее удалить часть мениска, а когда лучше восстановить мениск, трудно. Надо учитывать множество факторов, влияющих на исход операции. В целом считается, что если мениск поврежден настолько обширно, что в ходе артроскопической операции придется удалять почти весь мениск, то необходимо решить вопрос о возможности восстановления мениска.
Шов мениска может быть выполнен в тех случаях, когда с момента разрыва прошло немного времени. Необходимым условием для успешного срастания мениска после его сшивания является достаточное кровоснабжение мениска, т.е. разрыd должен располагаться в красной зоне или, как минимум, на границе красной и белой зон. В противном случае, если выполнить сшивание мениска, который разовался в белой зоне, шов рано или поздно станет вновь несостоятельным, произойдет «повторный разрыв» и опять потребуется операция. Шов мениска может быть выполнен артроскопически.
Принцип артроскопического шва мениска «изнутри-наружу». Существуют еще методики «снаружи-внутрь» и стпелирования мениска
Фотография, сделанная при артроскопии. Этап шва мениска
Трансплантация мениска. Сейчас имеется возможность и трансплантации (пересадки) мениска. Трансплантация мениска возможна и может быть целесообразной в том случае, когда мениск коленного сустава значительно поврежден и полностью перестает выполнять свои функции. К противопоказаниям относятся выраженные дегенеративные изменения суставного хряща, нестабильность коленного сустава и искривление ноги.
Для трансплантации используют и замороженные (донорские или трупные), и облученные мениски. По имеющимся сообщениям, наилучших результатов следует ожидать от использования донорских (свежезамороженных) менисков. Существуют и искусственные эндопротезы менисков.
Однако операции по трансплантации и эндопротезированию мениска сопряжены с целом рядом организационных, этических, практических и научных трудностей и убедительной доказательной базы этот метод не имеет. Более того, среди ученых, хирургов до сих пор нет единого мнения целесообразности
В целом стоит отметить, что трансплантация и эндопротезирование мениска выполняются крайне редко.
Вопросы, которые стоит обсудить с врачом
1. Есть ли у меня разрыв мениска?
2. Какой у меня разрыв мениска? Дегенеративный или травматический?
3. Каковы размеры разрыва мениска и где расположен разрыв?
4. Есть ли еще какие-нибудь повреждения, помимо разрыва мениска (цела ли передняя крестообразная связка, боковые связки, нет ли переломов и т.д.)?
5. Имеется ли повреждение хряща, покрывающего бедренную и большеберцовую кости?
6. Значимый ли у меня разрыв мениска? Нужно ли выполнять МРТ?
7. Можно ли лечить мой разрыв мениска без операции или стоит выполнить артроскпию?
8. Какова вероятность повреждения хряща и развития артроза, если я повременю с операцией?
9. Какова вероятность повреждения хряща и развития артроза, если я пойду на артроскопическую операцию?
10. Если артроскопия дает большие шансы на успех, чем безоперационный метод, и я соглашаюсь на операцию, то долго будет длится восстановление?
При написании статьи использовались материалы:
Aglietti Р et al: Arthroscopic meniscectomy for discoid lateral meniscus in children and adolescents: 10-year follow-up. Am J Knee Surg 1999; 12:83.
Allen CR et al: Importance of the medial meniscus in the anterior cruciate ligament-deficient knee. J OrthopRes 2000; 18:109.
Allen CR et al: Importance of the medial meniscus in the anterior cruciate ligament-deficient knee. J Orthop Res 2000;18:109.
Anderson К et al: Chondral injury following meniscal repair with a biodegradable implant. Arthroscopy 2000;16:749.
Anderson-Molina H et al: Arthroscopic partial and total meniscectomy: long-term follow-up study with matched controls. Arthroscopy 2002; 18:183.
Barber FA, Herbert MA: Load to failure testing of new meniscal repair devices. Arthroscopy 2004;20( 1 ):45.
Borden P et al: Biomechanical comparison of the FasT-Fix meniscal repair suture system with vertical mattress and meniscal arrows. Am J Sports Med 2003:31(3):374.
Chatain F et al: A comparative study of medial versus lateral arthroscopic partial meniscectomy on stable knees: 10 year minimum follow-up. Arthroscopy 2003;19(8):842.
Chatain F et al: The natural history of the knee following arthroscopic medial meniscectomy. Knee Surg, Sports Trauma, Arthrosc 2001 ;9( 1): 15.
Elkousy Н, Higgins LD: Zone-specific inside-out meniscal repair: technical limitations of repair of posterior horns of medial and lateral menisci. Am J Orthop 2005;34:29.
Eren ОТ: The accuracy of joint line tenderness by physical examination in the diagnosis of meniscal tears. Arthroscopy 2003;19(8):850.
Fu FH et al (editors): Knee Surgery. Williams & Wilkins, 1998.
Fukushima К et al: Meniscus allograft transplantation using posterior peripheral suture technique: a preliminary follow-up study. J Orthop Sci 2004;9(3):235.
Garrick JG (editor): Orthopaedic Knowledge Update: Sports Medicine 3. American Academy of Orthopaedic Surgeons, 2004.
Greis PE et al: Meniscal injury: I. Basic science and evaluation. J Am Acad Orthop Surg 2002; 10:168.
Greis PEet al: Meniscal injury: II. Management. J Am Acad Orthop Surg 2002; 10:177.
Kocabey Y et al: The value of clinical examination versus MRI in the diagnosis of meniscal tears and anterior cruciate ligament rupture. Arthroscopy 2004;20:696.
Medvecky MJ, Noyes FR: Surgical approaches to the posteromedial and posterolateral aspects of the knee. J Am Acad Orthop Surg 2005; 13:121.
Miller MD et al: All-inside meniscal repair devices. Am J Sports Med 2004;32(4):858.
Miller MD et al: Pitfall associated with FasT-Fix meniscal repair. Arthroscopy 2002; 18(8):939.
Muellner Т et al: Open meniscal repair. Am J Sports Med 1999;27:16.
Noyes FR, Barber-Westin SD: Arthroscopic repair of meniscal tears extending into the avascular zone in patients younger than twenty years of age. Am J Sports Med 2002;30(4):589.
Noyes FR, Barber-Westin SD: Arthroscopic repair of meniscus tears extending into the avascular zone with or without anterior cruciate ligament reconstruction in patients 40 years of age and older. Arthroscopy 2000; 16:822.
Petsche T et al: Arthroscopic meniscus repair with bio-absorbable arrows. Arthroscopy 2002; 18:246.
Rath E et al: Meniscal allograft transplantation: two to eight-year results. Am J Sports Med 2001 ;29:410.
Rijk PC: Meniscal allograft transplantation—part I: background, results, graft selection and preservation, and surgical considerations. Arthroscopy 2004; 20(7):728.
Rodeo SA: Arthroscopic meniscal repair with use of the outside-in technique. J Bone Joint Surg A 2000; 82:127.
Sgaglione NA et al: Current concepts in meniscus surgery: resection to replacement. Arthroscopy 2003; 19(10; suppl 1):161.
Shaffer В et al: Preoperative sizing of meniscal allografts in meniscus transplantation. Am J Sport Med 2000;28:524.
Spindler KP et al: Prospective comparison of arthroscopic medial meniscal repair technique: inside-out versus entirely arthroscopic arrows. Am J Sports Med 2003;31:929.
Yiannakopoulos CK et al: A simplified arthroscopic outside-in meniscus repair technique. Arthroscopy 2004;20:183.
Zantop T et al: Initial fixation strength of flexible all-inside meniscus suture anchors in comparison to conventional suture technique and rigid anchors: biomechanical evaluation of new meniscus refixation systems. Am J Sports Med 2004;32(4):863.
Разложение на множители многочлена третьей степени
Многочлен 3 степени a(x) = a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0, a3 ≠ 0, может иметь самое большее 3 корня. Так как если комплексное число является корнем многочлена, то и комплексно сопряженное тоже будет его корнем, следовательно, у кубического многочлена всегда существует по крайней мере один действительный корень.
Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …
Таким образом, кубический многочлен всегда можно разложить на один линейный множитель и один квадратичный
В свою очередь многочлен второй степени a3x2 + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.
Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители:
Таким образом, зная один корень многочлена x0, легко получить квадратичное выражение (a3x2 + bx + c) делением исходного многочлена на одночлен x-x0. Приравнивая к нулю полученное выражение и решая квадратное уравнение, найдем остальные корни. А зная все корни многочлена, можно сразу написать его разложение на множители.
Пример 1. Разложить на множители многочлен x3 — 3x2 — 4x + 6.
Решение.
Делители свободного члена: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни многочлена нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем многочлена является число 1. Значит, исходный многочлен надо разделить на x — 1.
Воспользуемся схемой Горнера.
Таким образом, x3 — 3x2 — 4x + 6 = (x — 1)(x2 — 2x — 6). Чтобы найти оставшиеся 2 корня многочлена, решаем квадратное уравнение x2 — 2x — 6 = 0.
Но обычно в разложении на множители нас не интересуют иррациональные корни (то есть, такое разложение квадратичного многочлена на множители
Ответ: x3 — 3x2 — 4x + 6 = (x — 1)(x2 — 2x — 6).
Пример 2. Разложить на множители многочлен -2x3 + 3x2 — 4x — 9.
Решение.
Делители свободного члена: ±1, ±3, ±9. Делители старшего коэффициента: ±1, ±2. Значит, корни исходного многочлена будем искать среди чисел: ±1, ±3, ±9,
±
1/2
, ±
3/2
, ±
9/2
.
Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем многочлена. С помощью схемы Горнера делим исходный многочлен на x + 1.
Таким образом, -2x3 + 3x2 — 4x — 9 = (x + 1)(-2x2 + 5x — 9). Решая квадратное уравнение -2x2 + 5x — 9 = 0, получаем, что его дискриминант
Разложение на множители многочлена третьей степени методом неопределенных коэффициентов
Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени — метод неопределенных коэффициентов. Он достаточно трудоемкий, но иногда бывает очень полезным, причем для разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x0)*(a3x2 + bx + c).
Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a3,b,c и x0. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.
Пример 4. Разложить на множители многочлен x3 + 2x2 — 5x — 6.
Решение.
Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем следующую систему уравнений
Выразим из первого уравнения x0 = b — 2 и подставим в два оставшихся. Получим
Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.
Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:
Если b = 1, то c = -6, x0 = -1. Следовательно, x3 + 2x2 — 5x — 6 = (x + 1)(x2 + x — 6)=(x + 1)(x + 3)(x — 2).
Если b = -1, то c = -2, x0 = -3. Следовательно, x3 + 2x2 — 5x — 6=(x + 3)(x2 — x — 2) = (x + 3)(x — 2)(x + 1).
Ответ: x3 + 2x2 — 5x — 6 = (x — 2)(x + 1)(x + 3).
3
Формула a 3 — b 3 называется формулой разности кубов (двух чисел). Формула a куб минус b куб используется для нахождения разницы между двумя кубами без фактического вычисления кубов. Кроме того, он используется для факторизации биномов кубов. В этом разделе мы обсудим различные аспекты формулы a 3 — b 3 вместе с решенными примерами и поймем задействованную идентичность. 3?
Формулу a 3 — b 3 можно проверить, умножив (a — b) (a 2 + ab + b 2 ) и посмотреть, получится ли 0 0 3 b 4 9000 . Формула a 3 — b 3 или формула разности кубов поясняется ниже: a 2 + ab + b 2 )
Вы можете запомнить эти знаки, используя следующий прием.
Давайте изучим формулу a 3 — b 3 на нескольких решенных примерах.
Доказательство
3 -b 3 Формула
Проверим формулу куба a минус b куба. Чтобы доказать, что a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2 ), нам нужно доказать здесь LHS = RHS. Давайте начнем со следующих шагов. LHS = а 3 — б 3 При решении правой стороны мы получаем, = (a — b) (a 2 + ab + b 2 ) Умножив a и b по отдельности на (a 2 + ab + b 2 ), мы получим . = a (a 2 + ab + b 2 ) — b(a 2 + ab + b 2 ) = а 3 + а 2 б + аб 2 — а 2 б — аб 2 — б 3 = а 3 + а 2 б — а 2 б + аб 2 — аб 2 93 формула.
Решение:
Найти: 108 3 — 8 3 .
Предположим, что a = 108 и b = 8.
Подставим их в формулу a 3 — b 3 .
A 3 -B 3 = (A -B) (A 2 + AB + B 2 )
108 3 -8 3 = (108-8) (108 2 + (108)(8) + 8 2 )
= (100) (11664+864+64) 93 формула.
Решение:
Разложить на множители: 27x 3 — 125.
Мы будем использовать формулу a 3 — b 3 , чтобы разложить это на множители.
Запишем данное выражение в виде
27x 3 — 125 = (3x) 3 — 5 3
. б 3 .
а 3 — б 3 = (а — Ь) (а 2 + аб + Ь 2 )
(3x) 3 -5 3 =(3x-5)((3x) 2 +(3x)(5)+5 2 )
93x-5 = (3x-5)((3x) 2 +(3x)(5)+5 ) (9x 2 +15x+25)
Ответ: 27x 3 — 125 = (3x — 5) (9x 2 + 15x + 25).
Пример 3: Упростите 19 3 — 20 3 , используя формулу куб минус b куб.
Решение: Найти 19 3 — 20 3
Предположим, что a = 19и б = 20 Используя формулу а 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2 ) Мы заменим их в a 3 — b 3 формула .
а 3 — б 3 = (а — б) (а 2 + аб + б 2 ) 19 3 -20 3 = (19-20)(19 2 + (19)(20)+20 2 ) = (-1)(361+380+400) = (-1)(1141) = -1141 93 Формула
Что такое расширение формулы
3 — b 3 ?
a 3 — b 3 формула читается как куб минус b куб. Его расширение выражается как а 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2 ).
Что такое a
3 — b 3 Формула в алгебре?
Формула a 3 — b 3 также известна как одно из важных алгебраических тождеств. Читается как куб минус b куб. это 3 — b 3 формула выражается как
Как упростить числа с помощью формулы a
3 — b 3 ?
Давайте разберемся в использовании формулы a 3 — b 3 на следующем примере. Пример: Найдите значение 10 3 — 2 3 , используя формулу a 3 — b 3 . Чтобы найти: 10 3 — 2 3 Предположим, что a = 10 и b = 2, Мы заменим их в формуле a 3 — b 3 . а 3 — б 3 = (а — б) (а 2 + аб + б 2 ) 10 3 -2 3 = (10-2)(10 2 + (10)(2)+2 2 ) = (8) (100+20+4) = (8)(124) =992 Ответ: 10 93 как власть или нет.
Запишите формулу a 3 — b 3
a 3 — b 3 = (a — b) (a 2 + ab + b 2 )
подставьте значения a и b в формулу a 3 — b 3 и упростите.
Объяснение урока: Сила матрицы
В этом объяснении мы узнаем, как использовать умножение матриц для
определить квадрат и куб квадратной матрицы.
Существует множество матричных операций, очень похожих на известные
операции из обычной алгебры, такие как сложение, вычитание и
масштабирование. Кроме того, хотя умножение матриц принципиально более
сложный, чем его обычный аналог, он все же в некоторой степени отражает
некоторые алгебраические свойства оригинала.
Одна операция, которая является центральной как в традиционной алгебре, так и в алгебре с использованием
матрицы — это возведение в степень, которое обычно называют взятием степень числа или матрицы. В
обычная алгебра, можно взять почти любое число 𝑥
и возводим в степень 𝑦, что дает 𝑥. За исключением возведения нуля в отрицательную степень, это не имеет значения.
является ли 𝑥 или 𝑦 нулем, отличным от нуля, целым числом,
нецелое, рациональное, иррациональное или сложное, так как вывод всегда может быть
вычислено. То же самое неверно при работе с матрицами, где матрица
𝐴 не всегда можно возводить в степень. Для того, чтобы лучше всего обрисовать
эти потенциальные осложнения, давайте сначала определим простейшую форму
возведение матрицы в степень: возведение матрицы в квадрат.
Определение: Квадрат матрицы
Если 𝐴 — квадратная матрица, 𝐴 определяется как
𝐴=𝐴×𝐴.
Другими словами, точно так же, как для возведения чисел в степень (т.е.
𝑎=𝑎×𝑎), квадрат получается умножением
Матрица сама по себе.
Как можно заметить, основное требование для возведения матрицы в степень:
определено, что 𝐴 должен быть квадратным. Это потому, что на двоих
общие матрицы 𝐴 и 𝐵, матрица
умножение 𝐴𝐵 корректно определено только при одинаковом количестве столбцов
в 𝐴, так как в 𝐵 есть строки. Если
𝐴 имеет порядок 𝑚×𝑛 и
𝐵 имеет порядок 𝑛×𝑝, то
𝐴𝐵 корректно определен и имеет порядок 𝑚×𝑛. Если бы мы только рассмотрели матрицу 𝐴 и попытались завершить
умножение матриц 𝐴=𝐴×𝐴, то мы были бы
пытаясь умножить матрицу порядка 𝑚×𝑛 на
другая матрица порядка 𝑚×𝑛. Это может быть только хорошо
определяется, если 𝑚=𝑛, а это означает, что 𝐴 должно быть
матрица порядка 𝑛×𝑛 (другими словами, квадратная).
поэтому порядок 𝐴 идентичен исходной матрице
𝐴.
Существуют и другие ограничения на взятие степеней матриц, которые не
существуют для действительных чисел. Например, в отличие от обычных чисел, у нас нет
способ определения того, что такое 𝐴, и отрицательная сила
матрицу вычислить намного сложнее. Кроме того, обычные законы
возведение в степень не обязательно распространяется на матрицы так же, как
они делают это для чисел, которые мы рассмотрим позже в этом объяснении.
А пока давайте продемонстрируем, как возведение матрицы в квадрат работает на простом, нетривиальном
кейс. Определим матрицу
𝐴=1−325.
Чтобы вычислить матрицу 𝐴, мы умножаем матрицу
𝐴 само собой. Другими словами, мы имеем
𝐴=𝐴×𝐴=1−3251−325.
Как и ожидалось, это умножение корректно определено, так как у нас есть
Матрица 2×2, умноженная на матрицу 2×2
матрица. Теперь осталось завершить умножение матриц, что мы и можем сделать
для каждой записи (𝑖,𝑗) путем умножения элементов
в строке 𝑖 левой матрицы элементами столбца
𝑗 правой матрицы и суммируя их. Мы демонстрируем это
процесс ниже:
Теперь, когда все записи вычислены, мы можем написать, что
𝐴=−5−181219.
Теперь рассмотрим пример, в котором мы можем применить этот метод возведения в квадрат
Матрица для решения проблемы.
Пример 1. Нахождение квадрата матрицы
Для
𝐴=4−54−5,
напишите 𝐴 как кратное 𝐴.
Ответ
Перед попыткой записать 𝐴 как кратное 𝐴,
нам нужно вычислить саму 𝐴. Заполнение необходимой матрицы
умножение дает 𝐴=𝐴×𝐴=4−54−54−54−5=−45−45.
Выходная матрица 𝐴 совпадает с исходной матрицей
𝐴, за исключением того, что каждая запись была умножена на -1. Мы
следовательно, найдите, что 𝐴 может быть записано в терминах самого себя с помощью
выражение 𝐴=−𝐴.
Увидев простой пример взятия степени матрицы, отметим, что мы
часто приходится иметь дело с выражениями, которые потенциально включают несколько
матрицы, а также другие матричные операции. К счастью, у нас не должно быть
проблемы, связанные с такими вопросами, пока мы применяем те же принципы
мы только что узнали.
Пример 2. Вычисление матричных выражений с участием степеней
Рассмотрим матрицы
𝑋=−3−35−6,𝑌=136−6.
Что такое 𝑋−𝑌?
Ответ
Мы должны начать с вычисления как 𝑋, так и 𝑌
обычным способом. Мы вычисляем, что 136−6=19−15−3054.
Теперь, когда у нас есть и 𝑋, и 𝑌,
просто вычислить это
𝑋−𝑌=−627−4521−19−15−3054=−2542−15−33.
Вероятно, неудивительно, что мы можем легко взять, например, третью
мощность матрицы, используя наше понимание того, как мы находим вторую степень
матрицы, как мы это сделали выше.
Давайте посмотрим, как работает третья степень матрицы. По определению,
третья степень квадратной матрицы 𝐴 определяется выражением
𝐴=𝐴×𝐴×𝐴.
Обратите внимание, что, используя ассоциативное свойство матричного умножения, наряду с
определение 𝐴, мы можем написать правую часть
это как
𝐴×𝐴×𝐴=(𝐴×𝐴)×𝐴=𝐴×𝐴.
В качестве альтернативы, мы можем использовать ассоциативность двух последних членов, чтобы записать это как
𝐴×𝐴×𝐴=𝐴×(𝐴×𝐴)=𝐴×𝐴.
Итак, мы показали, что 𝐴=𝐴𝐴=𝐴𝐴. В других
словами, как только мы вычислили 𝐴, мы можем найти
𝐴 путем умножения 𝐴 справа (или
слева) от 𝐴.
Увидев, как работает возведение в степень для возведения в квадрат и куба, мы можем себе представить
мы можем применить те же принципы к любой степени 𝐴. С
Следуя определению, это возможно.
Определение: степень матрицы
Если 𝐴 — квадратная матрица, а 𝑘 —
натуральное число, 𝑘-я степень 𝐴 дана
по
𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴,
где имеется 𝑘 копий матрицы 𝐴.
В дополнение к этому определению отметим, что, используя ту же логику, что и выше,
можно вычислить 𝐴 (для любого положительного целого числа 𝑘)
сначала вычислив 𝐴 и умножив на дополнительный 𝐴
справа или слева. Так, например, 𝐴=𝐴×𝐴=𝐴×𝐴,
и так далее.
Теперь рассмотрим пример, в котором нам нужно вычислить третью степень числа
матрица.
Пример 3: вычисление высших степеней матриц
Учитывая матрицу
𝐴=40−37,
вычислить 𝐴−3𝐴.
Ответ
Мы должны начать с вычисления 𝐴, а затем использовать этот результат для
рассчитать 𝐴. Мы находим, что
𝐴=40−37,𝐴=160−3349,
что означает, что мы можем вычислить 𝐴 как умножение матриц
между 𝐴 и 𝐴:
𝐴=𝐴×𝐴=40−37160−3349=640−279343.
Теперь у нас есть все необходимое для вычисления искомого выражения:
𝐴−3𝐴=640−279343−3160−3349=640−279343−480−99147=160−180196.
До сих пор мы видели только расчеты с участием
матрицы 2 × 2, но расширение до более высоких порядков
квадратные матрицы очень естественны. Давайте теперь посмотрим на пример того, как мы могли бы найти
мощность матрицы 3×3.
Пример 4. Возведение в квадрат матрицы 3 × 3
Рассмотрим
𝐴=112101210.
Найти 𝐴.
Ответ
Матрица 𝐴 имеет порядок 3×3, значит,
𝐴 также будет иметь этот порядок. Таким образом, мы ожидаем найти матрицу
вида
где элементы * должны быть вычислены. Мы заполним матрицу
умножение полностью, полностью иллюстрируя каждый шаг.
Сначала вычисляем запись в первой строке и первом столбце самой правой матрицы:
112101210112101210=6∗∗∗∗∗∗∗∗.
Расчет
1×1+1×1+2×2=6. Теперь вычисляем запись в
первая строка и второй столбец самой правой матрицы:
112101210112101210=63∗∗∗∗∗∗∗.
Расчет
1×1+1×0+2×1=3. Далее мы сосредоточимся на записи в
первая строка и третий столбец самой правой матрицы:
112101210112101210=633∗∗∗∗∗∗.
Расчет
1×2+1×1+2×0=3. Теперь переходим ко второму ряду
самая правая матрица, сбрасываемая в первый столбец:
112101210112101210=6333∗∗∗∗∗.
Расчет
1×1+0×1+1×2=3. Затем мы берем запись во втором
строка и второй столбец:
112101210112101210=63332∗∗∗∗,
Расчет
1×1+0×0+1×1=2. Последняя запись во второй строке
затем вычислено:
112101210112101210=633322∗∗∗.
Расчет
1×2+0×1+1×0=2. Запись в третьем ряду и первом
столбец вычисляется:
112101210112101210=6333223∗∗.
Расчет
2×1+1×1+0×2=3. Тогда предпоследняя запись
завершенный:
112101210112101210=63332232∗.
Расчет
2×1+1×0+0×1=2. Затем обрабатывается окончательная запись:
112101210112101210=633322325.
Расчет
2×2+1×1+0×0=5. Теперь, когда все записи самого правого
матрица найдена, ответ можно записать в виде
𝐴=633322325.
Учитывая, что получение степени матрицы включает повторяющуюся матрицу
умножение, мы могли бы разумно ожидать, что алгебраические правила матрицы
умножение в некоторой степени повлияло бы на правила возведения матрицы в степень
Аналогичным образом. Несмотря на то, что это до некоторой степени очевидно, опасно
обращаться к правилам обычной алгебры при ответе на вопросы, связанные с
матрицы в предположении, что они сохранятся. В следующих
Например, мы будем рассматривать каждое утверждение отдельно и представим
соответствующие свойства матричного умножения в тандеме, объясняющие, почему
данные утверждения выполняются или не выполняются в результате.
Пример 5: Проверка свойств степеней матриц
Какое из следующих утверждений верно для всех 𝑛×𝑛
матрицы 𝐴 и 𝐵?
𝐴𝐵 = 𝐴 (𝐴𝐵) 𝐵
(𝐴 — 𝐵) = 𝐴 -2𝐴𝐵+𝐵
(𝐴𝐵) = 𝐴𝐵
(𝐴+𝐵) = 𝐴+2𝐴𝐵+ 𝐵
(𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴−𝐵
Ответ
Умножение матриц ассоциативно, т. е.
𝐴(𝐵𝐶)=(𝐴𝐵)𝐶. Мы могли бы продолжить эту роль, чтобы получить результаты
например (𝐴𝐵)(𝐶𝐷)=𝐴(𝐵𝐶)𝐷=𝐴𝐵𝐶𝐷 и так далее. В данном
уравнения, левая часть равна 𝐴𝐵, что по определению
можно записать как 𝐴𝐵=𝐴𝐴𝐵𝐵. Учитывая ассоциативность
свойство матричного умножения, мы можем написать, что 𝐴𝐵=𝐴(𝐴𝐵)𝐵 и, следовательно, подтвердить, что данное утверждение верно.
Обычная алгебра коммутативна относительно умножения. Для двух действительных чисел
𝑎 и 𝑏, это означает, что 𝑎𝑏=𝑏𝑎. Этот результат позволяет нам принять такое выражение, как
(𝑎−𝑏)=𝑎−𝑎𝑏−𝑏𝑎+𝑏 и использовать
коммутативное свойство собрать два средних члена правой части:
(𝑎−𝑏)=𝑎−2𝑎𝑏+𝑏. Однако,
умножение матриц, как правило, не является коммутативным, а это означает, что 𝐴𝐵≠𝐵𝐴 за исключением особых обстоятельств (таких как диагональные матрицы или
одновременно диагональные матрицы). Следовательно, расширение
(𝐴−𝐵)=𝐴−𝐴𝐵−𝐵𝐴+𝐵 не может
упростить в предположении, что 𝐴𝐵=𝐵𝐴. Следовательно, данный
утверждение ложно.
Чтобы завершить умножение матриц (𝐴𝐵), мы можем начать с
запись (𝐴𝐵)=(𝐴𝐵)(𝐴𝐵)=𝐴(𝐵𝐴)𝐵, где мы использовали свойство ассоциативности для организации
окончательное выражение. Поскольку умножение матриц не является коммутативным, член в квадратных скобках
(𝐵𝐴) нельзя переставить как (𝐴𝐵), что означает
что мы не можем переписать окончательное выражение как 𝐴𝐴𝐵𝐵, что было бы
допустили упрощение 𝐴𝐵. Учитывая, что это не
случае утверждение ложно.
У нас есть это (𝐴+𝐵)=𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐴+𝐵. Поскольку в общем случае 𝐴𝐵≠𝐵𝐴, мы не можем получить упрощение, указанное в вопросе.
Начнем с завершения разложения (𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴+𝐵𝐴−𝐴𝐵−𝐵.
Мы знаем, что, вообще говоря, 𝐵𝐴≠𝐴𝐵, а это значит, что мы не можем записать правую часть в виде
𝐴−𝐵 и, следовательно, утверждение в вопросе неверно.
Следовательно, правильный ответ — вариант А.
Несмотря на то, что некоторые общепринятые правила алгебры не выполняются для
матриц, все еще существуют некоторые правила, определяющие степени матриц, которые
мы можем положиться. В частности, законы показателей степени для чисел могут быть
распространяется на матрицы следующим образом.
Свойство: сложение и умножение степеней матрицы
Если 𝐴 — квадратная матрица и 𝑟 и
𝑠 — целые положительные числа, то
𝐴𝐴=𝐴,(𝐴)=𝐴.
В последнем примере мы рассмотрим возведение матрицы в гораздо большую степень
и посмотрите, как вышеупомянутые свойства могут быть использованы в сочетании с идентификацией
образец того, как матрица ведет себя при возведении в степень.
Пример 6. Нахождение степени матрицы высшего порядка путем исследования шаблона
его Полномочий
Заполните пропуск: Если 𝐴=403−4,
тогда 𝐴=.
Ответить
Как 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴
(пятьдесят раз), очевидно, нам следует избегать попыток вычислить его напрямую. Вместо этого давайте исследуем эффект от того, что
𝐴 имеет малые степени 𝐴 и см.
можем ли мы определить закономерность.
Если мы умножим 𝐴 само на себя, другими словами, если мы найдем
𝐴=𝐴×𝐴, имеем
𝐴=403−4403−4=4004.
Отметим, что, поскольку это диагональная матрица, она может быть полезной для
матрица, в которой будет находиться. Продолжая далее, если мы вычислим
𝐴=𝐴×𝐴, имеем
𝐴=4004403−4=404⋅3−4.
Интересно, что матрица уже не диагональная. Чтобы продолжить расследование
узор, посчитаем 𝐴=𝐴×𝐴. Это
𝐴=404⋅3−4403−4=4004.
В этот момент можно распознать закономерность. Для четных сил
𝐴 мы предполагаем, что матрица является диагональной и
ненулевые записи равны 4, где 𝑛 —
мощность матрицы. Для нечетных степеней это не так, так как
в левом нижнем углу и в правом нижнем углу есть ненулевой элемент
запись становится отрицательной. Однако, поскольку нам нужно найти только
𝐴 где 50 — четная степень, нам нужно только рассмотреть
первый случай.
Теперь покажем, как можно найти 𝐴, используя четное число.
мощность матрицы, 𝐴. Напомним, что
𝐴=4004.
Заметим, что скаляр 4 можно вынести за пределы матрицы, переписав его в виде:
𝐴=41001.
Это единичная матрица 2×2 𝐼
раз постоянная. Теперь мы знаем, что единичная матрица имеет
имущество
𝐼𝑋=𝑋𝐼=𝑋,
где 𝑋 — любая матрица 2 × 2. В частности, если 𝑋=𝐼, имеем
𝐼=𝐼×𝐼=𝐼.
Мы можем распространить это на любую степень 𝐼, то есть
𝐼=𝐼.
Мы можем использовать это свойство для вычисления 𝐴. Давайте также
вспомнить свойство (𝐴)=𝐴,
что позволяет нам переписать 𝐴 следующим образом:
𝐴=𝐴.
Поскольку мы имеем 𝐴=4𝐼, это означает
Так как 4=2
4=2=2.
Есть много связанных тем, которые подкрепляют обоснованность изучения возведения матриц в степень. При работе с квадратной матрицей ясно, что многократное умножение такой матрицы само по себе приведет к
обычно приводят к результатам, которые последовательно сложнее вычислить, учитывая большие числа
участие, как мы видели в нескольких из приведенных выше примеров. Поэтому выгодно иметь возможность
максимально уменьшить сложность этих вычислений. При определенных
обстоятельств можно диагонализовать матрицу, что значительно уменьшает
сложность вычисления его целых степеней.
Давайте закончим рассмотрением основных вещей, которые мы узнали в этом
объяснитель.
Ключевые точки
Для квадратной матрицы 𝐴 и положительного целого числа
𝑘 мы определяем мощность матрицы повторяющейся матрицей
умножение; Например,
𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴,
где есть 𝑘 копий матрицы 𝐴
с правой стороны.
Важно признать, что сила матрицы только хорошо
определяется, если матрица является квадратной матрицей. Кроме того, если
𝐴 имеет порядок 𝑛×𝑛, то это будет
случай для 𝐴, 𝐴 и так далее.
Матрица высших степеней может быть вычислена относительно
меньшие степени матрицы. Другими словами,
𝐴=𝐴×𝐴, 𝐴=𝐴×𝐴,
и так далее.
Если 𝐴 — квадратная матрица и 𝑟
и 𝑠 — целые положительные числа, то
𝐴𝐴=𝐴,(𝐴)=𝐴.
Сколько будет 3 в 4 степени?
Математика касается не только чисел, но и различных вычислений с использованием чисел и переменных. Это то, что в основном известно как алгебра. Алгебра определяется как представление вычислений с использованием математических выражений, состоящих из чисел, операторов и переменных. Цифры могут быть от 0 до 9, операторы — это математические операторы, такие как +, -, ×, ÷, показатели степени и т. д., переменные, такие как x, y, z и т. д.
Экспоненты и степени
используемые для упрощения сложных вычислений, включающих многократное самоумножение, самоумножение — это в основном числа, умноженные сами на себя. Например, 7 × 7 × 7 × 7 × 7 можно просто записать как 7 5 . Здесь 7 — базовое значение, 5 — показатель степени, а значение равно 16807. 11 × 11 × 11 можно записать как 11 3 , здесь 11 — базовое значение, а 3 — показатель степени или степень числа 11. Значение 11 3 равно 1331.
Показатель степени определяется как степень, заданная числу, количество раз умножается на себя. Если выражение записано как cx y , где c — константа, c — коэффициент, x — основание, а y — показатель степени. Если число, например p, умножить n раз, то n будет показателем степени p. Это будет записано как
p × p × p × p … n раз = p n
Основные правила экспоненты
Существуют определенные основные правила, определенные для экспонент, чтобы решать экспоненциальные выражения наряду с другими математическими операциями, например, если есть произведение двух экспонент, он может быть упрощено для облегчения вычислений и известно как правило произведения, давайте рассмотрим некоторые из основных правил показателей,
Правило произведения ⇢ a n + a m = a n + m
Правило коэффициента ⇢ N / A M = A N — M
Правило мощности ⇢ (A N ) M = A N × M или M √a N = A N/M
Отрицательное правило показания ⇢ A -M = 1/A M
нулевое правило ⇢ A 0 = 1
ОДНО
Сколько будет 3 в 4-й
-й -й степени?
Решение :
Любое число, имеющее степень 4, может быть записано как квартика этого числа. Квартика числа — это число, умноженное само на себя четыре раза, квартика числа представлена как показатель степени 4 этого числа. Если нужно записать квартику x, это будет x 4 . Например, квартика числа 5 представлена как 5 4 и равна 5 × 5 × 5 × 5 = 625. Другим примером может быть квартика числа 12, представленная как 12 4 , равная 12 × 12. × 12 × 12 = 20736,
Вернемся к постановке задачи и поймем, как она будет решаться, постановка задачи просила упростить 3 до 4 степени . Это означает, что вопрос требует решить квартику числа 3, которая представлена как 3 4 ,
3 4 = 3 × 3 × 3 × 3
= 9 × 3 × 3
= 81
Следовательно , 81 — это 4 -я -я степень числа 3.
Пример задачи
Вопрос 1: Решите выражение 6 3 – 2 3 .
Решение:
Чтобы решить выражение, сначала решите 3 -й степени чисел, а затем вычтите второй член из первого члена. Однако ту же задачу можно решить проще, просто применив формулу:
x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + y 2 + xy)
6 3 – 2 3 = (6 – 2)(6 2 + 2 2 + 6 × 2)
= 4 × (36 + 4 + 12)
= 4 × 52
= 208
Вопрос 2: Решите выражение 7 2 — 5 2 .
Решение:
Чтобы решить выражение, сначала решите числа во второй степени, а затем вычтите второй член из первого. Однако ту же проблему можно решить проще, просто применив формулу, формула
x 2 – у 2 = (х + у)(х – у)
7 2 – 5 2 = (7 + 5)(7 – 5)
= 12 × 2
1 = 24
Вопрос 3: Решите выражение 3 3 + 3 3 .
Решение:
Чтобы решить выражение, сначала решите 3 -й степени чисел, а затем вычтите второй член из первого члена. Однако ту же проблему можно решить проще, просто применив формулу, формула
x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 + y 2 – xy)
3 3 + 3 0 0 (3
3 3) 2
+ 3 2 – 3 × 3)
= 6 × (9 + 9 – 9)
= 6 × 9
= 54
Другой метод решения заключается в простом вычислении куба каждого слагаемого. а затем добавьте оба члена,
3 3 + 3 3 = 27 + 27
= 54
Правила логарифмирования — ChiliMath
Поиск
В этом уроке вы познакомитесь с общими правилами логарифмирования, также известными как «правила журнала». Эти семь (7) логарифмических правил полезны при расширении логарифмов, сокращении логарифмов и решении логарифмических уравнений. Кроме того, поскольку обратная функция логарифма является экспоненциальной функцией, я бы также рекомендовал вам пройтись и освоить правила экспоненты. Поверьте, они всегда идут рука об руку.
Если вас когда-нибудь интересовало, почему правила логарифмирования работают, посмотрите мой урок о доказательствах или обоснованиях свойств логарифмов.
Но если вы считаете, что хорошо разобрались с концепцией, вы можете просто проверить свои знания, выполнив приведенные ниже практические задания.
Практические задачи по правилам логарифмирования
Описание правил логарифмирования
Правило 1: Правило произведения
Логарифм произведения равен сумме логарифмов.
Правило 2: Правило частного
Логарифм отношения двух величин равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя.
Правило 3: Степенное правило
Логарифм экспоненциального числа равен произведению показателя степени на логарифм основания.
Правило 4: Правило нуля
Логарифм 1 по любому основанию всегда равен нулю. Пока b положительно, но b \ne 1.
Правило 5: Правило тождества
Логарифм аргумента (в скобках), где аргумент равен основанию, равен 1.
Правило 6: Обратное свойство логарифма
Логарифм экспоненциального числа, основание которого совпадает с основанием логарифма, равен показателю степени.
Правило 7: Обратное свойство экспоненты
Возведение логарифма числа в основание равно числу.
Правило 8: Изменение базовой формулы
Примеры применения правил журнала
Пример 1: Оцените приведенное ниже выражение, используя правила журнала.
{\log _2}8 + {\log _2}4
Выразите 8 и 4 в виде экспоненциальных чисел с основанием 2. Затем примените Power Rule, а затем Identity Rule. После этого вы добавляете полученные значения, чтобы получить окончательный ответ.
Итак, ответ \color{blue}5.
Пример 2: Оцените приведенное ниже выражение, используя правила журнала.
{\log _3}162 — {\log _3}2
Мы не можем выразить 162 в виде экспоненциального числа с основанием 3. Похоже, мы застряли, поскольку нет правил, которые можно было бы применить в прямом способ.
Однако правила логарифмирования можно использовать и в обратном порядке! Обратите внимание, что при использовании обратного правила отношения логарифмическое выражение может быть записано как одно логарифмическое число.
Мы сделали это! Применив правила в обратном порядке, мы создали одно выражение журнала, которое легко решить. Окончательный ответ здесь: \color{blue}4.
Пример 3: Оцените приведенное ниже выражение.
Кажется, одновременно происходит много вещей. Во-первых, посмотрите, сможете ли вы упростить каждое из логарифмических чисел. Если нет, начните думать о некоторых очевидных применимых логарифмических правилах.
Наблюдая, мы видим, что задействованы два основания: 5 и 4. Мы можем начать с объединения терминов, имеющих одно и то же основание. Упростим их по отдельности.
Для журнала с основанием 5 сначала примените правило мощности, а затем правило частного. Для журнала с основанием 4 немедленно примените правило продукта. Затем получите окончательный ответ, сложив два найденных значения.
Да, окончательный ответ: \color{blue}7.
Пример 4: Разверните приведенное ниже логарифмическое выражение. 95}} \right)
Произведение множителей заключено в скобки. Примените правило продукта, чтобы выразить их в виде суммы отдельных выражений журнала. Старайтесь по возможности упрощать числовые выражения до точных значений. Используйте правило 5 (правило идентификации) как можно чаще, потому что оно может помочь упростить процесс.
Должен признать, что окончательный ответ выглядит «незаконченным». Но нам не стоит беспокоиться, пока мы знаем, что правильно следовали правилам.
Пример 5 : Разверните логарифмическое выражение.
Подход заключается в том, чтобы сначала применить правило отношения к разности двух логарифмических выражений, поскольку они имеют дробную форму. Затем используйте правило произведения, чтобы разделить произведение факторов на сумму логарифмических выражений.
Пример 6 : Разверните логарифмическое выражение.
У этого есть радикальное выражение в знаменателе. Помните, что символ квадратного корня — это то же самое, что и 9.{{1 \более 2}}}. Как и в задаче № 5, примените правило отношения к журналам, а затем используйте правило продукта.
Пример 7 : Разверните логарифмическое выражение.
Подобная проблема может вызвать у вас сомнения, действительно ли вы пришли к правильному ответу, потому что окончательный ответ все еще может выглядеть «незавершенным». Однако если вы правильно применяете правила ведения журналов на каждом этапе, вам не о чем беспокоиться.
Вы могли заметить, что нам нужно сначала применить правило отношения, потому что выражение имеет дробную форму. 9
Раскрывающиеся логарифмы
Объяснение правила нулевого показателя и сила нуля
Показатели важны в финансовом мире, в научных обозначениях, а также в областях эпидемиологии и общественного здравоохранения. Так что же это такое и как они работают? 9\ textcolor {синий} {n} = \ underbrace {\ textcolor {оранжевый} {b} \ times \ dots \ times \ textcolor {оранжевый} {b}} _ {\ textcolor {синий} {n} \ textrm {times} }\]
где \(\textcolor{orange}{\text{буква «b» является основанием}}\) мы умножаем снова и снова, а \(\textcolor{синий}{\ text{буква «n» — это степень}}\) или \(\textcolor{blue}{\text{степень}}\), то есть количество раз, когда мы умножаем основание само на себя.
Для приведенных выше примеров значения степени относительно малы. Но вы можете себе представить, если степени очень велики, становится излишним записывать числа снова и снова, используя знаки умножения. 9{0}} \textcolor{orange}{= 1} \]
Мы знаем, что \(\textcolor{purple}{\text{деление числа само на себя}}\) будет \(\textcolor{orange}{\ текст {равно единице}}\). И мы показали, что \(\textcolor{purple}{\text{деление числа само на себя}}\) также равно \(\textcolor{синий}{\text{десять в нулевой степени}}\). Математика говорит, что вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг другу.
Таким образом, \(\textcolor{синий}{\text{десять в нулевой степени}}\) равен \(\textcolor{оранжевый}{\text{равно единице}}\). Это упражнение выше обобщает любое базовое число, 90 = 1\)).
Подпишитесь на меня в Твиттере и загляните в мой личный блог, где я делюсь другими идеями и полезными ресурсами по программированию, статистике и машинному обучению.
Спасибо за внимание!
Научитесь программировать бесплатно. Учебная программа freeCodeCamp с открытым исходным кодом помогла более чем 40 000 человек получить работу в качестве разработчиков. Начать
Алгебраические выражения. Порядок операций
Навыки в н A L G E B R A
Содержание | Дом
1
Четыре операции и их знаки
Функция скобок
«Условия» и «факторы»
Степени и показатели
Порядок операций
Раздел 2 :
Ценности и оценки
Переменные
Написание алгебраических выражений
АЛГЕБРА — ЭТО ПИСЬМЕННЫЙ НАВЫК. Это означает, что писатель решает проблему четко, эффективно и с наименьшим объемом текста. Как и любой навык — вождение автомобиля, выпечка печенья, игра на гитаре — он требует практики. Письменная практика. Тем не менее, давайте начнем.
Первое, что нужно отметить, это то, что в алгебре мы используем буквы так же, как и
числа. Но буквы обозначают цифры. Мы имитируем правила арифметики буквами, потому что имеем в виду, что правило будет верным для любые номера.
Вот, например, алгебраическое правило сложения дробей:
а в
+
б в
=
а + б в
Буквы a и b означают: числа , находящиеся в числителях. Буква c означает: число в знаменателе. Правило означает:
«Какими бы ни были эти числа, сложите числители и запишите их сумму над общим знаменателем. »
Алгебра говорит нам, как решить любую задачу, которая выглядит как .
В конце концов, символы для чисел — 1, 2, 3 — не что иное, как письменные знаки. А так письма. Как ученик увидит, алгебра зависит от образует , которые принимают символы. То, что вы видите выше, называется формальным правилом для сложения дробей.
Цифры — это числовые символы, а буквы — буквенные символы.
Вопрос 1. Каковы четыре арифметических операции, и
какие
признаки их работы?
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область. Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»). Сначала решай проблему сам!
1)
Дополнение: a + b . Знак операции + и называется знаком плюс . Читать a + b как « a плюс b ».
1)
Например, если a представляет 3, а b представляет 4, то a + b представляет 7.
2)
Вычитание: a − b . Знак операции — и называется знаком минус . Читать a − b как « a минус b ».
1)
Если a представляет, например, 8, а b представляет 2, то a − b представляет 6.
3) Умножение: a · b . Читать a · b как « a умножить на b ».
Знак умножения в алгебре — точка в центре. Мы не используем крест умножения ×, потому что не хотим спутать его с буквой x .
Итак, если a представляет 2, а b представляет 5, тогда
a · b = 2 · 5 = 10.
«2 умножить на 5 равно 10».
Не путайте точку по центру — 2 · 5 , которая в США означает умножение — с десятичной точкой: 2 . 5.
Однако мы часто опускаем точку умножения и пишем просто ab . Читать « a , b «. Другими словами, когда между двумя буквами или между буквой и числом нет знака операции, это всегда означает умножение. 2 x означает 2 раза x .
4)
Подразделение:
а б
. Читать
а б
как « a разделить на b «.
В алгебре мы используем горизонтальную черту деления. Если 9Например, 0491 a представляет 10, а b представляет 2, тогда
а б
=
10 2
= 5.
«10 разделить на 2 будет 5.»
Примечание: В алгебре мы называем a + b «суммой», даже если мы не называем ответ. Как увидит учащийся, мы называем что-то в алгебре просто по тому, как оно выглядит как . На самом деле вы увидите, что вы делаете алгебру глазами, а дальше следует то, что вы пишете на бумаге.
Точно так же мы называем a − b разностью, ab произведением и частным.
Этот знак = конечно же знак равенства, и мы читаем это —
а = б
— как « a равно (или равно) b «.
Это означает, что число слева, которое представляет a , равно числу справа, которое представляет b . Если мы напишем
а + б = в ,
и если a представляет 5, а b представляет 6, то c должно представлять 11.
Вопрос 2. Какова функция скобок () в алгебре?
3 + (4 + 5) 3(4 + 5)
Скобки означают, что мы должны рассматривать то, что они заключают в себе , как одно число.
3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12. 3(4 + 5) = 3 · 9 = 27.
Примечание: Если между 3 и (4 + 5) нет знака операции, это означает умножение.
Задача 1. Как в алгебре написать
а) 5 умножить на 6? 5 · 6
b) x умножить на y ? ху
в) x разделить на y ?
x г
d) x плюс 5 плюс x минус 2?
( х + 5) + ( х — 2)
д) х плюс 5 умножить на x минус 2?
( х + 5)( х — 2)
Задача 2. Различите следующее:
а) 8 – (3 + 2) б) 8 – 3 + 2
а) 8 — (3 + 2) = 8 — 5 = 3.
б) 8 — 3 + 2 = 5 + 2 = 7.
В а) мы рассматриваем 3 + 2 как одно число. В б) мы не делаем. Мы должны сначала вычесть 3, а затем добавить 2. (Но см. порядок операций ниже.)
Существует распространенное заблуждение, что скобки всегда означают умножение. Фактически, в Уроке 3 мы увидим, что мы используем круглые скобки, чтобы отделить знак операции от знака алгебры. 8 + (−2).
Вопрос 3. Условия и факторы.
Когда числа добавляются или вычитаются, они называются терминами.
Когда числа умножаются, они называются множителями.
Вот сумма четырех слагаемых: а − б + в − г .
В алгебре мы говорим о «сумме» терминов, даже если есть вычитания. Другими словами, все, что выглядит как то, что вы видите выше, мы называем суммой.
Вот произведение четырех факторов: abcd .
Слово на множитель всегда означает умножение.
И снова мы говорим о «продукте» abcd , хотя мы не называем ответ.
Задача 3. Сколько терминов в следующем выражении? И сколько множителей у каждого члена?
2 а + 4 аб + 5 а ( б + с )
Есть три термина. 2 a — первый термин. Он имеет два множителя: 2 и a . 4 аб — второй член. Он имеет три множителя: 4, a и b . И 5 a ( b + c ) — все это один термин. Он также имеет три множителя: 5, a и ( b + c ). Круглые скобки означают, что мы должны рассматривать все, что заключено в них, как одно число.
Степени и показатели
Когда все факторы равны —
2 · 2 · 2 · 2 — мы называем произведение степенью этого множителя. Таким образом, a · a называется второй степенью числа a или « a в квадрате». a · a · a — третья степень числа a , или « a в кубе». аааа равно а в четвертой степени и так далее. Мы говорим, что в само по себе является первой степенью в .
Теперь вместо aaaa мы пишем только один раз и поместите маленькую 4:
4 (« 4-й»)
Эта маленькая 4 называется показателем степени. Он указывает количество повторений и в качестве коэффициента.
8 3 («8 в третьей степени» или просто «8 в третьей степени») означает 8 · 8 · 8.
Задача 4. Назовите первые пять степеней числа 2.
2, 4, 8, 16, 32.
Задача 5. Прочитайте, а затем рассчитайте каждое из следующих действий.
а) 5 2 «5 во второй степени» или «5 в квадрате» = 25,
.
б) 2 3 «2 в третьей степени» или «2 в кубе» = 8,
.
в) 10 4 «10 до четвертого» = 10 000.
г) 12 1 «12 к первому» = 12.
Однако в алгебре принято не писать показатель степени 1.
a = a 1 =1 a .
Учащийся должен следить за тем, чтобы не перепутать 3 и , что означает 3 умножить на на , с на 3 , что означает на .
3 а
=
и + и + и , Урок 9арифметики
а 3
=
· · .
Вопрос 4. При наличии нескольких операций
8 + 4(2 + 3) 2 − 7,
какой порядок операций?
Прежде чем ответить, отметим, что, поскольку знание естественных наук является причиной, по которой студенты должны изучать алгебру; а поскольку порядки операций появляются только в определенных формах, то на этих страницах мы представляем только те формы, с которыми учащийся может когда-либо столкнуться в реальной алгебраической практике. Знак деления ÷ никогда не используется в научных формулах, только черта деления. Крест умножения × используется только в экспоненциальной записи, поэтому учащийся никогда не увидит следующее:
3 + 6 × (5 + 3) ÷ 3 − 8.
Такая задача была бы чисто академической, т. е. упражнением ради самого себя. Это не имеет практической ценности. Это никуда не ведет.
Порядок операций следующий:
(1)
Оцените скобки, если они есть, и если они требуют оценки.
(2)
Оцените степени, то есть показатели степени.
(3)
Умножать или делить — не важно.
(4)
Добавить или вычесть.
В примерах 1 и 2 ниже мы увидим, в каком смысле мы можем прибавить или вычесть . А в примере 3 мы встретим умножение на или разделить.
Примечание: «Оценить» означает назвать и написать число.
Пример 1. 8 + 4(2 + 3) 2 − 7
Сначала оценим скобки, то есть заменим 2+3 на 5:
= 8 + 4 · 5 2 − 7
Так как теперь есть только одно число, 5, скобки писать не нужно.
Обратите внимание, что мы преобразовали один элемент, круглые скобки, и переписали все остальные.
Затем оцените показатели степени:
= 8 + 4 · 25 − 7
Теперь умножьте:
= 8 + 100 — 7
Наконец, прибавьте или вычтите , это не будет иметь значения. Если мы сначала добавим:
= 108 − 7 = 101.
Хотя если сначала вычесть:
8 + 100 — 7 = 8 + 93 = 101.
Пример 2. 100 − 60 + 3.
Первый:
100 − 60 + 3 означает ли , а не , 100 − 63.
Только при наличии скобок —
100 − (60 + 3)
— можем ли мы рассматривать 60 + 3 как одно число. При отсутствии скобок задача означает вычесть 60 из 100, затем прибавить 3:
100 — 60 + 3 = 40 + 3 = 43.
На самом деле не имеет значения, прибавляем мы сначала или вычитаем сначала,
100 — 60 + 3 = 103 — 60 = 43.
Когда мы подойдем к числам со знаком, мы увидим, что
100 − 60 + 3 = 100 + (−60) + 3.
Порядок, в котором мы их «добавляем», значения не имеет.
Пример 3.
11 · 35 5
Нет скобок для оценки и показателей степени. Далее по порядку умножаем или делим на . Мы можем сделать и то и другое — мы получим тот же ответ. Но обычно более искусно сначала делить, потому что тогда у нас будут меньшие числа для умножения. Поэтому сначала разделим 35 на 5:
11 · 35 5
=
11 · 7
=
77.
См.: Навыки арифметики, свойство 3 раздела.
Пример 4. ½(3 + 4)12 = ½ · 7 · 12.
порядок множителей не имеет значения: abc = bac = cab и так далее. Поэтому мы можем сначала сделать ½ · 12. То есть мы можем сначала разделить 12 на 2:
½ · 7 · 12 = 7 · 6 = 42.
(см. урок 27 арифметики, вопрос 1.)
Пример 5. Полоса разделения.
8 + 20 10 − 3
В любой задаче с делением, прежде чем мы сможем разделить, мы должны оценить верх и низ в соответствии с порядком операций. Другими словами, мы должны интерпретировать верх и низ как заключенные в круглые скобки.
8 + 20 10 − 3
означает
(8 + 20) (10 − 3)
.
Теперь действуем как обычно и сначала оцениваем скобки. Ответ: 4.
Проблема 6. Оцените каждое из следующих действий в соответствии с порядком операций.
Это соответствует 2! = 2. Множество с одним элементом имеет одну перестановку, поскольку элемент 1 в наборе {1} можно упорядочить только одним способом.
Для решения этой задачи потребуется сформулировать несколько правил. Одно из них вы уже знаете. Взгляните на следующее выражение.
Такой ответ является неверным. Иногда можно умножить два числа, не заканчивающихся на ноль, и получить произведение, имеющее в конце один или несколько нулей. Вот несколько примеров этого рода:
Сомножители на 2 и на 5 при их перемножении «совместно» дают идеальную десятку, что добавляет еще один ноль к общему произведению. Посмотрите на последний пример, где в конце, можно сказать, из воздуха возникает три нуля.
Выделите сомножители 2 и 5. Составьте из них пары и перемножьте их: (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 5) х … Число пар из двоек и пятерок равно количеству нулей в конце. Закройте глаза на все, что осталось слева.
24 множителя на пять дают 24 пары с равным числом двоек, в результате чего получается 24 множителя на 10 (оставляя слева еще множество двоек, для которых не оказалось пары). Таким образом, в конце 100! будет 24 нуля.
4! = 24, например, то же самое, что и запись 4 x 3 x 2 x 1 = 24, но для выражения того же уравнения справа от факториала (четыре) используется восклицательный знак.
Тем не менее, нужно помнить, что определение факториала — это произведение всех целых чисел, равных или меньших по значению исходному числу, другими словами, факториал — это количество возможных комбинаций с числами, меньшими или равными этому числу.
Это соответствует 2! = 2. Набор с одним элементом имеет единственную перестановку, так как элемент 1 в наборе {1} может быть упорядочен только одним способом.
Независимо от того, как мы расположим эти элементы, мы получим одну и ту же комбинацию.
Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.
6 Другие свойства
O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).
Факториал возник в комбинаторике при расчете количества перестановок множества из n-ного количества элементов. К примеру, для трехэлементного множества Z = {A, B, C} существует 3! = 6 вариантов перестановок:
В компьютерных вычислениях основной сложностью становится отображение и хранение результата расчета функции n!. Прямое умножение натуральных чисел для вычисления факториала для n > 20 не используется.
Для больших чисел результат будет представлен в виде мантиссы и порядка. Например, 100! ≈ 9,325e+157. Это означает, что 100! ≈ 9,325 × 10157.
Используйте нашу программу для подсчета приблизительных значений факториалов сколько угодно больших чисел.
Впервые он использовался при выводе замечательного произведения Уоллиса, связывающего натуральные числа и число π:
Экспоненциальный факториал
Для точных расчетов необходимо использовать гамма-функцию.
Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.
Также это равенство выполняется естественным образом:
Математика.
Наш профессор Майк Старберд попросил нас вернуться домой и подумать о том, как определить сходимость ряда. Не то, как определяется , а то, как следует определять . Мы должны были не искать определение, а думать о том, каким оно должно быть. На следующий день мы предложили свои определения. В хорошей сократовской манере Starbird показала нам недостатки каждого из них и привела нас к стандартному определению.
Если бы мы определили 0! чтобы быть равным 0, например, бесчисленные формулы должны были бы добавлять дисквалификаторы, такие как «кроме случаев, когда n равно нулю».
(Подробности см. в [1] ниже.)
То есть можно очень часто заменить п ! с Γ( n + 1) в формуле, истинной для положительных целых значений n , и получить новую формулу, действительную для действительных или даже комплексных значений n . 
Например, если вы добавите sin(πx) к гамма-функции, вы получите еще одну аналитическую функцию, которая принимает те же значения, что и гамма, для положительных целых аргументов.
Как и во всех соглашениях, при арифметических операциях с нулями необходимо соблюдать определенные протоколы и правила.0004 » [1]
Единственный способ сделать это, если 0! = 1. В противном случае у вас было бы деление на ноль, которое не определено.
«Нулевой факториал: почему он равен единице?» От CalculusHowTo.com : Исчисление для всех нас! https://www.calculushowto.com/zero-factorial-why-does-it-equal-one/
Как правило, факториал phone_number — это сокращенный способ написания формулировки генерации, в которой число умножается на каждую проблему меньше его, но больше нуля. 4! = 24, например, является лаппом, как запись 4 десять 3 адам 2 десять 1 = 24, но для выражения уравнения лаппа в правом поле факториала (четыре) используется маркер экфонезис.
Тем не менее, следует помнить, что определение факториала — это совокупность всех целых чисел, соответствующих или меньших по отношению к главному числу — в первых словах факториал — это подсчет возможных комбинаций с числами, меньшими или равными этому числу.
Растение с двумя элементами имеет две перестановки: {а, Ь} можно расположить как а, бацилла или как Ь, а. Это соответствует 2! = 2. Желе с одним компонентом имеет индивидуальную перестановку, так как компонент 1 в наборе {1} может быть заказан только одним способом.
Например, рассмотрим set_up {1, 2, 3}, в котором есть одна комбинация, состоящая из всех трех элементов. Нет темы, как мы расположим эти элементы, в итоге мы получим одинаковое сочетание.
Оно представляется с помощью символа ‘!’ Итак, 24 — это значение 4!. В 1677 году британский автор Фабиан Стедман определил факториал как эквивалент звонка сдачи. Перезвон был частью музыкального представления, когда музыканты звонили в несколько настроенных колокольчиков. И было это в 1808 году, когда математик из Франции Кристиан Крамп придумал символ факториала: n!. Изучение факториалов лежит в основе нескольких тем математики, таких как теория чисел, алгебра, геометрия, вероятность, статистика, теория графов, дискретная математика и т. д.
За 7! умножьте 720 (значение факториала 6) на 7, получите 5040. т. е. n! = п × (п — 1)!
….. И 9! = 9 × 8!…… Факториал 10 будет 10! = 10 × 9!….. Вот так, если у нас есть (n+1) факториал, то его можно записать как (n+1)! = (n+1) × n! . Давайте посмотрим на некоторые примеры.
д.? Начнем с 3! = 3 × 2 × 1 = 6
Поясним это на следующих примерах.
Например 8! (читается как факториал 8) = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320.
Итак, 3 × 2 × 1 = 3! (3 факториала), 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! (6 факториал) и так далее.
Вскоре
youtube.com/embed/HUlEUaioogQ?feature=oembed» frameborder=»0″ allow=»accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture» allowfullscreen=»»> 
Вы можете идти так далеко влево, как вам нужно.
Но если у вас за столом 4 человека и в коробке 0 кексов, вам фактически нечего делить. Каждый получает 0 кексов.
Соединив точки undefined и C , получаем отрезок (вектор) А С → , который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника. 
did:ad5746e4-40f4-4df2-a0dd-8ce148479f81uuid:a4c33fb4-763b-c24a-a533-768ad29596d9xmp.did:ea23c21a-bbe9-4f71-ab33-f61c022c02e0proof:pdfuuid:442adba5-f05b-0d48-a507-3ffa9c4db14fxmp.did:d2a3e9b2-404a-4db7-af14-51bdfc7a0cdexmp.did:ea23c21a-bbe9-4f71-ab33-f61c022c02e0proof:pdf
66928 5.66928 303.307 425.197]/Type/Page>>
endobj
10 0 obj
>/Resources>/ExtGState>/ProcSet[/PDF/ImageC]/Properties>/XObject>>>/Thumb 900 0 R/TrimBox[5.66928 5.66928 303.307 425.197]/Type/Page>>
endobj
892 0 obj
>stream
H|n$
z:zd«xKV`2$A_=t5Q:o?~e-3y{q2[:sG-̃OXC
Если использовать данные из предыдущего примера, мы знаем, что 27 = 128. Это верно, если мы хотим понять, какое количество чисел, можно представить с помощью семи бит. Но, поскольку первое число — это ноль, то максимальное число, которое можно представить с помощью семи бит 128 — 1 = 127 . Это и есть значение третьего столбца.
Существуют и другие способы представления данных. Например, если мы хотим записывать не только положительные, но и отрицательные числа, то нам потребуется еще один бит для хранения значения «плюс/минус». Таким образом, количество бит, предназначенных для хранения чисел у нас уменьшилось на один. Какое максимальное число может быть записано в виде целого числа со знаком можно посмотреть в четвертом столбце.
Бесконечность не является числом.
Чаще всего, фраза звучала в момент объяснения новой сложной темы, а потому вызывала определённые внутренние противоречия.
или «галочка». Этот символ популярен и вне программирования.
Для его применения требуется импортировать модуль 
14 ** 9)
> 29673.367320587102
print(pow(-1.1, 1001))
> -2.7169262098066285e+41
0 cannot be raised to a negative power
Это будет не справедливо, как по отношению к вам, так и к математике. Поэтому, выделим главное:
07.1998 N 125-ФЗ
(ред. от 25.02.2022)
«Об обязательном социальном страховании от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний»
При расчете среднемесячного заработка застрахованного месяцы, не полностью им проработанные, а также месяцы, за которые отсутствуют сведения о заработке застрахованного, заменяются предшествующими месяцами, полностью проработанными на работе, повлекшей повреждение здоровья, и за которые имеются сведения о заработке, либо исключаются в случае невозможности их замены. Замена не полностью проработанных застрахованным месяцев не производится в случае, если в этот период за ним сохранялся в соответствии с законодательством Российской Федерации средний заработок, на который начисляются страховые взносы в соответствии со статьей 20.1 настоящего Федерального закона.
В случае, если период работы, повлекшей повреждение здоровья, составил менее одного полного календарного месяца, ежемесячная страховая выплата исчисляется исходя из условного месячного заработка, определяемого путем деления суммы заработка за проработанное время на количество проработанных дней и умножения полученного результата на количество рабочих дней в месяце, исчисленное в среднем за год.
07.2022 N 237-ФЗ). См. будущую редакцию.
При наличии указанных сведений ежемесячная страховая выплата исчисляется исходя из этих сведений.
Для определения размера ежемесячных страховых выплат каждому лицу, имеющему право на их получение, общий размер указанных выплат делится на число лиц, имеющих право на получение страховых выплат в случае смерти застрахованного.
При этом коэффициенты, примененные к суммам заработка, к назначенному размеру ежемесячной страховой выплаты не применяются.
12.2010 N 350-ФЗ)
.. Называется она вполне ожидаемо: последовательность степеней двойки. Казалось бы, ничего выдающегося в ней нет — последовательность как последовательность, не лучше и не хуже других. Тем не менее, она обладает весьма примечательными свойствами.
А поскольку объем вычислений немалый, то и вероятность ошибки весьма велика.
е. S ≈ 16·1018 (ибо 18 = 3·6). Правда, погрешность здесь все же великовата: ведь 6 раз при замене 1024 на 1000 мы ошибались в 1,024 раза, а всего мы ошиблись, как легко видеть, в 1,0246 раз. Так что теперь — дополнительно перемножать 1,024 шесть раз само на себя? Нет уж, обойдемся! Известно, что для числа х, которое во много раз меньше 1, с высокой точностью справедлива следующая приближенная формула: (1 + x)n ≈ 1 + xn.
Среди степеней других чисел подобное встречается нечасто. Например, 510 отличается от 107 также в 1,024 раза, но… в меньшую сторону.2 Впрочем, это того же поля ягода: поскольку 210·510 = 1010, то во сколько раз 210превосходит 103, во столько же раз 510меньше, чем 107.
Сначала запишем его в виде суммы N единиц. Так как единица — это 20, то первоначально N есть сумма одинаковых степеней двойки. Затем начнем объединять их по парам. Сумма двух чисел, равных 20, — это 21, так что в результате получится заведомо меньшее количество слагаемых, равных 21, и, возможно, одно число 20, если ему не нашлось пары. Далее попарно объединяем одинаковые слагаемые 21, получая еще меньшее количество чисел 22 (здесь тоже возможно появление непарной степени двойки 21). Затем снова объединяем равные слагаемые попарно, и так далее. Рано или поздно процесс завершится, ибо количество одинаковых степеней двойки после каждого объединения уменьшается. Когда оно станет равным 1 — дело кончено. Осталось сложить все получившиеся непарные степени двойки — и представление готово.
Пусть одно и то же число N удалось представить в виде двух наборов различных степеней двойки, которые не полностью совпадают (т. е. имеются степени двойки, входящие в один набор, но не входящие в другой, и наоборот). Для начала отбросим все совпадающие степени двойки из обоих наборов (если таковые имеются). Получатся два представления одного и того же числа (меньшего или равного N) в виде суммы различных степеней двойки, причем все степени в представлениях различны. В каждом из представлений выделим наибольшую степень. В силу изложенного выше, для двух представлений эти степени различны. То представление, для которого эта степень больше, назовем первым, другое — вторым. Итак, пусть в первом представлении наибольшая степень равна 2m, тогда во втором она, очевидно, не превышает 2m–1. Но поскольку (и мы с этим уже сталкивались выше, подсчитывая зерна на шахматной доске) справедливо равенство
.. + 20) + 1,
е. из положительных сделаем отрицательными. Единственное требование — чтобы в результате и положительных, и отрицательных чисел оказалось бесконечное количество. Например, можно присвоить знак «минус» каждой пятой степени двойки или, допустим, оставить положительными только числа 210, 2100, 21000, и так далее — вариантов здесь сколько угодно.
А так как различных цифр ограниченное количество, последовательность последних цифр степеней двойки просто обязана быть периодической! Длина периода, естественно, не превышает 10 (поскольку именно столько цифр мы используем), но это сильно завышенное значение. Попробуем оценить его, не выписывая пока саму последовательность. Ясно, что последние цифры всех степеней двойки, начиная с 21, четные. Кроме того, среди них не может быть нуля — потому что число, оканчивающееся нулем, делится на 5, в чем заподозрить степени двойки никак нельзя. А так как четных цифр без нуля имеется всего четыре, то и длина периода не превосходит 4.
Не более чем двузначных чисел, делящихся на 4, имеется всего 25 (для однозначных чисел предпоследней цифрой считаем ноль), но из них надо выбросить пять чисел, оканчивающихся нулем: 00, 20, 40, 60 и 80. Так что период может содержать не более 25 – 5 = 20 чисел. Проверка показывает, что так и есть, начинается период с числа 22 и содержит пары цифр: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, а затем опять 04 и так далее.
И таких степеней двойки бесконечно много! Например, существует бесконечное количество степеней двойки, начинающихся с цифр 2012 или, скажем, 3 333 333 333 333 333 333 333.
Вот какова относительная доля первых цифр степеней двойки с округлением до 4 знаков после запятой:
6
Оказывается, если это — простое число, то, домножив его на предыдущую степень двойки, мы образуем совершенное число 2n–1 (2n – 1). Например, при п = 3 получаем исходные числа 4 и 8. Так как 8 – 1 = 7 — простое число, то 4·7 = 28 — совершенное число.8 Более того — в свое время Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют именно такой вид. Нечетные совершенные числа пока не обнаружены (и мало кто верит в их существование).
Последовательность чисел Каталана имеет множество любопытных свойств, и одно из них (как раз связанное с темой этой статьи) заключается в том, что порядковые номера всех нечетных чисел Каталана являются степенями двойки!
) Ответ: оно равно 2n – 1, что легко доказывается по индукции.
Поэтому окончательно Xn+1 =2Xn + 1. Получено рекуррентное соотношение, но для того чтобы его привести к «нормальному» виду, надо еще найти X1. Ну, это проще простого: X1 = 1 (меньше просто не бывает!). Не составляет труда, основываясь на этих данных, выяснить, что Xn = 2n – 1.
Может, и для всех четных чисел так? Увы, следующее же четное число опровергает наше предположение: 6 = 1 + 2 + 3. Зато число 8 опять не поддается. Правда, следующие числа вновь уступают натиску: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, а вот 16 — вновь непредставимо.
Заметим, что в числителе находятся два сомножителя, каждый из которых строго больше 1, и при этом четность их — различна. Выходит, что сумма всех натуральных чисел от m до n включительно делится на нечетное число, большее 1, и потому не может быть степенью двойки. Так что теперь понятно, почему не удалось представить степени двойки в нужном виде.
Возьмем сумму 2k + 1 последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно 2a. Легко видеть, что тогда наименьшее из них равно 2a – k, а наибольшее равно 2a + k, причем наименьшее (и, значит, все остальные) — положительное, т. е. действительно натуральное. Ну, а сумма, очевидно, составляет как раз 2a(2k + 1).
е., в основном, прав Том. Но первое впечатление обманчиво, потому что на самом деле Том прав только для значений N, являющихся степенями двойки. Для остальных N найдется доска, которая так и останется навеки непобеленной. Доказательство этого факта довольно громоздко (хотя, в принципе, несложно). Предлагаем читателю выполнить его самому.
В видео также показана идея доказательства, поясняемая ниже: мы можем умножать степени одного и того же основания и делать из этого вывод, каким должно быть число в нулевой степени.
..· н)
= п х + у 
На самом деле мы можем написать, что (-3) x · (-3) 0 = (-3) x , где x — любое целое число.
Однако в случае -1 0 отрицательный знак не означает отрицательное число, а вместо этого означает , противоположное числу следующего. Итак, мы сначала вычисляем 1 0 , а затем берем обратное значение, что дает -1. 
В этом случае 3 — показатель степени, а 2 3 (все выражение) — степень. 
Имеем:
Что, если мы воспользуемся другим определением? Например, предположим, что мы решили определить как
=0 по определенной линии.
Так получилось, что правая часть имеет магический фактор. Следовательно, если мы не используем, то биномиальная теорема (как написано) не выполняется, когда a = 0, потому что тогда не равно .
Однако не все альтернативные коды символов можно использовать, нажав клавишу Alt. Я покажу вам в ближайшее время. Просто продолжайте читать.
Ярлыки кода работают только в Microsoft Word. И чтобы использовать эти сочетания клавиш, сначала введите код в Microsoft Word, выберите его и нажмите Alt+X на клавиатуре. Код будет преобразован в Силу символа.
И ваша клавиатура также должна иметь цифровую клавиатуру.
Для пользователей Windows используйте метод альтернативного кода, нажав клавишу [Alt] при вводе альтернативного кода символа, указанного в таблице выше.
«> Klippel — это программа сертификации колонок, позволяющая нам поставлять самые лучшие сабвуферы.
«> Мощность динамиков Rockford Fosgate соответствует отраслевым стандартам CEA-2031.
</li>
</ol>
Solution… Rockford Fosgate subwoofers use aluminum formers or voice coils for their excellent heat dissipation and SPL capabilities unlike many other plastic substitutes.»> В сабвуферах Rockford Fosgate используются каркасы звуковых катушек из анодированного алюминия, обеспечивающие превосходное рассеивание тепла (до …
«> В сабвуферах Rockford Fosgate используются каркасы звуковых катушек из анодированного алюминия, обеспечивающие превосходное рассеивание тепла (до 100° при полной мощности). В отличие от традиционных пластиковых заменителей, алюминий действует как радиатор, быстро рассеивая накопление тепла на звуковой катушке. Это позволяет сабвуферам оставаться прохладными в условиях высокого звукового давления.
<div><br></div>»> Рама с прорезью позволяет точно настроить монтажное положение сабвуфера.
This removable impedance selection jumper also provides fused protection in severe overload conditions.»> Позволяет быстро настроить звуковые катушки для последовательного или параллельного подключения.
(14,13 кг)
Вы должны получить RA# (номер разрешения на возврат), чтобы вернуть любой продукт в Rockford Fosgate. Вы несете ответственность за доставку продукта в Rockford.
com (имя дилера, дата покупки и приобретенный товар должны быть разборчивы)
Моргантаун, Западная Виргиния, США; Квотербек «Канзас Джейхокс» Джалон Дэниелс (6) празднует победу над «Канзас Джейхокс» на стадионе «Маунтинир Филд» на миланском стадионе «Пушкар». Обязательный кредит: Бен Куин-USA TODAY Sports 
Небраска.
Если бы штат Канзас разгромил респектабельную программу, они бы удержали их впереди штата Айова. Тем не менее, «Уайлдкэтс» играли с одним из четырех бывших отказов Большой 12 (наряду с «Техас А&М», «Небраска» и «Колорадо»), группой, которая в тот день проиграла со счетом 0–4, проиграв «ВВС», «Аппалачи Стэйт» и «Южная Джорджия».
После двух игр «Лонгхорны» приближаются к своему рекорду 5-7 по сравнению с прошлым годом, но это означает всего лишь шесть побед.
)
)
)
)
)
)
)
)
Вычислительная мощность Pi4 стала уже весьма неплохой, да и полноценный Linux «на борту» звучит многообещающе. Меня давно интересовала возможность использования портативного и бесшумного ПК для несложных задач вроде набора этого текста, где «настоящий» десктоп избыточен, а планшет неудобен. Я купил топовую модель Raspberry Pi 4 c 8 Гб памяти — настала пора проверить, как это работает.
Но количество софта под Android, способного полноценно работать в десктоп-режиме весьма ограничено, да и не каждый сайт корректно отображается под Android в десктоп-режиме. Например, здесь на Хабре нет всплывающих подсказок у иконок форматирования текста и комментариев, видимо программисты сайта не учитывали что кто-то на Android будет использовать мышь.
Web-бенчмарк показал прирост 36 до 48 «условных единиц».
Само окно с фильмами открывается нормально:
И даже отсутствие диска здесь скорее плюс — даже если система «запорота» полностью, SD-карту можно вытащить и за 5 минут залить образ заново.
Пока что впечатления от устройства двойственные. С одной стороны, по сравнению со старыми моделями прирост производительности весьма неплохой, и систему в принципе почти на 100% можно использовать. С другой стороны, пока работает еще не все, хотя можно надеяться что будущие обновления исправят часть проблем. И наконец, было бы странно требовать очень многого от ПК ценой 50$ — по соотношению цена/качество систему можно считать весьма неплохой.
list с помощью следующей команды:
0 libopenal1 libopenal-dev pulseaudio
# bluetooth packages
sudo apt install -y bluez-tools
sudo apt install -y libbluetooth-dev
# gstreamer (multimedia) packages
sudo apt install -y libgstreamer1.0-0 gstreamer1.0-plugins-base gstreamer1.0-plugins-good gstreamer1.0-plugins-bad gstreamer1.0-plugins-ugly gstreamer1.0-libav gstreamer1.0-tools gstreamer1.0-x gstreamer1.0-alsa gstreamer1.0-gl gstreamer1.0-gtk3 gstreamer1.0-pulseaudio
sudo apt install -y libgstreamer1.0-dev libgstreamer-plugins-base1.0-dev
o -d /usr/lib/crtn.o
~/SSymlinker -s /usr/lib/arm-linux-gnueabihf/crt1.o -d /usr/lib/crt1.o
~/SSymlinker -s /usr/lib/arm-linux-gnueabihf/crti.o -d /usr/lib/crti.o
15.2.tar.xz
sudo tar xf ~/rpi-qt/qt-everywhere-src-5.15.2.tar.xz -C ~/rpi-qt/
sudo chown -R 1000:1000 ~/rpi-qt
gz
sudo tar xf ~/rpi-qt/tools/cross-gcc-*.tar.gz -C ~/rpi-qt/tools/
sudo chown -R 1000:1000 ~/rpi-qt
py
~/rpi-qt/sysroot-relativelinks.py ~/rpi-qt/sysroot
15/lib | sudo tee /etc/ld.so.conf.d/qt5.15.conf
sudo ldconfig
В качестве рабочего компьютера я использую Ubuntu 20, установленную на виртуальной машине.
В примерах Qt я нашел только примеры QWidget для подключений Modbus, и после того, как я недавно создал для этой цели приложение Qt Quick, я хотел бы в качестве примера привести его уменьшенную версию.
Устройство оснащено аппаратными декодерами HEVC/H.265 (до 60 кадров в секунду при выводе 4K-видео) и h364 (декодирование до 1080p60, кодирование до 1080p30 encode), а также поддержкой графики OpenGL ES 3.0. Обладает двумя портами micro-HDMI и способно выводить 4K-видео на оба одновременно. Что касается сетевых возможностей, следует отметить гигабитный LAN, двухдиапазонный Wi-Fi (2,4 ГГц и 5,0 ГГц), Bluetooth 5.0, BLE.
был анонсирован вычислительный модуль Raspberry Pi Compute Module 3+ в версиях с 8, 16 и 32 ГБ флеш-памяти и вовсе без нее по цене от $25.
свет увидела первая микроконтроллерная плата компании – Raspberry Pi Pico, самое дешевое устройство в ассортименте RPI – $4 за штуку.
5mm
Использует технологию big.LITTLE
75 . Найдите АС.
4 + ах = 3х – 1
При каких значениях
параметра а уравнение
1)
При каком значении а уравнение (а + 2) х2
+ 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
Найти все значения а,
при которых уравнение
(3)
Найти все значения а, при которых уравнение
Это условие
выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0
и 1/а < 0, т.е. при а < 0.
А., Мордкович А.Г. Математика.
Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1990.
С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.:
Экзамен, 2001–2008.
Therefore all progress depends on the unreasonable man.
Парадокс в том, что многое из того, что спрашивается на ЕГЭ по математике, не пригодится и тем, кто пойдет в IT, естественные науки или даже в математику! 3 Неудивительно, что школьники регулярно задают вопрос «зачем мне учить математику?» и саботируют этот процесс, не получая вразумительного ответа.
Только вот какой процент от общего числа составляют эти когнитивные атлеты? Процентов 5–10, вряд ли больше. И то, если брать в расчет не только самый топ, но и просто сколько-нибудь приличный уровень. А для остальных мы получаем «образование», метко описанное Ричардом Фейнманом 7:
Чтобы оставаться успешными и востребованными в будущем, нынешним школьникам и студентам придется периодически усваивать всё новые и новые порции информации, в том числе и порции математики. Нет никаких рациональных причин пичкать среднего школьника десять лет подряд ненужной и непонятной ему математикой, кроме бюрократической необходимости хорошо написать контрольную или набрать некоторое число баллов на ЕГЭ/ОГЭ. Гораздо продуктивнее ограничиться самым базовым набором математических понятий, и обязательно добиться того, чтобы ученик реально их осознал и освоил. Тогда, если в будущем возникнет необходимость расширить и углубить познания в математике, у него не должно возникнуть непреодолимых препятствий к этому.
Есть много разных метафор, характеризующих процесс математического познания. Одна из самых метких трактует изучение математики как движение по спирали познания, поскольку к одному и тому же понятию ученик возвращается неоднократно, каждый раз находясь на более высоком уровне по сравнению с предыдущим обращением 9. Переход на следующий уровень возможен только после решения некоторого числа задач, необходимое количество и скорость выполнения которых сугубо индивидуальны. Именно по этой причине лучшие математические школы вынуждены устраивать жесткий конкурс с целью отбора наиболее сильных когнитивных атлетов, способных взбираться по спирали познания с примерно одинаковой и довольно высокой скоростью.
Так может казаться с высоты птичьего полета профессора или когнитивного атлета. Десятки математических понятий образуют хитрым образом сцепленные спирали с десятками витков, причем часть этих спиралей еще и торчит наружу в сторону смежных дисциплин. Всё вместе это означает сотни и тысячи элементарных единиц материала.
А некоторые чрезмерно увлеченные преподаватели злоупотребляют своим положением и заставляют студентов решать сложные узконаправленные задачи, игнорируя отработку базового материала. Какая уж тут спираль, больше похоже на экспоненту.
Каждое изучаемое понятие должно быть «разжевано» без существенных потерь в содержании до такого состояния, в котором ученик сможет его переварить. А чтобы когнитивные атлеты тем временем не скучали, для них следует предусмотреть задания более высокого уровня.
Если математика действительно настолько непостижимо эффективна 11 в естественных науках, так покажите товар лицом! Обеспечение возможности бесшовного перехода в смежные дисциплины повысит мотивацию и послужит дополнительной иллюстрацией практической полезности математики.
Сначала студентов обучают действительным числам и теории пределов (эти понятия устаканились лишь к середине XIX века), а затем переходят к производным и интегралам 12, которые вошли в математику почти на 200 лет раньше благодаря трудам Ньютона и Лейбница. Стоит ли удивляться, что матан традиционно считается самым убойным предметом высшей математики?
К примеру, в последние годы особую популярность набрало такое направление, как машинное обучение и data science, а в Интернете появилось множество коммерческих предложений типа «Обучаем с нуля профессии дата-сатаниста». Желающих перекатиться в новомодную область тоже немало, но многих отпугивает имеющаяся там математика 14, которой они не знают. Это в свою очередь привело к появлению некоторого количества курсов а-ля «Изучи математику для ML/DS» 15. Главное тут — не переобучиться 16.
Общее число программистов в мире удваивается каждые пять лет 17. IT-сфера давно стала главной областью приложения математики, и, по-видимому, эта тенденция будет только нарастать, а посему должна обязательно учитываться при разработке методических программ по математике. Конечно, не дело вычислять производную от функции xn с помощью компьютера, но и отработка формулы Тейлора путем ручного разложения функций до десятого порядка — чрезмерный фанатизм, эту задачу лучше предоставить компьютеру.
Полагаю, что все утвержденные программы и пособия разрабатывались действительно лучшими методистами, и если они (программы и пособия) такие, какие они есть, то это лишь потому, что «других писателей у нас для вас нет» 20. И вряд ли они волшебным образом одномоментно возникнут откуда-либо. К тому же всякая надежда на быстрые изменения в крайне инерционной системе образования выглядит утопично. Государству нынче явно не до образования, оно занято более важными делами, поэтому спасение утопающих — дело рук самих утопающих.
Утверждается, что к имущественному расслоению добавилось интеллектуальное (умные умнеют, глупые глупеют), и всевозможные онлайн-платформы и самоучители предоставляют дешевое и некачественное образование «для бедных». Хорошо научить может только живой учитель, поэтому надо срочно наладить их выпуск, подняв престиж профессии.
Но современные технологии развиваются стремительно. Лучшие шахматные программы до конца 1970-х годов не могли составить сколько-нибудь серьезной конкуренции гроссмейстеру, однако, в конце XX века компьютер победил чемпиона мира по шахматам. Еще более сложная игра го, считавшаяся неприступной на десятилетия вперед, пала под натиском нейронных сетей 23. В последние годы у искусственного интеллекта появилось множество достижений и в других областях, поэтому есть все основания полагать, что в недалеком будущем цифровой учитель превзойдет белкового. Если не лучших из лучших, но наиболее массовый средний уровень — почти наверняка. Все технологии для этого уже есть, надо лишь соединить их вместе.
ru/2021/06/o-nepostizhimoj-neeffektivnosti-prepodavaniya-matematiki
В. Ломоносову.
Русский перевод см ogs-seminar.narod.ru/materials/effectiveness_of_mathematics.pdf.
У маленького бизнеса есть постоянные издержки, а каждый новый клиент приносит ему одинаковую дополнительную прибыль. Спрашивается: если число клиентов растет, в какой момент бизнес перестанет быть убыточным и выйдет в ноль? Любому мало-мальски сведущему в математике человеку ясно, что тут идет речь о точке пересечения двух прямых (горизонтальной и наклонной), которую легко можно найти, решив линейное уравнение. Однако авторы курса боялись математики как огня и потому предлагали студенту решить задачу перебором (!) с помощью компьютера.
В. Сталину.
Наилучший подход к решению этого типа уравнения состоит в том, чтобы исключить все знаменатели, используя идею LCD (наименьший общий знаменатель). При этом остаточное уравнение, с которым приходится иметь дело, обычно либо линейное, либо квадратичное.
В этом суть решения рациональных уравнений.
2} + 4x — 5 = \left( {x + 5} \right)\left( {x — 1} \right). Не так уж плохо?
Это «магия» использования LCD.